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UNIVERSIDAD ALEJANDRO DE HUMBOLDT
Profesora Minerva Bueno
Materia: Matemática I
Unidad I – Enero 2!
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De"i#$a%dade": DEFINICIÓN: A veces se dan unas condiciones en las que, en lugar de aparecer el signo signo igual, igual, hay hay que utiliz utilizar ar otros otros signos signos llamad llamados os de desigu desiguald aldad ad y que ahora ahora recordamos:
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
Las relaciones numéricas que se expresan con estos signos se llaman desigualdades, por ejemplo: 3<7 -2 > -5
Inec$acione": A) DEFINICIÓN: Sabemo Sabemos s que las expres expresion iones: es: 3x + 1 = x 3 y x ! 3x = " representan ecuaciones# Si en lugar de estar relacionados los dos miembros por una igualdad $=%, lo est&n por alguna desigualdad, estaremos ante 'inecuaciones'# (or e)emplo: 3x + 1 * x 3
x! 3x ≤ "
n tal sentid sentido, o, las inecuaci inecuacione ones s son desigu desiguald aldade ades s en las que aparec aparecen en letra letras s y n-meros n-meros con las operacio operaciones nes usuales# usuales# s decir decir, son relacione relaciones s algebraic algebraicas as que se expresan con los signos de desigualdad# .as letras son las variables o incgnitas de las inecuaciones# (or consiguiente, tenemos que son expresiones de la /orma :
!x" < g!x",
!x" ≤ g!x",
!x" > g!x"
!x" ≥ g!x",
# continuaci$n presentamos otros ejemplos de inecuaciones x%2
x-3 & '
x!0x ≤
xy3 * "
B) CARACTERISTICAS GENERALES: 1) st&n con/orma con/ormadas das por dos miembros # .os miembros miembros de una inecuacin inecuacin son las partes separadas por el signo de desigualdad# desigualdad # l primer miembro de una desigualdad es la expresin que est& a la izquierda y el segundo miembro est& a la derecha del signo de desigualdad# n a + b * c d el primer miembro es a + b y el segundo c d # d # miembro esta constituido constituido por los !"rminos# .os trminos de una inecuacin ) 2ada miembro son cada una de las expresiones literales $0x% literales $0x% o numéricas $10 numéricas $10 y 3"% separadas por el signo signo + , o por la canti cantidad dad que que est& sola sola en un un miembro miembro## n la desigu desiguald aldad ad anterior los trminos son a, b, b, c y d # d #
3
$) 2omo en las ecuaciones, reso%&er una inecuacin es encontrar el valor o &'%ores de ( que cumplen la relacin# .a solucin de una inecuacin no es un n-mero, sino un
con)unto de ellos# n general, la respuesta est& expresada en un intervalo o en una unin de intervalos# (or e)emplo, en la inecuacin: 0x + 10 * 3", el con)unto solucin es: x * 3, que matem&ticamente se expresa tambin como: (3, ).
) l grado de una inecuacin est& indicado por el mayor exponente de la variable# n el e)emplo anterior el exponente de la variable es 1, por lo tanto es una inecuacin de 14 grado o lineal#
C) CLASIFICACIÓN DE LAS INEC*ACI+NES: .as inecuaciones se clasi/ican atendiendo al n-mero de incgnitas y al grado de la expresin algebraica que aparece en ellas#
INE&UA&I'N
TI(O
!x3 * x0
14 grado5 1 incg#
x3 6 y
14 grado5 ! incg
!
