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BLUEFIELDS, INDIAN & CARIBBEAN UNIVERSITY (BICU – CIUM) INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II PROBLEMAS PROPUESTOS

TEMA: MODELOS DE COLAS 1. Debido a quejas recientes la división de mantenimiento de California Gas and Electric está tratando de decidir cuántos reparadores necesita tener para proporcionar un nivel aceptable de servicio a sus clientes. Las quejas llegan a un centro de servicio de acuerdo con una distribución exponencial con una tasa promedio de 20 llamadas al día. El tiempo que tarda un técnico reparador en llegar al lugar donde se le llamó, resolver el problema y regresar también sigue una distribución exponencial con un promedio de 3 horas y 30 minutos. Identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas: a. Los clientes y los servidores. b. La población de clientes y su tamaño. c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas. d. El proceso y la disciplina de colas. e. El proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo-servicio. 2. El portaaviones U.S.S. Enterprise tiene un complemento de 80 aviones caza a chorro. Después de operaciones de rutina, los aeroplanos son llevados de la cubierta de vuelo a una cubierta inferior, dos a la vez. El recorrido en elevador de una cubierta a otra dura 20 segundos y se necesitan 10 segundos para cargar y descargar una aeronave del elevador. Los aeroplanos llegan al elevador de la cubierta de vuelo cada 30 segundos. Identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas: a. Los clientes y los servidores. b. La población de clientes y su tamaño. c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas. d. El proceso y la disciplina de colas. e. El proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo-servicio. 3. El gerente de American Savings Bank desea determinar el número mínimo de cajeros que necesita para atender a los clientes que llegan a la hora de almuerzo. El tiempo promedio entre la llegada de dos clientes es de 2 minutos, pero el tiempo real entre llegadas sigue una distribución exponencial. Cada cajero puede atender un promedio de 12 clientes por hora, pero el tiempo de atención de cada cliente varía de acuerdo a una distribución exponencial. Identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas: a. Los clientes y los servidores. b. La población de clientes y su tamaño. c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas. d. El proceso y la disciplina de colas. e. El proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo-servicio. 4. La planta de American Auto tiene una máquina que opera continuamente y que conforma piezas de lámina de metal en parachoques para automóvil. La lámina de metal es acarreada en una cinta transportadora con una velocidad continua de dos piezas por minuto. Cada pieza que llega es puesta encima de las que llegaron antes, hasta un máximo de 20; en ese momento la cinta se detiene. Ésta reinicia su movimiento cuando el número de piezas en cada pila baja a menos de 20 piezas. Cada 42 segundos, un brazo robot levanta la pieza de la parte superior de la pila y la coloca en la máquina conformadora que, entonces produce la defensa. Identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas: a. Los clientes y los servidores. b. La población de clientes y su tamaño. c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas. d. El proceso y la disciplina de colas. e. El proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo-servicio. 5. El dueño de Fast Foods, Inc. desea determinar el impacto de convertir el expendio de una sola ventanilla para autos en un expendio con dos ventanillas. En la primera ventanilla los clientes ordenarían y pagarían la comida. En la segunda ventanilla, recogerían la comida. Los automóviles llegan de acuerdo con una distribución exponencial con una tasa promedio de 90 por hora durante el periodo de almuerzo de 11:45 a 13:15 horas. Sin

