DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS 1. Un método método altern alternati ativo vo para para hallar hallar soluci soluciones ones con series series de potenc potencias ias de ecuacio ecuaciones nes
x ) ´ y + q ( x ) ´ y + r ( x ) y =0, alrededor de un punto ordinario x =0 diferenciales como: p ( x es el método de la serie de Taylor. Este método usa los valores de las derivadas evaluadas en el punto ordinario, los cuales se obtienen de la ecuación diferencial por diferenciación sucesiva. Cuando se encuentran las derivadas, usamos luego la expansión en serie de
2
x −a ¿
Taylor .
¿ 3 x − a ¿ ¿ ( y⃛ a ) ¿ y´ ( a ) ¿ y ( x x ) = y ( a ) + y´ ( a ) ( x −a ) + ¿
Dando Dando la soluci solución ón requer requerida ida.. Consid Considera erando ndo lo anteri anterior or,, la soluci solución ón para para la ecuaci ecuación ón
y´ = x + y + 1 es: .
( c + 2 ) x 2 (c + 2 ) x3 y ( x x ) =c + ( c + 1 ) x + + +…
!.
(c −2 ) x 2 ( c −2 ) x 3 + +… y ( x x ) =c + ( c −1 ) x +
C.
(c + 5 ) x 2 (c + 5 ) x 3 ( ) ( ) y x x =c + c + 1 x + + +…
".
(c −2 ) x 2 ( c −2 ) x 3 + +… y ( x x ) =c −( c + 1 ) x +
2!
2!
2!
2!
3!
3!
3!
3!
y ( 0 )= c , reempla eemplazamo zamoss la funcio funcion n x por 0 y ( 0 )= y + 1 '
¿ c +1 '
y = x + y + 1
' '
y = 1+ y
'
' '
y = 1+ c + 1
¿ c +2 (3 )
''
(4 )
( 3)
y = y =c + 2 y = y = c + 2 y ( x x ) =c + ( c + 1 ) x +
(c +2 ) 2!
x
2
+
( c + 2) 3!
x
3
+…
#as respuesta es
Al emplear el mtodo de series de potencia, la solución del pro!lema de "alor inicial
2.
y + 8 y =0 ;con y ( 0 )=3, ´ y ( 0 )=0 es: de la ecuación dada y´ −2 x ´
2
3
A.
y =3 + 12 x + 4 x
B.
y =3 −12 x + 4 x
C.
y =3 + 12 x + 3 x
D.
y =3 −12 x + 3 x
2
2
3
2
∞
C n ( n−1 ) x ∑ =
n −2
n
n 2
∞
2 C 2 +
n 3
4
∞
−2 x ∑ C n n x
C n ( n −1 ) x ∑ = n
4
n= 1
n −2
∞
+ 8 ∑ C n x n n =0
∞
∞
−∑ 2 C n n x +∑ 8 C n x n= 0 n
n=1
∞
2 C 2 +
n− 1
n=1
∞
∞
C + ( k + 2 ) ( k + 1 ) x −∑ 2 C k x + 8 C + ∑ C x =0 ∑ = = = k
k
k 2
k
k 1
k
k
0
k 1
k 1
∞
∞
∞
(2 C 2 + 8 C 0)+ ∑ C k +2 ( k + 2 ) ( k + 1 ) x −∑ 2 C k k x +∑ 8 C k x k = 0 k
k =1
k
k = 1
k =1
∞
(2 C 2 + 8 C 0)+ ∑ [C k + 2 ( k + 2 ) ( k + 1 )−2 C k k + 8 C k ] x k k =1
C k k +2 ( k + 2 ) ( k + 1 )−2 C k k k + 8 C k k ¿ x =0 k
C k +2=
2 C k K −8 C k
( k + 2 ) ( k + 1 )
C 0 =3
C 1 =0 C 2 =
C 2 =
−8 C 0 2
−8∗3 −24 = =−12 2
2
C 2 =−12
C 3 =0 C 4=
2 C 2 2 −8 C 2 4∗3
=4
C 4= 4 2
y =3 −12 x + 4 x
4
#a respuesta es la !
