9789945163131.pdf

L

J es el momento torsional de inercia. Asimismo, el inverso de

la rigidez torsional es la flexibilidad torsional. En el caso de flexión pura de una viga con un extremo fijo, la integración de la distribución del esfuerzo torsíonal sobre la sección transversal produce un momento M . La distribución del deformación lineal produce una rotación en el extremo de la viga de
donde la rigidez de flexión kb

= El . Para una L

sección transversal típica de la

viga de longitud dx, la relación momento-curvatura en el punto x es: M(x) = El1J!(x)

(1.26)

Estas relaciones fuerza-deformación se consideran fundamentales en Jos campos tradicionales del análisis y el diseño estmcturales.

11

11

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

1.12

RESUMEN Las propiedades de los materiales deben ser determinadas a través de experimentos. Exámenes cuidadosos de las propiedades de la mayoría de los materiales estructurales indican que no son isotrópicos ni homogéneos. Sin embargo, constituye una práctica común el uso de la aproximación isotrópica para la mayoría de los análisis. Sin embargo, en el futuro de la ingeniería estructural, el uso de los materiales anisotrópicos compuestos aumentará de manera significativa. La responsabilidad del ingeniero es evaluar los errores asociados con dichas aproximaciones llevando a cabo varios análisis utilizando diferentes propiedades de los materiales. Se debe recordar que el resultado obtenido de un modelo computarizado constituye un estimado del comportamiento de la estructura real. El comportamiento de la estructura está regido por las leyes fundamentales de la física, y no se le requiere cumplir con ningún código de constrncción o con el manual de usuario de un programa de computadora.

1.13

REFERENCIAS

l. Popov, E. P. 1990. Engineering Mechanics of Solids. Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-279258-3.

2. Boresi, A. P. 1985. Advanced Mechanícs of Materíals. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88392-1. 3. Wilson, E. L. 1965. "Stmctural Analysis of Axisymmetric Solids." AJAA Journal. Vol. 3, pp.2269-2274.

¡

~

:

12

2. EQUILIBRIO Y COMPATIBILIDAD El Equilibrio es Esencial - La Compatibilidad es Opcional 2.1

INTRODUCCIÓN Las ecuaciones de equílibrio establecen que las cargas aplicadas externamente sean iguales a la suma de las fuerzas internas de los elementos en todas las uniones o nodos de un sistema estructural; dichas ecuaciones son las más fundamentales en el análisis y diseño estructurales. La solución exacta de un problema de mecánica de sólidos requiere que se satisfagan las ecuaciones diferenciales de equilibrio para todos los elementos infinitesimales dentro de los sólidos. El equilibrio es una ley fundamental de la física, que no puede ser violada en un sistema estructural "real.". Por lo tanto es imprescindible que el modelo matemático que se vaya a utilizar para simular el comportamiento de una estructura real, también satisfaga dichas ecuaciones básicas de equilibrio. Es importante notar que dentro de un elemento finito, que está basado en una formulación formal de desplazamiento, las ecuaciones diferenciales de esfuerzoequilibrio son siempre satisfechas. Sin embargo, las ecuaciones de fuerzaequilibrio entre elementos son satisfechas de manera idéntica en todos los puntos nodales (uniones). El usuario del programa de computadora que no comprenda las aproximaciones usadas para desarrollar un elemento finito puede obtener resultados que constituyan un error significativo si la malla de los elementos no es lo suficientemente fina en áreas de concentración de esfuerzo [ 1]. Se deben satisfacer los requisitos de compatibilidad. Sin embargo, si se tiene que escoger entre cumplir con el equilibrio o con la compatibilidad, se debe usar la solución basada en el equilibrio. Para estructuras reales no-lineales, siempre se satisface el equilibrio en la posición deformada. Muchas estructuras reales no satisfacen la compatibilidad causada por la retracción plástica, el

13

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

desprendimiento de las uniones, la construcción por incrementos y la deformación direccional.

2.2

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE EQUILIBRIO El equilibrio tridimensional de un elemento infinitesimal, que se presenta en la Figura 1.1, se expresa con las siguientes ecuaciones de equilibrio [2]:

da'¡+ Ü1'12 + d1:13 + /3

dX 1 dx 2

ÜX 3

1

=o

ar21 + da2 +~f23 + /31==0 (2.1) dx 1 élx 2 dx 3 or31 + dr32 + Cla 3 + /3 == 0 dX 1 dX2 dX3 3

La fuerza del cuerpo, /3¡ se expresa por unidad de volumen en la dirección i, representando fuerzas de gravedad o gradientes de presión de poro. Y a que r,1 "'r¡¡ , el elemento infinitesimal se encuentra automáticamente en equilibrio rotacional. Por supuesto, para que esta ecuación sea válida para desplazamientos significativos, se debe satisfacer en la posición deformada, y todos los esfuerzos deben ser definidos como fuerzas por unidad de área deformada.

2.3

RESULTANTES DE ESFUERZO-FUERZAS Y MOMENTOS En el análisis estructural es una práctica estándar expresar las ecuaciones de equilibrio en términos de las resultantes de esfuerzo en vez de en términos de esfuerzos. Las resultantes del esfuerzo de fuerza se calculan mediante la integración de esfuerzos nmmales o esfuerzos cortantes que actúan sobre una superficie. Las resultantes del esfuerzo de momento equivalen a la integración de los esfuerzos sobre una superficie multiplicadas por su distancia a un eje. Una carga concentrada, que sea resultante de esfuerzo, es por definición un esfuerzo infinito multiplicado por una área infinitesimal, siendo físicamente imposible en toda estructura real. También, un momento concentrado es una definición matemática; no posee un campo único de esfuerzo como interpretación física. Claramente el uso de fuerzas y momentos es fundamental en el análisis y el diseño de estructuras. Sin embargo, una clara comprensión de su uso en el

•

14

EQUILIBRIO Y COMPATIBILIDAD

análisis de un elemento finito es absolutamente necesaria para que se puedan evaluar físicamente los resultados del esfuerzo. Para un elemento o unión de tamaño finito, una subestructura, o un sistema estructural completo, se deben satisfacer las siguientes seis ecuaciones de equilibrio:

!:F, =O (2.2)

Para estructuras bidimensionales, solamente tres de estas ecuaciones deben ser satisfechas.

2.4

REQUISITOS DE COMPATIBILIDAD Para Jos sólidos continuos, hemos definido las deformaciones como desplazamientos por unidad de longitud. Para calcular los desplazamientos absolutos en un punto determinado, debemos integrar las deformaciones con respecto a una condición de borde fija. Dicha integración podrá ser conducida a través de muchas vías o trayectorias diferentes. Una solución es compatible si el desplazamiento en todos los puntos no es una función de la trayectoria. Por lo tanto, una solución compatible con el desplazamiento implica Ja existencia de un campo único de desplazamiento definido. En el análisis de un sistema estructural de elementos discretos, todos los elementos conectados a una unión o punto nodal deben tener el mismo desplazamiento absoluto. Sí se conocen los desplazamientos nodales, todas las deformaciones del elemento pueden ser calculados en base a las ecuaciones básicas de la geometría. En un análisis de elemento finito basado en el desplazamiento, se satisface la compatibilidad de desplazamiento nodal. Sin embargo, no es necesario que los desplazamientos a lo largo de los laterales de los elementos sean compatibles si el elemento pasa la "prueba de grupo". Un elemento finito pasa la prueba de grupo "si un conjunto de elementos de forma arbitraria se sujeta a desplazamientos nodales asociados con deformaciones constantes, y el resultado de un análisis de elemento finito del grupo de elementos arroja una deformación constante." En el caso de elementos de flexión de una losa, la aplicación de un patrón de desplazamiento de curvatura

15

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

constante en los nodos debe producir una curvatura constante dentro de un grupo de elementos. Sí un elemento no pasa la prueba de grupo, podría no converger a la solución exacta. También en el caso de una malla burda, los elementos que no pasan la prueba de grupo podrían producir resultados con errores de importancia.

ECUACIONES DE DESPLAZAMIENTO DE DEFORMACIÓN

2.5

Si los campos de pequeños desplazamientos UH

y

u3 son especificados,

asumidos o calculados, las deformaciones consistentes pueden ser calculadas directamente en base a las siguientes ecuaciones bien conocidas de deformacióndesplazamiento [2]:

dU

1 E:::::1

ax

au2 ax2

(2.3b)

du 3 dx3

(2.3c)

Ez:::::-

E::::-~

3

(2.3a)

1

DEFINICIÓN DE ROTACIÓN

2.6

Dentro de una estructura real, no existe una rotación única en un punto determinado. La rotación de una línea horizontal puede ser diferente a la rotación de una línea vertical. Sin embargo, en muchos libros teóricos sobre la mecánica continua, se usan las siguientes ecuaciones matemáticas para definir la rotación de los tres ejes:

16

EQUILIBRIO Y COMPATIBILIDAD

Es de interés notar que esta definición de la rotación es el promedio de la rotación de dos líneas normales. Es importante reconocer que estas definiciones no son las mismas que se emplean en la teoría de vigas cuando se incluyen deformaciones cortantes. Cuando las secciones de vigas están conectadas, Ja rotación absoluta de las secciones terminales deben ser iguales.

2.7

ECUACIONES EN LA FRONTERA ENTRE MATERIALES Claramente se puede comprender los requisitos fundamentales de equilibrio y compatibilidad al examinar los esfuerzos y las deformaciones en la interfaz entre dos materiales. En la Figura 2.1 se muestra una interfaz típica para un medio continuo bidimensional. Por definición, los desplazamientos en el desplazamiento son iguales. Esto es, u,(s,n)=ü,{s,n) y u,ls,n)=íi,,(s,n) .

• s, u,(s,n)

Figura 2.lPropiedades Materiales de la Interfaz El equilibrio normal en la interfaz requiere que los esfuerzos normales sean iguales. Así:

17

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

(J n

=?f,,

(2.5a)

De igual manera, los esfuerzos cortantes en la interfaz son iguales. Esto es:

r ns

:::: f,,s

(2.5b)

Debido a que los desplazamientos u, y

u,

deben ser iguales y continuos en la

superficie, se tiene: E,

=e,

(2.5c)

Ya que las propiedades de los materiales que relacionan el esfuerzo con la deformación no son iguales para los dos materiales, se puede concluir que:

a, * ?f, (2.Sd) Y,,, *y,,,

(2.5f)

Para una interfaz tridimensional del material de una superficie s-t, es aparente que las siguientes 12 ecuaciones de equilibrio y compatibilidad existen: (J n :::::

E11

ff,,

* if,
E,

:Fe,,

(2.6a)

=e, (2.6b) =if,

(2.6c)

r., ::: f,,s

r,,, t r,,,

(2.6d)

r/1(

=fnt

Ynt

-:j:. Ynt

(2.6e)

1,1

* f,¡

Y,,= Ys1

(2.6f)

E,

Estas 12 ecuaciones no pueden ser derivadas porque son leyes fundamentales de la física del equilibrio y la compatibilidad. Es importante notar que si un esfuerzo es continuo, la deformación correspondiente, deriva del desplazamiento, es discontinua. También, cuando un esfuerzo es discontinuo, la deformación correspondiente, deriva del desplazamíento, es contínua. La continuidad de los desplazamientos entre elementos y en la interfaz de los materiales, se define como los campos de desplazamiento C0• Los elementos, con

18

EQUILIBRIO Y COMPATIBILIDAD

continuidades derivadas de los desplazamientos son definidos por los elementos continuos C1• Es aparente que los elementos con compatibilidad de la interfaz C1 no pueden ser usadas en el acoplamiento del materiales.

2.8

ECUACIONES DE ACOPLAMIENTO EN SISTEMAS DE ELEMENTO FINITO En el caso de un sistema de elemento finito donde se satisfacen las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad solamente en los puntos nodales a lo largo de la interfaz, las ecuaciones fundamentales del equilibrio pueden expresarse como:

LFn +I,F,, =O

(2.7a)

l:F, +I,J\:::: O

(2.7b)

LFr +I,F, =O (2.7c) Cada nodo en la interfaz entre elementos posee un conjunto umco de desplazamientos; por lo tanto, la compatibilidad en Ja interfaz se satisface en un número finito de puntos. A medida que se vaya refinando la malla del elemento finito, los esfuerzos y las deformaciones del elemento se aproximan a los requisitos de equilibrio y compatibilidad dados por las Ecuaciones (2.6a) a (2.6f). Por lo tanto, cada elemento en la estructura puede tener diferentes propiedades materiales.

2.9

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS Las fuerzas internas de algunas estructuras pueden ser determinadas directamente en base a las ecuaciones de equilibrio solamente. Por ejemplo, la estructura reticulada o armadura que se presenta en la Figura 2.2 será analizada para ilustrar que el clásico "método ·de nodos" no es más que la solución de un conjunto de ecuaciones de equilibrio.

19

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

i

r-

6'

6'

.¡.

Figura 2.2 Estructura Reticul<ída Simple (Armadura Simple) En la Figura 2.3 se presentan los desplazamientos nodales y cargas noda!es externas positivas. Las fuerzas del elemento f, y las deformaciones d; son positivas en tensión.

'd2

f3

~.

f 7' d7

Uz

Ji' dl RI,

U¡

R4,

f6,d6 U4

U3

R?,

U7

Figura 2.3 Convención de Signos para las Fuerzas y Desplazamientos Nodales Igualando las dos cargas externas, R¡, en cada nodo a la suma de las fuerzas internas del elemento,

f;, (ver Apéndice B para los

detalles) produce las siete

ecuaciones siguientes de equilibrio que se expresan como una ecuación matricial:

20

EQUILIBRIO Y COMPATIBILIDAD

Ri Rz R3 R4

Rs R6 R1

r-l.O

-0.6

l

o

-0.8

1.0

o o

-1.0

o o o o

0.6

o

-1.0

0.8

1.0

o

o

o

o

1 :::;

o o o o

o o o

o o -0.6

o o o

-0.8 -1.0

o o o

o o o

o o r12f, o /i o ¡14

(2.8)

q~¡;

-1.0

O de manera simbólica: R""Af (2.9) donde A es una matriz de transformación carga-fuerza, y es una función exclusiva de la geometría de la estructura. Para esta estructura estáticamente determinada, tenemos siete fuerzas elementales desconocidas y siete ecuaciones nodales de equilibrio; por lo tanto, el conjunto de ecuaciones indicado arriba puede ser resuelto directamente para cualquier número de condiciones de cargas nodales. Si la estructura tuviera un elemento diagonal adicional, habría ocho fuerzas elementales desconocidas, y no sería posible una solución directa, porque la estructura sería estáticamente indeterminada. El objetivo principal de este ejemplo es expresar el método tradicional bien conocido de análisis ("método de nodos") en notación matricial.

2.10 MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS Después de calcular las fuerzas elementales, existen muchos métodos tradicionales diferentes para calcular los desplazamientos de los nodos. Para ilustrar nueva vez el uso de la notación matricíal, las deformaciones del elemento d; serán expresadas en términos de los desplazamientos de la unión U¡. Veamos un elemento reticular típico como el indicado en la Figura 2.4.

21

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

y

L

Lx

r--

V3

........

,#----~---- V4

Poski6n lnidol

....................-··"·····

(. . . . . . .··<'º' '"" V2

n,¡onnado X

Figura 2.4 Elemento Reticular Típico Bidimensional La deformación axial del elemento puede ser expresada como la suma de las deformaciones axiales resultantes de los cuatro desplazamientos en los dos extremos del elemento. La defonnación axial total expresada en forma matricial es:

d

=[-i

1

L,r V¡

Ly

LX

L

L

L

(2.10)

V3

V4

La aplicación de la Ecuación (2.10) a todos los elementos de la armadura presentada en La Figura 2.3 produce la siguiente ecuación matricial:

d,

d2 d)

1

-1.0 o -0.6 -0.8

o d4 = o o d5 o d6 o d7

22

o o o o o

1.0

o o o

o o

o

o

0.6

0.8

-1.0

o

1.0

o

-1.0

o o

-0.6 -0.8 -1.0

o

o o

o o o

o o o

1"'

o

U4

o o o o -1.0

~

U1

1

u3

u, u6

U7

(2.11)

EQUILIBRIO Y COMPATIBILIDAD

O de manera simbólica: d =Bu (2.12)

La matriz de transformación deformación-desplazamiento del elemento, B, es una función de la geometría de la estructura. Sin embargo, es más importante el hecho de que la matriz B sea la transpuesta de la matriz A definida por la Ecuación de equilibrio de unión (2.8). Por lo tanto, dadas las deformaciones del elemento dentro de esta estructura reticulada estáticamente determinada, podemos resolver la Ecuación (2.11) para los desplazamientos del nodo.

2.11

MATRICES DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD DEL ELEMENTO Las fuerzas dentro de los elementos pueden expresarse en términos de las deformaciones en los elementos utilizando las siguientes ecuaciones matriciales:

f::::k d

ó, d:::: k-1 f

(2.13)

La matriz de rigidez k del elemento es una matriz diagonal para esta armadura, donde los términos diagonales son

kii

AE L;

= - '-' y todos los demás términos son

cero. La matriz de flexibilidad del elemento es la inversa de la matriz de rigidez, donde los términos diagonales son

AiEi

. Es importante notar que las matrices

de rigidez y flexibilidad del elemento son funciones de las propiedades mecánicas de los elementos, únicamente.

2.12 SOLUCIÓN DE SISTEMAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS Las tres ecuaciones fundamentales del análisis estructural para esta estructura reticular sencilla son el equilibrio, Ecuación (2.8); la compatibilidad, Ecuación (2.11), y fuerza-deformación, Ecuación (2.13). Para cada condición de carga R, se pueden resumir los pasos para la solución como sigue: l.

Calcular las fuerzas de los elementos en base a la Ecuación (2.8).

2.

Calcular las deformaciones de los elementos en base a la Ecuación (2.13).

3.

Resolver para los desplazamientos nodales utilizando la Ecuación (2.11).

23

111

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Todo método tradicíonal de análisis estructural emplea estas ecuaciones básicas. Sin embargo, antes de que se pudiera tener fácil acceso a las computadoras digitales económicas que pueden solucionar más de 100 ecuaciones en menos de un segundo, se elaboraron muchas técnicas especiales para minimizar el número de cálculos manuales. Por lo tanto, en este momento, es de poco valor resumir estos métodos en este libro sobre el análisis estático y dinámico de estructuras.

2.13 SOLUCIÓN GENERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES En el análisis estructural que emplea la computadora digital, se aplican las mismas ecuaciones que se utilizan en el análisis estructural clásico. El punto de partida siempre es el equilibrio de la unión. Esto es, R"" A f. De la ecuación fuerza-deformación del elemento, f = k d, la ecuación del equilibrio nodal puede expresarse como R"" A k d . De la ecuación de compatibilidad, d =Bu , el equilibrio nodal puede expresarse en términos de desplazamientos nodales como R:::: A k Bu. Por lo tanto, se puede expresar el equilibrio general de nodos como sigue:

R_=Ku (2.14) La matriz de rigidez global K se expresa mediante una de las siguientes ecuaciones matriciales: (2.15) Es interesante notar que las ecuaciones de equilibrio o las ecuaciones de compatibilidad pueden ser empleadas para calcular la matriz de rigidez global K. El enfoque estándar es solucionar la Ecuación (2.14) para desplazamientos nodales, y luego calcular las fuerzas del elemento en base a: f :::: k B u

ó f : ;:; k AT u

(2.16)

Se debe notar que dentro de un programa de computadora, nunca se forman las matrices dispersas A, B, k y K, debido a la magnitud de sus requerimientos de almacenamiento. La matriz de rigidez global simétrica K se forma y se soluciona en forma condensada.

24

EQUILIBRIO Y COMPATIBILIDAD

2.14 RESUMEN Las fuerzas y los esfuerzos internos del elemento deben estar en equilibrio con las cargas y los desplazamientos aplicados. Toda estructura real satisface esta ley fundamental de la física. Por lo tanto, nuestros modelos computarizados deben satisfacer la misma ley. En la interfaz entre materiales, no todo esfuerzo ni todas las deformaciones son continuos. Los programas de computadora que promedian los esfuerzos de los nodos en la interfaz de los materiales producen gráficos de contorno de los esfuerzos que son continuos; sin embargo, los resultados no convergen, y se pueden introducir errores de importancia mediante esta aproximación. Las condiciones de compatibilidad, que requieren que todos los elementos conectados a una unión rígida tengan el mismo desplazamiento, constítuyen requisitos fundamentales de análisis estructural que pueden ser comprendidos de manera física. Satisfacer la compatibilidad del desplazamiento implica el empleo de ecuaciones sencillas de geometría. Sin embargo, las ecuaciones de compatibilidad tienen muchas formas, y la mayoría de los estudiantes de ingeniería y de los ingenieros que ejercen la profesión rienen dificultades para comprender el requisito de compatibilidad de desplazamiento. Algunas de las razones por las cuales tenemos dificultad en el refnerzo de las ecuaciones de compatibilidad son las siguientes: Los desplazamientos que existen en la mayoría de los sistemas estructurales lineales son pequeños en comparación con las dimensiones de la estructura. Por lo tanto, el trazado de la forma deformada debe ser exagerada en exceso para formular ecuaciones de geometría. 2 Para aquellos sistemas estructurales que son estáticamente determinados, las fnerzas internas del elemento y los esfuerzos pueden ser calculados con precisión sin el uso de las ecuaciones de compatibilidad. 3 La mayoría de los métodos populares (aproximados) de análisis que existen no satisfacen las ecuaciones de compatibilidad de desplazamiento. Por ejemplo, para pórticos rectangulares, tanto el método de análisis de voladizo como el método de portal suponen que los puntos de inflexión existen en un sitio predeterminado dentro de las vigas o las columnas; por lo tanto no se satisfacen las ecuaciones de compatibilidad de desplazamiento.

25

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

4

Muchos materiales, tales como los suelos y los líquidos, no satisfacen las ecuaciones de compatibilidad. También, esfuerzos inherentes de la construcción, el escunimíento plástico y el deslizamiento en las uniones constituyen efectivas violaciones de la compatibilidad de desplazamiento. Por lo tanto, los métodos aproximados que satisfagan la estática pueden producir resultados más realistas para fines de diseño.

5

Además, normalmente no se les requiere a los estudiantes de ingeniería tomar un curso de geometría, mientras que todos Jos estudiantes sí toman un curso en estática. Por lo tanto, no ha habido ningún énfasis sobre la aplicación de ecuaciones de geometrías.

El relajamiento del requisito de compatibilidad de desplazamiento ha sido justificado para el cálculo manual para minimizar el tiempo de cálculo. También, si hay que escoger entre satisfacer las ecuaciones de estática o las ecuaciones de geometría, en lo general debemos satisfacer las ecuaciones de estática por las razones indicadas arriba. Sin embargo, debido a la existencia de potentes computadoras de bajo costo y eficientes· y modernos programas de informática, no es necesario hacer aproximaciones de los requisitos de compatibilidad. Para muchas estructuras, dichas aproximaciones pueden producir errores de importancia en la distribución de fuerzas dentro de la estructura, además de desplazamientos inconectos.

2.15

26

REFERENCIAS l.

Cook, R. D., D. S. Malkus and M. E. Plesha. 1989. Concepts and Applícations of Finite Element Analysis, Tercera Edición. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-84788-7.

2.

Boresí, A. P. 1985. Advanced Mechanics of Jvlaterials. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-4 71-88392-1.

3. ENERGÍA Y TRABAJO Todo Trábajo Externo Aplicado a un Sistema Estructural Real Se Almacena o Se Disipa corno Energía 3.1

INTRODUCCIÓN Muchos métodos de energía han sido presentados durante los últimos 150 años para el análisis de estructuras tanto determinadas como estáticamente indetenninadas. Sin embargo, si se fueran a formular todos los métodos en notación matricial, se podría demostrar que existen solamente dos métodos fundamentales. Generalmente se definen como los métodos de fuerza y de desplazamiento. Se pueden usar los principios de energía mínima o métodos del trabajo virtual para derivar las ecuaciones generales para el análisis estructural lineal. La energía se define como la capacidad de hacer trabajo. Ambos tienen unidades de fuerza-distancia. Sin embargo, para muchos tipos de elementos estructurales, puede haber muchas ventajas en el uso de los métodos tanto de fuerza como de desplazamiento para aproximar las propiedades de rigidez del elemento. Por ejemplo, el clásico elemento viga no-prismático utiliza un enfoque de fuerza para definir las fuerzas en una sección transversal típica dentro de la viga; sin embargo, se usa una aproximación por desplazamiento, tal como las secciones planas permanecen planas, para definir la distribución de la deformación sobre la sección transversal. En los últimos años se han utilizado formulaciones híbridas asumidas de esfuerzo para producir las propiedades de rigidez del elemento. Además, se han empleado distribuciones de esfuerzo asumidas, métodos de trabajo virtual, y el enfoque de error de los mínimos cuadrados para calcular esfuerzos precisos en elementos finitos basados en desplazamientos. Por lo tanto, no hay un único método que se pueda utilizar para solucionar todos los problemas en el análisis estmctural. La

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

única restricción sobre las técnicas de computación usadas es el hecho de que los resultados deben converger a los valores exactos a medida que los elementos se vuelvan más pequeños.

3.2

TRABAJO VIRTUAL Y TRABAJO REAL Los principios del trabajo virtual son muy sencillos, y constituyen declaraciones claras de la conservación de energía. Los principios se aplican a aquellas estructuras que se encuentran en equilibrio en una posición real desplazada u al ser sometidas a una carga R. Las deformaciones internas y fuerzas internas reales correspondientes son d y f, respectivamente. Todos los términos quedan ilustrados en las Figuras 3.1 y 3.2. f

R

I,

R

='"""'~========-.L~~ f d

A. Trabajo Virtual Externo

Ru

B. Trabajo Virtual Interno

{

fd

Figura 3.1 Método de las Fuerzas Virtuales ¡,' 1' ''

El principio de las fuerzas virtuales declara lo siguiente (en mis palabras): si un grupo de fuerzas externas infinitesimales, R, en un estado de equilibrio con un juego de fuerzas internas inj-Inítesimales f que existen antes de la aplicación de las cargas y desplazamientos reales, el trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual intemo. O, en términos de la notación que se define arriba: (3.1)

Sí se va a calcular el desplazamiento de solo una unión carga virtual externa,

R; =1. Para

u¡,

existe solamente una

este caso, la ecuación es la misma que el

método de carga unitaria. Queda claro que para el análisis no-lineal, no se puede

28

ENERGÍA Y TRABAJO

emplear el principio de las fuerzas virtuales porque la relación lineal entre R y f podría no sostenerse después de la aplicación de cargas y desplazamientos reales. f

R

A. Trabajo Virtual Externo

Ru

d

B. Trabajo Virtual Interno 7'1

Figura 3.2 Método de los Desplazamientos Virtuales El principio de desplazamiento virtual reza lo siguiente (en mis palabras): si un grupo de desplazamientos externos infinitesimales, u, consistente con un grupo de desplazamientos virtuales internos, d, y se aplican las condiciones de borde después de la aplicación de las cargas y los desplazamientos reales, el trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno. O, en términos de notación matricial: (3.2)

Es importante notar que el principio de desplazamiento virtual se aplica a la solución de sistemas no-lineales porque los desplazamientos virtuales se aplican a fuerzas reales en' la estmctura deformada. En el caso del análisis de elementos finitos de sólidos continuos, los principios del trabajo virtual se aplican a nivel de esfuerzos y deformaciones; por lo tanto, se requiere la integración sobre el volumen del elemento para calcular los términos del trabajo virtual. Para el análisis lineal, es aparente que el trabajo externo real, o la energía, se expresa como sigue: .

WE

j T j T =-U R=-R u

2

2

(3J)

29

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

El trabajo interno real, o energía de deformación, se expresa como sigue: W¡ =!,dTf=_!_fTd

2

3.3

2

(3.4)

ENERGÍA POTENCIAL Y ENERGÍA CINÉTICA Una de las formas más fundamentales de la energía es la posición de una masa dentro de un campo gravitacional cerca de la superficie de la tierra. La energía potencial gravitacional Vg se define como el peso constante w que se mueve contra un campo constante gravitacional de distancia h. Esto es: (3.5)

Una masa que se mueve con una velocidad v posee energía cinética que se expresa con la siguiente ecuación:

1 vk =-mv?

2

(3.6)

Uno de los ejemplos más comunes que ilustran la importancia física tanto de la energía pótencial como de la cinética es el comportamiento de un péndulo, como se indica en la Figura 3.3 Si la masa del péndulo tiene una posición inicial de hmax , la energía cinética es cero y la energía potencial es hmax W . Cuando h es equivalente a cero, la energía potencial es cero; por lo tanto, por la conservación de energía, la energía cinética es:

(3.7) 1

j

Por tanto, la máxima velocidad horizontal es: vmax

30

"'~2 g hmax

(3.8)

ENERGÍA Y TRABAJO

Vg ==O

Vk =W hmax r;;;-------

vmax

= -y2 g

hmax

Figura 3.3 Oscilación de Péndulo Es importante notar que la energía total en el sistema en oscilación siempre es constante; por lo tanto la siguiente ecuación de energía, en cualquier tiempo t, debe ser satisfecha: (3.9)

El comportamiento físico del péndulo en oscilación puede considerarse como una bomba de energía, donde existe un intercambio entre la energía potencial y la cinética. La fuerza tangencial que acelera la masa es W sen

e.En base a la Segunda Ley

de Newton, se puede escribir la siguiente ecuación diferencial de equilibrio no lineal:

mLB+W sen8=0

Ó,

e+~sen8=0 L

(3.10)

Para ángulos muy pequeños, sen()"' 8, la ecuación diforencial lineal aproximada es: ..

g

e+-0"'0 L

(3.11)

31

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Por lo tanto, el período reducido de desplazamiento de la oscilación de un péndulo es:

T=2n~ 3.4

(3.12)

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN La energía de deformación almacenada en un elemento "i" dentro de un sistema estructural general es el área debajo del diagrama integrado esfuerzo esfuerzodefo1mación sobre el volumen del elemento. Para los sistemas lineales, la matriz EOi esfuerzo-deformación, incluyendo los esfuerzos térmicos iniciales rp, pueden expresarse en forma de matriz como sigue: (3.13)

Las matrices de columna f Ul y d Ul son los esfuerzos y las deformaciones respectivamente. Por lo tanto, la energía de deformación dentro de un elemento se expresa de la siguiente forma: .) J J (·'T (') (i) W¡'( = 2 d 11 E ¡ d dV +

(3.14)

Dentro de cada elemento, se puede hacer una aproximación en los desplazamientos. Así:

uX ui == Nºl u x' uy UJ ""Nu1 uy y uui Z

=Nº1u

t

(3.15)

Por lo tanto, después de la aplicación de las ecuaciones deformacióndesplazamiento, las deformaciones del elemento pueden ser expresadas en términos de los desplazamientos nodales. Esto es: (3.16)

La matriz de columna u contiene todos los desplazamientos nodales o de unión del sistema estructural completo. Además, podría contener los patrones de desplazamiento dentro del elemento. Cuando se expresa la ecuación (3.16) de esta forma, es aparente que la matriz B(iJ puede ser muy grande; sin embargo, solamente términos que no sean cero están asociados con los desplazamientos en los nodos conectados a los nodos adyacentes al elemento. Por lo tanto, la matriz

32

ENERGÍA Y TRABAJO

sUl siempre se elabora y se usa en forma compacta dentro de un programa de computadora, y se forma un arreglo de perfección entera, Ilf por cada elemento

que se usa para relacionar los desplazamientos nodales locales uUl a los desplazamiento~ nodales globales u . Después de la integración sobre el volumen del elemento, la energía de deformación, en términos de los desplazamientos nodales globales, puede expresarse de la siguiente manera: (3.17)

Por lo tanto, por definición la matriz de rigidez del elemento es: k(i)

= JsUJTEUlB(iJ dV

(3.18)

Y la matriz de la fuerza térmica del elemento es: F(il

= Js(ilTft(iJ dV

(3.19)

El total de la energía de deformación interna es la suma de las energías de deformación del elemento. Esto es: 1

T

T

W1 =-u Ku+u F1 2

(3.20)

La matriz de rigidez global K es la suma de las matrices k (il de rigidez del elemento. Es decir: (3.21)

La suma de las matrices de rigidez del elemento para formar la matriz de rigidez global se llama el método de rigidez directa. El vector de carga térmica global F1 es la suma de las matrices de carga térmica del elemento: (3.22)

3.5

TRABAJO EXTERNO El trabajo externo Wc realizado por un sistema de cargas nodales concentradas, F;, es:

33

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

1 T we =-UF e

2

(3.23)

Dentro de cada elemento "i", el trabajo externo Wii) realizado por las fuerzas de masa debido a las cargas gravítacionales es el siguiente: (3.24)

La aplicación de las suposiciones de desplazamiento dadas por la Ecuación (3.15), integración sobre el volumen del elemento, y la suma de todos los elementos produce la siguiente ecuación para la energía por fuerzas de masa: (3.25) El trabajo externo W{ejercido por los esfuerzos superficiales del elemento (tracciones)

tY)

para una superficie típica')" es de la siguiente forma:

(3.26) La aplicación de las suposiciones de desplazamiento dadas por la Ecuación (3.15), la integración sobre la superficie del elemento, y la suma de todos los elementos superficiales produce la siguiente ecuación para la energía debido a las tracciones superficiales: 1 T ws =o-U 2 Fs

(3.27)

Por lo tanto, el trabajo total externo realizado en cualquier sistema de elementos estructurales es: (3.28)

PRINCIPIO DE ENERGÍA ESTACIONARIA

3.6

Es un hecho en cuanto a los sistemas lineales el que la energía de deformación interna debe ser igual al trabajo externo realizado en la estructura. Para un sistema de un solo grado de libertad, podemos usar este principio para resolver el desplazamiento. Sin embargo, para un sistema de múltiples grados de libertad, se

34

ENERGÍA Y TRABAJO

requiere un enfoque diferente. Los trazados de la energía, indicados en la Figura 3.4, ilustran que se puede definir una nueva función de energía O.

Figure 3.4 Energía como Función de un Desplazamiento Tfpico Se ve que la solución en el punto de la energía potencial mínima es donde la energía interna equivale a la energía externa. Por lo tanto, la principal ventaja del uso de la función de energía potencial es el hecho de que la solución debe satisfacer la siguiente ecuación para todos los grados-de-libertad de desplazamiento un :

ªº

au,,

=0

(3.29)

La-fuooién-tle-ettefgía~a-en-fufflla-tle-matrires-eemo sigue:

º"'_!_u 1 Ku-uTR 2

(3.30)

La resultante del vector de carga R asociado a los cuatro tipos de carga es: R=Fc+Fg +Fs-F,

(3.31)

La aplicación de la Ecuación (3.29) a todos los campos de desplazamientos produce lo siguiente:

35

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

an ÓU¡

an

ou 2 an aun an L ouN

-1

l

o

o

1 -

-

o o -

-

o o o- o

o [Ku-R]'°'[o]

1

(3.32)

-

o o - o

-

1

Por lo tanto, la ecuación de equilibrio nodal para todo tipo de sistema estructural puede expresarse como la siguiente ecuación de matriz: Ku"'R

(3.33)

La umca aproximac1on involucrada en el desarrollo de esta ecuación es la suposición de los patrones de desplazamiento dentro de cada elemento. Si se usa la mispia aproximación de desplazamiento para calcular la energía cinética, la matriz de masa que resulta se llama matriz de masa consistente. Otro hecho importante referente a los elementos finitos basados en desplazamientos compatibles es el hecho de que convergen desde abajo, a la solución exacta, a medida que se refine la malla. Por eso los desplazamientos y los esfuerzos tienden a ser inferiores a los valores exactos. Desde un punto de vista de la ingeniería estructural práctica, esto puede producir resultados muy peligrosos. Para minimizar este problema, el ingeniero estructural debe revisar la estática y realizar estudios de parámetros utilizando diferentes mallas.

3.7

MÉTODO DE FUERZA El método tradicional de cortes en una estructura estáticamente indeterminada, aplicando fuerzas redundantes, y solucionando fuerzas redundantes al fijar los desplazamientos relativos en los cortes a cero, ha sido el método más popular de análisis estructural, cuando se usan los cálculos manuales. Et autor ha elaborado programas de análisis estructural basados en el método de análisis por fuerza y por desplazamiento. En la actualidad parece que no existe ningun motivo apremiante de usar el método de fuerza en un programa de computadora para

36

ENERGÍA Y TRABAJO

solucionar grandes sistemas estructurales. De hecho, los programas basados en el enfoque por desplazamiento son sencillos de programar, y en general requieren fnenos tiempo de computadora para ejecutar. Otra ventaja importante del. enfoque de desplazamiento es el hecho de que el método se puede ampliar fácilmente a la respuesta dinámica de estrncturas. Sin embargo. para desarrollar la rigidez de elementos unidimensionales, se debe usar el método de fuerza porque las fuerzas internas pueden ser expresadas exactamente en términos de las fuerzas en las dos puntas del elemento. Por lo tanto, el método de fuerza será presentado aquí para un sistema de elemento sencillo. Obviando los esfuerzos térmicos, se puede expresar la función de energía como sigue: Q

i

= Jrtd

dV-RTu

(3.34)

Las fuerzas internas pueden expresarse en términos de las fuerzas nodales utilizando la siguiente ecuación: f=P R

(3.35)

Para materiales lineales d "' Cf y la función de energía puede expresarse así:

n=!.RTFR~RTu 2

(3.36)

Donde la matriz de flexibilidad del elemento es: (3.37)

Ahora podemos minimizar la función de energía complementaria exigiendo que: (3.38)

Ahora se pueden expresar los desplazamientos nodales en términos de fuerzas nodales por:

u:zFR

(3.39)

Ahora se puede evaluar numéricamente la rigidez del elemento por medio de:

37

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

(3.40)

Se puede usar la rigidez del elemento en el enfoque de rígidez directa donde las incógnitas son los desplazamientos nodales. También se puede derivar la flexibilidad del elemento aplicando el método de fuerza virtual.

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE LAGRANGE

3.8

En el caso del análisis dinámico de estructuras, la aplicación directa de la conocida ecuación de movimiento de Lagrange puede ser usada para desarrollar el equilibrio dinámico de un sistema estructural complejo [l]. La ecuación de minimización de Lagrange, expresada en té1minos de la notación que se define arriba, se da como sigue: (3.41)

La velocidad del punto nodal se define como ún. La forma más general de energía cinética V~i) almacenada dentro de un elemento tridimensional i de densidad de masa p es: (3.42)

Las mismas funciones de forma que se emplean para calcular la energía de deformación dentro del elemento permiten que se expresen las velocidades dentr·o del elemento en términos de las velocidades del punto nodal. Así: . (i) _ N(il .

u, -

. (il _ N(il .

ux , uY -

·(il _ N(i).

uY y u,. -

uz

(3.43)

Por lo tanto, las ecuaciones de transformación de velocidad pueden expresarse de la siguiente manera: (3.44)

Aplicando la integración exacta o numérica, ahora es posible expresar el total de la energía cinética dentro de una estructura como sigue:

38

ENERGÍA Y TRABAJO

(3.45)

La matríz de la masa total Mes la suma de las matrices de masa elemental M(i). Las matrices de masa consistente del elemento se calculan en base a lo siguiente: (3.46)

donde m es la matriz de densidad de masa diagonal 3 por 3 indicada en la Ecuacíón (3.42). La Ecuación (3.46) es muy general, y puede ser usada para desarrollar la matriz de masa consistente para cualquier elemento finito en base al desplazamiento. El término consistente es usado porque la misma función de forma es usada para desairnllar las matrices de rigidez y de masa. La aplicación directa de la Ecuación (3.41) produce las ecuaciones de equilibrio dinámico: Mü+Ku=R

(3.47)

En otra parte de este libro se desarrollarán ecuaciones más generales de equilibrio dinámico con amortiguamiento utilizando un enfoque de equilibrio físico.

3.9

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO La conservación del momento muchas veces se presenta como un principio fundamental de la física. Sin embargo, puede ser derivado fácilmente de las ecuaciones básicas del equilibrio. Considere los dos cuerpos rígidos mostrados en la Figura 3.5.

39

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

/

/

,:e¿~--

,

Figura 3.5 Conservación del Momento Lineal En base a la Segunda Ley de Newton, las fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre los cuerpos rígidos durante el impacto serían:

F=:Afü""'M~

(3.48)

º' Si la duración del contacto entre los dos cuerpos es &1, la fuerza del contacto puede ser aproximada mediante un cambio de velocidad antes y después del impacto. Durante el contacto, se debe satisfacer el equilibrio tanto en la dirección x como en la dirección y. Por lo tanto: Fx 8t-=M¡(úlx -J¡_,)+M2(úzx -ii2x)"'O

Fr St = M 1(ú 1y -ii1,) + M2 (ú 2y -Íi2v) =O

(3.49)

El momento se define como la masa multiplicada por la velocidad de la masa; y posee las propiedades de un vector. Por la Ecuación (3.49), el momento tiene la dirección de la velocidad, y sus componentes pueden ser más o menos en referencia al sistema x-y. Esto es:

-

-

M¡Ú¡x + M 2ú2x "'M¡Ú¡x + Mzúzx

M 1ú 1y +M2 u2.v =M 1J1y +M 2J2Y

(3.50)

Además, el vector del momento resultante debe ser igual antes y después del impacto. Así: (3.51)

¿j_()

ENERGÍA Y TRABAJO

Se puede apreciar que las tres ecuaciones, dadas por las Ecuaciones (3.50) y (3.51) no poseen una solución única porque existen cuatro factores incógnitas. El siguiente principio de conservación de energía cinética debe ser tomado como condición adicional: (3.52)

Considere una colisión directa, sin disipación de energía, de una masa M1 a una velocidad conocida ü1 , con una masa de Af 2 en reposo. La conservación del impulso (equilibrio) y la conservación de la energía cinética exigen que: M 1ú 1 =M 1iÍ1 +M2;; 2

(3.53)

úi =,'vJ i:t + M 7:J

M1

1

2

Después del impacto, las nuevas velocidades son:

"'

U¡=

M1 - M? .

- U., "

lvf1 +M 2

y

2M M1 +M2

-e • 1 Uz = - - - - U ¡

(3.54)

Si las dos masas son iguales, la velocidad de la primera se reduce a cero. Si la primera masa es menor que la segunda masa, la primera rebotará hacia atrás y la masa grande avanzará con una velocidad reducida. Estas ecuaciones sencillas pueden ser ampliadas para modelar el impacto entre diferentes partes de un sistema estructural. Dichas ecuaciones también pueden aplicarse al cierre de brechas o juntas entre diferentes estmcturas elásticas.

3.1 O RESUMEN Se han presentado varios métodos de energía que pueden ser aprovechados para derivar las ecuaciones básicas que se usan para el análisis estático y dinámico de estructuras. Las ecuaciones fundamentales del análisis estructural son el equilibrio, fuerza-deformación, y la compatibilidad. Si se usa la misma convención de signos para los desplazamientos y las fuerzas en los nodos y los elementos, las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio quedan directamente relacionadas. Si las ecuaciones de equilibrio en el nodo se expresan en el mismo orden que las fuerzas nodales, las matrices resultantes de rigidez y flexibilidad siempre serán simétricas.

41

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Al asumir funcíones de forma de desplazamiento dentro de elementos estructurales, se puede? elaborar matrices consistentes de masa y rigidez. Sin embargo, en la mayoría de los casos la discretización de las masas físicas no produce errores de importancia. En el análisis dinámico, la integración independiente de tiempo de varios componentes de energía, incluyendo la disipación de la energía, puede ser usada para evaluar la precisión de la solución. Al comparar la energía de deformación almacenada en la estructura como resultado de una condición de una carga dada, se puede modificar y mejorar un diseño estructural para minimizar la energía absorbida por la esfructura. Después de seleccionar el modelo estructural y asumir las cargas, se puede automatizar el procedimiento de análisis éstructural. Sin embargo, la selección del modelo estructural y la interpretación y verificación de los resultados constituyen la principal responsabilidad del ingeniero estructural profesional.

3.11

RE!=ERENCIAS l. Clough, R., y J. Penzien. 1993. Dynamics of Structures, Segunda Edición.

McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-011394-7.

ll

42

4. ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES Antes del año 1960 el Campo del Análisis Estructural Estaba Limitado a los Elementos Unidimensionales 4.1

INTRODUCCIÓN La mayoría de los ingenieros estructurales tienen la impresión de que los elementos finitos bidimensionales y tridimensionales son muy sofisticados y precisos en comparación con el elemento de pórtico unidimensional. Después de más de cuarenta años de investigación en el desarrollo de programas prácticos de análisis estructural, yo soy de la opinión de que el elemento de pórtico no· prismático, que se usa en un punto arbitrario dentro de un espacio tridimensional, definitivamente es el elemento más complejo y útil en comparación con todos los demás tipos de elementos finitos. La teoría fundamental de elementos de pórtico existe desde hace más de un siglo. Sin embargo, es solamente durante los últimos cuarenta años que hemos tenido la capacidad de solucionar sistemas grandes de elementos de pórticos tridimensionales. Además, ahora incluimos de manera rutinaria deformaciones de torsión y cortante en todos los elementos. Además, el tamaño finito de las conexiones ahora se toma en consideración en la mayoría de los análisis. Desde la introducción del análisis computarizado, el uso de secciones no-prismáticas y la carga arbitraria de elementos en tres dimensiones ha hecho muy tedioso el trabajo de programar el elemento. Además, el post-procesamiento de las fuerzas del pórtico para satisfacer los múltiples códigos de construcción es complicado y no bien definido.

43

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

4.2

ANÁLISIS DE UN ELEMENTO AXIAL Para ílustrar la aplicación de las ecuaciones básicas presentadas en el capítulo anterior, se desarrollará Ja matriz de rigidez elemental 2 x 2 para el elemento de armadura indicado en la Figura 4.1.

s

A(s) = 10--

10

• s

Figura 4.1 Ejemplo de Barra Cónica Los desplazamientos axiales en la posición s pueden expresarse en términos de Jos desplazamientos axiales en Jos puntos I y J en Jos extremos del elemento. Esto es: (4.1)

La deformación axial es por definición

¡; s

ou

= - . Por lo tanto, la relación Os

deformación-desplazamiento será: (4.2)

La relación esfuerzo-defonnación es a= Es . De esta manera, la matriz de rigidez del elemento es: k(i)'"' fB
1 1

-/]

(4.3)

Ya que la deformación es constante, la integración sobre el elemento produce el volumen A ªL donde Aª es el área promedio transversal del elemento. Si el área

; i

44

ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES

de la sección transversal es constante, la matriz de rigidez es exacta, y los métodos de fuerza y desplazamiento producen resultados idénticos. Sin embargo, si el área no es constante, se pueden introducir errores de importarn;ía a través de la aplicación formal del método de desplazamiento. Para ilustrar los errores involucrados en la aplicación del método de desplazamiento, supongamos la existencia de las siguientes propiedades: E~l,000

L==80in

ksi

R1 =10 kips

De esa manera, el desplazamiento en el punto J viene dado por:

u1

=

_!:___ R1 ""0.1333 in.

