49 - 92.pdf

COLEGIO «TRILENIUM INTERNACIONAL»

MATERIAL DIDÁCTICO

Leonardo Euler Sin duda, el matemático más importante del Siglo 18 fue Leonardo Euler. Durante su larga vida, que abarcó casi todo ese siglo, produjo una cantidad de trabajos originales y revolucionarios que todavía no han podido ser asimilados en su totalidad. El nombre de Euler aparece en prácticamente todas las ramas de las matemáticas y de la física, y muchas notaciones y definiciones matemáticas que se utilizan en la actualidad se deben a él en buena parte. Hace ya casi un siglo, la Academia de Ciencias de su natal Suiza decidió editar todos sus escritos, sin importar el costo y el esfuerzo, y hasta la fecha han logrado publicar más de 70 volúmenes, pero aún faltan muchos manuscritos por procesar. De entre las innumerables contribuciones de Euler podemos citar la trigonometría en su versión moderna (tal como se enseña actualmente en las escuelas), el concepto preciso de logaritmo y la elucidación de lo que son los números imaginarios. Voy a describir estos dos últimos ya que, en combinación con el primero, Euler encontró una relación insospechada entre dos regiones aparentemente inconexas del mundo de las ideas matemáticas.

PUNTOS NOTABLES I. BARICENTRO: .................................................. ........................................................................... ........................................................................... ...........................................................................

II. INCENTRO: ..................................................... ........................................................................... ........................................................................... ...........................................................................

 

I

G 







I  incentro

2n 2m

G

G  Baricentro o Gravicentro

r r

m n

Organización Educativa TRILCE

Organización Educativa Organización Educativa TRILCE Organización Educativa ¡Exigimos más .... Al TRILCE másTRILCE Alto Nivel!

49

r  inradio I r

Tercer Año de Secundaria

Cuarto de Secundaria

COLEGIO «TRILENIUM INTERNACIONAL» Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías II y distribuciones Lecturapor crítica II Puntos notables

III

ORTOCENTRO: ....................... IV ................................................ ................................................

MATERIAL DIDÁCTICO

CIRCUNCENTRO: ................... ................................................ ................................................

B

B

R

H A

O

C

C

A

A

R

C

B

A

O

B

H

C

B

H

H  Ortocentro

A

R

C O  Circuncentro R  Circunradio

R

O R

V EXCENTRO: ........................................................................................... ............................................................................................................... B



 

A

 

E

E  excentro relativo al lado BC

rBC A

C

rAB

C

Recordar:

B

A

rBC

B

rBC E



Observación: Todo triángulo tiene 3 excentros

B

n

Iincentro

I x

x = 90° +

 

 

B  

x

A



n

C

E

Eexcentro

E

n

rAC

x

Eexcentro x=

A

50

 

n 2



B

Organización Educativa TRILCE ¡Exigimos más .... Al más Alto Nivel!

C

x = 90° -

C

A

n 2



C

n 2



Tercer Año Secundaria Tercer Año de de Secundaria Cuarto deSecundaria Secundaria Cuarto Año de


MATERIAL DIDÁCTICO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Indicar con falso o verdadero, según corresponda: -

El ortocentro de un triángulo, es siempre interior a él. El incentro, divide a toda bisectriz en la relación de 1 a 2. El circuncentro es el punto de concurso de las mediatrices.

2. Indicar con falso o verdadero, según corresponda: -

El baricentro es siempre interior a un triángulo. El ortocentro puede ser exterior al triángulo. El incentro coincide con el centro de la circunferencia inscrita a un triángulo.

3. ¿Cuántas proposiciones son verdaderas? -

El circuncentro es el punto de concurso de las mediatrices de un triángulo. El ortocentro se encuentra situado en el punto medio del lado mayor, en los triángulos rectángulos. El centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo, coincide con el punto de corte de las mediatrices. El excentro de un triángulo es siempre un punto exterior.

9. En un triángulo rectángulo la distancia del baricentro al circuncentro mide 4 dm. Calcular el valor de la hipotenusa. 10.ABC es un triángulo y “F” es el excentro del triángulo relativo a BC . Si: m ABC  50  3x  y m AFC  50  x  , calcular la m ABC . 11.Grafique al triángulo ABC y marque “E” excentro relativo a BC . Si los ángulos BAC y BEC son congruentes, calcular la m A . 12.EFG es un triángulo acutángulo de ortocentro “H”. Si las medidas de los ángulos EHF y EGF están en la relación de 5 a 4, calcular la m EGF . 13.Sea ABC un triángulo acutángulo de circuncentro “O”. Hallar la m B , si el ángulo AOC es el complemento del ángulo ABC. 14.“H” y “O” son el ortocentro y el circuncentro del triángulo ABC, respectivamente. Si: AHC  AOC , hallar la m ABC . B

4. Grafique al triángulo ABC y ubique su incentro “I”. Si el

H

ángulo ABC mide 38°, calcular la m AIC . A

5. “O” es el circuncentro del triángulo acutángulo ABC, en el cual la m ABC es de 43°. Calcular la m AOC . 6. Sea ABC un triángulo acutángulo de circuncentro “O”. Si la m A  70 , hallar la m OBC .

O C

15.Grafique al triángulo ABC y trace las medianas AM y BN perpendiculares entre sí. Si las longitudes de estas medianas miden 9 y 12 dm, calcular “AB”.

7. En un triángulo PQR, se trazan las medianas PA y

QB , cortándose en “G”. Si: AG = 5 y GQ = 8, calcular la suma de las longitudes de estas medianas. 8. En el gráfico, “H” es el ortocentro del triángulo ABC. Si la mAHC  3m ABC , hallar la m AHC . B H

A

C


Organización Educativa TRILCE ¡Exigimos más .... Al más TRILCE Alto Nivel! Organización Educativa

51



COLEGIO «TRILENIUM INTERNACIONAL» Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías II y distribuciones Lecturapor crítica II Puntos notables

MATERIAL DIDÁCTICO

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS 1. Sea “G” el baricentro del triángulo ABC y sea: QB // AC . Si: AG = 8 dm, hallar “QG”. B

Q

Si: mBEC  2m BAC , calcular la m BEC . 4. Grafique al cuadrilátero convexo ABEC donde se sabe que: mABC  m CBE  60 , m ACB  34 y m BCE  73 . Calcular el ángulo menor que forman las diagonales del cuadrilátero.

G C

A

3. Sea “E” el excentro relativo a BC en el triángulo ABC.

2. ABCD es un romboide y “M” es punto medio de AD . Si AC y BM se intersectan en “F”, calcular: AF/FC.

5. “H” y “O” son el ortocentro y el circuncentro del triángulo acutángulo ABC. Si el ángulo ABC mide 46°, calcular la diferencia de los ángulos AHC y AOC.

TAREA DOMICILIARIA 1. Indicar con falso o verdadero, según corresponda: • El baricentro es el punto de corte de las alturas. • El incentro es el punto de corte de las bisectrices exteriores. • El ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto en los triángulos rectángulos. 2. Indicar con falso o verdadero, según corresponda: • Todo triángulo tiene tres excentros. • El excentro de un triángulo coincide con el centro de la circunferencia exinscrita. • El baricentro de un triángulo, divide a su mediana en la relación de dos a uno. • Todo triángulo isósceles tiene al ortocentro como punto interior. 3. “E” es el excentro del triángulo ABC. Si el BAC mide 40°, calcular la m  BEC.

B

E

6. Grafique al triángulo ABC con incentro “I”. Hallar el valor del ABC, si el AIC es su suplemento. 7. Grafique al triángulo acutángulo ABC de circuncentro “O”. Si el ABC mide 36°, calcule la m OAC. 8. Grafique al triángulo ABC y trace las medianas AM y BN (“G” es baricentro). Si: GN = 7 dm y AG = 12 dm, calcule la suma de estas medianas. 9.Dado el triángulo ABC, sea “F” el excentro relativo a BC . Si: m ABC = 40° + x° y m AFC = x° + 5°, calcule el valor del AFC. 10.Sea “E” el excentro del triángulo ABC, relativo a CA . Si m ABC = 2m AEC, calcule la m ABC. 11.ABCD es un paralelogramo donde “R” es punto medio de AD . Si BR y AC se intersectan en “O”, calcule: OB/OR. 12.Sea “H” el ortocentro del triángulo acutángulo ABC. Si: m ACB / m AHB = 4/5, calcule la m AHB.

