´ A LA INTRODUCCION GEOMETR´ IA DIFERENCIAL Dispone de un paquete de Mathematica Ma thematica para calcular m´etricas, etricas, s´ımbolos ımbolo s de Christoffel, Christ offel, geod´ geo d´esicas esica s y curvatura curvatur a seccional secc ional
´ Luis Javier HERNANDEZ PARICIO
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Apuntes de Geometr Geome tr´´ıa Diferencia Difer enciall
´ Indice general ´ INTRODUCCION 1. Brev Breves es come comenta ntario rioss hist hist´ o´ricos oricos 2. Obj Objet etiv ivos os 3. Req Requi uisi sitos tos
1 1 5 6
Cap´ıtulo 1. PRELIMINARES Cap´ 1. Noci Nociones ones y nota notacio ciones nes asociad asociadas as a funcio funciones nes 2. Topo opolog log´´ıa 2.1. 2. 1. Es Espac pacio ioss topo topol´ l´ ogicos y funciones continuas ogicos 2.2. Base de una topolog topolog´´ıa 2.3. Prop Propied iedades ades topol topol´ o´gicas ogicas 2.4. Cons Construc truccion ciones es 2.5. Alg Alguno unoss espa espacio cioss ´ 3. Algebra lineal 4. An´alisis alisis matem´ atico atico Problemas
9 9 10 10 11 12 12 13 14 17 20
Cap´ıtulo 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES Cap´ 1. La no noccion o´n de variedad diferenciable Problemas 2. La topolog´ topolog´ıa de una variedad variedad diferenciable diferenciable 2.1. 2. 1. In Introd troducc ucci´ i´ on de la topolog on topolog´´ıa median mediante te la relaci´ on de compatibilidad 2.2. 2. 2. In Introd troducc ucci´ i´ on de la topolog on topolog´´ıa mediante atlas maximales 3. Pro Propi pieda edades des b´ asicas de la topolog asicas topolog´´ıa de una variedad Problemas 4. Alg Alguna unass propiedad propiedades es de funciones funciones difere diferenci nciable abless Problemas
23 23 27 29
Cap´ıtulo 3. EJEMPLOS DE VARIEDADES Cap´ VARIEDADES DIFERENCIABLES DIFERENCIABLES 1. Ej Ejem empl plos os b´ asicos de variedades diferenciables asicos diferenciables Problemas 2. El conju conjunt ntoo de ceros ceros de de una fun funci ci´ o´n con valores reales on Problemas 3. Mi Misc scel el´anea a´nea
39 39 42 43 45 49
Cap´ıtulo 4. ESPACIO TANGENTE Cap´ 1. Not Notacio aciones nes prev previas ias
53 53
iii
29 30 31 34 35 36
iv
´Indice general
Problemas 2. Derivadas parciales. Propiedades Problemas 3. Vectores tangentes Problemas 4. Aplicaci´on tangente Problemas
54 55 55 56 58 59 62
Cap´ıtulo 5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE 1. Inmersiones Problemas 2. Submersiones Problemas 3. Las fibras de una submersi´ on Problemas
65 65 67 72 74 75 76
Cap´ıtulo 6. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES 1. Grupos discontinuos y variedades recubridoras Problemas 2. Sistemas din´ amicos Problemas 3. Grupos de Lie Problemas 4. Encajes de la botella de Klein y del plano proyectivo real
87 87 90 93 96 97 101 101
Cap´ıtulo 7. CAMPOS Y FORMAS 1. Fibrado tangente y cotangente Problemas 2. Definici´ on y propiedades de campos y formas Problemas 3. Variedades paralelizables Problemas 4. Variedades orientables Problemas 5. Curvas integrales Problemas
103 103 104 105 111 113 113 114 118 118 120
Cap´ıtulo 8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS 127 1. Conexiones y derivada covariante 127 Problemas 132 2. Variedades riemannianas 133 Problemas 135 3. Longitudes de curvas y vol´ umenes 139 Problemas 140 4. Conexiones riemannianas 140 Problemas 144 5. Curvatura 148
´Indice general
Problemas 6. Miscel´anea
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153 155
Cap´ıtulo 9. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY 1. El paquete RiemannianGeometry 1.1. Introducci´ on 1.2. Algunas pseudom´etricas m´ as frecuentes 1.3. Pseudo-m´etrica inducida por una inmersi´ on 1.4. S´ımbolos de Christoffel y ecuaciones de las geod´esicas 1.5. Tensor de curvatura y Curvatura Seccional 1.6. Coeficientes geom´etricos inducidos por una inmersi´ on 1.7. Ejemplos 2. Integraci´ on num´erica de las geod´esicas 3. Algunas aplicaciones inform´ aticas para la geometr´ıa 4. Otros enlaces interesantes
159 159 159 160 160 161 162 163 165 168 170 171
Bibliograf´ıa
173
´ INTRODUCCION ´ Estos son unos apuntes sobre t´ecnicas b´ asicas de Geometr´ıa Diferencial. Incluyen las nociones que hemos considerado m´as importantes acompa˜ nadas de algunos ejemplos y problemas que creemos que adem´as de facilitar la comprensi´ on de los conceptos resaltan aquellos aspectos m´ as interesantes. Se abordan pausadamente algunos resultados elementales, aunque no por ello se deja de hacer referencia a otros teoremas m´ as importantes incluyendo bibliograf´ıa adecuada para su estudio. Intentamos que el lector asimile bien las primeras nociones y sus propiedades y adem´ as hemos seleccionado unos contenidos que puedan presentarse y estudiarse en un periodo breve de tiempo. La Geometr´ıa Diferencial es una t´ecnica que, mediante m´etodos diferenciales, da respuesta a numerosos problemas matem´ aticos y adem´ as se puede completar con las herramientas necesarias para introducir la Geometr´ıa Riemannniana que es una teor´ıa que unifica la geometr´ıa euclidiana, la llamada geometr´ıa anal´ıtica, la geometr´ıa proyectiva y la geometr´ıa hiperb´ olica. Tambi´ en deja el camino abierto para introducir la Geometr´ıa Pseudo-Riemanniana que da un marco adecuado para el estudio de la Teor´ıa de la Relatividad. En esta introducci´ on hacemos unos breves comentarios hist´ oricos, se˜nalamos los objetivos que deseamos que el alumno alcance con la ayuda de estos apuntes y comentamos los requisitos que a nuestro juicio debe reunir ´este para leer sin dificultad estas notas sobre Geometr´ıa Diferencial. 1.
Breves comentarios hist´ oricos
La geometr´ıa de las culturas griega y egipcia qued´ o recogida de modo magistral en los Elementos de Euclides. Esta excepcional obra se fecha aproximadamente hacia el 300 a.C. y en ella se establecen fundamentos de geometr´ıa y ´algebra griega que van a tener una influencia decisiva a lo largo de los dos milenios siguientes. Los Elementos se construyen a partir de unos postulados b´ asicos que describen las propiedades elementales de los puntos y las rectas del plano. Se˜ nalaremos que con este tratado se plantea uno de los problemas que m´as pol´emica ha causado y para cuya resoluci´ on completa se han necesitado m´ as de dos milenios. Se trata simplemente de averiguar si los postulados son independientes y si uno de ellos, frecuentemente 1
2
´ INTRODUCCI ON
denominado quinto postulado y tambi´ en postulado de las paralelas, depende de los dem´ as. En geometr´ıa euclidiana se verifica que por punto exterior a una recta pasa una u´nica recta paralela y va a ser esta propiedad la que hace que la resoluci´on del problema anterior se conozca tambi´ en como la ciencia de las paralelas. Por brevedad y para centrarnos r´ apidamente en los aspectos diferenciales de la geometr´ıa vamos a dar un gran salto en el tiempo para situarnos en el siglo XVII. Con ello no queremos que se desprenda que en el periodo intermedio no se dieran importantes avances geom´etricos. Empezamos esta nueva etapa mencionando a Ren´ e Descartes (15861650), eminente cient´ıfico franc´es, que en su obra “Geometr´ıa”, asociaba a cada punto del plano dos coordenadas x, y que le permitieron formular anal´ıticamente numerosos problemas geom´etricos. Tambi´en el matem´atico franc´es Pierre de Fermat (1601-1665) utilizaba en esta ´epoca coordenadas rectangulares en dimensi´ on dos en su obra “Introducci´on a la teor´ıa de lugares planos y espaciales”. Las t´ecnicas de la perspectiva eran conocidas desde ´epocas remotas y especialmente fueron desarrolladas por artistas y arquitectos en la ´epoca del Renacimiento. Gerard Desargues (1593-1662) utilizaba en 1636 coordenadas para la construcci´ on de perpectividades. A ´el se debe su c´elebre teorema de los tri´ angulos coaxiales y copolares que juega un papel importante en la descripciones axiom´ aticas y algebraicas de las geometr´ıas. Mencionaremos tambi´ en a Blaise Pascal (1623-1662) y su teorema del hex´ agrama m´ıstico. El uso de perspectividades necesitaba de puntos infinitamente alejados que poco a poco dieron lugar a la geometr´ıa proyectiva y sus transformaciones, denominadas frecuentemente como proyectividades. Destacaremos que dos siglos m´ as tarde la geometr´ıa proyectiva ya se hab´ıa desarrollado como se pone de manifiesto en la obra de Jean-Victor Poncelet (1788-1867) “Tratado de las propiedades proyectivas de las figuras” que fue publicada en Paris en 1822, si bien fue planificada siendo ´este prisionero en Mosc´ u a causa de las guerras napole´ onicas. En el siglo XVII se produce un hito matem´ atico importante: el nacimiento del c´alculo diferencial, impulsado principalmente por Isaac Newton (1642-1727) en Inglaterra, e independientemente, por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en Alemania. Poco a poco el uso de t´ecnicas diferenciales para la resoluci´ on de problemas geom´etricos iba determinando la disciplina matem´ atica que hoy denominamos como Geometr´ıa Diferencial. A comienzos del siglo XVII, Isaac Newton en su obra de 1704 “Enumeraci´on de las curvas de tercer orden” clasifica curvas seg´ un el grado de su ecuaci´ on y encuentra su interpretaci´ on geom´etrica como el m´ aximo n´ umero posible de puntos de intersecci´ on de la curva con una recta.
´ 1. BREVES COMENTARIOS HIST ORICOS
3
El uso sistem´atico de coordenadas en dimensi´ on tres puede verse ya en 1731 en el libro de Alexis Claude Clairaut (1713-1765) “Investigaciones sobre curvas de doble curvatura”. Clairaut interpretaba correctamente una superficie como las soluciones de una ecuaci´ on u ´ nica y la curvas en el espacio las consideraba como intersecci´ on de dos superficies; es decir, mediante dos ecuaciones. Son muy conocidos sus resultados sobre las propiedades que tienen las geod´esicas de una superficie de revoluci´ on (v´eanse los problemas del cap´ıtulo 8 de estos apuntes). A finales del siglo XVII Sylvestre Fran¸cois Lacroix (1765-1843) acu˜ n´o la denominaci´on de Geometr´ıa Anal´ıtica. Leonard Euler (1707-1783) continu´ o con la investigaci´on de geod´esicas sobre superficies, en particular dio la ecuaci´ on diferencial de una geod´esica en una superficie (v´ease secci´ on 1 del cap´ıtulo 8 de estos apuntes). Analiz´o tambi´ en la curvatura de las secciones planas de una superficie dando expresiones para el c´ alculo de las curvaturas principales. En 1771, en un art´ıculo sobre cuerpos cuyas superficies se pueden superponer en un plano, Euler introdujo el concepto de superficie desarrollable. Gaspard Monge (1746-1818) en los a˜ nos 80 public´ o dos obras, en las que estudio propiedades de curvas en el espacio y de las superficies. Introdujo nociones y terminolog´ıa todav´ıa utilizadas en la actualidad, como las de superficie desarrollable y rectificable, arista de retroceso, lugar geom´ etrico de los centros de curvatura, etc. La traducci´ on de hechos geom´etricos en t´erminos de ecuaciones en derivadas parciales y ecuaciones diferenciales ordinarias condujo a la geometr´ıa diferencial a una nueva fase en la que se interrelacionaban algunos aspectos geom´etricos con otros de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales. Una nueva etapa de la Geometr´ıa Diferencial se puso de manifiesto con las investigaciones de Karl Friedrich Gauss (Grunswick, 1777 Gotinga, 1855) sobre la geometr´ıa intr´ınseca de las superficies, es decir, aquellas propiedades que son invariantes por transformaciones que preservan las longitudes y los a´ngulos que forman las curvas contenidas en las superficie. Citaremos el llamado Teorema Egregio de Gauss que asegura que la curvatura de una superficie es intr´ınseca. A finales de siglo XVIII y principios del XIX aparecen los tres principales art´ıfices en la historia de la geometr´ıa no euclidiana: Gauss, que ya hemos menciondado, Nikolai Ivanovich Lobachevski (Bajo Novgorod, actual Gorki, 1792-1856), J´anos Bolyai (Kolozsv´ar, actual ClujNapoca, Rumania, 1802-1860). Aunque las cartas de Gauss prueban los grandes avances realizados por ´este en la ciencias de las paralelas, el m´erito de su descubrimiento se atribuye de modo independiente a Lobachevki y a Bolyai. En sus publicaciones ellos desarrollan una nueva geometr´ıa suponiendo que, al contrario de lo que sucede en la geometr´ıa euclidiana, por un punto exterior a una recta pasa m´ as de una
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´ INTRODUCCI ON
paralela. Esta nueva geometr´ıa se denomina geometr´ıa no euclidiana o hiperb´ olica. A mediados del siglo XIX aparece un nuevo principio general sobre qu´e es lo que se puede entender por una geometr´ıa. Esta idea fue expuesta por Bernhard Riemann (1826-1886, alumno de Gauss) en el a˜ no 1854 en una conferencia titulada “Sobre las hip´ otesis que yacen en los fundamentos de la Geometr´ıa”; posteriormente, esta conferencia, que se publica en 1887, ha sido frecuentemente citada. Seg´ un Riemann, para la construcci´ on de una Geometr´ıa es necesario dar: una variedad de elementos, las coordenadas de estos elementos y la ley que mide la distancia entre elementos de la variedad infinitamente pr´ oximos. Para ello se supone que las partes infinitesimales de la variedad se miden euclidianamente. Esto significa que hay que expresar en su forma m´ as general el elemento de arco en funci´ on de las coordenadas. Para ello se da el elemento gen´ erico de arco para cada punto a trav´es de una forma cuadr´ atica definida positiva de la forma ds2 = i,j gij dxi dx j . Eliminado la condici´on de ser definida positiva, este modelo tambi´en se utiliza para formular la teor´ıa de la relatividad, tanto en su versi´ on restringida como en la generalizada mediante el uso de variedades de dimensi´on cuatro, tres coordenadas espaciales y una temporal. En estos modelos se toman como transformaciones aquellas aplicaciones que dejan invariante el elemento de arco. Esta forma de concebir el espacio ha evolucionado con el tratamiento dado a comienzos del siglo XX en los trabajos de los matem´aticos italianos M. M. G. Ricci (1853-1925) y T. Levi-Civita (1873-1941) hasta la noci´on que hoy denominamos como variedad riemanniana. La definici´on que actualmente utilizamos de variedad diferenciable (o diferencial) se atribuye a Hassler Whitney [42] que en 1936 presentaba una variedad como una serie de piezas euclidianas pegadas con funciones diferenciables. Aquellos lectores que deseen conocer otros aspectos hist´ oricos del desarrollo de la geometr´ıa pueden consultar los libros [44] , [45]. Para aquellos aspectos relacionados con geometr´ıas euclidianas y no euclidianas consideramos interesante el libro de Bonola [46] y la p´agina web 4.1 del cap´ıtulo 9. En estos apuntes se presenta la noci´ on de variedad diferenciable de manera parecida a como la introdujo Whitney y se estudian las herramientas m´ as b´asicas para poder introducir de un modo riguroso la noci´ on de variedad riemanniana. De un modo r´ apido diremos que en este texto se analiza la topolog´ıa inducida por una estructura diferenciable para despu´es abordar el estudio de una funci´ on diferenciable en un punto a trav´es de espacios y aplicaciones tangentes. Ello permite introducir los conceptos de subvariedad, variedad cociente y mediante la t´ecnica de fibrados (co)tangentes y sus secciones: los campos tangentes
2. OBJETIVOS
5
y las formas diferenciables. Con todas estas nociones estamos en disposici´on de introducir la noci´on de variedad riemanniana. Exponemos a continuaci´ on unas ideas introductorias sobre algunas cuestiones b´ asicas de geometr´ıa riemanniana. En una variedad riemanniana se dispone de una forma bilineal en el espacio tangente de cada punto de la variedad que permite medir longitudes de vectores tangentes y el a´ngulo determinado por dos vectores. Utilizando las t´ecnicas usuales de integraci´ on se pueden determinar las longitudes de las curvas de dicha variedad y se puede calcular el volumen de adecuadas “regiones medibles” de la misma. Por otra parte, dados dos puntos de una componente conexa se pueden considerar todas las curvas que existan en la variedad entre esos dos puntos. Si los dos puntos est´ an “suficientemente pr´oximos”, entonces existe una curva especial que es la que realiza el recorrido entre ellos con la menor longitud posible. Estas curvas se denominan geod´esicas. Tambi´en se introduce la noci´ on de curvatura riemanniana que asocia un escalar a cada plano tangente de la variedad y que para el caso de superficies coincide con la noci´ o n de curvatura de Gauss. En los casos en que la curvatura sea cero la variedad riemanniana se dice que es parab´ olica, si es constante y mayor que cero se dice que es el´ıptica y si es constante y negativa se dice que es una variedad hiperb´ olica. Este modelo matem´ atico denominado variedad riemanniana contiene la mayor parte de los modelos geom´etricos estudiados hasta el siglo XX. Por una parte, los espacios eucl´ıdeos se pueden considerar como variedades riemannianas con curvatura de Riemann nula, las esferas y espacios proyectivos tienen estructura de variedades riemannianas el´ıpticas y los espacios no euclidianos son casos particulares de variedades riemannianas hiperb´ olicas. Adem´as, las superficies e hipersuperficies de los espacios euclidianos admiten tambi´en de modo natural estructura de variedad riemanniana. Estas propiedades hacen que la geometr´ıa riemanniana sea un marco adecuado para realizar estudios geom´etricos. No obstante, existen otras formas de formalizar la geometr´ıa; por ejemplo, a trav´ es de grupos discontinuos de transformaciones tal y como la present´ o Klein en su famoso programa de Erlangen. Mencionaremos tambi´ en que existen modelos que generalizan los considerados en este texto y otros basados en grupos de transformaciones, aunque desde un punto de vista did´ actico nos parece que un nivel de abstracci´ on muy elevado puede ocultar la verdadera naturaleza de las nociones y problemas geom´ etricos que queremos presentar y desarrollar en estas notas. 2.
Objetivos
Con esta Introducci´ on a la de Geometr´ıa Diferencial se pretenden alcanzar las metas siguientes:
6
´ INTRODUCCI ON
1) Que se comprenda la noci´ on de variedad diferenciable as´ı como la importancia de sus aplicaciones en otras ciencias. 2) Que se adquieran las herramientas b´ asicas de trabajo, aprendiendo nociones fundamentales tales como inmersi´ on, submersi´ on, campos, formas, etc. 3) Que se conozcan variedades importantes tales como esferas, espacios proyectivos, variedades de Grassmann, grupos de Lie, hipersuperficies de espacios eucl´ıdeos, etc. 4) Que se adquieran los procedimientos b´ asicos para construir nuevas variedades: productos, espacios de o´rbitas de grupos de transformaciones discontinuos, cubiertas, fibrados, etc. 5) Que se comprenda que existen otras estructuras an´ alogas o “pr´o ximas” a la noci´on de variedad diferenciable, y que muchas de las t´ecnicas desarrolladas se pueden trasladar a otros contextos. Por ejemplo, variedades de clase C r , variedades anal´ıticas, variedades con singularidades, variedades con borde, etc. 6) Que se compruebe que la noci´ on de variedad riemanniana proporciona un buen marco para el estudio de muchos aspectos geom´etricos. 7) Que se valore positivamente el efecto unificador de la geometr´ıa riemanniana al contener como casos particulares, por un lado, las geometr´ıas el´ıpticas, parab´olicas e hiperb´ olicas y, por otro, la geometr´ıa de curvas y superficies. 8) Que se conozca la t´ecnica de conexiones y conexiones riemannianas y su utilizaci´on en el estudio de geod´esicas y curvaturas. 9) Que el alumno sepa los hitos hist´oricos m´as importantes que han determinado muchas aportaciones mutuas y enriquecedoras entre la geometr´ıa y el calculo diferencial dando lugar a una disciplina matem´atica consolidada, llamada Geometr´ıa Diferencial. Con este programa, adem´ a s de intentar dar una formaci´ on muy b´asica sobre algunos aspectos geom´etricos, se ha intentado seleccionar los temas m´as motivadores. Se ha preferido renunciar a enfoques muy generales, escogiendo aquellos m´etodos que ilustran mejor las propiedades geom´etricas de las variedades.
3.
Requisitos
Se supone que el alumno ha estudiado cursos de an´ alisis matem´atico en los que se han introducido la derivada lineal de funciones de varias variables, derivadas direccionales, derivadas parciales, teorema de la funci´on inversa y teorema de la funci´on impl´ıcita. Es tambi´en conveniente que conozca las t´ecnicas de integraci´ on de funciones de una y varias variables tanto es sus aspectos te´ oricos como en los m´ as pr´acticos.
3. REQUISITOS
7
Tambi´en supondemos que el alumno est´ a familiarizado con los m´etodos de resoluci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, especialmente de las de primer y segundo orden, y de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. En estas notas aplicaremos principalmente estas t´ecnicas al estudio de geod´esicas en una variedad riemanniana y al c´alculo de curvas integrales de un campo. Son fundamentales el conocimiento de las nociones y propiedades b´asicas topol´ ogicas asi como los procedimientos m´as usuales de construcci´on de espacios topol´ ogicos. Respecto a las nociones topol´ ogicas, principalmente se˜ nalaremos, un buen conocimiento de las propiedades m´as frecuentes: primero y segundo numerable, conexi´ on y conexi´on por caminos, las correspondientes conexiones locales, y tambi´ en la propiedad de compacidad. En cuanto a m´etodos de construcci´ on, es conveniente que el alumno maneje bien los subespacios, los productos y las topolog´ıas cocientes. Estas notas contienen alguna construcci´ on en la que se utiliza la noci´ on de espacio recubridor y sus propiedades, particularmente las del recubridor universal. Si bien no es necesario para la lectura de este texto, s´ı consideramos recomendable el estudio previo de las propiedades de los espacios recubridores y su relaci´ on con el grupo fundamental. Finalmente, aunque tampoco es estrictamente necesario, es conveniente tambi´ en adquirir una formaci´ on elemental sobre la noci´o n de grupo; aqu´ı utilizamos algunos grupos de transformaciones, unas veces se trata de grupos continuos de Lie y otras de grupos discontinuos de transformaciones que se utilizan para expresar una variedad como cociente de otra m´ as conocida. Es tambi´en de inter´es el conocimiento de la nocion de m´ odulo sobre un anillo que la utilizamos para el estudio de todos los campos tangentes y formas globales de una variedad sobre el anillo de las funciones globales reales. Destacaremos que los espacios vectoriales reales y sus corresponcientes aplicaciones lineales con las nociones asociadas de dimensi´ on y rango son herramientas muy importantes para el an´ alisis de funciones diferenciables y es por ello necesario que el alumno haya adquirido la destreza suficiente en su uso.
Cap Ca p´ıtul ıt uloo 1
PRELIMINARES En este cap´ cap´ıtulo hacemos un breve recorrido a trav´es es de nociones topol´ ogicas, algebraicas y de an´ ogicas, alisis alisis matem´atico. atico. Se introduce la notaci´on on y algunas propiedades b´ asicas que se van a utilizar en el resto asicas del libro. 1.
Nocione Nocioness y notacio notaciones nes asocia asociadas das a funci funcione oness
Presentamos a continuaci´ on algunas nociones relacionadas con el on concepto de funci´ on. on. Definici´ on on 1.1. Una funci´ Una funci´ on ϕ : X Y con dominio con dominio Dom ϕ X es una correspondencia que asocia a cada p Dom ϕ un unico u ´ nico elemento elemento ϕ( p) p) Y Y . El conjunto ϕ( p) p) p p Dom ϕ lo llamaremos conjunto imagen , Im ϕ , tambi´en en se denomina deno mina rango rango de la funci´ on o codominio de la funci´ on , Codom ϕ . Diremos que X X es el conjunto el conjunto inicial y y que Y es el es el conjunto final de ϕ .
∈
→ → ∈ | ∈ }
{
⊂
Dada una funci´on on ϕ : X Y si A es un subconjunto de X denoX denotaremos por ϕ A : X Y Y la funci´on on cuyo dominio es el subconjunto Dom (ϕ (ϕ A ) = A Dom ϕ y para cada p A Dom ϕ , ϕ A ( p) p) = ϕ( ϕ ( p) p) . Notemos que Codom (ϕ (ϕ A ) = ϕ( p) Dom ϕ . Diremos que p) p p A Domϕ ϕ A : X Y Y es la restricci´ la restricci´ on de ϕ a A . Si ϕ : X Y Y es una funci´on on y A es un subconjunto de X X llamaremos imagen de A al subconjunto ϕ(A) = ϕ( p) p) p p A Dom ϕ . Cuando B es un subconjunto de Y Y , denotaremos por ϕ−1 B = p X ϕ( p) p) B y lo llamare llamaremos mos imagen imagen invers inversaa de B . En el caso particular que B = b la imagen inversa de b la llamaremos fibra de b , con frecuencia en vez de ϕ−1 b utilizaremos utiliza remos la notaci´ notac i´on on − 1 ϕ (b) . Dadas dos funciones ϕ : X Y , ψ : Y Z Z se define la funci´ on composici´ on ψϕ : X Z como Z como aquella que tiene como domi1 − nio Dom (ψϕ (ψϕ)) = ϕ ( Dom ψ) y est´a definida por ψϕ( ψϕ( p) p) = ψ( ψ (ϕ( p)) p)) . N´otese otese que Codom(ψϕ Codom(ψϕ)) = ψ(Codom ψ (Codom ϕ). Sea ϕ : X Y Y una funci´ on. o n. Se dice que ϕ : X Y es es inyectiva cuando se verifica que si ϕ( p) p) = ϕ(q ) , entonces p = q q . Dada una funci´on on inyectiva ϕ : X Y , Y , entonces podemos considerar la funci´ on on 1 1 − − inversa ϕ inversa ϕ : Y X , X , que tiene por dominio Dom (ϕ (ϕ ) = Codom ϕ Codom ϕ , 1 − y que verifica que ϕ que ϕ (y ) = x si ϕ si ϕ((x) = y, y , x Dom ϕ , y Codom ϕ . Una funci´on on ϕ : X Y es suprayectiva es suprayectiva (exhaustiva o sobreyectiva) si
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∈
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1. PRELIMINARES
Codom ϕ = Y = Y . En este caso tambi´en en se dice que ϕ que ϕ es es una funci´ on on de X de X sobre Y . Y . Diremos que una funci´on ϕ on ϕ : X Y es global es global si si Dom ϕ = X = X . Recordemos que una aplicaci´ on f on f :: X Y es Y es una correspondencia que asocia a cada punto p del conjunto X un unico u ´nico punto f ( f ( p) p) del conjunto Y . Y . Es importante observar que una funci´ on on ϕ : X Y es aplicaci´on o n si y s´olo olo si ϕ es global.
→ → → →
→
2.
Topolog opol og´ ´ıa
En esta secci´ on se introducen algunos conceptos b´ on asicos asicos de Topolog´ log´ıa, no obstante, es conveniente conveniente que el lector conozca previamente las nociones b´ asicas asicas de Topolog´ opolog´ıa para par a poder p oder seguir sin dificultades estas notas. 2.1. 2.1.
Espa Espaci cios os topol topol´ o ogicos ´gicos y funciones continuas.
Definici´ on on 2.1. Sea X un X un conjunto y sea τ una τ una familia no vacia de subconjuntos de X . X . Se dice que es una to una topo polo log´ g´ıa si τ τ es cerrada por uniones de subfamilias arbitrarias (la uni´ on de la subfamilia vacia es el on subconjunto vacio) y por intersecci´ on de subfamilias finitas (la intersecon ci´on on de la subfamilia vacia es el conjunto total X total X ). ). Llamaremos espacio Llamaremos espacio topol´ ogico a ogico a un par (X, (X, τ ) τ ) donde τ donde τ es es una topolog´ top olog´ıa ıa en e n el conjunto conj unto X X . Normalmente acortaremos la notaci´ on on de modo que X que X denotar´ a tanto al par (X, (X, τ ) τ ) como al conjunto subyacente. Los miembros de la topolog´ıa τ diremos τ diremos que son los abiertos los abiertos del del espacio X . Notemos que dado un espacio topol´ ogico ogico el propio X y X y el subcon junto vacio son abiertos.
∅
Ejemplo 2.1. Dado un conjunto X se X se puede considerar la topolog´ topolog´ıa trivial τ tri y la topolog top olog´´ıa discreta discre ta τ dis tri = X, dis formada por todos los subconjuntos de X .
{ ∅}
Definici´ on on 2.2. 2.2. Sean X Sean X,, Y espacios Y espacios topol´ogicos. ogicos. Se dice que una aplicaci´on f on f :: X Y es continua es continua si si para todo abierto V abierto V de Y de Y se se tiene que 1 − f V es V es abierto en X . X . Diremos que X, Y son homeomorfos son homeomorfos si si existen aplicaciones continuas ϕ : X Y y ψ : X Y Y tales que ψϕ = idX , ϕψ = idY , donde idX , idY denotan las correspondientes aplicaciones identidad.
→ →
→
→
Ejemplo 2.2. Sea (X, (X, τ ) τ ) un espacio topol´ ogico ogico y A X X un subcon junto de X . X . La familia τ /A = A U U τ es un topolog´ top olog´ıa ıa sobre el conjunto A que se llama la la topolog´ topo log´ıa ıa rela relati tiva va de X en A . Es f´acil acil comprobar que la inclusi´on o n in: A X es X es una aplicaci´on on continua.
{ ∩ | ∈ } →
⊂
Definici´ on on 2.3. Sean 2.3. Sean X, X, Y espacios Y espacios topol´ ogicos. ogicos. Diremos Diremos que una fun˜ ci´on on f : f : X Y es continua es continua si si la aplicaci´on on f : f : Dom f Y , Y , dada por f ( f ˜(x) = f ( f (x), x Dom f , f , es continua, donde en Dom f f se considera la topolog´ topolog´ıa relativa de X X en Dom f f . Diremos que una funci´on on
→ →
∈
→ →
2. TOPOLOG´IA
11
f : f : X Y Y es un homeomorfismo si f es f es inyectiva y las funciones f y − 1 f son continuas.
→ →
Propo Pro posi sici´ ci´on on 2.1. 2. 1. Sea f Sea f :: X Y una Y una funci´on on entre espacios topol´ ogiogicos. Supongamos que adem´ as as tenemos que Dom f es f es un abierto de X . Entonces la funci´ on on f es f es continua si y s´olo olo si para todo abierto V de 1 − Y Y se tiene que f que f (V ) V ) es un abierto de X de X .
→ →
Definici´ on on 2.4. Sea X un X un espacio topol´ogico. ogico. Diremos que F F es un cerrado si X F es F es un abierto de X . X . Sea N N un subconjunto de X y p N . N . Se dice que N N es un entorno de p si existe un abierto U tal que p que p U N . N . Dado un subconjunto A subconjunto A de X llamaremos X llamaremos interior interior de de A a la reuni´on on de los abiertos contenidos en A . Llamaremos clausura Llamaremos clausura de A que denotaremos por clA clA a la intersecci´on o n de los cerrados que contienen a A a A .
∈
\ \
∈ ⊂ ⊂
2.2.
Base de una una topolog´ topolog´ıa.
Definici´ on on 2.5. Sea τ τ la topolog´ıa ıa de un espacio topol´ ogico ogico X . Se dice que una subfamilia τ τ es una base una base de la topolo top ologg´ıa τ τ si para cada abierto U existe U existe una subfamilia U tal tal que U = B ∈BU B . U
B ⊂
B ⊂ B ∪ Propo Pro posi sici´ ci´on on 2.2. 2. 2. Sea X un un conjunto y sea B una una familia de subcon juntos de X X . Si la familia de subconjuntos B verifica las siguientes propiedades (i) X = ∪ ∈B B , (ii) Si p ∈ B ∩ B , B, B ∈ B , entonces existe B ∈ B tal que p ∈ B ⊂ B ∩ B Entonces existe una unica u´ni ca topolo top ologg´ıa τ tal τ tal que B es es una base de τ . ogico y p ∈ X Definici´ on on 2.6. Sea X un X un espacio topol´ogico X . Una familia de entornos entornos B es una base una base de entornos de de p si p si para cada entorno N entorno N de p existe p existe B ∈ B tal que p ∈ B ⊂ N . B
p
p p
Diremos que un conjunto es contable si su cardinalidad es finita o es la del conjunto de los n´ umeros umeros naturales. naturales.
Definici´ on on 2.7. Sea X un un espacio topol´ ogico. ogico. Diremos que X es pries primero contable si si para cada punto p X existe X existe una base de entornos contable. Se dice que X que X es segundo es segundo contable la la topolog´ top olog´ıa ıa tiene una base contable.
∈
Ejemplo 2.3. Denotemos por R el conjunto ordenado de los n´ umeumeros reales y consideremos la familia de los intervalos abiertos acotados R a < b , donde (a, Ra < r < b . = (a, b) a, b (a, b) = r Entonces satisface satisface las propiedades (i) y(ii) de la proposici´ on on anterior y determina una unica u´ni ca topolo top ologg´ıa en R , que diremos diremo s que es la topolog top olog´´ıa habitual habitual o usual. Consideraremos Consideraremos tambi´ tambi´en en con frecuencia frecuencia el subespaR0 cio que llamaremos intervalo unidad I = r r 1 con la topolog´ top olog´ıa ıa relativa relat iva inducida ind ucida por la topolog´ top olog´ıa ıa usual de R .
B {
| ∈ B
}
{ ∈ |
{ ∈ | ≤ ≤ }
}
12
1. PRELIMINARES
Ejemplo 2.4. Denotemos por C el conjunto de los n´ umeros complejos. Dado un n´ umero complejo z su conjugado se denota por z¯ y su m´odulo 1 por z = (z ¯ z ) 2 . Consideremos la familia bolas = B(a, r) a C, r R , r > 0 , donde B(a, r) = z C z a < r . Entonces satisface las propiedades (i) y(ii) de la proposici´ on anterior y determina una u´nica topolog´ıa en C .
|| ∈
B { { ∈ || − | }
}
| ∈ B
2.3. Propiedades topol´ ogicas. Adem´as de las propiedades de primero contable y segundo contable es muy frecuente el uso de las siguientes propiedades topol´ ogicas. Definici´ on 2.8. Se dice que un espacio topol´ogico X es T 0 si para cada pareja de puntos p, q X , p = q existe U entorno de p tal que q U o existe V entorno de q tal que p V . Diremos que X es T 1 si para cada pareja de puntos p, q X , p = q existe U entorno de p tal que q U . Se dice que un espacio topol´ ogico X es T 2 o Hausdorff si para cada pareja de puntos p, q X , p = q existe U entorno de p y existe existe V entorno de q tal que U V = .
∈
∈
∈ ∈ ∈ ∩ ∅
∈
Es f´acil ver que si X es T 2 entonces es T 1 y que si X es T 1 entonces es T 0 . Definici´ on 2.9. Se dice que espacio topol´ogico X es conexo si siempre que X = U V con U V = , entonces U = o V = . Diremos que un espacio topol´ ogico X es localmente conexo si cada punto del espacio tiene una base entornos conexos.
∪
∩
∅
∅
∅
Definici´ on 2.10. Se dice que espacio topol´ogico X es conexo por caminos si siempre que x, y X , entonces existe una aplicaci´ on continua f : I X tal que f (0) = x y f (1) = y . Diremos que un espacio topol´ogico X es localmente conexo por caminos si cada punto del espacio tiene una base entornos conexos por caminos.
→
∈
Es bien conocido que la conectividad por caminos implica conectividad. 2.4. Construcciones. Dada una familia de espacios X α , α A consideraremos la suma disjunta (coproducto) α∈A X α al conjunto α con la topolog´ıa inducida por la base α∈A X α
∈
×{ } B = {U × {α}|U es abierto en X , α ∈ A} α
En el caso que la familia verifique que estos espacios son disjuntos dos a dos en vez de tomar la reuni´ on anterior, para tener una mayor facilidad en la notaci´ on, se suele tomar directamente la reuni´ on α∈A X α y consecuentemente la base = U U es abierto en X α para alg´ un α A . En el caso de familias finitas, por ejemplo dados dos espacios X 1 , X 2 , es frecuente usar las notaciones i∈{1,2} X i o tambi´en X 1 X 2 . Otra construcci´ on frecuente asociada a una familia de espacios X α α A es el producto α∈A X α que tiene como soporte el producto
B { |
∈
∈ }
2. TOPOLOG´IA
13
cartesiano y si prα denota las proyecciones can´ onicas se considera la topolog´ıa producto inducida por la base
B {
1 pr− αi (U αi ) U αi es abierto en X αi , α1 ,
=
|
i∈{1,··· ,n}
·· · , α ∈ A} n
En el caso de familias finitas, por ejemplo dados dos espacios X 1 , X 2 , es frecuente usar la notaci´ on X 1 X 2 . Finalizamos el proceso de construcci´ on de nuevos espacios topologicos a partir de otros dados con la topolog´ıa cociente. Sea X un espacio topol´ o gico y sea f : X Y una aplicaci´on exhaustiva de X en un conjunto Y . La topolog´ıa cociente en el conjunto Y es la formada por aquellos subconjuntos V de Y tales que f −1 V es un abierto de X . Es interesante recordar que si en Y se considera la topolog´ıa cociente y g : Y Z es una aplicaci´ on entre espacios topol´ ogicos, entonces g es continua si y s´olo si gf es continua.
×
→
→
2.5. Algunos espacios. Los siguientes espacios ser´ an utilizados con frecuencia en estas notas. Ejemplo 2.5. Denotemos por Rn el conjunto de n-tuplas de n´ umen ros reales r = (r1 , , rn ) . Se considera en R la topolog´ıa producto que tiene las siguientes propiedades: Es segundo contable, Hausdorff, conexa por caminos y localmente conexa por caminos.
···
Ejemplo 2.6. Para n 0 , la n-esfera unidad S n se define como el subespacio 2 S n = r Rn+1 r12 + + rn+1 = 1
≥ { ∈
|
···
donde hemos considerado la topolog´ıa relativa.
}
Ejemplo 2.7. Para n 0 , el n-disco unidad D n se define como el subespacio Dn = r Rn r12 + + rn2 1
≥ { ∈ |
·· ·
≤ }
con la topolog´ıa relativa. La bola unidad la denotaremos por Bn = r
n
2 1
2 n
{ ∈ R |r + ··· + r < 1} 2.8. Para n ≥ 0 , el n-espacio proyectivo real P (R) se
n Ejemplo define como el cociente obtenido de la n-esfera S n identificando puntos ant´ıpodas y considerando la topolog´ıa cociente.
Ejemplo 2.9. Una m´etrica en un conjunto X es una aplicaci´ on d : X X R tal que safisface las siguientes propiedades: (M1) Para x, y X , d(x, y) 0 ; adem´as, d(x, y) = 0 si y s´olo si x = y . (M2) Si x, y X , se tiene que d(x, y) = d(y, x) . (M3) Sean x, y,z X . Entonces d(x, z ) d(x, y) + d(y, z ) .
×
→
∈
∈
∈
≥
≤
14
1. PRELIMINARES
La bola de centro a X y radio > 0 se define como el subconjunto
∈
Bd (a, ) = x X d(a, x) < r
{ ∈ |
y el disco
}
Dd (a, ) = x X d(a, x) r Si en el contexto de trabajo la m´ etrica est´ a bien determinada o se trata de la m´etrica usual eliminaremos el sub´ındice en las notaciones de discos y bolas. Un espacio m´etrico consiste en un conjunto X junto con una m´etrica d . En un espacio m´etrico (X, d) se puede considerar la siguiente familia de subconjuntos:
{ ∈ |
≤ }
τ = U X Si x U, existe > 0talque B(x, )
{ ⊂ |
⊂ U }
∈
Se prueba que τ es una topolog´ıa, que diremos que est´ a inducida por la m´etrica d . Un espacio topol´ ogico X se dice metrizable si su topolog´ıa τ X est´a inducida por una m´etrica. Ejemplo 2.10. En Rn se pueden considerar la m´ etrica euclidiana , de n modo que si r, s R , r = (r1 , , rn ), s = (s1 , , sn ) la aplicaci´on d viene dada por
∈
···
···
n
d(r, s) =
(ri
i=1
−s) i
2
1 2
La topolog´ıa inducida por la m´etrica euclidiana, es precisamente la hemos considerado en el ejemplo 3.1 . Por ser la m´etrica m´ as usual en la notaci´on de bolas y discos suprimiremos el sub´ındice n
B(a, ) = r
{ ∈ R
n
| |
−a)
(ri
−a)
i=1
y el disco
2
(ri
i
n
D(a, ) = r
{ ∈ R
n
i=1
i
2
} ≤} 1 2
1 2
<
Tambi´en es frecuente la m´etrica cartesiana , ρ , dada por ρ(r, s) = m´ax ri
{| − s |i ∈ {1, ··· , n}} i
La topolog´ıa inducida es tambi´en la del ejemplo 3.1 . Las bolas y discos se denotaran por Bρ (a, ), Dρ (a, ) . 3.
´ Algebra lineal
Introducimos a continuaci´ o n la noci´o n de grupo abeliano y la de espacio vectorial Definici´ on 3.1. Sea V un conjunto y una aplicaci´ o n +: V V V , que denotamos por +(a, b) = a + b . Diremos que la pareja anterior es un grupo abeliano si se verifican las siguientes propiedades: (i) Asociatividad de la suma: (a + b) + c = a + (b + c) .
× →
´ 3. ALGEBRA LINEAL
15
(ii) Conmutatividad de la suma: a + b = b + a . (iii) Existencia de neutro aditivo: Existe 0 V tal que a + 0 = a . iv) Existencia de opuesto aditivo: Para cada a V existe un a V tal que a + a = 0 .
∈
∈
∈
Definici´ on 3.2. Un espacio vectorial real es un grupo abeliano V con su operaci´ on suma (a, b) a + b, de V V en V y que est´a provisto de una acci´ on (λ, a) λ b, de R V en V , con las siguientes propiedades: (i) Acci´on trivial de 1: 1 a = a . (ii) Asociatividad de la acci´on: λ (µ a) = (λµ) a . (iii) Distributividad de la acci´on respecto a la suma:
→ ·
→
×
× ·
· ·
·
λ (a + b) = λ a + λ b .
·
·
·
(iv) Distributividad de la suma respecto a la acci´ on: (λ + µ) a = λ a + µ a .
·
·
·
Ejemplo 3.1. El espacio vectorial m´as importante para el desarrollo de estos apuntes es Rm , donde la suma y la acci´on que se definen para cada coordenada est´ an inducidas por la suma y el producto del anillo de divisi´on de los n´ umeros reales. Otro ejemplo b´ asico lo constituyen el espacio de las matrices reales de n filas y m columnas (isomorfo a Rn×m ) con la suma y la acci´on definidas tambi´ en coordenada a coordenada. Una sucesi´on ordenada B = (v1 , . . . , vn) de vectores ; es decir, de elementos en un espacio vectorial V , es una base si cada vector v de V puede expresarse de una u´nica manera como n
v =
λi vi .
i=1
Si este es el caso, decimos que los escalares λ 1 , . . . , λn son las coordenadas de v en la base B . Se puede probar que dos bases tienen el mismo cardinal. Llamaremos dimensi´on, dim(V ), de un espacio vectorial V al cardinal de una de sus bases. Definici´ o n 3.3. Una aplicaci´ on lineal de un espacio vectorial V en otro W es una aplicaci´ on L : V W que verifica:
→
L(λa + µb) = λL(a) + µL(b) . Teniendo en cuenta que hay una correspondencia biun´ıvoca entre R y las matrices reales de n filas y 1 columna. Podemos denotar un vector de Rn mediante un vector columna r. Si A es una matriz de n filas y m columnas (una matriz n m), la aplicaci´on n R , L A : Rm LA (r) = A r es una aplicaci´ on lineal, donde r es el vector columna (matriz de una columna) que representa un vector de Rn . Rec´ıprocamente, si L : Rm Rn es una aplicaci´ on lineal, podemos formar la matriz A L cuya i-´esima n
×
→
→
16
1. PRELIMINARES
columna es el vector columna L(ei ); es decir, la imagen por L del i´esimo vector can´ onico de Rn colocado en forma de columna. En la definici´ on de LA estamos usando el producto de matrices en el caso particular de una matriz de n m por un vector columna que es una matriz m 1. En general si A es una matriz de n m y B otra de m l, se define el producto C = AB como la matriz de n l cuya coordenada en la fila i columna j es:
×
×
×
×
×
m
cij =
aih bhj .
h=1
As´ı que el producto A r es un vector columna cuya coordenda i-´esima es m
aih rh ,
h=1
es decir, coincide con el producto de la i-´esima fila de A con r. Definici´ on 3.4. Sea una aplicaci´ on lineal L de un espacio vectorial real V en otro W . Llamaremos n´ ucleo de L al subespacio Ker = v V L(v) = 0 . Como en el caso de funciones Im(L) = L(v) v V denotar´a el conjunto imagen.
|
}
{
{ ∈ | ∈ }
Proposici´on 3.1. Sea una aplicaci´ on lineal L de un espacio vectorial real V en otro W
∼
(i) Existe un isomorfismo lineal can´ onico V /Ker(L) = Im(L) (ii) Si V y W son de dimensi´on finita se tiene que dim(V ) = dim(Ker(L)) + dim(Im(L)). (iii) Si V y W son de dimensi´on finita se tiene que dim(Im(L))
≤ m´ax{dim(V ), dim(W )}.
Definici´ on 3.5. Sea una aplicaci´ on lineal L de un espacio vectorial real V en otro W . Llamaremos rango de L a dim(Im(L)) . Definici´ on 3.6. Sea una aplicaci´ on lineal L de un espacio vectorial real V en otro W . Diremos que L es un monomorfismo si L es inyectiva y L es un epimorfismo si L es suprayectiva. Proposici´on 3.2. Sea una aplicaci´ on lineal L de un espacio vectorial real V en otro W , ambos de dimensi´on finita. (i) Si el rango de L es igual a dim(V ), entonces L es un monomorfismo. (ii) Si el rango de L es igual a dim(W ), entonces L es un epimorfismo.
´ 4. ANALISIS MATEM´ aTICO
4.
17
An´alisis matem´ atico
En esta secci´ on recordamos algunas de las nociones b´ asicas de an´ alisis matem´atico que se van a utilizar en estos apuntes. En primer lugar analizamos aquellas funciones que se pueden aproximar en un punto de su dominio por una aplicaci´ on lineal. En estas notas hemos utlizado la palabra diferenciable para denominar a la funciones de clase C ∞ , sin embargo es tambi´en muy frecuente el uso de la misma palabra “diferenciable” para designar a las funciones que se pueden aproximar en cada punto de su dominio por una aplicaci´on lineal. Para evitar confusiones en este texto se utilizar´a el t´ermino derivable para designar el u´ltimo concepto; es decir, para denominar a las funciones que se pueden aproximar en cada punto por una aplicaci´on lineal. Definici´ on 4.1. Una funci´on f de Rm en Rn es derivable en un punto r0 si existe un entorno abierto U de r 0 tal que U Dom f y existe una transformaci´on lineal L : Rm Rn tal que f (r0 + s) f (r0 ) L(s) l´ım =0 s→0 s Adem´as, cuando ´este sea el caso, la transformaci´ on lineal L se llama 0 la derivada de la funci´ on en el punto r y la denotarermos por Df r0 . Si una funci´on f es derivable en todos los puntos de su dominio diremos que es derivable .
→
⊂
− −
Las siguientes propiedades de la derivaci´ on son bien conocidas, referimos al lector a textos tales como [1, 14] . Proposici´on 4.1. Supongamos que f es derivable en r 0 , entonces f es continua en r0 . Observaci´ on 4.1. Toda transformaci´ on lineal L : 0 m R y adem´ ble en cada punto r as DLr0 = L.
∈
Rm
→R
n
es deriva-
Teorema 4.1. (Regla de la cadena) Supongamos que la funci´ on f de l m 0 l R en R es derivable en un punto r R y que la funci´ on g de Rm en Rn es derivable en s0 = f (r0 ) Rm . Entonces h = g f es derivable en r 0 y adem´as Dhr0 = Dgs0 Df r0
∈
∈ ◦
Definici´ on 4.2. Dado el espacio nen como las aplicaciones ri : Rn
◦
Rn
la proyecciones can´ onicas se defiR , 1 i n ,
→ ≥ ≥ r (a , · ·· , a , ··· , a ) = a . Dada una funci´ on f : R → R sus componentes son las funciones i
1
i
m
n
n
i
f 1 = r 1 f , . . . ,f n = r nf .
Rn es una funci´ Si f : Rm on, entonces f es de la forma (f 1 , . . . , fn ), m R es la i-´ donde la funci´ on f i : R esima componente de f , es decir, m R es la i-´ f i = r i f , donde ri : R esima proyecci´on can´ onica. Con estas notaciones podemos enunciar la siguiente
→
◦
→ →
18
1. PRELIMINARES
Rn sea derivable Proposici´on 4.2. Para que una funci´ on f : Rm Rm es necesario y suficiente que cada una de sus en un punto r0 componentes f i sea derivable en el mismo punto. Adem´as, si este es el caso, se tiene que (Df )r0 = ((Df 1 )r0 , . . . , (Df n )r0 ) .
→
∈
Dadas las funciones f : Rk on proRm y g : Rl Rn , la funci´ ducto f g se define del siguiente modo (f g)(r, s) = (f (r), g(s) .
→
×
×
→
Proposici´on 4.3. Si dos funciones f y g son derivables respectivamente en r 0 y s 0 , entonces su producto f g resulta derivable en (r0 , s0) y adem´as D(f g)(r0 ,s0 ) = Df r0 Dgs0 . Es decir, la derivada del producto es el producto de las derivadas.
×
×
×
La derivada Df r0 da una aproximaci´on lineal de la funci´on f , de modo que Df r0 (r r 0) aproxima el valor f (r) f (r0 ) . Esta aproximaci´on lineal s´olo depende de los valores de f en las proximidades de r 0 . En el caso de dimensi´on superior a 1, puede aproximarse a un punto por caminos totalmente diferentes. Por ejemplo, en el caso de dos variables, podemos aproximarnos al punto (a, b) por las rectas paralelas a los ejes coordenados, es decir, por puntos de la forma (a + ξ, b) con ξ 0 o de la forma (a, b + ξ ) con ξ 0. Pero tambi´en puede acercarse siguiendo la direcci´on de otro vector (u, v) por puntos de la forma (a + ξu,b + ξv) donde ξ 0 . Incluso estas formas de acercarse a (a, b) no agotan todas las posiblidades porque es posible seguir la trayectoria de una red, y en particular una curva, que termine en (a, b) . Estas observaciones nos van a conducir a la noci´ on de derivadas parciales y derivadas direccionales y a estudiar sus relaciones con la derivada.
−
−
→
→
→
R es una funci´ Definici´ on 4.3. Supongamos que f : Rn on definida 0 m en un entorno de r . Dado un vector u , decimos que f es R 0 derivable en r en la direcci´ on de u si existe el l´ımite f (r0 + ξu) f (r 0) l´ım ξ →0 ξ
→
∈
−
0
0
−f (r ) y diremos que En tal caso escribiremos (Du f )r0 = l´ımξ→0 f (r +ξu) ξ es la derivada direccional de f en la direcci´ on u en el punto r0 . Proposici´on 4.4. Si f : Rn R es derivable en r 0 , entonces es derivable en cuaquier direcci´ on u y adem´as (Du f )r0 = Df r0 (u)
→
Sea ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) es i-´esimo vector de la base can´ onica m 0 de R , definimos la derivada parcial de una funci´on en r del siguiente modo: R es una funci´ Definici´ on 4.4. Si f : Rm on definida en un entorno 0 m R , decimos que f es derivable en r0 con respecto de un punto r a la i-´esima variable si es derivable en r 0 en la direcci´ o n del i-´esimo vector can´ onico ei . En ese caso escribimos
∈
→
´ 4. ANALISIS MATEM´ aTICO
19
∂f = (Dei f )r0 ∂r i r0 y la llamaremos la i-´esima derivada parcial de f en r0 . Diremos que existe la i-´esima derivada parcial de f si existe en cada punto de su dominio. Notemos que la i-´esima derivada parcial de f en r0 se puede expresar tambi´en como
0 0 ∂f f (r10 , , ri0 + ξ, , rm ) f (r10 , , ri0 , , rm ) = l´ım ∂r i r0 ξ→0 ξ Observemos que cuando existe la i-´esima derivada parcial de f ve∂f rifica que Dom ∂r = Dom f . i En la proposici´ on siguiente se analiza c´omo est´ an relacionadas las derivadas parciales con la derivada de una funci´ on.
···
···
−
···
···
Rn es derivable en r 0 , y considereProposici´on 4.5. Sea f : Rm mos (f 1 , . . . , fn ) sus componentes f i = r i f . Si tomamos las derivadas parciales ∂f i = (Dej f i )r0 = (Df i )r0 (e j ) ∂r j r0 se tiene m ∂f i ri (Df )r0 (u) = u j ∂r 0 j r 1=1
→
donde u = (u1 , . . . , um ) =
m i=1
ui e i .
El siguiente resultado permite determinar la derivabilidad de una funci´on a partir de la existencia y continuidad de las derivadas parciales. R es una funci´ Teorema 4.2. Supongamos que f : Rm on definida m en un conjunto abierto A R . Una condici´on suficiente para que f sea derivable en cada punto de A es que todas las derivadas parciales ∂f/∂ri est´en definidas en A y que al menos n 1 de ellas sean continuas en A .
→
⊆
−
R es de clase C k Definici´ on 4.5. Se dice que una funci´on f : Rm en un punto r 0 Dom f si existe un entorno abierto V de r0 tal que V Dom f y f tiene en V y en todos los ordenes menores o iguales que k todas las derivadas parciales
⊂
→
∈
∂ i1 +···+im f (ik 0, i1 + + im k) (∂r 1 )i1 (∂r m )im y ´estas son continuas en V . Se dice que f es de clase C k si f es de clase C k en todos los puntos r 0 de Dom f . N´otese que f es de clase C 0 si y s´olo si es continua y tiene dominio abierto.
