DİFERANSİYEL DENKLEMLER Ders Notları
EKİM 10, 2013 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ, MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ Denizli 0
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
Önsöz denklemler notları Pamukkale Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü öğrencilerinin elin e Türkçe çözümlü bir kaynak vermek amacıyla hazırlandı. Verilen misaller mümkün olduğunca kolaydan zora doğru sıralandı .
Bu diferansiyel
Çözümlerde analitik yöntemler kullanıldı. Dolayısıyla, Diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri yer almamaktadır. Sadece “Euler Metodu” bir problem çözümünü göstermek için verildi. Diğer metotlar “Sayısal Analiz” dersi kapsamında olduğu için burada yer almamaktadır. Türkçe bilen tüm öğrencinin derste vaktini yazmakla geçirmek yerine, dersi takip etmekle e tmekle geçirmesi öğrenci açısından daha yararlı olacağı düşünüldüğünden , bu notlar web sayfasında verilmiştir. Ders Notları son haliyle değildir. Yapılan değişiklikler web sayfasında tekrar yayınlanacaktır. Çözümlerde çıkan hatalar veya önerileriniz i email adresime gönderirseniz memnun olurum. Çünkü sizin önerilerinizle notların daha yararlı hale geleceği Bu
kanaatindeyim. Ekim, 2013
Doç.Dr. Zekeriya GİRGİN Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Kınıklı Kampüsü 20070 Denizli, Türkiye Web page: Email:
[email protected] http://zgirgin.pau.edu.tr/
“Ahirette seni kurtaracak bir eserin olmadığı takdirde, fâni dünyada bıraktığın şeylere de kıymet verme!” İçindekiler ................................................................... ............................................ ............................................. ......................... 1 Önsöz ............................................. 1.
Diferansiyel Denklemlere Giriş ..................... ............................................ .............................................. ............................... ........ 6
1.1
......................................... ............................................ ............................ ...... 6 Diferansiyel Denklemin Tanımı ...................
1.2
Genel Çözümden Diferansiyel Denklemin Hesaplanması: .................... ................................. ............. 7
2 . Ayrılabilir Diferansiyel denklemler ve uygulamaları (Separable Differential Equations and their applications)............................................. .................................................................... ............................................. ........................ 9 1
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
Önsöz denklemler notları Pamukkale Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü öğrencilerinin elin e Türkçe çözümlü bir kaynak vermek amacıyla hazırlandı. Verilen misaller mümkün olduğunca kolaydan zora doğru sıralandı .
Bu diferansiyel
Çözümlerde analitik yöntemler kullanıldı. Dolayısıyla, Diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri yer almamaktadır. Sadece “Euler Metodu” bir problem çözümünü göstermek için verildi. Diğer metotlar “Sayısal Analiz” dersi kapsamında olduğu için burada yer almamaktadır. Türkçe bilen tüm öğrencinin derste vaktini yazmakla geçirmek yerine, dersi takip etmekle e tmekle geçirmesi öğrenci açısından daha yararlı olacağı düşünüldüğünden , bu notlar web sayfasında verilmiştir. Ders Notları son haliyle değildir. Yapılan değişiklikler web sayfasında tekrar yayınlanacaktır. Çözümlerde çıkan hatalar veya önerileriniz i email adresime gönderirseniz memnun olurum. Çünkü sizin önerilerinizle notların daha yararlı hale geleceği Bu
kanaatindeyim. Ekim, 2013
Doç.Dr. Zekeriya GİRGİN Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Kınıklı Kampüsü 20070 Denizli, Türkiye Web page: Email:
[email protected] http://zgirgin.pau.edu.tr/
“Ahirette seni kurtaracak bir eserin olmadığı takdirde, fâni dünyada bıraktığın şeylere de kıymet verme!” İçindekiler ................................................................... ............................................ ............................................. ......................... 1 Önsöz ............................................. 1.
Diferansiyel Denklemlere Giriş ..................... ............................................ .............................................. ............................... ........ 6
1.1
......................................... ............................................ ............................ ...... 6 Diferansiyel Denklemin Tanımı ...................
1.2
Genel Çözümden Diferansiyel Denklemin Hesaplanması: .................... ................................. ............. 7
2 . Ayrılabilir Diferansiyel denklemler ve uygulamaları (Separable Differential Equations and their applications)............................................. .................................................................... ............................................. ........................ 9 1
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
............................................ ............................................. ............................................ ....................................... ................. 9 Tanımlama: ..................... 2.1
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 10
2.2
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 10
2.3
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 10
2.4
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 10
2.5
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 11
2.6
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 11
2.7
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 12
2.8
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 12
2.9
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 12
3 . Birinci Mertebeden Homojen Diferansiyel Denklemler ve uygulamaları (First -order homogeneous homogeneous Differential Equations and their applications) ..................................... ..................................... 13 3.1
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 13
3.2
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 14
3.3
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 14
3.4
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 15
4 . Birinci Mertebeden Değişkenlerine Ayrılabilen veya Homojen Hale İndirgenebilen Diferansiyel Denklemler (First Order Differential Equations which can be separable or converted into homogenous) homogenous) ..................... ........................................... ............................................. ..................................... .............. 15 4.1
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 16
4.2
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 17
4.3
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 17
4.4
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 18
4.5
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 19
4.6
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 20
5 . Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler ve uygulamaları (First -order Linear Differential Equations and their applications)..................... ........................................... ..................................... ............... 22 5.1
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 24
5.2
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 24
5.3
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 25
5.4
Misal:.................................... Misal:.......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 25 2
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
5.5
Misal:...................................................................................................... 26
6. Bernoulli Denklemi......................................................................................... 26 6.1
Misal:...................................................................................................... 27
6.2
Misal:...................................................................................................... 27
6.3
Misal:...................................................................................................... 28
6.4
Misal:...................................................................................................... 28
6.5
Misal:...................................................................................................... 29
6.6
Misal:...................................................................................................... 29
6.7
Misal:...................................................................................................... 30
7. Riccati Diferansiyel Denklemi .......................................................................... 30 7.1
Misal:...................................................................................................... 31
7.2
Misal:...................................................................................................... 32
7.3
Misal:...................................................................................................... 33
7.4
Misal:...................................................................................................... 34
8. Clairaut Diferansiyel Denklemi......................................................................... 35 8.1
Misal:...................................................................................................... 35
8.2
Misal:...................................................................................................... 36
9. Tam Diferansiyel Denklemler (Exact Differential Equations) ................................ 36 9.1
Misal:...................................................................................................... 37
9.2
Misal:...................................................................................................... 38
9.3
Misal:...................................................................................................... 39
9.4
Misal:...................................................................................................... 41
9.5
Misal:...................................................................................................... 41
9.6
Misal:...................................................................................................... 42
İntegrasyon Çarpanı ile Tam Diferansiyel Hale Getirilebilen Denklemler ........... 42
10. 10.1
x integrasyon çarpanı sadece x e bağımlı olduğu durum: .................. 43
10.1.1
Misal: .............................................................................................. 43
10.1.2
Misal: .............................................................................................. 45
10.1.3
Misal: .............................................................................................. 46 3
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
10.1.4
Misal: .............................................................................................. 47
10.1.5
Misal: .............................................................................................. 48
10.2
y integrasyon çarpanı sadece y ye bağımlı olduğu durum: ................. 48
10.2.1 10.3
Misal: .............................................................................................. 49
Eğer M ve N aynı dereceden homojen fonksiyonlar ve
integrasyon çarpanı
1 xy
x M y N 0 ise,
şeklindedir. ............................................................. 49
10.3.1
Misal: .............................................................................................. 50
10.3.2
Misal: .............................................................................................. 50
10.3.3
Misal: .............................................................................................. 51
10.4
Eğer M ve N aynı dereceden homojen fonksiyonlar ve
integrasyon çarpanı 10.4.1 10.5
M x, y dx N x, y dy 0 1
xM yN
10.5.1 10.6
xM y N
şeklindedir. .................................................... 52
Misal: .............................................................................................. 53
N x, y x f 2 x, y
1
x M y N 0 ise,
diferansiyel
şeklinde ifade edilebiliyor ve
denklemi
M x, y y f1 x, y
f1 x, y f 2 x, y ise,
ve
integrasyon çarpanı
şeklindedir. ................................................................................. 53
Misal: .............................................................................................. 53
M x, y dx N x, y dy 0 diferansiyel
M N y x N a x M b y
denkleminde
M N y x
ifadesi
şeklinde ifade edilebiliyor ise, integrasyon çarpanı
a x dx b y dy şeklindedir. .......................................................................... 54 e e
10.6.1
Misal: .............................................................................................. 54
10.6.2
Misal: .............................................................................................. 55
11.
Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri (Linear Differential Equation Systems) . 56
11.1
Misal: ................................................................................................... 57
11.2
Misal: ................................................................................................... 58
11.3
Misal: ................................................................................................... 61
11.4
Misal: ................................................................................................... 61 4
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
11.5
Misal: ................................................................................................... 64
İkinci Mertebeden Homojen Diferansiyel Denklemler (Second Order Homogeneous 12. Differential Equations)......................................................................................... 66 12.1
Misal: ................................................................................................... 69
12.2
Misal: ................................................................................................... 69
12.3
Misal: ................................................................................................... 70
12.4
Misal: ................................................................................................... 70
12.5
Misal: ................................................................................................... 70
12.6
Misal: ................................................................................................... 71
İkinci Mertebeden Homojen olmayan Diferansiyel Denklemler (Second Order 13. Nonhomogeneous Differential Equations)............................................................... 72 13.1 Belirsiz Katsayılar Metodu ile Homojen Olmayan Diferansiyel Denklemin Çözümü (Undetermined Coefficients Method)................................................................... 72 13.1.1
Misal ............................................................................................... 73
13.1.2
Misal ............................................................................................... 74
13.1.3
Misal ............................................................................................... 75
13.1.4
Misal ............................................................................................... 75
13.1.5
Misal ............................................................................................... 76
13.1.6
Misal ............................................................................................... 77
Parametrelerin Değişimi Metodu ile Homojen Olmayan Diferansiyel Denklemin Çözümü (The Method of Variation of Parameters) ................................................ 78 13.2
13.2.1
Misal ............................................................................................... 78
13.2.2
Misal ............................................................................................... 79
13.2.3
Misal ............................................................................................... 81
13.2.4
Misal ............................................................................................... 81
13.2.5
Misal ............................................................................................... 82
13.2.6
Misal ............................................................................................... 83
13.3
D Operator Metodu (The Method of Operators) .......................................... 84
13.3.1
Misal ............................................................................................... 86
13.3.2
Misal ............................................................................................... 87
13.3.3
Misal ............................................................................................... 88 5
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
13.3.4
Misal ............................................................................................... 89
13.3.5
Misal ............................................................................................... 89
Tekrarlama Soruları (Review Problems) ....................................................... 90
14. 14.1
Problems: ............................................................................................. 90
Diferansiyel Denklemlerin Mühendislik Uygulamaları (Engineeering Applications of 15. Differential Equations)......................................................................................... 93 15.1
Misal .................................................................................................... 93
15.2
Misal .................................................................................................... 94
15.3
Misal: ................................................................................................... 96
16. Birinci mertebeden Diferansiyel Denklem problemleri (First Order Differential Equation Problems)........................................................................................... 100 16.1
Misal: ................................................................................................. 100
16.2
Misal: ................................................................................................. 100
16.3
Misal: ................................................................................................. 100
16.4
Misal: ................................................................................................. 101
Kaynaklar:....................................................................................................... 101
1. Diferansiyel Denklemlere Giriş
Diferansiyel Denklemler, dünyadaki birçok fiziksel olayın matematik modeli , ortaya çıkartıldığında, karşımıza çıkmaktadır. Bunu akışkanlar mekaniğinde bir sıvının hareketinden tutun (Navier-Stokes denklemleri), mukavemette bir kirişin eği lmesi ve titreşimi veya bir kolonun burkulması gibi birçok problemin çözümü aslında diferansiyel denklemin çözümüdür. Bu konu ile ilgili bazı temel kavramların da önce iyi bilinmesi gereklidir.
