237263353-Geometria-Analitica-Serie-Schaum-Joseph-H-kindle.docx

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GEOMETRIA ,  AN  A N ALITIC ICA A Josep Joseph h H. Kindl Kindle e

SERIE DE COMPENDIOS SCHA UM 

TEOR I A

Y PR O B L E M A S

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ANALITICA

GEOMETRIA

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Plana  y del E sp spaaci cioo

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JOSEPH H . KINDLE, Ph. D.  Profe s sor of  M athematics athematics Uniueersit  Uniu  y of Cincinnati

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ORGANIZACl\. RGANIZACl\. N  N CHf..RAFEDI CHf..RAFEDI N  N / 

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TR ADU  ADUC CX'ION Y  ADAPTA C () ()N N

LUIS GUTIÉRREZ DíEZ  Jn¡(c  Jn ¡(cniero niero d e  Armamento /\N /\ NGEl. GuT GuT11ÍlRREZ

 _,.

VÁZQU EZ VÁZQU

 /nl(t>ntero  /nl(t>nte ro d e Armamenl a

 Liaancia  Li ciad  d o en Ciencias Fl  sic  sicaa s  Dipl omad o e n ln!{en in inía ía  N11  N11cl  cl c'<  Ir  Ir

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McGRAW-HILL MXICO • BOGOTA BUENOS AIRES .GUATEMALA • LISBOA • MADRID •

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41,! •

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1,

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.

..,.,

Prólogo Este libro de  problemas está concebido como complemen to de los los textos de geometría ana lítica q ue se estudian en los institu tos y escuelas técnicas de grado medio. En él se expone ex ponenn !as as materias aproximadamente en el mi missmo orden q ue figu ra en la mayor  parte de dichos tex to tos. s. Consta de 345 problemas tipo, cui cuidado dadosa sament mentee resuelto resueltos, s, y 910 problemas propuesto¡ como ejercicio para el al u m no a distinto grado de dificultad. Los proble problema s,  por otra  parte, se han , dispuesto de forma que se pueda seguir con facilidad el desarrollo natu ral de cada materia. Como se base,  base, fundamen fundamental tal mente me nte,, en la resol ución de de problemas  problemas , y dado ; u n curso de geometría analí tica se q ue u na de las la s  principa l es causas del  bajo rendimien to q ue en ocasiones se alcanza en lo loss cursos de matemát icas icas es no disponer de métodos ordenados de r esol eso l ución de aquéllos, estamos conven cidos de q ue este libro libro,,  bien empleado, co constitu nstitu irá una gran ayuda  para el alumno. También También se ha pensado ha  pensado en aquellos otros q ue qu ieran repasar la teoría y los problemas fündamentales de la geometría analí tica. Para la mejor utili zación del li bro se debe tener tener presente  presente lo q ue realmente es, considerando que no se trata de un texto  propiamen te t e di diccho y que,  por tanto tanto,, no debe emplea emplear  r se se como medio para evitar el estud io de la lass cuest iones teóricas de la asignatura. Cada u no de los capítulos contiene un breve resumen , a modo de form ulario, de la lass definiciones necesarias, principios y teoremas , seguido de una serie de problemas , resu eltos unos unos y otros  propuestos, a distintos niveles de dificultad.  No se se puede  puede decir de forma rotu nda que estudiar matemáticas sea, esencialm esencialmente, ente, hacer pro

 blemas,  pero hay q ue t ener en cuenta que con u na lectura más o menos rutinaria del libro de texto,, la retención en l a mem or ia texto ia de un  pequeño n úmero de expresiones y con un estudio super ficial de los problemas r esuelto esueltoss de este li bro, bro, no se adq uirirá más que una vaga noción de la materi a. Por tanto. tanto. para  para que la utilización de este l i bro i bro sea verdaderam verdaderamente ente eficaz es necesario que el al u mno mno inten te te resolver resolver por  por sí mi missmo todos los  problemas en un papel y se fije bien en el  porqué de cada u no de los los  p  pas asos os de que consta su so soll ución, y en la forma en q ue éstos se expresan. En todos y cada uno de los los  problemas resuelt os hay algo que aprender ; con estas normas, normas, el al umno encon t ra rá muy pocas d ificultades pa ra resolver los  problemas aq uí uí  propuestos, así como los q ue figu ren en su  propio libro de texto texto.. J. H. K.

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1

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1na lrias

CA PIT ULO

r 

PAGINA

l.

COOR DEN A DAS RECTA NG U LA R ES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.

ECUACION ES Y WG A R ES GEOM ETR I COS . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . 3.

4.

12

LA LI NEA R ECTA ......................................................................... 22

LA CI R CU N FER E NCI A ....................................................................................................... 35 5.

SECCION ES CON I CAS.-LA PA R A BOLA ........................ 46

6. LA ELI PSE . . . . . . .'.............................................................................................................................................................................................................................................................................51 7.

LA H I PER BOLA ... !. . . . . . ... . . .

. . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

8. TRA NSFOR M ACIO N DE COOR DENA DAS ........................................................ 66

9. COO R DE N A DAS POLA R ES .... . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

73

10. TA NGENTES Y  NOR M A LES.................................................................................. 84 1 1.

CU R VAS PLA NAS DE OR DE N SU PER IOR  .......................................................... 93

12.

I NTRODUCC I ON A LA GEOM ETR I A A NA LITI CA EN EL ESPACIO . .

13.

EL PLA NO ................................................................................................................................................ 1 15

14.

LA R ECTA EN EL ES PACIO  .............................................................................................1 23

15.

SU PER FICI ES  .................................................................................................................................1 31

16.

OTROS SISTEM AS DE COOR DE N A DAS .......................................................... 144

104

I N DI CE ......................................................................................................................................................... 149

1

1 1

-·-

CAPI TU LO

Coordenadas rectangulares SISTEM A DE COO R DE N A DAS R ECTA NG U LA R ES. El sistema de· coorde nadas r ectang u la res d i vide a l  pla no en cua t ro cuad ra n tes  por med io de dos recta s  perpe nd icu la res q ue se corta n en u n  pu n t o O. La horizont a l  X ' OX se de nom i na eje  x , la ver t ica l Y ' O Y. eje  _¡-, y am bas const i t u yen los d os ejes de coordenad a<;. El pu n to O se lla ma ori ge n del sistema. La d istan cia de u n pu nto al eje, y se l l a ma ahscisa del.

'1>1 Cuad ran te 11 1Cuadrante (-.+ ) \ + , -) 1

 X 

o X m ismo. La d ist anci
D I STA NC I A E NTR E DOS PU NTOS. La d ista ncia dos pu ntos P 1( x.,y 1 ) y P ( x 2 ,J'2) es

d

en tr e

y P, tx, ,y,l

1

Por ejem plo. la d ista ncia ent r e los  puntos (4. -1) y (7. 3) es

; y,-y,

x,-x,

ti =  ,1(7 -4}2+ 13 + 1 )2 =

::>

X'

5 u nidades.

o  ------------------------------------------------- x

PU NTO DE DI V I SI ON es el. q ue d ivide a u'n segment o en u na relación dada. Consider emos los pun tos  P 1(x i,y 1 ) y  P 2(  x 2  ,y 2  ) y la recta q u e determ i na n. y Sea P (x,y ) un tercer  pu n t o q ue di vida al segmen t o en l:l re-

 p p lación  p

= r . Como

/

y PP 2 son del m ismo sent ido. dicha relación es posi t iva. Si el punto de d ivisión P (x,y ) . estu vie r a situad o en l a  prolongación del segmen to, a u no 2 

P 1P

u otro lado del m ismo, la relación

P(x,y) ;> y,

= r sería negat iva,

ya que  P 1 P y  PP 2 tend ría n sent idos opu est os. Teniend o en cu enta los t r iángu los semejan t es de la P1 P   X ¡  X  P1 M figura, --= ---- = -- = r .  P  N  X 2 - X  p pt 

P.tx

;y.) J

-

'<'' 

',¡.

' .

1

--- x_.--_x·  _   ,-....iM---x

 X 1

Despejando  x,

x

=

1

+ TX  +r

2

. Análogamente,  y

Si P (x,y) es el pu nto medio del segmento P,P 2. r

=

=

Y 1

++'Y2 . 1  X i

1 y  x =

+ X2 2

,y =

Y1

+ Y2 2

JNCLI NACION Y PEN DIENTE DE U NA RECTA. La inclinaci611 de una recta L (que no sea  paralela al eje  x ) es el menor de los ángul os que dicha recta forma con el sem ieje  x  positivo y se mide, desde el eje  x a la recta L, en el sentido y contrario al de las agujas del reloj. Mientras n o se advierta otra cosa, consideraremos que el sen tido  positivo de L es hacia arriba. Si L fuera paralela al eje  x, su inclinación ser ía cero. La  pendiente de una recta es la tangent e del ángulo de inclinación. En estas condiciones, m = tg O, siendo 8 el ángulo de inclinación y m la  pendiente. La  pendiente de la recta q ue pasa por dos  punt os P1(xt>y1) y P2(x,,y2) es m = tg 8 =

y'

Y2 -Y1  X2 - X1

cualesq u iera que sean los cuadra ntes en los q ue estén situados los  punt os  P 1 y P2 •

RECTAS PARA LELAS Y PER PEN DICU LA R ES. Si dos rectas son  paralelas. sus pendientes son iguales. Si dos rectas L1 y L2 son  perpend icu lares. la pend iente de una de ellas es igual al recí  proco de la  pendien te de la otra con signo con t rario. Esto es. l la mando m, a la pendien te de L1 y m 2 a la de L2 se tiene m 1 = -l/rn 2 , o  bien , m 1m2 = -1 . AN GU LO DE DOS RECTAS. El ángulo a, med ido en el sentid o con t ra rio al de las agujas del reloj, desde la recta L1 de pendiente m 1 a la L2 de pendien te 111 2 es

Demostr ación: 02 = a + Oi. o a = 02

-

81

•

tg a = tg (02 -81) tg 82 - tg o, 1

+ tg 82 tg 81

AREA DE U N POLIGONO EN FU NClON DE LAS COOR DEN A DAS DE SUS VE RTI CES. . Sean  P 1(Xi. Y1), P2(X2 , Y2). P3(x3, Yl) los vértices de u n tr ián gulo. El área  A en f u n ción de las coordenadas de l os vértices viene dada por la expresión

y

COORDENADAS RECTANGULARES COOR DENADAS R ECTANGULARES

2

3

Demostración : A rea del t riángulo = área del t r a pecio  M 1 P 1 P 3 M 3 + área del tra  pecio  M 3 P 3 P 2  M 2 - área del trapecio  M 1 P 1 P 2 M 2• Por ta n to,

+

 A = !( y, + Ya) {X3 - x,) =  H x1Y 2 f-  X2Y 3

(y3

+ Y2) (x2 -X3) - HY 1 + Y i) (X2 -x,)

+ X sY1 - X1Y3 - X 2.Y 1 -X3J'z) .

Este resultado se  puede expresar de ot ra ma nera. más f ácil de recordar , ten iendo en cuenta la notaci ón de determ ina n te :  x ,  y ,

 A

=

X2

Y2

Otr a for ma de expr esar el ár ea de u n trián gulo, m uy ú t il cuando se t ra t e de hallar ár eas de pol ígon os de más de tres l ados, es la sigu ien te :

 A = I  .1

Obsérvese q ue se ha repe t ido la primera fila en la cu a rta .

PROBLEMAS RESUELTOS DISTANCIA ENTR E DOS PU NTOS. l.

Hallar la dista ncia en t r e a) (-2, 3) y (5, 1). b) (6, -1) y (-4, -3). 2 = V(5 + 2)2 +( 1 -3)2 = v49 a) d = V ( X2  x ,)2 +
--yJ

b)

d = V(X2 -x,)2

+ (Y2 - y¡)

2

= v(-4 -6)2

+ 4 = v53

.

+ (-3 + 1)2 = v l04 = 2 V26 y

y

(-2,3)

x·

X X

H,-3) C(-S,-2) y'

y'  P r oblema J l.

 Proble ma 2

Demostrar que los pun tos A(3, 8), B(-11, 3), C(-8, -2) son los vértices de un triángulo isósceles.

 AB = v<3 + 1 1)2 + <8 -3)2 = v221 ac = v<-1 1 + 8>' + (3 + 2)2 = v34  A C = v(3 + 8)2 + (8 + 2)' = v221 .

Como  AB

=  AC,

el t riángu lo es isósceles.

COORDENADAS

4

3.

a)

 b)

 , -7) son los vértices de u n triángulo rectángulo. Demostrar que los los puntos A(7 A(7,, 5), 8( 8(2 2 . 3), C(6  Hallar el área del de l t riá ngulo r ectá ec tá n gulo.

a)  A B

=

V(7 -2)2 + (5 -3)2

=

\/29 \/2 9

Area

= v'( v'(22 -6)2 + (3 + 7)2 = v'fü

BC

Como (A 8)2 + (8C)2 = ( AC )2 , o sea. 29 b)

R EC ECTANGULAR TANGULAR ES

+ 1 16 = 145.  A BC es un triángulo r ectángu ectángu lo.

BC) = v'29 vfü = 29 un idades = H A B}( BC) idades de su su perfici  perfici e .

y

y

y

 A (7, (7,SJ SJ

 A(l,7) o

B(8,6)

X

o  A(--3,-2)  A(

C(7,-1 C(7 ,-1))

X

C(G,-7)  Pr oblema oblema 3

4.

 Pr oblt'lna 4

-2).. 8( 5, 2) A (-3, -2) 2),, C(9, 4).

Demost rar q ue lo loss t res res  punto  puntoss sigui en tes tes so sonn

 A B =  / \ (5

+ 3)2 + (2 -r 2)2 = 4 \ 5

Como  AB -t· BC

BC = ,  ,;;¡«) -5)2

1

 AC

5.

 Pr oh/e11: oh/e11:a 5

= \· (9 + 3)2 + (4 +

=  AC. o sea ea,, 4 \ '5

t 2 v'5 -=-

2)2

+ (4 -2) = 2 VS 2

= 6v 5

toss so sonn col i nea l es es.. 6 \/S, los  pun to

Determina Det ermina r un  pu n to q ue eq uid ist (8. 6). C(7. -1 ) . st1.: 1.: de lo  p u n lC>s  A( l. 7 ). 8 (8.

C  Sea P ( x, y ) el  pu n to busc bu scado ado.. H a de ser. P  A - PB . P C 

(y-7}i -7}i - \ /(:r -8)2 f- (y - 6)2 Como PA = PB. v(x - t )2 )2---:¡: ---:¡: (y Elevand o al cuad rado rado y si m pl ificando, 7x -y - 25 = O. ( 1 )

•

Co mo PA = P C. C. V( x -1 )2 + (y -7)2 = v( x - 7)2 ··HJ' ..¡ 1 )2. Elev El evando ando al cuad rad o y si m p  pll i fican do, 3x -4y -= O. (2) R eso esoll viendo el si st ema formado  p  poor l as ecuacion ecuaciones es ( 1 ) y (2) re ressu lta lt a  x el  punto  bu  busc scado ado tiene tien e de coorden coorden ada dass (4. 3) 3)..

=

4 ,  y = 3. Por ta nto,

P U NTO QU E DI V IDE A U N SEG M ENTO E N U NA R ELACION DA DA .

6.

P( x.  x. y) q ue d i v ida al seg H allar la lass coordenadas de un  punto P( segmento mento de terminad o  por P 1( 1 . 7) y P2(6, -3) en la relac rela ción r = 2/ 3.

Y

Como la relac rela ción es  p  pos osii tiva , P 1P y PP 2 han de ser del mismo sent ido y,  p sent  poor tanto, el  p u n t o P( x. y ) estará si tuado entre los lo s  puntos dados ext r emo moss de l seg segmento. mento. X

COORDENADAS RECTANG R ECTANG ULAR U LAR ES

lo.. lo

1 + 23 (6)

 x 1 + rx 2 =

 X

-,--+,.-

Y i y =

= ---2=3

1

+3

5

+ r  y2

7

+ -2(-3) 3

-1--

=

2

+ r 

1

3

+3

El punto buscado es (3, 3). J

7.

(x, y) que d ivida al segmento determinado H allar la lass coordenadas de un  punto P (x, determ inado por P1(-2, 1) y P2(3, -4) en la r elaci elaci ón r = -8/3. Como , Ja relación n 1 P  de ser de sen tido opues opuestto, con lo q ue el  pu n to p1 P y  PP 2 ha P   P  . I es negativa p,  P  a segme segmento nto extte ex ;: = -·8 3· 2· r = ·¡¡F  1 ra n or 

 P( x, y ) se

 x

+ (- ) (3)

 x 2 = -2 =  X ¡ + r 

--1

+ r 

l + ( y = Y---= 1 +'Yz Yz l + r 

)  ----

=6

+ (- )

1

1

y

y

(-4) -

+ (- )

y

P2( 2,G)

B( 9,7)

P.((-2, P. -2,1) 1) X

X

 Pr oblema oblema 7

I·

o

X

 A (3,- t )

P(x,y (x,y))

P(x ,y)

7

 Pr obl  obl ema 8

 Pr oblema oblema 9

d e c en t r o ºi(-4, 1) es P2(2, 6). Hallar las las coorde 8. El extremo de un diámetro d e una circunferencia de nadass P(x , y) d e l ot nada otr  r o extremo.

Com Co mo  P 1 P y  PP 2 son de se sentido ntido opuesto, la relación r es nega egati tiva. va.

J.

.1,

 x =

 X ¡ + f X2 

-1-+ r 

-4

+ ((-+ +) (2)

1

Y1  y = 1

= -10

+ (- )

Halla r dos  punto s P .(x 9. Halla .(x  , y ) 1 1 tr es partes es partes iguales.

y P (x 2

,

2

+ ' Y2 + r 

1

+ 1

(-+ -+)) (6) = -4 (-+ -+))

y ) que divida dividann al segmento que une  A(3 , -1) con 8(9, 7) en 2

1 '

1.

 X1

=

3 + +( +(9) 9) -- J 1 l 2

3 -1 2(9)  x. = -1- 2  x. •

+

= 5 ,

Y1 =

+

5 -1 -(7) ----! - = )-.

1+2 -1

= 7,

Y2 =

+ 2(7)

¡

+2

•

COORDENADAS RECTANGULARE S

6

10. Hallar las coordenadas del ex t remo C(x. y) del segmento q ue une este pu nto con  A(2. -2) sabi endo que el  punto 8( -4. 1) está sit uado a u na distancia de  A igual a las tres q ui ntas  par tes de la longit ud total del segmento. 3

 AB

 AC 

V

C (X ,y)

5 

r =  BC = 2 Como  AC y CB son de sentido opuesto, la relación r es negativa .

2

+ (- ;) (-4)

-2 = -8  y = --

 x =

+ (- {)

1

+ 1

(- %-)

+ (- ;)

X

A ( 2,-2)

( 1) =3

11. Las med ianas de un t r iángulo se cortan en un  pu n to P (x. y) llamado baricentro, sit uado de los vért ices a 2/3 de la distan cia de cada uno de ellos al  punto medio del lado opuesto. Halla r las coordenadas del  baricentro de un t r iángulo cuyos vértices tienen de coordenadas  A( x 1• y 1). 8(x 2• y2). C(x3, y3). Consideremo s la med ia na  AP D. siendo D el punto me dio de BC. Las coordenadas de D son  x2 + x3  y·2 + ;· . -

Como  A D

•

-

2  AP

2

AP 

y

-·

2

o

2

J. resulta r =  PD = T = 2 · + 2(  Xz +2 X3 )

=

 X ¡

 X ¡ + X  z + X3 x = --3 ,+ 2--= -

Y1

 y =

+ 2(.J: _ -12 1

+2

) = Y1

+ Y2 +Y 3 3

+(x

x

Las coordenadas del baricen t ro de un triángulo son. pues, (y1 +  y 2 + y3). 1 + x 2 + 3). Al mismo resultado se habría llegado considerando las media nas  BPE o CPF. siendo en todo caso  A P

BP

C  P 

2 2 = -PE = PF = l= ·

 PD

'=

I NCLI NAC ION Y PEN DI ENTE DE U NA R ECTA

12. Hallar la pendiente m y el ángu lo de i nclinación O de las rectas que unen los  pare s de puntos siguientes: a)

h)

(-8. -4), (5, 9). (10, -3), (14, -7). 111

e)

= tg o =

(-11, 4), (-11 .

10).

d) (8, 6), ( 14, 6). Y2 -Y 1 -  X z - ...·1

(-11,!0)

\  8,6'---

+4

9

t-1!,4)

5

.i .e.. '·

+ f = 1

a) m = h)

"' =

e)

 /11

=

d ) m =

-7 + 3

14

 _

10 10 -4

= --1

-1 1 + 11 6 -6

14 _

O=

6

= - = i:x..

o

o

¿ =Ó=O

1g -1 1 "'" 45º

n = tg

1

-1 -

( 5,9 )

1

0 = 1g -' O ·= Oº

' ,.,... 'e

135"

O ::-. tg - 1 ov =-·90·

(14,G)J

(-o.- 4)

COORDENADAS RECTANGULARES

13. Demo strar q u e los  puntos A( -3. 4). 8(3. 2) y C(6. 1 2 -4 Pendiente de  AB = 3 1 3 = - ). ,,

f)

7

son colineales. -4

1

Pend ient e de  A C = 6

+3

-

--3·

Como la  pend ient e de  A B es la m isma que la de  A C. los tr es  puntos están situados sobre la misma r ect a.

14. Demost rar. apl icand o el conce pto de  pend iente. que los  punt os A (8. 6). 8(4.8) y C ( 2. 4) son los vért ices de un triángu lo rectángulo.

8 -6 Pend ien te de A B = 4 - 8

4 -8

1

Pend iente de BC

=-·- -

2

 _

=

4

2

= 2.

Como la pend iente de  A B es el recíproco con signo con t rario de la  pendiente de BC. estos dos lados del t riángu lo son  perpend icular es.  A NGULO DE DOS RECTAS

IS. Sabiendo q ue el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 45º. y q ue la pendiente m 1 de L 1 es 2/3, halla r la  pendiente m2 de 1.2 .

t g 45º =

m... - m , 1

-

+ m 21111

2

.

.es dec 1 i r.

m2 -T

De esta ecuación. m

2 m2  1 +)

= 5. 2

C(4.2)

X

X

 A (-3,-2) Pr oh/1 11111 •

 Problema 16 

15

16. H alla r los ángulos i nteriores del t riángulo cuyos vértices son A(-3. -2), 8(2, 5) y C(4. 2). 2 -5 5+2 7 3 2+ 2 4 m,.n = 2 -'- 3 = S moc = 4 - 2 = - 2 mc   A = 4 + 3 = 7 tg  A -·

+

lll AB -

1

me A

lll  A1J l11CA

7 4 - - --

=

5

 _(_ 7 4"")'- = 29 6f 

tg C =

msc - mAo

1

7

-y -5

29 =1 -1·

+ moc m,.11

mc   A - m8C 

1

= 24° 43, I '.

+ 5 7 J

tg 8 =

 A

+ mc  AmBC 

=

2

;. C =

B = 69º 1 3.6'.

86º3,3'. Comprobación : A + B + C = 180º.

 A REA DE UN POLIGONO DE VERT ICES CONOCIDOS. y

17. Hallar el á rea  A del t riángu lo cuyos vértice son los  punto de coordenadas (2. 3), (5. 7), (--3. 4). A

1

=

2

2  j 5 7 -3 4

1

3 = H2· 1 -1 5· 4 2

+ (-·3) (3) -2· 4 -(-3) ( 7) - 5·31 = H l 4 + 20 -9-8 + 21 1 5) = 1 1 .5 unidades de su -

 pe rficie.

18. Hall ar el área  A del pen tágon o cuyos vért ices son J os  pu ntos de coordenadas (-5. -2). (-2, (2. 7). (5, 1 ), (2. -4).

-2 5 7

-5 -2

 A =

2

y

1

5

2

-4

-5

-2

W -5> <5>

r-

< -2l (7) + 2· 1

-( -5) (-4) -2· 1

l 1

-!< -132)

5),

=

+ 5 (-4> + 2(-2)

- 5·7

(S,I)

-2 · 5 -( -2) ( -2)]

X

-66.

(-5,-2/

Solución: 66 unidad es de su perficie . Si se toman los vértices recorriendo el  polígono en el sentido con trario al de las aguja s del r eloj, el área se considera  positiva, y en caso contra rio ne

(2,-4)

gat iva.

PROBLEMAS PROPUESTOS l. R epr esenta r l os  pu n t os de coor den ada s: (2, 3), (4, O), (-3, 1 ). ( c-2,

,/2.. -1 ), (--2. 0).

vs>.< vi.o>, < º·o),(4, 5, -2), < v io,- v2), . (2.3, -6).

(-2, v3).

2. R epresentar los triángu los de vért ices: a) (0, 0), (-1 , 5), (4, 2) ;  b)

(v2, O), (4, 5),(-3, 2);

e) (2

3. R epresentar los pol ígonos de vértices : a)  b)

+ v2. -3), ( \ 13, 3). (-2. 1

(-3, 2), (l. 5), ( 5, 3). (1, -2); (-5, O), (-3 , -4), (3. -3). (7,

1- .,/8).

2), ( 1 . 6).

4. H a llar la distancia entre los pares de  pUfl tos cuyas coordenadas son : e) (0,3).(-4. 1) ; e) (2, -6).(2, -2); a) (4, 1 ), (3, -2) ; b) (-7,4),(1, -11) ; d) (-1,-5),(2, -3); f) (-3. 1).(3, -1).   Sol . a) IO  b) l 7, c) 2 5, d) T3, e) 4.f  ) 2\l fó. 5. Hallar el perímetro de los tr iángulos cuyos vértices son : a) (-2, 5), (4, 3), (7, -2) ; e) (2, -5), (-3, 4), (0. -3); b) (0, 4), (-4, 1 ), (3. -3); d) (-1 , -2), (4, 2). (-3. 5).

Sol. a) 23,56,  b) 20,67, e) 20,74, d) 21,30.

6. Demostrar que los triángulos dados por las coordenadas de su s vértices son isósceles: e) (2, 4), (5, 1 ). (6, 5); a) (2, -2), (-3. -1 ), ( 1, 6);  b) (-2, 2), (6, 6), (2, -2); d) (6, 7), (-8, -1), ( -2. -7).

(0, 1 ).

';/ ;

' COORDENADAS U LARES COOR DENADASRECTANG R ECTANGULARES

8

9

7. Demostrar q ue los t riángulos dados  por las coordenadas de sus vértices son rectángulos. Hallar sus áreas. e) (3, -2), (-2, 3), (O, 4); a) (0. 9), (-4. -1 ), (3. 2): b) (10, 5). (3. 2). (6. -5): d) (-2, 8), (-6, 1).(0,4) . Sol. Areas: a) 29.  b) 29. e) 7.5. d) I S unidades de superficie. 8. Demostrar q ue los pun t os siguientes son los vértices de un paralelogramo :

=: =: :: :

;I):

).2/

e)

(2, 4), (6. 2), (8, 6), (4, 8).

9. Hallar las coordenadas del pun to q ue equ id ista de los  pu n tos fijos: e) (2. 3), (4, -1), (5, 2). a) (3. 3), (6. 2).(8. -2);  b) ( 4, 3), (2. 7). (-3, -8); Sol. a) (3. -2). h) ( -5. 1). e) (3, 1 ). 10. Demost rar. med iante la fórm u la de la d istancia, q ue los  puntos siguien tes son colineales: a) (0.4). (3. -2). (-2, 8); e) ( l. 2), (-3. 10). (4, -4); b) (-2. 3). (-6. 1 ). (-10. -1 ): d) ( 1 , 3). (-2. -3), (3. 7). 11. Demost rar q ue la su ma de los cuad rados de las d istancias de un punto cualquiera P( x, y) a dos vér t ices opuestos de u n rectángu lo es igua l a la suma de los cuadrados de las d istancias a los otros dos vért ices. Supóngase q ue las coordenadas de los vértice s son (0. 0). (O,  b), (a, b) y ( a, 0). 12. Ha llar el  pu nto de abscisa 3 q ue d iste 10 u n id ad es del pu n to (-3, 6). Sol. (3. -2). (3. 14).

13. Ha llar las coorden adas de u n pu nto P( x. y) q ue divida al segmento que determi nan P 1(x 1 y 1) •

.,

Y P 2( x 2 , )'2) en 1a re 1ac1on r a)

 P 1 (4. -3).  P 2 ( 1 . 4). r

P  P  =  pp -;_·

=

h) P 1 (5. 3), P 2 (-3, -3), r t)

2 -¡-· =

1'1 ( -2. 3). P 2 (3. -2). r

Sol. a) 14.

1

(2. }). h) (3. )·

T1 . 2

S.. e) (-

)·

.

= -72 .

d)

P 1 (0. 3). P 2 ( 7. 4), r

e)

P 1 ( -5. 2), P 2 ( 1, 4), r

/)

P1 (2. -5), P 2 (6. 3), r

d)

14 (-T '

13 )

.

5 = - 3-.

= 4·

( 26 11 ) el ( 10. 7). /> 7 . -T .

Halla r las coordenadas del ba ricent ro de los triá ngulos cuyos vértices son : a) ( 5, 7). ( 1 , -3). (-5. 1 ): (3. 6). (-5. 2). ( 7, -6); e ) e) ·h) (2. -1 ), (6, 7), (-4. -3): d) (7. 4). (3. -6). (-5. 2):

Sol . al

(+·

n.

h)

( .1).

e)

(

·

)·

d )

( ·o).

e)

3

(-3, 1). (2, 4), (6. -2).

( . 1).

IS Sabiendo q ue el  pu n to (9. 2) d ivide al segmento q ue determi nan los  pu ntos P1(6, 8) y  P2( X z. Yz) en la relación r = 3/ 7, halla r las coord enadas de P 2 . Sol.

( 16. -12).

16.

Ha llar las coordenadas de los vértices de un triángu lo sabiendo q ue las coordenadas de los  puntos medios de sus lados son (-2, 1 ), (5, 2) y (2. -3). Sol. ( 1 . 6), (9. -2). ( -5. -4).

17.

Halla r las coordenadas de los vértices de u n triángu lo cuyas coordenadas de los puntos medios de sus lados son (3, 2), (-1. -2) y (S. -4). Sol . ( -3, 4). (9, 0). ( l. -8).

18.

Demostr ar analíticamente q ue las rectas q ue unen los punios med ios de los lados adyacentes del cuadrilá!ero  A( -3, 2), B(5, 4), C(7, -6) y D(-5. -4) forma n otro cuadrilátero cuyo  perímetro es igual a la suma de las diagonales del primer o.

19.

Demostrar q ue las r ectas q ue unen los  puntos medios de dos lados de los t riá ngulos del Pr oblema 14 son paralelas al tercer lado e iguales a su mitad .

20.

Dado el cuadrilátero  A(- 2, 6), 8 (4, 4), C(6, -6) y D(2. -8), demostra r q ue : a) La r ecta q ue une los  puntos medios de  A D y  BC  pasa por el punto med io del segmen to q ue une los puntos med ios de  A B y CD. b) Los segmentos que unen los  pun tos med ios de los lados adyacentes del cuadrilátero forman un paralelogramo.

8( 3, 3) se  prolonga ha sta C. Sabiendo q ue BC Sol. ( 18, 15).

21. El segmento q ue une  A(-2, -1 ) con

las coordenadas de C.

= 3A B. halla r

22. Demostrar q ue el  punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo eq u idista de los vértices.

lnd .: Supóngase que las coordenadas del vértice del ángu lo recto son (O. 0) y las de los otros vér tices (a, 0) y (O, b).

23.

Demostrar que en los triángulos isósceles del Problema 6 dos de las medianas son de la misma lon gitud .

24. Hallar las pendiente s de las rectas q ue  pasan por los punt os: e) (6,0), (6, v'J); d) ( 1, 3), (7, I);

a ) (3, 4), (1, -2) ; b) ( -5, 3), (2, -3) ;

6 Sol . a) 3, b) - 7· e)

2S.

e) f)

1 00,

d)

-3·

e)

o.

(2. 4). (-2, 4); (3. -2). (3, 5). 00.

.n

Hallar las inclinaciones de las rectas que pasan por los puntos : e) (2, 3) y ( l , 4); a) (4, 6) y ( l , 3); e) ( v'J 2) y (O, I ); d) (3, -2) y (3. 5); b) (2, ·v'J) y ( l , 0); () (2, 4) y (-2. 4). 1 e) o = tg - - 1 = 135º ; Sol. a) O = tg -1 1 = 45º ; e) O = tg -1 l/v'f = 30º ; /) O = tg -1 0 = O". d) o 1g-1 00 = 90";  b) o = tg -1 v'3 = 60º ;

=

26.

Aplicando el concepto de pend iente, averigua r cuáles de los pun1o s siguiente s son col ineah:s. a) (2, 3), (-4, 7) y (5. 8);  b) (4, 1 ), (5. -2) y (6, -5); e) (-1, -4), (2, 5) y (7, -2):

Sol . a) No.

o) Sí,

C')

 No.

d) (0, 5), (5, 0) y (6. -1 ); e) ( a. 0). (2a.  b) y ( -a. 2b) ; () ( -2. 1 ). (3.2) y (6, 3). d)

Si.

e) Si.

f)

 N o.

27. Demostrar que el punto ( 1, -2) está situad o en la recta q ue pasa por los  punto s (-5. 1 ) Y (7. -5) y que equidista de ellos. 28. Aplicand o el conce pt o de  pend iente, demost rar que los  pu ntos siguiente s son los vértices de un

tr iángulo rectán gulo. a)

(6, 5), ( l , 3) y (5.-7);

b) (3, 2). (5. -4) y (l, -2);

e) d)

(2. 4). (4, 8) y (6, 2) ; (3. 4).(-2,-1) y (4. l).

29. Hal lar los ángui os interiores de los triángulos cuyos vért ices son : Sol . 45' . 45' . 90 . (/) (3, 2), (5, -4) y ( l .-2); Sol . 109" 39.2'. 32' 28,3', 37' 52,S' .  b) (4, 2), (O, 1 ) y (6. -1 l: Sol. 1 13' 29.9'. 40' 25,6', 26'' 4,5'. e) (-3. -l ). (4, 4) y (-2, 3);

·ll!\

10

COOR DE NA DAS

R ECTANG ULA R ES

COORDENA DAS R ECTANGULARES

11

Demost ra r , halla ndo los ángulos i nteriores, q ue los triángulos sigu ien tes son isósceles. y efectuar  la comprobación calculand o las longi t udes de los lados. a)

(2. 4). (5. 1 ) y (6. 5):

 b) (8. 2). (3. 8) y (-2. 2) : e) (3. 2). (5. -4) y ( l. -2): d) ( l . 5), (5. -l ) y (9, 6);

Sol.

59" 2.2 '. 61'' 55.6'. 59··2,2'. Sol. 50'' 1 1.7'. 79" 36,6'. 50" 1 1 ,7'. Sol. 45''. 45''. 90". Sol. 63" 26', 63" 26'. 53º 8'.

La  pend ien te de u na recta q ue  pa sa por el  punt o  A( 3, 2) es igual a 3/4. Sit uar dos pu ntos sobre esta recta q ue d isten 5 un idades de  A. Sol . (7 . 5), (-1. -1 ). 32. El ángu lo formado por la recta q ue pasa por los puntos ( --4. 5) y (3, y) con la que  pasa por ( -2, 4) y (9. 1 ) es de 1 35º. Halla r el va lor de  ) " Sol . y = 9. "

33.

La r ecta L2 forma un ángulo de 60" con la recta L1 Si la pend iente de L 1 es 1 . halla r la pend ien te de L 2 Sol . -(2 + v'J¡. •

•

34. Halla r la  pendien te de una r ecta q ue forma un ángu lo de 45º con la r ecta q ue  pasa por los puntos de coordenadas (2. -1 ) y ( 5, 3). Sol . mt =· -7. 35. Hal la r la ecuaci ón de la recta q ue pasa por el  punt o ( 2, 5) y for ma un ángulo de 45'' con la recta de ecuación .r -3y + 6 = O. Sol. 2.r -r + 1 =-- O.

36. Hallar las á reas de los t riángulos cuyas coordenadas de los vértices son : Sol . 18.5 un idades de superficie. a) ( 2. -3), (4, 2) y (-5. -2) Sol. 24;5. b) ( -3. 4). (6. 2) y (4, -3) Sol. 28. e) {-8. -2). (-4, -6) y ( -1. 5) Sol. 30. d) (0.4). (-8, 0) y (-1 . --4) t') . < -4. 6> Y ( 4. -2v2) Sol. 7 v'2--2 = 7,899. .f  ) (-7, 5). ( l. 1 ) y (-3. 3) Sol. O. Ra zona r la respuesta. Sol. O. g) ( a. h + e). ( h, e + a) y (c. n + h) 37. Halla r las áreas de los pol ígonos cuyas coordenadas de los vért ices son : a)

( 2, 5), (7. 1 ), (3. -4) y (-2. 3)

b)

(O. 4), (1. -6). (-2. _3) y ( -4. 2) {l. 5). (-2. 4), (-3, -l ), ( 2. -3) y (5. I )

e)

39.5 u n idades de su perficie. Sol. 25.5. Sol . 40.

Sol.

38. De mostra r q ue las r ectas que unen los puntos med ios de los lados de los t riángulos del Problema 36 dividen a cada uno de ellos en cuat r o t riángulos de áreas igua les.

1

CA PIT U LO

1

l 1

\'

Ecuaciones

y

2

lugares geornétricos LUGft

LOS DOS PROBLEMAS FU N DA MENTA LES DE LA GEOMETRI A ANA LITICA SON: 1 . Dada u na ecuación, hallar el l ugar geométrico q ue repr esenta. 2. Dad o un l ugar geomét rico defi nido por determinada s condiciones, hallar su ecuación matemática. L U G A R GEOM ETR I CO, o gráfica. de u na ecuación de dos va r ia bles es un a lí nea, r ecta o curva, q ue contiene todos los  puntos. y solo ellos. cu yas coord enadas satisfacen la ecuación dada . A ntes de r e prese11tar gráficamente el l u ga r geom étrico q ue corres ponde a una ecuación dada, es m uy conven iente,  para determinar su forma , conoce r algunas  propiedades del lugar en cuestión. como,  por e jem plo : i n terseccion es con los ejes, simet rías, ca mpo de variación de las va riables, etc.

l.

·.I

R  p

 p n 11

e e

I  NTERSECC ION ES CO N LOS EJES. Son las distancia s (positivas o negativas) desde el origen hasta los  pu ntos en los q ue la lí nea del l ugar cort a a los ejes coordenados. Pa r a hall ar la inter sección con el eje  x se hace y = O en la ecuación dada y se despeja Ja

\ a ria ble  x . A nálogamen te,  para hallar la in ter sección con el eje y, se hace  x = O y se despeja y.

Por ejem plo, en la ecuación y2 + 2x = 16, para  y = O,  x = 8;  pa ra  x = O,  y = ±4. Por ta n t o, la a bscisa del  pu nto de intersección con el eje  x es 8 y las ordenada s de los de in ter sección con el eje y son ±4. SI M ETR I AS . Dos  pu n tos son simétricos con respecto a u na r ect a si ésta es la med iatriz del segmento q ue los u ne. Dos  pu nt os son simét ricos con respect o a otro  punto, si éste es el  pun to med io del segmento q ue J os u ne. En consecuencia :

¡ / 1

1.

Si u na ecuación no se altera al sustit u i r  x  por - x, su r e pr esentación gráfica, o lugar, es si mét rica con r espect o al eje  y. A tod o valor de  y en esta ecuación, le cor responden dos va lor es igu ales de  x en valor absol ut o  pero de signos cont r ar ios. E jem plo:  x 2 - 6y + 12 = O, es decir,  X = ± v6y - 1 2.

2.

Si u n a ecuación no varía al su sti tu ir  y  por - y, su r epresen tación gráfica , o lugar , es simét rica con r es pecto al eje  x. A todo valor de  x en esta ecuación le corresponden ctos val or es n um érica mente igu ales de  y en valor absol ut o  pero de signos contrarios. Ejem plo:  y 2 - 4 x -7 = O, es decir, y = J:v4 x + 1.

3.

 y, su repr esentación gráfica, Si u na ecua ción no va r ía al sustitu ir  x  por  x e  y  por o l uga r, es simétrica con res pecto a l origen. Ejem plo : x3 + x + y3 = O.

CA M POS DE VA R I ACI ON. Los valo r es de u na de las varia bles par a los cuales la otra se hace imaginaria, carecen de sen t ido. Sea la ecuación v2 = 2x -3. o bien,  y = -¡\ 2x -3. Si x es menor q ue 1,5, 2x -3 es negati vo e  y es ima.ginario. Por ta n to. no se deben considera r los va lores de  x me nor es q ue 1 ,5 y, en consecuencia, la cu rva del l ugar esta rá sit uada toda ella a la derecha de la recta :e = 1 ,5. Des peja ndo  x,  x = HY 2 + 3). Como  x es r eal  para t odos los valores de  y. la cu rva del l uga r se extiend e hasta el i nfinito , a u mentando .r a med ida q ue lo hace  x desde el v alor  x = 1,5. 12

2.

ECUACIONES Y LUG AR ES GEOMl:.l'RICOS

13

PROBLEMA S R ESUELTOS LUGA R GEOMETR IC'O DE UNA ECUACION l. R e prcsenia r la eli pse de e;:cuación 9 r 2 ¡ 1 6y2

 /nft •rsetc ·wm·.t co11 los ejes. Pa ra y

= 144. '

= O.  x =

r 4.

y

Pa ra  x O.  )' - ...:. 3. Por tanto. corta a l eje  x en los  pun t o de abcisa 1 4. y a l eje  y en los de orde nada .: J . Sime1r ías. Como la ecu ación solo con t ien e  po t en cia  pares de r l!  y. la c u rva es simé t rica con r es  pecto a los dos ejes y.  por tan to. con r es pect o al orige n. Así .  pues. ba sta con d i buja r la porción de cu rva con t en ida en el  pri mer cu ad ra n t e y t raza r des  p uc l'I rest o de t'l l a  por si metría . •

3 I'

X

íO,-.:{

1

Ca111pu de 1 11rionó11.

(4.0)

o

Des pejando y y x,

2

16

-- 4 - \

- .\ .

,\'

-

 x es negativo e  y es i magi nario . Luego  x ne  pue Si r cs. en 1·alor ahsol1110. mayor q ue 4, J 6 de toma r va lorc.:s mayorc q ue 4 n i meno r es q ue -4, es decir. 4  x -4 . A nálogamente ,  y no puede tomar va lores ma yoreo; que 3 ni menores q ue -3. o sea, 3  y -3.

o

\,'

•

1

, 3 , -¡ 2.9 2 . R epresenta r !:.i  pará bola de ecuación  y 2

-

1 ¡2 1

±2.6

l3

1 :J

3,5

±4

IJ2,o 1-+1.s1 º

2y -4x ¡. 9

=

O.

Despejando  y de la fórm ula de resol ución de la ecuación de segund o grado, -h 1 vhi -4ac y 1. h = -2. e = -4x +9 : - . ien do a Y 2a

1

2 \11' -2.

 y2 --  2y X -

De pcjando ·'·

4

( 1)

9 (2)

lnll!rs1·l'ciVt1l'S t1m los ejes. Para 1· O. \ - 9/4. Para  x - O. y e-; imaginario ( 1 J 2 \''-2). Por t a n t o. l a cu rva

corta al l:je

1 ·

o

X

en el  pun t o de a b::.cisa 914 y no corta a l eje  y.

Sime1rias. La cu rva no es si mé t rica ni con respecto a los ejes n i con res pecto al origen . Es simét rica con re s pccto a la recta " 1 . con lo cual. a cada va lor de  x se obtienen dos de y, u no mayor q ue 1 y ot ro menor q ue I . Campas de 1ariació11 . De ( 1 ) se ded uce q ue ¡ x es men or que 2. ,. -2 es negat ivo e y imagina riu . tanto. ,. no puede toma r va lore-; menor..: q ue 2. An álogamen te. de (2) e ded uce q uc como ,. o.: r ea l  para t odos l o·va lores de y. esta var iable •

Por

 puede tomar todos los va lores reales.  X 

,,_

y

2

4

5

6

--- ¡ - 9/1 1 O: 2 3: -1 3.8 :-1.8 4.5; -2.5 5: -J

ECUACIONES Y

14

3. Rcpn:sc n tar la hi pérbola  xy

 x -2y -

LUGA R ES GEOMETRICOS

= O.

 Int ersecciones con los eies. Pa ra  x = O.  y y --=

o. ,. = o.

= O;

para

La curva no es ·simétrica ni con respecto a los ejes coordenados ni con respecto al origen. Simetrías.

Campos de variación.

=

Despejando  y,  y

 x  x

2 se hace

y

1

1

.

l

 para  x = 2, el denomi nador.  x -2. se a n ula e  y infinic o. Des pejando x.  x = ly . Para  y = 1 , el denomi  y - 1 nad or,  y - 1 , se a n ula y  x se hace i nfin ito.  Ninguna de las dos varia bles se hace imaginaria  para valores rea les de la otr a .  X

y

o

1 1 1 11 r

-o 1 1 ---1

r z

2

J 7

i

4 1 -9-1-5-J l 2  j 1 2 j J

1

'

1

1

1 1

 _¡1 _ _ _ _ _ _ _ _ 

o

1 1 1

1

lo 1t<';'•

-1 -2 ; _ , ¡-4 O.<> ·0.7 0.3

o.si

I X

Cuando  x tiende a 2  por la izq uierda, y tiende a menos infi n i t o. Cuand o  x tiende a 2 por la derecha. y tiend e a más i nfi n i to. Las d os ramas de la curva se aproxi man i ndefin idamente a la recta  x = 2 haciéndose tangentes a ella en ± infinito. La r ecta  x - 2 = O se denomina asíntota vertical de la curva.

Veamos q ué ocurre cuando  x tiende hacia infin ito. Consideremos  y

=

 x .::_ 

2 .

2

1 -

 x

Cuando  x tiende a más o menos infinito , asíntota horizontal.

3_ t iende a cero e  x

v tiende a ·

1 . La recta  y

-

=

O es una

lo

4. R epresenta r la función  x2 y

1

- 4y

¡;,

+ X = 0.

 Int ersecciones con los ejes. Pa ra  x

¡x = O.  y = O.

Para y

1

= O, x = O.

1 1

Simetrías. Sustituyendo -x  por  x. y -y  por y, se obtiene la ecuación - x 2y + 4y - x = O. que multiplicada por -1 es la ecuación origi nal. Por tanto, la curva es simét rica con respecto al origen . No es simétr ica con respecto a los ejes.

l

Campo de variati6n. Despejando  y, X

X 

+ x) · Las asintotas verticales son  x -2 = O,  x + 2 = O. - 1 ± v i + 16y · .  y = 4 - x2

=

(2 - x)(2

2

Despejando  x se obtiene.  x

.:

=

Y

2

La asíntota horizontal es

y

 Ninguna de las variables se hace imaginaria  para valores reales de la otra. ,5 _  -1 -2,5 _  2 _  __ 1_   x . o 1 1,5 i_   _  2 _  .5 _ 1 2 _ 3 y 0,3 1 0,6 1,1 oo -0,9 --0,3 O 0,3 -1,I 1

-4 1 -3 _ ·

1

1

MI

1

oo

= O.

-0,6 1 1

4 --0.3-

q

a:a;±$ 4%&2

ECUACIONES Y

S. Repr esentar el l ugar geomét rico x2  x -

LUGA RES GEOMETRICOS

+ xy

IS

+ y -2y2 = O.

Algunas veces. una ecuación se puede descom  poner en  prod ucto de va rios factores y. en este caso, su gráfica consta de la correspond iente a cada uno de ellos. Como la ecuación dada se descompone en los factores (x -y) (x + 2y - 1 ) = O, su gr áfica se com pone de las dos rectas

=0

 X -JI

y

 X

+ 2y - (

= 0.

6. Determinar los pu ntos reales, si exist en, q ue sat isfacen las ecuaciones siguientes. a) (X

+

+ 4)2 +( y -2)2 = -5.

 b)

x2 + y2 = O.

e)

x2

+ yz -8x + 2y +

17

=

+ +

d) x2 2y2 -6x 1 1 = O. e) {x2 -4y 2)2 + (x 3y - 10)2 = O. {) x2 + (2i - l )x -(6i + 5)y - 1 = O.

O.

a) Como el cuadrado de todo n ú mero real es positivo. tanto ( x + 4)2 como (y - 2)2 son posi t ivos y, por tan to, la ecuación no se satisface para valores reales n i de  x ni de y .  b) Es evidente q ue el ún ico pu n to real q ue satisface a la ecuación dada es el origen (O, 0). e) Escribiendo la ecuación en la forma (x2 -8x + 16) + (y2 + 2y + 1) = O, o  bien, (x - 4)2 + ( y

+

1)2 = O, cuand o  x - 4 = O

e y

+ 1 = O, es decir, para  x = 4,  y = -1,el único

 pun to r eal q ue la satisface es el de coordenadas (4. -1). d) Escribiend o la ecuación dada en la forma  x 2 -6x + 9 + 2y2 + 2 = O, o bien, (x -3) 2 + 2y2 + 2 = O, como (x - 3)2, 2y2 y 2 son  posit ivos para todos los valores reales de  x e y, la ecua ción dada no se sat isface  pa ra valores reales de dichas variables. e) La ecuación sesatisface paraJ.os valores de x e y q ue verifican, simultáneamente, lasecuaciones x2 -4y2 = O y  x + 3y - 10 = O. R esolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los pun tos (4, 2) y (-20, 10). q ue son los únicos  puntos real es q ue sat isfacen Ja ecuación dada. /) Agrupand o las  partes reales e i maginarias se obtiene (x2  x - 5y - l ) + 2i(x -3y) = O. Esta ecuación se satisface pa r a los va lores de  x e  y q ue ver ifican, si m ultáneamente, las ecuaciones -5y - 1 = O y  x -3y = O. R esolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los  x2  x  puntos (3, 1 ) y (-1 /3. -1/9). q ue son los únicos puntos reales que sat isfacen a la ecuación dada. 7. R esolver gráficamen te el sistema formado por las ec uacion es sigu ientes

y

comprobar el resu ltado por vía algebrai ca.

 x - y

 xy = 8 2=O

(1)

+

(2)

Despej.an d o  y en ( 1 ) se o btr .ene.  y =

finito.

Despejando  x en ( 1 ) se obt iene,  x finito.

8

. Pa ra  x = o. y es i.n-

x

= !_. Para y = Y 

Por tanto,  y = O es una asíntota horizontal asíntota vertical.  X

o

y 00

1

8 '

¡ -1 _

J 8/3 2 ¡ -8

O.  x es in-

-2

y  x

=O

una

i -:3 1 -4

-4 ! -8/ 3 1 -2

La ecuación (2) representa una r ecta q ue corta a los ejes en los puntos (-2, 0) y (O. 2). Gráficamente se ded ucen las soluciones (-4, -2) y (2, 4).

ZC$Ui

ECUACIONES Y LUGA RES GEOMETRICOS

5. Repr esentar el l ugar geomét rico x2 - x

+ x y

IS

+ y -2 y 2 = O.

Algunas veces. una ecuación se  puede descom  poner en prod ucto de va rios factores y, en este caso. su gráfica consta de la corr es pond iente a cada uno de ellos. Como la ecuación dada se descom pone en los factores (x -y ) (x + 2y - 1) = O, su gráfica se compone de las dos r ectas  X   -y

=Ü

y

 X

+ 2y - 1 = Ü.

6. Determinar los puntos reale s, si existen, q ue satisfacen las ecuacio nes siguientes. d) x2 + 2y2 -6x + 1 1 = O. 2 e) (x2 -4y2) 2 + (x + 3y - 10) = O.

a) (x + 4)2 + ( y -2)2 = -5. b)  x 2 + y 2 = O. e)  xz + y2 -8x + 2y + 1 7 = O.

()

x2 + (2i - l)x -(6í

+ 5)y - I = O.

Como el cuadrado de todo n ú mero real es posit ivo, tanto (x + 4)2 como (y -2) 2 son posi tivos y, por tanto, la ecuación no se satisface para valores reales ni de x ni de y.  b) Es evidente que el ún ico pun to real q ue satisface a la ecuación dada es el origen (O, 0). a)

Escribi endo la ecuación en la forma ( x 2 -8x + 1 6) + (y 2 + 2 y + 1 ) = O, o  bien, ( x - 4)2 +(  y + 1 )2 = O, cuando  x - 4 = O e  y + 1 = O, es decir. para  x = 4,  y = -1,el único  punto real q ue la sat isface es el de coordenadas (4. -1). d) Escribiendo la ecuación dada en la forma  x 2 -6x + 9 + 2y2 + 2 = O, o  bien , (x -3)' + 2y2 + 2 = O, como (x - 3)2, 2y2 y 2 son positivos para todos los valores reales de x e y , la ecua e)

ción dada no se sat isface  para valores reales de dichas va riables. e) La ecuación se sat isface para os va lores de  x e  y q ue verifican, simultáneamente, las ecuaciones x2 -4y2 = O y  x + 3y - 10 = O. R esolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los pun tos (4, 2) y (-20, 1 0), q ue son los ú nicos puntos reales q ue satisfacen la ecuaci ón dada. () Agrupand o las  partes reales e imagi narias se obtiene (x 2  x - 5y - 1 ) + 2i(x - 3y) = O. Esta ecuación se satisface para los valores de  x e  y q ue ver ifican, sim ul táneamente , las ecuaciones

x2 - x -5y - 1 = O y .\·-3y = O. R esolviendo el sistema formado por ambas se obtienen los  puntos (3, 1) y (-1 / 3, -1/9), q ue son los únicos puntos rea les q ue satisfacen a la ecuación dada.

7. R esolver gráficamen te el sistema formado por las ecuacione s siguientes y comproba r el resu ltado por vía algebra ica.

 xy = 8  x  y + 2 = O

(1) (2)

Des pejando y en ( 1 ) se obtiene, y n- finito.

= -.

Para  x = O. y es i

x

Despejando x en (1) se obtiene, x = . Pa ra  y = O, x es infinito. Y  Por tanto,  y = O es una asíntota horizontal y  x = O una asíntota vertical.  X 

o

1 2

y 

00

8 4 8/3 2 ¡-8 "

3

-2 -4

-3

1 -4

-8131 -2

La ecuación (2) repre senta u na recta q ue corta a los ejes en l os  puntos (-2,0) y (O, 2). Gr áficamente se ded ucen las sol uciones (-4.-2) y (2, 4).

1 ECUACIONES Y LUGARES GEOMETRICOS

16

Solución alf{ebraica.

De (2), y

 x

-t 2.

Susliluyendo en ( 1). x( x -t 2) -:: 8, es decir, x2 + 2x - 8 = O. Descom poniendo en factores, (x + 4) ( x -2) - O. Por tant o,  x =o Como  y  x 1 2,  y -2  pa ra  x = -4 e  y = 4  para  x = 2.

-4 y  x

= 2.

8. Resol ver gráfica men te el sistema de ecuaciones siguien te y com  probar su solución  por vía a lgebraica . 4x 2 1 y 2 2 9x 2  y -

( 1)

100 - 108

=

(2)

Ambas curvas son si métricas con r especto a los ejes y al origen. ¡ v' 100 -4x 2 Luego  x Despejando y en ( 1 ) se obt iene, y no puede tomar valores mayores q ue 5 ni menores que -5. Des pejando  x en ( 1 ) se obt iene,  x = v 100 - y 2 . L uego  y no puede tomar valores mayores q ue 10 n i menores q ue 10.

o

X

•

.\'

 y

O ; :J 1

Ll Í

f-2

1 ±3 1

+4

-J: 5 -

o 1  _1 9.s + 9.2 +8 +6- o 1

1

Despejando  y en (2) se obtiene. y = ± 3 ,; x 2 - 12. Luego x no  puede tomar valores comprendidos en t re v l2 y  _,11 2 . Despejando  X en ( 2) se obtiene.  X  X 

-

 y

:l: v 2 1 o

- l5

1 :L6

-1-. 10,8

-

=

vy

2

+ 108. Luego  y  puede

tomar cualq uier valor.

-1:6 -

+ 14,7

Gráficamente se deducen las soluciones (4. +6). ( -4, ±6). Solución algebraica.

+ y 2 = 100 9x2 -y 2 = 108 4x 2

l3x2 = 208. x2 = 16. y  x = ± 4.  y 2 = 9x 2 108 = 144 - 108 = 36, e y = ±6. -

ECU AClON DE U N

LUG A R GEOM ETR ICO.

9. Hallar la ecuación de la recta q ue sea,

y que corte a l eje  x ci nco u nidade s a la izq uierda del origen.  paralela al eje  x y que corte al eje  y siete u nidades por encima del origen.

a)  paralela al eje  y b)

e)  paralela y a la derecha de la recta  x + 4 = O y q ue diste de ella 10 u nidades. d)  paralela y  por debajo de la recta  y = 2 y que d iste de ella 5 unidades. e)

/)

 paralela a la recta  y

+8 = O y

q ue d iste 6 u nidades del punto (2, 1).  perpendicular a la recta y - 2 = O y q ue d iste 4 u11idades del punto (-1, 7).

a)  x

= -5, es decir,  x + 5 = O. Esta es la ecuación de la recta que es paralela

situada 5 unidades a su izquierda.

= 7, es decir , y - 7 = O.