···
≥
···
≤
20
1. PRELIMINARES
R es de clase Definici´ on on 4.6. Se dice que una funci´ on on f : f : Rm de clase C ∞ en un punto r 0 Dom f f si existe un entorno abierto V de r0 tal que V Dom f y f f tiene en V V y en todos los ordenes posibles todas las derivadas parciales parci ales y ´estas estas son continuas en V en V .. Se dice que f que f es es de clase de clase ∞ ∞ 0 C si f si f es es de clase C en todos los puntos r puntos r de Dom f .
→
∈
⊂
R de clase C ∞ se dice que es Definici´ on on 4.7. Una funci´on on f : f : Rm anal ana l´ıtica ıti ca real en un punto pun to r r 0 Dom f si si existe un entorno abierto V abierto V de r0 tal que V Dom f y f V coincide con su desarrollo de Taylor que converge en V . V . Se dice que f es an es anal´ al´ıtica ıt ica real si real si lo es en cada punto de su dominio.
⊂
|
→
∈
Definici´ on o n 4.8. 4.8. Se dice que una funci´on on f : f : Rm Rn es de clase C ∞ en un punto r0 Dom f si f si lo son cada una de sus componentes m R . Se dice que f f 1, . . . , fm : R que f es es de clase de clase C ∞ si f si f es es de clase C clase C ∞ en todos los puntos r puntos r 0 de Dom f Dom f . Similarmente Similarmente se definen las funciones m n k de R en R de clase C y las anal´ıticas ıticas reales. reale s.
→
∈
→
Observaci´ on on 4.2. Una funci´on on anal´ anal´ıtica real es de clase C ∞ y ´est es tas k k ultimas u ´ ltimas son de clase C clase C . Las funciones de clase C son continuas. Utilizaremos con frecuencia las siguientes propiedades de las funciones C ciones C ∞ . Propo Pro posi sici´ ci´on on 4.6. 4. 6. (i) (i) Si f : f : Rm on on C ∞ en un Rn es una funci´ punto r0 Dom f , f , entonces f es f es continua en r0 . Rm una funci´ (ii) Sea f Sea f :: Rl on C on C ∞ en un punto r punto r 0 Dom f Dom f y y sea m n 0 ∞ g: R on on C en el punto f ( f (r ) . Entonces gf R otra funci´ ∞ 0 es C en el punto r . Rn funciones tales que Dom f (iii) Sean f, g : Rm Dom g y 0 0 ∞ g Dom f = f . Si r Si r Dom f y f es C es C en r en r , entonces entonces g g es C es C ∞ en r0 . Rn una funci´ (iv) Sea f Sea f :: Rm on C on C ∞ y supongamos que un abierto U Dom f . f . Entonces f U es C ∞ . Rn es una funci´ (v) Si f : f : Rm on on C ∞ , entonces Dom f f es un n abierto de R .
→
→
∈ →
∈
→
|
⊂
∈
→ →
⊂ ⊂
|
Problemas R funciones. Demostrar que si f y g son C ∞ , 4.1. Sean f, g : Rm R entonces f + g , f g son C ∞ . La funciones f + g, g , f g : Rn tienen como dominio Dom f Dom g y vienen dadas por (f (f + + g )(r )(r ) = f ( f (r) + g( g (r) , (f g)( g )(rr) = f ( f (r )g (r) , para r Dom f Dom g . Si el contexto contexto no da lugar a equ´ equ´ıvocos el punto que denota el producto de funciones se suele suprimir.
→ · ·
· ·
∩ ∩
∈
· · ∩ ∩
→
R funci´ 4.2. Sea g : Rm on o n tal que g (r ) = 0 para r Dom g. De∞ mostrar que si g es C , entonces g1 es C ∞ . Probar que si adem´as as f R es C ∞ , entonces g es una funci´ f : f : Rn on on C ∞ (Nota: La funci´ on on
→
→
∈
NOCIONES PREVIAS Y NOTACIONES f tiene g
por dominio Dom f para r Dom f Dom g ).
∈
21
∩ ∩ Dom g y viene dada por (
∩ ∩
f )(r )(r) g
=
f (r) g (r)
,
4.3. Demostrar que una funci´ on on polin´omica omica n
P =
k=0 i1 + +im =k
···
ai1···im r1i1
im m
···r
es una funci´on C on C ∞ . Sean P Sean P,, Q aplicaciones polin´ omicas, omicas, probar que la P m ∞ R es una funci´ funci´on on racional Q : R on on C .
−→
Soluci´on: on: Es conocido conocido que las proye proyecci cciones ones ri : Rm R , para m R son C ∞ . i 1, , m , y las aplicaciones constantes a : R Aplicando el problema 4.1 4.1 se se obtiene que las aplicaciones polin´omicas omicas ∞ son C son C . Como consecuencia del problema 4.2 problema 4.2 se se sigue que las funciones ∞ racionales son C son C .
∈ { · · · }
→
→
1
R tal que f 4.4. Demostrar 4.4. Demostrar que la funci´ on f on f :: R que f ((r) = r 2 no es C es C ∞ en el 0 . Probar que f (0, on on C ∞ . (0,∞) es una funci´
|
−→
1
R dadas por f ( 4.5. Comprobar que las funciones f, g : R f (r ) = r 3 y g( g (r) = r 3 sirven sirven de ejemplo para demostrar la falsedad falsedad de la siguiente afirmaci´on: on: “Dadas dos funciones f y g , tales que gf y g son de clase ∞ C en r y f ( f (r) respectivamente, entonces f es f es de clase C ∞ en r ”.
−→ −→
Soluci´on: on: Notemos que f f no es de clase C 1 en el punto r = 0 . 2 df En efecto dr = 31 r 3 ni est´a definida ni admite una extensi´on on continua para r = 0 . En este caso se tiene que gf = idR y g es una aplicaci´on on ∞ polin´omica, omica, por p or lo que ambas son de clase C . Luego gf es gf es de clase ∞ ∞ C en 0 y g y g es de clase C clase C en f en f (0) (0) = 0 . Sin embargo f embargo f no no es de clase ∞ C en 0 . −
Cap´ıtulo 2
VARIEDADES DIFERENCIABLES En este cap´ıtulo, introducimos la noci´ on de variedad diferenciable y funci´on diferenciable, tambi´ en vemos que una variedad determina una topolog´ıa en el correspondiente conjunto subyacente y estudiamos las propiedades b´ asicas de las estructuras diferenciable y topol´ ogica de una variedad. 1.
La noci´ on de variedad diferenciable
Seg´ un Riemann para dar una geometr´ıa necesitamos un conjunto de puntos y una correspondencia que asocie a cada punto unas coordenadas. Esta idea se puede modelar a trav´es de la noci´ on de carta: Definici´ on 1.1. Sea M un conjunto cualquiera, una funci´ on m x : M R inyectiva con rango abierto se llama carta m-dimensional . R , a la composici´ Si tomamos las proyecciones can´ onicas, r i : Rm on xi = r i x : M R se le llama la i-´esima coordenada de la carta .
→
→
→
Obs´ervese que en el estudio de curvas y superficies en R3 se utilizan funciones con valores vectoriales cuyos dominios son abiertos de R para las curvas y abiertos de R2 para las superficies. Estas funciones se suelen llamar parametrizaciones y corresponden a las funciones inversas de las cartas consideradas en la definici´ on anterior. Definici´ on 1.2. Sea M un conjunto cualquiera. Una colecci´ on = xα xα carta m-dimensional sobre el conjunto M es denominada atlas diferenciable m-dimensional de M si se satisfacen las siguientes condiciones: (i) La reuni´ on de los dominios de las cartas es M . 1 (ii) Para cada pareja de cartas xα , xβ de la funci´on xβ x− α es de clase C ∞ .
{ |
A
}
A
Definici´ on 1.3. Sea M un conjunto cualquiera. Dos atlas ferenciables y m-dimensionales de M son compatibles si atlas diferenciable m-dimensional de M .
A , B di A ∪ B es un
Proposici´on 1.1. La relaci´ on de compatibilidad en la familia de los altas diferenciables m-dimensionales de un conjunto M es una relaci´ on de equivalencia. ´ n. La Demostracio
propiedades reflexiva y sim´etrica se verifican f´acilmente. Para comprobar la transitividad supongamos que , , 23
A B C
24
2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
son atlas diferenciables de M de modo que , son compatibles y , tambi´ en lo son. Puesto que tanto como son atlas se verifica que la reuni´on de los dominios de es M . Para ver que se verifica la 1 propiedad (ii), sean x α carta de y x γ carta de . Veamos que x γ x− α es C ∞ en cada uno de los puntos de su dominio. Sea r0 = xα ( p0 ) con p0 Dom xγ y tomemos una carta xβ en el punto p0 . Notemos que − ∞ 1 (xγ xβ 1 )(xβ x− U α ) es C y su dominio U es un abierto tal que r0 − 1 1 1 1 − − − ∞ Dom(xγ xα ) . Entonces (xγ xα ) U = (xγ xβ )(xβ xα ) que es C por ser composici´ on de funciones C ∞ ; v´ease (ii) de la proposici´on 4.6 del cap´ıtulo 1 . Aplicando ahora (iii) de esta misma proposici´ on 4.6 se tiene 1 − ∞ que x γ xα es C en r 0 , esto sucede para cada r 0 de su dominio, por lo ∞ 1 tanto x γ x− alogo se ve que un cambio de la forma α es C . De modo an´ − ∞ 1 xα xγ es C . En consecuencia, se tiene que es compatible con y la relaci´on es de equivalencia.
A A ∪ C A
A B C C
B C
∈
∈ ⊂
|
A
C
Definici´ on 1.4. Una variedad diferenciable m-dimensional 1 (en algunos textos tambi´en se denomina variedad diferencial) consiste en un conjunto M y en una clase de equivalencia [ ] del conjunto de atlas diferenciables m-dimensionales m´odulo la relaci´on de compatibilidad. Llamaremos a M el conjunto subyacente de la variedad y la clase [ ] diremos que es la estructura diferenciable dada sobre el conjunto M .
A
A
A
Notemos que una variedad queda determinada por una pareja (M, ) donde es una atlas diferenciable m-dimensional de M . Dos parejas (M, ) , (M, ) determinan las misma variedad si es compatible con . Cuando el contexto no de lugar a confusi´ on, diremos que es la estructura diferenciable de la variedad en vez de su clase de equivalencia. Tambi´en ser´a frecuente que denotemos directamente por M a una variedad diferenciable de modo que unas veces M denota el conjunto subyacente y otras la pareja formada por el conjunto subyacente y la estructura diferenciable. En la familia de los atlas diferenciables m-dimensionales de un con junto M , se puede considerar la relaci´ on de contenido . Los elementos maximales de este conjunto ordenado verifican la siguiente propiedad:
B
A A
B
A
A
Proposici´on 1.2. Las estructuras diferenciables m-dimensionales sobre el conjunto M est´an en correspondencia biun´ıvoca con los elementos maximales del conjunto ordenado de los atlas diferenciables mdimensionales de M . ´ n. Demostracio
Sea c una clase de equivalencia, y consideremos c = C∈ c . En primer lugar, comprobaremos que c es un atlas. Supongamos que xα es un c y xβ c . Puesto que 1 − ∞ atlas se tiene que xβ xα es C . Adem´as es obvio que la reuni´o n de los miembros de en se c es M . Por lo tanto c es un atlas y tambi´
M ∪ C
∈ A ∈
M
∈ B ∈ M
M
A ∪ B
1La definici´ on moderna de variedad diferenciable se atribuye a Hassler Whitney
[42]
´ DE VARIEDAD DIFERENCIABLE 1. LA NOCI ON
25
tiene que c . En segundo lugar veremos que c c es maximal. Si , entonces = es un atlas, luego c , y por lo c c tanto c . Por lo que c es maximal. Ahora a cada atlas maximal le podemos asociar la clase cM = [ ] . Sea c = [ ] , entonces c y en consecuencia [ c] = [ ] = c . Por otra parte, si es maximal, se tiene que [C ] . Entonces = [C ] .
M ∈ M ⊂ D M ∪ D D D ⊂ M M M M A A ⊂ M C C M
M D ∈
C ⊂ M
M
A
umeros reales R , Ejemplo 1.1. Consideremos el conjunto de los n´ R . Entonces el atlas tomemos la carta identidad idR : R = id determina una estructura diferenciable 1-dimensional en el conjunto R . En algunos de los ejemplos siguientes la variable que representa a un n´umero real se puede interpretar como la variable tiempo, es por ello que, en este caso, tambi´en denotaremos la carta identidad por t = idR .
→
A { }
Ejemplo 1.2. Sea U un abierto de Rn , consideremos la inclusi´on x = in : U Rn que es inyectiva y tiene codominio abierto. Entonces el atlas = x da una estructura diferenciable n-dimensional al abierto U . En particular la identidad de Rn induce una estructura can´ onica n de variedad en R .
→ A {}
Proposici´ on 1.3. Sean M y N variedades diferenciables y sea f : M N una funci´on. Sean x , x¯ cartas de M en p Dom f , e 1 − ∞ y , y¯ de N en f ( p) . Entonces yf x es de clase C en x( p) si y s´olo si y¯f ¯ x−1 es de clase C ∞ en x¯( p) .
→
∈
que yf x−1 es de clase C ∞ en x( p) . Como x¯ x−1 es C ∞ en x¯( p) y y¯y −1 es C ∞ en yf ( p) si aplicamos (ii) de la proposici´on 4.6 del cap´ıtulo 1, se tiene que (¯ yy −1)(yf x−1)(x¯ x−1 ) es C ∞ en x¯( p) . Adem´as Dom(¯ yy −1 yf x−1 x¯ x−1 ) Dom(¯ yf ¯ x−1) . Por lo tanto como consecuencia del apartado (iii) de la proposici´ on 4.6 obtenemos − ∞ 1 que y¯f ¯ x es de clase C en x¯( p) . ´ n. Supongamos Demostracio
⊂
Definici´ on 1.5. Sean M y N variedades diferenciables y sea f : M N una funci´on. Se dice que f es diferenciable en un punto p M si existen cartas x de M en p e y de N en f ( p) tal que yfx−1 es de clase C ∞ en x( p) . Se dice que f es diferenciable si f es diferenciable en cada punto de su dominio. Diremos que la funci´on f es un difeomorfismo si f es inyectiva y f , f −1 son diferenciables. Se dice que una variedad M es difeomorfa a una variedad N si existe un difeomorfismo global de M sobre N .
∈
→
El conjunto de funciones diferenciables de M en N se denotar´ a por C ∞ (M, N ) . Si p y q son puntos de M y N respectivamente, utilizaremos las siguientes notaciones: C ∞ ((M, p), N ) = f C ∞ (M, N ) p Dom f ,
{ ∈ | ∈ } C ∞ ((M, p), (N, q )) = {f ∈ C ∞ (M, N )| p ∈ Dom f, f ( p) = q } .
26
2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
Para U abierto de M usaremos las notaciones:
∞ (M, N ) = f C ∞ (M, N ) Dom f = U . C U
{ ∈
|
}
En el caso m´ as frecuente que N = R se reducen del modo siguiente: C ∞ (M, R) = C ∞ (M ) , C ∞ ((M, p), R) = C ∞ (M, p) ,
∞ (M, R) = C ∞ (M ) . C U U Proposici´on 1.4. Una funci´on F : (Rm , [ idRm , ]) ( Rn , [ idRn , ]) es Rn es de clase C ∞ . diferenciable si y s´olo si F : Rm
{
→
} →
{
}
Sea x = idRm e y = idRn , entonces yF x−1 = F . De la definici´on de funci´ on diferenciable se tiene que F es diferenciable ∞ si y s´olo si F es C . ´ n. Demostracio
Proposici´on 1.5. Sea M una variedad diferenciable de dimensi´on m. Demostrar que: a) Toda carta de M es un difeomorfismo. Rm es una carta de M . b) Todo difeomorfismo f : M
−→
Hemos de probar que si x : M Rm es una carta de M , entonces x, x−1 son diferenciables en cada punto de su dominio. Para cada p Dom x tomemos las cartas x en p e idRm en 1 x( p) . Notemos que idRm xx−1 = id Codom x y xx−1 id− = id Codom x Rm ∞ − 1 son de clase C . Por lo tanto x, x son diferenciables. Para probar b) supongamos que f es un difeomorfismo. Para probar que f es una carta hemos de ver que es compatible con todas las cartas de un atlas de M . Si x es una carta de M , entonces aplicando a) se tiene que f x−1 y xf −1 son diferenciables. Puesto que adem´ a s son m m 1 1 − − funciones de R en R se tiene que f x y xf son de clase C ∞ . Por lo tanto f es compatible con todas las cartas de un atlas, luego f es una carta de M . ´ n. a) Demostracio
∈
→
|
|
Notemos que para dar la definici´ on de variedad diferenciable y funci´on diferenciable hemos utilizado los espacios Rm y las funciones C ∞ entre ellos. Si en vez de usar estas funciones tomamos, por ejemplo, funciones de clase C k , se obtiene la noci´on de variedad de clase C k m-dimensional. En particular, para k = 0 tenemos la noci´on de variedad topol´ ogica. Otra familia interesante es la de las variedades anal´ıticas reales; para definir est´ a noci´on se consideran funciones anal´ıticas reales. Es tambi´ en frecuente utilizar el semiespacio m R+ = (r1 , , rm ) rm 0 para introducir la noci´on de variedad con borde. Para definir las variedades complejas se usa el espacio Cm . Finalmente hacemos notar que se pueden utilizar espacios de Banach para introducir variedades de dimensi´ on infinita.
{ ·· ·
| ≥ }
´ N DE VARIEDAD DIFERENCIABLE LA NOCI O
27
Problemas R definida por β (x) = x3 es 1.1. Demostrar que la funci´ on on β : β : R una carta que determina una estructura diferenciable en R diferente diferente de la estructura est´ andar. andar.
−→ −→
Soluci´on: on: Supondremos conocido que la funci´ on β on β (x) = x 3 es global y biyectiva. Entonces β es un atlas para el conjunto M M . Notemos − 1 1 ∞ − que id β = β β es de clase C . Sin embargo id β = β −1 no es de clase C 1 ya que no es derivable en el punto x = 0 . Por lo tanto (R, [ id ]) = (R, [ β ]) .
{ }
{ }
{}
1.2. Consideramos Consideramos en R las dos siguie siguient ntes es estructu estructuras ras de variedad ariedad diferen diferencial cial:: a) la estructu estructura ra est´ andar, andar, b) la que le dota la funci´ funci´ on on 3 β : β : R R definida por β (x) = x . Demostrar que estas dos variedades diferenciales son difeomorfas.
−→
Soluci´on: on: Consideremos la funci´ on on β −1 : (R, [ id ]) (R, [ β ]) . Puesto que β es es una biyecci´on on solo es necesario comprobar que β , β −1 son diferenciables. Notemos que β que β β −1 id−1 = id es de clase C clase C ∞ . Tambi´en id ββ −1 = id es de clase C clase C ∞ . Esto implica que β que β es es un difeomorfismo global y suprayectivo. Luego las variedades (R, [ id ]) , (R, [ β ]) , que ya como ya hemos visto son distintas, son sin embargo difeomorfas.
{ } →
{}
{ }
{}
1.3. Considerar el conjunto de puntos O = (sen (sen 2s, sen s) s R , R definida por la f´ v´ease ea se figur fig uraa 2 2 . . Probar que la funci´on x on x : O ormuormula x(sen2s, (sen2s, sen s) = s si 0 < s < 2π , es una funci´on on inyectiva con codominio abierto y dominio O dominio O . N´otese otese que esta carta determina una R estructura diferenciable en O . Probar Pro bar tambi´ t ambi´en en que qu e la func f unci´ i´ on on y : O definida por y por y(sen2 (sen2t, t, sen t) = t si t si π < y < π , π , es una funci´on on inyectiva con codominio abierto y dominio O . Probar que estas estructuras diferenciables aunque son distintas son difeomorfas.
{ →
| ∈ } →
−
Soluci´on: o n: Estud Estudie iemo moss el cambi cambioo de cartas cartas xy −1 . Se tien tienee que 1 1 − − Dom(xy Dom(xy ) = ( π, π ) y su codiminio es Codom(xy Codom(xy ) = (0, (0, 2π ) . El cambio viene dado por la funci´ on on
−
xy −1(t) =
t + 2π 2 π si
< 0,, −π < t < 0
π
si t = 0,
t
si 0 < t < π
que no es continua. Luego las estructuras [ x ] , [ y ] son distintas. Sin embargo, si consideramos el difeomorfismo, φ : ( π, π) (0, (0, 2π ) − 1 definido por φ(t) = t + π + π , se tiene que x φy es un difeomorfismo global y suprayectivo de (O, (O, [ y ]) en (O, (O, [ x ]) .
{}
{} {} − {}
→
1.4. Sea f : f : A M una M una biyecci´on on definida en un conjunto A y que toma valores en una variedad diferenciable M . Demostrar que:
−→ −→
28
2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
a) Si α es una carta de M de M ,, αf es αf es una carta para A. b) La colecci´ on de todas las cartas definidas en el anterior apartado on es un atlas diferenciable para A. c)f c)f es es un difeomorfismo entre las variedades A y M . Soluci´on: on: a) Puesto que la composici´ on de funciones inyectivas en on inyectiva, se tiene que αf es αf es inyectiva. Por ser f una f una biyecci´on o n se obtiene que Codom(αf Codom(αf )) = Codom(α Codom(α) es un abierto. Entonces cada αf es una carta diferenciable de la misma dimensi´ on on que la de M . M . b) La − 1 reuni´on on de los dominios es la siguiente: Dom(αf Dom(αf )) = f (Dom α) = 1 1 − − f ( Dom α) = f M = A . Para α, β cartas β cartas de M , M , el cambio de 1 1 −1 − − cartas viene dado por (αf (αf )( )(βf βf )) = αf f β = αβ −1 que es una funci´on on de clase C clase C ∞ . c) Para cada carta α carta α se se tiene que αf que αf ((αf ) αf )−1 = id y (αf ) αf )f −1 (α)−1 = id son de clase C clase C ∞ . Entonces f Entonces f es es un difeomorfismo global y sobre de A en M .
∪
∪
∪
1.5. Sea A Sea A un un conjunto con cardinalidad del continuo y n y n un un entero no negativo. Probar que A admite al menos una estructura de variedad diferenciable n-dimensional. Soluci´on: on: Para n = 0 , para cada elemento elemento a A se puede considerar 0 R tal una carta aˆ : A tal que Dom Dom aˆ = a y definida por ˆa(a) = 0 . El atlas a ˆ a A dota a A de una estructura de variedad diferenciable 0-dimensional. Para cada n cada n > 0 , puesto que cada Rn tambi´ tamb i´en en tiene tie ne la n R de modo cardinalidad del continuo, existen una biyecci´ on on x : A que (A, (A, [ x ]) es una variedad diferenciable de dimensi´on on n .
→ { | ∈ }
{}
∈
→
{}
1.6. Sea f Sea f :: M N una N una funci´on on entre variedades variedades diferenciables diferenciables.. Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes:
−→ −→
a) f es f es diferenciable en un punto p de su dominio. R que es b) ψf es ψf es diferenciable en p para toda funci´on on ψ : N diferenciable diferenciable en f ( f ( p). p). c) Existe una carta y de N de N en f en f (( p) p) tal que y que y i f es f es diferenciable en p para p para i 1, ,n .
−→ −→
∈ { ··· }
Soluci´on: on: Si f f es diferenciable en p , aplicando las propiedades de composici´on on de funciones diferenciables, se obtiene que ψf es ψf es diferenciable en p en p . . Si se verifica b), en particular se obtiene que para una carta y de N de N en f en f (( p), p), y yi f es es diferenciable en p en p para para i i 1, , n . Finalmente, suponiendo que se verifica verifica c), si x si x es es una carta en p en p y y sea y sea y una una carta en f en f (( p) p) con componentes componentes y yi : N R tales que y que y1f, , yn f son son diferen− − 1 1 ciables en p . Entonces se tiene que yf x = (y1 f x , , yn f x−1 ) es C ∞ en p ; es decir , f es f es diferenciable en p .
→ →
∈ { ··· } ··· ···
1.7. Sea el conj co njunt untoo vac´ıo y n un n un entero no negativo. Probar que admite exactamente una estructura de variedad diferenciable n-dimensional para cada n .
∅
∅
2. LA TOPOLOG´IA DE UNA VARIE RIEDAD DIFE IFEREN RENCIA CIABL BLE E
29
1.8. Dar una estructura de variedad diferenciable 2-dimensional al espacio de las rectas de un plano euclidiano. 1.9. Sean 1.9. Sean M y M dos variedades de la misma dimensi´on on sobre el mismo conjunto soporte. Demostrar que si la aplicaci´ on on identidad id: M M es un difeomorfismo, M difeomorfismo, M y M tienen el mismo atlas maximal y por lo tanto M tanto M = M .
−→ −→
1.10. Probar que la n la n-bola -bola B n es difeormorfa a
Rn
.
1.11. Probar que una variedad diferenciable m-dimensional tiene un atlas de modo que cada una de sus cartas tiene como codominio Rm . 2.
La topolog´ topolog´ıa de una variedad variedad diferenciable diferenciable
En esta secci´ on veremos que la estructura diferenciable de una vaon riedad rieda d siempre sie mpre induce induc e una un a topol to polog og´´ıa en e n el conjunto conju nto subyacente su byacente de d e ´esta. esta. Vamos a introducir introducir la topolog´ topolog´ıa por dos procedimientos procedimientos distintos, de modo que el lector, si as´ as´ı lo desea, puede elegir una de las dos subsecciones siguientes: 2.1. 2.1. Intr Introdu oducc cci´ i´ on on de la topolo top olog g´ıa mediante medi ante la relaci´ rela ci´ on on de compatibilidad. Sea una atlas diferenciable m-dimensional -dimensional sobre un conjunto conjunto M M . . Consideremos la siguiente familia de subconjuntos de M :
A
τ ( τ ( ) = U M x(U ) U ) is an open subset of Rm , x
A { ⊂ ⊂ | ∀ ∈ A} -dimensional sobre Propo Pro posi sici´ ci´on on 2.1. 2. 1. Sea A una atlas diferenciable m-dimensional un conjunto M . M . Entonces τ ( τ (A) es una topolog top olog´´ıa en M . ´ n. Sea U ∈ τ ( τ (A), i ∈ I . I . Para cada carta x se tiene Demostraci on. o i
que
x(
U i ) =
i I
x(U i )
i I
∈
∈
y por ser las cartas funciones inyectivas x(
U i ) =
i I
∈
x(U i )
i I
∈
De las igualades igualades anteriores anteriores (la segunda tambi´ tambi´en en se verifica verifica para familias finitas) se sigue f´acilmente acilmente que τ ( τ ( ) es una topolog´ top olog´ıa. ıa.
A
Propo Pro posi sici´ ci´on on 2.2. 2. 2. Sean , dos dos atlas diferenciables m diferenciables m-dimensionales -dimensionales compatibles sobre un conjunto M . Entonces τ ( τ ( ) = τ ( τ ( ). ).
A B
A
B
´ n. Puesto Demostraci on. o
que la relaci´on on de compatibilid compa tibilidad ad es sim´etrietrica es suficiente ver que τ ( τ ( ) τ ( τ ( ). ). En primer lugar veremos que los dominios de las cartas de son miembros de τ ( τ ( ). ).
A ⊂ B
B
A
30
2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
En efecto para cada y , se tiene que y(Dom x) = Dom(xy −1 ) que es abierto ya que , son compatibles. En segundo lugar probemos que si U τ ( ) y U Dom x, x , entonces U . Notemos que para cada y , se tiene que y(U ) = yx −1 x(U ) = (xy −1 )−1 (x(U )). La primera igualdad se sigue de que que U Dom x y la segunda de las propiedades de funciones inversas de funciones inyectivas. Aplicando que los atlas son compatibles se tiene que xy −1 es C ∞ y en particular continua, luego (xy −1 )−1 (x(U )) es abierto. Finalmente, si U τ ( ), podemos descomponerlo como la uni´ on U = x∈A (U Dom x). Por lo ya probado se tiene que U Dom x es un abierto de τ ( ) , y puesto que la uni´on de abiertos es abierto, se obtiene es resultado deseado.
∈ B A B
∈ B
∈ A
⊂
∈ B
⊂
∈ A
∩
∈ A
∩
B
Definition 2.1. Dada una variedad (M, [ ]), llamaremos a τ ( ) topolog´ıa inducida por la estructrura diferenciable (a veces abreviamos diciendo topolog´ıa inducida).
A
A
Proposici´on 2.3. Sea una variedad diferenciable M con su topolog´ıa inducida. Si x es una carta de M , entonces la funci´on x es un homeomorfismo (para la definici´ on de homeomorfismo para funciones, v´ease la definici´on 2.3). ´ n. Demostracio
Si V Codom x, x, y son cartas de M , se tiene que y(x−1 (V )) = yx −1 (V ) = (xy−1 )−1(V ) es abierto, luego x−1 (V ) es abierto en M . Si U es abierto en M , en particular se sigue que x(U ) es abierto. Por lo tanto x es continua y abierta. 2.2. les.
⊂
Introducci´ on de la topolog´ıa mediante atlas maxima-
Proposici´on 2.4. Sea una atlas diferenciable m-dimensional sobre un conjunto M . Sea x una carta de y supongamos que W Dom x verifica que x(W ) es un abierto de Rm , entonces x W es un atlas diferenciable m-dimensional compatible con .
A
A
A∪{ | }
⊂
A ´ n. Sea y una carta de A . Entonces teniendo en Demostracio cuenta que el dominio de una composici´on de funciones viene dado por Dom(ϕψ) = ψ − (Dom(ϕ)) . En particular se tiene que Dom y(x| )− ) = x| (Dom y) = x(W ∩ Dom x ∩ Dom y) = x(W ∩ Dom y) = x(W ) ∩ x(Dom y) = x(W ) ∩ Dom(yx− ) . De modo an´alogo Dom(x| y− ) = y(Dom x| ) = y((W ∩ Dom x ∩ Dom y) = y(W ∩ Dom y) = y(W ) = − − 1
W
1
1
1
1
W
W
W
(xy ) x(W ) . Por lo tanto se verifica que y(x W )−1 = yx−1
|
|
x(W ) Dom(yx
∩
(x W )y −1 = (xy −1 ) (xy
|
|
1 )−1 xW
−
1)
−
.
1
´ 3. PROPIEDADES B ASICAS DE LA TOPOLOG´IA DE UNA VARIEDAD
31
Aplicando la proposici´ on 4.6 del cap´ıtulo 1 se obtiene que estas funcio∞ nes son C . El primer cambio es la restricci´ on de una funci´ on C ∞ a un abierto . El segundo cambio tiene como dominio y(W ) = (xy −1)−1 xW que es la imagen inversa por una funci´on continua de un abierto, y por lo tanto es abierto, as´ı que tambi´en es la restricci´on de una funci´ on C ∞ a un abierto. Adem´as la reuni´on de los dominios de x W contiene a la reuni´on de los dominios de que es M .
A∪{ | }
A
Una forma de topologizar un conjunto consiste en probar que una familia de subconjuntos verifica las propiedades de la proposici´ on 2.2 del cap´ıtulo 1, como vemos a continuaci´ on: Proposici´on 2.5. Los dominios de las cartas del atlas maximal de una variedad diferenciable M verifican las condiciones necesarias para ser la base de una topolog´ıa en el conjunto M . ´ n. En Demostracio
primer lugar, n´otese que la reuni´ o n de los dominios de las cartas de un atlas maximal es el conjunto M . En segundo lugar, si x, y son cartas de entonces x(Dom x Dom y) = 1 − Dom(yx ) que es un abierto por ser dominio de una funci´ on C ∞ . Aplicando la proposici´on 2.4 se obtiene que x Dom x∩Dom y es tambi´en una carta del atlas maximal. Consecuentemente Domx Dom y es tambi´en el dominio de una carta del atlas maximal.
M
M |
∩
∩
Definition 2.2. A la topolog´ıa inducida por los dominios de las cartas del atlas maximal de una variedad diferenciable M la llamaremos topolog´ıa inducida por la estructrura diferenciable (a veces abreviamos diciendo topolog´ıa inducida). Proposici´on 2.6. Sea una variedad diferenciable M con su topolog´ıa inducida. Si x es una carta de M , entonces la funci´on x es un homeomorfismo (para la definici´ on de homeomorfismo para funciones, v´ease la definici´on 2.3). ´ n. Puesto Demostracio
que Dom x es un abierto para ver que x es una funci´on abierta es suficiente ver que las im´ agenes de los abiertos b´asicos son abiertos eucl´ıdeos. Sea W Dom x un abierto b´ asico que ser´a el dominio de una carta y . Teniendo en cuenta que el dominio de yx −1 es abierto y que Dom(yx −1 ) = x(W ) se deduce que x(W ) es abierto. Para ver que x es continua, sea U abierto de Rm , si W = x−1 (U ) se tiene que x(W ) = Codom x U es un abierto. Aplicando la proposici´on 2.4 obtenemos que x W es tambi´en una carta y su dominio W es un abierto b´asico y por lo tanto abierto. Luego la funci´on x es continua y, en consecuencia, la funci´on x es un homeomorfismo.
⊂
|
3.
∩
Propiedades b´ asicas de la topolog´ıa de una variedad
En esta secci´ on estudiamos algunas propiedades topol´ ogicas que tienen las topolog´ıas inducidas por las estructuras diferenciales. Concretamente vemos que son T 1 , v´ease la definici´on 2.8; primero contable,
32
2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
definici´on 2.7; y localmente conexa, definici´on 2.9 ; donde todas las definiciones son del del cap´ıtulo 1. Empezaremos dando una base de entornos inducida por una carta en un punto de una variedad. Proposici´on 3.1. Sea M una variedad diferenciable m-dimensional, x una carta en un punto p de M y sea B ε (x( p)) una bola de centro x( p) y radio ε contenida en Codomx . Entonces la familia x−1 Bδ (x( p)) δ < ε es una base de entornos de p en la topolog´ıa inducida por la variedad M .
{
|
}
´ n. Por Demostracio
resultados anteriores sabemos que la carta R es un homeomorfismo (v´ x : M ease ??) . Sea G un entorno de p en M , entonces existe un abierto U tal que p U G . Notemos que V = U Dom x es tambi´en un entorno abierto de p en Dom x . Aplicando que x es un homeomorfismo se tiene que x(V ) es un entorno abierto de x( p) en Codom x . Puesto que Bδ (x( p)) δ < ε es una base de entornos de x( p) en Codom x , tenemos que existe δ tal que x( p) Bδ (x( p)) x(V ) . Entonces p x−1 Bδ (x( p)) V U G . Por lo tanto se deduce que x−1 Bδ (x( p)) δ < ε es una base de entornos de p en la topolog´ıa inducida por la variedad M .
→
m
∈ ⊂
∩
{
∈
⊂
{
∈ |
}
| } ⊂ ⊂ ⊂
Proposici´on 3.2. Sea M una variedad diferenciable. Entonces el espacio topol´ ogico subyacente verifica: (i) M es un espacio T 1 , (ii) M es primero contable, (iii) M es localmente conexa. ´ n. Demostracio
Sea p un punto de una variedad diferenciable M , consideremos una carta x de M en p . Si q es otro punto de M distinto de p pueden ocurrir dos casos, que q Dom x o que q Dom x . En el primero, Dom x es un entorno abierto de p al cual no pertenece q . En el segundo, por ser Dom x homeomorfo a un abierto eucl´ıdeo, se tiene que Dom x es T 1 , luego existe U abierto de Dom x tal que p U y q U , adem´as puesto que Dom x es abierto en M se tiene que U es abierto en M luego U es un entorno abierto de p en M . Para probar (ii) y (iii), tomemos p M y una carta x en el punto p . Puesto que Dom x es homeomorfo a un abierto eucl´ıdeo se tiene que existe una base contable de entornos conexos de p en Dom x . Adem´a s por ser Dom x abierto en M se concluye que tambi´ en es una base de entornos de p en M . Luego M es primero contable y localmente conexa.
∈
∈
∈
∈
∈
Un espacio topol´ogico X se dice que es localmente compacto si para p X y cada entorno N , entonces existe un entorno V tal que ¯ N tal que V ¯ es compacto. p V V
∈ ∈ ⊂ ⊂
Proposici´on 3.3. Sea M una variedad diferenciable. Si M es Hausdorff, entonces M es locamente compacta.
´ 3. PROPIEDADES B ASICAS DE LA TOPOLOG´IA DE UNA VARIEDAD
33
´ n. Demostracio
Sea N un entorno de un punto p de una variedad M . Tomemos una carta x de M en p tal que Dom x N . Sea B un entorno de x( p) en Codom x tal que clB sea compacto, donde cl denota el operador clausura, y clB Codom x . Por ser x−1 continua se tiene que x−1 B x−1 (clB) clDom x (x−1B) clM (x−1 B) . Por otra parte x−1 (clB) es un compacto en el espacio Hausdorff M luego es cerrado en M . Entonces clM (x−1B) x−1 (clB) . En consecuencia x−1B es un entorno abierto de p en M cuya clausura x−1 (clB) es un entorno compacto de p contenido en N .
⊂
⊂
⊂
⊂
⊂
⊂
Para recordar la noci´ on de segundo contable, v´ease la definici´ on 2.7 del cap´ıtulo 1. En general las variedades diferenciables no son segundo contables como podemos ver en el ejemplo 3.1 . Proposici´on 3.4. Sea M una variedad diferenciable. Entonces M tiene un atlas contable si y s´olo si M es segundo contable. ´ n. Demostracio
Sea un atlas contable, para cada carta x se tiene que Dom x es homeomorfo a un abierto eucl´ıdeo que es segundo contable. Si Bix i N es una base contable de Dom x , entonces x Bi x , i N es una base contable de M . Rec´ıprocamente, si M es segundo contable y es una base contable y un atlas, entonces la familia = B existe una carta x B tal que B Dom xB es contable y xB B es un atlas de M .
A
∈A
{ | ∈ } { | ∈ A ∈ } B B { ∈ B| { | ∈ B }
∈ A
A
⊂
}
Observaci´ on 3.1. Si M es una variedad diferenciable, entonces por ser localmente conexa, cada componente conexa C de M es cerrada y abierta en variedad. Por ser abierta C hereda de modo natural una estructrura diferenciable de la variedad M . Si C i , i I es el conjunto de componentes de M se tiene que M = i∈I C i . Adem´as cada inclusi´on ini : C i M es una aplicaci´ on diferenciable. Tambi´en es f´ acil de ver que f : M N es una funci´ on entonces f es diferenciable si y s´olo si cada f in i es diferenciable.
∈
→ →
Es tambi´ en de inter´es la suma disjunta de variedades. Sea M i , i I una familia de variedades m-dimensionales. Si consideramos la reuni´on disjunta M = i∈I M i = i∈I M i i , entonces M admite el siguiente atlas si x es una carta de M i entonces xi : M Rm tiene como dominio Dom x i y est´a definida por x i ( p, i) = x( p) . Se comprueba con facilidad que es un atlas diferenciable para M de manera que las “inclusiones” ini : M i M , ini ( p) = ( p, i), p M i , son diferenciables. Notemos que las funciones f i : M i N son diferenciables si y s´olo si la u ´ nica funci´ on f : M N tal que f in i = f i es diferenciable.
∈
×{ }
→ →
∪
→
×{ }
→
∈
Ejemplo 3.1. Sea M una variedad diferenciable m-dimensional y sea I in conjunto de ´ındices de cardinalidad no contable y tomemos M i = M . Entonces i∈I M i es una variedad que no es segundo contable.
34
2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
Definition 3.2. Si (M, τ ) un espacio topol´ ogico (v´ease la definici´ on 2.1), diremos que [ ] es una estructura diferenciable sobre el espacio topol´ ogico (M, τ ) si la topolog´ıa inducida por la estructura es τ .
A
Observaci´ on 3.3. Se pueden dar ejemplos de estructuras diferencia∞ bles C que no son difeomorfas y que tienen el mismo espacio topol´ogico subyacente; v´ease el problema 4.10 del cap´ıtulo 4 . El problema de encontrar estructuras diferenciables no difeomorfas es m´ as dif´ıcil en el caso que el espacio topol´ogico subyacente sea Hausdorff. Sin embargo J. W. Milnor [25] en 1956 prob´ o que la esfera S 7 tiene varias estructuras que no son difeomorfas. Es conocido que el n´ umero de estructuras no difeomorfas de una esfera es finito. Se sabe que la esfera S 7 tiene 28 estructuras; la esfera S 11 , 992; la esfera S 15 , 16256 y la esfera S 31 m´as de dos millones. Para m´as informaci´on ver el trabajo de Milnor [25] . Problemas 3.1. Sea M una variedad diferenciable m-dimensional y sea un atlas de la variedad. Probar que si U M , entonces U es un abierto de la topolog´ıa inducida si y s´ olo si U Dom x es abierto en Dom x para todo x .
A
⊂ ∩
∈A
Soluci´on: Si U es un abierto de M , Dom x es un subconjunto de M y tenemos en cuenta la definici´on de la topolog´ıa relativa (ver el ejemplo 2.2 ) se sigue que U Dom x es abierto en Dom x . Rec´ıprocamente, si U Dom x es abierto en Dom x para todo x se tiene que U Dom x es abierto en M ya que los dominios de cartas de la estructura diferenciable son siempre abiertos. Adem´ as U = x∈A (U Dom x) por ser un atlas de M , puesto que la reuni´ on de abiertos es abierto, se obiene que U es abierto.
∩
∩
∈ A
A
∩
∩
3.2. Sea M una variedad diferenciable m-dimensional y sea un atlas de la variedad. Probar que si α es una base del espacio topol´ogico Domxα , para cada xα , entonces = α es una base de la topolog´ıa inducida por la estructura diferenciable m-dimensional.
∈A
B
B
B
A
Soluci´on: Si U es un abierto de M , por el ejercicio anterior se tiene que U = x∈A (U Dom x) y cada U Dom x es abierto en Dom x . Cada U Dom x es entonces reuni´ on de abiertos de α y en consecuencia U es una reuni´ on de abiertos de = α . Luego α es una base de la topolog´ıa inducida.
∩
∩
B
∩
B B B
3.3. Sea M una variedad diferenciable m-dimensional no vac´ıa. Probar que M es un espacio topol´ogico discreto si y s´ olo si m = 0 . 3.4. Sea M una variedad diferenciable m-dimensional y sea un atlas de la variedad. Probar que la aplicaci´ on φ : x∈A Codom x M , tal 1 − que para r Codom x, φ(r) = x (r) es diferenciable, continua y abierta.
∈
A →
4. ALGUNAS PROPIEDADES DE FUNCIONES DIFERENCIABLES
35
3.5. Sea M una variedad diferenciable m-dimensional. Probar que M es un cociente de una reuni´ on disjunta de bolas m-dimensionales. 3.6. Sea L el subconjunto de R2 que es uni´on de los conjuntos U = (r, 0) r R y V = (r, 1) r R, r 0 . Sea U 1 el subconjunto obtenido de U reemplazando los puntos (r, 0) por (r, 1) r 0. Definimos dos cartas α y α1 con dominios U y U 1 respectivamente dadas por α(r, 0) = r
{
| ∈ }
{
| ∈
≥ }
∀ ≥
α1 (r, 0) = r (r < 0); α1 (r, 1) = r (r 0) a) Demostrar que estas cartas forman un atlas diferenciable de L en R. Demostrar que la topolog´ıa inducida no es Hausdorff. b) Definimos otra carta α2 con dominio U 2 = U 1 dada por
≥
α2(r, 0) = r 3 (r < 0); α2 (r, 1) = r 3 (r
≥ 0)
Demostrar que las cartas α y α 2 forman un atlas diferenciable de L en R. c) Demostrar que los dos atlas anteriores determinan dos estructuras diferenciables diferentes sobre el mismo espacio topol´ ogico. 3.7. Encontrar un espacio topol´ ogico que no admita estructura de variedad. Es decir que las estructuras diferenciables que admita el con junto subyacente induzcan topolog´ıas distinta de la dada. 3.8. Probar que la reuni´ on de los ejes coordenados de Rn para n 2 provisto con la topolog´ıa usual no admite estructura de variedad. Es decir que las estructuras diferenciables que admita el conjunto subyacente inducen topolog´ıas distinta de la dada.
≥
3.9. Intentar probar la certeza o falsedad de la siguiente afirmaci´ on: Existen espacios topologicos que admiten estructuras diferenciables distintas. 3.10. Intentar probar la certeza o falsedad de la siguiente afirmaci´ on: Existen espacios topologicos que admiten estructuras diferenciables no difeomorfas. 3.11. Encontrar una funci´ on continua entre variedades que no sea diferenciable. 4.
Algunas propiedades de funciones diferenciables
En esta secci´ on vemos que la funciones diferenciales satisfacen algunas propiedades an´alogas a las que verifcan las funciones C ∞ . Proposici´ on 4.1. Sean M y N variedades diferenciables y sea f : M N una funci´ on. Si f es diferenciable en un punto p de M , entonces la funci´ on f es continua en p .
→
36
2. VARIEDADES DIFERENCIABLES
´ n. Sean Demostracio
x e y cartas de M y N en los puntos p y f ( p) , respectivamente. Entonces yf x−1 es C ∞ en el punto x( p) . Por lo tanto existe un abierto U de Rm tal que U Dom(yf x−1 ) y F = yf x−1 U es C ∞ . Adem´as se tiene que U Codom x . Aplicando la proposici´on 4.6 del cap´ıtulo 1 tenemos que F es continua en U . Por ser la funci´on x continua se tiene que x −1 U es un abierto. Teniendo en cuenta que y es un homeomorfismo se concluye que y −1 F x es continua en el abierto x−1U Dom f . Por otra parte f x 1 U = y−1 F x . Por lo tanto f es continua en x−1 U y en consecuencia en el punto p .
|
⊂
⊂
⊂
|
−
Proposici´on 4.2. Sean M y N variedades diferenciables, f : M N una funci´ on y U un abierto de M . Si f es diferenciable, entonces la funci´on f U es diferenciable. Si f es un difeomorfismo, entonces la funci´on f U es un difeomorfismo.
→
|
|
´ n. Demostracio
Sea p Dom(f U ) = Dom f U . Sean x e y cartas de M y N en los puntos p y f ( p) , respectivamente. Notemos que y(f U )x−1 = yf x−1 x(f 1 (Dom y)∩U ) . Por ser f diferenciable, aplicando la proposici´ on 4.1, obtenemos que f es continua y por lo tanto − 1 f (Dom y) es un abierto de M . Por la proposici´on 2.6 se tiene que x es un homeomorfismo y en consecuencia x(f −1 (Dom y) U ) es un abierto. Por ser f diferenciable en el punto p , entonces yfx−1 es C ∞ en el punto x( p) x(f −1 (Dom y) U ) x(f −1 (Dom y)) = Dom(yf x−1 ) . Aplicando la proposici´ on 4.6 del cap´ıtulo 1 se obtiene que y(f U )x−1 es C ∞ en el punto x( p) . Luego f U es diferenciable en cada punto de su dominio, y por lo tanto f U es diferenciable. Supongamos ahora que f es un difeomorfismo. Entonces f U es tambi´en inyectiva y diferenciable por el argumento anterior. Por ser f −1 continua se tiene que f (U ) = (f −1 )−1 (U ) es abierto. Notemos que (f U )−1 = f −1 f (U ) tambi´en es diferenciable. Entonces tenemos que f U es un difeomorfismo.
|
∈
|
|
∩
−
∩
∈
∩ ⊂ |
|
|
|
|
|
|
Proposici´on 4.3. Sean P , Q , R variedades diferenciables, f : P Q , g : Q R funciones diferenciables. Si f , g son diferenciables, entonces gf es diferenciable.
→
→
´ n. Demostracio
Sea a Dom(gf ) y tomemos cartas x, y,z en a , f (a) y gf (a) , respectivamente. Notemos que Dom((zgy −1 )(yf x−1 )) Dom(zgfx−1 ) . Adem´as zgfx−1 Dom((zgy 1 )(yf x 1 )) = (zgy −1 )(yf x−1 ) . Sabemos que yf x−1 es C ∞ en x(a) y que zgy −1 es C ∞ en yf (a) . Aplicando la proposici´ on 4.6 del cap´ıtulo 1 se obtiene que (zgy −1 )(yf x−1 ) es C ∞ en x(a) . Por lo tanto zgfx−1 es C ∞ en x(a) . De aqu´ı se obtiene que gf es diferenciable en cada a de su dominio. Luego gf es diferen ciable.
∈
|
−
−
⊂
Problemas 4.1. Probar que la composici´ on de difeomorfismos es un difeomorfismo.
ALGUNAS PROPIEDADES DE FUNCIONES DIFERENCIABLES
4.2. Sea f :
R3
−→ R
3
37
dadas por:
f (r1 , r2 , r3 ) = (r1 cos r3
− r sen r , r sen r + r cos r , r ) 2
3
1
3
2
3
3
Demostrar que f S 2 toma valores en S 2. Demostrar que la aplicaci´on inducida de S 2 en S 2 es un difeomorfismo.
|
4.3. Consideramos G(3, 1, R) y G(3, 2, R). A cada 1-plano en R3 con matr´ız A = (a1 , a2 , a3)t le hacemos corresponder el 2-plano en R3 que es soluci´on del sistema homog´eneo A t r = 0. Demostrar que esta biyecci´on es un difeomorfismo.
Cap´ıtulo 3
EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES En este cap´ıtulo vemos algunas variedades que aparecen con mucha frecuencia y que juegan un papel importante en numerosos contextos matem´aticos. 1.
Ejemplos b´ asicos de variedades diferenciables
En primer lugar veamos que todo espacio vectorial real de dimensi´on n admite una estructrua est´ andar de variedad diferenciable ndimensional. Ejemplo 1.1. Espacios vectoriales reales de dimensi´ on finita. Sea e1 , e2 , , en una base de un espacio vectorial real E . Notemos que el isoRn que asocia a cada vector de E sus coordenadas morfismo f : E en la base anterior, es una carta que define una estructura diferenciable en el conjunto E . Tenemos que probar que la estructura diferenciqable es independiente de la base elegida. Sea e1, e2 , , en otra base de E R es la correspondiente aplicaci´ y sea f : E on coordenada. Si el cambio de base viene dado por ei = 1, aij e j , i, j , n , en − 1 tonces el cambio de cartas estar´ a determinado por f f (r1 , , rn ) = 1 − ( ri ai1 , , ri ain ) . Puesto que cada componente de f f es de ∞ clase C , se tiene que los atlas f y f son compatibles. (Esta estructura se llama estructura diferenciable est´ andar de un espacio vectorial real .)
···
−→
→
···
···
∈ { · ·· } · ··
{} { }
La siguiente notaci´ on facilitar´ a la descripci´ o n de algunos ejemplos de esta secci´on, dada una n-tupla (r1 , , ri , , rn) y un i 1, , n , la (n 1)-tupla obtenida al suprimir la componente i-´esima, (r1 , , ri−1 , ri+i , rn) la denotaremos a veces por (r1 , , rˆi , , rn ) .
{ · ·· } ···
− · ··
·· ·
···
∈
··· ··· Ejemplo 1.2. Sea S − = {r ∈ R |r + ··· + r − 1 = 0} . Para cada i ∈ {1, ··· , n} sean x , x − funciones de S − en R − con dominios Dom x = {r ∈ S − |r > 0} , Dom x − = {r ∈ S − |r < 0} y n 1
n
i+
i+
i
n 1
2 1
n 1
2 n
n 1
i
i
n 1
i
definidas por
xi+ (r1 ,
··· , r , ··· , r ) = (r , ··· , rˆ , ··· , r ), x − (r , ·· · , r , ··· , r ) = (r , ·· · , rˆ , ··· , r ) . Entonces el atlas {x , x − , x , x − , ··· , x , x − } dota a S − estructura de variedad diferenciable (n − 1)-dimensional. i
i
1
i
1+
1
2+
n
1
n 2
1
39
n+
i
n
i n
n
n 1
de una
40
3. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES
R2 r R . Consideremos Ejemplo 1.3. Sea S 1 = (cos r, sen r) 2 U = (cos s, sen s) R π < s < π y V = (cos t, sen t) R2 0 < t < 2π . Sean x, y dos funciones de S 1 en R con dominios Dom x = U , Dom y = V y definidas por x(cos s, sen s) = s , y(cos t, sen t) = t . El cambio de cartas viene dado por
{
{ ∈ | −
}
yx −1 (s) =
∈ | ∈ } } {
∈ |
−π < s < 0,
2π + s si s
si 0 < s < π,
que es una funci´on C ∞ . Entonces el atlas x, y dota a S 1 de una estructura de variedad diferenciable 1-dimensional.
{ }
Ejemplo 1.4. El atlas estereogr´ afico de la esfera S n−1 = r Rn r12 + + rn2 1 = 0 . Sean x , y funciones de S n−1 en Rn−1 con dominios Dom x = S n−1 N (donde N = (0, , 0, 1) es el “polo Norte”) y n 1 n−1 Dom y = S ), N definidas por x(r1 , , rn ) = ( 1−r1rn , , 1r− rn rn 1 r1 y(r1 , , rn ) = ( 1+rn , , 1+rn ) . Notemos que tenemos
···
−
{ ∈ |
} \{ } \ {− } · ··
· ··
···
−
xi =
ri 1
,
−r
yi =
n
· ··
· ··
−
ri 1 + rn
La sumas de cuadrados verifican r12 + + rn2 −1 1 rn2 1 rn 2 2 y1 + + yn−1 = = = (1 + rn )2 (1 + rn)2 (1 + rn )
···
·· ·
−
−
r12 + + rn2 −1 1 rn2 1 rn = = = − (1 rn )2 (1 rn )2 (1 + rn) De donde se sigue que el cambio de cartas viene dado por x21 +
···
··· −
+ x2n 1
xi =
ri 1
−r
=
n
− −
−
ri (1 + rn ) yi = 2 (1 + rn )(1 rn) y1 + + yn2 −1
−
···
ri ri (1 rn ) xi = = 2 1 + rn (1 rn)(1 + rn) x1 + + x2n−1 que son funciones C ∞ . Entonces el atlas x, y , que llamaremos estereogr´ afico, dota a S n−1 de una estructura de variedad diferenciable (n 1)-dimensional. yi =
−
−
···
{ }
−
Ejemplo 1.5. En Rn+1 0 definimos la siguiente relaci´ on de equivalencia (r0 , , rn) (s0 , , sn) si existe t = 0 tal que (r0, , rn ) = (ts0 , , tsn ) . Denotemos la clase de equivalencia de (r0 , , rn ) por n [r0 , , rn] y al conjunto cociente por P (R) y lo llamaremos espacio proyectivo real de dimensi´on n . Para cada i 0, , n sea x i la funci´on de P n (R) en Rn con dominio Dom xi = [r0 , , rn] P n (R) ri = 0 , y definida por xi [r0 , , ri , , rn ] = (r0 /ri , , rˆi , , rn /ri ) . 0 n n Entonces el atlas x , , x dota a P (R) de una estructura de variedad diferenciable n-dimensional.
