- Sume, produse, progresii SUME, PRODUSE, PROGRESII. a SUME Definiţie particularizată:
5
∑ f ( k ) = f ( 2 ) + f ( 3) + f ( 4 ) + f ( 5 )
, unde k este
k =2
indicele de sumare, k = 2 indicele iniţial, k = 5 indicele final. Proprietăţi: P1: Suma trece în sumă şi diferenţă. ∑( f ± g ) = ∑ f ± ∑ g . P2: Constanta iese în faţă ∑ a ⋅ f ( k ) = a ⋅ ∑ f ( k ) , unde a ∈ . k
k
P3: Se pot modifica indicii de sumare ( adunând sau scăzând cantităţile corespunzătoare ). 5
∑ k =2
4
f ( k ) = ∑ f ( k ) − f (1) + f ( 5 ) ; k =1
n
∑ k =2
n −1
f ( k − 1) = ∑ f ( k ) . k =1
P4: Se pot obţine relaţii de recurenţă n
n −1
n−2
k =1
k =1
k =1
∑ ak = ∑ ak + an = ∑ ak + an−1 + an [ = (indice final – indice iniţial) × constantă ]
P5: Suma din constantă f
∑ c = ( f − i + 1) ⋅ c , unde c este un număr real. k =i
Sume particulare:
n ( n + 1) . 2 k =1 n n ( n + 1)( 2n + 1) . • S2 = 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = ∑ k 2 = 6 k =1 n
• S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n = ∑ k =
n 2 ( n + 1) ⎡ n ( n + 1) ⎤ • S3 = 1 + 2 + 3 + ... + n = ∑ k = S = ⎢ . = ⎥ 4 k =1 ⎣ 2 ⎦ 3
3
3
3
n
2
3
2
2 1
¾ Observaţie: formulele sunt aceleaşi şi în cazul în care indicele iniţial este 0.
Metodă de calcul al unor sume: → Scriem suma restrâns, dacă e cazul. o ultimul termen „dă termenul general în k”. o atenţie la indicele iniţial. → Facem calculele în termenul general, ducându-l la o formă cât mai simplă. → Folosim proprietăţi sume şi sume particulare. - 55 -
MATEMATICĂ ACCESIBILĂ ¾ Observaţie: Când avem ocazia, rezultatul final îl ducem la o formă cât mai simplă folosind factorul comun. Exemplu: S = 1⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 7 + ... + ( 2n − 3) ⋅ ( 2n − 1) = ? , n ∈ . Remarcăm că ultimul termen generează fiecare termen al şirului, de aceea îl vom mai numi şi termen general. Într-adevăr n = 1 ⇒ ( 2 ⋅1 − 3)i( 2 ⋅1 − 1) = −1⋅1 n = 2 ⇒ ( 2 ⋅ 2 − 3) ⋅ ( 2 ⋅ 2 − 1) = 1⋅ 3 , n = 3 ⇒ ( 2 ⋅ 3 − 3) ⋅ ( 2 ⋅ 3 − 1) = 3 ⋅ 5 , etc. n
Scriem suma restrâns: S = ∑ ( 2k − 3) ⋅ ( 2k − 1) . Am văzut că pentru k=1 nu obţinem k =2
termen al sumei, primul termen obţinându-l pentru k=2. n
Facem calculele în termenul general: S = ∑ ( 4k 2 − 8k + 3). k =2
Folosim proprietăţi sume şi sume particulare: n n n n n n n ⎛ n ⎞ S = ∑ ( 4k 2 − 8k + 3) =∑ 4k 2 − ∑ 8k + ∑ 3 = 4∑ k 2 − 8∑ k + ∑ 3 = 4 ⎜ ∑ k 2 − 12 ⎟ − k =2 k =2 k =2 k =2 k =2 k =2 k =2 ⎝ k =1 ⎠ n ⎛ ⎞ −8 ⎜ ∑ k − 1⎟ + 3 ( n − 2 + 1) = 4 ( S2 − 1) − 8 ( S1 − 1) + 3n − 3 = 4 S 2 − 8S1 + 3n + 1 ⎝ k =1 ⎠ n ( n + 1)( 2n + 3) n ( n + 1) ⇒ S = 4⋅ − 8⋅ + 3n + 1 . 6 2
Evident de aici putem să ducem rezultatul la o formă cât mai simplă. n
∑k
¾ Observaţie:
k =2
2
n −1
= ∑ ( k + 1) evident un traseu mai complicat decât cel iniţial. 2
k =1
Metodă pentru alte tipuri de sume 1. Sunt multe situaţii în care întâlnim sume de fracţii, de factoriale,etc. → Ideea este să scriem termenul general al sumei ca diferenţa a doi termeni ai aceluiaşi şir, cum ar fi an+1 − an , an+ 2 − an , f ( an ) − f ( an−1 ) , etc. → După scrierea dezvoltată a sumei se vor simplifica toţi termenii sumei înafara ultimilor şi primilor temeni. n
∑ ( ak +1 − ak ) = an+1 − a1 ; k =1
Exemple: S =
1
n
∑(a k =1
k +2
− ak ) = an + 2 + an +1 − a2 − a1 .
