FACULTAD DE INGENIERIA Escuela de Ingeniería Civil
ESFE!"#S C#M$I%&'#S MSc. Hebert Vizconde Poémape
El elemento completo, mostrado, podría estar sometido a un esfuerzo normal de tensi!n o compresi!n" #ue act$a cada par de caras en direcciones mutualmente perpendiculares, %eneralmente desi%nadas como e&es x ' y ( Como su nom)re esfuerzo normal lo implica, estos esfuerzos act$an normales perpendiculares" a las caras( Como se muestra, * + est alineado con el e&e X ' ' es un esfuerzo de tensi!n #ue tiende a &alar el elemento para romperlo- Adems, puede .a)er esfuerzos cortantes actuando a lo lar%o de las caras del elemento como si cada una estu/iera siendo desprendida del material ad'acente(
El elemento completo, mostrado, podría estar sometido a un esfuerzo normal de tensi!n o compresi!n" #ue act$a cada par de caras en direcciones mutualmente perpendiculares, %eneralmente desi%nadas como e&es x ' y ( Como su nom)re esfuerzo normal lo implica, estos esfuerzos act$an normales perpendiculares" a las caras( Como se muestra, * + est alineado con el e&e X ' ' es un esfuerzo de tensi!n #ue tiende a &alar el elemento para romperlo- Adems, puede .a)er esfuerzos cortantes actuando a lo lar%o de las caras del elemento como si cada una estu/iera siendo desprendida del material ad'acente(
Distri)uci!n del esfuerzo normal en el caso de 0e1i!n(
E&emplo 23 La 4%ura muestra una palanca en L #ue soporta una fuerza diri%ida .acia a)a&o en su e1tremo( Calcule la condici!n de esfuerzo #ue e1iste en un punto de la cara superior de la palanca cerca del apo'o( 5ea P 6 2788 N, a 6 278 mm, b 6 988 mm ' D 6 98 mm( :uestre la condici!n de esfuerzo en un elemento
;)&eti/o3 Calcule la condici!n de esfuerzo ' trace el elemento sometido a esfuerzo( Datos3 La %eometría ' las car%as mostradas en la 4%ura 28<22, P 6 2788 N Dimensiones3 a 6 278 mm, b 6 988 mm, D - 98 mm Anlisis3 La 4%ura = muestra la palanca di/idida en dos dia%ramas de cuerpo li)re( El punto de inter>s es desi%nado como ?Elemento A@ en el e1tremo derec.o de la palanca donde se une al apo'o 4&o( El elemento est sometido a un esfuerzo 0e1ionante producido por el momento de reacci!n en el apo'o, :=( Tam)i>n est sometido a un esfuerzo cortante torsional producido por el par de torsi!n, T( Resultados3 Con los dia%ramas de cuerpo li)re mostrados en la 4%ura =, podemos demostrar #ue
or tanto, el esfuerzo 0e1ionante en la cara superior de la )arra, mostrada como elemento K en la 4%ura =)", es
El m!dulo de secci!n S es
or consi%uiente,
El esfuerzo cortante torsional alcanza su /alor m1imo alrededor de la super4cie e1terna de la )arra con el /alor de
El m!dulo de secci!n polar Zp es
or tanto,
Los esfuerzos 0e1ionante ' cortante se muestran en el elemento K en la 4%ura 9( Es pro)a)le #ue este punto sea el punto de esfuerzo com)inado m1imo( En un punto en un lado de la )arra so)re el e&e y , e1istiría un esfuerzo cortante ma'or por#ue el esfuerzo torsional m1imo se com)ina con el esfuerzo cortante /ertical m1imo producido por 0e1i!n( ero el esfuerzo 0e1ionante en ese lu%ar es cero(
E&emplo =3 ara el sistema mostrado en la 4%ura, determine el esfuerzo de tensi!n o compresi!n m1imo com)inado en cada /i%a en /oladizo .orizontal cuando se cuel%a una car%a esttica de 28888 l) del sistema de ca)les instalado entre ellas( Las /i%as son /i%as I Aluminum Association, de B2 + (89( Entonces calcule el factor de diseo resultante- las /i%as tienen #ue ser de aleaci!n de aluminio B8B2ndice A < 22, las propiedades de la /i%a son A 6 9(= in= ' S 6 (99 in9( Anlisis La tensi!n en el ca)le su&eto al e1tremo de cada 3 /i%a en /oladizo tender a pro/ocar un esfuerzo de tensi!n directa com)inado con un esfuerzo 0e1ionante en la /i%a(