$. Utili%ando Utili%ando el método método de series series de potencia, potencia, la solución solución para para la ecuación ecuación de segundo orden orden 2
d y dy + x + y =0 es: 2 dx dx
#in$una de las opciones. (−1 )n c 1 x 2 n+ 1 y =∑ (−1) +∑ 2.4 2.4 .6.. ( 2 n ) n=0 1.3.5.. ( 2 n + 1 ) n=0 2n ∞ ∞ c 0 x (−1)n c 1 x 2 n+1 n y =∑ ( 1 ) −∑ 2.4.6.. ( 2 n ) n=0 1.3.5.. ( 2 n + 1) n=0 ∞
A. B.
n
c 0 x
2n
∞
(1 )n c 1 x2 n +1 y =∑ (−1) +∑ 2.4 2.4 .6.. ( 2 n ) n=0 1.3.5.. ( 2 n + 1 ) n=0 2n ∞ ∞ c 0 x (1)n c 1 x 2 n+1 n y =∑ ( 1 ) −∑ 2.4.6.. ( 2 n ) n=0 1.3.5.. ( 2 n + 1) n=0 ∞
c 0 x
n
C. D.
2n
∞
Solución. La solución está dada por: ∞
y =
a x ∑ =
n
n
n 0 ∞
'
y =
− na x ∑ =
n 1
n
n 1 ∞
' '
y =
∑= n (n −1) a x −
n 2
n
n 2
∞
n ( n−1 ) a x ∑ =
n−2
n
n ( n−1 ) a x ∑ =
+ x ∑ nan x
n−2
n
∞
+∑ an xn =0 n= 0
∞
∞
+ ∑ nan x +∑ an x n= 0 n
n=1
n 2
n=0
∞
2 c 0+
n−1
n= 1
n 2 ∞
∞
∞
∞
∑= (k + 2)( k +1) a + x +∑= ka x +∑= a x =0 k
k
k 2
k
k
k 2
k
k 2
∞
n 2
∞
∞
(k + 2 )( k + 1 ) a + x +∑ ka x +∑ a x =0 ∑ = = = k
k
k 2
k 0
k
k
k 1
k
k 0
∞
∞
∞
(0 + 2 )( 0 + 1 ) a0+ 2+ ∑ (k + 2)( k + 1) ak +2 x + ∑ kak x + ∑ ak x k + a0= 0 k
k
k =1
k = 1
∞
2 a2 + a0 +
∞
k =1
∞
ka x + ∑ a x =0 ∑= (k +2 )( k + 1) a + x +∑ = = k
k
k 2
k 1
2 a2 + a0 =0 ; a2=
k 1
− a0
( k + 2)( k + 1) ak +2 (¿ +ka k + ak ) x k =0 ∞
¿ ∑ = k 1
2
k
k
k
k 1
( k + 2 ) ( k + 1 ) a k +2 + ka k + ak = 0 (k + 2 )( k + 1 ) ak +2+( k + 1) ak =0 a k +2=
−( k + 1 ) ak ( k + 2)( k + 1 ) K 0
n = k+2 2
a k + 2 −a 0 2
1 2
−a 1
!
3 −1
∗−a0 a = 0
4
2
"
−1
8
∗−a1
5
=
3
!
#
−1
∗a0
6
"
$
8 −1
∗a1
7
#
%
15 −1
48
(−1)(n−1 )/ 2 a1 x 2 n+1 y =∑ (−1) +∑ 2.4 2.4 .6.. ( 2 n ) n=0 1.3.5.. ( 2 n +1 ) n=0 2n
n /2
a0 x
∞
=
15
−a0 48
−a1 105
∗−a0
8 ∞
=
a1
=
a0 384
&. #a solución de la ecuac uación: ón:
− x
´ ( 0 ) =1 y´ − e y =0, y ( 0 )= y
teni tenien endo do en cuent cuentaa la la
condición iniciales x'( y utili%ando las series de )aclaurin )aclaurin es:
x
2
x
5
A.
y ( x x ) =1+ x +
B.
x x y ( x x ) =1− x − + + …
2!
−
5!
+…
2
5
2!
5!
3
5
3!
5!
x x y ( x x ) =1+ x + − + …
C.
y ( x x ) =1+ x +
D.
x
2
2!
−
x
6
6!
+…
Solución.
− x
−0
y = e y = y ( 0 )= e 1=1 ' '
''
− x
' ' '
− x
'
−0
' ' '
y =−e y + e y = y ( 0)=−e 1=−1 + 1=0
=e− x y − e− x y ' −e− x y ' + e− x y ' ' = y IV ( 0 )=1−1 −1 + 1=0
IV
y
− x
− x
− x
− x
− x
− x
− x
− x
y =−e y + e y + e y −e y + e y −e y −e y + e y = y ( 0 )=−1 +1 + 1 −1+ 1−1−1 + 0 = V
'
''
'
' '
''
' ' '
y ( 0 ) 2 y ( 0 ) 3 y ( 0 ) 4 y ( 0 ) 5 x+ x+ x + x + x +… 1! 2! 3! 4! 5! '
y y ( x x ) = y ( 0 )+
2
( 0)
'
x y ( x x ) =1+ x + +
' '
0 3!