Compilado por: Jorge Pineda Taylor


embargo, si la vereda para autos que se encuentra frente a la primera ventanilla está llena (con un máximo de hasta 20 coches), el cliente que llega no se queda en la fila, sino que se va. La vereda que se encuentra frente a la segunda ventanilla solamente puede alojar a 3 automóviles. El tiempo para hacer una orden, pagar y recibir el cambio sigue una distribución exponencial con un promedio de 20 segundos. La cantidad de tiempo que toma recibir la comida varía de acuerdo a una distribución normal. En promedio, una orden es surtida en 30 segundos, con una varianza de 9. Identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas: a. Los clientes y los servidores. b. La población de clientes y su tamaño. c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas. d. El proceso y la disciplina de colas. e. El proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo-servicio. 6. La ciudad de Tokyo acaba de abrir un pequeño aeropuerto doméstico en tierras de relleno de la bahía de Tokyo. Hay dos pistas disponibles para las aeronaves que llegan y que aterrizan en el mismo orden en que van llegando. Por razones de seguridad, la Comisión de Tráfico Aéreo de Tokyo ha determinado que cuando mucho 12 aeronaves pueden estar en tiempo de espera para aterrizar en cualquier momento. Si llegan más aeronaves, éstas son desviadas hacia el aeropuerto de Haneda. Durante los periodos pico, se proyecta que los aviones aterricen de acuerdo a una distribución exponencial a una tasa promedio de 30 por hora, y despeguen a una tasa de 20 por hora. La fase se aterrizaje de un aeroplano principia cuando el personal de la torre de control da permiso de aterrizar a un piloto. Los datos provenientes de otros aeropuertos que tienen configuraciones de pistas similares indican que el tiempo requerido para aterrizar y salir de la pista sigue una distribución normal con una media de 80 segundos y una desviación estándar de 30 segundos. La aeronave que despega utiliza la pista durante un promedio de 30 segundos, con una desviación estándar de 10 segundos. Identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas: a. Los clientes y los servidores. b. La población de clientes y su tamaño. c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas. d. El proceso y la disciplina de colas. e. El proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo-servicio. 7. California Gas and Electric Company tiene un representante en un centro de servicio para atender las preguntas de los clientes. El número de llamadas telefónicas que llegan al centro sigue una distribución de Poisson con una tasa promedio de aproximadamente diez por hora. El tiempo necesario para responder a cada llamada sigue una distribución exponencial con un promedio de cuatro minutos. Utilice la relación entre las distribuciones de Poisson y exponencial para responder a las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el tiempo promedio entre llamadas? b. ¿Cuál es el número promedio de llamadas que un representante puede atender durante una hora? c. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una hora? d. ¿Cuál es la probabilidad de que una segunda llamada entre dentro de los tres minutos posteriores a la llamada anterior? 8. La SootheSayer Brokerage Firm maneja carteras de acciones comunes. Sus computadoras revisan los precios de las acciones y cuando se dan ciertas condiciones, emiten señales de compra o de venta. Estas señales siguen un proceso de Poisson con un promedio de una cada 15 minutos. Antes de actuar según las recomendaciones de las computadoras, un analista financiero evalúa el escenario y toma una decisión final sobre el número de acciones que debe comercializar, si hay que hacerlo. El tiempo para realizar esta evaluación sigue una distribución exponencial con un promedio de 12 minutos. Utilice la relación entre las distribuciones de Poisson y exponencial para responder a las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro señales compra/venta sean generadas en una hora? b. Si las computadoras acaban de emitir una señal de compra/venta, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente sea emitida en los diez minutos siguientes? c. ¿Cuál es el número promedio de de señales de compra/venta que un analista puede manejar en un período de tres horas?



