259235750-Fasciculo-8.pdf

Fascículo

8

1

Investigación de operaciones

Semestre 6


Tabla de contenido

Página

Introducción

1

Conceptos previos

1

Mapa conceptual Fascículo 8

2

Logros

2

Teoría de colas (Líneas de espera)

2

Sistemas de líneas de espera

4

Terminología y estructura

6

Terminología

6

Estructura

7

Patrones de llegada

8

Patrones de servicio

8

Distribución exponencial

9

Proceso de Poisson

10

Notación Kendall-Lee

12

Modelo M/M/1

13

Aplicaciones

14

Actividad de trabajo colaborativo

17

Resumen

17

Bibliografía recomendada

18

Seguimiento al autoaprendizaje

19 Créditos: 3

Tipo de asignatura: Teórico – Práctica

Semestre 6


Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples”

Bogotá, D.C. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación. La redacción de este fascículo estuvo a cargo de JUAN CASTRO ORDOÑEZ Docente tutor – Programa de Ingeniería de Sistemas a Distancia. Sede Bogotá, D.C. Corrección de estilo Adriana Valencia Rodríguez Diseño gráfico y diagramación a cargo de SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Marzo de 2012

Semestre 6


1

Introducción

El ser humano siempre ha estado preocupado por disminuir el tiempo de espera de una persona en una fila, es el reto de una empresa en aras de prestar un mejor servicio o mejorar el plan de producción en serie. Hoy en día, todo se puede modelar como un sistema de colas, las cuales deben ser vistas como clientes que llegan a una estación de servicio y por medio de operadores o servidores desean ser atendidos. Los clientes que se someten a largas filas en un banco para ser atendidos, los pacientes quienes esperan en una sala de emergencias, los aviones que esperan para aterrizar, máquinas que paran mientras son reparadas, las piezas que esperan a ser procesadas, en fin, se podrían citar cientos de ejemplos asociados a una línea de espera. La modelación matemática, propuesta por el estadounidense A. K. Erlang en 1909, permitió analizar la congestión del tráfico telefónico. Para un tomador de decisiones gerenciales resulta indispensable su conocimiento manejo de la teoría de colas. Conceptos previos

Para el buen desarrollo de éste fascículo y en general del aprendizaje de la Investigación de Operaciones, se debe tener en cuenta lo aprendido sobre temas como: 

Variables discretas y continuas.



Función de probabilidades.



Distribución de probabilidad.



Función de densidad de probabilidad.



Función exponencial.



Teoría de la decisión.

En consecuencia, responda las siguientes preguntas: 1. Dé tres ejemplos de variables continuas. 2. Dé tres ejemplo de variables discretas. Fascículo No. 8 Semestre 6

Investigacion de operaciones


3. ¿Qué es una función de probabilidades? 4. ¿Qué es una función de densidad de probabilidades? 5. Defina: a) Distribución de probabilidad; b) Función exponencial. Mapa conceptual – Fascículo 8

Logros

Al finalizar el estudio de este fascículo, el estudiante: 



Identifica y usa la terminología de una línea de espera. Aplica fórmulas para la solución a un modelo de colas.

Teoría de colas (Líneas de espera) Hacer fila para lograr un servicio se ha vuelto tan común y desgastante que el tiempo que se pierde mientras se hacen acaba con la paciencia hasta Investigación de operaciones

2

Fascículo No. 8 Semestre 6


de las personas más tranquilas. La mayoría anhela el día en que se les ponga fin. Es tal la preocupación por el asunto que muchas empresas no ahorra esfuerzos por encontrar una salida a tan molesta práctica. Por fortuna, hoy en día cualquier fila se puede modelar como un sistema de colas. La modelación matemática surgió gracias al estadounidense Agner Krarup Erlang en 1909, al observar y analizar la congestión del tráfico telefónico que se presentaba en Copenhague. Hoy, la teoría de colas, se ha generalizado a tal punto que resulta indispensable e imprescindible para cualquier gerente que tome decisiones. 8.1

En su lugar de trabajo, enumere 5 actividades que se pueden modelar con un sistema de líneas de espera.