1.1
Diferansiyel Denklemin Tanımı
Öyle bir denklemdir ki ; kendisi, kendisinin birinci veya daha fazla türevleri ve/veya bazı değişken ve sabitleri ihtiva eden bir denklemdir. Matematik diliyle ifade edilmek istenildiğinde aşağıdaki gibi; dy( x) d 2y(x) d ny(x ) F x, y(x), , , , c, dx dx 2 dx n
x
,
(1.1)
gibidir. Özel çözümü için başlangıç veya sınır şartlarının verilmiş olması gerekir ve aşağıdaki şekilde ifade edilir.
6
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
Bir diferansiyel denklemdeki en büyük türeve , o diferansiyel denklemin mertebesi denir ve bu diferansiyel denklemde bulunan en yüksek mertebeli türevin üssüne de, bu diferansiyel denklemin derecesi denir. Aşağıdaki misalleri inceleyiniz. 3
dy dx
2y sin x 5
(1. merteben, 1. dereceden diferansiyel denklem)
3
d 2 y dy 6 dx 2 dx 2y x d4y
dx 4
(2. merteben, 5. dereceden diferansiyel denklem)
q x
(4. merteben, 1. dereceden diferansiyel denklem)
Yukarıda verilen misaller, sadece bir değişkene (x) bağlı olduğundan “ Adi Diferansiyel Denklem (ADD)” olarak adlandırılırlar. Değişken sayısı birden fazla olduğu takdirde “Kısmî Diferansiyel Denklem (KDD)” olarak adlandırılırlar. Ayrıca, bir diferansiyel denklemdeki bağımlı değişken ve tüm türevleri bir inci dereceden ise, diferansiyel denkleme “Lineer Diferansiyel Denklem” denir. Eğer bağımlı değişken ve/veya değişkenin tüm türevlerinden biri bile ikinci veya daha yüksek dereden ise buna “Lineer Olmayan Diferansiyel Denklem” denir ve bu tür denklemlerin analitik çözümü zor veya daha henüz bulunamadığından, sayısal çözüm yoluna gidilir.
Bundan sonraki işlemlerde nokta (∙) zamana göre türev i ifade edecektir.( y Ve
y
dy dx
dy
dt
)
(x e göre türev olarak algılanacaktır. Aşağıda sırasıyla her bir
diferansiyel denklem türü , açıklamalarıyla birlikte verilecektir. Diferansiyel denklemin çözümünden katsayılı (c, c 1, c2, gibi) olarak elde edilen çözüme “ Genel Çözüm” denir. Diferansiyel denklem ile birlikte verilen başlangıç veya sınır şartlarının yerine yazılmasıyla elde edilen çözüme “Özel Çözüm” denir ve bu çözümde, c, c1, c2, gibi katsayı bulunmaz. Bunun yerine sayı ve/veya sayılar bulunur. Genel Çözümden Diferansiyel Denklemin Hesaplanması:
1.2
Genel çözümden diferansiyel denklemi hesaplamak için 2 yol vardır. 1.Yol:
Denklemin türevi alınarak çözüme gidilir. Misaller: 1. Misal: y
2 c x denkleminden,
Çözüm: y 2c x
diferansiyel denklemi hesaplayınız. c
y 2x
Bu değer genel çözümde yerine yazıldığında;
7
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
y
y
2x
x
2
x 2 y 2x y 0
y
2 x
y0
2. Misal: y c1 x 2 c2 x 3
denkleminden diferansiyel denklemi hesaplayınız.
Çözüm: Genel çözümün 1. türevi alındığında; ve 2. türevi alındığında; değeri elde edilir.
c1
3y x y
ve
x2
y 2c1 6c 2 x
3y x y değeri ile
y 3 c1 x 2 y x 2c1x x y 3y c1 x 2
3y x y x
2
2
x
3x
2
değeri alt alta yazılıp toplandığında ;
1
y
2c1 x
3c 2 x
x
y
2c1
6c 2 x
0
x y y
0
3c 2 x
c2
x y y
y x y
c 2 x 3 3c2 x 2
yazıldığında; y
y 2c1 x 3c 2 x 2
x
6y 3 x y x y y x 0
3
x y y
2
2
elde edilir. Bu değerler genel çözümde yerine
3x2
y 3y x y
x
2
x y y 3
x
y 4x y 6y 0
şeklinde genel çözüme ait diferansiyel denklem elde edilmiş olur. 2.Yol:
Genel çözümde kaç tane sabit varsa o kadar türev alınır ve d enklemin determinantı sıfıra eşitlenerek diferansiyel denklem hesaplanır. Bu usül daha uygundur. 3. Misal: y
c e
x
genel çözümünden diferansiyel denklemi hesaplayınız.
y ex 0, y ex y ex 0, y y 0 x y e
elde edilir.
4. Misal: y c1 x 2 c2 x 3
denkleminden diferansiyel denklemi hesaplayınız.
Çözüm: Genel çözümün 1. türevi alındığında; y 2c1 x 3c2 x 2 ve 2. türevi alındığında; y 2c1 6c 2 x değeri elde edilir. Bunlar 3 3 lük y x 2 x3 2 y 2x 3x 0 y 2 6x
determinantta yerine yazıldığında; y 12x 2 6x 2 y 6x 3 2x 3 y 3x 4
2x 4 0 8
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
y 6x
2
3
y 6x y x
4
x 2 y 4x y 6y 0
0
y
y 6 y 4x y x 2 x 2 0 4 x
y
6 x2
y 0 elde edilir.
5. Misal: y c1 e2t c 2 e 3t olan
Genel çözümü hesaplayınız.
y
fonksiyonunun
diferansiyel
denklemini
Çözüm: y e 2t 2t y 2e y 4e2t y 30e
t
3t
3e3t 0 3t 9e e
y 5e
t
y 5e
5 y 5 y 30 y e
t
t
y 18e
0
edilir. Veya y c1 e2t c 2 e 3t
t
12e
t
y 9e
t
t
t
4e
t
t
y
30 e y 5 e y 5 e y
3e
t
2e
t
0
0
şeklinde diferansiyel denklem elde fonksiyonunda kökler bilindiğinden karakteristik denklemden
0
y y6 y 0
yararlanarak diferansiyel denklem bulunabilir.
r 2 r 3 0
r r1 r r2 0
y y6 y 0
olduğu görülür.
r
2
r 6 0
2. Ayrılabilir Diferansiyel denklemler ve uygulamaları (Separable Differential Equations and their applications)
Tanımlama : Bir diferansiyel denklemde bağımlı değişkenler (genellikle y) bir tarafta ve bağımsız değişkenler (genellikle x) bir tarafta kalacak şekilde, cebirsel olarak yazılabiliyorsa, integral alınarak fonksiyon hesaplanabilir ve buna 1. mertebeden ayrılabilir diferansiyel denklem denir.
Birinci mertebeden bir diferansiyel denklem x ve y ler bir tarafta olacak şekilde ayrılabiliyorsa buna ayrılabilir diferansiyel denklem denir. Diferansiyel Denklemlerin en basit halidir ve Birinci diferansiyel denklem:
mertebeden değişkenlerine ayrılabilir
A x dx B y dy 0
(2.1)
şeklinde tanımlıdır. Her iki tarafın integral i alınarak çözüm yapılır.
A x dx B y dy c
(2.2) 9
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
Burada c integral sabitini göstermektedir. 2.1
Misal:
Aşağıdaki diferansiyel denklemin genel çözümünü hesaplayınız . dy
dx
dy
2x y
y
2 x d x
1 y dy 2 x dx 0
Her iki tarafın integrasyonu alınmasıyla 1
y dy 2x dx c
ln( y) x
Elde edilir. Exponansiyeli alındığında
eln( y )
(c eC )
2.2
ex
2
c
eln( y )
eln( y )
c e
2
c
(e üzerili yazıldığında):
2
e x eC
x2
Genel çözüm:
y c ex
şeklindedir.
2
Misal:
Aşağıdaki diferansiyel denklemin genel çözümünü hesaplayınız . x
dy dx
1 2 x tan y 2
dy tan y
1 1 dy 2 x dx 0 x tan y
1 2 x dx 2
x
cos cos y 1 dy 2x dx 0 x sin y
Her iki tarafın integrasyonu alındığında; cos cos y 1 d y 2 x sin y x dx c
eln(sin( y ))
eln( x )
x 2 c
2
eln(sin( y ))
sin( y) c x e x , (c e C )
ln sin y ln x x 2
eln( x ) e
x2
veya sonuçlar:
c
eC
y
arcsin c x e
x2
şeklinde gösterilebilir.