Esta es la ecuación situada 7 unidades  por encima del origen. b)

y

de

al eje y y q ue está

la recta que es paralela al eje  x

y

que está

ECUACIONES Y LUGARES GEOMETR ICOS

e)  x = -4 de la recia  x

17

+ 10. es deci r.  x = 6. Esta es la ecuación de la r ecta situada 10 unidades + 4 - O. Es pa ra lela a l eje  y y está situada 6 unidades a su derecha.

a la derecha

d)  y = 2 -5. es decir. y = -3. Esta es la ecuación de la recta situada 5 u n idades  por debajo de la recia  y -2 = O. Es pa ra lela al eje  x y está a 3 unidades  por debajo de él. Como la recia  y + 8 = O es paralela al eje x. las dos recta s ped idas ta mbié n lo ser án y estarán sit uadas 6 u n idades por debajo y  por enci ma. r espectivamen te. de la recta  y = 1 . Luego  y = 1 ± 6, es deci r. y - 7 e y - -5. e)

f) Como l a r ecia y -2 = O es paralela ,11 eje x , las d os r ectas ped i d as ta mbién lo ser án y estarán a 4 u n idades de la derecha o a la izq uierda de la r ecta  x = -1. Luego  x = -1 l. 4 . es decir • .\' = ] Y  X = -5. IO. Ha l lar la ecu ación de la recta q ue sea.

a)  pa r a l ela a l eje  x y q ue dist e 5 un idades del  pu n to (3. -4). h ) C' )

cq u id i:.ta n lc de l as recias  x

+ 5 = O y  x -2 = O,

q ue d itc t n.:s veces más de la recta  y Sea

( x. y)

u n pu n10 genérico de la recta ped ida.

-4 -¡. S. es decir. y -


y

h)

s -t \' 2-=-x

= O q ue de y + 2 =- O.

-9

 y + 2 9 -y 

1.

. o sea.  x 

..:.

1 e y - -9.

-5

+2

.l

3

- = -2, o bien. 2x

· Sim pl ificando. 4y - 3 = O y 2y

Pa ra la recia 4y -3

+ 3 - O.

+ 1 5 = O.

O. sit uada entre las dos dada s. la relaci ón es

. si1uada por dchajo de e l las. la r elación es -!

+:\. Para la recta 2y +

15

=

O

11. Halla r la ec uación del l uga r geomét rico de los pu n los eq uid ista n tes de A( -2. 3) y 8( 3. -1). PA

- PB. es tkci r. \1( x .1- 2)2

+ ( y -3)2

=

V  ( x - 3)2

+ ( y

+ 1 )2.

Eleva n do a l c uad rado y si m pl i ficand o se o b1icn e. IOx - 8y med iat riz del segme nt o q ue u ne los dos  pu ntos dados.

+3 -

O. Esta es la ecuación de la

12. Hallar l a ecuaci ón ck la rect a q ue pase.

 por el punt o ( -4. 5) y cuya pend iente sea 213.  b)  por los  puntos ( 3. -1} y (0. 6). a)

Sea ( x. yl u n pu n to genérico de la rccta  ped ida. La pend iente de la recta que Pª"ª  por los pun to!\ ( x 1• y ) y (x • y ) es Y -Y 1 1

a¡

2

2

 X2

La  pcndien lc d e la recta q ue pasa por los pun to s (-4. 5) y (.\ . 1·) e::.

- X1 2

.

3 5 Por tanlcJ.  } _ ·- -= - . S1111pl iflca ndo. 2.\ - .'11· + 23 . \ .. 4 ..

-e·

O.

h)

La  pend ie n te de la r<.:cta q uc pa!>a  por los punt os (J. -1 ) y r ecta q ue  pa sa  por los  pu nt os (0. 6) y ( x. y ).

Por tanto.

·

=  :_

. Sim pl ificando . 7x

+ 3y

-1

(0.

6) e::. ig ual a la  pend ient e de la

8 = O.

• ••

18

ECUACIONES

Y

LUGA RES GEOMET RICOS

13. Hallar la ecuación de la recta q ue  pase.  por el  punto (2. -1 ) y sea  perpendicular a la recta q ue u ne los pun tos (4. J) y (-2. 5). b)  por el punto (-4. 1) y sea  paralela a la recta q ue une los puntos (2, 3) y (-5, O).

a)

a) Si dos rectas son perpend iculares. la pend ie n te de una de ellas es igual al recí proco. con signo contrario, de la  pendiente de la otra.

Pendiente de la recta que  pasa por (4. 3) Y ( -2. 5) Pendiente de la recta ped ida

=

1 5 -3 = 3· 2

= _  _

recíproco con signo con t rario de

-

+

= 3.

Sea (x. y) un  punt o genér ico de la recta ped ida. La  pendiente de la recta q ue pasa por (x. y) 1 y (2, -1) es  _ Y + = 3. Si m plificando. 3x - y - 7 = O. x -2

h) Si las dos recta s son  para lelas, sus pend ientes son iguales.

Sea (x. y) un pu n to genérico de la r ecta  pedida .

Pendiente de la recta q ue  pasa por (2. 3) y ( -5. 0)

=

 pend iente de la recta q ue  pasa  por

(x. y)

y (-4. 1). 3 -0

Por tanto, 2

Simplifica ndo. 3x - 7y

+ 5 =- xY +-:.

+ 19 = O.

- 14. Hallar el l ugar geométrico de los  puntos P( x. y) cuya d istancia al punto fijo C(2. -1) sea igual a 5. Distancia  PC

+

= 5. es decir. v(x - 2¡i° +
Elevando al cuadrado y sim pl ificand o se obt iene la ecuación del l uga r  pedido.  x 2 2y = 20. Este l ugar es una ci rcunferencia de cent ro el  pu nto (2. -1 ) y de rad io 5.

+ y - 4 x 

 _ IS. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P( x. y) cuya suma de cuad rados de distancia s a los puntos fijos A(O,0) y 8(2. -4) sea igual a 20. (PA)2 + (P8)2 = 20. o  bien.  x 2

+ y + [(x -2)

Simpl ificando. x 2 + y2 - 2x + 4y

2

;.=

2

+ (y + 4)2 ] = 20.

O. Esta es la ecuación de u na ci rcunferencia de diámet ro A B.

'<. 16. Hallar la ecuación del l u ga r geométrico de los punt os cuya suma de d istancia s a los ejes coordenados sea igual al cuad rado de su s d istancia s a l origen .

Distancia de P( x .y) al eje y

+ dista ncia

al eJe  x

= cuad

rado de distancia al (0. 0).

Luego x + y = x 2 + y 2• o bien. x 2 + y 1  x - y = O. Esta es la ecuación de una cir cunferencia de centro y radio \ ' Í . -

17. Hallar la ecuación dd l uga r geomét rico de los  pu n tos f(x. y) cuya relación de d istancias a la recta  y -4 = O y al  pun to (3. 2) sea igual a 1 . Distancia de P( x .y) a y - 4 = O - 1 o sca Distancia de P( x. y) a (3. 2) · - · Elevando al cuadrado y simplificando. ( 4 - 3 = 0. Esta es la ecuación de una parábola .

4 - y 

-= l . - \l( x _ 3)Z +( y _ 2)2

- y ) 1

= ( x

- 3): + ( y - 2) 2

•

o  bien.  x 1 - 6x

+ 4y

ECUACIONES Y LUGARES GEOMETRICOS

19

Dados dos puntos P1(2, 4) y P2(5, -3). hallar la ecuación del l ugar geométrico de los  puntos P( x, y) de manera q ue la  pendiente de  PP 1 sea igua l a la pendiente de  PP 2 más la unidad.

+

Pendiente de  PP1 =  pendiente de PP2  Simpl ificando, x 2

1, o sea,  y  x

-

-

 y + 3  x - 5

1

+ ·

+ 3y - 1 6 = O. que es la ecuación de u na  pa rábola.

Hallar la ecuación del lugar geométrico de los  punto s P( x, y ) eq uidistantes del punto fijo F(3, 2) y del eje y.

·v'(X - 3)2 + (y - 2)2 = x, o sea. x 2 - 6x + 9 + y2 -4y + 4 = x 2 Sim plificando,  y 2 - 4y -6x + 1 3 = O, q ue es la ecuación de una  parábola. PF = x, es decir,

•

 _ 20. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos P( x. y) cuya diferencia de distancias a los  pun

tos fijos F1( 1 , 4) y F2( 1 . -4) sea igua l a 6. PF 1 - PF 2

= 6. es deci r.

V(x

-

1)2 + (y -4)2

-

v(x - 1)2 + (y + 4)2 = 6.

Pasando un rad ica l a l segundo miembro .

v'0- - 1)2 + (y -4)2 = 6 + \/(x - 1)2 + (y

+

Elevando al cuadrado. x 2 1 + y2 + 8y + 16. Simplificando, 4y

- 2x + 1 + y

+ 9 = -3\/ ( x

Elevando al cuadrado, 16y2 Simpl ificando. 9x2 -7y2

2

1

-1)

-

8y

+4)2.

+ 16 = 36 + 12 \l(x - 1)2 +(y + 4)2 + x - 2x 2

+ ( y + 4)2 •

+ 72y + 81 = 9x2 18x + 9 + 9y2 + 72y + 144. l 8x + 72 = O, ecuación de una h ipérbola . -

-

PROBLEM AS

PROPUESTOS

LUGAR GEOMETRICO DE UNA ECUACION. Trazar la gráfica de las ecuaciones 1 - 18. - l.

x2 + 2x

-y

+ 2) (x -3) (x  + 2xy -24)2 + (2x + y2 - 33)' = O

+3 =O

IO.  y

+ 36 = Ü 8x + 4y - 29 =- O

- 2. 4X -9y2

-- 3. x2 + y2 - 4. 2x2 + 3y2 - 18 = O 3x2 + 5y2 = O X 6. 4y2 -.r = o 'I 7. ( xy - 6)2 + (x2 + 3x y + y 2 + 5) 8. 8y -x3 = O 9.  y 2 =  x( x - 2) (x + 3)

= x(

x

2

1 11. 12.  x2   y

+ 4y -8 = O

+ 4xª -9y = O x2 + y + 4x - 6y + 17 = O

1 2 13.  x y

14.

2

+ y2 -2y"i + x2i -54 - t 7i = O 16. y( x + 2)(x -4) - 8 = O 17. x2 +  xy -2y 2 - 3x + 3y = O 18. (x2 y) -yi = (5 -2x) + 3( 1 -x) i

JS.

=O

2

2x2

--

Representar los siguientes pares de ecuaciones y ref!Olver gráficamente el sistema que forman . Comprobar algebraicamente los resultados. 19.  y = X 2•  X   -y -j- 2

= Ü.

Sol. (2, 4), (-1, 1 ).

ECUACIONES Y

20

20. 4y - x2 21.  x 2

+ y

2

=

O,  x2  y

LU(iA R ES UEOMETRICOS

+ 4y - 8 =- O.

20 = O.  y 2 -2x - 12

-

Sol. (2. :!- 4), (-4,

O.

 _. 22 .  y 2 -2x -5 - O. 3x 2 -2y2 - 1 - O.

23.  y 2 -4 x -9 = O.  x2 24.

2 · 2x2  y

6 - O.

+ 2y2

- O.

2 -4 - O.  x 2  y

-

25. 2x2 - 5xy

+ 2y -6

"

O,

26. .r 2 - y 2 + x - y -= O,  x 2 -

.\ 2 1  y 2 • 5 "'- O. ·hy- 3x

(2. 1 ). (-2, 1 ), las otras son i magina r ias.

Sol.

1 2).

Sol .

(2,7. 1 J.2). (-1.4, t- 1 ,5).

Sol .

( -2, 1 ). ( - 2, 1 ), (4,

.:':)ol.

1magina rias.

3).

-5),(0.

Sol. (2, l), (-2, -l),(1. 2),(-1 ,--2).

1 6y O.

Sol.

(3, -4), (-2/ J. -1 / 3), (3. J). (0, 0).

ECUACION DE UN LUGA R GEOMETRICO.

27. Hal lar la ecuación de la r ecta : a) Sit uad a 3 u n idad es a la derecha del eje  y .

Sol.  x -3 = O

 b) Sit uada 5 u nidade s  po r debajo del eje  x.

Sol.  y + 5 = O Sol. .r - 5 = O.  x

e)

Paralela al eje y y a 7 u n idades del punto (--2, 2).

e/ )

Sit uada 8 unidades a la izq uierda de la recta  x --2.

<')

Par alela a l eje  x y med iat ri z del segmento determinado por (2, 3) y (2, -7).

/)

Que diste 4 veces más de la r ecta  x

 j)

+ 1O ::- O

Sol.  y

+ 2 -=

J x 1-

1 1 - O,

Que pase por el  punto ( -2. -3) y sea  perpend icular a l a r ecta  x -3 = O.

h) Que eq uidiste de los ejes coordenados.

í)

Sol.  x

= J q ue de x = -2. Sol.

g)

+ 9 - O.

Sol.  y - x

Que pase por el  pun to (3, -1) y sea  pa ra lela a la recta  y

Que eq u id iste de las rectas y

- 7 = O e y

+

3 = O.

 x

+1

Sol.

= O,

 y

Sol .

2y

- O.

y +3=O

+ x = O.

Sol.  y +

+ 2 = O.

O

1 = O

-

5

=

O

 _ 28. H allar la ecuación del lugar geométrico de lo!; pu ntos P( x , y) cuya distanci a a l  pu nto lijo ( -2, 3) sea igual a 4. Sol. x 2 + y 2 + 4 x -6y -3 o= O. 29. Hallar la ecuación del l ugar geométr ico de los puntos P( x. y) q ue eq uid isten de los  pu ntos fijos ( -3, 1) y (7, 5). Sol. 5x + 2y - 1 6 = O. -30. H allar la ecuación del l ugar geométri co de los pun tos P( x, y) cuyas distancias al pu nto fijo (3, 2) sean Sol. 3x2 3y2 - 26x -1O y la mitad de sus distan ias al (-1, 3). 42 = O.

+

-

+

31. Hallar la ecu ación del l ugar geomét rico de los p u ntos P (x, y  ) q ue eq u id isten del p un to (2, 3) y de la recta  x + 2 = O. Sol .  y 2 -8x -6y + 9 = O.

32. H allar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (3, 5) y sea tange n te a la r ecta y -1 = O. Sol .  x 2 + y 2 -6x - IOy + 30 = O. 33. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos cuya suma de d istancias a los pun tos fijos (e, 0) y (-e, 0) sea igua l a 2a, (2a > 2c). Sol. (a2 -c2)x2
+

•

34. Hall ar la ecuación del luga r geométrico de los puntos P(x. y) cu ya suma de d istancias a los pu ntos fi jo s (2, 3) y (2, -3) sea igual a 8. Sol. l 6x2 + 7y2 -64x -48 = O.

ECUACIONES Y LUGA RES GEOMETRICOS

35. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los  puntos cuya d iferencia de d istancias a los fijos (3. 2) y (-5. 2) sea igual a 6. Sol . 7x2 -9y2 + 1 4x + 36y - 92 = O. 36. Ha l lar la ecuación del l uga r geomét rico de los pu ntos cuya distancia a la r ecta y + 4 = O sea igual a los do t er cio.; de su d istancia al punto (3. 2). S ol . 4x2 -5 y 2 -24x -88y -92 = O. 37. Hallar la ecuación del l ugar geométrico de los puntos cuya di tancia al punto fijo (-2. 2) sea tres veces su d istancia a la recta  x 4 = O. Sol . 8x2 -y2 - 76  x + 4y + 1 36 = O.

38. Hallar la ecuación
Sol .

x 2

+ y 

2

=

9.

39. H allar Ja ecuación de la mediatriz del segmento determi nado  por los punt os de coordenada s (-3. 2) y (5, -4). Sol . 4x - 3y = 7. 40. Hallar la ecuación del l ugar geomét r ico de los pun tos q ue
Sol.

x2

+ y

2

= 9.

41. Ha llar la ecuación de la ci rcunferencia de cen tro (2. J) y 4uc  pa se  por e l ru n t o (S. -1). Sol . x2 -l y2 -4x -6y - 12 - O. 42. Dados los punto s  A(O. -2). 8(0 . 4) y C(O. 0). hallar la ecuaci ón del l ugar geomét rico de los  punt os P( x. y) de manera q ue el  prod ucto de las pend ien tes de P A y PB sea igual a la pendie nte de PC. Sol. y2 - x y -2 y - 8 = O. 43. Hallar la ecuación del l ugar geométrico del punto med io de un egmen to de 1 2 u n idades de longitud cuyos ext remos se apoya n constantemen te en los ejes coordenados. Sol . x2 t  y 2 = 36. 44. Dados los puntos  A( -2, )) y 8(3. 1 ). hallar la ecuación del l ugar geomét rico de los  puntos P( x, y) de manera q ue la  pendiente de PA sea el r ecíproco. con signo con trario. de la pendiente de PB. Sol. x 2 -l y2 - x -4 y -3 = O.

\

CA PITU LO 3

La Jínea recta UNA LI N EA RECTA, analíticamente, es u na ecuación lineal o de pri mer grado en dos variables. Recíprocamen te, la representación gráfica del l ugar geométrico cuya ecuación sea de  primer  grado en dos variables es una recta. U na recta q ueda determinada completamen te si se conocen dos cond iciones,  por ejem  plo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendien te o coeficien te angular), etc.

FORMAS DE LA ECU ACION DE LA R ECTA : a)

PU NTO-PEN DIENTE. La ecuación de la recta que pasa por el punto  P 1(xi. y1) y cuya  pendiente sea m es  y - y 1 = m( x - x 1 ).

·  b)

PENDI ENTE-ORDEN ADA EN EL ORIGEN. La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje 'y'en el  punto (0, b) -siendo b la ordenada en el origen- es  y = mx + h.

e) CA RTESI A NA. La ecuación de la recta q ue pasa por los puntos P 1(x 1, y 1 ) y P2(x2, yJ es Y1-Y2 Y -Y1 -· ---- = d) R EDUCI DA O ABSCISA Y OR DEN A DA EN EL OR IGEN. La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados  x e  y en los pu ntos (a, O) -siendo a la abscisa en el origen- y (O, b) -siendo b la ordenada en el origen-, respectivamente , es  X

)' 

ª + -b = 1. e) GEN ERAL. Una ecuación lineal o de primer grado en las variables  x e  y es de la for ma  Ax + B y + C = O, en donde  A, B y C son constantes arbitrarias. La pendiente

de la recta escrita en esta forma es m = -

.f)  NOR M AL. U na recta también q ueda determinada si se conocen Ja longit ud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0.O) y el ángulo que dicha perpendicu la r forma con el eje  x. Sea  AB la recta y ON la perpend icular desde el ori gen O a  AB. La distancia  p (parámetro) de O a  AB se considera siempre posi tiva cualq uiern q ue sea la posición de  AB, es deci r, para todos los va lores del á ngulo ,,,que la per  pendicular forma con el semieje  x.  positivo desde O

a 36()0.

.

y su ordenada en el origen b = -

.

'{ 

A

-- .l......;'"""'"

 _,,,,_.x &

Sean (x•. y 1) las coordenada s del pu nto C. 1 . En estas condiciones,  x 1 =  p cos t •J  , y 1 = p sen "'• y pendiente de AB = - - . tg cos w = -cotg w = ----. sen w (1)

22

..

LA LI N EA R ECI /\

Ll a ma ndo ( x , y) ot ro  pun to cualq u iera de  AB. y - y 1 - -(;Otg w (x ,·1 ), o bien, cos cos m ).  p sen 111 = -  y - (x  p sen w Simpl ificando. x cos 1t 1 + y sen 1t 1 - p = O. q ue es la ecuación de la rect a e n forma nor mal. ( 1 / 

REDUCCION DE LA FOR M A G E N ER A L A  NO R M A L. Sea n  x -1 By -¡ C -= O y  x cos "> + y sen (() - p = o las ecuaciones de una m isma recta escri tas en sus formas ge neral y normal r espec tivamente ; los coeficien tes de a m bas ecuaciones han de ser iguales o proporcionales. Por tanto. -p cos 111 sen = C = k . siendo k la con st an te de propo r cion a l idad .  A -=

- 8

En estas cond iciones, cos ,,, = k A , sen «> = k B. - p = k C. El eva nd o a l cuad rado y su ma nd o las dos  primera s, cos2 m + sen 2 "> = k 2 ( A 2 + 82). o sea. J = k 2( A 2 + 8 2 ) , de donde k - ..

-

1

± Víf i + Bi " 

Teniendo en cuen ta este valor de k .  A

cos r11

=

B

-=· --

± v Ai + n2 ' sen ,,,

+ v Ai -  ffi  ,

Por con siguien te. la for ma normal de Ax

±V

 A  A t

+

8 2  X

+

B2

± V A

 p

=

C 

+

+  B y + C = O es

+

B'-  y 0

v A 2 + a2 .

C 

+ T V A -+ 8 2

2

=

en la q ue se debe consider ar el signo del r a d ical el opuesto al de C. Si C radical se considera rá igual al de B.

DISTANC I A DE U N PU NTO A U NA RECTA . Pa ra hall a r la distancia d de un pu nto (xi. y1) a una recta L, se tr aza la r ec ta L1 paralela a L y q ue pase  por (x1.J'1). La ecuación de L es  x cos "' + y sen ,,,- p = O, y la ecuación de L1 es  x cos ,,, + y sen "' -( p + d) = O. ya q ue am bas rectas son pa r alelas. Las coorden adas de (x1,y1) satisfacen la ecuación de L., x1 cos w + y 1 sen w -(p + d) = O. Despejand o la dista ncia d, d =  x 1 cos w + y 1 sen
o

= O, el

signo del

y

l \. t l...

En el caso de que {X¡, y 1 ) y el origen estén a dist i nto lado de la recta L, la dista ncia d es  'positiva ; si estuvier a n al mismo lado de  L , d ser ía nega t iya .

PROBLEMAS RESUELTOS Deducir la ecuación de la recta que  pasa  por el  pun to P1(x 1, y 1) y cuya pendiente, o coeficiente angu lar , sea m. (Ver figura.) Sea  P(  x , y) "otro  punto cualquiera de la recta . La  pendiente m de la r ecta que pasa  por los  puntos {x, y) y (x"11) es

.  y -y ¡ = ?r{x - x1). ,o bien, y -y1 m=  x - x ,

Deducir la ecuación de la recta de pendiente m que corte al eje y el punto (O, b).

\. i \

y 1 1

1

,y-y, 1

1

 _  G _  l _ _ _ _ _ ...J1

')(-X,

X

LA LI NEA RECTA

24

Sea P(x, y) otro punto cualq uiera de la recta.  y

-b

La pendien te /11 de la recta q ue pasa por (x, y) y (O, b) es m =  X -o-·Por tanto, y = mx + b. 3.

. (b) q ue pasa por (O, 5)

H allar la ecuación de la recta (a) que pasa por (-4, 3) y tenga de pendiente y tenga de pend iente -2, (e) que pasa por (2, 0) y tenga de pend ien te f· Sea P( x. y ) ot ro  punto genérico cualquiera de cada una de las rectas. A plicando la fórmula  y - y 1 = m(x - x 1 ). a)  y -3

=

(x

+ 4), es deci r, 2y -6 = x + 4, o  bien , x -2y + 10 = O.

b)  y -5 = -2( x -O), es decir, y - 5

= 2x,

o bien, 2x +y -5 = O.

Esta ecuación también se  puede obtener aplicando la fórmu la  y En esta forma, 't = -2x + 5 , es deci r , 2x +y -5 = O.

e )  y -O = i( x 4.

-2),

o sea, 4y

3x -4y -6 = O.

= 3x -6, o bien,

Ded ucir la ecuación de la recta q ue  pasa  por los puntos (x1, y1) y (x2, y2). Sea (x, y) otro  punto cualq uiera de la recta que pasa  por (x 1;y 1) y (x 2, y2). Pendiente de la recta que une (x, y) y (x1, y1) = pend iente de Ja recta que une (   xi. y1) y (x2, y 2  ).  y - y¡

Por tanto,

Yi

 X¡  X -

- 5.

= mx + b.

Y2

·

Hallar la ecuación de Ja recta que pasa por los puntos (-2, -3) y (4, 2). 3 3 2 A plicando  y -Yi = Yi =Y z , resulta  y + = , o sea. 5x -6y -8 2 4  X¡  X2  x + 2  X  X ¡

-=

-

= O.

-

6. Ded ucir la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son (a, 0) y (O, b). (a = a bscisa en el origen, b = ordenada en el origen.) Sustit uyendo en Y -Yi  x - x 1 Divid iendo bx

7.

 x 1 -x 2

O  __ b- , o sea, bx se tiene Y -O - _   x - a a -0

+ ay = ab  por ab se tiene

:

+

+ ay = ab.

= 1.

Ha llar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el or igen son 5 y -3, respectivamente. Aµl icando

8.

= l..:1 -.l.'.

+

=

l , se tiene la ecuación

+

Y  3

= I, o  bien , 3x -5y - 15 = O.

Halla r la  pend iente m y la ordenada en el origen b de la r ecta cuya ecuación.es  Ax + B y siendo A , 8 y C constantes ar  bitr arias.  A

C 

Despeja n do y, y = --¡¡  x -Ji· Comparando con y = mx

+ b,

m=-

Si B

= O se tiene  A x + C = O. o bien , x = - , recta pa ralela a l eje y.

Si  A

= O se tiene  B y + C = O, o bien,  y = -

, recta µaralela al eje x.

 A

B'

+ C = O, e

b = - -¡¡·

LA LI N EA R ECTA

25

Hallar la pendiente m y la ordenada en el· origen b de la recta 2y Escribiendo la ecuación en la forma y

= mx + b. y = -

+ '.•.\' = 7.

 x ..... }. Luego su  pend ien te es

-3/2 y su ordenada en el origen 7/2. Si se escribe en la forma  Ax + B y + C = O. es deci r. 3x 2y - 7 = º· la pend iente 7 3 -7 .  A C  = -- -m = - - = - -- y la ordenada en el origen h = 2 · 2 2  B  B

10. Demostrar q ue si las recta s  A x

+ B y + C = O y  A 'x

y qu e si son  perpendiculares.  A A' S1. son para 1e 1as, m

.

+ 88 ' = O.

+ B'y + (" - 0 son

para lelas.  A 1 A '

=

8 18 '.

 A'  A = ·/fB . . o  b'1en.  -Á. = m. . es d ec1r. .  AB = -8' -

d' I

S1 son  perpen 1cu ar es. m -=

-

. 1 , . es decir.

m

 A

B'

B

A

-=

11. Hallar la ecuación de la recta q ue pasa por el pu n t o ( 2. -3) tos (4, 1) y (-2. 2).

y

.

. . o b1er . A A '

+ 88' = O.

es  pa ra k la a la recta q ue u ne l os pu n

Las recta s  paralelas tienen la misma pend iente. Sea ( x. y) otro punto cualq uiera de l a recta q ue  pasa por (2. -3). Pend iente de la recta q ue pasa  por (x, y) y ( 2. -3) =  pend ien te de la recta q ue  pasa por (4. l)

y -2. 2).

y + 3

Por tanto,

1 -2

x -2

Si mplificando , x

4 .¡ 2 .

+ 6,r + 1 6 = O.

12. H allar la ecuación de la recta q ue  pasa por el  punto (-2. 3) y es  perpendicu lar a la recta 2x -3y

+ 6 = o. Si las rectas son perpendiculares. la pendien te de una de ellas es el recíproco con signo contrario de la  pendiente de la otra. - 3y

La pend ien te de 2x

es -

=

+ 6 = O,

'

q ue est á escrita en la fo1 ma general  Ax + By

, luego la pendien te de Ja r ecta ped ida es -·

+ C = O.

.

Sea (x, y) otro punto cualquier a de l a r ecta q ue pasa por (-2, 3) y t iene de pend ien te

3

Entonces,  y -3 = - -y( x

+ 2).

Simpl i ficando, 3x

-

+ 2 y -- O.

Hallar la ecuación de la mediatriz del segmen to determinad o  por los. ;>Unt os (7. 4) y (-1, -2). El punto medio (x 0  y0) del segmento tiene de coordenada s •

=

7 -1

Pendiente del segmento =

2

= 3,

4

+2 =

7+ 1

,  )o =

3

Y1 -;- Yz

2

-

4 -·2 2

J.

4 , l uego la  pend iente de la r ecta pedida es igual a - . 3

4

4

Sea (x. y) otro  punto cualq uiera de la recta que pasa por (3. 1) y t iene de  pendiente 4

Entonces,  y - 1 = - (x - 3). Simplificando, 4 x

3

+ 3y - 15 = O.

-

3.

.

r  -

LA LINEA R ECTA

26

14. Hallar la ecuación de la recta q ue  pasa  por (2, -3) y tenga una incl inación de Sea ( x, y) un plin to genérico de la re cta de pend iente m = tg 60º = v'3.

Entonces,  y

+ 3 = v' J(x -2).

Simpl ificando,

60º.

v'3x - y -3 -2v'3 = O.

15. Hallar el valor del parámetro k de form a q ue: a) 3kx 5y k -2 = O  pase por el punto (-1, 4).  b) 4x - ky -7 = O tenga de pend iente 3; e) k x  y = 3k -6 tenga de abscisa en el origen 5.

+ +

= -1. y

a)

Sustituyendo  x

 b)

Apl icando la forma Ax

e)

Para y = O,  x

=

=

+ 5(4) + k -2 = O,

+ B y + C = O, pend iente = -

O bien, red uciendo 4x -ky Por tanto,  pend iente

3k(-I )

= 4:

-7

; = 3, 3k 3k -6 

= O a la forma  y = mx = 4,

= 5.

k

k

2k

= 18,

=- \ =

+ b,

y

4

= k  x

k

= 9.

3, -

; k=

.

7

T·

= ;.

De aqu í resulta

3k -6

= 5k,

k

= -3.

16. Hallar las ecuaciones de las rectas de pendien te -3/4 q ue formen con los ejes coordenados u n trián

gulo de ár ea 24 unidades de superficie. Una r ecta de pendiente Para  x = O, y

=

b;  para  y

!

y ordenada en el origen b viene dada por y = -

!+  x

b.

= O,  x = J4 b.

;\ ' a·del triángulo = !(producto de los catetos) = !(b ··

 b)

=

bz = 24.

De aq ui se deduce que 2b2 = 3(24), b2 = 36, b = ± 6, y las ecuaciones pedidas son  y

= - :  x ± 6, es decir, 3x + 4y -24 = O

y 3x

+ 4 y + 24 = O.

17. Hallar el l ugar geométrico representado  por las ecuaciones siguientes: a)  x 2 8xy -9y2 = O;

+

+ 4 = Ü.

b)

 x3 - 4x 2

a)

Como la ecuación se descom pone en los factores ( x -y) (x + 9y) = O. el l ugar que representa son las dos rectas x - y = O, x + 9y = O.

b)

 X -

Descomponiendo en factores, (x - 1 ) (x2 -3x -4) = (x - 1 ) (x + 1) (x -4) = O. Por tan to, representa las tres rectas x - 1 = O,  x + 1 = O.  x -4 = O.

18. Hallar el lugar geométrico de los puntos (x, y) q ue d isten el doble de la recta recta  y = 8.

Distancia del  punto (x, y) a la recta  x = 5 es deci r,  x -5

= ±2[d istancia = ± 2( y -8).

 x

de (x, y ) a la recta y

=

=

5 q ue de la 8],

Por consiguien te, el l ugar geomét rico está const i t uid o  por el  par de rectas

 x

-2y

+ 11 = O

y

 x

+ 2y ·- 21 = O, o sea. (x -2y + 1 1 ) (x + 2y -21) = O.

LA Ll NEA RECTA

27

ECUACION NORMA L DE LA RECTA . 19. Traza r las r ectas  A B  para los valores de p y <11 q ue se i nd ican y escr ibi r sus ecuaci cnes r es pectivas. a)  p = 5, t 11 = n /6 = 30º. e)  p = 4, w = 4n/ 3 = 240°. d)  p = 5 , <•J = 7n/4 = 315º. h)  p = 6, = 2n/3 = 120º. (  } I 

y

y

y

B

(e)

(b)

(a)

(d)

t

a)  X cos 30º + y sen 30º -5 = O, es deci r , !vI\' + !Y - 5 = º· o  bien. v3x + y - 10 = o. .  b)  x cos 120° + y sen 120º -6 = O, es decir. -ix + v")y - 6 = O, o  bien,  x - v'3y + 12 = O e)  x cos 240° + y sen 240º -4 = O, es deci r. -!x -hl   Jy -4 = O, o bien , x + v'Jy + 8 = O. d)

 X

COS 315°

+ y Sen 315º -5 = 0, es decir, --

 y V2

-5

 X - -

v2

-5 y'f = 0 = 0, O bien , X  y -

lO. Red ucir a forma normal las ecuaciones siguientes y hallar-  p y w. u)

v3:\' + y -9

 bi 3x -4y -6

=

o.

C) d)

= O.

La forma normal de Ax

 X

+ y

+ 8 = 0. 12x - 5y = O.

+ By + C = O es '

v' A

±

 A

2

4 y - 7 = O.  X + 5 = 0.

e)

+8

2

/)  x +

8 r;o

+

 y

±V A + 8  2

= V3,  B = 1 , V A + 8 = vJ+I = 2. 2

v3

--x

2

2

1 9 - 2 = O, + 2Y

V3

y

cos r11 = - , sen

2

r 1J

1 = l ' 

9 =

± V  A + 8 V A' + 8 se 1

2

Como C l = -9) es negativo, con signo  positivo. La ecuación en forma normal es

a)  A

C

'

2

(1)

= O.

1

toma

= 30º.

Como sen <11 y cos ''' son ambos positivos. w está en el pri mer cuad rante.

t

b>  A = 3.

v

8 = -4,  A 1 + 9t. = v'9 + 16 = 5. La ecuación en forma normal es y cos tu -= 3

6

4 . sen ''' = -

-

.

 p = - . cu 5

--

5

5

306º 52'.

=

Corno cos t i> es  positivo y sen w es negati vo. w está en el cuarto cuad rant e. r)

 A

= 1, B = 1. v A + 8  = v2. Como 2

2

C (=

negativo. La ecuación en for ma normal es 1

- x

Vi

1 ---=.  y -4v' 2 = O

v2

'

+ 8)

es  positivo. el rad ical se toma con signo 1

Y COS fU = Sen W = -- -=•  p

v i

= 4yf,

( ') = 225º.

LA LINEA RECTA

28

Como cos

d)

+

c•i

sen

y

son n egat ivos.

A2

8 2 =

+

IJ X

Como cos

 A - O, 8

5

I  )' 3

es negat ivo

c1J

= 4.

 A 2

y

0. y

sen

111

 A

es  posi tivo,

12 •

13 111

sen

5

w

13

= O,

, p

q ue

= 1 57''23'·

11i

está en el segu ndo cuadran t e.

82 =- 4. La ecuación en forma normal es

1-

-

o

7

O, sen 11, -= 1.

cos oi

y

.

 p

=

4

= 90°.

· (lj

= 1 . 8 = O, v A 2  _, -8  = 1 . La ecuación en forma normal es 2

1

 X +

-1

21.

-

COS Cll

4 )' - 7- = o es
est á en et t ercer cuad ra n t e.

111

;f44T25 = 1 3. Como C = O. el rad ical se toma con el m ismo signo 8( - - 5). con lo cual, sen 1•1 será posi t ivo y 1•1 · 1 80 '. La ecuación en forma norma l es

 ,1

12

e)

11i

s _

= O, es deci r, -X

-

s = O, y

COS UI

= -1 . sen

(1)

= O,  p = 5,

(1)

= 1 80".

1

H a llar las ecuaciones de las r ectas que  pasan por el pu nto (4, -2) y d istan 2 u n idades del origen. La ecuación de las r ectas q ue pasan  por el  punt o (4, -2) es  y + 2 = m( x -4), o bien, mx - y -( 4m + 2) = O. mx -y -(4m + 2) La for ma normal de mx - y -(4111 1 2) = O es = O. 2 -!- l m + 1 Luego, p

=

4m 1-

± vm

2

2

+t

== 2, o bien, ( 4m

Las ecuaciones ped idas son  y + 2 = O. e y 22.

+ 2)2 = 4(111 + 1 ). R esolviendo, m = O, 2

+2 = -

( x -4),

o bien. 4 x

-

4

-.

3

+ 3y - 10 = O.

+ l 5y - 24 = O al punto (-2, -3).  b) la recta 6x -8y + 5 = O a l  pun t o (--1, 7). .. O forma norma1 de 1a ecuac 8x + I Sy - 24 es = - - = O, o  bº en, Bx + I Sy -24 = .

Halla r la distancia d desde a) la recta 8x a)

La

1on

8(-2)

+ 1 5(-3) -24

d :.::

17

=

+

vs

2

+ (1s>

2

1

= -5. Como el e nega t ivo. el punt o (-2. -3) y el ori-

-85

17

gen está n al mismo lad o de la recta. ., 6x -8y + S  b. r  b) La 1orrna norma 1 de 1 a ecuac1on es -....,=---=---=- - = 0 . o 1en, -

d =

6(-1 ) -8(7) -1 0

+5

-57 -10

=

1 7

62 + (-8)2

6x -8y + 5 -1 0

5,7. Como d es po it i vo, el punto

(-1. 7)

a dist into lado de la r ecta.

23. H allar las ecuaciones de las  bisect rices de los ángulos formados por las rectas ( L 1 ) Jx + 4 y + 8 = O (L2) 5x + 12y - 1 5 = O. y 1 1

1,

:

l.

'

O

= . y el origen están

LA LI NEA R ECTA

Sea P ' (x', y') u n punt o genérico de la bisectri z L3 Tend r emos. 11

 _ 3x' -4 y '

+8

-S

-

d  _ 5x' .

2

+ l2 y'

-

13

29

•

y - 15

l

.

P''(x",y ) •

Pa ra todo  pu n to de L3 se veri fica q ue d 1 y d2 son igua les en valor a bso l uto. Los pu ntos P' y el origen están al mismo lado de L,  pero a disti nto lado de L2• Luego d1 es nega t ivo y d 2  positivo, y d 1 = -d2 .  A si.  pues . el lugar 

I I \

-

4 y' + 8 -5

5x'

'

'

I

d4/

I

 /

geométrico de  P' viene defin id o

3x' 

' 

\

,d'3

'

\

I

'

15

+ l2y' 1 3 -

---- = -- -

Sim pl ificando y supri miendo las pr imas, la ecua ción de L3 es 14x - l 1 2y + 1 79 = O. An álogamente, sea  P " ( x ", y") u11  punt o ge nérico de la  bisectr iz L4 • Como P " y el origen están a d ist into lado de L1 y L2 , las d istancias d3 y d 4 son  posi tivas y d3 = d 4 • 3 " -4 " + 8 5x" = Por ta nto, el lugar de P " es  x -

X

+ 1 2 y"

- 15

13 Sim plifi cando y supr i miendo las  primas. la ecuación de L4 es 64x + 8y + 29 = O. Obsérvese q ue L3 y L4 son r ectas perpend icular es y que l a  ·pendiente de una de ellas es el recí  proco con signo cont ra rio de la pend ien te de la otra .

24. Ha lla r las ecuaciones de las  para lelas a la recia l 2x -5y - 1 5 = O q ue dis1en d e ella 4 unidades. Sea P '(x'. y') un  pun10 genérico cualq uiera de la r ecta  ped ida . Entonces, Sim plificando

y

25. H alla r el va lor de a 5 u n idad es.

.11·

8( 2)

d -- -

13

=

"

±4 .

supri miendo las  pri mas. las ecuaciones pedidas son 12.r - 5y - 67 = O y 1 2.,·- 5y + 37 = O.

k  pa ra q ue la d ist a ncia d de la r ecta 8x

1 5( J) 1 -

k 

17

R esolviendo. k

·l 5.

26. Halla r el  punto de i nlersección de las  bisect rices de los á ngulos interiores del t riángulo de lados (L. 1) 7x - y 1 1 - O, ( L 2 ) .  y - l S - O, ( l3) h + 1 7y + 65 - o. El pu n to de in t er sección ( h. k ) es el cen t ro de la ci rcu nferen cia in scri ta a l t riú ngu lo. Por tan to. la d i!.t a ncia 7h -k ¡ 1 1 de ( h. k ) a  L , es d 1 • -\150

+ k - 15

v'2 7h

de (h. k ) a  L 3 es d 3

12x'-5y' -1 5

=

1

l 7k

+ 65

-v'338

+ l 5y + k = O a l

pun to (2, 3) sea igual

-1 46. 24.

y

X

LA LI NEA RECTA

30

Estas distancia s son todas negativas ya que el punto y el origen están al mismo lado de cada recta. Luego d1 = d 2 = d 3• 7h -k + 1 1 h k -15 Simpl ificando. 3'7 + k = 16. Como d1 = d 2 , v2 -sv2 7h + 17k + 65 711 -k + l l Simplificando, 4h -7k = 13.

+

-sv2

-13y2

Resolviendo el sistema formado por 3h + k = 16 y 4'7 -7k

=

13 se obtiene, h

27. Dado el triángulo de vértices A(-2, 1),  B(5 , 4), C(2, -3), hallar la longitud de la altura correspondiente al vértice  A y el área del mismo. Ecuación de BC:

Distancia de BC a A =

7

y

k = l.

B

i

, o bien, 7x -3y -23 = 0.

=

:

= 5,

<-

2

-23 =

49 + 9

40

-

 A .

X

v5s

Longitud de BC = V(5 -2)2 + (4 + 3)2 = v58. Area del triángulo = l (V58 ·

8

e

) = 20 unidades de super-

ficie.

HAZ DE R ECTAS. 28. Hallar la ecuación del haz de rectas a) b)

e) d) e) f) g)

a) b)

e)

d) e)

 f )

de pendien te -4, q ue pasa por el punto (4, 1), de ordenada en el origen 7, de a bscisa en el origen 5, cuya suma de coordenadas en el origen sea 8, cuya ordenada en el origen sea el doble que la abscisa en el origen, q ue u na de las coordenadas en el origen sea el doble de la ot ra. Llamemos k , en cada caso, la constante arbitraria o parámetro del haz. Sea k = ordenada en el origen del haz de rectas cuya pend iente es -4. De la expresión y = mx + b se obtiene la ecuación ped ida. y = -4 x + k , o bien , 4x + y -k =O. Sea k =  pendiente del haz de recta s que pasa  por el punto (4, 1). Sustituyendo en y -Yi. = m(x  x 1 ), la ecuación ped ida es  y - 1 = k(x -4), o bien, kx  y + 1 -4k = O. Sea k = pendient e del haz de rectas cuya ordenada en el or igen es 7. mx + b se obtiene Ja ecuación,  y = k x + 7, o bien , k x - y + 7 = O. De y Sea k =  pendiente del haz de rectas cuya abscisa en el origen es 5. De y - y 1 = m(x - x 1) se obtiene la ecuación, y -O = k( x -.5). o bien , kx - y - 5k = O. Sea k = abscisa en el origen del haz de rectas. Entonces. (8 - k) = ordenada en el origen de dicho haz.  X  y  X  y . . Oe -¡¡ + ¡;· = l se obtiene la ecuación, k +  _ k = 1 , o bien. (8 -k )x + k y -8k + k Z = O. 8

Sea k

= ordenada en el origen . Entonces, !k = abscisa en el origen .

De ; + -'b-

= 1 se obtiene la ecuación ,

+

f = 1 . o bien, 2x + y

-k

= O.

1

LA LINEA R ECTA

31

. ordenada en el or igen Pendiente de u na recta =- -  b . . . Cua nd o la abscisa en el origen sea igual a sc1sa en e1 origen a (± ) e l doble de la ordenada en el origen, la pend iente es =f L cuando J a ordenada en el or igen sea num érica men te igua l al doble de abscisa en el or igen , la pend iente de la r ecta es =f 2. Sea k = orde nada en el origen. De y = mx + b, las ecuacione s del haz de r ectas  pedid o son y = ± !x + k  g)

e y = ± 2x

+k.

29. Halla r la ecuación de la recta q ue  pasa por el punto (-2. -4) y cu yas coordenadas en el origen su man 3. La ecuaci ón de l haz de rectas q ue  pasa por el pun t o (-2, -4) es y + 4 = m( x + 2).

Para  x = O, y = 2111 -4 ; para y

42m = O, x = m

•

La su ma de las coordenada s en el origen es 3. Luego, 2m -4

+

4 -2m 111

.

3

Simpl ificand o. 2m 2 -9111 + 4 = O. Resolviendo , (2m - 1) (m -4) = O, m =

=

t. 4.

Sustituyendo estos valores de m en  y + 4 = m(x + 2), las ecuaciones  pedidas son,  y Hx + 2) e  y t 4 = 4(x + 2), o sea,  x -2y -6 = O y 4 x - y + 4 = O.

30. Ha llar la ecuación de la r ecta que  pasa por el pun to de i nter sección de las recta s y 4 x + 3y - 7 - O y  por el  punto (2, 1 ). 3x -2y ; 10 + k(4  x + 3y -7) de intersección de las dos dadas.

3x -2y

+ 3 . 1 -7)

o. Despejando k de esta ecuación result a k = -7/2. La r ecta ped ida es + JO-

(4x

2x -5.r

+ y - 1 = O q ue  pase  por el  punto de inter 

O es -4. Luego l a  pendien te de Ja recta pedida es . pasa  por el pun to de in ter sección de 2x -5y 3 :-: O

+ y - 1 =

La ecuaci ón del ha z de rectas que

y  x -3y - 7 = O es

+

+ 3 + k( x - 3 y - 7) = O. o bien , (2 + k )x

La  pendien te de cada una de las recta s del haz es 2 +k

+ 10 + k(4 ·2

+ 3y - 7) = O, o  bien , 22x + 25y - 69 = O.

31. Halla r la ecuación de la  perpendicu lar a la recta 4x sección de 2.r -5y + 3 = O y  x -3y -.7 = O. La  pend ien te d e la r ecta 4 x

+ JO = O

= O es la ecuación del haz de rectas q ue  pa san por el punto

Como la recta pedida ha de  pasar también por el punt o (2, 1), 3 ·2 -2 · 1

 Jx - 2y

:

-(5 :y

3

+ 3k ) y + (3 -7k) = O.

(1)

la pend i ente de la recta pedida es f.

Por tan to, 5 + Jk = 4. de donde, k = -3. Sust i t u yendo est e valor de k = -3 en ( 1 ) resulta la ecuación  pedida.  x -4 y -24 = O. 1

PROBLEMAS PROPUESTOS l.

+4

Hallar las ecuaciones de las recta s q ue sat isfacen las condiciones siguien tes: a) Pasa  por (0. 2).  /11 = 3. Sol. y - 3x -2 = O.  b) Pa sa  por (0. -3). m = -2. S ol.  y + 2x + 3 = O. e) Pasa por (0. 4),  /11 = 1/ 3. Sol.  x -3y + 1 2 = O. d) Pasa por (0. -1 ), 111 = O. Sol .  y + 1 = O. e) Pasa por (0. 3), m = -4/3. Sol. 4x + 3y -9 = O.

32

LA LINEA RECTA

2. H alla r la ecuación de las r ectas q ue pasan por los puntos : Sol. 5x -2 y - 1 6 = O. a) ( 2, -3) y (4, 2).  b) (-4. 1) y (3, -5). Sol. 6x + 7y + 17 = O. Sol. 4x + 7y - 28 = O. e) (7, 0) y (O, 4). d) (O, O) y (5, -3). Sol . 3x + 5y = O. e) (5, -3) y (5, 2). Sol.  x - 5 = O. f)

(-5, 2) y

•

Sol.  y -2 = O.

(3, 2).

3. En el triángulo de vértices  A( -5, 6), 8(-1, -4) y C(3, 2), hallar, a) las ecuaciones de su s med ianas,  y + 9 = O. Sol. 7x + 6y - 1 = O, .  x + 1 = O.  x -6  b) el punto de inter sección de las mismas. Sol . (-1, 4/ 3). 4. . a) Hal lar las ecuaciones de las alturas del t riángulo del Problema 3.

Sol. 2x  b) 5. a) b)

+ 3y -8 = O,

2x  y -2 = O,

+ 4 = O.

2x -5y

Sol . ( :,

Ha llar el punto de i nter sección de d ichas al turas.

)·

Hallar las ecuaciones de las mediat rices del triángu lo del Problema 3. Sol. 2x -5y + 1 1 = O, 2x -y + 6 """" O, 2x + 3y + 1 = O. H a llar el  pu nto de int ersección de d ichas mediatrices. Sol. (-19/ 8, 5/4). Este es el centro de Ja ci rcunferencia cir cu nscri ta al triángulo.

,. '·

6. Demostrar que los  puntos de in ter sección de las med ia nas, de las alturas y de las med iatriccs de los lados del triángu lo del Problema 3, están en l ínea r ecta. Sol. 2x - 33y + 46 = O. 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa  por el  pu nto (2, 3) y cuya a bscisa en el origen es el doble Sol .  x + 2y -8 = O. que la ordenada en el origen. 8. Hallar el valor del  parametro  K en la ecuación 2x + 3y +  K = O de forma q ue d icha recta forme Sol .  K = -+- 1 8. con los ejes coor denados un triángulo de área 27 un idades de su perficie. 9. Hallar el valor del  parámetro K  para q ue la recta de ecuación 2x Sol . K = l 7/ 12. (-2, 4).

+ 3 Ky - 13

- O  pas<: por el  punto

10. Hallar el valor de K  para q ue la recta de ecuación 3x -Ky - 8 = O forme un ángulo de 45' con Sol. K = 7 -9/ 7. la recta 2x + 5y - 17 = O.

11. H allar un pu nto de la recta 3x + y (-2,2).

Sol.

+ 4 = O que equ idista de

los puntos ( -5. 6) y (3, 2).

12. Hallar las ecuaciones de las rectas q ue  pasan  por el  punto ( 1 , --6) y cu yo prod ucto de coordena
14. H a lla r la ecuación de la perpend icu la r a la recta Sol. 7x - 2y + 16 = O. 3x -2y + 8 = O. 15. Traza r las rect as siguien tes  pa ra los valores de a)  p

=

6.

(l.)

=

30º.

 p = ,12, (1¡ = :-r:í 4. (')  p = 3, (1) = 27t/ 3. d)  p = 4, W = 7n/4. e)  p = 3, 1r1 = Oº. /)  p = 4, (1/ = 3.1/2.. b)

+ 7y - 3 = O en

2 x

!' y

r1)

su  pun to de intersección con

q ue se i nd ica n, escribiendo sus ecuaciones.

Sol. v'3x + y - 1 2 = O. Sol.  X  y -2 = Ü.  )y + 6 = O. Sol.  X  ,! Sol.  X ·- y -4 ·\/l = Ü.

+

-

Sol.

+ 4y 

x -3 =

Sol.  y

O.

+ 4 = o.

·

LA LIN EA R ECTA

33

Escribir las ecuaciones de las rectas siguien tes en forma normal. H allar  p y 111.  X 3 6 3\l' fü  y  p = = O, . I   y o) x 3 + 6 ,_.., O So . -+11Ó 10 5· -

vio ' \

2 b) 2x + 3y - 10 = 0. e)

d)

e)

 Jx + 4y

5x

 X

-5

= O.

+ 1 2y = O.

+ )'

- \12

0.

Sol.

3

 x + - ,

-

13

3

--

10\/13

13 = O,  p =

13

<1J •

=

56º 19'.

4

Sol.

5 x

Sol.

l5

Sol.

13

10  y

"' = 108 26'.

+

+ T12I  y

 x

..!=.

..;2

5y -1

+

Y   _

v12

=

0.  p = l . <11 = 53'' 8'.

= O,

= O,  p

-1

= O,

 p

11 1

= l.

= 67eo 23'. 10

= n } 4.

17. Halla r las ecuacion es y el  pu n to de in tersección de las  bisectrices de los ángu los i nteriore s del t rián g1..lo formada  por las rectas 4x -3y -65 = O, 7x -24y + 55 = O y 3x + 4y -5 = O. Sol . 9x - 1 3y -90 = 0, 2x + l l y -20 = 0. 7x + y -70 = 0. Punto ( I0.0). 18.

Hallar las ecuaciones y el  pu nto de i ntersección de la s bi sectrices de los ángulos interiore s del trián gulo cuyos lado son la r ectas 7x + 6y - 1 1 = O. 9x -2y + 7 = O y 6x -1y - 16 = O. Sol .  x + IJy + 5 -=- O. 5x - 3y - 3 = O. 4x + y - 1 = O. Pu nto (6/ 1 7, -7/ 1 7).

19.

H allar

las ecuaci one s y el  p u nto de i nter sección de las bi sectrice s de los ángulos i nteriores del trián gul o cuyos lados son la s rectas  y = O. 3x -4 y = O y 4x + 3y -50 = O.  y - 50 = O. Pu n to (15/2, 5/2). Sol . x -3y = O, 2x -¡ 4 y - 25 = O, 7x -

20. H a lla r el  pu nto de i ntersección de las bisect rices de los ángulos i ntPriores del t riángulo de vértices Sol . (1 7¡7, 24/7). (-l , 3), (3, 6) y (3 1/ 5.0). 21 .

Hallar las coordenadas del cent ro y el rad io de la ci rcu nferencia in scri ta en el triángulo cuyos lados son la s rectas l 5x -8y + 25 = O, 3x -4 y - 1 Q = O y 5x + l 2y -30 = O. Sol. (4/7. l /4). Radio = 1 3(7.

22. H a llar el va lor de K de forma que la d istancia de la recta y Sol.  K = -8/ 1 5.

+ 5 = K( x - 3) al or igen sea 3.

23. Hallar el l ugar geométrico de los  p u ntos que d istan de la r ecta 5x + l2y -20 = O tres veces más q ue de la recta 4 x -3 y + 12 = O. Sol . 1 81 x - 57 y + 368 = O, 131 x - 177 y + 568 = O.

l.

24 . H a l lar el l uga r geomét rico de los  pu ntos cuyo cuad rad o de su d ista ncia a l (3. -2) sea igua l a su d is

tancia a la r ecta 5x - l2 y - 1 3 = O. Sol . 13x 2 + l 3y2 - 73x ¡. 40y + 1 56

25. Hallar dos pu n tos de la recta 5x - 12y 5 ) ( 12 1 5 ) Sol . 33 , J44 ' -- 7 ' 28 . ( 7

=

O. l3x 2

+ l 3y2

-

83x

+ 64y + 182 = O.

+ 15 = O cuya d ista n cia a 3x + 4 y - 12 = O sea 3.

26. Ha lla r las ecuaciones de las pa ra lelas a la recta 8x - 1 5y ..¡ J4 - O q u e distan 3 un idades del punto S o l . 8.\·- 1 5y + 1 1 2 - O, 8x - 1 5y + 10 "'"' O. (-2, 3). 27. Hallar el lugar geométrico de los pu ntos que eq uidistan de la recta 3x -4  y -2

(-- 1, 2).

\

 Sol.

16   x 1 + 24 xy

+ 9y + 62x -l l6y + 121 = O. 2

= O y del punto

34

28.

LA LI N EA RECTA

Hallar el área y la longitud de la altura trazada desde  A al lado BC de los triángulos cuyos vértices son : 1 1 vi0 Sol. Att ura = a)  A( -3, 3). 8( 5. 5). C(2, -4). área = 33 u nidade s de superficie. -,

5

b) A(5, 6), B( l , -4). C(-4.0).

Sol .

Altura =

e)  A(- 1, 4), B(I , -4), C(5 , 4).

Sol .

área

66v41

= 33 unidades de superficie.

, --

41 Altura = 12vs

área = 24 unidades de superficie.

-

5

d) A(O, 4), B(5, 1), C( 1 , -3).

Sol .

Altura

=

4v2.

'

área

=

16 unidade s de superficie.

19. Hallar el va lor de K en las ecuaciones de las rectas siguientes de forma q ue se verifique la condición

que se indica. Sol. K = -1. a) (2 + K )x -(3 -K )y + 4K + 14 = O,  pase por el punto (2. 3). Sol. K = 7/2. b) Kx + (3 -K )y + 7 = O, la pendiente de la r ecta sea 7. e) 5x -1 2 y + 3 + K .,; O, la distancia de esta r ecta al  punto ( -3, 2) sea, en valor absoluto, igual a 4. Sol . K = -16. K = 88.

30. Hallar la ecuación de la r ecta que  pa sa  por el punto de inter sección de las r ectas 3x -5 y y 4 x + ?y -28 = O y cumple la condición siguiente : Sol. 13x -8y - 1 = O. a) Pasa por el punto (-3, -5). b) Pasa por el  punto (4, 2). Sol. 38x + 87y -326 = O.

e) d)

e) 31.

+9 = O

Es paralela a la recta 2x + 3y - 5 = O. Sol . 82x + 123y -514 = O. Es perpendicular a la r ecta 4x +5y -20 = O. Sol. 205x - 164y + 95 = O. Iguales coor denadas en el orígen. Sol . 41x + 41y - 197 = O. 120x -77y = O.

Hallar la ecuación de la recta que pasa  por el  punto de inter sección de las rectas  x -3y y 2x + 5y -9 = o y cuya distancia al origen es (a) 2, (b) v5.

Sol. (a)  x -2 = 0. 3x + 4 y - 10 = 0: (b) 2x +y

( 

-5

= 0.

+1 =O

on:

CAPITU LO 4

·ie.

