MATEMÁTICA
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Gerente editorial Daniel Arroyo Jefe del área de Matemática Gabriel H. Lagoa Editoras Yanina Sousa Autores Roxana Abálsamo Adriana Berio Cintia Kotowski Lourdes Liberto Silvana Mastucci Nora Quirós Foto Activados: Laura Pezzatti Corrector de estilo Gabriel Valeiras
Coordinadora de Diseño Natalia Udrisard Diseñadora de maqueta Patricia Cabezas Diagramación Pablo Alarcón y Alberto G. Scotti para Cerúleo Ilustradores Wally Gómez Viñetas de humor: Claudio Kappel Fotografías Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Thinkstock Gerente de Preprensa y Producción editorial Carlos Rodríguez
Matemática 3. fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. 1a reimp. - Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 256 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados) ISBN 978-987-547-529-8 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Abálsamo, Roxana CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-529-8 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (Inadi) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición, primera reimpresión. Esta obra se terminó de imprimir en enero de 2014, en los talleres de Impresiones Sud América, Andrés Ferreyra 3769, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.
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matemática Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 711 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas. En formato binarizado, la sección Foto Activados conecta la matemática con la vida cotidiana a través de la fotografía. Foco y Mira son los personajes de esta serie. Les gusta mucho sacar fotos, principalmente de todo aquello que los hace recordar algún tema de matemática. Así, le encuentran sentido a todas las cosas que aprenden día a día en la escuela.
Mira
Foco
LOS capítulos incluyen las siguientes secciones y plaquetas:
Apertura: cada capítulo comienza con una actividad ilustrada relacionada con la foto que aparece en la sección Foto Activados. En la situación inicial de aprendizaje se introduce el tema del capítulo a través de una estrategia de resolución de problemas.
InfoActiva: brinda definiciones, clasificaciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido que facilitan la comprensión.
En el cuadro de contenidos aparecen los temas numerados para su fácil identificación.
Conector: invita a repasar conceptos explicados en páginas anteriores.
Test de comprensión: incluye preguntas básicas que permiten evaluar la comprensión de la teoría y revisar errores comunes.
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Actividades: para cada tema se proponen distintas actividades que están organizadas de manera secuencial (las actividades de cada capítulo llevan una numeración independiente a la de los otros).
Integración: incluye más actividades para resolver en la carpeta.
menteACTIVA: propone situaciones problemáticas con un mayor nivel de complejidad.
Autoevaluación: propone más actividades para que cada alumno pueda evaluar los conocimientos adquiridos durante el capítulo.
Trabajos prácticos: incluyen más actividades para practicar los temas del capítulo.
foto Foto Activados: en esta sección, Laura Pezzatti, especialista en el área de la matemática, ofrece una serie de actividades que conectan la matemática con la vida cotidiana a través de la fotografía. Foco y Mira presentan las fotos que obtuvieron para que podamos advertir cuánta matemática hay a nuestro alrededor.
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Índice general Capítulo 1: Números reales ...................... 8 1. Números enteros. .................................. 9 2. Números racionales. ............................. 11 3. Operaciones con números racionales. . 13 4. Potenciación y radicación. .................. 17 5. Operaciones combinadas. ................... 19 Integración ........................................... 23 6. Números irracionales. .......................... 25 7. Aproximación y notación científica. .... 27 8. Intervalos reales. ................................. 29 Integración ........................................... 31 Autoevaluación ................................. 33
Capítulo 4: Figuras planas ..................... 88 24. Circunferencia y círculo. ...................... 89 25. Ángulos inscriptos y semiinscriptos. ... 91 26. Puntos notables de un triángulo. ....... 95 27. Teorema de Pitágoras. ........................ 97 Integración ........................................... 99 28. Propiedades de los cuadriláteros. ..... 101 29. Propiedades de los polígonos. ......... 105 30. Construcciones geométricas. ............. 107 31. Perímetro y área. ............................... 109 Integración .......................................... 111 Autoevaluación ................................ 113
Capítulo 2: Lenguaje algebraico ........... 34
Capítulo 5: Razones y proporciones .. 114
9. Expresiones algebraicas. ..................... 10. Propiedad distributiva. ........................ 11. Cuadrado y cubo de un binomio. ....... Integración ........................................... 12. Ecuaciones I. ....................................... 13. Ecuaciones II. ...................................... 14. Problemas con ecuaciones. ................. 15. Inecuaciones. ....................................... Integración ........................................... Autoevaluación .................................
32. Razones y proporciones aritméticas. . 115 33. Propiedades de las proporciones. ..... 119 34. Proporcionalidad directa e inversa. ... 121 Integración ......................................... 125 35. Teorema de Thales. ........................... 127 36. Aplicaciones del teorema de Thales. . 131 37. Razones trigonométricas. .................. 133 38. Resolución de triángulos rectángulos. ....................................... 135 Integración ......................................... 139 Autoevaluación ................................ 141
35 39 41 43 45 49 51 53 55 57
Capítulo 3: Funciones .............................. 58 16. Interpretación de gráficos. .................. 17. Función. ............................................... 18. Función lineal. ..................................... 19. Ecuación de la recta. ........................... 20. Rectas paralelas y perpendiculares. ... Integración ........................................... 21. Función cuadrática. ............................. 22. Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones. ..................................... 23. Sistemas de ecuaciones. ..................... Integración ........................................... Autoevaluación .................................
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59 61 63 67 71 73 75
Capítulo 6: CONGRUENCIA y semejanza . 142 39. Congruencia y semejanza. ................. 143 40. Congruencia de triángulos y de polígonos. ................................. 145 41. Semejanza de triángulos. .................. 149 42. Construcción de figuras a escala. ..... 153 Integración ......................................... 155 Autoevaluación ............................... 157
77 81 85 87
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Capítulo 7: Movimientos
Trabajos prácticos ..................................... 212
en el plano ..................................... 158 43. Traslación. ......................................... 159 44. Rotación. ............................................. 161 45. Simetría central. ................................ 163 46. Simetría axial. .................................... 165 47. Eje de simetría de figuras planas. .... 167 48. Composición de movimientos. .......... 169 49. Homotecia. ......................................... 173 Integración ......................................... 175 Autoevaluación ............................... 177
Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo
Capítulo 8: Estadística .......................... 178 50. Organización de la información. ....... 179 51. Frecuencias. ........................................ 181 52. Intervalos. .......................................... 183 53. Gráficos. ............................................. 185 Integración ......................................... 187 54. Medidas de posición. ........................ 189 55. Media y moda en intervalos. ............. 191 Integración ......................................... 193 Autoevaluación ............................... 195
práctico práctico práctico práctico práctico práctico práctico práctico práctico
1 .............................. 2 ............................. 3 ............................. 4 ............................. 5 ............................. 6 ............................. 7 ............................. 8 ............................. 9 .............................
213 215 217 219 221 223 225 227 229
Control de resultados ................................ 231
Capítulo 9: Combinatoria y probabilidad ............................... 196 56. Factorial. Permutaciones. .................. 197 57. Variaciones. ....................................... 199 58. Combinaciones. ................................. 201 Integración ......................................... 203 59. Probabilidad. ..................................... 205 60. Probabilidades condicionadas. ......... 207 Integración ......................................... 209 Autoevaluación ................................ 211
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foto
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capítulo
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Números reales Contenidos 1. Números enteros. 2. Números racionales. 3. Operaciones con números racionales. 4. Potenciación y radicación. 5. Operaciones combinadas. 6. Números irracionales. 7. Aproximación y notación científica. 8. Intervalos reales. Excursión “Paseo Glaciares” $180 por persona 15% de descuento por pago en efectivo
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. La pareja de turistas quiere realizar la excursión a los Glaciares y revisan cuánto dinero en efectivo tienen disponible. a. Si la cuenta del bar es igual al 60% de lo que cuesta la excursión por persona (sin el descuento) más una propina del 10%, ¿cuánto abonaron? ¿Cuánto dinero les quedó para hacer la excursión si antes de pagar tenían $650 entre los dos? b. Modifiquen los datos de la situación para que luego de pagar en efectivo el bar y la excursión, les queden $102. c. Comparen las respuestas con las de sus compañeros. 8
a. 60% de $180 = $108; 110% de $108 = 118,80. $650 – $118,80 = $531,20. b. Por ejemplo, se puede decir que antes de pagar tenían $526,80 en efectivo. $526,80 – $118,80 – 0,85 . $360 = $102
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Números enteros
infoactiva El conjunto de los números enteros está formado por los números negativos, los positivos y el cero.
Propiedades de la potenciación y la radicación Propiedad
En símbolos
Producto de potencias de igual base.
an . am = an+m
Cociente de potencias de igual base.
an : am = an–m
Potencia de otra potencia.
(an)m = am.n
Propiedad distributiva.
(a . b)n = an . bn
Propiedad Simplificación de índices y exponentes. Propiedad distributiva.
(a : b)n = an : bn
En símbolos
____ a = √ a m : b con b ≠ 0 √ _____ _____ __ n __ __ n n . √ : a . b =√ n a b =√ n a √ √ a : b ___
n m
n:b
n
__
b √
Si n es par, a ≥ 0 y b ≥ 0.
Cálculos combinados Para resolver cálculos combinados se separa en términos con los signos + y –. Luego, se resuelven las potencias y raíces, a continuación las multiplicaciones y divisiones y, finalmente, las sumas y las restas. Si un cálculo combinado tiene paréntesis, se resuelven primero los cálculos que ellos encierran.
Divisibilidad Un número entero a es divisible por otro b (distinto de cero), cuando la división entre sus valores absolutos tiene resto 0. También se dice que a es múltiplo de b. El divisor común mayor (dcm) entre dos o más números es el mayor divisor positivo que tienen en común esos números. El múltiplo común menor (mcm) entre dos o más números es el menor múltiplo positivo que tienen en común esos números.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Se puede aplicar la propiedad distributiva de la potenciación con respecto a la suma de números enteros? b. ¿Se puede aplicar la propiedad distributiva de la radicación con respecto a la división de números enteros positivos? __ 4 8 c. ¿Cómo se simplifica el índice con el exponente en el cálculo √ 5 ? d. ¿Cuál es el dcm entre dos o más números primos? a. No, no existe ninguna propiedad que asegure esa igualdad. b. Sí. c. Se dividen el índice y el exponente por un mismo número; en este caso, por 4. d. El dcm entre números primos es el 1.
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ACTIVIDADES Números enteros
1. Apliquen propiedades para obtener una expresión más simple. 5 3 15 3–2 =b a. (a3 . a2)3 = (a ) = a b c. b3 : b2 =
__
__
4
_____
4 5 : √ b. a5 . b5 = (a . b) d. √ 4 a b = √ a : b
2. Resuelvan de dos formas diferentes. 2+2 4 a. 32 . 32 = 3 = 3 = 81
9 . 9 = 81
__ ___ ______ = . √ 25 . 25 b. √ 9 = √ 9 ____
23–1 = 22 = 4
c. 23 : 2 =
8:2=4
________
____
___
= 10 : 5 = 2 3 . 5 = 15 d. √100 : 25 = √ 100 : √ 25 __
= 15 = 2 √ 4 √ 225
3. Resuelvan teniendo en cuenta las propiedades. __ __ . √2 – 55 : 53 + ( 23 )2 = a. √2
__________
___
___
3 3 + 12 . 7 + √ – ( 33 )2 : 36 = d. √ 60 48 36 . √
41 23
________
__
__
________
. 625 e. –√ 4 . (–√ 9 ) + ( 23 )5 : 85 – √ 16 =
b. 315 : 313 + √5 – (3 + 20 . 3)0 = + 5 . 4
4
13 –3
3
________
____
____
. 125 – √ – ( –1 )3 + 320 = c. √ 27 125
____
3 f. – √ –27 – √ 324 – ( –2 + 3 )2 + 12 : ( 2 + 22 ) =
3
12 –14
4. Calculen el mcm y dcm en cada caso.
d. 84 y 140 =
mcm (36;1) = 36
mcm (84;140) = 420
dcm (36;1) = 1
dcm (84;140) = 28
b. 7 y 11 =
e. 600; 108 y 420 =
mcm (7;11) = 77
mcm (600;108;420) = 37 800
dcm (7;11) = 1
dcm (600;108;420) = 12
c. 495 y 525 =
f. 132; 18 y 22 =
mcm (132;18;22) = 396
dcm (132;18;22) = 2
a. 36 y 1 =
mcm (495;525) = 17 325 dcm (495;525) = 15
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Números racionales
infoactiva Un número racional es una expresión de la forma __ ba donde a y b son números enteros, con b distinto de cero. Todo número racional se puede expresar en forma de fracción o como expresión decimal. Para transformar una fracción en una expresión decimal se calcula el cociente entre el numerador y el denominador. 3 __ 4 = 0,75
Las expresiones decimales se clasifican en: • Exactas: tienen un número finito de cifras decimales. Una fracción irreducible tiene una expresión decimal exacta (E. D. E.), cuando los factores primos del denominador son potencias de 2, de 5 o de ambos.
3 = 1,5 ___ 1 = 0,2 __ 1 = 0,1 __ 2 10 5
• Periódicas: tienen cifras decimales que se repiten infinitamente. Pueden ser periódicas puras (todas sus cifras decimales son periódicas) o periódicas mixtas (tienen una parte decimal no periódica seguida de otra periódica). 12 – 1 = ___ 11 1,2 = _____ 9 9
Para pasar una expresión decimal periódica pura (E. D. P. P.) a fracción se escriben en el numerador todas las cifras, periódicas y no periódicas, y se resta la parte no periódica. En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período.
23 – 2 = ___ 21 0,23 = _____ 90 90
Para pasar una expresión decimal periódica mixta (E. D. P. M.) a fracción, se escribe en el numerador la parte periódica y no periódica y se resta la parte no periódica. En el denominador se escriben tantos nueves como cifras periódicas, y ceros como cifras no periódicas tenga la expresión.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.
3 a. La fracción ___ 50 ¿tiene una expresión decimal finita? b. ¿Cuál es la diferencia que existe entre una fracción y la que resulta de multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número? ¿Cómo son esas fracciones? c. El número 1,2345678… ¿es un número periódico? d. ¿Qué diferencia existe entre una expresión periódica pura y una mixta?
a. Sí, porque 50 = 2 . 52. b. Ninguna. Son fracciones equivalentes. c. No, porque no existen cifras decimales que se repitan. d. En una expresión periódica pura, las cifras decimales se repiten periódicamen11 te, y en una mixta, hay una parte periódica y una no periódica. Nombre:
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ACTIVIDADES Números racionales
5. Escriban la expresión decimal de los siguientes números racionales. 8 __
a. 3 =
25
2
2,6 0,4 c. __5 = e. ___ 27 =
12 b. ___ 6 =
2
d.
__98 =
0,8
f.
2,925
195 ____ = 90
2,16
6. Coloquen una X donde corresponda. Fracción Expresión decimal... ... exacta
3 __ 5
75 ___ 40
___ 112 44
X
... periódica pura
126 ____ 54
12 ___ 45
X
X
X
... periódica mixta X
7. Escriban la fracción que corresponde a cada expresión decimal. 21 a. 10,5 = 2
c. 2,3 =
–2 b. –0,4 = 5
d. 3,6 =
7 3
e. 1,42 =
11 3
f. 1,15 =
64 45 52 45
8. Completen con los números que faltan para obtener fracciones equivalentes.
21
35
15
105 7 = _____ a. ____ = _____ = _____ 165 55 33
11
105 210 30 _____ c. ____ = _____ = _____ 112 = 8
18
36 3 108 = _____ b. ___ = _____ = _____ 24 12
2
56
16
15
5
30 10 = _____ d. ___ = _____ = _____ 54 27 9
72
18
9. Ordenen de menor a mayor los siguientes números racionales. 17 –3,2; – __ 27 ; __35 ; 1,6; –3,21; __23 ; – ___ ; 1,42 5
5 7 17 3 – __ < – ___ < –3,21 < –3,2 < –1,42 < __ < 1,6 < __ 5 2 2 3
10. Escriban un número que se encuentre entre los números dados. a. 3,4 b. __53
3,5 0,7
3,8 __54
c. –0,3
–0,295 –0,29
e. 0,7
0,76
__97
d. 4,6
4,65 4,7
f. –2,5
–2,4
–2,3
11. Simplifiquen para obtener la fracción irreducible en cada caso. 84 ____
a. = 108
7 9
23 13 858 322 = = b. ____ c. ____ 330 266 19 5
15 4 500 = d. _____ 4 800 16
17 2 584 e. _____ = 3 192 21
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Operaciones con números racionales
infoactiva Adición 4 3 1 __ __ __ 3 + 9 = 9 +
Sustracción 4 7 __ __ 9 = 9
4 8 1 __ ___ __ 5 – 2 = 10 –
Equivalentes
5 3 ___ ___ 10 = 10
Equivalentes
9 es el mcm entre 3 y 9.
10 es el mcm entre 5 y 2.
Multiplicación
División
1
2
2
4 . __ 4 5 8 6 __ __ ___ __ 9 : 6 = 9 5 = 15
4 . 10 4 10 2 __ = ______ = __ 5 . ___ 3 12 5 . 12 1
3
3
Antes de realizar la operación, se puede simplificar cualquier numerador con cualquier denominador.
La división es igual a la multiplicación entre el primer número y el inverso multiplicativo del segundo.
División de expresiones decimales Para dividir dos expresiones decimales, se transforma la operación en una división donde el divisor es un número entero.
. 10
En este ejemplo se multiplica por 10
16,86 : 1,2 = 168,6 : 12 = 14,05 . 10
al dividendo y al divisor para que este último sea un número entero.
Operaciones combinadas con fracciones y expresiones decimales Para resolver una operación combinada con fracciones y expresiones decimales, se puede pasar cada expresión decimal a fracción. Luego, se resuelven las operaciones separando previamente en términos.
En la página 11 pueden repasar cómo se pasan a fracción las expresiones decimales.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para multiplicar dos fracciones, ¿se puede simplificar antes de hacer la operación? ¿Se obtiene el mismo resultado si se simplifica luego de hacer la operación? b. En la división de números racionales, ¿se cumple la propiedad conmutativa? c. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de __53 ? ¿Y de 5? d. ¿Cómo se resuelve un cálculo combinado con fracciones y expresiones decimales? 5 3 1 . a. Sí, es equivalente. b. No. c. El inverso multiplicativo de __ es __ . El inverso multiplicativo de 5 es __ 5 5 3 d. Por ejemplo, se pueden pasar las expresiones decimales a fracción y luego se resuelve.
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ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
12. Completen con la operación que corresponde para obtener el resultado indicado. 3 7 7 a. ___ : __ = ___ 12
18
2
21 c. __ 37 . : __29 = ___ e. – __ 35 2
25 3 ___ ___ 15 = – 3
49 14 12 . + = ___ b. ___ ___ d. __3 – __1 = 1 f. – __ 2 – 7
18
3
2
4 – __32 = ___ 15
5
2
13. Resuelvan. 31 ___ 35
(
( )
e. – __32 . __ 25 : __25 + __43 ) – – __41 =
6 a. __53 + __32 . ___ 14 =
11 – ___ 12
(
)
b. __53 . 2 + __43 : __ 34 =
(
) ( )
1 3 1 . __ f. __35 + __ + __ 8 – – __ 4 = 2 4 3
99 49 ___ ___ 12 80
[ (
(
c. __35 – __ 41 + 2 . __53 ) =
(
)
)]
6 2 g. 3 + __51 . 3 – 2 + __53 : ___ : ___ 15 = 25
13 1 __ ___ 4 60
{ [ (
(
15 d. __25 + __ 43 – __53 . ___ 2 ) : 3 =
)
] }
h. 4 + __35 . 2 : 11 + __52 . __23 : 6 =
4 5 ___ __ 15 4
14. Indiquen si las siguientes igualdades son verdaderas. En caso de no serlo, escríbanlas correctamente. .4 a. __52 : __34 = 2_____ 5 . 3
No.
4 __ 2 3 2 : __ = . __ __ 5 3 5 4
13 c. __52 + __41 : 3 = ___ 20 : 3
2 + __ 1 : 3 = __ 2 + ___ 1 __ 5 4 5 12
__ __ 53 + 2 __ 53 1 d. _____ = + __ 3 6 6
+3 2 b. 2_____ = __ 3 3 + 3
No.
No.
2 3 2 __ + __ = __ + 1 3 3 3
Sí.
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ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
15. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado.
(
) 51 5 . ( 2 + __41 ) = ___ 4
(
)
53 a. __23 + 5 . 2 + __41 = ___ 4
35 c. __23 – 5 . 2 + __41 = – ___ 4
b. __23 +
27 d. __23 – 5 . 2 + __41 = – ___ 4
(
)
16. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
(
(
)
)
67 1 __ . – ___ c. 0,3 – ___ 25 3 0,75 + 2 + 0,83 = 12
3 . 20 ___ a. 0,6 . ___ 7 + 14 1,5 = 3
b. 0,3 . __59 –
(
(
)
13 12 __ 52 + 0,3 . 5 = – ___ d. 3,5 : 3,8 + 3 + __25 : ( 7 – 3,3 ) = ___ 5 10
)
17. Escriban el cálculo y resuelvan. a. La suma entre el triple de 1,3 y su opuesto.
3 . 1,3 + (–1,3 ) = 2,6
b. El cociente entre el triple de 2,3 y su doble.
(3 . 2,3 ) : (2 . 2,3 ) = 1,5
c. La diferencia entre 3,6 y su inverso. 3 11 – __ 112 __ = ___ 3 11 33
d. El inverso de la suma entre 2,7 y su siguiente número entero. 9 (2,7 + 3)–1 = ___ 52
18. Escriban la expresión simbólica que corresponde. a. La diferencia entre a y su inverso, siendo a un número racional, distinto de cero.
1 a – __ a 1 b. El opuesto del inverso de la tercera parte de __ a .
–3a
c. El cociente entre un número racional a (distinto de cero) y su inverso.
1 2 a : __ a = a
d. El opuesto de la cuarta parte del inverso de a, siendo a un número racional distinto de cero.
1 1 . __ 1 = – ___ – __ 4a 4 a
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ACTIVIDADES Operaciones con números racionales
19. Resuelvan.
(
)
a. 0,2 . 3 + __59 – 1,5 . __54 =
(
)
(
(
) (
)
f. –3 . 1,3 – __37 – __ 59 . 0,3 – __35 =
27 ___ – ___ 2 15 5
(
)
5 2 __ b. __ 35 + 2,6 . ___ 13 – 0,3 + 6 =
)
1 g. 2 . 3 + __51 – 0,32 : 0,02 . ___ 56 + 3 =
109 7 __ ___ 35 6
(
{ [ (
)
15 3 . ___ c. 0,04 . ___ 19 – 1 = 2 + 2,1
}
]
)
23 2 . ___ h. –1,5 + 0,3 : __21 + ___ 12 : 0,3 : 0,25 43 =
13 2 __ – ___ 3 9
(
(
)
16 ___ 45
)
53 + 0,25 – (0,3 – 5,3) : 17 2 : __ ____________________________ i. = –0,52 . 90 + 2
2 . 1 __ d. 0,83 . ___ 15 2 + 3 : 1,6 + 1 =
1 – ___ 17
(
(
)
(
)
49 . 0,5 + 3 : 34 . __ 53 – 2,3 __ _____________________________ j. = ( 0,04 : 0,03 – 2 )– 0,2 + __31 . __32
)
7 __ e. 7,2 . 3,3 – ___ 23 3 + 2 : 0,3 =
[
17 13 ___ ___ 3 48
(
)]
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Potenciación y radicación
infoactiva Potenciación
( )
2 2 = __ 32
2 2 • __ 3 =
__94
Radicación
( )
( )
___
√ __5 ___ 27 3 • ___ √ 8 = __2
( )
1 2 = __ 2 • __ 3 3
9 • ___ 25 =
( )
–2 32 2 = __ • __ 2 3
0 2 = 1 • __ 3
3
3
La radicación también se puede escribir como exponente fraccionario. __ __ m n am = a n √
Propiedades Para la potenciación y la radicación de números racionales se verifican las mismas propiedades que para los números enteros. • Producto o cociente de potencias de igual base.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2 2 7 7–2–3 2 2+1+2 5 2 . __ = __ __ : __ : __ = __ __ 2 . __ 2 2 2 = __ 2 5 5 5 5 = __ 5 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4
• Potencia de otra potencia.
[ ( ) ] = ( __ 34 ) 2 __ 3 4
–1
= ( __ 3 4) –2
2.(–1)
• Simplificación de índices y exponentes.
2 5 ____ _____ ____ ___ ____ 6 15 2 6 15 5 3 __ 3 6 3 3 3 7 7 __ __ __ __ 2 2 = 2 = 2 = 8 1 = __ 7 8 8
√( )
√( ) ( ) ( )
√( )
( )
6
• Producto o cociente de raíces de igual índice. __
__
____
√ √ √
__
__
____
√ √ √
3 3 3 __ 3 3 __ = __ . __ = __ . __ __ 1 6 1 6 __ 4 : 2 4 : 2 3 3 2 2 9 9
• Raíz de otra raíz. _____ ____
√ √
____
____
√
√
3 729 2.3 729 6 729 ____ 64 = ____ 64 = ____ 64
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.
( )
a. ¿Es lo mismo __ 53 y __ 53 ? b. Si un número racional negativo está elevado a un número negativo, ¿el resultado es un número negativo? _____ _____ 6 4 3 c. ¿Es cierto que – __41 = – __41 ? d. La raíz de una suma, ¿es igual a la suma de las raíces? 2
√ (
2
)
√ ( )
a. No. En el segundo caso solo el numerador está elevado al cuadrado. b. No siempre; el exponente negativo indica que se debe invertir la base. c. No, porque la primera tiene solución y la segunda, no. d. No, la propiedad distributiva no se verifica para la suma. Nombre:
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ACTIVIDADES Potenciación y radicación
20. Unan con flechas las expresiones equivalentes.
__
√
( )
__ 1 a. __ 32 3
3 3 • __ 2 __ 3
__ 32
• 22
b. 2
__
__
√
3 1 • __ 2
c. √2 3
( )
( )
__ 31
d. __ 23
1 __
3 – 3 • __ 2
1 __
__
• √ 26 9
e. 2– 3
21. Resuelvan de dos maneras diferentes, aplicando propiedades cuando ___ posible. ___ sea
( )
√
( ) ( ) ( ) ( )
√ ( )
√ √ √ √ √ √ √ √ √
2–1 _______ ___ 9 4 ___ 3 __ 2 2 __ 1 __ __ 2 2 = __ . = . = 9 4 . ___ 5 6 5 25 3 36 a. __ 32 : __ 32 = 3 e. ___ 25 36 = ___ ___ 4 2 __ 1 = __ 1 __ : __ = 2 5 25 9 3 3 __ 2 2 __ ____ 9 3 1 __ __ 1 . __ 1 = ___ = 2 4 9 2 2 2 4 16 ___ b. __ 21 . __21 = 2 f. __ = 4 2 4 ___ 3 81 1 __ 1 = ___ = __ 2 4 16 16 ___ ____ _______ ___ ___ 4 3 2.(–1) __ 36 3 11 121 __ –1 2 = = __ : 11 . __ = __ 36 ___ 2 6 9 9 4 4 c. __ 23 = 2 g. ___ 121 : = ____ 9 4 –1 ___ 9 4 121 11 __ = __ = __ 9 4 4 16 ___ 2 ______ ___ 9 +22 25 5 11 121 _____ __ ___ __ = = = 2 4 6 36 16 d. __ 3 + __1 = 6 h. ___ 9 + 1 =
( ) (
)
[ ( ) ]
√
( ) ( 2 3 ) ( ) ( )
√ 16
22. Resuelvan aplicando–2 propiedades. –3
[ ( ) ( ) ]
( ) ( ) 3 __ 5
5 3 –1 3 2
a. __ 5 . __ 3 =
__ __1 –1 5 3 . __ = __ 5 3 f. ___ 81 2 =
( ) ( )
[ ( √ 16 ) ]
( )
–1 5 2 5 5 2 ____ 125 __ 2 . __ = __ . __ = 5 4 __ 21 2 –2 __ __ 5 2 2 2 8 b. ) . =
[ ( 5
( 2 ) ]
( )
2 __ __ 2 8 3 2 c. 32 . __ 32 : __ 32 = 3
[ ( ) ( ) ] ( )
(2+3).2–8
] ( )
( )
2 4 = __ 2 = __ 3 9
( )
( )
7–4 2–1 3–1 __ __1 7 1 : __ 1 = __ 1 2 4 4 4 d. 4 : __ 41 : __ 41 . 4 = 4 1 = ___ 16 –1+3+2 4–1 ___ 1 1 1 __ __ __ __1 –1 __1 3 : = 3 1 3 3 e. 3 . 3 . 3–2 : ___ 27 = 3 1 = ___ 27
[ ( ) ( ) ] [( )
[( ) ( )
( )
] √
( )
___
( √ ___ 1681 ) = __32 4
–1
___ __1 –2 1 22 . ( __ 1 ) = ( __ 1 ) = 5 __ 5 5 ) 2 . ( __ 51 ) = ( 5 ) –4 g. ( √5 4 1
__ . __
–2
___
____ __
√ ( )
4 81 32 ___ . __ . 3 81 . __ 2 ___ __ 2 16 h. 16 2 : 3 = = ___ 81 16 2–1–4 –1 __ 2 = –4 2 i. __ 32 . ( 0,6 ) : __ 23 = 3
√ √ ( ) ( ) 2
[ ( )
–1
] ( )
( )
1–2
( )
3 3 1+2+1 __ = __ 2 2 27 ___ 8
] 5( ) ( 3) 125( ) ) = _____ = ( __ 3 243
__
5 3 3 __ __ __ . __ . __ 3 3 –2 5 3 j. __ 53 2 . __ 35 . (0,6)2 = 5
[ ( ) √
–3
–1
–3
3–1+3
23. Resuelvan mentalmente. a. 2,4 . 102 =
240
b. 34,5 . 103 =
34 500
c. 0,25 . 103 =
d. 0,0008 . 104 =
250
1 e. 134 : ___ 2 =
8
10
f. 23 : 103 =
13 400 0,023
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Operaciones combinadas
infoactiva Para resolver un cálculo combinado con todas las operaciones vistas, pueden seguir estos pasos. ____
(–0,7) . ___ 10 . 20 + √ 0,4 : ___ 10 – 1,05 = 11 21 3
__ 10 7 ___ ___ . . : ___ – 10 21 20 + __ 4 10 – ___ 95 = 9 11 90 . ___ : ___ –______ 1343 10 . 20 + __ 2 10 – ___ 95 = 000 21 3 11 90 –___ 49 + ___ 22 – ___ 19 = 15 30 18 = – ____ 323 90
(
)
√
3
1. Se separa en términos. 2. Se pasan las expresiones decimales a fracción. 3. Se resuelven las potencias y raíces. 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. 5. Se resuelven las sumas y restas.
El siguiente cálculo se puede resolver de dos formas diferentes. ______
______
+ __ √___ 25 . ___ 36 – ( __ 5 3 – __ 7 = 2 7 4 16 4
– __ √___ 25 . ___ 36 – ( __ 5 + __ 3 7 = 16 7 4 ___ 4___ 2 √ 36 __ __ 25 ___ . √ ____ ____ 3 + __ 7 = – 5 – __ √ 4 2 7 4 √ 16 __ . __ 5 6 – __ 5 – __ 3 + __ 7 = 4 2 2 7 4
)
______ ___ 25 . ___ 36 – ___ 33 = 16 4 28 ____ ____ 225 – ___ 33 = 16 28 ___ 15 – ___ 33 = ___ 18 4 28 7
√ √
)
___ – __ – __ 15 5 3 + __ 7 = ___ 18 4 2 7 4 7
El siguiente cálculo se puede resolver aplicando propiedades de la potenciación y la radicación. ____
√
__
___
. ___ : ( __ – √ ( __ 2 + ( __ 3 3 __ 5 10 = 4 √2 7) 2 ) ___ 2) __ 8 2 254 = ( __ 27 )4 + ( __ 32 ) – √ ___ 4
8
10
8
( )
2 – __ __ 2 + __ 9 5 = 4 2 7 33 ___ 4 + __ 9 – __ 5 = – ____ 49 4 2 196
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En los cálculos combinados con potencias y raíces, ¿en qué orden se deben resolver las operaciones? __ __ ? b. ¿Cuál es el resultado de √8 . √2 3 4 __ c. El cálculo 7 + 2,7 , ¿se puede resolver de dos formas diferentes?
(
)
a. Primero se resuelven las potencias y raíces; luego, las multiplicaciones y divisiones y finalmente, las sumas y restas. b. Es igual a la raíz cuadrada de 16, que es 4. c. No, ya que no se puede aplicar la propiedad distributiva. Nombre:
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ACTIVIDADES Operaciones combinadas
24. Resuelvan.
( )
(
(
–1 23 a. __ 31 . 3–2 – __32 . __ 21 + 6 = –4 d. __65 . 0,416 – 0,25 . 2 – __45 = ____ 144
)
)
( )
(
)
1 e. __83 . 0,4 + __65 . 1 – __23 = – __ 4
b. 0,4 . __ 45 + __23 . __ 34 – 2,16 = 1 2
__
√
( )
___
√
2 4 __ c. __58 . __45 + __ 21 . __38 – ___ 16 9 = 3
. –1 __3 . f. ___ 25 16 5 + 8
__62 –
17 __25 = – ___ 8
25. Expresen en lenguaje simbólico y luego resuelvan. a. La diferencia entre la suma de 0,3 y 0,02 y la suma entre 2 y el opuesto de 1,21 . 7 (0,3 + 0,02 ) – [2 + (–1,21 )] = – ___ 15
b. La raíz cuadrada de la diferencia entre 1,89 y la suma de 0,7 y el opuesto de __21 . _________________
√
[
( ) ]
13 1 = ___ 1,89 – 0,7 + – __ 2 10
1 y 0,185 . c. La raíz cúbica del producto entre el opuesto de ____ _________ 625
√
3 5 1 . ___ = – ___ 1 – ____ 15 625 27
23 d. La suma entre la raíz cuadrada de __25 al cuadrado y el producto de 2,3 y el inverso de ___ . ____ 2 2
√( )
5 27 2 = ___ + 2,3 . ___ __ 2 10 23
e. La suma entre __35 y el producto entre 0,7 y su inverso.
9 5 __ + 0,7 . __ = 7 3
8 __ 3
f. El cuadrado de la suma entre __53 y su consecutivo. No es posible porque los números racionales no tienen siguiente.
26. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado. ___
( ) √
4 . 1 – ___ 127 a. __58 . __38 + __ 25 5 = ____ 45 32
(
___
(
d. __58 . __38 + ) ( √
4 . 1 – ___ 22 b. __58 . __38 + __ 25 5 = ___ 9 32
___
√ ) ___ 4 . 56 √___ 25 5 ) = ___ 45
4 . 1 – ___ 179 c. __58 . __38 + __ 25 5 = ____ 9 32
1 – __ 32
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ACTIVIDADES Operaciones combinadas
27. Resuelvan.
{ [ ( )
( ) ( ) ( )
]}
__ 2 2 –1 1 29 59 a. 2 – __ 23 – __ 23 + __ 51 = ___ e. __ 53 : __ 35 . ___ 25 2 + 3,2 = ___ 81 20 9
___
___
{ √ [ ( √ ) ] }
__
{ [ (
) √ ] }
2 16 1 –1 f. __ 81 – __ 23 + __45 + ___ 16 = – ____ 123
3 36 11 __ ___ b. __23 – ___ 25 + 3 = __ 7 4 – 7 – 49
{
[ ( ) ]
___
{ √
}
[ (
)]
}
–1 251 64 g. 03 + ____ 100 – 2 + __ 23 + __72 – __ 43 = – ____ 100
3 –2 2 4 – __21 __ c. 0,42 . __ 52 . ___ 25 = 5
{ [ (
) (
)]
{ [ (
}
}
]
)
51 10 12 1 2 7 20 __ ___ ___ __ – __ d. __ 63 – ___ 71 = ___ h. 0,6 + __41 : __ 53 + 2 . ___ 7 – 1 + 3 + 14 41 + 1,5 : 7 = 6 21
mente activa Observen los ejemplos y respondan. 7 3 1 + __ 1 + __ __ __ 1 = __ 1 + __ 1 = __ 2 4 4 2 4 8 8 ¿Qué estrategia pueden utilizar para resolver los siguientes cálculos? 1 + __ __ 15 31 __ 1 + __ 1 + ___ 1 = ___ 1 + __ 1 + ___ 1 + ___ 1 + __ 1 = ___ 2 4 8 16 2 4 8 16 32 32 16
21 Nombre:
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ACTIVIDADES Operaciones combinadas
28. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible.
(
)
____
{ [ ( ) (
√
( )
128 ____ 45
)]
}
–1 9 __ 21 3 e. __ 41 – ____ 225 – – __ 5 + 0,2 : 0,17 =
3 16 –1 8 2 3 ___ + – __ : 1,6 = a. __ 94 : ___ 18 3 : (–0,6) – – 27
25 – ___ 3
[
________
( ) ]
_________
{ [ ( √
( )
–1 1 __ 31 . b. ( –2 )–3 + – ___ + __ 32 = 64 √1 – 0,84
)] }
5 6 1 __ + __ f. – – 3–2 – __ 23 + __41 + ___ 12 3 – 9 =
27 ___ 20
7 – __ 6
______
√
c. __ 65 +
______
√
19 ___ + ___ 64 81 : 36
[
16 ___ – 3 – __52 . 9
{ ( ) ( ) [
( __ 35 ) ] – ( __ 35 ) = 2
]}
2 __ 21 49 2 49 __ 23 ___ g. ___ : + 3 – ( – 1 ) = 0 ,6 9 9
2
17 11 __ – ___ 3 6
[ (
___
___
√ ) ( √
)]
( )
–1
4 . ____ 3 . __ 2 d. 2 + 0,2 + ____ 100 441 + __ 2 3 = 4
90 ____ 617
{
( )
___
[ ( √
) ] }
–2 –1 144 6 1 1 __ __ + __ h. __ 23 – __ 53 – __ 35 . – ____ 2 – 2 – 5 = 100
62 – ____ 225
mente activa Santiago y Sabrina tuvieron evaluación de Matemática. Una de las actividades era resolver el __ 3 __ 5 . __ 3 __ 1 1 __ cálculo 5 + 2 5 + 8 . Cuando terminaron, comentaron los resultados. En ese cálculo, Santiago y Sabrina, __ obtuvo como resultado ___ 28 58 . 25 a. ¿Cuál de los chicos lo resolvió correctamente? b. ¿Qué error pudo haber cometido quien no lo resolvió correctamente?
√
Sabrina resolvió el cálculo correctamente, el error de Santiago fue que no realizó la separación de términos en forma adecuada. 22
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1
capítulo
Integración
Contenidos
1.2.3.4.5
29. Apliquen las propiedades para obtener la expresión más simple. 5 __ __ __ 1 . a3 = 6 a. a2 . a12 = a14 a f. √a 3 5 __ b. a3 : a5 . a = a–1 a g. ( a5 ) = 3 5 __ __ 3 __ c. a0 . a3 : a0 = a3 a h. √ a . √ a = 6 __ )4 = 2 d. a12 : a20 : a32 = a–40 a i. ( √ a __ 1 __ 37 ___ __ __ 4 . √ a5 = 12 e. ( a4 )4 = a a j. √ a . √ 3 a 30. Resuelvan los cálculos combinados. __ __
. √5 – 4 = 9 a. 213__ :2 10 + √5 4 )2 3 2 ( + 2 . 2 + 30 = 658 b. √_______ 5 3 c. √ 432 – ( 34 )5 : 318 + 5 . ( –3 ) = –12 ___ . 4 __ ____ 3 3 3 )2 ( d. √ __________ 54 4 = 12 . √ + 16 : 165– √100 2 e. √ 45 + 5 . 11 – 10: 10 – 32 = –9 ___
f. 317 : 315__+ √ 16 – (–5)2 = 940 ___ . √3 g. √_________ 27 – (–6)2 . (–2) : (–2)2 = 27 h. √30 – 152 : 15 + 3 . (–5) = –24 + 3 . 2
i. (42__ )3 : (22)5 + (–6) . 3 + (–4)2 = 2 2 j. ( √___________________ 1 8 )+ 73 : 7 – (185 – 43)0 = 49 3 k. √ 102 + 42 + (–5) . (–20) – (23)4 : 210 + (–6) = –4
31. Hallen el dcm y mcm entre los siguientes números. a. 48; 54 b. 60; 75 c. 15; 18; 24 d. 12; 10; 4 e. 392; 28; 147
f. 24; 20 g. 90; 45 h. 360; 84; 60 i. 735; 245; 70 j. 66; 77; 33
a. 6; 432 b. 15; 300 c. 3; 360 d. 2; 60 e. 7; 1 176 f. 4; 120 g. 45; 90 h. 12; 2 520 i. 35; 1 470 j. 11; 462
32. Escriban como fracción irreducible las siguientes expresiones decimales. 3 a. 0,12 = 25
f. 12,7 =
115 9
381 b. 15,24 = 25
g. 9,16 =
55 6
153
25
11
3
25
3
c. 6,12 = d. 3,6 = e. 8,3 =
h. 3,21 =
i. 11,4 =
j. 5,23 =
289 90 103 9 157 30
33. Escriban la expresión decimal que corresponde a cada fracción. Luego, clasifíquenlas. a. __23 = 1,5; finita 113 = 1,25 ; b. ___ 90 p. mixta c. __ 57 = 1,4; finita
13 1,4 ; d. ___ 9 =
p. pura
e. __ 76 = 0,857142; p. pura
10 = 0,5 ; f. ___ 18
p. pura
34. Completen con <, > o =. a. 3,25 b. 3,4
3,25
>
17 ___ 5
=
f.
20 = ___ ___ 10 3 6
g. __97 > 9 < h. ___ 10
c. 2,24
<
d. __5 <
__37
i. 1,9
__25
j. 0,001
3 2 e. __5 <
2,24
0,7 0,98
=
2 <
0,0010
35. Simplifiquen para obtener la fracción irreducible en cada caso. 4 6 944 48 __ = 7 a. ___ f. _____ = __ 5 1 180 56 96 2 114 7 4 __ b. ____ g. _____ = ___ 10 3 020 216 = 9 992 248 8 = __ c. ____ 440 h. _____ = _____ 275 9 348 5 2 337 858 5 200 13 8 = __ = ___ d. ____ i. _____ 5 850 792 12 9 396 2 244 4 17 = __ e. ____ j. _____ = ___ 693 660 5 7
36. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El triple del cuadrado de dos tercios. b. El producto de tres medios y siete tercios, aumentado en uno. c. La suma entre el doble de 0,3 y tres cuartos. d. El opuesto del inverso de cuatro. e. El inverso de la diferencia entre menos 5 __ 1 –1 __ cinco cuartos y un medio. e. – 4 – 2
(
( )
)
2 3 7 3 a. 3 . __ 2 b. __ . __ + 1 c. 2 . 0,3 + __ d. –4–1 2 3 3 4
37. Resuelvan mentalmente.
a. 1,17 . 102 = 117
e. 4 : 10–4 = 40 000
1 b. 53,2 : 102 = 0,532 f. 13 . _____ = 0,013 1 000
c. 6 . 10–4 = 0,0006
1 g. 34,21 . ____ = 0,3421 100
h. 9 : 10–3 = 9 000 d. 4,5 . 10–2 = 0,045
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38. Lean atentamente y respondan.
42. Resuelvan aplicando propiedades.
Abigail compró 15 kg de alimento balanceado para alimentar a sus perras. Según las recomendaciones del veterinario, cada perra debe comer la misma porción todos los días. A una de las perras debe darle 1,5 kg de alimento diario y a la otra, 0,5 kg. a. ¿Qué cálculo debe realizar para saber cuánto alimento le queda luego de alimentar por primera vez a sus mascotas? ¿Cuánto alimento balanceado le quedó? 1,5 + 0,5 = 2; 13 kg b. ¿Para cuántos días más le alcanza la comida que quedó? Para 6 días más.
39. Resuelvan.
[ (
)
)
]
) ] { [ ( } ) ] { [ (
}
40. Resuelvan aplicando propiedades de la potenciación.
2 81 a. __ 53 . __ 53 = ____ 625 5 2 2 1 b. __ 31 : __ 31 = ____ 729
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ]
2 6 2 3 27 c. __ 32 . __ 32 . __ 23 . __ 23 = ___ 8 10 13 3 5 5 5 5 d. __ 2 : __ 2 : __ 52 . __ 2 = __ 2 ______ 4 ___ 3 3 . __ 33 e. 16 42 = __ ________ 4 6 5 5 25 2 f. __ 2 . ___ ) = __ 4 _____ 2 __ –2 9 1 3 g. ___ 16 . __ = __ 2 2
√ √( √ √( )
41. Lean y resuelvan.
a. Una familia gasta __53 de sus ingresos en comida, __31 en impuestos y servicios y el resto en gastos diarios. ¿Qué fracción de sus ingre1 sos la destina a gastos diarios? ___ 15 b. En las elecciones del centro de estudiantes de una escuela, las __52 partes de los votos fueron para la agrupación A, __41 para la B y el resto para la C. Si votaron 1 000 alumnos, ¿cuántos votos recibió cada agrupación? A: 400; B: 250; C: 350
)]
(
) ( ) √
{
d.
[ ]} __________ 3 5 __ + 25 . 2 = – __ 50 ( ) ( 2 )– √ 2
______ 5 3 . 27 8 + __ 23 : √ _______ ___ 3 . 125 . 8 – √25 √ ____
4
1 __ 51 : 53. 5 . ___ 25 = –15 ________ –1 3 27 1 . √1 – 0,84 f. (–2)–3 + – ___ + __ 32 = ___ 64 20 __ __ __ 12 10 9 ____ 125 g. __ 23 . __ 23 + __ 35 : __ 35 . __35 – √__ 2 = 27 ____ 4 3 2 5 1 5 25 h. __ 32 . __ 23 + __ 3 + 3 : __ 21 + 1 = ___ 9 _________ _____ 3 7 11 . __ 1 1 . 0 11 __ i. __ 54 – __ + 3 + __ = ___ 5 5 4 5 – 1 – 8 10
e.
[
√ √ [ ( ) ] √
√ ]
( )
( ) ( ) ( ) √( ) ( ) ( ) √
76 7 a. __ 23 – 0,3 + __41 . 0,6 + 1 : ___ 36 = ___ 7 113 b. 0,6 + __21 . 1,6 + __51 + 6 = ___ 15 17 5 1 ___ __ c. __ 23 + 0,2 . 5 . ___ 34 + 3 : 2 = 2 1 d. 2 . __ 53 + 0,25 + __ 32 : 71 + 0,06 : __21 = __ 5
(
[ (
309 7 ____ a. – – 2,90 – __ 5 + 1,3__ = 110 ____ __ 2 3 1 3 9 b. √ . __ 125 51 : __ 81 3 + __ 8 = __ 2 43 c. – 0,46 + – ( 1,4 + 2 ) + __ 23 = ___ 30
43. Expresen en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La suma entre la raíz cúbica del opuesto de __ 81 3 __ y el inverso de la diferencia entre 2,5 y 2 . b. La diferencia entre el opuesto del cuadrado de __23 y la raíz cuadrada de 0,04. c. La diferencia entre el cuadrado del opuesto de __ 23 y el cociente entre 0,3 y 0,2. d. El producto entre la raíz cuadrada de 0,1 y el cuadrado de la diferencia entre uno y 0,1 . e. El producto entre la raíz cúbica de 0,3 y la raíz cúbica de 0,1 . f. El cociente entre la raíz cuadrada de 1,7 y el cuadrado de 2. 5 g. El cociente entre la suma de 1,5 y __ , y el 2 triple de 0,4.
64 3 1 b. – 49 1 g. 3 1 f. __ ___ c. __ a. __ d. ____ e. __ 2 20 3 3 4 243
44. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
] ( __ 23 – 0,2 )+ 2 } : ___ 137 = { [ 3 b. { [ 1,16 – ( __ 35 + __41 ) ] : 0,583 + ___ 28 } : 2,75 = c. 2,6 + 5 – [ ( __ 23 + __31 ): ( __ 1 – 2,3 )+ 0,4 ] = _ 2 _______________ 5 7 7 . __ 2 __ 1 __ . . ___ d. { √ – ___ 10 : ( – 2 ) 5 : 8 + [ (–2) ] (–2) } 26 = ____ e. – { ( __ 23 + 0,2 ) – [ –0,2 – (0,04) ] . √225 } = ____ 16 1 ] . ( ___ f. { [ (–2) + √ – ___ 6 ) + __ 52 } : 3 = 64 g. __31 . { [ 1,2 – ( __ 53 + __52 ) ] : 0,3 + 0,09 }: 100 = ______ _________ 19 5 1 1 . __ __ __ h. { [ √( 2 + 3 ) 6 + __ 5 + ___ : (–3) ] } = 36 ___________ √ 6 5 5 __ i. [ √ 21 : 0,1 + 3,5 – __31 – ( – __2 ) ] : __ 3 = a. – ( 0,6 – 2,3 ) + __51 :
–1 2 __21
–3
3
–1
–1
__21
– __21
–1 –2
3
1
2
139 16 1 134 3 7 3 3 e. – ____ d. ___ f. – __ 1 g. __ h. ___ i. __ a. ____ b. __ c. – __ 5 21 18 81 2 3 52 4 7 24
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Números irracionales
infoactiva Los números irracionales son expresiones decimales con infinitas cifras decimales no periódicas. Un número irracional no se puede expresar como el cociente entre dos números enteros. __
3
__
π = 3,141592654… √ 2 = 1,414213562… √ 5 = 1,709975947… Se pueden generar números irracionales escribiendo las cifras decimales a partir de alguna regla de formación, para que no sean periódicas.
0,123456789...
1,112233445566... –0,135791113... __
en la recta numérica, pueden seguir estos pasos. Para representar el número irracional √5
1. Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 unidad (que se elige arbitrariamente) y 2 unidades. Por el __ . teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide √5
__
√5
2
1 __
2 12 + 22 = ( √5 )
2. Se dibuja una recta numérica donde se utilice como escala la unidad elegida. Con el compás, se toma la medida de la hipotenusa y con centro en 0 se traza un arco. El punto __ . que queda determinado representa al número √5
__
√5
0
1
2
Números reales El conjunto de los números reales ( ) está formado por todos los números racionales y los irracionales. El conjunto de los números reales es: • Denso: entre dos números reales siempre existe otro número real. • Continuo: a cada punto de la recta numérica le corresponde un número real.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La raíz cuadrada de 11, ¿es un número racional o irracional? b. El número 1,357911... ¿es irracional? ¿Cuál es la regla de formación? c. Un número irracional, ¿pertenece al conjunto de los números reales? d. ¿Cuántos números reales existen entre 1 y 2? ¿Y entre 1,3 y 1,4? a. Irracional. No se puede expresar como el cociente entre dos números enteros. b. Sí, tiene infinitas cifras decimales no periódicas. c. Sí. d. Infinitos números, porque el conjunto de los números reales es denso.
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ACTIVIDADES Números irracionales
45. Marquen con una X según corresponda. Número
3
Racional
___
___
27 √
3,4 X
√24
__
__ 2 √ 2
–3 . π
1,010101…
X
1,010203…
X
Irracional
1,010203 X
X X X
X
46. Representen en la___recta numérica los siguientes números irracionales. ___ __ ___ a. √3
b. – √13
c. √17
d. – √29
0
Solución gráfica.
47. Escriban tres números irracionales. Expliquen la regla que usaron para generarlos.
Por ejemplo: 5,010010001...; 3,212012001...; 2,4681012...
48. Escriban los números enteros entre los cuales está comprendida cada expresión. __
1 a. < √3 < –10 b. <
2
___ < –9 – √85
___
< c. –5 < – √19
d.
___
7 < 2 √ < 15
49. Resuelvan aplicando propiedades. __ __
–4
e.
__
0 < __1 √3 3 <
1
___
8
+ 1 < –2 f. –3 < – √12 __
__
__
__
5 = 2 . √3 a. √ 2 . √ 2 d. ( √2 2 . √ 4 ) . ( √ ) = 12 10
2
3
3
__
__
. ( √5 + b. √5
___ _____ ___ 3 3 ) : ) = 15 √20 e. ( √ 1 125 –√ 72
__
3 = 3 9 √
__
___ + c. √3 . ( √27
___ ___ 4 8 12 ) = 21 482 f. √ 6 . √
10
__
___
6
__
5 : √ √ 6 + √75 3 3 = 41
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Aproximación y notación científica
infoactiva En algunas situaciones no es necesario considerar todas las cifras decimales de un número. Para aproximar un número se pueden utilizar dos métodos: el truncamiento y el redondeo. Truncar un número significa “cortar” ese número en una cifra pedida y desechar las siguientes.
2,346 aproximado por truncamiento a los décimos es 2,3. 2,346 aproximado por truncamiento a los centésimos es 2,34. Redondear un número significa conservar las k cifras después de la coma y desechar las demás teniendo en cuenta que: • Si la primera cifra desechada es mayor o igual que 5, se suma una unidad a la última cifra que se conserva; • Si la primera cifra desechada es menor que 5, la última cifra que se conserva queda igual.
2,346 aproximado por redondeo a los décimos es 2,3. 2,346 aproximado por redondeo a los centésimos es 2,35. Notación científica Un número está escrito en notación científica cuando está expresado como el producto entre una potencia de 10 y un número mayor o igual que 1 y menor que 10.
La unidad astronómica (UA) es una unidad de longitud igual a 149597870700 m y equivale aproximadamente a la distancia media entre la Tierra y el Sol. Esa distancia se puede expresar de la siguiente forma, usando la notación científica. 149597870700 = 1,49597870700 . 1011 Por ejemplo, para ingresar el número 1,2 . 104, en algunas calculadoras se pulsan las teclas en este orden.
1
.
2
EXP
4
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo se aproxima por truncamiento a los centésimos el número 12,33333? ¿Y por redondeo? b. La temperatura en el interior del Sol es de aproximadamente 15 000 000 °C. ¿Cómo se escribe esa cantidad en notación científica? c. ¿Qué representa en la calculadora la expresión 9–07? a. 12,33. igual. b. 1,5 . 107. c. Representa en notación científica 9 . 10–7. 27 Nombre:
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ACTIVIDADES Aproximación y notación científica
50. Completen las siguientes tablas con la aproximación de cada número. a. 34,148
b. 0,071
A los…
Truncamiento
Redondeo
A los…
Truncamiento
Redondeo
enteros
34
34
enteros
0
0
décimos
34,1
34,1
décimos
0
0,1
centésimos
34,14
34,15
centésimos
0,07
0,07
51. Lean atentamente y resuelvan. Ramiro tiene que reemplazar un vidrio roto de su casa, que tiene forma rectangular y mide 3,23 m x 2,55 m. a. ¿Cuántos metros cuadrados de vidrio tiene que comprar? Redondeen el resultado a los centésimos.
8,24 m2
b. Si el metro cuadrado de vidrio cuesta $26,50, ¿cuánto debe pagar si la máquina registradora aproxima por truncamiento a los décimos? $218,3
52. Rodeen los números que, al redondear los centésimos, dan como resultado el número A. a. A = 0,34
0,345
0,335
0,349
0,347
b. A = 23,09
23,08
23,091
23,087
23,098
53. Expresen en notación científica las cantidades de cada ítem. a. La distancia del Sol a la Tierra es de 150 000 000 km aproximadamente. b. El planeta Tierra se formó hace 4 567 millones de años. c. Pablo se encuentra a 3 000 000 mm de su casa.
1,5 . 108
4,567 . 109
3 . 106
54. Escriban en notación científica los siguientes números. –3 a. 0,006 = 6 . 10
–1 c. 34,57 = 3,457 . 10
–4 b. 0,00026 = 2,6 . 10
9 d. 1 234 000 000 = 1,234 . 10
55. Resuelvan escribiendo previamente en notación científica. 0,004 –3 a. ______ = 5 . 10 0,5
000 . 135 000 ______________ 1,875 . 102 d. 5 3 000 . 1 200 =
–4 0,0002 . 0,03 ____________ b. = 1,2 . 10
0,05
200 . 120 __________ 1,92 . 104 e. 3 500 . 0,04 =
0,35 . 254 __________ c. = 3,175 28
–1 45 000 . 2 000 . 0,0006 ____________________ f. = 1 . 10 540 000
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Intervalos reales
infoactiva Un conjunto de números reales se puede representar de diferentes maneras: a través del lenguaje coloquial, el lenguaje simbólico, en forma de intervalo o en la recta numérica. Lenguaje coloquial
Lenguaje simbólico
Intervalo
Todos los números reales mayores que 1 y menores que 4.
x>1yx<4
(1;4)
Todos los números reales mayores o iguales que –3 y menores o iguales que 5.
x ≥ –3 y x ≤ 5
[–3;5]
Todos los números reales mayores o iguales que 1 y menores que 5.
x≥1yx<5
[1;5)
En la recta numérica
( –3 –2 –1
)
0
1
2
3
4
5
–3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
–3 –2 –1
0
2
3
4
5
[
]
[ 1
)
En forma de intervalo, el corchete indica que el número pertenece al conjunto y el paréntesis indica que no pertenece. Esta misma notación se utiliza en la representación en la recta numérica. Hay intervalos que son especiales, ya que en uno de sus extremos aparece el símbolo infinito. Lenguaje coloquial: todos los números mayores o iguales que –2. Lenguaje simbólico: x ≥ –2 Intervalo: [–2;+∞) Recta numérica: [ –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
Lenguaje coloquial: todos los números menores que 3. Lenguaje simbólico: x < 3 Intervalo: (–∞;3) Recta numérica: ) –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuántos números reales tiene el intervalo (0;1)? b. ¿Cuál es el menor número del intervalo (2;5]? c. ¿Cuál es el menor número del intervalo [2;5]? d. ¿Los intervalos [ –2;5 ]y [ 5;7 ]tienen algún punto en común?
a. Existen infinitos números reales dentro de cualquier intervalo. b. No se puede saber. c. El 2. d. Sí. El punto 5 pertenece a los dos intervalos. 29
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ACTIVIDADES Intervalos reales
56. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según pertenece (∈) o no pertenece (∉) al intervalo. a. 3 ∈ [2;5]
c. 3 ∉ [3,5]
V
b. –3 ∉ [–2;4]
d. –3 ∈ [–3;3)
V
e. –3 ∈ (–3;5]
F
f. 2 ∈ [2;5]
V
F
V
57. Representen los siguientes intervalos en la recta numérica. a. (–3;2)
c. [–3;2]
(
)
–3
2
b. (–3;2]
[
]
–3
2
d. [–3;2)
(
]
–3
2
[
)
–3
2
58. Escriban el intervalo representado en cada recta. a. (
]
–2
5
b. (
(–2;5] (–7;–2]
]
–7
c. d.
[2;4]
[
]
2
4
[–3;+∞)
[ –3
–2
59. Escriban el intervalo que representa cada caso y represéntenlo en la recta numérica. a. Todos los números reales mayores que 3.
d. Todos los números reales menores que –1.
(
) (3;+∞) (–∞;–1)
b. Todos los números reales mayores que 5 y menores que 12. (
[
)
__
[ ;+∞) √3
(5;12)
3
[
__
f. Todos los números reales mayores que – √ 7 __ 3 . y menores que √ 7
c. Todos los números reales mayores o iguales que –2 y menores que 7.
e. Todos __ los números reales mayores o iguales que √3 .
(
)
)
3
[–2;7)
__
3
__
;√ ) (– √ 7 7
60. Escriban en lenguaje coloquial y simbólico los siguientes intervalos. a. [3;+∞)
x ≥ 3
b.
Todos los números mayores o iguales que 3.
] x ≤ –6
–6
Todos los números menores o iguales que –6.
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capítulo
Integración
Contenidos
6.7.8
61. Marquen con una X los números irracionales. ____
a. √169 ___
__
d. √ 9
e. __ 51
b. √69 X
c. 4,23242526...
X
__
X f. √ 8
62. Escriban tres números irracionales. Luego, expliquen la regla que usaron para crearlos. Solución a cargo del alumno.
63. Representen en la recta numérica los siguientes números. ___ a. √18 ___ b. √___ 45 c. √65
___
d. √___ 50 e. √___ 38 f. √54
Solución gráfica.
64. Completen con < o >. __
__
__
a. √ 6 < √7
__
d. 3√ 3 <
__ __ b. √ 3 > √2 __ __ 5 > √ c. √5 1
__
e. __21 √ 8 <
3
__ 4
f. √ 2 >
3√5 __ 2√2 __ 5 2 √
65. Escriban lo pedido en cada caso y luego respondan. a. Un número irracional comprendido entre 3 y 4. b. Un número irracional comprendido entre –2 y –1,5. c. Un número irracional mayor que 10 y menor que 11. d. En los ítems anteriores, ¿la solución es única? ¿Por qué? Solución a cargo del alumno. 3
3
3
__
__
___
__
a. El perímetro de un octógono regular es de 23,34 cm. ¿Cuánto mide cada lado? Aproximen el resultado a los décimos. b. ¿Cuál es el volumen de un cilindro si su diámetro es de 15 m y la altura es de 11 m? Aproximen el resultado a los centésimos. c. Si se trunca un número a los centésimos, se obtiene 4,34. ¿Cuál es el número? ¿Existe una única solución? d. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya área es igual a 2 cm2? e. El volumen de un prisma de base cuadrada es igual a 20 cm3 . Si su altura es igual a 4 cm, ¿cuánto miden los lados de la base?
