Ejercicios de Teoría de Colas 1. Una doctora pasa en promedio 20 minutos con sus pacientes si el tiempo estimado de llegada de cada cliente es de 30 minutos, determine: a) Numero promedio de pacientes en el sistema. b) Tiempo total que consume un paciente en el consultorio. c) Factor de uso del sistema. d) Numero promedio de pacientes haciendo fila. e) Probabilidad de que el consultorio este vacío. f) Probabilidad de que se encuentren 2 pacientes en el sistema. Solución:
(
)
a) Numero promedio de pacientes en el sistema.
b) Tiempo total que consume un paciente en el consultorio.
c) Factor de uso del sistema. ̂
̂
d) Numero promedio de pacientes haciendo fila. ̂ e) Probabilidad de que el consultorio este vacío. ̂
̂
̂
f) Probabilidad de que se encuentren 2 pacientes en el sistema. [
][ ]
[
][ ]
1
2. En una servidora de fotocopia llegan 5 clientes cada hora y el operador de la fotocopiadora puede atenderlos a una tasa de 6 clientes cada hora, determine: a) Cantidad de clientes en el sistema. b) Tiempo total que esperan los clientes en el sistema. c) Cantidad de personas formadas en la fila. d) Tiempo en el cual los clientes esperan en la fila. e) Porcentaje de uso del servidor. f) Porcentaje de tiempo en el cual el servidor esta ocioso. g) Probabilidad de que se encuentren 2 clientes en el sistema. Solución:
a) Cantidad de clientes en el sistema.
b) Tiempo total que esperan los clientes en el sistema.
c) Cantidad de personas formadas en la fila. ̂ d) Tiempo en el cual los clientes esperan en la fila. ̂ e) Porcentaje de uso del servidor. ̂
̂
f) Porcentaje de tiempo en el cual el servidor esta ocioso. ̂
̂
̂
g) Probabilidad de que se encuentren 2 clientes en el sistema. [
][ ]
[
][ ]
2
3. Movies Tonight es un establecimiento típico de renta de videos y de DVD para clientes que ven películas en su casa. Durante las noches entre semana, los clientes llegan a Movies Tonight a una tasa promedio de 1,25 clientes por minuto. El dependiente del mostrador puede atender un promedio de 2 clientes por minuto. Suponga llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema? b) ¿Cuál es el tiempo promedio de clientes que esperan por el servicio? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience el servicio? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio? e) ¿las características operativas indican que el sistema de mostrador con un solo dependiente proporciona el servicio aceptable? Solución: λ = 1.25 clientes/ minuto μ = 2 clientes/ minuto a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema?
b) ¿Cuál es el tiempo promedio de clientes que esperan por el servicio? ̂ c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience el servicio? ̂ d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio?
e) ¿Las características operativas indican que el sistema de mostrador con un solo dependiente proporciona el servicio aceptable? Es aceptable que un cliente espere 0,833 minutos o 50 segundos.
3
4. Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco. Datos:
Resolviendo:
Según los datos obtenidos el sistema está ocupado el 70% del tiempo, vacío el 30% del tiempo; en promedio hay 2.33 clientes en el sistema y 1.63 en la cola; el tiempo promedio de un cliente en el sistema de 0.33 horas = 20 minutos y un tiempo promedio de un cliente en la cola de 0.233 horas = 14 minutos. 5. El escritor de referencia de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Supongamos que puede usarse una distribución de probabilidad de Poisson con una tasa de media de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegada y que los tiempos tasa media de 12 solicitudes por hora.
4
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema? b. ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio? c. ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio? d. ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencia en minutos 9(tiempo de espera más tiempo de servicio)? Datos:
Resolviendo: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema?
b) ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio?
c) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio?
d) ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencia en minutos 9 (tiempo de espera más tiempo de servicio)?
5
e)
6. Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricante de automóviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2,5 automóviles por hora y la tasa media de servicio es de 5 automóviles por hora. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad de poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial a) ¿Cuál es la cantidad de promedio de automóviles en el sistema? b) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil que comience el servicio de aceite y lubricación? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio? Datos:
Resolviendo: a) ¿Cuál es la cantidad de promedio de automóviles en el sistema?
6
b) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil que comience el servicio de aceite y lubricación?
c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio?
7. Una cafetería tiene una capacidad máxima de asientos para 50 personas. Los clientes llegan con una distribución Poisson a una tasa de 10 clientes/hr y son atendidos a una tasa de 12 clientes/hr. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente no comerá en la cafetería en virtud de que ésta está saturada?
