3esopropuestasparalaevaluacion3esosantillana-120918164024-phpapp01

1

Números racionales

INTRODUCCIÓN

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Esta unidad tiene un carácter procedimental y ya ha sido trabajada en cursos anteriores, sobre todo en el uso de fracciones y números decimales. Por tanto, los contenidos procedimentales de la unidad son conocidos por los alumnos, pero se ha de reforzar el método de trabajo de manipulación de fracciones, así como también se deben ampliar algunos conceptos de transformaciones de fracciones y decimales, e introducir la clasificación de números y la representación gráfica de números racionales.

Se recomienda comenzar la unidad comprobando comprobando y repasando, si es necesario, los conceptos más importantes sobre divisibilidad y las distintas interpretaciones de una fracción: como cociente de dos números, como resultado de una medida y como operador, dejando clara la interpretación de fracciones positivas y negativas; la diferencia entre las fracciones propias e impropias; la representación de fracciones mediante figuras geométricas y las operaciones con fracciones. Los conocimientos previos que han de tener los alumnos son:

A lo largo de la unidad, conviene hacer reflexionar a los alumnos sobre la presencia de las fracciones en distintos contextos: situaciones de compra o consumo, figuras geométricas, informaciones en medios de comunicación…

• Criterios Criterios de divisibi divisibilidad lidad.. El m.c.d. m.c.d. y el m.c.m. de dos o más números. • Interpre Interpretació tación n de un número número fracciona fraccionario. rio. • Represen Representació tación n de de fraccio fracciones. nes.

CONTENIDOS NÚMEROS RACIONALES • Concepto de fracción. Interpretación de una fracción. Fracciones Fracciones equivalentes. equivalentes. Fracción irreducible. • Ordenació Ordenación n y comparaci comparación ón de fraccio fracciones. nes. • Operaciones con con fracciones. Suma, resta, resta, multiplicación y división de fracciones. fracciones. • Concepto Concepto y tipos tipos de de números números decimale decimales. s. • Fraccione Fraccioness y números decimal decimales. es. Reglas Reglas de conversión conversión.. • Números Números racion racionales ales y fraccio fracciones. nes.

SUGERENCIAS Y PREGUNTAS PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba inicial es un resumen de los contenidos de «Divisibilidad» y «Fracciones», de 2.º ESO, haciendo hincapié en aquellos procedimientos más básicos: calcular el m.c.d. y el m.c.m. de dos números, averiguar la fracción que representa una parte de un gráfico, representar gráficamente una fracción y alguna de las operaciones básicas: suma y multiplicación de fracciones y simplificación de fracciones.

La prueba que se ha diseñado contiene todos los contenidos procedimentales de la unidad. Las actividades se pueden resolver fácilmente, ya que es una unidad de revisión de conceptos y procedimientos estudiados en cursos anteriores. Las últimas actividades: problemas y clasificación de números, son las que pueden resultar más complicadas a los alumnos.

MATEMÁTICA MATEMÁTICAS S 3.° ESO

MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

419

N Ó I C A U L A V E E D S A T S E U P O R P

1

NÚMEROS RACIONALES

EVALUACIÓN INICIAL 1

Completa la tabla con Sí o No. ¿Es divisible por? Número

2

3

5

7

11

13

12 434 825 30 468 11

2

Descompón los números 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m. 132

3

154

El tangram es un antiguo puzle chino en el que el número y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la división de un cuadrado. a) Escribe, para para cada una una de las siete piezas, piezas, la fracción que supone supone su área respecto del área total del tangram . b) ¿Qué fracción fracción del total suponen suponen los triángulo triángulos? s? c) Si el el área área total total del tangram es 32 cm 2, ¿cuál es el área de cada una de las piezas?

4

Representa gráficamente las siguientes fracciones. a)

5

b)

8

3 10

c)

9 20

Calcula esta operación con fracciones y simplifica el resultado. 5 18

420

3

+

5 6

⋅

8

=

5



1

NÚMEROS RACIONALES


Completa la tabla con Sí o No. ¿Es divisible por? Número

2

3

5

7

11

13

12 434 825 30 468 11

2


3

154

El tangram es un antiguo puzle chino en el que el número y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la división de un cuadrado. a) Escribe, para para cada una una de las siete piezas, piezas, la fracción que supone supone su área respecto del área total del tangram . b) ¿Qué fracción fracción del total suponen suponen los triángulo triángulos? s? c) Si el el área área total total del tangram es 32 cm 2, ¿cuál es el área de cada una de las piezas?

4


5

b)

8

3 10

c)

9 20


420

3

+

5 6

⋅

8

=

5



EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1

Completa la tabla con Sí o No. ¿Es divisible por?

2

Número

2

3

5

7

11

13

12

Sí

Sí

No

No

No

No

434

Sí

No

No

Sí

No

No

825

No

Sí

Sí

No

Sí

No

30

Sí

Sí

Sí

No

No

No

468

Sí

Sí

No

No

No

Sí

11

No

No

No

No

Sí

No


132

154

2

66

2

77

7

33

3

11

11

11

11

m.c.d. (132, (132, 154) 154) = 2 ⋅ 11 = 22 F

m.c.m. (132, 154) = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 924

1

1

3

El tangram es un antiguo puzle chino en el que el número y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la división de un cuadrado. a) Escribe, para para cada una una de las siete piezas, la fracción que supone supone su área respecto del área total del tangram .

A1 = A 2 =

1 2

3

1 4

,

1

A 3 = A6 =

16

A4 = A5 = A7 =

1 8

b) ¿Qué fracción del total suponen los triángulos? triángulos?

4

⎛1

A T = 1 − ( A4 + A5 ) = 1 − ⎜⎜⎜

⎝ 8

5 6

,

+

1 ⎞⎟

1

3

⎟⎟ = 1 − = 8 ⎟⎠ 4 4

c) Si el el área área total total del tangram es 32 cm2, ¿cuál es el área de cada una de las piezas?

7

A1 = A 2 = 8 cm 2 , A 3 = A6 = 2 cm 2 , A 4 = A 5 = A7 = 4 cm 2 4


3

b)

8

a)

5

3

c)

10

b)

9 20

c)


+

5 6

⋅

8 5

=

5 18

+

8 6

=

5 +8 18


⋅

3

=

29 18


421


1

NÚMEROS RACIONALES contenidos

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 15 y cuyo denominador denominador sea 80. 48

Obtención de fracciones equivalentes mediante amplificación y simplificación.

1

Escribe una fracción equivalente a

Determinación de si dos fracciones son o no equivalentes.

2

De las siguientes fracciones, rodea las que sean equivalentes a 6

7

11

15

18

20

23

21

21

30

45

55

60

65

Búsqueda de fracciones equivalentes a una dada.

3

Encuentra las fracciones irreducibles de estas fracciones:

Comparación y ordenación de fracciones.

4

Ordena las siguientes fracciones:

5

Completa la suma:

6

Opera y simplifica.

Operaciones con fracciones.

2 3

+

=

5 . 15

128 128 144 144 y . 1.024 54

7 14 23 33 , , , . 4 5 11 14

7 . 5

⎡ 3 ⎛ 5 15 ⎞⎟⎤ ⎢ − ⎜⎜ : ⎟⎟⎥ ⋅ a) ⎜⎝ 7 9 ⎢⎣ 4 2 ⎟⎠⎥⎦ 5

⎡ 5 ⎛ 6 42 ⎞⎟⎤ ⎜⎜ ⎢ ⎟⎟⎥ ⋅ − − b) ⎜⎝ 27 5 ⎢⎣ 32 24 ⎟⎠⎥⎦ 7

CAPACIDADES PREFERENTES

PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 8

relaciones, etc. ............................................. ................................. • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, distinguir, asociar asociar e interpretar datos y relaciones ...................................................... ..................... 1, 2, 4, 9 • Transformar, distinguir, reglas o leyes leyes .......................................... ......................................... ........................ • Extrapolar, deducir e inferir reglas • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 3, 5, 6, 10, 11

422



Reconocimiento y clasificación de números.

7

Sin realizar ninguna división, clasifica estos números en enteros, decimales exactos o decimales periódicos. 7 40

8

,

40 7

,

128 8

,

35 15

,

13 128

,

15 34

Completa la siguiente tabla. N

Z

Q

I

13

−

7 23 

−7,8 8 2

Obtención de la fracción generatriz de un número decimal exacto o periódico.

Resolución de problemas con fracciones.

9

Obtén la fracción generatriz de los números decimales. a) 12,05



b) 12,05



c) 12,05

10 En la fabricación de sulfato sódico, por cada 142 g del producto final,

32 g son de azufre, 64 g de oxígeno y 46 g de sodio. Expresa mediante una fracción los gramos de azufre, oxígeno y sodio que son necesarios para fabricar 100 g de sulfato.

4 partes son chicos. ¿Qué fracción representa 7 el número de chicas? ¿Cuántas chicas hay si son 28 alumnos en total?

11 De la clase de 3.º ESO, las


PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ..................... ............................................. ......................................... ........ 5, 7, 11 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .......................................... ............................................ ........................... 5 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ...................................... ............................................. ........................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................... ......................................... .......................

MATEMÁTICAS 3.° ESO


423


1

NÚMEROS RACIONALES

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1

Fracción equivalente.

2

Fracción equivalente.

15 48

Fracciones irreducibles.

4

Ordenación de fracciones.

5

Operación inversa.

6

Cálculo. a)

b)

7

2 3

20

23

21

21

30

45

55

60

65

=

2 2

23

<

11

7

5 9

⎛ 3 ⋅ ⎜⎜ − ⎜⎝ 4

x=

5

128

54

4.312

23

1.540 7 5

⎞⎟ ⎟⎟ = ⎠ 105 ⎟ 6

8

→

10

⎛ 5 ⋅ ⎜⎜ − ⎜⎝ 32

144

−

5 9

2

7

=

3

⋅ 3 2 = ⋅ 3 3

8 3

315

⋅

− 40

420

13

1.540

= 7 5

5

3.630

33

→

1.540

14

11

=

15

⋅ 275

=

3..780

⎛ 5 ⋅ ⎜⎜ + ⎜⎝ 32

1.375

=

3.780

330 ⎞ ⎟

7

⎟⎟ = ⎠ 216 6 ⎟

5

⋅

275 756 1.455 864

7

8

15

128

34

Entero

D. Periódico

D. Exacto

D. Periódico

9

13

a) 12,05 =

1.205 100 1.205



b) 12,05 = 

23

c) 12,05 =

=

1.205

− 120 − 12

=

=

1.085 90

=

1.193 99

8 2

10 Por 100 g de sulfato sódico.

Sodio:

142 46 142

= =

11 En el aula. 1 −

424

x

→

100

z

→

100 4 7

=

7

x= z=

− 4 7

1.600

64

Oxígeno:

71

142

=

y

→

100

y=

3.200 71

2.300 71

=

3 7


son chicas;

3 7

288

20

99



−7,8

32

679

241

90

7

Azufre:

=

15

D. Periódico

I

3.220 →

15

40

Q

4

2

⋅ 3 −2 ⋅ 5

D. Exacto

Z

=

11

⋅ 8 − 42 ⋅ 9 ⎞⎟ ⎟⎟ = ⎟⎠ 216

35

2

5

5

→

1

14

<

14

5

7

2

14

1.540

=

3

33

2.695

+ x =

1

=

10

→

40

N

−

7

<

⎡ 5 ⎛ 6 42 ⎞⎟⎤ ⎟⎟⎥ = ⋅⎢ − ⎜⎜ − ⎜ ⎢ ⎝ 5 ⎣ 32 27 24 ⎟⎠⎥⎦

8

80

18

4

7

48

25

=

15

7

Clasificación.

15 →

11

4

⎡ 3 ⎛ 5 15 ⎞⎟⎤ ⎟⎟⎥ = ⋅ ⎢ − ⎜⎜ : ⎜⎝ 7 9 ⎢⎣ 4 2 ⎟⎠⎥⎦

48

25

7

7

5

=

6

1.024

7

⋅ 80

15

x=

→

80

128

3

Común denominador:

x

=

de 28

=

3 7

⋅ 28 =

3

⋅ 28 7

=


12 chicas

217 18

2

Números reales

INTRODUCCIÓN


En esta unidad se trabajan los números decimales, su relación con las fracciones y el uso de potencias. Los contenidos siguen siendo básicamente procedimentales. Al acabar la unidad los alumnos han de saber manipular perfectamente las potencias y la notación científica, que son esenciales en otras áreas de las Matemáticas. Uno de los aspectos más importantes de la unidad es el concepto de número irracional y la estimación y aproximación de números.

Esta unidad está relacionada con los contenidos de «Números decimales» y «Potencias y raíz cuadrada». Los conocimientos previos son los relativos a: • Potencias con base entera. • Trabajo con números decimales y en notación científica.

CONTENIDOS NÚMEROS REALES 1. Números racionales. • Potenciación de números racionales. Potencias de exponente positivo. Potencias de exponente negativo. Propiedades de las potencias. • Operaciones con potencias. • Potencias de base 10. Notación científica. • Operaciones con números expresados en forma científica. 2. Concepto de número real. • Número con una expresión decimal finita o infinita. Números racionales e irracionales. • Posición de un punto en una recta numérica. • Aproximación de números reales expresados en forma decimal: redondeo y truncamiento. Reglas de uso. • Error cometido en las aproximaciones y operaciones con números reales.

SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba inicial es un resumen de los contenidos de «Potencias y raíz cuadrada», de 2.º ESO, en el que se hace hincapié en los conceptos básicos de las potencias: cálculo y transformaciones directas (actividades 1 y 2) e inversas (actividad 3), así como el cálculo con números en notación científica (actividad 5).

La prueba tiene tres partes diferenciadas. La primera parte (actividades 1 a 6) consta de cuestiones de repaso de las potencias y de manipulación de números mediante notación científica, que se pueden trabajar con la calculadora y que sirven para conocer l os diferentes tipos de calculadoras. La segunda parte (actividades 7 a 9) es de trabajo con los números reales: aproximaciones y representación gráfica, siendo las dos últimas actividades problemas para realizar con la calculadora.



425


2

NÚMEROS REALES


Escribe la descomposición factorial de los siguientes números. a) 810 b) 31.752

2

c) 4.455 d) 33.275

Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias. Base

Exponente

Resultado

23 (−3)2 ⎛ 1 ⎞⎟4 ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎟⎠ ⎛ 3 ⎞⎟2 ⎜⎜− ⎟ ⎝⎜ 7 ⎟⎟⎠

3

4

Estos datos se refieren a un cubo. Completa la tabla con la calculadora. Arista

3

5

Volumen

27

Área de una cara

9

729

4.913 64

4.225

Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2. 21 = 2

22 = 4

23 = 8

26 =

27 =

28 =

24 = 16

25 = 32

Observa la cifra de las unidades en los resultados. ¿Cuál será la última cifra de la potencia 2 36? 5

426

Un embalse que abastece a una población tiene 250 hm 3. Si, por término medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la población consta de 13.350 habitantes, ¿cuántos días podrá abastecer el embalse a la población?




Escribe la descomposición factorial de los siguientes números. a) 810 = 2 ⋅ 3 4 ⋅ 5 b) 31.752 = 2 3 ⋅ 3 4 ⋅ 7 2

2

Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias.

23 (−3)2

Base

Exponente

Resultado

2

3

8

2

9

3

−

4

⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎟⎠

1

2

4

−

1

4

5

⎛ 3 ⎞⎟ ⎜⎜− ⎟ ⎜⎝ 7 ⎟⎟⎠

3

c) 4.455 = 3 4 ⋅ 5 ⋅ 11 d) 33.275 = 5 2 ⋅ 113

3

625 9

2

7

49

Completa la tabla con la calculadora. Arista

3

9

8

5

Volumen

27

729

512

125

Área de una cara

9

81

64

25

65

17

274.625 4.913

4.225

289

Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2. 21 = 2 26 =

22 = 4 64

27 =

23 = 8 128

28 =

24 = 16

25 = 32

256

Observa la cifra de las unidades en los resultados. ¿Cuál será la última cifra de la potencia 2 36? Se repite la última cifra cada 4 unidades: {2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, …}; por tanto, la potencia 2 36 tendrá la misma última cifra que 2 4 , es decir, un 6.

5

Un embalse que abastece a una población tiene 250 hm 3. Si, por término medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la población consta de 13.350 habitantes, ¿cuántos días podrá abastecer el embalse a la población? Dividimos la cantidad total de agua entre la cantidad diaria que gasta cada habitante: 250 ⋅ 10 6 200

=

1, 25 ⋅ 10 6 días. Luego dividimos esta cantidad entre el número de habitantes

que tiene la población:

1, 25 ⋅ 10 6 13.350


≈

94 días.


427


2

NÚMEROS REALES

contenidos

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD

Cálculo de potencias con exponentes negativos.

Aplicación de las propiedades de las potencias.

1

Calcula las siguientes potencias. ⎛ 1 ⎞⎟− a) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎠

2

2

b) ((−3)2)−2

Expresa como una sola potencia. ⎛ 1 ⎞⎟−4 3 ⋅ 9 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 27−2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 2

3

3

Calcula y simplifica la siguiente potencia. (8 ⋅ 4−2)3

Expresión de un número en notación científica.

4

Escribe en notación científica estos números o expresiones numéricas. a) 1.700.000.000 b) 0,0000000017 c) 0,0025 + 0,0000032 − 0,00002

Trabajo con números y potencias en notación científica.

5

(6,5 ⋅ 107 − 0,23 ⋅ 109) ⋅ 5,1 ⋅ 10−3

6

Determinación de aproximaciones decimales de números racionales e irracionales hasta las décimas, centésimas…

Opera mediante la notación científica.

7

Calcula el término que falta. a) 3,2 ⋅ 105 +

= 5,7 ⋅ 106

b) 1,5 ⋅ 10−3 ⋅

= 2,7 ⋅ 104

Trunca y redondea los siguientes números o expresiones numéricas a las milésimas. 5

a) b)

c)

19 6 3 5



− 0,3


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 1, 4 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. 2, 3 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones .................................................................. ......... 7 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .......................................... ......................................... ........................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 1, 2, 3, 5, 6, 10

428



Representación de números e intervalos en la recta real.

Resolución de problemas con diferentes tipos de números y aproximaciones.

8

Representa el número 5 en la recta real de forma exacta.