3 a. 2,9 cm b. V = __ 1 942,88__m c. 4,348. Infinitas cm soluciones d. √2 cm e. √ 5 68. Redondeen a los centésimos los siguientes
números. a. 3,345 b. 23,564 c. –0,345
d. 1,943 e. 3,991 f. –45,096
a. 3,35 b. 23,56 c. –0,35 d. 1,94 e. 3,99 f. –45,10
69. Realicen el truncamiento a los décimos de los siguientes números. a. 23,456 b. –24,788 c. 2,98
d. 1,67 e. 0,04 f. –0,45
a. 23,4 b. –24,7 c. 2,9 d. 1,6 e. 0 f. –0,4
70. Ordenen de menor a mayor. 3,4 . 103; 3,4 . 10–2; 3,4 . 10–5; 3,4 . 10; 3,4 . 104 3,4 . 10–5 < 3,4 . 10–2 < 3,4 . 10 < 3,4 . 103 < 3,4 . 104
71. Expresen en notación científica cada uno de los siguientes números. a. 0,004 b. 30 000 c. 2 300 000 –3 4
66. Resuelvan aplicando propiedades. __ __
2 = a. √ 5 . √ 5 __ __ 15 5 3 b. √ 2 . √ 3 = __ __ __ ) = + √5 c. √ 3 . ( √2 __ __ __ ( ) . √3 d. √3 – √2 = __ __ __ __ __ __ . ( √5 + √3 ) = e. √5 )– √3 . ( √3 + √5 __ __ __ __ __ 2 ( ) ( ) 2 + √6 = f. √ __ . √ 2 + √3 . √2 __ __ ___ 3 ) = g. √ 69 + √__3 . ( √3 + √27 __ __ 4 = h. √ 7 . ( √3 ) + √7
67. Lean atentamente y respondan.
d. 0,0036 e. 0,0009 f.6 34 200 000–3
a. 4 . 10 b. 3 . 10 c. 2,3 . 10 d. 3,6 . 10 e. 9 . 10–4 f. 3,42 . 107
72. Escriban los siguientes números expresa-
___
a. 5 b. √ d. 3 – √6 6 c. __ √6 + √15 e. 2 f. 8 + √12 g. 228 h. 10√7
dos en notación científica. a. 2,3 . 104 d. 3 . 10–5 b. 3 . 106 e. 1,3 . 10–5 5 c. 1,23 . 10 f. 1,1 . 1010 a. 23 000 b. 3 000 000 c. 123 000 d. 0,00003 e. 0,000013 f. 11 000 000 000
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73. Resuelvan escribiendo previamente en
77. Escriban el intervalo que corresponde a
notación científica. a. 320 . 430 000 = 1,376 . 108
cada situación. Luego, represéntenlo en la recta numérica. a. Todos los números reales mayores que –3. b. Todos los números reales mayores que 5 y menores o iguales que 12. c. Todos los números reales menores o iguales que 4. d. Todos los números reales mayores o iguales que –2 y menores o iguales que 0. a. (–3;+∞) b. (5;12] c. (–∞;4] d. [–2;0]
b. 450 000 . 600 000 = 2,7 . 1011 c. 24 000 000 . 12 000 = 2,88 . 1011 0,00004 2 000
d. ________ = 2 . 10–8 0,0001 . 0,007 0,00014
_____________ e. = 5 . 10–3 0,003 . 0,006 –3 ____________ f. = 3 . 10 0,02 . 0,3
g. 900 000 : 3 000 + 750 = 1,05 . 103
78. Escriban en lenguaje coloquial y como inter-
160 000 : 400 _____________ 5 . 104 h. 0,002 + 0,006 =
valo. Luego, realicen la representación en la recta numérica. a. x < 10 e. –3 < x < 3 b. x > –2 f. 5 ≥ x ≥ –1 c. x ≥ 1 g. 2 ≤ x < 7 d. 1 ≥ x h. –4,5 < x ≤ –1
0,055 + 0,005 0,0001
_____________ i. = 6 . 102
74. Lean atentamente y resuelvan. a. El recorrido de la luz en un segundo es de 300 000 km. ¿Cuál es la expresión en nota ción científica? 3 . 105 km/s b. Se quiere hacer una fila de cubos de 1 cm de arista. Si la línea debe medir 30 km, ¿cuántos cubos se tendrán que colocar? Expresen la respuesta en notación científica. 3 . 106
75. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. a. 3 ∈ (3;5)
V
c. –4 ∉ [–4;5]
F
___
e. __21 ∈ (0;1)
ca que corresponde a cada recta.
]
a. (–∞;7] x ≤ 7
b.
7
(
)
–2
4
[–2;4) x ≥ –2 y x < 4
c.
[
]
3
9
(
d.
∈ (2;3) b. √5
∉ [–2;3] d. –√12
79. Escriban el intervalo y la expresión simbóli-
[3;9] x ≥ 3 y x ≤ 9
F
__
Solución a cargo del alumno.
(2;+∞)
e.
2
[
x>2
)
–2
3
[–2;3) x ≥ –2 y x < 3 V
V
76. Escriban un intervalo que cumpla con la condición indicada en cada caso. a. Que incluya los números –5 y 7. b. Que incluya el número 2 y no incluya el 5. c. Que uno de sus extremos sea 2, pero que no esté incluido en el intervalo. d. Que sus dos extremos estén incluidos en el intervalo. e. Que incluya los números mayores o iguales que –5 y los menores que 3. f. Que incluya números mayores que –8 y menores o iguales que 4.
f.
(
(6;9] 6
] 9
x>6yx≤9
80. Rodeen el intervalo que corresponde a cada representación. a. (
)
0
6,5
[0;6,5) (0,6;5) (0;6,5) b.
(
]
–4
10
[–4;10) [–4;10] c.
(–4;10]
[ –8
(–8;+∞
[–8;+∞)
[–8;10)
Solución a cargo del alumno. 32
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capítulo
Autoevaluación 81. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible.
(
(
___
( √ 8 __
( (
3 3 2 3 . 25 + __ a. 2______ 45 ) . __ 45 ): __ 45 ) . __ 54 ) = 24 . 2 2
_____
√
) ( ) (
)
0 –1 3 3 125 125 . __ b. ____ 27 – – ____ 25 + 3 + __54 . __23 = 8
___ 21 3 4
82. Completen la tabla. Expresión decimal Expresión fraccionaria Clasificación
3,4
3,2
17 ___ 5
29 ___ 9
E. D. E.
E. D. P. P.
0,98
2,25
89 ___ 90
9 __ 4
E. D. P. M.
E. D. E.
83. Representen los siguientes números irracionales en la recta numérica. ___ ___ √ 13 y √14
Solución gráfica.
0
84. Resuelvan expresando previamente en notación científica. 0,003 . 0,02
720 000 ___________ _______________ 6 . 10–4 a. = 3 b. 0,00002 60 000 . 20 000 =
85. Completen la siguiente tabla. Lenguaje coloquial Todos los números reales mayores que 3 y menores o iguales que 5.
Lenguale simbólico Intervalo x > 3 y x ≤5
(3;5]
x >8
(8;∞)
Todos los números reales mayores o iguales que –2 y menores que 1.
x ≥ –2 y x < 1
[–2;1)
Todos los números reales mayores o iguales que 7 y menores o iguales que 10.
x ≥ 7 y x ≤ 10
[7;10]
Todos los números reales mayores que 8.
Representación en la recta
(
3
] 5
(
8
[
–2
[
7
)
1
]
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capítulo
2
Lenguaje algebraico Contenidos 9. Expresiones algebraicas. 10. Propiedad distributiva. 11. Cuadrado y cubo de un binomio. 12. Ecuaciones I. 13. Ecuaciones II. 14. Problemas con ecuaciones. 15. Inecuaciones.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. En la cocina, todos los azulejos tienen el mismo tamaño. Algunos están formados por dos cuadraditos blancos y dos azules y otros son rojos. a. Si la medida del lado de cada cuadradito azul es b, marquen con una X las expresiones correctas. • El área de cada cuadradito azul es b2.
X
• El perímetro de cada azulejo es 8b.
X
• El área de cada azulejo es 2b. • El área de cuatro azulejos es 16b. b. Escriban correctamente las expresiones que quedaron sin marcar. b. El área de cada azulejo es 4b2. El área de cuatro azulejos es 16b2. 34
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Expresiones algebraicas
infoactiva Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionados entre sí por una o más operaciones. En una expresión algebraica los números se denominan coeficientes y las letras con sus exponentes forman la parte literal.
coeficiente
3x4
parte literal
Cuando la expresión algebraica está formada por un solo término, se denomina monomio; cuando está formada por dos términos, binomio. En una expresión algebraica se denominan términos semejantes a los que tienen la misma parte literal. x – 3 –4x3 + x + __ 3 2 Son términos semejantes.
Valor numérico El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene reemplazando todas las letras por números; luego, se resuelven las operaciones.
Para s = 2, el valor numérico de 3s2 + s + 1 es 15 porque 3 . 22 + 2 + 1 = 15. Las expresiones algebraicas 5 . (a + b) y 5a + 5b son equivalentes, ya que para cualquier par de números reales a y b, al reemplazarlos en cada una, se obtiene el mismo valor numérico. Se puede escribir entonces 5 . (a + b) = 5a + 5b.
Operaciones con expresiones algebraicas Operación
Ejemplo
Para sumar o restar monomios semejantes, se suman o se restan los coeficientes y se escribe a continuación la misma parte literal. Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o se dividen los coeficientes y las partes literales.
3a + 5a = 8a 5a + 3b – b = 5a + 2b 6a . 4a3 = 24a4 15a6 : 5a2 = 3a4
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que x + x = x2? b. ¿Es verdadera la siguiente equivalencia? a5 + a2 = a7 c. ¿Cuál es el valor numérico de 3x2 para x = 2? d. Las expresiones 4x2b y 4xb2, ¿tienen el mismo coeficiente y parte literal? a. No, es igual a 2x. b. No, no se pueden sumar términos con distinta parte literal. c. El valor numérico es 12. d. Tienen el mismo coeficiente, pero no la misma parte literal.
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ACTIVIDADES Expresiones algebraicas
1. Unan con flechas con la expresión correspondiente. a. El doble de la suma entre un número y 7. b. El doble de un número, aumentado en 7. c. El anterior del triple de un número. d. El triple del anterior de un número. e. El cuádruple de un número.
• • • • •
3x – 1 2 . (x + 7) 3 . (x – 1) 4x 2x + 7
2. Escriban en lenguaje simbólico. a. La diferencia entre el anterior de un número entero y la raíz cuadrada de sesenta y cuatro. ___
(x – 1) – √64
b. La suma entre el doble del siguiente de un número entero y el triple de ocho. 2 . (x + 1) + 3 . 8
c. La quinta parte del siguiente de cuatro, más el anterior del triple de un número. __ 1 . (4 + 1) + (3x – 1) 5
3. Escriban la expresión coloquial que corresponde en cada caso. a. (x + 1) . 3 El triple del siguiente de un número entero.
b. 4n – 1 El anterior del cuádruple de un número entero.
c. __21 . (x + 1)2 La mitad del cuadrado del siguiente de un número entero.
d. 2x + (2x + 2) La suma de dos números pares consecutivos.
4. Rodeen los monomios semejantes. b . b 7c a. 9b2 9b –8b2 b. 4b 5ab –7ab 9a ba –3m2x mx (mx)2 c. 5m2x 8x2m
5. Encuentren el valor numérico de cada expresión, siendo a = – 3 y b = __12 . 7 a. a – b = – __ 2
11 d. –a – __32 b + 1 = __ 3
b. a + 2b = –2
e.
1 __61 a + b2 + b = __ 4
c. 2 . (a + b) = –5
f. –2a + 3b – (b – a) = 4
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ACTIVIDADES Expresiones algebraicas
6. Resuelvan las siguientes sumas y restas. a. 7a + a – 3a = 5a
f. 6a – (–a) + (–9a2) = 7a – 9a2
1 b b. __32 b + __65 b – b = __ 2
g. 1,2m4 + 3,2m2 – 0,8m4 = 0,4m4 + 3,2m2
13 2 b a + __ h. __29 a + b – __37 a – __53 b = ___ 5 6
c. 7m – 3m + 2 = 4m + 2
3 6 a + __ b d. 2a + __23 b – __54 a = __ 5 2
i. ab + 3ac – 5ab – 2ca – 1 = –4ab + ac – 1
(
5 x – __ 1 x2 j. 2x – __ 32 x2 – __21 x + __ 61 x2 = __ 2 2
e. 2x2 + 5x + 9x2= 11x2 + 5x
)
7. Resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones. a. 3x . 6x = 18x2
f. 15x : 5x = 3
5 g. 27x8 : 9x3 = 3x
b. 3x . 6y = 18xy
c. 7x4 . x2 = 7x6
h. 48x5 : 12x3 =
4x2
d. 3a . a5 . a2 = 3a8
i. –36a2b4 : 6ab2 = –6ab2
–120a7 j. ______ = 20a4 –6a3
e. (–6x) . (–x2) . y3 = 6x3y3
8. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. 7 ab a. 5ab – 3a . __21 b = __ 2
d. 7t3 + t2 . (2t + 3t) = 12t3
(
) (
10 ___ e. __ 92 x2 + __31 x2 : __ 65 x – __34 x = – 9 x
b. (y + 5y – 3y) . __ 32 y2 = 2y3
)
c. 24m6 : 4m2 + m . (–m3) = 5m4
f. (–2,2a + 7,2a) . (a + 3,2a – 2a) = 11a2
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ACTIVIDADES Expresiones algebraicas
9. Escriban las expresiones que representan el perímetro y el área de cada figura, en su forma más sencilla. a.
d.
2a a
1a — 3 2a
Perímetro = Área =
1 a — 2
5a
14 ___ a 3
2 a2 __ 3
Perímetro =
Área =
b.
7 __ a2 4
e.
x
3x — 4
Perímetro = Área =
9a
3x
2p
Perímetro =
8x
5 __ x2 2
c.
Área =
6p
32p
44p2
f. 8b 5c
4c
3c
Perímetro = Área =
12c
4b
24b
6c2
Perímetro =
Área =
24b2
10. Escriban las expresiones indicadas en cada caso, en su forma más sencilla. a. Rectángulo. La base supera en 4 cm a la altura (x). Base = Altura = Perímetro =
x+4
x 4x + 8
b. Triángulo isósceles. Cada lado igual mide 7 cm menos que el doble de la base (x). Lado =
2x – 7
Base =
x
Perímetro =
5x – 14
mente activa Escriban la expresión más sencilla que corresponde al perímetro y al área de cada una de las caras de color rojo, verde y azul, la del área total y la del volumen del cuerpo. Tengan en cuenta que las caras opuestas son del mismo color.
x 3x
2x
Área cara azul: 3x2; área cara verde: 2x2; área cara roja: 6x2; área total: 22x2; perímetro cara roja: 10x; perímetro cara verde: 6x; perímetro cara azul: 8x; volumen: 6x3 38
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Propiedad distributiva
infoactiva La multiplicación es distributiva con respecto a la suma y a la diferencia.
Las siguientes expresiones representan el área pintada.
c a
b
(a + b) . c = a . c + b . c c . (a + b) = c . a + c . b
(3b + 2) . 4b = 3b . 4b + 2 . 4b
(3b + 2) . (b + 1) = 3b . b + 3b . 1 + 2 . b + 2 . 1 La división es distributiva solo cuando la suma y la resta están en el lugar del dividendo.
(4a + 8) : 4 = 4a : 4 + 8 : 4
4 : (2a + 4)
No se puede aplicar la propiedad distributiva.
Factor común Las siguientes sumas o restas se pueden expresar como una multiplicación.
50 + 10 = 10 . 5 + 10 . 1 50b2 – 10b = 10 . 5 . b . b – 10 . 1 . b = 10 . (5 + 1) = 10b . (5b – 1)
10 es el dcm entre 50 y 10. 10 se denomina factor común.
Para obtener el factor común de la parte literal se escribe la letra que aparece en todos los términos con su menor exponente.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que la suma es distributiva respecto de la resta? b. ¿Se puede distribuir la división respecto de una suma si esa suma está en el lugar del divisor? c. Si se aplica la propiedad distributiva para multiplicar un binomio por un trinomio, ¿cuántos términos tiene la expresión que se obtiene antes de operar entre términos semejantes? d. En la siguiente expresión, ¿se obtuvo correctamente el factor común? a2 + a = a . (a) a. No, la suma no es distributiva con respecto a ninguna operación. b. No, solo se puede si está en el lugar del dividendo. c. La nueva expresión tiene seis términos. d. No, falta sumar 1 dentro del paréntesis.
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ACTIVIDADES Propiedad distributiva
11. Apliquen la propiedad distributiva. a. 3x . (x + 2) = 3x2 + 6x
f. (2x2 – 4x) : 2x = x – 2
(
)
(
)
g. __ 53 y6 + 10y3 : __ 51 y2 = 3y4 + 50y
b. (4 – y2) . (–2y) = –8y + 2y3
h. –4a + __32 a2 : (–2a) = 2 – __1 a 3
c. 4x . (5x – 2x2 + 1) = 20x2 – 8x3 + 4x 1 b5 – 3b4 d. __23 b2 . (4b + __31 b3 – 2b2) = 6b3 + __ 2
i. (2 – x) . (3x + 1) = 2 – 3x2 + 5x
e. – __ 41 y . (– __ 32 + 16y2 –
1 y – 4y3 + __54 y) = __ 6
1 y2 __ 5
j. (y2 + 2y) . (3y – 4) = 3y3 + 2y2 – 8y
12. Obtengan el factor común. a. 4x2 + 2x – 10 = 2 . (2x2 + x – 5)
d. 18a3 – 6a5 = 6a3 . (3 – a2) 3 4 e. __52 b6 + ___ 10 b =
b. x4 + x = x . (x3 + 1)
(
)
3 1 b4 . 2b2 + __ __ 5 2
__
2 3 c. 3y2 – 5y5 = y . (3 – 5y )
__
__
m . (m2x – a2) 9 √
m3x – √9 ma2 = f. √9
13. Completen para que se verifique la igualdad. –x3
a. (3x2 + 2x) .
(
b. –x2 +
)
3y
. xy2 = –x3y2 + 3xy3
c. 6x8y5z3 + 8x5y2z4 =
2x5y2z3
(
d. __72 pr2 .
= –3x5 – 2x4
)
9 8 ___ 3 4 – __49 r6 = ___ 18 7 p r – 14 pr
9p2r2
3 __ n2 2
e. 1,5n2 – 4,5n5 =
. (3x3y3 + 4z)
f. 3ab2 +
2ab
(
. (1 – 3n3) 3b
= ab .
)
+ 2
14. Expresen de dos formas diferentes el área total de las siguientes figuras. a.
b. a d b x
x . (a + b) xa + xb
a
b
c
(a + b + c) . d ad + bd + cd
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Cuadrado y cubo de un binomio
infoactiva
a
(a + b)= (a + b) . (a + b) (a + b)2= a . a + a . b + b . a + b . b (a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2 2
b
b
a
b3
b a b
a
a
a . b2
b
(a + b)3 = b3
b . a2
+ a3
+
3 . a . b2
+ 3 . b . a2
a3
Diferencia de cuadrados Una diferencia de cuadrados se puede expresar como el producto de dos binomios. a2 – b2 = (a + b) . (a – b) a b
a
I
b
a–b
II
I II
Si al cuadrado de área a2 se le quita el cuadrado de área b2, queda la figura pintada de naranja.
Las figuras I y II se pueden acomodar para formar el rectángulo de base a + b y altura a – b.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que (x + 2)2= x2 + 4? b. ¿Qué nombre recibe el polinomio que se obtiene al resolver un cuadrado de binomio? c. ¿Cuál es el desarrollo de (3x – 2)3? d. ¿Es cierto que (x – 2)2= (x + 2) . (x – 2)? a. No, la potenciación no es distributiva con respecto a la suma. b. Un trinomio. c. 27x3 – 54x2 + 36x – 8 d. No. (x – 2)2 = (x – 2) . (x – 2) = x2 – 4x + 4.
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ACTIVIDADES Cuadrado y cubo de un binomio
15. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen la respuesta. a. (x + 5)2 = x2 + 25
F x2+ 10x + 25
c. (x + 1) . (x – 1) = x2 – 1
V
b. (x – 3)3 = x3 – 27
F x3 – 9x2 + 27x – 27
d.(2x – 1)2= 2x2 – 4x + 1
F
4x2 – 4x + 1
16. Desarrollen los siguientes cuadrados y cubos de un binomio. 9x2 + 12x + 4
a. (3x + 2)2 =
e. (x + 2)3 =
25 – 30a2 + 9a4
b. (5 – 3a2)2 =
(
9 1 b3 + __ 1 b4 ___ b2 – __ 2 9 16
)
c. __ 43 b – __31 b2 = 2
__
__
2 ) = d. ( √3 p – √2
__
3p – 2 √ 6 p + 2 2
(
)
f. y + __23 = 3
x3 + 6x2 + 12x + 8
9 27 27 y3 + __ y2 + ___ y + ___ 2 8 4
g. (–2 – b2)3 =
–8 – b6 – 6b4 – 12b2
h. (4c – 2)3 =
64c3 – 96c2 + 48c – 8
17. Escriban el cuadrado o el cubo del binomio que corresponde a cada expresión. a. 1 – 4y + 4y2 =
(1 – 2y)2
b. x4 + 16 + 8x2 =
(x + 4)
(2x – 1)3
e. 8x3 – 1 + 6x – 12x2 =
2
(
2
)
2 __ 1 + m3 2
c. m3 + m6 + __41 =
f. 1 – a3 – 3a + 3a2 =
(1 – a)3
g. __ 23 x – 1 – __43 x2 + __81 x3 =
(
)
3 __ 1 x – 1 2
d. x4 + 2x3 + x2 =
(x2 + x)2
h. 48y + y3 + 12y2 + 64 =
(y + 4)3
18. Escriban como producto las siguientes diferencias de cuadrados. (x – 5) . (x + 5)
a. x2 – 25 =
(2a – 3) . (2a + 3)
b. 4a2 – 9 =
(
) ( ) ( ) ( )
__ 1 – y . __ 1 + y 7 7 3 . 3 __ 4x – 4x + __ 9 8 8 d. 16x2 – ___ = 64
c.
1 2 ___ 49 – y =
19. Completen la tabla escribiendo la expresión más sencilla. .
x–2
x+2
3x + 1
x+2
x2 – 4
x2 + 4x + 4
3x2 + 7x + 2
x–2
x2 – 4x + 4
x2 – 4
3x2 – 5x – 2
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2 capítulo
Integración
Contenidos
9.10.11
20. Escriban en lenguaje simbólico.
24. Resuelvan las siguientes sumas y restas.
a. La suma entre la sexta parte de un número, aumentada en uno y la raíz cuadrada de veinticinco. b. La diferencia entre el triple de un número, disminuido en uno y las tres cuartas partes de doce. c. El cuadrado del anterior de un número entero, aumentado en el quíntuple de __38 . d. La diferencia entre el cuadrado del siguiente de ocho y la mitad de un número. e. La suma entre la raíz cúbica del doble del siguiente de treinta y uno y el triple del cuadrado de un número entero. Solución a cargo del alumno.
21. Escriban en lenguaje coloquial.
F
4x2
c. 3a2 + 3a2 = 6a4
F
d. 3x . 6y = 18xy
V
b . b . b = 3b e.
F
6a2
b3
V f. 4m2 + 2m2 = 6m2
F
30x2
23. Encuentren el valor numérico de cada expresión, sabiendo que a = –2 y b = 3. 1 __ a. 2 a – b = –4 b. (a – b)2 = 25 c. 2b . (–a + 1) = 18 d. (b + a) . (–a – b) = –1 e. –3a2 + 5b = 3 1 f. 2a + __23 b = __ 2 a + 2b =2 h. √
)
(
)
3 6 c. – __ 43 b4 . – __52 ab . 5b = __ b a 2 2 4 3 p –18m d. 9mp . (–2m) . p = 3 3 –4,8a b e. 3,2ab3 . (–1,5a2) =
4a f. –16a4 : (–4a) = 3
8a3y . (–y) 2ay 4 2,5xy . 1,3(x3)2 ______________ 13x i. = 3y3 0,25x4y 5 9m . (–mp)2. 2 ______________ 4 3m p j. = 6m3p 2 –4a h. _________ = 2
26. Resuelvan.
V g. 9a2 . (–2a) = –18a3
______
) (
2 3 –3x y g. 24x3y5 : (–8xy2) =
V b. 6x + x = 7x
76 g. __52 a + __34 b2 + a2 = ___ 5
)
2x b. 2xy . x2 y5 = 3y6
22. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen la respuesta.
h. 6x . 5x = 11x2
( (
a. a . a3 . a = a5
Solución a cargo del alumno.
d. –0,2z + 3,4y2z + 1,3z – 1,2y2z = 1,1z + 2,2y2z 3 2 3 2 __ 1 a5 – __ 1 5 __ 1 5 3 a + a3 e. __ – __ 4 a – 2 a – 2 a + a = 4 2 f. 3ab – b + 0,8ab + 0,2b = 3,8ab – 0,8b 4 3 __ 3 x + x + 2x2 g. – __ 51 x3 + __73 x + x3 + 2x2 = __ 5 7 29 h. 5a – __ 32 a – __21 a = ___ a 6 2 1 4 i. – __ 5 b – – __5 b + b = __ b 5 4 7 1 13 __ __ __ j. 2 a – 3 b – 4 a – 2b = ___ a + __ 2 b 3 4
25. Resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones.
a. __41 . (x + x + 1) . __3 b. x2 – 1 + 4______ 5 c. 3x + 2 . √35 + 1 ______ ) d. 3 . ( x + 2 . √35 + 1
a. 4x . x = 5x
9 7 __ a. 3x + 5x – __ 2 x = 2 x 3 11 __ b. 2x + 3y + __ 4 x – y = 4 x + 2y c. 4mp + 2m2 – 6mp + m2= –2mp + 3m2
5 a. __ xy 92 xy + __61 y . 2x = __ 9 3 9x b. (6x – 2x + 5x) . x = 4 1 ab 3ab – 3a . __1 b – a . 2b = – __ c. 2 2 –2,4y d. 2,2y + 12y5 : (–4y4) – 1,6y = –m e. (–7m + 4m) . m2 + 2m3 = 3
( ) ( 12
21 m4 f. 9m4 + 2m3 . m + __21 m – __ 32 m4 = ___ 2 5 g. __ 3 y2 – __1 y2 . ___ 5 y + 0,25y + __1 y = ___ y3
( 8
)
)
3 6 24 5x h. (–0,8x3 + 1,5x3 – 0,1x3) : (0,6x . 0,2x) = 2 4 5 7a b i. –5a2b . (–3a2b4) + 8b3a . (–a3b2) =
j. 4pq3 . (–p2) + __32 p2q3 . (p + 2p) + 2pq3 =
–2p3q3 + 2pq3
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27. Resuelvan aplicando la propiedad distributiva.
diferentes. a.
a. 3 . (2x + 5) = 6x + 15
(
7 7 . b. __ –3a + __ 53 a – ___ 2 10 ) (–5) = 1 __ 1 __ c. 2 . 4 x – 4 = 2 x – 8
(
(
)
)
__
__
x
y
(x + y)2 x2 + 2xy + y2
d. – __1 y . (6 + 3y) = –2y – y2 3 __
31. Expresen el área sombreada de dos formas
x
b.
__
+ 2a√2 = √6 e. (√3 + 2a) . √2
y
x
5x f. (25x6 – 15) : 5 = 6 – 3
(
y
) (
1 x6 + 18x 14 5 __ 1 7 2 4 __ 2 21x – __ g. – ___ 2 3 x + 9 x – 4x : – 9 x =
)
7p h. (–21p8 + 27p3) : (–3p2) = 6 – 9p
(
)
9 3 m + 9m2 – 2m – 10 i. __ 59 m2 – 2 . (5 + m) = __ 5
y
(x – y)2 2 x – 2xy + y2 x c. y
2x j. (2x – 5x + 4) . (x + 2) = 3 – x2 – 6x + 8 2
y x
(x + y) . (x – y) x . (x – y) + y . (x – y) 2 x – y2
28. Obtengan el factor común. a. x2 + 8x5 – 4x3 = x2 . (1 + 8x3 – 4x)
x
b. 6x2 + 9y = 3 . (2x2 + 3y)
32. Resuelvan las operaciones y expresen el resultado de la forma más sencilla. (x – 1) . (x + 2) = x2 + x – 2 a. 8x b. (2x + 3) . (2x – 3) + (2x + 3)2 = 2 + 12x f. 0,8b4 – 1,6b9 – 1,2b2 = 0,4b2 . (2b2 – 4b7 – 3) 3 2 y2 . (3xy2 + 2x3y4 – __ 6 2 –y c. 5 – 3y2 + (y – 3) . (2y + 1) = 2 – 5y + 2 z) g. __56 xy4 + __54 x3y6 – ___ y z =__ 25__ 5 5 __ __ –12t d. (3t – 1)2– (3t + 1)2 = y2 . (y2 + 1) y4 + √5 y2 = √5 h. √5 9p (4p – 3) . (2p + 5) + p . (p – 2) = 2 + 12 p – 15 i. 22ab3 + 55a2b5 – 121a3b4 = 11ab3 . (2 + 5ab2 – 11a2b) e. 5c f. (3c – 2) . (–1) – 2 . (–4c + 1) = j. –56ab4c3 – 49ab3y + 63a3b2z2 = 2 2 3 2 2 2 7ab . (–8b c – 7by + 9a z ) –x–3 –2x g. (x + 1) . (x – 3) – 3x2 + x = 2 2 + 1 7a h. –2a . (–3a + 1) + ( a + 1) = 29. Desarrollen los siguientes cuadrados y __ __ 2 2 2 +4 2x – x) + (√ + x) = i. (√ 2 2 cubos del binomio. 2 2 2 2 4a j. 4a – ( a – 1) – 6a + ( 2a – 1)2 = 4 – 7a2 + 2a f. (a + 5)3 = a. (x + 4)2 = c. 12y3 – 6y2 + 4y4 = 2y2 . (6y – 3 + 2y2) 7 2 + __ a + a3 d. – __ 2 a5 + __67 a6 + a8 = a5 . – __ 3 6 __3 __ x3 – 7) x4 – 7x = x . (√2 e. √ 2
(
x2 + 8x + 16
)
a3 + 15a2 + 75a + 125
b. (2x – 3) =
g. (–x + 2)3 =
2
4x2 – 12x + 9
–x3 + 6x2 – 12x + 8
c. (–y + 9)2 =
h. (3b2 – 2)3 =
( ) e. ( __ 32 x – x ) =
8x3 – 48x2 + 96x – 64
6 4 2 y2 – 18y + 81 2 27b – 54b + 36b – 8
d. a + __61 = __ ___ 1 1 2
i. (2x – 4)3 =
a + 3 a + 36 2
(
33. Escriban las expresiones más sencillas que representan el perímetro y el área de las figuras sombreadas. a. P = 14x + 4 Á = 5x2 + 4x – 6
)
3 j. __ 21 y + 1 =
2
4 4 3 2 __ 3 1 y3 + __ y + y + 1 __ x2 – __ x3 + x4 __ 8 2 3 9 4
30. Completen.
1 ) = 4x + 4x + 1 ( b. ( x + 3 )= x + 6x + 9 c. ( __ 21 a – 5 ) = __ 41 a – 5a + 25 d. ( 2x + y ) = 4x + 4yx + y
x
2
a. 2x +
2
2
x+1
3x – 2
2x + 3
b. P = 8v + 4
2
7 11 x – –– Á = 3x2 + __ 2 2
x+4
2
2
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2
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3x – 2
2x – 1
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2x + 3
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Ecuaciones I
infoactiva Se denomina ecuación a toda igualdad en donde aparece por lo menos un valor desconocido llamado incógnita. Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que hacen verdadera la igualdad. El valor o los valores encontrados forman el conjunto solución de la ecuación. Para resolver una ecuación se deben tener en cuenta las siguientes propiedades. • Si en una ecuación se suma o se resta un mismo número a ambos miembros, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. • Si en una ecuación se multiplica o se divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos miembros, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Ecuación con una solución
Ecuación con infinitas soluciones
2x – 3 = 5 2x – 3 + 3 = 5 + 3 2x = 8 2x : 2 = 8 : 2 x=4
Ecuación sin solución
3x + x + 3 = 4x + 3 4x + 3 = 4x + 3 4x – 4x = 3 – 3 0x = 0
2x – 6 = 2x – 1 0x = 5 0=5
Verificar una ecuación consiste en reemplazar el o los valores encontrados en ella para comprobar si la igualdad se cumple.
Ecuaciones con módulo Para resolver este tipo de ecuaciones, se usa el concepto de módulo, que es la distancia de un número al cero.
|x + 1| = 5, entonces x + 1 = 5 o x + 1 = –5. x + 1 = 5 x = 5 – 1 x = 4
x + 1 = –5 x = –5 – 1 x = –6
–6
0
4
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que –2x = 3 es equivalente a x = 3 + 2? b. ¿Es cierto que 2 – (x – 4) = 5 es equivalente a –x + 4 = 5 – 2? c. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 2x + 3 = x + 3? d. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación |x| = 0? a. No, es equivalente a x = 3 : (–2). b. Sí. c. La solución es x = 0. d. 0. 45 Nombre:
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ACTIVIDADES Ecuaciones I
34. Unan con una flecha las ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución. a. 3x – 2 = –5 b. (1 – x) . 5 = 5 c. 6x – 9 = 2x + 3 d. x : 2 + 4 = 6 e. __92 + 3 = 2 – (x – 1)
• • • • •
7 = 3x – 5 4 . (x + 2) = 8 __97 + 2x = 3x + 1 8 – 2x = 10 x + 4 = 21 : 3
35. Marquen con una X la solución de cada ecuación. a. 6x – (3 – x) + 2 = 7 – x __31
4 __ 3
X 1
b. x : (–2) – __23 = __41 15 ___ 4
– __27
(
– __87
X
)
c. x . 1 – __32 = __ 32 x + 2 –2
X 6 –6
–3 3 ______ d. 5x = 2 – __ 2 2 x 7 __ 8
1 X ___ 23
1
36. Resuelvan cada ecuación y verifiquen el conjunto solución.
( )
a. __27 x – 3 = 1 – __23
7 __ x = 2 7 __ x = 2 5 x = __ 7
2 e. __21 x + __92 + x = 2 . __ 31 + __ 23 x
3 3 1 x + x – __ 2 + __ 2 1 – __ + 3 __ x = – __ 2 2 2 9 9 5 __ 0=0 2
3 1 __ b. __52 – __43 . __52 = ___ 10 + 3 x
3 ___ 3 2 – ___ __ – = 5 10 10 1 = 1 : __ – __ 5 3
1 x __ 3
x
3 x = – __ 5
f. 6 – __32 x + 3 = 3 + __31 x – 1
g. 5x + __23 = 3x – (–2)2
Infinitas soluciones
( )
d. 9x – __ 21 = 9x + 6 –1
7=x
5 5 + 5x 5 x – __ = – __ 2 2 0 = 0
1 x + __ 6 + 3 – 3 + 1 = __ 2 x 3 3
c. 5x – __25 = __45 . (–2) + 5x
Infinitas soluciones
3 5x – 3x = –4 – __ 2 11 __ 2x = – 2 11 x = – __ 4
( )
h. 2x – (4x – 9) = __ 61 – x
9x – 2 = 9x +6
–2 = 6
No tiene solución.
–1
2x – 4x + x = 6 – 9 –x = –3 x=3
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ACTIVIDADES Ecuaciones I
37. Respondan planteando la ecuación correspondiente. a. ¿Cuál es el número cuya quinta parte disminuida en seis es igual al opuesto de 3? __ 1 x – 6 = –3; x = 15 5 25 b. El doble de la suma entre el opuesto de cinco y el triple de un número es – ___ . ¿Cuál es el número? 2
5 25 ; x = – ___ 2 . (–5 + 3x) = – ___ 2 12
c. La sexta parte del triple de un número aumentado en seis unidades es igual a __56 . ¿De qué número se trata? 6 ; x = __ 2 __ 1 . (3x + 6) = __ 5 5 6
d. La diferencia entre el doble de cuatro tercios y la tercera parte de un número disminuido en una unidad es igual al triple de cinco sextos. ¿Cuál es el número? 4 2 . __ – 3
5 3 1 . (x – 1) = 3 . __ __ ; x = __ 2 3 6
14 3 2 __ __ e. La suma entre la mitad de ___ 3 y los 5 de la diferencia entre un número y 9 es igual a 1. ¿De qué número se trata?
(
)
14 3 2 = 1; x = –2 ___ : 2 + __ . x – __ 5 3 9
25 es igual al f. La mitad de la diferencia entre un número y el cuádruple de la raíz cuadrada de ___ 64 opuesto de once quintos. ¿De qué número se trata? ___
(
√ )
19 25 1 . x – 4 . ___ __ = – __ 11 ; x = – ___ 5 2 10 64
g. La suma entre los tres quintos del cuadrado de cinco y el triple de un número es igual al cuadrado de 7 aumentado en 2. ¿Cuál es el número? 3 2+ 3x = 72+ 2; x = 12 __ . 5 5
38. Resuelvan las ecuaciones y verifiquen el conjunto solución.
( 14 )3
+4 _____ d. 3x = __92 x – 3 9
a. __27 . __ 54 x + __73 + 2 = __25 – __52
21 ___ x + __ + 2 = ___ 5 2 10 14 7 ___ x = – __ 5 5 1 x = – __ 2
(
(__3
)
____
3x – 2x = –27 – 4 x = –31
( 5 ) ) (9 __ 23 ) : ( __ 23 ) √ 1 __ __ __
–1 b. __41 . 6x – 1,3 – 1,25 – __ 41 =
3x + 4 = 2x – 27
9
e. (9x – 4) : 6 = __41 . (7x + 2) – __67
7
3 __ x – __ 2 = x – – + 2 = 2 2 3 4 3 4 3 11 1 __ __ __ x = – x = 2 6 4 11 __ x = x= 9
(
(
)
–2 = 8
No tiene solución.
0 0
)
f. 2x + __25 : 0,25 – 2x – 7,20= 8 + x
c. __52 x – 2 = 2 . __ 51 x – 4
2 x – 2 = __ 2 x – 8 __ 5 5
7 7 __ x + __ 1 – __ 2 6 4
8x + 10 – 2x – 1 = 8 + x
5x = –1
1 x = – __ 5
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ACTIVIDADES Ecuaciones I
39. Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen el conjunto solución. a. 0,2 – ( –3x + 0,3 )= 1,2x – 0,01
–7 ______ d. 0,8 – 1 = 3x – (x – 4) : 3 9
4 7 1 6 x – ___ 8 – 1 = __ 1 x – __ __ __ 1 – __ x + __ 5 3 3 90 9 9 3 2 = 0 ___ 1 – __ 10 3 1 x = ___ 18 No tiene solución
3 2 + 3x – __ = __ 9 9 9 __ x = 5
( 3
____ 30 31 – 2x _______ e. 10 + √1,96 = 2 . (x – 0,1) + __ 53 : __ 53 5
)
b. 3,2x – 0,2 . (x – 3) = 3 . x + __51
( ) ( )
7 3 2 x + __ 1 + __ 2 – __ = 2x – __ 3,2x – 0,2x + 0,6 = 3x + __ 5 5 5 5 5 3 12 x = 3 3x + 0,6 = 3x + __ ___ 5 5 5 x = __ 0 = 0 Infinitas soluciones. 4
( 4
___
+4 _____ c. 5x + 0,5 . (x + 3) = 2 . x – __25 10
f. 0,3 . 6x + __32 + √1,7 = 0,6x + __43
)
3 3 4 2 + __ 1 x + __ 1 x + __ = 2x – __ 2x + __ + __ = __ 5 2 5 2 2 2 3 4 4 2 __ 3 + = 2x – x __ x = __ + __ 5 5 2 3 27 x= ___ = x 10
4 2 x + __ __ 3 3 3 – __ 2 9 – __ 8
40. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo. Luego, verifiquen el conjunto solución. a. 3 . |x| – 18 = 6 + 2 . 9
e. –7 . |6 – x| = –24 + 2 . 5
3 . |x| = 24 + 18
|x| = 42 : 3
|x| = 14; x = –14, x = 14
|2x| = 22
2x = –22
2x = 22
x = –11
x = 11
16 c. |x – 3| = 2 – ___ 3
6 – x = –2 x = 8
__
|x – 4| = 4 x – 4 = –4
√
. |x – 4| g. 5_________ = 7 + 2 . __ 49 2
No tiene solución.
x=4
56 |7x| = ___ 3 56 56 7x = – ___ 7x = ___ 3 3 8 8 __ __ x = x = – 3 3
|x – 3| = – ___ 10 3
d. __53 . |x + 1| = __54
6–x=2
f. |7x| : __43 = 2 – 3 . (–4)
b. |2x| + 3 = 5 . 6 – 15 : 3
|6 – x| = 2
x–4=4
x = 0
x=8
( )
–2 |x + 6| : (–3) __________ h. __ 32 – ___ 19 4 = 2
4 |x + 1| = __ 3 4 4 __ __ x + 1 = – x + 1 = 3 3 7 1 __ __ x = – x = 3 3
15 = |x + 6|
x + 6 = –15 x = –21
x + 6 = 15 x=9
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Ecuaciones II
infoactiva Propiedad fundamental de las proporciones Cuatro números a, b, c y d (con b y d distintos de cero) forman una proporción cuando la razón entre los dos primeros es igual a la razón entre los dos segundos. a c En toda proporción __ = __ , se cumple que a . d = b . c. d b Hay ecuaciones que se pueden resolver usando la propiedad fundamental de las proporciones. 3 2x + 3 ______ = ___ –2 x
(2x + 3) . (–2) = x . 3 –4x – 6 = 3x –4x – 3x = 6 –7x = 6 x = – __ 6 7
1. Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones. 2. Se aplica la propiedad distributiva. 3. Se agrupan en un mismo miembro los términos semejantes. 4. Se opera en cada miembro. 5. Se despeja la incógnita.
Ecuaciones con potenciación = ___ x2 + __ 1 10 4 4
– __ x2 = ___ 10 1 4 4
1. Se separa en términos. 2. Se agrupan en un mismo miembro los términos semejantes.
x2 = __ 9 4
3. Se opera en cada miembro.
4. Se aplica la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad.
__ __ 2 √x = __ 9 4 3 |x| = __ 2 3 __ x = – 2 o x = __ 3 2
√
__
5. Tengan en cuenta que √x 2 = |x|.
Ecuaciones con radicación __
– __ = __ 1 1 √x 3 2
1. Se separa en términos.
2. Se agrupan en un mismo miembro los términos semejantes.
__ __ + __ = 1 1 √x 2 3 __ __ √x = 5 6 __ 2 2 ( √x ) = __ 5 6 x = ___ 25 36
( )
3. Se opera en cada miembro. 4. Se aplica la potencia correspondiente a ambos miembros. 5. Se resuelve para hallar el valor de la incógnita.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.
6 x+1 = __ a. ¿Cómo se resuelve la siguiente ecuación? _____ x + 5 5 b. ¿Es cierto que 3 es el único número que elevado al cuadrado da por resultado 9? ___ 2 c. La ecuación 4x = 64, ¿es equivalente a 4x = √64 ?
a. Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones, queda 5 . (x + 1) = 6 . (x + 5). b. No, (–3)2 = 9 c. No, es equivalente a x2 = 64 : 4.
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ACTIVIDADES Ecuaciones II
41. Resuelvan las siguientes ecuaciones y luego, verifiquen.
( 3
–2 –6 ______ a. 3x = 2_____ x – 1 (–2)2
(
)
)
2 h. 3 . __ 51 x2 – __21 = – __ 41 + __21
9 3 (3x – 2) . (–2) = (x – 1) . (2 – 6) __ x2 – __ = – ___ 5 2 16 ______ 15 __ 3 : 16x = 12 |x| = ___ 16 5 5 5 3 x = – __ x = __ x = __ 4 4 4 2
√
(
)
___
( ) 5 √25
–2 x–1 ______ = ______ b. 2x 2x + 2 4x – 1
25 3 –2 3 0 x3 __ __ ___ i. __ 2 – 0,4 – 2 . 5 3 = 8 – 4
x – 0,8 1 c. ________ = __ 6
j. 2,5 . (x2 – 2) = __25 . (x + 1)2
x = 1 – __ + ___ 4x2 – 4 = (4x – 1) . (x – 1) __ 2 16 2 1 __ x3 = 4x2 – 4 = 4x2 – 5x + 1 8 __ x = 1 x = 1 2 5x + 2,3
(
)
(
)
5 7 8 = 1 . 5x – __ __ x2 – 5 = 6 . x – __ 2 3 9 5 7 16 –5 – __ = 6x – 5x = – __ + ___ 2 3 3
(
5 1 __
)
(
_____
√
0,5x +__0,6 0,3 + _________ __________ d. 2x = __ √9 2
k. x + __45 – 1 = __21 – __43 _____
)
√
5 3 2 . __ 1 x + __ 2 x + __ = __ 3 . 2x + = __ 5 2 3 3 4 4 9 4 5 1 x + ___ x + __ = ___ 6x + 1 = __ 5 15 4 16 11 x = – ___ x = – ___ 11 87 16
__ 3 __ 3 l. __72 √x – = (0,5) 8
e. 2x2 + __37 = 2 + 0,5
5 7 2 __ __ 2x2 = 2 + __ – __ = √x 7 3 9 __ __ 1 |x| = __ √ x = 9 1 x = __ x= x = – __ 1 3 3
√
( )
(
)
f. –(–1)2 + x2 – __ 34 = 1 – __25 –1
)
___
√
. __1 g. x2 – __95 : 4 – ___ 25 81 = 3 – 7 3
3 __ 1 + __ 8 8 7 __ 4 49 ___ 16
______
√
17 m. __41 x + 4 +_______ __31 . 7 = 5 – __ 12
√
9 3 5 1 x + 4 = __ x = __ + __ + 1 __ 4 4 4 4 25 1 x = ___ – 4 |x| = 4 __ 4 16 39 x = –4 x = 4 x = – ___ 4
(
2
2
5x
3 x = – __ 2
x = 3
5 5 __ x2 + 5x + __ 2 2
5 x2 – __ = 9
( ) √
__
(
(
2 7 n. √__ 2x + __52 . 4 + __31 = 4 + __35 . __ 52 + 1 + ___ 15
__
√
)
5 8 + ___ 2 = 4 + __ 2 + __ . 4 __ x + __ 2 5 15 3___ 9 49 x = 62 __ |x| = ___ 2 9 7 7 x = – __ x = __ x = 72 3 3
49 ___ + 15
)
7 ___ 15
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Problemas con ecuaciones
infoactiva Para resolver un problema a través de una ecuación, hay que determinar cuál es la incógnita y establecer relaciones para obtener la solución.
Mariana, Rodrigo y Agustín organizaron una compra de 18 productos de la siguiente forma: Agustín compró una cierta cantidad de productos; Mariana, la tercera parte de lo que compró Agustín y Rodrigo, el doble de lo que compró Mariana. ¿Cuántos productos compró cada uno? x + 2 . __ x = 18 1 x + __ 1 3 3
x: cantidad de productos que compró Agustín.
6 x = 18 __ 3
__ 1 x: cantidad de productos que compró Mariana. 3 2 . __ 1 x: cantidad de productos que compró Rodrigo. 3
x=9
Agustín compró 9 productos, Mariana 3 y Rodrigo 6. En algunos problemas, hay que verificar si todos los valores del conjunto solución son respuestas al problema.
¿Cuánto miden los lados del rectángulo si el área es igual a 100 cm2?
x . 4x = 100 cm2 4x2 = 100 cm2 x2 = 100 cm2 : 4 __ _______ 25 cm 2 x 2 = √ √ |x| = 5 cm
x
4x
x = 5 o x = –5 Los lados del rectángulo miden 5 cm y 20 cm. Se descarta la solución negativa porque hace que las medidas de los lados sean números negativos.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que el doble de un número, aumentado en cinco unidades, es igual a la suma entre el doble de un número y cinco? b. ¿Cómo se escribe en lenguaje simbólico “la mitad de un número aumentada en 5 unidades”? c. ¿Es cierto que la expresión coloquial de 2x + __31 . 2x es “la suma entre el doble de un número y su tercera parte”? a. Sí. b. __ 1 x + 5. c. No, la expresión correcta es “la suma entre el doble de un número y la tercera parte 2 de su doble”.
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ACTIVIDADES Problemas con ecuaciones
42. Planteen la ecuación y resuelvan.
a. La cuarta parte de la diferencia entre un número y __38 es igual a la tercera parte de diez, disminuida en 1,25. ¿De qué número se trata?
(
)
8 = __ __ 1 . x – __ 1 . 10 – 1,25 3 3 4 El número es 11.
b. La suma entre la mitad de un número aumentado en uno y los tres quintos del mismo es 19 igual a ___ 5 . ¿Cuál es el número? 19 3 __ 1 . (x + 1) + __ x = ___ 5 5 2
El número es 3.
c. El doble de la diferencia entre un número y 0,3 es igual a la suma entre el triple del número y la mitad del mismo aumentado en 4 unidades. ¿Cuál es el número? 1 2 . (x – 0,3 ) = 3x + __ . (x + 4) 2 El número es – ___ 16 . 9
43. Resuelvan las situaciones planteando una ecuación. a. Entre Santino, Thiago y Nahuel juntaron 140 figuritas. Santino juntó el doble de figuritas que Nahuel y Thiago juntó las __35 partes de lo que juntó Nahuel. ¿Cuántas figuritas juntó cada uno? 5 N + 2N + __ N = 140; Santino juntó 60 figuritas, Thiago 50 y Nahuel 30. 3
b. Las edades de Iván, Teo y Sofía suman 126 años. Se sabe que Iván tiene 14 años más que Teo y la edad que tiene Sofía es la mitad de la que tienen Teo e Iván juntos. ¿Cuántos años tiene cada uno? 1 . (T + T + 14) = 126; Teo tiene 35 años, Iván 49 años y Sofía 42 años. T + T + 14 + __ 2
c. Jazmín compró una bicicleta y entregó de seña la cuarta parte del total. Al retirarla, pagó en efectivo las dos quintas partes del resto y los $540 restantes los pagará en cuotas. ¿Cuál es el precio de la bicicleta? 3 __ 1 x + __ 2 . __ x + 540 = x; la bicicleta cuesta $1 200. 5 4 4
d. En un trapecio isósceles, la base mayor mide 6 cm más que los __47 de cada lado igual y la base menor mide la mitad de la base mayor. Calculen la medida de los lados del trapecio sabiendo que su perímetro mide 46 cm.
(
)
7 7 1 . __ x + x + __ x + 6 + __ x + 6 = 46; la base mayor mide 20 cm; la menor, 10 cm y cada lado igual, 8 cm. 2 4 4
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Inecuaciones
infoactiva Las siguientes desigualdades se denominan inecuaciones.
x<6
5x > 10
Una inecuación es una desigualdad donde hay por lo menos un dato desconocido. En los números reales, el conjunto de todos los valores que verifican una inecuación se denomina conjunto solución y se lo representa mediante un intervalo real. Para resolver una inecuación se deben tener en cuenta las siguientes propiedades que permiten obtener inecuaciones equivalentes, es decir, con el mismo conjunto solución. • Si en una inecuación se suma o se resta un mismo número a ambos miembros, se obtiene una inecuación equivalente a la dada. • Si en una inecuación se multiplica o divide por un mismo número positivo a ambos miembros, se obtiene una inecuación equivalente formada por una desigualdad que tiene el mismo sentido que la dada. • Si en una inecuación se multiplica o divide por un mismo número negativo a ambos miembros, se obtiene una inecuación equivalente formada por una desigualdad que tiene distinto sentido que la dada.
–9x – 3 ≤ 15 –9x ≤ 18 –9x : (–9) ≥ 18 : (–9) x ≥ –2
8x + 6 > 4 8x > –2 x > –2 : 8 1 x > – __ 4 –1
( 1 –— 4
(
0
[
1
)
–2
–1
0
1
2
; +∞ S = –__ 1 4
S = [–2; +∞ )
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.
(
a. El número __51 , ¿pertenece al intervalo __ 51 ; +∞ ? b. ¿Es cierto que si se suma o se resta el mismo número a ambos miembros de una inecuación, se mantiene la desigualdad? c. La inecuación 2x < 5 ¿es equivalente a x > 5 : 2?
)
a. No. b. Sí. c. No. 53 Nombre:
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ACTIVIDADES Inecuaciones
44. Completen la tabla. Lenguaje coloquial
Lenguaje simbólico Intervalo real
Los números reales menores o iguales que 28.
x ≤ 28
(–∞;28]
Los números reales mayores que 43.
x > 43
(43;+∞)
Los números reales mayores que –2.
x > –2
(–2;+∞)
x > 6 y x < 17
(6;17)
Los números reales mayores que 6 y menores que 17. Los números reales mayores o iguales que –5 y menores que 7.
x ≥ –5 y x < 7
[–5;7)
Los números reales mayores que –16 y menores o iguales que –7.
x > –16 y x ≤ –7
(–16;–7]
45. Resuelvan cada inecuación y representen en la recta numérica el conjunto solución. a.
__43 x + 2 ≤ – __ 52
f. – __ 47 x + 4 ≤ __29
3 12 __ x ≤ – ___ 5 4 16 ___ x ≤ – 5
9 7 – __ x ≤ __ – 4 2 4 4 x ≥ – ___ 14
b. 3x + __52 x > __ 27 . __52
( )
g. 9 . (x – 5) < 7x + __ 31 –1
17 7 ___ x > __ 5 5 7 ___ x > 17
2x < 48
x < 24
c. __45 + __72 x ≤ __ 49 – __56
h. 4 – (x – 3) ≥ 5 – 3 . (x – 2)
1 2 x ≤ – __ __ 5 7 7 ___ x ≤ – 10
2x ≥ 4
x≥2
–5 2x + 1 ______ i. 7x ≤ ______ 2 3
d. 5x – 6 < 3x + (–4)2
21x – 15 ≤ 4x + 2 2x < 22
x < 11
x≤1
e. –6x + 7 > 2x – (–9)
j.
(
)
__53 . x + __67 – 7 3 __ ___
–8x > 2 x + – 5 10 1 __ x < – 4
__ 25 > __31 x – __23 3
1 x – __ 5 > __ __ 2 3 2 9 __ x > 8
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2 capítulo
Integración
Contenidos
12.13.14.15
46. Rodeen el valor de la incógnita en cada caso.
( )
a. – – __52 – (1 – x) = 5–1 – __ 54 – ___ 22 5
__ 54
________
√
( )
3 0 x – – __ 2 4 2 11 ________ b. = __ + __ 2 3 9
49. Marquen con una X la ecuación que traduce cada problema y luego resuélvanla. a. La mitad de un número, aumentado en __41 es igual a la diferencia entre el triple de __65 y __43 . ¿Cuál es el número?
(
( )
39 19 17 ___ 2
(
)
(
)
c. 3 . __ 61 – __32 x = __ 72 . __ 87 – 7x + __ 65 7 ___ 12
0
X
No tiene solución.
8 __ 41 – ___ 13 – __ 78
47. Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen el conjunto solución.
( )
1 2 –1 __ . __2 b. 3 – __ 2 x – – 5 = 5 5 7 __ 6 1 2 __ __ c. __ 5 x + 9 = 3 + 3 x
( )
19 3 7 ___ 2 __ __ d. __ 8 x – – 5 = 4 – 8 : 5
5 3 . __ 6 –
(
5 __ 6 – 5 __ 6 –
3 __ 4
)
3 __ 4
3 __ 4
x=3
b. Lara viajó a Mendoza, San Juan y La Rioja. Los días que estuvo en San Juan representan las __45 partes de los días que estuvo en Mendoza y los días que estuvo en La Rioja representan la tercera parte de los días que estuvo en San Juan. Si el viaje duró 32 días, ¿cuántos días estuvo en cada ciudad?
5x + 3 3x –2 d. _____ = ______ 2 4
9 15 3 1 . ___ __ ___ __ a. 7 x + 5 7 = 14
)
1 1 . __ __ 2 x + 4 = 1 1 __ . __ 2 x + 4 = 3 1 1 __ . __ 2 x + 4 = 3
5 1 __ d + __ 4 d + 3 d = 32 En Mendoza estu5 5 . __ 1 __ d + __ 4 d + 4 3 d = 32 vo 12 días, en San
1 x = __ 2 X
x=7
Juan 15 días y en
5 5 . __ d + __ 4 d + 4 3d = 32 La Rioja 5 días.
25 x = ___ 6 7 __ x = 3
c. En una panadería elaboraron cierta cantidad de masas secas. La octava parte de esa cantidad salió mal y no pudieron usarla para la venta. Si vendieron las tres cuartas partes del total y aún le quedan 24 masas, ¿cuántas masas secas se elaboraron?
48. Traduzcan al lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El doble de cinco octavos disminuido en la 2 cuarta parte de siete tercios. __ 3 b. El doble de siete cuartos disminuido en el 23 triple de dos quintos. ___ 3 . __ 7 1 __ __ 10 8 m + 4 8 m + 24 = m c. El cuadrado de la diferencia entre la sexta 3 1 __ X __ 49 Se elaboraron parte de nueve y un tercio. ___ 8 m + 4 m + 24 = m 36 192 masas secas. 3 1 __ __ d. La raíz cúbica de la suma entre el doble 8 + 4 + 24 = m 3 de tres medios y tres octavos. __ 2 e. La suma entre el triple del opuesto de cuatro 50. Resuelvan aplicando propiedad distributiva. aumentado en uno y los dos tercios de 18. 3 Luego, verifiquen el conjunto solución. f. La diferencia entre la mitad de –3 y las tres 3 0 a. 2 . x – ___ x = – ___ 11 10 + 0,3 = –(–9) octavas partes de la suma entre un sexto y 30 –2 7 __ 5 1 __ __ . un medio. – b. 6 x + 2 + – 5 – (–6) = 8x + 6 x = 20 4 g. La suma entre el doble de la diferencia 5 5 __ 21 2 29 ___ __ c. 3 . 0,4 x – __ x = ___ 6 + 4 = 2x – 6 : 5 4 entre tres cuartos y un tercio, y la raíz 9 3 1 36 __ __ __ ___ d. x – 2 : – 2 = 0,3 . (3,9 – 5x) – 5 x = cuadrada de un treintaiseisavos. 1 5 ___ h. El valor absoluto de la suma entre los dos ter9 7 3 3 . 8 14 __ ___ ___ __ __ ___ e. 2 – 10 – x = 25 + 4 2x + 5 x = 5 cios del opuesto de ocho y los cinco cuartos de 2 71 __ ___ . x = la raíz cuadrada del inverso de un dieciseisavos. __1 f. 3 . ( 1 – x )+ 2x = 5 ( –2x + 0,4 ) 5
( (
(
(
)
) ( )
)
) ( ) ( ) √
(
)
3
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51. Resuelvan las siguientes ecuaciones con
54. Planteen la ecuación que corresponde a
módulo. Luego, verifiquen el conjunto solución.
cada problema y luego resuélvanla. a. El triple de la edad de Julieta es igual a la edad que tendrá dentro de 8 años. ¿Cuántos años tiene? b. Entre el viernes, el sábado y el domingo, Rocío gastó $217. Si cada día gastó la mitad de lo del día anterior, ¿cuánto gastó cada día? c. Ignacio ahorró $690 entre octubre, noviembre y diciembre. En octubre ahorró la mitad que en noviembre y en diciembre, la tercera parte de lo que había ahorrado en octubre. ¿Cuánto ahorró cada mes? d. Javier tiene cinco años menos que la tercera parte de la edad que tiene su abuelo. Si las edades de ambos suman 75 años, ¿cuántos años tiene Javier? ¿Y su abuelo?
17 17 5 2 __ 2 . __ |x| = __ x = – ___ , x = ___ a. 3 + 9 4 18 18 4 8 7 3 2 __ x = – ___ b. __ . x + __ , x = – ___ 5 = 5 – 0,4 15 15 6 0 9 9 7 3 1 __ __ __ __ __ . c. – x = 5 x = – , x = 3 3 2 2 6 3 1 4 –1 1 1 __ __ __ . . d. – |2x + 1|: 0,5 = – x = – __ , x = – __ 3 3 4 4 4 _______
| | | |
( )
x = –3, x = 3 e. 0,3 . ( x 2 – 3 )= 3 . √2 – 1,5
52. Resuelvan y verifiquen el conjunto solución.
(
18 –4 5 x = ___ 2 . __ 1 1 ______ __ __ a. 5x = __ 13 3 4 x – 2 + 6 4
)
____ 22 ___ 3 +x 1 . ( 2 – x ) + __ b. 3_____ x = 9 = 2 x – –27 √ 2 4 3 23 3 . ___ 7 1 __ __ c. __ x = – __ 3 , x = __ 52 + x2 + ___ 5 5 5 = 5 ( 20 + 4 ) + 5 ________ 5 5 __ __ d. 2x2 – __ 21 . __92 – 1 = √ 2 – 0,2 + __ 31 x = – 2 , x = 2 _____ ___ 1 ___ –2 e. x + __1 ( = ( –1) + 0,5 . 3 – 16 ) x = 12 √ 6 _____ 5 ___ 2 . __ 3 2x + __ f. 1 = – 0,7 + 5 . 0,2 x = – 27 3 3
(
√ ( √
)
)
a. 4 b. $124; $62; $31 c. $207; $414; $69 d. 15; 60
55. Resuelvan cada inecuación, escriban el intervalo y representen en la recta el conjunto solución.
( )
87 x a. (3 – x) . __91 + 2 ≥ – __73 + __ 81 ≤ ___ 8 ________ 1 __ 5 . 1 x b. __1 x + __7 ≤ ___ 3 + 3 : __ ≤ ; 0
53. Resuelvan. a. Calculen los lados y el perímetro del rectángulo sabiendo que el área es de 70 cm2. x–1
√ √ ( )
2 12 2 6 _______ 2 1 4 5 5 8 __3 x + __ 3 + __ 32 < __3 + __9 : __21 x > __ 3 13 20 < ___ x d. x – __51 . (3x – 4) < 1,25 + __ 8 5 –1 19 x e. 2 . 0,2 : __ 21 > __54 + 3 . __ 51 x – __65 < ___ 6 15 1 __ ≤ – __ 1 f. x 2 . 2 – __45 x ≥ 6 – 2 . – ___ 7 2 x – 4 2x + 5 – 8 x g. ______ > x_____ > –6 3 6 6 8 c. __ 3 –
(
2x + 2
b. El siguiente rectángulo está formado por tres cuadrados iguales. Si el área del rectángulo es de 192 cm2, ¿cuál es la medida de los lados del rectángulo?
