Si x – 3 es factor de P( x)=ax2 – 6 x+9 b, halle el valor de a+b. A) 1 D) – 1
2.
C) 0 E) – 2
Indique un factor primo de P( x)=4 x3 y – 6 x2 y2+2 x2 yz A) x2 D) 2 x – 3 y – z
3.
B) 2
B) xy
A) x – 1 D) x – 3 8.
C) 2 x+3 y+ z E) 2 x – 3 y+ z
A) 2a+ b+c+4 B) 2a+ b+c+3 C) a+2 b+c+3 D) a+2 b+c+1 E) a+ b+c+3
5.
C) x2+ x+1 E) x2 – x+2
Halle la suma de los factores primos no comunes de los siguientes polinomios: P( x)= x2+5 x+6 Q( x)=3 x2+7 x+2 L( x)=2 x2+7 x+6 A) 6 x+7 D) 3 x+6
6.
B) x – 2
B) 5 x+4
Indique un factor primo de P( x)=abx2+(a2+ b2) x+ab A) x+a D) ax+ b
B) x+ b
C) x+3 E) x – 2
B) 3
C) 5 E) – 5
Factorice el polinomio P( x; y)=4 x2 – 4 y2 – 4 x+1 e indique un factor primo. A) x+ y – 2 B) 2 x+ y – 1 C) x+2 y – 1 D) 2 x – 2 y – 1 E) 2 x – y – 2
Señale un factor primo de P( x)= x3+3 x2+3 x+2 A) x+1 D) x2 – x+1
B) x+1
Factorice el polinomio P(a; b)=a2+ b2+a+ b+2ab e indique la suma de coeficientes de un factor primo. A) 1 D) – 3
Halle la suma de los factores primos del siguiente polinomio: P(a; b; c)=a2c+abc+3ac+3 bc+a2+ab+3a+3 b 9.
4.
Si f ( x)= x2+2 x – 1 es un factor primo de P( x)= x3+3 x2+ mx+ n, entonces el otro actor primo es
10.
Indique la cantidad de factores primos en el polinomio P( x)= x4 – x3+ x – 1 A) 1 D) 4
11.
12.
C) 3 E) 5
Indique un factor primo del polinomio P( x)=( x – 1)2( x – 3)2+( x2 – 5 x+6)2 A) x+3 D) x – 5
C) 4 x+4 E) 6 x+9
B) 2
B) x+1
C) x+5 E) x – 3
Indique un factor primo del polinomio P( x)=2 x2 – 3(a+1) x+a2+3a
A) x+a B) x+a+3 C) x – a C) ax+1 D) x – 3 E) 2 x – a E) 1+ x+ab Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 2
Álgebra A) x – 3
NIVEL AVANZADO
B) x + 2 C) x+5
13.
Factorice e indique el número de factores primos de 2 P( x; y)=( x2+ y2 – 1) – 4 x2 y2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
D) x – 1 E) x+3 15.
Indique un factor primo del polinomio P( x)=3 x2+2(2a – 3) x+a2 – 4a+3
A) x – a+1 B) 3 x+a – 1 C) x+a – 1
14.
Determine un factor primo de
D) 3 x – a+1
P( x)=( x – 1)4 – 5( x2 – 2 x+1)+4
E) x+a – 3
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Álgebra Factorización II
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL BÁSICO 7. 1.
Si 3 es raíz del polinomio P( x)= x3 – mx+9 calcule el valor de m. A) 9 D) 15
2.
B) 6
C) 12 E) 3
Indique qué alternativa no es una posible raíz racional de P( x)=3 x3+ mx2+ n+6 A) 1 D) 1/3
B) – 3
A) 2 D) 5 8.
4.
B) 4
Factorice e indique un factor primo de P( x)= x3+6 x2+3 x – 10
Si x – c es factor de P( x)=ax3 – acx2+ bx+c; c ≠ 0 halle el valor de b.
A) x+1 D) x+10
A) 1 D) – 2
B) x – 2
C) x – 5 E) x+2
Luego de factorizar P( x)= x3 – 6 x2 – x+30, indique la suma de sus factores primos. A) 3 x – 6 D) 3 x+4
B) 3 x – 5
10.
C) 3 x+7 E) 3 x – 1
Si f ( x) es un factor primo del polinomio P( x)= x3 – 5 x2 – 4 x+20, halle el menor valor de f (1). A) 3 D) – 2
B) 1
12. 6.
¿Cuántos polinomios son primos?
I. P( x)= x3+1 II. Q( x)= x2+ x+3 III. R( x)= x3+3 x+1 IV. S( x)= x3+5 x+2 A) 0 D) 3
B) 1
B) – 1
C) 5 E) 7
C) 2 E) 3
B) x+by
C) abx+y E) x+ay
Factorice P( x; y)=( xy+1)2+( x+ y)( xy+2)+ xy+1 e indique un factor primo. A) xy+1 D) x+y
C) – 1 E) – 4
C) 4 E) 6
Indique un factor primo del polinomio P( x; y)=ab( x2+ y2)+ xy(a2+ b2) A) ax+y D) ax+by
11. 5.