9

Representa en la recta real y de forma exacta los intervalos ⎛ ⎛ 5 17 ⎞⎟ 14 7 ⎤⎥ ⎟⎟. Luego comprueba si los números 5 y − A = ⎜ y B = ⎜⎜⎜ , ⎜⎜−3, ⎝ ⎝2 5 3 ⎥⎦ 4 ⎟⎠ pertenecen o no a los intervalos.

10 Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro con un diámetro de unas 7 millonésimas

de metro y unas 2 millonésimas de altura. ¿Cuál es su volumen?

11 En una botella de aceite virgen se indica: 0,75 ¬ ± 3 %. ¿Entre qué dos valores

estará comprendida la cantidad de aceite que contiene?


PRUEBAS

•

Clasificar y discriminar según criterios ............................. ............................................. ......................................... 8, 9

•

Contrastar operaciones, relaciones, etc. ............................................................................... .................................. 7, 11

•

Combinar, componer datos, resumir, etc. ...................................... ............................................. ...........................

•

Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................... ......................................... .......................



429


2

NÚMEROS REALES


1

⎛ 1 ⎞⎟− a) ⎜⎜ ⎟⎟ = ((5) −1) −2 = 5 2 = 25 ⎜⎝ 5 ⎟⎠

2

⎛ 1 ⎞⎟−4 Cálculo. 3 ⋅ 9 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ 27−2 = 3 2 ⋅ ( 3 2 ) 3 ⋅ ( 3 −1) −4 ⋅ ( 3 3 ) −2 = 3 2 + 6 + 4−6 = 3 6 ⎝3⎠

3

Cálculo y simplificación. (8 ⋅ 4−2) 3 = (2 3 ⋅ (2 2 ) −2 ) 3 = (2 3 −4 ) 3 = (2 −1) 3 = 2 −3

4

Notación científica.

2

1

b) ((−3)2)−2 = ( 3 2 ) −2 = 3 −4 =

3

3 4

1

=

81

b) 0,0000000017 = 1,7 ⋅ 10 −9

a) 1.700.000.000 = 1,7 ⋅ 10 9

c) 0,0025 + 0,0000032 − 0,00002 = 2,5 ⋅ 10 −3 + 3,2 ⋅ 10 −6 − 2 ⋅ 10 −5 = = (2.500 + 3,2 − 20) ⋅ 10 −6 = 2,4832 ⋅ 10 −3

5

(6,5 ⋅ 10 7 − 0,23 ⋅ 10 9) ⋅ 5,1 ⋅ 10 −3 = ((6,5 − 23) ⋅ 10 7 ) ⋅ 5,1 ⋅ 10 −3 = = −16,5 ⋅ 10 7 ⋅ 5,1 ⋅ 10 −3 = −84,15 ⋅ 10 4 = 8,415 ⋅ 10 5

6

a) 3,2 ⋅ 105 +

A

= 5,7 ⋅ 106

→

A = 5,7 ⋅ 10 6 − 3,2 ⋅ 10 5 = (5,7 − 0,32) ⋅ 10 6 = 5,38 ⋅ 10 6

b) 1,5 ⋅ 10−3 ⋅

B

= 2,7 ⋅ 104

→

B=

7

2 , 7 ⋅ 10 4

= 1, 8 ⋅ 10 7

−3

1, 5 ⋅ 10

Truncamiento y redondeo.

Redondeo a las milésimas

5 = 2 , 23606 … 19

= 3 ,1666 …

6 3 5

8



− 0,3 =

3 5

−

1 3

=

4 15

= 0 , 2666 …

Mediante el teorema de Pitágoras. 5 = 2 2 + 12

5 =

→

Truncamiento a las milésimas

2,236

2,236

3,167

3,166

0,267

0,266

2 2 + 12

→

Triángulo de catetos 2 y 1

1

0

9

1

2

5

3

4

Representación de intervalos. −3 < −

14 5

≤

−

7 3

→

−

⎛ 5 ⎤ ⎥ ∈ ⎜⎜−3 , ⎜⎝ 5 2 ⎥⎦

14

−3 < 5 <

14

−3

7

⎛

5 ⎞⎟

5 ∈ ⎜⎜−3 , ⎜

→

⎟⎟

2 ⎟⎠

⎝

3 5

5

5

−2

−1

0

1

2

7

2 3

4 17

3

5

4

2

⎛ 7 ⎞ π ⋅ 49 ⋅ 2 10 Glóbulo rojo. V = π ⋅ ⎜⎜ ⋅ 10 −6 ⎟⎟⎟ ⋅ 2 ⋅ 10 − 6 = ⋅ 10 −12 2+ ( −6 ) ≈ 7 ,7 ⋅ 10 − 17 m 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4

11 Botella. Calculamos el 3% de 0,75 = 0,0225

430


→

0,75 ± 0,0225 → Intervalo: (0,7275; 0,7725)


3

Polinomios

INTRODUCCIÓN


Esta unidad continúa el estudio algebraico comenzado en cursos anteriores. La utilización del lenguaje algebraico es fundamental en el proceso de abstracción matemático y será básico al trabajar con ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

En el curso anterior se comenzó el estudio de las expresiones algebraicas, que es fundamental tanto en este tema como en los relativos a ecuaciones y sistemas. Conviene revisar estos aspectos.

Los dos aspectos más importantes de la unidad son: la división de polinomios, que es necesaria para hallar raíces de polinomios, y los productos notables. Será interesante hacer ver a los alumnos que las expresiones algebraicas se utilizan en numerosos aspectos de la economía, física, química, etc., y en diferentes operaciones o ecuaciones.

• Operaciones con números desconocidos mediante el lenguaje algebraico. • Cálculo de sumas y restas de monomios semejantes. • Trabajo con igualdades notables.

CONTENIDOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS • Monomios. Operaciones. • Polinomios. Valor numérico de un polinomio. • Operaciones con polinomios. Sumas, restas y multiplicaciones. • División de polinomios. • Regla para sacar factor común en un polinomio. • Igualdades notables. Cuadrado de una suma, de una diferencia y producto de suma por diferencia. • Fracciones algebraicas. Simplificación de fracciones algebraicas.


PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba inicial es un resumen de los contenidos de «Expresiones algebraicas», de 2.º ESO, y se hace hincapié en la transformación de expresiones algebraicas, operaciones con monomios y valor numérico de un polinomio, ya que el resto de conceptos del curso anterior se vuelven a revisar en este curso y, por tanto, aparecen en las actividades de la unidad.

La prueba que se ha diseñado contiene actividades relativas a los contenidos que se trabajan en la unidad, sobre todo el cálculo con polinomios: sacar factor común, reducir, operaciones con polinomios… Conviene trabajar la parte final (actividades 8 a 11): división de polinomios y binomios notables, tanto en su aplicación directa como inversa.



431


3

POLINOMIOS


Expresa mediante el lenguaje algebraico. a) Un múltiplo de 9. b) El cubo de un número. c) Un número impar. d) Un múltiplo común de 3 y 4.

2

Para calcular el espacio que recorre un móvil a una velocidad constante utilizamos la expresión algebraica: e v t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v 1 a la velocidad de un caballo, v 2 a la velocidad de una moto y v 3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados. =

⋅

a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo. b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto. c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte de la suma de las velocidades del coche y la moto. d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche. e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo.

3

Opera con los monomios. P (x ) Q (x )

3x 2

=

−

R (x )

=

=

4x

S (x )

=

5x 2 7

T (x )

=

6x

−

P (x ) + R (x ) =

Q (x ) − T (x ) =

P (x ) + S (x ) =

P (x ) ⋅ T (x ) =

4

Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x . P (x ) = 4x + 3, si x = 3

⎯⎯ →

2

432

P (3) =

P (x ) = −3x + 3x , si x = 2

→

P (2) =

P (x ) = (x 2 − 4)2, si x = −2

→

P (−2) =




Expresa mediante el lenguaje algebraico. a) Un múltiplo de 9

→

9 n

b) El cubo de un número c) Un número impar

→

→

n3

2 n + 1

d) Un múltiplo común de 3 y 4

2

→

12 n

Para calcular el espacio que recorre un móvil a una velocidad constante utilizamos la expresión algebraica: e = v ⋅ t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v 1 a la velocidad de un caballo, v 2 a la velocidad de una moto y v 3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados. a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo

v3 = 5 v1

→

b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto

→

c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte de la suma de las velocidades del coche y la moto → 2 v1

v3

=

v2

+

3

Opera con los monomios. P (x ) = −3x 2 Q (x ) = 4x

5x 2 S (x ) = 7 R (x ) =

=

v2 4

9

d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo

v1

→

→

v3 6

2 v2 = =

v3

v1

T (x ) = −6x

P (x ) + R (x ) = 2 x2 Q (x ) − T (x ) = 10 x P (x ) + S (x ) = −3 x + 7 2

P (x ) ⋅ T (x ) = 18 x3

4

Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x . P (x ) = 4x + 3, si x = 3

⎯⎯ →

P (3) = 12 + 3 = 15

P (x ) = −3x + 3x 2, si x = 2

→

P (2) = −6 + 12 = 6

P (x ) = (x 2 − 4)2, si x = −2

→

P (−2) = (( −2) 2 − 4) 2 = 0 2 = 0



433


3

POLINOMIOS

contenidos


Distinción entre coeficiente, parte literal y grado de un monomio.

1

Completa la tabla indicando el coeficiente, la parte literal y el grado. Monomio

Coeficiente

Parte literal

Grado

3

12x

2

7ab

−

7 5 x 2 y 3 2 3

Obtención de factor común en expresiones algebraicas.

2

m 2n 3 p 2

Saca factor común. 7x 3 yz 2 +

Reducción y ordenación de polinomios.

3

Determinación del valor numérico de una expresión.

4

Cálculo de sumas, restas y productos de diferentes polinomios.

5

2 3

xyz 3

−

4 5

x 2 y 2z

Reduce y ordena el siguiente polinomio. P (x )

=

2 3 2 3 4 4 x − 3x + 5 − 3 x + 7 x − 2 x − 3 x +

Determina el grado y el término independiente del polinomio anterior. Calcula su valor numérico para x 3. = −

Halla el resultado de esta operación entre polinomios. 2 2 (7x + 3x − 2) ⋅ (2x − 5x + 8)

6

Determina el polinomio opuesto del polinomio anterior.


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 1, 4 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...................................................... ..................... 2, 3, 6, 7 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .................... ............................................. ......................................... . 8, 10 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 5, 8, 9, 10, 11

434



7

Dados los polinomios: P (x )

=

x4

−

2x + 3

Q (x )

=

2x 3 − 3 x 2 − 1

M (x )

=

x + 4

realiza las siguientes operaciones. a) P (x ) − Q ( x ) b) Q (x ) ⋅ M ( x ) c) P (x ) : M ( x )

División de polinomios.

8

Haz la división y escribe el dividendo, divisor, cociente y resto. (x 5 + 4 x 4 − 3 x 3 + 5 x − 2) : ( x + 1)

Trabajo con los productos notables.

9

Efectúa los siguientes productos notables. 2 2 a) (x − 4)(x + 4)

b) (2x + 3)2

Determinación de cuadrados perfectos.

10 Expresa en forma de producto estos polinomios. a) x 2 + 6x + 9 b) 9 y 2 + 30 y + 25

Simplificación de fracciones algebraicas.

11 Opera y simplifica las siguientes fracciones. a)

b)

8 x 2 y 3 z 4 xy 4 z 2

x3

−

6 x 2

3x c)

x2 2

x

−

3x

−

9


PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ............................................ .......................................... ............................. • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ...................................... ............................................. ........................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ................................................................................ .......................... 10



435


3

POLINOMIOS


Tabla.

Monomio

Coeficiente

Parte literal

Grado

12x 3

12

x3

3

−7ab 2

−7

ab2

3

x2 y3

5

m2 n3 p2

7

7 5 x 2 y 3 2 3

2

3

7

2

2

m n p

2

3

4

2

Factor común. 7x 3 yz 2

3

P( x) =

4

Grado: 3. Término independiente: 9.

( 7 x3

+

3

xyz

3

5

−

5

2

2

x y z =

⎛

2

⎝

3

xyz ⎜⎜⎜7 x 2 z +

4

z 2 −

5

⎞ ⎟⎠

xy⎟⎟⎟

− 3 x 3 ) + ( −3 x 2 − 2 x 2 ) + ( 4 x − 3 x ) + ( 5 + 4 ) = 4 x 3 − 5 x 2 + x + 9

Valor numérico: P( −3 ) = 4 ⋅ ( −3 ) 3 − 5 ⋅ ( −3 ) 2 + ( −3 ) + 9 = −147

= 14 x4 − 35 x3 + 56 x2 + 6 x3 − 15 x2 + 24 x − 4 x2 + 10 x − 16 = = 14 x4 − 29 x3 + 37 x2 + 34 x − 16

5

2 2 (7x + 3x − 2) ⋅ (2x − 5x + 8)

6

Polinomio opuesto. −P( x ) = −14 x 4 +

7

a) P (x ) − Q (x ) =

29 x 3

x4 − 2 x3 + 3 x 2 − 2 x +

4 b) Q (x ) ⋅ M (x ) = 2 x

− 37 x 2 − 34 x + 16

4

+ 5 x 3 − 12 x 2 − x − 4

resto 

267

x3 − 4 x 2 + 16 x − 66 +

c) P (x ) : M (x ) =

x + 4

 

cociente

8

−x 5 + 4x 4

−

3 3x + 5x − 2

−x5 − 4 x4 − 3 x3 + 5 x − 2

x + 1

x4 + 3 x3 + 5

−x5 + 3 x4 − 3 x3 −x5 − 3 x4 − 3 x3 + 5 x − 2 + 5 x − 5 x − 5 − 7

9

Productos notables.

10 Productos notables.

a) (x 2 − 4)(x 2 + 4) 2 a) x + 6x + 9

= x4 − 16

= ( x + 3) 2

b) (2x + 3)2

= 4 x2 + 12 x + 9

2 b) 9 y + 30 y + 25

= (3 y + 5) 2

11 Simplificación de fracciones algebraicas. a)

b)

436

8 x 2 y 3 z 4 xy 4 z 2 x

3

−

=

6 x 2

3x

2 x

c)

yz =

x2 ( x − 6 ) x( x − 6 ) = 3 x 3 MATEMÁTICAS 3.° ESO

x

2 2

−

3x

x − 9

=

x( x − 3 ) x = ( x − 3 )( x + 3 ) x + 3


4 Ecuaciones de 1. y 2. grado er

o

INTRODUCCIÓN


Los contenidos de esta unidad son fundamentales en las Matemáticas. Las ecuaciones de primer grado y de segundo grado ya se han trabajado en el primer ciclo y no deberían presentar dificultades a los alumnos.

Se consideran tres aspectos básicos en el estudio de esta unidad:

La dificultad del tema se presentará al trabajar con expresiones algebraicas y en la resolución de problemas con ecuaciones. Por ello, será conveniente plantear problemas de la vida cotidiana y próximos a los alumnos.

• Conocimientos previos de la aritmética de los números reales (Unidades 1 y 2 de 3.º ESO). • Conceptos y procedimientos sobre ecuaciones estudiados en el curso anterior. • Conceptos y procedimientos de cálculo con expresiones algebraicas trabajados en el curso anterior, así como también la Unidad 3 de 3.º ESO. Además, será básico tener capacidad para plantear problemas mediante ecuaciones y contrastar los resultados con la situación planteada.

CONTENIDOS ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO • Concepto de ecuación. • Elementos del lenguaje: miembros de una ecuación, términos, coeficientes, grado, incógnitas y solución. • Tipos de ecuaciones según el grado, el número de incógnitas y el número de soluciones. • Equivalencia de ecuaciones. • Ecuaciones de primer grado. Algoritmo de resolución. • Ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones completas e incompletas. Algoritmo de resolución. • Resolución de problemas con ecuaciones.


PRUEBA DE LA UNIDAD

Las actividades planteadas en la prueba están dirigidas a comprobar que los alumnos tienen asimilados los conceptos básicos sobre ecuaciones y su resolución: mental, por el método de ensayo-error o por métodos más generales. Se ofrecen también un par de actividades para trabajar con números y con expresiones algebraicas.

La prueba contiene actividades de procedimientos de la unidad: ecuaciones de primer grado con y sin paréntesis, con y sin denominadores, y ecuaciones de segundo grado incompletas y completas. También hay una serie de problemas para resolver con ecuaciones. Es fundamental plantear correctamente los problemas, ya que se repasan conceptos conocidos por los alumnos tanto de cuestiones numéricas como geométricas.



437


4

ECUACIONES DE 1.

er

Y 2.º GRADO


Calcula y simplifica. ⎛3 1⎞ ⎛3 2⎞ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ − ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ 5 ⎜⎝ 2 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 7 ⎟⎠ 4

2

Opera y simplifica las expresiones algebraicas. a) x (x + 3) − (2x + 1) b) x (3 − x ) + 3x 2 − 5(x + 3) c)

3

x

2

+

x

−1 3

−

2(x + 4) 5

Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios. Monomio

Coeficiente

Parte literal

Grado

−5xz 2

−5

xz 2

3

8x 3 y 2 17x 6

−10,7a 3b 4

4

Identifica la incógnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el método de ensayo-error. Ecuación

Incógnita

Solución

Ecuación y

x + 4 = 7

5

Incógnita

Solución

=2

y − 3 = 5

8 − z = 6

2x = 8

3z − 2 = 10

5

Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 126.

6

Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas. a) 3x 2 − 75 = 0 b) x 2 + 4 = 0

438




Calcula y simplifica. ⎛3 1⎞ ⎛3 2⎞ 4 8 13 32 13 448 − 195 253 ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ − ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = ⋅ − = − = = ⎜ ⎜ 5 6 28 30 28 420 420 5 ⎝2 6 ⎟⎠ ⎝ 4 7 ⎟⎠ 4

2

Opera y simplifica las expresiones algebraicas. a) x (x + 3) − (2x + 1) = x2 + 3 x − 2 x − 1 = x2 + x − 1 b) x (3 − x ) + 3x 2 − 5(x + 3) = 3 x − x2 + 3 x2 − 5 x − 15 = 2 x2 − 2 x − 15 c)

x

2

+

x

−1 3

−

2(x + 4)

=

15x + 10 ( x − 1 ) − 12 ( x + 4 )

5

30

=

15x + 10 x − 10 −12 x − 48 = = 30

13 x − 58 30

3

4

5

Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios. Monomio

Coeficiente

Parte literal

Grado

−5xz 2

−5

xz 2

3

8x 3 y 2

8

x3 y2

5

17x 6

17

x6

6

−10,7a 3b 4

−10,7

a3 b4

7

Identifica la incógnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el método de ensayo-error. Ecuación

Incógnita

Solución

x + 4 = 7

x

3

y − 3 = 5

y

8

2x = 8

x

4

Ecuación

Incógnita

Solución

y

10

8 − z = 6

z

2

3z − 2 = 10

z

4

y

5

=2

Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 126. Llamamos x y x + 2 a dichos números. Por tanto: x + ( x + 2) = 126 → 2 x + 2 = 126 → →

2 x = 124 →

x

=

124

= 62

2

Los números son 62 y 64.

