INDICE
Contenido INDICE ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................ .................................... .............. 1 INTRODUCCION............................................................ ................................................................................... .............................................. ........................... 2 RESUMEN .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................ ................................. ........... 3 CONTENIDO ............................................. .................................................................... ............................................. ............................................. ........................... 8 1 METODO DE RUNGE KUTTA ................................................ ....................................................................... ............................. ...... 8 1.1 Método de RUNGE-KUTTA............................................ ................................................................... ................................. .......... 8 1.2 PRIMER METODO DE RUNGE KUTTA ............................................ ..................................................... ......... 11 1.3 SEGUNDO METODO DE RUNGE KUTTA............................................ ................................................ .... 12 1.4 EXTENSION DEL METODO DE RUNGE KUTTA .................................... 13 1.5 EJEMPLOS RESUELTOS ............................................ ................................................................... .................................. ........... 14 1.5.1 RUNGE – KUTTA KUTTA PARA SEGUNDO ORDEN, MÉTODO PUNTO MEDIO. ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ........................... .... 14 1.5.2 RUNGE – KUTTA KUTTA PARA TERCER ORDEN. .................................... ........................................ .... 17 2 APLICACIONES A LA INGENIERIA CIVIL C IVIL ......................................... ..................................................... ............ 20 2.1 APLICACIÓN DEL METODOD DE RUNGE KUTTA (TRANSITO DE AVENIDAS)- HIDROLOGIA ......................................... ............................................................... .......................................... .................... 21 3 PROGRAMA EN MATLAB DEL METODO DE RUNGE KUTTA ................... 27 3.1 SOLUCION DEL EJERCICIO PLANTEADO EN E N EL PROGRAMA........... 31 4 CONCLUSIONES.................................................... ........................................................................... .............................................. ....................... 34 5 RECOMENDACIONES ........................................... ................................................................. ............................................ ........................ 35
º
INTRODUCCION Dentro de la Ingeniería y otras ciencias hay diversos problemas que se formulan en términos de ecuaciones diferenciales .Por ejemplo ,trayectorias balísticas ,estudio de redes eléctricas , deformación de vigas, estabilidad de aviones, teoría de vibraciones y otras aplicaciones de aquí la importancia de su solución
En el presente trabajo
nos enfocaremos en la SOLUCION DE ECUACIONES ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN-Método de Runge kutta del curso de Métodos Numéricos, que va dirigido primeramente al docente del curso y a los colegas estudiantes
que llevan el curso ya mencionado, nuestro propósito es
desarrollar el tema de una forma breve y entendible claro está utilizando la terminología necesaria en este capítulo, de igual manera se presenta algunos de problemas con el procedimiento completo ,ordenado y de fácil entendimiento .También se presenta una aplicación a la INGENIERIA CIVIL de este método y finalmente un programa en MATLAB.
Los Alumnos
º
INTRODUCCION Dentro de la Ingeniería y otras ciencias hay diversos problemas que se formulan en términos de ecuaciones diferenciales .Por ejemplo ,trayectorias balísticas ,estudio de redes eléctricas , deformación de vigas, estabilidad de aviones, teoría de vibraciones y otras aplicaciones de aquí la importancia de su solución
En el presente trabajo
nos enfocaremos en la SOLUCION DE ECUACIONES ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN-Método de Runge kutta del curso de Métodos Numéricos, que va dirigido primeramente al docente del curso y a los colegas estudiantes
que llevan el curso ya mencionado, nuestro propósito es
desarrollar el tema de una forma breve y entendible claro está utilizando la terminología necesaria en este capítulo, de igual manera se presenta algunos de problemas con el procedimiento completo ,ordenado y de fácil entendimiento .También se presenta una aplicación a la INGENIERIA CIVIL de este método y finalmente un programa en MATLAB.
Los Alumnos
º
RESUMEN Cuando se desarrolla el método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden Y' = f(X, Y) (1) Con la condición inicial Y(X0) = Y0 (2) Consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ... (3) Para determinar la solución solución de la ecuación diferencial en X = X1, X2, X3, ... Sustituyendo la función
f(X,Y) dada en (1), en (3), se tiene que Yn+1 = Yn + h Y'n (4)
Expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (1) en un punto, al siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.
