321881327-Introduccion-a-La-Teoria-de-Grupos-Felipe-Zaldivar.pdf

: G —> Gf y ip : G ' —i►G", y por la parte 2 del lema 6.4 la composición tp °
Ejemplo 9. Por el ejemplo 3 se tiene un homomorfismo de grupos log : R>o —i R y por el ejemplo 4 se tiene un homomorfismo de grupos exp : R —» R>o y es bien conocido (¡debe serlo para el lector!) que estas funciones son inversas una de la otra y por lo tanto son biyectivas. Se sigue los grupos R y R>o son isomorfos.

Ejemplo 10. Si G = {o) es un grupo cíclico finito de orden n, entonces G es isomorfoal grupo aditivo Z /n Z de los enteros módulo n. Un isomorfismo está dado por la función: (¡>: (a) — ►Z /n Z definida mediante <¡>((rk) [&] (la clase residual de k módulo n). Recuerde que (a) = {a°,ff,a2,c 3, ...,
Ejemplo 11. Si G = {o) es un grupo cíclico infinito, entonces G es isomorfo al grupo aditivo Z. Un isomorfismo está dado por la función (¡>: (o) — ►Z definida mediante <¡>{ak) = k. Note que ésta es una función ya que, como probamos en el Capítulo 3, en un grupo cíclico infinito si m n se tiene que om ^ a n. La función <¡>es un homomorfismo ya que si o1 € G, entonces

(ak) + (pia1).

6. HOMOMORFISMOS EISOMORFISMOS

77

Es inyectiva ya que si (ak) = 0(<7*), entonces k = t y por lo tanto ak = a*. Es suprayectiva ya que si fc € Z, entonces a* € G y 4>{crk) = A;.

Ejemplo 12. S\ pn = {z € C : zn = 1} es el grupo (multiplicativo) de raíces nésimas de la unidad, entonces pn es un grupo cíclico de orden n generado, por ejemplo, por la raíz u = exp(2iri/n), de tal forma que Un = {1 =u>°,a;,u;2Jü;3, . . . , u ; n~1} | y así, por el ejemplo 10, pn es isomorfo a Z /n Z . Note que a pesar que los elementos de pn y de Z /n Z son totalmente diferentes, el isomorfismo anterior los identifica de tal forma que desde el punto de vista algebraico son el mismo grupo. Los ejemplos 10 y 11 nos dicen que cualesquiera dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos. Si (o) es un grupo cíclico finito de orden m , lo denotaremos por

C(m). Dado un homomorfismo de grupos (¡>: G —>G \ si restringimos su codominio al subgrupo Im (< ¡>) <3 G \ se tiene un homomorfismo suprayectivo <¡>: G

Im (0)

y el resultado siguiente es de capital importancia en el desarrollo del álgebra: TEOREMA 6.5 (Primer teorema de isomorfismo de Noether). Si : G —►G' es un ho­ momorfismo de grupos, entonces <¡>induce un isomorfismo de grupos <¡>: G / ker(0) —► Im (), tal que el diagrama siguiente conmuta:

G ------------------ ►I m (0) p G /k er(0 )

donde p :G —►G / ker () es el homomorfismo canónico. Demostración. Como el homomorfismo canónico p: G —>G /k e r(0 ) es suprayectivo, dada cualquier clase lateral izquierda a ker(<£) en G / ker(<£), para definir (aker()) 6 |

la primera intención es poner

| (*).

5(aker()) = <¡>(a);

es decir, escogemos como representante a € a ker (0) y definimos < ¡>como <¡>evaluado en el representante elegido. Por supuesto que para que esto tenga sentido tenemos que

78

6. HOMOMORFISMOS EISOMORHSMOS

mostrar que no depende del representante elegido. En efecto, si ah € a ker(0) es cualquier otro representante, entonces h € ker(0) y se tiene que

4>{ah) = 0(a)0(/i) = 0 (a)e'

porque 0 es homomorfismo

porque h € ker(0)

= 0(a) y por lo tanto el valor de 0 en cualquier representante de a ker(0) es el mismo. Tiene sentido entonces la definición (*). Note que esta definición de 0 hace que el diagrama del teorema conmute, i.e., satisface que

0o

p

= 0.

La función 0 es un homomorfismo ya que si a ker 0 y 6 ker 0 son dos elementos de G / ker 0, entonces (a ker 0) (6 ker 0) = ab ker 0 y por lo tanto 0 ((a k e r0 )(6 k e r0 )) = 0 (a6 k er0 ) = 0(a6)

por definición de 0

= 0(a)0(6)

porque 0 es homomorfismo

= 0 (a ker 0)0(6 ker 0). El homomorfismo 0 es inyectivo ya que si 0 (a ker 0) = e' (el neutro de lm(0) C G'), entonces 0(a) = e' por la definición de 0. Se tiene así que a € ker 0 y por lo tanto a ker 0 = ker (el neutro de G / ker 0), i.e., ker 0 Bj {ker 0} y por lo tanto 0 es inyectivo. El homomorfismo 0 es suprayectivo ya que si a ' € lm (0 ), entonces como 0 : G —►lm (0) es suprayectivo, existe un o € G tal que 0(
Ejemplo 13. Si sgn : Sn —►{1, —1} es el homomorfismo signo (para n > 2), entonces sgn es suprayectivo y por lo tanto Im(sgn) = { 1 ,-1 } . Por otra parte, el núcleo de sgn es el conjunto de permutaciones o € Sn tales que sgn(<7) = 1, i.e., tales que o es una permutación par. Por lo tanto ker(0) = A„ es el subgrupo alternante de Sn. Note que ésto muestra que A n < Sn.

6. HOMOMORFISMOS E1SOMORFISMOS

79

Ejemplo 14. Sean G = (R, 4-) y G' = (C*, •) y sea <¡>: R C* la función dada por 4>(x) := cosa; 4- i se n x. La función es un homomorfismo ya que (x 4- y) = cos(ar 4- y) 4* ¿ sen(x 4- y) = eos x eos y - sen x sen y -I- i [sen x eos y 4- sen y eos x] = eos y [eos x 4- i sen x] 4- i sen y [eos x 4- i sen x] = [eos x 4-i sen x] [eos y 4- i sen y] = tf>(*)0(y)La imagen de < ¡>es el subgrupo de C* formado por todos los complejos z tales que z = cosx 4* i sen x, i.e., tales que \z\ = 1. Es decir, Im(^) = {z € C : |z| = 1} = S 1

(la circunferencia unitaria en C).

Ahora, como el neutro del grupo multiplicativo C* es el complejo 1, el núcleo de 0 es el subgrupo: ker(0) =

{x G K

: <¡>(x) = 1} = {x € R : cosx 4- ¿sen x = 1}

y observando que eos x 4 i sen x = 1 si y sólo si x = 2kir con A; € Z, entonces ker() = {2&7T : k 6 Z} = (27r) es el subgrupo cíclico de R generado por 27T. Por el primer teorema de isomorfismo de Noether se tiene que R/(25r) ~ S 1. Observe ahora que las clases laterales de (27r) en R tienen un representante 9 G R tal que*0 < 9 < 2n, i,e, en el intervalo [0,27r) y el isomorfismo anterior dobla este intervalo de tal forma que el extremo cerrado 0 encaja en el extremo abierto 27r y forma la circunferencia S l . Note que en esta representación geométrica, la suma de ángulos en R /(27 t) corres­ ponde al producto de complejos en S 1 C C y recordemos que ésto es lo que sucede cuando se multiplican complejos de módulo 1. El primer teorema de isomorfismo de Noether nos dice que la imagen de cualquier homomorfismo : G —►G' es isomorfa a un grupo cociente: Im < ¡> ~ G/ ker . Supongamos ahora que se tiene un grupo cociente G /N %i.e., el subgrupo N < G es normal. Entonces el morfismo canónico p : G —* G /N es suprayectivo y como p(a) = aN , el núcleo de p es ker p = N y en este caso el primer teorema de Noether es la igualdad G /N = G /k e rp . Dicho en otras palabras, todo grupo cociente es la imagen de un homomorfismo. COROLARIO 6 .6 . Sea G cualquier grupo.

(1) Si es cualquier homomorfismo con dominio G, entonces ker <¡) < G y la imagen de es isomorfa al grupo cociente G¡ ker <¡>.

6. HOMOMORFISMOS EISOMORHSMOS

80

(2) Si N < G es cualquier subgrupo normal de G, entonces N es el núcleo del

homomorfismo canónico p : G

G /N .

□ Note que en ningún momento hemos dicho que homomorfismos distintos tienen núcleos distintos. Por ejemplo, el homomorfismo identidad idz : Z —►Z es diferente del homomorfismo (¡>: Z —►Z dado por (¡>(m) = —m y ambos tienen el mismo núcleo

= { 0}. Supongamos ahora que H y K son dos subgrupos de G con uno de ellos normal, digamos K < G. Entonces H n K es un subgrupo de G ya que e G H y e G K implica que e € HC\K. Si a,b e H D K entonces ab G H y ab G K , por lo que ab e H OK. Si a e H H K , entonces a~x e H y a " 1 G K , por lo que a “ 1 G H fl K. Más aún, H n K es subgrupo de H y de K y de hecho, H C\K entonces hah~l G K. Se sigue que hah~l G H C\K. Por otra parte, el producto

H K = {hk : h e H , k e K } C G es un subgrupo de G ya que, e = ee con e G i f y e G ^ y a s í e G H K . Si hk y h'k' son dos elementos de H K , entonces en el producto = h(kh')k', como K < G, se tiene que K h' = h'K y así kh' = h'k , para algún k G K \ substituyendo ésto en la igualdad (hk)(h'k') = h{kh')k' se obtiene

(hk)(h'k') = h(kh')k' = h{h'k)k' = {hh')(kk') G H K y por lo tanto H K es cerrado bajo el producto de G. Finalmente, si hk G HK, el inverso

(hk) ' 1 = Af 1/ T 1 = h ^ i h k ^ h ’ 1) G H K ya que h~l G H y hk~xh~l G K porque K < G. Más aún, K < H K ya que si k G K, entonces k = ek G H K y por lo tanto K es subgrupo de / / i f . La normalidad se sigue del hecho de que K es normal en G. Las observaciones anteriores nos dicen que podemos considerar los grupos cociente

H /(H dK)

y

HK/K

y el resultado siguiente nos dice que estos dos grupos son isomorfos: T eorem a 6.7 (Segundo teorema de isomorfismo de Noether). Sean H, K subgrupos de G con K
6. HOMOMORFISMOS EISOMORFISMOS

81

Demostración. Sea p :G G /K el homomorfismo canónico y sea pH su restricción al subgrupo H C G. Es decir, pn es la composición de la inclusión i : H «—►G con p : G -> G / K . Entonces, pH : H «-* G / K es un homomorfismo cuyo núcleo es ker ph = H fl K, en particular ésto nos da otra demostración de que H fl K < H . Por otra parte, como por definición pj/(/i) = h K , con h E H, la imagen de pn es el conjunto de clases laterales de K con representantes h E H y estos representantes se pueden escoger como hk E H K (con h 6 H, k € K ), i.e., la imagen de pn es el subgrupo H K / K de G/K. Por el primer teorema de isomorfismo de Noether se sigue que

H/ (H n K) = H / ker pH ^ l m p H = H K / K .

□ Supongamos ahora que los dos subgrupos H y K son normales en G y que además H C K C G. Entonces, H < K ya que H
<¡>: G /H - G /K i dada por (¡>(gH) = gK , está bien definida, es un homomorfismo y es suprayectiva (lo I cual se deja como un ejercicio para el lector) y el núcleo de < ¡>es ker ={gHeG/H : g E K } = K/ H. I Así, K / H < G/ H y por lo tanto se puede considerar el cociente (G/H)/(K/H). I Ahora, como < t>es suprayectiva, por el primer teorema de isomorfismo de Noether, se I tiene que (G/H)/(K/H) = (G/H ) /k e r <¡>- Im <¡>= G / K I y hemos probado así: i TEOREMA 6.8 (Tercer teorema de isomorfismo de Noether). Sean H, K dos subgrupos I normales de G tales que H C K. Entonces, K /H es un subgrupo normal de G /H y ! se tiene un isomorfismo | (G/ H)/(K/H) ~ G/K.

□ 1 El teorema de Cayley. Si X es cualquier conjunto no vacío, una permutación de X es una función biyectiva < ¡>: X —►X . Denotemos con S x al conjunto de todas las | funciones biyectivas de X en X . I ¡ TEOREMA 6.9. El conjunto S x de todas las permutaciones de un conjunto no vacíoI I X , con la composición de funciones como operación, es un grupo.

I

82

6. HOMOMORFISMOS EISOMORFISMOS

Demostración. Como la composición de funciones biyectivas es biyectiva, Sx es ce­ rrado bajo la composición. La función identidad id x : X —►X es biyectiva y funciona como neutra para la composicón de funciones. La composición de funciones es aso­ ciativa en general. Finalmente, si 0 : X —> X es biyectiva, entonces tiene inversa 0"*1 : X —►X que satisface que 0 o 0 _1 = id x = 0 ” 1 ° 0. □ El grupo S x generaliza la construcción del grupo simétrico 5 n, que es el caso particular para X = I n. Si en lugar de In consideramos cualquier otro conjunto X con n elementos, digamos X = {<21, 02, . . . , a n}, podemos considerar el grupo de permutaciones S x de X , S x = { / : X —►X : /esbiyectiva}. Observe ahora que la biyección 0 : In —> X que enumera los elementos de X, i.e.,
* : S n ->Sx dada como sigue: como 0 es biyectiva, tiene una inversa 0 “ 1 : X —>In y si o : In —►In es cualquier elemento de Sn, consideremos el diagrama siguiente:

X

ln

In

< t>

i X

donde la flecha punteada $(( 7) : X —►X se defíne mediante la composición

$((T)

:X

I „ - i . I„

X

la cual también es biyectiva, porque cada una de las funciones involucradas lo es. Así, $ (o ) £ Sx- La función $ : S„ —>S x es inyectiva porque si $( S x es un isomorfísmos sólo resta probar que es un homomorfismo. Para esto, si <7, r £ Sn, entonces $ ( ot)

=

0 o (a o r ) o 0 “ 1

=

0

o (<7 o

(0 ” 1 o 0 )

or )

=

( 0 o < 7 o ( 0 “ 1 ) o ( i^

=

$(( 7) o $ ( r ) ,

o 0 ” 1 in s e rta n d o id =

o t o

como se requería. Hemos así probado:

^ “ 1)

a s o c ia n d o

0 ” 1 o 0 e n tre

<7 y

r

6. HOMOMORFISMOS EISOMORFISMOS

83

PROPOSICIÓN 6.10. Si X es cualquier conjunto finito con n > 1 elementos, entonces se tiene un isomorfismo $ : Sn —►Sx-

□ Supongamos ahora que se tiene un grupo G, no necesariamente finito. Consideran­ do el conjunto subyacente X = G (olvidando su operación binaria), consideremos el grupo de permutaciones S x = «Sg - Mostraremos que G es isomorfo a un subgrupo de S<3 , es decir, los elementos del grupo (abstracto) G son (algunas de las) permutacio­ nes (concretas) en S g - La teoría de grupos tuvo sus inicios estudiando grupos de per­ mutaciones concretos y luego se hizo abstracta, olvidando en apariencia sus orígenes modestos. Sin embargo el resultado que hemos mencionado arriba, debido a Cayley, regresa los grupos abstractos a sus orígenes como grupos de permutaciones. Además de su importancia filosófica, en el caso de grupos finitos abstractos, tiene aplicaciones específicas al representar estos grupos finitos como grupos de permutaciones finitos también. Antes de proseguir con la demostración de este teorema de Cayley, observe­ mos que aún en el caso de un grupo finito G, al considerar el grupo de permutaciones S'g , como el orden de S g es el factorial de |G | = n, i.e., |S g | = n!, en general el grupo de permutaciones S q es muy grande comparado con el grupo G original. Por eso el teorema de Cayley sólo dice que G es isomorfo a un subgrupo de S q - Para probar el teorema de Cayley, lo primero que debemos hacer es identificar un subgrupo S de S g que sea un candidato para ser isomorfo a G. Esto es fácil, para cada g G G definamos la función og : G —* G mediante multiplicación a la izquierda por g, i.e., og(x) := gxy para x cualquier elemento de G. Observemos primero que og : G —í G es inyectiva, ya que si og(x) =
S := {og : g G G} C S g A continuación, mostraremos que S es un subgrupo de S g - Pura comenzar, observe que para g — e el neutro de G , el elemento ot G 5 correspondiente es el neutro de S g ya que, para toda x G G, oe(x) = ex = x> i.e., <7C = id G S g es la función identidad, que es el neutro de S g - Así, id = oe G S. Mostraremos ahora que S es cerrado bajo la composición de S g - En efecto, si
(aaab){x) = a a (
=

&ab

€

S,

84

6. HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS

Finalmente, S es cerrado bajo inversos, ya que si aa G 5 , entonces

aa-icra(x) = aa- ia (x) = ae(x) - x por lo que (a) = $(&), entonces oa = x = e, se tiene que cra (e) =
en particular, para

a = ae = cra (e) = <7¿,(e) = be = b. Finalmente, $ es suprayectiva, ya que si aa G 5 entonces obviamente proviene de a G G. Hemos así probado: TEOREMA 6.11 (C ayley). Todo grupo es isom orfo a un subgrupo de un grupo de per­ m utaciones.

□

Ejemplo 15. Para el grupo G = Z /3 Z = { 0 ,1 ,2 } , cuya tabla de adición es la de los enteros módulo 3: + 0 1 2

0 1 2 0 1 2 1 2 0 2 0 1

calculemos su representación como grupo de permutaciones usando el teorema de Cayley. Para comenzar, hay tres elementos denotados por cro,cri,<72 y definidos, pa­ ra x G Z /3 Z , mediante
<7i(x) = x + 1,

íT2( x )

=

x

+ 2,

por lo que:

a°

/O 1 2 \ \ 0 1 2 J ’

/O ffI - V 1

con tabla de multiplicar dada por:

1 2 \ 2 0 J ’

/ 0 1 2 \ ^ — \ 2 •0 1

6. HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS 0

<70

<71

<72

<70

<71

<72

o\

<71

<72

<70

02

<72

<70

<71

85

como el lector puede comprobar fácilmente. Observe ahora que el isomorfismo dado por el teorema de Cayley es visible y luce como lo que es: un cambio de nombres, 0 «-♦ a0t i 2 «-+ <72*,y con las dos operaciones relacionadas mediante: a + 6 oa° 0b> por ejemplo 2 + 2 = 1 «-►02 0 <72 = <7iNotas. El teorema de Cayley está en [29]. EJERCICIO 1. Muestre que la función / : (Z, + ) —►(Q , + ) dada por f (n) := n /5 es un homomorfismo. Calcule su núcleo y su imagen. EJERCICIO 2. Sea 2Z el grupo aditivo de enteros pares. Defina g : Z —►2Z mediante

g(m) := 2m. Muestre que g es un isomorfismo. EJERCICIO 3. ¿Cuáles de las funciones siguientes son homomorfismos?

(i) (ii) (iii) (iv)

/ : Q -+ R>o dada por /( x ) := 2X. g : R>o -+ R>o dada por f (x) := 3“ x. h : Q - + Q dada por f(x) := 2x + 3. " / : R* —>R* dada por f (x) := |x|.

EJERCICIO 4. Encuentre algún criterio en los enteros m , n para que la función

/ : Z /m Z

Z /n Z

dada por

/[x] := [x]

(donde las dos apariciones del símbolo [x] en la definición de / tienen el significado correspondiente al grupo en cuestión) sea un homomorfismo. En el caso cuando / sea un homomorfismo calcule su núcleo. E je r c ic io 5. Muestre que los grupos aditivos m Z y nZ son isomorfos, para cuales­ quiera m, n € Z distintos de cero. E je r c ic io 6 . Sea G cualquier grupo y denotemos con Aut(G) al conjunto de isomorfismos f :G -+G. (Un isomorfismo de un grupo G en sí mismo se llama un automorfismo). Demuestre que Aut(G) es un grupo bajo la composición de homomorfismos.

E je r c ic io 7. Sea G cualquier grupo y para un elemento r € G fijo, definamos la función Cr : G —►G mediante Cr(a) := r a r “ 1 (la conjugación de o por r). Demuestre

86

6. HOMOMORFISMOS EISOMORHSMOS

que cv es un automorfismo. Los automorfismos Cr, dados por conjugación por r , se llaman automorfismos internos de G. E j e r c ic io 8 . Sea G cualquier grupo y definamos la función c : G —►Aut(G) como sigue: si r G G sea Cr : G —►G el automorfismo intemo dado por conjugación por t . Demuestre que c es un homomorfismo de grupos. E j e r c ic io 9. Construya un homomorfismo inyectivo ip : Sn —►An+ 2. Concluya que la paridad de una permutación no se preserva por los homomorfismos. E j e r c ic io 10. Demuestre que D2n/Rn — {1, —1}, donde en la derecha se tiene el

grupo multiplicativo Z x . (Vea el ejercicio 9 del capítulo anterior). EJERCICIO 11. Demuestre que G L (n ,R )/S L (n ,R ) ~ R*. Sugerencia: use la función determinante y el primer teorema de isomorfismo de Noether. EJERCICIO 12. Sea A = ( C i , . . . , Cn) una matriz n x n>con entradas en C, donde las Cj denotan las columnas de la matriz. Para o G S n , sea A a = . . . ,C a(n)) la matriz que se obtiene permutando las columnas de A de acuerdo a o. (i) Si In es la matriz identidad, demuestre que d e t(/£ ) = sgn(cr).

(ii) Demuestre que det(i4a ) = sgn(a) det(Á ). (iii) Demuestre que Pn = { /£ : o e Sn } es un subgrupo de G L(n, C). (iv) Demuestre que la función <¡>: Sn —> Pn dada por o 1% es un isomorfismo de grupos.

Capítulo

P r o d u c t o s d i r e c t o s y g r u p o s a b e l i a n o s f in ito s q

\G

y

K SON DOS GRUPOS, el producto cartesiano GxK:={{a,b) - a € G , b e K }

^

es un grupo con la operación definida componente a componente, i.e., si (a, 6), (a', b') están en G x K> se define := (aa\bb')

( a ,6) •

donde en la primera componente se tiene el producto de G en la segunda componente al producto de K . El neutro de G x K es el elemento (ec, e # ), al que por abuso de notación denotaremos por (e, e), y el inverso de (a, b) es (a - 1 , 6“ 1). El grupo G x K se conoce como el producto directo (externo) de los grupos G y K .

Ejemplo 1. Si C(m) y C(n) son grupos cíclicos finitos de órdenes m y n respectiva­ mente y si m cd(m , n) = 1, entonces

C(m) x C(n) ~ C(mn) (el producto directo es isomorfo al grupo cíclico de orden ran). En efecto, si C (m ) = (tfm). C(n) = (a n) y C(mn) = (amn), la función

■C(mn) -*

C (m ) xC (n )

dada por

4>{^mn) ■=

ffn) = fam , <

es un homomorfismo. Es inyectivo porque si 0 ( a ^ n ) = (e,e) entonces cr^ = e = o* por lo que el orden m de om divide a fc y el orden n de on divide a A; y como m cd (m ,n ) = 1 entonces mn\k y así = e. Es suprayectivo porque C (m n ) tiene m n elementos que es el orden de C(m) x C(ri). □ Observación. Si G = H x K yentonces G contiene a (una copia de) H y a (una copia de) K como subgrupos normales. En efecto, para i f , se tiene la función

h : H - > H x {eK} ^ H x K dada por a w (a, e # ) que claramente es un homomorfismo inyectivo. Se sigue que H Im (<¡>h ) Q H x K. Este subgrupo de H x K es normal porque si (h9k) e H x K 87

7. PRODUCTOS DIRECTOS Y GRUPOS ABEUANOS FINITOS

y si (a ,e ) G Im (<£//) entonces (/i, &)(a, e)(/i, fc)“ 1 = (hah*1, kek~l ) = (hah^yé) € Im(k ) < H x K . Finalmente observe que Im(//) fi Im (k ) = {(e,e)}. PROPOSICIÓN 7.1. Sean G un grupo y H, K subgrupos normales de G tales que

G = H K y H H K = {e}. Entonces, G c z H x K . Demostración. Como G = H K entonces todo elemento g £ G se puede escribir de la forma g — hk con h G H y k G K . Esta descomposición de g es única porque si g = h\ki con h\ G H y k\ G K , entonces hk = h \k\ por lo que h ^ h i = fcfcf1 y así h~l h\ = fcfcf1 G / / H = {e} y consecuentemente h = h\ y k = k\. Podemos entonces definir una función : G —>H x K mediante <¡>(g) := (h, k) si g = hk con h € H y k £ K. La función <£ es un homomorfismo ya que si g = hk y {gg') = (hhf, kk') = (h, k)(h\ k') = Claramente < j>es suprayectiva ya que el par (h, k) G H x K proviene del elemento hk G G. Finalmente, (j>es inyectiva porque si g = hk es tal que <¡>(g) = (/i, fc) = (e, e)f entonces h = e = fc y así g = e. □ Con las hipótesis de la proposición anterior, diremos que G es el producto directo

interno de H y K. Hemos así definido dos tipos de productos de grupos. El producto directo externo de dos grupos arbitrarios nos sirve para construir nuevos grupos y, como veremos en los capítulos siguientes, el producto directo interno nos sirve para describir la estruc­ tura interna de un grupo dado. Ambos conceptos se pueden generalizar para definir productos de un número finito de grupos o subgrupos. El más sencillo de generalizares el producto directo externo: sean G i , . . . , Gs grupos arbitrarios; el producto cartesiano G i x • • • x Ga := { ( p i , . . . }gs) : <7¿ £ G¿} tiene estructura de grupo con la operación definida componente a componente, con neutro el elemento ( e i , . . . , es), para el neutro de G*. A este grupo se le llama el producto directo externo de los grupos G i , . . Gs. Generalizando lo que sucede en el caso con dos factores (observación después del ejemplo 1), se tienen homomorfismos inyectivos —►G\ x • • • x G¡

7. PRODUCTOS DIRECTOS Y GRUPOS ABEUANOS FINITOS

89

definidos por <¡>i{g) := ( e , . . . , p , . . . , e) (poniendo el elemento g £ Gi en el lugar i y los neutros correspondientes en las otras coordenadas). Si denotamos por Gi a la imagen de ¿, entonces fc : Gi —►Gi es un isomorfismo en un subgrupo del producto directo G\ x • • • x Gs . PROPOSICIÓN 7.2. Sean G \ , . . . ,

grupos orbitarios. Pongamos G := G i x • • •x G a.

Entonces,

(1>Cacfa Q i ^

G-

\l) G = G\ - • - &s, i.e., todo elemento g £ G se puede escribir como g = g\ • • • gs con gi € Gi. (3) G j fl Yli^j G i = {e}, para cada j = 1 , . . . , s. Es decir, la intersección de G j con

el producto de los otros subgrupos Gi (i ^ j) es trivial. NOTA. Denotamos por F lt^j Gi al producto G\ • • • Gs omitiendo al factor Gj. Demostración. (1): Si o = ( e , . . . ,

. . . , e) G Gj y h = (h \ , . . . , hs) £ G, entonces

hoh~l = ( h u . . . , hs){e, . . . , g , . . . ,

\ . . . , h j 1)

= (h\ehj ,..., hjghj ,..., hnehn ) = (e,•••

,

€

yaque hj,g £ Gj. Las partes (2) y (3) son el ejercicio 7.

□

Las propiedades de los subgrupos en la proposición anterior nos permiten hacer la definición siguiente: sean H i , . . . , H s subgrupos de G; diremos que G es el pro­ ducto directo interno de los subgrupos H \ , . . Hs, si éstos satisfacen las condiciones siguientes: (\)H j
(2) G = H\ • • • Hs, i.e., todo elemento g de G se puede escribir (factorizar) como g = h i ' ” ha, con los hi £ Hi. (3) Hj n Tlitj Hi = {e}, para

j - 1, . . . ,

Así, la proposición anterior nos dice entonces que el producto directo externo G = Gi x • • • x Gs es el producto directo interno G = G\ • • • Gs. El recíproco de esta proposición y que generaliza a 7.1 es: PROPOSICIÓN 7.3. Si G es el producto directo interno de los subgrupos H \ , . . Ha,

entonces G ~ H\ x • • • x H s .

90

7. PRODUCTOS DIRECTOS Y GRUPOS ABELIANOS FINITOS

Demostración. La función <¡>: H\ x • • • x Hs —♦ G dada por

. . . , hs) := h\ • • •ht es suprayectíva por la parte (2) de la definición de producto directo interno. Que es un homomorfismo se prueba como en 7.1 usando las condiciones (1) y (3) de la definición de producto directo interno. Finalmente, es inyectiva porque si (h \ , . . . , hs) e ker< j>, entonces h\ • • • hs = e y así

y como hj € Hj> entonces hj € Hj n [ J i/j #* = {e} P°r la condición (3), es decir,* hj = e para toda j y por lo tanto ker <¡>= {e}, como se quería. □ La proposición siguiente da una condición, muy útil, para que un producto de sub­ grupos normales sea un producto directo: PROPOSICIÓN 7.4. Sea G un grupo finito y supongamos que G es el producto de los subgrupos normales H\, ...» Hs y que los órdenes de estos subgrupos son coprimos por pares. Entonces, G H\ x • • • x Hs.

Demostración. Sólo falta verificar la condición (3) en la definición de producto directo interno, i.e., que í f := í f í n n f t = {e}. Para ésto, observemos que, por Lagrange, \H | es un divisor de cada \Hj\ y también de i := | Hi\. Por otra parte, | Yíi^j Hi\ divide a f l i / j |^ i|(v ea el ejercicio 9) y así, por transitividad, \H\ divide a J J a j| Se sigue que |/ í | divide al máximo común divisor de \Hj\ y de n ¿ # |. P61^ éstos son coprimos por la hipótesis, y por lo tanto H = {e}. □ Grupos abelianos finitos. Aplicaremos los resultados anteriores, sobre productos di­ rectos, al caso de grupos abelianos finitos. TEOREMA 7.5. Todo grupo abeliano finito G se puede descomponer en un producto directo de grupos cíclicos

G

C (m i) x • • • x C (m a),

donde cada C(rrij) es un grupo cíclico de orden rrij, y

para toda j =

Demostración. Por inducción sobre n = |G|. Si n = 1 no hay nada que probar. Su­ pongamos el resultado válido para todos los grupos abelianos de orden menor que n : = |G |.

7. PRODUCTOS DIRECTOS Y GRUPOS ABELIANOS FINITOS

91

Sea s > 1 el entero tal que G está generado por s elementos pero no está generado por algún conjunto con 5 — 1 elementos, y sea m > 1 el menor entero positivo tal que existe un conjunto { p i , . . . , 0S} de generadores de G y una relación:

™>9i + 0,292 4*----- h a8gs = 0 con los aj € Z. Nótese que m > 1 , ya que de lo contrario G estaría generado por los 5 - 1 elementos 92, . . . , gs. Poniendo a* = mqi 4- r» con 0 < r, < m para 2 < i < 5 , si tomamos = 01 + 9292 H-----H qa9s,

entonces G está generado por {/ii, g2, . . . , gs} y además

m h\ -f- r 2P2 + ----- 1- rsg9 = mg\ 4- a2g2 4 - ----- b a9ga = 0. La minimalidad de m , la igualdad anterior y 0 < r* < m implican que r2 = • • • =

r3 = 0 y así m /ii = 0. Mostraremos ahora que G~{hi) x En efecto, definamos la función x¡>: (h\) x (02, • • •, 9a) —►<2 mediante 0 ( a , 6) := a 4-6. Claramente ^ es un homomorfismo de grupos y es suprayectivo ya que h\, 02, . . . , ga generan G. Es inyectivo ya que si i!)(a,b) = a 4- 6 s= 0, poniendo a = a i / i i , 6 = <*202 + * " + <*s0s con 0 < a i < m , se tiene que a i /ii 4- Q.292 H------- 1- <*s0s = a 4- b = 0, y por la minimalidad de m y el hecho de que 0 < Qi < m , se sigue que a i = 0 y así a — o \h \ = 0, y consecuentemente 6 = 0 también. Ahora, como el grupo (02, , 0 $ ) está generado por s — 1 elementos pero no por s —2 elementos, por hipótesis de inducción se puede descomponer como (ff2, • • ■, 0») - (^m ,) X ' ' ' * (ffm,), con los (<7mj) cíclicos de orden m¿ y ra j|ra j+ i. Se sigue que

G ^ {hi) x (52, . . .

,gs)=¡ (h i) x (cm2) x • • • x

con (/ii) cíclico de orden m. Denotemos con o\ := h\ al generador de {h\). Por la minimalidad de m se tiene que m < m 2• Escribamos 7712 = e 2m 4- ¿2 con 0 < t 2 < rn y sea :=
m
77U71 + (7712 —¿2)^2 + Í2&2

=

m(7\ + 7712(72 = 0,

ya que ttkji = 0 y 1712 es el orden de ¿72, entonces ¿2^2 = 0 y como 0 < t 2 < m entonces = 0 y así 7712 = e2m 4- 0, i.e., m |m 2. □

7. PRODUCTOS DIRECTOS Y GRUPOS ABELIANOS FINITOS

92

Ejemplo 2. Denotando a un grupo cíclico de orden m por C (m ), considere el grupo: G = C (2 2) x C (2 3) x C (2 4) x C ( 3) x C (3 5) x C (3 7), y note que esta descomposición no satisface la conclusión del teorema, sin embargo reagrupando los factores cíclicos:

G ~ s¡

(C (22) x C (3 )) x (C (2 3) x C (3 5)) x (C (2 4) x C (3 7)) C (2 2 • 3) x C (2 3 • 35) x C (2 4 • 37),

sí se satisface el teorema. Una consecuencia inmediata de este teorema es que el recíproco del teorema de Lagrange sí es válido para grupos abelianos finitos: COROLARIO 7.6. Si G es un grupo abeliano finito y k es un divisor de \G\, entonces

G contiene un subgrupo de orden k. Demostración. Por el teorema anterior G — C{m{) x • • • x G (m s) y por el ejercicio 11 \G\ = m i • • • m s. Así, si k es un divisor de |G |, existen divisores de (1 < i < s) tales que k = n i • • • ns y por lo tanto C (n\) x • • • x C (n3) es isomorfo a un subgrupo de orden k de G. □ Si G es un grupo finito, el exponente de G, denotado e(G ), es el mínimo común múltiplo de los órdenes de los elementos de G. Es claro entonces que, para toda x € G, x c(G) = 1 € G, y así e(G ) divide al orden de G. COROLARIO 7.7. Todo grupo abeliano finito G contiene un elemento de orden e(G).

Demostración. Usando el teorema 7.5 escribamos G ~ C (ra i) x • • • x G (m s), con m ¿|ra¿+ i. Es claro entonces que para todo o 6 G se tiene que
cíclyco. Demostración. Por el corolario anterior el grupo G tiene un elemento de orden e(G) = |G |, y por lo tanto genera a G.

I I

□

La factorización del teorema anterior la podemos mejorar eligiendo en forma ca/ nónica los factores directos. Esto es el contenido del teorema siguiente, pero antes necesitaremos un resultado prelim inar

7. PRODUCTOS DIRECTOS Y GRUPOS ABEUANOS FINITOS

93

LEMA 7.9. Sean G un grupo abeliano finito y p un primo. Pongamos

Gp := {g e G : g tiene orden una potencia de p}. Entonces, Gp es un subgrupo de G cuyo orden es la mayor potencia de p que divide a

\G \. Demostración. Claramente e 6 Gp y como G es abeliano, si x, y € Gp entonces el producto xy también tiene orden una potencia de p y así xy € Gp. Se sigue que Gp es un subgrupo de G. Ahora, si pT es la mayor potencia de p que divide a |G |, por el corolario 7.6 G contiene un subgrupo P de orden pT. En particular los elementos de P tienen orden una potencia de p y por lo tanto P C Gp. Si sucediera que P ^ Gp, entonces para el índice £ := [Gp : P\ j=- 1, como \GP\ = \P\£ = pT£, se tendría que p \ £t y de nuevo, 7.6 nos da un subgrupo H de Gp de orden £y y por Lagrange los elementos de H tiene orden que divide a £ y además su orden es una potencia de p, lo cual es una contradicción porque p \ £. □ ! TEOREMA 7.10. Sea G un grupo abeliano finito de orden n. Si p\, ...» ps son todos | los primos distintos que dividen a n, entonces

G

GPl x • • • x GPa.

Demostración. Como los \GPi | son coprimos por pares, por 7.4 el producto GPl • • • GP. es directo. Se sigue que \GPl • • • G Ps\ = \g p i I *P \Gpa\ y por el lema previo cada |GPi | = p j{ (la mayor potencia de p* que divide a |G | = n) y así \GPl ;

■■Gp,\ = |GP1| • • • |GPJ = p f 1 • • pf* = n = |G

y por lo tanto GPl • • • GPa = G.

□

Los subgrupos Gp, que aparecen en la descomposición de G del teorema anterior, se llaman las componentes p-primarias de G, pero a diferencia de la factorización del teorema 7.5, estas componentes p-primarias en general no son cíclicas. A los grupos finitos cuyo orden es la potencia de un primo (como los grupos Gp anteriores) se les llama p-grupos o p-primarios si son abelianos. Usando el teorema 7.5 podemos descomponer cada componente p-prim aria en el teorema 7.10 en producto de subgrupos cíclicos, necesariamente p-grupos, y a conti­ nuación mostraremos que esta factorización es única, salvo por el orden de los factores. Esto lo haremos probando que el número de factores de un orden p* está unívocamente determinado por el p-grupo abeliano dado. Podemos entonces suponer que G es un p-grupo abeliano finito. Pongamos entonces, para i = 0 , 1 , 2 , . . . G[p*] := {x € G : *■* = 1}. Entonces, como G es abeliano, G[p*] es un subgrupo de G y se tiene que G[pi_1] C G[p’], para i > 1.

94

7. PRODUCTOS DIRECTOS Y GRUPOS ABEUANOS FINITOS

PROPOSICIÓN 7.11. Sea G un p-grupo abeliano finito y, usando 7.5, escribamos

G c* C i x • • • x Cn

(*)

(el producto directo de n grupos cíclicos C j # 1). Si [G\px] : G[p,_1]] = pni, para i > 1, entonces rn —rit+i es el número de factores de orden px en lafactorización (*).

Demostración. Como G = C\ x • • • x Cn, entonces G\px] = C\]px] x • • • x Cn[p*]. En particular, para G\p], como cada subgrupo cíclico no trivial de G\p] tiene orden p y hay n de estos |C*[p]| = p, entonces, ya que G\p°] = 1, se tiene que

p"1 := [G[p]: G[p°] = |G[p]|=pn. Se sigue que n i = n es el número de factores de orden > p en (*). Ahora, como G[p2]/G[p] = ( g /G [ p ])[ p ] = (G i x • • • x G „/C i[p] x • • • x Gn [p])[p] ( C i/C ib l x • • • x G „ /C n [p]) [p]

(ejercicio 18)

= ( G i / G i b l j b l x ••• x (C„/C„[p])[p] =

Gl[p2]/Gi[p]

X •• • X

Gn[p2]/Gn[p])

se sigue que n 2 es el número de factores de orden > p2 en (*), y consecuentemente n i —n 2 es el número de factores de orden p. El argumento se sigue por inducción. □ Una consecuencia inmediata del teorema 7.5 y del ejemplo 1 (o del teorema 7.10 y de 7.5) es la primera parte del teorema siguiente y la unicidad es la proposición anterior. T eorem a 7.12 (Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos). Todo grupo abeliano finito se puede descomponer en producto directo de grupos cíclicos p-primaríos, en forma única, salvo el orden de los factores. □ Los factores cíclicos que aparecen en la descomposición anterior se llaman los

factores invariantes del grupo abeliano dado. Notas. Grupos abelianos finitos fueron estudiados originalmente en teoría de números, por ejemplo por Kronecker [47] y Weber [55], [56], pero de hecho su estudio se remon­ ta a los trabajos de Gauss, particularmente sobre la aritmética de formas cuadráticas. En [47] Kronecker, después de definir lo que esencialmente es un grupo abeliano finito, obtiene varias consecuencias de esta definición, en particular. «Si 9 es cualquier elemento del conjunto considerado, entonces 6k = 1 para algún entero positivo k. Si k es el menor tal entero, se dice

7. PRODUCTOS DIRECTOS Y GRUPOS ABELIANOS FINITOS

95

que 0 pertenece1 a k. Si 9 pertenece a k y si 9m = 1, entonces k divide a m .» Y también demuestra que: «Existe un “sistemafundamental” de elementos 0i, 02, 03» ...» ta­ les que la expresión 0 i 10£20 j3 • • •, (hi = 1 ,2 ,3 ,...,7 1 * ) represen­ ta, en forma única, cada elemento del conjunto dado. Los enteros n i , 712, 713, . . . a los cuales pertenecen los 0i, 02, 03, . . . , respecti­ vamente, satisfacen que cada uno es divisible por su sucesor y el producto n i n 2n 3 • • • es la totalidad de los elementos del conjunto dado.» Lo cual es el teorema 7.5. EJERCICIO 1. Si G = H x K y H\ < H yK \ < K , demuestre que H\ x K \ < G y que

G/(Hi x H2) ^ H / H i x K / K i . E j e r c ic io 2. Si G = H x K, demuestre que G / (H x 1) ~ K. E j e r c ic io 3. Si H x K = H x L , demuestre que K ~ L. E je r c ic io 4. Dé un ejemplo de un grupo G y subgrupos H , K de G, tales que G = H x K = H x L (producto directo interno), pero que K ^ L. E j e r c ic io 5. Si G, G ' son grupos, demuestre que G x Gf a G' x G. E j e r c ic io 6 . Si G es un grupo, considere el producto directo de G consigo mismo: G x G y s e a A C G x G l a diagonal, i.e.,

A := { (s ,s ) : s e G } . (i) Demuestre que A es un subgrupo de G x G. (ii) Demuestre que A ~ G . (iii) Demuestre que A <3 G x G si y sólo si G es abeliano. EJERCICIO 7. D em uestre las partes (2) y (3) de la proposición 7.2. E j e r c ic io 8 . Provea los detalles faltantes en la dem ostración de que la función en 7.3 es un homom orfism o. E j e r c ic io 9. Si H y K son subgrupos de un grupo finito G, demuestre que

\HK\ = Una forma anticuada, todavía usada en teoría de números, de decir que 0 tiene orden k.

96

7. PRODUCTOS DIRECTOS Y GRUPOS ABEUANOS FINITOS

Sugerencia: Un argumento de conteo o vea el ejercicio 14 del capítulo 8. E j e r c ic io 10 . Si p es un primo, demuestre que C(p2) ^ C(p) x G(p).

Ejercicio 1 1 . Si G es un grupo abeliano finito y si G = G ( m i) x • • • C(m3) es una descomposición de G como en el teorema 7.5, demuestre que |G | = mi • • • m s. Ejercicio 12. Si G — H x K , describa el centro de G en términos de los centros de H y de K. (Vea el ejercicio 7 del capítulo 2). EJERCICIO 13. Si G es un grupo finito y H, K son subgrupos norm ales de G tales que G = H K y |G | = \H\\K\ydem uestre que G es el producto directo de H y K.

Ejercicio 14. Si G es un grupo con subgrupos H , H \ K , K ' tales que H ~ H1 y K ~ K'> y además H D K = 1 = H ' f l K \ demuestre que los productos directos HK y H 'K ' son isomorfos. E j e r c ic io 15. Dem uestre que todo grupo de exponente 2 es abeliano.

Ejercicio 16. Si G es el producto directo interno de los subgrupos H \t ..., Hs, de­ muestre que todo g 6 G se descompone en forma única como g = h\ • • • hs>con los hi e Hi. E j e r c ic io 17. Si H \ t . . . , H s son subgrupos norm ales de G , dem uestre que la función rp : G —►G / H i x - - x G / H s dada por \p(g) := ( g H i , . . . , 0 Í f s),esunhom om orfism o suprayectivo con núcleo 8

kerrp = P| H i. i= i E j e r c ic io 18. Si G = H x x • • • x HSt N < G, iV¿ := N n H i y se tiene que JV = JVj x • • • x NSt dem uestre que

G /N ~ H i / N i x • • • x f t / J V , . E j e r c ic io 19. Sea G un p-grupo abeliano finito de orden pn > 1 y suponga que para todo a G G se tiene que crp = 1 . Demuestre que G es el producto directo de n grupos cíclicos de orden p.

Capítulo

A c c io n e s d e g r u p o s y u n t e o r e m a d e F r o b e n i u s U N UN GRUP0 G s u OPERACIÓN BINARIA es una función G x G —* G que asigna C j a cada par (
* : G x Y -+Y I que asigna a cada elemento o € G y y € Y un único elemento a * y £ Y. Como | G es un grupo, es natural pedir que esta acción de G en Y satisfaga las propiedades 1 siguientes: (1) Si e es el neutro de G, entonces para todo x € Y se tiene que e * x = x. (2 ) Si a , r G G y x G y , entonces ( o t ) * x = o * ( r * x). 1 En ocasiones, por abuso de notación, dada una acción *: G x Y —►y , en lugar de 8 la notación a * x usaremos la notación ax. Con ésto, la propiedad 2 de arriba se escribe 1 (ot )x = ít(tx ), donde a la izquierda ot es el producto de G y el segundo producto I (crr)x es la acción de ot sobre x. En la derecha los productos son los de la acción de i G en y . Si y es un conjunto en el cual se tiene una acción de G, diremos que Y es un 1 G-conjunto. 1 Ejemplo 1. Si Y es cualquier conjunto no vacío, sea G x Y —►Y dada por o * x = x. i Claramente ésta es una acción de G en Y y decimos que G actúa trivialmente en Y. I Ejemplo 2 . Si Y es cualquier conjunto no vacío, sea G = Sy el grupo de permutaciones 1 de y . Entonces G actúa sobre Y permutando sus elementos, i.e., G x Y —►Y está dada | por o * x = o(x) (la función o calculada en x).

1 Ejemplo 3. Sea G cualquier grupo y sea H C G un subgrupo de G. Entonces H actúa 1 sobre G mediante el producto de G, i.e., H x G —* G está dada por h * o = ho 1 (traslación a la izquierda). En particular, si H = G se tiene que el grupo G actúa sobre I sí mismo.I I Ejemplo 4. Sea G cualquier grupo y sea H C G un subgrupo de G. Podríamos 1 preguntamos si H actúa sobre G mediante traslaciones derechas, i.e., si la función 97

98

8. ACCIONES DE GRUPOS Y UN TEOREMA DE FROBENIUS

H x G —►G dada por h * o = ah es una acción. Observemos que el primer axioma es válido: si h = e, e * o = oe = a. Ahora, si h, k e H y a e <2, queremos que se cumpla la igualdad (/ifc) * a = /i * [k * a ), i.e., queremos la igualdad ahk = ¿rfc/i. Si esta igualdad es cierta, en particular para o =■ e se debe tener que hk = kh para todo ht k € H, es decir, el subgrupo H debe ser abeliano. Claramente ésta es una condición suficiente y por lo tanto la traslación derecha es una üf-acción sobre G si y sólo si H es abeliano. Ejemplo 5. Sea G cualquier grupo y sea H C G un subgrupo de G. La función H x G —>G dada por h * o = cr/i“1 es una acción de H en G (ésta es una traslación a la derecha por el inverso del elemento h). Ejemplo 6. Sea G cualquier grupo y sea H < G un subgrupo normal de G. Entonces, G actúa sobre H mediante conjugación, es decir, mediante la función G x H —>H dada por o * h = oho~l . La propiedad (1) es obvia y para el axioma (2), sean
Ejemplo 7. Sea G cualquier grupo y sea H < G un subgrupo normal de G. Entonces G actúa sobre el grupo cociente G /H mediante traslaciones izquierdas, i.e., mediante la función G x G /H —►G /H dada por < j * (gH ) = (
Sea G el grupo de simetrías de T. Así, G = {e, r, r 2, p, pr, p r2}, donde r es la rotación por un ángulo de 120 grados y p es la reflexión con respecto al eje Y. Entonces, G actúa sobre T moviendo sus vértices. Puntos fijos. Si un grupo G. actúa sobre un conjunto Y , interesa saber cómo mueve G a los elementos de Y y para ésto suele ser útil estudiar los elementos de Y que no se

8. ACCIONES DE GRUPOS Y UN TEOREMA DE FROBENIUS

99

mueven, i.e., que permanecen fijos bajo la acción de G. Al pensar en elementos que quedan fijos bajo la acción de G, podemos hacerlo desde dos puntos de vista: (1) Si cr G G está dado, podemos considerar los elementos de Y que permanecen fijos bajo la acción de este cr, y se define

Y ° := {x G Y : cr * x = x} C y . El conjunto Y a se llama el conjunto de puntos fijos de o. (2) Si x € y es un elemento dado, podemos considerar el subconjunto de elementos del grupo G que dejan fijo a x, y se define

Gx := {o G G : o * x = x} C G. El conjunto Gx se llama el subgrupo de isotropía o estabilizador de x, y en efecto es un subgrupo: LEMA 8.1.

