UNIDAD III. PRUEBAS DE HIPÓTESIS 3.6 Prueba para diferencia de proporciones En algunos diseños de investigación, el plan muestral requiere seleccionar dos muestras independientes, calcular las proporciones muestrales y usar la diferencia de las dos proporciones para estimar o probar una diferencia entre las mismas. Las aplicaciones son similares a la diferencia de medias, por ejemplo si dos empresas consultoras ofrecen datos de proporciones de personas que van a votar por el PRI y al hacer dos estudios diferentes salen resultados ligeramente diferentes ¿pero qué tanta diferencia se requiere para que sea estadísticamente significativo? De eso se tratan las pruebas estadísticas de diferencias de proporciones. El estadístico Z para estos casos se calcula de la siguiente manera: ( pˆ -pˆ ) − ( p1 -p 2 ) z= 1 2 1 1 (p ⋅ q) + n1 n 2
3.6. Prueba para diferencia de proporciones
Ejemplo 1. Una muestra de 87 mujeres trabajadoras profesionales mostró que la cantidad promedio que pagan a un fondo de pensión privado el 5% de su sueldo. Una muestra de 76 hombres trabajadores profesionales muestra que la cantidad que paga a un fondo de pensión privado es el 6.1% de su sueldo. Un grupo activista de mujeres desea demostrar que las mujeres no pagan tanto como los hombres en fondos de pensión privados. Si se usa alfa = 0.01 ¿Se confirma lo que el grupo activista de mujeres desea demostrar o no? Paso 1. Determinar la hipótesis Nula “Ho” y Alternativa “Ha”. Nótese que este problema es de una cola. Ho: Lo que pagan las mujeres en el fondo de pensión es igual o mayor a lo que pagan los hombres (algunos autores solo le colocan igual). Ha: _______________________________________ (El estudiante debe describir la Ha) La hipótesis alternativa es lo que las mujeres del grupo activista desea demostrar.
Donde: n pˆ + n pˆ p= 1 1 2 2 n1 + n 2 q=1-p
pˆ 1 pˆ 2 p1 p2 n1 n2
= proporción de la muestra 1. = proporción de la muestra 2. = proporción de la población 1. = proporción de la población 2. = tamaño de la muestra 1. = tamaño de la muestra 2.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
1
Estadística Inferencial
3.6. Prueba para diferencia de proporciones
Paso 2. Determinar el nivel de significancia. Definido por el analista, en este caso se desea usar α = 0.01 Gráficamente el nivel de significancia se distribuye en la curva de distribución normal tal como se muestra en la figura:
Paso 3. Calcular los intervalos que implican ese nivel de significancia. Para dicho nivel de significancia el valor de Z es: Z=-2.326 Gráficamente queda de la siguiente manera: Z = -2.326
Región de rechazo de Ho
Región de rechazo de Ho
Región de aceptación de Ho
Ho: pmujeres
≥
Ho: pmujeres - phombres = 0
phombres
Despejando: Ho: pmujeres - phombres
Región de aceptación de Ho
≥
0
Para volverlo ecuación algunos autores toman: Ho: pmujeres - phombres = 0
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
2
Estadística Inferencial
Paso 4. Calcular el “estadístico” de la prueba. El estadístico Z para estos casos se calcula de la siguiente manera: ( pˆ -pˆ ) − ( p1 -p2 ) z= 1 2 1 1 ( p ⋅ q) + n1 n 2 Donde: n pˆ + n pˆ p= 1 1 2 2 n1 + n 2 q=1-p pˆ 1 = proporción de la muestra 1. pˆ 2 = proporción de la muestra 2. p1 = proporción de la población 1. p2 = proporción de la población 2. n1 = tamaño de la muestra 1. n 2 = tamaño de la muestra 2. Para el caso del presente ejemplo: considerando la población de mujeres como 1 y la de hombres como 2 tenemos la siguiente sustitución: n1pˆ 1 + n 2 pˆ 2 87(0.05) + 76(0.061) = = 0.0551288 n1 + n 2 87 + 76 q = 1 - p = 0.9448712 ( pˆ -pˆ ) − ( p1 -p2 ) ( 0.05-0.061) − ( 0) z= 1 2 = 1 1 1 1 ( 0.055129 ⋅ 0.94487) + ( p ⋅ q) + 87 76 n1 n 2 −0.011 z= = −0.30697 0.0358346 p=
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
3.6. Prueba para diferencia de proporciones
Paso 5. Determinar si el estadístico cae dentro de la región que hace la Hipótesis nula verdadera. Z = -2.326 Región de rechazo de Ho
Región de aceptación de Ho
Ho: µ mujeres - µ hombres = 0 Estadístico de prueba z = -0.3069 Como podrá notarse, el estadístico esta DENTRO de la región que hace verdadera la hipótesis nula. Paso 6. Aceptar o rechazar la hipótesis nula. En este caso como el estadístico de la prueba cae DENTRO de la región que hace verdadera la hipótesis nula, dicha hipótesis se ACEPTA y se toma como falsa la hipótesis alternativa: Ho: El porcentaje de su sueldo que pagan las mujeres en el fondo de pensión es igual a lo que pagan los hombres. (VERDADERO) Ha: El porcentaje del sueldo que pagan las mujeres en el fondo de pensión privado es menor a lo que pagan los hombres. (FALSO)