6

Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas. a) 3x 2 − 75 = 0 b) x 2 + 4 = 0

→

→

x2

x2

=

75

= −4

= 25

3 →

x

→

x

= ± 25

= ± −4


→

→

⎧ x1 = 5 ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x 2 = −5

No tiene solución real.


439


4

ECUACIONES DE 1.

contenidos

er

Y 2.º GRADO


Distinción de si una igualdad es ecuación o identidad.

1

Comprueba si estas expresiones son ecuaciones o identidades. a) 3(x − 2) + x = 2(3 − x ) + 4x − 5 b) 2(x − 3) + x = 4(x − 2) − x + 2

Resolución de ecuaciones de primer grado mediante diferentes métodos.

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.

2

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado: 6 x − 7 = 2x + 5.

3

Resuelve la ecuación de primer grado:

4

Resuelve la ecuación de primer grado: 3(2 x − 5) + 4(7 − 2x ) = 2x − 3(2x − 8).

5

Resuelve la ecuación de segundo grado: 2 x 2 = 18.

6

Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 + 5x = 0.

7

Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 − 5x + 4 = 0.

8

Resuelve la ecuación de segundo grado: x (x + 4) = 3(x − 8).

3x − 5 7

=

x

−

2x

+

5

8

.


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...................................................... ..................... 1, 9 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................... .............................................. .................................. 9 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 2-13

440



Determinación del discriminante de una ecuación de segundo grado.

Resolución de problemas de diferentes tipos, mediante el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

9

Halla el valor de b en la ecuación x 2 + bx − 20 = 0, sabiendo que una de sus soluciones es x 1 = 4. Calcula el valor del discriminante y la otra solución.

10 La suma de tres números impares consecutivos es 135.

Determina dichos números.

11 ¿Por qué número hay que dividir 108 para que el resultado sea igual al triple

de dicho número?

12 Halla los tres números consecutivos que cumplen que la suma de los cuadrados

del menor y el mayor es igual al cuadrado del número intermedio más 18.

13 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 4 cm más que el cateto menor

y 2 cm más que el cateto mayor. Calcula las longitudes de los tres lados del triángulo.


PRUEBAS

•

Clasificar y discriminar según criterios ............................................ .......................................... .............................

•

Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................

•


•




441


4

ECUACIONES DE 1.

er

Y 2.º GRADO


a) 3(x − 2) +

x

=

2(3 − x ) + 4x − 5

b) 2(x − 3) +

x

=

4(x − 2) −

x

2

⎯ →

6 x − 2 x = 5 + 7

2

6x − 7 = 2x + 5

3

Ecuación de primer grado.

→

3 x − 5

=

4 x − 6 = 2 x + 1. Es una ecuación. 3 x − 6 = 3 x − 6. Es una identidad. 4 x = 12

→

x−

→

x

=

12 4

= 3

2 x + 8

7 5 Eliminamos denominadores: 15 x − 25 = 35 x − (14 x + 56)

15 x − 35 x + 14 x = 25 − 56

Quitamos paréntesis: Despejamos la x:

4

+

→

x

−6 x = −31

→

31

=

6

6 x − 15 + 28 − 8 x = 2 x − 6 x + 24

Quitamos paréntesis:

Transponemos términos: 2 x = 11 y despejamos la x: x = 5,5

5

2x 2 = 18

6

x

7

x

8

x (x +

2

2

x 9

→

x 2

+

5x = 0

−

5x + 4 = 0

=

→

=

2

= 9

→

x

= ± 9 . Dos soluciones:

x1 = 3 y x2 = −3

x ( x + 5) = 0. Dos soluciones: x1 = 0 y x2 = −5

→

4) = 3(x − 8)

−1 ±

18

x

=

→

5 ±

2 ⋅1

=

x1 = 4 x2 = 1

5 ± 3 2

x2 + x + 24 = 0

12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 24 2 ⋅1

5 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4

=

−1 ±

−95

→

2

No tiene solución.

Discriminante y soluciones. Si una solución es 4 → 4 2 + b ⋅ 4 − 20 = 0 → 4 b = 4 → b = 1 El discriminante es: ∆ = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −20) = 1 + 80 = 81 La otra solución es: x =

−1 ±

x1 = 4 x2 = −5

81

2

10 Números impares. Llamamos x al número menor: x + ( x + 2) + ( x + 4) = 135 → 3 x = 135 − 6 = 129 Despejamos: x = 43 →

43, 45 y 47

11 Números. Llamamos x a dicho número:

108

x

= 3x

12 Tres números. x2 + ( x + 2 ) 2 = ( x + 1) 2 + 18

→

108 = 3 x 2

x2

x 2

=

+ 4x + 4 =

x2

→

108 3

= 36

+ 2 x + 1 + 18

= ±6

x2

+

→

x2

⎧ x1 = 3 → 3 , 4 y 5 + 2 x − 15 = 0 → ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x 2 = −5 → −5 , −4

x2 = ( x − 2) 2 + ( x − 4) 2 → x2 = x2 − 4 x + 4 + x2 − 8 x + 16 → 2 → x − 12 x + 20 = 0 → x1 = 10, x2 = 2 (no válida) Los lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm. MATEMÁTICAS 3.° ESO

x

→

13 Triángulo. Llamamos x a la hipotenusa. Los catetos serán x − 2 y x − 4.

442

→


→

y −3

5

Sistemas de ecuaciones

INTRODUCCIÓN


Los contenidos de esta unidad son continuación de la unidad anterior y, por tanto, es fundamental que los alumnos sepan resolver las ecuaciones de primer grado. También es importante la representación gráfica de puntos en el plano, ya que servirá para representar las rectas en el plano y resolver de forma gráfica los sistemas.

Se pueden considerar básicos los conceptos estudiados en 2.º ESO, «Ecuaciones y sistemas», así como también la Unidad 4 de 3.º ESO, «Ecuaciones de 1.er y 2.º grado», y todos aquellos aspectos trabajados en cursos anteriores sobre la resolución de problemas:

La resolución de problemas es uno de los fundamentos de las Matemáticas pues, al resolver numerosos problemas reales, es necesario resolver sistemas de ecuaciones. Para motivar a los alumnos pueden planteárseles distintos problemas reales, cuya solución no sea fácil de intuir, y que necesiten del planteamiento y resolución de un sistema.

• Distinción Distinción entre lo que se conoce conoce (dato) (dato) y lo que se desconoce (incógnita). • Realizació Realización n de diagramas, diagramas, figuras, figuras, esquemas esquemas… … • Cálculo Cálculo con expre expresione sioness algebraic algebraicas. as. • Represen Representació tación n de punto puntoss en el plano. plano. • Resolució Resolución n de ecuacion ecuaciones es de primer primer grado. grado.

Mediante un trabajo por ensayo-error, primero, y su resolución mediante sistemas, después, los alumnos apreciarán la sencillez y utilidad de los sistemas para resolver problemas.

CONTENIDOS SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Ecuaciones lineales. Representación Representación gráfica de rectas en el plano. 2. Sistemas Sistemas de ecuacio ecuaciones nes lineales. lineales. • Resolución de de sistemas. Número de de soluciones de un sistema sistema de ecuaciones. • Represen Representació tación n gráfica de un sistema sistema de ecuacion ecuaciones. es. • Métodos de resolución de sistemas sistemas de ecuaciones: ecuaciones: igualación, sustitución y reducción. • Reglas Reglas prácticas prácticas para para resolver resolver sistem sistemas. as. • Resolució Resolución n de problemas problemas median mediante te sistemas. sistemas.

SUGERENCIAS Y PREGUNTAS PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA INICIAL

PRUEBA DE LA UNIDAD

Las actividades planteadas en la prueba están dirigidas a comprobar que los alumnos tienen asimilados los conceptos básicos sobre la representación de puntos en el plano y la resolución de ecuaciones y sistemas por los métodos habituales de resolución, incluso por el método de ensayo-error.

La prueba que se ha diseñado contiene acti vidades relativas a la resolución de sistemas de ecuaciones por diferentes métodos y problemas para resolver con sistemas. No es conveniente presentar sistemas incompatibles, siendo los problemas planteados sencillos de resolver.



443


5

SISTEMAS DE ECUACIONES


Escribe las coordenadas de los vértices del pentágono. Y

5

A

3 E 1 B

D

−4

−2

2

−1

4

X

C

−3

2

En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos. A (−1, 3)

B (2, B (2, −2)

C (3, C (3, 4)

D (0, D (0, 2) Y

5

3 1

−4

−2

−1

1

3

5

X

−3

3

Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas. Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representan los miembros de una ecuación. Si la balanza está en equilibrio, eso significa que ambos miembros son iguales. Observa las figuras y contesta. x

y

7

Balanza A

x

y

2 y

Balanza B

a) Escribe la ecuación determinada determinada por la balanza A. Escribe Escribe pares de valores que que cumplan dicha ecuación. ecuación. Haz lo mismo con la balanza B. b) Indica si hay hay algún par de valores valores coincidentes coincidentes en A y B.

4

444

Encuentra dos números naturales cuya suma es 15 y su producto 56.




Escribe las coordenadas de los vértices del pentágono. Y

5

A

3

Puntos:

E

A(2, 4) B(4, 0) C(1, −1)

1 B

D

−4

−2

2

−1

X

4

D( −2, 0) E( −2, 2)

C

−3

2

En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos. A (−1, 3) B (2, B (2, −2) C (3, C (3, 4) D (0, D (0, 2)

Y

5 C A

3 D 1

−4

−2

−1

1

3

5

X

B

−3

3

Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas. Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representan los miembros de una ecuación. Si la balanza está en equilibrio, eso significa que ambos miembros son iguales. Observa las figuras y contesta. x

7

y

x

Balanza A

2 y

y

Balanza B

a) Escribe la ecuación determinada determinada por la balanza A. Escribe Escribe pares de valores que que cumplan dicha ecuación. ecuación. Haz lo mismo con la balanza B. Balanza A → Balanza B →

x + y = 7 Valores: (0 (0, 7) 7), ( −1, 8), (1, 6), (2, 5)… x + y = 2 y Valores: (0, 0), ( −1, −1), (1, 1), (2, 2)…

b) Indica si hay hay algún par de valores valores coincidentes coincidentes en A y B. Valores coincidentes: x = 3,5;

4

y = 3,5

Encuentra dos números naturales cuya suma es 15 y su producto 56. x

y x⋅y +

= 15 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ = 56 ⎪ ⎪ ⎭

Sustitución

⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→

x = 15 − y⎫⎪⎪ 2 ⎬ → y ⎪ ( 15 − y ) ⋅ y = 56 ⎪ ⎭


⎧ ⎪ y1 = 7 − 15 y + 56 = 0 → ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ y 2 = 8


→

Soluciones: 7 y 8

445


5


contenidos


Expresión lineal y representación gráfica de una ecuación lineal.

1

Y

Expresa la ecuación y − 2) + 6 2(x −3) = 3( y en la forma lineal ax + by = c , y represéntala en el plano.

3

1

−3

−1

1

3

5

X

−2

−4

Comprobación de si un par de valores es o no solución de un sistema de ecuaciones.

Comprobación de sistemas equivalentes.

3y = 12⎫⎪ ⎬ comprueba 3y = 5 ⎪⎪⎭ si son solución los puntos A (0, 5), B (2, 3) y C (3, 2). + x +

En el sistema de ecuaciones lineales:

3

Comprueba si los sistemas son equivalentes. equivalentes. ⎪ x − 2 y = 6 ⎫ ⎪

⎬ 3x + 6 y = −6⎪ ⎪ ⎭

Búsqueda de la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por los métodos de sustitución, igualación y reducción.

2x

2

4

2x − 4 y = 12⎫ ⎪ ⎪

⎬

5 x + 2 y = 6 ⎪ ⎪ ⎭

Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. ⎫ x − 2 y = 6 ⎪ ⎪ ⎬

3x + 6 y = −6⎪ ⎪ ⎭


446

PRUEBAS

•

Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 1

•

Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, relaciones, etc. ............................................. .................................

•

Transformar, distinguir, distinguir, asociar asociar e interpretar datos y relaciones. ..................................................... ..................... 1, 2, 3

•

Extrapolar, deducir e inferir reglas reglas o leyes leyes .......................................... ......................................... ........................

•

Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 4, 5, 6, 7, 8, 9



5

Resuelve el sistema por el método de igualación. ⎪ x + 3 y = −8⎫ ⎪ ⎬

2x − 3 y = 5 ⎪ ⎪ ⎭

6

Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción. 2x + 4 y = 3⎫ ⎪ ⎪

⎬

3x − 4 y = 8⎪ ⎪ ⎭

Resuelve el sistema por el método que consideres más adecuado.

Resolución de sistemas de ecuaciones por los métodos más adecuados.

7

Resolución de problemas reales, planteando y resolviendo sistemas de ecuaciones lineales.

8

La edad de Luis es tres veces la edad de Ana. Dentro de 5 años, la edad de Luis será solamente el doble de la edad de Ana. Halla las edades de ambos.

9

Calcula el valor de las bases de los rectángulos, sabiendo que la suma de sus áreas es 34 cm 2 y que el triple de la base mayor es igual al cuádruple de la menor más 4.

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ 6 x − 9 y = −32⎪ ⎪ ⎭

3x + 9 y = 1

3 cm 2 cm

a

b


PRUEBAS

•


•


•

Combinar, componer datos y resumir, etc. .............................................................................................................

•




447


5



2(x − 3) = 3( y − 2) + 6

→

2 x − 6 = 3 y − 6 + 6 → 2 x − 3 y = 6 Y 3

1

−3

−1

1

3

X

5

−2

−4

2

3

Comprobación. A (0, 5) B (2, 3) C (3, 2)

→

No, porque 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 5  12.

→

No, porque 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3  12.

→

Sí, porque 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 = 12 y 2 + 3 = 5.

Equivalencia de sistemas. La solución de los sistemas es la misma: x = 2 e y = −2. Los sistemas son equivalentes.

4

5

⎪ x − 2 y = 6 ⎫ ⎪

⎬ 3x + 6 y = −6⎪ ⎪ ⎭ ⎫ x + 3 y = −8⎪

x 3( 6 + 2 y ) + 6 y

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ →

⎪→ ⎪ ⎬ 2x − 3y = 5 ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎭

x x

⎫ = −8 − 3 y ⎪ ⎪ ⎪ 5 + y ⎬ ⎪ = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎭

→

→

6

7

8

⎪ 2x + 4 y = 3⎫ ⎪ ⎬ 3x − 4 y = 8⎪ ⎪ ⎭

Reducción

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →

⎫ ⎪ 3x + 9y = 1 ⎪ ⎬ 6 x − 9 y = −32⎪ ⎪ ⎭

2.ª ⋅ 4

448

−8 − 3 y =

y

= −3

12y = −24 → y = −2

→

5 + y

→

⎫ 2 x + 4 y = 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ + 12 x − 4 y = 32 ⎪ ⎬ ⎪

→

2

x

1.ª ⋅ 9

y

= 2

→

=1

⎯ →

x

=

⎪ + 2 6 x − 9 y = −32 ⎪ ⎬ → ⎪ 33 x − 9 y = −23 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

x

=

35

=

14

⎪ 27 x + 9 y = −3 9 ⎫ ⎪

Reducción

x

→

−16 − 6 y = 5 +

14 x − 4 y = 35 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

⎯⎯⎯ ⎯⎯ →

−23

5

→

2

→

33

y

=

y

= −

1 2

34 11

Problema. Llamamos x e y a las edades actuales de Luis y Ana. Planteamiento del problema:

9

= 6 + 2 y⎫ ⎪ ⎪ ⎬ = −6 ⎪ ⎪ ⎭

x x

= 3 y

+ 5 = 2( y

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ + 5 ) ⎪ ⎪ ⎭

→

3 y + 5 = 2 y + 10

→

y

Dimensiones de la figura. Llamamos a y b a las bases de los dos rectángulos. − 3 a + 2 b = 34 3 a + 2 b = 34 ⎫ ⎪ ⎪ → − 3 a − 4 b = 3 4 Planteamiento del problema: ⎬ 3 a = 4 b + 4 ⎪ ⎪ ⎭ − 3 a − 6 b = 30 → b


= 5

=


→

30 6

x

= 15

= 5

→

a

= 8

6 Proporcionalidad INTRODUCCIÓN


El tema de la proporcionalidad numérica es fundamental en las Matemáticas. Los conceptos de proporcionalidad directa e inversa suelen ser intuitivos, pero a veces los alumnos no diferencian entre incrementos lineales y proporcionalidad. Numerosas relaciones de la vida cotidiana como, por ejemplo, repartos proporcionales, recetas de cocina, etc., mantienen relaciones de proporcionalidad y podemos encontrar ejemplos de ello en diarios, revistas…

Los contenidos de esta unidad han sido trabajados en 1.º y 2.º ESO, por lo que conviene hacer un repaso de aspectos básicos, como son: • Razón y proporción. Comprobación de si dos razones forman o no proporción. • Cálculo del cuarto y medio proporcional de una proporción. • Elaboración de tablas de proporcionalidad directa. • Cálculo con porcentajes.

A lo largo de la unidad se plantearán algoritmos de cálculo aritmético sencillo, por lo que se tendrá que apoyar a los alumnos que tengan más dificultades en hacerlo.

CONTENIDOS PROPORCIONALIDAD • Proporcionalidad directa e inversa. • Regla de tres simple directa e inversa. • Repartos directa e inversamente proporcionales. • Proporcionalidad compuesta. • Problemas con porcentajes. Cálculos con porcentajes. Aumentos y disminuciones porcentuales. Porcentajes encadenados. • Interés simple.


PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba inicial contiene cinco actividades sobre proporcionalidad ya estudiadas en cursos anteriores: averiguar si dos razones forman o no proporción; calcular el medio y el cuarto proporcional y resolver ejercicios sobre porcentajes, así como problemas de la vida cotidiana sobre el cálculo de porcentajes y proporciones.

La prueba de la unidad consta de actividades de los conceptos que se tratan en l a unidad: tablas de proporcionalidad directa e inversa, problemas de reglas de tres simples y problemas de repartos proporcionales y reglas de tres compuestas. La última actividad es de cálculo de intereses bancarios, que son aplicaciones de la proporcionalidad directa. Los ejercicios de repartos proporcionales y de proporcionalidad inversa y compuesta (actividades 8 y 9) resultarán complicados para los alumnos, por lo que habrá que tener cuidado en su desarrollo.



449


6

PROPORCIONALIDAD

EVALUACIÓN INICIAL 3 23 y . 7 90

1

Averigua si las razones forman o no una proporción:

2

Calcula los números que faltan para completar estas proporciones. a)

b)

8 16 6 =

8

c)

3

2 =

4 3 =

12

Completa las frases. a) El

% de 50 es 15.

b) El 25% de

es 225.

c) El 37% de 65 es

4

.

En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes en cada caso. a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13. b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4. c) De 11 tiros libres ha encestado 9. d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18.

5

Para hacer limonada para 6 personas, se utilizan estos ingredientes. Limonada (para 6 personas): 12 limones 2 litros de agua 1/4 kg de azúcar

Calcula las cantidades que se necesitarán para hacer limonada para 10 y 15 personas. 6 personas

450

Limones (unidades)

12

Agua (cl)

200

Azúcar (g)

250


10 personas

15 personas



3 7

2

y

23

no forman proporción, ya que 3 90  7 23. ⋅

90

⋅

Calcula los números que faltan para completar estas proporciones. a)

b)

3

3 23 y . 7 90

Averigua si las razones forman o no una proporción:

8 16

2

=

6

4

=

4

Completa las frases. a) Se divide la cantidad entre el total:

15

⋅

100

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯ →

50 225

b) Se divide la cantidad entre el porcentaje:

⋅

25 ⋅

100

⎯⎯⎯⎯→

⋅

30 % de 50 es 15.

30.

El

900.

El 25 % de

900

24,05. El 37 % de 65 es

es 225.

24,05 .

En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes en cada caso. a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13 b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4 c) De 11 tiros libres ha encestado 9

→

→

⋅

8 9 ⋅

11

13 ⋅

20

4

→

d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18

5

100

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

c) Se multiplica el porcentaje por la cantidad: 37 65

4

12

3

6 8

6

3

c)

=

100 →

100

=

=

100

=

65 %

50 %

81, 8 %

18 ⋅

20

100

Para hacer limonada para 6 personas, se utilizan estos ingredientes.

=

90 %

Limonada (para 6 personas): 12 limones

Calcula las cantidades que se necesitarán para hacer limonada para 10 y 15 personas.

2 litros de agua 1/4 kg de azúcar

6 personas

10 personas

15 personas

Limones (unidades)

12

20

30

Agua (cl)

200

333,33

500

Azúcar (g)

250

416,67

625



451


6

PROPORCIONALIDAD

contenidos


Distinción de si dos magnitudes son o no proporcionales y de qué tipo.

1

Clasifica las siguientes magnitudes en directa o inversamente proporcionales. a) El perímetro de un cuadrado y su área. b) El lado de un cuadrado y su perímetro. c) El número de fotocopias y su precio. d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto.

Elaboración de tablas de proporcionalidad directa e inversa.

2

Completa las tablas para que sean de proporcionalidad directa. a)

3

M

2

N

5

3

4

b)

10

M

0,5

N

7

1,75

3 42

Comprueba si las tablas son de proporcionalidad inversa. a)

M

2

3

4

N

6

4

3

b)

M

0,5

2

3

N

10

2,25

1,75

Cálculo de la constante de proporcionalidad.

4

Calcula las constantes de proporcionalidad de los dos ejercicios anteriores.

Aplicación de las reglas de tres para resolver problemas de la vida cotidiana.

5

Si un grupo de amigos pagan 81 € por 6 menús, ¿cuánto vale cada menú? ¿Cuánto hubiesen pagado por 4 menús?

6

En un refugio de montaña hay comida para alimentar a seis personas durante un mes. Si vienen tres personas más, ¿para cuántos días tendrán comida?


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones .................................................................. ......... 1 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................... .............................................. .................................. 2 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 3-11

452



Aplicación de los repartos proporcionales para resolver problemas de la vida cotidiana.

Aplicación de las reglas de tres compuestas para resolver problemas reales.

Resolución de problemas mediante porcentajes.

Utilización de la fórmula del interés simple para calcular intereses, tiempos o capitales en situaciones reales.

7

Tres socios deciden ampliar el capital de la empresa en 84.000 €, de forma directamente proporcional al número de acciones de cada uno: 100, 200 y 400. ¿Cuánto ha de aportar cada socio?

8

Al cabo de un año, una empresa ha tenido unas pérdidas de 14.000 €, y sus tres socios deciden reponer el dinero de forma inversamente proporcional al número de hijos de cada uno: 1, 2 y 4. ¿Cuánto ha de aportar cada socio?

9

En la construcción de un edificio trabajaron 100 personas en turnos de 8 horas durante 60 días. ¿Cuánto habrían tardado si los turnos fuesen de 10 horas?

10 Un artículo cuesta 261

€,

incluido el 16 % de IVA. Si se hace un 20 % de rebaja sobre el precio sin IVA, ¿cuál será el precio final?

11 Calcula el interés producido por un capital de 250



en 3 años

al 2,5 % de interés.


PRUEBAS

•


•


•


•




453


6

PROPORCIONALIDAD


a) El perímetro de un cuadrado y su área

→

No son proporcionales.

b) El lado de un cuadrado y su perímetro

→

Son directamente proporcionales.

⎯ ⎯ →

Son directamente proporcionales.

c) El número de fotocopias y su precio

d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto

2

a)

b)

M

2

3

4

N

5

7,5

10

→

Son inversamente proporcionales.

M

0,5

1,75

3

N

7

24,5

42

3

La opción a) sí es de proporcionalidad inversa, pero la b) no lo es, ya que 0,5 ⋅ 10  2 ⋅ 2,25  3 ⋅ 1,75.

4

Constantes. Ejercicio 2: k a

2

=

kb

= 0 , 4

5

0 , 5

=

7



= 0,0714285

Ejercicio 3: k = 2 ⋅ 6 = 12

5

6

6 menús 4 menús

x

→

⎫ € ⎪ ⎪ ⎬ € ⎪ ⎪ ⎭

=

81

x

4

→

x

=

81 ⋅ 4 = 54 € 6

⎪ 30 días ⎫ ⎪ ⎬ x días ⎪⎪⎭

→ →

→

6 ⋅ 30 = 9 ⋅

x

→

x

=

180 9

= 20 días

Empresa (1). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que: A B C 84.000 84.000 = = = = k = 120 → → 100

200

100 + 200 + 400

400

700

A = 100 ⋅ 120 = 12.000 € ; B = 200 ⋅ 120 = 24.000 € ; C = 400 ⋅ 120 = 48.000 €

→

8

6

→

Comida–Días. Son magnitudes inversamente proporcionales: 6 personas 9 personas

7

81

→

Empresa (2). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que: k k k A ⋅ 1 = B ⋅ 2 = C ⋅ 4 = k → A = ; B = ; C = 1

2

4

Además, la suma ha de ser 14.000 € :

k 9

+

k

+

2

k

=

7 k

4

= 14.000

4

→

k = 8.000 → A = 8.000 € ; B = 4.000 € ; C = 2.000 € inversa

En ambos casos, las magnitudes personas–días y horas–días son inversamente proporcionales. 200 100

⋅

10 8

=

60

x

→

x

=

60 ⋅ 100 ⋅ 8 200 ⋅ 10

10 Porcentajes. Cálculo del precio sin IVA: 225 ⋅ 0,80 = 180 € .

= 24 días

261 1,16

inversa I

I

Personas

Días

Horas

100

60

8

200

x

10

= 225 € . Por tanto, el precio con la rebaja es:

Añadiendo el 16 % de IVA: 180 ⋅ 1,16 = 208,80 € es el precio final.

11 Interés. I =

454

C⋅r ⋅t 100

=

250 ⋅ 2 ,5 ⋅ 3 100


= 18,75 €


7 Progresiones INTRODUCCIÓN


En esta unidad se estudian las sucesiones y, en particular, las progresiones, que cumplen unas reglas determinadas. Las sucesiones aparecen en diversos campos: medicina, genética (distribución de los caracteres sexuales), informática (utilización de algoritmos recursivos), economía (cálculo del interés simple y compuesto), etc.

Esta unidad se relaciona con las distintas operaciones aritméticas: fracciones, decimales y potencias, que son básicas en el desarrollo de la unidad. Además, las cuestiones referidas a las regularidades en aspectos numéricos o geométricos serán esenciales para entender las leyes de formación de una progresión.

Uno de los problemas con los que se encuentran los alumnos es el cálculo del término general de una sucesión; por ello se han de explicar detenidamente las formas de razonamiento, aunque en las progresiones aritméticas y geométricas la forma de obtención es más sencilla que en sucesiones de otros tipos. También se ha de tener cuidado con el cálculo de las fórmulas que aparecen en la unidad: cálculo de los términos generales, sumas de progresiones y producto de n términos, así como la suma de infinitos términos, para asegurarse de que los alumnos no las aplican de manera automática.

Se podrán proponer en la pizarra secuencias de figuras o numéricas que sigan alguna regularidad, y pedir a los alumnos que traten de deducir cuáles serán los siguientes términos. Es interesante también que sean ellos los que creen la secuencia y que sus compañeros adivinen la regla de formación. Conviene repasar estos aspectos. • Operaciones con fracciones y decimales. • Potenciación y radicación de números naturales y enteros. • Estudio de regularidades geométricas y numéricas.

CONTENIDOS PROGRESIONES • Leyes de formación de sucesiones. Término general. Sucesiones recurrentes. 1. Progresiones aritméticas. • Cálculo del término general. • Suma de n términos de una progresión aritmética. 2. Progresiones geométricas. • Cálculo del término general de una progresión geométrica. • Suma de n términos de una progresión geométrica. • Suma de todos los términos de una progresión geométrica con ⏐r ⏐ < 1. • Producto de n términos de una progresión geométrica. 3. Interés compuesto.


PRUEBA DE LA UNIDAD

En esta prueba se ofrecen tres actividades de cálculo con fracciones, decimales y potencias para comprobar si los alumnos recuerdan estos conceptos, que han sido estudiados en unidades anteriores y que se usan en la aplicación de las diferentes fórmulas de la unidad.

Esta es una prueba esencialmente procedimental. Se comienza con actividades de sucesiones en general, para resolver después aspectos concretos de problemas de progresiones: cálculo de leyes de formación, términos generales, sumas de progresiones… Y se finaliza la prueba con unos problemas de aplicación numérica, geométrica y de comparación de intereses simple y compuesto.



455


7

PROGRESIONES


Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal. 4 6

2

+



0,02 −

5 7

+

2

2 ⋅ 10

−

=

Completa las siguientes igualdades. a) 220 ⋅ 103 = 2,2 ⋅ 10

3

b) 7 ⋅ 10

2

−

=

c) 6,4 ⋅ 105 =

0,7 ⋅ 10

⋅

107

Calcula y expresa en notación científica. a)

3.200.000.000 0, 0008

=

b) 2,3 ⋅ 104 + 1.000.000 = c)

0, 0000045 15 ⋅ 103

=

d) (2,5 ⋅ 104) ⋅ (0,2 ⋅ 10 2) = −

4

Esta serie está formada por cuadrados de 1 cm de lado.

a) ¿Cuántos cuadrados tiene cada figura más que la figura anterior? b) Halla el perímetro de cada una de las figuras. ¿Podrías calcular el perímetro de la siguiente figura sin necesidad de dibujarla? c) Escribe el área de las figuras. ¿Podrías obtener el área de la siguiente figura? ¿Y podrías hallar el área de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores? d) Completa la tabla siguiente.

5

Figura

1

2

3

N.° de cuadrados

1

2

3

Perímetro

4

6

Área

1

2

4

5

…

10

Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por bipartición. Un biólogo estudia una población de paramecios y observa que en 1 mm 2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horas se duplica la población, completa la tabla de forma exacta para t 3, 6, 9 y 24 horas, y de forma aproximada para t 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardará en alcanzarse una población de 100.000 paramecios. =

=

456

Tiempo (horas)

inicio

N.° de paramecios

5.000

1


2

3

6

9

…

24

… 100.000



Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal. 4 2 5 2 8.400 + 280 − 9.000 4 5 2 + 0,02 − + 2 ⋅ 10 + − + = = 6 7 6 90 7 100 12.600 

−

−68

=

−17

=

12.600

2

252

=



= −0 , 00539682

Completa las siguientes igualdades. a) 220 ⋅ 103 = 2,2 ⋅ 10

3

3.150

+

5

b) 7 ⋅ 10

−

2

=

0,7 ⋅ 10

1

−

c) 6,4 ⋅ 105 = 0,064

⋅

107

Calcula y expresa en notación científica. 3.200.000.000 a) 0, 0008

=

3 , 2 ⋅ 10 9

=

−4

8 ⋅ 10

0 , 4 ⋅ 10 13

=

4 ⋅ 10 12

b) 2,3 ⋅ 104 + 1.000.000 = 23.000 + 1.000.000 = 1.023.000 = 1,023 ⋅ 10 6 0, 0000045 c) 15 ⋅ 103

=

4, 5 ⋅ 10 − 6 4

=

1, 5 ⋅ 10

3 ⋅ 10 −10

d) (2,5 ⋅ 104) ⋅ (0,2 ⋅ 10 2) = 2,5 ⋅ 10 4 ⋅ 2 ⋅ 10 3 = 5 ⋅ 10 1 −

4

−

Esta serie está formada por cuadrados de 1 cm de lado.

a) ¿Cuántos cuadrados tiene cada figura más que la figura anterior? Cada figura tiene un cuadrado más que la figura anterior. b) Halla el perímetro de cada una de las figuras. ¿Podrías calcular el perímetro de la siguiente figura sin necesidad de dibujarla? Perímetros = {4, 6, 8, 10, 12}. La siguiente figura tendrá un perímetro de 14 cm. c) Escribe el área de cada una de las figuras. ¿Podrías obtener el área de la siguiente figura? ¿Y podrías hallar el área de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores? Áreas = {1, 2, 3, 4, 5}. La siguiente figura tendrá 6 cm 2 de área y la 10.ª figura 10 cm 2 . d) Completa la tabla siguiente. Figura 1 2 3 4 5 … 10

5

N.° de cuadrados

1

2

3

4

5

…

10

Perímetro

4

6

8

10

12

…

22

Área

1

2

3

4

5

…

10

Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por bipartición. Un biólogo estudia una población de paramecios y observa que en 1 mm 2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horas se duplica la población, completa la tabla de forma exacta para t = 3, 6, 9 y 24 horas, y de forma aproximada para t = 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardará en alcanzarse una población de 100.000 paramecios. Tiempo (horas)

inicio

N.° de paramecios

5.000

1

2

3

6

9

…

24

6.300 7.940 10.000 20.000 40.000 … 1.280.000 (apróx.) (apróx.)



…

13 (apróx.)

… 100.000

457


7

PROGRESIONES

contenidos


Aplicación de métodos deductivos para calcular un término de una sucesión.

1

Determina el término siguiente de cada una de las sucesiones. a) 2, 5, 8, 11, … b)

1 3

,

1 7

,

1 11

c) 1, 3, 9, 27, … 1

,

15

,…

d) 4, 9, 16, 25, 36, …

Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son:

Aplicación de una fórmula para calcular los términos de una sucesión a partir de una ley de formación.

2

Cálculo del término general de una progresión aritmética y la suma de una cantidad de términos.

3

De una progresión aritmética se conocen a 15 45 y a 32 79. Calcula la diferencia de la progresión y la suma de los 32 primeros términos.

Cálculo del término general de una progresión geométrica.

4

Halla el término general de las progresiones geométricas.

b) n 2

a) 2n +1

−

2

c)

=

n

+

2

2n + 3

=

a) 5, 15, 45, 135, … b) 2, c) 1,

5

1 2

,

−2,

1 8 4,

,

1 32

−8,

,…

…

En una progresión geométrica, a 5 4 y a 9 y el término 20 de esta progresión. =

=

16. Calcula la razón


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 2 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones .................................................................. ......... 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .......................................... ......................................... ........................ 1, 8, 9, 10 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 2-10

458



Cálculo de la suma de términos de una progresión geométrica.

6

Calcula la suma de los 20 términos de la anterior progresión geométrica.

Resolución de problemas reales donde aparezcan progresiones aritméticas y geométricas y que impliquen el uso de estos conceptos.

7

Halla el producto de los 10 primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que a 1 2 y r 3. =

=

8

Encuentra 5 múltiplos de 7 que sean consecutivos y cuya suma sea 245.

9

Dado un cuadrado de 1 m de lado, unimos los puntos medios de sus lados, obteniendo un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la misma operación, y así sucesivamente. Halla la suma de las infinitas áreas obtenidas.

10 Dos amigos invierten 1.000

en dos bancos diferentes. Al primero le dan un 3,5 % de interés simple y al segundo un 3,32 % de interés compuesto. Después de 5 años, ¿quién obtendrá más ganancias? €


PRUEBAS

•

Clasificar y discriminar según criterios ..................... ............................................. ......................................... ........ 8, 9, 10

•


•

Combinar, componer datos, resumir, etc. ........ ............................................. .......................................... ............... 1, 3, 4

•




459


7

PROGRESIONES


a) 2, 5, 8, 11, …

+ 3

⎯⎯⎯→

14

⋅ 3

c) 1, 3, 9, 27, …

81

⎯⎯⎯→

1

b)

2

3

,

1 7

,

a) 2n +1 b)

3

1

2 n

−

2

1 11

1

,

15

,…

1

+4

⎯⎯⎯→

19

3, 5, 7, 9, 11, …

→

c)

−1, 2, 7, 14, 23, …

→

⎛ a1 + a32 ⎞⎟ ⎟⎟ ⋅ 32 = ⎟⎠ ⎝ 2

a) 5, 15, 45, 135, … b) 2,

5

1 2

,

1 8

,

1 32

,…

+

2

→

2n + 3

3 5

4

,

7

5

,

9

6

,

11

,

7 13

, ...

