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Historia Comunidad primitiva en el mundo y en los Andes
C) el Cercano Oriente. D) Asia Central. E) Asia Oriental.
1. La denominada venus paleolítica estuvo rela-
UNMSM 2003
cionada principalmente con la
6. El sitio arqueológico del periodo Lítico caA) agricultura. B) ganadería. C) fertilidad. D) artesanía. E) pesca.
2. Durante el Neolítico, la Revolución agrícola llevó a cambios en la economía y la sociedad, así aparecieron las primeras ciudades como A) Ur y Kish. B) Jericó y Catalhoyuck. C) Kish y Uruk. D) Nínive y Lagash. E) Mohenjo - Daro y Harappa.
3. El culto a un ancestro común del clan primitivo se denomina A) animismo. B) politeísmo. C) paganismo. D) totemismo. E) monismo.
4. La denominada pebble culture estuvo relacionada
...
A) al culto de un antepasado común. B) a la confección de las primeras herramientas. C) al desarrollo de la economía productora. D) a las primeras viviendas. E) al surgimiento de la cerámica.
5. Los inicios de la agricultura datan de 8000 años a. n. e. y los primeros cultivos se realizaron en A) América del Norte. B) el norte de África.
racterizado por el hallazgo de instrumentos líticos, enterramientos y pinturas rupestres corresponde a A) Toquepala. B) Jaywamachay. C) Lauricocha. D) Chivateros. E) Paiján.
7. El hombre de Paiján, considerado el resto humano más antiguo del Perú, desarrolló las actividades de caza y recolección, además de la A) pesca con redes. B) pesca mediante alanceo. C) ganadería de cérvidos. D) horticultura de cereales. E) cerámica.
8. Durante el Arcaico Inferior, el hombre peruano fue horticultor seminómade. Así tenemos en la Costa peruana al hombre de A) Guitarrero y Santo Domingo. B) Guitarrero y Caral. C) Piquimachay y Telarmachay. D) Jaywamachay y Santo Domingo. E) Kotosh y Huaca Prieta.
9. El sitio arqueológico perteneciente al Arcaico Superior donde se halló los textiles más antiguos del Perú con figuras zoomorfas fue A) Áspero. B) Kotosh. C) Santo Domingo. D) Chilca. E) Huaca Prieta. 2
Historia 10. Los restos de Lauricocha, descubiertos por Augusto Cárdich en Huánuco, corresponden A) al Paleolítico Superior. B) al Paleolítico Medio. C) a la Barbarie Inferior. D) a la Barbarie Superior. E) a la Barbarie Media.
A) Nabucodonosor. B) Asurbanipal. C) Sargón. D) Hammurabi. E) Baltasar. UNMSM 2007 - II
UNMSM 2007 - I
Mesopotamia, Egipto y Fenicia
11. Las evidencias más antiguas de leyes escritas provienen de A) Egipto. B) Grecia. C) Mesopotamia. D) Fenicia. E) Roma.
15. La civilización egipcia se desarrolló en A) la península balcánica. B) el noreste de África. C) la península arábiga. D) el norte de Europa. E) el Lejano Oriente.
16. El breve periodo egipcio donde se evidenció un florecimiento comercial durante la dinastía Psamética recibe el nombre de
12. La escritura más antigua fue usada en Mesopotamia desde el cuarto milenio antes de nuestra era, por sus caracteres es conocida con el nombre de A) hierática. B) demótica. C) cuneiforme. D) jeroglífica. E) alfabética.
A) Imperio Medio. B) Imperio Nuevo. C) periodo Predinástico. D) Renacimiento Saita. E) Imperio Antiguo.
17. La invasión final de Roma a Egipto fue dirigida por
13. La invasión a los sumerios, por Sargón I, permitió a los acadios A) integrar religiosamente la región. B) invadir Egipto. C) desarrollar un control imperial. D) construir mitos y leyendas sobre su origen. E) expulsar a los hititas de su territorio.
14. La civilización mesopotámica hizo grandes aportes culturales a la humanidad; los correspondientes al derecho fueron impulsados por su rey 3
A) Marco Aurelio. B) Trajano. C) Nerón. D) César Augusto. E) Rómulo Augústulo.
18. Los egipcios conservaban los cuerpos de los muertos momificándolos mediante su embalsamiento, pues creían en la resurrección y en la existencia de una vida después de la muerte. El Dios de la momificación se denominó A) Anubis. B) Amón. C) Osiris. D) Horus. E) Seth. UNMSM 2007 - I
Historia 19. La más importante colonia fenicia en el Mediterráneo Occidental fue A) Cartago. B) Cádiz. C) Tiro. D) Alejandría. E) Sevilla.
D) su actividad filosófica y científica. E) su fuertes pugnas con el grupo de poder dominante.
24. La religión griega tuvo como una de sus características principales el culto a dioses
20. Los fenicios se distinguen por ser A) los más grandes comerciantes de la Antigüedad. B) el pueblo que inventó la escritura. C) el imperio más grande de la Antigüedad. D) los forjadores del hierro. E) los grandes representantes de la arquitectura monumental. Grecia y Roma
21. La sociedad de la Antigüedad considerada como aquella que dio origen a la democracia fue A) Mesopotamia. B) Egipto. C) Fenicia. D) Grecia. E) Roma.
22. El Partenón y el Erectión, construcciones arquitectónicas griegas, fueron edificadas en la acrópolis de Atenas en el periodo A) de auge o Siglo de Pericles. B) Homérico. C) Oscuro. D) Arcaico. E) Helenístico.
...
23. En la sociedad griega, los eupátridas eran un
A) guerreros. B) predominantemente femeninos. C) zoomorfos. D) de apariencia y actitudes humanas. E) perfectos y compasivos.
25. La obra más importante del historiador griego Tucídides fue A) La Anábasis. B) Los nueve libros de la historia. C) Historia de la Guerra del Peloponeso. D) Vidas paralelas. E) Historia Universal. UNMSM 2007 - II
26. Con el establecimiento de la Tetrarquía como nueva forma de ejercer el poder en el Imperio romano, Diocleciano buscaba poner fin A) a la unidad del Imperio. B) a la influencia del cristianismo. C) a los problemas de sucesión imperial. D) al dominio de los romanos sobre Oriente. E) al poder de los militares en la política romana.
27. De los siguientes acontecimientos producidos en la Antigua Roma, señale el que se ubica cronológicamente al final del periodo de la República.
sector social que se destacó por A) estar desposeídos de toda propiedad y derechos políticos. B) su actividad comercial y marginación política. C) poseer tierras y ocupar cargos políticos.
A) reformas de los hermanos Graco B) guerras púnicas C) formación de los triunviratos D) máxima expansión territorial E) derrocamiento de Tarquino el Soberbio. 4
Historia 28. En tiempos de Teodosio (fines siglo iv), el con-
texto social en los dominios del Imperio romano tenía que ver con
A) las demandas de derechos civiles por parte de los plebeyos ricos. B) la sensación de inseguridad a causa de la rebelión de los esclavos, dirigidos por Espartaco. C) el miedo desatado en la capital debido al ingreso de las huestes de Atila el Huno. D) las represiones contra la religión pagana y judía, a causa de la imposición del cristianismo. E) la Pax Romana, periodo de pleno dominio esclavista.
29. El Conflicto militar a través del cual Roma garantizó su dominio sobre el Mar Mediterráneo fue
A) las guerras médicas. B) las guerras púnicas. C) las guerras pírricas. D) la Guerra del Peloponeso. E) la Guerra de las Galias.
32. Las trepanaciones craneanas fueron practicadas por la cultura A) Paracas. B) Chavín. C) Wari. D) Sechín. E) Vicús.
33. La cultura Chavín se destacó por la construcción de edificios religiosos como A) el Templo de Kalasasaya. B) el Templo del Lanzón. C) la Huaca El Brujo. D) el Templo de Kotosh. E) la Huaca de la Luna.
34. Tuvo una cerámica monócroma, de forma globular, con asa estribo; su decoración se realizaba plasmando figuras mitológicas zoomorfas. Estas características corresponden a la cerámica de la cultura A) Paracas. B) Chavín. C) Caral. D) Lima. E) Inca.
30. En la Roma Antigua, la reforma agraria en favor de los desposeídos fue promovida por
A) Julio César y Tiberio. B) Tiberio y Cayo Graco. C) Octavio y Lépido. D) Antonio y Trajano. E) Cornelio y Pompeyo. UNMSM 2005 - II
35. El gran centro ceremonial de Chavín, de origen multirregional, tiene su asiento principal en el A) Callejón de Conchucos. B) Cañón del Pato. C) Callejón de Huaylas. D) Valle del río Mosna. E) Valle del río Santa. UNMSM 2001
Formativo y Primer Desarrollo Regional
31. La difusión de los patrones culturales a nivel panandino llevada a cabo por una cultura hegemónica recibe el nombre de
36. La cerámica de la cultura Nasca, considerada una de las más importantes del Antiguo Perú, tiene entre sus características la A) bicromía y el asa de estribo. B) policromía y los dos picos con asa puente. C) monocromía y la presencia de incisiones. D) policromía y la presencia del dios Sol. E) bicromía y los dos picos con asa puente.
A) desarrollo regional. B) intermedio cultural. C) transculturación. D) horizonte cultural. E) difusionismo cultural. 5
Historia 37. Las culturas del Intermedio Temprano se caracterizan por A) sus construcciones líticas. B) el control de los pisos ecológicos. C) su economía lacustre. D) sus obras hidráulicas. E) la difusión del culto a Wiracocha.
38. Durante el Primer Desarrollo Regional, la cultura andina que logró la colonización de diversos pisos ecológicos para diversificar su producción alimenticia fue A) Vicús. B) Nasca. C) Chimú. D) Tiahuanaco. E) Chavín.
39. Las características del entierro del Señor de
C) los villanos tenían un gran poder económico. D) los nobles vivían en las villas. E) las actividades de la población giraban en torno al comercio.
42. Cuando hablamos de un beneficio que los
vasallos prestan a los señores feudales en la Alta Edad Media, nos referimos a
A) unas obligaciones de trabajo por parte de los vasallos. B) un amplio territorio que los vasallos debían trabajar personalmente. C) una Iglesia cuyos fieles debían pagar contribuciones. D) un bien económico con obligaciones militares o administrativas. E) un territorio con entrega de corveas o prestaciones. UNMSM 2005 - II
Sipán expresan claramente A) la calidad de la textilería moche. B) el esclavismo en la cultura Nasca. C) la gran diferenciación social en la cultura Moche. D) la explotación de hombres y mujeres por la élite Tiahuanaco. E) la equidad de género en las sociedades del Primer Desarrollo Regional.
40. La cultura Lima del periodo de los Desarrollos Regionales (200 a. n. e. - 600 d. n. e.), tuvo como principal característica el empleo de A) cabezas clavas. B) tapiares. C) guarangos. D) monolitos. E) adobitos. UNMSM 2010 - II
...
Feudalismo e Imperio carolingio
41. La sociedad feudal se caracterizó principalmente porque
A) los siervos eran plenamente libres. B) la Iglesia tenía un gran poder e influencia cultural.
43. Durante el feudalismo, las relaciones vasalláticas se formalizaron a través de un contrato feudal, en el cual la fidelidad recibió el nombre de
A) investidura. B) corvea. C) primogenitura. D) espaldarazo. E) homenaje.
44. A nivel político, la principal característica del feudalismo fue
A) la consolidación de los Estados nacionales centralizados. B) la poliarquía feudal. C) la autarquía feudal. D) el poco desarrollo del comercio. E) la rebelión de campesinos.
45. Según la visión tradicional, la Edad Media llegó a su fin con
A) la invención de la escritura. B) la caída de Constantinopla. C) la caída de Roma. D) el estallido de la Revolución francesa. E) el descubrimiento de América. 6
Historia 46. La nobleza sometida al Estado carolingio estaba expuesta a la vigilancia por parte de los A) missi dominicci. B) condes. C) duques. D) capellanes. E) mayordomos.
47. El origen del poder temporal del papa se encuentra directamente relacionado con A) la coronación de Carlomagno el año 800. B) la batalla contra los musulmanes en Poitiers. C) la conversión al cristianismo de Clodoveo. D) las Cruzadas en busca de tierras. E) la entrega de los Estados pontificios por parte de Pipino el Breve.
48. El reino carolingio se desintegró por la división territorial. El sector más beneficiado por dicho proceso fue
A) el clero. B) la nobleza feudal. C) el de los comerciantes. D) la realeza. E) el campesino.
49. La alianza entre la Iglesia católica y el reino
Franco fue de vital importancia para aquella, ya que le permitió
A) expandir la fe católica por el mundo entero y así otorgar la salvación eterna a sus fieles. B) seguir manteniendo su poder ideológico y acrecentar sus propiedades económicas. C) luchar mejor contra la herejía. D) desarrollar los principios del cristianismo y cohesionar a los fieles en el amor al prójimo. E) ser la depositaria del conocimiento científico y ponerlo al servicio de la sociedad cristiana.
50. Durante el reinado de Carlomagno se puede afirmar que se
A) promovió una alianza con los sajones y los hérulos. B) realizó acciones militares de expedición comercial. C) intentó restablecer el Imperio romano de Occidente. D) fomentó la autonomía de los señores feudales. E) combatió las desviaciones de la Iglesia y el papado. UNMSM 2007 - I
Claves 01 - C
08 - A
15 - B
22 - A
29 - B
36 - B
43 - E
02 - B
09 - E
16 - D
23 - C
30 - B
37 - D
44 - B
03 - D
10 - A
17 - D
24 - D
31 - D
38 - D
45 - B
04 - B
11 - C
18 - A
25 - C
32 - A
39 - C
46 - A
05 - C
12 - C
19 - A
26 - C
33 - B
40 - E
47 - E
06 - C
13 - C
20 - A
27 - C
34 - B
41 - B
48 - B
07 - B
14 - D
21 - D
28 - D
35 - D
42 - D
49 - B
7
50 - C
Habilidad Lógico-Matemático 3. Se tienen 10 cajas de bombones, de las cuales
Razonamiento lógico I
en 9 de las cajas los bombones son de 1 g, y en la otra caja todos los bombones son de 2 g. Además, cada caja tiene un total de 20 unidades. Si se emplea una balanza electrónica, ¿cuántas veces se tendrá que emplear dicha balanza para encontrar la caja que contiene los bombones de 2 g?
1. Se tienen 4 frascos cerrados y etiquetados que contienen bolitas: uno contiene solo bolitas de color rojo, dos de ellos contienen solo bolitas de color verde y el cuarto, solo bolitas de color azul.
rojo
verde
verde
azul
A
B
C
D
A) 1 B) 2 C) 3 D) 10 E) 20
4. En la orilla de un río se encuentran 6 personas cuyos pesos son de 50 kg; 60 kg y 70 kg y los otros tres pesan, cada uno, 100 kg. Si cuentan con un bote que soporta un peso máximo de 120 kg, ¿cuántos viajes tendrán que realizar como mínimo para cruzar el río?
Si todos los frascos han sido etiquetados de manera equivocada, ¿cuántos y qué frascos se tendrían que abrir como mínimo para averiguar el contenido de cada uno y reetiquetarlos correctamente?
A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19
A) un frasco, A B) un frasco, B o C C) un frasco, D D) dos frascos, B y C E) dos frascos, A y D UNMSM 2009 - II
5. La figura muestra 5 fichas de dominó. ¿Cuáles deben ser invertidas para que la suma de los puntos de la parte superior sea el triple de la suma de los puntos de la parte inferior?
2. Raúl requiere un tornillo de 128 g, el cual se
...
encuentra en una caja junto con otros 7 tornillos de pesos 1 g; 2 g; 4 g; 8 g; 16 g; 32 g y 64 g. Si al tacto no se puede diferenciar los pesos y todos los tornillos de la caja tienen igual apariencia, ¿cuál es el mínimo número de pesadas que debe hacer con una balanza de dos platillos para identificar el tornillo deseado? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
1.º
2.º
3.º
4.º
5.º
A) 1.º y 2.º B) 1.º y 3.º C) 2.º y 5.º D) 2.º y 4.º E) 3.º y 4.º UNMSM 2009 - II
2
Habilidad Lógico-Matemático 6. En la siguiente cuadrícula de 6×6 se han colo-
cado lanzarrayos cuya numeración representa el número de cuadrados que alcanzan sus rayos. Se puede lanzar un rayo o varios, en dirección vertical u horizontal. Si los rayos alcanzan todos los cuadrados de la cuadrícula, excepto los cuadrados donde se ubican los lanzarrayos, halle la cantidad de rayos verticales.
A) 13 B) 17 C) 15 D) 19 E) 18
8. Se cuenta con 2 dados comunes, los cuales gi-
ran por el tablero y en la dirección mostrada, hasta las casillas A y B. ¿Cuál es la suma de los puntos de las caras superiores al final del recorrido de los dados?
4 7 3
6 3
2
4
A) 7 B) 10 C) 6 D) 9 E) 8
A) 6 B) 5 C) 4 D) 7 E) 9
7. En el gráfico se muestra una habitación con
25 jaulas, algunas tienen instalada una trampa por si el lobo (L) se escapa e intenta comerse a los corderos (C). Las cantidades ubicadas en las jaulas sombreadas indican el número de trampas que se encuentran a su alrededor. En este instante, se muestra la ubicación de tres corderos. El lobo escapó y solo puede desplazarse de jaula en jaula de manera horizontal o vertical. L
2
Razonamiento lógico II
9. ¿Cuál es la menor cantidad de números que
debemos cambiar de posición en la figura para que las sumas de los números, en los círculos unidos por una línea recta, sean iguales, y además sean la máxima suma posible? 29
11
2
2
26
C
20
14
5 2
C C
1
1
Si las jaulas sombreadas no tienen trampa y en una jaula no pueden haber más de 2 corderos, ¿cuántos corderos más pueden ubicarse, como máximo, de modo que ninguno sea devorado por el lobo o atrapado por una trampa? 3
23
17
A) 3 B) 2 C) 5 D) 4 E) 6 UNMSM 2007 - II
Habilidad Lógico-Matemático 10. Coloque los números del 1 al 10 en cada uno
de los círculos mostrados, de tal forma que la suma de los números ubicados en cada uno de los cinco lados sea la misma. ¿Cuál es el valor de dicha suma?
