Si – 1 es el valor del discriminante de la ecuación 2 3 x − 5 x + m − 5 = 0 halle el valor de 2 m – 1. A) 6 D) 11/2
2.
B) 10
C) 11 E) 7
A) 3 D) 15
Si {3} es el conjunto solución de la ecuación 2 x2 – ax+ b=0 halle el valor de a+ b. 8.
A) 12 D) 30 3.
C) 24 E) 15
Si las raíces de la siguiente ecuación son iguales, halle n. ( n – 1) x2+6 x – 3=0 A) – 2 D) 3
4.
B) 18
B) – 3
2
C) – 1 E) 4
6.
10.
B) – 6
2
3
3
4
x 2 − 3 x +
=
0
presenta
B) VVF
C) VFV E) VFF
Construya la ecuación cuadrática de raíces 3+2 i y 3 – 2 i. A) x2 – 6 x+4 i=0 B) x2+6 x+5=0 C) x2 – 6 x+13=0 D) x2+6 x=0 E) x2– 3 x+13=0
C) 10 E) 15
Las siguientes ecuaciones son equivalentes. 3 x2 – mx+9=0 2 x+8 x+ n=0 Indique el valor de m+ n. A) 18 D) 6
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes.
A) V VV D) FVV
Las siguientes ecuaciones son equivalentes. 3 x – 5= x+7 x2 – ( n+2) x+3 n+6=0 Halle el valor de n. B) 6
C) 2 E) – i
raíces reales y diferentes. II. La ecuación 3 x 2 − 2 15 x + 5 = 0 presenta raíces reales e iguales. III. La ecuación ( n+1) x2 – nx+ n – 1=0 presenta raíces complejas imaginar ias si n > 2.
.
A) 5 D) 12
C) 10 E) 21
B) 3+ i
I. La ecuación
3
A) 3 x2+7 x – 2=0 B) 3 x2 – 7 x – 6=0 C) 3 x2+7 x – 6=0 D) 3 x2 – 7 x+2=0 E) 3 x – 7 x – 2=0 5.
9.
B) 6
Resuelva la ecuación x2 – 6 x+10=0. Indique una de sus raíces. A) 3 D) 2 – i
Construya la ecuación cuyas raíces son 3 y −
Si las raíces de la ecuación 3 x2 – 6 x+ n – 1=0 son números reales diferentes, halle la suma de los posibles valores enteros positivos que n puede tomar.
11.
Si las ecuaciones x2 – 3 x+2=0 3 x+2 n=17 tienen una raíz común, halle el mayor valor de n.
C) – 12 A) 11 B) 7 C) 7/2 E) 15 D) 11/2 E) 2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 2
Álgebra 12.
Las ecuaciones cuadráticas son equivalentes. Halle el valor de k+a si k > 0. ( k – 2) x2+ x+a=0 ( k+4) x2+ kx+2a+6=0 A) 7 D) 5
B) 3
14.
Determine la ecuación cuadrática de raíces ( x1+1) y ( x2+1) si x1 y x2 son raíces de la ecuación x2 – 3 x – 1=0. A) x2 – 2 x+3=0 B) x2+5 x – 3=0 C) x2 – 3 x+5=0 D) x2+3 x+5=0 E) x2 – 5 x+3=0
C) 4 E) 9
NIVEL AVANZADO 15. 13.
Si { x0} es el conjunto solución de la ecuación 2 x2 – ( n+2) x+2 n – 2=0; n > 2 halle el valor de x0+ n. A) – 1 D) 3
B) 5
C) 10 E) 13
Si ∆ es el discriminante de la ecuación x 2 + ∆x +
1 2
=0
indique una de sus raíces. Considere ∆ > 0. A) 1 D) −1 −
B) – 1 2 2
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C) −1 + E)
1+
2 2 2
Álgebra Ecuación de grado superior
A) 1 D) – 1
NIVEL BÁSICO 8. 1.
Si {3; – 2; 5} es el conjunto solución de la ecuación 2 x3+ax2+ bx+c=0 halle el valor de c – a. A) 48 D) 56
2.
C) 72 E) 66
B) {1; – 1; 3}
C) {– 1; 3; – 3} E) {1; – 1}
9.