º
De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la tangente T1 para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote , se utiliza una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1) en donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente gráfica:
Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de definido por la expresión
(5)
en donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función
f(X, Y) para:
X = Xn+1 Y = Yn + h f(Xn, Yn) Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia
(6)
en donde (7)
º
En el método de Euler y
(8)
En lo que Y' = f(X, Y) (9) En el método de Euler Mejorado . Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común: 1. son métodos de un paso; para determinar yn+1 se necesita conocer únicamente los valores de xn y yn del punto anterior. 2. no requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(x, y). Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos como de runge-kutta la diferencia entre ellos cosiste en la forma como se define la función que aparece en la expresión (6). La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es también un método de un paso, está expresado en el punto (2) anterior; es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X, Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor. Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con error del orden de , de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama simplemente el Método de Runge-Kutta, se dará a conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia (6) en donde la función
está dada por la expresión:
(10)
En el cual
º
(11)
La ecuación (10) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, k1, k2, k3 y k4 a la curva integral, en forma semejante a como se procedió con las pendientes de las tangentes T1 y T2 que dieron lugar a (5).
º
OBJETIVOS
Objetivo General Aprender a resolver Ecuaciones Diferenciales lineales de primer orden a través del método de Runge-Kutta.
Objetivos Específicos Conocer ventajas y desventajas del método. Comparar el método de Runge-Kutta con la solución de la ecuación resuelta por métodos de integración. Identificar la exactitud del método.
º
CONTENIDO 1 METODO DE RUNGE KUTTA El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.
1.1 Método de RUNGE-KUTTA El método de Runge Kutta es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del método de Euler. El método de Euler se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer orden, el de Heun, es un método de Runge Kutta de orden dos. Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación yi + 1 = yi + F( xi,yi,h)h
Donde F( xi,yi,h) se conoce como la función incremento la cual puede interpretarse como una pendiente representativa en el intervalo. La función incremento se escribe en forma general como: F = a1k 1 + a2k 2 +….+ ank n
º
Donde las a son constantes y las k son: k1 = f ( xi,yi) k2 = f ( xi + p1h,yi + q11k1h) k3 = f ( xi + p2h,yi + q21k1h + q22k2h) kn = f ( xi + pnh,yi + q2n-1k1h + qn-1,2k2h + …. + qn-1,n-1k n-1h)
Donde las p y q son constantes. Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación. Existen varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento como la especificada por n. n = 1, es el método de Euler . Una vez se elige n, se evalúan las a, p y q al
igualar la función incremento a los términos en la serie de expansión de Taylor . La versión de segundo orden para la ecuación en su forma
generalizada es:
Donde:
Los valores de a1, a 2, p1 y q11 son evaluados al igualar el término de segundo orden de la ecuación dada con la expansión de la serie de Taylor .
Desarrollando tres ecuaciones para evaluar las cuatro incógnitas:
º
Como se tienen tres ecuaciones con cuatro incógnitas se tiene que suponer el valor de una de ellas. Suponiendo que se especificó un valor para a 2, se puede resolver de manera simultánea el sistema de ecuaciones obtenido:
Como se puede elegir un número infinito de valores para a 2, hay un número infinito de métodos Runge-Kutta de segundo orden. a 2 = 1/2: Método de Heun con un solo corrector, donde:
a2 = 1 : Método del punto medio.
a2 = 2/3: Método de Ralston.
