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Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas

PROBLEmARıO DEL CURSO

ınTRODUCCıÓn A LA FÍSıCA mODERnA

Olga Leticia Hernández Chávez Héctor Javier Uriarte Rivera

Agosto, 2013

Índice general Introducción

II

I

1

Relatividad Especial

1. Cinemática relativista

2

2. Dinámica relativista

9

II

La teoría cuántica

15

3. El nacimiento del quantum

16

4. El átomo

21

III

Respuestas

27

5. Cinématica relativista

28

6. Dinámica relativista

31

7. El nacimiento del quantum

33

8. El átomo

35

i

Introducción En la licenciatura en Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, la unidad de aprendizaje Introd Introduc ucción ción a la Física Física Moderna Moderna forma parte de las asignaturas básicas del programa académico, y se considera un curso formativo indispensable para estudiantes del programa en las opciones de Física e Ingeniería Nuclear. Por otra parte, según los estándares de conocimientos mínimos requeridos a nivel mundial en los carreras en estas áreas, se recomienda que un egresado en las áreas de Física y Matemáticas tenga un bagaje que le permita comprender los grandes cambios cientí…cos ocurridos en la Física durante durante el siglo XX: la teoría de la relatividad y la física cuántica; así como dimensionar los enormes retos a los que los cientí…cos se enfrentaron para explicarlos. El curso de Introducción a la Física Moderna , que se ubica en el 5to semestre de la carrera, considera los antecedentes y las ideas fundamentales de estas dos teorías. Para complementar el curso se presenta este problemario, resultado de una cuidadosa selección y diseño de ejercicios, en el que el énfasis se ha puesto en el objetivo de cómo lograr que los estudiantes realicen una autovaloración de los conocimientos mínimos indispensables para la acreditación del curso. Asimismo, el presente problemario se espera que coadyude al desarrollo de las siguientes competencias: Competen Competencia cia para estimar: estimar: Ser capaz de evaluar claramente los órdenes de magnitud en diversas situaciones. Ser capaz de apreciar el signi…cado de los resultados. Competencia en la resolución de problemas: Ser capaz de adaptar los modelos existentes, incluso utilizando analogías, que permita el uso de soluciones conocidas en nuevos problemas. Ser capaz de realizar cálculos de forma independiente, incluso en los casos en que se

ii

INTRODUCCIÓN

iii

requiera utilizar una computadora, desarrollando programas, cálculos numéricos, simulación de procesos físicos o control de experimentos. Competencia de modelación: Ser capaz de identi…car lo fundamental de un proceso/situación y de establecer un modelo de trabajo; ser capaz de realizar las aproximaciones aproximaciones requeridas, requeridas, i. e. pensamien p ensamiento to crítico en la construcción de modelos físicos. Ser capaz de adaptar los modelos existentes a nuevos datos experimentales.

Los problemas provienen de los siguientes textos: Concept Conceptos os de relativida relatividad d y teoría teoría cuántica. cuántica. R. Resnick. 1996. Limusa. Relatividad especial. A. P. French. 1996. Reverté. Física cuántica. R. Eisberg, R. Resnick. 1989. Limusa. Modern Modern Physics Physics for scientists scientists and enginee engineers. rs. S. Thornton, A. Rex. 2002. Brooks/Cole. Modern Physics. P. Tipler, R. Llewellyn. 2002. W. H. Freeman. Física moderna. R. Serway, C. Moses, C. Moyer. 2006. Thomson.

Esperamos que este problemario sea de utilidad para la comunidad politécnica, y cualquier persona interesada en el aprendizaje de la Física Moderna. Oga Leticia Hernández Hernández Chávez Chávez Héctor Javier Uriarte Rivera ESFM-IPN

Parte I Relatividad Especial

1

Capítulo 1 Cinemática relativista 1. Las coordenadas espacio-tiempo de dos sucesos medidas en un sistema S son las siguientes: x0 , y1 = 0, z 1 = 0: c x0 t2 = , y2 = 0, z 2 = 0: 2c

Suceso 1:

x1 = x 0 , t1 =

Suceso 2:

x2 = 2x0 ,

a ) Existe un sistema de referencia S 0 en

el cual estos sucesos tienen lugar en el mismo instante. Hallar la velocidad de este sistema respecto a S . b ) ¿Cuál es el valor de t para el que ambos sucesos tienen lugar en el nuevo sistema de referencia?

2. Dos eventos ocurren en un sistema inercial K al mismo tiempo, pero a 4 km de distancia entre si. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre los dos sucesos medida en un sistema K 0 que se mueve respecto al sistema K si la distancia medida entre estos dos eventos es 5 km? 3. La distancia a la estrella más lejana a nuestra galaxia es del orden de 105 años luz. Explique porqué es posible, en principio, para un ser humano viajar a esta estrella en su tiempo de vida y estime la velocidad requerida. 4. Una partícula subatómica se crea en lo alto de una montaña de altura 2000 m sobre el nivel del mar y se mueve a una velocidad de 0;98 c, decayendo en el mar. 2

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA RELATIVISTA

3

a )

¿Qué altura tiene la montaña en el sistema de referencia de la partícula? b ) ¿Cuál es el tiempo de vida de la partícula medido en los dos sistemas de referencia?

5. Un astrónomo en la Tierra observa un objeto brillante moviéndose que se aproxima a él a una velocidad de 0;8 c, a una distancia de 20 años luz. Considere la Tierra como un sistema inercial en reposo y calcule: a )

el tiempo necesario para que el objeto alcance la Tierra según el astrónomo; b ) el tiempo según un astrónomo que viaja con el objeto; y c ) la distancia inicial que separa la Tierra del objeto, según un astrónomo que viaje con el objeto.

