AKT-2-TABEL-MORTALITAS.pdf

TABEL MORTALITAS

9/4/2012

MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.

1

OVERVIEW •

•

Perusahaan asuransi jiwa mendasarkan semua perhitungan premi, jumlah asuransi dsb pada tabel mortalitas/kematian (mortality table). Tabel mortalitas berisi peluang seseorang mati ber berdasa dasark rkan an umur umurn nya dari dari kelom elompo pok k oran orang g yang diasuransikan diasuransikan (pemegang polis).

9/4/2012


2

OVERVIEW •

•

Perusahaan asuransi jiwa mendasarkan semua perhitungan premi, jumlah asuransi dsb pada tabel mortalitas/kematian (mortality table). Tabel mortalitas berisi peluang seseorang mati ber berdasa dasark rkan an umur umurn nya dari dari kelom elompo pok k oran orang g yang diasuransikan diasuransikan (pemegang polis).

9/4/2012


2

•

Struktur tabel mortalitas:

9/4/2012

x

l x

d x

0

1.023.102

1

1000qx

̊ x

23.102

22,58

62,33

1.000.000

5.770

5,77

62,76

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

99

125

125

1.000,00

0,5


e

3

•

•

•

l x

: jumlah orang yang tepat berusia x.

Orang yang lahir di saat yg bersamaan disebut KOHORT, dilambangkan dg l 0, dan tersisa sebanyak l x orang yg mencapai usia x d x : jumlah orang yg mati sebelum mencapai usia x+1 tahun. Jadi, l x+1 = l x – d d x

9/4/2012


4

•

•

•

Misal, w : usia tertinggi --->> l w > 0 dan l w+1 = 0. Artinya, w adalah usia tertinggi yg dapat dicapai oleh suatu kohort. 1000qx : peluang seseorang berusia x akan meninggal sebelum usia x+1 dikalikan 1000 (agar tidak terlalu banyak angka di belakang koma) ̊ : harapan hidup seseorang pada usia x e x

9/4/2012


5

•

•

•

Tabel mortalitas yg umum digunakan adalah Commisioners Standard Ordinary (CSO) 1941 Mortality Table yang berasal dari AS. Cara membuat tabel mortalitas ialah mengamati sejumlah kohort, kemudian mencatat berapa banyak orang tsb yang mati setiap tahun sampai kohort yg diamati mati semuanya. Apa kesulitannya…??? --->> Yang mengamati mati dulu sebelum semua anggota kelompok yg diamati mati semuanya.

9/4/2012


6

TABEL MORTALITAS CSO 1941 (COMMISIONERS STANDARD ORDINARY)

9/4/2012


7

•

Dari tabel dapat dilihat bahwa: l 0 = 1.023.102 orang ; l 9 = 973.869 orang;

w = 99 tahun ; d 23 = 2.531 orang; q13 = 1,98/1000 = 0,00198; e 3̊ 4 = 34,29 tahun. 9/4/2012


8

•

Sejumlah l 0 yg dipilih sembarang disebut radix.

•

Perhatikan:

q x 

l x  lx 1 l x



d x l x

Artinya: peluang seseorang yg berusia x akan mati sebelum hari ulang tahunnya yg ke x+1 sama dengan banyaknya orang dlm kohort yg mati antara usia x dan x+1 (d x) dibagi dgn jumlah orang yang berusia x ( l x). 9/4/2012


9

•

n px ialah peluang

seseorang berusia x akan hidup (paling sedikit) n tahun. n px



l x



n

l x

Atau, n px adalah jumlah orang (dari sebanyak l x pada usia x) yg mencapai usia x+n (l x+n) dibagi jumlah orang pada usia x.

Bila n=1, penulisannya: 1 px= px. Jadi, p x 9/4/2012




l x 1 l x 10

•

nqx

menyatakan peluang seseorang berusia x akan meninggal dalam n tahun, atau sebelum mencapai n+x tahun. n qx



1 n

px



1



•

l x

l x



n

l x



l x



n

l x

Bila n=1, ditulis: 1qx = qx = 1 – px.