Siguiendo el mismo razonamiento para n = 3, o sea, Runge-Kutta de tercer orden, el resultado son seis ecuaciones con ocho incógnitas, por lo tanto se deben suponer dos valores con antelación para poder desarrollar el sistema de ecuaciones. Una versión ampliamente usada es:
Éste es el más popular de los métodos Runge-Kutta de cuarto orden:
º
1.2 PRIMER METODO DE RUNGE KUTTA Sea dado el punto , es nuestro interés aproximar
en
dentro de la ecuación diferencial ordinaria Con tal propósito determinemos un punto intermedio
de
modo tal que reemplazando en las expresiones correspondientes, tendremos que el predictor y corrector en dicho punto intermedio se escribirá:
Por lo cual, en el punto deseado su predictor y corrector será:
Simplificaremos el proceso de cálculo, determinando algunos coeficientes adecuados, así:
Como podemos verificar, reemplazando de acuerdo a las condiciones supuestas
º
De esta manera a partir de en
en
es posible ubicar
mediante el primer método de RUNGE KUTTA, por medio
de la determinación de los coeficientes de K del modo siguiente
1.3 SEGUNDO METODO DE RUNGE KUTTA En forma similar, se deduce un segundo método en función al siguiente sistema:
º
1.4 EXTENSION DEL METODO DE RUNGE KUTTA Para ecuaciones diferenciales de segundo orden, como
Suele simplificarse su cálculo efectuando el siguiente cambio de variable:
De este modo, el sistema queda entonces reducido a:
Determinándose los coeficientes siguientes:
º
1.5 EJEMPLOS RESUELTOS 1.5.1 RUNGE –KUTTA PARA SEGUNDO ORDEN, MÉTODO PUNTO MEDIO. Resuelva el siguiente problema de valor inicial en el intervalo de x=0 a x=1. dy
yx 2
dx
1.2 y
Donde: y(0)=1 h = 0.25 Solución yi k 1
yi
1
f(xi, y i )
k 2 = f(x i
k 1
º
k 2 h
1 2
h , yi
1 2
k 1 h)
Primera iteración
f(x 0 , y 0 )
f
(0 , 1)
k 1
(1)(0) 2
k 1
1.2
k 2
f ( x 0
k 2
f (0
k 2
f (0.125,0.85)
k 2
0.85(0.125) 2
k 2
1.006718
1.2(1)
1
, y0
h
1
k 1 h) 2 2 1 1 (0.25) , 1 ( 1.2)(0.25)) 2 2 1.2(0.85)
y1
1 ( 1.006718)0.25
y1
0.748320
Segunda iteración
x1
x0
x1
0 0.25
x1
0.25
k 1
f(x1 , y1 ) f (0.25 , 0.748320)
k 1
(0.748320)(0.25) 2
k 1
h
1.2(0.748320)
0.851432 1
(0.25) , 0.748320
k 2
f (0.25
k 2
f (0.375,0.641891)
k 2
0.641891(0.375) 2
k 2
2
0.680003
0.748320 ( 0.680003)0.25
y 2
0.578319
Tercera iteración
x2
x1
x2
0.25 0.25
x2
0.5
k 1
f(x 2 , y 2 ) f (0.5,0.578319)
k 1
(0.578319)(0.5) 2
k 2
º
2
1.2(0.641891)
y2
k 1
1
h
1.2(0.578319)
0.549403 f ( x 2
1 2
h
,
y 2
1 2
k 1 h)
( 0.851432 )(0.25))
1
(0.25) , 0.578319
k 2
f (0.5
k 2
f (0.625,0.509643)
k 2
0.509643(0.625) 2
2
k 2
0.4125
y 3
0.578319
y 3
0.4752
( 0.4125)0.25
x 2
h
x3
0.5
0.25
x3
0.75
k 1
f(x 3 , y 3 )
k 1
(0.4752)(0.75) 2
k 1
k 2
0.3029 1 1 f ( x3 h , y3 k 1h) 2 2 1 f (0.75 (0.25) , 0.4752 2 f (0.875,0.4373)
k 2
0.4373(0.875) 2
k 2
f (0.75,0.4752) 1.2(0.4752 )
1 2
( 0.3029 )(0.25))
1.2(0.4373)
0.1900
y4
0.4752 ( 0.1900)0.25
y 4
0.4277
x4
( 0.549403)(0.25))
1.2(0.509643)
x3
k 2
2
Cuarta iteración
k 2
1
x3
h
x4
0.75 0.25
x4
1
Vectores solución X 0 0.25 0.5 0.75 1 y 1 0.7483 0.5783 0.4752 0.4277
º
1.5.2 RUNGE –KUTTA PARA TERCER ORDEN. Se resuelve el mismo problema anterior pero esta vez mediante el uso del método Runge kutta de tercer grado, de valor inicial, en el intervalo de x=0 a x=1. dy
