SERIES y SUMATORIAS
CAPITULO II
OJO
Solución: El símbolo
k se llama Sigma
e indica la sumatoria desde k = 1 : hasta para k = n. donde: k = 1 : lími límite te infe inferio rior r k = n : lími límite te super superio ior r "k" "k" : térmi término no genér genéric ico o
Método Práctico: "La suma está dada por la multiplicación entre el último término y el consecutivo al último factor del último término y todo sobre la cantidad de factores quesevaaformar. "3 factores"
Para Para poder poder desarr desarroll ollar ar una sumato sumatoria ria,, tenemos tenemos que empeza empezarr asignan asignando do para para k = 1; k = 2; k = 3; y así sucesivamente hasta k = n, al término genérico, para para luego luego sumar sumar todos todos los result resultado ados. s.
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ....... + 7x8 =
Último término Consecutivo del "8"
B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11
Ejemplo: 3
(7k + 8) = 7(1) + 8 + 7(2) + 8 + 7(3) + 8 = 66 k=1
7x8x9 3
Para k= 1
Para k= 2
B=
Para k= 3
9 x 10 x 11 x 12 4
En general :
Para la suma de los 1ros. Números Números N:
k
k=1+2+3+…+n=
n(n + 1) 2
n : Número de términos
Calcular Calcular : 1 + 2 + 3 + ......... ......... + 10 Solución:
k(k + 1) = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + .... + n(n + 1)
Método Práctico: "La "La suma suma está está dada dada por por la mita mitad d de la mult multip iplilica caci ción ón del último último sumando sumandocon con su consec consecuti utivo" vo".. Consecutivo de "10"
Calc alcular ular : 1 + 2 + 3 + .... ...... .... .... + 10 =
10 • 11 2
=
n(n + 1)(n + 2) 3
k(k + 1)(k + 2) = 1x2x3 + 2x3x4 + .... + n(n + 1)(n + 2) =
= 55
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4
Último término
k(k + 1)(k + 2) … (k + P) =
• Calcular A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ....... + 7x8 7 x8 B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11
donde :
n! = 1 x 2 x 3 x … x n Factorial de un número
(n + p + 1)! (P + 2)(n - 1)!
Suma de los 1ros. Números Pares:
2k
Así por ejemplo: • Calc Calcul ular ar :
• Calc Calcula ularr : 2 + 4 + 6 + … + 40 40
1 + 3 + 5 + ..... 25 t é rm in o s
Solución:
Solución:
1 + 3 + 5 + .... ...... = 25² 25² = 625 625
Método Práctico:
25 t é rm in o s
"La suma suma esta esta dada dada por por la mult multip iplilica caci ción ón de la mita mitad d delúltimo delúltimo y el cons consec ecut utiv ivo o de esta esta mita mitad" d" Consecutivo Consecutivo de la mitad de 40.
En general: (2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) = n²
2 + 4 + 6 + … + 40 = 20 • 21 = 420 Últ im o té r m in o
÷2
En general :
2k = 2 + 4 + 6 + … 2n = n(n + 1) ÷2
Ejemplo 1: En una industria de productos para "Taco" produce 78 bol bolas por por cada ada minut inuto, o, las las cual uales las acon acondi dici cion onan an en form forma a de triá triáng ngulo ulo de modo modo que en la 1ª fila haya una, en la 2ª dos, en la tercera tres tres y así sucesi sucesivam vament ente. e. ¿Cuánt ¿Cuántas as filas filas se formar formarán? án? A) 26
Suma de los 1ros. Números Impares:
B) 23
C) 12
D) 13
E) 263
Solución:
sea "n" el número de filas
(2k-1) • Calc Calcula ularr : 1 + 3 + 5 + … + 19 19 Solución:
Método Práctico: "Lasumaestádadaporelcuadradodelasemisuma del primer primer y último último términ término" o" 1 + 3 + 5 + .... ...... + 19 = Primer té r m in o
Últ im o té r m i n o
( (
1 + 19 2 = 100 2
Cuadrado de la semisuma
Total de bolas:
n(n +1) = 78 2 n(n +1) = 156 156
OJO n (n +1) = 12 • 13
Pero cuando nos muestren la cantidad de términos, términos, la suma será igual al cuadrado cuadrado de dicha cantidad de términos o sumandos. sumandos.
n = 12 ∴
Rpta. C
Suma de los 1ros. Números Pares:
2k
Así por ejemplo: • Calc Calcul ular ar :
• Calc Calcula ularr : 2 + 4 + 6 + … + 40 40
1 + 3 + 5 + ..... 25 t é rm in o s
Solución:
Solución:
1 + 3 + 5 + .... ...... = 25² 25² = 625 625
Método Práctico:
25 t é rm in o s
"La suma suma esta esta dada dada por por la mult multip iplilica caci ción ón de la mita mitad d delúltimo delúltimo y el cons consec ecut utiv ivo o de esta esta mita mitad" d" Consecutivo Consecutivo de la mitad de 40.
En general: (2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) = n²
2 + 4 + 6 + … + 40 = 20 • 21 = 420 Últ im o té r m in o
÷2
En general :
2k = 2 + 4 + 6 + … 2n = n(n + 1) ÷2
Ejemplo 1: En una industria de productos para "Taco" produce 78 bol bolas por por cada ada minut inuto, o, las las cual uales las acon acondi dici cion onan an en form forma a de triá triáng ngulo ulo de modo modo que en la 1ª fila haya una, en la 2ª dos, en la tercera tres tres y así sucesi sucesivam vament ente. e. ¿Cuánt ¿Cuántas as filas filas se formar formarán? án? A) 26
Suma de los 1ros. Números Impares:
B) 23
C) 12
D) 13
E) 263
Solución:
sea "n" el número de filas
(2k-1) • Calc Calcula ularr : 1 + 3 + 5 + … + 19 19 Solución:
Método Práctico: "Lasumaestádadaporelcuadradodelasemisuma del primer primer y último último términ término" o" 1 + 3 + 5 + .... ...... + 19 = Primer té r m in o
Últ im o té r m i n o
( (
1 + 19 2 = 100 2
Cuadrado de la semisuma
Total de bolas:
n(n +1) = 78 2 n(n +1) = 156 156
OJO n (n +1) = 12 • 13
Pero cuando nos muestren la cantidad de términos, términos, la suma será igual al cuadrado cuadrado de dicha cantidad de términos o sumandos. sumandos.
n = 12 ∴
Rpta. C
Ejemplo 2: Si : Sn = 1 + 2 + 3 + … + n
Ejemplo 4: Calcular :
Calcular :
E=
S1 + S2 + S3 + … + S20
A) 1240
B) 1610
D) 400
E) 210
Solución:
Se tiene que :
Sn =
C) 2000
n (n + 1) 2
[
D) 99
E) 100
20 x 21 x 22 3
[= 1610
∴
E=
E=
1 + 3 + 5 + 7 + ..... + x = 196 2 + 4 + 6 + 8 + ..... + y = 420 B) 68
D) 40
E) 27
+
3 100
+
5 100
+ ..... +
(
1999 + 1 2 10
(
1000 10
=
C) 67
Aplicando métodos prácticos :
D) 38
E) 111
1 + 3 + 5 + 7 + ..... + x = 196 196 (= 196
(= 20 • 21
Luego: x + y = 27 + 40 = 67
C) 37
1 + 2 + 3 + ...... + x = aaa x (x + 1) = a • 11 111 2
2 + 4 + 6 + 8 + ..... + y = 420 y +1 2
Rpta. E
Solución:
2
Aplicando métodos prácticos :
(
∴
1 + 2 + 3 + ...... + x = aaa B) 36
y 2
= 10 0
Ejemplo 5 Calcular : "x"
A) 35
(
1999 100
2
Solución:
1+x 2
C) 80
1 + 3 + 5 + ..... + 1999 100 (suma de los primeros impares)
Rpta. B
Ejemplo 3: Calcular "x + y" si :
A) 69
1 100
E=
1 [1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21] 2 1 2
B) 0,123
Transformando los decimales :
1x 2 2x 3 3x 4 20 x 21 + + + …... + 2 2 2 2
=
A) 1
Solución:
Luego piden :
=
0,01 0,01 + 0,03 0,03 + 0,05 0,05 + ...... ...... + 19,99 19,99
y 2
= 20
y = 40
x (x + 1) = a • 2 • 3 • 37 (tanteando) 36 → se deduce
x = 36 ∴
Rpta. C
∴
Rpta. B
Ejemplo 6: Determinar el valor de : S = 20.1: + 19.2 + 18 .3 + ........ + 1.20 A) 4525
B) 1245
D) 1580
E) 1540
• Calcul Calcular ar : 1³ + 2³ + 3³ 3³ + .... .... + n³ n³ C) 3870
Solución:
Podemos resolver, dándole forma de la siguiente manera : S = (21-1).1 + (21-2).2 + (21-3).3 +.....+ (21-20).20
S = 21.1 + 21.2 + ... + 21.20 - (1²+2²+3²+....+20²) S=
21 . 20 (21)
-
20 (21) (41)
2
Solución:
Método Práctico: "La suma está dada por el cuadrado de la mitad de la multiplicación entre el número de términos y su consecutivo". 10 • 11 1³ + 2³ + 3³ + .... + 10³ = = 3025 2 10 términos
Cuadrado de la mitad de la multiplicación
En general :
6
S = 1540
dond donde e: ∴
Rpta. E
Suma de los cuadrados de los 1ros.
. Calcular :
) k²)
1² + 2² + 3² + .... + 10²
Solución:
n : Núme Número ro de térm término inoss
Ejemplo 1: Juan conviene en pagar un artículo cada fin de semana de la siguiente forma: la primera semana paga S/.0.25, la segunda semana S/.1, la tercera S/.2.25, la cuarta S/.4 y así sucesivamente durante vein veinte te sema semana nas. s. El preci precio o del del artí artícu culo lo es : A) S/.750.50
B) S/.700.50
D) S/.717.50
E) S/.400.50
C) S/.350.50
Solución:
Método Práctico: "La suma está dada por la multiplicación, entre el número de términos, con su consecutivo y la suma del número de términos y su consecutivo, para luego luego dividi dividirr todosob todo sobre re 6". (10 + 11)
1² + 2² + 3² + .... .... + 10² = 10 términos
10 • 11 • 21 = 385 6
En general :
Sea "S" la suma a pagar, luego: S = 0.25 + 1 + 2.25 + … 20 sumandos
S=
n : núme número ro de térm términ inos os
1 9 +1 + +4 +… 4 4 20 sumandos
S= S= S=
donde donde :
) k³)
Suma de los cubos de los 1ros.
