75Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco
Progresiones Aritméticas (P.A)
Interpolación:
Se llama así a la sucesión de tér término minoss en la cual cual un tér término mino cualquiera después del primero es igual al término anterior aumentado en una cantidad constante llamada razón.
1ados dos n2meros a 3 4 para interpolar m/ medios aritméticos 5ó medios di6erenciales7 entre a/ 3 4/ se 6orma una .! cu3os e8tremos sean a/ 3 4/.
Notación: '" = r ime imer tér mino 'n = 'ér 'ér mino de lug lugar 9n9 n = N2m N2mero de térmi rminos nos r = Razón
Forma de una .!
=
−
E)emplos: & $ . * . "" ....... r+, & , . # . - ......... r+%# Formula del término de lugar n/ = '" + ( n − ") r
=
( '" + 'n ) #
×n
a razón de interpolación es: r =
4− a m+ "
1 a
suma de dos términos equidistantes de los e8tremos; es igual a la suma de los e8tremos.
una .! e8ist 8iste e tér término mino 2 Si en una central este será igual a la media aritmética de los e8tremos. 'c
Fórmula ula de la suma uma de lo loss n/ primeros términos de una .! sn
9m9medios
Propiedades:
& '" . '# . '$ .............. 'n%" . 'n or de(nición: ' n = 'n−" + r ⇒ r 'n 'n−"
'n
& a ". .,. ,. ,. # . .,. .,. ,.$. 4
0
=
'" + 'n #
En consecuencia sa4emos que: ( ' + ' ) Sn = " n × n < entonces: # Sn
=
'c
×
n
En: ÷ '".'#.'$ ⇒
#'" + ( n − ") r Sn = ×n #
'#
=
'" + '$ #
76Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco
'n − '" +" r "-$> − $ n= + " ⇒ n = $,> $ Calculo de S( $,>) ( ' + ' ) S( n ) = " n × n ⇒ # ( $ + "-$>) × $,> = "*=->> S( $,>) = # S( $,>) = "*=->> Rpta.
'( n) = '" + ( n − ") r ⇒ n =
1 En: & #%# . #%" ............. Calcular ',= ,= ,= ,= a7 47 c7 d7 , > ?
,= >
e7 N.! Resolución:
odemos " " & . ............. , # Calculo de la razón: " " " " r= − = ⇒r= # , , , Calculo de ',= . '( ,=) = '" + ( ,= − ") r " " ,= '( ,=) = + ,@ × = , , , ⇒ '( ,=)
=
escri4ir:
,= Rpta. ,
2 Calcular:
S = $ + ? + = + ............. + "-$> a7 "*=->> 47 "**->> c7 "*,-$$ d7 "@,-$# e7 "*,-** Resolución:
3 Interpolar 6 medios aritméticos entre 64 y 15, hallar la razón.
a7 −* d7 −"-
'" = $ n=A
c7 −=
Resolución:
Calculo de la razón: r =
4− a m+ "
a+?,< 4+">< m+?
"> − ?, = −* ⇒ r = − * ?+" a .! será: & ?, . >* >-,. ,, ,$#. $? " ,. , , ,. ,##,. ,## $ . "> r=
Razón: − * Rpta. 4 Sabiendo que el termino central de una P. de !" términos es 15.
#alcular$
S( #- )
a7 #-os sumandos son términos de d7 ?-una .! de razón $. r=$ 'n = "-$>
47 −@ e7 −""
47 $-e7 *--
c7 >--
Resolución:
Sa4emos que: Sn = 'c × n
77Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco
uego: S( #-) = "> × #- = $-S( #-) = $-- Rpta.
5 En la .! & ( a%*) . > . ( aB$)
Calcular:/a/ a7 * 47 ? d7 = e7 "-
c7 @
Resolución:
Se de4e cumplir que: ' + ' ÷ '".'#.'$ ⇒ '# = " $ # uego: ( a − * ) + ( a + $) >= # ", = #a ⇒ a = * Rpta.