B) 3
Indique el número de factores primos del polinomio P( x; y)= x7 y – xy7 A) 3 D) 6
C) 2 E) 1/2 9.
3.
Factorice P(a; b; c)=1+a+ b+c+ab+ bc+ca+abc e indique la suma de los términos independientes de los factores primos.
B) x+2
C) y+2 E) xy+2
Luego de reducir
( x 2 + 3 x + 2) ( x2 + 5 x + 6) ( x2 + 4 x + 3) evalúe para x=98.
A) 9900 B) 99 900 C) 999 900 D) 99 000 C) 2 E) 999 000 E) 4 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 4
Álgebra A) x+1
NIVEL AVANZADO
B) x+a C) x+a+1
13.
Factorice el polinomio P( x)=2 x3+5 x2+8 x+3 e indique un factor primo. A) x+3 B) 2 x – 3 C) 2 x+3 D) x – 1 E) 2 x+1
14.
Factorice 2 P( x)= x4+4ax2 – (a2 – 1) e indique un factor primo.
D) x – a – 1 E) x – a+1
15.
¿Cuántos factores primos tiene el polinomio P( x)=( x – 1)( x+2)( x – 2)( x+3) – 5?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
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Álgebra Introducción a los números complejos
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL BÁSICO 7. 1.
A) 8 D) 12 2.
Halle el valor de 2a – b si 7 – a+5 i=a – 3+(3 – b) i sabiendo que a; b ∈ R. B) 7
A) 1+ i D) 2
A) 1 D) 4
C) 3 E) 14 8.
Sean A= i+ i2+ i3+ ... + i18 B=(1+ i)(1+ i3)(1+ i6) Calcule A+B. B) 1 – i
Halle a para que z =
a − 6i
2 + 5 i
C) – 1+ i E) 2 i ; a ∈R
4.
B) 30
C) 15 E) – 15
10.
Reduce el complejo z
=
1+
5.
C) 1 – i E) i
Determine a ∈ R si (a – 3 i)2 es un complejo imaginario puro. A) 3 D) 1
B) 6
Sea z=2 – 3 i w=1– 2 i
C) 9 E) 5
B) – 6
C) – 156 E) – 30
1+ i i
−1
+
1 + 2 i 2 − i
+
1 + 3 i 3 − i
+
B) – 4
1 + 4 i 4 − i
C) 4 i E) 2 i
Si z=x+yi, tal que z+z=6 z – z*=m+10 i halle xy. B) 6
sea un número complejo imaginario puro. A) 5 D) – 30
B) 2
A) 2 i D) – 4 i 9.
3.
Si se cumple que (2+3 i)a+(1 – i) b=7+8 i calcule el valor de a+b.
=
3 + ( 8 + m) i 1 + mi
; m ∈ R
sea un complejo real. A) 2 B) 4 C) 6 C) 2 i D) 8 E) 10 E) 2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 6
Álgebra A) 2
NIVEL AVANZADO 13.
B) – 12 C) – 2 D) 3 E) – 3
Si z y w son opuestos, tal que z=(3+2 i) m+ni w
=
10 + n −
n i
calcule el valor de mn; m; n∈R. A) 20
B) – 25
C) – 20
D) – 15 14.
E) 10
Si 3
x + yi
2
1− i 1 + i = 3 + 2 ; x; y ∈ R 1 + i 1 − i
calcule el valor de ( x+y)( y – 1).
15.
Calcule n si n
(1 + i )5 + (1 − i )5 = 64 A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6
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Álgebra Teoría de ecuaciones
6.
NIVEL BÁSICO 1.
2
α −
A) 2 D) – 3
B) 5/3
C) 2/3 E) – 2/3
Respecto a la siguiente ecuación ( x 3)2 ( x 4 ) x 3 x 4 indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. El 4 es solución II. El 3 es solución III. No tiene solución IV. Tiene una solución
7.
−
=
A) VFFF D) VFVF
α
−
B) VVFF
2
C) – 2 E) {2}
B) 0
8.
B) 5
A) 0 D) 3
C) 2 E) 5
Resuelva la ecuación lineal ( m – 3) x2+2 x+ m2 – 17=0 A) 4 D) {4}
B) 17/2
C) 7 E) 10
B) 9
B) 1
C) 2 E) 4
La ecuación en x ( m2 – 5 m+6) x= m2 – 2 m es compatible indeterminada. Indique el valor de m. A) 0 D) 1
10.
C) 8 E) 7
Respecto a la ecuación x( x+2)( x+3)= – x( x+3) indique el número de soluciones.
B) 2
Resuelva x − 1 3−
A) 4 D) 9
2
A) 11 D) 6
9.
La ecuación en x mx+x+7=3 x+n+2 es compatible indeterminada. Halle el valor de m+n.
1
+
α
C) VFFV E) FVFV
La ecuación en (a2 – a) x=a – 1 no tiene solución. Halle a+1. A) 1 D) 3
5.
