Primaria
6. o GRADO
Sexto grado
Resolución 1
Resolución 3
12+22+32+42=30 13+23+33+43=100 14+24+34+44=354 15+25+35+45=1300= JOEL
α ⋅β β⋅α
α PROLOG β =
α PROLOG β 2
α PROLOG β = α
{α PROLOG β
3 / 2
PROLOG β ⋅
= α ⋅β}
α ⋅β Luego (1+3)2=16
2 / 3
Clave
C
De donde
α PROLOG β = 3 α ⋅ β
Resolución 4
En la figura 1
Luego J =
3 3 4 ⋅ 2 9⋅3
= 23 = 8 Clave
C
Resolución 2
Hay 9 puntos de intersección.
27×3=384 35×4=972 46×9=36 864= JOHNY
Hasta la figura 2
Luego 32+62+82+62+42=161 Clave
C
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Hay 17 puntos de intersección. Departamento de Publicaciones
1
COLEGIOS PROLOG
Hasta la figura 3
Figura 2
Hay 25 puntos de intersección. 5×6 N.º cuadriláteros=15= 2
En general 9 17 25 +8
Figura 3
+8
N.º p. intersec.=8 n+1
N.º p. intersec.=[8(20)+1]+1 no está considerado en la figura 20
N.º p. intersec.=162
7×8 N.º cuadriláteros=28= 2 En general
Clave A
n( n+1)
Resolución 5
En cada figura hay Figura 1
N.º cuadriláteros=
2
n=N.º de espacios
Figura 20
En la figura 20, hay 2×20+1 espacios 22
→ N.º cuadriláteros= 3×4 N.º cuadriláteros=6= 2 2
Departamento de Publicaciones
41(42) =861 2
N.º cuadriláteros=861 Clave B
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Primaria
Resolución 6
6. o GRADO
Resolución 7
=23 n×32 n+4×5 n+3×72 n+1 N =2
Loseta
CD( N )( K 2)=1920 R
R
CD( N )( K 3)=?
2 R
N es impar
→
=2 x+1 N =2
=26 x+3×34 x+6×52 x+4×74 x+3 N =2
. . .
2 x+3
a losetas
. . .
. . . . . .
N =(22)3 x+1 · 2 x(32)
x+2
· (52)
2 x+1
· (72)
·7
CD( N )( K 2)=1920
(3 x+2)(2 x+4)( x+3)(2 x+2)=1920
b losetas
(3 x+2)( x+2)( x+3)( x+1)=480 x=2
largo=2 R · b ancho=2 R ·a
=5 N =5
∧
Luego =215×314×58×711 N =2
Total de losetas=a · b
5
N =(23)
4
2
3
×(33) · 32×(53) ×52×(73) · 72
Área que cubre c/loseta: p R2 Todas las losetas cubren: a · bp R2
CD( N )( K 3)=360
4ab · R2
100% 2
ab · p · R
Clave D
x Resolución 8
100×p x= 4 =
∴
CD( N )( K 3)=6 · 5 · 3 · 4
=3α×5β×7θ N =3
100(3,14) 4
→
)=(α+1)(β+1)(θ+1) CD( N )=(
(1)
9 N =3 =3α+2×5β×7θ
x=78,5% Clave D
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→
)=(α+3)(β+1)(θ+1) CD(9 N )=( Departamento de Publicaciones
(2) 3
COLEGIOS PROLOG
5 N =3 =3α×5β+1×7θ )=(α+1)(β+2)(θ+1) CD(5 N )=(
→
(3) =4C I =4
7 N =3 =3α×5β×7θ+1 )=(α+1)(β+3)(θ+2) CD(7 N )=(
→
5C
C
(4)
=4(100 K )=400 )=400 K I =4(100 I 1+ I 2+ I 3=400 K
(2) – (1)=40
→ (β+1)(θ+1)=20
(3) – (1)=15
→ (α+1)(θ+1)=15
(4) – (1)=12
→ (α+1)(β+1)=12 10T +18 +18T +36 +36T =400 =400
Identificando ∴ α=2; β=3; θ=4
T =
