Departamento de Ingeniería Hidráulica y M.A. de la U.P.V.
51
5.- PRODUCCIÓN DE ESCORRENTÍA
52
Departamento de Ingeniería Hidráulica y M.A. de la U.P.V.
PROBLEMA RESUELTO 1 Obtener, con discretización de 30 minutos, el hietograma neto de una lluvia de intensidad 20 mm/h y 6 horas de duración si el umbral de escorrentía es de 35 mm. RESOLUCIÓN: El hietograma de lluvia neta es la parte de la precipitación que genera escorrentía en superficie. El umbral de escorrentía es el único parámetro del modelo de producción de escorrentía del Soil Consevation Service, con el que la escorrentía superficial se evalúa directamente a partir de la precipitación según la siguiente expresión: E (t ) = 0 P (t ) ≤ P o
[ P ( t ) − P o ]2 E ( t ) = P ( t ) + 4 ⋅ P o
P ( t ) > P o
donde: E (t ) es la escorrentía acumulada desde el inicio de la tormenta hasta el instante t , es decir, lluvia neta acumulada (en mm). P(t) es la precipitación acumulada desde el inicio de la tormenta hasta el instante t (en mm). P o es el umbral de escorrentía (en mm). Conocida la lluvia neta acumulada E (t ), el hietograma neto, en mm/h, discretizado a E [ j ⋅ ∆t ] − E [( j − 1) ⋅ ∆t ] intervalos de tiempo ∆t = 0,5 horas, se obtiene como: e( j ) = ∆t Los resultados obtenidos son los siguientes: t (h)
P(t) (mm)
E(t) (mm)
0
0
0
05
10
0
1
20
0
15
30
0
2
40
0,14
2,5
50
1,18
3
60
3 13
35
70
5 83
4
80
9 21
4,5
90
13,15
5
100
17 60
55
110
22 50
6
120
27,79
e(j) (mm/h) 0 0 0 0 28 2 09 3 88 5 42 6 74 7 89 8 90 9 79 10 58
53
Departamento de Ingeniería Hidráulica y M.A. de la U.P.V.
PROBLEMA RESUELTO 2 Los parámetros de infiltración de Horton de una cuenca son los siguientes: infiltración inicial = 60 mm/h, infiltración final = 5 mm/h y constante de decaimiento = 0,5 h -1 . Si la tormenta de diseño es de 210 mm, forma triangular y duración 10 h. Se pide: 1.- Tiempo de encharcamiento 2.- Infiltración producida en mm/h y con discretización de 2 h. RESOLUCIÓN: 1.- La función de capacidad de infiltración de Horton tiene la siguiente expresión: f p (t ) = f c
donde:
+ ( f o + f c ) ⋅ e − k ⋅t
f c = infiltración final = 5 mm/h f o = infiltración inicial = 60 mm/h k= constante de decaimiento = 0,5 h-1
En cuanto a la tormenta, al ser triangular, queda definida con el tiempo de duración (10 horas), el tiempo al pico y la intensidad pico. El tiempo al pico, asumiendo que el coeficiente de avance de la tormenta es de 0,4, resulta: t p
= 0,4 ⋅ t d = 0, 4 ⋅10 = 4h
La intensidad pico se obtiene a partir del tiempo de duración y la altura de precipitación total de la tormenta (210 mm) como: i p
=
2 P 2 ⋅ 210 = = 42 mm / h t d 10 60 50 ) 40 h / m m30 ( p f , 20 i
10 0 0
2
4
6
8
10
tiempo (h)
El tiempo de encharcamiento puede evaluarse como el instante en que i(t) = f p (t) y, como puede verse en el gráfico adjunto, se alcanza antes del pico de la tormenta, por lo tanto se cumple que:
54
Departamento de Ingeniería Hidráulica y M.A. de la U.P.V.