··· ·· ·
}
···
\{ } ∼ · ··
{ · ··
·· ·
}
···
·· · · ··
∈ { · ·· } { ·· · ∈ · ·· · ··
|
1. EJEMPLOS B´ a SICOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES
41
Ejemplo 1.6. Sea U un abierto de una variedad diferenciable mdimensional M . Entonces U admite una estructura de variedad diferenciable m-dimensional de tal modo que la inclusi´o n in: U M es un difeomorfismo. En efecto supongamos que es un atlas para M , entonces consideremos la familia U = xU x , donde la m funci´on xU : U R tiene como dominio U Dom x y se define por xU ( p) = x( p) para p U Dom x . Veamos que U es un atlas diferenciable m-dimensional que da estructura de m-variedad a U . Es claro que la reuni´o n de los dominios es U . Los cambios de cartas vienen dados por (yU )(xU )−1 = yx−1 x(U ) que son funciones C ∞ . Por otra parte la inclusi´o n in: U M es inyectiva y tanto ella como su inversa son diferenciables. En efecto para cada carta x de M se tiene que x in(xU )−1 = id x(U ) = (xU ) in−1 x−1 .
→
A A { | ∈ A} ∩ A
∈ ∩
|
→
|
→
Ejemplo 1.7. M (n p, R) matrices reales de orden n p . Tiene estructura de variedad diferenciable np-dimensional ya que es un espacio vectorial real de dimensi´ on np , v´ease el ejemplo 1.1. Denotemos por E ij la matr´ız que es nula salvo en el lugar (i, j) que tiene un uno. Se puede tomar como atlas el formado por la funci´ on coordenada asociada a la base E 11 , , E 1 p , , E n1 , , E np que en esencia asocia a una matr´ız la tupla obtenida al colocar cada fila a continuaci´ on de anterior. Un caso particular es la variedad de matrices cuadradas M (n, R) = M (n n, R) que tiene dimensi´ on n2 .
×
×
···
···
···
×
Ejemplo 1.8. GL(n, R) matrices cuadradas reales y no singulares, tambi´en se llama el grupo lineal real n-dimensional. Tiene estructura de variedal diferenciable n2 -dimensional ya que es un abierto de M (n, R) que tiene dimensi´on n2 . Para ver que es un abierto se pueR , que por de considerar la aplicacion determinante det: M (n, R) ser una funci´on polin´omica es continua, v´ease el problema 4.3 de este cap´ıtulo.
→
Ejemplo 1.9. Variedades de Grassmann 1 . Sea G(n,p, R) el espacio de todos los p-planos de Rn . Una base de un p-plano se puede representar por una matriz A de dimensi´on n p que tenga rango p . Notemos que dos matrices A y B representan el mismo p-plano si y s´olo si existe una matriz T no singular p p tal que B = AT . De este modo representaremos un p-plano como la clase de equivalencia [A] inducida por la relaci´on de equivalencia anterior. Supongamos que α : 1, ,p 1, , n es una aplicaci´ on creciente e inyectiva. Para cada matriz A denotemos por A α la submatriz formada por las filas α(1), , α( p) y por A α la submatriz formada por el resto de las filas de A . Notemos que si B = AT con T no singular, se
×
×
{ ··· } → { ··· } ···
1Las
variedades de Grassmann juegan un papel importante en la categor´ıa de las variedades diferenciables. Se ulilizan para el estudio de transversalidad a variedades inmersas en variedades riemannianas. Adem´as sus grupos de homotop´ıa y de homotop´ıa estable determinan las clases de cobordismo
42
3. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES
tiene que las filas α de B tienen rango m´ aximo si y s´olo si se verifica lo R(n− p) p de mismo para las de A . Definamos una carta xα : G(n,p, R) tal modo que Dom xα = [A] Aα es no singular y que viene dada por 1 α la f´ormula xα ([A]) = (AA− a bien α ) . En primer lugar veamos que est´ − definida. Si B = AT con T matriz regular, se tiene que (BB α 1 )α = 1 α −1 α −1 −1 α −1 α (AT (AT )− α ) = (AT (Aα T ) ) = (AT T Aα ) = (AAα ) . 1 α Las funciones xα son inyectivas. En efecto si xα ([A]) = (AA− α ) = 1 (BB α−1 )α = xα ([B]) Entonces AA− = BB α−1 . Por lo tanto, B = α 1 AA− α Bα . En consecuencia, [A] = [B] . Por otra parte dado Z R(n− p) p , podemos suponer que Z es una matriz (n p) p para despu´ es contruir una u´nica matriz α Z de dimensidones n p tal que al extraer las filas α-´esimas se obtenga la matriz identidad, (α Z )α = I y el resto de las filas sean precisamente sea la matriz Z , (α Z )α = Z . Entonces xα ([α Z ]) = Z . Es decir que las funciones x α son suprayectivas, o dicho de otro modo Codom xα = R(n− p) p . Puesto que la reuni´ on de los dominios es precisamente G(n,p, R) y los cambios de cartas son funciones racionales, que son C ∞ , entonces = xα α es inyectiva y creciente es un atlas diferenciable (n p) pdimensional.
{ |
→
}
∈
− × ×
A { |
}
−
Problemas 1.1. Probar que el atlas determinado por las proyecciones del ejemplo 1.2 y el atlas determimado al tomar argumentos en el ejemplo 1.3 para S 1 son equivalentes. 1.2. Probar que el atlas determinado por las proyecciones del ejemplo 1.2 y el atlas estereogr´afico del ejemplo 1.4 para S n−1 son equivalentes. 1.3. Probar que C y cualquier espacio vectorial complejo de dimensi´on finita n tiene una estructura de variedad diferenciable (real) de dimensi´on 2n . 1.4. Probar que H , v´ease el problema 3.3 , y cualquier espacio vectorial cuaterni´onico de dimensi´ on finita n tiene una estructura de variedad diferenciable (real) de dimensi´ on 4n. 1.5. Definir el espacio proyectivo complejo P n(C) y demostrar que tiene una estructura diferenciable de dimensi´ on 2n determinada por un atlas de n + 1 cartas. 1.6. Demostrar que la recta proyectiva compleja P 1 (C) es difeomorfa a la esfera S 2 . 1.7. Sea H el a´lgebra de divisi´on de los cuaterniones de Hamilton. Definir el espacio proyectivo P n(H) y demostrar que tiene una estructura diferenciable de dimensi´ on 4n determinada por un atlas de n +1 cartas. 1.8. Demostrar que la recta proyectiva cuaterni´ onica P 1 (H) es difeomorfa a la esfera S 4 .
2. EL CONJUNTO DE CEROS DE UNA FUNCI´oN CON VALORES REALES 43
1.9. El conjunto M (n, C) de las matrices complejas n n, tiene una estructura C ∞ est´andar de dimensi´ on 2n2 . Tal estructura est´ a definida por una carta global:
×
α : M (n, C)
2n2
−→ R
dada por α(a + bi) = (u(a), u(b)), siendo (a) y (b) las correspondientes matrices reales (parte real y parte imaginaria) y u la carta que define la estructura C ∞ de M (n, R). Demostrar que el conjunto GL(n, C) de las matrices regulares complejas es un abierto de M (n, C) que puede ser dotado de estructura de variedad. 1.10. El conjunto M (n, H) de las matrices cuaterni´ onicas n n, tiene ∞ 2 una estructura C est´andar de dimensi´on 4n . Demostrar que el con junto GL(n, H) de las matrices regulares cuateni´ onicas es un abierto de M (n, H) que puede ser dotado de estructura de variedad.
×
1.11. Demostrar que el conjunto M p (n p, R) de las matrices n p reales de rango p es un subconjunto abierto de la variedad M (n p, R) y tiene por lo tanto una estructura estandar de variedad. Probar los resultados an´ alogos para C y para H .
×
×
×
1.12. Dar una estructura de variedad diferenciable a los conjuntos de p-planos (variedades de Grassmann) complejos y cuaternionicos. 1.13. Consideremos un p´endulo, que podemos representar por un segmento de longitud fija situado en un plano y en el que uno de sus extremos pasa por un punto fijo. Dar estructura de 1-variedad a la variedad de todas las posiciones posibles de dicho p´endulo. 1.14. Encontrar una variedad que modele todas posiciones posibles de un s´olido r´ıgido. 1.15. ¿ Es adecuada la noci´ on de variedad (sin borde), para modelizar matem´aticamente todas las posiciones posibles de un oscilador? 1.16. Consideremos un brazo articulado de un robot formado por dos segmentos articulados en el que uno de los extremos est´ a fijo en un punto del espacio. ¿Qu´e variedad podemos utilizar para realizar una programaci´on de todos los movimientos posibles de este brazo? 2.
El conjunto de ceros de una funci´ on con valores reales
Recordamos a continuaci´ on el siguiente resultado que se suele denominar como el teorema de la funci´on impl´ıcita. Aqu´ı utilizaremos una versi´ on enunciada en t´erminos de funciones C ∞ . Teorema 2.1. (Funci´on impl´ıcita) Sea (a, b) un punto del dominio de una funci´ on C ∞ f : 0 , i, j = 1,
R p
q
p
×R → R
tal que f (a, b) = 0 y det
∂f i ∂r j
(a,b)
=
p
· ·· , p . Entonces existen entornos abiertos V de a en R
y
44
3. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES
W de b en Rq tal que para todo w W existe un u ´ nico ϕ(w) V tal q R p es de clase C ∞ . que f (ϕ(w), w) = 0 . Adem´as la funci´on ϕ : R
∈
∈
→
Este resultado facilita la demostraci´ on de que, ba jo ciertas condiciones, el conjunto de ceros de una funci´ on de varias variables con valores reales tiene una estructura can´ onica de variedad. Teorema 2.2. Sea f : Rn on C ∞ y sea S = f −1 0 . R una funci´ Supongamos que para cada z S existe un i 1, . . . , n tal que ∂f = 0 . Entonces: ∂r i
→
∈
∈{
z
(i) Para cada z S , i
∈
∈ {1, . . . , n} tal que
}
∂f ∂r i
z
= 0, existe un en-
torno abierto P zi de z en Rn tal que la funci´ on xiz : S Rn−1 dada por xiz (r1 , , ri , , rn ) = (r1, , ri−1 , ri+1 , , rn ), con i r = (r1 , , ri , , rn ) S P z es inyectiva y con codominio abierto. (i) La familia de cartas xiz iducidas por f determina una estructura de variedad diferenciable (n 1)-dimensional a S tal que la topolog´ıa inducida por la estructura diferenciable coincide con la topolog´ıa de S como subespacio de Rn .
· ·· · ·· ··· ··· ∈ ∩ { }
´ n. Demostracio z
−
Sea z S y sea i = i(z ) un entero tal que = 0 . Como consecuencia del teorema de la funci´ on impl´ıci-
∈
∂f ∂r i
·· ·
→ · ··
ta, existen entornos abiertos W de (z 1 , que para cada w = (r1 , , ri−1, ri+1 , ϕi (w) V tal que
· ·· , ˆz , · ·· , z ) y V de z tal · ·· , r ) ∈ W existe un u´nico
· ··
∈
f (r1 ,
i
n
i
n
··· , r − , ϕ (r , · ·· , r − , r , ··· , r ), r , · ·· , r ) = 0 Adem´as la funci´on ϕ : W → V es C ∞ . Sea ahora P = P (W, V ) dado i 1
i
1
i 1
i+1
n
i+1
i z
i
por
P zi = (r1 ,
n
i z
{ ··· , r , ··· , r )|(r , ··· , r − , r , ··· , r ) ∈ W , r ∈ V } i
n
1
i 1
i+1
n
i
que es un abierto de Rn . Sea θ i la funci´on de Rn en Rn−1 que tiene como dominio P zi y que aplica (r1 , , ri , , rn ) en (r1 , , ˆ ri , , rn ) , es decir es la restricci´on de una proyecci´ on a un abierto. Considerei n−1 R mos la funci´on xz : S definida por la composici´on xiz = θi in , Rn la inclusi´ siendo in: S o n can´ onica. N´ o tese que Codom xiz = θi (S P zi ) W . Por el teorema de la funci´ on impl´ıcita dado w = (r1 , , ri−1 , ri+1, , rn) W existe un u ´ nico ϕi (w) V tal que u = − 1 (r1 , , ri−1 , ϕi (w), ri+1 , , rn ) f (0) = S . Luego u (S P zi ) = Dom xiz es tal que x iz (u) = w . De donde se obtiene que Codom xiz = W es un abierto de Rn−1 . Sean ahora u = (r1 , , ri , , rn ) y u = (r1 , , ri , , rn ) puntos de Dom xiz tales que x iz (u) = x iz (u ) . Entonces (r1, , ˆ ri , , rn) = (r1 , , ˆ ri , , rn ) aplicando la unicidad del teorema de la funci´ on impl´ıcita se obtiene que ri = ri . Por lo tanto u = u y se tiene que x es inyectiva. Luego x iz es una carta.
···
∩ ⊂ ··· ··· ···
·· ·
···
···
···
→
→
·· ·
∈ · ··
∈
∈
· ··
·· ·
···
···
···
∈ ∩ · ··
EL CONJUNTO DE CEROS DE UNA FUNCI´o N CON VALORES REALES
45
Supongamos que tenemos dos cartas de la forma x = θ i in y = θ j in . El dominio de yx −1 es θi (S Dom θi Dom θ j ) = θi (S Dom θi ) θi (Dom θ j ) = Codom x θ i (Dom θ j ) que es un abierto por ser x una carta y θi una aplicaci´ on abierta. Adem´as si j > i , se tiene que
∩
∩
yx −1 (r1 ,
∩
∩
∩
··· , rˆ , · ·· , r ) = y(r , ·· · , r − , ϕ (r , ··· , rˆ , ··· , r ), ·· · , r ) = (r , ·· · , r − , ϕ (r , ··· , rˆ , ··· , r ), r , · ·· , ˆ r , ··· , r ) es una fun∞ 1
i
n
i 1
i
1
1
i 1
i
n
i
1
i+1
i
j
n
n
n
ci´on C . An´alogamente se procede para j < i y en el caso i = j , yx −1 es la identidad de un abierto. Por lo tanto los cambios de cartas son C ∞ . Notemos que para cada z S hemos construido una carta en z , as´ı que f´acilmente se deduce que la reuni´ on de los dominios de las cartas es el propio S . Para ver que la topolog´ıa de la variedad S es precisamente la toRn es polog´ıa traza, veamos por una parte que la inclusi´on in : S diferenciable. En efecto sea x una carta de S , entonces idRn inx−1 (t1 , , tˆi , , tn) = (t1 , , ϕi (t1 , , tˆi , , tn ), , tn )
∈
→
·· ·
·· ·
· ··
···
···
·· ·
que es una funci´on C ∞ . Por otra parte si U es un entorno abierto de z contenido en el dominio de una carta x se tiene que U = S P iz (x(U ), V ) y por lo tanto tambi´en es un entorno abierto de s en la topolog´ıa relativa.
∩
Problemas 2.1. Demostrar que la funci´ on f :
R3
−→ R dada por f (r , r , r ) = (r + r + r + 3) − 16(r + r ) 1
2
3
2 1
2 2
2 3
2
2 2
2 3
determina en f −1 (0) la estructura de una variedad diferenciable. V´ease la figura 1.
Figura 1.
f (r1 , r2 , r3 ) = (r12 + r22 + r32 + 3)2
2 2
2 3
− 16(r + r )
46
3. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES
2.2. Considerar la funci´ on f :
R2
−→ R dada por 1 f (r , r ) = r − r + r 4 1
4 2
2
2 2
2 1
Comprobar que f y sus derivadas parciales se anulan simultaneamente en algun punto. Demostrar que f −1(0) es la figura Ocho estudiada en el problema 1.3 . V´ease figura 2 . ∂f ∂f r1 Soluci´on: Notemos que ∂r = y = 4r23 2r2 . Entonces si 2 ∂r 1 2 1 1 0 = r21 y 0 = 4r23 2r2 . Tiene como soluciones (0, 0) , (0, √ ) , (0, √ ). 2 2 La primera es tambi´en soluci´ on de f pero las dos u ´ ltimas no son zeros de f . Es f´acil comprobar que r1 = sen 2s y r 2 = sen s satisface la ecuaci´ on 2 2 f (r1 , r2 ) = 0 . Reciprocamente, sea (r1 , r2 ) una pareja tal que r2 (r2 r1 2 R tal que 1) = . Entonces r22 1 , por lo tanto existe t 2 2 2 r2 = sen t = sen(π t) . En consecuencia r 2 (r2 1) = (sen t cos t)2 = r1 2 sen2t 2 = . De aqui se tiene que r1 = sen 2t o r1 = sen2t = 2 2 sen 2(π t) . En cualquier de los casos se tiene que (r1 , r2 ) es de la forma (sen2s, sen s) para alg´ un s .
−
−
− − − −
≤
−
−
−
∈
−
Figura 2. Ocho:
r24
2 2
− r +
1 2 r 4 1
−
−
=0
R un funci´ 2.3. Sea F : Rn o n de clase C ∞ homog´enea de grado distinto de cero y con al menos un valor positivo. Demostrar que la R dada por f (r) = F (r) funci´on f : Rn 1 determina en f −1 (0) una estructura de variedad diferenciable.
−→ −→
−
Soluci´on: Si F es homog´enea de grado k significa que para cada ntupla r = (r1 , , rn ) y cada escalar λ se verifica que F (λr) = λ k F (r) . ∂F ∂F Esta funciones verifican que r1 ∂r + +r = kF . En efecto, denoten ∂r n 1 mos por s = (s1 , , sn ) , derivando la expresi´on F (λs) = λ k F (s) res∂F ∂F pecto λ se tiene que s1 ∂r + +sn ∂r = kλk−1 F (s) . Tenienn 1
···
···
· ··
λs
· ··
do en cuenta que r = λs , obtenemos que
r1 λ
λs ∂F ∂r 1
r
+
··· +
rn λ
∂F ∂r n
r
=
EL CONJUNTO DE CEROS DE UNA FUNCI´o N CON VALORES REALES
47
kλ k−1 F ( λr ) = λk F (s) . Multiplicando por λ se obitene la expresi´on deseeada. Sea ahora un r tal que f (r) = F (r) 1 = 0 . Entonces ∂f ∂f ∂F = ∂r . Si suponemos que en el punto r es tal que ∂r = 0 para ∂r i i i
−
i
∈ {1, ··· , n} . Entonces kF (r) = r
1
∂F ∂r 1
r
··· + r
+
n
∂F ∂r n
r
=0 .
Pero como F (r) = 1 se tendr´ıa que k = 0 . Esta contradicci´ on viene de suponer que todas las derivadas parciales se anulan en el punto r . Entonces siempre existe alguna derivada parcial que no anula en cada punto r con f (r) = 0 . En consecuencia r f (r) = 0 es un variedad diferenciable (n 1)-dimensional. Es interesante observar si para un
−
r0 , F (r0) = 0 , F no vacia.
r0
1
(F (r0 ) k
{ |
}
= 1 . Por lo tanto la fibra r f (r) = 0 es
{ |
2.4. Demostrar que las funciones f, g : f (r1 , r2 , r3) g(r1 , r2 , r3)
}
R3
−→ R dadas por = r + r − r − 1 = r − r − r − 1 2 1 2 1
2 2 2 2
2 3 2 3
determinan en f −1 (0) y en g −1 (0) una estructura de variedad diferenciable (notar que en el primer caso se trata del hiperboloide de una hoja y en el segundo del de dos ho jas,v´ease figura 3). Dar en cada caso un atlas finito que defina su estructura diferenciable.
de una, r12 + r22 r32 1 = 0 .
y de dos hojas, r12
2 2
2 3
− r − 1 = 0 ,
Figura 3. Hiperboloides
− r − −
R una funci´ 2.5. Sea F : Rn−1 on cualquiera que es diferenciable n−1 en R . R dada por a) Demostrar que la funci´ on f : Rn
−→
−→ f (r , · ·· , r ) = F (r , ·· · , r − ) − r 1
n
1
n 1
n
determina en f −1 (0) , que es el grafo de F , una estructura de variedad diferenciable.
48
3. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES
b) Demostrar que esta variedad de difeomorfa a Rn−1 . c) Considerar como ejemplo las variedades diferenciables en R3 determinadas por las funciones f , g : R3 ease 4 , dadas por: R , v´ (i) f (r1, r2 , r3 ) = r 12 + r22 r3 (ii) g(r1 , r2, r3 ) = r 12 r22 r3 .
− − −
r12 + r 22 r3 = 0 .
Figura 4. Paraboloide
montar,
r12
r22
− −
−→
Rn
− r
3 =
0 , y silla de
1
−→ R una funci´on C ∞ y sea S = f − (0) de modo que para cada p ∈ S la matr´ız jacobiana , ··· , es no nula, por lo que sabemos que S es una hipersuperficie ((n − 1)−variedad diferenciable) . Definimos la funci´on g : R × R −→ R por la f´ormula − 2.6. Sea f :
∂f ∂r 1
∂f ∂r n
p
p
n
g(r1 , . . . , rn+1 ) = f (r1 , . . . , rn ) . Demostrar que g 1(0) es una hipersuperficie en Rn+1 (Esta nueva variedad se llama cilindro sobre S . V´ease figura 5) 2.7. Sea f :
R2
1
para cada p
∈ C la matr´ız jacobiana
−→ R una funci´on C ∞ y sea C = f − (0) de modo que
∂f ∂r 1
p
,
∂f ∂r 2
p
es no nula, por
lo sabemos C es una hipersuperficie (curva en el plano) que adem´ as − 1 supondremos que est´ a situada en el semiplano r2 > 0. Sea S = g (0) 3 R es la funci´ donde g : R on definida de la siguiente manera:
−→
g(r1 , r2 , r3 ) = f (r1 , (r22 + r32 )1/2 )
Demostrar que S = g −1 (0) es una 2-variedad (superficie de revoluci´ on obtenida por rotaci´ on de la curva C alrededor del eje r 1 .)
´ 3. MISCELANEA
49
Figura 5. Cilindro
Soluci´on: Sea la curva de ecuaci´ on f (s1 , s2 ) = 0 de tal modo que ∂f ∂f s2 > 0 y adem´as una de las derivadas paerciales ∂s , ∂s es no nula. 1 2 Entonces, se tiene que ∂g ∂f = ∂r 1 ∂s 1 ∂g ∂f r2 = ∂r 2 ∂s 2 (r22 + r32 ) 12 ∂g ∂f r3 = ∂r 3 ∂s 2 (r22 + r32 ) 12 De donde se obtiene que
2
2
2
∂g ∂g ∂f + = ∂r 2 ∂r 3 ∂s 2 De las igualdades anteriores se sigue que no se pueden anular simultaneamente las tres derivadas parciales de la g . 2.8. Aplicar el ejercicio anterior para encontrar la ecuaci´ on en impl´ıcitas del toro generado al girar alrededor del primer eje una circunferencia de radio uno. 3.
Miscel´anea
Los cuaterniones y los octoniones juegan un interesante papel en geometr´ıa y topolog´ıa y, por supuesto, en a´lgebra. Willian Rowan Hamilton sab´ıa que para extender los complejos como conjunto de n´ umeros hab´ıa que renunciar a la conmutatividad del producto. As´ı que intent´o la construcci´ o n de un a´lgebra real asociativa 3-dimensional de divisi´on, pero aquella tarea era imposible ya que
50
3. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES
como hoy sabemos no existe esa ´algebra. No obstante, el ´exito acompa˜n´o a Hamilton en 1843 cuando su hoy famosa ´algebra real asociativa de divisi´on 4-dimensional apareci´ o en su mente mientras paseaba pl´ acidamente con su se˜ nora por Dubl´ın. Se conoce esta an´ecdota, as´ı como otras circunstancias m´ as o menos interesantes acerca del nacimiento de los cuaterniones (aunque con menos frecuencia tambi´en son llamados cuaternios), gracias a un escrito del propio Hamilton con ocasi´ on del d´ecimo-quinto aniversario de su descubrimiento. Mencionaremos tambi´en que los octoniones parece ser fueron descubiertos por John T. Graves en Diciembre de 1843, s´ olo dos meses despu´es del nacimiento de los cuaterniones, comunic´ o su resultado a Hamilton en carta en 1844 pero su publicaci´ on se pospuso hasta 1848. Mientras tanto Arthur Cayley redescubri´ o los octoniones en 1845 y public´o su descubrimiento ese mismo a˜ no. 3.1. Probar que el espacio vectorial real H = a+bi+cj +dk a,b,c,d R admite una u H tal que pro´nica aplicaci´on bilineal P : H H ductos P (i, j) = k = P ( j, i) , P ( j, k) = i = P (k, j) ,P (k, i) = j = P (i, k) . Probar que es una aplicaci´on C ∞ .
} −
{ × → −
−
|
∈
Sean p, q H y denotemos P ( p, q ) = pq el producto de cuaterniones con el que H tiene la siguiente estructura:
∈
3.2. Probar que H = a + bi + cj + dk a,b,c,d R es un a´lgebra de divisi´on, donde el producto est´ a determinado por los productos ij = k = ji , jk = i = kj , ki = j = ik .
{
−
|
−
∈ }
− 3.3. Probar que la aplicaci´on ι : H \{0} → H, ι(q ) = ∞ C .
1 es q
una aplicaci´on
Utilizando los resultados anteriores, se puede probar con facilidad que los espacios proyectivos cuaterni´ onicos y los correspondients grupos lineales y grassmannianas tienen estructura de variedad. El estudio de las c´onicas en el plano eucl´ıdeo se puede abordar como el estudio del conjunto de ceros de algunas funciones. 3.4. Estudiar el conjunto de ceros de las siguientes funciones de R2 en R . Para cada caso analizar si el conjunto de ceros admite de modo natural una estructura de variedad, dar su dimensi´ on y averiguar el n´umero de componentes conexas y si cada una de estas componentes es o no compacta. a) f 33 (x, y) = x 2 + y 2 + 1 . b) f 31a (x, y) = x 2 y 2 + 1 . c) f 31b (x, y) = x 2 + y 2 1 . d) f 22a (x, y) = x 2 + y 2 . e) f 22b (x, y) = x 2 + 1 . f) f 21a (x, y) = x 2 y 2 . g) f 21b (x, y) = x 2 1 .
−
− −
−
´ 3. MISCELANEA
51
h) f 11a (x, y) = x 2 . i) f 11b (x, y) = 1 . j) f 00 (x, y) = 0 . De modo similar se puede abordar el estudio de cu´ a dricas en el espacio eucl´ıdeo: 3.5. An´alogo al anterior para las funciones de R3 en a) f 44 (x,y,z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 1 . b) f 43a (x,y,z ) = x 2 + y 2 z 2 + 1 . c) f 43b (x,y.z ) = x 2 + y 2 + z 2 1 . d) f 43a (x,y,z ) = x 2 y 2 z 2 + 1 . e) f 43b (x,y.z ) = x 2 + y 2 z 2 1 . f) f 33a (x,y,z ) = x 2 + y 2 + z 2 . g) f 33b (x,y,z ) = x 2 + y 2 + 1 .
R
.
− − − − − −
3.6. Probar que la familia de las c´ onicas de un plano proyectivo real tiene una estructura natural de variedad diferenciable. ¿De que variedad se trata?. Probar que la familia de c´onicas no degeneradas tambi´en tiene estructura de variedad. En los siguientes problemas se estudian algunas propiedades topol´ogicas de algunas variedades estudiadas en este cap´ıtulo. R, n > 1, una funci´ 3.7. Sea F : Rn on homog´enea de grado k 1 que toma al menos un valor positivo. Sabemos que la funci´on f : Rn R definida por f (r) = F (r) 1 determina en f −1 (0) una estructura de variedad diferenciable. Demostrar que f −1(0) es compacta si y s´olo si F (r) > 0 r = 0.
−→
≥ −→
−
∀
Soluci´on: Sea r 1 = 0 un punto tal que F (r1 ) > 0 . Supongamos que existe un punto r0 = 0 tal que F (r0) 0 . Puesto que Rn 0 es conexo por caminos, ya que n > 1 , se tiene que existe un camino β en 0 tal que β (0) = r 0 y β (1) = r 1 . La funci´on f β verifica que existe Rn un t0 tal que 0 t0 < 1 de modo que F (β (t0)) = 0 y para t tal que
\{ }
≤
≤
\{}
β(t)
t0 < t
= 1 . Pero sin ≤ 1 se tiene que F β (t) > 0 . Entonces F embargo l´ım − = ∞ . Esto implica que la variedad no es 1
(F β(t)) k
β(t)
t >t0
1
(F β(t)) k
acotada. Puesto que su topolog´ıa es la de subespacio de Rn se tiene que si fuera compacta tambi´ en ser´ıa acotada. Por lo tanto no es compacta. Reciprocamente, si F (r) = 1 , entonces r = 0 . Si Z = F −1 (1) , entonces la aplicaci´on φ : Z S n−1 dada por φ(r) = rr est´a bien definida y es continua. Por otro lado, sea r tal que r = 1 , entonces F (r) > 0 y r r se tiene que Z , luego ψ : S n−1 Z dada por ψ(r) = 1 1
→ ∈
(F (r)) k
→
(F (r)) k
est´a bien definida y es continua. Por lo tanto el espacio subyancente de Z es homoeomorfo a un espacio compacto, luego Z es una variedad compacta.
52
3. EJEMPLOS DE VARIEDADES DIFERENCIABLES
3.8. Demostrar que el hiperboloide de dos hojas no es conexo. 3.9. Demostrar que P n (R) es conexo y compacto. 3.10. Demostrar que P n (C) y P n (H) son conexas y compactas. 3.11. Sean a, b y c tres n´ uneros reales no todos nulos. Demostrar que 3 R dada por la funci´on f : R
−→
f (r1, r2 , r3 ) = ar 2 r3 + br3 r1 + cr1r2
−1
determina en f −1 (0) una estructura de variedad diferenciable no compacta. 3.12. Demostrar que GL(n, R) no es conexo. 3.13. ¿Admite la 2-esfera un atlas con una sola carta? ¿Y el espacio proyectivo?
Cap´ıtulo 4
ESPACIO TANGENTE 1.
Notaciones previas
Recordemos que (v´ease la secci´ on 4 del cap´ıtulo 1) a una funci´on C ∞ , f : Rm → Rn , le podemos asociar en cada punto r ∈Dom f la de-
rivada (diferencial) de la funci´ on en r, que denotamos por Df r : Rm Rn . La matriz de esta aplicaci´ on lineal calculada respecto las bases can´onicas se denotar´ a por J f (r) y se denomina matriz jacobiana de f en el punto r . Si g : Rm on C ∞ , denotamos sus deriR es una funci´ ∂g vadas parciales por ∂r : Rm R y su valor en un punto r Dom g por i
→
→
∂g ∂r i
→
∈
∂g y algunas veces por ∂r (r) . i r Rn , funci´ Si las componentes de f : Rm on C ∞ , son f 1 , , f n : Rm R, entonces la matriz jacobiana en el punto r se puede expresar en funci´on de las derivadas parciales de sus componentes:
→
∂f 1 ∂r 1
J f (r) =
· ··
.. .
∂f n ∂r 1
r
r
... ...
∂f 1 ∂r m
...
∂f n ∂r m
...
r
r
Rm La estructura af´ın de Rm permite interpretar un vector u como un “vector tangente” en cada punto r Dom f . Recordemos que la derivada direccional de f seg´ un u verifica que (Du f )r = Df r (u) , para una funci´ on f que tenga derivada en el punto r . Ello permite asociar a cada “vector tangente” u una aplicaci´ on u˜ que asocia a cada funci´ on ∞ real g de clase C en el punto r, el valor u ˜(g) = Dg r (u) . ∞ R , Si g, g funciones reales de clase C definidas en r y α, α entonces la aplicaci´ on u˜ verifica las siguientes propiedades: Linealidad: u˜(αg + α g ) = D(αg + α g )r (u) = αDgr (u) + α Dgr (u) = α˜ u(g) + α u ˜(g )
∈
∈
∈
Regla de Leibniz: u˜(g g ) = D(g g )r (u) = Dgr (u) g (r) + g(r) Dgr (u) = u ˜(g) g (r) + u˜(g ) g(r)
·
· ·
·
·
·
De este modo podemos interpretar cada vector tangente como una aplicaci´on que asocia a cada funci´ on real de clase C ∞ definida en r un valor real y que adem´as verifica las propiedades anteriores. Notemos 53
→
54
4. ESPACIO TANGENTE
que hemos utilizado la suma, el producto de funciones y tambi´en el producto de un escalar por una funci´ on. Est´as operaciones son un caso particular de la siguiente situaci´on m´as general. Sea X un conjunto, en la familia de funciones de X en R podemos considerar la suma de funciones, el producto de funciones y el producto de una funci´ o n por un escalar definidos del modo siguiente: Dadas f, g : X R definimos f + g como la funci´on cuyo dominio Dom(f + g) = Dom f Dom g y est´a definida por (f + g) p = fp + gp , p Dom(f + g) . Similarmente, Dom(f g) = Dom f Dom g y (f g) p = (f p) (gp) . Para α R se define αf como la funci´on cuyo dominio es Dom(αf ) = Dom f y (αf ) p = α(fp) , p Dom(αf ) . El conjunto de todas las funciones de X en R dispone para cada subconjunto S de X de un operador restricci´ o n de modo que si f es una funci´on con valores reales, entonces f S es una funci´on que tiene por dominio Dom(f S ) = S Dom f y viene dada por f S (s) = f (s) . Es interesante observar que el subconjunto de funciones con dominio S tiene estructura natural de anillo conmutativo con unidad. Si S es el vac´ıo (el uno coincide con el cero). Tambi´en se verifica que si T S la restricci´on a T induce un homomorfismo de anillos con unidad. Es decir, que el conjunto de las funciones reales puede ser expresado como la reuni´on disjunta de una familia de anillos conmutativos con unidad, este tipo se estructura se suele denominar “un haz de anillos”.
→
∩
·
·
∈
|
∩
∩
∈
·
∈
|
|
⊂
Problemas 1.1. Sea X un conjunto no vacio. Probar que el conjunto de aplicaciones de X en R tiene una estructura natural de anillo conmutativo con unidad. Probar que este anillo contiene a un subanillo isomorfo al anillo de los n´ umeros reales. 1.2. Sea X un conjunto. Probar que el conjunto de funciones de X en R con dominio S X , S = , tiene una estructura natural de anillo conmutativo con unidad. Probar que este anillo contiene a un subanillo isomorfo al anillo de los n´ umeros reales. Probar que si = T S , la restricci´on induce un homomorfismo de anillos con unidad que preserva los elementos del subanillo de los reales. Analizar el caso T = .
⊂
∅
∅ ⊂ ∅
1.3. Sea M una variedad diferenciable. Probar que el conjunto de funciones diferenciables C V ∞ (M ) de X en R con dominio un abierto V X , V = , tiene una estructura natural de anillo conmutativo con unidad. Probar que este anillo contiene a un subanillo isomorfo al anillo de los n´ umeros reales. Probar que si = U V , la restricci´on induce un homomorfismo de anillos con unidad que preserva los elementos del subanillo de los reales. ¿Qu´e sucede en el caso U = ?
⊂
∅
∅
⊂
∅
DERIVADAS PARCIALES. PROPIEDADES
2.
55
Derivadas parciales. Propiedades
Veamos como se traslada la noci´on de derivada parcial para las funciones diferenciables de una variedad diferenciable. En este caso cada carta determina un sistema de derivadas parciales asociado a sus coordenadas. Definici´ on 2.1. Sea x : M Rm una carta y f : M R una funci´on C ∞ . Entonces la derivada parcial de f con respecto la i-´esima coorde∂ (f x 1 ) ∂f nada xi se define como la composici´on ∂x = x . Notemos que ∂r i i ∂f su dominio es Dom ∂xi = Dom f Dom x . El valor de la derivada
→
→
−
∩ ∈
parcial en un punto p por
∂f ∂x i
( p).
Dom
∂f ∂x i
se denotar´ a por
∂f ∂x i
p
y tambi´en
→ R son funciones C ∞ y
Proposici´on 2.1. Supongamos que f , g : M α, β R , entonces
∈
∂ (αf +βg) ∂g = α ∂∂xf i + β ∂x ∂x i i ∂ (f g) ∂f ∂g = ∂xi g + f ∂x i ∂x i
(i) (ii)
·
´ n. Para Demostracio ∂ (αf +βg) ∂x i
=
1)
−
∂ ((αf +βg)x ∂r i
·
, .
·
probar (i), consideremos las igualdades: 1
1
−
−
) ) ∂g x = α ∂ (fx x + β ∂ (gx x = α ∂∂xf i + β ∂x . ∂r i ∂r i i
Para (ii), tenemos las siguientes: ∂ (f g) ∂x i
· = =
1 ∂ ((f g)x 1 ) x = ∂ (f∂rxi ) x ∂r i ∂f ∂g g + f ∂x ∂x i i
·
−
·
−
·
1
1
· (gx− )x + (fx− )x ·
∂ (gx 1 ) x ∂r i −
Problemas 2.1. Si x es una carta en una variedad diferenciable demostrar que es una funci´on constante de valor δ ij (delta de Kroneker).
∂x i ∂x j
Soluci´on: Aplicando la definici´on de derivada parcial se tiene ∂x i ∂x i x−1 ∂r i = x = x = δ ji Dom x ∂x j ∂r j ∂r j
|
R es una funci´ 2.2. Si x es una carta en una varidad M y f : M on ∂f ∂f definida por f = sen x1 + cos x2 , demostrar que ∂x1 = cos x1 y ∂x2 = sen x2.
−→
−
Soluci´on: Utilizaremos la notaci´on ri para denotar la i-´esima coordenada de una m-tupla (r1 , , rm ) y tambi´en para la i-´esima proyecci´on m R . Entonces tenemos del producto ri : R
→
· ··
f = sen x1 + cos x2 = sen r1 x + cos r2 x = (sen r1 + cos r2 )x
56
4. ESPACIO TANGENTE
Por lo tanto ∂f ∂x 1 ∂f ∂x 2
= = = =
∂ (sen r1 +cos r2 )xx 1 ∂f x 1 x = x ∂r 1 ∂r 1 ∂ (sen r1 +cos r2 ) x = (cos r1 )x = cos x1 ∂r 1 ∂ (sen r1 +cos r2 )xx 1 ∂f x 1 x = x ∂r 2 ∂r 2 ∂ (sen r1 +cos r2 ) x = ( sen r2 )x = sen x2 ∂r 2 −
−
−
−
−
−
2.3. Sean x = (x1 , , xm ) : M Rm una carta en una variedad diferenciable M , F : Rm on C ∞ y f = F x = F (x1 , , xm ) . R una funci´ ∂f ∂F ∂F Probar que ∂xi = ∂ri x = ∂ri (x1 , , xm ) .
··· −→ 3.
→ ···
···
Vectores tangentes
Sea M una variedad diferenciable y p M . Recordemos que estamos utilizando la notaci´on C ∞ (M, p) = f : M R f es diferenciable y p Dom f . Notemos que si α R , f, g C ∞ (M, p) , entonces αf C ∞ (M, p) , f + g C ∞ (M, p) y f g C ∞ (M, p) .
∈ { → | ∈ } ∈ ∈ ∈ ∈ · ∈ Definici´ o n 3.1. Una aplicaci´ o n Λ: C ∞ (M, p) → R se dice que es lineal si verifica que Λ(αf + βg) = αΛf + β Λg para α, β ∈ R y f, g ∈ ∞ C (M, p) .
R una aplicaci´ Proposici´ on 3.1. Sea Λ: C ∞ (M, p) o n lineal. Si ∞ f, g C (M, p) coinciden en un entorno de p , entonces Λf = Λg .
→
∈
´ n. Supongamos Demostracio
que existe un entorno abierto U de p en M tal que U Dom f Dom g y f U = g U . N´otese que Dom(f f U ) = U y que f f U = 0 U = 0(0 U ) . Entonces Λ(f f U ) = Λ(0 U ) = Λ(0(0 U )) = 0Λ(0 U ) = 0 . Por lo tanto Λ(f ) = Λ(f U ) . An´alogamente se obtiene que Λ(g) = Λ(g U ) . Entonces Λ(f ) = Λ(g) .
|
|
⊂ ∩ − | | | |
|
|
|
− |
|
−
|
En C ∞ (M, p) podemos definir la siguiente relaci´ on. Dadas f, g ∞ C (M, p) , diremos que f tiene el mismo germen que g en p si existe un entorno abierto U de p en M tal que U Dom f Dom g y f U = g U . El cociente con las operaciones inducidas tiene una estructura natural de R-´algebra y ser´a denotado por C p∞ (M ) , donde llamamos R-´algebra A a un homomorfismo de anillos conmutativos con unidad R A . ∞ R factoriza de modo N´otese que un operador lineal Λ: C (M, p) ∞ ∞ R . natural del modo siguiente: Λ: C (M, p) C p (M )
∈
⊂
∩
→
→
|
|
→
→
Definici´ on 3.2. Sea M una variedad. Una derivaci´ on o vector tangente R que en un punto p M es una aplicaci´ o n lineal Λ: C ∞ (M, p) ∞ adem´as verifica la regla de Leibniz; es decir, que si f, g C (M, p) , entonces Λ(fg) = f ( p)Λ(g) + Λ(f )g( p) .
∈
∈
→
Ejemplo 3.1. Sea x una carta de una variedad M y p Dom x un R mediante la punto. Entonces podemos definir ∂x∂ i : C ∞ (M, p)
p
→
∈
3. VECTORES TANGENTES
f´ormula
∂ ∂x i
p
∂f ∂x i
f =
p
57
. Es inmediato comprobar que
vector tangente en el punto p de M .
∂ ∂x i
p
es un
R un vector tangente a M en Proposici´on 3.2. Sea Λ: C ∞ (M, p) ∞ el punto p . Si f C (M, p) es constante en un entorno de p , entonces Λf = 0 .
→
∈
´ n. Supongamos Demostracio
que existe un entorno abierto U de p en M tal que U Dom f y f U = c U , donde c denota la funci´on constante con valor c . Aplicando la proposici´on 3.1 se tiene que Λ(f ) = Λ(c) = Λ (c 1) = c Λ(1) . Por ser Λ una derivaci´on tenemos las igualdades Λ(1) = Λ(1 1) = 1 Λ(1) + Λ(1) 1 = 2Λ(1) . Esto implica que Λ(1) = 0 . Entonces Λ(f ) = c Λ(1) = 0 .
⊂
·
|
·
·
|
·
·
·
Si Λ y Λ son vectores tangentes en un punto p de una variedad M , entonces la suma Λ + Λ definida por la f´ormula (Λ + Λ )(f ) = Λ(f ) + Λ (f ) es tambi´en un vector tangente en el punto p . Tambi´en se tiene que si α R podemos definir αΛ por (αΛ)(f ) = α(Λ(f )) . De modo rutinario se comprueba que αΛ es de nuevo un vector tangente en el punto p . El conjunto de los vectores tangentes en un punto p de una variedad M con las operaciones anteriores tiene estructura de espacio vectorial real.
∈
Definici´ on 3.3. Denotaremos por T p M al espacio vectorial real de los vectores tangentes en el punto p de una variedad M . Diremos que T p M es el espacio tangente de la variedad en el punto p de M . Para estudiar la dimensi´ on de este espacio tangente utilizaremos el resultado siguiente: Lema 3.1. Sea x una carta de una variedad M diferenciable m-dimensional y p Dom x un punto tal que x( p) = a . Si f C ∞ (M, p) entonces existen h 1 , . . . , hm C ∞ (M, p) tal que f tiene el mismo germen que la funci´on
∈
∈
∈
m
f ( p) +
(xi
i=1
´ n. Tomemos Demostracio
− a )h i
i
la nueva carta y = x a que verifica que y( p) = 0 . Sea B una bola contenida en Dom(f y −1 ) y de centro y( p) = 0 y sea F = (fy −1 ) B . Para r = (r1 , , rm ) B aplicando la regla de Barrow se tiene
|
F (r1 ,
1 0
donde
···
··· , r ) − F (0, ·· · , 0) =
m m ∂F i=1 ri ∂r i
H i (r1,
· ·· , r
m)
(sr1 ,
=
− ∈
··· ,srm )
ds =
1 0
∂F ∂r i
1 dF (sr1 , ,srm ) ds = ds 0 m , rm ) i=1 ri H i (r1 ,
···
·· ·
ds
para (r ,
1 ··· ,srm ) B . Tomemos hi = H i y . Para cada q ∈ y −1 B se tiene que (sr1 ,
··· , r ) ∈ m
58
4. ESPACIO TANGENTE
f (q )
f y−1 (r) f y −1 (0) = F (r) F (0) m m = i=1 ri H i (r) = i=1 yi (q )H i y(q ) m = ( i=1 yi hi )(q ) = ( m ai )hi )(q ) . i=1 (xi
− f ( p) =
− ∈
− −
De donde se obtiene el resultado deseado.
Proposici´on 3.3. Sea x una carta de una variedad M y p Dom x . Entonces los vectores ∂x∂ i para i = 1, . . . m forman una base de p
T p M . Un vector tangente v
∈
T p M admite en dicha base la expresi´ on
v=
∂ ∂x i
v(xi )
i
.
p
´ n. Sea Demostracio
Λ una derivaci´on en el punto p de M . Supongamos que f es una funci´ on real definida en el punto p . Por el lema 3.1 y las proposiciones 3.1 , 3.2 se tiene que Λ(f ) = Λ(f ( p)+ i (xi ai )hi ) =
− i Λ(xi )hi ( p)
. En particular para el vector tangente
anterior determina que
∂f ∂x i
p
∂x j ∂x i
=
∂ ∂x i
p
(f ) . Por lo tanto Λ =
p
la f´ormula
h j ( p) = h i ( p) . Sustituyen-
p
do en la primera f´ ormula obtenemos que Λ(f ) = i Λ(xi )
∂ ∂x i
i Λ(xi )
∂ ∂x i
i Λ(xi )
p
∂f ∂x i
p
=
. Es decir, las
derivadas parciales en el punto p constituyen un sistema generador. Para ver que son independientes supongamos que 0 = λi ∂x∂ i . p
∂x j ∂x i
λi
Entonces 0 = 0(x j ) =
de vectores es independiente.
p
= λ j para cada j . Luego el sistema
Notemos que si x e y son dos cartas en el punto p , entonces el cambio de bases viene dado por
∂ ∂x i
Puesto que
p
=
∂y j ∂x i
p
j
=
∂y j ∂x i
∂ ∂y j
p
∂r j yx ∂r i
p
.
1
−
x( p)
la matriz del cambio de base es precisamente la matriz jacobiana J yx 1 (x( p)) . −
Problemas 3.1. Consideramos el subconjunto C s∞ (M, p) de C ∞ (M, p) dado por R que en alg´ las funciones f : M un entorno de p sean de la forma
−→
f = c +
f α gα
α
donde c es una funci´ on constante y el segundo t´ermino es una suma finita de funciones f α , gα de C ∞ (M, p) que verifican que f α ( p) = g α ( p) = 0.
´ TANGENTE 4. APLICACION
59
Demostrar que la aplicaci´on lineal Λ: C ∞ (M, p) ci´o n si y s´olo si es cero sobre C s∞ (M, p).
−→ R es una deriva-
R se anula sobre las Soluci´on: Supongamos que Λ: C ∞ (M, p) funciones de la forma indicada. En particular se tiene que la funci´ on ∞ f ( p)g( p)+(f f ( p))(g g( p)) = f g f ( p)g g( p)f est´a en C s (M, p) . Por lo tanto se tiene que Λ(fg f ( p)g g( p)f ) = 0 . Equivalentemente Λ(fg) = f ( p)Λ(g) + Λ(f )g( p) .
−
−
−
4.
− −
−
−
−→ −
Aplicaci´ on tangente
Sea p un punto de una variedad diferenciable M que est´ a en el dominio de una funci´ on diferenciable φ : M N . Entonces φ induce una aplicaci´on lineal T p φ : T p M T φ( p) N del modo siguiente: Si v es un vector tangente en p a M y f : N on diferenciable R una funci´ definida en p , entonces T p φ(v)(f ) = v(fφ) .
→
→
→
Definici´ on 4.1. Sea p un punto de una variedad diferenciable M que est´a en el dominio de una funci´on diferenciable φ : M N . Llamaremos a T p φ : T p M T φ( p) N la aplicaci´ on tangente a φ en el punto p y a veces diremos que es la derivada lineal de φ en el punto p . Adem´as de la notaci´on anterior tambi´en se utilizar´ a en algunas ocasiones T p φ = φ ∗ p .
→
→
N´otese que si x es una carta en p e y es un carta en φ( p) , entonces T p φ(v) = j T p φ (v)(y j )( ∂y∂ j φ( p) = j v(y j φ) ∂y∂ j φ( p) . En particular para v = ∂x∂ i p se obtiene
T p φ
∂ ∂x i
p
=
j
∂ (yj φ) ∂x i
p
∂ ∂y j
φ( p)
1
−
yj φ) Teniendo en cuenta que ( ∂ (∂x = ∂ (yj∂rφxi ) x( p) se tiene que la matriz p i lineal de T p φ respecto a las bases asociadas a las cartas x e y , que llamaremos matriz jacobiana de φ en el punto p y denotaremos por J φy,x ( p) , es la siguiente
J φy,x ( p) =
∂ (yj φ) ∂x i
p
1)
−
∂ (yj φx ∂r i
=
x( p)
= J yφx 1 (x( p)) −
que coincide con la matriz jacobiana de yφx−1 en el punto x( p) . Rm es diferenciable y r est´ Recordemos que si F : Rn a en su dominio, entonces la matriz jacobiana de F en el punto r respecto las coordenadas can´ onicas es precisamente la matriz de la aplicaci´ on lineal DF r .
→
Proposici´ on 4.1. La aplicaci´on tangente verifica las siguientes propiedades: (i) Si φ : M N y ψ : N Q son funciones diferenciables y p est´a en el dominio de ψφ , entonces T p (ψφ) = T φ( p) ψ T p φ . (ii) Sea U un abierto de una variedad M y sea p U . Entonces T p (id U ) = idT p M .
→
|
→
∈
60
4. ESPACIO TANGENTE
´ n. Demostracio
Sea v una derivaci´on en el punto p y f una funci´on diferenciable real definida en el punto p . Entonces T p (ψφ) (v)(f ) = v(f ψφ) = T p φ (v)(fψ) = (T φ( p) ψ T p φ) (v)(f ) . De aqu´ı se concluye que T p (ψφ) = T φ( p) ψ T p φ . Para la segunda parte se tiene que T p (id U )(v)(f ) = v(f id U ) = v(f U ) = v(f ) = idT p M (v)(f ) .
|
|
|
Ejemplo 4.1. Sea σ : R M una funci´on diferenciable. Si s Dom σ , se llama vector velocidad de la curva en el punto s al vector tangente en σ(s) a M dado por T s σ ddt s . Si A es un espacio vectorial y a A , se puede definir un isomorfismo can´onico θa : A T a A del modo siguiente para cada v A consideremos la curva σ v (t) = a + tv , entonces se toma θa (v) = (T 0 σ v ) ddt 0 .
→
→
∈
∈
∈
Recordemos que si T p φ : T p M T φ( p) N es una aplicaci´on lineal, llamamos rango de T p φ a la dimensi´on de la imagen de la aplicaci´on lineal (V´ease definici´ on 3.5 del cap´ıtulo 1).
→
Definici´ on 4.2. Sea φ : M N una aplicaci´on diferenciable y p un punto de su dominio. Llamaremos rango de φ en p precisamente al rango de T p φ .
→
Es conveniente tener en cuenta que para la aplicaci´ on lineal T p φ : T p M T φ( p) N la suma de su rango y la dimensi´on de su n´ ucleo es igual a la dimensi´on del espacio vectorial T p M (V´ease poposici´on 3.1 del cap´ıtulo 1). Utilizaremos el siguiente teorema de la funci´ on inversa para probar una versi´on similar para variedades.
→
Teorema 4.1. Sea r un punto del dominio de una funci´ on C ∞ , Rm . Entonces la diferencial Dhr de h en r es un isomorh : Rm fismo si y s´olo si existe un entorno abierto V de r tal que h V es un difeomorfismo.
→
|
Para variedades diferenciables se tiene la siguiente versi´on: Teorema 4.2. (Funci´on inversa) Sea p un punto del dominio de una funci´on diferenciable φ : M N . La aplicaci´on tangente T p φ es un isomorfismo si y s´olo si existe un entorno abierto U de p tal que φ U es un difeomorfismo.
→
|
´ n. Supongamos Demostracio
que φ U es un difeomorfismo. Entonces T p (φ U ) es un isomorfismo. Ahora bien en f´acil comprobar que T p (φ U ) = T p φ , por lo que T p φ es un isomorfismo. Rec´ıprocamente si T p φ es un isomorfismo, entonces m =dimM = dimN = n . Sean x e y cartas en p y en φ( p) , respectivamente. La matriz jacobiana de φ en el punto p , que es la matriz jacobiana de yφx−1 en x( p) , es inversible. Entonces existe un entorno abierto V de x( p) contenido en el dominio de yφx −1 tal que (yφx −1 ) V es un difeomorfismo. Sea U = x−1 V y consideremos φ U . N´otese que φ U = y−1 ((yφx−1 ) V )x , por lo que φ U es un difeomorfismo.
|
|
|
|
|
|
|
|
´ TANGENTE 4. APLICACION
61
Definici´ on 4.3. Sea φ : M N una aplicaci´on diferenciable y p un punto de su dominio. Se dice que φ es un difeomorfismo local en el punto p si existe un entorno abierto U de p tal que φ U es un difeomorfismo. Si φ es un difeomorfismo local en todos los puntos de su dominio diremos que φ es un difeomorfismo local .
→
|
Dadas dos variedades M y N de dimensiones m y n , en el producto cartesiano M N se puede dar una estructura de variedad (m + n)dimensional tomando como atlas la familia de cartas x y donde x es carta de M e y es carta de N . N´otese que el cambio de cartas viene dado por (x y )(x y)−1 = x x−1 y y−1 , que claramente es una funci´on C ∞ .
×
×
{ × |
}
×
×
Proposici´on 4.2. Sean M y N variedades, φ : M N M y ψ : M N N las proyecciones can´ onicas. Sea ( p, q ) un punto de M N y denotemos por φ∗ = T ( p,q) φ y ψ∗ = T ( p,q) ψ . Entonces la aplicaci´on lineal (φ∗ , ψ∗ ) : T ( p,q) (M N ) T p M T q N es un isomorfismo.
× →
→
×
→
´ n. Sean Demostracio
×
×
⊕
iq : M M N , i p : N M N las inclusiones definidas por iq ( p ) = ( p , q ) , i p (q ) = ( p, q ) . Sea la aplicaci´on ξ : T p M T q N T ( p,q) (M N ) dada por ξ (u, v) = (iq )∗ u + (i p )∗ v , donde (iq )∗ = T p iq , (i p )∗ = T q i p . N´otese que (φ∗ , ψ∗ )ξ (u, v) = (φ∗ , ψ∗ )((iq )∗ u + (i p )∗ v) = (φ∗ ((iq )∗ u + (i p )∗ v), ψ∗ ((iq )∗ u + (i p )∗ v)) = (φ∗ (iq )∗ u + φ∗ (i p )∗ v, ψ∗ (iq )∗ u + ψ∗ (i p )∗ v) = ((φiq )∗ u + (φi p )∗ v, (ψi q )∗ u + (ψi p )∗ v) = (u, v) , donde hemos utilizado la proposici´ on 4.1 y el hecho de que la aplicaci´ on tangente en un punto de una aplicaci´ on constante es nula. Consecuentemente, la aplicaci´ on lineal (φ∗ , ψ∗ ) entre espacios vectoriales de la misma dimensi´on es suprayectiva, lo que implica que es un isomorfismo.
