MATEMÁTICA
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capítulo
3
Funciones Contenidos 16. Interpretación de gráficos. 17. Función. 18. Función lineal. 19. Ecuación de la recta. 20. Rectas paralelas y perpendiculares. 21. Función cuadrática. 22. Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones. 23. Sistemas de ecuaciones.
500 s hOja
500hOjas Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. David quiere imprimir un trabajo práctico que debe entregar ese día. a. Si la impresión de cada hoja demora 15 segundos, ¿de qué dependerá el tiempo que demore en imprimir su trabajo? b. Si para imprimir el trabajo utilizará el 10% del total de las hojas que tiene, ¿cuánto tardará en tener impreso el trabajo completo? c. ¿Cuántas hojas puede imprimir en 1 200 segundos? d. Comparen las respuestas con las de sus compañeros. 58
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Interpretación de gráficos
infoactiva y
Un sistema de ejes cartesianos está determinado por dos rectas perpendiculares: la recta horizontal representa el eje de abscisas (x), y la vertical, el eje de ordenadas (y). Un punto queda determinado por dos coordenadas x e y.
300
a = (2;300)
200 100
En un gráfico aparecen representados los valores de dos variables que están relacionadas. En el eje de las abscisas se representan los valores de la variable independiente y en el vertical, los de la variable dependiente.
0
1
2 x
Para representar los valores en cada eje se pueden tomar escalas distintas.
Distancia (en km)
El siguiente gráfico muestra la distancia a la que se encuentra una familia con respecto a su casa desde que salieron hasta que regresaron de su paseo.
200 160 120 80 40 0
9
10
11
12
13
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18 19 Tiempo (en horas)
En el gráfico se representa la distancia a la casa en función del tiempo. La variable independiente es el tiempo (en horas) y la dependiente es la distancia (en km). A partir de la lectura del gráfico se puede decir que: • A las 9:00 la familia salió de su casa, estuvieron viajando durante 2 horas y recorrieron 160 kilómetros; • pararon dos horas y continuaron el viaje hasta las 14:00 horas. En ese tramo recorrieron 40 kilómetros; • pararon una hora más y emprendieron el viaje de regreso a su casa.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Qué nombre recibe el eje x? ¿Y el eje y? b. El punto a = (0;9), ¿coincide con el punto b = (9;0)? c. Las escalas que se usan en cada eje, ¿deben ser iguales? d. ¿En qué eje se representa cada variable? 59 Nombre:
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aCTIVIDaDEs Interpretación de gráficos
1. Marquen con una X el gráfico que corresponde a la siguiente situación.
a.
b.
c.
Peso
Peso
Peso
Camila registró su peso durante un año. En los tres primeros meses aumentó de peso y durante los tres meses siguientes se mantuvo estable. En el segundo semestre del año adelgazó a lo largo de los primeros cuatro meses. Luego, el peso se mantuvo estable.
54
54
54
52
52
52
50
50
50
0
e f m a m j j a s o n d e
Tiempo
0
0
e f m a m j j a s o n d e
Tiempo
e f m a m j j a s o n d e
Tiempo
2. Observen el gráfico y respondan.
Cantidad de agua (l)
El siguiente gráfico muestra el nivel de agua de un tanque, que se llena con una bomba eléctrica. a. ¿Cuáles son las variables? Clasifíquenlas.
b. ¿Cuántos litros de agua había a las 10:30 h?
c. ¿Durante cuánto tiempo se mantuvo constante el nivel de agua?
200 175 150 125 100 75 50 25 0
d. ¿Cuántos litros ingresaron entre las 11 h y las 14:30 h?
10 11 12 13 14 15 16 17 18 Tiempo (en horas)
3. Observen las siguientes gráficas y respondan. GRÁFICO B Precio (en $)
Distancia recorrida (en m)
GRÁFICO a
500 400 300
500 400 300
200
200
100
100
0
1
2
3
4 5 6 Tiempo (en horas)
0
1
2
3
4 5 6 Pares de zapatillas
a. ¿Cuáles son las variables en cada caso? Clasifíquenlas.
b. ¿Por qué no se unieron los puntos en el gráfico B?
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Función
infoactiva Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Ventas totales (en miles de $)
venta de electrodomésticos y artículos para el hogar 15 10 5 0
2006
2007
2008 2009 2010 Tiempo (en años)
• Para cada valor del tiempo (variable independiente) existe una única cantidad de ventas (variable dependiente). • Por ejemplo, la cantidad de ventas en el año 2006 fue de $5 909 981. Se dice que la imagen de 2006 es $5 909 981 o que la preimagen de $5 909 981 es 2006.
El conjunto dominio de la función está formado por los valores que puede tomar la variable independiente. El conjunto imagen está formado por los valores que puede tomar la variable dependiente.
análisis de gráficos Para analizar el gráfico de una función, hay que tener en cuenta distintos elementos. y
máximo relativo
3 2
raíz
1 0 –1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
mínimo relativo
x
• El gráfico interseca al eje x en dos puntos llamados ceros o raíces de la función: x = 5 y x = 8. • En x = 2 hay un máximo relativo porque a su izquierda la función crece y a su derecha, decrece. • En x = 6 hay un mínimo relativo porque a su izquierda la función decrece y a su derecha crece.