2x
c. La base del rectángulo mide 5 cm más que las __45 partes de la altura. Si el perímetro de la figura formada por el rectángulo y el triángulo mide 186 cm, ¿cuál es la medida de los lados del triángulo?
( ) )
(
(
)
)
56. Planteen una inecuación en cada caso y resuélvanla. Escriban el intervalo y representen el conjunto solución en la recta numérica. a. La suma entre la cuarta parte de un número aumentado en uno y su triple no supera al doble del opuesto de –5. < 3 x b. La décima parte de la suma entre el doble de un número y tres es mayor que la tercera parte mismo, disminuida en un décimo. x < 3 del c. El siguiente de la mitad de un número supera las tres cuartas partes de la suma 3 entre su doble y 0,3 . < __ x 4
56
a. b = 14 cm y h = 5 cm. P = 38 cm; b. b = 24 cm y h = 8 cm; c. 32 cm
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2 capítulo
Autoevaluación 57. Resuelvan las siguientes operaciones. 7 __ m + __ 1 x 5 8 2 a. __45 m – __ 83 m – __71 x + ___ 14 x =
(
)
3 6x 3 2 2 2
b. 2,5 x + 5x . (2x – 0,7x ) – 3x . x =
c. 4b5y2 . (–2by3) – 6b3y . (–3y4b3) =
10b6y5
58. Escriban las expresiones más sencillas que representen el perímetro y el área de la figura. Perímetro: 22x + 6; área: 20x2 + 12x
2x
7x + 3
59. Desarrollen el cuadrado y el cubo del binomio. a. (2x2 – 5)2=
4x4 – 20x2 + 25
3 2 2 2 4 6 b. (3a – b2)3 = 27a – 27a b + 9a b – b
60. Obtengan el factor común. 4 __2 3 __ 5 2 3 a2b4 – __ 10 9 a b + 6 a b =
10 a3b + a) 1 a2b . (4b3 – ___ __ 3 3
61. Resuelvan las ecuaciones y verifiquen el conjunto solución. a. 2 . (x + 0,3 ) – 3x = __21 x + __65 + 2 . __43
(
) (5 ) 2 3 ___ __ __
__
√
–1 b. __71 . __ 53 x2 – __21 = __ 56 – __ 34 . __ 41
5 3 2 – 3x = __ 1 x + __ 1 2x + __ + __ x2 = – + ___ 2 3 35 6 2 6 3 14 5 5 3 – __ x = __ |x| = __ 2 3 3 5 5 10 x = – ___ x = __ x = – __ , 3 3 9
62. Planteen la ecuación correspondiente a cada problema y luego resuélvanla. Alejo, Felipe y Gustavo fueron a cenar. Felipe gastó $20 más que la mitad de lo que debió pagar Alejo, y Gustavo las dos quintas partes de lo que gastaron entre Felipe y Alejo juntos. Si entre los tres gastaron $154, ¿cuánto dinero pagó cada uno? 2 . (a + __ 1 a + 20) = 154 1 a + 20 + __ a + __ 5 2 2
Alejo gastó $60, Felipe $50 y Gustavo $44.
63. Resuelvan la inecuación y representen el conjunto solución en una recta numérica. 3 . 3 __ __ 8 + 2 (1 – x) > 1,75 – (x – 2)
3 __ + 8
3 __ – 2
3 __ x > 2 15 – ___ > 4
7 __ – x + 2 4
x 57
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capítulo
3
Funciones Contenidos 16. Interpretación de gráficos. 17. Función. 18. Función lineal. 19. Ecuación de la recta. 20. Rectas paralelas y perpendiculares. 21. Función cuadrática. 22. Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones. 23. Sistemas de ecuaciones.
500 s hoja
500hojas Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. David quiere imprimir un trabajo práctico que debe entregar ese día. a. Si la impresión de cada hoja demora 15 segundos, ¿de qué dependerá el tiempo que demore en imprimir su trabajo? b. Si para imprimir el trabajo utilizará el 10% del total de las hojas que tiene, ¿cuánto tardará en tener impreso el trabajo completo? c. ¿Cuántas hojas puede imprimir en 1 200 segundos? d. Comparen las respuestas con las de sus compañeros. 58
a. Dependerá de la cantidad de hojas que tenga el trabajo. b. Demorará 1 500 segundos (25 minutos). c. 80 hojas.
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Interpretación de gráficos
infoactiva Un sistema de ejes cartesianos está determinado por dos rectas perpendiculares: la recta horizontal representa el eje de abscisas (x), y la vertical, el eje de ordenadas (y). Un punto queda determinado por dos coordenadas x e y.
y 300
a = (2;300)
200 100
En un gráfico aparecen representados los valores de dos variables que están relacionadas. En el eje de las abscisas se representan los valores de la variable independiente y en el vertical, los de la variable dependiente. Para representar los valores en cada eje se pueden tomar escalas distintas.
0 1 2 x
Distancia (en km)
El siguiente gráfico muestra la distancia a la que se encuentra una familia con respecto a su casa desde que salieron hasta que regresaron de su paseo.
200 160 120 80 40 0 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tiempo (en horas)
En el gráfico se representa la distancia a la casa en función del tiempo. La variable independiente es el tiempo (en horas) y la dependiente es la distancia (en km). A partir de la lectura del gráfico se puede decir que: • A las 9:00 la familia salió de su casa, estuvieron viajando durante 2 horas y recorrieron 160 kilómetros; • pararon dos horas y continuaron el viaje hasta las 14:00 horas. En ese tramo recorrieron 40 kilómetros; • pararon una hora más y emprendieron el viaje de regreso a su casa.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Qué nombre recibe el eje x? ¿Y el eje y? b. El punto a = (0;9), ¿coincide con el punto b = (9;0)? c. Las escalas que se usan en cada eje, ¿deben ser iguales? d. ¿En qué eje se representa cada variable? a. El eje x, eje de abscisas y el eje y, de ordenadas. b. No, porque el orden de las coordenadas es distinto. c. No, puede ser diferente. d. La variable independiente en el eje x y la dependiente en el eje y.
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ACTIVIDADES Interpretación de gráficos
1. Marquen con una X el gráfico que corresponde a la siguiente situación. Camila registró su peso durante un año. En los tres primeros meses aumentó de peso y durante los tres meses siguientes se mantuvo estable. En el segundo semestre del año adelgazó a lo largo de los primeros cuatro meses. Luego, el peso se mantuvo estable. b. X
c.
Peso
Peso
54
Peso
a.
54
54
52
52
52
50
50
50
0 e f m a m j j a s o n d e Tiempo
0 e f m a m j j a s o n d e Tiempo
0 e f m a m j j a s o n d e Tiempo
2. Observen el gráfico y respondan. El siguiente gráfico muestra el nivel de agua de un tanque, que se llena con una bomba eléctrica. a. ¿Cuáles son las variables? Clasifíquenlas. Cantidad de agua (l)
Tiempo (independiente) y capacidad (dependiente).
b. ¿Cuántos litros de agua había a las 10:30 h? 50 litros.
c. ¿Durante cuánto tiempo se mantuvo constante el nivel de agua? Durante 2 horas.
0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Tiempo (en horas)
d. ¿Cuántos litros ingresaron entre las 11 h y las 14:30 h? 75 litros.
200 175 150 125 100 75 50 25
3. Observen las siguientes gráficas y respondan.
500 400 300
GRÁFICO B Precio (en $)
Distancia recorrida (en m)
GRÁFICO A
500 400 300
200
200
100
100
0 1 2 3 4 5 6 Tiempo (en horas)
0 1 2 3 4 5 6 Pares de zapatillas
a. ¿Cuáles son las variables en cada caso? Clasifíquenlas. Gráfico A: tiempo, independiente; distancia, dependiente. Gráfico B: pares de zapatillas, independiente; precio, dependiente.
b. ¿Por qué no se unieron los puntos en el gráfico B? Porque no pueden fraccionarse las zapatillas.
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Función
infoactiva Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Ventas totales (en miles de $)
venta de electrodomésticos y artículos para el hogar 15 10 5 0 2006 2007 2008 2009 2010 Tiempo (en años)
• Para cada valor del tiempo (variable independiente) existe una única cantidad de ventas (variable dependiente). • Por ejemplo, la cantidad de ventas en el año 2006 fue de $5 909 981. Se dice que la imagen de 2006 es $5 909 981 o que la preimagen de $5 909 981 es 2006.
El conjunto dominio de la función está formado por los valores que puede tomar la variable independiente. El conjunto imagen está formado por los valores que puede tomar la variable dependiente.
Análisis de gráficos Para analizar el gráfico de una función, hay que tener en cuenta distintos elementos. y 3
máximo relativo
2 1
raíz
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x –1 mínimo
relativo
• El gráfico interseca al eje x en dos puntos llamados ceros o raíces de la función: x = 5 y x = 8. • En x = 2 hay un máximo relativo porque a su izquierda la función crece y a su derecha, decrece. • En x = 6 hay un mínimo relativo porque a su izquierda la función decrece y a su derecha crece.
• Una función es creciente (parte del gráfico pintada de violeta) cuando al aumentar los valores de la variable x, aumentan los valores correspondientes de la variable y. Intervalo de crecimiento = (0;2) ∪ (6;8) Valores de x donde la función es creciente. • Una función es decreciente (parte del gráfico pintada de naranja) cuando al aumentar los valores de la variable x, disminuyen los valores correspondientes de la variable y. Intervalo de decrecimiento = (2;6) Valores de x donde la función es decreciente.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Toda relación entre dos variables, ¿es considerada función? b. En un gráfico, los valores de una de las variables aumenta y los de la otra variable disminuyen. La función, ¿es creciente o decreciente? c. Si una función decrece en cierto intervalo y luego crece, ¿posee un máximo o un mínimo? d. El dominio de una función, ¿es el conjunto de valores que toma la variable dependiente? a. No, una función es una relación entre dos magnitudes en la cual a cada valor de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda. b. En este tramo, la gráfica es decreciente. c. Posee un mínimo. d. No, el dominio es el conjunto de valores que toma la variable independiente. Nombre:
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ACTIVIDADES Función
4. Coloquen una X en las gráficas que corresponden a una función. a.
b. y
c. y
y
x
d. y
x
X
x
X
x
5. Observen el gráfico y respondan. a. ¿Cuál es el dominio? ¿Y la imagen?
y
Dom = [–3;6]; Im = [–2;5]
7 6
b. ¿Cuál es la imagen de –2? ¿Y la preimagen de 5?
5
f(–2) = 4 y f(5) = –1
4 3
c. ¿El punto (1;2) pertenece a la función?
2
Sí.
1
d. Completen.
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1
4 • Cero o raíz:
–2
–1 • Máximo: 6 • Mínimo:
x
–3
• Intervalo de crecimiento: • Intervalo de decrecimiento:
(–3;–1) U (1;2) (–1;1) U (2;6)
6. Tengan en cuenta el gráfico y respondan. Medida del lado del cuadrado (ind.) y perímetro (dep.).
b. ¿Cuál es el dominio? (0;+∞)
c. Si el lado del cuadrado mide 4 cm, ¿cuál es el perímetro? 16 cm
Perímetro (en cm)
a. ¿Cuáles son las variables? Clasifíquenlas.
28 24 20 16 12 8
d. Si el perímetro es de 24 cm, ¿cuánto mide el lado del cuadrado?
4
6 cm
0 1 2 3 4 5 6 Medida del lado del cuadrado (en cm)
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Función lineal
infoactiva Se llama función lineal a aquella cuya fórmula es y = mx + b. Los números m y b reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen, respectivamente. 3 x + 1 es lineal. También se puede escribir f (x) = __ 3 x + 1. La función y = __ 2 2 y
Cuando la variable x varía aumentando en 2 unidades, la variable y aumenta 3 unidades. Esta variación está representada por la pendiente de la recta que es igual a __ 23 . La recta interseca al eje y en el punto (0;1). La ordenada de este punto es la ordenada al origen de la recta.
4 3 3
2
raíz
1
2
0 1 2 3 4 5 6 –2 –1 –1
x
La función y = – __ 2 x + 3 es lineal. 3 y 4 3 2
Cuando la variable x aumenta en 3 unidades, la variable y disminuye 2 unidades. Esta variación se expresa a través de una pendiente negativa igual a – __ 23 .
3 2
raíz
1
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1
x
La raíz de una función es la abscisa del punto en donde la recta interseca al eje x. Para determinar la raíz, hay que plantear y resolver una ecuación (procedimiento analítico). Por ejemplo, para encontrar la raíz en el segundo caso, se debe plantear la siguiente ecuación.
–__ 2 x + 3 = 0 3 –__ 2 x = – 3 3 9 x = __ 2
Se iguala la fórmula de la función con la ecuación del eje x, cuya fórmula es y = 0. Es la raíz.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen en y = 3x? ¿Cuál es el valor de la pendiente en y = x? b. Si la pendiente es negativa, ¿la recta crece o decrece? c. ¿Cómo es la posición de la recta si la pendiente es 0? d. Si la función lineal tiene ordenada igual a 0, ¿dónde interseca al eje x? a. La ordenada al origen es 0. La pendiente es 1. b. Si la pendiente es negativa la recta decrece. c. La recta es horizontal. d. La recta pasa por el origen de coordenadas (0;0).
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ACTIVIDADES Función lineal
7. Marquen con una X las fórmulas que corresponden a una función lineal. Luego, indiquen la pendiente y la ordenada de esas funciones. X a. y = 2x + 3 c. y = 4x
X
e. y = x3
2
Pendiente:
Pendiente:
4
Pendiente:
3 Ordenada:
Ordenada:
0
Ordenada:
b. y = x2+ 1
d. y = –x + 2
X X f. y = x
Pendiente: Pendiente:
–1 1 Pendiente:
Ordenada: Ordenada:
2 0 Ordenada:
8. Completen las tablas y representen gráficamente las funciones. a. y = 2x
b. y = –2x + 2 x
y
y
–4 –2
–2
6
4
–2 –1
–1
4
3
0 0
0
2
2
2 1
1
0
1
4 2
2
–2
x
y
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
x
–2 –3 –4
9. Resuelvan. Un taxi cobra un costo fijo de $10 y $8 por cada kilómetro recorrido. a. ¿Cuál es la fórmula que representa la situación? b. ¿Cuál es la pendiente? ¿Y la ordenada?
y = 8x + 10
Pendiente = 8; ordenada = 10
x: distancia y: recorrida precio 2 26 4 42 6 58 8 74
precio (en $)
c. Completen la tabla y representen en un sistema de ejes cartesianos. y 100 80 60 40 20 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 distancia (km)
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ACTIVIDADES Función lineal
10. Representen las siguientes funciones lineales en un mismo sistema de ejes cartesianos. a. y1 = 2x + 4 b. y2 = –x – 1
c. y3 = 5 – 2x d. y4 = __32 x y y1
5 4 y2
y4
3 2 1
–4 –3
–2
–1 0
1 2 3 4
x
–1 y3
–2 –3
11. Completen. Función y = –4x + 5
Ordenada
–4
5
Creciente, decreciente o constante
3
15
Creciente
y = –5 0 –5
y = –8x
–8
Cero o raíz
5 Decreciente __ 4 1 __ Creciente 7
7 –1 y = 7x – 1
y = 15 + 3x
Pendiente
–5
Constante
0
No tiene.
Decreciente
0
12. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. F a. Si la pendiente de una función lineal es positiva, la función es decreciente. V b. Si la pendiente de una función lineal es positiva, la función es creciente. F c. La ordenada al origen se relaciona con la inclinación que tiene la recta. V d. Una función lineal siempre tiene ordenada al origen. F e. Si una función lineal tiene pendiente positiva, es decreciente.
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ACTIVIDADES Función lineal
13. Calculen en forma analítica los ceros de cada función. Luego, representen las rectas en un sistema de ejes cartesianos. a. y1 = __53 x – 5
3 x 5 = –– 5 25 –––– = x 3
d. y4 = 6x + 2
b. y2 = 5 + __85 x
1 =x – –– 3
e. y5 = –3 + 6x
5 –5 = __ x 8 –8 = x
c. y3 = __23 x – 4
–2 = 6x
3 = 5x 3=x –– 5
f. y6 = __53 x
3 x 4 = –– 2 8 –– = x 3
0=x
y 10 9 8
y4 y5 y3
7
y6
6 5 4 3 y2
y1
2 1
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 –1
x
–2 –3 –4 –5 –6
mente activa El valor de un auto 0 kilómetro es de $45 000. A medida que transcurre el tiempo, el valor va disminuyendo $2 000 por año. a. ¿Cuál es la fórmula que representa la situación? y = 45 000 – 2 000x b. Si el valor del auto es de $35 000, ¿cuántos años pasaron? 5 años.
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Ecuación de la recta
infoactiva • Para escribir la ecuación de una recta se necesita conocer la pendiente y la ordenada al origen.
Datos: m (pendiente) y b (ordenada)
y = mx + b
• Para escribir la ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto que pertenece a la misma, se deben reemplazar los datos conocidos en la ecuación general de la recta para obtener la ordenada.
Datos: pendiente 2 y pasa por el punto a = (1;6). y=m.x+b 6 = 2 . 1 + b 1. Se reemplaza y = 6, x = 1 (son las coordenadas del punto a) 6 – 2 = b y la pendiente por 2. b=4 2. Se despeja b (ordenada al origen). Entonces, m = 2 y b = 4, la ecuación de la recta es y = 2x + 4. • Para escribir la ecuación de la recta conociendo dos puntos que pertenecen a la misma, hay que encontrar el valor de la pendiente y de la ordenada.
Datos: pasa por los puntos d = (1;1) y e = (5;–3).
y – y
2 1 m = ______ x – x 2
1
Ecuación de la pendiente, conociendo dos puntos.
–3 – 1 m = ______ 1. Se reemplazan las coordenadas de los puntos d y e. 5 – 1 m = –1 2. Se resuelve para encontrar el valor de m (pendiente).
y = m . x + b –3 = (–1) . 5 + b b=2
3. Se reemplaza el valor de m y las coordenadas de los puntos en la ecuación de la recta.
Entonces, m = –1 y b = 2, la ecuación de la recta N es y = –x + 2.
test de comprensión 1. de comprensión test
Respondan y expliquen las respuestas. a. La recta y = 3x – 2, ¿pasa por el punto (–4;–14)? b. Los puntos (–2;5), (0;2) y (1;4), ¿pertenecen a la misma recta? c. ¿Se puede determinar la ecuación de la recta si se sabe que tiene pendiente 2 y pasa por el origen de coordenadas? d. ¿Qué datos se necesitan para determinar la ecuación de una recta? a. Sí. b. No, los puntos no están alineados. c. Sí, la ecuación es y = 2x. d. Para obtener la ecuación de una recta, se necesita conocer dos puntos o conocer un punto y la pendiente u ordenada de la misma.
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ACTIVIDADES Ecuación de la recta
14. Escriban la fórmula de cada función teniendo en cuenta la pendiente y la ordenada. a.
b.
d.
y
y
y
y
4
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
–2 –1 0 –1
c.
1 2 x
–1 0 –1
1
2
3
4 x
–1 0 –1
1
2
3
4 x
–1 0 –1
–2
–2
–2
–2
–3
–3
–3
–3
y = 3x – 1
2 x + 3 y = – –– 3
1 x y = –– 4
1 2 x
5 x –3 y = –– 2
15. Escriban la ecuación de la recta a partir de los siguientes datos. a. m = – __21 b = –5
1 x – 5 y = – –– 2
b. m = –1 b = 4
c. m = –8 b=2
y = – x + 4
y = –8x + 2
16. Escriban la ecuación de cada recta teniendo en cuenta los datos. Luego, represéntenlas en un sistema de ejes cartesianos.
y = –3x + 2
y = 4x – 3
1 x y = –– 2
2x+4 y = –– 5
a. Recta R que pasa por r = (–1;5) y la pendiente es –3: b. Recta S que pasa por s = (2;5) y la pendiente es 4: c. Recta M que pasa por m = (0;0) y la pendiente es __21 : d. Recta N que pasa por n = (–5;2) y la pendiente es __52 : y 7
S
N
6 5
M
4 3 2 1 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 –1
x
–2 –3 –4 –5
R
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ACTIVIDADES Ecuación de la recta
17. Resuelvan. a. Escriban la ecuación de la recta T que pasa por p = (–1;3) y tiene pendiente –4.
T
10 9
3 = –1 . (–4) + b
8
y = –4x – 1
7
S
6
b. Escriban la ecuación de la recta S que también pasa por p, pero que tiene pendiente __21 . 1+b 3 = –1 . –– 2 1 x + –– 7 y = –– 2 2
y
5 4 R
3 2
c. Escriban la ecuación de la recta R que pasa por q = (–2;6) y tiene pendiente – __ 31 .
1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1 2 3 4 5 6 7 x
–2
1 . (–2) + b 6 = – –– 3 1 x + –16 y = – –– ––– 3 3
–3 –4 –5
d. Grafiquen todas las rectas que encontraron en un mismo sistema de ejes cartesianos.
–6
18. Escriban la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados y grafiquen todas las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos. a. Recta A que pasa por p = (–1;3) y q = (2;5).
y
5–3 m = _______ 2 – (–1) 2 x + –11 ––– y = –– 3 3
10 8
b. Recta B que pasa por r = (2;–4) y s = (–3;–1).
2–3 m = ______ –1 – 0
A
7 6
–1 – (–4) m = ________ –3 – 2 3 x – –14 y = – –– ––– 5 5
c. Recta C que pasa por t = (0;3) y u = (–1;2).
C
9
5 4 3
D
2
B
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x –1
y=x+3
–2 –3
d. Recta D que pasa por v = (4;0) y w = (3;–1).
–4 –5
– 0 ______ m = –1 3–4
–6
y=x–4
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ACTIVIDADES Ecuación de la recta
19. Resuelvan. Los puntos r = (1;3), s = (–1;–1), t = (4;–2) forman un triángulo. a. Representen los puntos y dibujen el triángulo. y 3
r
2 1
–4 –3
–2
–1 0 s
1 2 3 4
x
–1 t
–2 –3
b. Escriban las ecuaciones de las rectas que incluyen a los lados del triángulo. sr: y = 2x + 1 1 x – –– 6 st: y = – –– 5 5 5 14 rt: y = – –– x + –––– 3 3
20. Unan cada ecuación con los puntos que la determinan. a. y = – __ 2 x + 2
• (1;2) y (–2;–10)
5 1 __ b. y = 3 x – 6 • 5;– __23 y (–2;2)
( ( (
) )
c. y = – __ 21 x + 1 • __ 31 ; –8 y (1;–10) 19 d. y = 4x – 2 • –1;– ___ 3 y (3;–5) e. y = –3x – 7 • (0;2) y 1; __58
) ( )
21. Indiquen si los puntos indicados pertenecen a una misma recta. Escriban la ecuación de la recta. a. (–3;4), (–1;2), (0;1)
Sí. y = –x + 1
No. b. (–1;5), (–3;2), (1;6) c. (0;–1), (2;1), (3;2) Sí. y = x – 1 d. (0;–2), (1;–2), (–3;–2)
Sí. y = –2
No. e. (1;2), (3;1), (1;–1)
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Rectas paralelas y perpendiculares
infoactiva Rectas paralelas
y = 2x + 1 es paralela a y = 2x + 3
y 5 4
y= 2x +3 y= 2x +1
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.
3 2 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 –1
x
Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son números inversos y opuestos.
__ x y = –2x + 3 es perpendicular a y = 1 2 y
y=
6
–2x +3
5 4 3 2 1
1 –– x y= 2
–3 –2 –1 0 1 2 3
x
test de comprensión de comprensión test 1.
Respondan y expliquen las respuestas. a. Geométricamente, ¿cuándo dos rectas son paralelas? ¿Y perpendiculares? b. Teniendo en cuenta las ecuaciones, ¿cuándo dos rectas son paralelas? ¿Y perpendiculares? c. ¿Es cierto que y = 2x – 1 e y = –2x + 3 son perpendiculares? d. Las rectas y = x e y = –x, ¿son paralelas? a. Paralelas, no tienen puntos en común. Perpendiculares, se cortan formando cuatro ángulos rectos. b. Paralelas, tienen la misma pendiente. Perpendiculares, las pendientes son números inversos y opues71 tos. c. No, las pendientes no son inversas. d. No, las pendientes no son iguales.
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ACTIVIDADES Rectas paralelas y perpendiculares
22. Marquen con una X las rectas paralelas a y = 7__2 x – 1. X a. y = 9 + __72 x c. y = __72 x – 3
X
e. y = – __27 x – 8
X b. y = __27 x – 5 d. y = – __72 x + 1 f. y = __72 x
23. Marquen con una X las rectas perpendiculares a la recta y = 8__3 x – 9. X a. y = – __38 x + 1
c. y = – __83 x
e. y = __38 x + 2
X b. y = __83 x – 10 d. y = – __83 x + 1 f. y = – __38 x
24. Completen con // o ⊥ , según corresponda. 2 2 __ R1 : y = __13 x + 1 R3: y = __ 3 x – 8 R5: y = 3 x + 9 3 1 __ R2 : y = – __ 2 x + 2 R4: y = –3x + 2 R6: y = 3 x – 7
a. R 1
⊥ // R c. R R e. R // 4
R ⊥ R b. 2 5
3
5
1
d. R2 ⊥ R3
f. R6
⊥
R6 R4
25. Escriban la ecuación de la recta que cumple con lo pedido en cada caso.
c. Una recta C, paralela a y = __ 41 x – __21 , que pase por c = (–2;1).
a. Una recta A, paralela a y = 2x – 5, cuya ordenada sea __21 .
1 y = 2x + –– 2
3 1 x + –– y = –– 4 2
b. Una recta B, perpendicular a y = – __ 72 x + 1, cuya ordenada sea __31 .
7 x + –– 1 y = –– 2 3
d. Una recta D, perpendicular a y = 3x – 5, que pase por d = (–3;4).
1x + 3 y = – –– 3
26. Resuelvan. a. Escriban la ecuación de la recta R que pasa por los puntos a = (– 4;–1) y b = (–2;2).
R:
3x+5 y = –– 2
b. Escriban la ecuación de la recta S, perpendicular a R, que pase por b y la ecuación de la recta T, perpendicular a R, que pase por a.
S:
2 x + –– 2 y = – –– 3 3
M:
3 x – –– 3 y = –– 2 2
2
11
y = – –– x – ––– T: 3 3 c. Representen en sus carpetas las rectas R y S en un sistema de ejes cartesianos. Marquen los puntos c y d para que se forme el rectángulo abcd. Por ejemplo, c = (1;0) y d = (–1;–3) d. Escriban la ecuación de la recta M que incluye al lado que falta.
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3
capítulo
Integración
a. Sí. b. No. c. Sí. d. Sí. e. Sí.
16.17.18.19.20 30. Observen el gráfico y respondan. Candtidad de cuadras
27. Indiquen cuáles de las siguientes relaciones son funciones. a. A cada alumno se lo relaciona con su cantidad de hermanos. b. A cada persona se la relaciona con su mascota. c. A un número se lo relaciona con su mitad. d. A cada persona se la relaciona con su edad. e. A cada número entero se lo relaciona con su doble aumentado en uno.
Contenidos
y 40 30 20 10 0
l
m
m
x j v s d Días de la semana
3
a. ¿Cuáles son las variables? Clasifíquenlas. b. La relación ¿es función? c. ¿Cuál es el dominio? ¿Y la imagen? d. ¿Cuál fue el día en que caminó más cuadras? e. ¿Qué ocurrió el miércoles? f. Los puntos de la gráfica no se unieron, ¿es correcto? ¿Por qué?
2
Solución a cargo del alumno.
28. Observen la gráfica y escriban lo pedido. y 6 5 4
31. Lean y resuelvan.
1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1 2 3 4 5 6 7 x
–2
a. Dominio e imagen. D = [–5;7]; I = [–2;6] b. Raíces. (–4;0); (5;0); (7;0) c. Máximo y mínimo. Max: x = 2; mín: x = 6 d. Intervalos de crecimiento. (–5;–2) U (–1;2) U (6;7)
e. Intervalos de decrecimiento. (2;6) f. ¿En algún tramo es constante? Sí. (–2;–1)
Un electricista cobra $20 por la visita y $60 por cada hora trabajada. a. ¿Cuáles son las variables? Clasifíquenlas. Horas trabajadas (indep.); b. Completen la tabla. costo (depen.) Horas trabajadas
Costo (en $)
20 0 80 1
2 140 200 3
320
5
29. Realicen el gráfico que represente la dis-
440 7
tancia de Cristian a su casa, durante el viaje. Cristian salió de vacaciones a las 10 horas rumbo a la costa. Manejó durante dos horas y decidió parar una hora para almorzar luego de recorrer 200 kilómetros. Continuó su recorrido y tres horas más tarde, luego de haber recorrido 250 kilómetros más, realizó un descanso de media hora para merendar y sacar fotos. Siguió su camino y llegó a su destino a las 17 horas, habiendo recorrido los 600 kilómetros que lo separaban de su casa.
9
Solución gráfica.
560
c. ¿Cuál es la fórmula que corresponde a esta situación? y = 20 + 60x
d. ¿Cuánto cobrará si trabaja 8 horas y $500 media? e. Si cierto día cobró $290 por su trabajo, ¿cuántas trabajó? 4 horas y media. f. Representen los datos en un sistema de ejes cartesianos. Solución gráfica. g. ¿Es correcto unir los puntos del gráfico? ¿Por qué? Sí, porque puede trabajar por fracciones de hora.
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32. Indiquen para cada función la pendiente y
37. Obtengan la ecuación de la recta en cada
la ordenada. Analicen si decreciente o constante. a. y = 8x – 5 b. y = –9x c. y = –12 – 3x d. y = 15x – 8
caso. Luego, representen las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos. a. Recta que pasa por el punto a = (–3;2) y la raíz es –2. y = –2x – 4 b. Recta que pasa por b = (–1;–4) y la orde nada es 3. y = 7x + 3 c. Recta que pasa por c = (–5;–3) y por el ori3x gen de coordenadas. y = –– 5 d. Recta que pasa por d = (2;–4) y su raíz es 4 x – –– 4 x = –1. y = – –– 3 3
la gráfica es creciente, e. y = 9 f. y = – __73 x + 1 g. y = –1 + __45 x h. y = __25 x – 2
Solución a cargo del alumno.
33. Calculen analíticamente las raíces de las funciones de la actividad anterior. Solución a cargo del alumno.
34. Representen gráficamente las siguientes funciones. a. y = __51 x + 2 b. y = – __34 x – 1 c. y = 6x – 7 d. y = 2x + 6
38. Resuelvan.
e. y = – __ 73 x – 3 f. y = __25 x + __23 g. y = x – __21
a. Obtengan la recta M que pasa por (–1;5) y (–2;3). y = 2x + 7
b. Hallen una recta T, paralela a M que pase por (3;2). y = 2x – 4
h. y = 3x
c. Encuentren una recta S, perpendicular a M,
Solución gráfica.
1 x + –– 1 cuya ordenada sea __1 . y = – –– 2 2 2
35. Escriban la ecuación de cada recta y
d. Grafiquen las rectas obtenidas en un siste-
resuelvan.
ma de ejes cartesianos. Solución gráfica.
y 5
39. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
A
corresponda. Expliquen la respuesta. La recta R 1pasa por los puntos (–3;2) y (5;–1).
4 3
C
2
F a. La ordenada de R1 es – __ 3 .
1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 B –2 D –3
x
–4
a. ¿Cómo son las ordenadas? b. Encuentren, analíticamente, la raíz de cada recta.
4; B: x = 3; C: x = –3 ; D: x = –– 4 a. Iguales. b. A: x = – –– 3 3
36. Escriban la fórmula de la función y grafiquen. Pendiente: –3; ordenada: 6. a. Pendiente: 7; ordenada: 1. b. Pendiente: –2; ordenada: –5. c. Pendiente: 1; ordenada: 0. d. Pendiente: 0; ordenada: 4. e.
y = –3x + 6 y = 7x + 1 y = –2x – 5 y=x y=4
8 7 __ F b. La pendiente de R1 es 8 . V c. El punto 1; __21 pertenece a R1. V d. La recta y = – __ 83 x + __53 es paralela a R1. F e. La recta y = – __38 x – __21 es perpendicular a R1. V f. La raíz de R1 es __ 37 .
( )
40. Encuentren la ecuación de cada recta teniendo en cuenta los datos y grafíquenlas en un mismo sistema de ejes cartesianos. a. Recta R1cuya pendiente sea __31 y pase por 1 x+3 p = (3;4). y = –– 3 b. Recta R2que pase por m = (–5;1) y 13 2 x + ___ n = (–2;3). y = –– 3 3 c. Recta R3paralela a y = __23 x + 5 que pase 3 x – –11 por (3;–1). y = –– –– 2 2 d. Recta R4perpendicular a y = – __ 25 x + 1 que 2 x + –32 pase por (–1;6). d. y = –– ––– 5 5
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Función cuadrática
infoactiva Una función es cuadrática cuando su fórmula es: y = ax2 + bx + c a, b y c son números reales y a ≠ 0 • La curva que corresponde a una función cuadrática se denomina parábola. • El punto mínimo o máximo de la parábola se denomina vértice. • Las raíces son los puntos en donde la parábola interseca al eje x.
y = x2 – x – 2 y 2
La función es cuadrática.
eje de simetría
__ _ . El vértice es un mínimo, v = (21_ ;–11 4)
1
Las raíces son x = –1 y x = 2.
raíces –2
–1 0
1 2 3
El eje de simetría es x = 21_ .
x
La parábola decrece en (– ∞;21_ ) y crece en (21_ ;+ ∞).
–1
ordenada al origen –2
Tiene concavidad hacia arriba. vértice
y = –x2 + 4x – 3 y 1
vértice raíces
–1 0 1 2 3 4
x
El vértice es un máximo, v = (2;1). Las raíces son x = 1 y x = 3.
–1
El eje de simetría es x = 2.
ordenada –2 al origen –3
La función es cuadrática.
La parábola crece en (– ∞;2) y decrece en (2;+ ∞). eje de simetría
Tiene concavidad hacia abajo.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En la fórmula de una función cuadrática, ¿puede faltar el término x2? b. ¿Cuál es la ecuación del eje de simetría en y = x2? c. ¿Cuál es el vértice en y = –x2? d. Si una parábola es cóncava hacia abajo, ¿tiene un máximo o un mínimo? a. No, si este término no aparece en la fórmula, la función no es una función cuadrática. b. El eje de simetría es la recta x = 0. c. El vértice es v = (0;0) d. Tiene un punto máximo. 75 Nombre:
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ACTIVIDADES Función cuadrática
41. Resuelvan. a. Completen las tablas y grafiquen las siguientes funciones. • y1 = x2 – 4 • y2 = __21 x2 – 2
• y3 = – __ 21 x2 + x
x
y
x
y
x
y
–2
0
–2
0
–2
–4
–1
–3
–1
3 – __ 2
–1
3 – __ 2
0
–4
0
–2
0
0
1
1 __ 2
2
0
1
–3
1
3 – __ 2
2
0
2
0
y
y
y
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
–2 –1 0 –1
1 2 x
–2 –1 0 –1
1 2 x
–2 –1 0 –1
–2
–2
–2
–3
–3
–3
–4
–4
–4
1 2
x
b. Observen los gráficos del ítem anterior y completen la siguiente tabla. Vértice
Eje de simetría
Ceros
y1
(0;–4)
x=0
x = –2; x = 2
(0;+∞)
(–∞;0)
y2
(0;–2)
x=0
x = –2; x = 2
(0;+∞)
(–∞;0)
y3
( 1; __21 )
x=1
x = 0; x = 2
(–∞;1)
(1;+∞)
mente activa Julián tiró una pelota hacia arriba. El siguiente gráfico muestra la altura en función del tiempo.
Int. de crecimiento Int. de decrecimiento
Altura (m)
Función
a. ¿Qué tipo de función representa? b. ¿Qué representa el punto (5;6)? c. ¿Cuánto tiempo tardó la pelota en llegar nuevamente a las manos de Julián? a. Una cuadrática. b. A los 5 segundos alcanza 6 m (altura máxima). c. Tardó 10 segundos.
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (en seg)
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Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones
infoactiva Dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas cada una, determinan un sistema de ecuaciones. La solución del sistema está formada por los valores de x e y que verifican las dos ecuaciones simultáneamente.
Se escribe una llave al principio para indicar que los valores de x e y deben verificar las dos ecuaciones. Cada ecuación de un sistema representa gráficamente una recta.
2x – 2y = –6 3x – y = –1
Entonces, y = x + 3 Entonces, y = 3x + 1 6 5 4
y= 3x + 1
y
(1;4)
2
y
=
x
+
3
3
1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 –1
x
Las rectas se intersecan en x = 1, y = 4. El conjunto solución del sistema se escribe S = {(1;4)} Clasificación de los sistemas de ecuaciones • Un sistema de ecuaciones es compatible determinado (S. C. D.) cuando tiene una solución. • Un sistema de ecuaciones es compatible indeterminado (S. C. I.) cuando tiene infinitas soluciones. • Un sistema de ecuaciones es incompatible (S. I.) cuando no tiene solución.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si las dos rectas de un sistema son paralelas, ¿cuál es el conjunto solución? b. Si las dos rectas se cortan en un punto, ¿de qué tipo de sistema se trata? c. Si las dos rectas de un sistema son coincidentes, ¿cuál es el conjunto solución? d. Si dos rectas se intersecan en el origen de coordenadas, ¿cuál es el conjunto solución? a. El sistema no tiene solución. b. Es un sistema compatible determinado. c. Está formado por los infinitos puntos de la recta. d. El conjunto solución es S = {(0;0)}.
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ACTIVIDADES Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones
42. Indiquen la solución de los siguientes sistemas y clasifíquenlos. a.
b.
y 4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 –2
{(–2;2)}
Sist. compatible determinado.
B
4 3 2
A=B
1 1 2 3 4 x
–4 –3 –2 –1 0 –1
–2
–2
–3
–3
No tiene.
Sol =
y
A
–2 –1 0 –1
B
–3
Sol =
x
c.
y
A
Sistema incompatible.
Infinitas.
Sol =
1 2 3 x
Sist. compatible indeterminado.
43. Unan con flechas cada sistema de ecuaciones con la gráfica correspondiente.
{
{
__ 1 x + 2 = y
2x – 4y = 6
b. 5 __5
a. 3x – 6y = 3
3 x – y = 4
•
{
1 – __1 x = y
4 c. 3y – 6x = 9
•
•
y
y
y
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
–2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
x
–2 –1 0 –1
1 2 3 4 x
–2 –1 0 1 2 3 4 5 x –1
–2
–2
–2
–3
–3
–3
–4
–4
–4
44. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas.
{
x + 2y = –4
Dado el sistema: 2x + 4y = a F a. Si a = –16, el sistema tiene infinitas soluciones. F b. Si a = –8, el sistema no tiene solución. V c. Si a = 16, el sistema no tiene solución. V d. Si a = 3, el sistema es incompatible.
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ACTIVIDADES Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones
45. Escriban las ecuaciones que forman el sistema e indiquen la solución. y
a.
y
c.
B
4
4
3
3 A
2
2
1
1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 A B –2
x
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 –2
–3
–3
–4
–4
{
A:
y = x + 1
B:
y = –x + 3
x
{
A:
1 x +2 y = – –– 3
B:
y = –x + 4
{(1;2)} Sol =
Sol =
b.
d.
y
B
4 3
{(3;1)} y A=B
4
A
3
2
2
1
1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
x
–2
–2
–3
–3
–4
–4
x
{
A:
y = 2x – 2
B:
y = 2x + 2
{
A:
1 x+4 y = –– 3
B:
2 x+8 2y = –– 3
Sol = No tiene solución.
Sol = Infinitas soluciones.
46. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. F a. Un sistema no tiene solución cuando las rectas tienen infinitos puntos en común. F b. Si un sistema tiene infinitas soluciones, significa que las rectas no se cruzan. V c. Los sistemas tienen única solución cuando se cortan en un punto. V d. Si las rectas tienen un punto en común, el sistema es compatible determinado.
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ACTIVIDADES Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones
47. Resuelvan gráficamente los siguientes sistemas.
{
2 . (y + 3) – 4 = 8x
{
2 . (x + 1) – 14 = –8y 6y + 2 x = 15
a. 7y = 14x – 21
c. 3 __
y 3
y 5
2
4
1
3
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
2
x
–2
1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1
–3 –4 (–1;–5) –5
–2
x
No tiene solución.
{
{4x – 3y = –2
2y = –3x + 10
b. 3x + 4 = y
d. __ 23 x + y = 5
y 5
y 5
4
4
3
3
2
2
1
1
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1 (–2;–2) –2
x
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
x
–2
–3
–3
Infinitas soluciones.
48. Escriban un sistema de ecuaciones con dos incógnitas que cumpla con la condición indicada en cada caso. Realicen los gráficos para ayudarse. a. Sol = {(7;–1)}
{
y = –x + 6
{ ( ) }
b. Sol = –2; __41
{
7 + –– 3x y = –– 4 4
y = x – 8
1 x – –– 3 y = – –– 2 4
Solución gráfica a cargo del alumno.
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Sistemas de ecuaciones
infoactiva Existen distintos métodos analíticos que permiten resolver un sistema de dos ecuaciones. Para resolver el sistema por el método de igualación, pueden seguir estos pasos.
{
2x – 2y = –6 3x – y = –1
y = x + 3 y = 3x + 1
1. Se despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones (en este caso y).
x + 3 = 3x + 1 3 – 1 = 3x – x x=1
2. Se igualan las ecuaciones y se resuelve la ecuación.
y = 1 + 3 y = 4
3. Se reemplaza el valor obtenido de x en la primera ecuación.
S = {(1;4)}
4. Se escribe el conjunto solución. En la página 77 pueden ver resuelto este sistema en forma gráfica y comparar el conjunto solución.
Para resolver el sistema por el método de sustitución, se despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se reemplaza la expresión en la otra. Luego, se resuelve la ecuación que queda determinada.
Para resolver el sistema por el método de sumas y restas, pueden seguir estos pasos.
{
2x – 2y = –6 3x – y = –1
–6x + 2y = 2
+
2x – 2y = –6 –6x + 2y = 2 –4x + 0y = –4 Entonces, x = 1.
1. Por ejemplo, se multiplica por –2 a la segunda ecuación para luego sumar las ecuaciones y de esta forma eliminar la incógnita y. 2. Se considera el sistema equivalente y se suman miembro a miembro las ecuaciones para obtener el valor de la incógnita x.
y = 3 . 1 + 1, entonces, y = 4.
3. Para hallar el valor de y, se reemplaza x = 1, por ejemplo, en la segunda ecuación.
4. Se escribe el conjunto solución.
S = {(1;4)}
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La solución de un sistema es Sol = {(1;2)} y gráficamente se obtuvieron dos rectas paralelas. ¿Puede ocurrir esta situación? b. En el método de igualación, ¿hay que despejar siempre la misma incógnita de las dos ecuaciones? c. En el sistema formado por y = 2x + 3, y = x + 1, ¿cuál método conviene aplicar? a. No, la solución analítica debe coincidir con la solución gráfica. b. Sí, despejamos en cada ecuación la misma incógnita y luego igualamos. c. Conviene la igualación, ya que está despejada la misma incógnita.
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ACTIVIDADES Sistemas de ecuaciones
49. Resuelvan los siguientes sistemas aplicando el método de igualación. Clasifíquenlos.
{12x – 4y = 9
{3x + 10y = –22
a. –x – 3y = 3
d. 36x + 8y = 2
{( ––31 ;– ––54 )}
S = {(36;–13)}
S=
S. C. D.
S. C. D.
{–x + 3y = –1
Infinitas soluciones. S. C. I.
{
__ 1 x + 3y = 1
e. 2 x + 2y = 1
b. 4x – 12y = 4
S=
{( ––21 ; ––41 )}
S. C. D.
{
{x + 3y = 6
4x + 6y = 3 –2x – 3y = – __21
c.
f. –x – 6y = 12
No tiene solución.
S = {(24;–6)}
S. I.
S. C. D.
50. Resuelvan los siguientes sistemas aplicando el método de sustitución. Clasifíquenlos.
{6x – 4y = –6
{2x + 3y = 3
a. 5x – 6y = 3 S=
{(1; ––31 )}
S. C. D.
{
d. x + y = 4
–x + 3y = –1 b. 4x – 12y = 6
S = {(1;3)} S. C. D.
{2x + 3y = 12
e. 3x + 2y = 13
No tiene solución.
S = {(3;2)}
S. I.
S. C. D.
{2x + 8y = 12
c. x + 4y = 6
Infinitas soluciones. S. C. I.
{x + 5y = 10
f. 2x – 2y = 6
S=
{(–25–6–– ; ––76 )}
S. C. D.
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ACTIVIDADES Sistemas de ecuaciones
51. Resuelvan los siguientes sistemas aplicando el método más conveniente. Clasifíquenlos.
{3x + y = 5
{5x – 8y = 2
a. x – 2y = 11
S = {(2;1)}
S. C. D.
S. C. D.
S = {(3;–4)}
d. –9x + 19y = 1
{–3x + 4y = 1
{x = y – 1
b. 2x + 7 = y + 6 S = {(0;1)}
e. x + 2y = 13
S = {(5;4)}
S. C. D.
S. C. D.
{4x + 3y = 10
{x + 5y = –1
c. 7x – 2y = 3
f. –2x –10y = 2
S = {(1;2)}
Infinitas soluciones.
S. C. D.
S. C. I.
52. Calculen el valor de a para que los sistemas tengan la solución indicada.
{3x + 8y = 5
{ax – 3y = 0
a. –3x Sol = (–1; 1) –ay = –4 –3 . (–1) – a . 1 = –4
a=7
c. 4x – y = 0
––– y = –ax 3 ax –––– = 4x 3
a = 12
{
1 . 3 = 1 a . 0 + –– 3
a puede tomar cualquier valor.
y = 4x
{2x + ay = 7
2x + 3y = 4y – 3
b. Sol = (0;3) 1 y = 1 ax + __ 3
Infinitas soluciones.
d. 5x – y = 9
Sol = (2;1)
2.2+a.1=7 a=3
53. Calculen analíticamente las intersecciones de las siguientes rectas. a. y = 5x + 4; y = –x – 2
b. y – 2x + 3 = 0; y – 3 = 3x
S = {(–1;–1)}
S = {(–6;–15)}
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ACTIVIDADES Sistemas de ecuaciones
54. Resuelvan las siguientes situaciones planteando el sistema de ecuaciones correspondiente. Utilicen el método de resolución analítica más conveniente. a. Por la compra de 18 lápices y 35 lapiceras se pagaron $282. Si se hubiesen comprado 25 lápices y 16 lapiceras iguales, se habría pagado $196. ¿Cuánto cuesta cada lápiz? ¿Y cada lapicera? x: lápices; y: lapiceras
18x + 35y = 282; 25x + 16y = 196
Lápiz $4 y lapicera $6.
b. Marcos tiene sus ahorros en billetes de $10 y $2. Si en total tiene 42 billetes que suman $308, ¿cuántos billetes de $10 tiene Marcos? ¿Y de $2? x : billetes $10; y: billetes $2
x + y = 42; 10x + 2y = 308
28 billetes $10 y 14 billetes $2.
c. La diferencia entre el doble de un número y el triple de otro es igual a –14. Además, la suma entre el triple del anterior del primer número y el segundo es –2. ¿Cuáles son los números? 2x – 3y = –14; 3 . (x – 1) + y = –2 x = –1; y = 4
d. Se compraron dos libros y se gastaron $130. Si uno cuesta la cuarta parte de lo que cuesta el otro, ¿cuánto cuesta cada libro? x: libro A; y: libro B
1 y x + y = 130; x = –– 4
Libro A, $26; libro B, $104.
e. En el estacionamiento de un supermercado hay 145 autos. Algunos tienen dos puertas y otros, cuatro. Si en total hay 400 puertas, ¿cuántos autos de cada tipo hay? x: autos de dos puertas; y: autos de 4 puertas
x + y = 145; 2x + 4y = 400
90 autos de dos puertas y 55 autos de cuatro puertas.
f. En una bicicletería hay bicicletas y triciclos, que en total suman 73. Si se cuentan 188 ruedas, ¿cuántas bicicletas y cuántos triciclos hay? x: bicicletas; y: triciclos
x + y = 73; 2x + 3y = 188
31 bicicletas y 42 triciclos.
mente activa Un ómnibus parte de la ciudad de Córdoba y otro de la ciudad de Mendoza, con el mismo destino. Los dos viajan a una velocidad constante y en un momento del viaje, se encuentran a la misma distancia de su destino. Las siguientes funciones describen la distancia de cada ómnibus al destino en función del tiempo. Rc: y = –52x + 710 Rm : y = –90x + 1 090 a. ¿Qué tipos de funciones describen sus recorridos? Funciones lineales. b. ¿En qué momento se encuentran? ¿A qué distancia del destino? A las 10 horas. A los 190 km.
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capítulo
Integración
Contenidos
21.22.23
57. Completen.
55. Observen el gráfico y respondan. y
máximo a. El vértice es el punto
1
–3 –2
–1 0
o mínimo
de una parábola.
b. El eje de simetría es una recta vertical que
1 2 3 x
–1
vértice pasa por el
–2
ordenada c. La
–3
donde la parábola corta al eje y.
. es el punto
d. Los puntos donde la función corta al eje x a. Escriban la ecuación del eje de simetría. b. Indiquen las coordenadas del vértice. c. ¿Cuáles son los ceros de la función? d. Escriban el intervalo de crecimiento y de decrecimiento. a. x = –1 b. (–1;–3) c. (–3;0); (1;0) d. D (–∞;–1); C (–1;∞)
56. Observen los gráficos e indiquen los ceros, el vértice, el eje de simetría y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada función. a. y
2 1 –3 –2 –1 0 –1
y 3 2
–2
c.
y 3
Solución a cargo del alumno.
59. Grafiquen las siguientes funciones. Luego, completen la tabla. a. y = x2 +3 b. y = –x2 + 4
c. y = x2 – 2x d. y = –x2 + 4x
Vértice
Raíces
Ordenada
Eje
a
(0;3)
No tiene.
y=3
x=0
b
(0;4)
x = –2; x = 2
y=4
x=0
c
(1;–1)
x = 0; x = 2
y=0
x=1
d
(2;4)
x = 0; x = 4
y=0
x=2
ponden a una función cuadrática. x
a. y=x+3 c. y = __21 x2 + 2x + 1 X b. y = 3 + x2
X
d. y = __23 x + 4
61. Grafiquen cada conjunto de parábolas en
2 1 –3 –2 –1 0 –1
cumpla con las siguientes condiciones. • El vértice de la parábola es (1;3). • Los ceros son (–1;0) (3;0). • La ordenada es el punto (0;2).
60. Marquen con una X las fórmulas que corres-
1 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
.
58. Construyan la gráfica de una parábola que
1 2 3 x
–2
b.
ceros son los
1 2 3 x
–2
Solución a cargo del alumno.
un mismo sistema de ejes cartesianos y respondan. a. y = x2 b. y = x2 2 y = x + 1 y = (x – 1)2 y = (x –2)2 y = x2 + 2 c. Respecto a los gráficos, ¿qué relación hay con las ecuaciones? Se debe analizar el movimiento de la gráfica y los correspondientes cambios en las fórmulas.
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62. Resuelvan.
El eje de simetría de la parábola y = __21 x2 – 2x – 6 es x = 2. a. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice? b. ¿Cuál es la ordenada al origen? c. ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la función? (–6;0) (6;0) (–2;0) d. Construyan la gráfica de la parábola utilizando los datos obtenidos.
a. (2;–8) b. (0;–6) c. (6;0) y (–2;0) d. Solución gráfica.
63. Marquen con una siguiente sistema.
X la solución del
{5x – 1 = y
2x + y = 13 X a. (–1;2) c. (2;9)
e. (3;–5)
b. (1;–2)
d. (5;3)
f. (–2;–9)
64. Resuelvan los siguientes sistemas usando el método más conveniente y luego verifiquen la solución con el método gráfico. Clasifíquenlos.
{x – y = 4
a. x + 2y = –5
{
S = {(1;–3)} S. C. D. – __1 x – __2 y = 1
3 2 b. 1 1 1 __ __ ___
4 x + 5 y = – 10
S = {(2;–3)} S. C. D.
{x – 6y = 8
c. 5x – 3y = 4
{(0;– ––43 )} S. C. D.
S=
66. Resuelvan las siguientes situaciones. a. La abuela de Sofía tiene 67 años más que ella. El doble de la edad de Sofía, más la edad de la abuela suman 94 años. ¿Cuántos años tiene cada una? Abuela 76 años, Sofía 9 años. b. El perímetro de un rectángulo es de 31 cm. La altura es 5 cm mayor que el doble de la base. ¿Cuánto miden la base y la altura del rectángulo? Base 3,5 cm, altura 12 cm. c. Tamara y Agustina fueron a comprar al mismo quiosco. Tamara compró 5 paquetes de galletitas y 2 alfajores por $19. Agustina pagó $17 por 3 paquetes de galletitas y 4 alfajores iguales a los de Tamara. ¿Cuánto cuesta cada paquete de galletitas? ¿Y cada alfajor? A $2; G $3 d. La suma de dos números enteros es 16. El triple del primero más el cuádruple del consecutivo del segundo es igual a 59. ¿Cuáles son los números? 7 y 9
67. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas.
{
a. Si en un sistema de dos ecuaciones lineales,
{
V ordenada, el sistema no tiene solución.
6x – 1 = 4y 2x – __31 = __34 y
d.
Infinitas soluciones. S. C. I. 4x – 1 = 2y
e. 2x + 5 = y No tiene solución. S. I.
{5x + 2y = –1
f. 9x + 4y = 1
S = {(–3;7)} S. C. D.
las rectas tienen la misma pendiente y diferente
b. Si en un sistema de ecuaciones, las rectas tienen la misma pendiente y la misma orde F nada, el sistema es incompatible.
65. Escriban la ecuación que falta en cada
c. Si el sistema de ecuaciones no tiene solu-
sistema para que tenga la solución indicada.
F ción, es compatible indeterminado.
{
3x + y = 7
a.
x+y=3
S = { (2;1) }
{
–2x – y = –10
b.
x+y=6
S = { (4;2) }
{
__ 5 x – 1 = y
c. 2
y=x+2
S = { (2;4) }
d. Cuando el sistema es compatible determi F nado, el sistema tiene dos soluciones.
68. Marquen con una X el sistema que tiene como solución el punto (3;2).
{ 2x – 3y = –4
{ –2x + 3y = 0
{–3x + 2y = –13
d. –2x – 3y = 4
3x + 2y = 7 –3x – 2y = –13 X a. c.
b. 2x + 3y = 0
{3x – 2y = 7
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3 capítulo
Autoevaluación 69. Observen el gráfico y respondan.
Caminó 3 horas. Llegó a las 12 h.
b. ¿Paró a descansar? ¿Cuánto tiempo? ¿A qué hora? Sí. 3 horas. A las 10, a las 12 y a las 15.
Distancia (en m)
El gráfico muestra la distancia que separa a un alpinista de la base de una montaña. a. ¿Cuánto tiempo caminó hasta llegar a la cima? y ¿A qué hora llegó?
c. ¿Cuánto tiempo le llevó el descenso? ¿A qué hora llegó nuevamente a la base? Le llevó 5 horas. Llegó a las 18 h.
900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 x Tiempo (en h)
70. Escriban las ecuaciones de las rectas y grafíquenlas en un mismo sistema de ejes cartesianos. a. Recta S que pasa por los puntos (–1;3) y (–2;5). y = –2x + 1
b. Recta R, perpendicular a la recta S, que pasa por el punto (1;4). 1 x + –7– y = –– 2 2
c. Recta T, paralela a la recta S, que pasa por el punto (3;1). y = –2x + 7 Solución gráfica a cargo del alumno.
71. Resuelvan. a. Representen en sus carpetas la función y = x2 – 2x – 3 en un sistema de ejes cartesianos. b. Indiquen la ordenada, el vértice, el eje de simetría, las raíces y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Marquen los puntos en el gráfico. a. Solución gráfica a cargo del alumno. b. Ordenada: (0;–3); vértice: (1;–4); raíces: x = –1, x = 3; eje de simetría: x = 1; intervalo de crecimiento: (1;+∞); intervalo de decrecimiento: (–∞;1).
72. Resuelvan analítica y gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones y clasifíquenlo.
{
__1 x + y = 3
3 3 __
–2x + 2 y = –3
S = {(3;2)}
S. C. D.
y 4 3 2 1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1
x
–2
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capítulo
4
Figuras planas Contenidos 24. Circunferencia y círculo. 25. Ángulos inscriptos y semiinscriptos. 26. Puntos notables de un triángulo. 27. Teorema de Pitágoras. 28. Propiedades de los cuadriláteros. 29. Propiedades de los polígonos. 30. Construcciones geométricas. 31. Perímetro y área.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. ¿En qué objetos pueden identificar figuras de cuatro lados? ¿Y figuras sin lados rectos? b. ¿Qué otras figuras observan en la imagen? c. Modifiquen las preguntas anteriores para que las respuestas sean únicas. d. Comparen las respuestas con las de sus compañeros. 88
a. El ventanal, el respaldo de las sillas, el portarretratos y el cuadro. La mesa y la alfombra. b. Triángulos en el cuadro. c. ¿En qué objetos pueden identificar figuras de cuatro lados iguales? En las caras de la maceta. ¿En qué objeto se puede identificar el círculo de mayor tamaño? La alfombra. En el cuadro, ¿de qué color es el triángulo no rectángulo? Amarillo.
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Circunferencia y círculo
infoactiva En una circunferencia se pueden mencionar los siguientes elementos. • Se denomina cuerda al segmento que tiene por extremos ___ dos puntos de la circunferencia. Por ejemplo, mn es una cuerda. • Se denomina arco a la parte de la circunferencia determinada por dos puntos de la misma. Por ejemplo, arp es un arco de la circunferencia. • Se denomina ángulo central al que tiene como vértice el centro de la circunferencia. Por ejemplo, ^ α es un ángulo central.
m
n
α
a
r
o
p
Posiciones relativas entre una recta y una circunferencia e
r
rio
xte
B
A
tangente
• Una recta es exterior a una circunferencia cuando no tienen puntos en común. • Una recta es tangente a una circunferencia cuando tienen un punto en común. • Una recta es secante a una circunferencia cuando tienen dos puntos en común.
C(0;om)
o C
secante
Posiciones relativas de dos circunferencias
Dos circunferencias son tangentes cuando tienen un único punto en común.
Dos circunferencias son secantes cuando tienen dos puntos en común.
Dos circunferencias son concéntricas cuando tienen el centro en común.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En una misma circunferencia, ¿es cierto que el diámetro es igual a dos radios? b. Si una recta es exterior a una circunferencia, ¿cuántos puntos en común tiene con ella? c. ¿Qué condición se debe cumplir para que un radio y una recta tangente a una misma circunferencia tengan un punto en común? d. Dos circunferencias concéntricas, ¿pueden tener distinto radio y distinto centro? a. Sí. b. Ninguno. c. Deben ser perpendiculares. d. Pueden tener distinto radio, pero el centro debe ser el mismo.
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ACTIVIDADES Circunferencia y círculo
1. Construyan teniendo en cuenta los datos. a. Tracen el ot = 2 cm y la C(o;ot). b. Una recta D exterior a C(o;ot). c. Una recta E secante a C(o;ot). d. Una recta F tangente a C(o;ot), en t. e. Una recta G exterior a C(o;ot) y perpen-
D F
G
E
dicular a la recta E.
o
t
2. Unan con una flecha cada gráfico con la distancia que existe entre los centros de las circunferencias. a.
b. R
r
c.
d. R
r
r
r
R
• d = 0
R
• d = R – r
• d = R + r
• d>R+r
3. Completen con “secantes”, “exteriores” o “tangentes” según corresponda. Tengan en cuenta que la distancia entre los centros de las circunferencias es igual a 7 cm. Secantes. a. C1(o;or), or = 5 cm y C2(p;pq), pq = 4 cm. Exteriores. b. C1(o;or), or = 2 cm y C2(p;pq), pq = 2 cm. Tangentes. c. C1(o;or), or = 4 cm y C2(p;pq), pq = 3 cm. Secantes. d. C1(o;or), or = 7 cm y C2(p;pq), pq = 7 cm.