→

an = 5 ⋅ 3 n−1

→

an = 2 −2 n+3

⎛ 17 + 79 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 32 = 48 ⋅ 32 = 1.536 ⎜⎝ ⎟⎠ 2 c) 1,

−2,

4,

−8,

…

an = ( −2) n−1

→

Cálculo de la razón y un término de una progresión geométrica. am = an ⋅ rm−n → r =

m−n

am = an

9 −5

El término 20 es: a20 = a1 ⋅ ( 2 ) 19

6

n

49

⎯⎯⎯→

Cálculo de la diferencia y la suma de términos de una progresión aritmética. 79 − 45 34 a − an am = an + ( m − n) ⋅ d → d = m = = = 2 32 − 15 17 m −n Calculamos el primer término: a1 = a15 − ( 15 − 1) ⋅ d → a1 = 45 − 14 ⋅ 2 = 17 La suma es: S32 = ⎜⎜ ⎜

4

( ) 2

d) 4, 9, 16, 25, 36, …

a9 = a5 →

4

16

=

4

4

2

4 =

a20 = 2 2 19 = 2 ⋅ 2 9 2 = 1.024 2

Suma de los términos de una progresión geométrica. Calculamos el primer término: a5 = a1 ⋅ La suma es: S20

7

P10 =

( a1 ⋅

8

Múltiplos de 7.

2 4

→

a1 =

a5 4

=

4 4

=1

1( 2 20 − 1) 2 10 − 1 1.023 a1( r 20 − 1) = = = = r −1 2 −1 2 −1 2 2 − 1

a10 )10 =

( a1 ⋅

a1 ⋅ r9 ) 10 =

( 2 ⋅ 2 ⋅ 3 9 ) 10

Forman una progresión aritmética, cuyos términos serán: 7 n, 7( n + 1), 7( n + 2), 7( n + 3) y 7( n + 4)

⎛ 7 n + 7 n + 28 ⎞⎟ ⎟⎟ ⋅ 5 = ( 7 n + 14 ) ⋅ 5 = 35 n + 70 → 245 = ⎜⎜ ⎜⎝ ⎟⎠ 2

9

n=

245 35

=7

→

{ 49 , 56 , 63 , 70 , 77 }

Áreas de cuadrados. ⎧⎪ ⎪⎪⎩

Es una progresión geométrica: ⎪ ⎨1,

10 Inversiones. Interés simple:

1 4

,

1 16

C f = C0 +

,

1 64

⎫⎪ ⎪⎪⎭

, ...⎪ ⎬, cuya suma es:

C⋅r⋅t 100

= 1.000 +

S =

1 1−

1.000 ⋅ 3 , 5 ⋅ 5 100



1

= 1,3 .

4

= 1.175

⎛ ⎞⎟t r ⎟⎟ = 1.000 ⋅ 1,033 5 = 1.176,2 Interés compuesto: C f = C0 ⎜⎜1 + 26 € ⎜⎝ 100 ⎟⎠ 460



€

8 Figuras planas INTRODUCCIÓN


En esta unidad se repasan y se amplían algunas cuestiones ya estudiadas en el primer ciclo de ESO. Básicamente la unidad está dividida en tres partes: construcciones con regla y compás, el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones en el cálculo de longitudes de figuras, que será fundamental en el cálculo de áreas.

La mayoría de los contenidos de esta unidad se han trabajado de forma total o parcial en cursos anteriores. Será conveniente hacer un repaso de conceptos como los siguientes.

Para facilitar la comprensión de las construcciones es conveniente utilizar programas como, por ejemplo, Cabri-Géomètre. Para el estudio de las dos partes finales de la unidad, se puede señalar a los alumnos la presencia de las figuras planas en multitud de objetos, construcciones, etc., así como recalcar la importancia de conocer sus propiedades y áreas.

• Propiedades de los triángulos.

• Construcciones de triángulos. • Operaciones con ángulos.

CONTENIDOS LUGARES GEOMÉTRICOS • Rectas y puntos notables de un triángulo. TEOREMA DE PITÁGORAS • Cálculo de la altura de un triángulo. • Cálculo de la diagonal de un paralelogramo. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS • Triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. • Figuras circulares: círculos, sectores, segmentos y coronas circulares.


PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba consta de actividades referidas a aspectos que han de ser conocidos por los alumnos: operaciones con ángulos, propiedades de los triángulos, construcciones y áreas de figuras planas, principalmente como aplicación del teorema de Pitágoras.

De las tres partes en las que hemos dividido la unidad, se proponen actividades referidas a construcciones: actividades 1, 2 y 3; al teorema de Pitágoras y sus aplicaciones: actividades 4, 5 y 6, siendo las últimas actividades referidas al cálculo de áreas geométricas.



461


8

FIGURAS PLANAS


En el triángulo de la figura, traza mediante regla y compás las tres mediatrices. C

A

2

B

Calcula la longitud de los ángulos x , y , z . $

$

$

C x

$

y

$

80°

A

3

z

$

47°

16°

B

D

Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ángulos del polígono vale 360°, basándote en las propiedades de los triángulos. A

D O B C

4

Calcula el área de las siguientes figuras. a)

1,75 cm

3 cm

b)

1,75 cm

462




C

En el triángulo de la figura, traza mediante regla y compás las tres mediatrices. Se trazan las mediatrices de los tres lados mediante un compás, y el punto de intersección nos da el circuncentro del triángulo. A

2

B

Calcula la longitud de los ángulos x , y , z . $

$

$

En el triángulo ABC:

C

x = 180° − (80° + 47°) =

x

$

$

= 180° − 127° = 53°

y

$

El ángulo z es el complementario de B: $

$

z = 90° − 47° = 53°

$

En el triángulo rectángulo BDE:

47°

A

y = 90° − 16° = 74°

z

$

80°

16°

B

D

$

3

Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ángulos del polígono vale 360°, basándote en las propiedades de los triángulos. A

Los ángulos A y C abarcan un diámetro, por lo que son ángulos rectos, o sea: A + C = 180°. $

$

$

$

Por otra parte, en los triángulos BAD y DCB se cumple que: B2 + D2 = 90° y B1 + D1 = 90°, siendo la suma de los dos ángulos: B + D = B1 + B2 + D1 + D2 = 180°. $

$

$

$

$

$

$

$

D 2

D

$

$

B 2 $

B

D 1 $

B 1

O

$

$

C

4

Calcula el área de las siguientes figuras. a)

1,75 cm

A = 3 ⋅ 1,75 = 5,25 cm 2

3 cm

b) 2

⎛ 1,75 ⎞⎟ ⎟⎟ = 4, 27 cm 2 A = 1,75 + π ⋅ ⎜⎜⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ 2 2

1

1,75 cm



463


8

FIGURAS PLANAS

contenidos


Construcción con regla y compás de diferentes lugares geométricos.

1

Determina el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los dos extremos del segmento de 5 cm de la figura. Explica cómo lo haces y di cómo se denomina este punto. A

B Trazado de las mediatrices, bisectrices, alturas y medianas de un triángulo.

2

Dibuja las medianas del triángulo de intersección?

ABC .

¿Cómo se llama su punto

C

A

B

3

Dibuja un triángulo equilátero de 3 cm de lado y determina la circunferencia inscrita en dicho triángulo.

4

Completa la tabla siguiente. Hipotenusa

Cateto

Cateto

3

4

13

5

10

8 5

8


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 1, 2 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. 4 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...................................................... ..................... 1, 2, 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .......................................... ......................................... ........................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 5, 6, 7, 8, 9

464



Aplicación del teorema de Pitágoras para el cálculo de elementos en triángulos y polígonos.

Cálculo del área de polígonos regulares o de figuras planas como aplicación del teorema de Pitágoras.

5

En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 4 cm y el lado diferente 7,3 cm. Calcula cuánto mide la altura sobre el lado diferente.

6

Halla el valor de la diagonal del cuadrado de lado 6 cm.

7

Determina el área del cuadrado interior de la figura, sabiendo que el área del cuadrado exterior es 14,67 cm 2. 2,94 cm

8

Obtén el área sombreada de la figura, si el diámetro de la circunferencia mayor mide 8 cm. A1 A2 A3

Resolución de problemas de la vida cotidiana como aplicación del teorema de Pitágoras y de las áreas de figuras planas.

9

Calcula cuánta pintura de color rojo se necesita para pintar la señal de tráfico, si el diámetro de la circunferencia mide 40 cm, las dimensiones del rectángulo son 25 × 8 cm y sabemos que con 1 kg de pintura se pueden pintar 4 m 2 de superficie.


PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ............................................ .......................................... ............................. 4 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ...................................... ............................................. ........................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................... ......................................... .......................



465


8

FIGURAS PLANAS


Lugar geométrico.

5

Aplicación del teorema de Pitágoras.

Se dibujan dos arcos de igual radio, y con centro los extremos del segmento. Uniendo los puntos de corte obtenemos la mediatriz.

2

h = AD =

⎛ 7 , 3 ⎞⎟ ⎟ 4 − ⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2

= 1, 64 cm

A

m 4 c

A

4 c m

h

B

D

C

7,3 cm B

6

Aplicación del teorema de Pitágoras. Llamamos x al valor de la diagonal:

x = 6 2 + 6 2 = 2

Medianas de un triángulo.

7

Área. Calculamos el lado del cuadrado mayor: x

Mediante un proceso como el anterior buscamos los puntos medios de los lados del triángulo: M, N y P. Después, unimos los vértices con los puntos medios de los lados opuestos.

72 ≈ 8 , 49 cm

2,94 cm

L = 14,67 = 3 ,83 cm x = 3,83 − 2,94 = 0,89 cm

L

2

l

l

= 2,94 2 + 0,89 2

C

A = l2 = 2,94 2 + 0,89 2 = 9,4357 cm 2 N

8

M

Baricentro

Área de la figura.

G

A1 A2 A

3

B

P

A3

Puntos notables de un triángulo. Dibujamos el triángulo equilátero y, después, las bisectrices de dos de los vértices. El punto de corte de las dos bisectrices será el centro de la circunferencia inscrita.

A1 = A2 = A3 =

1 4 1 2 1 2

π ⋅ 4 2 − π ⋅ 2 2 − π ⋅ 12 =

1 2 1 2 1 2

π ⋅ 2 2 = 2 π π ⋅ 12 =

3 2

π

π

El área total será:

A = A1 + A2 + A3 = 2 π + 4

466

Tabla.

Hipotenusa

Cateto

Cateto

5

3

4

13

5

12

10

8

6

89

5

8


9

3 2

π+

1 2

π = 4 π

Pintura. A = π ⋅ 20 2 − (25 ⋅ 8) = 1.056 cm 2 Planteamos una regla de tres: 4 ⋅ 10 4 cm 2 ⎯ → 1.000 g ⎫ ⎪⎪ ⎬ 2 1.056,6 cm → x g ⎪⎪⎭ Por tanto, se necesitan x = 26,415 g de pintura.


9 Cuerpos geométricos INTRODUCCIÓN


Los contenidos de esta unidad son, en parte, conceptuales, de conocimiento de los poliedros y sus tipos, o el concepto de volumen de un cuerpo geométrico, pero mayoritariamente se trata de contenidos procedimentales: cálculo de áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos.

Salvo el estudio de la esfera terrestre, todos los contenidos de la unidad han estado tratados en 2.º ESO. Será conveniente repasar alguno de los conceptos estudiados, aunque se vuelvan a revisar a lo largo de la unidad. Estos contenidos se pueden resumir en:

La primera parte de la unidad son cuestiones ya conocidas por los alumnos relativas a la identificación, caracterización y desarrollo de cuerpos geométricos. Conviene señalar también que el desarrollo y construcción de los cuerpos geométricos les proporcionará una importante visión espacial.

• Reconocimiento de las diferentes posiciones de puntos, rectas y planos en el espacio. • Diferenciación de los elementos principales, tipos y partes de un poliedro. • Operaciones con ángulos y tiempos. • Teorema de Pitágoras.

La segunda parte de la unidad contiene fórmulas que los alumnos deben conocer y aplicar perfectamente, utilizando más la reflexión y la deducción que la memorización.

CONTENIDOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

1. Poliedros. • Tipos de poliedros. Poliedros regulares. • Prismas. Área de un prisma. • Pirámides. Área de una pirámide. 2. Cuerpos redondos. • Cilindro. • Cono. • Esfera.

3. Volúmenes de cuerpos geométricos. • Principio de Cavalieri. • Volumen del prisma y el cilindro. • Volumen de la pirámide y el cono. • Volumen de la esfera. 4. La esfera terrestre.


PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba contiene una serie de actividades de repaso de aspectos básicos de la Geometría tridimensional: planos, rectas y puntos; es decir, caras, aristas y vértices en poliedros (actividades 1 y 2), clasificación de un prisma, fórmula de Euler (actividad 3), dibujo de un cono y teorema de Pitágoras (actividad 4) y operaciones con ángulos (actividad 5).

Las tres primeras actividades son de identificación y desarrollo de cuerpos geométricos. El resto son ejercicios o problemas relacionados con el cálculo de áreas y volúmenes, así como con el teorema de Pitágoras.



467


9

CUERPOS GEOMÉTRICOS


Observa el prisma de la figura y contesta. D

'

C

'

A

b) ¿Qué polígonos forman las caras laterales?

B

'

a) ¿Qué tipo de polígono es la base?

'

c) ¿Cuál es el vértice opuesto a A ? '

C

D A

2

d) ¿Cuál es la arista opuesta a

BC ?

e) ¿Y la cara opuesta a BB C C ? '

B

'

Esta figura es un poliedro. Contesta a las siguientes preguntas. D

'

D

C

a) ¿Cuántas caras tiene y de qué tipo son?

'

E

'

b) ¿Cuántas clases de ángulos hay? Señala un ejemplo de cada uno de ellos.

C E B

'

c) ¿Cuántas caras coinciden en el ángulo poliedro D ? $

A

'

B

A

3

Sabiendo que un prisma tiene 8 caras, resuelve. a) ¿Cuál será su base? b) ¿Cuántos vértices tendrá? c) Aplica la fórmula de Euler y calcula su número de aristas. d) Dibuja el prisma y comprueba los cálculos realizados.

468

4

Dibuja un cono y señala el vértice, la generatriz y la altura. Si la base tiene un radio de 3 cm y la generatriz mide 5 cm, ¿cuánto mide la altura?

5

Dado el ángulo: 37° 35 12 , halla su complementario, su ángulo doble y mitad. '

"




Observa el prisma de la figura y contesta. D

a) ¿Qué tipo de polígono es la base? Es un rectángulo.

C

'

'

A

b) ¿Qué polígonos forman las caras laterales? Son romboides. c) ¿Cuál es el vértice opuesto a A ? C

B

'

'

'

d) ¿Cuál es la arista opuesta a BC ? A D '

C

D

e) ¿Y la cara opuesta a BB C C ? AA D D '

A

2

B

'

'

'

Esta figura es un poliedro. Contesta a las siguientes preguntas. a) ¿Cuántas caras tiene y de qué tipo son?

D

'

Hay 7 caras, 2 son pentágonos y 5 rectángulos.

C

'

D

E

b) ¿Cuántas clases de ángulos hay? Señala un ejemplo de cada uno de ellos.

'

C E

Hay ángulos rectos ( A E E) y de 108° ( CBA). '

B

'

'

c) ¿Cuántas caras coinciden en el ángulo poliedro D ? $

A

'

Coinciden 3 caras: 2 rectángulos ( DD E E y DCC E) y 1 pentágono ( DEABC). '

B

A

3

'

'

'

Sabiendo que un prisma tiene 8 caras, resuelve. a) ¿Cuál será su base? Como es un prisma, tiene dos bases y el resto son caras laterales, 8 − 2 = 6. El prisma es hexagonal, es decir, la base es un hexágono.

b) ¿Cuántos vértices tendrá? Tendrá 6 vértices en la cara superior y otros 6 vértices en la inferior; es decir, 12 vértices.

c) Aplica la fórmula de Euler y calcula su número de aristas.

C + V = A + 2 → A = C + V − 2 = 8 + 12 − 2 = 18 d) Dibuja el prisma y comprueba los cálculos realizados.

4

Dibuja un cono y señala el vértice, la generatriz y la altura. Si la base tiene un radio de 3 cm y la generatriz mide 5 cm, ¿cuánto mide la altura?

V vértice

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

g2

5

=

h2

+

r2

→

h

g2

=

− r2 =

g generatriz

h altura

5 2 − 3 2 = 4 cm

r

Dado el ángulo: 37° 35 12 , halla su complementario, su ángulo doble y mitad. '

"

⎧ ⎪Complementario: 90° − 37° 35 12 = 52° 24 48 ⎪ ⎪ ⎪ 24 ⎪Doble: 2 ⋅ 37° 35 12 = 75° 10 ⎨ ⎪ ⎪Mitad: 1 ⋅ 37° 35 12 = 18° 47 36 ⎪M ⎪ 2 ⎪ ⎩ '

37° 35 12 '

"

→

'

"

'


"

'

"

'

"

'

"

"


469


9


contenidos


Reconocimiento y distinción de los poliedros, sus tipos y comprobación de sus propiedades y si cumplen o no la fórmula de Euler.

1

¿Qué poliedros regulares puedes formar usando cuadrados como caras? ¿Cuántas caras coinciden en cada vértice? ¿Y si usas pentágonos?

2

Cuenta el número de caras, aristas y vértices de los dos poliedros de la figura. Clasifica los poliedros y comprueba que se cumple la relación de Euler. a)

b)

Diferenciación de los prismas y pirámides, sus elementos y tipos.

3

Dibuja una pirámide hexagonal y un prisma pentagonal. Averigua cuántas caras, vértices y aristas tiene cada uno de ellos. Dibuja sus desarrollos planos.

Cálculo del área de pirámides, prismas y cuerpos redondos.

4

Calcula el área del prisma de la figura. c

b a

5

=

=

=

3 cm

4 cm

5 cm

La pirámide de Keops es de base cuadrada y mide 233 m de lado y 148 m de altura. Calcula el área lateral y total de esta pirámide.


