Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
Optaciano Vásquez García
CAPITULO VIII
Campo magnético y fuerza magnética
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Campo magnético y fuerza magnética
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8.1 Polos magnéticos y líneas de campo
La ciencia del magnetismo nació de la observación de que ciertas piedras (Magnetita Fe 3O4) atraían pedazos de hierro. A estas piedras se les denominaron imanes naturales (véase la figura 8.1a). Uno de los imanes naturales más importante es la tierra (véase la figura 8.1b), cuya acción orientadora sobre la brújula ha ha permitido diferenciar el polo norte verdadero del norte geográfico geográfico y determinar los denominados polos magnéticos de un imán.
(a) Figura 8.1.
(b)
(a) I mán nat ur al en for ma de bar ra, (b) I mán terr estr estr e con sus polos pol os nor te y sur
A partir de una experimentación cualitativa se puede establecer que:
Una barra imanada presenta dos polos. Estas son regiones cercanas a los extremos del imán donde aparentemente se concentra la actividad magnética. Entre dos polos magnéticos existe siempre o una atracción o una repulsión Sólo existen dos clases de polos magnéticos denominados polo norte(N) y polo sur(S). En ausencia de otros imanes en su vecindad, una brújula se orienta por sí misma en la dirección norte - sur. El polo que apunta hacia el norte geográfico se le denomina polo norte y el que apunta hacia el sur geográfico se le denomina polo sur del imán. La fuerza de interacción entre dos polos magnéticos presenta la dependencia del inverso al cuadrado de la distancia que los separa. Dos polos de diferente nominación experimentan una interacción atractiva como atractiva como se muestra en las figuras 8.2a y 8.2b y dos polos de la misma nominación experimentan una interacción repulsiva como se muestra en la figura 8.2c y 8.2d.
Figura 8.2.
entr e dos dos polos de dif erente erente nomi nación; (c) y (d) interacción r epul epul siva entre (a) y (b) I nteracción atracti va entr polos de igual nomi nación
Debe señalarse que cuando una brújula se coloca en una región cerca de un alambre que no transporta corriente eléctrica, la brújula no experimenta una orientación respecto al alambre (figura 8.3a). Sin embargo, si por alambre circula una corriente hacia arriba (figura 8.3b) o hacia abajo (figura 8.3c), la brújula experimenta una orientación. Esta situación indica que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas.
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8.1 Polos magnéticos y líneas de campo
La ciencia del magnetismo nació de la observación de que ciertas piedras (Magnetita Fe 3O4) atraían pedazos de hierro. A estas piedras se les denominaron imanes naturales (véase la figura 8.1a). Uno de los imanes naturales más importante es la tierra (véase la figura 8.1b), cuya acción orientadora sobre la brújula ha ha permitido diferenciar el polo norte verdadero del norte geográfico geográfico y determinar los denominados polos magnéticos de un imán.
(a) Figura 8.1.
(b)
(a) I mán nat ur al en for ma de bar ra, (b) I mán terr estr estr e con sus polos pol os nor te y sur
A partir de una experimentación cualitativa se puede establecer que:
Una barra imanada presenta dos polos. Estas son regiones cercanas a los extremos del imán donde aparentemente se concentra la actividad magnética. Entre dos polos magnéticos existe siempre o una atracción o una repulsión Sólo existen dos clases de polos magnéticos denominados polo norte(N) y polo sur(S). En ausencia de otros imanes en su vecindad, una brújula se orienta por sí misma en la dirección norte - sur. El polo que apunta hacia el norte geográfico se le denomina polo norte y el que apunta hacia el sur geográfico se le denomina polo sur del imán. La fuerza de interacción entre dos polos magnéticos presenta la dependencia del inverso al cuadrado de la distancia que los separa. Dos polos de diferente nominación experimentan una interacción atractiva como atractiva como se muestra en las figuras 8.2a y 8.2b y dos polos de la misma nominación experimentan una interacción repulsiva como se muestra en la figura 8.2c y 8.2d.
Figura 8.2.
entr e dos dos polos de dif erente erente nomi nación; (c) y (d) interacción r epul epul siva entre (a) y (b) I nteracción atracti va entr polos de igual nomi nación
Debe señalarse que cuando una brújula se coloca en una región cerca de un alambre que no transporta corriente eléctrica, la brújula no experimenta una orientación respecto al alambre (figura 8.3a). Sin embargo, si por alambre circula una corriente hacia arriba (figura 8.3b) o hacia abajo (figura 8.3c), la brújula experimenta una orientación. Esta situación indica que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas.
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(a) Figura 8.3.
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(b)
(c)
corr iente no experi experi menta ori entación, entación, (b) l a (a) la br úju la en la cercanía a un condu ctor por el qu e no fl uye corr brúju brúju la en la cercanía de un conductor qu e transport transport a corri ente hacia arr iba experi experi menta una or ientación, (c) si si l a corr iente fl uye hacia abajo la br úju la se ori enta en en di rección rección opuesta opuesta
En la práctica resulta imposible aislar a un sólo polo magnético, es decir si se divide a un imán en dos partes iguales como se muestra en la figura 8.4, lejos de obtener un sólo polo se obtiene dos imanes con sus propios polos magnéticos norte y sur y si nuevamente dividimos a estos imanes en dos partes se obtiene cuatro imanes. Por lo tanto, se dice que el campo magnético es de origen dipolar.
Figura 8.4.
El campo magné m agné ti co es de origen or igen dipolar dipo lar es decir si se divi de a un im án en n par tes se obti ene n i man es. es.
Para trazar un campo magnético se utilizan las brújulas, siendo la dirección del campo magnético la que apunta la aguja de este instrumento cuando se coloca cerca de un imán (véase la figura 8.5a. El vector campo magnético ( B) conocido también con el nombre de Inducción Magnética, Magnética, se le puede representar por líneas de campo como se muestra en la figura 8.5b.
(a) Figura 8.5.
(b)
Tr azado de las la s líneas de campo magn é ti co para un im án en f orm a de barr a usando un a br úju la, la , (b) el campo cam po magn m agn é ti co siempr si empr e es tang ta ngent ente e a un u n a l ín ea de cam po magn m agn é ti co
El ampo magnético se encuentra relacionado con las líneas de fuerza de la siguiente manera: a) El campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético. 346
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b) Las líneas de campo magnético se dibujan de tal manera que el número de líneas por unidad de área de sección transversal sea proporcional a la magnitud del campo magnético. c) Las líneas de campo magnético son cerradas y terminan en en el interior del imán. d) Las líneas de inducción se dibujan saliendo del polo norte y entrando en el polo sur.
En la Figura 8.6a, 8.6b y 8.6c, se muestran la forma como se dibujan las líneas de campo magnético.
Figura 8.6.
(a) L íneas de fu erza par a un im án en for f orma ma de bar ra, ra , (b) líneas de campo magn é ti co par a un a bobi na qu e tr ansporta un a corr iente I , y (c) un imán en f orma de herr adur a produce un campo magné tico u ni for me
8.2. Fuerza magnética y campo magnético.
Experimentalmente se demuestra que cuando una partícula cargada q, se q, se mueve con una velocidad ⃗, en el espacio , experimenta una fuerza de origen magnético ⃗ como se muestra en la en donde existe un campo magnético figura 8.7a. La fuerza magnética tiene las siguientes características.
, a) La fuerza magnética sobre una partícula cargada es siempre pe rpendicular tanto al vector campo magnético así como al vector velocidad ⃗ , de la partícula. , a la magnitud de la b) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional a la magnitud de velocidad de la partícula⃗ y a la carga q que lleva la partícula. c) La magnitud de la fuerza magnética es d irectamente proporcional al seno del ángulo entre el vector velocidad ⃗ de la carga y al vector campo magnético . d) La fuerza magnética depende del signo de la carga puntual móvil. Todas estas características se resumen en la ecuación matemática
F B (qvxB qvxB)
(8.1)
Donde λ es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades elegidas. En el sistema internacional de unidades λ es igual a la unidad. P or lo tanto la ecuación anterior se escribe:
F B qvxB qvxB
(8.2)
La magnitud de la fuerza magnética se expresa
F B qvBsen qvBsen
(8.3)
La dirección se determina usando la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.7c. En la figura 8.7a, se observa que si la carga q se mueve dentro de un campo magnético producido por un imán experimenta una fuerza magnética y en la figura 8.7b se observa que si q se mueve con una velocidad ⃗ que está , la fuerza magnética ⃗ siempre es perpendicular al plano formando un ángulo θ con el campo magnético , entonces dicha fuerza siempre será todo el tiempo una fuerza lateral. formado por⃗ y
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(a)
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(b)
(c)
Figura 8.7. (a) Gr áfi ca que il ustr a el tr azo de la f uerza magné ti ca, (b) Apl icaci ón de la r egla de la man o determ in ar la dirección de l a f uerza magn é ti ca
derecha para
Por otro lado la ecuación (3) también indica que:
La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es cero. La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es paralela al campo magnético (figura 8.8a) La fuerza magnética sobre la partícula cargada tiene su valor máximo cuando la velocidad y el campo magnético son perpendiculares esto es θ = 90º como se muestra en la figura 8.8c. Este valor está dado por: F max qvB
(8.4)
La unidad del campo magnético en el sistema internacional de unidades es B: 1Tesla = N.s/C.m = N/A.m = 1 Weber/m2 Las unidades del campo magnético en el sistema c.g.s. el denominado Gauss. 1 Tesla = 104 Gauss. Si la partícula se mueve en una región en donde existe un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza resultante sobre la partícula cargada se expresa en la forma
F R qE qvxB
(8.5)
A la ecuación anterior se le denomina como Fuerza de Lorentz.
(a) Figura 8.8
(b)
(c)
ti ca es nul a cuan do l a car ga se mueve paralel amente al campo magné ti co, (b) l a f uerza (a) l a f uerza magné magné ti ca es perpendi cular al plano de la veloci dad y el campo magné ti co y (c) la f uerza magné ti ca es máxi ma cuan do l a veloci dad y el campo magn é ti co son perpendicu lar es.
Debe observarse además que la fuerza magnética al ser perpendicular a la velocidad de la partícula cargada y al campo magnético, no produce cambio alguno en la velocidad y como tal la energía cinética se mantiene constantes. 348
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En otras palabras, la fuerza magnética no puede mover hacia arriba o hacia abajo a la carga. Consecuentemente, la fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula.
dW Fm .ds q(vxB).(vdt ) q(vxv ).Bdt 0
(8.6)
Sin embargo, la dirección de la velocidad de la partícula puede ser alterada por la fuerza magnética, como veremos posteriormente
8.3 Flujo magnético
Se define al flujo magnético Φ B a través de una superficie dada S como la integral de la componente del campo perpendicular a la superficie, sobre el área dada. magnético Para determinar el valor de Φ B consideremos una superficie arbitraria S tal como se muestra en la figura 8.9, y no es constante ni en magnitud ni en dividámoslo a ella en elementos dA. Por lo general el campo magnético determina el valor local del campo magnético en el dirección sobre la superficie, sino que el campo magnético punto P.