1 1 1 1 + + + ... + = ? ,n∈ 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 ( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1)
∗
.
„Sume telescopice” . La fel ca la antena telescopică, rămâne prima parte şi ultima.
- 56 -
- Sume, produse, progresii Încercăm spargerea termenului general =
1 . ( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1)
1 1 − = 2n − 1 2n + 1
2n + 1 − 2n + 1 2 1 1 1 1⎛ 1 1 ⎞ ⇒ = − ⇒ = ⎜ − ( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1) ( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1) 2n − 1 2n + 1 ( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1) 2 ⎝ 2n − 1 2n + 1 ⎟⎠ n
1 , apoi folosim „spargerea” k =1 ( 2k − 1) ⋅ ( 2k + 1)
Scriem suma restrâns: S = ∑
n 1⎛ 1 1 ⎞ 1 n ⎛ 1 1 ⎞ − − S =∑ ⎜ ⎟ = ∑⎜ ⎟ .Dezvoltăm şi vedem regula de 2k + 1 ⎠ 2 k =1 ⎝ 2k − 1 2k + 1 ⎠ k =1 2 ⎝ 2 k − 1
simplificare S=
⎛ 1 1 ⎡⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤ − − ⎢⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ ⎟+⎜ ⎟⎥ 2 ⎢⎣⎝ 1 3 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 5 7 ⎠ ⎝ 2n − 3 2n − 1 ⎠ ⎝ 2n − 1 2n + 1 ⎠ ⎥⎦ n 1⎛ 1 ⎞ 1 2n . ⇒ S = ⎜1 − = ⎟= ⋅ 2 ⎝ 2n + 1 ⎠ 2 2n + 1 n + 1
Observaţie metodică: Dacă nu remarcăm regula de simplificare: e Scriem mai mulţi termeni de la începutul şi de la sfârşitul sumei. e Grupăm termenii cu plus într-o paranteză şi termenii cu minus în altă paranteză. Ex.1 S = 5 ⋅1!+ 11 ⋅ 2!+ 19 ⋅ 3!+ ... + ( n 2 + 3n + 1) ⋅ n ! = ? Încercăm diferenţe de tipul ( n + a ) !− ( n + b ) ! ; unde a > b . Deoarece gradul lui n 2 + 3n + 1 este doi presupunem că a − b = 2 . Remarcăm că ( n + 2 ) !− n ! = = ( n + 2 ) ⋅ ( n + 1) ⋅ n !− n ! = ⎡⎣( n + 2 ) ⋅ ( n + 1) − 1⎤⎦ ⋅ n ! = ( n 2 + 3n + 1) ⋅ n ! Uraaa! n
n
n
n
k =1
k =1
k =1
k =1
⇒ S = ∑ ( k 2 + 3k + 1) ⋅ n ! = ∑ ⎡⎣( k + 2 ) !− k !⎤⎦ = ∑ ( k + 2 ) !− ∑ k ! = [ 3!+ 4!+ 5!+ ... + n ! + + ( n + 1) !+ ( n + 2 ) !] − [1!+ 2!+ 3!+ 4!+ ... + ( n − 1) !+ n ! ]
Ex.2 S =
1 1 1 + + ... + =? 1⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 ⋅ 4 n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( n + 2 )
⇒ S = ( n + 1) !+ ( n + 2 ) !− 3 . ,n∈
∗
.