Dikkat: Her diferansiyel denklemin
genel çözümü, eşitliğin bir tarafında değişkenler ve diğer tarafında sadece fonksiyonun kendisi kalacak şekilde şe kilde (Explicit form) ifade edilemez,
mesela: x 2 y x y2
2.3
sin( x y)
denkleminde olduğu gibi
Misal:
Aşağıdaki diferansiyel denklemin genel çözümünü hesaplayınız . 10
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
Çözüm:
2
xdx y dy c 2
x dx y dy 0
x
2
y
3
2
3
c 3
x
2 3
y 3c
2
1
3
x
y
2.4
Misal:
3
x2 3 y 3 C 2
2
2
3c
Aşağıdaki diferansiyel denklemin genel çözümünü hesaplayınız .
y
2
yx
3
x dx
1 y
c
dy
y
x
2
c
3
1
4
y
y 4
Cx
4
dy
1
y
2
1 c 4 y
,
4c x
x 3dx
x4
4
4
x 3dx
dy y
2
0
1 1 y y2
x4
4
Çözümü: 2.5
dx
2
yx
u u v u v , 2 v v
Açıklama: 3
dy
y
4
4 4c x 4
1 y
c
4
4c x 4
C 4c
Misal:
Aşağıdaki diferansiyel denklemin genel çözümünü hesaplayınız . x 1
y
y
y 1 4
4
dy
dx
x 1 y
4
1 dy x 1 dx c
1
y
4
y5 5
1 dy x 1 dx
y
x2 2
0
x c
Yukarıda görüldüğü gibi sonuçları her zaman açık (explicit) formda vermek mümkün olmadığından kapalı (implicit) formda göstermek daha uygundur. 2.6
Misal:
y 2t 2 t y2 9
Çözüm:
y
şeklinde verilen diferansiyel denklemin genel çözümünü hesaplayınız .
dy dt
2t y 2 9
1 y2 9 dy 2t dt 0
1 dx 1 arctan x uygulandığında: a x2 a 2 a
Integral tablosundaki kural (10)
11
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
1 y2 32 dy 2t dt c
y 3t 2 3c 3
tan 1 y 3
tan 3t 2 3c
2.7
1
3
tan tan
y t2 c 3
tan 1
1
y tan 3t 2 3c 3
y 3 tan 3t 2 C ,
C
3c
Misal:
Aşağıdaki diferansiyel denklemin genel çözümünü hesaplayınız . x cos x dx 1 6y 5 dy 0, y y(( )
x cos x dx cos x x sin x cos x x sin x y y 6 c
x yerine
0
uygulandığında;
tablosundaki
kural
(84)
x cos x dx 1 6y dy c 5
cos x x sin x c y 6 y
konduğunda;
Integral
cos sin c y6 y
cos sin c 06 0
elde edilir. Görüldüğü gibi bir diferansiyel denklemi her zaman açık formda yazmak mümkün değildir 1 0 c 06 0
2.8 y
c
cos x x sin x 1 y6 y
1
Misal: yx x
Çözüm:
diferansiyel denklemin genel
y
yx
dy
y x
x dx x ayrılabilir A x dx B y dy 0
çözümünü hesaplayınız.
y x dx x dy
y x dx x dy 0
diferansiyel denklem türüne uymamaktadır. Lineer diferansiyel ve homojen diferansiyel denklem türüne uygundur. Çözümü daha sonra yapılacaktır 2.9
Misal:
Aşağıda verilen birinci mertebeden diferansiyel denklemi n genel çözümünü ve verilen başlangıç şartı için özel çözümünü hesaplayınız . e
x
y2 2
dx y dy 0, y y((0) 1
ex
c
çözümdür.
y2
y 2ex
2ex C
1
e dx ydy c x
0
1 2e 2e
C
x
y2
c Genel çözümdür.
e
C 2 1 1
2
çünkü verilen başlangıç şartını sağlamaz.
12
y
2e
x
1
özel
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
3. Birinci Mertebeden Homojen Diferansiyel Denklemler ve uygulamaları (First order homogeneous Differential Equations and their applications) dy dx
şeklinde ise buna 1.mertebeden homojen diferansiyel
f(x,y) f(tx,ty)
ve
f(x,y)
aşağıdaki şekilde indirgeme yapılarak 1. mertebeden ayrılabilir diferansiyel denkleme dönüştürülüp çözümü yapılır. denklem denir ve dy dx dy dx
f(x,y) ise
ux
y
du
değişken dönüşümü uygulan abilir. Buradan;
u x
Bu çözüm yapıldıktan sonra tekrar geri dönüşüm ( u
elde edilir.
dx
dx
yapılarak çözüm tamamlanır. Veya
dy
f(x,y) ise
x
v y
y
x
)
değişken dönüşümü
uygulanabilir. Buradan; dx dy
v y
dv
elde edilir. Bu çözüm yapıldıktan sonra tekrar geri dönüşüm ( v
dy
x
)
y
yapılarak çözüm tamamlanır.
3.1
Misal:
2.8 de verilen y
yx x
diferansiyel denklemin genel
çözümünü ve
y 1 0
sınır şartı için
de özel çözümünü hesaplayınız. y f (x, y)
f (x, y)
yx
yx
f(x,y)
, f (t x, t y)
f (tx,ty)
t y t x
t
olup olmadığı test edilmelidir.
y x
tx t x diferansiyel denklemdir ve y u x dönüşümü
ux
du dx
x
x
ux x
1 dx du x
x
x
u 1 x
1 x dx du c
u 1
c u
ln x
x
du dx
olduğundan
1.
mertebeden
homojen
uygulanmalıdır. u 1 u
ln x c
y x
x
du dx
1
y ln x c x
Şeklinde genel çözüm elde edilir. Verilen sınır şartları kullanılarak özel çözüm bulunur. y ln x c x 0 ln 1 c 1 0 0 c 1
13
c
0
y x ln x
Özel çözümüdür .
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
3.2
Misal:
y
dy dx
2y 4 x 4
xy 3
ile
diferansiyel denklemi çözünüz. (Bernoulli ile de çözülebilir.)
2y 4 x 4
y f (x, y)
ve
xy3
f (tx, ty)
diferansiyel denklemdir.
ux
dx
du
ux
dx
1 dx
x du
x
4
(
2
y
2
u
4
1)
x4
)
1 4 4
u x
c
e
4 1
du dx
ln( x )
e
c
4
4
4
2 ux
4
4
4
3
1
4
x 2u x x ux dx x u x ux 2u 4 1 u
3
1 dx u3 du x u4 1
4
4
dx du
x
4
du
ux
4
3
u4 1
y4 x 4
3.3
y
2u 4 1
1
4
3
u3
ln(x) ln(u
dx
x x ux
2 ux
du
y
dy
dy u dx x du
tx t 2y x olduğundan homojen f (x, y) 3 4 3 t xy tx ty değişken dönüşümü uygulandığında;
2 ty
ln( u4 1)
x
4
4
4
du
x
2u 4 1 u 4
u
u3 1 x dx u4 1 du c
e
c
1 y4
2u 4 1
4
3
x
dx
u
1 4
x
x4
x (u 1) 4
C
4 1
c
4 1
c
u3
4
3
x
1
e
4
x (
c
x8 x4
y4
y4 x
4
2u
u
du dx
x4 x
1
4
4
)
3
u4
1
u3
1 4
ec
C elde edilir.
x4
Misal:
2xy dx x2 dy 0
2xy x
2
dy
0
dx f (x,y) f(tx,ty) olup
f(x,y)
y ux
ux
du dx
y 2 2xy x2
diferansiyel denklemin genel çözümünü hesaplayınız . dy
olmalıdır.
ve f (tx, ty)
u 2 2u
u ln x c ln u 1
ux
du dx x
dx
y 2 2xy
homojen
x2
t 2 y2 2tx ty t 2x 2
t2
y
u x 2x u x
du dx
x2
u2 u u u 1
ln
e
e
x2
du
u2 u ln x
2xy
t2 x2
2
2
olması
ec 14
dy
için
f(x,y)
dx
f (tx,ty) dir.
u2 2u x2
dx
x
u u 1
u
du 2
u
ec x ,
dx x
f x , y
c
e
c
C
ve
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
y
u u 1
Cx
x
y x
x
1
y
C x
1
y
3.4
Cx
y
x xy
1
C x2 1 Cx
x
x2
y
1
C
y
C x
xy
x
y
Cx
x2
xy y
1 Cx
elde edilir.
C1 x
Misal:
y dx diferansiyel denklemini çözünüz. x
x dy y dx x cot y
ve
u x
dönüşümleri uygulandığında;
dy u dx x du
u x dx x
x u dx x du u x dx x cot
x 2 du x cot u dx
ln cos u ln x c
4. Birinci
x du cot u dx
u x d x x 2 du u x dx x cot u dx cos u
sin u
1
du dx c x
ln
cos u
c
ln x
y ln cos ln x C olarak bulunur. x
Mertebeden
Değişkenlerine
Ayrılabilen
veya
Homojen
H ale
İndirgenebilen Diferansiyel Denklemler (First Order Differential Equations which can be separable or converted into homogenous) Bu bölümde ilk bakışta h omojen olmadığı halde değişken dönüşümü yapılarak homojen hale indirgenebilen diferansiyel denklemler incelenecektir. Aşağıda bunlarla ilgili her bir
tür ve bu tür ile ilgili değişken dönüşümü verilmiştir. 1
dy dx
f a x b y c ,
b 0,
a, b,c sabitler,
u a x b y c
2.
y y g x f , dx x x
3.
y f x y dx x g x y dy 0
4.
a x b1y c1 , f 1 dx a 2 x b2 y c 2
a1 , b1 , c1 ,a 2 ,b 2 ,c 2 sabitler
dy
dy
u
y x
b 0,
(4.1)
(4.2)
u xy
Olmak üzere üç durum söz konusudur.
15
(4.3)
(4.4)
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
a1
a)
a2
b1
b2
c1
,
c2
dy dx
g
(4.5)
olur. Ve diferansiyel denklemin çözümü, y g x c şeklindedir
b)
a1 a2
b1
b2
c1 c2
dy
dx
F a x b y
(4.6)
olur ve z a x b y değişken dönüşümü yapılarak çözüme gidilir. Burada ve b katsayıları keyfi seçildiği halde , denklem sonucu değişmemektedir. Bu
kullanılan a durum aynı problemde farklı katsayılar kullanılarak misaller kısmında gösterilmiştir. Genelde z=x+y veya z=x-y kullanmak en pratik çözümlerden birisidir. a1
c)
a2
b1 b2
x u h, y v k
(4.7)
değişken dönüşümü yapılır. Bilinmeyen katsayıları (h ve k) bulmak için, a1 h b1 k c1
0 ve a 2 h b 2 k
c
2
0 ve denklemleri
kullanılır.
Bunlar dışında özel dönüşümler yapılarak değişkenlere ayrılabilen diferansiyel denklemler elde edilebilir Aşağıda bunlar ile ilgili misaller verilmiştir. 4.1
Misal: 2
3 x 2 y 1 dx dy 0 şeklinde verilen
diferansiyel denklemin genel
çözümünü elde
ediniz. 2
Çözüm: 3 x 2 y 1
dx 3 2
3
dx dx
1 du
2 dx du
3 2 u2
1
3 2u 1 6
2
u
2
dx
dy dx
değişken
u 3 x 2 y 1 du
dx
dy dx
1 du
2 dx 2
3 2
0
3 x 2 y 1
dönüşümü 3
dy
2
dx
2
1 du
2 dx
dy dx
2
dy dx
0
uygulanmalıdır.
2u
3 2
2
1 du
2 dx
du dx
dy dx
dy dx
du
3 x 2 y 1
3 dx
3 x 2 y 1
3 2u
2
du dx
2 dy
2
2
3 2 u2 1
dx
du dx c 2
1 6
1 3 x 2 y 1 3
6 arctanh
1 u 3
6 arctanh
x c olur. u değeri yerine yazıldığında,
6
6 x c şeklinde genel çözüm elde edilir.
