Proporcionalidad Contenidos 1. Propor Proporció ción n numér numérica ica Razón y proporción 2. Proporcionalidad Proporcionalidad directa Razón de proporcionalid proporcionalidad ad Regla de tres directa Reducción a la unidad 3. Proporci Proporcional onalidad idad inve inversa rsa Constante de proporcionali proporcionalidad dad Regla de tres inversa Reducción a la unidad 4. Proporcionalidad Proporcionalidad compuesta Proporcionalidad Proporcionali dad compuesta 5. Reparto Repartos s prop proporci orcional onales es Directamente proporcionales nversamente proporcionales !. Porc Porcen enta ta"e "es s #anto por ciento de una cantidad #anto por ciento correspondiente a una proporción $. %ariacio %ariaciones nes porce porcentua ntuales les &umentos porcentuales Disminuciones porcentuales 'ncadenamientos de aumentos y disminuciones porcentuales
Objetivos
Distinguir entre magnitudes directa e inversamente proporcionales. Resolver distintas situaciones so(re proporcionalidad directa e inversa con dos o m)s magnitudes.
*acer repartos directa e inversamente proporcionales.
Calcular porcenta"es.
Calcular directamente aumentos y disminuciones porcentuales.
Resolver distintos e"ercicios so(re porcenta"es.
Algunas aplicaciones: ofertas de supermerc supermercados ados Continuam Continuamente ente vemos distintas distintas o+ertas o+ertas en supermercad supermercados os y comercios ,ue intentan atraer la atención del consumidor
lévese 3 y pague 2. a segunda unidad a mitad de precio. Cuatro por el precio de tres. 15/ de descuento en todos los productos.
'n esta unidad o(tendr)s los conocimien conocimientos tos necesarios necesarios para sa(er la ,ue m)s te interesa.
Recuerda 'n el curso anterior viste una introducción a la proporcionalidad y a los porcenta"es.
1. Pro Propor porció ción n num numéri érica ca 1.a. Razón proporción
ee el te0to de pantalla y completa-
Razón entre dos n!meros na Razón entre dos nmeros a y ( es """"""""""""""" entre a y (.
Razón entre a b # $$$
Proporción numérica 'n cual,uier proporción el producto de los es igual al de los medios.
a y d se llaman ( y c . 'n la esce escena na de la derec dereca a de la pant pantal alla la pued puedes es ver ver dive divers rsos os e"erc e"ercic icio ios s de razó razón n y proporcionalidad entre magnitudes. 6(serva cómo se resuelven y después practica realizando los siguientes e"ercicios. Cuando termines comprue(a el r esultado.
%&%RC'C'O( 1. 'n mi clase ay 14 cicas y 12 cicos. 7cu)l es la razón entre cicas y cicos8 79 entre cicos y cicas8
). n e,uipo a marcado !: goles y a enca"ado 44. 7Cu)l es la razón entre las dos cantidades8
*. Los datos de la tabla siguiente muestran la cantidad de lluvia registrada en dos ciudades A y B, en un año completo. Compara las razones del agua en enero y de todo el año. &;o
'nero
Ciudad &
11<<
13<
Ciudad =
32<
4<
+. Calcular el valor de “x” para que las cantidades de agua registradas en un año completo y en un mes en ambas ciudades sean proporcionales. &;o
'nero
Ciudad &
0
13<
Ciudad =
32<
4<
,. Calcular el valor de “x” para que las cantidades de agua registradas en un año completo y en un mes en ambas ciudades sean proporcionales. &;o
'nero
Ciudad &
11<<
0
Ciudad =
32<
4<
-. Calcular el valor de “x” para que las cantidades de agua registradas en un año completo y en un mes en ambas ciudades sean proporcionales. &;o
'nero
Ciudad &
11<<
13<
Ciudad =
0
4<
. Calcular el valor de “x” para que las cantidades de agua registradas en un año completo y en un mes en ambas ciudades sean proporcionales. &;o
'nero
Ciudad &
11<<
13<
Ciudad =
32<
0
). Proporcionalidad directa
).a. Razón de proporcionalidad ee con atención la e0plicación del te0to de la pantalla.
