MECANICA DE FLUIDOS
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS
INTEGRANTES:
NICOLAS DAZA
LUIS CARLOS MOSCOTE
HERNANDO VILLAMIL NAVARRO
PRESENTADO A:
JAVIER OROZCO
ING. CIVIL
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
FACULTAD DE INFENIERIAS Y TECNOLOGIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA AMBIENTAL
VALLEDUPAR
2009
INTRODUCCION
Un fluido es un estado de la materia en el que la forma de los
cuerpos no es constante y es estático si todas y cada una de sus
partículas se encuentran en reposo o tienen una velocidad constante
con respecto a un punto de referencia inercial, de aquí que la
estática de fluidos cuente con las herramientas para estudiarlos, con
la certeza de que en este caso no tendremos esfuerzos cortantes y que
manejaremos solo distribuciones escalares de presión, lo cual es el
objetivo principal de esta práctica.
Esta distribución de presiones a lo largo de toda el área finita
puede reemplazarse convenientemente por una sola fuerza resultante,
con ubicación en un punto específico de dicha área, el cual es otro
punto que le corresponde cuantificar a la estática de fluidos.
OBJETIVOS
GENERALES
Análisis práctico-teórico de las fuerzas hidrostáticas sobre una
superficie plana sumergida en un fluido incompresible en
reposo.
ESPECIFICOS
Análisis cualitativo de las fuerzas ejercidas por el fluido
sobre la superficie plana sumergida.
Determinación práctica de la fuerza de presion ejercida sobre la
superficie y su ubicación.
Determinación teórica de la fuerza de presion y la ubicación
dentro de la superficie sumergida.
Comparación de los datos teóricos y prácticos de la experiencia.
Análisis del momento con respecto al eje de giro de una
compuerta.
Marco Teórico
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS
Superficies Horizontales
Una superficie plana en una posición horizontal en un fluido en
reposo está sujeta a una presion constante. La magnitud de la fuerza
que actúa sobre la superficie es:
Fp = p dA = p dA = pA
Todas las fuerzas elementales pdA que actúan sobre A son paralelas y
tienen el mismo sentido. Por consiguiente, la suma escalar de todos
estos elementos es la magnitud de la fuerza resultante.
Figura 1
Su dirección es perpendicular a la superficie y hacia esta si p es
positiva. Para encontrar la línea de acción de la resultante, es
decir, el punto en el área donde el momento de la fuerza distribuida
alrededor de cualquier eje a través del punto es 0, se seleccionan
arbitrariamente los ejes xy, tal como se muestra en la figura.1.
Puesto que el momento de la resultante debe ser igual al momento del
sistema de fuerzas distribuidas alrededor de cualquier eje, por
ejemplo el eje y,
pAx' = A xp dA
Donde x' es la distancia desde el eje y hasta la resultante. Como p
es constante,
x'= 1/A A x dA = xg
en la cual xg es la distancia al centroide del área. Por
consiguiente, para un área horizontal sujeta a una presión estática,
la resultante pasa a través del centroide del área.
Superficies Planas Inclinadas
En la figura 2 se indica una superficie plana por la línea A'B'.
Esta se encuentra inclinada un ángulo θ desde la horizontal. La
intersección del plano del área y la superficie libre se toma como el
eje x. el eje y se toma como el plano del área, con el origen O, tal
como se muestra en la superficie libre. El área inclinada arbitraria
esta en el plano xy. Lo que se busca es la magnitud, dirección y
línea de acción de la fuerza resultante debida al líquido que actúa
sobre un lado del área.
Figura 2
La magnitud de la fuerza δF que actúa sobre un electo con un área δA
en forma de banda con espesor δy con sus bordes largos horizontales
es:
δF = p δA = γh δA = γy sen θ δA
Debido a que todas estas fuerzas elementales son paralelas, la
integral sobre el área es la magnitud de la fuerza F, que actúa sobre
un lado del área.
F = A pdA = γ sen θ ydA = γ sen θ y A = γhA = pGA
con la relaciones tomadas de la figura ysen θ=h y pG =γh la presión
en el centroide del área. En palabras, la magnitud de la fuerzas
ejercida en uno de los lados del área plana sumergida en un líquido
es el producto del área por la presion en su centroide. En esta
forma se debe notar que la presencia de una superficie libre no es
necesaria. Para determinar la presión en el centroide cualquier
medio se puede utilizar. El sentido de la fuerza es empujar el área
si pG es positiva. Como todos los elementos de fuerzas son
perpendiculares a la superficie, la línea de acción de la resultante
también es perpendicular a la superficie. Cualquier superficie puede
rotarse alrededor de cualquier eje que pase por su centroide sin
cambiar la magnitud de su resultante, si el área total permanece
sumergida en el líquido estático.