4. Construyan siguiendo los pasos y respondan. a. Tracen el ab = 1,5 cm y la C1(a;ab). b. Marquen el punto c sobre la C1. c. Marquen el punto d, exterior a C1, de modo que se pueda trazar la C2(d;cd), tangente a C1 en c. d. ¿Cómo deben ubicarse los puntos a, c y d para que las circunferencias sean tangentes?
Deben estar alineados.
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Ángulos inscriptos y semiinscriptos
infoactiva Se llama ángulo inscripto en un arco de circunferencia al que tiene por vértice un punto del arco y sus lados pasan por los extremos del mismo.
n α
El ángulo central que abarca el mismo arco que el ángulo inscripto es el ángulo central correspondiente al ángulo inscripto.
β o ε
^ y ^ α β están inscriptos en el mnp. ^ε es el ángulo central correspondiente a α ^ y ^ β .
p
m
Se llama ángulo semiinscripto en un arco de circunferencia al que tiene el vértice en un extremo del arco, uno de sus lados pasa por el otro extremo (del arco) y el otro es tangente a la circunferencia en el semiplano que no contiene al arco.
n
^ está semiinscripto en el mnp. α ^ β es el ángulo central correspondiente a α ^ .
o
p
β
α
La medida de todo ángulo inscripto o semiinscripto en un arco es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.
m
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que un ángulo inscripto y otro semiinscripto en el mismo arco tienen la misma medida? b. Si un ángulo inscripto en un arco mide 72°, ¿cuánto mide el ángulo central correspondiente? c. Si el ángulo central mide 84°, ¿cuánto mide un ángulo semiinscripto en el mismo arco? d. ¿Cuánto mide un ángulo inscripto en una semicircunferencia? a. Sí. b. 144° c. 42° d. Mide 90°. 91 Nombre:
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ACTIVIDADES Ángulos inscriptos y semiinscriptos
5. Completen con “central”, “inscripto” o “semiinscripto”, según corresponda. a.
b.
c.
α α a
b
Inscripto.
a
α
b
Semiinscripto.
a
b
Central.
6. Completen con la medida correspondiente. a. El ángulo central de un ángulo inscripto de 50° mide
100°
b. El ángulo semiinscripto de un ángulo central de 180° mide
. .
90°
c. El ángulo inscripto de un ángulo central de 65° mide
32° 30’
.
d. El ángulo central de un ángulo inscripto de 90° mide
180°
.
e. El ángulo central de un ángulo inscripto de 56° 12’ mide
112° 24’
f. El ángulo inscripto de un ángulo central de 90° mide
45°
.
.
7. Escriban los ángulos pedidos. Tengan en cuenta el ejemplo resuelto. a. Un ángulo semiinscripto y el central correspondiente. b^ a m
y
a^ o b
b. Tres ángulos inscriptos congruentes.
d c
e
^ a^ cb a^ db a eb = =
b
c. Un ángulo inscripto y un ángulo semiinscripto congruentes.
o
^ b^ ca b am =
d. Un ángulo central y un ángulo inscripto en el mismo arco. ^ ob a db a^ y
a
m
e. Un ángulo recto y un ángulo llano. ^ e^ ba e oa y
8. Respondan sabiendo que ^ α es el ángulo central en el arco ab. a. ¿Cuántos ángulos inscriptos se pueden trazar en el arco? Infinitos.
b. ¿Cuántos ángulos semiinscriptos se pueden trazar en el arco? o α
Dos.
c. Si ^ α mide 127°, ¿cuánto mide un ángulo semiinscripto en ab?
63° 30’
a
b
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ACTIVIDADES Ángulos inscriptos y semiinscriptos
9. Escriban la medida de los ángulos desconocidos. Expliquen las respuestas. a.
c. e.
α
o
o
210°
120°
o β
80°
γ
^ ^ = α 140° 60° β = b.
ε
^ ε =
105°
d. f.
100°
o
^ γ =
π
o
o
δ 45°
^ π =
22° 30’
130°
^ δ =
90°
10. Calculen, en cada caso, la medida de los ángulos indicados. Expliquen las respuestas. a.
c.
γ
β
190°
o α
o
68°
π
^ α =
^
^ 85° π =
^ 34° γ =
34° β =
b.
d.
δ
ρ ω o
o
73°
^ δ =
95°
65°
ε
^
17° ε =
^ 17° ρ =
^ = 122° 30’ 90° ω
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ACTIVIDADES Ángulos inscriptos y semiinscriptos
11. Calculen la medida de cada ángulo. Expliquen la respuesta. a.
d.
^ α = 3x + 17° ^ α = 160° – 3x β ^ ^ β = x + 32° β = x + 20° α
α β
^ ^ α = 2β 3x + 17° = 2 . (x + 32°)
x = 47° ^ β =
^ 158° α =
^ ^ α = 2β
160° – 3x = 2 . (x + 20°)
x = 24°
^ α =
79°
b.
88°
^ β =
44°
e.
^ α = 7x – 5° ^ α = α ^ ^ β = 3x + 13° β = β
α
4x – 3° __23 x + 3°
β
^ ^ α = 2β 7x – 5° = 2 . (3x + 13°)
x = 31° ^ α =
^ ^ α = 2β
3 4x – 3° = 2 . __ 2 x + 3°
212°
^ β =
106°
(
x = 9°
^ α =
c.
)
33°
^ β =
16° 30’
f. β
^ ^ α = 180° – __27 x β = 40° + x β ω α ^ = __ ω 43 x + 15° ^ π = __ 53 x + 30° π
α
^ ^ ^ ^ ^ ^ β + π = 90° α + 2ω = 180°; α = 2β
(
)
7 3 180° – __ 2 x + 2 . __ 4 x + 15° = 180°
x = 15°
^ α =
127° 30’
^ β =
63° 45’
^ = ω
26° 15’
(3
)
40° + x + __ 5 x + 30° = 90° x = 12° 30’
^ α =
52° 30’
^ β =
52° 30’
^ π =
37° 30’
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Puntos notables de un triángulo
infoactiva En un triángulo, la mediana de un lado es el segmento que tiene por extremos el punto medio y el vértice opuesto a ese lado. Se llama baricentro (b) al punto donde se intersecan las medianas de un triángulo.
z
x
baricentro
b
y
En un triángulo, la altura correspondiente a un lado es el segmento perpendicular a ese lado que tiene por extremos el vértice opuesto y un punto de dicho lado o de su prolongación. Se llama ortocentro (o) al punto donde se intersecan las alturas de un triángulo. c n
c t
c
p
a
o m
Las alturas de un triángulo acutángulo se intersecan en un punto interior del mismo.
j
i
b a
b
h
Las prolongaciones de las alturas de un triángulo obtusángulo se intersecan en un punto exterior del mismo. o
Se llama circuncentro (c) al punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo. Ese punto es el centro de la circunferencia circunscripta en el triángulo.
a=o
b
Las alturas de un triángulo rectángulo se intersecan en el vértice del ángulo recto.
Se llama incentro (i) al punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo. Ese punto es el centro de la circunferencia inscripta en el triángulo.
f
l
i
d
e
comprensión test de de comprensión test 1.
j
k
Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿En qué triángulo el ortocentro es un punto exterior al mismo? b. En un triángulo rectángulo, ¿con cuál vértice coincide el ortocentro? c. ¿Qué significa que un triángulo esté inscripto en una circunferencia? d. ¿Cuál es el nombre que recibe el centro de la circunferencia inscripta en un triángulo?
a. En el triángulo obtusángulo. b. Con el vértice del ángulo recto. c. Un triángulo está inscripto cuando sus tres vértices pertenecen a la circunferencia. d. Incentro.
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ACTIVIDADES Puntos notables de un triángulo
12. Marquen el baricentro de cada triángulo. a.
b. c
f
b
b
a
b
d
e
13. Marquen el ortocentro de cada triángulo. a.
b. c
f
o
a
b
d=o
14. Tracen la circunferencia pedida en cada caso. a. Circunferencia circunscripta.
e
b. Circunferencia inscripta.
c
f
o a
o
b d
e
mente activa Cuando el ortocentro, el baricentro y el circuncentro se encuentran alineados, determinan la recta de Euler. Verifiquen si en el siguiente triángulo equilátero dichos puntos están incluidos en la recta mencionada. No, como todos los puntos coinciden, es el único caso en el que no existe la recta de Euler.
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Teorema de Pitágoras
infoactiva En un triángulo rectángulo, los lados reciben nombres especiales. c
bc se denomina hipotenusa. Es el lado que se opone al ángulo recto. ab y ac se denominan catetos. b
a
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Este teorema se puede expresar en símbolos de la siguiente forma. 2
2
ab + ac = bc
2
c
42 + 32 = 52 16 + 9 = 25
b
a
Cuando se conocen las medidas de dos lados de un triángulo rectángulo, se puede encontrar la medida del que falta aplicando el teorema de Pitágoras. 13 cm 5 cm
x
x2 + (5 cm) 2 = (13 cm)2 x2 = 169 cm2 – 25 cm2 _______ x=√ 144 cm2 x = 12 cm
Ternas pitagóricas Las medidas que corresponden a un triángulo rectángulo forman una terna pitagórica. De esta forma, las medidas 3 cm, 4 cm y 5 cm que corresponden a un triángulo rectángulo son un ejemplo de terna pitagórica. Para encontrar otras ternas se pueden utilizar las siguientes fórmulas. Siendo x2 + y2 = z2, x = p2 – q2
y = 2 . p . q
z = p2 + q2
con p y q enteros y p > q
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En un triángulo rectángulo, ¿la hipotenusa siempre es el lado con mayor medida? b. La hipotenusa, ¿es el lado opuesto al ángulo recto? c. ¿Qué nombre recibe un triángulo rectángulo que tiene los dos catetos iguales? d. Si los lados de un triángulo miden 4 cm, 7 cm y 8 cm, ¿se puede decir que es un triángulo rectángulo? a. Sí. b. Sí. c. Isósceles. d. No, porque no se cumple la propiedad pitagórica. 97 Nombre:
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ACTIVIDADES Teorema de Pitágoras
15. Algunos dibujos están equivocados, ya que las medidas no pueden corresponder a un triángulo rectángulo. Marquen con una X los triángulos que no son rectángulos. a.
b. 9,5
6
c. d. 6
20
8
4
X
13
32
4
5
4
12
X
16. Calculen la medida del lado desconocido. a.
c.
c 3,8 cm
5,1 cm
b
ac + bc = ab 2
2
2
__________________ (3,8 cm)2 + (5,1 cm)2 = √
ab =
ab
6,36 cm
c
5,2 cm
a
6,7 cm
a
b
ab + bc = ac
(6,7 cm)2 – (5,2 cm)2 = ac √
2
2
__________________
2
4,22 cm
bc =
b. d. c
7,2 cm
a
c
4,2 cm
a 10,5 cm ac2 + bc2 = ab2 ___________________ (10,5 cm)2 – (4,2 cm)2 = √
ab
9,62 cm
ac =
4,9 cm
b
b
ab2 + bc2 = ac2
(7,2 cm)2 – (4,9 cm)2 = ac √
__________________
5,28 cm
bc =
17. Calculen el valor del segmento indicado. a. La diagonal.
b. La apotema. c
d
d
c
e cm
2,8 cm 7,5
6 cm
a
b
5,7 cm
(5,7 cm) + (2,8 cm) = d 2
2
2
___________________
√ 32,49 cm2 + 7,84 cm2 = d _________
a
(7,5 cm)2 = (3 cm)2 + a2
√ 56,25 cm2 – 9 cm2 = a
b
________________ _________
cm2 = d cm2 =a √40,33 √47,25
Diagonal =
6,35 cm
Apotema =
6,87 cm
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capítulo
Integración
Contenidos
24.25.26.27
18. Construyan siguiendo los pasos. Tracen... a. ... la C(o;or), or = 5 cm. b. ... una recta T tangente a la circunferencia. c. ... una recta S secante a la circunferencia. Llamen a y b a los puntos de intersección. ^ d. ... un ángulo β inscripto en el arco. e. ... el ángulo central ^ α que corresponde al ^ ángulo β . f. ... una circunferencia con centro en b y radio ab. Solución a cargo del alumno. Infinitas soluciones.
19. Calculen la medida del ángulo desconocido. a.
20. Calculen los ángulos interiores del triángulo. a. abc ^ b = 66° 43’ ^ c = 90° a
c 23° 17’ o
b. def ^ α = 40° ^ β = 50°
d
^ π = 80°
o
α
π
100°
c
^ α = 60°
b
β
f
50°
30°
b
e
c. ghi
o α
i
^ α=^ β = 67° 30’ ^ π = 45°
π 270°
a
o
b.
c
^ β = 85°
β
h
g
o
b
d. jkl
l
x = 30° ^ j = 30° ^ k = 60° ^ l = 90°
170°
a
β
α
c.
k
2x x j
o
^ ω = 51° 4’ o
b ω 25° 32’ a
21. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. a. Un ángulo inscripto en una semicircunfe-
d.
c
^ π = 44° 12’ 8”
rencia es igual a un ángulo recto.
π
V
b. Un ángulo inscripto en un arco mide el F doble del ángulo central correspondiente.
o
c. Todos los ángulos inscriptos en un mismo a
44° 12’ 8’’
b
V arco de circunferencia son congruentes.
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22. Calculen el valor de x y la medida de los
25. Construyan los triángulos. Luego, encuen-
ángulos marcados con violeta. a.
tren el baricentro y el ortocentro de cada uno. a. Un triángulo obtusángulo isósceles cuyos lados congruentes midan 6 cm y el lado desβ x = 11° 30’ igual mida 9 cm. ^ ω α = 4x = 46° b. Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa o α ^ β = 2x + 23° = 46° mida 7,5 cm y los ángulos agudos midan 30° ^ ω = 92° y 60°. c. Un triángulo acutángulo que tenga un lado b. de 5,3 cm y los ángulos adyacentes a él midan 65° y 80°.
x = 20° 17’
β
Solución a cargo del alumno.
^ α = 3x = 60° 51’ 26. Calculen y respondan. π ^ β = 5x + 20° 17’ a. ¿Cuánto mide la altura de un triángulo ^ β = 121° 42’ equilátero cuyos lados miden 5 cm? α ^ π = 238° 18’ b. ¿Cuánto mide el área de un cuadrado cuya diagonal mide 8 cm? c. c. ¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo x = 17° 30’ isósceles cuya base mide 7 cm y la altura β ^ ω α = 37° 30’ correspondiente a la base, 3 cm? α = x + 20° o ^ a. 4,33 cm b. 32 cm2 c. 16,22 cm β = 3x = 52° 30’ ^ ω = 105° 27. Calculen el valor de x. a. x = 7 cm d.
β
x 5 cm
x = 40°
^ π π = 5x = 200° α ^
ω β = 2x = 80° ^ ω = 160° b. ^ α = 10° x = 5,52 cm
23. Construyan los triángulos indicados. Luego, tracen en cada uno la circunferencia circunscripta y la circunferencia inscripta. a. Un triángulo equilátero cuyos lados midan 4,5 cm. b. Un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados congruentes midan 5 cm. c. Un triángulo obtusángulo cuyos lados midan 3,4 cm y 4,5 cm, y el ángulo comprendido entre los mismos es de 110°. Solución a cargo del alumno.
24. Construyan un triángulo isósceles cuyos lados congruentes midan 6,7 cm y el lado desigual mida 4 cm. Luego, verifiquen si es posible trazar la recta de Euler.
3,2 cm
2 cm
x
4,5 cm
c. x = 2 cm x
8 cm
2 cm
d. x = 6,09 cm x
7,4 cm
4,2 cm
Solución a cargo del alumno. 100
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Propiedades de los cuadriláteros
infoactiva
Paralelogramos (en general)
Se llama cuadrilátero a todo polígono de cuatro lados.
• Los lados opuestos son paralelos. • Los ángulos opuestos son congruentes. • Las diagonales se cortan mutuamente en su punto medio.
Trapecio rectángulo d
Trapecios
Rectángulos
Cuadrados
• Cumplen las tres propiedades anteriores. • Las diagonales son congruentes. • Cumplen las tres propiedades anteriores. • Las diagonales son perpendiculares.
• La base media mn está determinada por los puntos medios de los lados no paralelos.
• Tiene dos ángulos rectos.
n
a
b
Trapecio isósceles d
• Los lados no paralelos son congruentes.
c
m
• Cumplen todas las propiedades anteriores.
Rombos
c
m
ab mn = _______ +2 cd
n
a
b
Romboide
Trapezoides
Los cuadriláteros se clasifican en: • Paralelogramos: tienen dos pares de lados paralelos. • Trapecios: tienen un par de lados paralelos. • Trapezoides: no tienen lados paralelos.
d a
c
^ ^ • d = b ^ a • La diagonal principal ac está incluida en la bisectriz del ^ y del c y en la mediatriz del bd.
b
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que las diagonales de cualquier cuadrilátero son congruentes? b. Las diagonales de un rectángulo, ¿son perpendiculares? c. ¿Es cierto que en cualquier cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es igual a la suma de los ángulos exteriores? d. ¿Es verdad que el cuadrado “hereda” todas las propiedades del rectángulo y del rombo? a. No, solo son iguales las del cuadrado, el rectángulo y el trapecio isósceles. b. Solo cuando el rectángulo es cuadrado. c. Sí, es igual a 360°. d. Sí, ya que el cuadrado es rombo y rectángulo.
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ACTIVIDADES Propiedades de los cuadriláteros
28. Escriban el nombre de cada figura. Luego, clasifiquen las figuras en “paralelogramos”, “trapecios” o “trapezoides”, según corresponda. a. c.
e.
Trapecio rectángulo.
Rectángulo.
Paralelogramo propiamente dicho.
Trapecio.
Paralelogramo.
Paralelogramo.
b.
d.
Rombo. Paralelogramo.
f.
Romboide.
Trapecio isósceles.
Trapezoide.
Trapecio.
29. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. F a. Todo rombo es un cuadrado. V b. Todo cuadrado es un rombo. V c. Todo rectángulo es un paralelogramo. F d. Todo paralelogramo es un rectángulo. F e. Todo romboide tiene cuatro lados congruentes. V f. Todo romboide tiene un par de ángulos congruentes. F g. Todo trapecio isósceles tiene dos pares de lados congruentes. V h. Todo trapecio tiene un par de lados paralelos. F i. Todo trapezoide tiene los cuatro ángulos distintos. V j. Todo cuadrado cumple con las propiedades del rectángulo y el rombo.
mente activa ¿A qué es igual la suma de los ángulos marcados en violeta? 360° . 4 – 360° = 1 080° Cada uno de los ángulos interiores no marcados en los cuadriláteros es igual a uno de los ángulos interiores del cuadrilátero central por ser opuestos por el vértice. Entre todos suman 360°.
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ACTIVIDADES Propiedades de los cuadriláteros
30. Calculen la longitud de cada lado. a.
d.
c
d
a ab = 5x + 12 cm cd = 3x + 24 cm
b
bc = 4x + 15 cm
d
c
a
b
ab = x + 8 cm cd = 4x – 10 cm
ac = 3x
ab = cd
ab = cd
x = 6 cm
x = 6 cm
ab = cd = 42 cm; bc = ad = 39 cm
ab = cd = 14 cm; bc = ad = 11,31 cm
b.
e.
c
d
d o
a
a
b
ab = 5x bc = 3x
c
b
cd = 2x da = x + 8 cm
bd = 8 cm oc = 2x
bc = da
bd = 2 . ob
x = 4 cm
x = 4 cm
ac = 6x ob = x
ab = 20 cm; bc = 12 cm; cd = 8 cm; da = 12 cm
ab = da = 16,49 cm; bc = cd = 8,94
c.
f.
d
a
c
d
c
b
a
ab = 2x + 5 cm Perímetro = 80 cm
b
ab = 4x + 12 cm cd = 4x
ad = x + 9 cm
4 . ab = 80 cm
cd = ad
x = 7,5 cm
x = 3 cm
ab = bc = cd = da = 20 cm
ab = 24 cm; bc = 16,97 cm; cd = da = 12 cm
31. Completen con “siempre”, “a veces” o “nunca”, según corresponda. nunca a. Las diagonales de un trapecio rectángulo b. Las diagonales de un paralelogramo
a veces
siempre c. Las diagonales de un romboide
son congruentes. son congruentes. son perpendiculares.
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ACTIVIDADES Propiedades de los cuadriláteros
32. Calculen la medida de los ángulos interiores de cada cuadrilátero. a. abcd rombo ^ a = 57° d a
b. abcd paralelogramo ^ α = 36° d
c. abcd trapecio isósceles ^ a = 49° d
c
c
c
α
b
a
b
a
b
^ 123° b=
^ a=
36°
^ b=
49°
57° ^ c=
^ b=
144°
^ c=
131°
^ 123° d=
^ c=
36°
^ d=
131°
^ d=
144°
33. Calculen el valor de cada ángulo interior. Expliquen las respuestas. a. Datos: d. Datos: abcd paralelogramo abcd trapecio rectángulo d c d ^ a = 2x + 40° ^ c = 4x + 25° ^ ^ b = 3x + 30° b = 8x + 20°
a
b
c
a
b
^ ^ a + b = 180°
^ b+^ c = 180°
x = 22°
x = 11° 15’
^ a=^ d = 90°; ^ b = 110°; ^ c = 70°
^ a=^ c = 84°; ^ b=^ d = 96°
b. Datos: e. Datos: d c abcd trapecio isósceles abcd paralelogramo ^ c = 2x + 90° ^ α = 5x – 12° ^ ^ d = 5x + 10° d = 3x + 33° a b ^ c=^ d
x = 26° 40’ ^ a=^ b = 36° 40’; ^ c=^ d = 143° 20’
d
c
α
^ α=^ d
a
x = 22° 30’ ^ a=^ c = 100° 30’; ^ b=^ d = 79° 30’
c. Datos: f. Datos: a d abcd rombo abcd romboide ^ ^ α = 4x + 15° a = 3x d a c ^ ^ β β = 6x + 25° d = x α ^ b = 2x c b ^ α+^ β = 90° x = 5° ^ α = 35°; ^ β = 55°; ^ a=^ c = 110°; ^ b=^ d = 70°
b
b
^ a+^ b+^ c+^ d = 360° x = 40° ^ a = 40°; ^ b=^ d = 120°; ^ c = 80°
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Propiedades de los polígonos
infoactiva Un polígono es la región del plano limitada por tres o más rectas que se intersecan de a dos. δ
d
ε
c
e
^ ^ ^ ^ Ángulos interiores: ^ a , , b c , , d e
γ
^ ^ ^ Ángulos exteriores: ^ α , β , γ , δ , ^ ε
b a
β
α
Un polígono está inscripto en una circunferencia cuando todos sus vértices pertenecen a la misma. c d o ap e
b
Se denomina diagonal a todo segmento que tiene como extremos dos vértices no consecutivos. Se denomina apotema de un polígono regular al segmento perpendicular al lado del polígono cuyos extremos son el punto medio del lado y el centro de la circunferencia en la que está inscripto.
a • En un polígono de n lados se pueden trazar n – 3 diagonales desde un vértice. n . (n – 3) diagonales. • En un polígono de n lados se pueden trazar en total _________ 2
• En todo polígono de n lados, la suma de los ángulos interiores (S.A.I.) es 180° . (n – 2). • En todo polígono de n lados, la suma de los ángulos exteriores (S.A.E.) es 360°. Un polígono está circunscripto en una circunferencia cuando todos sus lados son segmentos tangentes a la misma.
c
d o
b
a
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que un heptágono tiene 14 diagonales? b. ¿Cómo se calcula el ángulo central de un polígono regular? c. ¿Cómo se calcula la suma de los ángulos interiores en un polígono de n lados? a. Sí. b. Se divide 360° por la cantidad de lados. c. A la cantidad de lados se le resta 2 y luego, se multiplica por 180°.
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ACTIVIDADES Propiedades de los polígonos
34. Inscriban en la circunferencia el polígono indicado en cada caso. a. Triángulo equilátero.
c. Pentágono regular.
b. Cuadrado.
d. Hexágono regular.
Solución a cargo del alumno.
35. Completen con los datos de cada polígono regular. Polígono
Cantidad lados
Ángulo central
S.A.I.
Ángulo interior
S.A.E.
Triángulo equilátero
3
120°
180°
60°
360°
–
–
Pentágono regular
5
72°
540°
108°
360°
2
5
Decágono regular
10
36°
1 440°
144°
360°
7
35
Icoságono regular
20
18°
3 240°
162°
360°
17
170
n lados
n
360° : n
360°
n–3
n . (n – 3) ———————— 2
180° . (n – 2) 180° . (n – 2) —————————— 2
Diagonales Diagonales por vértice totales
36. Resuelvan. a. La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 1 620°. ¿Cuántos lados tiene el polígono? 180 . (n – 2) = 1 620; n = 11
El polígono tiene 11 lados.
b. Cada ángulo interior de un polígono regular mide 156°. ¿Cuántos lados tiene el polígono? [180 . (n – 2)] : n = 156; n = 15 El polígono tiene 15 lados.
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Construcciones geométricas
infoactiva Construcción de un paralelogramo conociendo las medidas de los lados no paralelos d
a
Datos:
a
b
M
1. Se traza la recta M y con el compás se determina el ab. 2. Con centro en a, se traza un arco de radio ad. a
b
d
N
c
d
c
M
M
3. Se traza la recta N paralela a M, de modo que corte al arco en el punto d. 4. Con centro en b, se traza un arco de radio ad que corte a N en el punto c. a
N
b
a
b
5. Se unen los puntos a con d y b con c para formar el paralelogramo.
Construcción de un rombo conociendo la medida del lado Dato:
a
b
d
d
d c
a b
b
1. Se traza una semirrecta de origen d y sobre ella se marca el punto b. 2. Con centro en d, se determina un arco de radio ab.
c
a b
3. Con centro b, se traza un arco de radio ab que corte al anterior. 4. Donde se cortan los arcos quedan determinados los puntos a y c.
5. Se unen los puntos b y d con a y c.
Construcción de un trapecio conociendo las bases y los lados no paralelos Datos: Bases
a
b
c
d
Lados
c
b
c a
b m
a
M
1. Se traza la recta M y con el compás se determina el ab. 2. Con centro en a, se traza un arco de radio cd que corte a M en m.
a
d c
d b
M
M
3. Con centro en m, se traza un arco de radio ad y con centro en b, otro de radio bc. La intersección de los arcos determina el punto c.
m
a
m
b
4. Se traza una recta paralela al ab que pase por c y una paralela al mc que pase por a. La intersección de las rectas determina el punto d.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En una construcción, ¿qué es una figura de análisis? b. Dado un ángulo y un lado, ¿cuántos paralelogramos distintos se pueden construir? c. Para construir un único rectángulo, ¿alcanza con tener como dato uno de sus lados?
a. Es una figura que sirve para señalar los datos y orientar los pasos en una construcción. b. Infinitos. c. No, porque para tener solo una posibilidad se debe tener la referencia de los dos lados. 107 Nombre:
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ACTIVIDADES Construcciones geométricas
37. Construyan los siguientes cuadriláteros. En cada caso, indiquen si la construcción es única y expliquen por qué. a. Un paralelogramo con un ángulo de 35°, una diagonal de 5 cm y un lado de 3,5 cm.
Un paralelogramo.
d. Un trapecio isósceles cuyas bases midan 4 cm y 2 cm, y los lados midan 3,5 cm.
b. Un rectángulo cuya diagonal mide 3,2 cm.
Un cuadrado e infinitos rectángulos.
e. Un romboide de 1,8 cm y 3,4 cm de lados.
c. Un paralelogramo, con un lado de 3 cm y un ángulo de 120°.
Infinitas soluciones.
Un trapecio isósceles.
Infinitas soluciones.
f. Un paralelogramo con un lado de 4,2 cm y la diagonal de 3 cm.
Infinitas soluciones.
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Perímetro y área
infoactiva Medir es comparar una cantidad con otra considerada como unidad de medida.
Unidades de longitud : 10
km kilómetro
: 10
hm hectómetro . 10
: 10
: 10
dam decámetro
. 10
m metro
: 10
dm decímetro
. 10
. 10
: 10
cm centímetro . 10
mm milímetro
. 10
Unidades de área : 100
km2 kilómetro cuadrado
: 100
hm2 hectómetro cuadrado . 100
: 100
dam2 decámetro cuadrado
. 100
: 100
m2 metro cuadrado
. 100
: 100
dm2 decímetro cuadrado
. 100
: 100
cm2 centímetro cuadrado
. 100
mm2 milímetro cuadrado
. 100
El perímetro de una figura es igual a la suma de las medidas de sus lados. El área de una figura es la medida de su superficie. Para calcular el perímetro o el área de una figura, todos los datos deben estar expresados en la misma unidad de medida. Paralelogramo Figura
l
Rombo l
h
d2 d1
b
Trapecio
h
2b + 2l
4l
Área
b.h
1 . d 2 d ______ 2
d2
l2
B Perímetro
Polígono regular l
b l1
Romboide
B + b + l1 + l2 (B + b) . h __________ 2
l
d1
ap
L
n.l
2l + 2L
n: cantidad de lados
d1 . d2 ______ 2
n . l . ap ________ 2
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿A cuántos metros equivale 1 km? b. Si los lados distintos de un rectángulo miden 7 cm y 0,5 dm, ¿cómo se calcula el perímetro? c. ¿A qué es igual el área de un cuadrado? ¿Y de un rectángulo? a. A 1 000 m. b. Se pasan todas las medidas a una misma unidad y se aplica la fórmula. c. El área del cuadrado es igual a l2. El área del rectángulo es b . h.
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ACTIVIDADES Perímetro y área
38. Calculen el área y el perímetro de las siguientes figuras. Escriban el resultado en cm o cm2. a.
d.
0,3 dm
5
cm
2 cm
4 cm
Perímetro = 6,32 cm
Perímetro = 15,12 cm
Área = 2,5 cm2
2 Área = 8,9 cm
b.
e.
8
cm
47 mm
0,21 dm
15 mm
Perímetro = 12,39 cm
c.
Perímetro = 13,6 cm
Área = 7,2 cm2
2 Área = 7,75 cm
30 mm
d
1,3 cm
f.
c
5 cm 20 mm 0,03 m a 0,002 dam
b
Perímetro = 17,21 cm
Área = 15 cm2
3 cm
Perímetro = 15,94 cm 2 Área = 7,97 cm
39. Calculen el perímetro y el área de la superficie sombreada. Escriban los resultados en cm o cm2. a.
b. c. 0,08 m
6 cm
0,0007 hm
5 cm
Perímetro = Área =
25 cm
14,17 cm2
Perímetro = Área =
31,42 cm
33,87 cm2
Perímetro = Área =
34,89 cm
24,5 cm2
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4
capítulo
Integración
Contenidos
28.29.30.31
40. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. a. Todo trapezoide tiene un par de lados
paralelos.
F
b. Algunos trapecios son rectángulos.
V
c. Todo paralelogramo tiene un par de lados
opuestos congruentes.
F
d. En todo trapecio, los lados que no son F
paralelos son congruentes.
e. Los romboides tienen un par de ángulos
congruentes. V
Solución a cargo del alumno.
41. Calculen los ángulos interiores de las siguientes figuras. a.
a
d
c
23° 17’
b
b.
c
d
43. Construyan en sus carpetas tres circunferencias de 3 cm de radio. Luego, inscriban los siguientes polígonos. a. Un octógono regular. b. Un eneágono regular. c. Un decágono regular. Solución a cargo del alumno.
^ c = 23° 17’ ^ b=^ d = 156° 43’ ^ b = 35° 12’ 3” ^ c = 144° 47’ 57” ^ d = 144° 47’ 57”
35° 12’ 3” a
44. Escriban los siguientes datos para cada uno de los polígonos de la actividad anterior. a. Medida de un ángulo interior. b. Suma de los ángulos interiores. c. Medida del ángulo central. d. Cantidad de diagonales por vértice. e. Cantidad total de diagonales. Solución a cargo del alumno.
b
45. Calculen.
c.
d
42. Construyan la figura, siempre que sea posible. a. Un paralelogramo que tenga un lado de 4,7 cm, otro de 6,3 cm y el ángulo comprendido de 110°. b. Un rectángulo cuya diagonal mida 5,8 cm. c. Un rombo cuyas diagonales midan 3,8 cm y 5,3 cm. d. Un trapecio isósceles cuya base mayor mida 12,7 cm y la diagonal, 9,7 cm. e. Un pentágono inscripto en una circunferencia de 4 cm de radio. f. Una circunferencia inscripta en un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 cm y 4 cm.
c
108° 29’ 38” a
b
d.
^ b=^ d = 118° 36’ ^ a = 68° 28’ ^ c = 54° 20’
d
a
59° 18’ 27° 10’
b
^ a = 71° 30’ 22” ^ d=^ b ^ c = 71° 30’ 22”
c
a. La cantidad de lados de un polígono, cuya suma de ángulos interiores es 3 780°. b. La cantidad de lados de un polígono que tiene 8 diagonales por vértice. c. El número de diagonales por vértice, si la suma de los ángulos interiores es de 4 140°. d. La medida del ángulo interior de un polígono, si tiene 7 diagonales por vértice. e. La cantidad total de diagonales que tiene un polígono cuyo ángulo central mide 24°. f. La medida del ángulo interior de un polígono que tiene 13 diagonales por vértice. a. 23 b. 11 c. 22 d. 144° e. 90 f. 157° 30’
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46. Calculen el valor de x y la medida de los
49. Calculen el valor de x y la medida de cada
ángulos desconocidos. a. b
lado. a. Perímetro = 30 cm
c
x = 2° ^ a=^ c = 24° ^ ^ b = d = 156°
x = 6 cm d ad = bc = 6 cm ab = 11 cm cd = 7 cm
12x
30x – 36° a
d
b.
x + 1 cm
x
a
d
5x + 20°
c
32° – x x = 2° ^ a=^ c = 60° ^ b=^ d = 120°
b
x + 5 cm
b. a
c
d
x = 9,8 cm ab = 43,4 cm a
b
c
3x + 14 cm
c.
8x – 35 cm b
d
c
x = 66° ^ a=^ d = 132° ^ b=^ c = 48°
c.
2x
x = 10 cm d ab = cd = 50 cm ad = bc = 40 cm
1 —x + 15° 2
a
c
5x
4x
b
d. d
a
a
c
x = 35° ^ a=^ c = 107° ^ b=^ d = 73°
d.
x + 2°
x + 1°
3x + 2° b
47. Calculen el perímetro de cada figura. a. Paralelogramo.
d x = 6 cm ad = 18 cm cd = 18 cm 3x ab = 29 cm bc = 21,1 cm a
b
2x + 30 cm 2x + 6 cm
c
4x + 5 cm
b
50. Calculen el perímetro y el área de la parte sombreada. Expresen los resultados en cm o cm2. a.
P = 71 cm 5 cm 12,5 cm 23 cm
P = 72 cm Á = 36 cm2 10 cm
b. Trapecio isósceles. b.
P = 24 cm
P = 6,22 cm Á = 0,43 cm2 3 cm 0,01 dam
2 cm
48. Calculen el área de las figuras de la activi2 2 dad anterior. a. Á = 115 cm b. Á = 28 cm
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4 capítulo
Autoevaluación 51. Construyan siguiendo los pasos y respondan. a. Una circunferencia de centro o y diámetro 5 cm. b. Marquen los puntos a y b sobre la circunferencia. c. Tracen un ángulo con vértice en a, de modo que uno de los lados pase por el punto b y el otro, por el centro de la circunferencia y la corte en el punto c. __ d. Tracen la cuerda bc . e. ¿Se puede saber la medida de los ^ a, ^ by^ c ? ¿Por qué?
Solución gráfica.
^ b mide 90° porque es el ángulo inscripto de un ángulo de 180°. ^ ay^ c no se pueden averiguar con los datos disponibles.
52. Construyan siguiendo los pasos.
Solución gráfica.
a. Un triángulo obtusángulo e isósceles, con un ángulo de 100° y sus lados iguales de 3 cm. b. Tracen la circunferencia inscripta. c. Marquen el baricentro y el ortocentro. d. Tracen la recta de Euler.
53. Calculen y respondan teniendo en cuenta el octógono regular. f
e
g β
o
α
d
oa2 = oi2 + ai2
^ β = 360 : n
^ α = 180 . (n – 2) : n
oa = 10 cm
^ β = 360 : 8
^ α = 180 . (8 – 2) : 8
oa = ob
^ β = 45°
^ α = 135°
h oi = 8 cm ^ α =
135°
^ ai = 6 cm β = c i
45°
a
___ ob = ___ ab =
10 cm 12 cm
b a. ¿Cuántas diagonales por vértice tiene?
5 b. ¿Cuántas diagonales tiene en total? 20
54. Calculen el área pintada. Escriban los resultados en cm o cm2.
Área total = Área del
– Área del
Perímetro total = Perím. del
50 mm
:2
+ Perím. del
+ Perím. del
Perímetro =
87,38 cm
46,02 cm2 Área = 113
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capítulo
5
Razones y proporciones Contenidos 32. Razones y proporciones aritméticas. 33. Propiedades de las proporciones. 34. Proporcionalidad directa e inversa. 35. Teorema de Thales. 36. Aplicaciones del teorema de Thales. 37. Razones trigonométricas. 38. Resolución de triángulos rectángulos.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. Expresen con una fracción la relación que existe entre los chicos que tienen celular y los que no tienen. b. Expresen con una fracción la relación que existe entre la cantidad de mujeres y la cantidad de varones del grupo. c. Si llegan dos varones más, de los cuales uno solo tiene celular, ¿cuántos varones y mujeres, con o sin celular, deben llegar para que se mantengan las relaciones anteriores? d. Comparen las respuestas con las de sus compañeros. 5 b. –– 3 c. Deben llegar 4 chicos con celular y 2, sin celular. De ellos, 5 deben ser mujeres. a. –– 3 5
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40
Razones y proporciones aritméticas
infoactiva Se denomina razón entre dos números a y b (con b ≠ 0) al cociente entre esos números. ___ = 5 30 6
La razón entre 30 y 6 es 5.
_____ 11,5 =5 2,3
La razón entre 11,5 y 2,3 es 5.
En toda razón, cada elemento tiene un nombre especial. a antecedente __ consecuente b
Proporciones aritméticas Cuatro números a, b, c y d (con b y d distintos de cero) forman una proporción cuando la razón entre los dos primeros es igual a la razón entre los dos segundos. a a b c __ = __ “a es a b como c es a d” __ = __ c “a es a b como b es a c” d b b
a y d se denominan extremos, b y c se denominan medios de la proporción. d es el cuarto proporcional.
b es el medio y c es el tercero proporcional.
En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Esta propiedad se denomina propiedad fundamental de las proporciones. ___ = ___ se cumple que 24 . 4 = 12 . 8 24 12 4 8
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Con qué operación se relaciona una razón entre dos números racionales? b. ¿Es importante el orden de los números en una razón? ¿Es lo mismo la razón entre 3 y 6 que la razón entre 6 y 3? c. Los números 3, 7, 9 y 21, ¿forman una proporción? d. En toda proporción, ¿qué propiedad fundamental se cumple? a. Con la división. b. Sí, importa el orden. La razón entre 3 y 6 es de 0,5 y la razón entre 6 y 3 es 2. c. Sí, porque 3 : 7 = 9 : 21. d. El producto de los medios debe ser igual que el producto de los extremos.
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ACTIVIDADES Razones y proporciones aritméticas
1. Lean los siguientes enunciados y escriban la razón entre las cantidades. 3
a. “3 de cada 4 músicos, además de cantar, tocan instrumentos”.
4 2
b. “8 de cada 12 niños han sido vacunados en los últimos dos meses”.
3 4
c. “4 de cada 9 personas tiene un teléfono celular de alta tecnología”.
9 18
d. “De los 37 números de la ruleta, 18 son rojos”.
37 1
e. “De los 90 números del bingo, 45 son impares”.
2
f. “6 de cada 10 personas, de entre 50 y 70 años, comenzaron a usar la computadora para 3
conectarse a redes sociales”.
5
2. Rodeen los números que representan la misma razón. a. Razón __53 :
39 36 ___ 0,6 ___ 50 65
16 1,6 ___ 10
4 50 8 __ ____ b. Razón __41 : ___ 0,25 4 4 200 16
c. Razón __32 : __94 __64
10 12 ___ 0,6 ___ 21 20
42 14 35 21 ___ ___ ___ d. Razón __67 : ___ 18 25 12 30
1,16
3. Calculen la razón entre los siguientes números. 15 23 ___ . d. Entre 6,2 y 0,31. 20 g. Entre 4,5 y 1,8. a. Entre 1,5 y 10 23
5 2
81 30 6 b. Entre 4,2 y 0,7. e. Entre 8,1 y 2. h. Entre 12 y 0,4. 20 25 10 f. Entre 9 y 0,3. 30 i. Entre 7 y 4,9. c. Entre 5 y 0,4. 2 7
4. Unan cada expresión con el valor de a que le corresponde para que se verifique la proporción. 14 a. __47 = ___ a 16 __ b. __a = ___ 3 5 √8 3 21 __ ___ c. a = 72 ___ 16 ___ a d. √____ 3 = 15 0,3 a = ___ e. ___ 2,7 81
• a = 40 • a = 20 •a=8 •a=9 •a=7
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32
ACTIVIDADES Razones y proporciones aritméticas
5. Completen las tablas sabiendo que __ba = __dc = r. a
b
c
d
r
a
b
7 ___ 5
c
d
r
___ 28 10
4,5
9
0,5
4
12
15
45
1 __ 3
6
8
24
32
0,75
21
17
42
34
___ 21 17
2,5
0,4
100
16
6,25
4,5
0,1
0,1
45
7,5
1,5
17,5
3,5
5
3 __ 4
3 –– 2
5,1
2,2
85 ___ 33
1,5
0,8
7 __ 5 45 ___ 4
____ 1 450 28 ___ 10
___ 10 9
51 ___ 22
6
1 __ 2 1,875
6. Hallen el valor del cuarto proporcional.
0,2 a. __53 = ______
0,6 6 c.____ = _____ 13
0,4 5,6 ____ e. ___ 2,1 =
1,2 144 g. ____ 0,05 = ____
1,4 2 b. ___ = _____ 6
3,4 2 _____ d. ___ 0,8 =
2,75 5 = ____ f. ____ 1,25
33 7 ____ h. ___ 15 =
0,3 130 0,15 6
8,57
1,36
2,27 70,7
7. Hallen el valor del tercero proporcional.
__ 32 1,4 ____ ___ e. c. __2 = 10 3 0,32 6,4 8 a. ___ = _____ 8 0,9 0,3 = _____ b. ___ 0,3
4,5 81 _____ d. ___ 4,5 =
0,1
1,2 6 ___ = _____ 6
g.
30
2,90 4 f. _____ 4 = _____
0,25
25 2 _____ ___ 2 =
0,16
5 _____ h. ___ 32 5 =
5,5
0,78
8. Calculen el valor de los medios. a.
__ 8a =
2 a = 2 . 8
a = 4; a = –4
b.
4 = __ b
0,49 e e. ____ = ____ e 100
__2a
e2 = 0,49 . 100
e = 7; e = –7 6,4 f. ___ f = ___ f 0,1
b ___ 0,1
2 2 = 6,4 . 0,1 b = 4 . 0,1 f
2 b = __ 2 ; b = – __ 3 3 3,6 c. ___ = c
g 24,6 g. ____ = ___ g 60 ___
c ___ 2,5
2 c = 3,6 . 2,5
c = 3; c = –3
0,2 d d. ___ = ____ 125 d
d2 = 0,2 . 125 d = 5; d = –5
4 ; f = – __ 4 f = __ 5 5
41
60 g2 = 24,6 . ––– 41 g = 6; g = –6
h.
10 h = ________ ___ 0,00625 h
h2 = 10 . 0,00625 1 h = __ 1 ; h = – __ 4 4
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ACTIVIDADES Razones y proporciones aritméticas
9. Calculen el valor de x.
( )
0
2 1 5 . – __ 2x – __ 3 2 ______ _________ f. __4 = 2x – 0,5 1 x2 2x – __ 5 2
2__________ – 2,5 : 5 x a. = ___________ : 2 1,5 – 1,5 0,25
5 1,5 x ____ ____ ______ = ________ 0,25 = 0,75 2x – 0,5 4 __ x2 4 2. 1 . (2x –50,5) = __ 1,5 . 0,75 = 0,25 . x 2x – __ x 5 5 2 1 x = 4,5 x = __ 8
(
)
__
√
3 1 __ 8
– 1,25 : 5 x = 1 __________ b. ___________ 0,25 0,5 – 0,5 : 2
– 6 √100 .x 1 __ x 0,75 2 = 2x + 1 ____ ____ ______ ______ 0,25 = 0,25 2x + 1 8x2
2x + 1 _ ________ g. ______ = _____________ 2 2 2x + 1
1 . 8x2 = (2x + 1)2 x . 0,25 = 0,25 . 0,75 __ 2 x = 0,75 x = – __ 1 4
______
__________ . 1,8 . 10 + 2x 0,5 . √ 2 ___________________
√
____
3 1 ___ . __ .x x . 9–1 1 : √0,2 2 3 10 _____________ _ h. ____________ = x + 22 6
x + (–2) c. = ________ 3 (0,6) __ 5 3
1 x . __ 3 2 + 2x = ______ x – 8 _______ _____ = 0,6 __ 3 x+4 5
__ 1 x ___ 2 6
3 1 x 1 x . 6 = (x + 4) . __ __ . (2 + 2x) . __ 5 = 0,6 (x – 8) 2 3
x = –10
x=0
( )
0
4 : __ 1 2 x .___ 10 _______ d. 0,5 . x = ______ √25
4 ____ = 0,5x 4 . 5 =
–3 + 2x 2x i. ___________ = _____ 2x –3 5 __ – 0,5 . x 2
(
–3 + 2x ______ 10x _______ ___ = 2x 5 2x 2x – 3
0,5x . 10x
x = 2
0,3 . x 3–2 ________ = ______ e. _________ 1 ___ 4. __ 1 – 2 10 . x 9
√
(–3 + 2x)2 = 2x . 2x
9 – 12x + 4x2 = 4x2 3 x = __ 4 1 4x – __ 2x + 1 2 ______ _______ j. x + 2 = 1 2x + __ 4
1 __ 9 1 = (x + 2) . 4x – __ 1 ____ (2x + 1) . 2x + __ 2 4 ___ 1 x 10 5 15 1 1 = 4x2 + ___ __ 1 . __ 4x2 + __ x + __ x – 1 2 2 3 9 4 5 10 __ x = – ___ 10 ; x = ___ = 5x 9 9 4 1 x = __ 4
0,3x ____ = __ 1 3 1 0,3x . ___ x= 10
)
(
)
(
)
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Propiedades de las proporciones
infoactiva Una serie de razones iguales es una igualdad entre tres o más razones. c = r, __ e = r, __ __ a = r, __ m n = r f d b
c = __ e = __ __ a = __ m n f b d
En toda proporción se verifican las siguientes propiedades.
Propiedad 1 En toda proporción, la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente. a = __ b
c __ d
+ d a = a + b __ _____ = c_____ d b b
– d a – b _____ = c_____ d b
c __ d
Propiedad 2 En toda proporción, la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente. a = __ c __ b d
+ d a = __ a + b = c_____ c __ _____ c a b d
– d a – b = c_____ _____ c a
Propiedad 3 En toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos, como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos. c __ a = __ b d
+ d a + b = c_____ _____ c–d a–b
Propiedad 4 En toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como uno de los antecedentes es a su consecuente. a____________ + c + e + m c = __ e = __ __ a = __ m n = f b d b+d+f+n
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.
24 84 7 ___ , ¿es cierto que __ ? a. Si __52 = ___ 5 = 60 60 24 10 ___ b. ¿Se verifica la propiedad 3 en la siguiente proporción? ___ 5 = 12 4 42 30 6 2 ___ __ ___ ____ c. ¿Es verdadera la siguiente expresión? – 18 = – 9 = – 27 = – 135 = – ____ 189
a. Sí, porque cumple con la propiedad 1 de las proporciones. b. Sí. c. Sí, porque cumple con la definición. 119 Nombre:
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ACTIVIDADES Propiedades de las proporciones
10. Completen, aplicando las propiedades de las proporciones.
–13 –104
, entonces a. Si – __58 = – ___ 64 ___________ = _____________ 40 8 64
1,9
0,95 0,5 0,25 ____ b. Si = ___ , entonces ___________ = ___________ 1,4 = 0,7 –0,9
–0,45 63
59 252 c. Si ____ 236 = ___ , entonces _____________ = _____________ 4 4 16
16
7,035 2,1105
0,035 0,0105 d. Si ______ = ______ , entonces _____________ = _____________ 7 2,1 0,0105 0,035
11. Traduzcan al lenguaje simbólico aplicando propiedades y respondan. a. La diferencia entre dos números a y b es 12 (a > 0 y b > 0) y la razón entre ellos es 4. ¿Cuáles son los números? a – b = ––––– 4 – 1 ; a – b = 12; a = 16, b = 4 ––––– b 1
b. La suma entre dos números p y q es a la resta de p y q, como 5 es a 3. Si el producto entre p y q es 64, ¿cuáles son los números? p + q = –– 5 ; p . q = 64; p = 16, q = 4 o p = –16, q = –4 ––––– p–q 3
c. La diferencia entre dos números m y n es a m, como 12 es a 10; si la suma entre m y n es igual al opuesto de 28, ¿cuáles son los números? m – n = ___ ––––– 12 ; m + n = –28; m = –35, n = 7 10 m
d. La razón entre un número aumentado en 5 y dicho número es igual a la razón entre 7 y 4. ¿Cuáles son los números? 20 x + 5 = –– 7 ; x = ___ ––––– 3 x 4
12. Tengan en cuenta la suma de razones y resuelvan. 4 + 28 + 16 + 36 + 8 + 20 ______________________
4
45 + 35 + 20 + 25 + 10 + 5
a. Calculen la razón.
5
b. Separen en cocientes de modo que todos tengan la misma razón. 4 8 ___ 36 __ , ___ , 16 , ___ 20 , ___ 28 , ___ 5 10 20 25 35 45
13. Resuelvan la siguiente situación problemática. Un albañil desea preparar 180 kg de una mezcla. Para ello, sabe que debe hacer la mezcla teniendo en cuenta esta proporción: 3 kg de cal, 5 kg de cemento y 12 kg de arena. ¿Cuánta cantidad de cada material necesita? Cal = 27 kg, cemento = 45 kg, y arena = 108 kg.
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Proporcionalidad directa e inversa
infoactiva Dos variables se relacionan en forma directamente proporcional cuando el cociente entre los valores que se corresponden es constante. El número que se obtiene al dividir las cantidades se denomina constante de proporcionalidad (k). y __ x = k, entonces y = k . x
distancia (en km)
La distancia recorrida por un automóvil que se mueve a velocidad constante se relaciona en forma directamente proporcional con el tiempo. Tiempo Distancia recorrida (en horas) (en kilómetros)
1
50
2
100
3
150
4
200
200 150 100 50 0
1
2 3 4 tiempo (en horas)
y = 50 . x
(k = 50)
Dos variables se relacionan en forma inversamente proporcional cuando el producto entre los valores que se corresponden es constante. k y . x = k, entonces y = __ x
Base del rectángulo (en cm)
Altura del rectángulo (en cm)
1
40
2
20
4
10
altura (en cm)
La medida de la base de un rectángulo de área igual a 40 cm2 se relaciona en forma inversamente proporcional con la medida de la altura. 40 30 20 10
0
1
50 y = ___ x
test de comprensión de comprensión test 1.
2
3 4 x base (en cm)
(k = 50)
Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo se calcula la constante de proporcionalidad directa? ¿Y la de proporcionalidad inversa? b. Si en una tabla, los valores de una variable aumentan y también aumentan los de la otra variable, ¿se puede afirmar que la relación es de proporcionalidad directa? c. La relación que existe entre un número entero y el cuadrado, ¿es de proporcionalidad inversa?
a. La de proporcionalidad directa, se calcula dividiendo las cantidades que se corresponden. La de proporcionalidad inversa, se calcula multiplicando las cantidades que se corresponden. b. Solo si aumen121 tan en la misma proporción. c. No, porque no se verifica la condición de proporcionalidad directa. Nombre:
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ACTIVIDADES Proporcionalidad directa e inversa
14. Resuelvan. a. Escriban PD (proporcionalidad directa) o PI (proporcionalidad inversa) según corresponda. Luego, indiquen la constante de proporcionalidad y la fórmula que corresponde a cada tabla. TABLA 1 TABLA 2 TABLA 3 TABLA 4 x
y
x
y
x
y
x
y
0,25
–10
–0,5
–0,75
–0,5
0,35
2
1,5
–1,5
1,6
1,6
2,4
–1,4
0,98
–1,5
–2
–0,75
3,3
0,8
1,2
–2
1,4
–2,4
–1,25
2
–1,25
2,5
3,75
2,4
–1,68
1,2
2,5
0,5
–5
–2
–3 –
0,7
–0,49
–0,8
–3,75
PI PD PD PI
k1 =
y1 =
–2,5
k2 =
1,5
5 – ___ 2x
k3 =
y2 =
1,5 x
y3 =
b. Grafiquen las relaciones en el eje correspondiente. PROPORCIONALIDAD DIRECTA
,7x
PROPORCIONALIDAD INVERSA
4
4
1,5
x
y
2
3
y4 =
y
3
–0
k4 =
3 –0,7x __ x
3 y x =—
3
y=
y=
– 0,7
5 y 2x =—
2
1
1 x
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
x
15. Marquen con una X los gráficos que corresponden a relaciones de proporcionalidad. Indiquen el tipo de proporcionalidad. a. b. c. d. y
y
y
y
x x
X PI
x
x
X PD
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ACTIVIDADES Proporcionalidad directa e inversa
16. Completen las siguientes tablas, escriban la fórmula de la función y realicen el gráfico. a. Proporcionalidad inversa.
y 80
Tiempo de vaciado de un tanque (en min)
Cantidad de agua que queda (en l)
4
500
20
100
45
44,4
–40
125
16
–60
60
2 000 y x =— — — — —
40 20
–100 –80 –60 –40 –20 0 20 40 60 80 100 –20
x
–80
2000 _____ y = x
b. Proporcionalidad directa.
y 4
Cantidad de remeras cosidas por una máquina
Tiempo de trabajo (en h)
3
5
0,625
1
12
1,5
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –1
36
4,5
240
30
2
y = 0,125x x
–2 –3 –4
0,125x y=
17. Completen la tabla con la información del gráfico. Luego, escriban la fórmula de la función. a.
b. y
y
20
8
15
6
10
4
5
2
–25 –20 –15 –10 –5 0 –5
5 10 15 20 25
x
–1 –0,5 0 0,5 1 –2
–10
–4
–15
–6
–20
–8
x
y
x
y
–10
–20
0,25
8
–5
–10
0,5
4
0
0
1
2
5
10
10
20
x
–0,5 –4 2 __ 2x –1 –2 y= x y=
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ACTIVIDADES Proporcionalidad directa e inversa
18. Resuelvan. En la dietética de José hay 20 kg de gelatina suelta que se deben embolsar para vender. José estuvo analizando cuántas bolsas puede obtener según la cantidad de gelatina que coloque en cada una. a. Completen la tabla. Cantidad de gelatina (en g)
Cantidad de bolsas
500
40
500
250
80
400
100
200
300
50
400
200
40
500
y
100
b. ¿Qué tipo de proporcionalidad existe? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
400 –200 0 200 400 –100
Proporcionalidad inversa. k = 20 000
20 000 x y = ––––––
x
–200 –300 –400
c. Escriban la fórmula de la función y represéntenla en un sistema de ejes cartesianos.
20 000 y x =— — — — — —
–500
19. Escriban PD (proporcionalidad directa), PI (proporcionalidad inversa) o NP (no proporcional), según corresponda. a. La distancia (en km) que recorre un automóvil en cierto tiempo si se desplaza a velocidad PD constante.
b. La cantidad de animales en una granja y la cantidad de granos (en kg) que consumen en un PD mes. PI c. El tiempo y la cantidad de obreros que trabajan en una obra.
d. La cantidad de gas que contiene una garrafa y el tiempo que se tarda en consumirla usando PI el horno de la cocina. PD e. La densidad de un material y el volumen que ocupa. NP f. La edad de una persona y el peso (en kg).
mente activa Se tienen triángulos de 1 m de base. ¿Cuál es la fórmula de la función que relaciona la altura con el área? ¿Qué tipo de función es? 1 . altura; Proporcionalidad directa. Área = –– 2 124
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5 capítulo
Integración 20. Calculen la razón en cada caso. 0,4 a. __ 52 =
14 d. ___ 36 = 0,38
Contenidos
32.33.34
24. Completen la siguiente tabla teniendo en a c = __ . cuenta que __ d b
44 b. ___ = 3,6 4 99 e. ___ 27 11 = 52 12 c. ___ 1,3 1,625 = f. ___ 9 = 32
a
b
c
d
razón
3,4
0,004
221
0,26
850
15
12,5
4,8
4
1,2
8,1
12,42
1,5
2,3
9
30
2,4
8
6,5
10
13
20
21. Construyan una proporción con los siguientes números, cuando sea posible. a. 1, 2, 3 y 4. No es posible. 0,6 12 b. 0,6, 1,1, 12 y 22. ___ = ___ 1,1 22 0,4 3 c. 0,4, 3, 2 y 15. ___ = ___ 15 2 100 = ____ d. 1, 101, 100 y 1,01. ____ 1 101 1,01 e. 5, 12, 7 y 42. No es posible. 5 3 f. 15, 3, 5 y 25. ___ = ___ 25 15
22. Resuelvan. a. La razón entre dos números a y b es 3,5 y la suma es 9. ¿Cuáles son los números? b. La diferencia entre dos números p y q es –15. Si la razón entre p – q y q es 1,5, ¿cuáles son los números? c. La razón entre dos números consecutivos es 1,125. ¿Cuáles son los números? d. La diferencia entre dos números es 8. Si la razón entre ellos es 1,6, ¿cuáles son esos números? e. La razón entre dos números es 1,5 y su diferencia es 3. ¿Cuáles son esos números? a. a = 7 y b = 2 b. p = –25 y q = –10 c. 8 y 9 d. 5 y –3 e. 6 y 9
23. Calculen el número que falta en cada proporción. 0,14
2,4 = a. ___ _____________ 0,21 3,6
3,7
18,5 b. _____________ = ____ 2 10
7,5
9 c. ___ _____________ 7,2 = 6 0,0034 8,5 d. _____________ = _______ 0,0018
4,5
15 ___ 23 0,3 13 ___ 20
25. Calculen el valor de x utilizando la propiedad fundamental de las proporciones.
2 __
8 __
x – 5 2 9 x = –– a. _______ = ______ 2–1 3 (0,6)–1
( ) ( ) 3 24 ___
13 0,2 . ___ + 0,5
6 15 + 3x ______________ b. = _________ –1 –12x + 85 1 __
1 x = –– 3
–
11 7 c. _____ –12x = ____ x = ––– 7 33 2–2 ___
24
13 _ 6x – (x – 3) ___________ d. = ______ ___ –1 2 2
( √ )
–x + 43
x=5
___ 1 81
[
]
3 . 15 + (–2)3 : –– 1 5 4 x : 2 = ––– e. ––––– ––––––––––––––––– – – 20 0,9x
x = –40 ––– 3
26. Coloquen una X en las tablas donde hay proporcionalidad. Indiquen el tipo de proporcionalidad y escriban la constante. a. b. c. a
b
a
b
a
b
12
16
15
9
9
5
21
28
20
12
15
3
51
68
65
42
7,5
108
144
60
X
PD 4 k = –– 3
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6 45 ___ 4
4 X
PI k = 45
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27. Resuelvan.
29. Completen las tablas y grafiquen las fun-
a. Completen la tabla sabiendo que la altura de cada rectángulo mide 5 cm. Base
Área
Perímetro
8 cm
40 cm2
26 cm
10 cm
50 cm2
30 cm
15 cm
75 cm2
40 cm
5 cm
25 cm2
20 cm
3 cm
15 cm2
16 cm
b. La relación que existe entre el área y la base, ¿es proporcional? Sí, Área = Base . 5 cm c. La relación que existe entre el perímetro y la base, ¿es proporcional? No, la base y el perímetro no aumentan en la misma proporción.
28. Escriban PD (proporcionalidad directa), PI (proporcionalidad inversa) o NP (no proporcional) en el gráfico que corresponde. a. y
PI x
b. y x
ciones en un sistema de ejes cartesianos. a. b. x
y=5:x
x
y = –3x
–5
–1
–2
6
0
– –1 5 ––– 0 12
3
12 20
0,25
0 –9
3
30. Resuelvan. a. Se desea preparar 30 litros de una pintura con un color especial. Se sabe que para una muestra de un litro de esa misma tonalidad, 4 1 ___ se utilizaron __52 de amarillo, ___ 15 de verde, 30 de rojo y el resto, blanco. ¿Cuántos litros de cada color necesitarán si se desea mantener la misma tonalidad? A: 12 l, V: 8 l, R: 1 l, B: 9 l b. Para preparar una torta de limón se necesitan los siguientes ingredientes: harina, azúcar, huevos, aceite, limón y leche. Cada 2 huevos se necesitan 250 g de harina y cada 3 huevos, 6 cm3 de aceite. Cada __32 de harina se debe agregar una parte de azúcar. De lo que se usa de azúcar, se agregan las cuatro quintas partes en leche (en cm3) y por cada 250 g de harina, se vierten dos cucharadas de jugo de limón. ¿Qué cantidad de cada ingrediente se necesita para hacer una torta con 5 huevos? 5 huevos, 10 cm3 de aceite, 625 g de harina, 937,50 g de azúcar, 750 cm3 de leche y 5 cucharadas de jugo de limón.
31. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas. NP
a. La gráfica de una función de proporcionalidad directa siempre pasa por el origen de
c.
coordenadas.
y
V
9 3 ___ b. La razón __ 5 es igual a la razón 10 . x
PD
15 20 ___ c. ___ 8 y 6 forman una proporción.
F
V
d. La gráfica de una función de proporcionalidad inversa nunca pasa por el origen de
coordenadas.
V
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Teorema de Thales
infoactiva Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de las medidas de los segmentos determinados en una de ellas es igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes determinados en la otra.
A // B // C E y F transversales.
d
a
A
e b B ab de ___ = ___ bc ef f c C Al ab le corresponde el de en la otra transversal. Se dice entonces que son segmentos correspondientes. E F Como consecuencia del teorema de Thales, toda recta paralela al lado de un triángulo que interseque a los otros dos lados o a sus prolongaciones, determina sobre estos segmentos proporcionales. R // S c
c
n
m
R
c m n a
R
R S
n
S b
b
a
m
ac = ___ ma = ___ ___ bc ac mc nc
a
b
ac ___ ___ nb = cn bc
S
____ bc cm
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuándo una recta___es transversal? ___ ab ___ mn b. En la proporción ___ = ___ , ¿cuáles son segmentos correspondientes? ¿Por qué? op cd 4 cm ef c. Si al aplicar el teorema de Thales queda determinada la proporción ______ = ____ , ¿cuánto 2,5 cm 3 cm mide el segmento ef? a. Cuando interseca a una o más rectas. b. Los segmentos correspondientes son ab y mn, cd y op. Son los que están determinados sobre las transversales entre las mismas paralelas. c. Mide 4,8 cm.
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ACTIVIDADES Teorema de Thales
32. Completen con el segmento que corresponde. A // B // C // D, P y Q transversales. Q P e ab ____ ___ a. = e f f b c fg
bd
d. ____ = ___ fh bc fg
g
a
h
A
fg
a c = ___ eg e. ____ fg bc
bc = ____ b. ___ b gh cd B
c
ef
ad e h = ___ f. ____ bc fg
ab = ____ c. ___ gh cd d C
D
33. Escriban la medida del segmento que falta en cada caso. A // B // C // D, L y M transversales. __
___
L
___
__
a. bc = 4 cm; pq = 5 cm; qr = 3,2; ab = ___
A
___
__
___
b. bd = 7 dm; pq = 2 dm; qs = 6 dm; ab = ___ c. ab = ___ d. ad = __ e. ac =
___
__
__
__
12,5 dam; rs = 4,5 dam; ps = 10 dam; 25,3 km;
___ bd =
__
28 km; pr = 19,2 km;
B
10,2 m
8,5 m: pq = 6 m; qr = 7,2 m; bc =
__ cd =
__ qs =
a q
2,3 dm
__
M p
6,25 cm
C
5,625 dam
D
21,25 km
b r
c
s
d
34. Indiquen a qué gráfico corresponde cada una de las siguientes proporciones.
___
___
ac
df
de __ ab __ a. ___ = ___ __ ac __ ___
___ bd ___ __
__
__
GRÁFICO A A // B // C, T y U transversales. A
b. ce B = bd
__
A
U T
M B
d
df
ae ___ __ bf c. ___ = ___ ac
a
A
c
f
d
Q
b
e c
b
P
__
ac ___ ___ df d. ___ = ___ de ab
N a
C e
B
GRÁFICO B P // Q // R, M y M transversales.
f
R
mente activa El matemático Thales de Mileto logró medir la altura de una de las pirámides de Egipto, teniendo como dato la sombra de la pirámide, la altura del matemático y la sombra que su cuerpo proyectaba. Tengan en cuenta los datos, realicen un esquema de la situación y calculen la altura de la pirámide. • Altura de Thales: 1,72 m • Longitud de la sombra de la pirámide: 63,66 m • Longitud de la sombra de Thales: 0,75 m La altura de la pirámide es de aproximadamente 146 m.
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ACTIVIDADES Teorema de Thales
35. Calculen el valor de la incógnita y la medida de cada segmento. a. P // Q // R // S; V y T transversales. S
R
Q P
c. M // N // O; T, V y W transversales. T
V d
c
m a
b
n
a
T b m n
c
p
d
o
V
p
___ = ab ___ on =
__
__
2x + 3 cm bc = 5x + 8 cm ___ 36 cm po = 14 cm
ab = ––– po ––– on
2x + 3– cm = –––––––––– 5x + 8 cm
14 cm ______ 36 cm
__
–3x – 10–cm = ________ –––––––––––– 3,9 cm 3 cm 2 cm – 8x
cd = ––– nm ––– bc bn
x = 2
x = –1
ab = 7 cm y bc = 18 cm
bc = 13 cm y cd = 10 cm
b. P // Q // R // S; V y T transversales. T
m
M
a s
p
d. M // N // O; T y V transversales.
W
V
b
A
t
e
q
f
n
N
u
c
B
r O
M
bc = –3x + 10 cm cd = 2 cm – 8x ___ ___ bn = 3,9 cm nm = 3 cm
bc
N
O
P
g
o C
d V
T
___ ___ __ ___ mn = 15x – 3 cm no = 2,5x + 6 cm ad = 5x – 1 cm ac = –2x + 8 cm __ ___ __ ___ 64 pq = 2,1 cm qr = 4,9 cm af = 12x + ___ = 20x – 7,3 cm 15 cm ag ___ __ __ __ st = 3x tu = 2x + 2 cm ab = 0,72 cm ae = 2,4 cm
mn = ––– pq ––– qr
no
15x – 3– cm = ________ ––––––––––– 2,1 cm 2,5x + 6 cm 4,9 cm
x = 0,4
ag ad = ––– ––– ab ae
x = 1,2
mn = 3 cm; no = 7 cm; st = 9,2 cm; tu = 2,8 cm
5x – 1 cm = ––––––––––––– 20x – 7,3 cm –––––––––– 0,72 cm 2,4 cm
ad = 5 cm; af = 18,6 cm; ac = 5,6 cm; ag = 16,6 cm
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ACTIVIDADES Teorema de Thales
36. Calculen la medida de cada segmento y resuelvan. b. A // B // C, T // U, A ⊥ U y V transversal.
a. A // B, P y Q transversales. Q
T
P
b
A
a
e
B
b
f
C
c
g
h
e d
B
U d
a
A
V
c
j k
___
__ ___ = 3x + 2 cm ae ab = ___ de = 4 cm be = __ __ bc = 5 cm cd =
___
__
4x – 2 cm ab = 2x – 1 cm hj = 3x – 3 cm ___ __ 10 cm – x dh = 8 cm fg = x – 1 cm ___ __ 12 cm + x de = 6 cm jk = x + __31 cm
x = 2,25; ab = 8,75 cm; ae = 7 cm; be = 7,75 cm; cd = 14,25 cm
x = 5; ab = 9 cm; hj = 12 cm; fg = 4 cm;
jk = 5,3 cm
• Perímetro del trapecio bcde: 31 cm
2 • Área del triángulo deh: 15,87 cm
• Perímetro del triángulo abe: 23,5 cm
• Perímetro del cuadrado bcgf: 16 cm
• Perímetro del triángulo acd: 39 cm
2 • Área del trapecio abjh: 119,34 cm
37. Resuelvan. a. Gastón mide 1,80 m y Carla, 1,64 m. Ambos se encuentran de espalda al Sol. Si la sombra que proyecta Gastón mide 85 cm, ¿cuánto mide la sombra que proyecta Carla?
1,80 m = ––––––– 1,64 m ––––––– x 0,85 m x = 0,77 m
b. La sombra de un árbol mide 7 metros. Si a 4,5 m del pie del árbol se encuentra una varilla de 0,5 m de longitud cuya sombra mide 1,5 m, ¿cuál es la altura del árbol?
x –––––– –0,5 m = –––– 1,5 m 7 m x = 2,3 m
mente activa Nadia, Rocío y Mario están en la fila para ingresar a un recital. Rocío mide 1,72 m y está ubicada a una distancia x detrás de Nadia. Mario mide 1,80 m y está ubicado a x + 0,5 m detrás de Rocío. a. Si la altura de Mario es a su distancia con Rocío como la altura de Rocío es a su distancia con Nadia, ¿a qué distancia se encuentran los tres chicos entre sí? b. Si la altura de Nadia es a su distancia con Mario como la altura de Rocío es a 23,65 m, ¿cuál es la altura de Nadia? a. Rocío está a 10,75 m de Nadia y Mario, a 11,25 m de Rocío. b. Nadia mide 1,60 m. 130
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Aplicaciones del teorema de Thales
infoactiva A partir del teorema de Thales, se puede dividir un segmento ab (de cualquier medida), por ejemplo, en cuatro segmentos congruentes. o
o
R b
a
1. Se traza una semirrecta con origen en a. 2. Se marcan sobre la semirrecta cuatro seg mentos congruentes (de cualquier medida).
b
a
3. Se traza la recta R que determinan o y b. 4. Se trazan rectas paralelas a R que pasen por › los otros puntos que se marcaron sobre la ao.
En la siguiente proporción de es cuarto proporcional. Para construir el cuarto proporcional, conociendo las medidas de los otros tres segmentos, pueden seguir estos pasos. ___ ab = ___ ad bc
e
de
d
a
b
c
a
1. Se trazan dos semirrectas con el origen en común. 2. Se marcan sobre una de las semirrectas dos de los segmentos (ab y bc).
b
c
3. Sobre la otra semirrecta se marca el tercer segmento (ad) a partir del origen. 4. Se traza la recta que determinan d y b y luego, la paralela que pasa por c.
En la siguiente proporción de es tercero proporcional. ab ___ = ___ ad , siendo bc = ad bc
d
e
de
test de comprensión
a
c
b
1. Respondan y expliquen las respuestas.__
cm en tres segmentos congruentes? ¿De qué forma? a. ¿Se puede dividir un segmento de √11 b. ¿Cuántos segmentos hay que tener como dato para construir el cuarto proporcional? c. ¿Cuántos segmentos hay que tener como dato para construir el tercero proporcional?
a. A partir del teorema de Pitágoras se puede construir el segmento de la medida indicada. Luego, se aplica el teorema de Thales para dividirlo en tres segmentos congruentes. b. Tres segmentos. c. Dos segmentos. Nombre:
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ACTIVIDADES Aplicaciones del teorema de Thales
38. Dividan los siguientes segmentos según se indica. a. En 5 segmentos congruentes.
b. En 4 segmentos congruentes.
h
g
g
f
f
e
e d
d l
k
a
j
i
j
k b
8
a
i b
6,51
39. Dividan el segmento en tres segmentos, de modo que cada segmento consecutivo sea 2 unidades mayor que el anterior. e 3 d 2 1
c f
g
a 2 cm
6 cm
4 cm
b
40. Dibujen el segmento cuarto proporcional. a. ab = 1,5 cm; bc = 3,5 cm; ad = 2 cm
b. pq = 4 cm; qr = 2,5 cm; ps = 3 cm e
4,6 cm 2 cm a
1,5 cm
t
1,875 cm s
d
3 cm
b
p
c
3,5 cm
q
4 cm
r
2,5 cm
41. Dibujen el segmento tercero proporcional. a. mn = 4 cm, mo = 3 cm.
b. de = 2,5 cm, ef = 3 cm. h
2,25 cm
q
6,4 cm
p
g
3 cm m
3 cm 4 cm
n
3 cm
o
d
2,5 cm
e
3 cm
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Razones trigonométricas
infoactiva En un triángulo rectángulo, cada cateto recibe un nombre según el ángulo agudo que se considere. a
a α
cateto adyacente a^ α b
cateto opuesto ^ a β
β
c
cateto opuesto a ^ α
b
c
^ cateto adyacente a β
Si se consideran los triángulos rectángulos aor y abc, se pueden formar las siguientes razones con las medidas de los lados. T R
__
10
cm
bc = 0,8 ___ __ ac __ ac ___ = 1,6 __ __ ab bc = 1,3 ___ __ ab
r
8 cm 4 cm
cm
__
or = 0,8 __ __ ar __ ar = 1,6 ___ __ ao __ or = 1,3 ___ __ ao
c
En abc
5
En aor
α 3 cm o
a
b
6 cm
Las razones que se formaron con las medidas de los lados dependen únicamente del ángulo α. Se llaman razones trigonométricas a las que relacionan las medidas de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos del mismo. En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas se definen de la siguiente forma. c
hipotenusa a
α
cateto opuesto b
cateto adyacente
Seno
Coseno
Tangente
cateto opuesto cateto adyacente ____________ _____________ cos ^ tg ^ sen ^ α = α = α = hipotenusa hipotenusa bc sen ^ α = __ ac
ab cos ^ α = __
cateto opuesto
_____________ cateto adyacente
bc tg ^ α = __
ac
ab
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Dado un ángulo de un triángulo rectángulo, ¿cuál es el cateto adyacente? ¿Y el cateto opuesto? b. ¿A qué es igual la tangente de un ángulo de 45°? c. ¿Es correcta la expresión sen = __54 ? a. El adyacente está incluido en uno de los lados del ángulo; el opuesto, no. c. Es igual a 1, ya que los dos catetos miden lo mismo. c. No, no se indica el ángulo al que hace referencia la relación trigonométrica.
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ACTIVIDADES Razones trigonométricas
42. Calculen las razones en los siguientes triángulos. a. c
α
b
9 cm
b
^ ^ 0,83 0,66 0,74 0,5 sen β = sen ^ α = sen β =
sen ^ α =
^ ^ 0,83 cos α = cos β =
tg ^ α =
7 cm
α
9,4 cm
a
β
β
6 cm
c
a
c.
0,55 cos ^ α =
^
0,74 cos β =
0,67
^ ^ 1,5 0,9 1,12 0,6 tg β = tg ^ α = tg β =
b. 7 cm
d.
c
c 22 cm 26 cm
β
a
5 cm
b
0,71 sen ^ α =
^ 0,65 sen β =
0,7 cos ^ α =
0,76 cos β =
^
0,71 cos ^ α = cos β =
b
a
^ 0,7 sen ^ α = sen β =
β
α
α
^ 0,98 tg ^ α = tg β =
1,02 tg ^ α =
0,76
^
0,65
^ 0,85 tg β =
1,18
43. Resuelvan usando la calculadora. Razón trigonométrica
Ángulo 0°
30°
45°
60°
90°
seno
0
0,5
0,707
0,866...
1
coseno
1
0,86...
0,707
0,5
0
tangente
0
0,57...
1
1,73
No existe.
44. Respondan teniendo en cuenta los resultados de la actividad anterior. a. ¿Cómo son el seno y el coseno de dos ángulos complementarios? Iguales.
b. Verifiquen la siguiente expresión: “La tangente es igual al cociente entre el seno y el coseno”. ady hip
op ady
^
^ cos ^ α
op sen α . hip –> tg ^ sen α sen ^ α = –hip ––– –> op = sen ^ α . hip; cos ^ α = –––– –> ady = cos ^ α . hip; tg ^ α = –––– –> tg ^ α = –––––––––––– α = –––––– ^
45. Hallen el valor de x usando la calculadora.
__
2 f. sen ^ x = √ __ 2__ __ 3 2 45° b. sen ^ x = √ __ x= g. cos ^ x = √ __
a. sen ^ x = 0,6
cos α . hip
x = 36° 52’ 12’’
2 2 _ _ 3 √ __ 30° c. cos ^ x = 2 x= h. tg ^ x = √3 1 ____ ^ ^ __ d. tg x = 30° x= i. cos x = 0,1 √3 __ 3 e. sen ^ 60° x = √ __ x= j. tg ^ x = 2 2
x=
45°
x=
30°
x=
60°
__
x = 84° 15’ 39’’ x = 63° 26’ 6’’
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Resolución de triángulos rectángulos
infoactiva Resolver un triángulo rectángulo significa hallar las medidas de los tres lados y de los ángulos agudos a partir de ciertos datos, usando las razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y la suma de ángulos interiores de un triángulo.
A partir de los datos se pueden calcular los lados desconocidos del triángulo (bc y ab) y el ángulo agudo b. ^ b + ^ c = 90o, entonces ^ b = 60o 10 cm ab ______ cos 30o = _____ tg 30o = 10 cm
c
30°
10 cm
a
bc __ __ ______ 10 cm = tg 30o . 10 cm bc = cos 30o ab __ __ 10 cm = 0,57 . 10 cm bc = _____ ab 0,86 __ __ b ab = 5,77 cm bc = 11,55 cm
__
a y ^ b ) y la hipotenusa (ab ). A partir de los datos se pueden averiguar los ángulos agudos (^ __
a
12 cm
c
9 cm
b
__
__ 2 2 12 cm + ac tg ^ b = _____ ab 2 = bc 9 cm __ 2 ^ 2 2 ab = (9 c m) + (12 cm) b = arctg 1,3 __ 2 2 = 225 c m ^ ab b = 53º 7’ 48” ________ __ ab = √ 225 cm2 __ ab = 15 cm ^ a + ^ b = 90º, entonces ^ = 36º 52’ 12”
El ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual a un objeto se denomina ángulo de elevación o depresión, según la observación se realice hacia arriba o hacia abajo, respectivamente.
α
ángulo de depresión
β
de ángulo n elevació
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En un triángulo rectángulo, si se conoce un ángulo agudo y el cateto adyacente, ¿qué razón trigonométrica se puede usar para averiguar la hipotenusa? ¿Y para averiguar el cateto opuesto? b. En un triángulo rectángulo, si se conoce la medida del cateto opuesto y el adyacente a un ángulo, ¿se puede averiguar el valor de ese ángulo? a. El coseno. La tangente b. Sí. 135 Nombre:
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ACTIVIDADES Resolución de triángulos rectángulos
46. Calculen y completen. a. c. c 4 cm a
c
α 8 cm 53° β b
45°
ε
η
a
b
^ ε =
^ 37° α = ab =
5,008 cm
3,014 cm
bc =
45°
ab =
b. d. c
11,31 cm
8 cm
bc =
c θ
δ
6,5 cm γ 35° a
40° b
10 cm
λ b
a
^
^ θ =
55° δ = bc =
7 cm
ca =
12,21 cm
50°
ab =
4,98 cm
4,18 cm
ca =
47. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen sus respuestas. a. b. 8 cm
c
β
b
c 12 cm
60° α
a
• La hipotenusa mide 6 cm. • El cateto ca mide 6 cm. •^ β mide la mitad de ^ α.
^
• sen β = 0,86
70°
α
β
a
b
^
F •^ α es a β como 15 es a 14. F • Área de abc = 26,21 cm2
F V
V • Perímetro de abc = 29,14 cm
V
F • sen ^ α = 0,5 F
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ACTIVIDADES Resolución de triángulos rectángulos
48. Calculen y completen. a. y
d
c
a
c.
x x
3,5 cm
3,04 cm
7 cm
41°
57° b
a
b
40° d
c
y
x=
49° 3’ 16’’
3,04 cm
y=
x=
y b.
10,89 cm
y=
d.
a
15 cm
c
d
3,79 cm
b
51°
x
12,5 cm
45°
y 47° 53’ 24”
a
b
y:2
c
d
x
x=
16,85 cm
y=
22,6 cm
x=
8,24 cm
y=
9,44 cm
49. Calculen el área y el perímetro de las siguientes figuras. a. abcd es un trapecio isósceles.
b. abcdef es un hexágono regular. e
6 cm
d
d
c o
c
60° a
10 cm
b
10
cm
f
a
60° b
Área =
27,71 cm2
Perímetro =
24 cm
Área =
259,8 cm2
60 cm
Perímetro =
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ACTIVIDADES Resolución de triángulos rectángulos
50. Resuelvan. Previamente, realicen un esquema de la situación para ubicar los datos y las incógnitas. a. Si los brazos de un compás miden 10 cm de largo, ¿con qué ángulo se lo debe abrir para trazar una circunferencia de 8 cm de radio? ^ α 4 cm sen –– 2 = –––––– 10 cm ^ α –– 2 = 23° 34’ 41”
( )
ESQUEMA
^ α = 47° 9’ 23”
r
o
b. Una persona está en el balcón de un edificio a una altura de 700 m y visualiza el monumento de la plaza que se encuentra enfrente con un ángulo de 45°. ¿A qué distancia se encuentra el edificio del monumento? op α = –––– tg ^ ady
ESQUEMA
x tg 45° = –––––– 700 m
x = 700 m
c. Una persona está en el quinto piso de un edificio y observa con un ángulo de elevación de 65° a otra persona que se encuentra en el séptimo piso del edificio de enfrente. Si entre las dos personas hay 30 m de distancia, ¿qué distancia separa los dos edificios? ady cos ^ α = –––– hip
ESQUEMA
x cos 65° = ––––– 30 m
x = 12,68 m
d. Dos pinos se encuentran a 15 m de distancia. Una persona, de 1,65 m de altura, se ubicó en la mitad de la distancia que los separa. Si observa el punto más alto del pino A con un ángulo de 70° y el punto más alto del pino B con un ángulo de 60°, ¿qué altura tiene cada pino?
op α = –––– Pino A: tg ^ ady
op Pino B: tg ^ α = –––– ady
x tg 70° = ––––– 7,5 m
y tg 60° = ––––– 7,5 m
x = 20,6 m
y = 12,99 m
B = 12,99 m + 1,65 m
A = 20,6 m + 1,65 m
A = 22,25 m
B = 14,64 m
ESQUEMA
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5 capítulo
Integración
Contenidos
35.36.37.38
51. Indiquen si las rectas A, B y C son parale-
54. Obtengan el cuarto proporcional, analítica
las, teniendo en cuenta las proporciones entre los segmentos dados. a. Datos:___ ___ ab = 5 cm de = 192 cm __ __ bc = 9 cm ef = ____ 320 cm 3
y gráficamente. a. ab = 4,5 cm; bc = 5,5 cm; ad = 6,5 cm b. de = 8 cm; ef = 6 cm; dg = 5 cm c. mn = 7 cm; no = 2 cm; mp = 3,5 cm d. pq = 1,5 cm; qr = 3 cm; ps = 4,5 cm
R
Q P N
S
c
d
b
a. 7,94 cm b. 3,75 cm c. 1 cm d. 9 cm
55. Calculen el volumen de cada cono. a. Datos: h = 0,7 m
e
a
Volumen = 0,15 m3
f
g
Paralelas.
h
b. Datos: ___ ___ mn = 7,5 cm ms = 4 cm __ ___ no = 2,5 cm sr = 5 cm __ ___ op = 5 cm rq = 2 cm B
r
s
m
E
D
C
57°
b. Datos: r = 12 cm
g
q
r
57°
A n
o
Volumen = 1 174,54 cm3
p
56. Calculen el área total de las pirámides.
No paralelas.
a. Datos: Pirámide de base cuadrada. h = 10 m
52. Copien los siguientes segmentos y determinen la ubicación ___ del punto n en cada caso. ___ ___ a. n pertenece a ab y an es el doble de nb . a
^ α = 50° AT = 719,53 cm2
b ___
h
___
b. n pertenece a pq de modo que pn sea las ___ dos quintas partes de nq .
α
p
q
Solución a cargo del alumno.
53. Obtengan el tercero proporcional, analítica y gráficamente. a. ab = 3 cm; bc = 5 cm 8,3 cm b. pq = 4,5 cm; qr = 7 cm 10,8 cm mn = 3,5 cm; no = 4,5 cm 5,78 cm c. de = 8,5 cm; ef = 6 4,24 cm d.
b. Datos: Pirámide de base hexagonal (regular). Apotema de la base = 5 cm h = 12 cm ^ ε = 35° ^ δ = 60°
AT = 311,76 cm2
h
ε
δ 139
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57. Calculen los elementos que faltan en cada
60. Calculen la altura, el área y el perímetro
triángulo rectángulo. ___ ^ a. abc recto en b ; ab = 3,5 cm; ^ c = 35°. ___ ^ ^ b. pqr recto en q ; sen p = 0,5; pq = 5 cm. ___ c. mno recto en ^ o ; tg m ^ = 1; mo = 2,5 cm.
de cada trapecio. Luego, calculen la medida de los ángulos interiores de cada figura. a. abcd trapecio isósceles e y f puntos medios.
Solución a cargo del alumno.
d
58. Completen las tablas.
Cat. op.: cateto opuesto; Cat. ady.: cateto adyacente; Hip.: hipotenusa.
e
10 cm
c
3,5 cm
a.
61°
^ α
Cat. op.
Hip.
sen ^ α
30°
12 cm
24 cm
0,5
45°
6,36 m
9m
37° 13’ 2’’
7,5 dm
12,4 dm
78° 31’ 18’’
25 dam
25,5 dam
a
f
√___ 2
2
0,605
0,98
b. Trapecio isósceles. 2 . no m
p
f
b. ^ β
Cat. ady.
Hip.
cos ^ β
60°
6m
1,2 dam
0,5
24° 13’
13,68 km
150 hm
0,912
57°
20 cm
36,76 cm
0,544
10° 15’ 47’’
14,76 mm
1,5 cm
0,984
c. sen ^ ε
cos ^ ε
Tg ^ ε
^ ε
0,83
0,54
1,53
57°
0,5
0,86
0,577
30°
0,42
0,9
0,466
25°
0,98
0,17
5,67
80°
59. Calculen la altura de los siguientes triángulos. a. h = 4,33 cm
f
5 cm
5 cm 60°
g
e
h
b. h = 7,63 cm
k
i
9c m
122°
l
j
b
14 cm
__
13 cm
123° n
10 cm
o
Solución a cargo del alumno.
61. Resuelvan. a. Una escalera de 3,5 m está apoyada sobre una pared. Si la base esta a 2 m de la pared, ¿cuál es el ángulo de inclinación de la escalera? ^ α = 55° 9’ b. Se desea construir una rampa con un ángulo de inclinación de 20°. Si la altura de la rampa debe ser de 0,50 m, ¿cuál será su l = 1,46 m longitud? c. ¿Cuál es la altura de una torre de tensión si proyecta una sombra de 12 m cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 59° 2’ 10” con el suelo? h = 20 m d. Dos personas A y B que miden 1,75 m de altura cada una se encuentran del mismo lado respecto a un árbol. La persona A está a una distancia x del árbol y observa el punto más alto con un ángulo de 35°. La persona B se encuentra a 10 m de A y observa el punto más alto del árbol con un ángulo de 18°. ¿Cuál es la altura del árbol? h = 7,81 m e. Julián observa el mástil de la escuela con un ángulo de elevación de 56°. Si está a 20 m de distancia y mide 1,65, ¿cuál es la altura del h = 31,3 m mástil?
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5 capítulo
Autoevaluación 62. Calculen el valor de la incógnita.
1 . __
9 . –– 9 (x – 1)2 = –– 2 2 ––– 81 + 1 x – 1 = –– 4 11 x = ––– 2
( __2 )
–1
4 + 5 x – 1 _________ ___________ __ _____ ___ = 2 _____ –2 x – 1
√
√
( )
3 1 1 – __ + – __ 2 4
63. Resuelvan. Carolina y su hermano están pintando su habitación. Desean preparar un color verde claro. Para 5 3 __ ello deben mezclar __ 8 partes de blanco con 8 partes de verde. a. Si tienen que preparar 4 litros de pintura, ¿cuántos litros de cada pintura deben agregar? 1,5 l de blanco y 2,5 l de verde.
b. Si se excedieron en la pintura blanca y colocaron 2,7 l, ¿cuántos litros de pintura verde deberán colocar para mantener el mismo tono? 4,5 l de pintura verde.
64. Calculen el valor de x y la medida de los segmentos. 15 cm 22 cm –––––––––– = –––––––––– 2x + 1 cm 4x – 2 cm
D E Datos: C
p
B A
pq = 15 cm qr = 22 cm st = 2x + 1 cm tu = 4x – 2 cm
s
q
t
r
x = 3,25 cm st = 7,5 cm tu = 11 cm
u
65. Obtengan analítica y gráficamente, en __ sus carpetas, el segmento indicado en cada caso. ___ a. Tercero proporcional de ___ ab = 7,2 cm; bc = 2,2 ___ cm. 0,672 cm __ b. Cuarto proporcional de de = 7 cm; ef = 4 cm; dg = 3 cm. 1,71 cm
66. Calculen el área y el perímetro de las siguientes figuras. a.
b.
a
15 cm
7,5 cm
e 4,5 cm h
71°
b
56°
62° c
f
Área (abc) = 114,62 cm2
Área (efgh) = 48,7 cm2
Perímetro (abc) = 49,24 cm
Perímetro (efgh) = 28,98 cm
g
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capítulo
6
Congruencia y semejanza Contenidos 39. Congruencia y semejanza. 40. Congruencia de triángulos y de polígonos. 41. Semejanza de triángulos. 42. Construcción de figuras a escala.
Plano B
Plano A
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. Alguno de los siguientes textos tienen datos incorrectos. Léanlos atentamente y escríbanlos como corresponde, teniendo en cuenta que en el plano A, 1 cm representa 1 m en la realidad, y en el plano B, 1 cm representa 50 cm. a. El plano A y el plano B tienen la misma forma, pero distinto tamaño. b. En el plano A, una longitud de 3 m en la realidad se representa con un segmento de 6 cm. c. En el plano B, una longitud de 5 m en la realidad se representa con un segmento de 10 cm. d. El largo y el ancho del plano B son el triple del largo y el ancho del plano A, respectivamente. 142
Las oraciones incorrectas son b. y d. Los textos correctos son: b. En el plano A, una longitud de 3 m en la realidad se representa con un segmento de 3 cm. d. El largo y el ancho del plano B son el doble del largo y el ancho del plano A, respectivamente.
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Congruencia y semejanza
infoactiva Dos polígonos son congruentes cuando al superponerlos coinciden en todos sus puntos. Los polígonos congruentes tienen todos sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. m
u
l j
t r
k
s
jk = rs kl = st lm = tu mj = ur ^ ^ ^ j = ^ r k = ^ s l = ^t m ^ = ^ u
jklm = rstu
Dos polígonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos, congruentes. d
c
g h abcd ∼ efgh ^ ^ ^ ^ ^ a = ^ c = ^ h e b = f ^ g d = e
a b
f
da bc = ___ cd ___ ab = ___ = ___ ef fg gh he
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que dos polígonos son congruentes cuando tienen todos sus lados congruentes? b. Las diagonales de un paralelogramo lo dividen en cuatro triángulos, ¿cómo son esos triángulos? c. ¿Es cierto que si dos polígonos son semejantes entre sí, tienen cualquier par de lados proporcionales? d. ¿Cómo son entre sí todos los pentágonos regulares? a. Sí. b. Son dos triángulos congruentes entre sí y los otros dos congruentes, entre sí. c. No, en este caso se corresponden los lados opuestos a los ángulos iguales. d. Son semejantes.
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ACTIVIDADES Congruencia y semejanza
1. Completen con las medidas que faltan para que los siguientes polígonos sean congruentes. c Lados: 9
cm
47°
f
a
ab =
10 cm
ac =
12 cm
ef =
9 cm
^ d =
47°
^ e =
55°
st =
10 cm
10
cm
78° b Ángulos:
d
12 cm
e
^ b =
78°
^ c =
55°
no =
12 cm
2. Calculen la medida de los lados desconocidos. mon ∼ stu o cm
m
15 cm
n
u
8 cm
t
6 cm
9
s
3. Marquen con una X las figuras semejantes a la dada, teniendo en cuenta las condiciones. a.
10 cm 8 cm 114° 37° 29° a b 15 cm
37°
X
29°
30 cm
20 cm 114° 29° b 7,5 cm
16 cm
20 cm
16 cm a
c
c
c
c
b
a
4 cm
20 cm
114°
a
7,5 cm
29°
b
b. de // fg
g 4 cm f
g 2 cm f
120°
120°
11 cm
d
5,5 cm
10 cm
d
e
X
g 6 cm f
105° 5 cm
e
6 cm
6 cm f
60° d
e
18 cm
X
105°
13 cm
15 cm
16,5 cm
75° 12 cm
g
60° d
67°
a 2,48 cm b
4
cm ,26
a
123°
c
145°
m 5c
148°
3,5
b
X
7,5 cm
57° 67° 148° a ,3 cm 12,4 cm b 21
c
cm
cm
145°
57°
c
e
3,5
2,1
cm
e
123°
1,75
3 cm e
2,5 cm
d
d
d
e
12 cm
c.
12 cm
a
e
145°
d 5 cm 123° 57°
67° b
7,1
cm
c
X
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Congruencia de triángulos y de polígonos
infoactiva Criterios de congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes cuando tienen sus tres lados y sus tres ángulos respectivamente congruentes. Para demostrar que dos triángulos son congruentes no es necesario comparar todos sus lados y sus ángulos interiores. Existen criterios que permiten asegurar la congruencia teniendo en cuenta algunos de esos elementos. • Dos triángulos son congruentes cuando tienen los tres lados respectivamente congruentes. c p
• Dos triángulos son congruentes cuando tienen un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado respectivamente congruentes. p
b
a
m
• Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente congruentes. c
a
m
m
n
a
b
• Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos respectivamente congruentes.
p
b
c
n
c
n
p
a
b
m
n
Criterio de congruencia de polígonos Se puede establecer un criterio para saber cuándo dos polígonos son congruentes, cualquiera sea su cantidad de lados (n). Dos polígonos son congruentes si tienen n – 1 lados y n – 2 ángulos respectivamente congruentes.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir si se conoce la medida de dos lados? ¿Y si se conoce la medida de los tres lados? b. Si dos triángulos tienen los ángulos congruentes, ¿se puede afirmar que son congruentes? c. Si dos hexágonos regulares tienen un lado congruente, ¿cómo son esos hexágonos? a. Se pueden dibujar infinitos triángulos. Se puede dibujar un solo triángulo. b. No, deben tener por lo menos un lado congruente. c. Son congruentes.
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ACTIVIDADES Congruencia de triángulos y de polígonos
4. Unan con flechas los pares de triángulos congruentes. Expliquen las respuestas. a.
e. 3 cm
5 cm
60°
6 cm
8 cm
b.
f. 65°
3 cm
6 cm
9 cm 50°
c.
g. 8 cm 40°
80°
d.
5 cm
75° 35° 12 cm
h. 12 cm 50°
75° 70°
9 cm
5. Observen cada figura y marquen con una X los pares de triángulos que son congruentes. Expliquen las respuestas. a. c. e. l k d
s
c
p
a
b
i
j
r
X
q
X
b. h d. f. o
v
g
e f
u
w n
m
X
t
X
6. Completen las frases teniendo en cuenta los triángulos. abc : def: ghi: jkl: ___ __ ac = 5 cm de = 7cm hi = 7 cm jk = 5 cm __ _ ^ bc = 6 cm d = 40° ^ g = 40° jl = 6 cm ^ ^ ^ c = 40° ^ e = 80° i = 80° j = 40° __
a. El abc es congruente con el triángulo
jkl
por el criterio LAL
.
b. El def es congruente con el triángulo
ghi
por el criterio ALA
.
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ACTIVIDADES Congruencia de triángulos y de polígonos
7. Construyan en cada caso un triángulo congruente al dado. a.
Solución a cargo del alumno. c
b
a
b.
Solución a cargo del alumno. a
b
c
c.
Solución a cargo del alumno.
c
b
a
8. Construyan en cada caso un polígono congruente al dado. a.
Solución a cargo del alumno. d
c
b
a
b. Solución a cargo del alumno.
d
e c
a
b
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ACTIVIDADES Congruencia de triángulos y de polígonos
9. Completen con = o ≠, teniendo en cuenta el paralelogramo somp. Expliquen la respuesta e indiquen el criterio utilizado. a. som
=
smp
p
Son congruentes.
m
__ __ ___ ___ Por el criterio LAL: ^ p = ^ ; o so = mp ; om = sp
s
b. sop
o
=
pom
p
Son congruentes.
m
__ __ ___ ___ Por el criterio LAL: ^ s = m ^ ; so = mp ; om = sp
s
o
10. Indiquen el criterio de congruencia en cada caso. Expliquen la respuesta. a.
__› ^ es bisectriz de . c abc isósceles y cr
c
arc = rbc por el criterio ^ LAL; ac = bc y ^ a = b por triángulo isósceles;
a
b
r
ar = rb por ser r punto medio de ab.
b.
rstu trapecio isósceles u
t
rvu = vst por el criterio LLL; ru = ts por trapecio isósceles;
v
s
r
c.
c
ac // ed Perímetro de abc = 20 cm
e
8 cm
abc = cde por el criterio
b
^ ALA; ^ a = e por alternos internos entre paralelas;
6 cm
a
rv = vs y uv = vt por diagonal del trapecio isósceles.
d
^ ^ abc = dbe por opuestos por el vértice. ac = bc = 6 cm
d. __ __ __ st // zv su = 15 cm __ t ___ tu = 9 cm ov = 12 cm
s
o
u
stu = ovz por el criterio
v
LAL; st = 12 cm por teorema de Pitágoras; ov = st;
z
^ = ovz ust ^ por alternos internos entre paralelas.
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Semejanza de triángulos
infoactiva Dos triángulos son semejantes cuando los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos, congruentes. o
En los triángulos semejantes, los lados correspon-
c
a
dientes se oponen a ángulos congruentes. ^ c = ^ o , entonces ab se corresponde con mn. ^ a = m ^ , bc se corresponde con no. ^ ^ b = n , ca se corresponde con om.
m b
n
^ ab ca bc ___ ^ a = m ^ ; b = ^ n ^ ; c = ^ o = ___ = ___
abc ∼ mno
mn
no
om
La constante que se obtiene al dividir las medidas de los lados correspondientes se denomina razón de semejanza. Criterios de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales (LLL).
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes (AA). c
c
M s
M // N
g
N
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente (LAL). e
e a r
b ___ __ __ ac ab __ bc ___ __ __ = ___ = ___ rs ar as
abc ∼ ars
a
f
d c
b
^ a = ^ e
β
abc ∼ efg
A // B
α
a __ __ = ___ __ ec cd ___ __ ca cb
^ c = ^ g
A
b
B
^ ^ α = β
abc ∼ cde
test de comprensión 1. de comprensión test
Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales? b. Un triángulo isósceles, ¿puede ser semejante a un triángulo rectángulo? c. ¿Es cierto que se pueden construir triángulos equiláteros que no sean semejantes? d. ¿Cuántos ángulos congruentes (como mínimo) tienen que tener dos triángulos para que sean semejantes? a. No es suficiente. b. Solo si es un triángulo rectángulo isósceles. c. No, porque todos los ángulos de los triángulos equiláteros son iguales. d. Dos.
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ACTIVIDADES Semejanza de triángulos
11. Escriban los ángulos y los lados correspondientes de los siguientes triángulos semejantes. ^ a. b y f c
^ d
^ b. c y 80°
^ e
__
__ ef
__
___
___ ab y
__ df
40° e c. ac y d
d. bc y a
80°
40°
e.
b
de
12. Unan con flechas los pares de triángulos semejantes. Expliquen la elección que hicieron en cada caso. a. 9 cm
b.
c. d.
7 cm 75°
6 cm
9 cm
36°
e.
48°
f.
18,3 cm
g. 3 cm
3,5 cm
h. 3 cm
4,2 cm
72°
4,5 cm
12,6 cm
6,1 cm
75°
57°
13. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda, teniendo en cuenta los datos de los abc y def de cada caso. Expliquen las respuestas e indiquen el criterio utilizado. a. c. ^ ^ a = 75° d = 69° ab = 9 cm de = 3 cm ^ c = 36° ^ e = 36° bc = 12 cm ef = 4 cm ca = 5 cm fd = 15 cm
abc ∼ def
V abc ∼ def
F
b. d. ab = 15 cm de = 5 cm ac = 2,5 cm df = 7,5 cm ac = 18 cm fd = 6 cm bc = 6 cm ef = 18 cm ^ ^ ^ a = 50° d = 50° ^ c = 68° c’ = 68°
abc ∼ def
V abc ∼ def
F
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ACTIVIDADES Semejanza de triángulos
14. Indiquen en cada caso si los triángulos son semejantes. Expliquen las respuestas. a.
e. 9 cm
7,5 cm 2 cm
6 cm 3 cm
5,5 cm
6 cm
4,5 cm
Criterio LAL. 9 6 ___ = __ 4,5 3
2,5 cm
5 cm
No son semejantes.
b.
f.
40°
8 cm 12 cm 6 cm
60° 9 cm
No son semejantes.
Criterio LLL. __ __ 8 = 4___ √5 ___ 12 = __ 9 6 3√5
___
c.
___
g. ab // de b d c
50°
45°
a
No son semejantes.
Criterio AA. a^ c b = e^ c d por op. por el vértice.
^ ^ a = d por alternos internos entre paralelas.
d. ca // fe; de // ag c
a
e
h.
d
e
8 cm
9 cm 4 cm
g
f
Criterio AA. ^ ^ ^ ^ g = d y c = f por alternos internos entre paralelas.
4,5 cm
2,5 cm
6 cm
No son semejantes.
mente activa a. ¿El rectángulo abcd es semejante al rectángulo apqs? b. Los perímetros de los rectángulos, ¿son proporcionales? ¿Y las áreas? sa = __32 . da ab = __23 . ap
d
c
s
q
a
p
b
a. Sí, porque sus ángulos son iguales y los lados son proporcionales. b. Sí. No.
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ACTIVIDADES Semejanza de triángulos
15. Calculen el valor de x e y, sabiendo que los triángulos son semejantes. ___ ___ a.
c. ab // de
e
c
b d
f
d
a
ab = 4 cm bc = 8 cm ac = x + 1 cm
c
a de = 6 cm cd = 4 cm ef = 9 cm ce = x – 2 cm df = y – 2 cm de = y + 3 cm
4 cm 8 cm ; y = 5 = _____ ________ y – 2 cm 6 cm 8 cm + 1 cm x________ ; x = 11 = _____ 9 cm 6 cm
4 cm _____ = 9 cm 4 cm _____ = 9 cm 4 cm _____ = 9 cm
___ ___ ac // de c
b.
e
b
ac = 9 cm cb = x + 5,5 cm ab = 2x + 2 cm
x – 2 cm __________ ; x = 8 x + 5,5 cm y + 3 cm _________ 2x + 2 cm y + 3 cm ________ ;y=5 18 cm
d. ab // cd bc // de a
c
e
e b b a
ac = x + 2 cm bc = 10 cm ab = x + 1 cm
d
de = 7 cm ac = 7 cm bd = 3y – 1 cm bc = 4,5 cm be = 5,6 cm ab = 3y – 4 cm
+ 2 cm + 1 cm x________ ;x=3 = x________ 7 cm 5,6 cm 10 cm + 2 cm x________ = _________ 7 cm 3y – 1 cm 5 cm 10 cm _____ ; y = 5 = _________ 7 cm 3y – 1 cm
d
ce = 2x + 4 cm ed = 1,2x + 3 cm cd = 2x
4,5 cm 7 cm = __________ ; x = 5 _________ 1,2x + 3 cm 2x + 4 cm 3y – 4 cm 7 cm _________ = _________ 2x 2x + 4 cm 3y – 4 cm 7 cm ______ = _________ = y = 3 cm 10 cm 14 cm
16. Dibujen en cada caso una figura semejante a la dada, teniendo en cuenta la condición. a. La razón de semejanza entre los lados de las figuras es 3. a
b. La razón de semejanza entre los radios de las circunferencias es __21 .
d
3 cm
3 cm b
5 cm
c
Solución gráfica.
Solución gráfica.
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Construcción de figuras a escala
infoactiva Los planos y los mapas son representaciones de un espacio. Los elementos que se observan fueron reducidos una cantidad de veces para poder ser representados. Se denomina escala (E) a la relación que existe entre la medida representada y la medida real.
Esta relación es una función de proporcionalidad directa, ya que a mayor medida real, mayor será la medida representada. escala
E=l:L
medida real medida representada
Por ejemplo, si un plano fue realizado a E = 1 : 200, significa que 1 cm en el plano representa 200 cm en la realidad. Las dos medidas se indican en la misma unidad (centímetros).
Un mapa fue realizado con E = 1 : 134 000. ¿Cuántos kilómetros reales representa una distancia de 3 cm?
cm . 134 000 cm ________________ x = 3 1 cm x = 402 000 cm
Representan 402 000 cm, es decir, 4,02 km.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Una imagen que se amplía a escala, ¿conserva su forma? b. ¿Qué significa E = 2 : 1 000? c. Un triángulo y otro dibujado a escala, ¿son semejantes? d. Si se tiene una figura y se dibuja otra duplicando los lados, ¿cómo son los ángulos correspondientes en cada figura? a. Sí. b. Significa que 2 cm en el dibujo representan 1 000 cm en la realidad. c. Sí, los lados son proporcionales y los ángulos congruentes. d. Son congruentes.
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ACTIVIDADES Construcción de figuras a escala
17. Construyan figuras semejantes a las dadas, teniendo en cuenta la escala indicada. a. E = 1 : 2 Solución gráfica a cargo del alumno.
b. E = 1 : 0,5 Solución gráfica a cargo del alumno.
c. E = 1 : __23 Solución gráfica a cargo del alumno.
18. Indiquen si las construcciones son semejantes. En caso de serlo, indiquen la escala utilizada. a.
b.
4 cm
1 cm 2 cm 2 cm 1 cm
1 cm
3 cm
6 cm
1,5 cm
3 cm
No son semejantes. La razón de semejanza
entre los lados correspondientes no coincide.
Sí, La escala utilizada es E = 1 : 1,5
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6 capítulo
Integración 19. Marquen con una congruentes al dado. a.
6
cm
X los triángulos que son
7
110°
cm
110°
6
39.40.41.42
20. Construyan en cada caso una figura congruente a la dada. a.
cm 30°
7
Contenidos
b.
cm
X 40°
Solución gráfica a cargo del alumno.
21. Indiquen si los siguientes triángulos son
7
cm
110°
6
cm
30°
cm 110° 6
congruentes. Expliquen las respuestas e indiquen el criterio utilizado. a. ___› abd y adc ad es bisectriz de bc. c
Sí. LAL
d
40°
a
b.
b
b. abc y ced ab // ed Sí. ALA
d b
c
e
5 cm a
50°
c. mqd y nbp abcd paralelogramo m, n, p, q puntos medios. Sí. LLL
a
___
n
b
m
cm √50
X 45°
p
d
q
c
d. abe y dbc Sí. ALA
a
e 20°
d 50°
c
130°
___ cm √50 b 155 Nombre:
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Curso:
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22. Calculen la medida de los lados que faltan para que los triángulos sean semejantes. ___ a. de = 6 cm b 96°
8 cm
c
f 9 cm
m 12 c
a
b. gi = 3,5 cm;
_ lj =
21 cm
a l
16,5 cm
62°
5,5 cm
45°
73° 62° 7 cm
k
b
b. efgh paralelogramo. La razón entre los lados es __23 . h
g
10,5 cm j
h
23. Calculen el valor de x e y, teniendo en cuenta que los triángulos son semejantes. a. d
x = 1 cm; y = 8,32 cm 17,47x + 1,5 cm
a
c
e
i
g
d
42°
d __
25. Construyan figuras semejantes a las dadas, teniendo en cuenta la condición indicada. a. abcd trapecio isósceles. La razón entre los lados es __41 .
α
β 6 cm
y – 2 cm
e
f
Solución gráfica a cargo del alumno.
26. Construyan figuras semejantes a las dadas teniendo en cuenta la escala indicada. c a. E = 1 : 3
c
b 15x + 3 cm
3x – 1 cm
b. mq // np b
q
15
–
b. E = 1 : __45
2 y + 3 — 2
cm
x +
d
5 0, cm
4 cm
p
1,5
m
a
3x
cm
x = 1,5 cm y = 4,25 cm
n
8 cm
e
c
a
b
o
24. Calculen la razón de semejanza entre los triángulos. abc y def son semejantes. b
9 cm
6 cm c
a
r = 2 cm
c. E = 1 : __23
f 3 cm
d
4,5 cm e
Solución gráfica a cargo del alumno.
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6 capítulo
Autoevaluación
27. Tengan en cuenta los criterios de congruencia de triángulos y demuestren que aed = fbc .
isósceles. _abcd __› _trapecio _› c d de y cf bisectrices. ^ ___ __ Criterio ALA; ^ a = y ad b = cd por propiedades
a
e
del trapecio isósceles.
b
f
___ __ ^ ad e = f^ b c por ser de y cf bisectrices de ángu
bz
bz
los iguales.
28. Indiquen si los siguientes triángulos son semejantes. Expliquen sus respuestas. abc
ghi
ab = 14 cm
gh = 7 cm
bc = 12 cm
hi = 4 cm
No, porque no se cumple LAL; ___
__
gh ^ ^ hi __ h = b pero ___ ___ no es igual que ___ . ab bc
^ ^ b = 78° h = 78°
29. Calculen la razón de semejanza entre los siguientes rectángulos y los lados que faltan. Perímetro de abcd = 42 cm
__
15 cm
d
d’
c’
a’
b’
2,2 cm a
b
__
____
2 . 15 + 2 . bc = 42; bc = 6 cm; d'c' = 5,5 cm 30 6 cm = ___ cm r = ______ 11 2,2 cm
c
encuentren el valor de x e y. 30. Teniendo en cuenta que los triángulos son semejantes, __ __ __
__
___
rs // vu rs = 3x – 2 cm st = 2x – 2,4 cm tu = 4,5 cm __ __ ___ rt = 8 cm uv = x + 3 cm vt = y + 4 cm s
t
u
3x – 2 cm 8 cm = ______ ; x = 6 cm _________ x+3 4,5 cm 2________________ . 6 cm – 2,4 cm 8 cm = ______ ; y = 1,4 cm y+4 4,5 cm
v r
31. Construyan una figura semejante a la dada con E = 1 : 2,5. Solución gráfica a cargo del alumno.
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capítulo
7
Movimientos en el plano Contenidos Traslación. Rotación. Simetría central. Simetría axial. Eje de simetría de figuras planas. 48. Composición de movimientos. 49. Homotecia. 43. 44. 45. 46. 47.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. La señora se quedó observando uno de los murales por las siguientes razones. • Las figuras del mismo color son congruentes. • Cada figura es simétrica respecto de otra. • Si alguna figura gira 90° con respecto a algún punto, coincide con otra del mismo color. ¿Qué mural eligió la señora? b. Modifiquen las explicaciones para que se refieran al otro mural. c. Comparen las respuestas con las de sus compañeros. 158
a. Eligió el cuadro de abajo. b. Todas las figuras son congruentes. Cada figura es simétrica respecto de otra. Si alguna de sus figuras gira 180° con respecto a algún centro, coincide con otra de distinto color.
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Traslación
infoactiva Magnitudes vectoriales Las magnitudes vectoriales quedan determinadas por una dirección, sentido y módulo que se puede representar gráficamente por medio de un vector. Por ejemplo, la velocidad con que se mueve un móvil es una magnitud vectorial. Un vector es un segmento orientado con un origen y un extremo, que tiene una dirección, un sentido y un módulo determinados. Características de los vectores: • Dirección: está dada por la posición de la recta que lo contiene. Por ejemplo, dos vectores que están contenidos en rectas paralelas tienen la misma dirección. • Sentido: está indicado por la flecha. • Módulo: es la longitud del vector.
a
origen
R
b
__ v ›
extremo
__ ___› v = ab ›
Dos o más vectores son equipolentes si tienen la misma dirección, sentido y módulo. El vector nulo es aquel en el cual coincide el extremo con el origen. Dos vectores son opuestos cuando tienen la misma dirección, el mismo módulo, pero distinto sentido.
Traslación Una traslación es un movimiento que se realiza a partir de un vector en una dirección, sentido y módulo determinados. El vector que se toma como referencia para realizar una traslación se denomina vector traslación. _ __› __› __› Trasladar el punto p según un vector v significa encontrar un punto p’ tal que pp’ = v . Para realizar la traslación pueden seguir estos pasos. 1. Se traza una semirrecta con origen en p que tenga la p’ misma dirección y sentido que el vector. p __› 2. Con centro en p y abertura igual a la longitud del vector se v traza un arco que corte a la semirrecta en p’. T_v _ (p) = p’
test
›
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si dos automóviles se desplazan por una misma calle con sentidos opuestos, ¿se puede decir que se mueven en la misma dirección? b. Dos vectores que tienen módulo 2 y están incluidos en rectas paralelas, ¿son equipolentes? c. Cuando se hace la traslación de una figura, ¿se modifica su forma? ¿Y sus medidas? d. Si sobre una recta se determinan dos vectores con el mismo origen, ¿cómo son esos vectores? a. Sí. b. No, depende de su sentido. c. No. No. d. Pueden tener el mismo sentido o no. 159 Nombre:
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ACTIVIDADES Traslación __ f
1. Tengan en cuenta los vectores y completen las siguientes frases.
›
__› __› a. Los vectores a y b son equipolentes. __› __› b. Los vectores e y g tienen la misma dirección y sentido. __› c. El vector f es el vector nulo. __› __› d. Los vectores d y e tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos. __› __› e. El vector c tiene un módulo igual a la mitad del módulo del vector d . __› __› f. Los vectores a y b tienen el mismo módulo.
__ a ›
__› g
__› e
__ b ›
__› c
__› d
2. Dibujen el vector traslación que se le aplicó a la figura azul en cada caso. a.
b. c. ––> m –v>
–s>
3. Realicen las siguientes traslaciones. a.
b.
h
j
i d
g
i
l
j c
e
a
k
k
f k
g
__ a
›
g h
h
b
i
__ p ›
j
__
›
4. Representen los puntos, determinen el cuadrilátero y realicen una traslación respecto del m . a = (–3;0)
b = (2;0)
c = (0,5;2)
d = (–1,5;2)
y 4
_ _› m
j
3 d
2 1
a
i
c g
b
h
–5 –4 –3 –2 –1 –10 1 2 3 4 5
x
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Rotación
infoactiva Para realizar una rotación o giro, se debe conocer el centro, el ángulo y el sentido de la misma. Por convención, se considera negativo al sentido con que se mueven las agujas del reloj (sentido horario) y positivo, al sentido contrario (sentido antihorario). y
y
R(e;^α ) α
Rotación ángulo positivo
e x
Rotación ángulo negativo R(e;–^α ) –α e x
La rotación de un punto p con respecto a un centro o y ángulo de giro ^ α es p’, si se cumple que ^ ’. op = op’ y ^ α = pop Por ejemplo, para realizar la rotación de un punto p con respecto al centro o y ^ α = 45°, pueden seguir estos pasos. 1. Se traza el segmento que tiene por extremos el punto p y el centro o. 2. Con el transportador se traza el ángulo de 45° con centro en o, teniendo en cuenta el sentido antihorario (ya que el ángulo es positivo). 3. Con centro en o y radio igual a op se traza un arco que corte al otro lado del ángulo en p’.
R(o;45°) p = p’
p’
p
α o
Para realizar la rotación de una figura, se rotan sus vértices y luego se dibuja la figura que determinan.
test de comprensión de comprensión test 1.
Respondan y expliquen las respuestas. a. Cuando se hace la rotación de una figura A, la figura resultante A’, ¿es congruente con A? b. Si se rota un cuadrado abcd con un ángulo de 45° (en sentido antihorario), ¿a qué rotación en sentido horario es equivalente? c. Si se rota un abc con un ángulo de 360°, ¿qué figura se obtiene? a. Sí, ya que es un movimiento que conserva la forma y las medidas. b. Es equivalente a una rotación de ángulo 315°. c. Se obtiene un triángulo que coincide con el anterior.
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ACTIVIDADES Rotación
5. Realicen las siguientes rotaciones. a. R(o;60°)( abc )
c. R(e;–45°)(abcd) o
a
a’
b’
d’
a d
b
c
e
c’ b
a’
c’ b’
c
b. R(o;135°)(abcd)
d. R(e;–180°)(abcd) a
d’ c’
a
b b
d a’
c’ e
d c
o b’
c
d’
b’
b’
6. Apliquen las rotaciones en el orden indicado. Luego, respondan. • R(c;60°)( abc ) = a1b1c
b3a4
b2a3
• R(c;60°)(a1b1c) = a2b2c • R(c;60°)( a2b2c ) = a3b3c • R(c;60°)( a3b3c ) = a4b4c
c
b4a5
b1a2
• R(c;60°)( a4b4c ) = a5b5c b5 a
b a1
a. Al realizar todas las rotaciones, ¿qué figura se forma? Se forma un hexágono regular.
b. Para obtener otro polígono regular aplicando rotaciones sucesivas, ¿qué tipo de triángulo se debe utilizar? ¿Qué polígono se forma? Con un triángulo isósceles y rotaciones sucesivas de 72°, se forma un pentágono regular.
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Simetría central
infoactiva El simétrico de un punto p respecto de un centro o es p’, si se verifica que o es el punto medio del segmento determinado por p y p’. Para hallar el simétrico de un punto p con respecto a un centro o, pueden seguir estos pasos. 1. Se traza la recta que pasa por los puntos p y o. 2. Con centro en o y radio igual a op, se traza un arco que interseque a la recta en el punto p’.
p’ o
S (p) = p’ o p
b’
Para encontrar el simétrico de una figura con respecto a un punto, se halla el simétrico de cada uno de sus vértices y luego se traza la figura que éstos determinan.
a’ c’
d
o
d’
c
a
S (abcd) = a’b’c’d’ b o
Una figura tiene centro de simetría si cada punto de la figura tiene su simétrico, respecto de ese centro, en la misma figura.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Con qué ángulo debe aplicarse la rotación a una figura para que sea equivalente a una simetría central? b. Si a una figura A se le aplica una simetría central y se obtiene la figura A’, ¿A y A’ son congruentes? c. Si a un cuadrado abcd se le aplica una simetría central de centro a, ¿dónde queda ubicado el punto a’? a. Ángulo de 180°. El sentido puede ser horario o antihorario. b. Sí. c. Coincide con el vértice a. 163 Nombre:
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ACTIVIDADES Simetría central
7. Encuentren el centro de simetría de las siguientes figuras. a.
b. c. d. No tiene.
8. Realicen las siguientes simetrías centrales, según la información brindada. a. So( ab ), donde o es el punto medio del segmento ab. b’
o
a’
a
b
b. Sp( cd ), donde p es un punto que pertenece al segmento cd y está ubicado a 3 cm del extremo c. p
d’

c’
c
d
9. Resuelvan. a. Representen los siguientes puntos. Determinen el abc . Hallen So( abc ). a = (–2;4) b = (–2;6) c = (–6;6) o = (0;0) b. Representen los siguientes puntos. Determinen el cuadrilátero defg. Hallen Sh(defg). d = (–5,5;2,5) e = (–4;1) f = (–2,5;2,5) g = (–4;4) h = (–4;0)
y c
b
6 5
g
a f
d
4 3 2
1 e o h –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 e’ –1 f’
d’ g’
x
–2 –3 –4
a’
–5 –6
c’
b’
c. Escriban las coordenadas de los puntos que obtuvieron al aplicar las simetrías.
( ) • Cuadrilátero d’e’f’g’: d’ = ( –5,5 ; –2,5 )
• Triángulo a’b’c’:
a’ = 2 ; –4
( ) e’ = ( –4 ; –1 )
( ) f’ = ( –2,5 ; –2,5 )
b’ = 2 ; –6 c’ = 6 ; –6
(
)
g’ = –4 ; –4
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Simetría axial
infoactiva El simétrico de un punto p respecto a un eje es p’, si se verifica que el eje es la mediatriz del segmento determinado por p y p’. Para hallar el simétrico de un punto p con respecto a un eje E, pueden seguir estos pasos. p
1. Se traza una recta M, perpendicular al eje E, que pase por el punto p y corte al eje en o. 2. Con centro en o y radio op se traza un arco que corte a M en el punto p’.
o E
p’ S (p) = p’ E Para encontrar el simétrico de una figura con respecto a un eje, se halla el simétrico de cada uno de sus vértices y luego se dibuja la figura que determinan. a a’
b
b’ c A
c’
SA(abc ) = a’b’c’
test de comprensión 1. de comprensión test
Respondan y expliquen las respuestas. a. Si a una figura A se le aplica una simetría axial y se obtiene la figura A’, ¿A y A’ son congruentes? b. El eje de simetría, ¿es una recta o un segmento? c. Si se quiere aplicar una simetría axial a un segmento en donde uno de sus extremos pertenece al eje de simetría, ¿dónde se ubica el simétrico de ese punto?
a. Sí. b. Es una recta. c. Se transforma en sí mismo. 165 Nombre:
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ACTIVIDADES Simetría axial
10. Hallen en cada caso el simétrico respecto del eje R. a.
c. c b
e’ e
d’
b’
d
d
R
R
c e c’
a a’
b’
c’ b
d’ e’
a
b.
a’
d. c
b
d
c’
d’
a R
b’
a’
a’
R
c
d b’
d’
a
c’
b
11. Encuentren el simétrico de cada figura respecto del eje x. Luego, escriban las coordenadas de las figuras que encontraron.
( ) ( ) b’ = ( –4,5 ; 0 ) d’ = ( –4,5 ; –5 )
a’ = –6 ; –3,5 c’ = –3 ; –3,5
y 6
d a
c
4
m l’
o
3 2
k’
5
h
n
g’ 1 j’ i f e i’ –7 –6 –5 –4 –3 e’–2 –1 0 10 x f’ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b’ –1 g j n’ –2 h’ m’ l –3 c’ a’ o’ –4 b
d’
–5
k
–6
( f’ = ( 0
) ( ) h’ = ( 0
) ; –2 )
( ) ( j’ = ( 6 ; 1 ) n’ = ( 7 k’ = ( 7 ; 5 ) o’ = ( 5 l’ = ( 10 ; 3 )
)
e’ = –2 ; 0 g’ = 2 ; 1 ; 0
i’ = 4 ; 0 m’ = 9,5 ; –3
) ; –3 )
; –2
12. Tengan en cuenta la actividad anterior y respondan. Luego de realizar la simetría en cada figura, ¿algún punto se transformó en sí mismo? ¿Por qué? Sí, porque estaban ubicados sobre el eje de abscisas (x).
