3048_GUIA5

©Grupo Editorial Norma S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822

Índice Presentación

2

Programación según DCN 2009

10

Evaluación inicial

19

Unidad 2:

Razones trigonométricas

Juego y recuerdo Tema 1: Ángulos trigonométricos Tema 2: Longitud de arco Tema 3: RT en el triángulo rectángulo Tema 4: RT de ángulos en posición normal Tema 5: Funciones trigonométricas Tema 6: Reducción al primer cuadrante De todo un pocotRelaciónalo con…tPruebas internacionales: Pisa, TimsstHistoria de la Matemática Autoevaluación - Evaluación Razonamiento Matemático

20 21 22 24 25 27 28 30 31 31

Teoría de conjuntos I Teoría de conjuntos II Numeración Cuatro operaciones Potenciación y radicación Fracciones Múltiplos y divisores Criterios de divisibilidad Números primos y compuestos MCD y MCM Razones, proporciones y promedio Magnitudes proporcionales Reparto proporcional Regla de tres simple Regla de tres compuesta Tanto por ciento Interés, descuento y mezcla Estadística Combinatoria y probabilidades Claves

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

Álgebra Valor absoluto Funciones I Funciones II Sucesiones Series Exponentes, radicales y ecuaciones exponenciales Logaritmos I Logaritmos II

2

52 53 54 55 56 57 58 59


Aritmética

Polinomios Productos notables Factorización Ecuaciones I Ecuaciones II Sistemas de ecuaciones Determinantes Matrices Desigualdades e inecuaciones Números complejos Programación lineal Claves

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

Geometría Segmentos Ángulos Triángulos Puntos notables Semejanza de triángulos Relaciones métricas en el triángulo rectángulo Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo Segmentos proporcionales Cuadriláteros Polígonos Circunferencia Relaciones métricas en la circunferencia Áreas de regiones poligonales Introducción a la geometría del espacio Poliedros regulares Prisma y pirámide Cilindro, cono y esfera Claves

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89


Trigonometría Ángulo trigonométrico Sistemas de medidas angulares Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Razones trigonométricas de ángulos en posición normal Circunferencia trigonométrica Reducción al primer cuadrante Funciones trigonométricas Identidades de ángulos simples Identidades de ángulos compuestos Identidades de ángulos múltiples Transformaciones trigonométricos Ecuaciones trigonométricas Ecuación de la recta Claves

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103

3

Presentación

El área Lógico-Matemática Sirvan estas líneas para introducir a los docentes de matemática en el uso del libro de texto como una herramienta de apoyo que el Grupo Editorial Norma ha diseñado. Actualmente, el saber matemático forma parte del quehacer diario, por ello es necesario desarrollar en los y las estudiantes no solo conocimientos sino también, habilidades matemáticas que sean herramientas para seguir aprendiendo y afrontar exitosamente diversas situaciones en la vida. Esto significa generar espacios de aprendizaje que estimulen el pensamiento lógico-matemático y promuevan la participación activa en la construcción del conocimiento matemático, tomando como base actividades prácticas que puedan ser desarrolladas en el aula y que adquieran significatividad para el estudiante. Se aprende matemática haciendo y creando matemática, es decir generando conocimiento, descubriendo, innovando y resolviendo creativamente situaciones problemáticas que permitan identificar, comprender, interpretar y representar el mundo con asombro y curiosidad, observando sistemáticamente, elaborando conjeturas, comunicando las intuiciones, buscando estrategias de solución individualmente y en equipo, ejecutando las mismas, verificando los resultados y regresando a la parte inicial del ciclo frente a una nueva situación, pero ahora a partir de lo ya aprendido. Así, comunicar, razonar, presentar objeciones y plantear un nuevo camino, serán procesos muy familiares que no tendrán que ser enseñados pues serán vividos y experimentados por los docentes y estudiantes que, en actuación constante, ejercitan sus habilidades y hacen suyo un conocimiento que ya existe, o presentan uno nuevo al mundo. Desde el tercer ciclo de educación primaria hasta la educación secundaria se busca la afirmación de las capacidades básicas y la formación de las estructuras de los conocimientos y conceptos fundamentales, que serán la base de los aprendizajes posteriores. De esta forma, desde los seis años, se permite a los y las estudiantes razonar y comunicarse matemáticamente, sentirse seguros de su capacidad para resolver problemas matemáticos, valorar la matemática (entender y apreciar el papel que cumple en los asuntos humanos) y desarrollar hábitos mentales matemáticos. La institución educativa puede atender estas necesidades promoviendo el desarrollo de competencias y capacidades matemáticas, a través de los conocimientos matemáticos distribuidos en tres componentes: Número, relaciones y funciones; Geometría y medición; y Estadística y probabilidad

Propuesta: Lógicamente Nuestra propuesta tiene como objetivo principal el desarrollo integral de los estudiantes. En este marco, el área específicamente busca la potenciación de las habilidades matemáticas con el fin de lograr que los y las estudiantes puedan que han logrado automatizar. Para ello se ha considerado lo siguiente: 1. Los temas transversales. Señalados en el Diseño Curricular Nacional 2009, constituyen una respuesta a los problemas actuales de trascendencia que afectan a la sociedad y que demandan a la Educación una atención prioritaria. Tienen como finalidad promover el análisis y reflexión de los problemas sociales, ecológicos o ambientales y de relación personal con la realidad local, regional, nacional y mundial, para que los estudiantes identifiquen las causas; así como los obstáculos que impiden la solución justa de estos problemas. Los temas transversales se plasman fundamentalmente en valores y actitudes. Mediante el desarrollo de valores y actitudes, se espera que los estudiantes reflexionen y elaboren sus propios juicios ante dichos problemas y sean capaces de adoptar frente a ellos, comportamientos basados en valores, racional y libremente asumidos. De esta manera, el trabajo con los temas transversales contribuirá a la formación de personas

4


razonar lógicamente, haciendo uso de herramientas matemáticas y estando concientes de los procesos que realizan o

autónomas, capaces de enjuiciar críticamente la realidad y participar en su mejoramiento y transformación. Los lineamientos asumidos en el desarrollo de estos son: t Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía. t Educación en y para los derechos humanos. t Educación en valores o formación ética. t Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental. t Educación para la equidad de género. A continuación presentamos los contenidos transversales trabajados en el texto de secundaria: Adolescencia y cambio generacional

Conciencia tributaria

Seguridad y participación ciudadana

Promoción humana y derechos humanos

Trabajo y producción

Ética y cultura de paz

Conciencia ambiental y calidad de vida


Tecnología y medios de comunicación

Identidad y equidad de género

2. Los valores. Pues hoy es un imperativo ético formar, desde el hogar y la institución educativa, ciudadanos, personas capaces de diferenciar lo justo de lo injusto, de ponerse en el lugar del otro para reconocer su dignidad como ser humano, y de elegir el mejor curso de acción a seguir en situaciones potenciales de conflicto. Por ello, el desarrollo moral de los estudiantes debe darse no solo en las aulas sino también fuera de ellas, lo que demanda referentes claros, una preparación específica en el tema y un compromiso de todos los actores e instituciones del país. Los valores cuyo desarrollo se promueve en la educación básica regular son:

5

t Justicia: Disposición de dar a cada quién lo que le corresponde. Implica los conceptos de igualdad y equidad (según corresponda, dar a todos por igual, dar más al que se lo merece o dar más al que necesita más).

t Libertad y autonomía: Capacidad que permite discernir, decidir y optar por algo sin presiones ni coacciones, para desarrollarse como ser humano en todo su potencial, sin afectar la propia dignidad ni la de los demás.

t Respeto y tolerancia: Reconocimiento de la dignidad de todo ser humano y de su derecho a ser diferente. Esto permite que la persona interactúe con los demás en un clima de equidad e inclusión, con interés por conocer al otro y lograr un enriquecimiento mutuo.

t Solidaridad: Decisión libre y responsable de dar de uno mismo a otras personas, para su bien, y sin esperar recompensa. Implica la noción de comunidad, y el saberse y sentirse miembro de ella.

3. La enseñanza para lograr el entendimiento: Esto quiere decir que, para cada desempeño del estudiante, el docente proporciona los medios necesarios para que el proceso de aprendizaje sea exitoso. Así, el docente, mediador del aprendizaje, considerando al texto como herramienta, diseña el encuentro educativo como el arquitecto planea el ambiente ideal para cada uno de los grupos con los que trabaja (pedagogía diferencial). En este planteamiento tenemos como fundamentos pedagógicos: la teoría del aprendizaje significativo de David Ausubel, el aprendizaje por descubrimiento de Bruner, la teoría sociocultural del aprendizaje de Vygotsky, el aprendizaje social de Rogers, la resolución de problemas, así como los aportes, de Van Hiele, Miguel De Guzmán, Schoenfeld y Freundenthal. La planificación del proceso de enseñanza - aprendizaje presentado en el libro de texto

comprende cinco aspec-

tos: a. Metas secuenciales para el desarrollo de las capacidades matemáticas. Estas comprenden el análisis detallado de las competencias a lograr y el establecimiento de la secuencia de capacidades y contenidos en cada grado y actividad dentro del grado, cubriendo lo sugerido por el diseño curricular nacional, a la vez que incorporando presentadas a nivel internacional. b. Metodología activa para lograr el entendimiento. Busca promover la participación de los estudiantes en las situaciones planteadas al inicio de cada sesión de forma que se estimule el diálogo, las propuestas creativas y diferentes, y la evolución y consenso de lo desarrollado en clase. Se destacan en la planificación los ciclos de inicio, proceso y cierre, en cada una de las etapas del proceso de enseñanza - aprendizaje: motivación, adquisición, transferencia y evaluación, en función a los procesos generales matemáticos. c. La selección de habilidades. Implica la planificación minuciosa de cada una de las actividades y su respectiva relación con las habilidades matemáticas cuyo ejercicio predomina en la resolución de la misma. d. La evaluación continua. Enfatizamos la posibilidad inmediata de retroalimentación, pues nuestras actividades están organizadas en función a las capacidades y hacen referencia a las habilidades que involucran, por lo tanto el docente puede evidenciar dónde se producen dificultades y esto facilita la interpretación de lo que ocurre con el

6


los temas que se solicitan en las instituciones de educación superior en Perú, además de algunas innovaciones

estudiante, así como la posible orientación que debe recibir. e. Las conexiones con otras áreas. Es decir el vínculo permanente con el entorno, así se aplica lo aprendido a otras áreas, pero también las otras áreas nos proveen de situaciones problemáticas en las que el conocimiento matemático puede ser desarrollado y aprendido.

4. Procesos transversales en el área de matemática (De la adaptación realizada por UMC, para EN 2004 y de los criterios de evaluación mostrados por el Ministerio de Educación en el año 2003). Razonamiento y demostración: Identificada con color verde en el libro Lógica.mente, se refiere a la capacidad de elaborar procesos lógicos justificados que se basan en el análisis. Su desarrollo nos sirve para formular e investigar conjeturas matemáticas, desarrollar y evaluar argumentos, comprobar demostraciones matemáticas y, elegir y utilizar varios tipos de razonamiento y métodos de demostración para que el estudiante pueda reconocer estos procesos como aspectos fundamentales de la matemática. En ella consideramos el desarrollo de las siguientes habilidades: 1. Definir: Consiste en establecer las características necesarias y suficientes de un objeto. 2. Demostrar: Abarca desde la justificación o fundamentación de un resultado, o proposición, utilizando argumentos lógicos o matemáticos hasta establecer una sucesión finita de pasos para fundamentar la veracidad de una proposición o su refutación (la demostración matemática es una cadena de justificaciones). 3. Argumentar o justificar: Aducir, alegar, dejar en claro un dato o hecho a partir de su deducción como consecuencia natural de otras. 4. Ejemplificar: Mostrar un caso particular a partir de un enunciado o mostrar un caso particular que contradice un enunciado (contraejemplo). 5. Analizar: Diferenciar y separar las partes de un todo, para conocer sus elementos, las formas de relacionarse, y reconocer las razones para realizar una acción. 6. Evaluar/Verificar: Comprobar la veracidad de algo. Comunicación matemática: Identificada en el texto con el color anaranjado, se refiere a la capacidad de expresar ideas matemáticas de forma oral, escrita o mediante dibujos. Implica también la comprensión de conceptos, situaciones, la lectura y el uso de terminología y notación matemática. La comunicación matemática permite organizar y ©Grupo Editorial Norma S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822

comunicar el pensamiento matemático con coherencia y claridad, para expresar ideas matemáticas con precisión, reconocer conexiones entre conceptos matemáticos y la realidad, y aplicarlos a situaciones problemáticas reales. En esta capacidad consideramos el desarrollo de las siguientes habilidades: 1. Interpretar: Es atribuir significado a las expresiones matemáticas, de modo que estas adquieran sentido en función al propio objeto matemático o en función al fenómeno o problemática real que se trate. Implica tanto el codificar como el decodificar una situación problemática. 2. Identificar: Es diferenciar los rasgos distintivos del objeto matemático en estudio. Determinar si un objeto pertenece a una clase que presenta ciertas características comunes (no necesariamente claramente definidas). 3. Recodificar: Es transferir la denominación de un mismo objeto, de un lenguaje matemático a otro. Expresar el mismo tipo de objeto de diferente forma, lo que implica la utilización de signos diferentes para un mismo modelo. 4. Representar: Es seleccionar, crear y utilizar símbolos, gráficos, diagramas, marcas, etc., para organizar, registrar y expre-

7

sar ideas matemáticas con claridad y precisión. Lo creado o utilizado en la comunicación puede ser convencional o arbitrario. Formulación y resolución de problemas: Identificada con color azul en el texto, hace referencia a la capacidad de generalizar estrategias y crear conocimientos a través de la elaboración de propuestas para solucionar una situación. De esta forma, su desarrollo sirve para construir nuevos conocimientos resolviendo problemas de contextos reales o matemáticos, en los que el estudiante tenga la oportunidad de aplicar y adaptar diversas estrategias en diferentes contextos, y para que, al controlar el proceso de resolución, reflexione sobre este y sus resultados. La capacidad para plantear y resolver problemas, dado el carácter integrador de este proceso, posibilita la interacción con las demás áreas curriculares, coadyuvando al desarrollo de otras capacidades; asimismo, posibilita la conexión de las ideas matemáticas con intereses y experiencias particulares del estudiante. En ella consideramos el desarrollo de las siguientes habilidades: 1. Modelar: Es asociar a un objeto no matemático un objeto matemático que representa determinados comportamientos, relaciones o características consideradas relevantes para la solución del problema. 2. Resolver: Es encontrar un método que conduzca a la solución de una situación problema (en matemática). 3. Optimizar: Es encontrar el objeto (valor numérico, función, conjunto, etc.) que maximiza o minimiza la clase de objetos a la que pertenece, o bien, el método óptimo de resolución de determinado problema, cuando existe más de una forma posible, y de acuerdo con los conocimientos disponibles. Manejo de algoritmos: Identificada con color rojo, hace referencia a la capacidad de recordar, seguir, mejorar y verificar procesos. Si bien ella puede ser incorporada dentro de los tres procesos previamente trabajados, nuestra propuesta opta por mostrarla de manera diferenciada, con el propósito de evidenciar la automatización de procesos y la aplicación rutinaria –indispensables en el área- de forma separada. Así, un docente puede notar que un estudiante aplica un proceso de forma memorística pero no razonada, estableciendo con claridad que hace falta trabajar sobre el significado de una determinada operación y las razones para efectuarlas de esa forma. En el manejo de algoritmos consideramos el desarrollo de las siguientes habilidades: 1. Calcular: Es aplicar un algoritmo, previamente establecido por consenso, de forma manual, mental, con tablas, calculadoras, etc. 2. Aplicar: Es emplear, administrar o poner en práctica un conocimiento, medida o principio, a fin de obtener un determinado efecto o rendimiento en algo.

4. Comparar: Es establecer una relación entre lo cuantitativo o lo cualitativo que hay entre dos entes matemáticos de un mismo conjunto o clase. 5. Aproximar: Es aplicar una serie de reglas con el fin de obtener un valor cercano al real para una determinada operación matemática. 6. Estimar: Es tanto, pronosticar el orden de magnitud de un valor o de un resultado numérico, como cuantificar, aproximadamente, alguna característica medible de un sujeto o suceso. En ella cumple un rol importante la intuición, pues se realiza esencialmente con nociones ya adquiridas. 7. Graficar: En este caso es un algoritmo que, si se sigue estrictamente, nos da la técnica necesaria para elaborar un gráfico determinado. En este caso se busca elaborar un gráfico o dibujo con precisión.

8


3. Algoritmizar: Es formular un algoritmo, es decir, una sucesión finita y estricta de operaciones matemáticas que describan un procedimiento conducente a la solución de un problema. Se incluye aquí la habilidad para modificar o abreviar pasos en un determinado algoritmo.

Estructura de la guía Lógica.mente secundaria Brinda información y actividades relacionadas con las páginas del texto. Tiene las siguientes secciones: 1. Presentación: Recoge el enfoque del área, los lineamientos considerados, la estructura, así como las recomendaciones para el uso de los mismos. 2. Programación anual: Según los contenidos de las unidades del texto y de acuerdo al DCN 2009. 3. Unidades: t Presentación de la unidad: Considera la motivación trabajada a partir de un texto que recrea la imagen mostrada en la presentación de la unidad. Por medio de un listado de comentarios o preguntas, observando la ilustración de la presentación, puede extender el proceso iniciado con el manejo del texto, así como propiciar apuntes sobre el tratamiento del tema transversal desarrollado en la unidad. t Juego y recuerdo: Presenta la finalidad didáctica de esta sección, además de las observaciones que le pueden ayudar para el desarrollo del tema. t Lo vimos antes: Presenta la intención pedagógica del mismo, destacando el punto de partida indispensable para el desarrollo de la unidad. t Sesiones por tema: Δ Inicio: Brinda sugerencias para el tratamiento inicial o la motivación del tema a trabajar, haciendo hincapié en los aspectos que debe resaltar. Δ Proceso: Destaca la información que se debe comunicar con precisión, o los acuerdos que son indispensables en el desarrollo de un tema; asimismo, brinda orientaciones sobre la secuencia en el tratamiento de los ejercicios planteados en el texto. Δ Salida: Presenta una o dos actividades para finalizar el desarrollo del tema. Δ Lo mínimo para empezar: Muestra un listado de conceptos y habilidades previas al desarrollo de un tema. Δ Dificultades o errores frecuentes y como superarlos: Presenta posibles dificultades que puedan tener los estudiantes, así como formas de interpretarlas y superarlas. Δ Curiosidades: Se encuentran en conexión con los temas trabajados. Δ Evaluación: Brinda pautas para la adecuada realización de los procesos de metacognición, heteroevaluación y coevaluación.


Δ Materiales de consulta: Brinda información sobre libros y páginas Web que permiten la ampliación de lo tratado. 4. Secciones de extensión al final de la unidad: Ofrece datos adicionales para relacionar lo trabajado con otras áreas, exámenes internacionales, historia de la matemática, una evaluación de toda la unidad y el solucionario de algunos ejercicios de la unidad. Además, cuenta con: t Fichas de trabajo: Su objetivo es reforzar los aprendizajes previos, los contenidos etapa por etapa, y brindar material de extensión (tipo examen de admisión). El soporte está en formato PDF. t Fichas de evaluación: Cuenta con pruebas por unidad.

9

10 Área: Matemática

Unidad 1: Lógica y funciones Valores: Tolerancia y respeto Competencias Números, relaciones y funciones Resuelve problemas de programación lineal y funciones; argumenta y comunica los procesos de solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

Capacidades

Conocimientos

Indicadores de logro por procesos

Razonamiento y demostración

Funciones


t *OUFSQSFUBMBSFMBDJØOFOUSFVOBGVODJØOZTVJOWFSTB

t 'VODJØOJOZFDUJWB TVCZFDUJWBZCJZFDUJWB

Comunicación matemática

t 'VODJØOJOWFSTB

t %FUFSNJOBFMWBMPSEFWFSEBEEFQSPQPTJDJPOFTZ fórmulas lógicas.

t (SBmDBGVODJPOFTFYQPOFODJBMFTZMPHBSÓUNJDBT

t 'VODJØOMPHBSÓUNJDB

t DPSSFTQPOEFODJB

t 3FQSFTFOUBMBGVODJØOJOWFSTBEFVOBGVODJØOBMHFCSBJDB elemental.

t 'VODJØOFYQPOFODJBM

Resolución de problemas

t .PEFMPTMPHBSÓUNJDPT

t &WBMÞBMBWFSBDJEBEEFEJWFSTBTGØSNVMBTMØHJDBT aplicando leyes lógicas.Caracteriza y relaciona algunas funciones como inversas a partir de su HSÈmDBZPSFHMBEF

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTEFDPOUFYUPSFBMZNBUFNÈUJDPRVF implican la organización de datos a partir de inferencias EFEVDUJWBTZPFMVTPEFDVBOUJmDBEPSFT

Relaciones lógicas y conjuntos


t 5BCMBTEFWFSEBEEFQSPQPTJDJPOFT compuestas.

t %FUFSNJOBMBTQSPQPTJDJPOFTTJNQMFTZDPNQVFTUBT QSFTFOUFTFOVOUFYUPBTÓDPNPMBTDMBTFTEF DVBOUJmDBEPSFTQPSTVTFYQSFTJPOFTVTVBMFT

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSBONPEFMPTFYQPOFODJBMFTZ MPHBSÓUNJDPT

t .PEFMPTFYQPOFODJBMFT

t $VBESPTZFTRVFNBTEFPSHBOJ[BDJØOEF relaciones lógicas.

t %FUFSNJOBFMEPNJOJPZFMSBOHPFOVOBGVODJØOEF variable real. t (SBmDBGVODJPOFTBQBSUJSEFMBUBCVMBDJØO Resolución de problemas t $POTUSVZFUBCMBTEFWFSEBEEFGØSNVMBTMØHJDBT t $BMDVMBSFTVMUBEPTNFEJBOUFBMHPSJUNPTVTBOEP funciones. t 3FTVFMWFTJUVBDJPOFTQMBOUFBEBTDPO proposiciones verdaderas o falsas.

Actitudes

t .PEFMBTJUVBDJPOFTVTBOEPQSPQPTJDJPOFTZ funciones.

t .VFTUSBTFHVSJEBEZQFSTFWFSBODJBBMSFTPMWFSQSPCMFNBTZDPNVOJDBSSFTVMUBEPTNBUFNÈUJDPT

%FTBSSPMMPEFDPOEVDUBTQPTJUJWBT

t .VFTUSBSJHVSPTJEBEQBSBSFQSFTFOUBSSFMBDJPOFT QMBOUFBSBSHVNFOUPTZDPNVOJDBSSFTVMUBEPT

t 1BSUJDJQBFOBDUJWJEBEFTRVFBZVEFOBFTUBCMFDFS SFMBDJPOFTJOUFSQFSTPOBMFTQPTJUJWBTFOMBTRVF se practica el dipalogo, la discrepancia y la FYQPTJDJØOEFBSHVNFOUPTQBSBGVOEBNFOUBSVOB postura.

t 7BMPSBBQSFOEJ[BKFTEFTBSSPMMBEPTFOFMÈSFBDPNPQBSUFEFTVQSPDFTPGPSNBUJWP


Programación

Grado: Quinto de secundaria



Área: Matemática

Unidad 2: Razones trigonométricas Valores: Justicia Competencias (FPNFUSÓBZNFEJDJØO 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFSFRVJFSFOEFSB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBT TVQFSmDJFTEFSFWPMVDJØOZFMFNFOUPTEF(FPNFUSÓB"OBMÓUJDBBSHVNFOUBZDPNVOJDBMPTQSPDFTPTEF solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

Capacidades

Conocimientos



5SJHPOPNFUSÓB


t "OBMJ[BGVODJPOFTUSJHPOPNÏUSJDBTVUJMJ[BOEPMBDJSDVOGFSFODJB

t 3B[POFTUSJHPOPNÏUSJDBTEFÈOHVMPT agudos, notables y complementarios.

t $BMDVMBMBT35EFVOÈOHVMPBHVEPFOVO triángulo rectángulo notable o en posición normal.

t 3B[POFTUSJHPOPNÏUSJDBTEFÈOHVMPTFO posición normal: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º.

t %FmOFGØSNVMBTEFDPOWFSTJØOEFVOTJTUFNB angular a otro a partir de la fórmula general.

t 3B[POFTUSJHPOPNÏUSJDBTEFÈOHVMPT negativos.


t 3FEVDDJØOEFÈOHVMPTBMQSJNFS cuadrante.

t (SBmDBFMÈOHVMPSFGFSFODJBMEFVOÈOHVMPFO posición normal y las funciones trigonométricas.

Comunicación matemática t (SBmDBGVODJPOFTUSJHPOPNÏUSJDBT Resolución de problemas t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSBOSB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBT de ángulos agudos, notables y complementarios. t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSBOSB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBT de ángulos en posición normal y ángulos negativos.

t $JSDVOGFSFODJBUSJHPOPNÏUSJDB

t $BSBDUFSJ[BÈOHVMPTUSJHPOPNÏUSJDPTZMPTHSBmDB

Resolución de problemas t $POWJFSUFNFEJEBTBOHVMBSFTFOFMNJTNPTJTUFNB y a otro sistema. t $BMDVMBMBNFEJEBEFVOÈOHVMPSFGFSFODJBMQBSB VOÈOHVMPFODVBMRVJFSDVBESBOUF t $BMDVMBFMÈSFBEFMTFDUPSZEFMUSBQFDJPDJSDVMBS t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSFOMBBQMJDBDJØO de la longitud de arco y las propiedades de los discos de engranaje. t 'PSNVMBZSFTVFMWFQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSFO SB[POFTZGVODJPOFTUSJHPOPNÏUSJDBTBTÓDPNP conversiones de medidas angulares.

Actitudes t .VFTUSBTFHVSJEBEZQFSTFWFSBODJBBMSFTPMWFSQSPCMFNBTZDPNVOJDBSSFTVMUBEPTNBUFNÈUJDPT t .VFTUSBSJHVSPTJEBEQBSBSFQSFTFOUBSSFMBDJPOFT QMBOUFBSBSHVNFOUPTZDPNVOJDBSSFTVMUBEPT t 5PNBMBJOJDJBUJWBQBSBGPSNVMBSQSFHVOUBT CVTDBSDPOKFUVSBTZQMBOUFBSQSPCMFNBT

%FTBSSPMMPEFDPOEVDUBTQPTJUJWBT t 1SPNVFWFDBNQB×BTRVFFWJUFOMBFWBTJØOEF impuestos detacando las obras de bien común.

11

12 Grado: Quinto de secundaria

Área: Matemática

Unidad 3: Igualdades trigonométricas Valores: Tolerancia y respeto Competencias (FPNFUSÓBZNFEJDJØO 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFSFRVJFSFOEFSB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBT TVQFSmDJFTEFSFWPMVDJØOZFMFNFOUPTEF(FPNFUSÓB"OBMÓUJDBBSHVNFOUBZDPNVOJDBMPTQSPDFTPTEF solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

Capacidades

Conocimientos



5SJHPOPNFUSÓB


t %FEVDFGØSNVMBTUSJHPOPNÏUSJDBT SB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBT de suma de ángulos, diferencia de ángulos, ángulo EPCMF ÈOHVMPNJUBEFUD QBSBUSBOTGPSNBSFYQSFTJPOFT trigonométricas.

t 3B[POFTUSJHPOPNÏUSJDBTEFMBTVNBZ diferencia de ángulos, ángulo doble, ángulo mitad, etc.

t %FNVFTUSBJEFOUJEBEFTBQMJDBOEPGØSNVMBT trigonométricas.

t %FNVFTUSBJEFOUJEBEFTUSJHPOPNÏUSJDBT

t *EFOUJEBEFTUSJHPOPNÏUSJDBT

t %FEVDDJØOEFGØSNVMBTUSJHPOPNÏUSJDBT

Comunicación matemática t 3FQSFTFOUBVOÈOHVMPBQBSUJSEFPUSPTDVZBJOGPSNBDJØO posee. Resolución de problemas

t %FNVFTUSBMBTGØSNVMBTEFMTFOP DPTFOPZ tangente de la suma o diferencia de dos ángulos, del ángulo doble, mitad o triple a partir de fórmulas antes estudiadas. t %FUFSNJOBJEFOUJEBEFTUSJHPOPNÏUSJDBT GVOEBNFOUBMFTZBVYJMJBSFT BTÓDPNPMBTSFGFSJEBT a los ángulos compuestos y múltiples.

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSBOSB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBT de ángulos agudos, notables y complementarios.


t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSBOSB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBT de ángulos en posición normal y ángulos negativos.


t 3FTVFMWFQSPCMFNBTBQMJDBOEPJEFOUJEBEFTUSJHPOPNÏUSJDBT

t &YQSFTBVOÈOHVMPEFEJWFSTBTGPSNBT

t $BMDVMBMBT35EFVOÈOHVMP FYQSFTÈOEPMPDPNP la suma,diferencia, el doble, mitad o triple de ángulos notables. t "QMJDBBMHPSJUNPTQBSBUSBOTGPSNBSPSFEVDJS FYQSFTJPOFTUSJHPOPNÏUSJDBTTJNQMFTFYQSFTBEBT en suma o diferencia a producto o viceversa. t %FUFSNJOBFMDPOKVOUPTPMVDJØOEFVOBFDVBDJØO trigonométrica.

Actitudes

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTBQMJDBOEPJEFOUJEBEFT trigonométricas y ecuaciones trigonométricas.



t .VFTUSBSJHVSPTJEBEQBSBSFQSFTFOUBSSFMBDJPOFT QMBOUFBSBSHVNFOUPTZDPNVOJDBSSFTVMUBEPT

t "DFQUBZSFTQFUBMBTPQJOJPOFTEFTVTDPNQB×FSPT y profesores.





Área: Matemática

Unidad 4: Resolución de triángulos 7BMPSFT-JCFSUBEZBVUPOPNÓB Competencias (FPNFUSÓBZNFEJDJØO 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFSFRVJFSFOEFSB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBT TVQFSmDJFTEFSFWPMVDJØOZFMFNFOUPTEF(FPNFUSÓB"OBMÓUJDBBSHVNFOUBZDPNVOJDBMPTQSPDFTPTEF solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

Capacidades

Conocimientos



5SJHPOPNFUSÓB


t %FNVFTUSBUFPSFNBTGVOEBNFOUBMFTFOUSJHPOPNFUSÓB

t %FNVFTUSBMBMFZEFTFOPTZDPTFOPT


t 5SJÈOHVMPTPCMJDVÈOHVMPTZMFZEFMPT senos, cosenos y tangentes.

t 3FQSFTFOUBEJWFSTBTTJUVBDJPOFT

t %FEVDDJØOEFGØSNVMBTUSJHPOPNÏUSJDBT

Resolución de problemas t 3FTVFMWFQSPCMFNBTEFUSJÈOHVMPTPCMJDVÈOHVMPTRVF involucran las leyes de senos, cosenos y tangentes.

t &KFNQMJmDBQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSFOMBMFZEF tangente. t +VTUJmDBTVSB[POBNJFOUPDPOMPTUFPSFNBT fundamentales en la resolución de triángulos oblicuángulos. Comunicación matemática t $BSBDUFSJ[BMPTDBTPTEFSFTPMVDJØOEFUSJÈOHVMPT rectángulos. t 3FQSFTFOUBHSÈmDBNFOUFTJUVBDJPOFTRVF involucren resolución de triángulos. t 3FQSFTFOUBÈOHVMPTEFFMFWBDJØOZEFQSFTJØO Resolución de problemas t "QMJDB35QBSBSFTPMWFSUSJÈOHVMPTSFDUÈOHVMPT t $BMDVMBMBNFEJEBEFMÈSFBEFVOBSFHJØO triangular. t "QMJDBUFPSFNBTQBSBSFTPMWFSUSJÈOHVMPT oblicuángulos. t 'PSNVMBZSFTVFMWFQSPCMFNBTEFDPOUFYUPSFBM aplicando los casos de resolución de triángulos rectángulos.

Actitudes

t .PEFMBZSFTVFMWFQSPCMFNBTEFMDPOUFYUPSFBM aplicando los teoremas fundamentales de resolución de triángulos oblicuángulos.




t 1SPQPOFVOBGPSNBEFDVJEBSFMNFEJPBNCJFOUFZ establece criterios para evaluarlo.

13


Área: Matemática

6OJEBE1SPHSBNBDJØOMJOFBM Valores: Solidaridad Competencias Números, relaciones y funciones Resuelve problemas de programación lineal y funciones; argumenta y comunica los procesos de solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

Capacidades

Conocimientos



Álgebra


t *OUFSQSFUBFMTJHOJmDBEPEFVOBEFTJHVBMEBE

t *OFDVBDJPOFTMJOFBMFTEFEPTJODØHOJUBT

t "OBMJ[BMBTDBSBDUFSÓTUJDBTEFVODPOKVOUPDPOWFYP

t &TUBCMFDFMBWBMJEF[PWFSBDJEBEEFBSHVNFOUPT

t *OUSPEVDDJØOBMBQSPHSBNBDJØOMJOFBM

t &YQMJDBFMTJHOJmDBEPEFVOBEFTJHVBMEBE



t 3FQSFTFOUBFMDPOKVOUPTPMVDJØOEFJOFDVBDJPOFTMJOFBMFT Resolución de problemas

t 3FDPEJmDBFYQSFTJPOFTEFMFOHVBKFTJNCØMJDPBM verbal y viceversa.

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTEFJOFDVBDJPOFTMJOFBMFTEFEPT JODØHOJUBTNFEJBOUFNÏUPEPTHSÈmDPT

t (SBmDBFM$4EFJOFDVBDJPOFTMJOFBMFTDPOVOBP dos incógnitas.

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTEFQSPHSBNBDJØOMJOFBMDPOEPT WBSJBCMFTNFEJBOUFNÏUPEPTHSÈmDPT

t $PMPSFBFMTFNJQMBOPJOGFSJPSZTVQFSJPS determinado por una recta y determina HSÈmDBNFOUFMBSFHJØOJOUFSTFDDJØOFOUSFMPT TFNJQMBOPTRVFSFQSFTFOUBOFM$4EFVOB inecuación.

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTEFDPOUFYUPSFBMZNBUFNÈUJDPRVF implican la organización de datos a partir de inferencias EFEVDUJWBTZPFMVTPEFDVBOUJmDBEPSFT

Resolución de problemas t 3FHJTUSBDPNPSFHJØOGBDUJCMFFMDPOKVOUPTPMVDJØO de un sistema de inecuaciones lineales. t "QMJDBBMHPSJUNPTQBSBEFUFSNJOBSFM$4EF un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita. t .PEFMBTJUVBDJPOFTSFBMFTNFEJBOUFTJTUFNBTEF inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Actitudes t .VFTUSBSJHVSPTJEBEQBSBSFQSFTFOUBSSFMBDJPOFT QMBOUFBSBSHVNFOUPTZDPNVOJDBSSFTVMUBEPT t 7BMPSBBQSFOEJ[BKFTEFTBSSPMMBEPTFOFMÈSFBDPNPQBSUFEFTVQSPDFTPGPSNBUJWP

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTEFPQUJNJ[BDJØO NÈYJNPTP NÓOJNPT %FTBSSPMMPEFDPOEVDUBTQPTJUJWBT t 3FDPOPDFEJTUJOUBTGPSNBTEFUSBCBKPZMBT reconoce como valiosas para la sociedad. t 4FDPONVFWFBOUFTJUVBDJPOFTEFEFTFNQMFP MBTBOBMJ[BZCPTRVFKBQPTJCMFTBMUFSOBUJWBTEF solución.




Área: Matemática

Unidad 6: Análisis combinatorio Valores: Justicia Competencias &TUBEÓTUJDBZQSPCBCJMJEBE 3FTVFMWFQSPCMFNBTEFUSBEVDDJØOTJNQMFZDPNQMFKBRVFSFRVJFSFOFMDÈMDVMPEFQSPCBCJMJEBEDPOEJDJPOBMZSFDVSTJWJEBEBSHVNFOUBZDPNVOJDBMPTQSPDFTPTEF solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

Capacidades

Conocimientos



Combinatoria


t "OBMJ[BVOBTJUVBDJØOEFDPOUFPZMBEFTDSJCFBQBSUJSEF factoriales o números combinatorios.

t 1SJODJQJPBEJUJWPZQSJODJQJPNVMUJQMJDBUJWP para la realización de conteos.

t &WBMÞBTJUVBDJPOFTEFDPOUFYUPSFBMZBSHVNFOUBTJ se trata de una permutación o combinación.


t $PNCJOBUPSJBFMFNFOUBMQFSNVUBDJPOFT variaciones y combinaciones. t $PNQPTJDJØOEFQSJODJQJPTEFDPOUFP

t %FUFSNJOBFMWBMPSEFWFSEBEEFQSPQPTJDJPOFT referidas a números combinatorios o desarrollo de binomios.

t 1FSNVUBDJPOFTDPOSFQFUJDJØO


t $BSBDUFSJ[BTJUVBDJPOFTDPNPQFSNVUBDJPOFTP combinaciones. Resolución de problemas t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSBOQFSNVUBDJPOFT variaciones y combinaciones.

t 3FQSFTFOUBPSEFOBDJPOFTBQBSUJSEFTJUVBDJPOFT haciendo uso de diagrama del árbol.

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSBOMBDPNQPTJDJØOEF principios de conteo.

t $BSBDUFSJ[BMPTGBDUPSJBMFT MPTOÞNFSPT combinatorios y el Binomio de Newton. Resolución de problemas t "QMJDBMBTQSPQJFEBEFTEFMPTGBDUPSJBMFT MPT números combinatorios y el Binomio de Newton. t $BMDVMBFMOÞNFSPEFBSSFHMPTBQMJDBOEPMPT principios del conteo. t 4JNQMJmDBFYQSFTJPOFTBQMJDBOEPGBDUPSJBMFT t $BMDVMBFMOÞNFSPEFQFSNVUBDJPOFTZEF combinaciones. t 1MBOUFBZSFTVFMWFTJUVBDJPOFTEFMDPOUFYUPSFBM aplicando análisis combinatorio. %FTBSSPMMPEFDPOEVDUBTQPTJUJWBT

Actitudes t .VFTUSBSJHVSPTJEBEQBSBSFQSFTFOUBSSFMBDJPOFT QMBOUFBSBSHVNFOUPTZDPNVOJDBSSFTVMUBEPT t 5PNBMBJOJDJBUJWBQBSBGPSNVMBSQSFHVOUBT CVTDBSDPOKFUVSBTZQMBOUFBSQSPCMFNBT t 7BMPSBBQSFOEJ[BKFTEFTBSSPMMBEPTFOFMÈSFBDPNPQBSUFEFTVQSPDFTPGPSNBUJWP

t 1SPNVFWFZEFTBSSPMMBBDUJWJEBEFTRVFQFSNJUBO minimizar las diferencias entre las relaciones interpersonales, las cuales contribuyan a una convivencia armoniosa.

15


Área: Matemática

6OJEBE&TUBEÓTUJDBZQSPCBCJMJEBE Valores: Justicia Competencias &TUBEÓTUJDBZQSPCBCJMJEBE 3FTVFMWFQSPCMFNBTEFUSBEVDDJØOTJNQMFZDPNQMFKBRVFSFRVJFSFOFMDÈMDVMPEFQSPCBCJMJEBEDPOEJDJPOBMZSFDVSTJWJEBEBSHVNFOUBZDPNVOJDBMPTQSPDFTPTEF solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

Capacidades

Conocimientos



&TUBEÓTUJDB


t "OBMJ[BMBTEJTUSJCVDJPOFTZMBTDBSBDUFSJ[B

t /ÞNFSPTÓOEJDFTTJNQMFZDPNQVFTUP

t "QMJDBQSPQJFEBEFTEFMBQJSÈNJEFZQSJTNB

t *EFOUJmDBMBTOPDJPOFTCÈTJDBTEFQSPCBCJMJEBE

t &SSPSNVFTUSBM


t .VFTUSB6TPEFGØSNVMBTZUBCMBTQBSBTV determinación.

t &WBMÞBMBWBMJEF[EFVOFOVODJBEPQPSNFEJPEF conceptos de punto, recta y plano.

t 'PSNVMBFKFNQMPTEFFYQFSJNFOUPTEFQSPCBCJMJEBE condicional.

t &ODVFTUBT


Azar

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSBOFMDÈMDVMPEFMB probabilidad condicional.

t &TQFSBO[BNBUFNÈUJDB t 1SPCBCJMJEBEDPOEJDJPOBM Combinatoria

Comunicación matemática t %FTDSJCFQPTJDJPOFTSFMBUJWBTFOUSFSFDUBTZQMBOPT FOFMFTQBDJPBTÓDPNP MBTDMBTFTZQSPQJFEBEFT de poliedros. t $MBTJmDBEFMPTQSJTNBTZEFMBTQJSÈNJEFT t 3FQSFTFOUBHSÈmDBNFOUFTØMJEPTEFSFWPMVDJØO

t &DVBDJPOFTEFSFDVSTJWJEBEDPNQMFKB


t %JGFSFODJBTmOJUBT

t "QMJDBFMUFPSFNBEF&VMFSZEFUFSNJOBBMHVOPEF los elementos de un poliedro. t $BMDVMBÈSFBTZWPMÞNFOFTEFQPMJFESPTZTØMJEPT de revolución. t 3FTVFMWFQSPCMFNBTQPSNFEJPEFDPODFQUPTZ propiedades de los poliedros y sólidos. %FTBSSPMMPEFDPOEVDUBTQPTJUJWBT t 1BSUJDJQBBDUJWBNFOUFFOMPTHSVQPTEFUSBCBKP con responsabilidad y respeto hacia los demás.

Actitudes t .VFTUSBTFHVSJEBEZQFSTFWFSBODJBBMSFTPMWFSQSPCMFNBTZDPNVOJDBSSFTVMUBEPTNBUFNÈUJDPT t 3FQSFTFOUBSFMBDJPOFT QMBOUFBBSHVNFOUPTZDPNVOJDBSFTVMUBEPTSJHVSPTBNFOUF t 7BMPSBBQSFOEJ[BKFTEFTBSSPMMBEPTFOFMÈSFBDPNPQBSUFEFTVQSPDFTPGPSNBUJWP




Área: Matemática

6OJEBE(FPNFUSÓBEFMFTQBDJP Valores: Solidaridad Competencias (FPNFUSÓBZNFEJDJØO 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFSFRVJFSFOEFSB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBT TVQFSmDJFTEFSFWPMVDJØOZFMFNFOUPTEF(FPNFUSÓB"OBMÓUJDBBSHVNFOUBZDPNVOJDBMPTQSPDFTPTEF solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

Capacidades

Conocimientos



(FPNFUSÓBEFMFTQBDJP


t %FEVDFPKVTUJmDBGØSNVMBTQBSBFMDÈMDVMPEFÈSFBTZ volúmenes.

t 3FDUBT QMBOPTZTØMJEPTHFPNÏUSJDPTFOFM espacio.


t «SFBMBUFSBMZUPUBM WPMVNFOEFVODPOP de revolución

t %FUFSNJOBFMNÈYJNPOÞNFSPEFQMBOPTRVF pueden determinar cierto número de puntos y /o rectas en el espacio.

t (SBmDBSFDUBT QMBOPTZTØMJEPTHFPNÏUSJDPTFOFMFTQBDJP Resolución de problemas t 3FTVFMWFQSPCMFNBTHFPNÏUSJDPTRVFJOWPMVDSBOSFDUBTZ planos en el espacio.

t «SFBMBUFSBMZUPUBM WPMVNFOEFVOUSPODP de cono.