6. Un metro en reposo en S 0 forma un ángulo de 30  con el eje x 0 . Si S 0 se mueve a una velocidad de 0 ;8 c respecto a un sistema S , ¿qué longitud tiene el metro en S y que ángulo forma con el eje x? 7. Durante el pasado juego del Super Bowl entre los Patriotas de Nueva Inglaterra y los Gigantes de Nueva York celebrado en Indianápolis, una nave espacial extraterrestre atravesó el terreno de juego del estadio en la dirección del juego, a 0 ;6 c según se midió desde el campo de juego. El terreno de juego tiene 120 yardas de largo y 55 yardas de ancho. Los extraterrestres, cuya misión era profundizar en los juegos terrestres, tomaron algunas mediciones, para lo cual se habian preparado previamente en los sistemas de unidades terrestres. a )

¿Cuál es la longitud del terreno de juego según los extraterrestres? b ) ¿Cuál es el ancho terreno de juego según los extraterrestres? c ) Los extraterrestres poseían una televisión donde observaron el juego que inició a las 17:00 horas y terminó a las 21:00 horas (horario de la Ciudad de México). ¿Cuánto tiempo transcurrió de juego según los extraterrestres?

8. Un cohete de longitud propia l0 marcha a velocidad constante v relativa a un sistema S . La punta del cohete (A0 ) pasa por el punto A de S en


4

el instante t = 0 y en este instante se emite una señal desde A0 hasta B0.

a ) ¿Cuánto tardará la señal en términos del tiempo del cohete ( t0 ) en alcanzar la cola (B 0 ) de la nave? b)

¿En qué instante t1 , medido en S , alcanza la señal la cola (B 0 ) de la nave? c ) ¿En qué instante t 2 , medido en S , pasa la cola de la nave ( B 0 ) por el punto A? 9. Un observador en un cohete se mueve hacia un espejo a una velocidad v (relativista) con respecto al sistema de referencia indenti…cado como S en la …gura. El espejo está en reposo con respecto a S . Un pulso de luz emitido por el cohete se desplaza hacia el espejo y es re‡ejado de regreso hacia el cohete. El frente del cohete está a una distancia d del espejo (según lo miden observadores en S ) en el instante en que el pulso de luz sale del cohete. ¿Cuál es el tiempo total de recorrido del pulso de luz según lo miden los observadores en

a ) el sistema de referencia S y b)

el frente del cohete.


5

10. A las doce del mediodía un cohete espacial pasa frente a la Tierra con una velocidad de 0;8 c. Los observadores de la nave y los de la Tierra están de acuerdo en que, efectivamente, es mediodía. a )

A las 12:30 PM según un reloj situado en la nave, ésta pasa por una estación interplanetaria que se encuentra …ja en relación a la Tierra y cuyos relojes señalan el tiempo en la Tierra. ¿Qué hora es en la estación? b ) ¿A qué distancia de la Tierra (en coordenadas terrestres) se encuentra la estación? c ) A las 12:30 PM, hora de la nave, se establece comunicación con la Tierra desde la nave. ¿Cuándo (en tiempo de la Tierra) recibe ésta la señal? d ) La estación terrestre contesta inmediatamente. ¿Cuándo se recibirá la respuesta (hora de la nave)? 11. Los gemelos A y B se despiden en la Tierra, A marcha hacia Alpha Centauri que está a una distancia de 4 años luz y regresa a la Tierra. En el recorrido su velocidad con respecto a la Tierra es 0;6 c y transmite una señal de radio cada 0 ;01 de año en su sistema. Su gemelo B emite de forma análoga una señal cada 0 ;01 de año en su sistema en reposo. a )

¿Cuántas señales emite A en su viaje de ida a Alpha Centauri según B ? b ) ¿Cuántas señales emitió B según A antes de iniciar el regreso? c ) ¿Cuál es el número total de señales que recibe cada gemelo que provienen del otro? d ) ¿Quién es más jovén al …nal del viaje? 12. Dos naves espaciales se aproximan una a la otra. a )

Si la velocidad de cada una es de 0 ;9 c relativa a la Tierra, ¿cuál es la velocidad de una nave relativa a la otra? b ) Si la velocidad de cada una relativa a la Tierra es de 30000 m s (aproximadamente 100 veces la velocidad del sonido), ¿cuál es la velocidad de una nave relativa a la otra?


6

13. Tres galaxias están alineadas a lo largo de un eje en el orden A, B; C . Un observador en la galaxia B , ubicada en el punto medio, observa que las galaxias A y C se mueven en direcciones opuestas respecto a él, con velocidades de 0 ;6 c . ¿Cuál es la velocidad de las galaxias B y C según un observador en la galaxia A? 14. Una persona en la Tierra observa a dos naves espaciales que se aproximan entre sí hasta chocar.

En en tiempo t = 0 en el sistema Tierra, el observador determina que el cohete A, que viaja hacia la derecha con una velocidad vA = 0;8c, está en el punto a; y que el cohete B; que viaja hacia la izquierda con una velocidad vB = 0 ;6c, está en el punto b. Las naves están separadas en ese tiempo una distancia l = 4;2  1010 m.

a )

Desde el sistema Tierra, ¿cuánto tiempo pasará antes de que los cohetes choquen? b ) ¿Qué tan rápido se aproxima la nave B vista desde la nave A?¿Qué tan rápido se aproxima la nave A vista desde la nave B ? c ) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, medido en la nave A, desde que pasa el punto a hasta que ocurre la colisión? ¿Cuánto tiempo transcurrirá, medido en la nave B , desde que pasa el punto b hasta que ocurre la colisión?