1 + 4 + 9 + 16 + … 4 1² + 2² + 3² + 4² + .... + (20)² 4 1 4
20(21)(41) 6
S = 717.5
∴
Rpta. D
Ejemplo 2: En el triángulo numérico hallar la suma de las veinte primeras columnas (dar como respuesta la suma de cifras del resultado). C1
C2
C3
C4 .......
.
.
. 3 3 3
4 4 4 4
2 2
1 A) 16 D) 15
....... ....... ....... .......
B) 17 E) 19
C) 18
Piden : 1(1) + 2(2) + 3(3) + … + 20(20) 20 x 21 x41 6
B) 5665 E) 5388
C) 5385
Es importante considerar que la fórmula de los cuadrados, específicamente está referida a la suma de los cuadrados de los primeros enteros positivos, es decir que si la suma no empieza en 1² + 2²; será necesario un artificio previo, que consiste en suponer que efectivamente empieza en 1², para luego restarle los primeros términos que no correspondan a la suma planteada inicialmente; es decir que siendo la suma original :
Ejemplo 3: Efectuar: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10² 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10² 3² + 4² + 5² + ...... + 10²
10²
B) 17 E) 19
C) 18
el artificio será : S = 1² + 2² + 3² + ....+25²
- (1² + 2² + ...+ 5² + 6² + 7²)
n = 25
n=7
Este procedimiento conocido, como el QUITA y PON nos permite aplicar la fórmula dos veces, primero para los 25 primeros términos y luego en el sustraendo a los siete primeros términos, apliquemos pues : n (n + 1)(2n +1) 6
1² + 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10² 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10² 3² + 4² + 5² + ...... + 10²
Luego :
S = (25 • 26 • 51) 6
10² 1(1²) + 2(2²) + 3(3²) + ..... + 10(10²)
-
(7 • 8 • 15) 6
S = 5385
( (10•11 2 2
= 3025 ∴
quesepuedeexpresar: S=[8²+9²+10²+11²+12²+.....+25²]
Rpta. B
∴
1³ + 2³ + 3³ + ..... + 10³ =
A) 5525 D) 3600
S=64+81+100+121+144+.....+625,
= 2870 Pero se requiere : 2 + 8 + 7 + 0 = 17
A) 16 D) 15
S = 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + ..... + 625
Solución:
Solución:
= 1² + 2² + 3² + .... + 20² =
Ejemplo 4:
Rpta. B
∴
Rpta. C
Ejemplo 5:
Suma de los términos de una Progresión Aritmética
Calcular: S = 12³ + 13³ + 14³ + .... + 20³ A) 194736 D) 8910
B) 36191 E) 11197
C) 39744
Solución:
Solución:
Aplicamos un procedimiento análogo al ejemplo 4, se tendrá que falta :
( ( (
4 + 7 + 10 + 13 + ..... + 37 +3 +3 +3 Razón aritmética r=3=7-4
( (
S=
Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizados en una progresión aritmética.
11 • 12 1³ + 2³ + 3³ + .... + 11³ = 2 Luego :
• Calcular : 4 + 7 + 10 + 13 + ...... + 37
1er término a1 = 4
20 • 21 ² 11 • 12 ² = 39744 2 2
(
∴
último término an = 37
an = a1 + (n - 1) r
Rpta. C
n= Sn =
I)
Suma de los cuadrados de los "n" primeros números pares naturales. 2² + 4² + 6² + 8² + … + (2n) ² =
2n (n+1)(2n+1) 3
an - a r +1 r an + a 1 n 2
Donde:
n : número de términos an : término enésimo S : suma de los "n" primeros términos n
en el problema :
II)
Suma de los cuadrados de los "n" primeros números impares naturales. 2n (4n² - 1) 3
a1 = 4 r = 3 an = 37
Suma de los cubos de los "n" primeros números pares naturales.
OJO
1² + 3² + 5² + 7² + … + (2n - 1)² =
III)
n = 37 - 4 + 1 3
S12 = 37 + 4 12 2 = 246
n = 12
2³ + 4³ + 6³ + 8³ + … + (2n)³ = 2[n(n + 1)]²
IV)
Suma de los cubos de los "n" primeros números impares naturales. 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + … + (2n - 1)³ = n² (2n² - 1)
S =
(
Semisuma de extremos
(
Número de términos
CONSIDERACIONES IMPORTANTES:
CONSIDERACIONES IMPORTANTES:
I)
En toda P.A. cada término comprendido entre el primero y el último, es igual a la semisuma de sus dos términos adyacentes.
I)
En toda P.G. cada término comprendido entre el primero y el último es igual a la raíz cuadrada del producto de sus dos términos adyacentes.
II)
En toda P.A. de número impar de términos, siempre se cumple que existe un único término central cuyo valor es la semisuma de dos términos equidistantes.
II)
En toda P.G. de número impar de términos se cumple siempre que existe un único término central, cuyo valor es la raíz cuadrada del producto de dos términos equidistantes.
tcentral =
S términos equidistantes
Tcentral =
2
III) En toda serie aritmética de número impar de términos se cumple: términos
S = T central x
IV)
términos
lugar — S de lugar S de impar par
tcentral =
PRODUCTO DE 2 t TÉRMINOS EQUIDISTANTES
Q = 1 + 2 + 2² + 2³ + 22001
Ejemplo 1: Calcular : A) 22001 - 1
B) 22001
D) 42001
E) 1616
C) 22003
Solución: Número de términos
Suma de los "n" primeros términos de una progresión geométrica finita
Estamos frente a una progresión geométrica finita: T1 = 1 ; q = 2 ; n = 2002 donde : Sn = T1
qn - 1 q- 1
⇒ Q= 1
Calcular : 3 + 6 + 12 + 24 + .....
22002 - 1 2- 1
= 22002 - 1
Solución:
Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizados en una progresión geométrica. 3 + 6 + 12 + 24 + ......... "8 términos" x 2
Donde :
x 2
x 2
T1 = q n
3 (primer término)
=
2 (razón geométrica)
=
8 (número de términos)
∴
Ejemplo 2: Si n es un entero positivo, el valor de la suma : 3 + 33 + 333 + ....... + 3 ..... 3 n cifras
A)
10n - 9n - 10 27 n+1
Sn = T1
D) 10
qn - 1 q- 1
Rpta. A
- 9n + 10 27
n+1
B) 10 E)
- 9n - 10 27
n+1
C) 10
+ 9n - 10 27
10n - 9n + 10 27
Solución:
S = 3 + 33 + ....... + 3 ..... 3
• Sn : suma de los "n" primeros números
n cifras
multiplicando por 3 3S = 9 + 99 + ....... + 99..... 9
•q>1
n cifras
En el problema : T1 =
3
q = n =
2 8
( (
28 - 1 S8 = 3 2- 1
= 3 • 127 = 381
podemos expresar como : 3S = (10 - 1) + (10² - 1) + … + (10n - 1) Observamos "n" sumandos : 3S = (10+10² + … + 10n) - (1 + 1 + ..."n" sumandos) aplicando "S" de progresión geométrica 3S =
10 (10n -1) 10 - 1
n+1
10 -n ⇒ S=
+ 9n - 10 27
∴
Rpta. C
Suma de los Infinitos términos de una progresión geométrica decreciente : 1 1 1 + + +… 2 4 8
• Calcular : 1 +
Ejemplo 2: Si los radios de una sucesión de circunferencias son: 1 1 1 1m ; m ; … 2 4 8
La suma de sus correspondientes longitudes es igual a:
Solución:
Es decreciente ya que los términos van disminuyendo su valor, donde el término enésimo tiendeacero,cuando"n"esmuygrande.
A) π
B) 2π
D) 8π
E) 16π
C) 4π
Solución :
1+
1 1 1 + + +… 2 4 8
1 x 2
1 x 2
q =
1 x 2
1 2
por eso es decreciente
<1
Luego la suma de longitudes será : 2π(1) + 2 (π 12 ) + 2 ( π14 ) + 2 ( 18π) + …
( (
= 2 π 1 + 12 + 1 = 2π 1 - 12
0<|q|<1 1 S∞ = 1- 21
En el problema :
=
1 1 1 2
=2
1 1 1 1 1 + + - … 2 4 8 16 32
A) 2
B) 1
D) 1/4
E) 0
C) 1/3
Calcular: S =
Aplicando suma infinita, donde la razón geométrica será :
⇒
S∞ =
1
1 2
E) 13/37
1- (-
1 2
=
(
Rpta. C
C) 1/2
1 2 3 + + + 7 7² 7³
4 + …∞ 74
Multiplicando a "S" por 7 : 2 3 4 7S = 1 + + + + …∞ 7 7² 7³
1
a1= 2 1 2 3 2
(
1 2 3 4 + + + + …∞ 7 49 343 2301
D) 1/3 Solución :
= 2
+...