CO/0%(0A %(0A( C%(0'O/%(:
R'>P'>#&>
7Cuando decimos ,ue dos magnitudes son directamente proporcionales 8 Dadas dos magnitudes directamente proporcionales el cociente entre dos valores ,ue se corresponden es siempre constante. 7Cómo llamamos a esta cantidad8 'n la escena de la dereca de la pantalla puedes ver tres e"ercicios de proporcionalidad directa. 6(serva cómo se resuelven y después practica modi+icando las cantidades y compro(ando el resultado. Realiza varios e"ercicios. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
).b. Regla de tres directa a regla de tres es una +orma de resolver una actividad de proporcionalidad directa aprovecando la razón o constante de proporcionalidad para calcular el cuarto término. 'n la escena de la dereca de la pantalla puedes ver tres e"ercicios de proporcionalidad directa en cuya resolución se utiliza la regla de tres. 6(serva cómo se colocan los datos y se resuelve. ?odi+ica los valores y comprue(a su resolución. Realiza los siguientes e"ercicios sin el ordenador y después comprue(a el resultado. >i 2< @ilogramos de n coce a dado 3 >a(iendo ,ue las dos manzanas valen 23 euros. vueltas a un circuito en 5$ magnitudes son directamente 7Cu)nto costar)n 25 @ilos8 minutos. Calcula el tiempo proporcionales calcula el ,ue tardar) en recorrer el cuarto término. mismo circuito 2$ vueltas.
Regla de tres directa 12 magnitud )2 magnitud AB @ilos
Regla de tres directa 12 magnitud )2 magnitud
euros
$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$
AB vueltas
$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$
Regla de tres directa 12 magnitud )2 magnitud
minutos
)1* $$$$$$$$$$ +) 3+ $$$$$$$$$$ 4
Realiza varios e"ercicios. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
).c. Reducción a la unidad 'ste método consiste en calcular primero el valor de la segunda magnitud correspondiente a la unidad de la primera constante de proporcionalidad directa. 6(serva cómo se resuelven los e"ercicios de la escena de la dereca. Realiza los siguientes e"ercicios reduciendo primero a la unidad. Comprue(a el resultado en la escena de la pantalla. >i 2< @ilogramos de n coce a dado 12 >a(iendo ,ue las dos manzanas valen 23 euros. vueltas a un circuito en :4 magnitudes son directamente 7Cu)nto costar)n 25 @ilos8 minutos. Calcula el tiempo proporcionales calcula el ,ue tardar) en recorrer el cuarto término. mismo circuito 45 vueltas.
Regla de tres directa 12 magnitud )2 magnitud AB @ilos
Regla de tres directa 12 magnitud )2 magnitud
euros
AB vueltas
$$$$$$$$$$ 1 $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$
Pulsa en
Regla de tres directa 12 magnitud )2 magnitud
minutos
$$$$$$$$$$ 1 $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$
)1* $$$$$$$$$$ +) 1 $$$$$$$$$$ 3+ $$$$$$$$$$ 4
para acer unos e"ercicios aplicando el método de reducción a la unidad.
Realiza varios e"ercicios y comprue(a si los as eco (ien. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos. *a llegado el momento de compro(ar todo lo ,ue as aprendido. Realiza cada uno de los siguientes e"ercicios aplicando los dos métodos regla de tres directa y reducción a la unidad y comprue(a ,ue o(tienes el mismo resultado.
%&%RC'C'O( 5. n coce a dado !< vueltas a un circuito en 1<5 minutos. Calcula el tiempo ,ue tardar) en recorrer en el mismo circuito 4< vueltas. Regla de tres directa
Reducción a la unidad
3. >i 12 (olas de acero iguales tienen un peso de $2<< gr amos 7cu)nto pesar)n 5< (olas iguales a las anteriores8 Regla de tres directa
Reducción a la unidad
16. & cierta ora del dEa un palo de 15 metros de largo proyecta una som(ra de !< centEmetros. 7Cu)nto mide un )r(ol ,ue a la misma ora proyecta una som(ra de 24< metros8 Regla de tres directa
Reducción a la unidad
*. Proporcionalidad inversa
*.a. Constante de proporcionalidad ee con atención la e0plicación del te0to de la pantalla.
CO/0%(0A %(0A( C%(0'O/%(:
R'>P'>#&>
7Cuando decimos ,ue dos magnitudes son inversamente proporcionales 8 Dadas dos magnitudes inversamente el producto entre dos valores ,ue se corresponden es siempre constante. 7Cómo llamamos a esta cantidad8 'n la escena de la dereca de la pantalla puedes ver tres e"ercicios de proporcionalidad inversa. Comprue(a ,ue las magnitudes son inversamente proporcionales y o(serva cómo se resuelven. Practica modi+icando las cantidades y compro(ando el resultado.
Realiza varios e"ercicios y comprue(a si los as eco (ien. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
*.b. Regla de tres inversa ee con atención la in+ormación de este apartado. FE"ate cómo se colocan los datos y los c)lculos necesarios para allar el cuarto término.
n la escena de la derec!a de la pantalla, puedes ver tres e"ercicios de proporcionalidad inversa en cuya resoluci#n se utiliza la regla de tres inversa. $bserva c#mo se resuelven modi%icando varias veces los datos. &ealiza los siguientes e"ercicios sin el ordenador y despu's comprueba el resultado. 11 alumnos an pagado !2< euros cada uno para comprar un regalo a una compa;era 7cu)nto tendr) ,ue pagar cada uno si al +inal participan 21 alumnos8
n coce circulando a :$ @mG a tardado 13 oras en realizar un via"e. 7Cu)nto tiempo tardar) en el mismo trayecto a una velocidad de 1<< HmG8
>a(iendo ,ue las dos magnitudes son inversamente proporcionales calcula el cuarto término.
