U.N.JU. – FACULTAD DE INGENIERÍA
Guía de Trabajos Prácticos Cartilla 3 – Temario: Transformaciones Lineales. Circunferencia y Parábola. Elipse e Hipérbola. Esfera y Elipsoide. Hiperboloides y Paraboloides. Superficies Cilíndricas y Cónicas. CARRERAS:
Ingenierías Industrial – Informática
Ingenierías Química – en Minas
Licenciaturas en: Sistemas, Tecnología de los Alimentos y en Cs. Geológicas
Tecnicaturas Universitarias en: Explotación de Minas, Procesamiento de Minerales, Perforación, Ciencias de la Tierra y Ciencias de la Tierra Orientada a Petróleo.
PROFESORA A CARGO DE LA CÁTEDRA: Esp. Torres Bugeau de Bernal, Celia M.
EQUIPO DOCENTE DE LA CÁTEDRA: Ing. Condorí, Patricio – Ing. Flores, Roberto – Ing. Grágeda, Adelma Esp. Llanos, Lydia – Lic. Medina, José Luis – Ing. Saravia, Ismael Esp. Tarifa, Héctor – Ing. Vargas, Nelson
2015
Pag. 0
TRANSFORMACIONES LINEALES TRABAJO PRÁCTICO Nº 10 Bibliografía Básica: Rojo, Armando. Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993 Seymour Lipschutz. Álgebra Lineal. McGraw-Hill. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. II. EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010.
Cuestionario de repaso ¿Cómo se define una Transformación Lineal? ¿Cómo se define Núcleo e Imagen de una T. Lineal? Enunciar las propiedades de la T. Lineal. Demostrar que el Núcleo de una Transformación Lineal f: V W es un subespacio vectorial de V. ¿Cuál es la relación que existe entre las dimensiones del Núcleo, la Imagen y el primer espacio en una T. L. :
f: V W ?
Enunciar el teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales. Sea f: V W una transformación lineal,¿ cómo se encuentra la matriz asociada a dicha transformación , respecto de una base en cada espacio?. ¿Cómo se define autovalores y autovectores de una transformación lineal f: V V?
¿Porque en la definición de autovalor se hace la salvedad de que u 0? Demostrar que el subespacio L ( ), asociado a un autovalor “ ” de una T.L. f: V V , es un subespacio vectorial de V . ¿A que se llama Polinomio Característico?. ¿Cuándo una T.L. f: V V? es diagonalizable?
Pag. 1
Ejercicios resueltos Ejemplo 1: Dada la función f: R3 →R2 / f(x, y, z) = (2x , y – 2 z), determinar si es o no una transformación lineal. Si f es una transformación lineal, se verifica:
Demostración
Demostración
Por cumplirse 1º/ y 2º/, f es una transformación lineal Ejemplo 2: En la transformación lineal f: R3 →R2 / f(x, y, z) = (2x, y – 2z), encontrar: i.
El núcleo, una base del núcleo y su dimensión. Graficar
ii.
La imagen, una base de la imagen y su dimensión.
iii.
Verificar la propiedad de las dimensiones Dim N(f) + Dim Img(f) = Dim (V).
Solución: i.- Hallar el núcleo, una base y su dimensión N(f) = (x, y, z) R3 / f(x, y, z) = ( 0, 0) {
f(x, y, z) = (2x, y – 2z) = (0, 0)
x=0
N(f) = (0, 2z , z) / z R }
y = 2z [N(f)] = (0, 2, 1);
x0 Interpretación Geométrica de N(f): es la recta y 2 z
Pag. 2
Dim: 1
ii.- Hallar la Imagen, una base y su dimensión I(f) = (a, b) R2 / (x,y,z) R3 f(x, y, z) = ( a, b) f(x, y, z) = (2x, y – 2z) = (a, b)
2xa y 2z b
1 x a 2 y b 2 z
x, y , z , a y b
Im (f) = R2 , [Im(f)] = { (1,0) , (0,1) } Dim 2
Interpretación Geométrica de Im(f): es el plano R2 Dim N(f)) + Dim I(f) = Dim (R3)
iii.-
1
+
2
= 3
Ejemplo 3: Si f: R3 R2 es TL, encontrar la imagen de (1, 2, 1), sabiendo que: f(1, 0, 2) = (1, 3) ,
f(-1, 0, 2) = (-1, 1)
y f(3, 1, 0) = (5, 3)
Solución: {(1, 0, 2) , (– 1, 0, 2) , ( 3, 1, 0)} es una base de R3 ( 1, 2, 1) =
(1, 0, 2) + (– 1, 0, 2) + (3, 1, 0)
( – + 3 ,
2 + 2 ) = ( 1, 2, 1 )
,
si se resuelve el sistema, se tiene: =
{ ( 1, 2, 1) = f( 1, 2, 1) = f(1, 2, 1) =
(1, 0, 2) +
f(1, 2, 1) = (
y =2
(– 1, 0, 2) + 2 (3, 1, 0)
f (1, 0, 2)] + (1, 3) +
,=
f (– 1, 0, 2) + 2 f (3, 1, 0)
(–1, 1) + 2 (5, 3)
)+ (
) + ( 10 , 6 )
f(1, 2, 1) = ( 5 , 2 ) Ejemplo 4: Dado que f: R3 →R2 y además f(1, 1, 3) = ( 2 , 1) , f( 0, 2 , 0 ) = ( 0, 2 ) , f( 1 , 1 , 0 ) = (1 , 1 ) y f (1 , 0 , 3 ) = (4 , 0 ), averiguar si f es una transformación lineal. Solución: { (1, 1, 3) , ( 0, 2 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } es base de R3 (1 , 0 , 3 ) = (1, 1, 3) + ( 0, 2 , 0 ) + ( 1 , 1 , 0 )
α γ 1 α 2β γ 0 3α 3
= 1 , = 2 , =
Pag. 3
1 2
(1 , 0 , 3 ) = 1 (1, 1, 3) + f (1 , 0 , 3 ) = 1 f (1, 1, 3) + f (1 , 0 , 3 ) = (2, 1) +
1 ( 0, 2 , 0 ) 2 ( 1 , 1 , 0 ) 2
1 f ( 0, 2 , 0 ) 2 f ( 1 , 1 , 0 ) 2
1 ( 0, 2 ) 2 ( 1 , 1 ) 2
f (1 , 0 , 3 ) = (2, 1) + ( 0, 1 ) ( 2 , 2 ) f (1 , 0 , 3 ) = (4, 0) f: R3 →R2 es Transformación lineal Ejemplo 5: Obtener la expresión genérica de la transformación lineal f: R3 R2, sabiendo que: f(1, – 1, 1) = (2, – 1) ,
f(1, 0, 2) =
(3, – 1) ,
f(0, 1, 0) = (0, 1)
Solución {(1, –1, 1) , (1, 0, 2) , (0, 1, 0) } es una base de R3 se expresa el vector (x,y,z) R3 como C. L. de la Base dada ( x , y, z) = (1, –1, 1) + (1, 0, 2) + (0, 1, 0) ( x , y, z)
=
αβx α δ y α 2 β z
(I)
( + , – + , + 2 )
α 2xz si se resuelve el sistema, tenemos δ y 2 x z β zx
( II )
Se reemplaza ( II ) en ( I ) y se tiene: ( x , y, z) =
( 2x – z ) (1, –1, 1) + ( z – x) (1, 0, 2) + ( y + 2x – z ) (0, 1, 0)
Por definición de T.L. f (x, y, z) = f [(2 x – z) (1, –1, 1) + ( z – x) (1, 0, 2) + (y + 2 x –z) (0, 1, 0)] f (x, y, z) = (2 x – z) f (1, – 1, 1) + ( z – x) f (1, 0, 2) + (y + 2 x –z) f (0, 1, 0) f (x, y, z) = (2 x – z) (2, – 1) + ( z – x) (3, – 1) + (y + 2 x –z) (0, 1) f (x, y, z)
= ( 4 x – 2z + 3z – 3x
,
– 2 x + z – z + x + y + 2 x –z )
f(x, y, z) = (x + z , x + y – z) Ejemplo 6: Dada la transformación lineal: f: R3 →R2 / f(x, y, z) = ( x z , y ) i.- Encontrar la matriz A, asociada a f, respecto de las bases dadas: B1 = {(1, 1, -1), (1, 2, 1), (1, 0, 0)} en R3 B2 = {(1, 0), (0, 2)} en R2 ii.- Empleando A, obtener la imagen de v = (1, 1, 4) Solución: 1.- Mediante f se obtienen las imágenes de los vectores de la base B1 y se expresan como combinaciones lineales de los vectores de la base B2 Pag. 4
Cálculos auxiliares
f (1, 1, -1) = (2, 1) = 2 (1, 0) +
α2 1 (2, 1) = (1, 0) + (0, 2) 2 β 1 β 2
1 (0, 2) 2
f (1, 2, 1) = (0, 2) = 0 (1, 0) + 1 (0, 2)
α0 (0, 2) = (1, 0) + (0, 2) 2 β 2 β 1
f (1, 0, 0) = (1, 0) = 1 (1, 0) + 0 (0, 2)
α 1 (1, 0) = (1, 0 ) + ( 0, 2 ) 2 β 0 β 0
2.- La matriz A, es la matriz transpuesta de las coordenadas de cada una de las imágenes de los vectores de la base B1 expresadas en la base B2 (
)
⁄
3.- Utilizando la matriz A, se obtiene la imagen de v = (1, 1, 4) de la siguiente manera: a) Se calculan las coordenadas de v, respecto de la base en R3 , o sea , , y (1, 1, 4)
(1, 1,–1) + (1, 2, 1) + (1, 0, 0)
=
(1, 1, 4) = ( + +
, + 2
Si se resuelve el sistema, se tiene:
,–+ ) =
7 , 3
=
5 3
Entonces las coordenadas de V en la base de R3 es: VB1