7 p

15. Un haz de mesones K inestables se mueve a una velocidad de 23 c y pasa por el frente de un par de contadores que se encuentran separados 9 m . Las partículas no experimentan pérdida alguna en su velocidad ni en su energía al pasar delante de los contadores, pero son detectados por estos debido a su carga. Se observa que mientras el primer contador señala 1000, el segundo tan sólo detecta 250. Suponiendo que la disminución es debida a la desintegración de las partículas durante el viaje, ¿cuál es su vida media propia (tiempo en el que cualquier cantidad de kaones se reduce a la mitad) del kaón K + ? +

16. Un profesor de Física argumenta a un policía que la razón por la que se pasó la luz roja (  = 6500 Å) es que al encontrarse en movimiento el color rojo tuvo un corrimiento Doppler al verde (  = 5500 Å). ¿Qué tan rápido iba el profesor? 17. Un quasar (Quasi-stellar radio source ) es un núcleo activo de una galaxia distante, altamente energético. Son objetos muy compactos similares a estrellas más que fuentes extendidas como las galaxias. Los quásares fueron indenti…cados por ser fuentes de energía electromagnética con un alto corrimiento al rojo. a ) Los astrónomos de…nen el parámetro de corrimiento al rojo z (red-

shift parameter) como:

   

z

obs

fuente

fuente

=

 fuente

;

donde obs es la longitud de onda de la fuente medida por un observador, respecto al cual la fuente se mueve con velocidad v; y fuente es la longitud de onda de la fuente. Utilice la expresión del efecto Doppler relativista para encontrar una expresión de z en términos de la velocidad v de la fuente. b ) En su sistema, el quasar Q 2203+29 produce una línea de emisión del hidrógeno de longitud de onda 121;6 nm. Astrónomos en la Tierra miden una longitud de onda de 656;8 nm para esta línea. Determine el valor del parámetro de corrimiento al rojo y la velocidad aparente para el quasar. c ) En el caso donde el objeto se mueve con una velocidad v << c (caso clásico), realice una aproximación para z a primer orden, ¿cuál


8

es la expresión de la aproximación? ¿Es buena esta aproximación en el cálculo de la velocidad del quasar Q2203 + 29? 18. Las observaciones de un cuerpo celeste (el quasar 3C 9) hacen pensar que, cuando emitió la luz que acaba de llegar a la Tierra, se movía alejándose de nosotros a una velocidad de 0 ;8 c. a )

Una de las líneas que se identi…can en su espectro tiene una longitud de onda de 1200 Å, cuando se emite por una fuente estacionaria. ¿Qué longitud de onda tiene esta línea en el espectro que se observa del quasar? b ) Los quasares emiten energía a una razón tan grande que los astrónomos son de la opinión que se queman completamente en un tiempo relativamente corto. Suponiendo que el tiempo de vida del quasar 3C  9 es de 106 años, en su sistema en reposo, ¿durante qué tiempo en la Tierra se recibiría radiación que proviene de él? (Considere que la velocidad del quasar relativa a la tierra permanece constante).

Capítulo 2 Dinámica relativista 1. Una partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje x con una componente de velocidad +u choca de frente y se adhiere a una partícula de masa m3 que se mueve a lo largo del eje x con una componente de velocidad u. ¿Cuál es la masa M de la partícula resultante? 2. Un objeto se desintegra en dos fragmentos. Uno de ellos tiene una masa igual a 1 MceV y una cantidad de movimiento de 1;75 MceV en la dirección x positiva. El otro fragmento tiene masa igual a 1;5 MceV y una cantidad de movimiento de 2;005 MceV en la dirección y positiva. Encuentre 2

2

a )

la masa, b ) y la velocidad del objeto original.

3. Una partícula de masa m y energía cinética 3mc2 realiza un choque completamente inelástico con una partícula estacionaria de masa 2m. ¿Cuál es la velocidad y la masa de la partícula compuesta? 4. El pión neutro ( 0 ) se descompone en dos rayos  . Si el pión 0 (de masa 135 MceV ) se mueve con una energía cinética de 1 GeV : 2

a )

¿Cuáles son las energías de los rayos  si el proceso de desintegración hace que se emitan en sentido opuesto según la trayectoria original del pión? b ) ¿Qué ángulo forman los rayos  si son emitidos formando ángulos iguales respecto a la dirección del movimiento del pión? 9

CAPÍTULO 2. DINÁMICA RELATIVISTA

10

5. Un mesón K 0 viaja a una velocidad de 0;9 c cuando decae en un mesón  + y un mesón   . ¿Cuáles son la máxima y la mínima velocidad que los mesones pueden tener? 6. Una partícula de masa M; en reposo en el laboratorio, se descompone en tres partículas iguales, cada una de masa m. Dos de las partículas (1 y 2) tienen las velocidades mostradas en la …gura:

a )

Calcule la dirección y rapidez de la partícula 3. b ) Obtenga el cociente M . m

7. Un antiprotón p con una energía cinética de 23 GeV choca contra un protón que se encuentra en reposo en el laboratorio. Se destruyen (mediante la reacción p+ p !  + ), dando lugar a dos fotones que marchan uno en el mismo sentido, según la línea que recorría el antiprotón al incidir, y el otro en sentido contrario. Las energías en reposo del protón y del antiprotón son de 1 GeV cada una. a )

¿Cuáles son las energías que poseen los fotones? b ) ¿Qué energía posee cada uno de los fotones medido en el sistema de referencia …jo respecto al p incidente?