A

C

4. Sea ABC un triángulo de incentro “F”. Si el ánguloAFC mide 110°, calcule la m B. 5. En el gráfico NG = 4 dm. Calcular el valor del segmento que une los puntos medios de AG y AC. B

N

G

A

14.En un triángulo ABC las medianas AE y BF son perpendiculares entre sí y sus longitudes son de 15 y 36 dm. Calcular el valor de AB . 15.En un triángulo ABC (mB = 90°), se sabe que mAIM = 90°. Calcular la mCAI, siendo “M” el circuncentro e “I” el incentro del triángulo ABC.

M


13.En un triángulo acutángulo ABC el circuncentro es “O”. Si el AOC excede en 40° al ABC, calcular el valor del AOC.

C

¡Exigimos más .... Al más Alto Nivel!

52

Tercer Año Secundaria Tercer Año de de Secundaria Cuarto deSecundaria Secundaria Cuarto Año de



Organización Educativa TRILCE ¡Exigimos más .... Al más TRILCE Alto Nivel! Organización Educativa

53

MATERIAL DIDÁCTICO




MATERIAL DIDÁCTICO

THALES DE MILETO



54




MATERIAL DIDÁCTICO

TEOREMA DE THALES

COROLARIO DE THALES B

A

R

B

L1

Q

C

L2

S

L3

AB BC

Si: L 1 // L2 // L 3

E

F

A

RQ QS

C BE EA

Si: EF // AC

BF FC

PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ

BISECTRIZ INTERIOR

m n

 

BISECTRIZ EXTERIOR

a b



b

a

m

a

a b

b

e

n

t

TEOREMA DEL INCENTRO

TEOREMA DE CEVA

Si: “I” es incentro 

Si: AP, BQ y CD son cevianas concurrentes, 

C x y

  x

B

t e



a

I

 

y

B

a+b c

m

P

D

b

abc = mnp

b

n

a

A

A

c


Organización Educativa TRILCE ¡Exigimos Organización más .... Educativa Al más TRILCE Alto Nivel!

55

p

Q

c

C



COLEGIO «TRILENIUM INTERNACIONAL» Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías II y distribuciones Lecturapor crítica II Proporcionalidad

MATERIAL DIDÁCTICO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ABC es un triángulo y EF // AC (“E” AB y “F” BC ). Si: EB = 2AE, FB = x + 2 y FC = x - 2, calcule “BC”. 2. Grafique al triángulo ABC, de modo que: AB = 12 dm, BC = 16 dm, AC = 14 dm y sea BQ la bisectriz interior.. Calcule el valor de QC .

11.Grafique al triángulo ABC, marque “R” en AC , "E" y “F” en BC de modo que: AB // ER , AE // RF , EF = 4 dm y FC = 6 dm. Calcule el valor de BE . 12.En la figura mostrada, hallar “MN”; si: MP // BC ; MQ // AB ; AN  3 3 y CN  3 .

3. En el triángulo ABC, se sabe que: AB=12 cm, BC=9cm y AC = 6cm. Trace la bisectriz exterior BQ y calcule el valor de QC .

B P Q

4. Sea ABC un triángulo tal que AB  BC . Las bisectrices interior BF y exterior BE , determinan: AF = 8 dm y EC = 12 dm. Calcule “FC”.

A

M

N

C

13.Del gráfico: BF=3, FC=AE=2 y AC=4, calcular “AD”.

5. Grafique el triángulo ABC y trace la mediana BM y la bisectriz AF (ambas se cortan en “Q”). Si: QB/QM = 5/3 y AB=15, calcular la longitud de AC .

B F

E

6. Sean L 1 , L 2 y L 3 rectas paralelas, L 4 intersecta a ellas en “A”, “B” y “C” respectivamente y L 5 intersecta a las paralelas en “R”, “Q” y “S” respectivamente (“A” y “R” pertenecen a L 1 ). Si: AB = 8, BC = x+2, RQ = 6 y SQ = x - 2, calcule el valor de AC .

° °

D

14.En la figura, hallar “EF”, si: BE=3 cm y FM = 2 cm. Además: AB + BC = 2AC y AM = MC.

7. En el triángulo PQR, se trazan las cevianas concurrentes PA , QB y CR , de modo que: PC/QC = 2/3 y QA/RA = 5/8. Calcule: PB/RB. 8. Grafique al triángulo ABC y trace las cevianas concurrentes AF , BE y CM . Si: AM = 6 dm, MB = 4dm, FC = 10 dm y FB = 5dm, calcule: AE/CE.

9. Sea ABC un triángulo, tal que: AB = 9 dm, BC =12 dm y AC = 14 dm. Trace la bisectriz interior BF y marque el incentro “I”. Calcule el valor de IB/FI.

C

A

B

E A

 

F M

 

C

15.Se tiene un cuadrado ABCD i nscrito en una circunferencia, en cuyo arco BC se toma el punto “F”.. Los segmentos FA y FD intersecan en “G” y “M” a BC , tal que: BG=10 y GM=3. Hallar “MC”..

10.Se tiene un triángulo ABC de incentro “I” y baricentro “G”, tal que: IG // AC . Si: AB = 5 y BC = 7, calcular la longitud de AC .


56

Tercer Año de Secundaria Tercer Año de de Secundaria Cuarto deSecundaria Secundaria Cuarto Año


MATERIAL DIDÁCTICO

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS 1. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BE y BF , tal que: mABE  m EBF y la m EBC  90 . Calcular la distancia entre el baricentro y el ortocentro del triángulo EBC, si: AE=3 y EF=2.

4. El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo ABC es “r” y el radio de la circunferencia circunscrita al mismo triángulo es “R”. Si “I” es incentro y BF es BI bisectriz interior; hallar: , además m B  90 . IF (Dar la respuesta en términos de "R" y "r")

2. En la figura: MQ=5 y PQ // FB . Calcular “MP”.. B

P A

F

C

M

5. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior BE (“E” en la prolongación de AC ). La ceviana AF interseca a BE en su punto medio “M”. Hallar “AB”, si: BF=6 y FC=2.

Q

3. En la figura m y n son rectas secantes:

AB // CD // EF Si: AO  OD  DF y BE = 45; hallar “OB”.. 2 3 4 n

m A

B O

C

D

E

F

TAREA DOMICILIARIA 1. Si: L 1 // L2 // L 3 , calcule el menor valor de AC .

A

L1 x L2 L3

B

2. Hallar “n - m”

R x+1 Q

x+5 C


10

 

14

12 m

S


n 12

57



COLEGIO «TRILENIUM INTERNACIONAL» Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías II y distribuciones Lecturapor crítica II Proporcionalidad 3. Hallar “x” B

11.En un triángulo ABC: AB = 3BC. Sea BF una bisectriz exterior tal que: AF = 15 dm. Calcule “AC”.



 14 6

A

12.En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF y la bisectriz CQ del triángulo BCF. Si: AB = 10, FC = 16 y QB/QF = 5/4, hallar el perímetro del triángulo ABC.

10 x

C

MATERIAL DIDÁCTICO

R

13.Si: a // b // c ; 3TS = 5TW y PQ = 35, hallar “QR”..

4. Dado el triángulo ABC, se trazan las cevianas concurrentes AF , BE y CH de modo que: HA/HB = 2/5 y FB/FC =3/7. Calcule: CE/AE. 5. Sea ABC un triángulo isósceles (AC = BC) y BF una bisectriz interior. Si: AB = 9 dm y BC = 18 dm, calcule el producto de AF y FC. 6. BI y BF son bisectrices del triángulo ABC. Si: AI = 12 dm y CI = 6 dm, calcule “CF”.

B

A

I

P

S Q

T

b

R

W

c

14.En el gráfico: ER // AF , RF // AC , EB = 14 y EF = 6. Calcule el valor de CF . B

 

E F

R

C

F

7. Sea “I” el incentro del triángulo ABC y BQ una bisectriz interior. Calcule el valor de IB/QI, sabiendo que: AB = 9 dm, BC = 15 dm y AC = 20 dm.

C

A

15.Del gráfico, hallar “QC”, si: AP = 5 u y PQ = 3 u. B

8. En un triángulo ABC los lados AB ,BC y AC miden 6, 12 y 15 dm respectivamente. Si se traza la bisectriz interior BQ , hallar: AQxQC.

F

A

9. Si: 5PC = 3BP; AM = MP y BQ = 24, hallar “AQ”. B

P

C

Q

16.En un triángulo ABC (AB = 3BC), se traza la bisectriz exterior BQ . Si: AC = 12, hallar “QC”.. P

Q M

A

a

17. EF // AH; EH // AC , FB = 4 y HC = 3. Hallar “FH”.. C

B F

10.AB = 4; BC = 3 y CD // EH. Hallar “CH”, si: HF = 4,5.