16
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
4.2
Misal:
y2 x 1 1 2 , y 1 1 şeklinde verilen diferansiyel denklemin genel ve özel dx x x çözümünü hesaplayınız. dy
y
Çözüm: Diferansiyel denkleme dikkat edildiğinde y
görülmektedir. Bu sebepten dolayı u yazılabilir. dy x du u dx
dy dx
x
x du
dx
dy dx
y g x f türüne benzediği x x y
dönüşümü uygulanmalıdır. Buradan
u
dx dx
dy dx
x
du dx
y
u x
u
Bu değerler verilen diferansiyel denklemde yerine yazıldığında,
y x 1 1 dx x x dy
2
y
2
x 1 dx 1 u2 x du
x
du dx
u
u
1 1 dx 2 1 u x du
arctan u x ln x c
x 1 1 u 2
x
du
dx
x 1 1 u 2
1 du 1 1 dx c 1 u2 x
y arctan x ln x c x
şeklinde genel çözümü bulunur
y 1 1 şartının genel çözümde yerine yazılmasıyla özüm çözüm elde edilir.
y x ln x c x
arctan
arctan
1 1 ln 1 c 1
4
1 0 c
c
4
1
y x ln x 1 4 x
arctan
şeklinde verilen diferansiyel denklemin özel çözümü elde edilir. 4.3
Misal:
y 1 x y dx x x 2 y 2 1 dy 0
şeklinde verilen diferansiyel denklemin genel
çözümünü ve y 1 0 şartını kullanarak özel çözümünü hesaplayınız . Çözüm: Diferansiyel denkleme dikkat edildiğinde yukarıda verilen, y f x y dx x g x y dy 0 üçüncü türe benzediği görülmektedir. Dolayısıyla
dönüşümü yapılarak çözüme gidilmelidir. u x y 17
du y dx x dy y
u x
u
x y
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
du dx
y
dx dx
x
dy
dx
du
dx
y x
dy dx
y 2 x y dx x x 2 y 2 1 dy 0 u x
1 u
du dx
u 1
u 0 dx x
2
u
1
x u 1
u
x
du
du dx
u 1 du 1 dx 2 u 1 x 1 2
u
1
2
du
x
y2 u
dx
dx
y
dx dx
u
u u 1 x u 1
x
dy
dx
du
du dx
du
dx
dx
u 2 1 x
du u u u 1 dx x x u 2 1
x u1 x
1
dy
dy x
u x
0
u
u 1
x
u 1 u 1
u x
2u 1 x u 1
1
u u ln 2 u 1 ln x c 4
1
x y x y ln 2 x y 1 ln x c şeklinde genel çözüm bulunur. Özel çözümünü 4
bulmak için verilen değerler yerine yazılmalıdır. 1 2
1 0
çözüm, 1 2
1 4
1 0 ln
2 x y 1 ln 1 c
Buradan c
0
olduğu görülür. Böylece özel
1
x y x y ln 2 x y 1 ln x 4
4.4
Misal:
6 x 4 y 2 dx 3 x 2 y 1 dy 0 şeklinde verilen
diferansiyel denklemin genel
çözümünü hesaplayınız . Çözüm: katsayılar oranı kontrol edildiğinde 4’ün a) türüne benzediği görülmektedir. a1 a2
b1 b2
c1 c2
6 3
4 2 2 y x c 2 1
y 2x c
Çözümün doğru olup olmadığı verilen diferansiyel denklemde yerine yazılarak sağlaması yapılabilir.
6 x 4 y 2
dx dx
3 x 2 y 1
dy dx
0
6 x 4 y 2 3 x 2 y 1
6 x 4 2 x c 2 3 x 2 2 x c 1 2 0 6 x 8 x 4 c 2 3 x 4 x 2 c 1 2 0 18
dy dx
0
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
2 x 4 c 2
4.5
2 x 4 c 2
0
0
çözümün olduğu görülür.
0
Misal:
2 x 2 y 1 dx x y 1 dy 0 şeklinde verilen
diferansiyel
denklemin
genel
çözümünü ve y(1) 0 hesaplayınız.
Çözüm 1: katsayılar oranı kontrol edildiğinde 4’ün b) türüne benzediği görülmektedir. a1 a2 z
b1
b2
x
c1
2
c2
2
2
y y
x
1
2
z
1
z a x b y
a
1, b
1
olarak kabul edildiğinde,
olur. Bu durumda dz dx dy dy dx dz haline gelir.
Bu değerler verilen diferansiyel denklemde yerine yazıldığında,
2 x 2 y 1 dx x y 1 dy 0
2 x 2 x z 1 dx x x z 1 dx dz 0 2 x 2 x 2 z 1 dx x x z 1 dx x x z 1 dz 0
3 z dx z 1 dz 0 3 x z ln z c
3 dx
z 1 z
dz
3 x z ln z c
1 3 dx 1 z dz c
3 x x y ln x y c
Şeklinde genel çözüm elde edilir . Verilen sınır şartının uygulanmasıyla; 3 x x y ln x y c 3 1 0 c c
2
y(1) 0
3 1 1 0 ln 1 0 c
3 1 ln 1 c
2 x y ln x y 2 verilen sınır şartına uygun özel çözümdür.
Çözüm 2: katsayılar oranı kontrol edildiğinde 4’ün b) türüne benzediği görülmektedir. a1 a2 z
b1 b2
x
c1 c2
y
2 2
2 2
1
1
z a x b y
a 1, b 1
olarak kabul edildiğinde,
y x z olur. Bu durumda dy dx dz haline gelir.
Bu değerler verilen diferansiyel denklemde yerine yazıldığında,
2 x 2 y 1 dx x y 1 dy 0
2 x 2 x z 1 dx x x z 1 dx dz 0 2 z 1 z 1 dx z 1 dz 0
z dx z 1 dz 0 19
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
z dx z 1 dz x
c
z ln z
z 1 dz z
dx
1 dx 1 dz z
x y x ln y x c
2 x y ln x y c
1 1 dx 1 z dz c
2 x y ln x y c
2 1 0 ln 1 0 c
2 0 c c
2
2 x y ln x y 2 şeklinde özel çözüm elde edilir. 4.6
Misal:
2 x y 1 dx x 2 y 1 dy 0 şeklinde verilen
diferansiyel
denklemin
genel
çözümünü hesaplayınız . Çözüm: katsayılar oranı kontrol edildiğinde 4’ün c) türüne benzediği görülmektedir. a1 a2
b1
b2
2
1
3
İlk olarak h ve faydalanılır.
2
x u h, y v k değişken dönüşümü uygulanmalıdır.
k
katsayıları hesaplanmalıdır. Bunun için yukarıda verilen iki denklemden
a1 h b1 k c1 0 a 2 h b2 k c2 0
2 x y 1 0 x 2 y 1 0
2 h k 1 0 h 2 k 1 0
h k
1 1
x uh y v k
x u 1 y v 1
Buradan
2 x y 1 dx x 2 y 1 dy 0
2 u 1 v 1 1
du
u 1
2
v 1 1 dv 0
2 u v du u 2 v dv 0 Yukarıdaki diferansiyel denklemde üsler toplamı eşit olduğundan, homojen diferansiyel denklem türüne benzemektedir. Bunun için u r v değişken dönüşümü uygulanabilir.
Buradan du v dr r dv
olduğu görülür. Bu iki değer yerine yazıldığında,
2 u v du u 2 v dv 0
v 2 r 1 dr 2 r 2 2 dv 0 ln v
1 4
3
2 r v v v dr r dv r v 2 v dv 0
2 r 1 2 r2 2
ln r 1 ln r 1 C 0 4
1
dr dv 0 v
ln v
20
u 3 u ln 1 ln 1 C 0 4 v 4 v
1
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
u 3 u ln v ln 1 ln 1 C 0 4 v 4 v 1
ln y 1 4.7
x u 1 y v 1
u x 1
v y 1
x 1 3 x 1 ln 1 ln 1 C 0 Şeklinde genel çözüm elde edilir. 4 y 1 4 y 1 1
Misal:
x 2 y 1 dx 2 x y 1 dy 0 şeklinde verilen
diferansiyel
denklemin
genel
çözümünü hesaplayınız . Çözüm: katsayılar oranı kontrol edildiğinde 4’ün c) türüne benzediği görülmektedir. a1 a2
b1
b2
1
2
2
İlk olarak h ve faydalanılır.
dönüşümü uygulanmalıdır. x u h, y v k değişken
1 k
katsayıları hesaplanmalıdır. Bunun için yukarıda verilen iki denklemden
a1 h b1 k c1 0 a 2 h b2 k c2 0
x 2 y 1 0
2 x y 1 0
h 2 k 1 0 2 h k 1 0
h k
1
1
x uh y v k
x u 1 y v 1
Buradan
x 2 y 1 dx 2 x y 1 dy 0
u 1
1 du 2 u 1 v 1 1 dv 0
2 v 1
u 1 2 v 2 1 du 2 u 2 v 1 1 dv 0 u 2 v du 2 u v dv 0 Yukarıdaki diferansiyel denklemde üsler toplamı eşit olduğundan, homojen diferansiyel denklem türüne benzemektedir. Bunun için u r v değişken dönüşümü uygulanabilir.
Buradan du v dr r dv
olduğu görülür. Bu iki değer yerine yazıldığında,
u 2 v du 2 u v dv 0 r v 2 v dr r
2
1 dv
r 2 dr 1 dv c r 2 1 v
0
r v 2 v v dr r dv 2 r v v dv 0 1 r2 dr dv 0 v r 1
ln v
2
1 2
3
ln r 1 ln r 1 c 0 2
21
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
ln v
u 3 u ln 1 ln 1 c 0 2 v 2 v
ln v
u 3 u ln 1 ln 1 c 0 2 v 2 v
1
1
x u 1 y v 1
u x 1 v y 1
1 x 1 3 x 1 ln y 1 ln 1 ln 1 c 0 Şeklinde genel çözüm elde edilir. 2 y 1 2 y 1
5. Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler ve uygulamaları (First-order Linear Differential Equations and their applications) Diferansiyel denklem;
dy dx
p x y q x y p x y q x
(5.1)
şeklinde ise buna 1. mertebeden lineer diferansiyel denklem d enir ve çözümü aşağıdaki gibi yapılabilir. 1.Yol: y u x v x
(5.2)
değişken dönüşümü uygulandığında
y p x y q x denklemi;
u v u v p x u v q x
(5.3)
u v u v p x u v q x u v u v p x u v
q
x
u v u p x u v q x
haline gelir. u p x u 0
(5.4)
olacak şekilde seçildiğinde; u p x u olur ve buradan; du dx
e
p x u
ln u
p x dx e
du u
p x dx
ln u p x dx
yazılabilir. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında;
p x dx ue
(5.5)
olduğu görülür. Denklem (4 .3) açılarak tekrar yazıldığında; 22
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
u v x u x v p x u x v x q x
veya
u p x u x v x u x v q x elde edilir. Denklem (4.4) ten dolayı sıfır olan terim 0
atıldığında geriye; u x v q x
(5.6)
u x v q x
ifadesi kalır. Buradan v(x) ifadesi, kullanıldığında, v e
px dx
v e
p x dx
v
1 u x
q x
q
x
olur. u(x) yerine denklem (5.4)
v e
p x dx
q x dx c
veya
q x dx c
Elde edilir.