(4.4)

A0 E

De la ecuación (4.2), la correspondiente deformación constante es 0.0016666. Por lo tanto, el esfuerzo axial constante viene dado por: a= fü;

=1.667 ksi

(4.5)

Sin embargo, si se emplea un enfoque de fuerza para la solución de este problema, se obtienen resultados significativos y más precisos. Por estática simple, la distribución axial del esfuerzo es:

R; 10 C>"'-"'--RJ"'PR A(s) 100-s

(4.6)

Por el método de fuerza, el desplazamiento en el extremo del elemento se expresa así:

u;= [JrTcp dV ]R =

lJ

l

1 rso 1o ds R = 0.1607 in. 100-s 0

E

(4.7)

Se debe notar que el desplazamiento del extremo que se obtiene mediante el método de desplazamiento es aproximadamente un 17 por ciento menor que el desplazamiento exacto determinado por el método de fuerza. Sin embargo, es más importante la comparación de la distribución del esfuerzo axial que se resume en la Figura 4.2, utilizando los métodos de análisis tanto de fuerza como de desplazamiento.

45

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

--~-----~-

5 o ~

Ql

....

':::l

'

(/¡

:w

4

---METODO DE LA FUERZA

3 2 1

METODO DEL DESPLAZAMIENTO

o

o

20 40 60 80 Distancia "s"

Figura 4.2 Comparación de Esfuerzas para los Métodos de Fuerza y Desplazamiento

En el extremo de la barra ahusada, el método de desplazamiento produce solamente el 33 porciento del esfuerzo máximo de 5.0 ksi. Por supuesto, si se utiliza una malla fina, los resultados se aproximarán más. También, si se emplean elementos de orden más elevado, con puntos interiores, los resultados del método de desplazamiento pueden ser mejorados de manera significativa. Sin embargo, este ejemplo ilustra claramente el hecho de que el enfoque de fuerza debe ser

empleado para pronosticar el comportamiento de elementos unidimensionales.

4.3

ELEMENTO DE PÓRTICO BIDIMENSIONAL Se desarrollará un elemento de pórtico no-prismático con defonnaciones axiales, de flexión y de cortante para ilustrar el poder del método de fuerza. El método de desplazamiento permite calcular directamente una matriz de rigidez de cualquier elemento en términos de todos los grados de libertad de desplazamiento asociados con los elementos, y el elemento incluye automáticamente los modos de desplazamiento de la masa rígida del elemento. El método de fuerza solamente permite el desarrollo de la matriz de flexibilidad del elemento en términos de desplazamientos relativos a un sistema de soporte estable. El elemento general de pórtico está compuesto de cualquier número de segmentos no-prismáticos de pórtico. Cada segmento puede tener propiedades independientes axiales, cortantes o de flexíón. Por lo tanto, en los extremos del elemento, es posible tener segmentos rígidos de flexión, con o sin deformaciones

46

ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES

axíales y cortantes. Entonces, es posible aproximar el comportamiento del área finita de conexión. La Figura 4.3 presenta un elemento típico de pórtico.

Posición Deforma~

s_i__

l+--_ _

~'

!),,

1s.9~,l

p

~ Sernirígido

L Figura 4.3 Elemento de Pórtico Arbitrario Los desplazamientos relativos son el desplazamiento axial il, el desplazamiento vertical v, y la rotación final 8 . Las cargas correspondientes son la carga axial P, la carga ve1iical V, y el momento en el extremo M. En un corte transversal típico en el puntos, la relación fuerza-deformación es como sigue:

íb\s)1 rB.s) ~(s) d(s)=C(s)f(s),Ól y(s)::: 1

ljl(s)

O

o

o G(s)As(s)

o

º 1rl{s) l O

¡

¡

j

(4.8)

V(s)Ji M(s)

B.s)l(s)

Todas las propiedades transversales, incluyendo el área efectiva de cortante A,, pueden variar dentro de cada segmento del elemento del pórtico. Las fuerzas transversales dentro de un segmento típico en el punto s pueden expresarse directamente en base a la estática en términos de las fuerzas finales arbitrarias del extremo R. Así:

47

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

fP(s)l

¡V(s)

[l

= O

o

º][pl

(4.9a)

O VJ

O L-s lM

lM(s)

Ó: f(s)

=P(s)R

(4.9b)

La matriz de flexibilidad 3 x 3 según se define por el método de fuerza se calcula de acuerdo a lo siguiente: l

I,wxsi'l-J

J

F= P(s)rC(s)P(s)ds= o

L JP(s)rC(s)P(s) ds i

(4.10)

~

Es interesante notar que, debido a la discontinuidad de las propiedades de los segmentos, cada segmento produce una matriz de flexibilidad 3 por 3 separada. Por lo tanto, la Ecuación (4.1 O) puede expresarse en la siguiente fonna: (4.lla)

Donde, Sif¡

F(il

= fP(s)r C(s)P(s)

ds

(4.llb)

S;

La Ecuación (4.11) puede llamarse el método de flexibilidad directa, puesto que los términos de la flexibilidad del segmento se agregan directamente. Se debe señalar que, en el caso de que cualquier propiedad de rigidez del corte transversal sea infinita, según lo definido en la Ecuación (4.9), la contribución a la flexibi!ídad en el extremo del elemento es cero. Las matrices C y P contienen un número significativo de términos cero. Por lo tanto, la matriz de flexibilidad de elemento para un elemento recto contiene solamente cuatro términos independientes, según lo siguiente:

(4.12)

48

ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES

Se puede demostrar fácilmente que los términos individuales de flexibilidad se expresan mediante las siguientes ecuaciones sencillas: J~S¡,¡

F.~ L r

¡

1

J---ds E(s)A(s)

(4.13a)

s

1

f'vy =

J

I,,w:S1+1[(L-s)2 l E(s)l(s) + G(s)As(i) ds

~J

(4.13b)

(4.13c)

1 J--ds '-¡- E(s) I(s)

IM4xs1+1

F: MM

= 'V'

(4.13d)

s,

Para segmentos de pórtico con variación constante o lineal de las propiedades de los elementos, dichas ecuaciones pueden ser evaluadas en forma cerrada. Para el caso de propiedades de segmento más complejas, la integración numérica puede ser necesaria. Para un elemento prismático sin brazos rígidos, dichas constantes de flexibilidad son bien conocidas, reduciéndose a las siguientes: (4.14a)

(4.14b)

(4.14c)

L FMM"'-

EI

(4.14d)

Para cortes transversales rectangulares, el área de cortante es A, = _?_A . 6 Se puede considerar fácilmente la posÍbílidad de carga dentro del segmento calculando los desplazamientos relativ_os adicionales al extremo del elemento, utilizando métodos sencillos de trabajo virtual. Para este caso más general, el desplazamiento relativo total tendrá la siguiente forma:

49

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

[ ~]J~ e lo

o (4.15a)

Ó, simplemente: (4. l 5b)

Los desplazamientos provocados por la carga del tramo se identifican con vL. La Ecuación (4.15) puede expresarse en términos de la rigidez del elemento como: r=KV-KVL =Kv-rl

(4.16)

La rigidez del elemento es la inversa de la flexibilidad del elemento, K = F"1 , y las fuerzas del extremo fijo causadas por la carga del tramo son rL =KVL. Dentro de un programa de computadora, estas ecuaciones son evaluadas numéricamente para cada elemento; por lo tanto, no es necesario desairollar la rigidez del elemento en forma cerrada.

4.4

ELEMENTO DE PÓRTICO TRIDIMENSIONAL El desarrollo de la rigidez del elemento del pórtico tridimensional es una extensión sencilla de las ecuaciones presentadas para el elemento bidimensional. Las deformaciones por cortante y por flexión pueden ser incluidas en la dirección normal/perpendicular, utilizando las mismas ecuaciones. Además, es aparente que la flexibilidad torsional desacoplada viene dada por: ¡~S¡,¡

Fr=

¿

1

f--ds

(4.17)

; s, G(s)J(s)

Puede ser difícil calcular el término de rigidez torsional, G(s)J(s), para muchos cortes o secciones transversales. El empleo de una malla de elemento finito podría ser necesaiio para secciones complejas. La Figura 4.4 presenta un elemento de pórtico tridimensional arbitrario. Hay que notar que se presentan solamente las seis fuerzas en el extremo J. Los seis desplazamientos relativos en el nodo J poseen la misma convención de signo positivo que las fuerzas en el nodo J.

50

ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES

y j ,/

------------ ---- ----~"

·'

_,,/'/

X

!

/

,'/

------------------ --···---J,,//

Figura 4.4 Fuerzas del Elemento en el Sistema de Referencia Local La matriz de rigidez 6 por 6 se forma en el sistema local de coordenadas 1-2-3, tal como se indica en la Figura 4.4. El orden de las fuerzas y las deformaciones relativas son expresados por la siguiente expresión:

p V2 V3 T lvl2 M,

o o o o o k21 o o o o o k33 o k15 o o o k44 o o o k53, o kss o k62 o o o

kll

:::

o

/';.

k26

V2

o o o

~T

k66

83

V3

(4.18a)

62

Ó, simplemente: ÍJ

=kJdJ

(4.18b)

Los términos en negritas indican los aportes de t1exión y cortante en el plano 1-2. Para un elemento curvo en tres dimensiones, la matriz k de 6 por 6 podría estar llena sin la existencia de ningún término nulo. Se debe notar que la matriz de rigidez 6 por 6 formada en el sistema local no posee los seis modos de masa rígida.

51

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Las fuerzas que actúan en el nodo I no son independientes, y pueden expresarse en ténninos de las fuerzas que actúan en el nodo J mediante la aplicación de las ecuaciones básicas de la estática. Por lo tanto:

o o o o o o o o 1 o

-1

p

-1

Vz

V2 p

1

O V3 o o -1 o o o o -1 o O T o o L o -1 O1M,j o L o o o -1 j M1 J

V3 T

M1

M3

L

1 L

i

(4.19a)

Ó, simplemente:

¡;:::: biifJ

(4.19b)

Las doce fuerzas en ambos extremos de la viga ahora pueden expresarse en términos de las seis fuerzas en el extremo J de la viga a través de las siguientes ecuaciones de submatriz: (4.20a)

Ó: (4.20b)

También, de la relación entre las ecuaciones de la estática y la compatibilidad, existe la siguiente ecuación de transformación de desplazamiento: (4.21)

Por lo tanto, la rigidez del elemento de pórtico 12 por 12, ku, con respecto al sistema de referencia local 1-2-3, es la siguiente: 1

ku :o:: b kJb

52

(4.22)

ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES

Por lo tanto, las ecuaciones de fuerza-desplazamiento en el sistema local 1-2-3 puede expresarse como:

e4.23) Para usar la formulación de rigidez directa, es necesario transformar la rigidez local del elemento en un sistema global de referencia x-y-z. La matriz global de rigidez 12 por 12 debe ser formada con respecto a las fuerzas nodales indicadas en la Figura 4.5. Las doce fuerzas nodales R y los doce desplazamientos nodales u tienen la misma convención de signo.

z

R,,

y

-----i---~'/./,· R•

/ i

i

:

!,,/

/

i

/

/

______________________________________________________________________ .}'

X

Figura 4.5 Fuerzas de Elemento de Pórtico en un Sistema de Referencia Absoluta

Los desplazamientos y las fuerzas locales pueden expresarse usando la matriz de coseno direccional elemental que se presenta en el Apéndice A. Así:

53

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

(4.24a)

y

(4.24b)

Por lo tanto, las doce ecuaciones de transformación finales se presentan en la siguiente forma sencilla de submatriz 4 por 4:

. ~r~

o o V o o V Lº o o

.i\.,"

ºl

~j·

(4.25a)

Ó: u 1J ==Tu

(4.25b)

Las doce ecuaciones de equilibrio global en el sistema de referencia x-y-z ahora se expresan así:

R=Ku+RL

(4.26)

La matriz de rigidez del elemento de pórtico es:

K = TTk!JT

(4.27)

Se puede demostrar que las seis fuerzas de extremo fijo rJ causadas por las cargas del elemento, que se definen en el sistema local 1-2-3, pueden ser transformadas a las doce cargas globales mediante la siguiente expresión:

RL

54

=T1 b1 rJ

(4.28)

ELEMENTOS UNIDIMENSIONALES

Se debe notar que dentro de los programas de computadora más eficientes, no se utiliza la multiplicación fonual de matriz para formar las matrices. Los métodos de programación se usan para eliminar la mayor parte de la multiplicación por términos cero.

4.5

LIBERACIÓN DE EXTREMO DE LOS ELEMENTOS Incluyendo la carga del elemento en la Ecuación (4.23), las doce ecuaciones de equilibrio en el sistema de referencia local IJ pueden expresarse como sigue: (4.29a)

Ó:

sin subíndice f =ku + r

(4.29b)

Si uno de los extremos del elemento tiene una articulación u otro tipo de liberación que haga que la fuerza correspondiente sea equivalente a cero, se requiere modificar la Ecuación (4.29). Una ecuación típica sería de la siguiente forma: 12

In"" Ik~¡Uj + rn

(430)

j~l

Si sabemos que un valor específico de fn es cero debido a una liberación, se puede expresar el desplazamiento correspondiente u,, como sigue: ~ knj

~ k,,j

J~l knn

j~n+l k,,,,

u,,= L,,-uj +L. - u j +r,,

(4.31)

Por lo tanto, mediante la sustitución de la ecuación (4.31) en las otras once ecuaciones de equilibrio, se puede eliminar el factor desconocido un y se pueden fijar en cero la correspondiente fila y la correspondiente columna. O sea: (4.32)

55.

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Los términos fn :::: r" :::: O y los nuevos términos de rigidez y carga con equivalentes a: (4.33a) (4.33b) Este procedimiento puede ser aplicado de manera repetida a las ecuaciones de equilibrio del elemento para todas las liberaciones. Después de que se hayan encontrado los otros desplazamientos asociados con el elemento a través de una solución de las ecuaciones del equilibrio global, los desplazamientos asociados con las liberaciones pueden ser calculados a través de la Ecuación (4.31) en orden inverso comparado con el orden en que fueran eliminados los desplazamientos. La aplicación repetida de estas sencillas ecuaciones numéricas se define en el Apéndice C como la condensación estática o eliminación parcial de Gauss.

RESUMEN

4.6

Se- debe usar el método de fuerza para desarrollar las matrices de rigidez para elementos unidimensionales donde los resultados del esfuerzo interno de la sección puedan ser expresados satisfaciendo el equilibrío, en términos de las fuerzas que actúan sobre los terminales del elemento. En primer lugar, se desarrnlla la matriz de flexibilidad, con respecto a un sistema de soporte estable, en el sistema de referencia local del elemento. En segundo lugar, dicha matriz de flexibílidad se invierte para formar la matriz de rigidez del elemento. Tercero, se amplía la matriz de rigidez local para incluir los desplazamientos de masa rígida y se modifica debido a las liberaciones de los extremos. Por últímo, se transforman las matrices de rigidez y carga en el sistema de referencia global.

56

5. ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS Bruce Irons, en el año 1968, Revolucionó el Método del Elemento Finito Introduciendo un Sistema de Referencia de Coordenadas Naturales 5.1

INTRODUCCIÓN Antes del desarrnllo del Método de los Elementos Finitos, los investigadores del campo de la ingeniería estructural y de la mecánica estructural encontraron soluciones de "forma cerrada" en ténninos de conocidas funciones matemáticas de muchos problemas en la mecánica continua. Sin embargo, estructuras prácticas de geometría arbitraria, materiales no-homogéneos o estructuras fabricadas de varios materiales diferentes son difíciles de solucionar mediante este enfoque clásico. El profesor Ray Clough patentizó la terminología "Método del Elemento Finito" en un documento presentado en el año 1960 [1]. Dicho documento proponía usar el método como una alternativa del método de diferencia finita para la solución numérica de problemas de concentración de esfuerzo en la mecánica continua. El objetivo principal de un trabajo anterior en la empresa Boeing Airplane Company publicado en el año 1956 [2] era incluir la rigidez del revestimiento en el análisis de las estructuras del ala y no estaba dirigido a calcular con precisión los esfuerzos en estructuras continuas. El primer programa de computadora plenamente automatizado de elemento finito fue desarrollado durante el período del 1961-1962 [3]. En la opinión del autor, la introducción de la formulación del elemento isopararnétrico en el año 1968 por Bruce Irons [4] constituyó el aporte más significante para el campo del análisis de elementos finitos durante los últimos 40 años. Permitía el desarrollo y la programación de elementos muy precisos de

57

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

orden superior con un mínímo de esfuerzo. La adición de modos de desplazamiento incompatible a elementos isoparamétricos en el año 1971 fue una ampliación importante pero menor a la formulación [5].

5.2

EJEMPLO SENCILLO UNIDIMENSIONAL Para ilustrar los puntos fundamentales del enfoque isoparamétrico, el elemento unidimensional de tres nodos que se presenta en la Figura 5.1 está formulado en un sistema de referencia de coordinadas naturales.

A. SISTEMA GLOBAL DE REFERENCIA "x"

s==-1.0 [

s=O

es

» p~

s=l.O +s

1

1 N, •-,O-,)n 1

~-•h' - NF~~;_:1" ~ 8. SISTEMA ISOPARAMÉTRICO DE REFERENCIA "s"

Figura 5.1 Un Ejemplo Sencillo de un Elemento lsoparamétrico Las funciones de forma N; se expresan en términos del sistema de referencia isoparamétrica del elemento. La coordenada natural posee un rango de s :::: ±1.0. Los sistemas de referencia globales e isoparamétricos están relacionados por la siguiente ecuación elemental:

58

ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS

(5.1)

La validez de esta ecuación puede Sfil verificada para los valores de s = -1, s : : : O y s = 1. No se requiere ninguna referencia matemática adicional para comprender la Ecuación (5.1). El desplazamiento global ahora puede expresarse en términos de las funciones de forma fundamentales isoparamétrica. O sea: (5.2)

Se debe notar que la suma de las funciones de forma es equivalente a 1.0 para todos los valores de s; por lo tanto, es posible el desplazamiento de masa rígida del elemento. Esto constituye un requisito fundamental de toda aproximación de desplazamiento para todo tipo de elemento finito. La ecuación deformación-desplazamiento para este elemento unidimensional es: 8u(s)

du(s) dx

du(s) ds dsdx

=--=--=---

¡; X

ox

(5.3)

Se puede recordar desde las clases de cálculo de segundo año que esto constituye una forma de la regla de cadena. Para cualquier valor de s se pueden escribir las siguientes ecuaciones: du(s) - -_ N(s) u

(5.4a)

dx ds

(5.4b)

ds

''

-=N(s),,x=J(s)

Por lo tanto:

du(s) ds ds dx

l

e =----;:eo-N(s) u =B(s)u '

J(s)

"

(5.5)

De la Ecuación (5.1) ia derivada con respecto a Jos sistemas de referencia globales e isoparamétricos de referencia están relacionados por lo siguiente: dx == N(s), 5 x ds == J(s)ds

(5.6)

Ahora se puede expresar la rigidez del elemento 3 por 3 en té1minos del sistema natural:

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

+l

f

(5.7)

K::= B(s)TEB(s)J(s)ds -1

En general, la Ecuación (5.7) no puede ser evaluada en forma analítica. Sin embargo, puede ser evaluada de manera precisa mediante la integración numérica.

5.3

FORMULAS DE INTEGRACIÓN UNIDIMENSIONALES La mayoría de los ingenieros han utilizado la regla de Simpson o la regla trapezoidal para integrar una función evaluada a intervalos iguales. Sin embargo, estos métodos tradicionales no son tan precisos, para el mismo esfuerzo computacional, como el método numérico de Gauss de integración que se presenta en el Apéndice G. Las fórmulas de integración de Gauss son de la siguiente forrnsi:

I

+l

"

-1

i~l

= Jf(s)ds:::: ¿ff; f(s;)

(5.8)

La Tabla 5.1 resume los coeficientes de Gauss y factores de peso para tres fórmulas diferentes: Tabla 5.1 Factores de Peso y Coeficientes de Gauss para la Integración Numérica S¡

o 2

-1/,fi

3

-JM

W1

S2

W2

S3

8/9

"10.6

W, j

2

1/ ,fi 5/9

o

,---

5/9

Se debe notar que la suma de los factores de peso siempre es igual a 2. Son posibles fórmulas de integración numérica de orden superior. Sin embargo, para la mayoría de los análisis de elementos finitos por desplazamiento, no se requiere

60

ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS

integración de orden superior. De hecho, para muchos elementos, la integración de orden inferior produce resultados más precisos que la integración de orden superior. Para el análisis de la viga ahusada, que se presenta en la Figura 5.1, se usan las mismas propiedades materiales y las mismas condiciones de carga y borde que los del ejemplo que se presenta en la Sección 4.2. La Tabla 5.2 resume los resultados. Tabla 5.2 Resumen de los Resultados del Análisis de Barra Ahusada

1

Limites de Integración

TIPO DE ELEMENTO ~

EXACTO

1

-

u,

O'¡

O'z

63

(%error)

(%error)

(%error)

(%error)

0.1607

1.00

5.00

2.00

,=

Deformación Constante

Exacto

0.1333 (-17.1 %)

1.67 (+67 %)

1.67 (-66 %)

1.67 (-16.5 %)

lsoparamétrico de 3-nodos

2 puntos

0.1615 (+0.5 %)

0.58 (-42 %)

4.04 (-19 %}

2.31 (+15.5%)

lsoparamétrico de 3-nodos

3 puntos

0.1609 (+0.12 %)

0.83 (-17 %)

4.67 (-6.7%)

2.76 (+34 %)

En base a este ejemplo sencillo, se pueden sacar las conclusiones y los comentarios siguientes: l.

Pequefios errores de desplazamiento no indican pequefios errores de esfuerzo.

2.

La integración de orden superior produce una estructura más flexible que la que produce el uso de integración de orden superior.

3.

Si este elemento isoparamétrico es integrado de manera exacta, el desplazamiento del extremo sería menor que el desplazamiento exacto.

4.

Los esfuerzos fueron calculados en el punto de integración y fueron extrapolados a los nodos. Cada programa de computadora utiliza un método diferente para evaluar los esfuerzos que existen dentro de un elemento. Estos métodos serán discutidos más adelante.

61

ANÁLISlS ESTÁTICO Y DINÁMICO

5.4

RESTRICCIONES SOBRE LAS UBICACIONES DE LOS NODOS INTERMEDIOS El ejemplo anterior ilustra el hecho de que la ubicación del nodo a mitad de los laterales o intennedio no tiene que estar obligatoriamente en el centro geométrico del elemento. Sin embargo, su ubicación no es completamente arbitraria. La Ecuación (5.4b) puede ser escrita de nuevo, con x 1 =_!:, x 2 =!: y

2

2

L x., =r-, como 2 . L J(s)=(2-sr)2

(5.9)

donde res la ubicación relativa del nodo 3, con respecto al centro del elemento. La Ecuación (5.5) indica que las deformaciones pueden ser infinitas si J(s) es cero. También, si J(s) es negativa, implica que la transformación de las coordenadas entre x y s está muy distorsionada. Para el caso de defonnaciones infinitas en ubicaciones s = ±1, se puede encontrar la singularidad cero en base a lo siguiente: 2±r=O

(5 .lüa)

1 2

(5.lOb)

Ó: r=±-

Por lo tanto, la ubicación del nodo intermedio debe estar dentro de la mitad central del elemento. En el caso de elementos bidimensionales y tridimensionales, los nodos de los laterales deben estar ubicados dentro de la mitad central de cada borde o lateral. En un extremo agrietado, donde las deformaciones físicas pueden ser muy grandes, se ha propuesto que los elementos adyacentes al agrietamiento tengan el nodo intermedío localizado en una cuarta parte de la longitud del lado del elemento. Entonces los esfuerzos en los puntos de integración serán realistas, y se puede estímar la energía de deformación del elemento, que podrá ser utilizada para predecir la propagación o la estabilidad del agrietamiento [5].

11 62

ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS

5.5

FUNCIONES DE FORMAS BIDIMENSIONALES Se pueden elaborar funciones de formas bidimensionales para diferentes elementos con un número arbitrario de nodos. La formulación que se presenta aquí será para un elemento general cuadrilátero con cuatro hasta nueve nodos. Por lo tanto, una formulación abarcará todos los tipos de elementos presentados en la Figura 5.2.

s 2

4

4

5

s• 4

2

4

2

Figura 5.2. Elementos lsoparamétricos Bidimensionales de Cuatro a Nueve Nodos

Las funciones de forma, en el sistema natural r-s, son un producto de las funciones unidimensionales mostradas en la Figura 5.1. Los rangos tanto de r como des es +1. Toda función debe ser igual a LO en el nodo, y debe ser igual a cero en todos los demás nodos asociados con el elemento. Las funciones de forma mostrada en la Tabla 5.3 son para el elemento básico de cuatro nodos. La tabla indica cómo se modifican las funciones sí existen los nodos 5, 6, 7, 8 ó 9. Si no existe ningún nodos del 5 al 9, las funciones asociadas con dicho nodo son cero, y no hay necesidad de calcularlo. Se debe notar que la suma de todas las funciones de forma siempre es igual a l. O para todos los puntos dentro del elemento. Tablas con el mismo formato pueden ser creadas para las derivadas de

63

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

las funciones de forma N,.,, YNo,. Las funciones de forma y sus derivadas son evaluadas numéricamente en los puntos de integración.

Tabla 5.3 Funciones de Forma para un Elemento Bidimensional de Cuatro a Nueve Nodos -

.

NODOS OPCIONALES

FUNCIÓN DE FORMA

NODO i

1j

S;

1

-1

-1

1

-1

N 1(r,s) '

5

1

2

1

3

1

1

4

-1

1

2

_N _ 6

N 3 =(l+r)(l+s)I 4

2

N 4 o::(l-r)(l+s)/ 4

1

5

o

1

1

!

1 1

N9 1 1-' 4

- N1 2 _Ns 2

o

: N 6 =(l+r)(l-s 2 )/ 21 '

Ng 2

1

1

JI

1

1

7

o

1

N 7 =(1-r 2 )(l+s)/ 2

8

-1

o

N 8 =(l-r)(l-s 2 )/ 2. 1

g

o

o

N9 4 N9 2

1

1

6

4

N 5 "'(l-r 2 )(1-s)/ 2

-1

1

i

N9

N1 2

1

1

N9 4

¡--

_ N 5 1 _l'!..i_ 2 1 2 1

N 2 = (1 + r)(1- s)I 4

'

9

fNs

1

Ns 2

N 1 =(1-r)(l-s)/ 4

8

7

6

- Ng 2

!

- N9 2

N 9 ""(l -r 2 )(1-s 2 )

'

Las relaciones entre los sistemas naturales r-s y ortogonal local x-y son por definición las siguientes: (5. lla)

64

ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS

(5.llb)

También, se supone que los desplazamientos x e y tengan la siguiente forma: ux(r,s):o: LN¡u,,.

(5.12a)

uy(r,s) = ¿N,.uy;

(5.12b)

Para calcular las deformaciones es necesaiio tomar las derivadas de los desplazamientos con respecto a x e y. Por lo tanto, es necesario usar la regla clásica de la cadena, que se puede expresar como sigue:

au :::: ou ax + au 0' or ox ar ay ar

(5.13a)

au 011 ax + ou av. os ox as oy as

(5.13b)

r

~u.~ rou_l ax

ar -J 8u -

as

(5.14)

ouJ oy

La matriz J se conoce en la matemática como la matrizjacobiana, y puede ser evaluada numéricamente en base a lo siguiente:

(5.15)

En los puntos de integración la matriz J pueden ser numéricamente invertidas.

O:

-121] li1

(5.16)

El término J es el determinante de la matriz jacobiana y es:

ox By ox By

J:o:.1¡¡122-J12l21 = - - - - - -

or os os ar

(5.17)

65

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

La Figura 5.3 ilustra el significado físico de este téimino en cualquier punto r y s dentro del elemento. Cálculos sencillos de geometría ilustran que J relaciona el área en el sistema x-y al sistema de referencia natural. Así: dA =di: dy = Jdr ds

(5.18)

Por lo tanto, todas las ecuaciones básicas de elemento finito pueden ser transformadas en el sistema de referencia natural, y se pueden usar las fórmulas estándares de integración numérica para evaluar las integrales.

y Area in x-y System ----~I

dA(s,r)=J drd~ J=ci}xoy - ax ay

ar as

Os

ar

Figura 5.3 Área real eu el Sistema de Referencia Natural INTEGRACIÓN NUMÉRICA EN DOS DIMENSIONES

5.6

La integración numérica en dos dimensiones puede efectuarse utilizando las fómrnlas unidimensionales resumidas en Ja Tabla 5.1. O: l l

I""

Jjf(r,s)J(r,s)drds= LLW; WJ(1¡,sj)J(,rps

-H

i

1)

(5.19)

J

Se debe notar que la suma de los factores de peso, Wi W1 , es igual a cuatro, el área natural del elemento. La mayoría de los programas de computadora utilizan fórmulas de integración numérica 2 por 2 ó 3 por 3. El problema fundamental con este enfoque es el hecho de que para ciertos elementos, el 3 por 3 produce elementos demasiado rígidos, y la 2 por 2 produce matrices de rigidez que son inestables, o que se clasifiquen como deficientes utilizando la teiminología de análisis matricial. El uso de una fórmula 2 por 2 para un elemento de nueve nodos produce tres modos de desplazamiento de cero energía, además de los tres

66

ELEMENTOS ISOPARAMÉTR1COS

modos de masa rígída de energía cero. La Figura 5.4 presenta uno de estos modos de energía cero .

Elemento de 9 Nodos Integración 2 por 2

Modo de Energía Cero

Figura 5.4 ,Uodo de Desplazamiento de Energía Cero Tipo Reloj de Arena Para ciertas mallas de elemento finito. estos modos de energía cero podrían no existir después de agregarse las matrices de rigidez del elemento y aplicarse condiciones de borde. Sin embargo, en muchos casos se pueden obtener resultados imprecisos si se usa la integración reducida para elementos sólidos. Debido a estos problemas potenciales, el autor recomienda el uso de métodos verdaderos de integración numérica bidimensional que sean precisos y que siempre sean más eficientes numéricamente. Por lo tanto, se puede expresar la Ecuación (5.18) como sigue: 1 l

l=

JJf(r,s)J(r,s)dr ds = L W; f(1¡,s;) J(r;,s;)

(5.20)

~H

Las formulas ocho y cinco y los puntos son mostrados en la Figura 5.5. En esa figura, para la integración de los ocho puntos a y f3 y el peso correspondientes son dados como a continuación: (5.2 la)

a=

f3 =

wa 2-2 wa 3wf3

wa =Libre para elegir

(5.21b)

(5.2lc)

67

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

(5.2 ld)

w,B=I-wa Para la integración de los cinco puntos a forma:

y el peso son dados de la siguiente

a=~3~a

(5.22a) (5.22b)

wO

wa=l--

4

(5.22c)

wO : : : Libre para elegir

Si W"' :::::9/49, la fórmula de ocho puntos da la misma precisión que la regla del producto de Gauss 3 por 3, con menos esfuerzo numérico. Por otro lado, si T~, :::1.0, la fórmula de ocho puntos se reduce a la regla del producto de Gauss 2 por 2. Si se busca tener los beneficios de la integración reducida, sin la introducción de modos de cero energía, es posible permitir que Wª =0.99. Note que la suma de los factores de peso equivale a cuatro.

•

a

• }

•

Ja

•

•

Figura 5.5 Reglas de Integración de Ocho y Cinco Puntos La fórmula de cinco puntos es muy efectiva para ciertos tipos de elementos. Posee la ventaja de que al punto central, que en mí opinión constituye la ubicación más importante dentro del elemento, se le puede asignar un factor grande de peso. Por ejemplo, si W0 se fija en 224/81, los otros cuatro puntos de integración son ubicados en a= ±,.Jü.6, con pesos de

w;= 519, que son los

mismos puntos de esquina que la regla 3 por 3 de Gauss. Si se fija fórmula de cinco puntos se reduce a la regla 2 por 2 de Gauss.

•

68

Wo

en cero, la

ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS

5.7

FUNCIONES DE FORMA TRIDIMENSIONALES Se puede ampliar fácilmente el enfoque bidimensional, que se emplea para desarrollar el elemento de 4 a 9 nodos, hasta tres dimensiones, y crear un elemento sólido de 8 a 27 nodos, tal como se presenta en la Figura 5.6.

8

1-8

Nodos de Esquina

9-21

l\kJdos de Borde

21-26 27

Nodos de Centro de Cara Centro de Bermnto

16

18

Figura 5.6 Elemento Sólido de Ocho a 27 Nodos Las funciones de forma tridimensionales son productos de las tres funciones básicas unidimensionales, y pueden ser expresadas en la siguiente fonna: (5.23)

Los términos r¡ , s ¡ y t; son las coordenadas naturales del nodo "i". Las funciones unidimensionales en la dirección r, s y t se definen como:

g; = g(r,r;)={(l+r;r) sir; =±1 g; :::: g(r, 1¡) :::: (1 + r 2) g; = O

sil¡ :::: O

(5.24)

si el nodo no existe

Utilizando esta notación, es posible programar una subrutina de función de forma directamente sin ninguna manipulación algebraica adicional. El requisito fundamental de una función de forma es que posea un valor de LO en el nodo, y que sea cero en todos los demás nodos. La funcíón de la forma del nodo es la

69

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

función de fonna básica del nodo g¡ corregida para que sea cero en todos los nodos por una fracción de las funciones de fonna básicas en los nodos adyacentes. Las funciones de forma N 1 y N8 para los nodos de 8 esquinas son: (5.25a) Las funciones de forma N 9 y N 20 para los nodos de 12 bordes son: (5.25b) Las funciones de forma N 21 y N 26 para los 6 nodos de centro de cada cara son: (5.25c) La función de forma para el nodo que se encuentra en el centro del elemento es: (5.25d) El término g E es la suma de los valores g en los tres bordes adyacentes. El término fS F es la suma de los valores g en el centro de las tres caras adyacentes. La profesión de la ingeniería estructural no utiliza muy extensamente el elemento sólido de 27 nodos. El motivo principal de su falta de valor práctico es que casi se puede obtener la misma precisión con el elemento sólido de 8 nodos, con la adición de modos de desplazamiento incompatible corregidos, según se presenta en el próximo capítulo. La integración numérica puede ser 3 por 3 por 3 ó 2 por 2 por 2, como se discutió previamente. Se puede usar una fórmula de integración numérica de nueve puntos, de tercer orden, para el elemento sólido de ocho nodos con modos incompatibles, expresándose de la siguiente manera:

W0 = Líbre para elegir

(5.26a)

(5.26b)

a=

70

(5.26c)

ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS

Los ocho puntos de integración están ubicados en r = ±a, s =±a y t =±a, y el punto central está ubicado en el centro del elemento. Si w0 =O la fórmula se reduce al 2 por 2 por 2. Si W0 =16/ 3, los otros ocho puntos de integración están ubicados en ocho nodos del elemento, a = ±1 y w"' == l / 3.

5.8

ELEMENTOS TRIANGULARES Y TETRAÉDAICOS Para modelar estructuras, nunca se debe usar el elemento triangular plano de deformación constante ni el elemento tetraedro sólido de deformación constante. Son numéricamente ineficientes, en comparación con los requisitos de computación de elementos de órdenes superiores, y no producen desplazamientos ni esfuerzos precisos. Sin embargo, el elemento triangular plano de seis nodos y el elemento tetraedro sólido de diez nodos, que se presentan en la Figura 5.7, son precisos y numéricamente eficientes. El motivo de su éxito es el hecho de que sus funciones de forma son polinomios completos de segundo orden.

~

/

..............··•··········•···········•·············

B. TETRAEDRO DE 10 NODOS A. TRIÁNGULO DE 6 NODOS Figura 5. 7 Elementos Triangular Plano de Seis Nodos y Tetraédrico Sólido de Diez Nodos

Se usan extensamente para programas de computadora con generación de una malla especial o refinamiento automático adaptativo de malla. Es mejor formularlos en sistemas de coordenadas de área y volumen. Para los detalles y la formulación básica de estos elementos, ver Cook [5}.

5.9

RESUMEN El empleo de sistemas de referencia isoparamétricos o naturales permite el desarrollo de elementos curvos de orden superior. Se debe utilizar la integración

71

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

numérica para evaluar las matrices de elementos porque no son posibles soluciones de forma cerrada para formas no-rectangulares. Los elementos deben tener el número adecuado de modos de desplazamiento de masa rígida. Modos adicionales de energía cero pueden causar inestabilidades y oscilaciones en los desplazamientos y los esfuerzos. No se deben emplear elementos triangulares ni tetraédricos de deformación constante debido a su falta de capacidad de representar los gradientes del esfuerzo. Los elementos triangulares de seis nodos y tetraédricos de diez nodos producen resultados excelentes.

5.1 O REFERENCIAS

72

l.

Clough, R. W. 1960. "The Finite Element Method in Plane Stress Analysis," Proc. ASCE Conf On Electronic Computations. Pittsburg, PA. Septiembre.

2.

Tumer, M. J., R. W. Clough, H. C. Martin y L. J. Topp. 1956. "Stíffness and Deflection Analysís of Complex Structures," J. Aeronaut. Se. V.23, N. 6. pp. 805-823. Sept. l.

3.

Wilson, E.L. 1963 "Finite Element Analysis of Two-Dimensional Structures," D. Eng. Thesis. University of California at Berkeley.

4.

Irons, B. M. y O. C. Zienkiewicz. 1968. "The Isoparametric Finite Element System - A New Concept in Finite Element Analysis," Proc. Conf Recent Advances in Stress Analysis. Royal Aeronautícal Society. London.

5.

Wilson, E. L., R. L. Taylor, W. Doherty, y J. Ghaboussi. 1971. "Incompatible Displacement Models," Proceedings, ONR Symposium on Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics. Uníversity of Illinois, Urbana. Septiembre.

6.

Cook, R. D., D. S. Malkus y M. E. Plesha. 1989. Concepts and Applicatíons of Finite Element Analysis. Tercera Edición. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-84788-7.

6.

ELEMENTOS INCOMPATIBLES Cuando se Introdujeron Elementos Incompatibles en el añol 971, el Profesor de Matemáticas Strang de MIT declaró "En Berkeley, Dos Males Si Hacen un Bien" 6.1

INTRODUCCIÓN En los primeros años del desarrollo del Método de Elemento Finito, los investigadores de los campos de la Matemática, la Ingeniería Estructural y la Mecánica Estructural, consideraban que la compatibilidad de desplazamientos entre elementos finitos era absolutamente obligatoria. Por ló tanto, cuando este autor introdujo por primera vez desplazamientos incompatibles en elementos finitos isoparamétricos rectangulares, en una conferencia del año 1971 [l], el método fue recibido con gran escepticismo por otros investigadores. Los resultados tanto para los desplazamientos como para los esfuerzos de elementos rectangulares se aproximaban mucho a los resultados del elemento isoparamétrico de nueve nodos. Los dos crímenes teóricos que se habían cometido eran la violación de la compatibilidad de desplazamientos, y el hecho de que no se verificara el método con ejemplos que utilizaran elementos norectangulares [2]. Como consecuencia de estos crímenes, Bruce Irons introdujo la restricción de la prueba de "patch" o grupo, y se eliminó el requisito de compatibilidad de desplazamiento [3]. En el año 1976 Taylor presentó un método para corregir el modo de desplazamientos incompatibles. Taylor proponía el empleo de un jacobíano constante durante la integración de los modos incompatibles de manera que los elementos de incompatibilidad pasaran la prueba de grupo [4]. Sin embargo, los resultados arrojados por el elemento isoparamétrico no-rectangular no fueron muy impresionantes.

73

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

En el año 1986, Simo y Rifai introdujeron el método de la barra B para corregir las deformaciones producidas por desplazamientos incompatibles, logrando resultados excelentes para elementos no-rectangulares [5]. Desde ese momento, el empleo de elementos incompatibles de orden inferior reducía la necesidad de integración reducida y el empleo de elementos isoparamétricos de muy alto orden. Muchos de estos elementos nuevos, basados en modos corregidos de desplazamiento incompatible, están resumidos en este libro.

ELEMENTOS CON CORTANTE FIJO

6.2

Para muchas aplicaciones el elemento isoparamétrico sencillo de cuatro nodos no produce resultados precisos. Para ilustrar esta deficiencia, considere el elemento rectangular que se presenta en la Figura 6.1, que está sujeto a una carga de flexión pura.

Desplazamientos del Elemento Finito

~I

~

o

Figura 6.1 Errores de Equilibrio Básico en un Elemento Plano de Cuatro Nodos

Es evidente que el elemento rectangular compatible de cuatro puntos produce errores significativos tanto en los desplazamientos como en los esfuerzos cuando está sujeto a gradientes sencillos de esfuerzo. Cortante ftjo es el término empleado para describir el desarrollo de esfuerzos cortante cuando el elemento

74

ELEMENTOS INCOMPATIBLES

queda sujeto a flexión pura. Además del problema de esfuerzo cortante, se desarrolla un error en el esfuerzo vertical debido al efecto de Ja relación de Poisson. Los desplazamientos exactos, que permiten que el elemento satisfaga el equilibrio interno, tienen Ja siguiente fonna:

=c2 (1-(~)\+c3 (1-(~-) ) 2

ux =c 1xy Y uY

(6.1)

Estos desplazamientos permiten que la deformación cortante sea cero en todos los puntos dentro del elemento. También, el eje neutral debe moverse verticalmente, reduciendo así a cero los esfuerzos verticales.

6.3

ADICIÓN DE MODOS INCOMPATIBLES La motivación de la adición de modos de desplazamiento incompatible, de magnitud rx¡, es cancelar los esfuerzos asociados con los términos de error definidos en la Ecuación (6.1). Esto es, en términos del sistema de referencia natural r-s, las nuevas funciones de forma de desplazamiento para el elemento isoparamétrico de cuatro nodos son como sigue:

j::::l

4

uy

oz

(6.2)

LN;uxy +cx 3 (1-r )+a 4 (l~s2) 2

1~1

Por lo tanto, la ecuación defonnación-desplazamiento para un elemento incompatible se podría expresar como sigue: (6.3)

Si permitimos que dT =[ex Sy

Yxy] y rT ""[a, (jy rxy], la energía de

deformación dentro del elemento incompatible viene dada por: (6.4)

Para pasar la prueba de grupo, la energía de deformación asociada con los modos incompatibles debe ser cero para un estado de esfuerzo constante del elemento.

75

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Por lo tanto, para un estado de esfuerzo constante, se debe satisfacer la siguiente ecuación: (6.5)

Esto se puede satisfacer si agregamos una matriz de coU"ección constante B1c a la matriz B1 , para formar una nueva matriz de deformación-desplazamiento, B1 =B1 +B1c, de manera que se satisfaga la siguiente ecuación: (6.6)

El volumen del elemento es V. Por lo tanto, la matriz de corrección puede calcularse así: (6.7) Esto constituye un enfoque muy general, que se puede utilizar para agregar cualquier número de modos de desplazamiento incompatible, o patrones de deformación, a todo tipo de elementos isoparamétricos. Se debe emplear la misma fórmula de integración numérica para evaluar la Ecuación (6.7) ya que se emplea para calcular la matriz de rigidez del efomento.

6.4

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO En la minimización de la energía potencial, las fuerzas asociadas con los modos a de desplazamiento incompatible son cero. Por eso las ecuaciones de equilibrio del elemento se expresan así: (6.8)

Las submatrices individuales dentro de la matriz de rigidez del elemento se expresan como sigue: kcc

= JB~EB e dV

(6.9a) (6.9b)

76

ELEMENTOS INCOMPATIBLES

-T

fB EBc dV

k 1c

=

ku

= Js/EBI dV

1

(6.9c) (6.9d)

Utilizando la condensación estática [6], se eliminan los modos de desplazamientos incompatibles antes del ensamblaje de las matrices de rigidez del elemento. Entonces: (6.10)

Por tanto, la matriz de rigidez del elemento se expresa así: kc = kcc - kc1 kü1 k¡c

(6.11)

Simbólicamente, la Ecuación (6.11) es ·correcta; sin embargo, se debe señalar que la inversión de la matriz y la multiplicación matricial no se emplean en el algoritmo de condensación estática según se presenta en la Sección 4.5 para la modificación de la rigidez del elemento de pórtico debido a las liberaciones del momento en los extremos.

6.5

ELEMENTOS BIDIMENSIONALES INCOMPATIBLES 2

La adición de las funciones de forma incompatibles, (l-s2) y (1- r ), a aproximaciones de desplazamiento ux y uY es muy efectiva para elementos rectangulares planos. Por lo tanto, para cuadriláteros de forma arbitraria, se ha detemünado que la siguiente aproximación de desplazamiento es efectiva: 4

6

u, = LN;uxi + LN/.Xxi ;~1

4

uy

d

6

(6.12)

=LN;uxy + LN;ay; i::::.l

h::5

Las funciones de forma íncompatíbles son: N 5 = l-r 2

N 6 = 1-s 2

(6.13)

Los cuatro modos incompatibles aumentan el tiempo de computación que se requiere para fonnar la matriz de rigidez del elemento; sin embargo, la mejoría en precisión justifica los cálculos adicionales.

77

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

6.6

EJEMPLO USANDO DESPLAZAMIENTOS INCOMPATIBLES Para ilustrar la precisión de los elementos tanto compatibles como incompatibles en dos dimensiones, se analiza la viga en voladizo indicada en la Figura 6.2 asumiendo un momento y fuerzas concentradas que actúan en el extremo libre.

a

v=0.25

E=1,500

a

L=5

Figura 6.2 Viga Modelada con Malla Distorsionada Un estudio para determinar la influencia de las formas puede llevarse a cabo empleando diferentes factores de distorsión. La Tabla 6.1 presenta un resumen de los resultados. Tabla 6.1 Resultados del Análisis de la Viga en Voladizo MOMENTO APLICADO AL EXTREMO LIBRE

1

:

Factor "a" De Distorsión ! la Malla

EXACTO

o o

1 2

Número de Modos lncomoatibles

-

o 4 4 4

CORTANTE EN EL EXTREMO LIBRE

Desplazamiento Normalizado del Extremo Ubre

Esfuerzo Tensorial Máximo Normalizado en el Sooorte

Desplazamiento Normalizado del Extremo Ubre

Esfuerzo Tensorial Máximo Normalizado en el Sooorte

1.000 0.280 1.000 0.658 0.608

1.000 0.299 1.000 0.638 0.657

1.000 0.280 0.932 0.706 0.688

1.000 0.149 0.750 0.600 0.614

--

Es evidente que el elemento clásico isoparamétrico compatible, rectangular de cuatro nodos, sin modos incompatibles, produce resultados muy pobres. El empleo de este elemento clásico puede producir errores significativo~ que presenten consecuencias prácticas serias desde el punto de vista de la ingeniería.

78

1

ELEMENTOS INCOMPATIBLES

Se nota que Jos esfuerzos podrían ser menores del 20 por ciento del valor correcto.

1

La adición de cuatro funciones de forma parabólica produce los valores exactos de desplazamientos y esfuerzos para elementos rectangulares resultantes de la carga por momento constante. Sin embargo, debido a la carga de cortante en el extremo, el esfuerzo máximo tiene un error de un 25 por ciento. Además, a medida que se vaya distorsionando el elemento, se reduce la precisión de los desplazamientos y de los esfuerzos en un 30 a 40 por ciento.