2 0 1 1 1 0 2
b) La imagen está dada por: Y[B2] = A V[B1] =
Los escalares 3 y
1 2
y
=
7 3 5 = 3 5 3
7 3 3 5 = 1 3 2 5 3
son las componentes de f(v) respecto de la base B2
Si aplicamos f a la terna ( 1 , 1 , 4 ), tenemos: f ( 1 , 1 , 4 ) = (3, 1 ) Expresando esta imagen como combinación línea de la base B2 , se tiene (3 , 1 ) = 3( 1 , 0 ) +
1 (0,2) 2
Pag. 5
5 3
Ejemplo 7: A partir de la transformación lineal f: R2 → R2 / f(x, y) = (x+y, 3x – y), encontrar los autovalores y autovectores, los espacios asociados a cada autovalor, una base para cada espacio y su dimensión. Determinar si la matriz asociada a la transformación lineal es diagonalizable y en caso positivo escribir la matriz diagonal. i.- Encontramos la matriz asociada según las bases canónicas f(1,0) = (1,3) f ( 0 , 1 ) = ( 1 , 1 )
A=(
)
ii.- Para hallar los autovalores, consideramos el Polinomio A I = 0
1 1 1 0 0 3 1 0 1
1 3
1 0 1
(1– ) (–1– ) – 3 = 0 2 –1 – 3= 0 2 – 4 = 0 = 2 A tiene dos autovalores: 1 = 2
y
2 = –2
iii.- Para hallar los autovectores trabajamos con : ( A – I ) . X = 0
1 3
x1 0 1 x 2 0 1
Para 1 = 2
x1 x 2 0 3x 1 3x 2 0
1 1 x1 0 3 3 x 2 0 L(2) = { ( x , x ) }
x1 = x 2
[L(2)] = { ( 1 , 1 ) } Dimensión 1
Para 1 = – 2
3 1 x 1 0 3 1 x 2 0
x2 = – 3 x 1
3 x 1 + x2 = 0
L(–2) = { ( x , –3x ) }
[L(–2)] = { ( 1 , –3 ) } Dimensión 1
iv.- Los vectores {( 1 , 1 ) , ( 1 , –3 ) }, son Linealmente independientes y forman una base de R2. A es diagonalizable, y la matriz diagonal es
(
)
(
)
Pag. 6
Ejercicios propuestos 1.- Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones f son transformaciones lineales: a) f : R2 R3 / f ( x , y ) = ( 2x , y , x ) b) f : R3 R3 / f ( x , y , z ) = ( x + 2y , y z , x + 2z ) c) f : R3 R3 / f ( x , y , z ) = ( x + 1 , y + 2 , 0 ) d) f : R2 R2 / f ( x , y ) = ( x + y , x + y ) e) f : R3 R2 / f ( x , y , z ) = ( x + y , y + z ) f) f : R2 R / f ( x , y ) = – y
0 ab g) f: R2 R2x2 / f ( a , b ) = ab 0
2.- Para cada una de las transformaciones lineales del punto 1), hallar el núcleo, la imagen y sus respectivas dimensiones.
3.- Para cada una de las siguientes transformaciones lineales, verificar que dim N(f) + dim Img(f) = dim del primer espacio (V) a) f : R3 R2 definida por f ( x , y , z ) = ( y , x ) b) f : R2 R2 definida por f ( a , b ) = ( 2a – b , a ) c) f : R3 R3 / f ( x , y , z) = ( 0 , x + y , 0) d) f: R2 →R2x2 /
x y y f(x, y) x y
4.- Sabiendo que f es Transformación lineal y si: a) f: R2 R / f (8, 1) = – 7 , f (4, 2) = – 5 , hallar la imagen de (8, 10) b) f: R3 R2 / f (–1, 1, 4) = (1, 5) , f (1, 0, 2) = (2, 2) , f (1, 0, 0) = (1, 0); determinar la imagen de (2, 2, 2) c) f: R3 R[x] / f (1, 1, 1) = 1- 2x + x2 , f (2, 0, 0) = 3 + x – x2 , f (0, 4, 5) = 2 + 3x + 3x2; determine La imagen de (2, 4, -1)
5.- Hallar la expresión genérica de la T. L. f , para cada uno de los siguientes casos : a) f : R2 R 3 sabiendo que: f ( –2 , 4 ) = ( 2 , 0, 4 ) y f ( 1 , 1 ) = ( 2 , 3 , 1 ) b) f : R3 R 2 sabiendo que: f ( 1 , 1 , 1 ) = ( –1 , 2 ) ;
f ( 2 , 2, 0 ) = ( 2 , 2 )
y f ( 3 , 0 , 0) = ( 3 , 0 ) c) Sea f: R3 R definida por: f(4, 1, 1)= 2 , f(2, 3, 5) = -2
Pag. 7
y f(0, 1, 0) = -2
6.- Dada la transformación lineal
f : R3 R2 definida por f ( x , y , z ) = ( x – 2 z , y + z )
a) Hallar la matriz asociada A de f, respecto de las bases { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 ) } en R3 { ( 2 , 0 ) , ( 0 , 2 ) } en R2 . b) Mediante A, obtener la imagen de (2 , 2 , 2 ) R3. c) Determinar la matriz B de f, respecto de las bases canónicas en ambos espacios. d) Obtener la matriz C de la misma transformación lineal, respecto de la base canónica en R3 y la base del punto a) en R2. 7.- a) Hallar la expresión genérica de T.L. f : R3 R2 , tal que respecto de las bases { ( 1, 1, 1 ) , ( 1, 1 , 0 ) , ( 1, 0, 0 ) } en R3 { ( 1, 3 ) , ( 1, 4 ) } en R2 su matriz sea (
)
b) Sea f: R2 R2 una Transformación Lineal tal que la matriz asociada respecto de las bases B1 = { ( 1 , 0 ) ; ( 0 , 1 ) } B2 = { ( 1 , 3) ; ( 2 , 5) } es A = (
) , hallar f
8.- Demostrar que si la matriz asociada a una transformación lineal f : R3 R3 , respecto de las
1 1 0 bases canónicas es A = 1 0 1 , entonces el núcleo de f es una recta y la imagen es un 2 1 1 plano. 9.- Obtener los autovalores y autovectores, si existen, de las matrices siguientes con elementos en R. Hallar una base de cada subespacio asociado
2 1 A = 0 3
1 1 B = 4 3
10 0 2 C= 0 6 0 2 0 7
10.- Hallar la matriz diagonal, cuando sea posible, de las siguientes matrices: i) (
)
ii) (
)
11.- Para las siguientes transformaciones lineales, determinar los autovalores y una base para cada espacio asociado y su dimensión. a) f : R2R2, / f( x , y ) = (x - 2 y , -x + y ) b) f : R3R3, / f( x, y, z ) = ( x - y + z , -2x + 2 y – 2z , z ) Pag. 8
12.- Sea A, la matriz asociada a una transformación lineal f : R2 R2 , respecto de las bases canónicas a) Calcular los autovalores de f. b) Calcular los autovectores asociados a cada autovalor. c) Indicar si la transformación es diagonalizable. d) En caso afirmativo, encontrar una base respecto de la cual, la matriz asociada a f sea diagonal. e) Escribir la matriz diagonal.
2 2 i) A = 1 3
4 2 ii) A = 3 3
5 1 iii) A = 1 3
13.- Igual al ejercicio anterior pero cuando la matriz asociada a la transformación f : R3 R3 respecto de la base canónica, es : 1 3 3 i) A = 3 5 3 6 6 4
2 1 2 ii) A = 1 2 1 1 1 4
14.- Dada la Transformación lineal f : R2x2 R3 definida por
a b = ( a + b c , a + b + d , b + c + d ) f c d i)
Obtener la matriz de f respecto de las bases
1 1 1 0 0 0 0 1 , , , en R 2x2 1 1 1 0 0 1 1 1 { ( 0 , 2 , 1 ) , ( 2 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) } en R3 ii)
1 3 Utilizando la matriz hallada, obtenga la imagen de 2 2
Pag. 9
,
Ejercicios Adicionales 1.- Responder con Verdadero o Falso las siguientes afirmaciones. Para el caso de las falsas, justificar. a) f: R2 →R / f (x, y) = x y es Transformación Lineal b) Si f ( 2 , –1 , 0 ) = ( 3 , –1 ) , f ( ( 0 , 2 , – 2 ) = ( 4 , 4 ) y f ( 1 , 0 , 1 ) = ( 1 , –1 ) ; la Transformación lineal definida entre R3 y R2 es, f( x , y , z) = ( x + yz , y z) c) T: R3 R está definida por: T( 1 , 1 , 1 ) = , T ( 0 , 1 , –2 ) = 1 y T ( 0 , 0 , 1 ) = –2 ; T(x, y , z) = 8x 3y 2z d) En la Transformación lineal, f : R3 R3 / f ( x , y , z) = ( 0 , x + y , 0); el N(f) = {(x , x , z)} 2.- Completar con la respuesta que corresponda. a) Sabiendo que f: R2R2 es una Transformación Lineal y que f(1 , 0) = (0 , 2) y f(0 , 1) = (1 , 0), entonces f (3 , –3) = …………. b) Sea f: R3 R2 una transformación lineal tal que, respecto a las bases canónicas, su matriz (
asociada está dada por
), entonces: f(0 , 1 , 2) = …..……..