La teoría de colas se aplica frente a la demanda de un servicio y supone un ejercicio matemático que permita minimizar el tiempo transcurrido entre atender uno u otro cliente.

Una cola se forma cuando el tiempo que transcurre para atender un cliente es mucho mayor que el tiempo en llegar el siguiente cliente.

Si bien tener demasiados servidores genera un costo muy elevado que las empresas no están dispuestas a asumir, no tener la capacidad de servicio suficiente, puede degenerar en otros costos asociados por la demora en la cola (pérdida de tiempo valioso para el cliente) Entonces, lo ideal tener un balance entre estos, el costo de servicio y el costo asociado por la espera. La figura 8.1, es un modelo de decisión de una línea de espera, basado en los anteriores costos y cuyo objetivo es minimizarlos.


3



Figura 8.1.

Modelo de decisión de un sistema de líneas de espera basado en costos. Fuente:

HAMDY A. Taha, INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, 7a. edición, Ed. PEARSON, México 2004, pág. 580.

Sistemas de líneas de espera

Un sistema de líneas de espera es un conjunto conformado por clientes, servidores y un orden tanto de llegada como de atención de los clientes. Los clientes y los servidores también son un conjunto. En la figura 8.2, se pueden apreciar diferentes sistemas de líneas de espera. El normal, en donde hay un solo servidor y los clientes hacen la fila para ser atendidos, figura 8.2 a); o, también se puede encontrar varios servidores y una sola fila, figura 8.2 b). De la misma manera, los hay en donde a cada servidor se le ocasiona una fila, es decir, un sistema en paralelo, figura 8.2 c). Por último, un cliente puede llegar al sistema de línea de espera y pasar por varios servidores para concluir con su servicio. Por lo general, en cada uno de estos servidores se hace fila y necesariamente el cliente debe pasar por dos o más. A este sistema se le llama en serie, figura 8.2 d).


4



Figura 8.2. Sistemas de líneas de espera. Fuente: BRONSON Richard, INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, Ed. Mc Graw Hill, México 1983, pág. 263.


5


Investigación de operaciones 8.2

Dé 2 ejemplos de cada uno de los sistemas de línea de espera de la figura 8.2.

Un modelo de sistema de líneas de espera, responde a las siguientes preguntas: 1. ¿Cuánto tiempo está desocupado el servidor? 2. ¿Cuál es la cantidad de clientes esperada en una cola? 3. ¿Cuál es el tiempo que puede pasar un cliente en una cola? 4. ¿Cuáles son las distribuciones de probabilidad de las preguntas 2 y 3? 5. ¿Cuántos servidores se deben tener para que haya un servicio eficiente? Uun sistema de líneas de espera se puede ver como un proceso de nacimiento-muerte así: Nacimiento: cuando un cliente entra al sistema. Muerte: Cuando un cliente sale del sistema.

Terminología y estructura Terminología

Aunque ya se han nombrado anteriormente, los elementos principales de una línea de espera son el cliente y los servidores. Los clientes siempre provienen de una fuente (figura 8.2), que puede ser finita o infinita. Puede suceder que al llegar al servidor o instalación, sea atendido o esperar en una fila o cola. Es de anotar, cuando una instalación termina la atención de un servicio, el siguiente cliente quien se encuentra en la fila pasa al servidor para ser atendido. Sino hay clientes este servidor queda inactivo u ocioso, hasta la llegada de un cliente. Según lo anterior, en el análisis de colas son primordiales, los patrones de llegada ( tiempo entre llegadas) y los patrones de servicio ( tiempo de servicio) los cuales se analizarán, más adelante.


6



Ahora, se definirán otros términos requeridos en el análisis de las líneas de espera. Tamaño de la Cola : es el

número máximo admisible de clientes quienes pueden estar en el sistema. Es la capacidad del sistema y, puede ser tanto en el servicio como en la línea de espera. La capacidad puede ser infinita o finita. Disciplina de la cola:

tiene que ver en la forma en que los clientes son atendidos en la fila. La más común es que el primer cliente quien entra a la fila sea el primero en ser atendido, esto es, servicio según el orden de llegada, disciplina FIFO. También las hay LIFO, último cliente en entrar sea el primero en ser atendido. Las SIRO, si el servicio es en orden aleatorio. De otro modo, las puede haber de acuerdo a ciertas prioridades (GD). 8.3

Dé dos ejemplos de cada una de las disciplinas de colas mencionadas anteriormente.

