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INDICE
Índice…………………………………… Índice……………………………………………………… …………………………………. ……………….
1
Raíces cuadradas……………………… cuadradas………………………..………………… ..……………………………... …………...
2
Decimales…………………………….…… Decimales…………………………….…………………… …………………………… ……………
3
Mínimo Común Múltiplo Múltiplo y Máximo Común Denominador………
4
Fracciones……………………………… Fracciones………………………………………………… ……………………………… ……………
5
Problemas con fracciones………………… fracciones……………………………………… ………………………… ……
7
Proporcionalidad ………………………………… ………………………………… ………………....
11
Unidades………………………………………………………………..
18
Ecuaciones 1º grado…………………… grado……………………………………… …………………………… …………
24
Problemas de Geometría…………………… Geometría………………………………………… ……………………....
31
Potencias………………………………… Potencias…………………………………………………… ………………………….. ………..
38
Ecuaciones 2º grad o………………………………………………. o……………………………………………….
41
Sistemas de ecuaciones…………………………………………...
43
2
TE MA 1: RAI CES CUADRADA CUADRADA 1. Relaciona Relaciona con con flechas flechas los los siguient siguientes es números números y su raíz Número 625 487 900 1849 3844 Raíz 62 25 43 30 55 2. Real Realiz izaa efect fectua uand ndoo los los sigu siguie ienntes tes paso pasos: s: 1º Apro Aproxi xima ma DOS DECIMALES) 2.1. 47 5 26 2859 2.2. 23 2354,95 28,29 2385,04 2.3. 94 945,34 295,13 857,08 2.4. 2,852 4,98 8,9384 2.5. 0,85 0,0984 0,325
2º Efec Efectú túaa
3º Com Comprue prueba ba (SAC (SACAR AR
3. Realiza la raíz cuadrada de los siguientes siguientes números, números, realizando realizando su prueba 3.1 0’345 3.2 673’575 3.3 3.3 640000 3.4 3.4 528´9 8´9 3.5 3.5 75 754´ 4´998 3.6 3.6 81 8100 0000 0000 00
4. TI PO 1: Un U n cua cuad drado rado ti ene21 ne 21,3 ,3 cm. cm. de de lad lado. Calcula Calculasu su área área 5. TI PO 2: Calcula Calcula el lad lado de un cua cuad drado rado de 453 453 69 69 cm 2 deárea ’
6. Invént Invéntate ate dos problem problemas as en el cual los datos datos sean un número número y su cuadrado cuadrado.. En el primer primer problem problemaa conoceremos el número y nos pedirán su cuadrado y en el segundo problema conoceremos el cuadrado del número y nos pedirán el número original. Ambos problemas deben estar bajo un contexto coherente. 7.
Juan tiene 87 soldaditos soldaditos y los quiere poner en formación cuadrada cuadrada ¿Podrá hacerlo? ¿Cuántos le sobrarían? ¿Cuántos tendría que comprar para ponerlos todos en formación cuadrada?
8. Se quiere poner poner 48 4899 soldad soldados os en formac formación ión cuadrada cuadrada.. ¿Es posible? posible? ¿Cuántos ¿Cuántos sobran? sobran? ¿Cuánto ¿Cuántoss más más deberíamos traer si queremos poner la formación cuadrada? 9. Juan quiere quiere plantar en su jardín jardín 137 flores formando formando un cuadrado. cuadrado. ¿Puede hacerlo? hacerlo? ¿Le sobran? sobran? Si no pudiera, ¿cuantas tendría que comprar para hacer el cuadrado? 10. Queremos Queremos formar un jardín jardín cuadrado cuadrado sembrando 576 plantas. plantas. ¿Es posible? posible? ¿Cuántas sobran? ¿Cuántas ¿Cuántas más serán necesarias para formar el cuadrado inmediato mayor? 11. Con 664 baldosas cuadradas se quiere formar formar el mayor cuadrado posible. posible. Calcula y contesta: a. ¿Cuántas baldosas tendrá cada lado? lado? ¿Cuántas baldosas baldosas sobran? más serán necesarias para formar el cuadrado cuadrado inmediato mayor? mayor? b. ¿Cuántas baldosas más 12. Se amplia una piscina piscina de superficie superficie cuadrada de 225 m2 en 3/5 de su lado inicial Calcular: a. Los lados de las dos piscinas piscinas b. ¿Cuánto ha aumentado aumentado la superficie superficie de la la piscina?
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TE MA 1: RAI CES CUADRADA CUADRADA 1. Relaciona Relaciona con con flechas flechas los los siguient siguientes es números números y su raíz Número 625 487 900 1849 3844 Raíz 62 25 43 30 55 2. Real Realiz izaa efect fectua uand ndoo los los sigu siguie ienntes tes paso pasos: s: 1º Apro Aproxi xima ma DOS DECIMALES) 2.1. 47 5 26 2859 2.2. 23 2354,95 28,29 2385,04 2.3. 94 945,34 295,13 857,08 2.4. 2,852 4,98 8,9384 2.5. 0,85 0,0984 0,325
2º Efec Efectú túaa
3º Com Comprue prueba ba (SAC (SACAR AR
3. Realiza la raíz cuadrada de los siguientes siguientes números, números, realizando realizando su prueba 3.1 0’345 3.2 673’575 3.3 3.3 640000 3.4 3.4 528´9 8´9 3.5 3.5 75 754´ 4´998 3.6 3.6 81 8100 0000 0000 00
4. TI PO 1: Un U n cua cuad drado rado ti ene21 ne 21,3 ,3 cm. cm. de de lad lado. Calcula Calculasu su área área 5. TI PO 2: Calcula Calcula el lad lado de un cua cuad drado rado de 453 453 69 69 cm 2 deárea ’
6. Invént Invéntate ate dos problem problemas as en el cual los datos datos sean un número número y su cuadrado cuadrado.. En el primer primer problem problemaa conoceremos el número y nos pedirán su cuadrado y en el segundo problema conoceremos el cuadrado del número y nos pedirán el número original. Ambos problemas deben estar bajo un contexto coherente. 7.
Juan tiene 87 soldaditos soldaditos y los quiere poner en formación cuadrada cuadrada ¿Podrá hacerlo? ¿Cuántos le sobrarían? ¿Cuántos tendría que comprar para ponerlos todos en formación cuadrada?
8. Se quiere poner poner 48 4899 soldad soldados os en formac formación ión cuadrada cuadrada.. ¿Es posible? posible? ¿Cuántos ¿Cuántos sobran? sobran? ¿Cuánto ¿Cuántoss más más deberíamos traer si queremos poner la formación cuadrada? 9. Juan quiere quiere plantar en su jardín jardín 137 flores formando formando un cuadrado. cuadrado. ¿Puede hacerlo? hacerlo? ¿Le sobran? sobran? Si no pudiera, ¿cuantas tendría que comprar para hacer el cuadrado? 10. Queremos Queremos formar un jardín jardín cuadrado cuadrado sembrando 576 plantas. plantas. ¿Es posible? posible? ¿Cuántas sobran? ¿Cuántas ¿Cuántas más serán necesarias para formar el cuadrado inmediato mayor? 11. Con 664 baldosas cuadradas se quiere formar formar el mayor cuadrado posible. posible. Calcula y contesta: a. ¿Cuántas baldosas tendrá cada lado? lado? ¿Cuántas baldosas baldosas sobran? más serán necesarias para formar el cuadrado cuadrado inmediato mayor? mayor? b. ¿Cuántas baldosas más 12. Se amplia una piscina piscina de superficie superficie cuadrada de 225 m2 en 3/5 de su lado inicial Calcular: a. Los lados de las dos piscinas piscinas b. ¿Cuánto ha aumentado aumentado la superficie superficie de la la piscina?
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TE MA 2: DE CI MALE S 1. Efectúa.Efectúa.- ( Realiz Realizaa la prueba) prueba) 1.1. 32 32´45 + 0´8 + 4 = 1.2. 1.2. 35´6 35´6 – 1 – 12´47 = 1.3. 36´5 x 2´07 = 1.4. 394’75 : 12’4= 12’4= 3´5 : 23´789 = 2. Realiza Realiza las siguiente siguientess op operac eraciones iones:: 2.1 Multiplica por 100: 2.2 Divide por 100: 2.3 Multiplica y divide por 1000: 2.4 Expresa en potencias de 10:
36 + 0´278 + 2´5 + 3´7222= 37´61 – 36´963 36´963 0´213 x 2´3= 3002 : 59´678= 11: 0,027 =
346 : 20´02= 1,44 : 0,231=
256 948,57 47,987 0,72 256 948,57 47,987 0,72 256 948,57 47,987 0,72 540000 83000 0,0032 380 0,0000065
3. TI PO I : H e com comprado rado 7 ga g arr afas de de aceite ceite de 17´5 17´5 litro li tross cad cada una. una. Sab Sabiendo iendo que que cad cada litro pesa pesa 0´92 0´92 K g. ¿ Cuánto Cuántos K g. pesa tod todo el aceite aceite? ? 4. TI PO I I : H e com comprado rado un to total tal de de 460,4 460,466 kilos de de aceite ceite repa repartidos rtidos en en 7 garr garr afas de 17´5 litros cad cada una. una. ¿Cuánt ¿ Cuánto o pesa cad cada litro litr o de aceite? ceite? 5. TI PO I I I : H e com compr ado un to total de 460,46 460,46 kilo ki loss de aceite ceite repa repartidos rtidos en 7 garra garr afas. fas. Sab Sabemos que que cad cada litro litr o deaceite deaceite pesa 0,92 K g. ¿Cuánt ¿ Cuánto os litros de aceite ceite hay hay en cad cada garra garr afa? 6. TI PO I V: H e com compr ado vari varia as ga g ar rafas de de ace aceite ite.. E n tota totall he com compr ado 460,46 460,46 kilo ki loss de ace aceite. ite. Ca C ada garra garr afa cont contii ene 17,5 17,5 litros de ace aceite ite y cad cada litro de aceite ceite pesa 0,92 0,92 kilo ki los. s. ¿Cuá ¿C uánt nta as ga g arr afas fas he comprado? 7. Invéntate Invéntate un problema problema en el que intervengan intervengan una cantidad cantidad total total de kilos de un determinado determinado producto, producto, repartidos en una cantidad de cajas, en las que caben una serie de kilos y cada kilo tiene un precio. Da las cuatro posibilidades de plantear el problema. 8. De un listón listón de madera madera de 2´9 2´9 m tengo tengo que sacar 8 trozos trozos para para construir construir dos cuadros cuadros.. ¿Cuánto ¿Cuánto mide mide cada trozo?. ¿Cuántos metros sobran? 9. El sueldo mensual de un trabajador es de 1.654’65 euros. ¿ Cuánto euros semanales cobra? 10. Un coleccionista de coches en miniatura miniatura compra varios varios modelos. Todos cuestan lo mismo:3,25 €. 10.1.¿Cuántos podrá comprar con 15,76 €? 15,76 €? 10.2. Si quisiera comprar 8 coches, ¿cuánto ¿cuánto dinero le haría falta? 11. Lee Lee los siguien siguientes tes problem problemas as.. Escrib Escribee la operació operaciónn que hay que plantear plantear en cada cada caso caso y razona razona si la respuesta debe ser un número natural o un número decimal. Si la respuesta se expresa mediante un número decimal, explica cuántos decimales has de sacar. 11.1. ¿Cuántas ¿Cuántas veces podrá podrá llenar un cazo en el que caben 0,25 litros litros con el agua que hay en un barreño que contiene 10,3 litros de agua? 11.2. ¿Cuántos yogures de 0,12 euros euros puedo comprar comprar con 2 euros? euros? 11.3. He comprado comprado cinco flanes de huevo y he pagado exactamente exactamente 2,55 euros. ¿cuánto ¿cuánto me ha costado cada flan?
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TE MA 3: 3: MÍ NI MO COMÚN COMÚN MÚLTI MÚLTI PLO Y MÁXI MO COMÚN DENOMINADOR
1. Escribe Escribe y repasa los conceptos conceptos de: Nº primo Nº compuesto
Múltiplo
Divisor
2. Repaso Repaso múltip múltiplos los – – divisores divisores a)Escribe 5 múltiplos de 4 , 14, 11, 9 y 12 b)Escribe 5 divisores de 44; 6 divisores de 72; 10 divisores de 720; 3 divisores de 28; 5 divisores de 24 3. ¿Es 5 divisor divisor de 72? ¿Y 4 es es divisor divisor de 28? 28? 4. Señala Señala los números números primos primos de: 3, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 14, 15, 27, 27, 21 (Rodéalos (Rodéalos con con un círculo). círculo). Indica Indica,, a parte, parte, que números son pares. 5. Sin efectua efectuar, r, descompó descompón: n: 100, 200, 200, 60, 1.000 , 10.000, 10.000, 600, 36000, 4.000 4.000.000 .000 6. ¿Se puede hallar hallar el M.C.M. M.C.M. y M.C.D. M.C.D. de un sólo número? número? 7. Calcul Calculaa M.C.D. M.C.D. y M.C.M. M.C.M. en los siguie siguiente ntess casos casos:: 6, 14 y 15 24200, 1650 y 231 900, 1.210 y 3.300 2420, 1650 y 231
540 y 630 56000 , 2100 y 14
600 y 720, 62 y 15
8. TI PO I : Tre Tr es ciclista ci clistass tar tar dan en dar dar una vuelta vuelta al cir ci r cuito 12, 12, 15 y 20 minutos minutos re r espe specti cti vam vamente nte. Si sale salenn a las las 12 horas, cuand cuando o vuelv vuelveen a coi coi ncidir los los tre tr es en la líne lí nea a de salida salida.. 9. TI PO I I : Tre Tr es ciclist cicli sta as com comienza ienzan a da dar vue vueltas ltas a un ci ci rcuito rcui to a las las 12 horas. horas. E l prim pri mer o ta tar da en en da dar una vue vuelta12 lta 12 mi nuto nutos, el el segundo segundo15 15 mi nuto nutos y el ter ter cer cer o no lo sab sabemos. os. Ha H an vue vuelto ltoha ha coi coi ncidir a las las 13 horas. horas. ¿Cuá ¿C uánt nto os minuto minutos tarda tarda el el tercer rcer o en en dar una vue vuelt lta a, si su tiemp tiempo es es el mayor yor de los los tres tres y meno menorr que la mitad del del mcm? mcm? 10. Un frutero tiene tiene 180 Kg. de manzanas manzanas y 160 de naranjas. naranjas. Quiere ponerlas ponerlas en bolsas iguales. iguales. ¿Cuántos ¿Cuántos kilos podrá poner como máximo en cada bolsa y cuántas bolsas necesitará para cada fruta? 11. Para señalizar el recorrido de una regata se ha colocado bolla bolla cada 15m y una baliza cada 42m. ¿Cada cuántos metros coincidirán una boya y una baliza? 12. El nº de tripulantes tripulantes de un portaaviones no llega a 2000. Cuando Cuando forman en cubierta cubierta pueden hacerlo en grupos de 45, de 54 y de 72 personas sin que sobre ni falte ninguna. ¿Cuántos tripulantes tiene dicho portaaviones? 13. Dos campan campanas as suenan suenan cada 35 y cada 42 minutos minutos respectiva respectivamente mente:: Si suenan suenan a la vez vez a las 6 de la tarde. ¿Cuándo vuelven a coincidir? 14. Quiero Quiero dividir tres piezas piezas de tela de 60 m, 90 m, y 135 m cada una en trozos de igual longitud. longitud. ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener cada trozo? 15. Tres primas visitan a su abuela: una cada 4 días, días, otra cada 6 y la última cada 8. Si coincidieron coincidieron en su visita el 2 de junio ¿qué día volverán a coincidir de nuevo? 16. Queremos Queremos construir construir una alfombr alfombraa de 1400 cm de largo y 770 cm de ancho con paños cuadrados cuadrados.. ¿Cuánto medirá el lado de cada paño?. ¿Cuántos paños habrá a lo largo y a lo ancho? 17. Una plancha de madera quiere quiere serrarse en cuadrados cuadrados lo más grandes grandes posible. ¿ Cuál será la longitud longitud de cada cuadrado si las dimensiones de la plancha son 512 cm de largo y 192 cm de ancho? ¿ Cuántos cuadrados obtendremos?