x 0x 7
!4 grado5 1 incg#
xy3 * "
!4 grado5 ! incg#
,C-mo reso%&emos un' ine.u'.i-n/ n principio, debemos considerar las propiedades de las desigualdades y la interpretacin de las respuestas de las desigualdades en intervalos#
D) 0R+0IEDADES DE LAS DESIG*ALDADES:
)* Si sumamos o restamos un mismo n-mero a los dos miembros de
una desigualdad,
resulta otra del mismo sentido# (or e)emplo:
n una desigualdad un trmino cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambi&ndole el signo $positivo o negativo%, sin que se altere el sentido de la desigualdad, por e)emplo: a% n la desigualdad a * b + c se puede pasar c al primer miembro con signo negativo quedando a c * b, porque equivale a restar c a los dos miembros# 8bserve que el sentido de la desigualdad no cambia# b% n la desigualdad a b * c , se puede pasar b con signo positivo al segundo miembro y quedando a * b + c , porque equivale a sumar b a los dos miembros# 8bserve que el sentido de la desigualdad no varia#
)
2* Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una
desigualdad por un mismo n-mero positivo, resulta otra del mismo sentido# (or e)emplo:
n una desigualdad un trmino cualquiera que sea positivo y que est como /actor multiplicador o divisor puede pasar al otro miembro, manteniendo el signo positivo, sin producir alteraciones en el signo de desigualdad# (or e)emplo: a% n la desigualdad a.b
≥
c se puede pasar b al segundo miembro con signo positivo,
pero dividiendo, quedando a ≥
c b
, porque equivale a dividir entre b a los dos
miembros# 8bserve que el sentido de la desigualdad no var9a#
(" n la desigualdad
a b
≤c,
se puede pasar b con signo positivo al segundo miembro
pero multiplicando, quedando a ≤ c.b , porque equivale a multiplicar por b a los dos miembros# 8bserve que el sentido de la desigualdad no cambia#
+* Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una
desigualdad por un mismo n-mero negativo, resulta otra de sentido contrario# (or e)emplo:
n una desigualdad un trmino cualquiera que sea negativo y que est como /actor multiplicador o divisor puede pasar al otro miembro, manteniendo el signo negativo, y produ.e .'mbios en e% signo de desigu'%d'd# (or e)emplo: a% n la desigualdad $a).(-b)
≥
c se puede pasar b al segundo miembro con signo
negativo, pero dividiendo, quedando a
≤
c
−b
, porque equivale a dividir entre b a los
dos miembros# 8bserve que el sentido de la desigualdad A;
5 (" n la desigualdad
a
−b
≤c,
se puede pasar b con signo negativo al segundo
miembro pero multiplicando, quedando a ≥ $c).(-b) , porque equivale a multiplicar por b a los dos miembros# 8bserve que el sentido de la desigualdad 2A>
-* Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad .'mbi' de signo# Si a * b
es
evidente que b ? a
.* Si
se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo# Siendo a * b se
tiene que
1 a
<
1 b
/*
2uando los miembros de una desigualdad son posi!i&os y se elevan a una misma po!en.i' posi!i&', el signo de la desigualdad no cambia# 2 3 $ 4 e%e&'ndo '%
.u'dr'do: 2 3 $ o se' 2 3 5
0*
Si los dos miembros o s-%o uno es negativo y se eleva a una potencia imp'r posi!i&', el signo de la desigualdad no cambia# Siendo 3 * 0 y elevando al cubo $ 3%3 * $ 0%3 o sea !@ * 1!0 Siendo ! * ! y elevando al cubo !3 * $ !% o sea *
!*
Si los dos miembros son neg'!i&os y se elevan a una mism' po!en.i' p'r posi!i&', el signo de la desigualdad .'mbi'# Siendo 3 * 0 y elevando al cuadrado $ 3% ! = B y $ 0% ! = !0 y queda B ? !0#
)*