Número de servidores : tanto el

número como su distribución (mecanismo de servicio ), es importante en un sistema de líneas de espera, ver figu-

Los componentes característicos de un sistema de colas son: los clientes, los servidores, tiempo de llegadas de los clientes, tiempo de servicio de los servidores, la capacidad del sistema, la disciplina de la cola y la cantidad de servidores.

ra 8.2. Estructura

Diferentes estructuras de un sistema de líneas de espera han sido mostradas en la figura 8.2. La figura 8.3, representa otras características de la estructura, que han sido descritas anteriormente en la terminología.


7



Figura 8.3.

Estructura de un sistema de líneas de espera. Fuente:


Patrones de llegada

También enominados tiempo entre llegadas y denotada por λ, cuando el patrón de llegada es consecutivo a la instalación que ofrece el servicio. Este patrón puede ser determinístico (conocerse exactamente) o probabilístico; es decir, una variable aleatoria con distribución conocida. Es importante decir, que los clientes pueden llegar de uno en uno o por grupos. Los patrones de llegada pueden depender incluso del estado de la cola (número de clientes en cola) o no. En este caso, pueden haber rechazo (se decide no tomar la cola por su tamaño) o un abandono (el cliente después de estar en la fila, se retira, por el tiempo de espera). Patrones de servicio

Nombrados de manera general como tiempo de servicio y denotada por µ, es el tiempo que dura un servidor en atender un cliente. Igual que el anterior patrón, este patrón puede ser determinístico (conocerse exactamente) o probabilístico; es decir, una variable aleatoria con distribución conocida. los patrones de servicio pueden depender del estado de la cola (número de clientes en cola) o no. De igual manera, es relevante saber si un servidor atiende totalmente a un cliente, figuras 8.2 a) a la c), o si el cliente requiere de una secuencia de servidores, figura 8.2 d). Investigación de operaciones

8



Como su nombre lo indica, la teoría de colas estudia el comportamiento de los sistemas de colas mediante modelos matemáticos para obtener medidas de rendimiento. Esto con el fin de apoyar al tomador de decisiones en aras de mejorar la productividad de la empresa y de satisfacer el cliente, quien por lo general, se logra con un balance entre el costo de servir y el costo de esperar.

Se puede apreciar claramente que tanto en los patrones de llegada como de servicio, en la mayor parte de los casos es básicamente probabilístico; entonces, se tiene variable aleatoria con distribución probabilística conocida. La aleatoriedad en estos patrones se basa en que un evento ocurre sin estar influido por el tiempo de ocurrencia del evento anterior. Para esto las más adecuadas y estudiadas son la distribución exponencial y la distribución de Poisson o proceso de Poisson. Distribución exponencial

Los tiempos aleatorios de ocurrencia se describen en forma cuantitativa mediante la distribución exponencial, figura 8.4 y se define:

Figura 8.4.

Distribución exponencial y su fdp. Fuente:


Con esperanza, varianza y P(t≤T):


9



En donde: λ es la tasa de llegadas (llegadas/hora), y, 1/λ: tiempo promedio entre llegadas (horas/llegada), T: tiempo dado. La carencia de memoria de la distribución exponencial,

es una propiedad soportada en que un evento ocurre sin estar influido por el tiempo de ocurrencia del evento anterior.

Carencia de memoria de la distribución exponencial . Esta propiedad de

la distribución exponencial se basa en que un evento ocurre sin estar influido por el tiempo de ocurrencia del evento anterior. Visto de otra forma, la distribución exponencial es utilizada para describir el tiempo entre llegadas en un nacimiento puro y el tiempo entre salidas de una muerte pura. Proceso de Poisson

Otra hipótesis de llegada de clientes es que llegan de acuerdo a un proceso Poisson, es decir, el número de clientes en cualquier momento dado tiene una distribución Poisson, figura 8.5. El proceso de llegadas al sistema es totalmente aleatorio, pero con una tasa promedio conocida.