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TEMA 4: F RACCI ONE S 1. CONCEPTOS SOBR E F RACCI ONES 1. Forma dos proporciones con: 1
2
2. Di si son ciertas las siguientes proporciones:
1 3 ; 9 12
6 2; 3 1
15 = 66 = 75 = 525 45 108 4. Halla dos fracciones equivalentes mayores y dos menores a 25 /75 3. Halla la fracción irreducible de
3 9 7 21
8= 18
81 = 801
5. Halla dos fracciones equivalentes con denominadores menores y dos con denominadores mayores a 48 6. Escribe un quebrado que tenga por denominador 20 y sea equivalente a 7
36
7. Escribe una fracción que sea equivalente a 9 y que el denominador sea 3 8. Escribe una fracción menor que 5/6 cumpliendo: 1. Que tenga menor denominador... 2. Que tenga mayor denominador... 9. Ordena de menor a mayor a. 6/5, 2/8, 4/7 b. 2/9, 2/5, 2/15
7/8, 4/6, 1/5 6/8, 5/8, 1/8, 10/8
10. Ordena de mayor a menor 1. 14/21, 5/7, 2/3 3/5, 7/9, 4/6 2. 2/7, 9/7, 5/7, 7/7 1 / 4, 1/5, 1/8, 1/10
3/5, 2/5, 1/5, 7/5 7/5, 7/3, 7/12
2/3, 5/3, 7/3, 3/3 2/5, 2/3, 2/6, 2/2
11. Di en cada caso qué fracción es mayor a. 21/4 y 7/6 b. 2/8, 1/7 y 3/14
4/9, 3/5 y 2/15 7/5, 8/3, 4/15
12. Ordena de menor a mayor: 1. 1/3, 4/6, 7/18 2. 9/2, 3 / 4 ,7/12
2/5, 1/6, 3/2 7/6, 2 / 3, 1 / 18 y 7 / 2
13. Tres amigas compran una caja de pastas para merendar. María se come 4 / 5 partes de la caja, Rosa 5 / 7 partes y Laura 9/13 partes. ¿cuál de las tres come más? 14. Juan dedica de su tiempo 2/15 al estudio de ciencias, 4/9 al estudio de lengua y el resto a Matemáticas. ¿A que asignatura dedica más tiempo?
6 2. OPERACI ONE S CON F RACCI ONE S SUMAS Y RESTAS 1. 11/7 + 6/7 + 3/7 2. 1+3/4 3. 11/3 - 2 4. 3 – 2 / 5
7/9+4/9+1/9-15/9 3/2+1/4+5/8 15/2 - 7 1 / 4+ 5 – 1 / 3
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 3 2 1 4 2 9 5. 5 5 6 7 6 5 4 3 4 3 6. : : 11 16 5 7
3 9 4 2 10 6 5 3 : 6 2
OPERACIONES CON SIGNOS 5 15 6 7. 5 = 9 3 15 6 5 8. = 12 (4) = 5 18 19 COMBINADAS 9. Efectúa 9.1. Fracciones con paréntesis 3 1 2 1 a) 5 4 5 5 4 3 1 3 b) 25 15 50 3 c) d) e)
5 55 2 : : 21 3 7 2 1 1 4 5 2 3 2 5 9 1 2 7 4 7 7 3 7 7 3
9.2. Jerarquía de operaciones 1 2 f) 3 2 2 25 15 9 3 1 1 1 5 g) 3 1 : 4 2 4 3 2 2 h) 3 3 3 3 i) j) k)
5 2 2 23 4 7 2
15
4 1 3 9 2
3 2 1 2 2 25 15 9 3
2+4/3+1/2 5/3-1/6+3/2-1/8 8 – 1/ 2 + 5 / 6 7 – 1 / 4 + 5 / 2 1 2 3 3 5 2 9 7 : 12 5
3 2 : 7 8 4 3 : 17 16
1 3 = 5
12
1 ( 2) 8
6 5 = 15
5 15
9
(4) =
9
3
12
9
( 4) =
5 1 3 2 1 2 12 4 4 14 14 15 7 : 25 2 9 3 1 2 1 5 4 5 5
5 1 3 2 1 2 12 4 4 14 5 1 3 2 1 2 12 4 4 14
3 2 1 2 3 5 5 6 3 5 3 25 8 21 5 36 1 1 1 5 3 1 : 4 2 4 3 4 2 1 1 5 2 3 5 5 5
4 15 1 1 12 3 5 3 2 4
3 2
4 2 2 ( 3 ) 15 4 4
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PROBLE MAS DE FR ACCIONES
PROBLEMA A (fracción simple)
TI PO I : Un padre reparte 36.000 euros. A uno de los hijos le corr esponde los 2 / 5. ¿Qué dinero le corresponde? TI PO I I : Un padre reparte36.000 euros. A uno de los hijos le corresponde 14.400 euros. ¿Qué fracción del dinero inicial lecorresponde? TI PO I I I : Un padre le da a un hijo 2 / 5 de su dinero, corr espondiéndole un total de 14.400 euros. ¿Cuánto dinero tenía el padre inicialmente? PROBLEMA B (suma de fracciones)
TI PO I : Tres socios invierten sus ahorr os en un negocio. E l pri mero aporta 1/3 del capital, el segundo2/5 y el tercero el resto. Al cabo de 3 meses reparten unos beneficios 9.000 euros ¿Cuánto corresponde a cadauno? TI PO I I : Tr es socios invierten sus ahorros en un negocio. Al cabode 3 meses, han repartido9000 euros de beneficios. Al pri mero de ellos leha correspondido 3000 euros y al segundo3600 euros. ¿Qué parte del capital i nicial aportó cadauno? TI PO I I I : Tres socios aportaron para formar una empresa: 1/3 del capital el primero deellos, el segundo 2/5 y el tercero el resto. A l cabo de tres meses, han repartido beneficios, y al tercero de ellos le han correspondido 2400 euros. ¿Cuánto dinero ha supuesto los beneficios?
A) CONOCIDA CANTIDAD INICIAL CALCULAR UNA FRACCIÓN (directos) 1. En una clase hay 30 estudiantes, de los cuales los 3/5 son alumnas. ¿Cuántas alumnas hay en esta clase?. 2. En la clase de Raquel hay 36 alumnos de los que 5 /6 no sacan SB en lengua, ¿ qué fracción es la que saca SB?, ¿cuantos alumnos no sacan SB?. Si fuera 15 alumnos los que sacan Notable ¿qué fracción representaría? 3. Un camión transporta 15 toneladas de fruta, 1/5 de dicha carga son naranjas, 2 / 3 manzanas y el resto peras. ¿Cuántas toneladas de cada fruta transporta? 4. Se divide una finca en tres parcelas. La primera es los 2 / 5 y la segunda 1 / 4. Si la finca tiene 20.000 m 2. ¿Cuánto mide cada una de las parcelas? 5. Un libro se hace con la colaboración de 18 personas. De ellas, 1/3 corresponde a autores, 1/9 a secretarias, 1/6 a maquetistas, 2/6 a dibujantes y el resto a personal de imprenta. Calcula el número de colaboradores de cada clase. 6. En las elecciones municipales se presentaban dos partidos, A y B. El primero ha obtenido los 3 / 4 de los votos válidos. El partido B ha conseguido los 5/20 de los votos válidos. a) ¿Cuál de los partidos ha ganado las elecciones? ¿Por qué? b) Miguel dice que el número de votos que ha conseguido el partido B es la mitad de los que ha conseguido el partido A. ¿Es cierto lo que dice Miguel?¿Por qué? c) Si el número total de votos válidos ha sido de 2500, ¿cuántos votos válidos ha obtenido el partido A y cuántos el partido B?
8
7.
Don Miguel debía 4200 euros. Ha pagado, primero, 3/5 de la deuda y, después, la sexta parte de la deuda. De nuevo ha pedido un préstamo por el doble de euros de lo que le faltaba por pagar. ¿cuánto debe en la actualidad?
8.
Cierta clase de tela, al lavarla, encoge 2/15 de su longitud. Si compro 60 metros y medio de tela por 540 euros. a) ¿Qué longitud tendrá la tela después de lavarla? b) ¿A qué precio resultó el metro de la tela lavada?
B) FRACCIÓN DE UN TOTAL (directos) 1. Un barco carga en Barcelona 1/12 de la capacidad de sus bodegas, en Valencia 1/6 y en Cartagena 1/8. ¿Qué parte de la bodega podrá llenar en Cádiz? 2. En una ciudad, durante el año 1989, ha llovido 73 días, y 15 días estuvo el cielo nublado. a) ¿Qué fracción del año ha llovido? b) ¿Qué fracción del año ha estado el cielo nublado? 3. En un depósito había 3000 litros de agua y estaba lleno. Un día se gastó 1/6 del depósito y otro, 1250 litros. ¿Qué fracción queda? 4. En un colegio hay 1095 alumnos que realizan actividades extraescolares: 1 / 3 hace judo, 2 / 5 estudia italiano y el resto ballet. a) ¿Qué fracción realiza ballet? b) ¿Cuántos alumnos hacen cada actividad? 5. Un profesor ha corregido 2/5 de los exámenes con rotulador rojo y 1/4 con bolígrafo azul. Si todavía le quedan por corregir 42 exámenes, ¿cuántos tenía que revisar en total? 6. En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un día corresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de frutas, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a 43,5 euros, ¿qué caja ha hecho el establecimiento? 7. De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte, quedando aún 3 litros. ¿Cuál es la capacidad del bidón? 8. Un grupo de amigos comenzó la ESO, pero sólo acabaron estos estudios las 3 / 4 partes del grupo. Los 2/3 de los que acabaron han hecho Bachillerato y únicamente eran 12. ¿Cuántos amigos empezaron juntos la ESO? 9. Los reyes de una dinastía tuvieron nueve nombres diferentes. La tercera parte del número de reyes llevó el primero de estos nombres; la cuarta parte, el segundo; la octava parte, el tercero; la doceava parte el cuarto, y cada uno de los nombres restantes los llevó un solo rey. Hallar el número de reyes de la dinastía. 10. Tres amigos dividen 720 caramelos en 10 partes iguales. Al repartirse los caramelos, el primero se lleva 5 partes y el segundo se lleva 3 partes a) ¿Cuántas partes se llevará el tercero? b) ¿Cuántos caramelos les tocará a cada uno de ellos?
9 C) FRACCIÓN DE LO QUE QUEDA (complejos) PROBLEMA 1
TI PO I : Una máquina teje en un día 1/8 de una pieza de 96 m. A l día sigui ente teje los 2/7 de lo que quedó el día anteri or. ¿ Cuántos metros teje en los dos días? ¿Quéparte de la pieza queda por tejer?
TI PO I I : Una máquina teje en un día 12 m de una tela, lo que supone 1/8 del total de la tela. Al día siguiente teje los 2/7 de lo quequedó el día anteri or. ¿Cuántos metros de tela teníamos inicialmente? TI PO I I I : Tenemos una tela de 96 m. E l primer día hemos teji do 12 metros y el segundo día 24 metros. ¿Qué fracción de tela se teje pri mer día? ¿Y el segundo? ¿Qué fracción de tela supone lo que se teje el segundo día respecto a la tela quequedaba? 2. Luis hace las 3/5 partes de un trabajo y José Antonio los 2/9 de lo que falta. ¿Cuánto debe hacer Carmen para terminarlo? 3. Un depósito contiene 600 m3 de agua. Para regar una finca se extraen los lunes los 2/5 del depósito y el miércoles 1 / 3 del agua que quedaba. ¿Qué cantidad de agua se sacó cada día? ¿Cuántos litros de agua había el jueves? 4. Un sastre tenía una pieza de paño y empleó los 2/5, luego los 2/7 y le quedaron 22 metros. ¿Cuál era la longitud de la pieza entera? 5. Sonia ha comprado, con un quinto del dinero que tenía, un libro de aventuras. Con la tercera parte de lo que le quedaba compró una caja de pinturas y con lo que le sobró compró unos pantalones de 39 euros. ¿Cuánto dinero tenía Sonia antes de comenzar las compras? ¿Cuánto le ha costado el libro y la caja de pinturas? 6. Un tonel está lleno los 3/5 de su capacidad. Se saca 1/5 del líquido que contiene. Si la capacidad del recipiente es de 45 litros. ¿Cuántos litros quedan? 7. Una persona se gasta 2/3 de su sueldo en comida, de lo que le resta se gasta 1/4 en alquiler de la casa. Al final, con el dinero que le queda se gasta la mitad en divertirse y la otra mitad lo ahorra. Si ahorra 180 euros cada mes, ¿cuánto gana en total? 8. La columna que sostiene un puente está enterrada 1/5 en tierra, protegida de hormigón ¼ de lo que queda y cubierta por el agua 2/3 del resto. Si sobresalen al aire 6 metros ¿cuánto mide la columna? 9. En un quiosco se han vendido a lo largo de la mañana los 2/3 de un lote de periódicos. Por la tarde se han vendido la mitad de los que han quedado. d) ¿Qué fracción del total de periódicos representa los vendidos por la tarde? e) Si no se han vendido 20 periódicos, ¿cuántos había al empezar la venta? 10. Un autobús deja en la primera parada 1/5 de los viajeros; en la segunda, 1 / 4 de los que quedaban, en la tercera 1/3 del resto y en la cuarta deja 1 / 2 de los que aún quedaban a bordo. Por fin en la quinta y última parada deja 10 viajeros y se queda vacío. ¿Cuántas personas había al principio? ¿Cuántas se bajan en cada parada? 11. El dueño de un establecimiento vende los 2/3 de una pieza de tela y uno de los dependientes 1/5 del resto, quedando 4 m sin vender. ¿Cuántos metros medía la pieza de tela? ¿Cuál es el valor de la misma a 2’5 Euros el metro? 12. Un jugador pierde la cuarta parte del dinero que lleva y más tarde la mitad de lo que le queda. Suponiendo que se retira del juego, después de estas pérdidas, con 18 euros, ¿cuánto tenía al principio? 13. María quiere ordenar sus libros de lectura. En un estante de la librería puede colocar la mitad de los libros. En el otro 1/3 del resto y todavía le quedan 16 libros sin colocar. ¿Cuántos libros tiene María?