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 1, 2, 3 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................... ............................................... . • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .......................................... ......................................... ........................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 4-11

470



6

Calcula el área de las dos figuras. a)

b)

3 1

3 cm

c m

r G

Cálculo de volúmenes de prismas, pirámides, y cuerpos redondos, y manejo de los mismos para plantear y resolver problemas del entorno.

Localización de un punto en la Tierra mediante sus coordenadas geográficas.

7

=

5 cm G

1,5 cm

Halla el volumen comprendido entre el cubo y la esfera de la figura.

m c 6

8

Calcula el volumen de una taza que tiene forma de semiesfera de 10 cm de diámetro.

9

Un local tiene las siguientes dimensiones: 4 m de ancho, 3,5 m de largo y 3 m de altura. ¿Se podrá introducir en él un poste de 6,5 m de largo?

10 Las coordenadas de Barcelona son: 41° 24 N 2° 9 E. Calcula las coordenadas '

'

de sus antípodas.


PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ............................. ............................................. ......................................... 1, 3 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. .......................................... ............................................ ........................... 2 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ...................................... ............................................. ........................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................... ......................................... .......................



471


9



Poliedros. Con cuadrados ⎯→ El cubo. Coinciden 3 caras en cada vértice. Con pentágonos → El dodecaedro. Coinciden 3 caras en cada vértice.

2

Fórmula de Euler. Tronco de pirámide ⎯⎯→ C = 6, V = 8 y A = 12. Se cumple la fórmula de Euler. Antiprisma rectangular → C = 10, V = 8 y A = 16. Se cumple la fórmula de Euler.

3

Desarrollos planos.

Caras

Vértices

Aristas

Pirámide

7

7

12

Prisma

7

10

15

2( ab + ac + bc) = 2 ⋅ (5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3) = 2 ⋅ 47 = 94 cm 2

4

Área del prisma. A

5

Pirámide de Keops. Primero calculamos la apotema: a

=

AL 6

=

148 2 4 ⋅

+

=

116 , 5 2

35.476 , 25

=

233 ⋅ 188 , 35

=

2

=

87.771, 7 m2 .

188,35 m

Área total: AT = AB + AL = 233 2 + 87.771,7 = 142.060,7 m 2 .

Área. a) Calculamos la altura: h = 13 2 − 10 2 = 69 ≈ 8,3 cm AT = 2 ⋅ AB + AL = 2 ⋅ π ⋅ 5 2 + 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 8,3 = 157,08 + 260,75 = 417,83 cm 2 b) A = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 1,5 = 28,274 cm 2 Volumen. V

VC

−

8

Volumen. Vsemiesfera

=

9

Problema del local. Aplicamos el teorema de Pitágoras en el espacio. La longitud de la diagonal del ortoedro será: L = 4 2 + 3 , 5 2 + 3 2 = 37 , 25 = 6,11 m . Por tanto, no se podrá introducir el poste.

=

VE

4

7

1 2

6 3

−

Vesfera

=

=

π⋅

3 1 2

⋅

3 3

4 3

=

π⋅

r3

216

=

− 113 ,09 =

2 3

π⋅

5 3

=

102,91 cm 3

261,8 8 cm 3

10 Coordenadas en la esfera. Las coordenadas de las antípodas de Barcelona son 41° 24 S 2° 9 O. '

472



'

10 Movimientos y semejanzas INTRODUCCIÓN


Esta unidad continúa y amplía el estudio de las figuras y movimientos estudiados en 2.º ESO. En el curso anterior se hacía hincapié en los temas de construcción, y en este curso se comienza el cálculo con vectores que se continuará en el curso siguiente, si bien las construcciones son esenciales para contrastar los resultados algebraicos con los gráficos. Convendrá realizar con los alumnos actividades de tipo gráfico para comprobar si han asimilado bien los conceptos.

De los contenidos de la unidad, el estudio de vectores es nuevo para los alumnos y se seguirá estudiando en 4.º ESO. Los demás contenidos ya se han visto en cursos anteriores, pero desde un punto de vista no vectorial. Por eso será importante repasar alguno de estos conceptos de la Unidad 8 de 2.º ESO, así como el teorema de Pitágoras y el sistema de coordenadas:

Se ha de poner énfasis en la diferencia entre movimientos y semejanzas: los primeros conservan la longitud y los segundos no. Este punto dará lugar al estudio de la proporcionalidad geométrica, aspectos como las semejanzas, teorema de Tales, escalas, etc.

• Traslaciones, giros y simetrías. Propiedades.

• Teorema de Pitágoras. • Sistema de coordenadas. Coordenadas de un punto.

CONTENIDOS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS 1. Vectores. • Coordenadas y módulo de un vector. 2. Movimientos en el plano. • Traslaciones. • Giros. • Simetrías. – Simetrías respecto de un punto. – Simetrías respecto de una recta. • Homotecias y semejanzas. Polígonos semejantes. 3. Teorema de Tales. 4. Escalas.


PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba consiste en una serie de actividades que se consideran importantes para el desarrollo de la unidad: el teorema de Pitágoras y el sistema de coordenadas en el plano y cálculo de coordenadas de puntos (para el cálculo vectorial); y un repaso de los movimientos del plano y su visualización y propiedades (tipos de movimientos, ejes de simetrías).

De las actividades que se proponen en la unidad destacan las que están referidas al cálculo con vectores (actividades 1 y 2); cuestiones de movimientos desde un punto de vista algebraico y gráfico (actividades 3, 4 y 5) y actividades sobre semejanzas: construcción de figuras y cálculo con figuras semejantes. Habrá que explicar a los alumnos que las constantes de proporcionalidad geométricas entre áreas no son iguales que las lineales, así como el trabajo con escalas.



473


10

MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS


Calcula el valor del cateto desconocido del triángulo rectángulo. C

20 cm b

A

2

B

17 cm

Obtén las coordenadas de los puntos P , Q , R y S de la figura. Y

P Q

1 X

1

S

R

3

Observa la figura y completa la tabla.

E

D

A

4

B

Figura transformada

A

B

B

E

C

D

D

E

Dibuja los ejes de simetría de las figuras. a)

474

C

Figura inicial

b)


c)


Tipo de movimiento


Calcula el valor del cateto desconocido del triángulo rectángulo. C

20 cm

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

b

b A

2

=

20 2

−

17 2

=

400

−

289

=

111

≈

10,54 cm

B

17 cm

Obtén las coordenadas de los puntos P , Q , R y S de la figura. Y

P Q

1

Las coordenadas de los puntos son:

Q( −2, 1)

S(3, −2)

Observa la figura y completa la tabla.

E

D

A

4

R( −1, −3)

S

R

3

P(3, 2)

X

1

C

B

Figura inicial

Figura transformada

Tipo de movimiento

A

B

Traslación

B

E

Traslación

C

D

Simetría

D

E

Giro

Dibuja los ejes de simetría de las figuras. a)

b)


c)


475


10


contenidos


Distinción de los elementos de un vector y cálculo de los componentes y el módulo de un vector a partir de dos puntos, y viceversa.

1

Escribe las coordenadas del vector de la figura y calcula su módulo. Y

B 1

A

X

1

2

Completa la siguiente tabla.

B (

Punto

Vector traslación

A(2, 3)

v (2, −3)

,

C (−2, 4)

Obtención de la figura transformada de una dada mediante la aplicación de traslaciones, giros o simetrías.

3

ជ

,

)

B (−1, 0)

ជ

v (

,

'

v (5, −1)

'

)

C (−3, −2) '

Un triángulo F tiene por vértices los puntos: A(−3, 0), B (−1, 4) y C (2, 5). Halla el triángulo transformado F mediante el vector v (2, −3). '

4

A(

ជ

)

Punto trasladado

ជ

Halla el triángulo F , transformado del triángulo F , mediante un giro de 90º respecto del origen de coordenadas. "


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 1 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. 2 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...................................................... ..................... 1, 3, 6 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .......................................... ......................................... ........................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 3, 4, 5, 7, 8

476



5

Determinación de la figura homotética de una dada, conocidos el centro y la razón de la homotecia.

6

Y

Obtén la figura simétrica del pentágono respecto del eje de ordenadas y respecto del origen. Escribe las coordenadas de cada vértice de la figura y de sus transformados.

D

E

C B A

Determina la figura homotética de la figura y con k 0,6.

ABCDE respecto

X

del punto

O

=

C D B O

E A

Resolución de problemas de semejanza de figuras o triángulos como aplicación del teorema de Tales.

7

En el triángulo ABC de la figura se traza una recta paralela al lado AB que corta a los otros lados en los puntos D y E . Halla la longitud del segmento CB .

៮

5 cm

E

2, 4 cm C

A D

c m 1 , 2 B

Trabajo con escalas numéricas o gráficas en planos, mapas o maquetas.

8

La longitud de un objeto en la realidad es 4,5 m. ¿Cuál será su longitud en una maqueta a escala 1:500?


PRUEBAS

•


•


•


•




477


10



Coordenadas y módulo de un vector.

ជ

ជ

A( −2, 1), B(3, 2) → AB(5, 1) ⏐AB⏐ = 2

Tabla.

3

Traslación. Los vértices del triángulo transformado F son:

B ( −6 ,

v ( −1 , −6 )

1 )

A(

ជ

4 ,

'

v (2,

−3)

v (2,

−3)

v (2,

0 )

giro 90°

'

giro 90°

B( −1, 4) ⎯⎯⎯⎯→ B ( −4, −1)

'

−3)

26 ≈ 5,1

=

A( −3, 0) ⎯⎯⎯⎯→ A (0, −3)

'

B( −1, 4) ⎯⎯⎯⎯→ B (1, 1)

'

giro 90°

C(2, 5) ⎯⎯⎯⎯→ C ( −5, 2)

C(2, 5) ⎯⎯⎯ ⎯⎯→ C (4, 2) ជ

12

"

A( −3, 0) ⎯⎯⎯⎯→ A ( −1, −3) ជ

+

Vértices. Los vértices del triángulo transformado F son:

4

'

ជ

52

'

'

Y

Y C

B

C

B v

ជ

F

F C

'

C

'

B

'

A

A

F

'

X

X

F

'

B

'

A

A

'

'

5

Figuras semejantes.

Y

Vértices de la figura F: A(2, 0); B(4, 1); C(5, 2); D(4, 3); E(1, 3)

D C

'

'

'

A

"

6

"

"

"

−2);

D

E

"

Figuras homotéticas. Con la regla se trazan las rectas AO, BO…

"

C D

'

C

D

'

'

B

B

'

E

E

'

'

O A

'

A

Aplicación del teorema de Tales. CE CA

478

F

C

"

'

8

X

"

Después, en cada una de ellas se miden los segmentos OA, OB… y se calcula el 60 % ( k = 0,6), que nos da los puntos: A , B , C …

7

A

"

B

"

"

B

A

'

Vértices de la figura F : A ( −2, 0); B ( −4, −1); C ( −5, D ( −4, −3); E ( −1, −3)

C

F

B

'

"

D

'

'

'

E

'

F

'

Vértices de la figura F : A ( −2, 0); B ( −4, 1); C ( −5, 2); D ( −4, 3); E ( −1, 3) '

E

'

=

2,4 CD → CB 5

Escalas. L

=

4 , 5 500

=

=

CD CD + 2,1 0,009 m

→ CD

=


=

1,94 cm

→ CB

=

4,04 c cm

9 mm


11

Funciones

INTRODUCCIÓN


Esta unidad continúa el estudio de funciones iniciado en 2.º ESO e introduce la representación gráfica de funciones. En algunos casos se trata de hacer una aproximación intuitiva a partir de las gráficas como, por ejemplo, el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad, pero en otros casos se aplican conocimientos como el cálculo de puntos de corte, simetrías, etc.

Conviene repasar algunos conceptos estudiados en cursos anteriores y que resultan importantes en el desarrollo de la unidad: las coordenadas del plano y las magnitudes directa e inversamente proporcionales, así como una revisión de las expresiones algebraicas trabajadas en la Unidad 3 de este curso.

En este nivel interesa también que queden claras las diferentes formas de expresar una función y cómo pasar de unas a otras. Los aspectos más importantes de las funciones de proporcionalidad y las funciones lineales se estudiarán con más detenimiento en la Unidad 12.

• Representación de puntos en un sistema de referencia. Lectura de funciones. • Determinación de magnitudes directa e inversamente proporcionales. • Trabajo con expresiones algebraicas.

CONTENIDOS FUNCIONES 1. Formas de expresar una función. • Enunciados. • Expresiones algebraicas. • Tablas de valores. • Gráficas. 2. Características de una función. • Continuidad y discontinuidad. • Dominio y recorrido. • Puntos de corte con los ejes. • Crecimiento y decrecimiento. • Máximos y mínimos. • Simetrías.


PRUEBA DE LA UNIDAD

Esta prueba contiene actividades que repasan aspectos importantes de la unidad: representación gráfica de puntos en el plano, estudio de relaciones de forma algebraica y gráfica, interpretación y lectura de gráficas y estudio de una tabla de proporcionalidad.

En la prueba se ha realizado una selección de los conceptos más importantes de la unidad: trabajo con funciones expresadas de diferentes formas y, en el caso de funciones expresadas mediante expresiones algebraicas: dominio y recorrido, extremos, continuidad, simetrías y crecimiento y decrecimiento.



479


11

FUNCIONES


Observa los puntos de la gráfica siguiente. Y

D

a) Escribe sus coordenadas.

4

b) Calcula y dibuja el punto simétrico de respecto del eje de ordenadas.

A

2

c) Halla el simétrico del punto B respecto del eje de abscisas.

E

−3 C

2

−1

1

−2

B

3

A

X

d) Calcula y dibuja el punto simétrico de respecto del origen.

C

Dados los conjuntos M {12, 14, 15, 16, 18} y N {5, 6, 7, 9, 11}, y teniendo en cuenta que un elemento de A está relacionado con otro de B , si ambos tienen algún divisor común distinto de la unidad: =

=

a) Escribe los pares de valores que forman esta relación.

9

Y

8

b) Represéntalos mediante un sistema de coordenadas.

7 6 5 12

3

14

16

18

20

X

En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas mínimas diarias a lo largo del mes de febrero.

10 ) C ° ( a r u t a r e p m e T

8

a) ¿Cuántos días se han registrado temperaturas por debajo de 0 °C?

6 4

b) ¿Qué día se registró la temperatura máxima? ¿Y la mínima?

2 0

−2

1

3

5

7

c) Escribe un tramo en el que la temperatura sea creciente.

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

−4 −6

4

Días del mes

En la tabla están relacionados el peso (en kg) de manzanas y su precio (en €). Determina los valores que faltan.

Manzanas (kg) Precio (€)

1 1,30

2

4 6

Escribe la expresión que relaciona el precio y la cantidad de manzanas que se adquiere.

480



… 9


Observa los puntos de la gráfica siguiente. a) Escribe sus coordenadas. A(3, 2) B(1, 3) D( 2, 4) E( 3, 0)

Y D

−

4

−

A

C( 4, 2) −

−

−

b) Calcula y dibuja el punto simétrico de A respecto del eje de ordenadas → A ( 3, 2)

2

'

E

−3 C

−1

1

−2

B

3

−

c) Calcula el simétrico del punto B respecto del eje de abscisas → B (1, 3)

X

'

d) Calcula y dibuja el punto simétrico de respecto del origen → C (4, 2)

C

'

2

Dados los conjuntos M {12, 14, 15, 16, 18} y N {5, 6, 7, 9, 11}, y teniendo en cuenta que un elemento de A está relacionado con otro de B , si ambos tienen algún divisor común distinto de la unidad: =

=

a) Escribe los pares de valores que forman esta relación. (12, 6), (12, 9), (14, 6), (14, 7), (15, 5), (15, 6), (15, 9), (16, 6), (18, 6), (18, 9) 9

Y

8

b) Represéntalos mediante un sistema de coordenadas.

7 6 5 12

3

14

16

18

20 X

En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas mínimas diarias a lo largo del mes de febrero.

a) ¿Cuántos días se han registrado temperaturas por debajo de 0 °C? 3 días.

10 ) C ° ( a r u t a r e p m e T

8 6

b) ¿Qué día se registró la temperatura máxima? ¿Y la mínima? Máxima: 10 °C en el día 27 y mínima: 4 °C en el día 2.

4 2 0

−2

−

1

3

5

7

c) Escribe un tramo en el que la temperatura sea creciente. Por ejemplo, [10, 13].

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

−4 −6

4

Días del mes

En la tabla están relacionados el peso (en kg) de manzanas y su precio (en €). Determina los valores que faltan.

Manzanas (kg) Precio (€)

1

2

4,615

4

6,92

…

1,30

2,60

6

5,20

9

…

Escribe la expresión que relaciona el precio y la cantidad de manzanas que se adquiere. y 1,3 x, donde x es el peso de las manzanas (en kg) e y es el precio (en € ). =

⋅



481


11

FUNCIONES

contenidos


Distinción de una relación funcional, y reconocimiento de las variables independiente y dependiente.

1

Determina si son o no funciones estas relaciones. a) El perímetro de un cuadrado y su área. b) El número de obreros y el tiempo que tardan en terminar un trabajo. c) La velocidad y el espacio que recorre un coche en dos horas. d) La edad de una persona y su altura.

Representación gráfica de relaciones funcionales extraídas de la vida cotidiana.

2

Se vacía una piscina de dimensiones 8 × 3,5 × 1,5 m, mediante un grifo que expulsa 50 litros de agua por minuto. a) Realiza una tabla donde se exprese la cantidad de agua que queda (en metros cúbicos) y el tiempo de expulsión de agua entre t 0 y t (en minutos) de 20 en 20. =

=

120

b) Determina la fórmula o expresión algebraica que relaciona ambas magnitudes en ese intervalo de tiempo. c) Representa gráficamente la función.

Expresión de una función mediante tablas, gráficas y enunciados, y transformación de unas a otras.

3

En la función que asocia a cada número su doble más 3 veces su inverso: a) Halla su fórmula o expresión algebraica. b) Calcula f (4) y f ( 4). −

c) Determina el dominio de la función. d) ¿Es una función continua o discontinua?


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 1, 8 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones .................................................................. ......... 2 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................... .............................................. .................................. 5 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 2, 3, 4, 6

482



Determinación del dominio y recorrido de una función, dada la gráfica de la función.

4

Considera la relación que asocia a cada número real el doble de su cuadrado. ¿Es una función esta relación? ¿Cuál es su dominio? ¿Y su recorrido? Obtén su expresión algebraica.