yx 2
dx
1.2 y
Donde: y(0)=1 h = 0.25 Solución. En el método de Runge kutta de tercer orden se utilizan las siguientes formulas: yi
yi
1
1 6
(k 1
4k 2
k 3 )h
k 1
f(xi, y i ) 1 1 k 2 = f(x i h , yi k 1 h) 2 2 k 3 f(x i h , y i k 1 h 2k 2 h)
Primera iteración
k 1
f(x 0 , y 0 )
k 1
(1)(0) 2
k 1
1.2
k 2
f ( x 0
k 2
f (0
k 2
f (0.125,0.85)
k 2
0.85(0.125) 2
k 2
f (0 , 1) 1.2(1)
1
h
1
, y0
k 1 h) 2 2 1 1 (0.25) , 1 ( 1.2)(0.25)) 2 2 1.2(0.85)
1.0067
k 3
f(x o
k 3
f (0 (0.25), (1) ( 1.2)(0.25)
k 3
f (0.25,0.7966)
k 3
0.7966(0.25) 2
º
h , y o k 1h
2k 2 h)
1.2(0.7966)
2( 1.0067)(0.25))
k 3
0.9062
1
y1
y0
y1
0.7445
6
(k 1
4k 2
k 3 )h
Segunda iteración
x1
x0
x1
0 0.25
x1
0.25
k 1
f(x1 , y1 ) f (0.25 , 0.7445)
k 1
(0.7445)(0.25) 2
k 1
h
1.2(0.7445)
0.8468 1
,
k 2
f ( x1
k 2
f (0.25
k 2
f (0.375,0.6386)
k 2
0.6386(0.375) 2
k 2
2
h 1 2
y1
1 2
k 1 h )
(0.25) , 0.7445
1 2
( 0.8469)(0.25))
1.2(0.6386)
0.6765
k 3
f(x1
k 3
f (0.25 (0.25), (0.7445) ( 0.8469)(0.25)
k 3
f (0.5,0.6178)
k 3
0.6178(0.5) 2
k 3
h , y1
2k 2 h)
1.2(0.6178)
0.5870 1
y2
y1
y 2
0.5720
6
(k 1
4k 2
k 3 )h
Tercera iteración
x2
x1
x2
0.25 0.25
x2
0.5
º
k 1h
h
2( 0.6765)(0.25))
k 1
f(x 2 , y 2 ) f (0.5,0.5720)
k 1
(0.5720)(0.5) 2
k 1
1.2(0.5720)
0.5434 1
k 2
f ( x 2
k 2
f (0.5
2 1
2
k 1 h)
(0.25) , 0.5720
k 2
2 f (0.625,0.5041)
k 2
0.5041(0.625) 2
k 2
1
, y 2
h
1 2
( 0.5434 )(0.25))
1.2(0.5041)
0.4080
k 3
f(x 2
k 3
f (0.5 (0.25), (0.5720) ( 0.5434)(0.25) 2( 0.4080)(0.25))
k 3
f (0.75,0.5038)
k 3
0.5038(0.75) 2
k 3
h , y2
k 1h
1.2(0.5038)
0.3212 1
y3
y2
y3
0.4679
(k 1
6
4k 2
x3
x 2
h
x3
0.5
0.25
x3
0.75
k 1
f(x 3 , y 3 )
k 1
(0.4679)(0.75) 2
f (0.75,0.4679) 1.2(0.4679 )
0.2986 1
f ( x 3
k 2
f (0.75
k 2
f (0.875,0.4306)
k 2
0.4306(0.875) 2
2
h 1 2
1
, y 3
k 2
k 2
k 3 )h
Cuarta iteración
k 1
2k 2 h)
2
k 1 h)
(0.25) , 0.4679
1 2
( 0.2983)(0.25))
1.2(0.4306)
0.1871
k 3
f(x 3
k 3
f (0.75 (0.25), (0.4679) ( 0.2983)(0.25) 2( 0.1871)(0.25))
º
h , y3
k 1h
2k 2 h)
k 3
f (1,0.4489)
k 3
0.4489(1) 2
k 3
0.0898 1
y4
y3
y 4
0.4206
x 4
x 3
x4
0.75 0.25
x4
1
6
(k 1
1.2(0.4489)
4k 2
k 3 )h
h
Vectores solución X 0 0.25 0.5 0.75 1 y 1 0.7445 0.5720 0.4679 0.4206
2 APLICACIONES A LA INGENIERIA CIVIL El estudio de los métodos numéricos, es muy útil y por ende importante para quien utilice esta herramientas para resolución de operaciones, las cuales se saben que pueden resultar complicadas, tediosas y largas, y por más que se dominen los métodos tradicionales, estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin embargo esto no quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera. Dentro del estudio de los métodos numéricos, se encuentran una gran variedad de aplicaciones como lo fue el descrito en el presente trabajo referido al método de runge kutta, que tiene como objetivo principal el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias, siendo estos una extensión del método de euler para resolver las, pero con un orden de exactitud mas alto que este, logrando así la exactitud del procedimiento sin requerir el cálculo de derivadas superiores Por tal razón se toma como un método de gran facilidad y rapidez lo que lo hace de gran importancia, ya que debido º