2
5
2!
5!
0
3
x +
2!
' ' '
4!
x x y ( x x ) =1+ x + − + … Respuesta Respuesta :
4
x +
−1 5!
IV
5
x +…
V
V
E*E+CC-
El polinomio "4 ( x ) de Taylor Taylor /ue aproxima la solución en torno de x('( del
problema:
7 3
2
A. B. C. D.
con valores iniciales es:
y´ =3 ´ y + x y , y ( 0 )=10, ´ y ( 0 )=5 3
4
15 x 15 x 45 x + + "4 ( x )=10 + 5 x + … 2
"4 ( x )=5 + 10 x + "4 ( x )=5 + 5 x +
15 x
+
2
15 x
"4 ( x )=10 +5 x +
2
2
2
2
−
15 x 2
8
15 x
−
+
2
15 x
2
3
3
2
+
15 x
45 x
2
−
…
8
45 x
3
4
4
…
8
45 x
4
…
8
Como primer medida se eval0a la ecuación diferencial para x ' ( , as1:
''
'
7 3
y ( 0 )= 3 y ( 0 ) +( 0 ) y ( 0 ) 5
y ( 0 )= 15 ' '
hor horaa como como
7 3
y = 3 y + x y se cumple en cierto intervalo en torno a ''
'
x 0=0
,
podemos derivar ambos lados para deducir ' ' '
7
' '
4 3
7 3
'
y =3 y + x y + x y 3
Derivada del producto
2olvemos a derivar ambos lados, 4
' ' '
y =3 y +
28 9
1 3
x y +
14 3
4 3
7 3
'
x y + x y
' '
3e prosigue con el proceso de derivación 5
4
y =3 y +
28 27
−2
x
3
y + ( … ) No existe
4ara esta etapa, no existe la /uinta derivada por/ue el exponente /ue se obtuvo fue negativo, es decir, ya existen puntos singulares en los /ue no existe, de ah1 /ue solo se pueda construir el polinomio de Taylor Taylor de grado ( al &. hora se puede volver a sustituir x ' ( en las derivadas obtenidas. 3e obtiene lo siguiente:
y
' ' '
' '
7
4 3
7 3
( 0 )=3 y ( 0 ) + (0 ) y +( 0) y ' (0 ) 3
y ( 0 ) =3 y 4
' ' '
( 0 )+
28 9
1 3
( 0 ) y ( 0)+
14 3
4 3
7 3
( 0 ) y (0 )+ ( 0 ) y ' ' (0 ) '
3e usan las condiciones iniciales /ue se han obtenido hasta ahora, /uedando: y
' ' '
( 0 )= 45
y ( 0 ) =135 4
4or consiguiente, se han obtenido los siguientes puntos:
y ( 0 )=10 y ( 0 )=5 '
y ( 0 )= 15 ' '
y
' ' '
( 0 )= 45
y ( 0 ) =135 4
El polinomio de Taylor para este caso sólo se puede extender hasta el cuarto grado, por lo /ue se usar5 la ecuación 678 y se reempla%ar5n los datos obtenidos para n ' &
p4 ( x )=10 + 5 x +
15 2!
2
x+
45 2!
3
x+
135 4!
x
4
"esarrollo de factoriales
p4 ( x )=10 + 5 x +
15 2
2
x +
15 2
3
x +
45 8
x
4
%unto &
3e
dice
/ue
x
'
a
es
un
y ' ' + " ( x ) y ' + # ( x ) y =0, si " ( x ) y # ( x ) " ( x ) y # ( x )
punto son
ordinario anal1ticas
de en
se pu pued eden en ex expa pand ndir ir en se seri riee de po pote tenc ncia iass de
la
Ecuación
x =a , x −a
es
"iferencial. decir,
si
con co n un radi radio o de
convergencia positivo. 3i un punto no es ordinario se dice /ue es singular. Teniendo en cuenta el concepto anterior, los puntos ordinarios y singulares de la ecuación diferencial
( x 2−4 ) $ + 2 x y + 3 y =0 son aproximadamente:
9.
% =& 1 4untos 3ingulares
7.
% & 1 4untos -rdinarios
$.
% =& 4 4untos -rdinarios
&.