• Una función es creciente (parte del gráfico pintada de violeta) cuando al aumentar los valores de la variable x, aumentan los valores correspondientes de la variable y. Intervalo de crecimiento = (0;2) ∪ (6;8) Valores de x donde la función es creciente. • Una función es decreciente (parte del gráfico pintada de naranja) cuando al aumentar los valores de la variable x, disminuyen los valores correspondientes de la variable y. Intervalo de decrecimiento = (2;6) Valores de x donde la función es decreciente.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Toda relación entre dos variables, ¿es considerada función? b. En un gráfico, los valores de una de las variables aumenta y los de la otra variable disminuyen. La función, ¿es creciente o decreciente? c. Si una función decrece en cierto intervalo y luego crece, ¿posee un máximo o un mínimo? d. El dominio de una función, ¿es el conjunto de valores que toma la variable dependiente? 61 Nombre:
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aCTIVIDaDEs Función
4. Coloquen una X en las gráficas que corresponden a una función. a.
b. y
c.
d.
y
x
y
y
x
x
x
5. Observen el gráfico y respondan. a. ¿Cuál es el dominio? ¿Y la imagen?
y 7 6
b. ¿Cuál es la imagen de –2? ¿Y la preimagen de 5?
5 4 3
c. ¿El punto (1;2) pertenece a la función?
2 1
d. Completen.
–3 –2 –1 0 –1
• Cero o raíz:
1
2
3
4
5
6
x
–2
• Máximo:
–3
• Mínimo: • Intervalo de crecimiento: • Intervalo de decrecimiento:
6. Tengan en cuenta el gráfico y respondan.
b. ¿Cuál es el dominio?
c. Si el lado del cuadrado mide 4 cm, ¿cuál es el perímetro?
Perímetro (en cm)
a. ¿Cuáles son las variables? Clasifíquenlas.
28 24 20 16 12 8
d. Si el perímetro es de 24 cm, ¿cuánto mide el lado del cuadrado?
4 0
1 2 3 4 5 6 Medida del lado del cuadrado (en cm)
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Función lineal
infoactiva Se llama función lineal a aquella cuya fórmula es y = mx + b. Los números m y b reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen, respectivamente. 3 x + 1 es lineal. También se puede escribir f (x) = __ 3 x + 1. La función y = __ 2 2 y
Cuando la variable x varía aumentando en 2 unidades, la variable y aumenta 3 unidades. Esta variación está representada por la pendiente de la recta que es igual a __23 . La recta interseca al eje y en el punto (0;1). La ordenada de este punto es la ordenada al origen de la recta.
4 3 3
2
raíz
1
–2 –1 0 –1
2 1
2
3
4
5
6
x
2 x + 3 es lineal. La función y = – __ 3 y 4 2
2
raíz
1 –2 –1 0 –1
Cuando la variable x aumenta en 3 unidades, la variable y disminuye 2 unidades. Esta variación se expresa a través de una pendiente negativa igual a – __23 .
3
3
1
2
3
4
5
6
x
La raíz de una función es la abscisa del punto en donde la recta interseca al eje x. Para determinar la raíz, hay que plantear y resolver una ecuación (procedimiento analítico). Por ejemplo, para encontrar la raíz en el segundo caso, se debe plantear la siguiente ecuación. 2x+3=0 –__ 3 2 x = –3 –__ 3 9 x = __ 2
Se iguala la fórmula de la función con la ecuación del eje x, cuya fórmula es y = 0. Es la raíz.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen en y = 3x? ¿Cuál es el valor de la pendiente en y = x? b. Si la pendiente es negativa, ¿la recta crece o decrece? c. ¿Cómo es la posición de la recta si la pendiente es 0? d. Si la función lineal tiene ordenada igual a 0, ¿dónde interseca al eje x? 63 Nombre:
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ACTIVIDADES Función lineal
7. Marquen con una X las fórmulas que corresponden a una función lineal. Luego, indiquen la pendiente y la ordenada de esas funciones. a. y = 2x + 3
c. y = 4x
e. y = x3
Pendiente:
Pendiente:
Pendiente:
Ordenada:
Ordenada:
Ordenada:
b. y = x2+ 1
d. y = –x + 2
f. y = x
Pendiente:
Pendiente:
Pendiente:
Ordenada:
Ordenada:
Ordenada:
8. Completen las tablas y representen gráficamente las funciones. a. y = 2x x
y
b. y = –2x + 2 x
y
y
–2
–2
4
–1
–1
3
0
0
2
1
1
1
2
2
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
x
–2 –3 –4
9. Resuelvan. Un taxi cobra un costo fijo de $10 y $8 por cada kilómetro recorrido. a. ¿Cuál es la fórmula que representa la situación? b. ¿Cuál es la pendiente? ¿Y la ordenada? c. Completen la tabla y representen en un sistema de ejes cartesianos. x: distancia y: recorrida precio 2 4 6 8
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ACTIVIDADES Función lineal
10. Representen las siguientes funciones lineales en un mismo sistema de ejes cartesianos. a. y1 = 2x + 4 b. y2 = –x – 1
c. y3 = 5 – 2x d. y4 = __32 x
11. Completen. Función
Pendiente
Ordenada
7
–1
0
–5
Creciente, decreciente o constante
Cero o raíz
y = –4x + 5
y = 15 + 3x
y = –8x
12. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. a. Si la pendiente de una función lineal es positiva, la función es decreciente. b. Si la pendiente de una función lineal es positiva, la función es creciente. c. La ordenada al origen se relaciona con la inclinación que tiene la recta. d. Una función lineal siempre tiene ordenada al origen. e. Si una función lineal tiene pendiente positiva, es decreciente. 65 Nombre:
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aCTIVIDaDEs Función lineal
13. Calculen en forma analítica los ceros de cada función. Luego, representen las rectas en un sistema de ejes cartesianos. a. y1 = __53 x – 5
d. y4 = 6x + 2
b. y2 = 5 + __85 x
e. y5 = –3 + 6x
c. y3 = __23 x – 4
f. y6 = __53 x
mente aCTIVa El valor de un auto 0 kilómetro es de $45 000. a medida que transcurre el tiempo, el valor va disminuyendo $2 000 por año. a. ¿Cuál es la fórmula que representa la situación? b. Si el valor del auto es de $35 000, ¿cuántos años pasaron?