A) 36 B) 35 C) 37 D) 34 E) 33
13. Distribuya los números naturales, del 7 al 15,
uno por casilla circular y sin repetir, de manera que dos números primos entre sí cualesquiera deben estar conectados por una línea recta. Calcule la suma de los números ubicados en las casillas sombreadas. Considere que el número 11 ya está ubicado.
A) 16 B) 18 C) 19 D) 22 E) 25
11. Se colocan los números del 1 al 20 en cada
una de las casillas circulares, de modo que los números ubicados en cada cuatro casillas consecutivas y colineales deben sumar 34. Calcule el valor de w+x+y+z. x w
y
z
A) 14 B) 15 C) 16 D) 19 E) 20
...
11
12. Distribuya los números del 1 al 10, uno en cada
casilla circular, de tal manera que la suma de los números ubicados en cada rectángulo sea la misma. Halle el máximo valor que puede tomar la suma constante.
A) 20 B) 24 C) 28 D) 22 E) 16
14. Un número N de diez cifras tiene las siguientes
características: La cifra de la izquierda indica la cantidad de ceros que tiene N; la siguiente cifra, la cantidad de veces que aparece el dígito 1 en N; la siguiente, la cantidad de veces que aparece el dígito 2 en N; y así sucesivamente. Halle la suma de cifras de N.
A) 10 B) 12 C) 16 D) 14 E) 8 UNMSM 2010 - II
4
Habilidad Lógico-Matemático 15. Complete las casillas del recuadro mostrado
con los números del 1 al 6, de modo que no se repitan en la misma fila o misma columna; además, se debe cumplir que el número ubicado en el rincón de cada bloque indique el resultado de la operación matemática (marcada con su símbolo entre paréntesis) obtenida con los números de este bloque. 12(×)
10(+) 2(÷) 5(+)
1(–)
4
5(–) 3(÷)
17. En un edificio de cinco pisos viven 5 amigos,
5
3(÷)
15(×)
6(×) 6(+)
2(÷)
7(+)
18. En una reunión se encuentran cuatro amigos:
Juan, José, Félix y Fernando, cuyas edades son 21; 24; 27 y 32 años, no necesariamente en ese orden. Si se sabe que la edad del menor más la edad de José es igual al doble de la edad de Fernando; y Félix es menor que Juan, ¿cuál es la suma de las edades de Juan y José?
Dé como respuesta el producto de los números ubicados en las casillas sombreadas. A) 9 B) 6 C) 12 D) 15 E) 8
A) 53 años B) 48 años C) 56 años D) 51 años E) 59 años
16. Distribuya en las casillas circulares del gráfi-
co los ocho primeros números primos, uno por casilla y sin repetir, de manera que la suma de los tres números ubicados en las casillas de cada lado sea la que se indica. Halle la suma de los números ubicados en las casillas sombreadas.
UNMSM 2007 - II
19. Seis amigos están sentados simétricamente
27 29
28
uno por piso. De ellos se sabe lo siguiente: • Néstor vive más abajo que Francisco, pero más arriba que Erick. • Manuel vive más abajo que Néstor, pero no vive más abajo que César. ¿Quién vive en el quinto piso?
A) Néstor B) Erick C) Manuel D) Francisco E) César
20(×)
1(–) 5
36(×)
Razonamiento lógico III
32 A) 35 B) 39 C) 37 D) 41 E) 40
5
alrededor de una mesa circular. Se sabe lo siguiente: • Mario está frente a Nora y junto a Pedro. • José está frente a Pedro y a la izquierda de Nora. • Silvia no está junto a José. • Rosa está leyendo. ¿Quién se sienta junto y a la derecha de Silvia?
A) Rosa B) Pedro C) Nora D) Mario E) José
Habilidad Lógico-Matemático 20. Seis personas se sientan alrededor de una fo-
antes que el señor Sánchez; el señor Mendoza no llegó primero y fue superado por una dama. La señora Sánchez llegó en quinto lugar; justo después de su esposo. ¿En qué lugar llegaron el señor y la señora Mendoza?
gata simétricamente dispuestas. Luis no está sentado al lado de Ernesto ni de Juan, y Francisco no está al lado de Gustavo ni de Pablo, quien se encuentra junto y a la derecha de Ernesto. Si Luis no está frente a Ernesto, ni junto, ni a la derecha de Pablo, ¿quién está sentado frente a Pablo? A) Ernesto B) Juan C) Gustavo D) Luis E) Francisco
21. En un juego que consiste en lanzar dos dados a la vez, Néstor, Víctor, Mario y Javier obtuvieron los siguientes resultados: 3; 5; 8 y 12 aunque no necesariamente en ese orden. Si Víctor no obtuvo ningún valor en su lanzamiento y Néstor obtuvo un puntaje mayor que el de Javier, pero menor que el de Mario, ¿cuánto suman los puntajes de Javier y Néstor? A) 11 B) 13 C) 8 D) 15 E) 17 UNMSM 2010 - II
22. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa
...
circular, en forma simétrica. De ellos se sabe lo siguiente: • Miguel se sienta junto a Esteban. • Pablo se sienta frente a Raúl. • Esteban se sienta a la izquierda de Javier. • César está junto a la derecha de Darío y frente a Arturo. • Raúl se sienta a la siniestra de Miguel. ¿Quién se sienta junto a la derecha de Arturo? A) Miguel B) Pablo C) Raúl D) Javier E) Esteban
23. En una carrera participan tres parejas de esposos: los Sánchez, los Mendoza y los Fernández. Se sabe que los esposos llegaron antes que sus respectivas esposas; la señora Fernández llegó
A) 3.º y 6.º B) 2.º y 4.º C) 3.º y 4.º D) 1.º y 2.º E) 3.º y 5.º
24. Una enciclopedia está compuesta por 7 tomos,
los cuales se encuentran en fila en un estante. De ellos se sabe lo siguiente: • El tomo IV está a la izquierda del tomo I. • El tomo II está a la izquierda del tomo V. • El tomo VII está a la derecha del tomo IV. • El tomo III solo tiene 3 tomos a su derecha. • El tomo VII está a la izquierda del tomo II, entre el tomo III y el tomo V. • El tomo VI está entre el tomo I y el tomo III. Según estos datos, ¿qué tomos están adyacentes al tomo III? A) VI y V B) VII y II C) VI y VII D) I y VII E) IV y VI Planteo de ecuaciones I
25. Deseamos repartir una cantidad de soles entre un cierto número de jóvenes. Si diéramos a cada joven 15 soles, nos faltarían 70 soles; pero si diéramos a cada joven 10 soles, nos sobrarían 10 soles. ¿Cuántos soles más necesitaríamos para dar 12 soles a cada joven? A) 11 B) 13 C) 22 D) 14 E) 16 UNMSM 2009 - II
6
Habilidad Lógico-Matemático 26. Se reparten S/.155 entre cinco hermanos (A, B, C, D y E) de la siguiente forma: lo que recibió A excede en S/.10 a la mitad de lo que recibió D; C recibió tanto como A y B juntos; B y C recibieron tanto como A y D juntos; E recibió dos veces más que B. ¿Cuánto recibió C? A) S/.15 B) S/.25 C) S/.30 D) S/.40 E) S/.50
A) 6 B) 4 C) 9 D) 10 E) 8
31. Se tienen un reloj, dos botellas iguales, una taza y tres platos iguales. Se sabe que el reloj se equilibra tanto con una botella como también con un plato y una taza; y tres platos se equilibran con 2 botellas. ¿Con cuántas tazas se equilibra el reloj y cuántas de estas faltan para equilibrarla?
27. Los nietos de don Julio deciden comprarle un obsequio. Si no colaborasen 5 de ellos, a cada uno de los restantes les comprendería S/.4 más y si no colaborasen tres, a cada uno de los otros les correspondería S/.2 más. ¿Cuántos nietos tiene don Julio? A) 13 B) 15 C) 16 D) 14 E) 11 UNMSM 2007 - II
28. En un estante se puede guardar 24 libros de RM y 20 libros de RV o 36 libros de RM y 16 de RV o 42 libros de Física. Si al final se guardan de los tres tipos en igual cantidad, ¿cuántos libros se colocarán en total? Considere que en todos los casos el estante queda completamente lleno.
A) 3 - 2 B) 2 - 1 C) 3 - 1 D) 4 - 1 E) 4 - 2
32. Con todos los alumnos de un colegio se formaron dos triángulos equiláteros compactos (uno de ellos tenía una fila más que el otro). Luego se incorporaron 85 alumnos y se decidió que se reunieran todos y formaran un cuadrado compacto con dos filas más que el mayor de los triángulos compactos formados inicialmente, solo que se observó que faltaban 15 alumnos. ¿Cuántos alumnos había inicialmente? A) 324 B) 525 C) 784 D) 576 E) 629 Planteo de ecuaciones II
A) 24 B) 20 C) 16 D) 36 E) 42
33. A Mónica se le pregunta por su edad y ella res-
dan, la docena costaría S/.1,8 menos, ¿cuánto se paga realmente por tres docenas de chirimoya?
ponde: Si al triple de mi edad se le quitan 21 años, se obtendrá lo que me falta para tener el triple de lo que tuve hace un año. ¿Dentro de cuántos años, como mínimo, Mónica tendrá una edad que es un número cuadrado perfecto?
A) S/.7,2 B) S/.18 C) S/.14,4 D) S/.14,1 E) S/.21,6
A) 11 B) 8 C) 3 D) 5 E) 7
29. Si por S/.2 dieran 3 chirimoyas más de las que
30. En un establo, el cuidador de las aves observa que el exceso del número de patos sobre la cantidad de pavos es al número de estos como 1 es a 4, respectivamente. Si al contar el total de cabezas y patas resulta 81, halle la cantidad de pavos que quedan al vender de estos la mitad de los que no se venden. 7
34. ¿Cuántas veces, en total, la edad del hermano mayor será múltiplo de la edad del hermano menor si la diferencia de sus edades es 18 años? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
Habilidad Lógico-Matemático 35. Yo tengo la edad que tú tenías, cuando yo tenía
38. Mi edad es el doble de la edad que tú tenías
los 5/11 de tu edad actual, y cuando yo tenga la edad que tiene él, la suma de sus edades (la tuya y la de él) será 62. ¿Cuál es la suma de cifras de tu edad actual?
hace 12 años, momento en que yo tenía 2/3 de la cantidad de años que actualmente tienes. ¿Cuál será la suma de nuestras edades cuando transcurran tantos años como la tercera parte de la suma de nuestras edades actuales?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 5
A) 95 años B) 103 años C) 101 años D) 105 años E) 98 años
36. Yo tengo el doble de años que tú tenías cuando yo tenía 11 años menos de la edad que tienes; y cuando tengas el doble de mi edad actual, yo tendré 26 años. ¿Cuántos años tenías cuando yo nací? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
37. Ana le dice a Rosa: Hace 8 años tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas el triple de mi edad actual, nuestras edades sumarán 176 años. Rosa responde: Es cierto, y mi hermana tiene actualmente una edad igual a la edad que tú tenías cuando yo nací. ¿Cuál es la suma de edades actuales de Ana, Rosa y su hermana? A) 54 años B) 56 años C) 60 años D) 62 años E) 64 años
...
39. Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú tenías lo que yo tengo, yo lo que él tiene, y este tenía la tercera parte de la edad que tú tendrás cuando entre los tres tengamos 300 años, yo tenga la edad que tú tienes y él tenga la edad que yo tenga. ¿Qué edad tengo ahora? A) 90 años B) 85 años C) 100 años D) 75 años E) 80 años
40. De un grupo de personas se observa que la suma de edades actuales es a la suma de edades de hace 4 años como 4 es a 3; pero dentro de 24 años, la suma de las edades será 200 años. ¿Cuántas personas conforman dicho grupo de personas? A) 4 B) 5 C) 10 D) 6 E) 8
Claves 01 - B
06 - D
11 - A
16 - C
21 - C
26 - D
31 - A
36 - B
02 - C
07 - B
12 - C
17 - D
22 - B
27 - B
32 - D
37 - B
03 - A
08 - D
13 - D
18 - E
23 - A
28 - E
33 - E
38 - A
04 - C
09 - D
14 - A
19 - B
24 - C
29 - C
34 - C
39 - E
05 - A
10 - D
15 - B
20 - D
25 - C
30 - E
35 - B
40 - B
8
Habilidad Lógico-Matemático 3. Se tienen 10 cajas de bombones, de las cuales
Razonamiento lógico I
en 9 de las cajas los bombones son de 1 g, y en la otra caja todos los bombones son de 2 g. Además, cada caja tiene un total de 20 unidades. Si se emplea una balanza electrónica, ¿cuántas veces se tendrá que emplear dicha balanza para encontrar la caja que contiene los bombones de 2 g?
1. Se tienen 4 frascos cerrados y etiquetados que contienen bolitas: uno contiene solo bolitas de color rojo, dos de ellos contienen solo bolitas de color verde y el cuarto, solo bolitas de color azul.
rojo
verde
verde
azul
A
B
C
D
A) 1 B) 2 C) 3 D) 10 E) 20
4. En la orilla de un río se encuentran 6 personas cuyos pesos son de 50 kg; 60 kg y 70 kg y los otros tres pesan, cada uno, 100 kg. Si cuentan con un bote que soporta un peso máximo de 120 kg, ¿cuántos viajes tendrán que realizar como mínimo para cruzar el río?
Si todos los frascos han sido etiquetados de manera equivocada, ¿cuántos y qué frascos se tendrían que abrir como mínimo para averiguar el contenido de cada uno y reetiquetarlos correctamente?
A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19
A) un frasco, A B) un frasco, B o C C) un frasco, D D) dos frascos, B y C E) dos frascos, A y D UNMSM 2009 - II
5. La figura muestra 5 fichas de dominó. ¿Cuáles deben ser invertidas para que la suma de los puntos de la parte superior sea el triple de la suma de los puntos de la parte inferior?
2. Raúl requiere un tornillo de 128 g, el cual se
...
encuentra en una caja junto con otros 7 tornillos de pesos 1 g; 2 g; 4 g; 8 g; 16 g; 32 g y 64 g. Si al tacto no se puede diferenciar los pesos y todos los tornillos de la caja tienen igual apariencia, ¿cuál es el mínimo número de pesadas que debe hacer con una balanza de dos platillos para identificar el tornillo deseado? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
1.º
2.º
3.º
4.º
5.º
A) 1.º y 2.º B) 1.º y 3.º C) 2.º y 5.º D) 2.º y 4.º E) 3.º y 4.º UNMSM 2009 - II
2
Habilidad Lógico-Matemático 6. En la siguiente cuadrícula de 6×6 se han colo-
cado lanzarrayos cuya numeración representa el número de cuadrados que alcanzan sus rayos. Se puede lanzar un rayo o varios, en dirección vertical u horizontal. Si los rayos alcanzan todos los cuadrados de la cuadrícula, excepto los cuadrados donde se ubican los lanzarrayos, halle la cantidad de rayos verticales.
A) 13 B) 17 C) 15 D) 19 E) 18
8. Se cuenta con 2 dados comunes, los cuales gi-
ran por el tablero y en la dirección mostrada, hasta las casillas A y B. ¿Cuál es la suma de los puntos de las caras superiores al final del recorrido de los dados?
4 7 3
6 3
2
4
A) 7 B) 10 C) 6 D) 9 E) 8
A) 6 B) 5 C) 4 D) 7 E) 9
7. En el gráfico se muestra una habitación con
25 jaulas, algunas tienen instalada una trampa por si el lobo (L) se escapa e intenta comerse a los corderos (C). Las cantidades ubicadas en las jaulas sombreadas indican el número de trampas que se encuentran a su alrededor. En este instante, se muestra la ubicación de tres corderos. El lobo escapó y solo puede desplazarse de jaula en jaula de manera horizontal o vertical. L
2
Razonamiento lógico II
9. ¿Cuál es la menor cantidad de números que
debemos cambiar de posición en la figura para que las sumas de los números, en los círculos unidos por una línea recta, sean iguales, y además sean la máxima suma posible? 29
11
2
2
26
C
20
14
5 2
C C
1
1
Si las jaulas sombreadas no tienen trampa y en una jaula no pueden haber más de 2 corderos, ¿cuántos corderos más pueden ubicarse, como máximo, de modo que ninguno sea devorado por el lobo o atrapado por una trampa? 3
23
17
A) 3 B) 2 C) 5 D) 4 E) 6 UNMSM 2007 - II
Habilidad Lógico-Matemático 10. Coloque los números del 1 al 10 en cada uno
de los círculos mostrados, de tal forma que la suma de los números ubicados en cada uno de los cinco lados sea la misma. ¿Cuál es el valor de dicha suma?
A) 36 B) 35 C) 37 D) 34 E) 33
13. Distribuya los números naturales, del 7 al 15,
uno por casilla circular y sin repetir, de manera que dos números primos entre sí cualesquiera deben estar conectados por una línea recta. Calcule la suma de los números ubicados en las casillas sombreadas. Considere que el número 11 ya está ubicado.
A) 16 B) 18 C) 19 D) 22 E) 25
11. Se colocan los números del 1 al 20 en cada
una de las casillas circulares, de modo que los números ubicados en cada cuatro casillas consecutivas y colineales deben sumar 34. Calcule el valor de w+x+y+z. x w
y
z
A) 14 B) 15 C) 16 D) 19 E) 20
...
11
12. Distribuya los números del 1 al 10, uno en cada
casilla circular, de tal manera que la suma de los números ubicados en cada rectángulo sea la misma. Halle el máximo valor que puede tomar la suma constante.