f p ( t e )
= 5 + 55 ⋅ e −0 ,5⋅t = i(t e ) = 42 ⋅ e
t e t p
= 42 ⋅
t e
4
Por tanto: 5 + 55 ⋅ e−0 ,5⋅t − 10 ,5 ⋅ t e = 0 e
=> te = 2,21 h
2.- Para el cálculo de la infiltración producida, debe tenerse en cuenta que ocurre a una tasa f(t) tal que: si i(t ) ≤ f p (t ) → f (t ) = i(t ) si i(t ) ≥ f p (t ) → f (t ) = f p (t ) En forma tabular, y adoptando como valor medio de la tasa de infiltración en cada intervalo de tiempo de 2 horas la media entre la tasa de infiltración al inicio y al final del mismo, resulta: t (h)
f p(t) (mm/h)
i(t) (mm/h)
f(t) (mm/h)
0
60
0
0
f(j) (mm/h) 10,50
2
25,23
21
21
16,72 4
12,44
42
12,44
10,09 6
7,74
28
7,74
6,88 8
6,01
14
6,01
3,01 10
5,37
0
0
donde los valores de intensidad de precipitación de la tormenta triangular se obtienen como: i (t ) = i p ⋅ i (t ) = i p ⋅
t t p t d − t t d − t p
si t = t p si t > t p
y la infiltración promedio de intervalo se obtiene como: f ( j ) =
f [ j ⋅ ∆t ] + f [( j − 1) ⋅ ∆t ]
∆t
PROBLEMA RESUELTO 3 En una cuenca de 65 km2 el umbral de escorrentía de la parte alta es de 18 mm (ocupando una superficie de 20 km2), mientras que en el resto de la cuenca es de 35 mm. Si la tormenta de diseño es de 100 mm, forma rectangular y duración 4 h, se pide:
55
Departamento de Ingeniería Hidráulica y M.A. de la U.P.V.
1.- Umbral de escorrentía de la cuenca. 2.- Tiempo de encharcamiento. 3.- Obtener y representar gráficamente la infiltración producida con discretización horaria en mm/h. RESOLUCIÓN: 1.- El umbral de escorrentía promedio en la cuenca se obtiene por promediación areal de los valores correspondientes a la parte alta y el resto de la cuenca: Parte alta de la cuenca: P 0,1 = 18 mm , S1 = 20 km2 Resto de la cuenca: P 0,2 = 35 mm , S2 = 65 – 20 = 45 km2 Así: P0 =
P 0 ,1 ⋅ S 1 + P 0 ,2 ⋅ S 2 S 1 + S 2
=
18 ⋅ 20 + 35 ⋅ 45 = 29,8 mm 65
2.- La tormenta de diseño es rectangular, por lo que la intensidad de lluvia es constante en toda su duración, e igual a: P 100 = = 25 mm / h i (t ) = cte = 4 t d El tiempo de encharcamiento es el instante en que comienza la escorrentía superficial; esto es, cuando la precipitación aumulada desde el inicio de la tormenta iguala al umbral de escorrentía. Dado que la lluvia es de intensidad constante, se puede obtener como: P 29,8 te = 0 = = 1,19 h i 25 3.- Primeramente, haciendo uso de la expresión del Soil Consevation Service, se evalúa la escorrentía superficial producida por la tormenta: E (t )
=0
[ P ( t ) − P o ]2 E ( t ) = P ( t ) + 4 ⋅ P o donde:
P (t ) ≤ P o
P ( t ) > P o
E (t )
es la escorrentía acumulada desde el inicio de la tormenta hasta el instante t (en mm). P(t) es la precipitación acumulada desde el inicio de la tormenta hasta el instante t (en mm). P o es el umbral de escorrentía (en mm).
Conocida la escorrentía acumulada E (t ), la infiltración aumulada desde el inicio de la tormenta F(t) se obtiene por balance entre la precipitación y la escorrentía superficial: F (t ) = P (t ) − E (t )
Y, finalmente, la tasa de infiltración horaria f(j) se obtiene a partir de la infiltración F [ j ⋅ ∆t ] − F [( j − 1) ⋅ ∆t ] acumulada como: f ( j ) = ∆t
56
Departamento de Ingeniería Hidráulica y M.A. de la U.P.V.
Los resultados obtenidos son los siguientes: t (h)
P(t) (mm)
E(t) (mm)
F(t) (mm)
0
0
0
0
1
25
0
25
2
50
f(j) (mm/h) 25,00 22,59
47,59
2,41
16,89 3
75
64,48
10,52
13,04 4
100
77,52
22,48
PROBLEMA RESUELTO 4 Una tormenta de duración 10 horas y precipitación total de 120 mm, descarga durante las primeras 2 horas 86 mm. El valor del umbral de escorrentía de la cuenca donde se produce la tormenta es de 37 mm. Se pide: 1.- Dibujar el hietograma de la tormenta en mm/h. 2.- Determinar el tiempo de encharcamiento. 3.- Obtener la intensidad de lluvia neta en mm/h en la cuenca durante las 2 últimas horas de la tormenta. RESOLUCIÓN: 1.- Asumiendo intensidad de lluvia constante entre los pares de valores (tiempo, precipitación acumulada) conocidos, el pluviograma de la tormenta es:
86 ) m m ( P
0
2
4
6
tiempo (h)
8
10
57
Departamento de Ingeniería Hidráulica y M.A. de la U.P.V.