1

También se debe notar que todos los elementos pasan la prueba de grupo y convergen a la solución exacta, a medida que se vaya refinando la malla. Parece que los elementos cuadrilaterales planos, con ocho modos de desplazamiento incompatible, convergen más rápido que los elementos de orden inferior.

6.7

ELEMENTOS TRIDIMENSIONALES INCOMPATIBLES El elemento clásico de desplazamiento compatible hexaédrico de ocho nodos posee el mismo problema de esfuerzo cortante fijo que el elemento clásico de cuatro nodos plano. La adición de nueve funciones de forma incompatible se ha demostrado efectiva para elementos hexaédrícos tridünensíonales de ocho nodos. Así: 8

ll

ux = LN;u,; + LN 1axí uy

;~1

9

8

11

=LN;u

11

+

2:N ay; 1

(6.14)

g

;~1

8

11

u,"' LN 1u,1 + LN;ay; 9

;~1

Las tres funciones adicionales de forma incompatible son: N9

=I-r 2

N 10 = l -s 2

N 11 =1-t

(6.15)

2

79

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

La fónnula de integracíón 2 por 2 por 2 anteriormente presentada para elementos ísoparamétricos tridimensionales ha demostrado ser efectiva para el elemento hexaédrico de ocho nodos con nueve modos adicionales incompatibles.

RESUMEN

6.8

Debido al grave problema asociado con el esfuerzo cortante fijo, los elementos clásicos hexaédricos compatibles de ocho nodos y cuadrilaterales de cuatro nodos no deben ser utilizados para simular el comportamiento de estructuras reales. Se ha demostrado que la adición de modos de desplazamientos incompatibles, corregidos para que pasen la prueba de grupo, mejora de manera significativa el comportamiento de los elementos isoparamétricos cuadrilaterales y hexaédrícos. Los elementos he¡caédrícos de 27 nodos y cuadrílaterales de nueve nodos son precisos, y pueden ser mejorados agregando modos incompatibles corregidos. Por ejemplo, se pueden agregar modos cúbicos al elemento de nueve nodos plano, con el cual se pueden calcular los resultados exactos, para la carga cortante en el extremo, utilizando sólo un elemento para modelar una viga en voladizo [7].

REFERENCIAS

6.9

80

l.

Wilson, E. L., R. L. Taylor, W. P. Doherty y J. Ghaboussi. 1973. "Incompatible Displacement Models," Proceedings, ONR Symposium on Numerical and Computer Method in Structural Mechanics. University of lllinoís, Urbana. Septiembre. 1971. Publicado además en Numerical and Computational Mechanics (ed. S. T. Fenves). Academic Press.

2.

Strang, G. 1972. "Variational Crímes in the Finite Element Method," en The Mathematical Foundatíons of the Finite Element Method. pp.689-710 (ed. A. K. Aziz). Academic Press.

3.

Irons, B. M., y A. Razzaque. 1972. "Experíence with the Patch Test," en The Mathematical Foundations of the Fíníte Element Method. pp. 557-87 (ed. A. K. Aziz). Academic Press.

4.

Taylor, R. L., P. J. Beresford y E. L. Wilson. 1976. "A NonConforming Element for Stress Analysís," Int. J. Num. Meth. Eng. pp. 1211-20.

ELEMENTOS INCOMPATIBLES

5.

Simo, J. C., y M. S. Rafai. 1990. "A Class of Assumed Strain Method and Incompatible Modes," J Numerical Methods in Engineering. Vol. 29. pp. 1595-1638.

6.

Wilson, E. L. 1974. "The Static Condensation Algorithm," Jnt. J Num. Meth. Eng. Vol. 8. pp. 199-203.

7.

Wilson, E. L. y A. Ibrahimbegovic. 1990. "Use of Incompatible Dísplacement Modes for the Calculation of Element Stiffnesses and Stresses," Finite Elements in Analysis and Design. Vol. 7. pp. 229241.

81

7. CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES GENERALES La Especificación de Desplazamientos de Nodos Conocidos Reduce el Número de Ecuaciones a Solucionar 7.1

INTRODUCCIÓN Los principios fundamentales del análisis y la mecamca estructurales aplicados al análisis estático lineal han sido resumidos en los primeros capítulos de este libro. Sin embargo, falta presentar técnicas adicionales de computación y modelado que se emplean para solucionar problemas especiales. Se ha establecido que el método de desplazamiento, donde los desplazamientos y las rotaciones de las uniones son los términos desconocidos, genera un sistema de ecuaciones de equilibrio de los nodos. Se solucionan estructuras tanto estáticamente determinadas como estáticamente indeterminadas a través del método de desplazamiento. La matriz de rigidez global es la suma de las matrices de rigidez del elemento, y puede ser formada con respecto a todos los posibles grados de libertad de desplazamientos del nodo. El número mínimo de soportes que se requieren para lograr un sistema estable es el número que evita el movimiento de la masa rígida de la estructura. Existen varias razones por las cuales no se utiliza el . método de desplazamiento general para los cálculos no computarizados. Para la mayoría de los problemas, se requiere la solución de un número elevado de ecuaciones. Asimismo, para evitar problemas numéricos, se requiere de un número elevado de cifras significativas, si se incluyen deformaciones tanto axiales como de flexión en el análisis de estrncturas de pórtico. Se nota que los dos métodos tradicionales de análisis de desplazamiento, el de

83

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

distribución del momento y de curvatura-deflexión, implican sólo momentos y rotaciones. Cuando se aplican estos métodos tradicionales de desplazamiento a estructuras más generales de tipo pórtico, es necesario fijar en cero las deformaciones axiales, lo que, en términos modernos, constituye la aplicación de la restricción de un desplazamiento. Se ha demostrado que para el desatTollo de matrices de rigidez elementos finitos, es necesario introducir funciones de forma desplazamiento aproximado. Basándose en las mismas funciones forma, es posible elaborar restricciones entre diferentes mallas elementos finitos finas y burdas en dos y tres dimensiones.

7.2

de de de de

CONDICIONES DE FRONTERA DE DESPLAZAMIENTOS Una de las ventajas más importantes del método de frontera es la facilidad de especificar las condiciones de frontera de desplazamiento. Considere el siguiente grupo de N ecuacíones de equilibrio formadas incluyendo los desplazamientos asociados con los soportes: N

Ku ~ R ó, en notación de subíndíce LK!iu 1

=R;

i = l, .. .N

(7. l)

}"1

Si se conoce y se especifica un desplazamiento particular u se desconoce la correspondiente carga, o reacción R Por lo tanto las ecuaciones de equilibrio N-1 se expresan de la siguiente manera: 11

11

,

•

n-1

LKuu;

=R; - K; U 11

11

i = l, ... n-1

1~1

ó, Kí.l=R

N

2:,Kifu; =R;-K; U 11

11

(7.2)

i=n+l,. ..N

j"n<-1

Esta modificación sencilla de las matrices de rigidez y carga se aplica a cada desplazamiento especificado, descartándose la n-ésima fila y la nésima columna. Para un soporte fijo, donde el desplazamiento es cero, no se modifican los vectores de carga. Estas modificaciones, resultado de desplazamientos aplicados, pueden ser aplicadas á nivel del elemento, antes de la formación de la matriz de rigidez global. Después de haberse calculado todos los desplazamientos, la carga asociada con los

84

CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES GENERALES

desplazamientos especificados podrá ser computada en base a la ecuación de equilibrio descartada. Se puede utilizar este mismo enfoque básico en el caso de que se especifiquen los desplazamientos como función del tiempo. Debe ser evidente que no es posible especificar tanto un como R" en el mismo grado de libertad. Se puede diseñar una estructura de manera que una carga especificada produzca un desplazamiento específico; por lo tanto, esto constituye un problema de diseño estructural y no un problema de análisis estructural. 7.3

PROBLEMAS NUMÉRICOS EN EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Muchos ingenieros utilizan valores elevados para las propiedades de elementos cuando modelan partes rígidas de estructuras. Esto puede provocar errores grandes en los resultados de problemas de análisis estático y dinámico. En el caso del análisis no-lineal, la práctica de usar cifras elevadas no realistas puede provocar una lenta convergencia y producir períodos largos de ejecución por computadora. Por lo tanto, el objetivo de esta sección es explicar las razones físicas de estos problemas y presentar algunas pautas para la selección de propiedades para elementos rígidos. No existen en estructuras reales elementos con rigidez infinita ní soportes rígidos. Solamente podemos decir que un elemento, o un soporte, es rígido en relación a otras partes de la estructura. En muchos casos la rigidez relativa de lo que llamamos un elemento rígido es 10 a 1,000 veces la rigidez de los elementos flexibles adyacentes. El empleo de estos valores realistas normalmente no causará problemas numéricos en el análisis del modelo computarizado de una estructura. Sin embargo, si se utiliza un valor relativo de 1020 , puede que la solución no sea posible, por lo que se conoce como errores de truncamiento. Para ilustrar dichos errores de truncamiento, considere el modelo sencillo de tres elementos que se presenta en la Figura 7.1

85

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

k

k

K

~V--.-'VVV"-+-1\/vVY U1,F1

U2,F2

Figura 7.1 Ejemplo para Ilustrar Problemas Numéricos

Las ecuaciones de equilibrio para esta estrnctura simple, escritas en fonna matricial, son las siguientes:

-KJ[u J=[F¡JF¿

K+: [ -K K+k

1

(7.3)

U2

La mayoría de los programas de análisis estructural están escritos en doble precisión, y los términos de rigidez tienen aproximadamente 15 cifras de significativas, pudiendo ubicarse en el rango de 10-308 a 10+308 . Por lo tanto, sí el elemento de rigidez tiene una rigidez de K= 10 20 k, el término K+k está truncado para K y las ecuaciones de equilibrio son singulares y no pueden ser solucionadas. Si K=l0 12 k, se pierden aproximadamente 12 cifras de importancia, y la solución es correcta hasta aproximadamente tres cifras significativas. Los solucionadores de ecuaciones que se usan en los programas de análisis estructural bien redactados a veces pueden detectar este tipo de error y advertirle al usuario. Sin embargo, para sistemas grandes, este tipo de error puede ser acumulativo, y no siempre es detectado por el programa de computadora. Se puede evitar este problema utilizando valores realistas de dgidez, o mediante el uso de restricciones en lugar de elementos muy rígidos. Esta es una de las razones por las cuales muchas veces se emplea la restricción de diafragma de piso rígido en la solución de edificios de pisos múltiples, porque la rigidez en el plano del sistema de piso es muchas veces mayor por varios órdenes de magnitud que la rígidez de flexión de las columnas que conectan las losas rígidas del piso. En el análisis dinámico no-lineal, muchas veces se emplea la iteración para satisfacer el equilibrio al final de cada paso de tiempo. Si los elementos sufren un cambio grande de rigidez durante el paso de tiempo, la solución puede oscilar alrededor de la solución convergida para iteraciones alternas. Para evitar este problema de convergencia, es

86

r !

CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES GENERALES

necesarío seleccionar valores realistas de rigidez; o se pueden activar y desactivar restricciones de desplazamiento durante la solución incremental.

7.4

TEORÍA GENERAL ASOCIADA A LAS RESTRICCIONES Los ingenieros estructurales han utilizado restricciones de desplazamiento en el análisis estructural durante más de un siglo. Por ejemplo, el pórtico de marco rígido bidimensional que se presenta en la Figura 7.2 posee seis grados de libertad (GDL) de desplazamiento. Por lo tanto existe la posibilidad de tener seis cargas nodales independientes.

1 6 GOL

3 GOL

i i

Figura 7.2 Empleo de Restricciones de Desplazamiento en el Análisis de un Pórtico. 1

1

Cuando se usan los cálculos manuales y el método de curvatura-deflexión, es una práctica común descuidar las deformaciones axiales dentro de los tres elementos o miembros del pórtico de marco rígido. En notación matemática, estas tres ecuaciones de restricción pueden expresarse de la siguiente manera: lly¡ lly2

"'º

"'º

(7.4)

87

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Como producto de estas restricciones, hay que suponer la siguiente carga: Ry 1 =O Ry 2 =O

(7.5)

Rxl =Rxl + R,2 Se deben notar las similitudes entre las condiciones de compatibilidad de desplazamiento, Ecuación (7.4), y los requisitos de equilibrio de fuerza, Ecuación (7.5). Basándose en este ejemplo sencillo, se pueden emitir las siguientes observaciones en sentido general: 1. La aplicación de una ecuación de restricción debe ser justificada por una comprensión física del comportamiento estructural. En este caso, podemos decir que las deformaciones axiales son pequeñas en comparación con la deformación lateral ux 1 • También, las deformaciones axiales en las columnas no causan fuerzas importantes de flexión dentro de los demás elementos de la estructura. Además, no se pueden aplícar cargas verticales que puedan causar desplazamientos horizontales en la estructura real. 2. En sentido general, por cada aplicación de una ecuación de restricción, se elimina un grado de libertad global de desplazamiento del nodo. 3. La asociación de la fuerza con cada deformacíón axial, que haya sido fijada en cero, no puede ser calculada directamente. Ya que la deformación axíal ha sido fijada en cero, un programa de computadora ba'sado en un método de desplazamiento producirá una fuerza axial de cero. Esta aproximación podría tener consecuencias serias si el programa de computadora realiza "revisiones automáticas del código de diseño."

4. Las ecuaciones de restricción deben ser aplicadas a nivel de la rigidez del elemento, antes de agregar matrices de rigidez del elemento a las ecua.ciones de equilibrio global de los nodos.

88

CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES GENERALES

7.5

RESTRICCIONES SOBRE EL DIAFRAGMA DEL PISO Muchos programas de computadora para el análisis estructural automatizado utilízan opciones de restricción amo-esclavo. Sin embargo, en muchos casos el manual del usuario no define con claridad las ecuaciones matemáticas de restricción que se utilizan dentro del programa. Para ilustrar las diferentes formas que puede tomar esta opción de restricción, consideremos el sistema de diafragma de piso que se presenta en la Figura 7.3. Al diafragma, o el sistema físico de piso en la estructura real, se puede conectar cualquíer número de columnas y vigas. En el terminal de cada elemento o miembro, a nivel del diafragma, existen seis grados de libertad para una estructura tridimensional antes de la introducción de las restricciones. 1l 6(i~t? • • (i)

Ju6 Y

<(i) e y

A. Nodo Típico "/"en Sistema de Piso en Plano x-y

B. Restricciones amo-ese/avo

Figura 7.3 Aproximación de Diafragma Rígido Mediciones de campo han verificado para un número elevado de estructuras de tipo edificio, que las deformaciones en el plano en sistemas de piso son pequeñas en comparación con los desplazamientos horizontales entre pisos. Asimismo, se ha convertido en práctica común asumir que el movimiento en el plano de todos los puntos en el diafragma de piso se mueven como una masa rígida. Por lo tanto, los desplazamientos en-el-plano del diafragma pueden expresarse en términos

89

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DlNÁMICO

de dos desplazamientos, u~m) y u;ml, y una rotación alrededor del eje-z, u(m)

ze

En el caso de la carga estática, la ubicación del nodo maestro (m) puede ser en cualquier punto en el diafragma. Sin embargo, para el caso de cargas sísmicas dinámicas, el nodo maestro debe ser ubicado en el centro de masa de cada piso si se usa una matriz de masa diagonal. El programa SAP2000 calcula automátícamente la ubicación del nodo maestro en base al centro de masa de los nodos de restricción. Como resultado de esta aproximación de diafragma rígido, se deben satisfacer las siguientes ecuaciones de compatibilidad para los nodos conectadas al diafragma: uUl

=u
u
=

x

M

y

(7.6)

u
et

La rotación u~l puede o no estar sujeta a la rotación de la masa rígida del diafragmé\. Esta decisió~ debe estar basada en la manera en que físicamente están conectadas las vigas y columnas al sistema de piso. En el caso de una estructura de acero, el diseñador estructural podrá específicar que la losa del piso sea liberada cerca de la unión, lo que permitiría que el nodo rotara independientemente del diafragma. Por otro lado, en el caso de una estructura de concreto vaciado in situ, donde las vigas y las columnas forman parte intrínseca del sistema de piso, se debe satisfacer la siguiente restricción adicional: (7.7)

O en notación matricial, la transfonnación del desplazamiento es:

l

11 u~i)l ll o -/il]lu;m) ~m)j ó, u~ = O 1 1

1

x(i)

uUl

O O u(i)

fu

.

e.

u(i)

= T(í) u
(7.8)

u(m) fu

Si se eliminan los desplazamientos mediante la aplicación de ecuaciones de restricción, las cargas asociadas con dichos desplazamientos también deben ser transformadas al nodo maestro. Por simple estática, las cargas

90

CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES GENERALES

aplicadas en la unión "i" pueden ser trasladadas al nodo maestro "m" mediante las siguientes ecuaciones de equilibrio: R(miJ X

=RUl X

R(nzi) y

=RUly

R(~i)

= RU)

G~

0t

(7.9) -)'(') R(O X

+x(íl R(íJ y

O en forma matricial, la transformación de la carga es:

O ol¡R(í)j l XUl

·

oj RI.il 1L'R(í)e,

ó,

R(mí) = T(íf RUl

(7.10)

De nuevo, se nota que la matriz de transformación de la fuerza es la transpuesta de la matriz de transformación del desplazamiento. La totalidad de la carga aplicada en el punto maestro será la suma de los aportes de todos los nodos esclavos. Esto es: (7.11) Ahora vamos a considerar una columna vertical conectada entre la union í a nivel m y la uniónj a nivel m+l, como se indica en la Figura 7.4. Se debe notar que la ubicación del nodo maestro puede ser diferente para cada nivel.

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

GDL en íy j ,----!--~

GOL en m y m+1

Figura 7.4 Columna Conectada entre Diafragmas Horizontales Por la· Ecuacíón (7.6) es evidente que la matriz de transformación de desplazamiento para la columna viene dada por:

1ll(m) X

ru~"u

o o o o o o o o o o o

Y

1

u;n

(i)

Uex z¡(i) 9y u(il

ez

u~l

i

o o o x<;J o oo o o oo o o 1 o o o o o o oo o oo o o oo o o oo o o o o o o oo o o

ll o o o o o

(i)

i/il

r)

\"r, Uex

Ul Uev

uUJ 8z

1

o o o o o o o o o o

oo o o oo oo oo oo oo o o o o o o

-y(i)

o o o o o o o l

o o o o o o o o

o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o

o1 oo1 ooo 1 oooo

o

o o o o o o o o o o

o o o o o o -yUi XUl

o

o o o

u(m)

y i/i)

z

ll(i)

ex

(i) Uey

1/l Oz

u~;) (m+t)

(7.12)

lfX

!l(m+l) y

i/il z u(il ex

u~

(i) Ue"

j

u(m+JJ

ez

O en forma simbólica: d Bu 00

92

(7.13)

CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES GENERALES

La matriz de transformación del desplazamiento es 12 por 14 si las rotaciones se retienen como desplazamientos independientes. La nueva matriz de rigidez 14 por 14, con respecto a los sistemas de referencia amo y esclavo a ambos niveles, se expresa así: (7.14)

donde k es la matriz inicial de rigidez global 12 por 12 para la columna. Note que la multiplicación de la matriz formal, sugerida por la Ecuación (7.14), no necesariamente tiene que ser hecha mediante un programa de computadora. Operaciones sencillas de matriz reducen el esfuerzo numérico de manera significativa. En el caso de una viga a un nivel de diafragma, la deformación axial será fijada en cero por las restricciones, y la matriz de rigidez 8 por 8 que resulta será en referencia a seis rotaciones y dos desplazamientos verticales. Por lo tanto, la fuerza en el elemento de la viga será cero.

7.6

RESTRICCIONES RÍGIDAS Existen varios tipos diferentes de coacciones que requieren que desplazamientos en un punto estén relacionados a desplazamientos en otro punto. La Figura 7.5 presenta la forma más general de una restricción rígida tridimensional.

z

•m

Figura 7.5 Restricciones de Masa Rígida

93

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Los puntos i, j y m son todos puntos en una masa que se puede considerar que se mueve con seis desplazamientos de masa rígida. Cualquier punto en el espacio puede considerarse como el nodo maestro para fines de carga estática; sin embargo, para el análisis dinámico, el nodo maestro debe ubicarse en el centro de la masa si se desea restringir nuestra formulación a una matriz de masa diagonal. Es evidente por las ecuaciones fundamentales de geometría que todos los puntos conectados a la masa rígida están relacionados a los desplazamientos del nodo maestro a través de las siguientes ecuaciones: u(i) =u~m) +(z(i) _z(m))1/"'.)-(y(i) _,,(m))1/~•) X ~ J ~ u(i)

y

=u(m) -(z(i) y

z(m) ·)u(m)

ex

+(x(i) -

x
ez

u(i) =u(m) +f,,(i) _y(m))u(m) _(x(i) -x(m))u(m)

z

z

V

Bx

9y

(7.15)

(i) -u(m) Uex Ox u(i) -u(m)

By -

Oy

(i) -u(m)

U ez

- e:

Las ecuaciones de restricción para el punto j son idénticas a la Ecuación de matriz (7.15) sustituyendo i por j.

7.7

USO DE RESTRICCIONES EN EL ANÁLISIS DE VIGA· LOSA Como ejemplo que ilustra el uso práctico de una restricción rígida tridimensional, se presenta el sistema de viga-losa indicada en la Figura 7.6 .

•

j

Figura 7.6 Conexión de Viga a Losa a través de Restricciones

CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES GENERALES

Es realista emplear elementos de cáscara de cuatro nodos para modelar la losa, y elementos de viga de dos nodos para modelar la viga. Ambos elementos tienen seis GDL por nodo. Sin embargo, no existen nodos comunes en el espacio para conectar directamente los dos tipos de elementos. Por lo tanto, es lógico conectar el nodo i, en el punto medio de la superficie de la losa, con el punto j en el eje neutro de la viga con una restricción rígida. Si se ejecutan estas restricciones en los nodos de la cáscara a lo largo del eje de la viga, eso permitirá la interacción natural de los dos tipos de elementos. Además de reducir el número de incógnitas, evita el problema de seleccionar un ancho efectivo de la losa. También, pennite la modelación realista de vigas no-prismáticas, donde el eje neutro no recorre una línea recta. Para mantener la compatibilidad entre la viga y la losa, podría ser necesario aplicar la restrícción de masa rígida a varias secciones a lo largo del eje de la viga.

7.8

USO DE RESTRICCIONES EN EL ANÁLISIS DE MUROS DE CORTANTE Otra área donde el uso de restricciones ha sido útil es en el análisis de muros de cortante de concreto con aperturas. Considere el muro de cortante bidimensional que se indica en la Figura 7.7a.

95

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

1 1

_O_. fl-& ¡' 1

1

--

~

> 1 1 1

+

f.--

1

1

1

1

1

A MURO DE CORTANTE CON CARGAS

B. MODELO DE ELEMENTO FINITO

·¡; D

3GDLPOR ZONA RÍGIDA

C. DEFINIR VIGAS Y COLUMNAS

Figura 7. 7 Modelo

D. MODEW VIGA-COLUMNA

Viga~Columna

de u111vluro de Cortante

Muchos ingenieros creen que la creación de una malla de elemento finito bidimensional, tal como se indica en la Figura 7.7b, representa el mejor enfoque para evaluar los desplazamientos y los esfuerzos dentro del muro de cortante. A juicio del autor de este libro, dicho enfoque no sería el mejor por las siguientes razones: l. Tal como se indicó arriba, el uso de elementos planos de cuatro nodos para el análisis de pó1iico no crea un modelo preciso de flexión lineal. La aproximación del esfuerzo cortante constante dentro de cada elemento dificulta la captación de la distribución parabólica del cortante que existe en el elemento clásico de pórtico. 2. Si se usa una malla muy fina, la solución del elemento finito lineal producirá esfuerzos casi infinitos en las esquinas de las aperturas. Ya que la filosofía básica del diseño de concreto reforzado está basada en secciones agrietadas, no es posible utilizar los resultados del demento finito directamente para el diseño.

96

1

CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES GENERALES

3. Usando el sentido común y una comprensión física del comportamiento de la estructura, es posible utilizar elementos de pórtico para crear un modelo muy sencillo que represente con precisión el comportamiento de la estructura, y que directamente produzca resultados que puedan ser aprovechados para diseñar los elementos de concreto.

1

l¡

La Figura 7.7c ilustra la manera en que se reduce el muro de corte a un modelo de elemento de pórtico interconectado con brazos rígidos. Primero las columnas son definidas identificando las regiones de la estructura que tengan dos lados verticales libres de esfuerzo. La longitud de cada viga y columna debe ser aumentada en un 20 por ciento aproximadamente del peralte del elemento para permitir deformaciones cerca de los extremos de los elementos. Se supone que las demás áreas de la estructura son rígidas en el plano.

l 1

1

En base a estas aproximaciones físicas, se elabora en modelo sencillo, que se presenta en la Figura 7.7d. Cada área rígida tendrá tres GDL, dos traslaciones y dos rotaciones. Los extremos de los elementos del pórtico deben ser confinados para que se muevan con estas áreas rígidas. Por lo tanto, este modelo tiene solamente 12 GDL. Se podrían necesitar nodos adicionales dentro de los elementos del pórtico para modelar de forma precisa cargas laterales.

7.9

USO DE RESTRICCIONES PARA TRANSICIONES DE MALLA Es un hecho que los elementos rectangulares son más precisos que los elementos cuadrilaterales arbitrarios. También, los prismas regulares de ocho nodos son más precisos que los elementos hexaédricos de forma arbitraria. Por lo tanto, existe un motivo para emplean coacciones para conectar una malla fina con una malla burda.

97

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

23

22

s

13

7

16

X

Figura 7.8 Uso de Restricciones para Fusionar Diferentes Mallas de Elementos Finitos Para ilustrar el uso de coacciones para fusionar elementos de tamaños diferentes, vamos a considerar el elemento finito tridimensional que se presenta en la Figura 7.8. El método más fácil para generar la malla que se presenta en la Figura 7.8 es emplear sistemas de numeración completamente diferentes para generar las áreas de mallas finas y burdas del modelo de elemento finito. Las dos secciones luego pueden ser conectadas a través de coacciones de desplazamiento. Para satisfacer la compatibilidad, es necesario que la malla fina sea coaccionada a la malla burda. Por lo tanto, las funciones de forma de la superficie del malla burda deben ser utilízadas para evaluar los desplazamientos en los nodos de malla fina. En este caso, los 36 GDL de los 12 nodos de la malla fina, del 21 al 32, están relacionados a los desplazamientos en los nodos 13 a 16 mediante 36 ecuaciones de la siguiente forma: (7 .16)

La ecuación se aplica a los desplazamientos x, y y z en los 12 puntos. Las funciones de forma bílineal, N;, son evaluadas en las coordenadas

CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES GENERALES

naturales de los 12 puntos. Por ejemplo, las coordenadas naturales para el nodo 25 son r =0 y s-:.=J/3. Es evidente que estas transformaciones de desplazamiento pueden ser formadas automáticamente y aplicadas dentro de un programa de computadora. Se ha utilizado este enfoque en programas de computadora que utilizan un refinamiento de malla adaptativo.

7.10 MULTIPLICADORES LAGRANGE Y FUNCIONES DE PENALIDAD En la mecánica de masas rígidas, el enfoque clásico para especificar las coacciones de desplazamiento implica el uso de multiplicadores de Lagrange. Un enfoque más reciente que se utiliza en la mecánica computarizada es el empleo de funciones de penalidad, dentro de la formulación de variación del problema, para hacer cumplir las condiciones de restricción. Se puede explicar el método de penalidad utilizando un sencillo enfoque físico donde la restricción sea enfatizada usando un elemento semirígido. Para ilustrar este enfoque se puede examinar la Ecuación (7.17):

Nnu 13 + N14 u14 + N15 u15 + N16 u16 -uc =O r:;; e ó, e:::: Bcu

(7 .17)

Se puede expresar una ecuación de esta forma para todos los grados de libertad en el nodo de coacción. La matriz de transformación de desplazamiento Be es una matriz 1 por 5 por cada restricción de desplazamiento. Para que se satisfaga la ecuación de restricción, el error e debe ser cero, o un número muy pequeño en comparación con los demás desplazamientos en la ecuación. Esto se logra asignando una rigidez elevada kc, o término de penalidad, al error en la ecuación de coacción. Por lo tanto, la fuerza asociada con la coacción es fe "'kce y se puede expresar como sigue la matriz de rigidez del elemento de coacción 5 por 5: (7.18) A medida que se aumente el valor de kc, se reduce el error y la energía de deformación dentro del elemento de coacción se acerca a cero. Por lo tanto, la energía asociada al elemento de coacción puede ser agregada

99

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

directamente a la energía potencial del sistema antes de la aplicación del principio de núnima energía potencial. Es preciso señalar que el tém1ino de penalidad no debe ser excesivamente elevado, porque se podrían introducir problemas numéricos, tal como se indica en la Figura 7.1. Esto se puede evitar si el término de penalidad es de tres a cuatro órdenes de magnitud mayor que la rigidez de los elementos adyacentes. El enfoque del multiplicador de Lagrange agrega las ecuaciones de coacción a la energía potencial. Esto es: 1

J

0==-urKu-uTR+ '\"'A,.B.u 2 f..¡ J )

(7 .19)

1~1

donde 'A1 se define como el multiplicador de Lagrange para la coacción j. Después de minimizar la energía potencial con respecto a cada desplazamiento y cada multiplicador de Lagrange, se produce el siguiente grupo de ecuaciones: (7.20) El número de ecuaciones a resolver es aumentado por "J" ecuaciones adicionales. La Ecuación (7.20) tiene ecuaciones tanto de equilibrio como de geometría. También, la matriz simétrica no es positiva-definitiva. Por lo tanto, se podría requerir de pivoteo durante el proceso de solución. Por ende, el método de penalidad representa el enfoque de preferencia. 7.11

RESUMEN

Tradicionalmente se utilizaban las restricciones para reducir el número de ecuaciones a solucionar. Sin embargo, en la actualidad la alta velocidad de la generación actual de computadoras personales de bajo costo permite la solución con doble precisión de varios miles de ecuaciones en unos pocos minutos. Por eso se deben usar restricciones para evitar problemas numéricos y para crear un modelo realista que prediga con precisión el comportamiento de la estructura real.

100

CONDICIONES DE FRONTERA Y RESTRICCIONES GENERALES

Las ecuaciones de restricción son necesarias para conectar diferentes tipos de elementos. Además, pueden ser muy útiles en áreas de transiciones de malla y el refinamiento de mallas adaptadas. Es preciso ser cuidadoso para evitar los problemas numéricos cuando se utilizan funciones de penalidad para reflejar las restricciones. El empleo de multiplicadores de Lagrange evita problemas numéricos; sin embargo, se requiere de un esfuerzo numérico adicional para solucionar el conjunto mixto de ecuaciones.

101

8.

ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACAS La Flexión en Placas es una Simple Extensión de la Teoría de Vigas 8.1

INTRODUCCIÓN Antes del año 1960, placas y losas eran modeladas usando una cuadricula de elementos de vigas para muchas estructuras de ingeniería civil. Existían solamente un número reducido de soluciones de "forma cerrada" para placas de geometría sencilla y materiales isotrópicos. Aún en la actualidad muchos diseños de losas se basan en modelos de cuadriculas. Este enfoque clásico de aproximación, en general, produce resultados conservadores porque satisface la estática y viola la compatibilidad. Sin embargo, el momento interno y la distribución del cortante podrían ser incorrectos. El uso de una solución de elemento finito en convergencia producirá un diseño más consistente. La diferencia fundamental entre una cuadricula de elementos de viga y una solución de elemento finito de flexión en placa es el hecho de que existe un momento de torsión en el modelo del elemento finito, mientras que el modelo de cuadriculas puede producir solamente momentos torsionales unidimensionales, y no convergerá a la solución teórica a medida que se vaya refinando la malla. Se usan las siguientes aproximaciones para reducir la teoría tridimensional de la elasticidad para gobernar el comportamiento de placas y vigas finas: l.

Se asume que una línea normal a la superficie de referencia (eje neutro) de la placa (viga) permanezca recta en la posición cargada. Esta coacción del desplazamiento es la misma que declarar que las deformaciones en el plano constituyen una función lineal en la dirección gruesa. Esta suposición no requiere que la rotación de la línea normal sea igual a la rotación de la superficie de referencia; por lo tanto, existe la posibilidad de deformaciones de cortante transversal.

2.

Además, se asume que el esfuerzo perpendicular en la dirección del espesor, que normalmente es muy pequeño en comparación con los esfuerzos de flexión, sea cero tanto para las vigas como para las placas. Esto se logra

103

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

utilizando las propiedades materiales del esfuerzo plano en el plano según la definición del Capítulo l. Note que esta aproximación pennite que existan deformaciones de la relación de Poisson en la dirección del espesor. 3.

Si se asume que las deformaciones de cortante transversal sean cero, se introduce una coacción adicional de desplazamiento que declara que las líneas perpendiculares a la superficie de referencia permanecen perpendiculares a la superficie de referencia después de la carga. Esta aproximación se le atribuye a Kirchhoff y lleva su nombre.

La teoría clásica de placa fina se basa en tres aproximaciones, y lleva al desarrollo de una ecuación de cuarto orden de diferencial parcial en términos del desplazamiento normal de la placa. Este enfoque es posible únicamente para placas de espesor constante. Muchos libros y escritos, utilizando matemáticas complicadas, han sido publicados basados en este enfoque. Sin embargo, no se requiere la aproximación de Kirchhoff para desarrollar elementos finitos de flexión en placas que sean precisos, robustos y fáciles de programar. En la actualidad es posible incluir deformaciones de cortante transversal para placas gruesas sin pérdida de precisión para placas finas. En este capítulo se presenta la teoría de flexión en placas como una extensión de la teoría de vigas (ver Apéndice F) y las ecuaciones de elasticidad tridimensional. Por lo tanto, no se requiere ningún conocimiento previo de la teoría de placas por parte del ingeniero para entender completamente las aproximaciones que se usan. Se han propuesto varios cientos de elementos finitos de flexión en placas durante los últimos 30 años. Sin embargo, se presentará aquí solamente un elemento. El elemento es un triángulo de tres nodos o un cuadrilátero de cuatro nodos, formulado con y sin deformaciones de cortante transversal. La formulación queda limitada a pequeños desplazamientos y materiales elásticos. Se presentan ejemplos numéricos para ilustrar la precisión del elemento. La teoría que se presenta aquí constituye una versión ampliada del elemento de flexión en placa que se presentó por primera vez en la referencia ( l] utílizando una formulación de variación.

8.2 EL ELEMENTO CUADRILATERAL En primer lugar, se va a considerar la formulación del elemento cuadrilateral. El mismo enfoque se aplica al elemento triangular. La Figura 8.1 presenta un cuadrilátero de geometría arbitraria, en un plano local x-y. Note que el elemento parent de cuatro nodos, la Figura 8.la, tiene 16 rotaciones en los cuatro puntos nodales y en el punto del medio en cada lado. Luego se giran las rotaciones del medio de los lados para que sean

104

ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACAS

perpendiculares y tangenciales en cada lado. Luego se ftjan en cero las rotaciones tangenciales, reduciéndose a 12 el número de grados de libertad, Figura 8.lb. Se coaccionan los lados del elemento para que se conviertan en una función cúbica en u z y se introducen cuatro desplazamientos en los nodos de las esquinas del elemento, Figura 8.lc. Por último, se eliminan las rotaciones del medio de los lados, mediante la condensación estática, Figura 8. ld, y se produce un elemento GDL 12.

4

4

Figura 8.1 Elemento de Flexión en Placa Cuadrilateral La suposición del desplazamiento básico es que la rotación de líneas normales para el plano de referencia de la placa se define con las siguientes ecuaciones: 4

8

ex(r,s) = LN;(r,s)f)xi +LN;(r,s) Mxi i:::;:l

f::::j

8

8

;~1

;~5

(8.1)

ey (r,s) = ¿N,(r,s)By, +LN¡(r,s) !1B,,, Las funciones de forma de ocho .nodos se expresan así: N 1 =(1-r)(l-s)/ 4

N 2 :o:(l +r)(l-s)/ 4

N 3 =(l+r)(l+s)/ 4

N 4 =(1-r)(l+s)/ 4

105

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

N 5 =:o(l-r 2 )(1-s)/ 2

N 6 =(l+r)(l-s2)í 2

N 7 =(l-r 2 )(l+s)/ 2

N 8 =(l-r)(l-s 2 )/ 2

(8.2)

Note que las primeras cuatro funciones de forma son las funciones de forma bilineal natural para un cuadrilátero de cuatro nodos. Las cuatro funciones de forma para los nodos del punto de medio de los lados constituyen una adición a las funciones bilineales, y muchas veces se les llama funciones jerárquicas. La Figura 8.2 presenta un elemento lateral ij típico.

i

j

= 1,2,3,4 = 2,3,4,1

m:::: 5,6,7,8

Figura 8.:Z Elemento Lateral Típico Las rotaciones tangenciales se fijan en cero, existiendo solamente las rotaciones perpendiculares. Por lo tanto, las componentes x e y de la rotación norrnal se expresan de la siguiente manera: /j.f}x

= sin ay llB;¡

(8.3)

!lBY = -cosaij llBif

Por lo tanto, se puede expresar la Ecuación (8.1) como sigue: 4

8

Bx(r,s)= "i.iNJr,s)Bx; +LMx;(r,s) !le¡ 8

8

By(r,s)= LNJr,s)B>, +LMy;(r,s) f:.A i=S

106

(8.4)

ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACAS

El número de grados de libertad del desplazamiento ahora se ha reducido de 16 a 12, según lo indica la Figura 8.lb. Los desplazamientos tridimensionales, según los define la Fígura 8.3 con respecto al plano de referencia x-y, son:

Figura 8.3 Desplazamientos Positivos en un Elemento de Flexión en Placa ux(r,s)"" z ()y(r,s)

(8.5)

uy(r,s) "'- z f)x (r,s)

Note que el desplazamiento normal del plano de referencia u"(r,s) no ha sido definido como fünción de espacio. Ahora, se asume que el desplazamiento normal a lo largo de cada lado constituye una función cúbica. Por el Apéndice F, la deformación cortante transversal a lo largo del lateral es como sigue:

1 1 . 2 ry. =-(u L z;··u" )--re.-re)--M 2 11 , J 3 ,1

(8.6)

Por la Figura 8.2, las rotaciones perpendiculares en los nodos i y j se expresan en ténninos de las rotaciones x e y. O se puedé expresar fa Ecuación (8.6) como sigue:

¡ sin a1J cos a 9. 2 Yij =¡(uzJ 'Uz¡)--J((),; +(),,) + --(fJyi +8yJ) ·-/1Bij 2

(8.7)

107

11

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Esta ecuación es válida para los cuatro lados del elemento. Ahora es posible expresar los cortantes nodales en términos de los cortantes laterales. La Figura 8.4 presenta un nodo típico. i=l,2,~4

j=?,3,4,J IF4,J,2,3

Figura 8.4 Cortantes Transversales de Punto Nodal Los dos cortantes del punto medio de los lados están relacionadas a las cortantes en el nodo i por la siguiente transformación de esfuerzo deformación:

[;:J ~ [~~::: ::~:: ][;::1

(8.8)

o en forma inversa:

Yxz] = __!___¡ ~enaki [yY' 1 det L sena«

(8.9)

donde det = cosaif senak1 -cosak1 senau El paso final para determinar los cortantes transversales es usar las funciones bílineales estándares de cuatro nodos para evaluar los cortantes en el punto de integración.

8.3 ECUACIONES DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO Utilizando las ecuaciones tridimensionales de deformación-desplazamiento, las defonnacíones dentro de la placa pueden expresarse en términos de las rotaciones de los nodos. O:

108

l j

ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACAS

l (8.10)

Por lo tanto, en cada punto de integración los cinco componentes de la deformación puede expresarse en términos de los 16 desplazamientos, indicados en la Figura 8.2c, por una ecuación de la siguiente forma:

z

¡;X &y

Yxy Yxz

r.,.

::::

o o o o

oo z o o z oo oo

oo oo oo l o o

{~]

ó d "Buo a(z)b(r,s)u

(8.11)

Por lo tanto, la matriz de transformación esfuerzo deformación-desplazamiento representa un producto de dos matrices donde una es función de z solamente.

8.4 LA RIGIDEZ DEL ELEMENTO CUADRILATERAL En base a la Ecuación (8.11), se puede escribir la matriz de rigidez del elemento como sigue: (8.12) donde, (8.13) Después de la integración en la dirección z, la relación fuerza-deformación 5 por 5 para materiales ortotrópicos tiene la siguiente forma:

109

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Mxx M,y

Du

D12

D21

D22 Dzi

Mxr

D11

D31

D31

vxt vyt

Du

Dis D24 Dzs

lflxx

D41

D42

D34 D3s D44 D4s

lflxy

D41

Dsi

Ds2 Dsi

Ds4 Dss

Yyz

D¡4

lf/yy

(8.14)

rxz

Los momentos M y los cortantes V que resultan son fuerzas por unidad de longitud. Como en el caso de los elementos viga, las defom1aciones asociadas con el momento son la curvatura lfl . Para materiales isotrópícos de esfuerzo plano, los tém1inos no.cero se escriben así: D -D Eh3 22 -12(1-v 2 ) ¡¡ D -D i2 -

21 -

D. -D 44-

vEh3 lZ(l-v2)

(8.15)

_ 5Eh ss-12(l+v)

8.5 SATISFACIENDO LA PRUEBA DE GRUPO Para que el elemento satisfaga la prueba de grupo o "patch," es necesario producir curvaturas constantes si se aplican los desplazamientos nodales asociados con una curvatura constante. La Ecuación (8.11) puede expresarse de la siguiente forma:

(8.16)

donde, para un elemento cuadrílateral, b 11 es una matriz 3 por 12 asociada con las 12 desplazamientos nodales (ex ' ey ' w) y b 12 es una matriz 3 por 4 asociada con las 4 rotaciones incompatibles del lado nom1al ( tiB ). Para que el elemento satisfaga la prueba de grupo del momento constante, es necesario hacer la siguiente modificación de b 12 :

li

110

ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACAS

-h 12 =b 12

-A1 fb

12

dA

(8.17)

El capítulo sobre elementos incompatibles, Ecuación (6.4), presenta el desarrollo de esta ecuación (6.4).

8.6 CONDENSACIÓN ESTÁTICA La matriz de rigidez 16 por 16 del elemento para el elemento de flexión en placa con deformaciones de cortante se obtiene a través de la integración numérica. O: (8.18) donde K 22 es la matriz 4 por 4 asociada con las rotaciones nonnales incompatibles. Las ecuaciones del equilibrio del elemento son de la siguiente forma: (8.19) donde F son las 12 fuerzas nodales. Ya que las fuerzas asociadas con 11B deben ser cero, se pueden eliminar estos grados-de-libertad por deformación, a través de la condensación estática, antes de ensamblar la matriz de rigidez global. Por lo tanto, la matriz de rigidez del elemento 12 por 12 no se aumenta en tamaño sí se incluyen deformaciones de cortante. Este elemento cuadrilátero (o triangular) de flexión en placa, incluyendo defonnaciones de cortante, son definidos en este libro como el Elemento de Cortante Discreto, o DSE (Discrete Shear Element).

8.7 ELEMENTO DE FLEXIÓN EN PLACA TRIANGULAR Las mismas aproximaciones que se usan para desarrollar el elemento cuadri\ateral se aplican al elemento triangular de flexión en placa con tres nodos a mitad del lado. La matriz de rigidez que resulta es de 9 por 9. Aproximadamente el 90 por ciento del programa de computadora para el elemento cuadrilateral es igual al del elemento triangular. Las únicas funciones diferentes que se usan son las de forma, y se elimina la coacción asociada con el cuarto lado, En general, el triángulo es más rígido que el cuadrilátero.

111

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

1 8.8 OTROS ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACA La ecuación fundamental para el cortante discreto a lo largo de los lados de un elemento se expresa a través de la Ecuación (8.6). O:

1 1 2 yij "'-¡ (uz; • uz1) ·-¡ (B, +()1)-

-/,B

(8.20)

Si AB se fija en cero en el punto medio de cada lado, todavía las deformaciones de cortante están incluidas en el elemento. Sin embargo, los momentos internos dentro del elemento se restringen a un valor constante para una placa fina. Esto es igual que el elemento PQ2 presentado en referencia [l], que está basado en una aproximación polinominal de segundo orden del desplazamiento normal. Los desplazamientos producidos por este elemento tienden a tener un error pequeño; sin embargo, los momentos internos para una malla gruesa tienden a tener un error de importancia. Por lo tanto, este autor no recomienda el uso de este elemento. Si se fija el cortante en cero a lo largo de cada lado del elemento, se obtiene la siguiente ecuación: 3 31 M=-(w·-w·)-. 2L ; ' 4 i'0' +e) ;

(8.21)

Por eso es posible eliminar directamente las rotaciones relativas a la mitad del lado sin usar la condensación estática. Esta aproximación produce el Elemento Discreto Kirchhoff, DKE (Discrete Kirchhoff Element), donde defonnaciones de cortante transversal son fijadas en cero. Se debe notar que el DSE y el DKE para placas finas convergen en aproximadamente la misma proporción para desplazamientos y momentos. Para muchos problemas, el DSE y el DKE tienden a ser más t1exibles que la solución exacta.

8.9 EJEMPLOS NUMÉRICOS Se presentan varios ejemplos para demostrar las propiedades de precisión y convergencia de los elementos de flexión en placas cuadrilaterales y triangulares con y sin deformaciones de cortante transversal. Se usa una fórmula de integración numérica de cuatro puntos para el elemento cuadrilateral. Se usa una fórmula de integración de tres puntos para el elemento triangular.

112

ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACAS

8.9.1

Un Elemento Viga

Para ilustrar el hecho de que el elemento placa se reduce al mismo comportamiento que ta teoría clásica de vigas, la viga voladiza que se presenta en la Figura 8.5 está modelada como un elemento de 2 pulgadas de grueso. El elemento estrecho es de 6 pulgadas por 0~2 pulgadas en planta.

E=10,000 ksi G=3,846 ksi

1.0 k

Figura 8.5 Viga en Voladizo Modelada utilizando un Elemento Placa Los desplazamientos de los extremos y los momentos de la base es resumen en la Tabla 8.1 según varias teorías. Tabla 8.1 Desplazamiento y Momento para Viga Voladiza

TEORIA y ELEMENTO

Desplazamiento del

Momento

Extremo (pulgadas)

(kip-in,)

0.0000540

6.00

0.0000587

6.00

0.0000587

6.00

Máximo

-

Teoría de Viga Teoría de Viga con Deformación de Cortante Elemento Placa OSE

113

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Elemento Placa DKE Elemento Placa PK2- Ref. [1] -

0.0000540

6.00

0.0000452

3.00

--

Este ejemplo indica claramente que un elemento placa puede modelar una viga unidimensional sin pérdida de precisión. Vale la pena notar que muchos elementos placas con defom1aciones de cortante, que actualmente se usan en programas de computadora, poseen la misma precisión que el elemento PQ2. Por eso el usuario debe verificar la teoría y la precisión de todos los elementos dentro de un programa de computadora revisando los resultados con ejemplos sencillos. 8.9.2

Carga Puntual en Placa Cuadrada con Soporte Simple

Para comparar la precisión del DSE y del DKE a medida que los elementos se vuelvan muy finos, una malla 4 por 4 como la indicada en la Figura 8.6 modela un cuadrante de una placa cuadrada. Note que la rotación nomrnl a lo largo del extremo con soporte simple está fijado en cero. Para el DSE se requiere la condición de "hard" boundary. El DKE rinde los mismos resultados para condiciones de bordes tanto duras como blandas en el extremo con soporte simple.