2uando un miembro es posi!i&o y otro neg'!i&o, y ambos se elevan a una misma potencia p'r posi!i&', el signo de la desigualdad puede cambiar# Siendo 3 * 0 y elevando al cuadrado 3 ! = B y $ 0% ! = !0 y queda B ? !0 $cambia el signo% Siendo * ! y elevando al cuadrado ! = C y $ !%! = y queda C * $no cambia el signo%
))* 2uando
los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les e(!r'e un' mism' r'6 posi!i&', el signo de la desigualdad no cambia# a * b y n es positivo, se tiene:
n
a>
n
b
)2* Si dos o m&s desigualdades del mismo signo se suman o multiplican miembro por miembro, resulta una desigualdad del mismo signo# Si a * b
y
a > b
a > b
c > d
c > d
a+c
> b+d
a×c
> b× d
c * d , se tiene:
)+*
2uando dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro por miembro, el resultado no necesariamente ser& una desigualdad del mismo signo, pues, puede ser una igualdad# n 1" * y 0 * !, restando miembro por miembro:
> + 5 > 2 1* − 5 < + − 2 5< 1*
$cambia de signo%
Al dividir miembro por miembro las desigualdades 1" * y 0 * tenemos
> + 5 > ) 1* ÷ 5 < + ÷ ) 1*
22
!resulta una igualdad"
7
D) INTER7AL+S:
Dn intervalo es el con)unto de todos los n-meros reales entre dos n-meros reales dados# .os intervalos se pueden clasi/icar en:
INT ER 7AL +S C +N
E8 TR E9+ S
Fipos de Ge/inicin ;epresentacin
por la Gerecha
[a,b]= {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
(a,b)= {x ∈R / a < x < b}
Seg-n vimos anteriormente los corchetes se utilizan para los intervalos cerrados y los parntesis para los intervalos abiertos# eamos como ahora se utilizan ambas denotaciones a la vez#
;epresentacin Hr&/ica n una gr&/ica, los puntos /inales de un intervalo cerrado se representan con un punto cerrado $ %#
n una gr&/ica, los puntos /inales de un intervalo abierto se representan con un punto abierto $ %#
Si tenemos La, b%, la gr&/ica ser9a:
[a,b)= {x ∈R / a ≤ x < b} s el con)unto de
Seg-n vimos anteriormente los parntesis se utilizan para los intervalos abiertos y los corchetes para los intervalos cerrados# eamos como ahora se utilizan ambas denotaciones a la vez#
(a,b]= {x ∈ R / a < x ≤ b}
Si tenemos $a, bM, la gr&/ica ser9a:
+
INTER7AL+S Fipos de
Ge/inicin
N+
AC+TAD+S
;epresentacin atem&tica
;epresentacin Hr&/ica
l con)unto de todos Abierto por la izquierda que los n-meros reales se extiende hacia la mayores que IaJ# derecha
(a, ∞)= {x ∈ R / x ! a} l con)unto de todos los n-meros reales mayores o iguales que IaJ#
"errado por la izquierda que se extiende hacia la derecha
[a, ∞)= {x ∈ R / x ≥ a}
l con)unto de todos Abierto por la derecha que los n-meros reales se extiende hacia la menores que IbJ izquierda
(# ∞, b)= {x ∈ R / x < b} l con)unto de todos los n-meros reales menores o iguales que IbJ
"errado por la derecha que se extiende hacia la izquierda
(# ∞, b]= {x ∈ R / x ≤ b}
l con)unto de todos los n-meros reales
(# ∞, ∞) = R #∞
E8FA: 2uando los extremos son in/initos, siempre ser& abierto, ya que no es un n-mero de verdad#
Reg%' Gener'% de %' Ap%i.'.i-n de %os In!er&'%os en %'s Ine.u'.iones: n principio tenemos la siguiente regla general: Si el signo de la desigualdad es * ? el intervalo solucin es A><;F8# Si el signo de la desigualdad es ≥ ≤ el intervalo solucin es 2;;AG8#
∞
Eemp%o 1
l intervalo cerrado L 1, 3 M representa el con)unto de todos los n-meros reales entre 1 y 3, inclusive# ste intervalo se puede representar usando la notacin de una desigualdad como 1 N x N 3 y gr&/icamente como:
Eemp%o l intervalo abierto $ !, @ % representa el con)unto de todos los n-meros reales entre ! y @ (;8 ! y @ no est&n inclu9dos# ste intervalo se puede representar usando la notacin de una desigualdad como ! ? x ? @ y gr&/icamente como:
Eemp%o $ l intervalo in/initamente positivo L !, M representa el con)unto de todos los n-meros reales mayores o iguales a !# ste intervalo se puede representar usando la notacin de una desigualdad como x ≥ ! y gr&/icamente como:
E) +0ERACI+NES C+N INTER7AL+S: (or el hecho de ser con)untos, los intervalos se pueden unir e intersectar, operaciones que ser&n utilizadas posteriormente# Sean los intervalos .1 ⊆ / y . 2 ⊆ / podemos entonces de/inir:
1) *ni-n de In!er&'%os: .a unin de dos intervalos tiene como resultado otro intervalo /ormado por todos los elementos de ambos comunes y no comunes#
.1 ∪ . 2
= { x ∈ / 0 x ∈ .1
$ x ∈ . 2}
) In!erse..i-n de In!er&'%os: .a interseccin de dos intervalos tiene como resultado otro intervalo /ormado por todos los elementos comunes de ambos#
.1 ∩ . 2
= { x ∈ / 0 x ∈ .1
' x ∈ . 2}
Eemp%os: Gados los siguientes intervalos: # = [ −2, 5) ;ealizar las siguientes operaciones:
1" # ∪
2" # ∩
3" # ∩
= [ 2, 7] )" # ∪
y = [ 7, +∞ ) #
1* Solucin:
1" # ∪ [ −2,5) ∪ [ 2,7] [ −2, 7 ]
onsidera los elementos comunes ' no comunes4
Hr&/icamente:
(or lo tanto, en la unin se tomar&n los segmentos yOo semirrectas que pertenezcan a todos los intervalos que intervienen, independientemente si coinciden o no en la gráfica .
2" # ∩ [ −2,5) ∩ [ 2,7] [ 2,5)
onsidera solamente a los elementos comunes4
Hr&/icamente:
s decir, en la interseccin se tomar&n los segmentos yOo semirrectas que pertenezcan a todos los intervalos involucrados que 28
3" # ∩ [ −2,5) ∩ [ 7, +∞ ) φ
onsidera solamente a los elementos comunes4 omo no existen elementos comunes entre ellos da ac6o4
Hr&/icamente:
)" # ∪ [-2,5) ∪ [ 7, +∞ )
onsidera los elementos comunes ' no comunes4
Hr&/icamente: s la misma representacin#
11
Consider'.iones de %os In!er&'%os en R: (# ∞, ∞) = R (# ∞, $) = R (n%&eros reales ne'atios)
(# ∞, $] = R { $ }
+
+
($ , ∞) = R (n%&eros reales positios)
[$ , ∞) = R { $ }
(# ∞, $) ($ , ∞) = R (n%&eros reales sin el cero)
n el intento de ser metodolgicos vamos a abordar los casos de resolucin de inecuaciones en /orma separada# ;esolucin de
CLASIFICACIÓN DE LAS INEC*ACI+NES# INEC*ACI+NES DE *NA S+LA 7ARIABLE# F) RES+L*CIÓN DE INEC*ACI+NES DE 0RI9ER GRAD+ + LINEALES: s toda inecuacin ba)o la /orma: $ a
≠
* y a ' ( ∈ / %
1% ax + ( > * !% ax + ( < * 3% ax + ( ≥ * % ax + ( ≤ * donde: a
≠ * y
a ' (∈ /
(ara resolver inecuaciones de este tipo, se procede en /orma similar a la resolucin de las ecuaciones, pero teniendo en cuenta las propiedades de las inecuaciones antes explicadas#
Eemp%o: 1% Gada la siguiente inecuacin 3x + 5 > * # Palle el con)unto solucin y gra/9quelo#
So%u.i-n: 3x + 5 > * Sumando 0 a ambos miembros de la inecuacin se obtiene: 3x + 5 − 5 > * − 5 3x
> −5
12 ultiplicamos por
1 3
3x > −5
x>−
1 3
a ambos miembros de la ecuacin para obtener:
1 3
5 3
5
l con)unto solucin es entonces5 S= − , +∞ ÷ = x ∈ / 0 x > −
3
5
3
Hr&/icamente:
1 INTER(RETA&ION EOMETRI&A: .a solucin de la inecuacin de primer grado representa aquellos valores de Q que hacen la /uncin y = ax + b quede: (ara ax + ( > * , por encima del e)e Q (ara ax + ( ≥ * , por encima y sobre el e)e Q (ara ax + ( < * , por deba)o del e)e Q (ara ax + ( ≤ * , por encima y deba)o del e)e Q#
(or e)emplo, para el e)ercicio anterior, la interpretacin geomtrica es la siguiente:
;
Gado
11
y = 3Q + 0
Q = 0O3
y="
Q="
y=0
Q=!