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJOWPMVDSBOFMDÈMDVMPEFWPMÞNFOFTZ áreas de un cono de revolución y de un tronco de cono.

t %FEVDFMBTGØSNVMBTEFMQSJTNBZQJSÈNJEF Comunicación matemática t /PNCSBQMBOPTZSFDUBT TVTQPTJDJPOFTSFMBUJWBT en el espacio, ángulos diedro y triedro. t /PNCSBMPTFMFNFOUPTEFMQSJTNB QJSÈNJEFZ TØMJEPTEFSFWPMVDJØOBTÓDPNPMBTmHVSBTQMBOBT RVFHFOFSBOTØMJEPTEFSFWPMVDJØO Resolución de problemas t $BMDVMBMBMPOHJUVEEFTFHNFOUPTFOFMQMBOP usando del teorema de las tres perpendiculares. t $BMDVMBFMOÞNFSPEFDBSBT BSJTUBTZWÏSUJDFTEF un poliedro formado por un determinado número EFmHVSBTQMBOBT t $BMDVMBFMÈSFBZWPMVNFOEFQPMJFESPTZTØMJEPT geométricos. t 1MBOUFBZSFTVFMWFQSPCMFNBTBQMJDBOEPMBT propiedades de poliedros y sólidos de revolución. %FTBSSPMMPEFDPOEVDUBTQPTJUJWBT

Actitudes t .VFTUSBTFHVSJEBEZQFSTFWFSBODJBBMSFTPMWFSQSPCMFNBTZDPNVOJDBSSFTVMUBEPTNBUFNÈUJDPT t 7BMPSBBQSFOEJ[BKFTEFTBSSPMMBEPTFOFMÈSFBDPNPQBSUFEFTVQSPDFTPGPSNBUJWP

t 1SPNVFWFZQBSUJDJQBFODBNQB×BTEFBZVEB TPDJBMRVFGBWPSF[DBOB[POBTOFDFTJUBEBT

17


Área: Matemática

6OJEBE(FPNFUSÓBBOBMÓUJDB 7BMPSFT-JCFSUBEZBVUPOPNÓB Competencias (FPNFUSÓBZNFEJDJØO 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFSFRVJFSFOEFSB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBT TVQFSmDJFTEFSFWPMVDJØOZFMFNFOUPTEF(FPNFUSÓB"OBMÓUJDBBSHVNFOUBZDPNVOJDBMPTQSPDFTPTEF solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

Capacidades

Conocimientos



(FPNFUSÓB"OBMÓUJDB


t &YQMJDBMBFDVBDJØOEFVOMVHBSHFPNÏUSJDP

t &DVBDJØOEFMBDJSDVOGFSFODJB%FEVDDJØO


t 3FDUBUBOHFOUFBVOBDJSDVOGFSFODJB

t &YQMJDBFMTJHOJmDBEPEFMBFDVBDJØOEFVOBSFDUB circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.

t (SBmDBSFDUBT QMBOPTZTØMJEPTHFPNÏUSJDPTFOFMFTQBDJP

t 1PTJDJPOFTSFMBUJWBTEFEPTDJSDVOGFSFODJBT no concéntricas.

Resolución de problemas t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJNQMJDBOMBFDVBDJØOEFMB circunferencia.

t &DVBDJØOEFMBQBSÈCPMB%FEVDDJØO t &DVBDJØOEFMBFMJQTF%FEVDDJØO

t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJNQMJDBOMBSFDUBUBOHFOUFBMB circunferencia. t 3FTVFMWFQSPCMFNBTEFQPTJDJPOFTSFMBUJWBTEFEPT circunferencias no concéntricas. t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJNQMJDBOMBFDVBDJØOEFMBFMJQTF t 3FTVFMWFQSPCMFNBTRVFJNQMJDBOMBFDVBDJØOEFMB parábola.

Comunicación matemática t *OUFSQSFUBFMTJHOJmDBEPEFDBEBVOPEF los elementos de la ecuación de una recta, circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. t $PNVOJDBTJSFQSFTFOUBDJPOFTBMHFCSBJDBT corresponden a rectas, circunferencias, parábolas, elipses o hipérbolas. t (SBmDBSFDUBT DJSDVOGFSFODJBT QBSÈCPMBT FMJQTFTF hipérbolas, a partir de su ecuación. Resolución de problemas t $BMDVMBMBEJTUBODJBFOUSFEPTQVOUPT t "QMJDBBMHPSJUNPTQBSBEFUFSNJOBSMBT coordenadas de un punto y los diversos elementos de un lugar geométrico. t "QMJDBBMHPSJUNPTQBSBEFUFSNJOBSMBFDVBDJØO de rectas, circunferencias, parábolas, elipse e hipérbolas.

Actitudes

t 'PSNVMBZSFTVFMWFQSPCMFNBTEFDPOUFYUPSFBM IBDJFOEPVTPEFMBTOPDJPOFTEFHFPNFUSÓB BOBMÓUJDB %FTBSSPMMPEFDPOEVDUBTQPTJUJWBT

t .VFTUSBTFHVSJEBEZQFSTFWFSBODJBBMSFTPMWFSQSPCMFNBTZDPNVOJDBSSFTVMUBEPTNBUFNÈUJDPT t .VFTUSBSJHVSPTJEBEQBSBSFQSFTFOUBSSFMBDJPOFT QMBOUFBSBSHVNFOUPTZDPNVOJDBSSFTVMUBEPT


t &MJHFZQSPNVFWFFMVTPBEFDVBEPEFMPTNFEJPT tecnológico los cuales favorecen al desarrollo del conocimiento.

Sugerencias metodológicas y fichas

19

Unidad

2

Razones trigonométricas Juego y recuerdo

Finalidad didáctica del juego Familiarizar al estudiante con el uso de las razones trigonométricas de ángulos en posición normal.

Al momento de jugar, observe… Cómo los jugadores eligen los números que deben ser colocados en el esquema con círculos. Para ello solicite a los estudiantes que apliquen una secuencia de pasos para llegar a la solución: Que determinen los valores de las 9 razones trigonométricas propuestas, utilizando la tabla trigonométrica o la calculadora científica.

Solicite a los estudiantes que observen las imágenes de la apertura e identifiquen los tipos de construcciones y la presencia de la trigonometría en ellas.

Que coloquen los valores en los vértices del triángulo, considerando que la suma de los valores en cada lado es igual a 2. Por ejemplo: Si se coloca tg 50°…

Comente a los estudiantes que en la construcción de edificios para vivienda y puentes de servicio público, los ingenieros realizan cálculos trigonométricos para hacer mediciones. Propicie un conversatorio acerca de la aplicación de la trigonometría en la construcción. Aproveche el coloquio para comentar sobre los deberes y derechos de los contribuyentes de una sociedad. Pregunte: “¿Todos tenemos el deber de contribuir? ¿Todos debemos contribuir en la misma proporción? ¿Por qué?”. Afiance el valor del Respeto y la Responsabilidad. Comente que las personas debemos ser responsables al momento de tributar, ya que ello permite que la sociedad conquiste su bienestar a través de obras, como por ejemplo los nuevos edificios de instituciones y viviendas. En este momento es conveniente que lea con los estudiantes el texto proporcionado en el círculo. Resalte las expresiones “pago de impuestos” y “construcción de obras públicas”. Pida a los estudiantes que opinen respecto a ambas expresiones y que planteen alternativas para lograr el deber de pagar los impuestos y el derecho a contar con obras públicas nuevas. Escriba en la pizarra: “Todo pago de impuesto que realice el contribuyente es en beneficio de la sociedad”. Seguidamente pregunte: “¿Será solo la sociedad quien se beneficia con los impuestos que recauda el estado?”. Enfatice las expresiones del círculo “conocimientos más amplios que la geometría” y “la trigonometría provee mayores recursos”. Propicie una lluvia de ideas respecto a estas expresiones. Remarque que la trigonometría puede llegar a beneficiar a la sociedad.

no se podría colocar tg 62º36', porque tg 50° + tg 62°36´ = 1,91 + 1,88 = 3,79 > 2. Una vez colocado los valores en los vértices, considerando la indicación de que la suma debe dar exactamente 2, que realicen otras aproximaciones. Que al sumar deben respetar la ley de signos de la adición y los signos de las razones trigonométricas dadas. Que realicen cálculos mentales para probar posibles valores.

Lo vimos antes La intención pedagógica es que los estudiantes… 1. Identifiquen y relacionen ángulos en distintos sistemas de medida angular. 2. Calculen las razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo notable. 3. Analicen la pertenencia a un determinado cuadrante de un ángulo en posición normal. 4. Resuelvan una situación problemática a partir de la información de las RT de ángulos agudos.

20


Apertura

Tema 1 Ángulos trigonométricos Sesión

X Lo mínimo para empezar t «OHVMP FT MB BCFSUVSB FOUSF EPT MÓOFBT EF DVBMRVJFS UJQP que concurren en un punto común llamado vértice.

Inicio Indique a los estudiantes que observen la imagen de la situación y pregunte si saben qué puede medir un teodolito. Mencione que, por ejemplo, puede medir las dimensiones de un terreno. Pegue en la pizarra un dibujo de tres edificios de diferentes tamaños y remarque un punto fijo en la horizontal (nivel de referencia) y una línea desde dicho punto a la parte más alta de cada edificio. Pregunte: “¿El ángulo generado depende de la altura del edificio?”. Solicite que estimen las posibles medidas de los ángulos que corresponderían a cada edificio. Indique a los estudiantes que realicen dibujos de diferentes tamaños de edificios. Trabaje con el transportador para determinar la medida de cada ángulo y señale que dichos ángulos son llamados trigonométricos. Proceso Formalice la noción de ángulo trigonométrico. Remarque los sentidos y sus respectivos signos y resuelva el ejemplo 1. Pida a los estudiantes que lean el cuadro de la clasificación de los ángulos trigonométricos. Luego indique que confeccionen un esquema con las características de dichos ángulos. Resalte que los ángulos cuadrantales como los referenciales, necesariamente deben encontrarse en posición normal. Afiance lo aprendido, desarrollando el ejemplo 2 y los ejercicios 2 y 4 de la Práctica Nivel 1. Explique cómo calcular la medida del ángulo referencial. Proporcione ejemplos a ser desarrollados por los estudiantes. Cite el Importante del margen de la página 66 para informar sobre los ángulos mayores de una vuelta.

t 4FOUJEPEFSPUBDJØO Sentido horario

11

12


Presente los diferentes sistemas de medida angular. Deduzca la fórmula de conversión de medidas angulares de un sistema a otro. Proponga diversos ejercicios de conversión para afianzar el aprendizaje. Previamente, desarrolle los ejemplos 4; 5 y 6. Indique que desarrollen los ejercicios 7 y 8 de la Práctica Nivel 1. Invite a los estudiantes a que salgan a la pizarra a realizar los procesos necesarios y los expliquen al pleno de la clase. Salida Forme equipos de trabajo para que resuelvan los ejercicios propuestos en la Práctica Nivel 2.

11

1

10

2

9

7

6

1 2

9

4

8

12

10 3

3 4

8

5

7

5

6

Algunas dificultades y/o errores frecuentes y cómo superarlos Una de las dificultades de los estudiantes está al momento de realizar conversiones de un sistema sexagesimal o centesimal a grados, minutos y segundos o viceversa. Por ejemplo: Convertir 64, 41° a grados, minutos y segundos. Convertir 64°24´36´´ a grados. Una forma de superar esta dificultad es teniendo bien definidas las equivalencias de cada sistema. Para el primer caso, pida que apliquen una regla de tres simple o que, directamente, multipliquen (por 60´ ó 100m). 64,41° = 64° + 0,41°

Indique que realicen los ejercicios 1; 3; 5 y 6 de la Práctica Nivel 1 a manera individual y que comparen sus respuestas en parejas a modo de coevaluación.

Sentido antihorario

1° ----- 60´ 0,41°---- x

¼

×=

0,41º × 60' 1º

= 24,6'

Para el segundo caso, pida que apliquen una regla de tres o que, directamente, dividan (por 60´ o 100m). 64°24´36´´

1° ------ 60´ x ------- 24´

¼

×=

24' × 1º 60'

= 24,6'

) Curiosidades Paralaje trigonométrica Es el ángulo bajo el cual se ve el radio de la órbita de la Tierra desde una estrella a una distancia normalizada de una unidad astronómica. Se expresa en segundos de arco. La distancia a la estrella es el inverso de la paralaje trigonométrica expresada en pársec; es decir que cuando se dice que la paralaje de Antares es de 0"019, esta se encuentra a 52,632 pársec ó 171,66 años luz de distancia.

21

Tema 2 Metacognición

Sesión

Se pueden plantear diversas preguntas como:

Inicio

t {&ORVÏTFEJGFSFODJBVOÈOHVMPUSJHPOPNÏUSJDPEF un ángulo geométrico? t {2VÏDBSBDUFSÓTUJDBTEFCFQSFTFOUBSVOÈOHVMPUSJgonométrico para ser considerado un ángulo en posición normal? t 6O ÈOHVMP DVBMRVJFSB {DVÈOUPT ÈOHVMPT DPUFSNJnales puede tener? Se puede proponer un organizador visual incompleto para que el estudiante observe sus logros: «OHVMP trigonométrico

tiene

t (SBEPTTFYBHFTJNBMFT t (SBEPTDFOUFTJNBMFT t

puede ser

Coterminal

En posición normal

Heteroevaluación y/o coevaluación Puede evaluar el aprendizaje del estudiante sobre la base del siguiente listado de actividades: NO

Reconoce y ubica los diferentes ángulos en su cuadrante correctamente. Determina adecuadamente los signos. Reconoce y aplica las propiedades y equivalencias de cada sistema. Utiliza adecuadamente la relación entre sistemas para las conversiones. Plantea diferentes estrategias para la solución de problemas.

5 Material de consulta Bibliografía t "VSFMJP #BMEPS Geometría plana y del espacio con una introducción a la trigonometría..ÏYJDP%' &EJUPSJBM$VMUVSBM Páginas Web t IUUQXXXWJUVUPSDPNBMUSJHPU@FIUNM t IUUQVTVBSJPTMZDPTFTDBMDVMPJEIUN

Solicite a los estudiantes que dibujen en un papelote un círculo grande, lo dividan por sectores que representen algunas características del aula (por ejemplo, el número mujeres, de mujeres con anteojos, etc.) y se pegue en la pizarra. Resalte en cada sector la medida del ángulo que forma y la medida del radio. Explique que teniendo el valor del ángulo y del radio se puede calcular la longitud del arco de cada sector.

Afiance la noción de longitud de arco a partir del ejemplo 1. Solicite que lean la información del recuadro y anote la simbología respectiva del radio, del ángulo central y de la longitud del arco. Explique la forma de calcular el número de vueltas que realiza una rueda según la teoría presentada en el texto. Afiance lo anterior resolviendo el ejemplo 2.

Referencial

SÍ

Indique a los estudiantes que observen la imagen de la situación y que a partir de ella mencionen los otros sectores formados por diferentes colores en el CD y comparen si son más grandes o más pequeños que el sector azul.

Proceso

se mide en

Signo

22

Longitud de arco

iiiiiiiiiiiiiiiiiii

Desarrolle el ejemplo 3 para explicar la relación que se da entre el número de dientes de dos ruedas engranadas y sus velocidades angulares correspondientes. Consolide lo estudiado hasta el momento, resolviendo los ejercicios 1; 2; 3 y 6 de la Práctica Nivel 1. Escriba las fórmulas del área de un sector circular con su respectivo gráfico y analice con los estudiantes formas de obtener una fórmula a partir de las otras. Resuelva con los estudiantes los ejercicios del ejemplo 4 para afianzar la aplicación de las fórmulas anteriores. Indique a los estudiantes que resuelvan el ejercicio 4 de la Práctica Nivel 1 en parejas, para luego comparar respuestas entre los miembros de las mismas y con otras parejas. Analice y desarrolle con los estudiantes los ejercicios del ejemplo 5 para afianzar la noción de un trapecio circular y aplicar la fórmula respectiva según los datos de cada situación problemática. Indique a los estudiantes que resuelvan las actividades 5 y 7 de la Práctica Nivel 1 de manera individual y que comparen sus respuestas en parejas a modo de coevaluación. Salida Forme grupos de trabajo para que resuelvan los ejercicios propuestos en la Práctica Nivel 2.


E v al u a c i ó n

X Lo mínimo para empezar

E v a lua ción

t -BDJSDVOGFSFODJBFTFMDPOKVOUPEFQVOUPTDVZBEJTUBODJB a otro punto llamado centro es siempre la misma.

Metacognición

t &MDÓSDVMPFTMBQBSUFEFMQMBOPMJNJUBEBQPSVOBDJSDVOGFrencia.

iiiiiiiiiiiiiiiiiii

Se pueden plantear diversas preguntas como: t {&TDJFSUPRVFFMOÞNFSPEFWVFMUBTEFVOBSVFEB circular es mayor si el radio es menor y viceversa? t 4JUJFOFTEPTSVFEBTEFEJGFSFOUFUBNB×P {DVÈMEF ellas da más vueltas?

Circunferencia

Círculo

t -PTTJTUFNBTEFNFEJEBTBOHVMBSFTTFSFMBDJPOBOFOUSFTÓ S 180º

=

C 200g

=

R

t {&TDJFSUPRVFBNBZPSOÞNFSPEFEJFOUFT MBWFMPDJdad angular de una rueda es mayor? t {$VÈMFT TPO MBT FTUSBUFHJBT QBSB DBMDVMBS FM ÈSFB del sector circular?

/ t {2VÏEJGFSFODJBTFODVFOUSBTFOUSFFMTFDUPSDJSDVMBS y el trapecio circular?

Algunas dificultades y/o errores frecuentes y cómo superarlos Una de las dificultades que se observa en los estudiantes es plantear un problema de área del sector circular o del trapecio circular. Una forma de superar esta dificultad es trabajando con material concreto. Solicite a los estudiantes que elaboren en cartulinas de colores, figuras de diferentes sectores circulares (un par con el mismo ángulo). Luego deben tomar las dimensiones de los radios y del ángulo respectivo y anotarlas en cada figura. Seguidamente, que calculen el área de cada sector circular elaborado y que anoten los resultados. Finalmente, que tomen dos sectores circulares de igual ángulo pero de diferente tamaño y los sobrepongan para calcular el área del trapecio circular que se forma. Pida que trabajen de la misma forma con todas las demás figuras.

t ¿Qué dificultades encontraste en el tema? t ¿Qué aprendiste en este tema?

Heteroevaluación y/o coevaluación Puede evaluar el aprendizaje del estudiante sobre la base del siguiente listado de actividades: SÍ

NO

Aplica correctamente la formula de longitud de arco. Determina el número de vueltas de cualquier cuerpo circular sin dificultad. Plantea diferentes estrategias para encontrar respuestas. Discute, cuestiona y elabora conjeturas respecto a una situación. Integra los contenidos con otras áreas. Investiga o pregunta acerca de sus dudas sobre el tema tratado.


) Curiosidades Erastótenes de Cirene (siglo III a. de J.C.) calculó por primera vez el radio de la Tierra. Él dijo: “Si se toman dos puntos, A y S, sobre un mismo meridiano, y se mide el ángulo A y la distancia L medida sobre el arco AS del meridiano que pasa por los dos puntos, con una regla de tres se calculará el radio de la Tierra”. Eligió, como punto S, una ciudad del sur de Egipto, Siena, y el punto A era Alejandría. Utilizando probablemente el tiempo de viaje de una caravana, determinó que la distancia entre Alejandría y Siena era de 926 km. Por tanto, el radio de la Tierra debía ser bastante aproximado a los 6 378 km, como han confirmado las mediciones más modernas.

5 Material de consulta Bibliografía t +VBO (P×J (BMBS[B Trigonometría NB &E -JNB &EJUPSJBM *OHFOJFSÓB Páginas Web t IUUQIVJUPUPVEFBFEVDP4JTUFNBT%JTDSFUPTDPOUFOJEP DBMDVMP@QSPQPTJDJPOBMIUNM t IUUQTJQBOJOJDUFMHPCQFJOUFSOFUBWUSJHPOPNBOHVMPIUN t IUUQSPCMFQOUJDNFDFT_SUVOPO&+&3$*$*04%& 53*(0/0.&53*"EPD

23

Tema 3 Sesión Inicio Indique a los estudiantes que observen la imagen de la situación y que a partir de ella formulen otras situaciones (por ejemplo, la distancia de ellas al farol que sea 10 m y que el ángulo de elevación sea de 45°, etc.). (SBGJRVFFOMBQJ[BSSBMBTJUVBDJØOBOUFSJPSSFTBMUBOEPFMUSJÈOHVlo rectángulo formado y sus elementos: el ángulo de elevación y los lados. Mencione que dichos elementos se pueden relacionar mediante una razón trigonométrica. Proceso Trabaje con los estudiantes la forma de denotar una razón trigonométrica y resalte que estas son seis y provienen de la relación que se establece con los lados y los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Analice con ellos la tabla que muestra las razones trigonométricas, graficando el triángulo rectángulo correspondiente. Afiance lo anterior desarrollando los ejemplos 1; 2 y 3. Consolide lo estudiado hasta el momento, solicitando a los estudiantes que realicen los ejercicios del 1 al 4 de la Práctica Nivel 1 de manera individual y que comparen sus respuestas en parejas a modo de coevaluación. Explique la noción de razones recíprocas resaltando que su producto es igual a la unidad. Afiance su explicación resolviendo los ejemplos 4 y 5. Trabaje con los estudiantes la noción de RT para ángulos comQMFNFOUBSJPT (SBGJRVF FO MB QJ[BSSB FM USJÈOHVMP SFDUÈOHVMP mostrado en el texto y agregue a dicha figura los ángulos _ (en el vértice A) y e (en el vértice B). Afiance lo anterior desarrollando los ejemplos 6 y 7. Consolide lo trabajado hasta el momento, realizando los ejercicios 5 y 6 de la Práctica Nivel 1. Utilizando la información del recuadro Anota, resuelva con los estudiantes los ejercicios del ejemplo 8 para identificar las RT de ángulos notables. Afiance lo anterior realizando los ejercicios del 7 al 9 de la Práctica Nivel 1. Defina triángulos pitagóricos y muestre la forma que presentan. Solicite que observen algunos triángulos pitagóricos en la información del cuadro Importante. Refuerce lo anterior resolviendo con los estudiantes el ejemplo 9 y los ejercicios 10 y 11 de la Práctica Nivel 1. Salida Proponga la Práctica Nivel 2 para ser desarrollada en equipos. Solicite a los estudiantes que, en grupos, resuelvan las actividades propuestas en el Construyamos en equipo.

24

X Lo mínimo para empezar t -BSB[ØOHFPNÏUSJDBFTMBDPNQBSBDJØOEFEPTDBOUJEBdes por su cociente. t -PTFMFNFOUPTEFVOUSJÈOHVMPSFDUÈOHVMPTPO

Hipotenusa Cateto opuesto a _ _ Cateto adyacente a _

t &MUFPSFNBEF1JUÈHPSBT (Hipotenusa)2 = (Cateto opuesto)2 + (Cateto adyacente)2

Algunas dificultades y/o errores frecuentes y como superarlos Una de las dificultades que se observa en los estudiantes es distinguir un ejercicio de razones recíprocas o de RT para ángulos complementarios. Por ejemplo: Diferencia ctg _ =

S tg_

de ctg _ = tg _.

Una forma de superar esta dificultad es pedir a los estudiantes que muestren todas las formas posibles de representar las funciones recíprocas y complementarias. Recíprocas tUH_ u ctg _ = 1 tUH_ =

1 ctg _

tUH_ u ctg _ – 1 = 0

Complementarias tUH_ = ctg ` tUH_ – ctg ` = 0 tg _ t ctg `

Recalque que en recíprocas los ángulos son los mismos para las dos razones y en complementarias los ángulos son distintos y suman 90°. Trabaje, en grupos, ejercicios parecidos a las representaciones anteriormente indicadas.

) Curiosidades Hiparco de Nicea es considerado el padre de la trigonometría y pese a que quizás no se pueda probar con total seguridad ello, se sabe que realizó grandes contribuciones a este campo matemático. Una de las más importantes y que revolucionó al mundo, fue que dividió el círculo en 360º y proporcionó un método para resolver triángulos. Su segunda gran aportación fue la de rechazar la teoría heliocentrista de Aristarco de Samos y ser así no el precursor de los trabajos geocentristas de Ptolomeo, sino el mismísimo creador de dicha teoría.


RT en el triángulo rectángulo

Tema 4 E v al u a c i ó n

iiiiiiiiiiiiiiiiiii

RT de ángulos en posición normal

Metacognición

Sesión

Se pueden plantear diversas preguntas como: t {2VÏDBSBDUFSÓTUJDBTEFCFOQSFTFOUBSEPTSB[POFT que al multiplicarse el producto dé la unidad? t 4JEPTSB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBTTPOJHVBMFT {RVÏTF debe cumplir?

Inicio

Se puede proponer un organizador visual para que el alumno observe sus logros en el aprendizaje del tema. Identifico RT de ángulos agudos.

Aplico propiedades de las RT recíprocas.

Sí

No

Efectúo más ejemplos.

No

Si

Indique a los estudiantes que observen la imagen de la situación y que a partir de ella mencionen los elementos del círculo trigonométrico que se pueden distinguir en la pantalla (por ejemplo, un ángulo trigonométrico, arcos, ángulos, ejes de coordenadas, origen, etc.). Analice con los estudiantes la situación de inicio y responda con ellos a las preguntas planteadas. Elabore una gráfica para ilustrar la situación y remarque en ella la orientación de los ángulos respectivos. Proceso Defina circunferencia trigonométrica y represéntela gráfica-

Analizo más ejemplos.

Aplico RT de triángulos pitagóricos.

Efectúo más ejercicios.

No

mente indicando sus elementos. Complemente su explicación con la información del Recuerda del margen.

Si

Paso al siguiente tema

Aplico propiedades de las RT complementarias.

Si

Efectúo más ejemplos.

No

Heteroevaluación y/o coevaluación Puede evaluar el aprendizaje del estudiante sobre la base del siguiente listado de actividades: Procesos empleados en la enseñanza

Siempre

Con frecuencia

Pocas veces

Reconoce las RT de los ángulos agudos. Reconoce y aplica la propiedad de las RT recíprocas. Reconoce y aplica la propiedad de las RT para ángulos complementarios. Integra los contenidos con otras áreas.


Plantea diferentes estrategias para la solución de problemas.

5 Material de consulta Bibliografía

Represente gráficamente las líneas seno y coseno en la pizarra. Analice las variaciones de dichas líneas en cada cuadrante. Afiance lo aprendido, resolviendo los ejemplos 1 y 2 y los ejercicios del 1 al 3 de la Práctica Nivel 1. Muestre en la pizarra la gráfica de las líneas tangente y cotangente y analice sus variaciones en cada cuadrante. Desarrolle el ejemplo 3 y solicite a los estudiantes que resuelvan el ejercicio 4 de la Práctica Nivel 1. Represente gráficamente las líneas secante y cosecante en la pizarra. Analice las variaciones de dichas líneas en cada cuadrante. Afiance lo aprendido, resolviendo el ejemplo 4 y los ejercicios 5 y 6 de la Práctica Nivel 1. Trabaje con los estudiantes las razones trigonométricas de ángulos en posición normal y resalte que el radio vector (r) siempre es positivo. Desarrolle los ejemplos 5; 6 y 7. Solicite a los estudiantes que observen la tabla de signos de las RT y la mostrada en el recuadro Anota. Utilice la información anterior para resolver los ejemplos 8 y 9. Indique a los estudiantes que realicen, en parejas, los ejercicios del 7 al 11 de la Práctica Nivel 1. Luego, que comparen entre ellos y con otras parejas sus resultados. Explique la noción de ángulo cuadrantal y luego analice con los estudiantes la tabla y gráfica mostradas. Pida que lean la información del recuadro Anota. Utilice lo anterior para resolver el ejemplo 10.

t +VBO (P×J (BMBS[B Trigonometría NB &E -JNB &EJUPSJBM *OHFOJFSÓB

Afiance lo aprendido, solicitando a los estudiantes que resuelvan el ejercicio 12 de la Práctica Nivel 1.

Páginas Web

Salida

t IUUQXXXPNFSJRVFOFUUXJLJQVC3FDVSTPT.BUFNBUJDB T$VBSUP&TP0QDJPO#*FT(VBEBMQFOBPQCUSJHPOPNFUSJBQEG

Proponga a los estudiantes la Práctica Nivel 2 para ser desarrollada en equipos.

t XXXMVJT[FHBSSBDMNPPEMFNPESFTPVSDFWJFXQIQ JE

25


Ev a lua ción

t &M QMBOP DBSUFTJBOP FTUÈ GPSNBEP QPS EPT SFDUBT OVNÏricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas (x), y la vertical, eje de las ordenadas (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

Metacognición

iiiiiiiiiiiiiiiiiii

Se pueden plantear diversas preguntas como: t {&ORVÏTFEJGFSFODJBOMBTMÓOFBTUSJHPOPNÏUSJDBT t {1BSBIBMMBSMBT35EFVOÈOHVMPFTTVGJDJFOUFUFOFS un punto P que pasa por la circunferencia?

Y

Se puede proponer un organizador visual para que el estudiante observe sus logros en el aprendizaje del tema.

X

Circunferencia trigonométrica en ella se representan

Líneas trigonométricas

Algunas dificultades y/o errores frecuentes y cómo superarlos Los alumnos tienen dificultades al momento de determinar las variaciones de cada gráfica de las líneas trigonométricas. Una forma de superar esta dificultad es trabajar cada línea trigonométrica más detalladamente. Por ejemplo:

(SBEPTTFYBHFTJNBMFT (SBEPTDFOUFTJNBMFT

son se establecen sus

Seno y coseno

Tangente y cotangente

Secante y cosecante

«OHVMPTFOQPTJDJØO normal

Razones trigonométricas

Heteroevaluación y/o coevaluación Puede evaluar el aprendizaje del estudiante sobre la base del siguiente listado de actividades:

Determina la línea coseno. Procesos empleados en la enseñanza

R y

OP = radio = 1

x

P(x; y) A

O

Con frecuencia

Pocas veces

Identifica la circunferencia trigonométrica y sus elementos. Identifica las líneas trigonométricas.

PR = x = Línea caseno Grafica la línea coseno en cada cuadrante. 0 DECRECE

Siempre

DECRECE

Analiza y determina las variaciones de cada función trigonométrica. Aplica las estrategias adecuadas en problemas de ángulos en posición normal. Identifica las RT de los ángulos cuadrantales.

1

CRECE

CRECE

Muestra orden y claridad en su proceso de resolución.

0

5 Material de consulta ) Curiosidades Los babilonios y los egipcios (hace más de 3 000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se avanzaron los primeros esfuerzos para el estudio de la Astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes, a fin de mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

26

Bibliografía t +VBO (P×J (BMBS[B Trigonometría NB &E -JNB &EJUPSJBM *OHFOJFSÓB Páginas Web t IUUQNBUFZBFMCMPHEJBSJPDPNUBHTBOHVMP t IUUQXXXJTGUJDNFQTZEFTX%FTDBSUFT#BDI@ $/45@3B[POFT@USJHPOPNFUSJDBT@PQFSBDJPOFT@JEFOUJEBEFTSB[POFTIUN


–1

Tema 5 Funciones trigonométricas Sesión Inicio (SBGJRVF FO MB QJ[BSSB MB HSÈGJDB EF MB GVODJØO TFOP TJO NFOcionar que corresponde a dicha función) e indique a los estudiantes que observen la imagen de la situación y lean el texto presentado. Solicite que comparen el gráfico del ritmo cardiaco y el de la pizarra y establezcan semejanzas y diferencias entre ellos. Pregunte a los estudiantes si el gráfico pegado en la pizarra puede ser o no una función. Señale las características propias de esta y mencione que a las funciones matemáticas que permiten describir los ritmos biológicos se les denomina funciones trigonométricas. Proceso Defina la función seno y la función coseno. Resalte en ambos casos la forma de su gráfica y sus características. Trace la gráfica de cada función en la pizarra e indique en ellas cada una de las características mencionadas. Complemente la explicación con la información del recuadro Anota.

X Lo mínimo para empezar El concepto de función Dados dos conjuntos X e Y, una función de X en Y es una correspondencia matemática denotada por f: X A Y, que cumple con las siguientes dos condiciones: t $POEJDJØOEFFYJTUFODJB5PEPTMPTFMFNFOUPTEF9FTUÈO relacionados con elementos de Y. t $POEJDJØOEFVOJDJEBE$BEBFMFNFOUPEF9FTUÈSFMBDJPnado con un único elemento de Y.

Algunas dificultades y/o errores frecuentes y cómo superarlos Los alumnos tiene dificultades y cometen errores cuando se trata de realizar la construcción de las inversas de las funciones trigonométricas, que no son funciones inyectivas. Una forma de superar esta dificultad es haciendo restricciones en el dominio de dichas funciones y, dirigiendo una dinámica, presentarles la gráfica de las funciones trigonométricas en la pizarra. 3

Solicite a los estudiantes que resuelvan los ejemplos 1 y 2 y los ejercicios 1; 2; 4 y 5 de la Práctica Nivel 1 para reforzar lo estudiado anteriormente. Defina la función tangente y la función cotangente.Trace la gráfica de cada función en la pizarra e indique en ellas cada una de sus características. Luego, resuelva con los estudiantes los ejemplos 3 y 4 para reforzar lo aprendido. Defina la función secante y la función cosecante. Trace la gráfica de cada función en la pizarra e indique en ellas cada una de sus características. Seguidamente, resuelva el ejemplo 5 para reforzar lo anterior.

2 1 –2

0

–1


Desarrolle con los estudiantes los ejemplos 6 y 7. Salida Forme grupos de trabajo para que resuelvan los ejercicios propuestos en la Práctica Nivel 2.

6

8

–3

t 1JEBBMPTFTUVEJBOUFTRVFPCUFOHBOFMEPNJOJPZBSFTUSJOgido de cada función presentada. t 4PMJDJUFRVFDPOFTFEPNJOJPSFTUSJOHJEPHSBGJRVFOMBGVOción inversa de cada función trigonométrica. 3 2 1 0

(SBGJRVFMBTGVODJPOFTTFOP DPTFOPZUBOHFOUFZTVTSFTQFDUJvas funciones inversas. Realice un análisis comparativo entre ellas e indique sus características. Resalte la notación de cada función inversa.

4

–2

Consolide lo estudiado hasta el momento, resolviendo los ejercicios 3 y del 6 al 11 de la Práctica Nivel 1. Explique de qué forma una función trigonométrica puede tener inversa aun sabiendo que es una función periódica. Complemente la explicación con la información (en el margen) acerca del concepto de función inyectiva.

2

–1

0,5 1 1,5 2 2,5 3 x

–2 –3

t 'JOBMNFOUF TPMJDJUFRVFFMMPTGPSNVMFOVOFKFSDJDJPTJNJMBS

) Curiosidades El Canadarm 2 es un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonométricas de esos ángulos, que se van formando por los varios movimientos que se realizan.

27

Tema 6 Metacognición

Sesión

Se pueden plantear diversas preguntas como: t {$VÈOEPVOBGVODJØOFTDPOTJEFSBEBDSFDJFOUFP decreciente? t {2VÏ DBSBDUFSÓTUJDBTEFCFTJEFOUJGJDBS FOVOBGVOción inversa?

Inicio

Se puede proponer un organizador visual para que el estudiante observe sus logros en el aprendizaje del tema. Funciones trigonométricas

Seno

Coseno

Tangente

Cotangente

Cosecante

Secante

Funciones trigonométricas inversas (restringiendo el dominio)

Heteroevaluación y/o coevaluación

Procesos empleados en la enseñanza

Siempre

Con frecuencia

Indique a los estudiantes que observen la imagen de la situación y que a partir de ella mencionen la cantidad de ángulos que se puedan observar, señalando la clase de ángulo a la que pertenecen según su medida aproximada. Pregunte si son ángulos en posición normal. (SBGJRVFFOMBQJ[BSSBVODÓSDVMPUSJHPOPNÏUSJDPTPCSFVOQMBOP cartesiano y resalte los ángulos observados en el texto. Explique que las razones trigonométricas de los dos ángulos se pueden hallar teniendo en cuenta su signo y el cuadrante en que se encuentran. Formalice el concepto de reducción al primer cuadrante a partir de lo indicado en el recuadro con la idea central del tema. Proceso

Puede evaluar el aprendizaje del estudiante sobre la base del siguiente listado de actividades: Pocas veces

Identifica la función trigonométrica y su respectiva gráfica. Reconoce cuándo una función es creciente y cuándo es función decreciente. Calcula adecuadamente la amplitud de una función trigonométrica. Identifica si una función trigonométrica es periódica o no.

Afiance la noción de ángulos negativos y sus respectivas razones trigonométricas, a partir del ejemplo 1. Solicite que lean la información del recuadro del margen. Recuerde cómo se generan los ángulos negativos (giro horario). Consolide lo estudiado hasta el momento, solicitando a los estudiantes que resuelvan los ejercicios 1 y 2 de la Práctica Nivel 1 de manera individual y que comparen sus respuestas en parejas a modo de coevaluación. Analice con los estudiantes todas las estrategias para trabajar con ángulos mayores que 90°, incluyendo los ángulos mayores a una vuelta (360°), enfatizando que dichos procesos son denominados reducción al primer cuadrante. Pida a los estudiantes que observen las características de estos

Analiza gráficas de las funciones trigonométricas inversas.

procesos de reducción, para poder aplicarlos según la situación dada.

Investiga o pregunta acerca de sus dudas sobre el tema tratado.

Afiance cada caso de reducción de un ángulo al primer cuadrante (cuando el ángulo se encuentre en el segundo cuadrante, tercer cuadrante, cuarto cuadrante o cuando sea mayor a 360°), realizando los ejercicios de los ejemplos 2; 3; 4; 5 y 6.

Muestra orden y claridad en su proceso de resolución.

5 Material de consulta Bibliografía t +VBO (P×J (BMBS[B Trigonometría NB &E -JNB &EJUPSJBM *OHFOJFSÓB Páginas Web t IUUQXXXFEVDBSPSHFOMBSFENJTXRXFCRVFTU@IUN t IUUQXXXTFDUPSNBUFNBUJDBDMNFEJBEJGFSFODJBEP /.@HSBmDP@GVOD@USJHEPD t IUUQICVJUSBHPSHPPHMFQBHFTDPN'6/$*0/&453*(0/0.&53*$"4*/7&34"4QEG

28

Reducción al primer cuadrante

iiiiiiiiiiiiiiiiiii

Resalte la información del recuadro Anota en el proceso de reducción al primer cuadrante, la determinación del ángulo referencial y el signo de la razón trigonométrica. Solicite a los estudiantes que resuelvan en parejas los ejercicios del 3 al 12 de la Práctica Nivel 1. Luego, que comparen respuestas entre ellos y, finalmente, con otras parejas. Salida Forme grupos de trabajo para que resuelvan los ejercicios propuestos de la Práctica Nivel 2 y seleccione algunos del De todo un poco Nivel 2 y Nivel 3.


E v al u a c i ó n


Ev a lua ción

t 4J VO ÈOHVMP USJHPOPNÏUSJDP FT HFOFSBEP QPS VO HJSP FO sentido horario, el ángulo que se obtiene es negativo. Si, por el contrario, dicho giro es en sentido antihorario, el ángulo que se obtienen es positivo.

Metacognición

Horario

(–)

Antihorario (+)

t "MHVOBT FRVJWBMFODJBT EF VO ÈOHVMP FO EJTUJOUPT TJTUFmas: / / 2/ / = 45º = 60º = 120º = 36º 4 3 3 5

iiiiiiiiiiiiiiiiiii

Se pueden plantear diversas preguntas como: t {2VÏSB[POFTUSJHPOPNÏUSJDBTEFÈOHVMPTOFHBUJvos generan razones positivas? t 4J VO ÈOHVMP TF FODVFOUSB FO FM UFSDFS DVBESBOUF ¿qué estrategia empleas para reducirlo al primer cuadrante? Se puede proponer un organizador visual para que el estudiante observe sus logros en el aprendizaje del tema: Reducción al primer cuadrante

«OHVMPTOFHBUJWPT

«OHVMPTQPTJUJWPT

«OHVMPSFGFSFODJBM

Algunas dificultades y/o errores frecuentes y cómo superarlos Tienen dificultades los estudiantes cuando se trata de reducir al primer cuadrante ángulos cuya amplitud supera los 360°. Tomemos como ejemplo cos (−1 560°). 1° cos(−1 560°) = −cos1 560° 2° 1 560 1 440

360

El problema se da cuando olvidan analizar el cuadrante y el signo de RT. Una forma de superar esta dificultad es realizando un juego: “Hallando el residuo”.

4

– 120

t &MKVFHPTFSFBMJ[BFOHSVQPTEF t 4FMFTQSFTFOUBVOBUBSKFUBDPOMB35EFVOÈOHVMPNBZPS a 360°. t 4FMFTQJEFRVFEJWJEBOFMÈOHVMPZIBMMFOFMSFTJEVP t &M FTUVEJBOUF RVF IBMMF FM SFTJEVP QSJNFSP EFCF NFODJPnar en qué cuadrante se encuentra y el signo de la RT respectiva; de lo contrario, pierde. t (BOBFMHSVQPBRVFMFORVFUPEPTMPTNJFNCSPTIBOQBSticipado.

De un ángulo que pertenece al IIC , IIIC , IV C o es mayor que 360°.

Heteroevaluación y/o coevaluación Puede evaluar el aprendizaje del estudiante sobre la base del siguiente listado de actividades: Procesos empleados en la enseñanza

Siempre

Con frecuencia

Pocas veces

Aplica correctamente las RT de ángulos negativos. Determina correctamente los signos de las RT. Reconoce correctamente cada caso de reducción de ángulos. Plantea la estrategia correcta en situaciones problemáticas. Discute, cuestiona y elabora conjeturas respecto a una situación. Investiga o pregunta acerca de sus dudas sobre el tema tratado. Muestra orden y claridad en su proceso de resolución.


) Curiosidades Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los grados, minutos y segundos sexagesimales, basadas en la división en partes iguales de una circunferencia: 360º = 1 giro completo 180º = 1/2 vuelta 90º = 1/4 de vuelta 1º = 1/360 de vuelta

5 Material de consulta Bibliografía t +VBO (P×J (BMBS[B Trigonometría NB &E -JNB &EJUPSJBM

225º

45º

90º –60º

–90º 300º

También se puede definir otra unidad angular, el radian, que en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y directo respecto a los grados sexagesimales.

*OHFOJFSÓB Páginas Web t IUUQBSHFPDJUJFTDPNWJUPSJPNBUFNBUJDBUSJHPJEFOUEPD t IUUQXXXKVOUBEFBOEBMVDJBFTBWFSSPFTJFTEJFHPHBJUBOEFQBSUBNFOUPTEFQBSUBNFOUPTEFQBSUBNFOUP@EF@ NBUFNBUSFDVSTPTWJEFPTUSJHPOPNFUSJBEFTDBSHBQIQ

29

Ev a lua ción

R e l ac i ó n al o con … Z ELECTRÓNICA

Z Comunicación matemática

La corriente sinusoidal

1. Observa la figura y a partir de ella indica cuál de las proposiciones no corresponde.

La más importante de las corrientes alternas periódicas es la llamada corriente sinusoidal o senoidal, porque es la única capaz de pasar a través de resistencias, bobinas y condensadores sin deformarse. Se llama sinusoidal porque sigue la forma de la función matemática seno.

90º

Corriente 1 = 10 sen k t 10

180º

0º 360º

5

0

0,50

1

1,50

2

2,50

3

3,50

4

4,50

5

5,50

6

6,50

7

7,50

8

8,50

9

9,50

10

–5

270º

10 Serie 1

a. En el I C el coseno decrece de 1 a 0. b. En el II C el coseno decrece de 1 a 0.

P r u e bas in t e r naci on al e s

c. En el III C el coseno crece de – 1 a 0. d. En el IV C el coseno crece de 0 a 1.