Regla de tres inversa 12 magnitud )2 magnitud
Regla de tres inversa 12 magnitud )2 magnitud
Regla de tres inversa 12 magnitud )2 magnitud
AB personas
euros
Hm G
$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$
oras
$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$
1- $$$$$$$$$$ +) )+ $$$$$$$$$$ 4
Realiza varios e"ercicios y comprue(a si los as eco (ien. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
*.c. Reducción a la unidad
6tro método para resolver actividades de proporcionalidad inversa consiste en calcular el valor de la segunda magnitud correspondiente a la unidad de la primera constante de proporcionalidad inversa y a partir de a,uE calcular el valor +inal de la segunda magnitud. 'n la escena puedes ver tres e"ercicios de proporcionalidad inversa en cuya resolución se utiliza la reducción a la unidad. 6(serva cómo se resuelven modi+icando varias veces los datos. Realiza los siguientes e"ercicios sin el ordenador y despu's comprueba el resultado. 15 alumnos an pagado 5!< euros cada uno para comprar un regalo a una compa;era 7cu)nto tendr) ,ue pagar cada uno si al +inal participan 11 alumnos8
n coce circulando a I4 @mG a tardado $ oras en realizar un via"e. 7Cu)nto tiempo tardar) en el mismo trayecto a una velocidad de :5 HmG8
>a(iendo ,ue las dos magnitudes son inversamente proporcionales calcula el cuarto término.
Regla de tres inversa 12 magnitud )2 magnitud
Regla de tres inversa 12 magnitud )2 magnitud
Regla de tres inversa 12 magnitud )2 magnitud
AB personas
$$$$$$$$$$ 1 $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$
euros
Hm G
$$$$$$$$$$ 1 $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$
oras
1- $$$$$$$$$$ +) 1 $$$$$$$$$$ )+ $$$$$$$$$$ 4
Realiza varios e"ercicios. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
*a llegado el momento de compro(ar todo lo ,ue as aprendido. Realiza cada uno de los siguientes e"ercicios aplicando los dos métodos.
%&%RC'C'O( 11. (n coc!e circulando a )* +m! !a tardado - !oras en realizar un via"e. /Cu0nto tiempo tardar0 en el mismo trayecto a una velocidad de 1* +m!2 Regla de tres inversa
Reducción a la unidad
1). 3 %otocopiadoras tardan 3 !oras en realizar un gran n4mero de copias, /cu0nto tiempo tardar5an 6 %otocopiadoras en realizar el mismo traba"o2 Regla de tres inversa
Reducción a la unidad
1*. Al repartir una cantidad de euros entre 7 personas cada una recibe - euros. /Cu0nto recibir5an si el reparto se !iciera entre 3 personas2 Regla de tres inversa
Reducción a la unidad
Cuando aca(es puedes pasar al siguiente apartado.
Pulsa
Para ir a la p)gina siguiente.
+. Proporcionalidad compuesta +.a. Proporcionalidad compuesta
ee con atención el te0to de la pantalla y completana actividad de proporcionalidad compuesta relaciona magnitudes ,ue pueden ser o proporcionales. Para resolver una actividad de proporcionalidad compuesta se ace de +orma ordenada con el procedimiento . 1. 'n primer lugar se de"a +i"a la magnitud y se relaciona la 1J con la 3J. 2. 'n segundo lugar se de"a +i"a la magnitud y se relaciona la 2J con la 3J. 'n la escena de la dereca de la pantalla puedes ver cuatro e"ercicios de proporcionalidad compuesta en cuya resolución se utiliza la reducción a la unidad. 6(serva cómo se resuelven pulsando para seguir las indicaciones. ?odi+icando varias veces los datos
&ealiza los siguientes e"ercicios sin el ordenador y despu's comprueba el resultado. Cinco motores iguales +uncionando 15 oras necesitan 1<<<< litros de agua para re+rigerarse. 7Cu)ntos litros de agua necesitar)n 3 motores +uncionando 12 oras
>eis gri+os llenan un depósito de 2< m 3 en 12 oras. 7Cu)nto tardar)n en llenar un depósito de 15 m3 cuatro gri+os iguales a los anteriores8
Relación de proporcionalidad entre ellasRelación de proporcionalidad entre ellas a 1J y la 3J magnitud son a 1J y la 3J magnitud son a 2J y la 3J magnitud son a 2J y la 3J magnitud son
12 magnitud motores
)2 magnitud oras
*2 magnitud litros
12 magnitud gri+os
)2 magnitud
metros c(icos
*2 magnitud oras
>iete o(reros tra(a"ando I oras diarias Con 21 @ilos de pienso 12 cone"os comen realizan un tra(a"o en 24 dEas. 7Cu)ntos dEas durante 1< dEas. 7Cu)ntos dEas tardar)n ! tardar)n en acer el tra(a"o ! o(reros cone"os en comerse 14 @ilos de pienso8 tra(a"ando : oras8 Relación de proporcionalidad entre ellasRelación de proporcionalidad entre ellas a 1J y la 3J magnitud son a 1J y la 3J magnitud son a 2J y la 3J magnitud son a 2J y la 3J magnitud son
12 magnitud
)2 magnitud
o(reros
oras
*2 magnitud dEas
12 magnitud
)2 magnitud
*2 magnitud
Hilos de pienso
cone"os
dEas
Realiza varios e"ercicios. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
,. Repartos proporcionales
,.a. Repartos directamente proporcionales >e va a repartir una cantidad en varias partes con unas condiciones determinadas. Cada una de las partes de(e reci(ir una cantidad directamente proporcional a unos valores iniciales. Decimos ,ue el reparto es directamente proporcional si a maor valor inicial de una parte le corresponde maor cantidad en el reparto.