A) 20 B) 24 C) 28 D) 22 E) 16
14. Un número N de diez cifras tiene las siguientes
características: La cifra de la izquierda indica la cantidad de ceros que tiene N; la siguiente cifra, la cantidad de veces que aparece el dígito 1 en N; la siguiente, la cantidad de veces que aparece el dígito 2 en N; y así sucesivamente. Halle la suma de cifras de N.
A) 10 B) 12 C) 16 D) 14 E) 8 UNMSM 2010 - II
4
Habilidad Lógico-Matemático 15. Complete las casillas del recuadro mostrado
con los números del 1 al 6, de modo que no se repitan en la misma fila o misma columna; además, se debe cumplir que el número ubicado en el rincón de cada bloque indique el resultado de la operación matemática (marcada con su símbolo entre paréntesis) obtenida con los números de este bloque. 12(×)
10(+) 2(÷) 5(+)
1(–)
4
5(–) 3(÷)
17. En un edificio de cinco pisos viven 5 amigos,
5
3(÷)
15(×)
6(×) 6(+)
2(÷)
7(+)
18. En una reunión se encuentran cuatro amigos:
Juan, José, Félix y Fernando, cuyas edades son 21; 24; 27 y 32 años, no necesariamente en ese orden. Si se sabe que la edad del menor más la edad de José es igual al doble de la edad de Fernando; y Félix es menor que Juan, ¿cuál es la suma de las edades de Juan y José?
Dé como respuesta el producto de los números ubicados en las casillas sombreadas. A) 9 B) 6 C) 12 D) 15 E) 8
A) 53 años B) 48 años C) 56 años D) 51 años E) 59 años
16. Distribuya en las casillas circulares del gráfi-
co los ocho primeros números primos, uno por casilla y sin repetir, de manera que la suma de los tres números ubicados en las casillas de cada lado sea la que se indica. Halle la suma de los números ubicados en las casillas sombreadas.
UNMSM 2007 - II
19. Seis amigos están sentados simétricamente
27 29
28
uno por piso. De ellos se sabe lo siguiente: • Néstor vive más abajo que Francisco, pero más arriba que Erick. • Manuel vive más abajo que Néstor, pero no vive más abajo que César. ¿Quién vive en el quinto piso?
A) Néstor B) Erick C) Manuel D) Francisco E) César
20(×)
1(–) 5
36(×)
Razonamiento lógico III
32 A) 35 B) 39 C) 37 D) 41 E) 40
5
alrededor de una mesa circular. Se sabe lo siguiente: • Mario está frente a Nora y junto a Pedro. • José está frente a Pedro y a la izquierda de Nora. • Silvia no está junto a José. • Rosa está leyendo. ¿Quién se sienta junto y a la derecha de Silvia?
A) Rosa B) Pedro C) Nora D) Mario E) José
Habilidad Lógico-Matemático 20. Seis personas se sientan alrededor de una fo-
antes que el señor Sánchez; el señor Mendoza no llegó primero y fue superado por una dama. La señora Sánchez llegó en quinto lugar; justo después de su esposo. ¿En qué lugar llegaron el señor y la señora Mendoza?
gata simétricamente dispuestas. Luis no está sentado al lado de Ernesto ni de Juan, y Francisco no está al lado de Gustavo ni de Pablo, quien se encuentra junto y a la derecha de Ernesto. Si Luis no está frente a Ernesto, ni junto, ni a la derecha de Pablo, ¿quién está sentado frente a Pablo? A) Ernesto B) Juan C) Gustavo D) Luis E) Francisco
21. En un juego que consiste en lanzar dos dados a la vez, Néstor, Víctor, Mario y Javier obtuvieron los siguientes resultados: 3; 5; 8 y 12 aunque no necesariamente en ese orden. Si Víctor no obtuvo ningún valor en su lanzamiento y Néstor obtuvo un puntaje mayor que el de Javier, pero menor que el de Mario, ¿cuánto suman los puntajes de Javier y Néstor? A) 11 B) 13 C) 8 D) 15 E) 17 UNMSM 2010 - II
22. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa
...
circular, en forma simétrica. De ellos se sabe lo siguiente: • Miguel se sienta junto a Esteban. • Pablo se sienta frente a Raúl. • Esteban se sienta a la izquierda de Javier. • César está junto a la derecha de Darío y frente a Arturo. • Raúl se sienta a la siniestra de Miguel. ¿Quién se sienta junto a la derecha de Arturo? A) Miguel B) Pablo C) Raúl D) Javier E) Esteban
23. En una carrera participan tres parejas de esposos: los Sánchez, los Mendoza y los Fernández. Se sabe que los esposos llegaron antes que sus respectivas esposas; la señora Fernández llegó
A) 3.º y 6.º B) 2.º y 4.º C) 3.º y 4.º D) 1.º y 2.º E) 3.º y 5.º
24. Una enciclopedia está compuesta por 7 tomos,
los cuales se encuentran en fila en un estante. De ellos se sabe lo siguiente: • El tomo IV está a la izquierda del tomo I. • El tomo II está a la izquierda del tomo V. • El tomo VII está a la derecha del tomo IV. • El tomo III solo tiene 3 tomos a su derecha. • El tomo VII está a la izquierda del tomo II, entre el tomo III y el tomo V. • El tomo VI está entre el tomo I y el tomo III. Según estos datos, ¿qué tomos están adyacentes al tomo III? A) VI y V B) VII y II C) VI y VII D) I y VII E) IV y VI Planteo de ecuaciones I
25. Deseamos repartir una cantidad de soles entre un cierto número de jóvenes. Si diéramos a cada joven 15 soles, nos faltarían 70 soles; pero si diéramos a cada joven 10 soles, nos sobrarían 10 soles. ¿Cuántos soles más necesitaríamos para dar 12 soles a cada joven? A) 11 B) 13 C) 22 D) 14 E) 16 UNMSM 2009 - II
6
Habilidad Lógico-Matemático 26. Se reparten S/.155 entre cinco hermanos (A, B, C, D y E) de la siguiente forma: lo que recibió A excede en S/.10 a la mitad de lo que recibió D; C recibió tanto como A y B juntos; B y C recibieron tanto como A y D juntos; E recibió dos veces más que B. ¿Cuánto recibió C? A) S/.15 B) S/.25 C) S/.30 D) S/.40 E) S/.50
A) 6 B) 4 C) 9 D) 10 E) 8
31. Se tienen un reloj, dos botellas iguales, una taza y tres platos iguales. Se sabe que el reloj se equilibra tanto con una botella como también con un plato y una taza; y tres platos se equilibran con 2 botellas. ¿Con cuántas tazas se equilibra el reloj y cuántas de estas faltan para equilibrarla?
27. Los nietos de don Julio deciden comprarle un obsequio. Si no colaborasen 5 de ellos, a cada uno de los restantes les comprendería S/.4 más y si no colaborasen tres, a cada uno de los otros les correspondería S/.2 más. ¿Cuántos nietos tiene don Julio? A) 13 B) 15 C) 16 D) 14 E) 11 UNMSM 2007 - II
28. En un estante se puede guardar 24 libros de RM y 20 libros de RV o 36 libros de RM y 16 de RV o 42 libros de Física. Si al final se guardan de los tres tipos en igual cantidad, ¿cuántos libros se colocarán en total? Considere que en todos los casos el estante queda completamente lleno.
A) 3 - 2 B) 2 - 1 C) 3 - 1 D) 4 - 1 E) 4 - 2
32. Con todos los alumnos de un colegio se formaron dos triángulos equiláteros compactos (uno de ellos tenía una fila más que el otro). Luego se incorporaron 85 alumnos y se decidió que se reunieran todos y formaran un cuadrado compacto con dos filas más que el mayor de los triángulos compactos formados inicialmente, solo que se observó que faltaban 15 alumnos. ¿Cuántos alumnos había inicialmente? A) 324 B) 525 C) 784 D) 576 E) 629 Planteo de ecuaciones II
A) 24 B) 20 C) 16 D) 36 E) 42
33. A Mónica se le pregunta por su edad y ella res-
dan, la docena costaría S/.1,8 menos, ¿cuánto se paga realmente por tres docenas de chirimoya?
ponde: Si al triple de mi edad se le quitan 21 años, se obtendrá lo que me falta para tener el triple de lo que tuve hace un año. ¿Dentro de cuántos años, como mínimo, Mónica tendrá una edad que es un número cuadrado perfecto?
A) S/.7,2 B) S/.18 C) S/.14,4 D) S/.14,1 E) S/.21,6
A) 11 B) 8 C) 3 D) 5 E) 7
29. Si por S/.2 dieran 3 chirimoyas más de las que
30. En un establo, el cuidador de las aves observa que el exceso del número de patos sobre la cantidad de pavos es al número de estos como 1 es a 4, respectivamente. Si al contar el total de cabezas y patas resulta 81, halle la cantidad de pavos que quedan al vender de estos la mitad de los que no se venden. 7
34. ¿Cuántas veces, en total, la edad del hermano mayor será múltiplo de la edad del hermano menor si la diferencia de sus edades es 18 años? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
Habilidad Lógico-Matemático 35. Yo tengo la edad que tú tenías, cuando yo tenía
38. Mi edad es el doble de la edad que tú tenías
los 5/11 de tu edad actual, y cuando yo tenga la edad que tiene él, la suma de sus edades (la tuya y la de él) será 62. ¿Cuál es la suma de cifras de tu edad actual?
hace 12 años, momento en que yo tenía 2/3 de la cantidad de años que actualmente tienes. ¿Cuál será la suma de nuestras edades cuando transcurran tantos años como la tercera parte de la suma de nuestras edades actuales?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 5
A) 95 años B) 103 años C) 101 años D) 105 años E) 98 años
36. Yo tengo el doble de años que tú tenías cuando yo tenía 11 años menos de la edad que tienes; y cuando tengas el doble de mi edad actual, yo tendré 26 años. ¿Cuántos años tenías cuando yo nací? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
37. Ana le dice a Rosa: Hace 8 años tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas el triple de mi edad actual, nuestras edades sumarán 176 años. Rosa responde: Es cierto, y mi hermana tiene actualmente una edad igual a la edad que tú tenías cuando yo nací. ¿Cuál es la suma de edades actuales de Ana, Rosa y su hermana? A) 54 años B) 56 años C) 60 años D) 62 años E) 64 años
...
39. Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú tenías lo que yo tengo, yo lo que él tiene, y este tenía la tercera parte de la edad que tú tendrás cuando entre los tres tengamos 300 años, yo tenga la edad que tú tienes y él tenga la edad que yo tenga. ¿Qué edad tengo ahora? A) 90 años B) 85 años C) 100 años D) 75 años E) 80 años
40. De un grupo de personas se observa que la suma de edades actuales es a la suma de edades de hace 4 años como 4 es a 3; pero dentro de 24 años, la suma de las edades será 200 años. ¿Cuántas personas conforman dicho grupo de personas? A) 4 B) 5 C) 10 D) 6 E) 8
Claves 01 - B
06 - D
11 - A
16 - C
21 - C
26 - D
31 - A
36 - B
02 - C
07 - B
12 - C
17 - D
22 - B
27 - B
32 - D
37 - B
03 - A
08 - D
13 - D
18 - E
23 - A
28 - E
33 - E
38 - A
04 - C
09 - D
14 - A
19 - B
24 - C
29 - C
34 - C
39 - E
05 - A
10 - D
15 - B
20 - D
25 - C
30 - E
35 - B
40 - B
8
Aritmética Teoría de numeración I
6. Si el numeral 32(b+1)2(5 – b)8 está correctamente escrito y la suma de cifras es n, halle la cantidad de numerales de la forma
1. Relacione correctamente ambas columnas.
I. el menor numeral cuya suma de cifras es 40 en el sistema heptanario II. el menor numeral de 4 cifras diferentes y significativas en el sistema heptanario III. el mayor numeral de tres cifras diferentes
a. 46666667 b. 987 c. 12347
A) Ia, IIb, IIIc B) Ib, IIa, IIIc C) Ib, IIc, IIIa D) Ic, IIb, IIIa E) Ia, IIc, IIIb
A) 72 B) 45 C) 80 D) 60 E) 42 Teoría de numeración II
7. Se tiene M= 6 ∙ 82+13 ∙ 84+8 – 2 · 83+15.
A) 29 B) 33 C) 30 D) 32 E) 31
8. Se cumple que
A) 20 B) 16 C) 17 D) 15 E) 18
4. Si el numeral (a+b)(3b+1)(b+5)(2a – 3) es
...
9. Se tiene mnpmnpk= ( a2 − 1) ( a + 5) 48 .
Halle el valor de m+n+p+k+a.
A) 4 B) 6 C) 7 D) 5 E) 8
10. Si el numeral 2451n se expresa a la base (n+1),
capicúa, halle la suma de cifras de dicho numeral.
se obtiene que la suma de sus cifras es 15. Halle el valor de n.
A) 20 B) 28 C) 12 D) 18 E) 24
A) 6 B) 8 C) 7 D) 9 E) 10
5. ¿Cuántos numerales de la forma
a(a+1)bc7=(a+1)05cn calcule el mayor valor de a+b+c+n. A) 14 B) 12 C) 18 D) 15 E) 16
3. Si los numerales 100212b, mpbc, cb2a, 3np7, (p+1)ban están correctamente escritos, calcule a+b+c+n.
Determine la suma de cifras al expresar M al sistema octanario. A) 26 B) 20 C) 24 D) 22 E) 18
2. Determine la cantidad de cifras del menor numeral cuya suma de cifras es 249 en el sistema nonario.
a + 1 ( a + 3) ( c − 1) ( c + 3) n 2
11. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales
(a –1)(b+3)(a+2)(4 – b)(c+2) existen en el sistema duodecimal?
que al expresarlos a los sistemas quinario y cuaternario se escriben con 3 y 4 cifras, respectivamente?
A) 480 B) 432 C) 360 D) 768 E) 400
A) 26 B) 32 C) 30 D) 25 E) 61 2
Aritmética 12. ¿En cuántos sistemas de numeración se escribe el menor numeral cuya suma de cifras diferentes es 20 con tres cifras? A) 10 B) 14 C) 12 D) 13 E) 11 Operaciones fundamentales I
13. Se tiene ac45+b63a=ecba7 – dab8.
Halle el valor de a×b×c×d. A) 480 B) 520 C) 240 D) 460 E) 524
14. Si a1b+a2b+a3b+...+a7b=x8y1,
halle el valor de a+b+x+y. A) 14 B) 13 C) 11 D) 12 E) 15
15. Si la suma de todos los términos de la sustracción es 648, además, la diferencia excede al sustraendo en 52, calcule la suma de cifras de la diferencia. A) 17 B) 18 C) 12 D) 15 E) 19
16. En una sustracción, se cumple que el cuádruplo del minuendo excede en 48 unidades a la suma de los términos de la sustracción. Halle la suma de los dos resultados obtenidos si a la diferencia se le suma el sustraendo y viceversa (al sustraendo se le suma la diferencia), en ambos casos tantas veces como indica el minuendo. A) 700 B) 650 C) 600 D) 550 E) 500
18. Se tiene CA(xyzw)=a2b. Además, zxw – wxz=2ca. Calcule el CA(a+b+c+x+y+z+w). A) 58 B) 54 C) 44 D) 64 E) 56 Operaciones fundamentales II
19. En una multiplicación de términos enteros positivos, si al multiplicando se le aumenta 2 unidades y al multiplicador se le aumenta en 7 unidades, el producto aumenta en 43 unidades. Calcule el producto inicial. A) 28 B) 12 C) 38 D) 76 E) 20
20. Si CA(3mn)=x27, además, abc – cba=(x+1)(3b)y, determine la suma de los productos parciales de la siguiente multiplicación xym×abc. A) 2834 B) 3226 C) 3032 D) 8243 E) 8151
21. Se cumple que …abc×143=…27c. Calcule la suma de valores que toma a+b+c. A) 33 B) 17 C) 36 D) 16 E) 18
22. En una división exacta, el dividendo es un número de dos cifras, el divisor es 7 y el cociente es la cifra de las unidades del dividendo. Calcule el producto de cifras del dividendo. A) 45 B) 18 C) 60 D) 30 E) 15
23. En una división inexacta, la suma de cocientes
17. Se cumple que CA(abc)=bca Calcule el valor de a×b×c. A) 80 B) 120 C) 100 D) 60 E) 180 3
es 49 y el residuo por defecto es la mitad del cociente. ¿Cuántos valores toma el dividendo, si es de tres cifras? A) 39 B) 29 C) 27 D) 38 E) 36
Aritmética 24. En una división se cumple que el divisor y cociente son números consecutivos crecientes, lo mismo sucede con los residuos por defecto y por exceso, en ese orden. Si el dividendo es máximo y está comprendido entre 500 y 600, calcule la suma de cifras del divisor. A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 7
28. Calcule el residuo de dividir M entre 8. 2
4
6
8
M=a + 2 × a03 + 3 × a 05 + 4 × a 07 + ... 01 20 sumandos
A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5
Teoría de divisibilidad I
29. Un microbusero recaudó en uno de sus reco-
25. Desde 40 hasta 320 determine lo siguiente:
A) 12 B) 9 C) 10 D) 13 E) 11
• ¿Cuántos son múltiplos de 6 y 15? • ¿Cuántos son múltiplos de 4, pero no de 8? Dé como respuesta la suma de los resultados obtenidos. A) 40 B) 45 C) 38 D) 42 E) 44
rridos S/.72,30. Por cada escolar cobró S/.0,50; por cada universitario, S/.0,80; y por cada adulto, S/.1,50. ¿Cuántos pasajeros transportó si el número de adultos es el mayor posible y transportó por lo menos un escolar y un universitario? A) 48 B) 49 C) 50 D) 51 E) 52
26. ¿Cuántos números de cuatro cifras de la base 5 son múltiplos de 13?
30. Un estudiante cuenta las hojas de su libro de 4 en 4 y le sobran 3, pero si los cuenta de 13 en 13 le sobran 12. ¿Cuántas hojas como máximo tiene su libro si este es de 3 cifras y termina en cifra 5?
