TRIGONOMETRÍA Pag.
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
153
CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO
157
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
161
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Y APROXIMADOS
165
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
168
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ÁNGULOS VERTICALES
171
MISCELÁNEA
175
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
178
.
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año
CAPÍTULO 01
SISTEMA DE MEDIDA DE ÁNGULAR *
Ángulo trigonométrico Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, desde una posición inicial (lado inicial) hasta otra posición final (lado final), alrededor de un punto fijo llamado vértice y en un solo plano. Así tendremos:
O
Obs:
Q
A Sentido Horario
B
Sentido Antihorario
P
O
O
Los ángulos así generados, serán medidos en diferentes unidades que dependerán del sistema utilizado.
*
Sistemas de medición angular Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos, destacando los siguientes: Sistema sexagesimal Unidad: 1 vuelta: Además:
1° 360° 1° = 60' 1' = 60'' 1° = 3 600''
Sistema centesimal Unidad:
1
Sistema radial o circular
g
Unidad: 1 vuelta:
g
1 vuelta:
400
Además:
1 = 100
g
m
m
s
1 = 100 g
1 = 10 000
1 rad 2 rad
s
Consideraciones: 1) 360° = 400g = 2 rad 3) 1 rad > 1° > 1g *
180° = 200g = rad
2)
180° = 200g
4)
= a°b’c’’ = a° + b’ + c’’ = xgymzs = xg + ym + zs
9° = 10g
Conversión entre sistemas Es el procedimiento mediante el cual la medida de un ángulo se expresa en cualquier otro tipo de unidad de medición angular, diferente de la que ya posee. El proceso lo detallaremos con los siguientes ejemplos: Calcule usted los valores de: 1. 60°
Trigonometría
Radianes
2. 80g
Radianes
153
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
3.
rad 9
5. 90g
7.
1.
rad 7
Sexagesimal
Sexagesimal
Sexagesimal
rad + 60g 9 en el sistema sexagesimal.
4.
rad 20
6. 72°
8.
4.
rad 17
Centesimal
Centesimal
Centesimal
En un triángulo ABC:
Señale el valor de:
A. 64° C. 76°
2.
5to Año
ˆ 4 rad . Aˆ Bˆ 120g ; Bˆ C 9
ˆ C Calcular: K ˆ B
B. 69° D. 74°
7 rad y también (8x - 1)°, 20 ¿cuál es el valor de "x"? Si un ángulo mide
A.
7 2
B. 5
C. 9 A. 7 C. 9 3.
B. 8 D. 6
5.
D.
Del gráfico, calcular "x". B
En un triángulo, dos de sus ángulos miden:
2 rad y 40g 3 ¿cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo? A. 14° C. 20°
g
(9x-1)
B. 18° D. 24°
A A. 3 C. 7
154
9 2
3 rad 10
C B. 5 D. 9
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA 6.
5to Año
Del gráfico, calcular "x". 11.
g m s rad 2a 5b 1c ; 7
Sabiendo que:
B calcular: K (11x-3)°
150
A
C
A. 5 C. 7 7.
12.
B. 6 D. 4
C.
rad 18
B.
rad 36
D.
rad 24
13' 14' 25' 3' 4' 5'
A. 57 C. 60 13.
rad 12
1m 1"
A. 17,2 C. 53,6 14.
3
g
(10x + 2)°
B. 5 D. 9
B. 32,4 D. 16,2
Calcular:
K
A. 3 C. 7
B. 58 D. 62
Calcular:
K
Del gráfico, calcular "x".
(6 - 18x)
B. 3 D. 5
Reducir:
K
Si un ángulo mide (13x + 7)° y su complemento (5x - 5)g, ¿cuál es el equivalente de x° en radianes?
A.
8.
A. 2 C. 4
3 rad 5
g
ab c 1
40 s 1'
1m 10' '
A. 1,24 C. 2,16 15.
B. 2,24 D. 2,4
Si un ángulo se expresa como ab ° y también como g
9.
(a 1)0 , ¿cuál es la mayor medida que puede asumir dicho ángulo en radianes?
Del gráfico, calcular "x".
g
(2 - 7x)
A.
7 rad 20
B.
4 rad 5
C.
2 rad 5
D.
9 rad 20
(8x+6)° 16. A. 1 C. 5
10.
x 30 y
B. 3 D. 6
Sabiendo que: calcular: K
Del gráfico, calcular: K
rad a03b' 1c ' ' ; 17
5y g
a c 1 b
3x°
A.
5 2
B.
C.
3 4
D. 2
Trigonometría
5 3
A. 1
B. 2
C. 2 3
D. 3 2
155
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
17.
y su
B
y rad ; calcular el equivalente de 18
g
Si un ángulo "" mide complemento
10 2 (x 1)º x
5to Año
g
2(x + y) en el sistema sexagesimal, si la medida sexagesimal d e "" es la mínima posible (x R+).
A
°
z rad
C A. 12°26' C. 14°24'
B. 16°16' D. 12°36' A.
Si: x°y' = zg; "x", "y", "z" Z ; "z" es mínimo ,
y calcular: xz
en el sistema sexagesimal.
2.
4.
B. 225 D. 229
Del gráfico, calcular "x".
B. 2 D. 4
Un ángulo mide (8x - 2)º y su complemento mide (6x - 2)g. ¿Cuál es el valor de “x”? A. 3 C. 7
3..