#'" + ( n − ") r ×n Sn = # #( $) + ( n − ") , ,?> = ×n # #n# + n − ,?> = ⇒ n = "> Rpta. 7 eterminar el décimo quinto termino de una P., si la suma de -n ! términos esta determinada por$
Sn = n ( n + @ ) a7 $* 47 $@ d7 ,e7 ,"
c7 $=
Resolución:
'"> = '" + ",r...............5α7 Calculo de '" Si n = " S" = '" = "( " + @ ) = = Calculo de r/ Si n+# 6 %l quinto termino de una P. es i&ual a S# = '" + '# = #( # + @ ) = #1' y el décimo es (' )#u*ntos ' + ' + r = #" " términos hay que tomar para que su = + = + r = #- ⇒ r = # suma sea 465+ '" 3 r/ en ( α ) a7 "47 "> c7 #d7 $e7 ? '"> = $* Rpta. Resolución:
'> = '" + ,r = "=.............5"7 '"- = '" + =r = $=...........5#7 Restando 5#75"7 tenemos: >r+#- ⇒ r+, < '"+$ !demás:
1" %n las P.. si&uientes & %= . %$ ............ & > . "- ............ os términos correspondientes tienen el mismo /alor )#u*l es el lu&ar que ocupa+
a7 ", d7 "*
47 "> e7 "@
Resolución:
c7 "?
Sea n/ el lugar que ocupan: En las .!
7Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco
'n = −= + ( n − ") ? 'n = > + ( n − ") > or dato: −= + ( n − ") ? = > + ( n − ") > ( n − ") = ", ⇒ n = "> Rpta. 11 0iancarlo tiene 14 copitas de plata cada una de las cuales se dierencian 12en cuatro medias onzas se&2n una pro&resión. 3a ultima pesa 5' medias onzas. allar el peso total de las copitas.
#$" d ",-
$@# e ","
a
b
c
Calculo del peso de la copita >= < Entonces: n = ", < 'n = # >= = '" + ( ", − ") # ; de donde: # * '" = ; calculo del peso de todas # las copas '" + 'n Sn = ÷n # * + >, ÷ S", = # # ÷ ", # ÷ S", =
#$"
Rpta.
13Hallar la razón de una P.A si la suma de “n” términos es n ( >n − $) . a7 "* 47 "" c7 "$
d7 "-
e7 "#
Sea la .! ÷ '";'#;'$;..........;'n 1onde: Sn = n( >n − $) para todo n Si n+" S" = '" = ( ") ( > − $) = # Si n+# S # = '" + '# = #( "- − $) = ", ero: '" = # 3 '# = "# uego la razón: r = '# − r" = "r = "- Rpta.
#$=
Resolución:
Resolución:
14Hallar el '>- en la siguiente P.A.
÷#;>;@;"";........ a7 ",* d7 ",?
47 ",@ e7 ">-
c7 ",=
Resolución:
1ato: r = > − # = $ ; '" = # ; n+>!plicando la 6ormula: 'n = '" + ( n − ") r '>- = '" + ( >- − ") r '>- = # + ,=( $) '>- =
",=
Rpta.
15En la P.A ÷.....>.....,*.....">= el número de términos que hay entre ! y "#$ es tri%le del número de términos que hay entre # y !. Hallar la razón de seta %rogresión.
a7 , d7 *
47 > e7 @
Resolución:
c7 ?
Considerando la .! de razón r.
7!Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco
÷.......>.......,*.......">= D D n
$n
1el interalo con e8tremos > 3 ,* ,* − > ,# r= .......... 5"7 = n+" n+" 1el interalo con e8tremos ,* 3 ">= ">= − ,* ""# = r= .......... 5#7 $n + " $n + " Como se trata de la misma .! 5"7 3 5#7 son iguales entonces: ,# = ""# 1e donde: n + " $n + " n = > < sustituir en 5"7 ,# =* r= >−" r = * Rpta.
m + # = >@@ ÷ # >?( m + #) = ""*? m = "= Rpta.