Luego =32×53×74 N =3 )=3 · 4 · 5=60 CD( N )=3
=100 K C =100 C 1=25 K R1=40%
=30 K C 2=40% · 75 K =30 R2=30% semestral ≡ 60% anual
25 años ≡ 6 años 3 meses 4 Clave E
Clave B
Resolución 9
25 K · 40 · T 30 K · 60 · T 45 K · 80 · T + + =400 K 100 100 100
Resolución 10
La distancia entre árbol y árbol en cada cuadra tiene que ser un divisor de 100. Divisores de 100 =1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100. N.º de árboles =101+51+26+21+11+6+5+3+2 =226
C 3=45K R3=20% trimestral ≡ 80% anual 4
Departamento de Publicaciones
Clave D
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Primaria
Resolución 11
Resolución 12
Sea C =12 =12 K
Rayas transversales cada 1 m ≡ 100 cm El paso de desfile cada 80 cm coinciden en una distancia igual al MCM(100; 80)=400 cm
C 1=8 K R1=6%
12 K =
Distancia total: 120 m ≡ 12 000 cm
3 =3 K C 2= ·4 K =3 4 R2=1,5% bimestral ≡ 9% anual
Número de veces que coinciden 12 0/ 0/ 0/ = =30 (sin considerar la primera raya) 40/ 0/ La mitad+2 ≡ 17 distancia=17×400 cm ≡ 68 68 m 68 · 10 = =21,25 s T = 3,2 m/s 3,2
C 3=8 K R3=1% mensual ≡ 12% anual
=2 años 1 mes=25 meses T =2
Clave E
=5525 M =5525 Resolución 13
12 K + I 1+ I 2+ I 3=5525 8 K · 6 · 25 3 K · 9 · 25 K · 12 · 25 12 K + + + =5525 1200 1200 1200 9 K K 12 K + K + + =5525 16 4
Vino
Cantidad
A B C
3k 4k 240 – 7 k
Precio c/L
2,5 3 3,6
P v =120% Pm
221 K =5525 16
3,75=120% Pm 3,125=Pm 3 k(2,5)+4 k(3)+(240–7 k)(3,6) 3,125= 240 5,7 k=114 k=20 → Vino A= 3(20)=60 L
=400 K =400 =12 K =12(400) =12(400) C =12
→
6. o GRADO
=S/.4800 C =S/.4800 Clave
C
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Clave E
Departamento de Publicaciones
5
COLEGIOS PROLOG
Resolución 14
Resolución 15
tiempos
ganancias
t1
G1
t2
G2
13 864
P1=2 kg P2=3 k P3=5 k
0,7= 18 meses
5418
2(0,9)+3 k(0,8)+5 k(0,6) 2+8 k
1,4+5,6 k=1,8+2,4 k+3 k El tercero renunció a su parte.
0,2 k=0,4
t1
3096
→
k=2
t2
5418 – 3096=2322
∴
P2=6 kg
5418
∧
P3=10 kg Clave E
t1
t2
4
3
t1=4 k
→ = 3096 2322 t2=3 k
Resolución 16
Mo=130
Inicialmente G1 G2 G3 G1+G2+G3 t1
= = = t2
t3
46
Como los intervalos tienen igual longitud.
t1+ t2+ t3 W =
1 301
13 846 5418 = 7 k+18 18
→
I 1 [30; 60〉 I 2 [60; 90〉
1
I 3 [90; 120〉 I 4 [120; 150〉
7 k+18=46
→
k=4
Calculando f 4 a partir de la moda. Mo=130 Mo ∈ 4.º intervalo
t1=4(4)
∴
120+30
t1=16 meses Clave
6
Departamento de Publicaciones
150 – 30 =30 4
C
→
x – 20 x – 20+ x
x=40
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Primaria
Ahora, completamos el cuadro.