Figura 8.9. F luj o magn é ti co a tr avé s de una superficie.
normal a dA en ese punto, es simplemente la componente del campo magnético en la La componente de a la superficie, esto es dirección del vector unitario normal Bn B cos B.n
(8.7)
d B BB dA B.ndA
(8.8)
El elemento de flujo dΦB a través del área dA será
Para calcular el flujo total Φ B que atraviesa toda la superficie S se procede a integrar la ecuación (8),
B B.dA B.ndA S
(8.9)
S
Si el campo magnético es constante en magnitud y dirección en todos los puntos de la superficie y si ésta es plana, la cantidad B.n también será la misma para todos los elementos dA. Por lo tanto, la ecuación (8) se escribe
B B.n dA BA cos
(8.10)
S
Donde A es el área total de la superficie. Si además el campo magnético es perpendicular al superficie θ = 0º, la expresión anterior se reduce a
B BA Las unidades del flujo magnético en el sistema internacional de unidades es Weber.
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(8.11)
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8.4 La ley de Gauss para el magnetismo.
Si se tiene un imán en forma de barra de longitud muy grande, la fuerza magnética entre los polos obedece a la ley de Coulomb, en el sentido de que son inversamente proporcionales al inverso al cuadrado de la distancia entre los mismos. Como las “cargas magnéticas” se pueden considerar como la fuente de los campos magnéticos los mismos que decrecen con la inversa del cuadrado de la distancia, se puede demostrar temporalmente la ley de Gauss para el magnetismo, imaginando que B se origina en una “carga magnética” aislada. En forma análoga a lo que se hizo con la ley de Gauss para el campo eléctrico
B.ndA 4 Kq m
(8.12)
S
La integral se evalúa sobre toda la superficie y la carga magnética qm es la carga magnética total encerrada dentro de la superficie gaussiana. La constante K relaciona a B con la supuesta “carga magnética” qm y la distancia, es decir
q m e 2 r r
B K
(8.13)
Puesto que la única causa que origina a los campos magnéticos es las corrientes eléctrica y además los campos magnéticos son de origen dipolar, la “carga magnética” realmente no existe, es decir equivale a un valor cero para qm. Entonces la ley de Gauss para el magnetismo se escribe
B.ndA 0
(8.14)
S
Geométricamente se puede entender observando que las líneas de campo magnético comienzan en el polo norte (N) y terminan en el polo sur (S) es decir forman líneas cerradas, entonces la ecuación (8.14) se satisface en la medida de que todas las líneas de campo que entran en la superficie S también salen de la superficie, es decir ninguna línea puede comenzar o terminar dentro de la superficie.
8.5. Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica.
Debido a que la corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento, ellas estarán sometidas a una fuerza como se muestra en la Figura 8.10. Dicha fuerza es proporcional a lateral, si sobre ella actúa un campo magnético la intensidad de corriente I, a la inducción magnética B y es perpendicular a ambas cantidades. La dirección de la fuerza magnética se determina mediante la regla de la mano derecha aplicada como se muestra en la figura 8.10b. En la figura 8.10c, se muestra un experimento que muestra el efecto del campo magnético sobre un corriente
(a) Figura 8.10.
(b)
(c)
tico, experimenta (a). Cuan do un alambr e que transporta u na cor ri ente I se encuentra en u n campo magné un a f uerza magn é ti ca, (b) r egla de la m ano derecha par a determi nar la dir ección de la f uerza magn é ti ca y (c) experimento en el l aborator io qu e mu estr a la f uerza magné ti ca sobre corr ient es
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Consideremos un alambre recto suspendido en la región entre dos polos magnéticos de un imán como se muestra en la figura 8.11a. El campo magnético se encuentra ingresando al plano de la página y se representa mediante aspas (x). Podemos demostrar rápidamente que cuando no pasa corriente a través del alambre (figura 8.11b) el alambre se mantiene recto. Sin embargo, si a través del alambre fluye una corriente de abajo hacia arriba (figura 8.11c) el alambre sufre una deflexión hacia la izquierda, mientras que si por el alambre fluye una corriente de arriba hacia abajo el alambre experimenta una deflexión hacia la derechas como se muestra en la figura 8.11d.
(a) Figura 8.11.
(b)
(c)
(d)
Defl exión experim entada por un alambr e que transporta corr iente
, la intensidad de corriente I y la Para determinar una expresión matemática que relacione el campo magnético fuerza magnética ⃗ , consideremos un conductor recto de sección transversal A y longitud l que transporta una corriente eléctrica constante I , tal como se muestra en la Figura 8.12a. El campo magnético se encuentra entrando a la página.
(a) Figura 8.12 .
(b)
(a) F uerza magn é ti ca sobre un conductor recto; (b) fu erza magn é ti ca sobre un elemento corriente
diferencial de
La carga se mueve con una velocidad de deriva promedio ⃗ . Debido a que la cantidad de carga total en este segmento es , donde n es el número de cargas por unidad de volumen, la fuerza magnética total sobre el segmento es
Fm Qtot vd xB q(nAl )(vd xB) nqAvdlxB Fm I (lxB) Donde:
y ⃗ es un vector dirigido a lo largo de la dirección de la corriente eléctrica
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(8.15)
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Para determinar la fuerza magnética sobre un alambre de forma arbitraria, se divide al conductor en elementos diferenciales de longitud ⃗, sección transversal A que transporta una corriente tal como se muestra en la figura 8.12b, y se evalúa la fuerza sobre dicho elemento La carga dentro del conductor se mueve con una velocidad v y en el tiempo dt atraviesa un volumen dV dado por
dV Adl El desplazamiento de la carga es se expresa
(8.16)
⃗ , el cual apunta en la dirección de la corriente en tal punto, con esto la velocidad
v
El elemento de fuerza
d l
dt
(8.17)
⃗ , sobre la carga dq será d F dqv x B
(8.18)
Remplazando la ecuación (8.17), en la ecuación (8.18), se tiene
d l d F dq xB dt
(8.19)
Siendo ρ la densidad de carga por unidad de volumen, la carga dq se escribe en la forma
dq dV Adl
(8.20)
Por lo tanto, la fuerza magnética sobre el elemento será
d l dl d F Adl x B A d l x B dt dt
(8.21)
Pero (dl/dt) es la magnitud de la velocidad, entonces la ecuación anterior se escribe d F Avd l x B
(8.22)
Teniendo en cuenta que la intensidad de corriente se define como
I JA vA
(8.23)
d F I d l x B
(8.24)
La ecuación (8.20) se escribe
La ecuación (8.24), nos permite determinar el elemento de fuerza
⃗ , que actúa sobre la carga
dq dentro de un
⃗. La fuerza resultante sobre un segmento de conductor de longitud finita, se
segmento de conductor de longitud obtiene integrando la ecuación (24) sobre todos los elementos del conductor
F I d l x B I d l xB
(8.25)
En donde se ha sacado la intensidad de corriente I, fuera de la integral ya que se trata de una corriente eléctrica continua. Para un circuito cerrado la integral se calcula alrededor de la trayectoria formada por el conductor, esto es
F I (dlxB) C
Existen en la práctica dos casos que merecen nuestra especial atención: 352
(8.26)
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es de magnitud y dirección constante y el alambre es finito, entonces la expresión (8.26), a) El campo magnético se escribe (véase figura 8.13a) B F I d l x B I l AB x B A
b)
(8.27)
El campo magnético es de magnitud y dirección constante y la trayectoria es un circuito cerrado, entonces se tiene (véase figura 8.13b)
F I d l xB 0
(8.28)
En esta ecuación, la integral se anula ya que la suma vectorial de todos los elementos de longitud porque ellos forman un polígono cerrado.
(a) Figura 8.13.
⃗,
es igual a cero
(b)
(a) F uerza magné tica sobre un alambr e curvo qu e ll eva un a i ntensidad de corri ente I y se encuentr a dentro de un campo magn é ti co un if orm e, (b) F uerza magné ti ca sobre un con ductor cerrado que lleva un a corr iente I y se encuentra en un campo magn é ti co uni form e
Una de las aplicaciones de las fuerza sobre corrientes se da en los altavoces (véase la figura 8.14). El campo magnético radial creado por el imán permanente ejerce una fuerza sobre la bobina de voz la cual es proporcional a la intensidad de corriente en la bobina, la dirección de la fuerza puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda según el sentido de la corriente. La señal proveniente del amplificador hace oscilar la corriente en términos de sentido y magnitud. La bobina y el altavoz al que está acoplada responden oscilando con una amplitud proporcional a la amplitud de la corriente en la bobina.
Figura 8.14.
Compon entes de un altavoz. El campo m agné ti co radi al ejer ce un a fu erza sobr e la cor rient e de la bobi na de voz en la di rección mostrada. Cuando l a corr iente oscila en l a bobina de voz, el cono acoplado a la bobina oscil a a la misma fr ecuencia .
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8.6. Momento o Torque sobre una espira que lleva una corriente eléctrica.
Cuando un alambre por el que circula una corriente eléctrica I se sitúa en el interior de un campo magnético , se ejercen fuerzas sobre cada trozo de alambre. Si el conductor tiene la forma de una espira cerrada, no uniforme existe ninguna fuerza neta sobre ella debido a que las distintas fuerzas ejercidas sobre la espira se suman vectorialmente dando una resultante nula. Sin embargo, en general las fuerzas magnéticas producen un par o momento sobre la espira que tiende a hacer girar a la espira como se muestra en la figura 8.15a, de modo que su como se muestra en la figura 8.15b . superficie resulte perpendicular a la inducción magnética Para mostrar esta situación consideremos una espira rectangular de lados a y b por la que circula una corriente constante I como se muestra en la Figura 8.15c. La espira se encuentra en una región en donde existe un campo magnético uniforme paralelo al plano de la espira.
(a) Figura 8.15 .