9. Para el problema de colas de American Saving Bank, del ejercicio 3 suponga que solamente existe un cajero. Cada hora puede atender un promedio de 12 clientes que llegan con una tasa de uno cada 7.5 minutos. En este sistema, los clientes tienen que esperar un promedio de diez minutos antes de llegar al cajero. Encuentre los valores de W, Wq, L y Lq. 10. Para el problema de colas de American Saving Bank del ejercicio 3, suponga que solamente hay un cajero. Cada hora éste puede atender un promedio de seis clientes que llegan con una tasa de uno cada doce minutos. La gerencia ha observado que parece haber un promedio de cinco clientes en el banco en cualquier momento. Encuentre los valores de W, Wq, L y Lq. 11. Para el problema de California Gas and Electric Company del ejercicio 7, calcule a mano todas las medidas de rendimiento e interprete estos valores en el contexto del problema. (Calcule únicamente las probabilidades de que 0,1 y 2 clientes estén en el sistema). 12. Para el problema de colas de La SootheSayer Brokerage Firm del ejercicio 8, suponga que en promedio una señal de compra/venta se genera cada ocho minutos y que se tienen dos analistas financieros. Cada analista es capaz de hacer una evaluación en 12 minutos. Calcule a mano todas las medidas de rendimiento e interprete estos valores en el contexto del problema. (Calcule únicamente las probabilidades de que 0,1 y 2 clientes estén en el sistema). 13. La empresa New York Taxi Cab Company mantiene instalaciones de servicio para realizar reparaciones mayores y dar servicio a sus vehículos. Datos históricos muestran que los taxis tienen descomposturas mayores de acuerdo con un proceso de Poisson a una tasa promedio de 2 cada 24 horas, incluyendo los fines de semana y que la cantidad de tiempo requerido por un mecánico para repara un taxi sigue una distribución exponencial con un promedio de 16.8 horas. Sin embargo, la administración puede estar segura de que los mecánicos se presentarán a trabajar solamente 80% del tiempo, debido a enfermedades y vacaciones. El departamento de contabilidad ha indicado que el costo total por hora de un mecánico, es de $24, y que un taxi promedio obtiene un beneficio neto de $ 100 en un periodo de 24 horas. Utilice WINQSB para determinar si la compañía deberá tener dos o tres mecánicos trabajando todos los periodos. Para cada uno de los dos sistemas que evaluará, especifique los valores de c, λ, μ, cw cs y el costo total por unidad de tiempo. (Nota: para poder aproximar este escenario mediante un sistema de colas M/M/c, aumente el tiempo de servicio promedio adecuadamente, de tal forma que se pueda tomar en cuenta la ausencia de mecánicos). 14. El supermercado PayFast actualmente tiene cuatro cajeros de cobro. La compañía desea mejorar su servicio ya sea contratando un nuevo cajero o mediante la instalación de detectores de barras en las cajas ya existentes. Datos históricos indican que los clientes llegan de acuerdo con un proceso de Poisson a la rapidez promedio de 45 por hora y que la cantidad de tiempo que un cajero necesita para atender a un cliente sigue una distribución exponencial con una rapidez promedio de 15 clientes por hora. Los asesores estiman que modernizar los cajeros con un equipo de código de barras aumentaría la eficiencia en 20%. El departamento de contabilidad sugiere que el costo de un cliente en espera debería ser valuado en $30 por hora y que el costo por hora de un cajero es de $15. Sin embargo, para cubrir el costo del equipo de código de barras, la tasa del cajero debería aumentarse a $18. Utilice WINQSB para determinar si la compañía debe contratar un cajero más o si debe instalar un equipo de lectura de código de barras en las cajas existentes. (Suponga que los clientes forman una sola fila cuando pasan a las cajas registradoras). Para cada uno de los dos sistemas que evaluará, especifique los valores de c, λ, μ, cw cs y el costo total por unidad de tiempo. 15. Para el problema de OTC, en el que hay dos básculas en una estación de pesado, los camiones llegan con una tasa de 70 por hora y cada báscula puede atender 40 camiones por hora. Utilice WINQSB para determinar cuántos camiones en promedio pueden llegar por hora antes de que un conductor pueda esperar invertir un promedio de más de diez minutos en la estación de pesado.