El gráfico muestras cómo varía la velocidad de un auto de carrera a lo largo de una pista plana de 3 km durante la segunda vuelta. Velocidad de un auto de carrera a lo largo de una pista de 3 km (segunda vuelta)

Velocidad (km/h)

2. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en A, se sabe que tg C = 1,66...

180 160 140 120

Calcula los valores de: a. Sen C

100 80 60 40

b. Cos B

20 0

Z Manejo de algoritmos

0.5 0

0.2 Línea de partida

0.4

1.5 0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

c. Csc B

2.5 1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

B

3.0

Distancia recorrida en la pista (km)

t {%ØOEFTFSFHJTUSØMBWFMPDJEBENÈTBMUBEVSBOUFMBTFHVOda vuelta? t {$VÈMFTEJTUBODJB BQSPYJNBEB EFTEF MB MÓOFB EF QBSUJEB hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pista?

A

C

Adaptación. M159Q01 - 02 PISA 2006

à

Hi s to r i a de l a m at e m át i ca

Regiomontanus, en 1461 (a los 25 años), fue nombrado profesor de Astronomía en la universidad de Viena en Austria; reemplazó a Peuerbach, quien había dejado el puesto por motivos de salud. El gusto de dar clase en una universidad tan famosa le duró solo siete años, pues en 1468 (a los 32 años) Regiomontanus fue nombrado astrónomo real de la corte del rey Matthias Corvinus de Hungría. Regiomontanus murió de una forma espantosa, lleno de dolor y bañado en vómitos de sangre; hay quienes dicen que fue envenenado por sus enemigos y hay quienes piensan que fue víctima de la peste bubónica. De cualquier forma, fue una tragedia para la Matemática una muerte tan temprana.

30

3. Sea P el punto final de un arco A en posición normal de la circunferencia trigonométrica ubicada en el IV C. Analiza y deduce el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. Sen A = −y

(

)

b. Cos A = x

(

)

c. Sen A = x

(

)

d. Cos A = −y

(

)

Z Resolución de problemas 4. Determina la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y, si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.


Z Razonamiento y demostración

SO L U C I O N A RI O UÊ iÀVVÊ£ÊqÊ«?}>Ê£Î£ ..................................................

UÊ iÀVVÊx.......................................................................

3

2

1

2

2

1

3

2

2

1

3

2

1

3

2

2

1

3

1

2

3

1

2

UÊ iÀVVÊÓ.......................................................................

3

1

2

2

3

1

1

2

3

4

3

1

1

2

4

3

3

1

2

4

4

3

1

2

2

3

2

UÊ iÀVVÊÈ.......................................................................

2

1

3

3

2

2

4

5

3

2

1

4

3

3

2

1

4

5

1

1

5

1

4

3

2

4

3

2

3

5

1

4

2

3

1

4

2

5

3

2

3

2

2

1

3

1 3

2

2

UÊ iÀVVÊÎ.......................................................................

UÊ iÀVVÊÇ.......................................................................

3

2

3

3

1

3

2

4

3

1

5

1

3

1

2

3

2

1

4

3

2

3

2

1

5

4

2

3

3

2

2

1

4

3

2

2

4

3

1

5

2

2

1

4

3

3

1

4

1

5

1

2

3

4

2

2

3

2

1

4

1

2

3

2

5

4

1

3

2

3

3

1

2

3

1

2

3

UÊ iÀVVÊn.......................................................................


UÊ iÀVVÊ{.......................................................................

2 3

4

2

1

1

3

4

2

1

4

2

1

3

3

2

1

3

4

2

2

2

3

1

3

4

3

2

5

1

6

3

2

4

2

1

6

5

4

1

3

2

5

2

4

6

2

5

1

3

3

4

2

3

5

6

4

1

3

5

1

2

3

4

6

5

2

4

3

4

1

2

5

6

1

3

2

4

3

2

1 31

ARITMÉTICA

Teoría de Conjuntos I

1. Sea el conjunto A x / x 3

9. Dados los conjuntos:

El elemento de A que se encuentra en la posición 40 es: (Tipo UNI 2001 – I) B. 1 524

C. 1 521

D. 1 600

B = {2x/x ; x ≤ 3}

E. 1 544

C = {x2 + x/x ; x < 3}

2. Al simplificar

A Bc

c

B Cc A Bc C

D = {4x – 2/x ; x ≤ 2}

Se obtiene: A. C

(Tipo UNI 2002 – I)

B. A

C. A – C

D. B

A. A y B no son conjuntos equivalentes

E. A E B

3. Dados los conjuntos A, B, y C en U, simplifica la

c

expresión: A B

A

c

C B C .

B. A E B

C. A

D. B

10. Se dispone de cinco tipos de insecticidas diferentes, los cuales se combinan para obtener insecticidas más eficientes, distintos a los que ya se tienen. ¿Cuántos insecticidas más se podrán obtener?

n3 1 A x / x ; 0 n 10 ; n n 1 por extensión y da como respuesta la suma de sus elementos. B. 336

C. 333

D. 330

E. 327

5. Simplifica la siguiente expresión:

C. A F B

B. C F B

D. C E B

A. 6 elementos

C. 63 subconjuntos propios

11. Con cinco tipos diferentes de rosas se desean realizar injertos. Determinar con cuántos tipos de rosas en total se podría contar al final. B. 63

C. 64

D. 31

E. 27

n[P(A E B)] = 8 Determina n[P(A F B)]. A. 2 048

C. 4 096

B. 9 464

D. 8 192

E. 6 472

II. (A F B) – B =

E. 128 subconjuntos 7. Se sabe que los conjuntos A y C son disjuntos, y los conjuntos B y C también. La intersección de los conjuntos potencias de A y B tiene 16 elementos. Los conjuntos (A – C) y (B – C) tienen cada uno 13 elementos. En total (A F B F C) presenta 32 elementos. ¿Cuántos elementos tiene C? C. 8

D. 9

E. 10

D. B – A

A. VVF

B. FVV

C. VFV

D. VVV

E. FFV

D. B

E. A’

14. Simplifica: [(A’ E B)’ F (A E B’)’]’Δ A A.

B. F

C. A

15. Determina la suma de los elementos del conjunto A:

B = {(x – 1)2 – 1/x ; , –1 ≤ x < 4}

{[(A Δ B) E (A – B)] E A} – (A’ E B’). C. A F B

III. (A – C) E (B – C)’ = A – B

A = {5 – (2 – x)2/x ; B};

8. Determina la relación equivalente a:

32

E. 26

I. [A F (A E B’)] – [B’ E (A F B’)] =

D. 4 elementos

B. A E B

D. 28

13. Si A’Δ B’ = , determina la validez lógica de las siguientes proposiciones:

B. 4 subconjuntos

A.

C. 25

n[P(A Δ B)] = 1 024 n

B. 7

B. 27

12. Sean dos conjuntos A y B, tales que:

C. C – A

6. Se sabe que un conjunto de n elementos tiene 2 subconjuntos. La intersección de P y Q tiene 128 subconjuntos; la diferencia de P respecto a Q tiene 64 subconjuntos. El producto cartesiano P = Q presenta 182 pares. Luego podemos afirmar que Q – P tiene:

A. 6

A. 24

A. 32

(A – B) F (B – C) F (B E C) A. A E B

D. D y A no son conjuntos disjuntos E. B y D son conjuntos comparables

E.

4. Determina el conjunto

A. 339

B. B y C son conjuntos comparables C. C y D no son conjuntos iguales


A. A F B

Determina la afirmación incorrecta:

E. A – B

A. 4

B. 5

C. 3

D. 1

E. 2


A. 1 603

A = {x2 – x/x ; x < 5}

ARITMÉTICA

Teoría de Conjuntos II

1. Un grupo de personas decide viajar y resulta que 48 mujeres van a Arequipa, 45 hombres van a Iquitos, 36 casados van a Arequipa y 53 solteros van a Iquitos. Si se sabe que hay 50 hombres casados y 26 mujeres solteras van a Arequipa, determina el número de (Tipo UNI 2000 – II) mujeres solteras. A. 70

B. 44

C. 60

D. 54

E. 66

2. Jorge debe comer carne de res o verduras (o ambos) en su almuerzo de cada día del mes de abril. Si en su almuerzo durante 22 días hubo carne de res y durante 17 días hubo verduras, entonces, el número de días que almorzó carne de res y verduras es:


A. 18

B. 8

C. 9

D. 11

E. 7

3. En el departamento de control de calidad de una fábrica de micro chips, se consideran tres defectos A, B y C como las más importantes, se analizan 200 productos y arrojo el siguiente resultado: tBSUÓDVMPTQSFTFOUBOFMEFGFDUP"

85 odontólogos eran peruanos. 70 odontólogos eran hombres. 25 odontólogos varones usaban bigotes y tenían reloj. Los odontólogos extranjeros que tienen reloj y no usan bigotes son tantos como los que son extranjeros que no tienen reloj ni usan bigotes. Hay 5 mujeres extranjeras con minifalda y sin reloj, ellas son la cuarta parte de las mujeres peruanas con la misma característica y la mitad de las peruanas sin minifalda y sin reloj. 2 extranjeros usan bigotes pero no tienen reloj. Hay 40 odontólogos varones que son peruanos. La diferencia entre las mujeres con minifalda y sin reloj que son peruanas con los peruanos con reloj y bigote es 7.

tBSUÓDVMPTQSFTFOUBOFMEFGFDUP#

¿Cuántos hombres extranjeros no usan bigotes?

tBSUÓDVMPTQSFTFOUBOFMEFGFDUP$

A. 16

tBSUÓDVMPTQSFTFOUBOFYBDUBNFOUFVOEFGFDUP tQSPEVDUPTUJFOFOMPTUSFTEFGFDUPT ¿Qué porcentaje de productos presentan exactamente dos defectos entre los que presentan al menos un defecto? A. 20%

B. 40%

C. 60%

D. 26,6%

E. 72,3%

4. En un salón de clases, 35 alumnos aprobaron matemáticas, 35 alumnos aprobaron comunicación y 43 aprobaron historia. ¿Cuántos alumnos hay en el aula de clase si 20 alumnos aprobaron los tres cursos y no hay alumnos, que hayan aprobado exactamente dos cursos y que hayan sido desaprobados en los tres cursos? A. 73

B. 70

C. 65

D. 60

E. 55

5. En un aeropuerto hay 105 personas entre hombres, mujeres y niños, se observa que hay: ©Grupo Editorial Norma S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822

6. En un congreso odontológico se observó que participaron 150 odontólogos:

tNVKFSFT tOJ×PT tQFSVBOPT tFYUSBOKFSPT tOJ×PTQFSVBOPT tFYUSBOKFSPTFOUSFNVKFSFTZOJ×PT tQFSVBOPTFOUSFIPNCSFTZNVKFSFT Determina en cuánto excede la cantidad de hombres extranjeros a la de los peruanos. A. 15

B. 25

C. 20

D. 5

B. 13

C. 12

D. 15

E. 19

7. El registro de una universidad proporciona los siguientes datos con respecto a un grupo de 200 alumnos del primer ciclo: 105 están inscritos en Matemática Básica I; 115 en Análisis Matemático I y 75 en Física; 65 Matemática Básica I y Análisis Matemático I; 35 Física I y Matemática Básica I; 30 en Análisis Matemático I y Física; y 20 están inscritos en los tres cursos. Determina el número de alumnos que están inscritos en Matemática Básica I pero no en Física. A. 70

B. 80

C. 95

D. 15

E. 40

8. En un corral donde se encuentra 90 pollos se observa que: Los que comen maíz son el doble de los que comen sólo trigo. Los que comen maíz y trigo son la tercera parte de los que comen sólo maíz. ¿Cuántos pollos comen uno solo de estos alimentos? A. 30

B. 75

C. 60

D. 45

E. 20

9. En un colegio 95 alumnos han rendido 3 exámenes, de ellos 30 aprobaron el primero, 45 el segundo y 40 el tercero; 5 aprobaron los 3 exámenes, 20 no aprobaron ningún examen, 10 aprobaron el primero y el segundo pero no el tercero; 15 no aprobaron ni el primero ni el tercero pero si el segundo; 15 no aprobaron el primero ni el segundo pero sí el tercero. Determina cuántos alumnos aprobaron por lo menos dos cursos A. 20

B. 35

C. 25

D. 40

E. 30

E. 10

33

ARITMÉTICA

Numeración

1. En cierta base b un número N tiene la forma 11111(b); en la base (b − 1) dicho número tiene la forma 15ABC(b − 1) donde las tres letras son dígitos. Entonces el valor de b es: Tipo UNI 2001 – I

7. ¿Cuál es el quinto término de la siguiente sucesión? 11(4); 21(5); 40(6); 102(7); .......... A. 152(8)

A. 6

B. 154(8)

B. 8

C. 162(8)

C. 10

D. 156(8)

D. 11

E. 142(8)

E. mayor que 11 2. Si al número 2332 dado en base n, lo pasamos a la base (n 1), entonces la suma de sus cifras en la Tipo UNI 2001 – II base (n 1) es: A. 6

B. 5

C. n 1

D. n 2

E. 2n

3. La suma S 0,12(4) 0,23(6) 0,34(8) expresada como una fracción de números en base 5, es igual a: Tipo UNI 2003 – II

B.

C.

134(5) 244(5)

D.

133(5)

214(5) 143(5)

E.

8. En base b se cumple que AAA = F 1776, entonces, el valor mínimo de b, para que se cumpla la condiTipo UNI 2006 – I ción anterior es: A. 7

A. 18

D. 10

E. No existe

C. 15

D. 14

E. 13

10. Convertir 3/5 al sistema de base 8. Tipo UNI 2007 – II

113(5)

B. 0,463463463......(8)

124(5)

C. 0,46214621......(8)

134(5)

D. 0,462462462......(8) E. 0,46414641......(8) 11. En el número 16p61(n), p es 11; entonces la raíz cuadrada en base n es: UNI 2007 – II A. 113

B. 21 110

B. 123

C. 130

D. 131

E. 132

12. Sabiendo que aaa0(7) xyz6, determina el valor de Tipo UNI 2008 – II a + x + y + z.

C. 12 110 D. 21 010

A. 16

E. 12 210 5. Un número de la forma ab representa la edad de una persona que aún no alcanza la mayoría de edad. Si en una base n (menor que b) dicho número es capicúa, hallar la suma de todos los números ab que cumplen lo anterior. UNI 2005 – I A. 15

B. 16

C. 31

D. 32

E. 48

6. Las computadoras almacenan información digital en registros. Un registro es un grupo de celdas binarias. Si al digitar un número sobre el teclado se genera el registro: Tipo UNI 2005 – II 0

1

1

0

0

,

1

¿Cuál es el triple del número que se digitó en base 10? B. 89

C. 133,5

D. 60,5

E. 121

B. 18

C. 19

D. 21

E. 23

13. ¿Cuántas cifras cero tiene la expresión 217 28 24 2 1 al representarse en el sistema binario? A. 12

B. 13

C. 14

D. 15

E. 16

14. Si aabb 13 = a = bb, calcula (a b). A. 12

B. 17

C. 10

D. 8

E. 5

15. Un número de dos dígitos es "n" veces la suma de sus cifras. El número que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta el producto de la suma de sus cifras multiplicado por: A. 11 n

34

B. 16

A. 0,46314631......(8)

A. 21 001

A. 44,5

C. 9

9. De la igualdad a1b(8) a61(n), calcula el valor de Tipo UNI 2006 – II a + b + n.

211(5)

4. Si el número xax(7) se expresa en base a es 5y0 ¿Cómo se expresa en el sistema ternario? Tipo UNI 2004 – II

1

B. 8

B. 11− n C. 7 n D. 7 − n E. 2n


A.

241(5)

Tipo UNI 2005 – II

ARITMÉTICA

Cuatro operaciones

1. Sea N un número de cinco cifras todas diferentes. N es igual a la suma de todos los números de tres cifras todas diferentes que puede formarse con las cinco cifras de N. Halla la suma de las cifras de N. Tipo UNI 2000 – I

A. 9

B. 18

C. 27

D. 36

E. 24

2. Sean x, y, z números naturales menores que 11, donz de x + y + = 1,518. ¿Cuántas ternas (x; y; z) solu3 9 27 ción se obtienen, en las cuales z = 8? Tipo UNI 2001 – I A. ninguna

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

3. Sea A × B = 53 361 el producto de dos números enteros positivos, donde A tiene dos cifras, B tiene tres cifras y es divisible entre 3, entonces el valor de B es: Tipo UNI 2001 – I

A. 231

B. 539

C. 639

D. 693

E. 837

8. Halla la suma de los elementos del conjunto !b(a + 5) (a/2)(3b); tal que a es entero positivo#. Tipo UNI 2003 – II

A. 12 686

C. 8 778

B. 16 926

D. 14 668

E. 8 148

9. Determina el valor de a + b + c + d si se sabe que Tipo UNI 2004 – II abcd (7) + dcba (7) = 3 544. A. 17

B. 20

C. 14

D. 15

E. 13

10. El producto de un número por a es 864 y por b es 2 016. Si a y b son cifras, calcula el producto de este número por el mayor número capicúa de 4 cifras Tipo UNI 2004 – I que se puede formar con a y b. A. 1 086 624

C. 2 113 056

B. 2 143 066

D. 2 239 776

E. 2 243 076

11. Sea U(N) la última cifra del entero no negativo N. Si X=U(A+B), entonces de las expresiones: UNI 2004 – II

I. X=U(A)+U(B) 4. Sean x, z, N enteros no negativos. La cantidad de números N tales que 15 < N < 40, que no se pueden expresar en la forma N = 7x + 9z es igual a: Tipo UNI 2001 – II

A. 23

B. 11

C. 24

D. 14

E. 10

5. Si las dos siguientes sumas están expresadas en una base p: 205(p) + ABC(p)

A + B + C =15(p)

II. X=U(A+U(B)) III. X=U(U(A)+U(B)) Son correctas: A. Solo III

B. I y II

C. I y III

D. Solo I

E. II y III

12. Sean los números a, b y r enteros positivos. Al dividir (a+b) entre b, se obtiene como cociente 5r y como residuo r. Si a ≥ 45r y b es primo, ¿Cuál es el menor Tipo UNI 2004 – II valor de b? A. 5

B. 7

C. 11

D. 13

E. 17

403(p) Entonces el producto ABC, expresado en la base p, UNI 2001 – I es igual a:


A. 30

B. 34

C. 36

D. 42

E. 48

6. El siguiente producto está expresado en cierta base b: 7 × 987789 = z80z613 donde z es un dígito, entonces determina el valor de z. Tipo UNI 2001 – II A. 5

B. 7

C. 9

D. 8

E. 6

7. La cantidad de cifras de los números A, B y C son números impares consecutivos crecientes. Si el producto A3B4C5 tiene por lo menos 148 cifras, entonces la cantidad máxima de cifras que puede tener dicho producto es: Tipo UNI 2003 – I A. 150

B. 162

C. 164

D. 168

E. 170

13. Obtenga la suma de los n primeros números naturales que tengan todas sus cifras iguales a 4, más la suma de los n primeros números naturales que tenTipo UNI 2007 – I gan todas sus cifras iguales a 3. n+1 A. 7 (10 − 9n − 10) 81

B.

7 (10n+1 − 9n − 9) 81

D.

7 (10n+1 − 10n − 10) 81

n+1 E. 7 (10 − 9n − 1) 81

n+1 C. 7 (10 − 9n − 10) 9

14. La suma de 13 números impares consecutivos está comprendida entre 430 y 480. Si el término central es ab , halla el valor de: 1 + 2 + 3 + 4 + ………….... + ab A. 520

C. 630

B. 580

D. 650

E. 720

35

ARITMÉTICA

Potenciación y Radicación

1. Sea abab un número de 4 cifras, determina el menor número m tal que abab − m sea un cuadrado UNI 2000 – II perfecto. A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

D. 5

2. Si el número aabb es un cuadrado perfecto, entonces la suma de los dígitos de dicho número es: A. 12

B. 14

C. 18

D. 22

UNI 2001 – I

E. 26

3. Sea N un número cuadrado perfecto impar. SI N + 23 es divisor de 136R, siendo R primo, halla el menor núUNI 2001 – II mero N que cumpla lo anterior. A. 9

9. Halla un cuadrado perfecto de 5 cifras cuyas cifras son: 2; 0; 8; 5 y 7. Indica la suma de las cifras de la raíz. A. 12

B. 14

C. 15

D. 16

E. 17

10. Si abc0 es un cuadrado perfecto, siendo: a b c 10, el valor de a − b es: A. Mayor que 3 B. Múltiplo de 3 C. Menor que 4 D. Número impar E. Cubo perfecto

B. 25 11. Calcula a b c si 7abc00 es un cubo perfecto. A. 8

D. 81 E. 121 4. El número 1aaa es un cuadrado perfecto y la raíz cuadrada correspondiente es un número de la forTipo UNI 2004 – II ma xy. Calcula a x y. A. 11

B. 15

C. 17

D. 19

E. 10

5. Al extraer la raíz cuadrada de un número se tomó por error al residuo como raíz y a esta como residuo, resultando un número que es inferior en 890 unidades que el original. Si la raíz excede al residuo en 10, calcula el número original. Tipo UNI 2005 – II A. 2 560 B. 2 650

D. 2 580 E. 2 540 6. Halla el valor de a b c d si al extraer la raíz cuadrada de 14abcd64 se obtiene abcd.

UNI 2007 – I

A. 17

B. 18

C. 19

D. 20

E. 21

7. ¿Cuántos números de cuatro cifras tienen la raíz cuadrada y la raíz cúbica con el mismo residuo no nulo? Tipo UNI 2007 – II A. 1

B. 64

C. 63

D. 128

E. 129

8. Se da un número positivo que no tiene raíz cúbica exacta. Si a este número se le disminuye 469, entonces su raíz cúbica disminuye en una unidad, pero el residuo no se altera. Determina la suma de las cifras de la diferencia entre el número y el residuo. Tipo UNI 2008 – I

A. 19

36

B. 21

C. 17

D. 15

E. 23

C. 10

D. 11

E. 12

12. ¿Cuál es el menor número por el cual es necesario multiplicar a 12 para que el número resultante sea un cuadrado perfecto? A. 21

B. 33

C. 77

D. 231

E. 462

13. Halla el menor número múltiplo de 15 sabiendo que al sumarle su onceava parte el número resultante es un cubo perfecto. Da como respuesta la suma de las cifras del número calculado. A. 12

B. 15

C. 18

D. 21

E. 27

14. Halla un número de la forma abab sabiendo que su raíz cuadrada por defecto es el doble de ab y su residuo ab. Da como respuesta b − a. A. 2

C. 2 610

B. 9

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

15. Se quiere cercar un terreno de forma cuadrada cuya superficie es de 15 625 m2, con cerca de tres hileras de alambre. Se desea saber cuánto costará toda la obra si el metro de alambre cuesta S/. 15,50 y la mano de obra total S/. 4 225. A. S/.11 975 B. S/.23 250 C. S/.26 925 D. S/.27 675 E. S/.27 475 ° 16. ¿Cuántos cuadrados perfectos 13 4 hay entre 924 y 5 920? A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

E. 9

17. ¿Cuántos números de la forma ab25 k2 existen? A. 1

B. 3

C. 7

D. 8

E. 4


C. 49

ARITMÉTICA ALGEBRA

Factorización Fracciones

1. Un reservorio puede ser llenado por dos grifos A y B. El grifo A llena el reservorio en 10 horas, mientras que B lo hace en 9 horas más que empleando los dos grifos A y B. ¿En cuánto tiempo se llena el reservorio utilizando solo el grifo B? Tipo UNI 2000 - I A. 6 h

B. 9 h

C. 12 h

D. 15 h

C. 22 872 D. 25 782

A. 33

B. 34

C. 35

D. 77

E. 111

9. ¿Cuántas fracciones propias de la forma ab son irre75 ductibles?

E. 10 h

2. Halla la suma de los términos de una fracción irreductible en la cual el denominador excede al numerador en 10 878, sabiendo que reducida a decimal da un periódico mixto que tiene tres cifras en la parte no periódica y seis en la periódica. UNI 2002 - I A. 18 872 B. 24 872

8. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 9/13 tienen como numerador un número de tres cifras y como denominador un número de 4 cifras? Tipo UNI 2008 - I

E. 23 872

A. 30

B. 35

C. 40

0,1(3a) + 0,b(12) = (2,0111...(4))(0,1(3)), ¿Cuántos pares ordenados (a; b) son soluciones?

E. 50

10. El MCD del numerador y denominador de una fracción equivalente a 16/72 es 13. ¿Cuál es esta fracción? A. 180/234 B. 65/117

3. Sean los números a y b tales que

D. 45

C. 52/65 D. 26/39

E. 26/117

11. Si a los dos términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción, ¿cuánto suman los términos de la fracción original?

UNI 2003 - I

A. 11 A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

13 , 14 , 15 ,................, 79 , sean todas n + 83 n + 17 n + 18 n + 19 irreductibles. Tipo UNI 2003 - II B. 73

C. 89

D. 79

C. 3

D. 13

E. 10

E. 5

4. Halla el menor número entero positivo n tal que las 67 fracciones:

A. 83

B. 8

E. 97

5. ¿De cuántas fracciones equivalentes a 161/253 el producto de sus términos es un número de 3 cifras?

12. Al dividir un terreno en dos partes, resulta que los 2/5 de la primera parte miden lo mismo que los 3/7 de la segunda. Si el terreno mide 11600 m2, ¿cuánto mide la parte mayor? A. 6 000 m2 B. 7 800 m2

C. 7 500 m2 D. 6 050 m2

E. 6 200 m2

13. Una pelota pierde las 2/5 partes de su altura en cada rebote que da. Si se le deja caer desde un metro de altura, ¿qué altura alcanzará después del tercer rebote?

Tipo UNI 2004 - I

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

a+b+2 y 30 2a + 2b + 1 0,baaa.....= . Calcula la suma de dichos 30 Tipo UNI 2006 - I números.

A. 51,20 cm B. 12,96 cm

C. 21,60 cm D. 6,40 cm

E. 36,00 cm


6. Dados los números 0,abbb...... =

A. 0,5

B. 2/3

C. 7/9

D. 1

E. 1,5

A. 28 metros B. 5 metros

7. Si se cumple que 0,aabbb..... + 0,bbaaa..... = 1,666....., determina el valor de a+b. Tipo UNI 2007 - I

A. 15

B. 14

C. 13

D. 12

E. 11

14. Se divide un tubo en cuatro partes desiguales. La primera es 1/3 de la longitud total del tubo; la segunda parte es 1/4, y la tercera parte es 2/7 de la longitud del tubo. Si la cuarta parte mide 11/14 de metro, ¿cuál es la longitud del tubo? C. 6 metros D. 7 metros

E. 12 metros

15. Una fracción sumada con su inversa resulta 50 veces el valor de la fracción original. Si el producto de los términos de la fracción es 50 575, señala la diferencia de los números A. 105

B. 150

C. 220

D. 300

E. 510

37

ARITMÉTICA

Múltiplos y Divisores

1. Halla un número de 4 cifras abcd que sea divisible por 19 y tal que ab – cd = 4. Da como respuesta el Tipo UNI 2002 – II número de soluciones. A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

2. Si n es un entero positivo, determina el residuo que se obtiene al dividir 35n + 3 + 310n + 2 + 34 entre 11.

9. De una baraja de 52 cartas se extrae un grupo de cartas (menos de 52) tal que la cuarta parte son corazones y los dos quintos son espadas. Obtén la suma de las cantidades de los posibles tréboles extraídos, sabiendo que el número de diamantes coinTipo UNI 2007 – II cide con el de corazones. A. 2

B. 4

C. 6

D. 7

E. 8


B. 4

C. 7

D. 3

E. 6

3. Si a y b son reales positivos, determina el menor producto de a y b tales que a + b y a2 + b2 sean enteros, UNI 2004 – I pero a4 + b4 no lo sea. A. 0,25

B. 1/3

C. 2/3

D. 0,45

4. Determina el valor de n si el número


2n+1 cifras

B. 6

C. 5

D. 7

E. 3

5. Si el número 5abc se divide entre 43, se obtiene 34 de residuo. ¿Qué residuo se obtiene al dividir abc4 Tipo UNI 2005 – I entre 43? A. 12

B. 9

C. 6

D. 24

B. 24

C. 36

D. 48

E. 60

7. Calcula todos los restos posibles de la división del cuadrado de un número entero entre 9. Tipo UNI 2006 – I

A. 1; 4; 7 B. 0; 1; 4 C. 0; 1; 4; 7

C. 108

D. 4

E. 32

11. Del total de damas de una oficina, 2/3 son morenas, 1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules. Si el número de damas es un número de tres cifras menor que 150, ¿cuántas no son morenas ni tienen ojos azules? A. 12

B. 24

C. 36

D. 28

E. 35

12. Del 2 000 al 3 000, ¿cuántos números son múltiplos de 7 pero no son múltiplos de 13? A. 132

B. 127

C. 125

D. 115

E. 121

13. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 8 y terminan en cifra 4? A. 20

B. 21

C. 22

D. 23

E. 24

14. En una fiesta habían 120 personas entre damas, caballeros y niños. El número de caballeros que no bailaban en un momento era igual a la tercera parte del número de damas; el número de niños era igual a la quinta parte del número de damas y la cuarta parte del número de damas fue con vestido blanco. ¿Cuántas damas no bailaban en ese momento? A. 48

B. 32

C. 60

D. 28

E. 45

15. Dada la siguiente secuencia:

D. 0; 1; 7

23 = 13; 23 = 14; 23 = 15; ......; 23 = 200

E. 0; 1; 4; 6

¿Cuántos términos de esta secuencia son múltiplos de 7, más 2?

8. Un número N de la forma N = ab0ab0; a ≠ 0 es siemTipo UNI 2006 – I pre divisible por: A. 2; 5; 7; 11; 13 B. 2; 5; 7; 11 C. 2; 5; 7; 13 D. 2; 5; 11; 13 E. 2; 3; 5; 7; 11

38

B. 96

E. 16

6. El número de alumnos de una sección es menor que 70 entre hombres y mujeres. Si el número de hombres es mayor que el triple de mujeres y, además, ambos son múltiplos de 12, determina el número de homUNI 2005 – II bres. A. 12

Tipo UNI 2008 – I

A. 12

E. 0,5

º +8 R = n00.......00 = 11 A. 8

10. En una reunión hay 156 personas, la mayor parte son mujeres. Si la novena parte de las mujeres son abogadas y la octava parte de los hombres son ingenieros, ¿cuántas mujeres no son abogadas?

A. 24

B. 26

C. 27

D. 29

E. 30

16. Determina el mayor de los números de 5 cifras de la forma ab0cd sabiendo que es divisible por 37 y que cd = ab + 1. Da como respuesta a + b + c + d. A. 17

B. 23

C. 21

D. 9

E. 13


A. 1

ARITMÉTICA

Criterios de Divisibilidad

1. Determina un número de la forma 1a8bb tal que dividido entre 7 o entre 11 no deje residuo. Da como respuesta la suma de las cifras de dicho número.

$

10. Sabiendo que el número 4abc = 23 + 8, ¿cuál es el menor número que se le debe sumar a abc4 para que sea múltiplo de 23?

Tipo UNI 2000 – I

A. 28

B. 30

C. 25

D. 15

E. 36

2. Dado el número 1a11a111a1111a… de 65 cifras. Determina el valor del dígito a, de modo que dicho número sea divisible por 9. Tipo UNI 2000 – II

A. 4

B. 7

C. 5

D. 8

E. 6

3. El número 1a39b es múltiplo de 11. Determina la suma del mayor y el menor valor que puede tomar dicho número. Tipo UNI 2000 – II A. 29 788

C. 28 788

B. 29 798

D. 28 998

E. 29 988

A. 10

C. 12

B. 11

D. 13

E. 14

11. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 7 pero no de 5? A. 104

C.101

B. 103

D. 102

E. 100

12. Se conoce que 6a09 es múltiplo de 17, halla el valor de a. A. 2

C. 5

B. 1

D. 8

E. 4

13. Halla a u b, si 6ab49c es múltiplo de 504.

4. Halla la suma de las cifras del mayor número de la forma abaac que es múltiplo de 24.

A. 18

C. 14

B. 16

D. 12

E. 10


A. 2

B. 30

C. 33

D. 42

E. 36

5. A la derecha del número 347 se colocan x cifras 5. Halla el menor valor de x si además es mayor que 15 y el número resultante es múltiplo de 9. A. 16

C. 18

B. 17

D. 19

E. 20

6. Calcula el valor de “a” sabiendo que a643nn es múltiplo de 72.


7.

A. 6

C. 7

B. 5

D. 8

E. 4

El complemento aritmético de un número de 4 cifras iguales es múltiplo de 7. Halla la suma de las cifras del número. A. 8

C. 16

B. 12

D. 20

E. 24

8. Da la suma de las 4 cifras de aquel número tal que dividido entre 4; 9; 11 y 25 deja como residuos 1; 5; 1 y 14 respectivamente. A. 20

C. 24

B. 23

D. 25

E. 26

9. Determina un numeral de 4 cifras diferentes divisible por 7 y tal que si se le suma 1 se convierte en múltiplo de 8 y si se le suma 1 más se convierte en múltiplo de 9 y si se le suma 1 más se convierte en múltiplo de 10. Da como respuesta su cifra de decenas. A. 2

C. 5

B. 4

D. 6

E. 7

14. Si el número abccba es múltiplo de 7 y c > a, halla el residuo que se obtiene al dividir acacacac entre 11. A. 6

C. 4

B. 5

D. 2

E. 10

15. Se conoce que 3a43 es múltiplo de 19, halla el valor de a. A. 2

C. 5

B. 1

D. 8

E. 7

16. Se conoce que a2bb94c es múltiplo de 8; 11 y 7, halla el valor de a. A. 5

C. 2

B. 6

D. 9

E. 4

17. Si el número abcd es múltiplo de 43, y cd – ab = 15, halla el valor de a + b + c + d. A. 12

C. 15

B. 18

D. 8

E. 14

18. ¿Cuál es el tercer menor valor de n para que el número 1234444………4 de n + 3 cifras sea múltiplo de 9? A. 3

C. 21

B. 12

D. 18

E. 24

19. Un número de tres cifras es divisible por 9; si se invierte el orden de sus cifras es múltiplo de 5 y el número formado por sus dos primeras cifras es múltiplo de 8. Halla la suma de la cifra del primer orden con la de tercer orden. A. 11

C. 13

B. 12

D. 14

E. 9

39

ARITMÉTICA

Números Primos y Compuestos

1. Se sabe que la descomposición canónica de un nú-

( ) ( ac )

b

y que tiene

32 divisores. Entonces el menor valor posible de (a + UNI 2000 – II b + c) es: A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

E. 14

2. Si 20 < p + q < 30 y p2 + q2 = 2r2, donde p, q y r son números primos todos diferentes, entonces p + q + r UNI 2001 – I es igual a: A. 28

B. 30

C. 33

D. 35

E. 37

3. Si 150! simboliza al producto 1 = 2 =3...... = 150, y termina en n ceros, determina el valor de n. Tipo UNI 2002 – II

A. 37

B. 30

C. 36

D. 39

B. 20

C. 32

D. 40

E. 52

5. Si p, q, r, s son números primos, diferentes entre sí, tales que 20 < p + q < 30; 20 < r + s < 30; p2 + q2 = r2 + s2, entonces, la suma p + q + r + s es igual a: UNI 2005 – I

A. 50

B. 54

C. 58

A. 72

D. 62

E. 66

6. Si el producto 1 = 2 = 3 = 4 ......=180 se descompone en el producto de sus factores primos, calcula la suma de los exponentes de los factores primos 2 y 5. Tipo UNI 2005 – II

B. 44

C. 220

D. 210

E. 195

7. Sean aa, bc y (b + 1)(c – 2) tres números primos, tales que el primero divide a la suma de los otros dos. Si r1 y r2 son los restos de dividir el segundo entre el primero y el tercero entre el primero, respectivamenUNI 2006 – II te, entonces r1 – r2 es igual a: A. 8

B. 3

C. 1

D. –3

E. –8

8. ¿Cuántos divisores primos tiene 189 189?

Tipo UNI 2007 – I

A. 48

B. 44

C. 43

D. 4

E. 5

9. Si N2 tiene 35 divisores y N3 tiene 70 divisores, ¿cuánTipo UNI 2008 – I tos divisores tiene N4? A. 117

40

B. 105

C. 90

D. 96

C. 36

D. 24

E. 12

11. Sabiendo que 12 = 45n tiene 150 divisores, halla la cantidad de divisores que posee 45 = 60n A. 378

B. 616

C. 420

D. 360

E. 486

12. Sea “m” la cantidad de divisores múltiplos de 12 que posee el número 18 000 y sea “n” la cantidad de divisores múltiplos de 15 que posee el número 24 000. Halla la cantidad de divisores que posee el número (m + n)m – n A. 28

B. 35

C. 40

D. 60

E. 72

13. Si el número 12n = 28 tiene 152 divisores compuestos, halla el valor de “n” A. 1

E. 120

B. 3

C. 5

D. 7

E. 9

14. ¿Cuántas cifras 0 (cero) es necesario escribir a la derecha de 27 para que el número así formado posea 144 divisores? A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

E. 8

15. Si A = 8k + 82 + k tiene 84 divisores compuestos, ¿cuántos divisores tiene B = 6k + 1 + 6k + 2? A. 300

A. 176

B. 48

E. 31

4. Sean p y q el menor y el mayor factor primo del número 1 004 006 004 001. Si q – p = 6, entonces la UNI 2003 – I suma q + p es: A. 16

10. Sea “n” la cantidad de divisores de 21 600. Halla la cantidad de divisores de “n”.

B. 200

C. 128

D. 162

E. 968

16. Sea A el menor número natural que tiene 12 divisores. ¿Cuántos divisores divisibles por 6 tiene A2? A. 33

B. 30

C. 18

D. 24

E. 36

17. Determina el menor número natural que sólo admita 3 divisores primos que suman 16 y además posea 30 divisores. Da como respuesta la cantidad de divisores del número que resulta de invertir el orden de las cifras del número original. A. 18

B. 21

C. 24

D. 30

E. 36

18. Halla (a + b), si el número N = 3a = 2b tiene 28 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores múltiplos de 4. A. 11

B. 12

C. 13

D. 10

E. 9

19. Si el número abcabc tiene 40 divisores, ¿cuántos divisores tiene abca? A. 8

B. 12

C. 16

D. 20

E. 24


mero entero positivo N es N = ab

c

ARITMÉTICA ALGEBRA

Factorización MCD Y MCM

1. Se trata de formar un cubo sólido con ladrillos cuyas dimensiones son 10 cm, 15 cm y 24 cm. Determina el número de ladrillos que se necesita para formar el cubo más pequeño, colocados todos en una posición uniforme. Tipo UNI 2001 - II A. 240

B. 480

C. 360

D. 600

E. 300

2. Sean los números P = 2546, Q = 3363, R = 7182, su escritura en orden creciente es: Tipo UNI 2002 - I

A. R, Q, P

C. P, Q, R

B. Q, R, P

D. R, P, Q

E. P, R, Q

11. Un cerrajero cuenta las llaves que tiene por decenas, docenas y quincenas, y en cada caso le sobran siempre 7 llaves. Si vende a razón de S/.1 cada una, recauda entre S/. 500 y S/. 600. ¿Cuántas llaves tenía el cerrajero? A. 541

Tipo UNI 2002 - II

A. 22

B. 32

C. 27

D. 30

E. 33

4. Al descomponer en sus factores primos, los números A a ` y B se expresan como A = 3 b2; B = 3 a, con a y ` consecutivos. Sabiendo que su mínimo común múltiplo y su máximo común divisor son 675 y 45 respectivamente, halla el valor más pequeño de A + B. Tipo UNI 2006 - I

A. 360

B. 368

C. 456

D. 720

E. 810

5. Si se sabe que: MCD(aac; (a – 1)(a – 1) b) = 15

Determina la suma de todos los posibles valores de Tipo UNI 2006 - II

a + b + c + d. A. 23

B. 24

C. 25

D. 15

E. 9

6. Determina el valor de n sabiendo que el máximo común divisor de 120n × 45 y 80n × 60 tiene 156 divisores. ©Grupo Editorial Norma S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822

Tipo UNI 2007 - I

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

7. ¿Cuántos pares de números comprendidos entre 600 y 900 tienen como máximo común divisor a 48? Tipo UNI 2007 - II

A. 10

B. 11

C. 12

D. 2

E. 4

8. La suma de dos números es 300, al dividir su MCM entre su MCD se obtiene 24 de cociente. ¿Cuál es el mayor de los números? A. 288

B. 144

C. 96

D. 240

E. 196

D. 547

E. 555

B. 32

C. 44

D. 47

E. 50

11. Se requiere formar un cubo con ladrillos de dimensiones 54; 36; 48 cm3 colocándolos en una posición uniforme y sin romper ningún ladrillo. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para formar el cubo más pequeño posible? A. 215

B. 325

C. 452

D. 864

E. 658

12. Un libro tiene 256 páginas, otro tiene 160 páginas. Si se sabe que los dos están formados por cuadernillos con el mismo número de páginas y que éste es superior a 20, ¿cuántos cuadernillos tienen en total los 2 libros. A. 10

MCD(aac; da(a – 1)) = 66

C. 545

10. Se tiene 3 cajas de galletas sueltas con 288; 360 y 408 unidades; desea venderse en paquetes pequeños de igual cantidad, que estén contenidas exactamente en cada una de las cajas. ¿Cuál es el menor número de paquetes que se obtiene, sin desperdiciar galletas? A. 24

3. Calcula la suma de las cifras del MCM de 28 – 1 y 212 – 1.

B. 543

B. 11

C. 12

D. 13

E. 14

13. Tres coches salen un mismo día y al mismo tiempo de una población para hacer el recorrido de 3 líneas distintas. El primero tarda 7 horas en volver al punto de partida y se detiene en éste 1 hora, el segundo tarda 10 horas y se detiene 2, y el tercero tarda 12 horas y se detiene 3. ¿Cada cuánto tiempo saldrán a la vez los tres coches de dicha población? A. 60 horas B. 120 horas

C. 72 horas D. 24 horas

E. 240 horas

14. En una empresa en la que trabajan 150 empleados, salen de vacaciones un cierto número de ellos. Si se agrupan los que quedan, de a 10, de a 12, de a 15 ó de a 20, siempre sobran 6 empleados, pero agrupándolos de a 18, no sobran ninguno. ¿Cuántos empleados hay de vacaciones? A. 18

B. 24

C. 54

D. 32

E. 66

15. ¿Cuál es la última cifra del MCD de 7120 – 1 y 772 – 1? A. 0

B. 2

C. 4

D. 8

E. 6

41

ARITMÉTICA

Razones y Proporciones

1. Cuatro números enteros positivos a, b, c, d están relacionados de la siguiente forma: UNI 2000 – II a2 b a2 b 2 d c b abc Si b ka, entonces a b c d es igual a:

C. D.

2

A. k k k − 1 E.

B. k3 − k 1 C. k3 − k2 k 1

7.

D. k3 k2 − k − 1 E. k3 k − 1

B. 145

C. 180

D. 167

E. 120

3. En una fiesta, el número de hombres y el número de mujeres asistentes están en la relación de 5 a 2. Después de 5 horas se retiran 30 parejas y ocurre que la nueva relación de hombres a mujeres es de 10 a 3. Entonces, el número original de asistentes a la fiesta Tipo UNI 2000 – II fue de: A. 280

B. 294

4. Sabiendo que

C. 42 A a

B b

D. 350 C c

D d

E. 210

ACD B3

b 4


acd

B. k4

A. k

b3 C. k2

D. k

E.