(5.7)
Denklem (3.2) den dolayı ,
p x dx p x dx y x e e q x dx c
(5.8)
Genel çözümü elde edilir. Çözümler bu son denklem vasıtasıyla yapılır. Veya 2. Yol:
Öyle bir u(x) fonksiyonu seçelim ki; d dx
u y u
dy dx
du dx
y
olsun. Bunun için 1. mertebeden lineer diferansiyel denklem u ile
aşağıdaki gibi çarpılır. dy p x y u q x dx
u
du
Buradan görüldüğü gibi
ln u p x dx
d dx
dx e
ln u
e
dy dx
u p x
p x dx
u p x y u q x du
u
u e
p x dx
p x dx
olmalıdır. İntegral alındığında
sonucuna varılır. Ayrıca;
u y u q x olduğundan her iki tarafın integrali alındığında;
d
dx u y u q x dx c
u
u y u q x dx c
veya;
y x e
px dx e px dx q x dx c 23
y
1
u q x dx c
u
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
olduğu
5.1
görülür. Her iki usulle hesaplanan neticeler birbirinin aynısıdır.
Misal:
Misal 2.8 de verilen
y
yx
diferansiyel denklemin genel
çözümünü hesaplayınız.
x
Çözüm 1:
dy dx
yx
dy
x
dx
1
y 1 Buradan denklemin y p x y q x yapısına uygun x
olduğu görülür. Böylece p x
1 x
p x dx p x dx e q x dx c y x e
, q x 1 dir.
denkleminde yerine yazıldığında;
1 x dx ln x
p x
1 1 x dx x dx e 1 dx c y x e
y x e
y x x ln x c
olduğu görülür.
Çözüm 2:
y
yx x
u x
5.2
y x
dönüşümü sisteme uygulanır.
y u x u 1
y x y x
u x 2 u x u x x
u ln x c
e lnx 1 dx c
1 y x x dx c x
1 1 dx c eln x
y x x
y
ln x
y x y x
u x 1
ln x c
u x u x u x x du dx
1
1
du x dx c
y x x ln x c olduğu
görülür.
Misal:
x 2 y x y x 2 sin x halinde diferansiyel denklemin genel
Çözüm 1: denkleme bakıldığında bölündüğünde; y
x
1 x
y sin x
x
2
çözümünü bulunuz.
li terimler dikkati çekmektedir. Her taraf 1
x
elde edilir ve burada. p x dx ln x ve q x sin x dir.
p x dx px dx Genel denklem y x e e q x dx c
de yerine yazıldığında;
24
x
2
ye
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
y x
1 x
x sin x dx c
y x y x
sin x x
Çözüm 2:
y
1
sin x x cos x c x
cos x
c x
u x
u x 2 u sin x
u
u x e
u x
u
y
2 x
u
1 x
1 2 sin(x) x dx c 2 x x
x
y sin x
u x
cos x
c x
1
y x
x
u x sin x
u x e
x
1
p x dx p x dx e q x dx c y x e
u x u
x
1 1 x dx e2 x dx sin(x) dx c x
sin x
dönüşümü sisteme uygulanır.
sin x
sin x x cos x c 2
5.3 y
y
1 x
veya
y u x u 1
2
ln x 2
ln x sin(x) e dx c x 2
x sin(x) dx c
1
sin x x cos x c x2
genel çözümdür. Her iki çözümün de aynı olduğu görülür.
Misal: 1 x
y e
p x
x
halinde verilen diferansiyel denklemin genel
y x
çözümünü hesaplayınız.
1 dx ln x ve q x ex olduğu görülür. x
p x dx p x dx e q x dx c y x e
1 x
x e x dx c
genel denklemde yerine yazıldığında;
integral tablosundan
kural
(54): x ex dx x 1 ex
olduğundan; y x
5.4
dolayı:
şeklinde elde edilir.
x 2 y x y x 2 sin x
2
x sin x dx sin(x) x cos x olduğundan
ve
1 x
(x 1) ex c
elde edilir.
Misal:
y 2x y x diferansiyel denkleminin genel
çözümünü hesaplayınız.
25
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
Çözüm: p x 2x p x dx 2x dx x 2 ve q x
x
olduğu görülür.
p x dx p x dx y x e e q x dx c genel denkleminde yerine yazıldığında;
y x e x ex x dx c
2
integral tablosundan: ex x dx 2
2
2 1 2 y x ex ex c 2
5.5
1 2
ce
x
2
ex
2
olduğundan;
olarak genel çözüm elde edilir.
2
Misal:
x y 2
x3
y x
1
dy dx
p x ye
x 4 cos x dx x 3 dy
x 2 y x 4 cos x
ln x
ln x
0 diferansiyel denkleminin genel
dy dx
e ln x x cos x dx c
y x x cos x dx c
p x
x
g x x cos x
1
y x cos x
çözümünü hesaplayınız. 1
x
1
x dx
p x
p x dx p x dx e q x dx c ye
1 x cos x dx c x
y x
y x sin x c
6. Bernoulli Denklemi
dy
p x y q x yn
dx
(6.1)
şeklinde verilen denklemlere “Bernoulli denklemi” denir ve çözümü için denklemin her iki tarafı y ile çarpıldığında; n
y
n
dy dx
p x y y n q x yn y n
veya y n
dy dx
p
x y1 n q x haline gelir.
u y1n
(6.2)
dönüşümü uygulandığında; du dx
1 n y n 1
1 n
du dx
dy dx
olur. Buradan;
p x u q x
y
n
dy dx
1
du
1 n dx
her iki taraf 1 n ile
26
olduğu görülür.
çarpıldığında;
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
du
1 n p x u 1 n q x
dx
Böylece
1. mertebeden lineer diferansiyel denklem elde edilmiş olur. Burada çözüm 1 n tamamlandıktan sonra denklem (6.2) den faydalanarak sonra u y ile y fonksiyonu hesaplan mış olur. 6.1
Misal:
y x y x y2
şeklinde verilen diferansiyel denklemin çözümünü hesaplayınız.
Çözüm: denklemin her iki tarafı du
1 y 2
dx
du dx
x u
dy dx
y 2
dy dx
du
x
dx
y 2
y
dy dx
ile çarpıldığında;
2
du
y
2
dy dx
xy
1
x
u y12 y1
değişken dönüşümü uygulandığında;
dx
x u x
elde edilir. Buradan;
p x dx p x dx e q x dx c u x e
1
x x dx x dx u x e e x dx c u x e 2
1
u x e
2
x2
dy dx
2
2
y
1
2
1 x 1 e 2 c y
1
2
olduğu görülür.
1 x 2 1 e c 2
Misal:
2y x y2 şeklinde verilen diferansiyel denklemin çözümünü hesaplayınız.
Denklemin her iki tarafı y2
1 x e 2 x dx c
1 x u x 1 e2 c
12 x e c
Elde edilir. Buradan
6.2
2
dy dx
2y y 2 x y 2 y 2
uygulanmalıdır. 1 du
3 dx ue
2u x
du dx
y 2 ile
çarpıldığında; y2
3y2
dy dx
du dx
dy dx
2y3 x y
2
dy dx
uy
3
değişken
1 du 3 dx
6u 3x elde edilir. Buradan;
p x dx e px dx q x dx c
6dx 6dx u e e 3x dx c
27
dönüşümü
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
1 6x 1 e6x c 12
u e6 x
6.3 dy dx
u
1 12
6x 1 c e6x
1
y3
2
x
1 12
c e 6x
elde edilir.
Misal:
5y
5 2
x y3 halinde
verilen Bernoulli diferansiyel denklemin genel
çözümünü
hesaplayınız. Çözüm: Denklemin her iki tarafı y 3
dy dx
5y y3
5 2
x y3 y 3
y
3
ile çarpıldığında; y
3
dy dx
1 du
5u
2 dx
5 2
x
du
dx
dx
u e 10x e10x 5x dx c
u
u
1 2
x
6.4
1 20
c e 10x
1 y
2
1
1
2
20
x
2y
5
x
2 3 dy dx
uy
y
dy
3
değişken
2
dx
1 du 2 dx
çözümü doğrudan yazılabilir.
px dx p x dx e q x dx c ue
2
elde edilir. Bu denklem birinci mertebeden lineer
10u 5x
diferansiyel denklem olduğundan,
5y
du
dönüşümü uygulanmalıdır. Buradan;
10dx 10dx e 5x dx c ue
e
10 x
1 / 2e
10 x
10 x
x 1 / 20e
c
c e 10 x sonucu elde edilir.
Misal:
x y dx 2 x y dy 0 diferansiyel denklemini çözünüz. 2
Çözüm: ilk önce Bernoulli şekline çevirmek gereklidir.
x y dx 2xy dy 0 2
y
1 2y
y y 1 2
1 2x
y
2x y 2
1
y
y 2x
1 2
y 1
u y2
2
1 u 1 2 2x
u
ue
x y 2xy y 0 2
1 u 1 x
u
p x dx e px dx q x dx c
y y
u 2 y y
y
1 2x
y y
1 2
y y
y y
1
1 2
u
1 x dx ln x
ue
ln x
28
e lnx 1 dx c
x 2xy
y2 2xy
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
1 u x 1 dx c x
u
x ln x c
y2
x ln x c
olduğu görülür. 6.5 2
2
Misal:
dy dx dy dx
2y
3
du
dx
1 x 1
x dy
3
y y
3
x
1
dx 1
y y
u
x
y
2
Bernoulli diferansiyel denkleminin genel çözümünü hesaplayınız.
1
2 y3
u
du
1
dx
1
x
1 1 dx dx x x e 1 dx c u x e
1
u x x 1 dx c x y
2
1
y2
u
1 x 2
6.6
y
1
y 3 y y3 y 3
dx
x
2
du
dx
2 y 3
dy
dx
du dx
2 y 3
dy dx
px dx p x dx e q x dx c u x e
u 1
u x e
u x
dy
ln x
eln x 1 dx c
1 x2
c x 2
u x
x
c
2
x
Genel çözümdür.
c x
Misal:
2 y 2x dx 2y dy 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü hesaplayınız. 2
Çözüm: Denklemi her iki tarafı dx e bölündüğünde,
2 y
2
2x
dx dx
2y
dy dx
0
dy 2 y 2x 2y dx 0 2
1 y x 1 dy 2 y2 2x 2y 0 2y dx y 2 y y
dy dx
1 du
2 dx
y
y 2
1 x y 1 y
1
u 1 x 2
u x e
1dx
e
1dx
x
dx
y
dy dx
dx
0
1
2
dy dx
y
1
x
2
y
y
u
y
2
dy
du dx
dx 2y
x
dy dx
y 2
1 x
y
dy dx
1 y
1 du
2 dx
e 2 e 1 x dx c
u x
1 x e
p x dx p x dx e q x dx c u x e
kuralı uygulanabilir.
