7.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................... ....................................................................................................................... ............................................ 1 7.1.1 HIDRO-PROGRAMACIÓN DE LARGO ALCANCE ................................................................ 1 7.1.2 HIDRO-PROGRAMACIÓN DE CORTO ALCANCE ................................................................ ................................................................ 2 7.2 MODELOS HIDROELÉCTRICOS ...................................................................................... ................................................................................................. ........... 2 7.3 PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN .......................................................................................... 5 7.3.1 TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN ......................................................... .................................................................... ........... 5 7.3.2 PROGRAMACIÓN P ROGRAMACIÓN DE ENERGÍA ......................................................................................... 6 7.4 EL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN HIDROTERMICA DE CORTO PLAZO .............................. 10 EJEMPLO 7B ................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... 14 7.5 PROGRAMACIÓN HIDRÁULICA A CORTO PLAZO: UN ENFOQUE ENFO QUE GRADIENTE ....................... 16 EJEMPLO 7C ................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... 19 7.6 UNIDADES HIDRAULICAS EN SERIE (HIDRÁULICAMENTE ACOPLADAS) ................................ ................................ 22 7.7 HIDROPLANTAS DE BOMBEO DE ALMACENAMIENTO .......................................................... 24
7.7.1 HIDRO-PROGRAMACIÓN DE ALMACENAMIENTO BOMBEADO CON UNA ITERACIÓN ................................................................................................ ............................................................................................................................... ............................... 25 7.7.2 PROGRAMACIÓN DE ALMACENAMIENTO AL MACENAMIENTO EN BOMBEO MEDIANTE UN MÉTODO DE GRADIENTE .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. 27 EJEMPLO 7D ........................................................... ............................................................................................................................ ................................................................. 30 7.8 SOLUCIÓN DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA AL PROBLEMA HIDROTÉRMICO DE PROGRAMACIÓN ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... 33 EJEMPLO 7E .................................................................................................................... ............................................................................................................................. ......... 35 7.8.1 EXTENSIÓN A OTROS CASOS .......................................................................................... .......................................................................................... 38 7.8.2 SOLUCIÓN DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA PARA PROBLEMAS DE HIDRO PLANTAS MÚLTIPLES...................................................................................................................... ............................................................................................................................... ......... 40 7.9. PROGRAMACIÓN PR OGRAMACIÓN HIDRÁULICA USANDO PROGRAMACIÓN LINEAL ..................................... 42 PROBLEMAS ............................................................... ................................................................................................................................ ................................................................. 48
COORDINACIÓN HIDROTÉRMICA 7.1 INTRODUCCIÓN I NTRODUCCIÓN La coordinación sistemática de la operación de un sistema de plantas de generación hidroeléctrica suele ser más compleja que la programación de un sistema de generación totalmente térmico. La razón es a la vez simple e importante. Es decir, las plantas hidroeléctricas pueden estar bien acopladas tanto eléctricamente (es decir, todas sirven a la misma carga) e hidráulicamente (es decir, el flujo de agua de una planta puede ser una parte muy significativa de la entrada a uno o más, Plantas aguas abajo). No hay dos sistemas hidroeléctricos en el mundo que son iguales. Todos son diferentes. Las razones de las diferencias son las diferencias naturales en las cuencas hidrográficas, las diferencias en los elementos de almacenamiento y desprendimiento artificiales utilizados para controlar los caudales de agua y los muchos tipos diferentes de restricciones naturales y artificiales que afectan a la operación de los sistemas hidroeléctricos. Los sistemas fluviales pueden ser simples con relativamente pocos afluentes (por ejemplo, el río Connecticut), con represas en serie (hidráulicamente) a lo largo del río. Los sistemas fluviales pueden abarcar miles de hectáreas, extenderse sobre vastas áreas multinacionales e incluir muchos tributarios y arreglos complejos de depósitos de almacenamiento (por ejemplo, la cuenca de Columbia en el noroeste del Pacífico). Los depósitos pueden ser desarrollados con una capacidad de almacenamiento muy grande con algunas plantas de altura alta a lo largo del río. Alternativamente, el río puede haber sido desarrollado con un mayor número de presas y embalses, cada uno con menor capacidad de almacenamiento. El agua puede ser intencionalmente desviada a través de largas pistas de rodadura que atraviesan toda una cordillera (por ejemplo, el sistema Snowy Mountain en Australia). En los desarrollos europeos, los embalses auxiliares, las represas de control, las cerraduras e incluso los sistemas separados para el bombeo de agua hac ia atrás se han añadido a los ríos. Sin embargo, el único aspecto de las centrales hidroeléctricas que diferencia la coordinación de su operación más que cualquier otro es la existencia de las muchas y muy variadas restricciones. En muchos hidrosistemas, la generación de energía es un complemento al control de las aguas de inundación o la liberación regular y programada de agua para riego. Los centros de recreación pueden haberse desarrollado a lo largo de las orillas de un gran reservorio para que sólo sean posibles pequeños cambios en la elevación del agua superficial. La liberación de agua en un río puede tener que ser controlada para que el río sea navegable en todo momento. Cambios repentinos, con altas emisiones de agua, Puede ser prohibido porque la liberación podría dar lugar a una onda grande que viaja corriente abajo con efectos potencialmente perjudiciales. Se pueden necesitar escaleras de pescado. Las liberaciones de agua pueden ser dictadas por un tratado internacional. Repito: todos los sistemas hidroeléctricos son diferentes.
7.1.1 HIDRO-PROGRAMACIÓN HIDRO-PROGRAMACIÓN DE LARGO ALCANCE La coordinación del funcionamiento de las centrales hidroeléctricas implica, por supuesto, la programación de las emisiones de agua. El problema de la programación hidroeléctrica de largo alcance implica el pronóstico a largo plazo de la disponibilidad de agua y la programación de las l as liberaciones de agua del reservorio (es decir, "reducción") durante un intervalo de tiempo que depende de las capacidades del reservorio.
1
La programación de largo alcance típica tí pica va de 1 semana a 1 año o varios años. Para los sistemas hidroeléctricos con una capacidad de captación de agua durante varias temporadas, el problema a largo plazo implica análisis meteorológicos y estadísticos. Las previsiones más cercanas a las entradas de agua podrían basarse en las expectativas de la fusión de la nieve y en las previsiones meteorológicas a corto plazo. Para el programa de reducción a largo plazo, se debe realizar una selección de política básica. En caso de que el agua se utilice bajo la suposición de que será reemplazado a una tasa basada en la tasa estadísticamente esperada (es decir, valor medio), o si el agua se libera utilizando una predicción de "peor de los casos". En un primer momento, bien podría ser posible ahorrar una gran cantidad de gastos de producción de energía eléctrica al desplazar la generación térmica con generación hidroeléctrica. Si, por el contrario, se seleccionara una política de peores casos, las hidroplantas se ejecutarían de manera que se minimizara el riesgo de violar cualquiera de las limitaciones hidrológicas (por ejemplo, que los depósitos de agua estuvieran demasiado bajos o que no tuvieran suficiente agua para navegar por un río). Concebiblemente, tal programación retendría el agua hasta que llegara a ser bastante probable que incluso las lluvias más pobres (escorrentía, etc.) todavía dieran suficiente agua para cumplir con las restricciones. La programación a largo plazo consiste en optimizar una política en el contexto de incógnitas tales como carga, entradas hidráulicas y disponibilidad de unidades (vapor e hidroeléctrica). Estas incógnitas se tratan estadísticamente, y la planificación a largo plazo implica la optimización de las variables estadísticas. Las técnicas útiles incluyen: 1. Programación dinámica, en la que se simula todo el período de tiempo de operación a largo alcance (por ejemplo, 1 año) para un conjunto dado de condiciones. 2. Modelos de simulación hidráulica compuesta, que pueden representar varios depósitos. 3. Modelos estadísticos de costos de producción. Los problemas y técnicas de la hidro-programación a largo plazo están fuera del alcance de este texto, por lo que terminaremos la discusión en este punto y continuaremos con la hidroprogramación de corto alcance.
7.1.2 HIDRO-PROGRAMACIÓN HIDRO-PROGRAMACIÓN DE CORTO ALCANCE La hidro-programación de corto alcance (1 día a 1 semana) implica la programación hora por hora de toda la generación en un sistema para lograr el costo mínimo de producción para el período de tiempo dado. En tal problema de programación, se supone que la carga, las entradas hidráulicas y las disponibilidades de unidades son conocidas. Se proporciona un conjunto de condiciones de partida (por ejemplo, niveles de depósito) y se busca el programa horario óptimo que minimiza un objetivo deseado, mientras que se encuentra el vapor hidráulico y las restricciones del sistema eléctrico. Parte de las restricciones hidráulicas puede implicar cumplir las condiciones de "punto final" al final del intervalo de programación para ajustarse a un programa de liberación de agua a largo alcance previamente establecido.