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Eje de simetría de figuras planas
infoactiva Una figura tiene eje de simetría, si cada punto de ella tiene su simétrico en la misma figura respecto del eje.
Todos los polígonos regulares tienen ejes de simetría.
El triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría.
El cuadrado tiene 4 ejes de simetría. g
c
f
b d a
e
El pentágono regular tiene 5 ejes de simetría.
El hexágono regular tiene 6 ejes de simetría. q
l
p
k r
o
h j
i
m
n
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En un triángulo isósceles, ¿cuáles de las alturas están incluidas en un eje de simetría de la figura? b. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un círculo? c. Un rectángulo, ¿tiene ejes de simetría? a. La altura que corresponde al lado distinto. b. Tiene infinitos ejes de simetría (son las rectas que incluyen a los diámetros). c. Tiene dos ejes de simetría; son las mediatrices de los lados.
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ACTIVIDADES Eje de simetría de figuras planas
13. Tracen todos los ejes de simetría que tiene cada figura. a.
b. c. d.
14. Tengan en cuenta la actividad anterior y respondan. a. ¿Qué relación hay entre la cantidad de lados de cada figura y la cantidad de ejes de simetría que tiene? Coincide la cantidad de lados con la cantidad de ejes de simetría en cada figura.
b. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un polígono regular de 30 lados? ¿Y uno de 100 lados? 30 ejes de simetría. 100 ejes de simetría.
15. Tracen los ejes de simetría de cada hoja de árbol. a.
b. c. d. No tiene eje de simetría.
16. Tracen los ejes de simetría de las siguientes letras, cuando corresponda.
17. Tracen los ejes de simetría de las siguientes figuras geométricas. a. a
d
b. h
l c. d.
g
p k
j
b
c
e
o
m
f
n
j
mente activa Tracen los ejes de simetría de cada señal de tránsito.
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Composición de movimientos
infoactiva Aplicar una composición de movimientos a una figura significa aplicarle un movimiento, y a la figura resultante, otro movimiento. No es lo mismo aplicar primero una traslación y luego una simetría, que hacerlo en sentido inverso; por lo tanto es importante respetar el orden con el que se realizan los movimientos. Para realizar una composición de dos movimientos, primero se realiza el que está escrito a la derecha y luego, sobre la imagen obtenida, el que está a la izquierda. b
E
SE ˚ S o ( ab) = a’b’
a” a’
a
o b” b’
• La composición de dos simetrías axiales cuyos ejes se cortan en un punto o es una rotación de centro o cuyo ángulo de giro es el doble del ángulo formado por los ejes.
R b’ b
SS ˚ SR( ab ) = R( o;2^α )( ab ) = a”b”
a”
α 2^ a
S
a’
α b”
o
• La composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos es igual a una traslación. E
a
a’
E’
a”
SE’ ˚ SE ( ab ) = a’b’ SE’ ˚ SE ( ab ) = T__v ( ab )
›
b
b’
b”
v
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En So ˚ SE ¿qué movimiento se debe realizar en primer lugar? b. ¿Cómo se puede realizar una rotación mediante la composición de dos movimientos? c. ¿Cómo se puede realizar una traslación mediante una composición de dos movimientos? d. Una composición de dos giros de 90° con el mismo centro, ¿a qué movimiento es equivalente? a. SE. b. Mediante la composición de dos simetrías de ejes secantes. c. Mediante la composición de simetrías de ejes paralelos. d. A una simetría del mismo centro que el giro.
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ACTIVIDADES Composición de movimientos
18. Observen la figura y completen con el único movimiento que equivale a la composición. f e
o
h
R(o;135°)
a. R(o;45°) ˚ R(o;90°) =
g
R(o;90°)
b. R(o;180°) ˚ R(o;–90°) =
R(o;315°)
c. R(o;225°) ˚ R(o;90°) =
d
d. R(o;–45°) ˚ R(o;315°) =
R(o;270°)
e. R(o;–135°) ˚ R(o;–90°) =
R(o;–225°)
a
c
R(o;–45°)
f. R(o;135°) ˚ R(o;–180°) = b
19. Realicen las siguientes composiciones de movimientos. Escriban el único movimiento que equivale a la composición. _ _› Tpp”
a. Ss ˚ Sp(pqrs) =
_ _› Tee”
b. Sg ˚ Sd(defg) =
s’’
q’
p’’
g’’
r’’
d’’
f’’
s
r’
g
e’
p’ r
p
q’’
e’’ d’
f’
f
d
s’
e
g’
q
20. Escriban la composición de movimientos que transforma el opq en o”p”q” . q o’ p’
o’’
p o
p’’ V
T_v_› ˚ Sp( opq )
q’ q’’
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ACTIVIDADES Composición de movimientos
21. Realicen las siguientes composiciones de simetrías. Indiquen el único movimiento que es equivalente a la composición. _ _› (mno) Tnn”
a. SF ˚ SE(mno ) =
o”
o’
E // F o
m’ n”
m” n’ E
F
n
m
_ _› (pqr ) Tpp”
b. SF ˚ SE(pqr ) =
E
E // F
r”
F r
r’
q”
p” q
p p’
q’
c. SF ˚ SE(stuv) = R(o,180°)(stuv) E
E __| F
t” u”
s” v”
o
v’
v
s’
F s
u
u’ t’
t
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ACTIVIDADES Composición de movimientos
22. Realicen la composición de movimientos que transforma el trapezoide abcd en a”b”c”d”. Escríbanla en símbolos. c”
F
d” b” b’
E
c’
a” a’ a
d’
b
d
c
SF ˚ SE(abcd)
23. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas. a. R(o;90°) ˚ R(o;90°)(p) = So(p) V b. R(a;180°) ˚ T_v_› ( ab ) = Sa ˚ T_v_› ( ab ) V c. Sa ˚ Sa ˚ Sb( ab ), entonces a’’’b’’’ = ab F d. E ⊥ F, o punto de intersección de los ejes E y F, SE ˚ SF( ab ) = So( ab ). V
24. Tracen los ejes de simetría que transforman al trapezoide abcd en a’b’c’d’ y luego, en a”b”c”d”. d’’
F d’
a’’
c’’
a’ b’’ c’
E
b’
b
c
a
d
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Homotecia
infoactiva En todos los movimientos que fueron estudiados, se conserva la forma y la medida. Se llama homotecia de centro o y razón k (distinta de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto a en otro a’, de tal forma que se cumpla oa’ = |k| . oa. b’
c
c’
c
a’ c
a
2oc
a’
c’
o
a
a a’
b’
1 —oa 2
o
b
H(o;2)(abc) = a’b’c’
o
b’
b b –2oc c’
H( o; __1 ) (abc) = a’b’c’
1 “Homotecia de centro o y razón __ 2 ” 2
“Homotecia de centro o y razón 2”
• Si |k| > 1, se obtiene una ampliación de la figura. H(o;2)(abc) = a’b’c’
H(o;–2)(abc) = a’b’c’ “Homotecia de centro o y razón –2”
• Si |k| < 1, se obtiene una reducción de la figura.
H( b; __1 )(abc) = a’b’c’ 2
c’
d
c
c
o d’ b
a
a’
c’
b’
a
a’ b’
b
test de comprensión 1. de comprensión test
Respondan y expliquen las respuestas. a. En una homotecia, ¿se conserva la perpendicularidad y el paralelismo? b. En una homotecia, ¿se conserva la forma de la figura? ¿Y el tamaño? c. Si el módulo de una homotecia es menor que 1, la figura ¿se reduce o se amplía? d. ¿Es cierto que para obtener una figura ampliada, se debe aplicar una homotecia de razón positiva? a. Sí. b. La forma se conserva, pero el tamaño no. c. Se reduce su tamaño. d. No, puede ser negativa, pero su módulo debe ser mayor que 1.
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ACTIVIDADES Homotecia
25. Realicen las siguientes homotecias. a. H(o;2) ( abc )
b. H(o;–2) ( abc ) c’ a’’ c b’’ H(o;2)
o H(o;–2)
b b’ a
a’ c’’
26. Apliquen las siguientes homotecias al cuadrilátero mnpq. a. H(o;0,5) (mnpq)
b. H(o;2)(mnpq) m’’
m
H(o;2)
m’ H(o;0,5) q q’’
q’
n’
n’’
n
o p’ p
p’’
27. Tengan en cuenta la actividad anterior y respondan. a. La figura que obtuvieron luego de aplicar H(o;0,5) (mnpq), ¿qué parte representa de la figura inicial? La cuarta parte.
b. La figura que obtuvieron luego de aplicar H(o;2)(mnpq), ¿qué parte representa de la figura inicial? El cuádruple.
c. La figura que obtuvieron luego de aplicar H(o;0,5)(mnpq), ¿qué parte representa de la figura resultante, luego de aplicar H(o;2)(mnpq)? Un dieciseisava parte.
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Integración
Contenidos
43.44.45.46.47.48.49
28. Calquen _cada figura y realicen la traslación _› respecto del ac , en cada caso. a. c d
b
a c
b.
31. Realicen la construcción indicada. Luego, apliquen el movimiento correspondiente. a. Pentágono regular abcde. R(o;108°), donde o es el centro de la circunferencia en donde está inscripto el polígono. b. Hexágono regular abcdef. R(o;120°), donde o es el centro de la circunferencia en donde está inscripto el polígono. Solución gráfica.
32. Encuentren el centro y el ángulo de rotación. a. (c;d^ d’) R (abcd) c
d
b
a
c.
a
b
f
c’ a
c
d’
e d b
b’
a’
R b. (o;c^ o c’)(abcde)
c
Solución gráfica.
o
29. Resuelvan teniendo en cuenta la actividad anterior. Realicen la traslación de cada figura respecto __› del vector ca . Este movimiento, ¿es equivalente al realizado en la actividad anterior?
d’
d
e
c’ a
No, tienen sentido contrario.
c
e’
b
b’
30. Dibujen el vector traslación.
a’ c’
a.
33. Construyan un cuadrilátero abcd. Luego,
c a’ b’ a
b.
Solución gráfica.
b
g
34. Construyan la figura indicada en cada caso
f g’ f’
d
d’
apliquen a la figura las siguientes simetrías centrales. a. Sa(abcd) c. Sc(abcd) b. Sb(abcd) d. Sd(abcd)
e e’
y realicen las siguientes simetrías centrales. a. Trapecio isósceles defg. So, donde o es el punto de intersección de las diagonales. b. Romboide rstu. So, donde o es el punto medio del lado tu. c. Pentágono jklmn. So, donde o es el punto de intersección de las diagonales kn y jm. Solución gráfica. 175
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35. Encuentren el centro de simetría. a.
39. Realicen las siguientes composiciones. Indiquen el único movimiento equivalente a la composición. d
b.
c
a
b
a. S ad ˚ S ab(abcd) = R(a,180°)(abcd) __› ( abcd) b. S cd ˚ S ab(abcd) = T2ad
36. Construyan un trapecio isósceles opqr y aplíquenle a la figura las siguientes simetrías axiales. a. Respecto a la recta que incluye a pq. b. Respecto a la recta que incluye a qr. c. Respecto a la recta que incluye a or. Solución gráfica.
37. Tracen los ejes de simetría en cada figura. a.
40. Dibujen un triángulo obtusángulo mno siendo m el ángulo obtuso y marquen la altura (h), correspondiente a la base mn. Luego realicen las siguientes simetrías. S , siendo al punto de intersección de a. Smn ˚ Sh laa altura y la prolongación de la base. b. Sh ˚ Smn Sa, siendo al punto de intersección de la altura y la prolongación de la base. c. ¿Cuál es el único movimiento que equivale a cada composición? 41. Calquen las siguientes figuras en sus carpetas. Luego, apliquen a cada figura las homotecias indicadas. FIGURA A FIGURA C a
b
a
b. No tiene ejes de simetría. e
b
c. c
d
FIGURA B
c
FIGURA D
d a
38. Representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos y determinen la figura que se forma. Luego, realicen el movimiento indicado. a. a = (–3;2), b = (–2;0), c = (0;0), d = (–0,5;2); So(abcd), con o = (1;1). b. g = (1,5;0), h = (3;2,25), i = (2;4); SY(ghi), siendo Y el eje de ordenadas. c. Ttu _ _ [C(a;2 cm)] siendo a = (–1;–1) y t = (2;1,5) y u = (3;3). d. p = (–1;0,5), q = (0;–1), r = (0,5;2); R(s;–70°), con s = (0;1). ›
a c
e b b
c
d
a. H(a;–0,5) b. H(a;0,5) c. H(a;2) d. H(a;–2) Solución gráfica.
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7 capítulo
Autoevaluación
42. Realicen las siguientes composiciones de movimientos. Escriban, en cada caso, el único movimiento equivalente. a. R(c;–120°) ˚ R(c;60°)(abc ) =
R(b;–60°) (abc )
T_hj_› (hijk)
c. Thi__› ˚ T_ij_› ( hijk) = k’
j’ k’’
j’’
i’ h’’ j
i’’
c
c’
a”
a
c”
h’ k
60° b’ b b”
a’
h
i
b. H(o;1) ˚ H(o;–1)(defg) =
So(defg)
_ _› (lmn) Tnn”
d. SF ˚ SE(lmn) =
E
n”
F
e’
g
d’
f o d
n’
l”
m”
n
f’
e
l’
g’
m’ l
m
43. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas. a. Si a un pentágono regular se le aplican cinco rotaciones sucesivas con centro o y ángulo 72°, siendo o el centro del polígono, se obtiene el mismo pentágono. b. Un hexágono tiene 6 ejes de simetría.
V
V
c. Una homotecia de centro o y razón –1 es equivalente a una simetría de centro o. d. Una simetría central es equivalente a una rotación de 90°.
V
F
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capítulo
8
Estadística Contenidos 50. Organización de la información. 51. Frecuencias. 52. Intervalos. 53. Gráficos. 54. Medidas de posición. 55. Media y moda en intervalos.
La máquina
Los camboyanos
✔
✔
x
✔
✔
x
x
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. La máquina y Los camboyanos empataron el partido y están definiendo el ganador con una serie de 5 penales cada uno. Si continúan igualados, realizarán series de un penal cada uno. En una pizarra van anotando si cada penal es convertido (✔) o no (X). a. ¿Qué equipo tiene ventaja en la definición por penales? b. ¿Qué tiene que ocurrir para que un equipo se asegure el triunfo antes de que se pateen todos los penales de la serie de 5 penales? c. Comparen las respuestas con las de sus compañeros. 178
a. Los camboyanos, porque tienen la misma cantidad de penales convertidos que La máquina, pero patearon un penal menos. b. Si el equipo Los camboyanos convierte el 4.° penal y el de La máquina no convierte el 5.°, ganan Los camboyanos sin necesidad de patear su 5.° penal.
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Organización de la información
infoactiva La Estadística se ocupa de la recolección, organización y análisis de datos para obtener determinada información. Los datos se recolectan, en algunos casos, a través de encuestas y se los puede organizar a través de tablas y gráficos.
En la siguiente tabla se puede ver el gusto de helado preferido de 25 alumnos de la escuela. Gusto preferido
Cantidad
Frutilla
5
Chocolate
9
Dulce de leche
7
Limón
4
frutilla 20%
limón 16%
chocolate 36%
dulce de leche 28%
Se denomina población al conjunto de individuos o elementos que se pretende estudiar estadísticamente mediante una encuesta, un censo o una investigación. Cuando no se puede estudiar toda la población, se selecciona una parte de ella que sea representativa. A esa parte se la denomina muestra. En los siguientes ejemplos pueden observar las diferencias entre población y muestra. • Cada cierto intervalo de tiempo, las fábricas toman muestras de los productos que elaboran para certificar el cumplimiento de los niveles de calidad. • Para investigar cómo puede resultar un nuevo gusto de jugo concentrado, se toma una muestra de 50 personas para saber su opinión. Se denomina variable a cada tema sobre el cual se estudia una población o muestra. Cualitativas Variables Cuantitativas
Se miden a partir de datos no numéricos. Por ejemplo: lugar elegido por un grupo de personas para ir de vacaciones. Discretas: Se miden a partir de datos numéricos representados por números enteros. Por ejemplo: cantidad de visitas al médico durante los últimos cinco años. Continuas: Se miden a partir de datos numéricos representados por números en un cierto intervalo real. Por ejemplo: altura de los jugadores de la Liga Nacional de Básquet.
test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Qué diferencia hay entre una población y una muestra? b. Si se realiza una encuesta para registrar el color de ojos de un grupo de alumnos de una escuela, ¿cuál es la variable de estudio? ¿De qué tipo es? c. Para saber el equipo de fútbol preferido en la ciudad de Buenos Aires, se encuesta al azar a 200 personas del barrio porteño de la Boca. La muestra, ¿se puede considerar representativa? a. La muestra es una parte de un conjunto más amplio (población). b. La variable es el color de ojos. La variable es cualitativa. c. No, ya que habrá una tendencia a que sean simpatizantes de Boca Juniors.
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ACTIVIDADES Organización de la información
1. Escriban la población, la muestra y la variable en cada caso. a. Se realizó una encuesta entre 345 estudiantes universitarios para averiguar quién sale a correr en el tiempo libre.
c. Una empresa de telefonía realizó un estudio de mercado para averiguar la cantidad de tiempo que hablan 12 453 de sus abonados.
estudiantes universitarios. Población:
Población: abonados de una empresa.
Muestra:
345 estudiantes.
Muestra: 12 453 abonados.
Variable:
correr en el tiempo libre.
Variable: tiempo que hablan.
b. Una fábrica de bicicletas realizó una encuesta entre 547 alumnos de preescolar para saber cuántos chicos andan en bicicleta sin rueditas.
d. Una empresa de turismo realizó una encuesta a 100 familias para saber cuál es el destino elegido para viajar en las próximas vacaciones.
Población:
Población:
alumnos de preescolar.
familias.
Muestra:
547 alumnos.
Muestra: 100 familias.
Variable:
bicicletas sin rueditas.
Variable: destino elegido para viajar.
2. Escriban el enunciado de una situación usando la información dada. a. • Población: maratonistas del Gran Buenos Aires. • 300 maratonistas. • Variable: tiempo que tardan en realizar medio maratón.
Se realizó una encuesta a 300 maratonistas del Gran Buenos Aires para saber cuánto tiempo tardan en realizar medio maratón.
b. • Población: casas de familia de la provincia de Santa Fe. • Muestra: 13 567 hogares. • Variable: cantidad de mascotas.
Se realizó una encuesta en 13 567 hogares de familias de la provincia de Santa Fe para saber la cantidad de mascotas que poseen.
3. Clasifiquen las variables en cualitativas o cuantitativas. En los casos que sean cuantitativas, indiquen si son discretas o continuas. a. Tipo de música que pasan por una radio de AM. b. Color preferido por un grupo de chicas.
Cualitativa.
Cualitativa.
c. Cantidad de personas que usan la bicicleta como medio de transporte. Cuantitativa discreta. d. Cantidad de veces que se le cambia el pañal a un niño por día. e. Cantidad de papel que se recicla por mes en una empresa. f. Estatura de un grupo de empleados de una empresa.
Cuantitativa discreta.
Cuantitativa continua.
Cuantitativa continua.
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Frecuencias
infoactiva Se denomina frecuencia absoluta ( f ) al número de veces que se repite cada valor de la variable. Se denomina frecuencia relativa ( fr ) al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de elementos que forman la muestra. La frecuencia acumulada ( F ) se obtiene sumando a la frecuencia absoluta que corresponde a un valor de la variable, las frecuencias absolutas anteriores.
En un campeonato intercolegial participaron alumnos en distintos deportes. Deporte
f (cantidad de participantes)
fr (frecuencia relativa)
F (frecuencia acumulada)
Fútbol
89
0,44
89
Básquet
45
0,23
134
Vóleibol
65
0,33
199
Totales
199
1
Los números índice se utilizan para medir y comparar los cambios de una variable en el tiempo. Es común observarlos en situaciones donde se quiere mostrar la variación de precios, cantidades y ventas de productos.
Ventas mundiales de dispositivos smartphones (en millones de unidades). 2011
2012
491,4
686
Número índice (12/11) (Base 2011 = 100)
686 _____ 491,4 = 1,396
Variación % +39,6%
El número índice 12/11 indica la variación en las unidades vendidas en el 2012 considerando las ventas del 2011 como base.
Fuente: IHS iSUPPLI IDC
Para calcular el porcentaje de variación, se multiplica por 100 el número índice. Si el resultado obtenido es mayor que 100, la variación es positiva y si es menor, la variación es negativa.
1,396 . 100 = 139,6
139,6 – 100 = +39,6
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuál es la diferencia que existe entre la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa? b. Si se suman todas las frecuencias relativas, ¿qué valor se obtiene? c. ¿Puede suceder que al sumar todas las frecuencias relativas se obtenga 0,98? d. Si un número índice es igual a 0,98, ¿qué significado tiene? a. La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite cada valor y la frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el total de elementos de la muestra. b. El resultado es 1. c. Sí, porque al aproximar las frecuencias se omitieron valores. d. Que se produjo una variación negativa del 2%. Nombre:
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ACTIVIDADES Frecuencias
4. Lean cada situación y completen la tabla. a. Los alumnos de un curso emitieron los votos para elegir al delegado estudiantil. Los postulantes eran Andrés (A), Bárbara (B), Carla (C) y Darío (D). El resultado de la votación fue: A, A, B, C, D, A, C, C, C, D, D, C, D, A, B, C, A, B, D, A, C, D, B, A, C, A, C, A, B, C
Postulante
f
fr
F
A
9
0,3
9
B
5
0,17
14
C
10
0,33
24
D
6
0,2
30
b. Los alumnos de tercer año hicieron una votación para elegir la materia preferida de los días viernes: Geografía (G), Historia (H), Lengua (L) y Matemática (M). El resultado de la votación fue el siguiente. M, M, H, G, H, M, M, M, L, L, H, G, M, G, G, L, G, M, L, G, L, L, G, L, M, L, L, M, M, L, L, G, G, H, H, H
Materia
f
fr
F
Matemática
10
0,28
10
Historia
6
0,17
16
Lengua
11
0,3
27
Geografía
9
0,25
36
5. Resuelvan. El siguiente cuadro muestra las ventas realizadas por una fábrica de muñecas. a. Completen la tabla. Modelo de muñeca
2010
2011
2012
Número índice 12/10
Porcentaje de variación 12/10
Jenny
23 578
27 459
39 578
1,6786
+67,86%
Lupe
19 458
17 834
15 849
0,8145
–18,55%
Cindy
32 948
30 823
29 847
0,9059
–9,41%
b. ¿Cuál es la variación de ventas (en porcentaje) del modelo Jenny del año 2011 respecto del 2010? Aumentó 16,46%.
c. ¿Cuál es el porcentaje de variación del modelo Cindy del año 2011 con respecto al año 2010? Disminuyó 6,45%.
6. Resuelvan. La siguiente tabla muestra la cantidad de autos clase T 0 km vendidos en los últimos años por una importante cadena de agencias de autos. Modelo
2009
2010
2011
2012
Clase T
12 356
15 005
14 959
17 345
a. Completen la tabla. Número índice 12/09
Número índice 12/10
Número índice 12/11
1,4038
1,1559
1,1595
b. ¿Cuál es la variación (en porcentaje) de la venta de autos 0 km del año 2012 respecto a 2009? Aumentó 40,38%.
c. ¿Cuál es la variación (en porcentaje) de la venta de autos 0 km del año 2010 respecto a 2009? Aumentó 21,44%.
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Intervalos
infoactiva En algunas situaciones, los datos de una estadística conviene agruparlos en intervalos de clase.
En una empresa se tomó una muestra de 28 empleados para saber cuánto tiempo tardaban en llegar desde la casa al trabajo. Las respuestas fueron (en minutos) las siguientes. 25 70 30 20 50 50 90 20 60 120 130 140 80 130 50 140 120 30 60 15 30 100 120 100 50 80 80 10 Los datos se pueden organizar en intervalos de clase, por ejemplo, de amplitud 50.
[50;100) Incluye al 50.
No incluye al 100.
En este intervalo se incluyen las duraciones de viaje mayores o iguales que 50 minutos y menores que 100. La amplitud del intervalo es 50, porque 100 – 50 = 50. El punto medio de cada intervalo se denomina marca de clase (se escribe xn ). + 100 ________ Para obtener la marca de clase de [50;100) se hace 50 = 75. 2
x: tiempo de viaje
f
xn: marca de clase
fr
F
[0;50)
8
0 + 50 ______ = 25 2
8 = 0,43 ___ 28
8
[50;100)
11
50 + 100 ________ = 75 2
11 ___ 28 = 0,32
19
[100;150)
9
100 + 150 _________ = 125 2
9 ___ 28 = 0,25
28
test de comprensión a. La amplitud de los intervalos de clase, ¿siempre debe ser la misma? b. Si en una tabla todos los intervalos tienen la misma amplitud y uno de ellos es [12,5;15), ¿cuál es la amplitud de los intervalos? c. ¿Cuál es la marca de clase del intervalo [10;40)? a. No, pero en general conviene hacerlos todos del mismo tamaño. b. 2,5 c. 25 183 Nombre:
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ACTIVIDADES Intervalos
7. Lean atentamente y completen las tablas. a. Los siguientes datos muestran los pesos de 42 chicos (en kilogramos) que entrenan los sábados por la mañana en el club del barrio. 45,3; 56,5; 49,5; 52,8; 56,7; 45,9; 68,4; 56; 73,6; 62,9; 48,9; 50; 45,8; 71,2; 56; 49,3; 72,9; 74,9; 57,9; 67,9; 74,8; 59,2; 57,2; 61,9; 59,3; 72,9; 67; 69,3; 71,1; 72,9; 57,9; 49,2; 56,9; 49,9; 48,9; 74,9; 60,1; 60; 56,9; 55; 50,3; 57,2
Intervalo
f
fr
F
xn
[45,50)
9
0,21
9
47,5
[50;55)
3
0,07
12
52,5
[55;60)
13
0,31
25
57,5
[60;65)
4
0,1
29
62,5
[65;70)
4
0,1
33
67,5
[70;75)
9
0,21
42
72,5
b. Se tomó una muestra de 20 pilas de la marca “Toda energía” para testear la vida útil. Los resultados (expresados en horas) fueron los siguientes. 12, 17, 16, 18, 20, 15, 17, 19, 20, 20, 13, 12, 19, 17, 14, 13, 12, 18, 19, 20
Intervalo
f
fr
F
xn
[12;15)
6
0,3
6
13,5
[15;18)
5
0,25
11
16,5
[18;21)
9
0,45
20
19,5
fr
F
c. Se realizó un estudio para saber cuántos mails por día envían 40 empleados de distintos sectores de una empresa y se obtuvieron los siguientes resultados. 16, 43, 34, 32, 21, 44, 16, 28, 39, 41, 40, 30, 32, 42, 38, 37, 26, 25, 16, 15, 25, 19, 17, 27, 32, 43, 44, 40, 25, 24, 34, 31, 43, 42, 35, 40, 43, 42, 40, 31
Intervalo
f
xn
[15;20)
6
0,15
6
17,5
[20;25)
2
0,05
8
22,5
[25;30)
6
0,15
14
27,5
[30;35)
8
0,2
22
32,5
[35;40)
4
0,1
26
37,5
[40;45)
14
0,35
40
42,5
d. Realicen el histograma correspondiente a cada situación. Solución gráfica a cargo del alumno.
184
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60
59
Gráficos
infoactiva
Cantidad de personas
Los gráficos estadísticos permiten visualizar con mayor facilidad la información brindada por una estadística. Entre los gráficos estadísticos se encuentran el de barras, el circular, el pictograma y el histograma. gráfico de barras
10 5 0 muy bueno
bueno
regular Opinión
gráfico circular
bueno 25%
muy bueno 50%
regular 25%
El gráfico circular está dividido en sectores. Cada sector representa una parte del total de los datos. El ángulo central de cada sector se puede obtener, por ejemplo, usando una regla de tres: 100% __________ 360° . 360° __________ 25% ___________ x = 25% = 90° 100%
pictograma
vóley fútbol tenis natación
Representa 20 alumnos histograma
f 12 9 7
0
En el gráfico de barras, cada barra tiene una altura que corresponde a la frecuencia del valor de la variable. Por ejemplo, 5 personas opinan que un programa de televisión es bueno.
50
100
150
El pictograma está formado por dibujos relacionados con el tema. Se toma como referencia un dibujo que representa una determinada cantidad.
El histograma se utiliza para representar intervalos de clase. Está formado por rectángulos contiguos cuyo ancho coincide con la amplitud del intervalo y el alto, con su frecuencia.
Minutos de viaje
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En un gráfico circular, ¿qué ángulo le corresponde al 50% de una muestra que tiene una característica en particular? b. ¿Cómo se representa en un pictograma la frecuencia de una variable? c. ¿Cuál es la diferencia entre el gráfico de barras y el histograma? a. 180° b. Con dibujos. Cada uno representa una cierta cantidad de elementos. c. El histograma sirve para representar datos continuos.
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ACTIVIDADES Gráficos
8. Resuelvan. A partir de una encuesta, se obtuvieron los siguientes datos sobre cuál es el personaje favorito de dibujos animados de un grupo de chicos de entre 4 y 5 años. Superchi: 63; Gran Músculo: 100; Dulzón: 143; Corazón: 87; Poloco: 184 a. Representen los datos en un gráfico de barras y en un gráfico circular. Solución gráfica a cargo del alumno.
b. ¿Qué porcentaje representa al personaje más votado? Representa el 32%.
9. Observen el gráfico y resuelvan. El siguiente gráfico muestra la cantidad de toneladas diarias que recibe la planta CEAMSE y la procedencia. a. De la cantidad de residuos que recibe la planta CEAMSE, ¿qué porcentaje corresponde a CABA? CABA 6 200 t Corresponde el 36%. b. ¿Cuántas toneladas de residuos recibe el CEAMSE por día? Recibe 17 000 t.
Fuente: CEAMSE
Gran Buenos Aires 10 800 t
10. Lean atentamente y resuelvan. En una fábrica de lámparas, se toman muestras para realizar el control de calidad de las horas de uso de cierto modelo. Una de las muestras arrojó los siguientes resultados (en horas): 1 900, 2 000, 2 100, 1 980, 2 000, 1 975, 1 977, 1 989, 2 001, 2 006, 2 100, 2 125, 1 890, 2 007 Completen la tabla organizando los datos en intervalos de amplitud 40. Luego, realicen el histograma. Intervalo
f
[1 890;1 930)
2
[1 930;1 970)
0
[1 970;2 010)
9
[2 010;2 050)
0
[2 050;2 090)
0
[2 090;2 130]
3
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8 capítulo
Integración
Contenidos
50.51.52.53
11. Indiquen en cada caso cuál es la población, la muestra y la variable. Clasifiquen la variable. a. Se encuestó a 300 deportistas para averiguar la marca de calzado que utilizan. b. Se consultó a 12 000 empleados para saber qué tipos de comidas prefieren en la hora del almuerzo. c. Se realizó una encuesta entre 2 000 estudiantes universitarios para saber qué tipos de páginas web consultan diariamente. d. Se registró la cantidad de litros de nafta que cargan 500 autos en determinada estación de servicio.
14. Completen la tabla y resuelvan. Se realizó una encuesta a todos los integrantes de varias familias para saber cuál es la bebida preferida para acompañar la cena los días sábados. V: vino, G: gaseosa, A: agua sin gas, O: otros V, G, A, V, V, G, A, G, V, A, G, O, V, O, G, O, G, V, G, G, A, G, V, V, A, G, V, V, G, G, V, V, V, V, V, A, G, V, V, V, G, G, V, V, V, V, G, G, V, V, V, V, G, O, G, G, G, G, G, A, V, V, V, G
Solución a cargo del alumno.
12. Clasifiquen las variables en cualitativas o cuantitativas; en esta última, indiquen si son discretas o continuas. a. Equipo de fútbol preferido de un grupo de estudiantes. Cualitativa. b. Distancia a la que viven los alumnos de cierta escuela. Cuantitativa continua. c. Tipo de transporte que usan a diario los empleados de una empresa para trasladarse desde la casa al trabajo. Cualitativa. d. Cantidad de horas que los alumnos de tercer año se dedican al estudio. Cuantitativa discreta. e. Cantidad de habitantes por provincia. Cuantitativa discreta.
13. Lean atentamente y completen la tabla.
f
fr
F
Playa
45
0,56
45
Montaña
15
0,19
60
Lagos
12
0,15
72
Otros
8
0,1
80
b. Realicen un gráfico de barras y un gráfico circular. Solución a cargo del alumno.
f
fr
F
Vino
29
0,45
29
Gaseosa
24
0,38
53
Agua
7
0,11
60
Otros
4
0,06
64
a. ¿Cuál es la variable? Tipo de bebida. b. ¿Cuál es la población? Familias. c. ¿A cuántas personas se encuestó? 64. d. ¿Cuál es la bebida preferida para acompañar la cena de los sábados? Vino. e. Realicen un gráfico de barras. Solución gráfica.
15. Lean atentamente y resuelvan. La siguiente tabla muestra la variación de ventas de bicicletas en una fábrica durante distintos períodos.
Se encuestó a 80 personas para saber qué tipo de lugar elegirían para pasar sus próximas vacaciones. a. Completen la tabla. Lugar
Bebida
Año
Cantidad de ventas
2009
34 500
2010
35 650
2011
37 590
a. Calculen. • Número índice 11/09. • Número índice 10/09. • Número índice 11/10. b. ¿Cuál es el porcentaje de variación de las ventas realizadas en el 2011 respecto del 2009? ¿Y las del 2010 respecto del 2009? a. 1,0895; 1,0333...; 1,0544. b. Aumentó 8,95%. Aumentó 3,33%.
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16. Lean atentamente y resuelvan.
18. Resuelvan.
Se realizó una encuesta para saber cuántas canciones en formato MP3 tienen almacenados un grupo de personas en algún tipo de soporte electrónico.
Se realizó una encuesta a 300 personas de distintas provincias para saber la raza de perro preferida. Los resultados fueron los siguientes. Maltés: 120 Caniche Toy: 45 Yorkshire: 65 Dálmata: 34 Otras: 36 a. Completen la tabla.
70, 69, 100, 92, 36, 61, 82, 120, 79, 42, 60, 112, 118, 54, 25, 45, 26, 75, 94, 35, 72, 89, 62, 98, 103, 68, 23, 84, 115, 108, 109, 68, 53, 70, 107, 50, 71, 12, 65, 37, 56, 109, 76, 119, 111, 96, 115, 47, 87, 39 100, 47, 59, 112, 91, 81, 69, 100, 95, 112, 119, 93, 108 a. Completen la tabla. f
xn
fr
F
[0;24)
2
12
0,03
2
[24;48)
10
36
0,16
12
[48;72)
16
60
0,25
28
[72;96)
14
84
0,22
42
[96;120)
21
108
0,33
63
b. Realicen un histograma. Solución gráfica. c. ¿Cuál es la amplitud de los intervalos? 24.
17. Lean atentamente y respondan. Un promotor utiliza diariamente el servicio de telefonía celular para contactarse con distintos clientes. A continuación, se muestra la cantidad de tiempo (en minutos) que habló durante un mes. 200, 174, 134, 67, 160, 32, 224, 30, 193, 56, 220, 110, 79, 134, 48, 100, 148, 234, 239, 236, 217, 156, 120, 150, 145, 172, 198, 170, 145, 123 a. Completen la tabla. Tiempo
f
xn
fr
F
[0;60)
4
30
0,13
4
[60;120)
4
90
0,13
8
[120;180)
13
150
0,43
21
[180;240)
9
210
0,3
30
b. ¿Cuántos días habló 2 horas o más? 22 días. c. Realicen un histograma. Solución gráfica.
f
fr
F
Maltés
120
0,4
120
Caniche Toy
45
0,15
165
Yorkshire
65
0,22
230
Dálmata
34
0,11
264
Otras
36
0,12
300
b. Realicen un gráfico circular. Solución gráfica. c. Escriban el porcentaje respecto del total que corresponde a cada raza elegida. Maltés 40%, Caniche Toy 15%, Yorkshire 22%, Dálmata 11% y otras 12%.
19. Resuelvan.
El siguiente gráfico de barras muestra los resultados de la votación que realizaron los alumnos para elegir el color de la campera de egresados. Votos
x: cant. de canciones
Raza
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 rojo
azul
negro
blanco Color
a. ¿Cuántos alumnos participaron de la elección? b. ¿Cuántos votos tuvo cada color? c. ¿Cuál fue el color más votado? ¿Cuál fue su porcentaje? d. ¿Cuál fue el color que recibió menos votos? ¿Cuál fue su porcentaje? e. Realicen un gráfico circular. a. 37 alumnos. b. Rojo 12, azul 5, negro 3 y blanco 17. c. El color más votado fue el blanco y con 46%. d. El color menos votado fue el negro con un 8,11%. e. Solución gráfica.
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Medidas de posición
infoactiva Se llaman medidas de posición a la media aritmética, la moda y la mediana. Para calcular la media aritmética o promedio (se escribe x) se suman todos los productos que resultan de multiplicar cada valor de la variable por la frecuencia absoluta; a este resultado se lo divide por la cantidad total de datos.
En la siguiente distribución de frecuencias se muestra la cantidad de veces que fue al cine (durante el último año) cada uno de los alumnos de tercer año “A”.
5 0 4 3 2 2 3 4 5 2 1 5 5 . 0 + 1 . 1 + 3 . 2 + 2 . 3 + 2 . 4 + 4 . 5 = 3,15 x = 1________________________________ 13
La moda (se escribe mo ) es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia. En el ejemplo anterior, mo = 5. La mediana (se escribe me ) es el valor de la variable ubicado en el lugar central, luego de ordenar todos los datos de menor a mayor. La mediana divide a la muestra de tal forma que deja igual cantidad de datos a su izquierda que a su derecha. Teniendo en cuenta el ejemplo anterior:
0–1–2–2–2–3–3–4–4–5–5–5–5
me = 3
Cuando la cantidad de datos es par, la mediana es igual al promedio de los valores centrales.
En la siguiente distribución de frecuencias se muestra la cantidad de veces que fue al cine (durante el último año) cada uno de los alumnos de tercer año “B”.
1 3 7 2 2 0 1 3 4 1 5 5
Para calcular la mediana, se escriben los datos ordenados de menor a mayor. 0–1–1–1–2–2–3–3–4–5–5–7 2 + 3 me = _____ = 2,5 2
test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuál es el promedio entre 5, 6 y 7? b. En una distribución de frecuencias, ¿puede haber más de una moda? c. Para calcular la mediana, ¿es lo mismo ordenar los datos de menor a mayor que al revés? a. 6 b. Sí. c. Sí. 189 Nombre:
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ACTIVIDADES Medidas de posición
20. Calculen la media aritmética, la mediana y la moda. a. Se encuestó a un grupo de alumnos para saber cuántas veces juegan por mes al fútbol. 3, 6, 10, 13, 7, 5, 9, 5, 14, 7, 7, 8, 5, 4, 10, 12, 3, 9, 8, 5 • Media aritmética:
7,5
• Moda:
5
• Mediana:
7
b. Se tomó una evaluación integradora a los alumnos de tercer año y se obtuvieron los siguientes resultados. 9, 7, 7 ,8, 10, 9, 6, 9, 6, 7, 6, 7, 9, 7, 3, 7, 3, 8, 7, 7, 8, 7, 6, 8, 8, 7, 8, 9, 3, 10 • Media aritmética:
7,2
• Moda:
7
• Mediana:
7
c. En la ciudad de Rosario, se registraron las siguientes temperaturas promedio diarias (en °C) durante una semana. 5, 8, 5, 9, 10, 8, 9 • Media aritmética:
7,71
• Moda:
5, 8 y 9
• Mediana:
8
Cantidad de personas
21. Observen el gráfico y respondan. Expliquen las respuestas. Se encuestó a 300 personas para averiguar cuál es su equipo favorito de fútbol. Los resultados fueron volcados en el siguiente gráfico. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
river
boca
racing
san lorenzo
independiente Equipos
a. ¿Cuál es la moda? River
b. ¿Se puede calcular la media aritmética? ¿Y la mediana? No. No.
mente activa Asignen un valor a x para que se cumpla la condición indicada. 3, 6, 3, 5, 6, 7, 7, x a. Que el promedio sea igual 5. b. Que la mediana sea igual a 6. c. Que la moda sea 7. a. x = 3; b. x = 8; c. x = 7
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Media y moda en intervalos
infoactiva Para calcular la media aritmética en una distribución organizada en intervalos de clase, pueden seguir estos pasos. 1. Se multiplica, de cada intervalo de la tabla, la frecuencia absoluta por la marca de clase (xn). 2. Se suman todos los productos del paso 1. y se divide el resultado por el tamaño de la muestra. x: notas de historia en el examen de ingreso
f
xn: marca de clase
f . xn
[0;2,5)
10
1,25
12,5
[2,5;5)
15
3,75
56,25
[5;7,5)
20
6,25
125
[7,5;10)
30
8,75
262,5
75
x = _______ 456,25 = 6,08 75
456,25
Tamaño de la muestra
Suma
La moda, en una distribución organizada en intervalos de clase, corresponde al intervalo que tiene mayor frecuencia. En el ejemplo anterior, la moda corresponde al intervalo [7,5;10). En el siguiente ejemplo, la moda corresponde al intervalo [36;38). x: talle de zapatos
f
[34;36)
8
[36;38)
15
[38;40)
12
[40;42)
5
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Para qué sirve calcular la marca de clase? b. En un histograma, ¿cuál es el intervalo que representa la moda? a. La marca de clase permite calcular la media en las distribuciones dadas por intervalos. b. Es el intervalo que está representado por el rectángulo más alto.
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Fecha:
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ACTIVIDADES Media y moda en intervalos
22. Lean atentamente y resuelvan. En un supermercado registraron los tiempos de espera (en minutos) de los clientes en las líneas de caja. 2, 3, 1, 2, 1, 2, 6, 7, 6, 5, 5, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 2, 3, 1, 4, 4, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a. Completen la tabla organizando los datos en intervalos de amplitud 2. Intervalo
f
F
Xn
f . xn
[1;3)
11
11
2
22
[3;5)
8
19
4
32
[5;7)
9
28
6
54
[7;9)
2
30
8
16
b. Calculen la media aritmética e indiquen a qué intervalo pertenece la moda. Media aritmética:
3,63
[1;3)
Moda:
23. Resuelvan. En una clínica maternal se realizó un informe para analizar el peso de los bebés mes del nacimiento. 3 700 4 340 4 500 4 250 4 450 5 400 3 800 4 550 4 400 4 550 5 050 5 300 3 800 5 300 4 520 4 300 4 200 4 250 5 000 5 200 4 100 5 320 4 100 4 000 5 550 5 500 4 550 4 450 4 320 5 250 4 150 4 900 4 500 4 300 4 450 4 250
nacidos (en g) al 4 050 4 650 4 720 3 800
a. Completen la tabla. Intervalo
f
xn
f . xn
[3 600;4 100)
6
3 850
23 100
[4 100;4 600)
21
4 350
91 350
[4 600;5 100)
5
4 850
24 250
[5 100;5 600)
8
5 350
42 800
b. Calculen la media aritmética e indiquen a qué intervalo pertenece la moda. 4 537,5
Media aritmética:
Moda: [4 100;4 600)
24. Tengan en cuenta el gráfico y resuelvan.
Tiempo (en minutos)
f
F
xn
f . xn
[0;45)
10
10
22,5
225
[45;90)
30
40
67,5
2 025
[90;135)
28
68
112,5
3 150
[135;180)
15
83
157,5
2 362,5
Cantidad de personas
Se realizó una encuesta para saber cuánto tiempo al día mira televisión un grupo de personas de entre 20 y 25 años. 30 a. Completen la tabla. 28
15 10
0
45
90
b. Calculen la media aritmética e indiquen a qué intervalo pertenece la moda. Media aritmética:
93,52
Moda:
180 135 Tiempo (minutos)
[45;90)
192
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8 capítulo
Integración
Contenidos
54.55
25. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen sus respuestas. a. La media aritmética también se denomina promedio.
V
b. La moda es el valor de la variable que tiene menor frecuencia.
F
c. Si una muestra está formada por ocho datos, luego de ordenarlos de menor a mayor la mediana es el que corresponde al quinto lugar.
F
d. La media aritmética entre 10, 10 y 1 coin cide con la media entre 6, 7 y 8.
V
26. Calculen en cada caso la media aritmética, la mediana y la moda. a. Las siguientes medidas corresponden a la capacidad del baúl de distintos tipos de modelos de autos (en cm3): 439, 540, 543, 439, 473, 486, 439, 565, 439, 565. b. En una prueba de Fórmula 1 se registraron los siguientes tiempos: 1 min 41 s, 1 min 42 s, 1 min 41 s, 1 min 43 s, 1 min 42 s, 1 min 45 s, 1 min 45 s, 1 min 45 s. a. x = 492,8; me = 479,5; mo = 439 b. x = 1 min 43 s; me = 1 min 42,5 s; mo = 1 min 45 s
27. Lean y respondan.
El sector de recursos humanos de una empresa está realizando una selección para cubrir puestos en distintas sucursales que tiene en la Argentina. En la siguiente tabla se muestra la cantidad de postulantes que se presentaron. a. Completen la tabla. Sucursal
f
fr
F
Buenos Aires
56
0,39
56
Mendoza
34
0,24
90
San Luis
12
0,08
102
Córdoba
23
0,16
125
Catamarca
18
0,13
143
b. Calculen la moda y la media aritmética.
Moda = Buenos Aires. No se puede calcular la media.
28. Lean atentamente y expliquen con qué medida de posición se relaciona cada situación. a. Google registra cuáles son las preguntas que realizan con mayor frecuencia las personas que visitan el buscador. Por ejemplo, una de las preguntas más frecuentes es ¿con qué edad ha debutado Messi para el FC Barcelona en la primera división de la liga española? b. A la hora de hacer el pedido, en un negocio de venta de zapatos saben que los talles 40 y 41 son los más vendidos. a. Moda. b. Moda.
29. Resuelvan. En una estación de servicios se elaboró un registro para saber el tipo de combustible pedido por los clientes durante un día. 600: diésel 600; P: diésel prémium; G: diésel G; S: diésel súper. G, G, 600, P, G, 600, P, 600, P, 600, P, 600, P, 600, G, P, 600, G, G, 600, 600, P, S, G, P, 600, S, P, G, P, S, G, 600, P, S, 600, P, S, G, S, P, G, S, P, G, S, P, G, S, P, 600, P, P, P, 600, 600, 600, 600, 600, 600, 600, G, P, 600, G, S, P, G, S, P, S, 600, 600, P, 600, P, 600, P, P a. Realicen una tabla de distribución de fre cuencias. Solución a cargo del alumno. b. ¿Cuál es la moda? ¿Y la media aritmética? c. Realicen un gráfico de barras. b. mo = diésel prémium c. Solución gráfica.
30. Resuelvan.
Se realizó una encuesta a 500 familias para saber a qué tipo de escuela enviarán a su hijo que comienza el próximo año el primer grado. no sabe 10%
pública 46%
privada 44% a. ¿Cuántas familias enviarán a su hijo a la escuela pública? ¿Y a la privada? 230; 220 b. ¿Cuál es la moda? Escuela pública. c. ¿Cuántas familias aún no decidieron el tipo de escuela? 50 d. Confeccionen un gráfico de barras. Solución gráfica.
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Curso:
Fecha:
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Se realizó una encuesta a personas de entre 35 y 50 años de edad para averiguar cuántas veces por semana leen el diario por internet.
El siguiente histograma muestra la velocidad de los automóviles cuando pasan por un control que permite una máxima de 100 km/h.
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Vehículos
33. Resuelvan.
Cantidad de personas
31. Resuelvan.
1
2
3
4
5
6
7
Cantidad de veces
a. Realicen una tabla de frecuencias. b. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? 288 c. ¿Cuáles son las medidas de posición? d. Realicen un gráfico circular. Solución gráfica. a. Solución a cargo del alumno. c. mo = 3; me = x = 3
32. Resuelvan.
Luego de una clase de gimnasia aeróbica, se le tomó las pulsaciones por minuto a un grupo de 20 chicas. 78, 77, 76, 84, 81, 84, 76, 72, 73, 75, 71, 87, 79, 82, 83, 84, 74, 86, 72, 78 a. Completen la tabla.
Pulsaciones
70
80
90
100 110 120 130 Velocidad en km/h
a. ¿Cuál es la amplitud de los intervalos de clase? 10 b. ¿Cuál es el tamaño de la muestra? 259 c. Completen la tabla. Velocidad de los vehículos
f
xn
f . xn
[60;70)
32
65
2 080
[70;80)
70
75
5 250
[80;90)
45
85
3 825
f
xn
f . xn
[90;100)
54
95
5 130
[70;75)
5
72,5
362,5
[100;110)
38
105
3 990
[75;80)
7
77,5
542,5
[110;120)
15
115
1 725
[120;130)
5
125
625
[80;85)
6
82,5
495
[85;90)
2
87,5
175
b. Solución a cargo del alumno.
d. ¿Cuántos vehículos pasaron en infracción? e. Calculen la moda y la media aritmética. d. 58 e. mo = [70;80); x = 87,36 km/h
34. Resuelvan.
Una empresa organizó la información de los sueldos de los empleados en la siguiente tabla.
[85;90) [80;85) [75;80)
representa 2 chicas
[70;75) Cantidad de chicas
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60
Pulsaciones
b. Realicen un gráfico de barras. c. Indiquen si es correcto el siguiente pictograma. En caso de no serlo, realícenlo correc tamente en sus carpetas. No es correcto.
194
75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
Intervalo
f
[2 500;3 000)
22
[3 000;3 500)
8
[3 500;4 000)
5
[4 000;4 500)
6
[4 500;5 000)
10
Calculen el promedio. ¿Es representativo del sueldo que perciben los empleados de la empresa? 3 495,09. No.
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8 capítulo
Autoevaluación 35. Lean la información y resuelvan.
Cantidad de horas
f
fr
F
xn
f . xn
[6;8)
17
0,21
17
7
119
[8;10)
51
0,64
68
9
459
[10;12)
12
0,15
80
11
132
b. ¿Cuál es la población? ¿Y la muestra?
Personas
Se realizó una encuesta a 80 jóvenes para averiguar cuántas horas promedio duermen diariamente. a. Completen la tabla a partir de los siguientes datos obtenidos y realicen un histograma.
51
50 40 30 20 17 12
Jóvenes. 80 jóvenes.
10
c. ¿Cuál es la variable? Clasifíquenla.
0
6
Cuantitativa continua.
8
10 12 Cantidad de horas
d. Calculen la media aritmética y la moda. Moda = [8;10); media = 8,88. e. ¿Qué conclusiones se pueden sacar a partir de los datos de los estudios? Por ejemplo, que los jóvenes duermen las horas que corresponden.
36. Resuelvan. Se realizó una encuesta a un grupo de empleados para averiguar cuántas veces solicitan el almuerzo a domicilio durante la semana. 1, 2, 3, 1, 3, 5, 1, 4, 1, 4, 2, 5, 1, 2, 6, 1, 5, 2, 5, 1, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 1, 2, 6, 1, 3, 2, 1, 4, 6, 2, 3, 1, 5 a. Completen la tabla y realicen un gráfico circular. Cantidad de veces por semana
f
fr
F
1
12
0,3
12
2
8
0,2
20
3
6
0,15
26
4
4
0,1
30
5
6
0,15
36
6
4
0,1
40
7
0
0
0
6 5
1
4 3
2
b. Calculen las medidas de posición. Media: 2,9; moda: 1; mediana 2,5. 195
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capítulo
9
Combinatoria y probabilidad Contenidos 56. Factorial. Permutaciones. 57. Variaciones. 58. Combinaciones. 59. Probabilidad. 60. Probabilidades condicionadas.
YANI
ZOE
BELU
MIRA
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. a. Inventen una situación que incluya las siguientes preguntas. Luego, respóndanlas. • ¿De cuántas formas diferentes se pueden ubicar en cuatro asientos? • ¿De cuántas formas diferentes pueden agruparse para jugar en parejas? • ¿De cuántas formas diferentes se pueden ubicar si dos jugadoras del mismo equipo no se pueden sentar juntas? b. Comparen las respuestas con las de sus compañeros. 196
a. Las cuatro amigas van a jugar un partido a la generala y discuten sobre cómo se pueden ubicar en los asientos y si jugar en equipos o no. • De 24 formas diferentes. • De 3 formas diferentes. • De 8 formas diferentes.
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Factorial. Permutaciones
infoactiva El factorial de un número natural n (se escribe n! ) es: n! = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . 1 Por definición, 0! = 1
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
3! = 3 . 2 . 1 = 6
El cálculo combinatorio ofrece métodos que permiten contar las distintas agrupaciones que se pueden realizar con los elementos de un conjunto.
Permutaciones Una permutación es una agrupación de cierta cantidad de elementos en la cual dos grupos son distintos cuando sus elementos están ordenados de diferente forma.
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con el 2, el 4 y el 6? Para analizar esta situación se puede armar un diagrama de árbol. 4 6 2 6 4
2 6 4 6 2
2 4 6 4 2
Para la primera cifra hay 3 posibilidades, para la segunda, 2 y para la última, 1 posibilidad.
3 . 2 . 1 = 6
Se pueden formar 6 números.
La expresión anterior coincide con 3!.
La cantidad de permutaciones (sin repetición) que se puede hacer con n elementos es igual a n!.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿A qué es igual 10!? b. En la expresión (n – 8)!, ¿qué valores puede tomar n? c. En una permutación, dos grupos con los mismos elementos, pero en diferente orden, ¿son iguales o distintos? a. 3 628 800 b. Puede tomar el valor de todo número natural mayor o igual que 8. c. Son distintos, ya que los grupos difieren por el ordenamiento de sus elementos.
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ACTIVIDADES Factorial. Permutaciones
1. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. a. 12! = 12 . 11 . 10!
V
V
d. 9! = 9 . 8!
23! = 22 . 21 . 20! F b.
e. 3! = 3 . 2 . 1 . 0
La respuesta correcta es 23 . 22 . 21 . 20! c. 0! = 0
F
La respuesta correcta es 3.
f. (–3)! = 6
0! = 1 por definición.
F
F
No se puede calcular el factorial de un número negativo.
2. Simplifiquen y resuelvan. 3! . 5! a. ______ = 7!
=
1 7
. 5! _____ c. 1! = 4!
=
______ 35 . 8! ______ = = b. 3! 7!. = d. 7! 4! 9! . 6!
=
5 1 7 9
3. Escriban la cantidad de números que se pueden obtener permutando las cifras en cada caso. 23: a. b. 234:
2 6
c. 2 345:
24
d. 23 456:
120
4. Resuelvan. a. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar 8 personas en una fila? 8! = 40 320
b. ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los primeros tres números primos? 3! = 6
5. Resuelvan. a. Escriban todos los números menores que 2 000 que se pueden formar permutando las cifras del número 3 211. Realicen un diagrama de árbol. 6 números.
1 1 2 3
2
3
3
2
1
3
3
1
1
2
2
1
b. Marquen con una 4!
X las opciones que resuelven el problema anterior. 3!
X 2 . 3!
1.3.2.1
X
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Variaciones
infoactiva Se llama variación de m elementos tomados de a n a la cantidad de grupos de n elementos (en los que importa el orden) que se pueden formar con los m elementos.
Con las cifras 1, 3, 5 y 7, ¿cuántos números de dos cifras se pueden formar? 1 3 5 7
3 1 5 7
1 5 3 7
1 7 3 5
Para la primera cifra hay cuatro posibilidades y para la segunda, tres.
4 . 3 = 12 1.° cifra
V4,2 = 4 . 3 = 12
2.° cifra
2 factores
Se pueden formar 12 números distintos.
Se lee “variaciones de 4 elementos tomados de a 2”.
En una carrera se entregan premios a los tres primeros corredores. Si participan 20 personas, ¿cuántas formas posibles hay de distribuir los premios? 20 . 19 . 18 = 6 840
En general, Vm,n = m . (m – 1) . (m – 2)... n factores
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En las variaciones, los grupos de tres elementos abc y acb, ¿se consideran iguales? b. ¿A qué es igual V8,3? c. ¿Cómo debe ser m con respecto a n para que se pueda calcular Vm,n? a. No, ya que importa el orden de los elementos. b. 336 c. m debe ser mayor o igual a n.
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ACTIVIDADES Variaciones
6. Calculen las siguientes variaciones. a. V = 6,4
6 . 5 . 4 . 3
=
360
b. V = 9,3
9 . 8 . 7
=
504
c. V = 5,5
5 . 4 . 3 . 2 . 1
=
120
d. V3,2 =
e. V9,1 =
f. V12,2 =
3 . 2 . 1
=
6
9
=
9
12 . 11
=
132
7. Lean la información y resuelvan utilizando la calculadora. Para obtener con la calculadora, por ejemplo, V5,2 se pueden presionar las siguientes teclas.
5 a. V12,5 =
95 040
b. V87,3 =
635 970
nPr
2
=
c. V16,7 = 57 657 600 d. V45,2 =
1 980
8. Resuelvan teniendo en cuenta las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6. a. ¿Cuántos números de tres cifras (no repetidas) se pueden formar? V6,3 = 120
b. ¿Cuántos de ellos comienzan con el número 2? 5 . 4 = 20
c. ¿Cuántos de ellos tienen como primera cifra al 1 y como segunda cifra al 2? 4
9. Resuelvan.
a. En una oficina se debe asignar un número interno al teléfono de cada secretaria. Si hay 4 secretarias y 6 números disponibles, ¿de cuántas maneras distintas se pueden asignar los internos?
V6,4 = 360
b. En un hotel quedan libres 8 habitaciones. Si llegan 5 nuevos pasajeros y se quiere asignar una habitación a cada uno, ¿de cuántas maneras se pueden repartir las habitaciones? V8,5 = 6 720
mente activa Cecilia y Esteban están decidiendo el nombre que le van a poner a su beba. A Cecilia le gustan los nombres Laura, Daniela y Andrea. A Esteban le gustan Jazmín y Celeste. Si le quieren poner dos nombres eligiendo uno cada uno, ¿cuántas combinaciones pueden armar? V3,1 . V2,1 = 12
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Combinaciones
infoactiva Se llama combinación de m elementos tomados de a n a la cantidad de grupos de n elementos (en los que no importa el orden) que se pueden formar con m elementos.
¿Cuántos grupos de estudio de tres personas se pueden formar entre seis alumnos? Para analizar la cantidad de opciones, se pueden seguir estos pasos. 1. Se calculan las variaciones de 6 elementos tomados de a 3. V6,3 = 6 . 5 . 4 = 120 Hay que tener en cuenta que en este primer cálculo se están considerando grupos con las mismas personas, pero en distinto orden. Por ejemplo: Grupo 1, 2, 3
Formas en que se pueden ordenar los elementos 1, 2, 3 2, 1, 3 3, 1, 2
1, 3, 2 2, 3, 1 3, 2, 1
3! = 6
2. Cada grupo está repetido 6 veces. Entonces, para saber cuántos grupos se pueden formar, se 120 debe resolver ____ = 20. 6 Se pueden armar 20 grupos distintos de estudios. Vm,n
Cm,n = ____ n!
Se lee “combinaciones de m elementos tomados de a n”.
Número combinatorio
m! Se llama número combinatorio a la expresión ( mn ) = ___________ (m – n)! . n!
Por ejemplo, ( 74 )es un número combinatorio y ( 74 ) = C7,4
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En las combinaciones, los grupos de tres elementos abc y acb, ¿se consideran iguales? b. Prueben que ( 74 ) = C7,4. c. Entre V8,3 y C8,3, sin hacer las cuentas, ¿se puede decir cuál da un número mayor?
a. Sí. b. ( 74 ) = C7,4 = 35 c. Sí, es mayor V8,3 ya que en C8,3, como no importa el orden, hay casos que no se consideran.
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ACTIVIDADES Combinaciones
10. Calculen. V
5,2 5.4 = 10 ___ = _____ 2 2!
V7,6 7________________ .6.5.4.3.2 ___ = 7 = 6.5.4.3.2.1 6!
a. C5,2 =
b. C7,6 =
V6,4 6___________ .5.4.3 = 15 ___ = 4.3.2.1 4!
c. C6,4 =
V7,3 .6.5 ___ = 7________ = 35 3.2.1 3!
d. C7,3 =
11. Lean atentamente y resuelvan utilizando la calculadora. Para obtener, por ejemplo, C6,2 con la calculadora, se pueden apretar las teclas según esta secuencia. a. C12,6 =
924
c. C15,2 =
105
1 330
d. C8,6 =
28
6
nCr
2
=
b. C21,3 =
12. Resuelvan.
c. ( 71 )+ ( 66 ) =
a. ( 52 ) + ( 53 ) =
20
8
b. ( 63 )– ( 52 ) =
d. ( 76 ) – ( 65 ) =
10
1
13. Verifiquen si la siguiente igualdad es verdadera.
V120,13
C120,13 = _____ P13
Sí, ya que desarrollando ambos miembros de la igualdad se llega a lo mismo.
