51859d8e6a273b439300

ΟΠΕΡ Ε∆ΕΙ ΠΟΙΗΣΑΙ Μελίσσια 2018

Γεωμετρικές κατασκευές με κανόνα και διαβήτη Τα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας Η Γεωμετρία του διαβήτη ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΑΓΟΥ∆ΑΚΟΣ

Πιχόα

1. ισαωή 2. ασιές

αασές 3. Πααίαα αασώ 4. ιιά θέαα

. 1 . 9 . 23

ίση ισώσω  Άηα έθη φαός Αοώις αασές Καοιά ούωα Ποβήαα βέισης αασής

5. α άα

οβήαα ης αχαιόηας

. 43

ιασιασός ιασιασός ύβο αωισός ύο ιχοόηση ωίας

6. Η

ωία ο ιαβήη 7. ίοος 8. ιβιοαφία

. 69 . 75

Μα αά, ιαί α ασοθί άοιος  ις ιές αασές;

Μα ιαί ίαι αία ασόσ, αά αι ιαί  ύσ ο θα έθι ά αό  ααήσ θα ο ίσι ιαοοίσ αι αά! ιαί σ όοια σοή ο Ποίο αι α άσι ο σιός αθής θα ασοθί  σέιο. Εί αό έαι Αιοιό, ί Ηοοιό ή αόα Μαοοιό. βαίς σ οή ας άο σιασιά οάαα ο άο  ασία ας ιο ύο. α οάαα αά ός  αάο αφιές, αά σέια ο άοαι σ βασιές ιές αές. Άα ια α α σιοοιήσι άοιος έι α έι ία. ός  ασόσ   σοία  Μαθαιώ, ός αοσιάαι αι σο βιβίο αό, ας αθαίι ο όο σές άοι έο αθώ. Αό ο άθα αό οού α ιθού σ αή, αά σο έος οιος έι α ιοήσο αιούις ιές, σέις αι έα ο α ά οσά  ισή. ο βιβίο αό αοίαι ίς αό ία έ. ο ώο, αοσιάοαι αιά βασιές αασές αι ά  ό ααιο-σθιή έθοος αασής ιώ οφώ. ίοας ασοούασ  ιο ιιά θέαα, ός  ιή ίσ  ισώσ,  αασή ά θώ,  αασή  αοιώ οώ, ις Αοώις αασές, αά αι οβήαα βέισς αασής. ο οάι αό ίαι ιθαό σ αή α σας φαί αοϊό, ά α σας οάσι ιαί οιάι  σοιές ασήσις, αά σο έος σος ισσόος οάισο θα ος ιαοοιήσι αφού άο ιαφέοα θέαα ς ίας. ο ύο έος αοσιάο α άα οβήαα ς ααιόας. ο ιασιασό ο ύβο, ο αισό ο ύο αι  ιοόσ οοιασήο ίας. Παοσιάο ις ιός οσάθις ίσς, αά αι ις αύς αι α ιά όαα ο φέθα ια  ύσ  οβά αώ. ο ίο έος αοσιάαι  ασία ο αού Μαθαιού Mascheroni σ οοία ός οι αασές αασές  αόα αι ιαβή ίοαι ίο αι όο  ιαβή.  Ός οι αασές αασές αι α σήαα έια  ο οισιό GeoGebra αι ίαι όα, ι’ αό α άοιος θήσι α α σιοοιήσι αό ίαι α ααφέι ο βιβίο αό ς ή ο.

ις σίς ο βιβίο άο ύο ααισιά σήαα ο ώο ίαι αό ο GeoGebra αι ο ύο ς Wikipedia.  οιή έοσ ο βιβίο ο ααώσς οί αώας α ιοίια αά α αοίι ί φαοές ιαασιό  αασή αασή ο ααφέοαι GeoGebra ο οσίο  όο ιαασιό ί α σθί   αίσοι σία ς Wikipedia αι α ιαβάσι βιοαφιά σοιία ο Μαθαιού σο οοίο ο ίο ααφέαι . ο βιβίο αό  ιαβάαι … Ααιί αό ο ααώσ  σοή ο. Κάθ αασή ο ιάφαι θα έι ο ίιος α  αααάι. Εί σ αί σιοοιώας α ιά όαα αι αά σέο ούβι. Εί α ίαι άς ς οοίας  ο αάο οισιό. Ειή ίασ σ οή ς ιόας, έο ι αά οές φοές έα ίο αι α ία ύ ο. Όα ός αούασ α ο σιάσο οι ίιοι ό σαά σοίς. ο ιό αοέσα οιάι αά  ίαι σσό. θί όσο άβοο ίαι α σιοοιίς ο «ίο» ια α αάις σο ίαα ις αθέος. θί ις ιήσις σας, όα έ σα έια σας έα ιό όαο αι α  θόσασ ς α ο οοθήσ.  σάσ ο σώαός σας … Πόσς φοές έο οσαθήσι α αασάσο σ έα σιασιό σιασιό όαα ο σήα.  αή α φαίαι έιο αι ά α ας α αιήσις έα όσο α σίο, όα α αάο αι ο σύοο α ααέι. Αή ίαι  ιαφοά αάσα σο αφί αι σο σιά –  αασά. Αή  ιαφοά ιθί α αοσιάσι ο βιβίο ο αά. Καή έ !

ο βιβίο αό αφιώαι σος αιούς ασάος ο ωές …  Α. ιαά , Π. ιαέο, ιαέο, . αόο αόοο ο ο ο ίαα ωία … αι σο αέα ο . αοάο ο  η σάση ο ο ία , α ώ αι α οσαθώ…

Α ΑΑ

Εαίο GeoGebra

Βασιές ώσις

ασιή αασή

Καασή αασάο ος ύος Α,Α αι ,Α οι οοίοι έοαι σ ύο σία.  θία ο οίαι αό α σία αά ίαι  σοάθος σοάθος ο θάο ήαος Α. ιαί;

ΩΡΟ ΑΟΑΟ

1

Α ΑΑ

Εαίο GeoGebra

ασιή αασή

1

Καασή αασή αθέο σ σίο Α θίας  ωού ύο Α, ο έι   σ ύο σία ,. αασάο  σοάθο ο .  θία αή ίαι άθ ς  σο σίο Α. ιαί;

ασιή αασή

2

Καασή αασή αθέο ος θία  αό σίο  ός αής ωού ύο , ο έι   σ ύο σία Α,. αασάο  σοάθο ο Α .  θία αή ίαι άθ ς  ο ιέχαι αό ο σίo  . ιαί;

ΩΡΟ ΑΟΑΟ

2

Α ΑΑ

Εαίο GeoGebra

Βασιές ώσις

σχύι αι αίσοφα αή :

«α οι ός αι αά ωίς ο σχαίοαι αό ύο θίς Ε αι Ε ο έοαι αό ία ί θία  ίαι ίσς ό Ε//Ε»

ασιή αασή

Καασή αασάο  θία  1) άθ σ  οού αασή 

αασάο  θία  2) άθ σ θία  1). οού αασή 

 θία  2 ίαι  ού ιαί;

ΩΡΟ ΑΟΑΟ

3

Α ΑΑ

Εαίο GeoGebra

Βασιές ώσις

ασιή αασή

Καασή

 Έσω  ωία

Γ  .

άφο ο ύο Α, ο έι ις Α αι Α σα σία  αι  αίσοιχα. άφο ος ύος , R) αι ,R ο έοαι σα σία  αι .  Α ίαι  ιχοόος ς ωίας

Γ

ιαί;

ΩΡΟ ΑΟΑΟ

4

Α ΑΑ

Εαίο GeoGebra

Βασιές ώσις

ασιή αασή

Καασή αασάο αασάο ις σοαθέος ω ώ ο ιώο Α. Οοάο Ο ο σίο οής ος. Ο ύος Ο,ΟΑ ίαι ο ούος. ιαί; Αό ία σία ιέχαι άα ύος;

ΩΡΟ ΑΟΑΟ

5

Α ΑΑ

Εαίο GeoGebra

Βασιές ώσις

ασιή αασή

Καασή

Ας οθέσο όι θέο α αασάσο  οφή ο σίο Ο ία ωία  ίσ   ωία ω. ω. άφο ο ύο Α,Α= αι ο ύο ,= R) αασάοας ο ίωο Α. άφο ο ύο Ο,. ωού  χαίο σίο ο. άφο ο ύο , R ο έι ο οούο ύο σο σίο . αασάο ο ίωο Ο. α ίωα Α αι Α ίαι ίσα ιαί; . Οό  ωία α ίαι ίσ ίσ   ωία ω. ΩΡΟ ΑΟΑΟ

6

Α ΑΑ

Εαίο GeoGebra

Βασιές ώσις Α  θία  φάαι ο ύοΟ, σο σίο Κ ό  ΟΚ ίαι άθ ς  σο Κ.

ασιή αασή

1

Καασή

φαοέ σ σίο ο ύο

 Έσω ο ύος ύος Ο, αι αι σίο ο .  φαοέ ο ύο σο σίο  ίαι θία άθ ς Ο σο σίο 

2 ασιή αασή

Καασή

φαοέ ο άαι αό σίο ός ο ύο

Βιβίο ’ όασ ι αό α «Σοιχία» ο Εί

 Έσω ο ύος ύος , αι αι ο σίο  ός ο ύο. Φέο   ο έι ο ύο σο σίο Α. άφο ο ύο ,. Φέο  φαοέ ο ύο , σο σίο Α ο έι ο , σα σία  αι . Οοάο  ο σίο οής ς  αι ο ύο ,.  θία  ίαι  ού φαοέ ιαί;

ΩΡΟ ΑΟΑΟ

7

Α ΑΑ

Εαίο GeoGebra

1

Καασή

Σιό σίο ως ος θία

ασιή αασή

 Έσω ο σίο σίο  αι  θία θία . αασάο  θία Ο άθ ς . αασάο ο ύο Ο,Ο. Α ’ ο σίο οής ος ύο Ο,Ο αι ς θίας Ο, ό ο ’ ίαι ο σιό σιό ο  ως ος  θία  ιαί;

ασιή αασή

2

Καασή

Σιό σίο ως ος σίο

 Έσω α σία σία  αι Ο. άφο  θία Ο. αασάο ο ύο Ο,Ο. Α ’ ο σίο οής ο ύο αι ς θίας, ό ο ’ ίαι ο σιό ο  ως ος ο σίο Ο, ιαί;

ΩΡΟ ΑΟΑΟ

8

ΑΑΑΑ ΑΑ

1.

α αασασθί ισόο ίο άς α.

ασιή αασή

ού σίο Α. άφο ύο Α,α αι θού αίο σίο ο . άφο ο ύο ,α. Οι ύο ύοι έοαι σα σία  αι . α ία Α αι Α ίαι ισόα άς α ιαί;

ασιή αασή

2.

α αασασθί ισοσές ίο ώ α-β-β.

ού σίο . άφο ύο ,α αι θού αίο σίο ο . άφο ος ύος ,β αι ,β οι οοίοι έοαι σα σία Α αι Α’. α ία Α αι Α’ ίαι ισοσή  ές α -β-β ιαί;

3. ασιή αασή

α αασασθί οθοώιο ίο α ίο οίοσα οίοσα αι ία άθ ά. αασάο ύο Ο,α/ θού ιάό ο . αασάο ο ύο ,β ο έι ο ύο Ο,α/ σα σία Α αι Α’. α ία Α αι Α’ ίαι οθοώια  οίοσα α αι άθ ά Α=Α’=β ιαί;

Ο ΑΟΑΟ

9

ΑΑΑΑ ΑΑ

Η ααιή αι σθιή έθοος … ία ιή αασή ο ίαι   ααιή αι σθιή έθοο βασίαι σα ής έσσα βήαα « αάσ,  σύθσ ή αασή,  αόι αι σ ιύσ»  αάσ οθέο όι έι αασασθί ο ούο ιό σήα  ος ιοισούς ς άσσς. ααού οια έ ο  σήαος οού α αασασθού αι ας οού  άς ιαοιές αασές σο ούο σήα.  σύθσ, αοοθού  αίσοφ ασία ς αάσς ια α ααήο σο ούο σήα. Η σύθσ οσιασιά αοί  ύσ ς άσσς αή  ού αασή.  αόι, ίο όι ο σήα ο αασάσα έι όα α σοιία αι ιιός ο ο όβα θέι.  ιύσ, βίσο ις σθής ο έι α ισύο σα οέα ο οβήαος ια α έο  αόα α αασάσο ο ούο σήα. ίσς σ οά οβήαα ιαισώο αι όσς σοιά αές ύσις έο. α ααίαα ο αοοθού ίαι φαή  έθοος αή. ασιή αασή

αάια 1ο : α αασασθί ίο α ίο όι οι ές ο ίαι ίσς  ία οσέα ήαα. Αάσ . Έσ ο Α ίαι ίαι ο ούο ίο, ό α σία  αι  ίαι α άα ός ήαος ήος α αι ο σίο Α αέι αό ο  αόσασ ίσ   αι αό ο  αόσασ ίσ  β. Άα οσιοίαι ς σίο οής  ύ , αι ,β. Σύθσ . αασάο ήα =α. αασάο ος ύος , αι ,β. Οοάο Α αι Α’ α σία οής ος. ο ίο Α ίαι ο ούο. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι σο ίο Α ίαι =α, Α= αι Α=β ιύσ. ια α αασάαι αασάαι έα έοιο ίο έι οι ύοι , αι ,β α έοαι. ια α σβαίι αό θα έι α ισύι α<β+ όο α  αύ ά  ίσ ο σβαίι αό ό  ς ύσις ο οβήαος οού α θθού α ία Α αά αι ο Α’. Α ισύι α>β+ ή α=β+  έι ύσ ο  ο όβα. Ο ΑΟΑΟ

10

ΑΑΑΑ ΑΑ

αάια 2ο : α αασασθί ίο α ίο ις ές β, ασιή αασή

αι  ιό ία  Αάσ . Έσ ο Α ίαι ίαι ο ούο ίο, ό α σία  αι  ίαι σία ύ Α, αι Α,β ώ  ία Α ίαι ίσ  α Σύθσ . αασάο ία  οφή αίο σίο Α ίσ  α. άφο ος ύος Α,β αι Α, ο έο ις ές ις ίας α σα σία  αι  αίσοια. ο ίο Α ίαι ο ούο Αόι . Αό ο όο αασής έο όι σο ίο Α ίαι ία Α=α αι ές Α=β αι Α=. ιύσ. ια α αασάαι έα έοιο ίο θα έι  ία α α ίαι ιό  ο.

αάια 3ο : α αασασθί ίο α ίο  ά α αι ασιή αασή

ις οσίς ίς  αι Γ  . Αάσ . Έσ ο Α ίαι ίαι ο ούο ίο, ό α σία  αι  ίαι άα θάο ήαος ίσο  α αι ο σίο Α ούι ς σίο οής  ιθιώ 

αι   ιώ Γ

 Γ Γ





 αι

  .

Σύθσ . αασάο ήα

Γ =α. αασάο ις ίς  Γ



 αι Γ



 .Οοάο Α ο σίο

οής  ιθιώ  αι . ο ίο Α ίαι ο ούο. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι σο ίο Α ίαι =α αι οι ίς =β αι =. ιύσ. ια α αασάαι έα έοιο ίο έι οι ίς β αι  α έο άθοισα ιόο   ο.