4

k

5. Cuatro atletas deben recorrer 1 000 m planos en una competencia con relevos cada 250 m. Si las velocidades de los tres primeros relevos fueron 8; 9; 10 m/s, ¿qué velocidad debe tener el cuarto relevo para igualar el récord establecido con un promedio de 9,6 m/s? Tipo UNI 2002 – I A. 12 m/s B. 11,9 m/s

C. 12,6 m/s

42

Ah AB

Bh AB ABh A2 B2

Si el promedio de 15 números de entre los 50 primeros números pares positivos es 46,4; el promedio de los 35 números restantes es aproximadamente: A. 50

B. 51

UNI 2002 – II

D. 54

E. 53


A. 4/7

B. 5/7

C. 3/8

D. 5/8

E. 1/3

9. La suma de las razones geométricas que se pueden formar con dos cantidades es 7. Determina la relación entre la media geométrica y la media armónica de esas dos cantidades. Tipo UNI 2004 – I B. 2,5

C. 1,5

D. 1,2

E. 3

10. En un taller de confecciones se hacen 8 docenas de pantalones por semana, en otro taller hacen 3 decenas de camisas por día. Cuando en el primer taller hacen 12 docenas de pantalones, ¿cuántas camisas habrán hecho en el segundo taller? Tipo UNI 2005 – I

A. 270

B. 345

C. 450

D. 360

E. 315

11. Si a y b son números enteros mayores que 150 tales que a + b = 360, ¿cuál de las siguientes alternativas Tipo UNI 2005 – II es la razón exacta de a/b? A. 3/7

B. 5/7

C. 4/5

D. 3/5

E. 4/11

12. Si a, b, c son números positivos tales que a2 b6 a b6 3c

D. 12,4 m/s

C. 55

8. Cuatro atletas dan una vuelta a una pista atlética en 120; 160; 200 y 300 segundos respectivamente, dando pasos de distinta longitud, pero los cuatro, cada paso en el mismo tiempo. Calcula la razón de la longitud de cada paso del atleta más veloz con la suma de las longitudes de los pasos de los otros atletas.

E. 11,8 m/s

6. En un partido de fútbol entre los equipos M y W, la relación de hinchas al iniciar el encuentro es como A es a B (A > B) a favor del equipo W. Sin embargo, luego de un gol del equipo M la relación inicial se invierte. Sabiendo que el encuentro se inició con h espectadores, resulta que el número de espectadores que se cambiaron al equipo M es: A.

A−B

A. 2

y además

(A a)(B b)(C c)(D d) k4, calcula B4

AB (A B)h

Tipo UNI 2003 – I

2. Se tiene cuatro números. Al añadir el promedio de tres de ellos al número restante, se obtienen los números 67; 57; 51 y 47. Entonces, la suma de los cuatro Tipo UNI 2000 – II números es igual a: A. 121

(A − B)h

A. 1

b6

a2

c

b6

2

B. 2

k , entonces c − k es igual a: UNI 2006 – I

C. 3

D. 4

E. 5

13. Sean a, b, c, d números naturales tales que: I.

a b

ac d

b c

k ;

k D − !1 ; 2#

II. d − c 39 Entonces el valor de d − b es: A. 1

B. 3

C. 5

UNI 2006 – II

D. 7

E. 11


3

B.

ARITMÉTICA

Magnitudes Proporcionales

1. Un equipo de 9 alumnos resuelve en 4 horas una tarea consistente en 8 problemas de igual dificultad. La siguiente tarea consiste en resolver 6 problemas cuya dificultad es el doble que la de los anteriores. Si no se presentan 3 integrantes del equipo, entonces los restantes alumnos harán la tarea en: Tipo UNI 2000 – I

A. 6 h

B. 8 h

C. 10 h

D. 5 h

E. 9 h

2. Supongamos que A varía directamente proporcional a B, e inversamente proporcional a C y D. Si A = 20 cuando B = 30, C = 12 y D = 1 0. Determina el valor de A cuando B = 48, C = 8 y D = 15. Tipo UNI 2007 – I

A. 30

B. 32

C. 36

D. 48

E. 54

3. Si M es directamente proporcional con P2 e inversamente proporcional con N/2, cuando M = 18, P = 3 y N = 8. Halla N cuando P es 6 y M es 45. A. 6,4

B. 7,2

C. 8,4

D. 10,5

E. 12,8

4. En una empresa el sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado del número de años de su servicio. Un empleado tiene actualmente 18 años de servicio. ¿Dentro de cuántos años cuadruplicará su sueldo? A. 18

B. 36

C. 54

D. 20

E. 25

5. El peso de un disco es DP al cuadrado de su radio y a su espesor, 2 discos tienen sus espesores en la razón de 8 a 9 y el peso del segundo es la mitad del peso del primero. ¿Cuál es la razón de sus radios? A. 8/9

B. 8/5

C. 3/2

D. 1/4

E. 1/5

8. El peso de un eje varía proporcionalmente a su longitud y su sección transversal. Si un metro de hierro forjado de un centímetro de diámetro pesa 0,6 kg, calcula el peso de un eje de 5 m de largo y 5 cm diámetro. A. 60 kg

C. 75 kg

B. 105 kg

D. 120 kg

9. El precio de un diamante es DP al cuadrado de su peso. Un diamante se divide en 3 partes que son DP a 2; 3 y 5. Si la diferencia en precios de la mayor y la menor de las partes es S/. 42 000, determina el precio del diamante entero. A. S/.120 000

C. S/. 420 000

B. S/. 200 000

D. S/. 180 000


A. 70

B. 72

C. 60

D. 90

E. 96

7. Se sabe que “A” es DP con “B” y que “B” es DP con “C”. Si cuando A aumenta 15 unidades “B” varía en un 20%, ¿qué pasa con C cuando A disminuye 50 unidades?

E. S/. 210 000

10. Sea V el volumen de un paralelepípedo rectangular de ancho “a”, largo “b”, altura “h”, las cuales son variables, h es independiente del valor de a; b es inversamente proporcional al valor de a. Entonces: A. V es directamente proporcional a “a”. B. V es inversamente proporcional a “a”. C. V es directamente proporcional a “b”. D. V es inversamente proporcional a “b”. E. V es directamente proporcional a “h”.

11. Se sabe que una magnitud “A” es DP a la raíz cuadrada de “B” para valores de “B” menores o iguales a 45 y que “A” es IP al cuadrado de “B” para valores de “B” mayores o iguales a 45. Nótese que B = 45 es un punto de enlace. Si cuando B = 5, A = 12, halla “A” cuando B = 90. A. 8

6. Una rueda A de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fija al eje B, hay otra rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda D?

E. 90 kg

B. 27

C. 9

D. 3

E. 81

12. Se sabe que el caudal es la constante de proporcionalidad para el área de la sección transversal de una tubería y la velocidad del agua que circula a través de ella, y éstas magnitudes son IP en una tubería de 2 sectores uno más angosto que el otro, los radios están en la relación de 2 es a 3. Si la velocidad en el sector de mayor radio es 12 m/s, calcula la velocidad en el otro sector. A. 24 m/s

C. 27 m/s

B. 45 m/s

D. 23 m/s

E. 32 m/s

A. Se duplica. B. Se reduce a la mitad. C. Se triplica. D. Se reduce a la tercera parte. E. Se cuadruplica.

13. Si A es directamente proporcional con C, y C es inversamente proporcional con B; cuando A es 6, B es 40. Determina A cuando B es 25. A. 9,2

B. 9,6

C. 9,8

D. 8,6

E. 4,8

43

ARITMÉTICA

Reparto Proporcional

Tipo UNI 2000 – I

A. 10 años

C. 12 años

B. 16 años

D. 20 años

E. 15 años

2. Un hombre muere dejando a su esposa embarazada una herencia de $180 000 que se repartirá de la siguiente forma:

t BMBNBESFZBMBDSJBUVSBTJOBDFWBSØO

t BMBNBESFZBMBDSJBUVSBTJOBDFOJ×B Pero sucede que la señora da a luz un varón y una niña. Entonces, lo que le toca a la niña es: Tipo UNI 2000 – II

A. $ 36 000

C. $ 100 000 E. $ 30 000

B. $ 50 000

D. $ 48 000

3. Tres socios reúnen $9 600 para hacer una inversión, donde el primer socio obtiene una ganancia de $ 3 600, el segundo $ 8 400 y el tercero $ 12 000. ¿Cuánto aportó el primer socio? Tipo UNI 2000 – II A. $ 1 440

C. $ 4 800

B. $ 3 360

D. $ 1 840

E. $ 2 400

4. Dos amigas compran a y b papayas (a > b), respectivamente; en el camino se encuentran con un amigo y deciden compartir entre los tres las papayas, en partes iguales. Si el amigo pagó P nuevos soles por su parte, entonces la cantidad de dinero que recibe la primera de las amigas es: UNI 2003 – I

A.

B.

(a − b)P ab 2aP ab

C.

D.

(b − 2a)P ab

E.

ab

5. Cuatro amigos deciden ir a un concierto, pero uno de ellos no tiene dinero para pagar la entrada, entonces los tres primeros hacen un pozo para pagar la entrada de su amigo; aportan respectivamente S/. 60, S/. 105 y S/. 135. Luego del concierto el amigo, en agradecimiento les da 40 CDs para que se lo repartan los tres primeros. ¿Cuántos CDs le corresponde a cada uno, respectivamente?

44

B. 6; 14; 20

D. 8; 14; 18

C. $ 10 800

B. $ 14 400

D. $ 9 600

E. 6; 12; 22

E. $ 28 800

7. Un padre deja una herencia a sus tres hijos. La reparte en partes inversamente proporcionales a los números 8; 6 y 3 empezando por el hijo mayor, respectivamente. Si el valor de la herencia asciende a $ 135 000, ¿cuánto le corresponde al hijo menor? Tipo UNI 2005 – I

A. $ 27 000

C. $ 36 000

B. $ 54 000

D $ 45 000

E. $ 72 000

8. Un grupo de 12 albañiles ha trabajado en una obra 15 días a razón de 8 horas diarias; un segundo grupo de 18 albañiles ha trabajado en la misma obra 10 días a razón de 9 horas diarias. Si en total recibieron S/. 10 200, entonces el primer grupo de Tipo UNI 2006 – I albañiles recibe: A. S/. 5 400

C. S/. 4 800

B. S/. 7 200

D. S/. 3 000

E. S/. 6 000

9. En una barra de madera de 30 cm se realizan n cortes tal que las partes obtenidas sean proporcionales a los números 1; 2; 3;…; n. La media aritmética de las inversas de la menor y mayor de las partes es: A. B. C. D. E.

ab

C. 8; 12; 20

Tipo UNI 2004 – I

A. $ 21 600

aP

(2a − b)P

A. 5; 15; 20

6. Se reparte una herencia en partes inversamente proporcionales a las edades de tres hermanos y reciben $ 32 640, $16 320 y $12 240. ¿Cuánto hubiera recibido el hermano de menor edad si el reparto se hubiera hecho directamente proporcional a las edades?

UNI 2006 – II

120 n2 120 (n 1)2 (n 2)2 120 60 (n 2)2 (n 1)2 120

10. Un padre de familia dejó ordenado hacer el reparto de su herencia en forma DP a las edades de sus hijos de 24 y 16 años. El reparto se hace luego de dos años, recibiendo entonces uno de ellos $ 50 más que si el reparto se hubiese hecho inmediatamente. Calcula el monto de la herencia. A. $ 5 500

C. $ 5 000

B. $ 4 000

D. $ 6 000

E. $ 4 500


1. Cuatro hermanos reciben una herencia que la reparten en cantidades iguales a sus edades (en miles de soles); pero luego piensa el menor: si yo tuviera la tercera parte y mis hermanos la cuarta, la quinta y la octava parte de lo que nos ha tocado, entonces todos tendríamos cantidades iguales y aún sobraría 64 mil nuevos soles. Halla la edad del menor de los hermanos.

ARITMÉTICA ALGEBRA

Regla de Factorización Tres Simple

1. Un contratista dice que puede terminar un tramo de una autopista en a días si le proporcionan un cierto tipo de máquinas, pero con c máquinas adicionales de dicho tipo, puede hacer el trabajo en b días (a – b = 1). Si el rendimiento de las máquinas es el mismo, entonces el número de días que empleará una máquina para hacer el trabajo es: Tipo UNI 2001 - II 2

2

2

A. a bc B. ab c C. abc

D. abc E. (a + b)c

2. En una obra se observa que faltando 48 días para su culminación fueron despedidos 15 obreros. ¿Cuántos obreros adicionales se deben contratar a 18 días para la culminación para así cumplir con el plazo estipulado? Tipo UNI 2004 - I A. 36

B. 40

C. 32

D. 30

E. 48

3. En un cuartel se calculó que los alimentos alcanzaban para 65 días, pero al término de 20 días se retiraron 200 soldados por lo que los alimentos duraron para 15 días más de lo calculado. ¿Cuántos eran los soldados inicialmente? A. 400

B. 480

C. 550

D. 600

E. 800

4. La cantidad de granos de maíz que entran en un balón esférico de 3 dm de diámetro es 120. ¿Cuántos granos entrarán en un balón de 6 dm de diámetro? A. 480

B. 600

C. 960

D. 1 440 E. 840

5. Una guarnición de 2 250 hombres tienen provisiones para 70 días. Al terminar el día 29 salen 200 hombres. ¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que quedan, al resto de la guarnición?

8. Una obra pueden terminarla 63 obreros en 18 días, pero deseando terminarla 5 días antes, a los 4 días de trabajo se les une cierto número de obreros de otro grupo. ¿Cuántos obreros se les unieron? A. 30

B. 45

C. 60

D. 75

E. 48

6. Si 40 Kg de agua salada contiene 3 1/2 Kg de sal, ¿qué cantidad de agua debe dejarse evaporar para que 18 kg de la nueva mezcla contenga 3 kg de sal? A. 18 kg B. 19 kg C. 20 kg D. 21 kg

E. 22 kg

7. Sabiendo que la eficiencia de A es de 75%, que la eficiencia de B es de 60% y además B puede hacer una obra en 18 días. ¿En cuántos días podrán hacer juntos la obra? A. 4

B. 5

C. 8

D. 9

E. 12

C. 42

D. 49

E. 60

9. Un ingeniero puede construir un tramo de autopista en 3 días con cierta cantidad de máquinas; pero emplearía un día menos si le dieran 6 máquinas más. ¿En cuántos días podrá ejecutar el mismo tramo con una sola máquina? A. 36

B. 42

C. 48

D. 30

E. 54

10. En la construcción de un túnel de desagüe, se emplearon 8 obreros, que pueden terminar la obra en 28 días; 7 días después de empezado la obra se aumentaron cuatro obreros. Calcula los días que habrá durado la obra. A. 20 días B. 23 días

C. 21 días D. 24 días

E. 22 días

11. Si una persona puede hacer el 20% de una obra en 8 días trabajando 6 horas diarias, ¿qué porcentaje de la misma obra podrá hacer en 18 días, trabajando 10 horas diarias? A. 48%

B. 50%

C. 56% D. 64%

E. 75%

12. Doce albañiles y catorce peones se comprometen en hacer una obra en 30 días. Al cabo del quinto día se despiden a cuatro albañiles y ocho peones debido a que se les dio 20 días más de plazo para concluir la obra. Determina la relación de las eficiencias (Albañil/Peón). A. 2/3

A. 30

B. 35

B. 3/2

C. 3/4

D. 4/3

E. 5/4

13. Un grupo de obreros promete hacer una obra en 15 días, pero cuando ya habían trabajado 5 días, contratan 9 obreros más con los que terminaron el trabajo 2 días antes. ¿Cuántos obreros había en el grupo inicialmente? A. 45

B. 39

C. 36

D. 27

E. 18

14. Un reloj que se adelanta 3 minutos cada media hora; actualmente marca la hora exacta, es decir 18:00. ¿Qué hora marcará mas tarde, cuando la hora exacta sea 21:50? A. 22:13 B. 22:30

C. 22:23 D. 22:35

E. 21:40

45

ARITMÉTICA

Regla de Tres Compuesta

1. Un equipo de 9 alumnos resuelve en 4 horas una tarea consistente en 8 problemas de igual dificultad. La siguiente tarea consiste en resolver 6 problemas cuya dificultad es el doble que la de los anteriores. Si no se presentan 3 integrantes del equipo, entonces los restantes alumnos harán la tarea en:

7. Se contrató a un grupo de obreros para que una obra sea terminada en 21 días, con 25 obreros trabajando 8 horas; luego de 6 días de trabajo se acordó que la obra quede terminada 5 días antes del plazo establecido. ¿Cuántos obreros más se tuvieron que contratar, sabiendo que se incremento en 2 horas el trabajo diario?

Tipo UNI 2000 - I

B. 8 h

C. 10 h

D. 5 h

E. 9 h

A. 8 B. 30

2. Para cumplir con el pedido de un lote de artículos de exportación se trabajó durante 10 días de la siguiente manera: el primer día trabajaron 6 obreros, el segundo 9 obreros, el tercero 12 obreros y así sucesivamente. Si todos los días se hubiese trabajado con 25 obreros, 30% más eficientes, entonces el número de días en que se habría cumplido con el pedido es: Tipo UNI 2003 - I

A. 5

B. 6

C. 8

D. 9

E. 12

3. Para construir una pista de 1 200 m se ha contratado 24 obreros para trabajar 15 días en jornadas de 8 horas. Pero por conveniencia la pista debe ser de 1 500 m, para ello se contrata 16 obreros más. ¿En cuántos días se construirá la pista con los 40 obreros en jornadas de 10 horas diarias? Tipo UNI 2004 - II A. 15

B. 10

C. 8

D. 9

E. 12

4. Se contrató 15 obreros para terminar una obra en 40 días trabajando 8 horas pero al término de 5 días se retiran 5 obreros y los restantes continúan trabajando 15 días a razón de 7 horas. ¿Qué fracción de la obra falta terminar? A. 27/96 B. 35/96

C. 37/96 D. 21/32

B. 72

C. 42

D. 32

E. 22

6. Quince albañiles trabajando 12 horas, durante 16 días, pueden hacer una zanja de 4 m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de profundidad. Si 20 albañiles trabajando x horas diarias, durante 18 días, pueden hacer una zanja de 3 m de largo 1,5 m de ancho y 2 m de profundidad, calcula "x". A. 4

46

B. 6

C. 8

E. 12

8. 16 obreros pueden hace un canal de 40 m de largo, 10 m de ancho y 4 m de profundidad, en 5 días trabajando 10 horas. Calcula la longitud que tendrá otro canal de 8 m de ancho y 3 m de profundidad que ha sido construido por 12 obreros que laboran durante 40 días a 8 horas con un esfuerzo 25% mayor, con una actividad 50% mayor, que los primeros, respectivamente, y en un terreno cuya resistencia es el doble del primero. A. 300 m B. 150 m

C. 200 m D. 100 m

E. 140 m

9. 8 costureras trabajando con un rendimiento del 60% c/u, han hecho en 20 días de 8 horas, 200 pantalones para niños con triple costura. ¿Cuántas costureras de 80% de rendimiento c/u, harán en 24 días de 10 horas, 450 pantalones para adulto con doble costura? Si además se sabe que a igual numero de costuras los pantalones para adultos ofrecen una dificultad que es 1/3 más que la que ofrece los pantalones para niños. A. 6 B. 9

C. 7 D. 10

E. 8

E. 25/96

5. Para regar un terreno se han contratado 50 peones. Al cabo de 24 días han hecho 1/6 de su trabajo; si en el mismo tiempo 42 peones de otro grupo pueden hacer 4/11, ¿cuántos peones del segundo grupo deberán pasar al primero, para que puedan terminar su trabajo en 56 días mas? A. 62

C. 5 D. 15

D. 10

E. 12

10. Para enlosar el piso de una sala de 5 m de largo y 4 m de ancho, se han empleado tres operarios, durante 2 días, trabajando 10 horas diarias. ¿Cuántos operarios harán falta para enlosar en 3 días, trabajando 8 horas diarias, otro piso de 8 m de largo y 5 m de ancho? A. 9 B. 6

C. 8 D. 5

E. 7

11. El trabajo que un operario lo hace en 7 días, lo hace un segundo operario en 6 días; el que hace este en 9 días lo hace un tercero en 8 días y el que hace este en 12 días lo hace un cuarto en 14 días. Si el primer operario tarda 27 días en hacer una obra, ¿cuántos días tardará el cuarto? A. 20 B. 28

C. 22 D. 32

E. 24


A. 6 h

ARITMÉTICA ALGEBRA

Tanto Factorización por Ciento

1. Dos recipientes contienen vino. El primero tiene vino hasta los dos tercios de su volumen y el segundo hasta tres cuartos de su volumen. Se completan estos recipientes con agua, vertiéndose las mezclas a un tercer recipiente. Sabiendo que la capacidad del segundo recipiente es el doble que la del primero, entonces el porcentaje de vino que contiene el tercer recipiente es: Tipo UNI 2000 - II A. 70% B. 60%

C. 75,5% D. 60,4%

E. 72,2%

A. 200

2. En una universidad la población estudiantil creció a razón del 25% anual durante los tres primeros años. Al final del tercer año la población es P3. Al final del cuarto año, la población P4 se ajusta a la siguiente proporción . P3 5

=

P4 6,4

.Si la población inicial fue de 6 400 alumnos, Tipo UNI 2003 - II

entonces P4 es: A. 16 000 B. 14 400

C. 18 000 D. 12 600

E. 16 200

3. Un representante de ventas gana por comisión el 11% de las ventas. ¿Cuánto recibirá por comisión, si ejecutada la cobranza y deducida dicha comisión, entrega a la casa comercial la suma de $ 3 916? Tipo UNI 2004 - I

A. $ 431

B. $ 430

C. $ 484

D. $ 480 E. $ 464

4. Un inversionista compra acciones, el 25% son acciones del tipo A que se cotizan a $ 6; el 35% son acciones del tipo B que se cotizan a $ 8, y el 40% son acciones del tipo C que se cotizan a $ 10. Si las cotizaciones de estas acciones se han incrementado en 40%, 60% y 80% respectivamente, entonces la cotización promedio, en porcentaje, de sus acciones se ha incrementaTipo UNI 2004 - II do en: A. 13,8% B. 90%

C. 60%

D. 66%

E. 70%

5. Una tienda vende un producto haciendo descuentos, primero uno de 25% y luego otro de 16%. Una segunda tienda, que tiene el mismo producto y al mismo precio de lista, realiza un descuento del 41%. ¿Cuánto de descuento o de incremento, en porcentaje, debe efectuar la segunda tienda a su precio de lista para que en ambas tiendas el producto tenga el mismo precio final? Tipo UNI 2007 - I A. B. C. D. E.

Incremento del 6,8% Incremento del 7% Incremento del 7,2% Descuento del 6,8% Descuento del 7,2%

6. Un empleado distribuye su sueldo de la siguiente manera: el 40% los gasta en alimentos, una cantidad igual al 50% del gasto anterior en movilidad, otra cantidad igual al 60% del gasto anterior en comprar ropa y una cantidad igual al 70% del gasto anterior en diversiones, si el resto es S/. 147 lo ahorra. ¿Cuánto ahorraría en un determinado mes si no se compra ropa y se abstiene de diversiones? B. 250

C. 300

D. 350

E. 400

7. Se tiene una piscina circular, si se incrementa su altura en un 60%. Calcula que porcentaje hay que aumentar al radio de la piscina, para que su volumen aumente en un 150%. A. 50% B. 94%

C. 18% D. 25%

E. 32%

8. En el 2007 la razón del número de alumnos al número de alumnas, en cierta universidad era 3/2. Al 2008 el incremento total de alumnos (hombres y mujeres) fue el 20%. Si el número de alumnos aumentó en 30%, ¿cuál fue en el último año, la razón del número de alumnos al número de alumnas? A. 13/7

B. 13/8

D. 13/9

D. 17/8

E. 17/9

9. Un fabricante reduce en 4% el precio de venta de los artículos que fabrica para que aumente en 8% la cifra total de sus ingresos. ¿En cuánto tendrá que aumentar sus ventas? A. 11,5%

B. 12%

C. 12,5%

D. 10%

E.15%

10. Una persona "A" da a vender a otra "B" una cinta de acero; esta a su vez se le da a otra "C". Efectuada la venta "C" toma el 10% y le entrega el resto a "B"; "B" toma el 5%, y le entrega al primero S/. 3 933. ¿En cuánto se vendió la cinta? A. S/. 5 400 B. S/. 4 800

C. S/. 5 200 D. S/. 4 600

E. S/. 5 000

11. A una persona se le aumenta el sueldo de la siguiente manera: 20% sobre el 20% de su sueldo; el 20% sobre el 30% de su sueldo aumentado. Si su sueldo final equivale a S/. 110 240, ¿cuál es el sueldo original? A. S/. 100 000 B. S/. 90 000 C. S/. 90 500 D. S/. 80 500 E. S/. 80 000

47

ARITMÉTICA

Interés, Descuento y Mezcla

1. Una persona recibe un préstamo y paga por ella 0,8% mensual de interés simple. Si devolvió el dinero a los 80 días y tuvo que pagar S/. 240 de interés, Tipo UNI 2 000 - I ¿cuál fue la suma prestada?

7. Si la diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional de una letra de cambio de $ 1 200 descontando 75 días antes de su vencimiento es de $ 2, entonces el valor de la tasa de descuento es: Tipo UNI 2 002 - II

C. S/. 22 500

B. S/. 9 600

D. S/. 13 500

E. S/.14 400

Un comerciante debe pagar en 5 meses una letra de S/. 20 000 al 12% de descuento anual. Si renegocia pagando S/. 12 000 y firma una letra pagadera en 10 meses al 15% de descuento anual, entonces el Tipo UNI 2 000 - II valor nominal de la letra es: A. S/. 70 000

C. S/. 7 500

B. S/. 9 000

D. S/. 8 400

E. S/. 8 000

3. Un joyero tiene un lingote de oro de ley 0,800 que pesa 1 800 g. ¿Qué cantidad de oro puro, en gramos, tendrá que añadir al lingote para elevar su ley Tipo UNI 2 001 - I a 0,950? A. 1 800

B. 3 000

C. 4 800

D. 5 400

E. 3 600

4. Una cantidad de $A se divide en dos partes, de tal modo que al ser invertida una de las partes al (a – 2)% anual y la otra al (a + 2)% anual, ambas al mismo tiempo, generan igual interés. Entonces una de dichas partes es: Tipo UNI 2 001 - II

5.

(a + 2)A A. _________ 2a

(a + 1)A C. _________ 2a

(a – 1)A B. _________ 2a

(a + 2)A D. _________ 3a

(2a – 1)A E. __________ 2a

B. 0,940

C. 0,860

D. 0,925

E. 0,840

6. Halla el valor nominal de una letra negociada al 0,8% mensual por 4 meses, sabiendo que la diferencia entre el descuento comercial y el racional es de S/. 4 Tipo UNI 2 002 - I

48

A. S/. 4 031,25

C. S/. 4 020

B. S/. 8 062,50

D. S/. 8 000

B. 15%

C. 18%

D. 20%

E. 24%

8. Una persona invierte $ 30 000 a una tasa del 18% de interés simple anual. Al cabo de 4 años invierte la utilidad a una tasa del 2% de interés simple mensual. Si luego de transcurrido un tiempo t la utilidad de la segunda inversión es el 60% de la utilidad de la primera (en los 4 años), y si no ha retirado la inversión inicial, ¿a cuánto asciende el monto total? Tipo UNI 2 003 - I

A. $ 65 100

C. $ 78 060

B. $ 56 460

D. $ 70 860

E. $ 64 560

9. Se tiene dos pagarés, uno al 10% de descuento anual pagadero en 48 días y el otro al 8% de descuento anual pagadero en 60 días. Si el valor actual de los dos pagarés suma $ 3 700, entonces la suma Tipo UNI 2 004 - II de los valores nominales es: A. $ 3 900

C. $ 3 820

B. $ 3 950

D. $ 3 850

E. $ 3 750

10. Se prestó un capital durante 20 meses, el interés resultó el 15% del monto. ¿Qué porcentaje del monto se producirá en 40 meses? Tipo UNI 2 005 - I A. 57,1

B. 30

C. 55

D. 61,3

E. 33,3

11. ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 9% anual, si los intereses producidos alcanzan Tipo UNI 2 005 - II al 60% del capital?

Se tienen dos aleaciones de plata y cobre de distinta ley; mezclándolos con doble peso del primero que del segundo se obtiene una aleación de ley 0,920; y mezclándolos con doble peso del segundo que del primero se obtiene otra de ley 0,880. ¿Cuál es la ley original de una de las aleaciones? A. 0,900

A. 12%

E. S/.4 000

A. 6 años

C. 6 años 4 meses

B. 7 años

D. 7 años 2 meses

E. 6 años 8 meses

12. Se quiere preparar 60 litros de vino para venderlo a S/.55 el litro, ganando S/.5 por cada litro; para ello, se hace una mezcla con vinos de S/.20; S/.30; S/.60 y S/.70 el litro. Si la mezcla debe tener 10 litros del vino de S/.30, la mayor cantidad posible de vino de S/.70 y por lo menos un litro de cada tipo de vino, ¿cuántos litros de vino de S/.70 el litro se necesita, sabiendo que los volúmenes de las cuatro calidades son números enteros de litros? A. 30

B. 34

C. 32

D. 28

E. 26


2.

A. S/. 11 250

ARITMÉTICA

Estadística

1. A 80 alumnos se aplicó un examen de Matemática y se anotó el tiempo en minutos que empleó cada uno en resolver el examen. Los tiempos se ordenaron en una tabla de frecuencias con amplitudes iguales. He aquí algunos resultados.

3. Las notas de un examen de Matemática están distribuidas en el siguiente histograma de frecuencias:

25

Tiempo (minutos)

mi

fi

Fi

%i

<

;

]

<

;

]

<

;

]

<

;

]

<

;

]

45

15

8 - 11

16

15

15 10

5 - 18

20

20

11 - 14

11 8

14 - 17

5

17 - 20

0

16

Notas

65

¿Cuál es la nota promedio del examen? 71

Tipo UNI 2 001 - I

30

A. 12

Total

Determina el número de alumnos que terminaron el examen en más de una hora. Tipo UNI 2 000 - I

B. 12,8

C. 13

D. 12,6

E. 13,2

4. De una muestra de números enteros, se tiene que el mayor de ellos aparece 8 veces y su frecuencia relativa es 1/175 del total de números impares. Si el total de impares excede en 6 unidades al total de pares, entonces el número de datos de la muestra es: Tipo UNI 2 001 - II

A. 52

B. 19

C. 43

D. 51

E. 48

2. En una planta de ensamblaje de computadoras, el jefe de producción ha puesto a prueba a 50 obreros para estudiar el tiempo de ensamble de un nuevo equipo, obteniendo los resultados siguientes: Tiempo (minutos)

Número de obreros

[35; 40>

7

[40; 45>

11

[45; 50>

14

[50; 55>

12

[55; 60]

6

Total

50

A. 28

B. 22

C. 48

D. 54

E. 50

5. En una tabla de distribución de frecuencias con 6 intervalos de igual amplitud, el valor mínimo es 500 y el valor máximo 1 700. Si la característica medida es el ingreso en soles de un grupo de trabajadores y se sabe además que: f4 = _1_ f3; H5 = 0,95; f6 = 10; h3 = 0,25 2 Donde: f = frecuencia absoluta simple


h = frecuencia relativa simple H = frecuencia relativa acumulada ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan como mínimo 900 soles y como máximo 1 300 soles? Tipo UNI 2 002 - II

Se puede concluir que:

A. 75

B. 37,5

C. 35

D. 30

E. 62,5

I. El 14% de los obreros ensambla la computadora en menos de 40 minutos. II. El 36% de los obreros ensambla la computadora en por lo menos 50 minutos. III. El 25% de los obreros necesita de 40 a 50 minutos para ensamblar la computadora. Tipo UNI 2 000 - II

A. VVV

B. VFF

C. FVF

D. VVF

E. FVV

6. En una distribución simétrica con 5 intervalos y de igual ancho de clase, se conoce los siguientes datos: f5 = 15; h4 = 0,24; H2 = 0,3; x2 + x4 + f 3 = 260 Calcula el valor de la media. A. 47

B. 50

C. 55

D. 60

E. 80

49

ARITMÉTICA

Combinatoria y Probabilidades

1. En un club se desea elegir un presidente, un vicepresidente, un tesorero y un secretario. La condición es que el tesorero sea un varón y el secretario una dama y que nadie puede ocupar más de un cargo. Si son elegibles 15 varones y 12 damas, ¿de cuántas maneras puede elegirse ese grupo directivo? Tipo UNI 2 000 - I

A. 180 000

C. 108 000

B. 54 000

D. 90 000

E. 421 200

2. Un examen consta de 15 problemas de los cuales el estudiante debe contestar 12. Si de los 9 primeros problemas debe resolver por lo menos 7, ¿cuántas posibilidades de elegir 12 problemas tiene el estuTipo UNI 2 000 - II diante? A. 455

B. 351

C. 236

D. 371

E. 216

3. ¿Cuántas palabras de 5 letras, que contengan tres vocales diferentes y dos consonantes diferentes, se pueden formar con 4 vocales incluyendo la “a” y 5 consonantes incluyendo la “m”, de manera que empiecen con “a” y contengan a “m”? Tipo UNI 2 000 - II

A. 288

B. 144

C. 12

D. 72

7. Se tienen 8 números positivos y 6 números negativos, se elijen al azar 3 números y se multiplican. ¿Cuántos de dichos productos resultarán negativos? Tipo UNI 2 004 - I

A. 168

B. 20

C. 48

D. 188

E. 156

8. Se reúnen alumnos de tres universidades: 2 de la UNI, 3 de la USMP y 4 de la UL. ¿De cuántas formas diferentes podrán acomodarse en una fila, de modo que los alumnos de la UNI se encuentren siempre Tipo UNI 2 004 - II juntos? A. 80 640

C. 17 280

B. 40 320

D. 34 560

E. 362 880

9. Para elaborar un examen de 8 problemas se dispone de un banco de 6 problemas de aritmética, 5 de álgebra y 4 de geometría. ¿De cuántas formas puede elaborarse dicho examen si el número de problemas de aritmética debe ser mayor que el número de problemas de álgebra y éste a su vez mayor que el número de problemas de geometría? El examen debe tener problemas de los tres cursos mencionados. Tipo UNI 2 005 - I

E. 576 A. 240

4. En un concurso, una dama debe adivinar el precio de cierto producto. El animador le dice: El precio tiene tres dígitos enteros y dos decimales, los dígitos enteros pueden ser 1; 2; 3; 7; 8 y los dígitos decimales 6; 9, además el precio es mayor que 300. ¿De cuántas maneras se puede dar el precio, si se permite la repetición solo de los dígitos 1 y 2?

B. 840

C. 600

D. 720

E. 960

10. Sean los conjuntos Z = {N, O, R, M, A}, R = {2; 3; 5; 6; 8; 9}. Se desea elaborar placas para autos de la forma z1z2r1r2r3r4 donde zi D Z; rj D R, de manera que no existan símbolos repetidos. Determina el número total de placas diferentes que se pueden elaborar. Tipo UNI 2 005 - II

Tipo UNI 2 002 - I

B. 48

C. 56

D. 84

E. 33

5. ¿De cuántas maneras 3 peruanos, 3 chilenos, 3 argentinos y 3 paraguayos pueden sentarse, ordenadamente, en una mesa circular de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? Tipo UNI 2 002 - II

A. 7 766

B. 3 888

C. 7 776

D. 2 592

E. 15 552

6. En un examen, un estudiante debe resolver 12 problemas de los 15 dados. Si se tiene que resolver necesariamente por lo menos 4 de entre los 6 primeros, entonces el número de maneras en que puede eleTipo UNI 2 003 - II gir los 12 problemas es: A. 135

B. 216

C. 84

D. 435

E. 351

A. 3 600

C. 32 400

B. 2 400

D. 7 200

11. En una carrera de caballos participan 7 ejemplares; un boleto de apuesta tendrá premio si acierta por lo menos dos de las tres primeras posiciones. Halla la probabilidad de tener premio en dicha carrera. Tipo UNI 2 007 - I

A. 2/35

B. 13/210 C. 4/7

D. 4/210

E. 11/210

12. Se desea formar un comité universitario, de 6 miembros, están disponibles 7 estudiantes de ciencias y 8 de humanidades. ¿De cuántas maneras diferentes puede formarse dicho comité que incluya por lo menos a dos estudiantes de humanidades? A. 5 040

50

E. 14 400

B. 3 480

C. 4 380

D. 4 600

E. 483


A. 24

Claves

tPágina 32

Claves

tPágina 41

#

$

&

"

$

&

&

#

%

$

"

&

$

#

&

$

&

%

%

#

$

"

%

$

%

%

#

#

&

%

"

tPágina 33 "

$

#

#

tPágina 42 %

"

&

"

"

tPágina 34

&

%

%

"

%

#

"

$

&

$

$

#

tPágina 43

&

%

$

%

&

$

"

&

#

&

"

$

#

#

%

"

%

$

#

$

$

#

&

$

$

#

#

%

$

&

%

# tPágina 44 tPágina 35 $

%

%

&

%

"

#

#

"

$

&

$

"

$

$

&

"

$

&

"

tPágina 45 tPágina 36 "

%

%

#

&

&

%

"

%

$

%

%

$

#

&

$

$

#

&

$

#

#

$

#

"

$

&

%

$

"

&

#

$

"

$

%

"

%

tPágina 46

tPágina 37 %

%

#

%

$

%

"

$

#

$

&

"

$

$

& tPágina 38


%

&

$

&

&

#

%

$

"

$

#

$

"

%

#

$

#

&

#

%

%

"

&

%

&

tPágina 47 &

"

$

%

"

$

%

"

tPágina 48 "

&

%

"

&

$

&

"

&

"

#

&

#

&

%

tPágina 49 tPágina 39

"

#

%

"

&

#

"

%

#

#

#

%

&

"

"

&

&

#

$

#

%

tPágina 50 $

%

"

%

$

"

#

%

#

&

%

tPágina 40 #

&

"

#

#

$

#

%

"

&

"

"

$

#

&

%

"

%

"

51

ÁLGEBRA

Valor absoluto

1. Determina el conjunto solución de la inecuación ³x − 2³− 3³x 21³ 0

UNI 2005 – I

7. Determina el conjunto solución de la inecuación ³x4 − 10³³x2³2 8x2

A. −∞; −32,5F−15,25; ∞

A. −∞; −1F1; ∞

D. −∞; −1

B. −∞; −11,5F−4,5; ∞

B.

E. 1; ∞

C. −115; −4,5

C.

D. −32,5; −15,25

8. Al resolver la inecuación, el conjunto solución es A a; ∞, entonces el valor de “a” es:

E. −∞; −32,5F−4,5; ∞

5

D.

B. −∞; −1F4; ∞

2 5

E.

2

−

−

41 2 41 2

;

0

³x − x2³− 2

Y !x D /³x2 6³2#entonces X E Y es: A.

2 − ³2 − x³− x

UNI 2007 – II

2. Siendo X !x D /³x2 − 5x³ 4# e

5 2

41

;1 F

A. −5

2

C. 0

9. Si ³x³ 3 entonces,

2 5

B. −1

41 2

C. 1; 4

D. 2

1 m6

1

4−x

E. 4 m, luego de

“m” se puede afirmar: A. m 1

C. m 3/7

E. m 1

B. m 1/2

D. 0 m 1

10. Dados los siguientes enunciados 3. Si el conjunto A !x D / x2 − 1− ³x − 1³0#, entonces el conjunto − A está dado por: UNI 2001 – II

A.

B. −2; 2

C. −2; 2 D. −2; 1

E. −2; 1

p ³x2 − 3x 1³³2x2 − 4x 2³³−x2 3x − 1³ q 4x2 4x 1 0 tiene 2 soluciones reales. r: Si x 0 la ecuación

4. Determina el conjunto solución de la siguiente

x2 ³x³

³x³ x2

1 no tiene solución

real. Cuál(es) son correctos.

A. −

4 5

;

B. −1; −

1 − x 1 x ³x³

4

C. −1; −

5 4 5

4

F

4 5

UNI 2007 – I

5

E. −1; 1

A. Solo I

C. I y III

B. Solo II

D. II y III

E. I, II y III

11. Si se cumple que ³2x b³³y − b³ 3³b − 2³0 D. −1; 1

;1

x, y, b D , determina T (x y 3b 2)0,5

5. Señala la alternativa que tiene la secuencia correcta, después de determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: UNI 2007 – II a I. a D 0; 1D0; ∞ 1−a 2−x II. 1 x 2 0 2x

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

E. 7

12. Determina la suma de los elementos del conjunto: M !x D /³x − 1³2 3³2x − 5³ 3³x − 1³³1 − x³³2x − 5³# A. 0

2 2

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

13. Resuelve ³x 1³− x3 −³2 − x³ (I)

x2 −1

II. −2 x −14 2 A. VVV

B. VVF

x1

³x ³x1 (II)

8

C. VFF

6. Dada la ecuación algebraica

D. FFV x2 − 4 ³x 3³

E. FFF

3

52

B. 1

C. 2

D. 3

C. x −I

B. x I

D. x −I

E. x −I/2

x

2 Determina el número de raíces reales que posee dicha ecuación. UNI 2005 – I A. 0

A. x I

E. 4

14. Calcula

A. a 1

³2a − 5³³3a 5³ ³a − 12³− 22 B. a − 3

C. 1

, si a D ]−1; 2 [

D. −1

E. a


desigualdad:

ÁLGEBRA

Funciones I

1 1 una función definida para los ‘x’ x2 que cumplen la relación x2 1 3 , halla el interva-

1. Sea f x x2

UNI 2001 – II

lo donde varía f(x). A. ]–2; –1]

C. [2; 5]

B. [1; 2,25[

D. [2; 5,25[

x 2 x 3 8. Para la función G ; / x 4

x 3 x 2 Determina el valor donde no está definida la función: A. 0,84

B. 0,86

C. 0,88

D. 0,9

E. 0,99

E. [3; 5,25[ 9. Un avión realiza una maniobra a velocidad supersónica, según la trayectoria 2y2 – x2 = 48. Halla la menor distancia de la trayectoria al punto (6; 0). UNI 2002 – II

2. Si el conjunto:

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

E. 5

G = {(1; 5m – n); (0; 27); (1; 8); (0; 2m + 3n); (mn; m + n)} representa a una función, calcula (mn + 1). A. 44

B. 33

C. 24

D. 30

E. 22

3. El valor mínimo de la función h(x) = √x2 + x + 1 es ‘m’ y el valor máximo de la función f(x) = –3x2 + 6x – 1 es 2 n ‘n’. Entonces es: m A. 3 4

B. 16 3

4. El rango de f x

C. 3 16

D. 4 3

x x 12 2 x es: x

A. –[–1; 1]

C. ]0; ∞[

B. –]–1; 1[

D. ]–∞; 0[

E. 8 3

UNI 2002 – II

C. [1; ∞[

B. [1; 0[

D. ]–∞; 1[

B. – [–2; 2[

D. – [–1; 1]

11. La entrada a un edificio tiene la forma de un arco parabólico y mide 9 metros de alto en el centro y 6 metros en el ancho de la base. Si hay que introducir un objeto de 8 metros de alto. ¿Cuál es el ancho máximo que puede tener dicho objeto? A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

E. ]–1; ∞[

5. Determina el conjunto de los valores del número real ‘r’, tal que la función f(x) = (rx2 – 2rx + 1)–1este definiUNI 2004 – I da en [0; 1]. A. ]–8; 0]

10. El rango de la función f: – {0} A definida por UNI 2007 – II f(x) = x + 1 , es: x A. – ]–2; 2[ C. – ]–1; 1[ E. – {0}

E. ]0; ∞[

12. La función h(t) = 2a2t2 – t4 + b – a4, con b – a4 > 0 representa la fórmula de crecimiento de una población de conejos en un ambiente con recursos limitados, en función del tiempo t en años (a > 0). Calcula el valor de t para que la población sea máxima. A. t = 1

C. t = a2

B. t = a

D. t = b – a

E. t = b


13. Sean las funciones f y g definidas por 6. La población de venados de una región esta dado por la función vt) = –t4 + 21t2 + 100, donde t es el tiempo en años. Entonces, el intervalo de tiempo donde ocurre la población máxima de venados es: UNI 2003 – I

A. [0; 1]

C. [4; 5]

B. [2; 3]

D. [1; 2]

4

E. [3; 4]

2

x 2x ; x 2; 2

7. Si G se define por: g x x 1; x 2

f(x) = |x + 2| + |x – 4| y g(x) = 10 – |2x – 3|. Entonces, el área de las regiones que encierran sus gráficas es: A. 8

B. 6

C. 15

D. 16

14. En la figura se muestran las gráficas de las funciones y x2 f(x) = y g(x) = –x – m. 8 f

Determina el valor de m2.