(
c) Dada la matriz
) y sabiendo que v = (1 , 1 , 0) es un autovector A, entonces
el autovalor de dicho vector es: =……………. d) Sea la matriz
(
), sabiendo que L(–1) = {(x , y , –x – y)} y L(2) = {(x , x , x)}
son los sub-espacios asociados a sus autovalores, entonces la matriz A es diagonalizable y está dada por: (
)
3.- Seleccionar las respuestas correctas (pueden ser correctas más de una) 1 1 0 a) Dada A = 0 1 0 0 0 1
3 3 , asociada a la transformación f : R R , entonces:
i)
= 1 es autovalor triple de f.
ii)
Una base es: [L(1) ] = { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } Dimensión 2
iii)
Es diagonalizable
iv)
1 0 0 La matriz diagonal es, D = 0 1 0 0 0 1 Pag. 10
CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA TRABAJO PRÁCTICO N°11 Bibliografía Básica: Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 1.984. Di Pietro, Donato. Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografia. Editorial Alsina. Argentina 1.999. Lehman, Charles . Geometría Analítica. Editorial Limusa. 1.995. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. III. Académica Ediciones. Jujuy. Argentina. Septiembre 2015.
Cuestionario de repaso • ¿Cómo se define Circunferencia? • ¿Cómo se obtiene la ecuación de una Circunferencia centrada en el origen y radio “r”? • ¿Qué relación guardan la tangente a una Circunferencia, en un punto perteneciente a la misma, con el radio correspondiente a ese punto? • ¿Cuál es la ecuación canónica de una circunferencia, con centro en (h, k) y radio “r”? • Dada la ecuación general de 2º grado en dos variables: Ax2 + B y2 + Dx + Ey + F = 0, ¿qué condición deben cumplir los coeficientes A y B para que represente una Circunferencia? • ¿Cuántos datos se necesitan para poder escribir la ecuación de una circunferencia: a) con centro en el origen y radio “r” ; b) con centro en (h, k) y radio “r”? • ¿Cómo se define Parábola? • ¿Cómo se obtiene la ecuación de una Parábola con vértice en el origen y eje “x”? • ¿Cuáles son los elementos de una Parábola? • ¿Cuál es la ecuación de una Parábola, con centro en (h, k)? • Dada la ecuación de una Parábola, ¿Qué característica distingue el eje focal? • Dada la ecuación general de 2º grado en dos variables: Ax2 + B y2 + Dx + Ey + F = 0, ¿Qué condición deben cumplir el coeficiente A ó B para que represente una Parábola? • Dada la Parábola: y2 = 4px, y un punto P(x, y), perteneciente a la misma, ¿Cual es la ecuación de la tangente a la Parábola? • ¿Cuántos datos se necesitan para poder escribir la ecuación de una Parábola : a) con vértice en el origen? ; b) con vértice en (h, k)? • ¿Cuál es la Propiedad Focal de la Parábola? Pag. 11
Ejercicios resueltos Ejemplo 1: Determinar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene como centro C ( 3 , 6 ) , y que pasa por el punto ( 4 , 4 ) . Ecuación canónica: x h
2 y k 2 r 2
x 3 2 y 6 2 r 2 Para calcular el valor del radio r, hacemos cumplir la condición de que todo punto de la
cir-
cunferencia debe verificar la ecuación, por lo tanto el punto ( 4 , 4 ) debe hacerlo.
4 3 2 4 6 2 r 2
5 r2
Entonces la ecuación canónica es: x 3
2 y 6 2 5
Representación gráfica:
Ejemplo 2: Para la siguiente circunferencia x 2 6 x y 2 8 y 21 0 , determinar las coordenadas del centro y el radio. Llevar la ecuación a su forma canónica, lo cual se logra completando trinomios cuadrados perfectos en la ecuación general.
x 3
2
9 y 4
2
16 21 0
x 3 2 y 4 2 4 Que es la ecuación canónica de la circunferencia de centro C ( 3 ,– 4 ) ; y radio r = 2. Pag. 12
Ejemplo 3: Encontrar la ecuación canónica de la parábola que tiene como vértice el origen de coordenadas y tiene por foco el punto ( 3 , 0 ). La parábola solicitada, es de focal coincidente con el eje x, y ramas hacia la derecha, responde a la siguiente expresión canónica: y2 = 4p x Coordenadas del foco: F ( p , 0 ) = F ( 3 , 0 ) p = 3 Entonces la ecuación canónica es: y2 = 12 x Ejemplo 4: Encontrar la ecuación canónica de la siguiente parábola
y 2 2 y 12 x 25 0 .
Determinar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y el lado recto. Para llevar a su forma canónica debemos completar cuadrados:
y 1 2 1 12 x 25 0 y 1 2 12x 2 La ecuación canónica encontrada, es de la forma y k
2 4 px h , por lo tanto se trata de
una parábola con eje focal paralelo al eje x, con ramas hacia la derecha. Las coordenadas del vértice: V ( h , k ) = V ( 2 ,– 1 ) Las coordenadas del foco: F ( h+p , k ) , 4p = 12 p = 3 F ( 5 , – 1 ) Ecuación del eje focal: y = k ; y = – 1 Ecuación de la directriz: x = h – p ; x = – 1 Lado recto: LR = 4 p = 12 Representación gráfica:
Pag. 13
Ejercicios propuestos 1.- Hallar las ecuaciones de las circunferencias determinadas por las condiciones que se indican, y representarlas gráficamente: a) Centro en el punto C(3 , 2 ) y radio, r = 6 b) Centro en el punto ( 2 , 1 ) y contiene el punto ( 3 , 4 ) c) El diámetro es el segmento de extremos ( 1 , 2 ) y ( 2 ,1 ) d) El diámetro es el segmento de la recta x + 2y – 4 = 0 y comprendido entre los ejes coordenados. e) Es tangente a la recta 4x + 3y 25 = 0 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x y 7 = 0
y 2x + 3y 1 = 0
f) Pasa por los puntos: P(2 , 1 ) , Q( 2 , 2 ) y R( 2 , 1 ) 2.- En cada una de las siguientes ecuaciones verificar si corresponden a: una circunferencia real (indicar las coordenadas del centro y el radio) o una circunferencia imaginaria, o un punto. a)
x2 + y2 + 3x 5y –
c) x 2 + y 2 – 6 x 4 y + 13 = 0
= 0
d) 3 x2 + 3 y2 + 5 x – 6 y + 1 = 0
b) 2 x 2 + 2 y 2 3 x + 7y + 10 = 0
3.- Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que satisface la condición indicada en cada caso. Representar gráficamente: a) Foco en (0 , 3 ) b) Directriz y3=0 c) Con eje de simetría en el eje “x” y pasa por el punto (-3,6) d) Foco (2,0) e) Pasa por ( 4 , -2 ) y su eje de simetría es el eje "y" 4.- Determinar los elementos (vértice, foco, eje focal, directriz, excentricidad y lado recto) de las siguientes parábolas. Representar gráficamente. a)
y2 = 8x
d) x2 + 16y = 0
b) x2 = 10 y
c) 2y2 = 10 x
e) y2 + 4 x – 4 y + 8 = 0
b) x2 + 2 x – 4 y + 9 = 0
5.- Hallar los elementos (vértice, foco, eje focal, directriz, excentricidad y lado recto) y la ecuación canónica de la parábola que cumple con las siguientes condiciones. Representar gráficamente: a) De foco (3, 2) y vértice (5, 2). b) De foco (3, 4) y vértice (1, 4). c) De foco (3,2) y directriz y 2=0 d) Con vértice V (4 , 6), eje focal paralelo al eje “x”, y pasa por (–4 , –2). Pag. 14
e) De eje paralelo a “y”, vértice en “x” y que pasa por los puntos A (2, 3) y B(−1, 12). f) De eje horizontal y que pasa por los puntos (6, 4) (0, 2) (6, 4). 6.- Hallar la ecuación de las siguientes parábolas y escribir todos sus elementos (vértice, foco, directriz, lado recto y excentricidad): a)
b)
y
c) y
y
x
x
x
3
7.- Hallar y graficar el lugar geométrico de los puntos P( x , y ): a) Que disten 4 unidades de C (– 3 , 4 ) b) Cuya suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos fijos (2 , 3) y (– 1 , – 2) sea igual a 49. c) Tales que las rectas que los unen a los puntos (4 , 5) y (–2 , 1) son perpendiculares d) Cuya distancia a A(2 , 0) sea el doble de la distancia a B(1 , 0) 8.- Hallar y graficar el lugar geométrico de los puntos P (x , y), equidistantes del punto fijo: a) (3 , 2) y del eje “y” b) (1 , 0) y de la recta x = 1 c) (0 , 5) y de la recta y = 5 9.- Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia: a) x2 + y2 2x + 3y 18 = 0, que pasa por el punto (1, 1). b) (x + 7)2 + (y – 5)2 – 25 = 0, que pasa por el punto P0 (–3 , 8) c) x2 + y2 = 5, paralela a la recta y = 2x + 1 d) x2 + y2 + 6x – y – 6 = 0, que pasa por el punto P, de la circunferencia, de ordenada 3. 10.- Determinar la ecuación de la recta tangente a la parábola: a) x2 = 2y, paralela a la recta x – 2y – 4 = 0 b) x2 = 2y, perpendicular a la recta
x2
y=
c) x2 = 8y, que pasa por el punto (4 , 2). d) x2 = 8y, que pasa por el punto (0 , –1/2) Pag. 15
11.- Un túnel de una carretera tiene la forma de un arco parabólico, que tiene 5 metros de ancho y 4m de altura, ¿Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 3m de ancho, para poder pasar por el túnel? 12.- El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y están separados por una distancia de 500 metros, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 metros sobre la calzada del puente. Tomando como eje x la horizontal que define el puente, y como eje y el de simetría de la parábola, hallar la ecuación de ésta. Calcular la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente. Ejercicios Adicionales 1.- Completar con la respuesta correcta: a) Identificar que cónica representa cada una de las siguientes ecuaciones, en el caso de ser parábolas indique el eje focal. i. 4x2 + 4y2 + 8x + 4y – 47 = 0 :……………………………………………………….. ii. 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0
: ……………………………………………………….
iii. y2 + 8x – 2 y - 15 = 0
: ……………………………………………………….
iv. 4 x + y2 = 7
: ……………………………………………………….
b) I.- Dada la ecuación de la cónica, escribir las coordenadas del punto P que pertenezca a ella i. y2 + 4 x + 2 y = 19, su ordenada es 3 (tres):
P(……,…… )
ii. x2 – 4 x – 8 y = 22, su abscisa es 0 (cero):
P(.….. , ……)
iii. x2 + 6 x + y2 – 10 y = –5, su ordenada es 0 (cero): P(.….. , ……) ; P(.….. , ……) II.- Dada la ecuación de la cónica, escribir la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto P, perteneciente a la cónica, que se indica en cada caso: i.
x2 + y2 + 6x – 2y – 8 = 0, P de ordenada 4 ………………….…………….……....
ii.
x2 – 4x – 8y – 28 = 0, P de abscisa 0 (cero) .………………….…………….……...
iii.
y2 – 8y + 4x + 16 = 0, P de ordenada 2 .………………….…………….