a estas características su implantación resulta mas cómoda y fácil de manejar, tomando en cuenta a la misma vez la utilización de su algoritmo resultando una gran ventaja a nivel de su desenvolvimiento en la programación en matlab. El mecanismo esta basado en la aplicación de ecuaciones matemáticas de gran facilidad de empleo, siendo esta otra característica positiva. Este método es de gran aplicabilidad en diversas áreas de la industria lo que lo hace muy usado en distintos niveles.
2.1 APLICACIÓN DEL METODOD DE RUNGE KUTTA (TRANSITO DE AVENIDAS)- HIDROLOGIA METODO DE RUNGE-KUTTA Para la circulación de avenidas a través de embalses bajo el supuesto de superficie libre horizontal, puede establecerse un método alternativo al anteriormente descrito resolviendo la ecuación de continuidad mediante un método numérico como el de Runge-Kutta. Este método no requiere el cálculo de la función especial 2S/∆t+Q versus Q, y se
aproxima más a la hidráulica de la circulación de flujos a través de embalses. Existen diversos órdenes de esquemas de Runge-Kutta, con mucho, el más útil y empleado el cuarto orden. La ecuación de continuidad puede expresarse como
En donde S: Volumen de agua almacenado. I(t): Aporte que entra al embalse, función del tiempo. Q(y): descarga evacuada por el aliviadera o estructura de desagüe, determinada por la carga o calado.
º
El método de Runge-Kutta aproxima el valor de la función y sobre un intervalo de tiempo, ∆t, mediante un desarrollo en serie de Taylor.
Que es la aproximación de Runge-Kutta de cuarto orden, por esta precisión, en la que el termino de error será 0 ( ∆t5) METODO DE RUNGE-KUTTA
HIDROGRAMA DE SALIDA TIEMPO
ELEVACION CAUDAL TIEMPO
ELEVACION CAUDAL
(min.)
(m.)
(m3/s)
(min.)
(m.)
(m3/s)
15
353.511
0
255
355.726
87.17
30
353.537
0
270
355.783
97.71
45
353.578
0
285
355.817
104.15
60
353.636
0
300
355.831
106.7
75
353.718
0
325
355.829
106.35
90
353.827
0
330
355.817
104.08
105
353.965
0
345
355.798
100.36
120
354.132
0
360
355.773
95.8
135
354.324
0
375
355.743
90.29
150
354.539
0
390
355.708
83.95
165
354.763
0
405
355.671
77.46
º
180
354.985
0
420
355.632
70.81
195
355.195
12.15
435
355.593
64.28
210
355.377
32.75
450
355.555
58.39
225
355.527
53.96
465
355.52
52.88
240
355.642
72.51
480
355.488
48.09
Nota: SE ANEXA UN ARCHIVO EN EXCEL EN EL CD EJERCICIO 2: Aplicando el método de Runge-Kutta resolver un problema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con aplicación de ingenierías. Para problemas de ingeniería tenemos el caso de un tanque con problema de mezclas de soluciones salinas: Consideremos un depósito que contiene 50lts de agua con 75 gr de sal disueltos. En un determinado instante comienza a entrar agua salada a razón de 2 lts/min, con una concentración de 3 gr/lts de sal, mientras que el agua, perfectamente mezclada, sale del depósito a razón de 2 lts/min. En la imagen anterior se plantea el problema. Llamemos
a la cantidad de sal en el depósito en el instante t.