16. La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2 minutos. Los clientes llegan con una tasa media de 20 clientes a la hora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de Poisson y el tiempo de servicio es exponencial, determinar: (a) Porcentaje de tiempo ocioso del cajero. (b) Tiempo medio de estancia de los clientes en la cola. (c) Fracción de clientes que deben esperar en cola. 17. Una tienda de alimentación es atendida por una persona. Aparentemente, el patrón de llegadas de clientes durante los sábados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegada de 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO y debido al prestigio de la tienda, una vez que llegan están dispuestos a esperar el servicio. Se estima que el tiempo que se tarda en atender a un cliente se distribuye exponencialmente, con un tiempo medio de 4 minutos. Determinar: (a) La probabilidad de que haya línea de espera. (b) La longitud media de la línea de espera. (c) El tiempo medio que un cliente permanece en cola. 18. Una entidad bancaria considera la posibilidad de instalar una red de cajeros en una de sus oficinas. Dado que se desconoce la afluencia de público que demandar dicho servicio, coloca un único cajero durante un mes. Diariamente se recogen datos sobre los tiempos de llegadas de los clientes, así como de los tiempos de servicio. Suponiendo que la sucursal se encuentra emplazada en un barrio donde no existe otro servicio semejante, el cliente que llega prefiere esperar a poder utilizar el cajero, cuando esté ocupado. Tras el oportuno análisis de los datos recogidos, se estima que: • el cuadro de llegadas es un proceso de Poisson; • la distribución del tiempo de servicio es exponencial: • el tiempo medio transcurrido entre dos llegadas consecutivas es de 7.5 minutos; • el tiempo medio de servicio es de 5 minutos por cliente. Se pide calcular: (a) Tiempo medio de espera que debe sufrir cada cliente en cola. (b) Probabilidad de que al acudir al cajero ya haya alguna persona en la cola. (c) Número medio de clientes en la cola. 19. Una sucursal bancaria tiene dos cajeros igualmente eficientes y capaces de atender un promedio de 60 operaciones por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso de Poisson con una tasa media de 100 por hora. Determínese: (a) La probabilidad de que haya más de tres clientes simultáneamente en el banco. (b) La probabilidad de que al menos uno de los cajeros esté ocioso. 20. En un cruce fronterizo entre los países A y B, la línea de tráfico de B a A se bifurca en cinco puestos de inspección migratoria y aduanera. Supóngase que las llegadas de coches tienen una distribución de Poisson con 15 llegadas por hora, mientras que el número de servicios tiene una distribución exponencial con 8 servicios por hora. Por decreto gubernamental, no existe prioridad de trato (¿es creíble?), así que los puestos migra-torios y aduaneros proporcionan servicio a medida que se desocupan, atendiendo a los coches por riguroso orden de llegada a la cola. Comprobar si λ < cμ, y en caso afirmativo, interpretar dicha desigualdad. Se pide además: (a) Calcular p0, Lq, L, Wq, W, especificando su significado. (b) Estudiar si sería razonable suprimir tres puestos fronterizos de cara al turismo. 21. Los trabajadores de una fábrica tienen que llevar su trabajo al departamento de control de calidad antes de que el producto llegue al final del proceso de producción. Hay un gran número de empleados y las llegadas son aproximadamente de 20 por hora, siguiendo un proceso de Poisson. El tiempo para inspeccionar una pieza sigue una distribución exponencial de media 4 minutos. Calcular el número medio de trabajadores en el control de calidad si hay: (a) 2 inspectores (b) 3 inspectores



22. En una aerolínea se debe revisar cada pasajero, así como su equipaje, para ver si trae armas. Suponga que al AILA llega un promedio de 10 pasajeros/minutos. Los tiempos entre llegadas son exponenciales. Para revisar a los pasajeros, el aeropuerto debe tener dos estaciones que consisten en un detector de metales y una máquina de rayos X cada una, para el equipaje. Cuando están trabajando las estaciones se necesitan dos empleados. Se pueden revisar un promedio de 12 pasajeros por minutos. El tiempo para revisar un pasajero es exponencial. Determine: (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero que llegue encuentre 3 personas en cola? (b) ¿En promedio cuantos pasajeros esperan en cola? (c) ¿En promedio cuanto tiempo pasara el pasajero en la estación de verificación? 23. Un peluquero atiende el solo su negocio. No acepta citas pero atiende a los clientes conforme llegan. Debido al prestigio del peluquero, a pesar de tener solo cuatro sillas en el salón de espera, los clientes están dispuestos a esperar por el servicio una vez que llegan; las llegadas siguen un proceso poissoniano con una tasa media de llegadas de 5 por hora. Aparentemente el tiempo de servicio del peluquero se distribuye exponencialmente, con una media de 10 minutos; Determine: (a) El tiempo promedio que un cliente permanece en la peluquería? (b) El número esperado de clientes que esperan el servicio? (c) El tiempo promedio que un cliente dura siendo servido? (d) Factor de utilización? (e) La probabilidad de hallar el sistema ocupado? (f) La probabilidad de que un cliente que llegue no encuentre asiento y tenga que permanecer parado? (g) El porcentaje de los clientes que deben esperar antes de sentarse en la silla de corte? 24. La ventanilla de un banco tiene tiempo medio de servicio de 2 minutos y los clientes llegan a una tasa de 20 por hora, suponiendo que los clientes representan tasa con una distribución de poisson: (a) Que porcentaje del tiempo estará ocioso el cajero? (b) Después de llegar, Cuanto tiempo gasta un cliente esperando en la cola y en ser atendido? (c) Que fracción de clientes debe esperar en cola?


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