Si el conjunto solución de la ecuación 2 x3+ax2 – 5 x+12=0 es {3; x2; x3}, halle el valor de x2 x3. A) 3 D) – 3
B) 2
C) – 2 E) – 6
Si a; b y c son las raíces de la ecuación x3 – kx 2+3 x – 2=0 halle el valor de a2 b2 c+ab2 c2+a2 bc2. A) 3 D) – 2
5.
B) 4
B) 6
11.
C) – 8 E) 8
C) 10 E) 2
NIVEL INTERMEDIO De la ecuación polinomial x3 – 3 x2+5 x – 3=0 indique la suma de sus raíces no reales.
Se sabe que 2 y 1 − 2 son raíces de la ecuación 2 x3 – ax 2+ bx+c=0 halle el valor de abc si {a; b; c} ⊂ Z. C) 192 E) 144
B) 19
C) 16 E) 21
Si 3; m y n son raíces de la ecuación x3 – 7 x2+ kx+6=0 halle el valor de m3+ n3. A) 64 D) 88
12.
B) 96
Si { x1; x2; x3} es el conjunto solución de la ecuación x3 – 7 x2+ mx+ n=0; m; n ∈ R halle x21+ x22+ x23 si x1=2+ i. A) 15 D) 13
Si 3+ i es una raíz compleja imaginaria de la ecuación x3 – bx2+cx – 20=0, halle el valor de b. A) 8 D) 12
7.
C) 6 E) – 6
Si 2 + 3 es una raíz de x3 – 8 x2+ax+ n=0 indique la raíz entera de la ecuación. A) 2 D) – 12
6.
B) 2
Si el conjunto solución de la ecuación 2 x3+( n – 1) x2+ mx+ p=0 es {a – b+1; b – c+1; c – a+1}, halle el valor de n.
A) 64 D) 48 10.
4.
C) 3 E) – 2
A) 7 B) – 5 C) 4 D) – 3 E) 9
Resuelva x3+3=3 x2+ x A) {1; 3; – 3} D) {1; – 1; – 3}
3.
B) 60
B) 2
B) 72
C) 82 E) 92
Determine la ecuación polinomial de tercer grado, tal que sus raíces sean 2; – 1 y 4. A) x3+5 x2+2 x – 8=0 B) x3 – 5 x2 – 2 x+8=0 C) x3 – 5 x2 – 2 x – 8=0 D) x3 – 5 x2+2 x+8=0 E) x3+5 x2+2 x+8=0
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Álgebra A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8
NIVEL AVANZADO 13.
Si {2; a; b} es el conjunto solución de la ecuación x3 – mx2+6 x+12=0, halle el valor de
1 a
1 +
.
b
A) 1 B) – 1 C) 2 D) – 2 E) – 1/2 14.
Se sabe que a; 1/ a; b son las raíces de la ecuación 2 x3 – 11 x2+ nx – 6=0 halle el valor de a+b si a > 1.
15.
Se sabe que a; b; – a son las raíces de la ecuación x3 – ax 2 – 4 x+3 a+5=0 halle el valor de a+b si a > 0. A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 1
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Álgebra Ecuación bicuadrada y fraccionaria
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL BÁSICO 7.
Si
es una raíz de la ecuación x +ax + b=0 {a; b} ⊂ Q halle el valor de a+ b. 4
Construya la ecuación bicuadrada cuyas raíces son 2; – 2;
1 2
y −
A) x4 – 5 x2+4=0 B) 4 x4 – 5 x2+1=0 C) 4 x4+17 x2+4=0 D) 4 x4 – 17 x2+4=0 E) 4 x4 – 9 x2+4=0
1
.
=
x + 5 x + 2
12.
C) 2 E) no existe
Indique un valor de x en la siguiente ecuación. 2
+
x+
1
x − 1
=
3+
x 2 x − 1
B) – 1
C) 3 E) – 4
Sean a y b raíces no simétricas de la ecuación x4 – 6 x2+2=0. Halle el valor de a4+b4. A) 2 D) 32
B) – 8
C) – 2 E) – 4
B) 1
A) 1 D) – 2
C) – 13/4 E) – 1
halle el valor de x0 – 3. A) 11 D) – 14
x+2
5
B) 7/2
2 −
2 +
A) 3 D) – 3
x
Si x0 es solución de 3 x
B) – 1
Indique la solución de la ecuación x − 1
10.