14. Marquen con una X la o las opciones equivalentes a cada número combinatorio. a. ( 53 ) =
C3,5
C5,3
b. ( 65 ) =
C6,1
X C 6,4
X C5,4
6
X
15. Resuelvan. Para armar ramos de media docena de flores se tiene una docena de rosas y dos docenas de margaritas. ¿Cuántos ramos distintos se pueden armar con la misma cantidad de rosas que de margaritas? C12,3 . C24,3 = 445 280
mente activa Realicen el desarrollo de cada expresión. 2 a. ( mn )– ( m m– n ) = 0 b. ( mn ) . ( m m– n ) = ( m n )
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9 capítulo
Integración 16. Resuelvan cada ecuación y escriban el
Contenidos
56.57.58
20. Observen la figura y resuelvan.
valor de las siguientes expresiones. n n! Vn,3 Cn,3 n! a. _______ = 4
4, 24, 24, 4;
(n – 1)! (n – 1)! _______ b. = 6 7, 5 040, 210, 35 (n – 2)! (n – 1)! 1 . No es solución, no es posible. c. _______ = 7 __ n! 7
17. Resuelvan teniendo en cuenta las condiciones indicadas. Realicen un diagrama de árbol para analizar las distintas posibilidades. Con los dígitos impares, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar... a. ... si las cifras deben ser distintas? b. ... si las cifras pueden repetirse? c. ... si comienzan con 1 y las cifras pueden repetirse? d. ... si terminan en 13 y las cifras deben ser distintas? e. ... si el número del medio es 9 y las cifras deben ser distintas? a. 60; b. 125; c. 25; d. 3; e. 12
18. Lean atentamente y resuelvan. a. Una persona tiene dos remeras, tres pantalones y tres pares de zapatillas para elegir. ¿Cuántas posibles combinaciones puede realizar con las tres prendas? b. Un mensaje escrito en código Morse se forma con una sucesión de líneas y/o puntos. ¿Cuántos mensajes de tres símbolos se pueden formar? c. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden determinar con siete puntos no alineados de a tres? d. Con ocho puntos no alineados de a tres, ¿cuántos segmentos que tengan por extremos esos puntos se pueden formar? a. 18; b. 23; c. C7,4 = 35; d. C8,2= 28
19. Resuelvan. a. V9,5 b. V7,3 c. V11,2
d. C8,4 e. C11,3 f. C14,9
a. 15 120; b. 210; c. 110; d. 70; e. 165; f. 2 002
a. ¿Cuántos banderines como el de la figura se pueden formar con los colores rojo, amarillo y azul? b. ¿Cuántos banderines distintos se pueden formar eligiendo tres colores de siete disponibles? c. ¿De cuántas maneras se pueden combinar tres colores entre siete para realizar banderines? a. P3 = 6; b. V7;3 = 210; c. C7;3 = 35
21. Respondan teniendo en cuenta las condiciones indicadas. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse 5 personas en 3 aulas? a. Si a cada aula debe ingresar al menos 1 persona. b. Si en la primera aula debe haber 3 personas. a. 300; b. 20
22. Lean atentamente y resuelvan. De un mazo de 40 cartas se extraen cinco, sin reponerlas nuevamente. a. ¿Cuántas posibilidades distintas hay para sacar las cinco cartas? b. ¿Cuántas posibilidades hay de sacar los 3 de los cuatro palos? c. ¿Cuántas posibilidades hay de sacar exactamente tres 5? d. ¿Cuántas posibilidades hay de sacar al menos un 7? a. C40,5; b. 36; c. 2 520; d. C40,5 – C36,5
23. Respondan. a. ¿Cuántas maneras tienen 7 amigos de elegir quiénes suben a la primera aerosilla si en cada una entran 3 personas? 35 b. ¿Cuál de las siguientes opciones resuelve la situación anterior? C7,3 X
V7,3
P7
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Curso
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24. Resuelvan. a. Los 24 empleados de una fábrica deben organizarse para formar equipos de igual cantidad de personas, para distribuirse en 4 turnos de trabajo. ¿De cuántas formas distintas puede formarse cada grupo? b. Se debe elegir una comisión, integrada por 3 ingenieros y 2 abogados. Si se debe seleccionar entre 8 ingenieros y 12 abogados, ¿cuántas comisiones distintas se pueden formar? a. C24,6 b. C8,3 . C12,2
25. Realicen un diagrama de árbol y respondan. a. Con los dígitos 3 y 5, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar? b. ¿Cuántos de esos números son múltiplos de cinco? c. ¿Cuántos son menores que 400? a. 8 números. b. 4 números. c. 4 números.
26. Resuelvan usando los dígitos 1, 2, 3 y 4. a. ¿Cuántos números de dos cifras distintas
se pueden formar? b. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas y menores que 2 000 se pueden formar? c. ¿Cuántos números de tres cifras distintas y menores que 200 se pueden formar? d. ¿Cuántos números pares, mayores que 100 y menores que 200 se pueden formar? e. ¿Cuántos números impares de cuatro cifras y menores que 3 000 se pueden formar? a. V4;2 = 12; b. 6; c. 6; d. 8; e. 64.
27. Resuelvan. En el centro de jubilados, se va a realizar una votación para elegir al director y al subdirector. En total hay 8 postulantes que pueden elegirse para cualquiera de los dos puestos. a. ¿Cuántas parejas distintas pueden resultar ganadoras? b. Si además se elige un gerente, ¿cuántas posibilidades distintas hay para conformar la comisión del centro de jubilados? c. Si también se elige un subgerente, ¿cuántas posibilidades hay de conformar la comisión con los cuatro puestos? V8,2 = 56; V8,3 = 336; V8,4 = 1 680
28. Lean atentamente y resuelvan. Las patentes actuales se forman con tres letras y un número de tres dígitos. a. Si se utilizan las letras del abecedario (sin la ñ) y los dígitos del 0 al 9, ¿qué cantidad de patentes se pueden formar? b. Antes de esta modalidad las patentes se formaban con 6 números y una letra que identificaba la provincia. ¿Cuántas patentes se podían formar para los autos de Capital Federal? Tengan en cuenta que la letra para esta ciudad era la C. a. 263 . 93; b. 96
29. Respondan. a. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar, con o sin sentido, con todas las letras, sin repetirlas, de la palabra PERMUTACIÓN? b. ¿Cuántas señales se pueden hacer con 5 banderas de diferentes colores, si cada señal se realiza con las 5 banderas dispuestas en un cierto orden? c. En una liga de básquet hay 12 equipos. • Si en la primera ronda cada equipo debe jugar 3 partidos, ¿cuántos encuentros deberán jugarse en total en esa ronda? • Si en la segunda ronda cada equipo debe jugar 5 partidos, ¿cuántos encuentros deberán jugarse en total en esa ronda? d. ¿De cuántas maneras se pueden cubrir los cargos de presidente, secretario y tesorero de un club, si hay 10 socios que pueden ser elegidos? a. P11 = 11!; b. P5; c. 18. 30; d. V10,3
30. Resuelvan. Entre los alumnos de 3.° año hay 5 varones y 4 mujeres que quieren integrar una nueva lista de 4 alumnos para formar parte del centro de estudiantes. a. ¿Cuántas listas distintas se pueden armar? b. Si cada lista se debe formar con 2 varones y 2 mujeres, ¿cuántas listas distintas se pueden armar? c. Si cada lista se debe formar con al menos una mujer y un varón, ¿cuántas listas distin c. C9,4 – (C5,4 + C4,4) = 120 tas se pueden armar? a. C9,4 = 126; b. C5,2 . C4,2 = 60
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Probabilidad
infoactiva Existen experimentos en donde no se puede anticipar cuál va a ser el resultado. A este tipo de experimentos, que dependen del azar, se los llama experimentos aleatorios.
Algunos experimentos aleatorios pueden ser: • tirar un dado de seis caras; • realizar un sorteo en donde participan 100 números. Hay situaciones que no se pueden considerar como experimentos aleatorios. Por ejemplo, el día que sigue al miércoles es el jueves. Se denomina espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Cada resultado o conjunto de ellos se denomina suceso. En matemática se asigna un número a la probabilidad de que ocurra un suceso. Ese número puede ser 0, 1 o cualquier número comprendido entre 0 y 1.
Si se tiran dos dados al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntajes sea igual a 7? • Espacio muestral: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (son todas las sumas que se pueden obtener). +
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
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9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
6 = __ 1 P (suma igual a 7) = ___ 36 6
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Observar si el próximo auto que pase es de color blanco, ¿es un experimento aleatorio? b. ¿Qué significa que la probabilidad de un suceso sea 0? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara? d. La probabilidad de un suceso, ¿puede dar como resultado 3?
a. Sí, porque depende del azar. b. Que el suceso es imposible. c. __ 1 d. No, debe ser un número compren2 dido entre 0 y 1. 205
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ACTIVIDADES Probabilidad
31. Indiquen en cada caso cuál es el espacio muestral. Luego, calculen la probabilidad. a. En un estante hay tres libros de Matemática y dos de Biología. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan elija (sin mirar) dos libros de Matemática? Espacio muestral: {(m1;m2), (m1;m3), (m2;m3), (m1;b1), (m1;b2), (m2;b1), (m2;b2), (m3;b1), (m3;b2), (b1;b2)}
3
10
Probabilidad =
b. Se elige al azar un número natural (sin contar el cero) menor que 20. ¿Cuál es la probabilidad de que el número elegido sea múltiplo de 7? Espacio muestral:
2
19
Probabilidad =
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
c. En una bolsa hay dos caramelos de frutilla y dos caramelos de ananá. ¿Cuál es la probabilidad de que Nicolás elija (sin mirar) dos caramelos de frutilla y un caramelo de ananá? Espacio muestral:
1
2
Probabilidad =
{(f1;f2;a1), (f1;f2;a2), (f1;a1;a2), (f2;a1;a2)}
32. Resuelvan. La familia de Manuel se acaba de mudar a un edificio en el cual hay 10 cocheras numeradas del 1 al 10, que pueden utilizarse al azar. a. Si al llegar ya están ocupados los primeros cinco lugares y ellos tienen que guardar dos autos, ¿de cuántas maneras distintas pueden ubicarlos? V5,2 = 20
b. ¿Cuál es la probabilidad de que puedan estacionar uno de los autos en la primera cochera? 0
Porque ya está ocupada.
c. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos autos queden estacionados juntos? 8 = __ 2 ___ 20 5
mente activa En una bolsa hay 20 bolillas de colores. Luego de realizar 100 extracciones, reponiendo la bolilla extraída, se observan los siguientes resultados. Bolillas rojas
Bolillas verdes
Bolillas azules
55
30
15
Calculen teniendo en cuenta las 100 extracciones realizadas. 11 a. La probabilidad de extraer una bolilla roja. ___ 20 7 b. La probabilidad de que la bolilla extraída no sea verde. ___ 10 c. ¿Cuántas bolillas de cada color estiman que hay en la bolsa? rojas: 11, verdes: 6, azules: 3.
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Probabilidades condicionadas
infoactiva El valor de la probabilidad de algunos sucesos puede variar en función de la información que se tiene.
En una bolsa hay bolillas numeradas del 1 al 9, y se quiere calcular la probabilidad de obtener dos bolillas con un número par en dos extracciones. Hay dos formas de realizar este experimento. • Con reposición: una vez realizada la primera extracción, se devuelve la bolilla obtenida para realizar la segunda extracción. 1.° extracción: P(par) = __ 94 2.° extracción: P(par) = __ 94
16 . Por lo tanto, P(par/par) = __ 94 . __94 = ___ 81
En este caso, los dos sucesos son independientes porque la probabilidad de que ocurra el segundo no depende de lo que ocurre en el primero. • Sin reposición: una vez realizada la primera extracción, no se devuelve la bolilla obtenida para realizar la segunda extracción. Si la primera bolilla es par, en la bolsa quedan 3 bolillas pares y 5 impares. La probabilidad de que la segunda bolilla sea un número par es __ 83 . Por lo tanto, la probabilidad de que salgan dos 4 3 1 números pares es __9 . __8 = __6 . En este caso, se dice que es una probabilidad condicionada porque la probabilidad de que salga un número par depende de la bolilla extraída en el primer caso. Probabilidad (par/par) = __ 94 .
__83 =
__61
Se lee “probabilidad de obtener par si en la primera extracción se obtuvo par”.
Dos sucesos A y B se denominan excluyentes cuando no pueden ocurrir a la vez.
En el experimento anterior, si se extrae una bolilla, la probabilidad de que salga un número + __ 2 = __ 5 menor que 4 o mayor que 7 es __ 1 3 9 9
Como los sucesos son excluyentes, se suman las probabilidades.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si al arrojar un dado se obtiene 2, ¿cuál es la probabilidad de que vuelva a salir ese número? b. Si dos sucesos son independientes, ¿se suman o se multiplican las probabilidades? c. En un tiro de ruleta, los sucesos “que salga rojo” y “que salga cero”, ¿de qué tipo son?
1 , es independiente de lo que salió en el primer lanzamiento. b. Se multiplican. c. Son excluyentes, a. __ 6 ya que el cero lleva el color verde.
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ACTIVIDADES Probabilidades condicionadas
33. Marquen con una X los sucesos que son independientes. Se tiene una baraja española de 50 cartas. a. Extraer un as y luego un rey. b. Extraer un as y luego otro as. c. Extraer un as, reponerlo, y luego extraer un rey.
X
34. Resuelvan teniendo en cuenta la actividad anterior. a. Calculen la probabilidad de cada experimento.
4 4 4 4 4 3 16 16 12 P(as/rey) = ___ . ___ = _____ ; P(as/as) = ___ . ___ = _____ ; P(as) . P(rey) = ___ . ___ = _____ 50 49 2 450 50 49 2 450 50 50 2 500
b. ¿En qué casos la probabilidad es condicionada? En a. y b.
35. Completen el siguiente diagrama de árbol y calculen las probabilidades indicadas. De una baraja de 40 cartas españolas se extraen dos, sin reposición. a. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos oros? 9
3 ___
52 oros 39 10 ___ 40 b. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos oros 30 cartas extraídas no sean de oros? no oros 39 29 ___ cartas españolas 52 10 ___ 39 oros c. ¿Cuál es la probabilidad de extraer la primera 30 carta de oros y la segunda, no? 40 29 5 ___ no 39 no oros ___ 26 oros
36. Resuelvan. En una caja hay 12 bolillas rojas y 10 blancas. a. Si se extraen dos bolillas sin reposición, ¿cuál es la probabilidad que las dos bolillas extraídas sean rojas? 11 = __ 2 12 . ___ ___ 22 21 7
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bolilla sea blanca siendo roja la primera? 20 ___ ___ = ___ 12 . 10 22 21 77
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9 capítulo
Integración
Contenidos
59.60
37. Escriban el espacio muestral para cada uno
40. Calculen las probabilidades indicadas en
de los siguientes experimentos. a. Extraer una carta de la baraja española y anotar el palo. b. Tirar un dado y anotar el doble del resultado obtenido.
cada caso. En un bolillero hay 30 bolillas de las cuales 15 son negras, 10 son rojas y el resto, blancas. a. Una bolilla verde. b. Una bolilla roja o negra. c. Una bolilla. d. Una bolilla roja sabiendo que ya se sacó una negra. e. Una bolilla roja si ya salió una roja. f. Una bolilla no negra.
a. {oros, copas, espadas, bastos}; b. {2, 4, 6, 8, 10, 12}
38. Lean atentamente y respondan.
De los 36 alumnos de un curso, __ 43 son varones y 15 de ellos tienen celular. De las mujeres, 3 no tienen celular. a. Completen la tabla.
9 5 10 1 a. 0; b. __ ; c. 1; d. ___ ; e. ___ ; f. __ 2 29 29 6
41. Resuelvan.
¿Tienen celular? Sí
No
Totales
Varones
15
12
27
Mujeres
6
3
9
Totales
21
15
36
b. Calculen la probabilidad de elegir un alumno al azar y que... • ... sea varón. • ... no tenga celular. • ... sea un varón con celular. • ... sea mujer con celular o varón.
15 ___ 15 ___ 33 27 ___ ; ; ; ___ 36 36 36 36
39. Resuelvan.
Se lanza un dado dos veces y se multiplican los puntos obtenidos. a. Realicen una tabla para determinar el espacio muestral. b. Calculen la probabilidad de que el producto obtenido sea 4. c. Calculen la probabilidad de que el producto obtenido sea 4, si se sabe que se obtuvo un producto par. d. Calculen la probabilidad de que el producto obtenido sea 4, si se sabe que se obtuvo un producto impar. a. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 1 ; d. 0 ; c. __ 1 30, 36}; b. ___ 12 9
Martín y Lautaro fueron a una fiesta del club en la que había varios juegos y eligieron dos ruletas para jugar. Martín eligió la ruleta A y Lautaro, la B. 4 3
4
1
3
2
1 2
A B a. ¿Qué probabilidad tiene Martín de que 3 __ salga número par? ¿Y Lautaro? __ , 1 ; 8 2 b. ¿A qué número debería apostar Martín para tener la mayor probabilidad de ganar? ¿Y Lautaro? Martín al 1. Lautaro a cualquiera, todos tienen igual probabilidad de salir.
42. Completen. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de… a. obtener un número par? b. obtener un número impar? c. obtener un número primo? d. obtener un múltiplo de 2? e. obtener un número menor que 7? f. obtener un múltiplo de 9? g. obtener un múltiplo de 3? 1 ; c. __ 1 ; d. __ 1 ; e. 1; f. 0; g. __ 1 ; b. __ 1 a. __ 2 2 2 2 3
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43. Resuelvan.
47. Resuelvan.
a. En una caja hay 8 bolillas negras, 5 rojas y 4 verdes. ¿Cuántas bolillas agregarían para que al extraer una bolilla tengan la misma probabilidad el color negro y el verde? b. Cada una de las caras de un dado están pintadas de verde o amarillo. Al lanzar el dado, la probabilidad de que una cara verde quede arriba es de __32 . ¿Cuántas caras tiene pintadas de verde el dado? a. 4 verdes. b. 4 caras.
44. Lean atentamente y resuelvan. Para recaudar fondos para el viaje de egresados, los alumnos de una escuela realizan una rifa. Si vendieron números del 00 al 99, ¿qué probabilidad de ganar tiene alguien que compró... a. ... los números terminados en 9? b. ... los primeros 12 números? c. ... los números pares mayores que 86? 3 3 1 a. ___ ; b. ___ ; c. ___ 25 10 50
45. Marquen con una X los sucesos que son
excluyentes. Experimento: de un mazo de cartas se extraen dos cartas sin reposición. a. Que sean de espadas o caballos. b. Que sean de oros o copas.
X
c. Que sean pares o de bastos.
46. Lean atentamente y resuelvan. En cierto juego, se colocan en una bolsa tres fichas: una roja, una verde y una amarilla. Se extrae al azar una de ellas y luego de anotar el color, se repone. Así, se completan tres extracciones. Se gana cuando se saca al menos dos veces seguidas el mismo color. a. Realicen un diagrama de árbol para analizar todos los casos. b. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? c. ¿Cuál es la probabilidad de perder? d. ¿Qué tipo de sucesos son los de los ítems b. y c.? 15 12 a. Solución a cargo del alumno. b. ___ c. ___ 27 27 d. Son excluyentes
De una caja que contiene 8 bolillas amarillas, 6 bolillas verdes y 4 rojas, se extraen dos sin hacer la reposición luego de sacar la primera. a. Realicen el diagrama de árbol. b. Calculen las siguientes probabilidades. • Que las dos bolillas sean amarillas. • Que las dos bolillas sean verdes. • Que las dos bolillas sean rojas. • Que ninguna bolilla sea roja. • Que ninguna bolilla sea verde. • Que una bolilla sea roja y la otra, verde. • Que una bolilla sea amarilla y la otra, verde. • Que una bolilla sea amarilla y la otra, roja. • Que las dos bolillas sean de distinto color. 91 ___ 104 5 ___ 32 ____ 28 8 ____ ; ___ ; 22 ; ; 2 ; ____ ; ___ ; ___ 16 ; ____ 153 51 51 153 51 51 51 153 153
48. Calculen la probabilidad en cada caso. Se tienen dos dados, uno amarillo y otro rojo. Si se arrojan los dos al mismo tiempo, ... a. ... ¿cuál es la probabilidad de que salga 1 en el dado rojo? b. ... ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par en el dado amarillo? c. ... ¿cuál es la probabilidad de que salga 5 en los dos? d. ... ¿cuál es la probabilidad de que en los dos dados salga un número impar? 1 ; c. ___ 1 ; d. a. __ 1 ; b. __ 2 6 36
49. Resuelvan.
1 __ 4
Para un examen oral, un profesor preparó 20 temas en distintas tarjetas para que los alumnos elijan al azar. Hay 8 temas sobre geometría, 7 temas sobre aritmética y el resto son de estadística. a. ¿Cuál es la probabilidad de que David elija una tarjeta y le toque un tema de aritmética o estadística? b. ¿Qué probabilidad tiene Eugenia de sacar un tema de geometría? c. ¿Cuál es la probabilidad de que a David le toque una tarjeta de geometría si ya se sacaron 3 de aritmética, 1 de geometría y 2 de estadística? 3 2 ; c. __ 1 a. __ ; b. __ 5 5 2
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9 capítulo
Autoevaluación 50. Respondan.
a. Si el arco iris tiene 7 colores, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ordenar los colores? P7 = 5 040
b. ¿Cuántos triángulos pueden determinarse considerando los vértices de un decágono regular? C10,3 = 120
51. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). m a. ( m m– n ), para todo número natural m > 0 y n > 0. ( n ) =
V
+1 b. ( mn ) = ( m ), para todo número natural m > 0 y n > 0. m + 1
F
c. ( m0 ) = ( m , para todo número natural m > 0 y n > 0. m )
V
52. Observen el siguiente tablero de tiro al blanco y respondan. a. Si Pablo dice tener __31 de probabilidad de
D
ganar, ¿a qué letra quiere tirar? C
A
b. Marcela tiene __61 de probabilidad de acertar,
C
E
¿en qué letras piensa? AyB
c. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno B F
acierte en la letra D? __ 1 9
53. Resuelvan. Un dado cúbico tiene una cara pintada de rojo, otra de verde y el resto de azul. Se tira el dado dos veces y se anota el color que sale. a. ¿Cuál es el espacio muestral? E = {(r;r), (r;v), (r;a), (v;r), (v;v), (v;a), (a;a), (a;v), (a;r)} b. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces salga azul? 4 4 4 __ . __ = __ 6 6 9
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una vez salga azul?
(
)
1 = __ 1 . __ 8 1 – __ 3 3 9
d. ¿Cuál es la probabilidad de que salga azul en el segundo tiro, si la primera vez salió verde?
2 __ 3
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Tp
Trabajos prácticos fecha de entrega
calificación
capítulo 1 Números reales
capítulo 2 Lenguaje algebraico
capítulo 3 Funciones
capítulo 4 Figuras planas
capítulo 5 Razones y proporciones
capítulo 6 Congruencia y semejanza
capítulo 7 Movimientos en el plano
capítulo 8 Estadística
capítulo 9 Combinatoria y probabilidad
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capítulo
1
Trabajo práctico Números reales
1. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. a. El mcm entre dos números es igual al producto de esos números. b. El dcm entre un número a y 1 es igual a 1. c. El dcm entre dos números primos es 1.
V
V
d. El mcm entre un número a y su doble es a. e. El mcm entre dos números primos es 1.
F
F
2. Unan con una flecha las expresiones equivalentes. a. 3–1 = __1
b. 2 2 = c.
( __ 43__ ) = – __52
3 2
d. √ a =
e. (32 )3 = 5
F
____ __
f. √ √ = a
__
• √2 __2
• a3 • 36
__
• 10√____ a
√( )
• __ 34 • __31 5
2
3. Expresen en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La diferencia entre el inverso de __34 y su doble. 4 3 23 __ – 2 . __ = – ___ 12 3 4
b. La suma entre __53 y la mitad de __32 . 14 3
2 : 2 = ___ __ + __ 5 3 15
c. El inverso del opuesto del doble de __53 . 5 3 –1
( –2 . __5 ) = – __ 6
d. El producto entre la mitad de __23 y el inverso de –1.
3 __ : 2 . ( –1 ) = – __ 1 2 4
e. La tercera parte de las dos quintas partes del opuesto de __25 . 5
[ ( ) ]
__ 2 . – __ = – __ 1 1 . __ 5 2 3 3
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1
capítulo
Trabajo práctico Números reales 4. Resuelvan aplicando propiedades.
{
[ ( ) ( ) ]
–1 4 –2 81 a. __ 32 : __ 32 = ___ 16
}
12 2 ___ __ 3 __ c. __ 31 . 3 2 . [ (–3)2 ] 3 11 = 9
[ ( ) ( ) ( ) ]
__
[ √
]
5 ___
1 ___ b. __ 57 . __ 75 : __ 75 = 49 d. __ 41 . 4–3 32 = __ 2 25 –1
3
–3
2
5
5. Clasifiquen los siguientes números en racionales o irracionales. __
Número
2,34
__ 2 9
√5
Clasificación
Racional
Racional
Irracional
6. Marquen con una X la opción correcta. ___
√
( )
(
3
___
27 √ Racional
)
3 1 5 a. El resultado del cálculo ____ 125 . – __ + 0,2 – 3 . __ 31 – 2 + 3 –1 . 3
9 ___ 47
47 ___ 9 X
9
b. El resultado de aproximar el número π por redondeo a los milésimos. 3,141
3,142 X
b c. La expresión equivalente a __ 3 . __ 2 3 2 __ __ 2 b 3 b
3,143
2b + 3b
X
200 000 . 5 000 _______________ d. El resultado del cálculo 3 en notación científica. 250 000
X 6,4 . 104 6,4 . 105
6,4 . 106
0,000004 . 0,000009 ___________________ e. El resultado del cálculo en notación científica. 0,03 . 0,0002
X 6 . 10–6 6 . 10–5
6 . 10–4
7. Representen los siguientes intervalos en la recta numérica. __
__
) ;√ a. [√2 5
[__
√2
b. x > 4 y x < 6
)__
5 √
(
)
4
6
214
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capítulo
2
Trabajo práctico Lenguaje algebraico
1. Calculen el valor numérico de cada expresión.
a. a – b =
3 1 a = –_ y b = _ 2 2
–2
b. 4 . (b – a) =
9 – __ 2
c. __34 a – 5b + __32 =
19 ___ 8 d. a2 – (b + 2a) = 4
2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas en los casos que escribieron F. b + b + b + b = b4 F F a. d. 3m + 5m + m = m . (3 + 5) m + m + m = 3m V F b. e. m : __34 m = __34 m2 a + 2a = a . (1 + a) c.
F
13 f. 5x – __32 x . (x + 1) = – __32 x2 + ___ 3 x
F
3. Resuelvan las siguientes operaciones.
3 3 5x + __ 3x + __ yx a. d. 7a . 3a : a2 . 4a3 = 84a3 4 yx – 2x = 4
3,5x5 – 7,8x3 + 2,7x5 – 2,1x3= 6,2 b. x5 – 9,9x3
e. 5a3 . 4b5 : (10ab2) = 2a2b3
c. 3mx – 2mx + 9tm + 8mx = 9mx + 9mt
f. 34x5b2 c : (–2x2b) = –17x3 bc
4. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. a. 8x3x2 – 25x8 : 5x3 = 3x5
c. (–17a5 + 21a5 – 18a6: 3a) : (6a . __31 a2) = –a2
(
9 4 x d. __23 x . 2x3 – __ 21 x3 = __ 4
x2 . (3x5 – 5x5) + 15x10 : (–5x3) = –5x7 b.
)
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Curso:
Fecha:
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2 capítulo
Trabajo práctico Lenguaje algebraico
5. Escriban la expresión que representa el perímetro y el área de cada figura sombreada. a.
b. 1 — x 2
x+4
1 — x 4
5 — x+2 2
x–3 2x – 3
2x + 4
7 Perímetro = 6x + 2; Área = __ x2 + 5x – 12; 4
59 19 23 Perímetro = ___ x + 6; Área = ___ x 2 + ___ x+8 2 4 4
6. Completen escribiendo los términos que faltan.
(
(
)
2
)
2
a. 4 + x = 16 x + 8x + 2 y b. __ 21 + 2 y = __ 41 + 2 + y4
7. Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen el conjunto solución.
( )
–5 –1 ______ ______ c. 3x – 8x = 2–2 . (x – 2) 1,5 2
–1 a. 5 . (x – 4) – (–3)2= x – __ 31
13 x = ___ 2
28 x = ___ 27
_____
√( ) ( )
12 x = – ___ 7
( )
+1 –3 3 2 1 . _______ __ d. –4x – x_____ – – __ 2 = – 3 (x + 5) 4 22
–1 1 –1 b. __32 . (x – 3) – (3x – 5) = ___ 25 – – __21
5 x = __ 11
8. Resuelvan planteando previamente la ecuación.
a. La diferencia entre la mitad de un número y __ 67 es igual al triple del mismo número, disminuido en 0,8 . ¿Cuál es el número? 7 1 x – __ 1 . __ = 3x – 0,8 ; el número es – __ 2 9 6
b. Andrés y sus amigos fueron de vacaciones a la playa. La quinta parte de los días estuvieron en Villa Gesell, el 60% de los días restantes lo pasaron en Pinamar y se quedaron ocho días más en Mar del Plata. ¿Cuántos días se fueron de vacaciones? 4 1 x + ____ 60 . __ x + 8 = x; se fueron 25 días de vacaciones. __ 5 100 5
c. Emanuel compró pintura para su casa y destinó las __85 partes del total para las habitaciones. Para la cocina y el baño utilizó 7 litros menos que la mitad de lo que utilizó para las habitaciones. Si le quedan 12 litros para pintar los pasillos, ¿cuántos litros compró en total? 5 5 1 . __ x – 7 + 12 = x; compró 80 litros de pintura. __ x + __ 8 2 8
216
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capítulo
3
Trabajo práctico Funciones
1. Marquen con una X los gráficos que corresponden a una función. a.
b. c. d.
y
y
y
x
x
y
x
x
Sí. No. No. Sí.
2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. a. Las funciones lineales siempre cortan al eje x.
F
b. Las funciones lineales siempre cortan al eje y.
V
c. Algunas funciones lineales tienen ordenada al origen igual a cero. d. Algunas funciones lineales tienen pendiente cero.
V
V
3. Tengan en cuenta el gráfico y resuelvan. a. ¿Cuál es el dominio? ¿Y la imagen?
y
Dominio: [–4;7], Imagen: [–3;3]
3 2 1
b. ¿Cuáles son los ceros?
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 –1
x = –2; x = 2; x = 4; x = 6
x
–2 –3
c. Completen.
(
)
(
)
Máximo: 0 ; 3 Mínimo: 7 ; –3
d. Escriban los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. ¿En algún tramo es constante? Int. de crecimiento: (–3;0) U (3;5); Intervalo de decrecimiento: (–4;–3) U (0;3) U (5;7). No.
e. El punto (–3;2), ¿pertenece a la función? No.
f. Completen con la coordenada que falta para que el punto pertenezca a la gráfica de la función.
(
)
–2; 0
( 0 ;3 ) ( 1; 2 ) ( 7 ;–3 )
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Curso:
Fecha:
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3
capítulo
Trabajo práctico Funciones
4. Resuelvan. a. Encuentren la ecuación de la recta M que pasa por los puntos (–1;4) y (–3;2) y represéntenla en un sistema de ejes cartesianos.
y 6 5
y=x+5
4 3 2
b. Calculen la raíz, analíticamente.
1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1
x = –5
x
–2 –3
c. ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta M? Coloquen una
(–2;3)
X.
X X (5;2) (3;–8) (–4;1)
5. Resuelvan teniendo en cuenta la ecuación de la recta S.
S: y = __ 3 2 x + 5 a. Encuentren una recta M, paralela a S, que b. Encuentren una recta R, perpendicular a S, pase por el punto (–1;3). que pase por el punto (4;–3).
9 3 y = __ x + __ 2 2
2 x – __ y = – __ 1 3 3
c. Grafiquen en sus carpetas, las rectas S, M y R en un mismo sistema de ejes cartesianos.
6. Resuelvan en forma analítica los siguientes sistemas y clasifíquenlos. Luego, resuélvanlos en forma gráfica en sus carpetas.
{
{
4x – 2y = –10
12 x + 3 . (y – 2) = 6
a. 3 . (x – 1) + 9 = y
b. 5 – 4x = y
(–1;3) S.C.D.
No tiene solución. S.I.
218
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capítulo
4
Trabajo práctico Figuras planas
1. Resuelvan. a. Tracen la C1(o;3 cm) y la C2(p;2,2 cm) secantes. Llamen a y b a los puntos de intersección. b. Tracen la recta R que determinan los puntos a y b. c. Tracen la recta S, perpendicular a la recta R, que sea exterior a ambas circunferencias. d. Tracen una recta T paralela a la recta S que pase por los centros de las circunferencias. e. Determinen el cuadrilátero que forman a, b, o y p. R S
a
T p
o
b
2. Tengan en cuenta la construcción que realizaron en la actividad anterior y resuelvan. a. Clasifiquen el cuadrilátero obpa.
Romboide.
b. ¿Qué elementos del cuadrilátero son ab y po? Clasifiquen el triángulo aop. c.
Las diagonales.
Según la construcción que realizó el alumno.
3. Calculen el valor de x y la medida de los ángulos indicados. a. Datos: b. Datos: c. Datos: ^ ^ ^ β = 3x + 45° 33’ α = 2x – 32° α = x + 61° 50’ 26” ^ ^ ^ α = x + 35° 3’ β = 3x – 37° β = 2x + 95° 16’ 41” α
α o
o
β
o β
x = 24° 33’
β
x = 27°
x = 28° 24’ 11”
^ ^ α = 22° α = 59° 36’
^ α = 90° 14’ 37”
^ β = 180° 29’ 14”
^
β = 119° 12’
^ β = 44°
α
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Curso:
Fecha:
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4
capítulo
Trabajo práctico Figuras planas
4. Calculen teniendo en cuenta los datos. a. El perímetro de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm. ___
cm Perímetro = 4√50
b. El área de un triángulo equilátero de lado 8 cm. Área = 27,71 cm2
c. La altura de un trapecio isósceles cuyas bases miden 3 cm y 5 cm y su perímetro es 14 cm. Altura = 2,83 cm
5. Calculen el valor de x y la medida de los lados. Perímetro del paralelogramo abcd = 300 cm 5x – 10 cm
d
c
b
a
x = ___ ab =
20 cm 90 cm
3x + 30 cm
__ cd =
90 cm
__
bc =
60 cm
___
da =
60 cm
6. Calculen el perímetro y el área de la parte sombreada de cada figura. a.
Perímetro = Área =
8 cm
75,72 cm
24 cm Perímetro =
55,44 cm2
Área = 6,48 cm2 5
2,5
b.
cm
3 cm
220
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capítulo
5
Trabajo práctico Razones y proporciones
1. Completen con razones equivalentes a las dadas. a. r = __85 =
=
=
=
6 b. r = ___ 15 =
=
=
=
Solución a cargo del alumno.
2. Resuelvan aplicando las propiedades de las proporciones.
a. La razón entre dos números es igual a __57 y su suma es igual a 24. ¿Cuáles son los números? 14 y 10
b. La diferencia entre dos números es 18 y la razón entre ellos es __21 . ¿Cuáles son los números? –18 y 36
c. Lautaro y Federico tienen $3 300. La cantidad de dinero que tiene Lautaro es a la cantidad de dinero que tiene Federico como __53 es a 0,5. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? $1 800 y $1 500.
3. Calculen el valor de x. 5 __ 86 – ____ 100 x ________ a. ____________ = 0,3 18 ___ ___ – 0,4 – 5 . 0,01 9
0__________ ,22+ 1,46 x c. = ________ 0,7 – 1,3 0,13
0,4
49 x = – ____ 160 91 ____ ( ) 100 √ ____ b. = 2
1 – __54 : 2 __________ _______
√
9 1 – ____ 100
x = –900
____
2 1,12 – ____ 100 ___________ d. = 1 2,5 – 8 . ___ 10
x
x __________ 1 __________ ______ 3 ___ 1 . √ 0,343 10
91 x = ___ 36
x = 10
4. Completen las tablas e indiquen si se trata de una función de proporcionalidad directa o inversa. Indiquen la constante de proporcionalidad en cada caso. 0,5
x
f(x) = 3x
x
g(x) = __2x
x
h(x) = __51 x
x
–2
–6
–6
– __ 1 3
–5
–1
–3
1 – __ 6
0
0
–1
–2
0
0
–0,5
–1
0,5
3 __ 2
4
10
2
4
3
9
12
1 __ 2 __ 1 6
12
12 ___ 5
14
PD; k = 3
PI; k = 2
1 PD; k = __ 5
j(x) = ___ x
__ 1 8 ___ 1 28
1 PI; k = __ 2
221 Nombre:
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Curso:
Fecha:
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/
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5 capítulo
Trabajo práctico Razones y proporciones
5. Calculen el valor de x y la medida de los segmentos. a. Datos: A // B // C R y S transversales. ab = 12 cm de = 5x – 2 cm bc = 3x – 5 cm ef = 24 cm __
x = 8 cm; bc = 19 cm;
b. Datos: M // N A y B transversales. pr = 5x pq = 2x rs = x qt = 3,2 cm
R
S
f a e
A B
b d
c
___ de =
C
38 cm
p
q
t
r
s
___
x = 8 cm; pr = 4 cm; pq = 16 cm;
M
B
A __
N
__ rs =
8 cm
6. Dividan un segmento de 8 cm de longitud en cinco segmentos de tal forma que cada segmento sea 0,5 cm mayor que el anterior.
A: 0,6 cm B: 1,1 cm C: 1,6 cm A
B
C
D
E
D: 2,1 cm E: 2,6 cm
7. Resuelvan. a. Un telescopio apunta hacia el cielo con un ángulo de elevación de 65° en dirección a una estrella llamada AH211. Si se sabe que la estrella se encuentra a (2,03 . 1 025) hm de altura respecto de la perpendicular, ¿cuál es la distancia, en km, desde la mira del telescopio a la estrella? 2,54 . 1024 km
b. El área de un triángulo isósceles es de 7,5 cm2; la altura es igual a la mitad de la base. ¿Cuál es el perímetro? P = 13,22 cm
c. El perímetro de un rectángulo es de 64 cm; el lado mayor es el triple del lado menor. ¿Cuánto mide la diagonal? d = 25,3 cm
222
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capítulo
6
Trabajo práctico Congruencia y semejanza
1. Completen con los lados que se corresponden, sabiendo que los triángulos son congruentes. f
___
___
__
__
__
___
c ab y ef 40°
df bc y 80°
a
de d 60° ca y 40°
b
e
2. Escriban las medidas que faltan para que los cuadriláteros sean congruentes. d
100°
6 cm c
h
a
g
15 cm
60°
10 cm
e
^ f =
60°
___
8 cm
120°
^ g =
80°
b
^ a =
ef =
120°
80°
^ h =
100°
___ ad = ___ he =
15 cm
^ c =
10 cm 6 cm
f
3. Demuestren usando los criterios de congruencia de triángulos. a. dfc = ebf Datos: abc equilátero d, e y f puntos medios.
__
__
c d a
f b
e __
t
b. mno = mot Datos: mnot romboide
o
m n
__
Por LAL: dc = eb por punto medio; cf = bf por
^ = mto Por LAL: mno ^ por ángulos del romboide;
___ ___ __ ___ ^ punto medio; ^ c = b por triángulo equilátero. mn = mt y no = to por lados del romboide.
4. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas. a. Dos cuadrados de distintos perímetros siempre son semejantes.
b. Dos rombos de igual perímetro son semejantes.
V
F
Para ser semejantes deben tener los ángulos congruentes. c. Dos triángulos obtusángulos son semejantes si tienen dos pares de lados proporcionales.
F
Para ser semejantes deben tener los ángulos congruentes.
d. Todos los pentágonos son semejantes.
F
Solo son semejantes los regulares o aquellos que tengan todos los lados respectivamente congruentes.
223 Nombre:
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Curso:
Fecha:
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6 capítulo
Trabajo práctico Congruencia y semejanza
5. Calculen la razón de semejanza y los lados desconocidos. a. Datos: tuv ∼ t’u’v’ Perímetro del tuv = 36 cm 4
__ v Razón de semejanza = 3 v’
16 cm
9 cm
t
t’
u
__ tu =
12 cm
u’
8 cm
___ uv = ___ t’u’ =
12 cm 6 cm
b. Datos: abcd paralelogramo ∼ a’b’c’d’ paralelogramo Perímetro del abcd = 44 cm
12,5 cm
d
Razón de semejanza =
c
d’
c’
a
b
a’
5 cm
b’
___ ab = ___ bc = __ da =
12,5 cm
9,5 cm
9,5 cm
____ b’c’ = ____ c’d’ = ____ d’a’ =
2,5 3,8 cm 5 cm 3,8 cm
6. Demuestren que los triángulos abc y dbe son semejantes. ac // de c
e
^ ^ Son semejantes porque bac = bde por corres-
^ ^ pondientes entre paralelas; abd = ecd por
b
d
a
^ correspondientes entre paralelas; b por ángulo
común.
7. Construyan una figura semejante a la dada teniendo en cuenta la escala indicada. E : 1 : 1,5
e
d c
f a
b
Solución gráfica.
224
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capítulo
7
Trabajo práctico Movimientos en el plano
1. Realicen los siguientes movimientos.
__› ( mnopq) b. Tno
a. So(abcdef), donde o es el punto de __ __ intersección de las diagonales ce y df . a’
p’
b’
q’
f’ d c’
o’
p
e
q o
c
e’
d’
n’ o
m’
f b m
a
n
2. Marquen el elemento pedido en cada caso. a. El centro de rotación. a
b. El vector traslación.
d
b
a’
d’
a
d b’
c’
b
c
c
c’ d’
b’
a’
3. Realicen las siguientes homotecias. a. H(r;__ 3 )( rst )
b. H(o;–2)(pqrs)
2
t’ t
q’
s
r r’
s
p
p’
r
o q
r’
s’
s’
225 Nombre:
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Curso:
Fecha:
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7
capítulo
Trabajo práctico Movimientos en el plano
4. Realicen la siguiente composición de movimientos e indiquen a qué único movimiento equivale. __› (abcdefgh) T2da
S__ S__ (abcdefgh) = ha ˚ de
f”
g”
g’
f’
f
g
h’
e e’
h
e” h”
a
d”
a”
a’
d’ d b
b’
c’
c
c”
b”
5. Encuentren los ejes de simetría de cada figura. a.
b.
6. Realicen las composiciones de movimientos pedidas. ___ ___
a. S__ S (abc), siendo M la mediatriz de ab y hb b. Sc ˚ So(def), siendo o el ortocentro y c el hb ˚ M __ la altura correspondiente a ca . circuncentro de def . d’ M c’
e f
c b”
c”
e’
o
f’ e”
c f”
h b’ a
d a” a’b
d”
226
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capítulo
8
Trabajo práctico Estadística
1. Clasifiquen las variables en cualitativas o cuantitativas. En caso de ser cuantitativas, indiquen si son discretas o continuas. a. Número de goles que se realizan en un campeonato. b. Programa preferido de un grupo de adultos.
Cuantitativa discreta.
Cualitativa.
Distancia que alcanza una pelota en cada lanzamiento. c. d. Países a los que vuela una compañía aérea.
Cuantitativa continua.
Cualitativa.
2. Resuelvan. Los alumnos de 3.° “A” y 3.° “B” realizaron una evaluación que contenía 10 preguntas. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de respuestas correctas por alumno. 6, 8, 10, 2, 10, 7, 8, 3, 7, 8, 5, 9, 7, 6, 10, 2, 8, 7, 10, 5, 7, 9, 7, 7, 9, 10, 7, 8, 2, 9, 8, 4, 6, 10, 7, 3, 8, 9, 5, 10, 6, 7, 9, 5, 10, 6 a. ¿Cuál es la muestra? ¿Cuántos elementos tiene? 46 alumnos de 3.° “A” y “B”.
b. ¿Cuál es la variable? Clasifíquenla. Cantidad de respuestas correctas.
c. Completen la tabla y realicen un gráfico circular. Respuestas correctas
f
1
fr
F
0
0
0
2
3
0,07
3
3
2
0,04
5
4
1
0,02
6
5
4
0,09
10
6
5
0,11
15
7
10
0,22
25
8
7
0,15
32
9
6
0,13
38
10
8
0,17
46
1 4 2
10
3 5
9
6 8 7
d. Calculen las medidas de posición.
aritmética = Media
7,09
Moda =
7
Mediana =
7
227 Nombre:
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Curso:
Fecha:
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8 capítulo
Trabajo práctico Estadística
3. Respondan teniendo en cuenta la información de la tabla. La siguiente tabla muestra la cantidad de clientes de una entidad bancaria entre los años 2005 y 2007. Año
2005
2006
2007
Clientes
12 678
13 156
13 800
a. ¿Cuál es el número índice del 2007 respecto al 2005?
1,0884
b. ¿Cuál es el porcentaje de variación del 2007 respecto al 2005? +8,84% c. ¿Cuál es el número índice del 2006 respecto al 2005?
1,0377
4. Resuelvan. La siguiente tabla muestra la cantidad de mensajes de texto que envió Damián durante el mes de septiembre, agrupados en intervalos. Días del mes de septiembre
[1;10)
[10;20)
[20;30]
Cantidad de mensajes enviados
56
80
69
[10;20)
Media =
a. Completen la tabla e indiquen la moda y la media.
Días [0;10)
f
fr
F
56
0,27
56
[10;20)
80
69 [20;30)
0,39
136
0,34
205
Moda =
15,63
Cantidad de mensajes
b. Realicen un histograma.
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 [0;10)
[10;20)
[20;30)
Días (septiembre)
228
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capítulo
9
Trabajo práctico Combinatoria y probabilidad
1. Calculen.
P2 . V6,3 24 ___ = 7 a. _______ C
C10,4 . V5,3 5 __ b. ________ = 2 P7
8,4
P9 . C8,3 c. _______ = 169 344 V 6,3
2. Resuelvan las siguientes operaciones. a. ( 53 ) + ( 52 ) – ( 74 )= –15
c. ( 83 ) + ( 76 )– ( 71 ) = 56
( ) ( )
b. 43 – 66 + ( 67 ) = 10
d. ( 95 ) – ( 86 )+ ( 63 ) = 118
3. Resuelvan. a. La planta de un hospital está compuesta por 32 médicos. Si en cada guardia deben quedarse 5 médicos, ¿cuántas guardias diferentes se pueden formar? C32,5
b. ¿Cuántos anagramas de cuatro letras se pueden formar con las letras de la palabra ROMA? 4! = 24 Se pueden formar 23 anagramas porque ROMA no es anagrama de ROMA.
c. ¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden formar con las cifras 1, 2, 3 y 4? 44
d. La boleta para un juego de azar se arma eligiendo 15 números de los primeros 25. ¿Cuántas boletas distintas se pueden elaborar? C25,15
4. Respondan y expliquen la respuesta. ¿Es verdadera la siguiente igualdad? Vm,m = Pm m! Sí. Vm,m = _______ = m! = Pm (m–m)!
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Fecha:
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9 capítulo
Trabajo práctico Combinatoria y probabilidad
5. Resuelvan. Con los dígitos 2, 3, 4, 5, 6 y 7. a. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar? V6,4
b. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras se pueden formar? 63
c. ¿Cuántos de los números capicúas que se pueden obtener son múltiplos de 5? 36 números.
6. Lean atentemente y resuelvan. Se tienen dos bolsas, una con bolillas rojas numeradas del 1 al 5 y la otra con bolillas amarillas numeradas del 1 al 7. Se extrae al azar una bolilla de cada bolsa y se suman los números obtenidos. a. ¿Cuál es el espacio muestral correspondiente al experimento? 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea menor que 7? 3 __ 7
c. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos números obtenidos sean iguales? 1 __ 7
7. Resuelvan. De los 60 socios que concurren a un club, 25 juegan al tenis. Del total de socios, hay 15 mujeres que no practican este deporte y el 56% de quienes sí lo practican, son hombres. a. Completen la tabla. Tenis
No tenis
Totales
Varones
14
20
34
Mujeres
11
15
26
Totales
25
35
60
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer no juegue al tenis? 1 __ 4
c. ¿Cuál es la probabilidad de que un socio sea un varón y juegue al tenis? 7 ___ 30
d. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? ¿Y de que sea hombre? 13 17 ___ y ___ 30 30
230
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Control de resultados capítulo
1
4. Potenciación y radicación
( )
1. Números enteros 1.
2. 3. 4.
a. a15 b. (a . b)5
c. b _____ 4 d. √ a : b
a. 81 b. 15
c. 4
a. 41 b. 13
c. 12 d. 23
d. 2
e. –3 f. –14
Por ejemplo, a. mcm: 36; dcm: 1.
6. 7. 8. 9.
Por ejemplo, a. 2,6 .
b. 1
Por ejemplo, a. ___ 21 . 2 7 __ = 11
35 ___ . 55
Solución a cargo del alumno.
10. Por ejemplo, a. 3,5. 11. 7 Por ejemplo, a. __ . 9
3. Operaciones con números racionales 12. a. : b. . c. . d. + e. : f. –
13. 13 31 11 g. __ 1 a. ___ c. ___ e. ___ 12 35 4 60 99 49 4 5 b. ___ d. __ f. ___ h. ___ 15 12 80 4 14. a. No. b. No. c. No. d. Sí. 15. 53 3 1 = ___ + 5 . 2 + __ . Por ej., a. __ 2 4 4
(
16. a. 3
)
13 67 12 b. – ___ c. – ___ d. ___ 5 12 10
17. Por ejemplo, a. 2,6 . 18. Solución a cargo del alumno. 19. 16 2 d. ___ a. – ___ 15 45 7 17 b. __ e. ___ 3 6 13 27 ___ ___ c. – f. 5 9
24. a. –4
109 1 g. ___ i. – ___ 17 35 13 2 __ ___ j. h. 3 48
4 1 c. __ e. – __ 3 4 23 17 d. ____ f. – ___ 8 144
25. 7 8 1 e. __ c. – ___ a. – ___ 15 15 3 13 27 b. ___ d. ___ f. No es posible. 10 10 ___
4 ). ( √___ 25
26. Por ej., __ 12 – 3
27. 59 32 2 a. ___ c. __ e. ___ g. 5 20 9 16 h. 20 f. – ____ 11 d. ___ b. __ 7 21 123
55 i. ___ 6 289 j. ____ 90
103 ____ 9 157 ____ 30
33. a. 1,5; finita. d. 1,4 ; p. p. b. 1,25 ; p. m. e. 0,857142; p. p. c. 1,4; finita. f. 0,5 ; p. pura.
35. 6 a. __ 7 4 b. __ 9 8 c. __ 5 36. 4 a. __ 3
e. < g. > i. = f. = h. < j. <
13 d. ___ g. 12 4 e. __ h. 7 4 f. __ 5
7 ___ i. 10 248 _____ j. 2 337
8 __ 9 17 ___ 5
9 4 17 1 e. – __ b. __ c. ___ d. – __ 7 2 12 4
37. a. 117 b. 0,532 c. 0,0006 d. 0,045
e. 40 000 f. 0,013 g. 0,3421 h. 9 000
38. a. 1,5 + 0,5 = 2; 13 kg. b. 6 d. 251 ____ – 100 39. 7 __ 76 113 17 a. ___ b. ___ c. ___ d. __ 1 6 5 15 7 2
menteACTIVA Solución a cargo del alumno. 28. 25 17 128 c. – ___ a. ____ e. – ___ g. 3 45 6 90 27 7 b. ___ d. ____ f. – __ h. 20 617 6
32. 3 11 g. a. ___ d. __ 25 3 25 381 ____ ___ b. e. h. 25 3 153 115 c. ____ f. ___ 25 9
27 ___ 8 3 125 _____ 243 34. a. > c. < b. = d. <
5. Operaciones combinadas
3 75 . Por ej., fila 1: va X en __ y ___ 5 40
Por ejemplo, a. ___ 21 = 33
22. 3 1 g. 5 i. a. __ d. ___ 5 16 125 81 1 h. ___ b. ____ e. ___ j. 8 27 16 4 2 c. __ f. __ 3 9
11 __ 4 5 __ 4
23. Por ejemplo, a. 240.
2. Números racionales 5.
20. 3 – __1 Por ejemplo, a. con __ 3. 2 21. 4 1 2 e. __ g. a. __ c. __ 5 3 9 3 1 d. ___ b. ___ 121 f. __ h. 2 16 36
40. 27 3 81 c. ___ a. ____ e. __ 8 4 625 5 5 1 d. __ b. ____ f. __ 2 2 729
1 g. __ 2
11 __ 3 62 41. – ____ 1 b. A: 400; B: 250; C: 350 225 a. ___ 15
menteACTIVA Solución a cargo del alumno. Integración 1.2.3.4.5
29. a. a14 c. a3 e. a g. a35 i. a237 5 __ __ ___ –1 –40 6 b. a d. a f. a h. a 6 j. a 12 30. a. 9 d. 12 g. 27 j. 49 b. 658 e. –9 h. –24 k. –4 c. –12 f. 940 i. –2 31. a. 6; 432. e. 7; 1 176. i. 35; 1 470. b. 15; 300. f. 4; 120. j. 11; 462. c. 3; 360. g. 45; 90. d. 2; 60. h. 12; 2 520.
42. 309 43 a. ____ c. ___ e. –15 g. 110 30 9 5 27 b. __ d. – __ f. ___ h. 2 2 20 43. 3 1 a. __ 1 c. __ e. __ 2 3 4 49 64 1 b. – ___ d. ____ f. __ 20 3 243 44. 134 a. ____ 21 3 __ b. 4 3 c. – __ 7
125 11 ____ i. ___ 27 10 25 ___ 9 g. 3
3 7 d. ___ g. __ 52 3 139 16 e. – ____ h. ___ 18 81 1 1 f. – __ i. __ 5 2
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6. Números irracionales
45. Por ejemplo, 3,4 es racional. 46. Solución gráfica. 47. Por ejemplo, 5,010010001... 48. Por ejemplo, a. 1; 2. 49. a. 2 b. 15
c. 21 d. 12
e. 3 f. 41
7. Aproximación y notación científica
66. a. 5 __ 3 b. √ 6 ___ __ c. √6 + √ __15 d. 3 – √6
e. 2 ___ f. 8 + √12 g. 228__ h. 10√ 7
67. __ cm 2 a. 2,9 cm d. √__ cm b. V = 1 942,88 m3 e. √5 c. 4,348. Infinitas. 68. a. 3,35 c. –0,35 e. 3,99 b. 23,56 d. 1,94 f. –45,10 69. a. 23,4 b. –24,7
c. 2,9 d. 1,6
e. 0 f. –0,4
50. Solución a cargo del alumno.
70. Solución a cargo del alumno.
51. a. 8,24 m2
71. a. 4 . 10–3 b. 3 . 104 c. 2,3 . 106
b. $218,3
52. Por ejemplo, a. 0,335. 53. Por ejemplo, a. 1,5 . 108. 54. Por ejemplo, a. 6 . 10–3. 55. a. 8 . 10–3 b. 1,2 . 10–4 c. 3,175
d. 1,875 . 102 e. 1,92 . 104 f. 1 . 10–1
8. Intervalos reales
d. 3,6 . 10–3 e. 9 . 10–4 f. 3,42 . 107
72. Por ejemplo, a. 23 000. 73. a. 1,376 . 108 b. 2,7 . 1011 c. 2,88 . 1011 d. 2 . 10–8 e. 5 . 10–3
f. 3 . 10–3 g. 1,05 . 103 h. 5 . 104 i. 6 . 102
74. a. 3 . 105 km/s b. 3 . 106
56. Por ejemplo, a. V.
75. a. F b. V c. F d. V e. V
57. Solución gráfica.
76. Solución a cargo del alumno.
58. b. (–7;–2]
d. [–3;+∞)
59. __ a. (3;+∞) c. [–2;7) e. [√3 __ ;+∞__) 3 3 ;√ ) b. (5;12) d. (–∞;–1) f. (– √ 7 7 60. a. x ≥ 3
b. x ≤ –6
Integración 6.7.8
77. a. (–3;+∞) b. (5;12]
c. (–∞;4] d. [–2;0]
78. Solución a cargo del alumno. 79. a. (–∞;7] c. [3;9] e. [–2;3) b. (–2;4) d. (2;+∞) f. (6;9]
capítulo
2
9. Expresiones algebraicas 1.
2. 3.
4. 5.
Por ejemplo, a. con 2 . (x + 7). ___
. Por ejemplo, a. (x + 1) – √64
Por ejemplo, a. El triple del siguiente de un número. Por ejemplo, a. 9b2; –8b2; b . b. 7 a. – __ 2 b. –2
6. 7. 8.
9.
c. –5 11 d. __ 3
1 e. __ 4 f. 4
Por ejemplo, a. 5a. Por ejemplo, a. 18x2. 7 a. __ ab 2 b. 2y3
c. 5m4 d. 12t 3
10 e. – ___ 9 f. 11a2
14 2 a2 a. P = ___ a; A = __ 3 3 5 b. P = 8x; A = __ x2 2 c. P = 12c; A = 6c2 d. P = 20a; A = 7a2 e. P = 32p; A = 44p2 f. P = 24b; A = 24b2
10. a. B = x + 4; A = x; P = 4x + 8 b. L = 2x – 7; B = x; P 5x – 14 menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
10. Propiedad distributiva 11. Por ejemplo, a. 3x2 + 6x.
12. Por ejemplo, a. 2 . (2x2 + x – 5).
61. Va X en b., c. y f.
80. a. (0;6,5) b. (–4;10] c. [–8;+∞)
62. Solución a cargo del alumno.
14. Solución a cargo del alumno.
63. Solución gráfica.
Autoevaluación 81. 8 21 a. ___ b. __ 3 4 82. Por ejemplo, fila 1: 3,2 ; 2,25.
64. a. < b. > c. > d. < e. < f. >
83. Solución gráfica.
15. a. F
65. Solución a cargo del alumno.
84. a. 3
16. Por ejemplo, a. 9x2 + 12x + 4.
b. 6 . 10–4
85. Por ej., fila 1: x > 3 y x ≤ 5; (3;5].
13. Por ejemplo, a. –x3.
11. Cuadrado y cubo de un binomio b. F
c. V
d. F
17. Por ejemplo, a. (1 – 2y)2.
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18. capitulo Por ejemplo, a. (x – 5) . (x + 5).
2
19. Por ejemplo, celda 1: x2 – 4. 25. Opuestos de un número y valor absoluto. Integración 9.10.11 20. 1. Solución a cargo del alumno. a. 3 701 21. b. 45 861: Solución a cargo del alumno. c. 270 22. c. F e. F g. V 2. a. F b. V d. V f. V h. F a. 9 23.b. 45 76 g. ___ a. –4 c. 18 e. 3 5 3. 1 __ b. 325 h. 2 a. 701 d. –1 f. 2 24.b. 45 861: 7 f. 3,8ab – 0,8b __ x a. c. 270 2 4 3 11 x + 2y g. __ x3 + __ x + 2x2 4. b. __ 5 7 4 a. 9 29 c. –2mp + 3m2 h. ___ a b. 45 6 4 __ 2 5. d. 1,1z + 2,2y z i. 5 b a. 3 __ 701 3 13 2 b 5 e. – 1 a 861: – __ a2 + a3 j. ___ a + __ b. 45 2 3 4 4 c. 270 25. 5 f. 4a3 6. a. a 3 6 b. 2x y g. –3x2y3 a. 9 3 6 __ c. b a h. –4a2 b. 45 2 d. –18m2p4 i. 13x3y3 7. e. –4,8a3b3 j. 3m4p a. 3 701 26.b. 45 861: 5 21 m f. ___ 4 a. __ xy c. 270 2 9 5 3 b. 9x4 g. ___ y 24 8. 1 __ 2 c. – a b h. 5x a. 9 2 d. –2,4y i. 7a4b5 9. e. –m3 j. –2p3q3 + 2pq3 a. 3 701 27.b. 45 861: a. 6x + 15 d. –2y – y2 __ __ 7 __ b. –3a + e. √6 + 2a√ 2 2 10. __ c. 1 x – 8 f. 5x6 – 3 a. 9 2 b. 45 4 __ g. 21x – 1 x6 + 18x 2 11.h. 7p6 – 9p a. __ 93 701 i. m3 + 9m2 – 2m – 10 5 861: b. 45 j. 2x3 – x2 – 6x + 8 c. 270 28. 12.Por ejemplo, a. x2 . (1 + 8x3 – 4x). a. 9 29.b. 45 Por ejemplo, a. x2 + 8x + 16. 13. 30. a. 3 ejemplo, 701 Por a. 2x; 1. b. 45 861: c. 270
31. 14.Por ejemplo, a. (x + y)2; x2 + 2xy + y2. a. 9 b. 45 32. Por ejemplo, a. x2 + x – 2.
