ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
TEMA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA TEMA 1. Los datos mostrados a continuación corresponden a las calificaciones de un grupo de sesentaiséis estudiantes estudiantes de un curso de Estadística aplicada a la Investigación Educativa. (20 puntos)
88
56
70
82
90
74
86
86
0
85
73
89
77
95
72
88
85
74
79
50
80
88
73
41
80
80
70
86
81
85
60
89
84
87
83
78
92
65
85
81
77
78
25
79
78
81
66
90
85
49
82
71
54
90
79
81
91
86
88
86
81
87
0
90
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a) Construir la Tabla de Frecuencias. Frecuencias. b) A partir de los resultados obtenidos en la tabla anterior, construir el Histograma de Frecuencias Relativas. c) Realizar el gráfico de la Ojiva; y, estimar el valor de los Cuartiles utilizando dicha gráfica. d) Construir el gráfico del Diagrama de Cajas. ¿Existen valores aberrantes? e) Calcular las siguientes Estadísticas Descriptivas ( mostrar el desarrollo de los cálculos ): Media
Error Estándar de la Media
Moda
Varianza
Desviación Estándar
Mínimo
Máximo
SOLUCIÓN Y RÚBRICA a) Construir la Tabla de Frecuencias. (4 puntos) Marca de Clase 1
[0 -20)
10
2
0,030
Frecuencia Absoluta Acumulada 2
2
[20 - 40)
30
1
0,015
3
0,046
[40 - 60)
50
0,076
8
0,121
4
[60 - 80)
70
19
0,288
27
0,409
5
[80 - 100)
90
39
0,591
66
1,000
Ordinal
3
Nivel Criterios
Clase
Insuficiente No realiza cálculo alguno.
Frecuencia Relativa
5
Desarrollo Regular Determina correctamente las clases.
0%
Puntos
Frecuencia Absoluta
Satisfactorio Realiza correctamente el cálculo de las marcas de clase.
25%
Frecuencia Relativa Acumulada 0,030
Excelente Realiza correctamente los cálculos para determinar todas las Frecuencias
25-50%
100%
b) A partir de los resultados obtenidos en la tabla anterior, construir el Histograma de Frecuencias Relativas. (4 puntos) H istograma de Frecuencias Relativas del curso de E stadística aplicada a la I nvestigación Educativa 50
59.09%
70.00% 60.00%
40
50.00% 30
40.00%
28.79%
30.00%
20
20.00% 10
7.58%
3.03%
1.52%
[0 -20)
[20 - 40)
[40 - 60)
2
3
10.00%
0
0.00% 1
Frecuencia Absoluta
Nivel Criterios
Puntos
Insuficiente No realiza gráfico alguno.
0%
Desarrollo Regular Ubica las clases en el eje X y la Frecuencia Relativa en el eje Y. 25%
[60 - 80)
[80 - 100)
4
5
F recuencia Relativa
Satisfactorio Grafica correctamente las barras del histograma. 25-50%
Excelente El histograma está correctamente rotulado. 100%
c) Realizar el gráfico de la Ojiva; y, estimar el valor de los Cuartiles utilizando dicha gráfica. (4 puntos)
Q1= 60
Q2= 80
Q3= 86
Nivel Criterios
Insuficiente No realiza gráfico alguno.
Regular Ubica las clases en el eje X y la Frecuencia Relativa Acumulada en el eje Y. 25%
0%
Puntos
Satisfactorio Grafica correctamente la Ojiva. 25-50%
Excelente Estima correctamente los cuartiles a partir de la Ojiva. 100%
d) Construir el gráfico del Diagrama de Cajas. ¿Existen valores aberrantes? (4 puntos) Diagrama de Cajas - Curso Estadística aplicada a la Investigación Educativa
0
20
40
60
80
100
C1
Nivel Criterios
Insuficiente No realiza gráfico alguno.
Regular Ubica las clases en el eje X.
0%
Puntos
Satisfactorio Grafica correctamente las cajas y el bigote del diagrama.
Excelente Determina la presencia de valores aberrantes a partir del criterio del Rango Intercuartil.