C) 12 E) 8
Si las raíces de la ecuación x4 – 10 x2+ n=0 están en progresión aritmética, indique la menor solución de la ecuación.
x + 3
Halle el valor de x. 2 x − 1
5.
C) 4 E) –
B) 15
A) 1 D) – 3
Si a; – a; b; – b son las raíces de la ecuación 2 x4 – 7 x2+1=0 halle el valor de a4b2+a2b4. A) 7 D) 1/2
4.
8.
Si x1; x2; x3; x4 son las raíces de la ecuación x4– 5 x2+3 halle el valor de x31+ x32+ x33+ x34. A) 0 D) 1
2+ 3 2
B) 10
C) 36 E) 40
Determine el conjunto solución de x 2 + 2 x − 3 x 2 − x − 2 x + 3
+
x − 2
=
x 2 − 3
2
A) {1; – 3} B) {– 1; 3} C) {2} D) {– 1} E) {3} Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 6
Álgebra A) 5 B) 7 C) 9 D) 12 E) 3
NIVEL AVANZADO 13.
En la ecuación fraccionaria x 2 + 2 x − 1 x + 1
+
x + 1 x
2
+
2x
−1
=
2
15.
indique la suma de sus soluciones. A) 1 D) – 2 14.
B) – 1
C) 2 E) 0
Si 3 es una solución de la ecuación x4 – nx 2+2 n – 2=0 halle la suma de la mayor solución de la ecuación y el valor de n.
Las raíces de una ecuación cuadrática 3 x2+5 x – 2=0 son raíces de una ecuación bicaudrada, indique dicha ecuación. A) 9 x4+27 x2+4=0 B) 9 x4 – 37 x2+4=0 C) 9 x4 – 27 x2+4=0 D) 9 x4 – 4 x2+1=0 E) x4+4 x2+1=0
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Álgebra Sistema de ecuaciones
6.
NIVEL BÁSICO 1.
Si ( x0; y0) es la solución del sistema 5 x+ y=19 2 x+3 y=5 halle el valor de x0+ y0. A) 2 D) 5
B) 3
C) 4 E) 7
A) 1 y 6 D) – 1 y – 6
Dado el sistema 3 x+2 y=12 5 x+3 y=19 halle el valor x y. A) 8 D) 27
B) 9
Sea ( x0; y0; z0) la solución del sistema 2 x+ y+ z=3 x+3 y – z=12 3 x – y – z=2 indique el valor de x0 · y0 · z0. A) – 6 D) 18
4.
B) 6
C) 12 E) – 18
9.
B) 9
5.
B) 4
B) 4
Si el sistema lineal kx+6 y=2 9 x – ny=3
Dado el sistema lineal x+ y=8 x+ z=1 y+ z=11
tiene infinitas soluciones, halle el valor de k+ n.
halle el valor de xyz.
10.
A) 15 B) 3 C) 12 D) – 3 E) – 6
C) 5 E) 8
C) 5 E) 7
Si ( x0; y0; z0) es solución del sistema 3 x+2 y – z=12 x – y+ z=1 5 x – 3 y+ z=11 halle el valor de x0+ y0+ x0. A) 3 D) 6
C) 4 E) 12
B) 2
Si (a; – 2; b) es solución del sistema 2 x+ y+ z=8 3 x – y+5 z=31 halle el valor de a+b. A) 3 D) 6
Si (3; 5) es solución del sistema 2 x+ ny=21 mx – y=7 halle el valor de mn. A) 6 D) 10
C) 2 y 3 E) 1 y – 6
Si (a; a) es la solución del sistema 4 x+ by=18 2 x+3 y=10 halle el valor de a+ b. A) 3 D) 7
C) 16 E) 25 8.
3.
B) – 2 y – 3
NIVEL INTERMEDIO 7.
2.
Si (a; b) es la única solución del sistema mx+2 y=73 3 x+ ny= m+ n indique un posible valor de m y n respectivamente.
C) 5 E) 7
A) 15 B) – 10 C) – 18 D) – 30 E) 45 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 8
Álgebra 11.
El siguiente sistema lineal es incompatible. Halle el valor de a. (a – 1) x+5 y=1 x+(a+3) y=1 A) 2 B) 1 C) – 2 D) 5 E) – 4
12.