E =10.92 5.0

V

=0.3

h:::: 1., 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001

P = 1.0 at center u =O and () = O at 4 sides z n 5.0

X

Figura 8. 6 Carga Puntual en Centro de una Placa Cuadrada de Soporte Simple La Tabla 8.2 resume el desplazamiento y el momento máximos en el centro de la placa. Para una placa fina sin desplazamientos de cortante, el desplazamiento es proporcional al l!h3 . Por tanto, para comparar los resultados, el desplazamiento es normalizado por el factor h3 . El momento máximo no es una función del espesor para una placa fina. Para este ejemplo, las deformaciones de cortante son significativas solamente para un espesor

114

ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACAS

de 1.0. El desplazamiento exacto de placa fina para este problema es 1.160, que se acerca mucho al promedio de los resultados del DKE y del DSE. Por lo tanto, se puede concluir que el DSE converge a una solución aproximada de placa fina a medida que la placa se vuelva fina. Sin embargo, el DSE no converge para una malla gruesa al mismo valor aproximado que el DKE. Tabla 8.2 Convergencia de Elementos de Plato - Malla 4 por 4 - Carga Puntual Tiempos de

..

Desplazami~~tos h l[ 3

Momento Máximo

1 11

1

Espesor, h

l~KE

1

OSE

DKE

OSE

1

1.195

1.383

0.3545

0.4273

0.1

1.195

1.219

0.3545

0.4269

1

1

'

0.01

L195

1.218

0.3545

0.4269

0.001

1.195

1.218

0.3545

0.4269

0.0001

1.195

1.218

~ 0.3545

0.4269

1

i

___J

Para demostrar que las dos aproximaciones convergen para una malla fina, se usa una malla de 16 por 16 para un cuadrante de la placa. Los resultados obtenidos se resumen en la Tabla 8.3. Tabla 8.3 Convergencia de Elemento Placa - Malla 16 por 16- Carga Puntual 3