1 x e x e x 1
y2 1 x
u 2 1 x
2 1 x dx c
v du d u v u dv 1 x e
du
dy
x
x
v 1 x ve
1 x ex e x 29
ex
u
e
x
d uv
v du u dv
olarak seçildiğinde;
x ex ex x ex olduğu görülür.
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
Bu değerler yerine yazıldığında; x
u x e
6.7
2 x ex c 2x c e x
y2
c e
x
şeklinde genel çözüm elde edilir.
2x
Misal:
2 x y dx x y dy 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü hesaplayınız. 3
4
Çözüm: dy dx du dx
1 x
3
2x
3
y
4
2
3
xy
3
y 2 x y
4 y3
dy dx
u x e
p x dx
e
u x
4
1 du
4 dx
dx
y3
y3
xy
0
dy
4 3 4 y 8x c x
e
ln x
4
3
dy dx
y 2 x 4
1
y3 y 2 x 2 y 3 y 3
dx
x
dy
dx
du dx
p x dx e q x dx c
ln x
dy
8 x dx c 2
4
u 8 x 2 x
3
dy dx
y3
dy dx
y4 x y3
2 x 3 x y3
1
y4 2 x 2
u
x
y
4
4 p x , q x 8 x 2 x
1 1 4 dx 4 dx u x e x e x 8 x 2 dx c
u x x 4
8 x dx c 2
8 c x
u x x4
şeklinde genel çözüm elde edilir.
7. Riccati Diferansiyel Denklemi dy dx
a x y 2 b x y c x
(7.1)
şeklindeki denklemlere Riccati denklemi denir ve a x
0
olduğu zaman çözümü aşağıdaki
gibi 1. mertebeden lineer diferansiyel denklem gibi olur. dy dx
b x y c x
dy
dx
Denklem (7.1) de y y1 y y1
1 u
b x y
c x
bir özel çözüm olmak üzere;
(7.2)
dönüşümü yapılmalıdır. yazıldığında;
y y1
bir özel çözüm olduğundan denklem (7.1) de yerine
y1 a x y12 b x y 1 c x
olur. Denklem (7.2)
(7.3)
den dolayı x e göre türev alındığında; 30
y y1
u u2
olur.
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
y y1
y1
u u
2
1 u
olduğundan
y2
y12 2
y1 u
1 u
yazılabilir. Denklem (7.3) de yerine yazıldığında;
2
y 1 1 a x y12 2 1 2 b x y1 c x u u u
kullanıldığında;
y1 yerine denklem (7.3)
a x y12 b x y1 c x
(7.4)
u
y1 1 1 2 a x y 2 b x y 1 1 c x u2 u u2 u
(7.5)
elde edilir. a x y12 b x y1
her taraf
u
u u
2
y 1 1 a x y12 2 1 2 b x y1 u u u
(7.6)
ile çarpıldığında;
2
a x y12 u 2 b x y1 u 2 u a x y12 2
y1 u
1 2 1 u b x y1 u2 2 u u
haline gelir. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında; a x y12 u 2
b
x y1 u 2
u a x y12 u 2
2a
u 2 a x y1 u a x b x u
veya;
x y1 u a x b x y1 u 2
0
b
x u
u 2 a x y1 b x u a x 0
u 2 a x y1 b x u a x
(7.7)
elde edilir. Bu da 1. mertebeden lineer diferansiyel denklemdir. çözümü elde edildiğinde, denklem (7.2) den dolayı u yerine; 1 u
y y1
7.1 dy
u
1 y y1
yazılarak genel çözüm elde edilmiş olur.
Misal:
dx
y2 y 2 Riccati diferansiyel denkleminin genel
çözümünü bulunuz.
Çözüm: y1
2
ve
y1
1 bu denklemin birer özel çözümüdür. Bunlardan birisini kullanarak
genel çözüm elde edilir. dy dx
a x y2 b x y c x
denklem (7.7)
y 2
1
Denklem (7.1)
u
a x 1, b x 1, c x 2
de kullanıldığında; 31
den dolayı
olduğu görülür. Bu değerler,
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
u 2 a x y1 b x u a x
u 2 1 2 1 u 1
p x dx p x dx e q x dx c u x e
u x e
1 u x e 3x e3x 3
c
1
y2
1 3
u x
ce
y 1
dy dx
y y1
1 u
1
ce
y1
alınarak da
1
1 u
1 u x e3x e 3x c 3
7.2
şeklinde genel çözüm elde edilir. Aynı işlemler
p x dx p x dx e q x dx c u x e
3
3x
e3x 1 dx c
3x
u 2 a x y1 b x u a x
1
3
ce
u 3 u 1
hesaplanabilir.
y 1
1
3x
u 2 1 1 1 u 1
u x e3x e 3x 1 dx c
1
u x
3
ce
u 3 u 1
3x
şeklinde genel çözüm elde edilir 3x
Misal: 2
y
2 x2
Riccati diferansiyel denkleminin çözümünü hesaplayınız.
Çözüm: dy dx
2
y
2 x
2
dy dx
1 y2 0 y
2 x
2
y1
c
bu denklemin bir
x
özel çözümüdür. Bunlardan birisini kullanarak genel çözüm elde edilir. Denklem (7.1)
c1,2
1, 2
den dolayı;
dy dx
y 2
2 x
2
olur. Bu değerlerden birisi kullanıldığında;
Denklem (7.7)
x
2
c2 x
2
2
2 x
2
y
2 0 u 1 x
u
y1
x
u 2 1
u 2 a x y1 b x u a x
p x dx p x dx u x e e q x dx c
4 4 x dx x dx u x e e 1 dx c
32
den dolayı değerler yerine yazıldığında;
c
c
2 x
4 x
2
c
1
u
u 1
2
0
olur.
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
x
u x
2 x
2
y
x
x
x 3 u x x c 3
dx c
4
4
1
3 x 3cx
4
y
y
1 x
1 u
1 2Cx 3 x 1 Cx
3
,
u x e
p x dx
x
u x
x
2
3x
2
dy dx
x 3 3c
3x2 x 3 3c
2
y
1
3x 3 x 3 3c
x
x x 3 3c
e
u x
2 dx x
x3 u x x c 3
dx c
2
1 x
1
y1
1 x
özel çözümü alınarak da
den dolayı değerler yerine yazıldığında;
1 u 2 1 0 u 1 x
p x dx e q x dx c
elde edilir. Bu
7.3
cx 4
C 3c
olur. Denklem (7.7)
u 2 a x y1 b x u a x
y
3
olduğundan u değeri yerine yazıldığında;
u
hesaplanabilir.
u x
x
3
Sağlaması yapıldı ve doğru olduğu görüldü. Aynı işlemler
1
u x
x 3cx 4
u x
y
4
u
2 x
u 1
x2 dx e 1 dx c
u x
x 3
c x
2
olduğundan u değeri yerine yazıldığında;
u
2x 3c 3
y
x x 3 3c
denklem de çözümü sağlamaktadır.
Misal:
y2 x y 1 Riccati diferansiyel denkleminde, y1 x özel çözümü olduğuna göre, genel
çözümünü hesaplayınız. Çözüm:
yx
alındığında, y y2 xy 1 x 2 x x 1 1 çözümü sağladığı görülmektedir.
u 2 a x y1 b x u a x u x e
u 2 1 x x u 1
px dx e px dx q x dx c 33
u x u 1
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
u x e
xdx
ax2
e
dx
u x e
y y1
erf ax
2
a
2
u
1 dx c
1
x2
1
e
xdx
e
1 2 x 2
dx
x2 2
x e 2 dx c 2
1 erf x 2
1 2
1 2
1 erf x 2 1 c 2 1 2
olduğundan,
1
yx e
7.4
u x e
x
2
2
1 erf x 1 2 c 2 1 2
Misal:
1 x
2
2 x y y 2 dx dy 0 diferansiyel denkleminde y1 x
özel çözümü bilindiğine göre
genel çözümü çözümü hesaplayınız. Çözüm:
y
x
dy
alındığında,
sağladığı görülmektedir.
dx
y y1
u 2 a x y1 b x u a x
du 1 dx c
u x c .
1 u
1 y2 2 x y 1 x 2
yx
1 u
1 x2 2 x x 1 x2
çözümü
. Bulunması gereken u fonksiyonudur.
u 2 1 x 2 x u 1
Buradan genel çözüm:
yx
1 u
du dx
yx
1
1 cx
Şeklinde hesaplanır. 7.5 dy dx
Problem: 1 y x 1 , y1 x 1 Riccati diferansiyel denkleminin verilen özel çözümü için genel 2
çözümünü hesaplayınız. Çözüm:
dy dx
1
y x 1
2
dy dx
1 y2 x y y x y x 2 x y x 1
34
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
dy dx
1 y2 x y y x y x 2 x y x 1
7.6 dy dx
dy
1 y2 2 x y 1 y 2 x x 2
dx
Problem: 1 x y 2 2 x 1 y x, y 1 1 Riccati diferansiyel denkleminin verilen özel çözümü için
genel çözümünü hesaplayınız. Çözüm: 7.7 x2
dy
1 x y2 2 x 1 y x,
dx
y1
1
a x 1 x , b x 2 x 1 , c x x, y1
1
Problem: dy dx
x 2 y2 x y 1, y1
çözümünü hesaplayınız. Çözüm: 7.8
x2
dy dx
1 x
Riccati diferansiyel denkleminin verilen
x 2 y2 x y 1, y1
1 x
özel çözümü için genel
a x x 2 , b x x, c x 1, y1
1 x
Problem:
dy 1 x dx y x y 2 x, 3
2
2
y1
x 2 Riccati diferansiyel denkleminin verilen özel çözümü için
genel çözümünü hesaplayınız. Çözüm: 1 x 3
dy dx
y
2
x
2
y 2 x
dy dx
1 1 x3
y
2
x2 1 x3
y
2 x 1 x3
8. Clairaut Diferansiyel Denklemi
y x
dy dx
f(
dy dx
)
(8.1)
şeklindeki diferansiyel denklemlere Clairaut Denklemi denir. Denklem (8.1) in, x e göre türevi alınıp tekrar düzenlendiğinde; x f (dy / dx)
d2y dx 2
0
(8.2)
elde edilir. Çözümü : y c x f (c)
(8.3)
şeklindedir. 8.1
Misal: 2
dy 2 Clairaut diferansiyel denkleminin çözümünü hesaplayınız. y x dx dx dy
35
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
Çözüm: denklemde
dx
c
yazılarak genel çözüm hesaplanır.
şeklindedir.
y c x 2 c2
8.2
dy
Misal:
y x y
a
2
Clairaut diferansiyel denkleminin çözümünü hesaplayınız.
y
Çözüm: denklemde
dy dx
y xp
p olsun. Bu durumda;
a2 p
f x, p
olur.