7.2 MODELOS HIDROELÉCTRICOS HIDROELÉCTRICOS Para entender los requerimientos para el funcionamiento de las centrales hidroeléctricas, se deben apreciar las limitaciones impuestas al funcionamiento de los recursos hídricos por el control de las inundaciones, la navegación, la pesca, la recreación, el abastecimiento de agua y otras demandas sobre los cuerpos de agua y arroyos, Características de la conversión de energía de la energía potencial del agua almacenada a la energía eléctrica. La cantidad de energía
2
disponible en una unidad de agua almacenada, por ejemplo un pie cúbico, es igual al producto del peso del agua almacenada (en este caso, 62.4 Ib) veces la altura (en pies) que el agua caería. 1.000 pies cúbicos de agua que caen una distancia de 42.5 pies tiene la energía equivalente a 1 kWh. Correspondientemente, 42,5 pies³ de agua que cae 1000 pies también tiene la energía equivalente a 1 kWh. Consideremos el bosquejo de un reservorio y una planta hidroeléctrica que se muestra en la Figura 7.1. Consideremos algunos aspectos generales de la caída de agua a medida que se desplaza desde el embalse a través de la tubería forzada hasta las compuertas de entrada, a través de la turbina hidráulica por el tubo de aspiración y hacia fuera por la salida de la planta. La potencia que el agua puede producir es igual a la tasa de flujo de agua en pies cúbicos por
Figura 7.1 componentes de la hidroplanta En segundo lugar, un coeficiente de conversión que toma en consideración la altura neta (la distancia a través de la cual cae el agua, menos las pérdidas p érdidas en la altura causadas por el flujo) veces la eficiencia de conversión del generador de turbina. Un caudal de 1 ft3 / seg que cae 100 pies tiene el equivalente en potencia de aproximadamente 8,5 kW. Si la pérdida causada por el flujo en la altura era de 5%, o 5 pies, entonces el equivalente de potencia para un flujo de 1 ft3 de agua por segundo con la caída neta de 100 -5 o 95 pies tendría el equivalente de potencia de ligeramente Más de 8 kW (8,5 x 95%). Las eficiencias de conversión de los generadores de turbina están típicamente en el rango de 85 a 90% en el mejor punto de funcionamiento de eficiencia para el generador de turbina, de manera que 1 ft3 / s que cae 100 ft normalmente se desarrollaría alrededor de 7 kW como máximo. Volvamos a nuestra descripción de la planta hidroeléctrica como se ilustra en la Figura 7.1. El proyecto hidroeléctrico consiste en una cantidad de agua incautado por una presa, el hidroplano, y el canal de salida o el cuerpo de agua inferior. La energía disponible para la conversión a energía eléctrica del agua incautada por la presa es
3
función de la altura bruta; Es decir, la elevación de la superficie del reservorio menos la elevación del canal posterior, o nivel de agua, aguas abajo debajo de la planta hidroeléctrica. La cabeza disponible para la turbina en sí es ligeramente menor que la altura bruta, debido a las pérdidas de fricción en la admisión, conducto forzado y tubo de tiro. Esto se expresa generalmente como la altura neta y es igual a la altura bruta menos las pérdidas de flujo (medidas en pies de altura). Las pérdidas de flujo pueden ser muy significativas para plantas de altura baja (10 a 60 pies) y para plantas con tuberías forradas largas (varios miles de pies). El nivel de agua en la boca posterior está influenciado por el flujo de salida del depósito, incluyendo la liberación de la planta y cualquier derrame de agua sobre la parte superior de la presa oa través de pistas de derivación. Durante las condiciones de inundación tales como la escorrentía de primavera, el aumento en el nivel después de la bahía puede tener un efecto significativo y adverso sobre la energía y la capacidad o capacidad de potencia del hidroplano. El tipo de turbina utilizado en una planta hidroeléctrica depende principalmente de la altura de diseño para la planta. Con mucho, el mayor número de proyectos hidroeléctricos utilizan turbinas tipo reacción. Sólo dos tipos de turbinas de reacción son ahora de uso común. Para las alturas medias (es decir, en el rango de 60 a 100 pies), la turbina Francis se utiliza exclusivamente. Para las plantas de cabeza baja (es decir, para cabezas de diseño en el rango de 10 a 60 pies), se utiliza la turbina de la hélice. Las turbinas más modernas de la hélice tienen la paleta de paso ajustable (llamadas turbinas de Kaplan) para mejorar la eficacia de funcionamiento sobre una amplia gama de altura de la red de la planta. El rendimiento típico de la turbina da como resultado una eficiencia a carga completa de entre 85 y 90%. La turbina Francis y la turbina de hélice ajustable pueden operar entre el 65 y el 125% de la altura neta nominal en comparación con el 90 al 110% para la hélice fija. Otro factor que afecta la eficiencia operativa de las hidro-unidades es la carga de MW. En las cargas de la unidad de luz, la eficiencia puede caer por debajo del 70% (estos rangos están a menudo restringidos por los límites de vibración y cavitación) y en la puerta completa puede elevarse hasta aproximadamente el 87%. Si se desea obtener el mejor aprovechamiento del recurso hídrico, es necesario el funcionamiento de la unidad hidráulica cerca de su mejor posición de compuerta. Esto significa que la carga unitaria y el control de la presa del embalse son necesarios para hacer un uso eficiente de los recursos hídricos. La carga de la unidad debe ser
4
Figura 7.2 Tasa de agua incremental versus potencia de salida. Cerca de la mejor posición de la puerta de la eficiencia, y los horarios de liberación de agua deben ser coordinados con las entradas de los reservorios para mantener una cabeza tan alta en las turbinas como las limitaciones en las operaciones de la bóveda permitirán. El rendimiento típico de una planta para una altura media, Cuatro unidades en América del Sur se ilustra en la Figura 7.2. El incremento de la "Tasa de agua" se expresa en acre-pies por megavatio hora. El aumento de la tasa de agua incremental con el aumento de la producción unitaria resulta principalmente del aumento de las pérdidas hidráulicas con el aumento del caudal. Una curva compuesta para el funcionamiento de unidades múltiples en la planta reflejaría los efectos mutuos de las pérdidas hidráulicas y el aumento en la bahia con la descarga de la planta. Se debe prestar mucha atención al número de unidades funcionadas para una determinada salida requerida. Un funcionamiento de la unidad en el mejor de la eficacia utilizará generalmente menos agua que dos unidades funcionadas a la mitad de esa carga. Las plantas de altura alta (típicamente más de 1000 pies) utilizan turbinas de impulso o Pelton. En tales turbinas, el agua se dirige a cubos en forma de cuchara en la rueda por medio de uno o más chorros de agua situados alrededor del exterior de la rueda. En el texto que sigue, asumiremos una característica que da la relación entre el flujo de agua a través de la turbina, 4, y la potencia de salida, P (MW), donde q se expresa en ft3 / seg o acre-ft / h. Además, no nos ocuparemos de qué tipo de turbina se está utilizando o de las características del reservorio, con excepción de los límites tales como la cabeza del depósito o el volumen y los diversos flujos.
7.3 PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN 7.3.1 TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN En el funcionamiento de un sistema de energía hidroeléctrica, surgen tres categorías generales de problemas. Estos dependen del equilibrio entre la generación hidroeléctrica, la generación térmica y la carga.
5
Los sistemas sin generación térmica son bastante raros. La programación económica de estos sistemas es realmente un problema en la programación de liberaciones de agua para satisfacer todas las restricciones hidráulicas y satisfacer la demanda de energía eléctrica. Técnicas desarrolladas para programar sistemas hidrotérmicos pueden ser usadas en algunos sistemas asignando un costo de pseudo-combustible a alguna planta hidroeléctrica. Entonces el programa se desarrolla minimizando el "costo" de producción como en un sistema hidrotérmico convencional. En todos los sistemas hidroeléctricos, la programación podría hacerse simulando el sistema de agua y desarrollando una programación que abandone los niveles del reservorio con una cantidad máxima de energía almacenada. En sistemas hidroeléctricos geográficamente extensos, estas simulaciones deben reconocer los tiempos de recorrido del agua entre las plantas Los sistemas hidrotérmicos en los que el sistema hidroeléctrico es, con mucho, el componente más grande pueden programarse planificando económicamente el sistema para producir el coste mínimo para el sistema térmico. Estos son básicamente problemas en la programación de energía. Un ejemplo simple se ilustra en la siguiente sección donde el sistema hidroeléctrico no puede producir suficiente energía para satisfacer la carga esperada. La categoría más grande de sistemas hidrotérmicos incluye aquéllos en los que existe un equilibrio más estrecho entre los recursos de generación hidroeléctrica y térmica y aquellos donde el sistema hidroeléctrico es una pequeña fracción de la capacidad total. En estos sistemas, los horarios se desarrollan generalmente para minimizar los costos de producción de generación térmica, reconociendo todas las diversas restricciones hidráulicas que pueden existir. La parte principal de este capítulo se refiere a sistemas de este tipo.
7.3.2 PROGRAMACIÓN DE ENERGÍA Supongamos que, como en la figura 7.3, tenemos dos fuentes de energía eléctrica para suministrar una carga, una hidráulica y otra térmica. El hidroplano puede suministrar la carga
Figura 7.3 Sistema hidrotérmico de dos unidades.
Por sí mismo por un tiempo limitado. Es decir, para cualquier período de tiempo j,
6
Sin embargo, la energía disponible de la hidroeléctrica es insuficiente para satisfacer la carga.
n j = número de horas en el período j
Intervalo total
Queremos consumir toda la energía de la planta hidroeléctrica de tal manera que se minimice el coste de funcionamiento de la planta de vapor. La energía de la planta de térmica requerida es
Energía de carga
Hidroenergía
Energía térmica
No requeriremos que la unidad de vapor funcione durante todo el intervalo de Tmax horas. Por lo tanto.
