UNIVERSIDAD POLITECNICA DEL GOLFO DE MEXICO “Ciencia y tecnología que transforman” DINAMICA
Estudiante: ANTONIO GARCIA HUERTA
Grupo 4° “B” EJERCIOS DE LOS TEMAS: Movimiento en un punto Movimiento en línea recta Movimiento curvilíneo Mecánica de orbitas Movimiento relativo
EVIDENCIA DE PRODUCTO
Paraíso, Tabasco 11 de Noviembre de 2014
MOVIMIENTO EN UN PUNTO
MOVIMIENTO EN UN PUNTO
2.3 La grafica de la velocidad V de un punto en función del tiempo es una recta. Cuando t= 2 s, v= 4 pie/s, y cuando t= 4 s, v= -10 pie/s.
(a) Determine la aceleración del punto calculando la pendiente de la línea recta. (b) obtenga la ecuación para v en función del tiempo y úsela para determinar la aceleración del punto. DATOS:
T= 2 s V= 4 ft/s T= 4 s V= -10 ft/s
2 1 21 10140424 ⟹ 142 7 7 7 7 7 2 772 4 14 18 777 18
Cuando t= 2 s, v= 4 pie/s
6 4
2.6 la posición de un punto durante el intervalo de tiempo de t= 0 s a t= 6 s es
.
a) ¿Cuál es el desplazamiento del punto durante este intervalo de tiempo? b) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo y en qué momento ocurre? c) ¿Cuál es la aceleración cuando la velocidad es máxima?
Δ 0 2162166 6636366 2446 132108 108 216 24 Δ 132132 0 0 6 4 32 1212 4 ´ 33 12 33 12 12 0 ⟹ 12 3 4 " 33 m axi12mo 4 2 2324448 1244 4 28 33 12 34 12 0 la velocidad es constante a)
Entonces
= 132 Desplazamiento de t=0 a t=6.
b)
c)
se requiere representar la posición de un vehículo que está 2.11 Suponga que se siendo probado por medio de la serie de potencias S= , donde A, B, C y D son constantes. constantes. El vehículo vehículo parte del reposo en en t=0 y S=0. En t=4s, s= 176 ft y en t=8s, s = 448 pies. a) Determine A, B, C y D. B) ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración aproximadas del vehículo en t=8s?
Datos: t=0 s=0. En t=4s, s=176ft s= A+Bt+Ct2+Dt3 En t=8s, s= 448ft. S (0) =A+B (0)+C (0) 2+D (0)3 A=0 2
3
V (t) = A+Bt+Ct +Dt 2 = B+2Ct+3Dt 2 =B+2C (0) +3D (0) B=0 2
3
704=64C+256 -448=64C -256
3
256=-256D D= D= -1
176pies=A+Bt+Ct +Dt 2 3 =0+0(4)+c (4) +D (4) =0+0+16C+64D 2
176pies=16C+64D (4) 448pies= 64C+512D
448pies=A+Bt+Ct +Dt 2 3 =0+0(8)+c (8) +D (8) =0+0+64C+512D
−
176pies=16C+64D 176pies=16C+64(-1) 176pies=16C-64 64+176pies=16C =C C=15
2.17 Debe lanzar un juego de llaves a un amigo que está en el balcón de un segundo punto .si suelta las llaves a 1.5 m del suelo. ¿A qué velocidad vertical se necesita para que lleguen a la mano de su amigo, que se halla a 6m sobre el suelo?
6m
9.8 ⁄ ∫ ∫ 0 0 0 0 ∫ ∫0 0 6 1.5 0 . 6 1.5 . 1.5 m
9.80.958 9.38/
Velocidad vertical resultado
4.5 .4.9 . √ 0.918 0.918 Tiempo en que llego de la mano al balcón.
2.20 la velocidad en un trineo es v= 10 t pie/s si el t=2s su posición es s=25 pie, ¿Cuál es la posición si t=10s?
10 / 10 10 1 0 2 25 205 520 25
5500105 5 500 /
Posición en t=10.