A) 40 B) 39 C) 38 D) 37 E) 36
27. De todos los numerales de tres cifras en base 7 que inician con cifra 2, ¿cuántos son divisibles entre 5?
A) 965 B) 985 C) 935 D) 995 E) 925
Claves
... 01 - E
05 - D
09 - B
13 - A
17 - C
21 - A
25 - E
29 - C
02 - D
06 - B
10 - C
14 - C
18 - E
22 - E
26 - B
30 - C
03 - E
07 - A
11 - D
15 - A
19 - B
23 - D
27 - C
04 - B
08 - D
12 - C
16 - C
20 - E
24 - A
28 - C
4
Aritmética Teoría de numeración I
6. Si el numeral 32(b+1)2(5 – b)8 está correctamente escrito y la suma de cifras es n, halle la cantidad de numerales de la forma
1. Relacione correctamente ambas columnas.
I. el menor numeral cuya suma de cifras es 40 en el sistema heptanario II. el menor numeral de 4 cifras diferentes y significativas en el sistema heptanario III. el mayor numeral de tres cifras diferentes
a. 46666667 b. 987 c. 12347
A) Ia, IIb, IIIc B) Ib, IIa, IIIc C) Ib, IIc, IIIa D) Ic, IIb, IIIa E) Ia, IIc, IIIb
A) 72 B) 45 C) 80 D) 60 E) 42 Teoría de numeración II
7. Se tiene M= 6 ∙ 82+13 ∙ 84+8 – 2 · 83+15.
A) 29 B) 33 C) 30 D) 32 E) 31
8. Se cumple que
A) 20 B) 16 C) 17 D) 15 E) 18
4. Si el numeral (a+b)(3b+1)(b+5)(2a – 3) es
...
9. Se tiene mnpmnpk= ( a2 − 1) ( a + 5) 48 .
Halle el valor de m+n+p+k+a.
A) 4 B) 6 C) 7 D) 5 E) 8
10. Si el numeral 2451n se expresa a la base (n+1),
capicúa, halle la suma de cifras de dicho numeral.
se obtiene que la suma de sus cifras es 15. Halle el valor de n.
A) 20 B) 28 C) 12 D) 18 E) 24
A) 6 B) 8 C) 7 D) 9 E) 10
5. ¿Cuántos numerales de la forma
a(a+1)bc7=(a+1)05cn calcule el mayor valor de a+b+c+n. A) 14 B) 12 C) 18 D) 15 E) 16
3. Si los numerales 100212b, mpbc, cb2a, 3np7, (p+1)ban están correctamente escritos, calcule a+b+c+n.
Determine la suma de cifras al expresar M al sistema octanario. A) 26 B) 20 C) 24 D) 22 E) 18
2. Determine la cantidad de cifras del menor numeral cuya suma de cifras es 249 en el sistema nonario.
a + 1 ( a + 3) ( c − 1) ( c + 3) n 2
11. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales
(a –1)(b+3)(a+2)(4 – b)(c+2) existen en el sistema duodecimal?
que al expresarlos a los sistemas quinario y cuaternario se escriben con 3 y 4 cifras, respectivamente?
A) 480 B) 432 C) 360 D) 768 E) 400
A) 26 B) 32 C) 30 D) 25 E) 61 2
Aritmética 12. ¿En cuántos sistemas de numeración se escribe el menor numeral cuya suma de cifras diferentes es 20 con tres cifras? A) 10 B) 14 C) 12 D) 13 E) 11 Operaciones fundamentales I
13. Se tiene ac45+b63a=ecba7 – dab8.
Halle el valor de a×b×c×d. A) 480 B) 520 C) 240 D) 460 E) 524
14. Si a1b+a2b+a3b+...+a7b=x8y1,
halle el valor de a+b+x+y. A) 14 B) 13 C) 11 D) 12 E) 15
15. Si la suma de todos los términos de la sustracción es 648, además, la diferencia excede al sustraendo en 52, calcule la suma de cifras de la diferencia. A) 17 B) 18 C) 12 D) 15 E) 19
16. En una sustracción, se cumple que el cuádruplo del minuendo excede en 48 unidades a la suma de los términos de la sustracción. Halle la suma de los dos resultados obtenidos si a la diferencia se le suma el sustraendo y viceversa (al sustraendo se le suma la diferencia), en ambos casos tantas veces como indica el minuendo. A) 700 B) 650 C) 600 D) 550 E) 500
18. Se tiene CA(xyzw)=a2b. Además, zxw – wxz=2ca. Calcule el CA(a+b+c+x+y+z+w). A) 58 B) 54 C) 44 D) 64 E) 56 Operaciones fundamentales II
19. En una multiplicación de términos enteros positivos, si al multiplicando se le aumenta 2 unidades y al multiplicador se le aumenta en 7 unidades, el producto aumenta en 43 unidades. Calcule el producto inicial. A) 28 B) 12 C) 38 D) 76 E) 20
20. Si CA(3mn)=x27, además, abc – cba=(x+1)(3b)y, determine la suma de los productos parciales de la siguiente multiplicación xym×abc. A) 2834 B) 3226 C) 3032 D) 8243 E) 8151
21. Se cumple que …abc×143=…27c. Calcule la suma de valores que toma a+b+c. A) 33 B) 17 C) 36 D) 16 E) 18
22. En una división exacta, el dividendo es un número de dos cifras, el divisor es 7 y el cociente es la cifra de las unidades del dividendo. Calcule el producto de cifras del dividendo. A) 45 B) 18 C) 60 D) 30 E) 15
23. En una división inexacta, la suma de cocientes
17. Se cumple que CA(abc)=bca Calcule el valor de a×b×c. A) 80 B) 120 C) 100 D) 60 E) 180 3
es 49 y el residuo por defecto es la mitad del cociente. ¿Cuántos valores toma el dividendo, si es de tres cifras? A) 39 B) 29 C) 27 D) 38 E) 36
Aritmética 24. En una división se cumple que el divisor y cociente son números consecutivos crecientes, lo mismo sucede con los residuos por defecto y por exceso, en ese orden. Si el dividendo es máximo y está comprendido entre 500 y 600, calcule la suma de cifras del divisor. A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 7
28. Calcule el residuo de dividir M entre 8. 2
4
6
8
M=a + 2 × a03 + 3 × a 05 + 4 × a 07 + ... 01 20 sumandos
A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5
Teoría de divisibilidad I
29. Un microbusero recaudó en uno de sus reco-
25. Desde 40 hasta 320 determine lo siguiente:
A) 12 B) 9 C) 10 D) 13 E) 11
• ¿Cuántos son múltiplos de 6 y 15? • ¿Cuántos son múltiplos de 4, pero no de 8? Dé como respuesta la suma de los resultados obtenidos. A) 40 B) 45 C) 38 D) 42 E) 44
rridos S/.72,30. Por cada escolar cobró S/.0,50; por cada universitario, S/.0,80; y por cada adulto, S/.1,50. ¿Cuántos pasajeros transportó si el número de adultos es el mayor posible y transportó por lo menos un escolar y un universitario? A) 48 B) 49 C) 50 D) 51 E) 52
26. ¿Cuántos números de cuatro cifras de la base 5 son múltiplos de 13?
30. Un estudiante cuenta las hojas de su libro de 4 en 4 y le sobran 3, pero si los cuenta de 13 en 13 le sobran 12. ¿Cuántas hojas como máximo tiene su libro si este es de 3 cifras y termina en cifra 5?
A) 40 B) 39 C) 38 D) 37 E) 36
27. De todos los numerales de tres cifras en base 7 que inician con cifra 2, ¿cuántos son divisibles entre 5?
A) 965 B) 985 C) 935 D) 995 E) 925
Claves
... 01 - E
05 - D
09 - B
13 - A
17 - C
21 - A
25 - E
29 - C
02 - D
06 - B
10 - C
14 - C
18 - E
22 - E
26 - B
30 - C
03 - E
07 - A
11 - D
15 - A
19 - B
23 - D
27 - C
04 - B
08 - D
12 - C
16 - C
20 - E
24 - A
28 - C
4
Álgebra Leyes de exponentes
1. Simplifique la expresión M.
M=
3 x +2
2
3 x +1
+2
3 x +1
2
− (1)
1 2
−2
A) 2
D) 16
B) 4
C) 8 E) 32
2. Si se sabe que – m
halle el valor de m
a
−n −n a a
1 1 A) B) 2 4 D) 4
1
m =n
calcule el equivalente reducido de
C) 2 E) 16
6. Si tenemos que
3n
1 = 2 n ; n ∈ − ∧ n ≤ −2 a
−n
n
5. Si se cumple que
=2
( x2 x ) m =
x x3 x
determine el valor de 11m.
A) 20 B) 18 D) 22
−2 m
+n
m− n
A) 12
B) 24
D) 16
C) 48
C) 24 E) 33
Productos notables
E) 8
7. Si se sabe que 5x – 5–x=10 3. Calcule el valor de x que verifica la siguiente ecuación.
4x − 3
x−
1 2
=3
x+
1 2
− 22 x −1
5 3 3 A) B) C) 2 2 4 5 D) 4
4 E) 3
4. Calcule el valor de M.
...
M=
12 − 48 + 27 20 + 45 − 80
50 x 2x
+
3x 75 x
A) 98 B) 102 D) 47
C) 100 E) 78
8. Si x = 15 + 5 ; y = 13 + 5
entonces, determine el valor de
(x+y)2(x – y)2
⋅ 9 15
determine el valor de
A) 8 B) 6 D) 2
C) 4 E) 1
−1
9. Simplifique la siguiente expresión. 3
3
9 3 5 A) B) C) 5 5 4
1 + 1 − x3 · 1 − 1 − x3 ; x ≤1 1 ( x + 1)2 − ( x + 1)2 + ( x − 1)2 2
5 D) 2
A) 1 B) 2 D) –1/2
5 E) 3
2
C) 1/2 E) 4
Álgebra 10. Sea x ∈ R+ de modo que
x+
15. Dada la expresión
1 1 1 = 3; x 2 + 2 = M ∧ x 3 + 3 = N x x x
Entonces, indique la relación correcta entre M y N.
( ( P ( P ( 2)))).
evalúe P P
A) M=N B) N+9=M C) N+2=3M D) 2M+4=N E) M+3=3N
11. Si se sabe que
calcule el valor de a6+b6+3a2b2.
A) 1 B) 1/2 D) 2
C) –1 E) 3
12. Determine el valor de la siguiente expresión.
(
)(
)
49 − 3 7 + 1 5 +1 5 −1
A) 2 B) 1/2 D) 1/4
(
3
)(
C) 1 E) 3
tal que P(b)=a2 ∧ P(1)=1,
ax+by=3; ay – bx=2; x2+y2=13
7 +1
A) – 1 B) 0 D) 2
16. Si P(x)=ax2 – x+b es un polinomio cuadrático
3
x − 1 ; si x > 1 P( x ) = − x ; si x = 1 x + 1 ; si x < 1
)
2009
4 · 8
2009
C) 1 E) 0
calcule el menor valor de ab.
Considere que a; b ∈ Z.
A) – 8 B) – 4 D) 2
C) – 2 E) – 6
17. Dada la identidad
(2x2 – 2)(3x+a) ≡ (x2+3x+2)(ax – 6)
entonces, ¿cuál es el valor de a?
A) 12 B) 6 D) 3
C) 2 E) 4
18. Dado el polinomio Polinomios
13. Si el polinomio
P(x)=2x n – 2+x n+1 – 9x2 – 2x+1
se reduce a un trinomio, evalúe P(n).
A) – 1 B) 0 D) 3
14. Dados los polinomios
P(x)=ax+2a; Q(x)=bx – 2; R(x)=x2 – (ab)2
calcule el valor de R
si se cumple que la suma de coeficientes es 12 y el término independiente es 7, calcule el valor
A) 0 B) 15 D) 5
C) – 3 E) 9
División de polinomios
19. Determine el valor de (a+b+c), si se sabe que la siguiente división es exacta. ax 5 + bx 4 + cx 3 + 2 x 2 − x − 2
.
A) ab B) a C) b D) 1 E) 0 3
P(x)=(3a+b)x4+(b – 2a)(x+1)+2
de ab.
C) 1 E) 9
( P ( Q( −1) ))
x2 − 3 x + 2
A) 2 B) 4 D) – 4
C) 1 E) – 1
Álgebra 20. Luego de efectuar la división
24. Si R(x) es el residuo de la división algebraica
3 x 5 + 5 x 4 + ax + b − 3 x 3 + x 2
( x − 1)35 + x10 − 2 x − 1
x2 + x − 3
se obtuvo como resto R(x)=2x+1; entonces, indique el valor de a – b.
A) – 1 B) – 3 D) 0
C) 4 E) 1
x2 − x
evalúe R(2012).
A) 0
D) 37
21. Si los coeficientes del cociente de la división
B) 4018
C) 2010 E) – 2
Factorización de polinomios
algebraica
25. Si f(x)=x+2 es un factor algebraico de
8 x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d
P(x)=x3+2x2+ax+b, calcule el valor de ab– 1.
2x2 − x + 1
disminuyen de uno en uno, y el residuo es R(x)=5x+1, calcule el valor de abcd. A) 180 B) – 29 D) – 28
C) – 140 E) 280
A) 2
D) – 1
3 2 2 1, b)=a +a b+a – a – b –
A) 3
indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
D) 4
I. es una división exacta II. el término independiente del cociente es 4 III. el cociente carece del término cuadrático
A) VFV B) FVV D) FFV
3
2
nx − x − nx + x + 2 nx + 1 nx − 1 tal que n ≠ 0.
A) x4+x2+2 B) nx4 – nx2+2n C) nx4 – nx2 – 2n D) x4 – x2 – 2 E) x4 – x2+2
la suma de sus
Calcule f(1; 1).
C) FFF E) VVF
23. Determine el cociente de la división
...
P(a;
4
E) – 1/2
factores primos es f(a; b).
6 x 5 − x 4 − 13 x 2 − 6 x 3 + x + 5 2x − 3
5
C) 1/2
26. Al factorizar el polinomio
22. De la siguiente división
B) 1
B) 5
C) 2 E) 1
27. Indique un factor primo del polinomio P(a; b)=a2b+ab2+a2+2ab+b2+a+b
A) ab+1 B) a+b+1 C) b+1 D) b+2 E) a+2
28. Al factorizar el polinomio
Q(n)=(n2+3n)2+n2+3n – 2
indique la suma de coeficientes de los factores primos lineales.
A) 3
D) 5
B) 2
4
C) 4 E) – 1
Álgebra 29. Si el polinomio P(x)=6x4 – x3– 2x2+3x – 2 se fac
toriza en la forma P(x)=(ax2 – bx+b)(3x – 2)(x+1) calcule el valor de (a+b).
A) 0 B) 1 C) 2 D) – 1 E) 3
30. Si f(x) es un factor primo del polinomio
G(x)=x4+2x3+3x2+2x – 3, evalúe f(– 1) e indi-
que su mayor valor.
A) – 1
B) 1
C) 3
D) 5
E) 7
Claves 01 - A
05 - E
09 - D
13 - C
17 - B
21 - A
25 - C
29 - E
02 - B
06 - A
10 - D
14 - E
18 - C
22 - C
26 - A
30 - C
03 - B
07 - B
11 - A
15 - C
19 - C
23 - E
27 - C
04 - A
08 - C
12 - C
16 - A
20 - E
24 - E
28 - D
5
Álgebra Leyes de exponentes
1. Simplifique la expresión M.
M=
3 x +2
2
3 x +1
+2
3 x +1
2
− (1)
1 2
−2
A) 2
D) 16
B) 4
C) 8 E) 32
2. Si se sabe que – m
halle el valor de m
a
−n −n a a
1 1 A) B) 2 4 D) 4
1
m =n
calcule el equivalente reducido de
C) 2 E) 16
6. Si tenemos que
3n
1 = 2 n ; n ∈ − ∧ n ≤ −2 a
−n
n
5. Si se cumple que
=2
( x2 x ) m =
x x3 x
determine el valor de 11m.
A) 20 B) 18 D) 22
−2 m
+n
m− n
A) 12
B) 24
D) 16
C) 48
C) 24 E) 33
Productos notables
E) 8
7. Si se sabe que 5x – 5–x=10 3. Calcule el valor de x que verifica la siguiente ecuación.
4x − 3
x−
1 2
=3
x+
1 2
− 22 x −1
5 3 3 A) B) C) 2 2 4 5 D) 4
4 E) 3
4. Calcule el valor de M.
...
M=
12 − 48 + 27 20 + 45 − 80
50 x 2x
+
3x 75 x
A) 98 B) 102 D) 47
C) 100 E) 78
8. Si x = 15 + 5 ; y = 13 + 5
entonces, determine el valor de
(x+y)2(x – y)2
⋅ 9 15
determine el valor de
A) 8 B) 6 D) 2
C) 4 E) 1
−1
9. Simplifique la siguiente expresión. 3
3
9 3 5 A) B) C) 5 5 4
1 + 1 − x3 · 1 − 1 − x3 ; x ≤1 1 ( x + 1)2 − ( x + 1)2 + ( x − 1)2 2
5 D) 2
A) 1 B) 2 D) –1/2
5 E) 3
2
C) 1/2 E) 4
Álgebra 10. Sea x ∈ R+ de modo que
x+
15. Dada la expresión
1 1 1 = 3; x 2 + 2 = M ∧ x 3 + 3 = N x x x
Entonces, indique la relación correcta entre M y N.
( ( P ( P ( 2)))).
evalúe P P
A) M=N B) N+9=M C) N+2=3M D) 2M+4=N E) M+3=3N
11. Si se sabe que
calcule el valor de a6+b6+3a2b2.