scribe los pasos que !ay que seguir para resolver este tipo de problemas8
Paso 1: Paso ): Paso *: Paso +: Realiza los siguientes e"ercicios sin el ordenador y después comprue(a el resultado. Dos amigas "untan 2$< y 23< euros Por un reporta"e +otogr)+ico tres ,ue +otógra+os tenEan para comprar un pa,uete de pegatinas co(raron 145<< euros. Del reporta"e 15 de una serie de di(u"os animados. 'l pa,uete +otos eran del primer +otógra+o 21 del contiene 15< pegatinas. 7Cómo de(en segundo y 22 del tercero. 7Kué cantidad de repartErselas de +orma "usta8 euros le corresponde a cada uno8
Repartir 2$< caramelos entre cuatro Cinco concursantes se reparten !<5 ni;os de +orma directamente proporcional a las puntos segn el nmero de o("etos ,ue edades de cada uno de ellos ,ue son 5 ! $ y reco"an del +ondo de una piscina. 7Kué I a;os. cantidad de puntos o(tendr) cada uno si an recogido respectivamente 1< 11 14 : y 128
Realiza varios e"ercicios. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
,.b. Repartos inversamente proporcionales >e va a repartir una cantidad en varias partes con unas condiciones determinadas. Cada una de las partes de(e reci(ir una cantidad inversamente proporcional a unos valores iniciales. Decimos ,ue el reparto es inversamente proporcional si a mayor valor inicial de una parte le corresponde menor cantidad en el reparto. 'n la escena de la dereca puedes ver cuatro e"ercicios de repartos inversamente proporcionales. 6(serva cómo se resuelven pulsando para seguir las indicaciones.
scribe los pasos que !ay que seguir para resolver este tipo de problemas8
Paso 1: Paso ): Paso *: Paso +: Realiza los siguientes e"ercicios sin el ordenador y después comprue(a el resultado. os dos camareros de un (ar se reparten >egn un testamento una +ortuna de un (ote con 15< euros de propina de +orma 211<<< L se reparte entre tres personas en inversamente proporcional al nmero de dEas partes inversamente proporcionales al sueldo ,ue an +altado ,ue a sido respectivamente de cada una ,ue es 11<< 15<< y 1:<< L. 4 y ! dEas. 7Cu)nto corresponde a cada uno8 7Cu)nto corresponde a cada una8
Repartir 2$< caramelos entre cuatro ni;os Cinco concursantes se reparten !5: puntos de +orma inversamente proporcional a las de +orma inversamente proporcional al edades de cada uno de ellos ,ue son 4 5 : y tiempo ,ue tarden en realizar una prue(a. 1< a;os. 7Cu)ntos puntos o(tendr) cada uno si an tardado- 1< 11 14 : y 12 minutos8
Realiza varios e"ercicios. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
-. Porcentajes
-.a. 0anto por ciento de una cantidad ee con atención las e0plicaciones del te0to de la pantalla y escri(e las operaciones ,ue de(er)s realizar para calcular el r/ de una cantidad CPara calcular el r/ de una cantidad C se C por r y se por 1<<.
r7 de C
r C
166
Resuelve los siguientes e"ercicios aplicando el método ,ue pre+ieras y comprue(a el resultado en la escena correspondiente. a capacidad de un pantano es de 34 *m3. 7Cu)ntos litros de agua tiene si est) lleno en un 22/8
'l censo electoral de una po(lación es de 124<<< personas. 'n unas elecciones un partido polEtico a o(tenido el 32/ de los votos. 7Cu)ntas personas lo an votado8
Calcular el 1225 / de 5<<.