E

L1 // L2 // L3 A B C

D

L1

E

L2

F H

A

H C

L3


58



b c ; AB = 24; DE = 27; EF = 18 y 18.Si: a MN = BC + 14; hallar “BC + NH”. A

D

B

M N

E

C

a

F

b c

H

19.En un triángulo PQR se traza EF // PR (“E” PQ y “F” QR ), de modo que: QE = 4; EP = 8 y FQ = 6. Hallar “QR”.

23.En un triángulo ABF se traza la mediana BE . Por un punto “D” del lado AF , se traza una paralela a la mediana, dicha paralela intersecta al lado BF en “P” y a la prolongación del lado AB en “C”. Si: AB = 11 u; BC = 7 u y BP = 14 u, hallar “PF”. 24.En un triángulo ABC, se traza la bisectriz CF (“F”  AB ), luego por “F” una paralela a AC de modo que intersecta a BC en "Q". Hallar “BQ”, si: BC = 5 u y AC = 6 u. 25.Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz interna BP (“P”  AC ) y la bisectriz externa BQ (“Q” pertenece a la prolongación de AC ). Luego se toma el punto “F” sobre AB , tal que: FC // BQ

3 2 4 y BE = 45 ( L 1 // L2 // L 3 )   AO OD DF

C E

B

O

y

BP  FC = {R}.

Hallar: AP.BR, siendo: AQ = x; PR = y.

20.Del gráfico, calcular “OB”, siendo:

A

MATERIAL DIDÁCTICO

L1

26.Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia y la mediatriz de AC intersecta al arco BC en el punto “P”. Si la prolongación de PB intersecta a la prolongación de CA en “Q”; calcular “AQ”; sabiendo que: AB = 5 u; BC = 9 u y AC = 8 u.

L2

D F

L3

AB 2  . Si AM es BC 3 mediana, BD es bisectriz interior y AM  BD = {Q}, BQ calcular: QD

27. En el triángulo ABC: AB < BC y

21.Determinar la suma de las longitudes de los segmentos determinados por la bisectriz exterior sobre el lado intermedio de un triángulo cuyos lados miden 5; 6 y 7 u. ˆ = 120°; AB = 4 u y BC = 6 u. 22.En un triángulo ABC: m B Calcular la longitud del segmento de bisectriz interior trazada del vértice “B”.

28.En un triángulo ABC: AB = 3BC y AC = 12u, se traza la bisectriz exterior BP. Calcular “PC”.. 29.Del gráfico: AH = 7 u y HB = 2 u. Calcular “BC”.

A



59

H

B

C



COLEGIO «TRILENIUM INTERNACIONAL» Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías II y distribuciones Lecturapor crítica II Proporcionalidad


60

MATERIAL DIDÁCTICO



MATERIAL DIDÁCTICO

A continuación mostraremos cómo la semejanza, ha tenido (y tiene aún) una aplicación real y concreta en nuestro constante deseo de desarrollarnos en el conocimiento.

Aristarco Aristarco de Samos, nació hacia el 310 a.C. Puede considerarse como el mayor astrónomo de la antigüedad. A él se deben las primeras estimaciones para calcular la proporción entre la distancia de la Tierra al Sol y de la Tierra a la Luna. Además, Aristarco propuso un modelo astronómico heliocéntrico y heliostático, adelantándose en 1800 años al modelo de Copérnico. Distancias Tierra-Sol y Tierra-Luna Las fases de la Luna vienen determinadas por las posiciones relativas del Sol, la Tierra y la Luna. El Sol siempre ilumina media esfera lunar, pero desde la Tierra unas veces vemos la semiesfera completamente iluminada (Luna llena) y otras sólo vemos una parte de la semiesfera (cuarto creciente o menguante) o no la vemos (Luna nueva). Aristarco dedujo que cuando la Luna estaba exactamente en cuarto creciente el triángulo formado por la Tierra, la Luna y el Sol era rectángulo, ya que el ángulo TLS era recto. Mediante la observación directa podemos determinar el ángulo LTS, cuyo vértice es nuestro planeta. Aristarco halló para este ángulo un valor de 87°.

Cuarto creciente L 90° T Tierra

87° Luna nueva

S Sol

Luna llena Cuarto menguante a. Calcular las razones entre las distancias Tierra - Luna y Tierra - Sol b. Aristarco se equivocó, por falta de medios técnicos, en la medición del ángulo LTS. El valor real es de 89°51'. Repite el problema con esta nueva medida. Compara los resultados de este apartado y el anterior. c. Sabiendo que la distancia TS es de 150 000 000 km aproximadamente, calcula "TL" a partir de las relaciones obtenidas en los apartados "a" y "b".



61




MATERIAL DIDÁCTICO

Sucesiones, Tanto Método por Inductivo ciento analogías II y distribuciones Semejanza Lectura crítica II Tamaños del Sol y de la Luna

Al observar los eclipses de Luna Aristarco pudo comprobar que el cono de sombra proyectado por la Tierra, cuando lo atraviesa la Luna, es de unas dos veces el tamaño del diámetro lunar. Si llamamos RS, RT y RL a los radios del Sol, la Tierra y la Luna respectivamente, y DS y DL a las distancias Tierra-Sol y Tierra-Luna:

Sol Tierra

Rs Ds E

RT D

DL

Luna C

B A

Demuestra por la semejanza de los triángulos BCD y ABE que:

R T  2R L RS  R T



DL DS

. A partir de la relación anterior,,

tomando como DS=19DL y RS=19RL, halla la relación que Aristarco encontró para los radios de la Luna y de la Tierra.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES B N c

~

a H

A

p

m h

C

b

M

P

n

ELEMENTOS HOMÓLOGOS  ABC ~  MNP

 ABC

a

b

c

H

 MNP

m

n

p

h

... = K

CASOS: Primer caso

~

Segundo caso

ak

~ bk


Tercer caso

ak

a

b

62

bk

ck

~

b

a

c

Tercer Año Cuarto Secundaria Tercer Año de de Secundaria Cuarto deSecundaria Secundaria


MATERIAL DIDÁCTICO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En el gráfico: EF // AC y EF=6 dm. Calcule el valor de AC .

8. En el triángulo ABC, se trazan las alturas BH y CN ; de tal manera que: AN=12; BN=4 y AH=9. Calcular “HC”.

B 3h F

E

5h A

C

2. Dado el triángulo ABC, marque “E” en BC y “F” en AC tal que: EF // AB , EB = 2 dm, CE = 3 dm y EF = 6 dm. Calcule “BA”.

3. Grafique al triángulo rectángulo ABC y trace la mediatriz HE de AC (“H”  AC y “E”  BC ). Si: EH=5 dm y AC=24 dm, calcule la longitud del cateto AB . 4. Hallar el lado del rombo PBRS, si: AB=8 y BC=10. B

9. Grafique al triángulo rectángulo ABC e inscriba al cuadrado EFGH (“F”  AB , “G”  BC y EH  AC ). Si: AE=8 dm y HC=18 dm, calcule la longitud del lado del cuadrado.

10.En el triángulo ABC, la base AC mide 8 dm y su altura a BH 12 dm. Calcule el valor del lado del cuadrado inscrito en el triángulo ABC, de modo que un lado del cuadrado esté contenido en AC .

11.ABCD es un romboide y “R” un punto de BC ; AC y RD se intersectan en “Q”, tal que: 2AQ=3QC y CR=6 dm. Calcule la longitud de RB .

12.Del punto medio “P” del cateto AB de un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se traza la perpendicular PH a la hipotenusa AC ; de tal manera que: AH=6 y HC=9. Calcular “PB”.

R P A

C

S

5. En el triángulo ABC inscriba el rombo AEFH (“E”  AB y “F”  BC ). Si: AB = 6 dm y AC=4 dm, calcule la longitud del lado del rombo. 6. Calcular la longitud de la altura de un trapecio rectángulo, si sus diagonales son perpendiculares entre sí y las bases miden 6 y 12 unidades.

7. En el gráfico: AE=8, AC=5 y CF=7. Calcule el valor de EB .

13.Sobre los lados AC y BC de un triángulo ABC se ubican los puntos “E” y “F” respectivamente; de tal manera que EF // AB , EF=4, FC=12 y mBFA = mAFE. Calcular “AB”.

14.En un triángulo ABC: mA  90  m C . Calcular la longitud de la altura BH , si AH y AC miden 2 y 6 cm respectivamente.

15.Por el vértice “B” de un triángulo isósceles ABC, (AB=BC) se traza una secante que intersecta en “D” al lado AC y en “E” a la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Si: BD=9 cm y DE=3 cm, hallar “AB”.

B

E

A

C

F


Organización Educativa Organización Educativa TRILCE ¡Exigimos más .... Al másTRILCE Alto Nivel!