( #× @ + ,-)
P#$%#&'I$&' %&$ G *#I+A'
Se llama así a la sucesión de términos en la cual un término cualquiera después del primero es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante distinta de cero. Se les denomina tam4ién progresión por cociente. otación:
'" = rimer término 16 &Cu'ntos medios aritméticos n = N2mero de términos (m)se %ueden inter%olar entre *y Sn = Suma de n términos * de tal manera que se +orme S = Suma límite una P.A cuya suma de términos n = roduco de n términos sea #**. ' n = 'érmino enésimo a7 "? 47 "* c7 "@ q = Razón d7 "= e7 #- Resolución:
÷@...........................,@ " , , , # , , ,$ 9m9
,orm-la de -na Progresión %eométrica
÷ ÷ '" < '# < '$ < ........ < 'n Siendo m/ el numero de medios interpolados; el numero de 1e la de(nición: términos de la .! es 5mB#7 'n = ( 'n−" ) q < despe)ando q/ ,@ − @ r= = ,- ................ 5"7 'n m+ " m+ " q = ' n−" m + # ( ) Sm+ # = #'" + ( m + ") r .. 5#7 ÷ # ÷ ÷ $ : ? : "# : #, : ,@ : ...... q+# 1e 5"7 ,- = ( m + ") r ÷ ÷ ,-> : "$> ÷ ,> ÷ "> : ...... q+"H$ Sustitu3endo este alor en 5#7 3 ÷ ÷ > ÷ −#> ÷ "#> ÷ −?#> : ...... q+ − > tam4ién el alor de la suma. Cuando:
"Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco
Se o4tiene una .I. creciente - < q < ": Se o4tiene una .I. decreciente q < -: Se o4tiene una .I. oscilante q > -:
*érmino de l-gar n/ de -na P.%. ' n = '"× q
n−"
q = m+"
4 a
P#$PI&0A0&': I) El producto de dos términos
equidistantes de los e8tremos es igual al producto de los e8tremos II) El término central de una .I. es igual a la media geométrica de los e8tremos
'-ma de los n/ primeros términos de -na P.%.
'c =
'" × 'n
+onsec-encias:
qn−" ÷ S n = '" q − "÷ 'am4ién S n =
"ero Sa4emos que: n = ( '" × 'n ) #do
'n × q − '"
&
÷
n
= ( 'c ) n
'" : '# : '$
→
'#
=
'" × '$
q−"
'-ma limite de -na P.%. 0ecreciente de innitos ( ∞ ) *érminos S
=
'" "− q
Prod-cto de los n/ primeros términos de -n P.%. n =
( '" × 'n)
" " : : ........ *#= #,$ Calcular: '"$ a7 *"= 47 *#= c7 @"> d7 @"? e7 @"* 1 En
÷÷
n
Jnterpolación en: ÷ ÷ a: .......... : 4 m/ medios Ieométricos; cumple que:
Resolución:
Sa4emos que: 'n = '" × qn−" se
uego: '"$ = '" × q"# < 1onde:
1Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco
" q = #,$ = $ ⇒ q+$ " *#= " × $"# = "? × $"# '"$ = *#= $ ?
'"$ = $ = *#= ⇒ '"$ =
*#=
#pta. 2 Sabiendo que el quinto termino de una P.0. es ! y el décimo primero es 1!, calcular el /alor de la razón
a7 " d7 ,
47 # e7 >
c7 $
" S = , + # + " + + ...... # 47 * c7@ e7 "-
a7 ? d7 =
Resolución:
Cada sumando es un termino de un .I decreciente al in(nito; la " razón q = ; aplicando la 6ormula # de la suma limite. ' , S = " = "− q " − " #
Resolución:
S =
or dato: '> = '" × q, = # KK 5 J 7
5 3a suma de los primeros términos de
'"" = '" × q"- = "#@ KK 5 JJ 7 1iidiendo 5 JJ 7 entre 5 J 7 q? = ?, ⇒ q+ # Rpta. 3 Calcular 8/ en:
÷ ÷ ( 8 − $) : 8 : #8 a7 , d7 *
47 > e7 @
c7 ?