Încercări: e
1 1 − ,greşit pentru că nu sunt termeni ai aceluiaşi şir. n ⋅ ( n + 1) n + 2
e ca să fie termeni ai aceluiaşi şir trebuie ca scăzătorul să fie obţinut din descăzut prin trecerea n → n + m , unde m ∈ . Adică, dacă în
- 57 -
1 n ( n + 1)
MATEMATICĂ ACCESIBILĂ facem trecerea n → n + 1 , obţinem
1
( n + 1)( n + 2 )
şi implicit diferenţa
1 1 n+2−n 2 − = = ,etc. Temă! n ( n + 1) ( n + 1)( n + 2 ) n ( n + 1)( n + 2 ) n ( n + 1)( n + 2 )
e Această spargere mai poate fi făcută şi folosind 1 A B C = + + urmată de determinarea numerelor A, B n ( n + 1)( n + 2 ) n n + 1 n + 2
şi C. Ca suma să fie calculabilă, trebuie ca A + B + C = 0 , adică tot principiul „spargerii de mai sus”, dar cu mai multe complicări de calcul. ALTE TIPURI DE SUME.
( )
Dacă A = ⎧⎨2, 5, ⎫⎬ , atunci
7 f ( x ) = f ( 2) + f 5 + ∑ 4⎭ ⎩ x∈ A Dacă A = {(1, 2 ) , ( 3, 4 )} , atunci ∑ f ( x, y ) = f (1, 2 ) + ( x , y )∈A
⎛7⎞ f ⎜ ⎟. ⎝4⎠ f ( 3, 4 ) .
a PRODUSE Definiţie particularizată:
5
∏ f ( k ) = f ( 2 ) ⋅ f ( 3) ⋅ f ( 4 ) ⋅ f ( 5) , unde k este indicele k =2
de factorizare, k = 2 indicele iniţial, k = 5 indicele final. Proprietăţi: P1: Produsul trece în produs şi în cât. f
∏ f ⋅ g = ∏ f ⋅∏ g
∏g =
∏f ∏g
P2: Se pot modifica indicii produsului ( înmulţind sau împărţind cu cantităţile corespunzătoare). 5
∏ k =2
⎛ 4 ⎞ f ( 5) f (k ) = ⎜∏ f (k )⎟ ⋅ ⎝ k =1 ⎠ f (1)
P3: Se pot obţine relaţii de recurenţă n
n −1
n−2
k =1
k =1
k =1
∏ ak = an ⋅ ∏ ak = an ⋅ an−1 ⋅ ∏ ak Produse particulare: n
∏ k = n! k =1
n
∏c = c
n
.
k =1
- 58 -
n
∏ k =2
n −1
f ( k − 1) = ∏ f ( k ) k =1
- Sume, produse, progresii ⎛
n
Exemplu: P = ∏ ⎜⎜1 −
⎝ k ( k + 1) − 2 k =2
2 1− = k ( k + 1)
⎞ 2 ⎟ = ? Facem calculele în termenul general obţinând k ( k + 1) ⎠⎟
k ( k + 1)
k 2 + k − 2 ( k − 1)( k + 2 ) , unde pentru descompunerea lui = = k ( k + 1) k ( k +1)
K 2 + K − 2 , folosim formula aX 2 + bX + c = a ( X − x1 )( X − x2 ) cu x1,2 soluţiile n
n −1
n+2
k =2
n
ecuaţiei ataşate.