63




MATERIAL DIDÁCTICO

Sucesiones, Tanto Método por Inductivo ciento analogías II y distribuciones Semejanza Lectura crítica II

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS 1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se inscribe un cuadrado PLMN de modo que el lado PN descansa sobre la hipotenusa AC . Calcular "AC", si: LM=12 y AP - NC = 10.

3. La base de un triángulo es 16 unidades y su altura 12 unidades. Se inscribe en este triángulo, un rectángulo que tiene uno de sus lados contenido en la base del triángulo. Calcular las dimensiones del rectángulo, si su perímetro es de 28 unidades.

2. En la figura, hallar el valor de AB , si: BC=18, DC=12 y AF  4 5 .

4. En un trapecio rectángulo, calcular la longitud de la distancia del punto de intersección de las diagonales al menor lado lateral, si las bases del trapecio miden 2 y 3 unidades.

B

 

A

F 4 5 63°30' D

C

5. Dado el triángulo PQR inscriba el rombo PEFH, tal que “E”  PQ y “F”  RQ . Si: PQ = a y PR = b, calcule el perímetro de dicho rombo en función de “a” y “b”.

TAREA DOMICILIARIA 1. Si: AB // PR y PR = 30 dm, calcule “AB”.. Q

5. En el gráfico: AB = 4 cm; BC = 5 cm y AF = 12 cm. Calcule el valor de AE . C

2h

B

B

A

3h P

R

A

2. En un triángulo rectángulo ABC (m  B = 90°), se inscribe un cuadrado EFGH, de modo que EH  AC . Si: AE = 9 y HC = 16, hallar el lado del cuadrado. 3. En el triángulo rectángulo ABC (m B = 90°), inscriba el cuadrado EFGH (“F” AB , “G”  BC y EH  CA ). Si: AE = 4 dm y CH = 9 dm, calcule la diagonal de dicho cuadrado. 4. La altura del triángulo ABC mide 12 dm y su base 8 dm. Calcule la longitud del lado del cuadrado inscrito. B

12

A 8

E

F

6. Grafique al triángulo ABC, marque los puntos “R” y “Q” en AB y BC respectivamente, de modo que: RQ = 6 dm, QB = 5 dm y QC = 7 dm. Calcule el valor de AC , para a que sea paralelo a QR . 7. EFG es un triángulo y EABC es un rombo inscrito tal que “A”  FE y “B”  FG. Si: EF = 8 cm y GE = 10 cm, calcule el lado de dicho rombo. 8. En un trapecio ABCD las bases BC y AD están en la relación de 3 a 7. Las diagonales se cortan en “O” y la distancia de “O” hacia AD es de 14 cm. Hallar la altura a del trapecio. 9. Los lados de un triángulo miden 8; 10 y 12 u. Por el incentro se traza una paralela al lado mayor. Calcular la longitud de dicha paralela.

C


64


COLEGIO «TRILENIUM INTERNACIONAL» 10.Grafique al romboide ABCD y marque “R” en BC ; AC y DR se intersectan en “Q”, tal que: 3QC = 2QA y RC = 12 dm. Calcule la longitud de BR .

MATERIAL DIDÁCTICO

19.Del gráfico, hallar “AB”, siendo: BC = 8 u; CR = 4 u y MC = 2 u.

A

11.En un triángulo rectángulo ABC, se inscribe el rectángulo PQRS ( PS  AC ). Si: AP = 1 cm y CS = 9 cm, calcular “PQ” (“Q” AB y “R”  BC ). 12.En un romboide ABCD: 3BC = 4CD. Sobre AC se ubica el punto “P” tal que la distancia de “P” a AD mide 12 u. Hallar la distancia de “P” a AB .

M B

20.En la figura, hallar “x” en función de “r” y “R”.

13.Una circunferencia es tangente a una recta y pasa por un punto que dista 4 cm de la tangente y 10 cm del punto de tangencia. Hallar el valor del radio. 14.En un triángulo ABC, la m B = 53° y AC = 5b. Hallar el valor del segmento que une los pies de las alturas trazadas desde los vértices “A” y “C”. 15.En un triángulo ABC, se inscribe el rombo PBQR (“P” en AB , “Q” en BC y “R” en AC ). Si: AB = 24 cm y BC = 40 cm, hallar el perímetro del rombo.

l



x

21.Grafique al triángulo isósceles ABC y una circunferencia tangente en “A” y “C”. Sobre el arco menor AC, se marca el punto “F”, de modo que las distancias de “F” a los lados AB y BC sean de 24 y 6 dm. Hallar la distancia de “F” al lado AC . 22.Del gráfico: AP = 9 u y PB = 4 u. Calcular “PH”. P A

B Q

17. En el gráfico: BH = k, AC = l , RS = b y QR = h.

b

R

r

16.Sobre los lados AC y BC , se ubican los puntos “M” y “P” respectivamente; de tal manera que: MP // AB , AM = a y MC = b. Luego se traza PN // BM (“N” en AC ), calcular “MN”..

Hallar:

R

C

R

H

h k 23.Calcular “x°”, si los triángulos AEB y BFC son equiláteros.

B

E Q

P

A S

M

N

x° C

A

C

R

H

F

B

24.De la figura el triángulo ABC es equilátero, “D” y “A” son puntos de tangencia; AC = m, BE = n, AD = a y DE = b. a n 1 Calcular: , si:  b m 4

18.Si “P” y “Q” son puntos de tangencia, entonces de a acuerdo al gráfico; hallar: b 2b

b a

B D

Q

E

P A



65

C




MATERIAL DIDÁCTICO

Sucesiones, Tanto Método por Inductivo ciento analogías II y distribuciones Semejanza Lectura crítica II 25.Se tiene un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia donde los lados BC y AD son tangentes a ella en “M” y “N” respectivamente, tal que MN y AC se intersectan en “L”. Si: LC = 10, MC = 8 y AN = 4, calcular “AL”.

28.Del gráfico, PQ = 2u y QC = 3u. Calcular “TP”.

T P Q

26.En la figura mostrada, calcular “CD”, si: AB = 12 y BC = 3. (“O” es centro)

M N

A

B

O

C

D

27. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, la bisectriz del ángulo “A” intersecta a la circunferencia en “M”. En el arco AC se toman los puntos “P” y “Q” de modo que: mPC = mQA , además: MQ , BP y AC concurren en “F” y MQ intersecta a BC en “L”. Calcular “AF”, si: CL = 3, LB = 5 y AB = 10.

A

B

C

29.Por un punto “A” de una circunferencia se trazan la cuerda AC y el diámetro AB . Por un punto de AB se traza una perpendicular a dicho diámetro que corta a AC en “E” y al AC en “F”. Hallar “AF”, si: AE = 2 u y EC = 6 u. 30. En el gráfico: AB = 4 y ON = 3, hallar “BC”. C

P

N B A


H

66

H



O







67

MATERIAL DIDÁCTICO






68

MATERIAL DIDÁCTICO




MATERIAL DIDÁCTICO

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO C

b a

B m

h

A

H

:

BC = a AC = b

Hipotenusa

:

AB = c

Altura

:

CH = h

Proy BC

:

BH = m

Proy AC

:

HA = n

en AB

n c

Primera relación

Catetos

en AB

Segunda relación

Tercera relación

Cuarta relación

a.b = c.h

a +b = c

Quinta relación

2

a = c.m

2

h = m.n

2

b = c.n

* Propiedad:

2

2

1 1 1 + 2 = 2 2 a b h

2

es tangente común a las circunferencias tangentes exteriores de radios "R" y "r".

r

O

R

O1

B

A AB = 2 Rr Demostración:

R-r

R-r O

R

r

d Por el Teorema de Pitágoras:

O1

(R + r) 2 = d 2 + (R - r) 2

r r

A



d

R+r

(R + r) 2 - (R - r) 2 = d 2

B

4Rr = d 2 d = 2 Rr 69




MATERIAL DIDÁCTICO

Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías IIen triángulos y distribuciones Lecturapor crítica II Relaciones métricas rectángulos

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En el triángulo rectángulo ABC el cateto AB mide 4 3 dm y la hipotenusa AC 12 dm. Calcular la proyección de AB sobre AC .

10.ABCD es un cuadrado de 8 dm de lado. Si “A” y “D” son centros, calcule el valor de “r”. B

2. EFG es un triángulo rectángulo y FH su altura. Si: FH=2EH=4dm, calcular la longitud de EG . 3. El radio mayor de dos circunferencias tangentes exteriores mide 9 dm. Si la tangente común exterior mide el triple del radio menor, calcular la longitud de dicha tangente. 4. Los lados mayores de un triángulo rectángulo miden 50 y 48 dm. Calcular el perímetro del triángulo. 5. En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y 12 dm. Si la altura mide 6 dm, calcule el perímetro del trapecio. 6. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa se encuentran en la relación de 4 a 6, calcular la relación de catetos. 7. En un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia, las bases miden 4 y 16 dm. Calcule el valor del radio de dicha circunferencia.

r A


D

11.En un rectángulo ABCD, se toma un punto interior “P”. Hallar “PD”, si: AP=4m, BP  21 m y PC=3m.