Fi%ura 9 Fi%ura =
Paso 1. La 4%ura 9 muestra el dia%rama de cuerpo li)re de una /i%a con una fuerza de 28888
l) aplicada por el ca)le al e1tremo de la /i%a( La reacci!n en el e1tremo iz#uierdo donde la /i%a est rí%idamente unida a la columna se compone de una fuerza de reacci!n /ertical, una fuerza de reacci!n .orizontal ' un momento en sentido contrario al de las manecillas del relo&( Paso
(( En la 4%ura 9 tam)i>n se muestra la descomposici!n de la fuerza de 28 888 I) en
componentes /ertical ' .orizontal donde Fv 6 7888 I) ' Fh 6 BB8 I)( Paso 3. La fuerza .orizontal, Fh, act$a en una direcci!n #ue coincide con el e&e neutro de la
/i%a( or consi%uiente, produce una esfuerzo de tensi!n directo de
Paso 4. La fuerza /ertical, Fv, produce 0e1i!n diri%ida .acia a)a&o de modo #ue la cara superior
de la /i%a se somete a tensi!n ' la inferior a compresi!n( El momento 0e1ionante m1imo ocurrir en el apo'o iz#uierdo, donde or consi%uiente, el esfuerzo 0e1ionante m1imo producido por este momento es
Un esfuerzo de esta ma%nitud ocurre como esfuerzo de tensi!n en la cara superior ' como esfuerzo de compresi!n en la cara inferior de la /i%a en el apo'o( Paso 5. Este paso no se aplica a este pro)lema por#ue no e1iste una fuerza .orizontal #ue
act$e fuera del e&e neutro( Paso 6. 5e puede razonar #ue el esfuerzo com)inado m1imo ocurre en la cara superior de la /i%a en el apo'o, por#ue tanto el esfuerzo de tensi!n directo calculado en el paso 9 como el esfuerzo 0e1ionante calculado en el paso son de tensi!n en dic.o punto( or consi%uiente, se suman( Utilizando superposici!n, como se de4ni! en la ecuaci!n de esfuerzos m1imos en la super4cie e1terna( or comparaci!n, el esfuerzo com)inado en la super4cie inferior de la /i%a es
La 4%ura muestra una serie de dia%ramas #ue ilustran el proceso de superposici!n( La parte a" es el esfuerzo en la /i%a pro/ocado por 0e1i!n( La parte )" muestra el esfuerzo de tensi!n directo producido por Fh. La parte c" muestra la distri)uci!n del esfuerzo com)inado(
Paso ( Como la car%a es esttica, podemos calcular el factor de diseo )asado en la
resistencia a la cedencia de la aleaci!n de aluminio B8B2ndice A<2"( Entonces,
E&emplo 93 Una mesa de &ardín en un par#ue se arm! con ta)la circular soportada por un tu)o 4rmemente enca&ado en concreto, como se muestra en la 4%ura( Calcule el esfuerzo m1imo en el tu)o si una persona de 297 % de masa se sienta en el )orde la mesa( El tu)o es de aleaci!n de aluminio con dimetro e1terno de 28 mm ' dimetro interno de 2B9 mm( El aluminio es B8B2
;)&eti/o Datos
Calcular el esfuerzo m1imo en el tu)o de la 4%ura ' el factor de diseo )asado tanto en la resistencia a cedencia como en la resistencia m1ima( La car%a ' las dimensiones del tu)o mostradas en la 4%ura( La car%a es la fuerza producida por la masa de 297 % en el )orde de la mesa( El tu)o es de aluminio B8B2
Analisis El tu)o se somete a compresi!n directa ' 0e1i!n, como se ilustra en la 4%ura =, el dia%rama de cuerpo li)re del tu)o( El efecto de la car%a es producir una fuerza diri%ida .acia a)a&o en el e1tremo superior del tu)o al mismo tiempo #ue e&erce un momento en sentido de las manecillas del relo&( El momento es el producto de la car%a por el radio de la mesa de la ta)la .orizontal de la mesa( La reacci!n en el e1tremo inferior del tu)o, producida por el concreto, es una fuerza #ue act$a .acia arri)a com)inada con un momento en sentido contrario al de las manecillas del relo&( Use las Instrucciones para resolver problemas con esfuerzos normales combinados.