(
B) 7/36
Solución :
q=
1 8
A) 1/49
Como: S =
1 4 1 2
+
∴
Ejemplo 3: S=
1 4
= 4π
Ejemplo 1: Hallar "S" :
Se debe saber que la longitud de una circunferencia se calcula como se indica : L = 2πR
a1 S∞ = 1- q
Suma límite :
Donde :
a1 = 1
6S = 1 +
1 1 1 + + +… 7 7² 7³ Suma límite
=
1 3
6S =
1 1 -
∴
Rpta. C
1 7
⇒
S= ∴
7 36 Rpta. B
Ejemplo 4: Se tiene un triángulo equilátero cuyo lado mide "a". Se toman los puntos medios de sus lados y al unírseles se forma otro triángulo equilátero, en este triángulo a su vez se toman los puntos medios de sus lados y se les une, formando otro triángulo equilátero y repetimos la operación infinitas veces. Calcular la suma de las áreas de todos estos triángulos formados, incluyendo el mayor. A) a² 3 B) a² 3 C) a² 3 3 2 4 D) a² 3
E)
a² 3 6
A) πR²
B) 2πR²
D) πR²/2
E) 3πR²/4
C) 4πR²
Solución :
Se puede determinar que los radios de cada círculo son respectivamente :
Solución :
Sea "S" el área del triángulo del lado "a", luego según la figura se formará un triángulo cuya área es la cuarta parte de "S" y así sucesivamente. Donde : S =
Ejemplo 5: En un círculo de Radio R se inscribe un cuadrado; en este cuadrado se inscribe un círculo; en éste, otro cuadrado y así sucesivamente (indefinidamente). Se quiere saber la suma de las áreas de los círculos.
a² 3 4
R ,
R
2
R , 2
,
2
2 R , ..... 2
Los cuales se obtienen a partir de :
2 2
o
R
R
S/4 S/4 S/4
Luego la suma de las áreas será :
S/4 πR² + π
Luego la suma de todas las áreas será :
1 X 4
2
2
2
+ π R 2
(
= πR² 1 +
1 X 4
S 1-
1 4
=
+ ....
1 1 + + .... 2 4 suma infinita
4 S= = 3
2
= πR² + πR² + πR² + .... 2 4
S S + + ....... ∞ 4 16
S+
( ( ( ( R
4 a² 3 • 4 3
= πR²
a² 3 3
(
( ( 1
1-
1 2
= 2πR² ∴
Rp t a. A
∴
Rp t a. B
Ejemplo 6: Se deja caer una bola desde una altura de 100 metros. En cada rebote la bola eleva los 2/3 de la altura desde la que cayó por última vez. ¿Qué distancia recorre la bola hasta que queda en reposo por la resistencia del aire? A) 200m
B) 300m
D) 500m
E) 600m
Solución :
C) 400m
x 2/3 h
h = 100
Ejemplo 7: Calcular: 3 4 3 4 3 + 2 + 3 + 4 + 5 + .....∞ 5 5 5 5 5
S= A) 7/5
B) 1/5
C) 19/24
D) 3/25
E) 19/24
Solución : 4/9 h
Considerando de 2 en 2
..... S=
Distancia de bajada : 2h 4 h+ + h +… 3 9
3 4 3 4 + 2 + 3 + 4 + .....∞ 5 5 5 5 19 25
S=
19 625
+ 1
Distancia de subida :
x 25
2h 4 + h +… 3 9
S=
Distancia total = dist. bajada + dis. subida
19 25
1-
1 25
=
19 24
∴
Rpta. E
Distancia total =
(
h+
= h+2
( ( (
2h 4 2h 4 + h +… + + h +… 3 9 3 9
(
(
2 4 h+ h +… 3 9
OB SER VACIÓN:
+r 1 q
Observamos una progresión geométrica ilimitada de razón 2/3
Dist. total = h + 2
Dist. total = 5h
( ( 2 h 3 2 13
1 7
+
+ xq
+3
+3
+
4 49
+ x7
=
3+7-1 (7 - 1)²
=
1 4
Dist. total = 500 m Rpta. D
1 + r q²
xq
x7
∴
+r
+r 1 + 2r q³
+
1 + 3r q4
xq
7 343
+ ........ ∞
+ .... ∞ =
r+q-1 (q - 1)²
Suma de las Inversas de los Productos Consecutivos
En general : 1 1 1 1 n + + +… + = 1• 2 2• 3 3• 4 n(n + 1) (n + 1)
Ejercicio 1: Calcular : 1 1 1 1 1 S = + + + + .... + 1• 2 2• 3 3• 4 4• 5 n(n + 1) 1 A) n
n- 1 B) n
D) 1
E)
1 1 1 1 n(n + 3) + + +… + = 1•2•3 2•3•4 3•4•5 n(n+1)(n+2) 4(n+1)(n+2) n
n C) n+ 1
1 1 = k(k + 1)(k + 2)...(k + P) P
Σ
k= 1
P-
n! (n + P!)
n- 1 n+ 1
Solución :
En este tipo de situaciones se trata de descomponercadatérminoenladiferenciade2fracciones
( (( (( ( (
S =1-
1 1 1 1 1 1 1 + + + ..... + 2 2 3 3 4 n n+ 1
1 1 1 1 1 1 1 + - + - + … 2 2 3 3 4 n n+ 1 1 n S =1= n+ 1 n+ 1
Por ejemplo :
(
S =1-
∴
D)
71 120
B)
77 71
E)
77 147
C)
77 312
=
1 1 1 2 1• 2 2 •3
1 1 1 1 1 1 1 + + .... + 2 1• 2 2• 3 2• 3 3• 4 11•12 12•13
S =
1 2
(
B) 128/245
D)136/225
E) 108/205
C) 129/295
(
S = 3
(
77 312
S = ∴
1 1 1 1 + + + .... + 5• 6 6• 7 7• 8 40 • 41 +1
( ( ( =
A) 124/175
S = 3
S =
1 1 2 156
+3
Factorizando el "3"
Expresando todos los sumandos tal como :
( (
(
Solución :
73 97
3- 1 1•2•3
1 1 3 = 2 38 19
Calcular : 3 3 3 3 3 S = + + + + .... + 5 •6 6• 7 7• 8 8• 9 40 • 41
Rpta. C
Solución :
1 1 = 1•2•3 2
(
Ejercicio 3:
Ejercicio 2: Calcular : 1 1 1 1 S = + + + .... + 3 + 1•2•3 2•3•4 3•4•5 11•12•13 A)
1 1 1 1 1 + + +… + = 2•5 5 • 8 8 • 11 35 • 38 3
Rp t a. C
1 1
108 205
+1
1 1 5 41
∴
Rp t a. E
Propiedades de las Sumatorias
Suma de los "n" primeros términos de una sucesión polinomial Calcular :
01)
5 + 14 + 29 + 50 + 77 + ..... 10 términos
Solución:
5 + 14 + 29 + 50 + 77 + .....
02)
+9 Diferencias Sucesivas
+15 +6
+21 +6
+27 +6
MÉTODO PRÁCTICO T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + ..... + Tn
03)
a
b
c
m
n r
d p
r
Ejemplo: Calcular :
Sn = T1 C1n + aC2n + mC3n + rC4n
12
Σ (2k³ - 5k² + 7k + 4) k= 1
A) 8727
B) 7912
D) 9192
E) N.A.
C) 9512
En el problema :
Aplicando las propiedades de la sumatoria, resultará : 2
Σ k³ k=1
= 2
- 5
12
Σ k²
+ 7
k=1
( ( ( 12 • 13 2
= 9512
n(n - 1)a n(n - 1)(n - 2)m + + 1• 2 1•2•3
n(n - 1)(n - 2)(n - 3)r 1•2•3•4
Solución :
12
Sn = nT1 +
2
-5
12
12
k=1
k=1
Σk+Σ4
n = 10
;
T1 = 5
m = 6
;
r = 0
a = 9
reemplazando en "Sn"
12 • 13 • 25 12 • 13 +7 + 48 6 2
(
S10 = 10 • 5 + S10 = 1175
∴
;
Rpta. C
10 • 9 • 9 10 • 9 • 8 + • 6 2 6
Ejercicio 1 : Calcular : 1 + 3 + 7 + 13 + 21 + .... "20 términos" A) 4260
B) 5440
D) 4440
E) 8980
C) 2680
Se coloca "Tn" como término genérico de una sumatoria n
Sn =
Solución:
Aplicando el método de las diferencias sucesivas 1 + 3 + 7 + 13 + ..... +2
+4 +2
S20 = 1 • 20 +
Solución:
n
+2
k
7n (n + 1) + 2n 2
S50=
20 • 19 • 2 20 • 19 • 18 • 2 + 1• 2 1•2•3 ∴
Rpta. C
Suma de términos de una sucesión polinomial conociendo su término enésimo (Tn). Si : Tn = 7n + 2 Calcular "Sn" e indicar su valor para n = 50.
n
T = Σ (7k + 2) = 7 Σ k + Σ 2 Σ k=1 k= 1 k=1 k=1
Luego para n = 50.
+6
S20 = 2680
=
n
7 • 50 • 51 + 2(50) 2
= 9025
1.- La suma de 20 enteros consecutivos es "S". ¿Cuál es la suma de los 20 siguientes? A) S + 210 B) S + 200 C) S + 190 D) S + 20
E) S + 400
3.- En el siguiente triángulo numérico, hallar la suma de las diez primeras filas. F1
1
F2
Solución:
Sea:
F3
S = (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 20)
F4
2 4 7
3 5
8
6 9
10
20 enteros consecutivos
lo que piden es : S1 = (x + 20 + 1) + (x + 20 + 2) + (x + 20 + 3) + (x + 20 + 4) + … + (x + 20 + 20) Separando adecuadamente : S1 = (x + 1)+(x + 2)+(x + 3)+ … +(x + 20)+ S
A) 13250
B) 13255
D) 11350
E) 5565
C) 22155
Solución:
Redistribuyendo en forma horizontal : F1
+
F2
+
F3
+ ..... +
F10
+ 20 + 20 + … + 20 1 +
20 sumandos
⇒
S1 = S + 20 • 20 = S + 400 ∴
Rpta. E
2.- Lucha y Pili leen una novela de Vargas Llosa; Lucha lee 10 páginas diarias y Pili lee 1 página el 1er. día, 2 el 2do día, 3 el 3er. día y así sucesivamente. ¿Después de cuántos días coincidirán si empiezan al mismo tiempo? A) 10 B) 20 C) 19 D) 21
2 + 3 + 4+5+6+…
Número de : 1 + 2 + 3 + … 10 x 11 = 105 términos 2
Luego nos piden : 1 + 2 + 3 + … + 105 =
∴
1
Solución:
Sea "n" : número de días
2
Según enunciado se planteará : "n" días (páginas leídas por Lucha)
4
"n" días (páginas leídas por Pili)
Coinciden
⇒ 10n =
n(n + 1) 2
7
3 5
8
1x 2 Número 2 Triangulares 2x 3 = 2 3x 4 6 = 2 4x 5 10 = 2
=
9
Luego piden : n = 19 ∴
1 + 2 + 3 + … + 105 = Rpta. D
Rpta. E
Ot ro Mé t o d o :
E) 42
10 + 10 + 10 + … + 10 = 1 + 2 + 3 + … + n
105 x 106 = 5565 2
=
10 x 11 2
= 105
105 x 106 = 5565 2
4.- Se disponen los números naturales, según el arreglo adjunto : 1 2
3
4
5
6
7 8 9 10 ............................................ ............................................