Y el hietograma resulta:
43 ) h / m m ( i
4,25 0
2
4 6 tiempo (h)
8
10
2.- Como puede observarse en el pluviograma, el tiempo de encharcamiento, instante en que la precipitación aumulada desde el inicio de la tormenta iguala al umbral de escorrentía (37 mm), se alcanza antes de las 2 horas; y dado que, hasta ese instante, la lluvia es de intensidad constante: 37 P = 0,86 h = 51,6 min te = 0 = i0 − 2h 43 3.- Haciendo uso de la expresión del Soil Consevation Service, puede obtenerse la escorrentía superficial acumulada a 8 y 10 horas del inicio de la tormenta:
[ P ( 8 h ) − P o ]2 [111 ,5 − 37]2 = = 21 ,39 mm E ( 8 h ) = P ( 8 h ) + 4 ⋅ P o 111 ,5 + 4 ⋅ 37 [ P ( 10 h ) − P o ]2 [120 − 37]2 = = 25 ,70 mm E ( 10 h ) = P ( 10 h ) + 4 ⋅ P o 120 + 4 ⋅ 37 donde: P ( 8 h ) = P ( 2 h ) + (8 − 2 ) ⋅ i2−10 h
= 43 + 6 ⋅ 4 ,25 = 111 ,5 mm
Por resta entre los valores de escorrentía acumulada a 8 y 10 horas se obtiene la escorrentía (lluvia neta) producida en las 2 últimas horas de la tormenta (25,70-21,39 = 4,31 mm). Por lo que la intensidad de lluvia neta en las 2 últimas horas de la tormenta resulta: 4 ,31mm = 2,16 mm/h e8-10 h = 2h
58
Departamento de Ingeniería Hidráulica y M.A. de la U.P.V.
PROBLEMA RESUELTO 5 Un depósito cilíndrico de 20 m de diámetro y 3 m de altura presenta graves problemas de filtraciones en su base al carecer de impermeabilización. El terreno sobre el que se apoya el depósito se caracteriza por tener una porosidad de 0,3, una humedad residual de 0,1, una permeabilidad saturada de 0,005 cm/s y su presión capilar en m.c.a. viene definida por la siguiente ecuación: Ψ = 0 ,8 ⋅ S −0 ,7 , donde S es la porosidad efectiva del medio. El depósito se mantiene siempre lleno. Sabiendo que el nivel freático está situado a 10 m de profundidad y que la humedad inicial del terreno es de 0,27 en el momento del primer llenado, se pide, aplicando el modelo de Green y Ampt: 1.- Volumen de agua perdido durante la primera media hora después del llenado del depósito. 2.- Pérdidas anuales del depósito. RESOLUCIÓN: Resolvemos el ejercicio con las siguientes premisas: i) ii)
Se asume la hipótesis de que la componente horizontal del movimiento del agua en el terreno es despreciable. El movimiento vertical del agua en el terreno se produce, a modo de pistón, mediante un frente húmedo saturado (frente mojante) indeformable en el tiempo, convirtiéndose el gradiente capilar en succión capilar del frente (hipótesis de Green y Ampt). 20 m
El esquema es el siguiente:
h0 = 3m
L = 10 m
NF
1.- A partir de los datos del enunciado, la porosidad efectiva es: θ − θ r 0 ,27 − 0 ,1 = = 0 ,85 S = i φ − θ r 0 ,3 − 0 ,1 Por lo que la succión capilar del frente es: Ψ = 0 ,8 ⋅ S −0 ,7 = 0 ,8 ⋅ 0 ,85−0 ,7 = 0 ,896 m.c .a.
59
Departamento de Ingeniería Hidráulica y M.A. de la U.P.V.
