2 0 1 4
EJ ERCI CI OSDETEORI A DECOLAS a) Modelo M/M/1: Un servidor con con llegadas de poisson y tiempos de de servicio exponenciales: Ejercicios:
Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricante de automóviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2,5 automóviles por hora y la tasa medi media a de serv servic icio io es de 5 auto automóv móvililes es por por hora hora.. Supo Supong nga a que que las las lleg llegad adas as sigu siguen en una una distribución de probabilidad de poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial.
a) !u"l !u"l es la cantidad cantidad de promedio promedio de automó automóviles viles en el el sistema# sistema# b) !u"l !u"l es el tiempo tiempo promedio promedio que espera espera un autom automóvi óvill que comien comience ce el servic servicio io de aceite aceite y lubricación# c) !u"l !u"l es el tiempo tiempo promedio promedio que que pasa un un automóvil automóvil en el sistema# sistema# d) !u"l !u"l es la probabilidad probabilidad de que una una llegada llegada tenga que esperar esperar por por el servicio# servicio# Datos: λ =2,5 auto / hora μ=5 auto / hora
Resolviendo:
a) !u"l !u"l es la cantidad cantidad de promedio promedio de automó automóviles viles en el el sistema# sistema#
2
λ Lq= μ ( μ − λ ) 2
Lq=
2,5
5 (5 −2,5 )
Lq=0,5
Ls= Lq +
λ μ
Ls= 0,5+
2,5 5
1 2
2 0 1 4
EJ ERCI CI OSDETEORI A DECOLAS a) Modelo M/M/1: Un servidor con con llegadas de poisson y tiempos de de servicio exponenciales: Ejercicios:
Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricante de automóviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2,5 automóviles por hora y la tasa medi media a de serv servic icio io es de 5 auto automóv móvililes es por por hora hora.. Supo Supong nga a que que las las lleg llegad adas as sigu siguen en una una distribución de probabilidad de poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial.
a) !u"l !u"l es la cantidad cantidad de promedio promedio de automó automóviles viles en el el sistema# sistema# b) !u"l !u"l es el tiempo tiempo promedio promedio que espera espera un autom automóvi óvill que comien comience ce el servic servicio io de aceite aceite y lubricación# c) !u"l !u"l es el tiempo tiempo promedio promedio que que pasa un un automóvil automóvil en el sistema# sistema# d) !u"l !u"l es la probabilidad probabilidad de que una una llegada llegada tenga que esperar esperar por por el servicio# servicio# Datos: λ =2,5 auto / hora μ=5 auto / hora
Resolviendo:
a) !u"l !u"l es la cantidad cantidad de promedio promedio de automó automóviles viles en el el sistema# sistema#
2
λ Lq= μ ( μ − λ ) 2
Lq=
2,5
5 (5 −2,5 )
Lq=0,5
Ls= Lq +
λ μ
Ls= 0,5+
2,5 5
1 2
2 0 1 4
Ls=1
b) !u"l !u"l es el tiempo tiempo promedio promedio que espera espera un autom automóvi óvill que comien comience ce el servic servicio io de aceite aceite y lubricación# Lq W q = λ
W q =
0,5 2,5
W q =0,8333
c) !u"l !u"l es el tiempo tiempo promedio promedio que que pasa un un automóvil automóvil en el sistema# sistema# W s =W q +
W s =0,2 +
1
μ 1 5
W s =0,4 horas ( 24 minutos)
d) !u"l !u"l es la probabilidad probabilidad de que una una llegada llegada tenga que esperar esperar por por el servicio# servicio# Pw =
λ μ
Pw =
2,5 5
Pw =0,5
Suponga que un ca$ero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de die% clientes por hora. &dem"s, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del ca$ero a una tasa promedio de ' por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución (oisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. ealice un an"lisis acerca de la situación actual del *anco. Datos: μ=10
clientes hora
1 2
2 0 1 4
7 λ ρ= = =0.7 μ 10
λ =7
clientes hora
s =1 ( unaestacion de servicio ) Ρο=1− 0.7= 0.3
Resolviendo: L=
λ μ− λ
=
7 10 −7
7
= =2.33
2
3
2
λ 7 = =1.63 Lq= μ ( μ − λ ) 10 ( 10−7 )
W =
1
μ − λ
=
1 10−7
1
= = 0.33 3
7 λ = =0.233 Wq = μ ( μ− λ ) 10 ( 10 − 7 )
RESPUESTA : Seg+n
los datos obtenidos el sistema est" ocupado el '- del tiempo, vaco el /- del tiempo0 en promedio hay 2.// clientes en el sistema y 1./ en la cola0 el tiempo promedio de un cliente en el sistema de .// horas 3 2 minutos y un tiempo promedio de un cliente en la cola de .2// horas 3 14 minutos. l escritor de re6erencia de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Supongamos que puede usarse una distribución de probabilidad de (oisson con una tasa de media de 1 solicitudes por hora para describir el patrón de llegada y que los tiempos tasa media de 12 solicitudes por hora. a. b. c. d.