y = 11
0 2omo la inecuacin es 3Q + 0 * ", entonces la gra/ica corresponde a los
-503
2
3
valores sobre el e)e de las IxJ
G) RES+L*CIÓN DE INEC*ACI+NES DE SEG*ND+ GRAD+ + C*ADRATICAS:
13
Son aquellas inecuaciones que presentan las siguientes /ormas:
ax 2 + (x + c < * ax 2 + (x + c ≤ *
+ (x + c > * ax 2 + (x + c ≥ * ax
2
on a ≠ * ' a, (, c ∈ /
xiste un mtodo para resolver inecuaciones cuadr&ticas conocido como todo Hr&/ico, coloquialmente llamado <9"!odo de% Cemen!erio=# Fambin este mtodo es usado para inecuaciones que involucran productos, cocientes o bien polinomios de grado mayor a uno# A continuacin se proceder& a explicar el procedimiento a seguir con este mtodo#
0ro.edimien!o p'r' reso%&er ine.u'.iones .u'dr>!i.'s u!i%i6'ndo e% 9"!odo Gr>?i.o# 0rimer 0'so: 2omparar con cero# Segundo 0'so: Ractorizar el polinomio lo m&s posible, determinando las ra9ces o valores que anulan la expresin#
Ter.er 0'so: Dbicar las ra9ces sobre una recta real# mpezar a hacer la tabla de signos#
Cu'r!o 0'so: Geterminar el signo de cada binomio en los distintos intervalos que se originan5 para ello se le asignar& a la variable un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo que se esta analizando#
@uin!o 0'so: Geterminar que signo le corresponde al producto de los binomios en cada intervalo estudiado#
Se(!o 0'so: Seleccionar los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad# l con)unto solucin es la unin de los mismos#
Eemp%o: 1% Gada la siguiente inecuacin x 2
+ 5x + > * # Palle el con)unto solucin y gra/9quelo#
Paga la representacin geomtrica de la inecuacin#
0rimer 0'so: n este caso, ya la expresin est& comparada con cero# Segundo p'so: Ractorizar el polinomio dado, en este caso tenemos que /actorizar un trinomio de la /orma x 2 tiene:
+ (x + c ,
caso ya estudiado anteriormente, por lo tanto se
1) 2
( x + 3) ( x + 2) , nos queda entonces una inecuacin de la /orma: ( x + 3) ( x + 2 ) > * .as ra9ces que anulan ( x + 3) ( x + 2 ) son x = −3 y x = −2 # x
+ 5x + =
Ter.er p'so: Dbicamos las ra9ces sobre la recta real# n base a ello determinamos los intervalos, ubicados en la primera /ila de la tabla# n la primera columna ubicamos los /actores que se obtuvieron en la /actorizacin antes realizada#
Cu'r!o 4 @uin!o p'so: Se le asignan &'%ores 'rbi!r'rios a IxJ en cada intervalo, y se determinan los signos# (or e)emplo: (ara el intervalo: $) podemos tomar x = , y si sustituimos este valor en el /actor $x + 3%, obtenemos + 3 = 1, por ello en ese recuadro se observa un signo negativo#
actores
actores 8roducto inal
(ara el intervalo: $) volvemos a tomar x = , y lo sustituimos en el /actor $x + !%, as9 obtenemos + ! = !, por ello en ese recuadro se observa un signo negativo# .uego el signo que aparece en el recuadro de la expresin
( x + 3) ( x + 2 ) se obtiene de
multiplicar los dos signos anteriores obtenidos $%#$% = +
Ge igual manera se procede a hacer el estudio de signos para los intervalos restantes#