Ns = número de periodos en que se ejecuta la planta de vapor Entonces
El problema de programación se convierte en
Sujeto a
7
Y la función Lagrange es
Entonces
Esto significa que la planta térmica debe funcionar a un coste incremental constante durante todo el período en que se encuentra. Deje que este valor óptimo de la potencia generada por vapor sea Ps*, que es el mismo para todos los intervalos de tiempo en que la unidad de vapor está encendida. Este tipo de programación se muestra en la Figura 7.4. El coste total durante el intervalo es
Dónde
Deje que el costo de la planta de vapor se exprese como
Entonces
También tenga en cuenta que
8
Figura 7.4 Programa hidrotérmico óptimo resultante
Entonces
Y
Ahora podemos establecer el valor de P s*, minimizando FT:
Lo que significa que la unidad debe ser operada en su punto máximo de eficiencia lo suficiente como para suministrar la energía necesaria, E. Nota, si
9
Donde fc, es el coste del combustible, entonces la tasa de calor es
Y la tasa de calor tiene un mínimo cuando
Dando la mejor eficiencia en
7.4 EL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN HIDROTERMICA DE CORTO PLAZO Un problema de programación hidrotérmica a corto plazo más general y básico requiere que se use una cantidad dada de agua de tal manera que se minimice el coste de funcionamiento de las unidades térmicas. Usaremos la Figura 7.5 para configurar este problema.
El problema que queremos plantear es el problema general de la programación hidrotérmica a corto plazo, donde el sistema térmico está representado por una unidad equivalente, , como se hizo en el Capítulo 6. En este caso, existe una única planta hidroeléctrica, . Suponemos que el hidroplante no es suficiente para satisfacer todas las demandas de carga durante el período y que hay un volumen total máximo de agua que puede descargarse a lo largo del período de horas.
Al establecer este problema y los ejemplos que siguen, asumimos que todos los derrames, sj, son cero. La única restricción hidráulica que se impondrá inicialmente es que el volumen total de agua descargada debe ser exactamente como se define.
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j = intervalo rj = Flujo de entrada durante “j” Vj = Volumen al final de “j” qj = Descarga durante “j” sj = Derrame durante “j”
Unidades de vapor equivalentes
FIGURA 7.5 Sistema hidrotérmico con limitaciones hidráulicas. Por lo tanto, el problema de programación matemática se puede configurar de la siguiente manera: FT Problema:
Sujeto a:
Dónde:
= = 0
.
1…
=
Y las cargas son constantes en cada intervalo. Otras limitaciones podrían ser impuestas, tales como:
= = ≤ ≤
Volumen inicial Volumen final Límite de flujo para j = 1 . . . j max Descarga fija para una hora determinada
11
Supongamos que la operación de la constante principal y asumen una característica está disponible, como se muestra en la Figura 7.6, de modo que
7.22
FIGURA 7.6 Característica de entrada-salida de la unidad hidroeléctrica para la constante principal. Ahora tenemos un problema similar al del combustible de compra o de pago. La función Lagrange es:
ℒ =()( ) 7. 2 3 ( ) =
Y para un intervalo específico
Da
Y
Da
,
ℒ 0 dd ℒ 0 dd
7.24 7.25
Esto se resuelve usando las mismas técnicas que se muestran en el capítulo. Supongamos que añadimos las pérdidas de red al problema. Luego, a cada hora,
0 12
7.26
Y la función Lagrange se convierte en
ℒ =()( ) ( ) =
7.27
Con las ecuaciones de coordinación resultantes (hora k ):
dd é dd é
7.28 7.29
Esto da lugar a una solución de programación más compleja que requiere tres bucles,
Como se muestra en la figura 7.7. En este procedimiento de solución, respectivas en las relaciones de balance de carga y equilibrio de agua.
y
son las tolerancias
Tenga en cuenta que este problema ignora las restricciones de velocidad de descarga de volumen y hora.
13
É
Figura. 7.7 Esquema de iteración
para la programación hidrotérmica.
Como resultado, el valor de será constante durante todo el período de programación, siempre y cuando las unidades permanezcan dentro de sus respectivos rangos de programación. El valor de cambiaría si se encontrase una restricción (i.e., , etc.) . Esto requeriría que la lógica de programación reconozca tales restricciones y tome las medidas apropiadas para ajustar y de manera que la variable restringida no vaya más allá de su límite. El apéndice de este capítulo da una prueba de que y es constante cuando no se encuentran restricciones de almacenamiento. Como de costumbre, en cualquier método de gradiente, se debe ejercer cuidado para permitir que las variables restringidas salgan de sus restricciones si la solución así lo determina.
EJEMPLO 7B Una carga debe suministrarse desde una central hidroeléctrica y un sistema de vapor cuyas características se dan aquí. Sistema de vapor equivalente:
5008. 0 14
(MBtu/h)
Costo combustible = 1.15 R/MBtu
≤ ≤ 3304.97 /ℎ ≤ ≤ 530012 10000.05 1000 /ℎ 1000< <1100 0.00008 240012001200 120024001500 150 MW
Planta Hidroeléctrica:
0
1500 MW
1000 MW
La planta hidroeléctrica se encuentra a una buena distancia de la carga. Las pérdidas eléctricas son
La carga a suministrar está conectada en la planta de vapor y tiene los siguientes programar:
El reservorio de la unidad hidroeléctrica se limita a una reducción de 100.000 acre-ft durante todo el período de 24 horas. El flujo hacia el depósito debe ser descuidado. El programa óptimo para este problema se encontró usando un programa escrito usando la Figura 7.7. Los resultados son: Periodo de tiempo 2400-1200 1200-2400
P vapor 567.4 685.7
P hidroeléctrico 668.3 875.6
Descarga Hidraulica (acre-ft/h) 3651.5 4681.7
e ) t d f n e r e c a m ( u o l o t v n l i e e n a e n o e i b c a m a l C
Figura. 7.8 Cambio en el volumen de almacenamiento (= descarga acumulativa) en función del tiempo para el Ejemplo 7B. El valor óptimo para y es 2,028378 R/acre-ft El almacenamiento en el depósito del hidroplano disminuye en el tiempo como se muestra en la Figura 7.8. No se supone que se produzcan entradas o derrames naturales.
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7.5 PROGRAMACIÓN HIDRÁULICA A CORTO PLAZO: UN ENFOQUE GRADIENTE El siguiente es un esquema de un enfoque de primer orden de gradiente, como se muestra en la Figura 6.7a, al problema de encontrar el horario óptimo para un sistema de energía hidrotérmica. Asumimos una sola unidad térmica equivalente con una curva de entrada-salida convexa y una única hidroeléctrica. Dejar:
el intervalo 1, 2,3,.. . , volumen de almacenamiento al final del intervalo tasa de descarga durante el intervalo tasa de descarga del derrame durante el interval o Generación de vapor durante el intervalo Tasa de descarga del derrame durante el intervalo Pérdidas,asumida aquí como cero Energía recibida durante el intervalo carga Generación hidroeléctrica durante la hora
A continuación, dejamos que la descarga de la planta hidroeléctrica sea sólo una función de la producción de energía hidráulica. Es decir, se asume una constante características principal. Entonces,
De modo que a un primer orden,*
*
∆ ∆ y
() ∆ dd ∆ 1,2, 3 ,.. . ., ( ) =
designan cambios en las cantidades
El costo total del combustible sobre el intervalo
y F .
es:
Esto puede ser ampliado en una serie de Taylor para dar el cambio en el costo del combustible para un cambio en el horario de la planta de vapor.
′ 1 ′ ∆ = ∆ 2 ∆ . . ′ ∆ = ∆
A la primera orden esto es
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En cualquier intervalo dado, las potencias eléctricas deben equilibrar:
0 ∆ ∆ ∆ d∆d dd ∆ = dd ∆ ∆ = dd dd
Así que eso,
O
Por lo tanto
Donde
Las variables son los valores de agua incrementales en los diversos intervalos y dan una indicación de cómo hacer los "movimientos" en la aplicación de la técnica de primer orden. Es decir, el "descenso más pronunciado" para alcanzar el costo mínimo de combustible (o el mejor período para liberar una unidad de agua) es el período con el valor máximo de . Los valores de liberación de agua, , deben elegirse para mantenerse dentro de las restricciones hidráulicas. Estos pueden determinarse mediante el uso de la ecuación de continuidad hidráulica:
∆
− ≤ ≤ 0 >0 ≤ ≤ =
Para calcular el almacenamiento del depósito cada intervalo. También debemos observar los límites de almacenamiento, Asumiremos que el derrame está prohibido, de modo que , aunque puede haber circunstancias en las que permitir que para algunos j , reduzca el costo del sistema térmico. El caudal de descarga puede estar limitado tanto en velocidad como en total. Es decir,
Y
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El diagrama de flujo de la figura 6.7a ilustra la aplicación de este método. La figura 7.9 ilustra una trayectoria típica del volumen de almacenamiento en función del tiempo e ilustra las reglas especiales que deben seguirse cuando se toman las restricciones. Siempre que se alcanza una restricción (es decir, el almacenamiento es igual a ), hay que elegir intervalos de una manera más restringida que la mostrada en la figura 6.7a.
Esto se resume aquí.
− + 1 ....
1. No se han alcanzado restricciones Seleccione el par de intervalos y
desde
FIGURA 7.9 Trayectoria del volumen de almacenamiento. 2. Se logra una restricción
− +
− +
Opción A: Elija y dentro de uno de los subintervalos. Es decir, escoge y de los períodos 1, 2 ó 3 de la figura 7.9. Esto garantizará que la restricción no se viole. Por ejemplo, elegir un tiempo dentro del período 1 para aumentar la liberación, y escogiendo también en el periodo 1 para disminuir la liberación, no significará ningún cambio de liberación neta al final del subintervalo 1, por lo que la restricción no será violada.