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Ecuación de la recta
infoactiva • Para escribir la ecuación de una recta se necesita conocer la pendiente y la ordenada al origen.
Datos: m (pendiente) y b (ordenada)
y = mx + b
• Para escribir la ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto que pertenece a la misma, se deben reemplazar los datos conocidos en la ecuación general de la recta para obtener la ordenada.
Datos: pendiente 2 y pasa por el punto a = (1;6). y=m.x+b 6=2.1+b 6–2=b b=4
1. Se reemplaza y = 6, x = 1 (son las coordenadas del punto a) y la pendiente por 2. 2. Se despeja b (ordenada al origen).
Entonces, m = 2 y b = 4, la ecuación de la recta es y = 2x + 4. • Para escribir la ecuación de la recta conociendo dos puntos que pertenecen a la misma, hay que encontrar el valor de la pendiente y de la ordenada.
Datos: pasa por los puntos d = (1;1) y e = (5;–3). y –y
2 1 m = ______ x –x
Ecuación de la pendiente, conociendo dos puntos.
–3 – 1 m = ______ 5–1 m = –1
1. Se reemplazan las coordenadas de los puntos d y e. 2. Se resuelve para encontrar el valor de m (pendiente).
2
1
y= m . x+b
3. Se reemplaza el valor de m y las coordenadas de los puntos en la ecuación de la recta.
–3 = (–1) . 5 + b b=2 Entonces, m = –1 y b = 2, la ecuación de la recta N es y = –x + 2.
test de comprensión 1. de comprensión test
Respondan y expliquen las respuestas. a. La recta y = 3x – 2, ¿pasa por el punto (–4;–14)? b. Los puntos (–2;5), (0;2) y (1;4), ¿pertenecen a la misma recta? c. ¿Se puede determinar la ecuación de la recta si se sabe que tiene pendiente 2 y pasa por el origen de coordenadas? d. ¿Qué datos se necesitan para determinar la ecuación de una recta? 67
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ACTIVIDADES Ecuación de la recta
14. Escriban la fórmula de cada función teniendo en cuenta la pendiente y la ordenada. a.
b.
c.
d.
y
y
y
y
4
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
–2 –1 0 –1
1 2 x
–1 0 –1
1
2
3
4 x
–1 0 –1
1
2
3
4 x
–1 0 –1
–2
–2
–2
–2
–3
–3
–3
–3
1 2 x
15. Escriban la ecuación de la recta a partir de los siguientes datos. a. m = – __21 b = –5
b. m = –1 b = 4
c. m = –8 b=2
16. Escriban la ecuación de cada recta teniendo en cuenta los datos. Luego, represéntenlas en un sistema de ejes cartesianos. a. Recta R que pasa por r = (–1;5) y la pendiente es –3: b. Recta S que pasa por s = (2;5) y la pendiente es 4: c. Recta M que pasa por m = (0;0) y la pendiente es __21 : d. Recta N que pasa por n = (–5;2) y la pendiente es __52 :
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ACTIVIDADES Ecuación de la recta
17. Resuelvan. a. Escriban la ecuación de la recta T que pasa por p = (–1;3) y tiene pendiente –4.
b. Escriban la ecuación de la recta S que también pasa por p, pero que tiene pendiente __21 .
c. Escriban la ecuación de la recta R que pasa por q = (–2;6) y tiene pendiente – __ 31 .
d. Grafiquen todas las rectas que encontraron en un mismo sistema de ejes cartesianos.
18. Escriban la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados y grafiquen todas las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos. a. Recta A que pasa por p = (–1;3) y q = (2;5).
b. Recta B que pasa por r = (2;–4) y s = (–3;–1).
c. Recta C que pasa por t = (0;3) y u = (–1;2).
d. Recta D que pasa por v = (4;0) y w = (3;–1).
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aCTIVIDaDEs Ecuación de la recta
19. Resuelvan. Los puntos r = (1;3), s = (–1;–1), t = (4;–2) forman un triángulo. a. Representen los puntos y dibujen el triángulo. y 3 2 1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x
–1 –2 –3
b. Escriban las ecuaciones de las rectas que incluyen a los lados del triángulo.
20. Unan cada ecuación con los puntos que la determinan. a. y = – __52 x + 2
• (1;2) y (–2;–10)
b. y = __31 x – 6 c. y = – __21 x + 1
( ) • ( __31 ;–8 ) y (1;–10) 19 • ( –1;– ___ 3 ) y (3;–5) • (0;2) y ( 1;__58 )
d. y = 4x – 2 e. y = –3x – 7
• 5;– __23 y (–2;2)
21. Indiquen si los puntos indicados pertenecen a una misma recta. Escriban la ecuación de la recta. a. (–3;4), (–1;2), (0;1) b. (–1;5), (–3;2), (1;6) c. (0;–1), (2;1), (3;2) d. (0;–2), (1;–2), (–3;–2) e. (1;2), (3;1), (1;–1)
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Rectas paralelas y perpendiculares
infoactiva Rectas paralelas
y = 2x + 1 es paralela a y = 2x + 3
y= 2x +3 y= 2x +1
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.
y 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 0 –1
1
2
x
3
Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son números inversos y opuestos.