12.Desde un punto “P” exterior a una circunferencia de centro “O”, se trazan las tangentes PA y PB y se ubican los puntos “C” y “D” respectivamente sobre dichas tangentes de modo que el ángulo OCD mide 90°. Calcular “BD”, si: AC = 4u y CD = 6u. 13.En un triángulo rectángulo ABC recto en “B”; sobre BC y AC se consideran los puntos “P” y “Q” respectivamente de modo que: AB=BQ y QP=PC. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa, si: AB=8u y PC=6u. 14.Del gráfico, si: R=2u y r=1u, hallar “HM”.

8. Dos circunferencias exteriores tienen como radios 6 y 1 dm. Si la distancia entre sus centros es de 13 dm, calcule la longitud de la tangente común exterior.

9. Grafique al triángulo rectángulo ABC y trace la ceviana BF de modo que: mA  m BFC  180 , AF = 4 dm y FC = 6 dm. Calcule el valor de FB .

C

r H

R M

15.Sobre una circunferencia se tiene los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D” de modo que el diámetro AD=20u, además AB=8u y CD=6u. Calcular la proyección de BC sobre AD .

70

Tercer Año de de Secundaria Tercer Cuarto Año Cuarto deSecundaria Secundaria


MATERIAL DIDÁCTICO

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS 1. Se traza la altura BH de un triángulo rectángulo ABC. Por “H” se trazan HN y HM perpendiculares a los catetos BC y AB respectivamente. Calcular “MN”, si: (AM)(NC)(AC)=64u3

4. En la figura, hallar el diámetro AB , si: CE = 2 dm y EF = 4 dm (“C” y “E” son puntos de tangencia). C

B

2. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se traza la altura

E

CH , en la cual se ubica el punto “F” de modo que: m AFB  90 y AF = 2u. Calcular “AC”..

A F

3. E n u n t r i á n g u l o A B C ; “H ” e s o r t o c e n t r o y : AH2 + BH2 + CH2 = 5R2 2 Hallar: AB + BC2 + AC2, siendo “R” el circunradio.

5. Si “O” y “O1” son centros, hallar “MN”, además: PR=RS=4u. P R S

M N

r O

H O1

A

TAREA DOMICILIARIA 1. Los lados mayores de un triángulo rectángulo miden 29 y 21 dm. Calcule la longitud del otro lado. 2. Grafique al triángulo rectángulo ABC de modo que el cateto AB mida 2 3 dm y la hipotenusa AC 6 dm. Calcule la proyección de AB en AC . 3. Grafique al triángulo rectángulo EFG y trace su altura FH . Si: HF = 2HE = 8 dm, calcular el valor de GE . 4. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa se encuentran en la relación de 5 a 9. Calcule la relación de los catetos.

7. En un trapecio rectángulo las bases miden 8 y 32 dm. Si la altura mide 10 dm, calcule el perímetro de dicho trapecio. 8. En un trapecio isóscel es circunscrito a una circunferencia, las bases miden 2 y 8 dm. Calcule el radio de dicha circunferencia. 9. Dos circunferencias exteriores tienen como radios 9 y 4 dm. Si la distancia entre los centros es de 15 dm, calcule la longitud de la tangente común exterior. 10.En el gráfico: AO = OB = 6. Calcular el valor de “x”.

5. Dada dos circunferencias tangentes exteriormente, se tiene que la tangente común exterior es congruente con el radio mayor. Si el radio menor mide 4 dm, calcular la suma de los radios.

x

6. En el gráfico, las tangentes TA y TC miden 2 y 8 dm. Calcular el valor del radio.

B

A

T

A

O

B

11.Los lados mayores de un triángulo rectángulo miden 50 y 48 dm, calcular su perímetro.

C


71




MATERIAL DIDÁCTICO

Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías IIen triángulos y distribuciones Lecturapor crítica II Relaciones métricas rectángulos 12.Si: AB = 3BC, calcular: r/R

17. Del punto medio del cateto de un triángulo rectángulo se traza una perpendicular a la hipotenusa dividiendo a ésta en dos segmentos que miden 3 y 5. Calcular la medida de los catetos.

A B

R

C

18.En un triángulo rectángulo ABC recto en “B”, se traza la altura BH , tal que: 9AH = 4HC y AB = 4 u. Calcular “BC”.

r

13.En el gráfico: BC = R y r = 1. Calcular el valor de AC .

19.En la figura mostrada: mAM + mNB = 90°, EL = 7 cm y LM = 2 cm. Calcular “AB”. E

L

R

r

B

C

A

D

N

M A

2r

14.De acuerdo al gráfico, marcar la relación correcta: a

B

O

20.En un triángulo rectángulo ABC (m B = 90°) se traza la mediana CM . Calcular la distancia del punto “A” a la mediana CM , si: MC = 18 u y AB = 12 u. 21.En un triángulo ABC se traza la altura BH. Calcular la longitud del segmento que une el incentro del triángulo BHC con el punto "A", si: BH = 3 u, AH =2 u y HC = 4 u.

b

22.En el gráfico mostrado, hallar “x”, tal que: r=1 y R=4. c a) a2 = bc

b) b2 = ac

c) c2 = ab

ac d) b = ac

e) b2 = a2 + c2

15.En un trapecio rectángulo PQRS: m P = m Q = 90°, QR = PQ = 6 y PS = 14. Calcular el perímetro del trapecio.

r

x

R

23.Hallar “R”, si: AC = 3 u y BD = 4 u.

C

16.Marcar la relación correcta:

R

A

B

O

c d

D b a

a) a2 + b2 + c2 + d2 = 5

b) d2 = 2(a2 + b2 + c2)

c) d2 = a2 + b2 + c2

d) d =

a2  b2  c 2 ab  bc  ac

e) a2 = b2 + c2 + d2


24.En un triángulo rectángulo ABC se traza la altura BH y se desea calcular su longitud. Se sabe que los inradios de los triángulos ABH y HBC son de 6 y 8 dm. 25.En el problema anterior, calcular la distancia entre los incentros de los triángulos ABH y HBC. 26.En un cuadrilátero convexo ABCD, las diagonales se cortan perpendicularmente. Si: AB = 6 dm, BC = 7 dm y CD = 8 dm, calcule el valor de DA .

72


COLEGIO «TRILENIUM INTERNACIONAL» 27. Grafique al triángulo rectángulo ABC de altura BH , de modo que: (AC).(AH) = 81 dm2. Calcular el valor de AB .

30.ABCD es un cuadrado de 16 dm de lado. Calcular el radio del círculo sombreado.

B

28.Calcular el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo isósceles en el cual la base y la altura correspondientes miden 12 y 18 dm. 29.Sea ABC un triángulo rectángulo (m B = 90°) y trace la ceviana BF de modo que m A = m AFB. Si: AF y FC miden “a” y “b” respectivamente, calcular el valor de BF .



MATERIAL DIDÁCTICO

A

73

C

D




Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías IIen triángulos y distribuciones Lecturapor crítica II Relaciones métricas rectángulos


74

MATERIAL DIDÁCTICO





75

MATERIAL DIDÁCTICO




MATERIAL DIDÁCTICO

Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías II y distribuciones Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos Lecturapor crítica II

TEOREMA DE EUCLIDES Primer caso ( < 90°) C

CHAltura

A



a  H

2

2

2

a = b + c - 2c . m

A

m

c 2

mproyección de AC sobre AB

b

B

H

m

CHAltura

mproyección de AC sobre AB

a

b

Segundo caso ( > 90°)

C

2

B

c 2

a = b + c + 2c . m C a

b

De aquí se deduce la Ley de Cosenos.



A

B

c 2

2

2

a = b + c - 2bc . Cos 

Teorema de la Mediana

Teorema de Herón A

A

AH altura

AM mediana b

m

C

M

2m2 

b

c C

B

H

a

2

a  b2  c 2 2


76

c

h

B a

h

2 . p(p  a)(p  b)(p  c ) a

p

abc (Semiperíme tro) 2

Tercer Año de Secundaria Cuarto Año Tercer Año de de Secundaria Cuarto deSecundaria Secundaria


MATERIAL DIDÁCTICO

Teorema de la bisectriz interior

Teorema de la bisectriz exterior

CD  bisectriz interior

CP  bisectriz exterior Recordar:

C  

a

B

x

n

D

a n = b m

b

Recordar:

C 

a



a n = b m

x

b m

B

A

A

m

P

n

x 2  ab - nm

x 2  nm - ab

Teorema de Stewart C

CF: Ceviana b

a x B

n

m

F c

A

x 2c = a 2m + b 2n - nmc


Organización Educativa Organización Organización Educativa TRILCE ¡Exigimos más .... Al másTRILCE Alto Nivel!