9/4/2012


11

•

m|nqx ialah

peluang seseorang yang berusia x akan hidup m tahun tetapi mati dalam n tahun kemudian, yaitu mati antara usia x+m dan x+m+n tahun. m|n

•

qx 

l x  m  lx  m n l x



n

d x  m l x

Bila n=1, ditulis: m|1qx = m|qx. Jadi, m| qx 

9/4/2012


d x  m l x 12

nd x+m

l x l x+m x

9/4/2012

x+m

l x+m+n x+m+n


13

CONTOH 1) Dengan menggunakan tabel CSO 1941, berapakah peluang seseorang berusia 40 thn akan mati antara usia 55 dan 60 thn? Jawab: •

•

9/4/2012

x = 40 ; x+m = 55 -->> m = 15 ; x+m+n = 60 ->> n = 5 m|nqx = 15|5q40


14

•

•

•

15|5q40 =

(l 55 – l 60)/(l 40) = (754.191 – 677.771)/(883.342) = 0,08651

Jadi peluang orang yg berusia 40 thn itu mati antara usia 55 dan 60 thn adalah 0,08651. Atau 15|5q40 = 15 p40 . 5q55

9/4/2012


15

2) Suatu keluarga mempunyai 2 anak, masing2 berusia 1 thn dan 11 thn. Carilah peluang tepat seorang anak akan mati sebelum usia 50 thn? Jawab:

Ada dua kejadian yakni anak 1 thn mati tapi 11 thn hidup atau anak 1 thn hidup tapi 11 thn mati. Tiap kejadian bersifat independent sedangkan dua kejadian bersifat mutually exclusive. 9/4/2012


16

Shg, Peluang tepat seorang anak akan mati sebelum usia 50 thn adalah = 49q1 . 39 p11 + 49 p1 . 39q11 = (l 1 – l 50)/(l 1) . (l 50)/(l 11) + (l 50)/(l 1) . (l 11 – l 50)/(l 11) = l 50.(l 1 + l 11 -2l 50) / (l 1 . l 11) = 810.900 (1.000.000 + 969.890 – 2(810.900)) / [(1.000.000)(969.890) = 0,29103 9/4/2012


17

3)

Suatu perusahaan asuransi memiliki data yang mencakup usia antara 43 thn sampai 47 thn sbb:

Usia

Banyak yg diamati

Banyak yg mati

43

3602

27

44

4233

34

45

5817

50

46

1849

17

47

4651

46

Buatlah tabel mortalitas untuk jangka waktu pengamatan tsb!

9/4/2012


18

Jawab:

I. Hitung peluang mati selama setahun (qx) II. Tentukan radix III. Hitung l x, l x+n, d x, d x+n IV. Susun dalam tabel mortalitas ----+++---I. Hitung peluang mati selama setahun (qx)

9/4/2012

Usia (x)

# yg diamati

# yg mati

qx

43

3602

27

0,007496

44

4233

34

0,008032

45

5817

50

0,008595

46

1849

17

0,009194

47

4651

46

0,00989


19

II. Misal radix, l 43 = 100.000 -->> sembarang II. d43

= (100.000)(0,007496) ≈ 750

l 44

= 100.000 – 750 = 99.250

d 44

= (99.250)(0,008032) ≈ 797

l 45

= 99.250 – 797 = 98.453

dst….

9/4/2012


20

•

Tabel mortalitas:

9/4/2012

x

l x

43 44 45 46 47 48

100.000 99.250 98.453 97.607 96.710 95.754

d x 1000.q x

750 797 846 897 956


7,5 8,03 8,6 9,19 9,89

21

HARAPAN HIDUP •

•

e

x

menyatakan harapan hidup menurut usia.

Dua macam harapan hidup: –

–

9/4/2012

e

,Curtate expectation of life (harapan hidup ringkas) x

e

,Complete expectation of life (harapan hidup lengkap x


22

•

Harapan hidup diringkas, Artinya, rata-rata jumlah tahun yg lengkap yg masih akan dialami oleh seseorang yg sekarang berusia x tahun.

•

Tahun yang lengkap, Artinya, tahun yang penuh dialami. Misal, orang lahir 21 Juli 1987 dan mati 18 Oktober 2011, maka dianggap dia mati 21 Juli 2011, sdg sisanya tidak diperhitungkan

9/4/2012


23

•

Misal; Pandang sebanyak l x orang yg semua tepat berusia x tahun. Sebanyak l x+1 orang darinya masih akan hidup pd tahun ke x+1, sebanyak l x+2 orang darinya masih akan hidup pada tahun ke x+2, dst, dan tinggal l w yg masih hidup untuk tahun terakhirnya. Jadi jumlah tahun lengkap yg dialami oleh l x orang sampai semua mati adl l x 1  lx  2   l w