−
+
− + +
−
Opción B: Seleccione y de diferentes subintervalos para que ya no se alcance la restricción. Por ejemplo, elegir dentro del periodo 2 y dentro del periodo 1 significará que los límites y ya no se alcanzan en absoluto. Aparte de estas reglas especiales, se puede aplicar el diagrama de flujo de la figura 6.7 a exactamente como se muestra (aunque se entiende que q es agua en lugar de combustible como en la figura 6.7a).
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EJEMPLO 7C Encuentre la programación hidráulica óptima usando la técnica de gradiente de la sección 7.5. La planta hidroeléctrica y la planta de vapor equivalente, son los mismos que en el Ejemplo 7B, con las siguientes adiciones. Patrón de carga:
Primer día
2400-1200 = 1200 MW 1200-2400 = 1500 MW
Segundo día
2400-1200 = 1100 MW 1200-2400 = 1800 MW
Tercer día
2400-1200 = 950 MW 1200-2400= 1300MW
Reservorio hidráulico: 1. 100.000 acre-ft al principio. 2. Debe tener 60.000 acre-ft al final del programa. 3. El volumen del depósito está limitado de la siguiente manera:
60,000 ≤ ≤120,000
4. Hay una afluencia constante en el embalse de 2000 acre-ft / h durante todo el período de 3 días.
− + ∆
El programa inicial tiene descarga constante; Después, cada actualización o "paso" en los cálculos de gradiente se llevó a cabo introduciendo los , y en un terminal de ordenador que recalculó entonces todos los valores y flujos del período y, etc. Los resultados de la ejecución de este programa se muestran en la Figura 7.10. PROGRAMA INICIAL (DESCARGA CONSTANTE) J 1 2 3 4 5 6
Ps PH GAMMA VOLUMEN DERSCARGA 752.20 447.80 2.40807 73333.3 2555.555 1052.20 447.80 2.63020 86666.7 2555.555 652.20 447.80 2.33402 80000.0 2555.555 1352.20 447.80 2.85233 73333.4 2555.555 502.20 447.80 2.22296 66666.7 2555.555 852.20 447.80 2.48211 60000.1 2555.555 COSTO TOTAL DE FUNCIONAMIENTO DEL PROGRAMA ANTERIOR = 719723.50 R
∆Q
INGRESAR JMAX, JMIN, 4,5,1000 J Ps PH GAMMA VOLUMEN DERSCARGA 1 752.20 447.80 2.40807 73333.3 2555.555 2 1052.20 447.80 2.63020 86666.7 2555.555 3 652.20 447.80 2.33402 80000.0 2555.555 4 1150.99 649.01 2.70335 61333.4 3555.555 5 703.41 246.59 2.37194 66666.7 1555.555 6 852.20 447.80 2.48211 60000.1 2555.555 COSTO TOTAL DE FUNCIONAMIENTO DEL PROGRAMA ANTERIOR = 713960.75 R
19
∆Q
INGRESAR JMAX, JMIN, 4,3,400 J Ps PH GAMMA VOLUMEN DERSCARGA 1 752.20 447.80 2.40807 73333.3 2555.555 2 1052.20 447.80 2.63020 86666.7 2555.555 3 732.69 367.31 2.39362 84800.0 2155.555 4 1070.51 729.49 2.64376 61333.4 3955.555 5 703.41 246.59 2.37194 66666.7 1555.555 6 852.20 447.80 2.48211 60000.1 2555.555 COSTO TOTAL DE FUNCIONAMIENTO DEL PROGRAMA ANTERIOR = 712474.00 R
∆Q
INGRESAR JMAX, JMIN, 4,5,100 J Ps PH GAMMA VOLUMEN DERSCARGA 1 752.20 447.80 2.40807 73333.3 2555.555 2 1052.20 447.80 2.63020 86666.7 2555.555 3 732.69 367.31 2.39362 84800.0 2155.555 4 1050.39 749.61 2.62886 60133.4 4055.555 5 723.53 226.47 2.38684 66666.7 1455.555 6 852.20 447.80 2.48211 60000.1 2555.555 COSTO TOTAL DE FUNCIONAMIENTO DEL PROGRAMA ANTERIOR = 712165.75 R
∆Q
INGRESAR JMAX, JMIN, 2,5,10 J Ps PH GAMMA VOLUMEN DERSCARGA 1 752.20 447.80 2.40807 73333.3 2555.555 2 1052.19 449.81 2.62871 86546.7 2565.555 3 732.69 367.31 2.39362 84680.0 2155.555 4 1050.39 749.61 2.62886 60133.4 4055.555 5 725.54 224.46 2.38833 66666.7 1445.555 6 852.20 447.80 2.48211 60000.1 2555.555 COSTO TOTAL DE FUNCIONAMIENTO DEL PROGRAMA ANTERIOR = 712136.75 R
∆Q
INGRESAR JMAX, JMIN, 4,5,1.111 J Ps PH GAMMA VOLUMEN DERSCARGA 1 752.20 447.80 2.40807 73333.3 2555.555 2 1052.19 449.81 2.62871 86546.7 2565.555 3 732.69 367.31 2.39362 84680.0 2155.555 4 1050.17 749.83 2.62870 60000.0 4056.666 5 725.77 224.23 2.38849 66666.7 1444.444 6 852.20 447.80 2.48211 60000.0 2555.555 COSTO TOTAL DE FUNCIONAMIENTO DEL PROGRAMA ANTERIOR = 712133.50 R FIGURA 7.10 Impresión de la computadora para el Ejemplo 7C (Continúa en la siguiente página)
20
∆Q
INGRESAR JMAX, JMIN, 2, 3,800 J Ps PH GAMMA VOLUMEN DERSCARGA 1 752.20 447.80 2.40807 73333.3 2555.555 2 889.22 610.78 2.50953 76946.7 3365.555 3 893.65 206.35 2.51280 84680.0 1355.555 4 1050.17 749.83 2.62870 60000.0 4056.666 5 725.77 224.23 2.38849 66666.7 1444.444 6 852.20 447.80 2.48211 60000.0 2555.555 COSTO TOTAL DE FUNCIONAMIENTO DEL PROGRAMA ANTERIOR = 711020.75 R
∆Q
INGRESAR JMAX, JMIN, 4,1,750 J Ps PH GAMMA VOLUMEN DERSCARGA 1 903.11 296.89 2.51982 102333.3 1805.555 2 889.22 610.78 2.50953 76946.7 3365.555 3 893.65 206.35 2.51280 84680.0 1355.555 4 899.26 900.74 2.51696 60000.0 4806.665 5 725.77 224.23 2.38849 66666.7 1444.444 6 852.20 447.80 2.48211 60000.1 2555.555 COSTO TOTAL DE FUNCIONAMIENTO DEL PROGRAMA ANTERIOR = 710040.75 R
∆Q
INGRESAR JMAX, JMIN, 6,5,400 J Ps PH GAMMA VOLUMEN DERSCARGA 1 903.11 296.89 2.51982 102333.3 1805.555 2 889.22 610.78 2.50953 76946.7 3365.555 3 893.65 206.35 2.51280 84680.0 1355.555 4 899.26 900.74 2.51696 60000.0 4806.665 5 806.25 143.75 2.44809 71466.7 1444.444 6 771.72 528.28 2.43353 60000.1 2955.555 COSTO TOTAL DE FUNCIONAMIENTO DEL PROGRAMA ANTERIOR = 709877.38 R FIGURA 7.10 (Continuación) Tenga en cuenta que la columna etiquetada VOLUMEN da el volumen del depósito al final de cada período de 12 horas. Obsérvese que después de la quinta etapa, el programa de volumen alcanza su límite inferior al final del periodo 4. Los pasos subsiguientes requieren una elección de y de {1,2, 3, y 4} o de {5, 6}. ( , son MW, gamma es P / acre-ft, volumen es en acreft, descarga es en acre-ft / h).
− +
Observe que el horario "óptimo" está indudablemente localizado entre las dos últimas iteraciones. Si tuviéramos que liberar menos agua en cualquiera de los cuatro primeros intervalos y más durante 5 o 6, el costo del sistema térmico aumentaría. Podemos teóricamente reducir nuestros costos operativos unas pocas fracciones de R nivelando los 11 valores en cada uno de los dos subintervalos, {1, 2, 3, 4} y {5, 6}, pero el esfuerzo probablemente no valga la pena.
21
7.6 UNIDADES HIDRAULICAS EN SERIE (HIDRÁULICAMENTE ACOPLADAS) Consideremos ahora un sistema hidráulicamente acoplado que consta de tres depósitos en serie (véase la figura 7.1 1). La descarga de cualquier depósito aguas arriba se supone
FIGURA 7.11 Plantas hidroeléctricas hidráulicamente acopladas Para fluir directamente en la planta de aguas abajo sucesiva sin desfase temporal. Las ecuaciones de continuidad hidráulica son:
Dónde:
El objetivo es minimizar:
− ( ) − ( ) − ( ) ℎé ú ℎ ó = () 7.30 0
Sujeto a las siguientes limitaciones:
22
Y
− ( ) 0 − ( ) 0 − ( ) 0 1 . . . ℒ =()( ) − ( ) − ( ) − ( )
7.31
Todas las ecuaciones establecidas deben aplicar para La función Lagrange aparecería entonces como:
Tenga en cuenta que podríamos haber incluido más restricciones para cuidar los límites de volumen del yacimiento, los límites de volumen del punto final y demás, lo que habría requerido el uso de las condiciones de Kuhn-Tucker cuando se alcanzaron los límites. La programación hidráulica con múltiples plantas acopladas es una tarea formidable. Se pueden usar técnicas de iteración Lambda-gamma o técnicas de gradiente; En cualquier caso, la convergencia a la solución óptima puede ser lenta. Por estas razones, la programación dinámica para estos sistemas suele realizarse con programación dinámica (véase la Sección 7.8) o programación lineal (véase la Sección 7.9).