(b)
(c)
(a) E spira de corr iente en el i nter ior de un campo magné ti co, (b) espir a con el área perpendi cul ar al campo magn é ti co y (c) F uerza y M omento (tor que) magn é ti co sobre una espir a de corri ente
Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira serán: Fuerza sobre AB
F1 I (l AB j )xBj F 1 0
(8.29)
F2 I (l BC k ) xBj F2 IaBi
(8.30)
F3 I (lCD j ) xBj F 3 0
(8.31)
F4 I (l DAk ) xBj F4 IaBi
(8.32)
Fuerza sobre el alambre BC
Fuerza sobre el conductor CD
Fuerza sobre el conductor DA
Analizando las ecuaciones (8.29), (8.30), (8.31) y (8.32), se observa que las fuerzas sobre los lados AB y CD son nulas y que las fuerzas sobre los lados BC y CD son iguales en magnitud pero sentido opuesto formando estas dos fuerzas una cupla o par de fuerzas. La fuerza neta sobre la espira sigue siendo nula pero el momento respecto a cualquier punto es diferente de cero. El momento de la fuerza F2 respecto del punto O, es
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b M 2 r 2 x F 2 j x IaBi 12 IBabk 2
(8.33)
El momento de la fuerza F4 respecto del punto O, es
b M 4 r 4 x F 4 j x IaBi 12 IBabk 2
(8.34)
El momento total con respecto al punto O debido a todas las fuerzas será M T M 1 M 2 M 3 M 4
M T 0 12 IB(ab)k 0 12 IB(ab)k
(8.35)
M T IB(ab)k
Pero el producto ( ab ) es igual al área de la espira A, entonces el momento se expresa M T IBAk
(8.36)
El momento resulta igual al producto de la corriente eléctrica I , por el área A de la espira por el campo magnético B . Este momento tiende a hacer girar a la espira alrededor del eje Z. Considere ahora un circuito rectangular que transporta una corriente I colocado de tal forma que el vector unitario al plano de la espira forme un ángulo θ con el campo magnético , y los lados de la espira son normal perpendiculares al campo magnético, como se muestra en la figura 8.16.
(a) Figura 8.16.
(b)
(a) F uerzas sobre una espir a de corr ient e en u n campo magn é ti co unif orme. La f uerza resultant e es cero pero l a magni tud del momento (tor que) es dif erente de cero, (b) el m omento de torsión es máxim o cuando la nor mal a la espir a es perpendi cul ar al campo magné ti co
Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira son: Fuerza sobre el conductor AB F 1 I (l AB i ) x Bsen i B cos j
F 1 bIB cos k
Fuerza sobre el conductor CD
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(8.37)
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F 3 I (l CD i ) x Bsen i B cos j
F 3 bIB cos k
(8.38)
(8.39)
Fuerza sobre el conductor BC F 2 I (l BC k ) x Bsen i B cos j
F 2 aIBcos i sen j
Fuerza sobre el conductor DA F 4 I (l DA k ) x Bsen i B cos j
F 4 aIBcos i sen j
(8.40)
Las ecuaciones (35), (36), (37) y (38), muestran una vez más que la fuerza neta sobre la espira es cero, veamos ahora que sucede con los momentos respecto al punto O. Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O M 1 r 1 x F 1 12 ak x bIB cos k
M 1 0
(8.41)
Momento de la fuerza F3 con respecto al punto O M 3 r 3 x F 3 12 ak x bIB cos k
M 3 0
(8.42)
Momento de la fuerza F2 con respecto al punto O
M 2 r2 xF2 12 bi x aIB cos i sen j M 2
1 2
(8.43)
ab IBsen k
Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O
M 4 r4 xF4 12 bi x aIB cos i sen j
M 4
1 2
ab IBsen k
(8.44)
El momento total respecto al punto O será:
MT M1 M 2 M 3 M 4 MT 0 12 IB(ab) sen k 0 12 IB( ab) sen k MT IBAsen k
(8.45)
La magnitud del momento será
M T IBAsen
(8.46)
Si en lugar de una sola espira se tiene N espiras del mismo tamaño. El momento sobre toda la espira será M NIA Bsen
(8.47)
Se define al momento dipolar magnético ⃗ como una cantidad vectorial perpendicular al plano del circuito y está expresado mediante la ecuación 356
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NIAn
(8.48)
M Bsen
(8.49)
M xB
(8.50)
Entonces la ecuación (41) se escribe
Ecuación que en forma vectorial se escribe
Esta ecuación es similar a aquella obtenida para el momento producido por un campo eléctrico dipolo eléctrico M
,
externo sobre un
E xE . Es necesario señalar que el sentido del momento dipolar magnético ⃗ es el de avance
del tornillo de rosca derecha que gira en el mismo sentido que el de la corriente eléctrica. Es decir el sentido también se puede determinar mediante el uso de la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.17. 2 2 Las unidades del momento dipolar magnético son el amperio por metro ( A.m )
Figura 8.17 .
Regla de la man o derecha par a determi nar el momento di polar magné tico de un a espir a cir cular que transporta u na corri ente en sentido anti horar io .
Debido a que, cuando una espira que transporta corriente se encuentra dentro de un campo magnético externo, obra un momento de torsión, deducimos que debe hacerse trabajo positivo o negativo mediante un agente externo para cambiar la orientación de la espira. Es decir, una espira de corriente o cualquier dipolo magnético tienen una energía potencial asociada con su orientación en el campo magnético. El trabajo hecho por el agente externo para rotar el dipolo magnético desde un ángulo θ 0 a un ángulo θ está dado por
Wext U U 0
0
Md
0
Bsen d B(cos0 cos )
(8.51)
Puesto que W ext = - W , donde W es el trabajo hecho por el campo magnético. Se puede determinar la energía para una rotación cualquiera giro asumiendo que U 0 = 0 cuando el momento dipolar magnético y el campo magnético son perpendiculares. Entonces la energía potencial en cualquier posición será
U B cos .B
(8.52)
, siendo U un La configuración es de equilibrio estable cuando ⃗ se encuentra alineado paralelamente con son anti-paralelos la energía potencial es un máximo mínimo con . Por otro lado, cuando ⃗ y , en estas condiciones el sistema es inestable. 8.7. Fuerza magnética sobre un dipolo magnético.
En la sección anterior se ha demostrado que, la fuerza que experimenta una espira de corriente (dipolo magnético) localizada en un campo magnético uniforme es nula. ¿Qué sucedería si el dipolo magnético se encuentra en un
357
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campo magnético no uniforme?. En este caso debemos esperar que la fuerza magnética neta sobre el dipolo sea diferente de cero. Para ilustrar esta situación consideremos un pequeño dipolo cuyo momento dipolar ⃗ del eje de un imán en forma de barra, como se muestra en la figura 8.18,
⃗ es localizado a lo largo
El dipolo experimenta una fuerza atractiva ejercida por el imán cuando el campo magnético en el espacio no es uniforme. Así, puede aplicarse una fuerza externa para mover el dipolo hacia la derecha. La fuera ejercida por un agente externo para mover al dipolo una distancia hacia la derecha está dada por
Fex (x) U B( x x) B( x ) [B ( x x ) B (x )]
Figura 8.18.
(8.53)
Un di pol o magn é ti co en l a cercan ía de un im án en f orma de bar ra
Para desplazamientos
pequeños, la fuerza puede expresarse en la forma F ex
La cual es una cantidad positiva ya que
,
[ B( x x) B( x)]
x
dB dx
(8.54)
es decir el campo magnético disminuye con un aumento de la
distancia x. esta es precisamente la fuerza necesaria para mover el dipolo en contra de la atracción magnética ejercida por la barra.- En forma general la fuerza magnética se expresa en la forma
Fm
dB dx
d dx
( .B)
(8.55)
Utilizando la definición de gradiente la expresión anterior se escribe
Fm ( .B)
(8.56)
8.8. Movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético.
Una característica importante de la fuerza magnética que actúa sobre una carga en movimiento en el interior de un campo magnético es que dicha fuerza es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Por consiguiente la fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula y la energía cinética de ésta no sufre alteración por acción de dicha fuerza, lo único que hace la fuerza magnética es modificar la dirección de la velocidad y no su magnitud, En el caso en el cual la velocidad de la carga sea perpendicular al campo magnético considerado uniforme, como se muestra en la figura 8.19, la fuerza magnética nos da la fuerza centrípeta responsable del movimiento circular. Para encontrar una relación entre el campo magnético ley de Newton en dirección normal, esto es:
, la velocidad ⃗, el radio del círculo
F n man F m qvB 358
mv r
2
r , se aplica la segunda
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
Optaciano Vásquez García
De donde se obtiene el radio de la órbita descrita por la partícula cargada
r
mv qB
(8.57)
De otro lado la velocidad angular con que gira la partícula cargada está dada por
v r
v (mv / qB)
q m
B
(8.58)
Esta ecuación nos indica que la velocidad angular con que gira la partícula es independiente de la velocidad v y sólo depende de la carga q, de la masa m y del campo magnético B. La expresión vectorial de la velocidad angular está dad por
q B m
(8.59)
El signo menos indica que la velocidad angular tiene un sentido opuesto a la dirección del campo de inducción magnético.
(a) Figura 8.19.
(b)
(c)
(a) M ovimient o de un a partícula cargada dentr o de un campo magn é ti co unif orm e. (b) H az de electron es movi é ndose en un a trayector ia cir cul ar dentr o de un campo magné ti co
Por otro lado, si la dirección de la velocidad inicial no es perpendicular al campo magnético, la componente de la velocidad paralela al campo es constante pero no existe ninguna fuerza paralela al campo. En estas condiciones la carga se mueve describiendo una hélice (véase la figura 8.20a), cuyo radio de hélice está dado por la ecuación (56), . donde⃗ es ahora la componente perpendicular al campo
Figura 8.20.
(a) M ovimi ento de una carga puntu al que inici almente tiene componente perpendicu lar y paral ela al campo magn é ti co, (b) M ovim iento de un a par tícul a cargada en el in teri or de la botell a magn é ti ca
359
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
Optaciano Vásquez García
El movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético no uniforme es aún más complejo. La figura 8.20b, muestra el campo producido por dos bobinas separadas cierta distancia. Si una partícula entra en esta región experimentará fuerzas hacia el centro en las regiones cercanas a las bobinas y si esta tiene energía cinética suficiente circulará de un lado a otro en el campo producido por las bobinas. Este campo se denomina botella magnética. En forma análoga el campo magnético terrestre no uniforme atrapa a las partículas cargadas provenientes del sol en regiones en forma de rosquillas que circundan a la tierra, como se muestra en la figura 8.21. Estas regiones se denominan cinturones de radiación Van Allen
(a) Figura 8.21.
(b)
(a) Cinturones de radiación Van Allen alrededor de la tierra. (b) auroras boreales originadas por el movi mi ento de las part ícul as cargadas dentr o del campo magn é ti co.
8.9 El motor de corriente continua.
Un motor eléctrico es aquel dispositivo que trabaja o se alimenta de corriente contínua. Está formado generalmente por las siguientes partes.
8.9.1.