A) 1 B) 1/2 D) 2
C) –1 E) 3
12. Determine el valor de la siguiente expresión.
(
)(
)
49 − 3 7 + 1 5 +1 5 −1
A) 2 B) 1/2 D) 1/4
(
3
)(
C) 1 E) 3
tal que P(b)=a2 ∧ P(1)=1,
ax+by=3; ay – bx=2; x2+y2=13
7 +1
A) – 1 B) 0 D) 2
16. Si P(x)=ax2 – x+b es un polinomio cuadrático
3
x − 1 ; si x > 1 P( x ) = − x ; si x = 1 x + 1 ; si x < 1
)
2009
4 · 8
2009
C) 1 E) 0
calcule el menor valor de ab.
Considere que a; b ∈ Z.
A) – 8 B) – 4 D) 2
C) – 2 E) – 6
17. Dada la identidad
(2x2 – 2)(3x+a) ≡ (x2+3x+2)(ax – 6)
entonces, ¿cuál es el valor de a?
A) 12 B) 6 D) 3
C) 2 E) 4
18. Dado el polinomio Polinomios
13. Si el polinomio
P(x)=2x n – 2+x n+1 – 9x2 – 2x+1
se reduce a un trinomio, evalúe P(n).
A) – 1 B) 0 D) 3
14. Dados los polinomios
P(x)=ax+2a; Q(x)=bx – 2; R(x)=x2 – (ab)2
calcule el valor de R
si se cumple que la suma de coeficientes es 12 y el término independiente es 7, calcule el valor
A) 0 B) 15 D) 5
C) – 3 E) 9
División de polinomios
19. Determine el valor de (a+b+c), si se sabe que la siguiente división es exacta. ax 5 + bx 4 + cx 3 + 2 x 2 − x − 2
.
A) ab B) a C) b D) 1 E) 0 3
P(x)=(3a+b)x4+(b – 2a)(x+1)+2
de ab.
C) 1 E) 9
( P ( Q( −1) ))
x2 − 3 x + 2
A) 2 B) 4 D) – 4
C) 1 E) – 1
Álgebra 20. Luego de efectuar la división
24. Si R(x) es el residuo de la división algebraica
3 x 5 + 5 x 4 + ax + b − 3 x 3 + x 2
( x − 1)35 + x10 − 2 x − 1
x2 + x − 3
se obtuvo como resto R(x)=2x+1; entonces, indique el valor de a – b.
A) – 1 B) – 3 D) 0
C) 4 E) 1
x2 − x
evalúe R(2012).
A) 0
D) 37
21. Si los coeficientes del cociente de la división
B) 4018
C) 2010 E) – 2
Factorización de polinomios
algebraica
25. Si f(x)=x+2 es un factor algebraico de
8 x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d
P(x)=x3+2x2+ax+b, calcule el valor de ab– 1.
2x2 − x + 1
disminuyen de uno en uno, y el residuo es R(x)=5x+1, calcule el valor de abcd. A) 180 B) – 29 D) – 28
C) – 140 E) 280
A) 2
D) – 1
3 2 2 1, b)=a +a b+a – a – b –
A) 3
indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
D) 4
I. es una división exacta II. el término independiente del cociente es 4 III. el cociente carece del término cuadrático
A) VFV B) FVV D) FFV
3
2
nx − x − nx + x + 2 nx + 1 nx − 1 tal que n ≠ 0.
A) x4+x2+2 B) nx4 – nx2+2n C) nx4 – nx2 – 2n D) x4 – x2 – 2 E) x4 – x2+2
la suma de sus
Calcule f(1; 1).
C) FFF E) VVF
23. Determine el cociente de la división
...
P(a;
4
E) – 1/2
factores primos es f(a; b).
6 x 5 − x 4 − 13 x 2 − 6 x 3 + x + 5 2x − 3
5
C) 1/2
26. Al factorizar el polinomio
22. De la siguiente división
B) 1
B) 5
C) 2 E) 1
27. Indique un factor primo del polinomio P(a; b)=a2b+ab2+a2+2ab+b2+a+b
A) ab+1 B) a+b+1 C) b+1 D) b+2 E) a+2
28. Al factorizar el polinomio
Q(n)=(n2+3n)2+n2+3n – 2
indique la suma de coeficientes de los factores primos lineales.
A) 3
D) 5
B) 2
4
C) 4 E) – 1
Álgebra 29. Si el polinomio P(x)=6x4 – x3– 2x2+3x – 2 se fac
toriza en la forma P(x)=(ax2 – bx+b)(3x – 2)(x+1) calcule el valor de (a+b).
A) 0 B) 1 C) 2 D) – 1 E) 3
30. Si f(x) es un factor primo del polinomio
G(x)=x4+2x3+3x2+2x – 3, evalúe f(– 1) e indi-
que su mayor valor.
A) – 1
B) 1
C) 3
D) 5
E) 7
Claves 01 - A
05 - E
09 - D
13 - C
17 - B
21 - A
25 - C
29 - E
02 - B
06 - A
10 - D
14 - E
18 - C
22 - C
26 - A
30 - C
03 - B
07 - B
11 - A
15 - C
19 - C
23 - E
27 - C
04 - A
08 - C
12 - C
16 - A
20 - E
24 - E
28 - D
5
Geometría 4. Según el gráfico, calcule x.
Triángulos
1. Del gráfico que se muestra, calcule x, si se sabe
n n
que AB//PQ. x 30º
x
7α 3α
B
A α
2β
Q
α
P A) 57º B) 47º C) 72º D) 75º E) 60º
25º
m m
β
A) 55º B) 60º C) 65º D) 50º E) 70º
5. Según el gráfico, mMBC=a y mNDC=b, calcule la mMCN – mMAN.
2. Del gráfico que se muestra 2(mABD)+mBCA=140º, calcule x.
B L
B α α
θ θ
M P
3θ x 2θ A 60º D
A
C
C α α N
D
a− b C) a+b 2 a+ b D) a – b E) 3
A) A) 41º B) 42º C) 43º D) 44º E) 45º
a+ b 2
B)
6. En el gráfico, calcule x.
3. Según el gráfico, AB=BC=CD. Calcule x.
45º
B
45º
45º
45º
60º x
...
45º A
α
E
C
A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º
D
β
α
β
x A) 20º B) 30º C) 40º D) 15º E) 25º 2
Geometría
Congruencia de triángulos I
10. En el gráfico mostrado, L es mediatriz de BC,
7. Según el gráfico, las regiones triangulares BDC
si a+2b= 69º. Calcule x.
y ABE son congruentes, calcule a.
B
B
D
A
E
α
C
B) 37º C) 33º D) 21º E) 53º
se traza la ceviana exterior BD (D en la prolongación de AC) y en la región interior de ABC se ubica E, tal que, AE=CD, mABE=mCBD y BD=AE+EB. halle mAEB.
11. En el gráfico PQ es parte de la mediatriz de AN. Calcule x. β
A) 90º B) 106º C) 120º D) 127º E) 150º
2α A
9. Según el gráfico; BC=8 y CG=6. Calcule MN. B M
C
G
A) 3 B) 4 C) 2 D) 2 E) 1
Q α
N x 2β
P
A) 70º B) 30º C) 90º D) 45º E) 60º
12. En un triángulo ABC, AB=BC, en AC se ubica D,
N
tal que mDBC=3(mABD), AD=a y la distancia de D hacia AB es b, calcule CD.
α
3
C
A) 23º
8. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base AC,
β x
α
A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 35º
α
L
θ θ
A
A) a+b B) a+2b C) b+2a D) 2(a+b) E)
a2 + b2
Geometría Congruencia de triángulos II
A) 10 B) 5 2 C) 5 3 D) 5 E) 15
13. Según el gráfico; AM=MB y BC=2(MC). Calcule q. B
16. Del gráfico que se muestra
AB = BC = BD =
M
A
θ
30º
C
17. Según el gráfico, EC=3(BH). Calcule x. B
60º
E
N
L M
H
A
C
T
D) 2 2 E)
α
x
A
3 2 2
15. En el gráfico ADE es un triángulo equilátero, AM=ME, DN=NC y BC = 10 2 . Calcule MN.
mBLM mBCL mLCH , = = 5 3 2 LC=2HC. Calcule mLCH. B M
N M 45º
E
L
C
C
18. Según el gráfico,
D
A
α
A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 36º
B) 2 3 C) 7
A) 3
...
D
A) 60º B) 70º C) 75º D) 80º E) 90º
14. Según el gráfico, MA=2, NC=4, L y T son puntos medios de MN y AC respectivamente. Calcule LT.
x B
A) 32º B) 24º C) 36º D) 18º E) 48º
P
C
A 2θ
CP , calcule x. 2
B
A
H
2α
A) 15º B) 20º C) 25º D) 30º E) 35º 4
C
Geometría 23. Del gráfico adjunto; O es centro del cuadrado
Cuadriláteros
ABCD, si AE=3(BE). Calcule a.
19. En un trapecio ABCD, BC//AD, se ubican los pun-
B
tos medios M y N, de AB y CD respectivamente;
AB=MN y mABC=2(mADC). Calcule A) 1
AD . BC
C
E O
B) 3 C) 2,5
D) 1,5 E) 4
20. Se tiene un trapecio ABCD (AD//BC), M y N son un paralelogramo, calcule la razón de las longitudes de las bases.
D
A) 30º B) 45º C) 53º D) 37º E) 60º
puntos medios de AC y BD, tal que, BCNM es
A) 1/2
x
A
24. Según el gráfico, AMND y ABCD son cuadrado y rombo respectivamente. Calcule x.
B) 1/3 C) 2/3
D) 3/4 E) 3/5
M
21. En un trapecio ABCD, de bases AB y CD, AB=3(CD),
B
mBCD=2(mDAB) y mBDC=90º. Calcule
N
53º 2
C
mADB. x A) 30º
B) 45º C) 60º
AB=8 y BC=6. Calcule AH. B 2α
Circunferencia
C α
25. Según el gráfico; R=6, calcule CD. A
A
α
C x
E
D
D
A) 53º B) 37º C) 45º D) 60º E) 74º
22. A partir del gráfico ABCD es un paralelogramo,
H
A
D) 40º E) 50º
R
5x D
A) 61 B) 5 6
C) 9 7 D) 3 7 E) 7 3 5
O
B
A) 5 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6
Geometría 26. Según el gráfico, R=5, calcule la distancia de C hacia DH.
A) 4 B) 10 C) 6 D) 3 E) 5
29. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado. Calcule x.
C
B
D
A
H
O
B
R
x
27. En el gráfico, se traza O1M ⊥ AP y O2N ⊥ AP, M y N en AP, si AB=10, calcule MN.
A) 135º
B) 150º C) 127º
D) 120º E) 115º O2
O1
D
A
P
A) 2 B) 1 C) 5 D) 5,5 E) 2,5
C
30. Del gráfico mostrado; A y T son puntos de
B
tangencia, AB=OB. Calcule mMNT. A
M
28. Del gráfico, B es punto de tangencia, calcule la
m APB .
T 3
P A) 240º B) 300º C) 250º D) 260º 1 E) 200º
O B
A
A B
...
N
A) 37º/2 B) 53º/2 C) 15º D) 36º E) 45º/2
60º
Claves 01 - A
05 - C
09 - D
13 - C
17 - B
21 - C
25 - E
29 - D
02 - D
06 - B
10 - B
14 - A
18 - A
22 - D
26 - E
30 - B
03 - D
07 - B
11 - E
15 - C
19 - B
23 - C
27 - C
04 - A
08 - C
12 - B
16 - C
20 - B
24 - A
28 - B
6
Geometría 4. Según el gráfico, calcule x.
Triángulos
1. Del gráfico que se muestra, calcule x, si se sabe
n n
que AB//PQ. x 30º
x
7α 3α
B
A α
2β
Q
α
P A) 57º B) 47º C) 72º D) 75º E) 60º
25º
m m
β
A) 55º B) 60º C) 65º D) 50º E) 70º
5. Según el gráfico, mMBC=a y mNDC=b, calcule la mMCN – mMAN.
2. Del gráfico que se muestra 2(mABD)+mBCA=140º, calcule x.
B L
B α α
θ θ
M P
3θ x 2θ A 60º D
A
C
C α α N
D
a− b C) a+b 2 a+ b D) a – b E) 3
A) A) 41º B) 42º C) 43º D) 44º E) 45º
a+ b 2
B)
6. En el gráfico, calcule x.
3. Según el gráfico, AB=BC=CD. Calcule x.
45º
B
45º
45º
45º
60º x
...
45º A
α
E
C
A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º
D
β
α
β
x A) 20º B) 30º C) 40º D) 15º E) 25º 2
Geometría
Congruencia de triángulos I
10. En el gráfico mostrado, L es mediatriz de BC,
7. Según el gráfico, las regiones triangulares BDC
si a+2b= 69º. Calcule x.
y ABE son congruentes, calcule a.
B
B
D
A
E
α
C
B) 37º C) 33º D) 21º E) 53º
se traza la ceviana exterior BD (D en la prolongación de AC) y en la región interior de ABC se ubica E, tal que, AE=CD, mABE=mCBD y BD=AE+EB. halle mAEB.
11. En el gráfico PQ es parte de la mediatriz de AN. Calcule x. β
A) 90º B) 106º C) 120º D) 127º E) 150º
2α A
9. Según el gráfico; BC=8 y CG=6. Calcule MN. B M
C
G
A) 3 B) 4 C) 2 D) 2 E) 1
Q α
N x 2β
P
A) 70º B) 30º C) 90º D) 45º E) 60º
12. En un triángulo ABC, AB=BC, en AC se ubica D,
N
tal que mDBC=3(mABD), AD=a y la distancia de D hacia AB es b, calcule CD.
α
3
C
A) 23º
8. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base AC,
β x
α
A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 35º
α
L
θ θ
A
A) a+b B) a+2b C) b+2a D) 2(a+b) E)
a2 + b2
Geometría Congruencia de triángulos II
A) 10 B) 5 2 C) 5 3 D) 5 E) 15
13. Según el gráfico; AM=MB y BC=2(MC). Calcule q. B
16. Del gráfico que se muestra
AB = BC = BD =
M
A
θ
30º
C
17. Según el gráfico, EC=3(BH). Calcule x. B
60º
E
N
L M
H
A
C
T
D) 2 2 E)
α
x
A
3 2 2
15. En el gráfico ADE es un triángulo equilátero, AM=ME, DN=NC y BC = 10 2 . Calcule MN.
mBLM mBCL mLCH , = = 5 3 2 LC=2HC. Calcule mLCH. B M
N M 45º
E
L
C
C
18. Según el gráfico,
D
A
α
A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 36º
B) 2 3 C) 7
A) 3
...
D
A) 60º B) 70º C) 75º D) 80º E) 90º
14. Según el gráfico, MA=2, NC=4, L y T son puntos medios de MN y AC respectivamente. Calcule LT.
x B
A) 32º B) 24º C) 36º D) 18º E) 48º
P
C
A 2θ
CP , calcule x. 2
B
A
H
2α
A) 15º B) 20º C) 25º D) 30º E) 35º 4
C
Geometría 23. Del gráfico adjunto; O es centro del cuadrado
Cuadriláteros
ABCD, si AE=3(BE). Calcule a.
19. En un trapecio ABCD, BC//AD, se ubican los pun-
B
tos medios M y N, de AB y CD respectivamente;
AB=MN y mABC=2(mADC). Calcule A) 1
AD . BC
C
E O
B) 3 C) 2,5
D) 1,5 E) 4
20. Se tiene un trapecio ABCD (AD//BC), M y N son un paralelogramo, calcule la razón de las longitudes de las bases.
D
A) 30º B) 45º C) 53º D) 37º E) 60º
puntos medios de AC y BD, tal que, BCNM es
A) 1/2
x
A
24. Según el gráfico, AMND y ABCD son cuadrado y rombo respectivamente. Calcule x.
B) 1/3 C) 2/3
D) 3/4 E) 3/5
M
21. En un trapecio ABCD, de bases AB y CD, AB=3(CD),
B
mBCD=2(mDAB) y mBDC=90º. Calcule
N
53º 2
C
mADB. x A) 30º
B) 45º C) 60º
AB=8 y BC=6. Calcule AH. B 2α
Circunferencia
C α
25. Según el gráfico; R=6, calcule CD. A
A
α
C x
E
D
D
A) 53º B) 37º C) 45º D) 60º E) 74º
22. A partir del gráfico ABCD es un paralelogramo,
H
A
D) 40º E) 50º
R
5x D
A) 61 B) 5 6
C) 9 7 D) 3 7 E) 7 3 5
O
B
A) 5 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6
Geometría 26. Según el gráfico, R=5, calcule la distancia de C hacia DH.
A) 4 B) 10 C) 6 D) 3 E) 5
29. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado. Calcule x.
C
B
D
A
H
O
B
R
x
27. En el gráfico, se traza O1M ⊥ AP y O2N ⊥ AP, M y N en AP, si AB=10, calcule MN.
A) 135º
B) 150º C) 127º
D) 120º E) 115º O2
O1
D
A
P
A) 2 B) 1 C) 5 D) 5,5 E) 2,5
C
30. Del gráfico mostrado; A y T son puntos de
B
tangencia, AB=OB. Calcule mMNT. A
M
28. Del gráfico, B es punto de tangencia, calcule la
m APB .
T 3
P A) 240º B) 300º C) 250º D) 260º 1 E) 200º
O B
A
A B
...
N
A) 37º/2 B) 53º/2 C) 15º D) 36º E) 45º/2
60º
Claves 01 - A
05 - C
09 - D
13 - C
17 - B
21 - C
25 - E
29 - D
02 - D
06 - B
10 - B
14 - A
18 - A
22 - D
26 - E
30 - B
03 - D
07 - B
11 - E
15 - C
19 - B
23 - C
27 - C
04 - A
08 - C
12 - B
16 - C
20 - B
24 - A
28 - B
6
Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo I
5. Del gráfico, calcule cscq.
1. En un triángulo ABC, recto en A, calcule el valor de la expresión
θ
a sen B + b sec C b csc B + c cot C
A
A) 1/2 B) 2 C) 1 D) 1/4 E) 2
3 O 2 B
α 2. Del gráfico, calcule tan 45º + − tan α 2 A) 6
B
D)
m
B)
26 13 C) 2 2
5 E) 2
6. Si ABCD es un cuadrado, CH=2 y BH=3.
α A
1
Calcule cotq.