Notemos que el volumen de agua en el depósito es siempre de 50 litros, º
ya que en cada instante entran dos litros y salen otros dos. Por tanto, la concentración de sal en cada instante será de
La velocidad
de variación de la concentración de sal viene dada por
, que se
expresa en gr/min. Por un lado, el aporte de sal por minuto al depósito será de:
Mientras que la tasa de pérdida de sal es de:
La variación total de la concentración de sal viene dada por la diferencia entre el aporte y la pérdida de sal. Obtenemos así la siguiente ecuación diferencial:
Ya entonces teniendo las condiciones iniciales sabiendo que osea:
Sabiendo esto vamos a determinar la cantidad de sal disuelta en el tanque cuando el t= 60min aumentando desde el t inicial=0 con un h=5min Sabiendo esto procedemos a hallar Donde
Donde
Donde
º
:
Donde
Por lo tanto
Y así sucesivamente hasta llegar hasta Pero para facilitar este método se realiza a través de la herramienta Excel realizando una simple tabla que contenga el método dicha tabla se anexara en el trabajo. ANEXOS CALCULOS DE METODO DE RUNGE KUTTA Se anexa también para comparar la efectividad del método la solución de la ecuación luego de haber sido integrada y los valores resueltos, al comparar esto nos podemos dar cuenta que son mínimas las diferencias y que el método es efectivo y será aun más efectivo si se escoge un incremento (h) más pequeño.
º
Resolver mediante el método de Runge Kutta la siguiente ecuación:
t(min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
º
t(min) s(t) (gr) h(min)
0 75 5
s(t) (gr)
k1
75 88,8225 100,097513 109,294542 116,796558 122,915952 127,907542 131,979182 135,300419 138,009552 140,219391 142,021957 143,492311
3 2,4471 1,99609947 1,62821834 1,3281377 1,08336192 0,88369832 0,72083272 0,58798325 0,47961794 0,39122435 0,3191217 0,26030757
k2 2,7 2,20239 1,79648952 1,4653965 1,19532393 0,97502573 0,79532849 0,64874945 0,52918492 0,43165614 0,35210192 0,28720953 0,23427682
k3 2,73 2,226861 1,81645052 1,48167869 1,20860531 0,98585935 0,80416547 0,65595777 0,53506476 0,43645232 0,35601416 0,29040075 0,23687989
k4 2,727 2,2244139 1,81445442 1,48005047 1,20727717 0,98477599 0,80328177 0,65523694 0,53447677 0,4359727 0,35562293 0,29008163 0,23661958
3 PROGRAMA EN MATLAB DEL METODO DE RUNGE KUTTA DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA DE RUNGE KUTTA
INICIO Ingreso
Computar
Iniciar datos
Mostrar
Incrementar
Fin
º
Runge Kutta Organizador: % % % % % %
METODO DE ord : funcion : xo, yo : h : n :
RUNGE KUTTA Orden del metodo Nombre de la función f(x,y) de la derivada condiciones iniciales tamaño del paso Numero de iteraciones. (para la partición)