La circunferencia UNA CIR CU N FERENCI A, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos varia  bles. · Ahora  bien, no toda ecuación de este ti po representa siempr e una cir cunf er encia ; solo en determinadas cond iciones es cierto. U na circ u nferencia queda com pletamente determinada si se conocen su centro y su radio. LA ECU ACION DE LA CI R CU N FER ENCI A de cen tro (h, k) y radio r e s (x -h) 2

.+ (;i - k )2 = ;2. '

Si el centro es el or igen de coordenadas, la ecuación toma la forma  xi + y 2 = rt. Toda circunf erencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo  x 2

+ y + Dx + Ey + F = O. 2

Si escribimos esta ecuación en la forma ·  x 2 + Dx

+ y' + E  y + F = O

y sumamos y restamos los términos q ue se ind ican para completa r cuadrados, se tiene,  D 2  E2 D2 E'   xi

+ Dx + 4 + y2 + E  y + 4 = 4 + 4  D +  E2 -4F   X +  D )2 + ( y + E2 )'

-F 

2

o bien

l

(

=- -4 -

E)

.

y el radio r = v D2 + E' - 4F . El cen.tro es el punto (- D ,-T 2 Si D' + E2 -4F > O, la cir cunfer encia es real. Si  D' + E 2 -4F < O, la circunferencia es imaginaria. Si D1 + E2 -4F = O, el radio es cero y la ecuación representa al punto

(-

,-

).

PROBLEMAS RESUELTOS Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (--2, 3) y r adio 4. •

(x /,. '

+ 2)

.

1

+ (y -3)2

.

=

16, o  bien,  x' + yt

.

+ 4 x - 6y =J.

Hallar las coor denadas del centr o y el radio de la circunfer encia  x2 + y2 -3x + 5y - 14 = O

a) sumando y restando los términos adecuados  para completar cuad rados,  b) aplicando la fórmula general. • - 9 · 3 a) . xi - 3x + + y2 + 5y + 25 = 14 + 9 + 25 .o sea, ( -,2 + Y + T5 )'= 90 ·  x 4 4 4 4

)t (

Luego el cntro es el  punto

,.  D

3

h = - 2 = 2' k

T3 ' - 5 ) y el radio r = 3v.'IO ( 2

 E =-2

5

= -T' y r =!V D + P -4F = lv9 + 25 + 56 = 2

35

3v'i0 2 -.

36

3.

LA CI RCUN FE REN CI A

Halla r el valor de k  para q ue la ecuación  x2 de rad io 7.

+ y2 -8x

Como r =  ,11)2+ P - 4F. r esu lt a 7 viendo, k = -8. 4.

1

v64

+-

IOy

k """ O r epr esente una ci rcunferenc ia

+ 100 -41. Ekvando al cuad rado y resol

H a lla r la ecuaci ón de la cir cunfe rencia d e cent ro ( 5, -2) y q ue pase  por el  punto (-1. 5). 1

El radio de la ci rcunfer e ncia es r ,(5 Luego (x -5)2 + (y

+

1 )2

+ C -2 -5) -= 2

+ )2 := 85, o bien , x2 t

y2

-

IOx

v36

+49 = ,185.

'

+ 4 y = 56.

5. H alla r la ecu ación ele la cir cu nferenc ia de man era q ue u no de su s d iámetros sea el segmento que une los  puntos (5.-1) y (-3. 7).

5 -- 3 = 1, -1 + 7 Las coordenadas del cent ro son h --. k --------------------3 2 . 2 El radio es r =- ,1(5 - 1)2 + (-1 -3)2 Luego ( x - 1 )2

6.

t (y - 3)2

32. o bien . x2

2x - 6y

22.

Hallar la ecuación de la circunferencia q ue pa se  por el punto (0, 0), tenga de rad io r ·-. 1 3 y la a bsci sa de u cent ro <;ca -12. Como 13 ci rcu nferenc ia  pasa por el origen. ¡,2

+ k 2 = r 

2

,

o

144

Resolviend o: k2 - 1 69 - 144

Luego, y

y 1.

¡  y 2

i

1 69

k 2

- 25.

k -

•- 5.

+ 12)2 + (y -5)2 = 169 ( x -1 12)2 + ( y + 5)2 - 169. (x

+y2 + 24x - I Oy O x2 + y + 2 4 x + 1Oy = O.

Desarrollando, x2

2

H allar la ecuaci ón de la circunfcn:ncia q ue  pa sa  por los puntos

(5, 3), (6, 2) y (3, -1).

Cada u na de las ex pr esiones (.\" _ /¡)2 + (y _ k )Z

o  bien ,

x2 -i y 2

+ Dx t

=

r2

Ey t F = O

º'

cont iene tres constantes indetem1i na
25 + 9 + 5 D ,  J E ,  F 36 + 4 -L 6D r 2E  F 9 + 1 + 3D -  E +  F

O. O.

•

=

O.

Resolviendo el sistema se obtiene, D - -8. E =-- -2 y F = 1 2. Sust it u yendo estos valores de D, E y F , resul ta la ecuación de la circunferencia x2 + y2 - 8x -2y

r ·1 2

- O.

ci

.$ ;a: A i! 0 1 Nf  

LA CIRCUNFERENCI A

37

8. Hallar la ecuación de la ci rcun.ferencia q ue  pasa por Jos puntos (2, 3) y (-1, I) y cuyo cen t ro está sit uado en la recta  x -3y - 1 1 = 0. Sean (h. k) las coordenadas del centro de la ci rcunferen cia. Como (h. k) debe eq uidista r de los puntos (2. 3) y (-1 . 1 ). \ (11 - 2)2

+ (k -3)2 =

+ )2 ..L (k - 1)2. simpl ifica ndo. 6'1 + 4k \! ( /,

Elevando a l cuad rado y Como el centro d ebe esta r so bre l a recta x -3y se t iene. h -3k =- 1 1.

-

- 1 1:

11 = O

Des peja ndo l os va lores de h y k de estas ecuacione!> se 7

ded uce. h - 2 . Por t a n to, r =

k

= - 52 .

V ( ;-1-;y

1 (-

-. 1

L a ecuac1.o.n pe d.1d a es ( x - 7 )2 + ( y

+

2

r  =

v'fo.

5 )2 = 130-. o  b.1en.  x 2 f-  y2 4 2

-

7x

+ 5y - 14 = O.

9. Hallar la ecuación de la cin:u nferencia inscri ta en e l t riángulo cuyos lados son la s rectas  L 1 : 2.\'.. - 3y + 21 - O.  L 2 : 3x -2y - 6 = O. L3 : 2x + 3y + 9 = O.

----

Como el cent ro de la circu nferencia es el  punto de in ter sección de las  bi sectrices de los ángu los interiores del triángulo será necesa rio ha lla r.  previamen te. las ecuaciones de d ichas  bi

 _ 7.h

=  _! 21 3k 

.  _ 311 -2k

-6

 bien, h _ k

+ = O.

.

sectrices. Sea n (h. k) la!> coordenadas del cent ro. Pa r a determ ina r  la  bisectriz ( 1 } ( ver Fig ura) :

'1

-,, , J

\/ 13

Pa ra la  biscct ri L (2) :  _ 2!!. -+: Jk ·+.2_ =- 2 ' - Jk  _ ,11 3

X

3

0

+ 21 , o bien, 6k - 1 2 = O.

-v lJ

Luego. k = 2. 11 - -1. y ,. _

2

< -!1_ +

Sustituyendo en ( x -h) + (y -k )

v'I J

2

21 1- 9

13 =- _, ,11 3

v'T3.

= r 2 ,(x 1 1 )2 + (y -2)2 = 13. o sea. x 2 .¡  y 2 + 2x -4y=8. 1

IO. H allar la ecuación de la ci rcunferencia ci rcun!>crita al t riá ngu lo  x + y cuyos lados son las r ectas 8, 2x

+ y "- 14.

3x + y = 22. R esolv iendo esta s ecuaciones tomadas dos a dos, se obtie nen las coor denadas de los vér t ices (6, 2), (7, 1) y (8. -2) . Sustit uyendo estas coordenadas en la ecuación genera l de la ci rcu nfe r encia,  x 2 + y 2 + Dx + Ey f- F = O. r esu lta el istema siguiente: 60 + 2E + F = -40, 70 +  E -+  F - -50, -68. 8 D - 2E -1 F

cuya ol ución proporciona l os va lores D = -6, E =- 4 y F = -12. Por sustitución se ded uce la ecuación ped ida, xª + y • -6x  + 4y - 12 = o.

Í 

38

LA

CIRCUNFERENCI A

(-4,

11. Halla r la ecuación de la circu nferencia de centro el punto 3x

+ 4 y - 16

2) y

q ue sea tangente a la recta

= O.

El radio se puede determinar calculando la d istancia del  punto (-4,2) a la recta. r

=

1 3(-4) +;(2) -16 1

La ecuación  ped ida es (x

+ 4)

=

+( y -2) 2 =

2

1-2 - 1

=

16, o x +y 2

2

1 -41 o sea 4. + 8x -4 y + 4 = O.

.- 12. Hallar la ecuación de la circunferencia q ue pase por el  punto (-2, 1 ) y sea tangente a la recta 3x -2y -6 = O en

y

el punto (4, 3).

Como la circunferencia debe pasar  por los dos  puntos (2, 1 ) y (4, 3), su centro estará situado sobre la mediatri z del segmen to que determi nan. Por otra  parte, también debe  pertenecer a la  perpendicular a la recta 3x -2y -6 = O en el  pun to (4, 3). La ecuación de la mediatriz del segmento es 3x + y

= 0. La ecuación de la perpendicular a la recta 3x -2y -6 = O en el  punto (4, 3) es 2x + 3y -17 = O.

-5

X

R esolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones, 2x + 3y - 17 = O y 3x + y - 5 = O . e,  X = - 7' 2 se obtien  y

V(4 + 72 )2 + (3 -7-)-2= --;¡-'º vi _ 3. ) + (y - - l ) 1 , o bien, 7 x + 7y + 4x

41 = -7· Por tanto, r =

La ecuación pedida es ( x

2

+

-

1

=

41

1

1

2

-82y

+55 = O.

13. Hallar el lugar geométríco de los vértices del ángulo recto de los triángulos cuyas hipotenusas son

el segmen to q ue determinan los puntos (O,

b)

y (a, b).

Sea (x. y ) el vértice del ángulo recto. Entonces, como los dos catetos son  perpendiculares, la  pend ien te de uno de ellos debe ser el recíproco con signo contrario de la  pendiente del otro, es decir,

 y

-

b

---b

-

x -a  y - b .

x -a

Simplificando, ( y - b) 2 = - x( x -a), o sea, x2 + y 2 -ax - 2by 14.

Hallar la longitud de la tangente desde el punto P1(x1, y 1) a la circunfere ncia ( x - h)2 + ( y -k)2 = ,2. ¡2 = (P1C)2 -,2, o bien

/2 = (X¡ _ /¡)2 + (y¡ _ k )2 _

de donde /

=

../(x 1 -h)2

+ (y

1-

+ b2 = O (una circunferencia). y

rt,

k)2 _ ,2.

En consecuencia, la longitud de la tangente trazada desde un pu nto cualquiera exterior a una circunfer encia es igual a la ra íz cuad rada del valor que se obtiene al sustituir las coordena das del punto en la ecuación de la misma.

o

X

\

l

LA CIRCUNFERENCI A

39

 Definición. Se llama eje radical de dos ci rcunferencias al lugar geométrico de los pu ntos desde los cuales las tangentes a ellas son de igual longit ud . Deducir la ecuación del eje radical de las circunferencias,  x 2 + y 2 + d 1 x + e1 y +/1 = O

x2

y

+ y 2 + d 2x + e2y +/2 =

O.

Sea P'( x ',y') un  punto genérico cualq uiera del eje radical  pedid o.

1, = Vx'Z + y' 2 + d, x· + e.y' + /1

Tendr emos

y

12

=

vx'2 + y'2 + dzx'

+ e2y' +/2·

-+y 2 + d 1 x ' + e1 y ; +f 1 = v72 + y'2 + d 2 x' + e2 y' +/2

v'   x ' 2

Como 11 = /2,

El evando al cuad r ado, si m pl ificando y suprimiendo las pri mas, (d 1 -d 2 )x = O, que es la ecuación de una recta.

+ (e1

•

-e2)y

+ j 1

-/  2

16. Hallar la ecuación de la famil ia de circunfer encias que pasan  por l os  puntos de inter sección de dos

dadas.

Sean x2 + y2 + d 1 x cantes.

+ e  y + /1 = O 1

y  x2

+  y + d  x + e  y +/2 = 2

2 

2 

O, dos circun fer encias se

La ecuación x2 + y 2 + d 1 x + e1 y +/1 + K( x 2 + y2 + d 2 x  + e2  y +/2) = O r e presenta a dicha familia , ya q ue las coorden adas de los  puntos de inter sección satisfacen a las ecuaciones de dichas cir cunferencias.

Para todos los va lores de K , excepto para K = -1, se obtiene una cir cunferencia. Para K = -1, la ecuación se reduce a una recta, que es la cuerda común de dichas circunferencias. Hallar las ecuaciones de las circun fer encias que pasen  por  los  puntos  A( 1, 2), 8(3, 4) y sean tangentes a la r ecta 3x + y -3 = O. Para hallar las coordenada s del centro, C(h, k), se tienen en cuenta las igualdades C,A = C  B y CA = CN, es decir ,

+ (k -2) = (h -3) + ( k - 4)2 ( h - 1)2 + (k -2)2 = ( 3h + -3 )2

(h - 1)2

y

2

2

v' I O

X

Desarr ollando y si mplificando se o btiene, h

+ k = S 

h'

+ 9k' -6hk -2/t - 34k + 41 = o.

= 4, k = 1 y h = 3/2, k = 7/2.  Dc r =  Jh + k - 3 se ded uce r = 12 + 1 -3 = ,1¡() y r = 9/2 + 7/2 -3 = v io . v io v io Teniendo en cuenta (x - '1)2 + (y -k) 2 = r 2, tendrem os Resolviend o este sistema de ecuaciones resu lta n h

v2'10 _ .

)2 ( 7 )2 10  x ( - 2 +  y - 2 = 4· 3

(x -4)2 + (y - 1 )2 = 10 y

+

Desar rollando estas ecuaciones, resulta x2 + y 2 -8x -2y + 7 = O y  x 2 + y2 -3x -7y 12 = 0.

. @t ·.. Hallar la ecuación de la circu nfer encia de radio , " el punto (4, 1).

5 que sea tangen te a la r ecta 3x

+ 4 y

-

16 = O en

LA CIRCU NFER ENCIA

40

Sean (h, k ) las coordenadas del centro. . 3h + 4k -16 ± 5, o  bien , 3h + 4k - 16 = ± 25. Entonces = 5 Por ot ra  parte, (h -4) 2 + (k - 1)2 = 25, es decir, h2 + k 2 -8h -2k = 8. Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtienen las dos soluciones (7, 5) y (1, -3). Las ecuaciones de las dos circunferencias resoecti vas son (x -7)2 +( y -5)2 = 25, y (x - 1)2 + (y + 3)2 = 25. Hallar las ecuaciones de las dos circunferencias tan gentes a las rectas 3x -4y + 1 = O y 4x + 3y - 7 = O y q ue pasan por  el punto (2, 3). ' Sea (h, k) las coordenadas del centro. Entonces, 3h -4k 4h + 3k -7 ?h _ k _ = O. (a) 1

-· 19.

-5

+

= --5

Por otra  parte, como r  =

(h -2)2 o  bien ,

16112

3h - 4k + 1  _  5

+ (k -3)2 = ( 3h

-

+,

.'<:<::J 

r 

,.ti.-\

r--/  '?i-

+ 9k  - 106h - 142k + 24hk + 324 = O. 2

C( , ) (h)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (a) y (b) se obtienen ,  para las coordenadas de los dos centros, Jos  pun tos (2, 8) y (6/5, 12/5). 3h -4k + 1 Para la circunferencia de centro (2, 8), r  = ---- -5

Ja misma es (x

- 2)2

• C(2,8)

6

o

X

+ 1 = 5 y la ecuación de 5

6 -32

 _ 

+(y - 8)2 = 25.

) r = 1, y la ecuación de la circunfer e nciaes  x 6 '  12  , ( --6 SS  Para la de centro (S  -

)2 + ( y - 12 )2 =l.

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas + y + 4 = O y 7x  -y + 4 = O y q ue tenga su centro en la recta 4x + 3y -2 = O.

20.

 x '

•

Sean (h, k) las coordenadas del centro. Entonces, h-+ k o bien,

h -3k

+4

=

v2 -8

..¡..

7h - k

+4 _

5v2

=o y

3h

+ k + 6 = o,

que son las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados  por las dos rectas dadas. Como el cen tro ha de pert enecer a la . recta 4x + 3y -2 = O se verificará 4h + 3k -2 = O. De esta ecuación , y de h -3k -8 = O, se obtienen h = 2 y k = -2. 2 2 4 Por tanto, I'. = -  _ + = 2 v'2, co.n lo que la ecuación de la circunferencia es (x - 2)1

+
v2

Rsolviendo el sistema formado por las ecuaciones 4h + 3k -2 = O y 3h sulta , h = -4, k = 6 y r = 3,/2. Por tanto, la ecuación de la circunferencia es (x + 4) 2 + ( y -6)2 = 18.

+ k + 6 = O re

21. Hallar el lugar geométrico de los puntos (x', y') cuya suma de los cuadrados de sus distancias a las rectas 5x + J 2y -4 = O y 12x - 5y + 1O = O sea igual a 5.

LA CI RCU N FERENC I A

La distancia del  punto 12 x -5   y

+ to = O es

( x', y' )

a la recta 5x

+ 10

12x ' - 5 y ' --_-'- --

13

41

+ l 2 y - 4 - O es 5 x' 5x' + 1 2y' -4 )2

Luel-!o. (

•-

13

l

1

:

4

y· - , y a la recta

( 1 2x' - 5y' + 10 )2 -1 3

= 5.

Simplificando y su primiendo las primas, se obtiene 169x2 ..L 169y2 + 200x - t 96y = 729, una circunferencia.

Hallar el l ugar geomét rico de los  puntos (x, y) cuya suma de los cuad rados de sus d ista ncias a tos  puntos fijos (2, 3) y (-1. -2) sea igual a 34. (x -2)2 +( y -3)2 + ( x

una cir cu nferencia.

+ 1)2 +( y + 2)2 = 34. Simplificando, se obt iene,  x 2 +y2  x - y = 8, -

Ha llar el l uga r geomé t rico de los puntos (x, y) cuya relación de distancias a los  pu n t os fijos (-1,3) y (3, -2) sea igua l a a / b. 1) + ( y  x+ -v  --(  : ====== 2

v(x -3)2 + (  y

+ (b2

-

3)2

a -. El evando al cuad rado y simpl ificando, se obtiene, (b2 - a2 )x 2 \ = -b

+ 2)2

a2 )y 2 -+ 2(h2 1

3a2)x - 2( Jb%

+ 2a2 )y =

1 3a2

-

10 b2, u na ci rcu nferencia.

24. Hallar el l ugar geométrico de los pu n tos (x, y) cuyo cuad rado de la d ista ncia al punto fijo sea igua l a su distancia a la recta 5x + l 2y -26 = O. (x

l 3xi

+ 5)2 + (y - 2)2

5

 j_ (  x

+ l 3y2 + t 25 x -64y

¡ 403

+ \2;- 26 =O

(-5,

2)

y. Desarrollando y simplificando ,

y 13x2 + l 3y2 + l 35x -40y + 351 = O, circunferencias .

Hallar la ecuación de la circu nferencia concéntr ica a la circunferenci11  x 2 + y 2 -4x que sea tangente a la recta 3x -4 y + 7 = O.

+ 6y

-

17 = O

E l centro de l a ci r cunfe r e ncia dada es (2, -3). El r ad io de la circu nfe r encia  ped ida es l a distancia <\\.

 y , del  punto (2, -3) a la r ecta 3x -4

.

+ 7 = O, es decir, r  =-.6--1 =12 +. 7

5

•

)

Luego l a circunferencia ped ida tiene de ecuación (x -2)2 ·I

(y

+ 3)2 = 25.

Hallar . las ecuaciones de las circunferencias de radio 15 que sean tangente s a la circunferencia  x 2 + y 2 = 100 en el punto (6, -8). El centro de estas circunfe r encias debe estar sobre la recta q ue un e l os  punto s (O, O) y (6, ..

-8),

4

cuya ecuac1on es y = - f x.

Llamando (h. k) a las coordenadas del centro, k

= -y4h y (h - 6)2

!- (k

+ 8) = 225. 2

R esolviendo el sistema for mado por eslas dos ecuaciones se obtienen Jos valores de h y k (-3, 4) y (15, -20). Las ecuaciones de las dos circunferencias son (x

+ 3)2 +(y -4) = 225 y 2

(x - 15)2 + (y + 20)2

= 225.

LA CIR CUNFERENCIA

42

PROBLEMAS PROPUESTOS l. Hallar la ecuación de la circunferencia

a) de centro el punto (3, -1) y radio 5.  b) de centro el punto (O, 5) y radio 5.

+ y 2  x2 +y

Sol. x2 Sol.

2

+ 2y - 15 = 0:-

6x

-

-

IOy = O.

de centro el punto (-4, 2) y diámetro 8. Sol. x2 +y2 + 8x -4y + 4 d) de centro el punto (4, -1) y que pase  por (-1, 3). Sol.  x 2 + y 2 -8x + 2y -24 = O. e) de diámetro el segmento que une los puntos (-3, 5) y (7, -3). Sol. x2 + y 1 -4x -2y -36 = O.  f ) 1 de centro el  punto (-4,3) y q ue sea tangente al eje y . Sol. x2 + y 2 + 8x -6y + 9 = O. g) de centro el punto (3, -4) y que pase por el origen. Sol.  x 2 + y 2 -6x + 8y = O. h) de centro el origen y q ue pase por el punto (6, 0). Sol.  xª + y 2 -36 = O. e)

=

O.

•

'11

i)

})

que sea tangente a los dos ejes de coordenadas de radio r = 8 y cuyo centro esté en el primer cuadrante. Sol.  x2 +y 2 - l 6x -l 6y + 64 = O. q ue  pase  por el origen, de radio r = 10 y cuya abscisa de su centro sea -6. Sol. x2 + y 2 + 12x - 16y = O,  xª + y 2 + 12x + 16y = O.

'

2. Hallar el centro

y el radio de las circunferencias siguientes. Determina r si cada una de ellas es real, '-"'

imaginaria o se reduce a un  punto. Aplicar la fórmula y comprobarla  por suma y resta de los tér mi nos adecuados para completar cuadrados. a)  x 2 + y -8x + lOy -12 = O. Sol. (4, -5), r = V53, real:

 b)

3x1+ 3y2 -4x + 2y

e)  x'

+y

2

-

+ 6 = O.

8x -1y = O.

Sol.

Sol.

e- - _ !_ ) 3 .

3

•

l

3

l

(4, ).

r =

-

r = -v-13 imaginaria.

2

VTTI.

'

real.

d)  xi + y 2 = O.

Sol. (O, O), r = O, un  pun to.

e) 2x' + 2y2 -x = O.

Sol.

(!,o),

r =

1 4' real.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa  por los puntos a) (4, 5), (3, -2), y (1, -4). Sol.  x2 + y2 + 1x -Sy -44 = O.

4.

1

 b)

(8, -2), (6, 2), y (3, -7). e) (l , l), (l, 3), y (9, 2).

Sol. xi +y2 -6x + 4y -12 = O. Sol. 8x2 + 8y -19x -32y + 95 = O.

d) (-4,-3), (-1, -7), y (O, O).

Sol .

e)

Sol.

(1, 2), (3, 1), y (-3, -1).

+ X + 1y = Ü.  x2 + y2 - + 3y -JO = 0. X2

+ y

 X

Hallar la ecuación de l a circunferencia circunscrita al triángulo de lados O, y 4x +y -17 = O." a)  x  y + 2 = O, 2x + 3y - 1 2 2 Sol. 5x + 5y -32x -8y -34 = O. b)  X + 2y - 5 = Ü, 2x + y -7 = 0, y  X ( = Ü.  y 2 Sol. 3x + 3y2 - 13x -!l y + 20 = O.

.-

+

LA CI RCU NFER ENCI A

43

3x + 2y - 13 = O,  x + 2y -3 = O, y  x + y -5 = O. Sol . x2 + y2 l7x -?y + 52 = O.  y - 1 = O, y  x -1y - 19 = O. d) 2x + y - 8 = O. x 2 2 Sol . 3x + 3y -8x + 8y -31 -= O.  y + 7 = O, 3x + 5y -9 = O, y x -1y - 1 3 = O. e) 2x Sol . l 69x2 + l 69y2 -8x + 498y -3707 = O. e)

-

5. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al tr iángulo de lados a) 4x -3y -65 = O, 7x -24y + 55 = O, y 3x + 4y -5 = O. Sol . x2 + y2 -20x + 7 5 = O.  b) 7x + 6y - 11 = 0, 9x -2y + 7 = 0, y 6x -7y - 16 = 0. Sol. 85x2 + 85y 2 -6 0x + ?Oy - 96 = O. e) y = O, 3x -4y = O, y 4 x + 3y -50 = O. Sol. 4x2 + 4y 2 -60x -20y + 225 = O. d ) 1 5x -8y + 25 = O, 3x -4y - 10 = O, y 5x + 1 2y -30 = O. 896x -392y -2399 = O. Sol . 784x2 + 784y2 -

e)

i nscr ita a l t riángu l o de vértices (-1, 3), (3. 6)

y ( 3 o). •

Sol. 7x2 + 7y2 - 34x -48y + 103 = O.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-2, 3) que sea tangente a la recta 20x -2 1y Sol. x2 + y2 + 4x -6y - 12 = O. -42 = O. 7. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el origen que sea tangente a la recta 8x -l 5y - 12=0. Sol. 289.r + 289y2 = 144. 8. Hallar la ecuación de la cir cu nferencia de centro (-1.-3) que sea t angente a la r ecta q ue un e los Sol. x2 + y 2 + 2x + 6y - 1 5 = O.  puntos (-2, 4) y (2, 1).

nferencia cuyo centr o esté en el eje x y que pase por los puntos (-2,3) '/- 9. H allar la ecuación de2 la circu 2 y (4, 5).

Sol.

3x +

3y

- 14x -67 = O.

)-

10. H all ar la ecuación de l a ci r cu nfer e ncia q ue pasa por los puntos (1, -4) y (5, 2) y que tiene su centro ) Sol. x 2 + y 2 + 6x -6y -47 = O. en la r ecta  x -2y + 9 = O.

.f 

X

11. Hallar la ecuación de la cir c unf erencia que  pa sa  por los  punt os (-3, 2) y (4, 1) y sea tangen te al Sol.  x 2 + y 2 -2x - 1 0 y + l = 0. x 2 + y2 -42x -290y + 44 1 = Ü. eje x. q ue  pasa por los puntos (2, 3) y (3, 6) y sea tangente a la \  12. Hallar la ecuación de la cir cu n f erencia r ecta 2x  y -2 = O. Sol.  x 2 y2 -26x -2y 45 = O, x2  y 2 -2x - 1O y 21 = O.  )

+

+

+

+

+

13. Hallar la ecuación de la cir cun f er encia q ue pasa por el  punto (1 1, 2) y sea tangen te a la recta 2x + 3y - 1 8 = O en el  punto (3, 4). Sol. 5x2 + 5y2 -98x - 142y + 737 = O.

14. Hallar la ecuación de la circunferencia de r adio 10 que sea tangente a la recta 3x -4y - 13 = O en el punto (7, 2). Sol.  x1 + y 1-26x + 12y + 105 = 0. x2 + y2 -2x -20y + 1 = 0.

15. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas  x -2y q ue pase por el punto (4. -1). · Sol .  x1 + y2 -30x + 6y + 109 = O, x2 y

+ y2

-

10x

+ 46y +

+4 = O y

2x -y - 8 = O

309 = O.

16. Hallar la ecuación de la cir cu nfer encia tan gente a las r ectas  x - 3y + 9 = O y Jx + y y que ten ga su cen t r o en la r ecta 7x + 1 2y - 32 = O. Sol . x2 + y ' + 8x - IOy + 31 = O, 96J x2 + 96Jy2 + 248x - 5210y + 720 1 = O.

-3 = O

44

LA CIRCUNFERENCIA

17. Hallar la ecuación de la ci rcunfe rencia defi nida por el l uga r geomét rico de los vértices del ángulo recto de los t riá n gu l os c.1ya hi poten usa es el segmen t o q ue u ne l os puntos (-4. 1 ) y (3, 2). Sol .  x2 + y 2 i  x -3y - 1 O O. 18. H allar la ecuación de la circu nfe r encia t angente a las rectas 4x ·t 3y - 50 Sol .  x 2 + y 2 - 20x + I Oy + 100 = O. y cuyo radio sea igua l a 5. x2 f- y2 -36x -2y + 300 = O.  x 2 + y 2 -24x - l 8y + 200 - O,  x 2

+ y

2

-

8x -6y

O y 3x -4y

- 25

=O

= O.

19. Hal lar el l uga r geomét rico de los pu n tos cuya suma de cuad rados de distanc ias a las rectas  perpen d icula r es 2x + 3y -6 =' O y 3x - 2 y + 8 = O sea igua l a 10. Si es u na circunferencia . ha llar su cent ro y su rad io. Sol. 13x2 + l 3y 2 ·l- 24x -68y -30 ..· O. Cent ro - 12 . 34 ) ,r - \ 11.0. (

1313

20. Demostrar que el l ugar geomét rico de los pu n tos cuya suma de cuadrados de d istancias a las rectas  per pend icula res ·a 1 x + b 1 y + c1 O y htx -a 1 y + et = O es u na constan te  K 2  es una circu nf e rencia . -

•

21. H allar el J ugar geométrico de los puntos cuya su ma de cuad rados de d istancias a los pun tos fijos (-2, -5) y (3.4) sea igual a 70. Si es u na circunfe r encia, hallar su cent ro y su r ad io. Sol. x 2 + y 2  x + y -8 = O . Cen tro (. - ), r = !v'34. 22. . Ha llar el l u gar geométrico de los pu n tos cuya relación de distancias a los pu n tos fijos (2. -1 )

y (-3, 4) sea igua l a 2/3. Si es u na circunferencia, determi nar su cent ro y su radio. Sol. x2 + y 2 1 2x + I Oy - 1 1 = O. Cent ro (6, -5), r = 6 v2. -

23. Demostrar q ue el l uga r geomét rico de los pun tos cuya relación de d istancias a los pun tos fijos ( a, h) y (e, d) es igual a K (constante) es una circunferenc ia. 24. . Hallar la ecuación del lugar geométrico de los pu n tos cuyo cuad r ado de la d istancia al  pun to fijo (-2, -5) sea el tri ple de la corr es pond iente a la r ecta 8x + l 5 y -34 = O. Sol . 17x2 + 1 7y2 + 44x + 1 25y + 595 = O, 1 7x2 + 1 7y 2 + 92x + 215y + 39 1 = O.

'

25. Hallar la ecuación de la circunferencia ta ngen te a la recta 3x -4 y + 17 = O q ue sea concéntrica con la circunfer encia  x2 + y 2 -4x + 6y - 1 1 = O. Sol .  x 2 + y 2 -4 x + 6y - 36 = O. 26. Hallar la ecuación de la ci r cunferencia de rad io 10 q ue sea tangente a la ci rcunferencia  xz en el punto (3, 4). Sol.  x2 + y 2 - 1 8x -24y + 125 = 0, x2 + y2 + 6x + 8y -75 = 0.

+ yz = 25

27. Hal lar la ecuación del l uga r geomét rico del  pun to med io de un segmento de 30 ce ntí met ros de lon gitud cuyos extremos se apoyan constantemente en Los ejes de coordenadas . Sol. U na circunferencia.  x 2 + y z = 225. 28. Hallar la máxima y m ín i ma dista ncias del pu nto ( 1O, 7) a la circunferencia  x2 + y2 -4 x -2y Sol. 15 y S. -20 = O. 29. Hallar la longi t ud de la tangen te t razada desde el  pu nto (7, 8) a la ci r cu n f erencia  x2 Sol.

2\/26.

+ y = 9.

30. Hallar la longit ud de la tangente t razada desde el pu n to (6, 4) a la circunferencia  x 2 Sol . 9. - 19 = O.

L

2

+ y 2 + 4x + 6y

31. Hallar el valor de K  pa ra el cual J a longit ud de la ta ngente trazada desde el pun to (5, 4) a la circu nSol . a)  K =- -5, h ) K = -5, 125. ferencia  x 2 + y 2 + 2Ky = O sea i gua l a a), 1 . h), O.

xcw"'V ,..q

LA CIRCUNFERENCI A

45

Ha l lar las ecuaciones de loi> t res ejes rad ica les de las ci rcu nfer en1:ia:. sigu iente . y demostrar q ue se cortan en u n  pu nto. x2 + y 2 + 3x -2y -4 = O.  x 2 + y 2 -2x - y -6 = O. y x2 + y 2 - 1 = O. Sol. 5 x  y + 2 = O. 3x -2y - 3 = O, 2x ·I  y + 5 - O. P u n t o de i nt e r sección (-1. -3). Este  punto se denomina cent ro rad ica l de las ci rcu nfe rencias. Hallar las ecuacione s de los tres ejes rad icales de las circu nferencias siguien tes y hallar el centro ra dical ( punto de inter sección de los ejes). 2 2  y + 7 -= O. y 2x 2 i" 2y2 + 5  x + 3y + 9 = O. x2 + y2 + x = O,  x  + y -t 4 Sol .  x -4 y -7 = 0. .r + y 1 3 = 0.  x - y - 1 O. Cent ro ( -1 . -2). Halla r las ecuaciones de los t res ejes radica les y el cen tro rad ical de las ci r cunferencias sigu ientes. l2x t- 1 1 = O.  x 2 + y 2 -4 x -2 1 O. y x2 y2 - 4 r + l6y + 43 = O.  x2  y 2 Sol. x + 2 =- O. .\·- y 2 O.  y l-- 4 = O. Ccn 1ro ( -2. -4).

+ +

+

-

Halla r la ecuación de la circunfer encia q u e  pa sa  por el p u n t o (-2. 2) y  por los de i n ter sección de las ci rcu nf er encias O y  x2 t-  y 2 - 2x - y - 6 O.  x2 1  y 2 + 3x - 2y -4 Sol . 5x2 5 y2 -7y -26 - O.

+

H allar la ecuación de la ci rcunferencia q ue pa sa  por el p u nto (3, 1) y  por los de i n tersecc ión de las ci rcunferencia s  x 2

Sol. 3x2 + 3y2 - 1 3x

+ y2 - X - )' -2 = 0 + Jy + 6 = O.

y

\2

,

y2 !- 4.Y -4y - 8 = Ü.

37. Halla r la ecuación de la ci r cunf er e ncia q ue pa sa por los pun tos de inter sección de las ci r cunferencias  x 2 + y 2 -6x + 2y + 4 = O y x2 -1 y 2 + 2x -4 y - 6 - O y cuyo cen tro est é en la r ecta  y =  x . Sol. 7x2 + 7y2 - 10x - I Oy - 1 2 = O.

CA PITU LO

5

Secciones cónicas.-La parábola DEFI NICION. El lugar geomét rico de los pu ntos cu ya relación de d ista ncias a un pu nto y una recta fijos es constan te r eci be el nombre de  sección cónica o si mplemente cónica. El punto fijo se llama  foco de l a cón ica, la r ecta fija directriz y la r elación consta nt e excentricidad q ue, normal mente , se represen ta por la letra e. Las secciones cónicas se clasi ñcan en t res ca tegorías, segú n su forma y  propiedad es. Estas se esta blecen de acuerdo con los va lores de la excen t ricidad e. Si e < 1 , la cónica se llam a elipse. Si e = 1, la cónica se llama  parábola. Si' e > 1, la cón ica se lla m a hipérbola. PA RA BOLA. Sean L' L y F la recta y  pu n to ñjos . Tracemos por F la  perpend icula r al eje  x y sea 2a la dístancia de F a L'L. Por defi n ición de parábola la curva debe cortar al eje x en el  pu n to O, eq u idist a nt e de F y L' L. El eje  y se tr a za  perpend icular a l  x  por el  punto O. · Las coordenadas de F son (a, O) y l a ecuación de L y la d irectriz es  x = -a, o  bien,  x a = O. M Sea P( x, y) un  pu n to genérico cualq u iera de ma-

+

PF

nera q ue  PM Entonces,

.

=e = l. V'(x

a)2 + (y -0)2 = x + a.

o

X

Elev mdo al cuadrado,

x2 o  bien,

-

2ax

+ a + y =  x + 2ax + a 2

2

2

2

y2 = 4ax.

De la forma de la ecuación se ded uce q ue la  par á bola es simét rica con respecto al eje  x. El pu nto en q ue la cu rva corta al eje de simetría se denom i na vértice. La cuerda CC q ue pasa  por el foco y es perpend i cular al eje se llama ldtus · rectum. La l ongit ud del larus rectum es 4a , es decir . el coeficiente del término de pri mer grado en la ecuación. Si el foco está a la izq uierda de la direct riz, la ecuación torna la forma

 yi = -- 4ax . Si el foco  pertenece a l eje  y. la forma de la ecuación es

x2 = ± 4ay  en la que el signo depende de q ue el foco esté por enci ma o por de bajo de la directriz . Consideremos ahora una pa rá bola de vértice el punto (h. k ). de eje paralelo al de coor denadas x y cuyo foco esté a una d istancia a del vért ice y a l a derecha de él. La d irectri z . 46

•

---/ 

SECCIONES CONICAS.-LA l'A RA BOLA

47

 pa ralela al eje y y a u na d ista ncia 2a a la izq uierda del foco, tend r á la ecuación  x = h -a. o bie n.  x - h + a - O. Lla memos P( x .y) u n pu nto genérico cualq u iera y L de la pa rábola . Como PF = PM .

J (x - h -a) t es decir.

y1- 2ky ; kt

o bien.

(y

M

+ (y - k)' = x -h + a.

- k )2 =

= 4ax

-4ah , ;:; -----(h.k)

4a( x -h).

Ot ras expresiones t i picas son : - k )2 = -4a( x - h); (x -'1}2 4a( y -k );

(y

(x -h) 2

= =

o

-4a( y --:k ).

L'

.\· - ay2 ; hy ..¡ c.  y ax1 hx + c.

Que desarrollada s adquier en la forma

+

PROBLEMAS RESUELTOS l.

Hallar el foco. la ecuación de la d i rectriz y la longitud del lat u s rectt nn de la parábola 3y1 = 8x,

o bi en . y2 -

Í "" 

 x.

De la ecuación de la parábola se ded uce q ue 4a = -}. de donde. a = . El foco es. pues el pun) to de coordenadas la ecuación de la directriz.  X .= - .

( , o). y

Para hallar la longitud del latus rectum se calcula el va lor de y pa ra x

2(;)

con lo cual, la longi t ud del /atus rectum es •

2. í

=

. Para x

= , y

=;.

= '.

(o. - ;) y

H allar la ecuación de la pa rábola cuyo foco es el  pun to  por direct riz la recta y Hallar la longitud del latus rectum . Sea P( x, y ) un punto genérico cualquiera de la  parábola . En estas condiciones.

= O.

V< x _ 0)2 + (y + ;) = y _ ;. i

16

t 1

.

Elevando al cuadrad o y si mplificando.  x y

.

Y-

2

+

3

 y = O. Latus r-Pctum

= 4a =

16

f.

y

,o X

o  Pr oblema 3

 Pr oblema 2

3. Hallar la ecuación de la  parábola de vértice el  punto (3, 2) y foco (5, 2). Como el vértice es el  punto (3, 2) y el foco (5, 2) se t iene. a = 2 y la ecuación adquiere la forma (y - k)t = 4a(x - h), o sea, (y - 2)2 = 8(x -3).

Simpl ificando, y -4y -8x

--

+ 28 = O.

,,

--

./ rd 

llJI -- 3

r 

48

Sl::CCIONES

4. . '. y

CONICAS.

1 A

i>AR A ROLA

H a l la r Ja ecuación de la para bola de vértice el origen. de eje el de coordena da:. J que  pa se  por el  pu n t o (6. 3). La ecuación q ue hemo' de a pl ica r es x 1 - -4a y.

Com o el pu n to (ó, -3)  pertenece a la cu rva el valor de ft de be c;er ta l q ue las coordenada!> del  punlo a t bfaga n a la ecuación . Suc; t it u ye ndo. 36 - -4a( -3). de
- 2 = O. Ha lla r la ec uaci ón de la  pa rábola de foco el  pu n to (6. -2) y d i rect riz la recta  x · 2 De la defi nición .  /\ ( x -6)-Z-., (y-!:'·2} ' -2. 2 4 \ , 4. Sim pl i fica ndo,  y 2 Eleva ndo al cuad rado.  x - 1 2, -- 36 - y -t 4y · 4 \' t

8.,. , 36

6.

H a l l a r la cc uti ción lh: la  pará bola de verticc el  pu n t o ( 2, 3), de eje raralelo a l de coordenadas )', y q ue ra c  por d  pu n to ( 4, 5). La ecuación q ue hcmo:. de a pl ica r es ( ,.-- h ) - 4a( y - k ) . C!> deci r, ( x - 2)t -= 4a(y - 3).

La ecuación  ped ida e' ( " -2)2

-

4a( S -3). c.k donde, a -

2)t

2. 1

2()• - 3). o bien,  x 2 -4 x - 2y l J O - O.

H alla r la ecuación de la  pa rá bola de eje  pa ra lelo al de coordenada'  x. y q ue  pa se  por los  puntos

( -2 . 1 ). ( 1 . 2) y ( -1.

3).

A pl1ca mo la ecuación

2

1·

-

D x -r t.v - F - O.

Su t1t u ycndo  _ ,. e .1· por las coordenada de los pu n to:..

1 -20 · E t- F = O.

4

+

 D

+ 2E +  F = O:

9 - () 1 JE R esolvie ndo c:-.te :.istema de ecuaciones.  D 2

Por tant o, l a ecuación pcd ída e yt 

5

8.

4y

O.

Ccrnio el  pu n t o (4. 5)  pcr!cnccc a la cu rva. (4 -

7.

-;-

2

 L"

5 . c. 21

 x -

= - 21

y 1 4

F

5

- O, o bien,

+ F -= O.

4.

5y 2

+ 2x -2 1y + 20 =- O.

H al lar la a lt u ra de u n pu n t o de un a rco  pa raból ico de 18 met r o' de a l t u ra y 24 met ro!) de base. sit uado a u na d istancía de 8 met ro< del cent r o del arco. Tomem os el CJC  x en la ba se de.1 arco y el origen en el  pu n lt) med io. La ecuación de la parábola será de la forma 2 (.\' - /,)

o bien

(x - 0)2

= 4a( y -k l

°"

4a( r - 18).

La cu rva pasa  por el pu nto ( 1 2. 0). Sustituyendo esta' (;OOrde· nadas en la ecuacíón se obt iene. a -... -2. Por consigu icntl'.

(x -0}2 =

-8(y

-1

8).

Para hal lar la alt ura del arco a 8 metro s del cen t ro se su::.t it u ye  x - 8 en la ecuaci ón y se despeja el v alor de  y. Por tanto. 82 = -8(y - 18). de donde.  y = 1O metr o!>. E l arco simple más r esistente es e l de for ma  pa rabólica . 9.

Dada l a  pa rá bola de ecuación y 2 y la ecuación de su. d irect riz.

+ 8y -6x .-t- 4

=- O. hal lar la

..

,.

coord enadas del vért i ce y del foco,

'

Sf'.CCIONES CONICAS.-LA PARA BOLA

Suma ndo y r estand o t érm i n os adecuado-;.  pa ra completar u n cuad r al.lo.  yi - 8y 1 6  _ 6x - 16 6\" • 1 2. o  bien. ( y r 4)2 -= 6(x ;·2). Et 'énicc es e l  pu nt o ( 2. 4). Como 4a .,_ 6, ri : 3 2. Luego el foco es el  pu n t o de coordenada'> ( - .-4). y la ecuación de la d i r ectri z es .\ - -7 2. -4

10. . H alla r la ecuación de la pa r ábola cuyo l< t11s rrc 111111 e.; el seg men t o en t re los pu n t o<; (3. 5) y 4a( x - h). A pl ica rno!. la ecuación en la forma (y -k )2 1

(3. -3).

•

, 8( x -/i) . Com o la lon git ud del la1vs rectum es 8, 4n 8. e (J' -k )2 2 Pa ra determi na r l as coorden da s ('1. k  ) tenernos. ( 5 -k ) - 8(3 -h) y ( -3 - k ) 2 - r 8(3 -/i). iª q ue l os pu n t os ( 3. 5) y (3. -3)  pertenecen a la cu rva. Rc'>olvicn d o C'>t e .i stema de ecuaciones se 0011cnen como va lores de Ji y k l o<;  p u n tos ( 1 . 1 ) y ( 5. 1 ).

Las ecuacionc:. ped idas son ( 1 ) y

(y - l l1

(2) ( y

1 )2

'=

=

8(x - 1 ) -8(x

-

o 5)

+

r 2 -21 - 8.r 9 - O o r 2 • - 2.r 1 8.\ -39 - O. •

X

y -1 •

X

-¡

P ro  h/"' na

11.

 Pmhl 1 111t1 11

 /!)

•

H a lla r l a ccuaciú11 d e l a  pa rúhola de vért ice en la recta 7 ' J y -4 O. de eje h ori7o n tal y q ue rase por los  pu n w-. !3. 5) y (.\ 2. l ). A p l ica mo la ecuación cn la fo rma (r - k l2 4a( x /i). Su-.1i t u ye11do coort.cnadas de los  p u n to-. dado, -.c oht iene. •

 'ª'

1

( -·5

/..

4a(.3 - h ) y

( 1 -k )

4o( 3 2 - /i). •

Como ( h . A ) pcrt1:11ece a la r ect a 7.\ 4 O. e t i ene. 7'1 Jy l c ol vic 1H.lo e l ,¡lema de est a" t rc" cc u acion c' re u l t a h 1. k -- 5 04 1 7. -97 1 7. 4a

L uego )a' ccuacione-;  pct.l ida-. -;on. t.r +

1l

8 ·' - 1

e

t 1 1

:+

J

3k

4

-1 .

4a

O.

8: y h

97 ) 504 17

( \·-

JS9i l 19.

359 1 19 )·

12. . La t ra yccwri!J uc-,cril•1 por un rroycct il la111ado hori1.0111a lmen te. ). C'> u na pa rúbola de cc uac1ón

-.1endo ' la di)lt a ncia hori1011t a l dc,lk el lugar de la111a m icn to y e 9.8 1 me t ros por cgundo en cada -.egu nd o ( m o;t ). a rro\ i111a damc11tl.' . El origen "l.' toma en ..:! pun t o dl·'al ida del proyectil del arma. En e-,1as con d icione se la111:a hori1.onta l men t e u na ricd ra d1.:sdc u n  pu n to \1tuado a 3 met ros ( m ) dt.: a lt ura '-O bre e l -. ul.'lo. Sa hiend o q uc la ve locid ad inicia l e-, de SO 111c1ros segu ndo ( m is). calcular la d i '-!a ncia hori1.0111a l a l  plu1 10 de ca íd¡1.

2r'

2( 50)t ( -- J). co n l o q ue  x -

 X\! =

g .I'

- 89,

/ñ

50v0,61

= 39 m .

r

t1

•

so

SECCIONES CONI CON ICAS. CAS.--LA PAR ABOLA

PROB ROBLEMAS LEMAS PR  PR OPUESTOS OPUESTOS 1 . H allar la lass coordenada s del foco, foco, la longitud longitud del

latus rectum y la ecuac ecuacii ón de la directriz de las pa r á á

 bolas siguiente s. R epresen tarlas gráficamente .

Sol. (3/ (3/ 2. O). 6,  x + 3/2 = O. 8,  y + 2 O. Sol.. (0. 2), 8, Sol (-1 1/ 3. 0). 4 / 3. ,. - l/ 3 = O . Sol.. (Sol

a)  y 2 = 6x . x2 = 8y. h) e)

3y2 = -4 x.

2. Ha llar la ecuación de la lass  paráb  paráboolas si siguient guient es: es: 0) , , d irect riz  x + 3 = O . Sol.  y 2 a) Foco (3, 0) Sol. x 2 h ) Foco (0. 6). directriz el eje  x. t) Vért ice el origen, eje el de coordenadas .r, y q ue pa pase se  por (·-3, 6) 6).. .

-

-

1 2x = O .

12yy 12

+ 36 = O.

Sol.  y = -12x.

3. H alla r la ecuac i ón del l uga r geométrico de l os  punto  puntoss cuya d istancia a l  punt  puntoo fijo (-2. 3) sea igual Sol.  y 2 -6y -8x -23 = O. a su d istancia a la recta  x + 6 = O. 4. . H a ll llaa r la ecuación de la parábola de foco e l  pu nto (-2. -1 ) y cuyo  /atus rectum es el segmento ent re los p unt os os (-2. 2) y (-2. 4). 2 Sol . y 1 2y -6x -20 -- O. y2 -l 2y + 6x f- 4 - O. 5. Halla r la ecuación de la  paráb  parábola ola de vért ice (-2, 3) y foco ( l. 3). 2 Sol .  y 6y - 12x - 1 5 -=- O . -

6. Dada s l
Sol . a) (2, 2). b) ( l / 2. 2). e) 6. d)  x -7/ 2 = O. 4),,  b) (3 Sol. a) (3 (3// 2, -7/ 4) (3// 2. -4 / 3). e) 5/ 3. (3//2. 2). b) (3. 2). e) 6. d)  x = O. Sol. a) (3

7. H all llar ar la ecuación de una parábola cuyo eje se seaa paralelo al eje  x y q ue pase por los  punto  puntoss (3, (3 , 3), 2 (6. 5) y (6. -3) 3).. Sol. y -2y -4x + 9 = O . 8. Halla Hall a r la ecuación de u na pa rábola de eje ver t i cal y q ue pase pa se por  por lo loss  punto  puntoss (4, 5), (-2, J 1) y (-4. 21) 21).. 2 Sol . x -4x - 2y + 1 O = O. sobr  r e la r ecta ecta 2y -3x = O, que su eje sea  para 9. H allar la ecuación de una parábola cuyo vértice esté sob 1).. l e lo a l de coordenadas  x. y q ue pase  por lo loss  puntos (3, 5) y (6, -1) Sol . y2 -- 6y -4 x ..¡ 1 7 = O. 1 l y2 -98 y - 108 108xx + 539 = O.

10. El ca ble de su suss pens  pensión ión de un  puen  puente te colga colgann te adq uiere la forma de un arco de parábola. Los pilar es es q ue lo soporta n t ienen u na altura de 60 met r os os (m) y están sepa separ  r ados ado s una d istancia de 500 metros (m), q uedando el  punt o má s  bajo del cable a una alt ura de 10 metro s ( m) so so bre  bre la ca callzada del puente . Toman do como eje x eje  x la horizon tal q ue defi ne el  puen te, te , y como eje  y el de si metría de la parábola, hallar la ecuaci ecuac i ón de ésta. Calcu la r la alt ura de un  punto si t uado a 80 metros (m) del ce cenntro del 2 Sol . x  puentee .  puent 1 .250 y + 1 2.500 =- O; 1 5.12 m . -

1 1 . Se lanza una pied ra horizont a lmente des desde la ci ma de una torr e de 185 metro metross (m) de altura con una

velocidad de 15 metros por segundo (m/ velocidad (m /s). Hallar la dista ncia del  pun to de caída al  pie de la torre Sol . 92,5 m . suponiendo q ue el suelo es horizon tal. 12. U n avi avión que vuela hacia el Sur a una alt ura de 1.500 met ros (m) y a una ve vellocida ocidadd de 200 ki lómetros  porr hora ( km / h ) deja caer  po caer una bomba. Calcular la distancia hor  hor izontal del del  punto de caída a la ve verti rtical cal . Sol. 972 m. del pun t o de lanzamiento m. 13. U n a rco  para  parabólico bólico t ie ienne una altura de 25 metros (m) y una lu luzz de 40 metros (m). Hallar la altura de los  pu ntos nto s del arco sit uados uado s 8 met metr  r os os a ambos lado ladoss de su centro centro.. m. Sol. 21 m.

·, j

,I

,,

1 CA PITU LO 6

ipse La el ipse DEFI DE FI N I CI O N . El i pse  pse es el el l ugar geomé geométrico trico de lo loss pu nto ntoss cu ya su su ma de d i t a n cias a do.  pu ntos fijos fij os es consta constann t e. Los  pun tos fi jos  jos se l l a ma n focos . y

O

D lO,b) .-.-

\-a.o) \a.o)

... /  r'l-c,o) r'l -c,o)

-

.-

-o

,....,


1

(O,,;(O ;- b  b

D'

D

Sea n l os do doss  pu n tos fijos F( c. 0) y F'( -c. O) y 2o la su ma co conn sta n te, (a mo s u n pu n t o genérico P ( x . _1· pertenezca ca a l l u ga r. Por defi nic ni c i ó n,  _1·) q ue pertenez

F ' ' P

Jf.\-"..t Jf.\"..tC) C)2 +
o hi hiccn.

v'(X  j

Ele va nd o a l cuad rado

+. (y y

vcx ==-c) c) + < y -0¡

2

- ,1(x - c)2

= 20.

1 ( y - Q)t.

red uciend uciendo térm i no noss semeja n tes ,

(x -c)i +- ( y  y -0)2•

x 2 1 a2y a2y22 = a2 ( a2 -c2). ,.2 y 2  2  2 c ) se oht ie iene ne la ec ecuu ación · ., + - · = 1.

Eleva nd o a l c uad rad o y si sim m rl ifica nd o. (a2 a1( a2

2

0)2 = 2a

ex - u 2 -== - a

Di vid ie ndo nd o por

e). Considere Considere

+ PF = 2o 2o,,

es deci r.

c)t

'>

2) -1

a2 - c 2 

1r

Como a > c. a2 - e s rosi t i vo . H aciendo a2 -c2 el i pse  pse en la for m<1

= h2

•

r esul esul t a la ec ecuación uación de la

o bien. Como eta ec ecua ua ci ón solo solo con t iene  p  potencia otencia s  pa re ress de  x e  y. l a c u r va va es simét simét rica con r especto especto a lo loss eje d e coord coo rd e nad as a s ,. e  y . y con respect o al orige n. El  pu n t o O es el centro de la el i p e y l o eje se denom i na n eje ma ma yo  yo r y eje menor .

 ).. el eje mayor esraría sobr  Si l os foc focos os fu fueera n lo loss  p  puu nt os de coo coordenad rdenad as (0. e) y (0 (0,, -e ) sobr e ..

v. co el eje · conn l o q ue l a t:cuación resu l ta de la forma SI

\

/

\"2

1'2

- 1 .:_.

,,

2

02

=

1.

LA Fl.IPS

52

La

 ,1  , 102

( ' 

exce11f ricidad t' 

. hT --- , o hte n e

a

a

= ae.

Como l a el i pse  pse t iene dos focos. ta m bié n t end rú dos d i rect rices. rice s. La Lass ecuaciones de lala!-> !-> d i rec rectt rices D' D' y DD son, re ress pec t i va m en te.  X

!

a

=- o

e

a

y

 X

-

-

(' 

= O.

Si los los foco focoss estuvieran so b  br  r e el eje  y. la\ ec ecuacione uacioness de la lass d i rcct rice-; se sería ría n  )'

u - o y .r -

o

1

e

e

= O.

'c f um de l a el i ps Se de nomi na larus /'( 'c   pse a l i1 cuerda  pe r pend i cu l a r a l eje mayor por u no

de lo loss foco focos. s. Su l on gi t ud e

2/J2 (/ 

Los pu n to toss en los los cuales la el i r .e corta a l eje mayor se l lam lamaa n 1 1 rfl rflc<'.,. c<'.,. Si el ce n t ro de la e l i pse es el  pu n t o (/i. Á ) y el eje mayor t ie ne l a d i r ect:tón ect:tón del eje  x, la ecuación de la el i p  p e es de la forma •

(x

1.

-/j2 /j2''

( x  x - '1)2

o bie n,

{y -· -·k k )2

 Ji ) t

a2

•

(y

- k )2

si e l eje mayor  fu fuera era pa ralelo

-- 02 02---

/J22 - /J

al eje y. E n cua lq u ie i er caso. la forma genera l de l a ecuació ecuaciónn de la el i pse  pse es  A x -1 By 2 -1 D.\' -1 Ey -1 F = O siem pre siem  pre q ue  A y B se seaa n del mi missmo signo.

PROBLEMA S R ESUELTOS J

.

Dada la cli cl i p::.e p::.e 9 xi .1 l 6y2 576. hall a r el semieje ma · yor, el semieje menor. la excen t ricidad . la lass coo1dcnada coo1dcnada\\ de los foco . la lass ecuacionc\ de l as di rect rices y la longi t ud del la111s rec111111 rec111111..

Di vidiendo vidiend o por 576 se Í Í l'll C · 6 (1

y h - !?·

=('

-

va

2

- b2

1{ ....:

(J

+ ;·

D'

o

l·S.0)

(Ml

= 1 . L u ego

v7 2 \ 7.

4 '·

\0,,- 6\ \0

Coorde nada '.; d1.: l o foco!> : ( 2 \ 17. 0) ) ( - 2 v7. Ol. La ecuacione) de la) d i rcct nccs on (1

e

0  X

·

-

1

1

32 \/7

\

7

La l ongit ud de l  /(lfu rcu11111 de l a clip c e'

'1./>'4e1

·.,¡, ; r 

,<

D

n/6 = 9.

¡l; ?td  a ?t d .  liii iiií iíii iill-. ... ·11..1111 2 ..111 ..111..F. .. ..2 2 ........................iiliír  l lili ... as -. -t = f¡t¡f;f¡l •

*? ª

SZJ .4

LA ELIPSE

J

2.

53

Hallar la ecuación de la eli pse de centro el origen . foco en el pu n to (0, 3) y semieje mayor igua l a S.

Datos: c = 3 y n = 5. Por consiguiente. h Apl ica ndo la fórmu la : +

= \1a2 -c2

: = 1. se obtiene la ecuación

= \

25 -9 = 4.