Gx es un subgrupo de G

Demostración. Claramente e G Gx ya que e * x = x. Si o, r € Gz , entonces (o r ) *x = cr * (r * x) = o * x = x y por lo tanto crr G Gx. Finalmente, si o 6 Gx, entonces <7-1 * x = cr-1 * (cr* x) = (cr- 1 cr) * x = e * x = x y a s í cr- 1 G Gx. □ Órbitas. Si Y es un G-conjunto, se define la relación siguiente en y : x ~ y si existe o G G tal que o * x = y. Cuando x ~ y, diremos que x es G-equivalente a y. Ésta es una relación de equivalencia en Y ya que: (i) Es reflexiva ya que x ~ x porque e * x = x. (ii) Es simétrica ya quo si x ~ y entonces existe o G G tal que ox = y y así cr-1 ?/ = (7- 1 (
Ejemplo 9. Si cr G Sn es una permutación dada y si G = (cr) es el subgrupo cíclico ] f

i i

generado por cr, el grupo G actúa sobre el conjunto I n y las órbitas de esta acción son las órbitas de la permutación cr estudiadas previamente. Así, hemos generalizado la definición anterior de órbitas al caso cuando G no necesariamente es cíclico.

Ejemplo 10. Si G actúa trívialmente sobre Y , entonces orbcf(x) = {x}, para cada x

g

y.

100

8. ACCIONES DE GRUPOS Y UN TEOREMA DE FROBENIUS

Ejemplo 11. S\ H C G es un subgrupo y H actúa mediante traslaciones izquierdas sobre G> i.e., H x G —>H está dada por h * o = hoy entonces para cada g € G su órbita es: o rb cíp ) = { a e G : g ~ a} = {a € G : a = hg para algún h G H} = Hg

(la clase lateral derecha de g).

Ejemplo 12. Si G es un grupo y si G actúa sobre sí mismo por conjugación, i.e., * : G x G —* G está dada por o * g = ogo~l y entonces para cada g € G su grupo de isotropía Gg es: Gg = {o e G : o * g = g}

= {o e G : ogo~x = p} - {c r e G : og = £ es decir, la órbita orb(
TEOREMA 8.2. Si Y es un G-conjunto, entonces para todo x € Y se tiene que |orbG (x)| = [G i Gx\.

Demostración. Definamos $ : o rb c íx ) —♦ G/Gx mediante $(y) — °GX si ox - V Observe que si r e G es tal que r x = y también, entonces ox = tx y como ox = r x <=>r ~ l ox = x <=>t ~1o G Gx <=> oGx = t Gx, • \ _$(1/0* entonces $ está bien definida. La función $ es inyectiva ya que si ^ kV) ~~ o}o' G G tales que ox = y y o'x = y' de tal forma que $ (y ) = crG* y y v2/ ) Entonces
y — ox — o'hx = o'x

ya que hx

x porque h e G x

8. ACCIONES DE GRUPOS Y UN TEOREMA DE FROBENIUS

101

La función $ es suprayectiva, ya que si aGx E G/ Gx, entonces el elemento y — ax E orbc(ír) es tal que $ (y ) = aGx. Hemos mostrado que $ es biyectiva y por lo tanto

|orM*)MG/G,| = [G:G,]. TEOREMA 8.3. Sea Y un G-conjunto. Si x ,y E Y pertenecen a la misma órbita, entonces Gx y Gy son subgrupos conjugados, en particular son isomorfos. Demostración. Como x ~ y , entonces existe a E G tal que y = ax. Entonces, h e G y & hy = y h(ax) — ax (ia~l ha)x — X

& a l ha E Gx II

b

b

-c: H

€ Gx

h = ah'a 1 E aG: y por lo tanto Gy = oGxo~l , como se quería. Finalmente, los grupos conjugados son isomorfos. □

COROLARIO 8.4. Sea Y un G-conjunto. Si para algún x € Y se tiene que Gx < G, entonces para todos los y E o rb c (^ ) se tiene que Gy = Gx. Demostración. Por el teorema anterior Gy ¡g aGxa~l = Gx, donde la última igualdad es porque Gx < G por hipótesis. □

TEOREMA 8.5 (Frobenius1). Sean G un grupo finito y Y un G-conjunto finito. Si r es el número de órbitas de Y bajo la acción de G, entonces r=

1 £

W \ oeG

m -

Demostración. Mostraremos que r |G | = S a e G 1^*1* y

est0 consideremos la tabla

dada por el conjunto de pares ordenados

T = {(
8. ACCIONES DE GRUPOS Y UN TEOREMA DE FROBENIUS

102

<7 G G, la columna correspondiente es Y aypor la definición de Y ayy por lo tanto tiene \Y"\ pares. Como las columnas son disjuntas, se sigue que a)

n= £

in -


N = y£ \ G x\. x€Y Ahora, por el teorema órbita-estabilizador,

|o rb G(x)| = [G : Gx] =

(3)

|G| |G x |

por lo que |Gx| = |G |/| orbG(x)|. Se sigue que (4)

|G|

N * S ,Gl1 S l ° rM*)l

= | G iey l E |orbG(x)|

Observamos ahora que 1/| orbG(x')| es constante para toda x' 6 orb c(x ), de tal forma que si t := | o rb c(x )|, entonces t veces

V

i

T

|

T =

x'6ortc(x)l°rb«(X)l “ * y así, como r es el número de órbitas de Y , se tiene que

1

V = r • 1 = r, ¿gy I orbG(x; y substituyendo este valor en (4), queda

n

- |C|£ r 4

)¡

= |G |r

que substituido en ( 1 ) nos da r |G | = £ m , a€G como se quería.

Notas. En las primeras dos secciones de la memoria [48], Lagrange réescribe las de­ mostraciones de Ferrari y Cardano de las fórmulas para resolver por medio de radicales las ecuaciones polinomiales de grados 3 y 4, y en la tercera y cuarta secciones estudia el caso de ecuaciones polinomiales de grado quinto y mayor, considerando permuta­ ciones de las raíces de estas ecuaciones, y en las partes 97 y 98, pp. 370-373 de la

8. ACCIONES DE GRUPOS Y UN TEOREMA DE FROBENIUS

109

memoria mencionada, demuestra que si f ( x i , . .. , x n) es una función racional en n variables (i.e., cociente de dos polinomios en n indeterminadas) y si para cada permu­ tación a e Sn se defíne la acción G • f { x i , . . . ,X „ ) : =

• • • »2?

denotando con / ( / ) el subgrupo de permutaciones de Sn que dejan fija a / , i.e., / ( / ) : = { ^ € S n : ( 7 - / = /} , y si m es el número de funciones racionales distintas de la forma a • / , variando a en Sn, entonces

\Sn\ \Hf)\ \Hf)\' Éste es el antecedente del teorema de Lagrange que demostramos en el capítulo 5, aunque de hecho es más una versión del teorema órbita-estabilizador de este capítulo, m =

ni

a partir del cual puede obtenerse otra demostración del teorema de Lagrange (véase el ejercicio 7), ya que el subconjunto / ( / ) es el estabilizador o subgrupo de isotropía de la función / y m es el número de elementos de la órbita orb( / ) de la acción de Sn en las funciones racionales en n variables. Para más acerca de esta acción del grupo simétrico en el conjunto de funciones racionales en n variables, véase la primera parte del apéndice A. El teorema de Frobenius en muchas ocasiones es atribuido a Bumside, y ciertamen­ te se encuentra al final de la sección §118 de su libro [2 ], sin embargo, como observa­ mos previamente, una versión especial ya se encuentra en Lagrange [48] y también en Cauchy [28] (página 386), pero es Frobenius en la parte final de [34], especialmente las páginas 319 y 320, donde enuncia y demuestra el teorema en la versión que vimos y en una nota al pie de página refiere a Cauchy [28], donde se considera el caso transi­ tivo. Sin embargo el nombre de Bumside ha quedado unido al teorema, aunque algunas veces también se le conoce como el lema que no es de Bumside.

Ejercicio 1. Sea Y un G-conjunto. Demuestre que la acción de G en Y induce un homomorfismo < ¡>: G —►S y. Sugerencias: la función <¡>está definida como sigue: si g € G, <¡>{g ) G S y es la función <¡>(g ) : Y —* Y dada por (G)(y) := G*y. Demuestre que <¡>(g ) : Y —►Y es biyectiva (y así <¡>{o) 6 S y como se quiere). Demuestre que < ¡> es un homomorfismo. Ejercicio 2. Recíprocamente, si : G —* Sy es un homomorfismo, demuestre que induce una acción de G sobre Y mediante G x Y —►Y dada por o * x := <¡>(g)(x ). Los dos ejercicios anteriores nos dicen que dar una G-acción en Y es lo mismo que dar un homomorfismo <¡>: G —►S y .

104

8. ACCIONES DE GRUPOS Y UN TEOREMA DE FROBENIUS

E je r c ic io 3. Si Y es un G-conjunto con la acción trivial, ver el ejemplo 1, calcule el núcleo del homomorfismo : G —* S y correspondiente. E je r c ic io 4 . Si G actúa en sí mismo por conjugación, vea el ejemplo 6 , calcule el núcleo del homomorfismo (¡>:G —►S q correspondiente. EJERCICIO 5. Si y es un G-conjunto y si < ¡>: G —| S y es el homomorfismo corres­ pondiente, demuestre que ker < />= p | Gx.

Ejercicio 6 . Sea G cualquier grupo y hagamos actuar a G sobre sí mismo por tras­ laciones izquierdas, vea el ejemplo 3. Demuestre que el homomorfismo <£ : G Sq correspondiente es inyectivo. EJERCICIO 7. Use el teorema de Frobenius para dar otra demostración del teorema de Lagrange. EJERCICIO 8 . Si G es un grupo y g e G, el centralizador de g en G, es el conjunto
{
i.e., es el subconjunto de elementos de G que conmutan con el elemento g dado. De­ muestre que Cg (

es biyectiva. EJERCICIO 10. Si G es un grupo finito y c es el número de clases de equivalencia de la relación de conjugación en G, demuestre que c=

¿ íE I Ig I geG

c g («7)I-

E jerc ic io 1 1 . Si X es un conjunto no vacío, por el ejemplo 2 el grupo S x actúa naturalmente sobre X . Demuestre que sólo hay una órbita de esta acción.

Ejercicio 12. Si V' es un /^-espacio vectorial, el grupo aditivo del campo K actúa sobre el grupo abeliano aditivo (Vi 4-) mediante el producto de un escalar por un vector K x V -4 V dada por (A, v) »-♦ A *v. ¿Cuáles son las órbitas de esta acción?

105

8. ACCIONES DE GRUPOS Y UN TEOREMA DE FROBENIUS

E je r c ic io 13. Si un grupo G actúa sobre un conjunto X , sea : G morfismo correspondiente (vea el ejercicio 1 ) y sea N = ker<£ < G . (i) D em uestre que si p

:

G

—►

S x el hom o-

G / N es el hom om orfism o canónico, entonces

existe un único hom om orfism o <¡>: G / N —►S x tal que el diagram a siguiente es conmutativo:



------- - ---- * G

S X

I ü f’ í G /N

(ii) Concluya que G / N actúa sobre S x (iii) D em uestre que 0 es inyectivo. EJERCICIO 14. Si G es un grupo finito y H , K son subgrupos de G , dem uestre que

\HK\ =

\jm \ K

Sugerencias: Sea Y = G /K el conjunto de clases laterales izquierdas de K en G y considere a Y como un H -conjunto mediante traslación izquierda. (i) Muestre que la órbita de K e Y es orb h {K) = HK . (ii) Concluya de (i) que \HK\ es igual a \K\ veces el número de clases laterales izquierdas en Y que están en la órbita orb h {K)(iii) Muestre que el estabilizador H k de K e Y es H k = H fl K. (iv) Use el teorema órbita-estabilizador. EJERCICIO 15. Si G es un grupo finito y H, K son subgrupos de G , dem uestre que para todo x € G se tiene que

\HxK\ =

\H\\K\ |HnxKx-'y

Sugerencias: (i) Muestre que la función / : H x K —*■H x K x " 1 dada por f (hx k ) := hxk x~ l es biyectiva. (ii) Observe que x K x es un subgrupo de G del mismo orden que K. (iii) Aplique el ejercicio anterior a los grupos H y x K x ~ l . E je r c ic io 16. Si G es un grupo que actúa en el conjunto y , decim os que la acción es transitiva si sólo hay una órbita de la acción. En otras palabras, para cada par de elementos x ,y € Y existe un a € G tal que a * x = y.

106

8. ACCIONES DE GRUPOS Y UN TEOREMA DE FROBENIUS

El resultado siguiente es un teorema de Jordán: Sea Y un conjunto finito de car­ dinal \Y\ = n > 2 y supongamos que el grupo finito G actúa transitivamente en y. Demuestre que existe un elemento g G G tal que su acción sobre Y no tiene puntos fi­ jos, i.e., tal que Y 9 = 0. Sugerencia: En el teorema de Frobenius, el número de órbitas es 1 y muestre que algún \Y9\ = 0.

EJERCICIO 17. Si Gq := {g € G : \Y9\ = 0}, el ejercicio anterior nos dice que \G0\ > 1. Esto se puede mejorar. Bajo las condiciones del ejercicio anterior, demuestre que |Go| > n —1 . Sugerencia: use el teorema órbita-estabilizador para calcular \GX\ y observe que los subgrupos de isotropía tienen al menos al elemento neutro en común y por lo tanto su unión tiene a lo más n\Gx \ — (n — 1 ) elementos y así hay, al menos, n — 1 elementos de G que no pertenecen a ningún Gx, i.e., que no tienen puntos fijos.

EJERCICIO 18. Si un grupo finito G actúa transitivamente sobre un conjunto finito Y, demuestre que E m = ig i .
EJERCICIO 19. Después de una función de ópera, cada uno de los asistentes recoge al azar uno de los paraguas que previamente había depositado en el guardaropa. Demues­ tre que, en promedio, sólo uno de los asistentes recogerá su propio paraguas. (Aquí, a/ azar quiere decir que todas las permutaciones de los paraguas pueden darse). Sugeren­ cia: use el ejercicio anterior.

Capítulo

L o s t e o r e m a s d e C a u c h y y S y lo w ES UN G-CONJUNTO, con Y y G ñnitos y si r es el número de órbitas en Y de S I laY acción de Gy sean . . . , x r representantes de cada una de las órbitas. Como éstas forman una partición de Y , se tiene que

1^1 = Z ¡ l ° rb G(I «)lt= l

Note ahora que algunas de las órbitas pueden tener un sólo elemento, y cuando esto sucede este elemento a: no lo mueve ningún elemento de Gy es decir, queda fijo bajo todo a 6 Gy i.e., ax = x para todo a G G. Pongamos entonces

Y g := {x € Y : ax = x, para todo a € G}y es decir, Y G es la unión de las órbitas con un sólo elemento. Sea s — \Y G\ y observe que 0 < s < r. Si x \ y. . . , x s son los elementos de las órbitas con un sólo elemento, y xa+ i , . . . ,x r son representantes de las órbitas con más de un elemento, entonces «

^ 1 = 1^

1+ ¿

¡o rM * * )!-

t= a + l

Ejemplo 1 . Si G es un grupo finito, Y = G y se hace actuar G sobre sí mismo por conjugación (ejemplo 12 del capítulo 8), entonces las órbitas de la acción son las cla­ ses de conjugación de G. Observe ahora que las órbitas que tienen un sólo elemento orbc(x) = {x} satisfacen que gxg~l = x, i.e., gx = xg para todo g G G y por lo tanto x debe estar en el centro Z(G) de G. Se sigue que Y ° = Z{G). Finalmente, si denotamos con C \ y. . . , Ct las clases de conjugación de G con más de un elemento, la fórmula (*) se vuelve |G | = |Z (G )| + ¿ | C <| »* 1 107

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

108

a la que se llama la ecuación de clases de G. Ahora, eximo |G¿| = | orbG(x*)| = [Q: GXi] por el teorema 8.2 , la ecuación de clases se puede escribir como |G | = |Z (G )| + ¿ [ G : G I i ]. t= l

T E O R E M A 9.1. Sea G un grupo de orden pn, para p un entero primo y sea Y un

G-conjunto finito. Entonces \Y\ = \Y a \ (mód Demostración. Por el teorema 8.2 del capítulo anterior, | o rb c (x )| = [G : Gx] y por el teorema de Lagrange [G : Gx] divide a |G | = p n, y por lo tanto p|[G : Gx] y así p divide a | orb<3 (£¿)|, para s + 1 < i < r. Entonces la igualdad \Y\ = |VG| + S i= « + i I o rb c(x i)| de la observación previa implica que p divide a \Y\ - | y G|, como se quería.

□

T E O R E M A 9.2 (Cauchy). Si G es un grupo finito y p es un primo que divide a |G|,

entonces G tiene un elemento de orden p y por lo tanto G tiene un subgrupo de orden PDemostración. Sea Y el conjunto Y = {(<7i , . . . , < 7p) : oj

g

G y a i • • - a p = e},

y observe que Y / 0 ya que ( e , . . . , e) G Y . Mostraremos que p divide a \Y |. En efecto, observando que ( a i , . . . , a p) e Y o a p = (a i • • • a p - i ) “ 1, se sigue que las primeras p — 1 componentes de las p-adas de Y pueden ser cualesquiera elementos de G y la última (o la primera) componente está determinada por las otras p — 1 componentes; por lo tanto |Vj = |G |P_1, y como p divide a |G | por hipótesis, entonces p divide a |Y] como se quería. Consideremos ahora al ciclo 9 = ( 1 , 2 , . . . ,p) G Sp y hagamos actuar 6 sobre Y mediante: 9

• ( a i ,...,a p) := (a ^ i),. . . » a^)) = (a2,a3,. . . ,ap,ai),

donde notamos que 9 • ( a i , . . . , a p) € Y , ya que si ( a i , . . . , a p) € V, por defi­ nición de Y se tiene que a i ( a 2 • • • a p) = e, y por lo tanto a i = (a 2 • • • | (mód

y como p divide a |y j, la congruencia anterior implica que p divide a | y ^ | . Observe también que el ciclo 9 (y por lo tanto el grupo {9)) fija a ( a i , . .. ,a p) si y sólo si a i = • • • = a p. Y por otra parte como ( e , . . . , e) G por lo que Y® es

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

109

no vacío y como p divide a |y W |, se sigue que y W debe tener al menos p elementos y consecuentemente existe un (cr,. . . , a) G y W con a ^ e tal que ap = e, es decir, a tiene orden p como se quería. Finalmente, el subgrupo cíclico generado por a es de orden p ya que a es de ese orden. □

Ejemplo 2. Note que el teorema de Cauchy no se generaliza para potencias pk con k > 1 , i.e., existen grupos finitos G tales que pk divide a \G\ con p primo y k > 1 , pero que no tienen elementos de orden pk. Por ejemplo, si G = C(p) x C(p) es el producto directo de dos copias del grupo cíclico de orden p, entonces |G| = p2, pero es claro que G no tiene elementos de orden p2. El normalizador de un subgrupo. Dado un grupo G, denotemos con y a la familia de todos los subgrupos de G y hagamos actuar G en Y mediante conjugación: si H G Y y o G G, la acción está dada por

a * H : = aHa~l G Y. Claramente e * H = eHe~l = H . Y si cr, r G G, entonces (
= cr(r * H)a~l = a * ( r * f í).

Ahora, dado un H £ y consideremos su subgrupo de isotropía

Gjj := {(7 G G : cHo" ^ — íí} , y observe que H
LEMA9.3. Sea G un grupo finito. Si H es un subgrupo de orden una potencia de un primo p, entonces [ N ( H) : H] = [G : H] (m ódp). Si H es un grupo finito cuyo orden es una potencia de un primo p, se dice que H es un jhgrupo.

Demostración. Hagamos actuar G en el conjunto Y = G /H de clases laterales izquier­ das de f í en G, mediante traslación izquierda, i.e., si a G G y t H G G /H , entonces a * t H = (ar)H. Claramente Y = G / H resulta un G-conjunto y \G/H\ = [G : H]

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

110

por el teorema de Lagrange. Para el subgrupo H C G denotemos con Y H al conjunto de puntos fijos de Y = G / H bajo la acción de los elementos de H, i.e.,

Y h = ( G / H ) h := {t H e G / H : h * ( t H ) =

t H para todos los

h € H}.

j|

f

Observe ahora que h (r H ) =

t H oT -'hrH

= H

,

y por lo tanto

h(rH) =

r

t H para todos los

h € H <=> r ~ l hr 6 H para todos los h € H

í

1

y esto último sucede o r e N(H) y consecuentemente,

rff e

rtf €

—* N ( H ) / H dada por

es decir la función

T * d

t

H i-»

t

H

es biyectiva y así

\(G/H)h \ = \ N(H)/ H\ = [ N ( H ) : H). Finalmente, por 9.1 se tiene que |G / i í | = |F | = \ YH\ = \{G/H)h \ (módp), de donde se sigue que

® f

[ N ( H ) : H] = \ { G I H f \ = \G/H\ = [G :H] (mód p) como se quería.

□

COROLARIO 9.4. Sean G un grupo finito y H un p-subgrupo de G. Si p divide a

[G : H] entonces H ^ N(H). Demostración. Por el teorema anterior [N(H ) : H\ = [G : H] (mód p) y por hipótesis p divide a [G : H]. Se sigue que p divide a [N(H ) : H] y por lo tanto H ^ N(H) (ya que [ N ( /f ) : //] > 1 ).

□

Los teorem as de Sylow. Ya hemos llegado al punto en el cual podemos probar los recíprocos parciales del teorema de Lagrange y que constituyen, de alguna forma, el inicio del estudio de los grupos finitos propiamente hablando, es decir, a partir de los teoremas siguientes, debidos a Ludwig Sylow, ya se tiene la herramienta necesaria para comenzar a estudiar los grupos finitos. Nosotros sólo daremos algunas aplicaciones elementales y estudiaremos algunos ejemplos representativos. Recordemos que el teorema de Lagrange nos dice que si G es un grupo finito, el orden de cualquier subgrupo H de G divide al orden de G. El recíproco no es cierto, por ejemplo el grupo alternante A \yque tiene orden 12, no tiene un subgrupo de orden 6 . El primer teorema de Sylow nos dice que si G es finito, entonces G contiene subgrupos de orden ciertos divisores d e |G |:

| i¡

¡ t jj | | u (

I I i

t t ;

TEOREMA 9.5 (Primer teorema de Sylow). Sea G un grupo finito de orden n y supon• j gamos que p es un primo tal que n = pmt con m > 1 y p \ t . Entonces, G contiene un j subgrupo de orden p* para toda j tal que 1 < j < m . •

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

11

Demostración. Por inducción sobre j. Si j = 1, por el teorema de Cauchy G contiene un subgrupo de orden p = p 1. Supongamos ahora que el teorema es válido para j < m. Mostraremos que G contiene un subgrupo de orden p*+1. En efecto, sea H un subgrupo de G de orden p 7. Como j < m y |G | = pmf, entonces m — j > 1 y así p divide a pm~H = \ G/ H | = [G : H]. El lema anterior implica que p divide a [N(H) : H] = \N(H)/H\. Aplicando de nuevo el teorema de Cauchy, se tiene que el grupo cociente N ( H ) / H tiene un subgrupo K de orden p. Sea p : N( H) —► N(H)/ H el homomorfismo canónico y sea L = p~l (K) C N(H) la imagen inversa de K. Entonces L es un subgrupo de N(H) que contiene a H (por el teorema de correspondencia entre subgrupos de N ( H ) / H y subgrupos de N(H) que contienen a H). Observe ahora que K = p(L) = L / H y así \K\ = \L/H\ = \L\/\H | por lo que \L\ = \ K \' \ H \ = p - p > =p>+1, como se quería.

□

Si G es un grupo finito de orden n y si p es un primo tal que n = pmt con m > 1 y p { t, a un subgrupo L C G de orden pm se le llama un p-subgrupo de Sylow de G. En otras palabras, un p-subgrupo de Sylow de G es un p-subgrupo de G de orden máximo. Observación. Si L C G es un p-subgrupo de Sylow de G, entonces para todo o € G el conjugado oLa~l también es un p-subgrupo de Sylow de G. El segundo teorema de Sylow dice que cualesquiera dos p-subgrupos de Sylow de G son conjugados. TEOREMA 9.6 (Segundo teorema de Sylow). Sea G un grupo finito de orden n y su­ pongamos que H\ y H2 son dos p-subgrupos de Sylow de G. Entonces H\ y H2 son conjugados.

Demostración. La idea es hacer que uno de los dos subgrupos, digamos H2, actúe sobre las clases laterales izquierdas del otro, digamos sobre Y = G/H\. La acción natural es por traslación izquierda: si h € H2 y < j H\ € Y , entonces h(aH\) = (ho)H\. Claramente Y es un /^-conjunto y por el teorema 9.1 se tiene que | y " ’ | = |K | (mód y como H\ es un p-subgrupo máximo en G, entonces p \ \G/H\\ = \Y\ por lo que la congruencia anterior implica que \YH*\ ^ 0. Sea pues oH\ € Y Hl = ( G /H \) h2. Entonces, h(oH\) = oH\ para toda h 6 H2 y así a~lhaH\ = H\ para toda h G H2. Se sigue que o~l ha € H\ para toda h G # 2» i*e., o~1H2< t C H\. Finalmente, como \Hi\ = | # 2| = \
112

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

TEOREMA 9.7 (Tercer teorem a de Sylow). Sean G un grupo finito de orden n y p un primo tal que p\n. Entonces, el número rtp de p-subgrupos de Sylow de G es congruente con 1 módulo p , y n p = [G : N g {P)]> donde P es cualquier p-subgrupo de Sylow de G; se sigue que rip divide al orden n de G.

Demostración. Sea H un p-subgrupo de Sylow de G y sea Y la familia de todos los p-subgrupos de Sylow de G. Hagamos actuar a H sobre Y mediante conjugación: si h 6 H y L 6 y , entonces h* L := hLh~l . Por el teorema 9.1 se tiene que

\YH\ (m ódp).

\Y\ s

Ahora, como Y H = {L G Y : hLh~l = L para todo h G H}, entonces H C N(L) para todo L G Y H y además L < N(L). Como H y L son p-subgrupos de Sylow de G , entonces lo son de N(L) y por el segundo teorema de Sylow se sigue que H y L son conjugados en N(L)\ pero como L < N ( L ), entonces su único conjugado es él mismo y así H = L. Hemos así mostrado que Y H = { H } y por lo tanto, la congruencia |y | = \YH\ (m ódp) implica que

1*1 = 1 (m ódp), lo cual prueba la primera afirmación del teorema. Para la segunda afirmación, hagamos actuar G en Y mediante conjugación. Como todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados entre sí entonces sólo hay una órbita de esta acción de G en Y , digamos o r b c ( ií) para H G Y. Se sigue que

(*)

ly iH o r M ií^ tG :^ ],

la última igualdad por el teorema 8.2 del capítulo anterior, donde Gh es el subgrupo de isotropía de H , i.e, G h = N g (H) es el normalizador de H en G. Ahora, como [G : G h ] es un divisor de |G| por el teorema de Lagrange, entonces (*) implica que el número de p-subgrupos de Sylow, |V |, divide a |G |, como se quería. □

Ejemplo 3. Sea G = S 3; entonces |G| = 3! = 6. Para el primo p = 2, queremos saber cuántos 2-subgrupos de Sylow tiene S 3. Denotemos este número por ri2. Por el tercer teorema de Sylow sabemos que 712 divide a 6 (y así ri2 puede ser 1, 2, 3,6) y ri2 = 1 (mód 2) (y así n 2 puede ser 1 , 3 ) . Por lo tanto las posibilidades para 712 son 1 ó 3. Por otra parte, observe que cada una de las transposiciones (1,2), (1,3), (2,3) de S3 genera un subgrupo cíclico de orden 2 de 53 y son 2-subgrupos de Sylow de S3. Así, hay tres 2-subgrupos de Sylow, i.e., 712 = 3. Para el primo p = 3, denotemos con 713 al número de 3-subgrupos de Sylow de S3. Entonces las posibilidades para 713 son: debe dividir a 6 , por lo que 713 puede ser 1,2, 3 , 6 ; y como 713 = 1 (mód 3), entonces 713 debe ser 1. El único 3-subgrupo de Sylow de S 3 es # = {e, ( 1 , 2 ,3 ), ( 1 , 3 , 2 )}.

113

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

Ejemplo 4. Sea G = £ 4. Entonces, \G\ = 4! = 24 = 23 • 3, y recordemos del capítulo 4 la tabla siguiente para el grupo £ 4: Tipo

Número en cada tipo

Orden del elemento

Paridad

(•) (••) (• • •) (• • • • ) (• • ) ( • •)

1 6 8 6

1 2 3 4

3

2

Par Impar Par Impar Par

Para el primo p = 3, se tiene que 713 divide a 24 por lo que puede ser 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Y como 713 = 1 (mód 3), las posibilidades para 713 se reducen a: 1 y 4.

j

Para decidir cuál de estas posibilidades es la correcta, observemos que los 3-subgrupos de Sylow de £4 son de orden 3 y por lo tanto son cíclicos generados por un elemento de orden 3. Entre los elementos de £4 los de orden 3 son los 3-ciclos: (1,2,3), (1,2,4), (1,3,4) y (2,3,4). Por lo tanto hay cuatro 3-subgrupos de Sylow, los generados por los ciclos anteriores. Para el primo p = 2, se tiene que 712 divide a 24 y como 712 = 1 (mód 2), las posibilidades para 712 se reducen a: 1 y 3. Para decidir cuál de estas posibilidades es la correcta, observemos que los 2-subgrupos de Sylow de £4 son de orden 8 y ahora observe que el subconjunto de £ 4:

K := {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} es un subgrupo normal de £4 ya que sus elementos son todas aquellas permutaciones de £4 que tienen la estructura cíclica (•) ó (• • ) ( • •). Ahora, como |A | = 4, entonces A es un 2-subgrupo de £4 por lo que está contenido en algún 2-subgrupo de Sylow de £ 4. También, como los 2-subgrupos de Sylow son conjugados y como A es normal, enton­ ces A está contenido en todos los 2-subgrupos de Sylow de £ 4. Observe ahora que para cada <7 € £4 del tipo (• • • •),€ ! grupo cíclico (o) tiene orden 4 y así está contenido en algún 2-subgrupo de Sylow de £ 4, y como o & A , entonces el 2-subgrupo generado por o y A : Ha (<7, A ) tiene orden 8 y por lo tanto es un 2-subgrupo de Sylow de £ 4. Ahora, viendo la tabla de £ 4, observe que hay 6 posibilidades para <7, pero note que (a) = (a3) ¡ para cualquier o del tipo (• • • •). Se sigue que Ha = H a3 y así las 6 posibilidades para o se vuelven a lo más | = 3 y finalmente se verifica que |

((1234),A"), ((1243), A ), ((1423), A ), son distintos y por }o tanto 713 = 3.

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

114

Ejemplo 5. Si G = Sp, con p un primo, entonces |S P| = p • (p - 1)! y p \ {p - 1)! por lo que Sp contiene p-subgrupos de Sylow de orden exactamente p; se sigue que estos p-subgrupos de Sylow deben ser cíclicos generados por un elemento de orden p. Ahora, en Sp hay exactamente

P - ( p - P)! = ( P _ 1 ) ! p-ciclos. Sea np el número de p-subgrupos de Sylow de Sp. Entonces, en cada psubgrupo de Sylow H de Sp hay (p — 1 ) ciclos de período p, por lo que

«p(P - 1) = ( p - 1)! y así np = (p — 2)! Note que como n p = 1 (mód p ), entonces (p — 2)! = 1 (módp) (el teorema de Wilson). p-grupos. Si p es un primo, un grupo G se dice que es un p-grupo si todo elemento de G tiene orden una potencia de p. En el caso cuando G es finito, esta definición coincide con la dada antes de la demostración del lema 9.3:

PROPOSICIÓN 9.8. Un grupo finito G es un p-grupo si y sólo si el orden de G es una potencia de p. Demostración. Si |G| = pn, entonces para todo g 6 G como el orden de g divide a |G| = pn , entonces el orden de g es una potencia de p. Recíprocamente, supongamos que existe un primo q ^ p tal que q divida a \G\. Entonces, por el teorema de Cauchy existe un g € G de orden q, en contradicción con la hipótesis de que el orden de todos los elementos de G es una potencia de p. □ El lema siguiente, que es el ejercicio 3 del capítulo 5, nos será útil: L ema 9.9. Sea G cualquier grupo. Si G/Z(G) es cíclico, entonces G es abeliano.

Demostración. Si G/Z{G) = (g), con g = gZ(G), entonces para cualesquiera a j 6 G, considerando sus clases laterales o, f € G / Z ( G ), las podemos escribir como? = g k y t = <7*, y así a = gkz y r = con z , £ € Z(G). Entonces,
gkzg *C= 9k9lz ( = f f V C* — S*Cff*2

(donde usamos que z y £ conmutan con todos los elementos de G y obviamente gkg1 = 0

9l9k)-

Regresando a p-grupos: LEMA 9.10. Si G ^ 1 es un grupo finito de orden pn con p un primo, entonces el centro de G no es trivial, i.e., Z(G) ^ 1.

9. LOS TEOREMAS DE CAÜCHY Y SYLOW

115

Demostración. Haciendo actuar G sobre Y = G por conjugación, por el ejemplo 1, Y g = Z(G) es el centro de G, y por el teorema 9.1 \Z(G)\ = |G | = 0

(mód p)

(la última congruencia porque G es un p-grupo). Se sigue que p divide al orden de Z(G) y así Z(G) ¿ 1. □ Grupos simples. Un grupo G ^ 1 se dice que es simple si no tiene subgrupos norma­ les propios. Ejemplos inmediatos están dados por los grupos cíclicos finitos de orden primo: son simples por el teorema de Lagrange.

COROLARIO 9.11. Si G es un p-grupo finito no abeliano, entonces G no es simple. Demostración. Como G no es abeliano, entonces Z(G) £ G y por el lema Z(G) ^ 1, por lo que 1 Z(G) < G. □ COROLARIO 9.12. Si p es un primo, todo grupo G de orden p2 es abeliano. Demostración. Si G fuera no abeliano, entonces Z (G) ^ G y como por el lema anterior Z(G) í 1 , entonces \Z(G)\ = p. Se sigue que G/Z(G) tiene orden p y por lo tanto es cíclico. El resultado se sigue del lema 9.9.

□

COROLARIO 9.13. Todo grupo de orden p 2 es isomorfo a C(p2) ó a C{p) x C(p). Demostración. Se sigue del corolario anterior y del teorema 7.2.

□

Observación. El corolario 9.12 no es válido para grupos de orden pk con k > 3, por ejemplo existen grupos de orden p 3 no abelianos, un ejemplo, para p = 2 , es el grupo de simetrías del cuadrado, i.e., el grupo diédrico D% de orden 8. Grupos de orden pq. A continuación clasificaremos todos los grupos de orden el pro­ ducto de dos primos distintos. Necesitaremos los resultados siguientes: en el ejercicio 2 del capítulo 5 se pedía probar que si H es un subgrupo de G de índice 2 , entonces H
Demostración. Sea Y = {giH , . . . >gnH} un sistema completo de representantes de las clases laterales izquierdas de H en G y hagamos actuar G en Y mediante traslaciones, i.e., g{giH) := (ggi)H. La acción anterior induce el homomorfismo

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

116

<¡>:G -+ Sy mediante {g)(giH) := ggiHy(vea el ejercicio 1 del capítulo 8). Ponga­ mos N = ker < G. Por el ejercicio 5 del capítulo 8 , iV = ker 0 =

p|

G 9íh

9íH€Y y como G 9íh =

{9€

: g ( g i H ) = g i H } = { g e G :g i h para algún h e H } G

= {
9iH g_1, , por lo que

IIs¡Hey n

g* h =

n ¡111

9iHey

de donde se sigue que N C H ya que una de las clases laterales g i H es i / . Finalmente, por el primer teorema de isomorfismo de Noether, G/ ker < f>~ Im y así [ G : i V ] = [ G : k e r 0 ] = |Im

0|

y como Im < ¡>es subgrupo de 5 n y este grupo tiene orden n!, entonces |Im <¡>\divide a n!, como se quería. □

PROPOSICIÓN 9.15. Sea G un grupo finito de orden n y sea p el menor primo que divide a n. Entonces, todo subgrupo de índice p en G es normal. Demostración. Sea H C G un subgrupo de índice [G : H] = p. Por el lema anterior existe un subgrupo normal N < G , con JV C H y tal que [G : JV] divide ap!. Mostrare­ mos que N = H. Para ésto observamos primero que como N C H y son finitos, enton­ ces basta mostrar que \N\ = \H\, ó lo que es lo mismo, que [G : N] = [G : H]. Para probar esto último observemos que como N C H , entonces p = [G : H] < [G : N] y así [G : N] ^ L Sea q un primo que divide a [G : iV]. Como [G : N] divide a p!, entonces q\p\ y por lo tanto q < p. Ahora, por el teorema de Lagrange, q también divide a |G| = n, y por la minimalidad de p se sigue que p < q y por lo tanto p = q. Se sigue que [G : N\ = pr , y como pr = [G : N] divide a p!, entonces r = 1 y consecuentemente [G : N] = p, como se quería. □ COROLARIO 9.16. Si G es un grupo de orden pq, con p > q primos, entonces G no es

simple. Demostración. Por el teorema de Cauchy G tiene un subgrupo H de orden p y por lo tanto su índice [G : H] = q < p; por la proposición anterior H < G. □ PROPOSICIÓN 9.17. Sea G un grupo de orden pq, con p > q primos. S i p ^ z l (mód q)> entonces G es cíclico.

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

117

Demostración. Por el teorema de Cauchy G tiene un subgrupo H de orden p y por lo tanto [G : H] = q, y como q es el menor primo que divide a |G |, por la proposición anterior H
orb(?(/i) = {h}

para todo g G G, ghg~l = h <&he HC\ Z(G).

Mostraremos que H fl Z(G) = H. Asumiendo ésto por el momento, se sigue que H C Z(G) y por lo tanto |Z (G )| = p ó |Z (G )| = pq. Así, [G : Z(G)] = q ó 1 , y por lo tanto G/Z(G) es cíclico. El lema 9.9 implica entonces que G es abeliano y como su orden es el producto de primos distintos, entonces G es cíclico, como se quería. Resta sólo mostrar que H C\Z (G) = H y como el orden de H es p, primo, y H fl Z(G) C H t entonces basta probar que HC\Z(G) ^ 1. Supongamos que HC\Z(G) = 1. Como \H\ = p, entonces existe un h G H con h ^ 1 , y para la órbita orb c(h) £ H si se tuviera la igualdad o rb c (^ ) = H, entonces todo r € H sería conjugado de h por algún elemento de G, en particular para el l e H se tendría que 1 = oh
= p

y por lo tanto | orbc(h)\ = q porque no puede tenerse que | orb<3 (/i)| = 1 ya que si esto pasara, por (*) se tendría que h G H n Z(G) con h ± 1 , en contradicción con la hipótesis de que H fl Z(G) = 1. Así, | o rb c(/i)| = q para todos los h ^ 1 en H t y como o rb c (l) = { 1 } y las órbitas forman una partición de H yentonces

P=\H\-Z) heH

\orbG(h)\ = l + ^2q=l+rq

|°rbG W I = 1+ M I en H

h¿l

por lo que p = 1 (mód q), en contradicción con la hipótesis de la proposición. Se sigue que H fl Z(G) = H como se quería. □ TEOREMA 9.18.

Sea G un grupo de orden pq, con p

>

q primos.

( 1) Si G es abeliano, entonces G = C(pq) es cíclico de orden pq. (2) Si G no es abeliano, entonces p = 1 (mód q) y G ~ (a, b \ aq = 1 = IP, aba- 1 = 6r), donde r es un entero tal que l < r < p y r q = l (mód p).

Demostración. (1): Si G es abeliano, como |G | = pq y m cd(p, q) = 1 , entonces G a C(p) x C(q) - C(pq). (2): Si G no es abeliano, por la proposición anterior p = 1 (mód q). Por el teorema de Cauchy G tienen elementos b de orden p y a de orden q. El subgrupo de G generado por a y 6 tiene elementos de órdenes p y q y por lo tanto debe ser igual a G, i.e., (a, 6) = G. Sean H = (b) y K = (o). Como \H\ = p, entonces [G : H] = q y así por 9.15, H < G. Se sigue que aba~l € H = (6) y así existe un entero r , 0 < r < p,

118

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

tal que afra“1 = fer . Si se tuviera que r = 0, entonces afea”1 = 1 y así afe = a por lo que fe = 1, en contradicción con el hecho de que fe es de orden p. Si sucediera que r = 1 , entonces afea”1 = fe y así afe = fea y por lo tanto el grupo (a, fe) = G sería abeliano, en contradicción con la hipótesis de (2 ). Se sigue que 1 < r 0 se prueba que (*)

aj ba~j = br\

En efecto, si j = 0 ó 1, el resultado ya se tiene. Supongamos que (*) es verdadera para j. Entonces, <¿+ 16a - « +1> = aa?ba~ia~l = ab’V

1 = ( a b a ^ f = | | f ; = brí+\

como se quería. Así, en particular, si j = q, recordando que aq = 1, de (*) se sigue que fe = aqba~q = br9 y por lo tanto fe7,9”1 = 1 por lo que el orden p de fedivide a rq —1 , i.e., rq = 1 (mód p).

□ Ejemplo 6. Si p > 2 es un primo, entonces existe un grupo G no abeliano de orden 2p ya que p = 1 (mód 2) porque p es impar. Por el teorema anterior G ~ (a,fe | a 2 = 1 = fe*\ aba “1 = fer ), donde r es un entero tal que l < r < p y r 2 = l (mód p). Ahora, como p |(r 2 - 1) = (r —1)(r + 1 ), entonces p\r —1 ó p |r 4-1. Note que si p\r —1, entonces r = 1 (mód p) por lo que r = 1, lo cual no puede pasar. Se sigue que r = —1 (mód p) y así afea“1 = fe“1 i.e., bofe = a por lo que G ^ D^p es el grupo diédrico de orden 2p. Productos semidirectos y subgrupos de Sylow del grupo simétrico Sn. En esta sec­ ción calcularemos los subgrupos de Sylow del grupo simétrico Sn y para hacerlo in­ troduciremos una generalización del concepto de producto directo de dos subgrupos, relajando la hipótesis de que los dos subgrupos sean normales en el grupo grande. Productos semidirectos. Dados dos subgrupos normales K , Q de un grupo G, tales que KQ = G y / f n Q = l, se dice que G es producto directo de Q y K. Al relajar una de las condiciones, pidiendo que K < G y que Q C G sólo sea un subgrupo, no necesariamente normal, tales que K fl Q = 1 y KQ = G, diremos que G es producto semidirecto de K por Q y lo denotaremos mediante

G = KxQ. Puede generalizarse la definición de producto semidirecto en la situación siguiente: si K < G y Q' es un grupo isomorfo a un subgrupo Q C G y se tiene que K fl Q =

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

119

1 y KQ = G, también diremos que G es producto semidirecto de K por Q' y lo denotamos por G = K >i Q \ y esta será la definición que usaremos. En esta situación, si G = K xi Qy por el segundo teorema de isomorfismo de Noether, K fl Q <3 Q y Q/{K fl Q) K Q / K y como K fl Q = 1 y KQ = G, entonces Q ~ G / K yes decir, el producto semidirecto G = K x Q necesariamente es de la forma

G — K x G/K. Ejemplo 7. Si G = Sn y K = An < Sn*el cociente Sn/ A n ~ C ( 2) es un grupo cíclico de orden 2 , isomorfo a cualquier subgrupo generado por una transposición, digamos H = ((1 , 2 )) y se tiene que An n H = 1 y Sn = AnH ypor lo que

Sn = An x C( 2). Ejemplo 8. Si G = £>2n» K = Rn (el subgrupo de rotaciones), entonces Rn < D2n tiene índice 2 y así D2n/Rn — C (2), donde G ( 2) es isomorfo a un subgrupo H de D2n generado por cualquier reflexión. Se tiene que D2n = R n X C( 2). Note que como Rn es cíclico, un generador es la rotación por el ángulo 2n/nyentonces

D2n = C(n) x C( 2 ). Ejemplo 9. Si G = ^3 y K = ((a, 6, c)) es un subgrupo generado por un 3-ciclo, entonces K tiene orden 3 y [S3 : K] = 2, por lo que X < S3 . Si üf es un subgrupo de Sz generado por una transposición ( 5 , t)yH es cíclico de orden 2 y se tiene que S3

* <(M)> = C(3) » G(2).

Ejemplo 10. Si G = Z / 6Z ~ C ( 6), observe que G(3) ~ Z /3 Z C Z / 6Z y G(2) ~ Z/2Z C Z / 6Z y se tiene que Z / 6Z = G(3)

xí

G(2).

Estos dos últimos ejemplos nos permiten observar que, como S 3 9É Z / 6Z, un producto semidirecto G(3) xi G ( 2 ) no está determinado por sus factores G(3) y G ( 2 ), a diferencia de lo que sucede con productos directos (vea el ejercicio 11 en el Capítulo 7). Un primer objetivo es ver cómo recuperar un producto semidirecto G = K x Q a partir de sus subgrupos K y Q. El lema siguiente nos dice que, si G = K x Qyse tiene una acción de Q en K que, de alguna forma, describe cómo K es normal en G. LEMA 9.19. Supongamos que G = K x Q. Entonces,

(1) Se tiene una acción Q x K —►K dada por o * k := oko~l y a la que se suele denotar por o * k =: ka. Esta acción es lineal en cada una de sus dos variables, i.e., (i) Si k yk! € K y o € Qt entonces (kk')a = kak ,a. (ii) Si
120

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

Note el orden de la acción en la notación exponencial, Le., en la acción de o
99' = (** * )(* < /). donde k,a denota la acción de a en kf. Demostración. ( 1 ): Sólo observamos que, como K < G , entonces K es cerrado bajo conjugaciones de G , en particular de Q, y lo demás es el ejemplo 6 del Capítulo 8. (2 ): gg' = ( ko)(k'o f) = k(oko~1)(oor) = ( kkf
□

En el contexto de este lema, diremos que la acción bilineal Q x K —►K realiza al producto semidirecto G = K x Q. Supongamos ahora que K, Q son dos grupos y que se tiene una acción bilineal de Q en K , 0 : Q x K —>K . Definamos

K *o Q := K x Q con la operación binaria

(Oyx) • (t , i/) := (
Demostración. (1): El producto es asociativo porque = {kk’xyxy){k",z) = {kk,xkf,xy,xyz)

y (k,x)[{k',y)(k",z)} =

(k,x)(kW», =

= {kk'xk"xy),xyz). El neutro de K xg Q es (1,1) y el inverso de (k, x) es ((fc- 1 ) 1 - 1 1 1 -1 ) ya que (k .x X ífc-1)* -1, * - 1) =

= ( k k ~ \ í ) = ( 1 , 1 ).

(2): Si definimos 7r : G —►Q mediante 7r (k, x) = x , claramente n es un homomorfismo (ya que la acción 0 sólo afecta a la primer coordenada) y ker 7r = K, por lo que K
9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

121

Por otra parte, Q = {( 1 , x) E K x Q} C G es claramente un subgrupo de K xq Q ya que ( l, a:) (l, y) = (1 • l x,xy) = (1 ,xy). (3): Es claro que K C\Q = {( 1 , 1 )} y K Q = G ya que si (fc,x) € G, entonces (fc, 1) E K y ( l , x ) G Q satisfacen (fc,l)(l,a;) = (fc - 1 1, lac) = (fc,x). Finalmente, para ver que G = K x q Q realiza a 6, calculamos ( i , x ) ( M ) ( l ,* )- 1 = (i-fcI , x - l ) ( i , x _1) = (fcI , x ) ( l , x _1) = (fc1 • l 1, ! ! -1 ) = ( ^ , 1 ), es decir, xkx~x = kx = x * k, como se quería.

□

El recíproco de este teorema también es válido: TEOREMA 9.21. Si G = K x Q es un producto semidirecto de K por Q, entonces

G c±K Xq Q, para alguna acción 0 de Q en K. Demostración. Como G = K x Q, por el lema se tiene la acción 9 : Q x K —►K dada por 0{k, x) = kx = xkx~l . Ahora, como G = KQ y K fl Q = 1, todo elemento g 6 G tiene una descomposición única de la forma g = kx con k € K y x € Q. El producto de G satisface que, para g = kx y g’ = k'x' en G, (*)

gg' = ( kx)(k'x') = kk,xxx f

y si definimos : K xq Q —>G = K x Q mediante <¡>(k,x) := kx> la igualdad (*) nos dice que < ¡>es un homomorfismo y claramente es biyectivo. □ PROPOSICIÓN 9.22. K Xq Q ~ K x Q si y sólo si la acción 6 es trivial, i.e., kx = k para todo k G K y x € Q.

Demostración. Si la acción es trivial, dados (fc, x), (k \ x') e K x $ Q ysu producto es (k,x}(k’,x') =

(kk'x, = (f

el cual es el producto de K x Q. El recíproco es similar.