A) 2185 D) 2435
Calcular las suma de los números de la fila 30 A) 12742
B) 13892
D) 18645
E) 13515
5.- Hallar la suma de la fila 10 en el siguiente arreglo : 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46
Solución:
C) 18734
Hasta la fila 9
10 x 11 = 55 términos 2
=
29 x 30 = 435 términos 2
=
Fila 30
30 x 31 = 465 términos 2
T46 + T55 2
Pero : T1 = 1
9 x 10 = 45 términos 2
x 10
r=5
Tn = a1 + (n - 1) r
⇒ T46 = 1 + (46 - 1) 5 = 226
T55 = 1 + (55 - 1) 5 = 271
Luego :
Del esquema :
( ( ( ( ( ( ( ( Hasta la fila 29 + Fila 30 =
Hasta la fila 30
—
Hasta la fila 30
Hasta la fila 29
Fila 30 = (1 +2 + 3 + … + 465) (1 +2 + 3 + … + 435)
Fila 30 =
—
Fila 10 = (1 + 6 + 11 ...) - (1 + 6 + 11 ...)
Fila 10 =
Fila 30 =
C) 2355
( ( ( ( Hasta la fila 10
Fila 10 =
Solución:
Hasta la Fila 29
B) 3140 E) 2485
465 x 466 2
—
226 + 271 x 10 = 2485 2 ∴
Rpta. E
6.- En el siguiente arreglo triangular calcular la suma de los términos de F20 : F1 F2 F3
1 4 16
9 25
36
F20
435 x 436 2
= 13515 ∴
Fila 10 =
Rpta. E
E indicar la suma de cifras del resultado. A) 16 D) 19 Solución:
B) 15 E) 21
C) 17
Piden: 1² + 2² + 3² + ....
—
20 x 21 = 210 Términos 2
=
1² + 2² + 3² + .... 19 x 20 = 190 Términos 2
210 x 211 x 421 — 190 x 191 x 381 6 6
8.- Hallar la suma de los 50 primeros términos de la sucesión : 1 1 1 ; ; ;… 1x 4 4x 7 7 x 10 151 150 A) 1 B) C) 150 151
= 1045240 D)
Piden : 1 + 0 + 4 + 5 + 2 + 4 + 0 = 16 ∴
Rpta. A
7.- Hallar la suma de las diez primera filas del siguiente arreglo numérico : 1 3 7
9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
A) 2530
B) 100
D) 3025
E) 4238
C) 1000
151 50
E)
Solución:
Hallando el término 50, para lo cual hay que deducir que : 1 1 ⇒ T50 = (3n - 2)(...) 148 x 151
Tn =
F1 F2 F3 F4 F5
5
50 151
+3
1 1 1 + +… + 1x 4 4x 7 148 x 151 +3
1 3
=
+3
1 1 50 = 1 151 151 Método Práctico
∴
Solución:
Se requiere :
9.- Calcular el valor de : "a + b" sabiendo que :
F1
+
F2
+
F3
+…+
1
+
8
+
27
+…
1³
=
+
2³
Rpta. D
+
3³
F10
+ … + 10³ =
1 1 1 1 11 + + + …+ = 1• 3 3• 5 5• 7 a• b 23 A) 42
B) 44
D) 48
E) 36
C) 24
Solución:
Se deduce que a + 2 = b; y aplicando el método práctico tendremos :
10 x 11 2
1 2
= 3025
1 1 1 b
=
11 b = 23 ⇒ a = 21 23
Luego : a + b = 44 ∴
Rp t a. D
∴
Rp ta. B
1 1 1 + + +… 2x 6 4x 9 6 x 12
10. Calcular
20 Sumandos
A)
7 20
B)
24 43
D)
17 29
E) 1
C)
10 63
Dando una forma conocida : 1 1 1 1 1 + + +…+ 6 1x 2 2x 3 3x 4 20 x 21 20 21
11. Calcular
A) 15/32 D) 1
B) 15/16 E) 12/25
Multiplicando por la razón geométrica de los denominadores, para luego restar : 1 3 5 7 + 3 + 5 + 7 +… ∞ E= 3 3 3 3 X9
Se deduce
10 = 63
Rpta. C
∴
3 5 7 + 3 + 5 +… ∞ 3 3 3 2 2 2 + 3 + 5 +… ∞ 8E = 3 + 3 3 3 9E = 3 +
1 1 1 1 + + + +… 2x 3 3x 5 5x 8 8 x 12
Suma infinita
30 Sumandos
A) D)
17 237
B)
465 934
E) 1
307 428
C)
Piden : 1 1 1 1 1 + + + + …+ 2 x 3 3 x 5 5 x 8 8 x 12 …x U +30 1
=
1 3
+
1 1 3 5
+
1 1 5 8
+ ....... . +
1 1 U - 30 U
1 1 2 U
Cálculo de "U" para lo cual consideramos : 3 ; 5 ; 8 ; 12 .............U +2
+3
8E = 3 +
401 948
Solución:
=6-
Término 30
+4
+ 2 + 3 + 4 + .... + 30
U = 2+1 + 2 + 3 + 4 + … + 30
1- 1 9
∴
Rpta. A
13. Calcular el valor de : 2 7 37 + + +… ∞ R= 12 144 1728 A) 1 D) 13/77
B) 1/3 E) 1/9
C) 17/66
Solución:
Dando una forma conocida : 1+ 1 6 + 1 6² + 1 + + +… ∞ R= 12 12² 12³ R= R=
30 x 31 = 467 2
Luego, la expresión a calcular será : 1 1 465 = 2 467 934 ∴ Rpta. D
2 3
15 E= 32
⇒ U = 3 + 2 + 3 + 4 + … + 30
U=2+
C) 15/64
Solución:
Solución:
1 = 6
12. Calcular: 1 3 5 7 + 3 + 5 + 7 +… ∞ E= 3 3 3 3
1+ 1 6 + 1 6² + 1 + + +… ∞ 12 12² 12³
(
x
R=
((
1 6 6² 1 1 1 + + +… + + + +…∞ 12 12² 12³ 12 12² 12³ 1 2
1 2
x
1 2
+ 1 11 2
1 12 - 1 12
=
x
1 12
x
1 12
17 66 ∴
Rpta. C
(
14. Calcular el valor de : 1 4 9 16 S= + 2 + 3 + 4 +…∞ 7 7 7 7 37 A) 1 B) 2 C) 71 7 13 D) E) 27 49 Solución:
Multiplicando por 7 ambos miembros, para luego restar : 1 4 9 16 + 2 + 3 + 4 +… ∞ S= 7 7 7 7 x7
5 7 + +… ∞ 7 7²
42S = 7 + 3 + 36S = 9 + 36E = 9 + E=
2 2 2 + + +… ∞ 7 7² 7³ 2 7
1- 1 7
7 27
∴
Rpta. D
15. Determinar la suma de los perímetros de los infinitos triángulos equiláteros como muestra la figura (los vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior).
