www.almohandiss.com
Chapitre III : Calcul de la charge de ruine plastique des structures hyperstatiques
III.1 Conventions de signes On commence par choisir une fibre de référence
Fibre inférieure Fibres intérieures
M >O s’il tend la fibre de référence
Une
direction
transversale
est >0 si elle va de la fibre de référence vers l’axe de la barre
Une direction longitudinale x est >0 si elle est déduite de la direction transversale >0 par rotation de π/2 dans le
sens des aiguilles d’une montre .
Cas de T : T>0 dans une
section d’abscisse x 0 , s’il est dirigé de bas en haut quand il est calculé à partir de la partie gauche (x< x 0), ou inversement.
la courbure est positive si elle tend la fibre de référence.
III.2 Etude d’un exemple simple q A
C
B
1
www.almohandiss.com
www.almohandiss.com
La plastification des sections d’extrémités produit une nouvelle évolution du diagramme des moments fléchissants dans la poutre, les parties les moins sollicitées venant au secours des
plus chargés. Ce phénomène s’appelle redistribution plastique entre sections et est caractéristique des structures hyperstatiques.
2
www.almohandiss.com
www.almohandiss.com
III.3 le cas générale d’une structure hyperstatique de degré h III.3.1 Ruine d’une structure hyperstatique
On considère une structure de degré d’hyperstaticité h, soumise à des charges
qui augmentent proportionnellement l’une à l’autre
Si P↗ des rotules plastiques se forment
Chaque fois qu’il y a rotule plastique M=M pl=Z.σe et le degré d’hyperstaticité est réduit d’une unité eme
Quand la h
rotule plastique apparait la structure devient isostatique
Lorsque la (h+1)
eme
rot plast apparait la structure devient un mécanisme
Remarques :
3
www.almohandiss.com
www.almohandiss.com
λP1
1) Ruine partielle
λP2 λP3
2) Ruine plus que complète
III.3.2 Théorème des travaux virtuels Enoncé : Si une ossature déformable en équilibre sous l’effet d’un système de forces extérieures est soumise à une déformation virtu elle, le travail δW e fournit par les forces
extérieures pendant cette déformation est égale au travail δW i absorbé par les forces intérieures :
δWi= δWe
Cas d’une ossature plane chargée dans son plan par k forces (1)
Dans le cas de la ruine par plasticité, on a vu au chapitre II que les sections plastifient principalement sous l’effet de la flexion, le travail de N et T reste élastique et ne varie pas au cours de la déformation virtuelle. Si on choisit les déplacements, comme champ cinématique
virtuel, mais compatible avec les conditions d’appuis, dans le mouvement d’un mécanisme sous charge constante, on peut admettre que les poutres se comportent comme des bielles rigides, articulées les unes aux autres à l’endroit des rotules plastiques.
Il s’en suit que dans le travail virtuel interne δW i dans (1) seul travaille le moment de flexion plastique Mpl sur la rotation plastique arbitraire θ à l’endroit où se forment les rotules plastiques. la formule (1) se réduit donc à : (2) n le nombre de rotules formées dans un mécanisme donné. Exemple
Si on reprend l’exemple de la poutre bi-encastrée uniformément chargée, on a h=2 et il faut donc 3 rotules plastiques pour créer un mécanisme de ruine
4
www.almohandiss.com
www.almohandiss.com
5
www.almohandiss.com
www.almohandiss.com
III.3.3 Sections potentiellement critiques (SPC) Se sont des points sujets à la plastification tels que : -Point d’application d’une charge conc entrée -point où l’effort tranchant est nul ou Mmax Rq : lorsque les charges sont réparties → approximation SPC au milieu -Les points de brisures -Les variations de section
I
2I (Mp)
(2Mp)
III.3.4 Fondements et applications générales de l’analyse limite (AL) Considérons le portique de la figure ci-dessous. Trois fois hyperstatique, quatre rotules
plastiques le transformeront en mécanisme. Mais des rotules sont susceptibles d’apparaitre dans 8 sections potentiellement critiques (numérotées sur la figure). Parmi les 70 combinaisons possibles, quelle est la bonne ?
La solution exacte d’un problème d’analyse limite doit satisfaire :
La statique (l’équilibre)
La cinématique (compatibilité)
La loi constitutive (élasto-plastique)
Loi constitutive
Suite à l’introduction du concept de rotule plastique, la rotation plastique θ dans une rotule obéit aux relations suivantes :
θ=0 si -Mpl
θ>0
si
M= Mpl
θ<0
si
M= -Mpl
(3)
Statique Licite
Lorsque les efforts intérieurs et les actions
sont en équilibre
vérifient la condition statique de plasticité :
M(x) diagramme des moments
Cinématique Licite
Lorsqu’un mécanisme de ruine
6
www.almohandiss.com
-M pl
www.almohandiss.com
garanti la continuité des déplacements et la compatibilité avec les
appuis respecte la condition cinématique de plasticité :
Le travail interne dissipé dans une rotule = M pl. θ >0 (moment et rotation tournent dans le même sens)
Multiplicateur limite
Les forces P i auxquelles est soumise la structure grandisse proportionnellement, de la forme
λPi. On notera λ lim le multiplicateur exacte correspondant à la ruine. Il existe deux théorèmes fondamentaux de l’AL ; le théorème statique et le théorème cinématique. Le premier donne une borne inférieure de P L (Charges limite), le deuxième donne une borne supérieure de P L.