';·

+ ·; = 1 .

3. Hallar la ecuación de la el ipse de cent ro el origen, eje mayor sobre el eje x y q ue pase  por los puntos (4, 3) y (6, 2). La f órmula a apl icar es :: 16 9 dados se obtiene, (i2 + bZ b2

=

=

+

d· =

36 1 y -¡;z

\

+

Sustitu yend o  x e  y  por las coor denadas de los  pu n tos

4

b2

'

= 1 . Resolviend o este sistema de ecuaciones. a2 = 52,

13. Lu ego la ecuación  pedida es ;

4.

1.

+ ;=

1, o bien , x2

+ 4y = 52. 2

. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los  puntos cuya d ist ancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de la corr espond iente a la r ecta  x - 16 = O. Del en unciado del pr oblema se deduce. v(   x -4) 2 + ( y -0)2 = !( x

-

16), o sea, x2 -8x

Sim pli ficndo, se obtiene la ecuación 3x2 + 4y2 = 192, de la elipse. 5.

Se considera u n segmen t o  AB de 12 unidade s de lon git ud y un  pun t o P( x, y ) situado sobre él a 8 uni dades de  A . Hallar el lugar geométrico de P cuando el segmen to se des place de forma q ue los  pun tos  A y B se a poyen constant ement e so bre los ejes de coordenadas y y  x r es pect ivamente.  y P r ·· gu I os sem . ntes, M A = P  v 64 - x2   y4 · B, o tnan  A p eja o sea , = Luego 64 - x 2

'1;

= 4y2 , o bien ,  x2 +

4 y 2

= 64.

8

El l ugar es una el i pse con su centro en el origen

y de eje mayor so br e e l ej  x. . y

'

1

1

X

1

! f

X

 P rob!t' 11w 5

 P robl11111a 6 

6. Hallar la ecuacióH del l ugar geométrico de los  pu nt os P ( x , y ) cuya suma de d istancias a los  puntos fijos (4, 2) y (-2, 2) sea igual a 8.

+ PF = 8, o sea, V(x + 2)2 +( y - 2)2 + ,' ( x - 4)2 + ( y -2) = 8. Orde n ando térm inos, V ( x + 2)2 +-( y -2)2 = 8 ,,.(x  _::_ 4)2 + ( y -2)2 . 2

 F' P

-

%

. - tl-it....._

...._......=.--..'-"-"'= -o.- ··-· ...,---·-· -

· ----

LA ELIPSE

54

Elevando al cuad rado y reduciendo términos, 3x - 19 = -4v(x -4)2 +(y - 2)2• Elevando de n uevo al cuadra do y reduciendo términ os resulta la ecuación 7x2 + 16y11 -6 4 y - 41 = O, q ue es una elipse. 7.

Dada la eli pse de ecuación 4x2 y focos.

+ 9y2

-48x

-

14x

+ 72y + 144 = O, hallar su centro, semiejes. vértices

Esta ecuación se puede poner en la forma

4(x2

-

(x -h)2 02

+

(y - k )2

=

 b

2

1 , de la manera siguiente :

+ 9(y2 + 8y + 16) = 144, + 9(y + 4)2 = 144,

12x + 36)

4(x -6)2 (x -6)2 36

+

(y + 4)2 - 1 - . 16

Por tanto, el centro de la elipse es el punto de coor d enadas (6, -4); a = 6, b = 4; los vértices son los  puntos (0, -4), (12, -4), y los focos (6 + 2v'S. -4), (6 -2 v'S, -4).

y

y

o

X

(0,45)

1

1 1

1(6,-4 (10 .5._  ,- _  4) -- -------..+ - - - _ _  _   _ 

¡

(l.5,- 4)

o

(12.-4/

(-75,0)

1

(-25,0)

X

(75,0)

(25,0)

1 1

1

( 6, -B )

 P robl ema 7 

 Pr oblema 8

1

8.

U n arco tiene forma de semielipse con una luz de 150 metros siendo su máxi ma altu r a de 45·metros. Ha llar la longitud de dos soportes vertica les sit uados cada u n o a igual distancia del extr emo del arco. Supongamos el eje x en la base del ar co y el origen en su punto med io. La ett1ación del arco será,  x' 02

+

 yi b' 

= 1, siendo a = 75,

b

= 45.

Para hallar la altura de los soportes, hacemos  x

. 625 Es dectr , 5.625 9.

= 25 en la ecuación

y

des pejamos el valor de y.

o ",2- metr Ol>.

 y 2 2 8 2.025 - 1,  y - (225), e  y -3

+

La Tierra describe una trayectoria elípt ica alred ed or de l Sol que e encuentra en uno de los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la el i pse vale 1,485 X 108 k ilómetr os y q ue la excentricidad es. apr oxi!lladamente, l /62, hallar la máxima y la mínima d istancias de la Tier ra  al Sol. Excentn·ct'dad e = e -. Luego

0

1

62

=

 _ e  _

, o sea, e = 2 .400.000 .

148 500 000

La máxima dil-tancia es a + e = 1,509 x 108 k m . La mínima distancia es a + e = 1 ,46 1 X 108 k m .

---

.

-

-

.

•

l

LA ELIPSE

55

10. Hallar la ecuación de la elipse de centro (l . 2), uno de los focos (6, 2) y que pase  por el punto (4, 6).

(x - 1)2

Aplicamos la ecuación

02

+

(y -2)i b'

1  b' = , o 1en, + ·(6  b-2)2 2

Corno (4, 6)  perlen :ce a 1a curva, (4 - J )2 02 Como e

=

5, resulta b2

= a2

-

c2

= 1-

= a2 -25

16 -= + 9

y

a

2

R esolviendo, a2 = 45 y b2 = 20. Sustituyend o,

(x - 1)2 -

45

9 02

16 = + b'b' 

l.

t.

a -25 2

+

(y -2) 2 = l · 20

11. Hallar Ja ecuación de Ja elipse de centro (-1, -1), uno de los vértices el  punto (5, -1) y excentri-

cidad

e=

.

Como el cent ro es el punto (-1,-1) y el vértice (5, -1) se tiene, a = 6, e = := de donde e = 4. Por otra parte, b2 = a2 -c2 = 36 - 1 6 = 20. 2 (x + 1) (y + 1)2 La ecuación pedida es = 1. + 36 20

1-

< 1 Ja curva es una elipse. Por consigu iente

I 

I 

X

1

v(x -4) +( y + 3) '

,

7Pfx.y)

o 2

2

=

J -------

12. Hallar la ecuación de Ja elipse cuya directriz es la r ecta  x = -1, uno de los focos el pun to (4, -3) y excentricidad 2/3. De la definición general de sección cónica, si PF = e  p M  ye

\

I  I 

o

 x + I 

IFI (4,-3)

•

+

Ekvando al cuad rad o los dos miembros de esta ecuación y simplificando r esulta,

5x2 + 9y2 -80x + 54 y

= -221 .

Completando cuadrados, 5(x2 -- l 6x + 64) + 9(y2 + 6y + 9) = -22 1 + 320 + 81, es decir , 5 (x - 8)2

1

.

1 '

r

(x -8)2

+ 9( y + 3)2 = (y + J)2

180,

o bien , + -W -= 1. 36 13. Hallar el lugar geométrico de los  puntos P( x , y) cuyo producto de las pendientes de las rectas que unen P(x ,y) con los puntos fijos (3, -2) y (-2, 1) es igua l a -6.

( ;.: ) ( ;

\

) = -6, o bien , 6x + y + y -6x = 38. una el i pse. 2

2

1 2 , 3) .

14. Hallar la ecuación de la elipse de focos (O, ±4) y q ue pase por el  punto (

5

y2 12  x 2 • . 144 = + , = 1 se obtiene 25 b2 Sustituyendo  x 5 y = 3 en b2 02 Como los focos son (O, ± 4), resulta e = 4 y a2  -b2 = 42 = 16.

R esolviendo el sistema de ecuaciones, a2

= 25. b2 = 9. Luego,

-

+ 2

9 a' =

+

1.

f 5 = 1. 2.

·

LA ELIPSE:

56

15. Hallar el l ugar geométrico de los  pun tos que dividen a las ordenadas de los puntos de la ci rcu nferen cia x2

+ y2 =- 25 en la relación

, Sca y

=

3 y ,  b . y o n, 1e

=

. 5 y,

, E

. y  x = x . n tonces, x

3

,2

+ 25 y .• =- 25. •

9 Suprimiendo las primas y sim pl ificando se llega a la ecuación 9x 2 + 25y 2 = 22 . que es una elipse. 5

y

y (X.y)

,.,.,.,.

.,,,,.. --- rx'.y) .....

I

' \

'

 _ _

o

----

\l.6)

''

X

,.,. ,

(-8.1)

(12,t)

o

X

/

(2,-4)  Problema 16 

 Problema 15

16. H allar la ecuación de la elipse que pasa por los pu ntos (-6, 4), (-8, 1), (2, -4) y (8, -3) y cuyos ejes son paralelos a los de coordenadas. En la ecuación  x2 + By2 + Cx + Dy + E = O, susti tuyendo  x e  y  por las coordenad as de los cuat ro pu ntos dados. 1 68 -6C + 40 + E = -36,  B -8C + O + E = -64, 1 68 + 2C -40 + E = -4, 9B +8C - 30 + E = -64.

R esolviendo el sistema,  B = 4, C = -4, O = -8, y  E = -92. La ecuación ped ida es x 2 + 4y2 -4x - 8y -92 = O, o bien , (x

17. H allar la ecuación del l ugar geométr  ico del centro de una = 1 y  x 2 + y2 -4x  circunfer encia tangente a x2 +

r 

-21 = O.

Sean (x0, y0) las coordenadas del centro. Las circun ferencia s dadas tienen de rad ios 1 y 5 respectivamente . a) 5 - (X0 -2)2 + (Yo -0)2 = v'X0 2 + Yo2 1 . Elevando al cuadrado, simpl ificando y suprimiendo las primas se llega a la ecuación 8x2 + l 6x -64 = O, ,ue es u na elipse. Poniendo esta ecuación en la forma -

9r -

(x - 1)2

-- + 9

2

2

>

+ (y

;1)2

=

J.

y 1

1 1

,f

/ ¡Pt>...,y ) "

I 

(1,0) '-(2 0)

X

( y - 0)2

8 -= I,

se ded uce c.¡ue el centro de la elipse corresponde al punto ( I,0).  b)

\f x02

+ y02 + 1 =

5 - (x0

las primas se llega a la ecuación

]x2

+ y 2.

Elevando al cuadrado, si mplificando y suprimiendo 2 1 2 2 + 4y  - 6x · - 9 = O, o  bien, ( x -:; > + (y -;0) = 1.

-2)2

El centro de esta elipse es el punto ( 1, 0).

7RT&

2 car

·: a

r s

57

LA ELIPSE

18.

En una elipse, los radios focales son las rectas que unen los focos .con un  punt o cualq2uiera 2de ella. Hallar las ecuaciones de los radios focales correspond ien tes al punto (2. 3) de la eli pse 3x + 4y = 48. .. . 1 r  Esen. b.1en do esta ecuac1on en a 1orma lx62 +  yz Tf = 1 se tien e. e = ± v' 16 - 12 = ±2.

Los focos son los puntos (±2, 0). La ecu ación del rad io foca l del punto (2, O) al (2, 3) es x -i

1

y la del (-2, 0) al (2, 3) es y -O =

3

2

O

+ 0 (x + 2), o bien, 3x -4 y + 6 = O. 2

PROBLEM AS PROPUESTOS

t.

En cada u na de las el i pses siguientes hallar a) la longit ud del sem ie je mayor , b ) la longitud del semie je menor , e) las coordenadas de los focos. d) la excentricidad . Sol. a) 13,  b) 12, e ) (± S. 0), d  ) - 5 . + = l. {I)  x2 (2)

13

144

16

,  b) 2v'2, e) (O, ± 2), d) v3. Sol . a) 2v'3-

 y2

8 + 12 =

l.

3

S ol. a) 17,  b) I S, c) (± 8, 0),

(3) 22Sx2 + 289y2 = 65.025.

d   )

8

.

0 

2. Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes de forma que satisfagan las condiciones que se i ndican.

1 {

( 1)

± Focos ( 4, 0), vértices (± S, O).

I

(2)

 ). Focos (O, ±8), vértices (O, ±17 

(3) Longitud del latu s r ectum

1

= 5,

 x2 

S ol. Sol.

2

1 = l. -+

vértices (± 10, O).

Sol. Sol.

225

 x2

= -.

Sol.

+

y2 289

= l.

y2

IC·o + 25 = 1.  xi

64-

(S) Focos ( ± 5, O), excentricidad

9

 x2

(4) Focos (O, ± 6), semieje menor = 8.

¡

2 

 x2

6 i{

100 = J. +  y2  y2

+39 = l.

3. Hallar la ecuación de la el i pse de centro el origen, focos en el e je  x, y que pase por los  puntos Sol. 4x2 + 9y2 = 144. (-3, 2'/ J) y (4 , 4 ' 513). 4.

H allar la ecuación de la el i pse de cent ro el origen , semieje mayor de 4 u n idades de longitud sobr e el eje  y, y la longitud del latus rectum igual a 9/2. Sol. l 6x2 t 9y2 = 144.

5.

H allar el l ugar geomé t r ico de los pu ntos P (x. y) cuya suma de d istancias a los  puntos fi jos (3. 1) y ( -5, 1 ) sea igua l a 1 0. ¿Qué curva represen ta d icho l ugar ? Sol . 9x2 +- 25y2 .J- l 8x -50y - 191 = O, una el ipse.

6.

H alla r el l uga r geomé t rico de l os  pu ntos P (x, y) cu ya suma de d istancias a los  puntos fijos (2, -3) y (2. 7) sea igua l a 1 2. Sol . 36x2 + l l y2 l 44 x -44 y -208 = O.

1

-

7.

Ha llar el l ugar geométrico de los  pun tos cuya distancia al  pu nto fijo (3, 2) sea la imitad de Ja corr es  pond iente a J a r ecta  x + 2 = O. ¿Qué curva r epresenta dicho l ugar? Sol. 3x2 + 4y2 - 28x -16y + 48 = O, una el ipse.

. ......

r  58

LA ELI PSE

8. Dada la elipse de ecuación 9 x 2 + 16y2 -36x + 96y + 36 = O, hallar a) las coordenadas del centro, b) el semieje mayor, e) el semieje menor , d) los focos y e) la longitud del latus r ectum.

Sol. a) (2, -3), b) 4, e) 3, d) (2 ± v7, -3), e) 4,5.

9. Hallar la ecuación de la elipse de centro (4, -1), uno de los focos en (1, -1) y que pase por el  punto (8, O).

4

(x

Sol.

2

2

+ (y

>

1)

= 1, o bien , x 2 + 2y 2 -8x + 4y

= O.

JO. Hallar la ecuación de la elipse- de centro (3, 1), uno de los vértices en (3, -2) y excentricidad e (x -3)2 (y -1)2 Sol .

11.

+

8

=

l /3.

= , o bien , 9x2 + 8y2 -54x -16y + l 7 = 0.

9

Hallar la ecuación de la elipse uno de cuyos f ocos es el  punto (-1, -1), directriz  x = O, y excentri-

ct'da d e =

..;2

= O. 2 12. Un punto P(x, y) se mueve de for ma que el producto de las pendien tes de las dos r ectas que unen P  con los dos puntos fijos (-2, 1) y (6, 5) es constante e igual a -4. Demostrar que dicho lugar es una elipse y hallar su centr o. Sol. 4x2 + y2 - 16x -6y -43 = O. Centro (2, 3). Sol .  x2 + 2y2 + 4 x + 4y + 4

13. Un segmento  AB, de 18 unidades de longitud, se mueve de forma que  A está siempre so bre el eje y

y B sobr e el eje x. Hallar el luga r geométrico de los puntos P(x, y) sa biendo que P  pertenece al segSol.  x2 + 4y1 = 144, una el ipse. mento  AB y está situado a 6 unidades de B.

14. Un arco de 80 metros de l uz tiene forma semielíptica. Sabiendo que su altur a es de 30 metr os, hallar 

la altura del .arco en un punto situado a 1 5 metros del centro.

Sol . l 5v55/4 met ros.

lS. La órbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol. Sabiendo q ue el semieje mayor  de la eli pse es 148,5 mi llones de kilómetros y que Ja excentricidad vale 0,01 7, hallar La máx ima y la

mf nima distancias de la Tierr a al Sol.

Sol. (152, 146) millones de kilómetros.

16. Hallar la ecuación de la elipse de focos (± 8, O) y que  pasa  por el  punto (8, 18/5).  y'   xi

Sol.

100

+ 36 =

l.

17. Hallar el lugar geométrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los punto s de la circunfer en 

cia  x 2 +  y 2 = 16 en la r elación !.

Sol.  x 2 + 4 y 2 = 16.

18. Hallar las ecuaciones de los r a dios focales cor r espond ientes al punto (1, -1) de la elipse

 x2 + 5y2 -2x Sol .  x -2y -3 19.

= O,

 x

+ 20y + 16 = O.

+ 2y + 1 = O.

Ha llar la ecuación de la elipse q ue pasa por los puntos (O, 1 ), (1 , -1), (2, 2), (4, O) y cuyos ejes son Sol. l 3x2 + 23y2 - 51 x - l 9y -4 = O.  paralelos a los de coordenadas .

10. Hallar el lugar geométrico del centro de la circunferencia tangente a  x 2

Sol . 220x2

\ \

+

256y2 -660x

+ y2 = 4

-3.025 = O

y x2

y

+ y

2

-

6x -27 = O.

28x2 + 64y 2 -84x -49 = O.

CA PITU LO 7

La h ipérhola DE FI N ICIO . La hi pér bola e el h1gar geornél rico de los  punlcs cuya diferencia de d islancias a los  pu ntos tijos f"( c. 0) y F°( -c. 0) es constante e igual a 2a. Ver Figu ra {a).

Sea P{ x . y) u n punlo genérico cualq uier a de la curva .

'.

Por defi nición. F' P - PF = 2a, o bien

v(x

+ c)2 + (y -0}2

-

(x -c)2 + (y --0)2 = 2a.

Trasponiendo un rad ical. v(x + c)2 + ( y - 0)2 = 2a + (x -c)2

+ ( y - 0) +y

2

Elevand o al cuadrado y red uciendo térmi nos. ex -a2 = a v'   x -c)2 2 . Eleva nd o al y si m pl ificando, (c2 -a2)x2 -a2y 2 = a2(c2 -a -0 ), se obtiene la ecuación -:;. = 1 .) Dividiendo porcuad a2(c2rado .

'

+--;¡

2

2

2

•

•

2

a

e -a

Como e > a, c2 -a2 es  positivo. Haciendo c2 -a2 = b2 se obtiene la ecuación de la hi pérbola con centro en el origen y focos en el eje  x,  xi yi QS - bz =  I. Si los focos fueran (0. e) y (O, -e), la ecuación sería de la forma

-

: = 1.

La expr esión genér al de la ecuación de la hipérbola de centro en el origen y cuyos focos· -  y• = ± l , correspondiendo estén sobr e los ejes de coordenadas es  Ax 2  B el signo más cuando los focos  per tenezcan al eje x. Como Ja ecuación solo contiene potencias pares de  x e y , la curya es simétrica con r es  pecto a los ejes  x e y y con respecto al origen. El eje real o tr ansversa l de Ja hipérbola es  A1 A '  de longitud igual a 2a. El eje imagina rio · es B  B '  de longitud 2b. Ver Figura (b). 59

LA HIPERBOLA

e

v'a2

+ b2

. Como vemos e > 1, lo cual coincide con la La excentricidad es e = a = a definición general de sección cónica . Las ecuacione s de l as d irectrices, DD y D'D, son

 x = ± !!_ cuando los focos están sobre el eje x, e y = ± !!_ cuando estén so bre el eje y. e e (\

Los vértices reales de·la hipérbola son J os puntos en Jos q ue la curva corta al eje r eal. Los otros dos vértices son i maginarios.

2b2 La l ongitud del latus r ectum es--. a

Las ecuaciones de las así ntotas son :  y = ± !a!_ x cuando el eje real o tran sversal es el eje x.

 y =

e

±

 x cuando el eje rea l o tr ansversal es el eje y. :

Si el centro de la hipérbola es el punto de coordenaaas (h , k) y el eje real es  paralelo al eje x, Ja ecuación de la hipérbola es (x - h)2 - l.

Si el eje real es paralelo al eje y, la ecuación es (y

- k) 2

(x

- h) 2

 b2

a'

l.

Las ecuaciones de las asíntotas son  y -k

e

= ± .! a!.. (x -h) si el eje real es paralelo al eje x,

 y -k =

± -¡;a (x - h) si el eje real es paralelo al eje y.

La forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes pa ralelos a los de coordenadas

 x e y es

2

 Ax 

siendo A y B del mism o signo.

- B y + D x + Ey + F =.-= O, 2

PROBLEMAS RESUELTOS J.

Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen , eje r eal so bre el de coordenadas  y y que pase  por los  pun tos (4, 6) y ( 1, -3). Sustit uyendo  x e y  por las coordenadas de los pun tos dados en la ecuación  y2 36 16 9 l  x2  b2 = 1 resul tan , Qt -/)2 = 1 y a2 - b'I. = l. 02 -

a2 = 36/5 y b2 = 4. Resolviendo este sistema de ecuaciones, 2 2 5 S · · l'fi d  x Y  5 d

ustituyen o y s1mp 1 can o,

9

- = 1 , o  bi•en ,  y 2 -  x 2 = 36. 36 4

LA HI PERBOLA

2.

61

Hallar las coordenada s de los vértices y de los focos. las ecuaciones de las d i rectrices, las corres  pond ien tes de las asín totas. la longit ud del latus rectum. la excent ricidad y la representación gráfica ?e lá,hipérbola 9x2 1 6y2 = 144. -

2

Escribiendo la ecuación en la forma -¡":- J

1 se tiene. a

=

Los puntos reales de corte con los ejes son ( ±4. 0). y los focos · I·d ad e = e La excenlrtC

=

0 

2b2 

 La tus rectum = -(/

= 4.

b = 3,

=

v/1 6

+ 9 =:, S.

(± S, 0).

45 ' y 1as ecuaci·ones de 1as d.lfeCtrt·CeS SOn

 X

=

16 ± eª .= ± 5 ·

18 9 = -= -. 4

2

Las ecuaci.ones d e 1as asi.ntotas son y

=

b  X ±a

=

3  X. ±4

X

 Problema 2

3

Hallar la ecuación de la hipérbol de ejes paralelos a los de coordenadas y de centro el origen. sa  biendo q ue el !atus rectum vale 18 y q ue la distancia entre los focos es 12. y

1

Jt91

1

y

· :i

1 1

t.

(3.0) :F(G,O)

1

{6 9)

 Problema J(b)

 Proh/ema J(a)

1 .

 Latu s ree1u111 = 2b2 / a = 1 8. y 2c = 1 2. Luego b2 = 9a y t = 6. Corno b2 = c 2 -- a2 = 36 -a2 , se tiene 9a = 36 -a2 , o sea. a2 + 9a -36 = O. Resolviendo. ( a - 3) (a 12) = O y a = 3, -12. Se desecha a = -12. 2 Para a"l = 9. h = 36 -9 = 27 y las dos ecuaciones ped idas son  x2  yt  yz  xz . . .

+

a)

I·

'

X

X

9

-

27

= 1, o bien. 3x2 - y 2

= 27.

y

h)

9 -. 27

"'· l. o bien,

2

3y

•

 xi = 27.

-

.

M.

.

62

LA HIPER BOLA

4.

Ha lla r la ecuación de la hi pérbola de focos (0, ± 3) y de eje imaginario igual a 5. 25 5 11 Datos: e = 3 y h = . Luego a2 = c2 -b2 = 9 -- T = --¡ .

2

 x2

y2

Sustituyendo en

01

5.

·

b2 = 1. se obtiene

-

li'/4- 2514 = J , o bien , J 00y2 y2

x2

44x2

-

= 275.

Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene su cent ro en el or igen, el eje real sobre el eje  x, excentri cidad !v7 y laru s rect urn igua l a 6.

Da tos: e =

.Ya2

+b

2

=-

a

Resolviendo el sistema a2 Susti tuyendo en

 x2  02

6.

 y2 -

b2

.Y7

2b2

2

a

-, y latus rectum =

+b = - a 2

2

y b2

- = 6, o sea. b2 = 3a.

= Ja, se obtiene a

2

 x 2

y2

16,  b2 = 12. -

2

.

2

= 1 , la ecuación  pedida e.sT6 - í2 - 1, o bien , 3x

48.

-4y

Hallar el lugar geométr ico de los  puntos cuyo prod ucto de d istancias a las r ectas 4x -3y y 4 x + 3y + 5 = O sea igual a 144/25.

+ 11 =

O

Sea P (x. y) un punto genérico cualquiera del l ugar. Entonces.

+ 1 1 ) ( 4x + 3y + 5 ) =  _!.44 .

4x -3y ( -5

25 2 2 2 ) - (y  Simplificand o. 16x -9y  +64x + l 8y -89 = O, o bien , (x ; -5

12

>

=

1.

que es la ecuación de u na hipérbola q ue tiene por asíntotas las rectas dadas.

X

 Pr oblema 7 

 Pr oblema 6

7. Hallar el l uga r geométr ico de los puntos (x. y) cuya d istancia a l  punto fijo (0, 4) sea.igual a 4/3 de Ja correspond iente a la recta 4 y -9 = O. v'(x -0)2 + ( y -4)2

Elevando a l cuadrado y simplificando. 9 x 2 - 7y2 hipérbola.

-lilíilil......

lllÍllll ... ..

= - ( 4 y 4 )· y2  x2  - -=¡

+ 63 = O. o bien. 9

1 , que es una

'"t

 _¡ _  f

-: ;

jjj¡¡¡¡¡¡¡.-zf-

3

W!Q

 1

•

LA H I PE R BOL1\

63

8. Hal la r la ecu:ición de la hi pérbola q ue 1iene su ccn1ro en el origen. un vért icl.' en (6, 0) de us asíntota s la recta 4x - 3.r = O.

=

( 1

e01110

. .

u n vc rt1 ce es (6.

O

). (/

h

b

(/ 

a

1 son  )' = J -- x. Luego

=6y

h

= -4a 3

8, con 1o

=

-

4 = - .

3

y2

. es  x2 q ue la ecuación

36

9. H a l la r la ecuaci ón ele la h ipérbola con cen t ro en

(-4,

 por una

 x .

Escribi mos la ecuación de la asíntota dada en la for ma  y = .x2  y 2  Las asíntota de-2 - h2

y

1), un vértice en (2, 1 )

y

l.

64

semieje i magina ri o

ig ua l a 4 .

La d ista nci a ent re d cent ro y el vért ice es 6; l uego a = 6. El semieje i magi na rio es 4: l uego b = 4.

Sust i t u yendo en

(x -¡,)2

-· -· -- -

(y - k )2

b2

(/%

(\" + 4)2

1, se obt iene :

36

(y - 1)2 --- = I. --

16

10. Dada la hi pérbola 9.r 2 - l 6y2 -- l 8x -64y - 199

y

- O. ha lla r a) el Ct:nt ro. h ) l os vértices. e) los fo

cos. d) la ccuaciom:s de las asíntotas y e) efect uar  u reprccntación gráfica. Pr oced iendo como se indica. escribimos la ecuación en la forma X

()' -k )2

b2 9(

\'2-2x

-! 1 )

-1

6(y2

+ 4y + 4) = 199 --64 +9.

+ 2)2 = 144.

9(x - 1 )2 - 16(y

1)2

(x

-w-Sol. a) (l,-2);

- = l.

+

(y

2)2

-· 9 - . = l.

b)(·-3,

-2).(5,-2);

c)(-4,-2),

(6, -2) : d) y

11. H alla r la ecuación de la hipérbola q ue  pase por el  punto ( 4, 6) 2

1

Las a ·intotas de 1a 1i1 ·pe'r bo1a "'

02

\

 )'

Opera ndo.

X

.

¡; = :t- -¡;· o  bien.

¿¡

 X

:=

2

 )'

+ yb ) =

2

= ±

3

4(x - I).

y cuyas asíntotas sean  y = ±vTx.

= + b  x. 0

- ¡; = O y

0 

 y ) ( \' b Como el prod ucto ( . -

asíntotas de ; :-

2

Y  -· h = 1 son  y

+

 X •

0

\'2 2

 )1

+ ¡; = O.  y2

-

b'l. = O, se ded uce q ue las ecuaciones de las

1 <;e  pueden determi nar an ulando el término i ndepend iente y descompo

niendo en factores.

En este  problema ,  pues, la ecuación de la hi pérbola t oma la forma

(y - v'I\') ( y + v:-i'x ) = e (consta nte). J 

J =

\ 64

LA H I PER BOLA

Sustit uyendo la s coordenadas del pu n to (4. 6). (6 -4 -/3) (6 Luego la ecuación ped ida es (y - vfy)(y

-1- \lfy)

4 v.3)

= e = -12.

= -12. o bien, 3x2 -y2 = 1 2.

Dos hi pérbolas son conjuf(adas si los ejes rea l e i magi na rio de una de ellas son, respectiva mente, el i magina rio y real de la ot ra. Para ha llar l a ecuación de la hipérbola con ju gada de una dada no hay más que ca mbiar en ésta los signos de los coeficien tes de x2 e y2.

 Definición.

12. Ded ucir la ecuación de la h i pérbola conjugada de ·

=

-

1 . Hallar las l.!Cuaciones de las asínto

tas y las coor enadas de los focos de ambas h i pérbolas.

 x; +

La ecuación de J a h i pérbola conjugada es -

= 1.

v9

En las dos hipérbola s, e = + 16 = 5. Luego las coord enadas de los focos de la h i pérbola dada son (J:5, O), y los de la conjugada (0. :J _ 5). - x, son las mismas para las dos hipérbolas.

Las ecuaciones de las asíntotas,  y = :t

13. Hallar el Jugar geométrico de los  puntos P( x. y) cuyo prod ucto de las  pend ientes de las rectas que los unen con Jos pun tos fijos (-2, 1) y (4. 5) es igual a 3. (

14.

)(

-)

= 3. Simpl ificando.

3x2  y2 + 6y -6x-29 = O, una hi pérbola. 8

Demostrar q uc la d iferencia de las d istancias del pu n to (8,

f ) de la hipérbola 64x

2 - 36y2

= 2.304

a los focos es igual a la longitud del eje real. Estas d istancias son los rad ios focales del  punto. Escribiendo la ecuación en la forma

La longi tud del eje rea l es 2a

=

2

2

; -

6

1 2.

Las diferencias de las d istancias del  punto

V

(8 + 10)2 +

(

-

sv7

2

)

--o

-(8 - 1 0)2

4

= 1 . Por

(s. )

tanto , e =

a los f ocos (± 10, O) es

sv7 )2 = + --O (

3

± ,/ 36 + 64 = ± 1 0.

3

58 -22

3

=

12.

3

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Hallar a) los vér tices, b) los focos, e) Ja excen1ricidad . d) el latus rectum, y e las ecuaciones de las asín tota s de las hipérbola s siguientes: ( 1) 4r -45y2 =

180; (2) 49 y 2

Sol . (1) a) (± 3 v'5, 0); b) ( ±7, 0); c)

- 16x = 784 ; 2

15

8vJ ;

:

15

d) -

(3) x2 -y2 = 25. e) y = ± 

5

15

(2) a) (o , ±4) ;  b) (O, ±v. 65) ; e ) (3) a) (± 5, O); b)

(±5v2, O);

e)

v65., 4

v2:

d 49 )T ; e>  y

d) 10;

e)  y

21v'  f x.

= ± 74  x.

= ± x.

rr r ..-............... ... .

lllil? ilill rm? illlíl .-... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

••

·ifiiiEiD midltl

\ 2.

LA HIPERBOLA

65

H allar las ecuaciones de las h ipérbolas que satisfacen las condiciones siguientes: Sol . 9x2 l6y2 = 144. a) E je real 8, focos ( ± 5. O). Sol. 144y2 - 25xi = 3.600. b) Eje imaginario 24, focos (O, ± 1 3). e) Centro (0, 0), un foco (8.0), u n vértice (6, 0). Sol . 7x2 -9y2 = 252. -

3. Hallar el l ugar geométrico de los  puntos cuya diferencia de distancias a los dos  puntos fijos (O, 3) y (O. -3) sea igual a 5. 100x2 = 275. Sol. 44y2 -

4. Hallar el l ugar geométrico de los puntos cuya d istancia al punto fijo (0, 6) sea igual a 3/2 de la corres pondiente a la r ecta  y -8/3 O. Sol . 5y2 -4x2 80.

=

=

5. H al lar la ecuación de la hipérbola de centro el or igen, eje real sobre el eje de coordenadas  y, longitud 2 del latÚ s rectum 36 y d istancia entre los focos igual a 24. = 108. Sol. 3y2  x 6. Ha llar la ecuación de la hipérbola de cen tr o el or igen , eje r eal so bre el eje de coordenadas  y, excen tricidad 2v'3y longitud del latus rectum igual a 18. Sol. 1 21y2 - l l x2 = 81. 1. Ha llar la ecuación de la hipérbola de centro el or igen, ejes sobre los de coordenadas y q ue pase por  Sol . x2 -3y2 = 6. los  puntos (3, 1) y (9. 5).

\ @ Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices ( ± 6,

0)

y asín totas 6  y

= ± 7x. Sol. 49x2 -36y2

=

1 .764.

@ H allar el l ugar geométrico de los  puntos cuya diferencia de distancia a los puntos fijos (-6.  y (2, -4) sea igual a 6.

S ol .

( x 

22 >

-

(y

42 )

=

-4)

1.

10. Hallar las coordenadas de a ) el centro, b) los focos, e) los vértices, y d) las ecuaciones de las asínto tas, de la hipérbola 9x2 l 6y2 -36x -32y - 124 = O. Sol. a) (2, -;- 1) ; b) (7, -1), (-3, -1); e) (6, -1), (-2, -1); d)  y + 1 = ± i< x - 2). -

11.

Demostrar q ue el l ugar geométrico de los pun tos cuyo pr od ucto de las  pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos (-2, 1 ) y (3, 2) es igual a 4, representa una hipérbola. Sol . 4x2 -y2 -4x + 3y -26 = O.

12.

Hallar el l ugar geométr ico de los puntos cu yo producto de distancias a las recta s 3x -4y y 3x + 4y -1 = O sea 144/25. ¿Qué curva repr esenta d icho l ugar ? Sol. 9x 2 - 16y2 - 18x + 32y - 1 51 = O. Hipér  bola .

'- 13.

H allar la ecuación de la hipérbola de cen tro (0, 0)1 un vértice en (3, 0) .Y ecuación de una asíntota 2x -3y ·= O. Sol. 4x 2 -9y 2 = 36.

14. Hallar la ecuación de la h ipérbola conjugada a la del Problema 1 3. 15.

Sol . 9y2 -- 4x2

=

36.

Dibujar las hipérbolas siguientes y hallar ss puntos de i ntersección . X2

+  X + 8y - 8 = 0, 4y2 + 3x + l 6y - 18 = O.

2y2

-

3x2 Sol . (1 , 1), ( 1 , 3), (-2. 1 ), (-2, 3). 16.

+1=O

Demostra r que la diferencia de d istancias del punto (6.

3

5) de la hipérbola 9x'- 16y 2 = 144 a

'

los focos es igual a la longitud del eje real. Estas d istancias son los radios focales del  punto. .

r 

CA PITU LO 8

Transfor1uaciún de coordenadas I NTRODUCCI ON . En geomet ría analí tica. al igua l q ue en f ísica, es m uy i mporta n te elegi r un sistema de coord enad as. o referen cia, adecuad o con objeto de sim pl ifica r a l máxi mo l as ecuaciones y q ue el  proceso de r esol ución sea l o m;ís rá pid o posi bl e. Ello se r ealiza med iante una transformación de ejes coordenad os cuyo  proceso gen era l se  pu ede co nsiderar red ucido a dos movi mientos, u no de tra sl ación y ot ro de 1otoció11. TR ASLACI O N DE EJES. Sean OX y OY l os ejes  pr imitivos y O'  X ' y O' Y ',  para lelos res pect i va mente a los an teri ores. l os nuevos ejes. Sea n también ( h, k) las coor denadas de O' con res  pecto al sistema inicial. Supongamo s q ue (x, y ) son las coordenadas de un punto P con res pecto a los ejes pri mit ivos, y (   x ' , y' ) las coor denadas, del mismo pu nt o, res  pecto de los nu evos. Para determina r  x e  y en función de x' , y' , lt y k se t iene :

+ M' P = h + x'  y = N P = NN' + N'P = k + y'

Y'

----M' --·-----¡P 'A. ,. ),, \....,y

•M,

l 1 J

1

J N'

o' ,'1,k.)

1 1

-o t--------1

Por tanto, las e1.:uaciones de la t r::i sl nción de ejes son :  X = X  ft ,  )'

+

= }'

1

+ k.

R OTACION DE EJ ES. Sean OX y OY los ejes  pri mitivos y OX ' y OY' los nuevos, siendo O el origen com ú n de ambos sistema s. R epresen tem os  por O el ángulo  X ' OX de la rot ación . Su ponga m os q ue (x , y) son las coord enadas de un  punto P  del plan o con res pecto a los ejes pri mit ivos, y (x' , y' ) las coordenadas, del m ismo punt o, r especto de Jos nuevos. Para determina r  x e y  en función de  x ', y ' y O, se t iene:

y

 pg:;1

 _ _ _ _ _ x __ _ _ :;,r\ .1

1

••

J.--

-

-

 _  _,, ...

--- ...-

1

 X =

 J  I 

•

'\

\

' e \

'

I 

\

\) \

\ \

1

\

1' ''- -- , N  •

OM = ON - M N  =  x ' cos O -y' sen O  y = MP = MM ' + M' P = NN' = x' sen O + y' cos O.

N '1 ----r 

1

e

 x = MP = MM'

1

y

\

' '

I 

1

+ M' P 

e

Por ta n t o. las f órmulas de J a rot aci ón O de los ejes coordenados son :

 x = x ' cos O -y' sen O ,  y =  x' sen O + y' cos O. 6tl

X

TR ANSFO RMAClON DE COOR DENA DAS

67

PROBLEM AS RESU ELTOS J.

H allar la ecuación 1.k la cu r v a 2x2 1 3 y 2 8x t 6   y "' 7 cuando se t raslada el origen de coordenadas al punt o (2.·-1 ). Sustit uyendo dada se obt iene 2(.x '

+ 2)2

 x

r  ' 1

2. y

y' 

y

Y1

en la ecuación

1

1

' co.'iG)

.¡.. 3( y ' -- 1 )2

-

8(x ' 1 2)

6(y' -- 1 ) -- 7.

i

(3,0)

- X:

curva refe rida a los n uevos ejes. Desarrolland o y simpl ifica ndo. se llega a La ecuaci ón de la

2.r'2 1

3y' 2 --'-

 _ _ _ et _ _ _ _ _ _ 1

X

18.

Esta es la ecuación de la elipse con cent ro en el n uevo origen, con el eje mayor so bre el eje x' y de semiejes " - 3, h = \ 16.

2.

+

Por medio de u na tra slación de ejes. transforma r la ecuación 3xi -4y en la cua l los coeficien tes de l os ténni nos de pri mer grado sean n ulos .

24y

6x

=

1 35 en otra

Sust it u yendo  x e  y  por los valor es  x ' + h e v' , k. res pect i vamente. 3( x '

-! /¡)'l - 4(y '

3x'2 -4y'2

De 6h

+ k )2 + 6(.x' -!

h) 1 24( y' 1- k ) - 1 35. o bien

+ (6'1 + 6)x' -(8k -24)y'

1- 3'12 -4k 2 1 6/r

+ 6 = O y 8k -24 = O se obtiene '1 = -1 y k = 3. con

+ 24k

135.

lo cual resulta

3x'2 -4y'2 =- 102. Esta es la ecuación de una hipérbola con centro en el origen , eje real o t ran sver sa l sobre el e je x y -;emiejc real igual a \134 Otr o método. A veces, para el imin ar los térmi nos de pr imer grado de u na ecuación, se sigue el método q ue se da a continuación . Sumando y r estando los térmi nos q ue se i nd ican ( para completa r cuadrad os) en la ecuación dada 3x2 -4y 2 + 6x + 24y = 135.

resulta

3(x2

+ 2x + 1 ) -4(y 2

o bien.

3(x

Sustituyendo x

+

+ 1)2

-4(y

6y : 9) - 102.

-3)2

=

1 02.

 por  x ' e y - 3 por y' resulta 3x '2  -4y'2

3.

-

Ded ucir Ja ecuación de la parábola  x 2 -2xy un ángulo de 4º.  x = x' cos 45° -y' sen 45º

 x ' - y' 

=-

= 102.

+ y2 + 2x -4y + 3 = O cua ndo e  y

 ,12

se giran los ejes

+ y ' - -' --==  x , sen 45º + y , cos 45 =  x  -. 0

 ,12

Sustituyendo estos va lor es en la ecuación dada (- x'

y'

f -·

2 ( x'

vÍ ) ( ·;/··) + (

 x ' $  2y '

Desarrollando y sim plificando se obtiene 2y'2

) + 2 ( _x' t

-

2 y' ) -4 (  x'

vfx' - 3\1iy' + 3 = O.

/' )

+ 3 = o.

q ue es Ja misma

TRA NSFOR MACI ON DE COORDENADAS 2 --,  para 1e1a con su ve.rt1.ce en ( 3v 8

4.

3v2)

4

y su ej.e para 1e1o e1 nuevo ej.e x.

Hallar el ángulo de rotación de ejes necesario para eliminar el término en  xy de la ecuación 7x2 -6v'3xy + 13y2 = 16.

=  x' cos O -y' sen O e y =  x' sen () + y ' cos (J. Se obtiene,

Sustituyendo en la ecuación dada  x

7(x ' cos O - y' sen 0)2 -6v3(x' cos () -y' sen O) (x' sen O

+ 13(x' sen O + y'

cos 0)2

+ y' cos O)

= 1 6.

Desar rollando y reduciendo térm inos semejantes,

(7 cos20 -6v3sen O cos O

+

+ [12 sen

13 sen2 0)x'2

+ (7 sen2 {) + 6v'f sen

() cos {)

O cos O -6v'3(cos2 0 -sen 20)]x'y'

+ 1 3 cos 0)y' = 16. 2

2

Para eliminar el término en x'y', igualamos a cero el coeficiente de dicho término y despe jamos O,

12 sen

{) cos O -6v'3(cos 20 -sen2 0)

= O,

o

6 sen 28 -6v3(cos 20) = O. Luego tg 2 0

=

v'3.

20

=

60º, de donde ()

=

30º.

Sustit uyendo este valor de fJ, la ecuación se red uce a x'2 + 4y'2 = 4, que representa una elipse de centro en el origen y que tiene sus ejes sobr e los nuevos. Los semiejes mayor y menor son, respec tivamente, a = 2, b = 1 . LA FORM A M AS GENERA L de Ja ecuación de segundo grado es

 Ax 2

+ Bxy + Cy + Dx + Ey + F = O. 2

En el estudio general de esta ecuación, se demuestra que el ángulo O que se deben girar los ejes  para eliminar el término en  xy viene dado por  B tg 2{) =  A -e· 5.

Med iante u na tra slación y una rotación de ejes, reducir la ecuación

5x2

+ 6xy + 5y2

-4x

+ 4y -4 = O

a su forma más simple. Hacer un esquema en el que fi$uren los tr es sistemas de ejes coordenados.

+ h, y = y' + k. + h) + 4( y ' + k) -4 = O.

Para eliminar los términos de primer grado hacemos  x = x' 5( x '

+ h)2 + 6( x ' +h ) ( y' + k) + 5(y ' + k)"' -4(x' Desar r ollando y agrupando términos,

5x' 2

+ 6x'y' + 5y'  +(10h + 6k -4)x ' + (I Ok + 6h + 4)y' + 5h + 6hk + 5k  1

1

Resolviendo el sistema for mado por  IOh k = -1. Luego la ecuación se red uce a

5x'2

+ 6k -4

-4h

+ 4k -4 = O.

+ 6h + 4 = O se obtiene h = 1,

+ 6x'y' + 5y'  = 8. 1

Para hallar º·se emplea Ja fórmula tg 20 =  A !!._ e

,,

Las ecuaciones de la r otación son x'

= O y  I Ok

2

= x

,,

 y

v'2

-

6 - = OO. Por tanto, 20 = 90º, () = 45°. -5 -5

'' + ,, , y' = !._-l-. v'2

TRANSFOR MACION DE COORDENADAS

69

Sustituyendo,

5 ( x"

-:iy" ) + 6 ( x" -:iy" ) ( x "  / " ) 2

+5

.!.

C":/ .. r =

,•

y

""t'

(0.2)

8.

X

Desarrollando y si m plificando, la ecuación se re d uce a 4x "2 + y"2 = 4,

que es una el i pse con sus ejes sobre los x " e y ",con cen t ro en el n uevo or igen. sem ieje mayo r 2 y semieje menor  igual a l . LA ECU ACION G ENE RA L  Ax 2 + Bx y + Cy2 + Dx + Ey + F = O, excepto en casos pa rticulares, corresponde a una sección cónica. Se demuestra que si el d iscriminante

82 -4 AC < O, la curva es una elipse, 82 -4AC = O, la curva es una parábola, B2 -4AC > O, la curva es una hipérbola. En los casos  particulares, la ecuación  puede r epresentar (degeneración) dos rectas, un  punt o o rectas imaginar ias.

6.

+y2 -6x + 3y + 2 = O.

Hallar la naturaleza de la cur va representada  por la ecuación : 4x2 -4 xy Como 81 4A C = 16 - 16 = O,  puede ser una parábola. -

Agr upando términos, esta ecuación se puede descomponer en factores.

(4x2 -4xy

+y

2 )-

+ 2 = O,

(2x -y)2 -3(2x -y)

+ 2 = O,

(2x - y - 1) (2x - y

-2) = O.

Se trata de las dos rectas paralelas , 2x -y

7.

3(2x - y)

-

1

=O

y 2x -y - 2

= O.

Determinar la nat uraleza del l ugar geométrico repr e sentado por la ecuación 9x 2 l 2xy + 7y2 + 4 =0. En este caso, 82 -4AC = (144 -252) < O, que es la condición necesaria para Ja el ipse. Sin embargo. escribiendo esta ecuación en la forma -

(3x -2y)2

+ 3y2 + 4 .....,.

O

se observa q ue no se satisface para valores reales de  x e y . Por canco, el l ugar en cuestión es ima ginario. Otr o método consiste en des pejar  y en función de  x,

 y =

+ 12x

± v{l2x)1-4(7)(9x1+ 4)

+ 6x ±

2(7)

v-(27x1 1

+ 28)

El lugar geométrico dado es imaginario para todos los valores reales de x.

8.

El im inar los términ os de primer grado en la ecuación 3x2 + 4y2 1 2x Sumando y restando t érminos.  pa ra completar cuad rados, 3(x2 - 4x o sea. 3(x -2)11 + 4(y + )2 = O. -

H aciendo x - 2 = x' e y

+

4 y

+ 13 = O.

+ 4) + 4(y2

+y

+ !) =

O,

+ != y' se obtiene 3x'  + 4y'2 = O.

Esta ecuación solo se satisface  para  x'

2

=

O.  y' = O, q ue es t:l nuevo origen .

El l uga r geométrico repre sentad o  por la ecuación orig111a l se r ed uce a u n  punto (2, -j).

-

70

TR ANSFORMACION DE COORDENADAS

9. Simplifica r la ecuación siguiente: 4x2 -4xy

+ y 2

-

8 \fsx -16\/SI' - O.

Como 82 4AC = O, puede t rata rse de u na  pa rábola . En el caso de la pa rábola. con viene gi ra r los ejes a n tes dt.> efect uar la traslación . -

= - 4 . De donde cos 2() :....:: - 3.. 3 5 Como cos 20 = 2 cos2 (J - 1 = - . cos2 fJ = -4

tg 20 =  _  4 1

+·

..  x ' - 2 y' = -- - --·  y Las ecuaciones de la rotac1on son  x

cos O

 }.v'

4 ( x'

)2- -!y') ( y')+ ( 4(-x'

2x' :

vs

 ,15

v5

2x' +y '

v'5

Desarrollando y simpl i ficando se obtiene y ' 

2

-

, 5

y

sen () .-...

•

.

 s v Sust11uycndo. 8v'5 ( x' -!y' )'  - 1 6 v'5 ( 2x'

= -· --··

)2-

2

Js

2   x' + y'

.

v s

= -

v'5

8x' = O, q ue es u na pa rá bola .

-y') = O. v'5

1

j X

 Prob/e111a. 9

!U 

 Problema

10. Simplifica r la ecuación  xy

-2y -4x =

O. Hacer un esquema con los t r es sistemas de ejes.

= 1 > O, la curva, si existe, es una hipérbola . =  x' + h, y = y' + k . se obt iene . (x' + h) (y' + k ) - 2(y ' + k ) ·- 4(x' + h) = O, o bien,

Como 82 -4AC Sustituyendo  x

 x'y'

Para k

+ (k -4)x' + (h -2)y"+ hk -2k - 4/i = O.

= 4, h =- 2, se llega a la ecuación  x' y' ""

Para hallar el ángulo de la rotación :

Luego x'

-:iy" , y' =  x "

=  x " 

:.

8.

r.g 20 =

y (

Simplificando, la ecuación final es  x " 2  -y" 2

, 1

= l"lV,

20 = 90", O

'' ) "' , /  " ) (:' 

=

8.

16, una h i pérbola eq uilátera.

ll. Hallar

la ecuación de la cónica q ue pasa por los  pu n t os (1, 1 ). (2, Divid iendo por  A la ecuación genera l de segu ndo grado,  x 2

= 45•.

+ B'  xy + Cy 2 + D'x + E'y

J),

-1- F' = O.

(3, -1 ), (-3. 2), (-2. -1 ).

TR ANSFOR M ACION DE COOR DENADAS

71

Sust it uye ndo las coo rd enadas de los pu nt os por  x e  y, 8 ' -1 C 68' + 9C

+ f)' !  E' r 20 ' + JE '

-! F '

-1

-1  F' = -4 -38 ' + C + JO' - E' 1 F' =- -9 -68' 14C - 30 ' + 2E' + F' = -9 28' 1 C -20' - E ' + F' - -4

R eso 1v1.cn d o e I s.istema.

8 .

1 = 89 ·( " = 91 3 · f. . =J- 9 . E -· = T1 9

•

F '

...:: - -229 ·

Sustit uye ndo estos valores en la ecuación original y simpl ifica ndo resulta 9x2

+ 8xy - 1 3y2

.·

+ 19y - 22 - 0.

Como 82 -4 AC = (64 ·I 468) > O. l a cón ica es u na h i pérbola .

y

Otro método de resolver esle problema es el siguien te.

La ecuación de la recta  AB es  x - 5y + 13 = O. y l a de CD es  y -1 1 = O. La ecuación de este par de recta s es (y f- 1 ) (.\ -5y + 13) =  X )' - 5y2 + x ...¡. 8 y + 1 3 = 0. Análogamen te. la ecuación d el par de rectas  A f) y  BC es 12.\'2 + 7xy  1y 2 - 5x -4y - 77 = O. La fa mil ia de cu rvas q ue  pasa n  por los puntos de in ter sección de estas rectas e

 xy

- 5y2 L

x ,- 8y + 1 3 -+ k( l 2x 2 + 7x y +. y 2 - 5x -4 y -77 ) = 0.

Pa ra determi nar la curva de esta fa mil ia q ue  pase  por el q u in to  pun to ( l . 1), se sustit uyen  x e y  por las coordenada s de ésle y se despeja el valor de k ; se obtiene k = 311 1 . Pa ra este valor de k . la ecuación es

9x2

+ 8xy - 1 3y

PROBLE  M AS

l.

-x

+ 19y -22 = O.

PROPU ESTOS

Apl icando las fórm u las de la traslación de ejes.  x =-  x ' + h. y = y ' + k , red ucir las ecuaciones si gu ientes a su forma más simple y establecer la naturaleza de la figu ra q ue repr esentan. a)

 yz -6y -4 x

h) "2 l)

e/)

+ 5 = O.

+ y2 + 2x -4 y -20 "-'" O.

Jx2 -4 y t -j 1 2x

+ 8y -4 = O.

+ 3y - 4 x t- l 2y -20 = o. x2 + 5 y + 2x -20y + 25 = O. 2x2

2

2

e )

2.

2

Sol.  y 2 = 4x. Parábola . Sol .  x2

+  y2 = 25.

Ci rcunferencia.

Sol . Jx 2 -4y2 = 12.

H i pérbola .

Sol. 2xt + 3y 2 = 34. Elipse . Sol. x2 + 5y2 + 4 = O. El i pse imaginaria.

Eliminar los térm i nos de  primer grado de las ecuaciones siguientes com pletando cuadrados perfectos. Sol. 2x2 + 4y2 = 33. a) x2 + 2y2 -4x + 6y -8 = O.

,,

3x2 -4y2 -,. 6x -8y - 10 = O.

e)

2x2 + 5y2 - 1 2x

)

+ I Oy - 1 7 = O.

d) 3x2 + 3y2 - 1 2x + 12y -J = 0.

Sol. 3x2 _ 4y2 = 9.

Sol . 2x 2 + 5y2 = 40. Sol. 3x2 + 3y2 = 25.

TRANSFORMACI ON DE COORDENADAS

72

3. Por medio de u na t ra slacíón de ejes. eli mi nar los térmínos de primer gr ado de la ecuación 2xy  x  y + 4 = O. Sol . 4xy + 7 = O. 4.

Por med io de u na traslación de ejes. el im inar los térm inos de pri mer grado de la ecuación  x2 + 3 y 2 + 2 x -4 y - 1 = O. Sol . 2 x2 + 4 xy + 6y2 - 1 3 = O.

+ 2xy

S. Halla r la nat uraleza de las cónicas siguien tes ten iendo en cuenta el valor del d iscri mi nante 8 2 -4AC.

+ 3y + x -32 = O. 4 1x2 -84 xy + 76y2 = 168. 1 6x2 + 24 xy + 9yi - 30x + 40 y =

3x2

a) h)

e)

-

e)

Sol . Hi pérbola .

2

Sol. El ipse. O.

Sol .

+ x -2 y + 3 = 0.

d)  x y I•

1 O xy

Sol . Hipér bola.

+ 4y = 4.

 x 2 -4 xy

Parábola.

Sol. Dos rectas paralelas.

2

.¡

l

6. Por medio de una rotación de ejes, sim pl ificar la ecuación 9x2 + 24 xy + l6y2 + 90x - l 30y y hallar la nat uraleza de la figura que representa. Sol. x 2 -2x -6y = O. Parábola.

7. Por med io de una rotación de ejes de valor O

= are tg

=O

, simplificar la ecuación

·

9x2

ll

+ 24xy + 16y2 + 80x -60y = O.

Hacer u n esquema con am bos sistemas de ejes.

l

Sol.  x2 -4y

= O.

8. Sim.plíficar las ecuacíones sigu ientes  por med io de una t ransformacíón adecuada de ejes y d i bujar 

la figura q ue representan así como los sistemas de ejes.

'.j

¡

't 1

t

a)

9x2

h)  xz e)

!.

2

-

17x2

d) 2x2 '

+ 4x y + 6  y + 1 2 x -t 36y + 44 = O. 1Ox y + y 2 + x + y + 1 = O. -

1 2 x y

+ 3 x y + 4y + 2 x -3y + 5 = O. 2

1

2x2

t yz

Sol . 32x 2 -48y2

2. = 9.

Sol.  x 2 + 4y 2 = 16. Sol.

1m.aginaria.

9. Hal lar la ecuación de la cónica q ue pasa por los puntos (5. 2), (1, -2), (-1. 1), (2, 5) y (-l,-2). Sol. 49x2 55 x y + 36y2 l I Ox - 19y -231 = O. Eli pse .

-

·I

+ 8y2 -68x + 24y - 12 = O.

Sol.

-

10. Hallar la ecuación de la cón ica q ue pasa por los pun t os (1, 1 ), (-1, 2), (0, -2), (-2,-1), (3, -3).

Sol.

 x 2 1 6 

+ 46xy + 49y 2 + 1 6x + 23 y - 1 50 = O.

El i pse.

11. Halla r la ecuación de la cónica q ue pasa por los  puntos (4, 1), (2, 2), (3, -2), (4, -1), (1 , -3). Sol. 1 7x2 1 6x y + 54y2 + ll x + 64 y - 370 = O. El ipse. -

12. Hallar la ecuación de la con1ca q ue  pasa por los puntos (1, 6), (-3, -2), (.-5, 0), (3, 4), (O, 10)

Sol.  x y -2x

+  y - 10 = O.

Hipérbola.

 _.::.

CA PITU LO 9

Coordenadas polares COOR DENADAS POLA R ES. En l ugar de fijar la  posición de un pu nto del plano en función de sus d istancias a dos rectas perpendiculares es preferi ble, a veces, hacerlo en fu nción de su d istancia a u n pun to fijo y de la d irección con respecto a u na recta fija q ue pase  por este  pu n to . Las coordenadas de u n pu n to, en esta referencia, se llaman coordenadas  polares. El pun to fijo

O

se denomina  polo y la recta fija

OA

se llama

eje polar.

Las coordenadas  polares de un pu nto  P se representan por  (r; O), siendo r la distancia OP y O el ángulo  AOP. La d istancia r  medida desde O hasta P es positiva. I gual q ue en trigonomet ría , el ángulo () es positivo cuando se mide en sen tido cont rario al de las agujas del reloj; r es positivo cua ndo se mide desde el polo al pun to, 'X  _ negativo en caso con trario .