2a
2a
A) 6a
B)12a
D) 9a
E) 16a
C) 18a
Solución:
6a + 3a + x 1 2
6a 1- 1 2
3a + .... ∞ 2
x 1 2
I
F
C) 3 - 2
G
D
E
D) 1 - 2 E) 1 + 2
A
B
Solución: AB = BD 2
45º
k 2
Se deduce que : BD =
k
45º
1 2
k
1 BD = DE 2
DE =
1 2
3
1 2
Luego lo que se pide será : 1 1 1 + + +…∞ 2 3 2 2 2 1 1 x 2 2 1 = = = 1 2 - 1 12
2 + 1 ∴
Rpta. E
17. En la base cuadrangular de una pirámide se han usado 400 bolas de billar, ¿cuántas bolas se han usado en total? A) 8270 D) 3450
B) 2870
C) 2370
E) 2780
Solución: Las bases serán cuadradas, como:
;
2a
H
B) 2 - 2
3 5 7 + + +… ∞ 6S = 1 + 7 7² 7³
x7
C
A) 1 + 2 2
4 9 16 + + +… ∞ 7 7² 7³
7S = 1 +
=
16. Si AB = BC = 1, calcular : BD + DE + EF + FG + .... ∞
;
;…
400 Bolas
Total de : 1 + 4 + 9 + … + 400 Bolas : 1² + 2² + 3² + … + 20² = =
= 12a ∴
Rpta. B
20 x 21 x 41 = 2870 6 ∴
Rpta. B
18. Rosell está apilando las canicas que tiene formando una pirámide tetraédrica. ¿Cuántas canicas tiene Rosell como máximo sabiendo que solamente le es posible obtener una pirámide de 20 niveles? A) 1460 B) 1540 C) 1560 D) 1650 E) 1645 Solución:
Se deduce que las bases serán triángulos, como: , , … 20 Bases 1x 2 , 2x 3 , 3 x 4 … 20 x 21 2
2
2
2
Números Triangulares
20. Calcular la suma de los 25 términos de la siguiente sucesión : 2 ; 6 ; 13 ; 23 ; 36 ; 52 ; … A) 11700 D) 4225
B) 11050 E) 8150
Solución:
2 + 6 + 13 + 23 + 36 + … "25 términos" +4
+7
+10
+3
20 x 21 Canicas 2
Número de Canicas: 1x 2 2
+
2x 3 2
+
3x 4 2
+… +
20 x 21 2
C) 8250
+3
+13 +3
25 25 = 2C25 1 + 4C2 + 3C3
=2x
1
25 1
+ 4x
25x24 1x2
+ 3x 25x24x23 = 8150 1x2x3
= 2 (1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21) 1
= 2
(
20 x 21 x 22 = 1540 3
(
∴
∴
Rpta. B
Rpta. E
19. Calcular la suma total del siguiente arreglo: 21. Calcular "x" :
2 3 + 3 4 + 4 + 4 5 + 5 + 5 + 5
x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (3x) = 1640
A) 25 D) 20
20 + 20 + 20 + ........ + 20 A) 2650 D) 2760
B) 2460 E) 2860
B) 24 E) 18
C) 23
Solución:
C) 2660
3x - x Número de = + 1 = 2x + 1 Términos 1
Solución:
La suma equivalente será : 1(2) + 2(3) + 3(4) + … + 19(20)
Suma :
= 1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 19x20 19 x 20 x 21 3 = 2660 =
⇒ ∴
Rpta. C
(
x + 3x . (2x + 1) = 1640 2
(
x = 20 ∴
Rpta. E
22. Fanny debe leer un libro en un número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día logrará su cometido, pero si lee una página el primer día; tres el segundo, cinco el tercero y así sucesivamente, le faltarán aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene dicho libro? A) 144 B) 142 C) 165 D) 156 E) 124 Solución:
24. 1 x 5 + 2 x 6 + 3 x 7 + … + 20 x 24 A) 9280 D) 1710
C) 2142
Solución:
Expresando como sumatoria: 20
20
20
20
K=1
K=1
K=1
K=1
Σ K(K + 4) = Σ (K² + 4K) = Σ K² + 4 Σ K
=
Sea "n" el número de días, luego :
B) 484 E) 1000
20 x 21 x 41 20 x 21 +4 = 1710 6 3
13 + 13 + 13 + … + 13 = 1 + 3 + 5 + … + 12 "n" términos
"n" términos
13n = n² + 12
⇒ n = 12
Número de páginas = 13n = 13(12) = 156 ∴
Rpta. D
∴
Lo que falta por leer
Rpta. D
25. Sea "S" la siguiente serie finita: S = 1 + 2x2 + 3x2² + 4x2³ + 5x24 +…+ 100x299 entonces "S" es igual a : A) 90x2100-1 D) 99x2100+1
B) 98x2100+1 E) 99x2100-1
C) 99x2101+1
Solución: 4
99
S = 1 + 2x2 + 3x2² + 4x2³ + 5x2 +…+ 100x2
23. Un rollo de papel cuyo diámetro es de 30 cm. consiste de 500 vueltas de papel fuertemente enrollado en un cilindro de 10 cm. de diámetro. ¿Qué longitud tiene el papel?. A) π cm B) 10π C) 10000π D) 1000π
100
2S = 2x1+ 2x2² + 3x2³ +…+ 100x2 99
-S =
E) 1000
299-1 - 1 2- 1 100
-S=-99x 2
Solución:
100
S = 99 x 2
Considerando : L = 2πR = πD
"n" términos
10π + ........... + 30 π = 500 términos en progresión aritmética
=
-1
∴
+1
1
Luego :
última 1ª vuelta + … + vuelta
100
- 100x2
1
Rpta. D
1
26. Calcular: 1 x 2 + 1 x 2 x 3 + 1 x 2 x 3 x 4 +… ∞ A) 2 B) 1 C) 1/3 D) 1/4 E) 7/13
Longitud de una circunferencia
500 términos
100
-S = 1 + 2 + 2² + 2³ +…+ 2 - 100x2
Longitud Total
10π + 30 π x 500 2
Solución:
Descomponiendo adecuadamente los términos: 1 1x 2
1 1x2x3
1 1 1 1 1 1 + + …∞ 1 1x 2 1x 2 1x2x3 1x2x3 1x2x3x4
∴
= 1000π ∴
Rpta. C
1 1x2x3x4
Rpta. B
19. Hallar:
24. Hallar "x"
S = 1.(3) + 2.(4) + 3.(5) + … + 20.(22) A) 3200 D) 3198
B) 3160 E) 9431
C) 3194
29 + 31 + 33 + 35 + … + x = 3525 A) 123 D) 121
25. Si:
20. Hallar: B) 1540
D) 1570
E) 1624
C) 1610
Hallar: A - B + C A) 53621 D) 54921
21. Hallar: 1 1 1 1 S = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ 16.17
C) 117
A = 1 + 3 + 5 + 7 +... + 77 B = 13 + 15 + 17 + 19 + … + 27 C = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + 21³
S = 1.(20) + 2.(19) + 3.(18) + … + 20.(1) A) 1560
B) 119 E) 125
B) 54722 E) 54371
C) 53924
26. Hallar "n" si: 49; 64; 81; ...; n
17 18 15 D) 24
A)
A) 1 E)
C)
15 23
16 17
A) 529
B) 400
C) 576
D) 676
E) 900
27. Hallar "x"
22. Efectuar: S=
Lasuma de los términos de la sucesiónes433.
1 1 1 1 + + +...+ 2.4 3.8 4.12 31.124
A)
17 57
B)
17 63
D)
19 71
E)
19 61
C)
B)
3 43
D)
5 37
D)
5 31
B) 24
C) 26
D) 27
E) 25
RESPUESTAS
1 1 1 1 S= + + +...+ 6.9 9.12 12.15 30.33 1 22
A) 23
15 62
23. Hallar:
A)
11³ + 12³ + 13³ + 14³ + … + x³ = 102600
C)
3 41
1) A 2) C
6) C 7) D
11) B 12) E
16) B 17) C
21) E 22) C
3) E 4) A
8) A 9) E
13) A 14) D
18) B 19) A
23) A 24) D
5) C
10) B
15) C
20) B
25) B
26) A 27) E
1. Hallar x + y si: x2y + x3y + x4y + … + x8y = 4599 A) 11 D) 14
B) 12 E) 15
C) 13
2² + 3² + 5² + 7² + … + x² = 67626 B) 51 E) 47
C) 49
3. Calcular la suma de los números de la fila 20 en el triángulo numérico: 1 Fila: 1 2 3 2 4 5 6 3 7 8 9 10 4 11 12 13 14 15 5
A) 4020 D) 4220
B) 4110 E) 4015
C) 4010
4. A los términos de la serie: S = 2 + 5 + 8 +11 + 14 + ...; se le agrega 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., de tal manera que la suma de la nueva serie sea igual a 1830. ¿Cuántos términos tiene la serie inicial? A) 28 D) 32
B) 29 E) 30
C) 31
5. Hallar: (x + y + z)², sabiendo que: 9² + 99² + 999² + … = ...xyz 49 términos
A) 400 D) 900
A) 5 D) 47
B) 59 E) 71
C) 57
7. Calcular: S = 4 + 18 + 48 + … + 900
2. Hallar "x"
A) 53 D) 57
6. Hallar "n" 21 + 23 + 25 + 27 + … + n = 800
B) 169 E) 729
C) 196
A) 2760 D) 2960
B) 2785 E) 2972
C) 2890
8. Hallar "n" n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + … + (3n) = 1640 A) 18 D) 21
B) 19 E) 22
C) 20
9. Calcular: S = S1 + S2 + S3 + … + S30 A) 33015 D) 34015
B) 31018 E) 34215
C) 33025
10. La sucesión: 1: (2 + 3); (4 + 5 + 6); (7 + 8 + 9 +10); … A) 13009 D) 12615
B) 12915 E) 13019
C) 12975
11. Hallar : S = S1 + S2 + S3 + … + Sn Siendo : Sk = 1 + 2 + 3 + … + n n(n + 1) A) 2
n+ 1 B) 2
D) n(n+1)(n+2)
E) n²
3
2
C)
n(n+1)(n+1) 6
12. Hallar la suma de los elementos de la fila 20:
3
2
1 3
1 1
1 3
2
16. Hallar : S = 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - … A) — 930 D) — 910
3
4 6 6 6 4 5 10 10 10 10 5 6 15 15 15 15 15 6
B) — 740 E) — 790
C) — 820
17. Hallar el valor de: S = a + (a + 2) + (a + 4) + … + (a + 20)
A) 2 46 D) 3 16
B) 3 12 E) 3 16
C) 3 15
Si: a = 93 A) 240 D) 361
13. Hallar el total de palitos de fósforo de:
3
3
n
B) 263 E) 351
C) 242
18. Hallar a + b; si: S1 - S2 = 4 S1 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + a S2 = 40 + 38 + 36 + … + b A) 49 D) 47
1
2
3
A) 900 D) 891
x1x + x2x + x3x + … + x9x = abc3 C) 930
14. Calcular S30; sabiendo que: S1 = 1 S2 = 3 + 5 S3 = 7 + 9 + 11 S4 = 13 + 15 + 17 + 19 A) 24000 D) 24600
B) 27000 E) 24900
B) 6645 E) 6924
A) 20 D) 25
B) 21 E) 22
C) 24
20. Si: a + ba + aba + baba + ababa + ... = 92 13 sumandos
A) 8 D) 11
B) 9 E) 12
C) 10
C) 25000
RESPUESTAS
15. Hallar el resultado de efectuar la serie: S = 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 12 + 11 + 15 + … sabiendo que tiene 100 sumandos A) 6675 D) 6915
C) 46
19. Hallar: x + a + b + c
28 29 30 B) 920 E) 895
B) 48 E) 52
C) 6895
1) C
6) B
11) D
16) C
2) B
7) C
12) D
17) C
3) C
8) C
13) D
18) A
4) E 5) A
9) A 10) E
14) B 15) A
19) E 20) B
1.
Se tiene 85 naranjas; si con ellas se forma una pirámide tetraédrica, la más grande posible. ¿Cuántas naranjas sobrarán? A) 1 D) 0
2.
B) 3088 E) 3012
6.
Los números: n - 2 ; n + 2 ; n + 14 ;... son los tres términos de una progresión geométrica, halle la suma de los 20 primeros términos. A) 321 - 1 B) 340 - 2 C) 315 - 1 D) 320 - 1 E) 230 - 1
7.
Calcule la suma de los 41 términos de la siguiente sucesión:
C) 2360
1, 1, 2, 3, 3, 6, 4, 10, 5, 15, 6, …
Un comerciante advierte que la demanda de su producto va en aumento por lo que decide comprar cada día 5 unidades más respecto al día anterior y de esa manera satisfacer a los clientes, si empezó comprando 19 unidades y el penúltimo día compró 169 unidades, ¿cuántas unidades compró en total? A) 3005 D) 3107
4.