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AMPLIACIÓN 1. A 1/3 de las manzanas que yo tenía añadí 1/4 de las tuyas y llené un cesto de 26 manzanas. Con las que te quedaron has llenado uno de 15 y te sobraron 3. ¿Cuántas manzanas teníamos cada uno? 2. El número de alumnos de una Escuela de Aparejadores pasa de 250 y no llega a 300. En el primer curso son los 19/35, en el tercero los 1/14 y en el segundo el resto. Averiguar el número de alumnos de cada curso. 3. Un viajante ha recorrido los 2/5 de la distancia que debe hacer en un día. Si hubiese recorrido 20 Km. más, habría recorrido 7/15 del total. ¿Cuál es el trayecto total que tenia que recorrer? 4. En una tienda hacen liquidación. En ella hay 1400 artículos para vender. La primera semana se venden 3/7 del total y la segunda semana la mitad de lo que quedaba. En la tercera y última semana se vende todo a 2.50 euros cada producto. ¿Cuál será el importe de la caja esta última semana? 5. Los viajeros de un avión pertenecen a cuatro nacionalidades, en total viajan 65. Colocados en orden decreciente los números de los que corresponden a cada nacionalidad, cada uno de ellos es 2/3 del anterior. ¿Cuántos viajeros hay de cada uno de ellos? 6. Llevo recorridos los 7/15 de un camino y aún me falta 1/3 de kilómetros para llegar a la mitad. ¿Qué longitud tiene el camino? 7. Se han consumido 7/8 partes de un bidón de aceite. Reponiendo 38 litros ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcular la capacidad del bidón. 8. Tengo 3 barriles y 600 litros de vino que se distribuyen en tres partes iguales en los tres barriles. El primero se llena hasta sus 2/3 partes; el segundo hasta 4/5. ¿Qué fracción del tercero se llenará sabiendo que su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros? 9. Tengo una jarra y una botella llenas de agua. Si vacío los 2/5 de la primera me queda lo mismo que si vacío de la botella 1/3 de su contenido. Sabiendo que la cantidad de agua que queda en una y otra es medio litro. Calcular las capacidades de la jarra y de la botella. 10. Una torre B tiene de altura los 4/3 de otra torre A, más un metro. Una tercera torre C es de alta los 4/3 de la torre B, más 2 metros. Sabiendo que la torre C es doble de alta que la A, ¿qué altura tiene cada una de las tres torres? 11. Un terreno de 4500 m² ha sido adquirido al precio de 85 euros el m². Los 5/9 del mismo fueron vendidos a 150 euros el m²; y los 7710 del resto a 165 euros el m². Vendida la parte sobrante, se obtiene una ganancia de 339375 euros. Halla que fracción, de todo el terreno, es la última parte vendida y a qué precio fue vendido el metro cuadrado.
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TEMA 5: PROPORCI ONALI DAD PROBLE MA A) TI PO I : Hemos comprado un jersey que tenía etiquetado 39 euros. N os han descontado un 20%. ¿ Cuánto hemos pagado finalmente por el jersey? TI PO I I : Hemos pagado por un jersey 31,2 euros. Si nos han rebajado un 20%. ¿Cuál era su precio original? TI PO I I I : H emos pagado por un jersey, que costaba 39 euros, 31,2 euros. ¿Cuál hasido el porcentaje descontado?
PROBLE MA B) TI PO I : E l otro día seaveri ó el frigorí fico y el servicio técnico lo ha reparado. E l precio de la factura (con un 16 % de I VA incluido) y la propina de 2 euros, han supuesto 176 euros. ¿C uál es el precio de la reparación? TI PO I I : E l otro día seaverí o el frigorífi co y el servicio técnico lo ha reparado. La reparación supusoun total de 150 euros, pero al hacermela factura tuvequepagar un incremento de un 16% por el IVA . Si además le di una propina de 2 euros. ¿Cuántodinero le pagué fi nalmente? TI PO I I I : Tras la reparación de un frigorí fico por el servicio técnico pagué 176 euros. Aunquela reparación supuso un total de 150 euro. ¿qué porcentaje pagué de I VA , sabiendo que también le regalé 2 euros de propina?
A) PORCE NTAJE S PR OBL E MA S POR CE NTA JE S (Se conocecantidad inicial y el % descontado o incrementado) 1. Pedro compra un jersey del que le descuentan el 25%, siendo el precio que marcaba 30 euros. ¿Cuánto le costó el jersey? 2. En una clase de 40 alumnos 3/5 aprueban matemáticas y el 25% de ellos tienen sobresaliente. ¿Cuántos sobresalientes hay? 3. Si he comprado una bicicleta de precio 635 euros y me hicieron el 15 % de descuento. ¿Cuánto pagué? 4. Las personas con más de 60 años pueden solicitar en RENFE la tarjeta dorada. Con ella hacen un descuento del 25% en todos los billetes de tren. Jesús tiene la tarjeta dorada. ¿Cuánto pagará por un billete cuyo precio ordinario es de 29 Euros? 5. El 2’06 % de la superficie de España corresponde a Navarra. ¿Cuál es la superficie de Navarra si la de España es 504.7882 Km2? 6. La familia Losada ha comprado un sofá nuevo cuyo precio es de 865,45 euros. Si paga al contado el 20% y el resto a plazos, ¿qué cantidad le quedará por pagar?
12 PROBLE MAS PORCE NTAJE S (Se conoce cantidad inicial y lacantidad final) 1. En un anuncio de rebajas, ves: “Pi jamas antes 15’75, ahora 11’95”. ¿Cuál es el % rebajado en el pijama? 2. Un tirador de triples en baloncesto consiguió encestar 6 canastas de 10 intentos, ¿qué porcentaje de canastas consiguió? 3. Luis hace limonada con 12 L de agua y 8 L de zumo de limón. ¿Cuál es el porcentaje de zumo de limón que hay en la limonada? 4. Calcula el tanto por ciento de alcohol en una mezcla de 3 litros de alcohol y 5 litros de agua. 5. En un anuncio de rebajas, ves: Pijamas: antes 15,75 ahora 11,95. Zapatos: antes 39,90, ahora 29,95. Se quiere saber: a) ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente? b) Si no es así, ¿cuál lo está más? 6. Has comprado una impresora que cuesta 359 euros, pero como tienes que pagar el IVA, al final pagas 416,44 euros. ¿Qué tanto por ciento de IVA has pagado? 7. En el instituto hay en 3º de ESO 210 alumnos, y se espera que pasen a 4ª de ESO 170. También hay 160 alumnos en 1º de Bachillerato y se espera que pasen a 2º de Bachillerato 130. ¿En qué curso, 3º ó 1º, se espera un mejor resultado?
PR OBLE MA S POR CE NTAJ E S (Se conocecantidad final y el % descontado o incrementado) 1. En la factura de compras de libros para tercero mi madre paga 132 euros, después de haberle hecho un descuento del 25 %. ¿Cuánto suponía la factura inicialmente? 2. Hemos pagado por un ordenador 1250 euros. Si nos han hecho una rebaja del 15%. ¿Cuánto costaba el ordenador? 3. En una granja, la peste porcina mata al 18% de los cerdos, quedando 164. ¿Cuántos han muerto? 4. ¿Cuánto pesaba una mercancía que, después de perder el 20% de su peso inicial, pesa ahora 16,5 Kg.? 5. ¿Cuánto costaban unos pantalones si después de rebajarnos el 15 % hemos pagado 90 euros? 6. Un comerciante de electrodomésticos vende las batidoras antiguas a 33’25 euros cada una, perdiendo el 5 % del precio original. ¿Cuál era el precio original de las batidoras? 7. En un congreso de cardiólogos el 15% son españoles. Sabiendo que hay 36 médicos españoles. ¿Cuántos son los asistentes al congreso? 8. ¿De cuánto dinero disponemos si sabemos que el 25% de ese dinero es 210 euros? 7. El importe total de una factura de teléfono es de 82’36 euros (16% de IVA incluido) ¿Cuánto se pagaría sin el IVA? ¿Cuál es el importe del IVA? 8. A finales del año 1998 los embalses de Madrid se encontraban al 85% de su capacidad, lo que representa 3 Hm3. ¿Cuál es la capacidad total en litros? 9. En una discoteca han entrado el 25 % más de las personas permitidas. Si han entrado un total de 250 personas, ¿cuál es la cantidad de personas exactas permitidas? 10. Daniel ha tenido que pagar una multa de tráfico con un 10% de descuento por pronto pago. Además ha tenido que pagar 50 euros por la grúa. ¿Cuál era el precio de la multa si abonó 225 euros?
13 MA S
PROBLEMAS
DE PORCENTAJES
1. ¿Qué es mayor, el 20% del 50% de 80 o el 200% del 5% de 50? 2. Un artículo que vale 120 euros, ante una gran demanda sube un 20%. Luego, cuando se reduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes de la subida? 3. En un cultivo de 120.000 bacterias, una enfermedad produce la muerte del 16% de la población. Tratadas las supervivientes con un producto, se consigue aumentar la población en un 14%. ¿Cuántas bacterias forman la población finalmente? 4. Un ordenador cuesta 1172 . ¿Cuánto se deberá pagar teniendo en cuenta que en la tienda le harán un 12% de descuento y posteriormente se cargará un 16 % de IVA? 5. En una familia, la madre cobra un sueldo de 1000 euros y el padre de 1120 euros. Este mes tienen unos gastos fijos de piso, luz, agua y teléfono que ascienden al 25% de sus ingresos. Un 40% se gasta en manutención, un 15% en vestido y calzado y un 5% en gastos varios. Pagan un recibo mensual de 200 euros por la compra de un coche a plazos. ¿Podrán ahorrar algo este mes? 6. Calcula las personas que habrá dentro de 2 años en cierto país si hoy tiene 10800000
habitantes y su índice de crecimiento vegetativo es de 30% AM PLI ACI ÓN 1. Tengo dos billetes de 50 euros y, para comprar una cadena de música, me falta todavía 1/5 del dinero que poseo. ¿Cuánto pagaré por la cadena al contado si me rebajan un 5%? 2. Para fabricar 100 Kg. de pan se necesitan 40 Kg. de agua, 1 / 2 Kg. de levadura, 3 / 4 Kg. de sal y el resto de harina. En la cocción la masa pierde el 15 % del peso. ¿Cuántos kilogramos de harina hay que emplear para obtener 500 Kg. de pan? 3. Carmen dice que sus padres le han comprado un ordenador, una impresora, y un escáner. El ordenador cuesta 995 euros, la impresora 186 euros y el escáner no se acuerda. Sólo se acuerda que ha pagado 1178’5 euros, 16% IVA incluido después de haberle hecho un descuento del 20%. ¿Cuánto vale el escáner? 4. Un librero ha ganado 1968 euros vendiendo 82 ejemplares de una obra, la mitad al precio marcado por catálogo y la otra mitad con una rebaja del 10%. El editor le da una comisión por libro del 25% sobre el precio del catálogo. Halla el precio marcado en el catálogo. 5. Durante la primera cuarta parte de la liga, un equipo de fútbol ha ganado el 40% de los puntos posibles. Qué porcentaje de puntos debe ganar en las 3 / 4 partes restantes para que al finalizar la liga tenga el 70% de los puntos posibles. 6. En una clase, el 50% de los estudiantes lleva gafas. El 30% es rubio y el 10% es rubio y lleva gafas. ¿Cuántos estudiantes no son rubios y no llevan gafas? 7. En las olimpiadas de 1948, Olga Gyarmati saltó 5,40 m en longitud y ganó la medalla de oro. En las olimpiadas de 1988, 40 años después, Jackie Joymer saltó 7,20 m. Para ganar la medalla de oro. Si el porcentaje de aumento siguiera manteniéndose, ¿qué habría que saltar para ganar la medalla de oro en longitud en las olimpiadas del año 2028? 8. A Pedro le entregaron la factura del arreglo de su moto, pero se le mojó con la lluvia borrándose el cos te de las piezas, quedando: Coste de las piezas…… + IVA 12% ---- 21’6€. Mano de obra---- 75 €
+ IVA 6 % 45 € Total 321’6 €. ¿Cual fue el coste de las piezas?
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B) REGLAS DE TRE S PROBLE MAS REG LA DE TRES SI MPLE (DIRE CTA E I NVERSA) 1. Cinco excursionistas necesitan 35 Kg de comida. ¿Cuántos Kg. necesitarán once excursionistas? 2. Cuatro alumnos necesitan 150 euros para ir 5 días de excursión ¿Cuántos días podrán ir seis alumnos con 600 euros ? 3. Un granjero con 45 gallinas tiene maíz para alimentarlas 30 días. Si vende 20 gallinas, ¿cuántos días podrá alimentar a las restantes? 4. Para cercar una finca hacen falta 800 postes colocados cada dos metros. Si sólo se dispone de 500 postes, ¿a qué distancia deben colocarse? 5. Se ha excavado la mitad de un foso en 35 días con 119 obreros. Habiéndose aumentado éstos en 25 obreros, ¿en cuántos días acabarán? 6. Si el Kg de naranjas cuesta 0’60 Euros, ¿cuánto costará 10 Kg de naranjas?¿Cuántos Kg. nos darán por 4’80 Euros? 7. Una ganadera tiene pienso para alimentar 320 vacas durante 45 días. Pero debe darles de comer 60 días. Vende las que no puede alimentar. ¿Cuántas vacas vende? 8. Jorge tarda 25 minutos de casa al colegio, dando 100 pasos por minuto. Un día se retrasa al salir y tiene que llegar al colegio en 15 minutos. ¿Cuántos pasos deberá dar por minuto? 9. Cuatro chicos en una acampada de 10 días, han gastado en comer 150 euros. En las mismas condiciones, ¿cuánto gastaran en comer 6 chicos en una acampada de 15 días? 10. En una cafetería, un camarero ha observado que por cada 100 Kg de naranjas se obtienen 40 litros de zumo. ¿Cuántos Kg de naranjas hacen falta para obtener 150 litros de zumo? ¿Cuántos litros de zumo dan 750 Kg de naranjas? 11. En un campamento de refugiados hay 4500 personas y tienen víveres para 4 meses y medio. Se acuerda trasladar a 500 personas a otro campamento cercano. ¿Para cuánto tiempo tendrán víveres los refugiados que se quedan? 12. En un comercio han hecho esta oferta: PAGUE 3 Y LLEVE 4 Una señora ha comprado 4 litros de aceite por 12,5 euros a) ¿Cuánto le ha costado un litro de aceite? b) ¿Cuánto le habría costado un litro de aceite sin la oferta? c) ¿Cuánto se ha ahorrado en su compra? 13. Para hacer una casa en 280 días necesitamos 8 albañiles, si queremos terminarla en la mitad de días, ¿cuántos albañiles harán falta? 14. Para hacer arroz con leche para 6 personas se necesitan 2 litros de leche y 1 / 4 de arroz.¿ Cuánto se necesitarán para 10 personas? 15. Para pagar el autobús para la excursión, 30 alumnos deben pagar 18 euros cada uno. ¿Cuánto pagarían si fuesen 40 alumnos? 16. Un ganadero tiene pienso para alimentar a sus 440 animales durante los 80 días de invierno. Al trasladarlos a las naves, se le murieron 20. ¿Cuántos días mas podrá alimentar a las que le quedan?