% & 4 4untos 3ingulares
( x x −4 ) ´ y + 2 x ´ y +3 y =0 2
Solución
2 x 3 y´ + 2 y ´ + 2 −4 ( = =0 x − 4 x 2 x 3 " ( x x ) = 2 − 4 # ( x )= 2 − 4 x x 2 x −4 =0 ( x + 2 ) ( x −2 ) =0 x =−2 x =2
Por tanto x =& 2 son puntos singulares y
x & 2
son puntos ordinarios
%unto '
#os puntos singulares de la ecuación diferencial: 9.
% =−1
2.
% =2
3.
% =1
&.
% =−2
(t 2−t −2) x +( t + 1 ) −( t −2) x =0 son:
3olución +(t + 1) x ̇̈ −(t −2 ) x = 0 (t 2−t −2) x ̈ t + 1 t −1 x´ + 2 x´ − 2 x =0 t −t −2 t −t −2 t + 1 t − 2 x´ + ´ x − x =0 ( t −2 ) ( t +1 ) ( t −2 ) ( t + 1 ) x´ x x´ + − =0 t −2 t + 1 t =2 t =− =−1
4or tanto
t =2 , t =− =−1 son puntos singulares
%RI(ER AC)I*IDAD +R%AL:
3e plantea una situación problema y el grupo de reali%ar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las caracter1sticas del problema /ue se ha planteado y buscar el método de solución m5s apropiado seg0n las ecuaciones diferenciales de primer orden. %ro!lema:
3i tenemos en cuenta /ue la carga en el capacitor de un circuito +#C /ueda descrita por:
1
´ ( t ) + R ´q ( t ) + q ( t ) = * (t ) , donde L es la nductancia, R la resistencia, C la ) q la capacitancia y E C la fuente de volta;e. Como la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamos /ue el resistor se calienta de modo /ue:
R ( t ) =1+
t 10
+ .
i ) =0,1 -enrios,C =2 farad faradios, ios, * ( t )=0, q ( 0 ) =10 coulom.s coulom.s y ´q ( 0 )= 0
"etermine al menos los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en serie de potencias en torno a t' ( para p ara la carga del capacitor. 1
´ ( t ) + R ´q ( t ) + q ( t ) = * ( t ) Ecuación: ) q C
3u;eto a:
R ( t ) =1+
t 10
+ .
)=0,1 -enrios C =2 faradios * ( t ) =0 q ( 0 )=10 coulom.s q / ( 0 )=0 3e procede a reempla%ar en la ecuación se tiene /ue:
( )
0,1 q / / ( t ) + 1 +
t
10
1
q / ( t ) + q (t )= 0 2
0,1 q / / ( t ) + ( 1 + 0,1 t ) q / ( t ) + 0,5 q ( t )= 0
q / / ( t )+
( 1 +0,1 t ) q / ( t ) 0,1
+
0,5 q ( t ) 0,1
=0
q / / ( t )+ ( 10 + t ) q / ( t ) + 5 q ( t )=0 #a forma de la solución general en términos de series de potencia viene dada por la expresión: ∞
q ( t )=
∑ = n 0
n
q ( t =a ) ( t −a )n n!
t =a el punto ordinario alrededor del /ue se eval0a la serie de potencia. En este caso
3iendo
a =0 , por tanto se tiene /ue:
se usar5 ∞
q ( t )=
∑ = n 0
n
q (0 ) n t n!
#O)A: 3e har5n c5lculos hasta un valor de -
4ara el termino
3e debe calcular
q (0 )
n= 0
n= 5 para anali%ar el comportamiento de la serie
q ( 0 )=10 4or tanto se obtiene el término
a0 =
q (0 ) 0 t =10 0! n= 1
4ara el termino
-
a0 :
3e calcula
q / ( 0 )
q / ( 0 )=0 3e obtiene el término
a0 = -
3e
a1 :
q / ( 0 ) 1 x =0 1! 4ara el termino
debe
calcular
n= 2 q / / ( 0 ) .
4ara
ello
se
utili%a
la
ecuación
problema
q / / ( t )+ ( 10 + t ) q / ( t ) + 5 q ( t )=0 , evaluando la ecuación alrededor del punto ordinario por tanto:
q / / ( t )+ ( 10 + t ) q / ( t ) + 5 q ( t )=0 q / / ( 0 ) + ( 10 + 0 ) q / ( 0 ) + 5 q ( 0 )=0 q / / ( 0 ) + 10 q / ( 0 )+ 5 q ( 0 )= 0 q / / ( 0 ) =−10 q / ( ( 0 )−5 q ( 0 ) q / / ( 0 ) =−10 ( 0 )−5 ( 10 ) q / / ( 0 ) =−50 4or tanto se obtiene el término
a2=
q / / ( 0 ) 2 −50 2 t = t 2! 2!