!u"l es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema# !u"l es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio# !u"l es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio# !u"l es el tiempo promedio en el escritorio de re6erencia en minutos 78tiempo de espera m"s tiempo de servicio)#
Datos:
1 2
2 0 1 4
λ =10 μ=12
Resolviendo9 a) !u"l es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema# P0=1−
λ μ
P0=1−
10 12
P0=0,1666
b) !u"l es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio# 2
λ Lq= μ ( μ − λ )
Lq=
10
2
12 ( 12−10 )
Lq= 4,166
c) !u"l es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio# Lq W q = λ W q =0,4166 horas ( 24 , 99 minutos )
d) !u"l es el tiempo promedio en el escritorio de re6erencia en minutos 7 8tiempo de espera m"s tiempo de servicio)# W s =W q +
1
μ
W s =0,4166 +
1 12
1 2
2 0 1 4
W s =0,4999 horas ( 19 minutos)
e) Pw=
Pw =
λ μ
10 12
Pw =0,8333
Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio / minutos en la cola. Se solicita: a) :iempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) ;+mero (romedio de clientes en la cola. c) ;+mero promedio de clientes en el Sistema en un momento dado. Datos: <3 45 clientes=hora 8media de llegada de los clientes)3 45= clientes=minutos >3 clientes=hora 8media de servicio a los clientes) 3 = clientes=minutos3 ?q 3 / minutos 8tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) Resolviendo: a)(ara calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema 8?s). Lo podemos calcular a partir de ?q y >. 1
1
Ws=Wq + =3 minutos + = 3 + 1= 4 minutos μ 1
s decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema9 distribuidos as / minutos pasa esperando en la cola @ 1 minutos en servicio. b)(ara calcular el n+mero de clientes en la cola 8Lq), usaremos la 6órmula siguiente9 Lq3 < ?q.
1 2
2 0 1 4
Lq= λ∗Wq = 0.75
clientes ∗3 minutos= 2.25 clientes minutos
s decir los c"lculos nos muestran que en la cola puede haber m"s de dos
clientes en la cola.
c)(ara calcular cual es el n+mero de clientes en la cola 8Ls). Lo podemos hacer con la 6órmula9 Ls3 < ?s. d) Ls = λ∗Ws=0.75
clientes ∗4 minutos= 3 clientes minutos
s decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los dem"s deben estar en la cola. sto indica que hay dos clientes en espera. An 6otógra6o de la emba$ada de los stados Anidos toma las 6otogra6as para los pasaportes a una tasa promedio de 2 por hora. l 6otógra6o debe esperar hasta que el cliente de$e de parpadear y hacer gestos, as que el tiempo para tomar una 6otogra6a se distribuye exponencialmente. Los clientes llegan a una tasa promedio de acuerdo a una distribución de (oisson de 17 clientes por hora. o
!u"l es la utili%ación promedio del 6otógra6o#
o
!u"nto tiempo promedio permanece el cliente en el estudio del 6otógra6o# a) Las suposiciones en el enunciado del problema son consistentes con el modelo de un solo servidor. l 6actor de utili%ación del servidor es9 ʎ
19
ρ= = = 0.95 µ 20
b) l tiempo promedio que el cliente permanece en el estudio del 6otógra6o es W S =
1
µ −ʎ
=
1 20 − 19
=1 hora
An promedio de 1 automóviles por hora llegan a un ca$ero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. !onteste las preguntas siguientes9 a) !u"l es la probabilidad que el ca$ero estB ocioso#
1 2
2 0 1 4
b) !u"l es el n+mero promedio de automóviles que est"n en la cola del ca$ero# 8se considera que un automóvil que est" siendo atendido no est" en la cola esperando). c) !u"l es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, 8incluyendo el tiempo de servicio)# d) !u"ntos clientes atender" en promedio el ca$ero por hora# e) Datos: <3 1 clientes=hora 8media de llegada de los clientes) 3 1= clientes=minutos. >3 1 clientes=4minutos 8media de servicio de los clientes)31=4 cliente=minuto. Resolviendo:
λ 1 / 6 2 = =¿ ρ= = (or tanto μ 1 / 6 3
.'- 6actor de utili%ación del sistema.