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17. El Kg de naranjas cuesta 0’60 euros. ¿Cuánto costará 10 Kg de naranja?. ¿Cuántos Kg nos darán por 4’80 euros? 18. Se sabe que los dos quinceavos de la remolacha se convierten en azúcar. ¿Cuánta remolacha hay que adquirir para obtener 2376 Kg de azúcar? 19. Un automovilista llega a una gasolinera con el depósito vacío y 54673 Km en su cuenta kilómetros. Se gasta 40 euros en gasoil y continúa su viaje. Cuando vuelve a tener el depósito vacío, su cuenta kilómetros marca 55273 Km. ¿Cuál es el consumo de combustible cada 100 Km recorridos, si sabemos que el litro de gasoil cuesta 0’66 euros? 20. Los ingredientes de una receta de galletas son: 1 vaso de mantequilla; 3 huevos; 2’5 vasos de azúcar; 2 vasos de harina. Sólo tenemos 2 huevos. ¿Cómo debes modificar los restantes ingredientes de la receta para poder hacer galletas?
PROBLE MAS REGL A DE TRE S COMPUESTA 1. Sabemos que 16 pintores trabajando 8 horas al día durante un mes, terminan un trabajo de 60 pisos. ¿Cuántos pintores harán falta trabajando 6 horas diarias durante 20 días para pintar 60 pisos?. 2. Veinte mecánicos han revisado 120 coches trabajando 8 horas diarias durante 14 días. ¿ Cuantos días necesitan 24 mecánicos, para revisar 90 coches, si trabajan 7 horas diarias 3. ¿Cuánto tiempo emplea una persona en recorrer 720 Km andando 8 horas diarias si en 15 días ha recorrido 405 Km andando 9 horas diarias. 4. Marchando con una velocidad media de 40 Km por hora, un barco necesita 9 días y 14 horas para recorrer la distancia entre dos puertos. ¿Cuántas horas tardará otro barco navegando a 47 Km. por hora? 5. Para pinta una pared de 8 m de largo y 2 m de alto se han utilizado 5 latas de 5 Kg de pintura cada uno. ¿Cuántas latas de 25 Kg de pintura se necesitará para pintar tres paredes de 16 m de largo por 2’5 m de ancho ? 6. La habitación de un hotel cuesta por persona y noche 27 euros. ¿Cuánto ha de pagar una familia de 4 personas por 3 noche si utilizan 4 habitaciones? 7. Para pintar 60 pisos 16 pintores trabajan 30 días a razón de 8 horas diarias, ¿cuántos pintores harán falta para pintar 60 pisos si queremos terminar el trabajo en 20 días y trabajando desde las 8 de la mañana hasta las 14 horas? 8. El alumbrado de una calle está compuesto por 10 farolas que, funcionando 11 horas diarias, tienen un consumo de 1’5 Kw / h. Se estropean tres farolas y para suplir la falta de luz, se da mas potencia aume ntando el consumo a 2’3 Kw / h. ¿Cuántas horas deben estar funcionando para que el gasto del Ayuntamiento en luz sea el mismo? 9. Marchando con una velocidad media de 40 Km por hora, un barco necesita 9 días y 14 horas para recorrer la distancia entre dos puertos. ¿Cuántas horas tardará otro barco navegando a 47 Km por hora? 10. Una persona leyendo 4 horas diarias, a razón de 15 páginas por hora, tarda en leer un libro 10 días. Si leyendo a razón de 10 páginas por hora tardase 20 días, ¿cuántas horas diarias leería? 11. Transportar 720 cajas de libros a 240 Km cuesta 4320 euros. ¿Cuántas cajas iguales se han transportado a 300 Km si hemos pagado 6187,50 euros? 12. Tres trabajadores construyen una zanja de 1 m de ancho, 2 m de profundidad y 20m de largo. ¿Cuánto m de largo construirán cinco trabajadores si la zanja tiene 3m de profundidad y 1´5m de ancho?
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C) GRI F OS, I NTER É S Y RE PARTOS PROPORCI ONALE S MOD E LO G RI F OS 1. Un grifo llena un depósito en 6 minutos y otro en 3 minutos. Si los dos grifos están abiertos a la vez, ¿cuántos minutos tardarán en llenarlo? 2. Un grifo llena un depósito en 2 horas, y otro grifo en 3 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si se abren ambos grifos a la vez? 3. Luis y Sandra realizan las mismas tareas domésticas un día cada uno. Luis emplea 3 horas y media y Sandra, 4 horas. ¿Cuánto tiempo emplearían si las realizaran los dos juntos? 4. Un recipiente se llena con un grifo en 4 horas; otro grifo solo lo llena en 2 horas y un tubo de desagüe lo vacía en 3 horas. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse el recipiente si se abren el tubo de desagüe y los dos grifos? 5. Dos grifos llenan un depósito en 6 horas. Uno solo, tardaría 10 horas en llenarlo, pero no funciona. ¿Cuántas horas debe estar abierto el otro grifo para que el depósito se llene? 6. Tres grifos abiertos a la vez llenan una piscina en 24 horas. ¿Cuánto tardarían en llenarla 8 grifos iguales a los anteriores Una bañera tarda en llenarse tres horas con el grifo del agua caliente abierto y dos horas con el grifo del agua fría, una vez llena y sin caer agua tarda en vaciarse cuatro horas. Si abrimos a la vez los dos grifos y el desagüe, ¿cuánto tiempo tarda en llenarse? 7. Tres escavadoras hacen un trabajo en 20, 24, y 15 días respectivamente. ¿Cuánto tiempo tardarán las tres juntas? 8. Tres obreros tarda, cada uno, en hacer una obra 7, 14 y 12 días. ¿Cuánto tardarán los tres juntos? 9. Un grifo abierto 9 horas durante 8 días ha arrojado 5400 litros. ¿Cuántos litros arrojará durante 18 días a 8 horas diarias?
MOD E LO I NTE RÉ S SI MPL E 1. ¿Cuánto tiempo hay que tener colocadas 3000 euros al 5 % para que se conviertan en un millón? 2. Calcula el interés que producen 7200 euros depositados en el banco al 6% durante 200 días 3. A que tanto por ciento se han depositado 150.000 euros en un banco, si en dos años ha producido unos intereses de 9.125 euros? 4. Calcula el interés que producen 3500 euros al 5% durante 3 años 5. Un capital de 7250 euros se ingresa al 5’25% durante 3 años. ¿Qué interés se obtiene al final del periodo? 6. ¿Qué capital prestado al 5% de un interés anual de 120 euros? 7. ¿A qué porcentaje se deben depositar 4500 euros para obtener un interés anual de 90 euros? 8. ¿Por cuánto tiempo debe ser prestado un capital de 72000 euros, al 5,5% anual, para que produzca un interés de 12400 euros? 9. ¿Qué es preferible, comprar una casa que cuesta 120000 euros, y luego alquilarla por 6500 euros al año, o invertir el importe de la casa al 5,5 %?
17 RE PARTOS PROPORCI ONALES
1. En una carrera se reparte 5.000 En partes inversamente proporcional a los tiempos empleados a los tres primeros. Si los tiempos fuero de 50, 52 y 54 segundos, ¿qué premio corresponde a cada atleta? 2. Tres sastres compran un lote de piezas iguales que cuesta 576’80 . El primero se queda con dos piezas, el segundo con 5 y el tercero con 7. ¿Cuánto debe pagar cada sastre? 3. Tres amigos se reparten 720 caramelos en partes proporcionales a sus edades, que son 10 años, 12 y 14, respectivamente. ¿Cuántos caramelos les tocan a cada uno de ellos? 4. Entre tres pintores han pintado una casa y han cobrado 4160 euros. El primero ha trabajado 15 días, el segundo 12 días, y el tercero 25 días. ¿Cuánto dinero tiene que recibir cada uno? 5. María, Paloma y Sara han cobrado por un trabajo 244 euros. María ha trabajado 7 horas, Paloma 5 horas y Sara 4 horas. ¿Qué le corresponde cobrar a cada una, proporcionalmente a su trabajo? 6. En una prueba ciclista se reparte 16650 euros entre los tres primeros corredores, de modo inversamente proporcional al tiempo que han tardado en llegar. El primero tarda 12 minutos, el segundo 15 minutos y el tercero 18 minutos. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 7. Un padre reparte un premio de lotería de 9300 euros en proporción inversa a las edades de sus hijos, que son: 6, 8, 12 y 18. Halla lo que le corresponde a cada hijo. 8. Un empresario reparte una paga de beneficios de 990 euros entre sus tres empleados de forma inversamente proporcional a los días que faltaron al año. El empleado A faltó 3 días; el B 4 días, y el C, 6 días. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 9. Dos ganaderos alquilan un terreno para pasto de sus dos manadas por 3500 euros. La manada del primero la componen 40 vacas, y la del segundo, 300 ovejas. ¿cuánto ha de pagar cada uno si cada vaca come como 10 ovejas? 10. Dos leñadores aceptan cortar madera por 1500 euros. Uno, con tres ayudantes, trabajó 5 días; el otro, con 4 ayudantes, trabajó 6 días. ¿Qué dinero debe recibir cada leñador?
PROBLE MAS DE AM PLI ACI ÓN. PROPORCI ONALI DAD.(PARA LOS ALUMNOS DE 2ºESO)
1. Un recién nacido aumenta en el primer mes la cuarta parte de su peso y en el segundo mes gana las dos terceras partes del aumento del primero. Al fin del segundo mes pesa 5 Kg y 100 g. ¿Cuánto pesó al nacer? 2. Se compra un coche de 36000 euros, pagando los 2/5 al contado y el resto con un aumento del 18% en mensualidades durante 2 años. ¿Cuánto corresponde pagar cada mes? 3. Dos ganaderos alquilan un terreno para pasto de sus dos manadas por 3500 euros. La manada del primero la componen 40 vacas y la del segundo, 300 ovejas. ¿Cuánto ha de pagar cada uno si una vaca come como 10 ovejas? 4. La producción de cebollas disminuye en un 15% y la de zanahorias aumenta en un 20%, en qué relación queda la producción? 5. Tres maestros albañiles realizan una obra. Uno con dos peones, trabajó 20 días; otro, con un peón, trabajó 30 días y el tercero, con cuatro peones, trabajó 10 días. ¿Qué dinero debe recibir cada maestro albañil? 6. Una excursión tiene una relación chicos-chicas de 5 a 3. Se añaden 3 chicos más y la relación pasa a ser 2 a 1. ¿Cuántas personas hay en la excursión? 7. Se reparte un número N, en partes inversamente proporcionales a 4, 5 y 9. La parte correspondiente a 4 es 900. ¿Qué les corresponde a los otros dos números y qué número es N?
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TEMA 6: UNIDADES Objetivo Unidimensionales ( masa, longitud, capacidad)
1. Efectúa: 54 Km = 8000 cg = 0’53 cg = 342 Dl = 600 cm = 567 ml = 7’5 m x 10 = 9’78 x 100 Dg = 0’89 m x 2000 = 1 / 4 Hl = 3 /4 Kg = 4600 cg =
Dm Hg g l hm dl Dm Kg Km l g Hg
Recuerda:
Un número con una sola unidad de una magnitud se llama incomplejo 8 m. Un número con varias unidades de una magnitud se llama complejo 7 Kg 8 g 0’9 cg 2. Reduce a incomplejo de metros los complejos dados: a) 3 Km 9 Hm 7 Dm 6 m = c) 37 Km 4 Dm 4 dm 5 cm 7 mm
b) 6 Hm 2 m 4 dm 6 cm 5 mm = d) 6 Km 9 Dm 6 m 8 dm 5 mm =
3. Completa cada casilla Kl 24
Hl
Dl
l
dl
cl
36 4’5 3750 2400 Objetivo Superficie
1. Efectúa
72 Km2 = 567000 dm2 = 2 Km 2 x 10000 = 23000 mm2 = 62 x 104 m2 = 0’798 Dm2 = 94’8909 Km2 = 0’98 Hm2 x 100 =
2. Transforma en complejo: a) 632’89 m2 c) 5’00987Km
Hm2 Km2 m 2 m2 Dm2 cm2 m2 m2 b) 34’90088 cm2 d) 15468’6500987 Hm
19 3. Ordena de mayor a menor ( , ): a) 36’246 Dm2, 3654’8 m2, 0’35643 Hm2 b) 64’783 m2, 0’785309 Hm2, 6’4763 Dm2,
647’63dm2
4. Escribe en incomplejo de cm2
a) 74 Dm2 3 m2 6 cm2 = b) 31 Hm2 6 Dm2 14 dm2 = c) 4 Dm2 17 m2 9 dm2 3 cm2 =
5. Efectúa la siguiente resta de números complejos: (pásalo primero a incomplejo) 84 Hm2 67 m2 28 m2 - 17 Hm2 43 m2 15 cm2 = 4 Dm 2 69 m2 4 dm2 - 2 Dm2 75 m2 17 cm2 =
6. Realiza el siguiente producto y lo pasas después a incomplejo de Dm 2 35’8009 cm2 x 102 =
Objetivo “ Unidades agrarias”
1. Efectúa
(hectárea
2
Ha = Hm , área
678 m2 = 7 Ha x 100 = 0’98 ca x 10 = 35 Ha = 4500 m2 = 5 Km 2 =
2
a = Dm , centiárea
áreas Km2 m2 m2 Ha Ha
2. Coloca el signo >, < ó = para que la siguiente expresión sea correcta; 4 Ha 17 a 24 ca ........ 4172400 dm 2
3. Ordena de mayor a menor ( , ): 453 Dm2, 4’53 a, 0’453 Hm 2, 453000 m2, 45’3 Ha, 453 x 10 mm2, 0’000453 Km2, 0’00453 a Objetivo “ Unidades de tiempo”
1. Efectúa 148 horas = 720 minutos = 133 días = 3 horas y cuarto = 72 meses = 5 días y tres horas = tres días y medio = 1.543 d. C. = 10 0 a. C. = 987 a. C. =
días horas semanas minutos años minutos minutos siglo siglo siglo
2. Expresa en forma incompleja de segundos: a) 4 horas, 37 minutos, 48 segundos = b) 1 día y 300 segundos = c) 1 año, 4 días, 33 minutos, 54 segundos = d) 3’ 56097 horas = e) 27’09845 horas = f) 132’45 minutos = 3. Realiza las siguientes operaciones: (23 horas 20 minutos - 15 horas 45 minutos 37 segundos) :5 22 horas 29 minutos 15 segundos + 3 horas 39 minutos 42 segundos): 12
ca
2
=m)