Realiza varios e"ercicios y comprue(a si los as eco (ien. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
-.b. 0anto por ciento correspondiente a una proporción
ee con atención las e0plicaciones del te0to de la pantalla y escri(e las operaciones ,ue de(er)s realizar para calcular el / ,ue representa una cantidad P de un total CPara calcular el / ,ue representa una cantidad P de un total C se P por y se por 1<<.
P C
1667
Resuelve los siguientes e"ercicios aplicando el método ,ue pre+ieras y comprue(a el resultado en la escena correspondiente.
'n mi clase ay 2$ estudiantes. >i ay 15 alumnas 7,ué porcenta"e del total representan las alumnas y los alumnos8
na m),uina +a(rica al dEa 3$5 piezas de las ,ue 21 presentan algn de+ecto y se desecan. 7Kué porcenta"e de piezas de+ectuosas +a(rica la m),uina8
7Kué porcenta"e representa 4325 de !45$8
Realiza varios e"ercicios. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos. *a llegado el momento de compro(ar todo lo ,ue as aprendido. Realiza cada uno de los siguientes e"ercicios.
%&%RC'C'O( 1+. a Calcular el 32 / de 125.
( a Calcular el $: / de 4I!<.
1,. a 7Kué porcenta"e representa 3I! de un total de !<<8 ( 7Kué porcenta"e representa 35$! de un total de 4!228
1-. a 'l :3 / de una cantidad es I13<. Calcular dica cantidad. ( 'l 12 / de una cantidad es :4. Calcular dica cantidad.
1. 'l 34/ de las personas asistentes a un congreso son espa;oles. >a(iendo ,ue ay :5 espa;oles 7cu)ntas personas asisten al congreso8
. 8ariaciones porcentuales .a. Aumentos porcentuales
ee con atención las e0plicaciones del te0to de la pantalla y completaPara aumentar una cantidad C un r / se calcula y después el resultado o(tenido a la cantidad . lamamos 9ndice de variación al ,ue corresponde a una .
ndice de variación:
'.8.#1;
r 166
Para calcular el aumento ,ue corresponde a una cantidad inicial C podemos proceder de dos +ormas distintas. '0plica en la siguiente ta(la la manera de proceder en cada caso.
1< Paso a paso
)< =irectamente
Resuelve los siguientes e"ercicios aplicando el método ,ue pre+ieras y comprue(a el resultado en la escena correspondiente. 'l precio de una (icicleta era de 42< euros. & este precio ay ,ue a;adirle el 1:/ de .%.&. 7Cu)l es el precio +inal8
&l su(ir el precio de una (icicleta un 1$/ el precio +inal es aora de 351 euros. 7Cu)l era su precio inicial8
&l aumentar el precio de una (icicleta a pasado de 53< euros a 5:3 euros. 7Kué tanto por ciento a su(ido8
Realiza varios e"ercicios y comprue(a si los as eco (ien. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
.b. =isminuciones porcentuales ee con atención las e0plicaciones del te0to de la pantalla y completaPara disminuir una cantidad C un r / se calcula y después el resultado o(tenido a la cantidad . lamamos 9ndice de variación al ,ue corresponde a una .
ndice de variación:
'.8.#1$
r 166
Para calcular la disminución ,ue corresponde a una cantidad inicial C podemos proceder de dos +ormas distintas. '0plica en la siguiente ta(la la manera de proceder en cada caso.
1< Paso a paso
)< =irectamente
Resuelve los siguientes e"ercicios aplicando el método ,ue pre+ieras y comprue(a el resultado en la escena correspondiente. 'l precio de un ordenador era de I5< euros pero me an eco un 12/ de descuento. 7Cu)l es el precio +inal8
Después de re(a"ar el precio de un ordenador un I/ me a costado 1
&l re(a"ar el precio de un ordenador a pasado de 1<5< euros a I24 euros. 7Kué tanto por ciento a (a"ado8
Realiza varios e"ercicios. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
.c. %ncadenamientos de aumentos disminuciones porcentuales ee con atención el te0to de la pantalla y completaPara aplicar de +orma consecutiva dos o m)s aumentos o disminuciones porcentuales a una cantidad aplicamos el primer a la cantidad el segundo a la cantidad en el paso anterior y asE sucesivamente. 'n la escena puedes ver varios e"ercicios de encadenamiento de aumentos y disminuciones porcentuales. 6(serva las distintas +ormas de resolución pulsando ?odi+ica los datos y comprue(a el resultado. Resuelve los siguientes e"ercicios aplicando el método ,ue pre+ieras y comprue(a el resultado en la escena correspondiente. ?i madre tiene un sueldo de 21<< euros. n "uguete vale en una "ugueterEa 55 & principios de a;o le an su(ido un 4/ y en euros. Durante las +iestas navide;as su(e un primavera le an vuelto a su(ir un 1/. 1$/ y una vez ,ue éstas an pasado (a"a
7Cu)nto co(rar) aora8
un 1
'l precio de un tra"e es de 32< euros. 'l precio de un móvil era de 23< euros. 'n las re(a"as se le a aplicado un primer ?e an re(a"ado un 1:/ pero después me descuento del 2
Realiza varios e"ercicios y comprue(a si los as eco (ien. Practica asta ,ue te salgan (ien cinco seguidos.