disp ('METODO DE RUNGE KUTTA') disp ('---------------------') disp ('1 Metodo de Primer Orden') disp ('2 Metodo de Primer Orden') disp ('3 Metodo de Primer Orden') disp ('4 Metodo de Primer Orden') disp ('5 Comparacion') disp ('0 Salir') ord = input ('Elija Orden:'); if ord~=0 xo = input ('Ingrese valor inicial de x:'); yo = input ('Ingrese valor inicial de y:'); h = input ('Ingrese los incrementos h:'); n = input ('Ingrese el numero de iteraciones n:'); switch ord case 1 RK_primer_orden('funcion',xo,yo,h,n) case 2 RK_segundo_orden('funcion',xo,yo,h,n) case 3 RK_tercer_orden('funcion',xo,yo,h,n) case 4 RK_cuarto_orden('funcion',xo,yo,h,n) case 5 hold all RK_primer_orden('funcion',xo,yo,h,n) RK_segundo_orden('funcion',xo,yo,h,n) RK_tercer_orden('funcion',xo,yo,h,n) RK_cuarto_orden('funcion',xo,yo,h,n) title('METODO DE RUNGE KUTTA COMPARACION'); hleg1 = legend('RK 1er Ord','RK 2do Ord','RK 3er Ord','RK 4to Ord'); end end disp ('Finalizado')
Función: function f=funcion (x,y) f=2*x*y;
Runge Kutta de 1er Orden: function RK_primer_orden(funcion,xo,yo,h,n) % RK_primer_orden('funcion',xo,yo,h,n) % funcion : Nombre de la función f(x,y) de la derivada % xo, yo : condiciones iniciales % h : tamaño del paso % n : Numero de iteraciones. (para la partición) yn=yo; xn=xo;
º
vectx = zeros(1, n+1); vecty = zeros(1, n+1); vectx(1)=xn; vecty(1)=yn; for i=1:n xn1=xn+h; k1=h*feval(funcion,xn,yn); yn1=yn+k1; vectx(i+1)=xn1; vecty(i+1)=yn1; xn=xn1; yn=yn1; end disp('METODO DE RUNGE KUTTA DE PRIMER ORDEN') disp([' Iter ',' x ',' y ']) disp([' ------',' ------',' ------']) disp([(0:n)',vectx(1:i+1)',vecty(1:i+1)']) subplot (1,1,1); plot(vectx,vecty,'-r+','LineWidth',2,'MarkeredgeColor','r','MarkerSize',10); title('METODO DE RUNGE KUTTA DE PRIMER OREDEN'); xlabel ('valores x'); ylabel ('valores y'); grid on
Runge Kutta de 2do Orden: function w=RK_segundo_orden(funcion,xo,yo,h,n) % RK_segundo_orden('funcion',xo,yo,h,n) % funcion : Nombre de la función f(x,y) de la derivada % xo, yo : condiciones iniciales % h : tamaño del paso % n : Numero de iteraciones. (para la partición) yn=yo; xn=xo; vectx = zeros(1, n+1); vecty = zeros(1, n+1); vectx(1)=xn; vecty(1)=yn; for i=1:n xn1=xn+h; k1=h*feval(funcion,xn,yn); k2=h*feval(funcion,(xn+0.5*h),(yn+0.5*k1)); yn1=yn+k2*h; vectx(i+1)=xn1; vecty(i+1)=yn1; xn=xn1; yn=yn1; end disp('METODO DE RUNGE KUTTA DE SEGUNDO ORDEN') disp([' Iter ',' x ',' y ']) disp([' ------',' ------',' ------']) disp([(0:n)',vectx(1:i+1)',vecty(1:i+1)']) subplot (1,1,1);
º
plot(vectx,vecty,'-go','LineWidth',2,'MarkeredgeColor','g','MarkerSize',10); title('METODO DE RUNGE KUTTA DE SEGUNDO OREDEN'); xlabel ('valores x'); ylabel ('valores y'); grid on
Runge Kutta de 3er Orden: function w=RK_tercer_orden(funcion,xo,yo,h,n) % RK_TERCER_orden('funcion',xo,yo,h,n) % funcion : Nombre de la función f(x,y) de la derivada % xo, yo : condiciones iniciales % h : tamaño del paso % n : Numero de iteraciones. (para la partición) yn=yo; xn=xo; vectx = zeros(1, n+1); vecty = zeros(1, n+1); vectx(1)=xn; vecty(1)=yn; for i=1:n xn1=xn+h; k1=h*feval(funcion,xn,yn); k2=h*feval(funcion,(xn+0.5*h),(yn+0.5*k1)); k3=h*feval(funcion,(xn+0.5*h),(yn+0.5*k2)); yn1=yn+(k1+4*k2+k3)/6; vectx(i+1)=xn1; vecty(i+1)=yn1; xn=xn1; yn=yn1; end disp('METODO DE RUNGE KUTTA DE TERCER ORDEN') disp([' Iter ',' x ',' y ']) disp([' ------',' ------',' ------']) disp([(0:n)',vectx(1:i+1)',vecty(1:i+1)']) subplot (1,1,1); plot(vectx,vecty,'-b*','LineWidth',2,'MarkeredgeColor','b','MarkerSize',10); title('METODO DE RUNGE KUTTA DE TERCER OREDEN'); xlabel ('valores x'); ylabel ('valores y'); grid on