20 Objetivo “ Unidades de ángulos”
1. Efectúa 58º 33’ 55’’ 12º 43’ 40’’ +
26 º 3’ 24’’ º 25 33’ 49’’ --
2. Expresa en grados: a) 45608’ = 3.
34 º
b) 7200’’ =
Expresa en segundos: a) 4 º =
35’
c) 8737’’ =
b) 5º 19’ 23’’ =
Objetivo Unidades
1. Efectúa 25 Hm= 3 l= 2´5Dg = 12 Kg = 250 Dm = 4´5Hl = 2600 m2 = 2540 cm3 = 65,8Hm3= 9600 cm = 50000 dm = 36 Km. = 200 gr. 3 Hm = 0´005 Tm 36 Ha = 2600 cm 500 gr. = 300000 Hm 367’6004 Km = 1 / 4 Kg = 0’0545 Km x 1000 = 90807’9 cm = 1 / 4 Kl = 56 mg = 3’56 Hm2 = 1 / 4 m2 = 4’56 x 105 m2 = 36090’8 cm2 = 0’00078 Km2 = 4 x 106 mm2 =
cm Dl cm3 gr Km. dl Km2 m3 Kg(H2O) m Km m Kg Kl gr. m l Kg. m cm g Hm Dm dl g Km2 dm2 Km2 m2 dm2 dm2
2. Pasar a complejo: 1456845’0009 dm2 3. Reduce a incomplejo de Hm2:
56’’
34 Km2 22 Dm2 6 m2
4. Efectúa la siguiente resta de números complejos: (pásalo 1º a incomplejo) 65 km2 8 Dm2 15 m2 45 dm2 6 mm2 44 Hm2 6 Dm2 6 m2 67 cm2 6 mm2
7
e) 4 rectos = c) 62 o 76” =
21 5. Efectúa
6. Efectúa
43 Hm2 = 234 Ha = 235 m2 = 12000 Km2 = a) 12 h 23’ 13” - 6h 45’ 56”
áreas Km2 Ha áreas b) 48 horas 33’ 56” : 7
7. Reduce a incomplejo de dg: 45 Kg 4 Dg 76g 67cg 8. Indica los siglos correspondientes a : 348 antes de Cristo, 1.967, 549, 1.247 antes de Cristo 9. Expresa en grados 5640” 10. Expresa en minutos 3 horas 360” 11. Efectúa 650 m = 36000 dm3 = 0´0002 Tm = 650 Ha = 1000000 m2 = 3’6 l = 4’90 dm3 = 600 Hm = 0´0005 Hm3 = 600000 cl = 76500 Kg = 6700 Tm = 8000 cm3 = 56 h = 80 Ha = 6 Hm3 = 2 Kg/m3 = 3’2 m/sg = 70 Hm2 = 500 dm3 = 0’06 Kg = 70.000 Kl = 134 dm2 = 300 Tm = 12. Efectúa
(Objetivo: Cambio misma magnitud) 10000 m3 = Hm3 500 Hm2 = Areas 300 Ha = Km2 600 m3 = Hl 9 2 x 10 gr = Tm 700 Hl = m3 4 2 x 10 dl = Hl 0´008 Hl = g
13. Efectúa (Objetivo: Magnitudes equivalentes) 0´005 Hm3 = Tm 23’4 Tm = m3 0´785 Hg = Dl
Hm Dm3 g Km2 Áreas Hl mm3 dm Hl m3 Kl Hm3 l min Km2 Tm gr/cm3 Km/h Ha Hm3 gr m3 Km2 Hm3 (de agua)
22 1.980 Kg = 127 m3 =
Dm3 Hl
14. Efectúa (Objetivo: Cambio misma magnitud) 200 m2 = mm2 3 0376 Hm = dm3 5.300 Ha = Km2 3 600.000 cm = m3 7 x 107 gr = Tm 2 700 m = Km2 3 x 106 cg = Kg 0´008 Hl = dl 15. Efectúa (Objetivo: Magnitudes equivalentes) 0´03 Hm3 = Tm 345 Kl = m3 0´785 g = cl 2.345 Hg = Dm3 127 m3 = Hl 16. Efectúa
(Objetivo: Cambio misma magnitud) 0’376 Hm3 = dm3 5.300 Ha = Km2 7 7 x 10 gr = Tm 700 m2 = Km2 6 3 x 10 cg = Kg 0´008 Hl = dl 17. Efectúa (Objetivo: Magnitudes equivalentes) 0´03 Hm3 = 345 Kl = 0´785 g = 2.345 Hg =
Tm m3 cl Dm3
18. Cambia las unidades según se pide: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o)
65 dam =............................... 12,1 m=................................ 67,95 m=................................ 765 mm =................................ 35,2 ha =................................ 23 cm2 =................................ 0,26 dm2 =............................ 1,23 hm2 =................................ 59 mm3 =................................ 32,4 m3 =................................ 163 mm3 =................................ 0,44 Q =................................ 163 mg =................................ 5,4 g =................................ 3,27 kg =................................
cm mm km hm a dam 2 dam 2 a hm 3 hm 3 km 3 mg kg Q T
23 19. Realiza los siguientes cambios de unidades: 85 Hm ............................................................. 3’78 Km2…………………………………….. 104’24 l……………………………………… 7’14 dm……………………………………… 75.00.0 Hm3…………………………….....
cm dm2 mm3 Hm m3
20. Cambia las unidades según se pide: a) 0,03 m + 1 dam + 0,0567 dm =...................... hm b) 678 mm + 345 cm +8 m =.............................. km c) 53 ha + 53 cm2 =............................................. dam 2 d) 16 cm2 + 35 mm2 + 0,56 dm2 =....................... ha e) 43 dam3 + 580m3 =…………………………..L e) 3 Q + 25300 mg =........................................... kg f) 1632 mg + 69800 g =...................................... kg g) 37,8 Kg + 0,2 Q =........................................... T h) 134 dm3 + 4222 cm3 + 75552 mm3 =………..m3
PROBLE MAS DE UNIDADES 1. Este año han ardido en Andalucía 1.500 Áreas de monte. ¿Cuántos m2 son? 2. Para embotellar agua se almacena en un estanque de medidas: 15m de largo, 5m de ancho y 2m de profundidad. ¿Cuántos Hm 3 de agua caben? ¿Cuántas garrafas de 25 l se pueden llenar? ¿Cuántos kg pesa todo el agua acumulada? 3. Queremos construir una alfombra de 1400 cm de largo y 770 cm de ancho con paños cuadrados. ¿Cuanto medirá el lado de cada paño? ¿Cuántos paños habrá a lo largo y a lo ancho? 4. Pedro compra 900.000m2 de tierra de regadío para cultivarla. Si necesita mensualmente 5.000 l por Hm 2. ¿Cuántos m3 de agua gasta al año? ¿Cuántas Tm pesa el agua anual gastada? 5. Vamos a pintar una pared de 12 metros cuadrados. Si usamos 27Kg de pintura, ¿cuántos kilogramos gastaré por cada metro de pared?. ¿Cuántos Kg necesitaré para una pared de 21 metros cuadrados?. ¿Cuántos metros cuadrados podré pintar con 15Kg? 6. Juan sube 5 escaleras. Pedro baja 2 escaleras. Si cada escalera tiene 3 metros de altura calcula la altura que separa a Juan y a Pedro. 7. Iván recorre 1Km y 6,2hm para ir de su casa a la de Manuel. Después va a casa de Amelia, para lo que recorre 1Km y 4,8hm más. Por fin regresa, por el mismo camino, a su casa. ¿Cuál es la distancia total recorrida por Iván, en metros? 8. Al medir la superficie de tres fincas colindantes se ha obtenido: A =7,5 áreas B = 2350 m2, C)=0,45 ha Si se juntan las tres ¿cuál es, en metros cuadrados, la superficie resultante?
24
TEMA 7: E CUACI ONE S 1. RESOLUCI ÓN DE ECUACI ONES 1. Expresa en lenguaje simbólico las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) y)
Número de zapatos que hay en una habitación con “x” personas Número de dedos de “x” manos Número de orejas en una habitación de “x” personas Número de personas que hay en una habitación después de llegar dos Número de cromos que me quedan después de perder 12 en el juego Número de lectores en una biblioteca después de irse 8 La edad de un padre es triple de la de su hijo Un número más dos unidades Número de patas en una cuadra de caballos Un número menos dos unidades Restar la mitad de un número al 2 Añadir 2 al doble de un número El doble de un número menos su mitad La mitad de las manzanas de una cesta Dos números pares consecutivos. El triple de un número menos 3 unidades La cuarta parte de una cantidad de dinero más 50 €. Distancia recorrida por un coche en 6 horas. Dos ángulos de un triángulo se diferencian en 20º. La edad de pedro hace 4 años La edad de Juan dentro de 16 años El doble de mi edad menos 2 años La mitad de un número menos su tercera parte Dos quintos de un número Un ciclista ha recorrido 87 Km. ¿Cuántos le faltan para llegar a la meta?
2. Despejar la incógnita a. 3 x = 5 b. 5 x = 10 c. 8 x = 6 d. 26 x = 13 e. 4 x = 26 f. 33 x = 192 g. 5 x = 0 h. 4 x = - 9 i. 3 / 5 x = - 7 j. 7 x = 21 / 5 k. - 3 x = 7 / 4 l. 4 / 7 x = - 6 / 5 m. 5 / 8 x = - 5 5 x 3 n.
5 4 3 x 7 o. 2 4 3 x 16 p. 8 7
25
3. Cambiar de signo, si el coeficiente es negativo, y despejar la incógnita a. - 3 x = - 6 b. - 5 x = 10 c. - x = 9 d. - 4 x = - 18 e. -21 x = 1 f. - x = 0 g. - x = -1 4. Reducir términos semejantes y despejar la incógnita a) 2x + 6 = x – 5 b) 4x – 6x – 1 = -3x + 6 c) 3x – 2 = 4x + 7 d) 6x – 6 = 5x + 1 e) 3x + 2 = 2x – 1 f) 2x + 5 = 17 – 4x 5. Quitar denominadores ( Cuidado si hay fracciones con signo menos delante), transposición de términos, reducir términos semejantes y despejar la incógnita a) 4x – 6 = 3x + 9 b) 2 x _ x – 2 = x – 4 6 18 5 3 d) 5x + 3 = 3x + 1 e) 3x + 5x = 3x - 1 2 2 2 3 4 g) 2x – 3 - 4x – 1 = 3x + 1 + 6x – 2 2 2 4 6
c) x + 1 _ x – 1 = x 4 6 7 f) 3 – 2x = x 4
6. Quitar paréntesis, quitar denominadores ( Cuidado si hay fracciones con signo menos delante), transposición de términos, reducir términos semejantes y despejar la incógnita. a) 3 (x – 3) + 4 (x + 1) = 6x + 6 b) 2 (x – 6) + 5 (x + 3) = 6 (x + 5) 3 c) 6 (x + 4) – 4 (x + 5) = x – 6 d) e) f) g) h) i)
5 (x + 7) – 3 (x + 6) = - x + 4 2 3 3 (2x – 6 ) + 4 (x + 5) = 3 (3x + 9) 3 6 2 3 (x + 2) + 2 (x + 1) = 4 (x +7) 5 x + 1 + 2 ( x – 2) = 2 ( x + 1) 3 3 ( x – 1) + 2 (x – 2) = 18x + 3 3 15 2 5 (x + 2) + x – 1 = 16x + 30 2 3 6
7. Resuelve las siguientes ecuaciones a) 2x + 3 (x – 1) = 6 (x – 3) + 13 b) x – 4 (x – 8) = 3 (x – 5) + 5 c) 5 (x + 9) – 3 (x – 7) = 11 (x + 2) - 10 d) 4 (5 – 6x) = 2 (8x + 3) + 4
26 e) 2 (3x – 8) = (6x + 4) – 15 ·2x f) 8 + [3 + 2x – (3x – 9)] = 0 g) [x – (4 + 2x)] - 2(4x + 3) = 1 h) x + 2 _ x + 3 = x + 4 _ x – 5 2 3 4 5 i) 3 – 2x _ 4 – 5x = 7x – 5 5 3 2 2 x3 j) 4 3 x
5
k) x + l) m) n) o) p) q) r) s) t)
2
2 1 x = 3x – 3 6
1 3 2 (5 x) x 2 3 3 4 2( x 2) 11 3( x 1) x 6 3 2 5 6 x (3 x 10) 2 x 2( x 3) 4 x x 2 x6 2 3 5 6 x 2 5 x 11 4 1 2 3 x 4 3 x x 1 1 x 5 4 2 2 6 x 3 x 10 2 x 2x 3 3 x 6 3 x x 1 5 x 4 2 6 12 18 x 1 2 x 1 2 x 2 1 6 3 2
2. PR OBLE MAS DE E CUACI ONE S TI PO I : E n un corral tenemos 61 animales, entre conejos y gallinas. Sabemos que 37 de ellos son conejos. ¿Cuántos animales hay de cada clase? ¿C uántas patas hay? TI PO I I : Javier y Esther fueron de visita a la granja de su abuelo. Durante su estancia vieron un corr al con conejos y gallinas, Javier dijo haber contado61 animales y E sther 196 patas. Determina el número deconejos y gallinas.
2.1 PROBLEMAS DIRECTOS 1.
Halla tres números pares consecutivos cuya suma sea 24
2.
Si el perímetro de un hexágono mide 54 m. ¿Cuánto mide su lado?