__ x y = –2x + 3 es perpendicular a y = 1 2 y
y=
6
–2x +3
5 4 3
1 –– x y= 2
2 1 –3 –2 –1 0
1
2
3
x
test de comprensión de comprensión test 1.
Respondan y expliquen las respuestas. a. Geométricamente, ¿cuándo dos rectas son paralelas? ¿Y perpendiculares? b. Teniendo en cuenta las ecuaciones, ¿cuándo dos rectas son paralelas? ¿Y perpendiculares? c. ¿Es cierto que y = 2x – 1 e y = –2x + 3 son perpendiculares? d. Las rectas y = x e y = –x, ¿son paralelas? 71
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ACTIVIDADES Rectas paralelas y perpendiculares
22. Marquen con una X las rectas paralelas a y = 7__2 x – 1. a. y = 9 + __72 x
c. y = __72 x – 3
b. y = __27 x – 5
d. y = – __72 x + 1
e. y = – __27 x – 8
f. y = __72 x
23. Marquen con una X las rectas perpendiculares a la recta y = 8__3 x – 9. a. y = – __38 x + 1
c. y = – __83 x
b. y = __83 x – 10
d. y = – __83 x + 1
e. y = __38 x + 2
f. y = – __38 x
24. Completen con // o ⊥ , según corresponda. 2 2 __ R1 : y = __13 x + 1 R3: y = __ 3 x – 8 R5: y = 3 x + 9 3 1 __ R2 : y = – __ 2 x + 2 R4: y = –3x + 2 R6: y = 3 x – 7
a. R1
R4
c. R3
R5
e. R1
R6
b. R2
R5
d. R2
R3
f. R6
R4
25. Escriban la ecuación de la recta que cumple con lo pedido en cada caso.
c. Una recta C, paralela a y = __ 41 x – __21 , que pase por c = (–2;1).
a. Una recta A, paralela a y = 2x – 5, cuya ordenada sea __21 .
b. Una recta B, perpendicular a y = – __ 72 x + 1, cuya ordenada sea __31 .
d. Una recta D, perpendicular a y = 3x – 5, que pase por d = (–3;4).
26. Resuelvan. a. Escriban la ecuación de la recta R que pasa por los puntos a = (– 4;–1) y b = (–2;2).
R: b. Escriban la ecuación de la recta S, perpendicular a R, que pase por b y la ecuación de la recta T, perpendicular a R, que pase por a.
S: T: c. Representen en sus carpetas las rectas R y S en un sistema de ejes cartesianos. Marquen los puntos c y d para que se forme el rectángulo abcd. d. Escriban la ecuación de la recta M que incluye al lado que falta.
M: 72
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capítulo
Integración
COnTEnIDOs
16.17.18.19.20
28. Observen la gráfica y escriban lo pedido. y 6 5 4 3
30. Observen el gráfico y respondan. Candtidad de cuadras
27. Indiquen cuáles de las siguientes relaciones son funciones. a. A cada alumno se lo relaciona con su cantidad de hermanos. b. A cada persona se la relaciona con su mascota. c. A un número se lo relaciona con su mitad. d. A cada persona se la relaciona con su edad. e. A cada número entero se lo relaciona con su doble aumentado en uno.
y 40 30 20 10 0
l
m
m
x j v s d Días de la semana
a. ¿Cuáles son las variables? Clasifíquenlas. b. La relación ¿es función? c. ¿Cuál es el dominio? ¿Y la imagen? d. ¿Cuál fue el día en que caminó más cuadras? e. ¿Qué ocurrió el miércoles? f. Los puntos de la gráfica no se unieron, ¿es correcto? ¿Por qué?
2
31. Lean y resuelvan.
1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6
7 x
–2
Un electricista cobra $20 por la visita y $60 por cada hora trabajada. a. ¿Cuáles son las variables? Clasifíquenlas. b. Completen la tabla.
a. Dominio e imagen. b. Raíces. d. Máximo y mínimo. e. Intervalos de crecimiento. d. Intervalos de decrecimiento. e. ¿En algún tramo es constante?
horas trabajadas 0 1 2 3
320 7
29. Realicen el gráfico que represente la distancia de Cristian a su casa, durante el viaje. Cristian salió de vacaciones a las 10 horas rumbo a la costa. Manejó durante dos horas y decidió parar una hora para almorzar luego de recorrer 200 kilómetros. Continuó su recorrido y tres horas más tarde, luego de haber recorrido 250 kilómetros más, realizó un descanso de media hora para merendar y sacar fotos. Siguió su camino y llegó a su destino a las 17 horas, habiendo recorrido los 600 kilómetros que lo separaban de su casa.
Costo (en $)
560 c. ¿Cuál es la fórmula que corresponde a esta situación? d. ¿Cuánto cobrará si trabaja 8 horas y media? e. Si cierto día cobró $290 por su trabajo, ¿cuántas trabajó? f. Representen los datos en un sistema de ejes cartesianos. g. ¿Es correcto unir los puntos del gráfico? ¿Por qué?