@
una P.0. es i&ual a ! /eces la suma de los cuatro primeros términos. allar la razón a 1 b ! c ( d 4 e 5
Resolución:
Suma de .I. de n/ 'érminos S=
'" ( qn − ") q−"
Resolución:
Se de4e cumplir que 'c D = '" × 'n ↓ 8 = ( 8 − $) #8 = 8# = ( 8 − $) #8 8# − ?8 = 8 ( 8 − ? ) = - ⇒ 8+ 4 Calcular
Rpta.
(
@
)
'" q − " q−"
' q, − " " = @# q−"
)
(
Reduciendo se tiene
( q@ − ") = @#( q, − ") ?
Rpta.
( q, + ") ( q, − ")
(
,
)
= @# q − "
2Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco
q, + " = @# ⇒ q+
$
Rpta.
Calcular:
" " S = # + "+ + + ....... # , 47 # c7 $ e7 >
a7 " d7 ,
Resolución:
Suma limite ' # = #=, S = " = "− q "− " " # # S =
,
$ * "> $" + , + ? + @ + ....... # # # # # 47 >H@ c7 $ e7 ";>
S=
6 Calcular:
a7 >H# d7 >H$
Resolución:
1escomponiendo cada sumando
S = "−
S = "+
"
+ ÷ # #
" " + # + "$ + ...÷ # # #
Rpta.
ota: ' " " q= # = ⇒ q+ '" # #
S=
S=
7 Calcular: @ + , + #+ "+ S=
" + ...... #
" " $ + " + + + ....... $ =
a7 $ > =
47 , > =
d7 $ > *
e7 n.a.
" "−
c7 > > =
Resolución:
'# '" q = = S Como: < ; luego '" "− q @ @ " " "− # = # = "? = $# S= $ $ = = " # # "− $ $ $# = $> = ⇒ S+ $> = Rpta. S= =
" − ,÷ + # #
"
"
" , "
−
#
> $
"−
" − ÷? + ....... # # # "
− "+ "# + ", + "? + ...÷ # # #
"
>
$
$
= #− =
,
Rpta.
! 7na de8a caer una pelota desde una altura de '" m, en cada rebote la pelota se ele/a 19( de la altura de la cuala cayo la ultima /ez, que distancia recorre la pelota hasta quedar en reposo
a) ",-m d) /-m
) "*-m e) n.a.
Resolución:
=$-
"-
c) /--m
3Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco
S = S caida + S re4ote S caida = =- + $- + "- +
"+ .... $
== "$>m " "− $ S caida = "$>m S re4ote = Scaida − la caida S caida =
S re4ote = "$> − =- = ,-m S re4ote = ,- m
S = "$> + ,> =
"@-m
Rpta.