Es!udio de signos p'r' e% in!er&'%o $ ): (ara el intervalo: $ ) podemos tomar x = !,0, y si sustituimos este valor en el /actor $x + 3%, obtenemos !,0 + 3 = ",0, por ello en ese recuadro se observa un signo positivo# olvemos a tomar x = !,0, y si sustituimos este valor en el /actor $x + !%, obtenemos !,0 + ! = ",0, por ello en ese recuadro se observa un signo negativo#
15 .uego el signo que aparece en el recuadro de la expresin
( x + 3) ( x + 2 ) para
el
intervalo $ ) se obtiene de multiplicar los dos signos anteriores obtenidos $+%#$% =
Es!udio de signos p'r' e% in!er&'%o ): (ara el intervalo: ) podemos tomar x = ", y si sustituimos este valor en el /actor $x + 3%, obtenemos " + 3 = 3, por ello en ese recuadro se observa un signo positivo# olvemos a tomar x = " y si sustituimos este valor en el /actor $x + !%, obtenemos " + ! = !, por ello en ese recuadro se observa un signo positivo# .uego el signo que aparece en el recuadro de la expresin
( x + 3) ( x + 2 ) para
el
intervalo ) se obtiene de multiplicar los dos signos anteriores obtenidos $+%#$+% = +
Se(!o p'so: 2omo la inecuacin x 2 + 5x + > * , es igual a ( x + 3) ( x + 2)
> * 5 en tal
sentido, y para que se cumpla esa desigualdad, se buscan los valores de IxJ que son mayores a cero, es decir los positivos# (or lo tanto, tomaremos aquellos intervalos donde el estudio de signos arro) una respuesta positiva en el producto /inal $ver tabla de signos%#
actores
actores
8roducto inal
n tal sentido, la solucin viene dada por:
9
= ( −∞, −3) ∪ ( −2, +∞ )
;epresentacin del 2on)unto Solucin sobre la ;ecta ;eal:
;epresentacin Heomtrica: Antes de pasar a la interpretacin geomtrica de esta clase de inecuaciones se hace necesario indicar como se gra/ican las /unciones cuadr&ticas o de segundo grado#
1
GRAFICACI+N DE F*NCI+NES C*ADRATICAS:
.os polinomios del tipo p$x% = ax 2+ bx + c con a ≠ ", y a , b, c son constantes se denominan /unciones cuadr&ticas, de segundo grado o parablica, ya que su gr&/ica corresponde a una par&bola# (ara trazar la gr&/ica de una /uncin cuadr&tica es necesario conocer:
A) 2omo abre la par&bola $cncava hacia arriba o hacia aba)o%, para ello basta con observar el signo que acompaa al coe/iciente de x 2, es decir el signo que acompaa a la constante Ia”. ntonces: Si a > ", es decir es positiva, la par&bola abre hacia arriba# Si a < ", es decir es negativa, la par&bola abre hacia aba)o# ;értice !-b02a, f !-b02a"" 8unto m=ximo
;értice !-b02a, f !-b02a"" 8unto m6nimo
f ! x"ax bxc a<*
f ! x"ax bxc a>*
C-n.'&' '.i' 'rrib'
C-n.'&' '.i' 'b'o
B) l punto m&ximo o m9nimo de la par&bola es llamado ;F<2# Si a > ", es decir es positiva, el trinomio tiene un punto m9nimo# Si a < ", es decir es negativa, el trinomio tiene un punto m&ximo# .as coordenadas IxJ y IyJ del vrtice est&n dadas por la siguiente relacin: 2oordenada en IxJ =
x =
−
b
2a
2 ) ac − b 2oordenada en IyJ = y = )a s decir, la coordenada del vrtice viene dada por la siguiente coordenada: $x , y% = $x , y% = $ −
b
2a
− , )ac b )a
2
%
17
C) 2orte con el e)e IyJ# iene dado por la constante IcJ# (ara la coordenada x = ",
y = /$x% = c
2on lo cual la curva pasa por el punto $" , c%