Her
tarafın x e göre türevi alındığında; a 2 dp p p x 2 p dx
a 2 dp x p2 dx 0
dp
çıkmaktadır. 1. Durum:
dx
0
denklemde yerine yazıldığında; 2. Durum: x
a2
p2
yazıldığında; a2 x
y 2a 2
2
2
0
olursa; p
p y x p a 2
a2 x
y2
olursa; p
y Cx
2
2
Burada
4a 4
a
a2
C
farklı
durum Bu
olur.
karşımıza değer
ilk
elde edilir. Bu genel çözümdür. Veya
C
2
x
iki
olur. Bu değer ilk denklemde yerine
p y
y2
2
x
4a 2 x
p
2
a
2
2
a2 y x a2 x x
a
2
2
2
elde edilir. Bu tekil (sadece bir
durum için geçerli, özel) bir çözümdür ve yukarıda (durum:1 de) elde edilen denklemdeki C nin herhangi bir değeri için bu sonuç asla elde edilemez . Yani özel çözümdür. Halbuki birinci merteden bir diferansiyel denklemde 1 tane sabit bulunmalıdır. 9. Tam Diferansiyel Denklemler (Exact Differential Equations) Birinci mertebeden bir diferansiyel denklem f x, y c
şeklinde tanımlı olsun. Türevi
alındığında; df (x, y)
olur.
f x
dx
f y
dy 0
(9.1)
Bu kısaca aşağıdaki gibi göster ilebilir.
M x, y dx N x, y dy 0
(9.2)
veya M x, y N x, y
dy dx
0
haline gelir. 36
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin M
Şeklinde ve
y
N x
(9.3)
ise buna tam diferansiyel denklem denir .
Çözümü aşağıdaki gibidir :
f x, y M x, y dx g y
(9.4)
dg y f(x,y) M(x, y) dx N(x, y) y y dy dg y dy
N(x, y)
M(x, y) dx y
olduğundan;
olur. Her iki tarafın integrali alındığında;
N(x, y) M(x, y) dx dy hesaplanır. Bu değer denklem (9.4) de yerine y yazıldığında çözüm elde edilmiş olur. Veya benzer işlemler; g y
f x, y N x, y dx g x
(9.5) dg x f(x,y) N(x, y) dy M(x, y) dx x x
alınarak tekrarlanır.
f x, y N x, y dx g x
9.1
Misal:
2 x y dx x 2 y dy 0 şeklinde verilen diferansiyel denklemin genel çözümünü hesaplayınız. Ayrıca y 0 0 başlangıç şartını kullanarak özel çözümünü hesaplayınız.
Çözüm 1: M x, y dx N x, y dy 0 şeklinde bulunduğundan tam diferansiyel denklem olup olmadığı test edilmelidir. M 1 ve y
N x
1
M N olduğundan tam diferansiyeldir. y x
f x, y M x, y dx g y
f x, y x 2 xy g y
N(x, y)
dg y 2 x xy y dy
g y y 2
2 x y dx g y c f(x,y) y
N(x, y)
x 2y x
f x, y x 2 x y y2 c
olduğundan; dg y dy
x 2 x y y2
dg y dy
c
2y
olarak elde edilir.
Çözüm 2: Veya f x, y N x, y dy g x x 2 y dy g x x y y 2 c 37
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
M(x, y)
y
dg x 2 xy y x dx
dg x dx
2x y
dg x
f x, y x y y 2 g x c
dx
dx 2x dx x y y2 x 2
başlangıç şartı uygulandığında, çözüm bulunur. 9.2
M(x, y) y
2
00 0
0
2
dg x dx
2x y
g x x2
c
olarak aynı sonuç bulunur. y 0 0
c
c
x y y2
0
x 2 0 şeklinde özel
Misal:
2 x y dx 2 x y dy 0 diferansiyel denkleminin tam diferansiyel olup olmadığını test 2
ediniz. Tam diferansiyel ise genel M y
2y ve
N
x
çözümünü hesaplayınız. M
ve
2y
y
N
olduğundan
tam
diferansiyeldir.
2x y dx 2xy dy 0
olur. Bu da
x
Çözümü:
f x, y M x, y dx g y
x y
2
xy
f x, y x 2 xy 2
df (x, y)
2
2
f(x,y) N(x, y) y
f x, y x 2 x y2 g y
N(x, y)
2 x y dx g y c
dg y dy
olduğundan;
2xy 2xy
dg y dy
dg y dy
0
şeklindedir. Sağlama için;
c
f f dx dy 0 x y
olmalıdır.
2 2 2 2 x xy dx x xy dy 0 x y
2
diferansiyel denklemin kendisidir. Aynı problem diğer şekilde de çözülebilir.
f x, y N x, y dy g x
f(x,y) M(x,y) x 2x y 2 y2
2xy dy g x
olduğundan;
dg x dx
f x, y xy 2 x 2 c
M(x, y)
dg x dx
f x, y xy
xy x 2
2x
2
g x
olur.
dg x dx g x x2
olduğu görülür. Elde edilen sonuçların ikisi de aynıdır.
38
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
9.3
x
Misal:
2
y2 dx 2xy dy 0 ile verilen diferansiyel denklemin genel
çözümünü bulunuz.
Çözüm: M x, y dx N x, y dy 0 şeklinde bulunduğundan tam diferansiyel denklem olup olmadığı test edilmelidir. M N 2y, 2y y x
M
x
x3 f x, y xy2 g y 3
f x, y
3
xy c
2
y 2 dx g y c
y
3
y2
homojen diferansiyel olup olmad ığı
x
2
dy
dx
y
2
dx 2xy dy 0
x 2 y2
f x , y
x
2
dg y
dg y
dy
c
dy
0
olarak elde edilir. Ayrıca 1. mertebeden
x
da test edilebilir. 2
y
dx 2xy
f x , y
2xy
olduğundan;
N(x, y)
2xy 2xy
x2
olduğundan tam diferansiyeldir.
x
f(x,y)
dg y x3 2 N(x, y) xy y 3 dy 2
N
y
f x, y M x, y dx g y
x3
x 2 y2
dy dx
dx
f tx, ty
2xy
0
dy
x y 2
t 2x 2 t 2y2 2 tx ty
2
2xy
t 2 x 2 y2 t 2xy 2
olduğundan 1. mertebeden homojen diferansiyel denklemdir ve dönüşümü ile de çözülebilir. f x, y f t x, t y
dy
dx
ux
ux
du dx
du dx
x2 u x
u2 1
2 u
2
2x u x
ux
x
2u du 1 dx 3u2 1 x
du dx
u 2 1 2u 2
2u
2
1
3u
2
1 3
e
x
2x 2 u
x 2 1 u 2 2x 2 u
3
ln 3u
1
c
dx
x 2 x 2 u2
x
du dx
3u
2
1
2u
şeklinde yazıldığında ;
2u 1 du 3u 1 x dx c 1
du
y
y 3 ec 3 x 2 1 x 2
2
1 1 ln c x
y2 x 2 e3c 3 x2 x3 39
1
e3
ln 3u 2 1
e
1 ln x
ec
y2 x 2 2 e3c 2 3 x 2 x x3 x
u x
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
3y2
dx
dy
x2
C
olarak aynı sonuç elde edilir. Benzer işlemler
x
2 x y
x
2
y
ve
2
x
2 v y2 vy 2 dy dy v y y 2
dx
dönüşümü yapılarak da hesaplanır.
v y
dv
2v 2 vy dy v 1 dv
v2 1 1 y dy 3v v 3 dv
ln y ln 3 v
1
1
ln y ln 3 v 3 y v 3 v
2
1
2
2
ln v 3
ln 3 v
ln v
1 2 6
ln y ln v 3 v
x 3y 2 x 2 y 1 2 y y
1
x y dx 2xy dy 0 y
du dx
1 x y y y y 1 dx 2x 2 dy
2 y
dy dx
p x dx
y
dy dx
1 x dx ln x
1 du 2 dx
v2 1
dx
e
p x dx
x 2 y2
px dx e px dx q x dx c
1
3
ln v 3
3
e
2
eln x x
40
1 3
2 x x y 3 2 1 y y
2
C x
olur.
Aynı denklem
1 x y y1 dx 2 x 2
olduğu
olmalıdır. Yani;
e
dy
1 x y2 dx 2 x 2
1 x u 2 dx 2x 2
ln v 3 v 2
yapısına uymalıdır.
dy
1 du
ln y
3
3y x
2xy y
1
1
y p x y q x y n
dy
2
yazıldığında; u x e
2
2
x 3y2 x 2 c
Bernoulli olarak çözüldüğünde, 2
y v 3 v 1 3
v 3 v2 3
3
2
ln y ln 3 v
1
y
dy
v3
ln y 1 / 2ln 3 v 2 1 / 3ln v 1/ 6ln 3 v 2
1 3
y
3v
1 v 1 dv dy 3v v 2 3v v 3 y
1 v 1 dv c dy y 3v v2 3v v3 2
dv
u
y2
1 u x dx x du
görülür.
Değerler
yerine
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
1
u x x dx c x
1 x3
u c x 3
y
2
x2
3
c x
Üç farklı usulle elde edilen neticeler birbirinin aynıdır. 9.4
Misal:
2xy sec x dx x 2
2
2y dy 0 ile verilen diferansiyel denklemin genel çözümünü
hesaplayınız. Çözüm: M x, y dx N x, y dy 0 şeklinde bulunduğundan tam diferansiyel denklem olup olmadığı test edilmelidir. M N 2x, 2x y x f x, y
dy x 2y
9.5
M
y
N
tam diferansiyeldir. f x, y M x, y dx g y c
x
2xy sec x dx g y c 2
f(x,y) N(x, y) y dg y
2y sin x cos x
N(x, y)
g y y2
sin x
cos x
f x, y x 2 y
g y
sin x dg y 2 x y cos x dy y
f x, y x 2 y
sin x cos x
y2
x 2 2y x 2
dg y dy
c
şeklinde genel çözüm bulunur.
y2 c
Misal:
1 2 x y2 dx 2 x 2 y cos y dy 0 diferansiyel denklemini çözünüz. x M x, y dx N x, y dy
0
şeklinde bulunduğundan tam diferansiyel denklem olup olmadığı
test edilmelidir.
N M 1 2x 2 y cos y 4xy 2xy 2 4xy ve x x y y x
M N y x
olduğundan
diferansiyeldir. f x, y
1 2 x y2 dx g y x
dg y f 2x 2 y y dy
f x, y ln x x 2 y 2 g y
f ln x x 2y 2 g y y y
dg y f N 2x 2 y cos y olduğundan 2x 2 y y y dy
41
dg y dy
cos y
tam
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
dg y cos y dy
g y
sin y
şeklinde genel çözüm
ln x x 2 y2 sin y c
elde edilir.