2.25 un automóvil viaja a 30 mi/h cuando se enciende la luz amarilla de un semáforo que se encuentra 295 pies adelante. La luz amarilla permanecerá 5s antes de que se encienda la roja.
a) ¿Qué aceleración constante permitirá que el automóvil alcance la luz en el instante en que cambie a la roja, y cuál será la velocidad del automóvil cuando llegue al semáforo? b) si el conductor decide no alcanzar la luz a tiempo ¿Qué aceleración constante permitirá que el automóvil se detenga justo antes de llegar al semáforo?
30 44 / ∫ ∫ 5 44 ∫ ∫ 5 ∫ 44 0 44 295 04450 220 44 295 − 44 7430 44/ 6 a)
b)
0 −544 8.8/
2.30 cuando t=0, la posición de un punto es s=6m y su velocidad es v=2m/s. de t=0 a t=6s, su aceleración es a=2+2t m/s de t=6s hasta que alcance el reposo, su aceleración es a=-4 m/ .
a) ¿Cuál es el tiempo total de viaje? b) ¿Qué distancia total cubre el desplazamiento?
22 22 2 2 23 2 23 2 6 26 23 6 2 6 158 2 2 2 3 16 2 6 6 6 23 6 266 44 ⟹182
4 182 . 4 182 45.25 218245.725 1092 270 18245.572 1092 270 S eg undos
S (45.5)= 3390.5 m
4 15824 4 4
+ 158 + 24
MOVIMIENTO EN UNA LINEA RECTA
/ 0.1 /
, cuando su motor se apaga 2.38 La lancha de la figura se va moviendo a 20 debido ala resistencia aerodinámica su aceleración es . ¿Cuál es la velocidad de la lancha despues?
2
Datos:
200.1/ /
.
0.1 0.1 − 0.2 1 201 0.2 201 1 0.25 1 0.125 4 /
2.42 La mayor profundidad oceánica descubierta hasta ahora se halla en las islas Marianas, en el Océano Pacifico occidental. Una bola de acero que se libere en la superficie requiere 64 min para llegar al fondo. La aceleración de la bola hacia abajo es , donde g es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar y la constante . ¿Cuál es la profundidad en millas?
0.9 3.02− 0.9 0.9 udu 0.9Cdvg Cv duC dv
1 1 ln 0 0 1 ln0.9 ln0.9 ln0.09.9 ln0.9 ln 0.9 ln1 0.9 −.= 1 0.9 −
0.9 − 1 10.9 − 1 0.9 1 − 0.9 1− − 0.9 0.9
0.9 0.9 − { } 0 0.9 0.9−0 0.9 0.9− 0.9 0.9 − 1
64min = 3840seg
g = 9.81m/s2
Evaluando t,C,y g en S.
03..909.281 − 3840 −3..02− 3.021 − 3.8.08229− [38400 3.021 −] 11225.31 C = 3.02 seg -1
1 mi = 1609.344m
11225.311609.1344
6.97
3 / 500/
1000 / 0.002
hasta 2.46 Un trineo de retro impulsó parte del reposo y acelera con que su velocidad es de en ese momento encuentra un freno de agua y su aceleración es de hasta que su velocidad disminuye a . ¿Qué distancia total recorre el trineo?
0 / 1000/ 500 / 3 3 ∫ ∫ 3 1000 3 1000 1000 √ 1000 10 ∫ ∫ 3 3 ∫ ∫ 2500 . . . 0.001 . 0.001 ∫ . ∫ 0.001 ln500 ln1000 0.001 2.5 ln 0.001 2.5 ln 2.5 0.001 − .−. 3193.1 ,
,
,
,
Calculamos tiempo ,
,
Por lo tanto
,
,
Calculamos posición del primer tramo ,
,
,
2do tramo
,
,
,
,
,
,
3204/ /.
2.49 El análisis de movimiento de un mecanismo indica que la velocidad de un punto de conexión está dada por , donde A es una constante. Cuando , su aceleración es ¿Cuál es su velocidad cuando ?