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MATERIAL DIDÁCTICO

Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías II y distribuciones Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos Lecturapor crítica II

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Los lados de un triángulo miden 2 ; 5 y 3 dm. Calcule la proyección del lado menor sobre el lado mayor.

8. Las diagonales de un trapecio miden 13 y 15u, siendo sus bases 4 y 10u. Calcular la altura del trapecio.

2. En el triángulo ABC, se conoce que: AB=5dm, BC=7dm y AC=6dm. Calcular la distancia desde "B" al lado AC.

9. En el paralelogramo ABCD se tiene que: 3AD=4AB y “M” es punto medio de BC . Si: AM=8 dm y MD=6 dm, calcular el valor de AB .

3. Grafique al triángulo ABC y trace la altura BH . Si: AH=2, AC=6, AB=c y BC=a, calcular “a2 - c2”. 4. Del gráfico: AB=BC=5u y AD=3u. Hallar “EF”.

10.Dado el triángulo ABC, se traza la mediana CM . Calcular el valor de “a2 + b2 - 2c2”, sabiendo que: CM  8 , AB=2c, BC=a y AC=b.

C

E

B

F

11.En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita determina el punto de tangencia “T” en AC . Calcule el valor de BT , si: AB=7dm, BC=8dm y AC=9dm.

D

12.Dado un romboide ABCD; AB=5u y AD=3u. Calcular la diagonal AC , si su proyección sobre la recta que contiene al lado AB mide 6u.

A

5. La figura muestra al triángulo ABC y al cuadrado AEFH. Si: AB=12 dm, BC=14 dm y AC=16 dm, calcule el valor de HE . B E

A

13.Los lados de un triángulo miden “K”, “Ka” y “2Ka”. Hallar el valor de “a” para que el ángulo opuesto a “K” sea 53°

14.Del gráfico; hallar “x”, siendo: R=4u.

F

H

x

C

R A

6. Dos lados de un triángulo miden 9 y 13u. Hallar el tercer lado, siendo igual a su mediana relativa.

O

B

7. Las bases de un trapecio miden 4 y 10 dm. Si los lados laterales miden 5 y 7 dm, calcular la longitud de la altura.

15.Dado un triángulo ABC, donde: a2 = b2 + c2 + Calcular la medida del ángulo "A".


78

3bc



MATERIAL DIDÁCTICO

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS 1. Dado el triángulo EFG, se sabe que: EF=8 dm, FG=10 dm y EG=9 dm. Calcule la longitud de la ceviana FA , sabiendo que: EF = 2AE. 2. En un triángulo ABC, AB=5u; BC=6u y AC=7u. Calcular “AP”, siendo “P” punto de tangencia de la circunferencia ex-inscrita relativa al lado BC .

4. En un triángulo ABC de baricentro “G”, calcular: “AB 2 + BC2 + AC2”, siendo: AG2 + BG2 + CG2 = 20.u2. 5. Un triángulo acutángulo ABC, de altura BH=9u, se encuentra inscrito en una circunferencia de centro “O” y radio igual a 6u y la bisectriz interior BD corta a HO en “F”. Hallar “BF”, siendo: FO=2u.

3. Calcular el lado mayor de un triángulo de perímetro 18u, siendo sus alturas proporcionales a los números 3; 4 y 6.

TAREA DOMICILIARIA 1. Dado el triángulo ABC, calcular la distancia desde "B" hacia el lado AC , sabiendo que: AB = 8 dm, BC = 10 dm y AC = 12 dm.

11.Del gráfico, hallar “AP”, siendo: AO = OB = PB = 2.

A

2. Las bases de un trapecio miden 3 y 9 dm. Si los lados laterales miden 4 y 5 dm, calcule la longitud de su altura.

P

3. En un triángulo ABC, se sabe que: AB = 13 dm, BC = 12 2 dm y AC = 17 dm. Calcule la proyección del lado menor sobre el lado mayor. 4. Los lados de un triángulo miden

5 ; 6 y 7 . Calcular la proyección del lado menor sobre el lado mayor.

12.ABC es un triángulo acutángulo y APQR es un rectángulo. Si: AB = 10 dm, BC = 17 dm, AC = 21 dm y QB = QR, calcular el valor de AQ . B

6. Las bases de un trapecio miden 4 y 10 u y los lados laterales miden 5 y 7 u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases.

8. Los lados de un triángulo miden 13; 14 y 15 u. Hallar la altura relativa al lado intermedio. 9. En un rombo ABCD, sobre BC se ubica el punto medio "M". Siendo: AM = 9 u y DM = 13 u, calcular el lado del rombo. 10.Los lados de un triángulo miden 8; 13 y 15. Calcular la proyección del lado menor sobre el lado mayor.



B

O

5. Los lados de un triángulo miden 10; 17 y 21 u. Hallar la proyección del lado menor sobre el lado mayor.

7. Los radios de dos circunferencias secantes miden 10 y 17 u. Hallar la longitud de la cuerda común a las circunferencias, si la distancia entre los centros mide 21 u.

10 y

P A

Q R

C

13.Los lados de un triángulo miden 4; 5 y 6 u. Calcular la longitud del segmento de bisectriz exterior relativo al lado intermedio. 14.Los lados de un triángulo son proporcionales a los números 3; 5 y 7. Hallar la medida del mayor ángulo interior del triángulo. 15.Grafique al romboide ABCD de modo que: AB = 5 cm y BC = 6 cm. Calcule la suma de cuadrados de MA y MD , siendo "M" punto medio de BC .

79




MATERIAL DIDÁCTICO

Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías II y distribuciones Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos Lecturapor crítica II 16.Con los datos indicados, calcular el valor de “x°”. B

25.Del gráfico: AC2 + BC2 = 37 y PC = 3. Calcular “OM”. (PM = MC) C

4 2

5

M

P

x° A

6

F

1

C

17. En el triángulo ABC, se conoce que: AB = 2c , AC = b 2 y BC = 2a. La mediana AM mide 3. Calcule el valor de “b2 + c2 - a2”. 18.Dado un triángulo ABC, se cumple: a2 = b2 + c2 - 1,6.bc. Calcular: mA. 19.Dado un triángulo ABC, se cumple: a2 = b2 + c2 + 1,2bc. Calcular la medida del mayor ángulo interior del triángulo.

A

O

B

ˆ , AB = 3 u y BC = 4 u. ˆ = 3m C 26.En un triángulo ABC: m A Calcular “AC”. 27. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “B”), se trazan las cevianas interiores BM y BN , tal que: AM = MN = NC; BM = 2 2 u y BN = 2 3 u. Hallar “AB”.. 28.Del gráfico, AB es diámetro, r = 4 u y R = 6 u. Hallar “x”.

ˆ ; AB = 6 u y AC = 8 u. ˆ = 2m C 20.En un triángulo ABC: m A Calcular “BC”. 21.En un triángulo ABC, AB = 8 u y BC = AC = 10 u. Se traza la altura BH y en ella se ubica el punto “P”, tal que: mAPM = 90°. Calcular “AP”. (“M” es punto medio de AC )

r A

x

R

B

22.Las bases de un trapecio miden 2 y 6 u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases, siendo los lados laterales 3 y 4 u.

29.Dado un rectángulo ABCD, fuera de él se ubica el punto “P” tal que: AP = 4 u; BP = 3 u y PD = 5 u. Calcular “PC”.

23.En un triángulo, sus medianas miden 9; 12 y 15 u. Calcular la longitud del menor lado del triángulo.

e 30.Dado un romboide ABCD, la proyección de CD sobre el lado AD mide 2 u. Hallar “BC”, siendo AM = 10 u, MD = 8 u y “M” es punto medio de BC .

24.Dado un triángulo ABC se traza la bisectriz interior AD y la mediana AM , tal que: AD = DM. Calcular “BC”,, siendo: AB.AC = 16 u2.