Figura 8.5.

Distribución de Poisson y su fdp. Fuente:

El autor.


10



La función de densidad de probabilidad de Poisson es:

Con media y varianza:

Existe una estrecha relación entre la distribución exponencial y la de Poisson, puesto que una define automáticamente la otra. Teorema1. Los tiempos entre llegadas son exponenciales, con parámetro

, si y sólo si, la cantidad de llegadas en un intervalo de duración t sigue una distribución Poisson con parámetro λt. λ

Entonces, este teorema establece:

Con media y varianza:

Siendo Nt: cantidad de llegadas que ocurre en un intervalo tiempo t cualquiera.

La distribución exponencial ha desempeñado un papel fundamental en la modelización de las líneas de espera, para representar los tiempos tanto de arribos como de servicio, debido a la aleatoriedad de los mismos y a su pérdida de memoria. Con la distribución de Poisson, son un excelente complemento para la solución de este tipo de problemas.

1

WINSTON Wayne L., Investigación de operaciones: Aplicaciones y algoritmos, 4ª edición, Ed. Thomson, México 2005, pág. 1055.


11


Investigación de operaciones Notación Kendall-Lee-Taha

Es una notación estándar (Kendall, 1951), para especificar las seis (6) c aracterísticas de un sistema de línea de espera. La notación es: 1/2/3/4/5/6, donde: 1=Distribución del patrón de llegadas y puede ser: D=Determinístico, M=Distribución exponencial, Ek=Distribución Erlang tipo k (k=1, 2, …), G=Cualquier otra distribución. 2=Distribución del patrón de servicio y pueden ser los mismos de 1. 3=Número de servidores en paralelo (1, 2, 3, …, ∞).

4=Disciplina de la cola y puede ser: FIFO, LIFO, SIRO y GD; descritas preliminarmente. 5=Capacidad del sistema (finita o infinita). 6=Tamaño de la fuente (finito o infinito). En muchos modelos 4/5/6 es DG/∞/∞ respectivamente, por lo tanto, a me-

nudo se omite. 8.4

Escriba tres ejemplos con la notación completa de Kendall-Lee-Taha, descrita anteriormente.

De todos los modelos posibles que se pueden hacer según la notación de Kendall-Lee-Taha, se tratará el modelo con tiempo de llegadas y tiempo de servicio exponenciales con un solo servidor.


12


Investigación de operaciones Modelo M/M/1

Una cola tiene las siguientes medidas de desempeño, eficiencia o funcionamiento: L ≡ número promedio de clientes en el sistema. Lq ≡ Longitud promedio de la cola. W ≡ tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema. Wq ≡ tiempo promedio que un cliente espera en la cola. W(t) ≡ probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema. Wq(t) ≡ probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la cola. Las primeras cuatro medidas se obtienen de:

Y, de la relación entre L y W, llamada la fórmula de Little, y es:

Para el modelo M/M/1,


, obteniendo:

13



Donde: ; es el factor de utilización o intensidad de tránsito. Si

, se tiene: ;en donde, Pn = probabilidad de estado estable. 8.5

Concrete qué pasa en estos tres casos:

Aplicaciones

A) Un cajero de un almacén atiende a los clientes quienes llegan en forma aleatoria a una tasa de 4 por hora. Halle a) la media; b) la varianza; c) la probabilidad de que un cliente sea atendido en menos de 15 minutos; y d) la probabilidad de que un cliente se demore por lo menos 15 minutos en caja. a)

, reduciendo a minutos, se tiene: , entonces:

b) c) T=15

Hay una probabilidad del 63.2%, que un cliente sea atendido en menos de 15 minutos. Investigación de operaciones

14



d) Existe una probabilidad del 36.8% que un cliente se demore más de 15 minutos en caja. B) Para A), que las llegadas son Poisson, determine: a) Calcule la media y la varianza b) La probabilidad que lleguen 5 clientes en una hora; c) La probabilidad que lleguen 2 clientes entre las 9:30 y 10:00 de la mañana. a)

b)