Entonces la suma de los elementos del rango de g, es: A. 31

B. 32

C. 33

D. 34

E. 10

0

g

E. 35 A. 3

B. 4

C. 5

D. 2

E. –2

53

ÁLGEBRA 1. Sea h(t) =

Funciones II

!

1; t ≥ 0 0; t < 0

3

7. Sea la función f(x) = 4 +

Si definimos g(t) = h(t + 2) – h(t − 2), entonces se UNI 2003 - l cumple que: 1; t < 1 A. g(t) = 1; 1 < t < 2 0; t > 2

0; t ≤ 1 D. g(t) = 1; 1 < t < 2 0; t ≥ 2

0; t < 1 B. g(t) = 1; 1 ≤ t < 2 0; t ≥ 2

0; t ≤ −2 E. g(t) = 1; −2 < t < 2 0; t ≥ 2

4 − 3sen x

, definida en el

intervalo ]270°; 360°]. Entonces los valores mínimos y máximos de la función son respectivamente: UNI 2002 - Il

A. −1 y 5

C. 37/11 y 5

B. −1 y 0

D. 5 y 7

E. 53/11 Y 5

8. Dada la siguiente función: f(x) = 4√x − x; x D [0;1]. Halla la función inversa f−1. UNI 2005 - Il

0; t < −2 C. g(t) = 1; −2 ≤ t < 2 0; t ≥ 2

−1

2

A. f (x) = (2 − √4 − x)

2. Sea la función f: 1; ' A , tal que f(x): números primos menores o iguales a “x”.

−1

D. f (x) = (3 + √4 − x)2

B. f−1(x) = (3 − √4 − x)2 E. f−1(x) = (4 − √4 − x)2 C. f−1(x) = (2 + √4 − x)2

2

Si g(x) = x ∙ f(√2 ) + 3f(8) , entonces f(g(4)) es igual a: x + f(f(f(23))) UNI 2003 - Il A. 0

B. 1

C. 17/7

D. 13/5

E. 3

3. Si f y g son dos funciones afines tales que f(2) = 8, g(1) = 2 y f(g(2)) = 14, determina el valor de UNI 2004 - I (f o g)/(3). A. 10

B. 14

C. 16

D. 18

E. 20

4. Determina el valor de verdad de las afirmaciones: I. Si x1 = x2 A f(x1) = f(x2) para toda función f. II. Si f(x) =

3

; x D [−2; 4], entonces f es una funax − 4 ción sobreyectiva sobre x D [−2; 2[.

9. Halla la función inversa de f(x) = √x + x; x ≥ 4. A. f−1(x) = 2x − 1 − √1 + 3x , x ≥ 6 2 B. f−1(x) = 2x − 1 + √1 + 3x , x ≥ 4 2 C. f−1(x) = 2x + 1 − √1 + 4x , x ≥ 6 2 D. f−1(x) = 2x + 1 + √1 + 4x , x ≤ 6 2 E. f−1(x) = 2x + 1 − √1 + 3x , x ≥ 8 2

III. Toda función par es univalente. B. VVF

C. FVF

D. FFV

E. VFF

5. Halla una función f: A <0; 1>, a < b, que sea biyectiva y decreciente. A. f(x) =

x−a

C. f(x) =

b−a B. f(x) =

x+b a+b

b−x

E. f(x) = 1 +

b−a D. f(x) =

x−a

f(x) = (|x − 5| + 1 + x)√5 − x Determina la función inversa de f. A. f−1(x) =

x−b

B. f−1(x) =

b−a C. f−1(x) =

54

1

(130 − x2); x ≥ 0

1

(100 − x2); x ≥ 0

16

− x; x < 0 − x2; x ≥ 0

B. 2

(180 − x2); x ≥ 0

25

D. f−1(x) =

1

E. f−1(x) =

1

Halla el valor de E = f −1(−4) + f −1(4) A. 0

1 36

b−a

6. Se define la función f de la siguiente forma: f(x) =

10. Dada la función f, definida por:

C. −2

D. 3

E. −3

4

3

(150 − x2); x ≥ 0 (85 − x2); x ≥ 0


A. VVV

ÁLGEBRA

Sucesiones

1. Sea la sucesión S0; S1; S2; …; Sk; …, donde S0 = 49; S1 = 7; S2 = 7;...; Sk = 7

1 k k1

una sucesión definida por

n≥1

x 1 m m y x n x n1 2 n 1 para todo n ≥ 2.

, para k 2.

Luego, la suma de las cifras del producto de los términos de todos los términos de la ecuación será igual a: UNI 2003 – I

Determina el valor de

A. 3

B. m

B. 4

C. 5

D. 6

E. 7

2. Sea la sucesión de números reales

Se sabe que x5 = 4,5; entonces x105 será igual a: A. 4,5

C. 4,55

B. 4,5555

D. 4,555555

A.

E. 4,555 UNI 2003 – I

C. 2m

E. m 1

D. m 1

3 5n n2 2 3n 2 27n 6 5n 2 3n 2

A.

1 3

C.

3 5

B.

2 3

D.

2 5

Asume que la función f dada por: 12 12 f x x 2a x 2a x !

m m 1 2

xm .

7. Determina el valor de convergencia de la sucesión

20, 25 x2k xk 1 , para k = 0; 1; 2; 3; ... 2xk

3.

6. Sea {xn}

12

esta bien definida.

E. 1

8. Sea la sucesión .a n

n1 1

, an

n 1 . 2n 3

(Los puntos suspensivos indican un proceso infinito).

¿A partir de qué término de la sucesión, la diferencia 1 de dos términos consecutivos es menor que ? 100

Entonces, también se puede escribir:

A. a3

A. f x 2a x

UNI 2004 – II

D. f x 2 a2 x2

B. a4

C. a5

D. a6

E. a7

9. Sea la sucesión {an}, de la que se muestra los cuatro 5 9 13 17 ; ; ; ;! 5 10 15 20

B. f x a a2 x2 E. f x a a2 x

primeros términos:

C. f x a a2 x

¿A partir de qué lugar, los términos de la sucesión, son menores que 0,81?

4. Sean las sucesiones S y P, donde: S0 1; S1 0; S2 0; S3

1 1 ; ...; S2k 1 ; S2k 0; k 2 2 k

1 1 ; ...; P2k 1 ; P2k 1; k 2 2 k Entonces los límites a los que convergen las sucesioUNI 2007 – I nes S y P, son respectivamente:

P0 1; P1 7; P2 0; P3

A. 0; 0

B. 0; 1

C. ; 1

D. 0;

E. ;


5. Sean a y b números reales. Se cumple que xn1 axn b; n 0; 1; 2; 3; ...

UNI 2008 – I

1 an A. xn n x 0 b , si a 1 y xn an x 0 b, si a 1

1 a 1 an B. xn x 0 nb, si a 1 y xn an x 0 b, si a 1

1 a

A. a20

B. a21

C. a22

D. a18

E. a19

10. Determina el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 1 n I. 2 es acotada. 2n 1n 1 II.

n es creciente. n 1 n 1 2

III. 1 1 A. FVV

n

n 1

es cons tan te.

B. FFV

C. VFF

D. VVV

E. FFF

11. Sean las sucesiones de igual valor de

1 an C. x n nx 0 bn , si a 1 y x n an x 0 b, si a 1

1 a

n 3 bn n a 3na y convergencia: n 1 n 1 n 2 n 1

1 an D. xn n x 0 b , si a 1 y x n ax 0 b, si a 1

1 a

b Determina el valor de a . 3

1 an E. xn 1 n x 0 nb, si a 1 y xn 1 a x 0 b, si a 1

1 a

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

55

ÁLGEBRA

Series

1. El valor de la expresión D es:

1 2 1 2 1 2 ... 2 3 4 9 8 27 UNI 2001 - I

A. –1

B. –1/6

2. La suma de la serie A. ∞

B. 1/4

C. 0

D. 1/6

E. 1

1 1 1 1 ... 2 ... tiende a: 3 8 15 k 1 UNI 2001 - II C. 3/4

D. 1/2

E. 1

3. Sean (a1; a2; a3) y (b1; b2; b3) los tres primeros términos de una sucesión aritmética y una geométrica respectivamente, tales que a2 – b2 = |a3 – b3| = 0,4 Si la razón aritmética es 2 y la razón geométrica es 1/2 entonces el valor de b1 asociado al menor valor UNI 2002 - I

posible de a1 es: A. –4,8

B. –8

C. –11,2

D. –14,4

E. –17,6

4. Se tienen cuatro números, tales que los tres primeros están en progresión geométrica y los tres últimos en progresión aritmética de razón seis, siendo el primer número igual al cuarto. La suma de los cuatro núUNI 2003 - II

meros es: A. 22

B. 18

C. 14

D. 16

E. 20

5. Dada la sucesión de término general Sn = √n + 1 – √n UNI 2004 - II

entonces se puede decir que: A. Sn converge a 0 B. Sn converge a 2 C. Sn diverge D. Sn converge a 1 E. Sn converge a “n”

n 2n + 1

B. 2n 3n + 1

C.

UNI 2005 - I

3n 2n + 1

E. n + 1 2n + 1

1 7. Para la sucesión definida por Sk n1 k

,, k * 1 2 1 se puede afirmar que: UNI 2006 - II

B. 1/4 ) Sk < 1/2 C.1/8 ) Sk < 1/2

56

B. 108

C. 117

D. 120

E. 144

9. Consideremos un cuadrado de lado igual a la unidad si se unen los puntos medios de sus lados (por segmentos) se obtiene otro cuadrado si a continuación se unen los puntos medios e este cuadrado se obtiene un segundo cuadrado y el procedimiento puede continuar. ¿Cuántas veces, como mínimo se deben unir los puntos medios de un cuadrado para que los cuadrados obtenidos sean de área menor o igual a 1 . 88 A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 E. 26

10. La suma finita Sk

1 1 1 ... 5(12) 12(19) 19(26)

tiene k sumandos. Entonces Sk es igual a: A. 1 1 2 7 5 7k 5 B.

11 2 7 5 2k 5

11 3 C. 7 5 2k 5 11 1 D. 7 5 7k 5 E. 1 1 1 7 5 2k 5

F(e)

1 1 1 1 1 ... calcula: 0 ! 1! 2 ! 3 ! 4 ! 3 4 5 6 7 ... 1! 2 ! 3 ! 4 ! 5 !

A. 3e – 4

C. 3e – 2

B. 3e – 3

D. 3e – 1

E. 3e

D. 2n – 1 2n + 1 2k

A. 1 ) Sk

A. 96

11. Si e

1 2 n . 6. Determina el valor de S(n) k 1 2 4k 1 2n 1 A.

8. Una pelota cae de una altura de 30 m y rebota 3 de 5 la distancia desde la cual cae. Si continúa cayendo y rebotando de manera similar hasta quedar en reposo. ¿Cuál es la distancia (en metros), aproximada que recorre la pelota?

12. Halla el menor valor entero positivo para k tal que n 1 . T= n 500 ( 1 )! n k A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

E. 9 30

13. Sea an = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n halla el valor de S an . n 1

D. 1/2 ) Sk < 1

A. 9 131

C. 9 915

E. 1/2 < Sk ) 1

B. 9 320

D. 9 920

E. 9 925

ÁLGEBRA ALGEBRA

Exponente, radicales y ecuaciones exponenciales Factorización 8. Indica el valor de w2 – w + 1 luego de resolver:

1. Si se sabe que: 4 1 2

8 2 4

9 1 3

18 2 6

A = {(X )

12 3 6

} ∙ {(X ) } ∙ {(X ) }

B = {(X )

[

... n factores.

27 3 9

} ∙ {(X ) } ∙ {(X ) }

... n factores, con x > 0.

Entonces, se puede afirmar: 4

2

A. A = B

C. √A = √B

4

9

27

B. A = B

27

4 w+3 √

4

B. 5

1

A.

3

B.

2

2 √2

calcula x, si x–x = m n√ n4 C.√2/2

B. 4

D. (√2/2)√3/2

C. –7

D. 9

E. –11

9. Calcula el valor de ‘x’ en (2x – 3) ∙ 2(2x – 3) = 26.

=B

A. 2–1

2

E. √A = √B

2. Si se sabe que (m + n = m ∙ n)/m D n D , √m

]= √3

9

9

D. A

2

A. 13

4

2

w+1

16

81

5

C.

2

7

D.

2

9

E.

2

2

10. Si a3/2 = 16 y b = 8, calcula:

E. 2√2

3

P=

a–2 ∙ b3

9

–32

a

–2

∙ b–2

3

3. ¿Cuántos radicales debemos tomar en la expresión (n + 1) (n + 2)!

x3! 3 x4! 4 x5!...

x

de modo que el exponente

final de x sea 297? x D – {1}

A. 20

B. 21

2

4. Simplifica:

C. 22

x 2+1

2

x3 –

2 2

B. 2

C. 8

D. 1

E. 16

11. Si se sabe que:

D. 23

x1 – 5

A. 4

2

2

D. 24

x8 –

m = ( x2 √x2... )( x3 √x3... )...( 3

3

4

4

m+2

xm + 1

√ xm + 1... )

m+2

Calcula el valor aproximado de ‘x’ en función de ‘m’.

2

1

B. mm

A. m x

2

A. 2

B. x

C. 0

D. 2

C. mm

E. x –x

12. Determina el valor de –x–x

x

R=

y

+ xx

∙

–100

x=2

5. Si x + y + z = xyz, calcula el valor de: z

A. 0

√ 2y + z + √2x + z + √2y + x

. B. 1

E. m2

D. 1/m

C. –1

[

x

]

–x

x–x + xx –x x x–x + xx

, cuando

E. 2–200

D. 1/64

2xy + 2yz + 2xz

A. 1

B. 2

C. 1/2

D. 1/4

E. 4

13. Sabiendo que x e y verifican la igualdad xy + x + y = 1, calcula el valor de:

(

)

(x –y)–1

(

6. Calcula el valor de A, si:

(–9–2 )(–243–0,2) –1

A=

(81

–4

A. –1

–1 –2

–1

(( ) )

)

1

–

B. 3

–3

y+1

√ 4x + 1

x+1

√ 4y + 1

)

3 –xy

–1

A. 1

B. 2

C.√2

D. 4

E. 8

27

C. –3

D. 1/3

E. –1/3

14. Al simplificar M = equivalente a:

7. Simplifica:

A. n2

B. 2n√ n

nn

nn

n

nn

∙nn

nn

C. nn√ n

n ∙ √nn2 – 1 ,

D. n

es

E. 1

m–1

N=

8

A. 8m

√8m + 8m m–1 + √8

15. Si√x

m–1

B. 1/8

C. 2

D. 4

E. 8

A. 3

√x

1/2

= 3, calcula P = x √xx.

B. 9

C. 1

D. 18

E. 16

57

ÁLGEBRA

Logaritmo I

1. Halla el número de raíces que tiene la ecuación log 2 x x 2 < 5 0 .

Tipo UNI 2003 – I

9. Sea a > 0, x > 0 y, además, log a 7

(7 x) A.

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5 B.

2. Las soluciones reales de la ecuación

log 5 x 2 < 20 x 3 , son:

B. Únicamente x = 5

E. x1 = 5 y x2 = 25

C. x1 = −5 y x2 = 25 3. Dada la ecuación: n

n

A. 6

C. 4

B. 3

D. 2

E. 3/2

4. Determina la base “a” tal que log a 27 <

1

.

2


A.

B.

243

C.

81

1

D.

27

1

E.

9

1 3

5. Al resolver la ecuación

x log1424 1 2 x x log1424 712 log1424 72

log <31(x < 1) 2 log 3 (x < 1)<1 A. 2

C. 6

B. 4

D. 7

C. 2

D. 3

E. 4

ORJ ORJ Q FR ORJ [ Determina el o los valores que debe tomar ‘n’ para que solo exista una raíz real. A. 10 000

D. 45 000

B. 20 000

E. 60 000

C. 15 000 12. Calcula el valor de ‘x’ en la siguiente ecuación: © ¹ © OQ[ ¹ ORJ [ ºº " OQ ªª ºº ORJ [ ªª «H» « OQ[ »

A. −2 y 5

C. 4 y 5

E. 2 y 5

B. 2 y −5

D. 3 y 20

B. 8.

C.

a 1 2ab

D.

b <1

2ab

E.

a <1

2ab b 1

2ab

2 x 1 4 x 80 , son: 1 log 2

B. Solo 3

58

C. Solo D. < 3 y

3

E. e

<

11

1 log 2 1 log 2

E. Solo – 3

9

9

11

D.

e11

13. Resuelve el siguiente sistema: ¯ [ H ²H " \ ° ² [ " H OQ \ ±

A. e

C. 2e

B. e2

D. 3e

E. e–1

14. Resuelve el siguiente sistema:

b <1

Los valores de ‘x’ que satisfacen a la ecuación

A. 3 y

<

C. e 3

El valor de x es:

7. Si log56 = a y log123 = b, calcula log53. A.

11

A. e 9 B. e

6. La suma de los cuadrados de dos números es 29 y la suma de sus logaritmos (en base 10) es 1. Dichos números son: Tipo UNI 2007 – II

2ab

E. 8

© [¹ ºº " DQWL ORJ FR ORJ [ ORJ [ ªª [ « »


B. 1

36

11

se puede decir que el número de soluciones es: A. 0

1

D.

Tipo UNI 2004 – I

1

1 25

11. Sea la ecuación:

10logn

Halla ‘x’, sabiendo que ‘n’ es cualquier entero positivo y ‘log’ es el logaritmo en base 10.

1

1 35

E.

27

10. Determina el valor de ‘x’ en: D. Únicamente x = 25

1

C.

37


A. No existen.

log 2 x < 1 log x < 1

1

0, determina el valor de ‘x’.

¯ [ OQ\ " H ² ° ²± OQ [ OQ \ " El valor de x es: A. e2

C. 3e

B. e–6

D. e3

E. e–3


A. 1

log a 5

< (5 x)

ÁLGEBRA

Logaritmo II

1. El conjunto solución de la inecuación log 3 3 < 4 x 2 es: Tipo UNI 2005 – I

log 2 x < 9(x < 4) < 1, determina el

valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

¼ 3 ¬ A. ½ ; 3 ¾ 2 ®

¬ 3 ¼ D. ; 3½ ® 2 ¾

I. La función f es creciente.

¯² 3 ¿² B. ° ; 3À ²± 2 ²Á

E.

III. No existe la función f.

II. [0; 1] Dom (f)

A. FVF

¼ 3 ¬ C. ½ ; 3 ¾ 2 ®

© ¹ ºº ! 2. Al resolver la desigualdad ORJ ªª [ [ » « determina la suma de todos los números x enteros que la satisfacen. Tipo UNI 2006 – I A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

E. 10

3. El conjunto de los números reales que satisface la

inecuación log 6 x 3 < 3 x 1 1 es:

` b B. ` x / 3 ! x ! 15b ` x / x # 30b C. ` x / 1 ! x ! 0b ` x / 3 ! x ! 15b A. x / 1 f x f 0

4.

8. Dada la función f(x)


` b E. ` x / 1 f x f 15b D. x / 0 ! x ! 3

B. VFF

D. VVV

E. FFF

¯ ² ! [ ! 9. El sistema ° se verifica para todo x ² ! ORJ [ ! ± perteneciente a: 1 A. < ; 0 2

1 C. < ; 1 2

B. <2; 0

D. <2; 2

10. Determina la gráfica de f(x) A.

y

1 2

E. <1; 1

co log 2 (x 2 ) .

D.

y

x

Se define la función f por f x 4 log 7 x 2 < 2 x < 8 < 1 .

C. FFV

x

Determina el dominio maximal. A. <–∞, –3]

D. <–∞; –3] F [5; ∞>

B. <5; ∞>

E. <–∞; –2> F <4; ∞>

B.

E.

y

y

C. [–3; 5] x

5. Si el conjunto solución de la inecuación

x

log 1 (log11(x 2 < 5)) 0 tiene la forma 2


a; b F
C. 3

B. 2

D. 4

C. E. 5

x

¯ ¿ ² ² 3)) v ≥ log 2))À 6. Sea A " °x D / log og 11((x x – 3 og 11((x x – 2 ²± ²Á 22 22 Entonces: A. x < 1

C. x < 3

B. x > 4

D. x > 3

E. x > 6

7. Resuelve la inecuación logarítmica log3 (3 x 4) < log3 (2 x < 1) 1 . Si es el conjunto solución de la inecuación, entonces 2a + 3b, es: A. 7

C. 9

B. 8

D. 10

y

E. 12

¹ ©[ 11. Resuelve la inecuación [ OQ v OQ ªª ºº . » « A.

C. <11; +∞>

B. <–∞; –12>

D. <–12; +∞>

E. <12; +∞>

12. Determina el conjunto solución de la siguiente inecuación: A. log 2 (9 / 4); 2

C. log 2 3 / 2; 4

B. 2; 8

D. 2; 5

E.

59

ÁLGEBRA

Polinomios

1. Si f(5x – 1) = 1 + 5x + 9x2 + 13x3 + ..., determina f(1,5). 3 C. __ 2

B. _1_ 2

A. 1

1 E. ___ 10

D. 10

2. Se tiene los siguientes polinomios:

8. Si el polinomio

es homogéneo y ordenado respecto a ‘x’, calcula el valor de a + b a u b . A. 2

F(x) = ax3 + bx2 + cx + 3

a 1

P x ; y " x 4 y 2 2x a y 4b 7x b1y c 5 y 6 es

B. 4

C. 3

D. 5

E. 6

9. Sean las funciones F(x) = x4 + 6x2 + 10 y

Q(x) = 3x3 + cx2 + bx + a donde se cumple que F(x + 2) + Q(x – 1) = 54 + 6x.

F(G(x)) = x6 – 8x3 + 17 definidas x ≤ 1.

Según estas condiciones determina el valor de T = 3(3a + b + c)

Calcula G(–2).

A. –54

B. 54

C. 18

D. –18

E. 3

3. Se define la expresión algebraica “g” en los enteros con las siguientes propiedades:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

10. Si se cumple que F(y) = 1 + y + y2 + y3 + ..., además y D ]0; 1[, calcula F(1 – y). A. 2y–1

B. 2y

C. 3y

D. 2 – y

E. 1/y

I. g(0) ≠ 0 11. Si F(x) = x – 2a y G(x) = 2x + a, además

II. g(1) = 3

F(G(x)) – G(F(x)) = F(G(a)) + 14, calcula el valor

III. g(x) · g(y) = g(x + y) + g(x – y); x; y D

de ‘a’.

Determina g(5). A. 816

A. 2

B. 815

C. 814

D. 813

4. Si 4 x 4 12x 3 13x 2 x 2 } ax 2 bx c

2

E. 123

mx n ,

calcula m + n, si {a; b; c; m; n} A. 2

B. −3

C. 3

D. −4

E. 4

B. 6

C. 7

D. 12

E. 14

12. Sabiendo que

F x 1 F x F x 1 } 42x 2 186 x 103, entonces F(1) es: A. Múltiplo de 13.

D. Múltiplo de 17.

B. Múltiplo de 7.

E. Un número primo.

C. Un número perfecto.

13 B. ___ 5

A. 115

16 C. ___ 5

17 D. ___ 5

18 E. ___ 5

6. El término independiente y el coeficiente principal del polinomio

P x " 3 x 2 2 x 7 5 x a 2 x a 7x 3 x 2 a 2

© a2 24 ¹ º ª« 8x 7» con a > 1, son iguales. Calcula el grado de P(x). A. 13

B. 10

C. 16

D. 12

E. 15

7. Si el polinomio

P x; y; z " 5x

2 a 2b c

2n1 n n x 9 x 1 x Q x " 2x 1 5 x 2 1

2x 9n x 1

13. Si P x " 3x 3 5 x 2 2x 8 y

calcula Q(P(–2)). A. 0

C. −1

B. 1

D. 2

©2 ¹ 14. Si P ª 3º " x , determina «x » P(4) + P(5) + P(7) + P(11) + ... A. 2

7y

2b 2 c a

es homogéneo, calcula

13z

60

B. 2

n n a b b c

F" .

c an

C. 3

B. 4

C. 1/2

D. 1/4

E. ∞

2 c 2 a b

15. Si F(x) = ex + /x y F(3) = 1, calcula A. 1/e/

A. 1

E. Depende de n.

D. 4

E. 5

B. e/

C. –e/

3

. F1

F 4 F 7

D. (e/)–3

E. –2


5. Si G x G x " 2G x ; G 1 " 0,2; calcula G( 4).

ÁLGEBRA

Productos notables

1. Calcula el valor numérico de: x x+y

+

2

y

x

+

x–y

x+y

–

Para x = 31 + √5; y =

2

2

y

x

–4

x–y

(x + y)2

y

–

(x – y)2

31 – √5.

A. 374,4

C. 764,8

B. 75,25

D. 79,55

b8

A.

C.

a–b

D.

b–a

[(a + b)3 – (a – b)3]b7

x+y

A=

C. –4

D. –

1

E. 8

4

E.

b–a

b8

y+z

B=

x+z

C=

(y2 – x2 – z2)

xz

a–b A. 33

m + m–1 = 0.

(x2 – y2 – z2)

yz

a+b

a

(z2 – x2 – y2)

xy

(6a2 + 2b2)(b – a)

3. Calcula E = (xm + m√ x–1)(m√ x + x–m), si

A. 6

B. 4

4

9. Calcula E = A + B + C, si x + y + z = 33, además:

8

a

B.

1

E. 316,8

b8

8

Calcula: ab E= a+b A.

2. Reduce: (a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) –

2

B. 11

C. –66

D. –11

E. 66

10. Calcula K = xyz–1 + xzy–1 + yzx–1, si:

B. 4

C. 7

D. 3

E. 1

x3y3 + x3z3 + y3z3 = 30 xy + xz + yz = 3

4. Si x + y + z = 1, halla el valor de:

xyz = 4

x3 + y3 + z3 + 3(xy + xz + yz) – 1 A.

xyz A. 1

B. 2

C. 3

D. 1/2

2

B. –

3

E. 1/3

1 4

C.

1

a5 + 32b5 2

E.

4

(a2 + b2)

5. Reduce: [(x + 2)2 – 50]2 – [(x + 10)(x + 8)(x – 6)(x – 4)]

1

(a + c)(b2 + c2)(a3 + b3)

11. Calcula K =

T=

D.

2

3 4

si:

5

= a + 2b 2 3

A. 14

B. 13 1

6. Si

x–y

K=

1 z–x 1

+

y–z

B. 80

c – 5a c

A. 1

+

2

x–y

a + 3b

C=

y–z

1

A. 60

7. Si

1

+

C. 12

3

+

+b

a + 3b c 3

8b3 + 1 331c3 = 2b + 11c ; ab < 0 bc < 0 2 2

E. 8

= 2 √ 10, calcula:

A.

2

B.

+

C. 50

c – 5a

D. 10

2

1 z–x

+ 30

D. 70

168

C.

1 331 186

= 2, calcula:

188 1 331

y = (a + b + c)2 + (a + b – c)2 + (b + c – a)2 + (c + a – b)2 A. 2(a2 + b2 + c2)

D. 4(a2 + b2 + c2)

B. a2 + b2 + c2

E. a3 + b3 + c3

C. 3(a2 + b2 + c2) –b 13. Si x y su inverso multiplicativo suman 3, calcula:

a(a + b) B. 2

E.

131

D. 168 131

1 331 12. Efectúa: E. 30

188

C. 3

D. 4

E. 5

8. Sea {a; b} , y (a + b)2 = 4(a – 3) – (b + 2)(b – 2).

E = xx + A. 10

1

1/x

x B. 15

x1/x +

1

x

x

C. 40

D. 20

E. 60

61

ÁLGEBRA

Factorización

1. Si f1 y f2 son los factores primos del polinomio 4

3

2

P(x) = x + 2x + 6x + 5x + 6, además f1 > f2, x D , ¿qué se puede afirmar acerca de 2f1 – f2? A. Es un polinomio primo.

Halla la suma de sus factores primos. A. 6x + 1

C. 6x + 2

B. 6x

D. 6x – 5

E. 6x + 5

B. No es primo. C.Es un monomio.

9. Si G(x) es un factor primo de P(x) = (x2 – 2x)2 + x2 – 2x – 2 tal que x D , G(x) D +, halla G(–1).

D. Tiene raíz cuadrada exacta. E. Es negativo.

A. 1

2. Indica la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio P(x) = (x – 1)3 –9(x – 1)2 –9x – 1. A. 3

B. 2

C. –3

D. –10

E. –9

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

E. Ninguno

A. 8

B. 6

C. 4

D. –6

E. 10

D. 6

E. 5

F(x; y) = x128 – y128? B. 6

C. 7

D. 8

E. más de 8.

11. Luego de factorizar P(y) = 1 + y + y2 + y3 + y4 +...+ y80, determina el número de factores primos. A. 3

4. Si –2 es una raíz del polinomio G(x) = 2x3 + x2 + mx + 2 y S(x) = ax + b es la suma de los factores primos, calcula el valor de S(2).

C. 7

10. ¿Cuántos factores primos presenta el polinomio

A. 1 3. Indica el número de factores primos lineales del polinomio F(a; b) = 2a2b2 – a2 + 2b2 – 1sobre el campo de los reales.

B. 0

B. 5

C. 7

D. 4

E. 6

12. Factoriza F(x) = x7 + x5 + x3 + x2 – 1 e indica uno de los factores primos: A. x4 + x + 1

C. x3 – x + 1

B. x3 + x + 1

D. x4 – x + 1

E. x3 – x – 1

5. Indica un factor primo del polinomio

A. a + b + 2 B. a – b + 1

C. a – b – 1 D. a + b – 3

E. a – 2b + 2

A. –3

6. Si el polinomio cuadrático P(x) = Ax2 + Bx + A se factoriza sobre el conjunto de los enteros en la forma P(x) = (2x – m)(x – n). Calcula el mayor valor de B. A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

7. La suma de coeficientes de un factor primo del polinomio: P(x; y) = ax2 + by2 + (a + b)xy + (a2 – b)x + (a – 1)by – ab con ab ≠ 0, es: A. a + b

C. b + 2

B. 2 + a + b

D. a

13. Determina ‘m’ si los polinomios x3 + mx2 – 5x – 6 y x3 + (m – 3)x2 – 17x – 15 tienen factores comunes. B. –1

C. 2

D. –3 y –1 E. –1 y 2

14. Factoriza 3x2(x – 1) + xy (3y – 2x + 4) – 2y3 – 3x2. Luego, indica uno de sus factores: E. x2 + y2 – 2x

A. 2y + 3x

C. 3y + 2x

B. (x2 + y2)2

D. x2 + y2 + 2x

15. Luego de factorizar (x – 1)4 + (x + 1)2 – 4x + 1, señala la suma de sus factores primos. A. 2x2 – 4

C. 2x2 + x + 2

B. 2x2 – 4x + 4

D. 2x2 – x + 1

E. 2x2 + 2

E. b 16. Si la suma de los factores primos de A(x) = (x2 – 5x + 3)2 + 4x2 – 20x + 15 es m, calcula

8. El polinomio P(x) = 6x2 – ax2 – 3x – 2, sobre el conjunto de los enteros, tiene raíces: – 1 ; b y c 2

62

(m2 – 19)0,5. A. 9

B. 6

C. 5

D. 3

E. 2


F(a; b) = (a2 + b2 – 4)2 – (a2 + b2)2 + (a2 – b2)2.

ÁLGEBRA

Ecuaciones I

1. Calcula el valor de “x” que verifica: 3

8. El producto de las raíces reales de la ecuación

14 x 3 14 x 4

A. 179

B.165

2. Despeja “x”:

C. 170

x x a

a2 2a 2

A. x 2a 2

2

a2 2a 2

B. x 2a 2

D.169 x

E.150

x x; x 0

x x

D. x = (a + 1)2 + 1

A. –1

C. 1

D. 2

E. 3

9. Las raíces de la ecuación x + √x – 2 = 4 son: Tipo UNI 2007 – I

A. Solo x = 6

D. x = 60,5; x = 3

B. Solo x = 3

E. No existen soluciones

2

E. x =

a+1 a–1

10. Si a y b son las raíces de x2 – 100x = –1, determina el valor de T = √a + √b A.√101

3. Determina el valor de “x” que satisface:

B. √102

C. √103

D. √104

E. √105

11. Si x1, x2 son raíces de la ecuación: (a4 – b4)x2 + (b4 – c4)x = a4 – c4, a ≠ ±b; a, b, c D ,

31 21 13 7 3 x 6

calcula el valor de P = x1x2 + x2x1 – x1x2

y también satisface la igualdad: 4 2x 2 1 x 1 x 1 A. 0 D. No existe tal valor. E. Cualquier número diferente de 1.

A. a2 + b2 + c2

C. a2 b2 c2

B. ab + ac + bc

D. 0

E. 1

12. Luego de resolver la ecuación:

C. 1

(x + a + b + 2c)–1 – x–1 = (a + c)–1 + (b + c)–1 una de sus raíces es:

x 1 x 5 2 x 2 x 11 x 3 x 2 x 2 5x 6 A. Admite como solución x = 3.

A. 2a – c

C. –a –c

B. 2c – a2

D. –b +c

4. La ecuación:

B. Admite como solución x = 1.

x2

D. Admite múltiples soluciones.

A. 1/2 5. Calcula el valor de “x” de la siguiente ecuación: 10(a + b)(b + x)(a + x) + ab = 10(a + b + x)(ab + ax + bx) B. 10

C.ab

x1

x x1 x2 x2 E 1 5 x2 x1

E. No admite solución.

A. 0,1

E. a – b + c

13. Si x1 y x2 son las raíces de x2 – x + 12 = 0, determina

C. Admite como solución x = 2.


B. –2

C. x = 3; x = 6

C. x = (a – 1)2 + 1

B. 2


√x2 + 3x + 6 – 3x = x2 + 4 es:

D. a + b

E. –10

B. 5/3

C. 3/2

D. 5

E. 0

14. Determina la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación (2k + 2)x2 + (4 – k)x + k – 2 = 0, sabiendo que las raíces son recíprocas. A. – 2 B. – 4 C. 8 D. 34 E. 40 9 9 9 9 9

6. Los valores de “x” que satisfacen la ecuación: √2x + 13 = √x + 3 + √x + 6, tienen la propiedad que su suma es: A. –14

B. –7

C. –9

D. –2

E. 7

x 8x 2 x , el 7. Al resolver la siguiente ecuación: 2 9 cuadrado de una de sus raíces es: A. 9 4

B. 81 4

C. 2 500

D. 5 184

E. 5 190

15. Calcula el mínimo valor de “n”, para el cual una de las raíces de la ecuación nx2 – (n2 + 1)x + n = 0, es el cuádruplo de la otra raíz. A. 1

B. –1/2

C. –2

D. 2

E. 1/2

16. Determina el conjunto S definido mediante: 5 x 18 1 4x 5 5x 6 S x / 25 x2 4 12x 30 x2 6 x 20 x2 8 x A. {–1}

7 B. 11

5 C. D. 2 11 11

E. 3 11

63

ÁLGEBRA

Ecuaciones II

a D + y tal que P(1) < 4 tiene dos raíces positivas iguales, entonces un valor de a – b es: UNI 2001 – II A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 7

2. Dados los siguientes polinomios:

8. Determina la mayor solución real de las ecuaciones bicuadradas: ax4 – bx2 – c = 0 bx4 – cx2 – a = 0 sabiendo que son equivalentes (tienen las mismas soluciones). A.

P(x) de grado 2 y término independiente 1; y Q(x) = (x – 1) u P(x) + 3x + 1 Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, determina la suma de raíces de Q(x).

UNI 2004 – II

A. 0

B. 8/3

C. 10/3

D. 4

E. 5

3. Determina la verdad o falsedad de los siguientes enunciados: I. Sea P(x)=ax3 + bx2 +cx + d, a ≠ 0, d ≠ 0, si P tiene tres raíces reales, entonces P(1/x) tendrá las mismas raíces. II. Todo polinomio completo siempre tiene raíces complejas y sus respectivas conjugadas. III. Si la suma de las raíces de un polinomio es racional, entonces cada una de ellas también es racional.

1

C.

2 2 5

2

1

<2 2 5

2

E.

1 2

1 5

D. 2 2 < 3

9. Dada la ecuación bicuadrática: (5m2 + 2)x4 – (4m4 + 9)x2 + 3(m2 + 2) = 0, si el producto de sus cuatro raíces es 1, entonces la raíz de mayor valor absoluto es: A.

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

4 3

E.

6 3

10. Una de las soluciones de una ecuación bicuadrada es 2, construir dicha ecuación, si el producto de sus raíces es 64, sabiendo además que todas sus raíces pertenecen a los enteros. A. x4 + 20x2 + 64 = 0

D. x4 – 20x2 – 64 = 0

E. VVV

B. x4 + 20x2 – 64 = 0

E. x4 – 20x2 + 64 = 0

4. Sea P(x) = ax2 + bx + c, tal que P(1) = −2 , P(2) = 3 y

C. x4 – 25x2 + 60 = 0

A. FFF

B. FVV

C. VFV

D. VVF

P(5) = 34, determina un valor de x* de modo que P(x*) = 0. A. B.

UNI 2007 – I

3 < 34

C.

8 <3 217 8

<3 17

D.

8

E.

217 3 8

217 3 8

5. Luego de resolver la ecuación: 6x4 – 25x3 + 12x2 + 25x + 6 = 0 determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Las raíces son recíprocas. II. Las raíces no son recíprocas. III. Dos de sus raíces suman 5/2. IV. Todas sus raíces son reales. A. FVVV 6. Si y x

B. FFVV

C. VVFF

D. VVVF

E. FFFV

1

, entonces la ecuación: x x4 + x3 – 4x2 + x + 1 = 0, se transforma en: A. y2 – 2y + 6 = 0

D. x2(y2 + y – 6) = 0

B. y2 – y – 6 = 0

E. x2(y2 – y + 6) = 0

7. Dada la ecuación bicuadrada mx4 + nx2 + 36 = 0 de raíces 3 y(n + 15), calcula el menor valor que toma n. A. 17

B. –16,7

C. 15

D. –4,3

11. Si la ecuación ax3 – 7x2 + 7x – a = 0 tiene dos raíces enteras consecutivas, entonces el valor de a2 + a + 3 es: A. 3

B. 5

C. 7

D. 9

E. 11

12. Sea la ecuación: 12x4 + 4x3 – 41x2 + 4x + 12 = 0 da como respuesta el producto de la mayor y de la menor raíz. A. –3

C. 2

B. –1

D. –2

E .3

13. Sea la ecuación bicuadrada: x4 – ax2 + (a – 1) = 0(*) y el conjunto P = {a/(*) tiene sólo raíces reales}, entonces P es igual a: A. <1; 2>

C. [1; +∞>

B. [2; +∞>

D. <–∞; 2>

E.

14. En la ecuación bicuadrada: x4 – (m – 5)x2 + 9 = 0 el producto de tres de sus raíces es 3, entonces el valor de m2 – 15m + 5 es:

C. x2(y2 + 2y + 6) = 0

64

B.

4 2 5

E. –13

A. 3

C. 5

B. 4

D. 6

E. 7

15. Si A = {x D /12x4 + 91x3 + 194x2 + 91x + 12 = 0} halla el número de elementos de este conjunto. A. 1

C. 3

B. 2

D. 4

E. 5


1. La función polinomial P(x ) ax 3 bx 2 < b a , con

ÁLGEBRA

Sistemas de ecuaciones 7. Determina el valor de ‘a’ para que el sistema tenga solución única.

²¯ x 2 4 y 2 " 25 1. Dado el sistema ° ±² x 2y " 7

¯ ax 4 y " 2 ° ±² x ay " 4

Si 2y > x, entonces el valor de _x_ es: y 8 A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 3

UNI 2 001 - 1

E. 3

2. Del sistema siguiente:

B. a D – {±1}

E. a = ±2

8. Dado el sistema: UNI 2 002 - I

halla log y x. B. _2_ 3

D. a D – {±3}

C.

¯² 3x 1 2y " 11 ° x y 1 ²± 3 2 " 41

A. _1_ 2

A. a D – {±2}

3 C. __ 2

D. 2

E. 4

3. El conjunto de soluciones del siguiente sistema: UNI 2 003 - II

¯² x 2 y 2 " r 2 ° ²± x y " r

¯² x Qy " 1 ° 2 ²± Qx y " Q ¿Para qué valor del parámetro h el sistema en x e y es compatible indeterminado? A. Únicamente si h = –1

D. Solo si h = 0

B. Únicamente si h = 1 y h = –1

E. Si h = –1 y h = 0

C. Solo cuando h = 1 ¯3x 5 y " m 9. Al resolver el sistema ° ±² 2x 3y " 3m 1

para r > 0, es: A. B. Un conjunto unitario.

se determina que el valor de x excede a ‘y’ en 3 unidades. Entonces, el valor de ‘m’ es:

C. Un conjunto con dos elementos.

A. 1

D. Un conjunto con tres elementos.

4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: UNI 2 004 - I

A. (−4; 2) y (−2; 4)

D. (4; 2) y (−2; 4)

B. (−4; −2) y (−2; 4)

E. (4; −2) y (−4; −2)

C. (4; 2) y (−4; −2)


xy yz xz 5. Si _______ = 6; _______ = 8; _______ = 6; determina 5x + 4y 3x + 2z 3y + 5z y el valor de E = _____. x–z A. 5

15 B. ___ 2

C. 5

D. 7

10. ¿Para qué valor de ‘a’, el sistema inconsistente?

E. Un conjunto con cuatro elementos.

¯² 2x 2 5 xy 18y 2 " 0 ° xy y 2 12 " 0 ²±

B. 3

UNI 2 004 - II

A. –2

3 B. –__ 2

C. –1

E. 9

¯ x ay " a es ° ±²2x 3y " 1

D. 0

E. 1

11. Si x, y, z son los valores que satisfacen el sistema ¯ 1 1 1 "4 ² 2 y z 1 1 x 1 ² ²² 1 1 1 "2 ° 2 y z 1 1 x 1 ² ² 2 2 1 ² "9 ²± x 2 1 y 1 1 z halla el valor de x2z2 + y2.

C. 10

25 D. ___ 2

E. 25

A. 3

3 B. __ 4

C. _4_ 3

D. _1_ 3

E. 4

6. Dado el siguiente sistema de ecuaciones: ¯ 4 5 5 ² x y 1 2x y 3 " 2 ² ° 3 1 7 ² " ²± x y 1 2x y 3 5

UNI 2 007 - II

da el número de soluciones reales.