23
7.7 HIDROPLANTAS DE BOMBEO DE ALMACENAMIENTO Las hidroplantas de bombeo de almacenamiento están diseñados para ahorrar costos de combustible, al servir el pico de carga (Una alta carga de combustible) con energía hidroeléctrica y luego bombeando el agua de nuevo en el depósito en el periodo de carga ligera (una carga de coste más baja). Esta planta puede implicar bombas y turbinas separadas o, más recientemente, bomba reversibles turbinas Su funcionamiento se ilustra mediante los dos gráficos de la figura 7.12
FIG 7.12 Característica de entrada-salida térmica y ciclo de carga diario típico. El primero es la característica de entrada-salida del sistema térmico compuesto y la segunda es el ciclo de carga. La planta de bombeo-almacenamiento es operada hasta que el costo de bombeo añadido excedel los ahorros en costes térmicos debido a las operaciones de ahorro máximo.Figura 7.12 Ilustra la operación en un ciclo diario. Si
= generación, MWh
Para el mismo volumen de agua
= carga de bombeo, MWh
Entonces la eficiencia del ciclo es
n es tipicamente 0.67
Los depósitos de almacenamiento tienen una capacidad de almacenamiento limitada y 8 o I0 h de funcionamiento continuo como generador. Las plantas de bombeo pueden ser operadas en un ciclo diario o semanal. Cuando se opera en un ciclo semanal, las plantas de bombeo de almacenamiento comenzarán la semana (digamos un lunes por la mañana en los Estados Unidos Estados) con un depósito completo. La planta se programará a lo largo de un período semanal para actuar como generador durante las horas de alta carga y para rellenar el depósito
parcialmente o completamente durante los períodos de menor actividad.
24
Frecuentemente, los arreglos especiales de interconexión pueden facilitar las operaciones de bombeo si se toman medidas para comprar energía de bajo costo y fuera de pico. En algunos sistemas, el operador del sistema necesitará una recarga diaria completa del depósito cuando exista alguna preocupación sobre la disponibilidad de reservas de capacidad. En esos casos, la economía es secundaria a la confiabilidad.
7.7.1 HIDRO-PROGRAMACIÓN DE ALMACENAMIENTO BOMBEADO CON UNA ITERACIÓN
Asumir: 1. Hidro-operación constante en punta. 2. Unidad de vapor equivalente con curva de entrada-salida convexa. 3. Un horario de funcionamiento de 24 horas, cada intervalo de tiempo es igual a 1 h. 4. En cualquier intervalo, la planta está bombeando o generando o inactiva (inactiva será considerado como un caso limitante de bombeo o generación). 5. Se especifican los volúmenes de los depósitos de almacenamiento inicial y final. 6. El bombeo se puede hacer continuamente en el rango de capacidad de la bomba. 7. La bomba y las calificaciones de generación son las mismas. 8. Hay una eficiencia de ciclo constante, q. El problema se establece ignorando las restricciones de volumen del reservorio para demostrar que el mismo tipo de ecuaciones pueden resultar como las que surgieron en el caso de una hidro convencional. La figura 7.13 muestra los caudales de agua y el sistema eléctrico equivalente.
FIG. 7.13 Flujos hidráulicos de bombeo-almacenamiento y flujos del sistema eléctrico. En algún, j,
= Entrada (hectárea-ft/h) = volumen al final del intervalo (hectárea-ft) = descarga si se genera (hectárea-ft/h)
o
= tasa de bombeo si se bombea (Hectárea-ft / h)
Los intervalos durante el día se clasifican en dos conjuntos:
25
{K} = intervalos de generación {I} = intervalos de bombeo Las restricciones del reservorio deben ser monitoreadas en el procedimiento computacional. Los volúmenes inicial y final son
El problema es minimizar la suma de los costos por hora para la generación de vapor durante el día mientras observa las restricciones. Este costo total del combustible por un día es (Tenga en cuenta que hemos dejado nj aquí ya que nj = 1 h):
=
Consideramos los dos conjuntos de intervalos de tiempo: 1. (k): Intervalos de generación: Las limitaciones eléctricas y hidráulicas son
é 0 − 0 ( é ) − é 0 − 0 ( é ) − 7. 3 4 {} {}
Estos dan lugar a una función de Lagrange durante una hora de generación (Intervalo k) de (7.32)
2. {i): Intervalos de bombeo: Similarmente, para un intervalo de bombeo típico, i, (7.33)
Por lo tanto, la función Lagrange total es
Donde se han añadido las restricciones de punto final en el almacenamiento.
En esta formulación, las horas en las que no se produce ninguna actividad hidráulica bombeada pueden considerarse intervalos de bombeo (o generación) con
Para encontrar el mínimo de cero.
∑
0
, establecemos las primeras derivadas parciales de E a
(k): Intervalos de generación:
0 1 é 26
(7.35)
0 1 é {i): Intervalos de bombeo:
Para el
0 1 é 0 1 é
(7.36)
, podemos considerar cualquier intervalo de todo el día -por ejemplo, el quinto
intervalo, que no es la primera o 24° hora.
Y para l=0 y =24
0 − 0 0 7.37 λ
De la ecuación 7.37, puede verse que es una constante. Por lo tanto, es posible resolver el problema de programación de almacenamiento bombeado mediante una iteración sobre el intervalo de tiempo elegido. Es necesario monitorear los cálculos para prevenir una violación de las restricciones del reservorio, o bien incorporarlas en la formulación. También es posible establecer el problema de programar el hidro plantas de bombeado de almacenado en una forma que sea muy similar a la técnica del gradiente usado para programar hidro plantas convencionales.
7.7.2 PROGRAMACIÓN DE ALMACENAMIENTO EN BOMBEO MEDIANTE UN MÉTODO DE GRADIENTE Las designaciones de intervalos y el sistema eléctrico equivalente son los mismos que los mostrado anteriormente. Esta vez, las pérdidas serán despreciadas. Tome un período de 24 horas y comience el horario sin actividad de bombeo-almacenamiento inicialmente. Asumir que el sistema de vapor se opera cada hora tal que
1,2,3,…,24
Es decir, la única fuente de planta de vapor equivalente se realiza generando un esquema económico para el rango de carga cubierto por el ciclo de carga diaria.
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ λ ∆ 7.38
A continuación, suponga que la planta de bombeo-almacenamiento genera una pequeña cantidad de energía, , en el período pico k. Estos cambios se muestran en la figura 7.14. El cambio en el costo de la planta de vapor es
27
Que es el ahorro debido a la generación de
∆
FIG. 7.14 Aumento incremental de la generación hidroeléctrica en la hora k. A continuación, asumimos que la planta comenzará el día con un volumen de depósito determinado y queremos terminar con el mismo volumen. El volumen puede medirse en términos de MWh de generación de la planta. El ciclo operativo global tiene una eficiencia, n. Por ejemplo, si n = 2/3; Se requieren 3 MWh de bombeo para reemplazar 2 MWh de uso de agua de generación. Por lo tanto, para reemplazar el agua utilizada en la generación de la potencia
∆
, tenemos que bombear una cantidad
∆
.
Para ello, busque el intervalo de costo más bajo (= carga más baja), i, del día durante el cual realizar el bombeo: Esto cambia el costo del sistema de vapor en una cantidad
∆ ∆ ∆ λ ∆ 7.39 ∆ ∆ ∆ ∆ λ λ 7.40
El cambio de costo total durante el día es entonces
Por lo tanto, la decisión de generar en k y reemplazar el agua en i es económica si negativa (una disminución en el costo); Esto es cierto si
λ >
∆
es
Hay consideraciones prácticas que deben observarse, como asegurarse de que los poderes de generación y bombeo requeridos sean menores o igual que lo bombeado o capacidad de generación en cualquier intervalo. Todo el ciclo puede repetirse hasta que: 1. Ya no es posible encontrar periodos k e i tales que
λ
2. Se han alcanzado las limitaciones máximas o mínimas de almacenamiento Al implementar este método, puede ser necesario también hacer el bombeo en más de un intervalo para evitar que los requisitos de energía sean mayores que la clasificación de la unidad. Esto puede hacerse; Entonces el criterio sería
λ > λ λ 28
La figura 7.15 muestra la manera en la que se podría hacer un solo paso de generación de la bomba. En esta figura, la capacidad máxima se toma como 1500 MW, donde la unidad de bombeo-almacenamiento está generando o bombeando. Estos procedimientos suponen que el compromiso de las unidades no cambia como resultado del funcionamiento de la hidro planta bombeado-almacenado. No se presume que las características equivalentes de la planta de vapor sean idénticas en las 2 h porque las mismas técnicas pueden ser utilizadas cuando diferentes características térmicas están presentes en horas diferentes. También se pueden considerar ciclos más largos. Por ejemplo, usted podría comenzar un horario por una semana y quizás encontrar que usted estaba utilizando el agua en los picos de la semana y llenar el depósito los fines de semana. En el caso en que se haya alcanzado una restricción de reserva, se dividiría la semana en dos partes.