9/4/2012


24

•

Artinya, setiap orang dari l x pada rata-ratanya mpy harapan hidup,

e x 

9/4/2012

l x 1  lx  2 

 l w

l x


25

•

•

Contoh: Hitunglah e95 untuk tabel CSO 1941! Dari tabel, didapatkan l 95 = 3011, l 96= 1818, l 97 = 1005, l 98 =454 dan l 99 = 125, jadi e95 



l96  l97  l98  l99 l 95

1818  1005  454  125

3011  1,13 tahun 9/4/2012


26

•

Karena, l x 1 l x

 p x ;

lx  2 lx

 2 px ;

lx 3 lx

 3 px ; ;

lw lx



w x

px

maka,

e x  px  2 px  3 px 

9/4/2012

 w  x px


27

•

Bila dalam perhitungan harapan hidup, tahun tidak lengkap yang dialami seorang anggota lx ikut diperhitungkan (complete expectation of life), maka harapan hidup didefinisikan sebagai, e  o x

1

w x

l x

 l

x t

dt

0

w x





t

px dt

0 9/4/2012


28

•

Untuk interval [0,1] 1

 l

x t

dt ≒

0

•

l x  l x 1

2

Untuk interval [1,2] 2

 l

x t

1

9/4/2012

dt ≒

l x 1  l x  2

2


29

•

Dengan cara yg sama untuk semua interval didapatkan, o x ≒

e

•

1  lx  lx 1

 l x 

2



lx 1  l x  2

2



  

Didekati dgn, o x ≒

e 9/4/2012

ex 

1 2


30

•

Contoh: Hitunglah eo95 untuk CSO 1941! o 95 ≒

e

9/4/2012

e95 

≒ 1,13

1 2 1



2

≒ 1, 63


31

•

Contoh: Buktikan ex = px (1 + ex+1) p x 1  ex 1  

l x 1 

lx  2  lx 3  lx  4 

 lw   

1  l x  l x 1 l x 1  l x 1  lx  2  lx 3  lx  4   lw      l x  l x 1  l x 1  lx  2  lx 3  lx  4   lw  l x

 e x (terbukti). 9/4/2012


32

•

Contoh: Buktikan dan jelaskan kebenaran bukti tsb dengan kalimat verbal bahwa, qx + px.qx+1 + 2px.qx+2 + …… = 1 Bukti:

q x  px qx 1  2 px qx 1 



d x



1

l x l x



l x 1 d x 1 l x

l x 1



l x  2 d x  2 l x

l x  2

 d x  d x1  d x 2 





l x l x

1 9/4/2012


(terbukti). 33

•

Kebenaran dalam kalimat verbal: Suku pertama qx menyatakan peluang seorang yg berusia x tahun mati sebelum x+1 tahun, artinya mati pada interval waktu (x, x+1). Suku kedua p x.qx+1 menyatakan peluang orang tsb mencapai usia x+1 tahun dan mati sebelum x+2 tahun, atau mati pada interval waktu (x+1, x+2). Suku ketiga 2px.qx+2 menyatakan peluang orang tsb mencapai x+2 tahun dan mati sebelum x+3 tahun, atau mati pada interval waktu (x+2, x+3), dan demikian seterusnya, sehingga jika dijumlahkan semua maka sesungguhnya jumlah tersebut adalah peluang seorang mati pada tahun-tahun berikutnya. Dikarenakan orang pasti mati, maka jumlah peluang tersebut harus sama dengan 1.

9/4/2012


34

TABEL MORTALITAS PRIA AMERIKA •

•

•

Tabel CSO 1941 hanya ditentukan oleh usia x tahun saja. Realitas: asurador tidak memberikan polis pada mereka yg sekarat atau faktor lain yg dianggap merugikan perusahaan. Misal, difokuskan masalah kesehatan, asurador terkadang mensyaratkan adanya tes kesehatan. Polis diberikan jika calon tidak mengidap penyakit yg “dianggap” berbahaya. Sehingga, tingkat kesehatan orang yg baru diasuransikan rata-rata lebih baik drpd yg sudah agak lama diasuransikan, pada umur yg sama. Akibatnya, diasumsikan peluang mati orang yg baru diasuransikan lebih rendah drpd orang yg sudah agak lama diasuransikan.