s decir que el sistema permanece ocioso el //.//b) !u"l es el n+mero promedio de automóviles que est"n en la cola del ca$ero# Lq=
λ = μ ( μ − λ )
1/ 6 1 / 4(
1 4
4
1
= =¿
− )
3
1./// (uede haber 2 autos en la cola.
6
c) !u"l es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco 8incluyendo el tiempo de servicio)# d) ;os preguntan por el tiempo promedio que el cliente pasa en el sistema. ?s. e) 1
= Ws= μ − λ 1 4
6)
1
−1 / 6
=
1 1 / 12
=¿ 12 Cinutos pasa el cliente en el sistema
!u"ntos clientes atender" en promedio el ca$ero por hora# Si el ca$ero siempre estuviera ocupado, atendera un promedio de D315 clientes por hora. Seg+n la solución encontrada en el inciso a 81=4E315), el ca$ero est" ocupado 2=/ del tiempo. (or tanto dentro de cada hora, el ca$ero atender" un promedio de 82=/) 815)3 1 clientes. sto es FE>3 2=/ E 15 3 1 clientes. l gerente de una tienda de abarrotes en una comunidad de $ubilados est" interesado en proporcionar buen servicio a los ciudadanos de la tercera edad que compran en su tienda. &ctualmente, la tienda tiene una ca$a de cobro exclusiva para los ciudadanos de la tercera edad. n promedio, / ciudadanos de la tercera edad llegan por hora a la ca$a, de acuerdo a una distribución de Poisson, y se atienden a una tasa promedio de /5 clientes por hora, con tiempos de servicio exponencial. Getermine las siguientes caractersticas de operación9
(robabilidad que no haya clientes en el sistema, o bien, la probabilidad de tener a todos los
servidores desocupados. Atili%ación promedio de la ca$era.
1 2
2 0 1 4
;+mero promedio de clientes en el sistema. ;+mero promedio de clientes en la lnea. :iempo promedio de espera en el sistema. :iempo promedio de espera en la lnea.
( )( ʎ
a)
b)
ρ = = =0.1429 µ 35
c)
LS =
d)
Lq= ρ L S =
e)
W S =
f)
W q = ρW S =
ʎ
µ
= 1−
30
P 0 = 1−
35
)=
0.1429
30
ʎ
µ− ʎ
30
=
35− 30
=6
( ) ( )( )=
LS ʎ
=
ʎ
µ
6 30
LS =
30 35
6
0.1429
=0.2
( ) ( )( ʎ
µ
W S =
30 35
0.2 ) =0.1714
b) Modelo M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y na distribci!n degenerada de tiempos de servicio: Ejercicios:
An lavadero autom"tico de autos tiene una lnea de remolque de manera que los autos se mueven a travBs de la instalación de lavado como una lnea de ensamble. Supóngase que se acepta un auto cada 5 minutos y que la tasa promedio de llegadas es de 7 autos por hora seg+n (oisson. Obtenga las medidas de desempeHo de acuerdo con el modelo C=G=1.