Hay una probabilidad del 15.6% que lleguen 5 clientes en una hora. c)

Existe una probabilidad del 27% que lleguen 2 clientes en una media hora del día. C) Un restaurante especializado en bocadillos tiene una ventanilla desde la cual da servicio a los automovilistas en su vehículo. Llegan en promedio 40 clientes por hora a la ventanilla. Se requiere 1 minuto en promedio atender a un cliente. Suponga que los tiempos entre llegadas y de servicio son exponenciales. (Winston, problema 4, pág. 1082) Fascículo No. 8 Semestre 6

15



a. ¿Cuántos clientes están en la cola, en promedio? b. ¿Cuánto tiempo, en promedio pasa un cliente en el restaurante (desde el tiempo de llegada hasta que el tiempo de servicio se completa)? c. ¿En qué fracción de tiempo hay más de tres automóviles esperando servicio [esto comprende el automóvil (si acaso alguno) en la ventanilla]? Datos:

a. ¿Cuántos clientes están en la cola en promedio?

b. ¿Cuánto tiempo en promedio pasa un cliente en el restaurante (desde el tiempo de llegada hasta que el tiempo de servicio se completa)?

c. ¿En qué fracción de tiempo hay más de tres automóviles esperando servicio [esto comprende el automóvil (si acaso alguno) en la ventanilla]? Cuando


16



Defina y dé un ejemplo de cada uno de los siguientes conceptos: 1. Distribución Erlang. 2. Cadena de Markov (Proceso markoviano). 3. Modelo de nacimientos puros. 4. Modelo de muertes puras. 5. Modelo M/M/1/GD/c/∞.

Lo primero que hay que decir es que los sistemas de colas predominan en todo el universo. El efecto de un modelo matemático de estos sistemas debe redundar en la calidad de vida de las personas (clientes) y en la productividad de las empresas. Todos los modelos de líneas de espera se pueden representar mediante la notación de Kendall-Lee-Taha que es: 1/2/3/4/5/6. El 1, representa la tasa de llegadas de los clientes al sistema (λ); el 2, tasa de servicio al cliente por el operador del sistema (µ); el 3, es la cantidad de servidores en paralelo; el 4, la disciplina de la cola (FIFO, LIFO, SIRO o GD); el 5, la capacidad del sistema (finita o infinita); y, el 6, tamaño de la fuente (finito o infinito). Mediante la fórmula de Little, se resuelve fácilmente un modelo M/M/1. Pero, es gracias a la distribución exponencial, que se pueden resolver todos estos modelos. A la teoría de colas o de líneas de espera, se debe la efectividad con que se han resuelto muchos problemas tanto para los clientes como para las empresas. Ahora, se deja la invitación a seguir en esta línea, mediante la simulación de eventos discretos. Terma de gran aplicación en la industria y de excelente oportunidad para los ingenieros de sistemas de aprender nuevos software como el ProModel y su debida programación.


17



BRONSON Richard, INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, Ed. Mc Graw Hill, México 1983. HAMDY A. Taha, INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, 7a. edición, Ed. PEARSON, México 2004. Texto guía. HILLIER Frederick, LIEBERMAN Gerarld J., Introducción a la Investigación de Operaciones, 3a. edición, Ed. Mc Graw Hill, México l982. MOSKOWITZ Herbert, WRIGHT Gordon P., Investigación de operaciones, Ed. Prentice Hall, México 1982. WINSTON Wayne L., Investigación de operaciones: Aplicaciones y algoritmos, 4ª edición, Ed. Thomson, México 2005. Texto guía.


18



guim ientoal autoaprend rendizaje Segu imiento Investigación de operaciones - Fascículo No. 8 Nombre_______________________________________________________ Apellidos ________________________________ Fecha: _________________ Ciudad___________________________________ Semestre: _______________

Con el fin de evaluar su proceso de autoaprendizaje, encuentre dos casos de aplicación de los siguientes temas: 1. Distribución exponencial. 2. Distribución de Poisson. 3. Modelo M/M/1.


19


259235750-Fasciculo-8.pdf

Recommend Documents