2.- Seleccionar la respuesta correcta. (Una y solo una de las respuestas es correcta). a) La parábola, cuya ecuación es y2 = 8x, tiene: i) F( 2 , 0) y directriz x = 2
ii) F(2 , 0) y directriz x = 2
iii) F( 0, 2) y directriz y = 2
iv) F( 0 , 2) y directriz y = 2
b) Las coordenadas del vértice de la parábola y2 4 y = x 4, son: i)
(4,2)
ii)
(2,0)
iii) ( 4 , 4 ) Pag. 16
iv)
(0,2)
c) ¿Cómo está situado el punto P(1, 2), con respecto a la circunferencia x2 + 2x + y2 2y = 0?
d)
i)
Está sobre la circunferencia
iii)
Es exterior
ii)
Es interior
iv)
No se puede saber, faltan datos
x2 +y2 – 2y 8 = 0, es la ecuación de la circunferencia de: i) C(0,1) y r = 3
ii) C(0, –1) y r = 3
iii) C(0, –1) y r = 9
iv) C(0, 1) y r = 9
e) La ecuación y2 − 6x − 4y − 20 = 0 corresponde a: i.
Una parábola cuyo vértice es V = (−4, 2)
ii.
Una parábola cuyo eje es la recta de ecuación y = −4.
iii.
Dos rectas paralelas.
3.- Indicar cuál es la gráfica de la parábola cuya ecuación es ( y 1)2 = 4(x 2) a)
b)
c)
d)
Pag. 17
ELIPSE E HIPÉRBOLA TRABAJO PRÁCTICO N° 12 Bibliografía Básica: Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 1.984 Di Pietro, Donato. Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografia. Editorial Alsina. Argentina 1.999. Lehman, Charles . Geometría Analítica. Editorial Limusa. 1.995. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. III. Académica Ediciones. Jujuy. Argentina. Septiembre 2015.
Cuestionario de repaso • ¿Cómo se define Elipse? • ¿Cómo se obtiene la ecuación de una Elipse con centro en el origen y eje “x”? • ¿Cuáles son los elementos de una Elipse? • Dada la ecuación de una Elipse, ¿Qué característica, en la ecuación, distingue el eje focal? • En la ecuación de una Elipse, ¿Qué relación existe entre “a”, “b” y “c”? • ¿Cuál es la ecuación de una Elipse, con centro en (h, k)? • Dada la ecuación general de 2º grado en dos variables: Ax2 + B y2 + Dx + Ey + F = 0, ¿Qué condición deben cumplir los coeficientes A y B para que represente una Elipse? • Dada la Elipse
x2 y2 1 , y un punto P(x, y), perteneciente a la misma, ¿Cual es la ecuación de a2 b2
la tangente a la Elipse? • ¿Con cuántos datos se debe contar para encontrar la ecuación de una Elipse : a) con centro en el origen? ;
b) con centro en (h, k)?
• ¿Cuál es la Propiedad Focal de la Elipse? • ¿Cómo se define Hipérbola? • ¿Cómo se obtiene la ecuación de una Hipérbola con centro en el origen y eje “x”?
Pag. 18
• ¿Cuáles son los elementos de una Hipérbola? • Dada la ecuación de una Hipérbola, ¿Qué caracteriza su eje focal? • En la ecuación de una Hipérbola, ¿Qué relación existe entre “a”, “b” y “c”? • ¿Cuál es la ecuación de una Hipérbola, con centro en (h, k)? • Dada la ecuación general de 2º grado en dos variables: Ax2 + B y2 + Dx + Ey + F = 0, ¿Qué condición deben cumplir los coeficientes A y B para que represente una Hipérbola? • Dada la Hipérbola
x2 y2 1 , y un punto P(x, y), perteneciente a la misma, ¿Cual es la ecuaa2 b2
ción de la tangente a la Hipérbola? • ¿Con cuántos datos se debe contar para encontrar la ecuación de una Hipérbola: a) con centro en el origen ;
b) con centro en (h, k)?
• ¿Cómo se define Hipérbola Equilátera? • ¿Cuál es la Propiedad Focal de la Hipérbola?
Pag. 19
Ejercicios resueltos: Ejemplo 1: Representar gráficamente las siguientes ecuaciones: 4 x2 9 y 2 48x 72 y 144 0 (1) .
y
9 x 2 16 y 2 144 (2)
La ecuación (1) representa una elipse ya que tiene sus términos cuadráticos distintos de cero, del mismo signo y con coeficientes distintos. Para graficar esta elipse expresaremos la ecuación dada en forma canónica. 4 x 2 9 y 2 48x 72 y 144 0
Reordenando los términos: 4 x 2 48x 9 y 2 72 y 144 Agrupando en x y en y extrayendo factor común: 4( x 2 12 x .....) 9( y 2 8 y ......) 144 Completando los trinomios cuadrados perfectos: 4( x 2 12 x 36) 9( y 2 8 y 16) 144 144 144
Factorizando los trinomios: 4( x 6)2 9( y 4)2 144 ( x 6) ( y 4) 2 1 que es la ecuación canónica de la elipse. 36 16 2
Observando la ecuación canónica de la elipse podemos deducir que h6
a6
b4
;
; c 20 2 5
; k 4 .Por lo tanto los elementos de la elipse son:
C (6, 4) ; F (6 2 5 ; 4)
Eje focal y 4
;
;
V (6 6 ; 4)
Directriz x 6 6 18 5 5 3
5
Representamos gráficamente la elipse
Pag. 20
;
e
2 5 5 6 3
;
LR
2 16 16 6 3
La ecuación (2) representa una hipérbola ya que sus términos cuadráticos son distintos de cero y tienen distintos signos. Para graficar expresamos esta ecuación en forma canónica. 9 x 2 16 y 2 144
x2 y 2 1 Dividiendo en 144. 16 9
Observando la ecuación canónica de la hipérbola podemos deducir que el eje real o eje transverso tiene 8 unidades de longitud por lo tanto
a4
(semieje real o transverso), el eje imaginario o eje
conjugado tiene 6 unidades de longitud, por lo tanto y
hk 0
C (0,0)
(semieje imaginario o conjugado),
c 5
En consecuencia los elementos de la hipérbola son:
;
ces x
b3
16 5
F (5 , 0)
;
;
V (4 , 0)
;
3 4
Asíntotas y x
Finalmente representamos gráficamente la cónica.
Pag. 21
e
5 4
;
LR
29 9 4 2
Directri-
Ejercicios propuestos 1.- Determinar los elementos (centro, focos, eje focal, vértices, lado recto y excentricidad) de las siguientes elipses. Representar gráficamente. a)
b)
c) 3x2 + y2 – 24x + 39 =0
d) 25x2 + 9y2 – 18y 216 =0
2.- Hallar los elementos (centro, focos, eje focal, vértices, lado recto y excentricidad) y la ecuación canónica de la elipse que cumpla las condiciones indicadas en cada caso. Representar gráficamente. a) Focos en ( ± 4 , 0) y vértices en ( ± 5 , 0 ) b) Focos en ( 0 , ± 6 ) y semieje menor igual a 8 c) Vértices en ( ± 10 , 0 ) y lado recto igual a 5 d) Focos en ( ± 5 , 0 ) y e = e) Centro en ( 1 , 0 ), uno de sus vértices es ( 6 , 0 ) y pasa por el punto ( 5 , 2 ) f)
Focos en (3 , 8 ) y (3 , 2 ) y la longitud de su eje menor es 8
g) Centro sobre la recta y = 2 x + 6, uno de sus focos en ( 0 , 4 ) y un vértice en ( 1 , 4 ) h) Centro en ( 4 , 1 ), un foco en
( 1 , 1 ) y que pasa por
( 8 , 0 ).
3.- Para cada una de las siguientes ecuaciones, determinar si es una elipse real, un punto o una elipse imaginaria: a) 9x2 + 25y2 + 36x – 50y– 164 = 0
b) 2x2 + 12x + y2 – 10y + 43 = 0
c) 3x2 + 4y2
d) 8x2 + 3y2 –16x + 6y + 11 = 0
– 6x – 16y + 31 = 0
4.- Determinar los elementos (centro, focos, vértices, lado recto, excentricidad y asíntotas) de las siguientes hipérbolas. Representar gráficamente. a)
7x2 – 9y2 = 63
b) 4y 2 9x 2 36 = 0
c)
y2 – 2x2 – 4x – 4y = 0
d) 9x 2 – y 2 36 x + 4y + 23 = 0
5.- Determinar la ecuación canónica de las siguientes hipérbolas, los elementos (centro, focos, vértices, lado recto, excentricidad; ecuaciones del eje focal y asíntotas) y representarlas gráficamente. a) Un foco F(0, 5), un vértice V(0, 3) y de centro C(0, 0). b) Que tiene centro (0,0), eje real 8 y distancia focal 10. c) Un foco F(7, 2), un vértice V(5,2) y de centro C(3, 2). d) Un foco F(−2, 5), un vértice V(−2, 3) y de centro C(−2, −5). e) Con vértice en (0, ± 6) y excentricidad e= . f) Con focos en (1,1) y (5,1) y un vértice V(0,1) . Pag. 22
g) Con focos en F (3,4), F’(3,2) y excentricidad e=2. h) Pasa por los puntos A (3,-2) y B(7,6), tiene centro en el origen y el eje transverso(Eje real) coincide con el eje x. i) Determina la ecuación reducida (con centro en el origen) de una hipérbola que pasa por el punto ( 2, √ ) y su excentricidad es √ .