□

Productos corona. Sean A, Q grupos, con Q finito y sea K el producto directo de |Q | copias de A, i.e., K = A x ••• x A . >------- *-------' |Q|-copias

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

122

Podemos pensar a los elementos de K como |Q |-adas ordenadas con entradas en A , o mejor aún, como funciones de Q en A> i.e.,

K = A** = { / : Q —►A : / e s una función} y por lo tanto el producto en K ycoordenada a coordenada, se interpreta como ( / *9 )(x) = f(x)g(x) para x G Q y donde pensamos a f (x ) como la coordenada x-ésim a del vector / . Para los grupos K — A9 y Q anteriores, definamos la acción Ode QenK mediante 0 ( /, y) = /v , donde f y(x) := /( x y ) , para / G K> y, x € Q. Note que si pensamos a / como un vector con coordenadas f (x) para x € Q,

entonces f y € K es el vector cuyas entradas se obtienen de las del vector / tras­ ladándolas mediante el producto por y a la derecha:

Podemos entonces definir el producto semidirecto de K = A® por Q, al que se llama el producto corona de A por Q> y se denota mediante

A l Q : = A Q x Q = A Q xgQ. A y Qon s finitos, el orden de

Si los grupos

Ejemplo 1 1 . Si el producto corona

A = C (2) y

Q= C (2), entonces

= C (2) x C

C ( 2) 1 C ( 2 ) = C'( 2 )c <2> X C ( 2 ) observamos que contiene, como subgrupo normal (de índice 2 ), una copia del grupo C ( 2 ) x C ( 2) que es un 4-grupo de Klein y por lo tanto este producto corona es isomorfo al grupo diédrico Dg. Subgrupos de Sylow de Sn. Dado un entero primo p, consideremos un p-ágono regular al que denotaremos por P\. La figura siguiente ilustra los casos p = 2 ,p = 3 y p = 5, notando que un 2 -ágono es un segmento de recta:

O p = 2

p = 3

p = 5

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

123

Después, consideremos p copias de P i, que sean más chicas que P\ en el sentido que si colocamos cada una de estas copias en los vértices de P i, éstas no se traslapan ni en los vértices. Llamemos P2 a esta colección de copias de P\. La figura siguiente ilustra los casos p = 2 y 3:

| Luego, consideremos p copias de P 2, que sean más chicas que P2 en el sentido que I si colocamos cada una de estas copias en los vértices de P 2, éstas no se traslapan ni en 1 los vértices. Llamemos P 3 a esta colección de copias de P 2. La figura siguiente ilustra I el caso p = 3:

Esta construcción la podemos iterar para definir el polígono Pt , que está dado por 1 pí_1 copias de P i, y nos interesa el subgrupo de simetrías de Pt formado por las rota| dones que lo dejan invariante. Denotemos este grupo por K t. Por ejemplo, parap = 3 y para el polígono P 3, la figura siguiente ilustra algunas de estas simetrías, rotando 120° ^ toda la configuración P 3, rotando el P2 superior 120° y rotando 240° el P\ inferior derecho en el P 2 inferior izquierdo, lo cual en la figura lo indicamos por los círculos A alrededor de los triángulos correspondientes.

124

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

La idea es imaginar una rueda grande dentro de la cual se tienen 3 ruedas más pequeñas dentro de las cuales hay un total de 9 ruedas menores correspondientes a las copias de P i, y cada una de estas ruedas puede girar independientemente manteniendo las simetrías de los P j dentro de Pt . Pensando recursivamente, el objetivo es obtener la estructura del grupo de simetrías K t de P t usando K t - 1 , aprovechando que el grupo de simetrías K \ de P \ es conocido: es el grupo cíclico de orden p , generado por una rotación por un ángulo de 360/p grados. Veamos en detalle el caso p = 3 que estamos ilustrando, para intuir el caso general. En particular, consideremos el grupo K z de simetrías de P 2 para p — 3 y denotemos por R \ al subgrupo de simetrías de K 2 que mueven sólo al triángulo P \ superior y dejan las otras dos copias de P \ fijas. Así, R \ consiste de las rotaciones de P \ por los ángulos 0o, 120° y 240°:

Similarmente se definen los subgrupos R2 y P 3, considerando las dos copias infe­ riores de P\ en P2 . Note que R \ ~ R 2 — P 3 son subgrupos isomorfos a K \ . Más aün, como para i i 1 j, R% y R j mueven distintos triángulos, entonces R i fi R j = 1 para i ± j. Similarmente, R i n ( R j fi R k ) = 1 para índices distintos, y así R \ x R 2 x P 3 es

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

125

un subgrupo de K 2 que es isomorfo a K \ x K \ x K \. Así, un elemento de R \ x R 2 x P 3 es una tema ( n , 7*2, r2) de rotaciones de P\ por ángulos de 0,120 ó 240 grados. Ahora, sea t la rotación por 120 = 360/3 grados de todo P 3 (la rueda grande) y observe que al conjugar

t(R \ x R 2 x R$)t~l

=

R \ x R2 x R 3

porque, para {ri,r2,r2) 6 R \ x R 2 x P 3 se tiene que t{r\,r2,r2)t~l actúa en P2 de la forma siguiente: t~ x rota por —120° llevando la copia de P\ arriba, abajo a la izquierda, la de la izquierda abajo a la derecha abajo y la derecha de abajo hacia arriba. Luego, (ri, 7*2, 7*3) actúa como sigue: 7*3 rota al P\ de abajo a la izquierda (que solía ser el de arriba), 7*2 rota al P\ de abajo a la derecha (que fue el de abajo a la izquierda), y r\ rota al P\ de arriba (que fue el abajo a la derecha). Finalmente, t rota la configuración anterior 120°. El resultado final es:

t(ri,r2,r3)t~1 = { r3,r i,r 2). En general, para el grupo Kt de simetrías de P¿, sean P¿, 1 < i < p, los subgrupos de Kt formado por las rotaciones de las copias z-ésimas de P t-\ dentro de P¿ y consi­ deremos el producto R \ x • • • x Rp C Kt. Sea t la rotación de todo Pt por un ángulo de 360/p grados. Etiquetemos los Pt- 1 dentro Pt comenzando con el de arriba y yendo en el sentido de las manecillas del reloj como ( 1 ,2 ,... ,p). Entonces la composición t(rx ,. . . , rp)t~l actúa como sigue:

p)£U (2,3,:..,p,l) (n^ T p) (n(2),r2(3),...)rp_ 1(p),rp(

(1,2...

^

(»•P( l ) , r i ( 2 ) , r 2 ( 3 ) , . . . , r p_ i(p ))

por lo que f(7*i,...,7p)r’1 = (rp,ri,r2,...,rp_i) y así t(Ri x • • • x Rp)t~l = R\ x • • • x Rp. PROPOSICIÓN 9.23. (1) Kt = {R\ x • • • x Rp)(t), donde (t) es el subgrupo cíclico de orden p generado por t. (2) (Ri x • • • x Rp) fl (t) = 1. (3) R\ x ••• x Rp< K t .

Por lo tanto, Kt es el producto semidirecto de R \X

• x Rp con (t ).

□ x

Demostración. Para (1) sólo note que las simetrías rotacionales de Pt se componen de las rotaciones de todo Pt y de las rotaciones independientes de los P{ contenidos en él. Recursivamente se tiene el resultado deseado. Para (2), como (t) = {1, t , t 2, . . . , fp“ 1}, note que si 1 < i < p — 1, tx mueve un Pt- 1 en otro diferente por lo que (R\ x • • • x i?p) n (t) = 1. La parte (3) es lo que se demostró arriba, observando que t* (P i x • • • Pp)t~V = Ri X x Rp.

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

126

Hemos así mostrado que Kt — ( R \ x • • • x Rp) x (f)» y como Ri — Kt - \ »entonces

# 1 x • • • x Rp ~ K%_i (el producto directo de p copias de K t- 1 ) y por lo tanto

K t = K t- i l ( t ) es el producto corona de K t- 1 (rotaciones de Pn- 1 ) con 8ruP° cíclico (£). Ahora, como el grupo K \ de rotaciones de P\, es el grupo cíclico C(p) de orden p, generado por una rotación por un ángulo de 360 / p grados y como ( t ) C7(p), entonces

K 2 = K i l (t) = C (p)lC (p) y así

K 2 = K 2 l (t)

(C(p) l C(p)) l C(p)

y, recursivamente, obtenemos el grupo Kt de simetrías rotacionales de Pt como el producto corona de t copias de C(p ):

K t = {C (p )l---lC (p )) l C{p). (£—1)-copias Note ahora que si se numeran los vértices de los polígonos en Pt, que consiste de p í_1 copias de un p-ágono regular, se tienen p(pt_1) = Pt vértices, y una simetría ro­ tacional de Pt permuta estos vértices por lo que Kt es un subgrupo del grupo simétrico Spt. Para calcular el orden de este subgrupo, observe que:

I

C I (p)|;fe \c{p)c ^ \\c ip )\ = P pP = P p+1

C{p) |(C (p) l C{P)) l

1(C ( p ) ; - - - ; C (

(t-l)-copias

p

) ) ;C (

C(p )| = |(C (p) l C (p ))c(p)||C (p )| = (pp

p

)| =

|(

c

(p ) ; - - - ? C (

p

) ) c o , ) ||C 7(p ) |

(£—l)-copias _ pPt_ 1+pt~2H--- hp+1 ^

y veremos que pT := j?t~l+Pt~2+" +P+ 1 es el orden correcto para que este producto corona sea un p-subgrupo de Sylow de Spt, es decir, mostraremos que pT es la mayor potencia de p que divide al factorial p*!. Para probar ésto, observemos que dados enteros positivos k , m , si consideramos la pregunta: ¿cuántos enteros entre 1 y m son divisibles por k l , lo que queremos es encontrar los múltiplos de k que hay entre 1 y m, i.e., 1 , . . . , fc,. . . , 2fc,. . . , 3&,. . . , tk < m , . . . , (t + l)fc > m y así la respuesta es: hay t múltiplos de k entre 1 y m ; dicho en otras palabras, t = [m/k] es el mayor entero < m¡k. Si ahora pasamos a considerar la pregunta: ¿cuál es la mayor potencia del primo p que divide al factorial m!?, por la respuesta a la primer pregunta, de los factores 1 , 2 , 3 , . . . , ( m - 1 ), m de m!, [m /p] de ellos son divisibles por

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

127

p, [m/p2] de ellos son divisibles p o rp 2, [ra/p3] de ellos son divisibles p o rp 3, etcétera, y por lo tanto, si m\ = pTn con p { n, entonces los primeros contribuyen el factor p(m/p], los segundos contribuyen el factor p 2ím/p2l, pero como un factor divisible por p 2 lo es porp, sólo tomamos una contribución, i.e., plm/p L los terceros contribuyen el factor p 3ím/p3l, pero como un factor divisible porp 3 lo es porp 2 y p, sólo tomamos una contribución, i.e., plm/p3l, etcétera, y por lo tanto el mayor factor pT en m! es pT _ p[m/p]+[m/p2]+[m/p3]+-” donde notamos que la suma en el exponente es finita porque [m/pk] — 0 cuando pk > m. En particular, si m — p*, [pÉ/p] = P*” 1, [p V p 2] = P*~2» etcétera, por lo ,

que en este caso

T = p t_1 + p t_2 + p *-3 H------- (- p 4-1 y así este pT es el orden de un p-subgrupo de Sylovv del grupo simétrico Spt, el cual, por la fórmula anterior, coincide con el orden del p-subgrupo (C (p )l---lC (p ))lC (p ) |

í-------------------- < (t—l)-copias

|

de Spt y por lo tanto este producto corona es un p-subgrupo de Sylow de Spt . Usando lo anterior, podemos calcular un p-subgrupo de Sylovv de cualquier grupo simétrico 5 n, como sigue. Primero escribimos n en base p:

n = ao 4- a ip + a 2p 2 H------- h arpr con 0 < ai < p — 1 . Después, partimos el conjunto In en ao subconjuntos X q con 1 = p° elemento, a i subconjuntos X \ con p elementos, a2 subconjuntos X 2 con p 2 elementos, etcétera. Cada uno de estos subconjuntos X{ tiene p* elementos por lo que Sxí — Spi , y por el procedimiento anterior podemos construir un p-subgrupo de Sylow Hi de Spi. El producto directo de las a¿ copias de i/¿ es un p-subgrupo de Sylow del producto directo de a* copias de 5p<, (vea el ejercicio 10 de este capítulo) al que | denotamos por S p . Finalmente, el producto directo H¡¡° x H “1 x • • • x H?r es un | p-subgrupo de Sylow del producto Sp¡ x S ®1 x x • • • x S p , que es isomorfo a Sn.

i I j j j

Notas. En 1844-46, Cauchy [27, §XII, Théorème V, pág. 280] probó que un grupo finito cuyo orden es divisible por un primo, tiene un elemento de orden ese primo. Ludwig Sylow, en 1872, generalizó el teorema de Cauchy, y los teoremas de Sylow [54] son el punto de partida para iniciar el estudio a profundidad de la estructura de los grupos | finitos. Tal ha sido la influencia de los teoremas de Sylow que a lo largo de los años I se han producido diferentes demostraciones de los mismos, una tendencia iniciada por | Frobenius en [33] (donde además introduce en forma natural los axiomas que definen j un grupo abstracto, como observamos en las notas del capítulo 2 ), y su demostración

128

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

usa clases de conjugación, que él deñne y comienza a estudiar sistemáticamente en este artículo, y la ecuación de clases del grupo. Otra demostración elegante es la de Wielandt [57], que depende de las propiedades de divisibilidad por p de los coeficientes binomiales (^). En este capítulo, la demostración que dimos sigue una idea de R. J. Nunke citada en Hungerford [8]. El cálculo de la estructura de los p-subgrupos de Sylow de Sn se debe a Kaloujnine [46], reescrita en [24] en la forma en que la presentamos en este capítulo. EJERCICIO 1. Demuestre que los 2-subgrupos de Sylow de S 4 son isomorfos a D%.

EJERCICIO 2. Calcule los 3-subgrupos de Sylow de S$. Calcule sus 5-subgrupos de Sylow.

EJERCICIO 3. Muestre que los grupos de órdenes 15,35 y 77 son cíclicos. EJERCICIO 4. Muestre hay grupos no abelianos de órdenes 55 y 21.

EJERCICIO 5. Demuestre que un 2-subgrupo de Sylow de S$ es isomorfo a Ds. EJERCICIO 6 . Demuestre que un 2-subgrupo de Sylow de As tiene exactamente 5 conjugados. EJERCICIO 7. ¿Cuál es la relación entre un 2-subgrupo de Sylow de S4 y el grupo de simetrías del cuadrado?

Ejercicio 8 . Si G es un grupo de orden 12 y no tiene elementos de orden 2 en su centro, demuestre que G ~ A4. Ejercicio 9. Demuestre que todo grupo de orden 5 • 7 • 13 es cíclico. Ejercicio 10. Sean G ',G " grupos finitos y sea G = G ' x G". Demuestre que los p-subgrupos de Sylow de G son de la forma H' x H ", donde H f y H" son p-subgrupos de Sylow de G ' y G ", respectivamente. Ejercicio 11. Calcule los subgrupos de Sylow de S 3 x A4 y de S 3 x C(20). Ejercicio 12 . Si G es un grupo finito de orden |G | = pqr, con p < q < r primos, demuestre que G tiene un subgrupo normal de orden qr. Ejercicio 13. Si G es un grupo finito de orden |G | = pqrt con p < q < r primos, demuestre que el r-subgrupo de Sylow de G es normal en G.

Ejercicio 14. Sea G un grupo finito y sea P un p-subgrupo de Sylow de G. Demues­ tre que el normalizador de N q (P) es igual a N g (P )•

129

9. LOS TEOREMAS DE CAUCHY Y SYLOW

Ejercicio 15. Sea G un grupo finito y suponga que para cada primo p el grupo G sólo tiene un p-subgrupo de Sylow. Demuestre que G es el producto directo de sus subgrupos de Sylow. Ejercicio 16. Si G es unp-grupo finito y 1 ^

H < G,

demuestre que H fi Z(G)

^

1.

Ejercicio 17. Sean G un grupo finito y H un subgrupo de G. Demuestre que el núme­ ro de subgrupos de G conjugados a H es [G : # ¿cuál es la órbita de H1 Ejercicio 18. Si Q es un p-subgrupo normal de un grupo finito G, demuestre que Q está contenido en todos los p-subgrupos de Sylow P de G.

Capítulo

G ru p o s s im p le s 1 que no tiene subgrupos normales propios. Los ejemplos más sencillos de grupos simples son los grupos cíclicos de orden primo, y éstos son todos los grupos abelianos finitos simples. En este capítulo, y como una aplicación de los teoremas de Sylow, comenzamos mostrando la no existencia de grupos simples de ciertos órdenes pequeños y después obtenemos algunos resultados generales sobre la no existencia de grupos simples de órdenes pq y p*q, con p y q primos, todo lo anterior como casos especiales de un celebrado teorema de Bumside que dice que si |G | = prqs con r + s > 1, entonces G no es simple, cuya demostración requiere resultados no tan elementales y pospondremos su demostración hasta el capítulo 15, como una aplicación de la teoría de caracteres. Al final terminamos mostrando que los grupos alternantes A n son simples para n > 5 siendo ésta la primera familia de grupos simples no abelianos que encontraremos. En el capítulo 12 mostraremos otra familia infinita de grupos simples finitos.

R

ecordemos que un grupo simple es un grupo G

Comenzamos con algunas aplicaciones de los teoremas de Sylow para mostrar la no existencia de grupos simples de orden pequeño.

Ejemplo 1. No existe un grupo simple de orden 30. En efecto, supongamos que G es un grupo de orden 30 = 2 • 3 • 5, cuyos divisores son: 1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,1 0 ,1 5 ,3 0 . El número n s de 5-subgrupos de Sylow de G debe ser un divisor de 30 y además ri5 = 1 (mód 5), por lo que las posibilidades para ns son 1 y 6. Si n s = 1 entonces el 5-subgrupo de Sylow sería normal y por lo tanto G no es simple. Probaremos que éste es el caso mostrando que el casons = 6 no puede suceder, pero antes de hacer ésto consideremos el número n 3 de 3-subgrupos de Sylow de G, como n 3 = 1 (mód 3), las posibilidades para n 3 son 1 y 10. Si n 3 = 1 entonces el 3-subgrupo de Sylow sería normal y por lo tanto G no es simple. Por lo tanto, debemos mostrar que los casos n 3 = 10 y ns = 6 no pueden darse. En efecto, si n s = 6, entonces los seis 5-subgrupos de Sylow de G contribuyen 6(5 — 1) elementos a G y si n 3 = 10 los diez 3-subgrupos de Sylow de G contribuyen 10(3 —1) elementos a G. Así, con las contribuciones de los 5-subgrupos de Sylow y de los 3-subgrupos de Sylow, y del neutro, G tiene al menos 131

132

10. GRUPOS SIMPLES

6(5 — 1 ) + 1 0 (3 — 1 ) + 1 = 45 elementos, una contradicción con el orden de G que es 30.

Ejemplo 2. No hay un grupo simple de orden 84. En efecto, supongamos que G es un grupo de orden 84 = 22 • 3 • 7, cuyos divisores son: 1 ,2 ,3 ,4 ,6 ,7 ,1 2 ,1 4 ,2 1 ,2 8 ,4 2 , 84. Ahora, para el número ri7 de 7-subgrupos de Sylow de G, como 717 = 1 (mód 7), la única posibilidad para 717 es 1, por lo que el 7-subgrupo de Sylow es normal y por lo tanto G no es simple.

Ejemplo 3. No existe un grupo simple de orden 12. En efecto, supongamos que G es un grupo de orden 12 = 22 • 3, cuyos divisores son: 1 ,2 ,3 ,4 , 6,12. El número 713 de 3-subgrupos de Sylow de G satisface que 713 = 1 (mód 3), por lo que las posibilidades para 713 son 1 y 4. Si 713 = 1 entonces el 3-subgrupo de Sylow sería normal y por lo tanto G no es simple. Si 713 = 4, entonces los cuatro 3-subgrupos de Sylow de G contribuyen 4(3 —1 ) = 8 elementos a G, y así los 12 —8 = 4 elementos restantes sólo pueden formar un único 2 -subgrupo de Sylow de G que por lo tanto sería normal por lo que G no puede ser simple. Este último ejemplo se puede generalizar: PROPOSICIÓN 10.1.

2

Si p, q son primos, entonces no existe un grupo simple de orden

PQDemostración. Si G es abeliano, por el teorema de Cauchy tiene un subgrupo de orden p y éste es normal. Si G no es abeliano y p = q, entonces |G| = p3, por lo que G es un p-grupo y por el lema 9.10 se tiene que Z(G) ^ 1 y como Z(G) < G, entonces G no es simple. Si G no es abeliano y p ^ q se tienen dos casos: C aso 1. Si q < p, como por el primer teorema de Sylow G tiene un p-subgrupo de Sylow Hp y como \HP\ = p 2, entonces [G : Hp\ = q < p y así 9.15 implica que Hp < G, por lo que G no es simple. CASO 2. Si p < q, entonces el número nq de q-subgrupos de Sylow de G divide a \G\ « p2q por lo que sus posibilidades son l,p , q ,p 2,p q ,p 2q. y como nq = 1 (mód q), estas posibilidades se reducen a 1 ó p ó p 2. Ahora, como p < q, entonces p ^ 1 (mód q), por lo que las posibilidades para nq se reducen a 1 ó p 2. Si nq = 1, entonces el único q-subgrupo de Sylow de G sería normal por lo que G no puede ser simple. Si nq = p2, los q-subgrupos de Sylow de G contribuyen p2(q — 1 ) elementos por lo que los p2q —p2(q - 1 ) = p 2 elementos restantes sólo pueden formar un único p-subgrupo de Sylow de G por lo que éste sería normal y así el grupo G no es simple. □

10. GRUPOS SIMPLES

133

Observación. En 9.16 probamos que si |G | = pq, entonces G no es simple y la propo­ sición anterior nos dice que lo mismo es cierto si |G | = p2q. Los resultados anteriores son casos muy particulares de un celebrado teorema de Burnside, cuya demostración posponemos hasta el capítulo 15, como una aplicación de la teoría de caracteres. Teorema (Burnside). Si |G | = prq9 con r 4- s > 1, entonces G no es simple. El teorema de Burnside es un ejemplo de una familia infinita de grupos no simples. Se conocen varias familias infinitas de grupos simples y a continuación mostraremos que la familia de grupos alternantes An son simples si n ^ 4. Comenzamos con algunos resultados sobre el centro de estos grupos: Centros de Sn y An. Los grupos S i, S2, A\> A 2 y A$ son abelianos y por lo tanto son iguales a sus centros. PROPOSICIÓN 10.2. (1)

Si n > 3, entonces Z(Sn) = 1.

(2) Si n > 4, entonces Z (A n) = 1.

Demostración. (1): Dado o 6 Sn , < 7 ^ 1 , supongamos que o ya se ha descompuesto como producto de ciclos disjuntos. Tenemos dos casos: CASO 1. En la descomposición de o hay al menos dos ciclos no triviales, digamos 0

=

(x i , x2,...)Ü / i .2/2. •••)•••

Entonces, como x i,X 2, y i , 2/2 son diferentes entre sí poniendo r = ( x i,y 1 , 2/2) € Sn, por la proposición 4.11 se tiene que tot-

1 = (¡/i,X 2,x3,...)(2 /2 ,a:i1y 3 ,- - - ) - - - # < r

y por lo tanto o £ Z (Sn).

Caso 2. En la descomposición de o sólo hay un ciclo no trivial. Se tienen dos subcasos: Subcaso (A). En la descomposición de o sólo hay un ciclo no trivial de longitud > 3, digamos

o = (x i,a ;2 ,X 3 ,...) Entonces, poniendo r = (2 1 , 3:2) € *Sn> por la proposición 4.11 se tiene que

T0T~X = (x 2 , 2 1 , 23 , . . . ) # o y por lo tanto a & Z(Sn).

Subcaso (b). En la descomposición de o sólo hay un ciclo no trivial de longitud < 3, digamos a = ( x i,2 2)

10. GRUPOS SIMPLES

134

y como n > 3 , entonces existe un x € In distinto de x\ y X2, por lo que poniendo r = (x i, x) € Sn»por la proposición 4.11 se tiene que TGT~l = ( X ,X 2 )

y por lo tanto o £ Z(Sn), (2): Dado o € An>cr / 1 , supongamos que a ya se ha descompuesto como producto de ciclos disjuntos. Tenemos dos casos: CASO 1. En la descomposición de o hay al menos dos ciclos no triviales. Se procede comonen el caso 1 del inciso (1), notando que r = (x i, yu 2/2) € An.

Caso 2. En la descomposición de o sólo hay un ciclo no trivial. Se tienen dos subcasos: SUBCASO (a). En la descomposición de o sólo hay un ciclo no trivial de longitud > 4,

digamos G

=

( X i , X 2) X 3 , X 4 , . . .)

Entonces, poniendo r = (xi, X2)(x 3, X4) G An>por la proposición 4.11 se tiene que TGT~l = ( x 2 ,X l , X 4 , X 3 , . . . )

<7

y por lo tanto o £ Z(An).

Subcaso (B). En la descomposición de a sólo hay un ciclo no trivial de longitud < 4. Como g € An debe ser par, la única posibilidad es que sea un 3-ciclo, digamos G = ( x i,X 2 ,X 3 )

y como n > 4, entonces existe un x € In distinto de x i, X2 y X3, por lo que poniendo r = (xi,X 2)(x 3, x) € An%por la proposición 4.1 1 se tiene que tot“ 1

= (x 2 ,x i,x )

G

y por lo tanto a & Z(An).

O

Simplicidad de A n. Los grupos A\ y A$ son triviales y el grupo A$ es de orden 3, por lo tanto es cíclico de orden primo; así, los grupos A \ , Á 2, -A3 son simples. El grupo Ai no es simple ya que contiene al subgrupo de cuatro elementos, que es normal:

V = {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}.

Para demostrar que An es simple si n > 5, usaremos el resultado siguiente: LEMA 10.3. Sea N < An con n > 5. Si N contiene un 3-ciclo, entonces N = An.

135

10. GRUPOS SIMPLES

Demostración. Supongamos que (ijk) G N . De acuerdo a los valores de ¿»i tenemos los casos: CASO 1. Si i ^ 2 y j ^ 1, consideremos al elemento (2 ¿)(1 j) € A n ; como JV < A n , entonces

(*)

j)(ijk )(2)i- 1 ( l i ) -1 S JV

( 2 1 /:) = (2 *)(1

donde el orden de los inversos es el correcto porque ciclos disjuntos conmutan, y recor­ dando que la inversa de una transposición es ella misma, un cálculo directo da (*). Aho­ ra, como n > 5, existe un i € I n distinto de 1,2 y fc, y poniendo cr := (1 2 )(k í) G A n> conjugando al elemento (2 1 k) G N por cr, por ejemplo usando 4.11, se tiene que
N = An. CASO 2. Si i = 2 y j = 1, entonces N contiene al 3-ciclo (2 1 k) que es (*) del caso

1 y así procedemos como en el caso anterior. CASO 3. Si i = 2 y j ^ 1, entonces (2 j k) G N y para el elemento (1 j)(k j) G A n se tiene que (1 2 fe) = (2 fe

j ) = (1 j ) ( k j ) ( 2 j fc)( 1

€ N

por lo que N contiene a los 3-ciclos (1 2 k) y así N = An. CASO 4. Si i se tiene que

2 y j = 1, entonces (i 1 k) G JV y para el elemento (2 i)( 1 fc) G An (1 2 fe) = (fe 1 2) = (2 i ) ( l fe)(t 1 fe)(2 t) _1( l fe)-1 6 N

por lo que N contiene a los 3-ciclos (1 2 k) y así N = An.

□

TEOREMA 10.4. A n es simple para todo n > 5.

Demostración. Sea N < A n, con n > 5. Si N ¿ 1, mostraremos que N = An , y por el lema anterior es suficiente mostrar que N contiene un 3-ciclo. Para ésto, escojamos un 3. Como o no es un 3-ciclo, entonces mueve al menos a 4 elementos de In , i.e., debe ser de la forma

< T = ( i j k -••)(•• ")• • • Más aún, o no puede ser de la forma
136

10. GRUPOS SIMPLES

m 6 I n distinto de i,j, fc, i. Sea g = (k £ m) € A n. Entonces, r := gag~l € N y r tiene la misma estructura cíclica que
¿
Ahora, si r es distinto de *, j , y si
o1 Sea m 6 In distinto de i, j, k, £ y pongamos g := (k £m ) G A n. Entonces

r :=

ga_1 = (fl(i) g(j)){g{k) g(i))

=

está en JV y es distinta de cr por lo que cr_1r G iV no es la identidad. Observe que < t“1t deja fijos a todos los elementos r (distintos de i, fc, m ) que están fijos bajo o y además, aunque a pueda fijar al m a pesar de que cr_1r no fija al m ya que cr“ 1r(m ) = cr-1(¿) = &, notamos que a~lr fija a i y j , por lo que
Ejemplo 4. El grupo As tiene orden 60 pero no tiene un subgrupo H de orden 30, ya que si lo tuviera, H tendría índice 2 en As por lo que sería normal, en contradicción con la simplicidad de As. Notas. Los grupos simples finitos son como los ladrillos a partir de los cuales se pue­ den construir todos los grupos finitos, como lo expresa de alguna forma el teorema de Jordan-Hólder (vea el teorema 11.2 y la nota 7 del capítulo siguiente), y así, clasificar y determinar todos los grupos simples finitos es un objetivo importante de la teoría de grupos. En su tratado, [11], Jordán enfatiza la distinción que hizo Galois [40] entre gru­ pos simples y grupos compuestos, i.e., no simples, necesaria para su caracterización de ecuaciones polinomiales solubles por radicales (definiendo de paso los grupos solu­ bles (vea las notas al final del capítulo siguiente)). En este tratado, Jordán comiénzala clasificación de los grupos finitos simples (alternantes A n para n > 5 y casi todos los grupos lineales proyectivos sobre campos finitos de cardinalidad prima (ver el capítulo

10. GRUPOS SIMPLES

137

12). Es hasta 1892 cuando Holder estudia por primera vez grupos simples en forma abstracta y al principio de su artículo [43] escribe: «Sería de gran interés si fuera posible dar un panorama de toda la familia de grupos ñnitos simples.» Este podría ser considerado el nacimiento del programa cuya meta principal era clasi­ ficar y determinar todos los grupos simples finitos, y en este artículo señero de Holder, él mismo clasifica todos los grupos simples de órdenes hasta 200. Esta cota fue aumen­ tada paulatinamente, usando en las demostraciones las únicas herramientas disponibles hasta entonces, a saber los teoremas de Sylow, hasta que Frobenius y Bumside intro­ dujeron la teoría de caracteres en el arsenal. A finales de los años 1970 y a principios de la década de 1980, se anunció la con­ clusión de la clasificación de los grupos finitos simples y según ésto, se tienen las cuatro familias infinitas de grupos simples finitos siguientes: grupos cíclicos de orden primo, los grupos alternantes A n con n / 4, los grupos lineales clásicos sobre un campo finito (proyectivos lineales especiales, proyectivos simplécticos unitarios, proyectivos ortogonales, proyectivos unitarios especiales) y grupos de Chevalley torcidos. Además de estas familias, se tienen 26 grupos simples finitos que no pertenecen a familia algu­ na y se les conoce como grupos esporádicos, 5 de los cuales fueron descubiertos por Mathieu hacia 1860 y los otros 21 fueron encontrados entre 1965 y 1975. En los años siguientes al anuncio de la completación del programa de la clasificación de los grupos simples finitos se han venido publicando los artículos donde se detalla la clasificación, pero hasta la fecha esto no ha sido concluido. De hecho, algunos matemáticos todavía se mantienen escépticos con respecto a la pretendida conclusión del programa, aunque la mayoría de los algebristas dedicados a la teoría de grupos considera que el programa esencialmente está concluido y sólo es materia de tiempo para que las publicaciones asociadas aparezcan.

Ejercicio 1. Demuestre que no existen grupos simples no abelianos de orden 2 8 ,3 6 , 56, y 80.

Ejercicio 2. Calcule el centro del grupo diédrico Z^nEjercicio 3. Demuestre que el homomorfismo c : G —►Aut(G) dado por c ( t )(< j ) := tot " 1 es

inyectivo si

(i) G = Sn y n > 3. (ii) G = An y n > 4.

Ejercicio 4. Demuestre que As no tiene subgrupos de orden 15.

138

10. GRUPOS SIMPLES

Ejercicio 5. Demuestre que si G es un grupo de orden 12 distinto de A 4, entonces G tiene elementos de orden 6 . Ejercicio 6 . Demuestre que si n

> 5, entonces todos los 3-ciclos de A n son conju­ gados del 3-ciclo (1 2 3). Use lo anterior para dar otra demostración del lema 10.3.

Capítulo

G ru p o s s o lu b le s asta ahora , después de dar ejemplos de grupos, subgrupos, cocientes y ho-

H

momórfismos, el primer teorema genérico sobre grupos finitos que probamos es el teorema de Lagrange, el cual restringe el orden de los subgrupos que un grupo finito dado puede tener. Después, los teoremas de Sylow, recíprocos parciales del teorema de Lagrange, garantizan la existencia de ciertos subgrupos de G y nos dan una familia de subgrupos, los p-subgrupos de Sylow de G, donde cada miembro de la familia es conjugado de los otros y consecuentemente todos los miembros de la familia tienen el mismo orden. En este capítulo introducimos la noción de serie normal de un grupo (finito) G que nos permitirá estudiar familias de subgrupos de G de órdenes distintos. Junto con la anterior se definen y prueban algunas propiedades básicas de los grupos solubles. Estos grupos (y su nombre) aparecieron en el estudio de la solubilidad por radicales de ecuaciones polinomiales, y aparte de su interés en este contexto juegan un papel importante en la teoría de grupos y la aritmética. Si G es cualquier grupo, una serie normal de G es una cadena de subgrupos

(*)

G = : G0 2 Gi 2 G 2 2 •••2 Gn = {e}

tal que G¿+i <1 G¿ para toda i. Los cocientes de la serie son los grupos G¿/G*+i para 0 < i < n y la longitud de la serie es el número de inclusiones estrictas. Note que no se está pidiendo que G* < G ya que, en general, la normalidad no es transitiva. Una serie normal de un grupo G

G = : G0 D G i 2 G2 2 •••2 G„ = 1 se dice que es una serie de composición si cada G¿+i es un subgrupo normal máximo de Gi 6 si G*+i = G¿. Recuerde que un subgrupo normal H < G se dice que es máximo si no existe otro subgrupo normal K < G entre H y G , i.e., tal que H £ K £ G. Por el teorema de correspondencia H < G es un subgrupo normal máximo si y sólo si G /H no tiene subgrupos normales propios, i.e., si y sólo si G /H es simple. Así, la serie (*) es una serie de composición de G si y sólo si cada cociente G «/G ¿+i es simple o trivial. 139

140

11. GRUPOS SOLUBLES

O bservación. Si G es un grupo finito no simple, entonces G tiene subgrupos normales N propios, i.e., tales que 1 £ N £ G y así G tiene subgrupos normales máximos ya que si H es máximo ya acabamos; si H < G no es máximo entonces G /H no es simple y así tiene un subgrupo normal propio que bajo el teorema de correspondencia está asociado a un subgrupo normal K < G tal que H £ K £ G. Si K es máximo ya acabamos, si no procedemos como antes y el proceso termina en un número finito de pasos ya que G es finito. L E M A 11.1. Si G es un grupo finito, entonces G tiene una serie de composición. .

Demostración. Si G es simple entonces 1 < G es una serie de composición de G. Si G no es simple, por la observación anterior G tiene un subgrupo normal máximo H\ < G. Si Hi es máximo entonces 1 < H\ < G es una serie de composición de G. Si H\ no es simple procedemos como antes. Como G es finito el proceso anterior termina en un número finito de pasos.

□

G

=: G0 2 G?i 3

G = :G'02 G\

G2

2 •■•2

Gm= 1

2 G i 2 •B H

son dos series normales de un grupo G , diremos que son equivalentes si existe una biyección entre las familias de grupos cociente /
Ejemplo 1. Para el grupo cíclico G = C(30) de orden 30, se tienen las series de com­ posición

G = C(30) D C(6) D C( 3) D 1 y G M C{30) D C(10) D C(2) D 1 con grupos cociente { C (5 ),C (2 ),C (3 )}

y

{ C (3 ),C (5 ),C (2 )>

respectivamente, y por lo tanto las series son equivalentes. TEOREMA 11.2 (Jordan-Hólder). Cualesquiera dos series de composición de un grupo

finito G son equivalentes. Demostración. Por inducción sobre el orden n = \G\ de G. Si n = 2 la única serie de composición de G es G D 1 y no hay nada que probar. Supongamos ahora que el teorema es válido para grupos de orden menor que n y sea G de orden n. Si G es

11. GRUPOS SOLUBLES

141

IU £ II

simple, la única serie de composición de G es G D 1 y el teorema es válido en este caso. Si G no es simple consideremos dos series de composición de G :

(1)

G ^ .H o ^ H x D fy D -

y (2)

G =: K 0 2 K x D K 2 D • • • D Kt = 1

y distingamos los casos siguientes:

CASO l.S\ H\ = K x%las dos series de composición obtenidas de (1) y (2) eliminando al grupo G son equivalentes por la hipótesis de inducción aplicada al grupo H\ = K \, y como Ho/Hi = K o /K u entonces las series (1) y (2) también son equivalentes. CASO 2. Si H\ ^ K\> como ambos subgrupos son normales en G entonces H \K \ < G y como H\ ^ K\ entonces H\ H iK \ y ya que H\ es subgrupo normal máximo de G se debe entonces tener que H \K \ = G. Pongamos ahora L\ := H\ C\K\. Por el segundo teorema de isomorfismo de Noether (3)

G /H i = H iK i/H x | H l É t n Kx) = K x/ L x

y (4)

G /K i = H iK i/K i * H X/(H Xn K \) = Hx/L i

y por lo tanto K \/L \ y H \/L \ son simples puesto que G /H \ y G /K \ lo son. Sea L\ D L2 D • • • D Ls = 1 una serie de composición de L\. Como H\ D L\ y K\ D L \yse tienen las series de composición de G: (5)

G D H i D L i D L 2 2 - • 3 Ls = 1

y (6)

G D K i 2 Li DL 2 2 -■ O L , = l

ya que H\¡L\ y K \/L \ son simples. Los grupos cociente de (5) y (6) son

G /H l l H l / L l i L l /L 2, . . . iL9 y

G /K u K l / L l ,L 1/L 2, . . . , L 9 y así, por (3) y (4) las series (5) y (6) son equivalentes ya que salvo la permutación de los dos primeros grupos de la izquierda, los demás son iguales. Finalmente, las series de H\ que se obtienen de (1) y (5) son equivalentes por hipótesis de inducción. Análogamente las series de K \ que se obtienen de (2) y (6) también son equivalentes. Se sigue que las series de H\ y K \ que se obtienen de (1) y (2) son equivalentes y de (3) y (4) se sigue que (1) y (2) son equivalentes también. □ Grupos solubles. Un grupo G ñnito es soluble si tiene una serie normal cuyos cocien­ tes Gí /G í+ i son abelianos para 0 < i < n — 1 .

142

11. GRUPOS SOLUBLES

Ejemplo 2. Todo grupo abeliano G es soluble, ya que la serie K G satisface la definición.

Ejemplo 3. Un grupo finito simple no abeliano no es soluble ya que su única serie normal es de la forma 1 <1 G y el cociente G /l ~ G no es abeliano. Ejemplo 4. Si p es un primo, recordemos que un p-grupo finito es un grupo cuyo orden es una potencia de p. PROPOSICIÓN 11.3. Todo p-grupo finito es soluble. En otras palabras, si G es un grupo de orden pn, entonces existe una sucesión de subgrupos 1 == G0 C Gi C • • • C Gn 1 G

tales que G¿ es normal en G¿+i, |G¿| = px con 1 < i < n y los cocientes G í+ i /G¿ son cíclicos de orden p. Demostración. Por inducción sobre n. Si n = 0 es claro. Si n > 1 entonces, por el lema 9.10, Z(G) ^ 1 y como |Z (G )| divide a |G| = pn entonces \Z(G)\ = pm con 1 < m < n. Además, Z(G) abeliano de orden pm implica que Z(G) tiene un elemento o de orden p. Sea C el grupo cíclico generado por o. Entonces así \C\ = p y C C Z (G ), y por lo tanto C es normal en G y G /C es un p-grupo de orden pn~K Por hipótesis de inducción existe una sucesión de subgrupos

1 = C /C = G i/C < • • • < Gn/C = G /C } donde |(G ¿/C )| = p 1” 1 y por lo tanto G¿ = pt_ 1 |C | = p*~lp = p*, y G ¿/C < G i+ i/C , lo cual implica que G¿ <3 G¿+i. Si entonces ponemos Go = 1 se tiene la serie normal deseada para G y como los cocientes Gí+i /G í tienen orden p y por lo tanto son cíclicos, se sigue que G es soluble. □

Ejemplo 5. Si p y q son primos, cualquier grupo G de orden pq es soluble. En efecto, si p = q entonces G es un p-grupo y así es soluble por la proposición anterior. Si p q, podemos suponer que p > q y por el primer teorema de Sylow G tiene un psubgrupo de Sylow Hp cuyo índice es [G : Hp] = q < p y así por la proposición 9.15, Hp < G y el cociente G/Hp es cíclico de orden q. Se tienen así la serie de composición l £ H p $ G. Ejemplo 6 . Si p y q son primos, cualquier grupo G de orden p2q es soluble. En efecto, si p = q, entonces G es un p-grupo y así es soluble. Si p # g, tenemos dos casos: CASO 1. p > q. Por el primer teorema de Sylow G tiene un p-subgrupo de Sylow Hp de índice q < p en G y así por 9.15, Hp es normal en G y el cociente G /Hp es cíclico de orden p. Más áun, el grupo Hp es un p-grupo de orden p 2 y así es soluble por la proposición anterior. La serie de composición para Hp se puede extender a una serie

11. GRUPOS SOLUBLES

143

de composición para G simplemente añadiendo G a la serie de Hp y como el cocien­ te G/Hp es cíclico, se tiene entonces una serie de composición de G con cocientes abelianos y por lo tanto G es soluble. CASO 2. p < q. Por Sylow, G tiene un g-subgrupo de Sylow Hq. Ahora, como 1 < p < qt entonces p ^ 1 (mód q) y así el número nq de g-subgrupos de Sylow de G sólo puede ser 1 6 p2 (de los divisores de p2q). Si nq = 1 , entonces Hq < G y el cociente G/Hq es de orden p 2 y por lo tanto abeliano por 9.12. Ahora, como Hq es un g-grupo, entonces es soluble por la proposición anterior. Se sigue que G es soluble, como en el caso anterior. Si nq = p 2, como los g-subgrupos de Sylow de G comparten sólo al 1 , quitando a éste tienen p2(q — 1 ) elementos y así los elementos de G que no están en estos g-subgrupos de Sylow son p2q —p2(q — 1) = p 2 y por lo tanto sólo pueden formar un único p-subgrupo de Sylow Hv de G que debe ser entonces normal y el cociente G/Hp tiene orden q y así es cíclico. Como Hp es un p-grupo, es soluble. Se sigue que G es soluble, como en el caso anterior. Observación. Los dos ejemplos anteriores son casos muy particulares de un celebrado teorema de Bumside, cuya demostración daremos en el capítulo 15, como una aplica­ ción de la teoría de caracteres: Teorema B. (Bumside). Si |G | = prqs, entonces G es soluble. Esta formulación del teorema de Bumside es equivalente a la dada en el capítulo anterior: Teorema A. (Bumside). Si |G | = prq8 con r 4- s > 1, entonces G no es simple. En efecto, supongamos que el teorema B es cierto. Si G es abeliano, claramente no es simple (porque tiene orden prqs con r + s > 1 y por lo tanto tiene un subgrupo propio). Si G no es abeliano, la serie normal 1 < G no tiene cociente abeliano y como G es soluble por hipótesis, entonces tiene una serie normal con cocientes abelianos y por lo tanto G debe tener un subgroupo normal propio y así no es simple. Recíprocamente, supongamos que el teorema A es cierto. Usaremos inducción so­ bre |G|. Como G no es simple, entonces contiene un subgrupo normal propio H < G y así 1 < \H | < |G | y como \H\ divide a |G | = prqs, entonces los órdenes de H y de G/H son de la forma paqb. Si a + b < 1 entonces H es un p-grupo (ó un q-grupo) y por lo tanto es soluble. Si a + b > 1 , por hipótesis de inducción H es soluble. Lo mismo pasa para G /H . Hemos así mostrado que H y G /H son solubles. Por 11.6(3) se sigue que G es soluble.

Ejemplo 7. El grupo simétrico G = S 3 es soluble, mediante la serie 1 = Go C Gi C G2 := S3,

11. GRUPOS SOLUBLES

144

donde G\ = {1, (1 ,2 ,3 ), (1 ,3 ,2 )} , ya que es claro que G\
Ejemplo 8. El grupo simétrico G = S 4 es soluble, mediante la serie 1 = G0 C Gì C G2 C S4, donde G 2 = A4 es el grupo alternante de cuatro elementos, y G ì = V es el grupo de 4 elementos de Klein (que es abeliano), V = {1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.

Después de probar algunas propiedades de los grupos solubles, mostraremos que para n > 5 el grupo simétrico Sn no es soluble. Comenzamos con una caracterización de grupos solubles: dado un grupo G, sea G (1) := [G ,G ] el subgrupo de G generado por los conmutadores aba~1b~í con o, 6 6 G. [G : G] es el subgrupo conmutador de G, vea el Capítulo 5, antes de la proposición 5.15. LEMA 11.4. Sea G un grupo. Entonces, ( 1 ) G ^ es un subgrupo normal de G. (2) El grupo cociente G /G ^ es abeliano. (3) Si M < G es un subgrupo normal tal que G /M es abeliano, entonces G^1' C M.

Demostración. ( 1 ) Es la proposición 5.15. (2) Dados a • G ^ \ b • G ^ E Gy/G W con a, 6 6 G, se tiene que (a • G^1)) • (6 • G ^ )

= = = =

( ab)G^ (a 6)( 6“ 1 a ” 16a ) G ^

por definición de producto yaque 6“ 1 a “ 16a € G ^

(ba.)GW (b -G W X a -G W ).

(3) Mostraremos que todos los generadores aba~xb~l de G ^ están en M. En efecto, para el generador a 6a “ 16_1 de G^l\ como G /M es abeliano

abM = baM y as la b a ^ b "1 = ab(ba)~l e M. Como G ^ es un grupo también, podemos considerar su subgrupo conmutador G (2) := [G(1 ),G (1)],

□

11. GRUPOS SOLUBLES

145

y en general, iterar el proceso anterior obteniendo una cadena de subgrupos de G:

G D G (1) D G (2) 3 • • • 3 G (i> D . . .

(*)

donde G ^ := [G^“ 1), G ^ “ 1)] y además (poniendo G<°) := G), por el lema anterior se tiene que: (i) G ^ <1G^1“ 1) para todo i> 1. (ii) De hecho, GW <3 <3 para toda ¿ > 0. (iii) Los cocientes G$ /¿ (» + 1) son abelianos para toda i > 0. PROPOSICIÓN 11.5.

Un grupo G es soluble si y sólo si (J(*0 = 1 p ara a/giín entero n.

DEMOSTRACIÓN. Si G ^ = l , la cadena (*) es finita

1 = G ^ C G ^ l) C • • • C G (1) C G (0) = G y es tal que cada G^t+1) <1 G ^ y los cocientes G ^ /G ^ 1* 1) son abelianos. Se sigue que G es soluble. Recíprocamente, si G es soluble, se tiene una serie 1 = Go C G i C • • • C G n = G

donde cada G¿ <3 G ,+ 1 y los cocientes G í + i /G* son abelianos. Entonces, del lema (11.4)(3) se tiene que [Gi+1, G¿+ 1] C G¿, y así G« G (2)

:= :=

[G,G] = [G „ ,G „ ]C G „ _ i [ G W ,G « l S [ G „ _ x>G „ _ i] C G „ - 2

G(»)

;=

[G t" -1) ^ ”- 1)] C [G i,G i] c G 0 = 1

i.e.,G = l. TEOREMA 11.6.

□

Sea G un grupo. Entonces,

(1) SiH C G es un subgrupo y G e s soluble, entonces H es soluble. (2) SiH < G y G es soluble, entonces G /H es soluble. (3) Si H < G es tal que H y G /H son solubles, entonces G es soluble.

Demostración. (1) Si G = 1, como

§ G
(3) Como G / t f es soluble, existe m tal que G^"*) C H y como H es soluble existe tal que H *>í = 1, y así G(m+n> = 1.

□ 3

(2) El homomorfismo canónico G -+ G /H induce homomorfismos suprayectivos G("*) -+ ( G /J í) (m), y así, si G<") = 1 entonces (G / H )("> = 1.