7
b) Supóngase que tres clientes que llegan quieren sentarse juntos ¿cuál es la probabilidad de que no se puedan cumplir sus deseos (supóngase que pueden hacerse arreglos para sentarse juntos en tanto que haya 3 asiento desocupados en cualquier lugar de la cafetería? Datos: λ = 10 clientes / h r µ = 6 clientes / h r M = 50 Razón de utilización
[
]
[
]
[
]
8. Una computadora procesa los trabajos que se le asignan sobre la base "primero en llegar primero ser atendido'(PEPS). Los trabajos llegan con una distribución Poisson con promedio de tiempo entre llegadas de cinco minutos. En el procesamiento de los trabajos consiste en que ningún trabajo pase más de seis minutos promedio en el sistema. ¿Qué tan rápido debe de trabajar el procesador para cumplir con este objetivo? Datos:
W = 6 minutos (1/60 horas/minuto): 0,1 hora Nos pide la frecuencia de servicio (µ) SOLUCION: MODELO I
8
Tasa de llegadas = cte ( ) Tasa de servicio = (µ)
W(
)=1
9. Durante un período de 8 horas, llegaron 96 carros a la estación de servicio de Joe. Suponiendo que el tiempo entre llegadas tiene una distribución exponencial, use los datos proporcionados para estimar: a) El valor de la frecuencia de llegadas. b) El tiempo medio entre llegadas. c) La razón media de llegadas SOLUCION: MODELO I Tasa de llegadas = cte ( ) Tasa de servicio = (µ) a) Por medio de una regla de tres simple obtenemos que: 96 carros X
8 horas 1 hora
X = = 12 carros/hora
a) = 12carr/hr.
b) El tiempo medio entre llegadas b) 0,083333 hr c) La razón media de llegadas: n = = 12 carros/hora
c) n = 12car/hr
9
10.
10
11.
11
12.
12
13. Una tienda de tipo "minisuper" tiene una sola caja con un cajero de tiempo completo. Los clientes llegan a la caja de manera aleatoria (es decir, un proceso de entradas Poisson) con una tasa media de 30 por hora. Cuando solo hay un cliente en la caja, el cajero lo atiende solo, con un tiempo de servicio esperado de 1.5 minutos, pero el muchacho que ayuda tiene instrucciones fijas de que siempre de que haya mas de un cliente en la caja ayude al cajero a empacar la mercancía. Esta ayuda reduce el tiempo esperado de servicio a un minuto. En ambos casos, la distribución de estos tiempos de servicio es exponencial. Obtenga L para este sistema. Utilice esta información para determinar Lq, W y Wq. S=1 I = 30 ctes/hr 1/m1 = 1.5 min. 1/m2 = 1 min.
13
14. En el departamento de emergencia de un hospital los pacientes llegan con una distribución de probabilidad poisson a una media de 3 clientes por hora. El médico que está en dicho departamento los atiende con una frecuencia de servicio exponencial a una tasa media de 4 clientes por hora. ¿Contrataría o no a un segundo médico? a) Razón de utilización del sistema (p). b) Probabilidad de que no se encuentren pacientes en el sistema (PO). c) Probabilidad de que exista un paciente en el sistema (P1). d) Probabilidad de que existan 3 pacientes en el sistema ( P3). e) Tiempo total del cliente en el sistema (W). f) Tiempo total de espera por servicio en el sistema (Wq). g) EI número de pacientes en el sistema en un momento dado (L). h) EI número de pacientes en el sistema esperando por servicio (Lq). i) Probabilidad de que el cliente se espere más de 1 hora en el sistema P {W > 1} j) Probabilidad de que el cliente espere más de media hora en el sistema esperando por servicio. P {Wq > 1 / 2}. Poblacion= ∞ Linea de espera = ∞