6.- Escribir las ecuaciones y los elementos de cada una de las siguientes gráficas: a)
y
b) y P(5,3)
1
(-10,0)
(10,0)
x 0
2
8
c)
0
x
d)
e) 4 3
7.- Hallar el lugar geométrico: a) De los puntos P(x , y) tales que su distancia al punto (0 , 6) es ecuación 3y = 8, e identificar a que cónica corresponde.
de la distancia a la recta de
b) De un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos A = (3 , 0) y B(3 , 0) es siempre igual a 8. 8.- Obtener la ecuación de la tangente a: a) 5x2 + y2 = 5 desde el punto (2, 1 ) b) x2 + 4 y2 = 5 en los puntos donde intersecta a la recta c) x2 + y2 = 4 paralela a la recta de ecuación
xy+3 = 0
d) 2x2 y2 20 x 6y + 37 = 0 en el punto ( 7 , 1 ) e) x2 – y2 = 1
por P( 0 , 1 ).
Pag. 23
y = x
9.- Dada la hipérbola
,
a) Completar: a = …………… V( ,
) V’(
b =……………………. ,
)
F(
,
)
F’(
,
)
Ecuación de las asíntotas: ……………………………. Ecuación del eje focal: ……………………………. b) Graficar la cónica 10.- Obtenga la ecuación de la hipérbola que tiene como focos los extremos del eje menor de la elipse 16 x 2 + 25 y 2 – 625 = 0
y cuya excentricidad es recíproca a la que tiene la elipse.
11.- La órbita de Mercurio es una elipse con el Sol en uno de sus focos. La longitud del eje mayor de esta órbita es de 72 millones de millas, y la longitud del eje menor es de 70.4 millones de millas. ¿Cuál es la distancia mínima (perihelio) entre Mercurio y el Sol? ¿Cuál es la distancia máxima (afelio)? ¿Cuál es la excentricidad de la órbita de Mercurio?
12.- Un arco de 80 m. de luz tiene forma semielíptica. Sabiendo que su altura es de 30 m. Hallar la altura del arco en un punto situado a 15 m. del centro. 13.- Una pista de automóviles tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10km. Y el eje menor 6km. Determine la distancia a que se encuentra un carro del centro de la pista en el momento en que pasa a la altura de uno de los focos. Ejercicios Adicionales 1.- Completar a) Dada la siguiente gráfica: i. Escribir la ecuación canónica:……………………. ii. Las coordenadas de los vértices:………………… ……………………………………………………… iii. La longitud del eje menor:………………………. iv. Excentricidad, e = ………………………………
Pag. 24
b) Para una hipérbola que tiene los vértices en (0, ±4) y eje imaginario 6, escribir: i. La ecuación de la hipérbola: …………………………..… ii. Las coordenadas de los focos: ……………………….…. iii. La excentricidad: e = ………………………………...… iv. Las ecuaciones de las asíntotas: ………….…………… 2.- Seleccionar la respuesta correcta. a) Las coordenadas de los focos de la hipérbola , son: i. (4,0) y (4,0) ii. (5,0) y (5,0) iii. (0,3) y (0, 3)
iv. (0,5) y ( 0, 5)
b) Las asíntotas de la hipérbola 16x2 y2 = 1 , son: i. y =
ii. y = ± 4x
c) La excentricidad de una elipse es
iii. y = ± 16x
iv. y = ± x
y el semieje mayor 4, ¿Cuánto vale el semi eje menor
y la distancia focal?: i.
ii.
iii.
iv.
d) Los vértices de la elipse 4 x2+ y2+ 8x 2y +1=0, son: i. (1, 1) y (1, 3)
ii. (1, 1) y (3, 1)
3.- La gráfica de la elipse
iii. ( 1, ±1)
iv. (
se desplaza 4 unidades hacia la derecha. ¿Dónde están
el centro, los focos, los vértices y los extremos del eje menor en la gráfica desplazada?
4.- Relacionar mediante flechas: a) La Ecuación
Corresponde a:
i.
x2 + 2y2 – 10x + 12y + 43 = 0
Una Elipse real
ii.
4x2 + 3y2 – 16x – 6y + 31 = 0
Dos rectas secantes
iii.
9x2 – 4y2 – 18x – 24y – 27 = 0
Un punto
2
1)
2
iv.
25x + 9y – 50x + 36y – 164 = 0
Una hipérbola
v.
4y2 – x2 + 2x – 1 = 0
Una Elipse imaginaria
Pag. 25
SUPERFICIE ESFÉRICA Y ELIPSOIDE TRABAJO PRÁCTICO Nº 13 Bibliografía Básica: Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 1.984. Di Pietro, Donato. Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografia. Editorial Alsina. Argentina 1.999. Lehman, Charles . Geometría Analítica. Editorial Limusa. 1.995. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. III. Académica Ediciones. Jujuy. Argentina. Septiembre 2015.
Cuestionario de repaso Dada la ecuación general de 2º grado en tres variables: Ax2 + B y2 + C z2 + D x + E y + F z + G = 0, que condición deben cumplir los coeficientes A, B y C para que represente una esfera? ¿ Cuales son las cuádricas con centro?. ¿ Cómo se define superficie esférica?. ¿Cuántos puntos se necesitan para poder escribir la ecuación de una superficie esférica no centrada en el origen? ¿Qué relación existe entre el radio de la esfera y un plano tangente a ella? Dada la ecuación general de 2º grado en tres variables: Ax2 + B y2 + C z2 + D x + E y + F z + G = 0, que condición deben cumplir los coeficientes A, B y C para que represente un elipsoide? ¿Cuál es la ecuación de un elipsoide con centro en ( , , ) ?. ¿Cómo se reconoce cuál es el eje de un elipsoide? ¿Cuál es la ecuación de un elipsoide con centro en el origen?. i) ¿Cuáles son los pasos a seguir para analizar un Elipsoide?. ii) Escribir las intersecciones del elipsoide con los ejes coordenados e identificarlas. iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: a) x = k, cuando: k 0 ; k = 0
y
k 0
b) y = k cuando: k 0 ; k = 0
y k 0
c) z = k cuando: k 0 ;
y k 0
k =0
Pag. 26
Ejercicios resueltos Ejemplo 1: Dada la ecuación
3x2 + 3y2 + 3z2 + 6y 9x + 3 z
= 0 , hallar la ecuación canó-
nica de la superficie que representa. 1. Si no se quiere trabajar con denominadores, multiplicamos la ecuación por 2 y obtenemos: 6x2 + 6y2 + 6z2 + 12y – 18x + 6z – 3 = 0 2. Arreglamos la ecuación con el fin de completar cuadrados de binomios: ( 6x2 – 18x + … ) + ( 6y2 + 12y + … ) + ( 6z2 + 6z + … ) = 3 3. Sacamos factor común en cada grupo: 6( x2 – 3x + … ) + 6 ( y2 + 2y + … ) + 6 ( z2 + z + … ) = 3 4. Completamos los trinomios cuadros perfectos: 6( x2 – 3x + 6( x –
)2
+ 6 ( y2 + 2y + 1 ) + 6 ( z2 + z +
)
+ 6 ( y + 1 )2 + 6 ( z +
5. Multiplicando la ecuación por (x– centro en (
)2
+
+6 +
)2 = 24
, se tiene:
( y + 1 )2 + ( z +
, 1 ,
) =3+
)2 = 4 , es la ecuación de una superficie esférica con
) y radio 2.
Ejemplo 2: Identificar la superficie dada por la ecuación: 4x2 + y2 + z2 – 8x = 0, expresar la ecuación canónica y representarla gráficamente. Sombrear la superficie en el primer octante. Arreglamos la ecuación con el fin de completar cuadrados de binomios. 4x2 – 8x + y2 + z2 = 0 4 (x2 – 2 x) + y2 + z2 = 0 4 (x2 – 2 x + 1 ) + y2 + z2 = –4 4 (x – 1)2 – 4 + y2 + z2 = 0 Pag. 27
4 (x – 1)2 + y2 + z2 = 4, multiplicando por
queda:
La ecuación resultante es un elipsoide de C ( 1 , 0 , 0 )
Pag. 28
Ejercicios propuestos 1. Determinar las coordenadas del centro y el radio de las superficies esféricas siguientes: a) x2 + y2 + z2 6x 2y 4z + 5 = 0 b) x2 + y2 + z2 6x 6y 7 = 0 c) x2 + y2 + z2 8 y + 16 = 0 2. Hallar la ecuación de las siguientes superficies esféricas, indicar el centro y/o el radio: a) Con centro en C (2, –1 , 2 ) y que contiene al punto A ( 0, –1 , 2 ). b) Con centro en (0,0,0) y tangente al plano 9x 2y + 6z + 11 = 0. Graficar c) Con centro en ( 6, 3, 4 ) y que es tangente al eje x d) Con centro en C (– 2, 1, 2) y que sea tangente al plano XY. e) Tangente a los planos x – 2z – 8 = 0 ; 2x – z + 5 = 0 que tiene su centro en la recta { f) Que pasa por los puntos (1, 3, 2); (3, 2, 5); (0, 1, 0) y (0, 0, 0) 3. Analizar las superficies cuyas ecuaciones se indican, según los siguientes pasos: I. II.