Si r y O están relacionados por u na ecuación cualq uiera , se  pueden asignar valore s a O y determi nar los cor respondientes de r. Los puntos que r esultan constituyen u na lí nea, recta o cu rva, defi nida.

P (r . e)

... o

 A

SI METRIAS. Igual q ue ocu r re en el caso de coordenadas car tesianas rectangulares, cua ndo se emplean coordenadas  polares también se dispone de cr iterios para averiguar las si metrías q ue puede  presen tar una l ínea o l ugar geométrico cualq uiera .

Si la ecuación no se mod ifica a l sustit ui r O  por -0, la cu rva es si métrica con respecto al eje  pola r. La cu rva es simétrica con respecto a la  perpendicular al eje polar q ue  pasa por el  polo cuando la ecuación no va ría al susti tu i r ()  por n -O . U na curva es simétrica con respecto al  polo cuando la ecuación no va ría al sus1i1ui r r  '  por -r, o cuando se sustituye O  por n + O. RELACION ENTR E LAS COOR DEN A DAS R ECTA NG U LA R ES Y POLA R ES. Consideremos al pun to P(r ; O) y su pongamos q ue el eje  polar OX y el  polo O son, r espectivamente, el eje  x y el origen de un sistema de coordenadas recta ngulares . Sean (x. y ) las coordenadas recta ngulares del mismo pu n to P. En estas condicione s,

..

 x

=

y

 p(x,y'. {r,8)

r

r cos O,

y

 y = r sen O,

r y

=

y'X2 +  y2,

O = are tg X

 X 

X

! ' 

. 73

•

X

PROBLEMAS

RESUELTOS

Como se conocen dos lados de un triángulo y el án gu lo q ue forman, el tercer lado se  puede determinar me d iante el teorema del coseno.

X

2.

Hallar la d ista ncia entre los  pun tos (6; 1 5º) y (8: 75º).

Apl icando la fórm ula del Problema 1, d = V6'+ 81-2(6) (8) cos (75" - 15º)

= v'36 + 64 -96(!) = 2v'l3. 3.

Hallar la ecuación en coordenadas  polares de la circunferencia de centro (r 1 ; fJ 1) y radio a.

Sea (r ; 0) un punto genérico cualquiera de la ci rcunferencia. Del triángu lo de Ja figura se obtiene la ecuación

a2

= r 2 +

r 12 -2rrl cos (fJ - 01)

o bien,

X

 Problema 4

 Pr oblema 3 4.

Ha l lar la ecuación de Ja circunferencia de centro (a ; Oº) y rad io a.

Se tiene. 0 1 = Oº. Del triángulo se ded uce, a2 = r 2 + a2 -2ra cos fJ. Luego la ecuación  ped ida es r 2 = 2ar cos O o r = 2a cos O. •

5.

Halla r el área del triángulo cuyos vértices son los pun tos (O ; 0), (r, ; O,) y
Area

=

(OP1) (h)

= t(r 1)r  2 sen (02 -0 1)

= r 1r 2 sen ( 02 6.

-

01 ).

Hallar el área del triángu lo cuyos vértices son les puntos (O: 0). (6; 20°) y (9: SOº).

Area = !r 1r sen (0 2 - fJ 1 ) = t(6) (9) sen (50 -20 )

= 1 3,5 un idades de superficie.

COOR DAS DENAPOLA DAS RPOLAR ES COOR DENA ES

74

7. H a l lar la ecuación de la r ecta q ue  pasa por el  pun t o (2; JOº)

75

y es  perpend icular al eje  polar OX.

Sea (r : 0) u n p u n to genérico cua lq u iera de la recta.

Se tiene r cos O = 2 cos 30" = 2(

J ) - VT. o  bien, r cos O =

v'J

(r, 8   )

(2,0'J

X

 Problema 7

 Problema 8

8. Halla r la ecuación en coordenadas  polares c!e una recta  para lela a l eje polar  bajo de él a una d istancia de 4 unidades.

..

OX

y situada por de

Sea (r ; -0) un pu n t o cualq uiera de la recta  L. Se tiene r sen (-0) = 4. o sea. r sen O + 4 - O.  Nota . eos (-8)

= co:. O ; sen ( -0)

= -

sr n O.

9. Hallar la ecuación de la recta q ue rase por el  pu n to (4; 30º) y forme en ángulo de 150º con el ejP.  polar . Sea (r: O) un  pun to cua lq u iera de la recta.

= r cos (O -60")

Se tiene, OA

·:: 4 sen 60', o hicn, r cos (O -60º) = 2VJ.

o

X  Pr oblema 9

X

 P roblrma  J O

10. Hallar la ecuación de la recta que pase por el pu nto (4; 120º) y sea perpendi cula r a la que une (4; 120º) con el polo (O; O). Sea (r ; 8) un p u nto genérico cualq u ier a de la recta .

las rectas  L y ( O - 120º)

= 4.

d

son  perpendiculares . Por tanto,

d

= r cos ( () - 120º) y la ecuación de l es r cos

La ecuación r cos ( e - 1 20º) = 4 es la forma polar de la fonna normal de la ecuación de la · recta en coordenadas recta ngulares. siendo  p = 4 y ,,, = 1 20º.

tl . Hallar el lugar geométrico de los puntos P( r : 0) de manera OP 

que  M P

D

M -- ---- ----

= e (constante).

 M P = NO + OQ = p +' r cos fJ. Como OP = e( M P ), r = e( p + r cos 0)

o

r

=

. ep 1 -e cos O

P ( r.8  )

t 1 1

1

o

N

D'

Q

X

Si D' D estuviera a l 1 derecha del polo O, la ecuación sería ep

r =

1 + e cos fJ

.

Como el  punto (r ; l') se mueve de forma q ue la relación de sus distancia s a l  punto fijo O. polo, y a la recta fija D'D es constante e igual a e, la curva es u na cónica cuya naturaleza depende del va lor de e. Si la recta fija D'D 1:s  paralela al eje  polar , la ecuació n torna la forma ep

r -- ---'--- 1 T e sen fJ •

12.

Hallar la naturaleza de la cónica defin ida por la ecuación

r

-= 4

+

12

. 3 cos 0

Divid iendo n umerador y denom i nador  por 4 se obtiene la ecuación r = 1 Luego e = ¡y la cu r va es una elipse.

J

i

-l-cos

() .

Como  ep = 3, o sea, i P = 3, se obtiene p = 4, con lo cual, la directriz D' D es  perpendicular al eje polar y está a 4 unidades a la der echa del polo. 13.

Hallar la ecuación en coordenadas polar es de la eli pse 9 x" Aplicando las relaciones  x

= r cos 8, y

+ 4 j' = 36.

= r sen O, y sustituyendo en la ecuación dada se obtiene

9r" cos20 + 4r " sen"8 = 36, o bien , r'(4

+ 5 cos"8) = 36.

14. Escribir la ecuación siguiente en coordenadas rectangulares :

r '- 2r(cos  fJ Sustituyendo r

-sen

fJ) -7 - O.

= V x + y. () = ar e tg .!'.., se obtiene la ecuación  X 

 x2

+y -2v x + y 2

(

 x

v;
2

Y

) -7

vx' + i' 

= O, o bien,  x' ' + y"' -2 x

+ 2y -7 = O,

que es una cir cunferencia de centro (1, -1) y radio 3. 15. Escri bir la ecuación siguiente en coordenadas rectangulares :

r=

Sustituyendo r

= V x2 + y2

1

4 () , o  bi.en r (I -cos 8) -cos

y cos () =

v x

 x •

+ y2

= 4.

se obt iene V xi -

+ y2 (1 - V  x+ ) - 4  xt  y2 - ·

V  x' + y2 - x = 4, o bien ./X'+ y2 = x

-4 4. Eleva ndo al cuadr a do, x 1 + y1 = x' + 8x + 16. o bien, y2 - 8x - 16 = O, que es la ecuación Sim plificando,

de una parábola de vértice (-2, 0) y simétrica con res pecto al eje x. 16. Escri bir la ecuación siguiente en coordenadas rectangula r es

'=

1 -2 sen O ·

e identificar la curva.

I  COOR DENA DAS POLA R ES

76

COOR DENA DAS POLA R l:S

\./ x2

Sustit uyendo.

+ y2 =  _

77

1

--- -.,,,--

2y

1 - -==- \'1-:-\'. 1  y2

+ y2

\ 'x2

.

Vx + y 2 =-- -; ======::=- , o  bien. Vx 2  -y 2 ( \ 'x2 + y 2 -2y - 1 ) = O.

Simplificando,

2

 x2 -l y2 - 2y

v x + y  = O solo  pa ra  x - y 2

Pero

2

O.

1 2 Eleva nJ o al cuadrado y si mpl ifica ndo la ecuación \ x -4y - 1 = O; se trata de una hipérbola.

+ y 

2-

= O se obt iene  x 2 -·3y2

2y - 1

17. Hallar las coordenadas de los  pun tos de i ntersección de las cur vas sigu ientes:

= 1 -cos (J  ,. = sen O.

( 1) r (2) Sabe mos  por trigonometría que 1 -cos O

=

2 sen 2 tO .

Por tanto. 2 sen 2 !f:I = sen !O, o  bien , sen iO (2 sen O - 1 ) Para sen iO =- O, O

= O";  para

sen !O

= O. De donde, sen

= !. !O = 30º. 1 50º, y

() = O,  A.

{) = 60º, 300º.

Luego las coordenadas de los pu n t os de i n ter sección son (0, Oº), (i. 60º), ( . 300u ).

+ 4r co s {) -4 ,13 r sen () -20 - O.

18. H allar el cen tro y el rad io de la circunferencia r 2

Aplicand o la ecuación de la circunferencia dada en el Problema 3 y desa rr ollando se obtiene

r 2 -2r(r 1 cos 0 1 cos O

o  bien ,

r

2

-2r  1

+ r 

1

+r r sen O + r

sen 0 1 sen 0)

cos 0 1 r cos O - 2r 1sen 01

Comparando la ecuación dada con esta última, (1) -2r 1 cos 0 1 = 4, (2) 2r 1 sen 0 1

1

= 4 ,1 3,

O

2 a2 1 -

y

2 -a2

= O.

(3) r 1 -a = -20. 2

2 

Dividie nd o la ecua ción (2) por ( !), tg 0 1 = -\13, 01 = 1 20º. Sustit uyendo en (!), -2r 1(-!l = 4. de donde, r 1

-

4.  De (3). 16 -a2

-

-20, a - 6.

L u ego el cen t ro de la circu nferencia es t'f  pun to (4: 1 20 ) y su rad io vaf e 6. 19. Hallar el lugar geométrico de los  puntos cuyo prod uc t o de d is tancias a los dos fijos (-a ; Oº) y (a: O ) sea igua 1 a a2•

P(r,B)

Del triángu lo  AOP se ded uce,

 AP

=

va + r 2 2

cos ( 180º -O) = v ' a 2

-2ar

Del triángul o  BOP. ( AP )( PB )

=

(a2

PB

+ ,2)2

= va + r  2

 _

+ 2a2r 2

2ar cos O.

-

402,2 cos20 =- 02.

Elevand o al cuad rado, a 4 1- 2a 2r 2 Simplificando, r 4

2

+ r 2 + 2ar cos O.

-4rh

Luego la ecuación  pedida es r 2

2

+ r '1 4a r  cos 20 = a

cos20

+ 2a2

-

2 2

., O, o  bien, r 2(r 2 -4n 2

X

4•

+ 2a2

-4a2

cos20 ,_ O.

o sea, r 2 = 2a2(2 cos20 - 1) = 2a 2 cos 20. (Lemn iscata. Ver Problem a 25.)

cos2 0)

= O.

COOR DENA DAS POLA Rl-.S

18

20 . U n i.cgmen to de longi tuc 2a tiene sus ext remos so bn:s dos recta s fijas  pcrpe ndicula rc::.. H a lla r d l ugar geomét rico de ! pie de la per  pend icular  t razada desde el  pu n to d ! inter sección de las r ecta s a l segmen t o.

Sea una dr las rectas fijas el eje polar y el pu n to de inter sección de las rectas dadas el  p..:>lo. OP sec O = AB cos( 90 , -- 0) Se t iene O A es deci r.

sec O = 2a cos (90" - O) o ·--·· = 2a sen O . o bien. cos (} Luego ,. =- 2a sen O cos (} , de donde, r - a sen 2fJ . (Trébol de cuatro h o jas.) r

e

 A X

21 . Est udia r y d i bu1ar el l uga r geométr ico de ecuaci ón r - 10 cos fJ. Corno co::. -fJ) -= cos fJ. la cur v a es si métrica con r espec to a l eje  polar . El ángu lo O  puede tomar  cua lq ui er valor,  pero r va ría de O a ± 10: l uego la cur v a es cerrada. Para hallar  punt os de ella, damos valores a () y calculam os los cor r espond ien tes de r. Por el Pr o blema 4 sabemos q ue el l ugar dad o es una cir cunferencia de rad io a = 5 y cen t ro en el eje polar. ()

O''

30n

45°

60º

90º

120º

135º

1 50

180''

r 

10

8,7

7.1

5

o

-5

-7.1

-8,7

-10

--

120•

90'

GO'

45•

30'

X

Pr v bf, 111a 22 

 Pr oblema 21

•

2 22. . Di bujar la curva o l ugar geomé t rico de ecu"ción r ------,,.. 1

-cos o .

...

Como cos (-0) = cos O, la cur v a es simét rica con res pecto al eje  polar . Pa ra O -- O'', r es infin ito: para O = 180º. ,. -

La cu rva es abierta.

l.

Según el Problema 1 1, se trata de una  pa rabola .

23.

o

Oº

r 

ex,.

1

30"

r  14,9

1 1

60"

90"

4

2

1 20"

¡ 1 so" ¡ 1soq

1,3 1 1 , 1

Di bujar el t r ébol de t r es hojas de ecuación r

1

1

= 10 sen

2 10" 240" 1,1

'

1 ,3

270" 300º 330º 360º 2

4

14,9

00

30.

Como el seno es positivo en los cuad rantes 1 .º y 2.º

y

negati vo en los 3." y 4.0 • la cur va es simé

t rica con respecto a la recta perpend icular al eje  polar t r azada  por el polo.

COORDENADAS POLARES

79

El va lor de r es ce r o cuando 30 sea Oº. 1 80º, o algún múl ti plo de 180". es decir. para O = Oº, 60º, 120º. . . . Por el con t rari o. r a lca nza un máxi mo cuando 30 =- 90º. 270º. o algún m ú ltiplo im par  de 90º. e dl!ci r, para O ==- 30 . 90". 1 50·. . . .

o ,.

Oº

o

1 1

30 10

1 60º 1

1

o

90"

120º

150''

-10

o

10

i 1 80º 1 21 Oº o

1

1

-10

240° 270º 300º 330°

o

10

o

·-10

 Pr oblema 24

 Prob/ e111<1 2.1

24. Dibujar la C"ardioide de ecuación r - 5( l

+ cos

0).

La curva es simétrica con res pecto al eje  pol ar . Corno cos O varía entre 1 y -t.r no puede ser negat ivo. El valor de r va r ía de 1O a O cuando O lo hace de Oº a 180". (}

,.

10

30" 9,3

1

¡

45" 8,5

¡ i7

90º 120º J 135º 1 50 J 180" 5 --J- 2.5-'; 1 .5----1--,6-.,  _l._ -o

25. Dibujar la lemniscata de ecuación : r 2

9 cos 20.

Si se sustit uye r  por -r y O  por -0, la ecuaci ón no se mod ifica, ya q ue cos (-20) = cos 20 y (-r)2 = ,.2. La cu rva es.  pues. simét rica con rc::specto al  polo y con respecto a 1 eje  poi a r. El valor de r alcanza un máximo para () ya q ue cos O' ::- 1 . con lo q ue r = 3.

-:o

O'',

Para 45° < (j < 135", y 225º' < () < 31 5º. r es i maginario .

Pa ra () = +45 . cvs 20 = O; de donde r en el origen.

=

o r

= :i- 3vcos 20 .

o 1 5º

30º 45"

-

O. y tas rectas 20

o -

30º 60º 90º

O

cos 20  1

= L n/4 son tangente s a la curva

,. -:±-3

2,8 0,866 ·± -0,5 - -·± 2,I

o

o

r 

80

COORDENADAS POLARES

26. Hallar el lugar geomét r ico de los puntos cuyo radio vector sea  proporcional al án gu lo. La ecuación es r

= aO. La cu rva q ue cumple esta cond ición se llama espiral de Arquímedes.

(}

r  150•

o o

n }6 

n/3

n/2

n

3n/2

2n

0 ,52a

·

1,6a

3,la

4,7a

6,3a

120' 90· 60'

30' X'

180'

X  Pr oblema 26 

 Prublema 27 

27. Siendo  P( r ; 0) un  pu n to cualq uiera , demost ra r q ue cuando el eje  pola r gir a al rededor del polo O un ángulo a se verifica, r ' = r y (}' = O -a. siendo (r'; O') las n uevas coordenadas del punto. Las fórmulas de la rotación de ejes en coordenadas polares son O

= O' + a y r = r'.

si se gi ra el eje  polar un ángulo de 90º en el sentido contrario al de las agujas del r elo j, la ecuación de la cardioide del Problema 24 se transforma en r = 5( 1 -sen O).

28. Dem ostrar que

Se sustituye O  por 90º

Entonces, r'

+ o·.

= 5\1 + cos (90º

+ O')) = 5(1 -sen O'   ), ya que cos (90º + O'  ) = -sen O'.

PROBLEMAS PROPU ESTOS

1. R epr esentar los puntos: (2; 30º), (-3; 30º), (5; 75º). (3; 2 10°), (2; n / 2), (-2; 270º), (-3; -5n / 6), (4; Oº), (0; 30º), (O; 60º). 2.

(-4; 300c),

Hallar la distancia entr e J os par es de  puntos siguientes, expr esando los r esultados con una cifra decimal. a) (5; 45º) y (8; 90°). Sol. 5,7. b) (-5; -120º) y (4; 1 50º). Sol. 6,4. e) (50; 30º) y (50; -90º). Sol. 86,6. d) (3; 150º) y (-2; 60º). Sol. 3,6.

3. Hallar el área de los triángulos cuyos vértices son el  polo y los  pares de puntos del Pr oblema 2. Sol. a) 14,14 ; b) 10; e) J082,5 ; d) 3. 4.

Hallar la ecuación  polar de la recta q ue pasa  por el  punto (4; 120º) y es perpendicul ar a OX. Sol.

r eos (J

+ 2 = O.

5 . Halla r la ecuación polar de la recta que pasa por el punto (3; -30 ) y es paralela a OX. Sol . 2r sen (J + 3 = O.

COOR DENA DAS POLA RES

81

6. Hallar la ecuación polar de la recta q ue pasa por el  punto (2; 120º) y  por el  polo. Sol . O = 2JT/3.

7. Hallar la ecuación  polar de la recta q ue  pasa  por el  punto u ne el origen con d icho pu n to. Sol . r cos (O -21l/3)

(4 ;

=

21l/3) y es perpend icular a la r ecta que 4.

8. Hallar la ecuación polar de la recta q ue _Jasa  por el  punto (3; Oº) y forma un ángulo de 3Jt/4 con el eje  polar. Hal lar r  pa ra O = -n / 4 y razonar la res puesta . Sol. vi r cos ( 0 -n/4 ) = 3. 9. H allar la ecuación de la r ecta que pasa por el  punto (4 ; 20º) y forma u n ángu lo de 140º con  pola r. Sol. r cos ( 0 - 50º) = 2 v3.

10. Hal lar la ecuación  polar de la circu n ferencia de centro el  polo y rad io igual a 5. 11 .

H allar la ecuación  polar de la ci rcu nferencia de cen tro (4; 30º) y radio igual a 5. Sol. r 2 -Sr cos ( O -:rr / 6) -9 = O.

12.

Hallar la ecuación de tas circunferencias siguientes: a) Cen t r o (3; O") y q ue  pa sa por el polo . b) Centr o (4: 45°) y q ue pasa  por el  polo. e) Cent ro (5; 90 ª ) y q ue pa sa por el  polo. d) Que pasa por el  polo. por (3: 90º) y  por (4: o ).

13.

Sol.

el eje

Sol. r = S.

r = 6 cos fJ.

Sol . r = 8 cos (O -45°). Sol. r - 1O sen O = O. Sol . r = 4 cos O + 3 sen O.

Ha llar la ecuación de la cir cunferencia de centro (8; 120º) y q ue pasa por el  punto (4: 60º). l 6r cos ( O - 120°) t 16 = O.

Sol. r 2

-

14. Por compa ración con la ecuación del Pr oblema 3 de la sección de resueltos, hallar el cen t r o y el radio Snl. (2. :rr /4), rad io 4. de la ci rcunfere n cia r 2 -4r cos ( 0 - n/4) - 12 = O.

+ 1 5 = O,

15.

Dada la ci rcunferencia r 2 4 vJ r cos O -4r sen O y el rad io. Sol. Cen t ro (4; n/6), rad io 1 .

16.

Halla r Ja ecuación de la ci r cunf er e ncia de centro (8 ; n /4) y q ue sea tange nte a l eje  po lar. 32 = O. Sol . r 2 - 1 6r cos ( O -n/4)

17.

.

18.

Demostra r q uc la ecuación de la circunfe r encia q ue pasa  por el polo y  por los  puntos (a: 0º) y (b; 90º) es r =- a cos O -i h sen O.

19.

H alla r el cent ro y el rad io de la circu nferencia r

20.

En el Pr oblema 1 1 de la sección de resue ltos se demostró q ue la ecuación de u na sección cónica con su foco en el polo y d i rectriz perpend icu lar al eje  polar a  p unidades a la izq uie rda del foco, viene dada  por 

-

hallar las coordenadas del centr o

+

Hallar la ecuación de la circunferenci a de cent ro (4: 30º) y q ue sea tangente al eje  polar OX. Sol . r 2 -8r cos ( 0 -:t/6) + 1 2 = O.

'=

= 5 cos O - 5

3 sen O.

ep

1 -e cos O ·

Si la directriz está a  p u nidad es del foco y a su der echa , la ecuación es: r

=-

ep

-- () · ! + e cos

Sol.

< S; -60º), 5.

COORDENADAS POLARES

82

Demostra r q ue la ecuación  polar de la cón ica con su foco en el  polo y d irect riz paralela al eje  polar y a  p u n idades de él es

r=

e¡ _   , 1 ± e sen O ·

donde el signo má s corr esponde al caso en que la di rectriz esté por enci ma del eje ;:>ola r y el menos

cuando esté por debajo. 21 . Hallar la nat u raleza de las cón icas sigu ientes q ue t ie nen un foco en el polo. Hallar e y situar la di rect riz en función de sus dirección con respecto a l eje polar y su d istancia al polo . a)

r

Sol. Hi pérbola ; e = 3/ 2; una d irect riz  perpend icu lar al eje polar y a 4/3 unidades de! foco correspond ien te.

2 1 -cos o .

h) r = e)

.....

4 r = 2 -3 cos () .

Sol.

Parábola ; e = 1 ; d i rectriz perpend icular al eje  polar y a 2 unida des a la izq uierda del foco.

Sol .

El i pse; e = ; d irect riz  para lela al eje  polar y a 6 u nidades debajo del polo.

6

=

2 -sen O ·

22. Identificar y dibuja r las cón icas sigu ientes : 5

4 a)

r=

2

+ cos (J

b)

;

r

=

1

23. Hallar la ecuación  polar de Ja el i pse 9x2 Sol . r 2(9 cos2 0 + 16 sen 2 0) = 144. 24.

2

-cos

+

O -;

16y 2

Pasar a coordenadas polares : 2x 2 -3y2  x -

e)

=

'=

2 +-3 sen O ·

144.

cos

+ y = O.

Sol . ' =

O -sen 8  2 coso -3 sen 2ff 

En los Problema s 25-30 pasa r las ecuaciones a coorde nadas  polares. 25.(x2 +y2 )2 26.  y

 x •

= 4x2y2.

Sol.

+ x'yt -(x + y)2 = O.

Sol .

= 16x2y2(x2 -y2) 2.

= 2a sen O tg O .

r 2

= sen 2 20.

r =

l (1

-t

tg fJ).

S ol . r = :t- ese 40.

Pasar a coordenadas polares la ecuación de la recta q ue  pa sa  por dos puntos y demostrar que la .. :.:ación polar de la recta que  pasa  por (r.; o.) y (r 2 ; 02) es rr 1 sen( O - 0 1)

1

r

Sol . O = are 1g 1/3.

= O.

30. (x' + yª)' 31 .

Sol.

= 1a=- x ·

28.  x -3y 29.

Sol. r 2 = a2 sen 20 .

 xs

17. (x2 + y2)3 J

= 2a2xy.

32 . Pasar Sol .

R

+ r 1r 2 sen({J 1

-

O)

+ r r sen( O, - 0) = O.

· 1·en d o 1os ra d.1ca 1es, 1a ecuac1'6n (x - 4> coor d ena d as po lares y s1· mp1L·11car. supnm

r =

9

 ., o

5 -4 cos 8

.  bien,

-9

r= 5

2

+

2

>'

9 25 . ¿Por q ué son idénticas estas ecuaciones?

= ¡.

cos 0. + 4-

mr 

COOR DE D E NMJ  NMJAS AS POLA R ES

83

E n los Problema s 33-39.  pasa r las ccuacione a coo coo rdenadas  pol  polaa res res. 33.r - 3 c o s O.

Sol .  xz

34.

r

Sol. (xz + )'2

35.

/'

-

1 -

coss O. co

-= 2 cos {)

36. () = 45 37. r

38. r

=

--=

39. ri -

40.

2

1-

3 sen O .

Svl.

x2

-i. y 2

+ y

- J x = O.

2

+

 x )2 -: \'2

-2x

Sol .. .\' -.)' = Sol 

J

=, O.

o.

Sol .. 4 x .-, - 5yZ Sol 

+ J sen O ·

- 3 y

+ yi .

+ 1 8y -9 = o.

Vx 2 -r  y 2 = a a re tg

nO.

Sol.

9 cos 20 .

Sol. (x2

\/

-

 X 

+ y2 )2 == 9(x2 _ y2) .

Ha llar los pun tos de intersección de los pares de curvas siguientes: r - 4(1 r(I -co 240"'), (6. (6 . 300 300ºº ). S ol . (6. 60 }(2 (2,, 1 20 ). (2, 240" -cos s O) = 3.

los puntos de i ntersección de las las curva curvass : r ="' 41. Hallar los Sol . ( l . 45°). (O. 90 ). (35'' ) . (---1 , 1 35 42. Halla r

Sol.

l os  pu n tos 1.k in tcrccción de las curvas : r

(1 +

=

v2 cos O, 1

+ cos O,

r = sen '20.

--r=·

I

2( 1 -cos 0) .

(1 ---..;; . : 1 3535ºº)·)···

l , :::45 :45 ')·

+ cos 8) = O,

20.. la r los p u ntos d e i n ter sección de la s curvas : ,. = \ · 6 cos ú , r 2 == 9 cos 20 43.. Hal lar 43 Sol. (]_ 

2

.Jol (-

3

. I SO SO'').

(-22" , 210 ). ( 3

2

, 330 330··) .

Dibuja r la curva de ecuación r = 4 sen 20 20.. 9 'b . 1 d ., -- . 45. D1 UJar a curva e ecuac1 on r =--= -4 -5 cos 0 

44.

46. Dibujar la curva ,. = 2(1

+ sen 0).

47. Di bujar la curva r 2 = 4 sen 20 20.. 48. Dibujar la curva

r

49.. Dibujar la espiral 49

+ 2 sen

=

1

rO

= 4.

O.

 polar ar de la el ipse cuando el polo es el centro. lnd lnd.: .: Aplicar e l teorema del coseno 50. D educir la ecuación  pol loss rad ios focales es igua l a 2a. y la propiedad de q ue la suma de lo Sol. r 2( 1 -e2 cos2 0) = b2  •

.. ( 

f.

.·

>·

51.

Un segmento. de 20 un idades de longitud, tiene sus ext remos sobre dos rectas perpendiculares. Halla r el l ugar geométrico de lo loss  pie s de las  perpendic  perpendiculares ulares trazad trazadas as de dessde el  punto de intersecc intersección ión de las recta s fijas a la recta de lon git ud constante. Tóm Tómese ese una de las rectas fijas como eje polar. Sol. r =- JO sen 20 20..

2b y el  producto de los otr  otr os os dos lados es b2• Tómese la  base del t riángu lo como eje  polar y el polo en su  punto medio. Sol. r 2 = 2b2 ccs2 fJ. Esta curva es la lemniscata.

Hallar llar el luga r geomét rico del vértice de un t ri riángulo ángulo cuya base es una recta fija d!! longitud 51. Ha

CA PI TU LO

10

rrangenl rangenles es y norrna les TA NGE NTE Y  NOR M A L. La de d e finición de d e la ta ngente a u na cu rva en un o de su s  pu ntos ntos es como sig sigue ue : Sea n P y Q d os  pu n tos d e la cu r va va y t race ra cem m os secante ante  PQ . Si el  pu n to Q se de dess pla za a l o largo J a sec de la curva hacia  P , la seca n te  PQ i r á gi ra ndo al re dedor de P , y cu a ndo Q t ie nd a a co confu nfu nd i r se se con con P, la seca secann te  PQ coincide, en el lí mite mite,, co conn la r ecta ecta  PT  q ue se lla ma tangente a l a cu r va en P . La normal P  N a u n a cu r va va es la perpend icul icular  ar  nt o de co conta nta c t o P . a la tangen te en el  pu nto Para hallar la ec ecua ua ción de la t a nge n t e a la cur  cu r va va en uno de d e su s  pu n t os, P1(x 1• y1 ), hay q u e de t er mi mi n a r la  pend ient ientee de d icha ta nge genn t e. Ejem pl plo: H alla r la  pend ient ient e de l a t a n ge gent ntee 2 2 2 a l a ci cir  r cu nf e r enci nciaa  x 1- y = r  en el  pu nt o P1( X ,, y ,). \ " 1 Sea Q( \" 

h. y, t- k ) ot ro  pu n to cua lq uiera de la circu nferencia . La pend ient ientee de la !>eca !>ecante nte h. Al gira r l a ta n ge n te es k f h. te al rededor rededor de P., el  pu nto Q ti tiende ende hacia  Pi. y l os va lo r es es de k y h lo hace ha cenn hacia cero . La  pe  penn d ien ien te m de la t a ng ngeen te es el límite de la r elaci lacióón k  / h cua nd o am bos t ienden a ce cero. ro. Como (  x ,, y1) y (x1 h. y, k)  perte  pertenece necenn a la ci rcu nferenci a. esta estass coo coord rd e n ad adaas deben a t is facer a la ecuac ecuación de aq u éll llaa ; susti t uyend uyend p  p va lore loress se obti obtie n e -L

+

+

y

T

X

y

-Q (x, h.y,•k) T

o

 x: + y¡ ,2  x:

(!) y

+ k ) = r 2, o  bien ,  xr 2h 2hxx 1 + h2 1- y¡ + 2k 2k y  y , ,  y , , + k2 = O Resstand Re tandoo (1) de (2). resulta ?hx, f /¡ L. 2k  y (2) (x,

+ '1)

2

1 (.1 1

2

•

f- k 1 = r 2•

2

o  bien, k ( 2y, k

2x 1 l h

,1

 _, 2 y  y ,  , 1 1\ •

Por tan to, , 2x1

es --, o sea, m 2Y 1

=-

x1

+ J..) = -J1(2x 1 ,h) h). .

El limi te t e de esta ex pres pre sión cua ndo h y k t i e nd en a cero

Y1

Como l a tang tangeen te pa pasa sa p  poor  P 1(x 1 y1) u ec ecuaci uacióón e •

•

J·- •r 1 =

Quitando deno den ominad minadoore res, s,  y  y  y:  y: 1 -

-

•

 x ,

-(x - x ,). Yi

- -x 1x

+ x . o  bien,

X1X  j ,l'i,l' - X + y¡ 84

l

= r 2.

85

TANGENTES Y NORMALES

La ecuación de la normal es  y -y 1 = Y1 ( x - x1),  X1

 x = X1Y 1 - X iY1 = O.  x

o bien  bien,,

 XiY  y 1  y

PROBLEMAS RESUELTOS l.

y

Hallar las las ecuaciones de la tangente y de la normal xi el  punto  P (x1, y  y 1). a la elip lipse se + by2 = 1 en el punto 2 . a Sea Q un punto de coordenadas (x1 + h, y1 + k). Sustituyendo ta tass coordenadas de P1 y Q en la ecua ción dada, YT  xr  ( 1 ) a?. + b2 - 1 y ( ) 2

(x 1

+ h)'l +

(y1

a1

X

+ k) = l. 2

b2

Desarrollando (2) y restando ( 1) de (2), 2b2hx1 + b2h2 + 2a2ky 1 + k 2a2 = O. . b2(2X1 + h) k Despej De spejando ando,, Ti = - a2(2y +k) , 1

Teniendo en c uenta  y -y 1 = m( x - x 1 ) r esu esu lta y -y1 = - b:x b:xii ( x -x 1)

a y,

o bien Como bixr

+ aty¡ = a'b'. se

iene b'x x 1

2 2 -a'yr = -b2 x,x + b xf a y¡y .

+ a y2  y 1y = a2b2 , o  bien ,  X

ecuación de la tangente. 2

i:

ª 

+ _Y { = 1 ,

La pen  pendi di en te de la normal es b )XtY1·· ª/1 , y su ecuación a2 y 1 x -b2 x1 y = (a2 -b2)XtY1  Xi

2.

Hallar l as ecuaciones de !a tangente tange nte y de la no nor  r mal mal a la  parábola  pará bola  y• = 4ax en el pun el  punto to Pi(x 1• y 1 ). Sustituyendo t as coordenadas de P1(x1, y 1) y Q(x 1 dada,, +h, y 1 + k) en la ecuación dada yf

= 4a x 1

(y 1

y

+ k) = 4a 4a(x (x 1 + h). 2

 / h, Desarrollando y despejando el valor k  4a

k

h=

2y1 + k ' y

•

1

y

k 

•

1

4a

im. h = tm. 2y 1

+ k 

= -2a . )'¡

La ecuación de la tangente tangente es  y f  y - y 1 = 2a (x - x 1),o bien , y y 1  )'¡

= 2ax - 2ax 1

•

Como  y¡ = 4a x 1 , es esta ta ecuación se  puede escribir  y 1y = 2a(x x1). en ta forma La  pendie  pendiente nte de la normal es y su ecuación, y 1 x + 2ay =  XiY 1 + 2aY1·

+

que es la

TANGENTES Y NOR MA LES

86

Hallar la ecuación de la tangente a la cur va  xy = a2 en el  punt o P1(x1,  yi). Sust ituyendo las coord enadas de los  puntos P1(x1• y 1) y Q(x 1 + h. y 1 + k ) en la ecuación dada, y despeja ndo e l

3.

 / h, valor k 

! _ _

Y1

+k

y lim. .!!_

x1

h -

= _

+ k  _ = _

Y1.

X1

 X 1

lím. Yt

Ji

La ecuación de la tangente es  x 1) ; Y - v1 = - Yt (x -

q uitando d enominadores,  x  1y - X 1Y1

=

1

+  X1Y

-y.  x

+ x  y = 2x,y, = 2a ()'¡x + x ,y ) = a2

o  bien.  y 1 x q ue se  puede escri bi r

X¡

•

1

2  ,

/

•

Asi,  pue s,  para establecer la ecuación de la tangen te en un pun to P 1(x 1• y1) de una cu rva dad a  por una ecuación de segu ndo grado ba sta con sustit ui r 

 x 2 por  x,x. y 2  por  }' iJI,  xy  por 4.

(y  1x

+ x y),  x  por 1

+ x ,) e y  por

Hx

Sea P 1T y P 1N las longit udes de la tangente y de la n ormal, r es pectivamen te, a u na cu rva en el  punto P1• Las  proyec ciones ST y SN  se denominan subta ngcntc y !>ubnorrnal. r es pecti vamen te, en P 1•

HY

+y

1).

y

Llama n do m a la  pend iente de la tangt> nte en P,(  x 1 y 1). •

resulta e

-2'..!. = longit ud de ubtangente, m

 y 1m = longitud de subnorma l. . Y1 ST  1 y ST = - . Esto es ev e ya que = -cot O = ident Y1

Tambi én, SN

111

 /11

= -cot = -cot(O ·-90'') = t g O = 111 y SN ==

111y 1.

Y1

Las subtan gente y subnorma l se miden en sen t id os o pu est os, es deci r , son de signo contrario. Para ha llar las longit udes de la ta ngente y de la normal se a pl ican las r elaciones pi t agóricas en un triángu lo rectángulo.

1

1

5.

Hallar las  pendi entes de la tangente y de la norma l a la cir cunferencia  x2

Teniendo en cuen ta que

111

= -2, la pend iente de la

=

5 en t:I  punto (2. 1).

ta ngente es - 3 y la corre;;pondien te de 1

J"1

1 la normal vale -

+ yt

. 2

6.

Hallar las pendientes de la tangente y de la normal a la el i pse La  pend iente de la tangentee s m 16(2) 111 = - (

svs

=-

.

a2x 1

h2

y  ,

•

:: - 1 en el  punto ·

(2. -4 2).

Sustituyendo las coordenadas del  punt o dado.

VS/J ) = - ---, y la pend iente de la 15

94

2

· ;

3 v s normal--.

8

TANGENTES Y NORMALES

87

7. Demostra r q ue Ja  pendien te de la ta ngen te a la cu r va 4 x 1 4 xy 1  y 2 -9 O en un punt o cualquier a de dla es 111 - -2. k Tomcmo los dos pun t os P,(x • y ) y Q( x -! h. y 1- k ), y hallem :>s e l lím it e de . h 1 1 1 1 Sust it u yendo . ( 1 ) 4(x 1 ( 2)

4x

h f -l 4(x1 1 /¡) (y1 1- k  ) ! (y1 ¡ k )

-l

 _¡_

4 _ ,·1y1 -1

 J'  I -9

Orr o 111ér odv.

4.\º 1

-2.

+ 2)'1

La ecuación origi nal se puede escri bir en la f or ma (2.\' i

Descom poniendo en factores. (2x  pe nd il!nt e igu a l a -2.

+y +

3) (2x \- y

+ /1. y 1

Sust i t u yend o. ( 1 ) 9(x 1 f- /¡) -4(y1 -! k)2 ·.

.

i<

==

J6 y

2.r 1 l

¡

•

y (2)

(3.-3ys ).

.

- y

9x1

-4J' =

111.

1

6 15

Tomemos los  pu nt os de la cur va P1(x 1 y1) y

f

en el  pu n to

k lim. ¡;

/¡

9. Hal la r las pend ien tes de la tangen te y cie !a normal a la cu r va  y 2

Sust it uyendo. {1 ) (y1

36

.-=

(2) 9xr - 4Ji -- 36.

Oe:-.arr ol l ando y despe jando /," se o btiene 9 . ( 3\ 27 9 Vs La  pend iente en 3. - - es m =  , = -IO-. 2

= O.

9

-

k ). y h alle1 10!> el límite de

4k 

5)

y ) 2

- 3) = O. q ue son dos rectas  pa ra lelas de

8. Hal la r la pend i en te de l a ta ngente a la h i pér bola 9.\ 2 -- 4y 2 Tomem os l o dos pun t os P1(.\·1, y 1 ) y Q(.\ 1

y

- O

O.

Desar ro lla nd o ( 1 ) y restand o (2) de d icho desarrol lo. 8x1 -t- 4 y 1 . k li m . - --/¡

-9

\-

 y¡ =-

Q(   x 1

1  /i , y 1

k)2 =' 2(x 1 + /i)ª.o bien. yf

--:

2. ª en el pu n t o (2, 4).

+ k ) .

f 2 ky 1

2x .

+

R e st an d o (2) del desa rrollo de ( 1 ) e obtien e. 2k y 1 1 k 2 6x .2/1 6.r 1'12 k 2 6.r ¡+ 6x 1h 2/i Por ta n t o. k 6x¡- = -Jx ¡ y 1.1m. -= ·-- =  /1 I'1 2yl k .1  / 1

+

+

En el pu n to (2, 4), 111 = lí m .

+ 6xih + 6  x ¡l1

1 k 2 = 2 x1

+ 2 '1

t- 2h 3

3 •

•

12

=·

4

= J. La pend iente de la norma l vale -

10. H:ll la r las ecuaciones de la ta n gen te y de la norm al a la cu r va  y 2

-

2x3 en el pun t o (2. 4).

En el Pro blema 9 se vio que la  pendien te de est a cu rva en el pu nt o ( 2. 4) vale 3. Por ta nt o. la ec uación de la tange n te es  y - 4 =- 3 (.\ -2). o  bien . y = 3x -2. La ecua ción de la n ormal es  y - 4

= -H x - 2). o bien .  x + 3r

11. Ha llar las ecuaciones de la ta ngen te y de la n ormal a la cur v a x2 e n el pu n to ( 2. -1 ).

= 14.

 y -- 4y2 f 3.r 

+ 2,·- y + 1

Apl icando la n or ma dada en e l Pro blema 3,  X ¡X

+ 3(  X 1Y 1 )' ¡ X  )

-

4)'1;' +

2(

 X

.iX1 )

-

( )

Y1 )

+ 1 = 0.

O

TANGENTES Y  NOR MALES

88

Sust it uyend o x 1 '- 2, y1 = -1. resulta 3 x -3í1 3.

+ 1 = -1

La l'Cuació n de la n ormal es  y

3

+ 1 3y +·7 = O, ecuación de la tangente de pend iente (x -2). o  bien , l 3x -3y -29 = O.

12. Ha lla r la ecuacion es de las r ect as de  pendien t e m tan gentes a la el i pse (1) b2x2 -1 a2y2 = a2b2. Las ecuaciones  pedidas son de la forma (2) y

= mx

1- k.

+ a (m x + k)2 = a2b2 . Desarr ollando y r ed uciendo términos, (3) (b2 + a2m2)x2 + 2a2mk x + a2k 2 Del sist ema ( 1) y (2) se obt iene

b )2 ..
2

2 2 -a b

= O.

Pa ra q u e las recta s sean tangentes a la cu rva , las raíces de (3) deben ser iguales, es decir, el d is criminan t e ha de ser igua l a cero. Por consiguiente, 4a4m2k 2 -4(h2

+ a2m2) (a2k 2 -a b = O, o bien, k 2 = a2m2 + b2, y k 2

2 )

=

± va2m2 + b2

•

Las ecuaciones de las recta s de pendien te m y tangentes a la el ipse son

 y = m x

±

va m + b 2

2

2•

JJ. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la el ipse  x2 + 4y2 = 100  para lelas a la recta 3x + 8 y = 7. La pend iente de la recta dada es -3/ 8. Lu ego las ecuaciones  pedida s son de la forma  y = -  x + k , siendo k u na constante a determi nar. Resolviendo el sistema formado  por esta ecuación y la corr es pond iente de la elipse e imponiendo la condición de q ue las raíces sean iguales, se ded uce el valor de k . Así, pues, x2

+ 4(-

 X

+k

r -

100 = O, o  bien , 25x2 -48k x

+ (64k t - 1.600) = o.

Par a que las raíces sean iguales, el d iscri minante ha de ser cero, o sea, (--48k)2 - 4(25) (64k2 -1.600) = o.. 25 L .. uego 1as ecuac1..ones pedº1d as son y = - 3 x ± 25 , Resol vi.endo. 16k 2 = 625, k = ± 8 4 4 o bien, 3x

+ 8 y ::!- 50 = O. y

 P roblema  I J

 P rnbl ema

14

14. Hallar las ecuaciones de las rectas q ue  pasan por el p unto (-2, -1) y sean tangentes a la elipse 5x2 -1 y2 = 5.

Sea P 1(x1• y 1) un punto de contacto. La ecuación de la tangente es de la forma 5x x 1 + y  y 1 = 5; como el  punto (-2, -1) pertenece a la tangente, -10x 1  y 1 = 5. Por otra parte, el  punto (x¡, y 1)  perten ece a la elipse, con lo que Sx¡+y¡ = 5.

' TANGENTES Y NOR MALES

89

R esolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene pa ra (x1, y 1) los dos  puntos de contacto

(-32 ·35 ) y (-72 y 2x

+ 3 y +

•

15 ). Susti.tuyendo estos valores en 5x x + y y = 5 resultan. 2x - y + 3 = o

-

1

7 = O.

1

1

15. Hallar , en el punto (-! 1), las l ongitudes de su btan gente, su bnorma l, tangen te y normal a la elipse

9x2

+ y = 2

y

1 8.

Pa ra hallar la tangente, aplica mos la fórmula 9x 1 x

+ y  y = 1

18.

Sust it uyendo las coord enadas del  punto

+ 3y = 18, o bien , 3x - y + 6 = O. Luego m = 3.

-9 x

N X

Subtangente ST = - y 1 / m = -3/ 3 = -1. Subnormal SN = m y 1 = 3(3) = 9. Longit ud de tangente, PT = v'32 + J2 = v'Tó. Longit ud de normal,  PN = v'92 + 32 = 3 v'Tó.

DEFI N ICIO N. El l ugar geométrico de los puntos med ios de un sistema de c uerdas paral elas a una cónica cualq uiera recibe el nombre de diámetro de la misma Si la pendiente de las cuerdas  paralelas es m, Ja ecuación del d iámetro determinado  por los punto s

Y

medios de ellas es:  x2

Para l a el i pse

02

 yz

+ /jí = 1 , 2a

Par a la  pa rábola  y 2 = 4a x,

x2 Para la hipérbola

02

Para la hipérbola  xy

 y2 -

b2 

. y = - 

m

= I,

= a1 ,

 y

=

b2x

a2 m .

 y = -mx.

Para el caso gener al de la cón ica ax2 + 2h xy + by2 + 2gx diámet r o toma la forma (ax + h y + g ) + m(hx + by +/) = O. Hallar la ecuación del diámetro de la elipse .

 pen d 1ente

1

 xi

9

+

+ 'l.fy + e = O,

la ecuación del

y2 = 1 corr e spondiente a las cuer das de 4

.

3

Ap l 1. cando y

b x '  =- a '  m, la

' ametro es y ecuac·1on d eJ d 1

= - 9(4l x/J) , o  b'1en, 4 x + 3 y = O.

17. Hallar la ecuación del d iá met ro de la cónica 3x 2  xy -y -y2  x -

-

5 corres pond ien t e a las cuer

das de pend iente 4. A plicando ( ax + h y + g  ) + m(hx + by +/ ) = O, si endo a = 3, h = -!, b = -1 , g = f = - y e = -5, se o btiene 3x -!y -!+ 4(- x -y - ) = O, o bien , 2x -9 y - 5 = O.

,

r 

TANGENTES Y NORMALES

90

18.

Hallar la ecuación del diámetro de la parábola y 2 = l 6x que pase por los puntos medios de las cuerdas paralelas a Ja recta 2x - 3y = 5. . la pend 1ente de Ja recta 2x -3y -5

= O es

-2r·

Para la parábola  y 2 = 4ax, la ecuación del diáme tro es y = .3!!... Luego Ja ecuación  pedida es  y = 8 , m 2! 3 o  bien, y -12 = O.

19. Hallar la ecuació n del diámetro de la hipérbola  xy das de pendiente 2.

=

1 6 que  pase por los  punto s med ios de las cuer

La ecuación del diámet ro de la hi pérbola  xy = a2 que pasa por los puntos medios de las cuerdas de pendiente m es y = -m x. L uego la ccuac.ión  ped ida es y = -2x.

PR OBLEM AS PROPUESTOS 1.

Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a las circunfer encias siguientes en los  puntos dados:

Sol . 3x + 4y = 25 ; 4x - 3y = O. Sol. x + y -2 = O;  x - y -2 = O.

+ y 2 = 25, (3, 4). 2x2 + 2y2 3x + 5y -2 = O, (2, O).

a) x2

 b)

-

e) x2 + y2 -6x + 8y -25 = 0, (-2, J ).

Sol.  x - y

+ 3 = O;

 x

+ y + 1 = O.

2.

H allar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la el ipse 2x2 -L. 3y2 -30 = O en el  punto (-3, 2). So/.  x -y + 5 =; O ;  x + y + 1 = O.

3.

Hallar las ecua-::iones de la tangente y de la normal a la eli pse 3x2 + 4y2 - 6x + 8y -45 = O en el Sol. Jx + y + 1 1 = O;  x -3y - 3 = O.  punto (--3, -2).

Q 5.

Hallar las ecuaciones de Ja tangente y de la normal a la  parábola x 2 -4y := O en el  punto (2, 1). Sol.  x -y - 1 = O;  x + y .:..... 3 = O. Hallar las ecuaciones de Ja tangente y de la normal a las hipérbolas siguien tes en los puntos dados:

+ 3 y + J 6 = O, (-1 , 2). -2x + 4y +--4 = O, (2, -2).

a) 6x ' -9y2 -S x

Sol. 20x

b)  x2 -2xy -y2

Sol.

e)  xy

-4 =

O, (2, 2).

.

3x

+ 33 y -46 = O; 33x -20y + 73 = O.

+

2y - 2 = O;

Sol.  x +y - 4

= O;

2x -3y

- 10

= O.

 x - y = O.

6.

Hallar las ecuaciones de las tangentP.s a Ja hipérbola Sx2 -4y 2 = 4 en los  puntos de intersección Sol. 5x -2y -4 = O. con la recta 5x -2y -4 = O.

7.

Hallar las ecuaciones de las tangentes a la h i pérbola  x2 -4y 2

8.

Hallar los puntos de la hipérbola x2 -4y 2 a la recta 4x + Sy -2 = O.

12 = O que pasen  por el punto (l, 4). Sol. x - y + 3 = O;  I 9x + lly -63 = O.

-

-

8 = O en los cuales las tangentes son  perpeQ.diculares Sol.

1ov34 , 4v34 ). ( -1ov34 -4v34 ) -· (-- 17 · •

17

•

17

T ANGEN TES Y NORM ALES

9 1

Hallar la pendien te de la curva r =  x ª + 2r en el punto ( Xu )'¡).

SoI . l ¡m . }!_ h

= 3xL+ 4 x, _ . 2yl

Hallar las ecuaciones de la tan gente y de la nor mal a la cur va del problema anterior en el pun to (2. -4). 2y - 2 = O; 2x -5y - 24 = O.

Sol. 5x

a) Hallar las longi t udes de la subtangente y de la subnorma l a la curva y2 = .\.a ( 2. -4).

Sol. -8/5.

--1-

2x2 en el  punto

10.

Sol.

 b) Hallar las longit udes de la tangente y de la norma l a dicha cur va.

J 2. Hallar la ecuación de las tangentes a la hi pérbol a Sol . 2x + 3y - 8 = O; 2x + 3y + 8 = O.

2xy

+ y

2

-

4 29 5

, 2V29.

8 -. O de pe nd iente m = -2/3.

13. Hallar las ecuaciones de la t angente 'I de la n orm al. así como las lon gi tud es de la subtangente y de la su bn orm al , a l a cur v a  y 2 -6y -8x -31 = O en el  pu n t o ( -3, -1 ). Sol.  x 1- y 1- 4 =- O: .\' - y -t 2 O: -1 , l.

14. Hal lar la  pe n die n te de la ta nge nt e a la cu rva 4 x2 - l 2xy f- 9y2 - 2x + 3y - 6 = O en un punto cua lq u iera. (x1,y1), de ella. Sol. 111 2/3. I n terpr eta r este resultado. 15. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva 4x2 - 2y2 - 3xy + 2x -3y - 10 = O  paralelas a l a recta  x - y + 5 = O. Sol.  x -y - 1 = O; 4 1x -4 1y + 39 = O. 16. Ha llar las ecuaciones de las tangen tes a la hi pérbola  xy Sol. 2x 1  y -4 - O; 2x l- y + 4 = O.

= 2 perpe ndicul ar es a la r ecta x -2y = 1.

¡ 11°':) ¡,En q ué pu ntos de la elipse  x2 + xy + y2 - 3 = O las tangente s son  pa r alelas al eje  x? ¿En qué "  pun tos son pa t ale t as al eje  y?

Sol . ( l . -2), (-1 , 2): (2, -1 ). (-2. 1).

18. (.En q ué pu n tos de la curva x2 -2xy + y + 1 = O las tangentes son paralelas a la r ecta 2 x + y = 5? Sol. ( l. 2) y (0. -1). 19. Hall a r las ecu aciones de las rectas q ue  pa san  por el  pu n t o (5. 6) y sean tan gentes a la parábola  y2 = 4 x Sol .  x  y + 1 = O;  x - 5y + 25 = O. 20. Demost ra r q ue las t a nge n t es a la  parábo la d icula res, es decir . :;us pend ien t es son ± I .

y2

=

4ax en los ex tremos del latu s r ec fum son  perpen

21. Ha l la r las ecuaciones de la ta ngen te y de la normal a ta parábola  x2 Sol. 6x -5y -9 = O: 25x + 30 y - 129 = O.

= 5y en el  punto de abscisa 3.

22. Demostr ar que las ecuaciones de las tan gentes de  pendiente m a la parábola y 2 = 4a x son  y = mx

a (m #- O). + -,

m

23. Demostrar q ue las ecuaciones de las tangentes de pen diente m a la circunfer encia  xi

 )'

'

+ y1 = a1 son

= mx J: a\l m2 + l.

24. Demostr ar q ue las ecuaciones de las tangen tes de  pend iente m a la hi pérbola b2 xi -a2 y2 son  y = mx :r va2m2=b2, y a la hi pér  bola b2x2 -a2 y2 = -a2b2 , y = mx ± V bi -a2m2• 25. Hallar las ecuacione s de las ta nge n tes a la elipse 5x2 Sol . 3_v = 4x J- ,'¡5·:y_  - 1 2 = O.

+ 7yi = 35  perpend iculares a la

= a2b'

recta 3x

+ 4 y

26. Hallar las ecuaciones de las t a ngentes a la hi pér  bola 16x2 -9y2 = 144 par a lelas a la recta 4 x -y Sol.  y = 4x + 8../2. -14 = O.

TANG ENTES Y NOR MALES

92

 passa  por e l  punto (-8, 4). Hallar la ecuación de su tangente paralela a la 27.. La parábola y2 = 4a x  pa 27 recta rec ta 3x Sol. 9x 2y -6 = O. 6y = 2.

+

+

28.. Hallar la ecuación de la tangent e a la curva x3 + y' = 3axy en el punto P1(x 1, y 1). 28 S ol. ol. (y -ax1 )y + ( x f -ay1 )x = aX1Yi· 29.. Hallar el valor de b para que la recta  y 29 Sol. b = -am2

=

mx

+ b sea tange tangente nte a la parábola x2 = 4a y.

•

30.. Teniendo 30 en c u en enta ta el re resu sultad ltad o del Problema 29, hallar la ecuación de la tangente a la parábola x2 = -2y que sea  par alela a la recta  x - 2y - 4 = O. Sol. 4 x - By + 1 = O.

Hall ar la ecuación del d iámetro de la hipérbola x2 -4y2 = 9 que pase  por los puntos medios de las 31.. Halla 31 cuerdas iente 4. a) de  pend iente Sol.  x - l 6y = O. b) de dirección 3x -5y -2 = O. 12yy = O . 12 Sol. 5 x Sol . 2x -5y = O. e) de d irección la tangente en (5, 2). d) de dirección la asíntot asíntotaa de pendiente pendiente po  possitiva itiva.. Sol.  x -2y = O. Problema 31 a) a).. 32.. Hallar la ecuación del d iámetro conjugado del de ecuación x - l6y = O en el Problema 32 Sol. 4x  y = O. e l ipse 9x2 33.. Hallar la ecuación del d iámetro de la el 33 cuerdas de pend iente 3.

Sol. So l.

3x

+

+ 25y2 = 225

q ue pase por lo loss  puntos medios de las

25y = O.

ecuaciónn del d iámetro de la parábola y2 = 8x que pase por lo loss  punto s medios de las 34.. Hallar la ecuació 34 cuerdas de pendiente 2/3. Sol.  y = 6. ecuaciónn del diáme diámetro tro de la el ipse  x 2 35.. Hallar la ecuació 35  y = 3x. Sol .  x + l 2y = O.

+ 4 y 2 = 4 conjugado del diámetro de la ecuación

36.. Hallar la ecuación del diámetro de Ja cónica  xy + 2y2 -4x -2y + 6 = O que pase por los puntos 36 medios de las cuerdas de pendiente 2/ 2 / 3. Sol . 2x + l l y = 16.

iámetro de la cón ica x2 -3xy -2y2  x que pa  pase se por  por los los pun  pun tos tos medios 37.. Hallar el d iámetro 37   -x -2y - 1 = O que de las cuerdas de pendientes 3. Sol. 7 x + l 5y + 7 = O. H.llar la ecuación del d iámetro de la elipse 4x 2 + 5y2 = 20 que pase  por los puntos medios de las 38.. H.llar 38 cuerdas, Sol. 6x -5y = O. a) de pendiente -2/ 3.  b) de dirección 3x -5y = 6. Sol . 4 x + 3y = O.

39.. Hallar la ecuación del d iámetro de la hipérbola  xy 39 cuerdas de dirección  x + y = 1. Sol.  y =  x.

= 16 q ue  pase

por lo loss  punto  puntoss medios de las ,

•

1 1

CA PITULO

Curvas planas de orden superio superior r CU R VAS PLA N A S DE ORDE N ORDE N SUP SUPER ER IOR. U na cur llaa que se  puede urva va al  gebraica es aq uell represe repre sentar ntar  por med io de un u n  pol i nomio en  x e  y igua iguall ado a cero. La Lass cur vas vas q ue no se  pue den represen tar de esta form form a, como,  po  porr ej ejeemplo mplo,,  y = se senn  x,  y = ex,  y = log x, se ll llaman aman curvas tras trasce cendent  ndent es. es.