6. o GRADO
Entonces a=10; b=20; e=50
Intervalos
x i
f i
F i
[30; 60〉
45
8
8
También
[60; 90〉
75
32
40
Σ h =1
[90; 120〉
105
20
60
[120; 150〉
135
40
100
y f =60 =60
i
Dato:
Histograma de frecuencias relativas Me ∈ 3.er intervalo
n=100 Me=90+
2 x+4 x+5 x+6 x+3 x=1
30 100 – 40 =105 20 2
x=
Clave B
Luego
Resolución 17
Peso total del cuerpo humano=100 k Proteínas=20%(100 k)=20 k 1 piel= (20 k)=2,5 k 8 2,5 k · 100=2,5% 100 k
I i
x i
h i
f i
[10; 20〉 15 2/20 30 [20; 30〉 25 4/20 60
2 = → f 1=30 300 20 f 1
Análogamente las demás frecuencias absolutas.
[30; 40〉 35 5/20 75 [40; 50〉 45 6/20 90 Clave A
x[c; f 〉=
; n=300 ∧ x3=35
En el tercer intervalo
Intervalo [c; f 〉
[50; 60〉 55 3/20 45
Resolución 18
w=10
1 20
=
35×75+45×90+55×45 75+90+45 9450 210
c+ d
2
=35
x[c; f 〉=43,57
c+ d=70
c=40
=10 c – d =10
=30 d =30
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Clave
Departamento de Publicaciones
C
7
COLEGIOS PROLOG
Hallar
Resolución 19
A+a+B+b+C+c+D+d
El negocio duró 2 años=24 meses CAPITAL
2000 3500 5000 F = 2500 21 150 2500 W = 1500 2000 J =
A+B+C+D – (a+b+c+d )
= E
TIEMPO
4 5 10 5 5 3 4
8 32 144 K + 16 112 12 120 180 K 12 60 5 25 2 6 99 K 17 68 423 K
1 2 =12 K – K =12 2 =24 K 2 – 2 K =24
→
=6 K =6 a c
423 K =21 =21 115 =50 → K =50
Luego, aplicando = = K
=99 K =99(50)=S/.4950 =99(50)=S/.4950 W =99
→
b d
a+b a–b
=
c+d K+1
=
c – d K+1
Clave A
También
Resolución 20
A+B+C+D
39 ! 39 C 37!×3!×39! P= 2 = 37 !× 2! = 40 ! 37!×2!×40! C 40 3 37 !× 3! P=
3 40
= K =6 =6
a+b+c+d
Entonces se tiene que 2/( A+B+C+D) E+1 = 2/ (a+b+c+d ) E+1
Clave A
Resolución 21
A B C D
= = = = K
a b
c d
Se sabe 1 A + B C + D A − D − = 12 2 a + b c + d a − d 8
Departamento de Publicaciones
→
E+1 E+1
=6
5 E =7 =7 E =
7 5 Clave
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C
Primaria
Resolución 22
6. o GRADO
Resolución 23
Se sabe que
1
m+ =2 m
a2+ b2+c2=ab+ bc+ac
→
→ ( m –1)2=0
m=1
Calcular Calcular
( a + b + c)10
J = 9 10 a + b10 + c10
+ m −6 m −4 + m6
8 m
Multiplicando por 2 ambos miembros. 2
2
2
4
Reemplazando m
2a +2 b +2c =2ab+2 bc+2ac
=8 Agrupando convenientemen convenientemente te
1+ 1 1+ 1
= 81=1
a2+ b2 – 2 bc+a2+c2 – 2ac+b2+c2 – 2 bc=0
Clave B
(a – b)2 + (a – c)2 + ( b – c)2 =0 Resolución 24
a – b=0