8. En la nebulosa del cangrejo (remanente de una Supernova) hay electrones que giran con un momento de 1016 kgsm en un campo magnético de 10 8 T . a )

¿Cuál es el radio orbital de los electrones? b ) ¿Cuál es su frecuencia orbital? c ) ¿Cuál es la energía total?


11

Nebulosa del Cangrejo 9. El mesón K 0 se desintegra en dos piones cargados según K 0

!  +  +:

Las masas de los piones son iguales m = 140 MceV : Suponga que un K 0 en reposo se desintegra en una cámara de burbujas donde está presente un campo magnético de 2 T . Si el radio de curvatura de los piones es de 34 ;4 cm, encuentre: 2

a )

las velocidades de los piones, b ) la masa de K 0 .

10. En un experimento con una cámara de niebla se observó que el mesón K  interacciona con un protón en reposo, obteniéndose un pión  + y una partícula desconocida X , según las tres trayectorias que se muestran en la …gura. El campo magnético en el interior de la cámara de niebla era de 1 ;70  0;07 webers (unidades M KS ). m 2


12

a )

¿Por qué las trayectorias que tienen como origen el vértice O (punto de la interacción) indican que el K  se encontraba en reposo al instante de la interacción? b ) Identi…car la partícula desconocida utilizando la tabla siguiente. Nombre Símbolo Masa MceV Carga ( e) Positrón, electrón e+ , e 1 0;511  +  , Muón 1 105;7  +  , Pión 139;6 1  + K , K Kaón 1 493;8 p Protón 938;3 1 n Neutrón 939;6 0 0 Lambda  115;4 0 + Sigma más  1189;4 1 0 Sigma cero  1192;3 0  Sigma menos 1  1197;2 0 Xi cero  1314;3 0  Xi menos 1  1320;8  Omega menos 1  1675

  2

11. Supongamos que un acelerador puede suministrar a los protones una energía cinética de 200 GeV . La masa de un protón es 0;938 GeV . c Calcular la masa máxima M de una partícula X que pueda producirse por el choque de uno de estos protones de elevada energía con un protón en reposo según el proceso: 2

p + p

! p + p + X:

12. En 1955, un grupo del Bevatron de Berkeley liderado por Owen Chamberlain y Emilio Segré descubrieron el antiprotón ( p) colisionando un


13

haz de protones con protones en reposo según la siguiente reacción: p + p

! p + p + p + p:

Si el estado inicial consiste de un protón de energía total E colisionando con un protón en reposo, calcule el valor mínimo de E , en términos de la masa m p del protón, para que la reacción pueda ocurrir.

13. La partícula A (con energía E ) colisiona con la partícula B (en reposo), producuiendo las partículas C 1 ; C 2 ; : : : ; Cn . Demuestre que la energía umbral (i.e., la E mínima) para que ocurra esta reacción es E =

M 2

 m2  m2 c2; A

B

2mB

donde M = m 1 + m2 + : : : + mn: 14. Un pión que viaja a una velocidad v decae en un muón y un neutrino, 

!  +  : 

Si el neutrino emerge en un ángulo de 90 de la dirección original del pión, demuestre que el ángulo de  cumple: c tan  = 2v

v2 c2

m2

     1

Considere que el neutrino no tiene masa.

1

m2


14

15. Considere el decaimiento 55 24 Cr

!5525 M n + e:

El núcleo de 55 Cr tiene una masa de 54 ;9279 u y el núcleo de 55 M n de 54;9244 u. a ) Calcule la diferencia en masas en

. b ) ¿Cuál es la máxima energía del electrón emitido? M eV c2

16. Calcule la energía de separación de un protón del 53 Li. Explique su resultado. 17. Calcule la energía de separación de una partícula alfa del plique su resultado.

226 88 Ra:

Ex-

18. Encuentre la energía cinética de una partícula alfa emitida durante el 216 decaimiento del 220 86 Rn. Suponga que el nucleo hijo, 84 P o. tiene velocidad de retroceso cero. 19. ¿Puede el 57 Co decaer por emisión  + ? ¿Puede el 14 6 C decaer por  emisión  ? Si su respuesta es a…rmativa en algún caso, ¿qué energías cinéticas pueden tener los electrones? 20. ¿Por qué no es posible la reaccción espontánea 16 8 O

!

12 4 6 C + 2 He ?

Parte II La teoría cuántica

15

Capítulo 3 El nacimiento del quantum 1. Sobre una super…cie de aluminio se hace incidir luz de longitud de onda 2000 Å. Para el aluminio se requieren 4 ;2 eV para extraer un electrón. ¿Cuál es la energía cinética de los fotoelectrones emitidos: a )

más rápidos y b ) más lentos. c ) ¿Cuál es el potencial de frenado? d ) ¿Cuál es la longitud de onda umbral del Aluminio? W , ¿cuál es el número e ) Si la intensidad de la luz incidente es de 2;0 m promedio de fotones por unidad de área y por unidad tiempo que golpean la super…cie? 2

2. Al efectuar el experimento del efecto fotoeléctrico con un cátodo de Cesio se encontró un potencial retardador de 0;95 V; para luz monocromática de 435 ;8 nm y de 0 ;38 V cuando la longitud de onda de la fuente es de 546 ;1 nm. Solamente con estos valores, determine: a )

el valor de la constante de Planck, b ) la función trabajo del Cesio en eV y c ) la longitud de onda umbral para el Cesio.