Datos: o
o
<3 7 &utos=hora
>
¿
60 5
¿ 12 &utos=hora
1 2
2 0 1 4
9 o
3
12
3 .'5
Desarrollo: Lq=
ρ
2
2 (1 − ρ )
=
0.75
2
2 ( 1− 0.75 )
Lq 1.125 =¿ W q = = 9 λ
¿ 1"1#$ clientes
.125 hrs. 3%"$ min
1
1
W S = W q + =0.125 + µ 12
3 &"#&'( rs" * 1#"$ min
LS = λ W S =( 9 ) ( 0.2083 )
3 1"'%+% clientes
An restaurante de papas 6ritas, tiene el servicio de GriveIJn en la cual los clientes arriban al restaurante a una tasa de 45 por hora siguiendo una distribución de (oisson. Las ordenes son procesadas con un modelo KJKO y existe un solo servidor, el cual se demora 1.2 minutos en preparar la orden.
Datos: o
3 45 clientes=hora 3 1.2 min 3 '2 clientes=hora
Desarrollo: o
;+mero promedio de clientes que esperan en la cola 2
2
λ Lq= 2 µ ( µ− λ ) =
o
( )( 72− 45 )
2 72
= &"$#&'
:iempo promedio que un cliente espera en la cola W q =
o
45
λ =¿ 2 µ ( µ − λ )
45
( )( 72− 45 ) 3 &"&11, oras
2 72
;+mero promedio de clientes en el sistema
1 2
2 0 1 4
λ 45 LS = Lq+ =( 0.508 ) + 72 µ
o
3 1"1+$'
:iempo promedio que los clientes est"n en 6ila 1
1
W S =W q + =0.0116 + 72 µ
.255
& un supermercado llegan en promedio clientes por hora que son atendidos entre sus 5 ca$as. !ada ca$a puede atender en promedio a un cliente cada / minutos. Obtenga las medidas de desempeHo de acuerdo con el modelo C=G=1. Datos: o
λ=
80 60
=1.33
1
o
o
µ = =0.33 3
P=
1.33 0.33
= 4.03
Desarrollo: Ls= λW s LS =(1.33 )( 5.04 ) Ls =6.70
( 4.03 )2 = =¿ Lq= 2 ( 1 − P ) 2 ( 1−4.03 ) P
2
Lq 2.68 =2.01 W q = = λ 1.33
1
1
=5.04 W s =W q + = 2.01+ 0.33 µ
1 2
-2.68 =-2.68 (-1) = 2.68
2 0 1 4
c)
Modelo M/-/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y na
distribci!n general de tiempos de servicio: Ejercicios:
An solo empleado mane$a las ventas al menudeo de una tienda de alimentos. Las llegadas de los clientes son aleatorios y la tasa promedio de llegada es de 21 clientes por hora. An estudio del proceso de servicio muestra que el tiempo promedio de servicio es de dos minutos por clientes, con una desviación est"ndar 1.2 minutos. !alcule las medidas de e6iciencia del sistema.
Geterminar tasa de llegada y tasa de servicio 3 :asa de llegada 3 21 clientes = hora 3 ./5 clientes=minuto 3 :asa de servicio 3 .5 clientes=minuto 31.2 minutos
!omprobar si el sistema tiene una capacidad de atención (M1 ( 3 6actor de utili%ación
(3 p=
0.35 0.50
p=0.70
a) (robabilidad que el sistema este vaco po=1 −¿ .o * &"(&
1 2
2 0 1 4
La probabilidad de que la tienda este vaca ./ b) Longitud espera de la cola
* 1"11&% clientes n promedio hay 1.11' clientes esperando ser atendidos
c) ;umero esperado en el sistema
1"1'1&% clientes n promedio hay 1.11' clientes en la tienda
d) :iempo esperado en la cola
* ("1%((
e) :iempo total de espera en el sistema
* $"1%(( mintos
6) (robabilidad que un cliente espere
(N 3 . * &"%& La probabilidad de que un cliente tenga que esperar el servicio cuando llega a la tienda es .' An lava carro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media llegadas es de 7 autos por hora, desviación est"ndar 2 minutos .Obtenga las medidas de desarrollo de acuerdo con el 1 2
2 0 1 4
modelo C1.&demas la probabilidad de tener cero clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio. a) Longitud espera de la cola
* 1"(1 clientes b) ;umero esperado en el sistema
1./1 @.'5 #"&, clientes
c) :iempo total de espera en el sistema
* &"##' oras * 1("% mintos d) :iempo esperado en la cola
* &"1+$ oras * '"% mintos e) (robabilidad que el sistema este vaco po=1 −¿
.o * &"#$ . * &"%$
La probabilidad de que la tienda este vaca ./
1 2
2 0 1 4
d) Modelo M/M/S: Modelo de cola mlticanal Ejercicios9
n una copistera se dispone de / m"quinas 6otocopiadoras a disposición del p+blico, !ada m"quina es capa% de servir, por tBrmino medio, traba$os cada hora, & la copistera llegan como promedio 5 clientes a la hora. Los par"metros del sistema9 λ 3 5 clientes=h, µ 3 clientes=h, s 3 / servidores, l sistema no se satura porque ρM1.