)=44 x m+3 · y n – 2+5 x m+1 · y P( x x; y)= y n+1+7 x m · y y n+2
a – c=0
m+ n+1
b – c=0
m+ n+2
m+ n+2
m+ n+2=8
∴
m+ n=6
a= b=c
m+3 – ( n+2)=1
Luego reemplazando J = 9
J =
10
m – n=0
10
3 ⋅a 3 ⋅ a10
→
9 9
3
m=3
∧
n=3
Luego E = m+ n+ m× n E=15
=3 J =3 Clave B
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Clave A
Departamento de Publicaciones
9
COLEGIOS PROLOG
Semiperímetro
Resolución 25 t t 2
t
=
x
t
3+
t
2 t 3 + 2 2 2
t
3+
t
2 t 6 + 2 2 = 2t 3 + t 2 + t 6 2 4
=
y
t z
t
t t t 2
t
Semiperímetro t
t
= (2 3 + 2 + 6 ) 4 Clave D
2 )2+ t2
x2=( t
Resolución 26
3 t2
x= x= t
a+ b=3 3
3
∧
a – b=3 2
Calculando y =
t
4ab(a2+3 b2)(b2+3a2)
2 2
2a · 2 b(a2+3 b2)(b2+3a2)
(2a3+6ab2)(2 b3+6a2 b)
(α)
2
t 2 z 2 = t 2 + 2
Elevando al cubo. (a+ b)3=3 3
2 2 2 t z = t +
2
2
3 t z = 2 z = t 10
3 / 2
Departamento de Publicaciones
a3+ b3+3ab(a+ b)=3
(β)
(a+ b)3=3 2 a3 – b3 – 3ab(a – b)=2
Calculando β+θ 2a3+6ab2=5 www.prolog.edu.pe / ) 2833615 - 7199843
(θ)
Primaria
Reemplazando (4) en (5) β+φ+x=180º – (α+θ) α+β+φ+θ+ x=180º 120º+ x=180º x=60º
Calculando β – θ 2 b3+6a2 b=1 Reemplazando en α (5)(1)=5 Clave
C
Resolución 27
Clave E
Resolución 28 D
B 2
A
6. o GRADO
n
B
2
x
160º
M
140º
x
C
En el ADC θ+(α+θ)+(β+2φ)=180º 2θ+2φ+α+β=180º Sumando (1) y (2) 3α+3θ+3β+3φ=360º α+θ+β+φ=120º De la figura α+θ+ n=180º n=180º – (α+θ) En el cuadrilátero cóncavo BEDM β+φ+x=n
P
80º
A
C
E x
En el ABC (θ+α)+(2β+φ)+α=180º 2α+2β+θ+φ=180º
40º
60º
Por ser S inscrito (1)
80º=
m AB → m AB=160º 2
Por ser circunscrito (2)
40º+m BC =180º =180º → m BC =140º =140º Luego m AB+m BC +m +m AC =360º =360º
(3)
160º+140º+m AC =360º =360º m AC =60º =60º
(4)
Finalmente, calcular el S inscrito en ABC x=
(5)
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m AC → x=30º 2 Clave A
Departamento de Publicaciones
11
COLEGIOS PROLOG
Resolución 29
x =
−2 + 2 2 2
x=
2 –1
x
∴ h
h
Clave A
Resolución 30 2
V tronco=
h
3
1
5 V cilindro · V 3
6m
1 2 0 m
5 (p · x2+p · 4+ 4p · p x · x2 )= p · 12 · h
3 x · p+4p+2 x · p=5 · p
12 m
2
x2+4+2 x=5 x2+2 x=1 x2+2 x –1=0
−2 ± 22 − 4 (1) ( −1) x = 2 (1)
V cilindro
Cantidad de tierra=
2
p · 62 · 120 = 2 =2160p Clave D
Departamento de Publicaciones Villa María, 27 de noviembre de 2010
12
Departamento de Publicaciones
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