El valor de x + y es igual a: A. −1

B. 0

C. 1

²¯ x 3 x 3 y 3 y 3 " 17 12. Al resolver el sistema ° x xy y " 5 ±²

A. 1 D. 2

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

E. 3

65

ÁLGEBRA

Determinantes

1. Sean a y b números enteros positivos pares; con estos números se forma la matriz:

Indica cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos:

¬ a b a ¼ ½ 2 ½ A " 0 1 1 1 b ½ ¾ ®

a b c I. b c a " 0 c a b

Si det (A + 1) = 12 (I: matriz identidad), ¬ a 2b ¼ halla el determinante de la matriz 2 ½. b ½¾ ®b

A. Solo I

Tipo UNI 2 002 - II

A. −12

B. −10

C. 10

D. 12 a2

C. Solo II D. I y III

B. dn + 2

C. d2n + 3

D. (a – b)(c – b)(c + a)

A. n!

C. (–1)nn!

B. (b – a)(b + c)(a – c)

E. (a + b)(b – c)(a – c)

B. (–1)n(n + 1)!

D. 0

C. (a – b)(b – c)(a – c)

¬1 1 B" 4 ® 2

calcula F(1) + F(2) + F(3) + … + F(20). C. 570

D. 1 050

E. 1 070

2 2 6 1

4. Sean A y B dos matrices de orden 3 × 3,

A 2B A

¬x y xy A" x y ® x y

T

AB

A. 250 000

C. 256 000

B. 120 000

D. 300 000

B. −180

C. 180

D. 189

E. 200

D. 8x3y

E. 16xy3

11. Sea A la matriz definida por:

donde A = 5 y B = 2. Determina el valor de:

E"

3 4¼ ½ 0 1½ 0 3½ ½ 0 5 ½¾

Calcula B . A. −189

T

E. (–1)n – 1n!

10. Sea B la matriz definida por:

¬x x ¼ 1 ¼ ¬4 3. Dada la matriz F x " ½ ½, ®3 x 1¾ ® x x 1¾

T

D. dn(n + 2) E. d2n(n + 2)

c 1

A. (a – b)(b – c)(c – a)

B. 205

E. I, II y III

8. Sea A una matriz cuadrada de orden n cuyo determinante es d (d ≠ 0). Si B = An y la matriz C se obtiene multiplicando por d a la tercera y cuarta fila de la matriz B, calcula el valor del det(ABC).

Tipo UNI 2 004 - II

A. 155

a b c III. b a c = 0 c b c

¯i; i " j 9. Calcula An = n si A " a ij / a ij " ° ±²n; i | j; n

b 1 es:

2

B. I y II

A. dn

a 1

2. El valor del determinante de F " b2 c

E. 16

a b c II. a c b " 0 a a a

E. 100 000

xy xy xy xy

xy xy xy xy

x y¼ ½ x y½ x y½ ½ x y ½¾

Entonces, el valor de det(A) es: A. x3y

B. xy3

C. x3y3

con A = 2. Determina el valor de

1

A A 2 A T

.

12. Se definen las matrices:

6. Determina el mayor valor que debe tomar ‘k’ para

¬ 1 2 1¼ ½ A " 1 x 0 ½ 0 2x 1½ ¾ ®

© k 1 1¹ que la matriz A " ª 0 2 k º no tenga inversa. º ª ª« 4 0 k º»

¬ 1 2 0 ¼ ½ B " x 1 2 1½ 3 2 1½ ¾ ®

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

__

__

A. 1 – √5

C. 1 – √3

B. 1 + √3

D. 1 + √5

__

__

E. 32

__

E. 1 + √2

7. Los polinomios P(x) = ax2 + bx + c; a; b; 3

c D Q(x) = x – 1 tienen una raíz común.

66

T

Determina el valor de ‘x’, tal que 2A

– B = 8x2 – 20x – 4

A. 2

B. 1

C. −2

D. 3

E. −3


5. Sea A una matriz cuadrada de orden 4 × 4,

ÁLGEBRA

Matrices

1 1 1 0 1. Dadas las matrices C y D 0 1 , se pue1 1 de afirmar que C8D9 es: 1 8 A. 9 7

1 8 C. 9 71

1 9 B. 8 73

1 9 D. 8 71

1 8 E. 9 72

2 cos2 sen 2 , entonces la 2. Dada la matriz M

2 sen 2 2sen Tipo UNI 2001 – II matriz M3 es igual a: A. M

B. 2M

C. 3M

D. 4M

E. 8M

1 0 0

3. Sea A 1 1 0 una matriz, entonces la matriz A49

1 1 1 Tipo UNI 2001 – II esta representada por: 0 0 1

A. 49 1 0

989 49 1

0 0 1

D. 49 1 0

1127 49 1

0 0 1 B. 49 1 0

1 080 49 1

0 0 1

E. 49 1 0

1274 49 1

0 0 1 C. 49 1 0

1225 49 1 UNI 2002 – II

1 0 1 1 2 1

, U 2 4 2 V 0 0 0 , Q U V

1 0 1

1 2 1 donde y .


Los valores A y B para los cuales existen los números p y q, tales que, simultáneamente, se cumpla 1 1 1 1 Q

2 p

2 , Q

0 q

0 , son:

1

1

1

1

1 000

1 2

12

0 1000

1 2

0

1000

1000 1 2

1000

1 2 0

0 1 3 0

C. 0 500 500

0 0 1 2 1000 3 D. 0 0

0 1 000

1 2

0 1000

1000 2

1 000

1 2

0

0 1000 3 0

E. 0 500 500

0 0 500 a b 1 1 6. Sean las matrices A

y B c d , tal que 1 3 1 0 . Entonces el valor de a + b + c + d es: AB

Tipo UNI 2003 – II 0 1 B. 0

C. –2

D. 1

E. 2

7. Similarmente al caso de los números reales, se dice que la matriz M es la raíz cuadrada de la matriz N, si M2 = N. Entonces, el valor de ‘x’ para el cual la matriz 7 16 1 0

es la raíz cuadrada de

. UNI 2005 – I x 7 0 1 A. 0

B. 3

C. –16

D. 16

E.

a 1 2 1 8. Sean las matrices A

y B c 5 , tal que 3 1 Tipo UNI 2004 – I AB = BA. Calcula el valor de (a + c). A. 1/4

B. 1/2

C. 1

D. 2

E. 3

9. Sea Y un número real no nulo. Calcula (E + L) – (T + U) Y 0 E L Y 0 si E, L, T y U, satisfacen:

.UNI 2005 – II

T U T U E L

A. Solamente A= B= 0 B. Solamente A= 0 y Barbitrario. C. Solamente B= 0 y Aarbitrario.

A. 0

D. No existen tales números. E. A y Bson arbitrarios. 1000

es:

0

1 3 1000 B. 0 0

A. –1

4. Sean las matrices:

0 1 3 0

5. El valor de 0 1 2 1 2

0 0 1 2

1 3 0 A. 0 1 2 0 0

UNI 2003 – I

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

1 5 1

A 10. Sea la matriz 0 2 7 , entonces la suma de los 0 0 3

elementos de la diagonal de A10 es: UNI 2006 – I A. 40 230

B. 66

C. 60 014

D. 60 074

E. 106

67

ÁLGEBRA

Desigualdades e inecuaciones

1. Determina el valor de verdad de las proposiciones siguientes: abc 3 abc . ( ) Sea a; b; c 3 2 2 2 ( ) Sea a; b; c : a b c ab . ac bc ) Si a 2b 3c 2 mínimo de a2 b2 c2 es 2 a; b; c . 7 A. VVV B. VVF C. FFV D. FVV E. FFF

(

7. Sea el intervalo cerrado [a; b] el complemento del con3 junto solución de la desigualdad x2 – (√2 + √2)x + 2 > 0. 5 6

Sea también |w – a6| ) 3 y |z –b6| )5. Entonces la longitud del intervalo que recorre la variable real UNI 2006 – I (w + z) es: A. 6

B. 8

C. 10

D. 13

8. Halla la intersección de los conjuntos

E. 16

UNI 2007 – II

P = { x D /x2 – 2x + a *0 } y 2. Si a; b; c son números reales positivos tal que: a 1 b 1 c 1 1 1 1 , calcula 2a 2b 2c a b c T = a2 + b2 + c2 A. 12

B. 3

C. 6

D. 27

E. 8

4 x 2x

t se verifica para todo

x2 x 1 valor real de ‘x’, determina el intervalo al cual pertenece ‘t’. A. ]5; ∞[

C. ]– ∞; 3[

B. ]3; ∞[

D. ]– ∞; 2[

E. ]3; 9[

4. Dadas las siguientes proposiciones, ¿cuáles son verUNI 2005 – II daderas? I. Si a; b D /a > 0 "b"<1 ab + a + 1) es siempre mayor que 1. 5ab II. Si a; b D + el máximo valor que toma 2 a b2 3ab es 1. 2

4

III.Si 3 + a – a < M, a D entonces el menor valor entero de M es 3. A. FFF

B. VFF

C. FVF

B. ]–∞; 1 – √1 – a] C. ]–a; 1 – √1 – a] D. ]1 + √1 – a; ∞]

2

3. Si la inecuación

Q = { x D /x2 – ax – 2a2 )0 }, donde 3 ) a < 1. 4 A. [–a; 1 – √1 – a] F[1 + √1 – a; 2a]

D. VVF

E. VVV

E. Ø

9. Luego de resolver la inecuación x4 + 35x2 + 24 > 10x3 + 50x, determina la suma de los valores enteros del complemento de A, si A es el conjunto solución de la inecuación. A. 8

B. 11

C. 12

D. 10

E. 9

10. Siendo a < 0 < b, indica la verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes proposiciones: ab I. 0 ab 2 II. a b 0 ba

III. a3 b3 3ab a b A. VVF

B. VFV

C. FVF

D. FVV

E. VVV

2 2

x 2

UNI 2005 – II

4 x 2 0.

A. 13 ; 3 4 4 B. 11; 3 4 4

9 3 C. ; 4 4 D. 13 ; 5 4 4

11 5 E. ; 4 4

68

B. FVF

C. FFV

D. FFF

I. T 0; 2

2 ; 2 II. T 4

6. Determina el valor de verdad de la afirmaciones: UNI 2002 – II 3 0; 1

I. Si x 1; 5 2x 5 16 x 1 0 II. Si x 0; 4 x 2 x 1 III.Si x x x 3 x3 A. FVV

11. Si x e y D se cumple x2 + y2 = 1. Entonces, de 1 T x y se afirma: 2

E. VVV

2 2 III. T ; 2 2 ¿Cuáles de las afirmaciones son ciertas? A. Solo I

C. Solo III

B. Solo II

D. Solo I y II

E. Solo II y III


5. Calcula el conjunto solución de la inecuación:

ÁLGEBRA

Complejos

1. Si z1 y z2 son las raíces cuadradas del número complejo z distinto de cero, entonces el valor de (z1 +z2)3 Tipo UNI 2001 – I es: A. z1 · z2

B. z1 · z2 · 2

C. 0

E. z3

D. 1

1 i z w 1 i z el sistema el valor de es: w 2iz 1 i w i


1 i 2 6

A. 1 i 2 6

C.

B. 1 i 2 6

D. 1 i 6 2

E. 1 i 2 6

C. Una elipse

E. Una hipérbola

8. Si n = 8k y k D +, calcula el valor de n

UNI 2003 – I

plejo z en su forma polar es:

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

9. Sea z un número complejo. Resuelve la ecuación z2 + z – 2 = –2 y señala la suma de los módulos de todas las raíces (lm(z) ≠ 0). A. 1 4

A. 4 cos isen 4 4 B. 2 cos isen 4 4 C. cos isen 4 4 D. cos isen 4 4 E. 2 cos isen 4 4

Tipo UNI 2007 – I

n

1 1 1 .

1 R i i 2 2 2 2 A. 0

, entonces el número com2

3. Si z i 4, Arg z 1 i

B. 1 2

C. 1

D. 2

E. 3

10. Si z es un número complejo cuyo módulo es √5, tal que al multiplicar z por el cubo de (2 + i)se obtienen un imaginario puro y negativo, entonces el complejo z es: C. 1 2 i 5 D. 11 i 5

A. 2 i 5 B. 2 3 i 5 2

A 1 i 2 i2 3 i3 4 i4 ! 4n 14n A. n(2n + 1)

C. 0

B. 2n(4n + 1)

D. n(4n + 1)

E. 11 2 i 5 5

11. Determina (x – y) en:

4. Halla la suma A de números complejos:

B. Una circunferencia

D. Una parábola

2. Al resolver, en el conjunto de los números complejos,

A. Un círculo

E. 2n(4n – 1)

1 i 2 i x i 1 i 2 i y i , con x e y A. –2

B. –1

C. 0

D. 1

E. 2

x i , x , determina x si el 1 xi afijo de z está en la bisectriz del 3er cuadrante.

12. Dado el complejo z 7

5. El número complejo z


2

1 i tg

coss 7 i s e n 7

A. cos (U)

C. cos(7U)

B. cos 7

D. tg7(U)

es igual a: UNI 2004 – I

E. sec7(U)

Halla z1 y z2 en A, tal que|z1 – z2| sea el valor máximo. Da como respuesta z1 · z2. B. –28

C. –26

D. –20

E. –18

7. Determina el lugar geométrico de todos los puntos del plano complejo que satisfacen: |z – 1| ) 6 – |z + 1|

C. 1 – √2

B. √2 – 1

D. –1 – √2

E. 2 – √2

3

6. Sea la región: A z / z 2 i 3 z 2 i 3

A. –29

A. √2 + 1

46 4i 61 65i 13. Sea z . 1 9i 1 5i 65 61i Determina el valor de verdad de los enunciados siguiente: 3 I. Arg z 4 II. z z 8 1 1 III. z 21 2 4 cos 28 A. VVV C. VFV E. VVF B. VFF

D. FFV

69

ÁLGEBRA

Programación lineal

1. Calcula el área de la región limitada por:

6. Halla la suma del máximo y mínimo valor de la función f(x; y) = 4x + 3y, sujeto a las restricciones:

yx 1 yx 1 1 x 1 0 y 1 1 2 u 2

A. 220

B. 2u2

C. 1u2

D.

3 2 u 2

E. 3u2

y3 y3 y3

C. 25

D. 30

E. 34

y x 3 x y 4 x 0 ; y 0 31 2 u 4

B.

49 2 u 4

C. 20 u2

D.

91 2 u 4

E. 30 u2

4. En relación al siguiente problema, maximizar z = x1 + 1,5x2, sujeto a las restricciones: 2x1 2x2 160 ; x 2x 2 120 ; 4 x1 2x 2 280 x1 0 ; x2 0 Indica la secuencia correcta después de determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: Tipo UNI 2007 – II I. No existe región admisible. II. El óptimo es el punto (60; 20). III. Una solución admisible es el punto (40; 40). A. VVV

B. FFV

C. VFV

D. VVF

E. VFF

5. Considera el problema, maximizar z = 30x1 = 20x2, sujeto a las restricciones: x1 60 x 75 2 10 x1 8 x2 800 x1 0 ; x2 0 Dadas las proposiciones referidas al problema. I. No existe región admisible. II. El óptimo se da en el punto (60; 0). III. Una solución factible es el punto (0; 75). Son correctas: A. Solo I

70

E. 260

7. Un sastre tiene a su disposición 16 m de algodón, 2 11 m de seda y 15 m2 de lana. Un traje requiere lo 2 2 2 siguiente: 2 m de algodón, 1 m de seda y 1 m de 2 lana. Una túnica requiere lo siguiente: 1m de algo2 2 dón, 2m de seda y 3m de lana. Si el traje se vende por $ 30 y una túnica por $ 50, ¿cuántas prendas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero?

B. 7 trajes, 2 túnicas B. 24

3. Calcula el valor del área de la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:

A.

D. 250

A. 8 trajes, 0 túnicas D. 4 trajes, 3 túnicas

y3

A. 20

C. 240

2

2. Determina el número de puntos, de coordenadas enteras, que se encuentran en el conjunto solución del sistema: x x x x

B. 230

B. Solo II

Tipo UNI 2007 – I

C. Solo III D. I y II

E. II y III

E. 3 trajes, 4 túnicas

C. 0 trajes, 5 túnicas 8. Una compañía fabrica mesas y sillas. Por cada silla se necesitan 20 pies de madera y 4 horas de mano de obra. Por cada mesa se necesitan 50 pies de madera y 3 horas de mano de obra. El fabricante dispone de 3 300 pies de madera y de 380 horas de mano de obra. El fabricante obtiene una utilidad de 3 dólares por cada silla y 6 dólares por cada mesa. ¿Cuántas mesas debe fabricar para maximizar su ganancia? A. 18

B. 30

C. 40

D. 44

E. 56

9. Un fabricante de radios de banda civil obtiene una utilidad de $ 25 en un modelo de lujo y $ 30 en un modelo estándar. La compañía desea producir por lo menos 80 modelos de lujo y 100 modelos estándar por día. A fin de conservar alta la calidad, la producción total diaria, no debe ser mayor de 200 radios. ¿Cuántos de cada tipo han de producir diariamente a fin de llevar al máximo la utilidad? Da como respuesta (en dólares) la máxima utilidad. A. 4 800

B. 5 000

C. 5 500

D. 5 600

E. 5 700

10. El administrador del sistema de suministro de agua de cierta ciudad debe hallar la manera de proporcionar por lo menos 10 millones de galones de agua por día (mgd). El agua se debe tomar de los depósitos locales o de una tubería. Los depósitos locales pueden suministrar 5 mgd, cantidad que no puede ser excedida. La tubería puede suministrar un máximo de 10 mgd, además por una cláusula debe bombear por lo menos 6 mgd. El costo de agua de depósito es $ 300 por 1 millón de galones y el costo del agua de la tubería es $ 500 por 1 millón de galones. ¿En qué forma puede el administrador minimizar el costo diario del agua, ósea cuántos mgd del depósito y la tubería se debe tomar? A. (2; 5)

B. (4; 6)

C. (4; 7)

D. (2; 7)

E. (5; 2)


A.

x + y ≤ 80; 30x + 20y ≤ 1 800; x ≥ 0; y ≥ 0.

Claves

Claves

tPágina 62

tPágina 52 "

"

%

&

$

#

"

"

%

$

"

"

&

%

%

&

&

%

&

&

%

#

&

%

%

"

$

&

#

"

tPágina 53 &

&

#

"

%

&

&

"

%

"

#

#

"

#

tPágina 54 $

#

&

"

$

"

&

$

$

&

%

"

%

&

"

%

"

%

#

#

&

$

%

"

$

"

tPágina 64

tPágina 55 &

"

$

%

$

"

$

#

#

#

%

#

#

"

#

"

%

&

#

#

&

%

&

$

$

"

"

%

%

% tPágina 65

tPágina 56 $

$

%

$

"

$

%

$

%

$

#

%

%

#

"

$

$

"

$

$

#

"

#

tPágina 66

tPágina 57 %

"

$

#

$

$

&

"

%

$

$

$

#

&

#

"

$

&

$

$

$

$

"

&

"

&

#

%

#

#

&

&

$

tPágina 67

tPágina 58 %

$

#

$

#

&

$

#

#

#

"

"

$

%

tPágina 59


tPágina 63

%

$

$

%

#

$

"

#

%

"

%

#

#

%

$

$

"

%

tPágina 68 %

#

"

%

"

%

&

$

tPágina 69

tPágina 60 %

#

&

&

$

"

#

"

$

&

&

&

$

#

" tPágina 61 $

%

#

$

"

%

$

$

#

"

%

%

$

$

"

#

&

$

$

%

&

$

%

&

#

$

&

tPágina 70 $

$

"

$

%

#

#

%

71

GEOMETRÍA

Segmentos

1. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, CD C y D tal que AC = ____. 4 Calcula la medida de BC si: BD – 4AB = 40. A. 4

B. 5

C. 8

D. 6

E. 10

2. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F, tal que se cumple que: AC + BD + CE + DF = 108 y además se sabe que 5 BE = __ AF. ¿Cuál será la longitud del segmento AF? 7 A. 56

B. 48

C. 63

D. 72

E. 54

Calcula a + k + b. A. 12

B. 14

C. 8

D. 10

E. 9

8. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos ___ A, B y C y luego M que es el punto medio de BD. Calcula AM si: BC2 AB = AC + ____ = 529 4 A. 9

B. 23

C. 17

D. 16

E. 13

9. Se tienen los puntos consecutivos A, B, M y C tal que ___ M es el punto medio de BC. Calcula AM2 + BM2 si AB2 + AC2 = 24.

longitudes son directamente proporcionales a _1_; _1_ 3 4 y _1_, hecho esto se tienen tres segmentos, siendo la 2 longitud del segundo igual a 15. Calcula la suma de las longitudes del segundo y tercer segmento. A. 45

B. 48

C. 42

D. 52

E. 60

4. En una recta se tienen ubicados los puntos AM = ____ AN . consecutivos A, M, B y N tal que ____ BM BN Calcula la longitud del segmento de recta AB 1 + ____ 1 = _1_ Si ____ AM AN 6 A. 18

B. 16

C. 24

D. 12

E. 15

5. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E tal que AD = DE = AB = BE. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta? A. AC = CE

C. BE = AD

B. BC = CD

D. AB = DE

E. AD = 2BC

A. 12

A. _1_ 2

B. _1_ 4

C. _1_ 5

D. _1_ 6

E. _1_ 7

7. Dado los puntos consecutivos y equidistantes entre sí A, B, C y D ubicados sobre una recta, se sabe que: AB · CD(2k – 3) = AD · BC y además se cumple: 2a + 2 ______ 3b – 9 3k – 6 _______ _______ = – AB AD AC

72

C. 6

D. 10

E. 24

10. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB = AD = 3BC = CD. 4 + ____ 1 = 3√__ Calcula AB si ____ 3. AC CD __

__

√3 C. ___ 2

A. √3 __

__

E. 2√3

__

√3 B. ___ 4

√3 D. ___ 3

11. En una recta se ubican los puntos consecutivos__A, B, C y D tal que (AB – CD)(BC + AD) = 36 y BD = 6√3 . Calcula la longitud de AC. A. 14

B. 16

C. 12

D. 18

E. 15

12. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcula la longitud ___ ____del segmento que une los puntos medios de AB y CD si se cumple que AC + BD = 12. A. 9

6. Se tienen los puntos A, B, M, C y D ubicados de manera consecutiva, en una misma ___recta de tal manera que M es el punto medio de AD. Calcula la relación AB + CD en que están los segmentos AB y CD si _________ = _4_. BM – CM 3

B. 18

B. 6

C. 3

D. 4

E. 10

13. Los puntos A, B, C y D se toman de manera___ consecutiva en una recta L tal ___ que la longitud de AD es el triple de la longitud de AB. Halla la longitud de CD si: AC _3_ 1 + ____ ____ = AD 2AB 2 A. _1_ 3

C. _2_ 3

B. _2_ 5

3 D. __ 2

5 E. __ 2


3. Manuel corta una soga en tres partes cuyas

GEOMETRÍA

Ángulos

1. Se tienen los ángulos consecutivos AOC, COB y BOD. Se trazan los rayos OX y OY que son las bisectrices de los ángulos AOC y BOD respectivamente. Calcula la medida del ángulo AOB si los ángulos COD y XOY miden 99° y 90° respectivamente. A. 99°

B. 108°

C. 81°

D. 88°

E. 75°

2. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la suma de las medidas de los ángulos BOD y AOC es 110°. En el interior del ángulo BOC se toma el punto F y se trazan los rayos FX, FY, FZ y FW los cuales son perpendiculares a los rayos OA, OB, OC y OD respectivamente. Halla la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos XFY y ZFW. A. 120°

B. 118°

C. 125°

D. 130°

E. 115°

3. La suma de las medidas de un par de ángulos es 80° y el complemento de la medida del primero de ellos es el doble de lo que mide el segundo. Calcula la razón aritmética de las medidas de dichos ángulos. A. 60°

B. 65°

C. 75°

D. 70°

E. 50°

4. Calcula la medida del ángulo si se sabe que la tercera parte de la mitad del complemento del suplemento de su medida, excede en 8° a los tres quintos del complemento de la mitad de la medida de dicho ángulo. A. 110°

B. 120°

C.165°

D. 140°

E. 145°

5. Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye 38° para agregárselos al otro, este ángulo resulta ser cinco veces lo que queda del primero. Calcula la medida del menor de dichos ángulos. A. 70°

B. 60°

C. 58°

D. 55°

E. 68°

6. El suplemento del complemento de un ángulo es igual al suplemento de la suma del complemento y suplemento de su ángulo doble y triple respectivamente. Calcula la medida de dicho ángulo.


A. 50°

B. 42°

C. 36°

D. 45°

E. 40°

7. Se tienen tres ángulos consecutivos AOB, BOC y COD cuyas medidas están en orden descendente tal que la medida del ángulo AOB es igual a lo que mide el ángulo COD más 40°. Calcula la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOD y BOC. A. 30°

B. 32°

C. 36°

D. 20°

E. 28°

8. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE y EOF tal que la suma de sus medidas es 180°. Calcula la medida del ángulo COD si los ángulos BOC y DOE son congruentes, m=AOB = m=EOF y m=AOC = 80°. A. 15°

B. 10°

C. 20°

D. 18°

E. 25°

9. En la figura, calcula “y” cuando “x” tome su máximo valor entero. A. 52° B. 48° C. 45° x+y

D. 47°

2x – y

x–y

E. 56°

10. En la figura, calcula x + y + z, si las rectas M y R son paralelas, los ángulos LDA, ADB y BDR son congruentes al igual que los ángulos DLB, BLA y ALM. A. 300°

L

M

B. 280° x

C. 350°

z

D. 270° E. 320°

A

y

B R

D

11. En la figura, calcula x, si las rectas M y R son paralelas lo mismo que las rectas P y Q. A. 80° B. 70°

2y

C. 75°

x

13y

M Q

50°

D. 60°

R

3y

E. 30°

P

12. En la figura, las rectas M y R son paralelas. Calcula x si m=ACB = _x_ y los ángulos BPC y AQB son rectos. 4 A. 55° B. 50°

M

3y L

C. 48°

P

x

C

D. 60° E. 42°

A

z

3z

Q

y

R

B

13. En la figura, las rectas M y R son paralelas. Calcula x. A. 25° M

x

B. 30° C. 40° 2x

D. 35° E. 20°

3x

R

73

GEOMETRÍA

Triángulos

1. En la figura, las rectas M y R son paralelas. Calcula x. A. 32°

Calcula x. A. 110°

B. 38°

x

C. 45°

M

z

C. 105°

D. 30°

D. 125°

E. 36°

E. 120°

x z

A

M

C

2x

R

2. En la figura, AB = AP, BC = BL y AC = CQ. Halla la relación en que se encuentran los perímetros de los triángulos ABC y LPQ. A. Igual 3

B

B. 115°

2x

L

B. Mayor que _1_ 6 C. Mayor que _1_ 3

A. 18°

B.15°

C. 10°

D. 12°

E. 14°

9. En un triángulo ___ ABC se toma exteriormente y relativo al lado BC se toma el punto D tal que m=CAD = m= BCA = m=BCD = 15°. Calcula la longitud de si AB = 4.

B

D. Menor que 3

8. Se tiene el triángulo rectángulo ABC en el cual el ángulo ABC mide 100°. Exterior a dicho triángulo e interior al ángulo ABC se toma el punto P tal que AP = AB. Calcula la medida del ángulo CAP si m=BAP = 60° y m=APC = 160°.

A

Q

C

__

A. 4√2

__

__

B. √2

__

C. 2√2

D. 3√2

E. 2

E. Mayor que 3

___

P

3. ___ Exteriormente a un triángulo isósceles ABC, de lados ___ AB y BC congruentes, se toma el punto F, tal que BC = BF. Calcula la medida del ángulo AFC si el ángulo ABC mide w. A. w

2w B. ___ 3

3w C. ___ 2

D. _w_ 3

E. _w_ 2

___

10. En un triángulo isósceles ABC, de lados AB y BC congruentes, se ubica el punto exterior D, relativo a ___ BC. Calcula la medida del ángulo ABC si AD = BD, m=DCB = 30°, m=CBD = 3 z y m=ABC = 4 z. A. 18°

B. 20°

C. 24°

D. 12°

E. 26°

11. En un___ triángulo ABC se toma el punto medio M del lado AC. Calcula la medida del ángulo MBC si los ángulos BAC y BCA miden 30° y 15° respectivamente.

___

A. 21

B. 18

C. 20

D. 19

E. 16

5. Se tiene un triángulo ABC en el cual el ángulo C mide el____ doble que el ángulo B. Se traza ___ la bisectriz interior CD y luego por D una paralela a CA la cual ___ interseca en M a BC tal que AM = AD. Calcula la medida del ángulo ABC. A. 20°

B.15°

C. 24°

D. 22°

B. 6

C. 8

D. 5

C. 15°

D. 18°

E. 24°

12. En la figura, z – y = 12°. Calcula x si el ángulo ABC mide 90°. C

A. 8° B. 32°

ww

C. 12° B

D. 18° E. 6°

A

y

z

x

E. 7

13. Se tiene el triángulo equilátero ___ ABC en el cual exteriormente y relativo al lado AC se ubica el punto D de tal manera que el ángulo CDA es obtuso. Calcula el mayor valor entero del perímetro del triángulo ABC tal que AD = 7 y CD = 13. A. 55

7. En la figura, AM = MC y el ángulo ABC mide 135°.

74

B. 20°

E. 18°

6. En un triángulo ABC, el ángulo A mide el___ doble que el ángulo C. Calcula el menor valor de BC, si es un número entero y además AB = 6. A. 4

A. 30°

B.56

C. 57

D. 59

E. 58


4. En la prolongación del lado CA de un triángulo ABC, obtuso en A, se toma el punto M tal que ____m=BMC = 90°. Calcula el máximo valor entero de AM, si AC = 10 y la ___ ___ relación en que están BC y AB es de 3 a 2.

GEOMETRÍA

Puntos notables

1. En los lados AC y BC de un triángulo acutángulo ABC se toman los puntos D y E respectivamente tal que AD = BD = BE y los ángulos ABC y DEB son congruentes. Si las bisectrices de los ángulos BAC y ACB se intersecan en P y el ángulo EDC mide 60°, entonces el ángulo CPA mide : A. 128°

B. 136°

C. 132°

D. 126°

B. 36°

C. 32°

D. 26°

B. 66°

C. 70°

D. 76°

B. 62°

C. 57°

D. 54°

E. 50°

5. En un triángulo ABC el ángulo ABC mide 40° y el punto O es su circuncentro. Las mediatrices de OA y OC intersecan a los lados AB y BC en los puntos F y G respectivamente. Calcula la medida del ángulo FOG. A. 120°

B. 130°

C. 140°

D. 110°


B. 2CN + BM 2

C. AB + BC 2

E. CN + BM

B

B. 2 cm

E. 2,5 cm

C. 3 cm

B. 45°

C. 37°

D. 60°

E. 53°

10. Se tiene un triángulo ABC en el cual E y F son los excentros relativos a los lados AB y BC respectivamente mientras que M es el medio de FE. Calcula la medida del ángulo AMC si el ángulo ABC mide 48°. A. 40°

B. 46°

C. 50°

D. 48°

E. 44°

11. En un triángulo ABC de circuncentro O, se trazan los segmentos OA, OB y OC. Si P, M y N son los circuncentros de los triángulos AOB, BOC y AOC, respectivamente, ¿qué punto notable es O en el triángulo MPN? A. Ortocentro B. Circuncentro C. Baricentro D. Incentro E. Un punto cualquiera 12. En la figura, m=AGC = 90° + x. ¿Qué punto notable es G en el triángulo ABC? A. Baricentro

B

B. Ortocentro C. Circuncentro X

G

X

A

C

13. En la figura, se tiene el cuadrilátero ABCD y su diagonal es bisectriz. Calcula x. A. 28°

B

B. 18° C. 36°

D

G E

A

A. 30°

E. Un punto cualquiera

7. En la figura, G es el incentro del triángulo ABC, m=BAC = 30°, E es la intersección de CG y DF , m=ADB = 90°, AB = 20 cm y la distancia de E a BC es 3 cm. Calcula DE. D. 1 cm

9. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro H, la recta de Euler interseca al lado AC en el punto F. Calcula la medida del ángulo AFH, si AF = 2FC = 2HB.

D. Incentro

D. AB + AC 3

A. 4 cm

D. 21 cm

E. 150°

6. En un triángulo ABC, por su incentro I se traza una paralela a BC la cual interseca en M y N a los lados AB y BC . ¿Cuál es la longitud de MN ? A. AB + AC 2

B. 30 cm

E. 27 cm

E. 74°

4. En un triángulo isósceles ABC, el ángulo ABC mide 136°. Calcula la medida del ángulo IAO si I es el incentro y O es el ortocentro de dicho triángulo. A. 60°

C. 36 cm

E. 37°

3. En un triángulo ABC, obtuso en C, la diferencia de las medidas de los ángulos C y A es igual a 28°. Calcula la medida del ángulo formado por la bisectriz exterior BG y la altura BH . A. 80°

A. 24 cm

E. 134°

2. En un triángulo ABC, el ángulo ABC mide el triple que el ángulo BAC. Se traza la bisectriz exterior CE tal que AC = BE. Calcula la medida del ángulo BAC. A. 30°

8. En un triángulo ABC se traza la mediana CM y se determina su baricentro Q. Sea P punto medio de AQ ; MQ y BP se intersecan en R. Calcula CM, si MR = 3 cm.

3x A

4x

2x

x x

C

D. 12° F M

C

E. 24°

D

75

GEOMETRÍA

Semejanza

1. En la figura, AE = 4 m, EB = 3 m, BF = 5 m, CF = 2 m y Tipo UNI 2 004 - I CD = 1 m. Calcula AD. 10 D. ___ m 3

B. _7_ m 3

8 E. __ m 3

A. (k – 1)

E F

C. 3 m A

C

D

2. En la figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6, BM = MC, A es el centro de la circunferencia a la que pertenece el arco BD, G es el punto de intersección ___ ____ de MD y AC ___y R es el punto donde se intersecan el Tipo UNI 2 004 - II arco BD y AC. Calcula GR. __

A. 3 – 2√2 B. 2(3 – C. 3(2 – D. 4(3 – E. 2(3 –

B

__ 2√2 ) __ √2 ) __ 2√2 ) __ √2 )

M

R

B. _4_ 7

3 E. __ 7

E. 2k − 1

6. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se ___ inscribe una circunferencia y se traza la tangente cir___ ___ DE a la___ cunferencia y paralela a AC (D en AB y E ___ en BC) ___ siendo F y G los puntos de tangencia en AB y BC respectivamente. Calcula DF si BG = a y AC = b. ab A. ______ a+b

b C. ______ a+b

b2 B. ______ a+b

ab D. ______ b –a

bc a

ab A. ___ c

D.

a B. ___ bc

ab E. ___ c

D

a2 E. _________ 2(a + b)

E

C

B

A

B

M

A

C

___

4. En la figura, RG es el diámetro de la semicircunferencia. Calcula AC si BM = 3 cm y MC = 2 cm.

D

F

8. En una circunferencia de radio R se toma el punto P y con centro en P se traza una circunferencia de radio r ( ___ R > r). En la circunferencia mayor se traza la cuerda AB que es tangente a la otra circunferencia. Calcula PA = PB A. 2Rr

3 C. __ 5

B. 4Rr

C. Rr

D. 3 Rr

Rr E. ___ 2

9. Un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tal que la recta que contiene a la bisectriz exterior___ del ángulo B, intercepta en F a la prolongación de AC y en M a la circunferencia mencionada. Calcula AB si CF = BC = 3 m, BF = 9 m y MB = 4 m. A. 8 m

B. 10 m

C. 12 m

D. 14 m

E. 9 m

Tipo UNI 2 008 - I

A. 1,5 cm

10. En un romboide ABCD se traza ___ una ___ recta que pasa por D y corta en R, Q y P a AC, BC y a la prolonga___ ción de AB respectivamente.

B

B. 4 cm C. 5 cm

Calcula PQ si RQ = 3 m y DR = 4 m.

M

D. 3 cm E. 2 cm

C R

A

G

5. Por un punto ___ O interior a un triángulo ABC ___ ____ ___ ___ ___ se trazan las____ paralelas DE ___a BC ___y FG a AB (D en AB, E en AC, F en BC y G en AC) y BP es una ceviana que pasa por O.

76

D. 2k

b C. ___ ac

3. En la figura, los lados del triángulo miden 3; 4 y 5. Calcula la longitud del radio de las dos circunferencias congruentes que se muestran en la figura y que son tangentes entre si y tangentes a los lados del triánTipo UNI 2 006 - I gulo. 5 D. __ 7

C. k + 1

7. En la figura, se tiene el paralelogramo ABCD. Si AB = a, BC = b y FM = c. Calcula ME.

C

G

A

A. _4_ 5

B. k

B

A. _2_ m 3

C. _7_ m 3

B. _1_ m 3

D. _4_ m 3

5 E. __ m 3


5 A. __ m 3

AC OB Calcula ____ si k = ____ EG OP

GEOMETRÍA

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, cuyo inradio es r y cuyo incentro es I. Se traza la altura BM. Calcula la distancia de I a BM si AC = b y AB = c. Tipo UNI 2005 - II

A. c(b − c) − r b

C. b(b + c) + r c

B. b(b − c) + r c

D. b(b − c) − r c

E. c(b − c) + r c

6. En la figura, ABCD es un cuadrado, AB es diámetro y D es el centro de la circunferencia que contiene al arco AC. Halla el producto de las longitudes BC y DR de si AM = 6 u. B

2

A. 16 u

C R

M

2

B. 36 u

2

C. 24 u

2

D. 18 u

2. En la figura, se tienen tres semicircunferencias siendo las longitudes de los radios de las menores, 8 u y 2 u. Tipo UNI 2006 - II Calcula la longitud de MR. A. 12 u

2

E. 45 u

D

A

7. O y G son los centros de las circunferencias mostradas, A es punto de tangencia. Calcula LM, si FM = 6 u y OM = 2 u.

M

B. 10 u C. 8 u

A. 1 u

D. 16 u A

E. 14 u

B. 3 u

B

R

O

M L

C. 2 u

A

D. 1,5 u

3. En la figura, A, B y F son puntos de tangencia y AF = 3 FB. Halla la relación que existe entre las medidas de los radios R y r de dichas circunferencias.

G

F

E. 2,5 u

Tipo UNI 2007 - II

A. 3

8. Un cuadrilátero ABCD se encuentra inscrito en una circunferencia y circunscrito a otra de centro O y radio x. Calcula x, si AO = a y OC = b.

B

A

B. 6

r

C. 4

F

R

2b

A.

D. 12

ab

B.

D.

√a + b 2


4. En la figura, AC = 2r es diámetro, la cuerda BC = √7, AM es el segmento áureo de AB y la relación de r a Tipo UNI 2008 - I AB es como 2 a 3. Calcula AM. ( − 1) A. √5 2

D. (√5 − 1) 4

B. (√5 − 1) 3

E. 5(√5 − 1) 2

C

B

M

3(√5 − 1) A

2

5. En la figura, calcula ED si (BE × BD × AC) = 27 u3 A. 3 u

B

B. 4 u

D

C. 5 u D. 6 u E. 9 u

E A

H

C

9.

2a

2ab

E.

√a2 + b2

√a2 + b2

E. 9

C.

C.

√a2 + b2

ab 2√a2 + b2

2

En la figura, BD = 1 u y CD = 2 u. Calcula FH. A.

B.

√6 3

u

2√6 3

D.

u

E.

√6 2

u

B D

3√6 u 2 A

C. √6 u 4

H

F

C

10. Se tiene un trapecio isósceles donde la base menor mide 7 u. Las diagonales de este trapecio tienen por longitud 20 u y son perpendiculares a los lados no paralelos. Calcula la longitud de la base mayor de dicho trapecio. A. 22 u

B. 30 u

C. 32 u

D. 28 u

E. 25 u

77

GEOMETRÍA

Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo

1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC en el cual la hipotenusa AC = 12 m. Calcula la suma de los cuadrados de las longitudes de las medianas relativas Tipo UNI 2005 - II a los catetos. A. 180 m2

C. 150 m2

B. 192 m2

D. 174 m2

7. En la figura, AM = CM, CN = 2(BN), AR = RN. 3

A. 2 u B

B. 3 u

E. 168 m2

23 .

Calcula MR, si AB = 6 u, AC = 10 u y BR =

N

C. 4 u

R

D. 1 u 2. En un triángulo ABC, m=ABC = 120°. Calcula la longitud de la bisectriz interior BF si AF = 1 m y FC = 3 m. 3 A. √11 m 11

C. √11 m 11

B. √13 m 13

D. 2√13 m 13

E. √7 cm 2

B. √5 cm 2

E

B. 2√2 u

M

C. √2 u 2 D. √3 u

O M C

A

C. √11 cm 2

9. La longitud de los radios de dos circunferencias ortogonales son 3 u y 4 u. Calcula la longitud del radio de la circunferencia que es tangente a ambas circunferencias y tangente, además, al segmento que une los centros de dichas circunferencias. A. 7 u 8

4. En un triángulo ABC, el ángulo A es el menor y el ángulo C es el mayor. Se traza la mediana BM y O es el circuncentro del triángulo CBM. Calcula AC si OB = 5 cm y OA = 13 cm. A. 12√2 cm

C. 6√2 cm

C

A

E. 2√2 u

B

E

C

B

A. √2 u

D. √13 m 2

M

8. En la figura, AC = 4 u, AB es diámetro de la semicircunferencia, se cumple EB2 – BC2 = 8 u y EM = 1 u. Halla la longitud de AE.

E. 3√13 m 13

3. En la figura, O es el centro de la semicircunferencia, M es el punto medio de EC y el triángulo ABC es equilátero cuyo lado mide 4 cm. Calcula OM si CF = 5 cm. A. √3 cm 2

A

E. 3 u 2

E. 12√3 cm

D. 3 u 4

C. 17 u 20

B. 17 u 30

E. 7 u 20

10. En la figura, ABCD es un paralelogramo y F es un punto de su interior. Si AF = 4 u, BF = 2 u, CF = 6 u y DF = 3 u. Calcula AC2 − BD2. A. 68 u2

B

C

2

B. 74 u

D. 10√2 cm

C. 72 u2

5. En un trapezoide ABCD, M y N son los puntos medios de los lados AB y CD respectivamente. Calcula MN si AB2 + CD2 = 16 cm2 y AN2 + BN2 + CM2 + DM2 = 80 cm2. A. 2√2 cm

B. 6√2 cm

B. 6√3 cm

D. 3√2 cm

C. 2√3 cm

5 A. 2k

78

B. 3k

D. 6k

E. 4k

D

E. 82 u2 11. En la figura, se tiene el trapezoide ABCD, BC = CD, m=BAC = m=CBD y AM = MB. Calcula CM si AB = 2 k y AD = m. B

2k2 − m2

C

2 B.

M

2m2 − k2 A

2 C.

C. 5k

A

D. 78 u

A. 6. Se tiene el triángulo acutángulo ABC en el cual se trazan las alturas BH y CM. Se toma R punto medio del lado BC, calcula la distancia del punto H al segmento que une los puntos M y R, si MH = 4 m, BC = 10 m y K = √21 .

F

2

m2 − k2 2

D.

D

m2 − 2k2 2

E.

m2 + 2k2 2


B. 6√3 cm

GEOMETRÍA

Segmentos Proporcionales 2(AB + BC) = 3AC.

1. En la figura, calcula la medida del ángulo AFC. Tipo UNI 2007 - I

A. 105° B

B. 110° C. 120°

M

D. 115°

z z

E. 125°

A

B. 2,5 m

C. 0,5 m

D. 2 m

N

A. 4 m

O

C

D

B. 8 m 2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BD cuya longitud se desea calcular sabiendo que BC = 6 cm y AB = 4 cm. Tipo UNI 2007 - II

A. 2√2 cm

C. 12 √2 cm 5

B. 3√2 cm

D. 4√2 cm

E. 2√3 cm

A. 6(6 + 4√2 ) m

C. 6 m D. 7 m O

E. 5 m

A

B

B. 1,2 cm

H P

D. 2,4 cm

M

C. 4(6 + 4√2 ) m

E. 1,8 cm A

C

F

E. 5(6 + 4√2 ) m 4. En la figura, calcula la longitud de AB , si BC = 5(FC); AE = 5 m y FC = 3 m. A. 12 m

z

z

F

C. 18 m

E

D. 16 m

x

x

y

A

M

R

9. En un triángulo isósceles ABC, AB = BC = 15 m y AC = 18 m. Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita en dicho triángulo. A. 3 m

B. 2 m

C. 5 m

D. 4,5 m

E. 4 m

10. En la figura, los ángulos AQM y NMQ son congruentes, BC = 28 m, MQ = 3(BQ) y AM = MC. Calcula la longitud de CP.

B

B. 14 m

A. 20 m y C

D

B

B. 28 m

P

C. 24 m


Q

5. En la figura, la recta FM es la mediatriz de AC . Calcula EB si AB = 12 m y FC = 6BF. A. 2 m

E. 25 m A

A. 2 m

F

D. 1,6 m

B. 3 m A

C

M

11. En la figura, OM//AB y ON //CD . Calcula la longitud ND si AM = 4 m, MN = 3 m y BC//AD.

B

C. 2,4 m

N

D. 26 m

E

B. 3 m

E. 3,5 m

E

B

A. 2,8 cm

C.1,4 cm

B. 2(6 + 4√2 ) m

E. 20 m

C

8. En la figura, MR es diámetro de la semicircunferencia y H es punto de tangencia. Calcula HP si MH = 7 cm, MR = 10 cm y el radio de la circunferencia mide 2 cm.