Ο ΑΟΑΟ

11

ΑΑΑΑ ΑΑ

αάια 4ο : α αασασθί ίο α ίο όι  α  , Α=, 

Α=α ιοόος ς ίας Α Αάσ . Έσ ο Α ίαι ίαι ο ούο ίο   Α ιοόο

ς ίας   . ό ο ίο Α αασάαι, έι σές ύο ές ,α αι  ιό ία α/ . Σύθσ . αασάο ο ίο α  . Α. αασάο ία   

2

ο σίο  οσιοίαι ς σίο οής ς  αι ς Α. Άα ο Α αασάαι. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι σο ίο Α ίαι Α=,

Α=α αι  ία  ίαι ίσ  α. ιύσ. ια α αασάαι έα έοιο ίο έι  ία α α ίαι ιό  180ο αι   α έι  Α .

ό    έι  Α; - Άοι  φαοή φαοή GeoGebra έβα ις ιές  α--α αι ιαίσσ ι έι α ισύι …

αάια 5ο : α αασασθί ίο α ίο ις =α, Α= αι  ιάσο Α=α Αάσ . Έσ ο Α ίαι ίαι ο ούο ίο   Α ιάσο. ό ο ίο Α αασάαι, έι ις ις ές ο σές. Σύθσ . αασάο ο ίο Α . οίο   αά =α/. Ο ίο Α ίαι ο ούο. Αόι . Αό ο όο  όο αασής έο όι σο ίο Α ίαι Α=, Α=α αι =α . ιύσ. ια α αασάαι αασάαι έα έοιο ίο έι α αασάαι ώα ο ίο Α, άα έι αύ  ά α,,α α ισύι  ιιή αισόα.  Άοι  φαοή GeoGebra έβα ις ιές  α --α αι αι ιαίσσ ιαίσσ ό ο Α αασάαι … Ο ΑΟΑΟ

12

ΑΑΑΑ ΑΑ

αάια 6ο : α αασασθί ίο α ίο ις Α=, Α=β αι  ιάσο Α=α Αάσ . Έσ ο Α ίαι ίαι ο ούο ίο   Α ιάσο. Α οίο  Α αά Α’=Α=α ό ο ίο ΑΑ’ αασάαι αφού έι ΑΑ’=α, Α=β αι Α’= ιαί ;. ; . Σύθσ . αασάο ο ίο ΑΑ’  έι ις ές σές – βασιή –  βασιή αασή. Φέο  ιάσό ο  αι θού σίο  ώσ =. ο ίο Α ίαι ο ούο. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι σο ίο Α ίαι Α=, Α=α αι =α. ιαί; ιύσ. ια α αασάαι αασάαι έα έοιο ίο έι α αασάαι ώα ο ίο ΑΑ’, άα έι αύ  ά β,, 2α α ισύι  ιιή αισόα.  Άοι  φαοή GeoGebra έβα ις ιές  β --α αι ιαίσσ ιαίσσ  ό ο Α αασάαι …

αάια 7ο : α αασασθί ίο α ίο ις ις ιαέσος α, β, 

Αάσ . Έσ ο Α ίαι ίαι ο ούο ίο  Α, αι  οι ις ιάσοι. Οοάο  ο βαύο ο Α. οίο  Α αά =. ο ίο  αασάαι ιόι =/, =/α αι =/β ιαί; Υόι :

Αόι όι ο  ίαι ααόαο.

Ο ΑΟΑΟ

13

ΑΑΑΑ ΑΑ

Σύθσ . αασάο ο ίο   ές =/α, =/β αι =/ βασιή αασή. ίσο ο έσο  ς .  οέασ ς  θού ο σίο  ώσ =.  οέασ ς  θού σίο Α ώσ =Α. ο ίο Α ίαι ο ούο ιαί; Αόι . ο Α  Α ίαι ιάσος αι ο σίο  ο έο βάος ο αφού =Α. ιή =/  ιάσος ο ο άαι αό ο  θα ίαι ίσ  . ο  ίαι ααόαο, άα ==/β, οό  ιάσος ο Α ο άαι αό ο  ίαι ίσ  β. ιύσ. ια α αασάαι αασάαι έα έοιο ίο έι α αασάαι ώα ο ίο , άα έι έι αύ  ά α, β, β, αι  α ισύι  ιιή αισόα.  Άοι  φαοή GeoGebra έβα ις ιές  α – β – β –  –  αι ιαίσσ ό ο Α αασάαι …

ασιή αασή

α αασάσ αά ος οέ θία ο α αέι αό αή αόσασ ίσ  d.

ού αίο σίο Α ς . αασάο άθ σ  σο σίο Α. αασάο ύο Α,d) ο έι  άθο σα σία  αι ’. αασάο ις θίς  1) αι 2 αάς ς  ο ιέοαι αό α σία  αι ’. Οι θίς  1 αι  2 ίαι οι ούς.

Ο ΑΟΑΟ

14

ΑΑΑΑ ΑΑ

αάια 8ο : α αασασθί ισοσές ίο Α Α=Α α ίο  ία 



 αι ο ύος ’=β

Αάσ . Έσ ο Α ίαι ίαι ο ούο ίο  ο  ύος αι

 ία Γ  ίσ     αφού ο Α ίαι ισοσές. ισοσές. ό ο  αασάαι αφού ο σίο  βίσαι σ αά ο φοέα 

Α ς ίας Γ σ αόσασ ίσ  β. Σύθσ . αασάο ία  Γ



 . αασάο

θία αά ς  ο αέι αό αή αόσασ ίσ  β. Οοάο  ο σίο οής ς αάς αι ς . Α φέο   άθ σ , οό αασάαι ο ίο . ού σίο Α σ  ώσ  ία Γ α ίαι ίσ  , ο ίο Α ίαι ο ούο Αόι . Αό ο όο αασής έο όι ο ίο

Α ίαι ισοσές   ία   β ιαί;



 αι ο  ύος ο ίσο

ιύσ. ια α αασάαι αασάαι έα έοιο ίο έι α αασάαι

ώα ο ίο  άα  ία Γ  έι α ίαι ιό   ο .  Άοι  φαοή GeoGebra έβα ις ιές  ,β αι ιαίσσ ό ο Α αασάαι αασάαι … 

αάια 9ο : α αασασθί ισοσές ίο Α Α=Α α ίο  ά =α αι ο ύος ’=β Αάσ . Έσ ο Α ίαι ίαι ο ούο ίο  =β αι =α . ό ο  αασάαι, οό αασάαι αι ο Α Σύθσ . αασάο ο οθοώιο  οίοσα αι ία άθ ά. αασάο

ία Γ  ίσ   ία Γ ο . Η οφή Α βίσαι ς σίο οής ς  αι ς . Άα ο Α αασάαι. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι ο ίο Α ίαι ισοσές   =α αι ο  ύος ίσο  β ιαί; ιύσ. ια α αασάαι αασάαι έα έοιο ίο έι α αασάαι ώα ο ίο  άα έι β<α   οίοσα έι α ίαι  αύ ά.  Άοι  φαοή φαοή GeoGebra έβα ις ιές  α , β αι αι ιαίσσ ιαίσσ ό ο Α αασάαι … Ο ΑΟΑΟ

15

ΑΑΑΑ ΑΑ

αάια 10ο : α αασασθί οθοώιο ίο Α    =90ο α ίο  ιάσό ο Α=α αι  ά Α= Αάσ . Έσ ο Α ίαι ίαι ο ούο ίο  Α= Α= αι Α=α. ίο όι σο οθοώιο ίο ισύι όι α=α/ , άα α= α. Οό ο ίο Α αασάαι  οθοώιο  =α αι Α= Σύθσ . αασάο ήα Α=, φέο άθο σο Α σο σίο Α. αασάο ο ύο ,α ο έι  άθο σα σία  αι ’. ο ίο Α ίαι ο ούο. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι ο ίο Α ίαι οθοώιο Α=ο  Α= αι ιάσο  Α αι ίσ  Α=α. ιύσ. ια α αασάαι έα έοιο ίο έι α ισύι α>   οίοσα έι α ίαι  αύ ά.  Άοι  φαοή φαοή GeoGebra έβα ις ιές  α ,  αι ιαίσσ ό ο Α αασάαι …

αάια 11ο : α αασασθί οθοώιο ίο Α    =90ο α ίο  ιάσό ο Α=α αι ο ύος Α=α

Αάσ . Έσ ο Α ίαι ίαι ο ούο ίο  Α=α αι Α=α. ο οθοώιο ίο Α αασάαι οίοσα αι άθ ά . Σύθσ . αασάο ο οθοώιο ίο Α. άφο ο ύο ,α αι  θία . Ο ύος έι  θία σα σία  αι . ο ίο Α ίαι ο ούο. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι ο

ίο Α ίαι οθοώιο   =90ο  ιάσο Α=α αι ύος Α=α ιαί; ιύσ. ια α αασάαι έα έοιο ίο έι α ισύι α>α   οίοσα έι α ίαι  αύ ά.  Άοι  φαοή φαοή GeoGebra έβα ις ιές  α, α αι ιαίσσ ό ο Α αασάαι …

Ο ΑΟΑΟ

16

ΑΑΑΑ ΑΑ

αάια 12ο : ίοαι α σία ,Α, α αασασθί θία ο α ασιή αασή

ιέαι αό ο  αι α ισαέι αό α Α αι .

 Έσ   ού ού θία ό άο άο ύο ύσις. 1 ύσ : Αό ο  φέο θία ’

αά ς Α ό α Α, ισαέο αό  ’. 2 ύσ : Α  ο έσο ς Α ό  θία

= ίαι  ού. ιόι α σία Α αι  ισαέο ς  ιαί;  ιιή ίσ όο α σία Α,, ίαι σθιαά ό οι ύο ύσις σίο σ ία,  θία Α.

ασιή αασή

ίαι ύος Ο, αι σίο  σιό ο. α αασάσ οή ο ύο ο α έι έσο ς ο σίο .

 Έσ ο ύος Ο, αι ο σίο σίο  σιό σιό ο. Φέο  Ο. αασάο θία άθ ς Ο σο . Α Α, α σία οής ς θίας αι ο ύο,  οή Α ίαι  ού ιαί;

αάια 13ο : ίαι ύος Ο,. Έα σίο Α αι σίο Θ σιό ο ύο. α αασασθί οή ο ύο  ώσ ο ίο Α α έι ς βαύο ο σίο Θ.

  βοήθια ο ιαού σήαος αι ς οούς βασιής αασής οσαθήσ α αασάσ αασάσ ο ούο ίο. ο όβα έι άα ύσ;

Ο ΑΟΑΟ

17

ΑΑΑΑ ΑΑ

ασιή αασή

α αασασθί όο ο έι οή οέο θύαο ήα α αι α έαι αέ ία ίσ   Αάσ . Έσ ο Α ο ούο όο. Α φέο

 φαοέ Α ό  ία   ίαι ίσ  . ο σίο Ο βίσαι ς σίο οής ς σοαθέο ο Α αι ς αθέο σ Α σο σίο Α. Σύθσ . αασάο ία   ίσ  .

Φέο άθ σ Α σο Α. Φέο  σοάθ ο Α. Οοάο Ο ο σίο οής  ύο θιώ. άφο ο ύο Ο,ΟΑ. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι ο όο Α ίαι ο ούο ιαί; ιύσ. ια α αασάαι αασάαι έα έοιο ίο έι α ισύι < ο .

αάια 14ο : α αασασθί ίο Α α ίο  ά =α,  ία  = αι  ιάσο Α=α Αάσ . Έσ ο Α ο ούο ίο. ό ο σίο Α αήι σ όο  οή ο  ο έαι αέ ία ίσ   οού αασή. ίσς αήι σ ύο ,α όο  ο έσο ο . Σύθσ . αασάο όο οής  ο έαι αέ ία ίσ  . ού ο έσο  ο . αασάο ύο ,α. Οοάο Α ο σίο οής ς οής αι ο ύο . ο ίο Α ίαι ο ούο. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι ο ίο Α ίαι ο ούο ιαί; ιύσ. Άοι  φαοή GeoGebra έβα ις ιές  α, αι α αι ιαίσσ ιαίσσ ό ο Α αασάαι …

Ο ΑΟΑΟ

18

ΑΑΑΑ ΑΑ

αάια 15ο : α αασασθί ίο Α α ίο  ά =α,  ία  = αι  αία  ο αέο ύο ο ιώο. Αάσ . ια α θί ο όβα αό έι α

ίο όι  ία Γ όο  ο έο ο Α ίαι ίσ   ο +/ ιαί;. Οό ο ίο  ίο  αασάαι αφού ο σίο  βίσαι ς σίο οής ο όο οής   αέ ία ίσ   ο +/ αι ς αάς ς  ο αέι αό ο  αόσασ  ίσ  . Σύθσ . αασάο όο οής  ο έαι αέ ία ίσ  90ο +/. αασάο θία αά ς  ο αέι αό αή αόσασ  ίσ  . Οοάο  ο σίο οής όο αι αι ααήο. άφο άφο ύο , ο φάαι ο . αασάο φαός ο ύο ο άοαι αό α σία  αι . Οοάο Α ο σίο οής  ύο φαοέ. ο ίο Α ίαι ο ούο. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι ο ίο Α ίαι ο ούο ιαί; ιύσ. Άοι  φαοή GeoGebra έβα ις ιές  α, αι  αι ιαίσσ ιαίσσ ό ο Α Α αασάαι αασάαι …

αάια 16ο : α αασασθί ίο Α α ίο ο ύος Α=α,  ιοόο Α=α αι  ιάσο Α=α.

ια α οού α ασοθού   αασή θα έι α ίο α ααά ο α θέο ς άσσ ια ύσ : 1. ί όι  ιοόος Α αι  σοάθος ο

 έοαι σο έσο  ο όο . 2. Οι ίς Η αι Ο ίαι ίσς. 3.  άθ ίο ισύι α<α<α

Ο ΑΟΑΟ

19

ΑΑΑΑ ΑΑ

Αάσ . Α Α ο ούο ίο  ΑΗ=α, Α=α αι Α=α, ό ο ίο ΑΗ αασάαι οθοώιο  οίοσα α αι άθ ά α Σύθσ . αασάο οθοώιο ίο ΑΗ.

αασάο ία  



Η Η . άφο ο

ύο Α,α. Οοάο  ο σίο οής ο ύο αι ς Η. Φέο  θία  άθ σ Η. Οοάο  ο σίο οής ς Α αι ς . Φέο  σοάθ ο Α. Οοάο Ο ο σίο οής ο ής ς σοαθέο ο φέα αι ς . άφο ο ύο Ο,ΟΑ ο έι  Η σα σία  αι . ο ίο Α ίαι ο ούο. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι ο ίο Α ίαι ο ούο ιαί; ιύσ. ια α αασάαι ο ίο Α έι α ισύι α<α<α. Άοι  φαοή GeoGebra έβα ις ιές  α ,α αι α αι ιαίσσ ιαίσσ ό ο Α αασάαι αασάαι …

αάια 17ο : α αασασθί ίο Α α ίο ο ύος Α=α,  ιοόο Α=α αι  αία R ο ιαέο ύο. Αάσ . Α Α ο ούο ίο  ΑΗ=α, Α=α αι AO=R, ό ο ίο ΑΗ αασάαι οθοώιο  οίοσα α αι άθ ά α Σύθσ . αασάο οθοώιο ίο ΑΗ.