⊕
→ × ×
→
→ ×
Proposici´ on 4.3. Sea ( p, q ) un punto del producto M N y sean φ : M N M y ψ : M N N las proyecciones can´ onicas e iq : M M N , i p : N M N las inclusiones definidas por iq ( p ) = ( p , q ) , i p (q ) = ( p, q ) . Si ( p, q ) est´a en el dominio de una funci´on diferenciable f : M N L , entonces para w T ( p,q) (M N ) se tiene que
× → → ×
× → → × × →
×
∈
×
T ( p,q) f (w) = T p (f iq )T ( p,q) φ(w) + T q (fi p )T ( p,q) ψ(w) ´ n. Aplicando Demostracio
la proposici´ o n anterior se tiene que w = (iq )∗ φ∗ (w) + (i p )∗ ψ∗ (w) . Entonces f ∗( p,q) (w) = (fiq )∗ φ∗ (w) + (f i p )∗ ψ∗ (w) .
62
4. ESPACIO TANGENTE
Problemas 4.1. Sean φ, ψ : M N funciones diferenciables que coinciden en alg´ un entorno de p . Demostrar que T p (φ) = T p (ψ).
−→
Soluci´o n: Sabemos que existe un entorno abierto U del punto p tal que f U = g U . Entonces, T p (f U ) = T p (f id U ) = T p (f )T p (id U ) = T p (f ) idT p M = T p (f ) y an´alogamente T p (g U ) = T p (g) . Entonces T p (f ) = T p (g) .
|
|
|
|
|
|
4.2. Si φ : M N es una aplicaci´on constante en alg´ un entorno de un punto p M , demostrar que T p (φ) es la aplicaci´on nula.
∈
−→
4.3. Sean A y B dos espacios vectoriales reales de dimensi´on finita y φ: A B una aplicaci´on lineal. Dado un vector a A, demostar que para todo v A se verifica
−→
∈
∈
T aφ(θa v) = θ φ(a) (φ(v)) Es decir, que salvo isomorfismos can´onicos la aplicaci´on tangente de una aplicaci´on lineal es ella misma. Soluci´on: Sea σ : R M una funci´ on diferenciable. Si s Dom σ , se llama vector velocidad de la curva en el punto s al vector tangente en σ(s) a M dado por T s σ ddt s . Si A es un espacio vectorial y a A , se puede definir un isomorfismo can´onico θ a : A T aA del modo siguiente: para cada v A consideremos la curva σ v (t) = a + tv , entonces se toma θa(v) = T 0 (σ v ) ddt 0 . Notemos que
→
→
∈
∈
∈
φσ v (t) = φ(a) + tφ(v) = σ φ(v) (t) T a φ(θa v) = T a φ T 0σ v ddt 0 = T 0 (φσ v ) ddt = T 0 (σ φ(v) ) ddt 0 = θ φ(a) (φ(v))
Por lo tanto T aφ θa = θ φ(a) φ .
0
4.4. Si M es el hiperboloide de dos hojas, demostrar que la inyecci´ on 3 R tiene rango dos en todo punto. natural j : M
−→
Soluci´o n: El hiperboloide de dos hojas tiene por ecuaci´ on. r12 r22 r32 1 = 0 . Consideremos el atlas dado por x+ , x− de modo que Dom x+ = (r1 , r2 , r3 ) M r1 > 0 , Dom x− = (r1 , r2 , r3 ) M r1 < 0 y est´an definidas por x+ (r1 , r2, r3 ) = (r2 , r3) y x− (r1 , r2 , r3 ) = (r2 , r3 ) . 1 2 2 1 Entonces idR2 jx− ız + (a, b) = ((1+ a + b ) 2 , a , b) que tiene por matr´ jacobiana
− − { }
−
∈ |
J (a, b) =
}
a
{
b
1 (1+a2 +b2 ) 2
1 (1+a2 +b2 ) 2
1 0
0 1
∈ |
´ TANGENTE APLICACI ON
63
que evidentemente tiene rango dos. Para la otra carta se obtiene la misma matriz salvo que hay que considerar signo negativo en las raices cuadradas. Nota. Admitiendo probados los resultados del cap´ıtulo 5, la soluci´on es inmediata. La fibras de una submersi´ on son subvariedades regulares. 4.5. Si f C ∞ (M, p) y v siendo a = v(f ).
∈ T (M ), demostrar que T (f )(v) = a
∈
p
p
∂ , ∂t f ( p)
4.6. Demostrar que dos variedades difeomorfas tienen la misma dimensi´on. 4.7. Demostrar que la funci´ on f : S 2 punto z S 2 el 1-plano (la recta) de difeomorfismo local.
∈
2
−→ P (R) que asocia a cada R3
determinada por z , es un
Soluci´on: Utilizando resultados del cap´ıtulo 5 se pueden dar soluciones m´as elaboradas utilizando t´ecnicas de secciones locales o de grupos de transformaciones. Sin embargo aqu´ı vamos a calcular directamene la matriz jacobiana y su rango. Lo haremos respecto una pareja de cartas y de modo an´ a logo se procede en el resto de los ca2 sos. Sea p = (r1 , r2 , r3 ) S con r1 > 0 y tomemos la carta x en p tal que x(r1 , r2 , r3 ) = (r2 , r3 ) y la carta y en [(r1 , r2 , r3 )] definida por y[(r1 , r2 , r3)] = ( rr21 , rr31 ) . Entonces si a2 + b2 < 1 se tiene
∈
yf x−1 (a, b) = yf ((1 (
2
2
−a −b ) a
1 2
, a , b) = y[((1 b
1 ,
(1 a2 b2 ) 2 (1 Por tanto la matriz jacobiana ser´ a
− −
J (a, b) =
2
− 3 (1−a2 −b2 ) 2 ab
− −b2) 32
(1
cuyo determinante es no nulo:
a2
det(J (a, b)) =
2
−a −b )
1 b2
2
2
−a −b ) 1 2
1 2
, a , b)] =
)
ab
− − 3 − 3 (1−a2 −b2 ) 2 (1 a2 b2 ) 2 1 a2
1 (1
2
2 2
−a −b )
Por lo que f es un difeomorfismo local. 4.8. Demostrar que la funci´on f : es un difeomorfismo local.
R
1
−→ S definida por f (s) = (sen 2πs, cos2πs)
4.9. Sea a un n´ umero real mayor que cero. Consideramos el difeomorfismo n+1 R λa : Rn+1 0 0 definida por λa (z ) = az , que satisface la condici´on σλ a = σ, siendo σ:
R
\ { } −→
\{ }
n+1
n
\ {0} −→ S
64
4. ESPACIO TANGENTE
la aplicaci´on dada por σ(z ) = |zz | . Deducir que σ tiene en todos los puntos rango n. 4.10. Sabemos que las variedades M 1 y M 2 definidas sobre el subespacio H de R2 que consiste de los puntos (x, 0) (x R), junto con el punto (0, 1) que vienen definidas por los siguientes atlas: Sean U = (x, 0) x (0, 1) . El atlas de M 1 est´a formado por R y U 1 = (x, 0) x = 0 R definida de la siguiente manera, α(x, 0) = x y las cartas, α : U R dada por α1 ((x, 0)) = x , α1 (0, 1) = 0 . El atlas de M 2 α1 : U 1 por las cartas: α : U R definida por α(x, 0) = x y α2 : U 1 R 3 dada por α2 ((x, 0)) = x , α2 (0, 1) = 0 . Demostrar que estas dos variedades no son difeomorfas pero inducen la misma topolog´ıa en el conjunto H .
}
{
−→
| }{
−→
∈
{
}
−→
| ∈
−→
R dada por f (x, 0) = x , Soluci´on: Considerar la funci´on f : M 1 F (0, 1) = 0 . Es facil ver que f es diferenciable y tiene rango 1. R es una funci´ Veamos que si g : M 2 on global y diferenciable, entonces g tiene rango 0 en el punto (0, 0) . Sea G = gα−1 , G2 = gα2−1 . En R 0 se tiene que
→
→
\{ }
G = gα−1 = Ggα2−1 α2 α−1 . Entonces se verifica que G(x) = G2 (x3 ) . Las derivadas satisfacen la relaci´on G (x) = 3x2 G2 (x3 ) para x = 0 . Puesto que son continuas se obtiene que G (0) = l´ım x→0 G (x) = 0 . De aqu´ı se sigue que g tiene rango cero en (0, 0) . Supongamos que existe un difeomorfismo global φ : M 2 M 1 . Se R tiene tiene que φ tiene rango 1, por lo que la composici´on f φ : M 2 R tiene rango rango 1. Esto contradice el hecho de que toda g : M 2 cero en (0, 0) . Por lo tanto M 1 y M 2 no son difeomorfas.
→
→ →
Cap´ıtulo 5
SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE El rango de una funci´ on diferenciable tiene especial inter´ es si coincide con la dimensi´ on de la variedad inicial o de la variedad final. En el caso que el rango coincida con ambas se trata de un difeomorfismo local. 1.
Inmersiones
Definici´ on 1.1. Una funci´on f : M N se dice que es una inmersi´ on en un punto p de su dominio, si el rango de f en p coincide con la dimensi´on de M . Si f es inmersi´on en todos los puntos de su dominio diremos que f es una inmersi´ on . Cuando el dominio de f es M se dice que f es una inmersi´ on global . Si f es una inmersi´on global inyectiva se dice que f es un encaje . Si f : M f (M ) es tambi´en un homeomorfismo, diremos que f es un encaje regular . En este u ´ ltimo caso si adem´as f es una inclusi´o n se dice que M es subvariedad y respectivamente subvariedad regular de N .
→
→
Ejemplo 1.1. Para cada n m tenemos la descomposici´ on can´ onica n m n−m m m n−m R =R R R R y la inclusi´on inducida in: R definida por in(r) = (r, 0) . La matriz jacobiana de la inclusi´on es de la forma
≥
×
→
J id (r) =
×
id 0
que tiene rango m . Por lo que in es una inmersi´ on. Rn es diferenciable. Si g Lema 1.1. Sea a Dom g donde g : Rm tiene rango m en a , entonces existe un difeomorfismo h : Rn Rn de modo que la funci´on hg coincide con r (r, 0) en un entorno abierto de a .
∈
→
→
´ n. Demostracio
→
Si g tiene rango m en a , entonces existen 1 ∂g σ1 < σ2 < < σm n tal que det ∂rσji a = 0 , i 1, ,m . Podemos extender σ : 1, ,m 1, , n a una permutaci´ on n n σ : 1, ,n 1, , n y definir θ : R ormula R mediante la f´ θ(r1 , , rn ) = (rσ1 , , rσn ) . Notemos que det ∂ (∂rθg)j i a =
· ··
≤ { ··· } → { ·· · } { ··· } → { ··· } → ··· ··· det = 0.
∂g σi ∂r j a
65
≤ ∈ { ··· }
66
5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
Rn dada por ϕ(r, s) = Consideremos la funci´ on ϕ : Rm Rn−m i θg(r) + (0, s) . Entonces se tiene que det ∂ϕ = 0 . Aplican∂r j (a,0) do el teorema de la funci´ on inversa podemos asegurar que existe una n m n−m f : R tal que Codom f = U V con U entorno abierR R to de a contenido en Dom(θg) y V entorno abierto de 0 y adem´ as − 1 ϕ U ×V = f . Tomemos h = fθ . Para r U tenemos hg(r) = fθg(r) = f (θg(r) + (0, 0)) = f ϕ(r, 0) = (r, 0) .
×
→
×
→ ×
|
∈
Proposici´ on 1.1. Si f : M N es una inmersi´on en un punto p , entonces existen cartas x, y de M y N en p y f ( p) , respectivamente, tal que yf x−1 (r) = (r, 0) para r Dom(yf x−1) .
→
∈
´ n. Sea Demostracio
x¯ una carta de M en p y sea y¯ una carta de N en f ( p) , entonces y¯f ¯ x−1 es una inmersi´ o n en el punto x¯( p) . El lema 1.1 asegura la existencia de un difeomorfismo h de Rn tal que para cada r Dom(h¯ yf ¯ x−1 ) se tiene que h¯ yf ¯ x−1 (r) = (r, 0) . Tomemos y = h¯ y y x = x¯ . Entonces si r Dom(yf x−1 ) se obtiene que yf x−1 (r) = (r, 0) .
∈
∈
Corolario 1.1. Supongamos que p est´a en el dominio de una funci´on diferenciable f : M N . Entonces f es una inmersi´on en p si y s´olo si existe un entorno abierto U de p y una funci´ on diferenciable π : N M tal que π(f U ) =id U .
→ |
|
→
´ n. Supongamos Demostracio
que f es una inmersi´on en p . Entonces por la proposici´ on anterior, existen cartas x en p e y en f ( p) 1 − tal que yf x (r) = (r, 0) . Consideremos la descomposici´ on Rn = Rm Rn−m y sea pr: Rn Rm la proyecci´ o n natural. Sea U = 1 1 − − Dom x f (Dom y) y π = x pr y . Entonces π(f U ) = x −1 pr y(f U ) = x −1 pr y(f U )x−1 x = x −1 id x(f 1 (Dom y)) x = id U . Rec´ıprocamente, si π(f U ) =id U , entonces (T f ( p) π)T p (f U ) =idT p M . Luego T p (f U ) = T p (f ) es un monomorfismo. Por lo tanto f es una inmersi´o n en p .
×
∩
|
|
|
→ |
|
|
−
|
|
|
Proposici´on 1.2. Sea f : M N una inmersi´on global y sea g : L M una funci´on continua. Entonces si f g es diferenciable se tiene que g es diferenciable.
→
´ n. Demostracio
→
Sea p Dom g . Por ser f una inmersi´o n en g( p) , aplicando corolario 1.1, existe V entorno abierto de g( p) y existe π : M N tal que π(f V ) =id V . Por ser g continua U = g −1 V es un entorno abierto de p . Entonces g U =(id V )(g U ) = π(f V )(g U ) = π(fg U ) . Por ser (fg U ) diferenciable se obtiene que g U es diferenciable. Luego g es diferenciable en cada punto de su dominio. Por lo tanto g es diferenciable.
∈
→
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Proposici´on 1.3. Sea f : M N un encaje regular y sea g : L M una funci´ on. Entonces si fg es diferenciable se tiene que g es diferenciable.
→
→
INMERSIONES
67
que g = f −1 (fg) . Entonces fg es continua por ser diferenciable y puesto que f es un encaje se tiene que f −1 es continua considerandola como una aplicaci´ on de f (M ) , con la topolog´ıa traza, en M con la topolog´ıa inducida por su estructura de variedad. Puesto que la composici´ on de aplicaciones continuas es continua, se tiene que g es continua. Aplicando la proposici´ on anterior se concluye que g es diferenciable. ´ n. Notemos Demostracio
Obs´ ervese que un encaje de una variedad compacta en una Hausdorff es un encaje regular. Observaci´ on 1.1. Existe un notable teorema que asegura que dada una variedad compacta Hausdorff de dimensi´ on m se puede encajar 2m regularmente en R . Una versi´on del teorema anterior puede verse en la secci´on 6 del cap´ıtulo 5 del [5] . Whitney[42] prob´o una versi´ on m´as general para variedades Hausdorff y segundo contables probando que exist´ıa un encaje regular en R2m+1 . Despu´es en [43] demostr´o que se pod´ıa cambiar R2m+1 por R2m . Problemas 1.1. Sea W un subespacio de un espacio vectorial V de dimensi´on finita. Cuando se dan en ambos sus estructuras C ∞ est´andar, demostrar que W es una subvariedad regular de V . 1.2. Considerar las funciones globales c1 , c2 : R R2 definidas por c1 (s) = (sen 2s, sen s) y c2 (s) = (cos 2s, cos s). a) Determinar si son inmersiones. b) Representar gr´ aficamente los conjuntos imagen de las aplicaciones anteriores. R2 es un encaje que no es regular. c) Probar que c1 (0,2π) : (0, 2π)
−→
|
→
R3 defini1.3. Determinar los puntos en los que la funci´on ψ : R2 da por: ψ(r1 , r2 ) = (cos r2 cos r1 , cos r2 sen r1 , sen r2 ) es una inmersi´on. Representar gr´ aficamente el conjunto imagen de la aplicaci´ on anterior. V´ease figura 1
−→
Los par´ ametos (r1 , r2 ) se denominan coordenadas esf´ericas, normalmente a r2 [ π2 , π2 ] se le llama latitud y a r1 [ π, π] longitud.
∈ −
∈ −
1.4. Determinar los puntos en los que la funci´ on ψ : R2 R3 definida por: ψ(r1, r2 ) = (r2 cos r1 , r2 sen r1 , r2 ) es una inmersi´ on. Representar gr´aficamente el conjunto imagen de la aplicaci´ on anterior. V´ease figura 2
−→
Soluci´on: La matriz jacobiana
−
r2 sen r1 cos r1 r2 cos r1 sen r1 0 1
68
5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
Figura 1. Esfera
de dimensi´ on dos
Figura 2. Cono
tiene rango dos para r2 = 0 y rango uno para r2 = 0 . Por lo tanto la aplicaci´on es una inmersi´on en (r1 , r2 ) r2 = 0 .
{
| }
1.5. Determinar los puntos en los que la funci´ on ψ : R2 R3 definida por: ψ(r1 , r2) = (0, cos r1 , sen r1 ) + r 2 (cos r21 , sen r21 cos r1 , sen r21 sen r1 ) es una inmersi´ on. Probar que ψ no es una aplicaci´ on inyectiva. Representar gr´ aficamente el conjunto imagen de la aplicaci´ on anterior. V´ease figura 3 1.6. Demostrar que la funci´ on f :
R
−→ R
3
−→
dada por
f (t) = (cos 2πt, sen2πt,t) es una inmersi´ on. Representar gr´ aficamente el conjunto imagen de la aplicaci´on anterior.V´ease figura 4 Soluci´on: La matriz jacobiana
−
2π sen2πt 2π cos2πt 1
INMERSIONES
Figura 3. Banda -1 1 -0.5 0.5 . 0 0
69
de M¨obious 0.5
1
-0.5 -1 1 2
1
0
-1
-2
elice Figura 4. H´ tiene rango uno en todos los puntos . Por lo tanto la aplicaci´ on es una inmersi´on. Tambi´ en es global e inyectiva; es decir, es un encaje. R2 definidas por: 1.7. Demostrar que las funciones f, g : (1, ) f (t) = (( 1t )cos2πt, ( 1t )sen2πt) y g(t) = ( t+1 cos2πt, ( t+1 ) sen 2πt) 2t 2t son inmersiones. Representar gr´ aficamente los conjuntos imagen de las aplicaciones anteriores.
∞ −→
Soluci´on: La matriz jacobiana de f es la siguiente 1 t2
−
−
−
cos2πt 2πt sen2πt sen2πt + 2πt cos2πt
tiene rango uno en todos los puntos . Notemos que la norma del vector 2 anterior es 1+(2πt) , que es mayor que cero. Por lo tanto la aplicaci´on 2 t es una inmersi´on global e inyectiva; es decir, es un encaje. Denotemos por A(t) = t+1 La matriz jacobiana de g es la siguiente 2t dA(t) dt
cos2πt sen2πt
+ 2πA(t)
− sen2πt cos2πt
70
5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
El rango sera uno salvo en los puntos tales que A(t) = 0 y dA(t) =0. dt Puesto que t = 1 el sistema anterior no tiene soluci´ on se obtiene que la aplicaci´on g es una inmersi´ on global e inyectiva; es decir, es un encaje.
1.8. Si ψ : M N es una inmersi´on y ψ : M N es una funci´ on diferenciable, demostrar que (ψ, ψ ) : M N N es una inmersi´on.
−→
−→ −→ ×
−→ N y φ : M −→ N son inmersiones, demostrar que × × −→ N × N es tambi´en una inmersi´on. 1.10. Sea M el siguiente subconjunto de R : M = (R × {0}) (R × {1}). Consideramos el atlas sobre M formado por las siguientes cartas: x : M −→ R dada por x(s, 0) = s y x : M −→ R dada por x (s, 1) = s. Sean ahora φ : R −→ M definida por φ(s) = (s, 1) si s = 0 y φ(0) = (0, 0) y ψ : M −→ R definida por ψ(s, 1) = ψ(s, 0) = s. 1.9. Si ψ : M ψ φ : M M
2
1
1
Demostrar que ψ es una inmersi´ on, ψφ es diferenciable pero φ no es diferenciable.
1.11. Definir una estructura C ∞ sobre el conjunto de las matrices sim´etricas de tal forma que sea una subvariedad regular de M (n, R). ¿Forman las matrices sim´etricas un conjunto abierto de M (n, R)? Soluci´on: Denotemos por S (n, R) el conjunto de matrices sim´etricas que es un subconjunto de M (n, R) . Con el objetivo de dar una estructura de variedad diferenciable a S (n, R) notemos que para cada entero s 1 existen un u ´nico i 1 y j 1 tales que s = 1+2+3+ +(i 1)+ j . De modo an´ alogo, para cada entero t 1 existen u ´ nicos enteros k 1 y l 1 tales que t = (k 1)n + l . Recordemos que la biyecci´ on 2 Rn definida por xs ((aαβ )) = a kl . x : M (n, R) n(n+1) R 2 Definamos ahora la biyecci´ on y : S (n, R) definida por ys ((aαβ )) = aij . Denotemos por in: S (n, R) M (n, R) la inclusi´on can´onica, entonces se tiene que para t = (k 1)n + l
≥
≥
→
t
x in =
≥ −
≥ ··· − ≥
≥
y1+···+(l−1)+k y1+···+(k−1)+l
→ → − si k ≤ l si l ≤ k
Por lo tanto x in es diferenciable y tambi´ en lo sera in = x −1 x in . De modo an´alogo se ve que la aplicaci´on τ : M (n, R) S (n, R) , t definida por τ (A) = A+A , es diferenciable, donde A t denota la matriz 2 transpuesta. De la igualdad τ in = id se desprende que S (n, R) es una subvariedad regular. Excepto para n = 1 la dimensi´o n de S (n, R) es estrictamente menor que la de M (n, R) , entonces para n > 1 no puede ser un abierto.
→
1.12. Demostrar que con cualquiera de las dos estructuras de variedad diferenciable de que se ha dotado a la figura Ocho, ver problema 1.3 del cap´ıtulo 3 , es una subvariedad de R2
INMERSIONES
71
1.13. Sea M una subvariedad de M y M una subvariedad de M . Demostrar que M es subvariedad de M . 1.14. Recordemos que una inyecci´ on φ : M N induce una estruc∞ tura C en su rango φ(M ). Si φ es una inmersi´ on, demostrar que φ(M ) es una subvariedad de N difeomorfa a M .
−→
1.15. Encontrar un encaje regular del toro S 1 S 1 en R3 . V´ease figura 5
×
Figura 5. Toro
R3 definida por Soluci´on: Definamos la aplicaci´on E : R2 E (φ, ψ) = (2 cos 2πφ, 2sen2πφ, 0) + (cos 2πψ cos2πφ, cos2πψ sen2πφ, sen2πψ) = = (2 cos2πφ+cos2πψ cos2πφ, 2sen2πφ+cos2πψ sen2πφ, sen2πψ) ´ Esta es diferenciable y su matriz jacobiana se comprueba que tiene rango dos. Por lo tanto la aplicaci´on es una inmersi´on. Si consideramos el difeomorfismo local pr: R2 (S 1 )2 se tiene que E factoriza a trav´es de dicho cociente para determinar el encaje buscado. Notemos que el encaje es regular ya que la aplicaci´ on inducida es una inyecci´on continua de una variedad compacta en una variedad Hausdorff.
→
→
1.16. Consideremos el toro T encajado regularmente en R3 tal como hemos visto en el problema anterior. Probar que la aplicaci´ o n que a cada punto del toro le hace correspondes su vector ortogonal normal (exterior) es una aplicaci´ on diferenciable de T en S 2 . R definida por: f (r1 , r2 , r3 ) = (r12 + r22 1.17. La funci´ on f : R3 1) determina en f −1 (0) una estructura de subvariedad regular S (cilindro circular). R2 es la inclusi´ Si t es la funci´on identidad en R y si j : S 1 on natural, demostrar que j t es una inmersi´ on cuya imagen es S . Deducir 1 que S R es difeomorfa al cilindro circular.
−→
×
×
−
−→
72
5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
1.18. Sea M 1 una subvariedad de M que est´ a contenida en una sub variedad regular M de M . Demostar que M 1 es una subvariedad de M . 1.19. Demostrar que una subvariedad conexa de M es necesariamente un subconjunto conexo de M . Encontrar una subvariedad de R2 que no sea conexa y que sin embargo sea un subconjunto conexo de R2 . 1.20. Demostrar que una subvariedad compacta de M es necesariamente un subconjunto compacto de M . Usar la figura Ocho, ver problema 1.3 del cap´ıtulo 3 , para dar un ejemplo de una subvariedad de R2 que no es compacto aunque es un subconjunto compacto de R2 . 1.21. Demostrar que una componente de una variedad M es una subvariedad conexa de M . 1.22. Sea f :
R2
−→ R
3
la aplicaci´on definida por
f (θ, φ) = (cos φ cos θ, cos φ sen θ, φ) a) Encontrar los puntos en los que f es una inmersi´on. b) Probar que Imf no admite una estructura de variedad de modo que la inclusi´on Imf R3 sea un encaje regular.
⊂
1.23. Considerar la aplicacion g : S 1 R on disjunta de R2 de la reuni´ una circunferencia y una recta en el plano, definida por g S 1 =inclusi´on y g(t) = (1 + et )(cos t, sen t). Contestar razonadamente si g es o no es un encaje regular.
→
2.
|
Submersiones
Definici´ on 2.1. Una funci´on f : M N se dice que es una submersi´ on en un punto p de su dominio, si el rango de f en p coincide con la dimensi´o n de N . Si f es una submersi´o n en todos los puntos de su dominio diremos que f es una submersi´ on . Cuando el dominio de f es M diremos que f es una submersi´ on global . Si f es una submersi´ on global suprayectiva diremos que N es un f -cociente de M . Diremos que N es un cociente de M si existe una submersi´on global suprayectiva de M en N .
→
on can´ onica Ejemplo 2.1. Para cada m n tenemos la descomposici´ m n m−n n m−n R =R R y la proyecci´on can´ onica inducida pr1 : R R n R definida por pr1 (r1 , r2 ) = r 1 . La matriz jacobiana de la proyecci´ on es de la forma J pr1 (r1 , r2 ) = id 0
×
≥
×
que tiene rango n . Por lo que pr1 es una submersi´on.
→
2. SUBMERSIONES
73
Rn es diferenciable. Si g Lema 2.1. Sea a Dom g donde g : Rm Rm de tiene rango n en a , entonces existe un difeomorfismo h : Rm modo que la funci´on gh coincide con la proyecci´ on (r1 , r2 ) r 1 en un − 1 entorno abierto de h (a) .
∈
´ n. Demostracio
→
Si g tiene rango n en a , entonces existen 1 m tal que det ∂r∂gσi a = 0 . Podemos exten-
· ·· ≤ { · ·· } → { ··· } { · ·· } → ··· σ1 < σ2 <
< σn
→ →
j
≤ { · ·· } → · ·· ∈ { · ·· } × ∈
der σ : 1, ,n 1, , m a una permutaci´ on σ : 1, ,m m m R mediante la f´ 1, , m y definir θ : R ormula θ(r1 , , rm ) = (rσ1 , , rσm ) . N´otese que det ∂ (∂rgθ)j i θ 1 a = det ∂r∂gσi a = 0 , i, j 1, ,n . −
j
Rn Rm−n dada por ϕ(r) = Consideremos la funci´ on ϕ : Rm i (gθ(r), pr2 (r)) . Entonces se tiene que det ∂ϕ = 0 , i, j ∂r j θ 1 a 1, , m . Aplicando el teorema de la funci´on inversa podemos asegurar que existe una f : Rn Rm−n Rm tal que Codom f es un entorno abierto de θ−1 a contenido en Dom(gθ) y adem´as ϕ Codom f = f −1 . Tomemos h = θf . Para (r1 , r2 ) Dom f tenemos gh(r1 , r2 ) = gθf (r1 , r2 ) = pr1 ϕf (r1 , r2) = r 1 .
→
−
{ · ·· }
×
→ ∈
|
Proposici´on 2.1. Si f : M N es una submersi´ on en un punto p , entonces existen cartas x, y de M y N en p y f ( p) , respectivamente, tal que yf x−1 (r1 , r2 ) = r 1 para (r1 , r2 ) Dom(yf x−1 ) Rn Rm−n .
→
∈
´ n. Sea Demostracio
⊂ ×
x¯ una carta de M en p y sea y¯ una carta de N en f ( p) . Entonces y¯f ¯ x−1 es una submersi´ o n en el punto x ¯( p) . El m lema 2.1 asegura la existencia de un difeomorfismo h de R tal que para cada (r1 , r2 ) Dom(¯ yf ¯ x−1 h) se tiene que y¯f ¯ x−1 h(r1 , r2 ) = r1 . Tomemos y = y¯ y x = h−1 x¯ . Entonces si (r1 , r2 ) Dom(yf x−1 ) se obtiene que yf x−1(r1 , r2 ) = y¯f ¯ x−1 h(r1, r2 ) = r 1 .
∈
∈
Corolario 2.1. Supongamos que p est´a en el dominio de una funci´on diferenciable f : M N . Entonces f es una submersi´ on en p si y s´olo si existe una funci´on diferenciable s : N M definida en f ( p) tal que fs =id Dom s y sf ( p) = p .
→
→
|
´ n. Demostracio
Si f es una submersi´ o n en p , entonces existen cartas x, y de M y N en p y f ( p) , respectivamente, tal que yf x−1 (r1 , r2 ) = r 1 para (r1, r2 ) Dom(yf x−1 ) Rn Rm−n . SuponRn la proyecci´ gamos que x( p) = (a, b) y sea pr: Rn Rm−n on n m can´onica, denotemos por ib : R on ib (r1 ) = (r1 , b) . R la aplicaci´ 1 Sea el entorno abierto de yf ( p) = a dado por W = i− b (x(Dom f )) Codom y , sea S = ib W y tomemos como s = x−1 Sy , ahora es f´a cil ver que sf ( p) = p . N´otese tambi´ en que Codom(f x−1 Sy) Dom y . Entonces fs = fx−1 Sy = y−1 yf x−1 Sy = y−1 pr(ib W )y = y−1 id W y =id y 1 W = id Dom s . Rec´ıprocamente, supongamos que existe dicha secci´ on local s . Entonces T p f T f ( p) s = T f ( p) (id Dom s ) = T f ( p) id = idT f (p) N . De la f´ormula
∈ →
×
⊂ × →
|
|
|
−
|
|
|
∩ ⊂
74
5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
anterior se deduce que T p f es un epimorfismo. Luego f es una submer si´on en p . Proposici´on 2.2. Si f : M funci´on abierta.
→ N es una submersi´on, entonces f es una
´ n. Demostracio
Si U un abierto de M , se tiene que f U es tambi´en una submersi´on. Adem´a s Im(f U ) = f (U ) . Entonces ser´a suficiente que veamos que la imagen de una submersi´ o n es un abierto. Supongamos que f ( p) Imf . Por ser f una submersi´on en el punto p , sabemos por el corolario 2.1 que existe una funci´on diferenciable s : N M tal que sf ( p) = p y f s =id Dom s . De aqu´ı se concluye que Dom s Imf . Adem´as Dom s es un abierto por ser el dominio de una funci´on diferenciable. Luego Imf es entorno de cada uno de sus puntos. ´ Esto implica que Imf es abierto.
|
|
∈
→ ⊂
|
Proposici´on 2.3. Sea f : M N una submersi´on suprayectiva y sea g : N L una funci´on. Entonces si gf es diferenciable se tiene que g es diferenciable.
→
→
´ n. Demostracio
Sea q N . Puesto que f es suprayectiva existe p M tal que f ( p) = q . Por el corolario 2.1 existe s diferenciable tal que f s =id Dom s . Entonces g Dom s = (gf )s que es diferenciable por ser composici´on de diferenciables. Por lo tanto g es diferenciable en q para cada q N . Luego g es diferenciable.
∈
∈ |
|
∈
Problemas 2.1. Demostrar que la funci´ on ξ : C2 P 1 (C) definida en C2 (0, 0) por ξ (z ) = 1 - plano de C2 que contiene a z es una submersi´on.
−→
\{
}
2.2. Sea M la variedad que hemos definido en el problema 1.10 sobre el conjunto (R 0 ) (R 1 ). Sea M 1 la variedad definida en el problema 4.10 del cap´ıtulo 4 por medio de las cartas α y α1 (definidas en el problema referido). Consideramos la funci´on φ : M M 1 definida por φ(s, 0) = (s, 0) s R
×{ }
×{ }
−→
∈
φ(s, 1) = (s, 0) s R 0 ; φ(0, 1) = (0, 1). Demostrar que φ es una submersi´ on de M sobre M 1 .
∈ \{ }
2.3. ¿Es Hausdorff una variedad cociente de una variedad Hausdorff?
−→ M y ψ : N −→ N son submersiones, demostrar que φ × ψ : M × N −→ M × N
2.4. Si φ : M
es una submersi´ on.
2.5. Considerar la relaci´ on de equivalencia ρ en ρ z = w .
⇐⇒ | | | |
R2
dada por (z, w)
∈
´ 3. LAS FIBRAS DE UNA SUBMERSI ON
75
a) Demostrar que el conjunto cociente no admite la estructura de variedad cociente. b) Demostrar que cuando la relaci´ on de equivalencia se restringe a 2 R 0 el conjunto cociente admite tal estructura.
\{ }
2.6. Sea M una variedad diferenciable y ρ una relaci´on de equivalencia en M . Denotamos por M la estructura de variedad cociente dada al conjunto M/ρ (se supone que admite esta estructura). Sea f : M M 1 una aplicaci´ on invariante por la relaci´ on. a) Demostrar que si f es inmersi´on tambi´en es inmersi´on la aplicaci´on f : M M 1 inducida por f . b) Demostrar que si f es submersi´ on tambi´ en es submersi´ o n la aplicaci´on f : M M 1 inducida por f .
−→
−→
−→
2.7. Sea S (2, R) la variedad de las matrices sim´etricas reales 2 2 . a) Demostrar que el conjunto M de todas las matrices sim´etricas reales 2 2 con valores propios distintos es un subconjunto abierto de S (2, R) . b) Consideramos la siguiente relaci´ on de equivalencia ρ en M :
×
×
1
⇐⇒ B = T − AT ; ∃T ∈ GL(2, R).
AρB
Demostrar que si a M se le dota de estructura de subvariedad abierta de S (2, R) entonces el conjunto cociente admite la estructura de una variedad cociente M . c) Observad que las funciones con valores reales traza y determinante son invariantes diferenciables sobre M . Obtener las correspondientes funciones inducidas en M . 3.
Las fibras de una submersi´ on
Proposici´on 3.1. Si f : M N es una submersi´ on y q Codom f , − 1 entonces S = f (q ) es una subvariedad regular de dimensi´ on m n .
→
∈
´ n. En Demostracio
−
primer lugar, supongamos que dim(M ) = m = n =dim(N ) . Entonces para cada p f −1 (q ) , por el teorema 1.1 , existe un entorno abierto U de p tal que f U es un difeomorfismo. En consecuencia U f −1 (q ) = p . Es decir, f −1 (q ) es un espacio discreto que admite de modo natural estructura de variedad diferenciable 0-dimensional. Es tambi´ en inmediato comprobar que S es una subvariedad regular de dimensi´ on m n = 0 . En segundo lugar, supongamos que m > n . Consideremos la desRm−n la composici´o n can´ onica Rm = Rn Rm−n . Sea pr2 : Rm segunda proyecci´ on can´ onica e in2 : Rm−n on definida Rm la inclusi´ por in2 (r2) = (0, r2) . Notemos que ambas son aplicaciones diferenciables. Para cada p S = f −1 (q ) existen cartas u en p y v en f ( p) tales que Dom u Dom(f v) , v(q ) = 0 y vf u−1 = pr1 Dom(vf u 1 ) . Sea p Dom u S , y supongamos que u( p ) = (r1 , r2 ) , entonces
∈
∩
{}
|
−
×
∈
∈ ⊂ ∩
→
→
|
−
76
5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
r1 = pr1 u( p ) = vf ( p ) = v(q ) = 0 . Por lo tanto u( p ) Codom u Rm−n ) . Sea ahora (0, r2 ) Codom u ( 0 Rm−n ) , entonces ( 0 u−1 (0, r2 ) Dom u S . Luego u(Dom u S ) = Codom u (0 Rm−n ) . Denotemos por in: S M la inclusi´on can´onica. Para cada p S podemos considerar la carta x = pr2 u in que es inyectiva y tiene 1 por codominio el abierto in− 2 (Codom u) . Supongamos que tenemos dos cartas del tipo anterior x = pr2 u i n , x ¯ = pr2 ¯ u in . Estudie1 −1 − − − 1 1 mos la composici´on x¯x . Puesto que x = in u in2 , entonces x ¯x−1 = pr2 ¯ u inin−1 u−1 in2 = pr2 ¯ uu−1 in2 que es una funci´ on diferenciable. Adem´a s es claro que la reuni´ on de los dominios de las cartas as´ı definidas es S . Entonces S admite estructura de variedad (m n)dimensional. Ahora vamos a ver que la inclusi´ o n in: S M es una inmersi´on. Para p S consideremos las cartas x y u . Entonces u in x−1 = u inin−1 u−1 in2 = uu−1 in2 = in2 que es una inmersi´o n. Luego in es una inmersi´on en p para cada p S . Es decir que in es una inmersi´on. Para ver que es regular, queda por ver que la topolog´ıa de S es m´as fina que la topolog´ıa traza. Sea U un entorno abierto de p contenido 1 en el dominio de una carta x , entonces x(U ) = in− 2 W con W abierto de Rm contenido en codominio de u . Entonces U = S u−1 W . Luego U es un abierto de la topolog´ıa traza.
{ }×
∈
∩
∈ ∩ { }× ∩ ∩ ×
∈
→
∩
∈
−
→
∈
∈
∩
Proposici´ on 3.2. Sea f : M N diferenciable, q Codom f y f es submersi´ o n en todo punto p f −1 (q ) , entonces f −1 (q ) es una subvariedad regular de dimensi´ on m n .
→
∈
∈
− ´ n. Para cada p ∈ f − (q ) se tiene que si tomamos Demostracio 1
cartas x, y en p, f ( p) , respectivamente, entonces detJ f y,x es diferenciable y como su valor en p es no nulo tambi´en lo ser´a en un entorno abierto U p de p en M . En consecuencia si U = p U p , p f −1 (q ) , entonces f U es una submersi´on luego f −1 (q ) es una subvariedad regular de M .
∈
|
Proposici´ on 3.3. Sea f : M N una submersi´ on, q Codom f , 1 − p f (q ) = S y j : S M la inclusi´on can´ onica, entonces T p jT p S = Ker T p f .
∈
→
→
∈
´ n. Demostracio
N´otese que fj es una funci´ on constante. Entonces T p f T p j = 0 , de donde se tiene que T p j (T p S ) Ker T p f . Teniendo en cuenta que los espacios vectoriales anteriores tienen la misma dimensi´on se sigue que T p j (T p S ) = Ker T p f .
⊂
Problemas 3.1. Demostrar que la funci´ on f :
R3
−→ R
2
definida por:
f 1 (r1, r2 , r3) = r12 r22 + 2r1 r3 + 2r2r3 f 2 (r1, r2 , r3) = 2r1 + r2 r3
−
−
−1 ,
determina en f −1 (0) una estructura de variedad diferenciable.
´ LAS FIBRAS DE UNA SUBMERSI ON
77
R y g : R3 3.2. Considerar las funciones f : R3 R3 por: f (r1 , r2 , r3 ) = r12 + r22 r32 1 , g(r1 , r2 , r3 ) = r1 + r2 r3 1 .
−→ R definidas en
−→
− − − −
a) Demostrar que f, g determinan una estructura de variedad diferenciable en f −1 (0) y en g −1 (0). b) Demostrar que la funci´ on (f, g) :
3
R
2
−→ R
no verifica las condiciones usuales de la proposici´on 3.2 para que (f, g)−1 (0) tenga estructura de subvariedad. 3.3. Sea f :
R3
−→ R la aplicaci´on definida por
f (x,y,z ) = x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 .
a) Encontrar los puntos en los que f es una submersi´on. b) Probar que el subconjunto (d > 0) M = (x,y,z ) x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 = 3d4
{
|
}
es una subvariedad regular de R3 . c) Teniendo en cuenta que las u´nicas 1-variedades conexas Hausdorff que existen son difeomorfas a S 1 o a R . Describir las componentes conexas de la variedad obtenida a cortar M con el plano z = c en funci´on de los valores de c . Probar que M no es compacta. d) Probar que cada recta que pasa por el origen y no es un eje corta a M exactamente en dos puntos. Deducir que M es difeomorfa a la 2-esfera menos seis puntos. V´ease figura 6
Figura 6. Esfera
con seis agujeros
Soluci´on: a) La matriz jacobiana de f es la siguiente (2x(y 2 + z 2 ), 2y(x2 + z 2 ), 2z (x2 + y 2 ))
78
5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
Es f´acil comprobar que el conjunto de soluciones de las expresiones anteriores igualadas a cero son exactamente los puntos de los ejes coordenados. Entonces f es submersi´o n en R3 menos los ejes coordenados. b) Notemos que puesto que d > 0 la intersecci´ on de M con los ejes coordenados es vacia. Entonces se tiene que f es una submersi´o n en todos los puntos de M . Por lo tanto M es una subvariedad regular. R2 se c) Si consideramos la aplicaci´on diferenciable (f, z ) : R3 tiene que la intersecci´ on de M y el plano z = c es la fibra de (3d4 , c) . Comprobemos que (f, z ) es una submersi´ on, su matriz jacobiana es la siguiente:
→
2x(y2 + z 2 ) 2y(x2 + z 2 ) 2z (x2 + y 2 ) 0 0 1
que tiene en todos los puntos de M rango 2. Entonces la intersecci´on de M con el plano z = c es una 1-variedad. Para c = 0 se tiene que 4 x2 + y 2 + c 2 < 3d + c 2 por los que la intersecci´ on es una variedad 2 c compacta. En este caso se comprueba que s´ olo tiene una componente conexa. Para c = 0 se tiene que x 2y 2 = 3d4 . En este caso no es compacta y tiene cuatro componentes cada una de las cuales es homeomorfa a R. Puesto que las subvariedades son regulares y son subconjuntos cerrados, si M fuera compacta entonces toda subvariedad cerrada tambi´en lo ser´ıa. La subvariedad obtenida para c = 0 no es compacta, luego M no es compacta.
3.4. Sea F :
R3
−→ R la aplicaci´on definida por F (x,y,z ) = x 3 + y 3 + z 3 .
a) Encontrar los puntos en los que F es una submersi´ on. b) Probar que el subconjunto M = (x,y,z ) x3 + y 3 + z 3 = 1
{
|
}
es una subvariedad regular de R3 . c) Teniendo en cuenta que las u´nicas 1-variedades conexas Hausdorff que existen son difeomorfas a S 1 o a R . Describir las componentes conexas de la variedad obtenida a cortar M con el plano π de de ecuaci´on z = c en funci´on de los valores de c . Probar que M no es compacta. Probar que M es homeomorfa a R2 . d) Probar que cada recta que pasa por el origen o no corta a M o la corta exactamente en un punto. V´ease figura 7 Soluci´on: a) La matriz jacobiana de F es la siguiente (3x2 , 3y 2, 3z 2 ) Es f´acil comprobar que el conjunto de soluciones del sistema 3x2 = 0 ,
3y 2 = 0 ,
3z 2 = 0
est´a formado exclusivamente por el punto (0, 0, 0) .
´ LAS FIBRAS DE UNA SUBMERSI ON
Figura 7. Superficie
79
difeomorfa a 2-plano
b) Notemos que (0, 0, 0) M . Entonces se tiene que F es una submersi´on en todos los puntos de M . Por lo tanto M es una subvariedad regular. c) Si consideramos la aplicaci´on diferenciable (F, z ) : R3 R2 se tiene que la intersecci´ on de M y el plano π de ecuaci´ on z = c es la fibra de (1, c) . Veamos si (F, z ) es una submersi´ on, su matriz jacobiana es la siguiente: 3x2 3y 2 3z 2 0 0 1
∈
→
que para c = 1 se tiene que si suponemos que simultaneamente x = 0 y y = 0 , entonces c3 = 1 pero esto es imposible ya que c = 1 . Por lo tanto (F, z ) tiene en todos los puntos de M π rango 2. Entonces la intersecci´ on de M con el plano z = c es una 1-variedad. Para z = 1 se tiene que x3 + y 3 = 0 . Equivalentemente x + y = 0 . En este caso la intersecci´ on es una recta. Notemos que puesto que M contiene a una recta, entonces M no es compacta con la topolog´ıa relativa. Aplicando que M es una subvariedad regular tambi´en se tiene que M con su topolog´ıa subyacente es no compacta. Para ver que M es homeomorfa a R2 consideremos la aplicaci´ on 2 R definida por φ(x,y,z ) = (x, y) que es continua por ser φ : M la restricci´on de una continua. Su inversa ψ : R2 M se define como 3 3 13 ψ(x, y) = (x,y, (1 x y ) ) . Notemos que
∩
→
→
− −
φψ(x, y) = φ(x,y, (1
3
3
1 3
− x − y ) ) = (x, y) Si un punto (x,y,z ) ∈ M entonces z = (1 − x − y ) , por lo tanto ψφ(x,y,z ) = ψ(x, y) = (x,y, (1 − x − y ) ) = (x,y,z ) 3
3
3
3
1 3
1 3
80
5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
Luego M es homoeomorfa a R2 . d) Un punto de la recta que pasa por el origen y tiene vector direccional (a,b,c) es de la forma λ(a,b,c) si adem´as est´a en M se tiene que λ3 (a3 + b3 + c3 ) = 1 cuya u ´nica soluci´on es λ = 3 31 3 1 en el 3
3
3
3
3
(a +b +c ) 3
3
caso que (a + b + c ) = 0 . Si (a + b + c ) = 0 la ecuaci´ on no tiene soluci´on. Por lo tanto la correspondiente recta no corta a M . on C ∞ y sea q un entero mayor que R una funci´ 3.5. Sea F : R R mediante la f´ cero. Definamos la funci´on f : R2 ormula f (r, s) = F (r) s q . Consideremos el conjunto de ceros de esta funci´ on S = (r, s) f (r, s) = 0 . a) Probar que si en conjunto de soluciones de sistema de ecuaciones F = 0 , dF = 0 es vacio, entonces S es una subvariedad regular de dr 2 on uno. Es decir una curva sin singularidades. R de dimensi´ b) Probar que si F es un polinomio sin raices multiples, entonces S es una subvariedad regular. c) Estudiar si S es o no es subvariedad regular en los siguientes casos
→
− { |
→
}
1) Tomar F (r) = r 2 y q = 2 . 2) Tomar F (r) = r 3 y q = 3 . 3.6. Sea F :
R3
−→ R la aplicaci´on definida por F (x,y,z ) = x 4 + y 4 + z 4 .
a) Encontrar los puntos en los que F es una submersi´ on. b) Probar que el subconjunto M = (x,y,z ) x4 + y 4 + z 4 = 1
{
|
}
es una subvariedad regular de R3 . c) Teniendo en cuenta que las u´nicas 1-variedades conexas Hausdorff que existen son difeomorfas a S 1 o a R . Describir las componentes conexas de la intersecci´ on obtenida a cortar M con el plano π de de ecuaci´on z = c en funci´ on de los valores de c . Probar que M es compacta. d) Probar que cada recta que pasa por el origen corta a M ex´actamente en dos puntos. Probar que M es difeomorfa a la 2-esfera. V´ease figura 8 Soluci´on: a) La matriz jacobiana de F es la siguiente (4x3 , 4y 3, 4z 3 ) Es f´acil comprobar que el conjunto de soluciones del sistema 4x3 = 0 ,
4y 3 = 0 ,
4z 3 = 0
est´a formado exclusivamente por el punto (0, 0, 0) .
´ LAS FIBRAS DE UNA SUBMERSI ON
Figura 8. Superficie
81
difeomorfa a la 2-esfera
b) Notemos que (0, 0, 0) M . Entonces se tiene que F es una submersi´on en todos los puntos de M . Por lo tanto M es una subvariedad regular. c) Si consideramos la aplicaci´on diferenciable (F, z ) : R3 R2 se tiene que la intersecci´ on de M y el plano π de ecuaci´ on z = c es la fibra de (1, c) . Veamos si (F, z ) es una submersi´ on, su matriz jacobiana es la siguiente:
∈
→
4x3 4y 3 4z 3 0 0 1
que para 1 < c < 1 se tiene que si suponemos que simultaneamente x = 0 y y = 0 , entonces c4 = 1 pero esto es imposible ya que 1 < c < 1 . Por lo tanto (F, z ) tiene en todos los puntos de M π rango 2. Entonces la intersecci´ on de M con el plano z = c es una 1-variedad. En 1 1 este caso se tiene que y = (1 c4 x4 ) 4 o bien y = (1 c4 x4 ) 4 . Se trata de una variedad conexa y compacta. Luego es difeomorfa a la 1-esfera. Para c = 1 se tiene que x 4 + y 4 = 0 . Equivalentemente x = y = 0 . En este caso la intersecci´ on es el punto (0, 0, 1) . Para c = 1 se tiene que x4 +y4 = 0 . Equivalentemente x = y = 0 . En este caso la intersecci´ on es el punto (0, 0, 1) . Para c > 1 la interseci´ on es el conjunto vacio. Para ver que M es compacta, notemos que si x4 1 , entonces x2 1 . De la condici´ on x4 +y 4 +z 4 = 1 se sigue que x2 +y2 +z 2 3 , luego M es un conjunto acotado. Puesto que que M es una subvariedad regular su topolog´ıa es la euclidiana. Adem´as es un subconjunto cerrado, luego M es una variedad compacta.
−
−
∩ − − −
− −
−
| |
−
≤
≤
≤
82
5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
d) Un punto de la recta que pasa por el origen y tiene vector direccional (a,b,c) es de la forma λ(a,b,c) si adem´as est´a en M se tiene que λ4 (a4 + b 4 + c 4 ) = 1 cuyas soluci´ones son λ = 4 41 4 1 y λ =
−
1
(a +b +c ) 4
1
(a4 +b4 +c4 ) 4
.
Para cada punto de la esfera (x,y,z ) le asociamos el punto de M determinado por 4 41 4 1 (x,y,z ) . Rec´ıprocamente, a cada punto (x +y +c ) 4
(x,y,z ) de M le corresponde el punto
1
1 (x2 +y 2 +z 2 ) 2
(x,y,z ) de la esfe-
ra. Las transformaciones anteriores son aplicaciones C ∞ de R3 en R3 . Adem´as adecuadas restricciones a subvariedades regulales son diferenciables. 3.7. Para a = 0 sea F :
R3
−→ R la aplicaci´on definida por F (x,y,z ) = a e cos(a x) − cos(a y) . z
a) Encontrar los puntos en los que F es una submersi´ on. b) Estudiar si el conjunto de ceros M de F es una subvariedad regular de R3 . V´ease figura 9 . Estudiar la compacidad de M . c) Tomemos a = π/2 y supongamos que en el punto p = (0, 0, log a) de la superficie, sea in : M R3 la inclusi´on can´ onica y considermos la ∂ 2 carta (u, v) : M y R dada por u = x y v = y . Notemos que ∂u p
∂ es ∂v p
→
−
→
una base de T p M y ∂ ∂u p
∂ , ∂x p
∂ ∂y
∂ en ∂u p
p
,
∂ es ∂z p
una base de T p R3 .
Calcular in∗p y in∗p terminos de la base del espacio vectorial tangente a R3 . Calcular la ecuaci´on del espacio tangente a M en el punto p . d) Estudiar la intersecci´ on de la superficie M con el plano y = mx , con on. m = 0 . Estudiar el n´umero de componentes conexas de la intersecci´
Figura 9. Superficie
no compacta
´ LAS FIBRAS DE UNA SUBMERSI ON
83
Soluci´on: a) La matr´ız jacobiana de F es la siguiente (
−
a2 ez sen(a x) , a sen(a y), a ez cos(a x))
2
2
Es f´acil comprobar que ∂F + a ∂F > 0 , entonces se tiene que ∂x ∂z ∂F ∂F o´ ∂x = 0 o´ ∂z = 0 . Por lo tanto es rango de la matr´ız jacobiana es uno y F es submersi´on en todos los puntos de R3 . b) Por lo que aplicando el teorema 4.2 del cap´ıtulo 1 o la proposici´ on 3.2 del cap´ıtulo 3, se obtiene que el conjunto de ceros de la ecuaci´on a ez cos(a x) cos(a y) = 0 es una subvariedad regular de R3 de dimensi´on dos. π π Notemos que para cualquier valor de z se tiene que el punto ( a2 , a2 , z ) est´a en la variedad M , en consecuencia el subconjunto M no es acotado. Puesto que M es subvariedad regular se tiene que la topolog´ıa de M como variedad coincide con la topolog´ıa de M como subespacio de R3 . Entonces puesto que M no es acotado y los subconjuntos compactos de R3 son cerrados y acotados se sigue que la superficie M no es acotada. c) Se tiene que v) x in = u , y in = v y z in = log acos(a cos(a u) Adem´as
−
v) ∂ log acos(a cos(a u)
= a tan au
∂u v) ∂ log acos(a cos(a u)
=
∂v in∗p
−a tan av
− ∂ ∂u p
= in∗p
= = =
∂ ∂u p
x
∂ + ∂x p
∂ ∂u p
in∗p
∂x in ∂ ∂ + ∂y∂uin p ∂y ∂u p ∂x p p ∂ ∂ + (a tan au) p ∂z p ∂x p ∂ ∂x p
∂ ∂y
y
+
+ in∗p
p ∂z in ∂u p
∂ ∂u p
z
∂ ∂z p
∂ ∂z p
y similarmente se tiene que in∗p
∂ ∂v p
= in∗p
∂ ∂v p
=
∂x in ∂v p
=
∂ ∂y
=
∂ ∂y
p
x
∂ + in ∂x p
∂ + ∂x p
(a tan av) p
y
∂ ∂y
+
∗p
∂y in ∂v p
∂ ∂v p
∂ ∂z p
p
∂ ∂y
+ in∗p
p ∂z in ∂v p
∂ ∂v p
z
∂ ∂z p
∂ ∂z p
p
donde en las u ´ ltimas igualdades hemos particularizado la expresi´ on correspondiente en el punto (0, 0, log a) La ecuaci´ on del plano tangente a M en el punto p ser´a
−
84
5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
z = log a notemos que por los c´ alculos anteriores se trata de un plano perpendicular al eje de las zetas. R2 cuya matr´ d) Consideremos la funci´on (F,mx y) : R3 ız jacobiana es la siguiente:
−
−
−
→
(a2 ez sen(a x)) a sen(a y) aez cos(a x) m 1 0
−
En los puntos que cos ax = 0 la matr´ız tiene rango dos, sin embargo si cos ax = 0 y suponemos que (x,y,z ) est´a en la intersecci´ on, entonces π cos a m x = 0 . De aqu´ı se desprende que ax = 2 +kπ y max = π2 +lπ = m( π2 + kπ) . Lo que implica que m debe ser cociente de impares. En este caso la intersecci´ on contine a una recta de ecuaci´ on x = π+2kπ , 2a y = m(π+2kπ) . Dependiendo de si k y l tienen o no la misma paridad se 2a tiene que existe un punto en la recta anterior tal que la matr´ız jacobiana tiene rango uno. Notemos que si m no es cociente de impares la recta anterior no corta a la superficie. En el caso que cos ax = 0 , y suponiendo que a > 0, cada intervalo ( π + kπ , π + kπ + πa ) contiene al abierto (posiblemente vacio) 2a a 2a a amx x cos > 0 que es una reuni´on finita de intervalos de la forma a cos ax π lπ π π lπ π (m´ax 2a + kπ , π + ma , m´ın 2a + kπ + πa , 2ma + ma + ma ) a 2am a Cada uno de estos intervalos abiertos es difeomorfo a una componente conexa de la intersecci´ on, que ser´a no compacta. En definitiva la intersecci´ on siempre tiene un n´ umero contable de componentes conexas no compactas.