= j) P
Datos:
=(¾)
ƛ=3 pascientes/hora µ=4 pascientes/hora Tasa de llegadas = cte.( Tasa de servicio=cte.( para s = 1 a) p= ƛ/(s*µ) = 3/(1)(4) = ¾ b) P0= 1-p = 1-3/4 = ¼ c) Pn = P0 P1= (3/4)(1/4) = 3/16 d) P3= (1/4)=1054 e) W= = =1 f) Wq = g) L=
= =
h) Lq =
=¾
=3 =
(
)( )
=.4548 Para s= 2 a) p = b)P0=
=3/2(4)=3/8 =5/11
c) P1= Pn= =
=.3409
d) Pn= =P3=
=.0479
e) W= Wq + = 2.25
f) Wq= Lq/ h) Lq=
i) P {W >1} =
=0.1227
=Lq=
=
*
}
=0.027
i) P {W>1} = *
= 0.3678
{Wq >1/2} =
}
j) P{Wq>1/2}=[1-P{Wq=0}] utilizando fórmula:
14
P{Wq=0}= ∑
TABLA DE VALORES FINALES:
P{Wq=0}= ∑ a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
=5/11+15/44 =0.7954 Sustituyendo en fórmula inciso j): j) P{Wq>1/2}= [1-0.7954] =0.01677
S=1 ¾ ¼ 3/16 0.1054 1 ¾ 3 2.25 0.3678 0.454
P P0 P1 P3 W Wq L Lq P{W>1} P{Wq>1/2}
S=2 3/8 5/11 15/44 0.0479 0.2908 0.0409 0.8727 0.1227 0.027 0.0167
15. En una instalación de auto servicio las llegadas ocurren según una distribución Poisson con media de 50 por hora. Los tiempos de servicio por cliente están exponencialmente distribuidos con media de 5 minutos. a) Encuentre el número esperado de clientes en servicio b) ¿Cuál es el porcentaje de tiempo que la instalación está vacía? Población = ∞ Línea de espera = ∞
Tasa de llegadas = cte. (ƛ) Tasa de servicio = cte. (µ)
Datos:
µ=12ctes/hr
X=50 ctes/hr 1/fi=1/5minutos (60min/ hora) = 12 ¨supongamos 5 servidores¨ s=5 a) L-Lq=? b) Po=? P=
=
P0=
= 0.8333
∑
P0= ∑
[
( )
]
( )
[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
]
(
) (
)
( )
b) Po= Lq=
( )
( )
p=
L= Lq+ = 3.1+
= 7.2666
a) L-Lq= 7.2666-3.1=4.1666
16. En promedio una afinación completa (bujías, punterías, aceite, etc.) en Fire Year dura 45 minutos. Si el tiempo para hacer una afinación es una variable aleatoria con distribución exponencial.
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a) ¿Cuál es el valor de la frecuencia de servicio? b) ¿Cuál es el tiempo medio de servicio? c) ¿Cuál es la tasa media de servicio? Población = ∞ Línea de espera = ∞
Tasa de servicio = cte. (µ) Tasa de llegadas = cte. (ƛ)
Si el tiempo de servicio son 45 minutos por afinación entonces: 1 afinación ------- 45 minutos X ------ 60 minutos x=
µ = 1.3333 a) µ =1.33333 clien/hr b) ¿Cuál es el tiempo medio de servicio? = (60) = 45 minutos c) ¿Cuál es la tasa media de servicio ? µn = µ = 1.3333 ctes./min
= 45 minutos c) µn = 1.333 clien/hr.
16
17. En una copistería se dispone de 3 máquinas fotocopiadoras a disposición del público, Cada máquina es capaz de servir, por término medio, 8 trabajos cada hora, A la copistería llegan como promedio 5 clientes a la hora. Parámetros del sistema: = 5 clientes/h, = 8 clientes/h, s = 3 servidores, El sistema no se satura porque <1
Determinar: a) b) c) d) e)
¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas estén libres a la vez? ¿Cuál es el número medio de clientes en la cola? ¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola? ¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema? ¿Cuál es el número medio de clientes en el sistema?