Señale el menor valor de "A", si “A” Z ; además: A° = 1°2' + 3°4' + 5°6' + 7°8' + ...
9 5 3 2z
Si un ángulo se expresa como (7x - 1)g y también como (5x + 3)º, ¿cuál es el valor de “x”? A. 1 C. 3
D. 360
A. 224 C. 227
Si en el gráfico: AB = BC; calcular: J
1.
20.
36
g
19.
B. 16°16' D. 12°36'
B.
C. 450
g
A. 14°24' C. 12°24'
45
(1 - 3x)
18.
(10x + 2)º
B. 5 D. 4
A. 3 C. 7
B. 5 D. 9
Calcular “x”, si: (7x - 4)º = (8x - 6)g A. 1 C. 5
B. 3 D. 7
5.
Exprese en el sistema sexagesimal: A. 25° 42' 51'' C. 26° 31' 42''
156
rad. 7
B. 23° 42' 31'' D. 32° 17' 43''
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año
CAPÍTULO 02
CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO *
Longitud de un arco Viene a ser una de las aplicaciones del radián; que permite determinar la longitud del arco correspondiente a un ángulo central en una circunferencia.
A
En el gráfico adjunto:
R L: longitud del arco AB R: radio de la circunferencia : número de radianes contenidos en el AOB
O
rad L B
Se cumplirá: L = R OBS: A la región AOB se le denomina sector circular y para que ello ocurra: 0 < < 2 En cada caso que se muestra a continuación, determine la longitud del arco: A
A 20 cm rad 10
O
L
36 cm
36°
O
20 cm
L
A
B A
L
40
O
10
g
A L
B
B
En un sector circular, el ángulo central mide 70g y el radio 40 cm. ¿Cuánto mide el arco?
4. B. 22 D. 44
A. cm C. 4 3.
B. 2 D. 3
En un sector circular, el ángulo central mide 2°30’ y el radio 144 dm, ¿cuál es la longitud del arco?
Trigonometría
30 cm
B
B. 2 D. 4
22 ) 7
A. 3,3 cm C. 9,9 5.
g
120
En un sector circular, el ángulo central mide 5g25m y el radio mide 80 cm. ¿Cuánto mide el arco? (use: =
En un sector circular, el ángulo central mide 40° y el radio 18 cm, ¿cuál es la longitud del arco?
L
O
A. dm C. 3
22 (use: = ) 7
2.
30 cm
60 cm
20 cm
A. 11 cm C. 33
36 cm
60 cm
g
L
B
20 cm
1.
15°
O
10 cm B
O
A
10 cm
B. 6,6 D. 5,5
En un sector circular, el arco mide 120 cm. Si el radio se duplica y el ángulo central se reduce en su tercera parte, se obtiene un nuevo sector circular cuyo arco mide:
157
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
A. 120 cm C. 140 6.
B. 130 D. 160
5to Año
12.
L1 L2
Del gráfico, calcular: A
En un sector circular el arco mide 70 cm. Si el radio se aumenta en su doble y el ángulo central se reduce a su tercera parte, se obtiene un nuevo sector circular, cuyo arco mide:
L1 C D1
L2
4
A. 70 cm C. 140 7.
18°
B. 80 D. 210
O
En un sector circular, si aumentamos el radio en 20%y reducimos el ángulo en 30%; el arco: 13. A. Aumenta en 10% C. Aumenta en 16%
B
A. 3,1 C. 3,3
B. 3,2 D. 3,4
Del gráfico, calcular ""
B. Disminuye en 10% D. Disminuye en 16%
8.
Si en un sector circular, reduces el radio en 10% y aumentas el ángulo central en 10%; el arco:
O
D
A. Aumenta en 10% C. Aumenta en 1% 9.
A. 18 cm C. 24 10.
B
A. 18° C. 30° 14.
B. 24° D. 36°
Del gráfico, calcular “”
B. 20 D. 28
11.
B.
10 9
C.
2 3
D.
3 2
D
Del gráfico, calcular:
A. 15° C. 30° 15.
A
O
R “R” y en el segundo es “r” ; calcular: r 9 10
6
C
El arco que le corresponde a un ángulo central de 60°; es el doble del que le corresponde a un ángulo central de 27°. Si en el primer caso, el radio mide
A.
5
B. Disminuye en 10% D. Disminuye en 1%
Un arco de 2 cm de longitud subtiende el mismo ángulo central que un arco de 3 cm de longitud. Si el radio del primer sector es 16 cm, ¿cuál es el radio del segundo sector?
A
5
C
6
B
B. 20° D. 60°
Del gráfico, calcular el perímetro de la región sombreada.
L1 L2
A C
A L1
6
D L2 24° O 3
A. 1 C. 3
C1
O
B
B. 2 D. 5
A. 3( + 1) C. 2( + 1) 16.
158
6
B
B. 3( + 2) D. 2( + 2)
Del gráfico, calcular el perímetro de la región sombreada.
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año
A
1 2 D. 2 - 1
A. - 1 C
B.
C. - 2
D 12
19. O
L AB Del gráfico, hallar: L CD
B
12
A C
A. 3( + 4) C. 5( + 2) 17.
B. 3( + 2) D. 5 + 12
60°
O
D
Del gráfico, calcular: K = -1 -
B
A C
A. 3
B.
