REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDA DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE MECÁNICA DEPARTAMENTO DE AUTOMÁTICA CÁTEDRA CÁTEDRA CONTROLES AUTOMÁTICOS AUTOMÁTICOS PROF. PROF. ALEJO ALE JO GUILLEN GUI LLEN
PROBLEMAS RESUELTOS DE CONTROLES AUTOMATICOS AUTOMATICOS
1. Un tren tren de l!"n l!"n# #"$ "$n n está formado por dos grupos de rodillos, el segu segund ndo o de los los cual cuales es debe debe gira girarr a una una velo veloci cida dad d prop propor orci cion onal al al primero. El diagrama de bloque representa un modelo simplicado del sistema: +
Dond Donde e:
es la velo veloci cida dad d de refer eferen enci cia a del del prim primer er grup grupo o de de rodil odillo los s es la velocidad real del primer grupo de rodillos es la velocidad real del segundo grupo de rodillos
La func funció ión n de tran transf sfer eren enci cia a del del prim primer er grup grupo o es
segundo grupo es
.
y la del del
son los sensores de velocidad
(tacómetros que generan una se!al proporcional a la se!al que miden, siendo
.
"e pide: a. #unción unción de transfe transferen rencia cia de la$o la$o abierto abierto b. #unción #unción de transferen transferencia cia de de la$o cerrado cerrado c. %alor de & para para que en estado estado estacion estacionario ario (r'gim (r'gimen en permanen permanente te el segundo grupo gire a una velocidad
mitad del primero.
d. ara ara el valor valor de & obten obtenid ido o en la pre pregu gunta nta anteri anterior or,, ) oscilaciones si
prese present ntará ará
tiene un incremento de forma escalón unitario*.
1. Un tren tren de l!"n l!"n# #"$ "$n n está formado por dos grupos de rodillos, el segu segund ndo o de los los cual cuales es debe debe gira girarr a una una velo veloci cida dad d prop propor orci cion onal al al primero. El diagrama de bloque representa un modelo simplicado del sistema: +
Dond Donde e:
es la velo veloci cida dad d de refer eferen enci cia a del del prim primer er grup grupo o de de rodil odillo los s es la velocidad real del primer grupo de rodillos es la velocidad real del segundo grupo de rodillos
La func funció ión n de tran transf sfer eren enci cia a del del prim primer er grup grupo o es
segundo grupo es
.
y la del del
son los sensores de velocidad
(tacómetros que generan una se!al proporcional a la se!al que miden, siendo
.
"e pide: a. #unción unción de transfe transferen rencia cia de la$o la$o abierto abierto b. #unción #unción de transferen transferencia cia de de la$o cerrado cerrado c. %alor de & para para que en estado estado estacion estacionario ario (r'gim (r'gimen en permanen permanente te el segundo grupo gire a una velocidad
mitad del primero.
d. ara ara el valor valor de & obten obtenid ido o en la pre pregu gunta nta anteri anterior or,, ) oscilaciones si
prese present ntará ará
tiene un incremento de forma escalón unitario*.
S%l&#"$n' +
+
+
a. #unción #unción de transferen transferencia cia de La$o -bierto. -bierto.
b. #unción #unción de transferenci transferencia a de La$o La$o errado. errado.
c. %alor de & para para que en estado estacionario estacionario (r'gimen (r'gimen permane permanente nte el segundo grupo gire a una velocidad
mitad del primero.
d. ara el valo valorr de de & obt obteni enido do en en la la preg pregun unta ta ant anteri erior or,, ) oscilaciones si
prese present ntar ará á
tiene un incremento de forma escalón unitario*
Las ra/ces del denominador son:
(. "e da el diagrama esquemático de un )")te! de #%ntr%l de n"*el de &n tn+&e de ,&. El 0u1o del tanque de salida se regula por medio de una bomba y es % 2m3s4. El 0u1o de entrada se manipula por medio de la posición de una válvula, la cual se regula a trav's de un controlador proporcional de ganancia &. El área de sección del tanque es 5 m.
ara encontrar la función de transferencia de la válvula, es decir, la relación entre 6 y u se 7a obtenido su respuesta escalón.
"e pide: a. Dibu1e el diagrama de bloque del sistema donde se muestras las diferentes variables. b. 8btener la función de transferencia de la$o abierto c. 8btener la función de transferencia de la$o cerrado d. 8btener el error estático, diga una sugerencia para eliminar este error.