Un troisième théorème existe, dit combiné ou théorème d’association, permet de vérifier si la solution obtenue est la solution exacte. Théorème statique : Toute charge limite obtenu à partir d’une distribution licite des efforts intérieurs est inferieur ou égale à la charge limite réelle
Ce théorème se place du coté de la sécurité et ne se préoccupe pas de la cinématique ! -
-
On notera λ le multiplicateur limite correspondant λ ≤ λlim. Théorème cinématique : Tout multiplicateur limite obtenu à partir d’une cinématique licite est supérieur ou égal au vrai multiplicateur.
Ce théorème signifie qu’on surestime la capacité portante réelle d’une structure si on la calcule en ne respectant que les seules conditions cinématique de compatibilité et de plasticité. Violer l’équilibre ou la condition statique de plasticité ne place donc pas du coté +
de la sécurité du coté de la sécurité. On notera λ le multiplicateur limite correspondant ; +
λ
≥ λlim.
Théorème d’association : Si à 1 mécanisme je peux associer une distribution d’efforts
(statiquement et plastiquement admissibles S.P.A) en équilibre avec les charges, alors celuici est le mécanisme de ruine et donne λruine= λr= λlim . Ce théorème combine les deux méthodes en stipulant l’une d’elles et en vérifiant les
conditions de l’autre. Vu la simplicité, la rapidité et l’aspect intuitif de la méthode cinématique (géométrique), on abo rdera les problèmes de l’analyse limite par celle -ci et on
s’assurera si le mécanisme vérifie la condition de statique de plasticité ;
.
Application de la méthode combinée :
SPC=n
dh=h
n-h = nombre de mécanismes indépendants
h+1= nombre d e rotules pour qu’il y’ait mécanisme
On repère tous les mécanismes, chaque mécanisme (k) fournit un λ k et inf λk=
°
λr 7
www.almohandiss.com
www.almohandiss.com
Exemple :
3P
2P 2
L
3
4
L
2L
Mp= Cste
d h=2→3rotules/mécanisme
n SPC=4
nombre de mécanismes
°
possibles=
(Mp)
=4
1
Lθ
2 Lθ
(1)
(2)
(3)
Mécanisme
mécanisme
Poutre
Panneau
SPC
1
(4)
mécanismes composés [(2)±(1)]
2
3
4
Wext
Wint
-θ
+2θ
-θ
2P.Lθ
Mpθ+2 Mpθ + Mpθ =
Prk
mécanisme
(1)
(2)
-θ
(3)
-θ
(4)
-θ
+θ +2θ +2θ
4Mpθ 3 Mpθ
-θ
3P.2Lθ=6PLθ
-2θ
3P.2Lθ+2P.Lθ=8P.Lθ 5 Mpθ
-2θ
3P.2Lθ-2P.Lθ=4P.Lθ
5 Mpθ
Les colonnes 1, 2, 3,4 sont obtenues à partir de la cinématique du mécanisme
La colonne Wext exprime le travail des forces extérieures dans chaque mécanisme k, on remarque que pour le mécanisme (4), 2P travail négativement, puisque son déplacement lui est opposé (vers le haut)
La colonne Wint exprime Le travail interne dissipé dans les rotules du mécanisme k,
qui doit donc respecter la condition cinématique de plasticité, et s’obtient en multipliant Mp par le nombre de rotation θ en valeur absolue.
Prk la charge de ruine correspondant au mécanisme k est obtenue par l’égalité : Wext= Wint 8
www.almohandiss.com
www.almohandiss.com
La charge de ruine P r correspond à l’inf (P rk), ici c’est
et est donnée par le
mécanisme (2). Vérification du mécanisme (2) comme mécanisme de ruine réel (application du théorème combiné) Pour que le mécanisme (2) soit S.P.A il faut calculer M 3 (moment dans la section critique n°3) et vérifier si
? 2P 3P
V H
On a : M4=2L.H= -MP →
et M1= 2L.V - M P -2P.L + MP -6P.L= -MP
On calcule maintenant M 3 à partir des efforts de droites et on a : M3= 2L.H +L.V -MP en y substituant H et V on a M3= -2 MP + 1.5 MP= -0.5 MP
→ Ce qui prouve que le mécanisme (2) est statiquement et cinématiquement licite.
9
www.almohandiss.com