Fig 7.15 Un paso en la iteración de gradiente para una planta de bombeo de almacenamiento. La eficiencia del ciclo es de dos tercios. El almacenamiento se expresa en MWh equivalente de generación. Y ver si podría aumentar el ahorro global mediante el aumento del uso de la planta. Otra posibilidad puede ser programar cada día de una semana en un ciclo diario. También se podrían planificar plantas de almacenamiento bombeadas múltiples y desacopladas de esta manera. Los horarios más razonables se desarrollarán ejecutando las plantas a través de las rutinas de programación en paralelo. (Programe un poco en la planta 1, luego cambie a la planta 2, etc.) De esta manera, Las plantas compartirán todas en el pico de ahorro. Las plantas de bombeo acumuladas hidráulicamente y / o las plantas de bombeo combinadas con hidro plantas convencionales pueden manejarse de forma similar.
29
EJEMPLO 7D Una planta de bombeo-almacenamiento debe funcionar para minimizar el costo de operación de las unidades de vapor a las que está conectado. La planta de bombeo tiene siguientes características.
0≤ ≤ 300 2002 ℎ ℎ 300≤ ≤ 0
Generando: q positivo al generar,
es positivo y
Bombeo: q negativo al bombear,
es negativo y
Restricción de operación: La hidro planta bombeado sólo podrá operar a -300 MW cuando se bombea. Eficiencia del ciclo q = 0,6667 [La eficiencia ya ha sido incorporada en las ecuaciones q (PH)]. El sistema de vapor equivalente tiene la curva de coste
3877.53.9795 0.00204 ℎ 200≤ ≤ 2500
Encuentre el programa óptimo de generación de la bomba utilizando el método del gradiente para el siguiente programa de carga y la restricción del depósito. Horario de carga (cada período es de 4 h de duración) Periodo Carga (MW) 1 1600 2 1800 3 1600 4 500 5 500 6 500 El embalse comienza en 8000 hectáreas-ft y debe estar en 8000 hectáreas-ft al final del sexto período. Programa Inicial Periodo 1 2 3 4 5 6
Carga (MW) 1600 1800 1600 500 500 500
1600 10.5 1800 11.3 1600 10.5 500 6.02 500 6.02 500 6.02
Hidro bombeo/Generación (+=gen ,-=bombeo) 0 0 0 0 0 0
Volumen del reservorio al final del periodo
8000 8000 8000 8000 8000 8000
Por lo tanto, pagará para generar tanto como sea posible durante el segundo período mientras la bomba pueda restaurar los hectáreas-ft equivalentes de agua durante el cuarto período. Por lo tanto, el primer ajuste de programación se verá como el siguiente.
30
λ
Hidro bombeo/Generación
Periodo
Carga (MW)
1
1600
1600
10.5
0
8000
2
1800
1800
11.3
+200
5600
3
1600
1600
10.5
0
5600
4
500
800
7.24
-300
8000
5
500
500
6.02
0
8000
6
500
500
6.02
0
8000
(+=gen ,-=bombeo)
Volumen del reservorio al final del periodo
A continuación, podemos optar por generar otros 200MW de la hidroeléctrica durante el primer período y restaurar el embalse durante el quinto período.
λ
Hidro bombeo/Generación
Periodo
Carga (MW)
1
1600
1400
9.69
+200
5600
2
1800
1600
10.5
+200
3200
3
1600
1600
10.5
0
3200
4
500
800
7.24
-300
5600
5
500
800
7.24
-300
8000
6
500
500
6.02
0
8000
(+=gen ,-=bombeo)
Volumen del reservorio al final del periodo
Finalmente, también podemos generar en el tercer período y reemplazar el agua en el sexto período.
λ
Hidro bombeo/Generación
Periodo
Carga (MW)
1
1600
1400
9.69
+200
5600
2
1800
1600
10.5
+200
3200
3
1600
1600
9.69
+200
800
4
500
800
7.24
-300
3200
5
500
800
7.24
-300
5600
6
500
500
7.24
-300
8000
(+=gen ,-=bombeo)
31
Volumen del reservorio al final del periodo
Se pueden lograr ahorros adicionales al "aplanar" la generación de vapor primeros tres períodos. Tenga en cuenta que los costos para los tres primeros períodos como se muestra en la tabla anterior sería: Periodo
λ
Hidro bombeo/Generación (+=gen ,-=bombeo)
1
1400
53788.80
9.69
+200
2
1600
61868.40
10.5
+200
3
1400
53788.80
9.69
+200
4,5,6
800
7.24
-300
100400. 4 0 269846.40
Si ejecutamos la planta hidroeléctrica a plena potencia durante el pico (período 2) y luego reducimos la cantidad generada durante los períodos 1 y 3, lograremos un ahorro Periodo
λ
Hidro bombeo/Generación (+=gen ,-=bombeo)
1
1450
55147.50
9.90
+150
2
1500
57141.00
10.10
+300
3
1450
55147.50
9.90
+150
7.24
-300
4,5,6
100400. 4 0 269846.40
La programación final del reservorio sería: Periodo Carga (MW) 1
6000
2
2800
3
800
4
3200
5
5600
6
8000
32
7.8 SOLUCIÓN DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA AL PROBLEMA HIDROTÉRMICO DE PROGRAMACIÓN La programación dinámica puede aplicarse a la solución del problema de programación hidro térmica. Los sistemas de acoplamiento hidráulico multiplicadores presentan dificultades computacionales que dificultan el uso de este tipo de sistema para ilustrar la aplicación con una única hidro planta operada en conjunción con un sistema térmico. La Figura 7.16 muestra una única planta de vapor equivalente. , y una hidroplanta con almacenamiento, , sirviendo una sola serie de cargas, , intervalos de tiempo se indican por j, donde j va entre 1 e .
Donde:
á r Ingreso neto durante el período j V Volumen de almacenamiento al final del período j q Caudal a través de la turbina durante el período j PH Potencia de salida durante el período j s Tasa de derrames durante el período j P Salida de la planta de vapor j P Nivel de carga F Tasa de costo de combustible para el período j ab cR/h
Se dan ambos volúmenes de almacenamiento inicial y final, and , así como las cargas de período. Se supone que la planta de vapor está encendida durante todo el período. Su característica de entrada-salida es:
(7.42)
La tasa de uso de agua característica de la central hidroeléctrica es:
ℎ,/ℎ >0
(7.43)
0 0
Y
FIG. 7.16 Modelo del sistema hidro térmico utilizado en la ilustración de programación dinámica.
Los coeficientes a hacia h son constantes. Tomaremos las unidades del caudal de agua como acre-ft/h cada intervalo, , es horas de largo, el volumen en el almacenaje cambia como:
− 0
No se permitirá derramar agua (i.ie, todo ) Si y denotan dos estados de volumen diferentes, y
33
(7.44)
−
Y entonces la velocidad de flujo a través de la unidad hidráulica durante el intervalo j es:
á
Donde debe ser no negativo y está limitado a algún caudal máximo, , que corresponde a la potencia máxima de la unidad hidroeléctrica. El problema de la programación implica encontrar el costo mínimo de la trayectoria (i.e., el volumen en cada etapa). Como se indica en Figura 7.17, existen numerosas trayectorias factibles. El algoritmo DP es un poco simple. Donde:
{} í {} í í ó ℎ ó , :, ó é í í . 00 {} 1,1:, El algoritmo DP en adelante es entonces:
Y
(7.45)
Debemos recibir las cargas y las entradas naturales. La tasa de descarga a través de la unidad hidráulica está, por supuesto, fijada por los niveles de almacenamiento inicial y final y esto, a su vez, establece los valores de y . El cálculo del coste de producción térmico sigue directamente. Puede haber estados de volumen en el conjunto que son inalcanzables de algunos de los estados de volumen inicial debido a los límites de operación en las hidro plantas. Hay muchas variaciones en las limitaciones hidráulicas que pueden ser incorporadas en el cálculo del DP. Por ejemplo, las velocidades de descarga pueden fijarse durante ciertos intervalos para permitir que la escalera de pez opere o para proporcionar agua para el riego.
FIG. 7.17
Trayectorias para la operación de la hidro planta.
34
El uso de los niveles de volumen como variables de estado restringe el número de niveles de potencia hidroeléctrica que se consideran en cada etapa, ya que la velocidad de descarga fija el valor de potencia. Si se considera una planta de cabeza variable, complica el cálculo del nivel de potencia, ya que se debe utilizar un cabezal promedio para establecer el valor de . Esto es relativamente fácil de manejar.
EJEMPLO 7E Esto es, tal vez, mejor utilizar un ejemplo numérico simple que tratar de discutir la aplicación DP en general. Consideremos el caso de dos plantas que acabamos de describir con las características de la planta de vapor como se muestra en la Figura 7.18 con , para en MW y . La unidad hidráulica es una planta de cabeza constante, mostrada en la Figura 7.19, con:
7004. 8 200≤ ≤1200 26010 >0, 0 0 0≤ ≤200
/2000,/ℎ Donde
es en MW, y:
La velocidad de descarga está en acre-ft/h. No hay derrames, y tanto el volumen inicial y final son 10,000 acre-ft/h.
FIG. 7.18 Función de costo incremental de la planta de vapor.