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32. Indiquen para cada función la pendiente y
37. Obtengan la ecuación de la recta en cada
la ordenada. analicen si decreciente o constante. a. y = 8x – 5 b. y = –9x c. y = –12 – 3x d. y = 15x – 8
caso. Luego, representen las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos. a. Recta que pasa por el punto a = (–3;2) y la raíz es –2. b. Recta que pasa por b = (–1;–4) y la ordenada es 3. c. Recta que pasa por c = (–5;–3) y por el origen de coordenadas. d. Recta que pasa por d = (2;–4) y su raíz es x = –1.
la gráfica es creciente, e. y = 9 f. y = – __73 x + 1 g. y = –1 + __45 x h. y = __25 x – 2
33. Calculen analíticamente las raíces de las funciones de la actividad anterior.
34. Representen gráficamente las siguientes funciones. a. y = __51 x + 2 b. y = – __34 x – 1 c. y = 6x – 7 d. y = 2x + 6
38. Resuelvan.
e. y = – __73 x – 3 f. y = __25 x + __23 g. y = x – __21
a. Obtengan la recta M que pasa por (–1;5) y (–2;3). b. Hallen una recta T, paralela a M que pase por (3;2). c. Encuentren una recta S, perpendicular a M, cuya ordenada sea __21 . d. Grafiquen las rectas obtenidas en un sistema de ejes cartesianos.
h. y = 3x
35. Escriban la ecuación de cada recta y resuelvan. y 5
39. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
A
corresponda. Expliquen la respuesta. La recta R1 pasa por los puntos (–3;2) y (5;–1).
4 C
3 2
a. La ordenada de R1 es – __83 .
1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
6
x
B
–2 –3
5
D
–4
b. La pendiente de R1 es __87 .
( )
c. El punto 1;__21 pertenece a R1. d. La recta y = – __83 x + __53 es paralela a R1. e. La recta y = – __38 x – __21 es perpendicular a R1. f. La raíz de R1 es __37 .
a. ¿Cómo son las ordenadas? b. Encuentren, analíticamente, la raíz de cada recta.
36. Escriban la fórmula de la función y grafiquen. a. Pendiente: –3; ordenada: 6. b. Pendiente: 7; ordenada: 1. c. Pendiente: –2; ordenada: –5. d. Pendiente: 1; ordenada: 0. e. Pendiente: 0; ordenada: 4.
40. Encuentren la ecuación de cada recta teniendo en cuenta los datos y grafíquenlas en un mismo sistema de ejes cartesianos. a. Recta R1 cuya pendiente sea __31 y pase por p = (3;4). b. Recta R2 que pase por m = (–5;1) y n = (–2;3). c. Recta R3 paralela a y = __23 x + 5 que pase por (3;–1). d. Recta R4 perpendicular a y = – __25 x + 1 que pase por (–1;6).
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Función cuadrática
infoactiva Una función es cuadrática cuando su fórmula es: y = ax2 + bx + c a, b y c son números reales y a ≠ 0 • La curva que corresponde a una función cuadrática se denomina parábola. • El punto mínimo o máximo de la parábola se denomina vértice. • Las raíces son los puntos en donde la parábola interseca al eje x.
y = x2 – x – 2 y 2
La función es cuadrática.
eje de simetría
__ _ . El vértice es un mínimo, v = (21_ ;–11 4)
1
Las raíces son x = –1 y x = 2.
raíces –2
–1
0
1
2
3
El eje de simetría es x = 21_ .
x
La parábola decrece en (– ∞;21_ ) y crece en (21_ ;+ ∞).
–1
ordenada al origen –2
Tiene concavidad hacia arriba. vértice
y = –x2 + 4x – 3 y 1
–1
0
vértice raíces 1
2
3
4
x
El vértice es un máximo, v = (2;1). Las raíces son x = 1 y x = 3.
–1
El eje de simetría es x = 2.
ordenada –2 al origen –3
La función es cuadrática.
La parábola crece en (– ∞;2) y decrece en (2;+ ∞). eje de simetría
Tiene concavidad hacia abajo.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En la fórmula de una función cuadrática, ¿puede faltar el término x2? b. ¿Cuál es la ecuación del eje de simetría en y = x2? c. ¿Cuál es el vértice en y = –x2? d. Si una parábola es cóncava hacia abajo, ¿tiene un máximo o un mínimo? 75 Nombre:
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aCTIVIDaDEs Función cuadrática
41. Resuelvan. a. Completen las tablas y grafiquen las siguientes funciones. • y1 = x2 – 4 • y2 = __21 x2 – 2 x
y
x
• y3 = – __21 x2 + x
y
x
–2
–2
–2
–1
–1
–1
0
0
0
1
1
1
2
2
2
y
b. Observen los gráficos del ítem anterior y completen la siguiente tabla. Función
Vértice
Eje de simetría
Ceros
Int. de crecimiento Int. de decrecimiento
y1 y2
mente aCTIVa julián tiró una pelota hacia arriba. El siguiente gráfico muestra la altura en función del tiempo. a. ¿Qué tipo de función representa? b. ¿Qué representa el punto (5;6)? c. ¿Cuánto tiempo tardó la pelota en llegar nuevamente a las manos de Julián?
altura (m)
y3
7 6 5 4 3 2 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tiempo (en seg)
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Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones
infoactiva Dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas cada una, determinan un sistema de ecuaciones. La solución del sistema está formada por los valores de x e y que verifican las dos ecuaciones simultáneamente.