5

Calcula el dominio y el recorrido de la función cuya gráfica es la siguiente. Y

6 4 2

X 2

−2 −1

4

6

8

Cálculo de los puntos de corte de una función con los ejes.

6

Dada la función y x 2 de coordenadas.

Reconocimiento de los intervalos de crecimiento de una función y sus máximos y mínimos a partir de su gráfica.

7

Observa la gráfica e indica sus intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos.

=

−

x

−

6, halla los puntos de corte con los ejes

Y 4 2

−2

−4

−6

2

4

6

X

−2 −4

8

Escribe las principales características de estas funciones. 2 a) y = x + 2

b) y =

x x + 2


PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios .............. ............................................. ......................................... ............... 1, 3, 6, 8 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ...................................... ............................................. ........................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ........... .............................................. ........................................ ........ 3



483


11

FUNCIONES


2

Funciones. Son funciones a), b) y c). ⎛ perímetro ⎞⎟2 ⎟⎟ a) A = ⎜⎜ ⎟⎠ ⎝⎜ 4

c)

Espacio = velocidad ⋅ 2

b) Es una función, pero no se puede escribir.

d)

No es una función.

a) Tabla.

Litros de agua en la piscina Tiempo (min)

0

Volumen (m 3 ) 42

8 ⋅ 3,5 ⋅ 1,5 = 42 m 3

→

10

20

30

40

50

60

70

80

90

41,5

41

40,5

40

39,5

39

38,5

38

37,5

37

30

50

b) Expresión algebraica.

c)

Volumen = 42 − 0,5 ⋅ tiempo

→

y = 42 −

1 2

x.

100 110 120 36,5

36

Y e 41 t n a t s 39 e r n e 37 m u l o V 35

10

70

90

110

X

Tiempo (min)

3

a) Expresión algebraica. b) Imágenes.

y = f( x ) = 2 x + 3

f( 4 ) = 8 +

4

=

35 4

3

x f( −4 ) = −8 −

3 4

=

−35 4

c) Dominio: Todos los números reales menos el cero. d) Continuidad: No es continua en x

= 0.

4

Relación. Es una función cuyo dominio son todos los números reales, y el recorrido, los números reales positivos. Su expresión algebraica es y = 2 x2 .

5

Dominio y recorrido de una función. Dom ( f) = ( − , −1] ∪ [0, 3) ∪ [3, + )

6

7

⎧⎪ x = −2 ⎫⎪⎪ os: P( −2 , 0 ) y Q ( 3 , 0 ) . • Con el eje OX : x2 − x − 6 = 0 → ⎪⎨ ⎬ → Hay dos punto ⎪⎪⎩ x = 3 ⎪⎪⎭ • Con el eje OY: f(0) = 0 2 − 0 − 6 = −6 → Hay un punto: R(0, −6).

Función. Es creciente en ( − , −2) ∪ ( −2, 0) ∪ (4, + ) y decreciente en (0, 2) ∪ (2, 4). ⎛ ⎜⎝

Tiene un máximo en el punto P ⎜⎜0 ,

8

Im ( f) = [ −1, + )

1 ⎞⎟

⎟⎟ y un mínimo en Q(4, −1).

2 ⎟⎠

a) Dominio: ». Es continua. Corta al eje OY en P(0, 2) y no corta al eje de abscisas. Es decreciente

en el intervalo ( − , 0) y creciente en el intervalo (0, + Es simétrica respecto del eje OY.

). En el punto P(0, 2) tiene un mínimo.

⎛ 1 ⎞⎟ ⎟⎟ y no corta al eje − { −2}. Es discontinua en el punto x = −2. Corta al eje OY en P ⎜⎜⎜0 , ⎝ 2 ⎟⎠ de abscisas. Es decreciente en el intervalo ( − , −2) y creciente en el intervalo ( −2, + ). '

b) Dominio: »

No tiene máximos ni mínimos y no presenta simetrías.

484



12 Funciones lineales y afines INTRODUCCIÓN


Esta unidad es una continuación de la anterior, en la que se trabajaban las funciones y sus características, y también de la unidad de proporcionalidad. Es importante hacer hincapié en la relación entre la expresión algebraica y la representación gráfica, tanto de las funciones de proporcionalidad como de las funciones lineales, y en el paso de la expresión algebraica a la gráfica, y viceversa.

Esta unidad es una continuidad de la unidad anterior, en la que se estudian los conceptos y las características globales de las funciones, y de la unidad de proporcionalidad, por lo que será conveniente repasar:

También será conveniente trabajar con las ecuaciones de las rectas, sus propiedades y representación, así como destacar el papel de l a pendiente y su relación con el crecimiento y las rectas paralelas a los ejes, sobre todo cuando no es una función. Convendrá dedicar alguna actividad a cuestiones de aplicación de este tipo de funciones.

• Expresión de relaciones geométricas o aritméticas utilizando el lenguaje algebraico. • Estudio analítico y gráfico de la proporcionalidad directa.

CONTENIDOS FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN AFÍN • Ecuaciones y gráficas asociadas a las funciones lineales y afines. • Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. • Rectas secantes y paralelas. • Rectas paralelas al eje de abscisas. • Aplicaciones.


PRUEBA DE LA UNIDAD

Esta prueba contiene tres actividades sobre relaciones de proporcionalidad, la forma de expresarlas, la representación gráfica de esas relaciones, tablas de proporcionalidad, etc.

Las tres primeras actividades son de repaso de las relaciones de proporcionalidad, las tablas y sus expresiones algebraicas, así como l as representaciones gráficas de las funciones de proporcionalidad y afines. Las siguientes actividades hacen referencia a un inicio de la Geometría afín: ecuaciones de la recta, obtención de una recta que pasa por dos puntos, cálculo de la pendiente de una recta y su relación con el crecimiento y la representación de diferentes rectas en unos ejes de coordenadas, y la obtención de sus puntos de corte. Las dos últimas actividades son de aplicación de los contenidos estudiados en problemas geométricos o de otros tipos.



485


12

FUNCIONES LINEALES Y AFINES


2

Una tienda vende moqueta en rollos de 3 m de ancho a 12 € /m. Completa la tabla que representa analítica y gráficamente la relación. Longitud (m)

1

Precio (€)

12

4

10

30

60

200

Expresa algebraicamente las relaciones. a) El perímetro de un cuadrado en función de su lado. b) La longitud de una circunferencia y su diámetro. c) El perímetro de un rectángulo cuya base es doble que la altura.

3

Un grupo de amigos alquila un autobús para realizar un viaje. El coste es de 75 € fijos y 50 céntimos por cada kilómetro recorrido. Completa la tabla para 10, 20, 30, …, hasta 150 km, de 10 en 10. Espacio (km)

0

10

20

30

40

10

30

Precio (€)

Expresa gráficamente la función. Y

150 130 110 90 70 50 30 10 50

70

90

110

130

150

X

Responde a las siguientes cuestiones. a) ¿Qué variables están representadas? b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? c) ¿Es una función? d) ¿Puedes unir los puntos del gráfico? ¿Por qué? e) ¿Cómo es la función, creciente o decreciente? f) Escribe la fórmula que relaciona los kilómetros recorridos con el importe pagado.

486




Una tienda vende moqueta en rollos de 3 m de ancho a 12 € /m. Completa la tabla que representa analítica y gráficamente la relación. Longitud (m)

1

2,5

4

5

10

16,67

90

Precio (€)

12

30

48

60

120

200

70

Expresión algebraica: y

=

Y

50

12 ⋅ x.

30 10 1

2

3

5

7

X

Expresa algebraicamente las relaciones. a) El perímetro de un cuadrado en función de su lado b) La longitud de una circunferencia y su diámetro

→

⎯ ⎯ →

Perímetro = 4 ⋅ lado → y Longitud =

π⋅

=

4 x

diámetro → y

= π⋅

x

c) El perímetro de un rectángulo cuya base es doble que la altura. Perímetro = 2 ⋅ altura + 2 ⋅ (2 ⋅ altura) → y = 6x

3

Un grupo de amigos alquila un autobús para realizar un viaje. El coste es de 75 € fijos y 50 céntimos por cada kilómetro recorrido. Completa la tabla para 10, 20, 30, …, hasta 150 km, de 10 en 10. Espacio (km) Precio (€)

0

10

20

30

40

75

80

85

90

95

50

60

70

80

90

100 110 120 130 140 150

100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150

Expresa gráficamente la función. Y

150 130 110 90 70 50 30 10 10

30

50

70

90

110

130

150

X

Responde a las siguientes cuestiones. a) ¿Qué variables están representadas? b) ¿Cuál es la variable independiente? c) ¿Es una función?

→

→

⎯ →

Eje X: espacio (km) y eje Y: precio ( €) . El espacio. ¿Y la dependiente?

→

El precio.

Sí, es una función.

d) ¿Puedes unir los puntos del gráfico? ¿Por qué? y puede tomar cualquier valor.

→

e) ¿Cómo es la función, creciente o decreciente?

⎯ →

Sí, porque la variable independiente es continua Es creciente.

f) Escribe la fórmula que relaciona los kilómetros recorridos con el importe pagado MATEMÁTICAS 3.° ESO

→


y = 75 + 0,5 ⋅ x 487


12


contenidos


Reconocimiento de las funciones afines y lineales, determinando su expresión algebraica.

1

El precio de 1 kg de melocotones es 2,50

€.

a) Completa la tabla. Peso (kg) Precio (€)

1

3,7

5,2

4,80

11

20

b) Escribe la función que relaciona el peso de la fruta y el precio.

Representación de funciones lineales y afines, determinando la relación entre el signo de la pendiente y el crecimiento de una recta.

2

3

Clasifica las siguientes funciones en crecientes y decrecientes sin representarlas. Explica cómo lo haces. a) y = −2x − 3

c) y = 2x − 3

b) y = −2x + 3

d) y = 2x + 3

Representa las funciones anteriores en unos mismos ejes de coordenadas. Y

3 1 1 2 3 4 X

−2 −2

Obtención de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

4

Determina la expresión algebraica de la función que pasa por los puntos y B (5, −2). ¿Pasa la recta por el punto C (2, 5)?


A (3,

PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...................................................... ..................... 1, 3, 6, 8 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .......................................... ......................................... ........................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 1, 3

488



2)

Determinación de si dos rectas son paralelas o secantes.

5

Determina gráfica y analíticamente la posición relativa de la recta r : y = −2x −3, y la recta s : y = 3x + 4.

Reconocimiento y estudio de funciones en situaciones geométricas o de la vida cotidiana.

6

Obtén las expresiones algebraicas de estas rectas. Y

r 3

1

s

1

−2

7

1

2

X

Dibuja el triángulo de vértices los puntos A (2, 0), B (−1, 2) y C (1, −2), y halla las ecuaciones de las tres rectas que forman los lados y sus pendientes. Y 2

1

−2

X

−2

8

Dos amigos hacen una carrera. Juan le deja 100 m de ventaja a su amigo Luis. Además, Juan corre a una velocidad de 9 m/s y Luis lo hace a 7 m/s. Escribe la expresión algebraica de los espacios recorridos por los dos amigos. ¿Cuánto tiempo tardará Juan en alcanzar a Luis? ¿Qué espacio habrán recorrido ambos en ese instante? Representa gráficamente las funciones.


PRUEBAS

•

Clasificar y discriminar según criterios ............................. ............................................. ......................................... 2, 5

•


•

Combinar, componer datos, resumir, etc. . ............................................. ......................................... ....................... 3, 4, 5, 7

•




489


12



Tabla: a)

Peso (kg)

1,92 3,7

1

4,4

Precio (€) 2,50 4,80 9,25 11

2

3

a) y = −2x − 3

→

b) y = −2x + 3

→

5,2

8

13

20

m = −2 → Función decreciente m = −2 → Función decreciente

Representación gráfica.

b) Función: y = 2,5 ⋅ x

c) y = 2x − 3

→

d) y = 2x + 3

→

m = 2 → Función creciente m = 2 → Función creciente

Y a)

c)

3 1

−2

2

−1

4 X

d)

4

Calculamos la pendiente: m =

r: y = −2 x + n

A(3, 2) ∈ r

b)

−2 − 2 −4 = = −2 . Como pasa por el punto A(3, 2): 5 − 3 2

2 = ( −2) ⋅ 3 + n

⎯⎯⎯⎯⎯ →

→

n = 8. Por tanto, r: = −2 x + 8.

El punto C(2, 5) no pertenece a la recta porque 5  2 ⋅ 2 + 8.

5

Las rectas son secantes. Hallamos algebraicamente el punto de corte:

y = −2 x − 3 ⎫⎪⎪ ⎬ y = −3 x + 4 ⎪⎪⎭

6

7

→

−2 x − 3 = 3 x + 4

→

7 ⎪⎧⎪ ⎪⎫⎪ ⎪⎪ x = − ⎪⎪⎪ 5 ⎪ ⎨ −5 x = 7 → ⎬ ⎛ 7 ⎞⎟ ⎪⎪ 1⎪ ⎜ ⎪⎪ y = 3 ⎜⎜− ⎟⎟⎟ + 4 = − ⎪⎪⎪ ⎝ 5 ⎠ 5 ⎭ ⎪⎩ ⎪

Expresiones algebraicas de dos rectas. r → La variable y siempre vale 3 → y = 3 Triángulo. Las rectas son rAB: y = − rAC: y = 2 x −4

2 3

x+

s 4 3

rBC: y = −2 x

Las pendientes son mAB: −

2 3

→

Pasa por ( −3, 0) y (0, 2)

8

La carrera. Juan → y = 9 x

→

Luis

→

⎛ 7 1⎞ , − ⎟⎟⎟ ⎝ 5 5 ⎟⎠

P ⎜⎜⎜−

2

y =

→

3

x + 2

y = 7 x + 100

Juan tarda en alcanzarlo 50 segundos.

, mAC: 2 y mBC = −2.

Han recorrido 450 metros en ese instante. Y

Y 500

B 2

1

−2

A

X

) m ( a i c 300 n a t s i D

100

−2

C 10

30

50

Tiempo (s)

490



70 X

13

Estadística

INTRODUCCIÓN


En esta unidad se completa el estudio comenzado en cursos anteriores sobre Estadística. Además de los conceptos trabajados: gráficos, medidas de centralización y de dispersión, se estudian las frecuencias acumuladas, las variables continuas, los histogramas y polígonos de frecuencias, así como los parámetros de dispersión.

Los aspectos que se tendrían que trabajar de forma previa al estudio de la unidad son los relativos a la Estadística de 2.º ESO, sobre todo los que hacen referencia a conceptos básicos:

Los aspectos donde los alumnos suelen tener mayores dificultades son la distinción entre población y muestra, y cómo seleccionar una muestra, el cálculo de frecuencias y la determinación de la representación gráfica más adecuada; por ello será conveniente insistir en aquellos aspectos en los que se aprecien mayores problemas. El cálculo de los parámetros es relativamente fácil, pero los alumnos tienden a equivocarse cuando se trabaja con datos agrupados en intervalos.

• Distinción entre variables cualitativas y cuantitativas. • Elaboración de un recuento de datos y realización de una tabla de frecuencias. • Cálculo de la media aritmética de una población o muestra. • Lectura e interpretación de un gráfico estadístico.

CONTENIDOS ESTADÍSTICA • Conceptos básicos. Población y muestra. Variables estadísticas. Tipos. • Frecuencias. Tablas de frecuencias. Tipos. • Gráficos estadísticos. Diagrama de barras. Histograma. Diagrama de sectores. • Parámetros estadísticos. – Medidas de centralización. Media aritmética, mediana y moda. – Medidas de dispersión. Rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.


PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba consta de tres actividades referidas a la distinción de una variable cualitativa y cuantitativa; elaboración de una tabla a partir de una serie de datos, interpretación de una gráfica estadística y cálculo de la media aritmética. Estas actividades tendrían que resultar fáciles para los alumnos, ya que son una revisión de conceptos estudiados en cursos anteriores.

La primera actividad se refiere a la distinción entre variables discretas y continuas, población y muestra y cómo realizar una muestra proporcional a una determinada población. En las actividades 2 y 3 se trabaja con las tablas de frecuencias y las representaciones gráficas de un conjunto de datos agrupados en intervalos. Las dos últimas actividades trabajan el cálculo de los diferentes parámetros de centralización y dispersión, y en la actividad 5 se manejan también intervalos para el cálculo del intervalo mediano.



491


13

ESTADÍSTICA


Consideramos la población de los alumnos de 3. o ESO de una ciudad. Determina qué variables son cualitativas y cuantitativas. a) La talla de camisa. b) El lugar de nacimiento. c) La fecha de nacimiento. d) El número de hermanos. e) El color del pelo. f) La profesión de la madre. g) La nacionalidad. h) El deporte que practican. i) La capacidad pulmonar.

2

Al preguntar a 30 personas de una localidad sobre el número de periódicos que habían comprado en la última semana, se obtuvieron estos resultados. 3 5 0 4 2

1 1 4 2 0

3 0 3 1 7

2 2 0 6 1

7 2 0 3 0

3 6 5 2 3

A partir de estos datos, completa la tabla y calcula la media de periódicos adquiridos. N.o de periódicos

Recuento

Frecuencia absoluta

0

//////

6

Frecuencia relativa

1 2 3 4 5 6 7

3

La gráfica muestra la potencia eléctrica instalada en España (en GW) desde el año 1940 hasta finales del siglo XX. Teniendo en cuenta la gráfica, contesta a las siguientes cuestiones. Y

a) ¿Podemos considerar a España como un gran productor de energía nuclear de Europa?

Total

45

b) ¿En España ha habido más potencia hidráulica o térmica?

35 W G25

c) ¿En qué año se superó el nivel de una potencia total de 30 GW?

Térmica

15

d) ¿Qué proporción de energía nuclear hubo a finales de 2007 respecto de la total?

Hidráulica

5

Nuclear 1995

1997

1999

2001

2003

2005

2007

X

Años

492




Consideramos la población de los alumnos de 3. o ESO de una ciudad. Determina qué variables son cualitativas y cuantitativas. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

2

La talla de camisa ⎯⎯⎯→ El lugar de nacimiento ⎯⎯ → La fecha de nacimiento ⎯→ → El número de hermanos ⎯ El color del pelo ⎯⎯⎯⎯→ La profesión de la madre → La nacionalidad ⎯⎯⎯ ⎯→ → El deporte que practican ⎯ → La capacidad pulmonar ⎯

Variable cuantitativa. Variable cualitativa. Variable cuantitativa. Variable cuantitativa. Variable cualitativa. Variable cualitativa. Variable cualitativa. Variable cualitativa. Variable cuantitativa.