B) 2870 E) 5205
Se tiene 3 números en progresión aritmética, al aumentarlo en 4, 5 y 9 respectivamente se obtiene números proporcionales a 3, 7, 14. Determine la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética. A) 560 B) 550 C) 450 D) 460 E) 500
C) 3
Rlta con todas las monedas que tiene, forma un arreglo triangular de la siguiente manera: en la primera fila 1 moneda, en la segunda fila 2 monedas y sobre cada una de ellas una más, en la tercera fila tres monedas y sobre cada una de ellas 2 monedas más y así sucesivamente. Si pudo formar 20 filas en total ¿cuántas monedas tenía? A) 2970 D) 3620
3.
B) 2 E) 4
5.
A) 1770 D) 1870
8.
C) 3006
En la fábrica “Nuevo Amanecer” existe 2 máquinas; una produce diariamente 100 unidades de un producto, mientras que la segunda el 1º día 10, el segundo día 20, el tercer día 30 y así sucesivamente, comienzan un 22 de febrero del año 2002. ¿En qué fecha el total producido por ambas será lo mismo?
D)
C) 13 de abril D) 11 de marzo E) 14 de marzo
8
B)
420 8
E)
205
7
C)
410
6 400
9 430
Calcule S S =
A) 13 de marzo B) 12 de marzo
C) 1760
Calcule S 1 1 1 1 S = + + + … 5 x 10 10x15 15x20 200 x 205 A)
9.
B) 1771 E) 1880
A)
D)
1 4x 5 205 824 204 825
+
1 5x 7 B)
E)
210 821 211 824
+
1 7 x 10 C)
+ … 215 824
10. Halle la suma de los 50 términos de la siguiente serie; dar como respuesta la suma de cifras
15. Halle la suma de los 78 términos que tiene la serie aritmética: 1 xy + 1yx + … + yx 1
S = 11 + 101 + 101 + 10001 + …
A) 40900
B) 40911
A) 90 D) 60
D) 41920
E) 40920
B) 55 E) 70
C) 80
C) 40192
16. Calcule 11. En una progresión aritmética el primer término con el décimo noveno término con el décimo noveno término suman 462, y el segundo término con el duodécimo término suman 468. Halle la suma de los 20 primeros términos de dicha progresión A) 6450 D) 4659
B) 4650 E) 4640
A) 7840 D) 7480
D)
B) 8740 E) 9480
C) 8470
3
+
5 4 3 5
2 32
+
B) E)
3 33
+
4 34
+
3 4
5 35 C)
+…
5 3
4 5
17. Halle el valor de la suma de los 20 primeros términos de la serie: S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 + …
13. Halle el valor de S S = 14 + 20 + 36 + 62 + ... 30 sumandos
A) 43630 D) 43560
A)
C) 4560
12. Calcule la suma de los 20 primeros términos de una progresión cuyos términos son de la forma: tn = 2n² + 10n
1
S =
B) 43530 E) 43470
C) 43650
A) 3120
B) 2510
D) 3150
E) 3510
C) 4510
18. La masa de un péndulo recorre 32 cm. en la primera oscilación. En cada una de las siguientes, la masa recorre 3/4 de la distancia recorrida en la oscilación anterior. Calcule el recorrido total de la masa hasta que se detenga.
14. Halle S 1
S =
A) D)
3 5 8
13 9
+
1 2
3
+
B) E)
1 3
3
+
3 8 13 8
1 4
3
+
1 5
3
C)
+
1 6
3
11
+…
A) 230 cm
B) 250 cm
D) 224 cm
E) 120 cm
C) 124 cm
19. Calcule la suma de los 20 primeros términos de la serie:
8 A) 221 + 1
B) 221 - 1
D) 2020 - 21
E) 221 - 21
C) 220 - 21
20. Edith con todas las fichas que tiene hace el siguiente arreglo: F1 F3
F10 F16
+
1 n²
+
4 n³3
+
1 n4
A) 5
B) 6
D) 2
E) 3
+…=
5 7
;0<
1 n
<1
C) 4
F18 F19
¿Cuántas fichas tiene? A) 5107 D) 3051
4 n
F2
F4
F17
25. Halle n en :
B) 3048 E) 3049
C) 3050
26. Un agricultor posee 20 troncos de árbol que los planta en línea recta, separado 2m y 7m alternadamente. Halle el recorrido total a partir del instante que muestra la figura hasta que termina de plantar todos los árboles (sólo carga uno cada vez).
21. Calcule el valor de S
2m
S = 1 + (1+5) + (1+5+9) + (1+5+9+13) + … 20 sumandos
A) 4430 D) 5530
B) 5210 E) 6479
C) 3150
22. Calcule 11
(1 +3 + 5 + 7 + … + 19)0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 1
A) 10 D) 16
B) 11 E) 25
C) 9
23. Si el tercer término de una progresión aritmética es 11 y el décimo 32, ¿cuál es la suma de los 20 primeros términos de dicha progresión? A) 670 D) 750
B) 675 E) 576
C) 676
24. Halle el valor de S S = 2x5 + 3x6 + 4x7 + 5x8 + … + 100x103 A) 338350 D) 353498
B) 338351 E) 353435
C) 353496
7m
A) 1760 m
B) 1750 m
D) 1567 m
E) 1630 m
2m C) 1875 m
27. Un ciclista sale de una ciudad A y recorre 1km el primer día, 4km el segundo día, 7km el tercer día; es decir, cada día 3km más que el día anterior. Después de 3 días de su partida, un motociclista sale a darle alcance y recorre 17 km el primer día, 18 km el segundo día, 19 km el tercero, ..., encontrándose por primera vez en un pueblo B y por segunda vez en C. Halle la distancia entre estas dos ciudades. A) 82 km
B) 120 km
D) 64 km
E) 90 km
C) 76 km
28. La suma de 81 números pares consecutivos es igual a 171 veces el primer número. Halle la suma de las cifras del término central. A) 8
B) 12
D) 10
E) 16
C) 14
29. Sabiendo que: Sn = 20² + 19² + 18² + 17² + … "n" sumandos
Calcule S = S1 + S2 + S3 + … + S20 A) 44100 D) 44000
B) 38000 E) 44450
C) 45600
30. Se tiene un triángulo cualquiera cuya área es lµ². Se toman los puntos medios de sus lados y al unirlos se forma un triángulo, en este triángulo a su vez se toman los puntos medios de sus lados y se unen, y así repetimos la operación infinitas veces. Calcule la suma de todas las áreas así formadas. A) 4/3
B) 1/2
D) 3/4
E) 8/5
C) 5/6
31. Dada la sucesión aritmética creciente aaa ; aa7 ; ac1 ; … halle
S=a+c+5+…
(2c + a) términos A) 88 D) 99
B) 75 E) 78
C) 66
32. Halle la suma de los 10 primeros términos de D3 a partir del siguiente arreglo triangular. 3 D3
6 9 12 15
A) 917 D) 863
3 9
18 30
3 12
30
B) 823 E) 857
3 15
3
C) 800
1.
De un libro se arrancan 61 hojas de la parte final. Si se sabe que en la numeración de éstas (hojas arrancadas) se ha usado 365 tipos. Hallar la cantidad total de hojas de dicho libro. A) 120 D) 240
2.
C) 210
1 9
+
1 27
+
1 81
+
A) 1
B) 1/2
D) 1/5
E) 1/6
1 243
+…∞
B) 940
D) 2360
E) 435
8.
5.
B) 24350
D) 3540
E) 44320
C) 17200
La suma de los terceros términos de dos P.A. cuyas razones se diferencian en 2 es 33. Hallar la suma de los 10 primeros términos de una nueva P.A., que se forma al sumar términos correspondientes de las dos P.A. antes mencionadas sabiendo además que la suma de los términos anteriores al primero de las primeras P.A. es -3. A) 550
B) 620
D) 630
E) 610
B) 910 E) 923
C) 873
C) 580
Se deben almacenar 810 postes cilíndricos en un espacio abierto, formando así el primer lecho horizontal de 50 postes y cada lecho sucesivo debe contener un poste menos que el precedente para no derrumbarse. ¿Cuántos lechos pueden formarse?
A) 81 D) 44
C) 3500
Calcular S en: S = 5 + 5 + 20 + 50 + 95 + .... (20 sumandos) A) 15400
C) 1/2
C) 1/3
9. 4.
B) 1/5 E) 5/9
Calcular el valor de "S" : S = 9 + 12 + 17 + 24 + .... + 177 A) 814 D) 913
Hallar la suma de los 15 primeros términos de la serie : S = 1 + 7 + 17 + 31 + … A) 1250
Cuando la suma de los 10 primeros términos de una P.A. es igual a cuatro veces la suma de los cinco primeros. ¿Cuál es la razón geométrica entre el primer término y la diferencia común? A) 2/3 D) 2/7
7.
Hallar el valor de "S" : S =
3.
B) 110 E) 180
6.