Se escribe una llave al principio para indicar que los valores de x e y deben verificar las dos ecuaciones. Cada ecuación de un sistema representa gráficamente una recta.
2x – 2y = –6 3x – y = –1
Entonces, y = x + 3 Entonces, y = 3x + 1 6 5
y= 3x + 1
y
4
(1;4)
2
y
=
x
+
3
3
–3
–2
1 –1 0 –1
1
2
3
4
x
Las rectas se intersecan en x = 1, y = 4. El conjunto solución del sistema se escribe S = {(1;4)} Clasificación de los sistemas de ecuaciones • Un sistema de ecuaciones es compatible determinado (S. C. D.) cuando tiene una solución. • Un sistema de ecuaciones es compatible indeterminado (S. C. I.) cuando tiene infinitas soluciones. • Un sistema de ecuaciones es incompatible (S. I.) cuando no tiene solución.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si las dos rectas de un sistema son paralelas, ¿cuál es el conjunto solución? b. Si las dos rectas se cortan en un punto, ¿de qué tipo de sistema se trata? c. Si las dos rectas de un sistema son coincidentes, ¿cuál es el conjunto solución? d. Si dos rectas se intersecan en el origen de coordenadas, ¿cuál es el conjunto solución? 77 Nombre:
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ACTIVIDADES Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones
42. Indiquen la solución de los siguientes sistemas y clasifíquenlos. a.
b.
y 4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 –2
x
Sol =
y
A B
4 3 2
A=B
1
–2 –1 0 –1
B
–3
c.
y
A
1 2 3 4 x
–4 –3 –2 –1 0 –1
–2
–2
–3
–3
Sol =
1 2 3 x
Sol =
43. Unan con flechas cada sistema de ecuaciones con la gráfica correspondiente.
{
{
__ 1 x + 2 = y
2x – 4y = 6
b. 5 __5
a. 3x – 6y = 3
3 x – y = 4
•
{
1 – __1 x = y
4 c. 3y – 6x = 9
•
•
y
y
y
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
–2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
x
–2 –1 0 –1
1 2 3 4 x
–2 –1 0 1 2 3 4 5 x –1
–2
–2
–2
–3
–3
–3
–4
–4
–4
44. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas.
{
x + 2y = –4
Dado el sistema: 2x + 4y = a a. Si a = –16, el sistema tiene infinitas soluciones. b. Si a = –8, el sistema no tiene solución. c. Si a = 16, el sistema no tiene solución. d. Si a = 3, el sistema es incompatible.
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ACTIVIDADES Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones
45. Escriban las ecuaciones que forman el sistema e indiquen la solución. y
a.
y
c.
B
4
4
3
3 A
2
2
1
1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 A B –2
x
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 –2
–3
–3
–4
–4
{
A:
B:
b.
y 4 3
{
A:
B:
Sol =
x
Sol = d.
B
y A=B
4
A
3
2
2
1
1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
x
–2
–2
–3
–3
–4
–4
x
{
A:
B:
Sol =
{
A:
B:
Sol =
46. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. a. Un sistema no tiene solución cuando las rectas tienen infinitos puntos en común. b. Si un sistema tiene infinitas soluciones, significa que las rectas no se cruzan. c. Los sistemas tienen única solución cuando se cortan en un punto. d. Si las rectas tienen un punto en común, el sistema es compatible determinado.
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aCTIVIDaDEs Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones
47. Resuelvan gráficamente los siguientes sistemas.
{
c.
{
{4x – 3y = –2
d.
{
2 . (y + 3) – 4 = 8x
a. 7y = 14x – 21
b. 3x + 4 = y
2 . (x + 1) – 14 = –8y 6y + __23 x = 15
2y = –3x + 10 3 __ 2x + y = 5
48. Escriban un sistema de ecuaciones con dos incógnitas que cumpla con la condición indicada en cada caso. Realicen los gráficos para ayudarse. a. Sol = {(7;–1)}
{
b. Sol =
{
{ ( –2;__41 ) }
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sistemas de ecuaciones
infoactiva Existen distintos métodos analíticos que permiten resolver un sistema de dos ecuaciones. Para resolver el sistema por el método de igualación, pueden seguir estos pasos.
{
2x – 2y = –6 3x – y = –1
y=x+3 y = 3x + 1
x + 3 = 3x + 1 3 – 1 = 3x – x x=1
1. Se despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones (en este caso y). 2. Se igualan las ecuaciones y se resuelve la ecuación.
y=1+3 y=4
3. Se reemplaza el valor obtenido de x en la primera ecuación.
S = {(1;4)}
4. Se escribe el conjunto solución. En la página 77 pueden ver resuelto este sistema en forma gráfica y comparar el conjunto solución.
Para resolver el sistema por el método de sustitución, se despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se reemplaza la expresión en la otra. Luego, se resuelve la ecuación que queda determinada.
Para resolver el sistema por el método de sumas y restas, pueden seguir estos pasos.
{
2x – 2y = –6 3x – y = –1
+
2x – 2y = –6 –6x + 2y = 2 –4x + 0y = –4
–6x + 2y = 2
Entonces, x = 1.
1. Por ejemplo, se multiplica por –2 a la segunda ecuación para luego sumar las ecuaciones y de esta forma eliminar la incógnita y. 2. Se considera el sistema equivalente y se suman miembro a miembro las ecuaciones para obtener el valor de la incógnita x.
y = 3 . 1 + 1, entonces, y = 4.