D) 2orte con el e)e IxJ: (ara ello se resuelve la ecuacin /$x% = ", esto es: ax 2+ bx + c = 0 Si la ecuacin tiene solucin, la par&bola corta al e)e IxJ en el punto o puntos que solucionan la ecuacin $es decir, x 1 y x! %# Si la ecuacin no tiene solucin $ra9ces imaginarias% entonces, la par&bola no corta al e)e IxJ# valuamos entonces el discriminante: Si b! K ac * " , entonces la par&bola corta al e)e IxJ en dos puntos distintos# Si b! K ac = " , entonces la par&bola corta al e)e IxJ en un solo punto# Si b! K ac ? " , entonces la par&bola no corta al e)e IxJ # Si b! K ac = " , entonces la par&bola corta al e)e IxJ en un solo punto, que ser& el vrtice# (or lo tanto, las coordenadas de la par&bola cuando corta al e)e IxJ viene dadas por: $x1 , "%
y
$x! , "%
s decir,
− b +
b
2
2a
− )ac ,*
y
− b −
b
2
2a
− )ac ,*
T /inalmente como se observa, la par&bola tiene un e)e de simetr9a con respecto al vrtice
Ahora, dada la explicacin anterior, podemos hacer la interpretacin geomtrica de la inecuacin de segundo grado planteada: x 2+ 5x + > 0 (ero primero debemos gra/icar la /uncin y = x 2+ 5x +
1+ A% .a par&bola abre cncava hacia arriba, ya IaJ es +1, es un valor positivo# >% .a curva tiene un vrtice que constituye el punto m9nimo o m&s ba)o de la curva, ya que el valor IaJ de la /uncin es positivo# .as coordenadas IxJ y IyJ del vrtice est&n dadas por la siguiente relacin: 2oordenada en IxJ =
2oordenada en IyJ =
b
x =
−
y =
)ac − b 2
2a
=−
)a
5 ! 2"!1"
5
= − = −2,5 2
[ !)"!1"!"] − 5 2 = 2) − 25 = − 1 = −*4,25 = ! )"!1"
)
)
rtice: $x , y% : $!,0 , ",!0%
2% 2orte con el e)e IyJ# iene dado por la constante IcJ : $", C% G% 2orte con el e)e IxJ# 2alculamos el discriminante: b! K ac = [0!] K [(%$1%$C%] = !0 K ! = 1# (or lo tanto, como el discriminante es mayor que cero, entonces la par&bola corta al e)e IxJ en dos puntos distintos# (ara determinar los puntos del e)e IxJ que la par&bola corta, utilizamos la resolvente cuadr&tica#
x
=
x1
=
x 2
=
−b±
b
2 − )ac
2a
− 5 +1 2
− 5 −1 2
=
− 5 ± 5 2 − )!1"!" 2!1"
− 5 ±1 = −5± 1 = 2
2
)
= − = −2 2
= − = −3 2
2oordenadas que indican el punto de corte con el e)e IxJ:
$! , "%
2on todos los puntos antes deducidos procedemos a gra/icar:
y
$3 , "%#
1 !* , "
!-3,*"
!-2,*"
;értice !-2,5 , -*425"
Ahora bien, Ucual es la parte o partes de la curva que corresponden, para satis/acer la inecuacin: x 2+ 5x + > 0V# ntonces, solamente tomaremos los tramos de la curva para IyJ * ", los cuales se indican a continuacin
!* , " 8or lo tanto, los tramos de la cura resaltados son los que corresponden a la inecuaci$n planteada4 ste gr=ica resulta la representaci$n geométrica de la inecuaci$n4 !-3,*"
;értice !-2,5 , -*425"
!-2,*"
2*
INEC*ACI+NES FRACCI+NARIAS Son inecuaciones en las que tenemos una /raccin algebraica /ormando parte de la misma#
E(presi-n gener'%: Son del tipo
ax + ( cx + d
≤
*
, o todas sus equivalentes
ax + ( cx + d
≥ *, o
ax + ( cx + d
< * , etc# W y de
grados mayores que uno#