3.
Un número más el doble del siguiente es 26. ¿Cuál es ese número?
4.
La suma de dos números es 32 y uno de ellos es igual a la séptima parte del otro. Halla los dos números
27 5.
Cervantes nació en el siglo XVI y la suma de las cifras del año de su nacimiento es igual a 17. ¿En qué año nació el ilustre autor de Don Quijote de la Mancha si la cifra de las unidades es 7?
6.
Reparte 105 euros entre 5 personas, de modo que a cada una le correspondan 5 euros más que a la anterior.
2.2 PROBLEMAS DE FRACCI ONES MEDI ANTE E CUACIONES 1. ¿Cuánto costó un libro, si 1/5, más 1/6, más 1/7 de su precio, menos 2 euros, suman la mitad de su precio? 2. Los 2/3 más los 2/9 de un número valen 80, ¿cuál es ese número? 3. Tres socios forman una empresa. El primero aporta los 2/5 del capital, el segundo 1/3, y el tercero 12000 euros. Halla el capital de la empresa y lo que ha aportado cada socio 4. En unos exámenes son eliminados en el ejercicio escrito la cuarta parte de los alumnos presentados, y en el siguiente, el oral, la quinta parte de los que quedaron. Aprobaron los dos ejercicios 774 alumnos. ¿Cuántos alumnos se presentaron y cuál es el % de aprobados? 5. Con la sexta parte del dinero que tenía le compré un regalo a mi hermana. Con la mitad de lo que me quedaba compre un libro y con las 18 euros restantes compré un CD ¿Cuánto dinero tenía? 6. Un agricultor vende 1/3 de su cosecha de vino; después embotella los 4/7 de lo restante. Le quedan 120 Hl, ¿cuántos hectolitros de vino había cosechado? 7. Un muchacho dijo a otro: “Adivina cuántos euros tengo sabiendo que la tercera parte de ellos menos uno es igual a la sexta parte”. ¿Cuánto dinero tenía? 8. El camino que un empleado recorre para ir a la oficina es tal que aumentado en sus 3 / 4 da 7 Km. ¿Cuánto mide el camino? 9. De un barril lleno de agua se saca la mitad de contenido y después un tercio del resto, quedando en él 200 litros. Calcula la capacidad del barril. 10. Un barco carga en Barcelona 1/12 de la capacidad de sus bodegas, en Valencia 1/6 y en Cartagena 1/8. ¿Qué parte de la bodega podrá cargar en Sevilla? ¿Cuántos litros carga en cada puerto si la capacidad de la bodega es de 48.000 litros?
2.3 PROBLEMAS DE GEOMETRÍ A
1. Un campo tiene forma rectangular y su perímetro es de 784 m. Calcula su área sabiendo que la base mide 104 m más que la altura. 2. La base de un rectángulo es 4 veces mayor que su altura. Si el perímetro de dicho rectángulo es igual a 40 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo. 3. Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro es de 272 m y que el largo es los 5/3 del ancho. 4. Con una cuerda de 120 cm formamos un rectángulo cuyo lado mayor es el triple del lado menor. Halla el valor de los lados. 5.
El perímetro de un rectángulo es 40 cm. Si sabemos que la base es doble que la altura. Cuál es su área
6.
El perímetro de un triángulo isósceles es 180 cm. Cada uno de los lados iguales es 30 cm mayor que la base. ¿cuánto mide cada lado?
28
2.4 PROBLEMAS POSIBLES DE PLANTEAR MEDIANTE SISTEMAS 1. Un canaricultor vende los canarios a 9 euros cada uno y las canarias a 3,6 euros, contabilizando una venta de 342,5 euros. Si las canarias exceden en 5 al doble de los canarios, ¿cuántos hay de cada sexo? 2. En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de patas 4280. Si disminuimos en 70 el nº de cerdos, el nº de gallinas será el triple que éstos. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay? 3. Un yogur de frutas cuesta 10 céntimos más que uno natural. ¿Cuál es el precio de cada uno si he pagado 2’ 6 € por cuatro naturales y seis de fruta? 4. En una clase hay 60 alumnos entre chicos y chicas. Usan gafas el 16% de los chicos y el 20% de las chicas. Si el nº total de alumnos que usan gafas es 11. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase? 5. Jaime y su hermana van un sábado al cine y otro al circo; en total se gastan 250 euros. ¿Cuánto cuesta cada entrada si la entrada del cine vale 3 euros menos que la del circo? 6. En un test de 30 preguntas se obtiene 0’75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0’25 puntos por cada error. Si mi nota es 10’5 puntos . ¿Cuántos aciertos y errores he tenido? 7. Un comerciante ha vendido en un día cierto nº de artículos A a un precio de 12 euros, y un nº de artículos B a 9 euros. Al final del día tenía en caja un total de 72 euros. Vendió un total de 7 artículos entre A y B. ¿Cuántos vendió de cada clase? 8. En una prueba de 20 preguntas, dan 5 puntos por cada respuesta correcta y quitan 3 puntos por cada fallo. ¿Cuántas preguntas ha acertado Manolo si su puntuación ha sido 68? 9. Pedro y Juan emplean 360 euros cada uno en comprar libros. El precio de los adquiridos por Juan, excede en 30 euros al de los comprados por Pedro, quien ha comprado dos libros más que Juan. Averiguar el precio de los libros adquiridos por Juan y por Pedro. 10. El doble de las horas transcurridas es igual al cuádruplo de las que quedan por transcurrir. ¿Qué hora es? 11. La suma dos números con el anterior del mayor es 419. Si el doble del mayor es 5 veces el menor. ¿Cuáles son dichos números? 12. Rafael y Ángel tienen 45 manzanas. Dice Rafael a Ángel: “Dame 5 manzanas y así tendré el doble que tú”. ¿Cuántas tienen cada uno? 13. Un librero vendió 84 libros a dos precios distintos: unos a 45 euros y otros a 36 euros, y obtuvo de la venta 3105 euros. ¿Cuántos libros vendió de cada clase? 14. Un padre para estimular a su hijo a estudiar matemáticas le dice: por cada ejercicio que resuelvas bien te daré 0’70 euros y por cada uno que hagas mal me darás 0’50 euros. Después de hacer 25 ejercicios, el muchacho se encuentra con 5’50 euros, ¿cuántos ejercicios ha resuelto bien? 15. En un grupo de 312 personas hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay? 16. Una madre compra 3 pantalones y 2 camisetas por 105 euros. Si cada pantalón cuesta el doble que una camiseta. ¿Cuánto vale cada prenda? 17. El doble de la suma de dos enteros es igual a – 64. Uno de ellos es igual al triple del otro. ¿Cuáles son los dos números?
29
18. Reparte 10000 euros entre tres personas de manera que la primera reciba 450 euros más que la segunda y ésta 1000 más que la tercera. 19. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones de cada tipo tiene el hotel?
2.5 PROBLEMAS DE EDADES 1. El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro dan los 44 años de su padre, y dentro de 2 años la edad de Juan será el doble que la de Pedro. ¿Cuántos años tienen ahora? 2. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace 5 años la edad del padre era triple de la del hijo. ¿Cuántos años tienen cada uno? 3. La suma de las edades de un padre, una madre y su hijo es de 142 años. Si sumamos la edad de los padres nos da 6 veces la edad del hijo más 2 años, mientras que si restamos a la edad del padre la de la madre el resultado es la décima parte de la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno? 4. Hace 3 años la edad de Juan era doble que la de Pedro. Dentro de 7 años la edad de Juan será 4/3 de la de Pedro. ¿Cuántos años tienen en la actualidad Juan y Pedro? 5. La edad de un padre es doble que la de su hijo. Hace tres años la edad del padre era triple que la del hijo. ¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo? 6. La edad de Pedro era doble que la de Luis hace un año. Cuando pasen 9 años la edad de Pedro será 4/3 de la edad de Luis. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno? 7. La edad de un padre es 4 veces mayor que la de su hijo. Pero hace 6 años la edad del padre era 7 veces mayor. ¿Cuál es la edad actual de ambos? 8. La edad de la madre de Luis es triple de la de él, y dentro de 14 años sólo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada uno? 9. Juan tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces los años de Juan. Averigua la edad de cada uno. 10. La edad de Antonio es doble de la de Luis. Hace 7 años la suma de las 2 edades era igual a la edad actual de Antonio. Calcula: a) Las edades actuales de Antonio y de Luis b) ¿Cuándo tendrá Antonio el triple de la edad de Luis? 11. Un señor tiene 42 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuantos años la edad del padre será el triple que la del hijo?
2.6 PROBLEMAS DE AMPLIACI ÓN 1. Se tiene 2 depósitos de agua. El contenido en litros del 1º es igual a 3 / 4 del contenido del 2º, y el contenido del 1º más 20 l es igual al contenido del 2º. ¿Cuántos litros contiene cada depósito? 2. Dos personas compran tela de distinta clase. Entre ambas compraron 55 m. Y cada una de ellas gastó la misma cantidad. Si la primera hubiera comprado los metros que compró la segunda, habría gastado 360 euros, y si la segunda hubiera comprado lo que compró la primera, su gasto hubiera sido 250 euros, ¿Cuántos metros compró cada una y a qué precio?
30 3. En un colegio hay 372 personas entre profesores, chicas y chicos. Si al doble del nº de profesores se le añade el nº de chicas se tienen 100 personas menos que el triple del nº de chicos. Si las chicas aumentaran en 3, su nº sería el doble que el de chicos. ¿Cuántos hay de cada uno de estos grupos? 4. En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en la fiesta si el total es de 156 personas. 5. Halla un nº de dos cifras sabiendo que la cifra de las decenas es el triple de la cifra de las unidades. Si se invierte el orden de sus cifras dicho nº disminuye en 24. 6. Halla un nº de dos cifras sabiendo que su cifra de las unidades es el doble de su cifra de las decenas. Si se invierte el orden de sus cifras dicho nº aumenta en 36. 7. Entre 15 amigos han de pagar una deuda de 1380 euros. Como algunos de ellos no tienen dinero, cada uno de los restantes han pagado 23 euros más de las que le correspondían. ¿Cuántos son los amigos que no tienen dinero? 8. Un almacenista compra 11 sillas a 350 euros cada una. Se estropean un cierto nº de ellas y vende las que le quedan aumentando por silla el precio de compra tantas veces 50 euros como sillas se han estropeado. De esta manera resulta que el almacenista no gana ni pierde. Hallar el nº de sillas estropeadas. 9. Un grupo de estudiantes organiza una excursión, para lo cual alquilan un autocar cuyo coste total es de 540 euros. Al salir, aparecen 6 estudiantes más y esto hace que cada uno de los anteriores pague 3 euros menos. Se pide: el nº de estudiantes que fueron a la excursión y qué cantidad pagó cada uno. 10. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres, y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay, si en total hay 156? 11. Las edades de 3 hermanos, sumadas dos a dos, dan 5, 7 y 8 años, respectivamente. ¿Sabrías decir los años de cada uno? 12. Si la estatura de Carlos aumentase en el triple de la diferencia de las estaturas de Antonio y Juan, Carlos sería igual de alto que Juan. Hallar las estaturas de Carlos, Antonio y Juan, sabiendo que entre los tres miden 515 cm, y que la estatura de Antonio es de los 9/8 de la de Carlos. 13. Una factura de 760 euros se ha pagado con billetes de 50, 20 y 5 euros. El nº de billetes de 50 euros es doble que el de los de los de 20 euros, y el de los de 5 euros son la sexta parte de los primeros. ¿Cuántos son los billetes de cada clase? 14. Un comerciante compra por 1620 euros una partida de saquitos de café. Una segunda partida le cuesta la misma cantidad, pero cada saquito de éstos le cuesta 27 euros más, y la partida consta de dos saquitos menos. Calcular el precio de un saquito de la nueva partida. 15. Para distribuir un lote de objetos, se le da igual número de ellos a cada una de las 15 personas presentes, pero llega una persona más y hay que dar a cada una un objeto menos, sobrando ahora 11 objetos. Calcular los objetos que corresponden a cada persona, y cuántos había en el lote. 16. Se han de encuadernar 5000 libros, de lo que se encarga una casa que lo hace a razón de 140 diarios. A los dos días y medio, se encarga simultáneamente a otra casa que encuaderna 170 libros cada día. ¿Al cabo de cuánto tiempo terminarán el trabajo y cuántos libros encuadernará cada uno? 17. En un colegio hay 372 personas entre profesores, chicas y chicos. Si al doble del nº de profesores se le añade el nº de chicas se tienen 100 personas menos que el triple del nº de chicos. Si las chicas aumentaran en tres, su nº sería el doble que el de chicos. ¿Cuántos hay de cada uno de estos grupos?
31
TEMA 8: GE OME TRÍ A PROBLE MAS DE PERÍ METROS Y ÁRE AS PROBLEMAS DIRECTOS FIGURAS PLANAS 1. Calcula el área de un triángulo de 4m de base y 3m de altura 2. Que área tiene un círculo de 2m de diámetro 3. Calcula el área de un hexágono de 3cm de lado y 2 cm de apotema 4. Calcula el área de un prisma hexagonal de 4cm de lado de la base y de 3 cm de altura 5. Una clase es cuadrada y el lado mide 7 m. Si en la clase hay 28 alumnos, ¿qué superficie le corresponde a cada alumno?
PROBLE MAS DI RECTOS FI GURAS TRIDI MENSIONALES 1. Calcula el área total de un cono de 9 cm de radio de la base y 12 cm de altura 2. Calcula el área total de una pirámide de base cuadrada de 9 cm de lado y 12 cm de altura de la pirámide. ¿Tiene más área lateral que el cono del problema anterior? 3. Calcula la superficie de un tetraedro regular de 8 cm de arista. 4. El dependiente de una tienda envuelve una caja de zapatos de 30 cm de larga, 18 cm de ancha y 10 cm de alta con un corte de papel, de forma que un 15% del envoltorio queda solapado sobre sí mismo. ¿Qué cantidad de papel ha utilizado? 5. Un silo de almacenamiento de grano está formado por un cuerpo cilíndrico de 6 m de altura, coronado por un cono de 3 m de altura. Si el radio de la base es de 2 m, averigua la cantidad de chapa empleada en la construcción. 6. Las tres aristas de un prisma rectangular recto miden 6, 10 y 12 cm, respectivamente. Halla la arista de un cubo que tenga la misma superficie total que el prisma.