9.6
Misal:
3 x
2
6 x y2 dx 6 x 2 y 4 y3 dy 0 diferansiyel denklemini çözünüz.
M x, y dx N x, y dy 0
şeklinde bulunduğundan tam diferansiyel denklem olup olmadığı
test edilmelidir. M y
3 x y
2
6x y
2
12 x y ve
N 6 x 2 y 4 y3 12 x y x x
M
y
N x
olduğundan
tam diferansiyeldir. f x, y
3 x
2
6 x y 2 dx g y
dg y f 6 x2 y dy y
dg y 4 y 10.
3
dy
f
y
N y
f x, y x 3 3 x 2 y 2 g y
olduğundan
6 x2 y
g y y4 x 3 3 x 2 y 2 y 4
dg y
dy c
f 3 x 3 x 2 y 2 g y y y
6 x2 y
4 y3
dg y dy
4 y3
şeklinde genel çözüm elde edilir.
İntegrasyon Çarpanı ile Tam Diferansiyel Hale Getirilebilen Denklemler
Birinci mertebeden bir diferansiyel denklem f x, y c
şeklinde tanımlı olsun. Diferansiyeli
alındığında; df (x, y)
olur ve
f f dx dy 0 x y
(10.1)
kısaca aşağıdaki gibi gösterilebil ir.
M x, y dx N x, y dy
0
(10.2)
Tam diferansiyel denklem, denklem (9.3)
M N M N şartını sağlıyordu. y x y x
ile gösterilen
olduğundan bu şart;
x, y M x, y dx x, y N x, y dy 0
(10.3)
integrasyon çarpanı ile sağlanmış olsun. Bu durumda tam diferansiyellik şartı aşağıdaki gibi yazılabilir. denkleminde bulunan x, y
M N y x
(10.4)
Bu şartın daha açık yazılmasıyla; 42
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
M N M N olur. Her iki tarafın M N olur. Buradan; N M y x x y y y x x
x, y
ye bölünmesiyle; M 1 N M x y y olur Burada
N x
(10.5)
bir çok tür karşımıza çıkar. Bunlardan 6 adedi aşağıda verilmiştir.
e
d
Yukarıdaki denklem ile ilgili integrasyon çarpanını bulmak için aşağıda verilen Tablo 1 den faydalanılabilir. Tablo 1: İntegrasyon çarpanı ile ilgili hazır değerler
x
x
y
My Nx
My
N
Nx
My
M
y
x
xy
y
Nx y N x M My
Nx
N M
x 2 y2
M
y
M
N x y2
y
2x N
yN xM
Nx y M
Bu değerlerin nasıl hesaplandığı aşağıda verilmiştir. 10.1 x integrasyon çarpanı sadece x e bağımlı olduğu durum:
Burada yapılan tüm çözümler Denklem (10.5) den yararlanarak hesaplanmaktadır. x, y fonksiyonu sadece x
e bağlı olduğunda;
x
şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla
y
0
olacaktır. Bu değer yerine yazıldığında; 1 N M x y 1 d
dx
M N y x N
M N y x p x
ln p x dx
1
elde edilir. ln e
e
N
d dx
Böylece;
pxdx
M N y x 1 d
dx
olur. Buradan;
p x
d
p x dx
e
p x dx
Dikkat: işlemler
sonucunda elde edilen x integrasyon çarpanı, x, y şeklinde çıkarsa yukarıdaki denklem uygulanamaz ve aşağıdaki 2. yol izlenir. My
Burada
p x
10.1.1
Misal:
Nx
N
ile tanımlıdır ve sadece x in fonksiyonu olmalıdır.
43
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
x y 1 dx x 2 x y dy 0 şeklinde verilen diferansiyel denklemin, ilk önce tam diferansiyel olup olmadığını test ediniz ve tam diferansiyel değilse, integrasyon çarpanını hesaplayıp, çözümünü yapınız. M y
N
x ve
x
M
ve
2x 1
y
N
olduğundan tam diferansiyel değildir.
x
Çözümü: ilk önce integrasyon çarpanı hesaplanmalıdır. p x
My
Nx
N
x 2x y x 2 xy
e
e
x
yx
1 x y x x
1 dx x
px dx
1
e
1
xy 1 dx x 2 xy dy 0
M y
x
1 ve
df (x, y)
N
1
x
f f dx dy 0 x y
M y
dy
xy
dg y
dy
f x, y M x, y dx g y f x, y xy ln x
y
x
y
c
1
olduğundan;
x
y 1 dx x y dy 0 x
olduğundan tam diferansiyeldir y 1 dx x y dy 0 x
1
dx g y
x
dg y f(x,y) M(x, y) dx N(x, y) y y dy
g y y dy
g y
olduğundan;
y2 2
olduğundan, yerine yazıldığında;
2
2
f x, y y
f x, y xy ln x g y
x
N
olmalıdır.
f x, y M x, y dx g y
dg y
ln X
xy ln x
y2 2
olduğu görülür.
c
İntegrasyon çarpanı için 2.yol tercih edildiğinde; p y
N x
My M
2x y x x y xy 1 xy 1
p y
xy xy 1
fonksiyonu hem x hem de y ye bağımlı olduğundan, integrasyon katsayısı geçerli değildir.
p p x, y
Bernoulli denklemine uygun olup olmadığının test edilmesi için, Bernoulli denklemi şekline dönüştürmek gereklidir. 44
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
xy 1 dx x 2 xy dy 0 1
x y y y
y
x
xy 1 x 2 xy y 0
1 xy
y
1
x x y y xy 1
uygun değildir. Aşağıda tam diferansiyel
x x y
hali denendi ve onun da uygun olmadığı görüldü. y 1 dx x y dy 0 x
x y
dy
dx
10.1.2
1 xy
dy
x y
x
y 1 x y dy 0 x dx
dx
1
x y
dy dx
1 x
y
uygun olmadığı görülmektedir.
y x
Misal:
Misal 6.4 te verilen
x y dx 2xy dy 0 diferansiyel denklemin tam diferansiyel olup 2
olmadığını
test ediniz ve tam diferansiyel değilse, integrasyon çarpanını hesaplayıp, çözümünü yapınız. M y
2y ve
N
x
M
ve
2y
y
N
olduğundan tam diferansiyel değildir.
x
Çözümü: ilk önce integrasyon çarpanı hesaplanmalıdır. p x
e
1 x2
My N x N
2y 2y
x y dx
1
2
2xy
2ln X
x2
4y
2
2xy x
1 x
e
p x dx
e
2 dx x
olduğundan;
2
2xy dy 0
1 y2 2y 2 dx dy 0 x x x
M 1 y 2 y N 2y y 2 2 2 ve 2 2 y y x x x x x x x
haline gelir ve
M N olduğundan tam diferansiyeldir y x
ve çözümü tam diferansiyel denklem gibi yapılır.
f x, y M x, y dx g y
f x, y ln(x)
y
2
x
1 y2 f x, y 2 dx g y x x
g y
dg y f(x,y) M(x, y) dx N(x, y) y y dy
y2 dg y f (x, y) ln(x) N(x, y) x dy y y
2y x
g y N(x, y)
2y x
g y
2y x
f (x, y) 2y dg y N(x, y) y dy x
g y 0
45
olduğundan;
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
g y
ln(x)
f x, y ln(x)
ve
c
y2
c 0
x
10.1.3
y2
x
g y
olduğundan;
y 2 ln(x) c x 0
elde edilir.
Misal:
2x y dx xy 1 dy 0 diferansiyel denkleminin x
(x)
integrasyon çarpanını bularak
genel çözümünü elde ediniz. Çözüm 1: 2x y dx xy 1 dy 0 x p x
My
1
Nx
N
e
e
1
x
N x
y
1 xy
y
p x x xy 1
p x
x 1 xy 1 xy 1 x xy 1
e
ln X
1
y 1 y 1 2 2 dx y dy 0 2x dx xy 1 dy 0 x x x x x M N 1 olduğundan tam diferansiyeldir. N y x x
f f dx dy 0 x y
olmalıdır.
f x, y M x, y dx g y
f x, y 2x
x
1
My
1
x2
2
df (x, y)
1
p x
olduğundan;
x
1
x
1 dx x
px dx
My
dg y dy
y x
y
1
x
dg y dy
f x, y M x, y dx g y f x, y 2x
Çözüm 2:
y x y
y2 2
c
u x
f x, y 2
g y
y
y 1 2 x 2 dx y x dy 0
y dx g y x2
y dg y f (x, y) 2x N(x, y) olduğundan; x dy y y
g y y dy
g y
y2 2
olduğundan, yerine yazıldığında;
şeklinde genel çözüm elde edilir.
2x y dx xy 1 dy 0 x
dy du x u dx
dönüşümü uygulansın.
2x u x dx x u x 1 du x u dx 0 x 46
x
PAÜ, Mühendislik Fakültesi, Diferansiyel Denklemler Ders Notları, Z.Girgin
2x u dx x2 u 1 du x u dx 0
2x x
2
u2 dx x3 u x du 0
2x u dx x2 u 2 u dx x3 u x du 0 Her taraf x e bölündüğünde (çünkü bütün
2
terimlerde x bulunmaktadır); 1 x
2x x 2 u 2 dx x 3 u x du 0
M
2 x u 2 x u ve u
u
2
x u
2
dx
N 2 x u 1 2 x u x x
x
2
u 1 du 0
M
u
N
olduğundan
x
tam
diferansiyeldir.
f x, u M x, u dx g u f x, y 2 x
x
2
u
dg u du
x2 2
u g u 2
x2 u 1
f x, u 2 x
x2 2
f x, u
u g u 2
2
x 2 2 dg u f (x, u) 2x u N(x, u) 2 du u u
2 x u dx g u
dg u du
1
f x, u 2 x
2
x2 y y f x, y 2 x 2 x x 10.1.4
2 x y
2
f x, y 2 x
dg u du x2 2 y2 2
u
u2 u
y x
c
g u u
y
u x
olduğundan;
u
y
x
genel çözümdür.
Misal:
2 dx 2y dy 0 diferansiyel
hesaplayarak
denkleminin
integrasyon
(x)
çarpanını
genel çözümünü elde ediniz.
Çözüm: İlk önce diferansiyel denklemin tam diferansiyel olup olmadığı test edilmelidir. N M M N 2y 0 2 x y 2 2 2y ve olduğundan tam diferansiyel x x y y y x değildir. O halde integrasyon p x
p x
e
My Nx
2 y2 2x x 2y y
N
px dx
x ise
e
px dx
ve
sadece x in fonksiyonu olmalıdır.
N My Nx
çarpanı bulunmalıdır. Eğer
e
2y 1dx
p x
2y
2y
0
1
şart
sağlandı.
ex
ex y2 2xex dx 2ex y dy 0 N M N M 2ex y 2ex y 2ex ex y2 2xe x 2e x y ve x x y y y x
ex 2 y2 2x dx ex 2ydy 0
2e
x
diferansiyeldir. 47
olduğundan
tam