3
C. 2 3
D.
2 3 3
rad
O
D B
20.
Del gráfico, hallar el perímetro de la región sombreada. A
18.
A. 1
B. 2
C. 3
D.
Del gráfico, calcular: K
2 1
1 2
12
O
B
12
A
A. 4( 8 2 2)
B. 4( 6 2 2)
C. 4( 6 3 2)
D. 4( 3 4 2)
D C
rad O
1.
B
En un sector circular el ángulo central mide "3º" y su radio es "R"; mientras que en otro sector circular el ángulo central mide "5 g" y su radio es "r". Calcular "R/r", si sus arcos son iguales.
2.
Si el perímetro de un sector circular es igual al de un cuadrado cuyo lado es igual al arco del sector, ¿cuánto mide el ángulo central del sector? A.
5 3
B. 4 3
C. 3 2
D. 6 5
A.
Trigonometría
3 rad 2
C. 4 3
B. 2 3 D. 3 4
159
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
3.
5to Año 4.
Del gráfico, calcular: L1 L2
Del gráfico, calcular la medida sexagesimal de "º". A
5
C A
O
g
2
O L1
D B
C L2
A. 24° C. 43°
D 5. A.
2 3
B.
2 9
C.
3 5
D.
5 9
5
B
B. 12° D. 36°
Del gráfico, calcular " ", si: L1 = L2 y OB = 2BC. A
L1
C B
D
O
A. 18° C. 24°
160
L2
B. 36° D. 30°
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año
CAPÍTULO 03
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Concepto Es el cociente que se establece de dos valores de sus lados con respecto a uno de sus ángulos agudos. Son seis las razones trigonométricas.
B
Si: sen = 3 es ángulo agudo 5
Calcular: sen + tg Solución:
ELEMENTOS a : hipotenusa b : cateto adyacente de c : cateto opuesto de + = 90° (ángulos complementarios)
a
c
Ejemplo 1:
5
sen 3 5
3
x
52 = 32 + x2 x=4
Por definición: sec tg 5 3 8 2 4 4 4
b
A
Ejemplo 2: Del gráfico hallar: M = sec – tg
C
TEOREMA DE PITÁGORAS A2 B2 C2
Triángulo rectángulo recto en A
Además: a
a
b2 c 2
•b
a2 – c 2
•c
a2 – b2
cateto opuesto a = c hipotenusa a cateto adyacente a cos = = b hipotenusa a cateto opuesto a tg = = c cateto adyacente a a cateto adyacente a ctg = = b cateto opuesto a c Hipotenusa sec = = a cateto adyacente a b Hipotenusa csc = = a cateto opuesto a c
Solución: Por definición: M = a+3 – a = 3 = 1 15 15 15 5
Definiciones: Con respecto del ángulo del gráfico anterior: Seno
a+3 15
Ejemplo 3: Dado un triángulo ABC (recto en C), Si: tg A tg B sen A cos B 3 , calcule: senA 2
Solución:
: sen =
Coseno
:
Tangente
:
Cotangente : Secante
:
Cosecante
:
B B c
A
A
b
a
C
Por dato: a b a a 3 . . b a c c 2 1
2
1 a 2 a 2 c 2 c sen A
Trigonometría
2 2
161
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
1.
Determine las razones trigonométricas de si:
5to Año
6.
Si: tg = 2/3; calcule. M 13 sen 2 ctg
8
Rpta.: ........................................... 12
7.
Si sec = 4; calcule: R = tg2 – 15ctg2 Rpta.: ...........................................
Rpta.: ........................................... 2.
8.
De la figura mostrada
Determine: W 29
4 csc 2 csc 2 cos 2 sen 2
Rpta.: ...........................................
21 Compruebe que: a. csc2 – ctg2 = 1 b. sencsc + tgctg = 2
Si: tg 0,1 tg 0, 2
9.
En un triángulo rectángulo de los lados a; b y c recto en B donde se cumple que: a + b = 3c; determine cosA Nota: sec2A + tg2A = 1
Rpta.: ........................................... Rpta.: ........................................... 3.
De la figura mostrada: 10. En un triángulo ABC, recto en B. Determine: G = sen2A + sen2C
a+3
a
Rpta.: ...........................................
a–1
Determine G = csc + 3ctg Rpta.: ........................................... 4.
11. Si las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son 4 m y 9 m. Determine: Q = tg + ctg donde es la medida del menor ángulo agudo.
Determine T = tgsen; en: Rpta.: ...........................................
5
3
Rpta.: ...............
12. De la figura mostrada: Calcule: Q = tgctg( +)
5.
4
En un triángulo rectángulo los catetos opuestos y adyacente de miden dos y cuatro unidades menos que la medida de la hipotenusa. Calcule: E = 4sen – 2cos
Rpta.: ..................
5
Rpta.: ...........................................
162
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA 13. Calcule: T = sensec() – csc, en:
5to Año 18. Siendo ABCD un rectángulo donde: AM 3 MB 4
5
BN 2 . NC 3
Calcule: ctg + tg Rpta.: .................
A
3
y
M
B N
14. Si tg = 1/3; calcule T = (ctg + ctg)ctg Donde: BP = PQ y AB = QC.
Rpta.: ..............
D
A
C
19. Calcule: sen2; Rpta.: .................. B
Si
P
AP 5 . PB 3
C
Q
B P
15. De la figura mostrada: Determine: P = 2sencsc – seccos
Rpta.: .......................