PROBLE MAS FI GURAS COMBI NADAS 1. Calcular el área de la zona coloreada de la siguiente figura, sabiendo que el lado del cuadrado es 3 cm :
32 2. Calcula el área de la cartulina que queda después de cortar el círculo 10 m
4m
2’5 m
3. Determina el área de la figura 5m 4m
8m 4. El lado del cuadrado de la figura mide 30 cm. Calcula el área de la corona circular
5. Calcula el área coloreada b = 3 cm 4 mm a = 2 cm
33 PROBLE MAS COMBI NADOS 1. En la feria del disco hay muchos puestos que exponen CD. La cara del estuche de un CD es cuadrada y su lado mide 12 cm. Todas las mesas expositoras de CD tienen 3 m de largo por 1’2 m de ancho (cada un a). ¿Cuantos CD caben en cada mesa? 2. Una finca tiene forma de trapecio. La base menor tiene 5 m, la base mayor es el doble de la menor y su altura es 3 m. Si el m 2 de la finca cuesta 130 euros. Calcula cuanto cuesta la finca. 3. Un ganadero tiene un prado cuadrado de 24 m de lado y le quiere poner tres filas de alambre alrededor. Cada metro de alambre cuesta 1’8 euros. ¿Cuánto le cuesta el alambre? 4. Un campo de fútbol mide de largo 105 m y de ancho 65 m. Queremos reponer el césped y cobran 25 euros/m². ¿Cuánto tenemos que pagar? 5. Una apisonadora arrastra un cilindro de 2’5 m de largo y su radio mide 80 cm. a) ¿Qué área pisa un una vuelta? b) ¿Cuántas vueltas tiene que dar para pasar por un tramo de carretera de 200 m de largo por 10 de ancho? 6. Tenemos un terreno cuya forma es la misma que la de un trapecio rectangular. Sabemos que la base mayor mide 800 m, la menor es 500 m y el lado que forma el ángulo recto es de 500 m. Calcula el área del trapecio 7. El hilo de cobre de una bobina de 3’5 cm de radio tiene 50 vueltas. Si el metro de hilo cuesta 1’7 euros , ¿cuánto cuesta el hilo?
PROBLEMAS DE VOLÚMENES PROBLEMAS DIRECTOS
1. Calcular el volumen de un prisma de 7m de altura y de base un hexágono de 5cm de lado y 3 de apotema. 2. El lado de una pirámide triangular de mármol tiene de base un triangulo isósceles de lados 3, 5 y 3 m. Su altura es 10 m. ¿Cuál es su volumen? 3. Calcula el volumen de una pirámide hexagonal de 6 m de lado de la base y 8 de apotema de la pirámide. Si te falta otro dato te diré que el radio de la base es 8 4. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular de 6 m, de lado de la base y 10 m de apotema 5. Un depósito de gas tiene forma de esfera de 18 m de diámetro. ¿Cuántos m 3 de gas caben en él? 6. El lado de la base de un prisma hexagonal regular mide 10 cm y la altura del prisma es 5 / 2 de dicho lado. Calcula el área total y volumen del prisma. 7. Una barra de tiza de base cuadrada tiene una arista de 1 dm y otra de 1 cm. Calcula: a) Su área total; b) Su volumen 8. Un triángulo equilátero de 6 cm de lado gira alrededor de una de sus alturas. Calcula el área total y el volumen del sólido engendrado.
34 PROBLE MAS COMBI NADOS 1. Una esfera de 10 cm de radio está introducida en un cilindro de igual diámetro que altura y en el que cabe exacta. Calcula el volumen del cilindro no ocupado por la esfera. 2. Tenemos una cartulina cuadrada de 20 cm de base por 30 cm de altura. Si la enrollamos y formamos un cilindro. ¿Qué volumen tendrá dicho cilindro? Si hacemos lo mismo pero tomando de base 30cm y de altura 20 cm. ¿Tendrá el mismo volumen? 3. Una piscina de 25 m de largo, 12 m de ancho y 2’5 m de profundidad se pretende llenar con una manguera que deja caer 23 litros de agua por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse? 4. Ocho esferas iguales son empaquetadas, en un cubo de arista 10 cm de manera que cada esfera es tangente a tres caras del cubo y a tres esferas. (Se hará el dibujo en clase) a) Halla el volumen de las 8 esferas b) Halla el volumen del cubo donde se encuentran las 8 esferas c) Si abrimos una cara del cubo y llenamos el recipiente de agua. ¿Cuántos litros podremos echar? 6. Para medir el volumen de una piedra procedemos del siguiente modo: en una vasija cilíndrica echamos agua hasta la mitad, aproximadamente. Sumergimos la piedra y sube el nivel 22 mm. ¿Cuál es el volumen de la piedra, sabiendo que la vasija tiene 15 cm de altura y 8’4 cm de diámetro exterior y 7’8 cm de diámetro interior? ¿Necesitas todas las dimensiones de la vasija para calcular el volumen de la piedra? 7. Al introducir una piedra en el recipiente cilíndrico, de 20 cm de diámetro la altura del agua sube 5 cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra? 8. Una mesa tiene forma de hexágono regular cuyo lado mide 1’2 m, y tiene una sola pata. La altura de la pata es de 90 cm su diámetro es de 14cm. La madera de la pata cuesta 35 euros y el metro cuadrado de la madera para construir la parte hexagonal, 54 euros. ¿Cuánto cuesta la madera para hacer la mesa? 9. Halla el volumen de cemento necesario para hacer una tubería de 1m de largo, con un diámetro de 20 cm y cuyo grosor es de 2 cm. 10. ¿Cuánto vale el radio r del cono? 5 cm 10 cm 4 cm
PROBLEMAS APLICACIÓN DE PITÁGORAS 1. En un triángulo rectángulo isósceles, calcula la longitud de la hipotenusa si los catetos miden 4 dam. 2. Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 m y 20 m. 3. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 4 cm de lado.
35 4. Halla la diagonal de un cuadrado de lado 6m. 5. En un rombo se conoce un lado que mide 5 m, y una diagonal que mide 6 m. Calcula su área. 6. Un poste de madera tiene 8 m de altura, y se quiere sujetar con tres cables que van desde el extremo superior a un punto del suelo que dista de la base del poste 3 m. ¿Qué longitud de cable se necesita? 7. Calcula la apotema de un hexágono regular de lado 4 cm. 8. Dibuja un rombo cuyas diagonales miden 9 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide el lado? 9. En un trapecio isósceles, las bases miden 12 cm y 8 cm respectivamente. Si la altura es de 5 cm, calcula la longitud de los lados oblicuos. 10. En un trapecio isósceles las bases miden 16’7 m y 11’3 m; la altura mide 8’5 m. Calcula su perímetro y su área. 11. Calcula la altura de un trapecio rectángulo sabiendo que las bases miden 8 cm y 5 cm y el lado oblicuo 5 cm. 12. Calcula el Área total y volumen de una pirámide de base hexagonal si la apotema de la pirámide mide 5m y la altura 3m 13. Halla el área de un rombo en el que una diagonal mide 12’6 m y el perímetro 42’4 m. 14. Halla el área lateral de una pirámide regular, sabiendo que su base es un triángulo equilátero de 16 m de lado y su arista lateral mide 10 m. 15. Una pirámide tiene por base una cara de un cubo cuya superficie total es de 384 cm². Se sabe que el vértice de la pirámide está colocado en el centro del cubo. Halla su área lateral y su volumen.
PROBLE MAS PARA DESPEJ AR UNA I NCÓGNI TA 1. Queremos hacer una piscina de 8 m de larga por 4 m de ancha de forma que quepan 80.000 litros de agua. ¿Qué profundidad tendremos que darle? 2. El perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 20 cm. Halla el diámetro de la circunferencia. 3. El área de un círculo mide 25 cm². ¿Cuánto mide el radio? 4. El área de un cuadrado mide 225 m². ¿Cuánto mide su lado? 5. El perímetro de un rectángulo mide 47’6 m. Si la base mide 15’2 m, ¿cuánto medirá la altura? 6. Las ruedas delanteras de un tractor miden 70 cm de diámetro, y las traseras 1’5 m. Si el tractor recorre 25 Km, ¿cuántas vueltas habrán dado las ruedas delanteras? ¿Y las traseras? 7. El perímetro de una parcela cuadrangular mide 56 m, se vende a 15 € el m². ¿Cuánto vale la finca? 8. El tronco de un árbol mide de circunferencia 1 m. ¿Cuánto mide el diámetro? 9. Se ha construido un tubo cilíndrico soldando, por los lados más cortos un rectángulo de chapa de 20 cm de largo por 15 cm de ancho. ¿Cuál es el diámetro del tubo? 10. La superficie total de un cubo es 54 dm². ¿Cuánto mide su arista?
36 11. Calcula el radio de la base de un cilindro cuya área lateral es de 400 cm², sabiendo que su generatriz mide 4 cm.
PROBLE MAS AMPLI ACI ÓN: SEME JANZA, PITÁGORAS, ÁRE AS Y VOLÚMENE S Ár eas y volúmenes figuras planas 1. La apotema de un triángulo equilátero mide 8 cm. Determina el perímetro y el área de dicho triángulo. 2. Hallar la altura de un triángulo equilátero, conociendo la longitud de lado L. Obténgase a continuación la fórmula del área de dicho triángulo en función del lado. 3. Las bases de un trapecio miden 6 cm y 18 cm y los lados no paralelos 8 cm y 10 cm. Calcular el perímetro y el área del triángulo formado por la base menor del trapecio y las prolongaciones de sus lados no paralelos. 4. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 m y uno de los catetos excede al otro en 40 cm. Hallar su área y la altura correspondiente al ángulo recto. 5. Calcular el perímetro y el área de un triángulo semejante a uno dado, cuyos lados miden, respectivamente, 4 m, 6 m y 8 m, sabiendo que la razón de semejanza del triángulo desconocido al dado es 3/2. 6. Hallar el área de un triángulo equilátero sabiendo que la suma de su base con su altura es 10 m. 7. Una finca de forma triangular tiene superficie de 4 Ha y un lado de 180 m, se desea dividir la finca mediante una paralela a ese lado, de modo que el triángulo parcial que resulte tenga una superficie de 1 Ha y 69 áreas. Calcular la longitud de la paralela que ha de trazarse. 8. El área de un rectángulo es 108 cm² y la diagonal mide 15 cm. Calcular las longitudes de los lados del rectángulo 9. Calcular las diagonales de un rombo, sabiendo que su lado mide 5 cm y su área 24 cm². 10. Se compra una alfombra rectangular de dimensiones iguales a 2’5 m por 1’6 m, a razón de ciert o valor por m². Pero como sobre el importe se obtiene un descuento del 10% no hay que pagar más que 16,5 euros. ¿Cuál era aquel valor del m²? 11. Un rombo cuya área es de 42 m², tiene como suma de sus diagonales 20 m. Hallar su perímetro. 12. La base mayor de un trapecio isósceles vale 46mm, la base menor, 30 mm y los otros lados 17 mm cada uno. Hallar el área del cuadrilátero que tiene por vértice los puntos medios de sus cuatro lados. 13. Un solar de forma rectangular tienen la diagonal de 26 m; la diferencia entre dos lados contiguos es 14 m. Se desea saber el valor del solar al precio de 95 euros el metro cuadrado. 14. La base mayor de un trapecio rectángulo es 5/3 de la base menor y el doble del lado oblicuo. Calcular los cuatro lados del trapecio, sabiendo que el área es 96 dm² 15. En un trapecio isósceles, la altura, el área y cada uno de los lados no paralelos mide, respectivamente, 4 cm, 68 cm² y 5 cm. Calcular las bases. 16. Se da una circunferencia y el cuadrado inscrito en él. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 4 m. Calcular el área de la parte que queda entre la circunferencia y el cuadrado.
37 Ár eas y volúmenes de fig uras tridimensionales
1. En un jardín de forma rectangular, cuyas dimensiones son 80 m y 90 m se construye un estanque rectangular cuyos lados miden 10 m y 15 m. La tierra extraída se esparce alrededor del estanque y el nivel del terreno se eleva así 3 cm. Hallar la profundidad del estanque. 2. La base de un prisma recto es un triángulo equilátero, y la razón de la arista lateral a la arista de la base es 15/8. Hallar las longitudes de las aristas y el área lateral del prisma, sabiendo que la diagonal de una cara lateral mide 17 cm. 3. La base de un prisma de 10 m de altura, es un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 6 m. Calcular su volumen. 4. Halar el volumen de un prisma hexagonal regular, sabiendo que su área lateral es 720 cm², y que la suma de su arista básica y arista lateral es 23 cm. Se sabe además que la arista es mayor que la arista básica. 5. Las dimensiones de un estanque rectangular son 18 y 20 metros respectivamente. Un tubo arroja en dicho estanque agua a razón de 18 litros por segundo. ¿En cuánto tiempo el nivel del agua se elevará en 80 cm? 6. Una pirámide regular de base cuadrada tiene de superficie lateral un valor triple del correspondiente al área de la base. Sabiendo que el área total es 72 cm², se pide calcular su volumen. 7. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular, sabiendo que el lado de la base mide 6 cm y que su área es doble del área de la base. 8. El perímetro de la base de una pirámide cuadrangular es de 64 dm, y el área de su superficie total, de 8 metros cuadrados. Calcular el volumen de esta pirámide. 9. El área lateral de una pirámide triangular es el doble del área de la base. Hallar la apotema de la pirámide, sabiendo que el lado de la base mide 4 cm. 10. En una pirámide regular de base cuadrada, la suma de la altura, de la apotema de la base y de la apotema de la pirámide, es 36 cm, siendo la apotema de la base igual a 3/5 de la de la pirámide. Calcular el área total de la pirámide si el lado de la base mide 12 cm. 11. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular, sabiendo que el lado de la base mide 4 cm y que el área lateral es doble del área de la base. 12. ¿Cuánto vale la diagonal de un cubo cuya superficie total es de 10 m²? 13. El líquido contenido en una vasija cilíndrica de 8 cm de diámetro alcanza 18 cm de altura, se echa en otra vasija cilíndrica de 6 cm de diámetro. Calcular la altura que alcanzará este líquido en la segunda vasija 14. Una vasija cilíndrica tiene de superficie total 392’5 cm². Calcular su capacidad sabiendo que su generatriz es igual al diámetro. La vasija es sin tapa. 15. En un cono de revolución la altura mide los 15/17 del lado, y sumando 1/5 de la altura con la mitad del radio da 14 cm. Calcular el radio, el lado y el área de la superficie total. 16. Determinar el radio de la base de un cono, cuya generatriz es de 50 cm, sabiendo que su superficie total es equivalente a la de un cilindro de 1 dm de altura y 0’6 m de diámetro. 17. Un cono cuya generatriz es igual a 5 cm, tiene por área lateral 4710 mm². Hallar el ángulo del sector circular que resulta al desarrollarlo. 18. El área de un cubo es 24 cm². Calcular el área de la superficie esférica circunscrita. 19. Conociendo el área de una superficie esférica, que es 1256 m², obtener el volumen de la esfera.