25-50%
100%
25%
e) Calcular las siguientes Estadísticas Descriptivas ( mostrar el desarrollo de los cálculos ): (4 puntos)
Nivel Criterios
Puntos
Media (0,75)
Error Estándar de la Media (0,25)
Moda (0,5)
Varianza (0,75)
Desviación Estándar (0,5)
Mínimo (0,5)
Máximo (0,5)
75,97
2,30
81
349.86
18,70
0
95
Insuficiente Regular No realiza cálculo Plantea la respuesta alguno. pero no realiza cálculo alguno. 0%
25%
Satisfactorio Calcula la respuesta pero se equivoca en los cálculos. 25-50%
Excelente Calcula correctamente los resultados de los estadísticos. 100%
TEMA 2. Mediciones respecto del esfuerzo constante obtenido a partir de pruebas independientes para 2 tipos de suelos proporcionaron los resultados siguientes: Suelo tipo I Suelo tipo II = 30 = 35 =1,62 =1,43 0,26 0,22 a) Difieren los 2 suelos con respecto al esfuerzo constante promedio, a un nivel de significancia del 1%? (15 puntos)
̅ =
Ho : 1
2
0
Ha : 1
2
0
̅ =
El valor del estadístico de prueba es:
Z
1.62 1.43 0 (0.26) 30
Región de rechazo: Z Z
/
Z Z 0.005 Z
Z
2.57
2
Z
2
(0.22)
2
3.15
35
Z / 2 (se trata de una prueba de hipótesis de dos colas)
Z 0.005
Z 2.57
Existe evidencia estadística para indicar que los suelos se diferencian en un esfuerzo constante promedio. Nivel
Insuficiente
Regular
Satisfactorio
Excelente Calcula correctamente el estadístico de prueba, identifica que está dentro de la región de rechazo Plantea correctamente la y concluye que se prueba de hipótesis, identifica rechaza la hipótesis que se trata de una prueba de nula en favor de la Plantea dos colas y encuentra alternativa dentro No realiza cálculo correctamente la correctamente el estadístico de del contexto del prueba de hipótesis prueba ejercicio. Criterios alguno. 0 20 - 30% 50 - 70% 100% Puntos
b) Calcule el menor valor para el cual se rechaza la idea de que los dos suelos son iguales respecto al esfuerzo constante. (5 puntos) Z
2
Z / 2 Z
Z / 2
0.0008 0.0016
Nivel
Insuficiente
Regular Identifica que debe calcular el valor p para la prueba pero No realiza cálculo no calcula correctamente Criterios alguno. 0 50% Puntos
Excelente Calcula correctamente el valor p para la prueba 100%
TEMA 3. Una empresa indica en sus paquetes de arroz que el peso medio del paquete es de 900 gramos, con una desviación de 17 gramos. Si se someten a una inspección y se toma una muestra de 50 paquetes. a) ¿Cuál es la probabilidad que el resultado de la inspección indique que la empresa esté estafando a los clientes?, la estafa ocurre cuando el peso es inferior a 850 gramos. (10 puntos) b) ¿Cuál es la probabilidad que en la inspección se cumpla con el estándar de calidad establecido?, esto se da cuando dista en menos de 3 gramos, el peso establecido en el saco y el peso promedio muestral de la inspección. (10 puntos)
SOLUCIÓN a) 10 puntos
RÚBRICA: Nivel Criterios
Puntos
( ≤ 850) = ⁄ −√ ≤ 85017⁄−√ 59000 = ( ≤ −20.79) = 0.000 Insuficiente No realiza ningún cálculo.
0
Desarrollo Regular Plantea correctamente la expresión para el cálculo de la probabilidad.
30%
Satisfactorio Realiza los cálculos para la probabilidad, pero la respuesta no es correcta.
60%
Excelente Determina el valor de la probabilidad correctamente.
100%
b)10 puntos
(|̅ − | ≤ 3) = (−3 ≤ ̅ − ≤ 3) = 17/√ −350 ≤ ⁄ −√ ≤ 17/√ 3 50 = (−1.25 ≤ ≤ 1.25) = 0.79 RÚBRICA: Nivel Criterios
Puntos
Insuficiente No realiza ningún cálculo.
0
Desarrollo Regular Plantea correctamente la expresión para el cálculo de la probabilidad.
30%
Satisfactorio Realiza los cálculos para la probabilidad, pero la respuesta no es correcta.
60%
Excelente Determina el valor de la probabilidad correctamente.