( k − 1) ⋅ ∏ ( k + 2 ) ∏ k ∏ k 1 n + 2 k − 1)( k + 2 ) ∏ ( = = ⋅ = ⋅ P=∏ k ( k + 1) n 3 ∏ k ⋅ ∏ ( k + 1) ∏ k ∏ k n
k =2
k =2
n
n
k =1 n
k =4 n +1
k =2
k =2
k =1
k =3
Dezvoltarea produselor, poate clarifica simplificările. P=
(1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n − 1 ) ⋅ ( 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ ( n + 1) ( n + 2) ) = n + 2 .
( 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ ( n − 1) ⋅ n ) (3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ n ⋅ ( n + 1) )
3n
a PROGRESII ARITMETICE Definiţie: Spunem că şirul ( an )n∈ , este o progresie aritmetică(÷) dacă fiecare termen al şirului îl obţinem din cel precedent prin adunarea aceluiaşi număr r numit raţia progresiei. Exemplu: ÷ 1, 3, 5, 7,9,11,13,15,17,19,... ⇒ a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5 şi r = 3 − 1 = 5 − 3 = 2 . ∗
¾ Observaţie: În orice progresie aritmetică diferenţa dintre doi termeni consecutivi este constantă, adică raţia. Acest rezultat constituie o metodă de a arăta că un şir este progresie aritmetică. Proprietăţi: P1: Formula termenului general. „Deplasarea ” într-o progresie aritmetică, este după regula intuitivă: • În dreapta „mergem” dând raţii : ( + ) r . • În stânga „mergem” luând raţii : ( − ) r .
În tabelul de mai jos am arătat deplasarea în dreapta pornind de la termenul iniţial a1 . Se observă a4 = a1 + 3r .Se deduce a13 = a1 + 12r şi
Formula termenului general an = a1 + ( n − 1) r . Fie (PA) Observăm
a1
a2
a3
a4
a5
a1
a1 + r
a1 + 2r
a1 + 3r
a1 + 4r
- 59 -
… a13 … a1 + 12r
… an … a1 + ( n − 1) r
MATEMATICĂ ACCESIBILĂ În desenul alăturat „baza de plecare” este a5 . Se observă a8 = a5 + 3r , a10 = a5 + 5r . a3 = a5 − 2r , a1 = a5 − 4r
+
Se deduce a18 = a5 + 13r şi apoi se deduce formula termenului general
an = ak + ( n − k ) r .
Evident condiţii n, k ∈ ∗ , n > k P2: Într-o progresie aritmetică un termen este medie aritmetică între doi termeni egal depărtaţi de el. an =
an −1 + an +1 2
sau
an =
a n − k + an + k 2
În desenele de mai jos am arătat legătura dintre diferitele sume ale termenilor „simetrici ” faţă de un anumit termen sau faţă de doi termeni consecutivi, lucru care poate fi util în calculul unor sume. S1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 9 + 18 ⋅ 4 = 81 . S2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 20 ⋅ 5 = 100 . Eventual schematizând ca în figuri, fără a mai fi nevoiţi să folosim formula sumei a n termeni, cu toate demonstraţiile implicate.
P3: Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. Din desenele de mai sus remarcăm că: S n = a1 + a2 + a3 + ... + an = ( a1 + an ) ⋅
n ( ( Pr imul + ultimul ) × nr. perechi ) 2
Putem remarca S n = Sn −1 + an , ca o formulă de recurenţă.
a PROGRESII GEOMETRICE Definiţie: Spunem că şirul ( bn )n∈ , este o progresie geometrică (PG)dacă fiecare termen al şirului îl obţinem din cel precedent prin înmulţirea cu aceluiaşi număr nenul q , numit raţia 1 progresiei. ∗
1
Raţia şi nu RAŢA.