E% denomin'dor debe !ener por %o menos un po%inomio de primer gr'do# E% numer'dor puede ser un !"rmino independien!e# 9"!odo de reso%u.i-n: 0'so 1: 2omparar con cero# 0'so : Gescomponer /actorialmente $/actorizar% los polinomios que componen el numerador y denominador, aplicando ;u//ini, resolvente cuadr&tica, etcW el mtodo que consideres m&s apropiado o que me)or te resulte, claro siempre y cuando sea aplicable al caso# Dna vez descompuestos nun.' simp%i?i.'r o cancelar /actores entre el numerador y el denominador, ya que podr9amos perder soluciones# (osteriormente se pro.ede .omo .on %'s ine.u'.iones de gr'do m'4or ue uno, ya que se trata en el /ondo de averiguar el signo /inal que va a tener un cociente de productos#
E4em5%o 1% Gada la siguiente inecuacin
x 2 + 3x − 1* x2 + x − 2
< *#
Palle el con)unto solucin y
gra/9quelo#
0rimer p'so: 2omparar con cero# n este caso ya esta comparada la inecuacin con cero# Ractorizamos los polinomios dados:
+ 3x − 1* = ( x + 5) ( x − 2) , x 2 + x − 2 = ( x + 2 ) ( x − 1) x2
.as ra9ces que anulan el numerador son x = −5 y x = 2 , y las que anulan el denominador son x = −2 y x = 1 , las ubicamos sobre la recta real# Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos#
21
Se aprecia entonces en la representacin anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, por lo tanto la solucin viene dada por: 9
= ( −5, − 2 ) ∪ ( 1, 2)
2omo se puede observar todos los intervalos son abiertos, ya que la inecuacin es estrictamente menor que I"J, por lo tanto los valores que anulan o hacen cero a la inecuacin no se pueden asumir como intervalo cerrado del con)unto solucin# Hr&/icamente:
+!ros eemp%os: Eemp%os: x+2
x ×( x − 1)
>
*
n este caso ya tenemos la inecuacin igualada a cero y al numerador y el denomina dor descompuestos en /actores, solo hay que construir la tabla de los signos, as9:
x+2 x x −1
!-∞6 −2 " ? ? ? ?
@iisi$n Ao es soluci$n
!126 * *
!*61*
!16∞*
7
7 7
7
? ?
7 7 7 7
oluci$n
Ao es soluci$n
oluci$n
? ?
22 Al tratarse de una desigualdad estricta no se incluyen los l9mites o extremos de los
( −2, *) ∪ ( 1, ∞ ) #
intervalos en la misma, as9 pues la solucin ser&
x +1 x −1
<1⇒
x +1 x −1
−1< * ,
8)o, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estar9amos cometiendo un error# ;esuelve por tu cuenta la inecuacin x + 1 < x − 1 y compara los resultados# (ara nuestro caso, operando
x +1 x −1
−1 < * ⇒
x + 1− x + 1 x −1
=
2 x −1
< * , y todo se reduce a
averiguar cu&l es el signo del denominador, cuando ste es negativo, y haciendo la tabla de signos podemos comprobar que lo es en
!-∞61 1" ? ?
x +1 1− x x +1 @iisi$n
oluci$n
1 − x2 x +1
≥*⇒
( x + 1) ×( 1 − x ) ( x + 1)
( −∞,1) # [16∞*
!1161]
? ?
oluci$n
Ao es soluci$n
≥*
Gebemos andar con mucho cuidado a la hora de crear la tabla de signos, recuerda, no simpli/icar# .a solucin, por tratarse de una desigualdad no estricta, es !-∞611" !1161]#
2 x −1 @iisi$n
!-∞6)" ? ? oluci$n
!16∞*
7
7 Ao es soluci$n
23
Va%ore" 8$e an$%an e% n$merador:
omo para x2 ), el discriminante es menor que cero, entonces no es actoriBa(leC por lo tanto, la actoriBaci$n completa de x3 )x es la indicada en !D" ' as6 de(e quedar expresada en la ta(la de signos4 8or lo tanto, para el numerador, el Enico alor que lo anula es *4
Va%ore" 8$e an$%an e% denominador: omo es o(io -1 es el alor que Face cero el denominador4
omo la inecuaci$n es menor o igual que cero, entonces el interalo soluci$n corresponde al recuadro negatio inal4 onjunto oluci$n: 1) 6 ]