Recuerda lo m>s importante ? R%(@%/ ee con atención la in+ormación del cuadro resumen y completa.
1. Proporción numérica. >e llama razón entre a y ( al
). Proporcionalidad directa. a
@agnitudes directamente proporcionales. .
>i se multiplica o divide una de ellas por un nmero la otra ,ueda multiplicada o dividida por na proporción numérica es una nmero. numéricas. 'l cociente entre cada pare"a de valores de am(as magnitudes es constante. >e llama a c >i se veri+ica ,ue ( d
(
*. Proporcionalidad inversa .
+. Proporcionalidad compuesta.
@agnitudes inversamente proporcionales.
a proporcionalidad compuesta relacionar tres o m)s magnitudes.
>i se multiplica o divide una de ellas por un nmero la otra ,ueda dividida o multiplicada por nmero. 'l producto entre cada pare"a de valores de am(as magnitudes es constante. >e llama
consiste
en
&l resolver una actividad de proporcionalidad compuesta se relacionan las magnitudes y se mantienen las dem)s.
,a. Repartos directamente proporcionales.
,b. Repartos inversamente proporcionales.
Consiste en una cantidad entre Consiste en dividir una cantidad entre varias varias partes de +orma ,ue cada una de ellas partes de +orma ,ue cada una de ellas reci(a una reci(a una cantidad cantidad a un valor inicial de cada a un valor inicial de parte. cada parte. >e divide la cantidad a repartir por de los valores iniciales de cada parte y se multiplica el resultado o(tenido por cada valor inicial.
>e ace el reparto de +orma directamente proporcional a de los valores iniciales de cada una de las partes.
-. 0anto por ciento.
. 8ariaciones porcentuales .
Para aplicar un porcenta"e r7 a una cantidad C Para aumentar o disminuir un porcenta"e r7 a se puede plantear una actividad de magnitudes una cantidad C se puede calcular el r/ de C y proporcionales. esta cantidad a la cantidad inicial C. r/ de C N
C Mr
1<<
N CM
r
1<<
Con esta ltima +órmula se puede deducir ,ue para calcular un porcenta"e (asta la cantidad C por el nmero r166.
>e puede calcular directamente la cantidad +inal calculando la correspondiente a cada unidad llamada Endice de variación y por la cantidad inicial. Para un aumento- .%.N1O
r 1<<
Para una disminución- .%.N1P
Pulsa
r 1<<
Para ir a la p)gina siguiente.
Para practicar &ora vas a practicar resolviendo distintos 'Q'RCC6>. 'n las siguientes p)ginas encontrar)s 'Q'RCC6> de
Proporcionalidad directaB proporcionalidad compuestaB repartos proporcionalesB tanto porcentuales.
inversaB proporcionalidad por ciento variaciones
Procura acer al menos uno de cada clase y una vez resuelto comprue(a la solución.
Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. 'n los siguientes 'Q'RCC6> de Proporcionalidad directa elige una de las opciones y escri(e a continuación el enunciado después resuélvelos y +inalmente comprue(a la solución en el ordenador.
1. Receta de cocina n pastel para ! personas necesita los siguientes ingredientes- 15 litros de lece !<< gramos de arina 1:< gramos de cocolate 3 uevos 1<< gramos de vainilla y 24 galletas. Calcular la cantidad necesaria de cada ingrediente para ela(orar otro pastel para personas.
). Cambio de divisas 1 7Kué cantidad de cada una de las divisas nos dar)n al cam(iar euros8
7Dólares8
7i(ras8
79enes8
*. Cambio de divisas ) 7Cu)ntos euros nos dar)n al cam(iar las cantidades indicadas en cada divisa8 7 dólares8 7 li(ras8 7 yenes8
+. Cambio de divisas *
7Cu)ntos nos dar)n al cam(iar 8
,. @apas escalas ' Calcular la distancia apro0imada entre dos puntos de la PenEnsula (érica. Puedes calcular dimensiones de la PenEnsula distancia en lEnea recta entre tu provincia y cual,uier otra...