- 60 -
- Sume, produse, progresii Exemplu: 1
1, 2, 4,8,16,32, 64,128, 256, 512,1024,... ⇒ b1 = 1, b2 = 2, b3 = 4 ⇒ q =
b2 b3 = =2 b1 b2
¾ Observaţie: În orice progresie geometrică raportul dintre doi termeni consecutivi este constant, adică raţia. Acest rezultat constituie o metodă de a arăta că un şir este progresie geometrică . Proprietăţi: P1: Formula termenului general. bn = b1 ⋅ q n −1 , sau bn = bk ⋅ q n − k P2: Un termen pozitiv este medie geometrică între doi termeni alăturaţi ( egal depărtaţi de el ) bn2 = bn −1bn +1 , sau bn = bn −1 ⋅ bn +1 , dacă bn > 0 , ∀bn , n ≥ 2 . P3: Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice ( q ≠ 1) . S n = b1 + b2 + b3 + ... + bn = b1 + b1q + b1q + ... + b1q 2
n −1
= b1 ⋅ (1 + q + q + ... + q 2
n −1
qn −1 ) = b1 ⋅ q − 1
¾ Observaţii: • Dacă q = 1 evident bn = b1 şi S n = b1 + b1 + b1 + ... + b1 = nb1 .
• Reamintim formula q n − 1 = ( q − 1) (1 + q + q 2 + ... + q n −1 ) de unde obţinem S n . • Puteam nota la fel de bine cu ( an şi r ), dar am notat cu ( bn şi q ), pentru o mai bună diferenţiere la reţinerea formulelor.
Metode de abordare a progresiilor: • Exprim un termen în funcţie de alt termen şi de raţie. • Exprim în funcţie de primul termen şi raţie, obţinând sistem. • Adun şi scad relaţii, folosesc proprietăţi. La progresii geometrice, dăm factor comun şi înmulţim sau împărţim relaţii. • Pentru a determina numărul de termeni, ultimul termen îl vom scrie cu formula termenului general. La unele progresii geometrice „număr exponenţii ”. • Dacă avem an sau Sn , pentru obţinerea lui an −1 sau S n −1 facem trecerea n → n −1. Exerciţii rezolvate (Bac. 2008 ). Ex.1 Să se determine numărul natural n din egalitatea 1 + 5 + 9 + ... + n = 231 . Soluţie:
Metoda directă:Numărul 231 fiind „ mic” ne permitem să calculăm 1
Aceşti termeni reprezintă puterile lui 2 până la 210, puteri des întâlnite în probleme.
- 61 -
MATEMATICĂ ACCESIBILĂ concret. Şirul de numere este 1,5, 9,13,17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53,... S3 = 1 + 5 + 9 = 15 , S 4 = S3 + 13 = 28 , S5 = 28 + 17 = 45 , S6 = 45 + 21 = 66 , S7 = 66 + 25 = 91 , S8 = 91 + 29 = 120 , S8 = 120 + 33 = 153 , S9 = 153 + 37 = 190 , S10 = 190 + 41 = 231 ⇒ n = 41
¾ Observaţie: De multe ori „metoda directă ” pare mai laborioasă, noi având o jenă că lucrurile par prea simple. Veţi vedea că prin metode „savante ”de multe ori şi muncim mai mult şi ne complicăm inutil.
Metoda 2: Remarcăm o progresie aritmetică cu raţia r = 5 − 1 = 9 − 5 = 4 1 x x termeni, a1 = 1, ax = n şi S x = 1 + 5 + 9 + ... + n = (1 + n ) ⋅ = 231 . Formula 2 termenului general ax = a1 + ( x − 1) ⋅ r = 1 + ( x − 1) ⋅ 4 = 4 x − 3 ⇒ n = 4 x − 3 . Ecuaţia x devine (1 + 4 x − 3) ⋅ = 231 ⇒ ( 2 x − 1) x = 231 ⇒ 2 x 2 − x − 231 = 0 ∆ = 1 + 8 ⋅ 231 = 1849 2 1 ± 43 21 (probabil 432 sau 47 2 ). Remarc că ∆ = 432 = 43 ⇒ x1,2 = , x1 = 11, x2 = − 4 2 2 ∉ ⇒ x = 11 soluţie n = 4 x − 3 = 4 ⋅11 − 3 = 41 .