80





81

MATERIAL DIDÁCTICO






82

MATERIAL DIDÁCTICO




MATERIAL DIDÁCTICO

Teorema de las cuerdas

E

Teorema de las secantes C

A

B

N B

A

F E F

EN . NF = AN . NB

AC . AB = AF . AE

Teorema de la tangente A

Teorema de Ptolomeo B

b y

E

x c

a F d

2

AB = BF . BE



x.y=a.c + b.d

83




MATERIAL DIDÁCTICO

Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías II distribuciones Lecturapor crítica II Relaciones métricas en laycircunferencia

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En una circunferencia se trazan las cuerdas AB y CD que se intersectan en “F”. Si: CF=12 dm, DF=8 dm y BF=6dm, calcule la longitud de AB .

9. Hallar “DE”, si: AC=8 y BD=2. A

2. “P” es un punto exterior a una circunferencia. Desde “P” se trazan las secantes PAB y PCD . Si: PA A = 4 dm, PB = 2BA y PD=16 dm, calcule la relación entre AB y CD . 3. Desde un punto exterior “B” a una circunferencia, se trazan la tangente BA y la secante BEF . Calcule el valor de FE , si: AB=6 dm y BE=4 dm.

10.Halle “BC”, si: BF=3; EF=9 y ED = 16.

5. Una circunferencia tiene 10 cm de radio. Se traza una cuerda AB , sobre la cual se ubica un punto “M” de modo que los segmentos determinados sobre dicha cuerda miden 5 y 12 cm. Calcular la distancia desde el punto “M” hacia el centro de la circunferencia. 6. En el gráfico: AB = 6 dm, BC = 4 dm y CD = 2 dm. Calcule el valor de FD .

A

B

D

C

C

B

4. Grafique al triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia y marque “F” en el AB . Si las cuerdas AF y FB miden 6 y 4 dm, calcule la longitud de CF .

F E A

D

11.ABC es un triángulo rectángulo isósceles inscrito en una circunferencia y “F” un punto del AC. Si: FC + FA = 8 2 , calcule la longitud de la cuerda BF . 12.Según el gráfico, calcular “CB”, si: AC=CH=4. A

F

7. Hallar “DE”, si: AB=5, BC=2 y CD=1.

13.Grafique al cuadrilátero inscriptible ABCD de modo que: BC=5, CD=7 y AB=BD=AD. Calcular el valor de AC .

A

14.Calcular “MD”, si: ME=6 y 2AM = 3CM. C

M

8. En el gráfico “B” y “D” son puntos de tangencia. Si: AB=12 dm, AE=8 dm y FC=4 dm, calcule el valor de DC . B A

F E

C

A

O

D

E

B

15.Desde un punto “F” exterior a una circunferencia se trazan las tangentes FA y FB y la secante FCD que intersecta a AB en el punto "P". Si: PC=2 cm y FC=3 cm, hallar “PD”.

D Organización Educativa TRILCE ¡Exigimos más .... Al más Alto Nivel!

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MATERIAL DIDÁCTICO

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS 1. En la figura “P” es punto de tangencia, AB=1; BC=6 y CD=5. Calcular: (PB)2 + (PC)2.

3. En la figura MN es diámetro, OP=2 u y PQ.PS=60u2. Calcular la longitud del radio de la circunferencia.

D

T

2. Desde un punto exterior “A”, se trazan las secantes ABC y la diametral AEF , de modo que: EF=12, AF=x, BC=8 y m A = mEB. Si: x2 - ax - b = 0 es la ecuación que permite el cálculo de “AF”, determine el valor de “a + b”.

4. En el gráfico: BM.CN=24 y MN=8. Calcule “BC”. B N

M

A

C

5. Grafique al triángulo obtusángulo ABC cuyo lado mayor es AC . Construye hacia un mismo lado los triángulos regulares ADB y AEC. La prolongación de CB corta a la prolongación de ED en “F”. Si: FE=20 dm y AF=8 dm, calcular el valor de FC .

TAREA DOMICILIARIA 1. AB y CD son dos cuerdas secantes en “F” y que pertenecen a una circunferencia. Si: CF = 6 dm, FD = 4 dm y FB = 3 dm, calcule la longitud de la cuerda AB .

5. En el gráfico “B” y “D” son puntos de tangencia. Si: AB = 6 dm, AE = 4 dm y CF = 2 dm, calcule el valor de CD .

3. Sea ABC un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia y marque “F” en el AB. Si las cuerdas FA y FB miden 9 y 12 dm, calcule la longitud de la cuerda FC. 4. “B” es punto de tangencia. Si AE , EF y AB son valores enteros consecutivos, calcular la longitud de AF .

C

F

2. Desde un punto exterior “P” a una circunferencia se trazan las secantes PAB y PCD , de modo que: PA = 4 dm, AB = 2 dm y PD = 8 dm. Calcule la relación de AB y CD.

B D E A

6. En el gráfico, calcular el valor de ED , si: AB = 8 dm, BC = 6 dm y CD = 2 dm. E

B

C

F

A

E

D

B

A Organización Educativa TRILCE


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MATERIAL DIDÁCTICO

Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías II distribuciones Lecturapor crítica II Relaciones métricas en laycircunferencia 7. Un triángulo equilátero ABC se encuentra inscrito en una circunferencia. Sobre el arco AB se ubica el punto “F” el cual se une con los tres vértices, siendo FA = 4 y FB = 6. Calcular “FC” y el lado del triángulo equilátero.

14.En el gráfico: AF  2 5 dm. Calcular el valor de FB . A

F

B

8. Exteriormente a un cuadrado ABCD se construye el triángulo rectángulo BFC recto en “F” y cuya suma de catetos es igual a 12 cm. Hallar la distancia desde “F” hacia el centro del cuadrado. 9. “A” y “B” son puntos de tangencia y AEFH es un rectángulo. Si: PQ = 8 dm y EF = 4 3 dm, calcule el valor de HQ .

15.Grafique al cuadrilátero ABCD de modo que: BC = 5, CD = 7 y AB = BD = AD. Calcular el valor de AC . 16.En la figura, AP = 8 y AM = 6. Hallar “MN”, sabiendo que AB es diámetro de la semicircunferencia.

B P

P

E

F

Q

H

A

A

10.Hallar “BC”, si: AB = 3 y CD = 4. A

B E

D

11.En el gráfico “P” y “Q” son puntos de tangencia, AB = 2BC y EP = 2 5 . Hallar “PQ”.. Q

P E

18.En un triángulo ABC se traza la mediana CM y se dibuja la circunferencia circunscrita al triángulo MCB tangente a AC en “C”. Si AB mide 8 dm, ¿en cuánto excede AC al valor de AM ? 19.En el gráfico AB y BC son diámetros. Si BF y AC miden 6 y 24 dm, calcular la longitud de la tangente FQ trazada a la semicircunferencia de diámetro AB .

r B

A

B

H

17. En un triángulo ABC se traza la mediana BM y la bisectriz BF , la circunferencia circunscrita al triángulo FBM intersecta a AB y BC en los puntos “P” y “Q” respectivamente, tal que: AP = 3. Calcular “CQ”.

F

C

N

M

B

F

C

C

12.Según el gráfico, calcular “CB”, si: AC = CH = 6. A

C

A

20.En el gráfico, “M” es punto de tangencia. Si: AB = 30 dm, BC = 25 dm y AC = 35 dm, calcular “PM”.

C

B

B

H

O

M

13. AE , EF y AB están representados por números os enteros consecutivos. Calcular “AB”.

P

A

C

21.Hallar “FD”, si ABCD es un cuadrado y AF  FC  8 2 B

B

C

A

D

F A

E

F Organización Educativa TRILCE ¡Exigimos más .... Al más Alto Nivel!

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COLEGIO «TRILENIUM INTERNACIONAL» 22.En una circunferencia se traza la cuerda PQ que biseca a la cuerda AB . Si en PQ se forman dos segmentos que miden 9 y 16 dm, calcular el valor de AB . 23.El triángulo PQR es equilátero. Si: SP = 16 dm y SR = 12 dm, calcular el valor de SQ . Q

P

MATERIAL DIDÁCTICO

27. Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles inscrito en una circunferencia y “F” un punto del AC. Si la suma de las longitudes de las cuerdas FC y AF es de 10 2 dm, calcule la longitud de la cuerda FB . 28.Grafique al triángulo obtusángulo ABC cuyo lado mayor es AC . Construya hacia un mismo lado los triángulos regulares ADB y AEC. La prolongación de CB corta a la prolongación de ED en “F”. Si: FE = 18 dm y AF = 6 dm, calcular el valor de FC . 29.En la figura, hallar “PA”, sabiendo que los diámetros AB y CD son perpendiculares. Además: AE = 3 y EO = 2.

R S

24.En una circunferencia de 15 dm de radio se traza una cuerda AB y en ella se marca “F”, de modo que AF × FB = 200 dm2. Calcular la distancia de “F” al centro. P

e 25.En una circunferencia se traza una cuerda AB y sobre ella se marca “F” de modo que: AF × FB = 80 dm2. Si la distancia de “O” a “F” es de 5 dm, calcular el valor del radio. 26.La suma de los cuadrados de las tangentes AB y CD es de 289 dm2. Calcular el valor de AC .