3. Para hallar el valor de y, se reemplaza x = 1, por ejemplo, en la segunda ecuación.
S = {(1;4)}
4. Se escribe el conjunto solución.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La solución de un sistema es Sol = {(1;2)} y gráficamente se obtuvieron dos rectas paralelas. ¿Puede ocurrir esta situación? b. En el método de igualación, ¿hay que despejar siempre la misma incógnita de las dos ecuaciones? c. En el sistema formado por y = 2x + 3, y = x + 1, ¿cuál método conviene aplicar? 81 Nombre:
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ACTIVIDADES Sistemas de ecuaciones
49. Resuelvan los siguientes sistemas aplicando el método de igualación. Clasifíquenlos.
{12x – 4y = 9
{3x + 10y = –22
a. –x – 3y = 3
d. 36x + 8y = 2
{–x + 3y = –1
{
__ 1 x + 3y = 1
e. 2 x + 2y = 1
b. 4x – 12y = 4
{
{x + 3y = 6
4x + 6y = 3 –2x – 3y = – __21
c.
f. –x – 6y = 12
50. Resuelvan los siguientes sistemas aplicando el método de sustitución. Clasifíquenlos.
{6x – 4y = –6
{2x + 3y = 3
a. 5x – 6y = 3
d. x + y = 4
{
–x + 3y = –1 b. 4x – 12y = 6
{2x + 3y = 12
e. 3x + 2y = 13
{2x + 8y = 12
c. x + 4y = 6
{x + 5y = 10
f. 2x – 2y = 6
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ACTIVIDADES Sistemas de ecuaciones
51. Resuelvan los siguientes sistemas aplicando el método más conveniente. Clasifíquenlos.
{3x + y = 5
{5x – 8y = 2
a. x – 2y = 11
d. –9x + 19y = 1
{–3x + 4y = 1
{x = y – 1
b. 2x + 7 = y + 6
e. x + 2y = 13
{4x + 3y = 10
{x + 5y = –1
c. 7x – 2y = 3
f. –2x –10y = 2
52. Calculen el valor de a para que los sistemas tengan la solución indicada.
{3x + 8y = 5
{ax – 3y = 0
a. –3x Sol = (–1; 1) –ay = –4
c. 4x – y = 0
{
{2x + ay = 7
2x + 3y = 4y – 3
b. Sol = (0;3) 1 y = 1 ax + __ 3
d. 5x – y = 9
Infinitas soluciones.
Sol = (2;1)
53. Calculen analíticamente las intersecciones de las siguientes rectas. a. y = 5x + 4; y = –x – 2
b. y – 2x + 3 = 0; y – 3 = 3x
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aCTIVIDaDEs sistemas de ecuaciones
54. Resuelvan las siguientes situaciones planteando el sistema de ecuaciones correspondiente. Utilicen el método de resolución analítica más conveniente. a. Por la compra de 18 lápices y 35 lapiceras se pagaron $282. Si se hubiesen comprado 25 lápices y 16 lapiceras iguales, se habría pagado $196. ¿Cuánto cuesta cada lápiz? ¿Y cada lapicera?
b. Marcos tiene sus ahorros en billetes de $10 y $2. Si en total tiene 42 billetes que suman $308, ¿cuántos billetes de $10 tiene Marcos? ¿Y de $2?
c. La diferencia entre el doble de un número y el triple de otro es igual a –14. Además, la suma entre el triple del anterior del primer número y el segundo es –2. ¿Cuáles son los números?
d. Se compraron dos libros y se gastaron $130. Si uno cuesta la cuarta parte de lo que cuesta el otro, ¿cuánto cuesta cada libro?
e. En el estacionamiento de un supermercado hay 145 autos. Algunos tienen dos puertas y otros, cuatro. Si en total hay 400 puertas, ¿cuántos autos de cada tipo hay?
f. En una bicicletería hay bicicletas y triciclos, que en total suman 73. Si se cuentan 188 ruedas, ¿cuántas bicicletas y cuántos triciclos hay?
mente aCTIVa Un ómnibus parte de la ciudad de Córdoba y otro de la ciudad de Mendoza, con el mismo destino. Los dos viajan a una velocidad constante y en un momento del viaje, se encuentran a la misma distancia de su destino. Las siguientes funciones describen la distancia de cada ómnibus al destino en función del tiempo. Rc: y = –52x + 710 Rm: y = –90x + 1 090 a. ¿Qué tipos de funciones describen sus recorridos? b. ¿En qué momento se encuentran? ¿A qué distancia del destino?
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3
capítulo
Integración
COnTEnIDOs
21.22.23
57. Completen.
55. Observen el gráfico y respondan. y
a. El vértice es el punto
1
–3
–2
–1
o
0
1
b. El eje de simetría es una recta vertical que
3x
2
de una parábola.
–1
pasa por el
.
–2
c. La
–3
donde la parábola corta al eje y.
es el punto
d. Los puntos donde la función corta al eje x a. Escriban la ecuación del eje de simetría. b. Indiquen las coordenadas del vértice. c. ¿Cuáles son los ceros de la función? d. Escriban el intervalo de crecimiento y de decrecimiento.
56. Observen los gráficos e indiquen los ceros, el vértice, el eje de simetría y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada función. a. y
2 1 –3 –2
–1 0 –1
1
2
c. y = x2 – 2x d. y = –x2 + 4x
Raíces
Ordenada
Eje
c d
60. Marquen con una X las fórmulas que corres-
1
ponden a una función cuadrática.