Centro de Presión
La línea de acción de la fuerza resultante tiene su punto de
aplicación sobre la superficie en un punto conocido como centro de
presión, con coordenadas (xp , yp) apreciable también en la figura.
A diferencia de lo que ocurre con una superficie horizontal, el
centro de presión de una superficie inclinada no se encuentra en el
centroide. Para encontrar el centro de presión, se igualan los
momentos de la resultante xpF y ypF al momento de las fuerzas
distribuidas alrededor de los ejes x y y , respectivamente; por
consiguiente,
xpF = A xp dA y ypF = A yp dA
El elemento de área de xpF debe ser δxδy. Al resolver las
coordenadas para el centro de presión se obtiene:
xp = 1/F A xp dA y yp = 1/F A yp dA
en muchas de las aplicaciones de estas ecuaciones pueden ser
evaluadas en una forma más conveniente a través de una integración
gráfica; para áreas simples, éstas pueden transformarse en ecuaciones
generales así:
xp = 1/(γygAsenθ) A xγysenθ dA = 1/(ygA) A xy dA = Ixy/ygA
obteniendo finalmente:
xp = Ixy g/ygA + xg
aquí debemos aclarar para xp que:
xp > xg, entonces el centro de presión está a la izquierda del
centro de gravedad.
xp< xg, el centro de presión está a la derecha del centro de
gravedad.
xp = 0, el centro de presión esta justamente por debajo del centro
de gravedad y el Ixy g =0
Cuando cualquiera de los ejes centroidales x=xg y y=yg se encuentra
sobre un eje de simetría de la superficie, Ixy g desaparece y el
centro de presión se encuentra en x=xg. Debido a que Ixy g puede
ser positivo o negativo, el centro de presión puede estar a cualquier
lado de la línea x=x. Para calcular yp procedemos así:
yp = 1/(γygAsenθ) A yγysenθ dA = 1/(ygA) A y2 dA = Ix/ygA
En el teorema de ejes paralelos para momentos de inercia
Ix = IG + yg2A
en el cual IG es el segundo momento de área alrededor de su eje
centroidal horizontal. Si Ix se elimina de la ecuación, tenemos:
yp = IG /ygA + yg o yp – yg = IG/ygA
IG siempre es positivo, por consiguiente, yp – yg siempre es
positivo y el centro de presión siempre está por debajo del centroide
de la superficie. Se debe enfatizar que yg y yp – yg son distancias
en el plano de la superficie.
El Prisma de Presión
Figura 3
Otro enfoque al problema de determinar la fuerza resultante y la línea
de acción de la fuerza sobre una superficie plana está dado por el
concepto de un prisma de presión. Este es un volumen prismático con su
base conformada por el área superficial dada y con altitud sobre
cualquier punto de la base dada por p=γh, h es la distancia vertical
hasta la superficie libre como se observa en la figura 3. (Se puede
utilizar una superficie libre imaginaria para definir h si no existe
una superficie libre real). En la figura, γh puede dibujarse en
cualquier escala conveniente de tal manera que su traza sea OM. La
fuerza que actúa sobre un elemento de área diferencial δA es:
δF = γhδA = δV
el cual es un elemento de volumen del prisma de presión. Después de
integrar, F= V, el volumen del prima de presión es igual a la magnitud
de la fuerza resultante que actúa en uno de los lados de la
superficie. Y tememos que:
xp = 1/V V x dV y yp = 1/V V y dV
Lo cual muestra que xp y yp son las distancias al centroide del
prima de presion, por consiguiente, la línea de acción de la
resultante pasa a través del centroide del prima de presión. Para
algunas áreas simples, el prima de presión es más conveniente que la
integración o que el uso de ecuaciones. Por ejemplo un área
rectangular con uno de sus bordes en la superficie libre tiene un
prisma en forma de cuña. Su centoide está a 1/3 de la altitud
desde la base; por consiguiente, el centro de presión se encuentra
a 1/3 de la altitud desde su borde más bajo.
Efectos de la Presión Atmosférica Sobre las Fuerzas en Áreas Planas
En la discusión sobre fuerzas de presión, la presión datum no se
mencionó. Las presiones se calcularon mediante p=γh en donde h es
la distancia vertical por debajo de la superficie libre. Por
consiguiente el datum tomado fue una presión manométrica 0, o la
presión atmosférica local. Cuando el lado apuesto de la superficie
se encuentra abierto a la atmósfera, se ejerce una fuerza sobre
ésta, causada por la atmósfera, igual al producto de la presión
atmosférica p0 y al área p0A, basado en el 0 absoluto como datum.
