UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL DE INGENIERIA INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
AREA DE CIENCIAS CIENCIAS BASICAS BASICAS CICLO 2006-1
SEGUNDAS PRÁCTICAS CALIFICADAS DE CÁLCULO INTEGRAL CB-131 CICLO 2005-1
1. Evaluar las siguientes integrales: a) c)
1+ 15
( x 2
3 2
4
∫ + 0
∫ −
2
x x
−1)
dx
2
−14 x +1
(3.5 pts)
( x +1) 5 / 7 ( x 2 +2 x +2) dx
1
π si : 2
H ′
2. Halle :
H ( x )
=
b)
−1
∫ −
x 2 +8 x +25 dx
4
(3.5 pts)
(3.0 pts) g ( x )
∫ x
t
xarcsen
x
dt ,
g ( x ) =
x
∫ 0 ( senx
+ x cos x ) dx
n
3. Exprese el siguiente límite como una integral definida :
∑ →∞ = 2n
lim lim n
i 1
(3.0 pts)
2n + 4i 2
+ 4in + 4i 2
luego evalúe dicha integral.
(4.0 pts)
4. Para un conductor electrónico con la forma de una artesa la resistencia está dada por R( x)
= k
ln( ln( x / a)
x − a
donde k es una cons constan tante te que depe depende nde de la longit longitud ud y anchura de la artesa y de las propiedades propiedades físicas del material. Demostrar que R decrece para x > a. (3.0 pts)
Corriente a
x
CICLO 2004-3
1. Evaluar las siguientes integrales:
∫
/2
1 + cos x
/4
1 − cos x
π
a)
π
4
c)
∫ 1
(3.0 pts)
dx
(1 +
x
dx
9
dx
b)
∫
6
(4 x 2 − 24 x + 27 )
4 x 2
− 24 x + 27
(3.0 pts)
(3.0 pts)
)3
2. Mediante el el límite de de una suma, suma, calcular el área de la región región limitada por la gráfica gráfica de f , 2 la recta x = 5 y el eje X si f ( x) = 3 + 2 x − x . (3.0 pts) 3. Calcule y evalúe el siguiente límite como una integral : n
lim lim
n→∞
3
4. Sean:
∫
1/
x 3
x
3ut
2
f (
∑ = [ ( n + i) i 1
[
2n ( n + i ) 2
+ 4n
x +3 ) dt =
2
0
∫ −
x
]
2
− 4n 2 ] 4
( n + i ) + 16n
x cos( x 2 x 2
zx ) + zx + zx zx +1
4
dz
(4.0 pts)
1
∫
0
dt
x
∫
xg (ux)du =
2
0
cos cos t
+
x
∫
z x +1 x dz + ∫ x (t 2 −2tx + x 2 ) f (t − x)dt
f
x
0
1
∫ g ( x) f ( x)dx
Halle :
0
CICLO 2004-1
1. Evaluar las siguientes integrales:
∫
xsenx
π
a)
0
(2.5 pts)
dx
3 + cos 2 x
b)
1
15( x − x 4 )1 / 4
1/ 2
4 x 5
∫
(3.0 pts)
dx
2. Expresar como como integral definida el siguiente límite de sumatorias: n
L
=
lim lim n→∞
( senx − − senx ∑ = i 1
i
)
i 1
3. Si : f ( x) =
∫
tgx tgx du 2 1+u
∫ 0 0
tgt tgt
∫ 1
f ,
4. Grafique la función
v 2 + v +1 t + dv dt , ¿existe 2 v + 1 si:
f ( x)
π
con partición en el intervalo 0, 4
xi .xi −1
=
e
1 2 − f * ( 2)
?