Las cu rv rvas as a lgebraicas de grado superior al segundo segundo jun  jun to co conn las tra trasce scendentes ndentes r eciben eciben el n om br e de curl'as planas de orden superior. superior. Para el es estt ud io io de l as si met rí rías as,, intersecciones con los ejes y cam pos de variació variaciónn , véase el Capítu lo 2. PROBLEMAS R ESUELTOS ESUELTOS l.

R ep epre resen sen t ar la cu curva rva y2 = (  4)..  x - 1) (x -3) (x - 4) E s sim simétr  étr ica con co n r especto especto al eje  x, ya que la ecuación no va r ía ía cuando se s u sti tuye tu ye  y  por -y. 2 Los p u ntos de i nter sección secc ión co conn el eje  x so sonn 1 , 3, 4. Para  x = O, y = -12 ; por tan to, la cu cur  r va va no corta al eje y. Par a  x < 1 , todos los factores del seg segundo undo miembro son negati negativos, vos, con lo que y es imagi maginnario. Pa ra 1  x 3.  y es r eal. eal. Para 3 < x < 4,  y2 es ne nega gati tivo vo y,  po  porr tanto tanto,,  y es imaginar imaginar io. Para Pa ra  x ;;:; 4 , y 2 es es po  posi sitt ivo, con lo que y es real aum aumeen tando ind indeefi finn idame idament ntee de valor numérico a medida que lo hace  x. Formamos un cuadro de val alores ores  para determinar puntos punt os de la cu cur  r v a.

-- y = ± v(x l)( )(x x- 3)(x -3)(x -4 -4 ). --

1

·---·

 X 

 y

1

5

1

1

5

5,5 5, 5

6

 _   _  ±1 ,6 -

± 2,83

± 4,1 1

± 5,48

y

'1

1

± 1 ,37

1

± 1,41

y

'1

4

1 1

1

1 1 1 1

1

3

o

1

1

+ 3

-----+ - --

X

1

1

-2

'

---¡--y-2

-l

1

X

-4

!1 XI

-1

Dibu jar la curva  x2 y -2x2

'

2

le

s

 Pr oblema oblema l 

 Pr oblema oblema  I 

2.

4,5

2

-

l 6y

= O.

Corte con los ejes. Pa ra  y = O, x = O ; para  x = O, y = O. . . . Simetrías . La curva es simé simétri trica ca con re ress pecto .a l eje y, y a q ue la ecu ecu ación no vana al a l sus sust1tu1r t1tu1r  x  por -x.  N o es si simét mét ric ri ca con respecto al eje  x ní con r es es pecto al ori rigen. gen. 93

p:¿:e ;a:

CURVAS PLANAS DE OR O R D E N SUPER I OR 

94

2x2 Dess pejan De  pejando do  x e y se obtiene (1) Y =  x 2 _

y (2)

 X

= ±4

2x2 ----,-.,.... ----,.,.... (x -4) (x + 4) 16

V   y  y

2.

 y se hace infin De ( 1) se ded uce q ue ue y infin ito cuando  x tiende a 4 y a -4, tomando valores mayores y menores que es esto tos. s. La cur  cur va va existe !)ara todo s los demás demás va lores lores de  x. De (2) se ded uce que qu e no exi existe cu cur  r va va para O < y < 2. Cuando  y tiende a 2, 2, tomando val va lores mayoress qu mayore quee éste,  x se hace infinito. Las r ectas ectas  x = ± 4 e y = 2 son as a sín íntotas. totas.  X 

 y

3.

o o

±1

±2

-0, 1 3

-0,67

2 R epr  epr esentar esentar l a cu rva x3  x  -  y

Despejanndo y, Despeja  y, y  y

± 6 ± 7 ±8 ± oo - -- ------ ---2,6 ± oo 5,6 3,6 3.0 2,7 2

±3

±4

±5

+ y = O.

xª =  x2 _ 

.

1

 y se hace infinito; lugo Para x = ± 1, y lu go x sonn dos as so a sintotas verticales .

=

..\-3

1 y x

= -1

X 

Expresemo Expres emoss y =  x2 _  por y = x + x2 _ . Cuan1 1 d o  x aum aumen enta ta indefinidamente ,  y también lo hace, hace , y la tiende a cero. Por tanto tanto,, la recta  y = x  x  x2 - 1 es una as a sí ntota de la curva. Para  x > 1 , un a rama de d e la curva está sit uada po porr encima de la rect rec ta  y = x ;  para  x < -1, la ot r a r ama ama está por deba deba jo de  y = x. fracción

La cur cu r va pasa por el orige origenn y es simétrica con con re ress pecto a él. é l. En la tabla siguien siguientte fi figgu r a n alg lgun un os v al aloor es es de  x e y.  X 

± 1 /2

 y

:¡: l/6

o ±1 -o 00

± 1,5

±2

±2,7

± 2.67

1

r

± 2,5

±3

±4

±3.0

± 3,4

± 4 ,3

Esta cur  cur va va también se puede repr  repr esentar esentar por el método de la  suma de orde ordennadas adas.. Para ello, sean Y 1 = x e  y 2 = x2 .::_

esta tass dos ecuaciones sobre un mismo sis sisttema . Traemos las gráficas de es 1 de coordenadas y, a continuación, sumemos las órdenes, y 1 e y 2 , correspondientes a idéntica absc abscisa isa

4.

Dibujar la elipse elip se 2x 2 + 2x y de l a suma de ordenadas.

+ y

2-

1 = O  por el método

v'4 4x2 -8x2 -2x ± v'

+4

Despejando  y, y = ---------2

= - x ± V I

 x 2 

•

Tr acemos acemos la recta y 1 = -x y la circu nferencia Y2 = ±v e ±vii  x2 , o bien,  x2 + rz = 1. La elipse que r e sult su ltaa es simét simétri rica ca con co n r es es p  pecto ecto al origen .

CUR VAS PLA NAS DE OR DEN SUPER IOR 

 Funcion es trigonométricas. Di bujar la fu nción  y

= sen x.

El ángulo  x ha de expresarse en radiane s. (:7 radian es .\'

sen x

o 1 J_

:t  :

Or±O

..L

---

- 2

±0,87

±1

1

! ± 2Jf '1 ± 5:ri  T 3

1

! ± 0,87 1

' o

± 0,S

95

=

1 80º:)

7:r

±-•

3n

4."7

1

±2

± 2n

:r 1

o

l-0,5 ' :¡:0,87

Como los valor es de sen  x se repiten  periód icamen te. la función sen x se llama periódica , siendo el peri odo igual a 2n ; así. pues, la gráfica de y = sen  x se compone de tramos exactamente iguales, uno por cada intervalo de 2::i radianes. Como además sen (-x ) = -sen  x. la cu r va es simétrica con respecto al origen. Exi ste para todos los valores de x, y  pa ra valores de y comprendidos, únicamente, entr e y = J e y = -t. y

----------- /

;;:;:-::::;;:::-

'

/ / 

/ 2rr

De forma análoga se puede d ibujar la gráfica de y

s,. 1

o

0,5

--0,5

X

= cos x. Véase la l ínea de trazos de la figura.

± -6

±n

± 76'lt

-0,87

-1

-0,87

±4- 3:n ± 32n

·¡ -0,S

O

3 5

±2:n 1

Como cos x = sen(x + n/2). un  pun to cualq uiera de la cu rva coseno tiene la misma ordenada que otro pu nto de la cu rva seno situado n/2 u nidades a la derecha del primero. La curva es simé tr ica con respecto al eje vertical, ya que cos(-x) = cos  x.

6.

Dibujar la curva y

= sen 3x.

Cuando  x varía de O a 2rr, la función sen  x toma todos los valores de su campo de variación. En ge neral, cuando  x varía de O a 2n/11. o  bien cuando nx lo hace de O a 2n, la función sen nx (siendo n una con stante cualquiera) t oma todos los valores de su campo de variación.

y

En este  problema n = 3.  por lo que el periodo de sen 3x es 2n/3. La curva es simétrica con respecto al origen. Ex iste  para todo s los valores de  x, y  para los valores de y comprendidos. únicamente , entre -1

y

l.  X

sen 3x

o

1

:

1

;

2

;-r \

1

5 6"[

-¡ -'---!-o 1

[

o

1

-1

1

o

1

1

1

:t

1

o

-

96

7.

CU RVAS PLANAS DE ORDEN SUPER IOR 

Dibujar la función y

= tg x.

La curva es simétrica con respecto al orige n, ya que tg (-x) = -tg x. El periodo de la función es n. La función se hace infinito cuando  x sea un m ú lt i plo impar de n /2 , y la curva toma todos los valores de y comprend idos entre  x -n / 2 y n/2. Existe para todos los demás va lores de  x e  y.

' - ;1

 X 

tg  X 

00

1

:re

6

:

.58

-1

:re

o

--

o

:lt

:lt

3

2

1 ,73

00

1

o.ss¡-16

y

1

y 1

1 1

1

1 1 l

1 1

1

1

X

1

!

X

TI

::_< J -·¡ ' ( ' ' 

,;' , í

1

1

1

-2

\

1

1

1 1 1

1 1

 P roblema 7

8. Dibujar la función y

o

'

 Pr oblema 8

= sec x .

La curva es simétrica con respecto al eje y, ya q ue sec (-x) = sec x. El periodo de la función es 2n. Como sec x = l /cos x, los valores de sec x se  pueden hallar fácilmente a parti r de una tabla de valores de cos x. Al ser el campo de var iación de cos x de -1 a + 1 , el corres pond ien te de sec x es el conju nto de va lores de -oo a -1 y de 1 a + oo. 2:1t

2 ± -3

 X 

sec x

9.

Dibujar la función  y

 X 

sen x

sen 3.

-· en x

sen 3x

o 6 o 0,5 o 1 1n

6-

3

-1

:'7

2n

5,"l 

2

3 -

6

1

0,87

0 ,5 

-

0,87

-1

4n

) r 

3-

T 

-0,5 -0,87

o

M

o 5n 3

-1 -0,87

1

o

1

1 l:t -6-

-0.5 -1

-2

00 :lt

±

= sen x + sen 3x  por

:'7

o

1

o

±n -1

el método de la suma de ordenadas.

o o

y

 _ _ _I

X 2". t

o o

-1 y1 = sen  x

( y = sen x + sen 3x

CUR VAS PLANA S DE OR DEN SUPER IOR 

10. Funcíones exponencial es. Di buja r la función  y la unidad.

= a.r, siendo

97

a una constante  positiva y mayor que

Para concretar, su pongamos a = 5. La ecuación a r epresentar es y

= 5x.

Para  x = O, y = 5° = 1. Cuando  x aumenta. y también aumen ta. Par a valores negativos de  x, 5·• es positivo pero disminuye de valor . Luego la cur va está sit uada, toda ella,  por encima del eje  x.

La cur v a no es simétrica ni con respecto a los ejes n i con respecto al origen. Para valores nega tivos de x, al au men tar  x en valor absolu to, la curva tiende asintóticamente hacia el eje x.  X 

-

o

--

 y

--4

2

-1

-2

-3

25

0,2

0,04

0,008

y

\

1

2S

0,0016 y

\

y•S"

'

\

 s

'\ \

20

y·e_."..\

15

10

-4 3

'' ''

,

..........

-2

2

-1

3

X

-1

l ·

 Pr oblema 11

 Problema  /O

11. Dibujar la función y

= ex.

El n úmero e = 2,718 es la  ba se del sistema de los logaritmos natura les o neperianos. -3

 X 

-- --e-

-2

0,050 0,135

-1

-O.5

o

0,606

1

1 5 · --

0,368

1 ,65

2.72

2 --

7,39

La gr áfica de  y = e-·• es, como ind ica la figu ra, si métrica de la correspond iente a la función y = e" con respecto al eje y.

12. R epr e sentar la función normal de probabil idad y

= e-"'.

La curva corta a l eje  y a "una un idad del origen. y no cor ta a l eje  x. Es simétrica con respecto a l eje y. El eje  x es una asín tota ; cuando  x -·-7 O. , y La cu rva est á sit uad a. toda ella, por encima del eje x , ya q ue e ·" > O para todos l os valores de  x.  X 

 )" 

--

y

o

 j_ 0,5

±1

-1 1 .5

..f.2

1

0.78

0.37

0,1 1

0.02

13.  Funciones logarítmicas La gráfica de y = log11 x , llamada cu rva logarítmica . d ifier e de la correspond iente a la función y = a• en la  posición relativa de los ejes. En efecto, ambas ecuaciones se  pueden escri bir en la misma

1

CU RVAS PLA NAS DE ORDEN SUPER LOR 

98

fonna, exponencial o logarítmica. Sea, por ejemplo, a = 10 y dibujemos la función

y

 y = log10 x, (o  bien, x = IQY). Como  x no  puede tomar valores negativos, toda la cu rva estará a la derecha del eje  y. Pa ra valo r es  positi vos de x < 1 , y es negativa. Para  x = 1 , y = O. Al aumentar  x, y también aumenta. La cu rva no t iene simetrías. El e je  y es u na asíntota .  X 

O,t

 y

-1

--

14. Dibujar la función y

0,5

1

o

.30

= lo (x2

2

3

...

X

-1

3

4

10

5

-------- -· 0,30 0,48 0,60 0,70

1

-9).

y

Para y = O, lo {x2 -9) = O, de donde, x2 -9= 1,  x = ± V I O. La curva no corta al eje y.

5

Para lxl < 3, y es imaginario. Si lx! > \110 , y es  posit ivo. Para 3 < lxl < vlO, y es nega tivo. Las rectas  x = ± 3 son dos asíntota s. La curva es simétrica con res pecto al eje y .

3

 _ , -s

-4

1-) -2

o -1 _ , -1

-3  X 

± 3, I

._ ----

 y

.49

±3,2

± 3.5

±4

0,22

1,18

1,95 

-!:6

±5 -2,77 3,29

15.  Ecuaciones paramétricas . Alguna s veces con vien e ex pr esar  x e  y en fu nción de una terce ra va riable o  par ámetro. Las dos ecuaciones de  x e  y en función del  par ámetr o se llaman ecuaciones  pa ramétri cas. Dand o va lores al  parámetro se obtienen  par es de va lor es corr espond ien tes de  x e y. U ni endo los puntos así determinados resu lta una curva , q ue es la r e pre sen ta ción gráfica de las ecuaci ones  para métricas.

Dibujar la curva x = 2t, y =

y

. 1

1

±1/4

-- ± 1/2  y ±8

± 1/2

±1

-

±4

±1

±2

±3

±4

±2

±4

±6

-±:

±2

±l

± 2/3

::J-1/2

-

La curva es simétrica con respecto al or igen . Los ejes x e y son dos asíntotas.

Eliminando el parámetro t se obtiene la ecuación de la curva en coordenadas rectangula res,  xy = 4. Esta es la ecuación de una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son Jos ejes coordenados.

 para e)1' m.mar e1  para metro •

. .

t  , sustituimos  /

 X 2' es d ec.1r , y =  xi2 f = 2 en y = t 

-2

2

4

6

8

 _, -e

' o  bi'co, xy

= 4.

X

CURVAS PLANAS DE ORDEN SUPERIOR 

Rep:esentar la curva cuyas ecuaciones paramét ricas son  x t

-3

-- X -

1

4,5

1

-6,75

o o

-1

--2 --0,5

--

 )'

1

-2

=

1

2

3

0,5

2

4.5

0,25

2

6,75

t 2 , y

99

= tt3.

- ---

--0,25

-2

1

u

1

Eliminando t  , la ecuación de la curva en coordenadas rectan gulares es 2y2 = x3 , que es una parábola semicúbica. La curva es simétr ica con respecto aJ eje  x.

X

21iminemos el  pa rámetro t : De  x =!t2 o 2x = t 2 , se obtiene (2x)3 = (t 2)3 De y = !tª o 4y = t3, se obt iene (4y)2 = (1ª)2. Lu ego (2x)3 = 16 = (4y) 2, o bie n , x 3 = 2 y2 

•

•

17.

+ 1, y = t( t + 4).

Representar la curva cuyas ecuaciones  par amétricas son  x = t

-2 1 -I , -I

o i ---1 -- 1 -4 -3o o 5 - -o - --3 -4 1

t

-5

 X

-4

-3 -2

1 , 2 1

2 3

5-,

12

Eliminando el  parámetro r , la ecuación en coordenadas rectangulares es y = x 2 + 2x -3, que es una  par ábola. y

!t

o -l

•

X

2

I

-1

X

-4

 Pr oblema 17 18.

 Proble mn / '?

R epresentar la cu rva cuyas ecuaciones paramétricas son  x

o Oº 30° 60' 9º'1 200 ! 150'.  X 

2

 y o

1 ,7

2

1

cos O, y = 4 sen O.

1 210• 240º 270° 300° 1 330º 360º -2 -1,7 -1

o 1 -  j -1,7

-3.5 1'-4--1 3,5--1 2

=2

o

---

1

-2 - 3,5

O

-4

11 1.7'2

-3,s l --2-\0x2

Eliminando el parámet ro O, la ccl.lación en coor denadas r ectangulares es 4 reprr.sent una el ipse. Eliminemos el  pa rá metro O :

cos ú

--

-

 X

=

y sen O =

 y

.

Luego cos 0 - sen o 2

=

1 :..::

 X 2

+

 )' 

16

.

y2

+ 16 = 1, que

CURVAS PLANAS DE OR DEN SU PERIOR 

100

19.La posición, con respecto al tiempo t, de un proyectil lanzado con una velocidad inicial V 0 que forma con la horizontal un ángulo (} viene dada por las ecuaciones x = ( V 0 cos O)t, y = (V 0 sen O)t -igt 2 ,

siendo  g la aceleración de Ja gravedad-igual a 9,8 metros por segundo en cada segundo (m/s2)-y en las q ue  x e  y se expresan en metros (m) y r en segundos (s). Dibujar la trayectoria de un proyecti l siendo () = are cos 3/5 y V 0 = 40 metros por segundo (m/s). Para ma yor facilidad de cálculo, tómese  g = J O m/s2 ·y •

Como sen () =

o

-

1

60

 y = 961 - 16t2•

-

3 2 4 5 6 -----24 48 96 120 144 72 l

- ---

- y

se tiene, x = 721,

o

30

-- -- ----

-

60

90

120

X

--

o

27

41J

51

48

35

12

5x2 , que es una para, bo1a 3 576 de eje vertical. La ordenada del vértice es 51,2 metros, y el alcance máximo 153,6 metros. é . . 2at 3  param 2 , y = son  x = 2at  20. Representar 1a curva cuyas ecuac + iones tncas 12 +1 1 . . d -4x El 1m1nan o t  , y =

-

,2

Para t = O,  x = O e  y = O. Para todos los valores de t  positivos y negativos,  x es  positivo o cero ;  y es positivo para t > O y negativo  para t < O. La curva es simétrica con r especto al eje  x. . 2at 2 2a = + , se observa que cuan
3a 'Y 2a

+

o ±1 - X - - a t 

 y

o o

± a

±2

l ,6 a

±3,2a

a -a

±4

±3

X

l

1

l ,8a

l ,9a

-2a

± 5,4a

± 7,5a

-3a

----

2a 1

1

1

1 1

Eliminando t  , se obtiene la ecuación en coordenadas rectangulares  y 2(2a -x) = x3, que repre senta la Cisoide de Dioc/es.

y

21. Representar la función  x

= a cos30,  y = a sen30.

(O.a)

Como cos (-0) = cos O y sen (-0) = -sen O, esta curva es simét rica con respecto al eje  x, y como sen (180º -fJ) = sen () y cos ( 180º -0) = -cos O, también lo es con respecto al eje  y.

Teniendo en cuenta que tanto el seno como el coseno son siempre menores q ue la unidad, -a

o ·

 X  -

 y

Oº a -

o

 x

30º

60º

0 ,65a

0,1 3a

l 0,1 3a

0,65a

a, y -a

y

90º

120º

o

-0,13a

a

0,65a

 X  \3,0)

(-a.o)

a. 150º

-

-0,65a

180º -a -

O,l3a

o

(O.-a)

CU R VAS PLANAS DE ORDEN SUPERIOR 

101

Eliminando O, la ecuación de esta curva en coordenadas rectangulare s es  x 213 + y213 = a21a, q\.te re- , :  pr esenta una hipocicloide de cuatro lóbulos. Eliminemos el  parámetro O : (x/a)213

+ (y/a)113 = (cos3f))213 + (sen38)213 = cos20 + sen20 = J , o bien, x2'3 + y21s = a2iJ.

22. R epresentar la cur va

 x = a(O -sen O),  y = a(l -cos O). Para {) = O,  x = O.  y = O. Pa ra O = 180º,  x = :n:a,  y = 2a. Para O = 360°,  x = 2na, y = O.

e o··

30°

60°

90º

 X 

Q

0 ,02a 0,18a 0 ,57a

y

o

0,13a 0 ,5a

a

X

120º

1 50º

180º

210 240°

l ,2a

2 ,l a

rea

4,2a

5,la

5,1a

l  ,5a

l ,9a

2a

l ,9a

l ,5a

a

270° 300º 330° 360º 6  , l a

6,3a

2rca

o

0 ,5a O ,l 3a

Eliminand o el  parámetro O, la ecuación de esta cur va en coordenadas car tesianas es  x

cos

ª -y --./ 2ay -y 

De y

que representa una cicloide. a Eliminemos el  parámetro O : 2 ,

a y

= a( 1 -cos O) se obtiene, cos O =

, de donde 8 = are cos a - y

a

, y sen O

= -./

a

Sust i tuyendo en x = a{) -a sen O se tiene, x = a are cos

ª  a .!.. --./ 2ay - y

2

•

= tx, resulta  x + 3x t + 3x2t2 ax = O. Dividiendo por x se obtiene, x + 3xt + 3xt a = O. Haciendo y

2

2

-

2

. d Des peJan o x,  x =

a

312

+ -3t + 1 ,

Y

-

= t  x =

PROBLEMAS

at 

312

+ 31 + 1 ·

PROPUESTOS

R epresen t ar las funciones de los Pr o blemas 1-14. l. (y2 -4)x -9 y

= O.

2 . y = (x + 1) (x + 2)(x -2). 3. y2 = (x + J ) (x + 2) (x -2). y2(4 - x) = .r.

2 5. .r -x y

+ 4 y = o.

6.  x  y -3x -9y = O. 7.  x2 y + 4y - 8 = O. 8.  x 2 + 2xy -4 + y2 = O. 2

2

x2 -4

9· Y = x2 -3x -4 ·

10 Y2 _ _  x -4  _  · - x2 +2x -8 11.

4x2

-

+ y + 6y -7 = O. 4y = O.

1 2x -4 xy

12.  x3 + 4 x 2

+ xy

2

-

2

2

13.  xy2 - xy -2x -4 = O. 14. x21a

+ y213 = 0213,

-

.

a

23. Expr esar en forma paramétrica la ecuación x2 + 3xy + 3y2-ax = O.

4.

= a ar e

102 CURVAS PLANAS DE ORDEN SUPERIOR 

Representar las funciones de los Problema s 1 5-22. 15.  y = 2 sen

3x.

-= cos (x -n/4).

18.  y

16. y = 2 sen  x / 3. 17. y = tg 2x.

21.  y

19. y = 2sec .:"(/2.

20.  y

= 3 cos

;(x

-

1).

22.  y = 1 ese 3x.

= eot (x + ;i/ 3).

3

R epresentar las funciones de los Problema 23-28.

23.  y 24.  y

= are sen x. = 2 are tg 2x.

25.  y 26.  y

= 3 are cos x/3. = are

27.  y = are ese 2x.

sr c  x .

28.  y

= are cot  x / 2.

Representar las funciones de los Problemas 29-35. 29.  y = 2eJCl2.

 y = log10 v' x' -16.

33.

30.  y = 4 - x.

32.  y =· log,.(3

+ x}.

34.  y = log..

v'27 - x3

35.  y =

eX

+ e-x 2

Catenaria.

•

Representar las funciones dadas en los Probl emas 36-49  por el método de la suma de ordenadas.

+  y  x = O. 2xy + y + x - 1 = O. 2xy + y 5x + 4y + 3 = O.

36. 4x2 -4xy

2

-

2 x2 2 38. 3x2 39. x2 + 2xy + y 2 -4x - 2y = O. 40. 2x2 + y 2 -2xy -4 = O.

37.

41. y = 2 cos x + sen 2x. 42.  y = ex t 2 + x2.

= x / 2 + cos 2x.  y = e- x + 2ex12. 4 4. 43. y

45.  y = sen 2x + 2 cos x. 46.  y = x sen x. nx 47. y = e- x12 cos2 48.  y = xe -·x•. nx 49.  y = x -sen --. 3

Expresar en forma paramétrica las funciones de los Problemas 50-55, teniendo en cuenta el valor  que aparece de x o de y . 2 Sol.  X = -,  y = \ - t. 50.  X - xy = 2,  y = 1 -t. I 

51. x2 ·-4y2 = K 2 ,  x = K sec O. 52. x3 + y3 = 6xy,  y

53.  x2 -2xy

Sol.  x

=  IX .

+ 2y2 = 2a2 ,

 x

=  K sec O ,

X =

= 2a cos t.

Sol .

 X =

1

= b cot y ·

55.  x21a + y213 = az:a,  y = a senªO.

S ol.  x

K tg O

-2

2

61

+ 13 '

 y = -1

6t 

+ tª .

= a(cos a2

2a COS t ,  y I

t 

 x

y =

= b cot 2,  y

=

t

± seo t) .

2b sen t.

Sol .  x = a cos30,  y = a sen30.

Eliminar el parámetro de las fu ncion\.!s de los Problemas 56-59 y hallar sus ecuaciones cartesianas.

56.

 x = a sec (},

57.  x 58.

 X

= 2 cos O - 1, =

59.  x =

·ts

.v = b tg e.

y = cos 2t.

3am

+ m3

= 3 sen {) -2.

 x z 

 yz

- - -- = I

bi (x + 1)2 a2

Sol.

4

t COS t , l

 y

Sol.

3am2

'

y =

1 + m3 •

(y + 2)2

+

S ol.  y = 8x2 - l. Sol.

x3 +y3 = 3axy.

9

= J.

CU RVAS PLANAS DE ORDEN SUPER I OR 60.

JOJ

Se lanza un proyectil desde un  pun to  A con una ve locidad inici al de 1 .000 metros por segundo (m/s) formando un ángulo de 35º con la hor izontal. Hallar el alcance del proyectil y la d uración de la trayectoria. Sol. 95.800 m, 1 18 s.

61. Hallar el ángulo con el que se debe lanzar un proyectil a una velocidad de 400 metros  por segundo (m/s) para que su alcance sea de 12.000 metros (rn). Hallar , asimismo, la d uración de la trayector ia. Sol. 23º 42'; 32,8 s.

62. Se lanza un  proyectil con un ángulo de elevación de 60º y u na velocidad inicial de 800 metros por  Sol. 56.500 m, 24.500 m. segundo (mf s ). Hallar el alcance y el vértice de la tr ayectoria . Representar las curvas cuyas ecuaciones  paramétricas son las indicadas en los Problemas 63-70. l

67.  X = ---

63.  X = 4 COS 1,  y = 4 sen t. 1

1

+-

66.

 X =

+ 12,

1

+ 1'.

68.  x = I

 y = t 3

l.

69.  x = sen t + cos t,

 y = cos 2f .

4 tg O,  y = 4 sec O.

70.  x = O -sen O ,  y

= 1 -cos O .

t2

+ 2,

 y = 41 - 13.

t 

1 ' =

+ t ' 

 y = t - -.

64.  X = 1

65.  X

1

1

 y =

-

71. R epresentar la cur va cuyas ecuaciones paramétri cas son x

.

•

•

= 8 cos30,

 y

61

= 8 sen30. 612 + 111 •

72. Repr esentar 1a curva cuyas ecuaciones parametncas son  x = 1 + 13 ,  y = 1 73. R e presentar la curva cuyas ecuaciones  paramétrica s son  x = 4 tg O,  y = 4 cos10. 74.

R e presentar la curva cuyas ecuaciones paramétrica s son  x

= 4 sen O,  y

= 4 tg O (1 + sen O).

CA PITU LO 12

Introducción a la geometría analí tica en el espacio COOR DENA DA S CA RTESIAN AS. La  posición de un  punto en u n  plano se defi ne por med io de las dos d istancias de éste a dos ejes que se corta n y q u e, normal men te, son perpendiculares en tr e sí (rectangulares). En el espacio, u n  punto se determina mediante sus distancias a tres  plan os  perpendic u lares dos a dos y que se ll ama n pl anos coor denados. La s d istancias del  pu n t o a est os planos se denominan coordenadas del  pu n to. Las r ect as de i nter sección de los  planos coord en ados ·son los e j es OX , OY y OZ que se llaman ejes coord enad os y cuyo sen tido  positivo se i ndica med iante flechas. Los  planos coor den ados d ividen al es pacio en ocho octantes nu mer ados de la forma siguien te: el octan te 1 está l imi z tado  por los semiejes  positivos; los octantes 11, 111 y 1V son J os situados  por encima del  pla no  xy  y numerados en sentid o contrario al de las agujas del rel oj alrededor del eje OZ. Los octa ntes V. V I , VJI y VIII son los situados  por debajo del  plan o  xy, cor r es pondién dose el V con 1, etc.

En la figura adjunta, las distancia s S P , Q P  y  N P son , r espectivamente, las coordenadas  x, y y  z del  punto P , y se r epresentan  por (x, y, z), o bien , P (x, y, z).  y

La distancia OP del punto  P al origen O es

OP

=

v óN 2 + N P2 = v ó.M2 + .M N 2 + Nf>S

Luego si OP = e, se tiene

e2 = x2 + y 2 + z2

= vx2

+ y2 + z2

•

•

ANG U LOS DE DIRECCION Y COSENOS DIRECTOR ES Sean a, fJ y  y los ángulos que OP forma con los ejes OX  , OY y OZ, respectivamente. Se verifica,  X = {] COS a,  y = (! COS {J, Z = (! COS y.

Elevand o al cuadrado y sumando miembro a miembro ,  x2

+ y2 + z2 = rl = e2 cos2a + e2 cos2{J + e2 coszy,

o bien ,

1 = cos2a

+ cos /3 + cos y. 2

2

También se ver ifican las r elaciones cos a

=

!...,

cos  f3

=

e

= v x2 + y2 + zt ,

e

 y

X

o bien, cos a

.

cos f3 =

vx"

+ yz + z2 '

cos y

=

 z

(! '

Z

cos y

= v x2 + y2 + z2 .

Los ángulos a,  f3 y  y son los ángulos de la dirección de OP y sus cosenos se llaman cosenos directores de OP . 104

INTRODUCClON A LA GEOMETRIA ANALITICA E N EL ESPACIO

105

Si una recta no pasa por el origen O, sus ángulos de d irección a, (J y y son los que forman con los ejes una r ecta  paralela a la dada que  pase por O. COMPONENTES DE UN A RECTA. Tres números cualesqu iera, a, b y e,  pr o porcionales a los cosenos d irectores de una recta se llaman componentes de la misma. Para hallar los cosenos dir ectores de una recta cuyas com ponentes son a , b y e, se dividen estos tres números 2  por ± + b2+7.Se tomará el signo adecuado para que los cosenos directores tengan el q ue les corres ponde.

va

DISTANCI A ENTR E DOS PUNTOS. La distancia entre dos puntos  P 1(xi. Y i. z1 ) y  Plx2, Y2. Zz) es

1

DJ R ECCION DE U N A RECTA. Los cosenos di r ector es de P 1P 2 son

X y 

PU NTO DE DlVíSION . Si el punto P(x, y , z) divide a la r ecta que une P1(x11 Y i. z1) con

X

+

=

Y1 x 1 rx 2 l + r '  y = l

+ ry2 +r

'

Z

=

:, + r  z 1 +r

2

·

ANG U LO DE DOS RECTAS. El ángulo de dos rectas q ue no se cortan se defi ne corno el ángu lo de dos r ectas q ue se corten y sean  paralelas a las dadas. Sean OP 1 y OP 2 dos r ectas paralelas a las dadas  pero q ue pasan por el origen , y O el ángulo que forman. Del triángulo de la figu ra se deduce, cos o =

Ahor a  bien , y d2

= (x2

--

x 1)2

e: = x + ) + z f. ei = xi + Yi + z . + (Yz -y )2 + (z  1

2 -z 1)

1

•

Sustituyendo y si mplificando,

X 1X2

+ Y 1Y2 + Z1Z2

cos () = --------

(!il!t 

(*

INTRODUCCION A LA GEOMETR IA A N ALITICA EN EL ESPACIO

106

. A hor a  b1en,

= cos a , etc. por tanto,

 X i X2

-

- = cos ª"  e. COS

2

(h.

O = COS a1

COS a2

+ COS /Jr COS /32 + COS Y r COS Y2·

Si las dos r ectas son  par alelas, cos O = 1 y, por consiguient e,

a, = a2, /31 = f:J,, Y 1 = Y2· Si las dos rectas son  perpendiculares , cos fJ

=

O, con lo cual

cos a 1 cos a2 + cos  f3 1 cos /J2 + cos y 1 cos Y2 = 0.

PROBLEMAS RESUELTOS l.

Repr esentar los  puntos siguientes y hallar sus distar.cias al origen y a los ejes coordenados:  A(6, 2, 3),

B(S, -2, 4).

X

X

ºº = vST+<-ir+ 4 = 2v21

= v62 + 22 + 32 = 7  Aa = v32 + 22 = vf3

2

OA

 Ab =

v6 ·r·32 2

Ba

= .Y4i + (

+

2)z

=

2..;s·

= 82 42 =--= 4 5  Br = .Ys2 +(-2):: = 2vi7

= 3vS

 Bb

 Ac = v62 + 22 = 2V 1o

2. Hallar la distancia en tre los p unt os P1(5, -2, 3) y P2(-4, 3. 7).

3.

Hallar los cosenos directores y los ángu l os de dirección de la rec.ta q ue une el erigen con el  pu nto (.:_.(), 2, 3). cos a =  X z -X i 2 \l(  xz -X1)2 + (Y2 -y1)2 + (z 2 ..:: ; z 1) -6 -0

- :(- ::= -0= )2 =-t= (Í -- -O)C+-(J-0)2 r.0.1lo

que a

=

= -7-,

149º.

Y2 -Yt cos  R ,, =

- 7---

cos y =-:

-6

=

2 -O -= 2 ' con lo que 8 1 7 -7

3 -0 =

7

=

3

, con Jo que y

7

=

73°24'.

= 64°37'.

o X

I NTROD UC\IO N

A LA GEOM F.TR IA A NA LITICA F N F.L FSPACIO

107

Demost r ar q ue la s coord ena das del cen t r o geomet rico ( ba riccnt r o o cent ro del r ea ). es decir. el  pu n t o de in ter s ección de las med ianas. dc:l t rián gul o di.! vért ices  A( .\ ,. y : ). 8( .r , y .:) C(.Y J'J. : ) son •

+ -"2 + X3 . Y 1 + J3'2 + )'3 · --

,

 X 1

3 ---

(

+ 32 +-3 ).

Las med iana s del t riángulo  A BC se cortan en un C J>  A P  BP  2  p un t o P(x,y, ) de forma qu e PD = PF = -PE = ¡ - r .

•

1

1

2

3

3

 z

La s coordenadas del  pu n to D son  _!_ 2

+ 2

(

3

Y2  _±

 X 3

'

2

Z2

'

+ Z3

)

2

Luego las coord enadas del pu nto  P , quc ;f p . 2 en la r elaetón r =  P D = - , son

<.I ividc

a  A D

o

1

 X ¡

.x

5.

r(

 X 2

+ X3 ) 2

+, 1

=

-  X i

+

2

+ x3

•

X

y 

A ná logamen t e. y =

· -:i

t Ya .:

Ha lla r los ccscn os d i r ectores y los ángu los de dir ección de u na r ecta cu yas com ponent es son 2, -3, 6.

cos a -

6.

1

 A(x.,y,.z,)

2  _ ,14 1 9

+ 36

._, 7

.

3

7

, fJ = 1 15 23 .

-

6

7

.y

-=-

JI

Demostr a r q ue la r ecta determinada por los  punt os  A(5. 2. -3) y 8(6, 1 , 4) es  paralela a la q ue une

C(-3. -2. -1 )

y

D( -1. -4,

13).

Las corn pon l.!ntcs de  A B son 6 -5, 1 -2. 4

+ 3. o

ca. 1, - 1 , 7. La s comp o n e n t es de CD son -1 + 3. -4 + 2. 1 3 1- 1, o sea. 2, -2. 14. S.1 d os r ecta s cuyas co mponentes son a , b. e y a ' b' e ' son pa r a 1e1as. -ª  , = l b' = -e,. ? e a 2 -2 14 Por ta n to, como T =  _::¡ -= -=¡· a mba s r ect as son para lelas.

7.

Dados los  pu nt os A (-:1 , 8, 4), B( - 1 , -7.-1) y C(9, -2. 4), d em ost ra r q ue l as r ectas  AB y BC  son  pe rpendicu la r es.

La s componen tes de  A B son -1 + 1 1 , -7 - 8. -1 - 4, es deci r . 10. -1 5, -5. o  bie n , 2. -J. --1. La s com ponentes d e BC son 9 + l. -2 + 7. 4 + l. es deci r. 1 O, 5, 5, o bien. 2. l. l. Si dos r ect as. de componen t es a. b, e y a', h'. e'  , son perpend icul a r es se ve rifica . aa' T bh' +ce' =O. Su t i t u ycndo. (2) (2) + (-3) (1) + (-1) ( 1) = O. Por ta n t o, l as r ectas  A B y BC son perpendiculares .

8.

H alla r e l án gu lo () formad o po r las r ecta s  AB y C D sien do  A( -3. 2. 4), 8 ( 2 , 5, -·2), C( I , -2, 2) y D(4, 2, 3). L1s compon entes de  A B son 2 + 3, 5 -2, -2 -4. o bien 5, J. -6. las com pon en te de C D son 4 - 1 . 2 + 2, 3 -2, o bien , 3. 4. 1 . . 3 5 , co s y = -6 Los cose n os d cctor es de  AB son cos a = - 5 , co (J = ir . ::. _  '\ 25 + 9 -l 36 ../70 \ / 70 \' 70 3 4 Los cosenos d irector es de CD son cos a 1 = = - , cos ¡1 1 = , cos y 1 = -· ..¡9 + 16 + 1 26 ../ ../26 ,1

26

108

I NTRO DUCCION A LA GEOM ETR IA ANALlTICA EN EL ESPACIO

Por tanto, cos O

=

+ cos {J cos {1 +cos y cos y 1 6 · 1 ;;:. = 0,49225, +-3 · -4- -  _

c:os a cos a1

= --5-- ·

3

1

,110 v'26 · / 70 v'26

70 v'26

1 A)

z

9. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A(3, -1, 4), B( l , 2, -4), C(-3, 2, 1).

Cosenos directores de AE =-

de donde () = 60º30,7'.

f>.l3:'

8 ). .2=, --3=·--=

(v'77 v'77 v'77

Cosenos dir ectores de BC = 4-= , O, -5 ). (v'4 1 v'4 t

(-2 . 1 -1 )

.

= v'

Cosenos di rectores de A C

6

v'G' v'6

X

.

 Nota. Los cosenos directores de la recta  AB son opuestos de los cosenos directores de  BA . -8 -1 15 -2 -2...= -= COS A = --= -. · + 3 · l + -= · - == -

v'77

v'6

vn

v'6

v'77 v6

 A

= 45º44, 7'.

 B

= 55"16, 9'.

../462

2 8 32 -4 5 -3 cos B = -=- ·--= + -= ·O + -= · -=- = -=·

v'77 v'4t v'77 v'77 v'41 v'3 157 4 2 1 3 -5 cos e = -=·--= + o + -= ·--= = -----===-· e = 78º58, 4'. ..¡4 1 v'6 v'41 v'6 v'246

 A

+ B + C = J 80º.

10. Hallar el área del triángulo del Pr o blema 9.

El área de un triángulo conocidos dos de sus lados, b y e, y el ángulo q ue forman ,  A, es igual a !be sen A .

Longitud de AB , e = v'77, longitud de A C, b = 3v'6: Por tanto , área = !(3v'6) (v77) sen 45º 44,7' = 23, l unidad es de su perficie. 11. Hallar el lugar geométrico de los punto s que disten r unidades del  punt o fijo (x 0 , y 0 , z0).

+ (z -z

o  bien, (x -x0) 2 +( y -y0)2 ción de una esfera de centro en (x0 , y 0 , z0 ) y radio r. v'( x -x0)2 +( y -y0)2

2 0)

= r,

La fonna general de la ecuación de una esfera es x2

+ (z -z

2 0)

+ )i2 + z2 + dx + ey + fz + g

= r 2,

ecua

= O.

12. Hallar la ecuación de la esfera de centro (2, -2, 3) tangente al plano XY .

Como la esfera es tangente al  plano  XY su radio es 3. Luego,

v'( x -2)2 + (y + 2)2 + 4 y -6z + 8 = O. 13.

+(z -3) = 3. 2

Elevando al cuadrado y simplificando,  x1 +y 2

Hallar las coordenadas del centro y el radio de la esfera x 2 + y2

+ z2

+ z2 6x + 4y -8z = 7. Completando cuadr ados, x2 6x + 9 + y2 + 4y + 4 + z2 8z + 16 = 36 o bien. (x -3'J' +( y + 2'J' + (z -4) = 36. -

-

2

-

4x

-

J NTRODUCCION A LA GEOM ETRJA ANALITICA EN EL ESPACIO

109

Compara ndo con La expresión (x - x 0 )2 +(y -y0) 2 +(z -z0)2 = r 2 se deduce que el centro tiene de coordenadas (3, -2, 4) y el rad io de la esfer a en cuestión es 6. 14. Hallar el J ugar geométrico de los puntos cuyas distancias a l pun to fijo (2, -3, 4) son el doble de la

corr es pondiente al (-1,2, -2).

Sea P( x, y, z) un punto genérico cualquiera del l ugar. Enton ces,

+ (z -4) = 2v( x + 1)2 +(y -2)2 +(z + 2)2 simplificando, 3x2 + 3y 2 + 3z2 + l 2 x -22y + 24z + 7 = O, que es

v(x -2) 2 +(y + 3)2

2

Elevando al cuad rado y u na esfera de cen tro -2, -11 , -4) y rad io r

3

( 15.

•

= 2 v70. 3

Hallar la ecuación del  pla no perpend icular a la recta q ue une los puntos (2, -1, 3) y (-4,2, 2) en su  punto med io. Sea P( x , y, z) un  pu n to genérico cualquiera del plano. En tonces,

+ 4)2 +(y -2) + (z -2) = v(x -2) +(y + 1) + (z -3) Elevando al cuad rado y simplificando, 6x -3y + z + 5 = O. Esta es Ja ecuación del plano 2

v(x

2

2

2

2

•

cuyos  punto s equidista n de los dos dados. El plano cor ta a los ejes en los puntos {-S/6, O, O), (O, S/3, O) y (O, O, -S), y a la recta dada en (-1, l /2, S/2).

{-4,2,2) '

t 

\ 1

X

\\\\

(0.0,-5) 1

1

 Pr oblema 16 

 Problema 15

16. Halla r el J ugar geométrico de los  puntos cuya suma de distancia s a los dos  pu ntos fijos (O, 3, O) y (O, -3, 0) sea igual a 1 O.

Sea P(x , y,=> u n punto genérico cua lquiera del l ugar. Entonces, FP

v(X _:-0)2 + (y -3)2 + (z -0)2

+ \! (x - 0)2 + (y + 3)2

+ PF' =

10, o sea,

t (:-0)2 = 10.

Pa sa ndo uno de los radicales al otro miem bro y eleva ndo a l cuad rado se o btiene, después de reducir términos, 3y + 25 = S\/x 2 +y 2 + 6y + 9 + 2. Elevando al cuad rado y simplifica ndo , 2Sx2 de ccnlro el origen.

+ 1 6y2 + 25 2 = 400, q ue

representa u n elipsoide

17. Hallar el l uga r geométrico de Jos  puntos cuya diferencia de dista ncia a los dos puntos fiJOS (4, O, O) y (-4, O, O) sea igual a 6.

INTRODUCC'ION A LA GEOM ETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

110

Sea (x, y, z) u n pun to genérico cualq uiera del l ugar. Entonce s. V(x -4) 2 +(y - 0) 2

o bien,

V{x2 -8x

+ (z -0)

2

-

V (x -4) 2 + (y -0) 2

+(z -0)

2

= 6,

+ 16 + y 2 + z2 = 6 + V'x2 + 8x + 16 +y 2 + z2

•

Elevando al cuad rado de nuevo y simplificando, 7x 2 -9y2 -9z2 = 63, que representa un hiper  boloide de revolución a lrededor del eje x.

18. Hallar el lugar geométr ic.' de los puntos cuya distancia al eje  z sean tres veces la correspondiente al punto (-1, 2, -3).

Di stancia al eje  z Es decir ,

=

distancia al punto (-1,2. -3).

+ y2 = 3V'(x + 1)2 +( y -2) + (z + 3)2 y si mplificando, 8x + 8y + 9z + l 8x -36y + 54z + 126 = O, 2

v·x2

Elevando al cuadrado elipsoide.

2

2

•

2

que es un

19. Demostrar que los puntos A(-2, O, 3), B(3, 10, -7), C( I , 6, -3) están en línea recta. Componentes de  AB o bien, -1,-2, 2.

= 5, 10, -10,

o bien, 1, 2, -2; componen tes de  BC = -2, -4,4,

Como las componentes son propor cionales, las rectas son paralelas. Ahora bien, como B perte nece a am bas, AB y BC serán una misma recta y, po r consiguien te, los puntos dados son colineales. 20. Hallar el luga r geométrico de los  punto s que equidisten de los  puntos fijos (1, 3, 8), (-6, -4.2), (3, 2, 1). Sea (x, y, z) un  punto genérico que satisfaga las condiciones del  problema. Entonces (1) (x -1)2 +( y -3)2 y

(2)

(x -1)2 +( y -3) 2

+(z -8) = (x + 6)2 +(y + 4)2 +(z -2) 2

+ (z -8)

2

= (x -3) 2 + (y

-2) 2

2

,

+(.:: - 1)2.

Desarrollando y simplificando, se obtiene, (1 ) 1x + 7 y + 6: -9 = O y (2) 2x - y -7z Solución: 7x + 1y 6z -9 = O y 2 x - y - ?z + 30 = O.

+

+ 30=0.

21. Demostrar q ue el triángulo  A( 3, 5, -4), B(-1 , l. 2). C(-5.-5. -2) es isósceles.

= v'(3 + 1)2 + (5 -1)2 + (-4 : 2)2 = 2 \ 117. Longitud de DC = v'(-5 + 1)2 + (-5 - 1)2 + (-2 -2)2 = 2 v'T7. Longitud de  AC = v'(-5 :_ 3)2 + (-5-·5)2 + (-2 + 4)2 = 2 v'42. Como AB = BC = 2v'i7, el triángulo es isósceles.

Longit ud de  AB

22. Demostra r ,  por dos métodos diferentes, que J os pun1os A (S. 1, S). 8 (4, 3, 2), y C(-3, -2, 1). son los vértices de un triángulo rectángulo. l.

,114.  BC = (4 + 3)2 + (3 + 2)2 +(2 ==-i)2° = v'7S. CA = \1( -3 -5) + (-2 -1) + (1 -5)2 = v'89.

Apl icando el teorema de Pitágoras,  AB = , (S -4)2 + (1 = 3)2 + (S -2)2 =

2

( AB)2

...

2

+(BC)2 = (CA)2, o 14 + 75 = 89.

INTROOUCCION A LA GEOMETRI A AN ALITICA EN 1:. L FSPACIO

111

2. Demostrando q ue  A B y  BC son perpendiculare s. 1 -2 3 d' 7 1 5 d Cosenos d . , -- =· Cosenos es e  AB. =· -· -. -. s de BC, arectore 1rcctor  - --=... 14 5 ,13 5 3 svJ , 1 4 ,'14 1 1 3 · 7- - 2 · 5 + - · - = 7 -10 + 3 cos B =

=0

--

· 5 f i4 5 ,13 .,¡¡-¡ s ,13 5 4i De otra forma : La suma de los prod uctos de las com ponente s de las dos rectas es igual a cero.

-- vi4

7(1)

+ 5(-2)

¡- 1(3)

= o. PROBLEMAS PROPUESTOS

l.

2.

3.

R epresen ta r los pun t os (2, 2, 3). (4. -1, 2), (-3. 2, 4), (3, 4, -5). (-4, -3, -2), (O. 4, -4). (4, O. -2), (O, O, -3), (-4. O, -2), (3, 4, 0). Hallar la distan cia del origen a los  pu ntos del Problema 1. so1. ,1fl, v2i, v29. 5vf. v29, 4 v2. 2 v5, 3, 2v5, 5. Hal la r la d ista ncia en t r e los  pare de  pun tos siguie n tes: (a) (2, 5. 3) y (-3, 2. 1 ). Sol. v38. Sol. 7. (b) (O. 3, O) y (6, O, 2). e) (-4 , -2. 3) y (3, 3, 5). Sol. V78.

4. Hallar el  perím e t ro de los t r iángu los siguientes: a} (4, 6, 1 ), (6, 4. O), (-2, 3, 3). b) (-3, 1,-2), (5, 5, -3), (-4, -1, -1). e) (8, 4, 1), (6. 3. 3), (-3, 9, 5).

S.

Sol. 1O + v74. Sol. 20 + ,16, Sol. 14 + 9 2.

R epr esentar los  pun tos siguien tes y hallar la distan cia de cada u no de ellos al origen así como los cosenos de la dirección q ue con él definen. Sol . 7, cos a = -6/7, cos (J = 2/7, cos y = 3/7. a) (-6. 2, 3). b) (6, -2, 9). Sol. 11, cos a = 6/ ll , cos /3 = -2/ 1 1. cos y = 9/l l. e) (-8, 4, 8). S ol . 12, cos a = -2/3, cos fJ = 1/3, cos y = 2/3. d) (3, 4. O). Sol . 5, cos a = 3/5, · cos (J = 4/5, cos y = O. S ol . 4V3. cos a = l / V3, cos f3 = 1/ V3, cos y = l / '\/3. e) (4, 4, 4).

6.

Hallar los án gulos de dir ección de las rectas que unen el origen con los  pu ntos del Problema 5 a), d) y e). Sol. a) a = 148º59,8', fJ = 73º23,9', y = 64º37,4'. d) a = 53°7,8', {3 = 36º52.2',  y = 90º. e) a = (J = y = 54º44,I '. 7. Hallar las longitudes de las medianas de los triángulo s cuyos vértices son los q ue se indican . Dar el resul tado de las mediana s corr es pond ientes a los vértices A , B, C, por este or den. Sol. v9f , ,/i66, v2TI. a) A(2, -3, 1), 8(-6, 5, 3), C(8, 7, -7).  b) A(7. 5, -4), 8(3, -9, -2), C(-5, 3, 6). S ol. 2v41, v l 82, v206. e)  A ( -1, 4, 6). 8(3, 6, -2), C(I , -8, 8). Sol. víl5, ví8t, v21 4.

8. Hallar los cosenos director es de las rectas que unen el  primero con el segundo de los puntos que se indican. e) (3, -5, 4), (-6,1, 2). e) (-6, 5, --4), (-5, -2, --4). a) (--4, 1, 7), (2, -3, 2). b) (7, 1, --4), (5, -2, -3). d   ) (5, -2, 3), (-2, 3, 7). 2 TO 6 vn 1v 10 ,11 0 4 ,111 s vn S ol. a) 71' -77 --77d ) -30· 6 ' 15 3vi4 vl4 9 2 6 vi4 b) - · -1 -· e) -TI, 1 1 • 11 ·  _   _  1 4 _ ' ----¡¡-· •

e)

v2

1v2 

lO'--10'

O.

11:?

9.

INTRODUCCIO N A LA GEOM ETR JA A NALIT I CA EN EL ESPACIO

Hallar las com ponente de las rectas que pasan por los  punt os que se i ndican. n) (4, 7, 3), (-5, -2. 6). Sol. 3, 3, -1 . Sol. -3, O, -6.  b) (-2, 3, -4), ( 1 . 3, 2). Sol. 1, 1, -1. e) (1 l . 2, -3), (4, -5, 4).

10. H al lar el menor de los ángulos que forman las r ectas que  pasan  por los pu ntos que se i ndican. a) (8, 2. O). (4. 6. -7) ; (-3. 1 , 2), (-9, -2, 4). Sol. 88"10,8'. b) (4, -2, 3), (6, I , 7); (4, -2, 3), (5, 4, -2). Sol. 90''. Sol. 73º 11,6'. e) De (6, -2. 0) a (5, 4, 2v3) y de (5. 3, 1) a (7, -1 , 5). 11. H allar los ángul os i nterior es del triángulo cuyos vértices son (-1, -3, -4), (4, -2, -7) y (2, 3, -8). Sol. 86"27.7', 44º25,4', 49º6,9'. 12. Hallar el área del t riángulo del Problema 1 1 . 16, 1 7 u nidades de superficie. Sol. 13. Ha llar los  punt os de int er sección de las mediana s de los t rián gulos siguientes: Sol . (5/ 3, -2/ 3, -19/ 3). a) (-1 , --3, -4), (4, -2, -7), (2. 3, -8). Sol. (10/3, O, 4). b) (2, 1 , 4). (3, -1, 2), (5, O, 6). e) (4, J, -2). (7, -1, 4), (-2. 1 , -4). Sol . (3, 1 , -2/3). 14. Demostra r que el t riángulo de vértices (6, 1 0, 10), ( 1 , O, -5), (6, -10, O) es r ectángulo; hallar su área. Sol. Ar ea = 25v2i unidades de superficie. 15. Demostrar que el triángulo de vért ices (4, 2, 6), (10, -2, 4), (-2, O, 2) es isósceles; hallar su ár ea. Sol. Ar ca = 6vi9 unidade s de superficie. 16. Demostra r ,  por dos métodos disti ntos, que !:)s  punto s (-1 1, 8, 4), (-1, -7, -1 ), (9, -2, 4) son los vértices de un triángulo r ectángulo. 17. Demost r ar q ue los  punto s (2, -1, O), (O, -1, -1), (1, I,-3), (3, 1 ,-2) son los vértices d e un

rectángulo.

18.

Demostrar que los puntos (4, 2, 4), (10, 2, -2) y (2, O, -4) son los vértices de u n triángulo equilátero.

19. Demo strar ,  por dos métodos diferentes, que los  punt os (1 , -1, 3), (2, --4, 5) y (5, -13, 11) son colineales. 20. Hallar la ecuació n del l ugar geométr ico de los  puntos que equidisten de los  pu ntos fijos (l , -2, 3) y (-3, 4, 2). Sol. 8x -l 2y + 2z + 15 = O. 21. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los punto s cuya dist ancia al  punto fijo (-2, 3, 4) sea el doble de la correspond iente al (3,-1,-2). Sol . 3x2 + 3y2 + 3z2 -28x + 14 y + 24z + 27 = O ; una esf era . 22. Hallar la ecuación de la esfera de radio 5 y centro (-2, 3, 5). 4x - 6  S ol . x2 + y 2 + z 2 13 = O.  y - lOz

+

+

23. La s com pon entes de dos rectas son 2, -1, 4 y -3, 2, 2. Demostrar que son perpendiculares. 24. Hal lar el valor de k de forma que la r ecta que une los pu ntos P 1 (k, 1 , -1) y P 2(2k, O, 2) sea perpenSol. k = 3. dicular a la que une P 2 y P3(2 + 2 k , k, 1). 25. Las componentes de una recta perpendicular a otras dos, de componentes a¡, b 1, c1 y a2 , b2• c2, vie nen dadas por los tres determinantes siguientes:  b1 C¡ 1 1 C¡ O¡ 1 1 01 b1 1

1 b2 C2 ' C2 Oz ' Oz b2 . Hallar las componentes de una recta perpendicular a otras dos de componentes a) l , 3, -2 y -2, 2, 4. Sol. 16, O, 8, o bien, 2, O, l . b) -3, 4, 1 y 2, -6, 5. Sol. 26, 17, lO. e) O, -2, l y 4, O, -3. Sol. 3, 2, 4. d) 5, 3, -3 y -1, 1,-2. Sol . -3, 13, 8.

I N IRODUCCION

A LA G EOMETR I A A N ALI TICA EN EL ESPAClO

113

26. Hallar las componentes de una recta perpend icular a las dos r ectas determinadas por los par es de  pu n tos de coordenadas (2, 3, -4), (-3, 3, -2) y (-1, 4, 2), (3, 5, l). S ol. -2, 3, -5. ,

•

Hallar los cosenos d irectores de una recta  perpend icular a otras dos cuyas componentes son 3, 4, l y 6, 2, -1. Sol. 2/7, -3/ 7, 6/7.

Hallar x sabiendo q ue el ángulo q ue forma la recta L1 -de com ponentes x, 3, 5-y L2 -de componentes 2, -i, 2-es 45º. Sol. 4, 5?.

29. Hallar x  para q ue la r ecta que pasa por los pun tos (4, l . 2) y (5, x, O) sea paralela a la que une (2, 1, 1) y (3, 3, -1).

Sol.  x

= 3.

Hallar  x  para q ue las rectas del Problema 29 sean  perpendicu lares.

Sol.  x

= -3/2.