Tiempos de desplazamiento h

Momento Máximo

·-

Espesor h DKE

DSE

DKE

OSE

~~~

1

1.163

1.393

0.5187

0.5704

0.01

1.163

1.164

" 0.5187

0.5295

~.0001

1.163

1.164

0.5187

0.5295

1

115

ANÁLIS1S ESTÁT1CO Y DINÁMICO

Se nota que los desplazamientos de DKE y de DSE convergen aproximadamente el mismo valor para una carga puntual en el centro de la placa. Sin embargo, debido a la singularidad del esfuerzo, los momentos máximos no son iguales, lo cual es algo que se espera. 8.9.3

Carga Uniforme en Placa Cuadrada de Soporte Simple

Para eliminar el problema asociado con la carga puntual, se sujeta la misma placa a una carga uniforme de 1.0 por unidad de área. La Tabla 8.4 incluye un resumen de los resultados. Para las placas finas, los desplazamientos y los momentos cuadrilaterales de DKE y de DSE concuerdan hasta tres cifras de significativas. Tabla 8.4 Convergencia de Elementos de Placa Cuadrilateral - Malla 16 por 16 - Carga Uniforme

1 ~

3

Tiempo de desplazamiento h

Mom'"'º M"imo

Espesor h

IL

DKE

OSE

DKE

OSE

1

9.807

10.32

1.142

1.144

0.01

9.807

9.815

1.142

1.144

0.0001

9.807

9.815

1.142

1.144

1

e==-

~

8.9.4

Evaluación de Elementos de Flexión en Placa Triangular

Se puede demostrar la precisión del elemento de t1exión en placa triangular analizando la misma placa cuadrada sujeta a una carga unífom1e. La placa es modelada usando 512 elementos triangulares, Jo que produce una malla 16 por 16, dividiéndose cada cuadrilátero en dos triángulos. La Tabla 8.5 recoge los resultados. Para placas finas, los desplazamientos y momentos cuadrilaterales de DKS y DSE concuerdan hasta cuatro cifras significativas. El hecho de que tanto los momentos como los desplazamientos convergen al mismo valor para placas finas indica que los elementos triangulares pueden ser más precisos que Jos elementos cuadrilaterales tanto para placas finas como para los placas gruesas. Sin embargo, si se cambia la malla triangular dividiendo el cuadrilátero en el otro diagonal, los resultados no son tan impresionantes. Tabla 8.5 Convergencia de Elementos Placa Triangular - Carga Uniforme

116

ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACAS

-3

Tiempos de desplazamiento h 1

1

Momento Máximo

Espesor h DKE

OSE

DKE

OSE

1

9.807

10.308

1.145

1.145

0.01

9.807

9.807

1.145

1.145

0.0001

9.807

9.807

1.145

1.145

0.0001*

9.800

9.807

1.142

1.145

* Cuadrilátero dividido en la otra diagonal

Sin embargo, se debe notar que, si se utiliza el elemento triangular en el análisis de la cáscara, el comportamiento de la membrana del elemento triangular de la cáscara es muy pobre, y se obtendrán resultados imprecisos para muchos problemas.

8.9.5 Uso del Elemento Placa para Modelar Torsión en Vigas Para elementos de viga unidimensionales, se puede usar el elemento placa para modelar el comportamiento de cortante y de flexión. Sin embargo, no se deben usar los elementos placa para modelar el comportamiento torsional de vigas. Para ilustrar los errores introducidos por esta aproximación, se debe considerar la estructura de una viga voladiza indicada en la Figura 8.7 y sujeta a una unidad de torque en el extremo.

E=10,000,000

v=0.30 z

Figura 8. 7 Viga sujeta a Modelo de Torsión por Elementos Placa Los resultados de la rotación en el extremo de la viga son presentadas en la Tabla 8.6.

117

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Tabla 8.6 Rotación en Extremo de Modelo de Viga Utilizando Elementos de Plato ¡---OSE

DKE

--

ROTACIÓN Y

!

1x6

9x9

1x6

9x9

0.0284

0.0233

02368

0.1249

10.0227 -

0.0218

0.0849

0.0756

-libre fijo

1

1

il

¡

La solución exacta, basada en una teoría de elasticidad que incluye alabeo de la sección transversal rectangular, es de 0.034 radianes. Note que las condiciones de bordes de esfuerzo y deformación cortante que se presentan en la Figura 8.6 no pueden ser satisfechas con exactitud por los elementos de placa sín importar la finura de la malla. Tampoco es evidente si la condición de borde de rotación-y debe ser libre o si se debe fijar en cero. Para este ejemplo, el elemento DKE da una rotación que es aproximadamente un 68 por ciento de la solución de elasticidad; sin embargo, a medida que se vaya refinando la malla, los resültados no mejoran de manera significativa. El elemento DSE es muy flexible para la malla gruesa. Los resultados de la malla fina son más rígidos. Ya que ninguno de los elementos es capaz de lograr convergencia con los resultados exactos, la torsión de la viga no debe ser usada como un problema de prueba para verificar la precisión de los elementos de flexión en placa. Los elementos triangulares producen casi los mismos resultados que los elementos cuadrilaterales.

8.1 O RESUMEN El presente capítulo ha resumido un elemento relativamente nuevo y robusto de flexión en placa. El elemento puede ser usado para placas tanto finas como gruesas, con o sin deformaciones c01iante. Ha sido ampliado para abarcar elementos triangulares y materiales ortotrópicos. La teoría de flexión en placa fue presentada como una extensión de la teoría de vigas y la teoría de elasticidad tridimensional. Los DKE y DSE son usados en la actualidad en programas de SAFE, FLOOR y SAP2000. En el próximo capítulo, se presentará un elemento de membrana con tres GDL por nodo, dos traslaciones y una rotación normal en el plano. En base al elemento de flexión que se presenta en este capítulo y el elemento de membrana que se presenta en el próximo

118

r ! l l

ELEMENTOS DE FLEXIÓN EN PLACAS

l

1

capítulo, se presenta también en el próximo capítulo un elemento general de cáscara fina o gruesa.

8.11 REFERENCIAS l. Ibrahimbegovíc, Adnan. 1993. "Quadrilateral Elements for Analysis of Thick and

Thin Plates," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Vol. 11 O (1993). 195-209.

119

9. ELEMENTO DE MEMBRANA CON ROTACIONES NORMALES Las Rotaciones Deben Ser Compatibles entre los Elementos de Viga, Membrana y Cáscara 9.1

INTRODUCCIÓN La naturaleza compleja de la mayoría de los edíficios y otras estructuras de la ingeniería civil requiere que los elementos de pórtico, placas de flexión y de membrana existan dentro de un mismo modelo computarizado. El elemento de viga tridimensional normalmente tiene seis grados de libertad por nodo: tres desplazamientos y tres rotaciones. El elemento de placa de flexión, que se presentó en el capítulo anterior, tiene dos rotaciones en el plano del elemento, y un desplazamiento normal al elemento en cada nodo. El elemento estándar de esfuerzo plano, que se usa para hacer modelos del comportamiento de membrana en elementos de cáscara, tiene solamente dos desplazamientos en el plano en cada nodo, y no puede llevar momentos aplicados normales al plano del elemento. Un elemento de pórtico empotrado perpendicular a un muro de cortante o losa es muy frecuente en modelos de edificios y muchos otros tipos de ~istemas estructurales. Es posible usar una coacción para transferir el momento del elemento de pórtico a un acoplado de fuerza aplicado en el plano del elemento. Sin embargo, para cáscaras conectadas a vigas de borde y muchos otros tipos comunes de sistemas estructurales, existe la necesidad de un elemento de membrana que tenga una rotación perpendicular como GDL básico en cada nodo. La búsqueda de un elemento de membrana con rotaciones normales constituía un trabajo fútil durante los primeros años del desarrollo de la

121

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

tecnología de elementos finitos. Sin embargo, durante los. últimos 15 años, se ha evolucionado a un elemento práctico cuadrilateral. En vez de referirse a numerosos estudios de investigación (que se resumen en la referencia [1]) que llevaron al desarrollo del elemento que se utiliza en la actualidad en el programa de análisis estructural general SAP2000, en este capítulo se desarrollaran las ecuaciones fundamentales. Además, se presentarán ejemplos numéricos para ilustrar la precisión del elemento. 9.2

SUPOSICIONES BÁSICAS El desarrollo del elemento de membrana es muy similar al elemento de flexión de placa que se presenta en el capítulo anterior. La Figura 9.1 presenta el elemento cuadrilateral.

4

4

Figura 9.1 Elemento de Membrana Cuadrilateral con Rotaciones Normales

El desarrollo del elemento puede dividirse en los cuatro pasos siguientes: 1. El punto de partida es el elemento cuadrílateral de nueve nodos, 16 GDL, que se presenta en la Figura 9.1.a. 2. El próximo paso es rotar los desplazamientos relativos del punto intermedio para que se encuentren en posición perpendicular y

122

ELEMENTOS DE MEMBRANAS

tangencial a cada lado, y fijar en cero el desplazamiento tangencial relativo, reduciendo el elemento al de 12 GDL que se indica en la Figura 9.1 b. . 3. El tercer paso es introducir coacciones de desplazamiento normal parabólico para eliminar los cuatro desplazamientos normales del punto medio de los lados, que se indica en la Figura 9.lc. 4. El último paso es convertir las rotaciones normales relativas en

valores absolutos, y modificar las funciones de forma para que pasen la prueba de grnpo. Esto produce la rigidez del elemento 12 por 12 con respecto al 12 GDL que se presenta en la Figura 9.ld.

9.3

APROXIMACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS La suposición básica es que los desplazamientos x y y en el plano son definidos por 1as siguientes ecuaciones: 4

8

ux(r,s) ='f..N;(r,s)ux; +LN¡(r,s) /),ux; 4

8

uy(r,s) ='f..N,«r,s)uy1 +LN;(r,s) /),uy; ;~1

(9.la) (9.lb)

¡,5

Las ocho funciones de fonna son expresadas de la siguiente manera: (9.2a)

N 1 :::(l-r)(l-s)i 4

N 2 "'(l+r)(l-s)/ 4

(9.2b)

(9.2c) N 3 ==(l+r)(l+s)/ 4

N 4 =(1-r){l+s)/ 4

(9.2d)

(9.2e) N 5 ==(l-r 2 )(l-s)t 2

N 6 =(l+r)(l-s 2 )/ 2

(9.2f)

(9.2g) N 1 =(1-r 2 )(1+s)/ 2

N 8 =(1-r)(l-s 2 )/ 2

(9.2h)

Las primeras cuatro funciones de forma son las funciones naturales de forma bilineal para un cuadrilátero de cuatro nodos; no son de cero en los nodos 5 al 8. Las últimas cuatro funciones de fonna para Jos nodos del punto medio de los lados y para el nodo del centro constituyen una adición a las funciones bilineales, llamándose funciones jerárquicas.

123

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

9.4

INTRODUCCIÓN DE ROTACIÓN DE NODO

l J

1

Un elemento típico lateral ij se presenta en la Figura 9.2. 1

i::::::

j

1 ¡

1,2,3,4

= 2,3,4,1

1

m = 5,6,7 ,8

Figura 9.2 Lado Típico de Elemento Cuadrílateral

Si se supone que el desplazamiento normal relativo del lado es parabólico, es necesario satisfacer la siguiente ecuacíón: L

!'lu lj. =_;¿_(M -M) 8 1

(9.3)

!

Debido a que el desplazamiento tangencial del punto intermedio es cero, los desplazamientos globales relativos del punto intermedio se expresan así: L

!'lux =cosa/:..u 1¡ =cosauf(t.BJ-AB;) L

AuY =-sinaijt.uiJ =-sinaufCl'lB¡-AB¡)

(9.4a) (9.4b)

Se puede aplicar la Ecuación (9.4) a los cuatro lados y los desplazamientos globales, la Ecuación (9.1), puede expresarse así:

124

ELEMENTOS DE MEMBRANAS

4

8

ux(r,s)"" LN¡(r,s)u,; +LMx;(r,s) C,(); izJ

(9.5a)

iz5

4

8

uy(r,s)"" LN;(r, s)uyi +

L My¡(r,s) Ci0

1

(9.5b)

iz5

Íz\

Por lo tanto, el sistema se ha reducido a 12 GDL.

9.5

ECUACIONES DE DEFORMACIÓN-DESPLAZAMIENTO Las siguientes ecuaciones de deformación-desplazamiento ahora pueden ser constmidas en base a las siguientes ecuaciones fundamentales:

(9.6a)

& X

aux ax '

==-·

& y

au

:::::-y

8y

and

au ouy

rxy =-X+By Bx

(9.6c)

(9.6b) De manera alternativa, las ecuaciones de esfuerzo deformacióndesplazamiento 3 por 12 redactados en forma de submatriz son las siguientes: (9.7)

Para que el elemento satisfaga la pmeba de "grupo" del esfuerzo constante, es necesario hacer la siguiente modificación de la matriz 3 por 4 B12: (9.8) El desarrollo de esta ecuación está presentado en el capítulo sobre elementos incompatibles, Ecuación (6.4).

9.6

RELACIÓN ESFUERZO~DEFORMACIÓN La relación esfuerzo-defonnación para materiales ortotrópicos de esfuerzo plano, puede expresarse como sigue:

125.

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

(9.9)

La única restricción sobre la matriz esfuerzo-defom1ación es el hecho de que debe ser simétrico y ftjo positivo.

9.7 ¡1

TRANSFORMACIÓN RELATIVA A ROTACIONES ABSOLUTAS La matriz de rigidez del elemento 12 por 12, para un elemento cuadrilateral con rotaciones normales se obtiene utilizando una integración numérica de cuatro puntos. Así: (9.10) La matriz de rigidez para el elemento de membrana, según el cálculo de la Ecuación (9.9), tiene cuatro rotaciones relativas desconocidas en los nodos. Un examen de las propiedades de la matriz de rigidez indica que tiene un modo de energía cero además de los tres modos de masa rígida. Este modo falso de deformación, relativo a la rotación de masa rígida del elemento, se presenta en la Figura 9.3.

Figura 9.3 Modo de Desplazamiento de Energía Cero El modo de desplazamiento de energía cero tiene rotaciones iguales en todos los nodos y cero desplazamientos en nodos intermedios. Para eliminar este modo, es necesario solamente agregar una matriz de rango uno a la matriz de rigidez del elemento que posee rigidez asociada con el

126

l f

¡

ELEMENTOS DE MEMBRANAS

¡ 1

modo. En base a la definición de elasticidad de rotación, se puede calcular la rotación absoluta en el centro del elemento, o un estimado de la rotación de masa-rígida del elemento por lo siguiente:

8uv]-b eo -_-21[8ux - - - - º" cy ax

(9 .11)

donde b0 es una matriz l por 12. La diferencia entre la rotación absoluta y la rotación relativa promedio en el centro del elemento es: 4

dz:80 - ¿N,(O,O)t.81 =b0 u

(9.12)

;~1

Ahora puede asignarse una rigidez k0 (o término de penalidad) a esta deformación para crear la siguiente matriz de rigidez de clase uno, utilizando integración de un punto: (9.13) Experiencia con la solución de un gran número de problemas indica que es efectivo el siguiente valor de rigidez de rotación: k0 =0.025D 33

(9.14)

donde D33 es el módulo de cortante de materiales isotrópicos. Cuando esta matriz de clase uno se agrega a la matriz de rigidez 12 por 12, el modo de energía cero se elimina, y se convierte la rotación del nodo a una rotación absoluta.

9.8 ELEMENTO DE MEMBRANA TRIANGULAR Se aplican las mismas aproximaciones que se usan para. desarrollar el elemento cuadrilateral al elemento triangular con tres nodos intennedios. La matriz de rigidez que resulta es de 9 por 9. Aproximadamente el 90 por ciento del programa de computadora para el elemento cuadrilateral es igual que el del elemento triangular. La única diferencia es que se usan funciones de forma, y se elimina la coacción asociada con el cuarto lado. Sin embargo, el triángulo es significativamente más rígido que el cuadrilátero. De hecho, la precisión del comportamiento de la membrana

127

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

del triángulo con los grados de libertad de la prueba es casi igual que la del triángulo de deformación constante. 9.9

EJEMPLO NUMÉRICO

La viga que se presenta en la Figura 9.4 es de un modelo con dos elementos de membrana con grados de libertad de prueba. a

u::::0.25

E::::1,500

V

l._~ L=5

L=5

Figura 9.4 Modelo de Viga Con Elementos Distorsionados

La Tabla 9.1 resume los resultados tanto para los desplazamientos como para los· esfuerzos. Tabla 9.1 Resultados del Análisis de Viga Voladizo MOMENTO APLICADO AL

CARGA DE CORTANTE AL

1

EXTREMO

1

EXTREMO LIBRE

Factor de 1

Distorsión de malla "a"

Esfuerzo

Desplazamiento

Máximo

Normalizado del

Normalizado

Extremo

1

128

Esfuerzo

Desplazamiento

Máximo

Normalizado del

Normalizado

Extremo

en el Soporte

en el Soporte

Exac!

1.000

o

1.000

1

0.502

0.675

0.510

0.601

2

0.280

0.627

0.303

0.557

1

1.000

1.000

1.000

1.000

0.958

1

0.750

---

ELEMENTOS DE MEMBRANAS

Para el caso de elementos rectangulares, sujetos a momentos de extremo, se obtienen los resultados exactos, y no existe el esfuerzo cortante. Para carga de cortante al extremo, los desplazamientos tienen un .error de solamente un 4 por ciento; sin embargo, los esfuerzos de flexión tienen un error de un 25 por ciento. Este comportamiento es casi idéntico al comportamiento de elementos planos con modos incompatibles. A medida que se vaya distorsionando el elemento, se van deteriorando los desplazamientos y los esfuerzos. Todos los resultados fueron obtenidos utilizando integración de cuatro puntos. El momento del extremo puede aplicarse como dos fuerzas horizontales iguales y opuestas en el extremo de la viga. O, la mitad del momento del

extremo puede ser aplicada directamente como dos momentos concentrados en los dos nodos del extremo. Los resultados de los dos métodos diferentes de carga son casi idénticos. Por lo tanto, los elementos de viga estándares pueden ser conectados directamente a los nodos de los elementos de membrana con GDL rotación normal.

9.10 RESUMEN El elemento de membrana de esfuerzo en el plano que se presenta en este capítulo puede ser usado para hacer modelos precisos de muchos sistemas complejos estrncturales donde se interconectan los elementos de pórtico. membrana y placa. El elemento cuadrilateral produce resttltados excelentes. Sin embargo, el rendimiento del elemento de membrana triangular es muy pobre.

9.11

REFERENCIAS l. Ibrahimbegovic, Adnan, R. Taylor, y E. Wilson. 19~0. "A Robust

Membrane Quadrilateral Element with Drilling Degrees of Freedom," Int. J. of Num. Meth.

129

r 1

1

!

1o. ELEMENTOS DE CÁSCARA (SHELL ELEMENTS) Todo Elemento de Cáscara Representa una Aproximación y Un Caso Especial de Elasticidad Trid irnensional 1

10.i

INTRODUCCIÓN El uso de la teoría clásica de cáscara fina para problemas de geometifa arbitraria lleva al desarrollo de ecuaciones diferenciales de orden superior que, en general, pueden ser solucionadas aproximadamente mediante el uso de la evaluación numérica de series infinitas. Por lo tanto, existe solamente un número limitado de soluciones-parLestructuras de cáscara con fomias geométricas sencillas. Estas soluciones cumplen una función importante en la evaluación de la precisión numérica de programas de computadora modernos de elementos finitos. Sin embargo, para el análisis estático y dinámico de estructuras de cáscara de geometría arbitraria, que interactúan con vigas y soportes de extremo libre, el método de elemento finito brinda el único enfoque práctico de que se dispone en la actualidad. La aplicación del método de elemento finito para el análisis de estructuras de cáscara requiere que el usuario tenga conocimiento de las aproximaciones involucradas en el desarrollo de los elementos. En los dos capítulos anteriores, se presentó la teoría básica de elementos de placa y membrana. En este libro, tanto los elementos de placa como los de membrana fueron derivados como un caso especial de la teoría de la elasticidad tridimensional, donde las aproximaciones están claramente definidas. Por lo tanto, el empleo de estos elementos para el análisis de estructuras de cáscara implica la introducción de muy pocas aproximaciones nuevas. Antes de analizar una estructura utilizando un elemento de cáscara, siempre se debe considerar la aplicación directa de sólidos tridimensionales para crear un modelo de la estructura. Por ejemplo,

131

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

considere el caso de una presa de arco tridimensional. La presa de arco podría ser lo suficientemente fina para usar elementos de cáscara para crear un modelo de la sección del arco con seis grados de libertad fJOr nodo; sin embargo, la creación de un modelo del cimiento requiere el uso de elementos sólidos. Se pueden introducir coacciones para conectar los dos tipos de elementos. Sin embargo, es más sencillo y preciso utilizar elementos sólidos, con modos incompatibles, para la presa y para el cimiento. Para ese caso, se necesita de sólo un elemento en la dirección del espesor; el tamaño del elemento que se emplea no debe ser mayor de dos veces el espesor. En vista de que actualmente se pueden resolver sistemas de más de mil elementos en pocos minutos en una computadora personal, esto constituye un enfoque práctico para muchos problemas. 10.2

UN SIMPLE ELEMENTO DE CÁSCARA CUADRILATERAL Los elementos bidimensionales de membrana y flexión de placa que se presentaron en los dos capítulos anteriores pueden ser combinados para formar un elemento de cáscara de cuatro nodos, tal como se presenta en la FigurálOJ.

6,. \

+

u,/ 6x

:::

ELEMENTO DE PLACA DE FLEXIÓN + ELEMENTO DE MEMBRANA ~ ELEMENTO DE CÁSCARA

z

r

:

~ÍisTEMA

DE REFERENCIA LOCAL

x~z

k

YX SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL XYZ

Figura 10.1 Formación de Elemento de Cáscara Plana

132

ELEMENTOS DE CÁSCARA

Solamente es necesario formar las dos matrices de rigidez de elemento en el sistema local xyz. Luego se transforma la matriz local de rigidez del elemento 24 por 24, Figura 10.l, en el sistema global de referencia XYZ. Luego se agregan las cargas y la rigidez del elemento de cáscara, utilizando el método de rigidez directa para formar las ecuaciones de equilibrio global. Debido a que los elementos de flexión de placa (DSE) y membrana, en algún plano, son casos especiales del elemento cáscara tridimensional, solamente se necesita el elemento de cáscara para ser programado. Este es el enfoque empleado en el programa SAP2000. Como en el caso de flexión de placa, el elemento cáscara tiene la opción de incluir las deformaciones transversales cortantes.

10.3 MODELOS DE CÁSCARAS CURVOS CON ELEMENTOS PLANOS Se pueden usar elementos de cáscaras cuadrilaterales y planos para crear modelos de la mayoría de las estrncturas de cáscara si se pueden colocar los cuatro nodos en el punto medio del espesor de la cáscara. Sin embargo, para algunas cáscaras con doble curvatura, esto podría no ser posible. Veamos la estructura de cáscara que se presenta en la Figura 10.2.

ELEMENTO OE CÁSCARA PLANO

¡

2 \ SUPERFICIE MEDIA DE

LA CÁSCARA

Estructura de Cáscara con Doble Curvatura

Elemento de Cáscara Plano Típico

Figura 10.2 Empleo de Elementos Planos para Crear Modelos de Cáscara Arbitrarios

133

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Los cuatro puntos de inserción 1, 2, 3 y 4 que definen el elemento están ubicados en el punto medio de la superficie de la cáscara, tal con:io se indica en la Figura 10.2. El sistema local de coordenadas xyz se define tomando el producto vectorial de los vectores diagonales. Es decir, V, "' V1-3 VH. El vector de distancia des normal al elemento plano, y está entre los puntos nodales del elemento plano y los puntos nodales de aporte en la mitad de la superficie de la cáscara y es calculada de la siguiente manera: d=± Z¡ +z3

-Zz -Z4

(10.l)

2

Para la mayoría de las cáscaras esta distancia paralela es cero, ubicándose los nodos del elemento finito en los nodos que están en la mitad de la superficie. Sin embargo, si la distancia d no es cero, la rigidez del elemento plano debe ser modificada antes de la transfo1mación al sistema de referencia global XYZ. Es muy importante satisfacer el equilibrio de fuerzas en el punto en la mitad de la superficie de la estructura de cáscara. Esto se logra a través de una transformación de la matriz de la rigidez del elemento plano a la mitad de la superficie, aplicando la siguiente ecuación de transfonnación de desplazamiento en cada nodo: 11 X

uY u, ()X ()y

ez

r:

"l~

oo 1 o o 1 oo oo oo

o -d d o o o 1 o o 1 o o

o

ux

O uY

o o o

()y

l

ez

uz

(10.2)

()X

Físicamente, esto significa que Jos nodos del elemento plano están conectados de manera rígida a los nodos a mitad de la superficie. Es evidente que a medida que los elementos se pongan más pequeños, la distancia d se acerca a cero, y los resultados del elemento plano van convergiendo a la solución de cáscara.

134

ELEMENTOS DE CÁSCARA

10.4 ELEMENTOS DE CÁSCARA TRIANGULARES Se ha demostrado anteriormente que el elemento triangular de flexión de placa, con defonnaciones cortantes, produce resultados excelentes. Sin embargo, el elemento de membrana triangular con rotaciones de perforación tiende a trancarse, y hay que tener mucho cuidado en su aplicación. Ya que se puede modelar cualquier geometría utilizando elementos cuadrilaterales, siempre se puede evitar el empleo del elemento triangular que se presenta en este libro.

10.5 ELEMENTOS SÓLIDOS PARA ANÁLISIS DE CÁSCARAS Se puede utilizar el elemento sólido de ocho nodos con modos incompatibles para el análisis de cáscaras gruesas. La Figura 10.3 presenta la sección transversal del modelo de una estructura de cáscara con elementos sólidos de ocho nodos.

Figura 10.3 Sección Transversal de Modelo de Estructura de Cáscara Gruesa de Elementos Sólidos Se debe notar que no existe la necesidad de crear una superficie de referencia cuando se usan elementos sólidos. Como en el caso de cualquier análisis de elemento finito, se debe usar más de una malla, y se debe examinar la estática para verificar el modelo, la teoría, y el programa de computadora.

135

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

10.6

ANÁLISIS DE BÓVEDA DE CAÑÓN SCORDELIS-LO La bóveda de cañón Scordelis-Lo es el problema de prueba clásico para estrncturas de cáscaras [1,2). La Figura 10.4 presenta la estructura, con el modelo de un cuadrante con una malla de elemento de cáscaras 4 por 4. La estructura está sujeta a una carga de factor de gravedad en la dirección z negativa. El máximo desplazamiento ve1iical es de 0.3086 pies, y el momento del punto medio del tramo es de 2,090 libras pie.

y

Espesor

=0.250'

Módulo elástico

= 4.32 x 106

Relación de Poisson

= O.O

Peso específico

"300pcf

uz ~-----+

X

MAX

11 xx Ml\X

=-O .3086 ft.

= 2090 ft. lb.

Figura 10.4 Ejemplo de Bóveda de Caiión Scordelis~Lo Para ilustrar la convergencia y la precisión del elemento de cáscaras que se presenta en este capítulo, se presentarán dos mallas, con y sin deformaciones cortantes. La Tabla 10.l resume los resultados. Tabla 10.1 Resultado del Análisis de Cáscara de Bóveda de Cañón Teórico

4 x4 DKE

4 x4 OSE

8 x8 DKE

8 x8 OSE

'

Desplazamiento 1L__Momento

0.3086

0.3173

2090

2166

0.3319

0.3044

0.3104

2252

2087

2113

-

Se nota que el DSE tiende a ser más flexible que la formulación DKE. Desde un punto de vista práctico, ambos elementos producen resultados

136

ELEMENTOS DE CÁSCARA

excelentes. Parece que ambos convergen hasta al mismo resultado de una malla muy fina. Debído a la deformación local cortante en el extremo fijo curveado, se esperaría que el desplazamiento DSE convergiera hasta un valor ligeramente más alto y más correcto.

10.7 EJEMPLO DE CÁSCARA HEMISFÉRICA La cáscara hemisférica que se presenta en la Figura 10.5 fue propuesta como problema de prneba estándar para elementos en base en la teoría Kirchoff de cáscaras finas [1].

Espesor

=10.0 =0.4

Módulo elástico

"68,250.000

Radio

Razón de Poisson Cargas actuantes en

=0.30 un cuadrante

simétrico

~ F=1.0

Y

libre

Figura 10.5 Ejemplo de Cáscara Hemisférica

En la Tabla 10.2 se resumen los resultados de los análisis utilizando el DKE y el DSE. Debido a que los resultados teóricos están basados en la aproximación Kichhoff, el elemento DKE produce un acuerdo excelente con la solución teórica. Los resultados del DSE son diferentes. Debido al hecho de que la solución teórica bajo una carga puntual no existe, los resultados que usan la aproximación DSE no necesariamente son incorrectos.

137

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Tabla 10.2 Resultados del Análisis de Cáscara Hemisférica 1 ~

1

Teórico

8 x 8 OKE

Sx 8 OSE

Desplazamiento

0.094

0.0939

0.0978

Momento

.. __ .............

1.884

2.363

1

Se debe enfatizar el hecho de que es físicamente imposible aplicar una carga puntual a una estructura real. Toda carga real actúa sobre un área finita, produciendo esfuerzos finitos. La carga puntual, que produce esfuerzo infinito, es una definición matemática solamente, y no puede existir en una estructura real. 10.8

RESUMEN

Se ha demostrado que el elemento de cáscara que se presenta en este libro es preciso para cáscaras tanto finas como grnesas. Parece que se puede usar la aproximación DSE para toda estructura de cáscara. Los resultados tanto de los desplazamientos como del momento parecen ser conservadores cuando se comparan con la aproximación DKE. 10.9

REFERENCIAS

l. MacNeal, R. H. and R. C. Harder. 1985. "A Proposed Standard Set to Test Element Accuracy, Finite Elements in Analysis and Design." Vol. 1 (1985). pp. 3-20.

2. Scordelis, A. C. and K. S. Lo. 1964. "Computer Analysis of Cylinder Shells," Joumal of American Concrete lnstitute. Vol. 61. May.

138

r 1

11. RIGIDEZ GEOMÉTRICA Y EFECTOS P-DELTA Tanto para el Análisis Estático como para el Dinámico, los Efectos P-Delta, Debido a la Carga Muerta, Pueden Tomarse en Cuenta sin Necesidad de Iteraciones 11.1

DEFINICIÓN DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA Todos sabemos que un cable adquiere una mayor rigidez lateral cuando se sujeta a una gran fuerza de tensión. Si a una varilla larga se aplíca una fuerza de compresión grande cercana a su carga crítica de pandeo, sabemos que la rigidez lateral de la varilla se reducida de manera significativa, y que una pequeña carga lateral podiia ocasionar que la varilla pandee. Este tipo de comportanúento general es causado por un cambio en la "rigidez geométrica" de la estructura. Es evidente que esta rigidez es una función de la carga sobre el elemento estructural, y que puede ser positiva o negativa.

1

j

Es muy sencillo derivar las ecuaciones fundamentales de rigidez geométrica para una varilla o para un cable. Considere el cable horizontal que se muestra en la Figura 11.1 de longitud L con una tensión inicial T. Si al cable se le aplican desplazamientos laterales, V, y ~· en ambos extremos, tal como muestra en la figura, entonces, para que el elemento cable se encuentre en equilibrio en su posición deformada se deben desarrollar fuerzas adicionales, F; y F1 en los extremos del elemento. Note que hemos supuesto que todas las fuerzas y todos los desplazamientos son positivós hacia arriba. También, hemos supuesto que los desplazanúentos son pequeños y no cambian la tensión en el cable.

1

1

l l ·

l

139

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

T

F F .. '

' Posición Deformada '.)n

~a~ Fj~F, ~

j\T T•i o--------~

T

vi

~

L

•l

Figura 11.1 Fuerzas que Actúan sobre un Elemento Cable Tomando momentos alrededor del punto j en la posición deformada, se puede escribir la siguiente ecuación de equilibrio: F '

=!__(v. - v .) L

'

(11.l)

;

Y en base al equilibrio vertical, la siguiente ecuación es evidente:

0· =-F,

(11.2)

Combinando las Ecuaciones 11.1 y 11.2. las fuerzas laterales pueden expresarse en términos de los desplazamientos laterales; en forma matricial se tiene:

1 -lJ[v '] [0F,J = !__[ L - I 1 vJ

ó simbólicamente,

( 11.3)

Note que la matriz de rigidez geométrica, kg, no es función de las propiedades mecánicas del cable, solamente es función de la longitud del elemento y la fuerza en el mismo. Se emplea el término matriz de rigidez "geométrica" o de "esfuerzo" con la finalidad que esta matriz tenga un nombre diferente al de la matriz de rigidez "mecánica", la cual está basada en las propiedades físicas del elemento. La rigidez geométrica existe en toda estructura. Sin embargo, esta matriz es importante solamente si es grande en comparación con la rigidez mecánica del sistema estructural. En el caso de un elemento viga con propiedades de flexión, en la que se considera que la deformada es una función cúbica expresada en función de las· rotacíones de los extremos ~i y ~1 , se desarrollan los momentos adicionales Mi y MJ . De la Referencia [1], la relación fuerza-desplazamiento se puede escribir a través de la siguiente ecuación:

140

RIGIDEZ GEOMÉTRICA Y EFECTO P-DELTA

r;; l

r36

l~l l~L l}~6 Mj

3L

3L -36 4L2 -3L -Lz ~; 3L -3L 36 -3L v. -L2 -3L 4L2

I''

ó, Fa= kav

(11.4)

L~~

La relación fuerza deformación, elástica, para una viga prismática, sin considerar las deformaciones por cortante es:

F; M, r~

rM

J

j EJJl ::o:

112 6L L3 -12

6L 2

-12 -6L

4L 12 -6L 2 -6L -2L -6L

6L

lv;

-2L'r -6L

vi

(11.5)

4L2 l~J

Por lo tanto, la fuerza resultante que actúa sobre el elemento viga será: Fr =Fe +F0 =[kE +ka)v=krv

{11.6)

De este modo, si la fuerza axial en el elemento pe1manece constante, solamente es necesario formar la matriz de rigidez total, k 1 , para tomar en cuenta el efecto de ablandamiento o endurecimiento.

11.2 ANÁLISIS APROXIMADO DE PANDEO En el caso que la fuerza axial de compresión sea grande, T =-P, la matriz de rigidez total de la víga puede llegar a ser singular. Para ilustrar esta inestabilidad, considere la viga mostrada en Ia Figura 11.2 de tal forma que los desplazamientos en el punto j sean iguales a cero.

Figura 11.2 Viga en Voladizo Sujeta a Carga de Pandeo De la Ecuación (11.6), las ecuaciones de equilibrio, para la viga que se muestra en la Figura 11.2, se escriben como:

141

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

][V;]

12+36A 6L+3L2 [ 6L+3U 4L2 +4L2Á ~;

[º]

=O

(11.7)

2

Donde k= - PL • Resolviendo este problema de "valores característicos" para 30El la raíz más pequeña, se tiene: Á¡

:;:o

-0.0858

Fer "'2.57 E!

Ó

L"

(11.8)

La solución exacta de la carga de pandeo de' Euler para la viga en voladizo se expresa como sigue:

p cr

=

2

El 4L2

1[

=2.47 El L2

(11.9)

Por lo tanto, la solución aproximada, Ecuación (11.8), que está basada en una función cúbica, se encuentra dentro del cinco por ciento de la solución exacta. Usando una aproximación lineal, dada por la Ecuación (11.3), se obtiene una

El

carga de pandeo igual a 3.0• Este valor todavía representa una aproximación L2 razonable de la carga de pandeo.

11.3 ANÁLISIS P-DELTA DE EDIFICIOS El uso de la matriz de rigidez geométrica constituye un enfoque general para incluir efectos secundarios en el análisis estático y dinámico de todo tipo de sistemas estructurales. Sin embargo, en la Ingeniería Civil Estructural se le denomina comúnmente Análisis P-Delta, el cual está basado en un enfoque más físico. Por ejemplo, en el análisis de un edificio, el movimiento lateral de una masa de piso hacia una posición deformada genera momentos de volteo de segundo orden. Este comportamiento de segundo orden se ha denominado efecto P-Delta porque los momentos adicionales de vuelco sobre el edificio son iguales a la suma de los pesos de cada nivel "P" multiplicados por los desplazamientos laterales "Delta". Se han propuesto muchas técnicas para evaluar este comportamiento d~ segundo orden. Rutenberg (2] resume las publicaciones sobre este tema, y presenta un método simplificado para incluir dichos efectos de segundo orden. Algunos

142

RIGIDEZ GEOMÉTRICA YHECTO P-DELTA

métodos lo consideran como un problema de no-linealidad geométrica, y proponen técnicas de solución iterativa que podrían ser nurn~ricamente ineficientes. También, dichos métodos iterativos no son adecuados para el análísis dinámico donde el efecto P-Delta origina el aumento de los períodos de vibración. Las ecuaciones presentadas en esta sección no son nuevas. Sin embargo, el enfoque sencillo que se emplea en su derivación debe aportar una visión física a la comprensión del comportamiento P-Delta en edificios [3]. El problema P-Delta puede considerarse lineal y la solución del problema puede obtenerse de manera directa y precisa, sin iteraciones, para estructuras del tipo de edificios donde el peso de la estructura es constante durante los movimientos laterales, y se puede suponer que los desplazamientos estructurales del edificio son pequeños en comparación con las dimensiones de la estiuctura. Además, el esfuerzo numérico adicional requerido es insignificante. El método no requiere iteraciones porque el total de Ja fuerza axial a nivel de piso es igual al peso del edificio encima de dicho nivel, y no cambia durante la aplicación de cargas laterales. Por lo tanto, la suma de la columna de términos de rigidez geométrica asociados con las cargas laterales es cero, y solamente las fuerzas axiales causadas por el peso de la estmctura tienen que ser incluidas en Ja evaluación de los términos de rigidez geométrica para el edificio completo. Los efectos P-Delta se implementan en la formulación analítica básica. De esta manera, los efectos son incluidos consistentemente tanto en los análisis estáticos como dinámicos. Los desplazamientos estructurales, formas de modo y frecuencias obtenidds incluyen automáticamente el efecto del ablandamiento estructural. Las fuerzas de los elementos satisfacen tanto el equilibrio estático corno el dinámico, y reí1ejan los momentos adicionales P-Delta consistentes con los desplazamientos calculados.

143

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Nivel

2 W¡U;/h;

i +1

í+ i

N (a) Posición deformada de los pesos de cada nivel

_._ .,._... W;U¡{

l

h;

1

(b) Momentos de vuelco cargas laterales adicionales

Figura 11.3 Cargas de Volteo Debido a la Traslación de Pesos de Cada Nivel Se considera la estructura de "tipo voladizo" vertical, que se muestra en la Figura 11.3 (a) para ilustrar el problema básico. Bajo desplazamientos laterales, consideremos los momentos adicionales de volteo relacionados a una masa, o peso de piso, en el nivel i. El efecto total de volteo será la suma de las contribuciones de todos los pesos de cada nivel. En la Figura 1l.3(b) se indica los sistemas de fuerza estáticamente equivalentes que producen los mismos momentos de volteo. En notación matricial se tiene:

(11.1 O) Las fuerzas laterales mostradas en la Figura l l.3(b) pueden ser evaluadas para todos los pisos, y son adicionadas a las cargas externas que actúan sobre la estructura. La ecuación de equilibrio lateral de la estructura es:

Ku=F+Lu

144

(11.11)

l

¡

1

RIGIDEZ GEOMÉTRICA Y EFECTO P-DELTA

donde K es la matriz de rigidez lateral asociada a los desplazamientos laterales de piso u. El vector F representa las cargas laterales conocidas, y L es una matriz que contiene los factores wJh¡ . La Ecuación (11.11) puede expresarse en la siguiente forma:

K*u==F

(11.12)

donde K * =K-L La Ecuación (l 1.12) puede ser resuelta en forma directa para los desplazamientos laterales. Si se evalúan las fuerzas internas en el elemento en base a estos desplazamientos, consistentemente con la teoría lineal usada, se encontrará que se ha obtenido el equilibrio con respecto a la posición defonnada. Existe un problema con la solución de la Ecuación (11.12); la matriz K * no es simétrica. Sin embargo, se puede hacer que sea simétiica sustituyendo las cargas laterales mostradas en la Figura 11 J(b) por otro sistema de cargas estáticamente equivalente. Por estática, la contribución total al vuelco asociada al desplazamiento relativo de piso "U¡ - U¡+¡ "puede expresarse como sigue:

(l 1.13) donde W; es el peso total de carga muerta encima del piso i. De este modo, la matriz L es simétrica, y no se requiere de ningún procedimiento especial de solución de matrices no-simétricas.

l l j

j

1

1

Es importante notar que Ja Ecuación (11.13) es la solución exacta de la "rigidez geométrica", Ecuación ( 11.3), para una columna, incluyendo solamente los efectos de la fuerza axial. Por lo tanto, el desanollo físico presentado es completamente equivalente al enfoque teórico que normalmente se emplea para formular la rigidez incremental en el análisis estructural no-lineal. El equilibrio total de un edificio puede formularse en términos del desplazamiento lateral del nivel de piso. Luego, se puede evaluar la contribución de cada columna de un nivel de piso específico a la rigidez geométrica total de la estructura. En cada nivel, los efectos de las cargas laterales externas F son incluidos en la evaluación de las fuerzas axiales en todas las columnas. Si se usa este procedimiento, la rigidez geométrica total a nivel del equilibrio lateral es idéntica a la Ecuación (11.13 ), debido a que las fuerzas axiales generadas por las

145

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

acciones laterales F no producen un aumento significativo de las fuerzas axiales totales que existen en las columnas en cualquier nivel. Un análisis tan refinad? debe ser de naturaleza iterativo; sin embargo, esto no produce resultados más precisos. Queda claro que no se han considerado los efectos de la rigidez viga-columna como se definen en la Ecuación (11.4). Los errores asociados con los efectos debido a la interpolación cúbica pueden ser estimados cuando se calculan las fuerzas en cada elemento. Sin embargo, el método presentado incluye el comportamiento general para grandes desplazamientos laterales de la estructura completa, la cual está asociada con la estabilidad global del edificio.

Urij Uyi

Centro de Masa~~~-~

/

Nivel i '"'- Uxi

Center of Mass __:::,. Leveti

41Í-q~qx Nivell~ 1/ Level i + 1

Figure 11.4 Distribución de la Masa en un Nivel de Piso Típico

11.4 ECUACIONES PARA EDIFICIOS TRIDIMENSIONALES La Ecuación (11.13) se puede aplicar directamente en ambas direcciones para edificios donde los centroides son iguales en todos los niveles de piso. Sin embargo, para un edificio genérico, las ecuaciones de acoplamiento para los niveles de piso son más complicadas. En la Figura 11.4 se muestra de manera esquemática un sistema general para un edificio tridimensional. Se supone que la rigidez de un edificio tridimensional ha sido obtenida considerando 3 grados de libertad por piso, ubicados en el centro de masa de

11

146

r !

l 1

¡

!

RIGIDEZ GEOMÉTRICA Y EFECTO P-DELTA

cada nivel de piso, dos desplazamientos laterales, u,¡,,uyi, y una rotación, u,¡. Además de las fuerzas de volteo dadas por la Ecuación (11.3), existen fuerzas secundarias debido a la distribución de la masa del piso sobre un espacio finito. El primer paso, antes de derivar la matriz de rigidez geométtica, de 6 por 6, para cada piso es calcular la ubicación del centro de la masa, y el momento de inercia rotacional para todos los niveles de piso. Para un piso típico i, luego es necesario calcular el peso total y el centroide de la estructura por encima de dicho nivel. Para mantener el equilibrio debido a los desplazamientos relativos entre el piso í y el piso i+ 1, hay que considerarlas fuerzas dadas por la Ecuación 11.13. Dichas fuerzas y desplazamientos luego deben ser trasladadas al centro de masa tanto en el nivel i como en el nivel i+ l.

11.5 MAGNITUD DE EFECTOS P~DELTA La comparación de los resultados de los análisis considerando y sin considerar el efecto P-Dclta ilustra la magnitud de los efectos P-Delta. Un edificio bien diseñado, normalmente tiene relaciones bien condicionadas de rigidez/peso nivel por nivel. Para tales estructuras, los efectos P-Delta normalmente no son muy significativos. Los cambios en desplazamientos y fuerzas en elementos son menores del 10%. Sin embargo, si el peso de la estructura es grande en proporción a la rigidez lateral de la estructura, la contribución de los efectos P-Delta tienen gran amplificación, y bajo ciertas circunstancias, pueden cambiar los desplazamientos y las fuerzas en elementos en un 25 por ciento o más. Los efectos excesivos PDelta eventualmente introducen singularidades a la solución, indicando inestabilidad física de la estructura. Dicho comportamiento indica claramente una estructura mal diseñada que requiere de rigidez adicional. Un análisis de un edificio de acero de 41 pisos fue llevado a cabo con y sin los efectos P-Delta. La construcción básica era de pórtico arriostrado y muro de corte de acero soldado. El edificio fue construido en una región donde la carga lateral principal es el viento. Los resultados se resumen y se presentan en la Tabla 11.1.

147

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Tabla 11.1 Efectos P-Oelta sobre un Edificio Típico Sin P-Delta

Con P-Deita

Período del Primer Modo (segundos)

5.33

5.52

Período del Segundo Modo (segundos)

4.21

4.30

Período del Tercer Modo (segundos}

4.01

4. 10

Período del Cuarto Modo (segundos)

1.71

1.75

Desplazamiento por Viento (pulgadas)

7.99

8.33

Ya que el edificio es relativamente rígido, los efectos P-Delta son mínimos. También, es evidente que los efectos P-Delta son menos importantes para frecuencias más altas.

11.6 ANÁLISIS P-DELTA USANDO PROGRAMA DE CÓMPUTO SIN MODIFLCACIÓN Para el análisis de edificios, muchos ingenieros usan programas de análisis estructural todo propósito, que no pueden ser modificados fácilmente para incluir las ecuaciones que se han presentando. La Ecuación 11.4 presenta la forma de las ecuaciones de fuerza lateral-desplazamiento para el piso i. Se nota que la forma de esta matriz de rigidez geométrica, de 2 x 2, es la misma que la matriz de rigidez para una columna prismática que tiene cero rotaciones en los extremos inferior y superior. Por Jo tanto, es posible agregar "columnas ficticias" entre los niveles de piso del edificio, y asignar propiedades adecuadas para lograr los mismos efectos que el uso de la rigidez geométrica [2]. Las ecuaciones fuerzadesplazamiento de la "columna ficticia" son:

(11.14) Por lo tanto, si se selecciona el momento de inercia de la columna como: I=-

W¡h~ 12E

148

(11.15)

RIGIDEZ GEOMÉTRICA Y EFECTO P·DELTA

la columna ficticia tendrá los mismos valores negativos de rigidez de la rigidez geométrica lineal.

11.7 LONGITUD EFECTIVA- FACTORES K El procedimiento para la evaluación de los efectos P-Delta que se describe en el presente capítulo ha sido implementado y verificado en el programa ET ABS. La aplicación del método de análisis presentado en este capítulo debería inducir a la eliminación de los factores de longitud efectiva de colunma (K), porque los efectos PDelta automáticamente estiman los momentos de diseño requeridos amplificados. Adicionalmente, los factores K son aproximados, complicados, y requieren de mucho tiempo para ser estimados. Los códigos actuales de diseño para el concreto [ACI, 1995] y el acero [AISC, 1993] penniten la evaluación explícita de Jos efectos P-Delta como una alternativa a los métodos más complicados y aproximados de cálculo de los factores de amplificación del momento para la mayoría de los diseños de columnas.

11.8 FORMULACIÓN GENERAL DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA Es relativamente sencillo desarrollar la matriz de rigidez geométrica para cualquier tipo de elemento finito basado en desplazamientos [Cook et al., 2001]. Sólo es preciso agregar a las ecuaciones lineales defonnacíón-desplazamiento, Ecuaciones (2.3a-t), los ténninos no-lineales de orden superior. En un sistema de referencia local x-y-z, estas ecuaciones para deformaciones significativas son: éJu, 1-rE, =--- +-u xu x (1 l.16a) ' 8x 2 ' ' E,,

'

éJuY 1-r=-+-u vu, lly'

2 '

(l l.l 6b)

.

éJu, 1-rs_ =--+-u .u "OZ

ou

(ll.16c)

2,.,z

au.

1

1

=-' +-} +-uru +-uru (ly OX 2 ,X .y 2 ,y ,X

(l l.16d)

Bu, éJu, 1-r- 1-ryXZ =-+-+-u (}z OX 2 ,X u ,Z +-u 2 ,z u ,X

(1 Ll6e)

auy

au7

OZ

uX

Yyz =-,,,-+~

1-r-

1-r- ;

+-2 u,yu,, +-2 u,,u,y

( l 1.16t)

149

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Los términos no-lineales son el producto de las matrices que se definen como:

(1 l.17a)

(ll.17c)

(l l.17b) La Ecuación (l 1.16) pucuc i::x.¡.ne~arse en té1minos de la siguiente suma de componentes lineales y no-lineales: (11.18)

Estas ecuaciones deformación-desplazamiento, escritas en términos de las deformaciones ingenieriles y usando notación matricial, son idénticas a las defonnaciones clásicas Green-Lagrange. Esto se llama el enfoque "Lagrange total" donde las deformaciones son estimadas con respecto al sistema original de referencia, y la rotación grande de cuerpo rígido es exacta. Utilizando las mismas funciones de interpolación que se usan para formar la matriz ~e rigidez del elemento, se pueden escribir las derivadas de los desplazamientos de la siguiente manera: (11.19)

g"'Gu

Si los esfuerzos iniciales son grandes, la energía potencial de la estructura debe ser modificada agregándole el siguiente término:

Las matrices de esfuerzos iniciales, de 3 por 3, tiene la siguiente forma: (j..

Sij ="

1

o o

U

O'ij

Ü

ro

o

(j .. lj

(11.21)

o

donde los esfuerzos iniciales se definen como sigue:

S~ ::::[(}XX

150

(jyy

(}zz

(}xy

(}XZ

(})JÜ

(11.22)

RIGIDEZ GEOMÉTRICA Y EFECTO P-DELTA

Por lo tanto, la 1igidez geométrica de cualquier elemento puede calcularse así: ( 11.23) Para la mayoría de los elementos finitos, la rigidez geométrica se evalúa mediante la integración numérica.

11.9 RESUMEN El programa SAP2000 tiene la opción de agregar una matiiz de rigidez geométrica tridimensional a cada elemento. Por Jo tanto, se pueden hacer modelos de torres tensadas, puentes atirantados y puentes colgantes si la tensión en el cable no se modifica debido a Ja aplicacíón de la carga. Si las fuerzas axiales iniciales en los elementos son alteradas de manera significativa al adicionarle las cargas, se podría requerir de iteraciones. Sin embargo, en el caso del análisis dinámico, la evaluación de los vectores característicos o LDR debe ser basada ea un grupo de fuerzas axiales. La mayoría de los métodos tradicionales para incorporar los efectos P-Delta en el análisis de edificios están basados en técnicas iterativas. Dichas técnicas requieren mucho tiempo, y en lo general, se usan solamente para el análisis estáticos. Para estructuras de edificios, la masa que causa el efecto P-Delta es constante, y no depende de las cargas y los desplazamientos laterales. Esta información se usa para "linealizar" el efecto P-Delta en edificios, y para resolver el problema de manera "exacta," satisfaciendo el equilibrio en la posición deformada sin la necesidad de iteraciones. Se desan-olla un algoritmo que incorpora los efectos P-Delta en la formulación básica de la matriz de rigidez estructural como una con-ección de la rigidez geométrica. Este procedimiento puede emplearse para el análisis estático y dinámico, y explica el aumento de los períodos y los cambios en las formas de modo causados por los efectos P-Delta. Un edificio bien diseñado no debe tener efectos P-Delta significativos. Los análisis con y sin los efectos de P-Delta indicarán la magnitud de los efectos PDelta de forma separada. Si dichos desplazamientos laterales difieren por más de un 5% para la misma carga lateral, el diseño básico podría ser demasiado flexible y se debe considerar el rediseño. Las recomendaciones para el diseño de estructuras sujetas a carga lateral de la Asociación de Ingenieros Estructurales de California (SEAOC Blue Book)

151

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

mencionan que "distorsiones de entrepiso mayores a 0.02/Rw indicarían efectos P-Delta importantes". Queda claro que, si se incluyen los efectos P-Delta en todos los análisis, se puede descartar esta afirmación. Sin embargo, si las cargas que actúan sobre la estructura han sido reducidas mediante un factor de ductilidad Rw, los efectos P-Delta deben ser amplificados por Rw para que se refleje el comportamiento bajo carga última. Esto puede ser incluido de manera automática en un programa de cómputo, utilizando un factor de multiplicación para los términos de rigidez geométrica.

:1

Es posible calcular matrices de rigidez geométrica para todo tipo de elementos finitos. Las mismas funciones de interpolación que se usan para desarrollar matrices de rigidez elástica se emplean para calcular la matriz de rigidez geométrica. 11.10

REFERENCIAS l. Cook, R. D., D. S. Malkus and M. E. Plesha. 1989. Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Tercera Edición. John Wiley &

Sons, Inc. ISBN 0-471-84788-7. 2. Rutenberg, A. 1982. "Simplified P-De!ta Analysis for Asymmetric Structures," ASCE Joumal of the Structural Division. Vol. 108, No. 9. Septíembre.

3. Wilson, E. L. and A. Habi?ullah. 1987. "Static and Dynamíc Analysis of Multí-Story Buíldings Including P-Delta Effects," Earthqztake Spectra. Vol. 3, No.3. Earthquake Engineering Research Institute. Mayo. 4. American Concrete Institute. 1995. Building Code Requírements for Reinforced Concrete (ACI 318-95) and Commentary (ACl 318R-95). Farmington Hills, Michigan. 5. American Institute of Steel Construction, Inc. 1993. Load and Resistance Factor Design Specification far Structrtral Steel Buildings. Chicago, Illinoís. Diciembre.

152

12. ANÁLISIS DINÁMICO El Equilibrio de Fuerzas es Fundamental en el Análisis Dinámico de Estructuras 12.1

INTRODUCCIÓN Toda estructura física real se comporta dinámicamente cuando se le aplica cargas o desplazamientos. Según la segunda ley de Newton, las fuerzas adicionales de inercia, son iguales a la masa multiplicada por la aceleración. Si las cargas o los desplazamientos se aplican lentamente, las fuerzas de inercia pueden despreciarse, y se puede justificar un análisis estático. Por lo tanto, el análisis dinámico es una simple extensión del análisis estático. Además, toda estructura real tiene potencialmente un número infinito de desplazamientos. Por lo tanto, la fase más crítica de un análisis estructural es crear un modelo de computadora con un número finito de elementos sin masa, y un número finito de desplazamientos nodales que simulen el comportamiento de la estructura real. La masa del sistema estructural, que puede ser estimada de manera precisa, se concentra en los nodos. También, para estructuras elásticas lineales, las propiedades de rigidez de los elementos pueden ser aproximadas con un alto grado de confiabilidad mediante la ayuda de datos experimentales. Sin embargo, la carga dinámica, las propiedades de disipación de energía, y las condiciones de borde (fundaciones) para muchas estructuras son difíciles de estimar. Esto siempre es cierto para los casos de eventos sísmicos o cargas de viento. Para reducir los errores que puedan ser causados por las aproximaciones resumidas en el párrafo anterior, es necesario realizar muchos análisis dinámicos, utilizando diferentes modelos computarizados, condiciones de carga y de borde. No es irrealista llevar a cabo 20 ó más análisis por computadora para diseñar una

153

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

nueva estructura o para investigar opciones de reforzamiento para una estructura existente. Debido al elevado número de análisis por computadora que se requieren para un análisis dinámico típico, es muy importante que se usen métodos precisos y numéricamente eficientes en los programas de cómputo. Algunos de estos métodos han sido desarrollados por el autor, y son relativamente nuevos. Por lo tanto, uno de los objetivos de este libro es resumir estos algoritmos numéricos, sus ventajas y sus limitaciones.

12.2

EQUILIBRIO DINÁMICO El equilibrio de fuerzas de un sistema de varios grados de libertad con masa concentrada en función de tiempo puede expresarse a través de la siguiente relación: F(t) 1 + F(t) D + F(t) s == F(t)

(12.1)

donde Jos vectores de fuerza en el tiempo t son: F(t)1 .

vector de las fuerzas de inercia actuantes sobre las masas nodales.

F(t) D

vector de fuerzas de amortiguamiento viscoso, de disipación de energía

F(t) s

vector de fuerzas internas de la estructura

F(t)

vector de cargas aplicadas externamente

La Ecuación (12.l) está basada en las leyes de la física, siendo válida tanto para sistemas lineales como no-lineales sí el equilibrio se formula con respecto a la geometría deformada de la estructura. Para muchos sistemas estructurales, la aproximación del comportarrúento lineal de la estructura convierte la ecuación de equilibrio físico, Ecuación (12.l), al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, lineales, de segundo orden:

(12.2) donde M es la matriz de masa (concentrada o consistente), C es la matriz de amortiguamiento viscoso (que normalmente se incluye para aproximar la disipación de la energía en la estructura real) y K es la matriz de rigidez estática

154

ANÁLISIS DINÁMICO

para el sistema de elementos estructurales. Los vectores, que dependen del tiempo, uJt) , nJt) y UJt) son los desplazamientos nodales absolutos, velocidades nodales absoiutas y aceleraciones nodales absolutas, respectivamente. Muchos libros sobre dinámica estructural presentan diferentes métodos de la matemática aplicada para obtener la solución exacta de la Ecuación (12.2). Durante los últimos años, sin embargo, con la disponibilidad generalizada de computadoras personales de alta velocidad y costo reducido (ver Apéndice H), la solución exacta de la Ecuación (12.2) puede obtenerse sin el uso de complicadas técnicas matemáticas. Por lo tanto, el ingeniero estructural moderno que tenga una comprensión física del equilibrio dinámico y la disipación de la energía puede realizar el análisis dinámico de sistemas estructurales complejos. Es deseable tener fuertes conocimientos matemáticos de la ingeniería; sin embargo, en mi opinión, ya eso no es obligatorio. Para cargas sísmicas, la carga externa F(f) es igual a cero. Los movimientos sísmícos básicos son las tres componentes de desplazamientos del terreno en campo libre u(t) ig que se determinan en algún punto debajo del nivel de la cimentación de la estructura. Por lo tanto, se puede expresar la Ecuación (12.2) en términos de los desplazamientos u(t) , las velocidades ü(t) y las aceleraciones ü(t) relativos a las tres componentes de los desplazamientos del terreno en campo libre. Por lo tanto, los desplazamientos, velocidades, y aceleraciones absolutos pueden ser eliminados de la Ecuación (12.2) usando las siguientes ecuaciones sencillas:

u)t)= u(t) + Ixux/t) + !yity/t) +I u.g(t)

(12.3a)

na
(12.3b)

ttitJ =U{t)+Jxtix/t) +!yily/t) + I t1z/t)

(12.3c}

2

1

donde J; es un vector que contiene uno en los grados de libertad correspondientes a la dirección "i", y cero en las otras posiciones. La sustitución de la Ecuación (12.3) en la Ecuación (12.2) permite que las ecuaciones nodales de equilibrio se expresen de la siguiente manera:

155

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Mu(t) + ü1(lj + Ku(t) =-J\'lxilx/U - Mytly/0 - lVLilz/t)

(12.4)