8
A
4
Rpta.: ...............
C
20. De la figura: BM es mediana: Calcule: E = 2sec.cos B
16. Si se cumple que: 5tg2 – 9tg – 2 = 0 donde : agudo. Calcule: T = 25(sen – cos)2
3
Rpta.: ...........................................
A
1 M
Rpta.: ................... C
17. Si ABCD es un cuadrado. Calcule: K = 2tg + tg; donde: QB = 2BP. A
Q
B
Rpta.: .............. D
Trigonometría
C
163
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
1.
5to Año
Si tg = 1/2; = agudo Calcule: Q = sen2 – cos2 A) 3/4 D) –4/5
B) 4/5 E) 1/5
4.
C) –3/5
Del gráfico mostrado, calcule: Q = csc + ctg A) 1 B) 0
2.
Calcule E = cos2 –sen2, en la figura mostrada.
C) 3
x+3
x
D) 2
A) 1/5
x–3
E) 4
B) 3/5
10
C) 4/5
5.
D) 2/5
3
E) 5
Si x > 0; calcule T = 4sec2 – tg2; en: A) 3 B) 4
3.
Si: csc = 3/2; es agudo Calcule: R
C) 5
tg 2 sec 2
D) 6
csc 2 ctg 2
E) 7 A) 1 D) –2
164
B) –1 E) 3
x+1
2
x
C) 2
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año
CAPÍTULO 04
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Y APROXIMADOS I)
2k
k 60°
Se forma una tabla:
II) k
30°
k 2
45°
45°
k 3
k
III) 37° 4k
5k
53° 3k
(Triángulo rectángulo aproximado)
sen
cos
tg
ctg
sec
csc
30
1 2
3 2
3 3
3
2 3 3
2
60
3 2
1 2
3
3 3
2
2 3 3
37
3 5
4 5
3 4
4 3
5 4
5 3
53
4 5
3 5
4 3
3 4
5 3
5 4
45
2 2
2 2
1
1
2
2
TRIÁNGULO PITAGÓRICO:
• “m” y “n”: m2 + n2
2mn
#s enteros positivos •m>n
m2 – n2
1.
Calcule: Q (sec 60)csc 30 (ctg 30)csc 2 45
5.
Rpta.: ........................................... 2.
cos tg
Determine:
sec 45 csc 45) P 7(csc16)sen 30 cos 60
Rpta.: ...........................................
2 tg 45
6.
Rpta.: ........................................... 3.
Calcule:
Calcule: “x” si: x tg 45 25 cos16 5 cos 37 x ctg 2 45 Rpta.: ...........................................
T (((sec 60)csc 30 )sen 30 )
3 sen30
7. Rpta.: ........................................... 4.
Si sen = ctg30°cos45°cos60° Calcule: el valor de “” si:
Calcule “” siendo la medida de un ángulo agudo. 1 (cos )sec 4
Rpta.: ........................................... 8.
Rpta.: ...........................................
Calcule E – Q; calcule: • E = 1 + sen37° + sen237° + sen337° + ... • Q = cos60° + cos260° + cos360° + ...
Determine el valor de: a. tg18°30'
b. ctg26°30'
Rpta.: ........................................... Trigonometría
165
COMPENDIO DE MATEMÁTICA 9.
Calcule el valor de:
5to Año 14. Del gráfico mostrado, calcule:
K = ctg8° + ctg18°30'
T Rpta.: ...........................................
ctg ctg
donde Q: punto medio C
10. De la figura:
53°
C
5 P
45°
A
M
B
A
1 B
Calcule : P sen cos ; Donde : C M es mediana
Rpta.: ...........................................
Rpta.: ........................................... 11. Del gráfico mostrado:
15. Si ABCD es un cuadrado, determine: P = sen – cos; AQ = AD. B
B
Q
C
53°
3 2 45°
A
C
7
A
Determine el valor “” Rpta.: ...........................................
D
Rpta.: ...........................................
12. Siendo ABCD un cuadrado
16. Determine tg, si en la figura M y N son puntos
Calcule: Q = 5cos. M: punto medio.
medios. mACB = 37°. A
M
B
B
N A
D
Rpta.: ........................................... 13. Del gráfico, calcule AB; si:
C
Rpta.: ........................................... 17. Determine ctg. Si OAB es un cuadrante de radio
A
4 cm. T es punto de tangencia. P A
T
2
B
M
C
8
D
C
Rpta.: ...........................................
O
30° B
Q
Rpta.: ...........................................
166
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año mNDC = . Calcule:
18. Calcule tg. Siendo ABC un triángulo isósceles y Q punto medio.
B 120° A
1 ctg 2
K 3 tg –
Q
Rpta.: ...........................................
C
20. Sabiendo que y son ángulos agudos; donde: • tg = sen30°cos45°
Rpta.: ...........................................
• tg = sentg30° Calcule:
19. En un cuadrado ABCD se traza A E (E en B C), tal que: mBAE = 37°. Se ubican “M” y “N” es A E, tal que: AM = MN = NE; mADM = ,
R = (csc2 – csc2)(cos2 + 3sec2) Rpta.: ...........................................
1.
Calcule: Q = (32sen37° + 64sen30° + 16ctg53° + tg45°)cos60° A) 6 C) 4 E) 7
4.