3. Sobre dos tubos fotoeléctricos incide luz de longitud de onda 4500 Å. El emisor en el primer tubo tiene una longitud de onda umbral de 6000 Å y el emisor en el segundo tubo tiene una función trabajo el doble de la del primer tubo. Hallar el potencial de frenado para cada tubo. 16

CAPÍTULO 3. EL NACIMIENTO DEL QUANTUM

17

4. Un electrón y un fotón tienen la misma energía: 35 keV . a )

Compare sus momentos y b ) determine la frecuencia y longitud de onda del fotón.

5. El Molibdeno emite rayos X característicos de longitud de onda 0;72 Å. Si estos rayos X se dispersan por un trozo de gra…to, ¿cuál es la longitud de onda de los rayos que emergen a 45  ? 6. Suponga que después de una colisión Compton, entre un fotón y un electrón libre y estacionario, el fotón y el electrón emergen simétricamente respecto a la dirección de incidencia del fotón. Si la energía inicial del fotón es 30 keV , ¿cuál es el ángulo correspondiente a la dispersión simétrica, y las energías del fotón y del electrón dispersados? 7. Se quiere proporcionar una energía de 25 keV a un electrón en una colisión de Compton, ¿cuál es la mínima energía del fotón necesaria? 8. Un electrón se acelera a 50 keV en un tubo de rayos X y experimenta dos colisiones sucesivas para llegar al reposo en el blanco, emitiendo dos fotones de bremsstrahlung en el proceso. El segundo fotón emitido tiene una longitud de onda de 0 ;095 nm mayor que el primero. a )

¿Cuáles son las longitudes de onda de los dos fotones? b ) ¿Cuál es la energía del electrón después de emitir el primer fotón?

9. Cuando la producción del par electrón–positrón se efectúa en presencia de un campo magnético de 0;05 T , se observa que el par describe circunferencias de radio 90 mm . ¿Cuál es la energía del fotón incidente? 10. Demuestre que la creación de un par electrón-positrón por un solo fotón

! e + e+



no es posible en aislamiento, i. e., debe haber una masa adicional (o radiación). 11. Un positrón de masa m y energía cinética igual a su energía en reposo choca con un electrón en reposo y se aniquilan creando dos fotones. Un fotón entra en un detector colocado a un ángulo de 90 respecto a la dirección del positrón incidente. En términos de m ¿cuáles son las energías de los fotones y la dirección en que se mueve el segundo fotón?


18

12. Un rayo  alcanza un electrón en reposo y da lugar a una pareja electrón-positrón:

! e + e+ + e:

 + e

¿Cuál es la energía mínima del rayo  que hace posible el proceso? 13. Un haz colimado de rayos gamma de 1;5 M eV incide sobre una lámina delgada de Tantalio (Z = 73). Electrones con una energía cinética de 0;7 M eV se observa que emergen de la lámina. ¿Son estos electrones producidos por el efecto fotoeléctrico, por el efecto Compton o por la producción de pares electrón-positron? Suponga que los electrones producidos en la interacción inicial de los fotones con el material de la lámina de tantalio no tienen una segunda interacción. Explique. 14. ¿Cómo debe variar la temperatura para que un cuerpo negro emita el doble de la energía en la mitad del tiempo? 15. Como demostraron George Smoot y John Mather (Premios Nobel de Física 2006) utilizando las mediciones del satélite COBE , la radiación cósmica de fondo se ajusta perfectamente a la fórmula de Planck para la radiación de un cuerpo negro a una temperatura de 2 ;7 K .

a )

¿Cuál es el valor de  max del espectro de la radiación cósmica (en nm)? Explique el signi…cado físico de max : b ) ¿Cuál es la potencia total incidente en la Tierra debida a la radiación de cuerpo negro?

16. Determine el radio de la estrella Procyon B a partir de la siguiente información: el ‡ujo de su luz que se recibe en la Tierra es 1;7  1012 W , m la distancia a la que se encuentra de la Tierra es 11 años luz, y la temperatura de su super…cie es 6600 K . Suponga que la estrella radia como un cuerpo negro. 2


19

17. Considere un modelo para la estrella Dschubba ( Sco), la estrella central en la cabeza de la constelación de Escorpión. Suponga que Dschubba es un cuerpo negro esférico con una temperatura en la super…cie de 28000 K y un radio de 5;16  109 m. Considere que esta estrella se localiza a una distancia de 123 pc de la Tierra. Determine para la estrella:

a )

El ‡ujo de radiación (radiancia) en la super…cie de la estrella. b ) La radiancia en la super…cie de la Tierra (compare ésta con la radiancia solar). c ) max :

18. El …lamento de Tungsteno de un foco incandescente de 40 W radia a una temperatura de 3300 K . Suponiendo que el foco radia como un cuerpo negro, a )

¿cuál es la frecuencia máxima y la longitud de onda máxima de la distribución espectral? b ) Si la frecuencia máxima es una buena aproximación para la frecuencia promedio de los fotones emitidos por el foco ¿cuántos fotones por segundo radia el foco? c ) Si usted mira el foco desde una distancia de 5 m ¿cuántos fotones entran a su ojo por segundo? (El diámetro de la pupila es aproximadamente de 5 ;00 mm).

19. El ojo desnudo puede detectar objetos estelares de magnitud seis en el cielo nocturno. Con binoculares, podemos observar objetos de magnitud nueve. El brillo del Sol en la Tierra es de 1400 mW . El Telescopio Espacial 2


20

Hubble puede detectar objetos de magnitud 30, que tienen un brillo de W 2  1020 m en la Tierra. 2

a ) Considere un detector en el Telescopio Espacial Hubble con área de recolección de 0;30 m2 . Si suponemos luz proveniente del Hidrógeno de 486 nm (azul verdoso), ¿cuántos fotones por segundo entran al

telescopio de una estrella de magnitud 30 ? b ) Un incremento en magnitud representa un decremento en brillo por un factor de 2;5119. Estime cuántos fotones por segundo de una estrella de magnitud seis entran al ojo si el diámetro de la pupila es de 6 ;5 mm.