Partes pri nci pales
Un in ductor o estator. Es un electroimán formado por un número par de polos. Las bobinas que las arrollan son las encargadas de producir el campo inductor al circular por ellas la corriente de excitación. I nducido o rotor (arr oll amiento de in ducido). Es una pieza giratoria formada por un núcleo magnético alrededor del cual va el devanado de inducido sobre el que actúa el campo magnético. Colector de delgas: Es un anillo de láminas de cobre llamadas delgas, dispuesto sobre el eje del rotor que sirve para conectar las bobinas del inducido con el circuito exterior a través de las escobillas. Escobillas. Son unas piezas de grafito que se colocan sobre el colector de delgas, permitiendo la unión eléctrica de las delgas con los bornes de conexión del inducido.
Al girar el rotor, las escobillas van rozando con las delgas, conectando la bobina del inducido correspondiente a cada par de delgas con el circuito exterior. El motor y su estructura básica se muestra en la figura 8.22.
8.9.2.
Funcionamiento. El motor de CC basa su funcionamiento en la fuerza ejercida por el campo magnético de un imán sobre un elemento en forma de espira la cual transporta una corriente. Se obtendrá el valor máximo de fuerza cuando el campo magnético sea perpendicular al conductor y tendrá una fuerza nula cuando el campo sea 360
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
Optaciano Vásquez García
que se origina es ⃗ . En la figura 8.23, cada paralelo al flujo de corriente eléctrica. El par torsor uno de los segmentos del conmutador hace contacto con uno de los bornes, o escobillas de un circuito externo que incluye una fuente de fem. Esto hace que entre la corriente por uno de los lados del rotor y salga por el otro. El rotor al están en el campo magnético producido por el imán, gira en sentido anti horario debido al par producido por el campo sobre la cor riente (véase figura 8.23a).
F igur a 8.22. Estr uctu ra básica de un motor de corr ient e contínu a . En la figura 8.23b, se observa al rotor girado 90° respecto a su posición inicial. Si la corriente a través del rotor fuese constante, el rotor estaría en equilibrio. Pero es en estos instantes en que entra en juego el conmutador, ahora cada escobilla está en contacto con ambos segmentos del conmutador. Por tanto, aquí no hay diferencia de potencial entre los conmutadores siendo la corriente en el rotor igual a cero y el momento magnético es cero. El rotor sigue girando en sentido anti horario debido a su inercia y una vez más fluye corriente a través del rotor como se muestra en la figura 8.23c. Pero ahora la corriente entra por el lado de color azul y sale por el rojo, esto es una situación opuesta a la figura 8.23a. En tanto que el sentido de la corriente se ha invertido con respecto al rotor, el cual ha girado 180°. El motor de la figura 8.23 es de una sola espira. En los motores prácticos existen muchas espiras aumentándose de este modo el momento magnético y como tal aumenta también el momento torsor. Debido a que un motor convierte energía eléctrica en mecánica, requiere entonces de una alimentación de energía eléctrica. Si la diferencia de potencial entre sus bornes de V ab y la corriente es I, entonces la potencia de alimentación será P =V ab I. Aun cuando la resistencia del devanado es aproximadamente nula, debe existir siempre una diferencia de potencial para que la potencia P sea diferente de cero. Veremos más adelante la aparición de una fem inducida la que provoca una fuerza contra electromotriz.
Figura 8.23
Di agrama esquemático de un motor simple de CC. El rotor es un a espir a de alambre que gir a en tor no a u n eje. L os extremos del r otor están acopl ados al conmu tador . L os segmentos del conmutador están aislados unos de otr os .
361
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
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8.10 El efecto Hall.
E. C Hall descubrió que cuando una placa metálica por la q ue pasa una corriente I se coloca en un campo magnético perpendicular a ella, aparece una diferencia de potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa. Este efecto se denomina efecto Hall . Para mostrar dicho fenómeno consideremos una placa metálica que transporta una corriente I, como se muestra en la figura 8.24. Supongamos además que los portadores de carga eléctrica son los electrones cuya carga es q = - e. Cuando se aplica un campo magnético B, perpendicular a la placa, en el sentido del eje +y, los electrones se encuentran sometidos a la fuerza magnética expresada por
Fm e ve xB
Fm e veixBj (8.60)
Fm e ve Bk
(a) Figura 8.24.
(b)
(a) Con ductor de ancho t in stalado en cir cui to y sometido a un cam po magné ti co, (b) los electron es experimentan un a f uerza magné ti ca F B de tal man era que son desplazados hacia el lado superior de la placa
La ecuación (8.60) indica que los electrones resultan sometidos a una fuerza en la dirección + z, es decir los electrones son desviados al lado superior de la placa, el cual resulta cargado negativamente. Por lo tanto, el lado inferior resulta cargado positivamente al tener una deficiencia de electrones, como resultado de esto aparece un
paralelo al eje +z . La fuerza debido a este campo eléctrico será F e e E dirigida hacia abajo, campo eléctrico llegando en algún instante a contrarrestar a la fuerza magnética debida al campo magnético, produciéndose el equilibrio (véase la figura 8.25a). Esto a su vez da lugar a una diferencia de potencial vertical entre los bornes opuestos del conductor, siendo el lado superior el que está a un potencial menor que el inferior; dicha diferencia de potencial es proporcional al campo magnético. Para mostrarlo, observe que las dos fuerzas que actúan sobre los electrones se encuentran en equilibrio, esto es
F F e F m
F e E ev x B 0
De donde se obtiene
E H ve x B
(8.61)
E H ve B sen90º ve B
(8.62)
La magnitud del campo eléctrico será
362
Física General III
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Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial está dada por
V H E H d
(8.63)
Remplazando la ecuación (50) en la ec. (51), resulta
V H ve Bd
(8.64)
A partir de las medidas de la diferencia de potencial para una cinta de tamaño determinado por la que circula una corriente I en el interior de un campo magnético B se puede determinar el número de portadores de carga por unidad de volumen. Teniendo en cuenta que la densidad de corriente J está dada por
J nevd La velocidad de los portadores es
ve
J
ne
(8.65)
Al sustituir la ecuación (53) en la ecuación (52), da como resultado
J V H Bd n.e
(8.66)
Recordando que (J = I/A), la expresión anterior se escribe
V H
IBd n.e. A
(8.67)
De donde se obtiene que el número de portadores por unidad de volumen está dado por
n
IBd eAV
(8.68)*
Un análisis idéntico pero esta vez usando portadores de carga positivo permite obtener la misma ecuación (56)* con la única diferencia es que los portadores de carga positivos se acumularían en la parte superior dejando un exceso de portadores negativos en la parte inferior (véase la figura 8.25b)
(a) Figura 8.25.
(b)
(a) Si l os portadores son n egativos el borde superior se carga n egativamente, dicho l ado se encuentr a a un potencial menor al del lado in feri or, (b) Si los portador es son positi vos el borde superi or se carga positi vamente, dicho lado se encuentr a a un potencial mayor al del l ado inf erior
363
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
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8.11. Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en el interior de campos magnéticos.
En esta sección se describe algunas aplicaciones de los principios formulados en el capítulo. Se sugiere al lector leerlo detenidamente y ampliar sus fundamentos con la lectura del mimo tema proporcionado por otros autores. 8.11.1
Selector de velocidades.
Cuando se produce un haz de partículas cargadas en un filamento caliente (cátodo), no todas las partículas tienen la misma velocidad. Una forma cómo seleccionar un conjunto de partículas que tengan la misma rapidez es usar el dispositivo mostrado en la figura 8.26a, en donde se observa la presencia de un campo eléctrico y un campo magnético mutuamente perpendiculares a este se llama selector de velocidades. En la figura se observa una partícula con carga +q, masa m, que ha sido liberada en la fuente de iones con una velocidad v y atraviesa una ranura entrando en el espacio donde el campo eléctrico y magnético son perpendiculares. El campo eléctrico está dirigido hacia abajo y el campo magnético ingresando al plano del dibujo. Por tanto, la partícula +q experimenta una fuerza eléctrica ⃗ , hacia abajo y una fuerza magnética ⃗ ⃗ , hacia arriba. Si se escogen las magnitudes de los campos de tal manera que las fuerza se equilibren, la fuerza neta sobre +q será nula. Entoces aplicando la segunda ley de Newton al diagrama de cuerpo libre (figura 8.26b), se tiene
F
y
0 qvB qE v
E
(8.69)
B
Es decir solamente aquellas partículas que tengan la misma velocidad v pasará a través de la ranura de S 2 sin desviarse.
Figura 21.
8.11.2
(a) selector de veloci dades de partícul as cargadas, (d) D CL de una par tícul a positi va dentr o de los campos cruzados.
Experimento de Thomson
J. J. Thomson (1856 – 1940) utilizó el aparato mostrado en la figura 22 para medir la relación de carga a masa del electrón. El aparato consiste de un tubo de vidrio en cuyo interior se ha hecho alto vacío y en el cual se aceleran electrones provenientes del cátodo caliente y se reúnen en un haza mediante una diferencia de potencial V entre los dos ánodos. La velocidad de los electrones es determinada por el potencial acelerador V. Utilizando la conservación de la energía se tiene
1 2
mv 2 e[V ] v
2e(V )
m
(8.70)
Los electrones pasan entre las placas e inciden en la pantalla del extremo del tubo, la cual está recubierta de un material fluorescente que emite luz en el punto de impacto. Los electrones pasan en línea recta entre las placas cuando se cumple la ecuación (8.69), al remplazar esta ecuación en la ecuación (8.70) se riene
E B
2e(V ) m 364
e m
2
E
2 B V 2
(8.71)
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
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En esta ecuación todas las cantidades del segundo miembro se pueden medir por tanto se puede determinar la relación e/m. El aspecto más importante del experimento de Thomson es que encontrón un solo valor para e/m. Es decir esta magnitud no depende ni del material del cátodo ni del gas residual presente en el tubo ni de ningún otro aspecto del experimento. Esta independencia permitió descubrir la primera partícula subatómica que ahora llamamos electrón. Así mismo Thomson demostró que la rapidez de los electrones eran casi un décimo de la velocidad de la luz. El valor más preciso de e/m es
e m
1,758820174.1011C / kg
(8.72)
Años posteriores al descubrimiento de Thomson, Robert Millikan pudo medir la carga del electrón con una alta precisión permitiendo de esta manera encontrar la masa del electrón obteniéndose:
me 9,10938188.10
Figura 22.
8.11.3
31
kg
(8.73)
Apar ato de Thomson para medir la r elación e/m del electrón
Espectrómetro de masas.