Paso 1. La 4%ura = muestra el dia%rama de cuerpo li)re( La fuerza es la atracci!n de la
%ra/edad de la masa de 297 %(
Paso 2. No .a' fuerzas actuando a un cierto n%ulo con respecto al tu)o Paso 3. Entonces el esfuerzo de compresi!n directo en el tu)o es
ero
Entonces
Este es un esfuerzo de compresi!n uniforme a tra/>s de cual#uier secci!n trans/ersal del tu)o( Paso 4. No .a' fuerzas actuando perpendiculares al e&e del tu)o( Paso 5. Como la fuerza act$a a 2(2 m del e&e del tu)o, el momento es
El clculo del esfuerzo 0e1ionante re#uiere la aplicaci!n de la f!rmula de 0e1i!n,
donde
Entonces
Paso 6. El esfuerzo fle1ionante *) produce un esfuerzo de compresi!n en el lado derec.o del
tu)o ' de tensi!n en el iz#uierdo( Como el esfuerzo de compresi!n se suma al de 0e1i!n #ue act$a en el lado derec.o, allí es donde ocurre el esfuerzo m1imo( El esfuerzo com)inado sería entonces, se%$n la ecuaci!n3 Paso ( El factor de diseo )asado en la resistencia a la
cedencia es El factor de diseo )asado en la resistencia m1ima es
C)!C*# 'E M#H! P&!& 'E+E!MI%&! ESFE!"#S
, 5:R""
,"
( R
(
a
,"6
, 5C:R""
)6
R " 5 : " : R C 5
E&e x
" : R C 5 R " 5 :
Elemento sometido a
Elemento sometido a
Elemento sometido a
R;LE:A EJE:L; 5e determin! #ue un punto de un miem)ro de car%a se encuentra sometido a la si%uiente condici!n de esfuerzo3
Realice lo si%uiente3 a" Trace el elemento sometido a esfuerzo inicial( )" Trace el círculo de :o.r completo con los puntos críticos marcados( c" Trace el elemento sometido a esfuerzo principal( d" Trace el elemento sometido a esfuerzo cortante m1imo(
Soluci,n Paso . El elemento sometido a esfuerzo inicial se muestra en la 4%ura 2(
Paso !. El punto 2 se marca en " x 6 88 :a ' # xy 6 =88 :a en el cuadrante 2(
=88
< 988
88
< =88
Paso $. El punto = se marca en " # y 6 <988 :pa yx 6 <=88 :a en el cuadrante 9(
Paso &. La línea del paso cruza el e&e " por el punto correspondiente al esfuerzo normal promedio aplicado, llamado punto ' en la 4%ura, calculado con
E & e + =88
88,=88 " unto 2
< 988 Paso (. El punto ; es el centro del círculo( La línea del punto ' #ue pasa por el punto 2 se desi%na como e&e x para #ue corresponda al e&e x en el elemento sometido a esfuerzo inicial(
<988,< =88" unto =
; 78
< =88
88
Paso ( Los /alores de a) b ' * se determinan con el trin%ulo formado por las líneas #ue /an del punto ' al punto 2 a " x 6 88 :a ' de re%reso al punto '. El lado inferior del trin%ulo es,
E & e + =88
< 988
; 78
l lado /ertical del trin%ulo, b, es3
<988,< =88" unto l radio del círculo, *) se calcula con3 =
< =88
R 6 9 C 8
a6978
88,=88 " unto 2 )6=8 8 88