En el lado líquido la fuerza es:
(p0 + γh) dA = p0A + γ h dA
El efecto de p0A de la atmósfera actúa en forma igual a ambos lados
y no contribuye a la fuerza resultante o a su localización.
Mientras se seleccione la misma presión datum para todos los lados
de un cuerpo libre, la fuerza resultante y el momento pueden
determinarse construyendo una superficie libre a presión 0 de este
datum y utilizando los métodos anteriores.
MATERIALES
Un banco hidrostático provisto de: una bomba de pie, un tanque
presurizado, un recipiente rectangular transparente, con su
aditamento giratorio para medición de fuerzas sobre superficies
planas y un mesón de soporte en acero inoxidable.
Juego de pesas, monedas, arandelas metálicas y en general todo
lo que pueda ser colocado en el platillo de la balanza.
Cinta métrica, regla o escuadra.
Balanza.
Limpiones.
procedimiento
La recolección de los datos correspondientes a esta experiencia
se dio de la siguiente manera:
1. Se midieron las dimensiones de la sección rectangular de la
superficie.
2. Se midió la distancia desde el punto C del eje sobre el cual se
realizará momento hasta el extremo donde se colocan los pesos
para equilibrar el sistema.
3. Se suministró agua al sistema exactamente hasta el borde
superior de la sección transversal rectangular del elemento
sumergido.
4. Se equilibró la superficie colocando pesos en uno de los
extremos del eje al cual está conectado el elemento.
5. Se Tomó la lectura de la altura que alcanzó el agua dentro del
recipiente rectangular.
6. Se Llevaron todos los pesos colocados para equilibrar el
elemento a la balanza y se registró su masa.
7. Se repitieron los pasos anteriores para diferentes alturas del
nivel del agua dentro del recipiente y se registraron cada uno
de estos datos.
8. Se Calculó la fuerza de presión por el método del prisma de
presiones.
9. Se Comprobó matemáticamente, utilizando los datos recolectados,
que el sistema estaba en equilibrio.
10. Se Calculó teóricamente el peso W necesario para tal equilibrio,
en cada caso, y se hizo una tabla comparativa entre estos datos
y los prácticos.
MONTAJE
DATOS
Dimensiones del Área transversal
b = 10cm = 0.1m
h = 7.8cm = 0.078m
Área de la sección transversal
A = 0.1m * 0.078m = 7.8 *10-3
Altura del recipiente
H = 25.5cm = 0.255m
Distancia del punto O hasta donde se aplica el peso
K = 31.5cm = 0.315m
Los demás datos se encuentran en las figuras correspondientes a cada
paso del procedimiento experimenta
CÁLCULOS
Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua
poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.
Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de
presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la
figura).
La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de
momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el
resultado debe dar aproximadamente cero*.
Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua
poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.
Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de
presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la
figura).
La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de
momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el
resultado debe dar aproximadamente cero*.
Experimentalmente, equilibramos la fuerza P ejercida por el agua
poniendo una masa, que corresponde a un peso W; como se muestra.
Teoricamente lo demostramos utilizando el método de prisma de
presiones para areas rectangulares. (el prisma está descrito en la
figura).
La base de esta prueba consiste en que al aplicar la sumatoria de
momento usando los valores de W obtenidos experimentalmente, el
resultado debe dar aproximadamente cero*.
ANALISIS DE RESULTADOS Y OBSERVACIONES
(*) A causa de errores milimétricos en los que se incurre al efectuar
mediciones y practicas de este tipo, o a la supresión de algunos
decimales en el momento de realizar los cálculos, el resultado se
aproxima, Pero en realidad es muy difícil que sea exactamente cero.
Tabla Comparativa
"CASO "W. EXPERIMENTAL(N)"W. TEORICO(N) "
" " " "
"1 "2.5 "2.26 "
" " " "
"2 "4.02 "3.71 "
" " " "
"3 "4.82 "4.54 "
" " " "
Los resultados de los análisis matemáticos y teóricos, arrojaron
datos muy cercanos a los obtenidos de manera práctica, lo que nos
indica que en realidad los métodos de cálculo fueron realmente
acertados.
Aunque el equipo de laboratorio no esta perfectamente calibrado,
pudimos realizar un experimento satisfactorio.
Una leve corriente de aire impidió por momentos que el sistema
estuviera realmente estático. Lo mismo ocasiono el movimiento natural
del fluido al ser introducido en el recipiente.