11. GRUPOS SOLUBLES

146

O bservación. Un grupo G se dice que es extensión de un grupo N por un grupo M, si G tiene un subgrupo normal H < G isomorfo a N y tal que el cociente G/H es isomorfo a M . Se suele usar la notación

1

-

H

—

G -> G /H

u

->

1

n

N

M

Con esta notación, el teorema previo nos dice que la clase S de grupos solubles es cerrada bajo subgrupos, cocientes y extensiones. Nótese que la clase A de grupos abelianos es obviamente cerrada bajo subgrupos y cocientes, pero no lo es bajo ex­ tensiones, por ejemplo, el grupo G = S 3 tiene el subgrupo normal H = A3 que es cíclico (y así, abeliano) con cociente S 3/A 3 cíclico de orden 2 (y así abeliano), y sin embargo S 3 no es abeliano. En este sentido, los grupos solubles se comportan mejor que los abelianos. El lema siguiente nos servirá para probar que los grupos simétricos 5 n , n > 5, no son solubles. Note que en los ejemplos 7 y 8 mostramos que S$ y Si son solubles y obviamente Si y S2 también son solubles ya que son abelianos. LEMA 11.7. Sean n > b y G — Sn el grupo simétrico en n letras. Entonces, los grupos conmutadores G ^ ) de G, k > 1, contienen todos los 3-ciclos de Sn.

Demostración. Por la observación (ii) después de (11.4) se tiene que si N < G entonces jVÍ1) = [Ar, N] < G. Probaremos primero que s i J V < G = «S'n , n > 5 , contiene a todos los 3-ciclos de

Sn entonces N M = [N, N] también contiene a todos los 3-ciclos de 5n. En efecto, si a, 6, c, d, e son 5 letras distintas (aquí es donde usamos que n > 5), como N contiene a todos los 3-ciclos, entonces o — (abe) y r = (ade) están en N, y por lo tanto su conmutador está en N í1); errer- 1 = (abc)(ade)(cba)(eda) = (abd) £ N^l\ Y como N W < Sn , para todo n £ Sn se tiene que

n(abd)n~1 £ En particular, para n £ Sn tal que n(a) — r, n(b) = s, 7r(d) = t t donde r, s, t son tres enteros (entre 1 y n) diferentes, se tiene que 7r(abd)7r~x = (rst) £ N^l\

y esto para todos los 3-ciclos (rst) de 5 n. Finalmente, poniendo N = G = Sn que ciertamente es normal y contiene todos los 3-ciclos de Sn, se tiene que N W = G^1^ también contiene a todos los 3-ciclos de Sn. De nuevo, por la primera parte de la demostración, como G ^ < G contiene a todos los 3-ciclos, entonces G ^ < G también contiene a todas los 3-ciclos. Por inducción se sigue que G 'fc) contiene a todos los 3-ciclos de Sn .

□

11. GRUPOS SOLUBLES

147

Corolario 11.8. Si n > 5, el grupo Sn no es soluble.

Demostración. Por el lema previo, para G = Snt GW contiene a todos los 3-ciclos de Sn para toda k > 0. Por lo tanto G ^ ¿ 1 para toda k > 0, y así por ( 1 1 .5 ) G = Sn no es soluble.

□

Grupos nilpotentes. Dado cualquier grupo G, se defínen los subgrupos Z ’(G) de G como sigue: Z°(G) = { 1 } es el subgrupo trivial, Z l (G) es el centro Z(G) del grupo G, Z2(G) es el subgrupo de G correspondiente al centro del cociente G /Z l (G) (por el teorema de correspondencia, 5.12, los subgrupos del cociente G /Z l (G) están en correspondencia biyectiva con los subgrupos de G que contienen a Z 1 (G) y como el centro Z(G /Zl (G)) es un subgrupo normal de G /Z l (G), entonces el subgrupo Z 2(G) correspondiente es normal en G); así, Z*(G) C Z 2(G). Inductivamente, si Z*(G) ya está definido, sea Z x+l (G) el subgrupo normal de G correspondiente al centro del cociente G /ZX(G). Se tiene así una cadena de subgrupos (*)

{1} = Z °(G ) C Z l (G) C Z 2(G) C • •. C Zi(G) C • • • C G

donde cada Z X(G) está definido por Z ’(G )/Z ,_ 1 (G) = Z (G /Z *~ 1 (G)). La cadena de subgrupos (*) se llama la serie central superior de G. Un grupo G se dice que es nilpotente si existe un entero n > 0 tal que Z n (G) = G. El menor entero que satisface lo anterior se llama la clase de G.

Ejemplo 9. El grupo trivial G = { 1 } es el único grupo nilpotente de clase cero. Los grupos abelianos no triviales son grupos nilpotentes de clase 1 . LEMA 11.9. Todo grupo nilpotente es soluble.

Demostración. Si G es nilpotente de clase n, se tiene una cadena de subgrupos {1} =

)C °(G Z

C Z 2(G) C • • • C Z ^G ) C • • • C Z n(G) = G

donde cada Zi(G)/Zi~1(G) = Z{G¡Zi- x{G)) por lo que Z \G ) < Z i+1{G) para cada i > 0, i.e., la cadena anterior es una serie normal cuyos cocientes son centros de un grupo y por lo tanto son abelianos y así G es soluble. □ LEMA 11.10. Todo grupo nilpotente (no trivial) tiene centro no trivial.

Demostración. Si G es nilpotente no trivial y si Z (G ) = 1, entonces Z l (G) = 1 y así Z \G ) =:

Z \G ) ¡ 1 = Z 2(G )/Z 1(G) =

1 ) = Z(G) =

y similarmente se prueba que cada Z X(G) = 1 , en contradicción con ser G nilpotente.

□ E ejemplo siguiente nos dice que hay grupos solubles no nilpotentes:

148

11. GRUPOS SOLUBLES

Ejemplo 10. En el ejem plo 7 m ostram os que el grupo S$ es soluble. Veremos que no es nilpotente. En efecto, por el lem a 11.10 todo grupo nilpotente no trivial tiene centro no trivial, pero por 1 0 .2 , Z ^ S s ) = 1 .

Más ejemplos de grupos nilpotentes nos los da el lema siguiente: LEMA 11.11.

Todo p-grupo finito es nilpotente.

Demostración. Por el lema 9.10, si G es un p-grupo finito, G y todos sus subgrupos y cocientes no triviales tienen centros no triviales. Así, si Z X(G) ^ G para alguna i, entonces Z (G /Z X(G)) ^ 1, por lo que el subgrupo Z ,+1(G) correspondiente es diferente de Z X(G), i.e., Z X(G) £ Z i+l(G). Como G es finito, la cadena 1 £ • • • £ Z X(G) Z t+1(G) no puede ser infinita. Se sigue que algún Z X[G) = G y así G es nilpotente.

□

El lema anterior nos da grupos no abelianos que son nilpotentes y el ejemplo 10 nos da grupos solubles no nilpotentes. Se tienen así inclusiones estrictas entre las siguientes clases de grupos: Grupos abelianos £ Grupos nilpotentes £ Grupos solubles. Así como los grupos solubles pueden ser caracterizados usando subgrupos conmu­ tadores, se tiene algo análogo para los grupos nilpotentes y para ésto necesitaremos el concepto siguiente, que generaliza la definición de subgrupo conmutador. Si H y K son dos subgrupos de un grupo G, denotemos con [H, K] al subgrupo de G generado por todos los conmutadores de la forma [ M ] = hkh~1k~1

con

heH

y

k e K.

Para comenzar notemos que [i/, K] = [K,H], lo cual se sigue de observar que si h G H y k G K yentonces (hkh~l k~l )~l = k h k ^ h " 1. LEMA 11.12. (1) K C N g (H ) .

Sean H y K subgrupos de G. Entonces, [H, K] C H si y sólo si

(2) Sean K < G y K C H C G. Entonces, [H, G\ C K si y sólo si H /K C Z(G/K). (3) Sea f : G —* G' un homomorfismo suprayectivo. Si A C Z(G), entonces f(A) C

Z(G'). Demostración. (1): Si [H , K] C H , entonces para todo k € K y h G H> hkh~xk~l 6 H y así kh~l k~l € H para todo k G K y todo h~l G H , por lo que K C N q {H). Recíprocamente, si K C N q (H) entonces para todo k € K C N q {H) y todo h G H < N g (H) se tiene que fc/iAr1 G H y así h(kh~l k~l ) G i f , i.e., [/i, k] G , por lo que [H, K) C Tí. (2): Si [H , G] C K y entonces para cualquier clase lateral hK G H /K y cualquier clase gK £ G /K queremos probar que hK gK = g K h K , es decir, que hgK =

149

11. GRUPOS SOLUBLES

i.e., que (gh)(hg)~x E K t i.e., que ghg~xh~x E K , pero esto último se sigue de la hipótesis de que [if, G]C K y del hecho de que [JJ, G] = [G, H). Recíprocamente, si H /K C Z (G /K ), entonces gh)(hg)~x E K para todo g € G y h e H. Así, ghg~xh~x G Af para todo g e G y h € H, i.e, [G, H] C K . (3): Si /(o ) G /(A ) y si h G G, como / es suprayectivo existe un g G G tal que h ss f(g). Entonces

f{a)h = f(a)f{g) = /( a p ) = /(p a )

porque o G Z(G)

= y a sí/(a ) G Z(G').

□

Usando los subgrupos [//, K] definidos arriba, dado cualquier grupo G definimos los subgrupos siguientes: L X(G ) L 2(G )

:= G := [L!(G),G] = [G,G]

L3(G) :=

[L2{G\G]

:=

[L i(G )t G \.

L í+ \{ G )

LEMA 11.13. Sea G cualquier grupo. Entonces, para todo entero i > 1, (1) Lm (G) C L í (G). (2) Lí (G) es un subgrupo normal de G.

Demostración. ( 1 ): Inducción sobre i. Como L\(G) = G y L2(G) = [G,G], entonces L2(G) C L\(G). Supongamos ahora que Li(G) C L í _ i (G). Para cualquier generador hgh-xg -x de Li+ 1 (G) = [Li(G),G], con h E U(G) y g G G, como U{G) C Li-i(G) entonces h G L j_i(G ), por lo que hgh~xg~x G [L*_i(G),G] = L¿(G) y así Lí+ í (G) C Li(G). (2): Como, por la parte ( 1 ), [L<(G), G] = Li+i(G) C Li(G ), el lema 11.12(1) implica que G C N g (Lí (G))9i.e., que JVg (Z,í (G)) = G y así U{G) < G. □ El lema anterior nos dice que se tiene una cadena de subgrupos de G: G = : ¿ i(G ) D L 2(G) D ••• 3 Li(G) 2

- O {1} = 1

a la que se llama la serie central inferior de G. El adjetivo central proviene del teorema siguiente, que relaciona la serie descendente anterior con la cadena ascendente dada por centros de cocientes de G y con la noción de nilpotencia:

150

11. GRUPOS SOLUBLES

Sea G un grupo. Entonces, Z m(G) = G si y sólo si Lm+\(G) = 1. Se sigue que G es nilpotente de clase m si y sólo si Lm+ i(G ) = 1 y m es el menor entero que satisface lo anterior.

TEOREMA 11.14.

Demostración. Supongamos que Z m(G) = G. Probaremos que (*)

Li+l(G) C Z m~ \G )

por inducción sobre i. Cuando i = 0 ambos lados de (*) son iguales a G. Supongamos ahora que Li+i(G ) C Z m“ *(G). Entonces,

L í+2(G)= [L¿+ 1 (G),G ] C

C Z m -< - 1 (G)

la primera inclusión por hipótesis de inducción y la última porque, por definición de se tiene que Z m- i(G)/Zm~i- 1(G) = Z i G / Z ^ - ^ G ) ) y luego aplicamos el lema 11.12 (2). Esto prueba (*) para i + 1 . En particular, para i = m, de (*) se sigue que Lm+i(G ) C Z°(G) =1 y así Lm+Í(G) = 1. Recíprocamente, supongamos ahora que L m+ i(G ) = 1. Probaremos ahora (*) en la forma (**)

Lm+l.i(G ) C Z \G ),

notando que (**) es la misma inclusión que (*) ya que la suma de los índices es m + 1 . Para comenzar la inducción, en el caso i = 0 ambos lados de (**) son iguales a 1. Asumamos ahora que Lm+i_¿(G) C Z l(G). Entonces, para i + 1 observemos que como [Lm-i(G), G] C Lm+i_¿(G) (de hecho, se tiene la igualdad por definición), por el lema 11.12 (2) se sigue que Lm_¿(G )/L m+ i_t(G ) C Z (G /L m+i_i(G )) y si ahora consideramos el homomorfismo suprayectivo inducido por la inclusión de la hipótesis de inducción: P : G /Lm+i-i(G) —►G /Z i(G) entonces, por 11.12 (3) se sigue que

Lm. i(G)Zi (G)/Zi{G) = p (G /L m+i_*(G)) C Z{G /Zi(G)) = Z i+ 1 (G)/Z*(G),

por lo que Z t+ 1 (G) D Lm^¿(G)Z*(G) 3 L m_i(G ), como se quería. Así, la inclusión (**) es válida para todo i, y en particular para i = m se tiene que G = L\(G) C Z m(G), por lo que Z m(G) = G. □ Una consecuencia inmediata de esta caracterización de grupos nilpotentes es el resultado siguiente que nos dice que los grupos nilpotentes tienen algunas de las pro­ piedades de los grupos solubles que probamos en 1 1 .6: COROLARIO 11.15. (1) Subgrupos de nilpotentes son nilpotentes.

(2) Si G es nilpotente y H
11. GRUPOS SOLUBLES

151

Demostración. (1): Si G es nilpotente y H C G, por inducción sobre t se muestra que Li{H) C Li(G ), por lo que si Lm(G) = 1 se tiene que Lm(H) = 1 también. (2): Para el homomorfismo suprayectivo canónico p : G —+ G /H , por inducción so­ bre i se prueba que Li(G /H ) C p(L<(G)) y por lo tanto, si Lm(G) = 1 entonces Lm(G/H) = 1 también. □ Note sin embargo que la parte 3 de 11.6 no es válida para grupos nilpotentes, es decir, la clase de grupos nilpotentes no es cerrada bajo extensiones. El mismo ejemplo Sz nos sirve ya que el subgrupo A$ < Sz es abeliano y el cociente S 3/A 3 también es abeliano por lo que tanto el subgrupo Az como el cociente S 3/A 3 son nilpotentes, pero Sz no lo es por el ejemplo 10 . Nuestro objetivo ahora es mostrar que los grupos nilpotentes finitos no están muy lejos de los p-grupos finitos y para ésto necesitaremos los dos lemas siguientes, el primero de los cuales es la versión para grupos nilpotentes del ejercicio 5. LEMA 11.16. Si G es el producto directo de un número finito de grupos nilpotentes, entonces G también lo es.

Demostración. Por inducción sobre el número de factores directos es suficiente consi­ derar el caso cuando G = H x K es el producto directo de dos grupos nilpotentes. Otra inducción, ahora sobre i > 1, muestra que Li(G) = Li(H x K ) = Li(H) x Li(K)

para todo i > 1.

Sean m y n las clases de H y K> respectivamente y sea t — m áx{m , n}. Entonces

Lt {G) = Lt (H) x Lt (K) = 1 ya que Lt(H) C Lm(H) = 1 y similarmente para K .

□

Sea G un grupo finito y sea P un p-subgrupo de Sylow de G. Entonces, P es el único p-subgrupo de Sylow de su normalizador N := N g {P) y nonnalizador de N es igual a N. LEMA 11.17.

Demostración. Para la primera afirmación observe que P < Nc{P) y así P es un psubgrupo de Sylow de N = N c(P ) y como P es normal en N entonces es el único psubgrupo de Sylow de N . Para la segunda afirmación, como N C N g {N)> si existiera un elemento x € N q (N) — N t entonces x & N = N g (P) por lo que xP x~ l ^ P . Ahora, como x G N g {N), entonces x N x ~ x = N y como P C N = 7V¿(P), entonces xPx~x C x N x ~ l = N y así x P a T 1 C JV, con xP x~ l un p-subgrupo de Sylow de N distinto de P , en contradicción con la primera parte del lema. □ El teorema siguiente resume las distintas caracterizaciones de nilpotencia:

152

11. GRUPOS SOLUBLES

TEOREMA 11.18 (Bumside-Wielandt). Sea G un grupo finito. Las afirmaciones si­ guientes son equivalentes: (1) G es nilpotente. (2) Si H es un subgrupo propio de G, entonces H £ Ng {H). (3) Para cada primo p sólo existe un único p-subgrupo de Sylow de G. (4) G es el producto directo de sus subgrupos de Sylow. Demostración. (1) =» (2): Escojamos un índice i tal que Li+\(G) C H pero L¿(G) g H (esto siempre es posible para cualquier cadena de subgrupos de G que comienza en G y termina en 1). Entonces, [Li(<2),üT] C [Li(G),G] = Li+i(G) C H , y así, por 11.12 (1), L¿(G) C N g {H ), y como L¿(G) % H , entonces existe algún elemento en N q {H) que no está en H. (2) =» (3): Sea P cualquier p-subgrupo de Sylow de G y sea N = N g (P) su normalizador en G. Por el lema anterior N es igual a su normalizador y por la hipótesis (2) se sigue que N no puede ser un subgrupo propio de G , es decir, G = N = N q {P) y así P < N g (P) = G , i.e., P es normal en G , y como todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados se sigue que todos son iguales a P ya que P < G y por lo tanto sólo hay un p-subgrupo de Sylow para cada primo p. (3) => (4): Sean p i , . . . , pm todos los divisores primos del orden de G y sean GPi los (únicos) pt-subgrupos de Sylow correspondientes. El producto directo GPl • • • GPm es un subgrupo de G cuyo orden es igual al de G. Se sigue que este producto directo debe ser igual a G. (4) =s» (1): Si G es el producto directo de sus p-subgrupos de Sylow, por los lemas l l . 1 6 y l l . l l s e sigue que G es nilpotente. □ Notas. (1) La noción de solubilidad de un grupo tiene su origen en los trabajos de Galois [40] y Abel sobre el problema de la solubilidad mediante radicales de ecuaciones polinomiales de grados > 5. En su libro [11], Camille Jordán reúne la mayoría de sus publicaciones en teoría de grupos dando además un enfoque unificado a resultados previos de Galois, Cauchy y otros creadores de la teoría de grupos. Es en este tratado donde Jordán hace explícitas las nociones de homomorfismo e isomorfismo de grupos (de permutaciones), introduce las nociones de grupo soluble y de serie de composición y demuestra una parte del teorema de Jordan-Hólder, a saber que los índices de los grupos en cualesquiera dos series de composición son iguales. Fue Otto Hólder, en [42] quien introduce la noción abstracta de grupo cociente y prueba que en cualesquiera dos series de composición de un grupo dado, los grupos cociente correspondientes son isomorfos.

11. GRUPOS SOLUBLES

153

(2) El resultado más general sobre grupos solubles es un célebre teorema de Feit y Thompson (célebre porque demostraba una conjetura importante de Burnside y tam­ bién por la longitud de la demostración: el artículo de más de 250 páginas ocupa todo un número de la revista donde apareció [32]), y su demostración está mucho más allá de los límites de este texto: Teorema A (Feit-Thompson). Todo grupo finito de orden impar es soluble. Este teorema se puede formular en forma equivalente, como sigue: Teorema B (Feit-Thompson). Todo grupo finito, simple y no abeliano tiene orden par.

En efecto, supongamos que A es verdadero y sea G un grupo finito simple no abeliano. Si |G| fuera impar, por la hipótesis A, el grupo G sería soluble, lo cual es imposible ya que siendo G simple no tiene subgrupos normales propios, por lo que la única serie normal de G es 1 < G cuyo cociente es G / l G que no es abeliano. Recíprocamente, supongamos que B es verdadero y sea G un grupo de orden impar. Sea G = Gq 3 G\ D G2 5 • • • 2 Gn — 1 una serie de composición de G, con inclusiones estrictas. Entonces, todos los cocientes Gí/G í+i son simples. Si alguno de estos cocientes fuera no abeliano, por la hipótesis B este cociente tendría orden par, lo cual es imposible ya que como |G| es impar, sus subgrupos Gi tienen orden impar (por Lagrange) y así los cocientes G ¿/G ¿+1 también son de orden impar. (3) La solubilidad de los p-grupos la demostró Sylow en [54]. (4) La solubilidad de los grupos de orden prq3>para valores pequeños de p, q, r, 5 , había sido estudiada por Jordán [44], Frobenius [39], Hólder [44] y Burnside [2], donde se preguntaba por lo que sucedía en el caso general. Los casos especiales mencionados, como vimos en este capítulo, sólo requerían conceptos y resultados elementales de la teoría de grupos. (5) La demostración general del teorema prqs de Burnside, en [26], es de una naturaleza completamente diferente a la de los casos especiales de la nota anterior, en el sentido de que usaba la teoría de caracteres de grupos, lo cual, de cierta forma, legitimaba a ésta como una herramienta poderosa para obtener resultados sobre la estructura de los grupos finitos. Fue hasta 1972 cuando Bender [23] obtuvo una demostración elemental, i.e., sin usar representaciones de grupos, del teorema de Burnside.

154

11. GRUPOS SOLUBLES

(6) A sí como el término soluble fue tomado de la teoría de Galois de las ecuaciones polinomiales algebraicas, el término nilpotente fue tomado de la teoría de grupos y álgebras de Lie, cuyo objetivo inicial era desarrollar una teoría de Galois de las ecua­ ciones diferenciales. Dado un grupo de Lie G (digamos, lineal conexo) con álgebra de Lie correspondiente L, se tiene que Z m(G) = G si y sólo si el álgebra de Lie L consiste de matrices nilpotentes. En su libro [2], Bumside probó que un grupo finito tiene una serie central si y sólo si es producto directo de sus p-subgrupos de Sylow. (7) Existe una analogía muy sugerente entre la aritmética de los números naturales N y algunos aspectos de la teoría de grupos finitos. En esta analogía, un divisor n de un número natural ra corresponde a un subgrupo normal N de un grupo G, de tal forma que así como m /n es de nuevo un número natural, el cociente G /N es un grupo. En esta línea de ideas, si pensamos a un primo p como un entero > 1 cuyos únicos divisores son 1 y p mismo, el concepto correspondiente es el de un grupo simple, i.e., aquél cuyos únicos subgrupos normales son el 1 y TV mismo. Recordemos ahora que el resultado más importante de la aritmética de N es el teorema de factorización única, a saber, que todo entero m > 1 se puede escribir en forma única (salvo el orden de los factores) como un producto de primos m = p^1 *■•p e3s. Para poder ver el resultado análogo para grupos finitos conviene reformular el teorema anterior de la forma siguiente: consideremos a m como un producto de primos repetidos de acuerdo a su multiplicidad ra = p\p2 • • pr y definamos los enteros mi como sigue: rao = m, raí = P2 • • *Pr» wi3 = P 3 **• • • •>m r- i = pr y m r = 1, de tal forma que

(1)

ra = rao > mi > 7712 > rar_i > rar = 1

donde cada ra*+i|rat y además cada cociente ra¿ /m i +1 es primo. Note que en esta descripción de ra, los primos que ocurren en la factorización de ra y sus multiplici­ dades e< están unívocamente determinados por ra, pero los enteros ra» no lo están, por ejemplo, si ra = 60 = 22 • 3 • 5, podemos escribir 60 > 30 > 15 > 5 > 1

y

60 > 20 > 10 > 2 > 1.

Esta formulación del teorema fundamental de la aritmética es la que tiene su análo­ go en la teoría de grupos finitos en el teorema de Jordan-Hólder, que dice que, para todo grupo finito G existe una cadena de subgrupos (2)

G = Go ^ G i D> G 2 1> • • • o G r _ i c> G r ^ 1

tal que cada G¿+i es normal en G» y los cocientes G »/G ¿+ 1 son simples. Más aún, la familia de grupos simples así obtenida depende sólo de G. Ahora, el teorema funda­ mental de la aritmética nos dice que el entero m se puede recuperar de la cadena (1) tomando los cocientes pi = m ¿/rai+ i primos y sus multiplicidades; en este sentido es natural preguntarse cómo se puede recuperar el grupo G de la cadena (2), es decir,

11. GRUPOS SOLUBLES

155

de los cocientes G í /G í + i , que son grupos simples, y de sus multiplicidades. La pre­ gunta podría plantearse de la manera siguiente: conociendo todos los grupos simples Si y usando el teorema de Jordan-Hólder, cómo podemos recuperar cualquier grupo finito G dado. Lo primero que debemos hacer es determinar la lista de grupos simples S\ t . . . , Sr que aparecen como factores de composición simples de G; el segundo paso sería construir el árbol de subgrupos Gi de G tales que Gí /G í+i ~ Si, para que al final se tenga que Go — G. La construcción de este árbol comienza fácilmente ya que como Gr = 1, escogemos Gr- \ = ST para que se tenga que Gr- \ / G r ~ Sr . El paso siguiente, una vez determinados Gr y Gr- i es encontrar un grupo G r_2 sabiendo que debe satisfacer que Gr_ 2/G y - i — Sr _ 1 , es decir, el grupo G r_2 que buscamos debe tener como subgrupo normal a Gr - i y como cociente al grupo simple Sr- v Este paso se conoce como el problema de extensión de Hólder y se formula en general como si­ gue: conociendo un (sub)grupo N y un grupo (cociente) Q, se quieren determinar todos los grupos E tales que N < E y E /N ~ Q. A los grupos E que satisfagan lo anterior se les llama extensiones de N con cociente Q y se suele usar la notación siguiente

N >—►E —*>Q. En general, así como los enteros mi no son únicos, los grupos E tampoco son únicos; un ejemplo es el siguiente: si iV = Z /3 Z y Q = Z /2Z , el problema de extensión Z /3 Z >—♦ E

Z /2 Z

tiene como soluciones a 2£ = Z /6 Z y E = 53 . La pregunta importante ahora es si existe un método sistemático para construir todas las posibles extensiones de un grupo dado N y con cociente dado Q. La respuesta es afirmativa, como demostró O. Schreier en [51] y que ahora forma parte de la cohomología de grupos, un tema que no tratamos en este libro. El método desarrollado por Schreier construye todas las tablas de multiplicación posibles para el grupo E , sin embargo hasta la fecha no se cono­ ce un procedimiento general para identificar tablas de multiplicación correspondientes a grupos isomorfos, por lo que la lista de tablas de multiplicación está, en general, plagada de repeticiones. De todas formas, usando el procedimiento de Schreier se pue­ de obtener un grupo G i - 1 a partir del grupo Gi y con cociente Si, que satisface que Gí- i /G í ~ Si. El método anterior da sentido a la afirmación de que los grupos simples son los la­ drillos a partir de los cuales se pueden obtener todos los grupos finitos y es por eso que el teorema de clasificación de los grupos simples finitos tiene una gran importancia.

Ejercicio 1. Si G es un grupo finito, demuestre que una serie de composición de G es una serie normal de longitud máxima. Ejercicio 2. Si H < G y si H y G /H son p-grupos, demuestre que G también es un p-grupo.

156

11. GRUPOS SOLUBLES

E j e r c ic io 3. Si G es un p-grupo finito y si H C G es un subgrupo propio de orden pk , dem uestre que H se puede m eter en un subgrupo de G de orden pk+l. Concluya que todo subgrupo m áxim o de G tiene índice p. E j e r c ic io 4. D em uestre que los grupos diédricos Z>2n son solubles. E j e r c ic io 5. Si H y K son grupos solubles, demuestre que G = H x K también es

soluble. E je r c ic io 6 . Si G es un grupo finito, soluble y sim ple, dem uestre que G es cíclico de orden primo p. E je r c ic io 7 . Si G es un grupo de orden p2qy con p , q primos, demuestre que G es

producto directo de sus subgrupos de Sylow. E je r c ic io 8. Si H y K son subgrupos solubles de un grupo G y además H
G es finito. EJERCICIO 11. Sean G un grupo finito y H C G un subgrupo. Se dice que H es subnormal si existen subgrupos G¿ C G, 0 < i < n , tales que

H — Go

<3 G\
Si H es subnormal, demuestre que los cocientes de cualquier serie de composición de H son una subfamilia de los cocientes de una serie de composición de G. E je r c ic io 12. Con las mismas hipótesis del ejercicio anterior, si además H < G% demuestre que los cocientes de una serie de composición de G son la unión de los cocientes de H y de G/H. E je r c ic io 13. Demuestre que el grupo diédrico £>2n es nilpotente si y sólo si n es una potencia de 2. E j e r c ic io 14. Sea G un grupo nilpotente finito de orden n y suponga que m divide a n . D emuestre que G contiene un subgrupo de orden m .

11. GRUPOS SOLUBLES

157

EJERCICIO 15. Sea G un grupo y denotemos con $(<7) a la intersección de todos los subgrupos máximos de G. Demuestre que $(G) < G. El grupo ${G) se llama el subgrupo de Frattini de G.

Ejercicio 16. Si G es finito, demuestre que $ (G ) es nilpotente. EJERCICIO 17. Un elem ento x E G se dice que es un no generador si siempre que el conjunto Y U {a?} genere un subgrupo H de G se tiene que Y ya generaba a H . Demuestre que $ ((7 ) es el conjunto de todos los no generadores de G.

EJERCICIO 18. Si G es un grupo, demuestre que G ^ C Li(G). Use lo anterior para dar otra demostración de que todo grupo nilpotente es soluble. EJERCICIO 19. (Wielandt). Demuestre que un grupo finito G es nilpotente si y sólo si todo subgrupo propio máximo de G es normal. EJERCICIO 20. Si G es un grupo no abeliano de orden p 3, para p un primo, demuestre que su centro es igual a su subgrupo conmutador. EJERCICIO 21. Use el ejercicio anterior para probar que todo grupo no abeliano de orden p 3 es nilpotente de clase 2 .

Ejercicio 22. Si G es nilpotente, demuestre que todo subgrupo de índice primo es normal. EJERCICIO 23. Demuestre que un grupo finito no trivial G es nilpotente de clase m si y sólo si G/Z(G) es nilpotente de clase m — 1 .

Capítulo

G ru p o s d e m a tric e s

E

N CAPÍTULOS prev io s hemos visto la importancia de los grupos de permutacio­ nes. Otras familias importantes de grupos son las que provienen del álgebra lineal, en particular son de interés los grupos GL(n, K ) de matrices invertibles con entradas en un campo K> por ejemplo K = R ó K = C. Sin embargo ninguno de estos grupos es finito y sólo en los ejercicios 3 y 4 del capítulo 2 encontramos al grupo GL(2, F 2) y a uno de sus subgrupos, que son grupos de matrices finitos. En este capítulo estudiaremos a los grupos GL(n, Fp) de matrices invertibles con entradas en Fp = Z /p Z con p un primo, algunos de sus subgrupos y cocientes, para culminar con el teorema 12.9 donde exhibiremos una familia de estos cocientes que son simples. Ahora, como la operación del grupo GL(n, Fp) es el producto de matrices y como este producto está dado por sumas de productos de las entradas de las matrices involucradas, donde estas entradas son elementos de Fp, comenzamos recordando cómo se suman y multiplican los ele­ mentos de Fp = Z /p Z y las propiedades que tienen estas operaciones, análogas a las propiedades de las sumas y productos de Q, IR ó C. Recordemos que Fp es el conjunto Z /p Z de clases residuales módulo p, *V = {[0],[l],[ 2] , . . . , [ p - l ] } y que ya hemos visto que, con la suma definida usando representantes, el conjunto (Fp, + ) es un grupo abeliano. Si ahora definimos el producto de dos clases residuales [a], [b] € Fp mediante [a][b] := [ah], eligiendo representantes a £ [a], b € [6], en forma análoga a como se hizo para la suma, se prueba que este producto está bien definido, es asociativo, conmutativo, distributivo con respecto a la suma y la clase [1] € Fp es neutra para el producto. Más aún, si [a] E Fp con [a] ± [0], entonces p \ a y como p es primo entonces mcd(p, a) = 1 por lo que 1 es combinación lineal de a y p, es decir, existen enteros uyv tales que au + pv = 1 y reduciendo módulo p esta igualdad se vuelve [a][u] = [1] en Fp, ya que [p] = [0]. Hemos así mostrado que si [a] ^ [0], entonces existe [ti] G Fp tal que [a] [ti] = [1] y decimos que [ti] es un inverso multiplicativo de [a] y por lo tanto todo elemento distinto de cero de Fp tiene inverso multiplicativo. Así, Fp junto con la suma y producto definidos arriba es un campo y como |FP| = p, entonces Fp es un campo con un número finito de elementos. Además de los campos finitos Fp existen otros campos finitos (cuya cardinalidad necesariamente es de la forma p n , 159

160

12. GRUPOS DE MATRICES

para p un primo), sin embargo su construcción ya no es tan sencilla y en este capítulo nos restringiremos a los campos ñnitos Fp aún cuando los resultados que probaremos siguen siendo válidos para cualquier campo finito. Si K es cualquier campo, pongamos K* := K — {0} y observemos que, con el producto del campo K y el conjunto K* es un grupo multiplicativo abeliano. Cuando K es un campo finito, el grupo finito K* es cíclico y ésto lo probaremos para K = Fp. Necesitaremos el lema siguiente: LEMA 12.1. Sea f(x) € K[x] un polinomio de grado n > más n rafees a G K de /(x).

1.

j j j

j j

Entonces, existen a lo

Demostración. La demostración es por inducción sobre n > 1, el caso n = 1 es obvio, Sean n > 1 , f(x) = anxn H------ Ha\x + ao y supongamos que / ( a ) = 0, con a € K. Entonces,

j j ¡

1

/( * ) = /(* ) - /( * ) (ya que f(a ) = 0) = an(xn —a n) H-------h ü2(x 2 —o?) + a\(x —a) -f ao(l - 1 )

= (x - a)(an(xn~l H ----- 1- an_1) H ----- h ü2 (x + a) + ai)

j

= (x - a)g(x)

*

con <7(x) € K[x] de grado n - 1. Es claro que cualquier raíz de g(x) es raíz de f(x) y si 0 es una raíz de /(x ) con /? # a , entonces /? debe ser una raíz de g(x) ya que 0 = /(/?) = (/? - a ) 0(/?) y como ¡3 - a ± 0, esto implica que g(/3) = 0. Ahora, por hipótesis de inducción g(x) tiene a lo más n — 1 raíces en K y así a lo más hay n - 1 posibilidades para /? y por lo tanto f(x) tiene a lo más n raíces. □ TEOREMA 12.2.

Si Fp es un campo finito, el grupo multiplicativo F* = Fp - {0} es

cíclico. Demostración. Como el grupo F* es abeliano finito, podemos usar los resultados sobre exponentes del capítulo 7. Sea e = e(FJ) el exponente del grupo ¥*. Entonces, e < | f ;|. Ahora, para cada a € F* se tiene que a c = 1 por definición de exponente, y así cada a € ¥* es raíz del polinomio xc — 1 € Fp[x]. Pero este polinomio tiene a lo más e raíces (su grado) por el lema anterior, y por lo tanto |F j| < e. Se sigue que e = |F j| y así FJ es cíclico por el corolario 7.4.

□

A un generador del grupo F* se le llama un elemento primitivo del campo Fp o una

raíz primitiva módulo p. El grupo lineal general. Si K es cualquier campo, por ejempo K = Q, R, C ó Fp, denotemos con GL(n, K) al conjunto de matrices cuadradas de tamaño n x n con en­ tradas en K y con determinante distinto de cero. Denotaremos a las matrices mediante

j j j j

I |

12. GRUPOS DE MATRICES

161

A = (a,ij) con a y 6 K la entrada en el lugar (i, j ) . Como el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de las matrices dadas, el con­ junto GL(n, K ) es un grupo, con el producto de matrices como operación binaria, al que llamaremos el grupo lineal general. El neutro de este grupo es la matriz identidad In con unos en la diagonal y ceros en las otras entradas. Note que si n > 2 el grupo GL(n, K) no es abeliano. En el caso cuando K es un campo finito, por ejemplo Fp, el grupo GL(n, Fp) es un grupo finito y nuestro primer objetivo es calcular su orden. TEOREMA 12.3. El orden del grupo lineal G L (n , F p) es

p) ■■• (pn - p " - 1 ).

|G L(n, Fp)| = (pn - l)(p n -

Demostración. Por inducción sobre n. Si n = 1, G L (1,F P) = F* = Fp - {0} y así |GL(1,FP)| = p — 1. Supongamos que el resultado es válido para k < n. Observe que GL(n, Fp) ~ GL(V ) donde V es un Fp-espacio vectorial de dimensión n, GL(V ) denota el grupo de isomorfismos lineales de V en V y donde el isomorfismo GL(Vr) ~ GL(n,Fp) está dado eligiendo una base ordenada de V. Observe ahora que se tiene una acción GL(n, Fp) x V —» V definida para A € G L(n, Fp) y v e V como A • v := Ta (v ) donde : V —►V es la transformación lineal asociada a A en una base ordenada B = { v i,. . . , vn} de V. A continuación determinaremos las órbitas y algunos estabilizadores de esta acción: (1) Órbitas. Para comenzar, es claro que si v = 0, entonces orb(0) = {0}. Ahora, si v y w son vectores no nulos de V, entonces existe una matriz A G G L(n, Fp) tal que Ta {v) = w y por lo tanto, si v ^ 0 su órbita es orb(t;) = V — {0}. Observe que como V a F ”, entonces |V | = pn por lo que si v ^ 0 el número de elementos de su órbita es |o rb c(v )| = p n - 1 . (2) Estabilizadores. Para el básico v\ G B C V\ por definición su estabilizador es

GVl := {A G G L (n ,F p) : T a (v i ) = vi}, por lo que una matriz A G GVl debe ser de la forma

A =

Í1 0

<*12 022

* * * <*l,n) * * * <*2,n

\0

<*n,2

* * * <*n,n/

y poniendo

f a\2 M

022

\<*n,2

*** Oi,n> * * * a 2,n

* * * <*n,n/

162

12. GRUPOS DE MATRICES

como 0 ^ det(A ) = d e t(M ), entonces M está en G L (n — 1 ,F P). Se sigue que la matriz A € GVl debe ser de la forma

-A A -A Vo

)

m

con M e G L (n — 1, Fp) y los a\2 , . . . , a i )fl elementos arbitrarios de Fp. Ahora, como hay p posibilidades para cada uno de estos a i 2 < j < n , entonces hay pn~l maneras de elegir a los aij y por lo tanto |G U11 = |G L (n - 1, W

1 = [(p**-1 -

- p) • • • (p " - 1 - pn- 2)]p n‘ 1

(la última igualdad por hipótesis de inducción). Finalmente, juntando estos cálculos: |G L(n, Fp)| = | orbc?(vi)||G Ul |

(por el teorema órbita-estabilizador (8.2))

= (pn - 1) [(Pn_1 - l)(p n_1 - P) • • • (P”_1 - Pn_ 2)]p n_1

:

= (p" - 1 )[(p" - p)(pn - P2) • • • (Pn - P " - 1)] que es lo que se quería.

□

El grupo lineal especial. El determinante d e t : G L(n, K ) —>K* es un homomorfismo de grupos cuyo núcleo SL(n, K ) := ker(det) = {A 6 G L(n, K ) : d et A = 1} se llama el grupo lineal especial y es un subgrupo normal de GL(n, K). Es claro que el determinante es suprayectivo y así por el primer teorema de isomorfismo de Noether GL(n, i£ )/S L (n , i f )

K*,

por lo que, para el caso cuando K = Fp, del teorema anterior se sigue que: COROLARIO 12.4. Para K = Fp, el orden del grupo lineal especial es |S L (n,F p)| = ^

~ 1)(P"

^

~ ? n ~ 1 ).

□ El grupo lineal proyectivo. Una matriz escalar es una matriz de la forma A d o n d e In es la matriz identidad y A € K*. Es claro que las matrices escalares conmutan con cualquier otra matriz del mismo tamaño y por lo tanto forman un subgrupo normal de cualquier subgrupo de GL(n, K ) que las contenga. Por ejemplo, si consideramos ma­ trices escalares AIn en el subgrupo SL(n, K ), se debe tener que An = det (AIn) = 1. Así, el subgrupo Z q de matrices escalares de SL(n, K ) está formado por las matrices escalares A/„ tales que An = 1. Al grupo cociente SL(n, K )/Z o , se le llama el gru­ po lineal proyectivo y se denota mediante PSL(n, K ). Nuestro siguiente objetivo es calcular el orden del grupo PSL(n, Fp).

12. GRUPOS DE MATRICES

163

PROPOSICIÓN 12.5. Para K = Fp, si Z q es el subgrupo de matrices escalares de SL(n,Fp), entonces \Zq\ = d, donde d = m cd(n,p — 1 ).

Demostración. Por las observaciones anteriores, debemos contar cuántos escalares A € F * satisfacen que An = 1. Sea d = m cd(p - l,n ) ; como d es combinación lineal de p - 1 y de n, i.e., d = (p — l)s + nt con s, f 6 Z, y como Ap-1 = 1 = An, entonces Ad = 1. Recíprocamente, si Ad = 1 , como d divide a n, entonces An = 1 también. Hemos así mostrado que An = 1 si y sólo si Ad = 1 por lo que basta contar cuántos escalares A satisfacen que Ad = 1. Ahora, por el teorema 12.2, el grupo multiplicativo F* es cíclico de orden p — 1. Sea p un generador de F*. Observemos ahora que Ad = 1 si y sólo si A € (p^p“’1^ d), el cual es un grupo de orden d por la proposición 3.6, y así hay exactamente d posibilidades para el escalar A, como se quería. □ COROLARIO 12.6. Si K = Fp y d = m c d (n , p —1), entonces el orden del grupo lineal

proyectivo es |P S L (n,F p)|

(pn - l ) ( p n - p ) - - - (Pn - P n- 1) d(p — 1 )

□

Demostración. Se sigue de 12.5 y 12.4.

Transvecciones y los grupos PSL(2,Fp). Si A ^ 0 en K y si i ^ j , denotemos con Eij (A) a la matriz n x n que es igual a la matriz identidad /„ excepto en que tiene al es­ calar A en la entrada (i, j ) ; a la matriz Ei j ( X) la llamaremos una transvección. Observe que el determinante de cualquier transvección es 1 por lo que las transvecciones están en SL(n, K)> y también, para cualquier matriz A de tamaño n x n con entradas en K t el producto E i j ( X ) A es la matriz que se obtiene de A sumando A veces el renglón j de A a su renglón i. A partir de ahora nos restringiremos a los grupos G L(2,FP), sus subgrupos SL(2,FP) y los cocientes PSL(2,Fp), con la intención de probar que estos últimos son simples, parap > 3. La proposición siguiente es válida para toda n, aunque nosotros sólo la probaremos para n = 2 : PROPOSICIÓN 12.7. Toda matriz A e G L(2,FP) se puede escribir de la forma TD,

donde T es un producto de transvecciones y D es la matriz diagonal y |

d

particular cada matriz de SL(2, Fp) es un producto de transvecciones. Demostración. Sea A 6 GL(2, Fp). Si sucediera que la entrada (1,1) de A fuera cero, como A es invertible su entrada (2,1) no puede ser cero. Sumando el segundo renglón de A al primero, i.e., multiplicando E \2(l)A t obtenemos una matriz B cuya entrada (1,1) no es cero. Note que d e tl? = det A ya que d e t f f o í l ) = 1. Definamos A\ como A 6 B , dependiendo de que la entrada ( 1 , 1 ) no sea cero, digamos A i

12. GRUPOS DE MATRICES

164

con a 0. Sumando ( - c / a ) veces el primer renglón de A \ a su segundo renglón, i.e., multiplicando £21 ( - c / a ) A i , se obtiene una matriz de la forma

con o! 0 y además a!d! = det A 2 = det A\ = d et A y por lo tanto ó! ^ 0. Ahora, sumando (-b '/d ') veces el segundo renglón de A 2 a su primer renglón se obtiene la matriz diagonal

A = E 12{-b ’/d')A 2 = ( ^ J ) con aS = det A = d et A. Finalmente, mediante las operaciones en renglones indica­ das abajo, i.e., mediante multiplicaciones a la izquierda por transvecciones, llevamos a la matriz A a la forma diagonal D :

- 6 3~C¡ S)~C

;)~G

donde d et A = det D — f . Hemos así mostrado que mediante multiplicaciones a la izquierda por transvecciones, llevamos a la matriz A a la matriz diagonal D, i.e., que E A — D , donde E es el producto de las transvecciones requiridas. Por lo tanto, como la inversa de una transvección es una transvección, si T — E ~ l se tiene que A — T D ylo cual prueba la primera afirmación. Para la segunda afirmación, note que si A e SL(2, Fp), como det A — 1, entonces / = 1 en la matriz diagonal D , i.e., D = /2 es la matriz identidad. □ El lema siguiente nos dice que las transvecciones juegan un papel análogo para los grupos lineales especiales al que juegan los 3 -ciclos para los grupos alternantes: L ema 12.8. Si H es un subgrupo normal de SL(2, Fp) y H contiene una transvección Eij(X), entonces H = SL(2, Fp).

Demostración. Por la proposición previa las transvecciones generan a SL(2, Fp) y asíes suficiente mostrar que H contiene a todas las transvecciones. Ahora, como H contiene una transvección E y (A) y como i ¿ j , sus posibilidades son ó £21 (A). Consi­ deremos el primer caso y supongamos que £ 12(A) =

M está en H . Como H es

normal en SL(2)FP), conjugando £ 12 (A) por cualquier matriz ^ obtenemos otra matriz en H :

(a \c

b \(l d) \0

A\ ( a 1 / \c

6X“ 1

d)

/1 -A a c \ -A c 2

Aa 2 \ 1 + Aac)

de SL(2,FP)

165

12. GRUPOS DE MATRICES

y observamos que si c = 0 este conjugado es £12 (Aa2) y si a = 0 este conjugado es £21 (—Ac2), y ambas matrices están en / / , ya que £ es normal. Pongamos r := {7 6 Fp : £ « ( 7 ) € H } U {0} y notemos que T es un subgrupo aditivo del grupo (Fp, + ) ya que £ 12 (7 ) + £ 12(7 ') = £ 12(7 + t O y —£ 12(7 ) = £ i 2( - 7 ) . También, por lo que probamos antes, T contiene a todos los elementos de la forma Aa2. Observe ahora que al menos la mitad de los elementos de ¥* son cuadrados ya que la función < t> : ¥* —> ¥* dada por a ►-* a 2, es un homomorfismo de grupos cuya imagen son los cuadrados perfectos de F* y cuyo núcleo consiste de todos los a 6 F* tales que a 2 = 1, i.e., de todos los a 6 ¥* que son raíces del polinomio x 2 — 1 , que tiene a lo más dos raíces por el lema 12 . 1 , y por lo tanto el núcleo de < ¡>tiene orden < 2. Por el primer teorema de isomorfismo de Noether la imagen de (¡>tiene orden > |F J|/2 , es decir, al menos la mitad de los elementos de ¥* son cuadrados perfectos. Se sigue que, como T contiene al 0 y a todos los elementos de la forma Aa2 con a 2 E F*, entonces T contiene más de la mitad de los elementos de Fp y así, por el teorema de Lagrange se debe tener que T = Fp. Por definición de T se sigue que H contiene a todas las transvecciones de la forma £ 12(7 ). Un argumento similar, ahora usando que H contiene a £21 (—Ac2), muestra que H contiene a todas las transvecciones de la forma £ 21 (7 )- Se sigue que si H contiene una transvección de la forma £ 12 (A), entonces H contiene a todas las transvecciones. Finalmente, si H contiene una transvección de la forma £21 (A), al conjugar por cualquier matriz ^

(a \c

^

de SL(2, Fp) obtenemos otra matriz en H:

b \ f 1 0\ (a d) \A l ) \ c

b y l _ ( \ + \bd d) \ Ad2

- A b2 \ 1 - Abd)

y observamos que si 6 = 0 este conjugado es £ 2 1 (Ad2) y si d = 0 este conjugado es £7i 2(—A62), y ambas matrices están en H , ya que H es normal. Procedemos entonces como en el caso anterior. □ El resultado principal es:

TEOREMA 12.9. Si p > 3, los grupos PSL(2, Fp) son simples. Demostración (Dickson). Por 12.6, |P SL (2,F 2)| = 6 y |P SL (2,F 3)| = 12, por lo que estos grupos no pueden ser simples por el teorema de Sylow (véanse el ejemplo 3 del capítulo 10 y el ejemplo 3 del capítulo 9, sin tomar en cuenta que el grupo es ¿> 3). Supongamos ahora que p > 3. Por el teorema de correspondencia, los subgrupos normales de PSL(2,Fp) = S L (2,F p)/Z o corresponden a subgrupos normales H de SL(2, Fp) que contienen a Zo y así, para mostrar que PSL(2, Fp) es simple basta mos­ trar que si H ^ Zo, entonces H — S L (2,F P). Para ésto, asumamos por un momento

166

12. GRUPOS DE MATRICES

que H contiene una matriz de la forma con r # ± 1 .