{|
{
3.8.
}
Sea F :
}
R3
{
}
−→ R la aplicaci´on definida por F (x,y,z ) = x y z − 4 2 2 2
a) Encontrar los puntos en los que F es una submersi´ on. b) Estudiar si el conjunto de ceros M de F es una subvariedad regular de R3 . V´ease figura 10 . ¿Es M una variedad compacta? . c) Estudiar la intersecci´ on de la superficie M con el plano z = a . Analizar el n´ umero de componentes conexas de la intersecci´on. d) Probar que M es difeomorfa a la 2-esfera menos su intersecci´on con los planos coordenados. ¿Cu´antas componetes conexas tiene la variedad M ? Argumentar la respuesta. Soluci´on: a) La matr´ız jacobiana de F es la siguiente (2xy 2 z 2 , 2x2 yz 2 , 2x2 y2 z ) Notemos que 2xy 2 z 2 = 0 si y s´o lo si 2x2yz 2 si y s´olo si 2x2 y2 z = 0 si y s´olo si xyz = 0 . Es decir si y s´olo si el punto est´a en la reuni´on de los planos coordenados que tienes por ecuaciones x = 0 , y = 0 , z = 0 . Es decir F es submersi´on en (x,y,z ) x = 0 e y = 0 y z = 0
{
|
}
´ LAS FIBRAS DE UNA SUBMERSI ON
85
Figura 10. Superficie
difeomorfa a la 2-esfera unidad menos los planos coordenados
b) Notemos que si en un punto (x,y,z ) la funci´on F no es submersi´on entonces xyz = 0 y se tiene que F (x,y,z ) = 4 por lo que no es un cero de la funci´ on F . Entonces F es submersi´o n en cada uno de sus ceros y aplicando el teorema 4.2 del cap´ıtulo 1 o la proposici´ on 3.2 del cap´ıtulo 3, se obtiene que el conjunto de ceros de la ecuaci´ on 2 2 2 3 x y z 4 = 0 es una subvariedad regular de R de dimensi´on dos. Puesto que M es subvariedad regular se tiene que la topolog´ıa de M como variedad coincide con la topolog´ıa de M como subespacio de R3 . Entonces si vemos que M no es acotado puesto que los subconjuntos compactos de R3 son cerrados y acotados, obtendremos que la superficie M no es compacta. Si tomamos z = 1 , entonces x = y2 con y = 0 . Cuando y 0 se tiene que x . De donde se concluye que la variedad M no es acotada. c) En el caso que a = 0 se tiene que F (x,y, 0) = 4 . Luego el plano z = 0 no corta a la superficie. Si a = 0 se tiene que x2y 2 = a42 o equivalentemente (xy a2 )(xy + a2 ) = 0 . Este conjunto es la reuni´ on 2 2 disjunta de las hip´erbolas xy a = 0 , xy + a = 0 . Cada una de ellas tiene dos componentes conexas. Por lo que la intersecci´ on tiene un total de cuatro componentes conexas. Ello puede verse geom´etricamente en la parte superior de la figura 10 . d) Un punto de la recta que pasa por el origen y tiene vector direccional (a,b,c) es de la forma λ(a,b,c) si adem´as est´a en M se tie-
−
−
±
→ ∞
−
6
2 2 2
4 (a2 b2 c2 )
1 6
.
−
−
ne que λ (a b c ) = 4 cuyas soluci´ones son λ =
−
→
4 (a2 b2 c2 )
1 6
y λ =
86
5. SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE
Para cada punto de la esfera (a,b,c) tal que abc = 0 le asociamos el punto de M determinado por
4 (a2 b2 c2 )
1 6
(a,b,c) . Rec´ıprocamente,
a cada punto (x,y,z ) de M le corresponde el punto
1
1 (x2 +y 2 +z 2 ) 2
(x,y,z )
de la esfera. Las transformaciones anteriores son aplicaciones C ∞ de R3 en R3 . Adem´ as adecuadas restricciones a subvariedades regulares son diferenciables. Es facil ver que la 2-esfera menos su intersecci´o n con los planos coordenados tiene ocho componentes conexas. Tambi´ en se puede probar 2 que cada una de ellas es difeomorfa a R . Puesto que la variedad M es difeomorfa a la 2-esfera menos su intersecci´ o n con los planos coordenados se concluye que tiene ocho componentes conexas.
Cap´ıtulo 6
GRUPOS DE TRANSFORMACIONES En 1872, Klein sistematiz´ o la geometr´ıa usando la teor´ıa de grupos en algo que se llam´o el Programa de Erlangen. Para Klein una geometr´ıa consist´ıa en el estudio de las propiedades de figuras que se mantienen invariantes cuando se aplica un grupo de transformaciones. La teor´ıa de grupos permit´ıa la s´ıntesis de los traba jos algebraicos y geom´etricos de Monge, Poncelet, Gauss, Cayley, Clebsch, Grassmann y Riemann. Debe mencionarse en todos estos resultados la colaboraci´ on del gran matem´ atico noruego: Sophus Lie (1842-1899), que junto con Klein comprendieron la importancia del uso de los grupos; de hecho, mientras Klein enfatiz´o resultados en en caso de los grupos discontinuos, Lie lo hizo en los continuos. Este cap´ıtulo est´a dedicado al estudio de algunas propiedades de los grupos de transformaciones; la primera secci´ on, aborda el estudio de los grupos discontinuos y la segunda el de los grupos continuos.
1.
Grupos discontinuos y variedades recubridoras
En esta secci´ on llamaremos transformaci´ on de una variedad M a un difeomorfismo global y sobreyectivo de M en M . Denotaremos por Dif(M ) el grupo de todas las transformaciones de M . Definici´ o n 1.1. Una acci´ on de un grupo G en una variedad M es una aplicaci´on φ : G M M tal que φ(1, p) = p , φ(g, φ(h, p)) = ¯ ¯ = φ(g, p) , es φ(gh,p) y adem´as φ(g) : M M , definida por φ(g)( p) diferenciable. Si no hay lugar a confusi´ on denotaremos φ(g, p) = g p y ¯ a la transformaci´ on φ(g) por φg . Se dice que la acci´o n es eficiente si g p = p para todo p implica que g = 1 . Diremos que es libre cuando verifica que si para un p M se tiene que g p = p , entonces g = 1 . Se dice que una acci´ o n es discontinua si para cada p M existe un entorno abierto U tal que si g U U = entonces g = 1 .
× → →
·
·
∈
·
· ∩ ∅
∈
En el caso que utilicemos notaci´on aditiva en el grupo G las propiedades anteriores se escriben equivalentemente del modo siguiente: φ(0, p) = p , φ(g, φ(h, p)) = φ(g + h, p) , esta notaci´ on ser´ a utilizada en algunos ejemplos. Obs´ervese que una acci´o n discontinua es libre y una libre es eficiente. Una acci´ on si no es eficiente se le puede asociar una eficiente 87
88
6. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES
dividiendo el grupo por el subgrupo normal formado por los elementos no eficientes. Si en G se considera una estructura de variedad 0dimensional entonces φ : G M M es diferenciable. Una acci´ on ¯ φ : G M M determina un homomorfismo φ : G Dif(M ) y ¯ monomorfismo y rec´ıprocamente. Si la acci´on es eficiente entonces φ es se puede considerar que G es un subgrupo de Dif(M ) . Para las acciones eficientes tambi´ en se dice que G es un grupo de transformaciones y, en su caso, que es un grupo de transformaciones discontinuo. Si un grupo G act´ ua en una variedad M , entonces diremos que p, p M est´ an en la misma ´ orbita si existe un g G tal que g p = p . Denotaremos por G M el espacio de todas las ´orbitas de M y la proyecci´ on can´ onica se denotar´ a por pr: M G M . La ´orbita de p se denotara por pr( p) y tambi´en por G p .
×
×
→
∈
→
→
∈ → \
\
·
·
Proposici´on 1.1. Si G act´ ua discont´ınuamente en una variedad M , entonces G M admite una u ´ nica estructura de variedad tal que pr : M G M es un difeomorfismo local. Adem´as la proyecci´ on can´ onica es una aplicaci´on recubridora regular.
\
\
→
´ n. Por Demostracio
ser G discontinuo, podemos encontrar un atlas tal que si x y g G , g = 1 , entonces g(Dom x) Dom x = . N´otese que pr Dom x es inyectiva, continua y abierta. Consideremos en G M la siguiente familia de cartas x(pr Dom x )−1 x que verifica que la reuni´on de sus dominios es G M . Ahora supongamos que x, y y veamos si el cambio
A ∅ \
|
∈ A ∈
{
∈ A
y(pr
|
\
∩ | ∈ A}
−1 (x(pr |Dom x )−1 )−1 = y(pr |Dom y )−1 (pr |Dom x )x−1
|
Dom y )
es diferenciable. Sea p (Dom x) ( g∈Gg Dom y) , entonces existe un u ´nico g G tal que g p = (pr Dom y )−1 pr( p) . Entonces Dom x 1 φ− g Dom y es un entorno abierto de p tal que
∈
∈
∩∪ |
·
−1 (pr |Dom x )|
·
∩
= φ g |Dom x∩φg 1 Dom y . ∩ De aqu´ı se obtiene que (pr |Dom y )−1 (pr |Dom x ) es diferenciable. Luego el (pr
|
Dom y )
Dom x φg 1 Dom y −
−
cambio de cartas es diferenciable. Dado p M , sea x una carta de tal que p Dom x . En− − 1 1 tonces se tiene que x(pr Dom x ) (pr Dom x )x = id Codom x . Luego pr : M G M es un difeomorfismo local. La unicidad de tal estructura diferenciable se deduce de modo inmediato del hecho que la proyecci´ on sea una submersi´ on. La ultima parte en un resultado bien conocido en la teor´ıa de espacios recubridores.
∈ → \
|
|
A
∈ |
Proposici´on 1.2. Si la aplicaci´on f : X M es un homeomorfismo local de un espacio topol´ogico X en una variedad M , entonces X admite una u ´nica estructura diferenciable de modo que f : X M es un difeomorfismo local. Si X es una cubierta conexa regular de M
→
→
1. GRUPOS DISCONTINUOS Y VARIEDADES RECUBRIDORAS
89
entonces M se obtiene de X como el espacio de ´orbitas de la acci´on discontinua del grupo de transformaciones de la aplicaci´ on recubridora. ´ n. Demostracio
U ∈ U |
Sea un cubrimiento abierto de X tal que f (U ) es abierto para cada U , f (U ) = Dom(xU ) , donde x U es una carta de M , y la funci´on f U es un homeomorfismo. La familia de cartas xU (f U ) U verifica que la reuni´ on de sus dominios es X . N´otese que
{
| | ∈ U}
1 yV (f V )(xU (f U ))−1 = yV (f V )(f U )−1x− U 1 −1 = yV (id f (U ∩V ) )x− U = (yV xU )
|
|
|
|
|
es diferenciable. Luego el cambio de cartas es diferenciable. La unicidad se deduce de modo inmediato del hecho que la proyecci´on sea una inmersi´ on global. La ultima parte en un resultado bien conocido en la teor´ıa de espacios recubridores. Proposici´on 1.3. Si G act´ ua discont´ınuamente en una variedad M y dados p, p en o´rbitas distintas existen entornos abiertos U, U de p y p tal que para todo g G , g U U = , entonces M y G M son variedades Hausdorff.
∈
· ∩
∅
\
que si para todo g G , g U U = , entonces tambi´ en se tiene que para todo g, g G , g U g U = . Dados dos o´rbitas distintas G p = G p . Entonces ( g∈G g U ) ( g ∈Gg U ) = . Ello implica que G p, G p tienen entornos abiertos con intersecci´ on vac´ıa. Luego G M es Hausdorff. Para ver que M es Hausdorff tomemos p, p M , p = p . Si p y p est´an en distintas o´rbitas, para separar los puntos basta tomar los entornos U, U cuya existencia asegura la hip´ otesis. Si est´a n en la misma ´orbita, entonces aplicando la definici´ on de acci´on discontinua se encuentra un entorno U de p tal que para cierto g G se tiene que g U es un entorno de p y adem´as U g U = . ´ n. Notemos Demostracio
∪
·
· · · · \
∅
·
∈
∈
∩ ·
· ∩ ∅ · ∩ · ∅ ∪ · ∩
∈
∅
∈
¯ llama dominio fundamenDefinici´ on 1.2. Un subconjunto S = F se tal si es la clausura de un subconjunto F que tenga exactamente un ¯ se dice que representante de cada ´orbita. Un dominio fundamental F es normal si cada punto p M tiene un entorno abierto V tal que solo existen un n´ umero finito de elementos g G de modo que g V ¯ F = . ¯ el cociente inducido en F ¯ por la acci´on Proposici´on 1.4. Sea F discontinua de un grupo G en una variedad M . Entonces la biyecci´on ¯ ¯ es normal, entonces dicha F G M es continua. Si adem´ as F biyecci´ on es un homeomorfismo.
∈
∈
∼ \
· ∩ ∅
∼\ → \
´ n. De Demostracio
la propiedad universal del cociente se deduce ¯ inmediatamente que la biyecci´ on F G M es continua. Veamos ¯ que tambi´en es abierta. Sea p F y sea V un entorno abierto de p en
∈
∼ \ → \
90
6. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES
¯ V es saturado respecto la relaci´ M tal que F on inducida . Por ser el dominio fundamental normal existe un entorno abierto W tal que ¯ = para todo g salvo un conjunto finito. Ello implica que g W F ¯ y si existe un conjunto finito g1 , , gr tal que g1 p, , gr p F ¯ Puesto que p est´a en el saturado g g1 , , gr entonces g p F . ¯ V , se tiene que g1 p, F , gr p V . Teniendo en cuenta que ¯ ¯ ¯ φg1 , , φgr son continuas y que F es normal se deduce que existe un entorno abierto U de p en M tal que g1 U V, , gr U V y si ¯ ¯ ( g∈G g U ) = g g1 , , gr entonces g U F = . Entonces p F ¯ g1 U ) ¯ V . Luego ¯ (F ( ¯ F g r U ) F F G M es abierta.
∩ ∅
∼
· ∩ { ··· } · · ·· · ∈ ∈ { · ·· } · ∈ ∩ · ··· · ∈ ··· · ⊂ ··· · ⊂ ∈ { ··· } · ∩ ∅ ∈ ∩ ∪ · ∩ · ∪ ·· · ∪ ∩ · ⊂ ∩ ∼ \ → \
Ejemplo 1.1. El grupo aditivo de los enteros Z act´ u a libre y discont´ınuamente como un grupo de transformaciones en R si su acci´ on est´a determinada por la funci´on: Φ:
Z
× R −→ R
definida por Φ(n, s) = n + s . En este caso se puede tomar como dominio fundamental el subconjunto compacto [0, 1] , que es la clausura de [0, 1) , subconjunto con un representante de cada o´rbita. Problemas ¯ 1.1. Sea G un grupo de transformaciones sobre una variedad M . Si φ(g) denota la transformaci´ on correspondiente al elemento g G, demostrar 1 1 − − ¯ ¯ que φ(g ) = (φ(g)) .
∈
1.2. Sea Φ: G M M la acci´on de un grupo G en una variedad M . Demostrar que G tambi´en act´ ua a la derecha mediante la aplicaci´ on 1 − Φ : M G M definida por Φ (m, g) = Φ(g , m).
× −→ × −→
1.3. Demostrar que el grupo aditivo de los enteros Z act´ u a libre y 2 discontinuamente como un grupo de transformaciones en R si su acci´on est´a determinada por la funci´on: 2
2
× R −→ R definida por Φ(n, (z , z )) = (n + z , (−1) z ). Φ:
1
2
Z
n
1
2
Soluci´o n: Para cada (a, b) punto de R2 consideremos el entorno 1 abierto B R , donde B es la bola de centro a y radio 2 . Supongamos que existe un elemento en la intersecci´ o n de B R y de Φ(n, (B R)) . Entonces existen b, b B tales que b = b + n . Entonces n b b < 1 y n entero implica que n = 0 . Por lo tanto Φ es una acci´ on discontinua.
×
× | | ≤ | − |
×
∈
1.4. Demostrar que el grupo aditivo de los enteros Z Z act´ ua libre y discontinuamente como un grupo de transformaciones en R R si su acci´on est´ a determinada por la funci´on:
×
Φ : (Z
2
2
× Z) × R −→ R
×
GRUPOS DISCONTINUOS Y VARIEDADES RECUBRIDORAS
91
definida por Φ((n1 , n2), (r1 , r2)) = (n1 + r1 , n2 + r2 ) . 1.5. Demostrar que el grupo G = a, b ab = ba −1 act´ ua libre y discontinuamente como un grupo de transformaciones en R R si su acci´ on est´a determinada por la funci´on:
|
Φ: G
2
× R −→ R
×
2
definida sobre los generadores por
Φ(a, (r1 , r2 )) = (r1 + 1, r2) , Φ(b, (r1 , r2 )) = ( r1 , r2 + 1).
−
1.6. Sea funci´on:
Z el
grupo aditivo de los n´umeros enteros, demostrar que la
× × −→
R Φ: Z Z R definida por Φ(m,n,s) = s + αm + βn, siendo α y β n´umeros reales no nulos cuya raz´on es irracional, determina una acci´ o n de Z Z en on es libre R como grupo de transformaciones. Demostrar que esta acci´ pero no discontinua.
×
1.7. Demostrar que un grupo finito que act´ ua libremente como grupo de transformaciones en una variedad Hausdorff M , act´ ua tambi´en discontinuamente. Probar que en este caso la variedad cociente es Hausdorff. Soluci´on: Supongamos que G = g1 , gn con g1 = 1 . Sea ahora un punto p de M . Puesto que la acci´o n es libre se tiene que para 1, i, j , n ,i = j , g i p = g j p . Aplicando que M es Hausdroff por inducci´on se obtiene que existen entornos abiertos U i de gi p tal que para ¯ g es continua se tiene i = j , U i U j = . Teniendo en cuenta que cada Φ i que existe un entorno U de p tal que para i 1, , n ,gi U U i . Entonces U gi U U 1 U i = para i 2, , n . Por lo tanto la acci´on es discontinua. Si tenemos dos puntos distintos p = p de modo que p no est´ a en la ´orbita de p sabemos que existe un entorno U de p tal que U gU = para g = 1. Puesto que p = gi p y la ´orbita de p es finita se puede reducir el tama˜ no de U y encontrar U tal que U gi U = . Aplicando la proposici´on 1.3 se obtiene que la variedad cociente es Hausdorff.
{ ··· }
∈ { ··· } ∩ ∅ ∩ ⊂ ∩ ∅
∈ { · ·· } ∈ { · ·· }
⊂
∩
∩
∅
∅
1.8. Sea M 1 la variedad sobre el subespacio H de R2, que consiste de R), junto con el punto (0, 1), definida por las los puntos (x, 0) (x R y cartas α y α1 cuyos dominios respectivos son U = (x, 0) x U 1 = (x, 0) x = 0 (0, 1)
{
∈ | } {
{
| ∈ }
} α : U −→ R ; α(x, 0) = x α : U −→ R ; α ((x, 0)) = x; α (0, 1) = 0. a) Demostrar que la funci´ o n: Φ: M −→ M definida por: Φ(s, 0) = (−s, 0) s = 0 ; Φ(0, 0) = (0, 1) ; φ(0, 1) = (0, 0) 1
1
1
1
1
1
92
6. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES
es una transformaci´ on en M 1 b) Demostrar que el grupo G, que consta de la transformaci´ on identidad y de Φ, act´ ua sobre M 1 como grupo de transformaciones. Comprobar que este grupo finito act´ ua libremente pero no discontinuamente sobre M 1 . Notar que este ejemplo demuestra que un grupo de transformaciones finito que act´ ua libremente en una variedad que no es Hausdorff, no es necesariamente discontinuo. 1.9. Demostrar que el conjunto (r1 , r2 ) R 0 r 1 1 es un dominio fundamental normal para la relaci´ on de equivalencia en R2 inducida por el grupo de transformaciones del problema 1.3 .
{
∈ | ≤ ≤ }
Soluci´on: Denotemos por E (a) la parte entera de un n´ umero real. Entonces la o´rbita de (a, b) tiene un u´ nico representante en F = (r1 , r2) B R 0 r1 1 que es (a E (a), ( 1)E (a) b) .Veamos que F es normal. Sea (a,b) y tomemos como entorno abierto uno de la forma B R , donde B es la bola de centro a y de radio 1. Entonces si (r, s) B R se tiene que a 1 < r < a + 1 . Si para un entero n se verifica que 0 r + n 1 , se deduce que a 1< r n r + 1 a + 2 . Por lo tanto s´olo un n´ umero finito de enteros n satisface la desigualdad anterior. Ello implica que el dominio fundamental es normal.
{
− −
∈ × | ≤ ≤ } × ∈ × − ≤ ≤ − ≤ −
−
−
− ≤
≤
1.10. Demostrar que el cuadrado unidad [0, 1] [0, 1] es un dominio fundamental normal para la relaci´ on de equivalencia en R2 inducida por el grupo de transformaciones del problema 1.4.
×
1.11. Demostrar que el cuadrado unidad [ 12 , 21 ] [ 12 , 21 ] es un dominio fundamental normal para la relaci´ on de equivalencia en R2 inducida por el grupo de transformaciones del problema 1.5.
−
×−
1.12. Considerar las acciones discontinuas: 2 R , φ(z, (a, b)) = (2z + a, b) φ : Z R2 2 z R , ψ(z, (a, b)) = (z + a, ( 1) b) ψ : Z R2 Denotemos por φ R2 , ψ R2 los espacios de o´rbitas de dichos grupos. a) Probar que existe f : φ R2 ψ R2 tal que pf = q donde p : R2 φ R2 y q : R2 ψ R2 son las proyecciones can´ onicas. b) Probar que f es un difeomorfismo local y que cada fibra de f tiene dos puntos.
→ \
× → × → \ \ \ → \ → \
−
Soluci´on: De la ecuaci´ on φ(z, (a, b)) = (2z + a, b) = ψ(2z, (a, b)) ` de φ R2 de modo R2 factoriza a travEs se deduce que la q id : R2 que existe una u´nica f : φ R2 ψ R2 tal que pf = q id . Puesto que p es una submersi´on se tiene que f es diferenciable. Adem´as de que p, q sean difeomorfismos se obtiene que f tambi´en lo es.
→ \ → \
\
2. SISTEMAS DIN´ aMICOS
2.
93
Sistemas din´ amicos
Definici´ o n 2.1. Un sistema din´ amico diferenciable consiste en una variedad M junto con una acci´ on diferenciable φ : R M M
× →
Teniendo en cuenta que en R se utiliza notaci´ on aditiva las condiciones que debe satisfacer φ para ser acci´ on se pueden expresar del modo siguiente: (i) ϕ(0, p) = p, p M , (ii) ϕ(t, ϕ(s, p)) = ϕ(t + s, p),
∀ ∈
∀ p ∈ M, ∀t, s ∈ R .
En los sistemas din´amicos las ´orbitas tambi´ en se denominan trayectorias. R Ejemplo 2.1. Sea M = R y consideremos la acci´on ϕ : R R dada por φ(r, s) = r + s . En este caso la acci´ on es libre y hay s´olo una ´orbita.
× →
R Ejemplo 2.2. Sea M = R y consideremos la acci´ on φ : R R r dada por φ(r, s) = e s . En este caso la acci´ on es eficiente pero no libre y hay tres o´rbitas.
× →
Recordemos los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales hol´ onomos en dimensi´on dos junto con una descripci´ on de las soluciones: Sea x˙ = Ax, con A M (2 2, R). Para resolverlo distinguiremos tres casos: 1. Dos autovalores reales distintos. Sean v1 y v2 autovectores asociados, respectivamente, a los autovalores λ1 y λ2, λ1 = λ 2 . Entonces x = c 1 v1 eλ1 t + c2v2 eλ2 t ; c1 , c2 R . 2. Un autovalor real doble. Sea λ el autovalor con multiplicidad dos. Se pueden distinguir dos casos: (a) Existen dos autovectores, v1 y v2 , linealmente independientes asociados a λ. En este caso la soluci´ on general es x = c1 v1 eλt +c2 v2 eλt = (c1v1 + c2v2 )eλt ; c1 , c2 R (b) Existe un u ´nico autovector v linealmente independiente asociado a λ. En este caso x = ve λt es soluci´on particular y existe otra de R2 es un vector que habr´ la forma x = (vt + u)eλt donde u a que determinar sustituyendo en el sistema. La soluci´ on general ser´ a en este λt λt λt caso x = c1 ve + c2 (vt + u)e = (c1 v + c2 (vt + u))e ; c1 , c2 R . ¯ = α iβ los 3. Dos autovalores complejos. Sean λ = α + iβ y λ autovalores y v = a+ib y v = a ib los autovectores asociados. Entonces φ1 (t) = Re(ve λt ) = (a cos βt b sen βt)eαt φ2 (t) = Im(ve λt ) = (a sen βt + b cos βt)eαt son soluciones particulares linealmente independientes. Su soluci´ on general ser´ a: x = c 1 φ1 (t) + c2 φ2 (t) = ((a cos βt b sen βt)c1 + (a sen βt + b cos βt)c2)eαt con c 1 , c2 R. Notemos que los anteriores casos dan lugar a las siguientes acciones.
∈
×
∈
∈
∈
−
−
−
∈ −
∈
94
6. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES 1.0
0.5
0.0
0.5
1.0 1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
Figura 1. Flujo
asociado a valores propios distintos del mismo signo y contorno de la funci´ on de Morse asociada 1.0
0.5
0.0
0.5
1.0 1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
Punto silla asociada a valores propios de distinto signo y contorno de la funci´ on de Morse asociada Figura 2.
R2 Ejemplo 2.3. Sea M = R2 y consideremos la acci´on φ : R R2 dada por φ(r, (r1 , r2 )) = (eλ1 r r1 , eλ2 r r2 ). Este caso corresponde a que es sistema tienen dos valores propios distintos λ1 = λ 2 , ver Figuras 1, 2.
× →
Ejemplo 2.4. El el caso de tener un s´ olo valor propio tenemos dos casos: (a) Sea M = R2 y consideremos la acci´on φ : R R2 R2 dada por φ(r, (r1, r2 )) = (eλr r1 , eλr r2 ) = e λr (r1 , r2 ). Ver Figura 2. R2 dada por φ(r, (r1 , r2 )) = (b) Ahora tomemos la acci´ on φ : R R2 eλr (r1 + rr 2 , r2 ). Ver Figura 3.
×
→
× →
Ejemplo 2.5. La siguiente acci´on corresponde con el caso de valores propios conjugados. Sea M = R2 y consideremos la acci´ on φ : R 2 2 αr R R dada por φ(r, (r1 , r2 )) = e (r1 cosβr + r2 sen βr, r1 sen βr + r2 cos βr) .
→
−
×
a) Si α < 0 , tenemos un foco estable, ver la Figura 4 (Si α > 0, un foco inestable).
2. SISTEMAS DIN´ aMICOS
Figura 3. Punto
de equilibrio no radial asociado a un
solo valor propio
Un foco estable asociado con dos valores propios conjugados Figura 4.
Un foco estable asociado con dos valores propios puros imaginarios conjugados Figura 5.
b) Si α = 0, tenemos un centro estable , ver la Figura 5 . En estos caso no existe una funci´ on de Morse.
95
96
6. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES
Figura 6. Flujo
horizontal
Figura 7. Fuente
Problemas R dada por 2.1. Sea M = C y consideremos la acci´ on ϕH : R C φ(r, u) = r + u . Probar que en este caso la acci´ o n es libre pero no discontinua, ver Figura ??
× →
R dada por 2.2. Sea M = C y consideremos la acci´ on ϕV : R C φ(r, u) = ir + u . Estudiar si la acci´on es eficiente, libre o discontinua.
× →
C dada por 2.3. Sea M = C y consideremos la acci´on φ : R C r φ(r, u) = e u . Probar que la acci´on es eficiente pero no libre y el origen es una trayectoria que s´ olo tiene un punto y las dem´ as son homeomorfas a R, ver Figura 2.
× →
2.4. Sea M = C y consideremos la acci´on φ : R C C dada por φ(r, u) = eir u . Probar que la acci´ o n es no es eficiente y el origen es una trayectoria que s´ olo tiene un punto y las dem´ as son homeomorfas 1 a S .
× →
2.5. Sea M = S 1 = z C z = 1 y consideremos la acci´ on φ : R 1 1 ir S S dada por φ(r, u) = e u . Probar que la acci´ on no es eficiente y hay una sola trayectoria circular.
→
{ ∈ || |
}
×
3. GRUPOS DE LIE
97
C 2.6. Sea M = C y z = a+bi C consideremos la acci´ on φC : R C rz dada por φ(r, u) = e u . Probar que si z = 0 todas las trayectorias son unipuntuales, si z = 1 se obtiene el ejemplo anterior de trayectorias radiales, si z = i, se tiene el caso de hojas circulares y finalmente si a = 0, tendremos un caso con una trajectoria puntual y las dem´ as formadas por espirales.
∈
× →
2.7. Sea M = R2 y consideremos la aplicaci´on ψ : R2 (0, 0) dada por
\{
}
Z
2
× (R \{(0, 0)} →
ψ(z, (r1 , r2 )) = e αz (r1 cos βz + r2 sen βz, r1 sen βz + r2 cos βz ) .
−
a) Probar que ψ es una acci´ o n y estudiar el tipo de las ´orbitas seg´ un los valores de α y β b) Estudiar si la acci´on ψ es eficiente, libre o discontinua para α = 1, β = 0 y para α = 0 β = 2π/3 . c) Probar que para α = 1, β = 0 el espacio de ´orbitas es difeomorfo a un toro y para α = 0 β = 2π/3 es difeomorfo a un cilindro. 3.
Grupos de Lie
El matem´atico Sophus Lie (1849-1899) inici´ o el estudio de grupos de transformaciones continuas que dejan invariantes las soluciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Observ´ o que complicadas condiciones no lineales para la invarianza se pod´ıan sustituir por condiciones lineales de invarianza infinitesimal, ve´ase [31]. El m´etodo de Lie de la transformaci´on infinitesimal proporciona una t´ecnica ampliamente aplicable para hallar soluciones en forma anal´ıtica a ecuaciones diferenciales ordinarias. Aplicados a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, el m´etodo de Lie proporciona soluciones invariantes y leyes de conservaci´ on. Explotando las simetr´ıas de las ecuaciones se pueden obtener nuevas soluciones a partir de las ya conocidas, y las ecuaciones se pueden clasificar en clases de equivalencia. Por otro lado hemos de resaltar el importante papel que juegan los grupos de Lie en mec´ anica cu´ antica en el estudio de las diferentes part´ıculas y sus interacciones. Definici´ on 3.1. Un grupo de Lie G es un grupo cuyo conjunto subyacente tiene una estructura de variedad diferenciable, de tal forma que la aplicaci´on producto π : G G G, (g, h) gh y la que asocia a 1 − cada elemento su inverso, ι : G G, ι(g) = g , son diferenciables.
× → →
→
Proposici´on 3.1. Sea G un grupo cuyo conjunto subyacente tiene una estructura de variedad diferenciable y sea ψ : G G G la aplicaci´on ψ(g, h) = gh−1 . Entonces π, ι son diferenciables si y s´olo si ψ es diferenciable.
× →
´ n. Demostracio
Si π, ι son diferenciables, entonces claramente ψ = p(id ι) es diferenciable. Rec´ıprocamente, si ψ es diferenciable, se tiene
×
98
6. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES
que ι = ψ(1, id) es diferenciable y por tanto π = ψ(id ι) tambi´en lo es.
×
Observaci´ on 3.1. Para desarrollar buena parte de la teor´ıa, s´ olo es necesario tomar derivadas de primer orden en G y en el fibrado tangente T G , por lo tanto es nesesario suponer que G y π son de clase C 2 . Sin embargo, no existe perdida de generalidad en suponer que G y π son anal´ıticas C ω , pues es posible probar que si π es clase C 1 entonces π es anal´ıtica en relaci´ on a la estructura de variedad anal´ıtica contenida k en una estructura C , 1 k .
≤ ≤ ∞
Dado g G , las traslaciones a irquierda y a derecha Lg : G y Rg : G G , est´an definidas respectivamente por
∈ →
→ G
Lg (h) = gh , Rg (h) = hg . Estas aplicaciones son diferenciables pues Lg = π(g, id) , Rg = π(id, g) . En realidad, ambas traslaciones, a idquierda y a derecha, son difeomorfismos globales y suprayectivos ya que Lg Lg 1 = id , Rg Rg 1 = id . En la definici´on de grupo de Lie no es necesario exigir que la inversi´on ι : G G sea diferenciable. Esto hecho es una consecuencia del teorema de la funci´ on implicita. −
−
→
Proposici´ on 3.2. Sea G un grupo cuyo conjunto subyacente tiene una estructura de variedad diferenciable, de tal forma que a aplicaci´on producto π : G G G, (g, h) gh es diferenciable, entonces ι : G as la aplicaci´on tangente T ιg = G es diferenciable. Adem´ (T 1 Lg 1 )(T g Rg 1 ) . En particular T ι1 = idT 1 G , donde 1 denota el elemento neutro.
−
→
−
× →
→ −
−
´ n. Consideremos Demostracio
la aplicaci´on producto π : G G G , π(g, h) = gh. Si aplicamos la proposici´on 4.2 del cap´ıtulo 4 se obtiene que T (g,h) π = T g Rh T h Lg . Tomando una carta x en el punto g, otra carta y en el punto h y una carta z en gh , se tiene que
∼
× →
⊕
la matriz jacobiana de T g Rh es precisamente
∂z i ∂x j
(g,h)
que es no
singular. Para el caso que π(g, h) = gh = 1, ahora podemos aplicar el teorema de la funci´ on impl´ıcita 2.1 del cap´ıtulo 3 para poder asegurar que en un entorno abierto de h la aplicaci´on ι(h) = h−1 es C ∞ . De donde se sigue que ι es C ∞ . Notemos que adem´as se verifica la igualdad π(ι(h), h) = 1 . Aplicando la regla de la cadena, se deduce la ecuaci´ on (T g 1 Rg )(T g ι) + T g Lg 1 = 0. De aqu´ı se sigue que T g ι = (T g 1 Rg )−1 T g Lg 1 = (T 1 Rg 1 )T g Lg 1 . Para el caso g = 1, se tiene que T 1 ι = idT 1 G . −
−
−
−
−
Ejemplo 3.1. El espacio habitual de vectores.
−
−
Rn
−
−
es un grupo de Lie abeliano con la suma
3. GRUPOS DE LIE
99
Ejemplo 3.2. El espacio R∗ de los reales no nulos es un grupo de Lie abeliano no conexo con el producto. Tambi´en los complejos no nulos C∗ con el producto es un grupo de Lie abeliano no conexo. Ejemplo 3.3. El grupo discreto G es un grupo de Lie, es este caso se considera una estructrura diferenciable 0-dimensional. Ejemplo 3.4. Sea GL(n, R) el grupo de las transformaciones lineales de Rn que es un abierto de la variedad de las matrices reales M (n, R) , v´eanse los ejemplos 1.7 y 1.8 del cap´ıtulo 3. El producto de las matrices A = (aik ) , B = (bkj ) es la matriz C = (cij ) , donde cij = k aik bkj . Es decir cij viene dado por una funci´ on polin´omica de grado dos en las variables aik , bkj . Por lo que es una funci´ on diferenciable. Por esta raz´on GL(n, R) es un grupo de Lie.
Ejemplo 3.5. An´alogamente GL(n, C) el grupo de las transformaciones lineales de Cn tiene estructura de grupo de Lie. Ejemplo 3.6. Sean G, H grupos de Lie, el producto cartesiano con las estructuras diferenciables y de grupo producto, es tambi´en un grupo de Lie. Por ejemplo se puede ver f´ acilmente que Z/2 R es isomorfo a ∗ R .
×
La noci´on de morfismo se define de modo natural en la categor´ıa de los grupos de Lie. Definici´ on 3.2. Supongamos que G, G son grupos de Lie, un homomorfismo de grupos de Lie es un homomorfismo de grupos f : G G que adem´ as es diferenciable. Diremos que f es un isomorfismo si existe la aplicaci´on inversa f −1 : G G y ´esta es diferenciable.
→
→
Ejemplo 3.7. Consideremos los grupos de Lie R, R∗ estudiados en los R∗ es ejemplos 3.1 , n = 1 , y 3.3 . La aplicaci´on exponcial exp: R un homomorfismo de grupos de Lie.
→
Definici´ o n 3.3. Sean G, H grupos de Lie y supongamos que H es un subgrupo de G . Diremos que H es un subgrupo de Lie G si la inclusi´on es un encaje y si adem´ as es un encaje regular diremos que H es un subgrupo de Lie regular de G . Proposici´on 3.3. Sea G un grupo de Lie y sea H un subgrupo que que adem´as es subvariedad regular de G . Entonces H es un grupo de Lie. ´ n. Sea Demostracio
in: H remos el diagrama conmutativo G in
→ G la inclusi´on can´onica. Conside-
×G
× in H
ψG
× H
G
in ψ
H
H
100
6. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES
Puesto que ψG es diferenciable (v´ease la proposici´ on ??) y in: H G es un encaje regular se tiene que por la proposici´ on 1.3 del cap´ıtulo 5 H que ψ es diferenciable. Por lo tanto H es un grupo de Lie.
→
Ejemplo 3.8. La 1-esfera S 1 = z C∗ z = 1 considerada como los complejos de m´ o dulo 1, es un subrupo de C∗ y adem´a s es una subvariedad regular. Entonces S 1 es un grupo de Lie 1-dimensional, abeliano, conexo y compacto.
{ ∈ || |
}
Ejemplo 3.9. Sea SL(n, R) = A GL(n, R) det(A) = 1 el grupo especial lineal. Para ver que es una subvariedad regular de GL(n, R) R es una submersi´ veamos que det: GL(n, R) o n en los puntos de SL(n, R) . Para ello vamos a utilizar la caracterizaci´o n de submersiones dada en la proposici´ on 2.1 del cap´ıtulo 5 . Sea entonces una − 1 A det (1) = SL(n, R), sea Ar la matriz obtenida multiplicando por r la primera fila. Notemos que s : R∗ GL(n, R) , s(r) = Ar es diferenciable. Adem´ as s(1) = A y dets = id por lo tanto det es una submersi´o n en A para cada A . Entonces por la proposici´ on 3.2 del 1 − cap´ıtulo 5 se tiene que det (1) = SL(n, R) es una subvariedad regular de dimensi´on n 2 1 y por la proposici´on anterior se sigue que SL(n, R) es un grupo de Lie .
{ ∈
|
}
→
∈
→
−
Ejemplo 3.10. Sea O(n, R) = A GL(n, R) AT A = I el grupo ortogonal que es un subgrupo de GL(n, R) , donde AT denota la matriz traspuesta de A e I es la matriz identidad . Para ver que es una subvariedad regular de GL(n, R) veamos que sim: GL(n, R) S (n, R) es una submersi´on en los puntos de O(n, R) , donde S (n, R) denota la subvariedad de matrices sim´etricas y sim(B) = B T B asocia a B la matriz sim´etrica B T B . En primer lugar veremos que la aplicaci´ on diferenciable sim es una submersi´o n en el neutro I (la matriz identidad). Denotemos por xrs las componentes de la carta can´ onica de GL(n, R) , xrs ((akl )) = ars , y por yij para i j las componentes de la carta can´ onica de S (n, R), ij y (akl ) = a ij . Notemos que yij sim = xhi xhj
{ ∈
|
}
→
≤
h
De donde se tiene que ∂ T I (sim) = ( ∂x rs I i≤ j
(δ rh δ si xhj + xhi δ rh δ js ))(I )
h
(δ si δ jr + δ ri δ js )
=
i j
≤
∂ ∂y ij
∂ ∂y ij
I
I
Ahora se prueba con falicildad que T I (sim) es suprayectiva, por lo tanto sim es una submersi´ on en I . Para ver que T A (sim) es suprayectiva en A O(n, R) , notemos que (AB)T AB = B T AT AB = B T B ,
∈
4. ENCAJES DE LA BOTELLA DE KLEIN Y DEL PLANO PROYECTIVO REAL 101
as´ı que simLA = sim . De aqu´ı se sigue que T I (sim) = T A (sim)T I LA y teniendo en cuenta que T I LA es un isomorfimo, se obtiene que T A (sim) es epimorfismo. Aplicando la proposici´ on 3.2 del cap´ıtulo 5 se sigue que sim−1 (I ) = O(n, R) es una subvariedad regular de dimensi´on n(n2−1) . Ejemplo 3.11. El grupo especial ortogonal SO(n, R) = A O(n, R) det(A) = 1 es un subgrupo abierto (y cerrado) de O(n, R) . Basta observar que precisamente es el n´ u cleo de homomorfismo de grupos de Lie, det: O(n, R) 1, 1 .
{ ∈
}
|
→ {− }
Problemas 3.1. Probar que la aplicaci´on m´odulo, morfismo de grupos de Lie.
C∗
→ R∗ , z → |z | es un homo-
R∗ es un homo3.2. Probar que el determinante det : GL(n, R) morfismo de grupos de Lie. Demostrar el resultado an´alogo para los complejos y cuaterniones.
→
3.3. Probar que todo grupo de Lie es Hausdorff. 3.4. Probar que el grupo ortogonal O(n, R) y el grupos GL(n, R) tienen dos componentes conexas. 3.5. Probar que el grupo ortogonal O(n, C) y el grupos GL(n, C) tienen una componente conexa. 3.6. Probar que el grupo ortogonal O(n, H) y el grupos GL(n, H) tienen una componente conexa. 3.7. Probar que el grupo ortogonal O(n, R) es compacto. 3.8. Probar que el grupo S L(n, R) no es compacto. 3.9. Probar que el grupo S O(2, R) es difeomorfo a S 1 . 3.10. Probar que el grupo SO(3, R) es difeomorfo a P 3 (R) . 3.11. Sea O(2, R) el grupo ortogonal real. a) Probar que O(2, R) tiene una estructura de 1-variedad compacta con dos componentes conexas. b) Si M (2, R) denota las matrices 2 2, probar que la inclusi´ o n de i : O(2, R) M (2, R) es una subvariedad regular. c) Si I denota la matr´ız identidad, probar que (T I i) T I O(2) se puede identificar con el espacio de matrices antisim´ etricas 2 2.
→
×
×
4.
Encajes de la botella de Klein y del plano proyectivo real
En los siguientes problemas se representan la botella de Klein y el plano proyectivo real como espacios de o´rbitas de grupos discontinuos de transformaciones de R2 . As´ı expresados es f´ acil encontrar encajes 4 regulares de los mismos en R .
102
6. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES
4.1. Sea la aplicaci´on ψ : a, b bab = a (R R) ( R R) definida por ψ(a, (r, s)) = (r + 2π, ( 1)s) , ψ(b, (r, s)) = (r, s + 2π) , a) Probar que ψ es una acci´on discontinua que tiene por dominio fundamental [ π, π] [ π, π] . La correspondiente variedad de o´rbitas K = a, b bab = a (R R) la denominaremos como botella de Klein. R4 definida por Considerar la aplicaci´ on F : R2 x x F (x, y) = ((cos y + 1) cos x, (cos y + 1) sen x, sen y cos , sen y sen ) 2 2 b) Comprobar que F (ψ(a, (x, y))) = F (x, y) , F (ψ(b, (x, y))) = ¯ : K R4 . F (x, y) y que por lo tanto existe una aplicaci´on inducida F ¯ diferenciable. Probar que F es ¯ un encaje de la botella de Klein en R4 . c)Probar que F es
|
|
−
×− \ ×
× × → × −
→
→
4.2. Sea P 2 (R) es cociente obtenido al identificar puntos ant´ıpodas de la esfera unidad. a) Probar que existe un grupo de transformaciones finito y discontinuo de la 2-esfera unidad cuyo espacio de o´rbitas es P 2 (R) . R4 dada por Sea F : R3
→
F (x,y,z ) = (x2
2
− y ,xy,xz,yz ),
x, y, z
∈ R .
Sea S 2 R3 la esfera unidad y considerar la restricci´ on φ = F S 2 : S 2 R3 donde S 2 es la esfera unidad centrada en el origen. b)Probar que φ es diferenciable y una inmersi´on. Comprobar que φ( p) = φ( p) . ¯ p] = φ( p) . R4 la inducida por la formula φ[ c) Sea φ¯ : P 2 (R) ¯ un encaje del plano proyectivo real en R4 . Probar que φ es
⊂
−
→
|
→
Cap´ıtulo 7
CAMPOS Y FORMAS La noci´ on de campo vectorial se utiliza para estudiar numerosos fen´omenos. Citemos los campos de fuerzas, campos el´ectricos, magn´eticos, etc., que son herramientas b´ asicas para una f´ısica b´ asica. Similarmente, las formas se utilizan para desarrollar teor´ıas de integraci´ on, medir longitudes, a´ngulos, etc. Cuando la situaci´ o n lo requiere y la modelizaci´on no se puede abordar mediante abiertos euclidianos, es necesario utilizar variedades diferenciales y para este contexto presentamos a continuaci´ on las definiciones y propiedades elementales de los campos y las formas. 1.
Fibrado tangente y cotangente
Sea M una variedad diferenciable m-dimensional, consideremos el conjunto de todos los vectores tangentes T M = p∈M T p M . Denotemos por π : T M M la proyecci´on que aplica un vector tangente en el punto de tangencia, π(v p ) = p . Para cada carta x de M, consideR2m definida por x ramos una nueva carta x˜ : T M ˜i (v p ) = xi ( p) , x ˜m+i (v p ) = v p (xi ) , 1 i m . Notemos que Dom x ˜ = π −1 (Dom x) y Codom x˜ = Codom x Rm . Para x, y cartas de M el cambio de las nuevas cartas viene dado por
→
≤ ≤ ×
→
y˜x˜−1 (a, r) = y˜ ri ∂x∂ i x 1a = (y1 x−1 a, ·· · , ym x−1 a, ri = (yx−1 a,rJ T 1 (a)), −
yx
−
∂y 1 ∂x i
x
1a
−
,
··· ,
ri
∂y m ∂x i
x
1a
−
)
T donde J yx 1 denota la matriz traspuesta de la matriz jacobiana del cambio de cartas. En consecuencia, la familia de las cartas x ˜ x carta de M dota a T M de una estructura de variedad diferenciable 2m-dimensional. −
{|
}
Definici´ on 1.1. Llamaremos fibrado tangente a la proyecci´on natural π : T M M . Tambi´ en denominaremos fibrado tangente a la variedad T M .
→
Recordemos que C ∞ (M ) denota el espacio de todas las funciones diferenciables de M en R . Definici´ on 1.2. Si p Dom f , f C ∞ (M ) podemos definir la apliR mediante la expresi´ caci´on lineal df p : T p M on df p (v) = v(f ) para cada v T p M .
∈
∈ →
∈
103
104
7. CAMPOS Y FORMAS
Definici´ on 1.3. A aplicaci´on lineal de la forma T p M R la llamaremos vector cotangente en p a M . El espacio vectorial de los vectores cotangentes en p a M se denotar´ a por T p∗ M = (T p M )∗ .
→
R y para Para una carta x de M tenemos las funciones xi : M cada punto p podemos considerar (dxi ) p para i 1, ,m .
→ ∈ { ··· }
Lema 1.1. Sea p un punto del dominio de una carta x de una variedad M , entonces (dx1) p , , (dxm ) p forman una base del espacio T p∗ M .
···
´ n. Sabemos Demostracio
que
··· ∂ ∂x 1
p
,
,
∂ ∂x m
p
forman una
base de T p M . Los vectores cotangentes anteriores verifican que (dxi ) p
∂x i ∂x j
dual.
p
∂ ∂x j
= δ ij . Lo que prueba que precisamente se trata de la base
Sea M una variedad diferenciable, consideremos el conjunto de todos los vectores cotangentes T ∗ M = p∈M T p∗ M . Denotemos por ∗ π : T ∗ M M la proyecci´on ∗ π(w p ) = p . Para cada carta x de M, consideramos una nueva carta ∗ x ˜ : T ∗ M R2m definida por ∗ x ˜i (w p ) = x i ( p) , ∗ x ˜m+i (w p ) = w p ∂x∂ i , 1 i m .
→
→
≤ ≤ Notemos que Dom ∗ x ˜ = ∗ π − (Dom x) y Codom ∗ x ˜ = Codom x × R p
1
m
.
El cambio de las nuevas cartas viene dado por
∗y˜∗ x˜−1 (a, r) = ∗ y˜ ( ri (dxi )x 1a ) i ∂x i ∂x i − 1 = (yx a, , · ·· , ) i ri ∂y 1 i ri ∂y m 1 x a x 1a = (yx −1 a, r((J yx 1 (a))−1 )). Notemos que es una funci´on C ∞ . De este modo vemos que la familia de cartas {∗ x ˜|x carta de M } dota a T ∗ M de una estructura de variedad −
−
−
−
diferenciable 2m-dimensional. Es interesante observar que la matriz que aparece en el cambio de cartas del fibrado cotangente es precisamente la traspuesta de la inversa de la que obtenemos en el fibrado tangente. Definici´ on 1.4. Se llamar´a fibrado cotangente a la proyecci´on natural ∗ π : T ∗ M M .Como antes, se utiliza tambi´en este mismo nombre para designar a la variedad T ∗ M .
→
Problemas 1.1. Demostrar que al espacio tangente T p M en cualquier punto p de M puede dot´ arsele de la estructura de subvariedad regular de T M . Demostrar tambi´en que esta estructura coincide con su estructura est´ andar como espacio vectorial real. Soluci´on: En primer lugar veamos que la proyecci´on π : T M M es una submersi´on. Para ello sea v p un vector tangente en el punto p de M . Tomemos una carta x de M en p y sea x ˜ la carta inducida
→
p
=
2. DEFINICI´ o N Y PROPIEDADES DE CAMPOS Y FORMAS
105
en T M . Entonces la representaci´ on coordenada de π viene dada por − 1 x ˜πx (r, s) = r . La matriz jacobiana de π respecto las cartas mencionadas es de la forma (id, 0) y su rango ser´a m´aximo. En consecuencia π es una submersi´on. Recordemos ahora el teorema que aseguraba que las fibras de una submersi´on eran subvariedades regulares de dimensi´ on 2m m = m . Es de destacar que las cartas x, ˜ x inducen una carta y en el punto
−
v p de T p M = π −1( p) . De modo que y(v p ) = y (s1 ,
··· , s
m)
··· ,
∂ ∂x m
p
m 1 si
∂ ∂x i
p
∂ ∂x 1
que es presisamente la carta asociada a la base
=
p
,
en la estructura estandar del espacio vectorial T p M .
1.2. Demostrar que si una variedad diferenciable M admite una base contable para su topolog´ıa (es segundo numerable) el fibrado tangente T M tambi´en admite una base de esas caracter´ısticas (es tambi´en segundo numerable). Soluci´on: Sabemos que si una variedad tiene un atlas contable si y s´olo si es segundo numerable. Entonces puesto que M es segundo numerable se tiene que M tiene un atlas contable que induce el atlas ˜ = x˜ x de T M que al tener como conjunto de ´ındices un conjunto contable es tambi´ en contable. Por lo tanto T M es segundo contable.
A
A
{ | ∈ A}
1.3. Si pr: M M M y pr : M M can´onicas, demostrar que
× −→ M son las proyecciones
× −→
(pr , pr ) : T (M
× M ) −→ T M × T M
es un difeomorfismo.
1.4. Probar que T Rm es difeormorfo a
Rm
1.5. Probar que T S 1 es difeormorfo a S 1 2.
m
×R ×R .
.
1
Definici´ on y propiedades de campos y formas
Un operador lineal sobre un abierto U de M es una aplicaci´on ξ : C ∞ (M ) C ∞ (M ) tal que Dom ξf = U Dom f y que verifica la propiedad de linealidad siguiente: ξ (αf + β g) = αξf + βξg . Si adem´as se tiene que ξ (f g) = (ξf ) g + f (ξg) , diremos que es un operador derivaci´ on con dominio U . A continuaci´on analizaremos la relaci´on entre operadores derivaci´ on y campos.
→
∩
·
·
·
Definici´ on 2.1. Un campo X de vectores tangentes a una variedad M es una secci´on diferenciable del fibrado tangente π : T M M ; es decir, πX = id Dom X . Una 1-forma w de vectores cotangentes a una variedad M es una secci´ on diferenciable del fibrado cotangente ∗ π : T ∗ M M ; es decir, πw = id Dom w .
→
|
→
|
106
7. CAMPOS Y FORMAS
Lema 2.1. Sea M una variedad diferenciable y sea x una carta de la variedad. (i) Si X : M T M es una secci´ o n del fibrado tangente y m ∂ X Dom x = i=1 Ai ∂xi , entonces X Dom x es diferenciable si y s´olo si las funciones A1 , , Am de M en R son diferenciables. ∗ (ii) Si w : M T M es una secci´on del fibrado cotangente y w Dom x = m i o lo si las i=1 B dxi , entonces w Dom x es diferenciable si y s´ funciones B 1 , , B m de M en R son diferenciables, (iii) Sean X, Y campos tangentes a M y f, g C ∞ (M ) entonces la secci´on del fibrado tangente f X +gY definida por (fX +gY ) p = f ( p)X p +g( p)Y p es tambi´en diferenciable, por lo que f X +gY es un campo tangente a M con dominio Dom f Dom X Dom g Dom Y . (iv) Sean u, v 1-formas cotangentes a M y f, g C ∞ (M ) entonces la secci´on del fibrado cotangente f u+gv definida por (fu+gv) p = f ( p)u p + g( p)v p es tambi´ en diferenciable; por lo que f u + gv es una 1-forma cotangente a M con dominio Dom f Dom u Dom g Dom v .
|
→
→
|
··· |
···
|
∈
∩
∩
∩
∈
∩
∩
´ n. Demostracio
∩
N´otese que x˜X p = (x( p), A1 ( p), , Am ( p)) . Entonces por el ejercicio 1.6 del cap´ıtulo 3, se tiene que X Dom x es diferenciable si y s´olo si A1 , , Am son diferenciables. An´alogamente para las 1-formas. La verificaci´ o n de (iii) y (iv) es una comprobaci´ on rutinaria.