Ex.2 Să se determine suma tuturor numerelor naturale de trei cifre care se divid cu 13. Soluţie: 100 :13 = 7rest 9 , iar 999 :13 = 76rest11 . Rezultă că primul număr care se divide cu 13 este 13 ⋅ 7 , iar ultimul număr 13 ⋅ 76 ⇒ S = 13 ⋅ 7 + 13 ⋅ 8 + ... + 13 ⋅ 76 ⇒ S = 13 ⋅ ( 7 + 8 + ... + 76 ) = 13 ⋅ ( 7 + 76 ) ⋅
70 = 13 ⋅ 83 ⋅ 35 .( Sunt 76 − 7 + 1 termeni ). 2
Ex.3 Să se determine a, b ∈ ştiind că numerele 2, a, b sunt în progresie geometrică şi 2,17, a sunt în progresie aritmetică. Soluţie:
(PG) 2, a, b ⇒ a 2 = 2b , iar ÷ 2,17, a ⇒ 17 =
⇒ a = 32 ⇒ b =
a+2 ⇒ a + 2 = 34 2
a 2 32 ⋅ 32 = = 32 ⋅16 = 512 . 2 2
Ex.4
Să se calculeze suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice ( an )n≥1 , ştiind că a4 − a2 = 4 şi a1 + a3 + a5 + a6 = 30 .
Soluţie: ÷ an ⇒ a2 = a1 + r , a3 = a1 + 2r , a4 = a1 + 3r , a5 = a1 + 4r , a6 = a1 + 5r 1 2
n-ul ală e băgat ca musca-n lapte, ca să zăpăcească formulele. Ce ziceţi, am avut dreptate ?
- 62 -
- Sume, produse, progresii a4 − a2 ⎧ ⎨ ⎩ a1 + a3 + a5 + a6
⎧⎪ =4 a1 + 3r − a1 − r =4 ⎧ 2r ⇒⎨ ⇒⎨ = 30 ⎪⎩a1 + a1 + 2r + a1 + 4r + a1 + 5r = 30 ⎩4a1 + 11r
⇒ r = 2 şi a1 = 2 ⇒ a20 = a1 + 19r = 40 ⇒ S 20 = ( a1 + a2 ) 1 2
Se consideră numărul real S = 1 + +
Ex.5
că S ∈ (1; 2 ) . Soluţie: 1 2
Remarcăm o (PG) cu b1 = 1, b2 = , b3 =
=4 = 30
20 = 10 ( 2 + 40 ) = 420 . 2
1 1 1 + 3 + ... + 2008 . Să se demonstreze 2 2 2 2
b b 1 1 1 , q = 3 = 2 = şi n = 2008 + 1 . 2 2 b2 b1 2
n
n
⎛1⎞ ⎛1⎞ 1− ⎜ ⎟ 1− ⎜ ⎟ n n ⎡ ⎛ 1 ⎞ 2009 ⎤ q −1 1− q 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ⇒ Sn = b1 ⋅ = b1 ⋅ = 1⋅ = ⇒ S2009 = 2 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ < 2 ⋅1 < 2 1 1 q −1 1− q ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 1− 2 2 Folosind 1 + a > 1, ( ∀ ) a > 0 , obţinem S2009 > 1 , deci Sn ∈ (1; 2 ) .
¾ Observaţie: • Dacă avem q < 1 , Amplificând în S n cu −1 , obţinem S n = b1 ⋅
1 − qn 1 şi ţinând cont că lim q n = 0 , vom avea lim Sn = b1 ⋅ n →∞ n →∞ 1− q 1− q
• Această formulă nu prea are „lipici ” la elevi, mulţi preferând deducerea 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S = 1 + + 2 + 3 + ... + 2007 + 2008 | ⋅2 ⇒ 2 S = 2 + 1 + + 2 + ... + 2006 + 2007 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Scad relaţiile ⇒ 2 S − S = 2 − 2008 . 2
Ex.6
Se consideră şirul de numere reale ( xn )n≥1 şi S n = x1 + x2 + ... + xn , n ∈
∗
.