Un espectrómetro de masas es un dispositivo que se emplea para separar iones dentro de una muestra que poseen distinta relación carga/masa . La mezcla puede estar constituida por distintos isótopos de una misma sustancia o bien por distintos elementos químicos. Existen distintos modelos de espectrómetros. En la figura anterior se ha representado un esquema de su principio de funcionamiento. Todos los elementos del espectrómetro deben estar en el interior de una cámara de vacío. La muestra gaseosa (situada a la izquierda de la figura) se ioniza mediante un haz de electrones. Los iones positivos son acelerados por un campo eléctrico. Entre las placas aceleradoras existe un campo eléctrico, por lo que los iones experimentarán una fuerza dada por:
Fe qE Donde q es la carga de los iones positivos. A continuación el haz de iones pasa por una zona del espacio donde existe un campo magnético B. La fuerza que el campo magnético hace sobre una carga es
Fm q[vxB] 365
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Fuerza que es perpendicular al campo magnético y al vector velocidad de la carga (en este caso, de los iones positivos).
Figura 22.
Espectrómetro de masas el cual util iza un selector de velocidad para obt ener par tícul as con veloci dad constante posteri orm ente las partícul as se mu even en trayector ias cur vil íneas (semi cir cun ferencias para despué s impactar sobre un a pan tal la fl uor escente
Como la fuerza (representada en verde en la figura) es perpendicular a la trayectoria de los iones, éstos tendrán aceleración normal y se desviarán describiendo una trayectoria curva. Utilizando la la segunda ley de Newton, se tiene 2
Fn man qvB R
mv R
mv q B
Para un valor fijo de la velocidad y del módulo del campo magnético, cuanto menor sea el cociente m/q menor será el radio de curvatura R, de la trayectoria descrita por los iones, y por tanto su trayectoria se deflectará más. Si la muestra está constituida por isótopos del mismo elemento, todos tendrán la misma carga, pero los que sean más pesados se deflectarán menos. Por tanto, haces de iones de distinta relación carga/masa llegarán a puntos diferentes de un detector, y, en función de la intensidad de las señales que dejan, se determina la abundancia relativa de cada tipo. El primer espectrómetro de masas fue desarrollado en la década de 1920 por el físico inglés Francis William Aston, y recibió en 1922 el Premio Nobel de Química por s u desarrollo.
366
Física General III
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W E k (2)
8.12 PROBLEMAS RESUELTOS. 1.
Un electrón es lanzado dentro de un campo magnético dado por T. ⃗ ⃗ Determine la expresión vectorial de la fuerza magnética sobre dicho electrón si se mueve con m/s. una velocidad⃗ ⃗
Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene
1 2
La velocidad de la partícula será
Solución
i
i
j
j
k
F qvxB v x
vy
vz 0
Bx
By
Bz
k
v
3,7.105 0
1,4
2,1
0
F (8,3.1014 k ) N
R ta
F
n
Un protón se está moviendo con una velocidad ⃗ ⃗ m/s en una región del espacio en donde el campo magnético viene expresado por la
r
⃗ ⃗ T.
ecuación ¿Cuál es la magnitud de la aceleración en este instante?.
q B r
F B ma q p vxB
a
q p m
19
(vxB)
1,6.10
27
1, 67.10
j
r
k
6.106 0
0
3
2
-1,5
14
a 14,37.10 m / s 14
3.
2
2
Una partícula alfa (m = 3,3.10 -27 kg, ||) es acelerada desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 1 kV . Entonces la partícula ingresa en una región donde existe un campo magnético , perpendicular a la dirección de su movimiento. ¿Cuál es el radio de la trayectoria que describe la partícula alfa?.
2
r
2q (V )
q B
m
1
2mq (V )
B
q
1
2(3,3,1027 kg )(1000V )
0, 2T
2(1,6.10 C ) 19
4.
v
m
r 2, 27.10 2 m
a 0,958.108 (12.10 6 i 9.10 6 k ) a (11.496i 8, 622k ).10 m / s
m
man qvB m
mv
Solución
i
2q (V )
Debido a que la partícula describe un movimiento circular, la fuerza magnética siempre se dirige al centro de la trayectoria. Entonces se tiene
F 1, 6.1019 [1, 4(3, 7.105 )]k
2.
2 mv q (V ) (3)
Rta
Una varilla conductora de 72 cm de longitud tiene una masa de 15 g . La varilla se encuentra suspendida en un plano vertical por un par de alambres flexibles dentro de un campo magnético B = 0,54 T cuya dirección es saliendo de la página tal como se muestra en la figura. ¿Qué corriente debe fluir a través de la varilla para que la tensión en los alambres soportantes sea igual a cero?
Solución El trabajo que realiza el campo eléctrico en la región donde existe una diferencia de potencial sobre la partícula alfa es
W q (V )
Solución Para que las tensiones en los alambres verticales sean nulas entonces la fuerza magnética debo estar dirigida hacia arriba para que equilibre al peso. Entonces aplicando la regla de la mano derecha so obtiene que la corriente debiera estar dirigida hacia la izquierda es decir de Q a P tal como se muestra en el DCL de la varilla
(1)
Por otro lado el trabajo es igual a la variación de energía cinética, es decir
367
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
Optaciano Vásquez García
Usando coordenadas cilíndricas tenemos
dF I (dle ) x( Bsen er B cos ez )
dF IBdlsen e z IBdl cos er Debido a la simetria que presenta la figura, las componentes radiale se cancelan mutuamente ya que existe una componente idéntica en el lado izaquierdo. Entonces sólo queda la componente z
La fuerza magnética se expresa mediante la ecuación
F B I dlxB I
dli x( Bk )
F B IlQP Bj F B IlQP B Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
F
y
La fuerza magnética neta que actua sobre el anillo será
0 FB W mg IlQP B mg
I
mg lQP B
IBdlsen e
z
IBsen ez dl
C
2
0, 015kg (9,8m / s )
C
F 2 IBsen e z
0, 72m (0,54T )
I 378 m A 5.
F dF
F 2 IBsen
Rta
La fuerza magnética sobre el anillo es repulsiva ya que está dirigida hacia arriba en la dirección + z .
Un imán en forma de barra con su polo norte arriba es localizado simétricamente en el eje y debajo de un anillo conductor de radio r el cual transporta una corriente I en sentido horario como se muestra en la figura. En la localización del anillo, el campo magnético forma un ángulo θ con la vertical. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre el anillo?
6.
Un protón, acelerado por una diferencia de potencial atraviesa un campo magnético homogéneo transversal cuya inducción es B = 0,51 T . El espesor de la zona del campo es d = 10 cm (véase la figura. Determine: (a) el ángulo de desviación del protón respecto a la dirección inicial del movimiento, (b) el desplazamiento vertical y1 al salir de la región del campo magnético (c) el momento lineal de la partícula cuando sale del campo magnético. Considere que -27 -19 m p = 1,67.10 kg y q P =1,6.10 C.
Solución Para evaluar la fuerza magnética sobre el anillo se divide a éste en elementos diferenciales de corriente pequeños ⃗, como se muestra en la figura. La fuerza sobre el elemento será
Solución
dF IdlxB
Datos e incógnitas. 368
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
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V 500 V B 0, 51T d 10.10 2 m m p 1, 67.10
27
kgq p 1, 6.10
19
C
sen
y1 R R cos 20.102 m[1 cos30] y1 2,679cm
Fm q vxB qp (v0 i ) x( Bk ) ˆ
Fm q p v0 Bj
Finalmente el vector momento lineal está dado por
ˆ
Fm q p v0 B
(1)
p mv m p [v0 cos30 i v0 sen30 j] ˆ
27
q p B
ˆ
7.
2 0
v
R
6
ˆ
p [14.16.1021 i 8,17.10 21 j]kg.m / s
Fn man
mv0
ˆ
p 1, 67.10 kg(9, 788.10 m / s)[0,8i 0,5 j]
Debido a que el protón en el interior del campo describe un movimiento circular, la aplicación de la segunda ley de Newton nos da
R
10
Se procede ahora a determina el desplazamiento vertical
Al ingresar el protón en la región donde existe un campo magnético, experimentará una fuerza expresada como
q p v0 B m
R 20 30
???; y1 ???; p ???
ˆ
d
(2)
Ahora se procede a determinar la velocidad con que ingresa el protón al interior del campo magnético.
ˆ
Una barra cilíndrica de masa m radio R es colocada sobre dos rieles paralelos de longitud l separados por una distancia d , como se muestra en la figura.la varilla lleva una corriente I y rueda sin deslizar a lo largo de los rieles los cuales están ubicados en un dirigido campo magnético uniforme verticalmente hacia abajo. Si la barra está inicialmente en reposo, ¿Cuál es su velocidad cuando abandona los rieles.
Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta
1 2 1 2
27
[1, 67.10
mv02 qV
kg ]v0 1, 6.10 2
19
5
C[5.10 V ]
6 v0 9, 788.10 m / s (3)
Solución En la figura se muestra la trayectoria descrita por el protón en el campo y la orientación del vector velocidad con que abandona el campo
Para resolver el ejemplo se utiliza el sistema de referencia mostrado en la figura
La fuerza magnética que actúa sobre la barra cilíndrica será
F I dlxB I
dli x(Bk )
F IBd( j ) 369
ˆ
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
El trabajo total hecho por la fuerza magnética sobre la barra cilíndrica cuando se mueve a través de la región es.
Optaciano Vásquez García
Al ingresar al campo experimenta una fuerza magnética expresada por
l
Fm qevxB qe (v0i ) x( Bk )
0
Fm qe v0 Bj
ˆ
ˆ
Wi f
f
i
F .ds
i
f
IBd ( j ).dxj IBd
dx
ˆ
Wi f IBld
El módulo de la fuerza magnética será Utilizando el teorema trabajo-energía cinética se tiene.
Fm qev0 B
Wi f Ek ( Ek ,tras Ek , rot ) f (Ek ,tras E k , rot )i
(2)
Debido a que el electrón en el interior del campo describe un movimiento circular,
Puesto que el momento de inercia de la barra es , y cuando la barra rueda sin deslizar se cumple que , la ecuación anterior se escribe en la forma
IBld
1 2
mv 2
v
1 4
mv 2
3 4
mv 2
4 I l B d 3 m La aplicación de la segunda ley de Newton nos da
8.
Fn me an
Un electrón es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de V = 500 V, entonces ingresa dentro de un campo magnético B uniforme. Este campo hace que la partícula recorra media revolución en un tiempo de 2 ns. ¿Cuál es el radio de su órbita?.
qe v0 B me
v02 R
me v0
R
(3)
qe B
De otro lado la velocidad angular con que gira la partícula cargada está dada por
v
r
v (mev / qe B) 2 T
B
2 me qeT
qe me
qe me
B
B
2 (9,1.1031 kg ) 1, 6.10
19
3
9
C[4.10 s]
B 8.93.10 Tesla
(4)
Solución Remplazando las ecuaciones (1) y (4) en (3) resulta
En primer lugar se determina la velocidad del electrón con que ingresa al campo magnético.
ve
2qe V me
R
2(1, 6.10 C)(500V ) 19
9,1.10
ve 1,33.10 m / s 7
31
me v0 qe B
=
9.1.10-31kg[1,33.107 m / s]
1,6.10-19C[8,93.10 3T ]
kg R 8, 43 mm
(1) 370
Rta
Física General III
9.