(^J) = A

(*)

-

!¡^, como H es normal y S e SL(2, Fp), se tiene que SAS~l €

Entonces, si 5 =

H y como A ~l E H, entonces S A S ^ A ”1 = ^ ^

^ también está en H. Ahora,

como d et A = 1 y como r ^ ± 1 , entonces t ^ dbl y así 1 - t2 ^ 0. Se sigue que S A S ~ xA ~l = £721 (1 — £2) es una transvección en H y así, por el lema anterior, se debe tener que H = SL(2, Fp) como se quería. Para terminar la demostración sólo falta probar (*). Ahora, como H J Zo, sea Ai € H una matriz que no está en Zo (i.e., que no es de la forma Ai = XI2 con A2 = 1 por definición de Zo). Entonces, Ai es conjugada, por una matriz de GL(2, Fp), a su forma canónica racional que tiene las dos posibilidades siguientes (ya que las únicas formas canónicas racionales posibles para una matriz 2 x 2 son: la suma directa de dos matrices compañeras l x l , i.e., una matriz diagonal, o una matriz compañera 2 x 2):

<»>

G

1 4 G I

y como d et Ai = 1, entonces a = —1. Antes de considerar estos dos casos, obser­ vemos que si la matriz Ai E # es conjugada, por un elemento de GL(2, Fp), a una matriz R = ^ (/xc

^ , entonces existe un escalar /x E F* tal que H contiene a la matriz

^ b ^)* ^ ra Pr°b ar ésto, escribamos Ai = L R L~l con L E GL(2,FP); por con /x = det L.

12.7, L = T D con T un producto de transposiciones y D = Se sigue que

M = (T D )R (T D )-1 = T (D R D ~ 1) T - 1 = = r ( a

V/iC

t

(

5) ( o /i-l) r_ l

/X 16> d

j)¿ -\

con T un producto de transposiciones por lo que T E S L (2,F P). Se sigue que H _ / a /x“ 16'\ contiene a la matriz B como se quería. Regresemos ahora a los dos “ VAte c ) casos (**) de la forma canónica racional asociada a Ai: en el primer caso ya tenemos a la matriz deseada, porque la matriz B E H es B =

^

y además la igualdad

167

12. GRUPOS DE MATRICES

t ) = (^0

r = ± 1 implicaría que t = ± 1 y por lo tanto M =

d tl) = ^ 2

estaría en Z q, una contradicción, y así r ^ ± 1 . En el segundo caso (donde a = —1 ), la matriz B E B es B =

^

^ , por lo que si U =

^

con cualquier

7 E F¿, entonces U E SL(2,FP) y así UBU~l E H y como B “1 E H , entonces

UBU~lB~l está en B , i.e. la matriz C=

u bu - 'b - 1

/ 7“2 V/í 6(72 - 1)

0\ 72/

está en B . Notamos ahora que, si 7 2 ^ dbl, i.e., si 7 4 ^ 1 , entonces ya terminamos de probar (*). Observamos ahora que éste es el caso si p > 5 porque tal 7 E F* existe ya que el polinomio x4—l tiene a lo más cuatro raíces en Fp por 12.1. Si p = 5, hay dos posibilidades, la primera es cuando la entrada b de B no es cero; en este caso escogemos un 7 E F 5 ~ Z /5Z tal que 7 2 —1 ^ 0. Listando las posibilidades para 7 en F 5 notamos que se debe tener que 7 2 = —1 . Entonces, la entrada ( 2 , 1 ) de C, A := /¿6(7 2 — 1 ), no es cero y como 72 = —1 , la matriz C es de la forma C = f ^

, y como C

e

B

= ^ 2i ( —2A) , i.e., B contiene una

entonces B contiene a la matriz C2 —

transvección y por lo tanto B = SL(2, Fp) por el lema 12.8. La segunda posibilidad es cuando la entrada b = 0; en este caso B es de la forma B = ^

q ^ E B , por lo

que B contiene a la matriz

A

7W O

-/x *\ A

lo iA/^ o Ao

1)

V*

~ / í 72 - / í

*

)

de tal forma que escogiendo 7 = 2n ~ l se tiene que el renglón superior de esta matriz es de la forma [2,0 ] como se quería (ya que —/172 —/x“1 = —5 /x“1 = 0 en F 5). □ Notas. El teorema anterior nos da una familia infinita de grupos simples. Note sin embargo que |PSL(2, Fs)| = 60, que es igual al orden de A5. En el ejercicio 1 se pide probar que cualesquiera dos grupos simples de orden 60 son isomorfos. En [22], E. Artin muestra que sólo hay 5 miembros de la familia PSL(2, Fp) que son miembros de otras familias de grupos simples. Con un argumento esencialmente geométrico, ver, por ejemplo [16], se puede probar que los grupos PSL(n, K ) son simples para toda n > 2 y cualquier campo K.

Ejerc ic io 1. Demuestre que cualesquiera dos grupos simples de orden 60 son isomor­ fos.

168

12. GRUPOS DE MATRICES

E je r c ic io 2. Demuestre que, si p > 3 el subgrupo conmutador de GL(2,FP) es S L (2 ,F P). E je r c ic io 3. Calcule los subgrupos conmutadores de GL(2,F2) y G L (2,Fa). E je r c ic io 4. Exhiba un 2-subgrupo de Sylow de SL(2, F 3 ). E je r c ic io 5. Muestre que PSL(2, F 2) ^ S$. E je r c ic io 6 . Muestre que P SL (2,F 3)

A*.

EJERCICIO 7. Demuestre que el centro del grupo SL(n, K ) es el grupo Zo de matrices escalares XIn que satisfacen que An = 1. Sugerencia: para la inclusión no trivial, suponga que A está en el centro y vea a A como una transformación lineal de Kn en sí mismo y con la base canónica. Para la transvección E = Est( 1) calcule su acción en los básicos de K n y luego calcule la acción de A E y E A en estos básicos para concluir que A es diagonal. Finalmente pruebe que los elementos de la diagonal son todos iguales.

Capítulo

R e p r e s e n ta c io n e s lin e a le s d e g r u p o s f in ito s

E

N MATEMÁTICAS, COMO EN otros ámbitos, la hibridación enriquece las estruc­

turas. En este libro hemos estudiado la estructura de grupo y hemos visto ejemplos que aparecen naturalmente en varias ramas de la matemática. Uno de estos ejemplos, y el más importante por razones varias, es el de los grupos de matrices GL(n, K ) cuyo origen está en el estudio de los operadores lineales invertibles en un i f -espacio vec­ torial V de dimensión finita. Recordemos cómo se definen estos grupos: dado un K espacio vectorial V , de dimensión finita n, denotemos con GL(V’) al conjunto de ope­ radores lineales T : V —►V invertibles, i.e., tales que T tiene inverso T ~ l : V —►V que también es lineal; el conjunto GL(V”), con la composición de funciones como ope­ ración binaria, es un grupo. Eligiendo una base B = {v \ , . .. ,v n) de V se asocia a cualquier operador lineal T € GL( V) una matriz [T]g de tamaño n x n cuyas entradas dij se obtienen expresando las imágenes T(vj) de los vectores básicos vj en términos de la base B:

Tvj ~ ^ ^ a>jjVj. i El hecho de que T sea invertible es equivalente a que el determinante de la matriz [T]s sea ^ 0, es decir, a que [T]b E GL(n, K ). Es fácil probar, véase el ejercicio 1, que la correspondencia anterior es un isomorfismo de grupos GL(V')

GL(n, K )

que identifica a los operadores lineales invertibles con las matrices cuadradas cuyo determinante no es nulo. Así, dada una matriz A € GL(n, K ) denotamos con : V -* V al operador lineal invertible correspondiente. Usando esta correspondencia podemos definir una función (t) mediante (A, v)

GL ( n , K ) x V - + V

A • v := Ta (v), que claramente satisface las propiedades:

(i) In • v = Tjn(v) = id v (v ) = v. (ii) (AB ) . t; = Ta b (v ) = Ta o Tb (v ) = TA(TBv ) m TÁ(B • v) = A • (B • v) 169

170

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

y por lo tanto la función (f) define una acción de GL(n, K) en V. Ahora, recordando que, como espacio vectorial, V tiene las operaciones de suma de vectores y de producto de un escalar por un vector, observamos que estas operaciones son compatibles con la acción (f) anterior, es decir, se satisface que: (iii) A - (v + w ) = T a ( v + w ) = T a ( v ) + T a ( w ) = A • v + A • w

y (iv) A ( \ v ) = T a ( \ v ) = \ T a ( v ) = \

( A v ).

Para recordar que las propiedades (iii) y (iv) provienen del hecho de que Ta es lineal, diremos que la acción (f) es una acción lineal. Acciones lineales. Supongamos ahora que G es cualquier grupo y que se tiene una acción de G en un AT-espacio vectorial V , de dimensión finita, es decir, una función

* :G x V -> V que satisface los axiomas: (i) e * v = v, para todo v G V y donde e es el neutro de G.

(ii) (< jt ) * v = a * ( r * v), para todo o, r € G y v € V. y que además es compatible con las operaciones del espacio vectorial V yes decir, (iii) o * (v + w ) = o * v + o*w , para o € G y v, w € V. (iv) o * (Au) = A(<7 * v), para

K, v € V y o € G.

Cuando esto suceda, diremos que la acción es G-lineal y que V es un G-espacio vec­

torial. Recordando ahora que en los ejercicios 1 y 2 del capítulo 8 se mostró que las acciones de un grupo G en un conjunto Y están en correspondencia biyectiva con los homomorfismos del grupo G en el grupo simétrico Sy de Y %es natural que nos preguntemos por lo que sucede cuando se tienen acciones lineales de un grupo G en un /f-espacio vectorial V. Para ver lo que sucede en este caso, supongamos primero que se tiene una acción lineal

* :G x V -> V y usando esta acción definamos la función p:G -> G L (V ) como sigue: para o e G, p(a) € GL(V’) es el operador lineal p (o ): V -♦ V dado por

p(
13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

171

p:G GL(V’) es un homomorfismo de grupos ya que si a, r 6 G, entonces para todov G V :

p[(jr)v = ( G L(V) y definamos la función

* :G x V -+ V mediante < j * v := p(a)(v). La función * es una acción lineal ya que: (i)

Si a = e es el neutro de G, entonces

e * v := p(e)(t>) = idv(v) = v para todo v G V. (ii)

Si
(
Para a G G y t>,tu G V\ a * (v + tu) = p(a)(u 4- tu) = p(cr)v + p(cr)w

(iv)

o *v + o *w.

Para X e K, v € V y a e G,

o * (Xv) =

p(a)(A v) =

X(p(a)v) =

A(cr * v).

Dejamos como un ejercicio el probar que las correspondencias anteriores son in­ versas una de la otra. Con ésto se ha probado:

Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de acciones lineales de un grupo G en un K-espacio vectorial V y el conjunto de homomorfismos deGenGL{V).

TEOREMA 13.1.

□ Representaciones lineales. Si G es un grupo y V es un K -espacio vectorial, una re­ presentación lineal de G en V es un homomorfismo p : G -► GL(V). El teorema anterior nos dice que estudiar las representaciones lineales de un grupo

Gen un espacio vectorial V, es equivalente a estudiar las acciones lineales de G en V .

172

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

En adelante, nos restringiremos a estudiar representaciones de grupos finitos en espacios vectoriales complejos y de dimensión finita. A la dimensión del C-espacio vectorial V la llamaremos el grado de la representación p : G —►GL(V) y a V lo llamaremos el espacio de la representación; algunas veces también diremos que V es la representación de G . La definición anterior se puede poner en términos de matrices si damos una base B = { v i , . . . , vn} de V , de tal forma que el isomorfismo GL(V') ~ GL(n,C) (es importante enfatizar que éste depende de la base) compuesto con la representación p : G —►GL(V) nos da un homomorfismo de grupos, al cual seguiremos denotando porp, p : G —►GL(n, C) que asocia a cada elemento o € G del grupo (abstracto) una matriz (concreta) invertible p( G L (V ) y p ' : G | ¡ G L(V') diremos que son equivalentes o isomorfas, si existe un isomorfismo lineal / : V —►V tal que para todo s € G se tiene que / ° p(s) = p '(«) ° / para todo s 6 G, es decir, si los diagramas siguientes conmutan

Note que como los espacios V y Vf son isomorfos, los grados de representaciones equivalentes son iguales.

Ejemplo 1. Si G es un grupo finito de orden n, una representación de grado 1 de G es un homomorfismo p : G -> C*, ya que GL(1, C) = C*. Como |G| = n, entonces todo 9 G G satisface que gn = 1 y como p es un homomorfismo, entonces 1 = p(gn) = p(p)n y por lo tanto el complejo p(g) G C* es una raíz n-ésima de la unidad. En particular, su módulo es \p{g)\ = 1. Ejemplo 2. Si G es un grupo finito y se define p : G -♦ C* mediante p(g) := 1 para todo g € G, ésta es una representación de grado 1 a la que se llama la representación trivial o principal de G.

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

173

Ejemplo 3. Si G = 'L/riL y si p : Z /n Z —♦ C* es una representación de grado 1, por el ejemplo 1 la imagen de p está contenida en el grupo p n C C* de raíces n-ésimas de la unidad. Ahora, como Z /n Z es cíclico, la representación p está determinada por su valor en un generador de Z /n Z . Sea 1 6 7¿ln7j el generador canónico; entonces para cada raíz u 6 p n podemos deñnir pw : Z /n Z —►C* mediante pw( l) := lj (y para k 6 Z /nZ , pu(k) •— v k>0 < k < n. Ejemplo 4. Si Sn es el grupo simétrico, la función signo sgn : Sn

{4-1, —1} C C* es

una representación de grado 1.

Ejemplo 5. (La representación regular). Sea G cualquier grupo finito de orden n y sea V el C-espacio vectorial de dimensión n con base B = indexada por los elementos del grupo. Para cada o G G definamos la función p(a) : B —* B mediante p(o)(vg) = vag y notemos que p(o) es una biyección. Entonces, la función p(o) se extiende linealmente a un isomorfismo de espacios vectoriales p(o) : V —►V. Mostraremos que la función p : G —> GL(V’)

dada por

o »-♦ p(o)

es un homomorfismo. En efecto, si a, r 6 G y si vg € B, entonces

P(
Ejemplo 6. (Subejemplo del ejemplo anterior). Sea G = 53 el grupo simétrico en 3 letras, digamos S3 = {1, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}. Entonces, |5 3| = 6 y la representación regular de S3, p : S3 —►G L (6,C ) estará de­ terminada una vez que conozcamos sus valores en los generadores (1 2) y (1 2 3) de S3, (ver 4.15). Sean v \t V(12), V(i3), V(23), v(123) y víl32) una base del espacio V. Para calcular la matriz asociada a p(12) : V —* V debemos calcular su valor en cada elemento de la base y luego expresarlo como combinación lineal de los vectores de la misma base:

174

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

p (1 2 ) v i = V(12)1 = V(12) = O v i-f lV(12) + OV(i3) + OV(23)+OV(123) + Ot;(i32) p(12)V (i2) = V(i2)(l2) = Vi = 1v 1 + 0V(12)+ 0V (13)+ 0V (23)4-0V (123)+0V(132)

P( 12)V(i3) = V(12)(i3) = V(132) — 0v i 4-0V(12)+0V(13)+0V(23)+0V(123) + 1V(132) p(12)V(23) = V(12)(23) = v(123) = 0viH-0V(12) + 0V(13) + 0V(23) + lV(123)+0V(132) p(12)V(i23) = V(12)(i23) = v(23) = 0V1+0^(12)+0V(13) + lV(23)+0V(123)+0V(132) P( 12)V(i32) = V(12)(132) = V(13) = OV1+OV(12) + 1V(13) + OV(23)4-OV(123)+OV(132) y así la matriz asociada a p ( 1 2 ) es la transpuesta de la matriz de coeficientes anterior

/O

1 P( 1 2 )|

1o

o o oV

00 0 00

0

0 0

0

00 0 10

0 0 1

0

00

1 00

\0

0 1

0 0 0/

/O

00 0

0 1\

0 0

00 1 10 0

00 00

En forma similar se calcula

p(123) =

0 0 1 o

1 0 0 0 \0 0 0 0

o o

*

00 1 0/

Ejemplo 7. Al definir la representación regular de un grupo finito G, tomamos una base B = {v^}56g indexada por los elementos de G y consideramos la acción natural de G en B, G x B —►B dada por o * vg := vag. En general, si Y es un G-conjunto finito con acción G x Y —* Y, consideremos el espacio vectorial V con base B = {vx}x€y indexada por los elementos de Y. La acción de G en Y induce una acción de G en B mediante o *vx := v: G -+ Sb donde ((o) : V V. La función

¥GL(n, C)

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

175

del grupo simétrico 5 n. Esta representación identifica una permutación a 6 Sn con una matriz p(o) € GL(n, C) escogiendo como V = Cn con base la canónica { e i , . . . , e„} (indexada por los enteros 1 , 2 , . . . , n € In). Subrepresentaciones. Si p : G —►GL(V) es una representación de grado n < oo, y W C V es un subespacio vectorial, diremos que W es estable o invariante bajo G si para cualesquiera o e G y w e W se tiene que p(a)w € W. Si W es estable bajo G, para cada a € G la restricción p(a)\w es un isomorfismo de W en sí mismo (ya que es inyectivo y W es de dimensión finita). Se sigue que la restricción de p a W es una representación de G en W, pw ' G GL(W ), y se dice que pw es una

subrepresentación de p. Ejemplo 8. Los subespacios {0} y V de V son G-invariantes. Ejemplo 9. Sea p : G —> GL(V*) la representación regular de G y supongamos que V tiene como base a B — {vg)geG- Consideremos el vector v := Y*geGv9 y e* subespa­ cio W = {v) generado por v. Por la independencia lineal de B , el vector v ^ 0, por lo que dimc W — 1. Ahora, como la acción de G en B sólo permuta los vectores de la base, entonces para cualquier cr 6 G

p(
VgeG '

geG

geG

,Yuf) = 5 1 P^)V9 = 52 V*9 = V

y por lo tanto W es invariante bajo G. Así pw - G —>GL( W) es una subrepresentación de p de grado 1. Note que como {v} es base de W y como p{cr)v = v, para todo o € Gt entonces la representación matricial pw : G —>GL(1, C) = C* está dada por p(o) = 1, para todo
Ejemplo 10. De nuevo, sea p : G —►GL(V') la representación regular de G y sea B = { v ^ e G una base de V. Considere ahora el subespacio W ' generado por los vg j con g 1 en G y observe que W ' no es estable porque si g 1, entonces vg € W ' pero p(g~l)vg = vg- ig = vi<¿ W'. J Note que V = W + W ' yque WD W ' = 0 por lo que | como en el ejemplo 9. Así, V es suma directa de un subespacio G-invariante y uno que j no lo es. La pregunta natural es: ¿será V la suma de dos subespacios G-invariantes? i TEOREMA 13.2. Sean G un grupo finito y p : G —>GL(V) una representación de G de grado n < oo. Si W C V es un subespacio G-invariante, entonces existe un I subespacio G-invariante W° C V tal que V = W © W°. 1 Demostración. Como W C V, entonces existe un complemento directo W ' C V tal que V = W © W*. Sea p : V W la proyección en el primer sumando directo.

176

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

Entonces, k e rp = W ' e Im p = W . Consideremos la transformación lineal P° := TFí ! C P($) °P °P (9 ~ 1) Iu l 9eG Como p manda V en W’ y como W es G-invariante, entonces p° manda V en W. Por otra parte, si w G W , entonces p íp “ 1)«; 6 W y por lo tanto p o p (p ~ 1)ty = p{g~l)w y así p(p) o p o p(g~l )w = p(p) o p (p - 1 )ti; = p(gg~x)w = tu, i.e., para todo w G W .

p°(tu) = ti;

Así, Im p ° = W y p° es una proyección de V en W . Sea W ° k erp 0; como = Im p°, entonces V = IV © W°. Mostraremos que W ° es G-invariante. En efecto, si
P (í) °P °P Í9

p (
~ w \ H p ( <7) p ( f f ) ° p ° p ( s

°

1

*)

1 1 seG

fBfil 0

= i£ i

P°

I • geG ya que erg recorre G cuando p lo hace.

= p°

Se sigue que p(o) o p° = p° o p (a ) para todo
Ejemplo 11. En el ejemplo 9 y con la notación de la demostración del teorema 13.2, la proyección p : V = W Q W ' —>W está determinada por

(t)

Se sigue que, si r G G,

[0

si o ¿ 1.

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

p V = j ^ i ][> (< /) o p o p{g-l)vT =

geG =

177

\a\ geG

ya que por (f) sólo sobreviven los términos pj con g~l r as 1, i.e., con g = r.

= Tgr¿(r ) H

geG

v9

P °r (t)

1geG

= t— IG I

por definición de v en el ejemplo 9.

Por lo tanto, p°(

XgeG

,v» ) = v Y

J

geG

0(vs) = H

a 97^7v

geG

Ie r»

= ]¿i (

a p) v

VgeG '

y así el complemento directo G-invariante de W es

W° := kerp0 = { £

KgeG

V a

£

A9 = Q}-

geG

}

Sumas directas de representaciones. Si p : G —> GL(V') es una representación lineal de grado n de un grupo finito G y si W, W° C V son subespacios G-invariantes tales que V = W ® W ° , entonces dado un vector v G V lo podemos escribir, en forma única, como v = tu + tu0,con tu G W’ y tu0 G W °. Ahora, si a G G es cualquier elemento, entonces

p(
p(a)v = pw (a)w 4- pw°(a)w°t es decir, las subrepresentaciones pw y p ^ 0 determinan a la representación p. En esta situación, diremos que la representación p es la suma directa de las subrepresentaciones pw y pw°. Observemos ahora que si B y üP son bases de W y W ° respectivamente,

178

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

entonces A = B U 5 ° es una base de V, y para cada a 6 G la matriz asociada a p(a) es de la forma

donde [pw ((t)]b tivamente.

y[pW° {&)]&> son las matrices asociadas a pw {p) yp^0^), respec­

En general, si V = W i©- • •© es una suma directa de subespacios G-invariantes son las subrepresentaciones correspondientes, entonces diremos que la representaciónn p es la suma directa de las subrepresentaciones p¿, y la forma matricial tiene la estructura en bloques:

Wi y si pi =

Con esta terminología, el teorema 13.2 nos dice que si p : G -+ GLÍV’) es una representación y si pw : G —►GL( W) es una subrepresentación, entonces existe otra subrepresentación pw ° : G —►GL(W’°) tal que p = pw @pw °. Note que lo importante en este teorema es la hipótesis de que V tenga un subespacio G-invariante W no trivial. Si el espacio V es tal que V 0 y ningún subespacio propio y no trivial de V es Ginvariante, diremos que la representación p es irreducible o simple. Por el teorema 13.2, ésto es equivalente a pedir que V no sea la suma directa de dos subrepresentaciones, excepto por la descomposición trivial V = V ® 0.

Ejemplo 12. Toda representación de grado 1 es irreducible, ya que los únicos subespa­ cios posibles son el 0 y el total. Ejemplo 13. Sea G un grupo abeliano finito. Por el teorema de estructura, 7.2, G es una suma directa de grupos cíclicos G = C (n i) ® • • • © G (jit) con n¿|rii+ i y con G(rii) Z /ritZ . Ahora, si p : G —►C* es una representación de grado entonces p está determi­ nada por sus valores en los generadores de G, i.e, en los generadores de los sumandos cíclicos G(n¿) & Z /n¿Z de G: e¿ := (

0 ,

.

,0) € G = C (ni) © • • - © G (n t)

(con el 1 en el lugar i). Observe ahora que, como el orden de e¿ es rii, entonces p{ei)ni = 1, por lo que cada p(e¿) € pni Q C* es una raíz rií-ésima de la unidad. Recíprocamente, para cada elección de una raíz ují € p Uí se tiene la representación

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

p de grado 1 definida, para (a\ 0
179

€ G , escogiendo las a* de tal forma que

p( ai , .. . , O t ) := w“1

y observamos que hay m • • • n* = |G| posibilidades para la elección de las (u;i,. . . , o;*) y por lo tanto hay |G| posibles representaciones (*), las cuales son distintas entre sí porque si p \a \ , . . . , a t):= w'“1 ■••u?' con los

6 pnv entonces p = p' si y sólo si p(e i) = p '(ci), • • •, p(et) = p'(et),

lo cual sucede si y sólo si u\ = , . . . , LJt = u[. Hemos así mostrado que, si G es un grupo abeliano finito, entonces G tiene |G| representaciones de grado 1, no equivalentes entre sí. La importancia de las representaciones irreducibles es que éstas son las partículas con las cuales se construyen todas las otras representaciones mediante sumas directas:

Toda representación de un grupofinito es suma directa de representaciones irreducibles.

TEOREMA 13.3 (Maschke).

Demostración. Sea p : G —* GL(Vr) una representación de grado n = dimc V. Ha­ remos inducción sobre n. Si n = 1, p es irreducible y no hay nada que probar. Su­ pongamos que n > 1. Si p es irreducible no hay nada que probar. Si p es reducible, existe un subespacio G-invariante W C V con 1 < dimc W < n, y por el teorema 13.2, W tiene un complemento G-invariante W° tal que V = W 0 W° y es claro que 1 < dimc W° < n. Por hipótesis de inducción pw y pw° se descomponen en sumas directas de irreducibles y así p = pw © pw° también se descompone en suma de irreducibles.

□

Ejemplo 14. Podríamos preguntamos si la descomposición anterior es única. La res­ puesta es negativa, como lo muestra el ejemplo siguiente: la representación

p :G —* GL(n, C)

dada por

p(g) = Jn, para toda g 6 G

es tal que todos los subespacios de Cn son G-invariantes, en particular, para los de di­ mensión 1, i.e., para las rectas, que son irreducibles. Se sigue que cualquier subespacio unidimensional de Cn puede formar parte de una descomposición de p.

Ejemplo 15. Consideremos la representación regular del grupo cíclico Z /n Z , p : TLfriL

GL( V)

180

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

donde V tiene base vo, . . . , vn_ i indexada por los elementos de Z /n Z . Por definición de la representación regular

p(i)vj = Vt+j

donde la suma i + j es en Z /n Z , i.e., es módulo n.

Por el ejemplo 13 hay exactamente n representaciones de grado 1 de Z /n Z y para determinar éstas hay que hallar los subespacios unidimensionales invariantes de V. Necesitaremos el lema siguiente: LEMA 13.4. Si W = (w) C V es un subespacio unidimensional, i.e., w ^ 0, entonces W es Z/nZ-invariante si y sólo si p(l)w = Xw, para algún X G C*.

Demostración. Si W es invariante, entonces p(l)w G W = (w) y así p(l)tu = Xw, para algún A G C, y A ^ 0 porque de lo contrario p(l)w = 0 y así p( 1) : W W sería la transformación lineal 0, en contradicción con el hecho de que es un isomorfismo. Recíprocamente, si p(l)w = Xw, con A g C , entonces para cada k G Z /n Z se tiene que

p(k)w = p( 1 - f -----1- l)w = p ( l)kw = Xkw G (w) = W y así W es invariante.

□

Del lema anterior se sigue que para detectar cuáles subespacios unidimensionales de V son invariantes, basta detectar cuáles vectores 0 / w G V son vectores propios de p( 1) : V —►V. Para ésto, observemos que la matriz de p (l) en la base regular vo, . . . , Vn—i de V está dada por la transpuesta de la matriz de coeficientes en: p (l)u 0 p (l)v i p (l)v 2

= = =

P(l)vn-2 = p (l)v n- i

=

vi v2

■ v3

V0

Vn-i

es decir, la matriz de p (l) es:

0 1 0 ••• 0 1 •••

0 1\ 0 0 0 0

0 —

1 ¿v

(0 Ri =

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

181

cuyo polinomio característico es / -A 1 0 d et(iíi —AJn) = det

0 -A 1

•-

0 0 0

0

•••

1

1 > 0 0 = (—i)"A n + (—i ) n— n _ lI irn —1 -A ;

= ±(A"-1) por lo que sus valores propios son las raíces de An — 1 = 1, i.e., son las raíces nésimas de la unidad, Ao = 1, Ai = e2m/ n, A2 = Af, . . An_i = A” “ 1. Así, los vectores propios Wj correspondientes a los valores propios Aj, para 0 < j < n, dan lugar a subespacios unidimensionales W j = ( w j ) que son Z/nZ-invariantes. Final­ mente recordamos que vectores propios correspondientes a valores propios distintos son linealmente independientes y por lo tanto los Wj constituyen una base de V y así p = po © • • • 0 Pn-i» con los pj las subrepresentaciones correspondientes a W j . TEOREMA 13.5 (Lema de Schur). Sean p\ : G —> GL(Ví) y p2 : G —> GL(V 2) dos

representaciones irreducibles de G y sea } : V\ —» V2 una transformación lineal tal que p2Í9 )0 f = / 0 Pi(p)> para todo g € G. Entonces, (1) Si p\ y p2 no son isomorfas, entonces f = 0. (2) Si pi = p2 (en particular, V\ = V2), entonces f es una homotecia, i.e., es un múltiplo escalar de la identidad, f = A idy, con A G C.

Demostración. Si / = 0 no hay nada que probar. Supongamos ahora que / ^ 0 y sea W\ C V\ el núcleo de / . Si w G W\ es cualquier vector, como / o p\{g)w = fo(g) o f(w) = 0, entonces pi(g)w € ker f ~ W\ y así W\ es p\ -invariante (i.e., G-invariante bajo p\). Como V\ es simple, entonces W\ = 0 ó W\ = Vi. Si W\ = Vi, entonces / = 0, lo cual contradice la suposición de que / ^ 0. Se sigue que W\ = 0 y por lo tanto / es inyectiva. Pongamos ahora W2 = Im / C V¡¡. Si tu e W2, entonces w = f(v) con v € Vi y así p2{g)w = P2(g)f(v) = fp i (g)v € Im / = W2, por lo que Wz es p2-invariante (i.e., G-invariante bajo P2). Como V2 es simple, entonces W2 = 0 6 W2 = V2. El caso W2 = 0 no es posible porque implicaría que / = 0. Se sigue que VV2 = V2 y por lo tanto / es suprayectiva. Hemos así mostrado que si / ^ 0, entonces / es un isomorfismo, lo cual prueba (1). Para (2), supongamos ahora que V = Vi = V2 y p\ = p2. Sea A un valor propio de / (el cual siempre existe porque estamos considerando espacios vectoriales sobre C) y pongamos / := / - A idy. Como A es valor propio de / , entonces ker / ^ 0 (ya que

182

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

existe un vector propio no nulo). Por otra parte,

Píig) o / = P2(g)U - Aidy) = P2(g)f - *P2{g) = fpi(g) - Api(s) ya que P2( j) o / = / o

y p i= p 2

= ( / - Aidv)pi(ff)

= f ° p i(g ) y así podemos aplicar la parte (1) a / , y como ker / sigue que / —A idy = 0, como se quería.

0, entonces / = 0 por (1). Se □

Ejemplo 16. Usando el lema de Schur podemos completar lo obtenido al final del ejem­ plo 14: supongamos que p : G - | GL(V) es una representación irreducible del grupo abeliano finito G y sea o € G. Como G es abeliano, entonces, para todo g G G, p{o)p{g) = p(°g) = p{g<*) = p(g)p(°) por lo que la función lineal p(o) : V —►V satisface la hipótesis del lema de Schur y así p(
COROLARIO 13.6. Si G es un grupo abelianofinito, entonces todas sus representacio­ nes irreducibles son de grado 1.

□ Notas. (1) En el caso importante cuando el grupo G es finito y cuando V es un espacio vectorial sobre los complejos y de dimensión finita, el estudio de las representaciones complejas de G se inició a finales del siglo x ix con los trabajos de Frobenius con la intención de obtener resultados en la teoría de grupos finitos que, como se vio poste­ riormente, no eran accesibles con los métodos desarrollados previamente. La pequeña introducción a la teoría de representaciones de grupos que vimos en este capítulo se debe esencialmente a Frobenius [36], excepto por el teorema de Maschke y el lema de Schur, que puede verse en [52]. (2) En este capítulo sólo consideramos espacios vectoriales sobre C, pero mucho de lo que desarrollamos permanece válido para cualquier campo K algebraicamente cerrado y cuya característica no divida al orden |G | del grupo. EJERCICIO 1. Demuestre que la correspondencia entre operadores lineales invertibles en un C-espacio vectorial de dimensión finita n y matrices complejas invertibles n x n, es un isomorfismo de grupos GL(V') GL(n, C).

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

183

Eje r c ic io 2. M uestre que las correspondencias usadas en la demostración del teorema 13.1 son inversas una de la otra. Eje r c ic io 3. En el ejemplo 5, demuestre que las matrices, de la representación regular de un grupo finito, consisten de ceros y unos.

EJERCICIO 4. Demuestre que todo grupo finito de orden |G| = n es isomorfo a un subgrupo de GL(n, C). Sugerencia: vea el ejemplo 7 y piense en el núcleo de p : Sn —► GL(n,C). Ejerc ic io 5. Si G es un grupo finito y [G : G] es su subgrupo conmutador, por los ejercicios 11 y 12 del capítulo 5, G/[G : G] es el mayor cociente abeliano de G. De­ muestre que hay una biyección entre la familia de las representaciones de grado 1 de G y la familia de las representaciones de grado 1 de G/[G : G\. Concluya que G tiene exactamente | G/[G : G]| representaciones de grado 1 . Sugerencia: use el homomorfismo canónico 7t : G G/[G : G\ para dar la correspondencia fácil y también para la otra, usando además que si p : G —| C* entonces p se anula en el subgrupo [G : G] y así el primer teorema de isomorfismo de Noether implica la existencia de p ' : G/[G : G] -> C*. Ejerc ic io 6 . Concluya que Sn , para n > 3, sólo tiene dos representaciones de grado

1. Calcule éstas. Sugerencia: vea la proposición 5.14. E jerc ic io 7. Defina p : 54 —►GL(3,C), en los generadores de S 4, (vea 4.15), me­

diante

y extienda p a una representación de grado 3 de 54. Ejerc ic io 8. Defina p' : S4 —►GL(3,C), en los generadores de S 4 , (vea 4.15),

mediante

y extienda p; a una representación de grado 3 de 54 . Ejerc ic io 9. ¿Son p y p ' isomorfas? Eje r c ic io 10. Calcule explícitamente la representación por permutaciones (vea el ejemplo 7) del grupo ¿>3 .

184

13. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

EJERCICIO 11. Usando el ejercido 10 para ver la forma que tienen las matrices p(a), muestre que la representación por permutaciones de S$ es reducible. E je r c ic io 12. Si n > 2, demuestre que la representación por permutaciones de Sn es

reducible. EJERCICIO 13. Si p : Sn - 4 GL(n, C) es la representación por permutaciones del gru­ po simétrico 5 n, demuestre que para toda o € Sn la matriz p(cr) se obtiene permutando las columnas de la matriz identidad In de acuerdo a a (en la notación del ejercicio 12 del capítulo 6, p(a) = /£).

EJERCICIO 14. Una representación p : G —►GL(V*) se dice que es fiel si p es inyectiva. ¿Bajo qué condiciones las representaciones siguientes son fíeles? (i) La representación trivial de un grupo G. (ii) La representación regular de un grupo G. (iii) La representación por permutaciones de Sn. (iv) La representación signo de Sn. EJERCICIO 15. Si p : G —►GL(V’) es una representación de G y N < G es tal que N C ker p, defina p : G /N —►GL(V') mediante p{gN) := p(g). (i) Demuestre que ¡j5es una representación de G/N. (ii) Demuestre que p es irreducible si y sólo si p lo es. (iii) Si N = ker p, demuestre que p es fiel. EJERCICIO 16. Se puede invertir la construcción del ejercicio 15: s \ N < G es cualquier subgrupo normal de G y si p : G / N —►G L(V ) es una representación de G / N , defina la función p : G —►G L(K ) mediante p(g) := p (g N ).

(i) Demuestre que p es una representación de G. (ii) Demuestre que si p es fiel, entonces el núcleo de p es N. (ii) Demuestre que p es irreducible si y sólo si p lo es. E je r c ic io 17. Sea p : G -♦ G L (n ,C ) una representación.

(i) La composición S : G GL(n, C) GL(1, C) es una representación de grado L Muestre que G / ker 6 es abeliano. (ii) Suponga que ú(p) = —1 para algún g € G. Demuestre que G tiene un sub­ grupo normal de índice 2. EJERCICIO 18. Demuestre que p : G —» GL(V") es fiel si y sólo si G

Im p .

Capítulo

C a r a c te r e s d e g r u p o s fin ito s D

ada UNA MATRIZ A = (a¿j)

DE TAMAÑO n x n y con entradas en C, su traza es

el escalar

Tt(Á) =* ¿ o«1=1 Recordemos que si A y B son dos matrices n x n, entonces Tr(AjB) = Tr(BA). Consecuentemente, si M , Q son matrices n x n , con Q una matriz invertible, poniendo A = QM y B = Q ” 1, se tiene que A B = QMQ~l y i? A = M , por lo que (*)

(QMQ-1) = Tr(Af).

Tr

Una consecuencia de esta igualdad es que, si T : V -* V es un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión n, podemos definir la traza del operador T usando la matriz asociada a T en cualquier base de V , porque las matrices asociadas a T en dos bases cualesquiera de V son conjugadas y entonces podemos aplicar (*). Ahora, si p : G —►GL(V') es una representación de grado n de un grupo finito Gy para cada g e G sea p(g) : V —» V el isomorfismo correspondiente; por las observaciones previas podemos considerar su traza Tr(p(
TEOREMA 14.1. Sea G un grupo finito y sea x el carácter de una representación p:G —>GL(F) de grado n. Entonces, (0) El operador p(g) : V - + V e s diagonalizable, para todo g G G.

(1) x(l) = (2)

n. = x(fl). para todo g , t e G . 185

186

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

(3) x(o) es h* suma, con multiplicidades, de los valores propios de p{g). (4) x(^) es k* suma de n raíces k-ésimas de la unidad, donde k es el orden de g.

(5) x(»_ 1) = X(ff)(6) |x(p)l ^ n = x(l)- Aquí 1 es la identidad de G. (7) k erp =

g{ € :G x(ff) = x(l)}-

Demostración. (0): Sea g € G de orden k y consideremos el subgrupo cíclico H = (g) C G . L a restricción de p a H es una representación p : H G —►GL(V*) de H. Usando el teorema de Maschke (13.3) sea V = W\ © • • • ® Wr una descomposición de p : H —►GLÍV") en irreducibles. Como H es abeliano, por el corolario 13.6 cada es unidimensional, digamos W{ = (uí) y así r = n. Ahora, si pi : H —►GL(W¡¡) ~ GL(1, C)
m i = que es lo que queríamos probar. (1): Como p( 1) = idy* entonces [p(l)] = In y así x ( l ) = T r(/n) = n. (2) : Como p ^ p t“ 1) = p(t)p(g)p(t) *, el resultado es consecuencia de la igualdad Tr(QAQ” 1)= T r(A ). (3)

: Como p(g) es diagonalizable, su traza es la suma de sus valores propios,

(4) : Si k es el orden de g, por la parte (0) en la diagonal de [p(g)] aparecen raíces fc-ésimas de la unidad. (5) : Los valores propios del operador p{g~l) : V —+ V son los inversos A,” 1 de los valores propios A¿ de p(g) : V -+ V, y como por (4) las A¿ son raíces de la unidad, entonces A^"1 = A*, por lo que

x(fl_ 1) = (6) : Por (4), x(p) = triángulo se sigue que

53 i

-

53 A< = *(s)t

A», con los A¿ raíces de la unidad. De la desigualdad del n

|X(P)I ^

53 M <»i

^ n

ya que |A*| = 1.

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

|

187

(7): Si g es tal que x(p) = x(l) = n »como x($) es la suma de sus n valores propios y cada uno de éstos tiene valor absoluto 1, entonces cada uno de éstos debe ser 1 y por lo tanto la matriz de p(g) debe ser Jn y así g € ker p. Recíprocamente, si g € ker p, entonces p(g) = idy y así su matriz es 7n, por lo que x(p) = Tr(/n) = n = x(l)« D PROPOSICIÓN 14.2. Si P\ : G —►GL(Ví) y p 2 : G —♦ G L (l^) son dos representacio­ nes del grupofinito G, y si Xl y X2 son sus caracteres, entonces

i

Xpi(&P2 — Xl 4” X2*

iú

Üi 9|¡

I

I

Demostración. Si V = V\ © V2 y si B\ y B2 son bases de V\ y respectivamente, entonces B\ U B2 es base de V y la matriz asociada a (pi © P2) (9) es de la forma

por lo que Xpie«(p) = Tr[(pi © P2)(s)]s = T r ^ g ) ] ^ , +Tr[p2(p)]Bj = Xi(s) + X2(s)-

□ Ejemplo 1. Si p : G —►C es la representación trivial p(g) = 1, para todo g € Gt su carácter está dado por x(9) := Tr[p(p)] = 1, para todo g € G. A éste carácter lo llamaremos el carácter principal de G y lo denotaremos por xii

Ejemplo 2. Si p : G —* GL(V’) es la representación regular de G, n = |G| = dimc V, y si el espacio V tiene como base a {up }5€g:, por definición de la representación regular se tiene que p{a)vg = vag y notamos que p(o)vg = vg si y sólo si og = p, i.e., si y sólo si o = 1. Así, si [p(a)] es la matriz asociada a p(o) en la base regular, entonces:

|

(1) Si o ± 1 (el neutro de G), la diagonal de [p(
I

(2) Si o = 1, la diagonal de [p(l)] consiste de unos.

1

¡

Se sigue que el carácter x de la representación regular está dado por:

Ejemplo 3. El ejemplo anterior se puede generalizar considerando un grupo (finito) G que actúa sobre un conjunto (finito) y , lo cual define la representación por permuta­ ciones (vea el ejemplo 7 del capítulo 13) <\>: G —►G L (y), donde el espacio vectorial V tiene una base {vx : x € Y} indexada por Y y si o € G, (¡>(a)vx := vax>donde ox es la acción de o en x. Notamos entonces que (o) se tiene

188

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

un 1 por cada x € Y a y por lo tanto la traza Tr[<£(
Ejemplo 4. Si G = Z /n Z , en el ejemplo 15 del capítulo 13 vimos que la representación regular p de Z /n Z es la suma directa de las representaciones p&de grado 1, con u 6 /xn , definidas en el ejemplo 3 del capítulo 13, para j 6 Z /n Z , como Pu>(j)

Entonces, si Xu es el carácter de pUy se tiene que xU j ) = P y por lo tanto, si x es el carácter de la representación regular p, entonces por 14.2,

p i = X) xwü) ¡É X)Í| que, comparando con el resultado general del ejemplo 2 anterior nos da = 0

para 0 < j < n.

El resultado siguiente es un corolario del lema de Schur 13.5 y nos será útil para analizar la ortogonalidad de los caracteres irreducibles de un grupo: COROLARIO 14.3. Sean P\: G —►GL(VÍ) y p2 : G —* G L (I^ ) dos representaciones

irreducibles de G y sea h : V\ —►V2 una transformación lineal arbitraria. Pongamos h° :~T?r[J2 M í/) -1 o o Pl(g). geG

11

(1) Si p iy p2 no son isomorfas, entonces h° = 0. (2) Si p\ = p2 (en particular, V\ — V2 = : V), entonces h° es una homotecia de razón A = (l/n)T r(/i), donde n = dim c V.

Demostración. La transformación lineal h° satisface P2Í9) ° h° = h° o pi(g) yaque P 2 ( r ) _ 1A ° p i ( r ) = i ^ r X !

geG IG I geG

=h°.

f t t f M & I s T 1' o h o

P i(s )M r )

189

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

Podemos entonces aplicar el lema de Schur a / = /i° y concluir (1) y (2), excepto por la identificación del escalar A. Ahora, como p\ = p2. entonces Tr(/*°) =

ttm

lu l 9eO

T r(p i(s )_1 ° h ° p ita )) =

5 Z Tr(h ) = Tr(^) |U | 9€G

y como h° = Aidv, entonces Tr(/i°) = ATr(idv) = nA, por lo que nX = Tr(/i) y así A = (l/n )T r(/i). □ Ortogonalidad de caracteres. Si far/j: G —* C son dos funciones, pongamos

(,i>) ;= T^T H 1 1 9eG y observemos que éste es un producto interno, ya que: (1) Es lineal en 0, i.e., es aditivo y saca escalares. (2) Es aditivo en tp. (3) (iM ) = (4) Saca escalares conjugados en ip. (Se sigue de 3 y 1). (5) {(/>,<¡>) > 0 para toda 0 ^ 0 . En particular, si 0, ^ : G —►C son caracteres, como definición del producto interior se vuelve (<¿.^> =

9) = VK#)” 1»P°r 14.1, la

5Z
y observamos que £ 9€G 4>(g)ip(g) = £ 9€G 4>{g~l )i>{g)< ya que «T1 recorre G cuando g lo hace. Se sigue que (4>, i>) = (■>!>,) cuando y ^ son caracteres. T eo rem a 14.4. Sea G un grupo finito.

(1) Si x y X*son caracteres de dos representaciones irreducibles no isomorfas de G, entonces son ortogonales, i.e., (x, x') = 0. (2) Si x es el carácter de una representación irreducible de G, entonces es de norma %
Demostración. (1) Sean p : G —+ GL(V) y p' : G —►GL(Vf) dos representacio­ nes irreducibles de G, con caracteres x y x \ respectivamente. Sean [p(p)] = (a*¿) y \pr($)) = (a'ke) matrices correspondientes. Si h : V r * V f es cualquier aplicación lineal con matriz asociada [/i] = (xst) en las bases de V y V' usadas anteriormente,

190

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

com o la matriz de p(g x) es de la forma (dij(g *)), entonces para el h° del corolario anterior su matriz asociada es

1^1

geG

(ya que la matriz de una suma de aplicaciones lineales, es la suma de las matrices, y la matriz de una composición es el producto de las matrices), y así, los coeficientes | | de [h°] son

hij = T77, Y , ^ 2 aik(9~1)xkta'tj(g)11

(* )

geG

k,t

Ahora, como p y pf no son isomorfas, por el corolario anterior se tiene que h° = 0 y así las h\ | = 0 para todo i , j . Se sigue que (*) es un sistema de ecuaciones lineales en las variables xst que se anula para cualquier h : V —>V, i.e., para todos los valores de x 3t. Por lo tanto sus coeficientes tienen que ser todos cero, i.e., (t)

T^i I0*'

Y

= 0

pata todo

geG,

k,t

Ahora, como x(ff) =

ÍX,

E i anís) y x'(ff) = ajj(9), entonces

x') = ( Y aii’Y j hj

i

Y

=

Éf |

= Y ( aii' a'úi)

aa(9~l Wjj(9) Y

por definición de ( , >

i j 1 1 geG = i^ f 11

= 0,

y

m ij,geG

m

por (f),

lo cual prueba la parte ( 1 ). (2) Con la misma notación para p = pf y h, sólo que en este caso tenemos, por el corolario anterior, que h° = A idy, para un escalar A de la forma A = (l/n )T r(h ), con n = dim c V %por lo que

„0

,3

Í0 U

i= j,

i.e., h!¡j = A5{jg la delta de Kronecker, y como A es de la forma

\ = ± W h ) = l ' £ x kk = l ' £ XH5,t

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

191

entonces

h{j —A<5‘ij —

%8t$at&ij

por lo que la igualdad (*) se vuelve ~ 5 3 ^st^st^ij — 53 a is(9 1)x ata t jÍ 9 ) s.t ' ' i,8 ,tjtgeG

e igualando los coeficientes de las variables x at se obtiene que M

¿ |
n

-

(I [0 en cualquier otr otro caso,

y como x(p) = E* a¿*(p)» entonces (x> x) — ( 5 3 a ” ’ 5 3 a3j) = 5 3 ( qm>Qjj) = £

ïpïï £

M s l )»tf (ff)

ij l°r|s€G

=M ÊÈÊ “ n

por definición de ( , >

por (**)

n 1 = £ -

h n

= i, como se quería. Observación. Note que la parte 2 del teorema es una condición necesaria para que una representación p sea irreducible: se requiere que (xp>Xp) = 1 - Después de unos ejemplos y corolarios, veremos en 14.7 que la condición anterior también es suficiente.

Ejemplo 5. Si G ± 1 es un grupo finito de orden n, sea p : G —►GL( V) la representa­ ción regular de G y sea x su carácter. Por el ejemplo 2, x(9) = 0, si g ^ 1, y x ( l) = n, por lo que (x, X) = i £ x(a)x(9~1) = ^ x ( l ) x ( l ) = i n • n = n / 1 , n —; n n y por lo tanto la representación regular de grado n > 1 no es irreducible, algo que está implícito en el ejemplo 9 del capítulo 13.

192

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

COROLARIO 14.5. Sea G un grupo finito y sea p : G —►GL(Vr) una representación con carácter x* Supongamos que la representación se descompone en suma directa de irreducibles como

=

V

Wi

© J § © W k.