B) {3}
Si a es la solución de x2 – 3 x+1=0 calcule el valor de
−
4.
6
2
−
3.
2
NIVEL INTERMEDIO
A) 2 D) – 1 2.
3
Si a es la solución de la ecuación 3 x2 – 5 x+10=0, calcule el valor de α
Determine la solución de x − 1 2 x + 1 x−2 + = − x − 5−
1 2+
1 2
C) 3 E) – 3
5 =
3+
1 2−
1 2
A) {3/2} B) {28/11} C) {50/11} D) {31/13} C) – 4 E) {19/10} E) { } Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 8
Álgebra 11.
En la ecuación 2 x
−
1
=
2 2
A) 2 x
D) – 3
−
A) 1 D) 3
B) 2
14.
5
a
+
E) 1
x −
2a + 5
537
=
1;
Las ecuaciones 3 x
C) 4 E) 5
−
7
2x =
26
−
5
39
5 x+m – 1=0 tienen la misma solución. Halle m.
Halle el valor de x en la ecuación x − a +
a > 0
A) – 10
B) 7
D) 13 A) a – 5 D) 2a – 5
C) 3
2
calcule el cuadrado de la solución.
12.
B) – 2
B) a+5
C) 2a+5 E) – a+5
NIVEL AVANZADO
15.
C) – 8 E) 5
Resuelva x 2
+
x 6
+
x 12
+
x 20
12 =
5
e indique la solución aumentada en 2. 13.
Si la ecuación en x m( mx – x – 1)=6 x+2 es incompatible, calcule el valor de m.
A) 1 D) 5
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B) 2
C) 3 E) 7
Álgebra Ecuación cuadrática I
6.
NIVEL BÁSICO 1.
Calcule la suma de las raíces no comunes de las ecuaciones 3 x2+2=5 x 9 x2 – 4=0 A) – 1/3 D) 1/3
2.
B) 2/3
C) – 2/3 E) – 2
A) – 1 D) – 16
B) 2 − 2
7.
C) −2 + 2 E) 1 − 2
Sean x1 y x2 las raíces de x2 – 5 x – 2=0 halle el valor de A) 1 D) 1/2
4.
x12 − 5 x1
1 +
x22 − 5 x2
B) – 1
C) 0 E) – 1/2
9.
B) 4
C) 2 E) 1
B) 33
C) 42 E) 37
Sean x1 y x2 las raíces de x2 – 2 x – 1005=0
halle el valor de x1( x1 – 1)+ x2( x2 – 1) A) 1007 D) 2012 C) – 12 E) – 8
Las raíces de la ecuación x2 – 6 x+2=0 son x1 y x2. Indique el valor de x1 − 6 x2 − 6 + x2 x1 A) 2 B) – 2 C) 1 D) – 1 E) – 1/2
B) 1/2
La ecuación en x x2+3 x – n – 3=0 x2+2 x – n+2=0 tiene una raíz en común, halle n. A) 35 D) 39
Si la ecuación x2 – 8 x – 5=0 tiene por raíces x1 y x2 halle el valor de ( x1+1)( x2+1) A) 14 D) 0
5.
1
C) – 9 E) – 25
Halle a – 1 si la ecuación ax2 – x – a+1=0 tiene raíces enteras positivas consecutivas. A) 3 D) 1/3
8. 3.
B) – 4
NIVEL INTERMEDIO
Indique la menor raíz de la ecuación x2 – 4 x+2=0 A) 2 2 D) 1 + 2
Las raíces de la ecuación x2 – ( n – 2) x+ n –11=0 son simétricas. Determine el producto de las raíces.
10.
C) 1003 E) 2008
Si x1 y x2 son las raíces de x2 – 3 x+ n=0 tal que x1 – x2=5 Halle el valor de n. A) 4 D) – 2
11.
B) 2010
B) – 4
C) 2 E) 3
En la ecuación 3 k2 x2 – 6 kx – ( k+2)=0 ; k ≠ 0 si la suma de sus raíces es igual al doble de su producto, halle k.
A) 1 B) 1/2 C) – 1/2 D) 2 E) – 2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 10
Álgebra 12.
Si a y b son raíces de la ecuación
D) – 2 E) 4
x2 – 6 x+c=0,
entonces halle el valor de
a2 + b2 + 2c 9
14.
Si x1 es una raíz de la ecuación ( x+1)2= x calcule el valor de x115 +
A) 2 B) 6
1
x115
.
A) 1 B) – 1 C) 2 D) – 2 E) 0
C) 4 D) 1 E) 12
NIVEL AVANZADO 15. 13.
Si el complejo 1– i es raíz de x2+3 x+ m+5 i=0,
calcule el valor de m. A) 1 B) – 3 C) 5
Las raíces de la ecuación 2 x2 – (2 n – 1) x+ n – 1=0 son recíprocas. Indique la menor raíz. A) 2 B) 3 C) 1/3 D) 1/2 E) – 1
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 11
