Plan de clase (1/2) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________ Profesor (a): ____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI 9.1.6 6 Cono Conoci cimi mien ento to de la esca escala la de la prob probab abil ilid idad ad.. Anál Anális isis is de las las Contenido: 9.1. carac caracter terís ísti ticas cas de evento eventos s comp comple leme menta ntari rios os y event eventos os mutua mutuame ment nte e excluy excluyent entes es e independientes.
Que los los alum alumno nos s expr expres esen en la medi medida da de la prob probab abil ilid idad ad Intencion Intenciones es didácticas: didácticas: Que median mediante te una una frac fracció ción n común común,, una expre expresió sión n deci decimal mal o a trav través és de un porce porcenta ntaje je y formalicen la escala de la probabilidad.
Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Si se real realiz iza a el expe experi rime ment nto o de lanz lanzar ar tres tres mone moneda das s al mism mismo o tiem tiempo po.. ¿Cuá ¿Cuánt ntos os resultados puede haber? Represéntenlos de tal manera que puedan verse 8 todos. 2. Con Con base base en los result resultad ados os de lanza lanzarr tres tres moneda monedas s al mismo tiempo tiempo,, cont contes esten ten lo siguiente: •
La probabilidad del evento “Obtener 0 águilas” es
•
La probabilidad del evento “Obtener 1 águila” es
•
La probabilidad de evento “Obtener 2 águilas” es
•
La probabilidad del evento “Obtener 3 águilas” es
•
1 8 3
=
=
8 2
0.375
=
8 1 8
0.125
_ 0.25 ______ ______ =
__ 0.125 ____
De los cuatro eventos anteriores, ¿cuál tiene mayor probabilidad? águila. ¿Por qué? Tiene mayor frecuencia de susceder.
Obtener un
3. Completen las siguientes afirmaciones: a) b) c) d)
Probabilidad del evento “Obtener 0 águilas”: 12.5 %. Probabilidad del evento “Obtener 1 águila”: 37.5 % Probabilidad del evento “Obtener 2 águilas”: 25 % Probabilidad del evento “Obtener 3 águilas”: 12.5 %
4. En el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo, ¿puede haber un evento 10 cuya probabilidad sea ? ___NO___ ___NO______ ___ ¿Por qué? Porque no puede haber más 8 número de evento no pude ser mayor al espacio muestral.
Consideraciones previas: El primer reto de este plan es que los alumnos determinen el espacio muestral del experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo y de representarlo de tal manera que se visualicen todos sus elementos. Algunas posibles representaciones son las siguientes: A A
S A
A S
S A
A
S A
Primer moneda A A A A S S S S
Segunda moneda A A S S A A S S
Tercer moneda A S A S A S A S
Resultado del experimento AAA AAS ASA ASS SAA SAS SSA SSS
S S
S
Con respecto a los problemas 2 y 3, la intención es que los alumnos reconozcan que la probabilidad de un evento puede escribirse con una fracción común, con una expresión decimal o con un porcentaje. Con el problema 4, se espera que los alumnos deduzcan que la máxima probabilidad de un evento es 1 o el 100%. Este momento es pertinente para plantear preguntas de reflexión que lleven a los estudiantes a definir un evento seguro y un evento imposible y relacionarlos con su probabilidad, 1 y 0. Se sugiere seguir construyendo y utilizando las siguientes nociones: La medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento o suceso A cuando se realiza un experimento aleatorio se llama probabilidad del evento o suceso A y se representa con P(A). La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que: • Al evento o suceso imposible le corresponde el valor 0 • Al evento o suceso seguro le corresponde el valor 1.
Espacio Muestral. Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Ejemplo: Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale águila, sale sol} o E = {A, S}. Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} o E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = {(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)}. •
•
•
Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos: Obtener un número primo, A = {2, 3, 5} Obtener un número primo y par, B = {2} Obtener un número mayor o igual a 5, C = {5, 6} • • •
Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Plan de clase (2/2) Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________ Profesor (a): ____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido: 9.1.6 Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las características de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.
Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Analicen el siguiente experimento e identifiquen las características de los eventos B y C y M y N .
Experimento: Lanzar un dado. Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento B: “Cae un número menor que tres”.