Identificar la superficie. Realizar la figura de análisis.
III.
Encontrar e identificar las intersecciones con los ejes coordenados.
IV.
Encontrar e identificar las trazas sobre los planos coordenados.
V. VI. VII.
Encontrar e identificar las secciones sobre planos paralelos a los planos coordenados. Representar gráficamente la superficie. Graficar en el primer octante la superficie limitada por los planos dados. a) x2 + y2 + z2 = 49
; y=3 e y=5
b) x2 + y2 + z2 = 100
; x=0 x=5
c) x2 + y2 + z2 = 16
; z=0
z=3
4. Hallar los puntos de intersección de la superficie esférica x2 + y2 + z2 – 4x + 6y + 8z + 20 = 0 con la recta :
x–1=
5. Escribir la ecuación del elipsoide con centro en el origen y cuyos radios tienen las siguientes medidas: a = 5, b = 4 y c = 3
Pag. 29
6. Analizar las superficies cuyas ecuaciones se indican, según los pasos dados en el punto 3. a)
x2 y2 z2 4 16 9
1,
i) con los planos y = 1 e y = 3 ii) con los planos z = 2 y z = 3
b) x 2
y2 z2 1, 9 4
i) con los planos z = 0 y z = 1 ii) con los planos x y = 0 y x = 0
c)
x 2 y2 z 2 1, 4 4 9
i) con los planos x = 0 y x = 1 ii) con los planos y = 1 e y = 2 iii) con los planos z = 1 y z = 2
d) 3x2 + 6y2 + 2z2 6 = 0
con los planos
x=0
y
x=1
7. Hallar e identificar el lugar geométrico de los puntos del espacio: a) Cuya distancia al origen es siempre 4. b) Cuya distancia al punto fijo A(1 , 3 ,2 ), es 3. c) Cuya suma de distancias a los puntos (3 , 0 , 0) y (3 , 0 , 0) es constante e igual a 8. Ejercicios Adicionales 1.
Completar la respuesta según corresponda. a) La ecuación de la superficie esférica con centro (4, –2, 3) y tangente al plano x – z = 4 es ……………………………. b) La ecuación de la superficie esférica con centro (3, –1, 2) y tangente al plano YZ tiene por traza con el plano YZ a …………………………………… c) La ecuación de la superficie que pasa por: A (1, 1, 1), B (1, 2, 1), C (1, 1, 2), D(2, 1, 1) es ………………………………….. d) La ecuación del plano perpendicular a la esfera x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4 = 0 en el punto P(2, 4, -3) es: …………………………….
2.- Completar a) Dada la superficie x2 + y2 + z2 = 16: i. Identificarla………………………..….. ii. La traza sobre el plano y = 4, es {
}
Pag. 30
(marcar la expresión correcta)
b) Dada la superficie
x2 y2 z 2 1 : 4 2 9
i. Identificarla: …………… …………………… ii. La traza sobre el plano z = 2 es {
}
(marcar la expresión correcta)
3.- Responder Verdadero o Falso. Se considera la superficie cuádrica de ecuación 4x2 + y2 + z2 = 4 i.
Al cortarla, por planos paralelos, al plano coordenado “xy” se obtiene siempre una elipse real.
ii.
Al cortarla por el plano z = 2, se obtiene un punto.
iii.
Al cortarla por el plano z = 1, se obtiene una elipse.
iv.
Al cortarla por el plano x = 1, se obtiene el punto (0, 1, 0).
v.
Se trata de un elipsoide de semiejes 1, 2 y 2.
Pag. 31
HIPERBOLOIDES Y PARABOLOIDES TRABAJO PRÁCTICO N° 14 Bibliografía Básica: Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 1.984. Di Pietro, Donato. Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografia. Editorial Alsina. Argentina 1.999. Lehman, Charles . Geometría Analítica. Editorial Limusa. 1.995. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. III. Académica Ediciones. Jujuy. Argentina. Septiembre 2015.
Cuestionario de repaso • Escribir la ecuación de un Hiperboloide de una Hoja. • En la ecuación de un Hiperboloide de una Hoja, ¿Qué caracteriza su eje? • Escribir la ecuación de un Hiperboloide de una Hoja de eje “z” i) ¿Cuáles son los pasos a seguir para analizar un Hiperboloide de una Hoja?. ii) Escribir las intersecciones del Hiperboloide de una Hoja con los ejes coordenados e identificarlas. iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: a) x = k, cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 b) y = k cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 c) z = k cuando: k 0
; k =0 y k 0
• Escribir la ecuación de un Hiperboloide de dos Hojas. • ¿Cómo se diferencia un Hiperboloide de una Hoja con un Hiperboloide de dos Hojas? • En la ecuación de un Hiperboloide de dos Hojas, ¿Qué caracteriza su eje? • Escribirla ecuación de un Hiperboloide de dos Hojas de eje “y”. i) ¿Cuáles son los pasos a seguir para analizar un Hiperboloide de dos Hojas?. ii) Escribir las intersecciones del Hiperboloide de dos Hojas con los ejes coordenados e identificarlas. iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: a) x = k, cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 b) y = k cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 c) z = k cuando: k 0
; k =0 y k 0
• Escribir la ecuación de un Paraboloide Elíptico. Pag. 32
• En la ecuación de un Paraboloide Elíptico, ¿Qué caracteriza su eje? • Escribir la ecuación de un Paraboloide Elíptico de eje “y”. i) ¿Cuáles son los pasos a seguir para analizar un Paraboloide Elíptico? ii) Escribir las intersecciones del Paraboloide Elíptico con los ejes coordenados e identificarlas. iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: a) x = k, cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 b) y = k cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 c) z = k cuando: k 0
; k =0 y k 0
• Escribirla ecuación de un Paraboloide Hiperbólico • En la ecuación de un Paraboloide Hiperbólico, ¿Qué caracteriza su eje? • Escribirla ecuación de un Paraboloide Hiperbólico de eje “z” i) ¿Cuáles son los pasos a seguir para analizar un Paraboloide Hiperbólico? ii) Escribir las intersecciones del Paraboloide Hiperbólico con los ejes coordenados e identificarlas. iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: a) x = k, cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 b) y = k cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 c) z = k cuando: k 0
; k =0 y k 0
Pag. 33
Ejercicios resueltos Ejemplo 1: Estudiar y graficar los hiperboloides, cuyas ecuaciones se indican. a)
x 2 y2 z2 1 4 16 9
I. Identificación de la superficie: x 2 y2 z2 1 Hiperboloide de una hoja con eje en el eje z 4 16 9
II.
Intersección con los ejes coordenados: a) Intersección con el eje x: y = 0 ; z = 0
Son los puntos: ( 2 , 0 , 0 ) y ( 2 , 0 , 0 ) ii) Intersección con el eje y: x = 0 ; z = 0 Son los puntos: ( 0 , 4 , 0 ) y ( 0 , 4 , 0 ) iii) Intersección con el eje z:
x2 1 x 4 x = ±2 4
y2 1 y 16 y = ±4 16
x = 0 ; y = 0 z 2 9 z 9 No intersección real con el eje z
III.
Trazas sobre los planos coordenados: i) Traza sobre el plano XY: z = 0 x 2 y2 1 4 16
Elipse con eje focal en el eje y
ii) Traza sobre el plano XZ: x 2 z2 1 4 9
y=0
Hipérbola con eje focal en el eje x
iii) Traza sobre el plano YZ: x = 0 y2 z2 1 Hipérbola con eje focal en el eje y 16 9
IV.
Intersección con el plano paralelo al plano coordenado XY: Para z = ±3: 2 x 2 y2 x 2 y 2 3 1 1 4 16 9 8 32
Elipse con eje focal en el eje y Pag. 34
V.
i) Gráfico completo ii) Graficar, en el primer octante, la superficie limitada por los planos z = 0 y z = 3 z 8
3
32
32
8
2 4
y
4 2
x
8
3
32
32
8
b) 36 x2 – 9 y2 – 4 z2 – 36 = 0 I.
x=3
y
x=5
Identificación de la superficie: x2 y 2 z 2 1 1 4 9
II.
;
Hiperboloide de dos hojas con eje en el eje x
Intersección con los ejes coordenados: i)
Intersección con el eje x:
y=0;z=0
Son los puntos: V( 1 , 0 , 0 ) y V´( 1 , 0 , 0 ) ii) Intersección con el eje y: x = 0 ; z = 0
No intersección real con el eje y iii) Intersección con el eje z:
y2 1 y 4 4
x=0;y=0
No intersección real con el eje z III.
Trazas sobre los planos coordenados: i) Traza sobre el plano XY: z = 0 x2 y 2 1 1 4
Hipérbola con eje focal en el eje x Pag. 35
x2 1 x 1 x = ±1 1
z2 1 z 9 9
ii) Traza sobre el plano XZ: y = 0: x2 z 2 1 1 9
Hipérbola con eje focal en el eje x
iii) Traza sobre el plano YZ: x = 0: y2 z2 1 No existe intersección real 4 9
IV.
Intersección con los planos paralelos al plano coordenado YZ:
V.
Para x = 3:
y2 z2 1 32 72
Elipse con eje focal paralelo al eje z
Para x = 5:
y2 z2 1 96 216
Elipse con eje focal paralelo al eje z
Gráfico completo ii) Grafico, en el primer octante de la superficie limitada por los planos x = 3 y x = 5
Ejemplo 2: Estudiar los siguientes paraboloides, cuyas ecuaciones se indican. a) 3 x2 + 2 y2 = 6 z I.