38
TEMA 9: POTE NCI AS 1. Responder de forma razonada a las siguientes preguntas a) El valor de ( – 2)x(-2) es positivo o negativo. b) El valor de ( – 2)x(-2)x(-2) es positivo o negativo.c) El valor de ( – 3)x(-3)x(-3)x(-3) es positivo o negativo. d) El valor de ( – 2)x(-2)x(-2)x(-2)x(-2) es positivo o negativo.e) El valor de ( – 5)x(-5)x(-5)x(-5)x(-5)x(-5) es positivo o negativo.f) El valor de ( – 7)15 es positivo o negativo.g) El valor de ( – 4)22 es positivo o negativo.2. En: -3x3x3x3x3 el factor es ___. El signo de la potencia es ___. Expresado abreviadamente sería___ 3. -78 es + ó -
; -53 es + ó 33 =
4. Resuelve mentalmente: 5.
; -83 es + ó -
; -64 es + ó -
24 =
34 =
25 =
63 =
107 =
Tienes que buscar la forma mas simplificada de efectuar estas operaciones dando el resultado final 55 x 25 =
8x8x8x8x8x8x8 = 8x8x8x8x8 32 x 80 x 37 x 3-9 =
33 x 23 =
25 x 5 4 x 2 2 x 5 2 x 3 2 =
7x7x7x7x7x7x7x7 78 (32)3: 93 =
6. Para resolver mentalmente 7 x 8 x 25 Pedro ha multiplicado 7 x 2 = 14 y a continuación ha calculado el resultado = 1.400. ¿Crees que es correcto lo que ha hecho? Comprueba tu respuesta haciéndolo de las dos formas. ¿Podría hacer lo mismo con 33 x 52?. En que casos se puede aplicar lo que ha hecho Pedro. 7. En este apartado tienes que corregir los fallos, explicando cual es el error 2
b) 5 a)
3
5
3
= (-3)-7
-4 = 22
= 59
(23x32x34)3= (23x38)3= 29x324
3
c) (63)3 x52 = 3018 = d)
(32 + 5) 6 = 312 x 56
1 = 3 10000 -5 0´000001 = 1 1030
1 = 10-4 0’0001
1012 0´00001 = 10-4
8. Expresa como potencias de 10. a) 1000000= e)
b) 0´00001=
1 = 100000000
i) 0´00000005=
f) 5000000000= j)
1 = 00000005
1 = 1000 2 g) = 500000000 15 k) = 300000000
c)
d)
1 = 0000001 h) 0´0001= l)
1 = 01
39
9. Efectúa las siguientes operaciones y elige la respuesta correcta: a) 32 x 5 x 35 x 56 35 x 2 4 b) = 2 8 x33 c)
a) 1514
b) 310 x 56 5
a) 3 x 2
34 x55
a) 1520
4
2
b) 3 x 2
c) 37 x 56 4
b) 320 x 5
d) Ninguna
32 c) 4 2 c) 39 x 55
d) Ninguna d) 320 x 55
10. Expresa en forma de potencia y opera en base 10: a. b. c. d. e.
0´001 x 10.000 = 100.000 x 10.000 = 0´000001 x 0´00001 = 1 / 0´00001 x 10.000 x 10 – 7 = (1 / 1.000) x (0´000001) x (1 / 0´0001) =
a) a) a) a) a)
106 1011 10 - 9 10 2 10 -5
b) b) b) b) b)
102 109 10 - 11 10 -8 101
c) 10 c) 10 c) 1011 c) Ninguna c) Ninguna
11. Indica la respuesta correcta después de efectuar a. b. c. d. e. f. g.
(5 x 3)5 = (7 x 3 x 21)3 = (7 / 21)4 = (5 / 2) – 5 = - (- 3)4 x 33 x – 3-6 53 x 52 x 5 – 3 = 254 / 510 =
a) 85 b) 15 x 5 = 75 c) 53 x 3 d) 5 x 33 d) Ninguna a) 2115 b) 66 x 36 c) 75x 35 d) Ninguna a) 1 / 34 b) 74 / 21 c) 34 d) Ninguna a) 25 / 55 b) 55 / 25 c) 1 d) 52 / 2 13 a) No se puede b) 3 c) – 3 d) 3 e) - 313 a) -52 b) 52 c) 5-18 a) No se puede b) 1 / 5-2 c) 5-2
h.
2 =
a) 215
b) 22
a) 28
b) 2-6
i.
0 5 3
2
2 2 2
=
c) 2 -15
d) 1
c) -28
d) 2-8
12. Ejercicios para resolver 7
3 3 x = 8 8 4
2
5
2 2 2 b) x x = 9 9 9 9 2 3 8 4 c) 2 x x 5 3 15 6
1 2 d) = 3 e)
4
5
3
2 2 a) x 4 = 5 5
2 4 5 3 x = 6 3
2
3
3
1 5 x = 10 3 6
2 3 2 5 4 x x x = 10 9 25 4 3
2 7 = 5 3 8
4
3
3 3 : = 8
40 3
f)
32 x 4 3 x 9 2 x 6 6 x8 4 2
12 2 x 2 x 4 2 x 2 x 33 x 33
=
3
8 2 8 3 3 9 g) x x = 3 3 8 2
3
4
2 3 x = 3 2 2
1
3 3 x = 2 2
4
32 1 25 2 9 x 3 x 2 x 4 x 5 3 6 5 2
5 5 h) : = 3 3 4
i)
8 15 = 4 15 1
j)
0 2 3
4 = 1
4
4 4 2 2 = 5
1 = 4
5
4
1 2 1 3 k) x 4 4
2
0
1 2 x = 4
4 16 : 9 81 3
2
4 2 : 9 3
4
=
3
41
TEMA 10: E CUACI ONE S DE 2ºGR ADO CALCULOS
1. Indica el valor de los coeficientes a , b y c en las siguientes ecuaciones: a) 2x2 + 3x – 5 = 0 b) – 3x2 – x +1 = 0 2 c) 3x – 4 = 0 d) 3x2 – 4x = 6 e) x2 – x = 0 f) x2 = x 2 g) 4x – 3 = x h) x2 = -1 2. Escribe la ecuación de 2º grado que corresponde a este problema: “El área de un rectángulo mide 32 cm 2. La altura de dicho rectángulo es la mitad de la base.” 3. Sin resolver estas ecuaciones, distribúyelas en tres conjuntos: A. Las que tienen dos soluciones distintas. B. Las que tienen dos soluciones iguales. C. Las que no tienen solución. a) 3x2 – 7x + 2 = 0 d) 3x2 + 5x – 2 = 0 2 b) x – 2x + 3 = 0 e) 4x2 – 4x + 1 = 0 c) 4x2 – 12 + 9 = 0 f) 4x2 – 5x + 3 = 0 4. Ejercicios para resolver: a) 16x2 + 24x – 7 = 0 b) 6x2 – x – 2 = 0 c) 4x2 + 20x + 23 = 0 d) x2 – 2x + 1 = 0 e) 4x2 + 20x + 16 = 0 f) 3x2 – 2x + 1 = 0 g) 4x2 + 20x + 9 = 0 h) x2 + 3x + 2 = 0 i) 2x2 + x – 1 = 0 j) x2 + 4x + 2 = 0 k) 6x2 + 5x + 1 = 0 l) 4x2 – 7x – 2 = 0 m) x2 – 5x + 6 = 0 n) x2 – 7x – 2 = 0 o) x2 – 8x + 12 = 0 5. Resolver las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas 1. x2 - 4 = 0 2. x2 - 36 = 0 3. 2x2 - 72 = 0 4. -2x2 + 6 = 0 5. 3x2 - 12 = 0 6. 3x2 - 27 = 0 7. 4x2 - 1 = 0 8. 4x2 - 16 = 0 9. 4x2 - 100 = 0 10. x2 - 16x = 0 11. x2 - 64x = 0 12. -x2 + x = 0 13. 2x2 + 4x = 0
g) 5x2 – 7x + 8 = 0 h) x2 + x + 1 = 0 j) 36x2 + 12x + 1 = 0
42 14. 15. 16. 17.
3x2 - 2x = 0 3x2 - 30x = 0 3x2 + 27x = 0 3x2 + x = 0
PROBLEMAS
1. Halla el rectángulo cuyo perímetro es 24 y su área es 11 2. El perímetro de un triángulo rectángulo es 14 cm y la hipotenusa es 10 cm. ¿Cuál es la longitud de sus catetos? 3. La suma de los cuadrados de tres números pares consecutivos positivos es igual a 200. Averigua cuáles son esos números. 4. ¿En cuanto ha de ampliarse un cuadrado de 5 cm de lado para que el área del nuevo cuadrado sea 64 cm2? 5. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm. La diferencia entre las longitudes de los catetos es 7 cm. ¿Cuántos cm mide cada cateto? 6. Los hindúes en el siglo V conocían la solución de la ecuación de 2º grado y ya tenían este “rompecabezas” que quiero que tu resuelvas: “Regocíjanse los monos divididos en dos bandos. Su octava parte al cuadrado En el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce atronando el campo están. ¿Sabes cuantos monos hay en la manada, en total?” 7. El cateto mayor de un triángulo rectángulo mide 1 cm más que el menor y la hipotenusa mide 1 cm menos que el doble del cateto menor. Calcula el perímetro del triángulo. 8. Un jardín cuadrado tiene otro cuadrado interior plantado de césped de forma que los vértices del interior coinciden con los puntos medios de los lados del jardín. Si el cuadrado sembrado tiene un área de 8m 2, calcula la longitud del lado del jardín. 9. Encuentra dos números racionales sabiendo que su diferencia es 1 y la suma de sus cuadrados es 2.245. 10. En el salón de un colegio, el número de asientos en cada fila es 5 más que el número de filas. Si hay 300 asientos. ¿Cuántas filas de asientos hay? 11. Dos móviles salen al encuentro uno del otro desde diferentes pueblos que distan entre sí 500km. El primero va a 40 km./h. , y el segundo, a 60 Km./h. ¿A qué distancia de cada punto de partida se encontrarán?
43
TEMA 11: SI STE MAS DE E CUACI ONE S DE 2º GR ADO RESOLVER POR LOS TRES MÉTODOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES x y 2 2 x 3 y 5 1. 2 x y 1 3 x 5 y 6 2.
6 x 5 y 27 8 x 2 y 10
4 x y 8 y x 7
3.
3 x 4 y 18 x 2 y 4
2 x 3 y 5 3 x 5 y 6
4.
2 x 3 y 11 x y 2
x y 2 2 x 3 y 2
5.
2 x 3 y 18 4 x 2 y 4
2 x y 4 x 3 y 9
6.
2 x 3 y 2 4 x 9 y 5
x y 5 4 x 2 y 14
7.
2 x 5 y 3 16 x 10 y 12
2 x 3 y 18 4 x 2 y 4
8.
4 x 9 y 14 6 x 7 y 20
3 x 2 y 7 2 x 3 y 2
9.
4 x y 5 3 x 2 y 0
3 x 2 y 22 2 x 4 y 12
x y 2 3 0 10. x y 2 4 2 x y 3 2 21 11. 2 x y 30 3 2
x y 3 4 5 x y 7 2 3
44 PROBLEMAS DE SISTEMAS
1. El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro dan los 44 años de su padre, y dentro de 2 años la edad de Juan será el doble que la de Pedro. ¿Cuántos años tienen ahora? 2. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace 5 años la edad del padre era triple de la del hijo ¿Cuántos años tienen cada uno? 3. En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de patas 4.280. Si disminuimos en 70 el nº de cerdos , el nº de gallinas será el triple que estos . ¿Cuántos cerdos y gallinas hay ? 4. La suma de las edades de un padre , una madre y su hijo es de 142 años . Si sumamos la edad de los padres nos da 6 veces la edad del hijo mas 2 años , mientras que si restamos a la edad del padre la de la madre el resultado es la décima parte de la del hijo .¿ Que edad tiene cada uno ? 5. En un aparcamiento hay coches y motos. En la 1ª planta hay 78 vehículos, y en la 2ª hay 64. ¿Cuántos vehículos de 4 ruedas hay en cada planta, si en la 1ª hay 40 ruedas más que en la 2ª y en total son 504 ruedas? 6. Dos ciclistas parten de dos ciudades separadas por 256 Km. Si los dos ciclistas circulan en el mismo sentido tardan en encontrarse 16 h. , pero si circulan en sentidos opuestos tardan tan sólo 4 h. ¿Que velocidad lleva cada uno de ellos ? 7. En una clase hay 60 alumnos entre chicos y chicas . Usan gafas el 16 % de los chicos y el 20 % de las chicas . Si el nº total de alumnos que usan gafas es 11. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase ? 8. Hace 3 años la edad de Juan era doble que la de Pedro. Dentro de 7 años la edad de Juan será 4/3 de la de Pedro . ¿ Cuántos años tienen en la actualidad Juan y Pedro ? 9. Un comerciante ha vendido en un día cierto nº de artículos a un precio de 12 euros , y un nº de artículos B a 9 euros. Al final del día tenía en caja un total de 72 euros. Vendió un total de 7 artículos entre A y B. ¿Cuántos vendió de cada clase ? 10. Un recipiente se llena con un grifo en 4 h. ; otro grifo solo lo llena en 2 h. y un tubo de desagüe lo vacía en 3h. ¿ Cuánto tiempo tarda en llenarse el recipiente si se abren el tubo de desagüe y los dos grifos ? 11. La edad de un padre es doble que la de su hijo . Hace tres años la edad del padre era triple que la del hijo . ¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo ? 12. La edad de Pedro era doble que la de Luis hace un año . Cuando pasen 9 años la edad de Pedro será 4/3 de la edad de Luis. ¿Qué edad tiene actual mente cada uno ? 13. La edad de un padre es 4 veces mayor que la de su hijo . Pero hace 6 años la edad del padre ere siete veces mayor. ¿Cuál es la edad actual de ambos ? 14. Se tiene dos depósitos de agua . El contenido en litros del 1º es igual a 3 / 4 del contenido del 2º ,y el contenido del 1º mas 20 l. es igual al contenido del 2º . ¿ Cuántos l. contiene cada depósito ? 15. Con una representación teatral se recaudan 385,13 euros. y asisten 704 personas entre hombres , mujeres y niños. Si el doble de personas mayores es menor en 20 unidades al quíntuplo de los niños y si las mujeres fueran la mitad, estarían el doble que los hombres . ¿ Cuantos hombres , mujeres y niños asistieron ?. 16. En un colegio hay 372 personas entre profesores , chicas y chicos . Si al doble del nº de profesores se le añade el nº de chicas se tienen 100 personas menos que el triple del nº de chicos . Si las chicas aumentaran en tres , su nº sería el doble que el de chicos . ¿ Cuantos hay de cada uno de estos grupos ?