 αασάο ία 



Η Η . άφο ο

ύο Α,R. Οοάο O ο σίο οής ο ύο αι ς Α . άφο ο ύο Ο,ΟΑ ο έι  Η σα σία  αι . ο ίο Α ίαι ο ούο. Αόι . Αό ο όο αασής έο όι ο ίο Α ίαι ο ούο ιαί; ιύσ. ια α αασάαι αασάαι ο ίο Α έι α ισύι α<α.  Άοι  φαοή φαοή GeoGebra έβα ις ιές  α ,α αι R αι ιαίσσ ό ο Α αασάαι αασάαι

Ο ΑΟΑΟ

20

ΑΑΑΑ ΑΑ

αάια 18ο : α αασασθί άο Α α ίο ο άθοισα S ς άς ο α αι ς ιαίο ο   (S=α+. Αάσ .  Έσ Α ο ούο άο. οίο  ιαώιο = αά ήα =α. ο ίο Α αασάαι ιόι

=S,  



45ο αι 



22,5ο  Αοί

όι οι ίς έο α έα αά. Σύθσ . ς ός αασάο  αόα αι ιαβή ίς  αά α έα; Ας αοοθού α ής βήαα :

αασάο οθή ία    . αασάο  ιοόο ς . αασάο  ιοόο ’ ς ίας

δ .  ιοόο  θού ήα = S. Αό ο  φέο αά ος  ’ ο έι   σο σίο Α. ο ίο Α έι  = s αι  







45ο αι

22,5ο ιαί; . ο ήα Α ίαι  ά ο ούο αώο.

οί α σίσ  αασή;

αάια 19ο : α αασασθί ίο Α α ίο σο ίο α σία οφή Α – βαύο – βαύο Θ αι ίο Ο

Αάσ . Α Α ο ούο ίο   ο ο έο βάος ο αι Ο ο ίο. ίο όι ια ο έσο  ς  ισύι όι =/Α. ίσς  Ο ίαι άθ ς . Άα α   άθ αή α σία  αι  οού α βθού ς σία οής ς   ο ύο Ο,ΟΑ. Σύθσ .   βοήθια ο ιαού σήαος ιά ο όο αασής ο ιώο Α ιύσ. Άοι  φαοή GeoGebra έβα ις θέσις  σί Α, αι Ο αι ιαίσσ ό ο Α αασάαι αασάαι .

Ο ΑΟΑΟ

21

ΑΑΑΑ ΑΑ

αάια 20ο : α αασασθί ααόαο, οθοώιο ααόαο, όβος, άο, α ίο ις ιαίος ο.

  βοήθια ο ιαού σήαος ιά  αασή ο ααοάο α ίο α ή  ύο ιαί ο  1 αι 2.

  βοήθια ο ιαού σήαος ιά  αασή ο οθοίο ααοάο α ίο ο ήος ς ιαίο ο  1.

  βοήθια ο ιαού σήαος ιά  αασή ο όβο α ίο α ή  ύο ιαί ο 1 αι 2.

  βοήθια ο ιαού σήαος ιά  αασή ο αώο α ίο ο ήος ς ιαίο 1.

Ο ΑΟΑΟ

22

Α ΑΑ

Α. ίσ ισώσω

ισώσις 1ο βαθού

ίοαι α θύαα θύαα ήαα α,β,. α αασασθί αασασθί ήα χ ώσ

α 

=

 x

Καασή έας ααόο ) Καασή έας ααόο ού αία ία

x Οψ .  ιθία  θού α ήαα Α=α αι Α=β αι σ ιθία  ο ήα =. έο  Α. αασάο αά αό ο σίο  ος  Α ο έι   σο σίο . ο ήα  ίαι ο ούο ήα  , (ιαί;

ίαι θύαο ήα Α α βθί σίο ο ο α ο χωίι σ όο /

αής ο ιήσιος 0 - ..  Έας αό ος ά σοφούς ς ααιόας. ής φιοσοφιής σοής σ ίο. έσ ο ύος ς αίας αό ο ήος ς σιάς ς αι ς σιάς ιας άβο. σό ίαι ο θώα ο φέι ο όοά ο : «α ις οάχισο αάς θίς έο ύο άς ό οίο σ αές ήαα αάοα» ο αή αοίοαι οι αοίις  οάσ : 1.  ύος ιοοίαι αό  ιάο. 2. ι αά οφή ίς ίαι ίσς. 3. ι αά  βάσ ισοσούς ιώο ίς ίαι ίσς. 4. Α ο ία έο ια ά  ίσ αι ις οσίς σ αή ίς ίσς, ίαι αι αύ ος ίσα. 5.  αέ σ ιιφέια ία ίαι οθή

 Έσ ο θύαο ήα ήα Α. αασάο ύο ύο θίς  1 αι  2 ο ιέοαι αό α Α αι  ώσ α ίαι αάς αύ ος. ά σ αές θού α ήαα Α= αι =. Α   έι    = =   σο σίο  ό αό θώα ο αή θα έο .    ό ο σίο  ίι ο ήα Α σ όο /.

 ΑΑ

23

Α ΑΑ

α αασασθί θύαο ήα χ ια ο οοίο ισχύι x 2 ισώσις 2ο βαθού

=

α   , όο

α,β ύο ωσά θύαα ήαα. ήαα.

ασιές ώσις

 αασή …

ίς - Έας αθαιός ο ία σ Αάια αά  ιάια ς βασιίας ο οαίο ο ο (323 (323-  .. αφέας  «οιί» ο ώο ισοιό ισοιό βιβίο ο έι αφί  βάσ  αιαιή έθοο. ιά  έ αιήαα αι ά αάι έα σιό αι οέο έο ο ιαβάι ιές αά αι αβιές οάσις αι θήαα. ο βιβίο αό ιαβάοαι έα ααιό αθαιώ. ο ί αοίοαι αι άα έα ός α «ιά», α «αοιά» αά αι α «οιία ς οσιής»

ού α ήαα Α=α αι =β.  ιάο  Α άφο ύο. αασάο άθο σ Α σο σίο . οάο  ο σίο οής ς αθέο αι ο ύο. ο ήα  ίαι ο ούο. ιαί;

 ΑΑ

24

Α ΑΑ

ω οιχίω ο ί

ιαίσ ήαος σ έσο αι άο όο χσή οή ίαι θύαο ήα Α. α ιαιθί ο Α σ ύο ήαα Α αι  ώσ ο αύο αό αά α ίαι έσο αάοο ο ιόο αι ο αχιού θύαο ήαος. ήαος.

Αάσ : Έσ  : Έσ Α=α αι αι  ο ούο σίο. σίο. ό α οοάσο Α=α Α=α αι αι =α=α-    ού σέσ ίαι x α−x 2 x)  x 2 + α  x − α2 = 0 . Α ύσο =  x = α  (α − x) α x αβιά ο ιώο σο οοίο ααήα έο όι x

=

x

=

−α  α

5

2 −α + α

2

5

αι ιή ο  ίαι ήος έο ιά όι =

α 5 2

−

α 2

. Έα έοιο ήα οί α

αασασθί ιά.

ύθσ : Έσ Α=α. αασάο άο άο Α . οάο  ο έσο ς Α. άφο ύο (, ο έι  θία Α σο . άφο ο ύο Α,Α ο έι  Α σο . ο σίο  ίι ο ήα Α=α σ έσο αι άο όο. Αόι :   βοήθια ο ιαού σήαος οί α ιαιοοήσ  αασή;

 ΑΑ

25

Α ΑΑ

ίοαι α θύαα θύαα ήαα α,β. α αασάσ αασάσ ήα χ ώσ : x

1.

2

= αx +

2

x

2.

2

= −α  x + 

2

3.

x

2

=

α  x − 2

ασιές ώσις

Rene Descartes (1596-1650). άος 2



1 ίσωσ : x = α  x + 

2

ο ιαό σήα έο αασάσι ύο ,α/ σο οοίο έο φέι φαόο ήα AB ήος β. έο   ο έι ο ύο σα σία  αι . Α οοάσο =x =x ό θα έο όι :

 2

=

2

=

( x − α)  x 

2

=

α  x + 2

x

2

2 ίσωσ : x = −α  x + 

Γ   

φιόσοφος – αθαιός. – αθαιός. Κασιό έο ο ο «Πί θόο όος».  Έθσ α θέια θέια ς ααιής ωίας , ισάοας  έοια ο σσήαος σαέ σαέω. ω. ήσ ος αιούς αιθούς οοθώας ος ος σο αισό έος ς θίας ω ααιώ αιθώ. Ήα ο ώος ο ισήα α σύβοα x,y,z ια α σβοίσι ις αβές – άωσς – άωσς οσός.

2

ο ααά σήα α οοάσο = έο όι :

 2

=

Γ     2 2

=

x  ( x + α) α)  x 2

3 ίσωσ : x = α  x − 

= −α  x + 

2

2

ο ιαό σήα α οοάσο ο ήα = έο όι :

Γ   =    '  x  (α − x) =  2



x2

= α  x −

2

 ΑΑ

26

Α ΑΑ

. Άα έθ ο έο ο άος «έ» σος σίος 89 b9-85 c3 ααύσσαι έας ιάοος αάσα σο ά αι έα αθή ο. ο . ί  αφοή ο όβα ς αασής ός αώο  ιάσιο βαό αό έα άο άωο άς α, ιώαι έα έο σύσα ιαιής  ό αιιή έθοος ο ά. ια ισσός οφοίς σ αιιή ασία  ίο « αιιή έθοος ο ά αι  φαοή ς σο ιό σοίο» ο θα  βί σ ιύθσ : http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2589

ς ίαι  αασή – ύσ –  ύσ ο ααά οβήαος;  Έσ Α ο άο άο άς α αι βαού . αίο έα άο Α  ιάσια ά α. Α φέο ις ιαώιος ,, αι  ο άο  έι βαό ιάσιο ο αιού.  αιιοόσ οί α ίι αό έα αθή ο σήα έοας όι  ά ο  ίαι α 2 , άα ο βαό ο

 ' = (α 2 ) 2

= 2α

2

= 2 .

 Ός σο ίο ίο  αιιοόσ ίαι ααώας ααώας όι ο αιό άο αοίαι αό ύο ία ίσα   ο Α, ώ ο  αό έσσα έοια ία άα έι ιάσιο βαό.

ίαι θύαο ήα α. α αασάσ ήαα  ή :

α 2 , α 3 , α 5 , ...

ιώας  ο οθοώιο ίο Α 1Α2,  άθς ές α, αασάο ήα  ήος α 2 ο ίαι  οίοσά ο. ά αασάο ο οθοώιο Α 2Α ο έι άθς ές Α 2= α 2 αι ΑΑ 2=α.  οίοσα ο ιώο αού έι ήος α 3  . Α  ιαιασία αή  σίσο, ίασ σ θέσ α αασάσο ήαα  ή :

α 4 , α 5 , ... ,α 17 . ααήσ όι α σίσο  σοό α αασάσο ήα ίσο  α 18 οι αές ο σήαος θα ιαύο ις οούς.

 ΑΑ

27

Α ΑΑ

. οιχιώς θωία αιθώ ίοαι α ήαα α αι β. α αασάσ ήα ίσο  : α + 1. ο αιθιό έσο ος x = 2. ο αοιό έσο ος

2

2 1 1

=

+

α

x





x=

2α

α +

3. ο ωιό έσο ος x = α  

άφο ύο έο  αι ιαέο =α+β. ού σίο Α ς  ώσ Α=α αι Α=β. αασάο αθέος ς  σα σία Α αι . Α ,  α σία οής  αθέ  ο ύο ό ισύι : Ο =

α+ 2

αι  = α   .

ααήσ όι ισύι  αισόα θαόια ιάα οοάο ία ή ά ο αοού ές οθοίο ιώο αι οές ιαοοιού ο θαόιο θώα

Πθαόας ο άιος 0 - .. αθαιός – φιόσοφος – φιόσοφος . έαι ως ο ώος ο αέι όι «ο άθοισα ω αώω ω ύο άθω ώ ός οθοωίο ιώο ίαι ίσο  ο άωο ς οίοσας» θώα ο ος ιή ο οοάαι «Πθαόιο θώα». Πίσ όι α άα ίαι αιθός αι α άα οού α θού  ος αιθούς. ο 0 .. ίσ σ όια αία ία σιισιή σέχα αοούθω αοούθω  άως ιαχιή οή.

α 



α + 2

 Έσ α,β ύο ήαα ήαα ό ήαα  ή α −  α + , , α   ίαι θαόια ιάα 2

2

αι ιή ισύι :

α − 2



α + 2

α 



α + 2

,

 οίοσα ο οθοίο

ιώο ίαι ο ήα ήος

α +

 . 2 Ας αασάσο έα έοιο ίο ίο … Α  ύος αοιύαι όι  =

2α

α +

 - αασή

αοιού έσο -ιαί;  -ιαί; ς βασιές ώσις - ιές σέσις σο οθοώιο ίο

Αοί όι :

2α

α +



α



α + 2

 ΑΑ

28

Α ΑΑ

. φαός …

1ο όβα : α αασάσ ις οιές ιές φαός 

ύ , αι ,R) , R)

 Έσ οι ύοι , , αι ,R). ,R). αασάο ο ύο ,R, R-. . αασάο ις φαός Α αι  ο άοαι αό ο  ος ο ύο αό. (ς βασιές αασές σ.7 σ.7 ) αασάο α οθοώια ααόαα Α αι . α θύαα ήαα  αι  ίαι οι ούς οιές ιές φαός  ύο ύ. ιαί;

2ο όβα : α αασάσ αασάσ ις οιές σιές φαός 

ύ , αι ,R) , R)

 Έσ οι ύοι , , αι ,R). ,R). αασάο ο ύο ,R+ , R+. . αασάο ις φαός F αι  ο άοαι αό ο  ος ο ύο αό. (ς βασιές αασές σ.7 σ.7 ) αασάο α οθοώια ααόαα FIN FIN αι SLB. SLB. α θύαα ήαα NI αι SL ίαι οι ούς οιές σιές φαός  ύο ύ. ιαί;

 ΑΑ

29

Α ΑΑ

. Αοώις αασές

1 αασή -- : α ά ύο ο α ιέαι αό ία σία Α,,.

όιαι ια  βασιή αασή ο ή έο ααφέι. αή ια ο ιαέο ο ιώο Α ύο ο έι έο ο σίο οής  σοαθέ ο οοίο οοάο ίο. οφαώς ο όβα έι ύσ σ άθ ίσ ός α α σία Α, αι  ίαι σθιαά.

2 αασή -- : α ά ύο ο α ιέαι

αό ύο σία Α, αι α φάαι θίας . Αοώιος ο Παίος Αοώιος (262- (262 .. αθαιός αι ές. ούασ αι ία σ Αάια αι θίαι ς σισής ο έο ο ί.  Έα οά έα αθαιώ –  ίας – Ασοοίας – Ασοοίας αι αιής. οασό έο έο ο ίαι «α ιά» ο ά ις ός ιές οές –  – ύο ύο –  ααβοή – έι – έι αι βοή.

οάο  ο σίο οής ς Α   θία . ού σίο Α’ ώσ Α’=Α. άφο ο ύο ιαέο Α’. έο άθ σ Α’ σο σίο  ο έι ο οούο ύο σο σίο . έο ο ύο , ο έι  θία  σα σία ’ αι .  ούος ύος ίαι αός ο ιέαι αό α σία Α,, ή α σία Α,,’ –  ύο ύσις .(1 αασή

οφαώς όα α σία Α, βίσοαι αέθ ς  ο όβα  έχι ύσ. Α Α// ό έο ία ύσ ιαί;.