20. Luz de una fuente térmica (T = 6000 K ) es …ltrada para permitir que sólo fotones en la región visible incidan sobre un fotocátodo, que tiene función de trabajo de 2 ;0 eV . Cuando la intensidad de la luz que llega al fotocátodo es de 1 mW se mide una corriente de 1 A en el amperimetro que detecta a los fotoelectrones. Estime la e…ciencia cuántica (probabilidad de que un fotón incidente produzca un fotoelectrón) del fotocátodo.

Capítulo 4 El átomo 1. Para blancos de alumnio ( Z = 13) y oro (Z = 79);¿cuál es la razón del número de partículas  dispersadas en cualquier ángulo para igual número de nucleos dispersores por unidad de área? 2. ¿Qué fracción de partículas  de 5 M eV serán disersadas en ángulos mayores de 6 por una hoja de oro (Z = 79, densidad= 19;3 cmg ) de grosor 10 8 m? 3

3. En un experimento de dispersión de partículas  de 5 ;5 M eV por una hoja delgada de oro, los estudiantes encuentran que 10000 partículas  son dispersadas a un ángulo mayor que 50  : a )

¿Cuántas de estas partículas  son dispersadas por un ángulo mayor que 90  ? b ) ¿Cuántas de estas partículas  son dispersadas por un ángulo entre 70 y 80  ?

4. Una lámina de sodio (Z N a = 11, AN a = 23) dispersa 10000 partículas  a cierto ángulo: a )

¿Cuántas partículas serán dispersadas en el mismo ángulo si la hoja de sodio se reemplaza por una de oro (Z Au = 79, A Au = 197) del mismo espesor? b ) ¿Cuántas partículas  se dispersan en la misma dirección si el espesor de la lámina se reduce a la mitad del valor inicial de la 21

CAPÍTULO 4. EL ÁTOMO

22

hoja? La densidad del sodio es de 968 kg . Suponga que para el m sodio se aplica la relación de dispersión de Rutherford. 3

5. Un haz de protones incide sobre una lámina de cobre de 12 m de espesor: a )

¿Cuánta energía cinética deben tener los protones para que su distancia de máximo acercamiento sea igual al valor de 5 ;0 fm? b ) ¿Cuál será el parámetro de impacto y la distancia mínima entre el protón y el núcleo para dispersión a 120 ? c ) ¿Qué fracción de los protones se dispersa a más de 120  ? La densidad del cobre es de 8960 kg . m 3

6. Determine la energía, el momento y longitud de onda del fotón emitido por un átomo de hidrógeno cuando efectúa una transición del estado excitado n = 8 al n = 3. Además, calcule la velocidad de retroceso del átomo cuando se realiza la transición. 7. Un átomo de hidrógeno se encuentra en un estado con energía de enlace (energía necesaria para extraer al electrón) de 0 ;54 eV , hace una transición a un estado con una energía de excitación (diferencia de energía entre el estado excitado y el estado base) de 12 ;1 eV . a )

Determine la energía del fotón que se emite. b ) Muestre esta transición en un diagrama de niveles de energía indicando los números cuánticos asociados a ella. c ) Calcule la longitud de onda del fotón. Diga si el fotón está en el rango visible o no. d ) ¿Es la energía de este fotón su…ciente para ionizar un átomo de hidrógeno vecino cuyo electrón está en el nivel 6? 8. Átomo de Bohr. a )

Utilizando la relación de De Broglie, deduzca la condición de cuantización de Bohr mvr = n } ;

para el momento angular de un electrón en un átomo de hidrógeno.

CAPÍTULO 4. EL ÁTOMO b)

23

Utilice la expresión anterior para demostrar que la energía de los estados permitidos para un electrón en el átomo de hidrógeno pueden escribirse como: 4

E n =

1 :  8me "2 h2 n2 0

c ) ¿Cómo debe modi…carse la expresión anterior para el caso de un átomo de berilio triplemente ionizado Be +++ (Z = 4)? Explique. d )

Calcule la energía de ionización (en eV ) para el Be +++.

9. ¿Cuál es la energía total mecánica para el estado base de un electrón en átomos de H , He+ y Li++? ¿Para qué átomo está más ligado el electrón?¿Por qué? 10. El proceso Auger. Un electrón en el cromo realiza una transición desde el estado n = 2 hasta el estado n = 1 sin emitir ningún fotón. En vez de ello, la energía en exceso se trans…ere a un electrón exterior (en el estado n = 4) que es expulsado del átomo (esto se denomina proceso Auger y el electrón expulsado se denomina electrón Auger ) . Use la teoría de Bohr para encontrar la energía cinética del electrón Auger. 11. Las longitudes de onda de las líneas espectrales dependen en alguna medida de la masa del núcleo. Esto ocurre debido a que el núcleo no es una masa estacionaria in…nitamente pesada, y tanto el electrón como el núcleo en realidad giran alrededor de su centro de masa común. Determine los valores de longitud de onda corregidos para la primera línea de Balmer, tomando en cuenta el movimiento nuclear para: a )

hidrógeno, 1 H; b ) deuterio, 2 H; c ) y tritio, 3 H . El deuterio fue descubierto en 1932 por Harold Urey, quien midió la pequeña diferencia en longitud de onda entre 1 H y 2

H:

12. Es posible que un muón sea capturado por un protón para formar un átomo muónico. Un muón tiene la misma carga que un electrón pero su masa es m = 105;7 MceV : 2


24

a )

Calcule el radio para la primera órbita de Bohr del átomo muónico. b ) Calcule la magnitud de la energía del estado base. c ) ¿Cuál es la logitud de onda más pequeña en la serie de Lyman para este átomo?