C
B
A) m+1 B) m– 1 C) m D) m – 1 E) m2
C θ
3. En un triángulo ABC recto en C, la longitud de
H
un cateto se le adiciona la longitud de la hipotenusa, con lo que el área del nuevo triángulo es el triple del anterior. Determine la tangente del mayor ángulo en el triángulo ABC. A) 3
A
B) 1 C) 2
C) 24
tangencia. Calcule tan(q+ a)
D) 26
C α
θ
D
B) 23
4. Si ABCD es un cuadrado y M es un punto de B
E
A) 15
D) 2 E) 5
E) 5 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II
...
7. Simplifique la expresión 1 A
26 22
5
M
8
D
A) 2/3 B) 3/2 C) 5/12 D) 5/13 E) 4/5
sen 1º + sen 2º + sen 3º +... + sen 89º cos1º + cos 2º + cos 3º +... + cos 89º A) tan1º B) cot1º C) 1 D) 89 E) 0 2
Trigonometría 8. Considerando 0º < b < 20º y cumpliéndose tan3b – cot2b=tan20º – cot70º, entonces el valor de sen(b+27º) será A) 3/5
B)
9 2 2 B) 3
A)
2 3 C) 2 2
C) 3
D) 4/5 E) 1/2
D) 1
5 y 0º < α < 90º. 13 2 cot α − tan( 90º −α) calcule el valor de sen( 90º −α)
E)
9. Si sen α =
A) 5/13 B) 13/5 C) 12/5 D) 12/13 E) 13/12
3 2
Resolución de triángulos rectángulos
13. Determine el radio del cuadrante AOB, si CO=n. A
10. Si x e y son ángulos agudos que cumplen (senx – cos40º)2+(tany – cot20º)2=0, calcule sen( x − 40º ) cos( y + 10º )
C
O
1 B) 2 C) 2
A) 3
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 2
B
A) n(secq+cosq) B) n(secq+cscq) C) n(senq+cscq) D) n(senq+cosq) E) n(senq+1+cosq)
D) 0 E) 1
11. Si x e y son ángulos agudos y se cumple que sen40º · tan2x · tan(3y+10º)=cos50º (I) sen(40º+x) · sec(40º – y)=1 (II) Calcule csc(3x – 3y)
θ
14. Del gráfico, calcule
S1 S2
S1: Área de la región triangular AMC. S2: Área de la región triangular ABM. B
12. Del gráfico, determine el valor de la expresión
sen( x − α) tan( x − β) sec( x − α) + + cos( y − β) cot( y − α) csc( y − β)
θ x
B
α β
A y
D
3
C
M
a
A
α
A) 2cota · tanq B) 2seca · senq C) 2sena · senq D) 2sena · cscq E) 2tana · cotq
2a
C
Trigonometría 15. Determine x en función de q y d.
A) tanb · sena+1 B)
x
C) cosb(tana+cscb)
d
csc β D) tan β − cot α
θ θ
tan α + sec β cot β
E)
A) d(cos2q – sen2q · tanq) B) d(cos2qtanq – sen2q) C) dtanq D) dsecq E) dtanq · sen2q
sec β cot β − tan α
18. En el gráfico CD es perpendicular al plano que
contiene a la región triangular sombreada, si CD=h, calcule el área de dicha región. D α
16. Si mBAC=q y AB=2 u.
α
Calcule EC.
B
B A
M
C
A) h2tana
A
E
D
D)
C
A) 2sen4q · secq B) 2sen3q · cotq C) 2sen2q · cos2q D) 2sen3q · secq E) 2sen2q · secq
2 2 h2 tan 2 a E) h cot a 2 2
19. Reduzca la expresión ( 3 cot x + 1)2 + (cot x − 3)2 csc2 x
A) 9 B) 10 C) 2 D) 14 E) 15
D α
20. Si secq+tanq=6, calcule E
h C) h2cota 2
Identidades trigonométricas fundamentales I
17. Determine AD en términos de a y b.
...
B)
2
A
C
1 β
M
1− sen θ cos θ A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2 D) 5/6 E) 7/6 4
Trigonometría 21. Simplifique la expresión 4
26. Reduzca la siguiente expresión
4
sen x − cos x − cos x sen x − cos x
A) cscx B) csc2x C) secx D) sec2x E) cotx
A) 0 B) 1 C) senx D) cosx E) tanx
27. Si tanx+cotx=4, calcule secx – cscx.
22. Reduzca la expresión
sen x tan x + cos x − 1 + 1 + cos x sen x
A) −2 2
23. Determine A+B de la siguiente igualdad cos4 x
28. Elimine q de las siguientes condiciones tanq+cotq=a (I) senq – cosq=b (II) A) a(1 – b2)=2 B) b(1 – a2)=2 C) a(b – 1)=2b D) a(1+b2)=2 E) b(1+a2)=2
= A ⋅ sec2 x − B
A) 3 B) 1 C) – 2 D) 2 E) – 3
29. Determine el valor de a para que la expresión
24. Si tan θ ⋅ sen θ = 5 , calcule sec2q+cos2q.
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
M=sen4x+cos4x+(sen6x+cos6x)(a+1) No dependa de x.
A) – 1/2 B) 2 C) 3 D) – 3/4 E) – 5/3
Identidades trigonométricas fundamentales II
30. Si se cumple la igualdad
25. Simplifique la siguiente expresión
B) 2 2 C) ± 2 2
D) 3 2 E) ± 3 2
A) 1 B) senx C) cosx D) cscx E) secx
2 sen 2 x ⋅ cos2 x + cos4 x
sec2 x + csc2 x + sec x csc x − sec2 x 1 + sen x cos x
2 sen 2 θ + 2 6 sen θ ⋅ cos θ + 3 cos2 θ = 5,
calcule senq · cosq.
sec2 x + csc2 x + sec x csc x − sec2 x 1 + sen x cos x
A)
A) cos2q B) sec2q C) sen2q D) csc2q E) 1
6 D) 5 6 E) 5 3
3 5
B)
4 6 6 C) 5 4
Claves 01 - C
05 - C
09 - B
13 - D
17 - E
21 - C
25 - A
29 - E
02 - C
06 - E
10 - E
14 - D
18 - B
22 - E
26 - B
30 - E
03 - A
07 - C
11 - C
15 - C
19 - B
23 - A
27 - C
04 - B
08 - C
12 - C
16 - A
20 - A
24 - C
28 - A
5
Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo I
5. Del gráfico, calcule cscq.
1. En un triángulo ABC, recto en A, calcule el valor de la expresión
θ
a sen B + b sec C b csc B + c cot C
A
A) 1/2 B) 2 C) 1 D) 1/4 E) 2
3 O 2 B
α 2. Del gráfico, calcule tan 45º + − tan α 2 A) 6
B
D)
m
B)
26 13 C) 2 2
5 E) 2
6. Si ABCD es un cuadrado, CH=2 y BH=3.
α A
1
Calcule cotq.
C
B
A) m+1 B) m– 1 C) m D) m – 1 E) m2
C θ
3. En un triángulo ABC recto en C, la longitud de
H
un cateto se le adiciona la longitud de la hipotenusa, con lo que el área del nuevo triángulo es el triple del anterior. Determine la tangente del mayor ángulo en el triángulo ABC. A) 3
A
B) 1 C) 2
C) 24
tangencia. Calcule tan(q+ a)
D) 26
C α
θ
D
B) 23
4. Si ABCD es un cuadrado y M es un punto de B
E
A) 15
D) 2 E) 5
E) 5 Razones trigonométricas de un ángulo agudo II
...
7. Simplifique la expresión 1 A
26 22
5
M
8
D
A) 2/3 B) 3/2 C) 5/12 D) 5/13 E) 4/5
sen 1º + sen 2º + sen 3º +... + sen 89º cos1º + cos 2º + cos 3º +... + cos 89º A) tan1º B) cot1º C) 1 D) 89 E) 0 2
Trigonometría 8. Considerando 0º < b < 20º y cumpliéndose tan3b – cot2b=tan20º – cot70º, entonces el valor de sen(b+27º) será A) 3/5
B)
9 2 2 B) 3
A)
2 3 C) 2 2
C) 3
D) 4/5 E) 1/2
D) 1
5 y 0º < α < 90º. 13 2 cot α − tan( 90º −α) calcule el valor de sen( 90º −α)
E)
9. Si sen α =
A) 5/13 B) 13/5 C) 12/5 D) 12/13 E) 13/12
3 2
Resolución de triángulos rectángulos
13. Determine el radio del cuadrante AOB, si CO=n. A
10. Si x e y son ángulos agudos que cumplen (senx – cos40º)2+(tany – cot20º)2=0, calcule sen( x − 40º ) cos( y + 10º )
C
O
1 B) 2 C) 2
A) 3
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 2
B
A) n(secq+cosq) B) n(secq+cscq) C) n(senq+cscq) D) n(senq+cosq) E) n(senq+1+cosq)
D) 0 E) 1
11. Si x e y son ángulos agudos y se cumple que sen40º · tan2x · tan(3y+10º)=cos50º (I) sen(40º+x) · sec(40º – y)=1 (II) Calcule csc(3x – 3y)
θ
14. Del gráfico, calcule
S1 S2
S1: Área de la región triangular AMC. S2: Área de la región triangular ABM. B
12. Del gráfico, determine el valor de la expresión
sen( x − α) tan( x − β) sec( x − α) + + cos( y − β) cot( y − α) csc( y − β)
θ x
B
α β
A y
D
3
C
M
a
A
α
A) 2cota · tanq B) 2seca · senq C) 2sena · senq D) 2sena · cscq E) 2tana · cotq
2a
C
Trigonometría 15. Determine x en función de q y d.
A) tanb · sena+1 B)
x
C) cosb(tana+cscb)
d
csc β D) tan β − cot α
θ θ
tan α + sec β cot β
E)
A) d(cos2q – sen2q · tanq) B) d(cos2qtanq – sen2q) C) dtanq D) dsecq E) dtanq · sen2q
sec β cot β − tan α
18. En el gráfico CD es perpendicular al plano que
contiene a la región triangular sombreada, si CD=h, calcule el área de dicha región. D α
16. Si mBAC=q y AB=2 u.
α
Calcule EC.
B
B A
M
C
A) h2tana
A
E
D
D)
C
A) 2sen4q · secq B) 2sen3q · cotq C) 2sen2q · cos2q D) 2sen3q · secq E) 2sen2q · secq
2 2 h2 tan 2 a E) h cot a 2 2
19. Reduzca la expresión ( 3 cot x + 1)2 + (cot x − 3)2 csc2 x
A) 9 B) 10 C) 2 D) 14 E) 15
D α
20. Si secq+tanq=6, calcule E
h C) h2cota 2
Identidades trigonométricas fundamentales I
17. Determine AD en términos de a y b.
...
B)
2
A
C
1 β
M
1− sen θ cos θ A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2 D) 5/6 E) 7/6 4
Trigonometría 21. Simplifique la expresión 4
26. Reduzca la siguiente expresión
4
sen x − cos x − cos x sen x − cos x
A) cscx B) csc2x C) secx D) sec2x E) cotx
A) 0 B) 1 C) senx D) cosx E) tanx
27. Si tanx+cotx=4, calcule secx – cscx.
22. Reduzca la expresión
sen x tan x + cos x − 1 + 1 + cos x sen x
A) −2 2
23. Determine A+B de la siguiente igualdad cos4 x
28. Elimine q de las siguientes condiciones tanq+cotq=a (I) senq – cosq=b (II) A) a(1 – b2)=2 B) b(1 – a2)=2 C) a(b – 1)=2b D) a(1+b2)=2 E) b(1+a2)=2
= A ⋅ sec2 x − B
A) 3 B) 1 C) – 2 D) 2 E) – 3
29. Determine el valor de a para que la expresión
24. Si tan θ ⋅ sen θ = 5 , calcule sec2q+cos2q.
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
M=sen4x+cos4x+(sen6x+cos6x)(a+1) No dependa de x.
A) – 1/2 B) 2 C) 3 D) – 3/4 E) – 5/3
Identidades trigonométricas fundamentales II
30. Si se cumple la igualdad
25. Simplifique la siguiente expresión
B) 2 2 C) ± 2 2
D) 3 2 E) ± 3 2
A) 1 B) senx C) cosx D) cscx E) secx
2 sen 2 x ⋅ cos2 x + cos4 x
sec2 x + csc2 x + sec x csc x − sec2 x 1 + sen x cos x
2 sen 2 θ + 2 6 sen θ ⋅ cos θ + 3 cos2 θ = 5,
calcule senq · cosq.
sec2 x + csc2 x + sec x csc x − sec2 x 1 + sen x cos x
A)
A) cos2q B) sec2q C) sen2q D) csc2q E) 1
6 D) 5 6 E) 5 3
3 5
B)
4 6 6 C) 5 4
Claves 01 - C
05 - C
09 - B
13 - D
17 - E
21 - C
25 - A
29 - E
02 - C
06 - E
10 - E
14 - D
18 - B
22 - E
26 - B
30 - E
03 - A
07 - C
11 - C
15 - C
19 - B
23 - A
27 - C
04 - B
08 - C
12 - C
16 - A
20 - A
24 - C
28 - A
5
Física MRU - MRUV
C) 7 m/s; x = – 20 m D) 8 m/s; x =+15 m E) 6 m/s; x = – 25 m
1. El camión y el tren realizan MRU y sus longitudes son 12 m y 80 m respectivamente. A partir del instante mostrado, ¿qué tiempo debe transcurrir para que se crucen completamente?
4. La gráfica muestra el comportamiento de la velocidad en función del tiempo, para dos autos A y B que se mueven sobre una misma pista horizontal. Si, en el instante t=0 los autos están separados 36 m y transcurren 9 s hasta que un auto logre alcanzar al otro, ¿cuál es la rapidez del auto B?
25 m/s
15 m/s
28 m A) 3 s B) 4 s C) 5 s D) 6 s E) 7 s
v (m/s) A
17
2. El helicóptero y el auto realizan MRU. A partir del instante mostrado, ¿cuál es la distancia que separa a los vehículos luego de 6 s?
B t(s)
18 m/s
A) 14 m/s B) 13 m/s C) 16 m/s D) 18 m/s E) 20 m/s
40 m 13 m/s
5. Un auto que realiza MRUV triplica su rapidez en 8 s. Considere que la rapidez del auto aumenta 2 m/s en cada segundo. ¿Cuál es su recorrido en esos 8 s?
B) 30 m C) 40 m A) 40 2 m D) 50 m E) 60 m
A) 128 m B) 160 m C) 64 m D) 72 m E) 184 m
3. La gráfica muestra el comportamiento de la posición ( x ) en función del tiempo (t) para el movimiento de un atleta. Determine la rapidez del atleta y su posición en el instante t=10 s. 20
0
6. ¿Luego de qué tiempo el cuerpo retorna a P y cuánto recorre durante ese intervalo de tiempo? Considere que el ascenso y descenso se desarrollan con la misma aceleración.
x (m)
2 m/s2
...
7
6 m/s
t(s)
0
–15 A) 10 m/s; x =+30 m B) 5 m/s; x = – 30 m
P
A) 6 s; 18 m B) 6 s; 15 m C) 3 s; 18 m D) 5 s; 16 m E) 4 s; 18 m 2
Física 7. La gráfica muestra el comportamiento de la
velocidad y el tiempo de un móvil que se desplaza sobre el eje x. Si en el instante t=0 su posición es x =+25 m, determine la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes posiciones. (tanq=2). I. La velocidad del móvil en el instante t=10 s es+10 m/s. II. La posición de móvil, en el instante t=15 s, es x = – 100 m. III. El recorrido desde t=0 hasta t=15 s es 125 m.
MPCL - MCU
9. Una esfera pequeña es lanzada tal como se muestra en la figura. Si la esfera impacta perpendicularmente en el punto P, determine la rapidez de lanzamiento v. (g=10 m/s2). P
v (m/s)
θ
120 m A) 20 m/s B) 30 m/s C) 40 m/s D) 50 m/s E) 60 m/s
t(s) 0
45 m
v0
10. En el gráfico se muestra la trayectoria para-
bólica que sigue un proyectil. Determine q. (g=10 m/s2). 2s g
–10
2s A) FFV B) FVV C) VFF D) VVV E) VFV
8. Dos autos A y B se mueven sobre una pista horizontal y en el instante t=0 están separados 64 m. La gráfica adjunta muestra el cambio de la velocidad en el tiempo. Determine el instante de tiempo en el cual los autos se cruzan. v (m/s)
60 m
60 m
A) 45º B) 60º C) 53º D) 37º E) 74º
11. Las esferas luego de ser lanzadas simultáneamente, impactan justo cuando la esfera B alcanza su altura máxima. Determine H. (g=10 m/s2) v=20 m/s A
5
–7
θ
A
11
0
v
t(s)
H
3 v=20 m/s
B
B
A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s 3
A) 20 m B) 30 m C) 40 m D) 50 m E) 60 m
Física 12. La esfera impacta en el coche luego de 2 s del
instante mostrado. Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F). Considere que el coche experimenta MRU. (g=10 m/s2). I. La rapidez del coche es 10 m/s. II. La rapidez con la que impacta la esfera sobre el coche es 20 2 m/s. III. La altura H es 15 m. v=20 m/s
g
H
A) 1 s B) 2 s
C ω
C) 3 s D) 4 s θ E) 5 s A
B
16. A partir del instante mostrado, qué tiempo
transcurre hasta que las partículas experimentan su menor separación por primera vez. Consideren que ambas partículas presentan MCU. π α = rad 6
v A) VFV B) FVF C) FFF D) VVF E) VVV
13. Con respecto a la partícula que realiza MCU,
α
indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Su rapidez es constante. II. No presenta aceleración. Su aceleración es perpendicular a la velocidad. III. A) FFV B) VVF C) VVV D) FFF E) VFV
Estática I
17. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio mecánico. Si el bloque y la barra tienen una masa de 2 kg y 7 respectivamente, calcule el módulo de la reacción entre el piso y la barra. Considere poleas ideales. (g=10 m/s2).
módulo de la aceleración, en m/s2, del punto A? Considere que el disco realiza MCU.