-
4ara el termino
n= 3
a2 :
t =0 ,
3e
q / / / ( 0) .
calcula
4ara
ello
se
deriva
la
ecuación
problema
q / / ( t )+ ( 10 + t ) q / ( t ) + 5 q ( t )=0 , evaluando la ecuación alrededor del punto ordinario
t =0 ,
por tanto:
d [ q / / ( t ) +( 10 +t ) q / ( t )+5 q ( t ) =0 ] dt q / / / ( t )+ ( 10+ t ) q / / ( t ) + q / ( t )+ 5 q / ( t ) =0 q / / / ( t )+ ( 10+ t ) q / / ( t ) + 6 q / ( t )=0 q / / / ( 0 ) + ( 10 + 0 ) q / / ( 0 ) + 6 q / ( t )=0 q / / / ( 0 ) + 10 q / / ( 0 )+ 6 q / ( 0 )= 0 q / / / ( 0 ) =−10 q / / ( 0 )−6 q / ( 0 ) q / / / ( 0 ) =−10 (−50 )− 6 ( 0 ) q / / / ( 0 ) =500 4or tanto se obtiene el término
a3 =
q / / / ( 0 ) 3 500 3 t = t 3! 3!
-
4ara el termino
3e calcula
a3 :
n= 4
4 4ara ello ello se deri deriva va la ecua ecuaci ción ón resu result ltan ante te en el inci inciso so ante anteri rior or q ( 0 ) . 4ara
q / / / ( t )+ ( 10+ t ) q / / ( t ) + 6 q / ( t )=0 , eval evalua uand ndo o la ecuac ecuació ión n alre alreded dedor or del del punt punto o ordi ordina nari rio o
t =0 , por tanto: d [ q / / / ( t ) + ( 10 + t ) q / / ( t )+ 6 q / ( t )=0 ] dx q ( t ) + ( 10 +t ) q / / / ( t ) + q / / ( (t ) + 6 q / / ( t )=0 4
q ( t ) + ( 10 + t ) q / / / ( t ) + 7 q / / ( t )= 0 4
q ( 0 ) + ( 10 + 0 ) q / / / ( 0 )+7 q / / ( 0 )=0 4
q ( 0 ) + 10 q/ / / ( 0 ) + 7 q / / ( 0 )=0 4
q ( 0 )=−10 q / / / ( 0 ) −7 q / / ( 0 ) 4
q ( 0 )=−10 ( 500 )−7 (−50) 4
q ( 0 )=−4650 4
3e obtiene el término
a4 :
4
q ( 0 ) 4 −4650 4 a 4= t = t =0 4! 4! 5 4ara ello ello se deri deriva va la ecua ecuaci ción ón resu result ltan ante te en el inci inciso so ante anteri rior or y ( 0 ) . 4ara
3e calcula
4 evaluand ando o la ecuac ecuació ión n alre alrede dedor dor del del punt punto o ordi ordina nari rio o q ( t ) + ( 10 + t ) q / / / ( t ) + 7 q / / ( t )= 0 , evalu
t =0 , por tanto: d 4 [q ( t ) + ( 10 +t ) q / / / ( t ) + 7 q / / ( t )=0 ] dx q ( t )+ ( 10 +t ) q ( t )+ q / / / ( t ) + 7 q / / / ( t )=0 5
4
q ( t )+ ( 10 + t ) q ( t )+ 8 q / / / ( t )= 0 5
4
q ( 0 )+ ( 10 + 0 ) q ( 0 )+ 8 q / / / ( 0 )= 0 5
4
q ( 0 )+ 10 q ( 0 ) + 8 q / / / ( 0 )=0 5
4
q ( 0 )=−10 q ( 0 ) −8 q / / / ( 0 ) 5
4
q ( 0 )=−10 (−4650 )−8 ( 500 ) 5
q ( 0 )=42500 5
3e obtiene el término
a5 :
5
q ( 0 ) 5 42500 5 a5 = t = t 5! 5! Expresando la sumatoria en series de potencia se tiene /ue:
q ( t )=a 0+ a1 + a 2+ a3 + a 4+ a5 + …
q ( t )=10 + 0 −
50 2!
2
t +
500 3!
3
t −
4650 4!
4
t +
42500 5!
5
t + …
q ( t )=10 −25 t + 83, 3^ t − 193,75 t + 354,1 6^ t + … 2
3
4
5