Demostrar que los puntos (3, 3, 3), (1, 2, -1), (4, 1 , 1), (6, 2, 5) son Jos vér t ices de un  parale logramo. Demostrar q ue los  puntos (4, 2, -6), (5, -3, 1 ), (12, 4, 5), (1 1, 9, -2) son los vért ices de un rec tángulo. Demostrar que la recta que pasa por los  pu nt os (5, 1, -2) y (-4,-5, 13) es la med iatr iz del seg men to determinado por (-5, 2, O) y (9, -4 , 6).

34. Hallar el ángulo formado  por las rectas q ue  pasan  por los  puntos (3, l , -2), (4, O, -4) y (4, -3, 3), (6, -2, 2). Sol. rr./3 rad ianes. 35. H allar el valor de k  para qu e las rectas de componentes 3, -2, k y -2, k , 4 sean  perpend iculares. Sol. k = 3. . Hal lar el l ugar geométrico de los  puntos q ue equ idistan del eje y y del punto (2, I , -1). Sol.  y 2 -1y - 4x 2z 6 = O.

+ +

37. Ha llar el lugar geomét rico de los puntos q ue eq uid istan del plan o xy y del punto (-1, 2, -3). So/ ,  x 2 + y 2 + 2x -4y + 6z + 14 = O. 38. Hallar el lugar geométri co de los pun t os cuya d iferencia de cu adrados de sus d istancias a los ejes  x  2 Sol.  y 2  x = a. e y sea constan te. 39. Hallar el l ugar geométrico de los  pu n tos q ue eq u idistan de l e je  z y del plano  xy. Sol .  x 2 + y 2 -.;2 = O, un cono. 40. Hallar la ecuación de una esfera de cen t ro el  p u n t o (3. -1, 2) y que sea tangente al  plano Sol.  x 2 + y2 + .::2 - 6x + 1y -4.; + 5 = O.

yz.

41. Hallar Ja ecu ación de una esfera de rad io a y que sea tangen te a los tres planos coordenados sabiendo que su centro se encuen tra en e l  primer octan te. Sol.  x2 + y 2  z 2 -1ax -2ay -2a.:: t 2a2 = O. Hallar la ecuación de la esfer a de cent ro (2, -2. 3) y q ue pase  por el punto (7, -3, 5). Sol. x2 +y 2 + z2 -4x -! 4 y -6.:: - 1 3 = O.

+

H allar el lugar geomét r ico de l o$  puntos que eq uid istan de (-2, 1, -2) y (2, -2, 3). Sol . 4 x - 3y + Sz -4 = O. Hallar la ecuaci ón del pla no  perpend icular al segmento determinado por (-2, 3, 2) Y (6, 5, -6) en su pun to med io. Sol. 4x +  y -4.:: -20 = O.

Dados A(3, 2, O) y 8(2, l. -5), ha llar el lugar geomét rico de los pu ntos P(x, y, -=: ) de manera que PA Sol .  x 2 + y 2 + 2 .,:_, 5x -3y + 5:+ 8 = O. sea perpend icu lar a PB .

.::

Halla r el lugar geométrico de l os pun t os ( x, y , :;-¡cu ya d ista ncia al pun to fi j o (2, -1, 3) sea igual a 4. Sol.  x2 + y 2 + z 2 -4x 2y -6z -2 = O.

+

I NTRODUC CION A LA GEOM ETR IA ANALITICA E N EL ESPACIO

114

47. Hallar el l ugar geomét rico de los pun tos ( x, y, z) cu ya distancia al  pun to fijo (1, 3, 2) sea tres veces su distancia al  plano  x z . Sol. x2 -8y2 +z 2 -2x -6y -4 z + i4 = O. 48. Hallar el centr o y el radio de la esfera  x 2 Sol. Centro (1,-3, -1), radio 5.

-L

y2

+: 2x + 6y + 2: -14 = O. 2-

49. Hallar las coordr nadas del centro y el radio de la esfer a.

a) 16x2 + 16y2 + 16:2 -24x + 48y -5 = O.

+ z2 2x -6y + 4z + 14 = O. + y 2 + z2 + 4 x -2y -6z = O.

b) x2 + y 2 e)  x 2

-

Sol. Centro (

!.-- ,o);

S f.

Sol. Cen tro (1, 3, -2); r = O. Sol. Ccn t r o (-2, l . 3) ,.- = vi4.

SO. H allar la ecuación de la esfera de centro (4, -3, 2) y que sea t angente al plano  x Sol. x2 + y 2 + z2 -8x + 6y -4 z -7 = O. 51. Hallar el lugar geométrico de los puntos situado:; a) 4 unidades delante del  plano  xz.  b) 6 unidades detrás del  plano  yz. e) 3 unidades detr ás del  plano y - 1 = O. d) 3 unidades delante del eje z.

r=

Sol. Sol. Sol. Sol.

+ 2 = O.

 y = 4.  x = -6.

 y + 2 = O.

x2 + y 2 = 9.

distancias a los dos  puntos fijos (3. O, 0) 52. Hallar el l uga r geométrico de Jos  puntos cuya 2su ma de y (-3, O, 0) sea igual a 8. Sol. ?x' + 16y + 1 6:2 = 1 12, elipsoide. 53. Hallar el l ugar geomé tr ico de los puntos que eq uidi stan del  punto (-1 , 2, -2) y del eje .

Sol. z 2 + 4z

+ 2x -4 y + 9 = O, paraboloid e.

54. H allar el Jugar geométrico de los  pun tos que distan t res veces má s del  punto (3, -2, 1) que del  plan o  xy.  x + 4 y - 2z + 14 = O, hiperboloide. Sol .  x 2 + yz -8z2 -6  55. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya difer encia d'! distancias a los dos puntos fijos (O, O, -4) Sol. 9x2 + 9y2 -7z2 + 63 = O. h i perboloide. y (O, O, 4) sea igual a 6. del plano  yz sea el doble de la correspon 56. Halla r el l ugar geomét rico de los  puntos 2cu ya 2distancia diente al  pu nt o (4, -2, 1). Sol . 3x + 4y + 4 z 2 -32x + l 6y -8z + 84 = O, eli psoide.

57. Hallar el l ugar geométrico de los  punto s que distan tr es veces má s del  plano  z Sol . 9 x 2 + 9y2 + 8z2 -288 = O, el i psoide.  punt o (O, O, -2). 58. Hallar el luga r geomét rico de los  puntos que equidistan del plan o ;: Sol. x2 + y2 + 4 z - 16 = O, paraboloi de.

+ 18 = O

q ue del

= 5 y del  punto (9. O, 3).

CA PrT U LO

13

El pl ano U N PLA NO se represen ta  por u na ecuación lineal o de  primer grado en las va ria bles  x, y,  z. El recí proco tam bién es ciert o, es deci r. toda ecuación li nea l en x, y , = r epr esenta un  plano. La ecunción genera l de un pla no es. por consigu ie n te.  Ax -1  B y -¡ C= +  D = O, siem  pre q ue  A. 8 y C no c;cn n n u los si m ult<1neamen tc.

La ecuac ión de la fa mil ia de pla nos q ue pasan  por el  pu n to ( x0 y0• =.,) es  A( x - x.,) l- B( y -y., ) 1 C( = - z0) = O. •

R ECTA PE R PE N D I CU LA R A U N PLA NO . Sea n a. h, e las com pon en tes de la recta ;  para q ue ésta sea  perpend i cula r a l  pl a n o de ecuación  A x 1  B y + Cz f-  D - O se ha de verifica r  q u e d ich as com pon en t es sea n proporcionale s a los coeficien tes de  x. y , :: de la ecu ación del

e , la r ecta a = ¡b¡ = C   pla no. Si.empr e que a. / '· c. A . B. C sean t oe1os d.1st1.111 os d e cero y  A y

el  pla no son  perpend icu la r es.

PLA NOS PA RA LELOS Y PE R PEN DICU LA R ES Dos pla nos,  A ,x + B 1 y + C 1= + D 1 = O y  A 2x + 82  y + C 2 = +  D 2 = O, son  paralelos si los coeficien tes de  x.  y. = en sus ecuaciones son propor cionales. es decir. si se veri B i C1 A, fica ==  B2 C2 .  Ai Dos pla nos,  A ,x + B  1y + Ci= + D, = O y  A 2 x + B zy + C 2= -i  D2 = O, son  perpem/;cu lares, cua ndo se verifica la relación ent r e coeficien tes  A  ,A 2 + 81 82 + C1C2 = O. FOR M A  NO R MA L. La forma normal de la ecuación de u n  pla no es  x cos a

+ y cos fJ + :: cos y - p = O,

siendo  p la d istancia del orige n al  pla no. y a. /J. y. los ángulos de la d irección de la  perpen dicular al  plan o  por el origen. La forma n ormal de la ecuación del  plano  A x + B y + C:: + D = O es  A x +  ) + C= +  D = O ±  A 2 + 8 2 + C2 ' en donde el si gn o del radical se con sider a opuesto al de D  para q ue la dista ncia p sea siempre  positiva. EC U ACION DEL PLA NO EN FU NCION DE LOS SEG MENTOS QU E I NTER CEPTA EN LOS EJ ES. La ecuación del  pla no q ue cor t a a los ejes  x, y. :: en los pu ntos a , b, e, res-

v

 pect ivamente. viene d ada por   xa

=

+ -hy- +-

e

= l.

DISTANC I A DE U N PU NTO A U N PLA NO. La d istancia del  pu n to  A x

+ B y + C:: + D = O es d =

 A x 1 + B y 1 + .,¡ A 2

+ s2 + c2

 D 1

(x.,  y 1,

1)

al pla no

·

1 15

J

EL PLANO

116

A NG U LO DE DOS PLANOS. El ángulo agudo O q ue for man dos  plano.;,  A 1 x + D1 = O y A2X + B2Y + C2z + D2 = O, viene defi nido  por   A1A 2 + B1B2 + C.C2

cos o = 1 ,1 A 12

+ B  y + C1z 1

1

+  B12 + e/· v A22 + B;2 + c22 i·

CASOS PA RTICU LAR ES. Los planos  Ax + By + D = O,  B y + Cz + D = O.  Ax + Cz +  D = O, representan planos perpend iculares, respectivamente, a los planos  xy, yz y xz. Los  planos  Ax + D = O,  By + D = O, Cz + D = O representa n pla nos, respectiva mente, perpendiculares a los ejes  x,  y y  z.

PROBLEMAS R ESUELTOS l.

Hallar la ecuación d el pl ano q ue pasa por el  pu nto (4, -2, 1) y es per  pendicu lar a la r ecta de com  ponent es 7, 2, -3. Apl iquemos la ecuación del plano en la forma  A( x -x0) + B( y -Yu) + C( z -z 0 )= O y la cond ición de q ue los coeficientes sean proporcionales a las componentes dadas. En tonces, 7(x -4)

2.

+ 2( y + 2) -3(z

-

1)

=

O, o  bien, 7x

+ 2y -J: -21

=

O.

Hallar la ecuación del  plano perpendicu lar, en el punto .med io, al segmento definido por los puntos (-3, 2, l ) y (9, 4, 3). Las componentes del segmen to son 1 2, 2, 2, o bien , 6, 1, 1. El  punto med io del segmento tiene de coordenadas (3, 3, 2). Luego la ecuación del plano es 6(x -·3) +(y -'3)

3.

+ (z -2) = O,

o  bien, 6x +y

+ z - 23 = O.

Hallar la ecuación del plano que pasa por el pu nto ( 1, -2, 3) y es paralelo al plano

 x - 3y + 2z = O. La ecuación del  plano  ped ido es de la forma  x -3y + 2z = k. Para hallar k ,.se sustituyen las coordenadas (1 , -2, 3), en esta ecuación, ya q ue este punto pertenece al plano en cuestión. Entonces, 1 -3(-2) + 2(3) = k, de donde k = 13. La ecuación ped ida es x - 3y 4.

Hallar la ecuación del  plano q ue pasa por el p Jnto (1, O,

2x

-2)

y es perpendicular a los planos

+ y -z = 2 y

 z  x -y -

= 3.

La familia de planos que pa san por el punto ( 1 , O, -2) es A(x - l ) Para que uno de estos planos sea perpendicular a los dos dados, 2A

Resolviendo el sistem a,  A

=

+ 8 -C = O

+ B(y

-

O) + C(z + 2) = O.

y

 A - B -C = O. -2B y C = -3B.

La ecuación  pedida es -2B(x -- 1 ) 5.

+ 2z = 13.

+ B( y -O) -3B( z + 2) = O, 9  bien , 2x -Y + 3z + 4 = O.

Hallar l a ecuación del plano que  pasa  por los  puntos (!, l.-1), (-2, -2, 2), ( l . -1,2). Sustituyendo las coordenadas de estos puntos en la ecuación  Ax el si stema  A +  B - C +  D = O, -2A -28 2C D = O,  A -  B + 2C + D = O.

+

+

+ By + Cz + D = O se obtiene

EL PLA NO

117

Despeja ndo  A , B. C y  D r esulta n.  D - O.  A = - C   / 2. B = 3C¡2. C - C. Sustituyendo estos va lores y d ividiendo por C resulta la ecuación .\" -Jy - 2:

= .o.

Otro método . La ecuación del plano que pa a por los pun t os (.r 1• y 1  z 1 ). ( x 2 y 2 , =J y (.\·3 y3 .!3 • ) , es el desarrollo del determinant e igua lado a c er o siguiente: · •

 X \."1

 X2  X:¡

6.

Est ud iar la ecuación 2 x

+ 3y + 6: =

 )'

Yt

Y2 Ya

•

-

-1

.. o.

-:?

-:,

12.

z

Como la ecuación es l i neal o de  primer grado, r e pr e senta un  plano . Las componentes de la normal son 2, 3, 6. Los cosenos d irectore s de esta normal son cos a

=

.cos P =

,

(G,O,O) X

6

cos y = -::¡· Los  punt os de intersección con los ejes tienen de coor  denadas (6,O, 0), (O, 4, O) y (O. O. 21. Las rectas de inter sección de u n plan o con los planos coordenados se l laman trazas del  plano . Pa ra hallar las ecuaciones de las trazas: en el plano  xy. z = O; luego la ecuación de la traza es l  x + 3y = 12. Análogamente, para hallar la traza con el plan o xz se hace y -""" O y r esulta 2'" + 6z = 12 o  bien, x + 3= = 6, y la ecuación de la traza con el  plan o  yz es .l y  + 6z  _.., 12, o bien , y + 2 z = 4. En la figura se repr esentan los  puntos de inter sección con los e jes y las trazas del plano. Para hallar la lon git ud de la normal , es decir , la d istancia del origen al plano:

d

=  Ax1 + B y 1 + Cz1 + D ±v1A

2

7.

!dí = 1 2(0) _ -t:_

+0 + c 1

2

() : 6(0) -

Hallar la distancia del  punto (-2, 2, 3) al plan o de ecuación 8x -4y - z - 8 = O.  z -8  y .. 8 x -4y -· 8x -4  z - 8 + = --- -9..-- = O. La ecuac1on en forma normal es 1 64 8(-2) -4(2) -1(3) -8 35 Sustituyendo las coor denadas del punto , d '= -----. -- = - 9· 9 El signo negativo ind ica que el  punto y el origen están al mismo lado del plano.

-f l6

8.

=

Hallar el menor ángu lo formado  por los  planos

(1) 3x + 2y -5: -4 :.:: O y (2) 2x -3 y + 5= - 8 = O.

Los cosenos directores de las normale s a los dos planos son : 5 3 2 COS U1 = . cos {/ , =- --= -· cos /'1 ::.. · - ------:-, v3s \ 138 \!38 2 -3 5 < V -cos {J 1 = cos a., = v3s · ,'Js Co•• /2 - "\ t j8 . -

-

Sea

(J

·

el á ng ulo formado por las dos normal es.

·

1 18

EL

Entonce5.

cos o =  ,13s . v38 3

2

1

PLANO

25 5 5 -v382 . v383 -- v3S. °v38 =1 38' de donde

o = 48

o

51,6'.

+ 2y  z = 6. 2x  y + 3z = -13. 3x -2y + 3:= -16.

Ha llar el pun t o de inter sección de los planos:  x

9.

-

-

Ten emos tres ecuaciones lineales. La solución de este sistema nos da las coordenadas del  punto de inter sección de los tres planos. Dicho punto es (-1 , 2. -3).

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos 3x + y -5z + 7 = O y  x -2y + 4z -3 = O y  po r el punto (-3, 2, -4). La ecuación del haz de planos qu e pasa por la recta de i nter secdón de otros dos dados es de la forma , 3x + y -5z + 7 +k( x -2y + 4z -3) = O.

10.

-4

Para hallar el plan o del haz q ue pasa por el punto (-3, 2. -4), se sustituye n los valores -3, 2, en luga r de  x, y, z, r espectivamen te, con lo q ue

+ 2 + 20 + 7 + k(-3 -4 -16-3) = O, de donde k = 10/ 13. y simplificando se obtiene 49x -1  y - 25:+ 61 = O.

-9

Sustituyendo

Hallar las ecuaciones de los planos bisector es del diedro for mado por los planos 6x -6y + 1z + 21 = O y 2\' + 3y -6   z - 12 = O.

11.

,  , Sea (xi. y 1, z1) un punto genérico cualquiera del plano  bisector. Las d istancias de (x1 y, a los dos planos deben ser iguales. Luego, 6x1 -6y1 + 7z1 + 21 2x 1 + 3y 1 - 6z 1 - 12 =+ -11 7 . Quitando denominadores y simplificando se obtiene: 64x -9 y - 17: + 15 = O y 20x - 75y + 1 l 5z + 279 = O.

12.

1)

Halla r la ecuación del plano que pasa por l os puntos (1, -2, 2), (-3, 1 , -2) y es perpend icu lar al  plano de ecuación 2x + y - z 6 = O.

+

Sea  Ax + B y + Cz + D = O la ecuación del  plano buscado. Como los dos puntos dados  per tenecen a él, sustituyend o valores,  A -2 B 2C D = O y

+

+

-3A

+

 B -2C

+  D = O.

Por otra  part e, el plano pedido debe ser perpend icular al plano 2x + y -z 8 - C = O. 2A 6 . ,D= Despejando A, B, D en función de e, A = - I ' B =

+

+ 6 = O;  por tanto.

Sustituyendo estos valores y dividiendo por C se obt iene la ecuación  pedida,  X

13.

-

l 2y - 10 -5

= 0.

Hallar el lugar geométrico de los  puntos que equ id istan del plano 2,·-2y (2, -1, 3).

• p unto

+ :-6 = O

y del

Sea (x. y, z) un punto genérico del l ugar. En tonces. V(x -2) +( y + 1)2 +(:- 3)2 = 2x -2y + :-6 3 2 2 2 Elevando al cuad r a do y simplificando, 5x 5y + 8: -J. 8xy -4x: -1- 4 y: - 1 2x -6y -42: + 90 = O.

+

a y; 4

EL PLANO

119

2x -3y -6: - 14 = O y que dis

14. Halla r las ecuaciones de los  plan os  paralelos al de ecuación

ten 5 unidade s del origen.

 z -k = O. La ecuación de la famil ia de planos paralelos al dado es de la forma 2x -3y -6 

La distancia de u n  punto cualquiera (x¡, Y 1t 21) al plano 2x -3y ·-6: -k = O es

d = 2x1 -3y 1 -6: 1 -k  7

Como d

.

2(0) -3(0) -6(01 -k  ' , de donde k 7

= ± 5 desde (0, O. 0), se tiene, ± 5 =

= ±35.

Luego la ecuación ped ida es 2x -3y-6z ± 35 = O.

En la figura se r epresentan el  plano 1, que es el dado, y los planos 11 y III , que son los que se  piden.

z

z

 / 

/

/

/

/ 

/ /  / 

/

X

(12.0,0) X Y.

 Probll!ma 14

15. Hallar la ecuación del plano 5x -3y

los ejes de coordenadas.

Proble ma

+ 6z = 60 en función

Divid iendo por 60 resulta la ecuación,

2

-

15

de los segmentos que interce pta so bre

{o +To

= 1.

Los punt os de i nter sección con los ejes son 1 2, -20, 1O. 16. Demostrar que los plano s 7x

+ 4 y -4z + 30 = O,

36x - 5 1y + 1 2z + 17 = O, 14x + 8y -8z -12 = O, y !2x -17  y + 4z - 3 = O

son las cuatro caras de un  paralelepípedo rectángulo .

-4 . 7 4 Los p 1anos  primero y tercero son  paralelos, ya que 1 4 = 8 = _ · 8 36 12 ., -51 Los planos segtindo y cuarto son tamb1en paralelos, pues l2 ==i7 = 4·

Además , los  planos primero y segundo son  perpendiculares ,  porque 7(36) + 4{-51) -4(12) = 252 -204 -48 = O. 17. Hallar el l ugar geométrico representado por la ecuación

Escri bamos esta ecuación en la forma x2 - 1. xy

+ y 2 2xy -4z = O.  y -2z) (x  y + 2z) 4z = (x -

 x 2

-i- y 2 -

-

2

El lugar está consti tuido por los dos  planos, q ue  pasan  por el origen,  x -y -2z = 0 y  x -y + 2z = O.

2

= O.

120

EL PLANO

PROBLEMAS PROPUESTOS t. Hallar la ecuación del plano : a) Paralelo al plano x y y situado 3 unidades por debajo de él. Sol.  z = -3. b) Paralelo al plano yz y q ue corta a l eje x en el punto de abscisa 4. Sol.  x = 4. e) Perpendicular al eje z en el punto (O, O, 6). Sol .  z = 6. d ) Paralelo al plano  xz y a 6 u nidades detrás de él. Sol.  y = -6, o bien,  y 2. Hallar la ecuación del plano horizontal que pasa por el punto (3, -2, -4). Sol.  z = -4 , o bien ,  z + 4 = O.

+ 6 = O.

3. Hallar la ecuación del plano paralelo al eje z y que corta a los ejes x e y en los puntos 2 y -3, res pectivamente. Sol. 3x -2y -6 = O. 4. Hallar la ecuación del plano paralelo al eje z y cuya traza con el plano xy es la recta x + y - 2 = O. Sol.  x

+ y -2 = 0. .

5. Hallar las ecuaciones del plano: a) Que pasa por el punto (3, -2, 4) y es perpend icular a la recta de componentes 2, 2, -3. Sol. 2x + 2y -3z + J O = O. b) Que pasa por el punto (-1, 2, -3) y es perpendicular al segmento determinado por (-3, 2, 4) y (5, 4, 1). Sol. 8x 2y -3z -5 = O. e) Que pasa por el punto (2, -3, 4) y es perpend icular a la recta q ue une dicho punto con (4, 4, -1). 37 = O. Sol. 2x 7y - 5z d) Perpendicular , en el punto med io, al segmen to que une los puntos (-2, 2, -3) y (6, 4, 5). Sol. 4x  y 4z - 15 = O.

+

+

+

+ +

6. Hallar la ecuación del plano: a) Que pasa por el punto (-1, 2, 4) y es paralelo al plano 2x -3y -5z + 6 = O. Sol. 2x -3y - 5z + 28 = O. b) Que pasa por el punto (2, -3, 6) y es paralelo al plano 2x -5y + 7 = O. Sol. 2x -5 y - l9 = O. e) Que pasa por el origen y es paralelo al plano 3x + 7y -6z + 3 = O. Sol. 3x + 7v -6z = O. d) e)

Paralelo al  piano 6x + 3y -2z -14 = O y equidistante de él y del origen. Sol. 6x 3y -2z ± 7 = O. Paralelo al plano 3x -6y -2z -4 = O y a 3 unidades i:lel origen. Sol. 3x -6y -2z ± 21 = O.

+

7. Hallar la ecuación del plano : a) Paralelo al plano 6x -6y + 7z -44 = O y a 2 unidades del origen. Sol. 6x -6y + 7z ± 66 = O. .  b) Paralelo al plano 4x -4y + 7z -3 = O y distante 4 unidades del punto (4, 1 , -2). Sol. 4x -4y + 7z + 38 = O, 4x -4y + 7z -34 = O. e) Paralelo al plano 2x -3y -5z + l = O y distante 3 unidades del punto (-1,3, 1) . Sol. 2x -3y -5z + 1 6 ± 3v38 = o. 8. Hallar la ecuación del plano que  pasa  por el  punto (3, -2, 4) y es perpendicular a los planos 7x -3y + z -5 = O y 4x - y -z + 9 = O. Sol. 4x + 1J y + 5z - 10 = O. 9. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4, -3, 2) y es perpendicular a la recta de inter sección de los planos  x - y + 2z -3 = O y 2x - y -3z = O. Sol. 5x + 7y + z - 1 = O. 10. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1, -4, 2) y és perpendicular a los planos 2x + 5y - z - 1 2 = O y 4x -7y + 3z + 8 = O. Sol. 4x -5y - 17z + 10 = O. JI. Hallar la ecuación del plano que pasa por el  punto (7, O, 3) y es µerpend icular a los planos 2x -4y + 3z = O y 7x + 2y + z - 14 =-= O. Sol. IOx -19y -32z +26 = O.

. ;

EL PLANO

121

12. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4, 1, 0) y es  perpendicular a tos  planos 2x - y -4z -6 = O y  x +y + 2z -3 = O. Sol. 2 x -8y + 3z = O. 13. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 1, 2) y e5  perpend icular a los planos  z -2 = O. 2 x -2y -4z -6 = O y 3x + y + 6z -4 = O. Sol. x + 3y -

Hallar la ecuación del plano perpendicular a los planos 3x - y + z = O y x + 5y + 3 z = O y que Sol.  x + y -2 z ± 6 = O. diste V6- unidades del origen. IS. Hallar la ecuación del plano perpend icular a los planos  x -4y +  z = O y 3x + 4y + z -2 = O y que diste una unidad del origen. Sol. 4x  y -8 z ± 9 = O. 16. Hallar la ecuación del  plano que pasa por los puntos (2, 2, 2) y (O, -2, O) y es  perpendicular al plano  x -2y + 3z -7 = O. Sol. 4x - y -2.z -2 = O. 17. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (2, 1, 1) y (3, 2, 2) y es perpendicular al plano Sol . 7 x -6y - z -7 = O.  x + 2y -5z -3 = O. 18. Hallar la ecuación del plano q ue  pa sa  por l os  puntos (2, -1, 6) y ( 1, -2, 4) y es  perpendicular al Sol. 2x + 4y -3 z + 18 = O.  plano  x -2y -2z + 9 = O.

14.

2, -2) y (2, O, -2) y es perpendicular al Sol . 4x + 2y ·-7z -22 = O. 20. Hallar la ecuación del plano q ue pasa por los puntos (1 , 3, -2) y (3, 4, 3) y es perpendicular al plano 7x - 3y + 5z -4 = 0. Sol. 20x + 25y -13z -121 = 0. 21. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos Sol. 3x + 2 y + 6;: -23 = O. a) (3, 4, 1), (-1, -2, 5), (l , 7, 1). Sol . 2x + :: - 1O = O. b) (3, 1, 4), (2, 1, 6), (3, 2, 4). Sol. 5x -4 y + 3z - 15 = O. e) (2, 1 , 3), (-1, -2, 4), (4, 2, 1). Sol. 3x + y + 5 z - 16 = O. d) (3, 2, 1), (1, 3, 2), (1 , -2, 3). Sol. 1 1 x - 17 y - l 3 z + 3 = O. e) (4, 2, 1), (-1, -2, 2), (O, 4, -5). 19. Hallar la ecuación del  plano que pasa por los  puntos (1, 2z = O.  plano 3x + y

+

22. Representar los planos siguientes, hallando los puntos de i nter sección con los ejes y las trazas con los  planos coordenados. a) 2x + 4y + 3z - 12 = O.  b) 3x -5y + 2z -30 = 0.

e) 2x  z = O.  f )  x -6 = 0.

e)  x + y = 6.

d) 2 y -3z = 6.

23. Hallar la ecuación de los planos definidos por : a) a = l 20º, {J = 45º, y = l 20º,  p = 5. b) a = 90º, f3 = 135º,  y = 45º,  p = 4.

e) el pie de la normal al  plano  por el origen es el  punto (2, 3, 1).

d) <1 = 1 20º, [J = 60º,  y = 135",  p = 2. e)  P = 2, cos 1°-· = co  f!_ = co; y . ;

Sol. x Sol.  y

- vi y

- :;

+ z +  IO = O.

+ 4 v2 = O.

Sol. 2x + 3y + z - 14 = O. Sol.  x - y + ,12z + 4 = O. Sol.  x -4y -8  z ± 18 = O.

24. Red ucir las ecuaciones siguientes a su forma normal y, a contin uación, determinar los cosenos di rectores y la longi t ud de la normal. Sol . cos a = 2/ 3, cos f3 = -2/ 3, co; y = l / 3, p = 4. a) 2x - 2y + z - 1 2 = O.  b) 9x + 6y - 2z + 7 = O. Sol . cos a = -9/ 1 1 , cos {J = -6/ 11 , cos y = 2/ 1 1, P = 7/ 1 1. e)  x -- 4 y + 8z -27 = O. Sol . cos a = 1/9, cos (3 = -4/9, co; y = 8/9. p = 3. 25. Hallar la d istancia del  pu nto al plano ind icados. a) Punto (-2, 2, 3), plano 2x + y - 2z - 12 = O. b) Pun t o (7, 3, 4),  plano éx - 3y + 2z - 13 = O. e) Punto (O, 2, 3),  plano 6x -7y -6: + 22 = O.  y + 2 z - 14 = O. d ) Punto (1 , -2, 3),  plano 2x -3 26. Hallar el ángulo agudo q ue forman los planos  y +  z = 7.  x  y + 2: - 1 1 = O. a) 2x b)  X + 2y - Z = J 2, X -2y - 2 z -7 = Ü.

+

Sol . -20/ 3. l nterprétese el si gno.

S ol. 4. Sol . 10¡1I. S o l . O.

Sol. 60". Sol.

82º 1O,7'.

122

EL PLANO

e) 2x -Sy + 14z = 60, 2x - y -2z - 18 d) 2x + y -2z = l 8. 4x -3y - 100 = 0.

O.

Sol. 49°52.6'. Sol. 70°31,7'.  y + .: = 5. 27. Ha lla r el punto de inter sección de los planos 2x - y -2.: - S. 4x .1... y + 3z = 1 , 8x Sol. (3/2. 4, -3). 28. Hallar el  pu nto de inter sección de los planos:  z - 1 = O, 3x - y -.: -r 2 =- O. 4x -2y + .:-3 = O. a) 2x + y Sol. ( 1 , 2, 3). b) 2x + 3y + 3 = O. 3x - 2y - 5z + 2 = O, 3y -4: ¡ 8 = O. Sol. (3/2, -2. l/2). e)  x + 2y + 4z -= 2, 2.\· + 3y -2z + 3 = O. 2x -·y + 4.: + 8 = O. Sol. (-4,2, l /2). 29. Hallar la ecuación del plano q ue pasa por la recta d e in ter sección de los planos 2x -7y + 4 z -3 = O, 3x -Sy + 4 z + 1 1 = O, y el  pu n to (-2, 1 . 3). Sol. l S x -47y + 28z -7 = O.

30. Hallar la ecuación del plano q ue pa sa por la r ect a de i n ter sección de los  pla nos 3x -4  y + 2z -6 = O, Sol. 43x -24y + l 2z -31 = 0. 2x + 4y -2z + 7 = 0, y por cl punto (l , 2. 3).  y + 2z -6 = O, 31. Hallar la ecuación del  pla no q ue  pasa  por la recta de i n tersección de los pla nos 2x 3x -6y + 2z - 12 = O, y que corta al eje  x en el  pu nto (6, O, 0). Sol.  x - 5y -6 = O.  y -2.z -6 = O 32. Hallar las ecuaciones de los planos bisector es del died ro formado por los planos 2x y  J x + 2y -6   z = 12.  y -32: -78 = O. So/. 5x - J 3y + 4.: -6 = O. 23x -

33. Ha lla r las ecuaciones de los planos bisectores del diedro formado por los planos 6x -9y + 2z + 18 = O

+ 4.: = 20.

+ 62z -58 = O,

43.\· + 7y -26z + 382 = O. 34. Ha lla r las ecuaciones de los planos  bisectores del died ro formado por los planos Jx + 4y -6 = O y 6x -6y + 7z .J.. 16 = O. Sol. 9x + 2y ¡.. 5.: -1 2 = O, 3x + 74y - 3Sz - 146 = O. y  x - By

Sol.

65x - l 69y

35. Hallar la ecuación de los planos siguientes en función de los segmen tos de intersección con los ejes. a) 2x -3y + 4z = l 2.  b) 3x + 2y -5.: = 15. r) x + 3y + 4z = l 2.  y  X  )'  X I b) X I 2 2 z  - ·  )' + + + + 6 4 3 7.5 43 = · l Sol. a) e) = l. f 5 3 = · 36.

H allar las ecuaciones de los planos que cort an a los ejes en los puntos:  X · 2 a) (-2. O, O), (0, 3, 0). (0, O, 5). Sol .  _ + .f + 5 = 1. 2 \'  y b) (3, O, O), (0, -2, 0). Sol. T = 1. (Paralela a l eje .:.)

T-

Sol.  x = 4.(Para lelo al  plan o yz.) e) (4, O, 0).  y + 4 z -7 37. Demostra r q ue los  pla nos siguientes son las caras de un paralelepipedo: 3x  x + 2y -- z + 5 = O, 6x -ly + 8z + J O = O, 3x 6y -3z -7 = O.

+

38.

39.

= O.

Hallar el l ugar geométr ico de los pun tos q ue d isten del plano 3x - 2y -6.: = 12 el doble que del  plano  x -2y + 2.: + 4 = O. Sol. 23x -34y + 1 O: + 20 = O, 5x -22y + 46.: + 92 = O. Hallar la distancia en tre los planos paralelos 2x -3y -6.:- 14 = O y 2x -3y - 6: + 7 = O, Hacer la figura. Sol . 3.

Ha lla r la distancia entre los  planos 3x ,6y + 2.: = 22 y 3x + 6y + 2.: = 27. Hacer la figura . Sol . 5¡7. 41. Hallar la figura re presen tada por  x 2 + 4y2 -.: 2 + 4 xy = O. Sol. Dos  pla nos q ue se cortan : x + 2 y + .: = O,  x + 2y  z = O. 42. Hal la r la figura repre sentada por  x 2 + y 2 + .:2 + 2xy -2x.: -2y.: -4 = O. Sol. Dos planos paralelos : x + y - .: + 2 = O.  x + y - z -2 = O. 40.

43. Hallar el l u gar geométrico de los  puntos q ue equid istan del plano 6x - 2y ,3=  pu nto (-1, 1, 2). Sol . J 3x2 + 45y2 + 40.:2 ..L 24xy -36x.: l 2y.: + SOx - 82y -220z + 278 = O.

+ 4 = O y del

+

-,

CAPITU LO

14

La recta en el espacio RECTA EN EL ESPACIO. U na recta en el espacio viene defi n ida por la in tersección de dos  planos,  A 1x + B. y + C   , z + 01 = O  A 2x

+ B y -1

C2: +  Dt = 0

excepto cua ndo estos sea n  pa ra lelos. FO RMA PA R A M ET R I CA. Sean
+

L

P(x,y,z)

J 

+

+

longit ud va riable P 1P. Lla ma ndo a , b, e, a las com ponen tes de L. estas ecuaciones se  pueden escri bi r en la for ma  x = x 1 + ar , y = y 1 + bt.: = ::. 1- et.

P, (X .,y,.Z,)

FOR MA CONTI N U A. Las ecuaciones de la recta q ue pasa  por u n  pu nto P1(xh y 1 ,z1) y cuyos ángulos de d irección son a, {J.  y, vienen dadas  por   x.  x -

- - Z1

 )' - )'1

cos '1 cos y cos tJ  Llam and o a, b, e, a las com ponentes de la recta, la ecuación en forma contin ua es

 x - x ,

 )'

=-

- y.

;; - Z1

h

e Si L es perpendic u lar a uno de los ejes de coordenadas. la ecuación toma una de las for  mas sigu ien t es: a

 x

= x.,

 y = y

 y

- y.

z

- =1

---= --e 6

 x - x. . --

•

ª

Z = Z1

 x - x.

a

e

(perpend icula r al eje x). (perpendicular al eje y).

 y  y. ( perpend icular a l eje z). b

Si L es perpendicular a d os ejes, la r ecta q ueda determinada  por las dos ecuaciones si guien tes:  x =  x 1, y = y1( perpendicular a los ejes  x e  y) .  x = x., z = .:- 1 (perpendicular a los ejes  x y z).  y = y 1 , =:1 (perpend icular a los ejes y y z). RECTA QU E PASA POR DOS PU NTOS . Las ecuaciones de la r ecta q ue pasa por los  pu ntos P1(X1, y., z1) y P h.-2. J'2· .:-2) son  x - x.  y ·- y1,-  z -=1

-

123

PLANOS PROYECTA NTES. Cada u na de las ecuaciones  x

- x.

 y

 y -- y. b

- y .

Z

-

Z1

e b e son la de u n plano q ue conttene a la recta. Como cada uno de estos planos es  perpendicular  a u no de los planos coorden ados, reciben el nom bre de planos  proyectantes de la recta ; sus trazas con aq uellos son las  proyecciones de la r ecta sobr e d ichos  planos de coordenadas . PA RA LELI SMO Y PER PEN DICU LA R I DA D ENTR E R ECTA S Y PLA NOS. U na recta de com ponentes a , h, e , y u n  pla no  A x + B y + C  z +  D = O son (1) paralelos si se ver ifica la rela ción  Aa + Bh + Ce = O, y recí pr ocamente , (·2)  perpen d.icu 1ares s1. se ven'fican 1as reJ act·ones  A = Bb = C , y r ec·1procamente . a

e

a,

PLA NOS QU E PASA N POR U N A R ECTA . Dad as las ecu aciones  A  1x + B  1y + C1z + D 1 = 0  A 2 x +  B2Y + C2 z +  D 2 = O, la ecuación  A 1 x + B1 y + C1z + D 1 + K (A 2 x + 8 2)' + C2z + D2) = O, siend o K u n pará metro, represen ta el haz de planos q ue pasan  por la r ecta de i ntersección de los dos dados, es decir la de todos los planos q ue pasan  por d icha r ecta . PROBLEI\1AS RESUELTOS l.

Dadas las ecuacione s 2x - y + z = 6,  x +4 y -2 z = 8, hallar, a) el  punto de la recta para z = 1,  b) los punto s de i ntersección de la r ecta con los plan os coordenados, e) las componentes de la r ecta, d) los cosenos directores de la recta. a) Sustituyendo z = 1 en las dos ecuaciones resultan , 2x  y = 5,  x + 4y = 10. . tema,  x = 10 '  y = 5 .. Lu ego el punto ped ido tiene de coor d ena d as R esolviendo el sis

0 L3.' 3 ' b)

Como z

3

1)

= O en

el  plano  xy,  proced iendo como en a) se obti.ene el punto ( 32 , 1 o ,O ) .

99

Análogamente, lo otros puntos de inter sección son (4, O, -2) y (O, J O, 16). e)

Los  punt os (

1

°, , 1) y (4, O, --2)  pertenecen a la recta . 3 10

5

2

s

.

En consecuencia , sus com ponente s son 4 -J' O - T' -2 - 1 , o sea, T' -T' -3, o bien , 2, -5, -9. -5 -9 2 2 + 25 + 81 = JO , cos fJ = JO , cosy = "V'l t O · d) Los cosenos directores son cos a = 4 Ot r o método. También se  pueden obtener las componentes de la r ecta observando que ella es  perpen dicular a las normales a los dos  planos que la definen. Ten iendo en cuenta la notación de determinan te, a par tir de la disposición matricial 4 l 4 -2 1 -1 formada con los coeficientes de x , y, z, 2 2 1 -1 1 4 -2 4 -2 = -9, o bien, 2, -5, -9. = 4 -2 = 2 1 = -4 - l = -5, se deduce

v

-1

'1

l 2

vi

vi

2 -1

LA RECTA EN EL ESPACIO LA RECTA EN EL ESPACIO

124

2.

125

Hallar el ángulo agudo formado por las rectas (1) lx - y + 3z -4 = O, 3x + 2 y -= + 7 = O y (2)  x +y -2z + 3 = O, 4 x -y + 3z + 7 = O. Los cosenos directoreo; de la primera recta son, -5 , 1 1 , 7, y los correspondiente s de la segunda, -1, 1 1, 5 , o btenid os como ya se explicó en el Problema Id). Llamando 8 al ángulo formado por las dos rectas, se tiene J1 11 7 23 -5 -1 5 cos O = ---==- ·-=+ -=·--= + --=· ---==- = --.= de donde 8 = 18º1,4'. v 195 v 141 " 11 95 v 141 v19s v 141 3v65 •

3.

Demostrar que las rectas (!) x -y + z -5 = O,  x -3y + 6 = O y (2) 2y + z - 5 = O, 4x -2y + 5z -4 = O son paral elas. La s componentes de la primera recta son:

o sea,

3, 1, -2.

Las componentes de la segunda recta son : o sea, 12, 4.

-8,

o  bien

3,

1, -2.

Y  Como las componen tes de ambas recta s son iguales, éstas son  paralela s.  y - 1  z -1 x+I  y - 5  x + 4 =  z -3 son  per 4. Demostrar que las recta s15 -.= - =-3 - = --=_ y  pendiculares. 2 3 3 -1 2 Los cosenos d irectores de la primera recta son cos a = , cos p = cos y = 14 14 ·. v 14 . 5 1 -3 . Los cosenos directores de la segunda recta son cos a = . ¡---· cos p = -.J  -. cos r = 35 35 V 35 9 -3 -1 5 2 3 1 cos o = --.. .-- - + -=- . -=- + ---=- .-=- = I0- - I = O. l uego O = 90º.

v

v

•

v

v 14

v35

v 14

v3s

vt4

v35

v 14

v35

También, tomando como componentes de las rectas (2, 3, -1 y 5, -3, 1) se tiene, 2(5) + 3(-3) + (-1) ( 1 ) = O, de donde se ded uce q ue son perpend iculares . 5.

 z + 4 = O. Representar la recta 3x -- 2y + 3z -4 = O. x -2y Se hallan dos de los  puntos de inter sección con los  planos coordenados y, a continuación. se u nen ent r e sí. Para hallar la inter sección con el plano  xy se hace  z = O. Es decir. 3.x -2y = 4

 x - 2y =

-4.

De aq uí se ded ucen los valores  x = 4,  y = 4. Luego el punto de inter sección con e l  plano  xy es (4, 4.0). Análogamente, el  punto de intersección con el  plano yz  es (0, 1, 2).

6.

z

.•/ ./.." . ·-------- (4,4,0)

-/ 

.

X

 y

Hallar el punto de i nter sección de la recta  x + 2y - z -6 = O, 2x - y + 3z + 13 = O con el  plano 3x -2 y + 3z + 16 = O. . Como el  punto buscado debe satisfacer a las tres ecuaciones habrá que resolver el sistema correspondiente. Eliminando  z se obtienen las dos ecuaciones, 3x + 2y -l = O,  x -Y + 3 = O.

De estas dos resulta,  x = -1 ,  y = 2. Sustituyendo estos valor es en  x + 2y - z -6 ded uce z = -3. Luego el punto d e inter sección tiene de coordenada s (-1 , 2, -3).

= O se

7. Demostrar que las recta s de ecuaciones  X    y - 1 1 = 0, y  X -y 2y -Z - 1 = 0,  X + y + 1 = 0  z -7 = 0, 3x -4 se cortan. Sean (x., Y1> zt) las coor denadas del  punto de intersección de las dos rectas. Estas deben satisfacer la ecuación de cada uno de los  planos. Por consiguiente , (1) X1 -Yt -Z1 = 7 (2) 3x 1 - 4 y 1 = 1 1 (3) X1 + 2y1 -Z ¡ = 1 (4)  X¡ + Y1 = -1. Resta ndo (3) de (1) se obtiene y 1 = -2. Sustit uyendo este va l or de y 1 en (4) r esulta x1= l. Sustituyendo estos dos valores en (1), z1 = -4. El  punto de intersecció n tie ne de coordenadas ( 1 , -2, -4).

+

+ 2y - z + J = O,

8. Hallar el ángulo formado  por la recta  x 3x -4y

+ 2z -5 = O.

2x - y

+ 3z + 5 = O,

y el pla no

Para obtener las com ponentes de la recta : 1 2

-Y'>( X

o sea, 6 - 1, -2 -3.

o  bien. 5,

-1-4,

-5, -5,

o lo qu e es igua l

1, -1, -1.

El ángulo formado  por la recta y el plano es el complementario del ángulo O q ue la recta forma con la norma l a l  plano. La s componentes de la normal son 3, -4.2. 3(l ) -4{- I ) + 2 1> 5 o d d 57º35' . · - -----=- · e on e, cos O v3 .,/29 \1s1

o-

<

El ángu lo formado  por la recta y el  plano es 32º25'.

9. Hallar la ecuación, en forma continua , de la recta intersección de los planos 2x - 3y + 3z -4 = O

.\" + 2y - = + 3 = o.

Eliminando  z e  y en t re las ecuaciones dadas se obtiene, 5x

+ 3y + 5 = O

y

1x

+ 3= + 1

= O.

J gualando los va lores de  x de ambas ecuaciones r esul ta. 5 1

3y -/- 5  x =  _ 5

 X  z -/- 1 , o sea, T  = = 3- _  7

 y +-

3 ----

5

+ -

 z

= -

3

 bº  X o 1en , T , 7 J

 y + =

-3

5

:: + --

3

-5

Estas ecuaciones son las correspondientes a una r ecta q ue  paa  por el  punto

3

=

-

(o.- . -+)

y q ue tiene de componente s J, -5 , -7. 10. Escri bir , en forma  paramé trica, las ecuaciones de la r ecta de i ntersección de los  planos

3x

+ 3y - 4z + 7 = O

y  x

+ 6 y + 2= - 6 = O.

Eliminando y y  z entr e las ecuaciones dadas se obtiene,  X

-

2: + 4

=o

y

 X

+ Jy - 1 = O.

Igua lando los valores de  x de ambas ecuaciones r esulta , :

=  y

-

/J = =

2

3 Si igualamos ahora cada uno de los mjembros a u n  pa rámetro t, se obtienen las ecuaciones  para métricas de la recta dada:  x = 61, y = !- 2t ,  z = 2 1- 3t.

LA R ECTA EN EL ESPACIO LA RECTA EN EL ESPACIO

126

127

11.

Hallar las ecuacione s de los pl2nos proyectantes de la recta de inter sección de los planos de ecuaciones 2x + 3y -5z + 6 = O 3x -2 y +  z -8 = O. Para hallar los  planos pr oyectantes  basta el iminar , sucesivamente,  z. y y  x entre las dos ecua ciones: se o btienen los plan os 17x -1y -34 = O. 1 3x -1z -12 -.:: O y 1 3y - l 7z + 34 = O, que son los proyectantes de la recta so br e los  pla nos  xy , xz e  y z.

ll.

Hal lar las ecuaciones de la recta q ue pasa por el punto ( 1 , -2, 2) y cuyos ángulos de dirección son 60º, 1 20º, 45º.  y -y, - - z 1 , r esul ta Ten iendo en cuenta  x - x i cos a cos  y cos fJ  z -2  z -2 x-1 y +2 y +2 x -i Oº = cos 120°· = cos 45º , o sea. -! ---.,...- = !v2 · z -2 y +2 o bien, x - 1 = = 1

v2

-1

13. Hallar la s ecuaciones de la r ecta q ue pasa por los puntos (-2, 1, 3) y (4, 2, -2).

Ten1·en do en cuenta  x - Xi

=

 z - Zi

Y -Yi

•

se ob11·ene  x

+

= y

2  X 1  X2 -

o sea. 14.

y-1

 x + 2

6

Y2 -Y1

 Z2

4+2

-l 1

-

1

2 -1

3 =  z -

-2 -3'

:-3 -5 .

=

1 Halla r las ecuaciones de la recta q ue pasa por el punto ( 1, -3, 4) y es  perpendicular al plano  X -- 3y

-!- 2.:: = 4.

Las componentes de la recta son 1, -3, 2. las ecuaci.ones ped'1d as son

-= ._ 3

 y + 3 -=

 X -1

1

15. Hallar la ecuación dd plano formado por las recta s  x y + J  x - 1  z -2 4

2

3

y

z

2

-

4

1

5 Obsérvese q ue las r ecta s se cortan en el punto ( 1 , -1, 2).

-

.

- - o  bien , 3x + y y + I  4

= O, 2y

+ 3z -- 6 = O.

z-2

3

A pliqu emos la ecuación  Ax + By + Cz + D = O. Como las dos r ectas  pertenecen al  plano, serán  pe rpend iculares a la norma l a éste. Por tan to, 4A + 2B + 3C = O S A +48 + 3C = O. Por otra part e. el pun to ( 1,-1,2) ta mbién  pertenece al plano . Luego,  A -·B + 2C + D -= O. Como t enemos cuat r o incógni tas y solamen te tres ecuaciones, despejemos tres de aquéllas en función de la cua rta (sistema indeterminado con infin itas soluciones). Des pejando  A, C, D en función de  B resulta : A = -28 , C = 28 ,  D = - B. Sustituyendo estos valores en la ecuaci ón general y dividiendo  por  B se ot>ticne, 2x - y -2z + 1 = O.

l.

PROBLEMAS PROPUESTOS Halla r las coor denadas del punto de la recta  y + : - 5 = O, x + 2y -2 z -5 = O,  para  z = 1. a) 2x  z -5 = O, para  y = 2. b ) 4x -3y + 2z -7 = O, x + 4y y +4  x - 2 z -1 e) --=  _  - = ·, para  x = 3. 3 2 2 d ) 2x = 3y - 1 , 3 z = 4 -2y, para x = 4. e)  x = 4 -31, y = -1 + 41, z = 2t -3, para t = 3.

Sol. (3, 2, 1). Sol. (7/6, 2, 25/6). Sol. (3, -14/3, 5/ 3). Sol. (4, 3, -2/3). Sol. (-5, 11, 3).

LA RECTA EN EL ESPACIO

128

2. Hallar los punt os de inter sección con los  pla nos coordenados de las rectas siguientes. Dibujar estas rectas uniendo dos de los puntos de inter sección. Sol . (2, 1, O), (7, O, -7), (O, 7/5, 14/5). a)  x -2y + z = O, 3x + y + 2z = 7. ( 17 2 ) 2 17 ) Sol.  b) 2x - y + 3z + 1 = O, 5x +4y  z -6 = O. ' 3 ' (1 (I

 x

e)

-

2

1

y+3  z - 6  1 - -1

·

d) 2x + 3y -2 = O,  y -3z e)  x + 2y -6 = O,  z = 4.

o

Sol. (13, 3, 0), (7, O,

+ 4 = O.

Sol.

d)

3x-4y

+ 2z-7 = O, 2x + y

 x - y + 2z -1 = O,

3). (O, -7/2, 13/2).

Sol . (6, O, 4), (O, 3, 4).

 b) 2x -3y + 9 = O, 2x  y + 8z + 1 1 e)

í.

(7, -4, O), (1, O, 4/3), (0, 2/3, 14/9).

J. Hallar las componentes y loscosenos directores de las rectas : a) 3x + y - z -8 = O, 4x -1y -3z + 1 = O. Sol. 2, -1, 5;

\

, o, -1), o, I T '-

,

= O.

+ 3z -1 1 = O.

2x -3  y -5 z -7 =

2

v3o 6

-1

v3o 4

•

5 •

v3o · -1

Sol. 6, 4, -1 ; v53 • v53 ' '\153 · 14 -11 5 Sol. 14, 5, 11 ; 3v38 3v38 3v38 · 11 9 -1 Sol. 1 1, 9, 1; -v203· -v203 .Y203 · l 2 S ol . o, 1, 2; o, v5' .y5· •

O.

•

•

e)

3x -2y + z

+ 4 = O, 2x + 2 y - z -3 = O.

 z -1 = O 4. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas x -2y + z -2= O, 2y y  X -2y +  Z -2 = 0,  X -2y + 2z -4 = 0.

y + 2 x -1 -3 s. Hallar el ángulo agudo formado  por las recta s 6 z +4

z -4

Sol. x + 2

y

6

3

6.Hallar el ángulo agudo formado por las rectas

+

 y - 3 = -

6

Sol. 79º 1'.

-2

2x

78º27,8'.

2y +  z -4 = O,  x -3y + 2z = O y

x -2

7

 X + J 7.Hallar el ángulo agudo formado por la recta 3 + z -3 = 0.

y

 y + 2 -

6

-1

6

z -4

Sol.

49º26,5'.

y el plano

2x -2y

-6

-

z -3 -6

Sol. 26º23,3'.

8. Hallar el ángulo agudo que forma la recta que pasa por los puntos (3, 4, 2), (2, 3, -1) con la que Sol. 36º19'. une (l, -2, 3). (-2, -3, 1). x -1 z 3 y +2 -9. Demostrar que la r ecta --¡ es paralela al plano 6x + 7y -5z -8 = O. 2 1 10. Hallar las ecuaciones de la recta que  pasa por el  punto (2, l, -2) y es perpendicular al plano x -2 - 1 = z +2 3x -5y + 2z + 4 = O. Sol. = y _  3 2- . 5 11. Hallar las ecuaciones de la recta. a) Que pasa por el punto (2, -1, 3) y es paralela al eje x. Sol.  y + 1 = O,  z -3 = O.  b) Que pasa por el punto (2, -1, 3) y es paralela al eje y. Sol.  x -2 = O,  z -3 = O. = , = . e) Que pasa por el punto (2, -1, 3) y es paralela al eje z. Sol. d) Que pasa  por el punto (2, -1, 3) y tiene de cosenos dire ctores c os a = .¡, cos {3 =

!.

x -2  y + I z -'3 Sol. 3 = 2-= ± v23 .

1  j

LA RECTA EN EL ESPACIO

129

Hallar las ecuaciones de la recta que  pasa por el  punto (-6, 4, 1) y es  perpend icula r al plano 3x -2 y + 5 z + 8 = O. Sol. 2x -¡- 3y = O. 5 y + 2 z -22 = O. 13. Hallar las ecuaciones de la recta que  pa sa  por el  punto (2, O, -3) y es  perpendicular al plano 2x -3y + 6 = O. Sol . 3x + 2y -6 = O,  z + 3 = O. 12.

Hallar la s ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, -2, -3) y es  perpendicular al plano  x -3y + 2z + 4 = O. Sol. x - 1 Y + 2  _  z + 3 2 -3 1 15. Hallar las ecuaciones de la recta que pa sa por los pun tos (2. -3, 4) y (5, 2, -1).  x - 2  y + 3  z - 4

14.

Sol. 16.

3

=

5-=

-5

.

Hallar las ecuaciones de la recta q ue  pasa por los  puntos a) (1, 2, 3) y (-2, 3, 3). Sol.  x b)

(-2. 2, -3)

y (2, -2, 3).

e) (2, 3, 4) y (2, -3, -4). d) ( 1 , 0, 3) y (2, 0. 3).

e) (2, -1, 3) y (6, 7, 4) en forma paramétrica .

= O,  z = 3. Sol .  x + y = O, 3y + 2z = O. Sol.  x -2 = O. 4y -3z = O. Sol .  y = O, z = 3. Sol.  x = 2 + 9'· y = -1 + 9'• z 3y

-7

=

3 + 9 '·

Hallar la s ecuaciones de la recta que pasa por los  punto  x -s l( 1 . -2. y 3)-1 y2 es paralela  z -3 a los  planos 2x -4y + z -3 = O y  x + 2 y -6z + 4 = O. Sol. 2 = 2 1 3 = -g-· 18. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el  punto ( l , 4, -2) y es  paralela a los planos z+2  y - 4  x - 1 -= - - = --=6' 6x + 2y + 2: + 3 = O y 3x -5y -2z - I = Ü. Sol. 1 3

17.

19.

Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (-2, 4, 3) y es  paralela a la recta que pasa  por (l , 3, 4) y (-2, 2, 3). S ol.  x -3y + l 4 = 0 , y -:- 1 = 0.

20. Hal la r las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (3, -1, 4) y es perpend icular a las recta s cuyas  x - 3  y +  I z -4 component es son 3, 2, ---4 y 2. -3, 2. Sol. 14 13 8 21.

Halla r las ecuaciones de la recta q ue pasa por el p u n to (2, 2, -3) y es  per  pend icu lar a las rectas Sol. x - 2y + 2 = O,  y + z + 1 = O. cuyas componente s son 2. -1 , 3 y -1, 2, O.

22. Hallar las ecuaciones de la recta que  pasa  por el pun to (2, -2, 4) y cuyos á ngulos de dirección son Sol.  X - 2  y. + 2 =  Z -4 120n,60º, 45º.

v'2

1

-1

23. Ha llar las ecuaciones de la recta q ue pasa por el punto (-2 , 1. 3) y cuyos ángulos de dirección son 1 35º, 60", 1 20". S I  x -r 2 Y - 1  z -3 ,12  = 1 -1 . o. 24. Hallar las ecuaciones de la recta , a) Que  pasa  por el punto (O, 2, -1) y t iene de componen trs. 1, -3. 4 .  y

 X

:+ I

-2

4 S ol . T  = -3 b) Que pa sa por e l  punto (-1, 1 , -3) y tiene de.componentes, 2. 3. -4.  y - 1 :+ 3  X /- 1 --= -4 . Sol. 3

2

Que  pasa por el  punto (O, O, O) y tiene de com ponentes l , l , 1 . Sol.  x = y = . 2, l. d) Que  pasa por el  punto (-2, 3, 2) y tiene de componentes, Sol .  x + 2 = O,  y -2x + 1 = O. e) Que pasa por el  punto (1, -1, 6) y tiene de componentes, 2, -1, l. Sol. x = 2z 11,  y = -z + 5. e)

o,

-

130

s ¿,

LA RECTA EN EL ESPAClO

1

D •

2

emostrar que a r ecta x  y  z -7 = O,  x -

15 ,

= -=¡z + 7

 y = -

1

3x -4y - 1 1 = O.