(3 p=
5 3 x 8
p=0.21
a) !u"l es la probabilidad de que las tres m"quinas estBn libres a la ve%#
po=
((
po=
((
po=
(
p
o=
s
s p
)+∑ ) s −1
s
s ! ( 1 − p )
3
3 p
2432
)+∑ ) 2
3
(3 p )n
n= 0
5
25
8
128
+1 + +
−1
n!
n= 0
3 ! ( 1− p )
125
( sxp )n
−1
n!
−1
)
304 569
po= 0.5342706
b) !u"l es el n+mero medio de clientes en la cola# s
Lq=
s p
s+ 1
p o
s ! ( 1− p )
2
1 2
2 0 1 4
3
3 p
Lq=
Lq=
4
304 569
3 ! ( 1− p )
2
302 41791
Lq=0.00722643
0lientes
c) !u"l es el tiempo medio de espera en la cola# w q=
w q=
w q=
Lq
❑ 302
5.41791
52 35979
w q=0.00144529hora
d) !u"l es el tiempo medio de espera en el sistema# w =w q + w=
w=
1
❑
52 35979
+
1 8
514 4065
w =0.126445 hora
e) !u"l es el n+mero medio de clientes en el sistema# L=¿
N
1 2
2 0 1 4
L=5 x
L=
( ) 514
4065
514 4065
L=0.632226
Suponga que dos ca$eros bancarios puede atender a los clientes a una velocidad promedio de die% clientes por hora. &dem"s, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del ca$ero a una tasa promedio de ' por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución (oisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. ealice un an"lisis acerca de la situación actual del *anco. Datos: o o o
> 3 1 clientes = hora ʎ 3 ' clientes =hora s 3 2 8n+mero de servidores)
Desarrollo: 7
ʎ
p3
µ
3
3 &"($
2 ( 10)
1
P0
( ) +( ) + ( ) 7
3
0
7
1
7
10
10
10
0!
1!
2!
=
2
x
(− ) 1
1
1 1 + 0.7 + 0.3769
=¿ &"+'1+'
o .35
10 7 /¿
¿ ¿2 ¿ L 3 2 (10 )−7 x .414 @ ¿ ¿ 7 ( 10 )¿ ¿
7
¿ 10
¿ ¿
3 &"%%% clientes en el sistema
Lq 3 .'7'' P '=1 3 .7'' clientes en cola ? 3 L=ʎ 3 .'7'' = ' 3 .11/7 horas
1 2
2 0 1 4
?q 3 Lq=ʎ 3 .7'' = ' 3 .1/7 horas
Ana pequeHa escuela de negocios ha asignado una secretaria a cada uno de sus departamentos9 contabilidad, 6inan%as, mercadotecnia y dirección. !ada secretaria procesa material de clase y correspondencia +nicamente para su propio departamento. l director de la escuela recibió muchas que$as, especialmente, del departamento de contabilidad acerca de los retrasos en los traba$os secretariales. l asistente del director re+ne la in6ormación acerca de las tasas de llegada de los traba$os y tiempos de servicio. GespuBs de un an"lisis detallado encuentra que las solicitudes de traba$o siguen una distribución de
Poisson
32 con solicitudes
por hora, para todos los departamentos, excepto contabilidad, que tiene 3/ solicitudes por hora. l tiempo promedio de terminación de un traba$o 8o servicio) es de 15 minutos independientemente del departamento que lo solicite, estos tiempos se distribuyen exponencialmente. Gebido a restricciones en el presupuesto ninguna secretaria adicional puede ser contratada. l director considera que el servicio puede me$orarse si se agrupa a las secretarias y se les ubica en un solo lugar, usando la poltica primero que entra, primero que se le da el servicio. &ntes de proponer el nuevo plan el director pide a su asistente que analice el desempeHo correspondiente y lo compare con el sistema actual. Desarrollo:
l sistema actual consiste esencialmente de cuatro sistemas C=C=1 independientes con una tasa de servicio
3 4 requerimientos por hora. La di6erencia en los departamentos es la tasa de llegada.