2 2 . . 4 8 48 22 16 421682 320320 2561625616 64 64/16 16 4 44 22 44 4162 2 20/
0, 3 4
2.51 La aceleración de un cuerpo está dada por
10 3 ∫ ∫ 3 50 2 100 √ 2 100 4 24 100 4 264100 4 √ 128 100 4 √ 228 4 15.09 es
. ¿Cuál es su velocidad cuando
2[
]
=
+
. En
?
su velocidad
0 1 0 0 45 0 1 1 0 ∫ 4 ∫ 2 21 2 2 ±√44 ±2√1 ⁄ 2√1 ⁄
la masa se libera desde el reposo 2.54 En el problema 2.53 suponga que en en la posición . Determine la velocidad de la masa en función de al moverse de su posición inicial a .
2.86 La Aceleración de un Planeta Hipotético Bidimensional dependería de la
distancia s desde el centro del planeta según la relación
, donde K es una
Constante, sea Re el radio del planeta y Ge la magnitud de la aceleración debida a la gravedad en su superficie (a) Si un cuerpo se la da una Vo hacia afuera a una distancia So desde el centro del planeta, determine su velocidad en función de S.
∫ ∫ 2 2 ln ln 2lnln ln ln
MOVIMIENTO CURVILINEO
2.63 Los componentes de la aceleración de un punto en ft/s 2 son ax= 3t 2, a y= 6t y az= 0. En t= 0, x= 5 ft, V x= 3 ft/s, y= 1 ft, V y= -2 ft/s, z= 0 y V z= 0. ¿Cuáles son sus vectores de posición y de velocidad en t= 3 s?
ax= 3t2
= 3t2
∫ ∫ 2 =3
V x -3= t 3
3 + 3 V x = t
Vx= t3 + 3
= (t3 + 3)
∫ ∫ t3 3 =
S x -5=
+ 3t
S x = + 3t + 5
ay= 6t
= 6t
∫− ∫ =6
V y +2=3
t 2
2-2 V y =3 t
Vy=3 t2 - 2
= (3t2 - 2)
∫ ∫ 3t2 2 =
Sy-1= t3-2t
S y= t3-2t+1
az= 0
= 0
∫ ∫ =0
Vz= 0
V z = 0
= 0
∫ ∫ 0 =
Vx(3)= (3)3+3= 30
Vy(3)= 3(3)2-2= 25 Vz(3)= 0
→ ̂ ̂ = 30 + 25 + 0
Sx(3)=
⁴
+3(3)+5=
Sy(3)= (3)3-2(3)+1= 22 Sz(3)= 0
→ ̂ ̂ =
+ 22 + 0
S z= 0
2.70 un bateador golpea la pelota a 3 ft sobre el cojín de home y la eleva con un ángulo de 60º sobre la horizontal. El 2da base la toma a 6 ft sobre la 2da base. ¿Cuál fue la velocidad inicial de la pelota?
0
0 0 0 cos cos cos
90 90 √ 16200 127.27
cos sin
3 sin 2 sin 2 3 127. 1227.7 27 cos 254.54 cos 254.54 6 sin 2 3 0 sin 2 3 0 254.54sin60 2 3 2 3220.43 217.16.413 √13.5 3.67 127.27 127. 2cos603. 6 7 cos603.767 11.27.83527 69.35 ⁄
2.74 Un zoólogo está provisto de un arco y una flecha que tiene una jeringa con tranquilizador, pues debe medir la temperatura de un rinoceronte. El alcance máximo es de 100 m. Si el rinoceronte embiste directamente hacia el zoólogo a 30 km/h y éste apunta su arco 20° sobre la horizontal, ¿A qué distancia debe estar el rinoceronte cuando dispare la flecha?