Campo magnético y fuerza magnética
Optaciano Vásquez García
3
6
3
8, 25.10 [6, 6.10 C ][v][1, 02T ] 6, 23.10 N
Una partícula cargada con q = +6,6 C, se mueve en una región del espacio en donde existe un campo eléctrico cuya magnitud es 1250 N/C dirigido en la dirección positiva del eje x, y un campo magnético de magnitud 1,02 T dirigido en la dirección positiva del eje z . Si la magnitud de la fuerza neta que actúa sobre la partícula es 6,23.10 -3 N y se encuentra dirigida en la dirección +x. Determine la magnitud y la dirección de la velocidad de la partícula. Asuma que la velocidad de la partícula se encuentra en el plano x-y.
3
v 0,255.10 m / s v [255.10 j ]m / s 3
Rta
ˆ
10. La espira de corriente mostrada en la figura, consiste en un lazo con dos semicírculos de diferente radio. Si la corriente en el circuito es I = 2 A, y los radios son a = 3,00 cm y b = 9,00 cm. Determine el momento dipolar magnético de la espira de corriente.
Solución La dirección del campo eléctrico, el campo magnético, y la fuerza involucrada en el problema se muestran en el diagrama
Solución El momento dipolar magnético viene expresado por
B NIAen ˆ
B 1[2,5 A] [(0, 09m)2 (0,03m)2 ](k ) 2
Estrategia. Debido a que la partícula está cargada positivamente el campo eléctrico E, ejerce una fuerza en la dirección +x. Por otro lado debido a que la fuerza neta que actúa sobre la partícula está en la dirección +x, la fuerza magnética puede estar en la dirección x, pero podría tener la misma dirección o la opuesta. Para ver ello comparamos las magnitudes relativas de la fuerza neta y la fuerza eléctrica para decidir con cuál de estas dos direcciones coincide la fuerza magnética. Debido a que la dirección de la fuerza neta es conocida, se usa la regla de la mano derecha para determinar la dirección de la velocidad de la partícula.
ˆ
B 0, 035 A m2 k ˆ
11. Una corriente de 200 mA es mantenida en una bobina circular compuesta por 50 vueltas de 25 cm de radio cada una. Si dicha bobina es ubicada en un campo magnético de 0,85 T con su área paralela al campo como se muestra en la figura. Determine: (a) el momento dipolar magnético de la bobina y (b) la magnitud del torque magnético ejercido por el campo magnético sobre la bobina.
La fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula es
Fe qE 6, 6.10 6 C[1250 i N / C ] ˆ
Fe 8, 250.10 6 N
(1)
Debido a que la fuerza neta es menor que la fuerza magnética se encuentra dirigida en sentido – x. De acuerdo con la regla de la mano derecha se determina que la velocidad de la partícula se encuentra en sentido – y.
Solución Parte (a). Cálculo del momento dipolar magnético
B NI Aen
Aplicando la segunda ley de Newton se tiene
ˆ
B 50[0, 2 A][
F Fneta Fe Fm F neta qE qvB Fneta
2
(0, 25m )2 (k ) ˆ
B [ 0,982k ] A m 2 ˆ
371
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
Parte (b). Cálculo del torque magnético
Optaciano Vásquez García
En la figura se muestra el DCL del alambre
M B xB [0,982 k ]x[0,85 i ] ˆ
ˆ
2 M [0, 84 j ]T A m ˆ
M (0,84) T A m2 12. Un alambre masa es m = 10 g está suspendido mediante unos alambres flexibles, como se muestra en la figura en un campo magnético dirigido hacia el interior de la página y cuyo módulo es B = 1,25 T . ¿Cuál es la magnitud y dirección de la corriente necesaria para eliminar la tensión en los alambres flexibles?. Considere que el sistema se encuentra en un plano vertical y que el radio del alambre es R = 10 cm .
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
F y 0 Fm mg 2 IRB mg I
mg 2 RB
10.103 kg[9,8m / s 2 ] 2[0,1m(1, 25T )]
I 392 mA 13. Un campo magnético uniforme de magnitud 0,15 T está dirigido a lo largo del eje positivo de las x. Un 6 positrón que se mueve a 5.10 m/s entra en el campo siguiendo una dirección que forma un ángulo θ = 85° con el eje de las x como se muestra n la figura. Se espera que el movimiento de la partícula sea helicoidal. Determine: (a) el paso de hélice p y el radio r de la trayectoria.
Solución Para que sean eliminadas las tensiones en los alambres flexibles es necesario que la fuerza magnética que actúe sobre el alambre esté dirigida hacia arriba. Por ello se usa la regla d la mano derecha y se observa que la corriente se dirige de izquierda a derecha como se ve en la figura
Solución La fuerza magnética sobre la partícula cargada será
Fm q(vxB) Fm q[v0 xi v0 y j ]x[ B i ] ˆ
La fuerza magnética será
ˆ
Fm q[v0 y B k ] ˆ
Fm I (dl x B) I [ dl ]xB
ˆ
ˆ
ˆ
Fm IRB (sen d i cos d 0 Fm 2 IRB j
(1)
Las componentes de la fuerza serán
Fm I (dlsen i dl cos j) x[ B k ] ˆ
ˆ
j x k
ˆ
ˆ
F x 0
(2)
F y 0
(3)
F z q v0 y B
ˆ
372
(4)
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
Las ecuaciones (2) y (3) indican que las componentes de la velocidad no varían en estas direcciones. Es decir el protón se moverá a lo largo del eje x con velocidad constante si ser perturbado por el campo magnético B debido a que v 0x es paralelo a B, siendo su rapidez.
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El movimiento descrito por el protón es helicoidal por tano el avance que experimenta en el eje x se denomina paso de hélice y está dado por
p v0 x t (5.106 cos85m / s)[0, 43.106 s] p 0,187 m
v0 x v0 cos 85 5.10 cos 85 6
14. Un disco de radio R tienen una densidad de carga 2 uniforme σ (C/m ). El disco rota alrededor de su eje central con una velocidad anular ω rad/s con su eje perpendicular a un campo magnético
v0 x 0, 436.106 m / s Sin embargo la componente y de la velocidad es perpendicular al campo magnético. Por ello el protón experimentará una fuerza F z dirigida perpendicularmente al plano que contiene a v y al 0y campo magnético B. Dicha fuerza hará que gire el protón con una velocidad angular alrededor de un eje paralelo al campo magnético (eje x) describiendo un círculo de radio R como se muestra en la figura.
̂ . (a) Encuentre su momento uniforme dipolar magnético, (b) Muestre que el torque magnético sobre el disco tiene una magnitud de .
Solución El disco se divide en elemento de carga dq en forma de anillos de radio r y espesor dr como se muestra en la figura
Aplicando la segunda ley de Newton en dirección centrípeta se tiene 2
Fn man Fm m
v0 y R
2
q v0 y B m R
R
mv0 y qB
1.6725.10 kg (5.10 sen85m / s) 27
R
v0 y
6
1,6.10 C[0,15T ] 19
La densidad de carga dq será
R 0,0347 m
T
2 m p q p B
2 (1, 6725.10 ) 27
dq
dq dA dA dq (2 rdr ) (1)
El período no es más sino el tiempo que demora en dar una vuelta completa. Esto es
1,6.10 (0,15) 19
Si el disco gira a una velocidad angular constante, la corriente generada por tal rotación será
T 0,43 s
373
Física General III
dI
Campo magnético y fuerza magnética
dq T
2 rdr 2 /
rdr
(2)
El momento dipolar magnético está dado por
d B (dI ) Aen ˆ
2 d B [ rdr ][ r ]k ˆ
d B r dr k (3) 3
ˆ
Integrando expresión (3) resulta R
B r 3d r k ˆ
0
B
R4
k
4
Rta
Parte (b). Para determinar el torque magnético, primero se determina el torque diferencial producido por el momento dipolar magnético diferencial. Esto es
dM (d B ) x( B) [ r 3dr k ]x (B j ) ˆ
ˆ
dM B r 3dr i
ˆ
Integrando la expresión anterior se tiene
M B M M
R
0
3
r dr i
BR4
ˆ
i
ˆ
4
BR4 4
R ta
15.
374
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Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
Optaciano Vásquez García
magnética sobre la porción recta y curva del alambre
8.13. PROBLEMAS PROPUESTOS. 16. Un protón viaja con una velocidad de 3.106 m/s a un ángulo de 37° en la dirección del campo magnético con un valor de 0,3 T en la dirección de las y positiva. Determine: (a) La magnitud de la fuerza magnética sobre el protón y (b) su aceleración 17. Un protón se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme B a una velocidad de 1.107 m/s y experimenta una aceleración de 2.1013 m/s2 en la dirección positiva de las x cuando su velocidad está en la dirección positiva de las z. determine la magnitud y dirección del campo magnético.
21. Una varilla con 0,72 kg de masa y un radio de 6.00 cm descansa sobre dos rieles paralelos como se muestra en la figura que están separados por una distancia d = 12, cm y tienen una longitud L = 45 cm de largo. La varilla conduce una corriente I = 48 A (en la dirección que se muestra) y rueda por los rieles sin deslizar. Perpendicularmente a la varilla y a los rieles existe un campo magnético uniforme de magnitud B = 0,24 T . Si la varilla parte del reposo, determine la velocidad de la varilla cuando abandona los rieles.
18. Una partícula con una carga de +8,4 μC y una velocidad de 45 m/s entra en una región donde existe un campo magnético uniforme de 0,3 T . Para los casos mostrados en la figura, encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre la partícula.
19. Un conductor suspendido por dos alambres flexibles, como se muestra en la figura tiene una masa por unidad de longitud igual a 0,040 kg/m. Determine la corriente que debe pasar por el conductor para que la tensión en los alambres de soporte sea igual a cero cuando el campo magnético tiene un valor de 3,6 Tesla dirigido hacia la página. ¿Cuál es la dirección de I ? .
22. En la figura el cubo tiene aristas de 40 cm. Cuatro segmentos rectos de alambre, ab, bc, cd, y da forman un lazo cerrado por el que fluye una corriente I = 5 A en la dirección indicada. En la dirección positiva de las y existe un campo magnético uniforme de magnitud B = 0,02 T . Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética que se ejerce sobre cada segmento.