Αόι : σύι ΣΓ2

=

Σ ' Σ = Σ  Σ . ιή = α ισύι αι

2

Σ = Σ  Σ .  ισόα αή ώι όι ο ύος ο ιέαι αό α σία Α, φάαι ς  σο σίο , άα ίαι ο ούος ύος. ιαί;

 ΑΑ

30

Α ΑΑ

3 αασή --Κ : α ά ύο ο α ιέαι αό ύο σία Α, αι

α φάαι ύο ,. ,.

έο αίο ύο ο ιέαι αό α σία Α, αι έι ο , σα σία  αι  . οάο  ο σίο οής  Α αι . αασάο ις φαός  αι ’ ο άοαι αό ο  ος ο ύο ,.  ούος ύος ίαι αός ο ιέαι αό α σία Α,, ή αός ο ιέαι αό α σία Α,,’. Α έα οάισο αό α  α Α, ίαι σιό ο ,  άχι ύσ ο οβήαος. Α έα οάισο αό α Α, αήι σο ύο , ό έχο ύσ ο ύο Κ,.  άθ ά ίσ έο ύο ύσις.

Αόι : σύο οι ισός Σ  Σ Σ = ΣΓ  Σ Σ , αά αι ΣΓ  Σ = Σ 2 , ΣΓ  Σ = Σ ' 2 .  Άα … οί α α σίσ  αόι;

4 αασή -- : α ά ύο ο α ιέαι αό σίο Α αι α

φάαι ύο θιώ 1, 2).

οάο  ο σίο οής   1 αι 2. αασάο  ιοόο ς ίας  αι θού Α’ ο σιό ο Α ς ος  ιοόο. ο όβα αάαι σ αασή ύο ο α ιέαι αό α σία Α αι Α’ αι α φάαι ς ιας   ύο θιώ .. ς  ιαί;.  ίσ όο οι ύο θίς ίαι αάς ια α έο ύσ έι ο σίο Α α ίαι αύ   1 αι 2 αι σ ίσ αή έο ύο ύσις.

 ΑΑ

31

Α ΑΑ

5 αασή -Κ-Κ : α ά ύο ο α ιέαι αό σίο Α αι α

φάαι ύο ύ , αι ,R). , R).

ού σίο  ια ο οοίο ισύι ΡΟ ρ =

Ρ

R 

ιό έο οοιόας  ύ 

οάο  αι  α σία οής ς   ος ύο ύος  ός σο σήα. αασάο σίο Α’ ώσ ΡΓ  Ρ Ρ = Ρ' Ρ  . αασάο ύο ο ιέαι αό α σία Α αι Α’ αι φάαι ο ύο , –  , –  3  3 αασή. αασή.  ύος αός ίαι ο ούος ιαί;

6 αασή --Κ : α ά ύο ο α ιέαι αό σίο Α αι α φάαι θίας  αι ο ύο ,.

αασάο  άθο  αό ο έο  ο ύο ος  θία . οάο  αι  α σία οής ς αθέο αι ο ύο. άφο ο ύο ο ιέαι αό α σία Α, αι  ο έι  Α σο σίο Α’.  ύος ο ιέαι αό α σία Α, Α’ αι φάαι ς  –  3  3 αασή - ίαι ο ούος ιαί;

 ΑΑ

32

Α ΑΑ

7 αασή -- : α ά ύο ο α φάαι ιώ θιώ 1,2,3.

Α οι ις θίς έοαι αά ύο. ύο . ίο όι οι ιοόοι  ιώ ός ιώο ιέοαι αό ο ίιο σίο  ο ο οοάο έο. ο σίο αό έχι  ιιόα α ισαέχι ω ώ ο ιώο. ό α  έο ο σίο αό αι αία = d(I,AB) άο ύο ό ο ύος φάαι  ιώ ώ ο ιώο αι έαι αέος σο ίο ύος.  Όοια οι ιοόοι  ύο ύο ιώ ιώ ιώ ο ιώο  ία ιοόο σιής ίας ιέοαι αό ο ίιο σίο ο έαι αάο. άο ία αάα ο έο  ιιόα α ισαέο  φοέ  ώ ο ιώο. ό οού  έα α αάα α άο ύος ο φάοαι  φοέ  ώ ο ιώο  ιώο.. ο όβα ς  ς αασής αάαι οιό σ αασή  σσάω ύω - ύσις ο οααφέα.  ίσ όο οι ις θίς ίαι αάς  έχι ύσ ο όβα .  ίσ όο ύο αό αές ίαι αάς αι  ί ις έι ό έο ύο ύσις. οί α αασάσ ο ούο ύο σ ίωσ αή ;

8 αασή --Κ : α ά ύο ο α φάαι ύο θιώ  1,2 αι

ός ύο ,. ,.  Έσ 1 ο έο ο ούο ύο. άφο ο ύο 1,1. αασάο ις φαοές ο ο ίαι αάς   1 αι 2. ι θίς αές ίαι αασάσις αασάσις αφού ίαι αάς ος ις  1 αι 2 αι αέο αό αές σή αόσασ  ;.  ύος  1,1 αασάαι ιόι ά αό σό σίο ο  αι φάαι ύο σώ θιώ ις  1’ αι 2’ αασή  .  αασή ο ύο 1,1 ας ίι ο έο ο ούο ύο αι  αία ο θα ίαι  1-.

 ΑΑ

33

Α ΑΑ

9 αασή -Κ-Κ : α ά ύο ο α φάαι ιας θίας αι ύο

ύ.

 Έσ  θία   αι οι ύοι ύοι  1,1 αι 2,2)  2<1. Α  ο έο ο ούο ύο άφο ο ύο ,2).  ύος αός θα φάαι ιας θίας ’ αάς ς  ο αέι αό αή αόσασ ίσ   2.  θία αή αασάαι. ίσς ο ύος ,2 θα φάαι σού ύο 1,1+2. ό ό ο ύος ,2) αασάαι ίσ  -- ,  αασή. Άα ο έο ο ούο ύο ίαι σό, ός αι  αία ο ο ίαι ίσ  R- R-2. όο R  αία ο ,2).) Αάοα  σιή θέσ  ύο ύ αι ς θίας ο όβα έι ο ού έσσις ύσις.

10 αασή Κ-Κ-Κ : α ά ύο ο α φάαι ιώ ύ.

 Έσ οι ύοι 1,1 αι  2,2) αι 3,3  1<2<3. Α  ο έο ο ούο ύο άφο ο ύο ,1.  ύος αός θα φάαι  αασάσι αασάσι ύ 2,2+1) αι 3,3+1. ό ο ύος , 1) αασάαι ίσ  -- ,  αασή.  Άα ο έο ο ούο ούο ύο ίαι σό, σό, ός αι  αία ο ο ίαι ίσ  R- R-1. όο R  αία ο ,1).) Αάοα  σιή θέσ  ιώ ύ ο όβα έαι οώ ύσις.

 ΑΑ

34

όιαι ια ο ιό όβα ο Αοώιο. Αόα όα ιήσο ια ιές οές θα ού ία ά ύσ ο οβήαος

Α ΑΑ

. Καοιά ούωα

αοιό άωο αέο αέο σ ύο Ο, 1. α αασάσ αοιό

 Έσ ο ύος , ,R) R).. αασάο ύο άθς ιαέος ο έο ο ύο σα σία Α,β, αι . ο ούο Α ίαι αοιό άο αέο σο ύο ,R). , R).

ασιά σοιχία αώο ά 4

Αόσα α4

βαό 4

R 2

R 2

2R

2

2

2. α αασάσ αοιό άωο αέο σ ύο Ο,

 Έσ ο ύος ,R). ,R). αασάο έ ιαοιά όα  = Γ = Γ =  =   αίσοι οή R. To άο Α ίαι αοιό αέο σο ύο ,R). ,R).ιαί; ιαί;

ασιά σοιχία αοιού άωο ά 6

Αόσα α6

R

R 3 2

βαό 6 3R

2

3

2

 ΑΑ

35

Α ΑΑ

3. α αασάσ αοιό ίωο ισόο αέο σ ύο Ο,

  βοήθια ς οούς αασής, α θήσο α σία Α, αι  ό αά ίο ο ύο σ ία ίσα όα Γ = Γ =  ό ο ίο Α ίαι αοιό ισόο αέο σ ύο ,R). , R).

ασιά σοιχία αοιού ισούο ιώο ά 3 R 3

Αόσα α3 R

βαό 3

2

4

3R

2

3

4. α αασάσ αοιό οάωο αέο σ ύο Ο,

ο ύο ,R) , R) αασάο ύο άθς ιαέος Α αι  , ός σο άο. αασάο ις ιοόος  σσά οθώ ιώ, ο έο ο ύο σα σία ,, αι .  ο όο αό αασάσα αασάσα οώ ίσα όα  = Γ = Γ =  =  =  = Θ = Θ  . ο οάο Α ίαι αοιό αι αέο σο ύο , R).  αόοιο όο αασάο αι ο αοιό άο

 ΑΑ

36

Α ΑΑ

αέο σ ύο Ο, 5. α αασάσ αοιό άωο αέο

ασιές ώσις

Αάσ : Ας οθέσο όι σο ύο ,  οή Α ίαι  ίσ   ά ο αοιού αοιού άο. ό  αίσοι ί ίαι  ο . Α φέο  ιοόο Α ς ίας  θα σαισού α ισοσή ία Α αι Α ιαί;. οάο Α= αι αό θώα ιοό θα έο :

ΟΓ

Ο

x

R

2

2

−R + R

5

 . Ός  . Ός θα Γ  R−x x 2 ααάβα ο σίο  ίι  αία σ έσο αι άο όο. αφιά  χσή οή άι  φάισή ς. =



=



x

+

Rx − R

=0

x=

ύθσ : άφο ύο , αι ύο άθς ιαέος ο Α αι . αασάο ο έσο  ς . άφο άφο ο ύο , ο έι  Α σο σίο . άφο ο ύο Α,Α ο έι ο αιό ύο σα σία  αι . ι οές Α αι Α ίαι ές αοιού αώο αέο σο ύο ,  ιαί;.

 ΑΑ

37

Α ΑΑ

6. α αασάσ αοιό άωο αέο σ ύο Ο,

1ος όος

αασάο αοιό άο Α αι ά ώοας α σία Α,,,, ίο ο ύο σ έ ίσα όα αι ο Α ίαι αοιό άο αέο σ ύο ,

2ος όος

ιάαι οούα α έο οοίσι  ά ο αοιού αώο σ σάσ ς αίας  ο ύο ,.  οοισός ίαι σιά αός βάσι ύο ο ιαθέο   αόι ααίαι. σύι οιό όι  5

=

ρ 10 10 − 2 5 2

Καασή

 ύο , αασάο ύο άθς ιαέος Α αι . αασάο  σοάθο ο  ο έι ο ύο σα σία ,  αι  ιάο  σο . άφο ο ύο ,Α ο έι   σο . άφο ο ύο Α,Α ο έι ο αιό ύο , σα σία  αι .  ά ο αώο ίαι  Α ή  Α. ιαί;

 ΑΑ

38

Α ΑΑ

7. α αασάσ αοιό αάωο σ ύο Ο,

ιή ισύι όι

1

=

15

1 6

1

−

10

, οού α

αασάσο αοιό αάο α αό ο όο ο αισοιί σ ά αοιού αώο αφαιέσο ο όο ο αισοιί σ ά ο αοιού άο. άο .

8. Καασή αοιού ααώο

έι ώα ίασ σ θέσ α αασάο ούα  αιθό ώ ,,,,,,,,, ... Ός σο αάοο αό  ιέοαι ούα  αιθό ώ , , , , , , ,  ο ο όος αασής ος  ήσ ιαβή αι αόα αέ άο ια αιώς. ο  ο C.F.Gauss σ ιία  ώ αασύασ ο αοιό αάο !  σέια έσ ο όβα σ ιή οφή ο, αοιύοας όι  ιαίσ ο ύο σ ίσα όα ίαι αή  ήσ ιαβή αι αόα όα ο αιθός  ίσ ό ίαι : •

ύα ο  αή ς οφής 2  .. ,,,..

•

έας ώος αιθός ς οφής ρ = 22

 

•

+1

ιόο ιαφοιώ ώ ς οούς οφής ί ία ύα ο .  

Ας σιώσο όι οι οαιοί ώοι ς οφής ρ = 22

+ 1 ο

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855 ..)

αός αθαιός. αιό ίαι ο έο ο σ οίς ός ία αιθώ –  αισιή -αθαιή Αάσ – ιαφοιή – ιαφοιή ία. ός ού αι σ αισία – Ασοοία – Ασοοία  – ισό.  –  ισό. ααίαι ς ο «ίας  αθαιώ»

έο βθί έι σήα ίαι οι ,,, αι .

 ΑΑ

39

Α ΑΑ

Z. Ποβήαα βέισς αασής

ασιό όβα

ασιές ώσις

 άθ ίο Α  ές α,β, ισύι όι :

ύο χωιά Α, βίσοαι οά σ ία σιοοιή αή αή ος ο ίιο έος ς αι έι α θού θού  έα σαθό σαθό  ώσ ο ήος ς ιαοής Α+ α ίαι ο άχισο αό. α βθί  θέσ ο σαθού  .

ού ο σιό ο Α ς ος  θία  ο οίι  σιοοιή αή. οάο ο σίο αό Α’. Α ο ήα Α’ έι  θία  σο σίο ’, ό ο σίο αό ίαι  ού θέσ ο σαθού ιαί;

Αόι : Έσ  ία ά θέσ ο σαθού, οσαθήσ α αοί όι ισύι Σ + Σ  Σ ' '  + Σ ' '

Αίσοιο όβα ίαι αό ο οσιοισού ς οίας ο φός όα ιώας αό ία φιή ή Α αό ααάαι σ ιφάια  ός αθέ αι φίι ο σίο . ό  οία ο ιέι ο φς ιαοοιί  αχή ο άχισο όο. ο σίο αάασς όο ο φς αοοθί ο σοόο όο έαι σίο ο Ήωα ος ιή ο Ααιού αθαιού ο ο ώοώο -έσ.

 Ή ο Ααιός -230 -230 .. Έας αθαιός αι αιός. ιάσος ια ις ίφς αές ο – α –  α όα αι αόαα ο ΄Ήα. ύθος ς ιής σοής ο ί ιθί σο οσίο ς Αάιας

 ΑΑ

40

Α ΑΑ

αόοια οβήαα ίαι αι α ααά ο ααθέο ς ασήσις ια ος ααώσς …

ίαι σίο  σωιό ωίας xOy . α βθού σία Α αι  σις ές ς ωίας ώσ  ίος ο ιώο Α α ίαι  άχισ αή.

όι : ίσ α σιά σία  αι  ο σίο  ς ος ις ές ς ίας. Α   έι ις ές ς ίας σα σία Α αι , αοί όι ο ίο Α έι  ιό ίο αό οοιαήο άο ίο, ός .. ο Α’’.

ύο οίχοι Ο αι Ο σχαίο αύ ος χαία ωία xOy . ύο άοα Α,  ίαι σαέα ος αούς.  οια σία ,  ω ύο οίχω έι α οοθήσο αθές ώσ α οού α άοα α βέοαι; άσσ  αό ο ο βιβίο ς ίας  σοιώ

ια ο όβα αό  θα ώσο όι αά όο έα σήα ο αοί αι  ύσ ς άσσς.

 ΑΑ

41

Α ΑΑ

ίο ο Steiner … ασιό όβα

ίοαι α σία Α, αι  ο σχαίο ο ίωο Α. α βί σίο  σο σωιό ο ιώο ώσ ο άθοισα Α++ α ίαι ο άχισο αό.