B) 5 D) 3
Calcule:
x 2
y, si AD = 5 u.
A) 50 B
B) 30
C x
2.
A) B) C) D) E) 3.
C) 40
Calcule el valor de “x” si 20 30 25 35 24
D) 20
45°
A
D
E) 45
x+5
18
53°
y
37°
5.
En el triángulo ABC determine P tg
ctg 2 2
Calcule: P = sec. Si AM = MN. A) 1//4 A)
41 5
B)
41 6
C)
41 9
D)
41 7
E)
41 2
Trigonometría
B) 15/4 B
C) 11/4 8 45° A
M N
53°
C
D) 19/4
8
17
E) 21/4
167
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año
CAPÍTULO 05
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1.
Razones trigonométricas recíprocas: Siendo: un ángulo agudo se cumple:
2.
Razones trigonométricas de ángulos complementarios: Siendo: y ángulos agudos, tal que: + = 90° se cumple:
sen csc 1 sen cos cos sec 1 tg cot cos sec 1 sec csc
Ejemplos:
1.
• sen20°csc20° = 1 • cos80°sec80° = 1 • sen12°csc =1 = 12°
Reducir: E = 8sen40°(sec50° + csc40°)
Ejemplos:
4.
Rpta.: ........................................... 2.
Si tg( + + 40°)ctg(50° – ) = 1
sen20° tg24° sen12° 12° +
= = = = =
cos70° ctg66° cos 90° 78°
Determine si: sen(4 + 20°) = cos( + 10°) Rpta.: ...........................................
5.
Si + = 90°, donde (sen)cos = sen30°sec45° Determine:
Calcule: G
• • •
2 sen( ) 3 sec( ) 4 tg( ) cos csc ctg
E 2 cos( 15) ctg 2
Rpta.: ........................................... Rpta.: ........................................... 6. 3.
Calcule: sen13 sec 35 cos 77 csc 55
sec 60
Determine las equivalencias de: a. sen(90° – ) b. tg(90° – ) c. csc(90° – ) Rpta.: ...........................................
Rpta.: ...........................................
168
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
7.
Si sen(90 )
7 25
5to Año 14. Siendo: sen4csc( + 30°) = 1 Calcule: Q = sen6tg3
Calcule: P
cos tg sec 2(90 ) csc ctg(90 )
Rpta.: ........................................... 8.
Rpta.: ........................................... 15. Si csc3x = sec2x Calcule: M = 3tg(3x – 1°) + 4tg(2x + 1°) Rpta.: ...........................................
Determine el valor en: tg(3 – 50°)ctg(+ 10°) = 2cos60°
16. Si sen( – 10°) = cos( + 10°) Rpta.: ........................................... 9.
y son mediadas de dos ángulos agudos 4 5 además se cumple que: tg ctg 2 2 3 Calcule: T cos 10
csc 2 2
Calcule: G tg
Si
Rpta.: ........................................... 17. Calcule el valor de: W = (sen42° +cos48°)(2sec48° – csc42°) Rpta.: ...........................................
Rpta.: ........................................... 10. Si: • K = tg1° + tg2° + tg3° • Q = ctg89° + ctg88° + ctg87° Determine el valor de: K Q K Q
2
18. Si tg3x = ctg2x Calcule: R
cos 4 x 2 tg 2 x tg 3 x sen x
Rpta.: ...........................................
Rpta.: ........................................... 11. Si sen3 = cos6 Determine: E = csc23 + ctg4(3 + 15°) Rpta.: ........................................... 12. Calcule sen( – ) si: • sen( – 5°)csc(25° – ) = 1 • sen( + 10°) = cos( + 20°) Rpta.: ........................................... 13. Determine el valor si: tg( – 15°) = tg1° · tg2°· ... · tg89°
19. Si y son medidas de los ángulo complementarios, además: 2 (tg )ctg 3 3 Determine: E 2 sen sec 2
Rpta.: ........................................... 20. Sabiendo que: • sen 3xcsc42° = 1 y • tg2x = ctgy Determine: G = sec2(4x + 4°) – tg2(y – 2°) Rpta.: ...........................................
Rpta.: ...........................................
Trigonometría
169
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
1.
5to Año
Calcule:
A) 2 C) 0 E) 4
3
2
2 tg 30 3 sec 15 sen18 Q cos 72 ctg 60 csc 75
A) 10 C) 12 E) 14 2.
B) 11 D) 13
4.
3 10 tg ctg( 9) 1 2
5.
3.
B) 12° D) 13°
Si sen(2x + 10°)csc(x + 50°) = 1 Calcule
Si: • tg(a + b)ctg74° = 1 • cos(a – b) sec26° = 1 A) 0 C) 2 E) 5
Determine ; si :
A) 10° C) 8° E) 15°
B) 1 D) 3
B) 4 D) 3
Si: tg(2a + b) = ctg(a – 2b) 1
Calcule: ctg (a b) 2
A) 3/4 C) 1 E) 3 / 3
B) 4/3 D) 3
x tg 25 2
170
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año
CAPÍTULO 06
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ÁNGULOS VERTICALES 1.
Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo; significa encontrar la medida de todos sus elementos básicos; es decir, los tres lados y sus dos ángulos agudos (el ángulo recto es un dato constante). Esto nos permite afirmar que para resolver triángulos rectángulos se nos pueden presentar dos casos: I. Conocidos dos lados (los catetos o un cateto y la hipotenusa). Resolución en base al teorema de Pitágoras. II. Conocido un lado y un ángulo. Resolución en base a los siguientes triángulos, conocidos a y .
a
asen
atg
asec
acos
a
acsc
a
actg
OBSERVACIÓN Para calcular la longitud de un lado de un triángulo se puede aplicar la siguiente relación: Lado que se quiere R . T.() Lado que se tiene
2.
ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos que se ubican en un plano vertical, siendo estos: 2.1. Ángulo de elevación.– Es aquel ángulo determinado por una línea horizontal y una línea visual cuando ésta última está por encima de la horizontal. 2.2. Ángulo de depresión.– Es aquel ángulo determinado por una línea horizontal y una línea visual, cuando ésta se ubica por debajo de dicha horizontal. (Observe gráfico)
al visu
línea horizontal
: ángulo de elevación : ángulo de depresión
visua l
Nota: El ángulo “” es llamado “ángulo de observación” y está formado por dos líneas visuales.
Trigonometría
171
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
1.
5to Año
5.
Calcule x en términos de y a. D
De la figura, calcule x, en términos de m; y valores conocidos. B C
a
n
C
x
B
F
D
E x
A
Rpta.: ...........................................
Rpta.: ........................................... 2.
A
6.
Calcule x en términos de ; y a.
Calcule x, en términos de y m. C D
m
x a
A
E
x
B
Rpta.: ........................................... Rpta.: ........................................... 3.
Calcule m/x en términos de . C
7.
Calcule x, en términos de R y .
D m R
x
B
A
Rpta.: ........................................... 4.
Calcule x; en términos de m; y . B
Rpta.: ........................................... 8.
Si AC = 4FG; calcule: tg + ctg, siendo DEFG un cuadrado
m
B
A
x
D
x
D
C
Rpta.: ...........................................
E
A
G
F
C
Rpta.: ...........................................
172
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
9.
De la figura, calcule tg. (ABCD: cuadrado)
. Si desde la mitad de la distancia que los separa, a
el ángulo de elevación es el complemento del
F
anterior al observador la parte más alta de la torre; a
calcule ctg. Rpta.: ................
E
a
Rpta.: ...........................................
a
a A
14. Desde un punto de un terreno se observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación
C
B
5to Año
D
15. Desde un punto en tierra se observa lo alto del tercer piso con un ángulo de elevación y la
10. Determine tg.
parte baja del quinto piso con un ángulo de elevación , calcule tg/tg
3m
Rpta.: ........................................... Rpta.: ................. m
16. Desde la parte superior de un muro de 2 m, se observa la base de un árbol con un ángulo de depresión de 30º y con un ángulo de elevación de 60º la parte superior, calcule la altura del árbol.
11. Carla se encuentra a 72 m de un edificio y observa la parte superior con un ángulo de elevación de 60º. Si Carla mide 3 m, calcule la altura del edificio. Rpta.: ........................................... 12. Si a 20 m de un poste se observa lo alto con un ángulo de elevación de 37º y luego nos acercamos al poste una distancia igual de su altura, observando la parte más alta del poste con ángulo de elevación ; calcule la tg.
Rpta.: ........................................... 17. Francisco observa la parte superior de un muro con un ángulo de elevación, cuando la distancia que los separa se ha reducido a la tercera parte, el ángulo de elevación se ha duplicado, ¿cuál es el valor del ángulo ? Rpta.: ........................................... 18. A 10 m de un poste el ángulo de elevación para lo alto de la misma es (ctg = 0,8). Si
Rpta.: ...........................................
retrocedemos 6 m el ángulo de elevación es . Calcule: tg.
13. Dos columnas tienen 8 y 14 m de altura y la recta que une sus puntos más altos forman un ángulo de 37º con la horizontal, calcule la distancia entre ambas columnas:
Rpta.: ........................................... 19. A 20 m de una torre se observa su parte más alta con un ángulo de elevación y si nos alejamos 10
Rpta.: ...........................................
m el ángulo de elevación es el complemento de . Calcule tg. Rpta.: ...........................................
Trigonometría
173
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año
20. Calcule la altura de un árbol. Si el ángulo de elevación de su parte más alta aumenta de 37º hasta 45º, cuando el observador avanza 3 m hacia el árbol. Rpta.: ...........................................
1.
Calcule ctg.
3.
De la figura, calcule x.
A) 2
H
B)
2
C)
3
D)
2 2
E)
x
A) B) C) D) E)
a
3 3
3a
2. Calcule: x en términos de y H.
4.
H
H(tg – ctg) H(ctg – tg) H(tg – tg) H(ctg – ctg) H(csc – csc)
Al observar la parte superior de una torre, el ángulo de elevación es 53º, medido a 36 m de ella y a una altura de 12 m sobre el suelo. Calcule la altura de la torre. A) 24 m C) 50 m E) 30 m
B) 48 m D) 60 m
x
5. A) B) C) D) E)
174
H(tg– ctg) H(sen + cos) H(sen – cos) H(tg + ctg) H(sen + tg)
Un niño de 1 m de estatura observa los ojos de una señorita de estatura 3 m con un ángulo de elevación . Calcule la distancia que los separa sabiendo que ctg 3 1. A) 1 m C) 2 m E) 3 m
B) 1,5 m D) 2,5 m
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año
CAPÍTULO 07
MISCELÁNEA
1.