-. @apas escalas '' 'l plano de un mapa se a realizado a escala 1 - Calcular la distancia en el mapa de dos ciudades cuya distancia en lEnea recta en la realidad es de @ilómetros.
. @apas escalas ''' Calcular la escala con la ,ue se a realizado el plano de una casa sa(iendo ,ue dos puntos ,ue en la realidad distan metros en el plano tienen una distancia de centEmetros.
'n los siguientes 'Q'RCC6> de Proporcionalidad inversa elige una de las opciones y escri(e a continuación el enunciado después resuélvelos y +inalmente comprue(a la solución en el ordenador.
1. 8elocidad tiempo ' >e va a realizar un via"e entre dos ciudades ,ue distan @ilómetros. Calcula el tiempo ,ue se tardarEa en via"ar desde una asta otra de distintas +ormas. &ndando- 5 @mG. =icicleta- 3< @mG. Coce- 12< @mG. tren- 24< @mG. &vión-$2< @mG. Aave espacial2<<<< @mG. &ndando=icicleta-
Coce-
#ren-
&vión-
Aave espacial-
). 8elocidad tiempo '' 7Cu)nto tiempo se tardar) en acer el recorrido con el segundo medio de transporte si con el primero se a tardado oras8
*. %4cursión n grupo de alumnos y alumnas de 2B '.>.6. va de e0cursión. 'l precio ,ue de(e pagar cada uno es de euros. 7Cu)nto tendr)n ,ue pagar si al +inal van a la e0cursión personas8
+. Organización del trabajo n pro+esor propone a sus alumnos y alumnas la traducción de un li(ro de inglés de p)ginas. es da un tiempo de dEas. 'n traducir cada p)gina se tarda apro0imadamente 1< minutos. #res alumnos adoptan distintas actitudes para la traducción. ndicar el nmero de p)ginas diarias ,ue de(en leer y el tiempo diario. Qulia-
Pedro-
nés-
'n los siguientes 'Q'RCC6> de Proporcionalidad compuesta elige una de las opciones y escri(e a continuación el enunciado después resuélvelos y +inalmente comprue(a la solución en el ordenador.
1. @>uinas trabajando >i m),uinas en oras +a(rican piezas 7cu)ntas piezas +a(ricar)n m),uinas en oras8
). Criando animales Con @ilogramos de pienso cone"os comen durante dEas. 7Cu)ntos dEas tardar)n cone"os en comerse @ilos de pienso8
*. Drifos depósitos gri+os iguales llenan un depósito de m3 en oras. 7Cu)nto tiempo tardar)n gri+os en llenar un depósito de m38
+. Acabar a tiempo o(reros tra(a"ando oras diarias tardan en acer un tra(a"o dEas. 7Cu)nto tiempo tardar)n en acer el tra(a"o o(reros tra(a"ando oras8
'n los siguientes 'Q'RCC6> de Repartos proporcionales elige una de las opciones y escri(e a continuación el enunciado después resuélvelos y +inalmente comprue(a la solución en el ordenador.
Repartos directamente proporcionales 1. Eolsa de canicas ' n padre tiene una (olsa de 3! canicas y ,uiere repartirla entre sus dos i"os de +orma directamente proporcional a la edad de cada uno. Construir el reparto sa(iendo ,ue los i"os tienen y a;os respectivamente.
). Eolsa de canicas '' n padre tiene una (olsa de 3! canicas y ,uiere repartirla entre sus dos i"os de +orma directamente proporcional a la edad de cada uno. Construir el reparto sa(iendo ,ue los i"os tienen y a;os respectivamente.
*. %l agricultor el riego n agricultor tiene cuatro parcelas y dispone de litros de agua para regarlas. Kuiere regarlas de +orma directamente proporcional al nmero de )r(oles ,ue tiene plantados en cada una es y . Calcula el nmero de litros de agua ,ue de(e dedicar a cada parcela.
+. 0rabajo compartido Cinco alumnos se encargan de pasar a un procesador de te0tos una cantidad de +olios. Cuando lo aca(an reci(en por el tra(a"o euros. >e los reparten de +orma directamente proporcional al nmero de +olios ,ue a escrito cada uno. 7Cómo de(en acerlo si an escrito por orden y 8
Repartos inversamente proporcionales ,. Eolsa de canicas ''' n padre tiene una (olsa de 3! canicas y ,uiere repartirla entre sus dos i"os de +orma inversamente proporcional a la edad de cada uno. Construir el reparto sa(iendo ,ue los i"os tienen y a;os respectivamente.
-. Eolsa de canicas '8 n padre tiene una (olsa de 3! canicas y ,uiere repartirla entre sus dos i"os de +orma inversamente proporcional a la edad de cada uno. Construir el reparto sa(iendo ,ue los i"os tienen y a;os respectivamente.