Αάσ  Έσ  ο ούο σίο. σίο. έφο αά αά  ο ο ίο Α ύ αό ο Α αι έσ Α’’  έα θέσ ο. Αοί όι : 1. Α++=Α’+’+ 2. ο ίο Α’ ίαι ισόο 3. ο ούο άθοισα ίαι άισο όα α σία ’,’, αι  ίαι σθιαά.  ίσ αή αοί όι ο άο ’Α ίαι άιο αι όι

 αι Γ ίαι ίσς   ο. οι ίς  Καασή  Έσ ο ίο Α. Α. αασάο ο ισόο ίο Α αι ο ιαέο ιαέο ύο ο. ο ούο σίο ίαι ο σίο οής ς  αι ο ύο ιαί;.

ο σίο αό έι ιαήσι α έαι σίο Steiner ος ιή ο βού ωέ .

akob Steiner (1796-1863)

 ΑΑ

42

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

1. ιαί άα ;

α αθαιά άο ιαί άο οβήαα ο έι α  θού.  Όα φαίοαι οβήαα οβήαα ο οι αθαιοί αθαιοί  οού α α ύσο  α αθαιά ο έο έι ί  σιή, ό ία ά σιή  αθαιώ ιέαι.  σιή ο έι α ιοθού έα αθαιά! . ο ο αιώα .Χ. έθσα έσσα έοια οβήαα. 1. Ο αισός ο ύο. 2. Ο ιασιασός ο ύβο. 3. Η ιοόσ ς ίας. 4. Η αασή αοιώ οώ.

α έσσα ααά οβήαα αασώ ισέαι ς ιοισός  όοια αασή α ίι  ήσ όο αόα αι ιαβή. ο ώο ο ούο ίαι  αασή αώο  βαό ίσο ος ο βαό οέο ύο. ο ύο έι α αασασθί ο ήος ς άς ός ύβο ο α έι ιάσιο όο αό οέο ύβο ο οοίο ίο  ά. ο ίο ίαι αία ία αι ά α αασάσο ία ία ίσ  ο έα ίο ς. ο έαο ά α αασάσο  ά ός ισοώιο αι ισούο οώο οοιοήο αιθού ώ.  α οβήαα αά ασοήθα οι αύοι αθαιοί ς ααιόας αι όοι αέα ! Ός οί α  βέθα ύσις  ος ιοισούς ο έθα ήσ αόα αόα αι ιαβή αά ια σιά αό έα ιά σοιία αααύφθα. αααύφθα. ές αές αι ιφάις, ιοήαα  αήσ αθαιώ, αθαιώ, ούισα  φαέα ος. ι ύσις ο όθα οές αι ός όο  άοις αό αές θα ασοθού αόα. ιαί ός έι ία αασή α ίαι σιοοιώας όο αά α ύο αία; ιαβάοας α έσσα αό α έ αιήαα  οιί ο ί, φαίαι όι οι ές ς οής ιού  έ ς ίας σιοοιώας α αούσα  σά, ς θίας αι ο ύο.

Ω ΑΑ

43

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

οές ίαι οιό α ααού ις όοις ύσις σα ιάφοα οβήαα  ήσ αί ο αάο α σήαα αά. ός  αασή   βοήθια, αόος αι ιαβή, αοί αά άοιο όο θήαα άς ς ύσς αφού σιοοιού σιοοιού όο θίς αι ύος, αή αές ο άα αασάοαι σύφα  α αιήαα.

 J.H. Lambert

 αοία ός α θού α οβήαα αά οήσ σο α θού ήαα ός : ής α οβήαα αά  ύοαι  ήσ αόος αι ιαβή; ό έα ιό όβα οί α θί  αόα αι ιαβή;

ι ααήσις σα ύο αά ήαα όθ αά οούς αιώς αόα.

 A.M. Legendre

α ύο ώα οβήαα ίαι ός άα α θέσο ς ιοισό ς όοιας ύσς  ήσ όο αόος αι ιαβή, ιέα σα έ ο ο αιώα οι αθαιοί J.H.Lambert αι A.M.Legendre αέια όι ο αιθός  ίαι άος, ώ ο  οι K.L.F.Lindemann αι C.Hermite αέια όι ο αιθός  ίαι βαιός, αή  οού α ο σαήσο ς ύσ σ αιά ίσσ  αέαιος σσές. αά σέια ο όβα ο αισού  οί α ααθί σ αβιή ίσσ, άα ο όβα αό  ύαι  ήσ όο αόα αι ιαβή.

F. Lindemann

ο  ο P.L.Wantzell αέι όι  ήσ αόα αι ιαβή  ύαι ο όβα ο ιασιασού ο ύβο, α ύο άα ύοαι σ οισές ιιές ιώσις. C. Hermite

 P.L.Wantzell αι άι αέι όι  οού  ήσ αόος αι ιαβή α ιοοήσο οοιαήο ία, αά όο ιιές ιώσις. ια α αοιά ούα ή έο ααφέι  ασία ο Gauss. ς σία 39)

Ω ΑΑ

44

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

2. ό έα ιό όβα ίαι ιύσιο  ήσ αόος αι ιαβή. ις οούς ααάφος αασάσα  αόα αι ιαβή θύαα θύ αα ήαα ώας οσιασιά ις  ις άις όσθσς, αφαίσς, οαασιασού, ιαίσς αι αής αιής ίας «ιά» . Χσιοοιώας  ααιή ία ία οού α αοίο αοίο όι ίαι αύαο α έσο  αόα αι ιαβή άς άις ός αό ις ααά . Αό ούι αό ο οός όι  θία αι ο ύος αές ο αασάοαι  α αία αά έο ισώσις ώο αι ύο βαθού αίσοια. ό α α οθού έα ή ισσόα θύαα ήαα ασέο ασέο ήθος, όο ο έα αβάαι ς οάα έσς ο ήος αι α άα έο ή α, β, , . . . , ό ιαή αι αααία σθή ια α ίαι έα θύαο ήα  αασάσιο αασάσιο  αόα αι ιαβή, ίαι α οί ο  α φασί σα σάσ ώ οαασί  θώ  , α , β, , . . . , αθώς αι σασώ αώ   ήσ ός ασέο ήθος αό α . έ σύβοα +, - ,  , : , Αά α έ σύβοα θα α οοάσο σοιιώ .

ια α ιαισώσο  αόα ς ύσς ός οβήαος  αόα αι ιαβή θα έι ο ήος  ο ούο ήαος α φασί σαήσι ά θώ ς ία ιας ίσσς . ό ο ώα ίαι ς οού α αοφαθού α  ία ς ίσσς οί ιά α φασί σα σάσ ώ οαασί  οέ θώ αι  έ σοιιώ σβό;  αάσ σο ώα αό όθ αό ο άο αθαιό P. L. Wantzel ο   ο ααά θώα. θώα. αασάσιος  αόα αι αι ιαβή ό ίαι ίαι « Α έας αιθός ίαι αασάσιος  ία ός οωύο  οωύο  ααίος σσές, σσές, αάωο σο σο σύοο ω  οωύω  ούς  ούς σσές σσές αι ο βαθός ο ίαι ύα ο  ».  αόι ο θήαος ο Wantzel ίαι   βοήθια ς θίας Galois.. Galois

E. Galois

ιιά ια ισώσις  ο βαθού ισύι ο ής θώα: • Οι ίς ιας βιής ίσωσς  ούς σσές, ίαι αασάσις α αι όο α  ίσωσ έχι ια ή ία. • Α  ίσωσ ίαι  ιύσι σο σώα ω ώ αιθώ, ό αιά αό αές ις ίς  οί α αασασί  αόα αι ιαβή. Ας σιθού σ’ αό ο θώα ια α α ώσο αάσ σο ώα ώα ς ισιόας  οβά: ο ιασιασού ο ύβο αι • • ς ιοόσ ίας. Ω ΑΑ

45

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

ια α βοθθού ας θθού ο θώα ο άι σ ύ ς Άβας ς ’ ίο ο έι όι : « Α ο αάωο άσα

α  x 

 α  1x

 1

   

ίαι ία ς ίσωσς ί σωσς

 ...  α1x  α  0  

α  ,α 1 ,.. ,...,α1 ,α 



ό ο  ίαι ιαιές

ο α  αι ο  ίαι ιαιές ο α  »

ο αύαο ο ιασιασού ο ύβο

Ας οθέσο όι ο οσέος ύβος έι αή ίσ  . ό α x  αή ο ούο ύβο ααήο σ ίσσ : x 3  2  x 3  2  0 (1).  ίσσ αή ίαι  ο βαθού , θα ίο όι  έι ή ία.  βάσ ο θώα ιθαές ές ίς ς ίσσς ίαι οι αιθοί 1,  2  . αίς ός αό αούς  αοί ύσ ς. Άα ς.  Άα    ίαι ίαι ιύσι σο άα οι ύσις ς  αασάοαι  ήσ αόος αι ιαβή.

ο αύαο ς ιοόσς ς ίας  

ο

άοις ίς ιοοούαι ός  οθή αι άοις άς όι, ός ια αάια θα ίο ο αύαο ς ιοόσς ίας  ο.  ιοία ς ’ ίο άι ο ύος υ3 υ3   4υ υ 3  3υ υ .  φαόο ο ύο ια   20 αι έο 1 υ60  4υ3 20  3υ20   4υ 3 20  3υ 20 2  έο υ 20  x αι ααήο σ ίσσ : 1 3 3  4x  3x  8x  6x 1  0  (1) , θα αοίο όι  έι ή ία. 2  βάσ ο θώα ιθαές ές ίς ς ίσσς ίαι οι αιθοί 1 1 1 . αίς ός αό αούς  αοί ύσ ς. Άα    1,  ,  ,  2 4 8 ίαι ιύσι σο άα οι ύσις ς  αασάοαι  ήσ αόος αι ιαβή.

Ω ΑΑ

46

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

3. Ο ιασιασός ο ύβο

Ο ύθος …

ύφα  ο ύθο σο ιό σί  ή ήος, όο ή αι αός ο θού Αόα ο θού ο φός, ς ώσς, έσ οιός. οιός. ι άοιοι αώσαια, αοφάσισα αοφάσισα οιό α σίο αιοσία αιοσία σο αίο  φώ ια α ος ι ι έ α άο ώσ α αοήσο αά  ύοια ο θού ο άο ία άσι.  θία ος άσ α ιασιάσο ο όο ο βάθο ά σο οοίο ή ο άαα ο θού σο ιό ιό ο σιού ιαώας ός ο βιό σήα ο.  αή οι ιίς ς ήο θώσα όι αό ήα άι αό, θα ιασίαα ις αές ο ύβο, αά αοίοο α έαα άι έοιο ο όος ο βάθο θα οαασιάοα. Αισέοι ός ήα έσια αιοσία σ Ααία ο άος ια α ος ύσο ο όβα ο ί ούι. αά ο ύθο έαι όι ο ίιος ο άας έσ ία ύσ  ός θα ού ααά σός ός ος ί έοας ος όι ο θός έσ έα έοιο σό ια ασοθού   αθαιή ισή αι α   ααού.

Η σαιή …

Ας ααοοθήσο ις ααά σέις : έο α φιάο έα σό  όο ιάσιο ο όο ός ύβο άς α.  Άα ο σό θα έι όο όο όσο ο ώο σό σό ο ιαού σήαος. σήαος. Α οθέσο όι αι ο σό ο ύο σήαος έι όο 23 ό  y ιή  ία αή ο ίαι α, θα έι α ισύι x  y  2 2   x 2 Α αι ο ίο σήα έι ο ίιο όο, ιή ώα όιαι ια ύβο αής  x  θα ισύι όι : x 2    y   x y ό αό ις ύο σέσις ααήο όι θα ίαι



x



x y



y 2

Ω ΑΑ

47

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

ο όβα ο ιασιασού ο ύβο οσιασιά όιαι ια ίσ ιας αής βιής ίσσς αφού αάαι σ ίσ ς ίσσς x 3



23 .

 οή ας έας έας αθής Α’ ίο ίο θα έ όι x   3 2 , αά ς οού α αασάσο έα έοιο ήα α ο όο ο ίο ίαι ο ήα α;  οάς ο Χίος – ιθαό –  ιθαό   σιά  σέ ο οααφέα οααφέα –  έα ία ααή ο οβήαος ς αασής αής σ αασή ύο ά x, y ο α βίσοαι σ σιό ααοία αύ  ά  ή α αι α . ύσις έσα οι ής αθαιοί : Αύας ο ααιός (428- .Χ., Ο ά (427- .Χ., Ο ύοος (408- .Χ., Ο έαιος ( 375 - ; .Χ., Ο Αιής (287- .Χ., Ο αοσθές (276- .Χ., Ο Αοώιος (265-170 200 .Χ., Ο Ή ο Ααιός (2- αι. .Χ., Ο ιοής .Χ., Ο ιοής (   200  αι. .Χ., Ο άος ο Ααιός  αι. .Χ. αι οι ιο σύοοι Descartes (1596-1650 .Χ., Longechamps (1842-1906 Longechamps (1842-1906 .Χ., Ας ού ιές ύσις ο όθα : ύσ – αό – αό ο άα

ο ιαό σήα έο ύο άθα ήαα Α αι Α  ή α αι α αίσοια. ός άι έα σύσα ιώ άβ άθ αά ύο όο  ία άβος οί α αβοαβί –  αβάοας  θέσ ο  ιαώας  αθόα. έφοας αάα ο οθοώιο ίο Α αι  αθή άβο οοθού οοθού ο σύσα ώσ ώσ  οέασ ς Α α ιέαι αό ο  αι  οέασ ς Α αό ο .  Έσι θα έο ιά ιά έα σήα σα ο ιαό. α οθοώια ία  αι  ισύο οι σέσις :

x2

  y

έο x 4

αι y2 2

 2

x  2 α’ όο ααίφοας ο y

 y 

x4

2

3

   x  2  x  2

3

 Άα ο ούο ήα  ίαι ο Α. ιή  αασή οϋοθέι α άι έα σύσα ιώ άβ άθ αά ύο, έα έο ιό ιό όαο έα  φάισή ο, άι σα αό ο αοσιάαι σ ιαή ιόα.

Ω ΑΑ

48

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

  αασή αή σιοοιού άβος , βάο σάια, ού σοφές οισθήσις, ές όο ιαοοιθού άοις σθής. έοις ύσις οι ααίοι ις οόαα αιές, ή ύσις  ήσ ύσς – ίσς.  – ίσς. έοις ύσις  ήα αοές αό  αθαιή οιόα αφού έφα αό ος ιοισούς ααφοιά   ήσ ο αόα αι ο ιαβή.

ύσ αό ο αοσθέ

 αοσθές έσ ο όβα ς αασής ύο ά x, y ο α βίσοαι σ σιό ααοία αύ  ά  ή α αι α σιοοιώας έα έο ιό όαό ο σόαβο.

ο όαο αό αοίο αό ία αοσθές ο αίος οθοώια ία α οοία βίσοαι έσα (276- .Χ. σ έα αίσιο   αόα α ιούαι αάα ώσ ο έα α ιαύι ο άο. ο ύος ο αισίο αι άα  ία άθ ά  ιώ ίαι ίσ  α.