Si W es una representación irreducible de G con carácter 0, entonces (x, 0) es m entero que es igual al número de W¿ isomorfas a W. Se sigue que el número de isomorfas a W no depende de la descomposición de V. Demostración. Si \ x es el carácter de W¿, por 14.2 se tiene que X = Xi + * *+ Xb por lo que (*)

(x,'ü) = (xi + --- + xk,ip} = (xi,'p) + --- + {xk,'il>}

y por el teorema anterior . _ J1

. **’

(0

si Wi es isomorfo a W } si Wi no es isomorfo a W ,

por lo que la suma (*) cuenta los W¿ isomorfos a W. Para la segunda afirmación del corolario, note que el número (x», 0) no depende de la descomposición. □ Observación. En el corolario anterior, diremos que (x, 0) es el número de veces que

W ocurre en la descomposición en irreducibles de V. COROLARIO 14.6. Dos representaciones p\ y p2 de G, son isomorfas si y sólo si sus caracteres son iguales. Demostración. Si p\ : G —>GL(V) y p2 : G —►G L (F ') son isomorfas, existe un isomorfismo lineal / : V —* V' tal que fpi(g) = P2Í9)f* para todo g € G. Se sigue que / p i ( s ) / - 1 = P2 {g)

ypor lo tanto X i (g)=

Tr(pi(ff)) = Tr(/p i(p )/-1) = Tr(p2(p)) = X2(fl),

para todo g € G, y así x i = X2- Recíprocamente, si x i =: X2, el corolario anterior nos dice que en este caso p\ y p2 contienen, cada una, una representación irreducible el mismo número de veces. □ Observaciones. (1) Este corolario nos dice que, en efecto, el carácter de una represen­ tación determina o caracteriza a la representación. (2) Los corolarios anteriores también nos dicen que el estudio de las representaciones de un grupo se reduce al estudio de los caracteres del mismo. (3) Si p : G —►GL(V”) es una representación de grado n con carácter x» supongamos que W \ %. . . , Wr son todos los irreducibles no isomorfos que aparecen en una descom­ posición de p. Pongamos := (x,Xt)» donde Xt es el carácter de Wi, recordando

193

14 CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

de 14.5 que los m* son enteros > 0, y denotemos con m iW i a la suma directa de W \ consigo mismo m* veces, i.e., rr\j_____

rriiWi := W i© — ©W i (con OWi := 0) Al entero m» lo llamaremos la multiplicidad de W{. Entonces, V

=

m \W \

© •••© m r W r

y el carácter x de p es una combinación lineal de los caracteres irreducibles Xi> • • • >Xr» con coeficientes enteros > 0: X

= TOlXl +;•*■•■+

TTlrXr-

COROLARIO 14.7. Si x es el carácter de una representación V de G, entonces 0 ) {x,x) = 'Y lm i-

»=1

(2) (x,X> > 0. (3) (x> x) = 1 si y sólo si x es irreducible.

Demostración. La parte 1 se sigue del teorema 14.4 de ortogonalidad de los caracteres irreducibles. La parte 2 es consecuencia de (1), y para la parte 3 observe que (x, x) = mi == 1 si y sólo si uno de los ra¿ = 1 y los otros son cero, i.e., si y sólo si V - Wi. □ COROLARIO 14.8. Toda representación irreducible pi de un grupo finito G está con­ tenida en la representación regular de G, con multiplicidad m* igual al grado n¿ de

PiDemostración. Por el ejemplo 2, el carácter XR

Ia representación regular de G

está dado por

XRÍ9) =

si 9 # 1, si g = 1 .

Ahora, por el corolario 14.5 la multiplicidad con que la representación irreducible con carácter x<» está contenida en la representación regular R de G es m i = (X R ,Xi) = p | 5 Z

ya que Xt(l) =

X

I

IGIx . Í 1) = « t

es el grado de la representación irreducible Wi.

COROLARIO 14.9. (1) Si G es un grupofinito, entonces tiene sólo un númerofinito de representaciones irreducibles no isomorfas, con caracteres x i , . . . , Xr-

194

(2) Los grados

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

de los de los caracteres irreducibles x» de G satisfacen ^ n¡ = \G\. *=i

r

(3) Si g e G , g ^ 1 , entonces ^ n^Xt(^) = 0. i=i

Demostración. (1): Por el corolario anterior todas las representaciones irreducibles de G están contenidas en la representación regular V r cuyo grado es |G |, y como V r sólo tiene un número finito de subespacios no isomorfos, entonces la parte 1 se sigue. (2): Por el corolario anterior r

(*)

X *(s) = ]C«»X¿(ff) t=l

para todo g € G. Poniendo g = 1 obtenemos |G | = X * (l) = ¿ n < X i ( l ) = t= l t=l

'

»=1

lo cual prueba (2). Poniendo g ^ 1 en (*) se obtiene r Y 2 n iX Á 9) = X R Í9) = Q

t=l donde la última igualdad es porque x r {9) es

carácter de la representación regular y

9 i 11-

D

Observación. La parte 2 del corolario anterior nos da un criterio para la búsqueda de los caracteres irreducibles de un grupo G: supongamos que por algún medio ya encontramos que xi» • • •» X r son caracteres irreducibles de G, de grados n i , . . . ,n r. Entonces, éstos son todos si y sólo si n ¿ = 1^1*

Ejemplo 6. Para el grupo cíclico Z /n Z , en el ejemplo 3 del capítulo 13 obtuvimos n representaciones irreducibles de grado 1, : Z /n Z —►C \ para u € Pn> y cuyos caracteres calculamos en el ejemplo 4 de este capítulo, como XwÜ) =

para 0 <

j < n, y como n = |Z /n Z |, entonces n = |Z /n Z | = i=l

= X ) 1> i=l

entonces éstos son todos los caracteres irreducibles del grupo cíclico Z /n Z .

Ejemplo 7. Si G es un grupo abeliano finito de orden n, en el ejemplo 13 del capítulo 13 construimos n representaciones irreducibles de grado 1 de G, por lo que la parte 2 del corolario anterior se cumple y así éstas son todas las representaciones irreducibles

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

193

de G. Note que en el ejemplo 16 del capítulo 13 y en el corolario 13.6, mostramos que todas las representaciones irreducibles de G son de grado 1 . El teorema siguiente nos dice exactamente cuántas representaciones irreducibles tiene un grupo finito G en términos de la estructura del grupo. Antes necesitaremos unas definiciones y un lema: Funciones de clases. Si \ : G —» C es un carácter de G, por 14.1(2) sabemos que \(tgt~l ) = x(p)» Para cualesquiera g,t € G y ésto nos dice que todo carácter x es constante en cada clase de conjugación de G. En general, una función / : G —►C que es constante en cada clase de conjugación de G, i.e., tal que f(tgt~l) = f(g ), para todo g}t € G, se llamará una función de clases. Sea T el conjunto de todas las funciones de clases en G. Es claro que la suma de dos funciones de clases es una función de clases y que el producto de un escalar por una función de clases también es una función de clases. Como la función constante cero 0 : G —►C está en se sigue que T es un C-subespacio vectorial del espacio de todas las funciones de G en C y por lo tanto podemos considerar el producto escalar
/(* '" * % )> aeG

definido anteriormente, restringido a T . Por 14.4 los caracteres irreducibles xi» • • •»Xr de G forman un sistema ortonormal en T %y son un conjunto finito por 14.9. Mostrare­ mos que forman una base y para ésto necesitaremos el lema siguiente: LEMA 14.10. Sean f : G —►C una función de clases y p : G —►GL(V) una represen­ tación. Sea p f : V —>V la función lineal dada p o r

pf '■= £ f ( a)p(a)aeG Si p es irreducible de grado n y carácter x, entonces pj es una homotecia de razón A dada por 71 aeG

n

Demostración. Mostraremos que p f satisface la condición del lema de Schur. En efecto, para todo t € G: P(í_ 1 )P /P (0 = £

PÍt)~1f{a)p(a)p{t) =

aeG

/ ( ct)p (í -1
(la ultima igualdad por linealidad, ya que f(o ) € C), y poniendo u := t~lot, i.e., o= y usando que / es función de clases, la igualdad anterior se vuelve

f ( tu t~l )PÍV) ~ Y ! f ( u)P(u) = Pf-

P (0 ~ V /P (* ) = weG

ueG

196

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

es decir, p/p(t) = p(t)pf , y así, por la parte 2 del lema de Schur, se tiene que pf es una homotecia, pf — A id y. Calculando trazas en esta igualdad:

nX = Tr(A idv) = Tr

(pf )= aeG

Y /(a)Tr(p(
aeG

y así

Yf{o)x(°) = ^ |G |( / , ^ ) ,

A *= ^

n alG n la última igualdad por la defínición del producto intemo.

□

El resultado principal es: TEOREMA 14.11.

Sea G un grupo finito. Entonces,

(1) Los caracteres irreducibles x i, • • • >Xr de G forman una base del espacio de Jun­ ciones de clases T . (2 ) El número de representaciones irreducibles de G, salvo isomorfismo, es igual al número de clases de conjugación de G.

Demostración. Por 14.4 los caracteres irreducibles xi> • • •, Xr de G forman un sistema ortonormal en T y por lo tanto son linealmente independientes. Para mostrar que ge­ neran T es suficiente mostrar que todo elemento de T ortogonal a todos los x ¿es cero. Sea / G T un tal elemento, i.e., (/,x * ) — 0, para todo i. Para cada representación p de G pongamos p f := £ c r € Gf(o)p(a) como en el lema. Si p es irreducible, su carácter x es uno de los Xi y por el lema anterior se sigue que p / es (la homotecia) cero ya que ( /, x) = (/> Xi) = 0» P°r Ia suposición que hicimos sobre / . Si p no fuera irreducible, descomponiéndolo en suma directa de irreducibles p j se sigue también que pf = 0. Apliquemos lo anterior a la representación regular R : G -+ GL(V), donde el espacio vectorial V tiene como base a B — {vg} geG- Ahora, para el básico vi € 5, i.e., con 0 = 1 , calculemos su imagen bajo la función lineal R f : V —* V asociada a R como en el lema previo. Entonces (t)

fyvi = ( S ' aeG

= '

Yí aeG

i) =

Y

/(aK

aeG

(ya que R(
14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

197

Aj = 1 se tienen k funciones /* : G C dadas por fi[Cj) = y si / : G C es cualquier función de clases con valores /(G*) = Ai, entonces / = £ Aí / í , y así las /i generan a T y es obvio que son linealmente independientes, por lo que dimcCF) = & (el número de clases de conjugación de G). Pero por la parte 1 , d im c (^ ) = r (el número de caracteres irreducibles de G), y así k = r, como se quería. □ COROLARIO 14.12. Sea G un grupo finito y sean x i , . . . , Xr los caracteres irreduci­

bles de G. Entonces, ¿ S i(* )X i(!=

{ ¡Ip

si t € Ca (la clase de conjugación de a), si t £ Ca •

Demostración. Sea f a : G —> C la función que es 1 en Ca y cero en las otras clases. Por la proposición anterior f a = 515=i A¿x¿» donde 1

A. = {fa, X i ) = 7^7 52 fo{9)Xx{9) = 52 I d geCa lU l s €G

l'-'l

y así, para cada t € G,

lo cual da el resultado deseado poniendo primero t € Ca y luego t £ Ca-

O

La tabla de caracteres de un grupo finito. Si G es un grupo finito, por 14.11 el núme­ ro de representaciones irreducibles de G es igual al número de clases de conjugación de G. Sean p i , . . . , pr estas representaciones irreducibles y sean Xi> • • • >X r los carac­ teres irreducibles asociados. Por convención p \ es la representación trivial y xi es el carácter principal asociado. Como cada carácter (irreducible) Xi queda especificado por sus valores en un re­ presentante de cada clase de conjugación de G, entonces los r caracteres irreducibles X* están determinados por una tabla cuadrada r x r cuyas entradas son los valores de los r caracteres x* en los r representantes g j de las r clases de conjugación C j de G. Este arreglo r x r se llama la tabla de caracteres del grupo G, que, por supuesto, sólo está bien definida salvo el orden de sus renglones o columnas. Al escoger un or­ den en las clases de conjugación, por convención elegimos <71 = 1 de tal forma que C\ = {!}. En la tabla de caracteres pondremos en el renglón superior a los represen­ tantes de las clases de conjugación 1 = gu 92*• • •»9r* y en la columna de la izquierda a los caracteres Xi» • • • >Xr» con x i el carácter principal de G. Es usual también poner arriba de cada representante ,ff{ al orden h{ de su clase de conjugación C¿. Note que como gi = 1 , entonces h\ = 1 y también observamos que x»(l) = ni es el grado del carácter x». Esto determina la primera columna de la tabla. También, como x i es el carácter principal de G y éste es irreducible, entonces es igual al carácter trivial, por lo

198

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

que Xi(
hi =

1

h2

h3

hr

92

93

9r

1

1

1

Xi

1 1

X2

7*2

X2Í92)

X2Í93)

X2Í3r)

Xr

flf

XÁ92)

XÁ93)

X r{9r)

Si=

Ahora, los renglones de esta tabla los podemos ver como vectores en Cr con el carácter x» fijo y variando los representantes de las clases de conjugación:

Oc¿(l), X»(92), Xi(fl3).. . . . x«(9r)) y el teorema de ortogonalidad 14.4 nos dice que estos renglones son ortonormales. Lo enunciamos para renombrarlo: y TEOREMA 14.13 (Ortogonalidad por renglones).

Si G es un grupo finito y x i, • • • ,Xr

son sus caracteres irreducibles, entonces ( Xi i Xj ) = $ iji

lo cual, por definición del producto interno, se puede escribir como s¡j =

1

1

r

TñXiHXjW) = i

|LJ|
|U I 1=1

donde ht = \Ct\ y gt € Ct, para Ct las clases de conjugación de G.

Ahora, fijándonos en las columnas de la tabla los pensamos como vectores en Cf con el representante Qj de la clase de conjugación fijo y variando los caracteres x<‘

(Xl(9j)\ 2P X ( j)

\X r(S j)/

y el corolario 14.12 se lee ahora como:

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

199

TE OR EM A 14.14 (Ortogonalidad por columnas). Si G es un grupo finito y Xi >•••>Xr son sus caracteres irreducibles, Qj son representantes de sus clases de conjugación y hj son los órdenes de estas clases, entonces

Í2xt(9>)Xt(9j) 1

=

=

[Cc(9iWj

"i donde la última igualdad es por el teorema órbita-estabilizador y el ejemplo 12 del capítulo 8. □ En ocasiones las relaciones de ortogonalidad ayudan a completar la tabla de carac­ teres de un grupo, como veremos en los ejemplos siguientes:

Ejemplo 8. Sea G = >14, el grupo alternante en 4 letras. Las clases de conjugación de ^Uson:
C2 = {( 12 )(34), (13)(24), (14)(23)} C3 = {(123), (142), (134), (243)} C4 = {(132), (124), (143), (234)} y así >14 tiene 4 caracteres irreducibles. Ahora, del ejercicio 14 del capítulo 5, el sub­ grupo conmutador de A4 es [¿ 4,A i] = { 1 , (12)(34), (13)(24), (14)(23)} y así tiene índice 3 en A4, por lo que ^ 3/ [^ 4, A4] ^ Z /3 Z y consecuentemente A4 tiene 3 caracteres irreducibles de grado 1, por el ejercicio 5 del capítulo 13, las cuales se obtienen de los 3 caracteres de grado 1 del grupo cíclico Z /3 Z que, por el ejemplo 5 están dadas, eligiendo una raíz cúbica u; € ^ 3, mediante Xu(j) — w* para j 6 Z/3Z: Para u = 1, x i es el carácter principal. Para lj = exp(27r¿/3), el carácter X2 correspondiente está dado como sigue: como en el cociente A a/\A ^ A4] Z /3 Z se tiene que [A4, A4] = C\ U C 2, entonces los elementos de estas clases representan al 0 6 Z/3Z, por lo que si a 6 C\ U C 2, entonces X2(&) está dado por o >-►0 ►-+ u)° = 1 y así X2M = 1 para <7 e C\ U C2. Ahora, si o € C 3, por ejemplo si o = (123), entonces o es de orden 3 y así, representa al 1 en el cociente A j/lA i, A*] ~ Z / 3 Z. Se sigue que X2(^) = o;1 = u, para toda o e C 3. Finalmente, si o e C 4, no le queda más que representar al 2 en el cociente A í /[ A j , A4] ~ Z /3 Z , por lo que X2(cr) = u 2 para todo o € C4. Se sigue que X2 está dado por

(1

si o € C\ U C 2,

u

sxoeC z,

o;2

si a € C 4.

200

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

Similarmente, para la tercera raíz cúbica cu2, el carácter X3 correspondiente estado por si <7 C C\ U C 2 y SÍ (T £ C 3 ,

X3(
si a € C 4. Sólo falta encontrar el cuarto carácter irreducible X4 de A4. Ahora, como (^ 4) = 12, por el corolario 14.9 si ri4 es su grado, se debe tener que 12 = l 2 + l 2 + l 2 + n¡j y así TI4 = 3, i.e., X4 es un carácter de grado 3. Por lo tanto, como X4(l) = ^4 = 3, sólo nos falta calcular X4(
a

si cr € C 2,

b si o G C3 , c si a € C 4.

X4(
Entonces, por definición del producto interior y porque |C i| = 1, IC2 I = 3, \Cz\ = \Ca\ = 4, se tiene que 0 = = ¿ ( 1 - 3 + 3 • l - a + 4 - 1- 6 + 4 - 1 -c) = ¿ ( 3 + 3a + 46 + 4c) o = c) 0 = (X3, X4> = ^ ( 3 + 3a + 4a>6 + 4u;2c) y resolviendo este sistema de ecuaciones en a, 6, c se obtiene que a = —1 y b = 0 = c, por lo que

o€ Ci = { 1 }, —1 SÍ
3 X4(tf)

si

Así, la tabla de caracteres de A4 es: 1 3 /* = 9i = 1 (12)(34)

Xi X2 X3 *4

4 (123)

4 (132)

1

1

1 1 1

1 1 1

U3¿

(jJ

3

-1

0

0

LJ

201

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

con u ss exp(27r¿/3).

Ejemplo 9. Sea S 3 el grupo simétrico en 3 letras. Recordemos, del capítulo 4, que las clases de conjugación de Sn consisten de todas las permutaciones que tienen la misma estructura cíclica (4.12). Se sigue que las clases de conjugación de S 3 son Ci

= { 1 },

C 2 = { ( 12 ), (13), (23)}, C 3

= {(123), (132)}

por lo que S3 tiene 3 caracteres irreducibles. Ahora, como S 3/A 3 ~ Z /2 Z , entonces S3 tiene 2 caracteres x i X2 de grado 1, que son el carácter principal x i el carácter de la función signo (ejemplo 4 del capítulo 13). Así, X2( l) = sg n (l) = 1, X2 (l» 2 ) = sgn(l, 2) = —1 y X2 (l> 2 ,3 ) = sg n (l, 2 ,3 ) = 1 , por lo que la tabla de caracteres de S3 empieza como:

y

y

hi = 9i = Xl X2 X3

1 1

3 (12)

1 1 1 ||- 1

2 (123) 1 1

Para calcular el grado 713 de X3 »como

6 == IS3 I — rif •+• TI2 ■+■713 = 1 + 1 + 713 = 2 + 713, entonces 713 = 2 y así X3 ( l) = 2, lo cual agregamos a la primera columna. Ahora, para calcular el lugar faltante en la segunda columna, observemos que la ortogonalidad por columnas implica:

3 o= E t=l

= 1 • X i( 12 ) + 1 • x a ( 12 ) + 2 • * 3 ( 12 ) = 1 • 1 + 1 • ( - 1 ) + 2 • X3 ( 12 )

por lo que 2x3(12) = 0, i.e., X2(12) = 0. Similarmente, para el lugar faltante en la tercera columna,

3 o = I 1 É É B = 1 •Xi(123) + 1 •Xa(123) + 2 •*»(123) == 1-1 + 1 1 + 2- xa(12) »=1 por lo que X3(123) = —1. Podemos entonces com pletar la tabla de caracteres de S 3:

hi = 9i = Xl X2 X3

1 3 2 1 (12) (123) 1 1 1 1 -1 1 2

0

-1

202

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

Ejemplo 10. Sea (o)

h ln L un grupo cíclico finito de orden n. Si u) = exp(2ni/n) es una raíz primitiva n-ésima de la unidad, por el ejemplo 3 los n caracteres irreducibles de Z /n Z (hay n clases de conjugación porque es abeliano) son de grado 1 y están dados por 1 < t < n,

Xí (
para k 6 Z /n Z . La tabla de caracteres de Z /n Z ~ (a) es: II II i? &

1 1

Xi X2

1

1

1

1

u

u2

X3

1

1 o

1

i
w4 :

Xn

1
u>n_1

:

w 2(n - 2> : (j(n—l)(n—1)

Ejemplo 11. Sea G cualquier grupo abeliano finito. Como G es abeliano sus clases de conjugación tienen un único elemento y así, por 14.11, G tiene |G| caracteres irredu­ cibles x*- Ahora, por el corolario 14.9, (G| = n?, donde n¿ es el grado de x
COROLARIO 14.15. Si G es un grupo jinito de orden n y H es un subgrupo abeliano de G, entonces el grado de cada representación irreducible de G es <[G : H\ Demostración. Sea p : G —►GL(Vr) una representación irreducible de G. Restrin­ giendo p a H se obtiene una representación pn : H —►GL(V) de H. Sea W C V una subrepresentación irreducible de p//- Como H es abeliano, por el ejemplo anterior d im iy = 1. Sea V' C V el subespacio vectorial generado por las imágenes p(o)W% con o recorriendo G. Es claro que V ' es G-invariante y como V es irreducible, entonces V* = V. Ahora, para g e G y h e H se tiene que p(gh)W = p(g)p(h)W = p(g)W

14. c a r a c t e r e s d e g r u po s f in it o s

203

ya que p(h)W = W porque p (h ): W —> W es isomorfismo. Así, para todo gh G gH se tiene que p(gh)W = p(g)W por lo que el número de p(g)W distintas es a lo más [G : H]t y como V = V' es la suma de los p(g)W , con cada p(g)W de dimensión 1, y por lo que acabamos de ver hay a lo más [G : H] distintas p(g)W , entonces dimV < [G : H]. □

Ejemplo 12. Para el grupo diédrico Z?2n» sabemos, por el ejercicio 9 del capítulo 5, que contiene al grupo Rn de rotaciones y que [Z>2n : Rn] — 2. Por el corolario anterior las representaciones irreducibles de Z>2n son de grado 1 6 2. Ahora, £>2n tiene como generadores a la rotación r = r ^ / n y a la reflexión p, y estos generadores satisfacen las relaciones rn = 1 , p 2 = 1 , prp = r “ 1. Además, cada elemento g G Z^n se puede escribir, en forma única, como

9Z

-

rn con 0 < k < n — 1 .Ü prk con 0 < A: < n —1 i

si g e Rny si g & Rn , i.e., si g es una reflexión.

Observe que prp = r - 1 implica que prkp = (prp)k = p~k y por lo tanto prkprk = 1 , i.e., (prk)2 = 1 , por lo que los elementos de la forma prk son reflexiones. Para calcular las representaciones irreducibles de £>2n» ya sabemos que éstas son de grados 1 ó 2. Ahora, si < />: D^n Éft GL(V') GL(2, C) es una representación de grado 2, diagonalizando la matriz como rn = 1 , se tiene que

0 \n

m m

¡ = [^( 0 ]n = ('

m

A 2) ~ m

0N!

as ;

por lo que Ai y A2 son raíces n-ésimas de la unidad. Esto nos motiva a definir, para

u) € Pn una raíz n-ésima de la unidad, la función u : ¿>2n

GL(2,C)

mediante

M r k) ==

y

Mf>rk) É ( w°* W0 * ) •

Es inmediato verificar que es un homomorfismo y así tenemos n representaciones de Z>2n de grado 2, una por cada raíz de la unidad u £ pn. La pregunta natural, en este contexto, es: ¿cuándo es 4>u reducible? Para que sea reducible debe existir un subespacio W C C 2 de dimensión 1 y que sea £>2n-invariante. Sea v = (x, y) € C 2 tal que W = (v) es £>2n-invariante. Entonces, para todo g G D2n debe existir un A G C* tal que M

u(g)v = Xv

204

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

y ésto basta considerarlo en los generadores g = r y p de Z>2n* i.e., para

^ r ) : = (o

w“1)

y

:= ( l

o)

por lo que (*) se vuelve

que dan lugar al sistema de ecuaciones:

u x = Ax u ~ ly = Ay y = A'x x = A'y. Donde observamos que, como A' ^ 0, de las dos últimas ecuaciones se deduce que x = y = 0 6 x ^ 0 y y ^ 0 . Ahora, como v = (x, y) es generador de W, que tiene dimensión 1 , entonces v # 0, por lo que x ^ 0 ó y / 0, que combinado con las condiciones anteriores nos dice que x ^ 0 y y ^ 0. Así, de las dos primeras ecuaciones se sigue que A = cj = a ;"1, i.e., u 2 = 1, i.e., u G /¿2 y por lo tanto

„ es reducible o u £ /Z2 £ PnDe hecho, notamos que si u G p 2 y si vi = (1,1) y V2 = (1, —1), los subespacios

Wi = (vx) y

W 2 = (^ 2>

son Z>2n-invariantes y W \@ W 2 — C 2. Ahora, para w = l y para la representación \ : D2n <£i(r) y <£i(p) en la base {vi, V2} de C 2:

0iM = ( J

5)

y

M

p) = ( J

GL(2, C), calculando

_ ° i)

que dan lugar a las subrepresentaciones de grado 1 : T i : D 2 n - 4 G L (1,C )

dada por T i(r) = 1 y T i(p) = 1

y T2 : D2n

GL( 1 , C)

dada por T 2(r) = 1 y T 2(p) = - 1

que satisfacen Ti © T2 = \. Distinguimos ahora dos casos, dependiendo de la paridad del entero n en D2n'

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

CASO 1. Si n es par. En este caso —1 G

203

y como - 1 € P2* para la representación

0- 1 : Din —* GL(2, C), en la base {ui, t^} se tiene que -i)

y

31

?)

que dan lugar a las subrepresentaciones de grado 1 : T3 : Ü2n —+ GL( 1 , C)

dada por T$(r) = —1 y T^(p) = —1

y

T\ • &2n *■* GL( 1 , C) dada por T i(r) = —1 y T^p) = 1 que satisfacen T3 0 T4 = 0 _i. Así, si n es par hemos construido 4 representaciones de grado 1 que son subrepre­ sentaciones correspondientes a las representaciones \ y -\ asociadas a las dos raíces 1 , - 1 € P2 Q Pn que son las únicas representaciones de grado 2 reducibles de D2n. Se sigue que, si u € pn — ^ 2» la representación 0o, correspondiente es irreducible. Observe ahora que como u ku n~k = 1, entonces 0^* y 0wn-fc son isomorfas. Se sigue que sólo necesitamos considerar las representaciones de grado 2 asociadas a las raíces uk con 0 < k < n/2 (recuerde que n es par) y observamos que los casos k = 0 y k = n /2 corresponden a las raíces 1 y —1, que ya vimos que son reducibles. Nos he­ mos quedado así con (n /2 ) —1 representaciones irreducibles de grado 2. Mostraremos ahora que éstas no son isomorfas entre sí. En efecto, si lj, u ' e /zn, entonces 0o, es isomorfa a 0W/ si y sólo si xu> = X/v> P°r 14.6. Pero, por definición de 4>u y 0 ^ , XK = 2Re ("*) = Xp„, = 2Re (oj'k), O < k < n en particular Re (lj) = Re (u/), y como a;, o;' € /in»esto sucede si y sólo si u = <7. Por lo tanto, como los argumentos de lj y ü/ son de la forma 2tn/n, con O < f < n /2 , entonces = o;' si y sólo si u = o/, y así los uk con O < k < n /2 no son isomorfos. Hemos así probado que: si n es par, se tienen (n /2 ) — 1 representaciones irreducibles de grado 2 de £>2«. Finalmente, observamos que las 4 representaciones de grado 1 y las (n / 2) - 1 representaciones irreducibles de grado 2 , son todas las representaciones irreducibles de Z?2n ya que sus grados satisfacen la igualdad 4(12) + ((n /2 ) - 1)(22) = 4 + 2n —4 = 2n = |D 2„|.

Caso 2. Si n es impar. En este caso —1 ^ /in y así sólo tenemos dos representaciones Ti de grado 1 correspondientes a subrepresentaciones de <¡>\. Para las de grado 2, son las mismas que las del caso anterior, con la condición de que O < k < n/2 y sólo observamos que, como n es impar, la condición k < n /2 se puede escribir como k< (n - l ) / 2, i.e., k debe satisfacer que 1 < k < (n - l)/2.

206

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

Hemos mostrado así que: si n es impar, se tienen (n — l) /2 representaciones irreduci­ bles de grado 2 de D 2n y junto con las dos representaciones de grado 1 son todas las representaciones irreducibles de Z>2n» ya que sus grados satisfacen la igualdad 2 (12) + ((n - l) /2 ) ( 2 2) = 2 + 2 n — 2 = 2 n = |D 2„ |.

Los caracteres irreducibles de Z^n- Habiendo ya calculado las representaciones irre­

ducibles de Z?2n» sus caracteres son: CASO 1. Si n es par. Para las 4 representaciones de grado 1, sus caracteres son ellas mismas: x i (el carácter principal), \2 = xz = T 3 , * 4 = T 4 . Para los de grado 2,

por lo que sus caracteres son

Xu>k(r*) = u kt + u H = 2 eos y X^ipr*) = 0. C aso 2. Si n es impar. Se tienen 2 representaciones de grado 1, cuyos caracteres son ellas mismas. Para los de grado 2, sus caracteres son como los del caso anterior. Notas. La historia de la matemática no es lineal, y así no debe parecer extraño que la definición de caracteres de grupos precede a la definición del concepto de representa­ ción que vimos en el capítulo anterior. En [35] Frobenius definió la noción de carácter de un grupo finito antes de haber llegado al concepto de representación, y en su defi­ nición original los caracteres aparecían como soluciones de ciertas ecuaciones y tienen muy poco parecido con la forma en que se definen los caracteres actualmente. Fue en [36] donde Frobenius define la noción de representación de un grupo finito y demuestra que las trazas de las matrices de la representación correspondientes son los caracteres del grupo. La presentación actual de la teoría de representaciones y de caracteres de los grupos finitos, como la hicimos en los capítulos 13 y 14, se debe esencialmente a Schur, alumno doctoral de Frobenius en Berlín, y se encuentra en [52]. E je r c ic io 1. Para las representaciones p y p' de 54 , dadas en los ejercicios 7 y 8 del capítulo anterior, calcule sus caracteres y responda a la pregunta 9 del capítulo 13. E je r c ic io 2. Muestre que £4 tiene exactamente dos representaciones irreducibles de grado 1, dos de grado 3 y una de grado 2. Hallar esta última.

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

207

E je r c ic io 3. Calcule la tabla de caracteres de Sa, E je r c ic io 4. Si H < G y g € G, demuestre que |C g ( Eje r c ic io 5. Si T es la tabla de caracteres de un grupofinito G , ¿cuál es el determi­ nante de T ? EJERCICIO 6 . Si T es la tabla de caracteres de un grupo finito G , demuestre que la suma de las entradas en cada uno de sus renglones es un entero > 0 . EJERCICIO 7. Si p : S 3 —> G L(3, C) es la representación por permutaciones de S 3 , vea el ejercicio 10 del capítulo 13, calcule su carácter.

EJERCICIO 8. Sabemos que para todo carácter x de G, si <7, h € G son conjugados, entonces x{9) = x(h). Demuestre la afirmación recíproca. Sugerencia: suponiendo que xÍ9) = x{h) para todo x> entonces la igualdad es válida para todas las funciones de clases en G, en particular para la función / : G —> C que es 1 en la clase de conjugación de g y cero fuera. Eje r c ic io 9. Demuestre que g es conjugado de g~l si y sólo x(9) es real para todos los caracteres de G.

EJERCICIO 10. Sea x un carácter de G y sea g € G de orden 2. Demuestre que x($) es un entero y que x{9) = x ( l) (mód 2 ). Eje r c ic io 11. Sea x un carácter de G y sea g € G de orden 2. Demuestre que una de las dos afirmaciones siguientes es verdadera:

(i) x (s) = x ( l) (mód 4). (ii) G tiene un subgrupo normal de índice 2 . Eje r c ic io 12. Si G es cualquier grupo, demuestre que el conjunto de caracteres de grado 1 de G, con el producto natural ( x • x O M •= es un grupo. Eje r c ic io 13. En particular, si G es un grupo abeliano, el conjunto de caracteres irre­ ducibles de G, denotado G, es un grupo abeliano. Demuestre que G y G son isomorfos. Eje r c ic io 14. Escríba explícitamente la tabla de caracteres del grupo diédríco D%. Eje r c ic io 15. Sea G = - 1 , —i , —j, —fc}, donde i 2 = j 2 = k2 = —1 , ij = fc, jk = t, ki = j , j i = —ij?, k j = —jk , ik = —ki. G es un grupo no abeliano de

orden 8.

208

14. CARACTERES DE GRUPOS FINITOS

(1) Calcule la tabla de caracteres del grupo G. Sugerencia: El conjunto N = {1, —1 } es un subgrupo normal de G y el cociente G /N = {iV, iN tjN , kN } es isomorfo al grupo de Klein (que es abeliano). (2 ) Observe que la tabla de caracteres de G y de D& son iguales. (3) Sin embargo, muestre que los grupos G y Dg no son isomorfos. Así, la tabla de caracteres, en general, no puede discernir entre grupos no isomorfos.

Ejercicio 16. Si p : G —►GL(Vr) es una representación de G y si x es un carácter de G de grado 1 , demuestre que la función 6 en G, definida por 0(
Ejercicio 17. Suponga que G es un grupo de orden impar. (1) Demuestre que el único elemento de G que es conjugado de su inverso es el neutro 1 6 G. (2 ) Demuestre que si cr ^ 1 en G, entonces existe un carácter irreducible x de G tal que x(
Ejercicio 18. Demuestre que un grupo finito de orden 8k debe tener al menos 5 clases de conjugación. Sugerencia: muestre que el grupo debe tener al menos 5 representacio­ nes irreducibles.

Capítulo

A p lic a c io n e s d e l a t e o r í a d e c a r a c t e r e s espués de haber desarrollado los inicios de la teoría de caracteres de gru­

D

pos finitos, la pregunta importante es: ¿qué información se puede obtener de un grupo finito a partir de sus caracteres? La respuesta es: mucha, y la ilustramos mos­ trando que la tabla de caracteres puede ser usada para determinar si un grupo es simple o soluble. Después de ésto, terminamos con algunas aplicaciones de la teoría de ca­ racteres de grupos finitos probando algunos resultados importantes: uno de la teoría de caracteres (el grado de un carácter irreducible divide al orden del grupo), otro de la teoría de grupos finitos (el teorema paqb de Bumside) y al final el teorema de Frobenius que identifica un subgrupo normal de un grupo de permutaciones. Para probar los pri­ meros dos resultados usaremos un poco de la teoría de números algebraicos que hemos recolectado en el apéndice, que aunque son temas que van más allá de lo desarrollado hasta ahora, creo que su lectura no es difícil y el lector se beneficiaría si lo intenta. Para determinar la simpleza o solubilidad de un grupo necesitaremos los resultados siguientes:

LEMA 15.1. Sean G un grupo finito y H < G un subgrupo normal. (1) Si p : G /H —» GL(V) es una representación del cociente G /H , entonces la composición p ' : G —►G /H —►GL(V') es una representación de G. (2) El carácter

de pf es la composición del carácter x de p con el homomorfismo canónico ir : G —* G /H , i.e., = X ° 7r-

(3) Si W C V es un subespacio, entonces W es G-invariante si y sólo si es G /H invariante.

Demostración. La parte (1) es trivial. Para (2), si g € G, como p'(g) = p{gH ), enton­ ces

(p'{g))= Tr(p(gH)) = x ( f f # ) = x M s ) ) = X ° Para (3), si W C V es G-invariante, entonces para todo gH 6 G /H se tiene que x ' (s) = Tr

gH | w = {gh • iü : /i € H } C W ya que gh € G . Se sigue que W es G /H -invariante. 209

para todo w E W

210

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

Recíprocamente, si W es G /H -invariante, entonces para todo g € G y para todo w € W ypor definición de la acción g-w := (gH)-w € W y así W es G-invariante. □ Si G es un grupo finito y x es un carácter de G, por 14.1(7) el conjunto

Kx ~ { g € G :

1)}

es un subgrupo normal de G, al que se llama el núcleo de x ya que es núcleo de la representación correspondiente por 14.1(7). Si Xi son los caracteres irreducibles de G, escribiremos K{ := K Xi.

PROPOSICIÓN 15.2. Los subgrupos normales de G son los conjuntos de la forma f W

K u p a r a

I Ç I r = { 1 , 2 , . . . ,r} .

algún

Demostración. Supongamos que H < G y sean p ': G /H —►GL(V) la representación regular de G/H y x' su carácter. Consideremos p : G —►G /H —♦ GL(V) y sea x su carácter. Por el ejemplo 2 del capítulo 14,

si gH ¿ H , *'<»"> - { | 0 , si gH = H y así, como por el lema x = x ' 0

entonces

Si g $ H, si g € H

X(s) = x'(9H) = por lo que

x(p) = X(1) « Se sigue que K x = H . Ahora escribamos x = E* ^iX t*con **< > 0 y x¿ los caracteres irreducibles de G. De 14.1(6) se tiene que

lx(s)l < £ « .lx .(s )l < £ * » ( 1 ) = x(i) i

t

para todo g € G. Se sigue que

g e Kx <* x(9) = XÍ1) *=>g € Ki para todo i tal que > 0 (ya que \xi(g)\ < Xi(9) P°r 14.1(6)). Por lo tanto, de (*) y (f) se sigue que g€H g £ Ki para todo i tal que > 0 (f)

g e p ) Ki, donde / = {t : 1 < » < r y n* > 0}. <€/ Para el recíproco, como cada K{ < G, para t € / , entonces Hie/ Ki < G.

□

Usando la proposición anterior, es bastante sencillo, mirando la tabla de caracteres de un grupo finito, decidir si es o no simple:

211

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

COROLARIO 15.3. Un grupofinito G es simple si y sólo si el único carácter irreducible

Xi de G para el cual Xi(ff) = Xi( 1)» para algún g ^ 1 en Gt es el carácter principal Xi-

Demostración. Si G es simple y si sucediera que Xt( 1 y algún g ^ 1 , entonces g € K{ < G, una contradicción. Recíprocamente, si G no fuera simple, entonces existiría un H < G propio y con H í 1, i.e., existiría g 1 en H. Por la proposición anterior, H C K{ para algún i > 1 y por lo tanto x*(p) = X*(l)» en contradicción con la hipótesis. □ COROLARIO 15.4. La tabla de caracteres de un grupo finito G se puede usar para determinar si G es o no soluble.

Demostración. La tabla de caracteres de G nos da todos los núcleos K{ y la proposición anterior nos da todos los subgrupos normales de G y todas las relaciones de inclusión entre ellos, en términos de esos núcleos. Por lo tanto, la tabla de caracteres nos permite determinar todas las series normales de G y los órdenes de los términos involucrados. En particular, nos permite determinar si G tiene o no una serie normal cuyos cocientes sean abelianos. □ LEMA 15.5. Si X es un carácter irreducible de un grupo finito G, entonces para todo geG el número complejo [G : C g (
Demostración. Sea p : G —►GL(W’) una representación irreducible con carácter xSean g 6 G y Cg su clase de conjugación. Consideremos la función f:W->W

dadapor

/ = £

S^Cg y observe que, para todo o 6 G se tiene que p(o) o f = / o p(o) ya que pW

V

pM

=

S&Cg

p(
p(<7_ls<7) = / .

S^Cg

la última igualdad por definición de / y porque o~l so recorre Cg cuando s lo hace. Se sigue que fp{a) = p{p)f como se quería. Podemos entonces aplicar el lema de Schur, 13.5(2), y así existe un escalar A G C tal que / = A • id w- Tomando trazas en esta igualdad obtenemos: A • X(l) = Tr(A • idw ) = T r( /) = T r ( £

VSeCg =

52(xff)

'

g .)

secg

ya (Jue x(«> = x ( s ) para todo a e C g

SfiCg = \C9\x (9 ) = [ G - C G(g)]x(9)

y así A = [G : CG(s )]x (p )/x (l)-

p ( s )) = £

212

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

Ahora, sea R : G —►GL( V ) la representación regular de G y recordemos que co­ mo p : G —►W es irreducible, la podemos ver, por 14.8, como una subrepresentación (irreducible) de R. Ahora, s \ h : V —►V es la función lineal dada por h = YlseCg PÍS)> notamos que h\w = / y que R(a) o h = h o R (a)t para todo a € G (lo cual se prue­ ba en forma análoga a como lo hicimos para / ) y como / = A • id w* entonces A es un valor propio de h y así existe un v ^ 0 en W C V tal que h(v) = Av, por lo que si A es la matriz asociada a R> con respecto a la base de V> se tiene que det(A In — A) = 0. Observamos ahora que, por el ejemplo 5 del capítulo 13, cada entrada de la matriz A de la representación regular es 0 ó 1. Se sigue que el polinomio característico (x) := det (x ln — A) es mónico con coeficientes enteros y como A es raíz de este polinomio, entonces A es un entero algebraico, como se quería. □ Una consecuencia importante es que el grado de cualquier representación irreduci­ ble divide al orden del grupo: TEOREMA 15.6. Si X es un carácter irreducible de G, entonces x ( l) divide a |G|.

Demostración. Sea
S

=

B G:

= Ó G:

donde cada sumando en el lado derecho es un entero algebraico. Se sigue que el número racional |G |/x ( l) es un entero algebraico y por A. 11 está en Z, i.e., x ( l) divide a |G |. □ Para probar el teorema de Bumside, necesitaremos el lema siguiente: LEMA 15.7. Sean x un carácter de G y g 6 G. Pongamos 7 := x(í?)/x(l)* S i 7 es un entero algebraico no nulo, entonces |7 | = 1 .

Demostración. Si n es el orden del elemento <7, por 14.1(4), x(9) es una suma de x (l) raíces n-ésimas de la unidad, digamos x(p) — 4------- h y^ x(i) lx(^)l ^ |fc>i| H------ 1- K ( 1)I — 1 "•------ 1- 1 = x (i) y por lo tanto

15, APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

213

y como 7 / 0, entonces 0 < |7 |. Si sucediera que 0 < I7 I < 1, mostraremos que X(p) = 0. En efecto, sea p(x) = xl + a* -ix t_1 H------ 1- a it + ao el polinomio mónico irreducible del cual 7 es raíz. Por A. 15, p(x) tiene coeficientes en Z. Ahora, como

7

= i( w i + • • • + wx(i))

con d. := * ( 1 ) y Wj 6 /*„,

entonces, por A. 10, todo conjugado algebraico 7 ' de 7 es de la forma 7 , = ^(w í + --- + w^(1)), (donde los Uj son raíces de la unidad, porque son conjugados de Uj que satisface xn — 1 ), por lo que 0 < I7 I < 1 implica que 0 < |7 '| < 1 y así el producto de los conjugados algebraicos de 7 (incluyendo a 7 ) satisface que M

ir

< 1,

yaque I7 I < 1 .

Pero, como los 7 ' son las raíces de p(x), entonces el producto de éstas raíces es ±ao (el término independiente de p(x)), i.e., |ao| < 1 con ao € Z, por lo que ao = 0, y comop(x) es irreducible, ésto implica que p(x) = x y por lo tanto 7 = 0 es su única raíz, i.e., x($)/x (l) = 0 y así x(p) = 0, en contradicción con la hipótesis del lema. Se sigue que |7 | = 1 . □

Sea G un grupofinito. Si G tiene una clase de conjugación cuyo orden es la potencia (no trivial) de un primo, entonces G no es simple.

T E O R E M A 15.8 (Bumside).

Demostración. Note que G no puede ser abeliano, ya que si lo fuera todas sus clases de conjugación tendrían un único elemento, en contradicción con la hipótesis del teorema. Ahora, por hipótesis existe un elemento 1 ^ g en G cuya clase de conjugación es de orden p \ para p un primo y t > 1 entero. De la ortogonalidad por columnas de la tabla de caracteres de G, se tiene que si x i » . . Xr son los caracteres irreducibles de G, entonces ya que

g jí 1 por lo que <5¿j = 0

i=l porque *<(1 ) es real

i=l r

= 1 + ]Cx*(0)Xt(l) i=2

yaque Xi{g) = X i(l) = 1 porque x i es principal.

214

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

Dividiendo entre el primo p obtenemos

P

i=2

y com o - l / p no es un entero algebraico, entonces uno de los sumandos Xí (9)Xí W / p no es un entero algebraico, para 2 < i < r , y como XiÍ9) sí es un entero algebraico, esto implica que p \ x ¿ (l) (y también que Xi(9) i=- 0). Ahora, como [G : C a ^ ) ] = pl y com op \ x*( 1), entonces [G : G
para algunos enteros a, b.

Se sigue que

Xi(g) m

a[G : CG(g)\xi{g)

p |

,,

+bx,{s)

donde, por el lema 15.5, el primer sumando de la derecha es un entero algebraico y como el segundo sumando también lo es, entonces Xi(9)/Xi(X) es un entero algebraico ^ 0 y así, por el lema previo se sigue que su módulo es 1 por lo que |xt(
Pi(9) :W í -* W í tiene un único valor propio, digamos Xg,

ya que si | x í (
\Xi(9)\ = 1^1 H-------= X ií1) y, por la desigualdad del triángulo, la igualdad anterior sólo puede suceder si todos los Wi son iguales (a un u , digamos, con módulo 1 ); se sigue que XiG?) = rifW, con ni — X»(l), por lo que la matriz diagonal asociada a pi(g) tiene a a; en su diagonal veces, y por lo tanto pi(g) = u idw*- Recíprocamente, si pi(g) = Xg idwi» entonces Xg es una raíz de la unidad y IXi(ff)l = |Tr(A3 id w JI = |n«A9| = n< = x<(l) como se quería. Así, Pi{g)v = Xgv> para todo v € Wi. Sea Ki = ker p¿ < G. Como Xi no es trivial, entonces Ki ^ G. Si Ki ^ 1 , entonces G no sería simple y ya acabamos. Si Ki = 1, entonces pi es inyectivo y observando ahora que la matriz de Pi{g), con respecto a cualquier base de es una matriz diagonal con el único valor propio Xg de pi{g) en la diagonal, se sigue que esta matriz conmuta con todas las matrices de la imagen pi(G) de pi y así

PÁ9h) = Pi(g)pi(h) - pi(h)pi(g) = pi(hg)

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

215

para todo h 6 G, y como p%es inyectiva, la igualdad anterior implica que gh = hg para todo h e G, i.e., g G Z(G) por lo que Z(G) 1. Pero Z(G) ^ G, porque G no es abeliano. Se sigue que 1 Z (G ) < G y por lo tanto G no es simple. □ TEOREMA 15.9 (Bumside).

Si |G | = prq8 con p, q primos, entonces G es soluble.

Demostración. Por inducción sobre el orden de G (de hecho, sobre r + s). Si r + s = 1, entonces r = l y s = 0, o viceversa; en cualquier caso G sería de orden primo y por lo tanto soluble. Supongamos ahora que r + s > 1 y que el teorema es válido para grupos G de orden paqb con a 4- 6 < r + s. Sea Q un g-subgrupo de Sylow de G. Si Q = 1 , entonces G es un p-grupo y por lo tanto es soluble. Supongamos entonces que Q ^ 1 ; como Q es un q-grupo, su centro Z(Q) ^ 1 por 9.10, y así existe un 1 ^ g e Z(Q)t por lo que g conmuta con todos los elementos de Q y así Q C CG{g). Las inclusiones Q Q CG(g) Q G implican que [G : Q\ = [G : Cg {9)][Cg {9) ¡ Q] y como |Q| = q9 (por ser un g-subgrupo de Sylow), entonces

f Se sigue que

l

| ¡

4

: C g (s )] divide a [G

f

pr yasí [G : C g (s

CASO 1. Si t — 0, G = CG(g) y así g conmuta con todos los elementos de G, por lo que 1 t¿ p G Z(G) y por lo tanto 1 ^ Z(G) <1 G, y como G no es abeliano Z (G ) # G, y así G no es simple. CASO 2. Si t > 0, como p* = [G : CG(g)] es el número de elementos en la clase de conjugación de g, por 8.2 y el ejemplo 12 del capítulo 8, entonces el teorema anterior implica que G no es simple.