S%l&#"$n' 9anque
#unción de 9ransferencia
ontrolador
#unción de 9ransferencia
%álvula
#unción de 9ransferencia U ( s) X ( s )
=
0.02 2.5 s + 1
a. Diagrama de loque del sistema
0.02 2.5 s + 1
+
;aciendo la perturbación %(s < =, se obtiene:
b. #unción de transferencia de la$o abierto
c. #unción de transferencia de la$o cerrado H ( s ) H
r
(s)
=
0.004 K 2
s + 0.4 s + 0.004
d. Error estático
El error del sistema es =, pero si tuviese alg>n error se pudiera eliminar colocando un controlador roporcional Diferencial ?ntegral ?D.
-. En la siguiente gura se muestra &n tn+&e tr!"#!ente ")ld%, donde el 0u1o de entrada @ 2mAB3s4 es igual que el 0u1o de entrada. El volumen del tanque es % 2mAB4. La espiral el'ctrica de calentamiento da una potencia 2C4. "e supone un mesclado ideal que la temperatura del agua es uniforme.
a. El proceso se puede describir con el siguiente diagrama de bloque, donde 9o es la temperatura de entrada y 9 la temperatura de salida, ambos en . Encuentre las funciones de transferencia
y
.
+ +
b. "upóngase que la se!al de salida (temperatura 9 se mide un medidor de temperatura que tiene una constante de tiempo de F= seg. "upóngase que se tiene un regulador para regular la potencia calor/ca , asi como el volumen %
"olución: rimera Ley en el 9anque
9ransformada de Laplace
Ganipulando la ecuación, queda lo siguiente.
a. La ecuación anterior es la representación matemática del siguiente diagrama:
+ +
or lo tanto, las funciones de transferencia
y
serán
b. Gedidor de 9emperatura
Hegulador de otencia
Diagrama de loque
+ +
/. S")te! de #%ntr%l de n"*el de l0+&"d%
"e da: El nivel de liquido es medido y la salida del transmisor de nivel (L9 es enviado a un controlador (L que a1usta mediante una válvula de control (% el 0u1o de l/quido
. In segundo 0u1o de entrada
el
la variable carga (perturbación. "e supone que: •
La densidad del l/quido constantes.
•
El 0u1o
•
El transmisor y la válvula de control tienen dinámica despreciable. ?nstrumentos Jeumáticos son utili$ados.
•
ρ y
el área transversal - del tanque son
es lineal.
"e pide: • • • • •
8btener las ecuaciones del sistema de control. 8btener las funciones de transferencia de cada componente. Diagrama de bloque del sistema. #unción de transferencia de la$o abierto (#9L-. #unción de transferencia de la$o cerrado (#9L. i.
erturbación
=
-plicar
erturbación < =
de
≡
principio ii.
superposición
•
Error estático y error oK set. onsiderando control proporcional. ara eliminarlos que 7ar/a Isted.
S%l&#"$n: E#&#"%ne) del )")te! de #%ntr%l -plicando la ecuación de continuidad en el 9anque
9ransformada de Laplace
Lector de Jivel
9ransformada de Laplace
ontrolador
9ransformada de Laplace
%álvula de control
9ransformada de Laplace
F&n#"%ne) de trn)eren#" 9anque
Lector de nivel
ontrolador
%álvula
D",r! de Bl%+&e del S")te! @F
;r
& v
+ ;m
Donde
+
@5
+
& L
;(s
;aciendo la perturbación
+
#unción de transferencia de la$o abierto
#unción de transferencia de la$o cerrado
;aciendo
+
+
#unción de transferencia de la$o abierto
#unción de transferencia de la$o cerrado
Err%r e)t2t"#% &)nd% &n #%ntr%ld%r 3r%3%r#"%nl
ara una entrada escalón
uando
Error 8K set
-mbos errores se pueden eliminar cambiando el controlador proporcional por uno ?D, (roporcional ?ntegral Derivativo.
4. S")te! de #%ntr%l de *el%#"dd
Las constantes del sistema son: •
Gomento de inercia del motor y carga:
•
onstante de fuer$a contraelectromotri$ del motor
•
Hesistencia de armadura total del motor y generador
•
Manancia del generador
•
Manancia del -mplicador
•
Manancia del tacómetro
•
Hesistencia del circuito de campo
•
?nductancia de circuito de campo
(Despreciable
"e pide: • • • •
Ecuaciones del sistema de control #unción de transferencia de cada componente #unción de transferencia de la$o abierto #unción de transferencia de la$o cerrado i. ii.