. Competición veraniega 'n una competición veraniega una de las prue(as consiste en dar un largo a una piscina nadando. >e reparten puntos de +orma inversamente proporcional al tiempo ,ue tarden los participantes. 7Cu)ntos puntos se llevar)n cada uno de los +inalistas si an tardado respectivamente y segundos8
5. Fa Gerencia na persona de"a en erencia a sus tres so(rinos una cantidad de euros ,ue de(en repartErselos de +orma inversamente proporcional a las edades de cada uno ,ue son respectivamente y a;os. 7Cómo de(en repartirse la erencia8
'n los siguientes 'Q'RCC6> de 0anto por ciento elige una de las opciones y escri(e a continuación el enunciado después resuélvelos y +inalmente comprue(a la solución en el ordenador.
1. %l depósito de agua ' n depósito de agua tiene una capacidad de litros. 7Cu)ntos litros de agua contiene si est) lleno en un /8
). %l depósito de agua '' n depósito de agua tiene una capacidad de litros. 7Kué porcenta"e de agua contiene si tiene litros8
*. %l depósito de agua ''' n depósito de agua contiene litros ,ue supone un / del total. Calcular su capacidad.
+. Ofertas de supermercados Cuatro supermercados de una misma ciudad o+recen distintas o+ertas&. Pague dos y llévese tres.
=- Cuatro por el precio de tres.
C- a segunda unidad a mitad de precio.
D- 15/ de descuento en todo.
7Cu)l es la me"or o+erta de todas8 Descuento supermercado &
Descuento supermercado =
Descuento supermercado C
Descuento supermercado D
>olución-
,. 'ntereses anuales 7Kué interés producir) un capital inicial de euros en a;os a un rédito del /8
-. 'ntereses mensuales 7Kué interés producir) un capital inicial de euros en meses a un rédito del /8
. 'ntereses diarios 7Kué interés producir) un capital inicial de euros en dEas a un rédito del /8
'n los siguientes 'Q'RCC6> de 8ariaciones porcentuales elige una de las opciones y escri(e a continuación el enunciado después resuélvelos y +inalmente comprue(a la solución en el ordenador.
1. (ubida de sueldo ?i padre co(ra euros. Para el pró0imo a;o le van a su(ir el sueldo un /. 7Cu)l ser) el sueldo nuevo8
). Fas rebajas 'n época de re(a"as una tienda ace un descuento de un /. 7Cu)l ser) el precio +inal de un artEculo ,ue valEa euros8
*. %l precio de la vivienda *ace dos a;os el precio de una vivienda era euros. 'se a;o su(ió un / y el a;o pasado volvió a su(ir un / 7Cu)l es el precio actual8
+. %l precio de la gasolina 'l precio de un litro de gasolina es de euros. &l su(ir el precio del petróleo la
gasolina a su(ido un / pero después a (a"ado un /. 7Cu)l es el precio actual8
,. Comprando un cocGe 'l precio de un coce es de euros. &l comprarlo me an eco un descuento del / pero después a(Ea ,ue pagar un / de impuestos de matriculación. 7Cu)l era el precio +inal8
-. Rebajando las rebajas na tienda de deporte ace un descuento en sus artEculos del /. ?)s tarde y por li,uidación vuelve a (a"ar el /. 7Cu)l ser) el precio +inal de un artEculo cuyo precio inicial era de euros8
Pulsa
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Autoevaluación
Completa au9 cada uno de los enunciados ue propone el ordenador resuelveB introduce el resultado para comprobar si la solución es la correcta.
'n una canalización se pierden por +ugas litros de agua cada minutos. 7'n cu)nto tiempo se perder)n litros8
personas realizan un tra(a"o en dEas. 7Cu)nto tiempo tardar)n en realizar el mismo tra(a"o personas8
'n una campa;a pu(licitaria personas reparten +olletos en dEas. 7Cu)ntos dEas tardar)n personas en repartir +olletos8.
Repartir o("etos de +orma directamente proporcional a y .
Repartir o("etos de +orma inversamente proporcional a y .
& una reunión asisten personas. De ellas el / son mu"eres. 7Cu)ntas mu"eres ay en la reunión8.
'l / de los )r(oles de un (os,ue son pinos. >a(iendo ,ue ay pinos 7cu)ntos )r(oles ay en el (os,ue8.
'l pasado curso a(Ea en el instituto alumnos y este a;o a aumentado un /. 7Cu)ntos alumnos ay aora8
a po(lación de mi pue(lo a pasado en un a;o de a a(itantes. 7Kué tanto por ciento a aumentado o disminuido8
'l precio de una (icicleta era de euros. 'n primer lugar se le aplica del / y después del /. 7Cu)l es su precio +inal8