El elemento equilibrante, nunca estuvo en una posición totalmente
horizontal, pero su inclinación era en realidad tan insignificante,
que decidimos despreciarla.
CONCLUSION
Así como en otras experiencias, pudimos darnos cuenta, que, aunque
muy cercanos, los valores arrojados por la teoría y la practica, no
son exactamente iguales; debemos presumir que dicho margen de error
se debe a la mala calibración de los instrumentos, al error humano
que se introduce en cualquier tipo de medición, a factores
ambientales como corrientes de aire y al apremio, que no nos permitió
esperar a que el fluido estuviera totalmente en reposo. De todos
modos fue muy gratificante comprobar mediante la experiencia, que los
métodos matemáticos que hemos estado estudiando son en realidad
útiles y fáciles de aplicar.
La observación de la utilidad práctica de los estudios de física y
matemáticas lleva a que el estudiante sienta un mayor interés por la
materia. Acá comprendimos la importancia de conocer como se puede
utilizar el método matemático a la hora de resolver un problema
cotidiano de cualquier ingeniero de nuestra rama o de una rama afín.
BIBLIOGRAFIA
Victor L. Streeter; Mecánica de Fluidos Novena edición. Editorial Mc
Graw Hill
Irving H. Shames; Mecánica de los Fluidos. Editorial Mc Graw Hill.
Sotelo, Gilberto; Hidraulica general. Ed. Limusa Noriega Editores.
http://www.loner.ccsr.uiuc.edu/
Fuentes suministradas por el docente y monitor de laboratorio.
EL PRINCIPIO DE LOS VASOS COMUNICANTES
Si se tienen dos recipientes comunicados y se vierte un líquido en uno de
ellos en éste se distribuirá entre ambos de tal modo que,
independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro
recipiente sea el mismo. Éste es el llamado principio de los vasos
comunicantes, que es una consecuencia de la Ecuación Fundamental de la
Hidrostática.
Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus presiones
hidrostáticas han de ser las mismas, es decir:
Luego si PA = PB necesariamente las alturas hA y hB de las respectivas
superficies libres han de ser idénticas hA = hB.
Si se emplean dos líquidos de diferentes densidades y no miscibles,
entonces las alturas serán inversamente proporcionales a las respectivas
densidades. En efecto, si PA = PB, se tendrá que esta ecuación permite, a
partir de la medida de las alturas, la determinación experimental de la
densidad relativa de un líquido respecto de otro y constituye, por tanto,
un modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno de ellos
es conocida.
Por ejemplo consideremos la figura anterior, allí tenemos recipientes de
diferente forma y de secciones S diferentes, todos conectados a un pequeño
tubo a través del cual se le adiciona agua al sistema. Si inicialmente
teníamos un nivel diferente en cada tubo, al abrir el tubo de comunicación
y permitir el paso del agua la altura del agua en todos los recipientes
será igual, pues ella pasa del de mayor altura al de menor altura hasta
lograr un equilibrio sin variar la cantidad de fluido dentro del sistema,
de modo que:
S1h1+S2h2 = S1hinicial1+S2 hinicial2
Donde hinicia1 y 2 corresponden a las altura que tenia el liquido antes de
abrir el tuvo de comunicación.
La deducción de la variación de la altura en este caso se explica por medio
del teorema de Torricelli afirma que la velocidad de salida de un fluido
por un orificio situado en el fondo de un recipiente es:
V = (2gh) ^1/2
Siendo h la altura del fluido en el recipiente por encima del orificio. Si
ahora tenemos dos depósitos conectados, podemos simular el comportamiento
de los vasos comunicantes suponiendo que la velocidad de fluido en el tubo
de comunicación es proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia de
alturas que alcanza el fluido en ambos recipientes.
V= [2g(h-h)] ^1/2
La cantidad del fluido que sale del primer recipiente a través del tubo que
comunica ambos recipientes en la unidad de tiempo es VS, y en el tiempo dt
será VSdt.
La disminución de la altura h1 en el primer recipiente se expresa del
siguiente modo:
-S1dh1= S[2g(h-h)]1/2*dt
Escribiendo h2 en función de h1, podemos integrar fácilmente esta función:
dh/ (h-h)^1/2= S/S[2g(1+S/S)]1/2 dt
Donde t tiene limite de 0 a t. Se alcanza la altura de equilibrio después
de un tiempo t que se calcula poniendo en la ecuación precedente
h1=hequilibrio.
VASOS COMUNICANTES
Se denomina así a un sistema abierto por ambos extremos, formados por
recipiente vinculados por un tubo en forma de U.