 αασή ά ο ιαοοιού  σή 2α     (1)   ααοία   α ιάαι ς ής : ού ο ώο οθοώιο σαθό ός σο σήα. ο ίο ίο θού ήα =α. οάο  ο σίο οής ς Α   ά ο αισίο. αόι έι α ιήσο α ύο οθοώια ώσ ο σίο οής ς Α   άθ ά ο  ο ιώο αι ο σίο οής ς Α   οίοσα ο ύο α σίο. ο ίιο έι α ισύι  ο σίο οής ς Α   άθ ά ο  ο ιώο αι ο σίο οής ς Α   οίοσα ο ο ιώο. .  ιαιασία αή  ίαι  αόα αι ιαβή αι ααιί ίσ – ύσ. –  ύσ. Όα θα έο ύι α έο α ία οθοώια σ αή  θέσ ό αό θώα αή αι α σαιόα όοια ία θα έο βι α ήαα = αι = ο α ιαοοιού   ς; Ω ΑΑ

49

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

ύσ – αό – αό ο ιοή

ο ιασιασό ο ύβο ο ιοής ο έ   βοήθια ιας αύς  οοία έαι ισσοιής ιή οιάι  φύο ισσού.

 άα ς ισσοιούς ίαι ς ής : ού ύο ιαέο Α. αασάο  φαοέ ο σο σίο Α. ού σίο  α ιίαι σο ύο.  άθ θέσ ο    έι  φαοέ σο σίο . ί ς  θού σίο  ώσ =.  ισσοιής ίαι  αύ ο ιαάφι ο σίο  αθώς ο  ιίαι ά σο ύο ιαέο Α.

 ίσσ ς ισσοιούς ίαι αό  ισόα :

x3



y2  (α  x)

ιόι ισύο :

ΚΚ ' ΟΚ '



ΡΡ '



ΟΡ '





x

ΡΡ ' ΟΡ '

(1)  .

ο οθοώιο ίο Α ισύι : ΡΡ '2

 ΟΡ ' Ρ ' 

(2) αι

Αό  αασή ς ισσοιούς ισύο ’=’Α αι ’Α=’

 Άα

2 x

2



ΡΡ '2 2

ΟΡ '



2 x

2



ΟΡ ' Ρ '  ΟΡ '

2



2 x

2



Κ ' Κ 'Ο Κ '

2



2 x

2



( x  α)  x ( x  α)

2



x 3   2  ( x  α)

Ω ΑΑ

50

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

ς ός  ισσοιής ύι ο όβα ο ιασιασού ο ύο;

 Έσ ο ύος ιαέο ιαέο Α αι οι φαός φαός σα άα άα  αι Α ς ιαέο. ού σίο  ός σο σήα  =α. οάο  ο σίο οής ς ισσοιούς αι ς Α. οάο  ο σίο οής ς    φαοέ σο Α. ο ήα Α ίαι  ού αή ο ύβο  ο ιάσιο ιάσιο όο, αή Γ 3 θα ίο όι ισύι Γ3  2  α3  ( ) 2 α Αά αό όοια ία ισύι

Γ Ο



 x



Γ





α

x

, οό

 αί α ίο όι ( )3  2 , όο , οι σαές x ο σίο  ς ισσοιούς. Αά ο σίο αό αήι σ ισσοιή ο έι ίσσ : x 3



y2  (α  x)  (1) αι σ θία Α ο έι

ίσσ   2(α  x )  (2) ιαί;



Αό ις ύο αές ισώσις έο ιαοιά (1)  ( ) x

3



 αx

(2 )

(

 x

)

3



2

ια  αασή ς ισσοιούς  ισσοιούς ο Newton ο 1707 ιόσ έα αθό όαο όο  σή ίσ οού α αασάσο  αύ αή. ο όαο αοίαι αό ύο έ έα σήαος οθής ίας αι έα άο σήαος .  ίσ ίαι   αόισ  σί  αι Α σις ααώσις ο άο. αθώς α σία  αι Α ιούαι ς σύσα ό ο σίο  – σο – σο οοίο ίαι οσαοσέ αφία – άφι –  άφι  ισσοιή αύ. έοιο όαο ο αοσθές  ο ί αι  αύ ο  σία  έα αό άο ήθος σί ο ιαοοιού ος ιοισούς ς αασής. Ω ΑΑ

51

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

ύσ -  ήσ ιώ οώ

 Ός ία  ύσ ο οβήαος ο ο αιίο  οί α θί  σβαιούς όος. έι α βθού ές αύς – έα –  έα αθαιά. αθαιά. ύο άοι αθαιοί ο Αιής ο αούσιος  - .. αι ο Αοώιος αό   έ ς ς ιάς Ασίας - .. ασοήθα  αύς ο σαίοαι αό  οή ός ώο  έα ίο. Αιής - .Χ.

ι αύς αές οοάσα ιές οές αι ίαι ο ύος ,  ααβοή, ααβοή,  έι αι  βοή.

 ιέα όι οι αύς αές οού α ύσο ο όβα ο ιασιασού ο ύβο ί ααθί αό ο  .. αιώα αό ο αθαιό  x y έαιο αφού αό  ίσσ οού α άο ις ισός :   x y 2

x2

  y

αι y2

 2  x

2 ο αισάο ααβοές , x  y  2 ο αισάι

βοή αά αι αό σασό ος οού α ααήο αι σ ισόα x

2

2

 y  2x  y 

0  (x  )

2

 (y 



2

)

2



5 2 4

ο αισάι ύο. ό ο ούο ήα x οί α ούι ς  έ ο σίο οής ύο αό ις ααά αύς.

ιή σα οούα σιοοιού σύοο αθαιό σβοισό ο ώα ίαι ς έα α θέαα αά οι ααίοι  ήσ όο ιώ θό αι σβοισώ; Ας ού  ύσ ο οίι ο Αοώιος σο ασιό έο ο «ιά» .

Ω ΑΑ

52

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

αασάο οθοώιο ααόαο Α  ιασάσις Α=α αι αι Α=α αι ο ιαέο ύο ο ιαέο .  σέια αασάο βοή ο ιέαι αό ο σίο  αι έι ασύς ος άος. ία έοια αασή ιάφαι σ όασ - σα ιά ο Αοώιο. 

Α οοάσο  ο ύο οιό σίο ύο αι βοής ό θα ισύο :          

αι

          

αθώς ίσς ίσς : = άα άα αι = όασ - σα ιά ό έο όι :



        





 

(1)

Αό οοιόα  σαιό οθοί ιώ ισύο :  



 



 



 



2







Αό  αι  έο ιά :

 





(2) 2





 

άα

 

y αι

 

x

ια  αασή  ιώ οώ, σιάσα αό ο όο (412- .Χ. ιιά ιά όαα ια  ύο αι αιβή σίασή ος, ός αό ο βέαι σο ιαό σήα ο έαι ιοάφος. Αοίαι αό ύο έ όο ο έα ιίαι ά σο άο   ίσ  σί Α αι  σις ααώσις ο άο. αθώς ίαι  ίσ ο σίο  – σο – σο οοίο άι αφία –  σιάι ία έι. Ω ΑΑ

53

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

4. Ο αισός ο ύο

ο όβα …

ια α θί ο βαό οοιοήο σήαος έι α ιέο έα άο σήα ς οάα αι ά α οοίσο όσς φοές ά  οάα σο σήα ο θέο α ήσο.  ιοή ο αώο ς οάα έσς έι οφαώς ιόι ο σήα αό αοσώι ύοα  ιφάια, οό ίαι βοιό α ο σιοοιήσο ς οάα έσς βαώ. ός ο αισός ο οθοίο , ο ιώο αά αι άθ οώο σέι σ αίσ ς οίθσς όι όα α σήαα οού α αισού. Ός θα ού ααά οι αθαιοί όσα αι αώισα αι σήαα ο οίοαι  αύς, οό ο όο βήα ήα  αάσ  ής ά : «οού α οοίσο ο βαό ός ύο   βοήθια ός ισούαο αώο; αασάαι αή άο άο  βαό ίσο  αό ός οέο ύο; αισός ο ύο.»

 Όσο α ήαα αά  έβισα έβισα ααήσις, ο αισός ο ύο ύο αι όσοι οσαθούσα άι έοιο, αιίοα ς οι άθοι ο ούσα ο αύαο , ο άιασο… Χααισιό ο αόσασα αό ις όιθς ο Αισοφά ο ο ασοόος έ έι : « ο οθό αβί αχίω α ώ ώσ α ίι ο ύος άωος ια χά σο˙  αι σο έο ο θα ίαι  αοά σ οοία θα οού όοι οι όοι σίοας σο έο, όως σ’ έα ασέι, ο ώ ίαι οές σέι  αού θίς αίς αές». αές». «Αήθια, ο άθωος ίαι Θαής!»

ι αθαιοί ο ασοήθα ήα : ο Αααόας ο αοέιος (499-429 .Χ., Ιοάς ο Χίος  (    .Χ., ο ιόσαος (   .Χ., ο Αιής ο αούσιος (287- .Χ.. ι σύοοι αθαιοί έοας  οίθσ ο αύαο ο ιήαος έσα  οσοή ος σο οοισό  όσο ο αό αύ αίβια ς σαθάς .  ασόσή ος  ο θέα αό αααύφθα έοοι ύοι ο θα ααφέο ααά .

Ω ΑΑ

54

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

Οι οσάθις …

Ο Ιοάς ο Χίος  (-.. αόθσ α αίσι αίσι άοια σήαα ο ιβάοαι αό ιά όα. α σήαα αά οοάοαι ίσοι ο Ιοά ος ιή ο άο αθαιού. Ο ώος ίσος ο αώισ αοσιάαι σο ιαό σήα αι αασάαι ς ής : ού ιύιο Α αι ιά αού ιύιο ιαέο Α.  ο όο αό σαίοαι ίσος  βαό , ιό ήα  βαό  αι ο οθοώιο ίο  βαό .

 οάς ώι όι ο όος  βαώ ύο ύ ή ύο όοι οέ ος, ίαι ίσος  ο άο ο όο  αί ος, οό έο έο ιαοιά : ( )  ( ) ()  ( ( )

Κ 2 ) ( Γ

2

2



2[( )  ()] ( )  (  )



4 ρ2 (ρ 2 ) 2



( )  () ()  (  )

 1

()  ()  () 

ρ2

 Άα ο ίσος, ίσος, έα σήα ο σαίαι σαίαι  όα αίαι. αίαι.

Ο ύος ίσος αοσιάαι σο ιαό σήα .  ίσος αός αασάαι ς ής :

ού αέιο Α ώσ Α===α αι Α= α 3  . οάο  ο έο ο ιαέο ύο ο. αασάο  αά αό ο Α ος   αι  αά αό ο  ος  . οάο  ο σίο οής  ύο ααή. άφο ο ύο ,Α.  ο όο αό αασάαι ο ίσος ίσος Α  ός σο σήα σήα ιή α ήαα  1,2 αι  3 ίαι ίσα αι ισύι ( ) ( 2 )

(

α 3 α

)2

3

, έο όι ο ίσος  έι ο ίιο βαό 

ο αέιο Α.  Άα ο ίσος αίαι αίαι  αφού αφού ο αέιο αίαι. αίαι.

Ω ΑΑ

55

2

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

Ο ίος ίσος αοσιάαι σο ιαό σήα.  όος αασής ο ίαι ο ής :

ού ύο ιαέο Α=α. αασάο  σοάθο ς αίας . ού σίο  ο ο  ύο ώσ α  ο σίο οής ς  ς  αι ς σοαθέο α ισύι όι  

3

 α . Αό ο  φέο 2 αά ος  Α ο έι   σο σίο . άφο ο ιαέο ύο ο αίο  αι ο ιαέο ύο ο ιώο . αύ  ύο ύ σαίαι ο ίσος.

ο σιέο σήα ισύι όι  1=2= 3 ,  4= 5αι αάσα σα ιά 3 ήαα 4 αι 1 ισύι όι ( 4 )  ( 1 ) ιαί;. 2 ό ίαι ύοο ώα α ίο όι ισύι  ισόα =++, =++, αή ο σαιόος ίσος αίαι ς ισούαος  ο άο . ο οά αοίοαι ίσς οι ίσοι :

ού ιύιο ιαέο Α=α ιύιο ιαέο =α. ο αύο ιύιο αασάο ις οές ===α αι άφο ιύια  ιαέος ις οές αές ιά ο ιίο. ό ο άθοισα  ιώ ίσ αι ο ιίο ιαέο Α ίαι ίσο  ο βαό ο αίο  ιαί;

αασάο οθοώιο ίο Α αι άφο α ιύια ιαέ Α αι Α ός σο σήα. ό ο άθοισα  βαώ  ύο ίσ ίαι ίσο  ο βαό ο ιώο Α. ιαί;

 οάς ί  αί όι  ος ις ώος ίσος, ο α ααήσ έο ιό όο , ο ώος ίσο  ιιφέια αι οι άοι ύο αύο αι ιόο αίσοια ς ιιφέιας, θα οούσ α οθί αι σο αισό ο ύο. σώς  όθσ ο αή αίθ αθέ… Ω ΑΑ

56

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

 Αιφώ (-.. οσαθί α οοίσι ο βαό ο ύο άφοας αοιά ούα σ έα ύο. ιώας αό έα άο αασάι αασάι οάο – ο – ο – ο – ο ..., έι α φθάσι σ ούο, ο οοίο οι ές οσίο  ιφέια ο ύο.  ο όο αό αοθώι α οσιοίσι  ά αίβια ο βαό ο ύο.  έθοο αή θα  ααύι αόα ο Αιής.

Αιφώ  - .Χ.

Ο ιίσαος (    .Χ.

αασάι ία αύ  ό αίοσα όο  σιοοίσ ια  ύσ ο οβήαος. ού άο άς α=.  αύ αασάαι ς ο ίος ός ιού σίο  ο έι ύο αόο ιήσ. ία οαή άθοο αό ο  ος ο Α αι ία ισόο οαή σοφή ύ αό ο Α.  ίσσ ς αύς σ ασιαές σαές ίαι : 2 y y yπ y y   (εφ )   εφ( )x yπ π x x 2 εφ( ) 2  Έσι όα y  0 έο

yπ x  lim y 0

εφ(

y y π 2

 lim [

)

y 0

 (

2 yπ 2

υ( 

)

yπ

π

2

) ]  1

2 π



2 π

2

ό ά ο οοισό 2 ήαος ήος k   οού π α αασάσο ήα ήος , οό οού α αασάσο αι ο άο  βαό ίσο  ο βαό ο οαιαίο ύο ς ιαό σήα

Ω ΑΑ

57

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

Ο Αιής (287- ..

ο έο ο ύο έσς αοιύι α ής θήαα άθ ύος ίαι ίσος ος έα οθοώιο ο οοίο  ία ά ισούαι   αία αι  ά   ίο ο ύο. 1.  όος ός ύο ος ο άο ο έι ά  ιάο  Αχιής  - .Χ.

ίαι ίσος  / 2.  ίος ός ύο έι ιή αύ αό

3

10

ς ιαέο

71

αι ιό ς 3 10 ς ιαέο. 70

ο θώα αό ίι  σέσ

3

10 71

 π 3

10

.

70

 ίια σέσ ααήι άφοας αι ιάφοας αοιά ούα σ ύο, ός αι ο Αιφώ. οσίοας  ίο ο ύο   βοήθια  ιέ αέο αι ιαέο ώο.