Paso +. Este es el trazo del círculo con el punto ' como centro en , 78 :a ' radio * 6 89 :a( Paso . El dimetro /ertical del círculo se traza a tra/>s del punto '. La intersecci!n de esta línea con el círculo en la parte superior seala el /alor de ma- 89 :a, el mismo /alor de *. <979 :a Paso . El esfuerzo principal m1imo, , se encuentra en el e1tremo derec.o del dimetro .orizontal del círculo ' el esfuerzo principal mínimo, en el e1tremo iz#uierdo( Paso . Los /alores <988,< de , ' son3 =88" unto =
78:a,89: a"
=88
< 988
; 78
R 6 9 C 8
a6978
E & e + 88,=88 " unto 2 )6=8 8 88 679 :a
< =88
78:a,89: a"
Paso !. El n%ulo = se muestra en el círculo como el n%ulo del e&e x al e&e , una rotaci!n en el sentido de las manecillas del relo&( El /alor se calcula con
<979 :a
=88
< 988
; 78
;)ser/e #ue = es una rotaci!n en sentido de las manecillas del relo& desde el e&e x a , en el círculo(
<988,< =88" unto =
E & e +
R 6 9 C 8
a6978
=
88,=88 " unto 2 )6=8 8 88 679 :a
< =88
Paso $. Con los resultados de los pasos 22 ' 2=, se traza el elemento sometido a esfuerzo principal, como se muestra en la 4%ura de a)a&o( El elemento aparece con un %iro de 2(K en el sentido de las manecillas del relo& a partir del e&e x ori%inal .acia la cara en la cual act$a el esfuerzo de tensi!n 6 79 :a( El esfuerzo de compresi!n 979 :a act$a en las caras perpendiculares a las caras <979 :a
78:a,89: a"
E & e +
=88
< 988
; 78
R 6 9 C 8
a6978
=
88,=88 " unto 2 )6=8 8 88 679 :a
< =88 <988,< =88" unto =
Paso %. El n%ulo = / se muestra en la 4%ura trazado a partir del e&e x en sentido contrario a las manecillas del relo& .acia el dimetro /ertical #ue localiza en la parte superior del círculo( 5u /alor se determina en cual#uiera de las dos maneras3 rimero o)ser/e #ue el numerador es el /alor de a ' #ue el denominador es el /alor de b o)tenidos con la construcci!n del círculo( Entonces
;, con la %eometría del círculo, podemos calcular
78:a,89: a"
( =88
<979 :a ; < 988 <988,< =88" unto =
78
R 6 9 C 8
a6978
=
88,=88 " unto 2 )6=8 8 88 679 :a
< =88 or tanto el n%ulo es la mitad de ! .
E & e +
Paso &. El elemento sometido a esfuerzo cortante m1imo se traza en la 4%ura de a)a&o, con un %iro de 98(29K en sentido contrario a las manecillas del relo& a partir del e&e x ori%inal .acia la cara en la cual act$a el positi/o( El esfuerzo cortante m1imo de 89 :pa se muestra en las cuatro caras con /ectores #ue forman los dos pares opuestos característicos de los esfuerzos cortantes #ue act$an en un elemento sometido a esfuerzo( Tam)i>n se muestra el esfuerzo de tensi!n :pa #ue act$a en las cuatro caras del elemento(
78:a,89: a"
E & e +
( =88
<979 :a ; < 988
78
a6978
=
88 679 :a
< =88 <988,< =88" unto =
R 6 9 C 8
88,=88 " unto 2 )6=8 8
Construir el Circulo de :o.r, para los si%uientes casos3 Caso 23
Caso =3
Caso 93
Caso 3
:a
# xy , + 0Pa S0*
Caso 73
77 Msi
# xy , % Ksi S10*
Caso B3
Ma
# xy , 2&KPa S10*