–1 0 –1
1
2
–2 y 3
3
4
5
x
a. y = x + 3
c. y = __21 x2 + 2x + 1
b. y = 3 + x2
d. y = __23 x + 4
61. Grafiquen cada conjunto de parábolas en
2 1
–2
completen la tabla. a. y = x2 +3 b. y = –x2 + 4
b
2
–1 0 –1
59. Grafiquen las siguientes funciones. Luego,
Vértice
y 3
–3 –2
cumpla con las siguientes condiciones. • El vértice de la parábola es (1;3). • Los ceros son (–1;0) (3;0). • La ordenada es el punto (0;2).
a
b.
c.
.
58. Construyan la gráfica de una parábola que
3 x
–2
–3 –2
son los
1
2
3 x
un mismo sistema de ejes cartesianos y respondan. a. y = x2 b. y = x2 2 y=x +1 y = (x – 1)2 y = (x –2)2 y = x2 + 2 c. Respecto a los gráficos, ¿qué relación hay con las ecuaciones? 85
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62. Resuelvan.
El eje de simetría de la parábola y = __21 x2 – 2x – 6 es x = 2. a. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice? b. ¿Cuál es la ordenada al origen? c. ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la función? (–6;0) (6;0) (–2;0) d. Construyan la gráfica de la parábola utilizando los datos obtenidos.
63. Marquen con una siguiente sistema.
X la solución del
{5x2x –+ 1y == y13
a. (–1;2)
c. (2;9)
e. (3;–5)
b. (1;–2)
d. (5;3)
f. (–2;–9)
64. Resuelvan los siguientes sistemas usando el método más conveniente y luego verifiquen la solución con el método gráfico. Clasifíquenlos.
{x – y = 4
a. x + 2y = –5 b.
{
– __21 x – __32 y = 1 1 1 1 __ __ ___ 4 x + 5 y = – 10
{x – 6y = 8
c. 5x – 3y = 4
d.
66. Resuelvan las siguientes situaciones. a. La abuela de Sofía tiene 67 años más que ella. El doble de la edad de Sofía, más la edad de la abuela suman 94 años. ¿Cuántos años tiene cada una? b. El perímetro de un rectángulo es de 31 cm. La altura es 5 cm mayor que el doble de la base. ¿Cuánto miden la base y la altura del rectángulo? c. Tamara y Agustina fueron a comprar al mismo quiosco. Tamara compró 5 paquetes de galletitas y 2 alfajores por $19. Agustina pagó $17 por 3 paquetes de galletitas y 4 alfajores iguales a los de Tamara. ¿Cuánto cuesta cada paquete de galletitas? ¿Y cada alfajor? d. La suma de dos números enteros es 16. El triple del primero más el cuádruple del consecutivo del segundo es igual a 59. ¿Cuáles son los números?
67. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas.
{
a. Si en un sistema de dos ecuaciones lineales,
{4x – 1 = 2y
ordenada, el sistema no tiene solución.
{5x + 2y = –1
tienen la misma pendiente y la misma orde-
6x – 1 = 4y 2x – __31 = __34 y
e. 2x + 5 = y
f. 9x + 4y = 1
las rectas tienen la misma pendiente y diferente
b. Si en un sistema de ecuaciones, las rectas
nada, el sistema es incompatible.
65. Escriban la ecuación que falta en cada
c. Si el sistema de ecuaciones no tiene solu-
sistema para que tenga la solución indicada.
ción, es compatible indeterminado.
a.
{
3x + y = 7
S = { (2;1) } b.
{
–2x – y = –10
S = { (4;2) }
c.
{
5 __ 2x – 1 = y
d. Cuando el sistema es compatible determinado, el sistema tiene dos soluciones.
68. Marquen con una X el sistema que tiene como solución el punto (3;2).
{3x + 2y = 7
c. –2x + 3y = 0
{–3x + 2y = –13
d. –2x – 3y = 4
a. 2x – 3y = –4 b. 2x + 3y = 0
{–3x – 2y = –13
{3x – 2y = 7
S = { (2;4) }
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3 capítulo
Autoevaluación 69. Observen el gráfico y respondan.
b. ¿Paró a descansar? ¿Cuánto tiempo? ¿A qué hora?
Distancia (en m)
El gráfico muestra la distancia que separa a un alpinista de la base de una montaña. a. ¿Cuánto tiempo caminó hasta llegar a la cima? y ¿A qué hora llegó?
c. ¿Cuánto tiempo le llevó el descenso? ¿A qué hora llegó nuevamente a la base?
900 800 700 600 500 400 300 200 100 0
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 x Tiempo (en h)
70. Escriban las ecuaciones de las rectas y grafíquenlas en un mismo sistema de ejes cartesianos. a. Recta S que pasa por los puntos (–1;3) y (–2;5). b. Recta R, perpendicular a la recta S, que pasa por el punto (1;4). c. Recta T, paralela a la recta S, que pasa por el punto (3;1).
71. Resuelvan. a. Representen en sus carpetas la función y = x2 – 2x – 3 en un sistema de ejes cartesianos. b. Indiquen la ordenada, el vértice, el eje de simetría, las raíces y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Marquen los puntos en el gráfico.
72. Resuelvan analítica y gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones y clasifiquenlo.
{
1 __ 3x + y = 3 –2x + 3__2 y = –3
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