αασάι ία αύ,  σία, όο  σιοοιί ια  ύσ ο οβήαος. ιέα σ ααία ο «ί ί» ιαώι  όασ : « Εά θία αή φάαι ις ο έας ς έιας ς αές αές αά  ώ ιφοά, αό  ο σίο, ο οοίο ίαι αχή ς έιος αχθί άθος ις  αχή ς ιφοάς,  αχθίσα θα σαήσι  φαοέ, αι  θία  αύ ς φαοές αι ς αχής ς έος θα ίαι ίσ ος  ιφέια ο ώο ύο » αή σο ιαό σήα α σο σίο  φέο φαό σ έια αή θα σαήσι ς άθο ο άο αό  αή ς σίας  ος   σ σίο Α.  αόσασ Α ίαι ίσ   ιφέια ο ύο , .  Άα έο όι Ο  2π  Ο , οό οού α αασάσο ήα ίσο   αι άα ο ούο άο  βαό ίσο  ο βαό ο ύο.

Ω ΑΑ

58

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

αώισ  ααβοή σιοοιώας  έθοο ς αήσς .  έθοος αή αοίαι σο ύοο ο ίιο ο οοίος έαι όι οόι ο βαό ιας οοιασήο αόας ιφάιας ίοας  σ έα άο ήθος οθοί αι αθοίοας α βαά ος. Ας οθέσο όι θέο α οοίσο ο βαό ο ίο ο ιίαι αό  ααβοή αι ο θύαο ήα Α.  Αιής ααή σάισ ο ίο Α αι αό ο έσο  ς Α φέοας άθο σάισ ο ίο Α. ά αόι όι ο ίο Α έι βαό ίσο  ο ¼ ο Α.  ιαιασία αή σίοας αέι όι ο ίο Α έι βαό ίσο  ο ¼ ο Α .ο..

 Άα ο ούο βαό βαό  θα οί α α οσιοισθί οσιοισθί αό ο άθοισα άθοισα :

  2(Ο (ΟΓ)  2(Ο (Ο)  2( (Κ)  ...  2[(ΟΓ) 

 2(ΟΓ)(1 

1 4

(

1 4

)2  ...)  (Ο) 

1 1

1



3 4

1 4

(ΟΓ) 

1 1 

4 4

(ΟΓ)  ... 

(Ο)

4

 Ά ία αόα αόα ιφάια αίαι… αίαι…

Ω ΑΑ

59

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

ο ήι ο φί αι  όοφ ύ …

 ο θέα ο αισού ο ύο ασοήθα σ σέια αοί σοαίοι αθαιοί.  οίθσ όι  ααία ο αισού οφί σ αόα ο αιθού  ο φαίαι όσο σο ύο ο βαού ο ιού ίσο όσο αι σο ύο ς ιέο ο ύο, οήσ ος αθαιούς σ ύσ όσο ο αό αύς οσέισς ο. Έσι έα ήι αιώ φί ίσ … O Fibonacci  . . ίι  ιή π

 Al Kashi  . Χ. οόισ π



 Francois Viete ο  άφι π



3,1418 141818 18

3,1459 ,1459265 265358 358979 979



3,141 ,14159 5926 2653 536 6 αά αι άφι ο

ώο άιο ιόο ια α ιάι ιάι ο  2 2

2



2

2



2

2

2

2

 ... 

2

π

F. Viete (1540-1603 .Χ.)

Wallis (1616-  αοιύι : ο  ο John Wallis (16162 2 4 4 6 









6 8 8 



 ... 

1 3 3 5 5 7 7 9

 Newton οοίι όι π

π 2



3,14159 ,14159265 265358 358979 97932 32 .

Gregory (1638- άφι : 1   James Gregory (1638-

Euler ( 1707- άφι :  Leonard Euler (

1 3

1 2



1 5

1 

2



1 7

1 

2



1



9

 ... 

1

 ... 

11

π

π 4

2

αι ίαι ο

1 3 5 8 ώος, ο ααιέαι α οί ο  α ίαι ύσ οιής ίσσς

 αέαιος σσές. Έα ώα ο σέαι άα  ο α ιά ο ύος οί α αισθί. αισθί. ι αθαιοί αίο α ιού ια έα έο ίος αιθώ ος βαιούς αιθούς.

L.Euler (1707- .Χ

ο  ο Johann Heinrich Lambert αοιύι όι ο  ίαι άος. α ό  αιώ οσίσ ο  σά ο έα ά ο άο … ο  οι Schulz von Strassnitzky αι Johann Dase οοίο  φία, ο William Shanks ο   φία. ο  ο Ferdinand Lindeman αοιύι όι ο  ίαι βαιός αιθός.  ύος ιά  οί α αισθί. Έα ώα . ό βίσι  αάσή ο. Ω ΑΑ

60

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

α ήαα σιά  ο «» άο  αί ος,  ααήσ ια έος όοφος ύος  ίαι ια ς όας. ιά σιά έα ήαα αασοού  αθαιή οιόα, όα σιά  ο «» φαίαι α έο ααθί.

ο ο αιώα ός   φάισ  οιώ οοισώ ο ήι  αιώ οσίσ οσίσ ο «» έι. ίαι ια αιία ια α οιασθί  αύα  οοισώ.  Έσι ο  ο D.F.ferguson οοίι  φία σιοοιώας ιαέιο ιαέιο οοισή αι ούοας ί έα όο.

ά ίαι  έ …  ο ENIAC οοίι . φία  ο NORC οοίι . φία  ο Pegasus οοίι . φία  ο   . φία  ο   . φία  ο   . φία  ο CDC  . φία  ο CDC  .. φία  Έας αίος αάοος ώσοι – Αιάοι – Αιάοι – άς – άς – ιέοι, –  ιέοι, έας ααισός ια  αίβια αι φθάο σο Fabrice Bellard ο ο  οόισ , ισαούια φία ο , σιοοιώας έα αό οοισή. άσ  ές, ώ ιάσ   σό ίσο, ια α αοθύσι ο αοέσά ο ! ι Alexander J. Yee & Shigeru Kondo αάφα α οοίσο ί α  ισαούια φία ο .  οοισός  οοισός  φί ιήσ  ές ο ήι σίαι …

Ω ΑΑ

61

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

5. Η ιοόσ ς ίας

ο όβα …

ι ααίοι Ές αθαιοί ήα σ θέσ α ιοοήσο ία σιά αό ίς. ιόι ο όβα αά οσιασιά σόα   αασή αοιώ οώ. ια αάια ήα σ θέσ α ιοοήσο  οθή ία  έα αό όο ός αοσιάαι σο ιαό σήα. αασύαα ο αοιό άο Α αι  οθή ία Α ιοοίαι αό ις Α αι Α.  Όα ός οσάθσα οσάθσα α ιοοήσο ιοοήσο ία ίσ  ο έα ίο ς οθής οθής ό αοσιάσ ο ίιο όβα  αό ς ααίας ς αασής αοιού -ώο.  ο όβα ς ιοόσς οοιασήο ίας  ήσ αόος αι ιαβή ασοήθα άα οοί αθαιοί, ααίοι αι ιο σύοοι, ιιά ααφέο : Ιίας ο Ηίος ( 5ος αι. .Χ.) , Αιής ο αούσιος ( 287- .Χ., ιοής  αι. .Χ., άος ο Ααιός  αι. .Χ., Pascal (1623-1662), Ceva (1699), Mac Laurin (1742). Laurin (1742).

Οι οσάθις … Ο Ιίας ο Ηίος  αι..Χ. σιοοίσ  αίοσα, ο ία αι σο αισό ο ύο.

 ίσσ ς αίοσας σ ασιαές 2α y 2α σαές ίαι y    (εφ )  y     . π x π ια  ιόσή ας ας θήσο όι  ά ο αώο ίαι α=.  Έσ όι θέο α ιοοήσο ιοοήσο ία ία

  E A  ο σίο  έι σαές  x,y) άα  y y 2  (εφ )  EB  ) ό θα ίαι   , οό  ία αισοιί σ σίο  3 x 3 π 3 y ς αίοσας  αέ  . Άα  ία   ίαι  ού. 3 Ω ΑΑ

62

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

Ο Αιής αοσίασ ύο ύσις ύσις ο οβήαος. 1 ύσ : Ας οθέσο όι θέο α

ιοοήσο  ία  Ο . ί ς  θού αίο σίο Α. άφο ο ύο ,Α ο έι   σο σίο . Αό ο  άφο οή   οοία όα οαθί έι  οέασ ς  σο σίο  ώσ ==. ο σίο αό  ίαι αασάσιο  αόα αι ιαβή αά ιάαι α ιήσο αάα ο σίο  ά σο ύο ια α αοθώσο α βού ο σίο    ιιόα αή.  ιιαί αή ιή έαι ύσ. ώα ίαι ύοο α αοίο όι : ΓΟ  Γ ΓΟ 

1 3

 Ο

ς;

2 ύσ :  Αιή αασύασ ία αύ ο

ιέαι αό  οιά ός σίο  ο οοίο ιίαι οαά ά σ ία αία Α ώ αή σέφαι ισόοα αι οαά ύ αό ο σίο .  όος αός ς ίσς ο σίο  έι σα αοέσα όα ο  ιαέι ία ίσα ήαα ά σ Α αή σέφαι αά ία ίσα όα  αοέσα  αισοιία αύ ά αι ό. ό α θέο α ιοοήσο  ία   ο σίο  αήι σ έια ό άφο ύο  έο ο  αι αία ίσ  ο / ς . οάο  ο σίο οής ο ύο αι ς έιας.  ία  ίαι ο / ς . ίαι οφαές όι  αύ αή ας ιέι α ίσο οοιαήο ία σ όσα ίσα έ θέο.  άα ός ς αύς  ίαι αή αά όο  ο οσιοισό οσιοισό οώ σί ς.

Ω ΑΑ

63

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

Ο ιοής αασύασ ία αύ  οοία οόασ οοιή.

 όος αασής ς αύς ίαι ο ής : ού έα σαθό σίο  ο ο οοάο όο, ία σαθή θία  αι έα σαθό ήα  ο ο οοάο αάο. ού ίσς έα σίο  ς  ο οοίο ιίαι ά σ αή.  θία  θού α ήαα Α αι  ίσα   αάο .  αύ ο ιαέο α σία Α αι  αθώς ο  ιίαι ά σ θία  ίαι  οοιής.

ο σήα ς ίο αι αάαι αό  ιοή ο όο αι ς ααέο.

Ας οθέσο όι θέο α ιοοήσο  ία  Κ  . αασάο αία θία  άθ ς  αι ας οοάσο  ο σίο οής ς  αι ς . ο ήα  ο οοάο . αασάο  οοιή  όο ο σίο  αι αάο . οάο  ο σίο οής ς οοιούς αι ς αθέο σ  σο σίο .  θία  ιοοί ς ία  Κ .

Αόι : Α   έι   σο , ό σο οθοώιο ίο  φέο  ιάσο ος  οίοσα . ααήσ όι σα ισοσή

ία  αι  ισύο ΤΓ   ΓΤ   αι

ΓΤΚ  ΤΚΓ  2 , σός ισύι όι ΓΚ   Κ   ς ός αά. Άα ιά

Κ 

1 2

Κ   , ό έι οιήσαι  ! Ω ΑΑ

64

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

 ιοής σίασ αι έα ιιό όαο ια  αασή ς αύς ο. ο όαο αό αοίαι αό ύο έ όο ο έα ιίαι ά σο άο   ίσ  σί Α αι  ά σις ιιές ααώσις ο άο. ο σίο  ίαι ο όος ς αύς ώ ο ήος Α  αάος. όσο ο όος όσο αι  αάος οού α αάο.  ίσ ο αθού έος ο οάο ας ιέι   βοήθια αφίας ο άι σ ά  α σιάο  οοιή.

Ο άος ο Ααιός  αι..Χ., ίι ύσ σο όβα  ύσ

 Έσ  Ο  ία ο θέο α ιοοήσο. ού αίο σίο Α ς . αασάο θία  άθ ς  σο σίο . οάο  αι  ις οβοές ο Α σις Α αι  αίσοια. ού σίο  ς Α αι οοάο  ο σίο οής ς    Α. ο σίο  θα βθί  ύσ ώσ α ισύι  σέσ =Α.  ία Ο ίαι ο / ς  Ο . Αόι : ού ο έσο  ς οίοσα  ο οθοίο ιώο Α ό σαίοαι α ισοσή ία  ία Α αι Α ιαί; αό όο

έο       , Ο  Ο  2 αι ίσς Ο  Ο   ς ός αά. Άα ισύι όι : Ο 

1 3

 Ο  .

Ω ΑΑ

65

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

ού αόα σ ύσ  αι ..Χ. φαίσα «αιές ύσις» ς ιοόσς ιας ίας. ι αιές αές ύσις βασίοαι σ ιιά σιασέα ιά όαα. Ας ήσο ύο έοια όαα : ο ιαό όαο αοίαι αό ία οθή ία αι έα ιύιο.  σιασός ος έι ίι ώσ =Α αή  αία ο ιίο α ίαι  ίσ   ια ά ς οθής. Ας οθέσο όι θέο α ιοοήσο  ία  Ο . ό οοθού ο όαο ά σ ία ός φαίαι σο ιαό σήα. ααήσ όι ο ιύιο φάαι ς άς . ό αό α σαιόα ίσα οθοώια ία Α, αι Α αοιύο όι  ία Ο Ο ίαι ίσ  ο / ς αιής.

ο ύο όαο ίαι αθό αθώς α σία  αι  οού α ιθού σις ααώσις ο άο. ός ο όαο ίαι σιασέο αά έοιο όο ώσ α ήαα Α,  αι  α ίαι ίσα. Ας οθέσο όι θέο α ιοοήσο  ία  Ο . οοθού ο ιό όαο ός σο σήα. Αό α σαιόα ισοσή ία  αά όο αόοιο ός ίο ο Αιή αι ο άο ααήο σο σιασό ίας ίσς  ο / ς αιής.

Ω ΑΑ

66

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

Αοώις αασές   βοήθια  ιώ οώ … 6. Αοώις

ο βασιό όβα  Αοώι αασώ ίαι   αασή ο ά α αασάσο ύο ο α φάαι ιώ οέ ύ . Ας οθέσο όι οι ις ύοι ίαι οι  1,1), 2,2 αι  3,3 αι ο ούος ύος , R). ία ιθαή θέσ ο ούο ύο ίαι αή ο αοσιάαι σο ιαό σήα. Ός θα ού έο οώ σοιά ύσις.  ύσις. ό ισύο οι ής ισός. 

(R  ρ3 )  (R  ρ2 )

ΚΟ3  ΚΟ1



(R  ρ3 )  (R (R  ρ1)



ρ1  ρ 3

 c2  

(2)

ΚΟ1  ΚΟ2



(R  ρ1 )  (R (R  ρ 2 )



ρ1  ρ 2

 c3  

(3)



ρ 2  ρ3

 c1  (1)

ΚΟ3  ΚΟ2

 Ός βοή οοάο ο ιό ιό όο  σί σί  ο ιέο ιέο όο αούς  ιαφοά  αοσάσ ος αό ύο σαθά σα θά σία σίς ς βοής ίαι σαθή. Αό ο οισό έο ιά όι ο έο  ο ούο ύο αήι σ ις βοές ο έο σίς αά ύο α έα  οσέ ύ. Άα ο σίο  βίσαι ς σίο οής  ιώ αώ βοώ. Αό  σιή ο ο έο  βίσαι, οού α βού αι  αία R.  ίσή ας ίαι R  KO2   ρ2

 KO3  ρ3  KO1  ρ1

 αόοιο όο σές οού α βού αι ις οώ ύσις ο οβήαος αι ίαι αές ο αοσιάοαι σα ααά σήαα.