•
Hango de valores de
donde el sistema es estable
•
Error en estado estacionario y error oK set
"uponer que: • •
Los tacómetros de referencia y de realimentación son id'nticos La constante de tiempo del generador de campo es despreciable y el volta1e generado es
•
La fricción viscosa del motor y carga mecánica es despreciable
•
La velocidad de la carga es igual a la velocidad del motor
S%l&#"$n' T#$!etr% de Reeren#"
#unción de transferencia
C"r#&"t% de #!3%
#unción de transferencia
A!3l"5#d%r
#unción de transferencia
Generd%r
#unción de transferencia
C"r#&"t% ele#tr% !e#2n"#%
#unción de transferencia
Gnn#" del !%t%r
#unción de transferencia
M%t%r el#tr"#%
#unción de transferencia
S")te! !e#2n"#%
#unción de transferencia
T#$!etr% rel"!entd%
#unción de transferencia
Rel#"$n entre *r"6le)
#unción de transferencia
Diagrama de bloque
=.N
+
N
N=
F
=.N s
+
s
N= s
Heduciendo el diagrama de bloque
=.OF 5 +
5.O 5
+ s ;aciendo
s
s
+
#unción de transferencia de la$o abierto
#unción de transferencia de la$o cerrado
;aciendo
=.OF 5
5.O 5
+
s
+
#unción de transferencia de la$o cerrado
ara valores de
variable
s
+
El sistema es inestable para todo los valores de Error de estado estacionario y error oKset
7. S")te! de #%ntr%l de te!3ert&r de tn+&e.
El ob1etivo del control es regular la temperatura 9 del tanque a trav's del a1uste del 0u1o de vapor en el serpent/n de calentamiento. La variable carga (perturbación se asume que es la temperatura de entrada
. La temperatura del tanque es medida por una termocupla
(sensor cuya salida es enviada a trav's de un transmisor a un controlador electrónico. uesto que se usa una válvula de control, la salida del controlador (O a 5P m- debe ser convertida por a una se!al neumática equivalente (FB a FN psig por un convertidor ?3. "e pide: • • • • •
Ecuaciones dinámicas del sistema #unción de transferencia de cada componente Diagrama de bloque del sistema #unción de transferencia de la$o abierto #unción de transferencia de la$o cerrado i.
•
ii. Error estático y error 8K set. onsiderando control proporcional
"e supone: • •
El 0u1o de entrada y salida Q son iguales, tal que el nivel de l/quido dentro del tanque permaneces constante. El l/quido en el tanque está bien me$clado
• •
El tanque está bien aislado. El transmisor y válvula tienen dinámica despreciable.
S%l&#"$n -plicando primera ley en el tanque
Donde
y
son el calor espec/co a volumen constante y la entalp/a
de vapor respectivamente. #unción de transferencia
9ransmisor
#unción de transferencia
ontrolador
#unción de transferencia
onvertidor ?3
#unción de transferencia
%álvula de control
#unción de transferencia
+ + +
Heduciendo el diagrama
+ + +
;aciendo
(erturbación
#unción de transferencia de la$o abierto
#unción de transferencia de la$o cerrado
;aciendo R sustituyendo
+
+
#unción de transferencia de la$o cerrado
Error Estático y Error 8Kset
Donde
es la ganancia proporcional
8. C%ntr%l de te!3ert&r de &n #2!r En la gura se da un sistema de control de temperatura de un 7orno
Donde : 9emperatura ambiente (perturbación : 9emperatura de referencia ("etpoint
: onstante de la 9ermocupla : 9emperatura controlada (de salida : Manancia del potenciómetro de entrada 8btener:
•
Ecuación de cada componente del sistema #unción de transferencia de cada componente
•
#unción de transferencia de la$o abiertoS
•
#unción de transferencia de la$o cerradoS
•
)@ue tipo de sistema es*
•
•
Error de estado estacionario
S%l&#"$n A!3l"5#d%r d"eren#"l +
9ransformada de Laplace
#unción de 9ransferencia
A!3l"5#d%r de P%ten#"
9ransformada de Laplace
#unción de 9ransferencia
Re)")ten#"
9ransformada de Laplace
#unción de 9ransferencia
C2!r "ntern
#unciones de transferencia
C2!r E9tern
#unciones de transferencia
P&ente de :;e)t%ne
#unción de transferencia
P%ten#"$!etr% de Entrd
#uncion de transferencia
DIAGRAMA DE BLO
+ + +
+
;aciendo
+
y sustituyendo
+
+
+
Heduciendo el diagrama
+
#unción de transferencia de la$o abierto
#uncion de transferencia de la$o cerrado
Heduciendo el diagrama
+
#unción de transferencia de la$o abierto
#uncion de transferencia de la$o cerrado
El sistema dado es un sistema de Oto orden Error en estado estacionario
=. C%ntr%l de n"*el de l0+&"d%
audal de entrada :
audal de salida
:
"e!al de nivel suministrada por el 9ransmisor de nivel (L9
:
Jivel de l/quido en el tanque :
Jivel de referencia
:
"e!al de error
:
"e!al de accionamiento de la válvula
El controlador L tiene una función de transferencia de primer orden con un polo en el origen y un cero en =.F y constante
. El L9 (celda de
presión diferencial responde a la ecuación:
La válvula de control de salida de l/quido se comporta como un sistema de primer orden de constante de tiempo 5seg y ganancia B. El área de la base del depósito es constante y de valor N "e pide: • •
#unción de transferencia de cada componente Diagrama de bloque del sistema
•
Estabilidad del sistema en función de
•
#unción de transferencia de la$o abierto #unción de transferencia de la$o cerrado Error de estado estacionario
• •
S%l&#"$n' Tn+&e >Pr%#e)%?