B = {1, 2}
Evento C : “Cae un número mayor que cuatro”.
C = {5, 6}
Características de los eventos B y C :
ambos tienen la misma probabilidad de
ocurrencia.
Evento M : “Cae el número tres”.
B = {3}
Evento N : “Cae un número distinto de tres”.
Características de los eventos M y N :
C = {1, 2, 4, 5, 6}
es mayor la posibilidad de ocurrencia en el
evento N. 2. Contesten las preguntas siguientes: a) Se lanzan cuatro volados consecutivos y en todos ellos ha caído águila. ¿Cuál es la probabilidad de que en el quinto volado también caiga águila? Sigue teniendo la
misma probabilidad de ocurrencia.
b) En una caja hay cinco pelotas, una verde, una amarilla, una azul, una negra y una roja. Se realizan extracciones de una pelota al azar y se devuelve la misma a la caja. Si en la primera extracción resulta la pelota roja, en una segunda la verde y en una tercera nuevamente la roja, ¿qué probabilidad hay de sacar la pelota azul en una cuarta extracción? 1/5 tiene la misma probabilidad que las demás.
Consideraciones previas: Con respecto a los eventos B y C, se espera que los alumnos se den cuenta que los dos eventos no pueden ocurrir en forma simultánea cuando se lanza el dado; es decir, el evento “Cae un número menor que tres” no ocurre en forma simultánea con el evento “Cae un número mayor que cuatro”, porque ningún elemento del evento B = {1, 2} aparece en los elementos del evento C = {5, 6} y viceversa. Posteriormente, el profesor puede comentar que este tipo de eventos reciben el nombre de “mutuamente excluyentes” y que su característica fundamental es que no pueden ocurrir en forma simultánea. Es muy probable que adviertan que los eventos M y N tampoco pueden ocurrir simultáneamente, por lo tanto, ahora la tarea, es que los estudiantes adviertan la diferencia entre los eventos B y C y los eventos M y N. La diferencia es que la suma de las probabilidades de M y N es igual al 100%, mientras que esto no sucede necesariamente con los eventos B y C. El profesor puede comentar que los eventos que cumplen con las características de M y N se les llaman “eventos complementarios”. El complemento de M es N (M c = N ) y e l complemento de N es M (N c = M) En el caso de las dos preguntas del problema 2, es muy probable que dados los resultados anteriores, los estudiantes contesten que sea más probable que caiga águila y que la pelota azul tenga menos posibilidades de salir respecto a la roja y la verde. Si fuera necesario los alumnos pueden simular los experimentos, la idea es que deduzcan que cada vez que se realiza un volado o se extrae una pelota, los espacios muestrales son iguales, por lo tanto, siempre que se lanza un nuevo volado, la probabilidad de que caiga águila siempre es igual a ½ o al 50%; en el caso de las pelotas, en cada extracción cada una de las cinco tiene el 20% de salir. Finalmente el profesor puede recapitular diciendo que cuando la probabilidad de un evento no es afectada por el resultado del otro, estos eventos se les llaman “eventos independientes”. Una vez que los alumnos han discutido ampliamente las características de los eventos mutuamente excluyentes, complementarios e independientes; se les puede solicitar que ellos busquen algunos ejemplos más de cada tipo.
También se pueden plantear actividades como las siguientes:
•
Señala en cada caso qué tipo de eventos corresponden y por qué. a) Experimento: Lanzamiento de un dado” Evento B = {2} Evento C = {5, 6} Los eventos son: B= simple C= compuesto porque
en el eveto B solo requiere de un resultado mientras que en el otro se pide 2 posibles.
b) Experimento: Lanzamiento de un dado” Evento B = {1, 3, 5} Evento C = {2, 4, 6} Los eventos son: compuestos porqué se desea la ocurrencia de tres posibles
dato en los dos eventos. c) Experimento: Lanzamiento de un dado y una moneda” Evento B = {6, A} Evento C = {(1, S), (2, S), (3, S), (4,S), (5,S) } Los eventos son: evento B simple y C compuesto porque
en el evento B solo se pide la ocurrencia de un numero del dado y una cara de la moneda mientras que en el evento C se pide casi todos los posibles del dadao y solo una cara de la moneda.
Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