Ştiind că 2Sn = 3n − 1, ( ∀ ) n ≥ 1 , să se demonstreze că ( xn )n≥1 este progresie geometrică. Soluţie: 3n − 1 3n −1 − 1 3n − 1 3n −1 − 1 ⇒ Sn −1 = − . Dar S n = Sn −1 + bn ⇒ bn = S n − Sn −1 = 2 2 2 2 n −1 n n −1 n −1 3 ( 3 − 1) 3 ⋅ 2 3 −3 ⇒ bn = = = = 3n −1 .Trecând n → n − 1 ⇒ bn −1 = 3n − 2 şi vom 2 2 2 n −1 b 3 avea n = n − 2 = 3 (nu depinde de n ). Rezultă că avem o (PG) cu b1 = 30 şi q = 3 . bn −1 3 Sn =
1
Pândeşte exponenţii fiule ! Pândeşte-i !
- 63 -
MATEMATICĂ ACCESIBILĂ Ex.7 Să se determine primul termen al progresiei aritmetice a1 , a2 ,13,17,... . Soluţie: r = a4 − a3 = 17 − 13 = 4. ⇒ a1 = a4 − 3r = 17 − 12 = 5 .Sau din aproape în aproape a2 , a1 Ex.8 Să se determine primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi b1 , 6, b3 , 24... . Soluţie: b3 24 = = 2. b2 12 Avem b2 = b1 ⋅ q ⇒ 12 = b1 ⋅ 2 ⇒ b1 = 6
b3 = b2 ⋅ b4 = 6 ⋅ 24 = 144 = 12 ⇒ q =
Ex.9
Numerele reale pozitive a, b, c, d sunt în progresie geometrică. Ştiind că d − a = 7 şi c − b = 2 , să se afle raţia progresiei. Soluţie: ⎧d − a = 7 ⎧ aq 3 − a = 7 ⇒⎨ 2 ⎩ c − b = 2 ⎩aq − aq = 2
Fie raţia (PG) q ⇒ b = a ⋅ q, c = a ⋅ q 2 , d = a ⋅ q 3 Dar ⎨
a ( q − 1) ( q 2 + q + 1) 7 a ( q 3 − 1) 7 (1) 1) ( ⇒ = ⇒ = Din 2 ( 2 ) aq ( q − 1) 2 aq ( q − 1) ( 2)
⎧⎪ a ( q 3 − 1) = 7 ⇒⎨ ⎪⎩aq ( q − 1) = 2
⇒ 2 ( q 2 + q + 1) = 7 q ⇒ 2q 2 − 5q + 2 = 0 ⇒ q1,2 =
5±3 ⎧ 1⎫ cu q ∈ ⎨2; ⎬ . 4 ⎩ 2⎭
Ex.10 Fie a, b, c numere naturale nenule în progresie geometrică cu raţia număr natural. Dacă a + b + c este un număr par, să se arate că numerele a, b, c sunt pare. Soluţie: Fie raţia (PG) q ⇒ b = a ⋅ q, c = a ⋅ q 2 ⇒ a + b + c = a + a ⋅ q + a ⋅ q 2 = a (1 + q + q 2 ) = par. ⇒ a par sau 1 + q + q 2 par ( Din a + b + c ∈ , a ∈ Caz I: a par ⇒ a ⋅ q, aq 2 pare
⇒ 1 + q + q2 ∈
).
Este un produs de numere naturale care conţine un număr par. Caz II: a impar ⇒ 1 + q + q 2 par ⇒ q + q 2 impar. Fals, pentru că q şi q 2 au aceeaşi paritate. Rămâne deci posibil doar cazul I, adică a, b, c sunt pare. Ex.11 Să se dea exemplu de progresie geometrică, care are raţia un număr iraţional şi conţine o infinitate de numere raţionale. Soluţie: 1
Remarcăm că dacă b1 = 1 şi q = 2 = 2 2 ∉ , obţinem (PG) 1 2
3 2
2
5 2
3
7 2
1, 2 , 2, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,... care conţine termenii raţionali: 1, 2, 22 , 23 , 24 ,... .
Deci conţine o infinitate de termeni raţionali.
- 64 -