FIG. 7.19 Hidro planta versus función
Los límites de volumen de almacenamiento son de 6,000 y 18,000. La entrada natural es de 1000 acre-ft/h.
4.0ℎ
El problema de programación a ser examinado es por un día de 24h con períodos individuales tomados por 4h cada uno . Las cargas y entradas naturales al estanque de almacenamiento son:
35
Procedimiento Si se tratara de un problema de programación real, podríamos iniciar la búsqueda utilizando una cuadrícula gruesa tanto en el intervalo de tiempo como en los estados de volumen. Esto permitiría el refinamiento futuro de la búsqueda de la trayectoria óptima después de que una búsqueda en bruto hubiera establecido el vecindario general. Pueden usarse entonces pasos de rejilla más finos que abarquen el rango de los pasos gruesos alrededor de la trayectoria óptima inicial para establecer un camino mejor. El método funcionará bien para problemas con funciones convexas (cóncavas). Par este ejemplo, limitaremos nuestros esfuerzos a los pasos de tiempo de 4h y los pasos de volumen de almacenamiento que son 2000 acre-ft/h aparte. Durante cualquier período, la tasa de descarga a través de la hidro unidad es:
(−) 1000
(7.46)
La tasa de descarga debe ser no negativa y no mayor de 2260 acre-ft/h. Para este problema, podemos usar la ecuación que relaciona , la producción de la planta, con la tasa de descarga, q. En un caso más general, podríamos tener que tratar con tablas que relacionan , q, y la cabeza hidráulica neta.
El procedimiento DP puede ilustrarse para los dos primeros intervalos como sigue. Tomamos los pasos de volumen de almacenami ento en 6,000, 8,000, 10,000, …, 18,000 acre-ft. El conjunto inicial de estados de volúmenes está limitado a 10,000 acre-ft. (En este ejemplo, lo volúmenes se expresarán en 1000 acre-ft para ahorrar espacio). La tabla aquí resume los cálculos para j=1; La gráfica de la Figura 7.20 muestra las trayectorias.
FIG. 7.20 Trayectorias iniciales para ejemplo DP.
36
No es necesario calculas los datos para mayores estados de volumen, ya que es posible no hacer más que cerrar la unidad hacia abajo y permitir que la entrada natural para aumentar la cantidad de agua almacenada.
La tabulación para el segundo y sucesivos intervalos es más compleja ya que hay un número de estados de volumen inicial a considerar. Algunos se muestran en la siguiente tabla y se ilustran en la Figura 7.21.
FIG. 7.21 Segundo intervalo de las trayectorias para ejemplo DP.
37
Finalmente, en el último período, las siguientes combinaciones:
Son las únicas combinaciones viables ya que el volumen final se fija en 10 y la carga mínima para la central térmica es de 200 MW. La trayectoria de coste mínimo final para el volumen de almacenamiento se representa en la Figura 7.22. Esta trayectoria se determina a una cuadrícula bastante gruesa de 2000 acre-ft por pasos de 4h en el tiempo y podría recalcularse fácilmente con incrementos más finos.
7.8.1 EXTENSIÓN A OTROS CASOS El método DP es susceptible de aplicación en situaciones más complejas. Los pasos de tiempo más largos hacen que sea útil calcular las curvas de las reglas estacionales, el plan de almacenamiento a largo plazo para un sistema de reservorios. Los casos de cabeza variable pueden ser tratados. En la Figura 7.23 se muestra un esbozo del tipo de características encontradas en las plantas con cabeza variable. En este caso, la variación en la producción máxima de la planta puede ser tan importante como la variación en la tasa de uso de agua como la cabeza neta varía.
38
FIG. 7.22 Trayectoria final para el ejemplo de programación hidro térmica.
,̅ ̅ ℎá. Planta de cabeza variable
FIG. 7.23 Característica de entrada-salida para planta hidroeléctrica de cabezal variable.
39
7.8.2 SOLUCIÓN DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA PARA PROBLEMAS DE HIDRO PLANTAS MÚLTIPLES Supongamos que se nos da el sistema hidro térmico mostrado en la Figura 7.24. Tenemos las siguientes ecuaciones hidráulicas cuando el derrame está limitado a cero
Y la ecuación eléctrica
()() 0
Hay varias maneras de configurar la solución DP para este programa. Tal vez lo más obvio sería volver a dejar que los volúmenes del yacimiento, y , sean las variables de estado y luego pasen por todas las combinaciones factibles.
FIG. 7.24 Sistema hidro térmico con plantas hidroeléctricas acopladas hidráulicamente.
FIG. 7.25 Combinaciones de trayectorias para plantas acopladas.
Esto es, deje que y estén divididos en N pasos de volumen … . Entonces el DP debe considerar pasos en cada intervalo de tiempo, como se muestra en la Figura 7.25. Este procedimiento podría ser una manera razonable de resolver el problema de programación de múltiples hidro plantas si el número de pasos de volumen se mantuviera bastante pequeño. Sin embargo, esto no es práctico cuando se desea un calendario realista. Consideremos, por ejemplo, un volumen de depósito que se divide en 10 pasos . Si hubiera solamente
10
40
una planta hidroeléctrica, habría 10 estados en cada período de tiempo, dando por resultado unos 100 caminos posibles para ser investigado en cada etapa. Si hubiera dos reservorios con 10 pasos de volumen, habría 100 estados en cada intervalo de tiempo con una posibilidad de 10,000 caminos para investigar en cada etapa. Este problema de dimensionalidad puede ser superado mediante el uso de un procedimiento conocido como aproximación sucesiva. En este procedimiento, un reservorio está programado manteniendo fijo el horario del otro, alternando de un reservorio al otro hasta que los horarios converjan. Los pasos dados en un método de aproximación sucesiva aparecen en la Figura 7.26.
FIG. 7.26 Solución de aproximación sucesiva.
41
7.9. PROGRAMACIÓN HIDRÁULICA USANDO PROGRAMACIÓN LINEAL Una de las maneras más útiles para resolver grandes problemas de programación hidráulica es a través del uso de la programación lineal. Los códigos modernos de LP y las computadoras hacen que esta sea una opción cada vez más útil. En esta sección, se tiene, un simple reservorio de una planta hidráulica que funciona junto con una sola planta de vapor, como se muestra en la Figura 7.5, será modelado usando programación lineal (ver referencia 16). En primer lugar, mostraremos cómo cada uno de los modelos necesarios se expresa como modelos lineales que pueden incorporarse en un LP. La notación es la siguiente:
ℎ
= La producción neta de la planta de vapor en el período j. = La producción neta de la planta hidroeléctrica en el período j. = La descarga de la turbina en el periodo j. = Derrame del reservorio en el periodo j. = El volumen del reservorio en el periodo de tiempo j. = La entrada neta al reservorio durante el período j. = Las pendientes de los segmentos de la función de coste de la planta de vapor lineal. = Las pendientes de la salida eléctrica de la hidro-turbina lineal por pieza a la función de descarga. = Las pendientes de los segmentos de la función de derrame lineal. = La carga eléctrica neta en el período de tiempo j.
La planta de vapor se modelará con una función de coste lineal por piezas, F ( ), como se muestra en la Figura 7.27. Los tres segmentos mostrados se representarán como , , donde cada potencia de segmento, , se mide desde el inicio de la segmento. Cada segmento tiene una pendiente designada sf1, sf2, sf3; Entonces, la función de coste es
FIG. 7.27 Función de coste lineal de una planta a vapor definida por segmentos. Y
Y finalmente
42
La descarga de hidroturbina frente a la función de salida eléctrica neta se denomina y también se modela como una curva lineal por piezas. La característica real es generalmente bastante no lineal, como se muestra por la línea punteada en la figura 7.28. Como se explica en la referencia 16, las plantas hidroeléctricas rara vez se accionan cerca del extremo inferior de esta curva, más bien son operados cerca de su máximo rendimiento o puntos de flujo de puerta completa. Utilizando la característica lineal por piezas que se muestra en la figura 7.28, la planta tenderá a ir a uno de estos dos puntos. En este modelo, la salida eléctrica neta se da como una suma linear:
El derrame del depósito es modelado como una función del volumen del depósito y se supone que el derrame es cero si el volumen de agua en el depósito es menor que un límite dado. Esto puede ser fácilmente modelado por la característica lineal a trozos en la Figura 7.29, donde el derrame está restringido a ser cero si el volumen de agua en el depósito es menor que el primer segmento de volumen donde
Y
Entonces
FIG 7.28. Característica de la hidroturbina.
43
FIG 7.29. Característica del derrame. El programa lineal de hidro-programación consiste entonces en lo siguiente; minimizar
Sujeto a
Dónde
Y
Tenga en cuenta que este simple problema de programación hidroeléctrica generará ocho restricciones para cada paso de tiempo: Dos limitaciones para la característica de la planta de vapor. Dos limitaciones para la característica de la hidroturbina. Dos limitaciones para la característica del derrame. Una limitación para la ecuación de continuidad de volumen. Una limitación para el balance de carga. Además, hay 15 variables para cada paso de tiempo. Si el programa lineal debía ejecutarse con períodos de tiempo de 1 h durante 1 semana, tendría que acomodar un modelo con 1344 restricciones y 2520 variables. Esto puede parecer bastante grande, pero está realmente dentro de la capacidad de códigos de programación lineal modernos. La referencia 16 informa sobre un modelo de hidro-programación que contiene unas 10.000 restricciones y 35.000 variables.