B) 27 E) 20
C) 35
En el siguiente arreglo numérico hallar la suma de los términos de la fila veinte. F1 : 1 F2 : 3 5 F3 : 7 9 11 F4 : 13 15 17 19 F5 : 21 23 25 27 29 A) 7000 D) 4320
B) 8000 E) 3560
C) 1250
10. Calcular la suma de: S = 7x31 + 9x29 + 11x27 + 13x25 + … + 31x7 A) 3955 D) 3975
B) 3965 E) 3985
C) 3945
11. Hallar la suma de:
15. Calcular el valor de S:
S = 1x3 - 3x5 + 5x7 - 7x9 + …
S = 3 + 10 + 29 + 66 + … + 1730
40 sumandos
A) 3280 D) 3500
B) 1570 E) -3280
C) 1250
12. En la siguiente sucesión : 1, 5, 15, 34, 65, 111, … Hallar: a. El término de número ordinal 20 b. La suma de los 20 primeros términos A) 4010; 22155
B) 2050; 21215
C) 315; 1510
D) 7050; 180
E) 3290; 35710
A) 3215 D) 8250
B) 6108 E) 1308
C) 4320
16. Ana va al cine durante tres días alternadamente en una semana, y lo hace al mes en tres semanas consecutivas. Si el segundo día de un cierto mes es jueves y la suma de las fechas de los días que fue al cine ese es 198. ¿Qué fecha y día será la sétima vez que fue al cine en dicho mes, si asiste siempre los mismos días? A) lunes 27 D) sábado 15
B) martes 12 E) lunes 8
C) jueves 7
13. Si: 1ab + 2ab + 3ab + … + 9ab = 4cd7 ; a ≠ b n1n + n2n + n3n + … + n9n = xyz4 Calcular: c + d + a + b + x + y + z A) 29 D) 38
B) 73 E) 41
C) 45
14. Calcular la suma de todos los términos unidos por línea demarcada hasta la fila 20. 1 f 1 . f 2 . 1 1 f 3 . 1 2 1 f 4 . 1 3 3 1 f 5 . 1 4 6 4 1 f 6 . 1 5 10 10 5 1 f 7 1 6 15 20 15 6 1 1 7
21 35
A) 1320 D) 4270
35 21 7 1
B) 3150 E) 7250
C) 5985
17. En un torneo de fútbol de dos ruedas participaron 14 equipos. Al final del mismo se observó que cada equipo tenía un punto de menos que el que le antecedía en la tabla de puntuaciones, excepto con el último que hizo cero puntos. ¿Cuántos puntos hizo el campeón, si la puntuación por partido ganado es de 2 puntos? A) 72 D) 57
B) 28 E) 43
C) 34
18. En una canasta hay 60 duraznos. Evelyn los va colocando por fila de la siguiente manera: en la primera fila pone un durazno; luego toma 2 duraznos de la canasta y les pone en la segunda fila y así sucesivamente hasta donde le sea posible. ¿Cuántos duraznos sobrarán en la canasta? A) 5 D) 1
B) 7 E) 3
C) 9
19. Anita llega al colegio con cierto retraso diariamente. El primer día llegó 1 minuto tarde, el segundo día 2 minutos tarde, el tercer día 3 minutos tarde y así sucesivamente; al cabo de 20 días de asistencia. ¿Cuánto tiempo ha perdido por las tardanzas? A) 2,5 h D) 1 h
B) 8 h E) 3,5 h
C) 5 h
20. La suma de los "n" primeros términos de una serie geométrica en donde los términos son números enteros es 31. Luego de calcular el primer término y "n" dar el número de soluciones. A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
21. La suma de 81 números pares consecutivos es igual a 171 veces el primer número. Hallar la suma de las cifras del término central. A) 5 D) 7
B) 4 E) 8
9 18 36 72 + + + + .... ∞ 20 80 320 1280
A) 1/19 D) 7/19
B) 5/19 E) 9/19
C) 3/19
S = 69 + 67 + 65 + 63 + … + x = 1000 B) 39 E) -19
A) 1250 D) 4512
B) 2578 E) 5218
C) 3474
25. Encontrar un número de 3 cifras divisible por 11 y tal que permutando la cifra de las decenas con la de unidades se obtiene un número cuyas tres cifras están en progresión aritmética. Indicar la suma de las cifras de dicho número. A) 6; 12; 18 D) 9; 13; 17
B) 3; 14; 15 E) 7; 12; 17
C) 7; 11; 15
26. Halle S = 3 + 33 + 333 + 3333 + … + 333 … 3 "n" sumandos
10n - 1 A) 9
n+1 10 - 9n B) 27
n+1 10 - 9n - 10 C) 27
n 10 - 9n D) 27
n+1 E) 10 + 9n - 10 9
27. He repartido un total de 1900 caramelos entre los 25 sobrinos que tengo, dándole a cada uno 3 caramelos más que al anterior. ¿Cuántos caramelos les di a los 10 primeros?
23. Halle el valor de "x":
A) -29 D) 29
cada serie posee 10 sumandos. Halle A + B + C
C) 9
22. Halle "S" S=
24. Si: A = 4 + 7 + 10 + 13 + .... B = 2 + 4 + 7 + 11 + … C = 3 + 6 + 12 + 24 + …
C) 47
A) 815
B) 420
D) 535
E) 180
C) 720
28. La suma de los cuadrados de los "n" primeros números enteros positivos, es igual a la suma de los primeros "2n" números enteros positivos. Halle "n". A) 5 D) 9
B) 9 E) 8
C) 6
29. Se contrata a un obrero para cavar en busca de dos fósiles prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma por cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe 12285 soles ¿cuánto le pagaron por el octavo fósil hallado que encontró? A) 380 D) 400
B) 384 E) 420
C) 360
32. Augusto y Celia leen una novel de 3000 páginas. Augusto lee 100 páginas diarias y Celia lee 10 páginas el 1er día, 20 el 2do. día, 30 el tercero y así sucesivamente. Si ambos comienzan el 22 de febrero de un año bisiesto. ¿En qué fecha coincidirán en leer la misma página por primera vez, y cuántas páginas habrán leído hasta ese día? A) B) C) D) E)
10 de febrero; 1800 12 de febrero; 1600 11 de febrero; 1600 10 de febrero; 1900 11 de febrero; 1900
33. Calcule "S1 + S2" siendo: S1 : la suma de términos de D3 S2 : la suma de términos de D4
30. Dados: S1 = 10x11 + 11x12 + 12x13 + … + 20x21 S2 = 1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21 Hallar S2 ÷ S1
1 1 1 D4
1
D3
2 1
1 3 3 1 A) 28/33 D) 28/25
B) 25/24 E) 28/27
C) 25/27
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 6 15
31. La suma en el límite de los términos de una progresión geométrica decreciente de infinitos términos es "m" veces la suma de sus "n" primeros términos. Hallar la razón de la P.G. n m-1 A) m
B)
n m-1 2m
D)
C)
E)
n m-1 m+1
n
m-1
n m+1 m
20 15
1 19
1 6 1 19 1
A) 5985
B) 5855
D) 6985
E) 5585
C) 5900
34. Calcule la suma de los 20 primeros términos de: -2 ; 0 ; 0 ; 0 ; 2 ; 8 ; ..............
A) 7730
B) 7570
D) 7750
E) 7755
C) 7700
35. Calcule: S=1+
A)
C)
E)
5 7 9 + + + … (20 sumandos) 6 12 24
3 x 221 - 43
B)
3 x 2 20 3 x 220 - 53 3x2
D)
19
3 x 220 - 53 3 x 2 18 3 x 221 - 50 3 x 2 20
A) 3420 D) 3400
3 x 221 - 53 3 x 2 20
36. La suma de los términos de la última fila del arreglo triangular mostrado es 9520 ¿cuántas filas tiene el arreglo? A) 40 B) 38 C) 35 D) 42 E) 50
39. Una persona debe vaciar un balde de agua a cada uno de los 20 árboles que están sembrados en fila y separados uno del otro 8 m. Si la persona en cada viaje sólo puede llevar un balde con agua y el pozo donde sacará el agua está a 10 m. del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido después de haber terminado con su tarea y haber devuelto el balde al pozo?
Fila Fila Fila Fila
1 2 3 4
4 8 12 12 16 20 16 20 24 28
37. Calcular al suma de los "n" términos de la sucesión:
B) 3500 E) 3600
C) 3440
40. Rebeca al ganarse el premio mayor lo reparte entre sus sobrinos de la siguiente manera: "al 1º S/.100, al 2º S/.200, al 3º S/.300 y así sucesivamente en P.A. teniendo en cuenta que cuando ya no se pueda continuar con los que siguen, se continuará repartiendo de la manera descrita anteriormente y así sucesivamente, hasta agotar todo el premio cuyo valor asciende a S/. 22,900. ¿Cuántos sobrinos se beneficiaron? A) 24 D) 27
B) 26 E) 30
C) 28
0 ; 8 ; 52 ; 156 ; 344 ; 640 ; .... 4
4
2
4
2
2
B) n - 3n + 2n
A) n - n + 2n C) n + n + 2n
D) n4 - 3n2 + n
4
E) n + 3n2
38. Calcular A en: A =
10
10
J=1
K=1
Σ Σ
A) 3040 D) 3420
[n(3n - 1)] B) 3140 E) 3410
C) 3400
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B E D C D C E E B B
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
E A D C B A C A E A
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
D E A C A C D A B D
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A E A D E A D E C C