Runge Kutta de 4to Orden: function w=RK_cuarto_orden(funcion,xo,yo,h,n) % RK_cuarto_orden('funcion',xo,yo,h,n) % funcion : Nombre de la función f(x,y) de la derivada % xo, yo : condiciones iniciales % h : tamaño del paso % n : Numero de iteraciones. (para la partición) yn=yo; xn=xo; vectx = zeros(1, n+1); vecty = zeros(1, n+1);
º
vectx(1)=xn; vecty(1)=yn; for i=1:n xn1=xn+h; k1=h*feval(funcion,xn,yn); k2=h*feval(funcion,(xn+0.5*h),(yn+0.5*k1)); k3=h*feval(funcion,(xn+0.5*h),(yn+0.5*k2)); k4=h*feval(funcion,(xn+h),(yn+k3)); yn1=yn+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; vectx(i+1)=xn1; vecty(i+1)=yn1; xn=xn1; yn=yn1; end disp('METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN') disp([' Iter ',' x ',' y ']) disp([' ------',' ------',' ------']) disp([(0:n)',vectx(1:i+1)',vecty(1:i+1)']) subplot (1,1,1); plot(vectx,vecty,'-kx','LineWidth',2,'MarkeredgeColor','k','MarkerSize',10); title('METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO OREDEN'); xlabel ('valores x'); ylabel ('valores y'); grid on
3.1 SOLUCION DEL EJERCICIO PLANTEADO EN EL PROGRAMA
PARA: x=0, y=1, h=0.1, n=5
>> RUNGEKUTTA METODO DE RUNGE KUTTA --------------------1 Metodo de Primer Orden 2 Metodo de Primer Orden 3 Metodo de Primer Orden 4 Metodo de Primer Orden 5 Comparacion 0 Salir Elija Orden:5 Ingrese valor inicial de x:0 Ingrese valor inicial de y:1 Ingrese los incrementos h:0.1 Ingrese el numero de iteraciones n:5 METODO DE RUNGE KUTTA DE PRIMER ORDEN Iter x y ------ ------ ------
º
0 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000
0 1.0000 0.1000 1.0000 0.2000 1.0200 0.3000 1.0608 0.4000 1.1244 0.5000 1.2144
METODO DE RUNGE KUTTA DE SEGUNDO ORDEN Iter x y ------ ------ -----0 0 1.0000 1.0000 0.1000 1.0010 2.0000 0.2000 1.0040 3.0000 0.3000 1.0092 4.0000 0.4000 1.0164 5.0000 0.5000 1.0259 METODO DE RUNGE KUTTA DE TERCER ORDEN Iter x y ------ ------ -----0 0 1.0000 1.0000 0.1000 1.0083 2.0000 0.2000 1.0372 3.0000 0.3000 1.0882 4.0000 0.4000 1.1646 5.0000 0.5000 1.2711 METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN Iter x y ------ ------ -----0 0 1.0000 1.0000 0.1000 1.0101 2.0000 0.2000 1.0408 3.0000 0.3000 1.0942 4.0000 0.4000 1.1735 5.0000 0.5000 1.2840 Finalizado
RESULTADO:
º
º
4
CONCLUSIONES
El método RUNGE-KUTA es un conjunto de métodos iterativos para la aproximación de ecuaciones diferenciales ordinarias que derivan del método de Taylor. El método de RUNGE-KUTTA tiene variantes variando en la exactitud de la solución La efectividad o exactitud del método consiste en saber escoger un buen incremento. Se pueden resolver ecuaciones diferenciales sin tener necesidad de resolver las integrales a dicha ecuación solo se necesita conocer una pendiente hallada a través de la ecuación . El método de Runge Kutta se utiliza para determinar costos, volúmenes bajos aislados, productos de alto valor agregado, control de movimientos, control de procesos, dimensiones de espacio, entre otras
º