n todos los departamentos
32 solicitudes por hora, excepto contabilidad. n estos casos 8p3
)9 n el caso de los departamentos de 6inan%as, mercadotecnia y dirección
o
−¿ LS = ❑ ¿
LS =
2 4
−2
LS =1 "#$#%&
1 2
=
2 0 1 4
−¿ P Lq= ¿
o
2
Lq= ( 1) 4
Lq= 0.5 dehora' 30 minutos
−¿ 1 W s = ¿
o
W s =
W s =
1 4 −2 1
* &"$ de oras o (& mintos
2
−¿ p W q = ¿ W q =
1/ 2 4 −2 1
W q = dehora' 15 minutos 4
o =1−¿ p¿ p
o= 1 −
2 4
λ
❑
* &"$
l n+mero promedio de solicitudes de traba$o en la lnea de espera para un sistema ocupado es
1 2
2 0 1 4
−¿ Lq= ❑ ¿ Lq=
2 4 −2
=1 solicitud detra(a)o
l tiempo promedio que una solicitud de traba$o permanece en la lnea de espera en un sistema ocupado es
−¿ 1 W ( = ¿ ( =¿
1 4 −2
W ¿ ( =¿ 0.5 horas W ¿
(robabilidad de que una solicitud que llegue tenga que esperar, o bien, el sistema estB ocupado (8n≥Q) 3p*, si Q31 solicitud 1
(8n≥1) 3 p
❑ = 2 =o .5 ' 50 3 ❑ 4
n el caso del departamento de contabilidad estos valores son −¿ LS = ❑ ¿
o
LS =
3 4 −3
LS =3 tra(a)os
o
−¿ P Lq= ¿
3
Lq= ( 3 ) 4
1 2
34 y
3/
2 0 1 4
Lq=2.25 tra(a)o
o
−¿ 1 W s = ¿ W s =
1 4 −3
W s =1
o
W q =
ora
−¿ p W q = ¿
3/ 4 4 −3 3
W q = dehora' 45 minutos 4
o
po=1−❑ ❑
p
o= 1 −
3 4
* &"#$
l n+mero promedio de solicitudes de traba$o en la lnea de espera para un sistema ocupado es −¿ L(= ❑ ¿ L(=
3 4 −3
L(= 3 solicitudesdetra(a)o
l tiempo promedio que una solicitud de traba$o permanece en la lnea de espera en un sistema ocupado es
−¿ 1 W ( = ¿
1 2
2 0 1 4
( =¿
1 4 −3
W ¿ ( =¿ 1 horas W ¿
(robabilidad de que una solicitud que llegue tenga que esperar, o bien, el sistema estB ocupado *, si Q31 solicitud
(8n≥Q) 3p
1
(8n≥1) 3 p
3
❑ = 3 =o .75 ' 75 ❑ 4
La propuesta para reunir al personal de secretarias, crea un sistema de m+ltiples canales, una sola lnea de espera, o un sistema C=C=4 en este caso. La tasa de llegada son las llegadas combinadas 82 @ 2 @ 2 @ /) en todos los departamentos, o bien traba$o por hora
32 @ 2 @ 2 @ / 37, solicitudes de
34, solicitudes de traba$o por hora y s 3 4 servidores.
l 6actor de utili%ación promedio del sistema es9 p= ❑ s
p=
p=
9
(4 ) 4 9 16
(robabilidad de que cero clientes estBn en el sistema o que el sistema estB desocupado
{( ) s −1
po=
n
¿) ∑= (n! n 0
+
(¿ )
s ! (− p )
o =¿
[
}
−1
s
( 9 / 4 ) 0!