100%
TEMA 4. La prueba ELISA es usada para detectar la presencia del virus del SIDA en muestras de sangre donadas. En particular, ELISA detecta anticuerpos, sustancia que el cuerpo produce cuando el virus del SIDA está presente. Si los anticuerpos se encuentran en la sangre, ELISA da positivo para el virus del SIDA con una probabilidad de .997 y negativo con una probabilidad de .003. Si la muestra de sangre de la prueba no está contaminada con anticuerpos del SIDA, ELISA da un resultado positivo con probabilidad .015 y un resultado negativo con una probabilidad de .985. Asuma que el 1% de la población bajo estudio tiene anticuerpos del SIDA en la sangre. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la prueba ELISA de un resultado positivo para una persona seleccionada de forma aleatoria de esta población? Pista: determine primero P(Anticuerpo), P , P(Sin Anticuerpo), P y luego use el teorema de la probabilidad total (15 puntos) b) ¿Cuál es la probabilidad que una persona tenga el anticuerpo en la sangre, dado que la prueba ELISA da un resultado positivo? (5 puntos)
(Prueba positiva|Anticuerpo)
(Prueba positiva|Sin Anticuerpo)
SOLUCIÓN:
× (Prueba positiva|Anticuerpo) × (Prueba positiva|Sin Anticuerpo)
a) P(Anticuerpo, Positivo) = P(Anticuerpo) P
P(Sin Anticuerpo, Positivo) = P(Sin Anticuerpo) .01485
= (.01)(.997) = .00997
P
= (.99)(.015) =
P(Positivo) = P(Anticuerpo, Positivo) + P(Sin Anticuerpo, Positivo) = .00997 + .01485 = .02482. RÚBRICA: Nivel Criterios
Insuficiente No realiza cálculo alguno.
Puntos
Desarrollo Regular Calcula P(Anticuerpo), P P(Sin Anticuerpo), P correctamente
(Prueba positiva|Anticuerpo) (Prueba positiva|Sin Anticuerpo)
Satisfactorio Usa el teorema de la probabilidad total pero NO obtiene P(Positivo) correctamente
40%
50% - 75%
0
,
Excelente Calcula correctamente P(Positivo) usando el teorema de la probabilidad total 100%
b) P(Anticuerpo| Positivo) = P(Anticuerpo, Positivo)/P(Positivo) = .00997/.02482 = .40169. RÚBRICA: Nivel Criterios
Insuficiente No realiza cálculo alguno.
Puntos
0
Desarrollo Regular Plantea el uso de la regla de Bayes pero no usa las probabilidades correctas
40%
Satisfactorio Plantea el uso de la regla de Bayes con P(Anticuerpo| Positivo) = P(Anticuerpo, Positivo)/P(Positivo) pero no obtiene la respuesta correcta 50% - 75%
Excelente Calcula correctamente P(Anticuerpo| Positivo)
100%
TEMA 5. Como resultado de un estudio estadístico se ha determinado que una llanta de producción ecuatoriana dura en promedio 40 mil kilómetros. Si el tiempo de duración de una llanta tiene una distribución exponencial, calcule la probabilidad que una de estas llantas dure al menos 30 mil kilómetros. Si se toma una muestra de 10 llantas, ¿cuál es la probabilidad que al menos 3 de ellas duren entre 25 y 45 mil kilómetros? (20 puntos) DESARROLLO a) X
Tiempo de duración de una llanta
X ~ Exp
1 llanta
40 mil Km
e
P X 30
b)
t
1 30 40
e
0.47236
Y Número de llantas cada una con duración entre 25 y 45 mil Km
Y ~ B n
10, p
p P 25 X 45 e
1 25 40
e
1 45 40
0.2106
P Y 3 1 P Y 2
P Y 0
10
0.2106 0.7894 0.093966 0
10
0 10 1 9 0.2106 0.7894 0.250687 P Y 1 1 10 2 8 P Y 2 2 0.2106 0.7894 0.300958 Por lo tanto, P Y 3 1 0.093966 0.250687 0.300958 0.354389
Nivel
Criterios Puntos
Insuficiente
No realiza cálculo alguno. 0
Regular Define la variable aleatoria
Satisfactorio
Define la variable aleatoria
exponencial X y encuentra el valor
binomial Y y encuentra el valor del parámetro
de P X 30
p
30%
70%
P 25
Excelente
X 45
Calcula el valor de
P Y 3
100%