13. Calcule las longitudes de onda K  y K  para el He y Li. 14. Una galaxia se aleja de la Tierra con una velocidad de 2c . ¿Con qué energía se observarán los fotones de la transición L del Hidrógeno en la Tierra, debido al movimiento relativista de la fuente? 15. Estime la energía del estado base (en eV ) del sistema que se obtiene si todos los electrones en el átomo de carbono (Z = 6) fueran remplazados por mesones  (suponga conocido que la energía del estado base del átomo de hidrógeno es 13;6 eV ). La partícula   es una partícula con carga e, espín 0 y masa 270 me . Explique su respuesta. 16. Dos átomos de hidrógeno chocan de frente y terminan con una energía cinética igual a cero. Luego, cada uno emite un fotón con una longitud de onda de 121 ;6 nm (una transición desde n = 2 hasta n = 1). ¿A qué velocidad se movían los átomos antes de la colisión? 17. En el experimento de Franck-Hertz se utilizan electrones de energía 13;0 eV para excitar átomos de hidrógeno. ¿Qué líneas espectrales emiten los átomos de hidrógeno bajo estas condiciones? 18. Neutrones térmicos en un reactor nuclear pueden considerarse como un gas a una temperatura de 300 K . ¿Cuál es su longitud de onda de De Broglie? 19. En un experimento de dispersión de electrones un haz intenso es re‡e jado a un ángulo de 32 por un cristal, cuya distancia interatómica es de 0;23 nm . ¿Cuál es la distancia entre los planos de la red responsables de esta dispersión? Suponga difracción a primer orden, ¿cuál es la longitud de onda, momento, energía cinética y energía total del electrón incidente? 20. Un haz de electrones de 2 keV incide en un cristal y es refractado y observado (por trasmisión) en una pantalla a 35 cm de distancia. Los


25

radios de los tres anillos concéntricos que corresponden a difracción de primer orden, están en 2;2 cm, 2;3 cm y 3;2 cm. ¿Cuáles el espaciamientos entre planos de la red que corresponde a cada uno de los anillos? 21. La energía cinética de un protón es 1 M eV . Si su momento se mide con una incertidumbre del 5 %, ¿cuál es la incertidumbre mínima en su posición? 22. El leptón tau ( ) tiene una masa aproximada de 1;8 GeV y un tiempo c m de vida de 0;3 ps . ¿Cuál es el ancho fracional m para la partícula tau? 2

23. Un protón o un neutrón pueden algunas veces “violar” la conservación de la energía emitiendo y luego reabsorbiendo un mesón  que tiene una masa de 135 MceV . Esto es posible mientras el mesón sea reabsorbido en un tiempo su…cientemente corto consistente con el principio de incertidumbre. 2

a )

Considere p

! p + ;

¿por cuánta energía E se viola la conservación de la energía? (No considere energías cinéticas) b ) ¿Cuánto tiempo dura el mesón  ? c ) Suponga que el mesón viaja a una velocidad cercana a la de la luz ¿cuánto se aleja del protón? El cálculo proporciona una estimación del alcance de la fuerza nuclear, ya que como se comentó antes, se cree que los protones y los neutrones en el núcleo se mantienen unidos intercambiando mesones . 24. Un átomo puede radiar en cualquier momento después de ser excitado. En un caso típico, la vida media de un átomo promedio es 108 s, es decir, durante este tiempo emite un fotón y sale de su estado de excitación. a )

¿Cuál es la incertidumbre mínima en la frecuencia del fotón? b ) Para el Sodio, la mayoría de los fotones corresponden a dos líneas espectrales de   589 nm. ¿Cuál es la razón de la amplitud   correspondiente a la línea? A   se le llama la amplitud natural de la línea espectral.


26

c )

Calcule la incertidumbre en la energía  E del estado excitado. d ) De los resultados anteriores, determine la energía del estado excitado del átomo de Sodio, con una precisión E respecto a la energía de su estado más bajo, que emite un fotón de longitud de onda centrada en   589 nm. 25. En el decaimiento beta de un neutrón se produce una partícula (que consideraremos sin masa) llamada el antineutrino del electrón  e . El proceso de decaimiento es: n a )

! p + e +  : e

Realice una estimación de la energía cinética media de  e considerando que está con…nado dentro del neutrón (el tamaño del neutrón es de 1 f m = 1  1015 m). b ) El orden de la magnitud de la energía de  e en el decaimiento beta es de 1 M eV , ¿qué puede concluir de esto? Explique.

Parte III Respuestas

27

Capítulo 5 Cinématica relativista 1.

a ) b)

 2c : p x 3

0

c

:

2. 1  105 s: 3. Considerando que el tiempo de vida promedio de una persona es de 75 años, se obtiene que: v =

4.

1 1 + 5625

 106s. 

Tierra

= 6;78

a ) 25 años. b ) 15 años. c ) 12 años luz.

6. L = 7.

 1010 c:

a ) 398 m: b )  p = 1;35

5.

r

p

52 5 m: tan  = : 10 3 3

p

a ) 96 yardas. b ) 55 yardas. c )

5 horas. 28

 106s.