· ··
···
|
Dado X un campo tangente a M , podemos definir el siguiente operador inducido ξ que aplica una funci´ on diferenciable f de M en R en la funci´on ξf cuyo dominio es Dom X Dom f y que est´a definida por ξf ( p) = X p (f ) . Rec´ıprocamente, dado un operador derivaci´ on ξ sobre un abierto U , podemos asociarle la secci´on X del fibrado tangente cuyo dominio es U y que est´a definida por X p (f ) = ξf ( p) .
∩
Proposici´ on 2.1. Si X es un campo tangente a una variedad M , entonces el operador inducido ξ es un operador derivaci´ on. Rec´ıprocamente, si ξ es un operador derivaci´ on, entonces la secci´ on asociada X es un campo tangente. ´ n. Demostracio
Sea X un campo y supongamos que ξ es el correspondiente operador. En primer lugar probaremos que si f es diferenciable entonces ξf tambi´en lo es. Sea x una carta y supongamos m ∂ que X Dom x = Dom X Dom x se i=1 Ai ∂x i . Entonces para p
|
tiene que ξf ( p) = X p (f ) =
m i=1
∈ | m i=1
Ai ∂x∂ i
(f ) =
p m ∂f i=1 Ai ∂x i
m i=1
∩
Ai ( p)
∂f ∂x i
p
=
∂f Ai ∂x ( p) . Entonces ξf Dom x = , para cada carta x . i Por lo tanto, si aplicamos el lema 2.1 se obtiene que ξf es diferenciable. Ahora veamos que es lineal, en efecto, (ξ (αf +βg))( p) = X p (αf +βg) = αX p (f ) + βX p (g) = αξf ( p) + βξg( p) = (αξf + βξg)( p) para cada
2. DEFINICI´ o N Y PROPIEDADES DE CAMPOS Y FORMAS
107
p Dom X Dom f Dom g , escalares α, β R y f, g C ∞ (M ) . Para ver que ξ es una derivaci´ o n, sean f, g C ∞ (M ) , entonces ξ (f g)( p) = X p (f g) = f ( p)X p (g) + X p (f )g( p) = f ( p)ξg( p) + ξf ( p)g( p) = (f (ξg) + (ξf )g)( p) . Rec´ıprocamente, supongamos que ξ es un operador derivaci´on con dominio el abierto U . Para cada p U , se tiene que X p es lineal, ya que X p (αf +βg) = (ξ (αf +βg))( p) = αξf ( p)+βξg( p) = αX p (f )+βX p (g) . Adem´as cada X p verifica la propiedad de Leibniz: Si f, g C ∞ ( p) , entonces X p (f g) = ξ (f g)( p) = (f (ξg) + (ξf )g)( p) = f ( p)X p (g) + X p (f )g( p) . Finalmente, queda por probar que X es diferenciable. Sea p U = Dom X y sea x una carta de M en p tal que Dom x m m ∂ ∂ U . Entonces X = 1 X (xi ) ∂x i = 1 ξ (xi ) ∂x i . Puesto que ξ (xi ) es difierenciable para 1 i m , aplicando el lema 2.1 se deduce que X es diferenciable en el punto p . Por lo tanto X es una secci´ on diferenciable.
∈
∩
∩ ·
·
∈ ∈
∈
∈
·
∈
·
∈
⊂
≤ ≤
Observaci´ on 2.1. (Notaci´on) Dada la correspondencia biun´ıvoca entre campos tangentes y operadores derivaci´ on, utilizaremos la misma letra X para denotar el campo y el operador derivaci´ on inducido. El conjunto de todos los campos tangentes a una variedad M se denotara por Ξ(M ) y los campos tangentes con dominio un abierto U por ΞU (M ) . En particular ΞM (M ) denota los campos globales tangentes a la variedad M . Un espacio vectorial real V provisto de una aplicaci´ on bilineal antisim´etrica [ , ] : V V V que satisfaga la identidad de Jacobi
− − × →
[[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] = 0
se denomina algebra ´ de Lie . Definici´ o n 2.2. Dados dos campos tangentes X, Y a una variedad M se llama corchete de Lie al campo tangente definido como el operador lineal que aplica la funci´on f C ∞ (M ) en la funci´on [X, Y ]f = X (Y f ) Y (Xf ) . Notemos que Dom[X, Y ] = Dom X Dom Y .
∈
−
∩
Proposici´on 2.2. El corchete de Lie dota al espacio vectorial ΞU (M ) de los campos tangentes a una variedad M con dominio un abierto U de estructura de a´lgebra de Lie. En particular el espacio vectorial ΞM (M ) de los campos globales tiene una estructura de a´lgebra de Lie. ´ n. No Demostracio
es dif´ıcil comprobar que efectivamente los campos tangentes globales de una variedad tiene estructura de espacio vectorial real. La identidad de Jacobi se desprende de las siguientes igualdades [[X, Y ], Z ] + [[Y, Z ], X ] + [[Z, X ], Y ] = (XY Y X )Z Z (XY Y X ) + (Y Z ZY )X X (Y Z ZY ) +(ZX XZ )Y Y (ZX XZ ) = 0.
−
−
−
−
−
− −
−
−
108
7. CAMPOS Y FORMAS
Dada w una 1-forma de M , podemos definir el siguiente operador lineal inducido ω que aplica un campo X tangente a M en la funci´on ωX cuyo dominio es Dom w Dom X y est´a definida por ωX ( p) = w p (X p ) . Una aplicaci´on ω : Ξ(M ) C ∞ (M ) diremos que es un operador lineal sobre un abierto U si satisface que Dom(ωX ) = U Dom X y ω(fX + gY ) = f ωX + gωY donde f, g C ∞ (M ) y X, Y Ξ(M ) . De modo rec´ıproco, dado un operador lineal ω : Ξ(M ) C ∞ (M ) sobre un abierto U , podemos asociarle la 1-forma w tal que si v T p M y V es un campo tal que V p = v , entonces w p (v) = ωV ( p) . Notemos que el lema siguiente prueba la existencia del campo V y la independencia del campo V elegido.
∩ →
∈
→
∩ ∈ ∈
Lema 2.2. Sea M una variedad diferenciable. (i) Si ω : Ξ(M ) C ∞ (M ) es un operador lineal y X un campo tangente a M y W un abierto de M , entonces
→
(ωX ) W = ω(X W ) ,
|
|
(ii) Si v es un vector tangente en un punto p M , entonces existe un campo tangente V definido en p tal que V p = v , (iii) Sea ω : Ξ(M ) C ∞ (M ) es un operador lineal sobre un abierto U y sean V, V son dos campos tangentes definidos en un punto p U , si V p = V p , entonces ωV ( p) = ωV ( p) .
∈
→
∈
´ n. Para Demostracio
ver (i), notemos que X X W = 0(X X W ) , entonces 0 = 0ω(X X W ) = ω(0(X X W )) = ω(X X W ) = ω(X ) ω(X W )) . De aqu´ı se obtiene que (ωX ) W = ω(X W ) . Para (ii), sea x una carta en el punto p, entonces v = λ 1 ∂x∂ 1 +
|
−
··· +λ
m
− |
|
∂ ∂x m
− | |
− |
|
−
− |
p
p
···
. Entonces el campo V = λ 1
∂ ∂x 1
+
+λm
∂ ∂x m
ve-
rifica que V p = v . (iii) Sea X un campo definido en p tal que X p = 0 y sea x una carta en p . Supongamos que X Dom X = i f i ∂x∂ i . Entonces aplicando (i) se tiene que (ωX )( p) = (ω(X Dom x ))( p) = ω( i f i ∂x∂ i )( p) = i f i ( p)ω ∂x∂ i ( p) .
|
|
De la condici´on X p = 0 se desprende que f 1 ( p) = 0, , f m ( p) = 0, luego (ωX )( p) = 0 . Tomemos ahora X = V V , notemos que X p = 0 , entonces 0 = (ω(V V ))( p) = (ωV )( p) (ωV )( p) .
·· ·
− −
−
Proposici´on 2.3. Existe una correspondencia biun´ıvoca entre operadores lineales respecto funciones de la forma ω : Ξ(M ) C ∞ (M ) y 1-formas w : M T ∗ M de una variedad M .
→
→
2. DEFINICI´ o N Y PROPIEDADES DE CAMPOS Y FORMAS
109
´ n. En Demostracio
primer lugar, veamos que si w es una 1-forma, el correspondiente operador es ω y X un campo diferenciable, entonces ωX es diferenciable. En el dominio de una carta x se tiene que w Dom x = Ai dxi y para el campo X Dom x = B j ∂x∂ j . Entonces (ωX ) Dom x = Ai Bi que por el lema 2.1 es diferenciable. Puesto que esto sucede para cada carta x se sigue que ωX es diferenciable. Veamos ahora que ω es lineal, en efecto, (ω(fX + gY ))( p) = w p (f ( p)X p + g( p)Y p ) = f ( p)w p (X p )+g( p)w p (Y p ) = f ( p)ωX ( p)+g( p)ωY ( p) = (f ωX +gωY )( p) para cada p Dom w Dom X Dom Y , f, g C ∞ (M ) y X, Y Ξ(M ) . Rec´ıprocamente, supongamos que ω es un operador lineal con dominio el abierto U . Para cada p U , se tiene que w p es lineal, para verlo ¯ supongamos que v, v¯ T p M y que V , V son campos que extienden v y ¯ ¯ p) = v¯ , entonces w p (αv + β ¯ v ) = (ω(αV + β V ))( p) = αωV ( p) + βω V ( αw p (v) + βw p (¯v ) . Finalmente queda probar que w es diferenciable. Sea p U = Dom w y sea x una carta de M en p tal que Dom x U . m ∂ Entonces w = 1 ω ∂x i dxi . Puesto que para i 1, , m se tiene
|
∈
∩
∩
∈
∈
∈
∈
∈
| |
∈ { · ·· }
⊂
que ω ∂x∂ i es diferenciable, aplicando lema 2.1 se obtiene que w es diferenciable en p para cada p Dom w . Entonces w es una secci´ on diferenciable.
∈
Como consecuencia del resultado anterior utilizaremos la misma letra, digamos ω , para denotar el operador lineal y la secci´ on. Definici´ on 2.3. Una r-forma ω con dominio un abierto Dom ω de una variedad M es una aplicaci´ on multilineal (respecto funciones) y alternada de la forma ω : Ξ(M ) . . .(r Ξ(M ) C ∞ (M ) verificando que Dom(ω(X 1 , , X r )) = Dom ω Dom X 1 , Dom X r . Se toman como 0-formas la funciones diferenciables f : M R . Denotemos por Ωr (M ) el espacio de las r-formas de M y por ΩrU (M ) el espacio de las r-formas con dominio un abierto U . En particular ΩrM (M ) es el espacio de las r-formas globales de M .
×
· ··
∩
×
→ ∩··· ∩ →
Dada una r-forma ω de una variedad M , su diferencial como la (r + 1)-forma dω definida por
dω(X 0,
·· ·
1 , X r ) = r + 1
−
r
−
·· · ··· ···
( 1)i X i ω(X 0 ,
0
· ·· , X , ··· , X ) i
r
1 + ( 1)i+ j ω( [X i , X j ], , Xi , , X j , , X r ) r + 1 0≤i
|
110
7. CAMPOS Y FORMAS
f´ormula θ U (X 1 , , X r ) = θ(X 1 , , X r ) U Es f´acil ver que la restricci´o n de r-formas verifica las siguientes propiedades:
|
···
···
|
Proposici´on 2.4. Sea M una variedad y ω una r-forma, (i) Si X 1 , , X r son campos tangentes a M , entonces θ U (X 1 , , X r ) = θ(X 1 U , , X r U ) . (ii) Si ω U = 0 para cada abierto U de un cubrimiento de la variedad, entonces ω = 0 , (iii) Si U es un abierto, entonces (dω) U = d(ω U ) .
|
··· ·· ·
|
| ···
|
|
|
Proposici´ on 2.5. El operador d verifica para cualquier r-forma la ecuaci´on ddω = 0 . ´ n. Veamos Demostracio
|
que ddω Dom x = 0 para cada dominio de carta. Esto implica que ddω = 0 . N´otese que si X 0 = ∂x∂ i , . . . ,
0
∂
X r+1 = ∂x i , son los campos coordenados se tiene que el corchete r +1 de Lie de dos de ellos es nulo, entonces ddω(X 0 , 1 1 r+1 r+2
=0
1 r+2
r+1 0
i
(−1) X dω(X , · ·· , X , ··· , X ) = ·· · , X ) = (−1) (−1) (X X − X X )ω(X , ·· · , X , ··· , X , ··· X ) r+1
r+1 i
i
j
j
i
i
j
i
0
i
r+1
0
i
j
r+1
Definici´ o n 2.4. Una r-forma ω se dice que es cerrada si dω = 0 . Una r-forma ε se dice que es exacta si existe una (r 1)-forma θ tal r que dθ = ε . Sea Z U (M ) = ω ω r-forma cerrada con dominio U y r BU (M ) = ε ε r-forma exacta con dominio U . El r-´esimo grupo de cohomolog´ıa de De Rham de un abierto U de la variedad M se define como: r r r H DR (U ) = Z U (M )/BU (M ) . En particular se obtienen los grupos de cohomolog´ıa de De Rham de la viariedad M .
−
{ |
{ |
}
}
Para cualquier r-forma ω con dominio U se tiene que ddω = 0 por lo que se obtiene el complejo de cocadenas siguiente: 0
→ Ω
0 U (M )
→ Ω
1 U (M )
r U (M )
→ ·· · Ω
→ · ··
donde ΩrU (M ) denota las r-formas de M con dominio U , el r-´esimo grupo de cohomolog´ıa de De Rham de un abierto U de la variedad M es el r-´esimo grupo de cohomolog´ıa del complejo de cocadenas anterior. Observaci´ on 2.2. Si M es una variedad paracompacta Hausdorff, se tiene que los grupos de cohomolog´ıa de De Rham son isomorfos a los grupos de cohomolog´ıa singular con coeficientes enteros
∼
r H DR (U ) = H sing (M, Z)
´ Y PROPIEDADES DE CAMPOS Y FORMAS DEFINICION
111
Una demostraci´ on de este resultado puede verse en [40] . Problemas 2.1. Demostrar que la funci´on que aplica cada punto de una variedad diferenciable M en el vector tangente nulo en ese punto es un campo vectorial en M . 2.2. Sean x, y las cartas del atlas estereogr´ afico de S 2 ver el ejemplo 1.4 del cap´ıtulo 3 . Si a, b R, demostrar que los campos vectoriales:
∈ (ax − bx ) (−ay − by )
X 1 = X 2 =
∂ ∂ 2 ∂x 1 + (bx1 + ax2 ) ∂x 2 ∂ ay2 ) ∂y∂ 2 2 ∂y 1 + (by1
1
1
−
definen un campo vectorial sobre S 2 . Soluci´on: Recordemos que el cambio de cartas viene dado por 1 y1 = (x1 )2x+(x y2 = 2 2) 1 x1 = (y1 )2y+(y x2 = 2 2)
x2 (x1 )2 +(x2 )2 y2 (y1 )2 +(y2 )2
Entonces la matriz del cambio viene dada por los siguientes coeficientes ∂y 1 ∂x 1 ∂y 2 ∂x 1
X 1
|
Dom y
= (ax1 = (ax1
−(x1 )2+(x2 )2 = ((x 2 2 2 1 ) +(x2 ) ) =
2x1 x2 ((x1 )2 +(x2 )2 )2
−
∂ 2 ∂x 1
− bx ) − bx ) 2
+ (bx1 + ax2 ) = + = + = + =
∂y 1 ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2
= =
2x1 x2 ((x1 )2 +(x2 )2 )2 (x1 )2 (x2 )2 ((x1 )2 +(x2 )2 )2
−
−
+ (bx1 + ax2 ) ∂x∂ 2
− −(x1 )2+(x2 )2
∂ ∂y 1
2x1 x2 ((x1 )2 +(x2 )2 )2 (x1 )2 +(x2 )2 ((x1 )2 +(x2 )2 )2
∂ ∂y 1
((x1 )2 +(x2 )2 )2
−
−
1 x2 + ((x1−)22x +(x2 )2 )2 2 2 + (x1 ) −(x2 )
((x1 )2 +(x2 )2 )2
∂ ∂y 2
∂ ∂y 2
2x1 x2 ((x1 )2 +(x2 )2 )2 (x1 )2 (x2 )2 2x1 x2 (ax1 + (bx + ax ) 2 1 2 2 2 2 ((x1 ) +(x2 ) ) ((x1 )2 +(x2 )2 )2 2 2 2 2 2 ax1 (x1 ) +ax1 (x2 ) +bx2 (x1 ) bx2 (x2 ) 2bx2 (x1 ) 2ax1 (x2 )2 ∂ ((x1 )2 +(x2 )2 )2 ∂y 1 bx1 (x1 )2 bx1 (x2 )2 +ax2 (x1 )2 ax2 (x2 )2 2ax2 (x1 )2 +2bx1 (x2 )2 ∂ ((x1 )2 +(x2 )2 )2 ∂y 2 ( ax1 bx2 )(x1 )2 +( ax1 bx2 )(x2 )2 ∂ ((x1 )2 +(x2 )2 )2 ∂y 1 (bx1 ax2 )(x1 )2 +(bx1 ax2 )(x2 )2 ∂ ((x1 )2 +(x2 )2 )2 ∂y 2 ( ax1 bx2 ) (bx1 ax2 ) ∂ ∂ + 2 2 ((x1 ) +(x2 ) ) ∂y 1 ((x1 )2 +(x2 )2 ) ∂y 2
(ax1
−
− bx ) − bx ) 2
−
− − −
− −
+ (bx1 + ax2 )
−
−
−
−
−
− −
−
−
−
−
−
= ( ay1 by2 ) ∂y∂ 1 + (by1 ay2 ) ∂y∂ 2 = X 2 Dom x Puesto que ambos coinciden en la intersecci´ on de los dominios se tiene que efectivamente definen un campo en la esfera.
− − |
∂ ∂y 1 ∂ ∂y 2
112
7. CAMPOS Y FORMAS
2.3. Sean w = x0 , x = x1 , y = x2 las cartas del atlas de P 2 (R) dadas en el ejemplo 1.5 del cap´ıtulo 3 . Demostrar que los campos vectoriales: (w1 ) ∂w∂ 1 (w2 ) ∂w∂ 2 X 1 = X 2 = ( x1 ) ∂x∂ 1 (2x2 ) ∂x∂ 2 X 3 = (y1 ) ∂y∂ 1 + (2y2) ∂y∂ 2
−
− −
definen un campo vectorial sobre P 2 (R) . 2.4. Si X, Y son campos vectoriales y f, g funciones diferenciables definidas en una variedad diferenciable M con valores en R, demostrar que: [fX,gY ] = f g[X, Y ] + f (Xg)Y g(Y f )X
−
2.5. Si x es una carta de una variedad diferenciable M con dominio U y X, Y son campos vectoriales en M , demostrar que: ∂ [X, Y ] U = (X (Y x j ) Y (Xx j )) ∂x j
|
−
2.6. Demostrar que el espacio vectorial de las matrices reales n n tiene estructura de a´lgebra de Lie cuando se define la siguiente operaci´ on: [A, B] = AB
×
− BA
2.7. Demostrar que si φ : M N es un difeomorfismo local e Y es un campo tangente a N , entonces existe un u´nico campo X tangente a M tal que para cada p Dom f f −1 Dom Y se tiene que φ∗ p X p = Y φp .
→ ∈ ∩ 2.8. Demostrar que si φ : M → N es diferenciable y ω es una 1-forma de N , entonces existe una u´nica 1-forma φ ∗ w cotangente a M tal que para cada p ∈ Dom f ∩ f − Dom w se tiene que φ∗ (ω ) = (φ∗ ω) . 1
p
φp
p
o n recubridora 2.9. En la 1-esfera S 1 consideramos la aplicaci´ d f (t) = (cos2πt, sen2πt) que induce el campo X p = f ∗ p dt si p = s (cos2πs, sen2πs) y la 1-forma w tal que w(X ) = 1. Probar que para cualquier funci´ on global h de S 1 en R se tiene que dh = w y deducir que el primer grupo de cohomolog´ıa de De Rham de S 1 es no nulo.
Soluci´on: Supongamos que w = dh, entonces f ∗ w = f ∗ (dh) = d(hf ) . Puesto que hf es una funci´ on acotada en alg´ un punto s tiene un m´aximo en el que se anular´a la primera derivada. Entonces d d(hf ) d(hf )s = =0 dt s dt s Sin embargo en el mismo punto se verifica que
d d = w f (s) f ∗s = w f (s) X f (s) = 1 dt s dt s Lo que lleva a una contradicci´ on que viene de suponer que existe h tal que dh = w . Por lo tanto el primer grupo de cohomolog´ıa de De Rham de la S 1 es no trivial. (f ∗ w)s
VARIEDADES PARALELIZABLES
3.
113
Variedades paralelizables
Recordemos que asociado a una variedad M podemos considerar el espacio ΞM (M ) de todos los campos globales tangentes a M que tiene ∞ (M )-m´odulo. una estructura natural de C M Definici´ on 3.1. Dados X 1 , , X r campos globales tangentes a M , diremos que son linealmente independientes si X p1 , , X pr son independientes en T p M para cada p M . Una variedad M de dimensi´on m se dice paralelizable si existen X 1 , , X m campos globales e independientes.
··· ∈
···
···
Proposici´on 3.1. Sea M una variedad, entonces son equivalentes: (i) M es paralelizable, (ii) Existe un difeomorfismo de T M con M Rm que conmuta con las proyecciones y es lineal en las fibras.
×
implica (ii): Supongamos que X 1 , , X m es una paralelizaci´ o n de M . Entonces podemos considerar lar biyecci´on m Θ : M R T M definida por Θ( p, (λ1 , , λm )) = λ1 X p1 + + λm X pm , que adem´as conmuta con las proyecciones y es lineal en las fibras. Si x es una carta de M y X j = (X j xi ) ∂x∂ i , la representaci´on coordenada de Θ es la siguiente: ´ n. (i) Demostracio
×
···
→
···
x ˜Θ(x−1 idRm )(r, λ) = (r, (
×
···
λ j (X j x1)x−1 (r),
x ˜,(x id)
×
·· · ,
λ j (X j xm )x−1 (r)))
De aqu´ı se deduce que detJ Θ ( p, λ) = 0 . Por lo tanto la biyecci´on Θ es un difeomorfismo local, ello implica que Θ es un difeomorfismo global de M Rm en T M . (ii) implica (i): Es f´acil ver que el fibrado M Rm tiene m secciones diferenciables independientes, basta considerar S i ( p) = ( p, (0, , 1(i , , 0)) . Entonces si Θ es el difeomorfismo dado, podemos tomar como paralelizaci´on ΘS 1 , , ΘS m .
×
···
×
···
···
N´otese que si los fibrados T M y M Rm son difeomorfos (como fibrados vectoriales), entonces ΞM (M ) es isomorfo al m´ odulo de las secm m ciones diferenciables de M R . Una secci´on M R es de la forma R diferenciables. S ( p) = ( p, (f 1 ( p), , f m ( p))) con f 1 , , f m : M Esto implica que la correspondencia S (f 1 , , f m ) es un isomorfis∞ ∞ (M )m . mo de ΞM (M ) en el C M (M )-m´odulo libre de rango m , C M
×
· ··
×
··· →
· ··
× →
Problemas 3.1. Probar que los abiertos de lelizables.
Rm
y la 1-esfera son variedades para-
Soluci´on: Si U es un abierto en Rm entonces si x es la carta inclusi´ on se tiene que ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂ m es una paralelizaci´ on de U .
114
7. CAMPOS Y FORMAS
En el caso de la 1-esfera S 1 podemos considerar sobre R el campo d . Este campo es invariante por traslaciones. Supongamos que tenedt d mos una traslaci´ on f (t) = t + z . Entonces f ∗s dtd s = df = dt s dt s+z
d(t+z) dt
s
d dt s+z
=
d As´ı que dt s+z
el grupo discontinuo de transforma-
ciones generado por la traslaci´ on unidad preserva el campo dtd . Entonces queda inducido de modo natural un campo en la variedad obtenida al dividir por el grupo de traslaciones enteras. Adem´as el inducido es no nulo si tenemos en cuenta que la proyecci´ on es un difeomorfismo local. 3.2. Demostrar que el producto de variedades paralelizables es paralelizable. Probar que los toros y cilindros de la forma S 1 S 1 , R son paralelizables. S 1 S 1 R
×···×
×···× × ···×
3.3. Probar que un grupo de Lie es paralelizable. 4.
Variedades orientables
Dadas dos bases de un espacio vectorial de dimensi´ on mayor que uno e = (e1 , . . . , em ) , e = (e1 , . . . , em ) tal que el cambio de bases viene dado por la matriz e j = a ji ei . Diremos que e e si det(a ji ) > 0 . Se llama orientaci´ on del espacio vectorial real a cada una de las dos clases de equivalencia de la relaci´on anterior θ(e1 , e2 , . . . , em ) , θ( e1 , e2 . . . , em ) .
∼
−
Definici´ on 4.1. Una orientaci´ on de una variedad M es una secci´on que asigna a cada p M una orientaci´ on θ p del espacio vectorial T p M de tal modo que para cada p M existen m campos independientes X 1, , X m definidos en un entorno abierto U de p de modo que θ q = θ(X q1 , , X qm ) para cada q U . Una variedad se dice orientable si admite una orientaci´ on. Una variedad provista de una orientaci´o n se dice que es una variedad orientada .
∈
·· · · ··
∈ ∈
on en una variedad M y θ una Proposici´on 4.1. Sea θ una orientaci´ orientaci´ on en un abierto conexo U . Entonces θ = θ U o θ = θ U .
|
−|
los subconjuntos U + = p U θ p = θ p y U − = p U θ p = θ p . Si p U +, entonces existen paralelizaciones X 1, , X m y X 1, , X m que determinan las orientaciones θ y θ en un entorno abierto V del punto p contenido en U . Para cada q V se tiene que X qi = a ji (q )X qj de modo que cada a ji es un funci´ on diferen j ciable con dominio V . N´otese que det(ai ( p)) > 0 , y por ser det(a ji ) una funci´ on continua, existe un entorno abierto W de p contenido en V tal que det(a ji (q )) > 0 para cada q W . Entonces p W U + , esto sucede para cada punto de U + . Por lo que U + es un abierto de M . Similarmente se prueba que U − es abierto. Aplicado que U es conexo se tiene que U = U + o U = U − . Consecuentemente θ = θ U o θ = θ U . ´ n. Sean Demostracio
{ ∈ | ·· ·
− } ·· ·
{ ∈ |
∈
∈
∈
−|
}
∈ ⊂
|
4. VARIEDADES ORIENTABLES
115
Corolario 4.1. Una variedad orientable y conexa admite dos orientaciones. Proposici´on 4.2. Sean x, y un atlas de una variedad orientable M con i dominios conexos, entonces det ∂x tiene signo constante en Dom x ∂y j Dom y .
∩
´ n. Teniendo Demostracio
en cuenta que Dom x es conexo y que M es orientable se puede aplicar la proposici´ on 4.1 para afirmar que existe una orientaci´ on θ en M compatible con la parametrizaci´ on ∂x∂ 1 , , ∂x∂ m . Por otro lado la parametrizaci´ on ∂y∂ 1 , , ∂y∂ m induce una orientaci´ on θ en el dominio de la carta y . Al ser este conexo, de la proposici´on 4.1 se infiere que θ = θ Dom y o θ = θ Dom y , en el
···
···
∂x i ∂y j
primer caso det negativo.
|
es positivo en Dom x
− |
∩ Dom y y en el otro caso
Corolario 4.2. La banda de Moebius no es orientable. ´ n. Consideremos Demostracio
la banda de Moebius como el espacio cociente M = R /(r, s) (r + z, ( 1)z s) con z entero. Sea p : R2 M la proyecci´on can´ onica. Tomemos el atlas de dos cartas − 1 x = ( p (0,1)×R ) , y = ( p (1/2,3/2)×R )−1 que tienen dominio conexo. El cambio de cartas viene dado por 2
→ |
∼
−
|
yx−1 (r, s) = (r + 1, s) si 0 < r < 1/2 ,
−
yx −1 (r, s) = (r, s) si 1/2 < r < 1 .
Entonces det
∂y i ∂x j
(r,s)
vale 1 para 0 < r < 1/2 y vale
−1 para 1/2 <
on r < 1 . Si suponemos que M es orientable, entonces la proposici´ ∂y i anterior implica que el signo de det ∂x debe ser constante. En j consecuencia M no es orientable.
(r,s)
Proposici´on 4.3. Sea φ : M N un difeomorfismo local con dominio M . Si θ es una orientaci´ o n en N , entonces φ induce de modo natural ∗ una orientaci´ on φ θ en M .
→
´ n. Demostracio
Sea l : V W un isomorfismo de espacios vectoriales. Si una orientaci´ on θ de W est´a determinada por una base − (b1 , , bm ) , entonces (l 1 b1 , , l −1bm ) es una base de V que determina una orientaci´ on l ∗ θ en V . Ahora puesto que φ es un difeomorfismo local se tiene que para p M , T p φ determina una una orientaci´ on ∗ (T p φ) θφp en T p M . Sea U un entorno abierto de p tal que φ U es un difeomorfismo. Si Y 1 , , Y m es una paralelizaci´ o n de θ en φU , en1 1 1 m − − tonces (T φ U ) Y φ U , , (T φ U ) Y φ U es una paralelizaci´on para ∗ (T p φ) θφp con p U . Luego (φ∗ θ) p = (T p φ)∗ θφp , p M define una orientaci´ on en M .
···
|
∈
··· | · ··
→ ··· ∈ |
|
|
∈
116
7. CAMPOS Y FORMAS
Proposici´on 4.4. Sean φ : M N ψ : N P difeomorfismo local con dominios M y N , respectivamente. Si θ es una orientaci´ o n en P , ∗ ∗ ∗ entonces φ ψ θ = (ψφ) θ .
→
→
´ n. Para Demostracio
cada punto a M se tiene que T a (ψφ) = (T φ(a) ψ)(T a φ) . Adem´as por ser difeomorfismo locales, si w T ψφ(a) P entonces obtenemos que (T a φ)−1(T φ(a) ψ)−1 (w) = (T a (ψφ))−1 (w) . De la definici´on de orientaci´ on inducida por un difeomorfismo local inme diatamente se sigue que φ∗ ψ ∗ θ = (ψφ)∗ θ .
∈
∈
Proposici´on 4.5. Sea G un grupo discontinuo de transformaciones de M . Entonces G M es orientable si y s´olo si existe una orientaci´ on θ en M que es preservada por cada transformaci´ on del grupo.
\
´ n. Demostracio
Sea η : M G M la proyecci´on can´ onica que es ¯ un difeomorfismo local. Denotaremos por φg la transformaci´ o n asociada al elemento g G . Supongamos que G M es orientable y sea θ una orientaci´ on. Tomemos en M la orientaci´on η ∗ θ . Para cada g G la transformaci´on φ¯g verifica que η φ¯g = η . Aplicando la proposici´on anterior se tiene que φ¯∗g η ∗ θ = η ∗ θ . Luego la orientaci´ on inducida es preservada por las transformaciones del grupo. Rec´ıprocamente, supongamos que en M disponemos de una orientaci´ on ε . Sea b G M , tomemos a M tal que η(a) = b . Si la orientaci´on εa est´a determinada por la base (e1, , em ) y T a η es la aplicaci´on tangente, que es un isomorfismo, entonces (T a η(e1 ), , T a η(em )) es una base que determina una orientaci´ o n en T b (G M ) . Si hubi´eramos tomado otro a M verificando η(a ) = b , entonces existir´ıa un g G tal que φ¯g (a) = a . Supongamos que εa est´a determinada por la base (e1 , , em ) , puesto que φ¯∗g ε = ε , si (T aφ¯g )−1 (e j ) = α ji ei con det(α ji ) > 0 . Entonces se tiene que (T a η(e j ) = α ji T a η(ei ) . En consecuencia (T a η(e1), , T a η(em )) y (T a η(e1 ), , T a η(em )) determinan la misma orientaci´o n en b . Finalmente observemos que existe un entorno abierto U de a y una paralelizaci´ on X 1 , , X m definida en U tal que ε es compatible con X 1 , , X m , η U es un difeomorfismo. Entonces (η U )−1 X 1 (T (η U )), , (η U )−1 X m (T (η U )) es un paralelizaci´ on de θ en ηU entorno abierto de b .
→ \
∈
\
∈
∈ \
∈
·· ·
\
∈
· ··
···
|
· ··
|
· ·· ···
·· · · ·· |
|
∈
|
Ejemplo 4.1. La 1-esfera S 1 se puede obtener como la variedad de las R definido por ´orbitas del grupo de traslaciones enteras φ : Z R la acci´on φ(z, r) = z + r . N´otese que la orientaci´ on inducida por la d paralelizaci´on can´ onica dt es invariante por traslaciones. Entonces, la proposici´on anterior implica que S 1 es orientable.
× →
Para ver que las dem´as esferas S n , n 2 son orientables, es suficiente aplicar el siguiente resultado al atlas estereogr´ afico.
≥
Proposici´on 4.6. Si una variedad M admite un atlas de dos cartas x, y de modo que Dom x Dom y es conexo, entonces M es orientable.
∩
4. VARIEDADES ORIENTABLES
117
´ n. La Demostracio
carta x induce una orientaci´ on θ en su dominio, y respectivamente una orientaci´ on τ es inducida por y . En la intersecci´ on conexa Dom x Dom Y se tiene que θ Dom y = τ Dom x o θ Dom x = τ Dom y . En el primer caso, θ τ define una orientaci´ on en M y en el segundo θ τ .
|
∩
− |
|
∪
∪−
|
Corolario 4.3. La espacio proyectivo P n(R) es orientable si y s´olo si n es impar. espacio proyectivo P n (R) es el espacio de ´orbitas de la acci´on del c´ıclico de orden dos generado por la aplicaci´ on n+1 n+1 ant´ıpoda a de S . Si θ es una de las dos orientaciones de S , ∗ ∗ entonces por la proposici´ on 4.1 , se tiene que a θ = θ o a θ = θ . Para determinar se se verifica una u otra bastara ver que ocurre en un punto. Si tomamos la carta x de la proyecci´on estereogr´ afica sucede que el punto E = (1, 0, , 0) y E est´an en Dom x , entonces s1 sn x1 = , , xn = 1 sn+1 1 sn+1 s1 sn xa(s1 , , sn+1 ) = x( s1 , , sn+1 ) = ( , , ). 1 + sn+1 1 + sn+1 Notemos que 1 s2n+1 1 + sn+1 xi a 2 2 (x1 ) + + (xn ) = = = . (1 sn+1)2 (1 sn+1 ) xi De donde se tiene que xi xi a = . (x1)2 + + (xn )2 Calculando las derivadas parciales se obtiene: ´ n. El Demostracio
−
·· · − − ·· · − ··· −
·· ·
− −
− −
·· ·
−
· ··
−
−
− ·· ·
∂ (xi a) = ∂x j De donde
2
2
−δ ((x ) + · ·· + (x ) ) + 2x x ((x ) + ··· + (x ) ) ij
1
1
n
2
n
− 1
∂ (xi a) ∂x j
=
i j
2 2
if i = j = 1,
1 if i = j > 1,
E
0 en otro caso En consecuencia se tiene que a∗ θ = ( 1)n−1 θ . Luego a preserva la orientaci´ on si y s´olo si n es impar. Aplicando la proposici´on anterior se tiene que P n (R) es orientable si y s´olo si n es impar.
−
Proposici´on 4.7. Si θ es una orientaci´on en M , entonces existe un atlas compatible con θ . ´ n. Tomemos Demostracio
un atlas con dominios conexos y en caso que una carta no sea compatible se le cambia una coordenada de signo.
118
7. CAMPOS Y FORMAS
Problemas 4.1. Probar que una variedad paralelizable es orientable. 4.2. Demostrar que la botella de Klein es no orientable. on 4.3. Considerar el toro como el espacio de o´rbitas de R2 bajo la acci´ del grupo discontinuo de traslaciones enteras. Probar que existe una orientaci´ o n en R2 que es preservada por estas traslaciones y deducir que el toro es orientable. 4.4. Demostrar que la variedad producto M M es orientable si y s´olo si las variedades M y M lo son.
×
4.5. Demostrar que el fibrado tangente T M de cualquier variedad M es una variedad orientable. 5.
Curvas integrales
Una curva es una funci´ on diferenciable σ : R M . Sea X un campo de vectores tangentes. Se dice que σ es una curva integral de X d si para cada s σ −1 Dom X se tiene que T s σ dt = X σ(s) . s Rm una carta y sea c = xσ (ci = xi σ). Si σ es una Sea x : M curva integral de X en el dominio de la carta, entonces para cada s σ −1 Dom X Dom x se tiene que, por un lado
∈
∈ → ∩
σ∗
d dt
= σ∗ dtd x1 ∂x∂ 1 +
= =
y, por otro, si suponemos que X = que X σ = f ˜1σ ∂x∂ 1 +
· ·· + f ˜ σ m
∂ ∂x m
··· + + · ·· + + ·· · +
d(x1 σ) ∂ dt ∂x 1 dc1 ∂ dt ∂x 1
→
σ∗ dtd xm ∂x∂ m
d(xm σ) dt dcm ∂ dt ∂x m
m ˜ ∂ i f i ∂x i
∂ ∂x m
. Sobre la curva se tiene
= f ˜1 x−1 xσ ∂x∂ 1 +
· ·· + f ˜ x− xσ m
1
∂ ∂x m
Entonces σ es curva integral en el dominio de la carta si y s´olo si c = xσ y f i = f ˜i x−1 satisfacen las ecuaciones diferenciales: dc1 dt
= f 1 (c1 , . . . , cm )
dcm dt
= f m (c1 , . . . , cm )
.. .
Rm es una soluci´ Es decir si y s´olo si c : R on del sistema de ecuaciones diferenciales de primer grado anterior. Recordemos que
→
Rm una funci´ Proposici´on 5.1. Sea f : Rm on C ∞ , a Dom f . Entonces existe un entorno abierto V de a en Dom f y un ε > 0 tales que para cada t0 en R y cada r V existe una u ´nica curva cr tal que Dom cr = (t0 ε, t0 + ε) , cr (t0 ) = r y
−
→ ∈
∈
5. CURVAS INTEGRALES
dcr1 dt
.. .
119
= f 1 (cr1 , . . . , crm )
dcrm dt
Adem´as la funci´on (t0
−
= f m (cr1 , . . . , crm ) Rm , (s, r) ε, t0 + ε) V
× →
r
→ c (s) es C ∞ .
Una demostraci´ on detallada y no demasiado larga puede verse en [?] . Como consecuencia del teorema de existencia y unicidad anterior se obtiene el siguiente resultado: Proposici´on 5.2. Sea X un campo de vectores tangentes a una variedad M , p Dom X . Entonces existe un entorno abierto U de p en Dom X y un ε > 0 tales que para cada t0 en R y cada q U existe una u ´ nica curva σq tal que Dom σq = (t0 ε, t0 + ε) , σq (t0) = q y σ∗s dtd s = X σ(s) . Es decir que σ q es una curva integral de X . Adem´as la funci´on (t0 ε, t0 + ε) U M , (s, q ) σ q (s) es diferenciable.
∈
−
∈
− →
× →
Definici´ on 5.1. Una curva integral σ se dice completa si Dom σ = R . Un campo se dice completo si todas sus curvas integrales son completas. Proposici´on 5.3. Los campos globales de una variedad compacta son completos. ´ n. Demostracio
Sea X un campo en una variedad compacta M para cada p M existe un entorno abierto U y un ε > 0 satisfaciendo las propiedades de la proposici´ on anterior. Estos abiertos forman un cubrimiento abierto de M y por ser M compacta se puede extraer un subcubrimiento finito U 1 , , U n que tiene asociados los reales ε1 , , εn . Tomemos δ = m´ın ε1, , εn . Veamos que X es completo, sea σ : (a, b) M una curva integral con dominio conexo (a, b) veamos que siempre se puede extender el dominio a un nuevo intervalo (a 2δ , b + 2δ ) . Si para el punto σ(b 2δ ) aplicamos la proposici´ on anterior tomando t0 = b 2δ , encontramos una nueva curva δ integral σσ(b− 2 ) : (b 3δ2 , b + 2δ ) M . Por la unicidad probada en δ la proposcioci´ on anterior tenemos que σ (b− 3δ ,b) = σ σ(b− 2 ) (b− 3δ ,b) . De 2 2 aqu´ı se sigue que σ admite una extensi´on diferenciable a (a, b + 2δ ) . De modo an´ alogo se puede extender a (a 2δ , b + 2δ ) . Esto implica que la curva integral σ se puede extender a ( , + ) ya que en caso contrario, el dominio abierto conexo de la extensi´ on maximal ser´ıa de la forma (a .b ), y podr´ıamos aplicar de nuevo el argumento anterior para llegar a ver que la extensi´on considerada no era la maximal.
∈
···
··· { ·· · }
→
−
−
−
− →
|
|
− −∞ ∞
El siguiente resultado relaciona las curvas integrales de campos con los sistemas din´amicos diferenciables que hemos visto en la secci´on 2 del cap´ıtulo anterior: Proposici´ on 5.4. Sea X un campo completo en una variedad diferenciable M y denotemos por σ p : R M a la u ´ nica curva integral
→
120
7. CAMPOS Y FORMAS
p
de campo tal que σ p (0) = p y dσ = X p . Entonces la aplicaci´ on dt 0 p φ : R M M definida por φ(t, p) = σ (t) es un sistema din´amico diferenciable.
× →
´ n. Veamos Demostracio
las propiedades que verifica φ : R M on M . Para cada p M se tiene que φ(0, p) = σ p (0) = p . Sea la traslaci´ R dada por λs (t) = t + s . Notemos que λs : R
→
× →
∈
φ(t + s, p) = σ p (t + s) = σ p λs (t) p
φ(t, φ(s, p)) = σ φ(s,p (t) = σ σ (s) (t) . Entonces tenemos d(σ p λs ) dσ p = = X σp λs dt dt λs
por lo que σ p λs es curva integral del campo. En cuanto a las condiciones iniciales se verifica σ p λs (0) = σ p (s), y adem´as
σσ
d(σ p λs ) dt
p (s)
(0) = σ p (s)
= X σp (s) , 0
p
dσ σ (s) dt
= X σp (s)
0 p
Aplicando las propiedad de unicidad se obtiene que σ p λs = σ σ (s) . p Luego σ p λs (t) = σ σ (s) (t) . Por lo tanto φ(t + s, p) = φ(t, φ(s, p)) . Por otro lado, por las propiedades que se desprenden del teorema de existencia y unicidad de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales se obtiene tambi´en que φ es diferenciable.
Problemas 5.1. Encontrar las curvas integrales del siguiente campo definido en R2 : ∂ ∂ X = 2x( ∂x ) + 2y( ∂y ) Soluci´on: El sistema de ecuaciones diferenciales asociado a este campo es el siguiente: dx dt
= 2x
dy dt
= 2y
= 2dt
dy y
= 2dt
equivalentemente: dx x
que tiene como soluci´on: x = ae 2t
y = be 2t
CURVAS INTEGRALES
121
5.2. Encontrar las curvas integrales del siguiente campo definido en R2 : ∂ ∂ X = 2x( ∂x ) 2y( ∂y )
−
−
Soluci´on: El sistema de ecuaciones diferenciales asociado a este campo es el siguiente: dx dt
equivalentemente: dx x
que tiene como soluci´on:
−2x = −2dt =
x = ae −2t
dy dt
−2y = −2dt =
dy y
y = be −2t
5.3. Si x, y son las cartas del atlas estereogr´afico de S 2 . Probar que los campos X = 2x1 ( ∂x∂ 1 ) + 2x2 ( ∂x∂ 2 ) Y = 2y1 ( ∂y∂ 1 ) 2y2 ( ∂y∂ 2 ) determinan un campo sobre la 2-esfera. Representar gr´ aficamente las curvas integrales de dicho campo.
−
−
5.4. Encontrar las curvas integrales de los siguiente campos definidos en R2 : ∂ x( ∂x ) ∂ y( ∂x ) ∂ y( ∂x
∂ ) ∂y
− x( )−y ( 3
∂ ) ∂y
5.5. Considerar los siguientes campos vectoriales de R2 X =
−y
∂ ∂ + y ∂y ∂x
∂ ∂ Y = x ∂x + y ∂y ∂ a) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] en la base ∂x , b) Encontrar las curvas integrales de X y de Y .
∂ ∂y
.
Soluci´on: a) Calculemos [X, Y ]x y [X, Y ]y XY x
− Y Xx = X x − Y (−y) = −y − (−y) = 0 XY y − Y Xy = X y − Y y = −y − y = 0
∂ ∂ Si tenemos en cuenta que [X, Y ] = [X, Y ]x ∂x + [X, Y ]y ∂y se tiene que [X, Y ] = 0 . b) El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo X es el siguiente: dx dt
−y
=
dy dt
= y
122
7. CAMPOS Y FORMAS
equivalentemente: dx dt
=
que tiene como soluci´on:
dy y
−y
= dt
x = bet + b + a y = be t Una representaci´ on de la soluci´ on anterior puede verse en la siguiente figura:
−
El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo Y es el siguiente: dx dt
= x
dy dt
= y
= dt
dy y
= dt
equivalentemente: dx x
que tiene como soluci´on: x = ae t
y = be t
5.6. Considerar los siguientes campos vectoriales en R2 ∂ ∂ X = x y ∂x ∂y ∂ ∂ Y = x + y ∂x ∂y a) Estudiar si (X, Y ) es una paralelizaci´on de R2 . b) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] . c) Calcular las curvas integrales de los campos X e Y . d) Denotemos por u, v las cartas del atlas estereogr´ a fico de la 2esfera.
−
u(r1 , r2 , r3 ) = (
r1
1
,
r2
−r 1−r ) 3
3
r1 r2 v(r1, r2 , r3 ) = ( , ) 1 + r3 1 + r3 y considerar los campos ∂ ∂ u1 u2 ∂u 1 ∂u 2
−
CURVAS INTEGRALES
123
∂ ∂ + v2 ∂v 1 ∂v 2 Estudiar si estos campos coinciden en la intersecci´ on de sus dominios. v1
5.7. Considerar los siguientes campos vectoriales en R2 ∂ X = y ∂x 2 x ∂ Y = 2 ∂y a) Estudiar si (X, Y ) es una paralelizaci´on de R2 . b) Calcular el corchete de Lie [X, Y ] . c) Calcular las curvas integrales de los campos X , Y y [X, Y ] . Decir si son o no completos. d) Denotemos por u, v las cartas del atlas estereogr´ a fico de la 2esfera. u(r1 , r2 , r3 ) = (
r1
1
r2
,
−r 1−r ) 3
3
r1 r2 v(r1, r2 , r3 ) = ( , ) 1 + r3 1 + r3 y considerar los campos ∂ K = u 2 ∂u 1 2 (v1) ∂ L = 2 ∂v 2 Estudiar si estos campos coinciden en la intersecci´ on de sus dominios. Soluci´on: a) Notemos que si x = 0 o y = 0 se tiene respectivamente que en los puntos de la forma p = (x, 0) el campo Y se anula Y p = 0 o en los de la forma p = (0, y) el campo X se anula X p = 0 . Entonces se tiene que (X p , Y p ) no son linealmente independientes sobre puntos de los ejes coordenados. Por lo tato (X, Y ) no es una paralelizaci´ on de 2 R . b) Notemos que ∂ (5.1) Xx = y x = y ∂x (5.2)
x2 ∂ x2 Y y = y = 2 ∂y 2
(5.3)
Y x = 0
(5.4)
Xy = 0
De la ecuaciones anteriores se tiene que (5.5)
− Y X )x = −
(XY
x2 2
124
7. CAMPOS Y FORMAS
−
(5.6)
(XY
x2 Y X )y = X = yx 2
Por lo tanto
x2 ∂ ∂ [X, Y ] = + yx 2 ∂x ∂y c) Al campo X le corresponde el sistema de ecuaciones diferenciales
−
dx dy = y , =0 dt dt que obviamente tiene por soluci´on x = bt + a, y = b. Notemos que cada curva integral est´ a definida para todo t de donde se concluye que el campo X es completo. Al campo Y le corresponde el sistema de ecuaciones diferenciales dx =0 , dt
dy x2 = dt 2 2
que tiene por soluci´on x = a, y = a2 t + b. Como antes cada curva integral est´ a definida para todo t de donde se concluye que el campo Y es completo. Para el campo [X.Y ] se obtiene el sistema dx x2 dy = , = yx . dt 2 dt Notemos que la primera ecuaci´ on es equivalente a dx = dt2 de donde x2 2 se obtiene que x1 = t+C ; es decir , x = t+C . Si para t = 0 imponemos 2 que x = a la soluci´on toma la siguiente forma x = t+2 2 . De la segunda
−
−
ecuaci´on se tiene que
dy y
=
2dt t+ a2
a
. Que implica que log y = 2 log(t+ a2 )+D
o equivalentemente y = e D (t + a2 )2 . Imponiendo que para t = 0 , y = b 2 la soluci´on toma la siguiente forma y = ba4 (t + a2 )2 . Por lo tanto la curva integral que para t = 0 pasa por el punto (a, b) viene dada por 2 x = t +
2 a
,
ba2 2 y = (t + )2 4 a
Notemos que para t = a2 la curva integral no est´ a definida. Por lo tanto el campo [X, Y ] no es completo. d) Para el punto p = (1, 0,0) se tiene que u1 ( p) = 1 , u2 ( p) = 0 , v1 ( p) = 1 , v 2 ( p) = 0 . Entonces K p = 0 y L p = 21 ∂v∂ 2 . Ello implica que K p = 0 y L p = 0 . Por lo tanto K, L no coinciden en la intersecci´ on.
−
5.8. Considerar los siguientes campos vectoriales en R2 ∂ ∂ A = y + x ∂x ∂y
−
B = x(1
− x − y ) ∂x∂ + y(1 − x − y ) ∂y∂ 2
2
2
2
CURVAS INTEGRALES
125
a) Encontrar el conjunto de puntos de R2 en los que los campos A, B son independientes. b) Calcular el corchete de Lie [A, B] . c) Calcular las curvas integrales del campo A . ¿Son sus curvas integrales completas? ¿Es A un campo completo? Soluci´on: a) Puesto que conocemos las funciones que determinan los campos ∂ ∂ A, B en funci´ on de los campos coordenados ∂x , ∂y y estos u ´ ltimos son independientes. Entonces A, B ser´an independientes en aquellos puntos en los que sea no nulo el determinante de la matriz:
−y x(1 − x − y ) 2
2
y(1
x x2
2
− −y )
´ Este se anula en los puntos que satisfacen la ecuaci´ on:
−(x
2
+ y 2 )(1
2
2
−x −y ) =0
que corresponden a la reuni´ on del origen con la circunferencia unidad: 2
2
{(0, 0)} ∪ {(x, y)|(1 − x − y ) = 0}
Entonces ser´ an independientes en el complementario R
2
2
2
\ ({(0, 0)} ∪ {(x, y)|(1 − x − y ) = 0})
b) Un campo siempre se puede expresar en relaci´ o n a los campos coordenados mediante la f´ ormula: ∂ ∂ [A, B] = [A, B]x + [A, B]y ∂x ∂y Teniendo en cuenta que Ax = y Bx = x(1 se obtiene que
−
[A, B]x = ABx = y(1 [A, B]y
2
−x −
Ay = x y2 ) By = y(1
2
2
−x −y )
2
2
− BAx = A(x(1 − x − y )) − B(−y) − − 3x − y ) − x(x2y) + y(1 − x − y ) = 0 = ABy − BAy = A(y(1 − x − y )) − B(x) = −(−y)2xy + x(1 − x − 3y ) − x(1 − x − y ) = 0 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Por lo que el corchete se anula [A, B] = 0 . c) Las curvas integrales del campo A se obtienen como soluci´on del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
que tiene por soluci´on x = a cos t
dx = dt
−y
− b sen t
, ,
dy = x dt y = b cos t + a sen t .
Notemos que para t = 0 pasa por (a, b) .
126
7. CAMPOS Y FORMAS
Las curvas integrales est´ an definidas para todo t . Entonces todas las curvas integrales son completas y en consecuencia el campo es completo.
Cap´ıtulo 8
VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS 1.
Conexiones y derivada covariante
Sea Ξ(M, p) el conjunto de todos los campos tangentes de una variedad M definidos en el punto p M . Una conexi´ on lineal en un punto p es un operador lineal que asocia a cada vector tangente v en p y a cada campo tangente X definido en p un vector tangente en p que se denotar´ a por v X y que verifica las siguientes propiedades:
∈
(C1) (C2) (C3)
= α v X + β v Y α, β R, v T p M, X, Y Ξ(M, p), au+bv X = a u X + bv X a, b R, u, v T p M, X Ξ(M, p), v fX = v(f )X p + f ( p)v X f C p∞ (M, p), v (αX + βY )
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
∈
X Ξ(M, p).
∈
Proposici´on 1.1. Si v T p M y X, Y Ξ(M, p) tal que en un entorno abierto U de p se tiene que X U = Y U , entonces v X = v Y .
∈
|
|
´ n. Demostracio
∈
N´otese que Dom(X X U ) = U y que X X U = 0 U = 0(0 U ) . Entonces v (X X U ) = v (0 U ) = v (0(0 U )) = 0v (0 U ) = 0 . Por lo tanto v (X ) = v (X U ) . An´alogamente se obtiene que v Y = v (Y U ) . Entonces v X = v Y .
|
|
|
− |
|
− |
|
− | |
|
Si tenemos una conexi´on lineal para cada punto p M y V, X son campos tangentes a una variedad M se puede definir la secci´on del fibrado tangente V X , cuyo dominio es Dom V Dom X , y est´a definida por (V X ) p = V p X .
∈
∩
Definici´ on 1.1. Llamaremos una conexi´ on lineal sobre una variedad M a una familia que se obtiene tomando una conexi´ on lineal en cada punto p de M , de tal modo que si V, X son campos tangentes a M , entonces la secci´ on del fibrado tangente V X es diferenciable. Rm , Definici´ o n 1.2. Sea x la carta identidad de Rm . Dados p v T p Rm y un campo X = i f i ∂x∂ i definido en p . Entonces se define ∂ + +v(f m ) ∂x∂ m p . N´otese que si tenemos campos v X = v(f 1 ) ∂x 1 p + (V f m ) ∂x∂ m . El V y X = i f i ∂x∂ i , entonces V X = (V f 1 ) ∂x∂ 1 + operador lo llamaremos conexi´on est´ andar de Rm .