1ℎ 30ℎ1000 1 3600 8.33/ gt gtdt ∫ Cos 2 0 2 ∫ 20 31. 3 04 2 0 1. 0 9 9. 8 2 0 2. 1 9 8.332.18 18.16 8.33/ ∫ ∫ 8.33dt 100 0cos45sen45 1 9.8 2 8.33 100 0 s e n 4 5 4 5 1 100 ∫ ∫ 9 . 8 2 4 5 100tan45 4.c9os10000 4 5 9100800 31.30 31.64.3104 2 0 82.282 dt
=
x=
t
Retomando : Alcance max. En 45°
=
- gt
=980
m/s
(2.18)
X
2.75 los clavadistas de la quebrada en Acapulco deben sincronizar de modo que entren al agua en la cresta de una ola. Las crestas de la olas tienen 2pies sobre la
profundidad media h=12 pies del agua; la velocidad de las olas es
ℎ
. La meta
de los clavadistas es un punto a 6 pies de la base del acantilado. Suponga que cuando se inicia el clavado la velocidad es horizontal. (a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad en mi/h cuando entran al agua? (b)¿A qué distancia de la meta debe estar la cresta de la ola cuando se lanza un clavadista para que entre al agua sobre ella?
Clavadista
0 ∫ 0 ∫ = =0
= − ∫ ∫ ∫ =−∫ 5 = = ∫ ∫ −
−. . −. 11.7 √ 5.31 0 11.7
2=-16.1
+87.5
t=
27 ft El impacto ocurre en
2
Tiempo de impacto=2.3
32.2 74.06
V=
+
Velocidad de impacto=74.97 1mi=5280ft
74.97
t=2.37
=51.12
olas
V=74.97
ℎ √ 32.2 19.65 19.65 ∫ 5 19.65 ∫ 5 19.65 5 45.19
Tiempo de impacto=2.3
La cresta se debe encontrar a 45.19ft
2.78 una bola de cero en un tanque de aceite se le da, en t=0, una velocidad
horizontal v=2i m/s, las componentes de su aceleración en =-8 -1.2
,
son
= -1.2 . ¿Cuál es la velocidad de la bola en t=1s?
=-1.2
,
⃗ 2 1.2 1. 2 1.2 −. t=0
n(
)-In(2)= -1.2t
+ ..=. 1.28 1 −. 1.82 −. 1 8 1.2 −. 1 1.2 1.2 1.2 −.−. + =. 00 −.
2 −. 821.−.2 8 1.2 −. . 1.2 1.82 8 ln 1.2 8 ln 1.2 1.2 0 (
0=c
t=0
Velocidad en t=1
0.26−.02 1.82 −. 1 4.→65 0.602̌ 4.65̌
2.81 Si
150, 300 , 0
¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y la aceleración del Punto P?
0.15 0. 0.23598 0 2 2 0 2 2 22 0. 02.15985 0.3 0.1732
1 0.3464 0.1154 0 0.4618 || 0.3 0.1732 || 0.3464 || 0 0.4618 || 0.4618
2.82 Un automóvil viaja a 100km/h sobre un camino recto con pendiente creciente cuyo perfil vertical se puede aproximar con la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal del automóvil es x=400m, ¿Cuál es su aceleración?
100/ℎ
=27.78 m/s
0. 0 003
2 2 12 12 12 127.278 400 √ 10.27.705376 27.01
∙[ 12 12−8] 142− 400 40.0003 100400(1 20.0003) 400 ∙27.73 4 00 0. 0 993/ 2∙2 20.00034000.099327.01 ∙ 20.0003 0.0238320.43772406 ⃗ 400 0.41389206 ̂ 0.0993 0.4138
MECANICA DE ORBITAS
2.86 En la fig. 2.86, sea L una línea del centro de la tierra a un punto fijo sobre el ecuador, y sea una línea de referencia de dirección fija. La figura muestra a la Tierra vista desde arriba del polo norte.
¿Es
positiva o negativa?
¿Cuál es la magnitud de Solución: A) B)
> 0
= 7.27x
en
10−
?
2
2.88 En la figura P2.88, el ángulo θ entre la barra y la línea horizontal es θ = + 4 (grados). Determine la velocidad y la aceleración angulares de la barra en t = 10 s.