De acuerdo con la formula de la columna hidráulica, si se supone que en uno
de los recipientes el nivel del liquido es mas alto que en el otro,
existirá una diferencia de presiones en la parte inferior del tubo; que
será igual a la diferencia de alturas entre ambos niveles.
De acuerdo con el principio de Pascal, la presion mayor tendera a
transmitirse hacia la menor hasta que ambas se igualen y se neutralicen.
También ocurrirá, como resultado de la formula de la columna hidráulica,
que el equilibrio se producirá cuando el liquido se encuentre al mismo
nivel en ambos recipientes o extremos de los vasos comunicantes.
La diferencia de presiones en un sistema de vasos comunicantes determina
que el líquido se encuentre al mismo nivel.
Ley fundamental de la hidrostática
Si en un sistema de vasos comunicantes se colocan dos líquidos de distintos
pesos específicos (por ejemplo agua y mercurio) las presiones en uno y otro
lado del sistema se igualaran cuando en ambos lados soporte igual peso.
Dado que el peso específico del mercurio es superior se requerirá un mayor
volumen de agua, la cual quedara a mayor altura.
Debido ala diferencia de pesos específicos la igualdad de presiones se
producirá cuando las columnas tengan alturas diferentes.
En conclusión la ley fundamental de la hidrostática expresa que las
diferencias de presiones entre dos puntos de un mismo liquido es igual al
producto del peso especifico del liquido por la diferencias de niveles.
La capilaridad contradice el principio o ley hidrostática de los vasos
comunicantes, según la cual una masa de líquido tiene el mismo nivel en
todos los puntos; el efecto se produce de forma más marcada en tubos
capilares (del latín capillus, pelos, cabello), es decir, tubos de
diámetros muy pequeños. La capilaridad, o acción capilar, depende las
fuerzas creadas por la atención superficial o por el mojado de las paredes
del tubo. Si las fuerzas de adhesión del liquido al solidó (mojado) supera
las fuerzas de cohesión dentro del liquido (tensión superficial), la
superficie del liquido será cóncava y el liquido subirá por el tubo, es
decir, ascenderá por enzima del nivel hidrostático. Este efecto ocurre por
ejemplo con agua en tubos de vidrios limpios. Si las fuerzas de cohesión
superan a las fuerzas de adhesión, la superficie del líquido será convexa y
el líquido caerá por debajo del nivel hidrostático. Así sucede con agua en
tubos de vidrios grasientos (donde la adhesión es pequeña) o con mercurio
en tubos de virios limpios (donde la ecuación es grande). La absorción de
agua por una esponja y la ascensión de la será fundida por el pabilo de una
vela son ejemplos familiares de ascensión capilar. El agua sube por la
tierra debida en parte a la capilaridad, y algunos instrumentos de
escritura como la pluma estilográfica (fuente) o el rotulador (plumón) se
basa en este principio.
Oscilaciones en Dos Vasos Comunicantes
Sean h01 y h02 las alturas iniciales del fluido en cada uno de los
recipientes, y S1 y S2sus secciones respectivas, la altura de equilibrio h
se obtiene de la relación:
S1*h01 + S2*h02 = (S1 + S2) h
Cuando el fluido en el primer recipiente se desplaza X1 de la posición de
equilibrio, en el segundo recipiente se desplazara X2 de la posición de
equilibrio. Como el volumen total de fluido en ambos recipientes es
constante, la relación entre estos desplazamientos será:
S1*X1 = S2*X2 (1)
Ecuación de continuidad
Si V1 es la velocidad de fluido en el primer recipiente, V2 en el segundo y
U en el tubo que comunica ambos recipientes se cumplirá por la ecuación de
continuidad que:
S1*V1 =S2*V2 = SU (2)
Balance energético
Las masas de fluidos que hay en cada uno de los recipientes y en el tubo de
comunicación en un instante t determinado, serán respectivamente:
Masa en el primer recipiente: m1 = ρS1(h – X1)
Masa en el segundo recipiente : m2 = ρS2(h –X2 )
Masa en el tubo de comunicación: m = ρSd
Donde S es la sección del tubo de comunicación y d su longitud.
Variación de energía cinética entre el instante t y el instante t + dt.
E = m1V1dv1 + m2V2dv2 + mUdU
Variación de la energía potencial: una masa dm pasa de la posición inicial
h +X2 a la posición h – X1.
E = Einicial – Efinal = dm'g(h + X2) - dm'g(h –X1)
Donde: dm = -ρgS1dX1, ya que X1 disminuye.
Principio de conservación de la energía Ek = Ep
m1V1dv1 + m2V2dv2 + mudu = dm'g(X1 +X2)
-----------------------
1
2
3