3. En la figura, los ángulos ABF y FBC son congruentes. Calcula el perímetro del triángulo BFM si AF = 30 m y FC = 40 m. Tipo UNI 2008 - I

D. 3(6 + 4√2 ) m

E. 3 m

7. En la figura, los segmentos AC y BD son paralelos al igual que los segmentos BC y DE. Halla la longitud de OB si AE = 9 m y OA = 3 m.

65º F

A. 1 m

65º

M

C

6. En un triángulo ABC las bisectrices de los ángulos A y C intersecan a la mediana BM en los puntos E y F, estando E en BF. Calcula EF si FM = 2 m, BE = 3 m y

B

C

C. 2,5 m

O

D. 4,5 m E. 4 m

A

M

N

D

79

GEOMETRÍA

Cuadriláteros ___

1. En un trapecio ABCD de base mayor AD, por el punto de intersección de sus diagonales se traza una recta ___ R que interseca en los puntos P y Q a los lados AB y ____ CD respectivamente, dichos puntos se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la recta que contiene a la mediana del trapecio. Si las sumas de las distancias de los vértices A y D a la recta R es 12 m y la suma de las distancias de los vértices B y C a la misma recta es 4 m, calcula la distancia del punto medio de la mediana del trapecio a la recta R. Tipo UNI 2 005 - II

B. 1,5 m

C. 2 m

D. 2,5 m

E. 3 m

2. Se desea establecer si el perímetro de un cuadrado C es mayor que el perímetro de un triángulo equilátero T. Información: I. La razón del lado de C, al lado de T es 4 a 5. II. La suma de las longitudes de un lado de C y un lado de T es 18.

Tipo UNI 2 006 - I

B

Q w

C x

C

r

D. 45°

r

E. 50°

A

D

7. Las diagonales de un trapecio tienen por longitudes 9 m y 13 m. Calcula el máximo valor entero que puede tener la mediana del trapecio. B. 8 m

C. 10 m

D. 9 m

E. 12 m

B

F

D. 9 m E. 8 m

A

F

D

z

Q

M 30°

P G

C

B

A. 30° A

D

C

II. Medida del ángulo ADC = 90°

C

B. 37° C. 53° D. 45° E. 60°

x

A

D

10. En la figura, ABCD es un paralelogramo y los triángulos ABQ y BCF son triángulos equiláteros. Calcula x. A

B

A. 75°

A. Sólo la información I es suficiente

B. 45°

B. Sólo la información II es suficiente

C.60°

C. Es necesario emplear ambas informaciones

D. 80°

D. Cada una de las informaciones por separado, es suficiente

E. 50°

E. La información brindada es insuficiente

80

z

9. En la figura, ABCD es un trapecio isósceles siendo la longitud de su mediana, igual a 4 m y su altura mide 3 m. Calcula x.

4. Analiza e identifica la información suficiente para responder la siguiente pregunta: La figura ABCD, ¿es Tipo UNI 2 007 - II un cuadrado? I. z = 45°

B

z

C. 40°

C. 10 m

3. En la figura, ABCD es un trapecio, Q y F son los puntos medios de sus bases. Calcula QF si la suma de las 3/ medidas de los ángulos w y x es . Tipo UNI 2 006 - I 2

AD – BC C. ________ 4

x

B. 35°

B. 7 m

E. La información brindada es insuficiente.

AD + BC E. _________ 2

E. 36°

A. 30°

A. 6 m

D. Cada una de las informaciones por separado.

CD – AB B. ________ 2

D. 25°

Calcula GM si FP = 1 m y CQ = 4 m.

C. Ambas informaciones a la vez

AB + CD D. _________ 2

C. 35°

8. En la figura, se tiene el triángulo ABC siendo los puntos medios de sus lados F, G y Q.

B. Sólo la información II

AD – BC A. ________ 2

B. 20°

6. En la figura, ABCD es un trapezoide y los ángulos A y D son complementarios. Calcula x.

A. 6 m

Para resolver el problema es necesario: A. Sólo la información I

A. 30°

B

C

Q F A

x D


A. 1 m

5. En un rombo ABCD se construye exteriormente el triángulo equilátero BEC. Calcula la medida del ángulo AED.

GEOMETRÍA

Polígonos

1. En un cuadrado se inscribe un octógono regular. Calcula la relación entre el perímetro del cuadrado y el perímetro de dicho octógono. UNI 2004 - I

2 <1

A. B.

2 2 1

C.

2 2 2 <1

E.

2

2 1 2

D. 2 2 < 1

2

6. En un hexágono regular de 12 3 m de perímetro. Calcula el perímetro del polígono que tiene como vértices los puntos de intersección que resultan de trazar las diagonales de menor longitud en dicho hexágono.

2. En un polígono convexo, la suma de seis ángulos internos es 840°. Calcula la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes.

A. 6 m

C. 12 m

B. 6 3 m

D. 12 3 m

E. 9 m

7. Halla el número de lados que tienen un polígono si desde los primeros (n − 4) vértices se han logrado trazar como máximo 3(n − 1) diagonales.

Tipo UNI 2006 - II

A. 250° B. 240°

C. 150° D. 260°

E. 120°

3. Se tienen dos polígonos regulares convexos en los cuales su número de diagonales se diferencian en cuatro, estando sus ángulos centrales en la relación de cinco a seis. Calcula la diferencia que hay entre la medida del ángulo interior del polígono regular convexo que tiene menos lados y la medida del ángulo exterior del polígono de mayor número de lados.

A. 9

C. 11

B. 10

D. 12

E. 13

8. ¿Cuántos lados tiene un polígono, si su número de diagonales se multiplica por 6 cuando se duplica su número de lados?

A. 9

C. 7

B. 8

D. 6

E. 5

Tipo UNI 2008 - I

A. 60°

C. 120°

B. 48°

D. 80°

E. 105°

4. En la figura, el hexágono ABCDEF es regular. Si P, M y N son puntos de tangencia, además ED = 6 m, deter±

mina la medida de MN . A

B

9. Calcula el número de lados de un polígono en donde el máximo número de diagonales que se pueden trazar es igual a la suma del número de lados aumentado en dos.

A. 6

C. 10

B. 8

D. 12

E. 14

10. Cuando el número de lados de un polígono regular aumenta en 10, cada ángulo del nuevo polígono es 3º mayor que cada ángulo del polígono original. Calcula el número de lados del nuevo polígono. F M ©Grupo Editorial Norma S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822

C

O

E

N

P

A. 4 m

C. 5 m

B. 3 m

D. 2,5 m

D

E. 3,5 m

5. La diferencia entre la medida del ángulo interior de un polígono regular y su ángulo interior convexo de su correspondiente estrella es 36º, ¿cuántas diagonales medias tiene dicho polígono? A. 40

C. 48

B. 45

D. 50

A. 20

C. 40

B. 30

D. 50

E. 60

11. En cierto polígono al aumentar el número de lados en a, el número de diagonales aumenta en 6a. ¿Cuántos polígonos cumplen con estas condiciones?

A. 2

C. 5

B. 4

D. 6

E. 8

E. 42

81

GEOMETRÍA

Circunferencia

1. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y la medida del ángulo w es 110°. Calcula el valor de x. Tipo UNI 2 004 - I

B x

B. 18° C. 10°

D

B. 12

w

D. 20°

A

F

C. 14 C

E

D. 16

E. 15°

E. 15 2. En un triángulo ABC se traza la altura BH y luego se trazan HP y HQ perpendiculares a los lados AB y BC respectivamente. Halla la medida del =PCQ si el =BAQ mide 48°. Tipo UNI 2 004 - II A. 36°

B. 48°

C. 60°

D. 24°

A

C

8. Sabiendo que P, Q, R, S y T son puntos de tangencia, calcula la medida del =PAT. A. 20º

E. 30°

3. En un triángulo ABC, AB = BC = 10 cm y AC = 12 cm. Calcula la longitud de la circunferencia que pasa por los puntos A y C, sabiendo que los lados AB y BC son tangentes a dicha circunferencia. Tipo UNI 2 005 - I C. 25 / cm

B. 30 / cm

D. 20 / cm

Tipo UNI 2 005 - II

B. 105°

C. 85°

D. 100°

E. 95°

5. Las longitudes de dos circunferencias coplanares están en la relación de 5 a 2 y su suma es igual a 14 . Si se sabe que la distancia entre sus centros es igual a dos veces la diferencia de sus radios, entonces las circunferencias son: Tipo UNI 2 005 - II

40˚ 2k

En la figura, BC = CD, EH = 6 m y CH – HD = 8 m. Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo BAE. A. 3 m

C B

B. 2 m C. 2,5 m D. 4 m

A

E. 4,5 m

A. 60°

B. Disjuntas

E. Tangentes interiores

C. 64°

B

A. k/4 B

E x D M

E. 46°

11. En la figura, O es centro y BC = CD = DE. Halla el valor de x. B

C

D 100˚ C

D. k/2

x

A

A

D

A. 40°

82

C

A

C. k/3

E. k/8

H

F

D. 74°

Tipo UNI 2 006 - I

D

E

10. En la figura, ABCD es un trapecio isósceles, F, H y E son puntos de tangencia. Calcula x si el ángulo FME mide 64°.

B. 45°

6. ABCD es un cuadrado de lado k; A y B son centros de los arcos. ¿Para qué valor de x el perímetro de la región coloreada es x(/ + 3)?

A

P

D. Tangentes exteriores

B. k/6

S

E. 60º

A. Secantes C. Concéntricas

7k

D. 50º

9.

En el arco BD se elige el punto E de manera que E, B y G son colineales (G en la recta L). Calcula la medida del =AFG si el arco BE mide 80° y AE ECD = { F }. A. 90°

Q

C. 40º

E. 25 / cm

4. En una circunferencia se trazan los diámetros perpendiculares, AB y CD. Por C se traza una recta L la cual es tangente a la circunferencia.

T

R

B. 70º

A. 15 / cm

Tipo UNI 2 006 - II

B

A. 7

B. 50°

E

O

C. 60°

D. 70°

E. 80°


A. 12°

7. En la figura, CD es tangente a la circunferencia que está inscrita en el triángulo ABC. Calcula el perímetro del triángulo FBE si AB = 10, BC = 12 y AC = 8.

GEOMETRÍA

Relaciones métricas en la circunferencia

1. En la figura, AD es diámetro de la semicircunferencia. Calcula la medida de BC, si AB = 7 cm, CD = 4 cm y MC = 6 m. Tipo UNI 2004 - I

M

A. 3 3 cm B.

29 cm B

C. 31 cm

A

2

2

2

2

Tipo UNI 2004 - I

A. AC – AB = AD – BC B. AC + AB = AD – BC

k 5 4

B.

k 3

E.

k 3 3

C.

k 6 3

2

N

7. En la figura, AB y BC son diámetros. Calcula FM Si 2 AF = FD = 64 m . C

A. 6 m

E. 8 m

3. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B; con centro en C y radio CD (D en BC) se traza una circunferencia que interseca en E a AC. En la prolongación de ED se toma el punto F ,tal que BF = BC, y por el se traza la tangente BG a la circunferencia. Calcula BF si CD = 4 m y FG = 4 3 m. Tipo UNI 2005 - II

A. 3 m

C. 4 m

B. 3,5 m

D. 4,5 m

E. 5 m

M A

8. En la figura, AB es diámetro y F es punto de tangencia. Calcula AB si MD = 2 m y BD = 6 m. M

A. 8 m B. 4 m F

C. 6 m

D w

E. 12 m

C. 4m


D A

M

5. En la figura, M y B son puntos de tangencia. Calcula BM si AB = 2 m y BC = 8 m.

A

A

C. 9 m

B. 5 m

D. 8 m

C. 3 m

C. 3 m

E. 10 m

10. En la figura, A y B son puntos de tangencia. Calcula FD si EM = 2 m y MD = 1m.

B. 5 m B

B

C

A. 12 m

A

A. 2 m

A. 2 m

w

9. En una circunferencia, el diámetro AB y la cuerda EF se intersecan perpendicularmente en L. Se traza una circunferencia tangente al menor arco EF y a la cuerda EF. Calcula la longitud de la tangente AM (M es punto de tangencia de la circunferencia interior) si 2 AB = AL = 100 m .

C

B. 3 m

D. 5 m

B

D. 10 m

B

A. 6 m

D

F

4. En la figura, AM es diámetro, AD = 4 m y CD = 5 m. Calcula la longitud de la cuerda AB.

B. 4 m

C

D. 5 m

2

E. AC – AB = AD u BC

D. 5 m

B M

C. 10 m

D. AC + AB = AD u BC

E. 8 m

A

B. 4 m

2

C. AC u AB = AD u BC

2

D.

D

2. En un polígono regular ABCDEF…., se cumple que:

2

k 5

D

30 cm

2

A.

C

D. 3 2 cm E.

6. El lado del cuadrado ABCD mide k. Calcula la medida de MN, siendo M y N puntos de tangencia.

E M

D

F

D. 4 m

M

E. 6 m

E. 6 m C

B

83

GEOMETRÍA

Áreas

1. En la figura, halla el área de la región sombreada si las áreas de las regiones triangulares AFM, AEF, EFB y 2 2 2 2 FDC son 35 u , 30 u , 40 u y 84 u . 2

B

A. 36 u

6. Exteriormente a un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se construyen los triángulos equiláteros AEB y BFC. Calcula el área de la región triangular EBF si el área de la 2 región triangular ABC es 36 m . Tipo UNI 2 008 - I 2

C. 18 m

2

2

D. 12 m

A. 14 m

2

B. 56 u

2

E

F

7. En la figura mostrada, O es el centro del semicírculo. Calcula el área de la región sombreada si 2 AB = BM = 36 m .

2

E. 64 u

A

M

C

2

2. Con base en una de dos rectas paralelas se construye el triángulo ABC de base AC. En AB se toma el punto Q y por el se traza una paralela a las rectas determinándose en BC el punto R tal BR y RC están en la relación de 1 a 3. Calcula el área de la región triangular RBQ si el área de la región triangular ABC 2 Tipo UNI 2005 - I es 288 u . 2

2

2

B. 20 u

A. 16 u

C. 22 u

2

2

D. 18 u

E. 14 u

3. En la figura, A, F y B son puntos de tangencia, FP es tangente común. Calcula el área de la región triangular AFP si FP = 10 m y la diferencia de longitudes de Tipo UNI 2007 - I AB y AC es 4 m. 2

A

A. 54 m

P

B

2

B. 36 m

2

B. 16 m

C. 48 m

F

R

C. 18 m

B

2

D. 20 m

2

E. 24 m

A

8. En la figura, O es centro del semicírculo. Calcula la relación entre las áreas de las regiones triangulares MBC y B HBC si BM = 5 m y FM = 12 m. A.

7 13

D.

6 13

B.

17 13

E.

5 13

C.

8 13

H M

2

4. En la figura, AD = DE = EC, AM = 2MB, BF = 2FC. Calcula el área de la región coloreada si el área de la 2 Tipo UNI 2007 - II región triangular ABC es 90 m .

2

B. 10 m C. 6 m

D.

2

D. 9 m

F

E. 15 m

A

D

E

C

13 2 m 2

M

7 2 m 2

I. a < b < c

10. En la figura, M y H son puntos de tangencia y A con O son centros de las circunferencias ortogonales. Halla el área de la región sombreada si MH = 4 m. M

2

A. 4 m

II. a, b y c forman una progresión aritmética Si R es el circunradio de dicho triángulo y r es su inradio, calcula R = r. a+c B. 6

D

A

C

5. En un triángulo ABC de lados a, b y c, se cumple lo Tipo UNI 2008 - I siguiente:

84

B

E. 3 m2

2

ac A. 6

A. 6 m2

C. 4 m2

M

2

F

O

9. En la figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado tiene por longitud 10 m. CD es el diámetro de la semicircunferencia y M es un punto de tangencia. Halla el área de la región coloreada.

B.

B

2

C

A

2

A. 12 m

C

O

D. 50 m E. 42 m

M

H 2

r

2

P

A. 12 m

a+b C. 6

ab D. 6

bc E. 6

H

2

B. 8 m

B

2

C. 5 m

A

2

D. 6 m

2

E. 12 m

O


2

D. 60 u

2

B. 24 m

D

C. 48 u

2

E. 36 m

GEOMETRÍA

Introducción a la Geometría del espacio

1. Se tienen el plano P y la recta L paralela a dicho plano. Se toman los puntos Q ; L y A D P de forma tal que la proyección de AQ sobre el plano mide 8 u; luego se toma el punto R ; P, de forma tal que la proyección de RQ sobre el plano es el segmento RH de longitud igual a 4 u. Calcula AQ si m=AHR =

y el 3

perímetro del triángulo ARQ es 12 3 u. Tipo UNI 2004 - I

A. 2 3 u

C. 5 3 u

B. 3 3 u

D. 6 3 u

E. 4 3 u

6. Se tienen dos regiones rectangulares congruentes ABCD y ABC1D1 las cuales se encuentran formando un ángulo diedro de 60°. Calcula la medida del ángulo que forman las rectas AC1 y BD. Tipo UNI 2005 - I

1 A. arc cos 5

3 D. arc cos 5

4 B. arc cos 5

2 E. arc cos 5

1 C. arc cos 4

2. Se tiene un ángulo diedro en el cual se cumple que las distancias de un punto de su interior a las caras y a la arista miden 4 u, 4 2 u y 8 u respectivamente. Calcule la medida de dicho ángulo diedro.

7. Por vértice O de un triángulo rectángulo AOB, recto en O, se levanta la perpendicular al plano que contiene a dicho triángulo. Calcula OM si AB = 2(AO) = 8 u y la medida del diedro formado por los planos AOB y AMB es de 60°.

Tipo UNI 2004 - I

Tipo UNI 2005 - II

A. 45°

B. 53°

C. 75°

D. 60°

E. 30°

3. El área de la proyección de un cuadrado sobre un 2 plano que pasa por una de sus diagonales es 24 cm y el ángulo formado por dichas superficies mide 53°. Calcula el área del cuadrado.

A. 4 u

B. 8 u

C. 6 u

D. 9 u

E. 12 u

8. Se tienen las rectas P y Q que se cruzan en el espacio formando un ángulo de 90°, AB es un segmento perpendicular a las dos rectas (A ; P y B ; Q). En al recta P se toma el punto C y en la recta Q el punto D, calcula 2 2 2 2 2 CD sabiendo que AC + BD + AD + BC = 72 cm .

Tipo UNI 2004 - II Tipo UNI 2006 - II 2

2

A. 30 cm

C. 60 cm

2

E. 38 cm

A. 3 cm

B. 5 cm

C. 4 cm

D. 6 cm

E. 8 cm

2

B. 45 cm 4.

2

D. 40 cm

Se tiene el triedro O - ABC cuyas caras miden: AOB = AOC = 60° y BOC = 90°. En la arista OA se toma el punto F tal que OF = 2 m. Calcula la medida del ángulo formado por OF y el plano OBC.

9. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC = 13 u), AC = 10 u, se traza la altura BH y se construye el cuadrado BHEF perpendicular al plano del triángulo. HaTipo UNI 2007 - I lla el área del triángulo AHF. A. 15 2 u2

C. 20 2 u2

B. 35 2 u2

D. 25 2 u2

E. 30 2 u2

Tipo UNI 2005 - I

A. 30°


5.

B. 53°

C. 75°

D. 45°

E. 60°

De las siguientes proposiciones: I. Cuando dos planos son paralelos a una misma recta, entonces son paralelos entre si. II. Si se tienen dos rectas que se cruzan en el espacio, entonces siempre existe una recta que es perpendicular a las dos. III. Una recta que interseca de manera perpendicular a una de dos rectas que se cruzan siempre interseca a la otra. ¿Cuáles son verdaderas? A. Sólo I

C. Sólo II

B. I y II

D. I y III

Tipo UNI 2005 - I

E. Sólo III

10. El ángulo CAB = 60° está contenido en el plano P. El punto Q exterior al plano, dista 25u de A, 7 u del lado AB y 20 u del lado AC. Calcula la distancia del punto Tipo UNI 2007 - II Q al plano P. A. 17

B.

37

C. 21

D.

35

E.

31

11. En un plano Z se encuentra contenido el triángulo ABC. Por B y C se levantan las perpendiculares BB' y CC' al plano Z de tal manera que B'C' no interseca a dicho plano. Calcula el área del triángulo AB'C' si AC 17 cm, BC 14 cm, BB ’ 3 cm, CC’= 1 cm y el ángulo BAB’ mide 30°. Tipo UNI 2008 - II A. 9 cm2

C. 18 cm2

B. 9 3 cm2

D. 18 3 cm2

E. 12 cm2

85

GEOMETRÍA

Poliedros Regulares

1. Se tiene el tetraedro regular O-ABC. Calcula la medida del ángulo diedro formado por____ los planos ABC y BMC, siendo M el punto medio de OA. A. sen

4

C. sen

__ √2 –1___

D. sen

__ √1 –1___

__

√3 –1___

B. sen

4

Tipo UNI 2 005 - I

__

E. sen

3

√3 –1___

3

4

2. Al unir los centros de todas las caras de un tetraedro regular se forma otro tetraedro regular. Si S1 es el área del primer tetraedro y S2 el área del segundo tetraedro, entonces, en que relación están S2 y S1. Tipo UNI 2 006 - II

A. _1_ 3

B. _1_ 2

C. _1_ 6

1 D. ___ 12

1 E. __ 9

3. Por cada cara de un dodecaedro regular se levanta una pirámide, formándose de está manera un nuevo poliedro. Si en este nuevo poliedro se cumple que: Tipo UNI 2 007 - II

V1 = número de vértices A1 = número de aristas

B. 84

D.6

E. 5

C. 86

D. 87

E. 83

5. La arista de un octaedro regular mide 4. Calcula el área de la proyección del octaedro sobre un plano perpendicular a una arista de la base. __

A. 8√3

B. 8

__

C. 8√2

__

D. 16√2

E. 16

6. Se tiene el octaedro regular ___ O -ABCD ____ - M. Se toman los puntos E y F en las aristas OB y OD tal que ____ ____ ___ ___ EF// BD. En CM y AM se toman los puntos medios G y H respectivamente. Halla la medida del ángulo que ___ ____ forman EF y HG. A. 60°

B: 30°

C. 45°

D. 90°

E. 75°

7. Se tiene una pirámide regular triangular de aristas __ congruentes cuya área de la superficie lateral es 3√3 . ¿Cuánto mide la arista? A. 1

86

B. 2

D. 24 m2

E. 30 m2

9. Se tiene el tetraedro regular P -ABC, siendo G el baricentro de la cara CPB. Calcula la distancia de G a la cara ABC, si la arista del tetraedro tiene por longitud 12 m. __

__

__

4√6 A. ____ m 3

4√3 E. ____ m 3

2√6 C. ____ m 3 __

__

D. 4√3 m

B. 2√6 m

10. En la figura, se tiene un tetraedro regular de arista 9 m. Calcula el área del rectángulo coloreado si F es el baricentro de la cara BDC. D

__

C. 3

4. Se tiene un poliedro convexo que se encuentra formado por 10 triángulos, 16 cuadriláteros, 24 pentágonos y 13 hexágonos. Calcula su número de vértices. Tipo UNI 2 008 - I A. 85

B. 16 m2

2√3 A. ____ m2 3

Calcula: V1 − A1 + C1 B. 2

C. 20 m2

__

C1 = número de caras

A. 4

A. 10 m2

C. 3

D. 4

E. 5

√8 B. ___ m2 3 __

C. 9√2 m2 __

F

A

9√3 D. ____ m2 4

C M

__

3√3 E. ____ m2 4

B

11. En un regular ABCD-EFGH de aristas latera___ hexaedro ___ ____ ____ les AE, BF, CG y DH, calcula la distancia del vértice B al segmento EC, si la arista del hexaedro mide 4 m. __

__

2√6 A. ____ m 3

√6 C. ___ m 3

3√6 B. ____ m 2

5√6 D. ____ m 2

__

__

__

4√6 E. ____ m 3

12. Se tiene un tetraedro regular ABCD en el cual se tra___ za la altura AH y luego se toman los puntos medios ___ ___ ___ M y N de BC y___ AC respectivamente. En BH se toma el punto E y en AD se toma el punto F tal que BE = 3HE y DF = 3AF. Calcula la medida del ángulo que forman las rectas que contienen a los segmentos NF y ME. A. 60°

B. 30°

C. 45°

D. 37°

E. 53°


__ √2 –1___

8. En un tetraedro, se traza un plano a una de las caras, siendo el área de la sección que se determina igual a S. El producto de dos lados contiguos de dicha sección es 40 m2 y forman un ángulo de 30°. Calcula S.

GEOMETRÍA

Prisma y Pirámide

1. En la figura se muestra un prisma hexagonal regular __ donde la longitud de la diagonal mayor es 2 √2 m y en donde la arista lateral mide el doble que la arista básica. Calcula el volumen de dicho prisma. __

A. 2√3 m

3

__

6. Calcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular si las áreas de sus bases son 4 m2 y 36 m2 mientras que su apotema mide 4 m. __

84√3 C. _____ m2 3

172√3 B. _______ m2 3

94√3 D. _____ m2 3

__

B. 2√6 m3 __

C. 3√3 m3

Tipo UNI 2 008 - I

__

52√3 A. _____ m2 3

__

104√3 E. _______ m2 3

__

__

D. 4√3 m3

7. En un prisma triangular recto ___de bases ABC y DEF y ___ ___ de aristas laterales AD, BE y CF, BC = 8 u y AD = 6 u y su volumen es 108 u3. Calcula el área de la región Tipo UNI 2 008 - II triangular BDC.

__

E. 6√6 m3

2. En un paralelepípedo rectangular sus tres dimensiones suman 14 m. Si una de las aristas tiene por longitud el doble de la otra y el área total de dicho prisma es máxima, calcula la tercera dimensión del prisma. Tipo UNI 2 007 - I

A. 3 m

B. 5 m

C. 4 m

D. 7 m

E. 6 m

3. Se tiene una pirámide triangular regular en el cual la arista básica mide k. Calcula el volumen de la pirámide si la distancia de un vértice de la base a la Tipo UNI 2 007 - I cara lateral opuesta mide z.

A. 30 u2

C. 24 u2

B. 40 u2

D. 50 u2

E. 20 u2

8. Se tiene un tronco de pirámide pentagonal regular cuyos perímetros de sus bases son 45 u y 15 u. Calcula la apotema de dicho sólido si la longitud de su arista lateral es 5 u. Tipo UNI 2 008 - II A. 3 u

B. 6 u

C. 5 u

D. 4 u

E. 8 u

9. En la figura, se pide calcular el volumen del prisma si m=ADC = 90°, CD = CH = 2DE y AD = 8, BD = 1. M

A. 36

k3z _______ A. _________ √2z2 – k2

2k3z _______ D. _________ √2k2 – z2

B. 48

k3z _________ B. ___________ 4√3k2 – 4z2

k3z _______ E. __________ 3√2z2 – k2

D. 64

F

C. 54

H

E

E. 72

B D

3

kz _______ C. 9 _________ √2k2 – z2

A


4. Se tiene un tronco de pirámide cuadrangular regular circunscrita a una esfera. Calcula el área de su superficie lateral si el área de las bases de dicho Tipo UNI 2 007 - II tronco son 16 m2 y 36 m2. A. 110 m2

C. 120 m2

B. 100 m2

D. 160 m2

E.160 m2

5. La altura de un prisma triangular regular mide ______ __

√√3 – 1 ________ ______ __ k qué, siendo K la longitud de una arista √2 – √3 básica y W el ángulo formado por las diagonales de dos caras laterales que parten de un mismo vértice. Tipo UNI 2 008 - I Calcula W. A. 36°

B. 45°

C. 30°

D. 75°

E. 60°

C

10. La base de un prisma pentagonal regular tiene por __ longitud de su diagonal (√5 + 1) m. Calcula el área de la superficie lateral de dicho prisma si su altura mide 8 m. A. 90 m2

C. 60 m2

B. 80 m2

D. 10 m2

E. 70 m2

11. En una pirámide triangular regular las áreas de las superficies lateral y total son 18 m2 y 27 m2. Calcula la medida del ángulo diedro que se encuentra formado por las caras laterales de la pirámide con el plano que contiene a su base. A. 45°

B. 30°

C. 53°

D. 60°

E. 75°

12. Si una pirámide tiene 43 caras, ¿cuántas aristas tiene? A. 82

B. 86

C. 84

D. 88

E. 80

87

GEOMETRÍA

Cilindro, cono y esfera

1. Se tiene una esfera de centro O y radio de longitud 10 m. A8 m de O, se traza un plano P que interseca a la esfera y determina una circunferencia C. Calcula el volumen del cono de vértice O y base limitada por Tipo UNI 2 004 - I C. A. 48/ m3

C. 72/ m3

B. 84/ m3

D. 60/ m3

E. 96/ m3

2. En un cono de revolución se encuentra inscrita una esfera, siendo el área de la superficie esférica igual al área de la base del cono. ¿En qué relación están el área lateral del cono que tiene como base el círculo limitado por la circunferencia de tangencia producida por la esfera en el cono y la superficie lateral Tipo UNI 2 004 - I del primer cono? 4 A. ___ 15

9 B. ___ 25

8 C. ___ 15

4 D. ___ 25

4 E. ___ 21

3. Se tiene un cono recto cuya altura mide 16 m y radio de la base igual a 9 m. Se inscribe en dicho cono un cilindro recto de máximo volumen. Calcula el radio de dicho cilindro si es un número entero. Tipo UNI 2 004 - II

A. 6 m

B. 8 m

C. 5 m

D. 4 m

E. 7 m

4. Una esfera cuyo radio mide 6 u se encuentra inscrita en un cono recto. Se traza un plano tangente a la esfera y perpendicular a una de las generatrices del cono. Calcula el área de la superficie total del cono si el plano dista 2 u del vértice del cono. Tipo UNI 2 004 - II

A. 96/ u

3

B. 234/ u3

3

C. 197/ u

3

E. 384/ u

D. 284/ u3

5. En la figura, se tiene un cilindro recto cuyo volumen ___ se desea hallar. Si AM = 2MC = 6 m y BC = CD, AB es Tipo UNI 2 004 - II diámetro de la base. __

7. Las bases de un tronco de cilindro oblicuo determinan un ángulo diedro de 90° y la distancia entre sus centros bases es 16 m. La proyección ortogonal de las bases sobre un plano perpendicular a la generatriz es un círculo de radio 2 m. Calcula el volumen de dicho tronco si la generatriz hace un ángulo de 45° Tipo UNI 2 006 - II con las caras del diedro. A. 75/ m3

C. 30/ m3

B. 64/ m3

D. 35/ m3

E. 45/ m3

8. Un cono recto __ está inscrito en un tetraedro regular de arista 3√6 (la base del cono está inscrita en una cara del tetraedro y su vértice, es el vértice opuesto a dicha cara). Un plano corta paralelamente a su base tal que el volumen del cono deficiente es la octava parte del cono total. Calcula el volumen del tronco de cono resultante. 53 A. ___ / 8

57 B. ___ / 8

63 C. ___ / 8

4 / D. ___ 15

42 / E. ___ 89

9. Calcula el volumen del sólido que se genera al girar un cubo de arista 1 m, 360°, alrededor de una de sus Tipo UNI 2 008 - I aristas. A. 4 /m3

B. 6/ m3 C. 3/ m3 D. 2/ m3 E. 5/ m3

10. Una esfera está inscrita en un cono de revolución en el cual dos generatrices opuestas forman un ángulo de__60° mientras que el diámetro de su base mide 6√3 m. Calcula el volumen de la esfera. Tipo UNI 2 008 - I

A. 9/

B. 24/

C. 36/

D. 8/

E. 108/

11. Se tiene una esfera inscrita en un tronco de cilindro de revolución. Calcula el radio de la esfera si el volumen __ de la región encerrada por el tronco es 8(√2 + 1)/ u3 y el ángulo que forma la base superior del tronco con su máxima generatriz es de 45°. Tipo UNI 2 008 - II

A. 72√3 / m3

D

__

A. 4 u

B. 3 u

C. 2 u

D. 5 u

E. 6 u

__

C. 48√3 / m3 __

M

D. 60√3 / m3

C

__

E. 54√3 / m3 A

B

6. Un cono equilátero se inscribe en una esfera, la ge__ neratriz del cono mide 2√3 u3. Calcula el área de la Tipo UNI 2 006 - I superficie esférica.

88

A. 16/ u3

C. 15/ u3

B. 212/ u3

D. 9/ u3

E. 6/ u3

12. En la figura, se observa un cilindro de revolución inscrito en un cono recto. El volumen del cono parcial de vértice A es equivalente al volumen del cilindro. ¿Qué fracción del volumen del cono total es el volumen de la región comprendida entre el cilindro y el Tipo UNI 2 008 - II tronco de cono? 5 A. ___ 64

9 D. ___ 32

B. _1_ 4

5 E. ___ 32

7 C. ___ 32

A


B. 81√3 / m3

Claves

tPágina 72

Claves

tPágina 83

$

$

"

%

%

&

#

"

%

$

#

$

$

tPágina 73

$

&

&

"

&

$

"

#

$

&

%

"

$

$

$

"

$

%

#

&

"

"

#

tPágina 84

$

$

"

$

&

%

$

&

"

"

$

#

%

tPágina 74

#

%

$

#

&

#

tPágina 85

&

$

&

%

#

&

$

"

$

"

&

%

$

tPágina 75

$

$

%

%

%

&

#

"

tPágina 86

$

#

%

$

"

&

&

#

%

%

#

#

#

tPágina 76

&

&

#

"

$

"

"

$

&

#

tPágina 87

%

#

%

"

$

$

#

$

&

%

tPágina 77

$

#

#

#

$

%

&

#

%

$

tPágina 88

"

$

&

#

"

&

$

"

#

$

&

%

"

&

#

$

"

$

$

&

tPágina 78 "

&

&

"

#

$

%

%

&

&

"

$

"

$

tPágina 79 %

$

"

&

"

%

$

&

&

"

%

$

#

$

"

"

$

$


tPágina 80 $

"

"

"

#

$

tPágina 81 &

&

#

#

%

#

$

$

tPágina 82 $

#

"

&

&

#

$

$

89

TRIGONOMETRÍA

Ángulo trigonométrico

1. En la figura, halla el valor de x.

6. En el gráfico, calcula el valor de x. g

g

10(10 – x)

(5 – 11x)

27xº

A. 2

B. 3

C. 4

rad 3

D. 5

E. 6

xº

30º

2. En la figura, halla el valor de _.

60º

2_

A. 30

–_

B. 32

C. 40

D. 36

E. 42

7. De la figura, calcula el valor de a. A. –10º

B. –40º

C. –20º

D. –50º

E. –30º

1aa

3. Si |q| + |e|, el suplemento de q es igual a 60º, halla x.

e

ao

A. 2

x

o

B. 4

C. 6

g

D. 8

E. 9

8. Indica la relación correcta entre los ángulos.

q

A. _ > ` > e A. 20

B. 30

C. 40

D. 60

E. 80

4. Halla si = –35º.

B. e > ` > _

`

C. e > _ > `

_

D. _ > e > `

Y P(–x; y)

e

E. ` > _ > e 9. En el gráfico, calcula el área de la región sombreada. A. 18

X

2

B. 21 9

C. 24

D. 27

12

2

E. 25 B. –45º

C. 45º

D. –55º

E. –28º 5. De la figura, halla x si el complemento de _ es rad. 9

10. Observa la figura.

L1

_

Calcula A.

L2

L3

L 2L 3 L1L 3 . L21

x

A. 1

B. 3

C. 5

D. 7

E. 9

11. Halla la longitud de arco de un sector circular, cuyo ángulo central mide 45º, si se sabe que la longitud de la circunferencia es de 600 m. A. –125º

90

B. –115º

C. –105º

D. –100º

E. –95º

A. 75 m

B. 70 m

C. 65 m

D. 60 m

E. 55 m


A. 55º

TRIGONOMETRÍA

Sistemas de medidas angulares

1. La medida de los ángulos internos de un triángulo son: 2xg; (x + 2)g; (x – 2)g. Calcula el menor ángulo expresado en el sistema sexagesimal. A. 216º

C. 216º/5

A. 206m

C. 196m

B. 216m

D. 126m

E. 212m

g

E. 80

g

B. 81g

D. 216

R CS 2. Sabiendo que , halla la medida del R CS ángulo en radianes, si además R, S y C son la medida radial, sexagesimal y centesimal, respectivamente, de un mismo ángulo. 5 A. rad 9 21 B. rad 20

21 C. rad 9 20 D. rad 19

10 E. rad 9

3. Se tiene 3 ángulos tal que la suma del primero con el segundo es 20º; la suma del segundo con el tercero 5 es 40g; y la suma del primero con el tercero es rad. 9 Halla el mayor de dichos ángulos en grados sexagesimales.

4.

6. ¿Cuánto mide el ángulo en el cual se ha cometido m un error de 0,0092/ rad al escribir x’ en lugar de x ?

A. 45º

C. 56º

B. 69º

D. 58º

E. 48º

En la figura mostrada, halla (y – x) en radianes.

7. La media aritmética de las medidas en grados C y grados S de un mismo ángulo es a su diferencia como 76 veces su medida en radianes es a 10/. Calcula el número que expresa su medida en radianes. 5 rad 4 B. rad 4

3 rad 4 2 D. rad 3

A.

C.

rad 3

E.

8. Halla la medida del ángulo, en el sistema circular, que cumpla lo siguiente: 2C – S = 22 rad 10 B. rad 5

rad 4 D. rad 15

A.

C.

E.

rad 20

9. Dados los números de grados sexagesimales (S) y centesimales (C), tal que: S=x+4 C=x+5

x

Halla R. rad 9 B. rad 10

rad 20 D. rad 18

A.

80º

_

y

_ _

e e

e

C.

10. Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son números pares consecutivos, el valor del complemento del ángulo, expresado en radianes es: 5 rad 9 21 B. rad 9

10 rad 9 21 D. rad 20

A..

5 rad 9 2 B. rad 5


A.

5.

3 rad 4 2 D. rad 3 C.

E.

7 rad 8

Se tiene un nuevo sistema de medición angular “N”, donde 16 grados N equivalen a 18º. ¿Qué error se comete cuando medimos un ángulo, cuyo resultado da 24 grados N que por error se cambió el sistema sexagesimal por el sistema N? Da la repuesta en radianes. rad 20 B. rad 30 A.

rad 15 D. rad 60 C.

E.

rad 24

rad 4

E.

11. Calcula

A. 3

12. Calcula

A. 121

C.

E.

2 rad 5

CS 3 CS 8 . CS CS B. 4

C. 5

D. 6

E. 7

x y º x ’ x y g y m . x y’ x y m B. 151

C. 131

D. 161

E. 141

91

TRIGONOMETRÍA 1. Si sen A.

2 5 3

RT en el triángulo rectángulo

2 , halla R 5 cos cos.. 3 B.

5 3

C. 5

8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se tiene: D.

5 3

1 3

E.

sen A sen A sen A (cos B)sen A Halla csc A.

2. El seno del menor ángulo de un triángulo rectángulo es 1 , si el cateto adyacente a dicho ángulo mide 3 10 2 m. Calcula la medida de la hipotenusa. A. 6 m

B. 8 m

C. 12 m

D. 15 m

E. 18 m

3. El perímetro de un triángulo rectángulo es 90 m, si la secante de su mayor ángulo es 2,6. Calcula el área del triángulo. 2

2

A. 120 m

E. 270 m

B. 210 m

D. 180 m

4. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en C, cuyos catetos miden 2 cm y 3 cm, respectivamente. Halla sec A + sec B. (A < B)

5.

A.

13 6

C.

2 13 6

B.

4 13 6

D.

5 13 6

E.

A.

B.

17 35

C.

22 35

C.

5 7

D.

5 9

E. 1

5 del producto de sus catetos. 2 Calcula la cotangente del ángulo mayor. 8 7

B.

1 2

C. 2

D. 1

E. 2

10. Del gráfico, calcula el valor de: B

tg x + tg y

2 3 5

tg B tg A sec A sec B

7 35

8 9

3 13 6

En un triángulo ABC, recto en C la hipotenusa mide 10 cm y uno de los catetos, 8 cm. Si A es el menor de los ángulos, halla el valor de: E

B.

hipotenusa es igual a

A.

2

8 7

9. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la

2

C. 150 m

2

A.

D.

12 35

E.

8 35

x

A

y

C

M

A. 2

C. 1

B. 4

D.

E.

1 4

1 2

11. Sabiendo que _ es un ángulo agudo, tal que csc _ = 1,45, calcula:

2

2

F = csc A – ctg A

A. 1

7. Si

B.

1 2

C. 2

D.

a b

E.

b c

2 , determina el valor de M, si: 3 UNI 2004 – I

92

B. 3

C. 4

sec tg csc ctg

A.

1 6

C.

6 35

B.

7 43

D.

8 5 35

E.

1 8

12. Si x, y, z son ángulos agudos y:

ct g tg 2

4 M csc ctg A. 1

M

sen(x + 60°) = cos (y – 37°) ctg (z – 37°) = tg (45° + x) csc (y – 15°) = sec (z + 30°)

D. 5

E. 2

Calcula x + z – y A. 45°

C. 22°

B. 55°

D. 52°

E. 32°


6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, halla el valor de:

TRIGONOMETRÍA ALGEBRA

RT de ángulos en posición Factorización normal

1. Sabiendo que _ y ` son ángulos coterminales, simplifica: sen ` D= + ctg ` ∙ tg _ sen(360° + _) A. 0

B. 1

C. −1

D. 2

E. −2

k

tg e=

cos e

√ B. 7 6

A. √7

+ ctg e

√ C. – 7 6

√ D. 3 3

√ E. 6 7

7. Sabiendo que sene =√ cos ` – 1 , calcula A = sec `(tg e – 5sec e).

2. Si: 2sen e= 1 +

1

A. −1

1

2+ 2+

1

B. −2

A. −240° B. 4

C. −5

D. −6

B. 360°

C. −300°

B

sen90° + sen270° + cos90° + cos270° + ctg90° + ctg270° + tg45°

C. 3

D. 4

E. 5

4. En la figura sen _ = – 15 . 17 Calcula E = tg _ − tg e + tg (_ − e). y

B. 3,75

x

C. −3,5

D. −3,75

5. De la figura, halla tg e, si n = 3 m

x

G C

A.

–61/30

C. –67/30

B.

–73/30

D. –74/30

(5; –6)

E. –71/30

10. Sabiendo que e y _son ángulos coterminales que están en la relación de 6 a 4, y que el mayor ángulo está comprendido entre 1 600º y 2 500º, calcula la medida del menor ángulo.

e

A. 3,5

E. 60°

(3; 4)

e

A

_

D. 300°

9. En la figura, calcula el valor de tg e + ctg e, si “G” es baricentro del triángulo ABC. y

sen360° + sen180° + sen0° + cos180° + cos360° + cos0°

B. 2

E. −5

E. −1

3. Calcula el valor numérico de:

A. 1

D. −4

8. Si el ángulo A y B son coterminales, además π A – B = 360° , halla B, si A = . 3

√2 + 1

Además epertenece al II C, calcula tg e.