La3 entre ,* 3 ">= es el triple del numero de términos que La3 entre > 3 ,*. Cuál es el n2mero de términos de la .!.A a7 #" 47 #c7 "= d7 #, e7 #$ 3 allar
la razón de una progresión aritmética en la cual la suma de los n primeros términos esta dado por: S n = ( >n + * ) n a7 "47 @ c7 "# d7 > e7 * 4 El guardián del pozo de una
Lacienda La plantado a partir del pozo cada >m. un total de $ár4oles; 3 puede sacar agua del pozo cada ez; para el riego de un solo ár4ol. Cuántos metros camina diariamente; Lasta regar el 2ltimo ár4ol 3 tener que regresar al pozoA a7 , ?>- 47 , >-- c7 # $>d7 # "#- e7 , "#-
1 Calcula:
5 1e los tres primeros términos
S = #@ + $# + $? + ,- + ..... + ,#@ de una .!. el término medio es a7 #$ -#, 47 #$ -#@ c7 #, "> 3 el producto de ellos es # ,">. -#? allar el término ?- de la .!. d7 #$ -#e7 #$ -$# a7 ,*@ 47 ,*c7 ,># d7 ,*= e7 ,>, 2 1ada la .!. : ><......,*<.....">= donde el numero de términos que 6 E6ectuar:
4Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco S = ## ( " + $ + > + .... + == )
a7 > d7 "- #
47 #> e7 > #
-;"+ -;#+-;$+ .....+"
c7 "-
7 allar S/ si los sumandos
están en .!. S = >,5n7 + *-5n7 + @@5n7 + .... + #@-5n7 3 conertir el resultado a 4ase diez. a7 $ @-@ 47 $ ?-> c7 $ *-= d7 , #$" e7 , $#" Si la suma de los n2meros
consecutios desde a4 Lasta >es " "##. allar: 5aB47 a7 @ 47 "c7 "" d7 * e7 = ! Si la suma de n/ términos de
una progresión aritmética es >n + #n# ; para todos los alores de n/; Lallar el término del lugar "-. a7 ?" 47 >" c7 ,= d7 ,$ e7 ," 1"as edades de ? Lermanos se
5# + * #7 ; razón
# 3 la suma de
todos los términos es: 5"? + #@ #7 . allar el n2mero de términos. a7 ? 47 = c7 "" d7 @ e7 "12a suma de tres n2meros en
.!. es $$ 3 su producto es " #$#. Cuál es la razón de la .!.A a7 # 47 $ c7 , d7 > e7 ? 13Si a# < $a# 3 "-P; 6orman una
.!. allar la razón. a7 ? 47 * d7 @ e7 ,
c7 >
14 Cuál es el n2mero que ocupa
el lugar "#" en la sucesiónA "* < #" < #> < #= < KK. a7 ,=> 47 ,=* $@> d7 ,*" e7 $@*
c7
15Calcular el e8ceso de S" so4re
S # ; si se cumple que:
encuentran en .!. cu3a suma S" = ** + *= + @" + .... + #"> ale "#-; cuando nació el menor S # = #, + #? + #@ + .... + =el ma3or tenia #- aOos. Cuántos a7 @ "#- 47 * ,>- c7 @ "*aOos Lace que la edad del $ro 6ue d7 @ #@# e7 n.a. el triple de la edad del menorA a7 , 47 > c7 ? 16 Si: a#54 + c7 < 4#5a + c7 < c#5a + 47 d7 $ e7 @ allar: 5a + c74−" 11En una .!. el ultimo termino es a7 " 47 # c7 $ d7 "H$ e7 ,
5Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco 17 allar la suma de todos los
1 allar el termino de lugar ?-
n2meros positios de $ ci6ras que sean m2ltiplos de dos pero no de ,; 3 que al diidirlos por >; den como resto $. a7 #> "#47 #> "$c7 #> "-> d7 #> ""e7 #, "#-
en: 5n + "7 ; 5#n + $7 ; 5$n + >7 ; 5>nB*7 ; ...... a7 ?-nB?47 ?-nB?" c7 ?-nB""= e7 ?-nB"#e7 ?-nB,n 1!allar: n/ si:
1 Calcular:
Jgual a *#a7 "> 47 ", d7 "* e7 n.a.
S = " + , + * + "- + .... + ""> + ""@ a7 # $@47 # "@- c7 # $#d7 # ,#e7 # $*1! En la .!. mostrada
$ < ........ < $- < .......... < n El n2mero de términos comprendidos entre $ 3 $- es igual a los comprendidos entre $3 n. Si además la suma de todos los términos es >*-. allar la razón. a7 # 47 $ c7 ? d7 , e7 >
S = n + 5n + ,7 + 5n + @7 + .... + >n <
es
c7 "?