Por definición, el volumen de agua fugado hasta un instante t después del llenado del depósito se corresponde con la infiltración acumulada en el terreno hasta ese instante, F(t), que, según el modelo de Green y Ampt, tiene la siguiente expresión:
K ⋅ t = F (t ) − (Ψ + h0 ) ⋅ ∆θ ⋅ ln 1 +
(Ψ + h0 ) ⋅ ∆θ F (t )
Ecuación implícita en F(t) donde: K es la permeabilidad saturada (0,005·10 -2 m/s) h0 es la altura de agua acumulada en superficie (3 m, puesto que el enunciado explicita que “el depósito de mantiene siempre lleno ” y su altura es de 3 m) ∆θ es el incremento de humedad en el suelo con el paso del frente mojante; por tanto, igual a la diferencia entre la porosidad y la humedad inicial (0,03). Para t = 0,5 horas, el producto de la permeabilidad saturada por el tiempo es: K ⋅ t = 0 ,005 ⋅ 10−2 ⋅ (0 ,5 ⋅ 3600 ) = 0 ,09 m Y la ecuación de infiltración acumulada queda: F (0 ,5 ) 0 ,09 = F (0 ,5 ) − 3 ,896 ⋅ 0 ,03 ⋅ ln 1 + 3 ,896 ⋅ 0 ,03 Resolviendo: F (0,5) = 0,210 m Y, finalmente, el volumen de agua perdido durante esa primera hora se obtiene multiplicando por la superficie en planta del depósito: π ⋅ 20 2 V (0,5) = F (0 ,5) ⋅ S dep = 0,210 ⋅ = 66,086 m 3 4 Obsérvese que en t = 0,5 horas:
L
(0,5) =
F (0 ,5)
∆θ
=
0 ,210 = 7,012 m < Prof NF = 10 m 0 ,03
Esto es, media hora después del primer llenado del depósito (y, por tanto después del inicio de la infiltración en el terreno) el frente mojante no ha alcanzado el nivel freático, lo cual confirma la validez de los cálculos realizados para evaluar el volumen total infiltrado en el terreno hasta ese instante. 2.- Para evaluar las pérdidas anuales debe tenerse en cuenta que la situación es estacionaria, el frente mojante ha alcanzado el nivel freático ( L = 10 m) y, por tanto, la succión capilar del frente es nula ( Ψ = 0). En esta situación, la tasa de flujo a través del perfil de terreno se puede evaluar como: 3 + 10 h + L = 0 ,005 ⋅ 10− 2 ⋅ = 6 ,5 ⋅ 10−5 m s f = K ⋅ 0 L
10
Por lo que el volumen perdido durante un año resulta: 2 − 5 π ⋅ 20 V (añ o ) = f ⋅ S dep ⋅ t = 6 ,5 ⋅10 ⋅ ⋅ (3600 ⋅ 24 ⋅ 365) = 643.976,2 m 3 4
60
Departamento de Ingeniería Hidráulica y M.A. de la U.P.V.
PROBLEMA PROPUESTO 6 Sobre una parcela de umbral de escorrentía 17 mm cae una tormenta de intensidad uniforme, duración 8 horas y precipitación total 81 mm. Se pide: 1.- Determinar el tiempo de encharcamiento. (t e =1,68 h) 2.- Obtener la infiltración media producida las dos últimas horas. (3,81 mm/h)
PROBLEMA PROPUESTO 7 Sobre una zona cuyo umbral de escorrentía es de 60 mm, se produce una tormenta cuya intensidad media es de15 mm/h, duración 10 horas e intensidad durante las últimas 4 horas 30 mm/h. Se pide: 1.- Tiempo de encharcamiento. (7 horas) 2.- Intensidad media de la lluvia neta. (6,9 mm/h)
PROBLEMA PROPUESTO 8 Sobre una zona cuyo umbral de escorrentía es de 60 mm, se produce la siguiente tormenta: t (h) i (mm/h)
0-2 10
2 – 2,5 30
2,5 - 3 50
3–5 30
Se pide: 1.- Altura acumulada de precipitación neta al final de la tormenta. (10 mm) 2.- Duración de la lluvia neta. (2 horas)
PROBLEMA PROPUESTO 9 Sobre una cuenca cuya superficie es de 5 Km2, cae una tormenta de 6 horas de duración cuyo hietograma es: t (h) i (mm/h)
0–1 15
1-2 30
2-3 35
3-4 20
4-5 10
5-6 10
El hidrograma superficial de respuesta tiene un volumen de 0,25 hm 3. Determinar: 1.- El valor promedio del umbral de escorrentía en la cuenca. (20 mm) 2.- La abstracción media producida en las tres últimas horas de la tormenta. (1,85 mm/h)
61
Departamento de Ingeniería Hidráulica y M.A. de la U.P.V.
PROBLEMA PROPUESTO 10 En una cuenca de 17 Km2 los parámetros de infiltración de Horton son los siguientes: infiltración inicial = 60 mm/h, infiltración final = 5 mm/h y constante de recesión = 0,5 h-1 . Sobre dicha cuenca se produce la siguiente tormenta: t (h) i (mm/h)
0–1 10
1-2 20
2-3 45
3-4 60
4-5 5
Se pide: 1.- Estimar el tiempo de encharcamiento. (2 horas) 2.- Determinar, asumiendo una abstracción inicial de 4 mm, el volumen (en Hm 3) del hidrograma superficial de respuesta en el desagüe de la cuenca. (1,171 Hm 3 )