NIVEL AVANZADO Dado el sistema no lineal 2 1 x + y = 11 5 + 2 = 25 x y
1
1 +
x
.
y
A) 2 B) 8 C) 6 D) 7 E) 14 14.
Luego de resolver (a+1) x – (a – 1) y=4a x+ y=2a indique el equivalente de xy. A) a2+1 B) a2+a C) a2 – 1 D) a2 – a E) a2+a+1
13.
halle el valor de
Si (3; 2) es solución del sistema ax+ by=13 x+( b+1) y=15a halle el valor de a+ b. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
15.
El sistema lineal (a – 2) x+3 y=a+1 ( b+1) x+2 y=6 es compatible indeterminada. Halle el valor de a – b. A) 5 B) 11 C) 8 D) 3 E) 14
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Álgebra Introducción a los números reales
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL BÁSICO 7. 1.
Determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes propiedades. I. 5 ≥ 7 II. – 1 ≥ – 1 III. – 5 > – 3 IV. 0 ≤ 0 A) VFFF D) VVFV
2.
B) 3
B) 〈5; 7〉
9.
C) 4 E) 6
C) [5; 7〉 E) {5; 6; 7}
B) 37
Dados los intervalos A={ x ∈ R / – 2 ≤ x < 1} B={ x ∈ R / 0 < x ≤ 2} halle A ∪ B. A) [– ∞; 3〉 D) 〈0; 3〉
B) 〈0; 2]
11.
B) 〈1; 6]
C) [1; 6〉 E) [1; 6]
B) 1
C) 2 E) 4
Sean los intervalos A=〈3; 10] B=〈– 1; 5〉 C =〈0; 7〉 indique la cantidad de enteros que posee ( A ∪ B) – C . A) 3 D) 6
C) 45 E) 52
C) 2 E) 5
Sean A=〈1; 7〉 B=〈3; 10] C =〈5; 9] indique la cantidad de enteros que posee el intervalo A ∩ B ∩ C . A) 0 D) 3
10.
B) 3
Sean los intervalos A=〈– ∞; 1] B=〈6; +∞〉 halle el intervalo AC ∩ BC . A) φ D) 〈1; 6〉
Sean los intervalos A=〈3; +∞〉 y B=〈– 1; 10]. Halle la suma de elementos enteros de A ∩ B. A) 49 D) 55
6.
8.
C) 8 E) 10
Sean los conjuntos A={ x ∈ R / 2 < x ≤ 7} B={ x ∈ Z / 5 ≤ x < 10} halle A ∩ B. A) [5; 7] D) 〈5; 7]
5.
B) 7
Sean los intervalos A=〈– 3; 5〉; B=〈1; 7 〉 indique la cantidad de elementos enteros que contiene A – B. A) 2 D) 5
4.
C) FVFV E) VFVF
A) 7 D) 4
Determine la cantidad de elementos enteros que posee el siguiente intervalo: B=〈– 5; 3] A) 6 D) 9
3.
B) FV VV
Sean los intervalos A=〈– 2; +∞〉 B=〈– 5; 5] halle B – A e indique su longitud.
B) 4
C) 5 E) 7
Si AC =〈3; 5] BC =〈4; +∞〉 halle B – A.
A) 〈3; 4] B) 〈4; 5] C) [3; 4] C) [– 2; 2] D) [4; 5] E) 〈– ∞〉; 4] E) [2; 3〉 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 10
Álgebra 12.
Si A=〈– 2; 3〉 ∪ [5; 10] B=[0; 7〉 halle la suma del mayor y menor elemento entero de B – A. A) 3 D) 8
B) 6
14.
C) 7 E) 10
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
NIVEL AVANZADO 13.
Sean A={ x ∈ R / – 3 < x ≤ 5} B={ x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 7} indique la cantidad de enteros que posee ( A ∪ B) – ( A ∩ B). A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Sea A=〈3; 5] ∪ 〈6; 10] B=〈4; 6] ∪ 〈7; 11] halle la cantidad de elementos enteros de ( A – B) – ( B – A).
15.
Si A ∩ B=〈3; 5〉 A – B=〈1; 3]
indique la suma de los elementos enteros de A. A) 4 B) 7 C) 9 D) 8 E) 5
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 11