21 allar: n/ en
?- + ?* + ?> + ...... + n = "-$ a7 $47 #= c7 $$ d7 $" e7 #@ 22 Sean las progresiones
.!.: a; c; d; KKK. .I.: a; 4; d; KKK. 1onde se cumple que: a + d = ">c − d = ">allar: a + 4 + c + d a7 #@> 47 #@$ 2" ! 3 Q leen una noela de " c7 #*= "-- paginas; ! lee >- paginas d7 #*@ e7 n.a. diarias 3 Q lee "- paginas el primer día; #- el segundo; $- el 23 1ada la progresión: tercero 3 asi sucesiamente. Si > ; "- ; "> ; K..K. comienzan am4os el "ro de enero. Cuántos términos de esta En que 6ecLa llegaron a la misma progresión La3 que tomar a partir páginaA del décimo cuarto para que a7 = de enero 47 "- de enero sumen tanto como los nuee c7 "- de 6e4rero d7 "> de enero primerosA e7 N.!. a7 $ 47 , c7 > d7 ? e7 *
6Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco
eces la suma de los , primeros términos. allar la razón. a7 $ 47 " c7 # d7 , e7 > 24 Calcular la e8presión:
$ #, + "# + ? + $ + + ....... # S= , , , "# + , + + + + ....... $ = #* a7
@ $
47
d7 #
$ @
c7
@ >
e7 "
25 Calcular la e8presión:
S=
$ * "> $" + , + ? + @ + ....... # # # # #
> , > 47 c7 # $ $ , > d7 e7 > , 26 ué cantidad La3
a7
que agregar a cada termino de: > ; "$ 3 #=; para que 6ormen una progresión geométrica. a7 " 47 , c7 > d7 # e7 $ a suma de $ n2meros positios que 6orman una .!. es igual a #". Si a estos n2meros se les suma respectiamente: # ; $ 3 =; los nueos n2meros 6orman una .I. allar la suma de los terceros términos de las progresionesA a7 "@ 47 "= c7 #, d7 #" e7 #$ 27
2 a suma de los @ primeros
términos de una .I. es igual a @#
Cual será el n2mero de términos de la siguiente .I. $ =? < ,@ < #, < ........ @ a7 "- 47 "" c7 @ d7 = e7 "# 2!
3" Si los radios de una sucesión
de círculos son: " " " " < < < < ......... # , @ allar el límite de la suma de las áreas de los círculos. , # > a7 π 47 π c7 π > $ # , d7 π e7 N.!. $ 31 Si: n < 5nB"7 < 3 5nB$7; son los
$ primeros términos de una .I. el ,to término es: a7 @ 47 ? c7 * d7 = e7 "? 32 Si a: ""- ; =- 3 ?-; se les resta
una misma cantidad se o4tiene $ nueos n2meros pero en .I. cu3a razón es: a7 ,# 47 ," c7 ,$ d7 >e7 n.a. 33 na pelota cae desde una
7Matemático Razonamiento Elías Cotos Nolasco
altura de "-- m si en cada re4ote con el suelo se elea a un >-T de la altura de que proiene; ué espacio total La4rá recorrido la pelota en el momento de tocar el suelo por noena ezA a7 #=@ 47 $"> c7 #?d7 #>e7 $?34 allar la razón de la .I. n
# ;##n−";,$n−# " #
a7
$
#
47
d7
>
#
e7 * #
c7 #
35 Si cada termino de la sucesión. −"
−"
−" ( 8 − #) ;8 ; ( 8 + #) Se le resta "H@ se 6orma una .I. a7 # 47 $ c7 , d7 ? e7@
36 1ado un triangulo equilátero
de lado !; se inscri4e un circulo en el triangulo; en el circulo se uele a inscri4ir un triangulo equilátero 3 en este se inscri4e otro circulo 3 así sucesiamente cual es la suma de las áreas de los círculos. a7 d7
π a#
47
π a#
e7
*
@
π a#
=
π a#
"-
c7
π a#
?
1.
2.
3.
4
5.
6.
7.
8.
9.
b
e
a
b
b
e
a
e
d
10.
11.
12.
13
14.
15.
16.
17.
18.
a
d
b
d
b
b
b
d
a
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
b
a
e
a
d
a
a
a
c
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
e
d
a
d
d
a
d
c
b