16. Demostrar que las recta s x

+ 2y -- z -1 = O,

 perpendicular es. 27. Demostrar que las rectas J x -2y

+ 13 = O,

es perpen d.1cu 1ar a l a recta

5 z -34 -

1

+l =Oy

 x + y

7y

7x -15 2

 y + 3z -26 = O y

 x + 4 5

 z + 6 

y +8

 x - 3

 z

= T son

 _  5  y - 1 =

son perpendiculare s.

+ 34

 z - 3

-3 -

=-1 -

28. Demostrar que las rectas son pe pendiculares. = --2 = -1 1 y 3x + 5y + 7 = O,  y + 3z - 10 = O 1 1.9. Demostrar q ue las r ectas  x -2y + 2 = O, 2y + z + 4 = O y 7x + 4 y - 15 = O,  y + 14z + 40 = O son  perpend iculares. 2y -2 x 2 5 z --:¡ . está situada en el plano 3x -8y + 2z -8 = O. 30. Demostrar que la recta

- -ro

11

Para demostrar que una recta está situada en un  plano hay que comprobar que dos puntos de la recta pert enecen al  plano, o bien, que un punto de la recta está situado en el plano y que dicha recta es perpendicular a él. 31. Demostrar que la recta  y -2x + 5 = O,  z -3 x ..:... 4 = O está situada en el plano 9x + 3y -5z  + 35 = O. 32. Dem ostra r que la recta  x  z -4 = O,  y -2z -3 = O está situada en el  plano 2x + 3 y -8 z  -17

= o.

 X - 1

 y

-i- 2

Z -3

+

33. Demostrar que la recta = --= 3 y -2z está situada en el  plano 2x 1 2 4 + 10 = o.  y -2z -5 = O, 4x +y 34. Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta 2x 3z Sol. (3/2, 4, -3). -l = O con el  plano 8x -y  z - 5 = O.

+

+

35. Hallar el punto de intersección de la recta  x = z Sol. (3, -2, 1).

36. Hallar el punto de intersección de la recta

+ 2,

2 = Y 

 y

3

= -3z + 1 con el plano  x -2y -7 = O.

=

z-;-- 1 con

2

 plano 4 x -2y + z -3= O.

Sol. (1, 2, 3).

37. Hallar el  punto de inte'rsección de la recta

 x

+ 2y +4z -2 = O,

2x

+ 3y -2z + 3 = O

con

el plano 2x  y + 4z + 8 = O. Sol . (-4,2, 1/2). 38. Hallar las ecuaciones de la recta situada en el  plano x 3y - z 4 = O y q ue es perpendicular  a la recta  x -2z -3 = O,  y -2z = O en el  punto en que ésta corta a dicho plano. Sol . 3x 5y 7 = O, 4x + 5z + l = O. 39. Demostrar que los  puntos (2, -3, 1), (5, 4, -4) y (8, l l , -9) están en línea r ecta. 40. Hallar el punto de inter sección de las rectas 2x +y -5 = O, 3x  z -14 = O y  x -4y - 7 = O, 5x + 4z -35 = O. Sol. (3, -1, 5). 41. Hallar e\  punto de inter sección de las rectas  x - y -z + 8 = O, Sx + y + z + 10 = O y  x + y  z -2 = O, 2 x + y -3z Sol. (-3, 3, 2). 9 = O. 42. Hallar el  punto de intersección de las rectas  x 5 y - 7z l = O, lO x - 23y 40z -27 = O y  x -y + z + 1 = O, 2x + y - 2z + 2 = O. Sol . (-1/38, 148/ 38, 1 1 1/ 38). ,S3. Escribir, en forma continua, las ecuaciones del l ugar geométrico de los  puntos equidistantes de los  puntos fijos (3, -1, 2), (4, -6, -5) y (O, O, -3). S I .3- _  y + 175/32  _  z + 19/32 13 o . 16 -7

+

+

+ +

+

+

+

+

+

+

44. Escribir, en forma continua, las ecuaciones del l ugar geométr ico de los  punto s equid istantes de los  puntos fijos (3, -2, 4), (5, 3, -2) y (O, 4, 2).  X

Sol.

-

18/ 1 1

26

=

 y

22

=

 Z

+

9/44

27

CA PITULO

15

Superf icies CU A DR ICAS. U na su rt·rfici c defi nida  por u n a ecuación de segu ndo gracio en t res va r i ables r eci be el rt l>r n br c de .\llpe1:f il"ie cu
•

•

+

Por r o t aci ón o t ra slación c.k ejes. o  bien. por a m bas t r a nsformaci ones, la ecuación an t er i or  puede tornar u na de l ai; dos forma s sigu ie n te<; :  B y 2 + cz·l -= D ( 1 )  Ax 2 (2)  Ax 2 -j By 2 I· Jz = O.

Si ni n gu na de l as con sta n tes de ( 1) o (2) es n ula, l a ecuación se  pued e escri bi r de estas dos manera s: {J)

}

.\2

l't

a2

h2

 xi

( 4)+

a

,_ -e;- - 1 -2

r2 h2 l·

I 

-

(' 

La ecuación (3)  pued e repr esl!nlar t r es su perficies esencialmente distintas cuyas ecua cion es son . ,.2

r2

(5) ·

-t

·I :-. 1 ht a" c2

1.

-

.,2 ·

a2

r 2

-2

f- .::_ _ b2 c2

=

1,

"2 -2  y2 · - -- ..::: = l.

a1

él 

b2

Corno t odas las su per ficies (5J son sim ét r icas con r especto al origen , se denominan cuá  d ri cas con cen tro. Las d os su r er ficies r epresen tada s  por (4) son cu ád ricas si n cent ro.

.

 _

.

ESFER A. S1 en l a cc.:u ac16r.  x 2

+ y + z 2

2

x2 v2 2 + · 6• a •

=2

= 1 +e 2

se verifica q u e

a = b = e,

= a2, q ue repr esenta u na esfera de centro el  pu n to

(O, O, O)

se transforma en

y rad io a.

En el caso de que el cen t r o de la esfera fuera el  pu nto (h, k ,-j) en l ugar del origen, su ecuación sería (   x -1t)2 + (y -k)2 (z  j )2 = a2.

+

ELI PSOI DE. Si a , b, e son disti n tos, la ecuación x2 02

y2

 zi

2

e

+  b +

=

r e presenta el caso más general de una cuádrica . Si a # b,  per o b = e, el el i psoide es de r evolución . Si el cen t ro del el i psoide es el  pu n to (h, k ,j ) y sus ejes son  paralel os a Jas dos coor denadas, la ecuación adq uiere la forma  j)2 (y _ k )i <= _  ( x _ Jr )i b2-a-2 - + --

+

-

e=

2-

l.

Si el centr o es el origen. ia ecuación es ·: + JJ I

: + ;: = 1.

SUPERFICI ES

132

H I PER BOLOI DE DE U N A HOJA . E n X2el caso de q ue el signo de u na de las variables sea disti n to  yi .  ,:Z  del de las otras, como por ejem plo

ª  +  pi --::¡ = 1, Ja su perficie se lla ma hiperboloide de

una hoja.

2

e

?

Si a = h, la superficie es el hiperboloid e d i! r evol ución de u na hoja. Las secciones pa ralelas a l os  planos  xz e yz son hi pérbola s. Las secciones  paralelas al  pla no  xy son el i pses, excepto en el caso del hi perboloide de revol u ción en el que son cir cunferencias.

z

X

X

 H iperholoide de una hoja

H  pahofoicle i  de dos hojas

.

H I PER BOLOI DE DE DOS H OJAS. La ecuación

hi - c2 = 1 represen ta u n  /11perboloide de dos hoja s. Como se observa esta ecuación coi ncide con la del eli psoide con signo contrario en dos de las variables. Si b = e, l a cuád rica es de revol ución. Las secciones paralelas a los  pla nos  xy y  xz son hipér bola s. Las seccion es  paralela s a l  pla no y.: son el i pses, excepto en el caso del hi perboloide de revol ución en el q ue son ci r cu nferencias. 02

-

PAR A BOLOI DE ELI PTI CO. Es el lugar geomét rico de los  pu ntos representado por la ecua x2

ción

02

1'2

+ í,2

-;

2c.:.

Las secciones obtenidas  por Jos  pl a nos  z = k son elipses cuyas d i me nsiones van aum entando a med ida q ue el plano se aleje del  pla no xy. Si e > O, la cu ád rica está toda ella por enci ma del  plano xy. Si e < O, la su perficie está toda ella por debajo de dicho plano  xy. Las secciones cor r espondientes a planos paralelos a los de coordenadas xz o yz son parábolas. Si a = b la superficie es de revolución.

z

X

PARABOLOIDE H lPER BOLICO. Es el lugar geométrico de los  puntos r epr esentados  por Ja ecuación

x2

02

 y2 -

b2

=

2cz, (e > O).

Las secciones producidas  por los planos z = k, siendo k > O, son hi pérbolas cuyos ejes real e imaginario son par alelos, r espectivamen te, a los de coordenadas  x e y, y cuyas dimen siones aumentan a medida que lo hace k. Si k < O, los ejes real e i maginario son paralelos 2

a los y y x , respectivamente. Si k

= O, la

sección degenera en el par der ectas

1

2 -

=

O.

SUPERFICIES

133

Las secciones corr espon Jientes a los  pla nos  y = k son  pa r á bolas abiertas  por su  parte superior , y las correspond ientes a  x = k son  pa r á bolas abiertas por su  pa r te inferior.

X

J. y

Cono r ecto circular 

 Hiperbol oide pa r abólico

CONO R ECTO CIR CULAR x2 + y 2 -c2 z 2 = O. Esta superficie se  pued e considera r generada  por Ja rotación
.x2

Si Ja directriz c:s J a elipse a2 \2

cilind ro es

2

 y 2

+ 62

=

-- - ---- -¡ : ;:- --- - - :a.o>

 y2

+ ·1J

2

= 1,

la ecuación del

·-- -- -ro- -- ---\o,bl

1.

PROBLEMAS RESUELTOS l. Hallar Ja ecuación de la esfera con su cent ro en el punto (-2, 1, -3) y de rad io 4.

+(z - j f = a se o bt iene (x + 2)?. + (y -1) + (.:: + 3)2 = 42. Desarrollando y red uciendo térmi nos,  x 2 + y 2 + .::2 + 4x -2y + 6z -2 = O. Sustituyendo en

(x - h)2 + ( y -k )2

2  ,

2

2.

Hall.a r la ecuación de la esfera con su centro en el punto (3, 6, -4) y t angente al plan o 2x -2y -z - 10 = 0.

x

134

SUPERFICI ES

El rad io a = 2(3) -2(6) - 1(-4) - J O 1 = 4. Luego la ecuación pedida es 3 1 2 2 (x -3)2 +(y -6) +(:+ 4) = 16, o x2 1- J,2 +2: -6x - l 2 y -1 8: + 45 = O.

3.

Hallar la ecuación de la esfera q ue  pasa  por los  pu ntos (7, 9, 1), (-2, -3, 2), (1, S, S), ( Sustituyendo sucesivamente las coordenadas de los cuat1o puntos en la ecuación  x1

+

+ Gx + H y + ! : + K = O,

7G + QH +  I + K = -131 -2G -3H + 2I + K = - 17 G S H 5!  K = - 51

+ + + -6G + 2H + S l + K = - 65. R esolviendo este si stema de ecuaciones, G = 8, H = -1 4, / = 18, K = --79. Sustituyendo estos valores en la ecuación general se obtiene, x2

+y2 +  z + 8x -14y + l 8z -79 = O. 2

4. Hallar las coordenadas del centro y el rad io
+ y z +2: 6x + 4y -3 z = -

15.

Sumando y r estando témúnos para que la ecuación adopte la f orma

( x -h )2 +(y -k )2 + (z  j )2 R esu lta, x2 -6x + 9 + y2

+

4y

+ 4 + z 2 -3z + :=

1 1

= a2,

, o bien, (x -3)

+(y

+2)2 + ( z - )

=(

J ) y su radi.o 1 1 . El centro de la esr  1era es el (3, -2,

2

5.

2

Hallar el l ugar geomé trico de los puntos cuyas d i sta ncia s a l os  pu ntos P.jos (-2, 2, -2) y (3, están en la r e lación 2 : 3.  ,1c x+ 2f  _ + _ 2r  (= + 2)2 2

,/(x -3)2

(r  - -+---+ (Y-+ 3f + c= -=W

=

3·

Haciend o operacion es,  x2 + y 2 + z 2 + l 2x - 1 2y + 12:= O, una esfera de cen t ro el pu n to (-6, 6, -6) y de radio  xz -2  yi = 1. 6. Estudiar y r e presentar Ja su perfir.ie + 16 25

+9

Esta super ficie es si métrica con r es pecto tanto a los  planos coordenad os como a l origen . Corta a los e jes  x , y, z en los  pun t os :l_5, ± 4, ± 3, respecti vamen te.  x2 

Su t raza con el pla no  xy es la eli pse de ecuación v2 . . ..

2 5 + -6 = 1 y scnHCJCS 5 y 4. As11rnsmo las t razas con 1

los  planos  x: e y.:: son tam bién eli pses. Esta super ficie es un el i psoide. 7.

y 

Demostra r que la ecuación siguien te es un el i psoide. Hallar su centro y las longitudes de los semie·

+ 3y + ;: 8x + 6  y -4: -3 = O, + 4) + 3( y + 2y + 1) + (z 4: + 4) = 3 + 8 + 3 + 4 = 18, 2(x - 2) + 3(y + 1) + (z -- 2)2 = 18. 2x2

2(x2 -4 x

o sea,

2

2-

2

2

2

2

-

.

(

.

SUPER FICI ES

135

'6 18 b. (y + 1)2 (x - 2)2 D . .d. d 1 ---1v1 1en o a ecuac1 n por se o tiene 9 6 soide de centro el punto (2, -1,2) y semiejes 3, v6. 3v2.

+

+

(z -2)2 = 1, q ue es un elip-

18

8. Demost r ar que el lugar geomét rico de los puntos cuya suma de distancias a los  puntos fijos (2, 3, 4) y (2, -3, 4) es con stante e igual a 8, es un elipsoide. Hallar su centro y las longitudes de l os semiejes.

v'(x=1)2 + (y -3)2 + (z -4)2 + V(x -2)2 +(y de donde v(x -2)2 +(  y -3)2 + (z -4)2

+ 3)2 + (z -4) = 8 = 8 -v(x -2)2 +(   y + 3) +(z -4) 2

2

Elevando al cuadrado y red uciendo términos, 3y

+

16

= 4v'(x -2)

2

•

2

+ (y

1- 3)2

+ (z -4)

2•

Elevando al cuad rado y reduciendo érmi nos, 16x2 + 7y2 + 16z2 - 64x - 1 28z + 208 = O. (y -0)2 (x - 2)2 (z -4)2 ló = 1, que es un elipsoide de revolu Haciendo operaciones , -- 7 7 ción de centro el  pun to (2, O, 4) y semiejes v7, 4, v7. Las secciones de esta superficie  producidas  por  planos  paralelo s al  xz son circunfer encias.

+

+

9. Hallar la ecuación del elipsoide que pa sa por los  punt os (2, 2, 4), (O, O, 6), (2, 4, 2) y es simétrico con n:s pecto a los  plan os coordenados. z2 "2  y2 . Sustituyendo las coordenadas de los puntos dados por x, y, z en la ecuación a + bt + e = 1 se uene, 4 4 4 4 o o 36 16 16 2 a

+ bt +

r 2

=

I, a

+  b2 + -e2 = l. Y

a

+

h2-

+

ci = l.

Despejando a'l, b2 y c2, se obtiene a2 = 9, b2 = 36, c 2 = 36.  x2

De donde,

9

 y 2

z2  _

2

+ - + '36 - 1, o sea, 4x 36

x2

JO . Estudiar y r epresentar la ecuación 9

 y2

2

+ y

2 _ 

+ z

- 36.

-2

+ 4 --; = 6

l.

7

Esta su perncie es simétrica con respecto tanto a los  planos coordenados como al origen. Corta a los ejes  x e y en los  puntos ± 3 y ±2, respecti  vamente. No corta al e je z .. Las secciones  pr od ucidas por los planos  z = k son el ipsec; de cen t ro en el eje  z. Estas el i pses aumen tan de ta maño a med ida q ue lo hace el valor numérico de k.

X

'

Las secciones  prod ucidas  por  planos  paralelos a los  xz o yz son hipérbola s. Esta cuádr ica es un hiperboloide de una hoja. 11.

 y ·' 

Hallar Ja naturaleza de la cuádrica cuya ecuación es 3x2 3(  x 2

+ 4 y

+ 6x - 16y + 8z = 13. 4= +4) = l 3 + 1 1 = 24, 2

2

-2::

+ 2  x + 1) + 4(y2 -4 y + 4) -2( 2 i2_ + J )2 + ( y -2)2 - <= -2)2 = l. -

8

6

12

I 

136

SUPER FICI ES

Se trata, pues, de u n h i perboloide d
yz

Est ud ia r y repr esen tar la ecuación 9 -

22

16

4-

=

z

1.

Esta cuádrica es simétrica con respecto a los pl anos coor denados y al origen. Corta al eje  x en los puntos ±3. No corta a los ejes y y z.

X

Las secciones  por planos  paralelos a los  xy y  xz son hipérbolas, y las  pr od ucidas por  planos  paralelos al  yz son elipses. La cuádrica, pues, es un h i per boloide de
Hallar la naturaleza de Ja cuádr ica de ecuación 2x2 -3y2 -2z2 -8x + 6y - 12z -21 = O. l )2 - (z 3)2 2(x2-4x + 4) -3(y2-2y + l) -2(z2 + 6z + 9) = 8, o bicn , (x 22

4

,-

)

(y ;:;

= J,

-

3

que es un hiperboloide de dos hojas con su cent ro en el  pun to (2, 1 ,-3) y eje rea l  parale lo al de coordenadas  x.

14. Hallar el J ugar geométr i co de los puntos cuya d iferencia de d istancia s a los  pu ntos fijos (-4, 3, 1) y (4, 3, 1) sea igual a 6.

v(x + 4)2 + (y -3)2 + (i="lf o bien,

v(x- + 4)

2

+( y - 3)2

-

(z--=-1)2

- v(.-- 4)i +-( y - 3)2 + (z -1)2 = 6,

   --=4r:t- (y = 6 + v '( x

3)Í-+ (z -1)2•

Elevando al cuad rado y red uciendo térmi nos, 4x -9 = 3v(x -4)2° +(  y -3) 2 + (z

-

1)2.

Elevando al cuadrado y red uciendo término s, 7x2 - 9y2 -9 z 2 -t 54y + l 8z = 153. (z l) · nes (x 0) h.1pcr bo 1 ·de de dos Hac1·en do operacw , ·- 2 -·(y ----3)2 - - - = ' q ue es un 2

01 9 7 7 hojas con centro en el  punto (O. 3, 1) y eje r eal  pa ralelo al de coordenadas  x . Como las secciones  pro d ucida s  por planos parale los a l yz son circunfe r encias, la superficie es un hi perboloide de revolución de dos hojas.

15. Hallar el lugar geométr ico de los punto s cuya d istancia al pu nto fijo (2, -1, 3) es el doble de la co rrespond iente al eje x. v'(x -2)2 + (y + i°)2 + (z -3)2 = 2 vi-+ z2. Elevando al cuadrado y reduciendo términos, x2 -3y2 -3z2 -4x

+ 2y -6z = -1 4.

Haciendo operaciones , (x -2)2 -3(y -l /3)2 -3(z + 1)2 = -40/ 3,

. (y -1/3) 2 0 b 40 ien,

9

+

(z

+ 1)

2

40

9

(x -2)2  _ 

-----::fó- -

1

'

3

que es un hiperboloide de r evolución de una hoja, con centr o en (2, 1/3, -1) y eje de revolución el de coordenadas  x.

SUPER FICIES 16.

Estudiar y repre sentar la ecuación  y 2

B7

+ z2 = 4 x.

z

Esta superficie es simétrica con r especto al eje  x y a los  planos  x: y  xy.

Corta a los ejes en el origen. Las tra zas con los  pla nos coordenados son y 2 + z 2 = O, y las  pa rábolas correspond ientes, 2 = 4x e y2 = 4 x.

X

Como  x no puede tor.ia r valores negativos, la su perficie está si t uada toda ella a la derecha del  plano  yz. Las secciones  prod ucidas por planos  paralelos a l  yz son circunferencia s, y las  prod ucidas  por  planos  paralelo s a los  xy y  x: son pa rábolas. Esta cuádrica es u n  pa raboloide de revol ución. 17.

Hallar la ecu ación del parabolo ide de cen tro O, e je OZ  y q ue pasa por los  pu n tos (3, O, 1) y (3, 2, 2).

z

Sustituyendo las coordenadas de los  pun t os dados en la ecuación  Ax 2 + By 2 = Cz se obtiene, (1) 9A + OB = C, de donde 9A = C  (2) 9A + 48 = 2C.  ,9, B = C/4. R esolviendo este sistema de ecuaciones,  A = C  2 Sustit uyendo estos valor es de  A y  B en  Ax + B y 2 = Cz x2  y2  z + + 2 2 r esulta, 4 x = (' que es u n 9y = 36:, o bien, 4  paraboloide elíptico.

X

18. Hallar el l uga r geométrico de los puntos cuya suma de cuadrados de sus distancias al eje  x son igua les a tr es veces sus dista ncias al pla no y ::. Sea (x, y, z) un punto genérico del l ugar. Entonces, y2 z2 = 3x. Esta superficie es un paraboloide de revol ución simétrico con respecto al eje  x.

+

19. H allar el vértice del parabolo ide elíptico 3x2 + 2y 2 12: -6x + 8y - 1 3 = O. 3 (x2 -2x i- 1 ) + 2(y2 + 4 y + 4) = l 2 z + 13 + 11 = l 2z -

de don de 3(x

2 - 1)

+ 2( y +

2)2 =

12(z

+ 2), o

(x sea,-4

1)2

+

(y f- 2)2

-= 6

+ 24, z

+2

El vértice es el  pu nto ( 1 ,-2, -2).

20. Estudia r y hallar la nat ura leza de la superficie 9x2 -4y2 - 36::. La superficie es simétrica con respecto a l eje  z y a los  planos  xz e yz. Corta a los ejes en el or igen de coordenadas. Para  z = O r esulta la traza con el  plano  xy , q ue es el  par de r ectas definida s  por la ecuación 2 9x -4y2 = O, o sea, 3x + 2 y = O y 3x -2y = O. Para  y = O r esulta la traza con el pla no  x::, que es la pará bola 9x2 = 36=, o bien,  x 2 = 4z. Esta  parábola tiene su vértice en el origen y está abierta  pnr su  parte superior. Para x = O resul ta la traza con el plano  yz, q ue es la parábola -4 y 2 = 36:, o sea, y2 = -9z. Esta parábola t iene su vértice en el origen y está por su parte inf erior. Las secciones pr od ucidas  por los planos  z = k son hipérbolas. Si k es  posi t ivo el eje de la  pará  bola es paralelo a l eje x. Si k es negativo , el eje real oc la h i pérbola es paralelo a l eje y. Análogamente, las secciones  prod ucidas por  planos  paralelos a los  x: e yz son también  parábolas. La cuádrica en cuestión es un parabol oide hiperból ico.

SUPERFICIES

138

21. Hallar la ecuación de un paraboloide de vértice el pu nto (O, O, 0). eje O Y y q ue pa a por los puntos (1, -2. 1 ) y (-3, -3, 2). Sustit uyendo las coordenadas de los dos punto s dados en la ecuación  A x2 + C  z2 =  By,  A ¡ C = -28 9A

+ 4C = -38.

Despejando  A y C en función de 8. r e sulta.  A. = B. C = -38. Sust it uyendo estos valores de A y C y divid iendo l
+ 3:2

2 -x

= O.

Esta su perfi cie es simétrica con respecto a l os  pla nos coord enad os y con r especto al or igen. Corta a los ejes en el or i gen de coordenadas. Para  x = O no existe la traza con el  plano  y: . z Pa ra  y = O resu l ta la traza con el  pla n o  x z , q ue es el  par de rectas defi nid o por la ecuación 3z2 - x 2 = O, o sea.

VJz + X = Ü, J;-.\ = Ü. Para  z = O resulta la t raza con

el  plano - x y . que es el  par de rectas defi nido por la ecuación 2 y2 - xl = O. o sea, iy + x = O, \ ' 2 y - x = O. Las secciones  prod ucidas  por los  pla nos  x - k son elipses, cualq u iera q ue sea k d isíin to de cero.

Análogam en te, las secciones por plan os para lelos a los

 xy

o  xz son hi pérbo las.

y 

23. Hallar el lugar geométrico de los pu ntos cuya d ista ncia al eje  y sea el t riph: de la correspondien te al eje z . Hallar la nat uraleza de la su perficie resultante. \l x   2 1-

2

1 2 -= 3\  x

+ y2. de donde  x2

1 :2

-

9x2 -r 9y2 , o bien 8x!"' 9 y 2 -=2 = O.

Esta su perficie es un cono de vértice el origen. El eje del cono es el eje :. 24. Representa r la superticic 4x 2 + 9 y 2 = 36. Esta su perficie es u n cil i nd r o de eje pa ra lelo a l de coordenadas :. y cu ya dir ecrri: es la el i pse 2 + 4 x 9y 2 = 36.

z

.

,,

/ 

.----··-·-r;----,,_ ------ -,"; -- - - - -

X

X

(3,0.0)

(0,2,0) y 

 Pr oblema 24

 Pr oblema 25

25. Hallar la ecuación de la superficie de revol L:ción generada en la r otación de la elipse x2 al rededor del eje x.

+ 4:2

-

16 = O

Sea P (x. y.:) un  punto genérico cua lq u iera de la su perfici y t racemo s desde él la  perpendicular  al plano  xy . En el tri án g u lo r er.tángu lo  A BP , .4 8

 y. BP

 z.

---------"'--

SU PEP FICll S

139

+

Haciendo  A P =  y' se tiene, y 2 z2 = y' 2 . De la ecuación de la eli pse, x 2 = 16 - 4y'2. Sustitu yendo ,  x 2 = 16 -4{y2 + z2}, o bien ,  x 2 f- 4y2 + 4 2 = 1 6, q u e es un el i psoide de re vo l uci ón cuyo eje es el de coordenadas  x. 26. H allar la ecuación de la superficie de revol ución generada en la rotación de la h ipérbola

alrededor del eje  z.

x2 -222

=l

Sea P 1(x•• O, z,) un punto genérico cualq uiera de la hipérbola. y P'(O, O, .) su proyección sobr e el eje  z . En la rotación de la hi pérbola alrededor del eje  z , el punt o P 1 describe una circunfe r encia de cen t ro P ' y radio P'P 1• Sea P(x, y, z) un punto cua lq u iera de esta ci rcunferencia y,  por tanto, de la su perficie bu scada.

Como z 1 = z y P 'P    1 = P ' P, se tiene xt

x2

= v'(x -- O)Z

+(   y -· 0)2

+ (z -z,r = v'  xz + yi .

Susti tuyendo  X ¡ = v' X 2 + y 2 y Z1 = z en la ecuación de la hipérbola,  xr y 2 -2z2 = 1 , que es un hiperboloide de una hoja.

- 2zr

+

z

J

.,,-

,.

' 

=

1 , se obtiene,

......... ,

' 'Pcx,y;z) \

\

 _...._.

::::::::---- ,P. (x, ,y,.o)

I 

.,,

 Pr obl ema 26

I  /  / ;'

 Pr oblema 27 

27. Hall ar la superficie de revolución generada en la rotación de la recta 2x

+

3 y

= 6 alrededor del eje y .

Sea P 1(x 1• y 1, 0) u n punto genérico cualq uiera de la recta P proyección el , y1 P'(O. y scribe1 , O) unasucircunfe r encia so br  de ecen de e je  y. En la rotación de la recta alr ededor del eje  y , el  pun to tr o P' y radio P' P,. Sea P(x.  y , z) u n punto cualq uiera de la circu nferencia y ,  por tan to, de la su  perficie buscada . Como y 1 = y y P'P 1

= P ' P, se tiene x 1 = v'x2 + z 2

•

e Yi = y en la ecuación de la recta, 2x 1 + 3y1 = 6, se obtiene. 2  x + + 3 y = 6. Simplificando términos se llega a la ecuación 4x2 -9( y -2)2 + 4z 2 = O, que es un cono de vértice el pu n to (O, 2, 0).

v

Susti tuyend o  x 1 2

 z 2

= v' x 2 + z 2

PROBLEMAS

PROPUESTOS

1. Hallar las ecuaciones de las -:sferas siguientes: o) Centr o (2, -1.3), radio 4.

S ol .

x2

+ y +:2 4 x + 2y -6   z -2 = O. 2

-

+

b) Cen t r o (-1, 2, 4), rad io ,113. Sol.  x2 + Ji2 1-2: 2x -4y - 8:t 8 e) Un d iámet ro es el segment o determinad o por l os  puntos (6, 2, -5) y (-4. O, 7).

= O.

Sol.  x2 + y 2 1- z 2 -2 \' -2y -2.:-59 = O. d) Centr o (-2, 2, 3) y q u e pasa por el punto (3, 4, -J ). Sol. .x2 + y 2 + :2 + 4 x -4 y -6   z -28 = O. e) Centro (6. 3, -4) y ta ngente al eje  x. Sol. x2 + y 2 -1 ::2 - 1 2x ·-6y + 8z + 36 = O.

,· 7 · -·.......... . -

""""'

SUPER FICI ES

140

2. Hallar las ecuaciones de as esf eras siguientes: a) Ce n t ro (-4.2, 3) y t.rngente al  plano 2x  y

-2:

+7

Sol.  x 2

= O.

+ y +: + 8x -4 y - 6z + 20 = O. 2

2

Centro (2. -3. 2) y t.1ngenle al  plano 6x -3y - 2z -8 = O.

 b)

Sol. 49 x2 + 49y2 + 49:2 l 96x + 294y - 196: + 544 - O. e) Cen t ro (1 . 2. 4) y ta n en te al plano 3x -2 y + 4: -7 = O. Sol. 29x 2 + 29y 2 + 29:2 -58x - l 1 6  y -232z + 545 = O. Cen t ro (-4, -2, 3) y tangente al plano yz . S ol . d)  ) 2 2 +y +.z + 8x + 4 y - 6:: + 13 = O. e) Cen t ro (0, O, O)  y tan gente al plano 9x -2y + 6z + 1 J' = O. Sol.  x2 + y 2 + z2 = 1 . -

3. Ha llar las ecuaciones de las esferas siguien tes : a) Que  pasa  por los  pu ntos ( 1 , 1 , 1 ), (1, 2, 1), ( 1 , 1, 2),  y (2, 1 , 1). Sol .  x2 1- y 2 + z2 -3 x -3y -3z + 6 = O. b) Que pasa por los pu ntos (2, 1, 3), (3, -2, 1), (-4, 1 , 1 ), y ( 1 , 1.-3). S ol . 51x 2 + 5 1 y 2 + 51z2 + 45x + 37y -33z -742 = O. e) Que  pasa por los  puntos ( 1, 3, 2), (3, 2, -5), (O, 1, O),  y (O, O, O). S o l . l lx2 4.

+ lly + llz 2

Hallar las coord enadas del centro  y el rad io de la esfer a: Sol. a)  x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y -6z + 8 = 0. 2  b) 3x2 + 3y2 + 3: -8x + 12y - 10: + 1 0 = O. Sol. 2 2 2 e)  x  + y + + 4 x -6   y + 8z + 29 = O. Sol. d )  x 2 +  y 2 + S ol. :2 -6x + 2y -2z + 1 8 = O.

2

- 127x - l l y

+ 3: = O.

( 1 , -2 , 3). r = v6. (4/ 3, -2 , 5/ 3), r = v47  / 3. (-2, 3, -4), r = O. I magi na ria.

5. Hallar la ecuación de la esfera tangente a los planos x -2z -8 = O  y 2x -:+ 5 = O y que tiene su cen t ro en la recta  x = -2. y = O. S ol. x2 + y2 + z2 + 4x + 6z + 49/5 = O, x2 + y2 + z2 + 4x + 22:: + 48 1/5 = O.

6. Halla r la ecuación de la esfera que pasa por los puntos ( 1 , -3. 4), ( 1 . -5. 2) y ( 1, -3, 0) y tiene su centro en e l  plano  x + y + z = O. Sol. x2 + y2·+ z 2 -2x + 6y -4 z + 10 = O. 7. Hallar el l ugar geométr ico de los  pu ntos cuya su ma de cuad rados de sus distancias a los  planos  x

+ 4 y + 2z = O,

Sol. x2

+y 2 + z

2

 y + z = O y 2 x 2x -

+ y -3z = O

es igu a l a 10.

= 1O.

8. H alla r el luga r geométrico de l os puntos cuya r e lación de d istancias a los  puntos fi jos (l. 1 ,-2) y (-2, 3, 2) es i gual a 3 : 4. Sol. 7x2 + 7y2 + 7z2 -68x + 22y + I OOz - 57 = O. 9. Estudiar y r e presen tar los el i psoides sigu ientes: a) 25x2 -r 16y2 + 4:2 = 1OO.  b) 4x2 + y1 + 9z2 = 144.

e) 8x2 + 2y2 + 9z2 = 144. 10.

d   )  x2

+ 4y + 4z -1if = O. 2

+ 4y2 + 9z2 = 36. (x - 1)2 (z -3)2 (y - 2)2 36 + 16 + 9

e) x 2 f)

2

-1 - .

Hallar las coordenadas del centr o y la longitud de los semiejes de las superficies siguientes: a)  x 2 + l 6y2 +:2 -4  x + 32y = 5. b) 3x2 + y 2 + 2:2 + 3 x + 3 y + 4 z = O. e) x2 + 4y2 + z2 -4x -8y + 8z + 15 = O. d)

e)

12x - 16  y + 4 z = 4. + 4y2 + z2 2 2 2 4x + 5y + 3z + 1 2x -20 y + 24z + 77 = O. 3x2

-

/

 x 2

Sol. (2, -1, O). 5, 5/4, 5. Sol. (-1/2, -3/2, -1), vlS/3, Sol . (2, 1, -4), 3, 3/2, 3.

2 v3, 3,

 sol . (2, 2, -2), Sol. Punto (-3/2,

6.

2, -4).

v'5, vW / 2.

f  SU PERF I CI ES

141

11. Hallar la ecuación (r eferid a a sus  propios ejes) de los elipsoides q ue  pasan por los  puntos que se indican. Aplíquese la ecuación  A x 2 + By 2 + C 2 = D. a) (2, -1, 1 ), (-3, O, 0), ( 1, -1 , -2). Sol. x2 + 4y2 + z2 = 9. Sol. 2x2 + 2y2 + z 2 = 9. b) (VJ, 1, 1 ), ( 1, 3, -1), (-1 , -1 , \/S). Sol. 2x2 + 3y2 + z2 = 24. e) (2, 2, 2), (3, 1 , J), (-2, O, 4). d) ( 1, 3, 4), (3, 1, -2 l) y su eje de revolución es el eje  x. Sol. 2x 2 + y2 + z 2 = 27. 12. Hallar el l ugar geométrico de los punt os cuya su ma de distancias.a los puntos fijos (0, 3, O) y (O, -3.O) es igual a 8. Sol. 16x2 + 7y2 + 16z2 = 1 1 2. 13. Hallar el lugar geomé trico de los punt os cuya suma de distancias a los puntos fijos (3, 2, -4) y (3, 2, 4) (x -3)2 (z -0)2 (y -2)2 = l. + + Sol. es igual a 10. 25 9 9 14. Halla r el l uga r geométrico de los  pun tos cuya suma de d i stancias a l os  pu ntos fijos (-5, O, 2)  xz

yz

+

( z -2¡2

= l. 11 36 + 1 ¡ IS. Hallar el l uga r geométrico de los puntos cuyas distancias al plano yz son el do ble de las cor res po nd ienSol. 3x2 + 4y2 + 4 z 2 8x + 1 6y - 1 6  z + 36 = O. tes al p un t o ( 1 , -2, 2). y (5, O, 2) es igua l a 12.

Sol.

-

16. Hallar el l uga r geométrico de l os  puntos cuya distancia al punt o fijo (2, -3, 1) sea la cuarta  pa rte de la correspondien t e al  plano  y + 4 = O.

16x2 + 15y2

Sol.

+ 16z2

-

64x

+- 88y -32: + 208 = O.

17. Halla r el l uga r geométrico de Jos  puntos cuya d istancia al eje  x sea el tripl e de la correspond iente Sol. 9x2 8y2 + 8z2 - 36x -54y -54 z + 198 = O. al punto fijo (2, 3, -3).

+

18. Est udiar y represen tar los siguientes hi perboloide s de una hoja :

a)

 xz

16

 xi

+

 yz :z  - -36 = 1 .

9

 y2

+

d)

l6y2 -36x2 + 9z2 = 144.

x2

(z - 1)2 = e) T6 + 4 - - 25 /) 9y2 -x2 + 4;:2 = 36.

z2

b) 4 - 36 1 6 = l. e) 4x2-·25y2 + 1 6z2 = 100.

 yi

19. Estud iar y r e presentar Jos siguiente s hi perboloide s de do$ hojas:  y2 (x - 1)'  xz z2 e/) 16 (/) 16 - 9 - 36 = J. 36x2 -4y2 -9z2 = 14 4. 25x2 - 16y 2 -4z2 = 100.

 b)

e)

e) • f

)

 yz

l.

z2

4 - 25

= l.

36y 2 -9x2 -16z 2 = 144. 2 2 4z 2 -x -9y = 36.

20. Hallar las coordenadas del centro y la naturaleza de las su perficies siguientes:

2x2 -3y2 + 4z2 -8x -6y + 12z - 10 = O. Sol. (2, -1 , - } H i perboloide de un a hoja. Eje paralelo al e je y. a)

 b) x2 e)

+ 2y2

-

3z2

+ 4 x -4y - 6: -9 = O.

Sol. (-·2, l . -1). Hi perboloide de una hoja. E je par alelo al eje z. 2x2 -3y 2 -4z 2 1 2 x -6y - 2l = O. -

Sol. (3, -1,O). H iper  boloide de dos hojas. Eje paralelo al eje  x. d) 4y2 -3x2 -6z2 16y -6x + 36z -77 = O. Soi. (-1,2, 3). H iperboloide de dos hojas. Eje  pa ralelo al eje y. e) 16y2 -9 x 2 + 4z 2 -36x -64y -24z = 80. Sol. (-2,2, 3). Hiperboloide de una hoja . E je  paralelo al eje x. f) 5z2 -9x2 15y2 + 54x + 60y + 20z = 166. Sol. (3, 2, -2). Hiperboloide de dos hoja s. E je para lelo al eje  z . g) 2x2  yi - 3z2 -8x -6y + 24z -49 = O. Sol. Pu nto (2, -3, 4). -

-

)

SUPERFICIES

142

21. Hallar el lugar geomét rico de los  punt os cuya diferencia de d istancias a los puntos fijos (O, O, 3) y (O, O, -3) es igual a 4. Sol. 5z 2 -4x2 -4y2 = '.!O. Hiperboloide de dos hojas. Ceni ro en el origen .

22. Hallar el lugar geométrio de Jos  puntos cuya diferencia de distancias a los  punto s fijos (2, -3, 4) y (2, 3, 4) es igual a 5. Sol. 44y2 100x2 -100z2 + 400x + 800z = 2.275. H i perboloid e de dos hojas. Centro (2, O, 4). -

23. H allar la ecu ación del h ip•;rboloide de una ho ja que  pa sa  por l os pu n tos (4, con c1::ntro el  punto (O, O, O), que t iene al eje  y como eje de r evol ución. 2 + 2z 2 = 21). H iperboloide de r evolu ción de una hoja. Sol . 2x2  y -

2v'3, O) y (-1, 3, 3v'6/ 2),

24. Hallar la ecuacién del h i perboloide de dos hoja s de cent ro el or ige n , ejes los de coordenadas y que  pa sa por los pu n tos (3, 1, 2), (2, v'll, 3) y (6, 2, v'í5). 2 -2  y2 = l. Hiperboloide de dos hojas, eje t ransver so al eje z. Sol . 3z2  x 25. Estudiar y r ;: pr esentar las superficies siguientes: 2 a) 3x2 -4y = O. 2 2  b) x + 2y -6; = O. e)  y 2 -4;2 + 4x = O. 16y = O. d) x2 + 4z2

+;

-

e) 4x 2 1 3y2 1 2:= O. /) 4x2 -- y 2 4z = O. 2 g) 4x  + yi t- z = O. h)  x 2 t- 2y2 = 8 -4z. -

-

26. Hallar la ecuación del  pa raboloide de vértice el  pun to (0, O, O), q ue tiene el e je  pasa por los  puntos (2, O, 3) y (1, 2, 3). Sol. 12x2 + 9y2 l 6z = O. Paraboloide elíptico.

: como

eje, y que

-

27. Hallar la ecuación del paraboloide de vértice el  punto (O, O, O), q ue t iene al e je z como eje. y q ue  pasa por los pu ntos (1, O, 1) y (0, 2, 1). Sol. 4x + y 2 -4: = O. Paraboloide el íptico. 28. Hallar la ecuación del  par aboloide de vértice el  punt o (O, O, O) q ue tiene al eje  z como eje, y q ue  pasa  por los p u ntos ( 1, 2, 1 ) y (2, 1, 1). Sol.  x 2 + y2 -Sz = O. Paraboloide ele r evolución . 29. Hallar la ecuación del  pa r aboloide de vértice el  punto (O, O, O) q ue tiene al e je  z como eje, y que  pasa  por los  pun tos (1 , 1 , 1 ) y (3/2, 7/ 12, 1/2). S ol .  x 2 + 5z2 -6y = O. Paraboloide elíptico. 30. . Hallar la ecuación del  paraboloide q ue pasa por el or igen. por los  pu ntos ( 1 , 2, 2) y (2, 6, 8), y que es simétrico con respecto al e je x. Sol . z2 -2y2 + 4 x = O, paraboloide h iperbólico; 2x 2 = , cil indr o  pa raból ico. 31. Hallar el l ugar geomét rico de los  punt os cuyo cuadrado de la d istancia al eje  z es el doble de la correspondiente al pla110  xy. Sol.  x2 + y 2 -2z = O. Paraboloide de revolución alrededor del eje  x. 32. Hallar el vértice del paraboloide : a) 2x2 + 3y2 -8x + 1 2 y 3z + 23 = O.  b) 2x 2 + 4zt -4x -24z  -y + 36 = O.

+

e)

d)

e)

3zt + 5y 2 -2  x + I Oy - 12...- r 21 = O. 2 y2 -4 x  2z -6y - l2  x -1 6 O. 2 2 4x + 3 -4y + l 2z + 12 = 0.

+

33. Estud iar a)  x 2 -1 b) 3x2 e) z2

/

I 

d)

Sol. (2, -2, -1). Sol. {I, -2, 3). Sol. (2, -1, 2). S ol. (-3/2, 3, -3).

y r epr esen tar los conos siguien tes:

2y2 = 4z 2 . + 22y 2 = 26  z2. +y = 2x • 3x2 + 4z2 = l 2y2.

S o l . (O, O, -2).

+ 3y2 6(z -4) = O. + 2y 4( x + 3)2 = O.

e) 2x2 .f )

z2

 g ) 3xi

-

2

2

--

+ 4z2 - 12(y -4)

2

= O.

r  1

SU PER FIC I ES

34. Est ud ia r a)  X2

 b)

y

re pre se n ta r los cil i nd ros siguiente s:

+ )'2 =2 9.

'1x2

1 9y

-

- =

e)  x 2 9y2 36. () : . 4 -x2

36.

•

t·)  y 1 - 4x . (d)

143

l6y2 1 9z2 = 144.

K)

x213

+ y 113 = a2 13 (pri mer cuadrante).

35. Ha llar la nat ura leza y la ecuación de las su pe r ficies generadas en la rotación de las curvas siguientes alrededor de los ejes q ue se ind ican. a)  x 2 - 2z2 = 1, alrededor del eje x. Sol. x2 -2y2 -2z 2 , 1. H i perboloide de dos hojas. h)  x 2 -2z 2 = 1, al rededor del eje  z. Sol.  x 2 + y 2 -2z2 = l. H i pe r  boloide de una hoja. e)  x = 4 - v2 al r ededor del e je x. Sol . - x ,_; 4 - y2 -z 2 . Pa ra bol oide.  y - 1 O. al r cdc
•

.....

--

CA PITULO

16

Otros sisten1as de coordenadas COO R DENA DAS POLA R ES, CI LI N DR I CAS Y ESFE R I CAS. Además de las coordenadas ca rtesia n as rectan gu la res, existen otros sistema s de coor denadas muy ú tiles y qu e se em plea n con frecu encia como son las coorden adas  polares, las cil índricas y las esfér icas.

z

COOR DE N A DAS POLA R ES. Las coordenadas  pola res de u n  pu n to P del espacio (ver figura adyacente) son (e. a, {3 y), si endo u la d ista ncia O P y·a, /J y y los ángulos de la d ir ección de OP . Las relaciones q ue ligan las coordenadas polares y recta ngul ar es de u n pu n to  P son,  X

: !!

COS a, lj

r 

=

.\' = (j COS {J, y

 Z = (!

/

COS  y.

± vx2 + y2 + z2,

,

1 //  _ _ _ _ _ _ _ y 

X

 y

Como cos2 a + cos2 fJ + cos2 y = 1, las cuatro coor den adas no son independ ientes. Por ejem plo. si a = 60º y  p = 45° se tiene, cos2 y = 1 -cos2 a -cos2 {J = 1 -!-!= j. Como  por ot r a  parte }' 180°, y = 60° ó 120°.

COOR DEN A DAS CI LI N DR I CAS. En este sistema , u n pu nto P (x , y , :) vie ne defi nido  por f!, O, z, siendo (! y O las coordena das polares de la  proyección Q del  pu nto P sobre el  pla no  xy . Estas coorden adas se escriben en tre pa réntesis y en este or den (!?, O, z). Las r elacion es q ue ligan las coordenadas cili nd ricas con las r ectangulares son,  x = (! cos O,  y = e sen O,  z = z.

o = ± v x

2

+ r,

p

(X,y,Z) (j),9, Z   )

Zt

z , X

 / 

, ,

e = are tg .

Q

Obsér vese que el á n gulo fJ  puede tom ar cualq u ier va lor , con lo que lor es negat ivos, com o en el caso de las coord en adas  polar es.

..

/

e  puede

tomar va

COORDEN ADAS F.SFER ICAS. Sea P (x, y, z  ) u n punto cualq uie ra del es pacio y Q su proyec ción so bre el plan o  xy . Repr esentemos por !! la d ista nci a OP,

z

com o en el caso de las coord enadas polares ,  por e/> el án gulo  ZOP ,  por O el ángul o  XOQ  , y consider emos el ángul o c/>  posi ti vo cu ando 0° c/> 180°. Los símbolos (! , O y e¡, son las coor denadas esféricas del  pu n to P , y éste se repr esen ta  por P (Q. O , cf>). La coor denada !! es el r ad io vecto r , O la longi tud y e/> la cola t i t ud de  P . El ángulo O  puede tomar cualq uier va lor.

Del triángulo r ectángulo

OPQ

 p.FJ  ¡ .lf> )

1

1

1

1 1

1 1

l

:  /

se ded uce,  _

OQ =  /2

sen

c/>.

Q P

= (} cos e/> .. 144

 )

 p (X,"0)

y 

'  _ ...... ......,y , Q

M ., X

OTR OS SISTE MAS DE COOR DENA DAS

En el t riángulo

O M Q

se verifica,

 x - O M - '.! sen '.!

cos

cos O,  M Q = OQ sen O. Por tanto,  y =  M Q = '.! sen sen O. = =::: Q P - !! cos .

fJ.

OM = OQ

fJ - are tg

l

145

·)' ,



.\"

-= are cos

.J

En m u ch os  pr oblemas relati vos a la determi nación de áreas de su perficies, o de vol ú men es l i mi tad os  por éstas, los método:· em pleados en el cálculo d iferencial e i n tegral se ven n ot a blem ente si m pl ificados  pa sa ndo el  problema a coorde nadas esféricas o cil í nd r icas . En todos aq uel los casos en q ue la su perficie lí mite sea de revol ución , l o más adecuado es el em pico de las coorden adas cil índ ricas.

PROBLEMAS l.

RESU ELTOS

H allar las coordenad as polar e s. ci líndr icas y esf ér icas de l  pun t o cuyas coordenadas r ectangulares son (!, -2. 2).

z

z

z P(p,B,t/J)

P(p,a.,,B,Y)

z 1

2

1 1

,) .....'-2

X

X

X  y

Coor denadas dlindrica.v

Coordenada s  pr>lares

a = ar e cos  y

= are cos

i

= a re cos }= 70º32',

2

(3, 70°32', 131n49', 48º 1 1 ').

Sol .

0 

vx

+-Ji! = '\/ 12 + (-2)

2

= v5.

() = are tg L = are tg (-2) = 296º34', : = 2.

Sol.

 X 

Coordenada s esférica s.  g

(}

1 = '\ x2 + y2 + =2 =

= ar e tg L = are tg (-2) = 296"34',

= arc cos (- ) = 1 31º49',

fi = ar c cos

= = a r e cos 2 = 48º 1 1 '. 3

Coordenadas cilíndrica s.
Coordenadas esRricas



 X

'1 2

cvs, 296º34', 2).

+ (-2) + (f)t = 2

= are cos

3.

= are cos

2

,..

3

= 48º 1 1'. Sol. (3, 296º34'. 48º 1 1 ').

2.

Hallar las coordenadas rectangular es del punto cuyas coordenadas cil índricas son (6. 120º, -2).  X

= (! COS 0 = 6 COS 120° = -3,

Sol . (-3, 3v3, -2).

 y

= (} Sen

0 = 6 sen 120<> = 3 VJ,

 Z

= -2.

1 ,

=

QS & e:tM

146

3.

65

=

QQ

t : se q;

e

4

'l'l

OTROS SISTEMAS DE COO R DENA DAS

Hallar las coordenadas recta ngulares del  pun to cuya s coordenada s esféricas on (4. -45", JO' '). sen COS 0 = 4 Sen 30º COS (-45°) = V l, y = r¿ sen e/> sen O = 4 sen 30º sen (--45º) -vi, = 4 cos 30°  z = cos = 2 v3.  X = (!

4.

=

/

Hallar las coordenada s rectangulares del punto cuyas coordenadas  polare s son (3, 120 , 120º, 135").

= (! COS a = 3 COS 1 20 = -3/2, y = (! cos{J = 3 cos 1 20º = -3/2, = = e cos Y = 3 cos 135º = -3v212.

 X

f

Sol .

3

J -

\

·-

•-

2

3ví )

2

.

2

5. Hallar las coorde:iadas recta ngula res po!ar es y esféricas del punto cuyas coord e nadas cil í ndricas

 j

son (6, 120º, 4).

\

 Rectangular es.  x = (! cos O = 6 cos 120° = -3, y = r sen O = 6 sen 120º = 3VJ, : = 4.

'\

 P olares.

+ y 2 + .:

{!

=\l x  2

a

= ar e cos

2

 X 

= \/(-3)2

= are cos

sol.

(-3. 3v3. 4).

+ (3 ,13)2 + 42 = 2 \I D.

3

-

= 1 14 "35',

2v13 3 3 - 46 7' f3 = are cos L = are cos -2 \113 · · e 4  y = arc cos ::_ = arc cos -- = 56 19'. (!

2\.1 13

(!

(2vi3.

Sol.

 Esféricas.

= \! x2

1 14º35', 46 º "1', 56"19').

+ y2 + z2 =

/(-3)2.1... (]\13)2  y 3\13 = 120º, () = are tg - = are tg

Q

-J

X

f> 6.

=

Expresar la ecuación  x 2

are cos  z = are cos 2\ 113 !?

+ y 2 + 2z2  x

+ 41.= 2 vD,

+

-2x

= 56º 19'.

- 3y -: ·f

= e cos O,

+

2

Sol. (2

= O en coordenadas

 y -= ') sen O,

13, 120 , 56 19'). cil í nd ricas.

.: =  z.

Susti tuyendo, [J2 cos2 0 rl sen 2 0 2.:2-·2!.! cos O -3g sen O -.: + 2 = O. Simplificando , e 2 -g(2 cos () + 3 sen O) + 2z 2 - z + 2 = O.

7. Expresar la ecuación 2x2 f-

6.: = O en coordenadas esféricas.  x = g-sen cos O,  y = f! sen sen O.  z = e cos . Sustituyendo , 2e2 sen2 cos28 + 3(! 2 sen2cf> sen20 -6Q cos = O, o bien, 2(! sen2 cos28 + 3e sen2 sen20 -6 cos = O.

•8.

3y2

-

Expresar la ecuación e + 6 sen e¡, cos e + 4 sen sen O -8 cos = O en coordenadas r ectangulare s. Esta ecuación est á dada en coordenada s esféricas. M ultipl icando por e y teniendo en cuenta los valores de  x, y,  z, del Probl ema 7, se ded uce, 1:/ + 6 () sen e/> cos O -L 4!..l sen e/> sen O -8g cos e/> = O, o sea,

 x 2 /

,_.

J.::

+ = + 6.r + 4y -3.: = O. 2

Esta ecuación representa una esfera de cen tro (-3. -2, 4) y rad io r = \129.

01 l< OS SISTl:MAS 01 C OOR DE A DAS

147

9. Expr esa r la ecuación . ecri ta en coordenadas cil indricas. ;: - r/ cos 20. e n coordenada s recta ngu la res. Ten iendo en curnta q ue cos 20 c o<:.2 0 se n 2 f) r esu l ta . : - el(co s 2 () -scn 20) = r l cos10 -r .l  2 sen 0. ·Como I! cos O -  x y '! sen O 10.

Expr esa r la ecuación  x 2

.;

y2 -. :z

En coordenadas  pol ares.  x

t .  y. la ecu ación ped ida es = = x2  y -

25 en coor denadas polares.

= f.! cos a.

 y:; e cos {l.

= = (! cos y .

 P -r  Luego l a ecuación se tra n forma en 1¿1 cos 2a ¡ r l cos"  l cos2y o sea.

Como cos2a

= 25,

!2(cos2 ' ' .; c os' íJ -cos2y) - 25.

/1 + coS2)• - 1 . la ecuación  pedida es e:( I

C0!.2

JI. Expr esa r la ecuación. escrit a en coordenada s pola r e , cos y

gulares.

-2 cos1y) = 25.

= (! cos a cos {3, en coordenadas rectan

Mult ipl ica ndo  por f! los dos miemb r os de la ecuación se tiene, (! cos y = ei cos a cos {1. Teniendo en cuenta que (! co<. y = :, '! cos a  x , f! cos fJ = y. la ecuación pedida es  z = xy.

PROBLEMAS PROPUESTOS l. Halla las coordenadas polares de los puntos siguicn ics: a) (0, 1. 1 );  b) (0. -2. -2); r) ( 1 . -2. 2); d) (6. 3. 2); Sol . a) (\ 2.90 . 45'. 45 ) ; h) (2\ 2. 90". 135 ', 135< ); e ) (3. ar e cos l / 3, ar e cos (-2/ 3). are cos 2/3);

e) (8. -4, I ).

d ) (7, a re cos 6/7. ar e cos 317 . a r e cos 2/7): e) (9. ar e coo; 8 9. a re cos (-4/9), are cos 1/9). 2. Hallar las coordenadas cilínd rica de los puntos del Pr o blema 1. S(l f . a) ( l . 90 . I );  b) (2. 270 . -2); e) (\15 , 2:t -are tg !, 2); d   ) (3 5. a re tg!.2) ; 1') (4v 5. 2n -are tg 2, 1).

3. Hallar las coord e nadas esféricas de los  puntos del Problema 1.

(2\1:2, 270'. 135º): e) (3, 2;i - ar e tg 2, ar e cos 2/3); J) (7, ar e tg 1 2, are cos 2/7) ; e) (9, L-t - are tg l. a re cos l /9).

Sol . o) ( 12, 90º, 45º):  b)

4.

Hallar las coordenad as rectangulares de los  pun tos cuyas coordenadas polar es son : a) (2, 90", 30', 60 ); b) (3, 60°, -45º, 120º) ; e) (4, 120º, 1 20º, 135º); d) (3, 150°, 60°, 90") ; e) (2, 45º, 120°, -60°). · Sol . a) (O, ,13, I ); b) (3/2. 3,12 2, -3/ 2); e) (-2, -2, -2 v'i); d) (-3\/ 3/2, 3/2, 0); e ) ( 2, -1, 1).

5. Hallar las coordenad as rectangular es de los puntos cuyas coordenada s cillndricas son : o) (6, 120°, -2) ; b) ( 1 , 330°, -2); e) (4, 45º, 2) ; d) (8, 1 20º, 3) ; e) (6. 30º , -3).

Sol. a) (-3. 3 3, -2) ;  b) ( 3/2, -1/2, -2); e) (2v'2, 2 d) (-4, 4v3, 3); e) (3 3, 3, -3).

2, 2) ;

6. Hallar las coor denadas r ectangular es de los puntos cuyas coordenada s esféricas son : a) (4, 210º, 30º): b) (3, 120", 240"); e) (6, 330º, 60º) ; d) (5, 1 50º, 210°); e) (2, 180º, 270 ).

.."1'l

) '