EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICA I UNIDAD I
INECUACIONES POLINÓMICAS 1) Resolver la siguiente inecuación: x 3 – 3x 3x2 – x x + 3 < 0 Solución: Aplicando el método de Ruffini 1 1
3
1 1
2
1
2
3
3 3
0
(x – (x – 1)(x 1)(x2 – 2x – 2x – 3) 3) = 0 (x – (x – 1)(x 1)(x + 1)(x – 1)(x – 3) 3) = 0 Obtenemos los puntos críticos: x = 1 abierto; x = -1 abierto; x = 3 abierto
Rpta. – ; – – 1 1;3
2) Resolver la siguiente inecuación: (x – (x – 3) 3)420(x + 5)771(x2 + 3x + 9) > 0 Obtenemos los puntos críticos: x – 3 3 = 0 entonces x = 3 abierto (al tener potencia potencia par no se considera en el intervalo, pero se mantiene la solución) x + 5 = 0 entonces x = -5 abierto x2 + 3x + 9 = 0 analizando el discriminante ∆: (3) 2 – 4(1)(9); – 4(1)(9); ∆: -27 < 0 entonces C.S.:
Rpta. – 5; 5; - {3}
3) Resolver la siguiente inecuación:
(x 4) (x 5)(x 2)
0
Obtenemos los puntos críticos: x – 4 = 0 entonces x = 4 cerrado x + 5 = 0 entonces x = -5 abierto x – 2 = 0 entonces x = 2 abierto
Rpta. -;-5 2;4]
INECUACIONES RACIONALES 4) Resolver
SOLUCIÓN:
Llamemos p(x)= x+2 y q(x)=x+3, entonces: Encontrando los puntos críticos: Para el numerador: x+2=0, el valor de x que hace cero la expresión es -2, punto crítico x=-2. Cualquier valor mayor de -2 hace positiva la expresión (x+2) y cualquier valor menor de -2 hace negativa dicha expresión. Se hace la recta real con este análisis.
Para el denominador: x+3=0, el valor de x que hace cero la expresión es -3, punto crítico x=-3.
Se agrupan los dos resultados y se hace producto de signos.
Como la fracción debe ser mayor que cero, la solución será los intervalos positivos del producto, es decir
5) Resolver:
SOLUCIÓN:
Primero debemos de transformar la expresión de tal forma que el segundo término sea cero, para hacer la comparación.
Operando y simplificando
Ahora si tenemos la fracción comparada con cero, por lo que analizamos el numerador y el denominador para obtener los puntos críticos. 6-3x=0, X=2. Punto crítico (2). Todos los valores mayores que x=2, hacen la expresión negativa y todos los valores menores que x=2 la hacen positiva.
2x-1=0,
x=
punto crítico (1/2). Todos los valores mayores que ½ hacen la expresión
positiva y los valores menores que ½ la hacen negativa.
Al hacer el producto de los intervalos se obtiene la siguiente gráfica:
Como la desigualdad inicial debe ser negativa; es decir, menor que cero, entonces la solución serán los intervalos negativos. Es decir:
6) Resolver:
SOLUCIÓN:
Pasando x al primer término
Efectuando la diferencia
Se descompone el numerador en producto de factores dividiendo por Ruffini
El polinomio cociente que se obtiene en la anterior división es , que no tiene raíces reales. Por tanto, el numerador queda Se factoriza el denominador, teniendo en cuenta que es diferencia de cuadrados,
.
Así la ecuación inicial se puede escribir
NOTA:
Al ser para cualquier valor de x, el signo de
se puede
determinar estudiando el signo del resto de factores.
Puntos Críticos:
X1= -1 X2= 1 X3= 3
Ahora pasamos a analizar el signo de cada uno de los factores, en los intervalos determinados por las raíces del polinomio, y efectuando el producto se obtiene su signo.
Observar que de los extremos de los intervalos, ni -1 ni 1 son solución de la inecuación, ya que anulan el denominador, pero sí lo es -3. Por tanto, la solución es el conjunto