14.c. 270 Problemas con ecuaciones
42. 16 b. 3 c. – ___ 4. a. 11 9 a. 9 43. b. 45 a. S: 60 f; T: 50 f; N: 30 f. 26. Orden y representación b. T: 35 a; I: 49 a; S: 42 a. 33. 5. numérica d. Cuesta $1 200. a. P = 6x; A = 5x2 + 4x – 6 a. 3 701 c. B: 20 cm; b: 10 cm; L: 8 cm. 7 11 __ __ 2 b. 45 861: 1. b. P = 8x + 4; A = 3x + x – 2 2 a. 9 15.c. 270 Inecuaciones 12.b. 45 Ecuaciones I 44. 34. 6. Por ej., fila 1: x ≤ –28; (–∞;28]. a. 9 2. Por ejemplo, a. con 8 – 2x. 45.b. 45 35.a. 3 701 16 e. x < – __ 1 i. x ≤ 1 a. x ≤ – ___ 7 7 b. 45 5 4 a. 1 861: b. – __ c. –6 d. __ 2 8 7. c. 270 9 4 7 b. ___ f. x ≥ – ___ j. x > __ 36. a. 3x >701 17 8 14 5 __ e. Infinitas sol. 7 b. 45 3. a. x = 7 c. x ≤ 861: – ___ g. x < 24 10 5 __ c. 270 a. 9 f. x = 7 b. x = – d. x < 11 h. x ≥ 2 b. 45 3 11 c. Infinitas sol. g. x = – __ 8. 4 Integración 12.13.14.15 a. 9 4. 46. d. tiene sol. h. x = 3 a. 3No701 4 8 a. __ b. 19 c. No tiene sol. d. – __ 37.b. 45 861: 7 9. 5 2 47.a. 3 701 e. –2 g. 12 a. 15 c. __ c. 270 5 25 1 c. x = ___ a. x =861: __ b. 45 19 5 3 __ ___ ___ 2 6 b. – d. f. – 5. 12 2 10 7 __ b. x = 7 d. x = a. 9 3 38. 10. b. 45 __ 1 48. d. x = –31 a. x = – 2 49 a. 9 2 __ c. ___ e. 3 g. 1 a. 11 3 36 b. 45 6. b. x = __ f. x = 0 9 23 7 3 1 a. 3 701 b. ___ d. __ f. – __ h. __ 1 __ 2 3 4 c. No tiene 11. 10 b. 45 861: sol. g. x = – 5 49.a. 3 701 39.c. 270 1 a. 3 b.861: M: 12; S: 15; L: 5. c. 192 b. 45 d. No tiene sol. a. x = ___ 18 c. 270 7. 5 50. b. Infinitas sol. e. x = __ a. 9 36 11 4 d. x = ___ a. x = – ___ 5 12. b. 45 ___ 30 9 27 __ f. x = – c. x = 14 ___ a. 9 8 10 b. x = 20 e. x = 5 b. 45 8. 40. 29 71 ___ ___ a. 3 701 f. x = c. x = a. x = –14 o x = 14 5 4 13. b. 45 b. x =861: –11 o x = 11 51.a. 3 701 c. No tiene solución. 17 17 o x = ___ a. x =861: – ___ b. 45 9. 18 18 7 1 o x = – __ __ d. x = c. 270 ___ a. 9 3 4 8 3 b. x = – o x = – ___ b. 45 15 15 e. x=8ox=4 9 9 14.c. x = – __ 8 8 o x = __ o x = __ f. x = – __ 2 2 a. 9 3 3 3 1 g. x = capitulo 0ox=8 b. 45 d. x = – __ o x = – __ 4 4 h. x = –21 o x = 9 14.e. x = – 3 o x = 3 13. II un número y 30. Ecuaciones Opuestos de 52.a. 9 18 22 b. 45 valor absoluto. 41. b. x = ___ a. x = ___ 13 3 9 a. __ f. –2 o k. – ___ 11 3 3 16 13.c. x = – __ 1. 4 o x = __ 49 5 7 7 a. 3 701 5 a. 9 b. 1 g. – __ o __ l. ___ 5 5 3 3 16 __ d. x =861: – o x = __ b. 45 b. 45 2 2 39 23 5 5 c. 270 ___ c. ___ h. – __ o __ m. – ___ 5 3 4 4 4 e. x = 3 f. x = – ___ 2. 16 27 11 1 a. 9 d. – ___ i. __ n. 72 2 87 53. 3. 3 1 j. – __ a. b = 14 cm; h = 5 cm. P = 38 cm. e. – __ 1701 o __ a. 3 2 3 3 b. b = 24 cm; h = 8 cm c. 32 cm b. 45 861:
5
233
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54. c. $207; $414; $69 a. 4 b. $124; $62; $31 d. 15; 60 55. 19 87 e. x < ___ a. x ≤ ___ 8 6 1 1 b. x ≤ __ f. x ≤ – __ 2 7 1 c. x > __ g. x > –6 3 13 d. x < ___ 8 56. 3 a. x < 3 b. x < 3 c. x < __ 4 Autoevaluación 57. 7 1 x b. 6x3 c. 10b6y5 a. __ m + __ 8 2 58. P = 22x + 6; A = 20x2 + 12x 59. a. 4x4 – 20x2 + 25 b. 27a3 – 27a2b2 + 9ab4 – b6 60. 10 a __ 1 a 2b . (4b2 – ___ 3b + a) 3 3 61. 5 5 a. x = – ___ 10 b. x = __ o x = – __ 3 3 9 62. A: $60; F: $50; G: $44. 63. 15 x < – ___ 4
capítulo
3
16. Interpretación de gráficos 1.
2.
3.
Va X en b. a. Tiempo (independiente) y capacidad (dependiente) b. 50 l c. 12 h; 2 horas. d. 75 l a. Por ej., gráfico A: tiempo (indep.) y distancia (depen.). b. Solución a cargo del alumno.
17. Función 4. 5. 6.
Va X en a. y c. Por ej., a. D = [–3;6]; I = [–2;5]. Solución a cargo del alumno.
18. Función lineal 7.
Va X en a., c., d. y f.
8. 9.
Por ej., a. con –4; –2; 0; 2; 4.
29. Solución gráfica.
Por ejemplo, a. y = 8x + 10.
30. Solución a cargo del alumno.
10. Solución gráfica. 11. 5 Por ej., fila 1: –4; 5; decrec.; __ . 4 12. a. F b. V c. F d. V e. F 13. 25 Por ej., a. x = ___ . Sol. gráfica. 3 menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
19. Ecuación de la recta
14. Por ejemplo, a. y = 3x – 1. 15. 1 x – 5. Por ejemplo, a. y = – __ 2 16. Por ejemplo, a. y = –3x + 2. 17. Por ejemplo, a. y = –4x – 1. 18. 2 x + __ 11 . Por ejemplo, a. y = __ 3 3 19. a. Solución gráfica. b. Por ejemplo, sr: y = 2x + 1. 20. 8 . Por ejemplo, a. con (0;2) y 1; __ 5
( )
21. a. Sí. b. No. c. Sí. d. Sí. e. No.
20. Rectas paralelas y perpendiculares 22. Va X en a., c. y f.
⊥ ⊥
c. // d. ⊥
32. Solución a cargo del alumno. 33. Solución a cargo del alumno. 34. Solución gráfica. 35. 4 a. Iguales. b. Por ej., A: x = – __ . 3 36. a. y = –3x + 6 b. y = 7x + 1 c. y = –2x – 5
d. y = x e. y = 4
37. 3 a. y = –2x – 4 c. y = __ x 5 4 4 b. y = 7x + 3 d. y = – __ x – __ 3 3 38. 1 x + __ a. y = 2x + 7 c. y = – __ 1 2 2 b. y = 2x – 4 d. Solución gráfica. 39. a. F b. F c. V d. V e. F f. V 40. 3 1 x + 3 c. y = __ a. y = __ x – __ 11 2 2 3 32 2 x + ___ b. y = __ 13 d. y = __ 2 x + ___ 5 5 3 3
21. Función cuadrática
41. a. Por ej., y1: 0; –3; –4; –3; 0. b. Por ej., y1: (0;–4), x = 0, x = –2 o x = 2, (0;+∞), (–∞;0).
23. Va X en a. y f. 24. a. b.
31. a. Horas trabajadas (indep); costo total (dependiente). b. Por ejemplo, columna 1: 5; 9. c. y = 20 + 60x d. $500 e. 4 horas y media. f. Solución gráfica. g. Sí.
e. // f. ⊥
menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
25. 1 . Por ejemplo, a. y = 2x + __ 2
22. Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones
26. 3 Por ejemplo, a. y = __ x + 5. 2 . . Integración 16 17 18.19.20 27. a. Sí. b. No. c. Sí. d. Sí. e. Sí.
43. Por ej., a. con el segundo gráfico.
28. Por ej., a. D = [–5;7]; I = [–2;6].
42. Por ejemplo, a. {(–2;2)} S. C. D.
44. a. F
b. F
c. V
d. V
45. Por ejemplo, a. y = x + 1; y = –x + 3. Solución = {(1;2)}.
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46. a. F
b. F
c. V
d. V
67. a. V
b. F
c. F
d. F
12. Solución gráfica.
47. Solución gráfica.
68. Va X en c.
48. Por ej., a. y = –x + 6; y = x – 8.
Autoevaluación 69. a. 3 horas; llegó a las 12 h. b. Sí, 3 horas. A las 10, 12 y 15 h. c. 5 horas. A las 18 h.
23. Sistemas de ecuaciones
49. Por ej., a. {(36;–13)} S. C. D. 50. 1 S. C. D. Por ejemplo, a. 1; __ 3
{( )}
51. Por ej., a. {(3;–4)} S. C. D. 52. Por ej., a. a = 7.
70. a. y = –2x + 1 c. y = –2x + 7 7 1 x + __ b. y = __ 2 2 71. a. Solución gráfica. b. Ordenada: (0;–3), vér.: (1;–4), eje de simetría: x = 1,
53. a. S = {(–1;–1)} b. S = {(–6;–15)} 54. Por ej., a. Lápiz: $4; lapicera $6.
D (–∞;1); C (1;+∞).
4
capítulo
Integración 21.22.23
24. Circunferencia y círculo
56. Solución a cargo del alumno. 57. a. máx.; mín. c. ordenada. d. ceros. b. vértice. 58. Solución a cargo del alumno. 59. Por ejemplo, fila 1: (0;3); no tiene; y = 3; x = 0. 60. Va X en b. y c.
1.
2. 3. 4.
6.
61. Solución a cargo del alumno.
7.
62. a. (2;–8) c. (6;0), (–2;0) b. (0;–6) d. Solución gráfica.
8.
63. Va X en c. 64. Por ejemplo, a. {(1;–3)} S. C. D. 65. a. x + y = 3 b. x + y = 6
c. y = x + 2
66. a. Abuela: 76 años; Sofía: 9 años. b. Base = 3,5 cm; altura = 12 cm. c. Alf.: $2; gall.: $3. d. 7 y 9.
Solución gráfica. Por ejemplo, a. con d > R + r. Por ejemplo, a. secantes. Solución a cargo del alumno.
25. Ángulos inscriptos y semiinscriptos 5.
9.
13. Solución gráfica. 14. Solución gráfica. menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
27. Teorema de Pitágoras 15. Va X en a., d.
16. ___ __ a. ab __ = 4,22 cm __ = 6,36 cm c. bc b. ac = 9,62 cm d. bc = 5,28 cm 17. a. 6,35 cm
b. 6,87 cm Integración 24.25.26.27
72. S = {(3;2)} S. C. D.
menteACTIVA Solución a cargo del alumno. 55. a. x = –1 c. (–3;0); (1;0) b. (–1;–3) d. D (–∞;–1); C (–1;+∞)
26. Puntos notables de un triángulo
Por ejemplo, a. inscripto. Por ejemplo, a. 100°. Por ejemplo, b. acb; adb; aeb .
18. Solución gráfica. 19. a. b.
^ α = 60° ^ β = 85°
c. ω ^ = 51° 4’ d. ^ π = 44° 12’ 8’’
20. ^ a. b = 66° 43’; ^ c = 90° ^ ^ b. α = 40°; β = 50°; ^ π = 80° ^ c. ^ α = β = 67° 30’; ^ π = 45° ^ d. x = 30°; d = 30°; ^ e = 60° 21. a. V
b. F
c. V
22. ^ ^ = 92° α = β = 46°; ω a. ^ b. ^ α = 60° 51’; ^ β = 121° 42’; ^ π = 238° 18’ ^ α = 37° 30’ β = 52° 30; c. ^ ^ = 105° ω ^ ^ = 160°; d. ^ α = 10°; β = 80°; ω ^ π = 200°
a. Infinitos. b. Dos. c. 63° 30’
24. Solución a cargo del alumno.
α = 140°. Por ejemplo, a. ^
25. Solución a cargo del alumno.
10. ^ α = β = 34°. Por ejemplo, a. ^
26. a. 4,33 cm c. 16,22 cm b. 32 cm2
11. ^ a. ^ α = 158°; β = 79° ^ b. ^ α = 212°; β = 106° ^ c. ^ α = 127° 30’; β = 63° 45’; ^ = 26° 15’ ω ^ d. ^ α = 88°; β = 44° ^ ^ e. α = 33°; β = 16° 30’ ^ f. ^ α = β = 52° 30’; ^ π = 37° 30’
27. __ cm c. x = 2 cm a. x = √7 b. x = 5,52 cm d. x = 6,09 cm
28. Propiedades de los cuadriláteros 28. Por ej., a. Trapecio rectángulo. Trapecio.
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29. Por ejemplo, a. F.
42. Solución a cargo del alumno.
3.
15 a. ___ 23 b. 6 25 c. ___ 2
d. 20 81 e. ___ 20 f. 30
5 g. __ 2 h. 30 i. ___ 10 7
menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
43. Solución a cargo del alumno.
30. ___ __ = cd = 42 cm; a. ab ___ __ bc ___ = ad = 39 cm __ b. = 20 cm; cd = 8 cm __ ab ___ ___ bc = da __ = 12 __ cm ___ c. ab ___ = bc __ = cd = da = 20 cm d. = cd = 14 cm; __ ab ___ bc ___ = ad ___ = 11,31 cm e. = da = 16,49 cm; __ ab __ bc___ = cd = 8,94 __ cm f. __ab = ___24 cm; bc = 16,97 cm; cd = da = 12 cm
44. Solución a cargo del alumno.
31. a. nunca b. a veces c. siempre
47. a. P = 71 cm b. P = 24 cm
32. ^ ^ Por ej., a. b = d = 123°; ^ c = 57°.
48. a. A = 115 cm2 b. A = 28 cm2
33. ^ ^ a = ^ c = 84°; b = d = 96° a. ^ ^ b. ^ a = b = 36° 40’; ^ ^ c = d = 143° 20’ ^ ^ ^ a = ^ c = 110°; b = d = 70° c. ^ ^ ^ d. a = d = 90°; b = 110°; ^ c = 70° ^ e. a = ^ c = 100° 30’; ^ ^ b = d = 79° 30’ ^ ^ f. ^ a = ^ c = 120°; b = 80°; d = 40°
49. ___ __ ___ a. ad = bc = 6 cm; ab = 11 cm; 9. __ cd ___ = 7 cm c. x = –11 a. x = 4,5 b. ___ ab = __ 43,4 cm b. x = 0,75 d. x = –2 o x = 2 c. ab __ = cd = 50 cm; ___ 10 10 e. x = – ___ o x = ___ ad ___ = bc __ = 40 cm ___ 9 9 d. 1 __ ad = cd = 18 cm; ab = 29 cm; 3 __ f. x = i. x = __ bc = 21,1 cm 4 8 1 1 g. x = – __ j. x = __ 50. 4 4 2 a. P = 72 cm; A = 36 cm . h. x = 0 b. P = 6,22 cm; A = 0,43 cm2.
29. Propiedades de los polígonos 34. Solución gráfica.
45. a. 23 b. 11
c. 22 d. 144°
e. 90 f. 157° 30’
46. ^ ^ a. ^ a = ^ c = 24°; b = = 156° d ^ ^ b. ^ a = ^ c = 60°; b = = 120° d ^ ^ ^ ^ c. a = d = 132°; b = c = 48° ^ ^ d. ^ a = ^ c = 107°; b = d = 73°
Autoevaluación
35. Solución a cargo del alumno.
51. a., b., c. y d.: solución gráfica. ^ e. b = 90°. ^ a y ^ c no se puede.
36. a. 11 lados.
52. Solución gráfica.
b. 15 lados.
30. Construcciones geométricas 37. Por ej., a. Un parelelogramo.
31. Perímetro y área
38. Por ej., a. P: 6,32 cm; A: 2,5 cm2. 39. Por ej., a. P: 25 cm; A: 14,17 cm2. Integración 28.29.30.31 40. a. F b. V c. F d. F e. V 41. ^ ^ a. ^ c = 23° 17’; b = d = 156° 43’ ^ b. b = 35° 12’ 3’’; ^ ^ c = d = 144° 47’ 57’’ ^ c. a = ^ c = 71° 30’ 22’’; ^ d = 108° 29’ 38’’ ^ ^ d. b = d = 118° 36’; ^ a = 54° 20’; ^ c = 68° 28’
53. ^ ^ ___ α = 135°; β =___45°; = 10 cm; ab = 12 cm ob a. 5 b. 20 54. P = 87,38 cm; A = 346,02 cm2.
capítulo
5
32. Razones y proporciones aritméticas 1.
2.
3 a. __ 4 2 b. __ 3
4 c. __ 9 18 d. ___ 37
1 e. __ 2 3 f. __ 5
39 4 0,6 c. __ ; a. 0,6; ___ 65 6 4 ____ 14 1,16 50 b. ___ ; ; 0,25 d. ___ 21 ; ___ ; 18 12 16 200
4. 5. 6.
7.
8.
Por ejemplo, a. con 8. 1 . Por ej. tabla 1, fila 1: 15; __ 3 a. 0,3 c. 130 e. 0,15 g. 6 b. 8,57 d. 1,36 f. 2,27 h. 70,7 a. 10 c. 0,32 e. 30 g. 0,16 b. 0,1 d. 0,25 f. 5,5 h. 0,78 a. –4; 4 d. –5; 5 g. –6; 6 2 ; __ 2 e. –7; 7 h. – __ 1 ; __ 1 b. – __ 3 3 4 4 4 4 c. –3; 3 f. – __ ; __ 5 5
33. Propiedades de las proporciones 10. a. –13; –104 b. 1,9; –0,45
c. 63; 16 d. 7,035; 2,1105
11. a. a = 16, b = 4 b. p = 16; q = 4 o p = –16; q = –4 20 c. m = –35, n = 7 d. x = ___ 3 12. 4 4 36 8 16 28 20 , ___ , ___ , ___ , ___ a. __ b. __ , ___ 5 5 10 20 25 35 45 13. Ca: 27 kg, ce: 45 kg, ar: 108 kg.
34. Proporcionalidad directa e inversa
14. 5 a. Por ej., tabla 1: PI; –2,5; – __ x. 2 b. Solución gráfica. 15. Va X en: a. PI; c. PD. 16. 2 000 a. Por ej., fila 1: 500. y = _____ x b. Por ej., fila 2: 12. y = 0,125x. 17. a. Por eje., fila 1: –10; –20. y = 2x 2 b. Por ej., fila 1: 0,25; 8. y = __ x
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34. a. A
18. a. Por ejemplo, fila 1: 40.
b. B
c. B
d. A
20 000 b. PI. k = 20 000 c. y = ______ x menteACTIVA 19. Solución a cargo del alumno. a. PD c. PI e. PI 35. ___ ___ b. PD d. PI f. NP a. ab = 7 cm; bc = 18 cm. b. mn = 3 cm; no = 7 cm; menteACTIVA st = 9,2 cm; tu = 2,8 cm Solución a cargo del alumno. c. bc = 13 cm; cd = 10 cm d. ad = 5 cm; af = 18,6 cm; Integración 32.33.34 ac = 5,6 cm; ag = 16,6 cm 20. a. 0,4 b. 3,6
c. 1,3 e. 4 d. 0,38 f. 1,625
21. 100 = ____ 1 a. No es posible. d. ____ 101 1,01 0,6 12 b. ___ = ___ e. No es pos. 1,1 22 0,4 ___ 5 3 3 ___ c. = f. ___ = ___ 15 2 25 15 22. a. a = 7 y b = 2 b. p = –25 y q = –10 c. 8 y 9 d. 5 y –3 e. 6 y 9 23. a. 0,14 b. 3,7 c. 7,5 d. 4,5 24. Por ejemplo, fila 1: 0,004; 850. 25. 40 7 a. x = __ 2 c. x = ___ e. x = ___ 3 33 3 1 d. x = 5 o x = –32 b. x = __ 3 26. 4 Va X en: a. PD, k = __ ; c. PI, k = 45. 3 27. a. Por ej., fila 1: 40 cm2; 26 cm. b. Sí, Área = Base . 5 cm c. No. 28. a. PI
b. NP
c. PD
29. a. Por ejemplo, fila 1: –5. – b. Por ejemplo, fila 1: 6. 30. a. A: 12 l, V: 8 l, R: 1 l, B: 9 l b. 5 huevos, 10 cm3 de aceite, 625 g de harina, 937,50 g de azúcar, 750 cm3 de leche y 4 cucharadas de limón. 31. a. V
b. F
c. V
35. Teorema de Thales
d. V
___ __ 32. __ . ef Por ejemplo, a. ___ ab = __ __ fg bc 33. ___ Por ejemplo, a. ab = 6,25 cm.
36. a. P. acde: 31 cm; P. abe: 23,5 cm; P. acd: 39 cm b. A. deh: 15,87 cm2; P. bcgf: 16 cm; A. abjh: 119,34 cm2 37. a. x = 0,77 m b. x = 2,3 m menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
36. Aplicaciones del teorema de Thales 38. Solución gráfica. 39. Solución gráfica. 40. Solución gráfica. 41. Solución gráfica.
37. Razones trigonométricas
42. ^ a. sen ^ α = cos β = 0,55;
^ sen β = cos ^ α = 0,83; ^ tg ^ α = 0,6 ; tg β = 1,5 ^ b. sen ^ α = cos β = 0,7; ^ sen β = cos ^ α = 0,71; ^ ^ tg α = 0,98; tg β = 1,02
^ α = cos β = 0,67; c. sen ^
^ sen β = cos ^ α = 0,74; ^ ^ tg α = 0,9; tg β = 1,12
^ α = cos β = 0,65; d. sen ^
^ sen β = cos ^ α = 0,76; ^ ^ tg α = 0,85; tg β = 0,18
43. Por ej., fila 1: 0; 0,5; 0,7; 0,87; 1. 44. a. Iguales. b. Solución a cargo del alumno. 45. Por ejemplo, a. x = 36° 52’ 12”.
38. Resolución de triángulos rectángulos
46. Por ejemplo, a. ^ α___ = 37°; ___ ab = 5,008 cm; bc = 3,014 cm. 47. Por ejemplo, a. F; F; V; F. 48. Por ej., a. x = 49° 3’ 16”; y = 3,04 cm. 49. a. A: 27,71 cm2; P: 24 cm b. A: 259,8 cm2; P: 60 cm 50. a. 47° 9’ 23” b. 700 m c. 12,68 m d. A = 22,25 m; B = 14,64 m Integración 35.36.37.38 51. a. Paralelas. b. No paralelas. 52. Solución a cargo del alumno. 53. a. 8,3 cm b. 10,8 cm
c. 5,78 cm d. 4,24 cm
54. a. 7,94 cm b. 3,75 cm
c. 1 cm d. 9 cm
55. a. V: 0,15 m3 b. V: 1 174,54 cm3 56. a. 719,78 cm2 b. 311,76 cm2 57. Solución a cargo del alumno. 58. Por ej., fila 1: 24 cm; 0,5. 59. a. h = 4,33 cm b. h = 7,63 cm 60. Solución a cargo del alumno. 61. α = 55° 9’ d. h = 7,81 m a. ^ b. l = 1,46 m e. h = 31,3 m c. h = 20 m Autoevaluación 62. 11 x = __ 2 63. a. b: 1,5 l; v: 2,5 l b. v: 4,5 l 64.__ __ st = 7,5 cm; tu = 11 cm 65. a. 0,67 cm
b. 1,71 cm
66. a. A: 114,62 cm2; P: 49,24 cm b. A: 48,70 cm2; P: 28,98 cm 237
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capítulo
6
39. Igualdad y semejanza
1. ___ __ __ = 10 cm; ac = 12 cm; ef = 9 cm ab ^ ^ d = 47° b = 78°; ^ c = ^ e = 55°; 2. ___ __ no = 12 cm; st = 10 cm 3.
Por ej., a. va X en el caso 1.
40. Congruencia de triángulos y de polígonos 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Por ejemplo, a. con h. Por ej., a. va X en el caso 1 y 3. a. jkl ; LAL
46. Simetría axial
20. Solución gráfica.
b. ghi ; ALA
21. a. Sí. b. Sí. c. Sí.
10. Solución gráfica. d. Sí.
22. ___ a. de __ = 6 cm _ b. gi = 3,5 cm; lj = 21 cm 23. a. x = 1 cm; y = 8,32 cm b. x = 1,5 cm; y = 4,25 cm 24. r=2
11. Solución a cargo del alumno. 12. Sí, los que están sobre el eje de abscisas.
47. Eje de simetría de figuras planas 13. Solución gráfica.
25. Solución gráfica.
14. a. Son iguales. b. 30; 100
26. Solución gráfica.
15. Solución gráfica.
Autoevaluación 27. Solución a cargo del alumno.
16. Solución gráfica. 17. Solución gráfica.
Solución gráfica.
28. No.
Solución gráfica.
29. 30 r = ___ 11 30. x = 6 cm; y = 1,4 cm
48. Composición de movimientos
31. Solución gráfica.
19. __› ( pqrs) a. Tpp”
a. Congruentes. b. Congruentes.
10. a. LAL b. LLL c. ALA d. LAL
41. Semejanza de triángulos 11. ^ ^ Por ejemplo, a. b y . d
capítulo
12. Por ejemplo, a. con f. 13. a. V
b. V
c. F
14. a. Sí. c. No. b. No. d. Sí.
43. Traslación 1. d. F
e. No. g. Sí. f. Sí. h. No.
menteACTIVA Solución a cargo del alumno. 15. a. x = 11 cm; y = 5 cm b. x = 3 cm; y = 5 cm c. x = 8 cm; y = 5 cm d. x = 5; y = 3 16. Solución gráfica.
42. Construcción de figuras a escala 17. Solución gráfica. 18. a. No.
b. Sí. Integración 39.40.41.42
19. a. Caso 1.
7
b. Caso 2.
2. 3. 4.
__ Por ejemplo, a. b . ›
Solución gráfica. Solución gráfica. Solución gráfica.
44. Rotación 5. 6.
Solución gráfica. a. Hexágono regular. b. Por ej., isósceles con ángulo distinto de 72°.
8. 9.
18. Por ejemplo, a. R(o;135°).
__›( defg) b. Tee”
20. T_v_› ˚ Sp( opq ) 21. a. b.
__› ( mno) Tnn” __› ( pqr ) Tpp”
c. R(o;180°)(stuv)
22. Solución a cargo del alumno. 23. a. V
b. V
c. F
d. V
24. Solución gráfica.
49. Homotecia
25. Solución gráfica. 26. Solución gráfica.
Solución gráfica.
27. a. Un cuarto. b. El cuádruple. c. Un dieciseisavo. Integración 43.44.45.46.47.48.49 28. Solución gráfica.
Solución gráfica.
29. No.
Solución a cargo del alumno.
30. Solución gráfica.
45. Simetría central 7.
menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
238
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31. Solución gráfica.
52. Intervalos 7.
32. Solución gráfica. 33. Solución gráfica. 34. Solución gráfica.
55. Media y moda en intervalos
a. Por ej., [45;50): 9; 0,21; 9; 47,5. b. Por ej., [12;15): 6; 0,3; 6; 13,5. c. Por ej., [15;20): 6; 0,15; 6; 17,5. d. Solución gráfica.
53. Gráficos 8.
35. Solución gráfica.
9.
36. Solución gráfica. 37. Solución gráfica. 38. Solución gráfica. 39. __› ( abcd) a. R(a;180°)(abcd) b. T2ad 40. Solución gráfica. 41. Solución gráfica.
a. Solución gráfica. a. 36%.
b. 32%
10. Por ej., fila 1: [1 890;1 930); 2. Integración 50.51.52.53 11. Solución a cargo del alumno. 12. a. Cualitativa. d. Cuant. disc. b. Cuant. cont. e. Cuant. disc. c. Cualitativa.
42. a. R(b;–60°)(abc ) c. T_hj_› ( hijk) d. T__› ( lmn) b. S (defg)
14. a. Tipo de bebida. b. Familias. c. 64. d. Vino. e. Solución gráfica.
43. a. V
15. a. 1,0895; 1,0333...; 1,0544. b. Aum. 8,95%; aum. 3,33%.
o
mn
b. V
c. V
capítulo
d. F
8
50. Organización de la información 1.
2. 3.
Solución a cargo del alumno. Solución a cargo del alumno. a. Cualitativa. d. Cuant. disc. b. Cualitativa. e. Cuant. cont. c. Cuant. disc. f. Cuant. cont.
51. Frecuencias 4.
5.
6.
a. Por ej., A: 9; 0,3; 9. b. Por ej., Mat: 10; 0,28;10. a. Por ej., Jenny: 1,6786; +67,86% b. Aumentó 16,46% c. Disminuyó 6,45% a. 1,4038; 1,1559; 1,1595 b. Aumentó 40,38% b. Aumentó 21,44%
16. a. Por ej., fila 1: 2; 12; 0,03; 2. b. Solución gráfica. c. 24 17. a. Por ej., fila 1: 4; 30; 0,33; 4. b. Solución gráfica. c. 22 días. 18. a. Por ej., fila 1: 120; 0,4; 120. b. Solución gráfica. c. M: 40%, C: 15%, Y: 22%, D: 11% y O: 12%. 19. a. 37 alumnos. b. R: 12, A: 5, N: 3, B: 17. c. Blanco; 46%. d. Negro; 8,11%. e. Solución gráfica.
54. Medidas de posición 20. a. _ x : _ x :
_
x : 7,5; mo: 5; me: 7 7,2; mo: 7; me: 7 7,71 mo: 5, 8, 9; me: 8
21. a. River.
23. ej., fila 1: 6; 3 850; 23 100. a. Por _ b. x : 4,537,5; mo: [4 100;4 600) 24. a. Por ej., fila 1: 10; 22,5; 225. _ b. x : 93,52; mo: [45;90)
b. 17 000 t.
13. a. Por ejemplo, fila 1: 0,56; 45. b. Solución a cargo del alumno.
Autoevaluación
22. a. Por ej., fila 1: [1;3); 11; 11; 2; 22. _ b. x : 3,63 ; mo: [1;3)
b. No. No.
menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
25. a. V
Integración 54.55 b. F
c. F
d. V
26. _ a. _x : 492,8; me: 479,5; mo: 439 b. x : 1 min 43 s; me: 1 min 42,5 s; mo: 1 min 45 s 27. a. Por ejemplo, fila 1: 0,39; 56. b. mo: Buenos Aires. No se puede calcular la media. 28. a. Moda.
b. Moda.
29. a. Solución a cargo del alumno. b. mo: P c. Solución gráfica. 30. a. 230; 220 c. 50 b. Esc. púb. d. Solución gráfica. 31. a. Solución a cargo del alumno. _ b. 288 c. mo: 3; me: 3; x : 3 d. Solución gráfica. 32. a. Por ej., fila 1: 5; 72,5; 362,5. b. Solución a cargo del alumno. c. No es correcto. 33. a. 10 b. 259 c. Por ej., fila 1: [60;70); 32; 65; 2 080. d. 58 _ e. mo: [70;80); x : 87,36 km/h 34. 3 495,09. No. Autoevaluación 35. a. Por ej., fila 1: 0,21; 17; 7; 119. b. Jóvenes. 80 jóvenes. c. Cuant. cont. d. mo: [8;10); me: 8,88. e. Solución a cargo del alumno. 36. a. Por _ ejemplo, fila 1: 12; 0,3; 12. b. x : 2,9; mo: 1; me: 2,5.
239
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capítulo
9
20. a. 6
2. 3. 4. 5.
b. 20
22. a. C40,5 b. 36
c. 2 520 d. C40,5 – C36,5
23. a. 35
b. C7,3
a. 8! = 40 320 b. 3! = 6
24. a. C24,6
b. C8,3 . C12,2
a. Solución gráfica.
25. a. 8
a. V b. F c. F d. V e. F f. F 1 a. __ 7
b. 35
a. 2
b. 6
c. 5 c. 24
7 d. __ 9 d. 120
b. 3!
7.
8. 9.
a. 360 b. 504
c. 120 d. 6
a. 95 040 b. 635 970 a. 120
e. 9 f. 132
c. 57 657 600 d. 1 980 b. 20
c. 4
b. 6 720
a. 360
menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
58. Combinaciones 10. a. 10 b. 7
c. 15
d. 35
11. a. 924 b. 1 330 c. 105 d. 28 12. a. 20 b. 10
c. 8
d. 1
13 Sí. 14. a. C5,3
b. C6,1; 6
15. 445 280 menteACTIVA Solución a cargo del alumno. Integración 56.57.58 16. a. 4, 24, 24, 4 b. 7, 5 040, 210, 35 c. No es posible. 17. a. 60 b. 125 c. 25 d. 3 e. 12 18. a. 18 b. 23 19. a. 15 120 b. 210
b. 4
c. 4.
26. a. 12 b. 6 c. 6 d. 8 e. 64.
57. Variaciones 6.
c. 35
21. a. 300
56. Factorial. Permutaciones 1.
b. 210
c. 35
c. 110 d. 70
d. 28 e. 165 f. 2 002
27. a. 56 b. 336 c. 1 680 28. a. 263 . 93
b. 96
29. a. 11! b. P5 c. 18; 30 d. V10,3 30. a. 126
b. 60
c. 120
59. Probabilidad 31. 3 a. P: ___ 10
2 b. P: ___ 19
32. a. V5,2 = 20 b. 0
1 c. __ 2 2 c. __ 5
menteACTIVA Solución a cargo del alumno.
60. Probabilidades condicionadas 33. Va X en c.
39. a. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36} 1 b. ___ c. __ 1 d. 0 12 9 40. 9 c. 1 e. ___ a. 0 29 5 10 1 d. ___ f. __ b. __ 2 29 6 41. 3 1 a. __ ; __ 8 2 b. Martín: 1. Lautaro a cualquiera. 42. 1 1 1 c. __ e. 1 g. __ a. __ 2 2 3 1 d. __ 1 b. __ f. 0 2 2 43. a. 4 verdes. b. 4 caras. 44. 3 1 b. ___ a. ___ 25 10 45. Va X en b.
3 c. ___ 50
46. a. Solución a cargo del alumno. 15 c. ___ 12 b. ___ 27 27 d. Son excluyentes. 47. 91 ___ 5 ___ 8 ____ ; ___ ; 2 ; ____ ; 22 ; ___ ; ___ 16 ; 28 153 51 51 153 51 51 51 104 32 ____ ____ ; 153 153 48. 1 1 d. __ 1 1 b. __ c. ___ a. __ 2 4 6 36 49. 3 2 1 a. __ b. __ c. __ 5 5 2
Autoevaluación 34. 50. 8 6 _____ _____ ; P(as/as): ; a. P(as/rey): a. 5 040 b. 120 1 225 1 225 4 ____ P(rey): . 51. 625 a. V b. F c. V b. En a. y b. 52. 35. 1 29 5 3 a. C b. A y B c. __ b. ___ c. ___ a. ___ 9 52 52 26 53. 36. a. E = {(r;r), (r;v), (r;a), (v;r), 20 2 a. __ b. ___ (v;v), (v;a), (a;a), (a;v), (a;r)} 7 77 4 8 2 c. __ d. __ b. __ 3 9 9 Integración 59.60 37. a. {or, co, es, ba} b. {2, 4, 6, 8, 10, 12} 38. a. Por ej., varones: 15; 12; 27. 5 ___ 3 5 ___ b. __ ; ___ ; ; 11 . 4 12 12 12
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foto capítulo
Números página 2
capítulo
Lenguaje algebraico página 3
capítulo
Funciones página 4
capítulo
Figuras planas página 5
capítulo
Razones y página 7
capítulo
6
Congruencia página 8
y semejanza
capítulo
Movimientos página 10
en el plano
capítulo
Estadística página 12
capítulo
Combinatoria página 14
1
2 3 4
5
7
8
9
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reales
Números
enteros y números naturales
proporciones
y probabilidad
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foto
capítulo
1
Mira tomó esta foto porque pensó que la situación podía relacionarse con la matemática.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que se puede relacionar con la matemática? Solución a cargo del alumno.
2. Si suponemos que el terrón de azúcar es un cubo de volumen 2 cm3, ¿a qué distancia se encuentran los extremos de los dedos pulgar e índice que lo sostienen? La distancia corresponde a la diagonal del cubo. El volumen es 2 cm3 y la longitud de cada lado debe __ 3 medir √ 2 cm = 1,26 cm. La diagonal de una cara del cubo es, por Pitágoras, 1,78 cm. Luego, se calcula la diagonal del cubo tomando como catetos la arista y la diagonal de la cara del cubo. Distancia = 2,18 cm.
3. Supongamos que un grano de azúcar es un cubo de 0,25 mm de lado. ¿Cuántos granos hay en un terrón? ¿Cómo se puede escribir el resultado usando la notación científica? Cada grano tiene un volumen de (0,025 cm)3 = 0,000015625 cm3. Para averiguar la cantidad de granos, se divide el volumen del terrón por el del grano y se obtiene 128 000 = 1,28 . 105.
4. Si el terrón de la foto contiene aproximadamente 8 g de azúcar, ¿cuántos granos de azúcar hay en 1 tonelada de azúcar? Una tonelada equivale a 1 000 kg o 106 g de azúcar. Para calcular el total de granos hay que multipli1,28 . 105 . 106 _____________ car = 0,16 . 1011 = 1,6 . 1010. 8
2
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foto
capítulo
2
Foco recordó algunos temas de matemática al observar los azulejos de su casa.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que se puede relacionar con la matemática? Solución a cargo del alumno.
2. Los azulejos son todos del mismo tamaño; pero hay algunos que están formados por 2 cuadraditos azules y 2 blancos. Si la medida del lado de cada cuadradito azul es x, ¿cuál es el área de un azulejo? 4x2
3. La medida del lado mayor del rectángulo formado por dos cuadraditos blancos es y, ¿cómo se puede expresar de dos formas diferentes el área que ocupa el cuadrado que está formado por dos rectángulos blancos y cinco cuadraditos azules? x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
4. Si el cuadrado que forman nueve cuadraditos tiene lado z, ¿qué rectángulo de los que aparecen en la foto se corresponde con el área (z – x) . (z + x)? El formado por los cuatro cuadraditos azules y los cuatro cuadraditos blancos que están a sus costados.
5. Si se cambian de ubicación las figuras que forman el rectángulo de la pregunta anterior, ¿es posible formar un cuadrado de lado z? No. Si se quita uno de los rectángulos blancos de la franja y se tiene en cuenta el que está debajo, se forma un cuadrado de lado z al que le falta un cuadradito. Esto se puede representar (z – x) . (z + x) = z2 – x2.
3
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foto
capítulo
3
Mientras jugaba en la compu, Mira se dio cuenta de que podía relacionar el juego con la matemática.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que se puede relacionar con la matemática? Solución a cargo del alumno.
2. ¿Conocen el juego? ¿Cómo son las líneas que indican el recorrido que hará el pájaro al ser lanzado desde la gomera.
Lo importante es que lo puedan dibujar o describir qué características tiene.
3. ¿Cómo debería ser el recorrido del pájaro desde la gomera para que toque la piedra? Dibujen opciones. varias
pasar por la piedra.
Hay infinitas opciones, todas empiezan desde donde se lanza el pájaro y deben
4. Observen los dibujos que hicieron en la pregunta anterior y marquen el punto en donde alcanza la máxima altura. ¿Qué pasa con el recorrido del pájaro después que se alcanza esta altura máxima? En cada dibujo hay un único punto que alcanza esta altura máxima (es el vértice de la parábola). Después de este punto el recorrido es simétrico (no es necesario que sepan este nombre, lo importante es que se den cuenta de que empieza a copiar lo mismo, que es “espejado”).
5. Si se describe el recorrido del pájaro indicando solo el punto de salida y el de llegada (en ambos casos, en el piso), ¿se puede saber dónde alcanza la máxima altura? ¿Y cuál es esa máxima altura? Sí, en la mitad de la distancia entre el punto de salida y el punto de llegada. La máxima altura no se puede saber porque depende de qué tan rápido se haga el recorrido.
4
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foto
capítulo
4
Foco sacó una foto desde la ventana del hotel de la ciudad donde pasó sus vacaciones.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? Solución a cargo del alumno.
2. ¿Cómo les parece que se puede relacionar esta foto con la matemática?? Solución a cargo del alumno.
3. Si se coloca una antena de celular en el techo del edificio, donde está el punto rojo, ¿en qué lugares hay que ubicarse para tener la cobertura de la antena sabiendo que tiene un alcance de 400 m? Es posible que en principio piensen en los lugares que están a 400 metros o menos en las direcciones de las calles y respondan que en esos segmentos tienen cobertura. Luego, en esta pregunta o en la siguiente, notarán que se forma una circunferencia de radio 400 metros y que pueden estar sobre ese límite o dentro de esta circunferencia para tener cobertura de esta antena.
4. ¿Qué figura forman todos los lugares que pensaron en la actividad anterior? Forman un círculo.
5. Si se toma un área de la ciudad con forma de cuadrado de lado 6 kilómetros, ¿en qué lugares se podría ubicar una antena de celular con alcance de 4,5 km para que todo ese sector tenga cobertura? Una opción es poner la antena en el centro del cuadrado. Como el área es cuadrada, la mayor distancia desde el centro a un punto está dada en la dirección de las diagonales. Aplicando Pitágoras, se calcula la dis______
tancia desde el centro hasta el vértice del cuadrado (lugar más lejano del centro). √3 2 + 32 km = 4,24 km; como es menor que 4,5 km, alcanza para toda el área.
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6. Si la cobertura de la antena del punto anterior fuera de 3 kilómetros, ¿hay algún punto en donde se pueda garantizar que todo ese sector tendrá cobertura? ¿Y si la cobertura es de 4 kilómetros? Si la cobertura es 3 kilómetros; no se puede cubrir toda el área. Una manera de saberlo es comparando el área de un círculo de radio 3 (9 . π km2) con el área del cuadrado (36 km2) Si la cobertura es de 4 kilómetros, tampoco se puede cubrir toda el área. Una manera formal de verlo es que la diagonal del cuadrado tiene que estar contenida en la circunferencia. La diagonal del cuadrado mide 8,28 km, que es mayor que 8 km (diámetro de la circunferencia), con lo cual los dos extremos de la diagonal del cuadrado no podrán estar en una circunferencia de radio 4 (diámetro 8).
7. ¿De qué dependerá el área de cobertura de una antena? Por ejemplo, el área de cobertura de una antena puede depender de la cantidad de edificios y construcciones que haya en el medio. Así, en el caso de esta ciudad podremos tener una gran área de cobertura, mientras que en una gran ciudad tal vez no sea de más de 200 metros.
8. Natalia está ubicada en el punto azul y los puntos amarillos representan antenas de celulares. Si su celular se conecta a la antena más cercana, ¿a cuál lo hará? Se conectará con la antena que está más a la izquierda porque aparentemente está más cerca.
9. Andrés vive en una ciudad como la del dibujo en donde todas las calles son doble mano. En esta ciudad hay antenas de celular en todas las esquinas que tienen ambas coordenadas múltiplos de 3. Andrés viaja en bici desde su casa ubicada en la esquina (4;1) hasta la facultad ubicada en la esquina (9;5). ¿Qué recorridos puede hacer Andrés? ¿A qué antenas se va conectando en cada recorrido? Tengan en cuenta que el celular se conecta a la antena más cercana. 6 5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Por ejemplo: seguir derecho hasta la 9 y doblar hacia arriba. En este caso, en su casa se conecta a la antena (3;0), a la mitad de esa cuadra cambia a la antena (6;0) y en la mitad de la cuadra 7 cambia a la antena (9;0), en la mitad de la cuadra que hace hacia arriba cambia a la antena (9;3) y media cuadra antes de llegar cambia a la antena (9;6).
10. Pedro, que vive en la misma ciudad que Andrés, dice que viajó desde (3;4) a (11;5) y se conectó a las siguientes antenas sucesivamente: (3;3), (6;3), (6;0), (9;0), (12;0), (12;3). ¿Es posible que se haya conectado con esas antenas? Si es así, describan un camino que pueda haber hecho Pedro. Se conectó a esas antenas, pero al final del recorrido se conectó también a la antena (12;6). Por ejemplo, (3;4) - (6;4) - (6;1) - (11;1) - (11;5).
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foto
capítulo
5
Foco sacó una foto a sus amigos mientras estaban twitteando con sus teléfonos celulares.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que se puede relacionar con la matemática? Solución a cargo del alumno.
2. Twitter es una red social en donde podemos twittear (compartir) comentarios de hasta 140 caracteres. Para compartir un comentario con alguien se escribe @ y a continuación el destinatario, y para hablar sobre cierto tema se pone #tema. A través de cierto método se crean los Trending Topics (TT) que es una lista de los 10 temas más hablados en la red social. ¿Qué variables les parece que Twitter puede tener en cuenta para confeccionar esta lista de TT? Por ejemplo, la cantidad de twitts que tienen #tema, la cantidad de personas que twittearon en #tema, la velocidad con la que aparecen twitts con #tema. Los que tienen más familiaridad con Twitter pueden responder la cantidad de twitts que tienen #tema en un cierto período.
3. En algún sentido estos Trending Topics son los temas “más repetidos” por los usuarios en Twitter, pero ¿es razonable que mida solo eso? Se deben considerar los espacios de tiempos en los que se actualizan las TT más allá de la cantidad de tweets sobre un tema.
4. ¿Qué alternativas puede usar Twitter para confeccionar la lista de TT?
Una manera razonable es analizar la proporción de twitters que tienen #tema en cierto tiempo. Por ejemplo: si de 23 a 23:10 h se hicieron 10 000 twitts con #hoyllueve y 5 000 con #divertido y de 23:10 a 23:20 se hicieron 6 000 twitts con #hoyllueve y 10 000 con #divertido, entonces a las 23:10 tiene más chances de ser TT #hoyllueve. A las 23:20 dependerá del período que toma Twitter para armar las TT. (es probable que Twitter utilice intervalos de tiempos más cortos aún). 7
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foto
capítulo
6
Foco fue a visitar a su tío Alejo, que es arquitecto. Mientras trabajaba, le sacó una foto.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? Solución a cargo del alumno.
2. ¿Cómo les parece que se puede relacionar esta foto con la matemática? Solución a cargo del alumno.
3. El instrumento de medición que aparece en la foto se llama “escalímetro”. ¿Alguna vez usaron uno? ¿Para qué puede servir? Probablemente no lo hayan usado. La idea es que piensen el porqué de su forma y que identifiquen que utiliza diferentes escalas y sirve para medir y graficar planos.
4. Cada una de las reglas del escalímetro tiene una escala diferente. Esto permite medir en un plano y obtener directamente las medidas reales. Por ejemplo, en la foto Alejo está midiendo el plano de una casa que está en escala E = 1 : 100 y usa la regla del escalímetro que tiene esa escala. En esa regla, cada 1 centímetro se indica 1 metro, entonces, la medida real de la longitud que está midiendo es igual a 22 m. a. Calculen en forma aproximada las dimensiones reales del sector rectangular determinado por las líneas verdes. Teniendo en cuenta la medida realizada y aplicando Pitágoras, se puede calcular que el sector rectangular tiene unos 20 m de largo y 16 m de ancho.
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b. Si una de las reglas del escalímetro tiene la escala E = 1 : 20, ¿a qué distancia del cero se encuentra la indicación de 1 m? Se puede pensar de diferentes formas. Por ejemplo, si la escala es E = 1 : 20, significa que se obtiene 20 cm a 1 cm del cero. Por proporcionalidad, se obtiene 1 m a 5 cm del cero.
5. Realicen un plano de su propia casa o de otra que conozcan. En una de las habitaciones dibujen una cama de una plaza y tómenla como referencia para responder. a. Si la cama mide 90 cm de ancho y 1,90 m de largo, ¿cuál es el área de la habitación? Si el gráfico se realizó a escala, las dimensiones de la cama permiten calcular las dimensiones de la habitación, y por lo tanto, el área.
b. Si en otra habitación hay una cama de dos plazas, ¿se puede representar con un rectángulo de la misma forma que el correspondiente a la cama de una plaza? ¿Por qué? No. Aunque no sepamos cuáles son las dimensiones de la cama de dos plazas, su largo es aproximadamente el mismo que la de una plaza, pero su ancho es mucho mayor.
c. Si en una de las habitaciones hay una cuna de 60 cm de ancho, ¿cuál debería ser su largo para que el rectángulo que la representa sea semejante al de la cama de una plaza? Para ser semejante a la cama de una plaza, la cuna debería medir 1,26 m de largo.
6. Un arquitecto dibuja un plano en su computadora, que tiene una pantalla de 20 pulgadas y se lo envía al carpintero que lo recibe en su celular, cuya pantalla es de 5 pulgadas. Si el área que ocupa el plano en la pantalla de la computadora es 20 cm2, ¿qué área tendrá en la pantalla del celular? ¿Por qué? Tengan en cuenta que el tamaño de la pantalla siempre se mide por la longitud de su diagonal. 20 pulgadas = 4. Para calcular la relación entre las La relación entre las dimensiones de los planos es ___ 5 áreas hay que tomar 2 dimensiones. Por lo tanto, la relación es de 4 . 4 = 16. El área que tendrá el 20 cm2 = 1,25 cm2. Por ejemplo, si el comedor en el plano es un plano en la pantalla del celular es de ___ 16 rectángulo de 5 cm de largo y 4 cm de ancho, en el celular tiene 1,25 cm de largo y 1 cm de ancho.
7. Un arquitecto quiere diseñar los muebles de una casa para encargárselos al carpintero. Decide imprimir el plano en una hoja A4 (que mide, aproximadamente, 21 cm x 29,7 cm) para poder trabajar más cómodo. a. Calculen las dimensiones reales de la casa si el plano impreso quedó en escala E = 1 : 50 y ocupa casi toda la hoja. Por ejemplo, el plano ocupa un rectángulo de 20 cm de alto y 29 cm de largo, entonces para calcular las dimensiones reales tenemos que multiplicar estas dos cantidades por 50. De esta forma, el rectángulo representado es de 10 m x 14,5 m.
b. Si el arquitecto conoce las dimensiones de los muebles (en metros), ¿cómo puede dibujar empleando una regla del escalímetro que tiene escala E = 1 : 50? Debe dibujar directamente con las dimensiones conocidas, ya que la regla del escalímetro le marca las longitudes reales.
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foto
capítulo
7
Mira y su amiga Kari se fueron a recorrer la ciudad y le tomaron una foto al plano para encontrar su relación con la matemática.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? Solución a cargo del alumno.
2. ¿Cómo les parece que se puede relacionar esta foto con la matemática? Solución a cargo del alumno.
3. ¿Hay sectores de la ciudad en donde hay simetría? Hay sectores simétricos, pero el mapa completo no lo es respecto a ningún eje ni centro.
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4. Si se toma como eje la calle que está a la izquierda del número 3, los dos triángulos que están a ambos lados son aproximadamente simétricos. a. Encuentren otro triángulo que pueda considerarse simétrico a alguno de estos. Arriba de la mano, aproximadamente entre las líneas que corresponden a los números 5 y 6, aparece otro triángulo que podría considerarse simétrico a los anteriores, respecto de un centro o de un eje apropiado.
b. Marquen en la foto otros tres ejemplos de figuras simétricas (aproximadas) que encuentren en el mapa. Solución a cargo del alumno.
5. Kari quiere caminar desde el lugar que está señalando en el mapa hasta el río, luego cruzarlo y volver al mismo lugar. a. ¿Qué movimientos puede usar para describir el recorrido? Por ejemplo: caminar 200 m hacia arriba, 800 hacia la izquierda para cruzar el río. Luego, regresar caminando 800 m hacia la derecha y 200 m hacia abajo.
b. Cuando queremos dirigirnos a un lugar, suelen brindarnos indicaciones sobre cómo desplazarnos. ¿Con qué movimiento de los que aparecen en el capítulo se relacionan esos desplazamientos? En general, las indicaciones para llegar a un lugar se dan por medio de traslaciones.
6. Elijan un punto del mapa distinto del que está señalando Kari. Ubiquen un punto o para que los dos puntos resulten simétricos respecto de él. Para encontrar dónde ubicar el centro o, hay que buscar el punto medio del segmento que determinan los dos puntos.
7. Supongamos que Kari decide empezar a caminar al mismo tiempo que su novio Fran, que está en el lugar que eligieron en la pregunta anterior. a. Si Kari camina 50 metros hacia arriba, ¿hacia dónde se debe mover Fran para mantener la simetría respecto de o? Fran se debe mover 50 metros hacia abajo.
b. Luego, Kari camina 50 metros hacia la izquierda y 50 metros hacia abajo. ¿Qué movimientos debe hacer Fran? Fran debe moverse 50 metros hacia la derecha y 50 metros hacia arriba.
c. Realicen un dibujo que represente todos los movimientos de Fran, teniendo en cuenta que siempre se mueve manteniendo la simetría. ¿Qué forma tiene la trayectoria de Fran? El recorrido completo tiene forma de U.
8. ¿Se puede trazar un eje E según el cual los dos puntos sean simétricos respecto de E? Sí, el eje E se obtiene trazando una recta perpendicular al segmento que determinan los puntos y que pase por el punto o. Es decir, la mediatriz del segmento.
9. Teniendo en cuenta los movimientos de Kari, ¿qué movimientos debería hacer Fran para mantenerse en simetría respecto de E? No se pueden determinar sin el gráfico. Gráficamente, sí, trazando la simetría axial de la trayectoria de Kari con respecto al eje E.
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Foco fue a ver un partido de fútbol y obtuvo esta foto mientras se desarrollaba la definición por tiros desde el punto del penal.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? Solución a cargo del alumno.
2. ¿Cómo les parece que se puede relacionar esta foto con la matemática? Solución a cargo del alumno.
3. Se tiene la siguiente estadística sobre los tiros que realizó el jugador que está por patear el penal: envió 34 tiros a la izquierda del arquero, 28 a la derecha y 23 al centro. Teniendo en cuenta estos datos, ¿adónde le conviene tirarse al arquero? Le conviene tirarse a su izquierda, ya que el jugador ha pateado más veces a ese lado.
4. La estadística referida al arquero dice: en 30 penales se tiró a su izquierda, en 16 a su derecha y en 10 se quedó en el centro. ¿Adónde le conviene patear al jugador? Al jugador le conviene patear al centro del arco porque el arquero no suele quedarse allí.
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5. La Argentina jugó 70 partidos en mundiales de fútbol y los resultados obtenidos están recopilados en la siguiente tabla. Cantidad de goles Cantidad del rival de goles de Argentina
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Por ejemplo, en 5 partidos Argentina empató 0 a 0 con su adversario. a. ¿Cuántos partidos ganó la Selección argentina? ¿Cuántos perdió? ¿Cuántos empató? La diagonal de la tabla nos da los partidos que salieron empatados que son 13; abajo de la diagonal están los que Argentina ganó, que son 37 y arriba de la diagonal están los que Argentina perdió, que son 20.
b. Según estos resultados, ¿es más probable que la Selección argentina gane un partido o que no lo haga? Es más probable que gane.
c. ¿Cuál es el resultado que más veces se repitió? El resultado más repetido es 1-0 a favor de Argentina, ya que su frecuencia es 8.
6. ¿Cuál es la cantidad de goles convertidos por Argentina que se repitió más veces? ¿Y la cantidad de goles que le han convertido más veces? La cantidad de goles convertidos por Argentina que más se repitió es 1, al igual que la cantidad de goles que le han convertido.
7. ¿Cuál es el promedio de goles convertidos por Argentina por partido? ¿Y el promedio de los goles que le han convertido? Promedio de goles de Argentina por partido: (14 . 0 + 22 . 1 + 19 . 2 + 6 . 3 + 4 . 4 + 1 . 5 + 4 . 6) : 70 = 1,76. Promedio de goles que recibió Argentina por partido: (24 . 0 + 29 . 1 + 6 . 2 + 7 . 3 + 3 . 4 + 0 . 5 + 1 . 6) : 70 = 1,14.
8. Si Argentina convirtió 3 goles, ¿qué cantidad de goles es más probable que le hayan convertido? Lo más probable es que el equipo adversario haya hecho 1 gol.
9. ¿Cuál es el promedio de goles que hizo su adversario cuando Argentina convirtió 1 gol? El promedio de goles de su adversario en el caso de convertir Argentina un solo gol es 1,27.
10. Si Argentina hizo 1 gol, ¿es más probable que gane, empate o pierda el partido? Lo más probable es que gane. Cuando hizo un gol, en 8 partidos no recibió goles (ganó), en 7 recibió uno (empató) y en 7 recibió más de un gol (perdió).
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Mientras sus compañeras se organizaban para jugar a la generala, Mira tomó esta fotografía.
Respondan. 1. ¿Qué observan en la foto? Solución a cargo del alumno.
2. ¿Cómo les parece que se puede relacionar esta foto con la matemática? Solución a cargo del alumno.
3. El objetivo de la generala es formar distintos tipos de juegos con cinco dados realizando tres lanzamientos. El jugador puede elegir qué dados conservar antes de efectuar el siguiente tiro. Los distintos juegos que se pueden formar son: • Generala: con 5 dados iguales (50 puntos). • Póquer: con 4 dados iguales, y 1 distinto (40 puntos). • Full: con 3 dados iguales y otros 2 dados iguales distintos a los anteriores (30 puntos). • Escalera: con alguna de estas combinaciones: 1-2-3-4-5, 2-3-4-5-6 o 3-4-5-6-1 (20 puntos). a. ¿Cuántas posibilidades hay de formar generala? Las posibilidades de formar generala son 6. Que sean todos 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
b. Si Zoe hizo generala, ¿cuál es la probabilidad de que sea de 6? Si Zoe hizo generala, significa que sacó todos los números iguales que, como vimos anteriormente, hay 1 . seis posibilidades. La probabilidad de que sea de 6 es __ 6
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4. ¿Qué es más probable: hacer póquer servido o generala servida? ¿Por qué? Tengan en cuenta que se dice que un juego es “servido” si se obtiene en el primer tiro. Es más probable hacer póquer, ya que en cuatro de los cinco dados se debe obtener el mismo número, pero el quinto debe tener un valor diferente. Además, el dado con el valor diferente puede ser cualquiera de los cinco.
5. Belu tiró los dados y uno de ellos se cayó al piso. Si en los dados que cayeron sobre la mesa salieron 2, 3, 4 y 5, ¿cuál es la probabilidad de que Belu haya hecho escalera?
1 , ya que si es un 1 o un 6 se obtiene escalera; en los otros 4 casos, no. Es decir, La probabilidad es __ 3 2 = __ 1 . los casos favorables son 2 y los casos posibles, 6. P(escalera) = __ 6 3
6. Zoe tiró los dados y dos de ellos cayeron al piso. Si en la mesa hay tres dados con el número 4, ¿cuál es la probabilidad de que haya hecho full? Como se necesitan dos dados iguales distintos de 4, sirve sacar 1 y 1, 2 y 2, 3 y 3, 5 y 5, 6 y 6. La 1 probabilidad de sacar dos dados iguales, por ejemplo 1 y 1, es ___ . Lo mismo para los otros cuatro 36 5 casos. Por lo tanto, la probabilidad es ___ . 36
7. En la pregunta 4 respondieron si es más probable hacer póquer servido o generala servida. ¿Cuál es la probabilidad de hacer cada juego servido? 150 ___ 25 6 = __ 1 . La probabilidad de hacer póquer es ____ La probabilidad de hacer generala es __ = 4 . 65 64 65 6 Los casos favorables se pueden calcular de la siguiente manera: con cuatro 1, el dado distinto puede ser 2, 3, 4, 5 o 6, es decir que hay 5 casos; pero como el dado distinto puede ser cualquiera de los cinco, hay 5 . 5 = 25 casos de formar póquer de 1. Para calcular las posibilidades de hacer póquer con cualquiera de los seis números hay que hacer: 5 . 5 . 6 = 150.
8. ¿Cuál es la probabilidad de hacer póquer o un juego superior servido? El único juego superior al póker es la generala. Por lo tanto, hay que calcular las probabilidades de 150 ____ 156 ___ 6 + ____ estos sucesos y sumarlos, ya que son excluyentes. P(generala) + P(póquer) = __ = 5 = 264 . 65 65 6 6
9. Zoe, en su primer tiro, obtuvo cuatro 1 y un 2. a. Si se queda con los cuatro 1 y tira el otro dado, ¿cuál es la probabilidad de hacer generala en el segundo tiro? ¿Y en el tercero? 1 (le sirve solo una de las seis posibilidades). La probabilidad de hacer generala en el segundo tiro es __ 6 Para calcular la probabilidad de hacer generala en el tercer tiro, hay que calcular la posibilidad de que 5 1 5 no salga 1 en el segundo tiro y que sí salga en el tercero. Es decir, __ . __ = ___ . 6 6 36
b. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Zoe de hacer generala luego de ese primer tiro?
5 1 + ___ 11 La probabilidad de hacer generala es igual a la suma de las otras probabilidades. __ = ___ . 6 36 36
10. Belu hizo su primer tiro y obtuvo tres 1. ¿Cuál es la probabilidad de que logre hacer generala en alguno de los siguientes tiros?
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( [
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5 __ 10 ; 1 . __ A: sacar dos 1 en el 2.° tiro ___ 1 ; B: sacar un 1 en el 2.° tiro y otro 1 en el 3.° tiro 2 . __ . 1 = ___ 36 6 6 6 63 25 25 1 C: no sacar 1 en el 2.° tiro y sacar dos 1 en el 3.° tiro ___ . ___ = ___4 . 36 36 6 25 ___ 10 + ___ Como los sucesos son excluyentes, se suman las probabilidades. P(A) + P(B) + P(C) = ___ 1 + ___ = 121 . 36 63 64 64
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