0
+
(9 / 4) 1!
1
+
(9/4) 2!
2
+
( 9/ 4 ) 3!
3
]
+
(9/4 ) ( −
4! 1
4
9 16
p¿
1 2
)
2 0 1 4
[[
]
( 9 / 4 )0 ( 9 / 4 )1 ( 9 / 4 )2 ( 9 / 4 )3 + + + + po=
po=
[
0!
27,204 2,688
1!
2!
3!
4 !(1 −
9 16
]
−1
( 9 /4)4 )
]
−1
po= 0.0988
;+mero promedio de clientes en el la lnea de espera p
Lq=
o ❑ p
( ❑) s ! ( 1− p )
2
()
224 9
Lq=
4
2267 4
(
4 ! 1−
9 16
9 16
)
2
Lq=0.31 solicitudes de tra(a)o
;+mero promedio de clientes en el sistema Ls= Lq + ❑
❑
Ls= 0.31+
9 4
Ls=2.56 solicitudes de tra(a)o
:iempo promedio de espera de las solicitudes de traba$o en el la lnea L S W s =
❑
W s =
2.56 9
W s =0.2844
2oras o 1% mintos
1 2
2 0 1 4
(robabilidad de que haya s 3 4 servidores y se tenga que esperar. s −¿
¿
(8n≥s)3
po
❑ ss ❑ ¿
( )
( )( ) ( ) = 9
po
s!¿
4
4 4
4
8.71)
4 ! ( 4 x 4 −9 )
* #+"11$$3
;+mero promedio de solicitudes de traba$o en la lnea de espera en un sistema ocupado. L(=
Lq P ( n s )
L(=
0.31 0. 241155
L(=1.2855
Solicitdes de trabajo
:iempo promedio que permanece el cliente en la lnea de espera en un sistema ocupado wq W ( = P ( n s )
W ( =
0.034 0.241155
W ( = 0.141 horasu 8.48 minutos
Estado
LS
Lq
W S
W q
P&
Actual (contabilidad)
3
2.25
1
0.75
0.25
1
0.5
0.5
0.25
0.50
0.28
0.03'
0.08
Actual (Finanzas m!cadotcnia " di!cci#n) $c!ta!ia a%!u&adas
1 2
2.56
0.31
En resmen
2 0 1 4
e) Modelo M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y na distribci!n degenerada de tiempos de servicio: Ejercicios:
!onsidere una lnea de espera con dos canales con llegadas de poisson y tiempos de servicio exponencial. La tasa media de llegada es de 14 unidades por hora, y la tasa media de servicio es de 1 unidades por hora para cada canal. o o o o o
cu"l es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema# !u"l es la cantidad de unidades promedio en el sistema# !u"l es el tiempo promedio que espera una unidad por servicio# !u"l es el tiempo promedio que una unidad est" en el sistema# !u"l es la probabilidad de tener que esperar por el servicio#
Datos:
λ3 14 unidades=hora µ3 1 unidades=hora R3 2 Desarrollo: μ−¿ μ
¿ ¿ ❑
a)
∑
n
❑
( ) ( )
− 1 μ + μ ¿ ! n =0 n ! 0=¿
1
¿
P¿
1 2
2 0 1 4
0 =¿
1
( ) +( ) +( ) 14
0
1
14
14
10
10
10
0!
1!
2!
2
((
2 ( 10 )
2 10 )−14
)
P¿ P0= 0.1764
−¿
¿ ¿2 ¿ ( −1 ) ! ¿ ❑
b)
( μ )
q =¿
¿
L¿
( )( 14
q =¿
2
10
10 ) ( 14 )
( 2 −1 ) ! ( 2 ( 10 ) −14 )2
* ( 0.1764 )
L¿
q =¿ 1.345 L¿
q =¿
c)
Lq
❑
W ¿
q =¿
1.345 14
W ¿ q =¿ 0.096 horas ( 5.76 minutos) W ¿
d)
1 2
2 0 1 4
1
s =¿ W q + μ W ¿ s =¿ 0.096 +
1 10
W ¿ s =¿ 0.196 horas ( 11.76 minutos) W ¿
e)
μ −¿ μ
¿ ¿
❑
( μ ) ¿ w =¿ !