...
ω2=4 rad/s
A) p/8 s B) p/4 s C) p/12 s D) p/15 s E) p/7 s
14. Un disco rota con un periodo de 2 s. ¿Cuál es el
A) 10 p2 B) 0,1 p2 C) 0,01 p2 D) 100 p2 E) 0,001 p2
ω1=6 rad/s
g O 10 cm A
15. La partícula mostrada emplea 1 s de A hasta B, ¿qué tiempo emplea de B hasta C? Considere que la partícula experimenta un MCU. (q=p/6 m/s2)
A) 20 N B) 30 N C) 40 N D) 50 N E) 60 N 4
Física 18. El sistema mostrado permanece en reposo.
Si todas las superficies son lisas, determine la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. (3M=2m=12 kg; g=10 m/s2). I. La lectura del dinamómetro es 60 N. II. El módulo de la fuerza que ejerce la superficie inclinada sobre M es 80 N. III. La fuerza elástica y la tensión sobre M, conforman un par acción y reacción.
21. Los bloques mostrados en el gráfico permanecen en reposo. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento y de la fuerza del piso sobre el bloque. (MA=4,8 kg; MB=4 kg; g=10 m/s2).
A) FVF B) VVV M C) VVF m D) FVV E) FFF
37º
B
A) 24 N; 24 N B) 32 N; 24 N C) 24 N; 32 N D) 32 N; 40 N E) 48 N; 32 N
37º
22. En el gráfico mostrado, el bloque de 3 kg se
encuentra a punto de deslizar. Determine el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie. (F=6 N; g=10 m/s2).
19. El sistema mostrado en la figura permanece en reposo. Si el módulo de la tensión en la cuerda (2) es 75 N, determine la masa de la esfera. (g=10 m/s2). A) 4,4 kg B) 6,2 kg C) 7,2 kg D) 7,8 kg E) 8,8 kg
A
g
74º
F
(2)
37º
(1)
A) 0,4 B) 0,75 C) 0,5 D) 0,35 E) 0,6
37º
20. La barra homogénea de 4 kg está en reposo.
Determine la reacción de la superficie circular sobre la barra en el extremo A. ( g=10 m/s2).
O
23. Se muestra un bloque unido a un resorte (K=500 N/m) sin deformar al cual se le aplicará una fuerza horizontal. Halle la máxima deformación del resorte, de tal manera que el bloque permanezca en reposo. (mbloque=20 kg).
R
µ=
A
60º
0,6 0,4
A) 20 N B) 40 N C) 60 N D) 70 N E) 80 N 5
A) 24 cm B) 18 cm C) 15 cm D) 12 cm E) 8 cm
Física 24. Si el sistema está en reposo, halle la reacción del piso.
27. La barra que se muestra en el gráfico, perma-
nece en reposo. Si la lectura del dinamómetro es 42 N, determine el módulo de la fuerza que ejerce la articulación sobre la barra.
mA=5 kg; mB=9 kg; mC=10 kg
53º
g
B C.G.
C
A) 10 2 N
3L
A
A) 21 N B) 14 N C) 18 N D) 26 N E) 32 N
B) 20 2 N C) 30 2 N
D) 50 N E) 30 N
L
28. Un adorno está formado por barras rígidas de
masa despreciable, hilos y esferas. Si la masa de la esfera (1) es 48 kg, determine la masa de la esfera (2).
Estática II
25. El bloque de 10 kg resbala realizando un MRU
y sobre él actúa una fuerza constante F . Halle el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el piso. (F=75 N)
30 cm
50 cm
(1)
F
40 cm
40 cm
v
53º
(2)
A) 9/16
A) 20 g B) 30 g C) 36 g D) 52 g E) 60 g
B) 3/8 C) 5/32
D) 7/16 E) 9/32
29. Determine el módulo de la tensión en la cuerda, si la barra homogénea de 12 kg permanece en reposo. (g=10 m/s2).
26. El bloque A desliza con velocidad constante.
...
Si su masa es 2,1 kg, determine el coeficiente de rozamiento entre el bloque A y la pared vertical. Considere al bloque B liso. ( g=10 m/s2) A) 0,5 B) 0,4 C) 0,75 D) 0,3 E) 0,9
A
F=28 N B
g
37º A) 80 N B) 90 N C) 120 N D) 100 N E) 150 N 6
Física 30. Un disco homogéneo permanece en reposo tal como se muestra en el gráfico. Si el disco está a punto de resbalar, determine el módulo de la fuerza que ejerce la pared sobre el disco. (g=10 m/s2). A) 30 N B) 40 N C) 60 N D) 90 N E) 50 N
µ=
3r
r
Dinámica rectilínea
33. Determine el módulo de la aceleración que experimenta el bloque si la fuerza de rozamiento sobre él presenta un módulo de 18 N.
0,75 0,5
F=50 N 5 kg
16º
A) 10 m/s2
liso
B) 12 m/s2 C) 3 m/s2
2
D) 6 m/s E) 18 m/s2
9 kg
31. La caja homogénea de 30 kg permanece en reposo, apoyada sobre una superficie horizontal. Determine la distancia que existe entre el punto de aplicación de la reacción del piso y el punto P. g A) 40 cm B) 50 cm C) 60 cm 1,6 m D) 70 cm E) 80 cm
34. ¿Cuál es la deformación del resorte en el instante que la esfera de 4 kg presenta una aceleración de módulo 2 m/s2? (K=200 N/m). v
K
liso
6 kg
A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cm D) 8 cm E) 10 cm
35. Determine la relación entre los módulos de la
P 32. Se muestra una barra homogénea de 2 kg en reposo. Determine la masa del bloque, si la fuerza de rozamiento, entre la barra y el piso, tiene un valor de 15 N. (g=10 m/s2) liso
fuerza F y la reacción entre los bloques. F
2m m
liso
A) 2/3 B) 3/2 C) 3 D) 1/3 E) 1/2
36. Un bloque es lanzado con una velocidad hori45º
zontal de 12 m/s sobre una superficie horizontal. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el piso y el bloque es 0,3, ¿luego de cuánto
m
tiempo se detiene? ( g=10 m/s2).
A) 1,5 kg B) 2,5 kg C) 2 kg D) 0,5 kg E) 0,8 kg 7
A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s
Física 37. Si el bloque apoyado en la pared está a punto
39. Determine la tensión de la cuerda que une a
de resbalar, ¿cuál es el módulo de la aceleración
los bloques idénticos. (m1=m2=2 kg). Considere superficies lisas. (g=10 m/s2).
2
con la que se mueve el coche? (g=10 m/s ).
m1
µS=1/2
m2 A) 5 m/s2
B) 10 m/s2 C) 15 m/s2
A) 3 N B) 5 N C) 8 N D) 9 N E) 11 N
D) 20 m/s2 E) 25 m/s2
38. El bloque A es soltado en la posición mostra-
40. En el instante mostrado, la pequeña esfera de 6 kg, experimenta una aceleración horizontal. Determine el módulo de la fuerza que ejerce la superficie cilíndrica sobre la esfera. (g=10 m/s2).
da. Determine el tiempo transcurrido desde el instante mostrado hasta que se cruzan. (mA=3mB; g=10 m/s2) A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s
liso
g 37º A
20 m
A) 50 N B) 30 N C) 75 N D) 60 N E) 80 N
B
...
30º
Claves 01 - A
06 - A
11 - C
16 - C
21 - D
26 - C
31 - C
36 - D
02 - D
07 - E
12 - B
17 - B
22 - C
27 - B
32 - D
37 - D
03 - B
08 - D
13 - E
18 - C
23 - A
28 - A
33 - D
38 - B
04 - B
09 - D
14 - B
19 - A
24 - C
29 - D
34 - B
39 - B
05 - A
10 - C
15 - E
20 - A
25 - E
30 - E
35 - C
40 - C
8
Física 4. En el gráfico mostrado, calcule el módulo del
Análisis vectorial
vector resultante.
1. Para los vectores mostrados, calcule el módulo de su resultante. 4u
4u
3u
60º
3u
4u
4u
A) 6 u B) 10 u C) 8 u D) 5 u E) 0
A) 8 u B) 4 u C) 4 3 u D) 2 3 u E) 2 u
5. En el gráfico mostrado, calcule el módulo de la resultante.
2. Del gráfico mostrado, determine el módulo del vector resultante.
1u 1u 5u 8u
A) 1 u B) 2 u C) 3 u D) 2 u E) 5 u
A) 18 u B) 7 u C) 13 u D) 10 u E) 3 u
6. Si la resultante de los vectores mostrados es nula, determine el módulo del vector C .
3. Determine el vector resultante.
( A = 10 u;
B = 6 2 u) A
B
A 53º
...
C
45º
B C
A) 0
B) 2A C) 2B
D) 2C E) C
A) 9 u B) 12 u C) 10 u D) 8 u E) 14 u 2
Física A) 20 s B) 16 s C) 28 s D) 30 s E) 32 s
Cinemática I
7. Desde la posición mostrada, ¿cuánto tiempo transcurre para que el atleta se encuentre a 29 m de la pared? Considere MRU para el atleta. 8 m/s
10. Dos autos se trasladan con velocidad constante tal como se muestra en el gráfico. Determine el tiempo que debe transcurrir para que los autos se encuentren separados 30 m por primera vez.
5m
20 m/s
40 m/s
A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s
8. El helicóptero y el atleta describen un MRU.
Si en el instante mostrado el helicóptero se encuentra a 80 m por encima del atleta, determine la distancia que estarán separados luego de 4 s.
120 m A) 1 s B) 2 s C) 1,5 s D) 0,5 s E) 3 s
11. Un tren de 196 m realiza un MRU con una rapidez de 25 m/s. Determine el tiempo que emplea para cruzar completamente el tramo AB, desde el instante mostrado.
25 m/s
A
5 m/s
B 4m
A) 2 s B) 4 s C) 6 s D) 8 s E) 10 s
130 m C) 80 2 m A) 130 2 m B) D) 150 2 m E) 150 m
9. Si los motociclistas A y B realizan MRU, ¿cuánto
12. El tren de 40 m longitud se desplaza con velocidad constante, y recorre 25 m cada segundo. Si emplea 4 s en pasar completamente el túnel a partir del instante mostrado, calcule la longitud del túnel.
tiempo transcurre desde el instante mostrado hasta que A alcance a B? A
15 m/s
B
12 m/s
A) 90 m B) 40 m C) 60 m D) 100 m E) 80 m
60 m
3
Física 13. Los atletas A y B realizan MRU. El atleta B lle-
16. Un ciclista se desplaza por una superficie ho-
ga a la meta luego de 10 s a partir del instante mostrado, y el atleta A llega a la meta dos segundos antes que B. Calcule la rapidez del atleta A.
rizontal con una rapidez constante de 10 m/s, pero luego ingresa a una pendiente acelerando con 0,4 m/s2. Si la longitud de la pendiente es 120 m, el tiempo en segundos en recorrer la longitud de la pendiente es
4 m/s META
A
6
d 5
A) 10 s B) 90 s C) 110 s D) 80 s E) 100 s
B
d
17. Un auto que experimenta un MRUV inició su movimiento recorriendo 2 m en el primero segundo de su movimiento. Determine su recorrido durante el siguiente segundo de su movimiento.
A) 4 m/s B) 6 m/s C) 5 m/s D) 5,5 m/s E) 4,5 m/s
A) 6 m B) 9 m C) 10 m D) 5 m E) 8 m
Cinemática II
14. Si el auto se detiene al cabo de 3 s, determine su recorrido. Considere que desarrolla un MRUV.
18. Un auto que realiza MRUV cuadriplica su rapidez en un tramo de 200 m, empleando para ello 5 s. Determine el módulo de su aceleración, en m/s2.
12 m/s A) 16 m B) 12 m C) 20 m D) 18 m E) 24 m
A) 10,2 B) 9,6 C) 8,4 D) 6 E) 12
19. El motociclista experimenta MRUV y luego de 3 s pasa junto al poste (1). Determine su rapidez cuando pase junto al poste (2).
15. Luego de 2 segundos de soltar el bloque, como se muestra en el gráfico, su rapidez es 4 m/s. Si su aceleración es constante, determine su rapidez luego de 5 segundos desde que fue soltado.
...
3 m/s
10 m
A) 9 m/s B) 10 m/s C) 12 m/s D) 15 m/s E) 20 m/s
(1)
(2)
A) 11 m/s B) 13 m/s C) 12 m/s D) 9 m/s E) 8 m/s 4
18 m
Física 20. Un bus de 10 m de longitud empieza a cruzar un puente recto con una rapidez de 20 m/s y termina de hacerlo con 30 m/s luego de 5 s. ¿Qué longitud tiene el puente? Considere que el bus varía uniformemente su rapidez. A) 145 m B) 230 m C) 115 m D) 250 m E) 240 m
A) 15 m B) 20 m C) 30 m D) 10 m E) 5 m
25. Una piedra es lanzada verticalmente desde una altura h y luego de 5 s llega al piso con una rapidez de 30 m/s. ¿Cuál es el valor de h? ( g=10 m/s2) v0
Cinemática III h
21. Desde el piso se lanza verticalmente hacia arriba una esfera, y luego de 8 s impacta en el piso. Determine la altura máxima que alcanza la esfera. ( g=10 m/s2). A) 60 m g B) 80 m v0 C) 120 m D) 45 m E) 95 m
22. Una esfera es lanzada verticalmente hacia aba-
A) 15 m B) 10 m C) 20 m D) 25 m E) 45 m
26. Dos cuerpos son lanzados en la misma vertical tal como se muestra en la gráfica. Determine luego de cuánto tiempo los cuerpos chocan. ( g=10 m/s2) 10 m/s
jo con rapidez v0, y luego de 6 s su rapidez se triplica. Determine v0. ( g=10 m/s2). A) 30 m/s B) 20 m/s C) 40 m/s D) 50 m/s E) 10 m/s
100 m
40 m/s
23. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde la parte superior de un edificio. Si alcanza su altura máxima luego de 2 s, determine el tiempo que demora desde que fue lanzado hasta que duplique su rapidez. ( g=10 m/s2). A) 10 s B) 5 s C) 4 s D) 6 s E) 8 s
24. Desde cierta altura, una canica es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 10 m/s. ¿A cuántos metros del nivel de lanzamiento se encontrará la canica, luego de 3 s de su lanzamiento? ( g=10 m/s2). 5
A) 6 s B) 4 s C) 5 s D) 1 s E) 2 s
27. Una pelota, lanzada desde el piso verticalmente hacia arriba con rapidez v1, alcanza una altura máxima h1. Si la rapidez de lanzamiento de la pelota se duplica, ¿cuál es la altura máxima que alcanza? B) 3h1 C) h1 A) 6h1 D) 2h1 E) 4h1 UNMSM 2007- I
Física Estática I
28. En el gráfico (1) dos bloques cúbicos de 4 cm de lado están unidos a un resorte cuya longitud natural es 20 cm. Si luego son colocados como se ve en el gráfico (2), ¿en cuánto se deformó el resorte y cuál es el módulo de la fuerza elástica? sin deformar
A)
B)
C)
D)
E)
30. El gráfico muestra una esfera lisa y homogénea. Indique el DCL
K=50 N/cm
37º 23 cm
gráfico 1
gráfico 2
O
A) 1 cm; 150 N B) 3 cm; 200 N C) 5 cm; 250 N D) 8 cm; 300 N E) 10 cm; 350 N
A)
53º
C)
53º
D)
53º
O
B)
53º
E)
53º
O
29. En el sistema mostrado, indique el DCL de la polea (1).
O
(1)
O
O
...
Claves 01 - C
05 - A
09 - A
13 - B
17 - A
21 - B
25 - D
29 - D
02 - E
06 - E
10 - C
14 - D
18 - B
22 - A
26 - E
30 - E
03 - D
07 - C
11 - D
15 - B
19 - A
23 - D
27 - E
04 - C
08 - C
12 - C
16 - A
20 - C
24 - A
28 - C
6
Química Números cuánticos
6. Señale cuántas proposiciones son incorrectas.
1. ¿Qué relación es incorrecta respecto al orbital? A) Acepta máximo 2e –. B) Explica la trayectoria del electrón al girar alrededor del núcleo. C) Es una región energética. D) En él hay la máxima probabilidad de ubicar a un electrón. E) Puede estar saturado o semilleno.
2. Indique aquel subnivel cuya notación cuántica
7. Indique cuál de los siguientes orbitales posee menor estabilidad.
A) 7p B) 3s C) 5d D) 1p E) 4f
A) 6p B) 5d C) 4f D) 3d E) 2p
un átomo con n=3 y =1?
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 6
4. Respecto a la zona extranuclear, señale el enunciado incorrecto. A) n=5 nos indica el quinto nivel de energía. B) Si n=3 y =2, se trata del subnivel 3d. C) En un nivel pueden estar contenidos n2 orbitales atómicos. D) A mayor alejamiento del núcleo atómico, un electrón tendrá mayor estabilidad. E) Un subnivel energético está conformado por un conjunto de orbitales.
5. Se tiene el siguiente conjunto de números
...
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
no es correcta.
3. ¿Cuántos orbitales degenerados puede tener
I. Un subnivel insaturado tendrá orbitales semillenos. II. En el subnivel d se puede ubicar 6 electrones. III. En el cuarto nivel existen 34 electrones. IV. El tercer nivel presenta 9 orbitales. V. Si un subnivel principal tiene 5 electrones, habrá un orbital semilleno y 2 llenos.
cuánticos. n=4; =1 y m=0 Señale la proposición incorrecta. A) Pertenece al subnivel 4p. B) Puede contener 1e–. C) El orbital es 4py. D) Brinda información del giro del electrón. E) Acepta máximo 2e–.