;
z=3
Identificación de la superficie: x 2 y2 z Paraboloide elíptico con eje en el eje z 2 3
Pag. 36
II.
Intersección con los ejes coordenados: i) Intersección con el eje x: y = 0 ; z = 0
x2 0 x 0 2
y2 0 y0 3
Es el punto: V ( 0 , 0 , 0 ) ii) Intersección con el eje y: x = 0 ; z = 0 Es el punto: ( 0 , 0 , 0 ) x=0;y=0
iii) Intersección con el eje z:
z=0
Es el punto: ( 0 , 0 , 0 )
III. Trazas sobre los planos coordenados: i) Traza sobre el plano XY: z = 0 x 2 y2 0 2 3
Elipse reducida al punto ( 0 , 0 , 0 )
ii) Traza sobre el plano XZ: y = 0 x2 = 2 z
Parábola con eje focal en el eje z, las ramas abrazan z+
iii) Traza sobre el plano YZ: x = 0 y2 = 3 z
Parábola con eje focal en el eje z, las ramas abrazan z+
IV. Intersección con el plano paralelo al plano coordenado XY: Para z = 3: V.
x 2 y2 1 6 9
Elipse con eje focal paralelo al eje y
i) Gráfico completo. ii) Grafico, en el primer octante de la superficie limitada por los planos z = 0 y z = 3
Pag. 37
b) x2 – 2 y2 = 8 z
;
z=2
y
z=-2
I. Identificación de la superficie: x2 y 2 z Paraboloide hiperbólico con eje en el eje z 8 4
II. Intersección con los ejes coordenados: i) Intersección con el eje x: y = 0 ; z = 0
x2 0 x0 8
Es el punto: ( 0 , 0 , 0 ) ii) Intersección con el eje y: x = 0 ; z = 0 Es el punto: ( 0 , 0 , 0 ) iii) Intersección con el eje z:
y2 0 y 0 4
x=0;y=0
z=0
Es el punto: ( 0 , 0 , 0 )
III. Trazas sobre los planos coordenados: i) Traza sobre el plano XY: z = 0: x2 y 2 0 8 4
{√
Hipérbola reducida a dos rectas: (
√
) (
√
) =0
par de rectas
√
ii) Traza sobre el plano XZ: y = 0 ramas que abrazan z+
x2 = 8 z Parábola con eje focal en el eje z y
iii) Traza sobre el plano YZ: x = 0 y2 = 4 z ramas que abrazan z
Parábola con eje focal en el eje z y
IV. Intersección con planos paralelos al plano coordenado XY: x2 y 2 Para z = 2: 1 Hipérbola con eje focal paralelo al eje x 16 8 Para z = 2:
y 2 x2 1 8 16
Hipérbola con eje focal paralelo al eje y
Pag. 38
V. i) Gráfico completo.
ii) Grafico en el primer octante de la superficie limitada por los planos z = 0 y z = 2
Pag. 39
Ejercicios propuestos 1.- Estudiar y representar las siguientes superficies, según los pasos que se indican a continuación: I.
Identificar la superficie.
II.
Realizar la figura de análisis
III.
Encontrar e identificar las intersecciones con los ejes coordenados.
IV.
Encontrar e identificar las trazas sobre los planos coordenados.
V.
Encontrar e identificar las secciones sobre planos paralelos a los planos coordenados.
VI.
Representar gráficamente la superficie.
VII.
Graficar en el primer octante la superficie limitada por los planos dados. a)
=1
z=±4
b)
x=±√
c) 25 y2 50 x2 – 20 z2 = 100
y=±6
d)
x=±8
2.- Estudiar las siguientes superficies siguiendo los pasos del ítem anterior. x
2
y
2
2z
;
z= 2
2z
;
z = ±4
c) x 2 + z 2 – y = 0
;
y= 3
d) x 2 – 16 y 2
;
z = 8
e) x 2 + 4 y 2 = – 4 z
;
z = –2
f) 2 x2 – y2 – 4z = 0
;
z=2
a)
4
b)
x
9
2
2
y
2
4
= 2z
3.- Identificar las superficies dadas y graficar en el primer octante la porción de superficie limitada por los planos que se especifican en cada caso. Analizar y reconocer las trazas encontradas. a) 2x2 y2 + z2 4 = 0
;
limitada por: y = 0 , y = 2
b)
;
limitada por:
z=0 y z=5
c) 2x2 + 4y2 3z2 = 24
;
limitada por:
z=0,z=5
d) 2 x2 + 2 z2 – 3 y2 = 108
;
limitada por:
y=0,y=6
e) x2 4y2 + 4z2 + 4 = 0
;
i) limitada por z = 0
y z=3
ii) limitada por: z = 3, x = y , x = 0 f) 2x2 4y2 3z2 24 = 0
;
limitada por: Pag. 40
x=5
y x=0
g)
=1
;
4.- a) Identificar y graficar la superficie:
limitada por: z = 0 y z = 3
x
2
– 3 y 2 + z 2 = 1 ; hallar e identificar las inter-
secciones con los ejes coordenados, las trazas sobre los planos coordenados y la traza sobre el plano
y =2
b) Escribir la ecuación de la intersección de la superficie 9x2 + 4 y2 = z en los planos: i) x = 0, ii) y = 2 , iii) z = 4 . Identificar las curvas, indicando en cada caso las coordenadas de los vértices. c) Dada la superficie: 4x2 + 16y2 – z2 = 16 ; i) Identificarla e indicar el eje si corresponde; ii) Hallar e identificar las trazas sobre el plano XY y sobre el plano z = 4; iii) Graficarla en el primer octante limitada por los planos z = 2 y z = 4
5.- Hallar, identificar y graficar el lugar geométrico de los puntos del espacio: a) Cuya diferencia de distancias a los puntos (0, 5, 0) y (0, 5, 0) es igual a 6. b)Que equidistan del punto (2, 1, 0) y del plano y = 3. c) Cuya distancia al punto fijo (2, -1, 3) es el doble de la correspondiente al eje “x”
Ejercicios Adicionales 1.- Relacionar con las letras que corresponda, las ecuaciones dadas con el nombre de la superficie: a) x2 +4 y + 2 z2 = 0
i) Paraboloide circular de eje z
b) x 4y + 4z + 4 = 0
ii) Hiperboloide de dos hojas de eje z
c) 2x 4y 3z 24 = 0
iii) Hiperboloide de una hoja de eje z
d) x2 + y2 = 2z
iv) Hiperboloide de una hoja de eje y
e) 2x2 + 4y2 3z2 = 24
v) Hiperboloide de dos hojas de eje y
f) 2x2 y2 + z2 4 = 0
vi) Paraboloide hiperbólico de eje z
g) x 2 z 2 – y = 0
vii) Paraboloide elíptico de eje y
h) x 2 – 16 y 2
viii) Hiperboloide de dos hojas de eje x
2
2
2
2
2
2
= 2z
i) x 2 + y 2 = – 4 z
ix) Paraboloide elíptico de eje z
j) 2 x2 – 4 y2 + z2 – 8 = 0
x)
Paraboloide hiperbólico de eje y
Pag. 41
2.- Seleccionar la/s respuesta/s correctas, para el caso de la/s incorrecta/s, corregirla/s: Considerar el paraboloide:
, la intersección con la recta:
a) {
)
es el punto el punto (
b) {
,
c) {
, no corta al paraboloide
d) {
,
no existe intersección
es el punto (16, 12 , 6)
3.- Seleccionar la respuesta correcta a)
En la superficie x 2 + 16 y 2 = 2 z ; la traza sobre el plano z = 8 es la elipse: i) Imaginaria
ii) de eje focal x
b) Dada la superficie
iii) No existe elipse iv) Ninguna de las respuesta es correcta
x 2 y2 z0 : 4 2
i. La traza sobre el plano z = 2 es {
}
(redondear la expresión correcta)
ii. La traza sobre el plano z = 0 es {
}
(redondear la expresión correcta)
iii. La traza sobre el plano z = 2 es {
}
Pag. 42
(redondear la expresión correcta)
SUPERFICIES CILÍNDRICAS Y CÓNICAS TRABAJO PRÁCTICO N° 15 Bibliografía Básica: Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 1.984. Di Pietro, Donato. Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografia. Editorial Alsina. Argentina 1.999. Lehman, Charles . Geometría Analítica. Editorial Limusa. 1.995. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. III. Académica Ediciones. Jujuy. Argentina. Septiembre 2015.
Cuestionario de repaso ¿ Cómo se define superficie cilíndrica?. ¿A que se llama generatriz y a que se llama directriz? ¿A que se llama superficie cilíndrica “ recta”? ¿Cómo se reconoce el eje de una superficie cilíndrica recta? Escribir la ecuación de un cilindro elíptico recto de eje “z”. Escribir la ecuación de un cilindro hiperbólico recto de eje “y”. i) Escribir las intersecciones con los ejes coordenados e identificarlas. ii) Encontrar las trazas con los planos coordenados e identificarlas iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: a) x = k, cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 b) y = k cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 c) z = k cuando: k 0 ;
k =0 y k 0
¿A que se llama superficie cónica?. ¿A que se llama directriz, generatriz y vértice en una superficie cónica? ¿Cómo se reconoce el eje de una superficie cónica recta? Escribir la ecuación de una superficie cónica con vértice en el origen, de eje “Y”. i) Escribir las intersecciones con los ejes coordenados e identificarlas. ii) Escribir las trazas con los planos coordenados e identificarlos. iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: a) x = k, cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 b) y = k cuando: k 0 ; k = 0 y k 0 c) z = k cuando: k 0 ;
k =0 y k 0 Pag. 43
Ejercicios Resueltos Ejemplo 1: Dadas las ecuaciones de superficies y planos limitantes: a)
x2 y2 1 16 9
b)
16 x 2 y 2 4 z 2 y
y
los planos z = – 5 z = 5. los planos y = – 2 y = 4.