P¿
( ) =¿ 14
w
10
2!
2
(
(
)
) ( 0.1764 ) 2 ( 10 ) −14 2 10
w =¿ 0.5762 P¿
P¿
emtase al problema anterior. Suponga que el sistema se expande a una operación de tres canales.
a) !alcule las caractersticas operadas para este sistema de lnea de espera. b) Si la meta de servicio es proporcionar capacidad su6iciente de modo que no m"s de 25- de los clientes tenga que esperar por servicio. s pre6erible el sistema de dos canales o tres canales#
λ3 14 unidades=hora
µ3 1 unidades=hora
1 2
R3 /
2 0 1 4
μ−¿ μ
¿ ¿ ❑
a)
∑
n
❑
( ) ( )
− 1 μ + μ ¿ ! n =0 n ! 0=¿
1
¿
P¿
0 =¿
1
( ) +( ) +( ) +( ) 14
0
14
1
2
14
3
14
10
10
10
10
0!
1!
2!
3!
((
3 ( 10 )
3 10 )−14
)
P¿ P0= 0.2359 −¿
¿ ¿ ¿ ( −1 ) ! ¿ ❑ 2
q =¿
( μ ) ¿
L¿
( )( 14
q =¿
10
3
10 ) ( 14 )
( 3 −1 ) ! ( 3 (10 )−14 )
2
*( 0.2359 )
L¿ q =¿ 0.1769 L¿
q =¿
Lq
❑
W ¿
1 2
2 0 1 4
q =¿
0.1769 14
W ¿ q =¿ 0.012 horas ( 0.758 minutos) W ¿ 1
s =¿ W q + μ W ¿
s =¿ 0.012 +
1 10
W ¿ s =¿ 0.112 horas ( 6.72 minutos ) W ¿
μ −¿ μ
¿ ¿ ❑
w =¿
( μ ) ¿ !
P¿
( ) 14
w =¿
3
10
3!
((
3 (10 )
3 10 )−14
)
( 0.2359 )
w =¿ 0.2022 P¿
P¿
b) s m"s pre6erible el sistema de / canales porque se cumple con lo requerido que es tener menos del 25-.
l gerente del *anco &mericano, debe determinar cu"ntos ca$eros abrir en sus sucursal los das s"bados. (or cada minuto que el cliente espera en la cola, se supone que se incurre en una pBrdida de A.5. &l banco llegan un promedio de 12 clientes por hora. n promedio un ca$ero atiende a / clientes por hora. &l banco le cuesta u7=hora la contratación de cada ca$ero. Se considera las llegadas con distribución de (oisson y tiempos de servicio exponenciales. Geterminar el n+mero óptimo de servidores Q que minimice el costo total#
1 2
2 0 1 4
:asa de llegada de clientes por hora 8 λ) 3 12 clientes=hora :asa de servicio por servicio por hora 8µ)3 / clientes=hora !osto del servidor ocupado por hora 3 A7 hora !osto del servidor desocupado por hora3 A7 hora !osto de espera de los clientes por hora3 A.58)3A/ hora R 8µ) T λ Gebemos tener mnimo Q 35 ca$eros 8 se cumple que 85)8/)T12
Desarrollo: a)
μ−¿ μ
¿ ¿ ❑
∑
n
❑
( ) ( )
−1 μ + μ ¿ ! n =0 n ! 0=¿
1
¿
P¿
0
=¿
1
( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 120
0
120
1
120
2
120
3
120
4
120
30
30
30
30
30
30
0!
1!
2!
3!
4!
5!
P¿
P0= 0.0130
−¿
¿ ¿ ¿ ( −1 ) ! ¿ ❑ 2
b)
q =¿
( μ ) ¿
L¿
1 2
5
(
( ) 5 ( 30 )−120 5 30
)