Ω ΑΑ

67

Α ΑΑ ΑΑ  ΑΧΑΑ

ίαι αιοθαύασο ς έα όβα ο έθ σο  ο αι. .Χ. αό ο αθαιό Αοώιο ο όιο σο έο ο « αφαί», ύαι ύοα  αθαιά ο οέα σ σέια αι αό ο ίιο σ οσάθια α θού οβήαα ο ιαίς θήθα ς άα, αό αό αι ος σύοούς ο αθαιούς. ο ιο αιοθαύασο ός ίαι  φαοή ο οβήαος αού αι ς ύσς ο ααθέο ααά ο οοάαι βοιός ιισός.  έθοος αή ααύθ αό ο Ι. Newton αι έι σοό ο αθοισό ς θέσς ός σίο αό ις ιαφοές αοσάσ αοσάσ αύ οάισο ιώ σί. ια αάια :  θέσ ός οίο αθοίαι αό ις ιαφοές σο όο άφις σά αό ις αααός, ή … σο ο αόσιο όο αθοιόα αθοιόα  θέσ ο οβοιού αό ο όο ο ιαόα έι α αοσί ία βοή σ ις ιαφοιές θέσις, ή … αόα αι ο σύσα θέσς GPS αοί ίσ ο Αοώιο οβήαος αι ς ύσς ο ααφέα σ ις ιασάσις.

«Ο θίαβος ς

ίας ίας έιαι σο όι ό ι ισάοας όσς ίς αές , αό ο οθά, οί α ιάι όσα οά …» Isaac Newton Newton - αό ο όοο 

Mathematical Principles of Natural Philosophy

Ω ΑΑ

68

 ΩΑ Ο Α

1.

Ο ύιος Lorenzo Mascheroni

ισόασ σο . Ο αοέ σαύι σ αία. ό αίι έα ώο, έα βιβίο αθαιώ ο ί οοθί οοθί αό ο αθή ο αισίο ς αβίας L. Mascheroni . Ο αοέ αόφοιος ς Αώας Ααίας οέο ο αισιού ώι αά αά αθαιά αι ιαβάοας ο βιβίο σιάσ. άισα έαι όι σ ία σέσ σάσ ο αθαιούς Lagrange αι Laplace αι ίσ  θέ ια α σάσαα ο βιβίο.  σάσ αή ααφέαι όι ο Laplace αθόος σο αοέοα ο ί «  Σαηγέ ο ο ειέαε ειέαε α άα αό σας, εκός εκός L. Mascheroni (1750-1800) αό αθήαα γεωείας». ο  ο βιβίο αφάαι σα αιά αι ο Mascheroni ίαι έος ς ιθούς ιοής έ αι αθώ.  Ός ι ιαφοιό ιαφοιό ί ο Mascheroni; ιαύσ  άο όι « άθ αασή ο οί α ίι  αόα αι ιαβήη οί α ίι  χήση όο ιαβήη »! ια α αοίι ο ισισό ο σέφθ όι έα σίο οσιοίαι ί ς σίο οής ύο ύ, ί ς σίο οής ός ύο αι ιας θίας, ί έος ς σίο οής ύο θιώ. α έ οιό α αοίι όι οι ύο αίς ιώσις οού α αιαασαθού αι α οσιοίαι ο σίο  ήσ όο ιαβή. Αό  σιή ο αθοίι  ήσ όο ιαβή άθ σίο ό αι οι θίς, σήαα ο οίοαι αό ύο σία, ίαι ής οσιοισές. βαίς ααέι οιή  ήσ ο αόα σ ίσ όο θέο α ού σιασέ  θία σο αί ας. ια α ααοήσο  οιή ο Mascheroni αό ίαι α ααφέο όι  σή αασή ς σοαθέο ίαι σύφα   οιή ο αού αθαιού  ήσ όο ιαβή, αφού ο οσιοισός  ύο σί ς θίας ς σοαθέο ίαι  ήσ όο ιαβή. ιόι έοας α ύο σία έο οσιοίσι αι  ού θία. Α ός ιθού α  ού σιασέ σο αί ας , αό θα ίι  ο αόα. ια  οό αά ς  ς αόιής ο ας ααφέο άο έα αάια αασής αά Mascheroni  ήσ όο ιαβή. α αασάσο ο σιό ός σίο  ς ος ία θία . ού ύο αία σία Α αι  ς . άφο ος ύος Α,Α αι ,. Οι ύοι έοαι σα σία  αι ’. ο σίο ’ ίαι ο ούο ιαί;

ΩΟ ΑΟΑΟ

69

 ΩΑ Ο Α

Η αόιη … 1. Θα αοίο όι έα σηίο ο βίσαι ως σηίο οής ύο αι

θίας οί α οσιοισθί  χήση όο ιαβήη .

Ας οθέσο όι έο ο ύο Ο, αι  θία  ο έοαι σα σία  αι . α σία αά θα έι α οσιοίσο  ήσ όο ιαβή, ς σία οής ύο ύ.   βοήθια  αί σί Α αι  ς  βίσο ός ααφέα σ οού σία ο σιό ο Ο ς ος  . ο σίο αό ο οοάο . άφο ο ύο ,. Ο ύος αός έι ο Ο, σα σία  αι .  ίσ όο ο έο ο ύο Ο ίαι ά σ θία  ό ο όβα σούι αά, ι’ αό αι  αόι αή  ααίο

2. Θα αοίο όι έα σηίο ο βίσαι ως σηίο οής ύο θιώ,

οί α οσιοισθί  χήση όο ιαβήη .

οούα θα αοίο ία βοθιή όασ : έοας ία οέα ήαα α,β, α αασάσο  ήσ όο ιαβή  έα αάοό ος αή έα ήα  ώσ α α  ισύι :  x =

ού αίο σίο Ο αι άφο ος ο ς ύος Ο,α αι Ο,β. ο ώο ύο θού αίο σίο Α αι άφο ο ύο Α, ο έι ο Ο,α σο σίο . άφο ος ύος Α, αι ,, όο  αίο ήα. Οοάο  αι ’ α σία οής  ύ αώ  ο ύο Ο,β. ο ήα ’ ίαι ο ούο. Αόιη : ύοα οού α ίο όι α ία ΑΟ αι Ο’ ίαι ίσα. ίσς α ία ΑΟ αι Ο’ ίαι όοια ιαί; αό αά έο  ισόα Ο Γ α  =  =  , ο... ΟΜ ΜΜ '  x ΩΟ ΑΟΑΟ

70

 ΩΑ Ο Α

 Έσ 1 αι  2 ύο θίς ο έοαι σο σίο . α ο οσιοίσο ς σίο οής ύο ύ. ού σία Α αι  ς  1). αασάο α σιά ος Α’ αι ’ ς ος  θία  2. άφο ος ύος ,Α αι Α’,’ αι οοάο  ο σίο οής  ύο ύ. οού ύοα α ίο όι ο ’Α’ ίαι ααόαο. Α’’=Α= αι ’=Α’, ίσς ιή ΑΑ’//’ α σία Α’,Α αι  ίαι σθιαά.   α   . άφο ος ύος αασάο ήα  ώσ =  =  ' x  x C1:Α,x) αι C2:Α’,x) οι ύοι αοί έοαι σο σίο . ιαί;

ααήσ όι ’,Α’ αι  ίαι σθιαά  ό ο όι α Α’,’ ίαι   σιά  Α αι  οό Α’// άα αό .. θα ισύι , άα =  ' Σ Α=x, ισύι ίσς αι Α’= x. Άα οι ύοι C1 αι C2 άαι έοαι σο σίο .

 η αόιη ω οάσω  αι , ο Mascheroni αόι όι όα α σηία ο ιέο οού α αθοισού ως σηία οής ύο ύω. Άα άθ αασή οί α ααοοιηθί  χήση όο ιαβήη !

Αόα ο  ο J.V.Poncelet (1788- αι ο  o J.Steiner (1796-1863) αέια όι : « άθ αασή ο ααοοιίαι  χήση αόος αι ιαβήη οί α ααοοιηθί  η χήση όο αόος αί α οθί έας βοηθηιός ύος αι ο έο ο ».

ια άσσ αι ος ιή ο Mascheroni ας ύσο άς ύο σά οβήαά ο

ΩΟ ΑΟΑΟ

71

 ΩΑ Ο Α

1ο όβα : Δίοαι ύο σηία Α αι Β. α αασάσ  χήση όο

ιαβήη ο έσο ο ήαος ΑΒ.

Ας ααοοθήσο  αασή βήα -βήα 1ο βήα

άφο ος ύος Α,Α αι ,Α ο έοαι σο σίο .

2ο βήα

αασάο αά α σά σο ύο ,Α α ίσα όα Γ = Γ =  ς αασή αοιού άο

3ο βήα

άφο ο ύο ,Α ο έι ο Α,Α σα σία  αι .

4ο βήα

άφο ος ύος ,Α αι ,Α ο έοαι σα σία Α αι . ο σίο  ίαι ο έσο ο Α ιαί;

ΩΟ ΑΟΑΟ

72

 ΩΑ Ο Α

Αόιη :

α σία Α, αι  ίαι σθιαά , αφού ίαι α αιιαιά σία ός αοιού άο. α ισοσή ία AZE αι AZM ίαι όοια ιαί;  Άα

AM AZ

=

ZA AE

=

1 2

 (ιαί;

Οό Α=Α ή Α=Α άα ο σίο  ίαι ο έσο ο Α. ο...

2ο όβα :  όο ιαβήη α οσιοίσ ο έο

οέο ύο .

Ας ααοοθήσο  αασή βήα -βήα 1ο βήα

ού αίο σίο Α ο ύο αι άφο ύο Α, , όο  αία αία. Οοάο  αι  α σία οής ο ύο αού αι ο αιού.

2ο βήα

άφο ος ύος ,Α αι αι ,Α αι οοάο  ο ύο σίο οής ος.

3ο βήα

άφο ο ύο ,Α ο έι ο ύο Α,Α σα σία  αι 

ΩΟ ΑΟΑΟ

73

 ΩΑ Ο Α

4ο βήα

άφο ος ύος ,Α αι ,Α ο έοαι σα σία Α αι Ο. ο σίο Ο ίαι ο ούο έο ο αιού ύο ιαί;

Αόιη

 Α ίαι σοάθος ς  αφού Α=Α αι =.  ΑΟ ίαι σοάθος ς  ς οιή οή ύο ύ.  Άα α σία Α,Ο, Α,Ο, σθιαά. σθιαά. α ία ΑΟ αι Α ίαι όοια ισοσή  οιή  ία  , άα θα ισύι  ισόα : Ο Ο . Αό  ισόα αή =   α ία ΑΟ αι Α θα ίαι όοια. ιή ο Α ίαι ισοσές θα ίαι ισοσές αι ο ΑΟ. Άα ΟΑ=Ο. Οοίς ισοσές θα ίαι αι ο ίο ΑΟ, οό ΑΟ=Ο.  Άα ο σίο Ο ισαέι ισαέι  Α,, άα άα ίαι ο έο ο ούο ούο ύο.

ΩΟ ΑΟΑΟ

74

ΙΟΟΣ

Είοος

 ις αύς ο ααφέα σις οούς ααάφος οι αθαιοί σέισα α ασοούαι αι σος όος όος. Έσι ο 19 ο αιώα ιοήθα α όα αθά ούα ή αθά σσήαα. Οσιασιά όιαι ια ιά όαα ο αοού ία ίσ ο αόα αι ο ιαβή. ιέο  άα  σή ίσ οοιασήο αύς. Αοούαι Αοού αι αό έα αιθό αααόφ άβ ο σέοαι αύ ος  αθώσις σ ιάφοος όβος. άοιοι όβοι ααέο σαθοί ώ άοι ιούαι. Σ οισέος ιούος όβος οοθίαι αφία  οοία αφήι ο ίος ο σίο – όβο – όβο σ έα φύο αιού. αιού. Έσι φιάα αιά όαα αασής έις, βοής, ααααής οοιόθ σά, θιώ αά αι αώ ός ς ισσοιούς, ς οοιούς ή ς έιας ο Αιή. Η αθαιή θίσ  ιιοή  σσά αώ έι ίς αό ος αθαιούς Peucellier   (1864), Roberts  (1871), Kempe (1875), Sylvester (1876), Cayley (1894), Darboux (1879) .ά.   βιοαιή αάσασ οι ιές αύς ο σαήσα βήα φαοές φαοές σ σ αοοία αοοία αι σ σ ιοία ιοία  αοί αώ αι αασώ. αασώ. Έ οιό α φιαού αιά ιά όαα ο α σιάο  αίβια οοιαήο αύ αι α ιίοαι αό άς ο ιθαό α  ώια ίο σιά   ία. αές ο  οιή ς ιοίας ος θα βασίαι σις ιές ιιός  σά αι αώ ο ααφέα. Ας ίσο ιές αό ις αές αές … Πατοάφοι : όιαι ια αές ο αααάο σήαα σ ιό ή αύ ίαα.

W.F. Stanley (1888) C. Scheiner 1603

D. Diderot 1762

ΙΩΟΣ ΑΟΥΑΟΣ

75

ΙΟΟΣ

Ειοάφοι : όιαι ια αές ο σιάο ίις.

W.F. Stanley (1888)

J. Farey 1819

 Άα ηαιά τιά αία αία

Ατιαφέας W.F. Stanley 1888

Κοοιοάφος W.F Stanley 1888

ΙΩΟΣ ΑΟΥΑΟΣ

76

ΙΟΟΣ

Ειοάφος W.F. Stanley 1888

Ειοάφος F. Penrose 1851

Σιοάφος W.F. Stanley 1888

Κοοιοάφος G. Suardi 1752

ΙΩΟΣ ΑΟΥΑΟΣ

77

ΙΟΟΣ

Οι ιο ιάσς αιίς αιίς ααής έοι έοι οά ήα ήα οι :

Keuffel and Esser co. σ έα Υό

αι

W.F. Stanley and Co. L.d. σο οίο

Τιά άο έα βιβίο έφθασ σο έος ο… Για α ού όι άι ας έι οί όι θα έι α έο  ,

ιαοφώσι ία αί όι  ασόσ   ία έα όι ίαι ιά ήσι, ίαι αι άισ !  Πος αόι αού θα έι α ιέ όι ίς οι άσαοι θα βού όος α ισάο  ασόα  ιώ αασώ σ ιασαία ας αι α ααίο  οοφιά ο α αασάις έα ιό σήα αι όι αώς α ο αφίις   ...  ...

ΙΩΟΣ ΑΟΥΑΟΣ

78

ιβιοαφία

1. α ίφα άα ωιά οβήαα ς αχαιόας. .Α. ίας όσις Παασύο 2. Καόας αι ιαβής Andrew Sutton όσις Αάια 3.  ωία αι οι άς ς σ Αχαία άα . σιοάς 4. Αοίις χωίς όια R.B.Nelsen όσις αββάας 5. ωία Α - Α.. ιαά – .αόοος 6. ωία Π.ιαέος – .αόοος 7. ίο ωία ..αά όσις άοα 8. ίια ωία ωαΐ -έο-ΠαίΠούο-άο όσις ή 9. ίια ωία Αόοος-άοςΚασού-αά-ιέ όσις ... 10. σοία ω οβάω σα αθαιά αχιαή αχιαή ασία .. ία Παισήιο Κής 2009)

11. ο όα ς αασής σ οία έις ς ωίας -ιωαιή ασία . οοβάς οοβάς Παισήιο Αθώ 9

αασές . 12.  άβα αι οι ωιές αασές οοβάς ίς ’ .  13.Mathematical 13. Mathematical Drawing and Measuring Instruments W.F. Stanley https://archive.org/details/mathematicaldra00stangoog