44
Cuando se modelan múltiples modelos de reservorio / planta conectados por múltiples ríos y canales, hay muchas más restricciones y variables adicionales necesarias. Sin embargo, el uso de la programación lineal es común y se puede confiar para dar soluciones excelentes. APÉNDICE Hidro-Programación con limitaciones de almacenamiento Este apéndice se extiende sobre la formulación de la ecuación de Lagrange del problema de despacho limitado al combustible en el Capítulo 6 y el problema de hidro disposición limitado al reservorio del Capítulo 7. La expansión incluye los límites de almacenamiento del generador y del depósito y proporciona una prueba de que el "Costo del combustible" o "Coste del agua" el multiplicador de Lagrange será constante a menos que se encuentren limitaciones de almacenamiento del yacimiento. Para comenzar, asumiremos que tenemos una unidad hidroeléctrica y una unidad de vapor equivalente que suministra carga como en la figura 7.5. Supongamos que el período de programación se divide en tres intervalos de tiempo iguales con carga, generación, entrada de reservorio y tal, constante dentro de cada período. En el Capítulo 6 (Sección 6.2, Ecuaciones 6.16.6) y Capítulo 7 (Sección 7.4, Ecuaciones 7.22-7.29) supusimos que el q total debía fijarse en , es decir (véase la Sección 7.4 para la definición de variables),
En el caso de un depósito de almacenamiento con un volumen inicial equivalente a fijar el volumen final en el depósito. Es decir,
, esta restricción es
Sustituyendo la ecuación 7A.2 en la Ec. 7A.3 y luego sustituyendo el resultado en la Ec. 7A.4, obtenemos
O
Por lo tanto, la fijación es equivalente a la fijación V3, el depósito final de almacenamiento. El problema de optimización se expresará como:
Minimizar el costo total de la planta de vapor:
45
Sujeto a restricciones de igualdad:
Y sujeto a restricciones de desigualdad:
Ahora podemos escribir una ecuación de Lagrange para resolver este problema:
Dónde
,,, ,,−, +, −,+,−,+ , ,
Son como se definen en la Sección 7.4. Son los multiplicadores de Lagrange.
Son límites en el almacenamiento del reservorio.
Son límites en la salida del generador en el sistema equivalente y en plantas hidro, respectivamente. Podemos establecer las condiciones para un óptimo usando las ecuaciones de Kuhn-Tucker como se muestra en el Apéndice 3A. El primer conjunto de condiciones son
46
El segundo y tercer conjunto de condiciones son sólo las restricciones originales de igualdad y desigualdad. El cuarto conjunto de condiciones es:
Si
suponemos
que
no
se
están alcanzando límites de generación, entonces son iguales a cero. La solución de las ecuaciones 7A.8, 7A.9
−,+,−, + 1,2,3 y 7A.10 es
Supongamos ahora que existe la siguiente solución de limitación de volumen:
> < − 0 + 0 <
Entonces por la Ec. 7A.11 y la Ec. 7A.12
Y
Entonces
Entonces claramente, de la Ec. 7A.19,
47
Así que
Y
Así que
Así, vemos que será constante en el tiempo a menos que se alcance un límite de volumen de almacenamiento. Además, tenga en cuenta que esto es cierto, independientemente de si los límites del generador son o no alcanzados.
PROBLEMAS 7.1 Dadas las siguientes características de plantas de vapor e hidroeléctricas: Planta de vapor:
2.0 0.002 /ℎ 100≤ ≤500 500.02 // 0≤ ≤500
Hidroeléctrica:
Carga:
Periodo de Tiempo 1400 – 0900 0900 – 1800 1800 – 2400
Asumir:
La entrada de agua para
350 700 350
00 0
también se puede suponer que es cero, es decir
Negligencia en las pérdidas. La central térmica permanece en línea durante 24 horas. Encontrar el horario óptimo de y durante el período de 24 horas que cumple con la restricción de que el agua total utilizada es de 1250 millones de pies cúbicos de agua; es decir
48
7.2 Suponga que la tasa de agua incremental en el problema 7.1 es constante a 60 ft3 / seg / MW y que la unidad de vapor no está necesariamente encendida todo el tiempo. Además, supongamos que el coste térmico es
Repita el problema 7.1 con la misma restricción de agua. 7.3 Método de gradiente para programación hidrotérmica Un sistema de generación térmica tiene una característica de costo de combustible compuesto que puede ser aproximada por
7004. 8 2000 , /ℎ 200≤ ≤1200
La carga del sistema también puede ser suministrada por una unidad hidráulica con las siguientes características:
Los niveles de carga del sistema en orden cronológico son los siguientes:
Periodo 1 2 3 4 5 6
600 1000 900 500 400 500
Cada período es de 4 h de largo. 7.3.1 Suponga que la unidad térmica está en línea todo el tiempo y encuentre el horario óptimo (los valores de y para cada período) de manera que la hidroplanta use 23500 acre-ft de agua. No hay otras limitaciones hidráulicas o límites de almacenamiento, y puede apagar la unidad hidráulica cuando sea de ayuda.
7.3.2 Ahora, aun suponiendo que la unidad térmica esté en línea en cada período, use un método de gradiente para encontrar el horario óptimo teniendo en cuenta las siguientes condiciones en la planta hidroeléctrica. a. Hay una entrada constante en el depósito de almacenamiento de 1000 acres-pie / h. b. Los límites del depósito del reservorio.
49
Y c. El embalse comienza el día con un nivel de 10, OOO acre-pies, y deseamos terminar el día con 10.500 acres-pie en almacenaje. 7.4 Programación hidrotérmica mediante programación dinámica Repita el Ejemplo 7E, excepto que la característica de la tasa de agua de la unidad hidroeléctrica es ahora una que refleja una cabeza variable. Esta característica también exhibe una capacidad máxima que está relacionada con la cabeza neta. Es decir,
Para
Dónde
̅
Para este problema, asumir tasas constantes durante un período para que
Donde
Los datos requeridos son
í. í
Unidad fósil: En línea todo el tiempo
Para
200≤ ≤1200 1000 /ℎ 6000≤≤18000 í 10000
Hidro-almacenamiento e ingreso:
50
Y
10000 í
Carga durante períodos de 4 h: J: Periodo 1 2 3 4 5 6
600 1000 900 500 400 500
Encuentre el horario óptimo con volúmenes de almacenamiento calculados por lo menos a los 500 acres-pies más cercanos. 7.5 Problema de programación de planta de almacenamiento bombeado Un sistema de generación térmica tiene una característica compuesta de combustible-coste como sigue:
Para
Además, cuenta con una planta de bombeo con las siguientes características: 1. Salida máxima como generador = 180 MW (la unidad puede generar entre 0 y 180 MW). 2. Carga de bombeo = 200 MW (la unidad sólo puede bombear a cargas de 100 o 200 MW). 3. La eficiencia del ciclo es del 70% (es decir, para cada 70MWh generados, se requieren 100 MWh de energía de bombeo). 4. La capacidad de almacenamiento del depósito es equivalente a 1600 MWh de generación. El nivel de carga del sistema en orden cronológico es el mismo que en el problema 7.3. a. Suponga que el depósito está lleno al principio del día y debe estar lleno al final del día. Programe la planta de bombeo para minimizar los costos del sistema térmico. b. Repita la solución a la parte a, suponiendo que la capacidad de almacenamiento del reservorio es desconocida y que debería estar al mismo nivel al final del día. ¿Qué tan grande debe ser para el costo mínimo de producción térmica? Nota: Al resolver estos problemas, puede suponer que la planta de almacenamiento por bombeo puede funcionar durante períodos de tiempo parciales. Es decir, no tiene que permanecer en una carga o carga de bombeo constante durante todo el periodo de carga de 4 horas.
51
7.6 La "Light Up Your Life Power Company" opera una unidad hidroeléctrica y cuatro unidades térmicas. El horario de conexión / desconexión de todas las unidades, así como la potencia MW de las unidades, se determinará para el programa de carga que se indica a continuación. Unidad Max Min N° (MW) (MW)
1 2 3 4
500 250 150 150
70 40 30 30
Índice de calor incremental (Btu/KWh) 9950 10200 11000 11000
Entrada de energía sin carga (MBtu/hr) 300 210 120 120
Puesta en marcha (MBtu) 800 380 110 110
Tiempo de espera min. (h) 4 4 4 4
Tiempo de inactividad Min. (h) 4 4 8 16
Datos de la central hidroeléctrica:
Dónde
Min de subida y bajada de la planta hidroeléctrica es de 1 h. Load data (each time period is 4 h:
Periodo de tiempo 1 2 3 4
600 800 700 1150
Las condiciones de partida son: las unidades 1 y 2 están funcionando y han estado en marcha durante 4 h, las unidades 3, 4, y la unidad hidráulica están abajo y han estado durante 16 h. Encuentre el horario de las cuatro unidades térmicas y la unidad hidráulica que minimiza el costo de producción térmica si las hidro-unidades comienzan con un depósito lleno y deben usar 24,000 acres de agua durante el período de 16 horas. 7.7 La "Lost Valley Paper Company" del norte de Maine opera una planta de papel muy grande e instalaciones adyacentes. Toda la energía suministrada a la fábrica de papel debe provenir de su propia planta hidroeléctrica y de un grupo de instalaciones de generación térmica que vamos a agrupar en una planta generadora equivalente. El funcionamiento de la instalación hidroeléctrica está estrechamente gobernado por el Departamento de Recursos Naturales de Maine.
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