1. En una especie marina con "2n" miembros se observa lo siguiente: los nacimiento son productos del azar y lo curioso fue que la primera pareja tuvo una cría, la segunda pareja tuvo dos crías la tercera tuvo tres crías, y así sucesivamente, resultando con una población total de "40n" miembros. Si abortó una hembra muriendo todas sus crías y disminuye así la pobación en 1/150. ¿Cuántas crías murieron? (Considerar n parejas). A) 12 B) 18 C) 30 D) 24 E) 20 2. La suma de los "n" primeros números naturales consecutivos, pares consecutivos, impares consecutivos es 6(5n + 1) + n. Hallar "n" A) 6 D) 12
B) 8 E) 15
C) 10
3. Sabiendo que la suma de 30 números enteros consecutivos es 1665, hallar la suma de los 30 números enteros consecutivos siguientes: A) 2500 D) 2650
B) 2550 E) 2700
C) 2565
4. Las dos últimas cifras de la suma de 53 números enteros consecutivos es 58. Entonces la última cifra del cuarto número consecutivo es? A) 3 D) 9
B) 6 E) 0
6. Efectuar: S= 1
1 1 1 1 + 2 + 3 + … + 20 2 6 12 420
A) 208,7 D) 210,9
B) 207,8 E) 207,4
C) 209,4
7. Hallar "n", si la suma de los términos de la sucesión: 4 ; 10 ; 13 ; 28 ; ...; n es igual a 79,600 A) 3940 D) 3910
B) 3120 E) 3780
C) 3195
8. Hallar "x", sí: M = 5 + 10 + 15 + … + x N = 1 + 4 + 9 + … + 1600 P = 1 + 8 + 27 + … + 3375 Q = 2 + 4 + 6 + … + (x + 10) Además: N = M + P + Q + 1950 A) 10 D) 30
B) 25 E) 20
C) 28
C) 8
9. La suma de la última fila del arreglo es 2380, ¿cuántas filas se tienen? 1
5. Hallar "n", sí:
2+ 3
A = 3 + 12 + 27 + … + n
3+4+5
B = 2 + 4 + 6 + … + 112
4+5+6+7
C=1+3+5+…+7 Además: B + C = A A) 764 D) 361
B) 768 E) 969
C) 469
A) 39 D) 46
B) 42 E) 48
C) 40
10. Si: Sx = 1 + 2 + 3 + … + (x + 1) calcular: S = S1 + S2 + S3 + … + S20 A) 12 D) 24
B) 18 E) 20
C) 30
A) 4 D) 1
11. Hallar a + b; si: 1b + 2b + 3b + … + abb = 12631 A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
12. La suma de 23 números impares consecutivos es un número que está comprendido entre 760 y 850. Entonces el término central es un número: A) Mayor que 50 D) Múltiplo de 5 B) Menor que 30 E) Múltiplo de 3 C) Primo 13. Timo debe recorrer 3275 m, y lo hace de la siguiente manera, en el primer minuto recorre "a" m, en el 2º minuto "2a" m, y retrocede 10 m en el 3er. minuto recorre "3a" m, y retrocede 10 m, y así sucesivamente. Llegando a la meta en 21 min. exactamente. Hallar "a". A) 10 D) 20
B) 15 E) 16
C) 18
14. Un camionero lleva ladrillos de un depósito a su casa; lleva la 1ª vez 28, pero se le caen 7, entonces decide aumentar 16 ladrillos por viaje con respecto a cada viaje anterior, pero las caídas aumentan de viaje en viaje en 4 ladrillos. Si desea llevar 3150 ladrillos ¿cuántos viajes debe hacer? A) 10 D) 16
B) 12 E) 20
C) 15
B) 3 E) 0
1 (5) + 2 (6) + 3 (7) + … + x (y) = 3710 B) 46 E) 48
C) 42
C) 2
17. Calcular la suma de cifras de "n" Si: 4 +10 + 18 + 28 + … + n = 3500 A) 12 D) 13
B) 10 E) 14
C) 11
18. Si: 1a + 2a + 3a + … + 7a = bb6 1 + 4 + 9 + … + c = 42925 1 + 1.1 + 1.2 + 1.3 + … + d = 42 hallar a + b + c + d A) 2518 D) 2514
B) 2513 E) 2128
C) 2314
19. La suma de los "n" primeros números consetivos es igual a MMM. Hallar "M". A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 7 20. Si se agrega al número 42 la suma de 25 números impares consecutivos es igual a MMM. Hallar "M". A) 2 D) 9
B) 6 E) 7
C) 8
21. Si: a1a + a2a + a3a + … + a9a = xyz4 19bc + 18bc + … + 1bc = wmn77 1² + 3² + 5² + … + m² = 5456 hallar: x + y + b + w + z + m A) 57 D) 61
15. Hallar x + y, si:
A) 44 D) 45
16. Hallar "M" [1.3 + 3.5 + 5.7 + ...n términos] + n M= 1² + 2² + 3² + 4² + ...n términos
1) E 2) D 3) C 4) A 5) B
B) 58 E) 55 6) D 7) E 8) E 9) C 10) A
11) C 12) D 13) B 14) C 15) A
C) 59 16) A 17) B 18) D 19) D 20) E
21) E
1. Calcular
1 1 1 + + +… ∞ 1x4 2x5 3x6
A) 1 D)
1 2
B)
12 13
2. Calcular
C)
E) 2 1 + 2
1+
1 1 + + 2² 3²
1+
1 1 + + 3² 4²
3 + 2²
5 2001 +… 2³ 21001
C)
C) 3 + 22001
E)
B) 3 -
2005 21001
2003 21001
E) 3 -
2003 21001
1+
1 1 + +... 4² 5²
B) 2001 x 4003 4001
A) 2001
A) 2 x 32002 D) 3 -
11 18
5. Calcular:
2001 x 4007 4006
D) 2003
9007 701
6. Calcular: 3. Sea an el último dígito del número: 2
∈ 1 + 2 + 3 + ....... + n ; ∀ n
1 1 1 1 + 6 + 12 + … + 110 2 6 12 110
A) 2000
B) 4000
D) 9000
E) 5050
A) 2258
B) 7270 13
4. Calcular la suma de todos los términos del siguiente arreglo y dar como respuesta la suma de cifras del resultado.
C) 4850 11
D) 3720 11
1 3 5 7 .. . .. .
3 5 7 9 .. . .. .
5 7 9 11 .. . .. .
21
23
…
C) 7000
…
21 23 … ... .. . .. .
E) 784
… …
A) 8
B) 10
D) 13
E) 9
C) 12
1. C
3. C
5. C
2. B
4. C
6. C
01.
Hallarelvalor de:
07.
Calcular: 22
44
x=12
y=8
12
∑ x² + ∑ (2y + 1)
∑ (k 2 + 2k + 1)
k =5
a) 728 d) 782 02.
b) 764 e) N.A.
c) 777
Hallar “n” en:
a) 1410 d) 1420 08.
2
12
∑ (2n³ - 5n² + 7n + 4 )
2 = 128
n=1
2
a = 3n +4n
a) 62 d) 64 03.
b) 60 e) 61
Calcular:
c) 68
a) 9512 d) 9475 09.
18
∑3x
a) 518 d) 712
b) 513 e) 716
c) 418
a=14
b) 31 e) 31
c) 28
27
10.
Hallar:
n
x=1
a) 460 d) 715 05.
∑ (2a² + a - 1) = PATAS
a) 29 d) 30
∑ x + ∑x
x=1
c) 9615
Hallar:P +A+T +A+S Si:
Calcular: 30
b) 9731 e) 9820
50
x = 1
04.
c) 1328
Calcular:
3n + 5 n - 5
∑
b) 1510 e) 5250
b) 525 e) 462
∑ x . x!
c) 843
x=1
a) 2 (n !) - 1 c) (n - 1)! + 1 e)(n-2)!-2
Calcular: 30
a
a=1
x=1
b) (n - 1)! -1 d) (n + 1)! - 1
∑ ∑ x a) 4960 d) 4970 06.
Hallar:
b) 4230 e) 4860
11.
Calcular:
c) 4980 12 + 4 + — + …
x+17
24 + 12 + 6 + …
∑
x=18 y=17
4 3
38
∑ x.y
x=1 y=2
a) 1938 d) 1871
b) 1921 e) 1891
c) 1916
a) 7,35 d) 8,50
b) 9,45 e) 8,25
c) 8,05
12.
Si:
16.
6
Hallar:
27
6
∑ x =-4
∑7
∑ x ² = 10
y
i
i
i=1
k=17
i=1
a) 67 d) 87
Calcularelvalornuméricode:
b) 69 e) 97
c) 77
6
∑ x = (x - 1) i
17.
i
Hallar:
7
i=1
a) 6 d) 14 13.
b) 10 e) 6
∑
c) 4
k=1
a) 35 d) 63
Sabiendo que: a
Ra =
∑
18.
i=10
∑ Ra
a) 319 d) 320
n (n + 1) (2 n + 1) a) 6 2 c) n d) n (n + 1)
n2 (n + 1)2 b) 4 e) n(n-2)
19.
n
∑
i=1
Calcular:
1 i
10
∑ k³
∑
k k=1
a) 2460 c) 2640 e)3420
n- 1 n+ 1
c)
———
2n n+ 1
———
n(n - 1) 2(n + 2)
6
∑ (a
k
- ak-1
)
k=1
b) a5 a0 e) N.A.
- k²
k=1
e) ————
a) a0 + a5 d) a6 - a0
c) 63784
k=6
——
n(n + 1) 2(n + 2)
Simplificar:
b) 67782 e) N.A.
∑ k³
20.
b)
————
c) 300
Calcular:
a) 62409 d) 64009
n n+ 1
a) ———
b) 310 e) N.A. 22
14. Determinarel valor de:
15.
Hallarelvalor de:
∑ 2i - 1
a=1
d)
c) 35
20
a=n
E=
b) 30 e) 71
(2k - 1)
k=1
Calcular:
k² - (k + 1)²
c) a6 + a0
b) 4260 d) 2767
01.
Calcular: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 3)
08.
Calcularla suma delos 90términosde: S = 4 + 5 + 7 + 3 + 6 + 5 + 9 + 3 + ...
2
a) (n 2) d) (n + 1)2 02.
2
b) n e) (n + 2)2
2
c) (n 1)
a) 1 346 d) 1 361
b) 1 391 e) 1 395
c) 1 367
Calcular: 09.
Calcular “S” sitiene 45 términos:
E = 26 + 27 + 28 + ... + 62 S = 1 4 + 9 16 + 25 36 + ... a) 1 626 d) 1 723 03.
b) 1 628 e) 1 821
c) 1 632 a) 2 400 d) 625
a) 8 555 d) 7 214
b) 8 325 e) 8 655
10.
a) 23 700 d) 23 880
Calcular:
a) 44 099 d) 46 039
b) 44 039 e) 48 039
11.
S = 8 + 11 + 16 + 23 + ... + 1376
06.
07.
b) 16 372 e) 17 931
c) 17 941
12.
b) 23 740 e) 25 000
c) 23 780
Efectuar: 22
c) 43 099
Calcular:
a) 16 842 d) 17 834
Calcular: S = 3 + 8 + 15 + 24 + ... + 1680
c) 4 335
S = 8 + 27 + 64 + 125 + ... + 8000
05.
c) 1 035
Calcular: S = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 841
04.
b) 1 225 e) 3 150
0,1 + 0,2 + … + 1
(1 + 3 + 5 + … + 99)
a) 5
b) 5 2
d) 2 2
e) 3
c) 3 2
Calcular la suma de todos los números de la forma(3k+2)para:k=1,2,3,...,n.
Calcular: S = 1(8) + 2(9) + 3(10) + ... + 15(22)
a)3n+ 2
n n 2 3 b)——(3n+7) c) ——(2n +5)
a) 2 060 d) 2 720
d) 3n - 2
e) 3n - 4
b) 2 080 e) 2 780
c) 2 010
Calcular la suma de los siguientes números impares consecutivos: S = 32(n) + 34(n) + 36(n) + 41(n) + 43(n) + ... + 335(n) a) 7 446 d) 7 459
b) 7 448 e) 7 643
c) 7 443
13.
Hallar la suma de los 30 primeros múltiplos positivos de 3 más los 20 primeros múltiplos positivosde5. a) 2 445 d) 2 454
b) 1 395 e) 2 654
c) 1 050