En cualquiera de los dos casos hemos mostrado que G no es simple y así tiene un subgrupo normal propio H < G que, por el teorema de Lagrange, tienen orden de la forma \H\ = paqb con a + b < r + s y consecuentemente, por la hipótesis de inducción, H es soluble. El cociente G /H también tiene orden de la forma paq0 con a + /3 < r + s, y por lo tanto también es soluble por la hipótesis de inducción. De 11 .6(3) se sigue que G también es soluble. □ Caracteres inducidos y grupos de Frobenius. En 15.2 mostramos que la teoría de caracteres se puede usar para determinar los subgrupos normales de un grupo finito dado, sencillamente examinando las soluciones de la ecuación x(ff) = x ( l ) para un carácter arbitrario x de G. Usando ésto, en esta última parte, probaremos un teorema de Frobenius que identifica un subgrupo normal de un grupo de permutacio­ nes bajo ciertas condiciones y al final reformulamos este resultado en forma abstracta,

216

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

descomponiendo un grupo, bajo ciertas hipótesis en un producto. A diferencia del teo­ rema paqb de Bumside, para este teorema de Frobenius no existe una demostración sin usar teoría de caracteres y es una aplicación, hasta cierto punto más sencilla (no usa la teoría de números algebraicos), de la teoría de caracteres para probar un resultado de teoría de grupos pura. Antes de proceder al teorema de Frobenius, necesitaremos algunos resultados sobre caracteres. Representaciones y caracteres inducidos. Si G es un grupo y i f C G es un subgrupo de índice finito, dada una representación de i f , p : i f —►GL(fc,C), Frobenius [24] construye una representación de G que extiende a la representación de H dada, como sigue. Para extender p a G, primero se define p(o) = 0 para a e G - H y notamos que esta extensión de p a G no define una representación, tan sólo por el hecho de que si a € G —i f , p(cr) = 0 no es invertible. Lo que Frobenius hace, usando el subgrupo if , es considerar la partición de G en clases laterales (digamos, izquierdas) de if,

G = <7i i f U • • • U gnH donde n = [G : if] y los p i , . . . , son representantes dados de las clases laterales izquierdas de i f en G. Luego, para cada a G G, define una matriz de tamaño kn x kn como un arreglo d e n x n bloques de tamaño k x fc, donde cada bloque es la matriz p{g~l agj), la cual es una matriz invertible si y sólo si g~l vgj e H, y es la matriz cero de tamaño k x k si g~l
PG(a)

pÍ92lff9i) PÍ92lff92) {p (9 ñ lff9 l)

LEMA 15.10.

P Í9 n 1 ° 9 2 )

p ( 9 2 lff9n)

p (9 n lf f9 n )/

La función pG : G —* GL(fcn,C) así definida es una representación de

G.

Demostración. Queremos probar que pG{ar) = pGf(
Pig-'vrgj) = £ p{97l
(*)

fc=l y se tienen dos casos, dependiendo del lado izquierdo: C aso 1 . Supongamos que g l l^ 9 j & H- Entonces, el lado izquierdo de (*) es la matriz cero. Para el lado derecho de (*) veremos que, para cada fc, ya sea que g~logk i

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

217

H ó que g ^ r g j 4- H. En efecto, suponiendo lo contrario se tiene que a r 'o m = (9r1(T9k)(9klT9j) e H, lo cual contradice lo que estamos asumiendo en este caso. Se sigue que cada sumando del lado derecho de (*) es cero y por lo tanto se tiene la igualdad deseada. C A S O 2. Supongamos ahora que v := g~l
p(9r^9t)p(grlrgj) donde, para v = g^crrgj € H y u = g í lTgj 6 H se tiene que vu~l = g~lagt e H por lo que la igualdad (*) es equivalente a p(v) = p(vu~l )p(u), la cual es verdadera porque t¿, v, vu~l pertenecen a H y p es un homomorfismo. □ La representación pG : G —>GL(fcn, C), del lema anterior, se dice que es inducida de la representación p : H -* GL(fc, C) del subgrupo H . Ahora, si x es el carácter de H asociado a p y si denotamos con x G al carácter de G correspondiente a pG, se tiene que (1)

Xa (v) = TrpG(
t=l

t=l

donde, si g~1o’gi & H usamos la convención de que XÍ9^1(J9i) = 0 en conformidad con el hecho de que p{gil ogi) es la matriz cero. Observación. En la definición de pG>y por lo tanto en la del carácter usamos un sistema particular de representantes <71, . . . , gn de las clases laterales izquierdas de H en G. Veremos a continuación que el carácter x G no depende de la elección de estos representantes. Para ésto, supongamos que

con h{ € H, por lo que g~1cjgí £ H si y sólo si gí^ogi € H, y como estos elementos son conjugados en H por (f), entonces x (^ trl<7 P°r lo que

. *=i como se quería.

= J2 * (9 í 1
218

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

Hay otras formas de escribir la fórmula para el carácter inducido x G- Por ejemplo, si giH , . . . , gnH son las clases laterales izquierdas de H en G, podemos elegir como representantes a elementos de la forma cr¿ = g¡u con u € H fijo. Se tiene entonces que (2)

XG (o ) = 5 2 x ( ( p ¿ u ) - 1 a (S iu )) = '% 2 x (u ~ 19 r 1V9iu)

X=1

t=l

y sumando sobre u en H, el lado izquierdo de (2) es constante y así queda multiplicado por \H\, mientras que el lado derecho de (2) al recorrer u el subgrupo H t como G = g\H U • *• U gnH ylos productos recorren todo el grupo G exactamente una vez y por lo tanto (2) queda \H\ • x G(^) = U reG x C ^ V r ) y así

(3)

X °((r)

= j4 i

X Ít ^

v t

).

'T€G

Ejemplo 1. Si H C G es un subgrupo de índice finito n y si g\H , . . . ,gnH son las clases laterales izquierdas de H en G, consideremos el carácter trivial $ del subgrupo Hy i.e., £(/i) = 1 para todo h € H; entonces, el carácter inducido de G está dado p o r(l): í g (o- ) =

Y l ^ r lff9i)

t=i y para identificar este carácter de G, consideremos la representación por permutaciones de G dada por la acción de G en el conjunto G /H de clases laterales izquierdas de H en G mediante traslaciones izquierdas, i.e., G x G /H —►G /H

dada por (cr, giH) ^ (ogi)H

y sea x el carácter de esta representación de G. Por el ejemplo 3 del capítulo 14 se tiene que xi?) — |( G / i / ) a | es el número de elementos giH de G /H fijados por cr. Obser­ vamos ahora que crgiH = giH si y sólo si g//l &g% G H por lo que el número x (^) de clases de G /H fijadas por o es igual al número de elementos de la forma g^l crgi que están en H y este número es Ya =i ya Que cada uno de estos sumandos es 1 cuando g¡~1ogi G H porque $ es el carácter trivial. Hemos así identificado al carácter inducido £G como el carácter x . i*e., £G = xC aracteres virtuales. Si G es un grupo finito y si xi» • • • >Xr son todos los caracte­ res irreducibles de G, hemos visto en la observación (3) antes de 14.7 que todos los caracteres x de G son combinaciones lineales de la forma

(*)

X = «lXl + •*• + OrXr

con los coeficientes a» enteros no negativos, y en general, por 14.11 toda función de clases en G es una combinación lineal como la anterior pero con los coeficientes a« en C. Si £ es una función de clases en G de la forma (*) pero con los coeficientes a* € Z

15. APLICACIONES DE LA TEORIA DE CARACTERES

219

enteros positivos, negativos o cero, diremos que £ es un carácter virtual de G. Note que si hay coeficientes negativos, por la observación mencionada antes, la función £ no es un carácter de G, i.e., no existe una representación de G cuya traza sea £. Ahora, si £ = aixi -4------f- CLrXr es un carácter virtual de G, entonces usando el producto intemo definido antes de 14.4 se tiene que = a i ------ ^ ar y por lo tanto, si (£, £) = 1 entonces exactamente uno de los coeficientes en £ = OiXi H------ f- arXr es ±1 y los otros son cero. Hemos así probado:

PROPOSICIÓN 15.11. Si £ es un carácter virtual de G tal que (£,£) = 1, entonces £ = ±x* donde x es un carácter irreducible de G. Si además £(1) > 0, entonces \ = Xesuncarácter irreducible de G.

□ Grupos de Frobenius. A continuación probaremos, usando teoría de caracteres, un celebrado teorema de Frobenius [27] que describe una clase importante de grupos, formulándolo en el lenguaje de acciones de grupos (grupos de permutaciones). TEOREMA 15.12 (Frobenius). Sea G un grupo finito que actúa transitivamente sobre

un conjunto X de cardinalidad n. Si todas las permutaciones de G, excepto por la identidad, tienen a lo más un punto fijo, entonces el conjunto de elementos de G sin puntosfijos, junto con la identidad, es un subgrupo normal de G de orden n.

NOTAS. La hipótesis nos dice que, para cada o € G, \Xa\ es n, 1 ó cero. Podemos suponer que X = In y a los elementos cr de G los llamaremos permutaciones ya que su acción sobre los k G In define la función o(k) = oh. Observe también que todo grupo finito G, en su representación regular, ocurre como un grupo de permutaciones en el cual ningún elemento del grupo, diferente de la identidad, tiene un punto fijo. Así, las hipótesis del teorema de Frobenius pueden verse como una pequeña variación de esta situación. Demostración. Por la transitividad de la acción, existen permutaciones pi G G tales que Pi(l) = 1»P2(1) = 2 , .. ., p n (l) = n. Podemos suponer que p\ = 1 es la identidad de G. Ahora, el estabilizador de i G In es el grupo H i = p i H 1p ~ 1

donde Hi es el estabilizador dei 1 € In. En efecto, como Hi = { a e G : o £ Hi, entonces

PitrPi 1(*‘) = p»
porque p i(l) = i,

= » }, si

220

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

y así PiCTPi1 € Hi. Recíprocamente, si r € JET* note que

P il rpi(l) = P»r(¿) = P i(i) = 1 y así p~l rpi £ if i, digamos p~lrp{ = u € Hi y por lo tanto r = p%up~l £ piH\pJly como se quería. Por otra parte, si cH \ es cualquier clase lateral izquierda de H\ en G y si el repre­ sentante a manda 1 en i, entonces o £ PiH\ y recíprocamente. En efecto, si a manda 1 en i, sea r £ H\ la permutación dada por r ( l ) = 1 y r(j) — cr(j) si j ^ 1. Entonces, a = pít £ piH\, y el recíproco es claro. Se sigue que p\H \ y. .. , pnH\ son todas las clases laterales izquierdas de H\ en G, y son diferentes entre sí porque si p{H\ = pjH \yentonces p¿ £ y así pi manda 1 en i y también manda el 1 en j por lo que se debe tener que i = j. Entonces, G = piHi Up2Hi U • • • UpnH\ y [G : H\] = n, por lo que el cardinal n de X (a veces se le llama el grado de G) divide a su orden, i.e., si |G| = g y |if i| = hyentonces g = nh. Ahora, la hipótesis de que, excepto por la identidad, ninguna permutación de G tiene más de un punto fijo, en términos de estabilizadores, quiere decir que HiC\Hj = 1 para i ^ j. Denotemos con K # := K — {1} a los elementos 1 de un grupo K. Entonces, para los estabilizadores H{ anteriores, H f es el conjunto de permutaciones en G para las cuales i es el único punto fijo y así, si W es la colección de permutaciones sin puntos fijos, se tiene la partición de G:

G = {1} U W U H f U H f U • ■• U H * . Observe ahora que p\ = 1 es la única permutación con n puntos fijos y las permuta­ ciones que fijan exactamente un punto están en la unión

H f U H f U •• • U H f y se tiene que |//¿| = |Z/i|, por lo que | = — 1. Por lo tanto, G tiene n(h - 1) permutaciones que fijan un sólo punto y así el número de permutaciones sin puntos fijos es

\w \ m |G| - |{1}| - \H? U H f U • • • U H#\ = g - 1 - n(h - 1) » n - 1 . Con esta información sobre la estructura del grupo G, es fácil calcular el carácter inducido ipG de cualquier carácter rp del subgrupo H\. Recordemos que, por definición, (1)

VG(ff) ~ ] £ V»(p,rl<7P 0 ¿=1

porque G = P\H\ U • • • U pnH\.

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

221

Ahora, si d » ip(l) es el grado de % ¡>yentonces usando (1), el grado de rpG es V>G(1) = nd.

(2)

También, si Uj € H f , como Hj = PjH\pJ l , escribamos Uj = PjupJ1 con u ^ 1 porque Uj 1. Entonces,

u €H\ \ note que (3 )

^>G ( u j )

= J2'l,(Pi'P}UpJ1Pi) 1=1

y el í-ésimo término de esta suma es ^ 0 si y sólo si p ^P ju p ^p i € H \ , lo cual sucede si y sólo si PjupJ1 € PiH\p~ 1 = i/», i.e., si y sólo si Hj = #*, i.e., si y sólo si i = j , por lo que (3) se reduce a

ipG(uj) = t¡)G(p~l upj) = I¡>{u) para = 1, . . . ,n . Finalmente, si w E W , entonces

ípG(w) = 0

(4)

porque p” 1^ » £ Zíi para todo i, ya que w no fija a punto alguno. Resumiendo, los valores del carácter xpG, en 1, Uj e H f y w e W , son:

ipG(.Uj) = \p(u),

v>°(l) = 1,

= 0.

Ahora, para el carácter x de la representación por permutaciones de G, recordemos que x{v) es el número de puntos fijos de a y así, para el carácter 0 dado por 6(0) = x(a) —1, como para las permutaciones 1, Uj, w anteriores, los números de puntos fijos son n, 1 y cero, respectivamente, los valores de 6 son los siguientes:

0(1) = n - l ,

0(uj) = O,

6 {w) = - 1 .

Ahora, para el carácter virtual £ dado por £(cr) := i)G{a) - d9(a), usando los cálculos de \¡>G y 0 anteriores, se tiene que £ (l)= d n - d(n — l) = d,

£(iíj) = i/>(t¿) —d0=ip(u),

£( iü) = 0 - d(—l) = d

por lo que (5)

£(iu) = £(1)

para todo w € W.

Note que la igualdad (5) parece identificar W como el núcleo de £, sin embargo ésto no es así porque: (i) sólo caracteres verdaderos identifican núcleos (15.2) y £ es un carácter virtual, (ii) pueden haber otros elementos fuera de W que satisfacen la ecuación (5). El primer problema se resuelve si en lugar de tener cualquier carácter ip de H\ se toma un carácter irreducible ip de H \t digamos de grado <¿, en la definición (1), observando entonces que el carácter virtual £ resulta en este caso un carácter irreducible

222

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

de grado d. En efecto, como estamos suponiendo que ^ (1 ) — d y que (tP,xP)hi = 1 porque xp es irreducible, entonces (6)

5 Z M u )l 2 =

IV'MI 2 - |^ ( 1)|2 = ] C u € /fl

- d 2 = h - d2

t*€U i

la última igualdad porque {xp{u),xp(u)) = 1 y \H\\ = h. Ahora, como £(1) = d > 0, para probar que £ es un carácter irreducible de G, de grado d, por 15.11 basta ver que (£, £) = 1. Ahora, como G = { 1 } u W U ( i / f U • • • U H#)> entonces

E K(ff)l2=¡til + E l««)l2+j É ( £ K(«>)l2) GVV —l UjtH* íü

= d 2 + (n — l) d 2 + n(h —d2) = nh = g. (porque \W\ = n - 1 y £(tu) = d para w € W, y por (6)). Se sigue que

<***> = ¿ i £ K ( ff)i2 = ^ ) = 1 | | | orGG

y

y así, por 15.11, £ es un carácter irreducible de G. Para resolver el segundo problema, cambiaremos el carácter £ en (5) por otro carácter n para el cual W U 1 = k e r n. Para hacer ésto, sean xpi,... ,xpr todos los caracteres irreducibles de H\ y sean di = ^*(1) sus grados. Para el carácter p de la representación regular de H\ sabemos que p (l) = h, p(u) = 0 para u ^ 1 y

(7)

k=1

p=

E
Definiendo ahora caracteres £*¡ de G en forma análoga a como se definió £ sólo que ahora usando xpk en lugar de xp, i.e., £* = xp% - d*#, para fc = 1 , . . . , r , notamos que los valores de £* son análogos a los de £, i.e., ( 8)

£*( 1 ) = dfc,

£/k(u¿) =

& M = dfc-

Se define entonces el carácter 7r mediante 7r := ]Cí=i d*£jfe (es un carácter porque los djfe > 1 son enteros) y substituyendo los valores de £* se tiene que

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

w (l) =

5Z

= '52¿k = h

*=1

(p o r (8 ))

*=i

r

=

r

22 dk(k(Uj) 22 dk^k{v) fi(u) = 0 =

k=l

223

=

k=l

(por (8), (7) y la línea arriba de (7))

?r(w)= 22 d*&(w) = 22 dl = h *=1 k—l

(p°r (8»

y por lo tanto n(w) = 7r(l) si y sólo si w € W, por lo que para este carácter n se tiene que su núcleo es en efecto { 1 } U W y así, por (15.2), { 1 } U W es un subgrupo normal de G de orden n, como se quería. □

Ejemplo 2. Para el grupo G = S$ que actúa transitivamente en I 3, escribiendo (ejemplo 3, capítulo 4), S 3 = {1, (12), (13), (23), (123), (132)}, se tiene que 4 = i 3, 4 12) = {3 }, 4 13) = {2 }, 4 23) = {i}, 4 123)= 0 = 4 132) y el teorema de Frobenius nos dice que el conjunto {(123), (132)} junto con la identi­ dad es un subgrupo normal de 53 . Es decir, (1,(123), (132)}
Demostración. Para aplicar el teorema anterior lo primero que haremos será ver al grupo abstracto G como un grupo de permutaciones. Para ésto, consideremos la acción de G en el conjunto de clases laterales izquierdas G / H , dada por (a, g H ) a g H y la representación por permutaciones correspondiente p : G —+GL(n, C), donde n = [G : H] y hemos elegido una partición de G en clases laterales de i / , G = g i H U • *•U gnH , con g\ = 1. Recuerde que p(a) manda la clase giH en agiH> por lo que la clase gjH permanece fija bajo la acción de p (a), i.e., ogiH = giH , si y sólo si g^crgiH = H , i.e., si y sólo si a G g i H g ~ l . Veremos que la representación p es fiel, i.e., es inyectiva. En efecto, si a ^ 1 observe que p(p) no puede tener más de un punto fijo, ya que si g i H y g j H quedan fijas bajo p(cr), entonces 1 / a G g i H g ~ l C i g j H g J l , y por lo tanto

224

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

H n gi 1gjHgj l gi ^ 1, en contradicción con la hipótesis del teorema porque al estar suponiendo que giH ^ gjH se tiene que g ^l9j & H. Esto nos dice que p es inyectiva y por lo tanto G es isomorfo a su imagen, que es el subgrupo de permutaciones de la forma

( giH \a g iH

.. •••

gnH \ crgnH J

y es claro que este grupo actúa transitivamente. También, al probar la inyectividad de p mostramos que ningún elemento de G, con la excepción del 1, fija a más de un elemento, y así, por el teorema anterior el conjunto K = 1 U W , con W la familia de elementos de G sin puntos fijos, es un subgrupo normal de G de orden n = [G : H\. Veremos ahora que los elementos de K están en correspondencia biyectiva con las clases laterales en G /H . En efecto, como cada elemento de G pertenece a una única clase lateral, se tiene la función K —►G /H , la cual afirmamos que es inyectiva. Para ver ésto, supongamos que w, wr E K son tales que pertenecen a la misma clase giH ; entonces, w ,w ' E K O giH y así w~lw ' E H y por lo tanto fija a la clase lateral 1H — H. Pero como w'~1wr E K , porque K es grupo, y como el único elemento de K que fija algo es el 1, entonces w~lw ' = 1, i.e., w = w \ por lo que la función K —* G /H es inyectiva. Finalmente, como \K\ = n = \G/H\, entonces la función inyectiva anterior debe ser suprayectiva. Podemos entonces denotar los elementos de K como w\ = 1, W2>• • wn, donde los e giH, de tal forma que los wí se pueden usar como representantes de las clases laterales de H en G en lugar de los p*. Se sigue que G = K H . Por otra parte, se tiene que H í) K = 1 porque los elementos de K están en correspondencia biyectiva con G /H y así los elementos de H corresponden al 1 de / f . □ Cuando un grupo finito G tiene un subgrupo H que satisface el teorema anterior, se dice que G es un grupo de Frobenius y que H es un complemento de Frobenius; al subgrupo normal K cuya existencia asegura el teorema anterior, se le llama un núcleo de Frobenius.

Ejemplo 3. Si G — Z?2n es un grupo diédrico con n impar y H C D^n es cualquier subgrupo de orden 2, entonces Ü2n es un grupo de Frobenius con complemento H. Observación. En la demostración del teorema 15.13 se usó el teorema 15.12. Mos­ traremos ahora que, de hecho, el teorema 15.13 implica el teorema 15.12. En efecto, supongamos que G actúa transitivamente en X y para x E X sea H = Gx el es­ tabilizador correspondiente. Como la acción de G en X es transitiva, por el teorema órbita-estabilizador 8.2, se tiene que [G : H] = n = |X | y la acción de G se puede ver como la acción de G en G /H mediante traslaciones izquierdas. Por otra parte, como el estabilizador de una clase lateral oH es crH
15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

225

implica que, para todo g G G, gHg~l fi H = 1 ó gHg~l O H = H t donde el primer caso sucede cuando g 6 G —H. Por el teorema 15.13 se sigue que G tiene un subgrupo normal K tal que G = K H y H O K = l y por la demostración del mismo teorema se tiene que K se puede identificar con G/H. Note entonces que ogH = gH si y sólo si erg = gh, con h € H t i.e., si y sólo si a = ghg~l e gHg~l \ por lo tanto, a fija a la clase lateral gH si y sólo si a 6 gHg~l . Si sucediera que a fija dos clases laterales g\H y 92H en G /H , entonces a € g\Hg f 1 fl g^Hg^} = 1 (la intersección es trivial porque G es Frobenius con complemento H). Se sigue que el número de puntos fijos en G/H de a € G es:

rn = [G : H] si a = 1, K G /# n =

si cr ^ 1 y a € K y si a € y gHg~l ,

gea por lo que K = 1 U W , con W el subconjunto de G sin puntos fijos, como se quería. Notas. (1) Existen grupos simples de orden paqbr c, con p ,q ,r primos, el menor de ellos es el grupo alternante As de orden 60 = 22 • 3 • 5. (2) En su libro, Bumside [2] había demostrado algunos casos especiales de su teorema y después de estudiar la teoría de caracteres de Frobenius, en [25] obtuvo la demostración que presentamos en este capítulo, como una de las más célebres aplicaciones de la teoría de caracteres. Como mencionamos antes, fue hasta 1972 cuando H. Bender [23] encontró una demostración, sin usar caracteres, del teorema de Bumside. (3) Todas las demostraciones, conocidas hasta ahora, del teorema de Frobenius [38], usan teoría de caracteres en una forma u otra. El teorema de Frobenius junto con el teorema paqb de Bumside son modelos de cómo usar teoría de caracteres para obtener información sobre la estructura de grupos finitos. (4) El teorema de Frobenius 15.13 tiene una demostración, que no usa caracteres, en los dos casos siguientes: (1) El orden del subgrupo H es par. (2) El subgrupo H es soluble. Note que, por el teorema de Feit y Thompson (vea la nota 2 al final del capítulo 11), to­ do grupo finito de orden impar es soluble, por lo que los dos casos anteriores son todas las posibilidades para H y así la demostración de estos dos casos es una demostración del teorema de Frobenius, sin embargo el teorema de Feit-Thompson no sólo usa ca­ racteres en su demostración, sino que es de una profundidad mayor. El caso (2), cuando el complemento de Frobenius H es soluble, ya había sido demostrado por Bumside en

226

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

[26]. La demostración que damos se basa en Gríin [41] y Shaw [53]. A continuación daremos demostraciones de los casos ( 1 ) y (2 ) de arriba. C a so 1. [H. Bender]. Supongamos que |i / | es par y que H fl gHg~l = 1 para todo g G G —H (y por lo tanto H = N g (H) porque si g G N g {H) entonces gHg~l = H , y si g no estuviera en H , entonces H fl gHg~l = 1 por lo que H fl H = 1, en contradicción con la hipótesis de que H ^ 1; se sigue que N g (H) C H y la otra inclusión siempre se da). Ahora, si [G : H] = n, como N g (H) = H , entonces H tiene exactamente n conjugados en G, digamos . . . , Hn>cada uno de éstos tiene orden |/ í | que es par y por lo tanto podemos escoger elementos Gj G Hj tales que cr¿ ^ 1 y (j'j = 1. Mostraremos que para cada j y n

i = 1 .............. «} =

WjtTi :

(*)

k=i En efecto, para la inclusión del lado izquierdo en el lado derecho, supongamos que esto no es así, i.e., que existe un
Hj fl H{ = 1 implica que a ja i ^ 1 ya que si fij&i = 1 entonces cr¿ = a~l G Hj por lo que G H i / j = 1, en contradicción con a* ^ 1. Se tiene entonces que 1

^ ( ctjíTí ) ^ 1 = alajCTj =

= ir f 1 f l f 1 = ( o ^ t )“1

porque a j = l y así cr“1 = Gj y lo mismo para
1 jé
(**)

WjVi : i = 1 ,.. •,« } C

G -y

Ahora, como \Hk\ = \H\ y hay [G : H] de los Hk, que sólo coinciden en el 1, entonces

\G-Ü

H*| = |G | - [G : H](\H\ - 1) = |G| - [G : ^ ] |H | + [G ff] = [G : H)=n k=l y como \{(Tj(Ti : i = 1 , . . . , n}| = n porque Gj está fijo, entonces la inclusión (**) debe ser una igualdad, como se quería, y esto para cada j = 1 , . . . ,n .

- (

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

227

Mostraremos ahora que N = {crjcri : i = 1 , . . . , n} es un subgrupo normal de G. En efecto, 1 G N porque OjOj = a | = 1 . Ahora, si o, 6 € N , escribamos a = g\Gí para algún i y escogiendo j = 1 en (*), y 6 = <7*0* para algún k y escogiendo j = i en (*). Entonces, a 6 = aia¿a¿afc = ora* € iV, i.e., N es cerrado bajo productos. Ahora, si a = GjG% G iV, entonces a ” 1 = GiGj g AT y así N es un subgrupo de G. Para ver que N es normal en G, sean a e N y g € G .S I g e N , claramente gclg~1 e N. S i g & N, entonces g G Hk para algún k y supongamos que a a a ”1 & N , es decir que a a a ”1 = at G Ht para algún t. Entonces, a = g ~xg\ g G AT, y como o* G H t = gHg~l % entonces <7t = ghg~l por lo que a = a _1a ta = G~lghg~l G = (0,~ 10)/i(a “ 10)”1 pertenece a un conjugado de H , en contradicción con a G AA Se sigue que a a a “1 G iV, por lo que iV < G. Es claro que TV fi H = 1, ya que si 1 ^ x G AT fl AT, entonces x e H y a s í está en un conjugado de H y en AT, una contradicción. Finalmente, como \N\ = [G : Jf], entonces |G| = |iV ||üf| y como N n H = 1 , esto implica que G = N H . □ CASO 2. [O. Grün, R. H. Shaw]. Supongamos que H es soluble y que HC\gHg~l = 1 para todo g G G — H. Escojamos representantes de las clases laterales izquierdas de H en <3 , de tal manera que

G = x i H U . . . U xnH ,

n = [G:H]

y consideremos la acción de G mediante traslaciones izquierdas en G/H. Los ciclos de la acción de g G G son (XjH , gxjH , . . . , gr*~l XjH)y para j = 1 , . . . , n y don­ de grjXjH = XjH. Escribamos := [# , H] y consideremos el homomorfismo de transferencia} V : G —>H /H \ dado por

■ flB B M j= i

donde x\H , . . . n = [G : if], son las clases laterales izquierdas de H en G; podemos suponer que x\ = 1. Entonces, (1) . Si h € H, entonces V’(Zi) = hH f (por lo tanto, H 0 ker V = H'). En efecto, V(h) = ü j= i x~l hriX jH \ donde x\ = 1 y x J l hr*Xj G H. Como x\ = 1 y h G H, entonces H = xiET = / i x i # , por lo que i?Jf = 1. Ahora, si j > 1, entonces x jlhr’Xj G H f) x~l H xj = 1. Se sigue que V(h) = /iü 7, como se quería. (2) . G = ker V • if . En efecto, si 0 G G , escribamos V( con u G ker V y h G H, es decir, G = ker y • # .

JPara la definición del homomorfismo de transferencia, vea la sección inmediata al final de esta demostración.

228

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

(3). Pongamos K = ker V < G. Por la parte (1) se tiene que K O H = H' y como H es soluble H ' H. (i) (ii)

. Si H ' = 1, ya acabamos. . Si H ' / 1, probaremos, por inducción sobre el orden de G que

N : = G - \J g H g ~ 1 g£G

es un subgrupo normal de G y que G = N H con N O H = 1. Para ésto, observando que H' C K , mostraremos que K es un grupo de Frobenius con complemento H r. En efecto, si g € K — H \ de la igualdad K fl H = H 1se sigue que g € G — H y por lo tanto H ' fl gH'g~l C H n gHg~l = 1, es decir, K y Hr satisfacen las condiciones del caso 2 (ya que K también es soluble) y como K $ G (ya que de lo contrario se tendría que H = 1 y por lo tanto H' = 1), entonces por hipótesis de inducción el conjunto

F -K - U geK

es un subgrupo normal de K tal que K — F H ' y F fl H' = 1. Se tiene entonces que:

\F\ = [K : H'] porque K = F H 'y F n H ' = 1 = [K: K D H ] y a q u e if ' = K H H = [KH : H] por el segundo teorema de isomorfismo de Noether = [G : H] ya que G = K H por (2) = \N\ por la demostración del caso 1. Ahora, si g = kh € K H = G, entonces

F n gHg~l

n= F

0lb“ 1 = (kh)H

= F n ( K n k H k ~ 1) porque = F n ( f c j a - 1 n¡u/Jfc- 1 )

k i K n t í i k “1

a f n

= F n k H ’k~l

por (1 )6 (3)

= feFfc-1 n kH ’k~l

porque F < K

= jfe (F n F )fc -‘ « 1

porque F n H f = 1.

Por lo tanto,

F Q G - \ J gHg"1 m N

Dk

13. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

229

y como \F\ = |iVj, entonces F = N y es claro que N
(móa h>)

donde recordamos que el cociente H /H ' es un grupo abeliano y mód H' quiere decir que estamos tomando clases laterales de H' en H . TEOREMA 15.14. Sean G un grupo, H un subgrupo de índice finito n, g\ , ..., gn un

conjunto completo de representantes de las clases laterales izquierdas de H en G y sea V : G —>H /H ' lafunción anterior. Entonces, (1) V es un homomorfismo, al que se llama el homomorfismo de transferencia. (2) La definición de V es independiente del conjunto completo de representantes de las clases laterales izquierdas de H en G.

Demostración. (1): Si g,t G G y si ggi = 9j(g)hi(g) y tgi = 9j(t)hi(t), entonces tu )

v ( f f ) v w = ( f t fcife)) ( n * w j h '

y si (gt)gi = 9j(gt)hi(gt), entonces (1.2)

V(gt) =

y denotando por u el producto de los términos entre paréntesis del lado derecho de (1.1) y por v el término entre paréntesis del lado derecho de (1.2), para probar que V es un homomorfismo lo que debemos probar es que u = v (mód H'), es decir, debemos probar que uv~l € H', i.e., que u = kv para algún k € H'. Para probar ésto, supongamos por un momento que v es igual al producto de los 2n elementos hi(g), hi(t), 1 < i < n, en algún orden. Observe entonces que al considerar este producto

230

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

en el cociente H ¡H \ como éste es abeliano, cualquier rearreglo de los términos del producto anterior no afecta su clase lateral en H /H \ y como u es un producto de estos 2 n términos entonces se tendrá que v = u (mód H') como se quería. Basta mostrar entonces que v es el producto de los 2n términos hi(g ), h{(t) en algún orden y para ésto observe primero que, por definición de h{(gt), se tiene que

(gt)gi = gj(jgt)hi(gt)

(1.3) y por otro lado (1.4)

(gt)gi = g(tgi) = ggj(t)hi(t) = 9n a)hm hi(t)

y de (1.3) y (1.4) obtenemos 9 j ( g t) h i ( ; 0

=

9j ( g ) h j ( g ) h i ( t )

y como los g\ y. . . , gn son un conjunto completo de representantes de las clases latera­ les izquierdas de H en G, se debe tener que g^gt) = 9j(g) y por lo tanto (1.5)

hi(gt) = /ij(t)(p)^¿(¿),

1 < i < n.

Ahora, como v = f] hi(gt ), el resultado deseado se seguirá de (1.5) una vez que mos­ tremos que j{t) recorre el conjunto In, en algún orden, cuando i lo hace, pero esto fue lo que observamos al principio de ésta sección. Esto termina la demostración de la parte (1). (2): Supongamos ahora que t f i , . . . , on es otro conjunto completo de representantes de las clases laterales izquierdas de H en G, las cuales podemos suponer que las nume­ ramos de tal forma que g{H = o{H. Dado g e G, como V(g) = ü hi(g)H \ para 99i = 9j{g)hi(9)> si escribimos g&i =
« = IlM s )

y

i lo que debemos probar es que u ~ u ki € H, entonces (1.7)

5= IIM

s)

i

(mód H'). Ahora, como ¿r» = gib, para algún

gai = ggiki = 9j(g)hi(g)ki = 9j(g)kj(g)kj^hi(g)ki = &j(g)kj(g)hi(9)ki

y así, de (1.7) y de la definición g ^ =
hi(g) = kj^hi(g)ki,

1< i
y de (1.6) y (1.8) se sigue que

s=n (s)=n ^fc
13. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

231

donde la primer congruencia es porque H/H 1es abeliano, y también notamos que j(g) recorre In cuando i lo hace, por lo que los productos entre paréntesis en el lado derecho son inversos uno del otro, i.e., u s u (mód H') como se quería. □ Otra fórmula para el homomorñsmo de transferencia. Si g € G, consideremos el subgrupo cíclico (g) C G. Se tiene una acción de (g) en el conjunto G/H de clases laterales izquierdas de H en G definida, para gx € (g) y xH 6 G/H , por el producto g'xH y podemos considerar las órbitas de esta acción, i.e., para xH € G/H su órbita es o r b ^ x J f ) = {xH, gxH , g2xH , .. .,gr*~lxH} donde rx es el menor entero positivo tal que gr*xH = xH , i.e., gr*x = x Consideremos todas las órbitas de esta acción, digamos

(mód H),

OTb^g)(xiH)iOTb^)(x2H )1... ,orb (g)(xaH) y en cada una de estas órbitas escojamos una clase y un elemento X{ en esta clase. Sea r{ el orden de la órbita de XiH, i.e., el menor entero positivo tal que griX{H = X{H, i.e., griX{ = xí (mód H). Como la unión de las órbitas es todo G/H y como las clases laterales en cada órbita son distintas, hemos mostrado que las clases de G/H tienen la forma g^Xifí, para l < i < s y O < j < r { —l,e s decir, los elementos (*)

9*xí,

1 < i< s , 0 < j
forman un conjunto completo de representantes de las clases en G/H y para calcular el homomorfismo de transferencia en términos de este conjunto de representantes, de­ bemos escribir el producto gg^Xi en la forma th con h € H y t un representante en (*). Ahora, el producto gi+lXi es él mismo un representante (y por lo tanto h = 1 en este caso) excepto cuando j = r< —1, en cuyo caso

gi+lX{ = gr*Xi = X{ (mód H) por definición de r< (y así, gr'X{ = X{h con h € H, por lo que h = x~lgTiXi en este caso). Así, en el cálculo de V(g) los únicos factores que no son necesariamente 1 son aquellos que corresponden a los productos ggTi~lXi para los cuales el h correspondien­ te es h = x ¡lgTiXi. Por lo que

V{g) = I J X i1grtxi (mód H') i y ésta es la fórmula que usamos en la demostración del caso 2 en la nota 4. Note que si s es el número de órbitas de la acción de (g) en G/H y si x \ , . . . , x9 son representantes de estas órbitas, cada una de las cuales tiene longitud r¿, respectivamente, i.e.,

oxbt¿){xiH) = {xiH,gXiH,g2XiH,... ,gTi~lXiH)

232

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

y como estas órbitas forman una partición de G/H, entonces

¿ r i = n = [ G :tf]. t=l

EJERCICIO 1. Si G es un grupo finito y x es un carácter de G , definamos el conjunto

Zx ~ { g € G : |* f o ) |= x ( l ) } . Note que Kx está contenido en Zx. Demuestre que Zx es un subgrupo de G. Note que, como Kx <3 G, entonces se tendrá que Kx < Zx. Sugerencia: para demostrar que Zx es cerrado bajo productos, vea en la demostración del teorema 15.8,

\X(9)\ —x (l) ** PÍ9) : y —>V tiene un único valor propio, digamos X9 = xW^hXg (es la suma de los valores propios x (l) veces).

y concluya que

EJERCICIO2. Con la notación del ejercicio anterior, demuestre que si x es irreducible, entonces Zx/ K x = Z(G/KX) es el centro de G /K x. EJERCICIO3. Si Xi son los caracteres irreducibles de G, escribiremos Z¿ := ZXi. Si G es finito, no abeliano y simple, demuestre que Z¿ = 1 para toda i > 1. EJERCICIO 4. El centro de un grupo se puede leer de su tabla de caracteres: demuestre que Z(G) = f|i* i Z¿, donde Z¿ := Z Xi. EJERCICIO 5. Las tablas de caracteres se pueden usar para decidir si un grupo es o no nilpotente. Sugerencia: Ejercicios 4 y 2.

EJERCICIO6. Sea G un grupo de orden prq*, con p, q primos y r, s > 0. Si Z(G) = 1, demuestre que existe un elemento g € G, g ^ 1, tal que para su clase de conjugación Cg se tiene que \Cg\ 0 0 (mód q). Más aún, demuestre que \Cg\ es una potencia de p. Sugerencia: las clases de conjugación de los a / 1 forman una partición de G —{1} EJERCICIO7. Usando el ejercicio anterior, dé otra demostración del teorema prq9 de Bumside, distinguiendo dos casos: cuando Z(G) / 1 y cuando Z(G) = 1.

EJERCICIO8. Sea x el carácter de una representación irreducible y fiel de un grupo G. Demuestre que Z(G) = {$ € G : |x(y)l = x(l)} = ZxEJERCICIO9. Sea a € G de orden k. Si a es conjugado de <7*, para todo t tal que 1 < t < k con mcd(¿, k) = 1, demuestre que x(
15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

233

EJERCICIO 10. Demuestre que todos los caracteres del grupo simétrico Sn tienen va­ lores enteros. Sugerencia: ejercicio 23 del capítulo 4. Ejercicio 11. Bajo la correspondencia del lema 15.1 (vea también los ejercicios 15 y 16 del capítulo 13), si N < G, los caracteres irreducibles de G /N corresponden a caracteres irreducibles x de G tales que N C kerx* Demuestre que N = (\K X, donde la intersección es sobre todos los caracteres irreducibles de G tales que N C ker x- Sugerencia: Vea la demostración de la proposición 15.2. Ejercicio 12. La tabla de caracteres de un grupo finito G se puede usar para calcular el subgrupo conmutador de G. En efecto, demuestre que

[G : G] = p |{ k er x í X es un carácter irreducible de grado 1 de G}.

Sugerencia: Como G /[G : G] es abeliano, todos sus caracteres irreducibles son de grado 1. Luego aplique el ejercicio anterior con N = [G : G]. Ejercicio 13. Uno puede leer de la tabla de caracteres de un grupo finito G los ele­ mentos que son conmutadores. En efecto, demuestre que un elemento g e G es un conmutador si y sólo si x (fl)/x (i)/o ,

E

X irreducible

donde la suma corre sobre todos los caracteres irreducibles de G.

Ejercicio 14. Sean K C H C G subgrupos de índice finito en G y sea un carácter de K. Si xp = 4>k es el carácter de H inducido por 0, demuestre que (¡>k = = {(/>k )h (transitividad de la inducción). Ejercicio 15. Si G es un grupo de orden impar y si el número de clases de conjuga­ ción de G es k , demuestre que |G | = k (m ód 16). Ejercicio 16. Identifique el núcleo de Frobenius en JDg. Ejercicio 17. Si G es un grupo de Frobenius con complemento H y núcleo K yde­ muestre que \H | divide a \K\ — 1.

Ejercicio 18. Si x es un carácter irreducible de un grupo finito G, demuestre que x también es irreducible. Ejercicio 19. Sea M la tabla de caracteres de un grupo finito G, vista como una matriz cuadrada, y sea M la matriz que se obtiene de M tomando los conjugados complejos de sus entradas. Como para cada carácter irreducible x que aparece en un renglón de M su conjugado x también aparece como otro renglón de Ai, demuestre que M se obtiene de M permutando sus renglones, i.e., M = P M , donde P es una

234

15. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE CARACTERES

matriz de permutaciones, i.e., P se obtiene de la matriz identidad In permutando sus renglones.

Ejercicio 20. Similarmente, para cada clase de conjugación de un g € G conside­ remos su columna correspondiente en M y observe que también se tiene la columna correspondiente a la clase de conjugación de g~l ya que x(9~l ) r* x(p)* Demuestre que M se obtiene de M permutando sus columnas, i.e., M = MQ , con Q una matriz de permutaciones.

Ejercicio 21. Una clase de conjugación C de un grupo finito G se dice que es real si para cada g 6 C se tiene que p " 1 € C. Por ejemplo, la clase de conjugación {1} es real. Demuestre que el número de clases de conjugación reales de G es igual a Tr(Q), donde Q es la matriz de permutaciones del ejercicio anterior.

Ejercicio 22. Demuestre que el número de caracteres irreducibles reales de G es igual a Tr(P), donde P es la matriz del ejercicio 19. E je r c ic io 23. Concluya que si G es un grupo finito, el número de caracteres irredu­ cibles reales de G es igual al número de clases de conjugación reales. Sugerencia: de los ejercicios 17 y 18 se tiene que PM = M Q , y por la ortogonalidad de caracteres M es invertible. E je r c ic io 24. Usando el ejercicio anterior, demuestre que si un grupo finito no trivial G tiene un carácter irreducible no principal real, entonces |G | es par.

Apéndice

E n t e r o s a lg e b r a i c o s N ESTE apéndice recolectamos algunas definiciones y resultados elementales

E

sobre enteros algebraicos, que usamos en la demostración del teorema pa(^ de Bumside y en el hecho de que el grado de un carácter irreducible de un grupo finito, divide al orden del grupo. El enfoque que hemos elegido usa polinomios simétricos en algunos puntos importantes, como se estilizaba hace algún tiempo, pero es un punto de vista que enlaza armónicamente con el tema, en el sentido musical, que permea este libro, a saber, el estudio de los objetos que permanecen invariantes bajo la acción de un grupo, en este caso concreto, los polinomios (en un número finito de indeterminadas) que son invariantes bajo la acción natural del grupo simétrico que permuta a estas indeterminadas. Polinomios simétricos. Sea K [x \ , . . . , xn] el anillo de polinomios en n variables con coeficientes en un campo K C C y sea Sn el grupo simétrico en n letras. Se tiene una acción natural del grupo Sn en K [x \ , . . . , xn] dada como sigue: para cada permutación o G Sn y cualquier polinomio f ( x i , . . . , xn) G K [x\, . . . , x„], se define el polinomio f a permutando las variables de acuerdo a cr, es decir,

f (®1j • • •»3?n) := f{^a( 1)» • • •»xa{n))> El polinomio / se dice que es simétrico si f a — } para toda o G Sn.

Ejemplo 4. El origen de los polinomios simétricos es el siguiente: si a i , . . . , a n son todas las raíces de un polinomio en una variable n

f(x) =

xn +

axx +«o =

+ ••• +

•=i entonces los coeficientes a* de f( x ) se pueden escribir en términos de las raíces a« mediante las fórmulas de Viète: 235

236

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

On-l = (“ l ) 1 X a *

t=l

dn-2 = ( - 1 ) 2

On-3 = ( - 1 ) 3

X

l
a ‘°¿

l
a
ao = ( - l ) na ia 2 - * * a n , donde en la derecha aparecen las sumas de productos de k factores ordenados, 1 < k < n, de las raíces a i , . . . , a n, a las cuales se suele denotar por s fc( a i , . . . , a „ ) :=

X a
y los Sk se llaman los polinomios simétricos elementales de grado k en los a i , . . . , a n. Así, las fórmulas anteriores se escriben a n- i = (—

. . . , a n)

On-2 = ( - l ) 2$2( a i , . • •, a n)

a„_3 = ( -l)3S3(ai,..*,ttn) fl-o ^ (““ !) S n (a i,. . . , a n) y la validez de estas fórmulas es el contenido del teorema siguiente: T E O R E M A A .l (Fórmulas de Viète).

Sea f(x )

E

K[x] un polinomio mànico de grado

n: f(x ) = xn + O n-ix”" 1 H-------h a\x 4- ao con raíces a i , . . . , a n, repetidas de acuerdo a su multiplicidad. Entonces, /as coe/icientes a» de /( x ) y raíces a¿ se relacionan mediante las fórmulas ai = ( - l ) n” tsn-.i ( a i, • • • ,« n ), donde los s* (a i, — 9a n) san los polinomios simétricos elementales. Demostración. Por inducción sobre n observando que los casos iniciales n = 1 y n = 2 son directos. Supongamos que el resultado es válido para polinomios de grado < n y escribamos

= g(x) (x - an) con

gx) ( = xn_1 + &n_2xn_2 + • • • + 6

237

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

donde observamos que las raíces de g(x) son a i , , .. , a n- i y satisfacen, por hipótesis de inducción las fórmulas de Viète:

bj = ( - l ) n-1“,'s n - l- J ( a i,...,O n -l) Ahora, de la igualdad f(x) = g(x)(x —an) se obtiene

xn 4* an_ ix ”-1 4------ h ao = (xn-1 + &n-2£n“ 2 4-------f- 6ix + óo)(x - a n) 4- (&n-3 “ anbn-.2)xn~2

= xn 4- (6n-2 -

4------ h (&o - <*n&i)z - a n6o, e igualando coeficientes obtenemos an- i = 6„-2 - otn — ( - l ) 1s i( a i, . . . , a n- i) - a n = - s i ( a i , . .. , a n) on-2 = &n-3 - oinbn-2 = ( - l ) 2S2( a i , . . . ,a „ _ i) - a n( - l ) s i ( a i , . . . , a n- i) an-3 = &n-4 ~ Otnbn-3 = ( 1) 53(0^1 ,

Q!n—l) “ Q¡n(” l) ^2(^*1» • • • »Ofn—l)

= (—1)3[s3(q i , . . . , a n- i ) 4- a ns2( a i , . .. ,a„_i)] y, en general, (* )

an— k =

(

1)

• • • j ^ n —l ) 4" On Sfc—i(Q (i, • • • ,

l) ]

donde observamos que (t)

s * ( a i,. . . , a„) = s*(c*i,. . . , a n_i) 4- <*n-1 )

para 1 < k < n — 1 (separarando, en la definición del polinomio Sfc(ai,. . . , a n) los sumandos que no contienen a an y los que sí lo contienen). De esta observación y de (*) se sigue que

Qn—k =* ( 1) • • • »^n)> que es lo que se quería probar, poniendo i = n —k.

□

Para probar que los polinomios simétricos elementales sk(x 1 , . . . , xn) son, en efec­ to, simétricos, escribiremos a los polinomios sk en una forma que se presta para hacer ésto: denotemos con S* a la familia de todos los subconjuntos de In con k elementos y observe que cada Y e S* se puede escribir, en forma única, como Y = {»i,. . . , ik} con 1 < ¿1 < • • • < ik < n, y se tiene que M

s k = Skfali • •• »x n) =

(n®*)*

Yesk Kie r Ahora, cada a e

'

Sn induce una permutación de los elementos de S*mediante

a(Y) =
238

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

donde Y ' e Sk porque Y ' tiene k elementos ya que • • • i *¡k) € Sfc es cualquier conjunto con k elementos, entonces el conjunto Y = 6 8* es tal que a Y = Y'. En otras palabras, la acción de Sn en Sfc es transitiva. Sin embargo note que esta acción no tiene por qué preservar el orden de los elementos de un y € S* dado. Con las observaciones anteriores es fácil probar que los polinomios sk son simétri­ cos, ya que si a € 5 n,

&k («^1» ■• •»*^n)

— sk(x\i • • • >Xn) (la última igualdad por (*), ya que Y ' recorre S* cuando Y lo hace.)

□

Como la acción de Sn en K[x i , . . . , xn] es lined, con los polinomios simétricos elementales sk podemos formar más ejemplos de polinomios simétricos: (1) Si s = Si + Sj es una suma de polinomios simétricos elementales, entonces s también es simétrico. (2) Si s = SjSj es un producto de polinomios simétricos elementales, entonces s tam­ bién es simétrico. (3) Si 5 = As», con A € K yentonces s también es simétrico. (4) Se sigue que, si h € K[x i , . .. ,x n] se puede escribir como un polinomio en los polinomios simétricos elementales s i , . . . , sn, entonces h también es simétrico. La afirmación recíproca de (4) también es cierta y para probarla usaremos la noción de componente homogénea de un polinomio: dado un polinomio / ( x i , . . . ,x n) en n variables con coeficientes en K podemos escribir a / como /( * i. • • •»x„) = /

a*xi l **• xJÍ"

donde / = ( d i,. . . , dn) y decimos que x f1 • • • xjj" es un monomio de grado di + • • • + dn. Si juntamos todos los monomios en / de un mismo grado, digamos d, llamaremos

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

239

al polinomio correspondiente la componente homogénea de grado d de / . Por ejemplo, si f{ x i , £ 2) = 6 4* 3xi 4* 4x2 4- 3x? - 2x i X2 - 7 x | la componente homogénea de grado 2 es 3xf — 2x 1 X2, la componente homogénea de grado 3 es —7x2, Ia componente homogénea de grado 1 es 3xi 4- 4x2 y la componente homogénea de grado 0 es el término independiente 6. Todo polinomio / se puede separar en una suma de sus componentes homogéneas y diremos que / es un polinomio homogéneo si sólo tiene una componente homogénea.