(2.5 pts)
(4.0 pts)
4 ln x
2 x ln x
,
indicando :
Dominio y rango de f i) Valores extremos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. ii) Concavidad y punto de inflexión . iii) Asíntotas .
iv)
(4.0 pts)
5. Calcular el promedio de las áreas de los rectángulos cuya base se encuentra en el eje Y y los otros dos vértices están están sobre las curvas y = e − x , y = − e − x para x ∈[0, ln 10 ] (4.0 pts) CICLO 2003-3
1. Calcular : 1
a)
∫
0
x
2
−4
( x 2 − 2 x + 3)
2. La temperatura
2
T
dx
∫
π
(4.0 pts)
b)
/2
cos ecx cos ecx
0
en cierto día satisfacía :
(
sec x
sec sec x
+
cos ecx
)
dx
π ( t − 9 ) 12
T(t) = 70 + 8 sen
(4.0 pts)
donde
t
era
el número de horas después de medianoche. Encuentre la temperatura promedio de Gama 6 pm.
(3.0 pts)
3. Sea :
∫ 1 /
x x
xzf
xz 2
dz
x
∫ 0
2
cos t 1 + t
dt
1
sec( K = ∫ 0
x 2 ) f ( x )dx
Halle el valor de K.
(4.5 pts)
4. Utilizando Utilizando la definición como límite límite de sumatoria, calcular calcular el área de la región limitada por las curvas : C1:
y = 2
x +4
C2: y =
,
( x + 4 )2 16
, x ≤ 0
y = 2 +
C3:
4 −2 x
C4: 2y = x + 2 (4.5 pts)
CICLO 2003-2
1. Evaluar las siguientes integrales: a)
π / 2 2usen 2u
∫
π
3 + cos 4u
0
(3.0 pts)
du
b)
(2 x
) senx
π
2 x
0
dx
1
(3.0 pts)
2. Exprese como una integral definida el siguiente límite y luego evalúelo, si : n
∑ =
lim lim
n→∞
f una una
3. Sea
0
(n 2 + 2in + i 2 )
i 1
h ( x )
=
2n
2
∫ 0
(4.0 pts)
+ 2in + i 2
h
una una funci función ón cuya cuya regla regla de
x
∫ 0 f (t ) dt
∫
cos −1 ( senx )
func funció ión n tal tal que que :
∫
2
funció función n linea lineall con pendie pendiente nte posit positiv iva a y sea
correspondencia es :
1/ 2
n
d d τ
τ
x
(1 +cos
tal que : D x3 h( x ) =12 ( 4 x − 3)
x ) g ( cos t ) dt = sen x
,
( f ( x ) + 3) 2 dx 2 2 8 x (1 + x g ( x ) )
y sea
g
la
dete determ rmin ine e el valo valorr de : (5.0 ptos)
4. Mediante el límite de sumatorias sumatorias calcular calcular el área área de la región limitada limitada por las gráficas gráficas de C1 : 4(y + 8) = (x – 4) 2
las curvas : con : x
0
y
∧
C2 : 2y = -5 + 2
2 x
C3 : 4y = – 15x + 28
<0
(5.0 pts)
CICLO 2003-1
1. Calcular el siguiente límite :
1 + n→ ∞ lim lim
n
+2 +
2n
+ + n −1 + n
n( n −1)
2
+ n
(3.0 pts)
2. Encuentre el área de la región limitada por la función f definida por :
2 k 2 k
x ∈−
π
,
π
y
k > 0
f ( x)
= k cos
kx ,
y las tangentes a dicha gráfica en los puntos : x = ±
π
2k
(4.0 pts) 3. La temperatura
T
en cierto día satisface
T (t )
= 70 + 8 sen (t − 9) donde 12 π
t era el
número de horas después de medianoche. Encuentre la temperatura promedio de 6 a.m.
a 6 p.m.
(3.0 pts)
4. Resolver la ecuación : x
16 dt
∫
g ( x )
g ( x)
t (16
=
9
Ln Ln 2
− t 2 )
=
1
3
x
1
∫ −
2π
1 + x 2
2 + x 3 − Ln − 2tg −1 + Ln L n Ln 5 , 2 5 x −10