Solución: a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas estén libres a la vez? 1
1
n n s 1 2 ss s 33 3 s 3 p0 3!1 n! s ! 1 n ! n 0 n 0 1
1 0 1 2 33 3 3 3 3 125 5 25 304 3!1 0! 1! 2! 2432 1 8 128 569 0,5342706
b) ¿Cuál es el número medio de clientes en la cola? Lq
33 4 304 s s s 1 p0 302 569 0,00722643 clientes 2 2 41791 s!1 3!1
c) ¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola? Wq
Lq
302 52 0,00144529 h 5·41791 35979
d) ¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema? W Wq
1
52 1 514 0,126445 h 35979 8 4065
e) ¿Cuál es el número medio de clientes en el sistema? L W 5·
514 514 0.632226 clientes 4065 813
17
18. Para ejemplificar el modelo M / M / S, suponga que existen cinco canales de servicio con tasas promedio de servicio m = 6 y una tasa de llegada del = 24 unidades por hora, esto implica que S = 5. Determinar: a) L b) ¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola? Solución: a) L
Po = 0.0130, la probabilidad de que el sistema esté ocupado será P(sistema ocupado) = 0.5547, utilizando este valor obtenemos que: Unidades
L = 2.2188 + 4 = 6.2188 unidades
b) Ahora el tiempo promedio en del sistema quedará definido de la siguiente forma:
19. Un servidor puede atender a un cliente cada 5 minutos y la tasa media de llegada es de 9 clientes por hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/S en donde S=2. Además de tener la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola y en el sistema. Solución:
18
Medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/S:
19
20. Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco. Solución: =10 clientes/hora =/=7/10=0.7
=7 clientes/hora s=1 (una estación de servicio)
Po=1-0.7=0.3
L
7 7 2.33 10 7 3
2 72 1.63 ( ) 10 (10 7) 1 1 1 W 0.33 10 7 3 7 Wq 0.233 ( ) 10 (10 7) Lq
Según los datos obtenidos el sistema está ocupado el 70% del tiempo, vacío el 30% del tiempo; en promedio hay 2.33 clientes en el sistema y 1.63 en la cola; el tiempo promedio de un cliente en el sistema de 0.33 horas = 20 minutos y un tiempo promedio de un cliente en la cola de 0.233 horas = 14 minutos.
21. Suponga que se coloca un segundo cajero bancario en el problema antes descrito. ¿Qué tanto se mejorará el servicio? De sus conclusiones y recomendaciones para el Banco. Solución: s=2 número de servidores
=7 clientes/hora
=10 clientes/hora
7 0.35 k 2(10 ) 1 1 Po 0.48148 0 1 2 1 0.7 0.3769 7 7 7 10 10 10 1 0! 1! 2! 1 0.35
L
7(10 )( 7 / 10 ) 2 (0.48148 ) 7 / 10 0.7977 clientes en el sistema (2 1)! (2(10 ) 7) 2
Lq = 0.7977 – 7/10 =0.0977 clientes en cola W=L/=0.7977/7=0.11396 horas
Wq=Lq/ =0.0977/7=0.01396 horas
20
Con dos cajeros las estadísticas de los clientes mejoraran dramáticamente. Ahora se tiene un promedio de solamente 0.0977 clientes en la línea y el cliente esperara en promedio solamente 0.0139 horas para recibir el servicio (menos de un minuto). El costo de este buen servicio es que los prestadores de éste solamente están ocupados durante el 35% de su tiempo. A menos que se desee un servicio extraordinariamente bueno el banco no deseará incurrir en el gasto de un segundo cajero. Puede tomarse en consideración en las horas pico.
22. En un restaurante se vende comida para llevar y tratan de determinar cuántos servidores o colas deben trabajar el turno del almuerzo. Durante cada hora llegan en promedio 100 clientes al restaurante. Cada cola puede manejar en promedio 50 clientes por hora. Un servidor cuesta 5 $/hora y se carga un costo de 20 $ por cada cliente que espere en la cola durante 1 hora. Calcule el número de colas que minimice el costo. Solución: =100 clientes/hora
=50 clientes/hora
1 servidor ------- 5 $/hora s servidores ------ 5s
20 $ por cada cliente que espera en la cola por hora = 20*Wq Costo total = 5s + 20Wq $/hora s=?
100 1 50s
=100/2(50)=1
2 1 s
s>2
3, 4,....
pero 1
Aunque se realice el cálculo con s=2 los resultados serían colas infinitas. Se deja al estudiante que lo compruebe. Con s=3 =100/3(50)=2/3=0.667 2 1 (100 / 50 ) 0 (100 / 50 )1 (100 / 50 ) 2 A 1 2 2 5 0! 1! 2! A B n 0 (100 / 50 ) 3 1 B 4 3! 1 0 . 667 1 1 Po 0.111 54 9 (100 )(50 )(100 / 50 ) 3 26 L (1 / 9) (100 / 50 ) 2.89 2 3 1!(3(50 ) 100 ) 9
Po
Lq = 2.89 – 100/50 = 0.89 W =L/ = 2.89/100 = 0.0289 horas = 1.73 minutos Wq = Lq / = 0.89/100=0.0089 horas CT=5(3) + 20(0.0089)=15.18 $/hora Con s=4 Al utilizar s=4 servidores el costo de servidores es 5*4 = 20 y por lo tanto mayor que el costo total con 3 tres servidores. Obviamente ya no es necesario calcular el costo de espera. En conclusión, se deben tener 3 Servidores.
21