9/4/2012


35

•

•

•

•

Kondisi semacam itu, disebut pengaruh seleksi permulaan. Pengaruh seleksi permulaan akan hilang beberapa tahun kemudian, artinya peluang mati mereka sama dg orang lain pada usia x, sehingga pada kondisi ini peluang mati hanya tergantung pada usia x tahun saja. Tabel mortalitas yg memperhitungkan pengaruh seleksi permulaan disebut select, sedangkan yg tidak memperhitungkan pengaruh seleksi/yg pengaruhnya telah hilang disebut ultimate. Biasanya, pengaruh seleksi permulaan dianggap hilang setelah 3 – 5 tahun.

9/4/2012


36

Year of Insurance

Age at Issue (x)

1

2

3

4

5

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

2.47 2.52 2.56 2.61 2.66 2.73 2.78 2.83 2.86 2.91 2.93 2.95 2.98 2.98 2.99

3.24 3.31 3.37 3.44 3.52 3.59 3.66 3.72 3.76 3.8 3.84 3.86 3.88 3.91 3.92

3.41 3.48 3.55 3.64 3.72 3.8 3.86 3.91 3.96 3.99 4.02 4.04 4.06 4.06 4.08

3.55 3.63 3.73 3.81 3.89 3.96 4.01 4.06 4.08 4.11 4.12 4.13 4.14 4.14 4.17

3.72 3.82 3.92 4 4.07 4.13 4.18 4.21 4.24 4.26 4.27 4.28 4.29 4.32 4.37

9/4/2012


6 and over

3.92 4.02 4.12 4.18 4.25 4.31 4.35 4.39 4.41 4.43 4.46 4.48 4.51 4.59 4.68

Attained Age

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 37

•

Perhatikan: Angka 3,72 untuk usia dikeluarkan (age of issue) 19 tahun dan lama diasuransikan (year of insurance) 3 tahun, menyatakan bahwa peluang seseorang yg sekarang berusia 21 tahun yg diasuransikan pada usia 19 tahun akan mati sebelum usia 22 tahun adl 3,72 1000

9/4/2012

 0,00372


38

•

•

•

Perhatikan: Bilangan 4,43 untuk capaian usia (attained age) 29 tahun pada lama asuransi 6 dan lebih ( 6 and over ) menyatakan bahwa peluang seseorang yg sekarang berusia 29 tahun dan yg telah diasuransikan paling sedikit 5 tahun yg lalu akan mati sebelum mencapai usia 30 tahun adalah 0,00443. Kolom “6 and over” adl ultimate.

9/4/2012


39

•

•

Contoh: Gunakan tabel mortalitas pria amerika untuk menghitung peluang berikut: a) Berapakah peluang seorang pria yg sekarang berusia 19 tahun yg diasuransikan 2 tahun lalu akan mati antara usia 20 – 21 thn? b) Akan hidup mencapai usia 21 tahun? c) Akan mati antara usia 24 – 25 tahun?

9/4/2012


40

a)

Agar org itu dapat mati antara usia 20 thn dan 21 thn, maka dia harus mencapai usia 20 thn dan mati setahun kemudian. Usia org itu diasuransikan adl 17 thn. Peluang mencapai usia 20 thn = 1 – 0,00355 dan peluang mati ketika usia 21 thn adl 0,00373. Sehingga, peluang mati antara usia 20 – 21 thn adl = (1-0,00355) (0,00373) = 0,00372

b)

Peluang mencapai usia 21 thn adl = (1-0,00355) (1-0,00373) = 0,99273

c)

Peluang mati antara usia 24 – 25 thn adl = (1-0,00355)(1-0,00373)(1-0,00392)(1-0,00412)(10,00418)(0,00425) = 0,00417

9/4/2012


41

LATIHAN 1. Dua orang masing-masing berusia 18 dan 23 tahun. Berapakah peluangnya, a) Paling sedikit seorang mencapai usia 60 thn?

b) Keduanya mati sebelum mencapai usia 40 thn?

2. Berapakah peluangnya seorang yg sekarang berusia 27 tahun akan mati antara usia 62 dan 68 tahun? 9/4/2012


42

3. Peluang seseorang berusia 18 akan mencapai usia 28 tahun adl 0,95 dan peluang orang tsb mencapai usia 48 thn adl 0,75. Carilah peluang seseorang berusia 28 thn akan mati sebelum mencapai usia 48 thn! 4. Hitung peluang: a) Seseorang yg sekarang berusia 21 thn yg diasuransikan 3 tahun lalu akan mati antara usia 22 dan 23! b) Akan mencapai 24 tahun! c) Akan mati antara usia 25 dan 26!

9/4/2012


43

AKT-2-TABEL-MORTALITAS.pdf

Recommend Documents