20. Un alambre doblado en forma de semicírculo, de radio R = 0,25 m, forma un circuito cerrado y conduce una corriente I = 3 A. el alambre está en el plano xy y con un campo magnético uniforme está dirigido a lo largo del eje positivo de las y como se muestra. Si la magnitud del campo es B = 0,25 T . Determine la magnitud y dirección de la fuerza
23. Una bobina de N = 200 vueltas, muy apretadas tiene las dimensiones de a = 8 cm y b = 6 cm. Si la bobina se encuentra en un campo magnético B = 0,48 T en la dirección + x como se muestra en la figura. Determine: (a) El momento dipolar 375
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
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26. Un lazo cuadrado de alambre, de longitud l = 0,1 m por lado, tiene una masa de 50 g y pivota sobre el eje AA’ que corresponde a un lado horizontal, como se muestra en la figura. Un campo magnético uniforme de 500 G, dirigido verticalmente hacia abajo llena completamente la región en la vecindad del lazo. El lazo lleva una corriente I tal que su posición de equilibrio se alcanza cuando θ = 20°. (a) Considere la fuerza sobre cada segmento separadamente y encuentre la dirección de la corriente en el lazo para mantener el ángulo en 20°. (b) Calcule el torque alrededor del eje debido a estas fuerzas. (c) Encuentre la corriente en el lazo que se requiere para que la suma de todos los torques (alrededor del eje sea cero. Considere el efecto de la gravedad sobre cada uno de los cuatro segmentos del alambre separadamente.
magnético, (b) la magnitud del torque magnético sobre la espira cuando por esta circula una intensidad de corriente I = 15 A y (c) el sentido de rotación de la bobina.
24. Una partícula A con una carga q y masa m A y una partícula B con carga 2q y masa m B son aceleradas desde el reposo mediante una diferencia de potencial ΔV y subsecuentemente deflectadas por un campo magnético uniforme en trayectorias semicirculares. Los radios de las trayectorias de las partículas A y B son r y 2r, respectivamente. La dirección del campo magnético es perpendicular a la velocidad de las partículas. Determine la razón entre sus masas.
27. El campo magnético B en cierta región es de 0,138 T , y su dirección es la del eje de las +z en la figura ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie abcd ?. ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie befc?. ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie aefd ?. ¿Cuál es el flujo neto a través de toda la superficie?
25. Un lazo de corriente consiste de un semicírculo de radio R y dos segmentos rectos de longitud l con un ángulo θ entre ellos. El lazo es entonces localizado en un campo magnético uniforme representado por los puntos en la figura mostrada. Determine: (a) La fuerza neta sobre el lazo de corriente, (b) El momento dipolar magnético y (c) El torque magnético sobre el lazo de corriente.
28. Un estudiante de física afirma que ha acomodado imanes de modo tal que el campo magnético dentro del volumen sombreado de la figura del problema 27 es
B y 2 j ˆ
Donde β = 0,3 T y γ = 2,0 T/m 2 . (a) Halle el flujo a través de las cinco caras magnético neto de que encierra el volumen sombreado de la figura?. ¿Es plausible la afirmación del alumno?. ¿Porqué?
376
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
29. Una varilla metálica con una masa por longitud unitaria λ Transporta una corriente I . La varilla está suspendida de alambres verticales en un campo magnético vertical uniforme, como se muestra en la figura. Si los alambres forman un ángulo θ con la vertical cuando están en equilibrio. Determine la magnitud del campo magnético.
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aceleración de la barra si hallado?.
es
el doble del valor
32. La espira rectangular de alambre de la figura tiene una masa de 0,19 g por centímetro de longitud y está fija en el lado ab a un eje de rotación sin fricción. La corriente en el cable es de 6,8 A en la dirección mostrada. Encuentre la magnitud y la dirección del campo magnético paralelo al eje y que ocasionará que la espira se balancee hasta que su plano forme un ángulo de 30º con el plano yz 30. El circuito de la figura está formado de alambres en su parte superior e inferior y de resortes metálicos idénticos en los lados derecho e izquierdo. La porción superior del circuito se encuentra fija. El alambre inferior tiene una masa de 10 gramos y una longitud de 5 cm. Los resortes se estiran 0,5 cm bajo la acción del peso del alambre y el circuito presenta una resistencia total de 12 Ω. Cuando el campo magnético se encuentra operando hacia el exterior de la página, los resortes se estiran 0,3 cm adicionales. Determine la magnitud del campo magnético. 33. Un alambre doblado como se muestra en la figura. Si cada tramo recto tiene una longitud 3L y el medio círculo tiene una radio L y por el alambre circula una corriente I en el sentido indicada. Determine la fuerza magnética sobre el alambre cuando éste se encuentra en un campo magnético
31. Una barra metálica de masa m está apoyada sobre un par de varillas conductoras horizontales separadas una distancia L y unidas a un fuente V, según se ve en la figura. Si la resistencia del circuito es R cuando se establece un campo vertical. (a) Despreciando el magnético rozamiento y considerando que en t = 0 la barra está en reposo, determinar la velocidad de la barra en cualquier instante. (b) ¿En qué sentido se mueve?. (c) Si ahora se considera la fricción siendo el coeficiente de rozamiento estático es μ S, halle el valor mínimo del campo B necesario para hacer que se ponga en movimiento. (d) si los conductores de apoyo carecen de rozamiento pero están inclinados hacia arriba de modo que forman un ángulo con la horizontal ¿Qué campo magnético
dirigido en la dirección +x.
34. Un área circular con un radio de 6,5 cm yace en el plano xy . ¿Cuál es la magnitud del flujo magnético a través de éste círculo debido a un campo magnético uniforme B = 0,23 T . (a) en la dirección + z , (b) a un ángulo de 53,1° respecto al eje + z y (c) en la dirección +y.
se necesita para que la barra no deslice vertical hacia abajo por los conductores?. ¿Cuál es la
35. Una partícula cargada entra en un campo magnético uniforme B y sigue la trayectoria 377
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
circular mostrada en el diagrama. (a) ¿La partícula está cargada positivamente o negativamente?, (b) La velocidad de la partícula es 140 m/s, la magnitud del campo magnético es de 0,48 T, y el radio de la trayectoria descrita es 960 m. Determine la masa de la partícula si su carga es 820 μC.
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de los alambres rectos y (b) el torque magnético total que produce el campo magnético.
39. Sea la espira rectangular de la figura de lados a y b, recorrida por una corriente de intensidad I en el sentido indicado, situada en el interior de un campo magnético no uniforme de valor
36. Dos rieles conductores se encuentran fijos sobre un plano inclinado 30° con la horizontal. Si en la región del espacio existe un campo magnético cuya magnitud es B = 0,05 T . ¿Cuál será la intensidad de corriente que debe fluir por la barra de aluminio de 0,27 kg para que ésta deslice sin fricción a una velocidad constante.
B B0
a x
k
Calcular la fuerza que aparece sobre los lados cd y de.
37. Un haz de protones se mueve a través de un campo magnético uniforme de magnitud 2,00 T , dirigido a lo largo del eje positivo de la z. los protones tiene una velocidad de 3.106 m/s en el plano xz a un ángulo de 30° con el eje + z . Encuentre: (a) La fuerza sobre el protón y (b) su aceleración.
40. Un alambre compuesto por dos segmentos rectos de longitud 2a y un cuarto de circunferencia de radio a que transporta una corriente I , se encuentra fijo en una región donde existe un campo magnético B en la dirección +x . Encuentre la fuerza neta que actúa sobre el alambre.
38. Una espira cuadrada de lado 2a de alambre que transporta una corriente I , se encuentra en el interior de un campo magnético B dirigido en la dirección – z como se muestra en la figura. Determine: (a) la fuerza magnética sobre cada uno
41. En la figura se muestra una espira cuadrada de alambre que se encuentra en el plano xy. La espira tiene lados de longitud L y por ella circula una corriente constante I en el sentido horario. El campo magnético está dado por
B ( B0 z / L) j ( B0 y / L)k ,
378
con
B 0
una
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constante positiva. (a) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre cada alambre, (b) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética neta sobre la espira.
45. La barra AC de la figura tiene 40 cm de longitud y una masa de 40 g , y se desliza libremente sobre las tiras metálicas en los bordes de un plano inclinado. Una corriente I fluye a través de estas tiras y la barra, y existe un campo magnético B y = 0,2 T en la dirección opuesta al eje y. (a) ¿De qué magnitud debe ser I para que la barra permanezca en reposo?. (b) Si la corriente que fluye en el conductor es realmente 2,5 A ¿Cuál es la aceleración de la barra a lo largo del plano inclinado?.
42. Un protón se está moviendo a 1500 m/s en el campo de 135 T mostrado en la figura. ¿Cuál es el radio de la trayectoria descrita por el protón?.
46. Una bobina circular de alambre con un r adio R = 1 y transporta una cm tiene N = 100 vueltas corriente I = 500 mA . ¿Cuál será el torque ejercido sobre la bobina cuando esta es ubicada en una región donde existe un campo magnético uniforme con el B = 5 mT el cual hace un ángulo de 60° plano de la bobina?
43. El lazo triangular de alambre mostrado en la figura lleva una intensidad de corriente I = 4,70 A. Un campo magnético uniforme está dirigido paralelamente al lado AB del triángulo y tiene un magnitud de 1,8 T . (a) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza ejercida sobre cada uno de los lados del triángulo, (b) determine la magnitud de la fuerza neta ejercida sobre el alambre, (c) encuentre la magnitud y dirección del momento dipolar eléctrico y (c) la torsión sobre el alambre
47. A un alambre conductor se le da la forma de una M con las dimensiones que se muestran en la figura y se le hace conducir una corriente de 15 A. Un campo magnético externo B = 2,5 Tesla está dirigido como se muestra y está a través de toda la región ocupada por el conductor. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida sobre el conductor por el campo magnético.
44. Un electrón que se halla en el punto A de la figura tiene una rapidez v0 = 1,41.10 6 m/s. Determine: (a) la magnitud y dirección del campo magnético que obliga al electrón a seguir la trayectoria semicircular de A a B; (b) el tiempo necesario para que el electrón se traslade de A a B.
48. Un campo magnético no uniforme ejerce una fuerza neta sobre un dipolo magnético. Un imán de gran intensidad se pone bajo un anillo conductor 379
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51. Una espira de alambre está formada por dos semicilindros conectados por dos segmentos rectos. Los radios interiores y exteriores son 0,3 m y 0,5 m, respectivamente. Por el circuito fluye una corriente de 1,5 A, siendo su sentido horario en el semicírculo exterior. Determine el momento magnético de esta espira de corriente?.
horizontal de radio r que conduce una corriente I , como se muestra en la figura. Si el campo magnético B forma un ángulo θ con la vertical e n la posición del anillo. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre el anillo?.