donde M; "'lVII¡. La forma símplificada de la Ecuación (12.4) es posible porque las velocidades y los desplazamientos de cuerpo rígido asociados con los movimientos de la base no provocan el desarrollo de ninguna fuerza adicion,al de amortiguamiento ni estructural. Es importante que los ingenieros consideren que los desplazamientos, que normalmente son impresos por un programa de cómputo, son desplazamientos relativos, y que la carga fundamental sobre la estructura son los desplazamientos de la cimentación y no las cargas aplicadas de manera externa en las nudos de la estructura. Por ejemplo, el análisis estático de una estructura sujeta a cargas horizontales, denominado "pushover", es una aproximación muy pobre del comportamiento dinámico de una estrnctura tridimensional bajo la acción de funciones complicadas, en tiempo, de movimientos de la base. También, para evaluar adecuadamente los sistemas de aislamiento de base, hay que calcular los desplazamientos. Existen diferentes métodos clásicos que se pueden usar para la solución de la Ecuación (12.4). Cada uno de estos métodos tiene ventajas y desventajas que dependen del tipo de estructura y carga. Con el fin de presentar una idea general de los diferentes temas presentados en este libro, los diferentes procedimientos numéricos se resumen a continuación.

12.3 MÉTODO DE SOLUCIÓN PASO A PASO El método de solución más general para el análisis dinámico es el método incremental donde las ecuaciones de equilibrio se resuelven en los instantes de tiempo M, 2M, 3M, etc. Existen muchos métodos de solución incremental. En general, implican la solución de un sistema de ecuaciones de equilibrio en cada incremento de tiempo. En el caso del análisis no·lineal, puede ser necesario estimar la matriz de rigidez del sistema estructural completo en cada instante de tiempo. También, se puede requerir de varias iteraciones para satisfacer el equilibrio en cada incremento de tiempo. Como resultado de los elevados requerimientos de computación, la solución de sistemas estructurales con apenas unos cientos de grados de libertad puede tomar mucho tiempo.

156

ANÁLISIS DINÁMICO

Además, para obtener soluciones estables, la mayoría de los métodos de solución incremental deben incluir el amo1iiguamiento artificial o numérico. Por este motivo, los ingenieros deben tener mucho cuidado en la interpretación de los resultados. Para algunas estructuras no-lineales que están sujetas a movimientos sísmicos, los métodos de solución incremental son necesarios. Para sistemas estructurales muy grandes, se ha encontrado que una combinación de los métodos de superposición modal e incremental es eficiente para sistemas con un número reducido de elementos no-lineales. Este método ha sido integrado en las nuevas versiones de SAP y ETABS, y será presentado en detalle en este libro.

12.4 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL El enfoque más común y efectivo para el análisis sísmico de sistemas estructurales lineales es el método de superposición modal. Después de estimar un conjunto de vectores ortogonales, el método reduce el gran sistema de ecuaciones de equilibrio global a un número relativamente pequeño de ecuaciones diferenciales desacopladas de segundo orden. La solución numérica de estas ecuaciones implica una gran reducción de tiempo de cómputo. Se ha demostrado que los movimientos sísmicos excitan solamente las frecuencias bajas de la estructura. Típicamente, las aceleraciones sísmicas se registran a incrementos de 200 puntos por segundo. Por lo tanto, el registro de aceleraciones no contiene información por encima de 50 ciclos por segundo. De esta manera, la no inclusión de las frecuencias más altas y las formas de modo del sistema asociadas normalmente no introduce e!Tores.

12.5 ANÁLISIS ESPECTRAL El método básico de superposición modal, que queda limitado al análisis lineal elástico, estima la respuesta completa tiempo historia de los desplazamientos nodales y las fuerzas de los elementos debido a un movimiento de la base dado [1,2]. Existen dos principales desventajas en este procedimiento. En primer lugar, el método produce una gran cantidad de información que puede exigir un gran esfuerzo computacional para realizar todas las verificaciones posibles de diseño en función del tiempo. En segundo lugar, el análisis debe ser repetido para diferentes movimientos sísmicos para garantizar que se exciten todos los modos

157

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

significativos, porque un espectro de respuesta para un sismo, en una dirección específica, no es una función uniforme. Existen significativas ventajas de cómputo para el uso del método espectral en el análisis sísmico con el propósito de estimar los desplazamientos y fuerzas en los elementos de sistemas estructurales. El método implica el cálculo de solamente los valores máximos de los desplazamientos y las fuerzas en los elementos para cada modo, utilizando espectros de diseño suavizados que son, el promedio de varios movimientos sísmicos. En este libro, recomendaremos el método CQC para combinar estos valores máximos de respuesta modal con el fin obtener el valor máximo más probable de desplazamiento o de fuerza. Además, se mostrará que los métodos de combinación para movimientos sísmicos ortogonales SRSS y CQC3 permiten que un análisis dinámico pueda producir fuerzas de diseño para todos los elementos en la estructura.

12.6 SOLUCIÓN EN EL DOMINIO DE FRECUENCIAS El enfoque básico que se usa para la solución de las ecuaciones de equilibrio dinámico en el dominio de frecuencias es representar las cargas externas F(t) en términos de la serie de Fourier o de las integrales de Fourier. La solución se expresa en términos de números complejos que abarcan el rango de tiempo desde -oo hasta (fJ • Por tanto, es muy efectivo para cargas periódicas tales como vibraciones mecánicas, acústicas, olas marinas y viento [1]. Sin embargo, el uso del método de solución de dominio de frecuencias para la solución de estructuras sujetas a movimientos sísmicos posee las siguientes desventajas: 1. Las matemáticas para la mayoría de los ingenieros estructurales, incluyéndome, son muy difíciles de comprender. También, las soluciones son dífíciles de verificar. 2. Las cargas sísmicas no son periódicas; por lo tanto, es necesario seleccionar un período de tiempo largo de tal forma que la solución para un sismo de duración finita sea completamente amortiguada antes de la aplicación del mismo sismo al inicio del próximo período de carga. 3. Para cargas de tipo sísmico, el método no es numéricamente eficiente. La transformación del resultado del dominio de frecuencias al dominio de tiempo, aún con el uso de métodos de Transformación Rápida de Fouríer, requiere de un gran esfuerzo computacional.

158

r

¡

ANÁLISIS DINÁMICO

4. El método está limitado a la solución de sistemas estructurales lineales. 5. El método se ha utilizado, sin justificación teórica suficiente, para la solución aproximada no-lineal de problemas de respuesta de sitio y para problemas de interacción suelo/estructura. Típicamente, se emplea en una manera iterativa para crear ecuaciones lineales. Los términos de amortiguamiento lineal se cambian después de cada iteración para aproximar Ja disipación de energía en el suelo. Por tanto, no se satisface el equilibrio dinámico en el suelo.

12.7 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES La solución paso a paso de ecuaciones de equilibrio dinámico, la solución en el dominio de frecuencias, y la evaluación de los vectores característicos y vectores Ritz requieren la solución de ecuaciones lineales de la siguiente forma:

(12.5)

AX=B

Donde A es una matriz simétrica "N por N" que contiene un gran número de términos cero. El desplazamiento X "N por M" y las matrices de carga B indican que se puede resolver más de una condición de carga a la vez. El método que se usa en muchos programas de computadora, incluyendo al SAP2000 [5] y ETABS [6], se basa en el método de perfil o de columna activa de almacenamiento compacto. Ya que .\,. la matriz es simétrica, solamente es necesario determinar y almacenar desde eJ primer término diferente de cero en cada columna hasta el término diagonal en dicha columna. Por tanto, la matriz cuadrada de perfil activo, "dispersa", puede ser almacenada como un aneglo unidimensional asociada a un arreglo entero de N por 1 que indique la ubicación de cada término diagonal. Si la matriz de rigidez excede la capacidad de memoria de la computadora, que tiene mayor velocidad de acceso de datos, el algoritmo permite una forma de almacenamiento en bloque. Por tanto, la capacidad del método de solución estará dada por la capacidad del disco de la computadora, que tiene una menor velocidad de acceso de datos. En el Apéndice C de este libro presenta en detalle este método de solución. '

12.8 RESPUESTA ARMÓNICA NO AMORTIGUADA El tipo más común y sencillo de carga dinámica corresponde a la aplicación de cargas armónicas permanentes de la siguiente forma:

159

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

F(t) =f sen (wt)

(12.6)

La distribución de los patrones de carga estática en los nudos, f, que no son función del tiempo, y la frecuencia de la carga aplicada, w, son especificados por el usuario. Por lo tanto, para el caso no amo1iiguado, las ecuaciones de equilibrio exactas para los nudos del sistema estructural son: Mü(t) +Ku(t):::: f sin (mt)

(12.7)

La solución permanente exacta de esta ecuación requiere que los desplazamientos y las aceleraciones nodales sean expresadas por: u{t):::::v sin(wt),

ü(t)::::-v a.¡ 2sin(Wt)

(12.8)

Por tanto, la amplitud de la respuesta armónica del nudo está dada por la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

[K - a? M]v ""f

o

Kv= f

(12.9)

Es importante hacer notar que la solución normal para cargas estáticas no es más que una solución de esta ecuación para frecuencia cero. Es evidente que el esfuerzo computacional requerido para el cálculo de la respuesta permanente no amortiguada es similar al requerido por un análisis estático. Note que no es necesario evaluar las formas de modo o frecuencias asociadas para la solución de este tipo de carga muy común. Los desplazamientos nodales y las fuerzas en elementos resultantes varían de acuerdo a se n(wt). Sin embargo, otros tipos de carga que no varían con el tiempo, tales como la carga muerta, deben ser evaluados en un análisis computarizado diferente.

12.9 VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA La mayoría de las estructuras se encuentran en un estado continuo de movimiento dinámico debido a cargas aleatorias tales como el viento, equipos de vibración, o 'cargas debido a las personas. Estas pequeñas vibraciones ambientales normalmente son similares a las frecuencias naturales de la estructura, y son eliminadas por disipación de energía en la estructura real. Sin embargo, instrumentos especiales conectados a la estructura pueden medir el movimiento con relativa facilidad. Mediciones en campo de vibraciones ambientales se usan con mucha frecuencia para calibrar modelos computarizados de estmcturas y de sus cimentaciones.

160

ANÁUSlS DINÁMICO

Para una estructura que no está sujeta a cargas externas, la ecuación de equilibrio, para la vibración libre no amortiguada de una deformada típica v, es como sigue:

Mv+Kv::::O

(12.l O)

En cualquier instante, la deformada v puede ser una forma natural del sistema, o cualquier combinación de formas. Sin embargo, es evidente que la energía total de un sistema no amortiguado en vibración libre es constante con respecto al tiempo. La suma de la energía cinética y la energía de deformación en cada instante de tiempo constituye una constante que se define como la energía mecánica del sistema dinámico, calculándose así:

(12.11)

12.10 RESUMEN El análisis dinámico de sistemas estructurales tridimensionales constituye una extensión directa del análisis estático. Las matrices de rigidez. elástica son las mismas para el análisis estático y el análisis dinámico. Solamente se requiere concentrar la masa de Ja estructura en los nudos. La adición de fuerzas de inercia y fuerzas de disipación de energía satisfacen el equilibrio dinámico. La solución dinámica para cargas armónicas permanentes, sin amortiguamiento, implica el mismo esfuerzo numérico que la solución estática. Existen diferentes métodos matemáticos para la solución de las ecuaciones de equilibrio dinámico. Sin embargo, más adelante se mostrará que la mayoría de los sistemas tanto lineales como no-lineales pueden ser determinados con un método numérico. La energía es fundamental en el análisis dinámico. En cualquier instante de tiempo, el trabajo externo proporcionado al sistema debe ser equivalente a la suma de la energía cinética y la energía de deformación más la energía disipada en el sistema.

1

Soy de la opinión, con respecto al diseño sismo-resistente, de que debemos intentar minimizar la energía mecánica de la estructura. Es evidente que una estructura rígida tendrá solamente energía cinética, no teniendo energía de deformación. Por otro lado, una estructura con aislamiento de base no tendrá energía cinética ni energía de deformación. Una estructura no puede fallar si no tiene energía de deformación.

1

161

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

12.11 REFERENCIAS l. Clough, R., and J. Penzien. 1993. Dynamics of Structures, Segunda Edición.

McGraw-Hill, lnc. ISBN 0-07-011394-7. 2. Chopra, A. 1995. Dynamics of Structures. Prentíce-Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey, 07632. ISBN 0-13-855214-2. 3. Bathe, K. 1982. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice-Hall, Inc. Englewood Clíffs, New Jersey 07632. ISBN 0-13317305-4. 4. Wílson, E. L., and K. Bathe. 1973. "Stability and Accuracy Analysis of Direct Integration Methods," Earthquake Engineeríng and Structural Dynamics. Vol. l. pp. 283-291.

5. Computers and Structures, Inc. 2008. SAP2000 - lntegrated Structural Analysis & Design Software. Berkeley, California. 6. Habibullah, A. 2008. ETABS - Three Dimensional Analysis of Buílding Systems, User's Manual. Computers and Structures Inc. Berkeley, California.

162

13. ANÁLISIS DINÁMICO MEDIANTE SUPERPOSICIÓN MODAL Las Formas de Modos que se Emplean para Desacoplar Las Ecuaciones de Equilibrio Dinámico No Tienen que Ser Exactamente las Formas de Modo de Vibración Libre 13.1

ECUACIONES A RESOLVER La Ecuación de equilibrio de fuerza dinámica (12.4) puede expresarse como un conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden Nd, de Ja siguiente fmma: J

Mü(t) + Cti(t) + Ku(t) = F(t) = Li}g(t}1

(13.1)

En general, todo tipo de carga que depende del tiempo, incluyendo vientos, ondas, y sismos, pueden representarse como la suma de "J" vectores r1 , que no son función del tiempo, y J funciones de tiempo g(t)1 . El número de grados de libertad dinámicos es equivalente al número de masas concentradas en el sistema. Muchas publicaciones recomiendan la eliminación de los desplazamientos asociados a grados de libertad sin masa mediante la condensación estática antes de resolver la Ecuación (13.1). El método de condensación estática reduce el número de ecuaciones de equilibrio dinámico que hay que resolver; sin embargo, puede elevar de manera significativa la densidad y el ancho de banda de la matriz de rigidez condensada. En estructuras de tipo edificio, donde cada diafragma tiene solamente tres masas concentradas, este enfoque es efectivo y se emplea automáticamente en programas de análisis de edificios.

163

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Sin embargo, para la solución dinámica de sistemas estructurales arbitrarios, la eliminación del desplazamiento sin masa, en lo general, no es numéricamente eficiente. Por lo tanto, las versiones modernas del programa SAP no utilizan la condensación estática con el fin de mantener la dispersión de la matriz de rigidez.

13.2 TRANSFORMACIÓN A ECUACIONES MODALES El método matemático fundamental que se usa para la solución de la Ecuación (13.1) es la separación de variables. Este enfoque asume que la solución pueda ser expresada en la siguiente fo1ma:

(13.2a) Donde <11 es una matriz "N
u(V =cr>Y (t)

{13.2b)


(13.2c)

u(t) =

Antes de la solución, requerimos que las funciones de espacio satisfagan las siguientes condiciones de 01iogonalidad con respecto a Ja masa y 1igídez: c[) 1 M
(13.3a)

q/K
(13.3b)

donde I es una matriz identidad y 0 2 es una matriz diagonal donde los términos diagonales son w,~ . El término m" se expresa en radianes por segundo, y puede- o no ser una frecuencia de vibración libre. Se debe notar que los principios fundamentales de la matemática no ponen restricciones sobre esos vectores, además de las propiedades de ortogonalidacl En este libro, cada vector de función de espacio, ~,, , siempre está nonnalizado, de manera que la Masa Generalizada sea igual a uno, o ~" TM~n = 1.0. Después de sustituir las Ecuaciones (13.2) en la Ecuación (13.l) y de pre-multiplicar por ([>T , se produce la siguiente matriz de N ecuaciones:

164

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

J

IY(t) +dY(t)HiY(t)::: LP1g(t)j

(13.4)

j=l

donde p/" élJ T fi, definiéndose como los factores de participación modal para la función de carga j. El témúno pnJ está asociado al n-ésimo modo. Note que existe un conjunto de "N" factores de participación modal por cada condición de carga f; . Para toda estructura real, la matriz d, de "N por N", no es diagonal; sin embargo, para desacoplar las ecuaciones modales, es necesario suponer amortiguamiento clásico para que no exista acoplamiento entre modos. Por lo tanto, los términos diagonales del amortiguamiento modal se definen como sigue: (13.5)

s

donde n se define como la relación entre el amortiguamiento del modo n con el amortiguamiento crítico del modo [1]. Para sistemas estrncturales lineales, una ecuación modal típica sin acoplamiento es de la siguiente forma: J

Y(t)n [email protected] +cu~Y(t)n ""UnJg(t)1

(13.6)

j=l

Para un movimiento sísmico tridimensional, esta ecuación se puede expresar como sigue:

donde los factores de participación modal tri-direccionales, o en este caso los factores de excitación sísmica, se definen por Pnj =-!/!/ lVIj donde j es igual ax, y ó z, y n es el número del modo. Note que en este libro, todas las fonnas de modo son normalizadas de manera que í/J,r M!/Jn "'1.

13.3 RESPUESTA DEBIDA A CONDICIONES INICIALES Antes de presentar la solución de la Ecuación (13.6) para varios tipos de carga, conviene definir las constantes y funciones adicionales que se resumen en la Tabla 13.1. Esto permitirá que muchas de las ecuaciones presentadas en otras partes de este libro se escriban en forma compacta. También, la notación reduce lo tedioso que resulta la derivación algebraica y verificación de las diferentes ecuaciones. Además,

165

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

penníte que las ecuaciones sean expresadas en una forma que puede ser programada y verificada fácilmente. Si se elimina el subtitulo "n", para un modo típico, la Ecuación (13.6) puede escribirse como sigue: Y(t) + 2~(J]j;(t) + a/y(t) = O

(13.8)

donde el desplazamiento modal inicial y 0 y la velocidad inicial Yo se especifican como resultado de cargas anteriores que actúan sobre la estructura. Se debe notar que las funciones S(t) y C(t) que se presentan en la Tabla 13. l son soluciones de la Ecuación (13.8). Tabla 13.1 Resumen de la Notación Utilizada en Ecuaciones de Respuesta Dinámica

CONSTANTES

<úo =
FUNCIONES

S(t) = -wS(t)+OJ0 C(t)

C(t) =-wC(t)-oJ0 S(t) C(t) = -a1C(t) + a¿S(t)

A 1(t) = C(t)+ ~S(t)

1

A 2(t):o-S(t) OJo

La solución de la Ecuación (13.8) puede escribirse en Ja siguiente forma compacta: (13.9) Esta solución puede ser verificada fácilmente porque satisface la Ecuación (13.8) y las condiciones iniciales.

166

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

13.4 SOLUCIÓN GENERAL BAJO CARGA ARBITRARIA Existen muchos métodos diferentes disponibles para resolver las ecuaciones modales típicas. Sin embargo, se ha determinado que el uso de la solución exacta para una carga, aproximada por un polinomio en un pequeño incremento de tiempo, representa el método más económico y preciso para resolver esta ecuación numéricamente en los programas de cómputo. No tiene problemas en cuanto a la estabilidad, ni introduce amortiguamiento numérico. Ya que la mayoría de las aceleraciones sísmicas en el terreno se definen como lineales dentro de intervalos de 0.005 segundos, el método es exacto para este tipo de carga para todas las frecuencias. También, si se emplean los desplazamientos como el dato de entrada, la función de carga que se deriva de las aceleraciones lineales son funciones cúbicas dentro de cada intervalo de tiempo, tal como se presenta en el Apéndice J. Para simplificar la notación, se suman todas las cargas para formar una ecuación modal típica que tiene la siguiente forma: Y(t)

+2(())j¡(t) +a/ y(t) "'R(t)

(13.10)

donde la carga modal R(t) es una función polinomial en cada tramo tal como se muestra en la Figura 13.1. Note que se pueden calcular las derivadas superiores que requiere la función de carga cúbica, usando el método numérico que se resume en el Apéndice J. Por lo tanto, la ecuación diferencial a resolver, en el intervalo i -1 a i, tiene la siguiente forma, tanto para las funciones de cargas lineales como cúbicas: (13.11)

En base a la teoría básica de ecuaciones diferenciales lineales, la solución general de la Ecuación (13.11) es la suma de una solución homogénea y una solución particular y es de la siguiente forma: (13.12a)

167

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO "

)

R(t) =R,_ 1 +t fe,_1 +~ R,_ 1 +~ R en el intervalo i-1 a i

Para carga lineal en el inteNalo j{ =O

Ji; =O . = (R, -R,.1) R,.¡ N

Para carga cúbica en el intervalo donde R¡ y Ri se especifican

R, ~ t>t'6 (R, - R,+ )+-¡;¡(R,+ 2 . 1

.

1

+2R;)

R=R.1 -R,.1

Tiempo

l':.t

Figura 13.1 Función de Carga Modal La velocidad y la aceleración asociadas a esta solución son las siguientes: '

•

y(t) = b¡S(t) + b2 C(t)+ b4 + 2b 5t + 3b6t

2

(13.12b)

}'(t) =b1S(t) + b2 C(t) + 2b; + 6b 6t

(13.12c)

Estas ecuaciones se resumen en la siguiente ecuación matricial:

rb¡

y,"¡;:q~:; }\ j

C(t) LO C(t)

S(t) C(t)

t

o LO o o

f2

Zt

3

b2

(13.13)

2.0

Ahora es posible solucionar para las constantes b;. Las condiciones iniciales en t

=O son p(O) = .P;. 1

y

y(O) =Y;. 1 . Por lo tanto, de las Ecuaciones

(13.12a y 13.12b)

YH

=úJDbl -tJJb2

+b4

(13.14a)

Y;.¡= b2 +bi

(13.14b)

168

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

Sustítuyendo las Ecuaciones (l3.12a, 13.12b y 13.12c) en la Ecuación (13.11) y estableciendo que los coeficientes de cada término polinomial son iguales, se producen las siguientes cuatro ecuaciones: (13.15a)

RH = o}b 3 + a0 b4 + 2b 5

1:

•

t: '

2

R;_ 1 =w b4 + 2a0 b5 -r 6b6

(13.15b)

..

(13.15c)

2

r : RH =2@ b; + 6aob6 ¡> :

RH

= 6@2 b6

(l3.15d)

Estas seis ecuaciones, dadas por las Ecuaciones (13.14 y 13.15), pueden expresarse en la siguiente ecuación matricial:

rj,,

YH

(13.16a)

RH

o

1.0

o 1.0 1.0 o o o o o o o o o

o

OJD

-[r]

ú)2

:=

l'i(_¡RH-' l~

ªº

o o 2.0

o b¡ o h2 o b3

a/ 2a0 6.0 b4 o 2(u 2 6a0 b5 o o 60? b6

Ó,

(13.l 6b)

Por lo tanto, b

=CR,_ 1

(13.17)

La inversión de la matriz triangular superior C puede ser obtenida analíticamente; o puede ser invertida numéricamente en el programa de cómputo con relativa facilidad. Por lo tanto, la solución exacta en el instante de tiempo i de una ecuación modal debido a una carga cúbica en el intervalo de tiempo es la siguiente: (13.18) La Ecuación (13.18) es una relación recursiva muy sencilla y poderosa. En la Tabla 13.2 se presenta· el algoritmo completo para la carga lineal o cúbica. Note que la matriz A, de 3 por 6, se computa solamente una vez para cada modo. Por tanto, para cada incremento de tiempo, se requieren aproximadamente 20 multiplicaciones y 16 sumas. Las computadoras personales modernas y

169

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

económicas pueden completar una multiplicación y una adición en ap}'OXimadamente 10-6 segundos. Por eso, el tiempo de computadora que se requiere para solucionar 200 pasos por segundo para un sismo de 50 segundos de duración es de aproximadamente 0.01 segundos. O, se pueden resolver 100 ecuaciones modales en un segundo de tiempo de computadora. Por tanto, no se necesita considerar otros métodos numéricos, tales como el Método aproximado de la Transformada Rápida de Fourier, ni la evaluación numérica de la integral de Duhamel, para resolver estas ecuaciones. Debido a la rapidez de esta técnica polinomial exacta, también se puede utilizar para desarrollar espectros de respuesta sísmica precisos requiriendo un mínimo tiempo de cómputo.

Tabla 13.2 Algoritmo Recursivo de Orden Superior para la Solución de Ecuaciones Modales

l. ECUACIÓN A RESOLVER: t2 ..

2

t3 ...

y(t)+2;ey(t)+m y(t)""R;_ 1 +tR;-¡ +2R;_ 1 +-¡R;_1 11. CÁLCULOS INICIALES

S(M) = e-~cu!Ji sin(moM) S(M) =-@S(At) + (J)0 C(At)

C(M) := -wC(L11)-0JoS(ti.1)

S(At) = -a1S(At)-a2C(M)

C(At) = -a1C(ti.t)+ a2S(M

l

S(M) C(At) 1.0 At

B(tit) = ~(At) ~(D.t) S(At) C(L1t)

170

C(At) ""e-;úJM cos(m 0 At)

O O

At 2

LO 2At O 2.0

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

(l)D

C=

o o o o o

-w o 1.0 LO 1.0 o

o o o o

o/

ªo

o

o 2.0

o a? 2a0 o o 2@2 o o o

o o o

-1

6.0

6a0 6w 2

A =B(At)C

111. SOLUCIÓN RECURSIVA i= 1, 2, 3, etc. .. 6 . 2 . . a. R; ""2 (R; - R 1+1 )+-(R;+i + 2R 1) At M

R =~i-R:H

b.

z-i

At

c.

Y; =ARH

d.

í==i+ 1 volver a 3a

13.5 SOLUCIÓN PARA CARGA PERIÓDICA El algoritmo de solución de recurrencia que resume la Ecuación 13.16 es un método de computación muy eficiente para cargas dinámicas, transitorias, y arbitrarias, con condiciones iniciales. Es posible aplicar este método de solución sencilla para cargas periódicas arbitrarias tal como se indica en la Figura 13.2. Note que la duración total de la carga va desde -(jJ a +
171

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

F(t) Presión de 1-1--+--11--r-1~-.....---

·l---l!r+--+--#--'lf'f--\---cl'--\1- viento

promedio

1 - - - - - + - - - - - + - - - - - + - - - - - 1 - - 1 > Tiempo

l<---r-'-P-._...._._._r_r_

_,,,..¡,_-'rr_

rp

Figura 13.2 Ejemplo de Carga Periódica Para una duración típica de carga TP , se puede evaluar una solución numérica para cada modo aplicando la Ecuación (13.11) sin condiciones iniciales. Esta solución es incorrecta porque no tiene las condiciones iniciales correctas. Por lo tanto, es necesario corregir esta solución y(t) para que la solución exacta z(t) tenga el mismo desplazamiento y la misma velocidad al comienzo y al final de cada período de carga. Para satisfacer la ecuación de equilibrio dinámico básico, la solución correctora x(t) debe tener la siguiente forma: (13.19)

donde las funciones se definen en la Tabla 13.1. La solución exacta total para el desplazamiento y la velocidad para cada modo se puede expresar como: z(t) =y(t) + x(t)

(13.20a)

i(t) =y(t) + x(t)

(13.20b)

Para que la solución exacta sea periódica, se deben satisfacer las siguientes condiciones: z(TP) =z(O)

(13.21a)

i(Tp) =i(O)

(13.2lb)

La evaluación numérica de la Ecuación (13.14) produce la siguiente ecuación matricial, que debe ser determinada para las condiciones iniciales desconocidas: f1-A 1(Tp)

l -Á¡(TP) 172

(13.22)

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

Entonces, la solución periódica exacta para desplazamientos y velocidades modales puede ser calculada en base a las Ecuaciones (l3.18ff y 13.18b). Por lo tanto, no es necesario usar un enfoque de solución en el dominio de frecuencias para una carga periódica tal como se sugiere en la mayoría de los libros de texto sobre dinámica estructural.

13.6 FACTORES DE MASA PARTICIPANTE Varios códigos de constrncción requieren que por lo menos el 90 por ciento de la masa participante sea incluida en el cálculo de la respuesta para cada dirección p1incipal. Este requisito está basado en una aceleración de base unitaria en una dirección particular, y el cálculo del cortante basal debido a dicha carga. La solución pe1manente para este caso implica la ausencia de amortiguamiento y fuerzas elásticas; por lo tanto, las ecuaciones de respuesta modal para una aceleración de base unitaria en la dirección x puede expresarse como sigue: (13.23)

Las fuerzas de inercia en el nudo en la dirección x para ese modo por definición son: (13.24)

El cortante basal resistente en la dirección x. para el modo n es la suma de todas las fuerzas nodales en la dirección x. O: (13.25)

El cortante basal total en la dirección x, incluyendo N modos, se[á: N

V x= LP~c

(13.26)

11 ~1

Para una aceleración en la base unitaria en cualquier dirección, el cortante basal exacto debe ser igual a la suma de todos los componentes de masa en esa dirección. Por lo tanto, el factor de masa participante se define corno la masa participante dividida entre el total de la masa en esa dirección. Esto es:

(13.27a)

173

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

N

LP~y JF"'}

Ymass"'~ L.,.¡my

(13.27b)

(13.27c)

Si se consideran todos los modos, todas estas relaciones serán iguales a 1.0. Queda claro que la regla de una participación de un 90 por ciento está dirigida a estimar la precisión de una solución para el movimiento de la base solamente. No se puede emplear como un estimador de error para otros tipos de carga, tales como cargas puntuales o desplazamientos de base que actúan sobre la estructura. La mayoría de los programas de computadora determinan la contribución de cada modo para estas relaciones. Además, una revisión de estos factores le da al ingeniero un indicio de la dirección del cortante basal asociado con cada modo. Por ejemplo, el ángulo con respecto al eje x del cortante basal asociado con el primer modo se expresa como sigue:

el= -l[fu) tan

(13.28)

Ptr

13.7 FACTORES DE PARTICIPACIÓN DE CARGA ESTÁTICA Para cargas arbitrarias, es útil determinar si el número de vectores que se considera es adecuado para aproximar la respuesta verdadera del sistema estructural. Un método propuesto por el autor es evaluar los desplazamientos estáticos utilizando un grupo truncado de vectores para determinar la respuesta debido a patrones de carga estáticos. Según lo indicado por la Ecuación (13.1), las cargas pueden ser expresadas como sigue: J

F(t):::: I;rig(t)i J~l

174

(13.29)

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

Primero, se resuelve el problema estático para el desplazamiento exacto ui , asociado con el patrón de carga

~ . Entonces,

el trabajo externo total asociado con la condición

de cargaj es: j

T

E} =-f 2 } u.J

(13.30)

De la Ecuación (13.6), la respuesta modal, sin considerar las fuerzas de inercia y amortiguamiento, es como sigue: Yn

J

T

(13.31)

= - 2 iflnfj

OJn

De la definición fundamental del método de superposición modal, un conjunto tmncado de vectores define el desplazamiento aproximado vJ como: N vj

=

LYnrftn = nd

N

j

T

:L-2 r?n Í/Pn {On

( 13.32)

n"l

El trabajo externo total a~ociado con la solución de la forma modal truncada es: (13.33)

Se puede definir el factor de particípaci.ón de carga estática 1¡ para la condición de carga j como la relación de la suma del trabajo realizado por el grupo truncado de modos y el trabajo externo hecho por el patrón de carga. O:

(13.34)

Si esta relación se acerca a LO, los errores introducidos por el truncamiento del vector serán muy pequeños. Sin embargo, si esta relación es menor que un 90 por ciento, se deben usar vectores adicionales en el análisis con el fin de capturar la respuesta debido a la carga estátíca. La experiencia de este autor indica que los vectores característicos exactos no son vectores base precisos para el análisis dinámico de estructuras sujetas a cargas puntuales. Mientras que vectores dependientes de cargas, cuya definición está

175

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

presentada en el capítulo siguiente, siempre generan un factor de participación de carga estática de 1.0.

13.8 FACTORES DE PARTICIPACIÓN DE CARGA DINÁMICA Además de los factores de masa participante y factores de partícipación de carga estática, es posible calcular el factor de participacíón de carga dinámica por cada patrón de carga. El programa SAP2000 produce estas tres relaciones de manera automática. El factor de paiiicipación de carga dinánúca está basado en la suposición física de que solamente las fuerzas de inercia resisten el patrón de carga. Considerando solamente los grados de libertad con masa asociada, la aceleración exacta üj debida al patrón de carga fJ es: (13.35)

La velocidad de los puntos de masa en el instante t =1 es: ti.J = tM- 1fJ = JVr 1rJ

(13.36)

Por lo tanto, el la energía cinética total asociada con el patrón de carga} es: E =_ltirMti =__l__frM- 1f J 2 2 J J

(13.37)

Por la Ecuación 13.6, la aceleración y velocidad modales, sin tomar en cuenta los grados de libertad sin masa, se dan como sigue:

Y :::::d.rf lfn J 11

) ·1 n

and

(13.38a)

7 =tJlf=nl f. at t=l 'f'n J 'fn J

(13.38b)

De la defüúción fundamental del método de superposición modal, un grupo truncado de vectores define la velocidad aproximada v¡ como: N

vj:::

176

N

LYn~n ""¿~:rj~n:::

N

N

n~l

11~1

LPnJ ~11:::L~n P1y

(13.39)

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

La energía cinética total asociada con la solución de la fonna modal truncada es: J

Ej "'2vIMv j

¡N

=

N

¡N

-/iPnj

Jtzl

(13.40)

n::::l

Se puede definir el factor de participación de carga dinámica ri para la condición de cargaj como la relación entre la suma de la energía cinética asociada con el grupo truncado de modos y la energía cinética total asociada con el patrón de carga. O:

(13.41)

El factor de participación de carga dinámica incluye solamente aquellas cargas que estén asociadas con los grados de libertad con masa. Sin embargo, el factor de participación de carga estática incluye los efectos de las cargas que actúan sobre los grados de libertad sin masa. Una participación de carga dinámica de un 100 por ciento indica que se captura la respuesta de alta frecuencia de la estrnctura. Además, para los casos de carga proporcional a la masa en las tres direcciones globales, los factores de participación de carga dinámica son idénticos a los factores de participación de masa.

13.9 RESUMEN El método de superposición modal es un método muy poderoso que se utiliza para reducir el número de variables desconocidas en un análisis de respuesta dinámica. Todo tipo de carga puede ser aproximado de manera precisa mediante funciones lineales o cúbicas en un intervalo de tiempo pequeño. Existen soluciones exactas para estos tipos de carga, las cuales pueden ser calculadas en un tiempo de cómputo trivial para incrementos de tiempo iguales. Por lo tanto, no existe la necesidad de presentar otros métodos para la evaluación numérica de ecuaciones modales. Para resolver la respuesta dinámica lineal de estructuras sujetas a cargas periódicas, solamente se necesita agregar una solución correctiva a la solución transitoria para un periodo de tiempo típico de carga. La solución correctiva obliga que las condiciones iniciales de un período de tiempo típico sean iguales a

177

ANÁLISlS ESTÁTICO Y DINÁMICO

las condiciones finales al final del periodo de tiempo. Por lo tanto, se puede usar el mismo método de solución de dominio de tiempo para solucionar problemas de respuesta dinámica de viento o de ondas en la ingeniería estructural. Se pueden usar factores de masa participante para estimar el número de vectores

que se requieren en un análisis sísmico elástico donde las aceleraciones de base se usan como la carga fundamental. El empleo de factores de participación de masa para estimar la precisión de un análisis sísmico no-lineal puede introducir errores de importancia. Fuerzas concentradas no-lineales internas que vayan en direcciones iguales y opuestas no producen un cortante de base. Además, para el caso de desplazamientos de base especificados, los factores de masa participante no tienen un significado físico. Los factores de participación dinámica y estática se definen y se pueden usar para estimar el número de vectores requeridos. Posteríormente se mostrará que el uso de los vectores Ritz, en vez de los vectores característicos exactos, producen vectores con relaciones de participación estática y dinámica de un l 00 por ciento o que se aproximan al mismo.

178

14.

CÁLCULO DE VECTORES ORTOGONALES A LA RIGIDEZ Y MASA Los Vectores LDR Siempre son Más Precisos Que los Autovectores Exactos en un Análisis de Superposición Modal 14.1

INTRODUCCIÓN El motivo principal de calcular formas de modo (o autovalores y autovectores) es el hecho de que son usados para desacoplar las ecuaciones de equilibrio dinámico para el análisis de superposición modal y/o para el análisis modal espectral. El principal objetivo de un análisis de respuesta dinámica de una estructura es estimar de manera precisa los desplazamientos y las fuerzas en los elementos en la estructura real. En general, no existe una relación directa entre la precisión de los autovalores y autovectores, y la precisión de los desplazamientos nodales y las fuerzas en los elementos. En los primeros días de la ingeniería sísmica, se usaba ampliamente el método Rayleígh-Ritz de análisis dinámico para calcular soluciones aproximadas. Con el desarrollo de las computadoras de alta velocidad, el uso de autovectores exactos comenzó a sustituir el empleo de los vectores Dependientes de Carga Ritz como base del análisis sísmico. En este líbro se va a demostrar que los vectores Ritz , LDR (Load-Dependent Ritz), pueden ser usados para el análisis dinámico de estructuras tanto lineales como no-lineales. El nuevo método modificado Ritz produce resultados más precisos, con menos trabajo de cómputo, que la utilización de autovectores exactos.

179

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Existen varios métodos numéricos disponibles para la evaluación del problema de autovalores. Sin embargo, para sistemas estructurales grandes, solamente unos cuantos métodos se han demostrado como precisos y robustos.

14.2 MÉTODO DE BÚSQUEDA DEL DETERMINANTE La ecuación de equilibrio, que rige la vibración líbre sin amortiguamiento de un modo típico, se expresa como sigue:

[K-úl;2 M]v; =O

(14.la)

Ó, simplemente: (14.lb) La Ecuación (14.1) puede resolverse directamente para las frecuencias naturales de la estructura, asumiendo valores para Cu; y factorizando la siguiente ecuación: (14.2)

Del Apéndice C, el determinante de la matriz factorizada se define como sigue: Det(e.o;)"' D11 Dn- - - - D,v,v

(14.3)

Es posible, mediante la factorización repetida, desarrollar una gráfica del determinante vs. 2 , tal como se muestra en la Figura 14.1. Este método clásico de evaluar las frecuencias naturales de una estructura se llama método de búsqueda del determinante [l]. Se debe notar que para el caso de matrices de anchos de banda reducidos, el esfuerzo numérico para factorizar las matrices es muy pequeño. Para esta clase de problema, el método de búsqueda del determinante, conjuntamente con la iteración inversa, representa un método efectivo para evaluar las frecuencias no amortiguadas y las formas de modo de sistemas estructurales pequeños. Sin embargo, debido al aumento de la velocidad de las computadoras, problemas pequeños pueden ser resueltos mediante cualquier método en cuestión de segundos. Por lo tanto, el método de búsqueda de determinante ya no se usa en los programas modernos de análisis dinámico.

180

AUTOVECTOR Y VECTOR RITZ DE EVALUACIÓN

Det(A) Todos Los Términos En D Positivos

¡- DosNeg. O;; 1

Seis Neg.

O¡;

l Un Neg. D¡¡

J

Tres Nea.

0;;

Figura 14.1 Determinante vs. Frecuencia para Sistema Típico 14.3 CHEQUEO DE SECUENCIA STURM La Figura 14. l ilustra una propiedad muy importante de la secuencia de los términos diagonales de la matriz factorizada .• Se nota que para un valor especificado de úJ;, se puede contar el número de términos negativos en la matriz diagonal, y siempre será igual al número de frecuencias por debajo de dicho valor. Por tanto, se puede usar para chequear un método de solución que falla al calcular todas las frecuencias menores a un valor especificado. También, otra aplicación importante de la Técnica de Secuencia Sturm es la evaluación del número de frecuencias dentro de un rango de frecuencias. Es necesario solamente factorizar la matriz en los puntos de frecuencia máximo y mínimo; la diferencia en el número de términos diagonales negativos es igual al número de frecuencias en el rango. Esta técnica numérica es útil en el caso de problemas de vibraciones de máquinas.

14.4 ITERACIÓN INVERSA La Ecuación (14.1) puede expresarse en una forma de solución iterativa como: (14.4) Los pasos de cómputo que se requieren para la solución de un valor y un autovector pueden resumirse como sigue:

181

11

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

1. Factorizar la matriz de rigidez en forma triangular LD LT durante la fase de solución de carga estática. 2. Para Ja primera iteración, asumir que

R(I)

sea un vector de números

· · ¡-yol escog1'dos al azar, y reso lver para e1vector ·imcia n

3. Iterar con i = 1, 2 ...

a. Normalizar el vector de manera que vJ(i)MVX)::::: I b. Estimar el autovalor A.¡;l = vr(oR O) c. Comprobar convergencia de d. i = i + 1 y calcular R(il:::

A.~;;

si converge, terminar

A.~- 1 lMV(i-l)

e. Resolver para el vectornuevo LDL ry~ 1 :::: R(iJ f.

Repetir el Paso No. 3.

Se puede demostrar fácilmente que este método converge al autova!or más pequeño.

14.5 ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM·SCHMIOT Se pueden calcular autovectores adicionales utilizando el método de iteración inversa, si después de cada ciclo de iteración, el vector de iteración es ortogonal a todos los vectores anteriormente calculados. Para ilustrar el método, vamos a suponer que tengamos un vector aproximado V que debe ser ortogonal al vector Vn calculado anteriormente. O, se puede calcular el nuevo vector desde:

V=V-aVn

(14.5)

Multiplicando la Ecuación (14.3) por VJ M, obtenemos:

vrMV =VJMV- aVJMVn =O

(14.6)

Por lo tanto, se satisface el requisito de ortogonalidad si: a"" vrMv "'vJMV V~MVn

(14,.7)

Si se inserta el paso de ortogonalización después del Paso 3.e en el método de iteración inversa, se pueden calcular los autovalores y autovectores adicionales.

182

AUTOVECTOR Y VECTOR RITZ DE EVALUACIÓN

14.6 ITERACIÓN EN EL BLOQUE SUB-ESPACIO Podría ser que la iteración inversa con un vector no converja si los autovalores son idénticos y si los autovectores no son únicos. Este caso existe para muchas estructuras reales tridimensionales, tales como edificios con rigidez y masa iguales en las direcciones principales. Se puede evitar este problema iterando con un bloque de vectores ortogonales [2]. En la Tabla 14.l se resume el algoritmo de iteración en el sub-espacio, siendo el mismo el método que se usa en las versiones modernas del programa SAP. La experiencia nos indica que el tamaño "b" del bloque del sub-espacio debe ser igual a la raíz cuadrada del promedio del ancho de banda de la matriz de rigidÚ, pero no menor que seis. El algoritmo de iteración del sub-espacio es relativamente lento; sin embargo, es muy preciso y robusto. En general, después de agregar un vector a un bloque, se requieren de cinco a diez reducciones hacia adelante y sustituciones hacia atrás antes de que el vector de iteración converja al autovector exacto. Tabla 14.1 Algoritmo de Sub-espacio para la Generación de Autovectores l. CALCULO$ INICIALES A. Triangularizar la Matriz de Rigidez.

B. Usar números al azar para formar un bloque de "b" vectores

y(oj .

11. GENERAR EIGENVECTORES L MEDIANTE ITERATION i =1,2...

A. Resolver para bloque de vectores, xm en, KX\iJ = My!i·lJ. B. Hacer que el bloque de vectores, X(il, sea ortogonal a la rigidez y la

masa, ynl. Ordenar los autovalores y los autovectores correspondientes en orden ascendente. C. Usar el método de Gram-Schmidt para que el vector Veo sea ortogonal a todos los vectores anteriormente calculados y normalizarlos de tal manera que yT(ilMyfü=I.

D. Hacer las siguientes operaciones y chequeos: 1. Si el primer vector del bloque no converge, continuar en el Paso A con i i + 1 .

=

183

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

2. Guardar Vector ~n en el Disco. 3. Si n es Jgual a L , terminar la iteración. 4. Compactar el bloque de vectores. 5. Agregar vector de números al azar a la última columna del bloque. Volver al Paso D.1conn=n+1

14.7 SOLUCIÓN DE SISTEMAS SINGULARES Para algunos tipos de estructuras, tales como vehículos aeroespaciales, no es posible usar la iteración inversa o de sub-espacio directamente para resolver formas y frecuencias de modo. Esto es debe porque existe un rrúnimo de seis modos de cuerpo rígido con frecuencia cero, y la matriz de rigidez es singular y no puede triangularizarse. Para solucionar este problema, solamente es necesario hacer la siguiente traslación o cambio de variable del autovalor: (14.8) Por lo tanto, el problema iterativo del autovalor puede expresarse como sigue:

Kv(i)"", n

(i-l)Mv(i-1) n

A n

(14.9a)

Ó, simplemente: (14.9b)

Entonces, la matriz de rigidez trasladada no es singular y se define así: K==:K+pM

(14.10)

Los auto vectores no se modifican por la traslación arbitraria p. Los autovalores correctos se calculan en base a la Ecuación (14.8).

· 14.8 GENERACIÓN DE VECTORES DEPENDIENTES DE CARGA RITZ El esfuerzo numérico que se requiere para calcular la solución característica exacta puede ser enorme para un sistema estructural, si se requiere un número

184

AUTOVECTOR Y VECTOR RITZ DE EVALUACIÓN

elevado de modos. Sin embargo, muchos ingenieros creen que se justifica este esfuerzo de computación si se obtienen resultados precisos. Uno de los objetivos de ta presente sección es ilustrar de manera clara el hecho de que esta suposición no es válida para los análisis de la respuesta dinámica de todo sistema estructural. Es posible usar las formas de modo de vibración libre exactas, para reducir el tamaño de problemas tanto lineales como no-lineales. Sin embargo, este no es el mejor enfoque por las razones siguientes: l. Para sistemas estructurales grandes, la solución del problema de autovalores para las formas de modo y frecuencias de vibración libre puede exigir un esfuerzo importante de cómputo.

2. En el cálculo de las formas de modo de vibración libre, no se toma en cuenta la distribución espacial de la carga. Por lo tanto, muchas de las formas de modo que se calculan son ortogonales a la carga, y no participan en la respuesta dinámica. 3. Sí las cargas dinámicas se aplican en grados-de-libertad sin masa, el uso de todas las formas de modo exactas en un análisis de superposición modal no converge a la solución exacta. Además, los desplazamientos y los esfuerzos cerca de la aplicación de las cargas pueden tener un error significativo. Por eso, no hay necesidad de aplicar el "método de corrección estática" como sería el caso si se usaran autovectores exactos para dichos problemas. 4. Es posible calcular un grupo de vectores Ritz ortogonales de rigidez y masa con un esfuerzo mínimo de computación, que converge a la solución exacta para cualquier distribución espacial de carga [2]. Se puede demostrar que un análisis dinámico basado en un grupo único de Vectores Dependientes de Carga (vectores LDR) produce un resultado más preciso que el uso del mismo número de formas de modo exactas. La eficiencia de esta técnica ha sido ilustrada mediante la solución de muchos problemas de respuesta estructural y en problemas del tipo de propagación de ondas [4]. Se han publicado varios algoritmos para la generación de los Vectores Dependientes de Carga Ritz desde que el método fuera presentado por primera vez en el año 1982 [3]. Por lo tanto, es necesario presentar en la Tabla 14.2 la última versión del método para condiciones de carga múltiple.

185

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Tabla 14.2 Algoritmo para la Generación de Vectores Ritz Dependientes de Carga

l. CÁLCULOS INICIALES A. Triangularizar la Matriz de Rigidez K=LTDL. B. Resolver para el bloque de "b" vectores de desplazamiento estático u, debido a los patrones de carga espacial F; ó, K u,= F. C. Hacer que el bloque de vectores u,, sea ortogonal respecto a la rigidez y masa, V 1 • 11. GENERAR BLOQUES DE VECTORES PARA RITZ i = 1,2,3,4....N A. Resolver para bloque de vectores, X, Kx=MV¡. 1 .

B. Hacer el bloque de vectores X , sea ortogonal respecto a la rigidez y masa, V 1 . C. Usar el método Modificado de Gram-Schmidt (dos veces) de tal manera que V; sea ortogonal a todos los vectores anteriormente calculados, y normalizar los vectores para que VTMV; =I . 111. HACER QUE LOS VECTORES SEAN ORTOGONALES CON LA RIGIDEZ A. Resolver el problema de autovalores, de Nb por Nb,

[K -0 2 l]Z =O

donde K=VTKV.

=

B. Calcular los vectores Ritz ortogonales con la rigidez, tP VZ .

14.9 EXPLICACIÓN FÍSICA DEL ALGORITMO LDR La base física del método es el reconocimiento de que la respuesta dinámica de una estructura será función de Ja distribución espacial de la carga. Las ecuaciones del equilibrio dinámico sin amortiguamiento para una estructura elástica pueden expresarse de la siguiente manera:

Mü(O + Ku(O :::: R(t)

186

(14.11)

AUTOVECTOR Y VECTOR RITZ DE EVALUACIÓN

En el caso de sismo o viento, la carga dependiente de tiempo que actúa sobre la estructura, R{lj, Ecuación (13.1), se puede expresar como sigue: J

R(t):::: If¡g(t) j

::::

FG(t)

(14.12)

jd

Note que los patrones de carga independientes F no son una función del tiempo. Para movimientos sísmicos constantes del terreno en la base de la estructura, son posibles tres patrones de carga independientes. Estos patrones de carga son una función de la distribución direccional de la masa de la estmctura. En el caso de cargas de viento, el promedio de la presión del viento representa uno de estos vectores. Las funciones de tiempo G(t) siempre pueden ser expandidas empleando series de Fourier de funciones seno y coseno. Por lo tanto, sin considerar el amortiguamiento, una típica ecuación de equilibrio dinámico a resolver tendría la siguiente forma: Mu(t) + Ku(t) == Fsenw t

(14.13)

Por lo tanto, la respuesta dinámica exacta de una frecuencia de carga típica ro es de la siguiente forma:

Ku =F+ro 2 Mu

(14.14)

Esta ecuación no puede ser resuelta directamente porque se desconoce la frecuencia de la carga. Sin embargo, se puede calcular una serie de vectores ortogonales respecto a la rigidez y masa que satisface esta ecuación utilizando un algoritmo de perturbación. El primer bloque de vectores se calcula eliminando la masa y solucionando para la respuesta estática de la estructura. O: (14.15)

Por la Ecuación (14.14) es evidente que la distribución del error en la solución, debido a que no se consideran las fuerzas de inercia, puede áproxima.rse de la siguiente manera: (14.16) Por lo tanto, se puede calcular un bloque adicional de vectores de error de desplazamiento, o corrección, en base a lo siguiente: (14.17)

187

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Al calcularse u 1 , no se consideran las fuerzas adicionales de inercia. Por lo tanto, al seguir este proceso, es evidente que existe la siguiente ecuación de recurrencia: · (14.18) Se puede generar un gran número de bloques de vectores usando la Ecuación (14.18). Sin embargo, para evitar problemas numéricos, los vectores deben ser ortogonales con la rigidez y masa después de cada paso. Además, se debe garantizar que todos los vectores sean linealmente independientes. En la Tabla 14.2 se resume el algoritmo numérico completo. Después de examinar cuidadosamente los vectores LDR, se puede concluir que el análisis dinámico es una simple extensión del análisis estático porque el primer bloque de vectorés constituye la respuesta estática de todos los patrones de carga que actúan sobre la estructura. Para el caso donde se aplican las cargas solamente en los grados-delibertad con masa, los vectores LDR siempre son una combinación lineal de los autovectores exactos. Es interesante notar que la ecuación recursiva, que se usa para generar los vectores LDR, es similar al algoritmo Lanczos para el cálculo de valores y autovectores exactos, con la excepción de que los vectores iniciales son los desplazamientos estáticos causados por las distribuciones espaciales de carga. También se puede notar que no existe iteración en la generación de los Vectores Dependientes de Carga Ritz.

14.10 COMPARACIÓN DE SOLUCIONES USANDO AUTOVECTORES Y VECTORES RITZ La viga doblemente empotrada que se presenta en la Figura 14.la está sujeta a una carga puntual en el centro de la viga. La carga varía en tiempo como una función unitaria constante.

~!----·--·-·_f__10º. - · ~; ...........,¡,

- - - - - - 10@ 12 "240 - - - - - - - > I Módulo de Elasticidad= 30,000,000 Momento de Inercia = 100 Masa por Unidad de longitud =0.1 Factor de Amortiguamiento Crítico= 0.01 Todas las unidades en Libras y Pulgadas

1

188

AUTOVECTOR Y VECTOR RITZ DE EVALUACIÓN

Figura 14.la Dimensiones, Rigidez y Masa para Estructura de Viga El factor de amortiguamiento para cada modo fue fijado en el uno por ciento, y el desplazamiento y el momento máximo ocurren a 0.046 segundos, tal como se presenta en la Tabla 14.3. Los resultados indican claramente las ventajas del uso de vectores dependientes de carga. Se nota que los modos 2, 4, 6 y 8 de vibración libre, no son excitados por la carga porque no son simétricos. Sin embargo, el algoritmo de cargadependíente genera solamente los modos simétricos .. De hecho, el algoritmo fallará para este caso, si se solicitan más de cinco veétores.

Tabla 14.3 Resultados del Análisis Dinámico de una Estructura de Viga Formas de Modos de Vibración Libre

Número de Vectores

Vectores Ritz Carga Dependientes

Desplazamiento

Momento

Desplazamiento

Momento

1

0.004572 (·2.41)

4178 (-22.8)

0.004726 (+0.88)

5907 {+9.2)

2

0.004572 (-2.41)

4178 (-22.8)

0.004591 (·2.00)

5563 (+2.8)

0.004664 (-0.46)

4946 (·8.5}

0.004689 (+0.08)

5603 (+3.5)

0.004664 (·0.46)

4946 (·8.5)

0.004688 (+0.06)

5507 (+1.8)

0.004681 (·0.08)

5188 (-4.1)

0.004685 (0.00)

5411 (O.O)

0.004683 (-0.04)

5304 (-2.0)

0.004685 (0.00)

5411 (O.O}

i

3 4 1

5 7

9

1

Nota: Los números entre paréntesis son porcentaies de error.

Ambos métodos producen buenos resultados para el máximo desplazamiento. Sin embargo, los resultados para el momento máximo indican que los vectores dependientes de carga producen resultados significativamente mejores y

189

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

convergen desde arriba a la solución exacta. Queda claro que las formas de modo de vibración libre no, necesariamente son los mejores vectores a usarse en el análisis de respuesta dinámica de superposición de modo. El cálculo de las formas de modo de vibración libre exactas no solamente requiere de más tiempo de cómputo, sino también requiere de más vectores, lo que aumenta el número de ecuaciones modales que deben ser integradas y almacenadas en la computadora.

14.11 CORRECCIÓN PARA TRUNCADO DE MODOS SUPERIORES En el análisis de muchos tipos de estructuras, la respuesta de modos superiores puede ser significativa. En el uso de autovectores exactos para la superposición modal o el análisis de espectro de respuesta, se han desarrollado métodos aproximados de análisis para mejorar los resultados. El objetivo de dichos métodos aproximados es "tomar en cuenta cualquier masa faltante" o "agregar una respuesta estática" asociada al "truncado de modos superiores." Estos métodos se usan para reducir el número de autovectores exactos a calcular, lo que reduce el tiempo de computación y los requisitos de almacenamiento en computadora. El uso de vectores LDR Ritz Dependientes de Carga, por otro lado, no requiere el uso de estos métodos de aproximación porque la "respuesta estática" está incluida en el grupo inicial de vectores. Esto se ilustra en un análisis tiempo historia de una estructura en voladizo sujeta a movimientos sísmicos tal como se presenta en la Figura 14.2. Este es un modelo de una superestructura de peso ligero construida sobre una cimentación masiva apoyada sobre pilotes rígidos modelados usando un resorte.

190

AUTOVECTOR Y VECTOR RITZ DE EVALUACIÓN

Modelo Matemático

Figura 14.2 Estructura en Voladiza sobre Cimentación Rígida Masiva Se pueden usar solamente ocho autovectores o vectores Ritz porque el modelo tiene solamente ocho masas. Los períodos calculados, utilizando el método Ritz o el método de autovalores (Eígen) exacto, se resumen en la Tabla 14.4. Es evidente que el octavo modo está asociado a la vibración de la masa de la cimentación, y que el período es muy corto: 0.00517 segundos. Tabla 14.4 Períodos y Factores de Participación de Masa

NUMERO DE MODO

PERIODO (Segundos)

1

1.27321

2

0.43128

PARTICIPACV'lr-1

r.r::

MASA~

1i .706 01.660 l

3

0.24205

4

0.16018

00.310

5

0.11899

00.208

6

0.09506

00.100

,.7

0.07951

00.046

8

0.00517

85.375

00.613

La máxima fuerza en la cimentación usando diferentes ·número de auto vectores y LDR se resume en la Tabla 14.5. Además, se presenta la participación de masa total asociada con cada análisis. El intervalo de tiempo de integración es el mismo que del movimiento sísmico de entrada; por lo tanto, no se introducen

191

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

errores adicionales a los que resultan del truncado de modos. Se emplea el cinco por ciento de amortiguamiento crítico en todos los casos. Tabla 14.5. Fuerzas de Cimentación y Participación de Masa Total

FUERZA DE CIMENTACIÓN (Kips) EIGEN RITZ

NUMERO DE VECTORES

PARTICIPACIÓN DE MASA (Porcentaje Total) R!TZ EIGEN

8

1,635

1,635

100.0

100.0

7

260

1,636

14.6

83.3

5

259

1,671

14.5

16.2

258

1,756

14.0

14.5

257

3,188

13.4

i3.9

3

2

1