Estudiarlas y representarlas gráficamente, siguiendo los siguientes pasos: I. II.
Identificar la superficie. Encontrar e identificar las intersecciones con los ejes coordenados.
III.
Encontrar e identificar las trazas sobre los planos coordenados.
IV.
Encontrar e identificar las secciones sobre planos paralelos a los planos coordenados.
V. VI.
Representar gráficamente la superficie. Graficar en el primer octante la superficie limitada por los planos dados.
Resolución: a)
x2 y2 1 16 9
y
los planos z = 5
y z = 5.
I.- Identificación de la superficie Se trata de un cilindro hiperbólico recto, cuyas generatrices son paralelas al eje z (de la variable faltante), y la directriz es una hipérbola. II.- Intersecciones con los ejes coordenados i) Intersección con eje “x”
y=z=0
x = 4 , son los puntos ( 4 , 0 , 0 ) y ( 4 , 0 , 0 )
ii) Intersección con eje “y” x = z = 0
y2 = – 9 no solución real
No existe intersección con el eje y iii) Intersección con eje “z” x = y = 0.
0 = 1 es un absurdo No hay intersección con eje z.
III.- Trazas sobre los planos coordenados i) Traza sobre el plano “x y” z = 0 Hipérbola de eje focal en el eje “x”. Pag. 44
ii) Traza sobre el plano “x z” y = 0 x = ± 4 son las rectas {
y {
iii) Traza sobre el plano “y z” x = 0
y2 = – 9 No solución real
no existe traza sobre el plano “y z”. IV.- Secciones sobre planos paralelos a los planos coordenados Sección sobre el plano paralelo al plano “x y” z = k, con k Re. Cualquiera sea k: es la hipérbola
x2 y2 1 , de eje focal paralelo al eje “x”. 16 9
V.- Representación grafica
VI.- Gráfica en el primer octante
b) 16 x 2 y 2 4 z 2
y
los planos y = 4 y = 2
16 x 2 y 2 4 z 2 0 Pag. 45
I.
Identificación de la superficie Se trata de una superficie cónica elíptica con vértice en el origen y eje “y” (Las tres variables están al cuadrado y tiene distinto signo)
II.
Intersección con los ejes coordenados i) Intersección con eje “x”: y = z = 0.
16 x2 = 0 x = 0, es el punto: (0 , 0 , 0)
ii) Intersección con eje “y” x = z = 0.
y = 0 , es el punto: (0 , 0 , 0)
iii) Intersección con eje “z” x = y = 0.
z=0
Punto: (0 , 0 , 0)
El cono intersecta a los tres ejes en el origen, este punto es el vértice del cono. III.
Trazas sobre los planos coordenados i) Traza sobre el plano “x y” z = 0 es el par de rectas: 16 x2 y2 = 0 (4x +y) (4x y ) = 0 , el par de rectas está dado por: { ii) Traza sobre el plano “x z” y = 0 16 x2 4 z2 = 0
x = z = 0 la intersección es el punto (0 , 0 , 0 )
iii) Traza sobre el plano “y z” x = 0 es el par de rectas y2 4z2 = 0 ( y + 2z) (y 2z) = 0, el par de rectas está dada por: { IV. Secciones sobre planos paralelos a los coordenados Sobre el plano “x z” y = k, con k R. 16 x 2 4 z 2 k 2 x2 z2 1 ; elipse de semiejes a = 1 y b = 1/2. 1 1 4
Si k = – 2
Si k = 4
x2 z 2 1 ; elipse de semiejes a = 2 y b = 1. 1 4 Pag. 46
V.
VI.
Representación grafica:
Representación en el primer octante
Pag. 47
Ejercicios propuestos 1.- Estudiar y representar las siguientes superficies, según los pasos que se indican: I. II.
Identificar la superficie. Realizar la figura de análisis
III.
Encontrar e identificar las intersecciones con los ejes coordenados.
IV.
Encontrar e identificar las trazas sobre los planos coordenados.
V. VI. VII.
Encontrar e identificar las secciones sobre planos paralelos a los planos coordenados. Representar gráficamente la superficie. Graficar en el primer octante la superficie limitada por los planos dados. a) 9 x2 + 16 y2 = 144
;
z=4
b) y2 + z2 = 16
;
x=0
c) 9 x 2 – 4 y2 = 36
;
z=0 z = 3
d) y2 = 2 x
;
z=0 z = 2
e) 3x2 + 9 z = 0
;
y=0 e
f) x2 – y2 = 0
;
z=0 e
y=0 x =3
y = 5 z=
4
2.- Estudiar y representar las siguientes superficies cónicas, siguiendo los pasos del ítem anterior a) x2 + y2 – 2z2 = 0
; z =± 2
b) 2x2 – 4y2 – z2 = 0
; x = ±2
c) x 2 + y 2 – z 2 = 0
; z =±4
d) x2 – 4y 2 + 2 z2 = 0
; y =±5
3.- Reconocer las superficies dadas y graficar en el primer octante, limitadas por los planos que se especifican en cada caso. Analizar y reconocer las trazas realizadas. a) –x2 + y2 – z2 = 0
; y= 3
e
y= 6
b) 2y2 + 3x2 = 12
; z=2
y
z= 5
c) x2 + 4 y2 – z2 = 0
; z =0
y
z=5
d) 4y2 x2 = 9
; z=2
y
z=4
e) x2 + z2 = 9
; y=2
e
y =3
f) x = 4y²
; z=2
y
z=4
Pag. 48
4.- a) Dada la superficie x2 + z2 = 9: i. identificarla ii. Hallar e identificar las intersecciones con los ejes “x”
y “z”
iii. Hallar e identificar las trazas sobre los planos coordenados xy , xz, iv. Graficar en el primer octante la porción de superficie limitada por los planos y = 2 e y = 4 b) Identificar y graficar la superficie x ciones con los ejes coordenados,
2
+y2 – z2 =0
; hallar e identificar las intersec-
las trazas sobre los planos coordenados y la traza sobre el
plano z = 4 c) Dada la superficie x2 + y2 – 2z2 = 0: i. identificarla e indicar el eje si corresponde, ii. Hallar e identificar las intersecciones con el eje coordenado x, iii. Hallar e identificar las trazas sobre el plano coordenado xz , iv. Graficar en el primer octante la porción de superficie limitada por los planos z = 0 y z = 2 5.- a) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos C del espacio tales que el área del triángulo ABC es 1, siendo A(0, –1, 0) y B(0, 1, 0). Identificar el lugar. b) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P del espacio, tales que la distancia al eje “z” es igual a 2. ¿Qué superficie es? c) Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P del espacio, tal que su distancia al plano “yz” sea el doble de su distancia al eje “x”.
Ejercicios Adicionales 1.- Completar a) Sea la superficie cilíndrica y2 = z, ¿Qué se obtiene si se intersecta la superficie con el plano: i. ii. iii. iv.
x = 2? z = 3? z = 3? y = 2?
……. .. …….. … …….. …. ……………
b) Dada la superficie x 2 + y 2 – z2 = 0 i. Identificarla……………………………….. ii. Hallar e identificar la intersección con los planos coordenados. ………………………. iii. Hallar e identificar la traza sobre el plano z = 2: ………………………………
Pag. 49
c) Dada la superficie, 9x2 + 4y2 = 36: Identificar la superficie: …………………………….. Hallar e identificar la intersección con el eje x: Hallar e identificar la traza sobre el plano xz: 2.- Seleccionar la respuesta correcta a) La ecuación del cilindro
z
-y
x
es de la forma: i) x2 – y = 0
ii) y2 + x = 0
iii) x2 + y = 0
iv) y2 – x = 0
b) ¿Qué cónica resulta de la intersección del cono z2 = x2 + y2 y el plano y=1?, una: i. recta?
ii. circunferencia?
iii. hipérbola?
iv. elipse?
v. ninguna de las anteriores
3.- Indicar qué representan las siguientes ecuaciones en R2 y en R3. Ecuaciones
R2
R3
x2 y2 = 4 y2 = 0 x2 + 4y2 16 = 0 x2 + y2 1 = 0 x2 = 4 x2 y2 = 0
4. En R3, determinar la veracidad o falsedad de las siguientes expresiones. Para el caso de falsas, corregir por una expresión correcta a) x2 + 2 y2 + 3 z2 – 2 x + 4 y – 12 z + 14 = 0, es la ecuación general de una superficie esférica de C(1, 1,2) y radio 1 b) 5 y2 – 4 z2 – 20 y – 8 z – 4 = 0, es la ecuación general de una superficie cilíndrica elíptica de generatrices paralelas al eje x Pag. 50
c) z = 4 – x2 – y2 – 2 y, es la ecuación general de un paraboloide circular de eje paralelo al eje “z”
y V(0, 1, 5)
d) 4 x2 – y2 + 9z2 – 36 z + 36 = 0, es la ecuación general de una superficie cónica de eje “y”, y V( 4, 0, 2 ) e) La superficie formada por los puntos P(x, y, z) tales que la distancia entre P y el plano z = – 1 sea igual a la distancia entre P y el punto R de coordenadas (0, 0, 1) corresponde a un paraboloide circular.
5.- En R3, completar el siguiente cuadro Ecuación en R3
Nombre de superficie
Escribir e identificar la Tza sobre el plano z = 2
x2 – 16y2 = 2 z x2 + 2 z = 0 x2 4 y2 + z2 = 4 x2 + z2 = 2y 4 x2 y2 + 4 z2 = 0 x2 + 9y2 + z2 = 9
Pag. 51
Escribir e identificar la Tza sobre el plano xy