Si: 22,22º = Aº B' C" calcule: A + B + C A. 47 C. 48
2.
6. B. 33 D. 32
CS xS C CS 3
Un mismo ángulo es medido por dos personas:
7x 1 Marcos encontró 2
Calcule el valor de "x" para que dicho ángulo mida 0,125rad.
0
2x 1 Luis encontró rad 360 halle dicho ángulo en minutos centesimales. A. 70 m C. 90 m
B. 80 m D. 100 m
Si "S" y "C" son el número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo y además:
7.
A.
1 5
B.
2 5
C.
3 5
D.
4 5
Se tiene una lámina en forma de sector circular cuyo ángulo central mide
3.
2k radianes. Calcule el ángulo 25 en grados sexagesimales, sabiendo que el suplemento de dicho ángulo es 4k grados centesimales. Un ángulo mide
A. 160º C. 70º 4.
6 de longitud este no queda cubierto 7 totalmente, faltando una cierta longitud de hilo. Pero hilo de
8 m, sobra una 7 longitud igual a la que faltaba anteriormente. Determine el radio de la lámina. si es cubierta con una longitud de
B. 60º D. 144º
Si la suma de las inversas de los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo es igual a 19 veces el producto de las inversas de los mismos, halle dicho ángulo en el sistema internacional.
A.
rad 10
B.
15
C.
16
D.
20
A. 3 m C. 5 8.
B. 4 D. 6
Calcule la suma de las longitudes de arco recorridas por las esferas de radio despreciable al ser soltadas de "A" y "D" (no necesariamente al mismo tiempo) cuando impactan por primera vez, si se cumple: 2AB = 1,73
3 BC = 2 3 CD = 10 3 m, considere: B
5.
Determine la medida radial de un ángulo, si: 4C - 3S + 2R = 133,1416 considere: = 3,1416 A. C.
rad 2
B.
3
D.
Trigonometría
4 6
rad, al cubrir el arco con un 3
3=
C
30º
30º
A
D
A.
48 m 7
B.
49 6
C.
50 7
D.
51 6
175
COMPENDIO DE MATEMÁTICA 9.
5to Año
De la figura adjunta, halle "x" siendo "O" centro del sector circular AOB y COD. 14.
A
x
C. V V V
C O
rad
(x + 1)
(x - 1) D x
A. 1 C. 2 10.
B
15.
D. F F V
En un triángulo rectángulo, el producto de secantes de sus ángulos agudos es 4. Calcule la tangente del mayor ángulo agudo. B.
C. 2 + 3
D. 2 - 3
3 AB = a 3
Si: BC =
En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se cumple: secA.secC = 2,5 calcule: M = (senA + senC)2
A.
7 5
B.
9 5
C.
3 5
D.
4 5
2 sen B
45º
16.
2
1
3 6 a 4
B.
6a
C. 2 6 a
D.
6 a 4
A.
Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética. Calcule el coseno del mayor ángulo agudo.
30º
A
11.
3 sen +
calcule: L =
B. 1,5 D. 2,5
3
A. 2
C
Si: AM = MD, calcule: L = 2tan + 3tan
C A.
1 2
B.
C.
3 5
D.
2 2
4 5
12.
M
D
Se tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo, donde la hipotenusa es 34 m y donde uno de los ángulos agudos mide "", tal que: tan =
8 ; halle 15
A. 50 m C. 70
B. 60 D. 80
2 3
B.
5 2
C. 2
D.
2 5
A.
su perímetro.
13.
45º
A
17.
De la figura, calcular "tgx"
Analizar las siguientes proposiciones:
x
I.
Siendo "" un ángulo agudo, entonces: tan- sen> 0 II. Si "" y "" son ángulos agudos tal que: >
entonces: III. sen10º
A. V F V
176
53º
sec cot sec cot 1 2 B. V F F
A.
1 8
B. 2
C.
1 2
D.
3 8
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA 18.
5to Año
Del gráfico, calcular “sen”
A. 1
B. 2
C. 4
D.
C T
19.
1.
8
0
B
1 2
B.
C.
1 6
D. 1 8
1 4
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se traza ˆC = la mediana CM ("M" en AB ) . Si: BAˆC = y BM
Calcular: C
C.
A. 2
tan tan
10s 100 B. 3
20 3
D.
5 3
4.
En un sector circular, el ángulo central mide 36° y el radio 15 cm. ¿Cuánto mide el arco? A. cm C. 3
B. 2 D. 4
B.
5 2
C.
1
10 A. 3
2.
8
A.
; calcular: L
En el cubo mostrado, calcular "tan"
1
A
20
3 2
A.
2
B.
C.
3 2
D. 2
2n rad y su 15 complemento como 6nº, ¿cuál es el valor de "n"? Si un ángulo se expresa como
A. 1 C. 3 5.
1 2
D.
B. 2 D. 4
ABCD es un cuadrado, calcular: S = 5tan + 6cot F
B
3.
1 2
C
Si en el gráfico, la longitud de OC es el doble del arco BD; calcular: K = 2 + -1
A
E
D 1
C O
rad
A 2
4
D
B A. 2 C. 6
Trigonometría
G
B. 3 D. 4
177
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año
CAPÍTULO 08
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 1.