Al preguntar a 30 personas de una localidad sobre el número de periódicos que habían comprado en la última semana, se obtuvieron estos resultados. 3 5 0 4 2

1 1 4 2 0

A partir de estos datos, completa la tabla y calcula la media de periódicos adquiridos.

Media: x

3

=

(6

⋅

0)

+

( 4 ⋅ 1)

+

(6

3 0 3 1 7

2 2 0 6 1

7 2 0 3 0

3 6 5 2 3

N.o de periódicos

Recuento

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

0

//////

6

6/30 = 0,2

1

////

4

2

//////

6

6/30

=

0,2

3

//////

6

6/30

=

0,2

4

//

2

2/30

= 0,067

5

//

2

2/30

= 0,067

6

//

2

2/30

= 0,067

7

//

2

2/30

= 0,067

⋅

2)

+

(6

⋅

3)

+

(2

⋅ 4) +

( 2 ⋅ 5 ) + (2

4/30

⋅

6)

+

(2

⋅

= 0,133

7 )

30

=

78

=

30

2,6

La gráfica muestra la potencia eléctrica instalada en España (en GW) desde el año 1940 hasta finales del siglo XX. Teniendo en cuenta la gráfica, contesta a las siguientes cuestiones. a) ¿Podemos considerar a España como un gran productor de energía nuclear de Europa?

Y

Total

45

No, ya que no tenemos datos del resto de países.

35 W25 G

Térmica

15

b) ¿En España ha habido más potencia hidráulica o térmica?

Hidráulica

5

Nuclear 1995

1997

1999

2001

2003

2005

Años

2007

A partir de 2002 la potencia térmica es mayor. X

c) ¿En qué año se superó el nivel de una potencia total de 30 GW? En 2003.

d) ¿Qué proporción de energía nuclear hubo a finales de 2007 respecto de la total? La energía nuclear es aproximadamente


8 45

partes del total, por lo que es el

8 45


⋅ 100 =

17,78% .

493


13

ESTADÍSTICA

contenidos


Clasificación de las variables de una población o muestra en cualitativas o cuantitativas, y estas últimas en discretas o continuas.

1

Clasifica las variables estadísticas referidas a un municipio en discretas y continuas. a) Número de hijos de las familias. b) Peso de los alumnos de ESO. c) Velocidad media de los coches que pasan por una calle. d) Número de ordenadores que hay en cada vivienda.

Cálculo de las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas de un conjunto de datos estadísticos.

2

Consideramos la siguiente tabla relativa a las alturas de los alumnos de ESO de un centro escolar. Estatura (en cm)

Marca de clase

Número de alumnos

[140, 150)

12

[150, 160)

36

[160, 170)

47

[170, 180)

65

[180, 190)

25

[190, 200)

4

f i

F i

a) Completa la tabla y calcula las marcas de clase de cada intervalo. Representación gráfica de un conjunto de datos estadísticos.

b) Dibuja el histograma de frecuencias acumuladas y su polígono de frecuencias.


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos .............................................. ............................................... ........................... 2 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................ .................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ..................................................... ...................... 2, 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ......................................... ............................................. ..................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. .......................................... ............................................. ..................... 2, 3, 4, 5

494



3

Anotamos las marcas de coches que pasan por el semáforo de una calle. Dibuja un diagrama de sectores correspondiente a estos datos. Marcas

N.o de coches

Seat

11

Renault

10

Peugeot

14

Audi

7

Opel

5

Ford

9

Mercedes

4

Cálculo de la media, mediana y moda de un conjunto de datos.

4

Calcula la media, el intervalo mediano y la moda de los datos de la actividad 2.

Cálculo de las medidas de centralización y dispersión de un conjunto de datos.

5

Dados estos datos, calcula las medidas de centralización y dispersión. x i

f i

1

4

2

3

3

6

4

3

5

8

6

4

7

7

f i ⋅ x i

⏐x i − x - ⏐

f i⏐ -⏐ x i − x

x i2

f i ⋅ x i2

Total


PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ............................................ .......................................... ............................. 1 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ...................................... ............................................. ........................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................... ......................................... .......................



495


13

ESTADÍSTICA

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1 2

3

a) Variable discreta.

b) Variable continua.

c) Variable continua.

Estatura (en cm)

Marca de clase

Número de alumnos

f i

F i

(140, 150]

145

12

12/189

12

(150, 160]

155

36

36/189

48

(160, 170]

165

47

47/189

95

(170, 180]

175

65

65/189

160

(180, 190]

185

25

25/189

185

(190, 200]

195

4

4/189

189

d) Variable discreta.

Y

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20

X

140

150

160

170

180

190

200

Como hay 60 coches, a cada coche le corresponderá: 60 1

→ 360° ⎪⎫ ⎬ → x → x ⎪⎪⎭

Mercedes

= 6°

Seat Ford

Por tanto:

⎯⎯→ 11 ⋅ 6 = 66° Renault ⎯ → 10 ⋅ 6 = 60° Peugeot → 14 ⋅ 6 = 84° Audi ⎯⎯ → 7 ⋅ 6 = 42°

Opel ⎯ ⎯ ⎯→ 5 ⋅ 6 = 30°

Seat

Ford ⎯ ⎯ ⎯→ 9 ⋅ 6 = 54°

Opel

Mercedes → 4 ⋅ 6 = 24°

Renault

Audi 4

Media aritmética: x =

31.885 189

= 168,7

Peugeot

Moda: Mo = 175 Intervalo mediano: Como son 189 datos, la posición central será: dato que está en el intervalo (160, 170]. 5

496

x i

f i

f i ⋅ x i

1

4

4

⏐x i − x - ⏐ f i ⏐x i − x - ⏐ 3,37

13,48

2

x i

1

2

f i ⋅ x i

4

x=

3

6

2,37

7,11

4

12

3

6

18

1,37

8,22

9

54

4

3

12

0,37

1,11

16

48

5

8

40

0,63

5,04

25

200

6

4

24

1,63

6,52

36

144

7

49

Total

35

153

2,63


18,41 59,89

49

2

∑ fi xi ∑ fi

=

Me = 4

153 35

= 4,37

Mo = 7

Rango = 7 − 1 = 6 DM = V=

343 805

= 95 ,

Medidas de centralización:

2

7

( 189 + 1)

σ=

∑ fi⏐xi − x⏐ ∑ fi

∑ fi x i2 ∑ fi

=

=

59,89 35

805 23

V = 4,8


= 23

= 1,71

14

Probabilidad

INTRODUCCIÓN


La probabilidad se utiliza actualmente en numerosas disciplinas, unida a veces a la Estadística en aspectos de predicción de fenómenos. Por ello es conveniente trabajar los conceptos de la unidad mediante sucesos de la vida cotidiana o realizar los ejercicios de forma práctica: extracción de bolas de una bolsa, de cartas de una baraja, lanzamiento de dados o monedas, etc.

Los conceptos previos que se han de revisar antes de comenzar el estudio de la unidad son los correspondientes a cursos anteriores.

Las dificultades de la unidad son conceptuales, pues los cálculos en los procedimientos son sencillos.

• Aplicación de la regla de Laplace.

• Distinción entre experimentos aleatorios y deterministas. • Concepto intuitivo de probabilidad.

CONTENIDOS PROBABILIDAD • Experimentos deterministas y aleatorios. Sucesos. – Espacio muestral. – Tipos de sucesos. • Operaciones con sucesos. Propiedades. • Concepto de probabilidad. • Regla de Laplace. • Frecuencia y probabilidad. • Propiedades de la probabilidad.


PRUEBA DE LA UNIDAD

Las dos primeras actividades sirven para determinar si los alumnos tienen claro el concepto de experimento aleatorio, y si saben aplicar los conceptos intuitivos sobre el azar: seguro, más o menos probable o imposible… La tercera actividad trabaja la aplicación de técnicas como, por ejemplo, los diagramas de árbol, y la última actividad sirve para comprobar si los alumnos recuerdan la regla de Laplace. Todas las actividades son sencillas y no deberían ofrecer dificultades a los alumnos.

Las tres cuestiones iniciales de la prueba trabajan el cálculo de los sucesos posibles de un experimento aleatorio y, por tanto, la determinación del espacio muestral asociado a un experimento, utilizando los diagramas de árbol. Las siguientes actividades son de aplicación directa de la regla de Laplace y de la ley de los grandes números, y las últimas actividades servirán para comprobar si los alumnos saben aplicar las reglas de la probabilidad en ejercicios y problemas.



497


14

PROBABILIDAD


Clasifica los experimentos en aleatorios y deterministas. a) Sacamos una bola varias veces de una bolsa que contiene 5 bolas negras y 6 verdes, y anotamos el color. b) Lanzamos al aire un dado con las caras numeradas, y anotamos cada vez el número que sale. c) Dejamos caer una moneda desde distintas alturas, y medimos el tiempo que tarda en llegar al suelo. d) Multiplicamos varias veces con la calculadora los números 3.433 y 4.343, y anotamos el resultado.

2

En una bolsa hay 5 dados rojos y 2 blancos numerados del 1 al 6 y sacamos uno, lo lanzamos al aire y anotamos el resultado. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Es imposible que salga un número impar mayor que 3. b) Es seguro que el dado tendrá color blanco. c) Es más probable que salga un dado rojo que blanco. d) Es menos probable que salga un 3 que un 5.

3

En una bolsa tenemos 2 bolas blancas, 3 verdes y 4 negras y extraemos 2 bolas. a) Obtén los posibles resultados utilizando un diagrama de árbol. b) ¿Cuántas bolas tendríamos que sacar como mínimo para obtener 2 bolas del mismo color? c) ¿Y cuántas tendríamos que sacar para que fuesen 2 bolas negras? d) ¿Y para que sean 2 verdes?

4

Respecto del lanzamiento de una perindola con las caras numeradas del 1 al 5, como la de la figura, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos. a)

A

=

b)

B

=

{Sacar un número primo}

c)

C

=

{Sacar un número par y menor que 4}

{Sacar un número par} 4

3

5 2 1

498




Clasifica los experimentos en aleatorios y deterministas. a) Sacamos una bola varias veces de una bolsa que contiene 5 bolas negras y 6 verdes, y anotamos el color → Experimento aleatorio. b) Lanzamos al aire un dado con las caras numeradas, y anotamos cada vez el número que sale → Experimento aleatorio. c) Dejamos caer una moneda desde distintas alturas, y medimos el tiempo que tarda en llegar al suelo → Experimento determinista. d) Multiplicamos varias veces con la calculadora los números 3.433 y 4.343, y anotamos el resultado → Experimento determinista.

2

En una bolsa hay 5 dados rojos y 2 blancos numerados del 1 al 6 y sacamos uno, lo lanzamos al aire y anotamos el resultado. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Es imposible que salga un número impar mayor que 3 tanto si el dado es blanco como si es rojo. b) Es seguro que el dado tendrá color blanco

→

3

Falso, ya que puede salir un 5

Falso, pues puede salir también rojo.

c) Es más probable que salga un dado rojo que blanco de color rojo que blanco. d) Es menos probable que salga un 3 que un 5 de números 3 que de números 5.

→

→

→

Verdadero, ya que hay más dados

Falso, pues hay la misma cantidad

En una bolsa tenemos 2 bolas blancas, 3 verdes y 4 negras y extraemos 2 bolas. a) Obtén los posibles resultados utilizando un diagrama de árbol.

4

B

B V N

V

B V N

N

B V N

b) ¿Cuántas bolas tendríamos que sacar como mínimo para obtener 2 bolas del mismo color? Tendríamos que sacar 4 bolas, ya que 3 podrían ser de diferente color y la siguiente sería de uno de los colores anteriores. c) ¿Y cuántas tendríamos que sacar para que fuesen 2 bolas negras? Tendríamos que sacar 7 bolas, pues podrían salir 2 bolas blancas, seguidas de 3 verdes y, después, las dos siguientes serían negras. d) ¿Y para que sean 2 verdes? Sacaríamos 8, ya que podrían ser 2 bolas blancas, seguidas de 4 negras y las dos siguientes serían verdes.

Respecto del lanzamiento de una perindola con las caras numeradas del 1 al 5, como la de la figura, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos. a)

A

=

{Sacar un número par}

A b)

B

=

C

=

{ 2 , 4 }

→

P( A )

2

=

5

=

{ 3 , 5 }

→

P( B)

2

=

{ 2 }

→

5

=

5

{Sacar un número par y menor que 4}

C

4

3

{Sacar un número primo}

B c)

=

P( C)

2 1

1

=

5



499


14

PROBABILIDAD

contenidos


Obtención del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Realización de uniones e intersecciones de sucesos.

1

Lanza al aire una moneda y un dado. Luego haz un diagrama de árbol con los posibles resultados, y escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento.

2

Elabora un diagrama de árbol que incluya todos los números de tres cifras que se pueden formar con 2 y 4.

3

En el lanzamiento de un dado dodecaédrico, con las caras numeradas del 1 al 12, consideramos los sucesos: A {Sacar un número par}; B {Sacar un número primo mayor que 3} y C {Sacar un número cuadrado}. Calcula. =

=

=

a) A ∩ B

៮ ∪ (B ∩ C )

b) A

c) Ae∪eC

៮

d) C e∪eA

Cálculo de la probabilidad de distintos sucesos aplicando la regla de Laplace.

4

Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Describe, en cada caso, el tipo de suceso y calcula las probabilidades de estos sucesos, aplicando la regla de Laplace. a) Sacar el as de espadas. b) Sacar una figura o un número menor que 8. c) Sacar oros. d) Sacar copas o bastos. e) Sacar una carta que no sea figura. f) Sacar una carta que sea múltiplo de 16.


PRUEBAS

• Enumerar e identificar elementos ..................................... ........................................... ........................................ 1, 2, 3 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................. ................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones .................................................................. ......... 3 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .......................................... ......................................... ........................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................... ......................................... ........................ 3, 4, 5, 6, 7, 8

500



Aplicación de las propiedades de las frecuencias relativas en experimentos aleatorios.

5

En una bolsa tenemos 1.000 bolas de color blanco, verde y negro. Repetimos 200 veces el experimento de extraer una bola, anotar el color y devolverla a la bolsa. Los resultados son: Bolas

Blancas

Verdes

Negras

f i

115

69

16

a) Calcula las frecuencias de cada color. b) ¿Qué cantidad de bolas hay de cada color?

Determinación de la probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles o incompatibles.

6

Se saca una ficha de dominó y se anotan los resultados. Dados los siguientes sucesos: A {La suma de los puntos de la ficha sea 6} y B {Ficha doble}, calcula la probabilidad de los sucesos. =

=

a) A ∪ B b) A,∩,B c) ៮ B

7

De una clase de 30 alumnos de 3. o ESO, 21 de ellos han aprobado Ciencias Naturales, 15 han aprobado Ciencias Sociales y 12 han aprobado las dos asignaturas. Si escogemos un alumno al azar: a) ¿Qué probabilidad existe de que haya aprobado Ciencias Sociales, pero no Ciencias Naturales? b) ¿Y de que haya aprobado Ciencias Naturales, pero no Ciencias Sociales?

8

Se hace una encuesta en una ciudad y se comprueba que el 25 % de los habitantes lee el periódico A, un 43 % lee el periódico B y un 8 % lee ambos periódicos. Si escogemos una persona al azar, ¿qué probabilidad hay de que no lea ninguno de los periódicos?


PRUEBAS

• Clasificar y discriminar según criterios ............................................ .......................................... ............................. 1, 2 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ...................................... ............................................. ........................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................... ........................................ .......................



501


14

PROBABILIDAD


Diagrama de árbol y espacio muestral.

Diagrama de árbol.

2

1 2 3 4 5 6

c

Lanzamiento de un dado. A a) A

=

4

2 4

2

2 4

4

2 4

4

E = {( c, 1), ( c, 2), ( c, 3), ( c, 4), ( c, 5), ( c, 6), ( +, 1), ( +, 2), ( +, 3), ( +, 4), ( +, 5), ( +, 6)} 3

2 4

2

1 2 3 4 5 6

+

2

E = {222, 224, 242, 244, 422, 424, 442, 444}

{2, 4, 6, 8, 10, 12}, B

=

{5, 7, 11}, C

=

{1, 4, 9}

∩ B =

៮ ∪ (B ∩ C ) = {1, 3, 5, 7, 9, 11} ∪

b) A

=

៮ A

c) Ae∪eC = {3, 5, 7, 11}

៮

d) C e∪eA

4

{2,,3,,5,,6,,7,,8,,10,,11,,12} ,∪,{2,,4,,6,,8,,10,,12} = {1, 9}

Extracción de una carta de una baraja. a)

5

=

P( A ) =

1

b)

40

P( B) = 1

c)

P( C ) =

10

d)

40

P( D ) =

20

e)

40

P( E) =

28 40

P( F) = 0

f)

Bolas de colores. a) f( B)

=

115

=

200

0 , 575

f( V )

=

69

=

200

0 , 345

f( N)

=

16

=

200

0 , 08

b) La cantidad aproximada de bolas será:

Blancas: 0,575 ⋅ 1.000 = 575

6

8

502

Negras: 0,08 ⋅ 1.000 = 80

Fichas de dominó. Son 28 fichas. E = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), …, (0, 6), (1, 1), (1, 2), …, (6, 6)} A = {(0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3)} B = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} a) P (A

7

Verdes: 0,345 ⋅ 1.000 = 345

∪ B ) =

10

=

28

5 14

b) P (A,∩,B )

= 1 − P( A ∩ B) =

1

−

1 28

=

27 28

៮ =

c) P (B )

21 28

=

3 4

Alumnos. a)

P( SOC − NAT )

=

b)

P( NAT − SOC )

=

P( SOC )

− P( SOC ∩ NAT ) =

P( NAT )

− P( NAT ∩ SOC ) =

15

−

30 21 30

12

=

0 ,1

=

0 , 3

30 −

12 30

Lectura de periódicos. P ( A) = 0,25, P( B) = 0,43 y P( C) = 0,08 P( A,∪,B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − [ P( A) + P( B) − P( A ∩ B] = 1 − (0,25 + 0,43 − 0,08) = 1 − 0,6 = 0,4 MATEMÁTICAS 3.° ESO


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