8. Se tiene el siguiente conjunto de números cuán-
ticos para un electrón (4; 0; 0; +1/2). Respecto al electrón, señale la proposición correcta.
A) Se ubica en el orbital 4s. B) Gira horariamente. C) Se encuentra en la capa energética M. D) Su energía relativa es 3. E) Su orbital sharp es 5s. Configuración electrónica
9. ¿Cuál será el número de masa de un átomo
que posee 38 neutrones y su configuración termina en el subnivel 5s1?
A) 57 B) 65 C) 75 D) 70 E) 66
10. El número atómico de cierto átomo es el 44% del número de masa. ¿Cuál es el número de electrones de su último nivel si se sabe que tiene 28 neutrones?
A) 4 B) 2 C) 6 D) 3 E) 5 2
Química 11. Halle los electrones de valencia de un átomo si
16. Si un anión divalente presenta 8 electrones en
su número de masa es 80 y la relación A / #nº es 16/9.
la última capa y posee solo 3 niveles de energía, ¿cuál es su carga nuclear?
A) 2 B) 5 C) 7 D) 9 E) 17
A) 14 B) 16 C) 18 D) 15 E) 17 Tabla periódica actual
12. Indique la secuencia correcta de verdadero (V)
o falso (F) respecto a los siguientes enunciados. I. Cada orbital se satura con electrones que cumplen el principio de exclusión de Pauli. II. Los orbitales de un subnivel se saturan de acuerdo con el principio de aufbau. III. Para todos los elementos se cumple la regla de Sarrus. IV. Si un átomo neutro posee 15 electrones en la capa N, entonces en su núcleo posee 45 protones.
17. Respecto a la descripción de la tabla periódica,
A) FFFF B) FVFV C) FVFF D) VFVF E) VFFV
13. ¿Cuántos electrones tiene un átomo que posee 17 orbitales llenos? A) 26 B) 34 C) 32 D) 18 E) 35
14. Indique la configuración electrónica correctamente representada. A) 26Fe: [18Ar]4s24p6 B) 28Ni+2: [18Ar]3d8 C) 13Al: 1s22s23s23p64s1 D) 80Hg+1: [54Xe]6s24f145d9 E) 7N– 3: [2He]2s2
15. Si la configuración electrónica de un catión divalente posee 2 orbitales desapareados de energía relativa 6, halle el número atómico del elemento. A) 90 B) 100 C) 50 D) 52 E) 80 3
señale la proposición correcta. I. Presenta 7 periodos y 18 grupos. II. Tiene más elementos metálicos que no metálicos. III. Permite conocer las propiedades de los elementos, tales como la temperatura de fusión, la energía de ionización, entre otros. IV. Presenta elementos naturales que en total son 12. A) I y II B) II y III C) I, II y IV D) I, II y III E) II y IV
18. Respecto a la tabla periódica actual, señale la
secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F). I. El periodo 4 contiene 18 elementos. II. Todos los elementos de un mismo grupo tienen igual cantidad de electrones. III. Los elementos de transición pertenecen al grupo A. A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VFV
19. Marque la proposición incorrecta respecto al estado físico de los elementos químicos. Considere para cada caso condiciones de presión y temperatura ambiental. A) El F2 y Cl2 son gases. B) El bromo y el mercurio son gases. C) El As, Sb y B son semimetales. D) El I, Al y Pt son sólidos. E) En la tabla periódica hay más elementos sólidos.
Química 20. El Sc es un elemento que en su núcleo atómico tiene 21 protones. Indique cuál es su ubicación en la tabla periódica. A) grupo IIIB, periodo 3 B) grupo IB, periodo 4 C) grupo IIIB, periodo 5 D) grupo IIIB, periodo 4 E) grupo IIIA, periodo 4
24. De acuerdo las propiedades periódicas, indi
21. Un elemento tiene la configuración electrónica final 3d104p2. ¿A qué grupo pertenece?
A) IVA B) VIA C) IIB D) IIA E) VA
22. ¿Cuál es el número atómico de un calcógeno que presenta solo 4 niveles de energía?
que la proposición correcta. I. RA(Na)
25. Respecto al enlace químico, ¿qué afirmaciones
A) 38 B) 32 C) 33 D) 36 E) 34
23. De acuerdo con la variación de las propiedades periódicas de los elementos químicos según la gráfica que se ilustra (ver sentido de flechas), ¿qué proposiciones son correctas?
son correctas? I. Al enlazarse químicamente, cada átomo cumple con la regla del octeto por lo general. II. Cada átomo, una vez enlazado, tiene menor energía respecto a su estado de átomo libre. III. Por lo general, los enlaces químicos se pueden romper por calentamiento. A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I y III
26. Respecto a los electrones de valencia, señale
...
I. El radio atómico aumenta. II. El tamaño de los átomos disminuye. III. Aumenta tanto el volumen atómico como la electronegatividad. A) I y II B) II C) III D) ninguna E) II y III
la proposición correcta. I. Son todos los electrones que el átomo comparte en una unión química. II. Son los primeros electrones en haber sido distribuidos. III. Deben ser un número par, de tal modo que se pueda compartir. A) solo II B) solo III C) I y III D) I, II y III E) ninguna
4
Química 27. Se tienen los números atómicos (Z) de los ele-
A) solo I B) II y IV C) solo III D) solo IV E) III y IV
mentos (H=1; O=8; B=5; Cl=17; P=15). Señale la estructura de Lewis correcta.
32. Con respecto a las propiedades generales de
los compuestos iónicos, señale la proposición incorrecta.
B) Cl B Cl C) H P H
A) H O H
H
Cl
A) Tienen una estructura cristalina. B) Son sólidos a temperatura ambiente. C) La mayoría son solubles en agua. D) Poseen altas temperaturas de fusión. E) No son conductores de la electricidad en estado fundido.
E) O O
D) H Cl
28. Sean las notaciones de Lewis de X e Y.
X
Y
Respecto a su compuesto formado, señale la proposición correcta. I. No conduce del calor ni la electricidad en estado sólido. II. Es electrovalente. III. Sus elementos constituyentes comparten sus electrones.
Enlace químico II
33. De los siguientes compuestos, ¿cuáles presen-
tan enlace covalente? H2SO4, NH3, NaCl, Fe2O3, CaO, H2O A) H2SO4, NaCl, H2O B) H2SO4, NH3, H2O C) H2SO4, Fe2O3, CaO D) NH3, CaO, H2O E) NaCl, CaO, H2O
A) solo I B) I y II C) I y III D) solo II E) II y III
29. Indique la estructura de Lewis del cloruro de potasio (KCl).
B) K+Cl– C) KCl
A) K – Cl
D) K+ ← Cl– E) K+ Cl
–
34. Indique la molécula en la cual el átomo central no tenga octeto completo.
A) H2S B) NH3 C) PF3 D) BeH2 E) CO2
30. ¿En cuál de los siguientes enlaces iónicos se transfieren más electrones? A) CaO
B) CaCl2 C) KI
35. Para la estructura molecular de la aspirina H
D) Al2O3 E) Na2O H
31. El hidróxido de sodio es un compuesto terna-
rio, NaOH, que en el agua es muy soluble. Si su estructura de Lewis es
Na+1 O
H
–1
H
señale la proposición correcta. I. El sodio comparte 1e– con el oxígeno. II. El oxígeno cumple con el octeto electrónico. III. El hidrógeno gana 1e– y se carga negativamente. IV. Hay enlace iónico y covalente. 5
C C
C
C
C
CO
C O
OH CO
CH3
H ¿cuántos enlaces covalentes simples y pares de electrones no compartidos presenta su molécula, respectivamente? A) 8 y 8 B) 14 y 10 C) 14 y 8 D) 16 y 8 E) 18 y 4
Química 36. Indique el número de enlaces sigma, simple y
pi (p) del ácido acético, respectivamente. CH3 – COOH A) 7; 6; 1 B) 6; 5; 1 C) 7; 6; 2 D) 6; 6; 1 E) 7; 5; 1
Cl
37. Para el tolueno nitrilo, cuya estructura de Lewis abreviado es la siguiente CH
CH
CH
CH
C
N
39. Indique qué sustancia química no presenta enlace covalente coordinado.
indique el número de uniones Pi y de electrones de valencia, respectivamente. A) 5 y 28 B) 5 y 38 C) 6 y 40 D) 4 y 38 E) 5 y 36
A) SO2 B) O3 C) HNO3 D) NH3 E) H3O+
40. ¿Cuál de los siguientes enlaces covalentes pre-
38. Se tiene la siguiente estructura del anhidrido perclórico, Cl2O7, cuyos átomos se distribuyen según
...
Complete su estructura de Lewis e indique el número de enlaces covalentes normales y dativos, respectivamente. A) 6 y 2 B) 4 y 4 C) 2 y 6 D) 3 y 5 E) 5 y 3
C
HC
Cl
senta mayor carácter polar? EN: H=2,1; Cl=3,0; O=3,5; C=2,5
A) H – C B) C – Cl C) H – O D) C O E) Cl – O
Claves 01 - B
06 - B
11 - C
16 - B
21 - A
26 - E
31 - B
36 - A
02 - D
07 - C
12 - E
17 - D
22 - E
27 - C
32 - E
37 - B
03 - B
08 - A
13 - E
18 - A
23 - D
28 - B
33 - B
38 - C
04 - D
09 - C
14 - B
19 - B
24 - B
29 - E
34 - D
39 - D
05 - D
10 - B
15 - D
20 - D
25 - D
30 - D
35 - D
40 - C
6
Química Estructura electrónica del átomo
1. Con respecto a la zona extranuclear, indique
las proposiciones correctas. I. En la capa M a lo más se encuentran 32 electrones. II. En un orbital existe la probabilidad de encontrar como máximo dos electrones con espín opuestos. III. El subnivel fundamental puede contener 10 electrones. A) I y II B) I y III C) solo II D) II y III E) solo III
2. Relacione adecuadamente.
I. capa N II. orbital 4px III. subnivel principal
a. Contiene como máximo 2e –. b. Tiene 3 orbitales. c. Posee 4 subniveles. A) Ic, IIb, IIIa B) Ia, IIb, IIIc C) Ic, IIa, IIIb D) Ib, IIa, IIIc E) Ib, IIc, IIIa
4. ¿Cuáles de los siguientes subniveles no tienen
existencia real? I. 1s2 II. 2d5 III. 4f7 A) I y II B) todos C) solo II D) II y III E) solo III
5. La representación 4f7 indica que A) hay 7 electrones en el subnivel fundamental del cuarto nivel. B) el cuarto nivel tiene un subnivel fundamental con 6 electrones. C) hay 7 electrones en el orbital fundamental del cuarto nivel. D) en el cuarto nivel hay un subnivel principal que contiene 7 electrones. E) hay 4 electrones en el subnivel fundamental.
6. Determine el número de subniveles como máximo que tiene un átomo con 3 niveles. A) 3 B) 5 C) 2 D) 7 E) 4
3. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
...
correctas? I. El subnivel sharp tiene forma esférica. II. El subnivel difuso está constituido por cinco orbitales. III. Un subnivel principal puede contener 6 electrones. A) solo I B) I y III C) solo II D) II y III E) I, II y III
Configuración electrónica
7. Si el número atómico del potasio, K, es 19, entonces la configuración electrónica que le corresponde es A) 1s1 2s4 2p4 3s2 3p6 4s2. B) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s3. C) 1s2 2s4 2p4 3s2 3p6 4s1. D) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1. E) 1s1 2s3 2p6 3s1 3p6 4s2. UNMSM 2004 - I
2
Química 8. Si un átomo contiene 5 electrones de valencia en la capa N y su número másico excede en 12 unidades al doble del número de protones, ¿cuántos neutrones contiene?
12. ¿Cuántos electrones desapareados tiene el ion
A) 1 B) 5 C) 2 D) 3 E) 4
A) 56 B) 33 C) 45 D) 78 E) 38
9. Calcule el número de electrones de valencia de un átomo que tiene 18 neutrones, cuyo número de masa es 35.
Tabla periódica actual
13. Determine el periodo y grupo al cual pertenece un átomo cuyo número atómico es 18. A) 3; 18 (VIIIA) B) 2; 18 (VIIIA) C) 3; 14 (IVA) D) 3; 14 (IVB) E) 2; 14 (IVA)
A) 5 B) 2 C) 3 D) 7 E) 6 UNMSM 2010 - II
10. Indique las distribuciones que son correctas. 2 2 2 2 1 I. 9F: 1s 2s 2px2py2pz
èé èé èé 3s 3p x 3p y 3p z
[ ] II. 16 S: Ne 2
2
III. 6C: 1s 2s
2p2x
A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I, II y III
11. ¿Cuál de las siguientes distribuciones es correcta para el subnivel 3p5? A)
UNMSM 2005 - I
14. En relación con un elemento cuyo Z=35, deter-
15. El elemento X tiene número atómico 21, entonces está en el periodo ............... y en el grupo ............... de la tabla periódica.
èè èé è 3p x 3p y 3p z
A) 4; 5 B) 3; 5 C) 4; 3 D) 4; 2 E) 3; 3 UNMSM 2002
èé èé èé 3p x 3p y 3p z
16. ¿Qué elemento tiene propiedades químicas
èè éé è D) 3p x 3p y 3p z E)
mine la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F). I. Pertenece a la familia de los halógenos. II. Pertenece al grupo 17 y periodo 4. III. Su configuración electrónica tiene tres subniveles. A) VFF B) VFV C) VVF D) FVV E) FFV
èé èè è B) 3p x 3p y 3p z C)
Co3+? Número atómico: Co=27
èé è èé 3p x 3p y 3p z
similares a las del bromo? Número atómico: Br=35; S=16; O=8; As=33; F=9; N=7 A) F B) O C) As D) S E) N
3
Química 17. Marque la secuencia correcta de verdadero (V)
o falso (F) para el elemento 20Ca. I. Tiene 20 protones y se encuentra en el 4.o periodo. II. En su configuración electrónica, existen dos subniveles p. III. En el último subnivel, tiene dos electrones. IV. Es un metal que tiene alta electronegatividad.
A) I y II B) II y III C) solo I D) solo III E) solo II
21. Indique el número de electrones que se trans-
A) VFVV B) VFFV C) FVVV D) VFVF E) VVVF
A) 9 B) 8 C) 7 D) 5 E) 10
UNMSM 2010 - II
18. Los elementos Q y R tienen propiedades quí-
micas similares. ¿Cuál es el número atómico de Q si está en el mismo periodo que el elemento T? Número atómico: R=12; T=37 A) 20 B) 38 C) 56 D) 40 E) 48 Enlace químico I
fieren en total al formarse los siguientes compuestos. I. KCl II. CaO III. Mg3N2
22. Respecto al enlace químico, indique la se-
cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Al formarse siempre libera energía. II. Cuanto mayor sea la energía de enlace, la intensidad de enlace será menor. III. Los electrones que participan son aquellos que están muy cerca del núcleo atómico. A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FFF
19. Indique las sustancias que presentan enlace
23. Identifique la notación de Lewis para un ele-
electrovalente. I. Ca3N2 II. MgS III. AlCl3
mento X cuyo número de masa es 78 y el número de partículas neutras es 44.
...
20. ¿Cuáles de los siguientes compuestos presentan sus estructuras de Lewis correctas? I. Na2O; Na Al2O3; 2 Al II. III. MgCl2; Mg
B) X C) X
A) X
A) solo I B) I y III C) I y II D) II y III E) solo II
+
O
2–
3+
3 O
2+
2 Cl
2– 2–
D) X E) X
24. Un elemento químico X del segundo periodo y grupo IA se une con otro elemento Y del tercer periodo y del grupo VIIA. ¿Cuál es la fórmula química del compuesto formado? A) XY3 B) X3Y C) XY D) XY2 E) X2Y 4
Química 28. En los siguientes compuestos, indique la se-
Enlace químico II
25. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es incorrecta? A) En los compuestos covalentes, los átomos están enlazados por compartición de electrones. B) La unidad estructural básica de una sustancia covalente se denomina molécula. C) Entre dos elementos iguales solo puede existir un enlace simple. D) En un enlace triple existen dos uniones pi. E) En un enlace simple solo existe una unión sigma.
26. ¿En qué compuesto el átomo central no cum
ple con el octeto electrónico? I. BF3 II. BeCl2 III. H2S
27. Respecto al formaldehído, H2CO, señale las
proposiciones incorrectas. I. El carbono y oxígeno tienen octeto electrónico. II. Presenta un enlace múltiple. III. El oxígeno es el átomo central.
I. En (a) hay 2 enlaces sigma y 12 electrones no compartidos. II. En (b) hay 4 electrones pi y 2 enlaces sigma. III. En (c) hay un enlace simple y un enlace múltiple. A) VFF B) VFV C) VVV D) FVV E) FFV
29. ¿Cuáles de las especies químicas dadas pre
A) I y III B) II y III C) solo III D) I y II E) todos
cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. a. O3 b. CO2 c. HCN
sentan enlaces pi? I. CF2Cl2 II. SO2 III. CH3CHCH2 A) I y II B) II y III C) I y III D) todas E) solo II
30. Se tiene el siguiente cuadro Sustancia Fórmula Ozono
O3
Halle a=número de enlace sigma
Ácido clórico HClO3
b=número de enlace dativo
Acetileno
c=número de enlaces simples
C2H4
Calcule a+b+c. A) 5 B) 7 C) 12 D) 9 E) 8
A) II y III B) solo III C) I y III D) solo I E) solo II
Química 01 - D
05 - A
09 - D
13 - A
17 - E
21 - A
25 - C
29 - B
02 - C
06 - B
10 - A
14 - C
18 - B
22 - D
26 - D
30 - E
03 - E
07 - D
11 - E
15 - C
19 - C
23 - C
27 - B
04 - C
08 - C
12 - E
16 - A
20 - E
24 - C
28 - C
5