#unción de 9ransferencia
C%ntr%ld%r
#unción de transferencia
V2l*&l
#unción de transferencia
Le#t%r LT
#unción de transferencia
+
erturbación
y simplicando el diagrama
+
#unción de transferencia de la$o abierto
#unción de transferencia de la$o cerrado
ara la estabilidad en función de valores de que ,
, el sistema es inestable para los
7acen = el denominador de la #9L, los cuales son ,
. Esto se debe a que la ganancia es siempre
positiva entonces el sistema es siempre estable. Error en estado estacionario
@. C%ntr%l de 3%)"#"$n de &n ee ,"rt%r"% e9"6le
: "ensor de posición "e pide: • • •
8btener las ecuaciones f/sicas del sistema Diagrama de bloque del sistema #unción de transferencia
Jota: •
Despreciar el efecto de
•
Despreciar el efecto de la fuer$a electromotora en el motor
•
, par de carga (perturbación
S%l&#"$n' A!3l"5#d%r
#unción de transferencia
M%t%r el#tr"#%
#unción de transferencia
Mll el#tr"#
#unción de transferencia
S")te! de en,rne)
#unción de transferencia
S")te! !e#2n"#%
#unción de transferencia
S")te! de #r,
#unción de transferencia
Sen)%r de 3%)"#"$n
#unción de transferencia
+ +
;aciendo
,
y simplicando el diagrama
+
#unción de transferencia de la$o cerrado
1.
S")te! de #%ntr%l rel"!entd%.
(roceso
(Elemento nal de control E#
("ensor + transmisor
(ontrolador ?D "e pretende que se cumplan las siguientes especicaciones de dise!o y
, y el error en estado estacionario
(error
de velocidad. "e pide: •
Determinar si es posible alcan$ar las especicaciones de dise!o con solo variar el parámetro TaU en el E# considerando
•
.
omprobar que las especicaciones de dise!o se cumplen con el dado.
• • •
;allar la función de transferencia de la$o abierto ;allar la función de transferencia de la$o cerrado alcular el error oKset para una perturbación sobre el proceso de tipo escalón unitario.
on el control ?D
+
+
#unción de transferencia de la$o abierto
#unción de transferencia de la$o cerrado
ara conocer si el sistema es estable se utili$a el criterio de Hout7: para el sistema es estable. ara dise!ar el sistema en función de a es necesario construir el gráco del lugar geom'trico de las ra/ces.
#unción de transferencia au6iliar
•
J>mero J>mero J>mero J>mero
•
olos ( < ra/ces del denominador
•
entroide < σ (lugar de partida de las as/ntotas
• • •
de de de de
polos < O < v ceros < = < Q ramas < v < O as/ntotas < v Q < O
-ngulo de las as/ntotas.
•
untos de ruptura
Donde
, de aqu/ entonces
?nterceptando da
on este valor
y
por lo tanto no se puede cumplir los
parámetros de dise!oS es necesario aplicar un control ?D. on el controlador ?D propuesto
#unción de transferencia de la$o abierto
#unción de transferencia de la$o cerrado
B 5 F 6 FF F= F =
o P F
X
V
6 W
N
6 O
o
= B F 5 B
álculos: omprobando los nuevos parámetros de dise!o
El nuevo lugar geom'trico presentará un corte a un radio de F.VW
olos
Jumero de as/ntotas % < 5
5