52. Una barra metálica delgada de L = 50 cm de largo, con una masa de m = 750 g descansa sobre dos apoyos metálicos (sin estar sujetos a ellos) en un campo magnético uniforme de B = 0,450 T , como se muestra en la figura. Una batería y un resistor de R = 25 Ω están conectados a los soportes. (a) ¿Cuál es la máxima fem ε, que la batería puede tener sin que si interrumpa el circuito en los soportes?. (b) La fem de la batería tiene el valor máximo calculado en el inciso (a). Si el resistor recibe de improviso un cortocircuito parcial y su resistencia disminuye a R’ = 2,0 Ω, encuentre la aceleración inicial de la b arra.
49. Una bobina rectangular con 200 espir as tiene 5 cm de alto y 4 cm de ancho. Cuando la bobina es colocada en un campo magnético de 0,35 T , su máximo torque es 0,22 N.m. ¿Cuál será la corriente que fluye en la bobina?.
50. Una bobina rectangular de 50 vueltas tiene lados de 6 cm y 8 cm y transporta una corriente de 1,75 A. está orientada como indica la figura y pivota alrededor del eje z . (a) Si el alambre situado en el plano xy forma un ángulo θ = 37º con el eje y como se indica, ¿qué ángulo forma el vector unitario normal n con el eje x; (b) Expresar n en función de los vectores i y j; (c) ¿Cuál es el momento magnético de la bobina?; (d) Determine el momento magnético del par que actúa sobre la bobina cuando se sitúa en un campo magnético uniforme B = (1,5 j) Tesla.
53. Los protones con una energía cinética de 5,0 MeV se mueven inicialmente en la dirección positiva de las x, y entran en un campo magnético perpendicularmente hacia B (0, 05k )T dirigido ˆ
afuera del plano de la página que se extiende desde x = 0 hasta x = 1,0 m, como se muestra en la figura. Determine: (a) la componente y del momento de los protones cuando salen del campo magnético, (b) el ángulo entre el vector velocidad inicial del haz de protones y el vector de velocidad después de que el haz de protones salga del campo. Ignore los efectos relativistas y considere que 1 eV = 1,6.10-19 J .
380
Física General III
Campo magnético y fuerza magnética
54. Un haz de protones con una energía cinética de 3,00 MeV se mueve en la dirección positiva de las x y entra en una región donde existe un campo , dirigido hacia afuera magnético del plano de la página y que se extiende desde x = 0 hasta x = 1 m, como se muestra en la figura . Determine el desplazamiento vertical del haz al salir de la región donde existe el campo magnético.
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anchura y su masa por unidad de longitud es . Un campo magnético uniforme B = 0,2 T tiene la dirección mostrada. Por medio de dos alambre superiores puede enviarse una corriente que circula por la estructura. (a) si no pasa corriente por la estructura. ¿Cuál es el período de éste péndulo físico para pequeñas oscilaciones?. (b) si una corriente de 8 A fluye a través de los conductores en el sentido indicado, ¿Cuál es el período de este péndulo físico?. (c) Si la corriente es de sentido opuesto al indicado en la figura, la estructura se desplazará un ángulo θ a partir de la posición vertical. ¿Cuál debe serla magnitud de la corriente para que la estructura permanezca en equilibrio
55. Un electrón de velocidad 107 m/s entra a una región de campo magnético uniforme B = 0,8 T , dirigido hacia el exterior de la página como muestra la figura. Si el ángulo = 60°, Determine: (a) el ángulo φ, (b) la distancia d , (c) el tiempo que permanece en el interior del campo (d) la frecuencia del movimiento. 58. El circuito de la figura está formado por una batería cuya fem es , conectada por alambres en su parte superior e inferior y de resortes metálicos idénticos en los lados derecho e izquierdo. La porción superior del circuito se encuentra fija. El alambre inferior de forma semicircular tiene una masa de 24 gramos y un radio de r = 8 cm. Los resortes se estiran 0,6 cm bajo la acción del peso del alambre cuando no existe campo magnético y el circuito presenta una resistencia total de R = 16 Ω.
, dirigido Cuando el campo magnético perpendicularmente hacia el interior de la página se encuentra actuando, los resortes se estiran 0,4 cm adicionales. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye en el circuito y (b) la magnitud del campo magnético aplicado.
56. Un cable conductor por el que circula una corriente I tiene la forma de una espira semicircular de radio R situado sobre el plano xy. Si en la región existe un campo magnético
perpendicular al plano de la espira como
se muestra en la figura. Determine la fuerza magnética sobre la espira.
57. La estructura rectangular de la figura puede girar libremente alrededor del eje A-A horizontal. La estructura es de 16 cm de longitud y 6 cm de 381
Física General III
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59. Un alambre doblado como se muestra en la figura transporta una corriente I y va colocado en un
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horizontal en el punto de salida del campo, (d) determine , la desviación horizontal total.
, que sale del plano campo magnético uniforme de la figura. Determine la fuerza magnética que obra sobre el alambre.
60. Un anillo de radio R tienen una densidad de carga uniforme (C/m). El anillo rota alrededor de su eje central con una velocidad anular ω rad/s con su eje perpendicular a un campo magnético uniforme
64. Una esfera no conductora tienen una masa de 80 g y un radio de 20 cm. A su alrededor se enrolla apretadamente una bobina plana y compacta de alambre con 5 vueltas, donde cada vuelta es concéntrica con la esfera. Como se puede ver en la figura la esfera es colocada en un plano inclinado que se inclina a la izquierda abajo, formando un ángulo con la horizontal, de manera que la bobina resulta paralela al plano inclinado. En la región existe un campo magnético uniforme de 0,35 T dirigido verticalmente hacia arriba. ¿Qué corriente debe pasar por la bobina para que la esfera pueda quedar en equilibrio sobre el plano inclinado?. Demuestre que el resultado no depende del valor del ángulo.
̂ .
Determine: (a) el momento dipolar magnético, (b) El torque magnético que ejerce el campo magnético 61. Una corteza esférica de radio R posee una densidad de carga superficial . Si a dicha esfera se le hace girar alrededor de su diámetro con una velocidad angular . Determine el momento angular de esta esfera giratoria. 62. Una corteza sólida de radio R posee una densidad de carga uniforme . Si a dicha esfera se le hace girar alrededor de su diámetro con una velocidad angular . Determine el momento angular de esta esfera giratoria. 63. Una partícula con una carga de 2,15 μC y una -11 masa de 3,2.10 kg viaja inicialmente en la dirección +y con una rapidez v0 = 1,45.10 5 m/s. Después entra en una región que contiene un campo magnético uniforme dirigido perpendicularmente e ingresando a la página como se muestra en la figura. La magnitud del campo magnético es de 0,42 T . La región se extiende hasta una distancia de 25 cm a lo largo de la dirección inicial del recorrido; a 75 cm desde el punto de entrada en la región de campo magnético hay una pared. Cuando la partícula con carga entra en el campo magnético, sigue una trayectoria curva cuyo radio de curvatura es R. Después sale del campo magnético al cabo de un tiempo t 1, habiendo sido desviada una distancia . A continuación la partícula viaja en la región libre del campo e incide en la pared después de sufrir una deflexión total de . (a) Encuentre el radio R de la parte curva de la trayectoria. (b) Determine t 1 , el tiempo que la partícula pasa en el campo magnético, (c) Determine , la desviación
65. La figura muestra un dispositivo usado por Dempster para medir la masa de los iones. La puerta S es un cámara en la cual se está efectuando una descarga en un gas y produce un ión de masa M y carga +q casi sin velocidad. El ión se acelera mediante una diferencia de potencial V y se hace ingresar en magnético B . En el campo describe un semicírculo y va a chocar contra una placa fotográfica a una distancia x de la abertura de entrada dejando ahí su marca. Demuestre que la masa M está dada por la ecuación
M
382
qB 2 8(V )
x
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68. Un alambre flexible cuelga del punto P en una región donde hay un campo magnético horizontal uniforme de magnitud B , dirigido hacia el plano de la figura y perpendicular a él. Se sujeta una pesa a la parte inferior del alambre a fin de proporcionar una tensión uniforme T a todo el alambre de peso despreciable. Cuando fluye una corriente I de la parte superior a la inferior del alambre, éste se curva para formar un arco circular de radio R . (a) considerando las fuerzas que actúan sobre un segmento pequeño de alambre que subtiende un ángulo . Demuestre que el radio de curvatura de alambre es R = T/I B . (b) Si ahora se retira el alambre y en el punto P se lanza una partícula con carga – q y masa m en la misma dirección en la que se extendía a partir de P, demuestre que la trayectoria de la partícula sigue el mismo arco circular formado por el alambre si la rapidez de la partícula es v = qT/mI .
66. Una barra conductora de masa m y longitud L se desliza sobre rieles horizontales conectados a una fuente de voltaje. La fuente de voltaje mantiene una corriente constante I en los rieles y en la barra,
y un campo magnético vertical uniforme llena la región comprendida entre los rieles como se muestra en la figura. (a) Despreciando la fricción, determine la magnitud y la dirección de la fuerza neta que actúa sobre la barra conductora. (b) Si la barra tiene un masa m, halle la distancia d que la barra debe recorrer a lo largo de los rieles a partir de su posición de reposo hasta alcanzar la velocidad v
69. Cierta bobina de voz de un altavoz tiene 50 espir as de alambre y un diámetro de 1,56 cm , y la corriente que fluye en la bobina es de 950 mA . Suponga que el campo magnético en cada punto de la bobina tiene una magnitud constante de B = 0,22 T y está dirigido a un ángulo de 60° hacia afuera respecto a la normal al plano de la bobina como se muestra en la figura. El eje de la bobina está en la dirección y. La corriente en la bobina tiene un sentido anti horario. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre la bobina.
67. Una partícula alfa cuya carga es q = +2e que tiene una masa m = 6,65.10 -27 kg se mueve en una trayectoria circular de radio R = 0,5 m en el interior de un campo magnético (), como se muestra en la figura. Determine: (a) el período del movimiento, (b) las velocidades lineal y angular del movimiento de la partícula alfa y (c) la energía cinética (en electronvoltios) de la partícula alfa
-5 70. Un alambre aislado de masa m = 5,4.10 kg está doblado en forma de U invertida, de tal modo que la parte horizontal tiene una longitud l = 15 cm . Los extremos dolados del alambre se encuentran parcialmente sumergidos en dos depósitos de mercurio, con 2,5 cm de cada extremo debajo de la superficie libre del mercurio. La estructura entera se halla en una región donde existe un campo magnético uniforme B = 6,5 mT dirigida hacia el interior de la página como se muestra en la figura. Se establece una conexión eléctrica entre los
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