2 3 ω 310 10 ω α 10 α θ=
+ 4
ω= ω=
- 4
=
- 4
Velocidad Angular = 260 m/s
α=
α = 6 – 4
Aceleración Angular = 6
– 4
= 56 m/
ω ∫ ω ∫ 30–6 ω 3ω ω′ω′′ ω ωω 535 3 ω 75rad/
2.89_ La aceleración angular de una línea L respecto a una línea de referencia es α = 30 - 6 rad/ . Cuando = 0, θ = 0 y ω = 0. ¿Cual es la velocidad máxima de L respecto a durante el intervalo de tiempo de = o a = 10 seg
α=
α
=
=
= 30
Derivamos
para encontrar nuestros puntos críticos
= 30 – 6 = – 6
Sustituimos = 5 en
para obtener nuestra velocidad máxima.
= 30 = 30
Vel. Máxima
0
con aceleración angular α = 6 2.90 Una turbina de gas empieza a girar en rad/ durante 3 s y luego desacelera con α = 3 rad/ hasta que se detiene.
a) ¿Qué velocidad angular máxima alcanza? •
•
•
•
•
•
•
•
•
α = 6 rad/ t = 0 – 3 s.
α=
α
∫ω ω3 ∫ 6 ωω ω ω ωω3027
ω =
=
=
=
-
= 27 - 0
=
=
rad/s = 0
ω 33 =
= 27
2.92 La aguja de un instrumento de medición está conectada a un resorte torsional
que la somete a una aceleración angular α = – 4 θ rad/
, donde θ es la posición
angular de la aguja en radianes respecto a una dirección de referencia. Si la aguja
se libera del reposo en θ = 1 rad, ¿Cuál es su velocidad angular en θ = 0?
•
•
ω ∫ ωωθ 1∫ 4θθ ω θ ω 1 ω ω √ω √ 4 .
=
.
=
=
.
=
= -4 θ = -2
Para
•
•
•
•
•
•
= -2
= -2
= (-2) (- ) = 4
ω
=
= 2 rad/s
Velocidad Angular
rad/ rad/
2.93 El ángulo θ e la fig. 2.93 mide la dirección del vector unitario е respecto al eje x. Si ω = dθ/d = 2 , determine el vector d е/d : a) Cuando θ = 0; b) cuando θ
= 90°; c) cuando θ = 180°. •
ω=
= 2
•
•
•
•
•
•
•
ê =
ň = ωň
a)
ê
= 0°
= 2 Ĵ
b)
ê
= 90°
= -2 ĭ
c)
ê
= 180°
= -2 Ĵ
30 6 . 0, 0 0.
∝
2.89 La aceleración angular de una respecto a una línea de referencia
línea es
Cuando y ¿Cuál es velocidad angular máxima de respecto
la a
durante el intervalo de tiempo de
∝ 30 6 30 6 3030 63 306 630 0 360 5 6 5 5 306535
m/s velocidad máxima
0 10? a
MOVIMIENTO RELATIVO
400 ⁄
2.105. La magnitud de la velocidad del avión mostrado es constante e igual a
5°/s.
. La razón de cambio del ángulo θ de su trayectoria es constante e igual a
a) ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del avión en términos de componentes normal y tangencial? b) ¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria del avión?
° ° ̂ ̂ ρ ρ
400 5°/ V=
⃗ ̂ ⃗ ̂ ̂ 400 ̂̂ ̂ 400 ̂ ̂ =v
n
S = ρθ
ρ
v= ρ w
t
= 400
t
ρ = 4583.662361
= 0 t + w v n =0 t+
n
= 0 t + 34.9 tn
2.106. En t =0, un automóvil parte del reposo en el punto A, se mueve hacia la derecha y la componente tangencial de su aceleración es at = 0.4 . ¿Cuál es
la magnitud de la aceleración del automóvil cuando llega al punto B?
at
0.2 ∫ ∫ 0.2 0.2 ∫ ∫ 50 03.2 3 . 200 25 4178.097245 ⃗ ̂ 0.4̂ 0.2̂ ⃗ ̂ . ̂ ⃗16.10619111 64.44247644 ̂ =0.4
V= 0.2
S = ρθ
SB =
278.53981=
SB =278.53981m = 0.2
t = 16.10619111s
t
t+
= 0.4t t +
|| 54.21
2.110 un proyectil horizontal.