Un polinomio h € K[x 1 , . . . , xn] es simétrico si y sólo si h se pue­ de expresar como un polinomio, con coeficientes en K, en los polinomios simétricos elementales . . . , sn.

T E O R E M A A.2.

Demostración. Para la implicación faltante, la idea es reducir un polinomio simétrico arbitario h en sumas de productos de polinomios simétricos elementales. Para ésto, primero ordenamos los monomios x®1 • • • x£n lexicográficamente, estipulando que r ° l . . . r An _ v «.^1 . . .

xl

xn ^ X1

ffbn

xn

si la primera diferencia —a¿ no nula es positiva. Por ejemplo, X1 X2 ■ a*. Pero entonces la transposición r = (¿, i 4-1) 6 Sn aplicada a h (que satisface que hT = h) implicaría que el monomio -<*1 Xi

x¿

xi+1 .

. . . 'r 0 < + 1 'r °<

xn

. . ^ r°n

también aparece en h con coeficiente a; pero este monomio es mayor, en el orden lexicográfico, que x j 1 •••x£n, lo cual es una contradicción con la elección de este monomio. Se sigue que a*+i < a* para toda ¿, y por lo tanto cada uno de los exponentes del producto siguiente es > 0 (y así el resultado es un polinomio): ai -02 «02—03 On-l-On an 51 s2 sn - 1 5n y observe que el monomio mayor del producto anterior también es x j 1 • • • x j \ Enton­ ces, n ----- h — n o 0 1 “ 0 2 e °2” °3 . . . O n - l - O n o „ 9 — n asl s2 sn- 1 sn es un polinomio simétrico cuyo monomio mayor es más chico que el monomio mayor de h y además g es simétrico. Por hipótesis de inducción g se puede expresar como un

240

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

polinomio en los polinomios simétricos elementales y despejando a h de la igualdad anterior se obtiene el resultado deseado. □ El resultado siguiente se usará en la sección de conjugados algebraicos, para mos­ trar que cierto polinomio tiene coeficientes racionales: COROLARIO A.3. Si p(x) G Q [ x ] es un polinomio mànico de grado n con raíces 6 , • • •, £n y Si h (x i , . . . , xn) G Q [ x i,. . . , x n] es simétrico, entonces fc(Éi>. . . , £») €

Q. Demostración. Por las fórmulas de Viète los coeficientes a* G Q de p(x) se pue­ den expresar como los polinomios simétricos elementales en las raíces £ 1 , . . . t(k y por lo tanto cada 3k((i , . . . , f n) = i a * € Q. Por el teorema previo, h ((i , . . . , f n) es un polinomio, con coeficientes en Q, en los s * (£ i,. . . , f n) € Q y por lo tanto €Q . □ Núm eros algebraicos. Un número complejo a G C se dice que es algebraico si existe un polinomio no nulo p(x) = a0 4- a\x 4------- h an- i x n~l 4- anxn G Q[x] tal que p(a) = 0. Si ahora dividimos p(x) por an ^ 0, se obtiene un polinomio

q(x) = xn 4- 6n_ixn_1 4------- h b\x 4- 6o € Q[x] con bj = a,j/an G Q, y claramente q(a) = 0. Así, si a G € es algebraico, entonces a es raíz de un polinomio no constante en Q[x] cuyo coeficiente de grado es 1. A un polinomio cuyo coeficiente de grado es 1 se le llama mànico y diremos que el polinomio q(x) de arriba es el polinomio mónico obtenido a partir de p(x). Por el principio del buen orden en N, si a G C es algebraico, del conjunto de polinomios mónicos de Q[x] de los cuales a es raíz, existe uno de menor grado. Denotemos a este polinomio por m (x) G Q[x]. L E M A A.4. El polinomio mónico de menor grado m(x) G Q[x] del cual a G C es raíz, es único. Más aún, m(x) es irreducible en Q[x], y m(x) divide a cualquier otro polinomio p(x) G Q[x] del cual a es raíz•

Demostración. Si m (x), /( x ) G Q[x] son mónicos de menor grado tal que m (a) = 0 = /(of), entonces sea n = gr(m) = g r(/). Así, para h(x) := m (x) —/( x ) G Q[x], se tiene que h(a) = 0, y si h(x) ^ 0, gr(Ji) < n. Entonces, si h(x) es el mónico obtenido a partir de /i(x), h(á) = 0 con gr (h) = gr(/i) < n, una contradicción con la minimalidad del grado de m (x) y /( x ) . Se sigue que h(x) = 0 y así m (x) = /(x ). Ahora, si sucediera que m (x) = p(x) • q(x) en Q[x], con gr(p) < gr(m), gr(^) < gr(m ), entonces se pueden escoger p y q mónicos, y como 0 = m (a ) = p(a) • q(a), entonces a sería raíz de p(x) ó de q{x), ambos de grado menor que m (x ), una conuadicción. Así, m (x) es irreducible.

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

241

Finalmente, si 0 (x ) € Q[x] es tal que 0 (a) 3= 0, dividiendo entre m (x) se tiene que:

0 (x) = m (x)g(x) + r(x ) con r(x ) = 0 6 gr(r) < gr(0). Pero como

0 = 0 (a ) ss m(ot)q(a) + r ( a ) = 0 4- r ( a ) = r ( a ) entonces, por la minimalidad del grado de m (x), no se puede tener que r ^ 0. Se sigue que r(x ) = 0 y en consecuencia m (x )| 0 (x). □ Al polinomio mónico, irreducible m (x) € Q[x] y de grado menor del cual a € C es raíz, se le llama el polinomio mínimo (irreducible) de a , y se denota m (x) ® Irr(a, Q). Si a € C es un número algebraico y si /( x ) es cualquier polinomio en Q[x], entonces / ( a ) es un numero complejo. Ahora, si g(x) € Q[x] es tal que g(a) ± 0, en­ tonces f(a)/g(a) es un numero complejo y podemos entonces considerar al conjunto de números complejos de esa forma Q (a ) :=

: p(x),q(x) € Q[x],

q(a)

oj .

Se demuestra fácilmente que, con las operacions de C, el conjunto Q (a ) es cerrado bajo sumas, productos, restas y si f(a )/g (a ) ^ 0, entonces / ( a ) ^ 0 y < ?(a)//(a) € Q (a) es el inverso multiplicativo de f(a)/g(a). En otras palabras, Q (a) es un campo, y decimos que se obtiene adjuntando a a Q. También decimos que es una extensión simple. Observe que este campo contiene a Q, porque si r € Q, entonces r = r /1 = / ( r ) / l donde f(x ) = x y g(x) = 1 (constante). La inclusion Q C Q (a ) se llama una extensión de campos y se denota por Q (a )/Q . Observe que esta inclusión implica que el campo Q (a) es un espacio vectorial sobre Q por lo que podemos considerar su dimensión. El teorema A .6 dice que cuando a es un número algebraico, esta dimensión esjinita y la proposición A.5 dice que cuando a es algebraico, el campo Q (a ) tiene una descripción sencilla:

PROPOSICIÓN A.5. Sea a 6 C algebraico y sea m (x) = Irr(a, Q) € Q[x]. Entonces, Q(<*) = (p (a ) :p(x) € Q[x] y gr(p(x)) < gr(m (x))}.

Demostración. Sea p = p(a)/q(a) € Q (a ), q(a) # 0. Como q(a) ¿ 0 entonces m(x) \ q(x) y como m (x) es irreducible entonces m cd(m (x), q(x)) = 1 y así existen a(x)* Hx) en Qfc] toles que 1 = m (x) • a(x) + q(x) • 6(x) y así1 1 = m ( a ) a ( a ) + q(oi)b(á) = q(á) 6(a ),

242

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

es decir, 6(a) = l/q ( a ) , y por lo tanto I 3 = ^ = p ( a ) - b ( a ) = h(a)

donde h(x) —p(x)6(x) G Q[x]. Ahora, h(x) se puede elegir de grado menor que el de m (x), ya que si no es así, dividiendo

h(x) = m(x) • A(x) 4- R(x) en Q[x] con gr(il) < gr(m), y h(a) = m(a)A(a) 4- R(a ) = H (a), i.e. j3 = h(a) = R(a) con gr(R) < gr(m). Nótese que R(x) ^ 0 ya que si no fuera así se tendría que h(x) = m (x)A (x), i.e., 0 = h(a) = ^ 0, una contradicción. □ El resultado siguiente nos da un criterio importante para la algebricidad de un a G C: TEOREMA A.6.

Una G C es algebraico si y sólo si la extensión Q (a )/Q tiene dimen­

sión finita. Demostración. (1) Supongamos que Q (a )/Q es de dimensión finita n. Los n 4-1 ele­ mentos 1, a , a 2, . . . , a n están en Q (a) y como dimQ Q (a) = n, entonces son lineal­ mente dependientes sobre Q, i.e., existen ao, a i , . . . , an G Q no todos cero tales que ao 4* a i a H------ 1- anan = 0, i.e., a satisface al polinomio no constante p(x) = ao 4- a ix H------ 1- OnXn G Q[x], i.e., a es algebraico. (2) Recíprocamente, si a G C es algebraico, sea m(x) = Irr(a, Q) G Q[x] el polino­ mio mínimo de a. Sea n = gr(m(x)). Mostraremos que dimQQ(a) = gr(Irr(a,Q)) = gr(m(x)) = n. En efecto, como Q (a) = {p(a) : p(x) G Q[x], gr(p) < gr(m)}, una base de Q(o) sobre Q está dada por 1, a , a 2, . . . , a n~1 g Q (a), ya que, (i) Genera: Si 0 = p(a) G Q( q ), P = 6q 4- b\a H------ h bmam con m < n. (ii) Es linealmente independiente: Si ao • 14- a i •a H------h a„_i •a n-1 = 0 con aj G Q, entonces para p(x) = ao + aix H------ h an^ix”“ 1 G Q[x] se tendría que p (a) = 0 con gr(p) < gr(m) en contradicción con la minimalidad del grado de m (x), a menos que todos los aj = 0 . □ COROLARIO A.7. S i a GC

es algebraico, entonces d im g Q (a) = gr(Irr(a, Q)).

□ Ejemplo 1. \/2 e R es algebraico y de hecho Irr(v/2, Q) = i 2 - 2 6 Q[arJ, por lo que dimQQ(>/2) = gr(x2 —2) = 2

y

Q (\/2) = { o +

: o ,6 € Q}.

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

Ejemplo 2. Para

ie C,

R (i) = {a +

243

i2= - 1 , se tiene que Irr(t, R) = x2

b i : a, b6R} = C

y

dimn R(») = diniR C = 2.

Ejemplo 3. Para ^ 2 e R , Irr(v^2,Q) = x 3 - 2 y dimQ Q( ^ 2 ) = 3, y de hecho b f ó +2)2 : o, 6,c € Q}.

Q ( ^ ) = {a +

COROLARIO A . 8 . Si a es algebraico, entonces todos los elementos de Q (a ) son alge­

braicos. Demostración. Por el corolario anterior, Q (a )/Q tiene dimensión finita n. Si p G Q (a) es arbitrario, entonces los n + 1 elementos l,/?,/?2, . . . ,Pn € Q (a) son linealmente dependientes y así existen ao, a i , . . . , an € Q no todos cero tales que ao • 1 + ai/3 + • • • + Q>n0n = 0 i.e., p es raíz del polinomio no cero p(x) = ao + cl\ x H-------h anxn e Q[x].

□

Hasta ahora hemos considerado extensiones simples Q (a )/Q y como Q (a) es un campo contenido en C, dado otro número complejo p G C, podemos adjuntar P a Q (a), i.e., podemos considerar el conjunto Q (a)(/?) :=

: /(x ),g (x )

e Q (a)[z]

con g(/3) # o}

y es fácil de demostrar que con las operaciones de C el conjunto Q(a)(P) es un campo. También es claro que Q(a)(p) contiene al campo Q(a). Para simplificar la notación, denotaremos á Q (ct)(P) como Q (a,/3). Se tiene así una extensión Q(a,P)/Q la cual decimos que se obtiene adjuntando a y p a Q. Podemos iterar esta construcción adjun­ tando un número finito de complejos a Q. Sin embargo, el resultado siguiente nos dice que todas las extensiones de la forma Q(c*i,. . . , a n) con los a< € C algebraicos, son simples, donde por un argumento inductivo se ve que es suficiente probar el resultado para n = 2: TEOREMA A.9. Si ot,P € C son algebraicos, entonces existe un elemento 0 € Q (a , P)

tal que Q (a, P) = Q(0). Demostración. Sean p(x) = Irr(a, Q) y q(x) = Irr(/?, Q) de grados m y n, respecti­ vamente. Sean a = a i , . . . , a m y P = P\ , . . . , Pn todas las raíces (distintas) de p(x) y q(x)t respectivamente. Pongamos K = Q ( c * i,...,a m,

Pn).

Observe ahora que si j ^ 1, entonces Pj ± p, por lo que la ecuación (♦)

ai + X P j = a + X p

244

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

tiene una única solución en K ya saber, v - Q» ~"Q y como Q C / C , entonces (*) tiene a lo más una solución en Q. Ahora, como sólo hay un número finito de ecuaciones (*), entonces sólo hay un número finito de elementos de Q que satisfacen (*) y como Q tiene un número infinito de elementos, podemos encontrar un r G Q, r ^ 0, que no es ninguna de las soluciones de las ecuaciones (*), i.e., tal que (1)

a¿ + rfy

a + r/3 para toda i y para toda j

1.

Pongamos (2)

0 := a + r& G Q ( a , P).

Mostraremos que Q(0) = Q(a>/3). Observe primero que, como 0 G Q (a ,/? ) por (2), entonces Q(0) C Q (a ,P ). Para la otra inclusión, basta probar que a , P G Q (0). Para ésto, pongamos h(x) := p(6 —rx) G Q(0)[x]; entonces, como a es raíz de p(x),

h(fi) = p(0 —rp) = p(á) = 0 ya que a = Q—r(3 por (2), y com o p es raíz de q(x) G Q[x] C Q (^)[x ], entonces h(x) y q(x) tienen el cero com ún P, i.e., tienen el factor com ún x — P com o polinom ios en C[x]. Mostraremos que

m cd(h, q) = x —p. En efecto, si pj ^ p es otra raíz de q{x), entonces h(Pj) = p{9 -> rPj) ^ 0 ya que, por la elección de r G Q, según (1) y (2) se tiene que

0 - rPj = a + rp —rpj

olí +

rpj —rPj =

i.e., 0 —rpj Qi, para j ^ 1, i.e., 0 — rpj no es ninguna de las raíces de p(x) para L Así, ninguno de los otros x —pj, con j j=^ 1, es factor de h(x). Además, como ( x —P)2 \ q(x) (ya que las raíces de q(x) son distintas), entonces ( x —P)2 \ m cd(h, q). Se sigue que x - P es el mcd d t h y q , que son polinomios en Q(0)[x]. Por lo tanto x — P es combinación lineal de h y qt i.e., existen polinomios s (x ),t( x ) G Q(0)[x] tales que

j

x —P = h(x)s(x) 4* q(x)t(x) donde el lado derecho es un polinomio con coeficientes en Q (0). Se sigue que p G Q(0). Finalmente, se tiene que a = 0 - rP G Q (0) y así a G Q (0). □ Conjugados algebraicos. Si a G C es un número algebraico y si <¡>{x) — Irr(a,Q ), a las raíces a = a i , . . . , a m de 4>(x) se les llama los conjugados algebraicos de a . Note

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

245

que como son raíces de <¡>{x), los a* también son números algebraicos. Adjuntando estas raíces a Q obtenemos el campo

K = Q (o ¡i,. . . , a m) y por el teorema A.9 existe un elemento 0 G C tal que K = Q(0). Sea p(x) = Irr(0,Q) y sea n = gr(p). Por la demostración del teorema A.6, los elementos 1 = 0°,0,02, . . . ,0 n-1 forman una base de Q(0) sobre Q, y como a G Q(0), entonces existen racionales únicos co, c i , . . . , Cn_i tales que n -l a = ^ Cid1 = : r(0) .1 « 0 donde r(x) = co + c ix H------- h Cn-ixn~l G Q[x]. Si 0 = 0 i,0 2 ,. . . ,0n son los conjugados de 0, i.e. son las raíces de p(x) = Irr(0,Q), pongamos OLk := r(0fc), 1 < fc < n. Note que el polinomio /(x ) = n ( x - r ( ^ ) ) t= l es mónico y satisface que f(a ) = 0 ya que a = r(0) = r(0 i). Más aún, el polinomio f(x ) tiene coeficientes racionales ya que como a = r(0) y <¡>(x) = Irr(a, Q), entonces 0 = (¡>{a) = (¡>{r(9)) y así el polinomio g(x) — <¡>{r(x))t que tiene coeficientes en Q ya que y r están en Q[x], satisface que g(0) = 0. Entonces, como p(x) = Irr(0, Q), por A.4 se sigue que p(x) divide a g(x) y por lo tanto todas las raíces 0 i, . . . , 0n de p(x) son raíces de g(x) = <¡>(r(x)) y así los números r(0¿) son raíces de (¡)(x) = Irr(a, Q), i.e., los r(0i) son algunos de los aj. Ahora, por el corolario A.3 aplicado a <¡>{x)ypara toda función simétrica h € Q f c i , . . . , x n] se tiene que h(a \ , . . . , a n) G Q, en particular para los de la forma r(0¿) se tiene que /i( r ( 0 i) ,. . . , r(0 n)) G Q; pero éstos son los coeficientes de /( x ) , por el teorema de Viète, A .l, y por lo tanto f(x ) G Q[x] como se quería. Podemos entonces aplicar A.4 de donde se sigue que <¡>{x) divide a f(x ) ya que es el polinomio mónico de menor grado que se anula en a . Pongamos

f( x ) = <¡>{xyh(x) con 5 > 1 entero y con (¡>y h coprimos (recuerde que esta raíz sería de la forma r(0¿) para algún t. Así, h(r($ij) = 0, i.e., h(r(x)) se anula en 0t , y como p(x) = lrr(0, Q ), entonces p(x)\h(r(x)) y por lo tanto h(r(x)) se anula en todos los ceros de p (x ), i.e., en todos los 0 i , . . . , 0n ; en particular, en 0 = 0i y así 0 = /i(r(0 )) = h(a ), i.e., a es raíz de /i(x), lo cual es imposible porque a es raíz de (¡>que es coprimo con h. Esta contradicción implica que h(x) es

246

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

constante, como se quería. Se sigue que h (x ) = 1 y por lo tanto f ( x ) = <¡>{x)s, por lo que gr(/) = s • gr($), i.e., n = s m . Ahora, de /(x) = (x)s se sigue que las raíces de <¡>(x) aparecen con multiplicidad s en /(x), i.e., cada ol\ := r(Q i) raíz de f ( x ) es un a j repetido s veces. Así, todos los conjugados de a (los Qi,..., am) son de la forma r ( 0 i) . Esta manera de expresar los conjugados de un número algebraico a es útil para mostrar que el conjugado de una suma o producto de números algebraicos es la suma o producto de los conjugados correspondientes, algo que no es obvio de la definición. TEOREMA A. 10. Sean a , ¡3 € C números a lg eb ra ico s y sean a \,..., a m y ¡3\,..., 0r sus conjugados respectivos. Sea 0

y sean

€ C tal que

Q (a i,... ,am,Pi, ■■■,Pt) = Q(0) 0i,.. •, 0n los conjugados de 0. Pongam os

a = 2 ci0<=:rW J- ^ = £ 1diei =:íWt= 0

¿=0

D enotem os con o! a cualquier conjugado d e a , y sim ilarm ente p a ra f3. Entonces,

(1) Los conjugados de a

+ ¡3 son d e la fo rm a

(a: + ¡3)' = a ' +

(2) Los conjugados de af3 son de la fo rm a (a •¡3)' = o! •f3'. (3) Si r € Q, entonces tiene un único conjugado, r m ism o . Demostración.

Para la parte (1), como Ü t= t= 0

t= 0

e t= 0

» + w *=

=( r +

entonces, por lo observado previamente al enunciado del corolario: (a + f ty = (r + t ) ( e k) = r ( 6 k) + t{ 6 k ) = a'k + (?k = a' + 0 . Similarmente para la parte (2), (a •P Y = (r •t) (6 k) = r ( 6 k) ■t( 0 k) = a'* •& = a' • Para (3), note que Irr(r, Q) = x —r.

□

Enteros algebraicos. Un número complejo a € C se dice que es un entero algebraico si existe un polinomio /(x), mónico y con coeficientes enteros, tal que /(a) = 0. Por ejemplo, todo entero n € Z es un entero algebraico ya que es raíz del polinomio mónico x —n GZ[x]. De hecho, se tiene que: Lema A.l 1.

Un racional r

£ Q es entero algebraico si y só lo si r € Z.

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

247

Demostración. Sólo falta probar la suficiencia. Supongamos que r = c/d e Q es un entero algebraico y que mcd(c, d) = 1. Entonces, existe un polinomio mónico f(x) = xn 4- an_ i£ n"_1 4 - ----- h a\x 4- clq 6 Z[x] tal que f(r) = 0. Substituyendo r = c/d en f(x ) y multiplicando por cP obtenemos cn 4- cin-icn

+ + *• • 4- clo

por lo que d\cn y como son coprimos esto implica que d = ±1, por lo que r = ±c € Z. □ Mostraremos a continuación que si a , ¡3 son enteros algebraicos, entonces a ± /3 y Oíf3también lo son. Para ésto necesitaremos el lema siguiente: LEMA A. 12. Sean n > 1 un entero y £ € C. Supongamos que los números complejos

... ,0n no son todos cero y que satisfacen las ecuaciones £0j = ajiOi + 0,202 + *• • 4- ajneni

(*)

(1 < j < n)

con los üji € Z. Entonces, £ es un entero algebraico. Demostración. Note que (*) es un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas en las n variables 0j, y como por hipótesis tiene una solución no trivial, entonces el determi­ nante del sistema es cero, i.e.,

—all) O= det

V

“ <*12

•**

” aln \

-021

(£ - O.22)

***

"°2n

-O nl

-Om2

= e + b ne - l + ---+ bit+ bo

(Í-O n n )/

donde al desarrollar el determinante los coeficientes bi son polinomios en las oj* y por lo tanto 6¿ 6 Z y como £ es raíz del polinomio mónico con coeficientes enteros 6», entonces ¿ es un entero algebraico. □ TEOREMA A. 13. Si a , P € C son enteros algebraicos, entonces también lo son a ± ¡3

yap. Demostración. Supongamos que a y (3 son raíces de los polinomios / ( x ) = x m 4-om-ia ;m" 1 H------ haiar + ao y g(x)=xn + bn-ix n~l + -"+ b ix + bo con los a», bj € Z. Sea t = m n y sean 0 i ,. . . , 0* € C dados por los 0j = a r/3s, para 0 < r < m — l y O < s < n — 1. Entonces, para todo j se tiene que

aO i

= / a,gúntf* s i r + 1 < m —1, \ ( - a m_iQm _1--------- a ia -a o )P s s i r + 1 = m,

donde la segunda igualdad se obtiene despejando de / ( a ) = O al término a m.

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

248

Así, en ambos casos se ve que existen enteros hji, . . . , hjt tales que ctOj

=

h j\0 i

+

* • • +

hjtOt.

En forma análoga se ve que existen enteros t j i i . . . , £j%tales que

P0j = tjiOi H-------h ijtOt y por lo tanto (q ± P)0j = {hj\ ± £ji)6\ + -----h (hjt ± £jt)0ty con los hji ± tji € Z. Del lema anterior se sigue que a ± P es entero algebraico. Similarmente, para el producto

(aP)0j =
H-------1-

H-------h

H-------h

= ^>1^1 H-------1" hjtOt, con los kji € Z, y así del lema anterior se sigue que aP es un entero algebraico.

□

Por su definición, los enteros algebraicos son números algebraicos, por lo tanto, si a € C es un entero algebraico, seap(x) = Irr(a, Q) el mónico irreducible del cual a es raíz (A.4). Mostraremos que p(x) tiene coeficientes enteros y para ésto necesitaremos un lema debido a Gauss que esencialmente nos dice que irreducibilidad de un polino­ mio en Z[x] es equivalente a irreducibilidad en Q[x]. Para probar este lema usaremos el concepto siguiente: el contenido de un polinomio g(x) = bo+bix-\-----h bmxm 6 Z[a;] es c(g) := mcd(&o, • •. ,bm). Un polinomio f(x ) = ao 4- a\x H------ h anxn e Z[x] se dice que es primitivo si su contenido c(g) = 1. Observemos ahora que cualquier polinomio g(x) € Z[x\ se puede escribir de la forma g(x) = df(x) con d = c(g) y f(x ) primitivo, simplemente factorizando el mcd de los coeficientes de g(x). L ema A. 14 (Gauss). (1) Si f(x), g(x) en Z[x] son primitivos, entonces su producto f(x)g(x) también es primitivo. (2) Si un polinomio f(x) 6 Z[x] es irreducible, entonces considerado como polinomio en Q[x] también es irreducible. Obsérvese que como, obviamente, si f(x) es irreducible en Q[x] también es irre­ ducible en Z[x], entonces el lema de Gauss de hecho dice: f(x) € Z[x] es irreducible en Z[x] si y sólo si f(x) es irreducible en Q[x].

Demostración, (1) Si f(x) = a0 + aix- f . . . + amxm y g(x) = 6o -I- bxx + • • • + bnxn, üi,bj € Z, supongamos que f(x) • g(x) = co + c\x + -----h CrXr no es primitivo. Entonces, mcd(co,. . . ,Cr) = d > 1, y así existe un primo p € Z tal que p|c* para todos los k «e 0 , . . . , r. Ahora, como f(x) es primitivo, este primo p no divide a todos

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

249

los coeficientes a». Sea pues a9 el primer coeficiente de /(x ) no divisible por p. Simi­ larmente, sea bt el primer coeficiente de g(x) no divisible por p. Consideremos ahora al coeficiente cs+t de /(x )p(x): Cs+t

=

(a o6s+t + fli6 a+ t - i H--------b a « - l6 t+ i) + a9bt + ( a a+ l6 * -i + a a^-2^t-2 H------- b

y obsérvese que como p\a*, 0 < i < s — 1 , entonces p divide al primer paréntesis en la ecuación de arriba, y similarmente p divide al segundo paréntesis. Y como por hipótesis p|c¿+t, entonces p debe dividir a a9bu en contradicción con el hecho de que p no divide a a9 ni a (2) Supongamos primero que /(x ) £ Z[x] es primitivo. Si /(x ) = p(x)q(x), con p(x) y q(x) en Q[x], escribamos

p(x) = a0/b0 + (ai/bi)x + • • • + (am/ 6m)xm, con a¿/6¿ 6 Q, y q(x) = a'o/6Ó+ (ai/^ i)* + • • • + (a!jb'n)xn con a'Jb'i £ Q. Si b = 6061 • • • bm y V = &Ó&Í • • • Vn, entonces p(x) = ( 1 / 6)6 • p(x) y g(x) = (1/6') 6' • q(x), con 6 •p(x) y 6' • q(x) en Z[x]. Más aún, si d es el contenido de 6-p(x) y d! es el contenido de 6' -q(x)> entonces 6-p(x) = d-u(x) y b'-q(x) = d!-v(x) con u(x),v(x) £ Z[x] primitivos. Se sigue que /( * )

= =

p(a;)- 9( i) = i( d -ií( x ) ) - p ( d '- v ( x ) ) • u(x)v(x) = ^ • u(x)v(x)

y así

11 /( x ) = s • u(x)v(x) y como /(x ) es primitivo, entonces c(t • /(x )) = t, y también, como u(x) y t/(x) son primitivos, por la parte ( 1 ) el producto u(x)v(x) es primitivo y así c(s •u(x)v(x)) = a. Se sigue que t = c{t • /( x )) = c($ | t¿(x)v(x)) = s, i.e., s = t y por lo tanto /( x ) = u(x) • v(x) conu(x),u(x) € Z[x]. Finalmente, si /( x ) £ Z[x] no es primitivo, escribamos f(x) = d *
250

A. ENTEROS ALGEBRAICOS

eon (1 /d) • p(x),q(x) € Q[rr], y entonces por la primera parte de la demostración, como g(x) es primitivo, entonces g(x ) = u(x)v(x) con u(x)fv(x) € Z[x]. Se sigue que f(x) = d • g(x) = (d • u(x))v(x) con d • u(x), v(x) 6 Z[x]. O COROLARIO A. 15. Si a € C es im entero algebraico, entonces Irr(a, Q) ríe/ze coe/?-

cientes enteros. Demostración. Como a es entero algebraico, por el principio del buen orden, existe un mónico de menor grado (x) 6 Z[x] del cual a es raíz. Entonces, (x) es irreducible en Z[x] ya que si no lo fuera, existirían f{x),g(x) e Z[x] mónicos tales que < ¡>= fg con 1 < gr(/),gr(, una contradicción. Así, (x) es irreducible en Z[x] y por el lema de Gauss se sigue que (x) y por lo tanto Irr(a, Q) € Z[x]> como se quería. □ Notas. Los resultados sobre conjugados pueden ser demostrados, en forma más ele­ gante, usando los elementos de la teoría de Galois, la cual captura, en forma sutil y económica, la acción del grupo simétrico sobre las raíces de un polinomio dado. Simi­ larmente, el hecho de que los enteros algebraicos forman un anillo se puede demostrar usando la teoría de anillos conmutativos. Las demostraciones que hemos dado se en­ cuentran, con pequeñas variaciones, en [7] y [15]. EJERCICIO 1. Muestre que la suma y producto de números algebraicos es algebraico. De hecho, demuestre que, con las operaciones de C, el conjunto de números algebraicos es un campo. EJERCICIO 2. Si a e € es un entero algebraico, demuestre que el grupo aditivo Z[a] de los polinomios en a con coeficientes enteros, tiene un número finito de generadores. E je r c ic io 3. Si q G C es algebraico, demuestre que existe un entero n ^ 0 tal que n a es entero algebraico. E je r c ic io 4. Si a y p son enteros algebraicos, demuestre que las soluciones de x2 + ax + p — 0 también son enteros algebraicos. E je r c ic io 5. Generalice el ejercicio anterior. E je r c ic io 6. Si u € /¿n, demuestre que

^

u l es un entero algebraico.

l< t< n , m cd(i,n )= l

Sugerencia: Use inducción sobre n y note que el caso lj = 1 es trivial. Para n > 1 note que u es raíz de xn~l 4- • • • 4* x + 1.

Bibliografía

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B ib lio g r a f ía

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ín d i c e a lf a b é tic o

izquierda,53 conjugado, 42,69 conmutador, 66 conmutatividad, 7 contraejemplo alteorema de Lagrange,65

icción,2,5,97 G-lineal, 170 transitiva, 105,238 lineal, 170 porconjugación,98 portraslación derecha porel inverso,98 izquierda,97 trivial,97 asociatividad,7,11

ecuación de clases, 108 elemento neutro, 11 elemento primitivo, 160 enteroalgebraico,246 espacio G-invariante, 175 estableo invariante, 175 estabilizador,99 estructuracíclica,43 exponente de un grupo,92 extensión de campos, 241 extensión simple,241

campo, 159 ñnito, 159 carácter, 185 de larepresentación regular, 187 inducido,217 principal, 187 virtual,219 carácterer inducido,216 centralizador, 19,104 centrode un grupo, 19 ciclo,32 clase de un grupo nilpotente, 147 clases de conjugación,42,69 laterales derechas, 54 izquierdas,54 complemento de Frobenius,224 componentes p-primarias,93 congruencia derecha,53

factoresinvariantes,94 fórmula de Cauchy, 46 Fórmulas de Viète,236 función de clases, 195 G-conjunto, 97 G-espacio vectorial, 170 generador,22 generadores,28 grado de un carácter, 185 grado de una representación, 172 255

256

grupo, 11 abeliano, 13 alternante,39 cíclico,22 finito,24 infinito,23 cociente,59 de Frobenius,224 de Klein,64 de simetrías, 11 diédrico,42 finito, 14 generado por,28 lineal proyectivo, 162 lineal especial, 162 lineal general, 161 nilpotente, 147 simétrico,30 simple, 115,131 soluble, 141 homomorfismo, 71 canónico, 73 de transferencia,227,229 signo,73 imagen directa,73 inversa,73 índicede un subgrupo, 57 intervalode naturales,29 inverso, 11 isomorfismo,75 lema de Gauss, 248 de Schur, 181 leyde losexponentes, 21 matrizescalar, 162 núcleo,74 de Frobenius,224 número algebraico, 240 neutro,8 Noether primerteorema de isomorfismo,77 segundo teorema de isomorfismo,80

ÍNDICE ALFABÉTICO

tercerteorema de isomorfismo, 81 normalizador, 109 notación aditiva,21 operación, 6 binaria,6 órbita de una acción,99 de una permutación, 32 orden de un elemento, 26 de un grupo, 14 ortogonalidad de caracteres, 189 por columnas, 199 por renglones, 198 p-grupo, 93,109,114 p-primario,93 p-subgrupo de Sylow, 111 paridad, 37 partición de un entero,44 permutación, 29 permutaciones disjuntas,34 polinomios simétricos,235 simétricos elementales,236 potencias de un elemento, 21 producto corona, 122 semidirecto, 118 producto directo externo,87,88 interno,88,89 producto interiorde caracteres, 189 puntos fijos,99 raízprimitiva, 160 representación fiel,184 inducida,217 irreducibleo simple, 178 lineal. 171 por permutaciones, 174 regular, 173 signo, 173 trivial, 172

ÍNDICE ALFABÉTICO

representaciones isomorfas, 172 serie centralinferior,149 centralsuperior,147 decomposición, 139 normal, 139 signodeunapermutación,38,50 simetría,1,6 subgrupo,16 conmutador,66 deFrattini,157 deisotropia,99 normal,62 subrepresentación, 175 sumadirectade representaciones, 177 Sylow primerteorema, 110 segundoteorema, 111 tercerteorema, 112

257

tabladecaracteres,197 teorema prqadeBumside, 133,143,215 órbita-estabilizador,100 de Bumside-Wielandt, 152 de Cauchy, 108 de Cayley,84 decorrespondencia,65 de Feit-Thompson, 153 de Frobenius, 101,219,223 de isomorfismodeNoether,77 deJordan-Holder, 140 de Lagrange,56 de Maschke, 179 de Sylow, 110-112 fundamental de losgrupos abelianosfinitos, 94 tipode unapermutación,44 transposición,36 transvección, 163 traza,185

Sociedad Matemática Mexicana Junta Directiva de la Sociedad Matemática Mexicana 2006-2008: Alejandro Díaz Barriga Casales • Fernando Brambila Faz • Isidoro Gitler Goldwain • Antonio Rivera Figueroa • Silvia*Alatorre Frenk • Marcela Santillán Nieto • Víctor H. Ibarra Mercado •

presidente vicepresidente secretario general secretario de actas tesorera vocal vocal

La Sociedad Matemática Mexicana fue fundada en el año de 1943. Entre sus tareas fundamentales destacan: Estimular y mantener el interés por la investigación matemática en México; publicar revistas científicas; contribuir al mejoramiento de los programas de estudio y la enseñanza de las matemáticas en el país; estimular la elaboración y publicación de libros de texto en matemáticas; organizar conferencias, reuniones, congresos y concursos de matemáticas; cooperar en laresolución de los problemas matemáticos que se presentan en el sector productivo del país, asícomo losque surgen en las investigaciones de otras ciencias; promover el convencimiento entre la sociedad mexicana de que las matemáticas son parte integral de la cultura básica y de las habilidades de uso cotidiano de la población. correo electrónico: [email protected] http://www.smm.org.mx

Instituciones patrocinadoras de la Sociedad Matemática Mexicana: • Benemérita Universidad Autónoma de Puebla • Centro de Investigación en Matemáticas, A. C.

• Centro de Investigación y de Estudios Avanzados • • • • •

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Universidad Autónoma de Sán Luis Potosí

Universidad A utónom a M etropolitana • Unidad Iztapalapa • Universidad Nacional A utónom a de México • Facultad de Ciencias • In stitu to de M atem áticas • Universidad Panamericana • Universidad Pedagógica Nacional • Universidad Tecnológica de Tula Tepeji Se han distinguido con letra cursiva los Miembros Institucionales de la SMM.

PUBLICACIONES DEL INSTITUTO DE MATEMÁTICAS, UNAM: MONOGRAFIAS DEL INSTITUTO DE MATEMÁTICAS 1 Localization in non commutative rings. B. J. Mueller (1975). 2 Teoría de los números algebraicos. A. Díaz-Barriga, A. I. Ramírez-Galarza, P. Tomás (1975). 3 Integrales de medida positiva. G. Zubieta (1976). 4 Rings with polynomial identities. B. J. Mueller (1977). 5 Grupos profinitos, grupos libres y productos libres. L. Ribes (1977). 6 Introducción a la teoría de las clases características en la geometría algebraica. A. Holme (1978). 7 Embeddings, projective invariants and classifications. A. Holme (1979). 8 The relative spectral sequence of Leray-Serre for fibrations pairs. C. Prieto (1979). 9 Caminatas aleatorias y movimiento browniano. D. B. Hernández (1981). 10 On polarized varieties. T. Matsusaka (1981). 11 Métodos diagramáticos en teoría de representaciones. C. Cibils, F. Larrión, L. Salmerón (1982). 12 Espacios simplécticos sobre /3-anillos y anillos de Hermite, trasvecciones simplécticas. I E. Fer­ nández Bermejo (1982). 13 Abelian integrals. G. Kempf (1983). 14 On Selfinjective algebras of finite representation type. J. Waschbüsch (1983). 15 On ideal theory in Banach and topological algebras. W. Zelazko (1984). 16 Teoría general de procesos e integración estocástica. T. Bojdecki (1985). 17 La figura espectral de operadores. C. Hernández Garciadiego, E. de Oteyza (1986). 18 Teoría de punto fijo. A. Dold. Traducción: C. Prieto. Vol. I, Vol. II, Vol. III (1986). 19 Projective embeddings of algebraic varieties. J. Roberts (1988). 20 Teoría general de procesos e integración estocástica. 2a. Edición. T. Bojdecki (1989). 21 Análisis funcional I. C. Bosch Giral, E. Fernández Bermejo (1989). 22 Introducción a la topología de las variedades de dimensión infinita. L. Montejano (1989). 23 Introducción a la teoría de representaciones de álgebras. R. Martínez-Villa (1990). M E M O R I A S D E L 50 A N I V E R S A R I O D E L INSTITUTO D E M A T E M Á T I C A S . 1942-1992. M A T E M Á T I C A S E N L A U N A M . M E M O R I A S D E L 60 A N I V E R S A R I O D E L INSTITUTO D E M A T E M Á T I C A S . (2003). Topología algebraica. Un enfoque homotópico. M. Aguilar, S. Gitler, C. Prieto. Coedición de Instituto de Matemáticas, U N A M - McGraw-Hill Interamericana Editores (1998). C U A D E R N O S D E OLIMPIADAS D E MATEMÁTICAS. 1 Combinatoria. M. L. Pérez-Seguí. 3a» edición (2005). 2 Principios de olimpiada. A. Illanes Mejía. 2a. Reimpresión de la 2a. edición (2006). 3 Geometría. R. Bulajich, J. A. Gómez Ortega» 4a» Reimpresión (2006). 4 Geometría. Ejercicios y problemas. R. Bulajich, J. A. Gómez Ortega. 4a. Reimpresión (2006). 5 Teoría de números. M.L. Pérez-Seguí. 3a» Reimpresión (2006). 6 Desigualdades. R. Bulajich, J.A. Gómez Ortega 2a. edición (2005). 12 Inequalities. R. Bulajich, J.A. Gómez Ortega (2005). T E M A S D E M A T E M Á T I C A S P A R A BACHILLERATO. 1 Cuando cuentes cuántos... H. A. Rincón Mejía (2002). 2 Sistemas de ecuaciones y de desigualdades. A. I. Ramírez Galarza (2002). 3 La historia de un empujón: un vistazo a las ecuaciones diferenciales ordinarias y a los sistemas dinámicos. L. Ortiz Bobadilla y E. Rosales González (2002). 4 Dos o tres trazos. S. Cárdenas Rubio (2003). 5 Estadística descriptiva para bachillerato. M.P. Alonso Reyes, J.A. Flores Díaz (2004).

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la-Paz, X. Gómez-Mont (1992). 6

Seminario internacional de álgebra y sus aplicaciones. Memorias. México 1991. Editado por

L. M. Tovar, C. Rentería, R. H. Villarreal (1992). 7

II Simposio de probabilidad y procesos estocástico». I Encuentro México-Chile de análisis es­ tocástico. Memorias. Guanajuato, México 1992. Editado por M E. Caballero, L. G. Gorostiza

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V. Estivill-Castro (1994). II

III Simposio de probabilidad y procesos estocástico». Memorias. Hermosillo, México 1994«■

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IV Simposio de probabilidad y procesos estocáisticos. Memorias. Guanajuato, México 1998.

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Programa del X IX congreso nacional de la Sociedad Matemática Mexicana, Vol. II. Memorias. Guadalajara, México 1986. Editado por J. A. de la Peña, C. Prieto, G. Valencia, L. Verde

(1987). (1987). 5 6

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Programa del X X congreso nacional de la Sociedad Matemática Mexicana. Memorias. Xalapa, México 1987. Editado por M. A. Aguilar, L. Salmerón, C. Vargas (1988). X X I Congreso nacional de la Sociedad Matemática Mexicana. Memorias. Hermosillo, Sonora 1988. Editado por F. Aranda, J. Bracho, A. Sánchez Valcnzuela, A. Vargas (1989). Breve introducción a códigos detectores-correctores de error. C. Rentería, H. Tapia, W. Y. Vélcz

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Muciño (2002).

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XXX V Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana. Memorias. Durango, Dgo. 2002. Editado por M. Aguilar, R. Quiroga (2003).

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(Número cancelado.)

XXXVI Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana. Memorias. Pachaca, Hgo. 2003. Editado por M. Aguilar, R. Quiroga (2004). 35 Memorias de la Sociedad Matemática Mexicana. Editado por M. Aguilar, R. Quiroga (2005). S erie: T E X T O S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

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Topología General. D. Hinrichsen, J. L. Fernández Muñiz, A. Fragüela Collar, Á. Álvarcz Prieto. Nivel medio (2003).

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Introducción a los grupos topológicos de transformadones. S. de Ncymet U. Con la colaboración de R. Jim énez B. Nivel avanzado (2005).

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Breviario de teoría analítica de los números. E. P. Balanzario. Nivel medio (2003). Cálculo de probabilidades. F. M. Hernández Arcllano. Nivel elemental (2003). Números primos y aplicaciones. F. Lúea. Nivel avanzado (2004). Historia y desarrollo de la teoría de los continuos indescomponibles. F.L. Jones. Traducción: S. Macías. Nivel medio (2004).

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Introducción a la teoría de grupos. F. Zaldívar. Nivel medio (2006). Hyperspaces of sets. A text with research questions. S.B. Nadler, Jr. Nivel avanzado (2006).

Las matemáticas y la imaginación. E. K asner, J. Newman. Traducción: M. L ara, L. G orostiza (2006).

Contemporary Mathematics 260 First summer school in analysis and mathematical physics. Cuernavaca, Morelos, 1998. Edi­ tad o por S. Pérez-Esteva, C. Villegas-Blas. C ontem porary M athem atics No. 260. Coedición de A portaciones M atem áticas - American M athem atical Society (2000). 289 Second summer school in analysis and mathematical physics. Cuernavaca, Morelos, 2000. E ditado por S. Pérez-Esteva, C. Villegas-Blas. C ontem porary M athem atics No. 289. Coedición de Aportaciones M atem áticas - American M athem atical Society (2001). 336 Stochastic Models. E ditado por J.M . González-Barrios, J.A . León, A. M eda. C ontem porary M athem atics No. 336. Coedición de A portaciones M atem áticas - A m erican M athem atical Society (2003). 340 Spectral Theory of Schródinger Operators. Lecture Notes from a Workshop on Schrodinger Operator Theory. IIMAS, UN AM, Mexico, 2001. E ditado por Rafael del Rio, C arlos VillegasBlas. Contem porary M athem atics No. 340 Coedición de A portaciones M atem áticas - A merican M athem atical Society (2004). 341 Topological algebras and their applications. Fourth International Conference on Topological Algebras and Their Applications. Oaxaca, Mexico, 2002. E d itad o por Hugo Arizm endi, Carlos Bosch, Lourdes Palacios. C ontem porary M athem atics No. 341. Coedición de A portaciones M atem áticas - American M athem atical Society (2004). 389 Geometry and Dynamics International Conference in Honor of the 60th Anniversary of Alberto Verjovsky. January 6-11, 2003. Cuernavaca, Mexico. E ditado por Jam es Eclls, E tienne Ghys, M ikhail Lyubich, Jacob Palis, José Seade. Contem porary M athem atics No. 389. Coedición de A portaciones M atem áticas - American M athem atical Society (2005).

OBRAS COMPLETAS DE D I E G O BRICIO H E R N Á N D E Z C A S T A Ñ O S I II III

Formas cuadráticas y operadores lineales. D. B. H ernández C astaños (1994). Método Monte Cario. D. B. Hernández Castaños, L. J. Alvarez (1995). Métodos matemáticos de la termodinámica. D. B. H ernández C astaños, E. C árdenas Cuenca,

IV

C. A. Rincón O rta, C. B. Velarde Velázquez (1996). Teoría del potencial. L. Briseño, M. E. Caballero, D. B. H ernández C astaños (1998).

Inform ación y pedidos: Sra. G abriela Sanginés, Depto. de Publicaciones In stitu to de M atem áticas, UNAM, C ircuito E xterior C iudad U niversitaria, 04510 México, D. F. M EX ICO TEL: (52) (5) 622-44-96, FAX: (52) (5) 550 13 42 y (52) (5) 616 03 48 e-mail: edicion@ matem .unam .mx W EB: h ttp://w w w .m atem .u n am .m x http://w w w .sm m .org.m x

Introducción a la teoría de grupos, se terminó de imprimir en el mes de septiembre de 2006 en los talleres de Creativa Impresores, SA de CV. Quetzalcoatl 69, Tlaxpana, México D.F. Tel. 5703 2241. El tiraje en papel gráfico bond de 90 gramos de 70 x 95 cm consta de 500 ejemplares en pasta rústica con acabado en lámina de plástico.

Apoyo técnico: Depto. de Publicaciones Instituto de Matemáticas, U N A M Gabriela Sanginés, Leonardo Espinosa, Celia Osorio

A P O R T A C IO N E S M A T E M Á T IC A S es una publicación de la Soc M atem ática Mexicana. Su serie T E X T O S comprende libros de t m atem áticas y sus aplicaciones, para la licenciatura y el p o sg rar^ en tem áticas y en otras disciplinas. Se divide en tres niveles: ¿djg □ Nivel elemental: Dirigido a estudiantes de los primeros dos años de la licenciatura. ; □ Nivel medio: " ^ Dirigido a estudiantes de los dos últimos años de la licenciatura.

□

Nivel avanzado: Dirigido a estudiantes de posgrado.

I N T R O D U C C IÓ N A L A T E O R ÍA D E G R U P O S d e F e lip e Z a ld ív a r, es un texto de nivel medio. Desde la geometría hasta la física, desde la combinatoria hasta la teoría de números, dondequiera que existan simetrías, la teoría de grupos está presente. Este libro es una introducción a la teoría de grupos, y a pesar que sólo es una introducción elemental, toca muchos aspectos de la teoría, con un énfasis en los grupos finitos, preparando al estudiante para niveles más avanzados. Los prerrequisitos para leer este libro se han mantenido a un mínimo: un curso de Álgebra Lineal y un curso de M atemáticas Finitas que incluya algo de divisi­ bilidad de enteros, números primos y el teorema fundamental de la aritmética. El libro comienza con un intento de describir el concepto de simetría para motivar la idea de grupo y después de discutir algunos ejemplos importantes, gsppos cíclicos, de permutaciones y de matrices^ introduce los teoremas de estru ctu ra básicos, desde el teorema de Lagrange h asta los teoremas de Sylow, y luego los aplica p ara dar una introducción elemental al estudio de los grupos simples y solubles. La parte final del libro es una introducción a la teoría de caracteres de grupos finitos y luego aplica estos resultados para probar un im portante teorem a de Bumside, a saber, que todos los grupos finitos cuyos órdenes son de la forma pV** con p,q primos, son solubles.

Diseño de portada: Rubén Valencia.

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