A. −2

C. −3

E. 4,5

A. 1 220º

C. 1 440º

B. 1 330º

D. 1 560º

E. 1 840º

11. Indica el cuadrante al que pertenece el ángulo _ si se cumple que:

y

|sen _| = sen _

e

|tg _ + ctg _| = − tg _ − ctg _ x

A. I

C. III

B. II

D. IV

E. Es un ángulo cuadrantal

P(n; m) A. 3

B. −1/3

C. −3

D. 1/3

E. 3√3

6. Si P = ( –2; √3) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal “e”, calcula ‘k’ en la siguiente expresión:

12. Si sen e =

√2

y sabiendo que e pertenece al segundo 3 cuadrante. Halla el valor de: A = 2 ctg2e −√7 sec e A. 3

B. 10

C. 7

D. 4

E. 9

93

TRIGONOMETRÍA

Circunferenica trigonométricas

1. ¿Para qué valores de “n” la expresión ex sec ` =

4

C.

–∞; – 5 2

2 vers _ − vers e = 0

, siempre existe?

A. ]−∞; +∞[

B.

6. Halla la variación de _, para todo e D de:

D.

3

–∞; –

E.

2

–∞; –

3 2 3 2

5

F

2 5

F

2

; +∞

; +∞

A. [0; /]

C. [//2 ; /]

B. [3//2; 2/]

D. [−//2; 0]

7. En la circunferencia unitaria mostrada, calcula MP, si 5 cos e = . B 7

; +∞

A. 2. Determina la extensión de “n” si se tiene que: cos x +

1 2

4 C.

A. [3; 8]

C. [4; 8]

B. [3; 7]

D. [4; 7]

E. [5; 8]

3. Calcula el área de la región sombreada en la CT. A. sen e

B.

Y

e

C. 1/2 sen e

C.

D. –1/2 cos e

X

D.

E. –1/2 sen e cos e E.

4. Determina el área de la región sombreada en la circunferencia trigonométrica. Y e

1

X 0

45º

D.

7

E.

11

Q

P

7 13

A

A e

7

M

9

B

7

8. Calcula el área de la región sombreada en la CT. A.

B. –cos e

5

B. 1

n–5

=

E. [−//2; //2]

A

sen e sen e + cos e cos e sen e + cos e sen e 2(sen e + cos e) cos e 2(sen e + cos e)

e

2sen e sen e + cos e

9. En la CT de la figura mostrada, si m=OBQ = e, entonces al calcular el área de la región triangular OAQ se obtiene: B A. 0,1 sen2e P B. 0,2 sen2e Q A C. 0,25 sen2e O D. 0,5 sen2e

C.T.

E. sen2e A. –1/2 tg e

C. −1/2 cos e

B. 1/2 sen e

D. −1/2 sec e

E. 1/2

5. Determina la extensión de “n” en la siguiente igualdad: l3cos x + 1l =

94

n–3 2

A. [−1; 11]

C. [−2; 11]

B. [2; 11]

D. [3; 11]

E. [1; 11]

10. En la CT, de la figura mostrada, calcula el valor de la tg _ u ctg ` expresión: C = sec2_ – 1 A. −1 Y 1 B. – 2 _ 1 e C. X 2 ` e

D. 1 E. 2


2n – 5

TRIGONOMETRÍA

Reducción al primer cuadrante

1. Sea un ángulo del tercer cuadrante. Indica la alternativa correcta al simplificar la expresión: E = 1 + ( √ 1 – sen2_)cos _

B. 2

E. 1 + cos _ 2

C. 1 − cos _

1

B. 2. Si tg2x + ctg2x = 2 y x pertenece al 2° cuadrante, halla el valor de la expresión: ctg21x + tg7x + ctg6x C. −2

D. −4

E. −6

2

C.

senx

+

cos (–x) sen

/ 2

D. –

2

1

–

, entonces “n”, se

3

2

3 2

E. –1;

;

1 2

1 4

;1

tg (–x)

+

–x

ctg

/ 2

A. 1 – ctg x

C. csc x

B. 1 + ctg x

D. ctg2x – 1

2

+x

A.

+x

B.

+

–x

ctg

sen(135° – a)cos(58° – a)tg(50° + a)

F= /

tg sen (–x)

n+1

8. Simplifica la expresión:

3. Simplifica: P=

y sen2e =

4

;1

tg81x + ctg81x + 4

B. 4

/

;

1

A. –1;

2

A. 2

4

encuentra en el intervalo: D. 4 + cos2_

A. 1 + sen _

E=

/

7. Si e D –

/ 2

E. ctg x

sen(a + 405°)tg(230° + a)sen(32° + a) 1

C. 1

4 1

E.

2 3

D. 2

2

9. Indica si es verdadero (V) o falso (F), cada una de las siguientes afirmaciones. I. sen 37 < sen 45

4.

Al simplificar la expresión: G=

II. tg 45 < ctg 37

cos(450º + A) cos(630º – A)

III. csc 37 < sec 53

–sen (900º – A) sen (1 080º – A)

Observación: La medida de los ángulos no está en grados sexagesimales, está en radianes.

Se obtiene: A. 2 sen2A

C. −2 sen2A

B. sen2A

D. cos2A

E. 1

5. Simplifica: sen

90/ 2

C. FFV

B. VVV

D. FFF 3/

10. Si x D

+ e + tg

7/ 3

+ e + sec

33/ 2

+e

Si se sabe que e = 330° 15 + 2 3 15 + 2 3 A. D. +1 6 6 B. 12 + 13 + 4 E. 15 + 3 6 C.

A. VVF

6

12 + 13

W=

4

;/

y

sen(15/ – x) cos x –

E. VFV

7/

+

tg(99/ + x) ctg(–x)

sec x – –

9/ 2

csc(7/ + x)

2

Entonces la variación de W es: A. <0; 1>

C. [−1; 0>

B. <−1; 1>

D. <0; 1]

E. <−1; 0>

6

2 ; siendo “e” perteneciente al segundo 3 cuadrante. Halla el valor de:

6. Si sen e =

11. Al calcular: Q = sen

P = 2 ctg2 e − 7 sec e A. 3

C. 9

B. 7

D. 10

E. 4

/ 3

+ sen

2/ 3

+ sen

3/ 3

+ ... + sen

2004/ 3

Se obtiene: A. –

3

B. −1

C. 0

D. 1

E.

3

95

TRIGONOMETRÍA

Funciones trigonométricas

1. Dada la función F, definida por: senx cos x

Halla el dominio de F.

UNI 2006 - II UNI 2004 - II

A. kU; kU U / 2 ,

D. 2kU U / 2 ; 2kU ,

A.

[!

A. UNI 2004 - I

C. <−1; 0>

B. <−3; −2>

D. <2; 3>

E. <−2; −1>

F(x) = 2(cos 2x – 3)(−2 − sen2x ), x D C. [8; 23]

B. [8; 25]

D. [7;24]

UNI 2005 - I

E. [8; 24]

UNI 2006 - II

C. 3

U

D. 4

E. 5

senx / D. – (2n + 1) 4 / E. – (4n + 1) 4

C. – 2n/ 6. Halla el rango de la función: Si su dominio es ]2/3; 2[ C. ]1; 2[

B. ]0; 2[

D. [0; 2]

E. ]1; 2]

96

B. [0; 2]

D. [1; 2]

D. 40º

4

E. 60º

U

C.

5

U

D. 56º

4

E. 65º

2

B. < 2

C.

2 3 3

D. <

2 3 3

E. 2

12. Si se tiene que: 1 )] 2

A = arc ctg [2cos (arc sen

P = sen 3A + tg2 6A A. 1

C. 2, 5

B. 2

D. 3, 5

E. 3

13. Simplifica la expresión: K

sen(2arc senx 3arc cosx) cos(2arc cosx 3arc Senx) x

x

C.

1 < x2

B. < 1

1 x2

1< x2

E.

x

D. 1

14. Resuelve el sistema: / arc tg (x + 2y) = 4 / 6

A. 0; 0

C. 0; 1/2

B. 1/2; −1

D. 3; 2

E. 6/5; 1

cos x + cos (x + 150°) = cos ( x – 150°)

F(x) = sen (/cos2 x) + 1 C. {2}

U

15. Resuelve y da el menor valor positivo de:

7. Halla el rango de la función:

A. {1}

5

arc sen (3x – y) = –

F(x) = 2 sen (/x/2 − //6)

A. [1; 2]

C.

11. Un valor de sec (2 arc sen 3 ) es: 2

A.

senx < cos x

/ A. – (2n + 1) 2 / B. – (4n + 1) 2

B.

3

5. Determina el dominio de la función, si se tiene: y

U

Calcula el valor de:

4. La gráfica de F(x)=2sen x + 2 3 cos x , está desplaza/ hacia la izquierda en el eje X, una magnitud de 3 da con respecto a la gráfica de G(x) = A sen x. La amplitud de la gráfica de F es: B. 2

9

A.

3. Halla el rango de la función:

A. [7; 25]

B.

UNI 2006 - I

Determina el rango. A. <−4; −3>

U

© ¹ © ¹ 10. El valor de \ " DUF WJ ªª ºº DUF WJ ªª ºº es igual a: « » «»

2. Dada la función F, definida por:

A. 1

D. 4

UNI 2005 - II

E. kU; kU 3 U / 2 ,

DUF WJ[ DUF FWJ[

B. 2

E. 5

© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ ( " DUF WJ ªª ºº DUF WJ ªª ºº DUF WJ ªª ºº DUF WJ ªª ºº es: « » «» «» «»

C. 2kU U; 2kU 3 U / 2 ,

U

C. 3

9. El valor de la expresión:

B. 2kU; 2kU U / 2 ,

)[ "

A. 1

A. E. [0; 1]

B.

U 8 U 4

C. D.

U 3 U 2

E.

2U 3


F(x ) tgx ct gx

8. ¿En cuántos puntos del intervalo [–/; /], las funciones cos x cos 3x toman el mismo valor?

TRIGONOMETRÍA 1. Reduce:

9. Si 16cos2 a + 3 sen2 a = 7, calcula el valor de |tg a|.

ctg x ctg x sec x tg x sec x tg x

A. 0

B.1

2. Simplifica:

C. 2

A. 3/2

D. –2

B. csc4 x

D. tg4 x

C. k3

B. k

E. sec4 x

D. k2

E. k4

4. Si sen x = 119 , halla el valor de sec x. 169 A. 169/119

C. 120/119

B. 169/120

D. 119/169

5. Simplifica: P "

E. 119/120

D. 4

E. 5

cos4 ` – sen4 ` = kcos2 ` – 1 A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

sen x + sen3 x = m

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5


sec2 a csc2 a

A. 0

C. 1

B. tg e

D. sec e

E. ctg e

(sen V cos V)2 (sen V cos V)2 C. 0

ctg2 x cos2 x ctg2 x cos2 x 5 csc x sen x 2 csc x sen x 3

A. 1

C. sen x

B. cos x

D. sec x

D. 1/2

8. Simplifica:

E. 4

E. tg x

14. Si se cumple la identidad: cos V sec V " tgk V ; halla el valor de k. 1 sen V B. 2

4 4 15. Si: a cos G b sen G "

cos2 V(sec2 V tg2 V) sen2 V(csc2 V ctg2 V) B. 2

E"

A. 1

7. Reduce el valor de la siguiente expresión:


C. 3

11. Calcula el valor de ‘k’ para que la siguiente expresión sea una identidad.

A. 1

ctg V sec V csc V(1 2sen2 V) tg V

B=

B. 2

cos x + cos3 x = n

C. 2 E. sen a D. sen2 a · cos2 a

A. 1

A. 1

12. Calcula E = m · csc x + n · sec x, si:

6. Reduce la expresión:

N=

E. ±2/3

tg2 a ctg2 a 2

A.1 B. cos a

N"

D. ±3/2

1 – (sen4 `–cos4 `)2 = msen2 ` cos2 `

sec x cos x 1 sen x tg x " k , halla E " csc x sen x 1 cos x ctg x

A.1

C. 2/3

10. Calcula el valor de ‘m’ en la siguiente identidad.

1 tg4 x C. cos4 x

B. –3/2

E. –1

cos 4 x sen4 x

A. sen4 x

3. Si

Identidades de ángulos simples

C. 3

D. 4

E. 5

ab ; con a | 0 b | 0 ab

Calcula tg ` A. t

a b

C. t

B. t

b a

a D. ta

a b

E. t

b a

1 b

sec 4 V csc 4 V sec 4 V csc 4 V csc2 V sec2 V

A. 1 B. 2 C. 3 D. sen e· cos e

16. A partir de las siguientes equivalencias: asen ` – cos ` = 1 y bsen ` + cos ` = 1, determina la relación correcta. A. a = b

C. ab = 2

B. a = –b

D. ab = –1

E. ab = 1

E. sen2 e· cos2 e

97

TRIGONOMETRÍA

Identidades de ángulos compuestos 9. Simplifica:

5 1. Si sen A = 12 y sen B = , calcula cos (A + B). 13 13 A. 13/25 C. −13/25 E. 1 D. 119/169

B. 2

D. 4

B. cos _

E.

cos(_ + e)

10. Si cos (_ + e) = 3 , halla el valor de: 4

R = (cos _ + cos e)2 + (sen _ + sen e)2 C. 3

D. 2 cos _ u cos e

C. cos e

2. Si _ − e = / , calcula el valor de: 3

A. 1

A. cos _ u cos e

E. 5

2

2

M = (cos _ + cos e) + (sen _ − sen e)

3. Si: tg _ + tg ` = a .......................(1)

A. 1,5

C. 2,5

B. 3,0

D. 0,5

11. En la figura mostrada ABCD es un cuadrado y M es punto medio de AB. Halla tg _.

ctg _ + ctg ` = b .......................(2) Reduce:

A. 3

M = b(tg2 _ + tg2 `) – ab(tg _ + tg `) + 2a

B. 1

A. 2a

C. 0

C. 1/3

B. –1

D. B

_

E. –2

M

D. 4

La expresión:

Q = tg x −

es igual a: A. sec x + ctg x

D. csc x – ctg x

B. csc x + ctg x

E.

csc x – tg x

C. csc x + tg x

A. 11/7

C. 7/11

B. 1/7

D. 7

E. 1/4

6. Si sen x + cos x = √2 , determina E = sen(45º + x). 16 B. 2

−2

−3

C. 2

−4

D. 2

E. 2

−5

7. En un triángulo ABC se cumple que: sec A = csc B Calcula el máximo valor que toma: E = 2sen C + 3sen B + 4sen A A. 1

B. 3

C. 5

sen(x + y) cos x u cos y

A. 1

C. −1

B. tg x

D. 0

E. 2

13. Reduce: G = sen(x + y) + tg y cos x u cos y

5. Halla aproximadamente tg 8°.

−1

D

A

12. Si y = / , halla el valor de la expresión: 4

E = ctg x + csc x − 1 ctg x − csc x + 1

A. 2

C

B

E. 2 4.

E. 3,5

D. 7

A. tg x

C. ctg x

B. ctg y

D. tg y

E. sec x u csc x

14. Reduce: sen(x + y) − sen y cos x E= sen(x − y) + sen y cos x A. 1

C. tg x u ctg y

B. tg x

D. ctg y

E. ctg x u tg y

15. En la figura, calcula tg `. A. 3 E. 9

C

B

B. 1/3

`

C. 1/2 8. Si tg _ = 1/2, calcula tg (45° + _). A. 0,5

98

B. 1

C. 1,5

D. 4/3 D. 3

E. 2,5

E. 3/4

A

37°

D


B. 0

cos (_ − e) – 2sen _ u sen e

TRIGONOMETRÍA

Identidades de ángulos múltiples 8. Calcula el valor de:

1. Simplifica:

3

sen3 x cos3 x 1 sen3x cos 3x 2

K

Tipo UNI 2005 - I

A. 3 sen 2x ∙ csc 6x B. 3/2 sen 2x ∙ csc 6x

K = 8 cos 40° – 6 cos 40° A. – 1

C. –1/2

B. 1/2

D. 1

9. Calcula el valor de:

C. –sen 2x ∙ csc 6x W

D. –3 sen 2x ∙ csc 6x E. –3/2 sen 2x ∙ csc 6x 2. Si tg x = 0,6

B. 4

C. 5

A. 1/4

C. 1/2

B. 1

D. 4/3

D. 6

E. 8

E

3. Halla el equivalente de: E

C. ctg 2x

B. 2 tg 2x

D. 2 ctg 2x

E. sec 2x

B. 2 sec 2x

D. 2 csc 2x

2

E. 2 tg x

5. Si tg _ = 1/7 y tg _ = 2/11, calcula el valor de tg (2_ + `). A. 0, 25

B. 1

C. 0,5

D. 1, 25

E. 0,75

D. 1

E. tg 3x

6. Simplifica la expresión: M

sen 3x sen3 x cos3 x cos 3x

A. tg x

B. ctg 3x

C. ctg x


7. Simplifica: E = sen A + sen 2° + sen 3A 3A A A. 4sen cos cos A 2 2

3A A B. 4sen cos cos A 2

2

2

A. tg x

C. tg x

B. ctg x

D. ctg x

A. –1

E = tg (45° + x) + tg(45° – x) C. 2 csc x

tg 3x 3tg x 3tg 3x tg x

2

B. 0

C. 1

D. 2

E. 3

12. Simplifica 3senx 4sen3 x 3sen20 4sen3 20 sen3x 3 2 A. –1

B. 0

C. 1

D. 2

E. 3

13. En un triángulo rectángulo los catetos son proporcionales a los números 1 – cos 40º y sen 40º. Calcula la medida del menor de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. A. 10°

B. 15°

C. 20°

D. 25

E. 30°

14. Simplifica: E

2tg 45 x 1 tg2 45 x

A. sen 2x

C. cos 2x

B. csc 2x

D. tg 2x

E. sec 2x

15. En el gráfico, calcula tg `.

3A A C. 3sen cos cos A 2

2

2

`

3A 3A D. 2sen cos cos A 2

2

A A E. 4sen cos cos A 2

2

3

E. tg x

11. Calcula “a + b” a partir de la siguiente igualdad cos 3x = cos x (a cos 2x + b)

4. Reduce la expresión:

A. 2 sec x

E. 3/4

se obtiene:

cos x sen x cos x sen x cos x sen x coss x sen x

A. tg 2x

sen310 cos3 20 sen10 cos 20

10. Al simplificar la expresión:

Calcula: 3 sen2x + 5 cos2x A. 3

E. 0

A.

7 5

B.

5 2

C.

12 5

D.

5 12

E.

5 13

99

TRIGONOMETRÍA 1. Simplifica T

Transformaciones trigonométricas

sen sen 3 sen 5

cos cos 3 cos 5

A. tg e

C. tg 2e

B. cos e

D. sen e

9. Calcula

E. tg 3e

B.

sen x 3y sen 3x y m cos x y sen 2xx sen 2y C. 2

B. cos y

D. cos (x + y)

E. sen x

C. 2

os 38 co sen74

R = cos 6x ∙ cosx + sen 5x ∙ sen 2x – sen 6x ∙ sen 3x C. cos x

E. cos 3x

E. tg 22

E. sen 74 cos 38

10. Al simplificar la expresión sen17 cos 17 , se obtiene. sen 31 cos 31

E

A. 4 2

3. Simplifica:

A. cos 2x

ctg 52 tg16 ctg 74 tg 38 tg 54 tg 22

A. cos 38

2. Calcula el valor de m:

A. 0

E

B. 2 2

C. 3 2

D. 2

E. 2

11. Simplifica la expresión K. K

B. cos 7x cos 2x D. cos 5x cos 3x

cos y cos (y 2 x) 1 cos x cos y sen 2 x sen y 2 2

4. Halla tg 2x, si: sen 9x + sen 5x = a cos 5x – cos 9x = b A. –a/b

C. b/a

B. a/b

D. 2b/a

E. –b/a

B. 2 2

D. 4 2

E. 2 2

D. –cosx

12. Calcula el valor de S.

B. 0

D. 1/2

E. 2

13. Reduce: Q 1 cos 20 1 cos 20 A. 2 sen235º

C. 4 sen 35º

B. 4 cos 35º

D. sen 35º

E. 2 sen 35º

B. tg `

D. tg _∙tg `

E. ctg `

A. sen5° ∙ sen25°

D. 2 sen5° ∙ sen25°

B. 4 sen5° ∙ cos25°

E. sen5° ∙ cos25°

C. cos5º ∙ cos25° 15. En un triángulo rectángulo ABC, A – B = 60°. Calcula el valor de la expresión E.

x x E 2sen cos 4 2 4 2 A. sen x

C. 1

B. –sen x

D. 1 – sen x

E. 1 + sen x

A. 1

E

sen 7x sen 5 x sen 3x cos 7x cos 5 x cos 3x C. tg 5x

B. ctg 3x

D. ctg 5x

sen2 A sen2 B sen C

1 2

C. 3

D.

3 2

16. Factoriza:


A. tg 3x

B.

E

E. tg 7x

sen 4 x sen 8 x sen 2x sen 4 x

A. cos x ∙ cos 3x

D. 2cos x ∙ cos 3x

B. 4cos x ∙ cos 3x

E. 2sen x ∙ sen 3x

C. 4sen x ∙ sen 3x

E.

3 3


C. ctg _

7. Transforma a suma:

1 00

C. –1

1 – 2 sen 20°

cos 2 3 cos 3 sen 2 3 sen 3

A. tg _

E

E. 1

14. Transforma a producto la siguiente expresión

6. Reduce: E

B. cos(y – 2x)

A. 1

tg 20 3tg160 M sec 50 sen 40 csc 135 ctg 70 1 C. 2 2

C. 2

S = tg 60° ∙ cos 20° – 2 sen 60° ∙ sen 70° + 1

5. Halla el valor de M.

1 A. 2 2

A. cos x

TRIGONOMETRÍA ALGEBRA

Ecuaciones trigonométricas Factorización 8. Indica una solución general para la ecuación:

1. Halla el conjunto solución de: sen(π– x) + sen(2π– x)

4 cos(x)cos(2x)cos(3x) = 1

+ x2 < 1

x A. –1; 1

C. –1; 4

B. –2; 5

D. –4; 3

A. kπ ± π , k D 4 π B. kπ ± , k D 6

E. –1; 1 – {0}

2. Halla el valor de ‘x’ en la ecuación:

x

6(x – 1) cos(45º)cos(45º)–(x – 4)csc(30º) = 2tg A. 9

B. 11

C. 14

D. 10

( ) 37º 2

E. 12

3. Sea el sistema de ecuaciones:

{

tg(_ – 25°) = ctg(` – 30°) 2` – _ = 35°

Calcula:

9. Dadas las ecuaciones: sen(x – 45º)sen(x – 45º) = p cos(x – 60º)cos(x – 60º) = q Calcula el valor de p + q.

con _ y àgudos

tg(_ – ` + 25º)

B.

–2√3

3√3

C.

9 2√3

D.

3

E.

2

A. –

1 4

10. Si x e y D

√3 2

2tgx – 1

+

B. 0

C.

0; π 2

2sen(x)sen(y) = 1

3

ctg(x) + ctg(y) = 2

2tgx – 1 2tgx + 1

10

=

2 A. π 5

3

2 B. π 9

2 C. π 12

11. Resuelve el sistema

E. 150°

5. Cuál de las siguientes series contiene 3 soluciones de la ecuación: sec ` +√2 = 0


A. 135°; 315°; 405° B. 225°; 450°; 510° C. 45°; 285°; 330°

D. 135°; 225°; 495° E. 215°; 485°; 575°

6. Halla un arco del primer cuadrante, tal que el doble de su seno sea igual a su tangente.

B. 30°

D. 60°

π 4

1 1 – senx B.

(–1)kπ 6

π 3

C. x = kπ +

(–1)kπ 3

D. x = 2kπ +

k

; y = nπ ±

(–1) π 6

2

= sen2y = 2cos y

3 π

; y = nπ ±

3

4 1

π

; y = 2nπ ±

(–1)kπ

1

2 E. π 25

6 π 6

; y = 2nπ ±

π 2

k E. x = kπ + (–1) π ; y = nπ ± π 4 2

E. 75°

7. Halla el ángulo agudo ‘x’ que satisface a la ecuación:

A.

A. x = kπ +

B. x = 2kπ +

C. 45°

{

sen(x) +

con k y n D .

D. 165°

A. 15°

2 D. π 16

sen(x) +

C. 135°

B. 160°

1 + senx

4

E. 1 2

Halla: xy

A. 120°

+

D. 1 3

, además:

Para x D90°; 180° [

1

1

Tipo UNI 2006 - II

] [

2

4. Resuelve: 2tgx + 1

D. kπ ± π , k D 3 π E. kπ ± , k D 2

C. kπ ± π , k D 5

1 + cos ` A.

Tipo UNI 2004 - I

12. Halla la suma de soluciones de la ecuación trigonométrica:

=8

C.

(1 + sen x – cos x)2 = 1 – cos x π 5

D.

π 6

E.

π

A. 2π

B. 3π

C. 4π

D. 5π

(0 < x < 2π) E. 6π

7

101

TRIGONOMETRÍA

Ecuación de la recta

1. Los vértices de un rectángulo son A(a; b), B(a; −b), C(−a; −b) y D(−a; b). Si R(x; y) cumple que DR = 6 u, CR = 7 u y BR = 5 u. Calcula AR. Tipo UNI 2004 - I C. 2√3 u D. √ 3 u

E. 3√3 u

2. Se tiene el conjunto: W = {(x; y)/ 2x + 3y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0} y el punto P (2; 3). ¿Cuál de las siguientes rectas separa a P de W? A. y = B. y =

1 2 1 4

x+ x+

9 4 9 4

D. (x’ + 1)2 + (y’ + 1)2 = 1 E. (x’ – 1)2 + (y’)2 = 1 7. En la figura, las ecuaciones de las rectas son M: 3x + 8y – 48 = 0, F: 3x + y − 18 = 0 y H: 3x + y – 3 = 0, además se muestra conjunto W. Halla los puntos (x; y) D W que dan el valor máximo y mínimo para k = 2x + 3y, cuando esta recta se desplace paralela a si misma.

Tipo UNI 2004 - II

A.

D. x – 16y + 3 = 0 E. y =

1 8

x+2

3. En un plano XY se encuentran contenidas las rectas paralelas: L: 2x + y – 8 = 0 y M: 2x + y + 4 = 0. Halla la ecuación de la recta que equidista de las rectas L y M y que está contenida en el plano XY. D. 2x + y – 5 = 0 E. 2x + y – 4 = 0

4. En la figura, FM = 6√ 3 u, B es punto de tangencia y A es centro de la circunferencia. Halla la ecuación de la Tipo UNI 2005 - II circunferencia. Y

O

B. arc tg

B X

5. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4 ; 5) y por el baricentro del triángulo cuyas coordenadas de los vértices son A(4 ; −3), B(−4 ; 11) y C(−6 ; 1). Tipo UNI 2006 - I A. x – 3y + 11 = 0 B. x – 3y −11 = 0 C. 3x – y + 11 = 0 D. x + 3y −11 = 0 E. 3x – y − 11 = 0 6. Encuentra la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 = 1 en un nuevo sistema trasladado X’Y’, cuyo origen está Tipo UNI 2006 - II en el punto (−1 ; −1). A. (x’ – 1)2 + (y’ – 1)2 = 1 B. (x’ + 1)2 + (y’ – 1)2 = 1

1 02

W

; (1; 0)

X

O

H

F

M

; (0; 2)

C. 2√2

B. 2

(( (( ((

A. arc tg

A

30°

; (0; 1)

D. 8

E. 4

9. Calcula la medida del ángulo que hacen al interceptarse las rectas cuyas ecuaciones son: L: 2x – y + 1 = 0 Tipo UNI 2008 - I y R: x – 2y – 1 = 0.

M

F

; (1; 0)

Tipo UNI 2007 - II

A. 10

A. (x + 3)2 + (y −5√3)2 = 0 B. (x – 3)2 + (y − 3√ 3)2 = 0 C. (x – 3)2 + (y − 5√3)2 = 0 D. (x + 3)2 + (y + 5√3)2 = 0 E. (x – 3)2 + (y + 5√3)2 = 0

Y

8. Se tiene la hipérbola de ecuación: xy = 2. Una recta tangente a la hipérbola forma al interceptarse con los ejes coordenados un triángulo de área S. Calcula S.

Tipo UNI 2005 - I

A. 10x + 5y – 2 = 0 B. 2x + y – 2 = 0 C. 2x + y – 1 = 0

( ( ( ( (

22 30 ; 7 7 C. 32 ; 30 7 7 30 32 D. ; 7 7 30 32 E. ; 7 7 B.

C. 4y – 4x + 9 = 0

( ( ( ( (

Tipo UNI 2006 - II

32 30 ; ; (2; 0) 7 7

5

4 4

(( ((

D. arc tg

E. arc tg

3 C. arc tg 1 4

3

4 4 5

10. Calcula la medida del mayor ángulo que forman al interceptarse las asíntotas de la hipérbola cuya ecuaTipo UNI 2008 - I ción es: x2 – 3y2 – 8x – 18y – 14 = 0 A. 60°

B. 115°

C. 120°

D. 135°

E. 150°

11. Pedro está parado en el punto (−2; −2) y toca un pito frente a una pared que contiene a la recta de ecuación: 15x + 20y = 60. ¿Cuántos tiempo, en segundos, tarda aproximadamente en escuchar el eco? (las unidades están en metros y la velocidad del sonido es Tipo UNI 2008 - II 340 m/s). A. 0,035

B. 0,025

C. 0,030 D. 0,015

E. 0,020


A. 4√3 u B. 5√3 u

C. (x’ – 1)2 + (y’ + 1)2 = 1

Claves

tPágina 90

Claves

tPágina 99

%

#

&

"

"

%

#

"

%

%

#

&

$

#

#

$

#

"

"

&

$

$

%

$

$

$ tPágina 91 $

&

%

"

%

"

$

&

#

%

#

"

tPágina 92 $

%

&

%

%

"

#

$

$

%

&

"

&

"

#

$

$

"

$

#

#

#

&

&

$

$

%

%

$

#

$

%

$

&

$

$

#

$

"

&

#

%

#

%

#

"

%

&

%

#

$

%

&

"

$

"

#

"

tPágina 102

tPágina 94 %

&

tPágina 101

tPágina 93 &

tPágina 100

&

%

"

%

"

%

"

$

#

#

$

&

%

$

$

tPágina 95 $

$

%

&

$

&

&

$

tPágina 96 #

#

&

%

&

&

%

&

$

$

#

"

%

$

#


tPágina 97 %

$

$

#

"

$

%

#

"

%

#

$

"

"

$

&

tPágina 98 #

$

$

#

#

%

%

%

&

&

"

$

"

"

$

103

Carta Democrática Interamericana I La democracia y el sistema interamericano Artículo 1 Los pueblos de América tienen derecho a la democracia y sus gobiernos la obligación de promoverla y defenderla. La democracia es esencial para el desarrollo social, político y económico de los pueblos de las Américas.

Artículo 2 El ejercicio efectivo de la democracia representativa es la base del estado de derecho y los regímenes constitucionales de los Estados Miembros de la Organización de los Estados Americanos. La democracia representativa se refuerza y profundiza con la participación permanente, ética y responsable de la ciudadanía en un marco de legalidad conforme al respectivo orden constitucional.

Artículo 3 Son elementos esenciales de la democracia representativa, entre otros, el respeto a los derechos humanos y las libertades fundamentales; el acceso al poder y su ejercicio con sujeción al estado de derecho; la celebración de elecciones periódicas, libres, justas y basadas en el sufragio universal y secreto como expresión de la soberanía del pueblo; el régimen plural de partidos y organizaciones políticas; y la separación e independencia de los poderes públicos.

Artículo 4 Son componentes fundamentales del ejercicio de la democracia la transparencia de las actividades gubernamentales, la probidad, la responsabilidad de los gobiernos en la gestión pública, el respeto por los derechos sociales y la libertad de expresión y de prensa. La subordinación constitucional de todas las instituciones del Estado a la autoridad civil legalmente constituida y el respeto al estado de derecho de todas las entidades y sectores de la sociedad son igualmente fundamentales para la democracia.

Artículo 5 El fortalecimiento de los partidos y de otras organizaciones políticas es prioritario para la democracia. Se deberá prestar atención especial a la problemática derivada de los altos costos de las campañas electorales y al establecimiento de un régimen equilibrado y transparente de financiación de sus actividades.

Artículo 6 La participación de la ciudadanía en las decisiones relativas a su propio desarrollo es un derecho y una responsabilidad. Es también una condición necesaria para el pleno y efectivo ejercicio de la democracia. Promover y fomentar diversas formas de participación fortalece la democracia. II La democracia y los derechos humanos

Artículo 7 La democracia es indispensable para el ejercicio efectivo de las libertades fundamentales y los derechos humanos, en su carácter universal, indivisible e interdependiente, consagrados en las respectivas constituciones de los Estados y en los instrumentos interamericanos e internacionales de derechos humanos.

Artículo 8 Cualquier persona o grupo de personas que consideren que sus derechos humanos han sido violados pueden interponer denuncias o peticiones ante el sistema interamericano de promoción y protección de los derechos humanos conforme a los procedimientos establecidos en el mismo. Los Estados Miembros reafirman su intención de fortalecer el sistema interamericano de protección de los derechos humanos para la consolidación de la democracia en el Hemisferio.

Artículo 9 La eliminación de toda forma de discriminación, especialmente la discriminación de género, étnica y racial, y de las diversas formas de intolerancia, así como la promoción y protección de los derechos humanos de los pueblos indígenas y los migrantes y el respeto a la diversidad étnica, cultural y religiosa en las Américas, contribuyen al fortalecimiento de la democracia y la participación ciudadana.

Artículo 10 La promoción y el fortalecimiento de la democracia requieren el ejercicio pleno y eficaz de los derechos de los trabajadores y la aplicación de normas laborales básicas, tal como están consagradas en la Declaración de la Organización Internacional del Trabajo (OIT) relativa a los Principios y Derechos Fundamentales en el Trabajo y su Seguimiento, adoptada en 1998, así como en otras convenciones básicas afines de la OIT. La democracia se fortalece con el mejoramiento de las condiciones laborales y la calidad de vida de los trabajadores del Hemisferio. III Democracia, desarrollo integral y combate a la pobreza

Artículo 11 La democracia y el desarrollo económico y social son interdependientes y se refuerzan mutuamente.

Artículo 12 La pobreza, el analfabetismo y los bajos niveles de desarrollo humano son factores que inciden negativamente en la consolidación de la democracia. Los Estados Miembros de la OEA se comprometen a adoptar y ejecutar todas las acciones necesarias para la creación de empleo productivo, la reducción de la pobreza y la erradicación de la pobreza extrema, teniendo en cuenta las diferentes realidades y condiciones económicas de los países del Hemisferio. Este compromiso común frente a los problemas del desarrollo y la pobreza también destaca la importancia de mantener los equilibrios macroeconómicos y el imperativo de fortalecer la cohesión social y la democracia.

Artículo 13 La promoción y observancia de los derechos económicos, sociales y culturales son consustanciales al desarrollo integral, al crecimiento económico con equidad y a la consolidación de la democracia en los Estados del Hemisferio.

Artículo 14 Los Estados Miembros acuerdan examinar periódicamente las acciones adoptadas y ejecutadas por la Organización encaminadas a fomentar el diálogo, la cooperación para el desarrollo integral y el combate a la pobreza en el Hemisferio, y tomar las medidas oportunas para promover estos objetivos.

Artículo 15 El ejercicio de la democracia facilita la preservación y el manejo adecuado del medio ambiente. Es esencial que los Estados del Hemisferio implementen políticas y estrategias de protección del medio ambiente, respetando los diversos tratados y convenciones, para lograr un desarrollo sostenible en beneficio de las futuras generaciones.

Artículo 16 La educación es clave para fortalecer las instituciones democráticas, promover el desarrollo del potencial humano y el alivio de la pobreza y fomentar un mayor entendimiento entre los pueblos. Para lograr estas metas, es esencial que una educación de calidad esté al alcance de todos, incluyendo a las niñas y las mujeres, los habitantes de las zonas rurales y las personas que pertenecen a las minorías.

El Acuerdo Nacional

IV Fortalecimiento y preservación de la institucionalidad democrática

Artículo 17 Cuando el gobierno de un Estado Miembro considere que está en riesgo su proceso político institucional democrático o su legítimo ejercicio del poder, podrá recurrir al Secretario General o al Consejo Permanente a fin de solicitar asistencia para el fortalecimiento y preservación de la institucionalidad democrática.

Artículo 18 Cuando en un Estado Miembro se produzcan situaciones que pudieran afectar el desarrollo del proceso político institucional democrático o el legítimo ejercicio del poder, el Secretario General o el Consejo Permanente podrá, con el consentimiento previo del gobierno afectado, disponer visitas y otras gestiones con la finalidad de hacer un análisis de la situación. El Secretario General elevará un informe al Consejo Permanente, y éste realizará una apreciación colectiva de la situación y, en caso necesario, podrá adoptar decisiones dirigidas a la preservación de la institucionalidad democrática y su fortalecimiento.

Artículo 19 Basado en los principios de la Carta de la OEA y con sujeción a sus normas, y en concordancia con la cláusula democrática contenida en la Declaración de la ciudad de Quebec, la ruptura del orden democrático o una alteración del orden constitucional que afecte gravemente el orden democrático en un Estado Miembro constituye, mientras persista, un obstáculo insuperable para la participación de su gobierno en las sesiones de la Asamblea General, de la Reunión de Consulta, de los Consejos de la Organización y de las conferencias especializadas, de las comisiones, grupos de trabajo y demás órganos de la Organización.

Artículo 20 En caso de que en un Estado Miembro se produzca una alteración del orden constitucional que afecte gravemente su orden democrático, cualquier Estado Miembro o el Secretario General podrá solicitar la convocatoria inmediata del Consejo Permanente para realizar una apreciación colectiva de la situación y adoptar las decisiones que estime conveniente. El Consejo Permanente, según la situación, podrá disponer la realización de las gestiones diplomáticas necesarias, incluidos los buenos oficios, para promover la normalización de la institucionalidad democrática. Si las gestiones diplomáticas resultaren infructuosas o si la urgencia del caso lo aconsejare, el Consejo Permanente convocará de inmediato un período extraordinario de sesiones de la Asamblea General para que ésta adopte las decisiones que estime apropiadas, incluyendo gestiones diplomáticas, conforme a la Carta de la Organización, el derecho internacional y las disposiciones de la presente Carta Democrática. Durante el proceso se realizarán las gestiones diplomáticas necesarias, incluidos los buenos oficios, para promover la normalización de la institucionalidad democrática.

Artículo 21 Cuando la Asamblea General, convocada a un período extraordinario de sesiones, constate que se ha producido la ruptura del orden democrático en un Estado Miembro y que las gestiones diplomáticas han sido infructuosas, conforme a la Carta de la OEA tomará la decisión de suspender a dicho Estado Miembro del ejercicio de su derecho de participación en la OEA con el voto afirmativo de los dos tercios de los Estados Miembros. La suspensión entrará en vigor de inmediato. El Estado Miembro que hubiera sido objeto de suspensión deberá continuar observando el cumplimiento de sus obligaciones como miembro de la Organización, en particular en materia de derechos humanos. Adoptada la decisión de suspender a un gobierno, la Organización mantendrá sus gestiones diplomáticas para el restablecimiento de la democracia en el Estado Miembro afectado.

Artículo 22 Una vez superada la situación que motivó la suspensión, cualquier Estado Miembro o el Secretario General podrá proponer a la Asamblea General el levantamiento de la suspensión. Esta decisión se adoptará por el voto de los dos tercios de los Estados Miembros, de acuerdo con la Carta de la OEA. V La democracia y las misiones de observación electoral

Artículo 23 Los Estados Miembros son los responsables de organizar, llevar a cabo y garantizar procesos electorales libres y justos. Los Estados Miembros, en ejercicio de su soberanía, podrán solicitar a la OEA asesoramiento o asistencia para el fortalecimiento y desarrollo de sus instituciones y procesos electorales, incluido el envío de misiones preliminares para ese propósito.

Artículo 24 Las misiones de observación electoral se llevarán a cabo por solicitud del Estado Miembro interesado. Con tal finalidad, el gobierno de dicho Estado y el Secretario General celebrarán un convenio que determine el alcance y la cobertura de la misión de observación electoral de que se trate. El Estado Miembro deberá garantizar las condiciones de seguridad, libre acceso a la información y amplia cooperación con la misión de observación electoral. Las misiones de observación electoral se realizarán de conformidad con los principios y normas de la OEA. La Organización deberá asegurar la eficacia e independencia de estas misiones, para lo cual se las dotará de los recursos necesarios. Las mismas se realizarán de forma objetiva, imparcial y transparente, y con la capacidad técnica apropiada. Las misiones de observación electoral presentarán oportunamente al Consejo Permanente, a través de la Secretaría General, los informes sobre sus actividades.

Artículo 25 Las misiones de observación electoral deberán informar al Consejo Permanente, a través de la Secretaría General, si no existiesen las condiciones necesarias para la realización de elecciones libres y justas. La OEA podrá enviar, con el acuerdo del Estado interesado, misiones especiales a fin de contribuir a crear o mejorar dichas condiciones. VI Promoción de la cultura democrática

Artículo 26 La OEA continuará desarrollando programas y actividades dirigidos a promover los principios y prácticas democráticas y fortalecer la cultura democrática en el Hemisferio, considerando que la democracia es un sistema de vida fundado en la libertad y el mejoramiento económico, social y cultural de los pueblos. La OEA mantendrá consultas y cooperación continua con los Estados Miembros, tomando en cuenta los aportes de organizaciones de la sociedad civil que trabajen en esos ámbitos.

Artículo 27 Los programas y actividades se dirigirán a promover la gobernabilidad, la buena gestión, los valores democráticos y el fortalecimiento de la institucionalidad política y de las organizaciones de la sociedad civil. Se prestará atención especial al desarrollo de programas y actividades para la educación de la niñez y la juventud como forma de asegurar la permanencia de los valores democráticos, incluidas la libertad y la justicia social.

Artículo 28 Los Estados promoverán la plena e igualitaria participación de la mujer en las estructuras políticas de sus respectivos países como elemento fundamental para la promoción y ejercicio de la cultura democrática.

El 22 de julio de 2002, los representantes de las organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la sociedad civil firmaron el compromiso de trabajar, todos, para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este compromiso es el Acuerdo Nacional. El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales. Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir, ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos. Estos son tan importantes que serán respetados como políticas permanentes para el futuro. Por esta razón, niños, niñas, adolescentes o adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores, debemos promover y fortalecer acciones que garanticen el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los siguientes: 1. Democracia y Estado de Derecho La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los peruanos solo se pueden dar si conseguimos una verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo Nacional es garantizar una sociedad en la que los derechos son respetados y los ciudadanos viven seguros y expresan con libertad sus opiniones a partir del diálogo abierto y enriquecedor: decidiendo lo mejor para el país. 2. Equidad y Justicia Social Para poder construir nuestra democracia es necesario que cada una de las personas que conformamos esta sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una educación de calidad, a una salud integral, a un lugar para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno. 3. Competitividad del país Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete a fomentar el espíritu de competitividad en las empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos y los servicios, asegurar el acceso a la formalización de las pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar la colocación de nuestros productos en los mercados internacionales. 4. Estado Eficiente, Transparente y Descentralizado Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus obligaciones de manera eficiente y transparente para ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo se compromete a modernizar la administración pública, desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar el poder y la economía para asegurar que el Estado sirva a todos los peruanos sin excepción. Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir constantemente sus acciones a la sociedad en general.

3048_GUIA5

Recommend Documents