S = ρθ
t
n
t + 53.83458617 n
tiene una velocidad inicial de 20 pies/s a 30°
sobre la
a) ¿Cuál es la velocidad y la aceleración del proyectil en términos de las componentes normal y tangencial cuando está en el punto más alto de su trayectoria?
b) ¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria del proyectil cuando este se encuentra en el punto más alto de su trayectoria? Operación:
==−. ∫ ∫ 9.81 9.81 = a) V= 20 ft/s
= = =. =
θ=30°
=
--------- 10-9.81t
a) V=20 cos30et= 17.32 et b) a=9.81 en
.. 30.7792 =
2.100. Se tiene el ángulo θ= 2 rad. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad y de la aceleración de P respecto a O en t= 1 s? b) ¿Qué distancia a lo largo de la trayectoria circular recorre P entre t=0 y t=1 s?
Solución:
θ 4 = / θ= 2
=4
S=r θ=4 θ=8
V=r w=4(4t)= 16 t
16 / =
a) v=16(1)et m/s= 16 et (m/s)
1
b) s=Rθ=8 =8( =8 m
4
a= eN a=(4)(4)et + (4)( )eN (m/ a=16 et + 64 eN (m/ )
)
2.118 Un auto viaja a 100 km/h cuesta arriba por un camino recto cuyo perfil vertical se puede aproximar con la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal del auto es x=400m. ¿Cuáles son las componentes de su aceleración?
2 1(2) 12 1 2 27.1 2 78/ 1 2027..000378 400 27.01 > Cuando x=400
20.000340027.01 6.4824 . > . − 12 12−. 8
12 4 / 1427.2001.0030.0003400 400/ 0.003678 0.00367827.01 0.09934/ 2 2 2 20.00034000.09934 0.4392 27.0120.00327.01 ⃗ 0.27.0993401 6.0.44824392// tan 0.27.482401 13. 4 9° ̂ cos ̂ coŝ 10.3.947249 1 3. 4 9 0. 2 332 ̂ coŝ13.302332 990 0.972413.49 90 Evaluando x=400
Cuando x=400
0.90.7242332 0.20332.9724 0.0.009659 0. 1 02421 2316 0. 4 2707 || 0.09659 0.102421 0.1407 || 0.023316 0.42707 0.4276
2.112 Las coordenadas cartesianas de un punto que se mueve en el plano
x-y son:
204, 10 ¿Cuál es el radio de la curvatura instantáneo de la trayectoria en t = 3s?
´ 38 3´ 8 || 8∗ 3 3∗3 ´´ 68 6´´ 8 tan−− 18cos 0.844153986 8sen0.844153986 5.98/ | | 218 =
= 36.12m/s
= -0.844153986
Para el radio de la curvatura se utiliza la siguiente formula:
20
2.119Un joven patina sobre la superficie de concreto de un cana l vacío descrito por la ecuación mostrada. El joven parte de y la magnitud de su
232.220 /
velocidad está dada por . ¿Cuáles son componentes normal y tangencial de su acelerac ión cuando llega al fondo?
20 20
8.025
=0.03 =
2
las
,
2 2
2 20
4 4 1 4 1 20 420 1
20 4 2 0 4 1 4 1 = √ 20 35.89 = 0 , = 0 22= 2= 77.28 tan− = 0 0 ̂ c os 90 si n 90 ̂ cos 90 sin 90 77.28 77.28cos90 77.28sin90 77.28
Al final del canal tenemos que
El ángulo con respecto al eje x
La componente de la aceleración tangencial, constante.
porque la velocidad es