La solución para ocho autovectores o LDR produce la solución exacta para la fuerza en la cimentación y el 100 por ciento de la masa participante. Para siete autovectores, la solución para la fuerza solamente en la cimentación c::mstituye el 16 por ciénto del valor exacto - un error significativo, mientras que la solución LDR es casi idéntica a la fuerza exacta en la cimentación. Es interesante notar que el método LDR sobreestima la fuerza a medida que se vaya reduciendo el número de vectores - un resultado ingenieril conservador. También es evidente que los factores de participación de masa asociados a las soluciones LDR no representan un estimado preciso del error en la füerza en la cimentación. En este caso, la participación de masa del 90 por ciento no constituye un requisito si se usan vectores LDR. Si se usan solamente cinco vectores LDR, el factol'de participación de masa total es solamente un 16.2 por ciento; sin embargo la fuerza en la cimentación está sobre-estimada en sólo un 2.2 por ciento.

192

AUTOVECTOR Y VECTOR RITZ DE EVALUACIÓN

14.12 RESPUESTA SÍSMICA EN LA DIRECCIÓN VERTICAL Se requiere que para ciertos tipos de estructuras, que el ingeniero estructural calcule la respuesta dinámica vertical. Durante los últimos años muchos ingenieros me han informado que era necesario calcular varios cientos de formas de modo para una estructura grande, para obtener una participación de masa del 90 por ciento en dirección vertical. En todos los casos, se utilizaron en el análisis las frecuencias y formas de modo de vibración libre "exactas". Para ilustrar este problema y proponer una solución, se realizó un análisis dinámico vertical del pó1iico bidimensional que se presenta en la Figura 14.3. La masa se concentra en las 35 ubicaciones indicadas; por lo tanto, el sistema posee 70 posibles formas de modo. En la Tabla 14.6 se resume los porcentajes de participación de masa usando la solución exacta de autovalor para frecuencias y formas de modo, Se nota que los modos laterales y verticales son desacoplados para esta estructura muy sencilla. Solamente dos de los primeros diez modos están en dirección vertical. Por lo tanto, la participación de masa vertical total es solamente un 63.3 por ciento. En la Tabla 14.7 se resume los primeros 10 vectores Ritz Dependientes de Carga calculados y los porcentajes de participación de masa. Los dos vectores LDR iniciales fueron generados utilizando cargas estáticas proporcionales a las distribuciones de masa lateral y vertical. Los diez vectores producidos por el método LDR satisfacen el requisito de código del 90 por ciento. Se necesitaría el cálculo de 34 vectores para el enfoque del autovalor exacto para obtener el mismo porcentaje de participación de masa. Esto constituye apenas un ejemplo adicional de porqué el método LDR es superior al uso de los autovectores exactos para carga sísmica.

193

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Figur11 l4.3 Estructum Aporticad11 Sujeta a Movimiento Sísmico Vertical

Tabla 14.6 Factores de Porcentaje de Participación de Masa para Autovalores Exactos ji

1

PERÍODO (Segundos)

MODO

PARTICIPACIÓN MASA LATERAL

PARTICIPACIÓN MASAl VERTICAL

f.----·

-

CADA MODO

TOTAL

CADA MODO

TOTAL

o o o o o

o o o o o

60.551

60.551

o o o

60.551

2.775

63.326

1

1.273

79.957

79.957

2

0.421

11.336

91.295

3

0.242

4.172

4

0.162

1

1

1

1

1.436

95.467 96.903

1

5

0.158

0.650

6

0.148

o

97.554

0.141

0.031

97.584

7

1

97.554 1

'

194

8

0.137

0.015

97.584

9

0.129

0.037

97.639

10

0.127

o

1

97.639

1

60.551 60.551

1

AUTOVECTOR Y VECTOR RITZ DE EVALUACIÓN

Tabla 14.7 Factores de Porcentaje de Participación de Masa .Utilizando Vectores LDR 1

MODO

PARTICIPACIÓN MASA LATERAL

PERIODO (Segundos)

CADA MODO

TOTAL

--

CADA MODO

TOTAL

95.471

o o o

o

2.388

97.859

o

o

97.859

60.567

60.567

0.123

o o

97.859

4.971

65.538

7

0.104

2.102

99.961

o

65.538

8

0.103

99.961

13.243

9

0.064

99.961

9.696

88.477

10

0.041

99.961

8.463

96.940

1

1.273

79.957

79.957

2

0.421

11.336

91.295

3

0.242

4.176

4

0.158

5

0.149

6

~-

1

PARTICIPACIÓN MASA VERTICAL

1

1 1

o o o

\

1

--

-- -

o o

--

78.781

-- - - - - -

El motivo de esta impresionante precisión del método LDR en comparación con el método del autovector exacto es que se calculan solamente las formas de modo que son excitadas por la carga sísmica.

14.13 RESUMEN Existen tres diferentes métodos matemáticos para la solución numenca del problema de autovalores. Todos tienen ventajas para ciertos tipos de problemas. El primero, el método de búsqueda de determinante, que está relacionado a la búsqueda de las raíces de un polinomio, es un método tradicional fundamental. No es eficiente para problemas estructurales grandes. Se puede emplear la propiedad de secuencia Sturm de los elementos diagonales de la matriz factorizada para determinar el número de frecuencias de vibración dentro de un rango especificado.

195

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

El segundo, los métodos de iteración inversa y del sub-espacio, son parte de un gran número de métodos de potencia. El método de Stodola es un método de potencia. Sin embargo, no es práctico el uso de una matriz ancha para obtener modos superiores porque elimina la dispersión en las matrices. La ortogonalización de Gram-Schmidt representa el método más efectivo para forzar que los vectores de iteración converjan a modos superiores. Tercero, los métodos de transformación son muy efectivos para el cálculo de todos los autovalores y autovectores de pequeñas matrices densas. Jacobi, Givens, Householder, Wilkinson y Rutíhauser son todos métodos de transformación bien conocidos. El autor prefiere usar una versión moderna del método de Jacobi en los programas ETABS y SAP. No es el método más rápido; sin embargo, hemos encontrado que es preciso y robusto. Ya que se usa solamente para problemas iguales al tamaño del sub-espacio, el tiempo de computación para esta fase de la solución es inuy reducido en comparación con el tiempo que se requiere para formar el problema de autovalores del subespacio. En el Apéndice D se presenta la derivación del método de Jacobí. El uso d~ Vectores Dependientes de Carga Ritz representa el enfoque más eficiente para determinar valores precisos de desplazamientos nodales y fuerzas en elementos en estructuras que están sujetas a cargas dinámicas. Las frecuencias bajas que se obtienen de un análísis de vectores Ritz son siempre bastante similares a las frecuencias exactas de vibración libre. Si se pasan por alto frecuencias y formas de modo, es porque la carga dinámica no las excita; por lo tanto, no tienen ningún valor práctico. Otra ventaja importante del uso de los vectores LDR es el hecho de que no es necesario preocuparse por errores introducidos por el truncado de modos superiores de un grupo de autovectores exactos.

Toda forma de modo LDR es una combinación lineal de autovectores exactos; por lo tanto, el método siempre converge a la solución exacta. También, el tiempo de computación que se requiere para calcular los vectores LDR es significativ~mente menor que el tiempo que se requiere para solucionar autovectores.

196

AUTOVECTOR Y VECTOR RITZ DE EVALUACIÓN

14.14 REFERENCIAS l.

Bathe, K. J., and E. L. Wilson. 1972. "Large Eigenvalue Problems in Dynamic Analysis," , Proceedings, American Society of Civil Engineers, Journal of the Engineering Mechanics Division, EM6. Diciembre. pp. 1471-1485.

2.

Wílson, E. L., and T. Itoh. 1983. "An Eígensolution Strategy for Large Systems," in J Computers and Structures. Vol. 16, No. 1-4. pp. 259-265.

3.

Wílson, E. L., M. Yuan and J. Dickens. 1982. "Dynamic Analysis by Direct Superpositíon of Ritz Vectors," Earthquake Engineering and Structural Dynamics. Vol. 10. pp. 813-823.

4.

Bayo, E. and E. L. Wilson. 1984. "Use of Ritz Vectors in Wave Propagation and Foundation Response," Earthquake Engineering and Structural Dynamics. Vol. 12. pp. 499-505.

197

15.

EL ANÁLISIS DINÁMICO UTILIZANDO CARGAS SÍSMICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA Previo a las Computadoras Personales de Costo Accesible, el Método de Espectro de Respuesta Constituía el Enfoque Estándar para el Análisis Sísmico Lineal

15.1

INTRODUCCIÓN El método básico de superposición de modo, que está limitado al análisis elástico lineal, produce la respuesta completa (histórica) de desplazamientos de los nudos (uniones) y de las fuerzas en los elementos. En el pasado, ha habido dos grandes desventajas en el uso de este enfoque. En primer lugar, el método produce una gran cantidad de información que puede requerir una cantidad importante de esfuerzo de computación para realizar todos los chequeos de diseño posible como función de tiempo. En segundo lugar, el análisis debe ser repetido para varios movimientos sísmicos diferentes para garantizar que todas las frecuencias fueran excitadas, porque el espectro de respuesta para un sismo en una dirección específica no constituye una función uniforme. Existen ventajas de computación en el uso del método de espectro de respuesta del análisis sísmico para predecir los desplazamientos y las fuerzas de elemento en sistemas estructurales. El método implica el cálculo de solamente los valores máximos de los desplazamientos y fuerzas de elemento en cada modo

199

ANÁLISJS ESTÁTICO Y DINÁMICO

utilizando espectros de diseño unifom1e que sean el promedio de varios movimientos sísmicos. El objetivo de este capítulo es resumir las ecuaciones fundamentales que se usan en el método de espectro de respuesta, y señalar las muchas aproximaciones y limitaciones del método. Por ejemplo, no se puede usar el método de espectro de respuesta para aproximar la respuesta no-lineal de un sistema estructural tridimensional complejo. El reciente aumento de la velocidad de computadoras ha hecho que sea práctico realizar (correr) muchos análisis de la respuesta (históricos de) en el tiempo en un período corto. Además, ahora es posible efectuar chequeos de diseño como función de tiempo, lo que produce resultados superiores, porque cada elemento no está diseñado para valores pico máximos tal como requiere el método de espectro de respuesta.

15.2 DEFINICIÓN DE UN ESPECTRO DE RESPUESTA Para el .movimiento sísmico tridimensional, se expresa la Ecuación moda[ típica (13.6) de la siguiente manera:

donde los tres Factores de Participación de Modo son definidos por Pn; ""'-$/ M; donde i es igual ax, y ó z. Se deben solucionar dos problemas importantes para obtener la solución de espectro de respuesta aproximada para esta ecuación. En primer lugar, para cada dirección de movimiento del suelo, hay que estimar las fuerzas pico máximas y los desplazamientos máximos. En segundo lugar, después de solucionar la respuesta de las tres direcciones ortogonales, es necesario estimar la respuesta máxima en base a los tres componentes de movimiento sísmico que actúan al mismo tiempo. Esta sección aborda el problema de combinación modal de solamente un componente de movimiento. El (separado) problema de combinar los resultados del movimiento en tres direcciones ortogonales será abordado más tarde en este capítulo.

200

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA

Para componentes (aportes) en una dirección solamente, la Ecuación (15.1) se escribe así: (15.2) Dado un movimiento específico de suelo ü(t) g, un valor de amortiguación y asumiendo Pni =-1.0, es posible solucionar la Ecuación (15.2) para varios valores de m y graficar una curva de la respuesta máxima pico y( ffi) MAX • Para esta componente (aporte) de aceleración, por definición, la curva es el espectro de respuesta de desplazamiento para el movimiento sísmico. Habrá una curva diferente para cada valor diferente de amortiguamiento. Una gráfica de úly(ffi),\W' se define como el espectro de pseudo-velocidad, y una gráfica de w2y(ffi)ua se define como el espectro de pseudo-aceleración. Las tres curvas - el espectro de respuesta de desplazamiento, el espectro de pseudo-velocidad, y el espectro de pseudo-aceleración - normalmente son graficadas corno una curva en papel especial de registro. (Sin embargo, los pseudo-valores tienen un significado físico mínimo, y no constituyen una pai1e imprescindible de un análisis de espectro de respuesta). Los valores (correctos) de la velocidad y de la aceleración máximas deben ser calculados en base a la solución de la Ecuación (15.2). Sin embargo, existe una relación matemática entre el espectro de pseudoaceleración y el espectro de aceleración total. La aceleración total de la masa unitaria con un sistema de grado de libertad simple, regida por la Ecuación (15.2), se expresa así: ii(t)r

=ji(t) + ü(t) g

(15.3)

La Ecuación (15.2) puede ser solucionada para ji(t) y ser sustituida en la Ecuación (15.3) para producir lo siguiente:

ii(t)y ""-oly(t)-2~wy(t)

(15.4)

Por tanto, para el caso especial de amortiguamiento nulo, la aceleración total del sistema es igual a ffi 2y(t). Por esta razón, normalmente no se grafica la

201

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

curva del espectro de respuesta de desplazamiento como un desplazamiento modal y( ro) MAX versus ro . Es costumbre presentar la curva en ténninos de S( ro) versus un período Ten segundos, donde:

(15.Sa y 15.5b) La curva del espectro ele pseudo-aceleración, S(ro), , tiene las unidades de aceleración versus período que tiene alguna importancia física solamente para el caso cero amortiguamiento nulo (solamente). Es evidente que todas las curvas del espectro de respuesta representan las propiedades del sismo en un sitio específico, y no son funciones de las propiedades del sistema estructural. Después de hacer un estimado de las propiedades del amortiguamiento viscoso lineal de la estructura, se selecciona una curva específica del espectro de respuesta.

15.3 CÁLCULO DE RESPUESTA MODAL Ahora se puede calcular el desplazamiento modal máximo de un modelo estructural con un modo típico n con período 7~ y un con-espondiente valor de respuesta de espectro de S((J),J. La máxima respuesta modal asociada al período 1;, se expresa así: y(T,, hEAx

S( ro,,)

"'--;;-co~

(15.6)

La máxima respuesta de desplazamiento modal del modelo estructural se calcula en base a: (15.7) Las correspondientes fuerzas modales internas, fkn , se calculan en base al análisis estructural de matriz estándar, utilizando las mismas ecuaciones que se requieren para el análisis estático.

202

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA

15.4 CURVAS TÍPICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA La Figura 15 .1 presenta un segmento de diez segundos de los movimientos sísmicos de Loma Prieta registrados en un sitio uniforme en el Área de la Bahía de San Francisco. El registro ha sido conegido utilizando un algoritmo iterativo para cero desplazamiento, cero velocidad y cero aceleración al inicio y al final del registro de diez segundos. Para los movimientos sísmicos presentados en la Figura 15.la, las curvas del espectro de respuesta para el desplazamiento y para la pseudo-aceleración se resumen en las Figuras 15.2a y 15.2b. Las curvas de velocidad han sido omitidas de manera intencional porque no forman parte imprescindible del método de espectro de respuesta. Además, se necesitaría mucho espacio para definir claramente los té1minos tales como velocidad pico de suelo, espectro de pseudo-velocidad, espectro de velocidad relativa, y espectro de velocidad absoluta. 25

--+~-

20 15

'

10 -

5

o -5

! '

~--

-10

---

-15

-

'

-

t~

dl-11+-

1

t\f\f

\ ('! V

V

--

.~N

-

-20

-25

--

---{\ V

" '~ vv ---1-

~

+

-

1-~

-~

1

o

2

3

4

5

7

8

9

10

TIME· seconds

Figura 15.1 a Típica Aceleración Sísmica de Suelo - Porcentaje de Gravedad

203

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

2

3

4

5

7

6

8

9

10

TIME - seconds

Figura 15. Jh Típicos Desplazamientos Si~micos de Suelo - Pulgadas 20..--~~~;--~~--,~~~......,..~~~-,-~~~~

18

1-------------1------/~'c--_,

___________ -+

16r----------<----+-~-+r-

14 12i--~~~r--+-~r--~-~--~--+~~~--i-~--~~

10•---~----~r-1-,---------1~------+---------+-~~---1

2

3

4

5

PER!OD - Seconds

Figura 15.2a Espectro de Desplazamiento Relativo y(w)AfAX - Pulgadas

204

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA 100..--~~--,,~~~-,-~~~--,-~~~-,-~~---.

90f----~+-~-··--·--+-·---+·----~----··-

i 70 --1++,--t-----r--
60

1 ..............

Porciento de

5. O amortfauamiento

t

~··--l·++-+--·---..,.-L------~-........r···-

50 ··-+.:...+-·+-·--·-+--·--.f.-..----j--·-···-

1

40

so

/

L

20

-+---···-·-

/ \

. . ····. \

,~~

\1~

10 ---·-·r--¡.....c=.c~;;;;;:.::::::::1==:j O'--~~--"~~~--'-~~~-'-~~~-'-~~--'

o

2

4

3

5

PERIOD • Seconds

Figure 15.2b Espectro de Pseudo-Aceleración, S0 de la Gravedad

"'

co2y(co)MAX -Porcentaje

La máxima aceleración de suelo para el sismo que define la Figura 15.la es el 20.01 % de la gravedad a 2.92 segundos. Es importante notar que el espectro de pseudo-aceleración que se presenta en la Figura 15.2b tiene el mismo valor para un sistema de período muy corto. Esto es así por el hecho físico de que una estructura muy rígida se mueve como una masa rígida, y los desplazamientos relativos dentro de la estructura son iguales a cero, según lo indica la Figura 15.2a. También, el comportamiento de una estructura rígida no es una función del valor del amortiguamiento viscoso. El máximo desplazamiento de suelo indicado en Ja Figura 15.1 b es de -1 l.62 pulgadas a 1.97 segundos. Para sistemas de período largo, la masa de la estructura de un grado de libertad no se mueve de manera significativa, y posee un desplazamiento absoluto de aproximadamente cero. Por lo tanto, las curvas del espectro de desplazamiento relativo que se indican en la Figura 15.2a convergen a 11.62 pulgadas durante largos períodos, y para todos los valores del amortiguamiento. Este tipo de comportamiento físico real es fundamental para el diseño de estructuras de base aislada.

205

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

El espectro de desplazamiento relativo, Figura 15.2a, y el espectro de aceleración absoluta, ~igura 15.2b, son físicamente significativos. Sin embargo, el máximo desplazamiento relativo es directamente proporcional a las fuerzas máximas desarrolladas en la estrnctura. Para ese sismo, el máximo desplazamiento relativo es de 18.9 pulgadas a un período de 1.6 segundos para el 1 % (porciento) de amortiguación y 16.0 pulgadas a un período de 4 segundos para una amortiguación del 5 % (porciento). Es importante notar la diferencia significativa entre el amortiguamiento del 1 y del 5 % (porciento) para este tipo de sitio blando típico. Figura 15.2b, el espectro de aceleración absoluta, índica valores máximos a un período de 0.64 segundos para ambos valores de amortiguamiento. También, la multiplicación por oi tiende a eliminar completamente la información que contiene en el rango del período largo. Ya que la mayoría de las fallas estructurales durante sismos recientes han sido asociadas con sitios blandos, tal vez deberíamos considerar el uso del espectro de desplazamiento relativo como la forma fundamental de seleccionar un sismo de diseño. La parte de la curva de alta frecuencia y corto período siempre debe ser definida por lo siguiente:

ó

.. T2 y(T) MAX = ugMAX 4rr2

(15.8)

donde ii gl&IX es la aceleración pico del suelo.

15.5

EL MÉTODO cae DE COMBINACIÓN MODAL El método más conservador que se usa para estimar un valor pico de desplazamiento ó fuerza dentro de una estructura es usar la suma de los valores absolutos de respuesta modal. Este enfoque asume que los valores máximos modales para todos los modos ocurren en el mismo instante (punto en el tiempo). Otro enfoque muy común es el uso de la Raíz Cuadrada de la Suma de los Cuadrados, SRSS (por sus siglas en inglés), sobre los valores m.áximos modales para estimar los valores de los desplazamientos o de las fuerzas. El método SRSS asume que todos los valores máximos modales son

206

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA

estadísticamente independientes. Para estructuras tridimensionales donde un gran número de frecuencias son casi idénticas, no se justifica esta suposición. El método relativamente nuevo de combinación modal es la Combinación Cuadrática Completa, CQC, un método [1] que fue publicado por primera vez en el año 1981. Se basa en la teoría de vibraciones aleatorias, logrando gran aceptación entre la mayoría de los ingenieros, y ha sido integrado como opción en la mayoría de los programas modernos de computadora para el análisis sísmico. Debido a que muchos ingenieros y códigos de constmcción no requieren el uso del método CQC, uno de los propósitos de este capítulo, es explicar mediante ejemplo las ventajas del uso del método CQC, e ílustrar fos potenciales problemas del uso del método SRSS de combinación modal. El valor pico de una fuerza típica ahora puede ser estimado en base a los valores máximos modales, utilizando el método CQC con Ja aplicación de la siguiente ecuación de suma doble: (15.9)

donde / 11 es la fuerza modal asociada con el modo n. La duplicación de suma se realiza sobre todos los modos. Se pueden aplicar ecuaciones similares a los desplazamientos de nodos, los desplazamientos relativos, y cortantes de base y momentos de vuelco. Los coeficientes de modales transversales, Pnm, para el método CQC con amortiguación constante, son como sigue:

8(2 (1 +r )r312 Pnm "'(l-r2)2 + 4(2r(1 +r)2

(15.10)

donde r = (1) 11 / {j)m y debe ser igual a o menor de 1.0. Es importante notar que el aiTeglo de coeficientes de modo transversal es simétrico, y que todos los términos son positivos.

207

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

15.6 EJEMPLO NUMÉRICO DE COMBINACIÓN MODAL Los problemas asociados con el uso de la suma absoluta y el SRSS de la combinación modal pueden ser ilustrados mediante su aplicación al edificio de cuatro pisos que se presenta en la Figura 15.3. El edificio es simétrico; sin embargo, el centro de masa de todos los pisos está ubicada a unas 25 pulgadas desde el centro geométrico del edificio. Frame # 1

..

i

~

1

.. o l()

N

t

Frame # 3 Frarne # 2

200"

H

150" H

200" •

J

1 !

• C.G.

t

l

11

o o '
b l()

oo

l()

....

.. 250"

~

..

;rame#4~

1

1

..,.

·-:

-

550"

Plan

Elevation

Flgural5.3 U11 Ejemplo Se11cillo de Edificio Tridime11sio11al La Figura 15,4 resume la dirección del movimiento sísrrúco aplicado, una tabla de las frecuencias naturales, y la dirección principal de la forma de modo.

208

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA

Mode

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10

11 12

Frequencies (Radians/sec.)

, 13.869 13.931 43.995 44.189 54.418 77.686 78.029 108.32 108.80

172.613 304.80 425.00

Figura 15.4 Frecuencias y Direcciones Aproximadas de las Formas de Modo Se nota la cercanía de las frecuencias que es típico de la mayoría de las estructuras de edificios tridimensionales que están diseñados para resistir sismos desde ambas direcciones por igual. Debido a la pequeña excentricidad de masa, lo cual es nmmal en estructuras reaies, la forma del modo fundamental posee x, y, además de componentes de torsión. Por lo t~nto, el modelo representa un sistema muy común de edificio tridimensional. También, Note que no existe una forma de modo en una dirección particular dada, tal como se implica en muchos códigos de construcción y en algunos textos sobre la dinámica elemental. El edificio estuvo sometido a una componente del sismo Taft del 1952. Se realizó un análisis en función del tiempo (histórico de tiempo preciso) utilizando los 12 modos y un análisis de espectro de respuesta. La Figura 15.5 presenta los cortantes basales máximos modal en los cuatro pórticos para los primeros cinco modos. La Figura 15.6 resume los máximos cortantes de base en cada uno de los cuatro pórticos, utilizando métodos diferentes. Son exactos los conantes basales en !ústoria de tiempo, que se presentan en la Figura 15 .6a. El método SRSS, de la Figura 15.6b, produce cortantes de base que subestiman los valores exactos en la dirección de las cargas en aproximadamente un 30 % (porciento), y sobre

209.

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

estiman los cortantes de base n01males a las cargas por un factor de 10. La suma de los valores absolutos, Figura 15.6c, sobre estima de manera exagerada todos los resultados. El método CQC , Figura 15.6d, produce valores muy realistas que se acercan a la solución exacta de historia de tiempo. 52.30 k

47.33 k

~1 "'1

i

~i

lo<

'

i~"'

--------

\!

5753k

52.30 k

7.42 k

8.12 k _.........._

~1

i~

i\

1~ ~i

+

lo<

902 k

0.40 k

t~

Iº 1

0.33 k

8.12 k

Fíg 15.5 Cortante de Base en cada Pórtico para los Primeros Cinco Modos La Tabla 15.l resume los coeficientes de correlación transversal modal para este edificio. Es importante notar la existencia de térmínos relativamente grandes fuera de la diagonal, que indican cuáles modos están acoplados.

1

Mode

1

2

3

4

5

UJ, (rad/sec)

1

1.000

0.998

0.006

0.006

0.004

13.87

2

0.998

1.000

0.006

0.006

0.004

13.93

3

0.006

0.006

1.000

0.998

0.180

43.99

4

0.006

0.006

0.998

1.000

0.186

44.19

5

0.004

0.004

0.180

0.186

1.ÓOO

54.42

Tabla 15.1 Coeficientes de Correlación Transversal Modal

210

e;= O.OS

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA

71.4 k

102.1 k

L

~1

¡:

h

111')

ª¡ ...,._____ ¡~

112.4 k

788 k

(a) Time History

(b) SRSS

116 k

~1

100.8 k

t

1"'

I~

t 127 k

(e) Sum of Absolute Values

•

¡~

~1

111.1 k (d)CQC

Fig 15.6 Comparación de Métodos de Combinación Modal Si se notan las señales de los cmtantes de base modales que se presentan en la Figura 15.3, es evidente cómo la aplicación del método CQC permite que la suma de las cortantes de base en la dirección del movimiento externo sea agregada directamente. Además, la suma de los cortantes de base, nonnales al movimiento externo, tienden a cancelarse. La capacidad del método CQC de reconocer el signo relativo de los términos en la respuesta modal representa la clave para la eliminación de errores en el método SRSS.

15.7 ESPECTROS DE DISEÑO Los espectros de diseño no son curvas irregulares tal como se indica en la Figura 15.2, porque están dirigidos a constituir el promedio de muchos sismos. En la actualidad, muchos códigos de constrnccíón especifican espectros de diseño en la forma mostrada en la Figura 15.7.

211

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

El Código Unifonne de la Construcción define ecuaciones específicas para cada rango de la curva del espectro para cuatro tipos de suelo diferentes. Para estructuras grandes, en la actualidad es común desarrollar un espectro de diseño dependiente del sitio que incluya el efecto de las condiciones locales del suelo y la distancia a las fallas más cercanas. 3

~

2.5

ti::

..91

8

-\

2

«:

.g

::;

Q) (()

1.5

Q 'a Q)

.'::!

1

:::::: (IJ

g o

......

..........

\

\

'

0.5

< o o

2

~4

.............

---6

8

10

PERIOD - Seconds

Figura 15. 7 Espectro de Diseño Típico 15.8

EFECTOS ORTOGONALES EN EL ANÁLISIS ESPECTRAL Una estructura bien diseñada debe ser capaz de resistir igualmente movimientos sísmicos desde toda dirección posible. Una opción en los códigos de diseño existentes para edificios y puentes requiere que los elementos sean diseñados para "el 100 % (porciento) de las fuerzas sísmicas prescritos en una dirección, más el 30 % (porciento) de las fuerzas prescritas en la dirección perpendicular." Otros códigos y otras organizaciones requieren el uso de un 40 % (porciento) en vez del 30 % (porciento). Sin embargo, no dan ninguna indicación de la manera de determinar las direcciones para estructuras complejas. Para estructuras rectangulares con direcciones principales claramente definidas, estas reglas de "porcentaje" producen aproximadamente los mismos resultados que el método SRSS .

•

?1?.

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA

Para estructuras complejas tridimensionales, tales como edíficios norectangulares, puentes arqueados, presas arqueadas o sistemas de tubería, no es aparente la dirección del sismo que produce los esfuerzos máximos en un elemento particular o en nn punto específico. Para datos de historia de tiempo, es posible realizar un gran número de análisis dinámicos en varios ángulos de aportes para revisar todos los puntos correspondientes a las direcciones sísmicas críticas. Un estudio tan elaborado concebiblemente produce una dirección crítica diferente para cada esfuerzo evaluado. Sin embargo, el costo de dicho estudio seda prohibitivo. Es razonable suponer que los movimientos que tienen lugar durante un sismo tengan una dirección principal [2]. O, durante un plazo finito de tiempo cuando ocurre la máxima aceleración del suelo, existe una dirección principal. Para la mayoría de las estructuras, dicha dirección se desconoce, y para la mayoría de los sitios geográficos no puede ser estimada. Por tanto, el único criterio racional de diseño sísmico es que la estructura debe resisitir un sísmo de una magnitud dada desde cualquier dirección posible. Además del movimiento en la dirección principal, existe una probabilidad de que los movimientos perpendiculares a dicha dirección ocurran simultáneamente. Además, debido a la complejidad de la propagación de una onda tridimensional, es válido suponer que dichos movimientos nom1ales son estadísticamente independientes. En base a estas suposiciones, una declaración del criterio de diseño es que "una estructura debe resistir un movimiento sísmico fuerte de una magnitud s1 para todos los ángulos que sean posibles, y en el mismo punto en tiempo deben resistir movimientos sísmicos de una magnitud S2 a (en) 90º con

e

resultante en un ángulo B." La Figura 15.1 presenta estos movimientos de manera esquemática.

15.8.1 Ecuaciones Básicas para el Cálculo de Fuerzas Espectrales El criterio de diseño declarado implica el hecho de que un elevado número de análisis diferentes debe ser realizado para determinar las fuerzas y los esfuerzos máximos de diseño. Se demostrará en esta sección que los valores máxímos

213

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

para todos los elementos pueden ser evaluados de manera exacta en base a un ejercicio computarizado en el cual se apliquen dos movimientos dinámicos globales. Además, las fuerzas máximas de elemento calculadas no varían con respecto al sistema de selección. 90

ll

Plan View

... o''

--+--~-·~------------

Figura 15.8 Definición de Entrada del Espectro Sísmico La Figura 15.8 índica que las acciones básicas del espectro S1 y Si se aplican a un ángulo arbitrario e . En algún punto típico dentro de la estructura, estas acciones producen una fuerza, un esfuerzo o un desplazamiento F. Para simplificar el análisis, se asumirá que la entrada de espectro menor sea una fracción de la entrada del espectro mayor. O: (15.11)

donde a es un número entre Oy 1.0. Recientemente Menun y Der Kiureghian [3] presentaron el método CQC3 para la combinación de los efectos del espectro ortogonal. La ecuación fundamental CQC3 para el estimado de un valor pico es como sigue:

11

214

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA

2 2 F =[f'o + a2 E;,~ -(I -a2Xrt - Fi0)sin e 1

(15.12)

+ 2(1- a2)f'o_90 sin ecos e+ F,2 ]Z donde, (15.13) n

m

n

m

(15.14)

(15.15) n

m

(15.16) n

m

donde fon y / 9011 son los valores modales producidos por el 100% del espectro lateral aplicado en O y 90 grados respectivamente, y fw es la respuesta modal del espectro vertical que puede ser diferente del espectro lateral.

Es importante notar que, para los espectros constantes (iguales) a= l , el valor F no es una función de e y la selección del sistema de referencia de análisis es arbitraria. Esto es: (15.17) Esto índica que es posible realizar solamente un análisis con cualquier sistema de referencia, y la estructura que resulta tendrá todos los elementos que sean diseñados para resistir de manera igual los movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones posibles. Este método es aceptable según Ja mayoría de Jos códigos de constmcción.

215

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

15.8.2 El Método General CQC3 Para a= 1 , el método CQC3 se reduce al método SRSS. Sin embargo, esto puede ser excesivamente conservador porque no se han registrado movimientos reales del suelo de valores iguales en todas las direcciones. Normalmente el valor de 8 en la Ecuación (15.12) se desconoce; por lo tanto, es necesario calcular el ángulo crítico que produzca la máxima respuesta. La diferenciación de la Ecuación (15.12) y fijando los resultados a cero produce lo siguiente: 8 =l_ tan -t ¡_3_F'o-9o J ª 2 F}o -F!90

(15.18)

Existen dos raíces para la Ecuación (15.17) que deben ser revisadas para que la siguiente ecuación sea máxima: FMAX

=[Fi + ª2Fio -(1 - a2 XF'o2 -

F'g~) sin

2

ecr

1

- 2(1- a

2

(15.19)

)f'o_90 sin ec, cos 8c, + F}]"i

En Ja actualidad no existen recomendaciones con pautas específicas para el valor de a. La referencia [3] presentó un ejemplo con valores a entre 0.50 y 0.85.

15.8.3 Ejemplos de Análisis de Espectros Tridimensionales La teoría ante1iormente presentada indica claramente que la regla de combinación CQC3, donde a es equivalente a 1.0, es idéntica al método SRSS, y produce resultados para todos los sistemas estructurales que no sea una función del sistema de referencia que utilice el ingen!ero. Se presentará un ejemplo para demostrar las ventajas del método. La Figura 15.9 ilustra una estructura muy sencilla de un solo piso que fue seleccionada para comparar los ' resultados de las reglas de porcentaje 100/30 y 100/40 con la regla SRSS.

216

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA

r

+

3

Typk:il Column:

2

¡,, ~ 100 }1 4

"'

1·4

1)) "' 200 ( F. L

"' .10 kip//i 2 "'40 ji 0.25 kip·Sf('L~{t

TQlalMim:

M ,, LOO kip·sec2
¡:;¡<',,......,..:;-i!lli!l,~ X X

~.

)'

~.

X"" 150 Jí

!06.06 Ji 44.19 ji

Figura 15.9 Estructura Tridimensional Note que las masas no están ubicadas en el centro geométrico de la estructura. Dícha estructura tiene dos traslaciones y un grado-de-libertad de rotación ubicado en el centro de masa. Las columnas, que quedan sujetas a flexión alrededor de los ejes locales 2 y 3, están simplemente apoyadas en el extremo superior donde están conectadas a un diafragma rígido en el plano. La Tabla 15.2 resume los períodos y las fuerzas cortantes en las bases normalizadas asociadas con las formas de modo. Debido a que la estructura tiene un plano de simetría en 22.5 grados, el segundo modo no tiene torsión, y tiene un cortante de base normalizado en 22.5 grados con el eje x. Debido a esta simetría, es evidente que las columnas 1 y 3 (o las columnas 2 y 4) deben ser diseñadas para las mismas fuerzas.

Modo

Períodos (Segundos)

Fuerza X

Fuerza Y

Dirección del Cortante de Base (Grados)

1.

1.047

0.383

-0.924

-67.5

2

0.777

-0.382

0.924

112.5

3

0.769

0.924

0.383

22.5

Tabla 15.2 Períodos y Cortante de Base Normalizada

217

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

La Tabla 15.3 presenta la definición del espectro de respuesta del desplazamiento promedio que se usa en el análisis espectral. Período (Segundos)

Masa X

Masa Y

Valor de Espectro Usado para el Análisis

1

1.047

12.02

70.05

1.00

2

0.777

2.62

15.31

1.00

3

0.769

85.36

14.64

1.00

Modo

.

Tabla 15.3 Masas Participantes y Espectro de Respuesta Usado

Los momentos alrededor de los ejes locales 2 y 3 en la base de cada una de las cuatro colunma<> para el espectro aplicado por separado en O.O y 90 grados se presentan en las Tablas 15.4 y 15.5, donde se comparan a la regla 100/30.

MsRss= Elemento

Mo

M9o

~Mo2 +M902

Mwono

Error(%)

1

0.742'

1.750

1.901

1.973

3.8

2

1. i 13

2.463

2.703

2.797

3.5

3

0.940

1.652

1.901

1.934

1.8

4

1.131

2.455

2.703

2.794

3.4

Tabla 15.4 Momentos Alrededor del Ejes 2- SRSS vs. Regla 100/30

Elemento

Mo

M9o

MsRss= ~Mo2 +M90-?

M100130

Error(%)

1

2.702

0.137

2.705

2.743

1.4

2

2.702

0.137

2.705

2.743

1.4

3

1.904

1.922

2.705

2.493

-7.8

4

1.904

1.922

2.705

2.493

-7.8

11

Tabla 15.5 Momentos Alrededor del Ejes 3- SRSS vs. Regla 100/30

218

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA

Para este ejemplo, las fuerzas máximas no varían de manera significativa entre los dos métodos. Sin embargo, sí ilustra el hecho de que el método de combinación 100/30 produce momentos que no son simétricos, mientras que el método de combinación SRSS produce momentos lógicos y simétricos. Por ejemplo, el elemento 4 sería sobre-diseñado en un 3.4 o/o alrededor del eje local 2, y sería sub-diseñado en un 7. % alrededor del eje local 3, si se utilizara la regla de combinación 100/30. Las Tablas 15.6 y 15.7 resumen los momentos de diseño SRSS y 100/40 alrededor de los ejes locales 2 y 3 en la base de cada una de las cuatro columnas. Tabla 15.6 Momentos alrededor del Ejes 2 - SRSS vs. Regla 100/40

MsRss== Elemento

Mo

M9o

~ Mo 2 +M902

M100140

1

0.742

1.750

1.901

2.047

7.7

2

1.113

2.463

2.703

·2.908

7.6

3

0.940

1.652

1.901

2.028

1.2

4

1.131

2.455

2.703

2.907

Error(%) ,

-

7.5

Tabla 15.7 Momentos Alrededor del Ejes 3 - SRS vs. Regla 100/40

MsRss"' Elemento

Mo

M9o

~Mo2 +M90 2

M100!40

Error(%)

1

2.702

0.137

2.705

2.757

1.9

2

2.702

0.137

2.705

2.757

1.9

3

1.904

1.922

2.705

2.684

-0.8

4

1.904

1.922

2.705

2.684

-0.8

219

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Los resultados que se presentan en las Tablas 15.6 y 15.7 también ilustran que el método de combinación 100/40 produce resultados que no son razonables. Debido a la simetría, los elementos 1 y 3, y los elementos 2 y 4 deben ser diseiíados para los mismos momentos. Ni la regla 100/30 ni la regla 100/40 logra pasar esta prueba sencilla. Sí un ingeniero estructural desea ser conservador, los resultados de la regla de combinación direccional SRSS o el espectro de entrada pueden ser multiplicados por un factor adicional mayor de uno. No se debe intentar justificar el uso de la regla de porcentaje 100/40 porque es conservadora "en la mayoría de los casos." Para estmcturas complejas tridimensionales, el uso de la regla de porcentaje 100/40 o 100/30 produce diseiíos de elementos que no son igualmente resistentes a movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones posibles.

15.8.4 Recomendaciones Sobre Efectos Ortogonales Para el análisis de espectros de respuesta tridimensionales, se ha demostrado que "el diseño de elementos para el 100 % de las fuerzas sísmicas prescritas en una dirección más el 30 o el 40 % de las fuerzas prescritas aplicadas en dirección perpendicular" depende de la selección del sistema de referencia por parte del usuario. Estas "reglas de combinación porcentual" de uso común son empíricas, y pueden subestimar las fuerzas de diseño en ciertos elementos, y pueden producir un diseño de un elemento que sea relativamente débil en una dirección. Se ha demostrado que el método alternativo aprobado del código de construcción, donde una combinación SRSS de dos análisis de espectro del 100 o/o con respecto a cualquier eje ortogonal definido por el usuario, produce fuerzas de diseño que no sean una función del sistema de referencia. Por lo tanto, el diseño estructural que resulta posee igual resistencia a movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones. Se debe usar el método CQC3 si se puede justificar un valor a de menos de LO Esto producirá resultados realistas que no son una función del sistema de referencia seleccionado por el usuario.

220

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA

15.9 LIMITACIONES DEL MÉTODO DE ESPECTRO DE RESPUESTA Es evidente que el uso del método de espectro de respuesta tiene limitaciones, algunas de las cuales pueden ser eliminadas sí se desanolla más. Sin embargo, nunca será preciso para el análisis no-lineal de estructuras de múltiples grados de libertad. El autor cree que en el futuro se llevarán a cabo más análisis de la respuesta dinámica en función de historia-tiempo, y que se evitarán las múltiples aproximaciones asociadas al uso del método de espectro de respuesta. Algunas de estas limitaciones adicionalés serán abordadas en esta sección.

15.9.1 Cálculos de Ja Deriva de Pisos Todo desplazamiento producido por el método de espectro de respuesta son números positivos. Por tanto, una gráfica de una forma dinámica desplazada tiene poco significado porque cada desplazamiento constituye un estimado del valor máximo. Se usan desplazamientos entre-pisos para estimar los daños de elementos no-estrncturales y no pueden ser calculados directamente en base a los probables valores pico de desplazamiento. Un método sencillo para obtener un probable valor pico de deformación cortante es colocar un elemento de panel muy fino, con un módulo de cortante unitario , en el área donde se debe calcular la deformación. El valor pico del esfuerzo cortante sería un buen estimado del índice de daño. El código actual sugiere un valor máximo de 0.005 de la relación de deriva , que es igual que la deformación cortante de panel si se descuidan los desplazamientos verticales.

15.9.2 Estimación de Esfuerzos Espectrales en Vigas La ecuación fundamental para el cálculo de los esfuerzos dentro de la sección transversal de una viga es la siguiente: (15.20)

221

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Esta ecuación puede ser evaluada para un punto específico x , y en la sección transversal, y para el cálculo de las fuerzas axiales máximas de espectro y para los momentos máximos, que son todos valores positivos. Es evidente que el esfuerzo que resulta podría ser conservador porque es probable que no todas las fuerzas obtengan sus valores pico al mismo tiempo. Para el análisis de espectro de respuesta, el enfoque correcto y preciso para la evaluación de la ecuación (15.20) es evaluar la ecuación para cada modo de vibración. Esto toma en consideración los signos relativos de fuerzas axiales y momentos en cada modo. Luego se puede calcular un valor preciso del esfuerzo máximo en base a los esfuerzos modales utilizando el método de doble suma CQC. La experiencia del autor con estructuras grandes tridimensionales indica que los esfuerzos calculados en base a Jos esfuerzos modales pueden ser menos del 50 % del valor calculado utilizando valores pico máximos de momentos y de fuerza axial.

15.9.3 Revisiones de Diseño para Vigas de Acero y Concreto Desafortunadamente, la mayoría de las ecuaciones para revisión de diseño de estructuras de acero están redactadas en ténninos de "relaciones de fuerza de diseño" que son una función no-lineal de la fuerza axial en el elemento; por lo tanto, no se pueden calcular las relaciones en cada modo. El autor propone un nuevo método de aproximación para sustituir el enfoque vanguardista de calcular las relaciones de fuerza en base a los valores máximos pico de las fuerzas del elemento. Esto implica en primer Jugar el cálculo de la fuerza máxima axial. Luego se evaluarían las relaciones de diseño modo por modo, asumiendo que el factor de reducción máxima de fuerza axial permanezca constante para todos los modos. Luego se estimaría la relación de diseño para el elemento utilizando un método de combinación modal de doble suma, como por ejemplo el método CQC3. Este enfoque mejora la precisión a la vez de que sigue siendo conservador. Para estructuras de concreto, se requiere desarrollo de trabajo adicional para desarrollar de un método completamente racional para el uso de fuerzas de espectro máximas en una ecuación de revisión de diseño debido al comportamiento no-lineal de los elementos de concreto. Un análisis en función

222

ANÁLISIS DE ESPECTRO DE RESPUESTA

de historia-tiempo podría ser el único enfoque que produzca fuerzas racionales de diseño.

15.9.4 Cálculo de Fuerza Cortante en Pernos Con respecto al problema interesante de calcular la fuerza máxima cortante en un pemo, no es correcto estimar la fuerza máxima cortante en base a una suma de vector porque los cortantes x e y no obtienen sus valores pico al mismo tiempo. Un método correcto para estimar el cortante máximo en un perno es revisar el cortante máximo del perno en ángulos diferentes alrededor del eje del perno. Esto constituiría un enfoque tedioso utilizando cálculos manuales; sin embargo, sí el enfoque se integra en un programa de computadora posprocesador, el tiempo de computación para calcular la fuerza máxima del perno sería tri vial. El mismo problema existe si se deben calcular los esfuerzos principales en base a un análisis de espectro de respuesta. Hay que chequear en diferentes ángulos para estimar el valor máximo y mínimo del esfuerzo en cada punto de la estructura.

15.1 O RESUMEN En este capítulo se ha ilustrado que el método de espectro de respuesta para el análisis dinámico debe ser utílizado cuidadosamente. Se debe usar el método CQC para Ja combinación modal máxima para minimizar la introducción de errores evitables. El aumento del esfuerzo de computación, en comparación con el método SRSS, es pequeño en comparación con el tiempo total de computadora para un análisis sísmico. El método CQC posee una base teórica sana, y ha sido aceptado por la mayoría de los expertos en la ingeniería sísmica. No se puede justificar el uso de la suma absoluta o el método SRSS para la combinación modal. En otro orden, para que una estructura tenga igual resistencia a movimientos sísmicos procedentes de todas las direcciones, se debe usar el método CQC3 para combinar los efectos de los espectros sísmicos aplicados en tres dimensiones. Los métodos de la regla del porcentaje carecen de base teórica, y no son invariables en cuanto al sistema de referencia.

223

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Sin embargo, los ingenieros deben comprender claramente que el método de espectro de respuesta constituye un método aproximado que se usa para estimar los valores pico máximos de desplazamientos y fuerzas, y que posee limitaciones significativas. Este se limita al análisis elástico lineal donde las propiedades del amortiguamiento solamente pueden ser estimados con un bajo grado de confianza. El uso de espectros no-lineales, una práctica común, tiene muy pocos antecedentes teóricos, y este enfoque no debe ser aplicado en el análisis de estructuras complejas tridimensionales. Para dichas estructuras, se debe usar la respuesta de historia de tiempo no-lineal verdaderas, según lo indicado en el Capítulo 19.

15.11 REFERENCIAS l. Wílson, E, L., A. Der Kiureghian and E. R. Bayo. 1981. "A Replacement for the SRSS Method in Seismic Analysis," Earthquake Engineering and Structural Dynamics. Vol. 9. pp. 187-192.

2. Penzíen, J., and M. Watabe. 1975. "Characteristics of 3-D Earthquake Ground Motions," Earthquake Engineering and Structural Dynamics. Vol. 3. pp. 365-373.

3. Menun, C., and A. Der Kiureghian. 1998. "A Replacement for the 30 % Rule for Multicomponent Excitation," Earthquake Spectra. Vol. 13, Number l. February.

224

16.

INTERACCIÓN SUELO· ESTRUCTURA A una Distancia Finita de una Estructura, los Desplazamientos Absolutos Deben Aproximarse a los Desplazamientos de Campo Libre

16.1

INTRODUCCIÓN La estimación de los movimientos sísmicos en el sitio de una estructura constituye la fase más importante del diseño o modificación de una estructura. Debido al elevado número de suposiciones que se requieren, los expertos en la materia muchas veces discrepan, por más de un factor de dos, acerca de la magnitud de los movimientos esperados en el sitio sin la presencia de la estructura. Sin embargo, esta falta de precisión acerca de las acciones básicas no justifica la introducción de aproximaciones adicionales innecesarias en el análisis dinámico de la estructura y su interacción con el material debajo de la estructura. Por lo tanto, se supone que los movimientos de campo libre en el sitio de la estmctura, en ausencia de la misma, pueden ser estimados y que son especificados en la forma de registros de aceleración sísmica en tres direcciones. En la actualidad es una práctica común, en proyectos grandes de ingeniería, investigar varios grupos diferentes de movimiento sísmicos para considerar eventos de fallas tanto cercanas como lejanas.· Si una estmctura flexible de peso ligero está erigida sobre una fundadón rocosa muy rígida, es válido suponer que el movimiento por energía abs-0rbida en la base de la estructura sea la mismo que el movimiento sísmico de campo libre." Esta suposición es válida para un elevado número de sistemas de construcción porque

225

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

la mayoría de los tipos de estructuras de edificios están vacíos en un 90 por ciento, y no es inusual que el peso de la estructura sea igual al peso del suelo excavado antes de la construcción de la estructura. Sin embargo, si la estructura es muy masiva y rígida, como es el caso de una represa de concreto por gravedad, y la fundación es relativamente blanda, el movimiento en la base de Ja estructura podría ser signific:;itivamente diferente al movimiento superficial libre. Sin embargo, aún para este caso extremo, es evidente que los efectos de interacción más significativos tendrán lugar cerca de la estructura, y a cierta distancia finita de la base de la estructura, los desplazamientos convergerán de vuelta al movimiento sísmico libre.

16.2

ANÁLISIS DE RESPUESTA DE SITIO El tetTemoto del año 1985 en Ciudad México y muchos otros terremotos recientes indican claramente la importancia de las propiedades locales de suelo sobre la respuesta sísmica de estructuras. Estos terremotos demostraron que los movimientos de la roca pod1ian ser amplificados en la base de una estructura por un factor de más de cinco. Por lo tanto, existe un fuerte motivo desde el punto de vista de la ingeniería para un análisis de respuesta dinámica del sitio para el caso de muchas fundaciones, para determinar los movimientos sísmicos de campo libre. La determinación de un movimiento superficial de campo libre dependiente del sitio en la base de la estructura podría representar el paso más importante en el diseño sismo-resistente de cualquier estructura. Para la mayoría de los sitios caracterizados por estratos horizontales, se puede considerar un modelo unidimensional de cortante puro para calcular los desplazamientos supe1ficiales de campo libre dado el rilovimiento sísmico en Ja base de un depósito de suelo. Existen muchos programas especializados de computadora para este propósito, SHAKE [1] es un programa bien conocido basado en el método de solución de dominio de frecuencia. SHAKE itera para estimar la rigidez lineal efectiva y las propiedades de am01tiguamiento para aproximar el comportamiento no-lineal de un sitio. WAVES [2] es un nuevo programa no-lineal donde las ecuaciones no-lineales del movimiento se solucionan utilizando un método de integración directa paso-a-paso. Si se puede considerar lineal el material del suelo, el programa SAP2000, utilizando el elemento SOLID, puede calcular movimientos de campo libre unidimensionales,

226

INTERACCIÓN SUELO - ESTRUCTURA

bidimensionales, o tridimensionales en la base de una estmctura. Además, se puede realizar con precisión un análisis unidimensional no-lineal del sitio utilizando la opción FNA en el programa SAP 2000.

16.3 CINEMÁTICA O INTERACCIÓN ESTRUCTURA-SUELO El enfoque más común de interacción suelo-estructura (SSI) que se utiliza para sistemas tridimensionales de suelo-estructura está basado en la formulación de "movimiento agregado" [3]. Esta formulación es matemáticamente sencilla, teóricamente correcta, y fácil de automatizar y utilizar dentro de un programa general de análisis estructural lineal. Además, la formulación es válida para movimientos de campo libre provocados por ondas sísmicas generadas por cualquier fuente. El método requiere que los movimientos de campo libre en la base de la estructura sean calculados antes del análisis interactivo suelo-estructura. Para desan-ollar ecuaciones de equilibrio dinámico fundamental SSI, considere el sistema tridimensional suelo-estrnctura que se presenta en la Figura 16.1.

Estructura Anexa (s)

\ Sistema Suelo-Fundacífm-ff)/ -~-~--~

U=v+u U =Desplazamientos Absolutos v =Desplazamientos CampD Libre

u= Desplazamientos Adicionales

Figura 16.J Molle/o Interacción Suelo-Estructura

227

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

Considere el caso donde el modelo SSI está dividido entre tres grupos de puntos nodales. Los nodos comunes en el interfaz de la estructura y la fundación están identificados con "e"; los demás nodos dentro de la estructura son nodos "s"; y los otros nodos dentro de la fundación son nodos "f'. En base al enfoque de rigidez directa en el análisis estructural, el equilibrio de la fuerza dinámica del sistema se da en términos de los desplazamientos absolutos, U, mediante Ja siguiente ecuación de sub-matriz: r 1 Mss

' o o

l

( 16.l)

donde la masa y la rigidez en Jos nodos de contacto son la suma de las contribuciones de la estructura (s) y la fundación (j), y se expresan así: M =M(sJ + M(f) and K ce =K(sl +KC!l ce ce ce cc~cc

(16.2)

En términos del movimiento absoluto, no existe ninguna fuerza externa que actúe sobre el sistema. Sin embargo, los desplazamientos en el borde de la fundacíón deben ser conocidos. Para evitar solucionar este problema SSI directamente, se calcula la respuesta dinámica de la fundación sin la estrnctura. En muchos casos esta solución de campo libre puede obtenerse en base a un sencillo modelo unidimensional del sitio. La solución de campo tridimensional libre está designada por los desplazaniientos absolutos v y aceleracíones absolutas v . Mediante un simple cambio de variables, ahora es posible expresar los desplazamientos absolutos U y las aceleraciones Ü en términos de desplazamientos u relativos a los desplazamientos de campo libre v . O:

(16.3a)

Ahora se puede expresar la Ecuación (16.1) como sigue:

228

(16.3b)

INTERACCIÓN SUELO - ESTRUCTURA

(16.4) Mss

- o rL o Si el desplazamiento de campo libre ve es constante sobre Ja base de la estructura, el término v s es el movimiento de la masa rígida de la estmctura. Por lo tanto, la Ecuación (16.4) puede ser simplificada aún más por el hecho de que el movimiento de la masa rígida estática de la .estructura es: (16.5)

También, el movimiento dinámico de campo libre de la fundación requiere que: (16.6)

Por Jo tanto, el lado derecho de Ja Ecuación (16.4) puede escribirse así:

(16.7)

Por lo tanto, el lado derecho de la Ecuación (16.4) no contiene la masa de la fundación. Por lo tanto, las ecuaciones del equilibrio dinámico tridimensional del sistema completo suelo-estructura con amortiguamiento agregado son de Ja siguiente forma para un sistema combinado de masa: Mü + Cti + Ku=- m,v,(t)· my vy(l)-m, v,(t)

(16.8)

donde M, C, y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez,

229

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

respectivamente, del modelo suelo-estructura Los desplazamientos relativos agregados, u , existen para el sistema suelo-estructura, y deben ser fijados en cero en los lados y el fondo de la fundación. Los términos v,(t), vy(t) y vz(t) son los componentes de campo libre de la aceleración en ausencia de la estructura. Las matrices de columna, m¡ , representan las masas direccionales para la estructura agregada solamente. La mayoría de los programas de computadora para el análisis estructural automáticamente aplican la carga sísmica a todos los grados de libertad de la masa dentro del modelo computarizado, y no pueden solucionar el problema SSI: Esta falta de capacidad ha motivado el desarrollo del modelo de la fundación sin masa. Esto permite que las fuerzas sísmicas correctas sean aplicadas a la estructura; sin embargo, se descuidan la fuerzas de inercia dentro del material de la fundación. Los resultados de un análisis de una fundación sin masa convergen a medida que se aumente el tamaño del modelo de la fundación. Sin embargo, las soluciones de convergencia pueden tener errores evitables en las fotmas, frecuencias y respuesta modales del sistema. Para activar la interacción suelo-estructura dentro de un programa de computadora, sólo es necesario identificar la masa de la fundación para que la carga no sea aplicada a esa parte de la estructura. Luego el programa dispone de la información que se requiere para formar tanto la masa total y la masa de la estructura agregada. El programa SAP2000 tiene esta opción y es capaz de solucionar el problema SSI correctamente.

16.4 RESPUESTA Al MOVIMIENTO DE MÚLTIPLES APOYOS El análisis SSI anterior supone que el movimiento de campo libre en la base de la estructura sea constante. Para estructuras grandes como puentes y presas arqueadas, el movimiento de campo libre no es constante en todos los puntos donde la estructura tenga contacto con la fundación. El enfoque que se usa normalmente para solucionar este problema es definir un desplazamiento cuasi-estático ve que se calcula en base a la siguiente ecuación:

230

INTERACCIÓN SUELO - ESTRUCTURA

La matriz de transformación T,c permite que se calcule la correspondiente aceleración cuasi-estática de la estructura en base a: (16.9c) La Ecuación (16.4) puede escribirse de la siguiente manera:

(16.10)

Después de sustituir las Ecuaciones (16.6) y (16.9), se puede escribir la Ecuación (16.10) como sigue:

(16.ll)

La rigidez estructural reducida en la superficie de contacto Kcc se da como sigue: (16.12)

Por lo tanto, ese enfoque requiere de una opción especial del programa para calcular las matrices de masa y rigidez que se usarán en el lado derecho de las ecuaciones de equilibrio dinámico. Note que las cargas son una función tanto de los desplazamientos de campo libre como de las aceleraciones en el contacto suelo-estructura. También, para obtener el total de los esfuerzos y los desplazamientos dentro de la estructura, hay que agregarle la solución cuasiestátíca a la solución. En la actualidad no hay un programa general de computadora de análisis estructural que esté basado en este enfoque "numéricamente laborioso." Un enfoque alternativo es formular la solución directamente en ténninos de los desplazamientos absolutos de la estructura. Esto implica la introducción del siguiente cambio de variables:

231

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

(16,13)

La sustitución de este cambio de variables en la Ecuación (16.1) produce las siguientes ecuaciones de equilibrio dinámico en términos del desplazamiento absoluto, u, , de la estmctura:

(16.14)

Después de eliminar la respuesta de campo libre, la Ecuación (16.6), la carga dinámica en base a la siguiente ecuación:

se calcula

~

Kss

R=:-

Kcs

o

K," K(s) ce

(16.15a)

o

Esta ecuación puede ser simplicada aún más conectando la estructura a la fundación con resortes rígidos sin masa que se consideren parte de la estructura. Por lo tanto, la masa de la estructura en los nodos de contacto queda eliminada, y la Ecuación (16.15a) se reduce a:

(16.15b)

Es evidente que los términos de rigidez en la Ecuación (16J5b) representan la rigidez de los resortes de contacto solamente. Por lo tanto, para un componente típico de desplazamiento (n :::: x, y ó z), las fuerzas que actúan en el punto "i" en la estructura y el punto T en la fundación se dan mediante:

232

INTERACCIÓN SUELO - ESTRUCTURA

fR;J __ . [ 1.0

l

R1.

" -

k" -1.0

-1.0l[ºJ 1 O vn .

(16.16)

j

donde k11 es la rigidez del resorte sin masa en la n-ésima dirección, y v 11 es el desplazamiento de campo libre. Por lo tanto, los puntos "i" y 'T' pueden encontrarse en el mismo punto en el espacio, y las únicas cargas que actúan son una serie dependiente del tiempo de cargas puntuales concentradas que son fuerzas iguales y opuestas entre la estructura y la fundación. La rigidez del resorte seleccionada debe ser aproximadamente tres órdenes de magnitud mayores que la rigidez de la estructura en los nodos de conexión. La rigidez del res01ie debe ser lo suficiente grande para que los períodos fundamentales del sistema no sean cambiados, y lo suficientemente pequeños para que no provoquen problemas numéricos. Las ecuaciones de equilibrio dinámico, con amortiguamiento agregado, pueden escribirse como sigue:

Mü+Cú +Ku=R

(16.17)

Se debe notar que las cargas dinámicas concentradas generalmente requieren un número elevado de autovectores para captar la respuesta correcta del sistema. Sin embargo, si se usan vectores LDR en un análisis de superposición de modo, se reduce de manera significativa el número de vectores que se requiere. Utilizando este enfoque, el programa SAP2000 tiene la capacidad de solucionar problemas de interacción suelo-estructura de múltiples soportes. Al mismo tiempo, se puede considerar el comportamiento selectivo no-lineal de la estructura.

16.5 ANÁLISIS DE UNA PRESA DE GRAVEDAD Y FUNDACIÓN Para ilustrar el uso de la opción de la interacción suelo-estructura, se realizaron varios análisis de respuesta sísmica de la presa Pine F!at, utilizando diferentes modelos de fundación. Se asumió que las propiedades de la fundación fueran las mismas propiedades que las de la presa. Se fijó el amortiguamiento en el cinco por ciento. Se utilizaron diez vectores de Ritz generados por cargas sobre la presa. Sin embargo, las formas modales aproximadas que resultaron y que se utilizaron en el análisis de superposición de modo estándar incluían los efectos de

233

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

la inercia de masa de la fundación. La carga dinámica horizontal representaba el segmento típico del sismo de Loma Prieta que se define en la Figura 15.la. La Figura 16.2 presenta un modelo de elemento finito de la presa sobre una fundación rígida.

Figura 16.2 Modelo de Elemento Finito de Presa Solamente La Figura ·16.3 presenta los dos modelos diferentes de fundación utilizados. 11\\\

¡

!

~' \

1

¡ 1

LL

1

1 1

i 1 1

1

1

-----

1

¡

1

--

1

1

1

Figura 16.3 Modelos de Presa con Fundación Pequeña y Grande La Tabla 16.l resume los resultados selectivos. Para fines de comparación, se asumirá que los resultados del vector de Ritz para la malla grande de fundación sean los valores de referencia.

234

INTERACCIÓN SUELO - ESTRUCTURA

Tabla 16.1 Resultados Selectivos de Análisis de Fundación de Presa Masa Total (lbse~q 2/pul¡:¡)

Ninguna

1,870

0.335 0.158

0.65

-37 to +383

Pequeña

13,250

0.404 0.210

1.28

-490 to +289

Grande

77,360

0.455 0.371

1.31

-512 to +297

Períodos (sequndos)..

1

Desplazamie nto Max. (puli::¡adas)

j

Fundación de Presa

Esfuerzos Max. & Min. . jl
Las diferencias entre los resultados de los modelos de fundación grande y pequeño son muy pequeñas, lo que indica que la solución del modelo de fundación grande podría estar casi en convergencia. Es cietto que los efectos del amortiguamiento por radiación en un modelo de fundación finita se obvian. Sin embargo, a medida que el modelo de fundación sea más grande, la disipación de energía producto del amortiguación modal normal dentro de la fundación masiva es significativamente más grande que los efectos de amortiguamiento por radiación para cargas momentáneas de tipo sísmico.

16.6 APROXIMACIÓN DE FUNDACIÓN SIN MASA La mayoría de los programas de propósito general para el análisis sísmico de estructuras no tienen la opción de identificar la masa de fundación como un tipo separado de masa sobre la cual no actúan las fuerzas sísmicas. Por lo tanto, una de las aproximaciones que ha sido usada comúnmente es descuidar la masa de la fundación completamente en el análisis. La Tabla 16.2 resume los resultados de un análisis de los mismos sistemas presa-fundación utilizando una fundación sin masa. Tal como se esperaba, estos resultados son similares. Para este caso los resultados son conservadores; sin embargo, no se puede estar seguro de esto para todos los casos.

235

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DlNÁMICO

Tabla 16.2 Resultados Selectivos de Presa con Análisis de Fundación sin Masa

Fundación de Presa

16.7

Masa Total (lb· se 2/pul )

Desplazamie nto Max. ( ul adas

Esfuerzo Max. & l Min. 1 ksi) -37 to +383

Ninguna

1,870

0.335, 0.158

0.65

Pequeña

1,870

0.400, 0.195

1.27

·480 to +289 I

Grande

1,870

1 0.415, 0.207 --------

1.43

·550 to +330

CONDICIONES APROXIMADAS DE BORDE RADIANTE Si el volumen de la fundación es grande y si existe amortiguamiento modal, se demostró en la sección anterior que una fundación finita con bordes fijos puede producir resultados de convergencia. Sin embargo, el uso de bordes que absorben energía puede reducir aún más el tamaño de la fundación que se requiere para producir una solución de convergencia. Para calcular las propiedades de esta condición de borde, considere una onda plana propagada en dirección x. Las fuerzas que causan la propagación de la onda se presentan actuando sobre un cubo unitario en la Figura 16.4.

oO"x () + -ox X

~

Figura 16.4 Fuerzas que Actúan sobre un Cubo Unitario En base a la Figura 16.4 la ecuación unidimensional de equilibrio en dirección x es: (16.18)

236

INTERACCIÓN SUELO • ESTRUCTURA

Ya que

ou

cr =A& = ),- , la ecuación unidimensional de la ecuación X X OX

diferencial parcial se escribe en la siguiente forma clásica de propagación de onda: (16.19) donde VP es la velocidad de propagación de onda del material, y se da como:

V= [ p

(16.20)

~p

donde p es la densidad de masa y 'A es el módulo de volumen dado por:

le=

1-v E (1 +v)(l-2v)

(16.21)

La solución de la Ecuación (16.13) para la propagación de ondas armónicas en dirección x positiva es un desplazamiento de la siguiente forma: ú)X

ú)X

vp

vp

u(t,x) =U[sin(wt- -.) + cos(rul --·)]

(16.22)

Esta ecuación puede ser verificada fácilmente mediante substitución en la Ecuación (16.18). La frecuencia arbitraria del movimiento armónico es ro. La . Bu , l velocidad, - , de una part1cu a en el punto x es: 8t .

WX

.

(J)X

u(t,x) = Uw[cos(wt--)-sm(wt--)] ~,

vp

(16.23)

La deformación en dirección x es: (16.24)

237

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

El esfuerzo correspondiente ahora se puede expresar en la siguiente fonna simplificada: cr(x,t) =lce(x, t) =-VPpu(x, t)

(16.25)

El esfuerzo de compresión es idéntico a la fuerza en un amortiguador simple viscoso con un valor constante de amortiguamiento igual a VPp por área de unidad del borde. Por lo tanto se puede crear una condición de borde, en un borde cortado, que permita que la onda pase sin reflexión y que permita que la energía de deformación se "irradie" en dirección opuesta a la fundación. También, se puede demostrar fácilmente que la condición de borde de "radiación" de la onda cortante, paralela al borde libre, se satisface si los valores de amortiguamiento son asignados como V p por unidad de área de borde. La 8

velocidad de propagación de onda cortante se da así:

vs = [Q

.~p

(16.26)

donde G es el módulo de cortante. El método FNA puede usarse para solucionar estructuras en el dominio del tiempo con estos tipos de condiciones de bordes. En ediciones posteriores de este libro, se demostrará la precisión de estas aproximaciones de condiciones de borde, utilizando ejemplos numéricos. También se usará con un borde fluido donde existen solamente ondas de compresión.

16.8 USO DE RESORTES EN LA BASE DE UNA ESTRUCTURA Otro problema importante de modelos estructurales que hay que solucionar es el contacto de los elementos estructurales mayores dentro de una estructura con el material de la fundación. Por ejemplo, las deformaciones en la base de un muro de cortante mayor en una estructura de edificio afectará significativamente la distribución de fuerza y desplazamiento en los pisos superiores de un edificio para las cargas tanto estáticas como.dinámicas. Se puede seleccionar una rigidez

238

INTERACCIÓN SUELO - ESTRUCTURA

realista de resorte realizando estudios separados de elementos finitos, o mediante el empleo de ecuaciones clásicas de medio espacio que se presentan en la Tabla 16.3. A juicio del autor de este libro, el uso de movimientos sísmicos de campo libre propios dependientes del sitio, y la selección de resortes realistas sin masa en la base de la estructura constituyen las únicas suposiciones de modelo que se requieren para incluir las propiedades de sitio y fundación en el análisis sísmico de la mayoría de los sistemas estructurales. La Tabla 16.3 también contiene factores efectivos de masa y amortiguamiento que incluyen los efectos aproximados de amortiguamiento de radiación. Estos valores pueden ser usados directamente en un modelo computacional sin ninguna dificultad. Sin embargo, se debe tener mucho cuidado al usar estas ecuaciones en la base de una estructura completa. Por ejemplo, no se deben aplícar las fuerzas sísmicas efectivas a la masa de la fundación. Tabla 16.3. Propiedades de Placa Circular Rígida sobre la Superficie de Medio-Espacio

OtRECCION

RIGIDEZ

Vertical

K""1-v

Horizontal

AMORTIGUA MIENTO

-

4Gr

....

·-

J.79)Kpr 3

l.50p¡)

l 8.2Gr (1-v ), (2-vt

l.08[ipr3

0.28pr3

Rotación

2.7Gr3

0.47~Kpr 3

0.49pr5

Torsión

5.3Gr3

l.11)Kpr 5

0.70pr5

2

r = radio de la placa; G = módulo de cortante; v = relación de Poisson; p = densidad de masa Fuente: Adaptado de Fundamentals of Earthquake Engineering." de Newmark y Rosenblueth, Prentice-Hall, 197!.

239

ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

16.9 RESUMEN Se ha escrito un gran número de documentos de investigación y varios libros sobre el análisis de estructura-fundación-suelo y la respuesta de un sitio a cargas sísmicas. Sin embargo, la mayoría de estas publicaciones se han limitado al comportamiento lineal de sistemas de suelo-estructura. Es posible utilizar los métodos numéricos que se presentan en este libro para efectuar análisis sísmicos precisos de sistemas reales de suelo-estrnctura en el dominio del tiempo, incluyendo muchas propiedades no-lineales realistas. También se puede demostrar que la solución que se obtiene tiene convergencia con la solución interactiva correcta de suelo-estructura. Para estructuras mayores sobre suelo blando, se debe llevar a cabo análisis unidimensionales de respuesta de sitio. Bajo elementos estrnctura!es mayores, tales como la base de un muro de cortante, se deben usar resortes elásticos sin masa para estimar la rigidez de la fundación. Para estructuras masivas, tales como presas de gravedad, se debe modelar una parte de la fundación utilizando elementos tridimensionales SOLID donde se incluyan los efectos SSL

16.10 REFERENCIAS 1. Schnabel, P., J. Lysmer y H. Seed. 1970. "SHAKE - A Computer Program for the Earthquake Response for Horizontally Layered Si tes," EERC Report No. 72-2. University of California, Berkeley. Febrero.

2. Hart, J., y E. Wilson. "WAVES - An Efficient Microcomputer Program for Nonlinear Site Response Analysis," National Information Center for Earthquake Engíneering. Davis Hall, University of California, Berkeley. Tel.# (415) 642-5113. 3. Clough, R., y J. Penzien. 1993. Dynamics of Structures, Segunda Edición. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-011394-7.

240

17.

MODELOS DE ANÁLISIS SÍSMICO PARA SATISFACER LOS CÓDIGOS DE CONSTRUCCIÓN Los Códigos Actuales de Construcción Utilizan la Terminología: Dirección Principal Sin Definición Única 17.1

INTRODUCCIÓN En la actualidad se requiere un análisis dinámico tri-dimensionar" para muchos tipos diferentes de sistemas estructurales que se construyen en las Zonas Sísmicas 2, 3 y 4 [l]. Los requisitos de fuerza lateral sugieren varios métodos que se pueden usar para determinar la distribución de fuerzas sísmicas dentro de una estructura. Sin embargo, estas pautas no son únicas y requieren de interpretaciones adicionales. La principal ventaja del uso de fuerzas obtenidas en un análisis dinámico como base de un diseño estructural es que la distribución vertical de fuerzas puede ser ' las fuerzas obtenidas en un análisis de una carga significativamente diferente de estática equivalente. Por consiguiente, el uso del análisis dinámico produce diseños estructurales que son más resistentes a sismos que las estructuras que se diseñan utilizando cargas estáticas. Durante muchos años la carga estática bidimensional era aceptable como base del diseño sísmico en muchas zonas geográficas, y para la mayoría de los tipos de sistemas estructurales. D~bido al aumento de la disponibilidad de computadoras digitales modernas durante los últimos veinte años, la mayoría de los ingenieros han tenido experiencia con el análisis de cargas estáticas de estructuras tridimensionales. Sin embargo, pocos ingenieros y redactores del código actual

241

ANÁLISIS ESTÁTICO DINÁMICO

de la construcción han tenido experiencia en el análisis de respuesta dinámica tridimensional. Por lo tanto, la interpretación del requisito de análisis dinámico del código actual representa un nuevo reto para la mayoría de los ingenieros estructurales. El código actual permite que Jos resultados obtenidos de un análisis dinámico sean normalizados de manera que el cortante dinámico máximo de la base sea igual al cortante de base que se obtiene de un análisis de carga estática bidimensional simple. La mayoría de los miembros de esta profesión se dan cuenta de que no existe ninguna base teórica de este enfoque. Sin embargo, para fines de seleccionar la magnitud de la carga dinámica que satisfaga los requisitos del código, se puede aceptar este enfoque, en una fmma modificada, hasta que se adopte un método más racional. El cálculo de los "cortantes de base para el diseño" es sencillo, y las variables son definidos dentro del código. Sin embargo, es interesante notar que la magnitud básica de las cargas sísmicas no se ha cambiado de manera significativa en comparación con los códigos anteriores. El principal cambio es que se deben utilizar los "métodos dinámicos de análisis" en las "direcciones principales" de Ja estructura. El código vigente no indica cómo definir las direcciones principales de una estructura tridimensional de forma geométrica arbitraria. Ya que el cortante de base de diseño puede ser diferente en cada dirección, este enfoque de "espectros ajustados" puede producir un acción sísmica diferente para cada dirección en el caso de estructuras tanto regulares como irregulares. Por lo tanto, el enfoque de análisis dinámico del código vigente puede producir lllt diselio estructural que sea relativamente "débil" en una dirección. El método de análisis dinámico que se propone en este capítulo produce un diseño estrnctural que tiene resistencia igual en todas las direcciones. Además, el máximo cortante de base de diseño, según su definición en el código vigente, representa aproximadamente el 35 por ciento del peso de la estructura. Para muchas estructuras, representa menos del 10 por ciento. Se reconoce que este nivel de fuerza es bajo cuando se compara con fuerzas sísmicas medidas. Por lo tanto, el uso de este cortante basal por diseño requiere que un nivel sustancial de ductilidad sea integrado en el diseño de de la estructura. La definición de una estructura irregular, el ajuste por escala de los cortantes dinámicos de base a los cortantes estáticos de base para cada dirección, la

242

MODELOS DE ANÁLISIS S!SM!CO

aplicación de cargas torsionales accidentales, y el trato de Jos efectos de carga ortogonal representan áreas que no quedan claramente definidas en el código de construcción vigente. El objetivo de esta sección es presentar un método de análisis sísmico tridimensional que cumpla los Requisitos de Fuerza Lateral del código. El método está basado en las formas de espectro de respuesta definidas en el código, y en procedimientos de computación antedormente publicados y aceptados.

17.2

MODELO COMPUTARIZADO TRIDIMENSIONAL Se deben considerar los efectos de torsión reales y accidentales para toda estructura. Por lo tanto, se debe tratar a toda estructura como un sistema tridimensional. Las estructuras con planos irregulares, retranqueos verticales o pisos blandos no causan ningún problema adicional si se crea un modelo computarizado tridimensional que sea realista. Dicho modelo debe ser elaborado en las primeras etapas del diseño porque se puede usar para las cargas verticales, y viento estático, además de cargas sísmicas dinámicas. Se deben hacer modelos solamente de elementos estructurales con rigidez y ductilidad significativa. Pueden ser despreciadas componentes no-estructurales frágiles. Sin embargo, se pueden tomar en cuenta en todos los elementos los esfuerzos cortantes, las deformaciones axiales y las dimensiones de líneas fuerade-centro, sin un aumento significativo de esfuerzo de computación a través de la mayoría de los programas informáticos modernos. Se ha demostrado que la aproximación rígida en el plano de Jos sistemas de piso es aceptable para la mayoría de los edificios. Para fines del análisis dinámico elástico, normalmente se usan secciones de concreto bruto, olvidándose de Ja rigidez d~I acero. Se debe usar un modo de sección agrietada para chequear el diseño final. Se deben incluir Jos efectos P·Delta en todos los modelos estrncturales. Se ha demostrado en el Capítulo 11 que se pueden considerar esos efectos de segundo orden, sin iteración, para cargas tanto estáticas como dinámicas. El efecto de incluir los desplazamientos P-Delta en un análisis dinámico produce un ligero aumento del período en todos los modos. Además de una mayor precisión, otra ventaja de incluir automáticamente los efectos P-Delta es el hecho de que el factor de ampliación del momento para todos los elementos puede ser tomado como unidad en toda revisión posterior de esfuerzo.

243

ANÁLISIS ESTÁTICO DINÁMICO

Se puede estimar la masa de la estructura con un alto grado de precisión. La principal suposición que se requiere es el estimado de la cantidad de carga viva a incluir como masa agregada. Para ciertos tipos de estructuras, podría ser necesario llevar a cabo varios análisis utilizando diferentes valores de masa. La aproximación de masa combinada se ha demostrado precisa. En el caso de la aproximación de un diafragma rígido, se debe calcular el momento de inercia de la masa rotacional. La tigídez del área de la fundación de la mayoría de las estructuras puede ser modelada utilizando elementos estructurales sin masa. Es practicamente importante modelar la rigidez de los pilotes y la rigidez rotacional en la base de muros de cortante. El modelo computarizado de cargas estáticas debe ser ejecutado solamente antes de realizar un análisis dinámico. Se puede verificar el equilibrio y se pueden verificar vatias aproximaciones de modelo utilizando sencillos patrones de carga estática. Los resultados de un análisis dinámico en lo general son muy complejos, y las fuerzas que se obtienen de un análisis de espectro de respuesta siempre son positivas, Por lo tanto, el equilibrio dinámico es casi imposible de chequear. Sin embargo, es relativamente sencillo chequear los balances de energía en el análisis tanto lineal como no-lineal.

17.3

FORMAS Y FRECUENCIAS DE MODO TRIDIMENSIONALES El primer paso en el análisis dinámico de un modelo estructural es el cálculo de las formas de modo tridimensionales y las frecuencias naturales de vibración. Durante los últimos años se han desairnl!ado métodos de computación muy eficientes que han reducido enonnemente los requisitos de computación relacionados al cálculo de las funciones de forma ortogonal, como se presento en el Capítulo 14. Se ha demostrado que los vectores dependientes de carga Ritz , que pueden ser generados con un esfuerzo nmnérico mínimo, producen resultados más precisos cuando se usan para un análisis dinámico sísmico que los resultados sí se usaran formas de modo de vibración libre exacta.. Por eso se puede efectuar un análisis de espectro de respuesta dinámica con aproximadamente dos veces los requisitos de tiempo de computadora de un análisis de carga estática. Dado el hecho de que sistemas de más de 60,000 grados dinámicos de libertad pueden ser solucionados en pocas horas mediante el

244

MODELOS DE ANÁLISIS SÍSMICO

uso de computadoras personales, no existe un aumento significativo en cuanto al costo entre un análisis estático y un análisis dinámico. El costo princípal son las "horas hombre" que se requieren para producir el modelo tri-dimensional computarizado que se usa en un análisis estático o dinámico. Para ilustrar las propiedades dinámicas de la estructura tridimensional, se han calculado las fonnas y las frecuencías de modo para el edificio irregular de ocho pisos con 80 pies de altura que se presenta en la Figura 17 .1. Este edificio es una estructura de concreto con varios cientos de grados de libertad. Sin embargo, los tres componentes de masa están combinados en cada uno de los ocho niveles de piso. Por eso solamente 24 formas de modo tridimensionales son posibles.

Figura 17.1 Ejemplo de Edificio Irregular de Ocho Pisos Cada forma de modo tridimensional de una estructura puede tener componentes de desplazamiento en todas las direcciones. Para el caso especial de una estructura simétrica, las formas de modo están desacopladas y tendrán desplazamiento en una dirección solamente. Dado que cada modo puede ser considerado una deflexión debido a un grupo de cargas estáticas, se pueden calcular seis fuerzas de reacción de base por cada forma de modo. Para la estructura que se presenta en la Figura 17.1, la Tabla 17.l resume las dos reacciones de base y tres momentos de vuelco asociados a cada forma de modo. Ya que se ha obviado la masa vertical, no existe reacción vertical. Las

245

11

ANÁLISIS ESTÁTICO DINÁMICO

magnitudes de las fuerzas y de los momentos carecen de significado porque la amplitud de una forma de modo puede ser normalizada a cualquier valoi:. Sin embargo, los valores relativos de los diferentes componentes de los cortantes y los momentos asociados con cada modo son de un valor considerable. Los modos que tienen algún componente de torsión están resaltados en negritas. Tabla 17.1 Fuerzas y Momentos de Base Tridimensionales

MODO

PERIODO (Secondos)

246

REACCIONES DE CORTANTE

MOMENTOS DE VUELCOS

DE BASE MODAL

MODALES

X-Dir.

Y-Dir.

Angulo {Grado) ,

Eje X

Eje Y

EjeZ

1

.6315

.781

.624

38.64

·37.3

46.6

-18.9

2

.6034

-.624

.781

-51.37

-46.3

-37.0

38.3 85.6

3

.3501

.785

.620

38.30

·31.9

40.2

4

.1144

-.753

-.658

41.12

12.0

·13.7

7.2

5

.1135

.657

-.754

-48.89

13.6

11.9

-38.7

6

.Q706

.989

.147

8.43

·33.5

51.9

2,438.3

7

.0394

-.191

.982

-79.01

-10.4

-2.0

29.4

10.67

1.9

-10.4

26.9

8

.0394

-.983

·.185

9

.0242

.848

.530

32.01

·5.6

8.5

277.9

10

.0210

.739

.673

42.32

-5.3

5.8

-3.8

11

.0209

.672

·.740

-47.76

5.8

5.2

-39.0

12

.0130

-.579

.815

-54.63

-.8

·8.8

·1,391.9

13

.0122

.683

.730

46.89

-4.4

4.1

-6.1

.730

·.683

-43.10

4.1

4.4

-40.2

1

·.132

·.991

82.40'

5.2

·.7

-22.8

11

14

.0122

15

.0087

16

.0087

·.991

.135

-7.76

-.7

-5.2

30.8

17

.0074

-.724

·.690

43.64

4.0

-4.2

-252.4

18

.0063

-.745

-.667

41.86

3.1

·3.5

7.8

i

19

.0062

-.667

.745

-48.14

-3.5

-3.1

38.5

20

.0056

-.776

-.630

39.09

2.8

-3.4

54.1

21

.0055

·.630

.777

-50.96

-3.4

-2.8

38.6

22

.0052

.776

.631

39.15

-2.9

3.5

66.9

23

.0038

·.766

·.643

40.02

3.0

-3.6

·323.4

24

.0034

·.771

·.637

39.58

2.9

-3.5

·436.7

MODELOS DE ANÁLISIS SÍSMICO

Un examen cuidadoso de las propiedades direccionales de las formas de modo tridimensionales en las primeras etapas de un diseño preliminar puede darle al ingeniero estructural información adicional que puede ser usada para mejorar el diseño sismo-resistente de la estructura. El código actual define una "estructura irregular" como una estructura que tenga cieria forma geométrica o en la cual existan discontinuidades de rigidez y masa. Una definición mucho más racional es la que declara como una "estructura regular" la que tenga un acoplado mínimo entre los desplazamientos laterales y las rotacíones torsionales para las fonnas modales asociadas con las frecuencias inferiores del sistema. Por eso, si se modifica el modelo y se "refina" mediante el estudio de fomias modales tridimensionales durante la fase preliminar de diseño, podría ser posible convertir una estructura "geométricamente irregular" en una estructura "dinámicamente regular" desde un punto de vista del diseño sismo-resistente. Para este edificio, es interesante notar que las formas modales, que tienden a tener direcciones que son 90 grados de separación, poseen casi el mismo valor para su período. Esto es algo típico en formas modales tridimensionales de edificios tanto regulares como irregulares. Para estructuras simétricas regulares, que poseen rigidez igual en todas las direcciones, los periodos asociados con los desplazamientos laterales tienen corno resultado pares de periodos idénticos. Sin embargo, las direcciones asociadas con el par de formas modales tridimensionales no son matemáticamente únicas. Para períodos idénticos, la mayoría de los programas de computadora permiten que los errores de redondeo produzcan dos formas modales con direcciones que difieren por unos 90 grados. Por lo tanto, no se debe usar el método SRSS para combinar máximos modales en el análisis dinámico tridimensional. El método CQC elimina los problemas asociados con períodos con poca separación. Para un análisis del espectro de repuesta, el código actual declara que "por lo menos el 90 por ciento de la masa particípante de la estructura debe ser incluido en el cálculo de la respuesta por cada dirección principal." Por eso, el número de modos que deben ser evaluados deben cumplir este requisito. La mayoría de los programas de computadora calculan automáticamente la masa participante en todas los direcciones, utilizando las ecuaciones presentadas en el Capítulo 13. Se puede cumplir con este requisito fácilmente utilizando vectores LDR. Para la estructura presentada en la Figura 17.1, Ja Tabla 17 .2 presenta la masa participante para cada modo y para cada dirección. Para este edificio, se

247

ANÁLISIS ESTÁTICO DlNÁMICO

requieren solamente ocho modos para cumplir la especificación del 90 por ciento en las direcciones x e y. Tabla 17.2 Masa Participante Tridímensíonal-(porcentaje)

o

X-Dir.

Y-Dir.

Z-Dir. : : X-Sum

1 2

34.224 23.126

21.875 36.212

.000 .000

34.224 57.350

3 4

2.003 13.106

1.249 9.987

.000 .000

59.354 72.460

5 6

9.974 .002

13.102

.000 .000

82.434 82.436 82.729

.293

7 8 9

7.726 .039 2.382 1.955 .000

10

11 12

1.113

13 14

i

15 16

il

17 18

19 20

f

i

1.276 .028 1.555

Y-Sum

Z-Sum

21.875

.000

58.087 59.336

·ººº .000

69.323 82.425

.000

.000 17.770 .274

.000 .000

.015 1.974

.000 .000

2.370 .001

.000

92.876 94.831

.000

94.831

94.828 94.829

.000 .000

1.271 1.117

.000 .000

95.945 97.220

96.100 97.217

.000 .000

.000

97.248 98.803 98.814

98.773 98.802 98.812

.000

.000 .000 .000

99.316

99.215

.000 .000

99.722 99.824

99.720

.000

99.787

.000

.000

.000

.011

1.556 .029 .010

.503 .405

.403 .505 .067

21

.102 .111

22

.062

.169 .041

23 24

.003 .001

90.455 90.494 1

82.425 90.194

.000 .000

90.469 90.484 92.458

.000 .000 .000 .000

.000 .000 .000

99.935 99.997

99.957 99.998

.002

.000 .000

100.000

100.000

.000

.000

.000

100.000

100.000

.000

.000

17.4 ANÁLISIS DINÁMICO TRIDIMENSIONAL Es posible efectuar un análisis dinámico de respuesta historia-tiempo utilizando los métodos de análisís de superposición de modo o paso-a-paso. Sin embargo, no se ha definido una historia de tiempo estándar, para fines de diseño. Por ende,

248

MODELOS DE ANÁLISIS SÍSMICO

la mayoría de los íngeníeros emplean el método de análisis de espectro de respuesta como el enfoque básico. El primer paso en un análisis de espectro de respuesta es el cálculo de las formas y las frecuencias modales tridimensionales según lo indicado en la sección anterior.

17.4.1.Cortante Basal del Diseño Dinámico Para el análisis dinámico, el UBC del 1994 requiere que el "cortante basal del diseño," V, sea evaluada según la siguiente fórmula:

V = [ Z I C I Rw] W

(17.1)

Donde

Z:::: El factor"sísmico de la zona indicada en la Tabla 16-1 del UBC. I = Factor de importancia indicada en la Tabla 16-K del UBC.

Rw:::: Coeficiente numético indicado en la Tabla 16-N o 16-P del UBC. W = El peso sísmico total de la estructura

=

C Coeficiente numérico (2.75 valor máximo) detenninado en base a: C :::: 1.25 SI T213

(17-2)

Donde S :::: Coeficiente de sitio para características de suelo indicadas en la Tabla 16-J del UBC.

T =Período fundamental de vibración (segundos). Para la mayoría de los casos se puede usar el período, T, detenninado en base al modelo computarizado tridimensional. Esto en esencia representa el Método B del código. Ya que el modelo computarizado muchas veces descuida la rigidez noestructural, el código requiere que se use el Método A bajo ciertas condiciones. El Método A define el período, T, como sigue: (17-3)

Donde h es la altura de Ja estructura en pies, y C1 es definido por el código para varios tipos de sistemas estructurales.

249

ANÁLISIS ESTÁTICO DINÁMICO

No se puede tomar el Período calculado por el Método B separado en más de un 30 % de lo computado utilizando el Método A en la Zona Sísmica 4, ni superando en más de un 40% la duración en las Zonas Sísmicas 1, 2 y 3. Para una estmctura definida por el código como "regular," el diseño de cortante de base puede ser reducida en un 10 por ciento adicional. Sin embargo, no debe ser menor del 80 por ciento del cortante calculado utilizando el Método A. Para el caso de una estructura "irregular," no se permite esta reducción.

17.4.2. Definición de Direcciones Principales Una de las debilidades del código actual es la falta de definición de las "direcciones principales horizontales" para una estructura general tridimensional.' Si se permite que cada ingeniero seleccione un sistema arbitrario de referencia, el "cortante dinámico'de base" no será único, y cada sistema de referencia podría producir un diseño diferente. Una solución de este problema que resultaría en un único diseño de cortante de base es el uso de la dirección del cortante de base asociado con el modo fundamental de vibración como la definición de la "dirección principal mayor" de la estructura. La "dirección principal menor" por definición será 90 grados desde el eje mayor. Este enfoque posee una base racional porque es válido para estructuras regulares. Por lo tanto, esta definición de las direccíones principales será utilizada para el método de análisis presentado en este capítulo.

17.4.3. Efectos Direccionales y Ortogonales Las fuerzas sísmicas de diseño requeridas pueden venir desde cualquier dirección horizontal, y para fines de diseño, se puede asumir que actúan de manera noconcurrente en dirección de cada eje principal de la estructura. Además, para fines del diseño del elemento, los efectos de la carga sísmica en dos direcciones ortogonales pueden ser combinados sobre una base de raíz-cuadrada-de-la-sumade-cuadrados (SRSS). (También se permite díseñar elementos para un 100 por ciento de las fuerzas sísmicas en una dirección más el 30 por ciento de las fuerzas producidas por la carga en la otra dirección. No vamos a usar este enfoque en el procedimiento que aquí se sugiere por las razones que se presentaron en el Capítulo 15.)

250

MODELOS DE ANÁLISIS SÍSMICO

17.4.4. Método Básico de Análisis Sísmico Para cumplir los requisitos actuales, es necesario realizar dos análisis de espectro separados en las principales direcciones mayor y menor (según lo definido en la sección anterior). Dentro de uno de estos análisis, se usa el método de Combinación Cuadrática Completa (CQC, Complete Quadratíc Combination) para tomar en cuenta con precisión los efectos de la interacción modal en el estimado de los valores de respuesta máximos. Los espectros usados en ambos análisis pueden ser obtenidos directamente de las Formas Normalizadas de Espectros de Respuesta indicadas por el Código Uniforme de la Construcción (UBC, Unifom1 Building Code).

17.4.5. Ajuste de Resultados Cada uno de estos análisis producirá una cortante de base en la principal dirección mayor. Se calcula un valor simple para el "cortante dinámico de base" utilizando el método SRSS. También, se puede calcular un "cortante dináillico de base" en la principal dirección menor. El próximo paso .es escalonar las formas de espectros anteriormente utilizados por la relación del "diseño de cortante en la base'' al valor mínimo de la "cortante dinámico de base." Este enfoque es más conservador que el propuesto por los requisitos actuales, porque se usa solamente el factor de escalonamiento que produzca la respuesta más grande. Sin embargo, este enfoque es mucho más racional porque an·oja el mismo sismo de diseno en todas las direcciones.

17.4.6. Desplazamientos Dinámicos y Fuerzas de Elementos La distribución de desplazamiento y fuerza se calculan utilizando el método básico SRSS para combinar los resultados del 100 por ciento de los espectros escalonados aplicados en cada dirección. Si se realizan dos análisis en cualquiera de dos direcciones ortogonales, donde se usa el método CQC para combinar los máximos modales para cada análisis, y se combinan los resultados utilizando el método SRSS, se obtendrán precisamente los mismos resultados de la orientación del sistema de referencia ortogonal. Por lo tanto, la dirección del cortante de base del.primer modo define un sistema de referencia para el edificio. En el caso de que se den los espectros específicos del sitio, para los cuales no se requiere escalonamiento, se puede usar cualquier sistema de referencia ortogonal.

251

ANÁLISIS ESTÁTICO DINÁMICO

En cualquiera de los casos, solamente se necesita una computadora para calcular todas las fuerzas de elemento a usar para el diseño. 17.4.7. Efectos de Torsión El posible movimiento torsional del suelo, la distribución impredecible de la masa de carga viva, y las variaciones de las propiedades estructurales representan tres motivos por los cuales las estructuras tanto regulares como irregulares deben ser diseñadas para cargas torsionales accidentales. También, para una estructura regular, la cargas laterales no excitan los modos torsionales. Un método que sugiere el Código es llevar a cabo varios análisis dinámicos diferentes con la masa en diferentes puntos. Este enfoque no es práctico porque las propiedades dinámicas básicas de la estructura (y los cortantes dinámicas de base) serían diferentes para cada análisis. Además, la selección de las fuerzas máximas de diseño del elemento representaría un problema pos-procesamiento monumental. El Código actual permite el uso de cargas puras estáticas torsíonales para pronosticar las fuerzas adicionales de diseño provocadas por torsión accidental. Las ecuaciones del Código dan la distribución vertical básica de las cargas estáticas laterales. El momento torsional estático en cualquier nivel se calcula multiplicando la carga estática de ese nivel por un 5 por ciento de la máxima dimensión en dicho nivel. En este libro se reconúenda que dichas cargas estáticas torsionales puras, aplicadas al centro de la masa en cada nivel, sean usadas como el enfoque básico para tomar en cuenta las cargas torsionales accidentales. Dicha carga torsional estática se trata como una condición separada de carga de manera que pueda ser debidamente combinada con las demás cargas estáticas y dinámicas.

17.5 EJEMPLO NUMÉRICO Para ilustrar el método de escalonamiento del cortante de base que se recomienda aquí, se ha realizado un análisis sísmico estático para el edificio que se presenta en la Figura 17 .1. El edificio de ocho pisos tiene alturas de pisos de 10 pies. La carga muerta sísmica es de 238.3 kips para los cuatro pisos superiores, y 363.9 kips para los cuatro pisos inferiores. Para I::: 1, Z::: 0.4, S :::: 1.0, y RW = 6.0, la evaluación de la Ecuación 17.l produce las fuerzas de base de diseño que se ven en la Tabla 17.3.

252

MODELOS DE ANÁLISIS SÍSMICO

Tabla 17.3 Fuerzas Estáticas de Base de Diseño, Utilizando el Código de Construcción Uniforme (UBC) o (Seg'.)

Ángulo (Grado)

Cortante de Base

Momento de Vuelco

0.631

38.64

279.9

14,533

0.603

-51.36

281.2

14,979

La forma no1malízada de espectros de respuesta correspondiente al suelo de tipo 1, que se define en el Código de Construcción Uniforme, se utiliza como la carga básica para el análisis dinámico tridimensional. Utilizando solamente ocho modos y el método SRSS de combinación de máximos modales, en la Tabla 17 .4 se resumen las cortantes basal y los momentos de volcadura para varias direcciones de carga. Tabla 17.4 Fuerzas Dinámicas de Base Utilizando el Método SRSS

Ángulo (Grado)

o 90

!I

CORTANTES DE BASE

MOMENTOS DE VUELCO

1

1

V1

V2

M1

Mz

~

58.0

55.9

2,982

3,073

59.8

55.9

2,983

3,185

70.1

5.4

66

4,135

83.9

5.4

66

4,500

1¡ 1

38.64 -51.36

'I 11

1

El eje-1 está en dirección de la carga sísmica, y el eje-2 es perpendicular a la dirección de la carga. Este ejemplo ilustra claramente la plincipal debilidad del método SRSS de combinación modal. A menos que el aporte sea en dirección de las formas de modo fundamentales, se desarrolla un gran cortante basal normal a la dirección del apo1te, y se subestima significativamente el cmtante dinámico de base en dirección al aporte, según se ilustra en el Capítulo 15. Tal como indica la Tabla 17.5, el método CQC de combinación modal elimina los problemas asociados al método SRSS. También, indica claramente que las direcciones de 38,64 y -51.36 grados representan una buena definición de las direcciones principales para el caso de esta estrnctura. Note que las direcciones de Jos cortantes de base de los primeros dos modos difieren en unos 90.00 grados.

253

ANÁLISIS ESTÁTICO DINÁMICO

Tabla 17.5 Fuerzas Dinámicas de Base Utilizando el Método CQC Ángulo (Grado}

CORTANTES DE BASE

MOMENTOS DE VUELCO

V,

V2

o

78.1

20.4

1,202

4,116

90

79.4

20.4

1,202

4,199

38.64

78.5

0.2

-51 .36

84.2

0.2

M1

1

Mz

3.4

4,145

3.4

4,503

La Tabla 17 .6 resume las fuerzas dinámicas escalonadas de base que se usarán como base del diseño, utilizando dos métodos diferentes. Tabla 17.6 Fuerzas Normalizadas de Base en Direcciones Principales i

38.64 Grados

-51.36 Grados

V (kíps)

M (ft·kips)

V (kíps)

M (ft-kíps)

Fuerzas Estáticas de Código ·

279.9

14,533

281.2

14,979

Fuerzas Dinámicas de Diseño Escalonadas por Cortante de Base 279.9/78.5 = 3.57

279.9

14,732

299.2

16,004

1

~

Para este caso, se debe usar el factor de escala de los espectros de aporte de un 3.57 para todas las direcciones, basándolo en el hecho de que los cortantes dinámicos de base ní los momentos dinámicos de volcadura deben ser menores que las fuerzas estáticas de código. Este enfoque es claramente más conservador que el enfoque recomendado por el Código de Construcción Uniforme actual. Es evidente que el uso de diferentes factores de escala para un diseño espectral en las dos direcciones diferentes, tal como lo permite el código, produce un diseño que posee una dirección débil en relación a la otra dirección principal.

17.6 RESUMEN DE MÉTODO DE ANÁLISIS DINÁMICO En esta sección se resume un método de análisis dinámico que produce desplazamientos únicos de diseño y fuerzas de elemento únicas que cumplen con

254

MODELOS DE ANÁLISIS SÍSMICO

el Código de Construcción Uniforme, UBC, vigente. Se puede usar para estructuras tanto re_gulares como irregulares. Los principales pasos que componen el enfoque son como sigue: l. Se debe elaborar un modelo computarizado tridimensional donde se modelen todos los elementos estructurales significativos. Se debe usar este modelo en las primeras fases del diseño porque se puede usar para cargas tanto estáticas como dinámicas.

2. Se deben evaluar repetidamente las formas modales tridimensionales durante el diseño de la estructura. Se pueden usar las propiedades direccionales y . torsionales de las formas de modo para mejorar el diseño. Una estructura bien diseñada debe tener una cantidad mínima de torsión en las fonnas de modo asociadas con las frecuencias inferiores de la estructura. 3. Se usa la dirección de la reacción d.e la base de la forma de modo asociada con la frecuencia fundamental del sistema para definir las direcciones principales de la estructura tridimensional. 4. Se usa el "cortante basal de diseño" en el período más largo que se obtiene del modelo computarizado, exceptuando el caso cuando queda limitado a 1.3 o 1.4 veces el período calculado del Método A 5. Utilizando el método CQC, se calculan las "cortantes dinámicas de base" en cada dirección principal sujeto a un 100 por ciento de las Formas Normalizadas de Espectro. Se debe usar el valor mínimo del cortante de base en las direcciones principales, para producir un "espectro escalonado de diseño." 6. Se calculan los desplazamientos dinámicos y las fuerzas de los elementos,

utilizando el valor SRSS del 100 por ciento del espectro del diseño escalado aplicado de manera no~concurrente en dos direcciones ortogonales cualesquiera, según lo presentado en el Capítulo 15.

7. Se produce una condición de carga estática pura por torsión utilizando la distribución de carga vertical lateral según lo definido en el código. 8. Se calculan las fuerzas de diseño de los elementos utilizando la siguiente regla de combinación de cargas: FmsEÑO

=FcARGA MUERTA±

[ FmNAMICA

+ 1 FroRslON

l

l + ForRA

255

ANÁLISIS ESTÁTICO DINÁMICO

Las fuerza di nümicas siempre son posll1,·as. y las fuerzas accide11taks por torsión siempre dehen aumentar e l ,·alor de la fuei-.~a. En el caso de 4ue se ,·ayan a consi
17.7

RESUMEN Oe,pués de estar a:--ociado con el anál isis d inámico tridime nsional y el diseiio de un gran número de estructuras durante los últimos ..H) aiios. e l :tutor qu isiera :iprn,·cchar esta oportunidad para ofrecer algunos comentarios co1btruc1ivos a~·cn.:a de los requisitos
la

/'('.~J>lfl'.\lll

de 111w e.1·rrncr11rn podría 110 Sl'I' cn11se1Ttf(/11r. Un

C\.11nen de las cortantes moi.lales de hase y de lo:-- momentos dc volcadura en las T Jhla' 17. 1 y 17 .::! indica c:laramen te que lo" cortantes de hase a-.ociadas con los peril,Jl'" más cortos producen momentos de ,·olcadura rclati\ ame1lll.' ¡1C4ue11os. Pl•r 1,, w110. un anál isis dinámico. que contiene una rc:--pucsta i.le modo más alta. ,icmpre producirá un cortante dinámico ele hase m•b grandc en relación al 111l)lllentP dinámi<.:o de nikadura. Ya 4ue el código permite que todo:-. los rc,uliaJ,,, 'c:111 escalado por la rclación del cortante dinámico de hase con la cortantc c,1áti1.' a de hase de disc11o. los momentos dinámi<.:os de Yolcatlura pueden ser ,jg11ii'i1.:a1i' amente mcnorcs que los reo,ultados de un análisis estático sencillo de código. Sería mucho má:-- lógico un factor dc eo,cala ha,atln en la relacilin del ··momcnw dc 'olcadura J cl dise11n estático.. con el "momenltl de ,·olcadura dinámico". Se pucdc calcular el momento cstülico de volcadma util i7ando la dislrihuciún 'e11i1.·:tl C'-lática del cortante de ha-;c de disei'lo. quc :--e o,ugiere actualmente en el ..:,)digo.

MODELOS DE ANÁLISIS SÍSMICO

En segu ndo lugar. ¡1<11"0 /0.1 <'.1"/r11ct11ms irregulore.1. se d chc desco11ti1111or el uso de lo 1en11i1111/11gt'11 ""¡wríndo (o .fár1110 de 11wd11 j e11 la dire1"Ciá11 baja c1111.1·ideracirí11 ··. Las propiedades de rigidez y masa de manera d ara y tí nica. En te rcer lug;:ir, se debe r e-exa111i11ar el 11so de fu:; l"l'.rn/uu/11.1 escolado para 1111 análisis dill(í111ico. Se debe promover el uso de espectros depe ndientes del ~ itio.

Por último. 110 es 11ece.\'(/rio dis1i11g11ir enlff cs1r11C11tras reg ulores r es1m cl1tras irreg ulo res c11wlllo se reoli::.a 1111 muílisi.1· d i11á111ico 1ridi111e11sio 11a /. Si se crea un modelo cnmputari7.ado tridi mensional que :--c;:i conecto. l<1s irrcg ularic.l ac.le~ vert icales y h ori wn tale~ y l a~ conocidas excent ricidac.les de rigidez y masa harán que los compone n te~ e.le de~plazam i ent o y rotación
17.8

REFERENCIAS 1.

Structural Engincers Associa tion of Californ ia. 1996. Rccm1111w11tlnl L111eral Force ffr1¡11 iri•111e111s 1111d Co111111<'llf111y. /996 St".rlll l:"dici1í11. Comit..'. de Sismología. Te l. 9 16--127-36-1 7.

'257

ANÁLISIS NO-LINEAL RÁPIDO El Análisis Dinámico de una Estructura con un Número Reducido de Elementos No-Lineales es casi tan Rápido cama un Análisis Lineal 18.1

INTRODUCCIÓN La respuesta de estmcturas reales al quedarse sujetas a un gran excitación dinámica muchas veces implica comportamiento no-lineal significativo. En lo general, el comportamiento no-lineal incluye los efectos de grandes desplazamientos y/o propiedades de materiales no-lineales. El uso de la rigidez geométrica y el análisis P-Delta, tal como se resume en el Capítulo 11, incluye los efectos de grandes desplazamientos de primer orden. Si las fuerzas axiales en los elementos permanecen relativamente constantes durante la aplicación de desplazamientos dinámicos laterales, muchas estructuras pueden ser solucionadas directamente sin iteración. El problema más complicado asociado con grandes desplazamientos, que provocan grandes deformacione_s en todos los elementos de la estmctura, requiere una tremenda cantidad de esfuerzo de computación y tiempo de computadora para lograr una solución. Afortunadamente las grandes defonnaciones ocurren raras veces en estmcturas típicas de ingeniería civil construidas de materiales de acero y concreto. Por lo tanto, los métodos de solución que se asocian al problema de una gran deformación no serán abordados en detalle en el presente capítulo. Sin embargo, se pueden tratar ciertos tipos de deformaciones grandes, tales como los de aisladores de base con goma (rubber base isolators), y elementos de brecha (gap elernents), como un elemento no-lineal combinado utilizando el método de Análisis No-Lineal Rápido, FNA (Fast Non Linear Analysis), que se presenta en este capítulo.

259

ANÁLISIS ESTÁTICO DINÁMICO

El tipo más común de comportamiento no-lineal ocurre cuando la relación de material esfuerzo-deformación, o fuerza-defoimación, es no-lineal. Esto así por la filosofía moderna de diseño que indica que "una estructura bien diseñada debe tener un número limitado de elementos que requieren ductilidad, y que el mecanismo de falla sea claramente definido." Dicho enfoque minimiza el costo de reparación después de un sismo de cierta magnitud.

18.2 ESTRUCTURAS CON UN NÚMERO LIMITADO DE ELEMENTOS NO-LINEALES Un número elevado de estructuras muy prácticas tienen un número limitado de puntos o elementos donde toma lugar el comportamiento no-lineal cuando están sujetos a cargas estáticas .º dinámicas. El pandeo de diagonales por carga, levantamiento de la fundación, contacto entre diferentes partes de las estructuras, y deformación de unos pocos elementos constituyen ejemplos de estructuras con comportamiento local no-lineal. Para cargas dinámicas, se está convirtiendo en una práctíca común agregar amortiguamiento concentrado, aislamiento de base, y otros elementos para la disipación de energía. La Figura 18.1 ilustra problemas típicos no-lineales. En muchos caos, estos elementos no-lineales se pueden identificar fácilmente. Para otras estructuras, se requiere de un análisis elástico inicial para identificar las áreas no-lineales. En este capítulo se aplica el método FNA al análisis tanto estático como dinámico de sistemas estructurales lineales o no-lineales. Se asume que existe un número limitado de elementos no-lineales predefinidos. Se usan Vectores Dependientes de Carga Ritz ortogonales de rigidez y masa del sistema estructural elástico para reducir el tamaño del sistema no-lineal a solucionar. Se calculan las fuerzas en los elementos no-lineales mediante iteración al final de cada paso de tiempo o paso de carga. Se solucionan las ecuaciones modales desacopladas precisamente para cada incremento de tiempo. Se presentan varios ejemplos que ilustran la eficiencia y la precisión del método. La velocidad de computación del nuevo método FNA se compara con el método tradicional de "fuerza bruta" del análisis no-lineal donde las ecuaciones de equilibrio completo se forman y se solucionan en cada incremento de carga. Para muchos problemas, el nuevo método es más rápido en términos de varias magnitudes.

260

ANÁLISIS NO-LINEAL RÁPIDO

Nonlinear

1(Hysteretic) Elements ===""ii~l====;i

Friction Device

,-~-,,~-w:~

- Damping Element

Nonlinear Element

-

Tension Only Element

Gap Element

~. Jl.. ~

f kª J Typical Bridge Deck Joínt

~,__~- -r-,.w~··n --+-+---_

Friction Pendulum Type Base lsolators

Gap Elemen!s between Adjacent Frames

Figura 18.1 Ejemplos de Elementos No-lineales

18.3 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE EQUILIBRIO El método FNA representa un enfoque sencillo donde se satisfacen las ·ecuaciones fundamentales de la mecánica (equilibrio, fuerza-deformación, y compatibilidad). El equilibrio exacto de fuerza del mo¡:le!o computarízado de una estructura en el tiempo t se expresa mediante la siguiente ecuación de matriz: Mü(t)+Cú(t)+Ku(t)+R(t)NL =R(t)

(18.1)

261

ANÁLISIS ESTÁTICO DINÁMICO

donde M, C y K son las matrices de la masa, el amortiguamiento proporcional y la rigidez respectivamente. El tamaño de estas tres matrices cuadradas es igual al número total de desplazamientos desconocidos de punto nodal Nd. La matriz de rigidez elástica K descuida la rigidez de los elementos no-lineales. Los vectores dependientes de tiempo ü(t), ú(t), u(t) y R(t) son la aceleración, velocidad, desplazamiento y carga aplicada externa del punto nodal, respectivamente. Y R(VNL es el vector de fuerza nodal global de la suma de las fuerzas en los elementos no-lineales, computándose por iteración en cada punto en el tiempo. Si el modelo computarizado es inestable sin los elementos no-lineales, se pueden agregar "elementos elásticos efectivos" (en el lugar de los elementos no-lineales) de rigidez arbitraria. Sí estas fuerzas efectivas, K, u(t) se agregan a ambos lados de la Ecuación (1), se pueden escribir las ecuaciones exactas de equilibrio como sigue: Mü(t)+Cü(V +(K + K.)u(lj::oR(t)-R(t)NL + K 0 u(lj

(18.2)

donde K, es la rigidez efectiva de valor arbitrario. Por lo tanto, las ecuaciones exactas del equilibrfo dinámico para el modelo computarizado no-lineal se podría escribir como sigue: Mü(t) + Cu(lj +Ku(t) == R(t)

(18.3)

La matriz de rigidez elástica K es conocida y es igual a K + K • . La carga externa efectiva R(t) es igual a R(t)-R(t)NL +K,u(t) y debe ser evaluada mediante iteración. Si se puede lograr un buen estimado de la rigidez elástica efectiva, se puede acelerar la relación de convergencia, porque el término de la carga desconocida -R(l)NL + K, u(t) será pequeño.

18.4 CÁLCULO DE FUERZAS NO-LINEALES En cualquier momento las L deformaciones no-lineales d(t) dentro de los elementos no-lineales se calculan en base a la siguiente ecuación de transformación de desplazamiento: d(t) = bu(t)

(18.4)

También, la relación de cambio con respecto al tiempo en las deformaciones nolineales, d(t) , se expresan así:

262

ANÁLISIS NO-LINEAL RÁPIDO

d(t) = bú(t)

(18.5)

Note que para los desplazamientos pequeños, la matriz de transformación de desplazamiento b no es una función de tiempo, y que es exacta. La matriz de transformación de desplazamiento b para un elemento de la annadura se da con la Ecuación (2.11 ). Si se conocen las deformaciones de historia de tiempo y las velocidades en todos los elementos no-lineales, las fuerzas no-lineales f(t) en los elementos nolineales pueden ser calculadas de manera exacta en cualquier momento en base a las propiedades materiales no-lineales de cada elemento no-lineal. Es evidente que esto se puede lograr solamente mediante iteración en cada punto en el tiempo.

18.5 TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS MODALES El primer paso en la solución de la Ecuación (18.3) es calcular un grupo de N vectores ortogonales Ritz Dependientes de Carga
u(tJ=
ii(t) "'<'D'\'(t)

(18.7)

La sustitución de estas ecuaciones en Ja Ecuación (18.1) y la multiplicación de ambos lados de la ecuación por éP T producen un grupo de N ecuaciones desacopladas expresadas por la siguiente ecuacíón de matriz: IY(t) + AY(t)+Q 2Y(t)"" F(t)

(J 8.8)

donde las fuerzas modales lineales y no-lineales se dan así: F(t) :::::TR(t) =
(18.9)

La suposición de que se pueda diagonalizar la matriz de amortiguamiento es consistente con el método de superposición de modo normal clásico donde los

263

ANÁLISIS ESTÁTICO DINÁMICO

valores del amo1iiguamiento son asignados, en términos del por ciento del amortiguamiento crítico, al nivel modal. Los términos diagonales de la matriz A son 2 ~" Wn donde ~11 es la relación de amortiguamiento para el modo n. Se debe notar que las fuerzas asociadas con am01iiguadores concentrados en cualquier punto dentro de la estructura pueden ser incluidas como parte del vector de fuerza no-lineal. También, si el número de vectores LDR usados es igual al número tot1l de grados de libe1iad Nd,, la Ecuación 18. 8 es exacta en el tiempo t. Por lo tanto, si se usan pasos de tiempó muy reducidos, y si se usa iteración con cada paso de tiempo, el método converge a la solución exacta. El uso de vectores LDR reduce significativamente el número de modos que se requieren. Ya que u(t)::: Y(t), las deformaciones en los elementos no-lineales pueden expresarse directamente en términos de la coordenada modal como: (18.10)

d(lj=BY(t)

donde la matriz de transformación deformación de elemento - coordenada modal se define como: (18.11)

B= b
Es muy importante notar que la matriz B (L x N) no es una función de tiempo, y es de tamaño relativamente pequeño; también, debe ser calculada solamente una vez antes de la integración de las ecuaciones modales. En cualquier momento, dadas las deformaciones y la historia del comportamiento en los elementos no-lineales, las fuerzas en los elementos no-lineales f(t) pueden ser evaluadas en base a las propiedades no-lineales ,básicas y la historia de la ·deformación del elemento. Basándose en el principio básico del trabajo virtual, luego se calculan las fuerzas modales no-lineales en base a: (18.12) Las fuerzas elásticas efectivas también pueden escribirse como sigue: li'(O,::: cp1 K, u(t) =(j)Tb Tke bu(t) =Brked(t)

donde ke es la matriz de rigidez lineal efectiva en el de elemento no-lineal.

264

(18.13) siste~a

local de referencia

ANÁLISIS NO-LINEAL RÁPIDO

18.6 SOLUCIÓN DE ECUACIONES MODALES NO~UNEALES El cálculo de los Vectores Dependientes de Carga, sin los elementos no-lípeales, constituye el primer paso antes de solucionar las ecuaciones modales. También, la matriz B de transformación de forma modal-deformación debe calcularse solamente una vez antes del inicio de la fase de solución paso-a-paso. Una ecuación modal típica tiene la siguiente forma: (18.14)

donde f(t) n es la carga modal, y para los elementos no-lineales es una función de todas las demás respuestas modales en el mismo punto en el tiempo. Por lo tanto, las ecuaciones modales deben ser integradas de manera simultánea, y es necesaria la iteración para obtener la solución de todas las ecuaciones modales en el tiempo t. La solución exacta de las ecuaciones modales para una variación lineal o cúbica de carga dentro de un paso de tiempo está resumida por la Ecuación (13.13), expresándose en ténninos de funciones exponenciales, de raíz cuadrada, de seno y coseno. Sin embargo, dichas funciones intensivas de computacíón, que se presentan en la Tabla 13.2, son pre-calculadas para todos los modos y usadas como constantes para la integración dentro de cada paso de tiempo. Además, el uso del método exacto de integración por pieza permite el uso de pasos de tiempo mayores. La Tabla 18 . l resume el algoritmo completo de solución no-lineal, escrito en forma iterativa.

265

ANÁLISIS ESTÁTICO DINÁMICO

Tabla 18.1 Resumen de Algoritmo de solución No-Lineal ,

1

1 CÁLCULO INICIAL - ANTES DE LA SOLUCIÓN PASO A PASO 1. Calcular los N vectores Ritz Dependientes de Carga