CAPÍTULO 5. CINÉMATICA RELATIVISTA

8.

a )

l0 : c

b)

q

c )

9.

a ) b)

1 vc l0 : 1+ vc c

q

2

1 v2 l 0 c

v

:

2d : c + v 2d c c

r 

v : c + v

10.

a )

12:50. b ) 40 minutos luz. c ) 13:30. d ) 16:30.

11.

a ) 533 señales. b ) 267 señales. c ) A recibe 1333 señales, B recibe 1067 señales. d ) A es dos años ocho meses menor que B .

12.

a )

180 c: 181

b)

13.

 6  104 a )  35 c. c: b )  15 17

14.

a ) 100 s. b)

m : s

.

35 c 37

c ) 89 s y 119 s.

p

3 108 s: 2 16. 0;8c:

15.

17.



a ) z =

s

1+ 1

v c v c

  1:

29

CAPÍTULO 5. CINÉMATICA RELATIVISTA b ) z = 4;4. v = 0;933c. v c ) z : c



18.

a ) 3600 Å. b)

5 3

 106 años.

30

Capítulo 6 Dinámica relativista 1. 2.

2 3

q

4c2 u2 c2 u2



m:

a ) 3;65 MceV : 2

b ) u = 0;588c. tan  = 1;1497.

3. u = 4.

p

15 c; 6

M =

p

21m.

a ) E 1 = 1;1305 GeV . E 2 = 4;5 MeV: b ) cos  = 0;992:

5. umax = 0;99c, umn = 0;275c. 6.

a ) tan  = b)

7.

=

u =

p

35+ 481 : 12

q

.

337 c 481

a ) E 1 = 2 GeV . E 2 = 23 GeV: b)

8.

M m

9 : 16

Las mismas.

a ) 6;25

 1010m: b ) 7;639  104 Hz: c ) 5940;25 M eV .

9.

a ) 0;826c. b ) 497;96 MceV : 2

31


10.

a )

Escriba la conservación del momento un instante antes y un instante después de la colisión. b )  .

11. 17;58 GeV . 12. E = 7 m p c2 . 13. E =

M 2 m2A m2B 2 c : 2mB



14. tan  = 15.

c 2v



m2 m2

     1

v2 c2

1

:

a ) m = 2;749 MceV : 2

b ) 2;749 MeV:

16. 6;166 MeV: 17.

32

2;98

M eV : c2

18. 6;4 M eV . 19. 156 keV . 20. Porque la energía de desintegración es negativa (7;19 M eV ).

Capítulo 7 El nacimiento del quantum 1.

a ) 2 eV . b ) 0 eV: c ) 2;0 V . d ) 2952;38 Å. e ) 2

2.

fotones m2 s

 1018  : a ) 6;61  1034 J  s: b )  = 1;9 eV:

c ) umbral = 652;63 nm:

3. V 1 = 0;69 V: V 2 = 0;0 V: 4.

; p = 35 keV : a ) pe = 192;34 keV c c b )  = 8 ;47

 1018 Hz ,  = 0;0354 nm:

5.  = 0;727 Å. 6.  = 59;3 , E  = 29;2 keV , K e = 0;8 keV . 7. 93;39 keV . 8.

a ) 1 = 0;0315 nm. 2 = 0;1265 nm. b ) K 1 = 9;8 keV:

9. E = 2 ;88 MeV: 33


10. Utilice conservación de la energía y conservación del momento. 11. E 1 = mc 2 , E 2 = 2mc2 .  = 30 : 12. 4mc2 . 13. Efecto Compton. 14. 1;41T . 15.

a ) 1;07

 103m: b ) 1;6  109 W . 16. 13;07  106m: 17. a ) 3;49  1010 : b ) 4;6  1011 : W m2

c ) 104 nm:

18.

a ) max = 880 nm:  max = 194 b ) 3;15

fotones : s

 1020 c ) 19;7  1012 19. a ) 1;47  102 b ) 6;4  103 20. 2;57  103 :

fotones : s fotones segundo

fotones segundo

.

.

 1012Hz:

34

Capítulo 8 El átomo 1. 36;9. 2. 3;49  104 . 3.

a ) 2174. b ) 1348.

4.

a ) 120

 104. b ) 60  104 .

5.

a ) 8;35 M eV . b ) b = 1;44 c ) 6;63

 1015m. rmn = 5;39  1015m:

 106:

6. E = 1 ;3 eV , p = 1;3 eV ,  = 953;9 nm. v = 0;42 ms . c 7.

a ) 0;96 eV:

b)

35


36

c ) 1291;7 nm.

Está fuera del rango visible. d ) La energía para ionizar a un átomo de hidrógeno que se encuentra en el nivel n = 6 es de 0;38 eV , que es menor que la energía del fotón, por lo que puede ionizar el átomo. 8.

a ) El perímetro de la órbita debe ser un número entero de longitudes

de onda. b ) Escriba la energía cinética y potencial en términos del radio y utilice la condición de estabilidad mecánica. (4) : c ) E n =  8me " h n 4

2 0

2

2

2

d ) 217;6 eV .

9.

a )

13;6 eV . b ) 54;4 eV . c ) 122;4 eV .

10. 5385;4 eV . 11.

a ) H  = 656;47 nm: b )  H  = 656;29 nm: 2

c )  H  = 656;23 nm: 3

12.

a ) 2;56

 1013m:

b ) 2533;3 eV . c ) 4;89

 1010 m:

13. Para H e,  K  = 121;5 nm y  K  = 102;5 nm . Para Li ,  K  = 30 ;4 nm y K  = 25;6 nm. 14. 1;085 eV: 15. 100;52 keV . 16. 1;9  106 ms : 17. K  , K  , K  , L , L y M  . 18. 14;5 nm.

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