C

Q A

O

E

B

D

30.En la figura “P” es punto de tangencia, AB = 2; BC = 8 y CD = 6. Calcular: (PB)2 + (PC)2. D

B

P C

A

A B

D



C

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Tanto Método Sucesiones, Inductivo ciento analogías II distribuciones Lecturapor crítica II Relaciones métricas en laycircunferencia


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MATERIAL DIDÁCTICO



MATERIAL DIDÁCTICO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Calcular la longitud de la tangente común exterior, a dos circunferencias tangentes exteriores de radios 8 m y 18 m. 2. En un triángulo cuyos lados miden 3; 4 y 5 dm, calcular el valor de la mediana media.

11.Un triángulo inscrito en una circunferencia de 20 dm de diámetro tiene como producto de las longitudes de dos lados 256 dm2. ¿Cuánto mide la altura relativa al tercer lado?

12.“O” y “B” son centros. Si: AO=OB=BC=5, calcular el valor de PQ .

3. Los lados de un triángulo miden 13; 12 2 y 17 dm. Calcular la proyección del lado menor sobre el lado mayor.

C P

4. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD . Si: AB=4, BC=6 y AD=2, calcular el valor de BD .

A

Q

B

O

5. El lado menor y el lado mayor de un triángulo rectángulo miden 10 y 26 dm. Calcular el perímetro del cuadrado cuyo lado es el otro cateto de dicho triángulo rectángulo.

13.ABCD es un trapecio isósceles con: BC // AD , AC  CD , BC=7 y AC=20. Calcular el valor de AD .

6. Calcular el menor ángulo agudo de un triángulo rectángulo, si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa están en la relación de uno a tres.

14.Calcular el perímetro de un triángulo acutángulo isósceles ABC, sabiendo que la proyección de AB en AC mide 16 y la proyección de AC en AB mide 20. Además: AC  CB .

7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa y su altura relativa miden 10 y 4 dm. Calcular la suma de los catetos de dicho triángulo.

15.En la figura: FQ=b, QR=a y SP  SR . Calcular el valor de SQ en función de "a" y "b".

8. En una circunferencia de 25 dm de radio, se traza la cuerda AB y en ella se marca “P”, tal que: AP.BP=400dm2. Calcular la distancia del punto “P” al centro de la circunferencia.

Q

P

9. En una circunferencia, una cuerda mide dos decímetros y la flecha correspondiente dos centímetros. El radio de la circunferencia mide en centímetros:

F

R S

10.En un triángulo ABC (m A  90) , se sabe que: AB=3 y AC=5. Calcular el máximo valor entero de BC . Organización Educativa TRILCE


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Sucesiones, Tanto Método por Inductivo ciento analogías II y distribuciones Relaciones métricas en triángulos y en la circunferencia Lectura crítica II

MATERIAL DIDÁCTICO

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS 1. En un triángulo ABC se traza la altura BR en el cual se ubica el punto “P”, de modo que: m APC  90 . Siendo “H” ortocentro del triángulo ABC, calcule “HP”, si: HR=2 y BP=4. 2. Calcular el radio de la circunferencia inscrita, siendo: CT  3  2 PR . B R

N

A

P

4. Desde un punto exterior “Q” a una circunferencia, se tiene que su potencia es de 36u2. Se traza la tangente AQ y se desea calcular el perímetro del triángulo equilátero cuyo lado es AQ .

5. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PB y en el arco menor AB se ubica su punto medio “M”. Calcular la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AM y PB , si: PM2 + AB2 = 16.

C

T

3. Calcular: mQR , si: HP=PQ y HS=2SQ.. Q P S R A

B

O

H

TAREA DOMICILIARIA 1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa y la altura relativa a ella miden 25 y 12 dm. Calcular la suma de los catetos de dicho triángulo.

5. En el gráfico: AB = 6 dm, EF = 2 dm y EC = AB - 1. Calcular el valor de AC .

A

2. Los lados de un triángulo miden: 2 5 ; 2 10 y 10. Calcular la proyección del lado menor sobre el lado mayor.

F

3. El lado del cuadrado ABCD mide 5 dm. Calcular el valor de FM .

B B

6. Sea ABC un triángulo donde BF es una bisectriz interior.. Si: BC = 3AB y AC = 16 dm, calcular el valor de AF .

A

M

7. Grafique el triángulo ABC y a la bisectriz interior BF . Si: AB = 10 dm, BC = 16 dm y AC = 13 dm, calcular la diferencia de FC y FA .

D

4. Con los datos indicados, calcular el valor de “x”. x  

C

C F

5

E

8. Los lados de un triángulo rectángulo miden: x; 3(x+1) y (4x - 3). Calcular el valor de la hipotenusa.

7 

10




90


COLEGIO «TRILENIUM INTERNACIONAL» 9. Sean L 1 // L2 // L 3 . Estas paralelas son cortadas por L 4 y L 5 . L 4 determina los puntos “A”, “B” y “C” en las paralelas y L 5 los puntos “P”, “Q” y “R” también en las paralelas. Si: AB = x + 1, BC = 3x - 1, PQ = 2x, QR = 12 y AP // BQ // CR , calcular "AC".

MATERIAL DIDÁCTICO

19.En la figura, hallar “QN”, si: PT = 3; r = 8 y mTPM = 2mPQM. (“T” y “M” son puntos de tangencia)

P T

10.En el gráfico: EB = 4 dm, EA = 8 dm y CF = 6 dm. Calcular el valor de CD .

Q M

r O

N

C

B E

F

A

D

11.En un trapecio ABCD de bases: BC = 7 u y AD = 18 u, las diagonales se cortan perpendicularmente. Hallar la altura BH del trapecio; si: AH = 2u. 12.Sea ABC un triángulo y EF una paralela a AC (“E”  AB y “F”  BC ). Si: EF = 5 dm, BF = 4 dm y BC = 7 dm, calcular “AC”. 13.Sea PQR un triángulo cuyo lado PR mide 10; AB = 5 y sea AB // PR (“A”  PQ y “B”  QR ). Si la distancia de “Q” hacia AB mide 2, calcular la distancia de “Q” hacia PR . 14.Sea EFG un triángulo. Marque los puntos “A” y “B” en EF y FG en ese orden de modo que: AB // GE , AE = 2FA y GB = 8. Calcular “GF”.

20.Se tiene un trapecio ABCD ( BC // AD ) donde: AD = 2BC, sobre BC y AD se toman los puntos “M” y “N” respectivamente, AM y MD intersecan a BN y NC en “E” y “F” respectivamente y la recta que pasa por “E” y “F” interseca a la prolongación de CB y AD en “P” y "Q" respectivamente. Calcular “QD”, si: PB = 12 m. 21.Se tiene una circunferencia de radio 10 u. Se traza la o cuerda AB y la cuerda BC perpendicular al diámetro trazado por “A”. Hallar “AG”, si “G” es el baricentro del triángulo ABC y AB = 18 u. 22.Sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC recto en “B”; se toma un punto “E” de modo que: AE = 1; BE = 3 y EC = 5. Hallar “AB”. 23.En un romboide ABCD (m ABD = 90°); la bisectriz del ángulo BCD intersecta en “F” a AD . Si se traza la altura BH del romboide, hallar “AH”, si: HF = 10 u y AB = 6 u. 24.Hallar “PH”, si el producto de las distancias de “A” y “B” a L es 72 u2.

15.Grafique al trapecio ABCD de base menor BC y cuyas diagonales se cortan en “O”. Si: OD = 3OB y BC = 6 dm, calcular la mediana del trapecio.

L P

16.En la figura, calcular “FC”, si: AE = 5 y EF = 6. A H

B

B

O

25.Hallar “MN”, si: r =1 u y R = 2 u.

A

E

F

C O1

17. Los lados de un triángulo miden 5; 6 y 7. Se traza por el incentro una paralela al lado que mide 6 e intersecta a los otros en “M” y “N” respectivamente. Calcular “MN”.


R

N M O

18.Se tiene los puntos “P” y “Q” exteriores a una circunferencia desde los cuales se trazan las secantes PAB, QAC y QBD, de tal forma que: m QPB = m ADQ. Calcular “AC”, si: AQ = 3 y (PA)x(AB) = 6.


r

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Sucesiones, Tanto Método por Inductivo ciento analogías II y distribuciones Relaciones métricas en triángulos y en la circunferencia Lectura crítica II


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MATERIAL DIDÁCTICO


49 - 92.pdf

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