∈
· ··
∈
···
Proposici´on 1.2. El operador definido en Rm es una conexi´on lineal. 127
128
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
Y =
i
gi ∂x∂ i
βY ) = v(αf 1 +βg 1)
···+αv(f ) m
, v T p Rm , campos X = i f i ∂x∂ i , definidos en p y escalares α, β R . Entonces v (αX +
´ n. Dados p Demostracio
∂ ∂x m
p
∂ ∂x 1
m
∈R
∈
∈
· ··+v(αf +βg ) +βv(g ) + ··· +βv(g p
+ 1
m
∂ ∂x 1
m
∂ ∂x m
m)
p
= αv(f 1 )
p ∂ ∂x m
p
∂ ∂x 1
p
+
= α v (X )+
β v (Y ) . Con esto queda verificada la propiedad C1 . De modo ruti nario se comprueba que se verifican el resto de las propiedades. Proposici´on 1.3. El operador que asocia a dos campos tangentes V y X el campo tangente V X , verifica las siguientes propiedades: (CL1) (CL2) (CL3)
= α V X + β V Y α, β R, V, X, Y Ξ(M ), aU +bV X = a U X + bV X a, b R, U, V, X Ξ(M ), V f X = V fX + f V X f C ∞ (M ), V (αX + βY )
∈ ∈
∈ ∈
∈
´ n. CL1) Demostracio
V, X Ξ(M ).
∈
Para un punto p M que este en el dominio se tiene (V (αX +βY )) p = V p (αX +βY ) = α V p X +β V p Y = (αV X +β V Y ) p . Por lo tanto V (αX +βY ) = α V X +β V Y, α, β R, V, X, Y Ξ(M ) . CL2) Para cada p en el dominio de definici´ on se tiene que (aU +bV X ) p = aU p +bV p X = a U p X +bV p X = (aU X +bV X ) p . Consecuentemente aU +bV X = a U X + bV X a, b R, U, V, X Ξ(M ) . CL3) Para cada p en el dominio de definici´ on se tiene que (V f X ) p = V p fX = (V p f )X p + f ( p)V p X = (V fX + f V X ) p . Por lo tanto V fX = V fX + f V X f C ∞ (M ), V, X Ξ(M ).
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
Sea σ : R M una curva (diferenciable). Un campo tangente a M a lo largo de σ es una funci´on diferenciable X : R T M tal que πX = σ . Uno de estos campos es precisamente el campo velocidad de la curva σ que ˙ se define del modo siguiente: σ(s) ˙ = T s σ dtd s . N´otese que los campos tangentes a M a lo largo de σ tienen estructura natural de espacio vectorial real y tambi´en de m´ odulo sobre el anillo de funciones ∞ C Dom σ (R) . Si M tiene una conexi´ on entonces para cada s Dom σ se puede definir un operador lineal Dσ(s) que asocia a cada campo X tangente ˙ a M a lo largo de σ un vector tangente a M en el punto σ(s) . Supongamos que X 1 , . . . , X m es una paralelizaci´ on definida en un entorno abierto de σ(s) . El campo X se puede expresar de modo u´nico como i Entonces definimos X (t) = i Ai (t)X σ(t)
→
→
∈
Dσ(s) X = ˙
i
dAi dt
i X σ(s) + Ai (s)σ(s) X i ˙ s
Lema 1.1. El operador Dσ(s) es independiente de la paralelizaci´ on ˙ elegida.
1. CONEXIONES Y DERIVADA COVARIANTE
129
que X 1 , . . . , X m e Y 1, . . . , Y m son paralelizaciones definidas en un entorno abierto de σ(s) . El cami po X se puede expresar como X (t) = i Ai (t)X σ(t) o bien X (t) = i i a ji Y j . Entonces X = i Ai X σi = i Bi (t)Y σ(t) . Supongamos que X = i i ı se deduce que B j = i Ai j (a j σ)Y σ j = j ( i Ai (a j σ))Y σj . De aqu´ i i Ai (a j σ) . Entonces se tiene ´ n. Supongamos Demostracio
j
=
j
=
j
=
i
+
i
=
i
+
i
=
i
=
i
dBj j Y σ(s) + B j (s)σ(s) Y j ˙ dt s d( i Ai (aij σ)) j Y σ(s) + i Ai (s)a ji (σ(s))σ(s) Y j ˙ dt s d(aij σ) j dAi i ( (a σ) + A Y σ(s) + j i Ai (s)a ji (σ(s))σ(s) Y j i dt ˙ j i dt s d(aij σ) j j dAi i a (σ(s))Y + A (s) Y i j j σ(s) σ(s) dt s dt s i j A (s)a (σ(s)) Y i σ(s) ˙ j j d(aij σ) j j dAi i a (σ(s))Y + A (s) Y σ(s) i j j j σ(s) dt s dt s i Y j ˙ j a j (σ(s))σ(s) dAi i X σ(s) + i Ai (s)σ(s) ˙ dt s dAi i X σ(s) + Ai (s)σ(s) X i ˙ dt s
Ai (s)
i j j a j Y
N´otese que si X es un campo tangente a M a lo largo de σ, el operador anterior permite definir un nuevo campo D σ˙ X tangente a M a lo largo de σ , mediante la f´ormula (Dσ˙ X )(s) = D σ(s) X . ˙ Definici´ on 1.3. Si V e Y son campos tangentes a una variedad M con una conexi´ on lineal diremos que V Y es la derivada covariante de Y seg´ un el campo V . Si X es un campo tangente a M a lo largo de una curva σ diremos que Dσ˙ X es la derivada covariante de X .
···
Sea x es una carta en σ(s) y consideremos la paralelizaci´on ∂x∂ 1 , , ∂x∂ m , entonces si el campo X tangente a M a lo largo de σ se
expresa como X = se verifica
i
Ai
Dσ˙ X =
i
∂ ∂x i
σ
se tiene que en el dominio de la carta
dAi dt
∂ ∂x i
∂ + Ai σ˙ ∂x i σ
Lema 1.2. Sea σ : R M una curva y sea Y un campo tangente a M que induce una campo X = Y σ tangente a M a lo largo de σ . Entonces D σ˙ X = σ˙ Y .
→
que Y 1, . . . , Y m es una paralelizaci´on definida en un entorno abierto U de σ(s) . Si el campo Y verifica que Y U = i Ai Y i . La parte del campo X que es tangente dentro de i ese entorno de puede expresar como X (t) = i Ai σ(t)Y σ(t) . Entonces se tiene ´ n. Supongamos Demostracio
|
130
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
Dσ(s) X = ˙
i
d(Ai σ) dt
s
i Y σ(s) + Ai σ(s)σ(s) Y i ˙
i = i (σ(s)(A ˙ Y i i ))Y σ(s) + Ai (σ(s))σ(s) ˙ i = σ(s) ˙ ( i Ai Y ) = σ(s) Y ˙
Corolario 1.1. Sea v un vector tangente a M en un punto p y sean X, X campos definidos en p . Si existe una curva σ que pase por p a velocidad v de modo que X σ = X σ , entonces v X = v X . ´ n. Por Demostracio
la proposici´ on anterior se tiene que X = D σ(s) (Xσ) = D σ(s) (X σ) = σ(s) X = v X . σ(s) ˙ ˙ ˙ ˙
v X
=
Dada x una carta de M , si consideramos la paralelizaci´ o n local ˜ k : M , entonces la conexi´on determina la funciones Γ ij R mediante la expresi´ on: ∂ , . . . , ∂x∂ m ∂x 1
→
∂ = ∂ ∂x i ∂x j
k
˜ k ∂ Γ ij ∂x k
˜ k x−1 la representaci´ Si denotaremos por Γkij = Γ on coordenada de ˜Γkij en ij la carta x, entonces las derivadas covariantes de los campos coordenados tambi´en se puede expresar como
∂ ∂x i
∂ = ∂x j
(Γkij x)
k
∂ = ∂x k
k
Γkij (x1,
·· · , x
m)
∂ ∂x k
˜ k , Γk , se denominaran como los s´ımbolos Ambos tipos de funciones, Γ ij ij de Christoffel de la conexi´ on en la carta x . Dada una curva σ y una carta x denotemos por c = xσ la representaci´ on coordenada de la curva. Si X es una campo tangente a M a lo largo de la curva σ, supongamos que en el dominio de la carta dci ∂ . Notemos que σ˙ = . x se tiene que X = j A j ∂x∂ j dt ∂x i
σ
σ
1. CONEXIONES Y DERIVADA COVARIANTE
131
Sustituyendo Sustituyendo σ˙ se obtiene σ˙ X =
j
=
j
=
k
=
k
=
k
=
∂ ∂x j
dA j dt
∂ ∂x j
dAk dt dAk dt dAk dt
k
dA j dt
∂ ∂x k ∂ ∂x k ∂ ∂x k
dAk + dt
i,j
σ
+ A j dci ( dt
dci dt
+ A j
σ
i
A j
+
σ
i,j
A j
+
σ
i,j
dci dt dci dt
+
σ
k
∂ ) ∂x i σ
i,j
∂ ∂x j ∂ ∂x i
∂ ∂x i
k
∂ ∂x j
∂ ∂x j
σ
˜ k ∂ Γ ij ∂x k
dci ˜ k Γ σA j dt ij
dci k Γ (c)A j dt ij
σ
∂ ∂x k
∂ ∂x k
σ
σ
σ
Definici´ on on 1.4. Se dice que un campo X campo X tangente tangente a una variedad M a lo largo de una curva σ es paralelo es paralelo si Dσ˙ X = 0 . Teniendo en cuenta los c´ alculos anteriores se tiene el resultado sialculos guiente. Proposi Prop osici´ ci´ on on 1.4. 1.4 . Sea X X un campo tangente a una variedad M a lo largo de una curva σ y sea x una carta cuyo dominio corte a la curva y tal que X = j A j ∂x∂ j en σ−1 (Dom x) y denotemos c =
σ 1 − xσ . xσ . Entonces X es es paralelo en σ (Dom x) si y s´olo olo si se verifican las
ecuaciones dAk + dt
i,j
dci k Γ (c)A j = 0 , dt ij
k = 1
· · · m.
que se llaman el sistema de ecuaciones diferenciales de los campos paralelos a lo largo de la curva σ en el dominio de la carta x . Proposi Prop osici´ ci´ on on 1.5. 1.5 . Sea una variedad M M con una conexi´ on on lineal , una curva σ con dominio conexo y t0 Dom σ . Entonces dado X 0 T σ(t0 ) M M existe unico u ´ nico campo X X tangente a M M a lo largo de σ que es paralelo y tal que X que X ((t0) = X 0 .
∈
∈
´ n. Si Demostraci on. o
la curva σ curva σ est´a dada, entonces una carta x carta x en e n σ (t0 ) determina funciones c = xσ y sus componentes ci = xi σ de tal modo que el sistema anterior es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en las variables A1 , , Am . Adem´as as existe un 1 − entorno V ( V (t0) = (t0 ε, t0 + ε + ε)) σ (Dom x) tal que para cada valores iniciales de las variables A1 , , Am existen unas unicas u ´ nicas funciones
−
⊂ ···
···
132 132
8. VARIE ARIED DADE ADES Y CON CONEXIO EXION NES RIEMA IEMAN NNIA NIANAS NAS
definidas en V ( V (t0 ) , que sean soluci´on on del sistema y que tengan los valores iniciales dados. Ahora para cada t Dom σ , si t > t0 se tiene que [t [t0 , t] Dom σ por ser el dominio de la curva conexo. Adem´ as as al ser [t [t0 , t] compacto existe una partici´ on on t0 < t1 < < tk = t de modo que en cada subintervalo verifica condiciones de existencia y unicidad del correspondiente sistema de ecuaciones diferenciales. Cada X 0 T σ(t0 ) M M determina valores iniciales X 0 = j A j (t0 ) ∂x∂ j de
∈
⊂
···
∈
σ (t0 )
funciones A1 , , Am definidas en V ( V (t0 ) y que son unicas u´nicas verificando el sistema de ecuaciones y con los valores iniciales dados. Tomemos entonces el campo X = j A j ∂x∂ j . Ahora procedemos de modo σ inductivo inductivo tomando X 1 T σ(t1 ) M hasta M hasta obtener el campo X X definido en un entorno de [t [t0 , t] . An´alogamente alogamente se procede en el caso t < t0 . La unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales anteriores garantizan que el campo X campo X es es el unico u ´ nico campo paralelo definido en Dom σ con valores iniciales iniciales X 0 .
···
∈
Definici´ on on 1.5. Se dice que una curva σ de una variedad M M es una geod eod´´esica respecto ca respecto si σ˙ es paralelo; es decir, si Dσ˙ ˙σ = 0 . Proposi Prop osici´ ci´ on on 1.6. 1.6 . Sea una variedad M M con una conexi´ on on lineal . Dado un v un v T p p M , entonces existe una unica u ´ni ca geod´ geo d´esica esi ca γ γ que que pasa por p a p a velocidad v . Denotaremos esta geod´esica esica por γ (t,p,v) t,p,v ) .
∈
´ n. Demostraci on. o
Sea x una carta en el punto p , de manera que dck ∂ , ento entonc nces es σ˙ es paralelo a lo largo de σ y en el σ˙ = dt ∂x k σ dominio de la carta si y s´olo olo si se verifica las ecuaciones diferenciales de segundo orden siguientes:
d2 ck + dt2
i,j
dci k dc j Γ ij (c) = 0 , dt dt
k = 1,
· · · , m.
´ Este sistema tiene soluci´ on on unica u ´ nica bajo las condiciones iniciales correspondientes; en este caso que pase por el punto p a velocidad v . Definici´ on on 1.6. La funci´on on exp p : T p M γ (1, (1, p , v) v) se llama exponencial llama exponencial .
M definida por exp (v ) = → M definida → p
Problemas 1.1. Sea σ Sea σ una una curva en una variedad M variedad M y y sea D sea D σ˙ el operador derivada covariante que act´ ua ua sobre los campos X tangentes X tangentes a M a M a lo largo de σ . Probar que este operador verifica las siguientes propiedades: D1: Dσ˙ (αX +β Y ) Y ) = αD σ˙ X +βD σ˙ Y α, β R, X, Y tangentes a M a M a lo largo de σ , ∞ (R), X tangente D2: Dσ˙ φX = dφ X + φDσ˙ X φ C Dom X tangente a M σ dt a lo largo de σ .
∈
∈
2. VARIEDADES RIEMANNIANAS
133
Soluci´on: on: D1) Sea (Z (Z 1 , , Z m ) una paralelizaci´ on on en un punto de la curva. Supongamos que respecto dicha paralizaci´ on se tiene que X que X = m m i i i f i Z , Y = i gi Z . Entonces
···
→
Dσ˙ (αX + β + βY Y )) = Dσ˙ ( m = i
m + βggi )Z i ) i (αf i + β d(αf i +βg i ) i Z + (αf (αf i + β + βgg i )σ˙ Z i dt m df i i m dg i i i Z + f Z + β Z i σ ˙ i i dt dt
= α = αDσ˙ X + β + βD Dσ˙ Y
+ g i σ˙ Z i
D2) Con la misma notaci´ notac i´on: on:
m i i φf i Z ) d(φf i ) i Z + φf i σ˙ Z i dt m dφ m i φ ddtf i Z i i dt f i Z + i
Dσ˙ φX = Dσ˙ ( m = i = =
dφ X + φD + φDσ˙ X dt
+ φf i σ˙ Z i
¯ σ˙ el operador derivada covariante que 1.2. Sea σ una curva en R3 y sea D act´ ua ua sobre los campos X campos X tangentes tangentes a R3 a lo largo de σ de σ . Sea r Sea r : R3 ∂ R3 la carta identidad. Sean , ∂r∂ 2 , ∂r∂ 1 la restricci´on o n de ∂r 1 σ σ σ los campos coordenados sobre la curva. Supongamos que un campo X campo X tangente a R3 a lo largo de σ es tal que X = f 1 ∂r∂ 1 + f 2 ∂r∂ 2 + σ
σ
∂ ∂r 1
f 3 . Probar que la derivada covariante de X X coincide con la σ derivada normal; es decir: ¯ σ˙ X = df 1 D dt
2.
∂ ∂r 1
+
σ
df df 2 dt
∂ ∂r 2
+
σ
df 3 dt
∂ ∂r 1
.
σ
Varieda ariedades des rieman riemannia nianas nas
Definici´ on on 2.1. 2.1. Llamaremos producto Llamaremos producto interno en interno en un espacio vectorial R bilineal real a una aplicaci´on on , : V V biline al sim´etrica etric a y definida defini da positiva. Una m´ Una m´etrica etr ica rieman rie mannia niana na asocia asocia a cada p de M un M un producto R de forma diferenciable; es decir, si interno , p : T p M T p M X, Y son Y son campos tangentes entonces la funci´ on on X, Y ( p) p) = X p , Y p , definida para p Dom X Dom Y , es diferen diferenciab ciable. le. Un variedad ariedad M M provista de un m´ etrica etrica riemanniana diremos que es una una variedad variedad riemanniana . Con las mismas condiciones de diferenciabilidad anteriores si cada producto , p : T p M T p p M biline al sim´etrico etric o R es bilineal y no singular se dice que es una m´ m´etrica etr ica pseudo pse udorie riemann mannian iana a y que (M, , ) es es una variedad pseudoriemanniana .
− − × × → − − × × → → ∈ ∩ ∩ − −
× ×
→
− −
Ejemplo 2.1. En Rn pod podemos emos considerar la siguiente m´etrica: etrica: Para ∂ ∂ Rn si u = cada p y v = , entonc entonces es k uk ∂r k k vk ∂r k
∈
p
p
se define define la m´ etrica etrica euclide euclideaa o usual usual median mediante te la f´ ormula u, v p = k uk vk .
134
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
Proposici´ on 2.1. Sea N una variedad con una m´etrica , . Si f : M N es un inmersi´on global, entonces f induce una m´etrica riemanniana en M definida por la f´ ormula
− −
→
u, v = T (u), T (v) p
p
f ( p) .
p
´ n. Del Demostracio
hecho de que para cada p M el producto interno , f ( p) sea bilineal, sim´etrico y definido positivo, y teniendo en cuenta que T p f es monomorfismo, se tiene de modo rutinario que , p es un producto interno. Si f : M N es un inmersi´on global, aplicando la proposici´ on 1.1 del cap´ıtulo 4, para cada p M existen cartas x de M en p e y de N en f ( p) tal que Dom x Dom(yf ) , yi f Dom x = x i para 1 i m y adem´as y i f Dom x = 0 para m < i n . De aqu´ı se deduce que f Dom x es inyectiva y adem´ as T p f ∂x∂ i =
∈
− −
− −
→
|
∂ ∂y i
f ( p)
≤ ≤ | | para 1 ≤ i ≤ m . Por lo que la funci´on
∈ ⊂
≤ | ∂ , ∂ ∂x i ∂x j
p ∂ ∂ , ∂y i ∂y j
=
f
es diferenciable. Ahora dados dos campos X, Y definidos en un punto p. Si tomamos cartas x e y del tipo anterior y X Dom x = i Ai ∂x∂ i , Y Dom x = j B j ∂x∂ j , entonces X, Y Dom x = i,j Ai B j ∂x∂ i , ∂x∂ j es diferenciable. Por lo tanto se tiene que X, Y es diferenciable.
|
|
Definici´ on 2.2. Se dice que f : M N es una inmersi´ on isom´etrica si para p Dom f y u, v T p M se tiene que u, v p = f ∗ p u, f ∗ p v f p . Si adem´as f es un difeomorfismo local diremos que f es una isometr´ıa local y si f es un difeomorfismo global de M sobre N diremos que M es isom´etrica a N .
∈
→
∈
Ejemplo 2.2. Si Σk es una subvariedad de Rn entonces la inclusi´on on que induce la siguiente m´etrica: Para cada Rn es una inmersi´ i : Σk k k p Σ si u, v T p Σ , entonces u, v p = i∗ p u, i∗ p v ip . Por ejemplo, la esfera unidad S n−1 tiene estructura natural de variedad riemanniana inducida por la inclusi´on natural S n−1 Rn .
∈
→
∈
→ Ejemplo 2.3. En R = {(r , . . . , r )|r > 0} podemos considerar la siguiente m´etrica: Para cada p = (r , . . . , r ) ∈ R si u = u y v = v , entonces se define u, v = u v . Esta n +
1
n
k
k
1
∂ ∂r k p
n
n +
n
p
k
1 2 rn
k
k
∂ ∂r k
p
k k
variedad riemanniana se denomina espacio hiperb´ olico n-dimensional y n se denota por H .
Ejemplo 2.4. En Rn podemos considerar la siguiente m´etrica: Para cada p = (r1 , . . . , rn ) Rn si u = k uk ∂r∂ k y v = k vk ∂r∂ k ,
∈ entonces se define u, v = −u v +
p n k=2 uk vk .
p
Esta variedad pseudoriemanniana se denomina espacio de Minkovski n-dimensional y lo denotaremos por M n . p
1 1
Recordemos que una producto interno en un espacio vectorial V con una base (e1 , . . . en ) queda determinado por la matriz sim´etrica
VARIEDADES RIEMANNIANAS
135
( ei , e j ) . De modo similar una m´ etrica riemanniana en el dominio de una carta x queda determinado por las funciones definidas por g˜ij = ∂x∂ i , ∂x∂ j que llamaremos coeficientes de la m´etrica respecto de la carta x . A las representaciones coordenadas las denotaremos por gij = g˜ij x−1 .
Problemas 2.1. Geometr´ıa del catenoide y helicoide. V´eanse las Figuras 1 y 2 . a) Probar que el subconjunto H = (u cos v, u sen v, v) u, v
{
| ∈ R}
es una subvariedad regular de dimensi´ o n dos de R3 . A la subvariedad regular H la llamaremos Helicoide, demostrar que el Helicoide es difeomorfo a R2 . b) Probar que la aplicaci´ on f : R2 R3 ,
→
f (θ, z ) = (cos θ cosh z, sen θ cosh z, z ) es una inmersi´on no inyectiva y que C =Imf tiene estructura de subvariedad regular de R3 de dimesi´on dos. A la subvariedad regular C la llamaremos Catenoide, demostrar que el Cateniode es difeomorfo a un cilindro S 1 R . c) Probar que la aplicaci´ on del Helicoide en el Catenoide g : H C definida por
×
→
√
g(u cos v, u sen v, v) = ( 1 + u2 cos v,
√ 1 + u
2
sen v, arcsenh u)
es un difeomorfismo local. ¿Es tambi´ en una aplicaci´ on recubridora? d) Sea φ la carta del Helicoide definida por φ(u cos v, u sen v, v) = (u, v) . Calcular los coeficientes de la m´etrica gijH (u, v) del Helicoide. e) Sea ψ la carta del Catenoide cuyo dominio es el subconjunto
{(cos θ cosh z, sen θ cosh z, z )|0 < θ < 2π} y est´a definida por ψ(cos θ cosh z, sen θ cosh z, z ) = (θ, z ) . Calcular los coeficientes de la m´etrica gijC (θ, z ) del Catenoide. f) Probar que la aplicaci´ on del Helicoide en el Catenoide g : H C definida por
→
√
g(u cos v, u sen v, v) = ( 1 + u2 cos v,
√ 1 + u
2
sen v, arcsenh u)
es una isometr´ıa local. R mediante la f´ Soluci´on: a) Definamos la funci´on ϕ : R3 ormula ϕ(x,y,z ) = x sen z y cos z . Notemos que un punto del helicoide verifica que
−
x sen z
→
− y cos z = u cos v sen v − u sen v cos v = 0
136
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
Figura 1. Helicoide
y rec´ıprocamente si se verifica que x sen z y cos z = 0 , entonces si hacemos que v = z y suponemos que cos v = 0, se tiene que podemos tomar u = cosx v . Entonces
−
(u cos v, u sen v, v) = (x,
x sen v, z ) = (x,y,z ) cos v
y de modo similar se procede si sen v = 0 . Por lo tanto el heliciode es la fibra del cero de la funci´ on ϕ . Si calculamos las derivadas parciales se tiene ∂ϕ = sen z , ∂ϕ = ∂x ∂y cos z , ∂ϕ = x cos z + y sen z . Puesto que el seno y el coseno no se ∂z anulan simult´aneamente se tiene que efectivamente el rango es uno y el Helicoide H es una subvariedad regular de R3 . Para lo cual hemos aplicado el teorema 2.2 del cap´ıtulo 3 . Para ver que es difeomorfo a R2 consideremos la aplicaci´ on h : R2 R3 H dada por h(u, v) = (u cos v, u sen v, v) . Notemos que in h : R2 es inyectiva y su matr´ız jacobiana :
→
cos v sen v 0
−u sen v u cos v 1
→
VARIEDADES RIEMANNIANAS
137
Figura 2. Catenoide
tiene rango dos . Por lo tanto la aplicaci´on h es un homeomorfismo local. Entonces h es un difeomorfismo. R mediante la f´ b) Definamos la funci´on ψ : R3 ormula ψ(x,y,z ) = 2 2 2 x + y cosh z . Notemos que un punto del catenoide verifica que
→
−
x2 + y 2
− cosh
2
z = cos2 θ cosh2 z + sen2 θ cosh2 z
− cosh
2
z = 0
y rec´ıprocamente si se verifica que 0 = x2 + y 2 cosh2 z , entonces 2 2 y x x + = 1 . Por lo tanto existe θ tal que cos θ = cosh y cosh z cosh z z y sen θ = cosh z . Entonces
−
(cos θ cosh z, sen θ cosh z, z ) = (x,y,z ) Si calculamos las derivadas parciales se tiene ∂ψ = 2x , ∂ψ = 2y , ∂x ∂y ∂ϕ = 2cosh z senh z . ∂z Puesto para ning´ un punto del catenide se anulan todas las derivadas parciales se sigue que efectivamente el rango es uno y el Catenoide C es una subvariedad regular de R3 . Para ver que es difeomorfo a S 1 R consideremos la aplicaci´ on 2 f : R C dada por f (θ, z ) = (cos θ cosh z, sen θ cosh z, z ) . Notemos
−
→
×
138
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
que in f :
R2
→R
3
es pedi´odica en θ y su matr´ız jacobiana :
−
sen θ cosh z cos θ senh z cos θ cosh z sen θ senh z 0 1
tiene rango dos . Por lo tanto la aplicaci´ on f es un homeomorfismo ¯ S 1 R C . Entonces f ¯ es local que factoriza a un difeomorfismo f : un difeomorfismo. c) Definamos la aplicaci´on g : H C por la f´ormula
× →
√
→
g(u cos v, u sen v, v) = ( 1 + u2 cos v,
√ 1 + u
2
sen v, arcsenh u) .
La representaci´ on coordenada de este cambio viene dado por θ = v y z = arcsenh u . Por lo que g es diferenciable. La matr´ız jacobiana
1 0 √ 1+u 2 1 0
tiene rango dos . Por lo tanto la aplicaci´on g es un homeomorfismo local. En este caso efectivamente se trata de una aplicaci´ on recubridora. Un abierto del catenoide de la forma p C θ0 < θ( p) < θ0 + 2π tiene como preimagen la reuni´ on disjunta de abiertos de la forma p H θ0 + 2(k 1)π < v( p) < θ0 + 2kπ donde k es un entero adem´ as la restricci´on de g a cada uno de estos abiertos es un homeomorfismo. d) Sea φ = (u, v) del heliciode y (x,y,z ) la carta identidad de R3 . Denotemos por in: H R3 la inclusi´on del helicoide en R3 , entonces se verifica que x in = u cos v y in = u sen v y z in = v . entonces se ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ tiene que in∗ ∂u = in∗ ∂u (x) ∂x + in ∗ ∂u (y) ∂y + in ∗ ∂u (x) ∂z = ∂x∂uin ∂x + ∂y in ∂ z in ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂∂u = cos v ∂x + sen v ∂y . Similarmente se tiene que in∗ ∂v = ∂u ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ in∗ ∂v (x) ∂x + in∗ ∂v (y) ∂y + in∗ ∂v (x) ∂z = ∂x∂vin ∂x + ∂y∂vin ∂y + ∂z∂vin ∂z = ∂ ∂ ∂ u sen v ∂x + u cos v ∂x + ∂z . Por lo tanto los coeficientes m´etricos en la carta son los siguientes
{ ∈ |
|
−
}
} { ∈
→
−
H H H g11 (u, v) = 1 g12 (u, v) = 0 g22 (u, v) = 1 + u2
e) Sea ψ = (θ, z ) del heliciode y (x,y,z ) la carta identidad de R3 . Denotemos por in: C R3 la inclusi´on del catenoide en R3 , entonces se verifica que x in = cos θ cosh z y in = u sen θ cosh z y z in = z . en∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ tonces se tiene que in∗ ∂θ = in∗ ∂θ (x) ∂x + in∗ ∂θ (y) ∂y + in ∗ ∂θ (x) ∂z = ∂x in ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂y∂θin ∂y + ∂z∂θin ∂z = sen θ cosh z ∂x + cos θ cosh z ∂x + . Simi∂θ ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ larmente se sigue que in∗ ∂z = in∗ ∂z (x) ∂x + in ∗ ∂z (y) ∂y in ∗ ∂z (x) ∂z = ∂x in ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂y∂zin ∂y + ∂z∂zin ∂z = cos θ senh z ∂x + sen θ senh z ∂x + ∂z . ∂z ∂x Por lo tanto los coeficientes m´etricos en la carta son los siguientes
→
−
C g11 (θ, z ) = cosh2 z
C C g12 (θ, z ) = 0 g22 (θ, z ) = 1 + senh2 z
´ 3. LONGITUDES DE CURVAS Y VOL UMENES
→ C definida por √ √ g(u cos v, u sen v, v) = ( 1 + u cos v, 1 + u
139
f) Para ver que g : H
2
2
sen v, arcsenh u)
es una isometr´ıa local. Teniendo en cuenta el apartado c) se tiene ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 ∂ g∗ ∂u = g ∗ ∂u (θ) ∂θ + g∗ ∂u (z ) ∂z = ∂θg + ∂zg = √ 1+u 2 ∂z ∂u ∂θ ∂u ∂z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ g∗ ∂v = g ∗ ∂v (θ) ∂θ + g∗ ∂v (z ) ∂z = ∂θg + ∂zg = ∂θ ∂v ∂θ ∂v ∂z Ahora f´acilmente se comprueba que ∂ ∂ 1 ∂ √ 1 ∂ 1 ∂ ∂ g∗ ∂u , g∗ ∂u = √ 1+u = 2 ∂z , ∂z 2 ∂z , 2 ∂z 1+u 1+u 2 1 = 1+u (1 + senh z ) = 1 2 ∂ ∂ ∂ ∂ g∗ ∂v , g∗ ∂v = ∂θ , ∂θ = cosh2 z = 1 + u2 En los demas casos los coeficientes m´etricos son iguales a cero.
3.
Longitudes de curvas y vol´ umenes
Definici´ on 3.1. Sea σ : R M una curva en una variedad riemanniana. Sea un intervalo [a, b] Dom σ . La longitud de la curva entre a y b se define como la integral
→ ⊂
lab =
b
a
1
˙ σ˙ 2 dt. σ,
Sea V un espacio vectorial con un producto interno. Si (e1, . . . , em ) es una base ortonormal de V , entonces el volumen del paralelep´ıpedo expandido por v1 = a1 j e j , . . . , vm = amj e j viene dado por vol(v1, . . . , vm ) = det(aij ) . Notemos que
gij = vi , v j =
aik ek ,
k
a jl el =
l
aik a jl δ kl =
k,l
aik a jk
k
De donde deducimos que vol(v1 , . . . , vm ) = det(gij ) donde el signo del volumen se puede tomar positivo si det(aij ) > 0 o negativo si det(aij ) < 0. Recordemos tambi´ en que si respecto una base v1 , . . . , vm tenemos los coeficientes gij = vi , v j y respecto a otra base w1, . . . , wm los nuevos coeficientes hij = wi , w j . Si ws = l csl vl entonces hij = k cik vk , l c jl vl = kl cik gkl c jl . Sea R una“regi´ on” contenida en el dominio de una carta x donde los coeficientes m´etricos son g ij = g˜ij x−1 , entonces el volumen de esta regi´on se define como
vol(R) =
det(gij (r)) dr1 . . . d rm .
xR
El volumen es independiente de la carta elegida supongamos que R est´a contenido en el dominio de una carta y con coeficientes m´etricos ∂x i ˜ ij y−1 y con misma orientaci´ hij = h on que x ; es decir, det( ∂y )>0. j
140
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
Al realizar el cambio r = xy −1 (s) se tiene que
| |
det(gkl (r)) dr1 . . . d rm
xR
yR
∂r i ) ∂s j
yR
∂x i det ∂y k
=
det(
=
det(gkl (xy −1 (s))) ds1 . . . d sm
y
det(˜ gkl (y−1 (s)))det 1 (s)
−
∂x l ∂y j
y
ds1 . . . d sm 1 (s)
−
det(hij (s)) ds1 . . . d sm .
=
yR
Problemas 3.1. Calcular el a´rea de la 2-esfera de radio r > 0 . 3.2. Calcular el ´area del plano proyectivo obtenido a partir de la 2esfera de radio r > 0 . 4.
Conexiones riemannianas
Definici´ on 4.1. Se dice que una conexi´ on lineal sobre una variedad M es sim´etrica si para X, Y campos tangentes a M se verifica que X Y
−
Y X =
[X, Y ].
Se dice que una conexi´ on lineal sobre una variedad riemanniana (M, , ) es compatible con la m´etrica si para X, Y,Z campos tangentes a M se verifica que
− −
X Y, Z =
X Y,
Z + Y, X Z .
En una variedad riemanniana una conexi´ on riemanniana es una conexi´on sim´etrica y compatible con la m´etrica. Proposici´on 4.1. Una conexi´on es sim´etrica si y s´olo si para cada k carta los s´ımbolos de Christoffel satisfacen que Γkij = Γ ji . ´ n. Supongamos Demostracio
∂ ∂x i
∂ = ∂x j
∂ ∂x j
∂ = ∂x i
que
k
k
˜ k ∂ Γ ij ∂x k
˜ k ∂ Γ ji ∂x k
Entonces por ser la conexi´ on sim´etrica ∂ ∂ ∂x i ∂x j
∂ ∂ ∂ ∂ = , =0 ∂x j ∂x ∂x i ∂x j i ˜ k = Γ ˜ k . El rec´ıproco se prueba sin dificulSe donde se concluye que Γ ji ij tad.
−
4. CONEXIONES RIEMANNIANAS
141
Ejemplo 4.1. La conexi´ on est´ andar definida en Rm , ver 1.2, verifica las propiedades de simetr´ıa y compatibilidad y en consecuencia es una conexi´on riemanniana. Proposici´on 4.2. La m´etrica de una variedad riemanniana induce un isomorfismo can´ onico entre el fibrado tangente y el cotangente. ´ n. Supongamos Demostracio
que u T p M Entonces consideremos la aplicaci´ on lineal θ(u) : T p M R definida por θ(u)(v) = u, v p . Por ser el producto interno no singular, se tiene que θ : T M T ∗ M es una biyecci´ on que preserva fibras y es lineal en cada una de ellas. Adem´as para x carta de M se tiene que g˜ij = ∂x∂ i , ∂x∂ j son funciones diferenciables. Entonces el cambio de cartas ∗ x˜θ˜ x−1((r1 , , rm ), (s1 , .sm )) = ((r1 , , rm ), ( si gi1(r), . si gim (r))) es un difeomorfismo. Por lo tanto θ es un difeomorfismo global y sobreyectivo.
∈
→
→
···
· ··
···
···
Como consecuencia del resultado anterior en una variedad riemanniana una 1-forma determina un u´nico campo y rec´ıprocamente. Teorema 4.1. (Levi-Civita) Dada una variedad riemanniana M entonces existe una u ´ nica conexi´ on sim´etrica compatible con su m´etrica determinada por la siguiente expresi´ on:
Z, X = Y
1 (X 2
Y, Z + Y Z, X − Z X, Y −[X, Z ], Y − [Y, Z ], X − [X, Y ], Z )
´ n. Una Demostracio
conexi´ on compatible con la m´etrica para campos X, Y,Z debe verificar las f´ ormulas: X Y, Z =
X Y,
Y Z, X = Z X, Y =
(4.1)
Y
Z + Y, X Z
Z, X + Z, X X, Y + X, Y Y
Z
De ´estas, aplicando que X Y, Z + Y Z, X
(4.2)
es
sim´etrica, se infiere que Z X, Y = [X, Z ], Y + [Y, Z ], X + [X, Y ], Z +2 Z, Y X
−
de donde se obtiene que
Z
Z, X = 21 (X Y, Z + Y Z, X − Z X, Y − [X, Z ], Y − [Y, Z ], X − [X, Y ], Z ) Y
Entonces cualquier conexi´ on riemanniana debe verificar la f´ ormula anterior. Es importante observar que para cada par de campos X, Y el operador ω(Z ) =
1 (X 2
Y, Z + Y Z, X − Z X, Y −[X, Z ], Y − [Y, Z ], X − [X, Y ], Z )
142
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
es lineal respecto funciones diferenciables con valores reales, en efecto: 1 ω(fZ ) = (X Y , f Z + Y fZ,X fZ X, Y 2 [X,fZ ], Y [Y,fZ ], X [X, Y ], f Z ) 1 = (f X Y, Z + f Y Z, X fZ X, Y + Xf Y, Z + Y f Z, X 2 f [X, Z ], Y f [Y, Z ], X f [X, Y ], Z
−
−
− − − XfZ,Y − Y f Z , X )
− − − −
= f ω(Z )
donde hemos aplicado la f´ ormula dada en el ejercicio 2.4 del cap´ıtulo 7. Tambi´en se comprueba f´ acilmente que ω(Z + Z ) = ω(Z ) + ω(Z ) . Si suponemos que , son conexiones riemannianas, para X, Y campos tangentes se tiene que , Y X = ω = , Y X . De las proposiciones 2.3 (cap´ıtulo 7) y 4.2 , se sigue que Y X = Y X . Para probar la existencia, notemos que cada dos campos X, Y determinan una 1-forma ω . Teniendo en cuenta la proposici´ on 2.3 del cap´ıtulo 7 y la anterior proposici´ on 4.2 , se obtiene que los campos X, Y determinan un u´nico nuevo campo Y X verificando la f´ ormula 4.2 . Es inmediato comprobar que se verifican la propiedades lineales CL1, CL2 . Para probar CL3 consideremos 1 Z, Y fX = (fX Y, Z + Y Z,fX Z fX,Y 2 [fX,Z ], Y [Y, Z ], fX [fX,Y ], Z )
−
−
Teniendo en cuenta que
−
−
− −
Y Z,fX = Y f Z, X + f Y Z, X
se tiene que
−Z fX,Y = −Zf X, Y − fZ X, Y −[fX,Z ], Y = Z f X, Y + f [Z, X ], Y −[fX,Y ], Z = Y f X, Z + f [Y, X ], Z = f Z, X + 12 (2Y f Z, X ) = Z, f X + Y f X
Z,
Y f X
Y Y
Por lo tanto Y f X = f Y X + Y fX y se verifica la propiedad CL3 . La comprobaci´ on de que est´ a conexi´on es sim´etrica se obtiene restando t´erminos en las siguientes f´ ormulas:
Z, X = Y
Z, Y = X
1 (X 2
Y, Z + Y Z, X − Z X, Y −[X, Z ], Y − [Y, Z ], X − [X, Y ], Z ) (Y X, Z + X Z, Y − Z Y, X −[Y, Z ], X − [X, Z ], Y − [Y, X ], Z ) 1 2
4. CONEXIONES RIEMANNIANAS
143
lo que implica que
Z, X − Y = [Y, X ], Z = Z, [Y, X ] para todo Z . Por lo tanto X − Y = [Y, X ] . Y
X
Y
X
Ahora sumando las siguientes expresiones
X Y,
1 (Y 2
Z =
X, Z + X Z, Y − Z Y, X −[Y, Z ], X − [X, Z ], Y − [Y, X ], Z ) (Z X, Y + X Y, Z − Y Z, X −[Z, Y ], X − [X, Y ], Z − [Z, X ], Y )
1 2
Y, Z = X
se sigue que la conexi´on es riemanniana X Y,
Z + Y, X Z = X Y, Z
Si en la expresi´on anterior tomamos Z = se obtiene que ˜ k g˜lk = 1 ∂ g˜ jl + ∂ g˜li Γ ji 2 ∂x i ∂x j
k
∂ ∂x l
−
, Y =
∂ g˜ij ∂x l
∂ ∂x j
y X =
∂ ∂x i
Si denotamos por (˜ gln ) la matriz inversa de la matriz (˜ gln ) se obtiene que ∂ g˜ jl ∂ g˜li ∂ ˜ gij ln ˜ l g˜kl g˜ln = 1 Γ g ˜ + ji 2 l ∂x i ∂x j ∂x l k,l
y por lo tanto:
˜n Γ ji
1 = 2
ln
g˜
l
∂ g˜ jl ∂ ˜ gli + ∂x i ∂x j
−
−
∂ g˜ij ∂x l
Como consecuencia de la unicidad del teorema anterior se tiene que la u ´nica conexi´ on riemanniana en Rm con la m´etrica usual es la conexi´on est´ andar. ¯ de Rm se llamar´a la conexi´on Definici´ on 4.2. La conexi´on est´ andar riemanniana de Rm ¯ la conexi´on riemanniana de R3 . Supongamos que Ejemplo 4.2. Sea R3 es una subvariedad. N´ Σ otese que para cada p Σ se tiene la 3 desomposici´on can´ onica T p R = T p Σ norT p Σ . Por lo que cada v 3 T p R descompone de modo can´ onico como v = tanv +norv . Definamos ¯ donde ¯ u X el operador para la variedad Σ por la f´ormula u X = tan ¯ una extensi´on local de X a R3 . Es f´acil comprobar que es la X es conexi´on riemanniana de Σ . ¯ la conexi´on riemanniana de R3 . Supongamos Ejemplo 4.3. Sea R3 es una subvariedad con la conexi´ que Σ on inducida . Sea σ: R Σ una curva y sea X un campo tangente a Σ a lo largo de σ . Es interesante observar que X es paralelo (σ˙ X = 0) si y s´olo si ¯ σ˙ X es normal a Σ .
⊂
∼
⊂ →
⊕
∈
∈
144
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
Ejemplo 4.4. Utilizar las observaciones de los ejemplos anteriores para comprobar que el u´nico paralelo de la 2-esfera que es geod´esica es el ecuador. Problemas 4.1. Considerar en R2 (0, 0) la carta inclusi´on que tiene como coordenadas x, y . Supongamos que la m´etrica viene dada por
\{
}
(gij ) =
1
0
0
1 x2 +y 2
x2 +y 2
a) Probar que los coeficientes de Christoffel vienen dados por x Γ111 = x2 + y 2 y Γ112 = = Γ121 2 2 x + y x Γ122 = 2 x + y 2 y Γ211 = 2 x + y 2 x Γ212 = = Γ221 2 2 x + y y Γ222 = x2 + y 2 y que el sistema de ecuaciones diferenciales de las de las geod´esicas es el siguiente:
−
−
−
−
−
x x 2 x2 + y 2
−
2 y x y x y2 + 2 + x = 0 2 2 2 x + y x + y
y x 2 2 x x y y y 2 + y = 0 2 2 2 2 2 2 x + y x + y x + y 2 d x donde x = dx , x = (dt) alogamente para y . 2 y an´ dt R2 (0, 0) dada por α(t) = e t (cos t, sen t) , b) Estudiar si la curvas α : R β : R (0, 0) dada por β (t) = (cos t, sen t) y γ (t) = (et , 0) son R2 geod´esicas de la variedad.
−
→ \ {
−
→ \{
}
}
Soluci´on: a) La matr´ız inversa (gij ) tiene como coeficientes g11 = x 2 + y 2 = g 22 g 12 = 0 = g 21 Notemos que se tiene que ∂g 11 = ∂x
2x ∂g 22 = 2 + y 2 )2 ∂x
− (x
CONEXIONES RIEMANNIANAS
145
2y ∂g 11 ∂g 22 = = ∂y (x2 + y 2 )2 ∂y aplicando las formulas se obtienen
−
1 ∂g 11 x Γ111 = g 11 = 2 ∂x x2 + y 2 1 ∂g 11 y Γ112 = g11 = = Γ121 2 2 2 ∂y x + y 1 11 ∂g 22 x Γ122 = g = 2 2 ∂x x + y 2 1 22 ∂g 11 y Γ211 = g = 2 2 ∂y x + y 2 1 ∂g 22 x Γ212 = g 22 = = Γ221 2 2 2 ∂x x + y 1 ∂g 22 y Γ222 = g 22 = 2 ∂y x2 + y 2 Llamando x e y a las coordenadas de los puntos de la curva se obtiene
−
−
− −
−
−
− − − −
d2 x dx a = 2 + dt dt
2
d2 y dx b = 2 + dt dt
2
x dx dy +2 x2 + y 2 dt dt
y dx dy +2 x2 + y 2 dt dt
y dy + x2 + y 2 dt
x dy + x2 + y 2 dt
2
2
x x2 + y 2
=0
y x2 + y 2
=0
b) Para la curva α tenemos x = e t cos t y = e t sen t x = e t cos t et sen t y = e t sen t + et cos t x = 2et sen t y = 2et cos t (x )2 = e 2t (cos t sen t)2 (y )2 = e 2t (sen t + cos t)2 x2 + y 2 = e 2t x y = e 2t (cos2 t sen2 t) De donde se tiene que a = 2et sen t et cos t(cos2 t + sen2 t 2sen t cos t) 2et sen t(cos2 t sen2 t) + et cos t(cos2 t + sen2 t + 2 sen t cos t) = 2et sen t + 2et sen3 t + 2et sen t cos2 t = 2et sen t( 1 + cos2 t + sen2 t) = 0 b = 2et cos t + et sen t(cos2 t + sen2 t 2sen t cos t) 2et cos t(cos2 t sen2 t) + et sen t(cos2 t + sen2 t + 2 sen t cos t) = 2et cos t 2et cos3 t 2et sen2 t cos t = 2et cos t(1 cos2 t sen2 t) = 0 Por lo tanto α es una geod´esica. Para la curva β tenemos
−
− − −
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
− −
146
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
x = cos t y = sen t x = sen t y = cos t x = cos t y = sen t (x )2 = sen2 t (y )2 = cos2 t x2 + y 2 = 1 x y = sen t cos t De donde se tiene que a = cos t cos t sen2 t + 2 sen2 t cos t + cos3 t = cos t( 1 + cos2 t + sen2 t) = 0 b = sen t + sen3 t + 2 sen t cos2 t sen t cos2 t = sen t( 1 + cos2 t + sen2 t) = 0 Por lo tanto β es tambi´en una geod´esica. Finalmente y de modo casi obvio se comprueba que γ es una geod´esi-
− −
− −
− − − − −
−
ca. Cartas de Clairaut de una superficie. Sea x una carta de una superficie con una m´etrica riemannianna que ser´ a denotada por − − − − 1 1 1 1 E = g˜1 1 x , F = g˜1 2 x = g˜2 1 x , G = g˜2 2 x . Utilizaremos las ˜ k x−1 para los s´ımbolos de Christoffel. Denotaremos notaciones Γkij = Γ ij las coordenadas por u = pr1 x , v = pr2 x. Una carta se dir´a que es de Clairaut si se tiene que E u = G u = F = 0 . 4.2. Comprobar que para una superficie las geod´esicas estan determinadas por las dos ecuaciones diferenciales siguientes: 2
2
2
2
u + Γ111 u + 2Γ112 u v + Γ122 v = 0 v + Γ 111 u + 2Γ212 u v + Γ 222 v = 0 4.3. Demostrar que para una carta de Clairaut los s´ımbolos de christoffel verifican: E v Γ111 = 0, Γ211 = , 2G E v Γ112 = , Γ212 = 0, 2E Gv Γ122 = 0, Γ222 = . 2G Demostraci´on: Recordemos que los s´ımbolos de Christoffel vienen dados por ∂ g˜ jk ∂ g˜ki ∂ ˜ gij km ˜m = 1 Γ + g˜ ij 2 ∂x i ∂x j ∂x k
−
k
−
En este caso se tiene que 1 1 g 11 = g 12 = g 21 = 0 g 22 = E G de donde se deduce que: 1 ∂g 11 11 1 Γ111 = g = E u g11 = 0 2 ∂u 2
CONEXIONES RIEMANNIANAS
Γ211
147
− − − − 1 = 2
∂g 11 22 E v g = ∂v 2G
1 ∂g 11 11 E v g = 2 ∂v 2G 1 ∂g 22 22 1 Γ212 = g = Gu g22 = 0 2 ∂u 2 1 ∂ g22 11 1 Γ122 = g = Gu g 22 = 0 2 2 ∂u 1 ∂g 22 22 Gv Γ222 = g = 2 ∂v 2G 4.4. Demostrar que para una carta de Clairaut las ecuaciones geod´esicas se reducen a E v u + uv =0 E E v 2 Gv 2 v u + v =0 2G 2G Soluci´on: Basta sustituir los valores encontrados de los s´ımbolos de Christoffel en la ecuaci´ on de la geod´esicas.a Γ112 =
−
4.5. Sea σ : R S una geod´esica en una superficie S y supongamos que tenemos una carta de Clairaut, xσ(t) = (u(t), v(t)), para un valor del par´ametro t supongamos que en σ(t) el a´ngulo que forma el vector ∂ tangente y ∂u es θ. Probar que a lo largo de la geod´esica se verifica que E cos θ = Eu =constante. Soluci´on: Notemos que ∂ ∂ ∂ E cos θ = ,u + v = u E ∂u ∂u ∂v Por otra parte d(Eu ) = (E u u + E v v )u + Eu = Eu + E v u v = 0 dt 4.6. Sea σ : R S una curva en una superficie S y supongamos que tenemos una carta de Clairaut, xσ(t) = (u(t), v(t)) . Entonces (u(t), v(t) representa una geod´esica si y s´ olo si existe una constante c tal que se verifican las ecuaciones de primer orden: c u = E
→
√
√
→
√ E − c v = √ EG
2
.
Soluci´on: La primera se ha obtenido en el ejercicio anterior. Por otro lado sabemos que c2 2 2 1 = σ, ˙ σ˙ = E (u ) + G(v ) = + G(v )2 E
148
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
de aqu´ı se obtiene que
√ E − c v = √ EG
2
Rec´ıprocamente si suponemos que se satisfacen las ecuaciones anteriores derivando se obtienen las ecuaciones de las geod´esicas. 4.7. Sea σ : R S una curva en una superficie S y supongamos que tenemos una carta de Clairaut, xσ(u) = (u, v(u)) . Entonces, salvo parametrizaci´on correcta, la curva v = v(u) representa una geod´esica si y s´olo si existe una constante c para la cual se verifiva la ecuaci´on:
→
dv = du
√ E √ E − c √ c G
2
4.8. Probar que en el semiplano superior con la m´etrica de Poincare E = G = v12 , salvo parametrizaciones, la ecuaci´ on de las geod´esicas no verticales es 1 c2 dv v2 = du c Calcular las geod´esicas del plano hiperb´ olico.
−
4.9. Dada una superficie de revoluci´ on
{(φ(v)cos u, φ(v)sen u, ψ(v))|u, v ∈ R}
Probar que la m´etrica viene determinada por E = φ(v)2 , F = 0 , G = φ (v)2 + ψ (v)2 y que la ecuaci´on de las geod´esicas viene dada por
−
φ φ2 c2 dv = . du c φ 2 + ψ 2 5.
Curvatura
Definici´ on 5.1. El tensor curvatura R de una variedad riemanniana M es una correspondencia que a cada par de campos X, Y le asocia un operador R(X, Y ) que transforma cada campo Z en un campo denotado por R(X, Y )Z definido por la expresi´on: R(X, Y )Z = Y X Z donde
es
X Y Z + [X,Y ] Z
−
la conexi´on riemanniana de M .
Proposici´on 5.1. Sean X,Y,Z, W campos tangentes y f, g funciones diferenciables con valores reales, entonces R(f X + gY, Z ) = f R(X, Z ) + gR(Y, Z ) R(X,fY + gZ ) = f R(X, Y ) + gR(X, Z ) R(X, Y )(f Z + gW ) = f R(X, Y )Z + gR(X, Y )W
5. CURVATURA
149
´ n. Es Demostracio
f´acil ver que son lineales respecto escalares reales. Para funciones se tiene: R(fX,Y )Z = Y fX Z fX Y Z + [fX,Y ] Z = Y f X Z fX Y Z + f [X,Y ]−Y fX Z = Y f X Z + f Y X Z f X Y Z + f [X,Y ] Z + −Y fX Z = f Y X Z f Y X Z + f [X,Y ] Z
− −
−
−
= f R(X, Y )Z
Para la variable Y se sigue f´acilmente R(X,fY ) = f R(Y, X ) = f R(X, Y ) . Para la variable Z se tiene:
−
R(X, Y )f Z = Y X fZ
−R(fY,X )
=
X Y f Z + [X,Y ] fZ
−
Los t´erminos de la derecha verifican
Y X fZ = Y (XfZ + f X Z )
= Y X fZ + Xf Y Z + Y f X Z + f Y X Z
−
X Y fZ =
− (Y f Z + f Z ) = −X Y f Z − Y f Z − Xf Z − f X
Y
X
[X,Y ] fZ =
Y
X Y Z
[X, Y ]fZ + f [X,Y ] Z
Sumando se tiene que R(X, Y )fZ = f R(X, Y )Z .
Lema 5.1. Si uno de los campos X,Y,Z se anula en un punto p , entonces R(X, Y )Z tambi´en se anula en p . ´ n. Como Demostracio
en algunas demostraciones anteriores, del hecho de que R(X, Y )Z sea lineal en cada variable se sigue como es usual que si U es un abierto de la variedad entonces (R(X, Y )Z ) U = R(X U , Y )Z = R(X, Y U )Z = R(X, Y )(Z U ) . En el dominio U de una carta x se tiene que si por ejemplo X U = i f i ∂x∂ i , entonces
|
|
|
|
(R(X, Y )Z ) U =R(X U , Y )Z = R(
|
|
f i
i
∩ ∩ } f i R(
=
i
∂ ∂x i
∂ ∂x i
|
, Y )Z
, Y )Z .