Distancia entre dos puntos Sea los puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2); luego la distancia entre estos dos puntos será d
Por el teorema de Pitágoras tenemos: Y P2
y2 d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 d 2
(y2 – y1)
2
(x2 - x1 ) + (y2 - y1 )
d=
P1
y1
(x2 – x1) x1
2.
x2 X
Coordenadas del punto de un segmento, dado una razón Sea P un punto de un segmento que lo divide en partes proporcionales.
Y (x2;y2) b P(x;y)
a (x1;y1) x1
3.
x2
x
x1 b x 2 a
y
y1 b y2 a
ab
ab
X
Coordenadas del punto medio de un segmento
Y
Sean M( x; y) punto medio del segmento P1 P2
P2
y2 M
y y1
P1
x x 2 y1 y2 M 1 ; 2 2
x1
178
luego : x x2 x 1 2 y1 y2 y 2
x
x2
X
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA 4.
Coordenadas del baricentro de un triángulo
5to Año 6.
Calcule el punto h(x; y); si es punto medio.
A(4; 12)
B(b1; b2) h(x; y)
C(16; 4)
G
Rpta.: ...........................................
A(a1; a2)
7.
C(c1; c2)
Calcule las coordenadas del punto: h(x; y) (–5; 12)
Sea G(x; y) el baricentro de un triángulo ABC; entonces
x
a1 b1 c1 3
y
(–3; 8)
a2 b2 c 2 3
h(x; y)
Rpta.: ...........................................
8. 1.
Obtenga
x 2 y2 xy (x; 8)
Determine el valor de b. Si la distancia entre los puntos A(7; 1) y B(3; b) es 5 (b < 0).
(4; 4)
Rpta.: ........................................... 2.
La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B(5; –2) es 2 41. Calcule la abcisa del punto..
(–4; y) Rpta.: ...........................................
Rpta.: ........................................... 9. 3.
Determine las coordenadas del punto P.
Se tiene un triángulo ABC, donde A(6, 5); B(3, 7) y C(2; –1). Determine la naturaleza del triángulo.
3 5
Rpta.: ........................................... 4.
(12; 14)
P(x ; y)
(–2; 3)
Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(–1; 1) y B(3; 1). Calcule el perímetro del triángulo.
Rpta.: ........................................... 10. Calcule las coordenadas de Q.
Rpta.: ........................................... 5
5.
Q
Calcule las coordenadas del punto medio del segmento A B. Si A(–5; 6) y B(3; 8). Rpta.: ...........................................
Trigonometría
2
(11/7; 30/7)
Rpta.: ....................
(–3; 2)
179
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
5to Año
11 . Determine las coordenadas del punto G(x; y)
16. Determine el área de la región triángular ABC. A(6;8)
(6; 13)
G(x; y) (13; 8) Rpta.: ................
B(–1;1)
C(13;1)
(–4; 6)
Rpta.: ........................................... 12. Calcule el área (S), de la región triangular ABC Y
17. Los vértices de un triángulo ABC son A(6; 5); B(3;
A(x; 12)
7) y C(2; 1). Determine la mediana relativa al lado AC.
C 37° (–4;0)
Rpta.: ...........................................
B X
Rpta.: ...........................................
13. Determine las coordenadas del punto R
18. Dos vértices de un triángulo equilátero son A(1; 2) y B(3; 5). Calcule el área del triángulo.
Y
Rpta.: ...........................................
R (x; y)
19. De la figura, calcule las coordenadas del punto Q, X
60° P(–8;0)
si P Q 4 5, donde x .
Q(12;0)
Rpta.: ...........................................
Y Q(–x+1;2x)
14. Determine las coordenadas del punto Q(x; y). P(6;2)
Y N
X
2a Q(x; y)
Rpta.: ...........................................
3a 45° M(–8;0)
T
X
Rpta.: ...........................................
20. Del gráfico, calcule las coordenadas de R y Q.
A(–2;6)
Y R
15. Calcule el valor de: x/y; si: Y
O
X
R(x; y) Q P
Q
Si: AO = OR = OQ
30° X
Q es punto medio de P R.
Rpta.: ...........................................
Rpta.: ........................................... 180
Trigonometría
COMPENDIO DE MATEMÁTICA
1.
Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 10 es el punto (6; –4). Si la abscisa del otro extremo es 12, calcule su ordenada, (y > 0) A) 4 C) 8 E) 6
2.
5to Año
B) 16 D) 12
A) (4; 3) C) (8; 0) E) (0; 0) 5.
B) (2; 3) D) (0; 8)
Calcule las coordenadas del punto R(x; y).
(2; 5)
Se tiene un triángulo ABC, de vértices A(6, 5); B(3; 7) y C(2; –1), calcule la longitud de la mediana relativa al lado AC. R(x; y)
3.
A)
17
B)
21
C)
26
D)
31
E)
41
(4; –2)
Uno de los puntos extremos de un segmento es (5; 7) y su punto medio es (2; 0), calcule la suma de las coordenadas del otro extremo. A) 8 C) 6 E) –7
4.
(–3; –4)
B) –8 D) –6
A) ;
1 4
1 4
2 4
2 3
7 3
C) ; 1
Determine las coordenadas del punto A(x; y).
B) ;
7 4
3 4
3 2
7 2
D) ;
E) ;
A(x; y)
(3; 4)
(6; 0)
Trigonometría
181
.