Si p U Dom X Dom Y Dom Z y X p = 0 , se tiene que f i ( p) = 0 para i 1, , m . Por lo tanto (R(X, Y )Z ) p = ((R(X, Y )Z ) U ) p =
∈ ∩ ∈ { · ·· (R(X | , Y )Z ) = U
p
i f i ( p)
(R(
∂ ∂x i
, Y )Z
p
=0.
|
Como consecuencia del lema anterior si u, v,w son vectores tangentes en el punto p , podemos definir el vector tangente R(u, v)w tomando campos U,V, W tales que U p = u , V p = v , W p = w y definiendo R(u, v)w = (R(U, V )W ) p . El tensor curvatura verifica las propiedades siguientes:
150
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
Proposici´ on 5.2. (Identidad de Bianchi) Sean X,Y, Z campos tangentes, entonces R(X, Y )Z + R(Y, Z )X + R(Z, X )Y = 0. ´ n. De Demostracio
la definici´on del tensor curvatura se tiene que
R(X, Y )Z = Y X Z
X
Y Z + [X,Y ] Z
R(Y, Z )X = Z
Y
Y
Z X + [Y,Z ] X
R(Z, X )Y = X
Z
Z
X Y
− X − Y −
+ [Z,X ] Y
Sumando se obtiene R(X, Y )Z + R(Y, Z )X + R(Z, X )Y = Y [X, Z ] + X [Z, Y ] + Z [Y, X ] [Y,X ] Z [Z,Y ] X [X,Z ] Y
−
−
−
= [Y [X, Z ]] + [X, [Z, Y ]] + [Z [Y, X ]] =0
Proposici´on 5.3. Sean X,Y,Z, T campos tangentes, entonces (i) R(X, Y )Z, T + R(Y, Z )X, T + R(Z, X )Y, T = 0 , (ii) R(X, Y )Z, T = R(Y, X )Z, T , (iii) R(X, Y )Z, T = R(X, Y )T, Z , (iv) R(X, Y )Z, T = R(Z, T )X, Y .
− −
´ n. Demostracio
La propiedad (i) se sigue de la identidad de Bianchi y la (ii) es consecuencia inmediata de la definici´on. La propiedad (iii) es equivalente a ver que R(X, Y )Z, Z = 0 . Entonces
R(X, Y )Z, Z = Z − Z + Z, Z = Z, Z − Z, Z + Z, Z = Y Z, Z − Z, Z − X Z, Z 1 + Z, Z + [X, Y ]Z, Z 2 1 1 1 = Y (X Z, Z ) − X (Y Z, Z ) + [X, Y ]Z, Z 2 2 2 1 1 = − [X, Y ]Z, Z + [X, Y ]Z, Z 2 2 Y
X
Y
X
X Y
X
X Y
X
[X,Y ]
Y
[X,Y ]
Y
Y
X
=0 Para probar (iv), tenemos que de la (i) se sigue que
R(X, Y )Z, T + R(Y, Z )X, T + R(Z, X )Y, T = 0 R(Y, Z )T, X + R(Z, T )Y, X + R(T, Y )Z, X = 0 R(Z, T )X, Y + R(T, X )Z, Y + R(X, Z )T, Y = 0 R(T, X )Y, Z + R(X, Y )T, Z + R(Y, T )X, Z = 0
5. CURVATURA
151
Sumando se obtiene que 2 R(Z, X )Y, T + 2 R(Y, T )X, Z = 0 . Por lo tanto R(Z, X )Y, T = R(Y, T )Z, X . De donde se deduce la propiedad (iv) .
2
Denotemos por u = u, u y por u
| ∧ v| =
| |
| | | | − u2v
2
u, v
2
.
Proposici´on 5.4. Sea σ un subespacio bidimensional real, u, v una base de σ y supongamos que tenemos un producto interno y un operador R satisfaciendo las propiedades anteriores, entonces R(u, v)u, v u v2 es independiente de la base elegida.
| ∧ |
un cambio de base u = au + bv , v = cu + dv . De los 16 t´erminos que se generan al aplicar que R(au + bv,cu + dv)au + bv,cu + dv si se tienen en cuenta las propiedades del tensor quedan los cuatro t´erminos siguientes: ´ n. Realicemos Demostracio
R(u, v)u, v =adadR(u, v)u, v + adbcR(u, v)v, u + bcadR(v, u)u, v + bcbcR(v, u)v, u =R(u, v)u, v (a d − 2adbc + b c ) =(ab − cd) R(v, u)u, v Por otra parte | (au + bv) ∧ (cu + dc)| = (ad − bc) |u ∧ v | . De aqu´ı teniendo en cuenta que en el cambio de base se verifica que ad − bc = 0 se tiene que R(u , v )u , v (ad − bc) R(u, v)u, v R(u, v)u, v (5.1) = = (ad − bc) |u ∧ v | |u ∧ v| |u ∧ v| 2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Definici´ on 5.2. Sea M una variedad riemanniana y σ un subespacio bidimensional de T p M , llamaremos curvatura seccional o curvatura de Riemann de M respecto a σ en p al n´ umero real R(u, v)u, v K (σ) = u v2 donde u, v es una base del subsepacio σ de T p M .
| ∧ |
Dada una carta x de una variedad riemanniana, utilizaremos las siguientes funciones que determinan el tensor curvatura ∂ ∂ ∂ ˜ l ∂ R , = R ijk ∂x i ∂x j ∂x k ∂x l
˜ ijks = R R
l
∂ ∂ , ∂x i ∂x j
∂ ∂ , ∂x k ∂x s
152
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
No es dif´ıcil comprobar que ˜l = R ijk
˜s Γ ˜l Γ ik js
s
−
˜l ∂ Γ ik s ˜l ˜ Γ jk Γis + ∂x j
s
˜ ijks = R
−
˜l ∂ Γ jk . ∂x i
˜ l g˜ls . R ijk
l
Se˜nalaremos tambi´ en que en el caso de 2-variedades riemannianas, en el dominio de una carta x la curvatura seccional se puede calcular con la f´ormula ˜ 1212 R ˜ = K . 2 g˜11g˜22 g˜12 Es frecuente utilizar ciertas combinaciones de la curvatura seccional. Por ejemplo, si u es un vector unitario u consideramos una base ortonormal u1 , um−1 del hiperplano ortogonal de u en T p M si se consideran los promedios
−
···
Ric(u) = m
m 1
−
−
1 m
1
R(u, ui , )u, ui )
i=1
1 1 KE = Ric(u j ) = m j=1 m(m 1)
−
R(ui , u j , )ui , u j )
ij
se obtiene la curvatura de Ricci en la direcci´ on u en el punto p y la la curvatura escalar en el punto p . Notemos que en principio las curvaturas anteriores no est´ an bien definidas ya que dependen de como se complete la base ortonormal. La siguiente proposici´ on da una definici´on intr´ınseca que prueba que est´ an bien definidas. Si V es un espacio vectorial de dimensi´ on finita. Una aplicaci´on lineal h : V V tiene asociada el invariante denomiado traza y que denotaremos por Tr(h) que se define mediante la f´ ormula Tr(h) = m i=1 aii si (aij ) es la matriz de h respecto una base v1, , vm del espacio vectorial. Sean ahora u, v T p M de una variedad riemanniana M . Consideremos la aplicaci´ on lineal R(u, )v : T p M T p M definida por R(u, )v(w) = R(u, w)v donde R es el tensor curvatura.
→
·· ·
∈
−
−
→
Lema 5.2. Sea M una variedad riemanniana con tensor de curvatura R. (i) La aplicaci´on Q : T p M T p M R dada por
×
→
Q(u, v) = Tr(R(u )v)
−
es bilineal y sim´etrica. (ii) Para u T p M de norma uno, se tiene que 1 Ric(u) = Q(u, u) . (m 1)
∈
−
CURVATURA
153
(iii) Sea E es la aplicaci´on lineal autoadjunta de la forma bilineal Q ; esto es E (u), v = Q(u, v) . Entonces la curvatura escalar viene dada por KE = Tr(E ) .
´ n. El Demostracio
hecho que Q sea bilineal es una comprobaci´ on rutinaria. Para ver que es sim´etrica sea u1 , , un una base ortonormal de T p M , entonces Q(u, v) =
···
R(u, ui )v, ui =
R(v, ui )u, ui = Q(v, u) .
i
i
Notemos adem´ as si u = u m se tiene que Q(u, u) = (m Por otra parte se tiene que
− 1)Ric(u) .
− −
Tr(E ) = i E (ui ), ui = i Q(ui , ui ) = (m 1) i Ric(ui ) = m(m 1)KE
Nosotros llamaremos tensor de Ricci a la forma bilineal sim´etrica Q ˜ i k = Q ∂ , ∂ son los coeficientes y los diremos que las funciones Q ∂x i ∂x j del tensor de Ricci . Una carta x de la variedad riemanniana M induce los campos coordenados usuales. La forma bilineal Q queda deteminada por los valores ˜ i k = Q Q
∂ ∂ , ∂x i ∂x j
=
˜ j R ijk
j
Sea u un vector unitario tangente en el punto p; es decir si u = ∂ y ij ai g˜ij a j = 1 , entonces la curvatura de Ricci viene i ai ∂x i dada por 1 Ric(u) = ai ˜ Qi k ak m 1 ik
−
Observemos que puesto que la aplicaci´ on bilineal autoadjunta E : T p M T p M verifica que Q(u, v) = E (u), v . De donde se obtiene que la curvatura escalar viene dada por
KE =
→
1 m(m 1)
−
˜ i k g˜i k Q
ik
Problemas
5.1. Considerar en R2 (0, 0) la carta inclusi´on que tiene como coordenadas x, y . La m´etrica viene dada por
\{
}
(gij ) =
1
0
0
1 x2 +y 2
x2 +y 2
154
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
Los coeficientes de Christoffel vienen dados por x Γ111 = x2 + y 2 y Γ112 = = Γ121 2 2 x + y x Γ122 = 2 x + y 2 y Γ211 = 2 x + y 2 x Γ212 = = Γ221 2 2 x + y y Γ222 = x2 + y 2 Probar que la curvatura seccional es nula.
−
−
−
−
Soluci´on: La curvatura seccional en dimensi´ on dos viene dada por la f´ormula R1212 R1212 K = = 2 g11g22 g12 g11 g22 Adem´as el coeficiente del numerador viene dado por
−
1 2 R1212 = R 121 g12 + R121 g22 = R 2121 g22 2 Para calcular la curvatura necesitamos el coeficiente R121 .
2 R121 = Γ111 Γ221 + Γ 211 Γ222
∂ Γ211 1 2 2 2 Γ + Γ Γ ) + 21 11 21 12
− (Γ
∂y
2 21
− ∂ Γ∂x
Teniendo en cuenta que Γ111 = Γ221 = Γ212, Γ211 =
−Γ
2 22
=
1 12
−Γ
= Γ211 ,
∂ Γ211 ∂ Γ221 = ∂y ∂x se obtiene R2121 = 0 . De aqui se sigue que K = 0 . 5.2. Sea U = (x, y) x2 + y 2 < 1 el disco unidad y considerar la m´etrica cuyos coeficientes son g11 = (1−(x24+y2 ))2 , g12 = g21 = 0 y g22 = (1−(x24+y2 ))2 .
{
|
}
i) Calcular los coeficientes de Christoffel. ii) Encontrar la ecuaci´ on diferencial de las geod´esicas. iii) Calcular la curvatura seccional.
5.3. Sea M el paraboloide de ecuaci´ on z = x2 + y 2 y sea j : M la inclusi´on can´ onica.
3
→ R
6. MISCEL´ aNEA
155
i) Calcular los coeficientes de la m´ etrica inducida por j en la variedad M . ii) Calcular los coeficientes de Christoffel. iii) Encontrar la ecuaci´on diferencial de las geod´esicas. iv) Calcular la curvatura seccional. 6.
Miscel´anea
6.1. Considerar la subvariedad E de R3 de ecuaci´ on ( xa )2 + ( ya )2 + ( zc )2 = 1 Sea la carta (φ, θ) tal que su dominio es el elipsoide E menos el subconjunto (x,y,z ) E y = 0 x 0 y es tal que x = a cos θ cos φ y = a cos θ sen φ z = c sen θ y su codominio es ( π, π) ( π2 , π2 ) . a) Probar que los coeficientes m´etricos en la carta anterior son: g11 = a 2 cos2 θ, g12 = 0 = g 21 , g22 = a 2 cos2 θ + c2 cos2 θ . b) Probar que los coeficientes de Christoffel vienen dados por
{
−
∈ |
≤ }
×−
Γ111 = 0 Γ112 =
1 21
Γ122 = 0
− tan θ = Γ
a2 sen2θ 2(a2 sen2 θ + c2 cos2 θ) Γ212 = 0 = Γ221 (a2 c2)sen2θ 2 Γ22 = 2(c2 cos2 θ + a2 sen2 θ) c) Encontrar la ecuaci´ on diferencial de las geod´esicas. d) Probar que la curvatura seccional en los puntos de la carta viene dada por c2 K = 2 (c cos2 θ + a2 sen2 θ)2 Γ211 =
−
6.2. Considerar la subvariedad H de R3 de ecuaci´ on x2 + y 2 z 2 = 1 Sea la carta (φ, θ) tal que su dominio es H menos el subconjunto (x,y,z ) H y = 0 x 0 y es tal que x = cosh θ cos φ y = cosh θ sen φ z = senh θ y su codominio es ( π, π) (1, + ) . a) Probar que los coeficientes m´etricos en la carta anterior son: g11 = cosh2 θ, g12 = 0 = g 21 , g22 = cosh2 θ + senh2 θ . b) Probar que los coeficientes de Christoffel vienen dados por
−
{
∈ |
≤ }
−
×
∞
Γ111 = 0 Γ112 = tanh θ = Γ121 Γ122 = 0 1 Γ211 = tanh2θ 2 Γ212 = 0 = Γ221 Γ222 = tanh 2θ c) Encontrar la ecuaci´ on diferencial de las geod´esicas.
−
156
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
d) Calcular la curvatura seccional en los puntos de la carta. Soluci´on: Se trata de calculos rutinarios. En los apartados a) y b) ya se ha incluido la soluci´ on. c) Las ecuaciones de las geod´esicas es la siguiente
d2 θ 1 dt2 2 d)Se obtiene que
−
2 R121
−
=
d2 φ dφ dθ + 2 tanh θ = 0 dt2 dt dt 2 2 dφ dθ tanh2θ + tanh2θ = 0 dt dt
1 1 (tanh 2θ)2 + tanh(θ) tanh(2θ) 2 2
−
1 = (cosh 2θ)2
2 2 R1212 R121 g22 R121 K = = = = 2 g11g22 g12 g11 g22 g11
−
(cosh θ)2 (cosh 2θ)2
1 − (cosh 2θ) − 6.3. Sea la superficie de R que tiene ecuaci´ on a e cos(a x) − cos(a y) = 0 . Consideremos la carta (u, v) : M → R tal que Dom(u, v) = {(x,y,z )|a e cos(a x) − cos(a y) = 0, cos a x = 0} 3
2
z
2
z
y tal que u = x, v = y a) Probar que los coeficientes m´ etricos en la carta anterior son los siguientes: g11 = 1 + a2 tan2 (a u), g12 = a2 (tan a u)(tan a v) = g21 , g22 = 1 + a2 tan2 (a v) . b) Probar que los coeficientes de Christoffel vienen dados por
−
Γ111 =
a3 sec2 (a u) tan(a u) 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v)
Γ112 = 0 = Γ121 a3 sec2 (a v) tan(a u) 1 Γ22 = 1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2 (a v) a3 sec2 (a u) tan(a v) Γ211 = 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v) Γ212 = 0 = Γ221 a3 sec2 (a v) tan(a v) 2 Γ22 = 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v) c) Encontrar la ecuaci´ on diferencial de las geod´esicas. d) Probar que la curvatura seccional en los puntos de la carta viene dada por
− −
K =
−
4
2
2
a sec (a u)sec (a v) (1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v))
2
6. MISCEL´ aNEA
157
Soluci´on: a) Ya hemos visto en el ejercio anterior que puesto que v) x in = u ,y in = v y z in = log acos(a se tiene que cos(a u)
− ∂ ∂u
in∗p
in∗p
=
p
∂ ∂v
=
p
∂ ∂x
∂ ∂y
+ (a tan au) p
p
(a tan av) p
p
∂ ∂z
p
∂ ∂z
p
de donde se obtiene que g11 = 1 + a 2 tan2 (a u) g12 = g21 = a2 (tan a u)(tan a v) g22 = 1 + a2 tan2 (a v) b) La matriz inversa tiene como coeficientes
−
g 11 = g
12
1 + a2 tan2 (a v) 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v)
a2 tan(a u) tan(a v) = = g 21 2 2 2 2 1 + a tan (a u) + a tan (a v)
1 + a2 tan2 (a u) g = 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v) Notemos que se tiene que 22
∂g 11 = 2 a3 sec2 (a u) tan(a u) ∂u ∂g 22 = 2 a3 sec2 (a u) tan(a v) ∂v ∂g 11 ∂g 22 =0= ∂v ∂u
−
∂g 12 = ∂u
−
a3 sec2 (a u) tan(a v) =
∂g 21 ∂u
∂g 12 ∂g 21 = a3 sec2 (a v) tan(a u) = ∂v ∂v aplicando las formulas se obtienen Γ111 =
Γ122
=
a3 sec2 (a u) tan(a u) 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v)
−
Γ112 = 0 = Γ121 a3 sec2 (a v) tan(a u) 1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2 (a v)
158
8. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS
−
a3 sec2 (a u) tan(a v) 2 Γ11 = 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v) Γ212 = 0 = Γ221 a3 sec2 (a v) tan(a v) 2 Γ22 = 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v) c) Llamando u y v a las coordenadas de los puntos de la curva se obtiene
−
∂ u + ∂t 2
∂u ∂t
2
∂ 2 v ∂t 2
∂u ∂t
2
2
sec2 (a u)
2
−
sec (a u) +
∂v ∂t
2
∂v ∂t
2
sec2 (a v)
a3 tan(a u) =0 1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2 (a v)
sec2(a v)
a3 tan(a u) =0 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v)
1 d) Para calcular la curvatura necesitamos los coeficientes R121 y 2 R121 para su c´omputo realizamos previamente los siguientes calculos:
∂ Γ111 = ∂v
6
−2 a
1 R121 =
∂ Γ111 2 1 Γ11 Γ22 +
2 R121 =
∂ Γ211 2 2 Γ11 Γ22 +
∂v
sec2 (a u)sec2 (a v) tan(a u) tan(a v)
(1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v))
∂ Γ211 2 a6 sec2 (a u)sec2 (a v)tan2(a v) = 2 ∂v (1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v)) de donde se obtiene 1 R121 =
2 R121
=
∂v
− −
−
2
a4 sec2 (a u)sec2(a v) 1 + a2 tan2(a u) + a2 tan2 (a v)
a6 sec2 (a u)sec2 (a v) tan(a u) tan(a v) (1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v))
a4 sec2 (a u)sec2 (a v) (1 + a2 tan2 (a u))
(1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v)) De aqui se sigue que
− −
R1212 = Finalmente K =
2
a4 sec2 (a u)sec2 (a v) 1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v) a4 sec2 (a u)sec2 (a v)
(1 + a2 tan2 (a u) + a2 tan2 (a v))
2
2
Cap´ıtulo 9
EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY 1.
El paquete RiemannianGeometry
1.1. Introducci´ on. En este paquete se definen una familia de peque˜ nos programas que denominaremos funciones que calculan diversos coeficientes pseudo-m´etricos en un abierto coordenado de una variedad pseudo-riemanniana. La construcci´ o n de las funciones y la estructura de las funciones est´ a basada en el libro “Introduci´ o n a la Geometr´ıa Diferencial”que est´ a disponible en la p´agina web: http://www.unirioja.es/cu/luhernan/lnes.html
Versiones comprimidas del p´ aquete junto con documentaci´ on y ejemplos se hallan tambi´ en disponibles en la misma p´agina web. Para instalar el paquete seguir las instrucciones que est´an en documento l´eame. Este paquete se carga mediante el comando: <
RiemannianGeometry` Christoffel HiperbolicBall CurvatureTensor InducedPseudoMetric EuclideanMetric InmersionGeometricCoefficients2D GeodesicLines JacobianM GeometricCoefficients MinkowskiPseudometric GeometricCoefficients2D SectionalCurvature2D Para ver la informaci´ on que existe sobre cada funci´on del paquete, se teclea el interrogante de cierre y el nombre de la funci´ on: ?Christoffel
Christoffel[pseudometrica,variables] Calcula los s´ımbolos de Christoffel de una variedad pseudo-riemanniana a partir de los coeficientes de la m´etrica. Tiene como entrada la matriz m m de una pseudo-m´etrica de un abierto coordenado de una variedad M cuyos elementos son funciones que dependen de las variables que aparecen en la segunda entrada, est´ as variables denotan las coordenadas de una carta de la variedad M . La salida es un tensor de dimensiones m m m , formado por las funciones denominadas como s´ımbolos de Christoffel, cada una de ´estas depende de las mismas variables de las que depend´ıan
×
× ×
159
160
9. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY
los coeficientes pseudo-m´etricos. Los s´ımbolos de Chistofell determinan la conexi´on pseudo-riemannniana en el abierto coordenado, se utilizan para calcular las geod´esicas y la curvatura seccional” 1.2. Algunas pseudom´ etricas m´ as frecuentes. Sea x una una carta de una variedad M . Respecto dicha carta la pseudom´etrica viene determinada por una matriz cuyos elementos son funciones de M en R . Est´ as funciones se suelen expresar de modo que dependan de las coordenadas de la carta elegida x . Veamos algunas de las m´as frecuentes: EuclideanMetric[n] Construye la matriz identidad. Se puede utilizar para dar la m´etrica eucl´ıdia en el espacio usual Rn . MinkowskiPseudometric[n] Construye la matriz diagonal con todo unos salvo el lugar (n, n) que es menos uno. En particular tenemos la pseudo-m´etrica de Minkowski en Rn . HiperbolicBall[n, variables] Calcula la m´etrica riemanniana hiperb´ olica en la bola unidad. Tiene como entrada la dimensi´on del espacio y las variables que se deseen utilizar (exactamente n variables), la salida es la m´etrica hiperb´olica en la bola unidad. En la esfera unidad no hay definada ninguna matriz, fuera del disco unidad aparece inducida una pseudo-m´etrica. EuclideanMetric[3]
{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} MinkowskiPseudometric[4] {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, −1}} HiperbolicBall[2, {u,v}]
4
(1 u2 v2 )2
− −
4
, 0 , 0, (1−u2 −v2 )2
1.3. Pseudo-m´ etrica inducida por una inmersi´ on. Dada una inmersi´on f : M N , en la que se supone que disponemos de una carta x en la variedad M y tambi´en de una carta y en la variedad N . Supondremos que la variedad N es pseudo-riemanniana y que conocemos la matriz de la pseudo-m´ etrica respecto de la carta y, cuyos coeficientes dependen de las coordenadas de la carta y. En una proposici´on del cap´ıtulo “Variedades y Conexiones Riemannianas”se prueba que bajo estas condiciones queda inducida una nueva pseudo-m´etrica en la variedad M . Con los siguientes miniprogramas se calcula la pseudo-m´etrica inducida en la variedad M . Se puede utlilizar para estudiar las pseudo-m´etricas inducidas en subvariedades de los espacios eucl´ıdeos, hiperb´ olicos o de Minkowski. Tambi´ en puede ser utilizado con homeomorfismos locales y aplicaciones recubridoras. JacobianM[componentes,variables] Obtiene la matriz jacobiana de una funci´on dependiente de varias variables y que tiene valores vectoriales. Tiene como entrada componentes que es una lista de funciones que dependen de las variables que est´ an en la segunda entrada.
→
1. EL PAQUETE RIEMANNIANGEOMETRY
161
La salida es la matriz jacobiana obtenida al calcular las derivadas parciales de las componentes repecto de las variables. Las filas contienen las derivadas parciales respecto las diferentes variables. InducedPseudoMetric[componentes, pseudometrica, varia bles1,variables2] Calcula la pseudo-m´etrica inducida por una inmersi´on. Dada una funci´ on de una variedad M en otra N y supongamos que respecto dos cartas de M y N la funci´on viene dada por las funciones que forman la lista componentes que es la primera entrada, estas funciones dependen de las variables1 que forman la tercera entrada y son las coordenadas de la carta que tenemos en la variedad M . La entrada pseudometrica es la pseudo-m´etrica de la variedad N en t´erminos de la carta considerada en la variedad N , cada coeficiente es una expresi´on que depende de variables2 que es la u´ltima entrada. Tiene como salida la pseudo-m´etrica inducida en la variedad M que depender´ a de las coordenadas de M contenidas en la lista variables1. paraboloide= u,v,u2 + v 2 ;
{
}
ParametricPlot3D[paraboloide, {u,-1,1},{v,-1,1}] 1 0.5 . 0 -0.5 0.5 -1 1 2 1.5 1 0.5 0 -1 1 -0.5 0.5
0 0.5
1
JacobianM[paraboloide, {u,v}]
{{1, 0}, {0, 1}, {2 u, 2 v}}
InducedPseudoMetric[paraboloide, EuclideanMetric[3],{u,v},{x,y,z}]
1 + 4 u2 , 4 u v , 4 u v, 1 + 4 v 2
1.4. S´ımbolos de Christoffel y ecuaciones de las geod´ esicas. Dada una variedad M y una carta x las dos funciones siguientes calculan los s´ımbolos de Christoffel que dependen de las coordenadas de la carta. A partir de los s´ımbolos de Christoffel tambi´ en se puede calcular el sistema de ecuaciones diferenciales de las geod´esicas de la variedad M . El programa no integra estas ecuaciones por lo que no se calculan expl´ıcitamente las geod´esicas. No obstante se pueden utilizar las funciones b´ asicas de Mathematica para intentar encontrar las soluciones de dicho sistema de ecuaciones diferenciales. Christoffel[pseudometrica,variables] Calcula los s´ımbolos de Christoffel de una variedad pseudo-riemanniana a partir de los coeficientes de la pseudo-m´etrica. Tiene como entrada la matriz m m de una pseudo-m´etrica de un abierto coordenado de una variedad M cuyos elementos son funciones que dependen de las variables que aparecen en
×
162
9. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY
la segunda entrada, est´as variables denotan las coordenadas de una carta de la variedad M . La salida es un tensor de dimensiones m m m , formado por las funciones denominadas como s´ımbolos de Christoffel, cada una de ´estas depende de las mismas variables de las que depend´ıan los coeficientes pseudo-m´etricos. Los s´ımbolos de Chistofell determinan la conexi´on pseudo-riemannniana en el abierto coordenado, se utilizan para calcular las geod´esicas y la curvatura seccional. GeodesicLines[chris,variables,nombretiempo] Obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales de las geod´esicas de una variedad pseudo-riemanniana. Tiene como entrada los s´ımbolos de Christoffel, las variables de las que dependen y nombretiempo que es el nombre de la variable ‘tiempo’. La salida es una lista que contiene el sistema de ecuaciones diferenciales de las geod´esicas de la variedad en la carta. paraboloidepsm = 1 + 4u2 , 4uv , 4uv, 1 + 4v 2 ;
× ×
{{
}{
}}
Christoffel[paraboloidepsm,{u,v}]
4u 1+4 u2 +4 v 2 , 0
, 0,
paraboloidechris= 4u 4u 1+4 u +4 v , 0 , 0, 1+4 u +4 v 2
2
4u 1+4 u2 +4 v 2
2
2
,
,
4
1+4 u2 +4 v 2
+
4 u v [t]2 1+4 u2 +4 v 2
2
4 v u [t] + u [t], 1+4 + u +4 v
2
2
, 0,
, 0 , 0,
GeodesicLines[paraboloidechris,{u,v},t] 4 u u [t]2 1+4 u2 +4 v 2
4v 1+4 u2 +4 v 2 , 0
4 v v [t]2 1+4 u2 +4 v 2
4v 1+4 u2 +4 v 2
+ v [t]
4v 1+4 u2 +4 v 2
;
1.5. Tensor de curvatura y Curvatura Seccional. Dada una variedad M y una carta x las dos funciones siguientes calculan los coeficientes del tensor de curvatura que dependen de las coordenadas de la carta y para el caso de variedades de dimensi´ on dos obtiene la curvatura seccional. CurvatureTensor[simboloschristoffel, pseudometrica, varia bles] Calcula todos los coeficientes del tensor de curvatura de una variedad riemanniana a partir de los s´ımbolos de Christoffel y de los coeficientes de la pseudo-m´etrica. Tiene como como primera entrada el tensor de los s´ımbolos de Christoffel que seguramente se habr´ a calculado con la funci´on del paquete Christoffel, est´ os s´ımbolos dependen de las variables que aparecen en la tercera entrada, la segunda entrada es la matriz m m de una pseudo-m´etrica de un abierto coordenado de una variedad M cuyos elementos tambi´ en son funciones que dependen de las variables que aparecen en la tercera y u´ltima entrada, est´ as variables denotan las coordenadas de una carta de la variedad M . La salida es un tensor de dimensiones m m m m , formado por las funciones del tensor de curvatura, cada una de ´estas depende de las mismas variables de las que depend´ıan los coeficientes pseudom´etricos. El tensor de curvatura se utiliza para calcular la curvatura seccional y otras curvaturas. SectionalCurvature2D[tensordecurvatura, pseudometrica] Calcula la curvatura seccional, que coincide con la de Gauss, a partir de los coeficientes del tensor de curvatura y de la m´ etrica. Tiene
×
× × ×
1. EL PAQUETE RIEMANNIANGEOMETRY
163
como como primera entrada el tensor de curvatura 2x2x2x2 que seguramente se habr´ a calculado con la funci´ on CurvatureTensor del paquete RiemannianGeometry, como segunda entrada la matriz 2x2 de la pseudom´ etrica de un abierto coordenado de la superficie M . La salida es un una funci´on que da la curvatura seccional de la superfice que es una variedad de dimensi´ on dos. CurvatureTensor[paraboloidechris, paraboloidepsm,{u,v}] 4 0, 0 , 0, 0 , 0, 1+4 u42 +4 v2 , ,0 , 1+4 u2 +4 v 2
{{ } { }} − − {{ } { }} {{ } { }} − − {{ } { }} 0, 1+4 u42 +4 v2 , 1+4 u42 +4 v2 , 0 paraboloidecur= 0, 0 , 0, 0 , 0, 1+4 u42 +4 v2 ,
,
0, 0 , 0, 0
4 ,0 1+4 u2 +4 v2
,
0, 1+4 u42 +4 v2 , 1+4 u42 +4 v2 , 0 , 0, 0 , 0, 0 ; SectionalCurvature2D[paraboloidecur, paraboloidepsm] 4 (1+4 u2 +4 v2 )2
1.6. Coeficientes geom´ etricos inducidos por una inmersi´ on. El miniprograma siguiente calcula la pseudo-m´etrica, los s´ımbolos de Christoffel, las ecuaciones diferenciales de las geod´esicas, los coeficientes del tensor de curvatura y la curvatura seccional de la geometr´ıa inducida en una superficie por una inmersi´on de ´esta en una variedad pseudo-riemanniana. El siguiente miniprograma para una superficie pseudo-riemanniana calcula los s´ımbolos de Christoffel, el sistema de ecuaciones diferenciales de las geod´esicas, los coeficientes del tensor de curvatura y la curvatura seccional. El tercer programa para un variedad pseudo-riemanniana calcula todos los elementos anteriores salvo la curvatura seccional. InmersionGeometricCoefficients2D[componentes, inducto on de ra, variables1, variables2, nombretiempo] Dada una inmersi´ una variedad M en una variedad N que tiene una pseudo-m´etrica conocida esta funci´ on calcula la pseudo-m´etrica inducida en la variedad M y tambi´en obtiene los s´ımbolos de Christoffel, el sistema de ecuaciones diferenciales de las geod´esicas, los coeficientes del tensor de curvatura y la curvatura seccional la variedad M . Tiene como primera entrada componentes que son n funciones con valores reales que dependen de las m variables que componen, variables1, que son precisamente las explicitadas en la tercera entrada. Estas funciones se supone que se han obtenido al considerar una inmersi´ on f : M N entre variedades y tomar sistemas coordenados x e y respectivamente, se tiene que componentes= yfx−1 . La segunda entrada es la matriz de la pseudom´etrica de la variedad N respecto la carta y , los coeficientes pseudom´etricos dependen de la cuarta entrada, variables2. Las m´ as usual en los ejemplos que acompa˜ nan este paquete es EuclideanMetric[3], que
→
164
9. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY
es la matriz identidad de dimensi´on 3x3. La variable nombretiempo, que es el nombre que asignamos al ‘tiempo’ en el sistema de ecuaciones diferenciales que verifican las geod´esicas. La salida consiste en varias l´ıneas que van explicando los resultados que se van obteniendo. Para obtener una lista de los resultados anteriores basta introducir como imput %. Tomando elementos de ´esta se pueden extraer cada resultado que interese para poderlo ulilizar de nuevo. GeometricCoefficients2D[pseudometrica,variables,nombre tiempo] Obtiene los s´ımbolos de Christoffel, el sistema de ecuaciones diferenciales de las geod´esicas, los coeficientes del tensor de curvatura de una pseudo- m´etrica riemanniana y la curvatura seccional de una pseudo-m´etrica riemanniana. Tiene como primera entrada pseudometrica, que es la matriz de la pseudo-m´etrica de la variedad M respecto la carta x, los coeficientes pseudo-m´etricos dependen de la segunda entrada, variables. La tercera entrada, nombretiempo, que es el nombre que asignamos al ‘tiempo’ en el sistema de ecuaciones diferenciales que verifican las geod´esicas. La salida consiste en varias l´ıneas que van explicando los resultados que se van obteniendo. Para obtener una lista de los resultados anteriores basta introducir como imput %. Tomando elementos de ´esta se pueden extraer cada resultado que interese para poderlo ulilizar de nuevo. GeometricCoefficients[pseudometrica,variables,nombretiem po]Obtiene los s´ımbolos de Christoffel, el sistema de ecuaciones diferenciales de las geod´esicas y los coeficientes del tensor de curvatura de una pseudo-m´etrica riemanniana. Tiene como primera entrada pesudometrica, que es la matriz de la pseudo-m´etrica de la variedad M respecto la carta x, los coeficientes pseudo-m´etricos dependen de la entrada variables. La tercera entrada, nombretiempo, que es el nombre que asignamos al ‘tiempo’ en el sistema de ecuaciones diferenciales que verifican las geod´esicas. La salida consiste en varias l´ıneas que van explicando los resultados que se van obteniendo. Para obtener una lista de los resultados anteriores basta introducir como imput %. Tomando elementos de ´esta se pueden extraer cada resultado que interese para poderlo ulilizar de nuevo. A diferencia de la funci´on GeometricCoefficients2D funciona en cuarquier dimensi´ on, pero no calcula la curvatura seccional. InmersionGeometricCoefficients2D[paraboloide,EuclideanMetric[3],{u,v}, {x,y,z},t] La matriz de la pseudom´etrica es la siguiente: = 1 + 4u2 , 4uv , 4uv, 1 + 4v 2 ; Los s´ımbolos de Christofell son los siguientes:
{{
}{
4u 1+4 u2 +4 v 2 , 0
, 0,
}}
4u 1+4 u2 +4 v 2
,
4v 1+4 u2 +4 v 2 , 0
, 0,
Las ecuaciones diferenciales de las geod´esicas son:
4v 1+4 u2 +4 v 2
1. EL PAQUETE RIEMANNIANGEOMETRY
4 u u [t]2 1+4 u2 +4 v 2
+
4 u v [t]2 1+4 u2 +4 v 2
2
4 v u [t] + u [t], 1+4 + u +4 v
2
2
4 v v [t]2 1+4 u2 +4 v 2
+ v [t]
165
Los coeficientes del tensor de curvatura son: 4 0, 0 , 0, 0 , 0, 1+4 u42 +4 v2 , ,0 1+4 u2 +4 v 2
{{ } { }} −
− {{
0, 1+4 u42 +4 v2 , 1+4 u42 +4 v2 , 0 , La curvatura seccional viene dada por 4 (1+4 u2 +4 v2 )2
}} ,
0, 0 , 0, 0
}{
Para obtener los resultados anteriores introduce despu´es de la ejecuci´o n ‘ %’ como un input 1.7. Ejemplos. La superficies inmersas en el 3-espacio eucl´ıdio heredan una m´etrica riemanniana. Si disponemos de una carta de la superficie y las funciones que nos dan las coordenadas cartesianas eucl´ıdias en funci´ on de las de la superficie, entonces podemos calcular los diversos coeficientes geom´etricos. hiperboloide ={Cosh[θ ] Cos[ϕ], Cosh[θ] Sin[ϕ], Sinh[θ]} ; ParametricPlot3D[hiperboloide,{ϕ,-4,4},{θ,-1,1}] 1 0 -1 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 0 1
InmersionGeometricCoefficients2D[hiperboloide, EuclideanMetric[3], {ϕ,θ},{x,y, z},t]
La matriz de la pseudom´etrica es la siguiente: cosh(θ)2 , 0 , 0, cosh(2 θ) Los s´ımbolos de Christofell son los siguientes: θ) 0, tanh(θ) , tanh(θ), 0 , − tanh(2 , 0 , 0, tanh(2 θ) 2 Las ecuaciones diferenciales de las geod´esicas son: ϕ (t)2 2 tanh(θ) θ (t) ϕ (t) + ϕ (t), tanh(2 θ) θ (t)2 tanh(2 θ) + θ (t) 2 Los coeficientes del tensor de curvatura son: 0, 0 , 0, 0 , 0, cosh(θ)2 Sech(2 θ) , cosh(θ)2 Sech(2 θ), 0 0, cosh(θ)2 Sech(2 θ) , cosh(θ)2 Sech(2 θ) , 0 , 0, 0 , 0, 0 La curvatura seccional viene dada por Sech(2 θ)2 Para obtener los resultados anteriores introduce despu´es de la ejecuci´o n ‘ %’ como un imput
{{ }{ }} {{{ }{ }} {{ { {{{{ } { }} {{ − {{{ } {− −
}{ }}} − } }{ }}}, }} {{ } { }}}}
elipsoide={a Cos[θ] Cos[ϕ], a Cos[θ] Sin[ϕ], c Sin[θ ]} ; eli=elipsoide//.{a->1,c->2} ; ParametricPlot3D[eli, {ϕ,-2 Pi,2 Pi },{θ,-Pi/2,Pi/2 }]
166
9. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY -1 1 0.5
-0.5
0 0.5
0
1
-0.5 -1 1 2
1
0
-1
-2
InmersionGeometricCoefficients2D[elipsoide, EuclideanMetric[3], {ϕ,θ},{x,y,z},t]
La matriz de la pseudom´etrica es la siguiente: a2 +c2 +(−a2 +c2 ) cos(2 θ) , 0 , 0, a2 cos(θ)2 2 Los s´ımbolos de Christofell son los siguientes: (−a2 +c2 ) sin(2 θ) 2 a2 cos(θ) sin(θ) , 0 , 0, 2 2 2 2 2 a +c +(−a +c ) cos(2 θ) a +c2 +(−a2 +c2 ) cos(2 θ)
{{
{{{− {{ − } {− {−
}{
}{
}}
}},
0, tan(θ) , tan(θ), 0 Las ecuaciones diferenciales de las geod´esicas son: (−a2 +c2 ) sin(2 θ) θ (t)2 2 a2 cos(θ) sin(θ) ϕ (t)2 + + θ (t), 2 2 2 2 2 a +c +(−a +c ) cos(2 θ) a +c2 +(−a2 +c2 ) cos(2 θ)
}}}
− 2 tan(θ) θ(t) ϕ(t) + ϕ(t)} Los coeficientes del tensor de curvatura son: {{{{0, 0}, {0, 0}}, {{0, }, − − , 0}}}, {{{0, { −− − , 0}}, {{0, 0}, {0, 0}}}} { − 2 a2 c2 cos(θ)2 a2 +c2 ) cos(2 θ) 2 2 a c2 cos(θ)2 a2 +c2 +( a2 +c2 ) cos(2 θ) a2 +c2 +(
2 a2 c2 cos(θ)2 a2 +c2 +( a2 +c2 ) cos(2 θ) 2 a2 c2 cos(θ)2 2 2 a +c +( a2 +c2 ) cos(2 θ)
},
La curvatura seccional viene dada por 4 c2 (a2 +c2 +( a2 +c2 ) cos(2 θ))2
−
Para obtener los resultados anteriores introduce despu´es de la ejecuci´o n ‘ %’ como un imput
1. EL PAQUETE RIEMANNIANGEOMETRY
167
Una variedad pseudo-riemanniana viene determinada en cada carta por una matriz sim´etrica que depende de las coordenadas. A partir de sus coeficientes se pueden calcular, los s´ımbolos de Chrsitoffel, las geod´esicas, el tensor de curvatura y en el caso de dimensi´on dos la curvatura seccional. Estudiamos a continuaci´ on las bolas hiperb´ olicas de dimensiones tres y dos. GeometricCoefficients[HiperbolicBall[3,{u,v,w}],{u,v,w},t]
La matriz de la pseudom´etrica es la siguiente: 9 , 0, 0 , 0, (1−u2 −9v2 −w2 )2 , 0 , 0, 0, (1−u2 −9v2 −w2 )2 (1−u2 −v2 −w2 )2 Los s´ımbolos de Christofell son los siguientes: −2 u −2 v −2 w −1+u2+v2 +w2 , −1+u2+v2+w2 , −1+u2+v2+w2 , 2u −2 v −1+u−2 +v2+w2 , −1+u2 +v2 +w2 , 0 , 2w 2u −1+u2 +v2+w2 , 0, −1+u2 +v2 +w2 , 2v −2 u −1+u2+v2 +w2 , −1+u2+v2 +w2 , 0 , −2 u −2 v −2 w −1+u2 +v2+w2 , −1+u2 +v2 +w2 , −1+u2 +v2 +w2 , 2w 2v 0, −1+u−2 +v , 2 +w 2 , −1+u2 +v 2 +w2 2w 2u − −1+u2+v2 +w2 , 0, −1+u2+v2 +w2 , w −2 v 0, −1+u22+v 2 +w 2 , −1+u2 +v 2 +w2 , −2 u −2 v −2 w −1+u2 +v2+w2 , −1+u2 +v2 +w2 , −1+u2 +v2 +w2 Las ecuaciones diferenciales de las geod´esicas son: 4 v u (t) v (t) 2 u v (t)2 4 w u (t) w (t) 2 u w (t)2 −2 u u (t)2 + + + − − − 1+u2 +v 2 +w2 1+u2 +v 2 +w2 −1+u2 +v2 +w2 1+u2 +v 2 +w2 −1+u2 +v2 +w2 u (t), 2 v u (t)2 4 u u (t) v (t) 2 v v (t)2 4 w v (t) w (t) 2 v w (t)2 + −1+u2+v2+w2 −1+u2 +v2+w2 −1+u2+v2 +w2 −1+u2+v2+w2 −1+u2+v2 +w2 + v (t), 2 w u (t)2 2 w v (t)2 4 u u (t) w (t) 4 v v (t) w (t) 2 w w (t)2 + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −1+u − − − − +v +w 1+u +v +w 1+u +v +w 1+u +v +w 1+u2 +v2 +w2 w (t) Los coeficientes del tensor de curvatura son: 36 0, 0, 0 , 0, 0, 0 , 0, 0, 0 , 0, (−1+u2−+v 2 +w 2 )4 , 0 ,
{ { {{ { { {{ { {
{{ {{{
}{
}{ }
} }} }
}
}} } }
{
−
−
} {{{{
}}}
−
−
36
( 36 ( 1+u2 +v 2 +w2 )4
36 ( 1+u2 +v2 +w2 )4
(
−
−
36
36 ( 1+u2 +v 2 +w2 )4
36 , 0, 0 ( 1+u2 +v 2 +w2 )4
1+u2 +v2 +w2 )4
−
} { }} {{ , 0, 0}, {0, 0, 0}}, {{0, 0, {− , 0, 0}}}, {− , 0}, { − − {{{0, − {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0,−0, 0}}, {{0, 0, 0}, {0, 0, − }, {0, − {{{0, 0, − }, {0, 0, 0}, { − {{0, 0, 0}, {0, 0, − }, {0, − {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}}}
−
−
}{
36 ( 1+u2 +v2 +w2 )4 36 ( 1+u2 +v2 +w2 )4 36 ( 1+u2 +v 2 +w2 )4
}}
−
} }, {0, 0, 0},
}, {0, 0, 0}}, , 0}}}, , 0, 0}}, , 0}},
1+u2 +v2 +w2 )4
36 ( 1+u2 +v2 +w2 )4 36 ( 1+u2 +v2 +w2 )4
− −
Para obtener los resultados anteriores introduce despu´es de la ejecuci´o n ‘ %’ como un imput
168
9. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY
2.
Integraci´ on num´ erica de las geod´ esicas
El paquete dispone de dos funciones denominadas NGeodesicLi nes e InmersionNGeodesicLines3D. La primera de ellas se puede utilizar para cualquier inmersi´ on y la salida es una lista de pares que contienen las coordenadas de los puntos y de las velocidades de una geod´esica. La segunda se utiliza solamente para inmersiones en R3 y su salida es de tipo gr´ afico; dibuja una geod´esica en una superficie dando su punto y velocidad iniciales. Describimos a continuaci´ on est´ as funciones y despu´es daremos algunos ejemplos. NGeodesicLines[chris,variables,puntoinicial,velocidadini cial, incremento,iteraciones] tiene como entrada los coeficientes de Christoffel, las variables de las que dependen, las coordenadas del punto inicial, las coordenadas de la velocidad inicial, el incremento de tiempo que se va a utilizar para saltar de un punto al siguiente de la geod´esica y el n´ umero de iteraciones que vamos a realizar para encontrar m´ as o menos coordenadas de puntos de la geod´esica. La salida consiste en un lista de pares, los primeros elementos del par son coordenadas de puntos de la geod´esica y los segundos elementos las coordenadas del vector velocidad en ese punto. InmersionNGeodesicLines3D[componentes,inductora,varia bles1, variables2,nombretiempo,puntoinicial,velocidadinicial, incremento, iteraciones,rango1,rango2] tiene como primera entrada componentes que son n funciones con valores reales que dependen de las m variables que componen, variables1, que son precisamente las explicitadas en la tercera entrada. Estas funciones se supone que se han obtenido al considerar una inmersi´ on f : M N entre variedades y tomar sistemas coordenados x e y respectivamente, se tiene que componentes = yfx−1 . La segunda entrada es la matriz de la pseudom´etrica de la variedad N respecto la carta y, los coeficientes pseudom´etricos dependen de la cuarta entrada variables2. La m´ as usual en los ejemplos que acompa˜ nan este paquete es EuclideanMetric[3], que es la matriz identidad de dimensi´on 3x3. La variable nombretiempo es el nombre que asignamos al ‘tiempo’ en el sistema de ecuaciones diferenciales que verifican las geod´esicas. Las siguientes variables son las coordenadas del punto inicial, las coordenadas de la velocidad inicial, el incremento de tiempo que se va a utilizar para saltar de un punto al siguiente de la geod´esica y el n´ umero de iteraciones que vamos a realizar para encontrar m´ as o menos coordenadas de puntos de la geod´esica. La variables, rango1, rango2, son de la forma variables1[[1]],a,b , variables1[[2]],c,d y determinan los rangos para dibujar en param´etricas la superficie dada por la inmersi´on definida en la variable componentes. En variables1[[1]] se repite la primera de las variables que componen variables1 y an´ alogamente para variables1[[2]] .
→
{
}
{
}
2. INTEGRACI´ o N NUM´ e RICA DE LAS GEOD´ e SICAS
169
El el siguiente ejemplo tenemos una geod´esica en el paraboloide. Se observa que que al menos se corta a si misma una vez. InmersionNGeodesicLines3D paraboloide, EuclideanMetric3, u, v, x, y, z, t, 3, 3, 1, 2, 0.05, 400, u, 3, 3, v, 3, 3 Las ecuaciones diferenciales de las geodésicas son:
4u u 1 4u
t
2
2
4v
4u v
2
1 4u
t
2
2
4v
u
2
t,
4v u 1 4u
t
2
2
4v
4v v
2
1 4u
t
2
2
4v
2
Geodésica con el punto y la velocidad inicial introducidos:
15
10
5
0
2
2 0
0 2
2
v
t
170
9. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY
En este caso se considera una geod´esica en el hiperboloide. hiperboloide CoshΘ Cos, CoshΘ Sin, SinhΘ Cos CoshΘ, CoshΘ Sin, SinhΘ InmersionNGeodesicLines3Dhiperboloide, EuclideanMetric3, , Θ, x, y, z, t, 1, 3, 0.1, 0.1, 0.2, 1000, , 0, 2 Pi, Θ, 3, 3
Cos CoshΘ, CoshΘ Sin, SinhΘ Cos CoshΘ, CoshΘ Sin, SinhΘ Las ecuaciones diferenciales de las geodésicas son:
2 TanhΘ Θ t t t, Tanh2 Θ Θ t
2
1
2
Tanh 2 Θ t
2
Θ
t
Geodésica con el punto y la velocidad inicial introducidos:
5 0
5 10 10
5
0
5
10 10 5 0 5 10
3.
Algunas aplicaciones inform´ aticas para la geometr´ıa
Algunas de las aplicaciones de los siguientes enlaces se adaptan bien a los contenidos de este curso. T´engase en cuenta que los muchos enlaces funcionan durante un tiempo limitado. No obstante en el caso que no funcionen realizando alguna b´ usqueda en la red se suelen encontrar los nuevos lugares donde han sido alojadas las p´aginas o aplicaciones que se mencionan a continuaci´ on. Enlace 3.1. Dibuja superficies en impl´ıcitas y param´etricas. En ellas se puede considerar la m´ etrica inducida por el ambiente que puede
4. OTROS ENLACES INTERESANTES
171
ser eucl´ıdio o minkowskiano. Tambi´en trabaja con m´etricas pseudoriemannianas en un abierto del plano. Calcula la curvatura en cada punto, dibuja geod´esicas, realiza transporte paralelo. En mi opini´ on es una herramiente docente motivadora e interesante. http://www.uv.es/~ montesin/
En el momento de escribir estas notas el programa anterior no se ha actualizado para que pueda funcionar con el sistema X (10.x) del MacOS. Enlace 3.2. Aqu´ı se puede localizar la aplicaci´ on 3D-XplorMath (s´olo para Macintosh) que es una herramienta para la visualizaci´ on de objetos matem´ aticos, que incluyes superficies, curvas y poliedros. Tambi´ en contiene otra versi´ o n de la aplicaci´ on 3D-XplorMath-J que requiere Java y que funciona en todos los sistemas. http://3d-xplormath.org/index.html
Enlace 3.3. Contiene informaci´ o n sobre un libro de A. Gray que adem´as geometr´ıa diferencial ense˜ na a utilizar Mathematica para representar gr´ aficamente curvas y superficies, calcular curvaturas, y otros calculos de inter´es en geometr´ıa diferencial. http://alpha01.dm.unito.it/personalpages/abbena/gray/
Material adicional se puede encontrar en la p´ agina web dedicada a la memoria de Alfred Gray http://www.math.umd.edu/research/bianchi/
Enlace 3.4. Visualization ToolKit (VTK) es un c´ odigo fuente abierto, se trata de software libre para gr´ aficas de ordenador en 3D, procesamiento de imagen y visualizaci´on, utilizado por miles de investigadores en el mundo. VTK consiste en una librer´ıa de clase C++ y varios modos de interfaces que incluyen Tcl/Tk, Java, and Python. VTK dispone de una amplia variedad de algoritmos que incluyen m´etodos escalares, vectoriales, tensoriales y volum´etricos. Tiene t´ecnicas avanzadas y numerosos algoritmos para mezclar im´ agenes 2D y 3D. Ha sido instalado y comprobado en plataformas basadas en Unix, Windows 98 y Mac OSX. http://public.kitware.com/VTK/
4.
Otros enlaces interesantes
Enlace 4.1. La p´agina web personal del autor de estas notas contiene materiales did´acticos relacionados con geometr´ıa diferencial y el grupo fundamental, as´ı como otros trabajos de divulgaci´on sobre poliedros, nudos, ... http://www.unirioja.es/cu/luhernan/
Enlace 4.2. Tiene enlaces a varias p´aginas web relacionadas con Geometr´ıa Diferencial Elemental http://www.math.wayne.edu/~drucker/diffgeomrefsF07.html
172
9. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY
Enlace 4.3. Se trata de un estudio de visualizaci´on de sistemas din´ amicos realizado en la tesis de Helwig L¨offelmann “Visualizing Local Properties and Characteristic Structures of Dynamical Systems” http://www.cg.tuwien.ac.at/~helwig/diss/diss.htm
Enlace 4.4. Contiene publicaciones on line, videos, imagenes de superficies, etc http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/
Bibliograf´ıa 1. Apostol, T.M. An´ alisis Matem´ atico, 2a edici´ on, ed. Revert´e, 1976. 2. Bishop, R.L. Geometry of Manifolds , Academic Press, New York, 1964. 3. Bredon, G.E. An Introduction to Transformation Groups , Academic Press, New York, 1979. 4. Boothby, W.M. Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry , Academic Press, New York, 1975. 5. Brickell, F., Clark, R.S. Differentiable manifolds. An Introduction , Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. 6. Chevalley, C. Theory of Lie Groups , Pinceton Univ. Press, Princeton, N.J. , 1946. 7. Conner, P.E. Differentiable Periodic Maps (second edition) , Springer, 1979. 8. Cordero, L. A., Fern´andez, M. and Gray, A. Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies (con Mathematica), Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. 9. Cheeger, J. and Ebin, D.G. Comparison Theorems in Riemannian Geometry , North Holland/ American Elsevier, 1975. 10. Carmo, M. P. do. Riemannian Geometry , Birkh¨auser, Boston, 1993. 11. Carmo, M. P. do. Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies , Alianza Universidad Textos, 1994. 12. Br¨ocker, T. and J¨anich, K. Introducci´ on a la Topolog´ıa Diferencial , Editorial AC, 1977. 13. Dubrovin, B. A., Fomenko, A.T. and Novikov S. P. Modern GeometryMethods. Part II. The Geometry and Topology of Manifolds , SpringerVerlag, New York, 1990. 14. Fleming, W. Functions of Several Variables , (2nd edition), Springer Verlag, 1977, New York. 15. Guillemin , V. and Pollack, A. Differential Topology , Prentice Hall, 1974. 16. Gray, A. , Abbena, E. and Salamon, S. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (3e) , CRC Press, 2006. 17. Hicks, N. J. Notas sobre Geometr´ıa Diferencial , Editorial Hispano Europea, 1974. 18. Hirsch, M.W. Differential Topology , Springer-Verlag, 1976. 19. Izzo, A.J. C r Convergence of Picard’s successive approximations , P. of The Amer. Math. Soc., 127, 7, 2059-2063 (1999). 20. Kobayashi, S. and Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry. Volume I and II , John Wiley and Sons, Inc., 1963. 21. Lang, S. Differential and Riemannian Manifolds , Springer (GTM 160), 1995. 22. Madsen, I. and Tornehave, J. From Calculus to Cohomology , Cambridge Univ. Press, 1997. 23. Margalef J. y Outerelo, E. Topolog´ıa Diferencial , C.S.I.C, 1988. 24. Matsushima, Y. Differentiable Manifold , Marcel Decker, New York, 1972. 25. Milnor, J. W. On manifods homeomorphic to the 7-sphere , Ann. Math. 64 (1956), 399-405. 173
