201582_193922_EXERCICIOS+MODELAGEM+MATEMATICA

EXERCÍCIOS PROPOSTOS MODELAGEM MATEMÁTICA MATEMÁTICA Problema 1 Os requerimentos unitários de uma ração para engorda de porcos são os indicados abaixo, por kg de ração: a) b) c) d) e)

Proteína: no mínimo 0.1 kg !á"cio: no mínimo # g $%s&oro: no mínimo  g 'etionina: no mínimo , g !istina: no mínimo 1,0 g

Para a"cançar estes (a"ores especí&icos podese substituir at* #0+ do requerimento de 'etionina por !istina. sta quantidade de !istina de(e ser excedente ao seu requerimento mínimo. -"*m disto, de(ese obedecer para a quantidade de !á"cio e $%s&oro uma re"ação de 1,# a :1, ou se/a, 1,# a  partes de !á"cio para 1 parte de $%s&oro. Os a"imentos usados para &aer a ração, bem como os seus contedos de nutrientes e preços, são os seguintes: Proteína 4kg5kg)

$arin2a 3o/a

$arin2a 3angue

$arin2a Ossos

'i ' i"2o

3orgo

0,1

0,06

0,7

0,68

10,0

18,0

0,0

10,7

1,#

1,7

7,#

11,#

1,0

0,8

,6

0,9

80,#

,#

8,0

10,#

11,

11,8

1,0

6,7

8,0

8,0

1,8

'etionina 4g5kg) !istina 4g5kg) !á"cio 4g5kg) $%s&oro 4g5kg) Preço 4;5kg)

Ob/eti(ase determinar a composição de ração que o&ereça o mínimo custo possí(e", atendendo as exigma estamparia estamparia pode &abricar pias de aço inoxidá(e" inoxidá(e" e5ou sa"adeiras sa"adeiras do mesmo materia". materia". Para isto, uti"ia com mat*riaprima c2apas de aço de um taman2o nico, padroniado. !om cada c2apa pode se estampar uma pia e duas sa"adeiras ou então seis sa"adeiras. -s sobras são economicamente inapro(eitá(eis. ?o processo de estamparia as c2apas uti"iadas para produir pias e sa"adeiras requerem um tempo de  minutos, enquanto que as c2apas uti"iadas para produir apenas sa"adeiras requerem um tempo de processamento de 1 minutos. -s empresa possui duas máquinas de estampar com uma disponibi"idade de 0 2oras semanais cada uma.

Pesquisa Operaciona" Pro&. @uis Aenrique Bodrigues

Página: 151

O preço de (enda de cada pia * de ; 0 e de cada sa"adeira de ; 80. !ada c2apa de aço inoxidá(e" custa ; 0. Os demais custos não dependem da decisão. 3abese por experi
Problema 3 >ma pequena &ábrica de pape"toa"2a manu&atura tr
 # 0,9

C # 10 1

!   

?o. 'áquinas 8 10 

Pedese: a) Eua" o mix de produção que maximia o "ucro semana" da empresaF b) 3upondo que existe uma proposta de pagamento de B; 0,10 por 2ora de traba"2o em qua"quer das seç=es da &ábrica. Eua" de"as poderia ser a"ugada, sem comprometer o mix de produtos determinado acima, e qua" seria o gan2o obtido com istoF

Problema 4 >m &abricante de brinquedos dese/a programar a produção de um determinado brinquedo para atender a seguinte demanda: Outubro: 1.00 unidades ?o(embro: 8.700 unidades Deembro: .00 unidades - capacidade norma" de produção * de 1.60 unidades. >sando 2orasextras, obt*mse uma capacidade adiciona" de 1.80 unidades5mma grande empresa de mineração tem insta"aç=es em 8 estados distintos, identi&icados como 'ineraç=es -, C e !. Gais mineraç=es de(em atender a tr

Página: 51

comercia"iação, "oca"iadas em pontos distintos das mesmas, identi&icadas como cidades 1,  e 8. Os custos de transporte 4;5ton) entre as mineraç=es e as usinas de bene&iciamento são con2ecidos e apresentados na tabe"a a seguir, bem com as capacidades de produção 4ton) de cada mineração e as demandas de comercia"iação 4ton) das usinas de bene&iciamento. 'ineraç=es C ! Demanda das usinas

>sinas de bene&iciamento de cobre !idade 1 !idade  !idade 8  #  # 10  0,9 1  0,9 1 

!apacidade das mineraç=es 8 10  

Por outro "ado, tamb*m são con2ecidos os custos de extração do min*rio nas mineraç=es e de bene&iciamento nas usinas, os quais estão apresentados na tabe"a abaixo: 'ineraç=es C !

!ustos extração >sinas de !ustos bene&ic. 4;5ton) bene&iciamento 4;5ton) #0 !idade 1 90 0 !idade  7# 8# !idade 8 70

Ob(iamente, a empresa dese/a otimiar os custos totais 4somat%rio dos custos de mineração, bene&iciamento e transporte), atendendo o mercado a partir das cidades de acordo com a capacidade das mineraç=es. De(ese obser(ar que, tanto para o transporte, como para a mineração e o bene&iciamento, de(em ser processadas, sempre, quantidades m"tip"as de 1 tone"ada.

Problema 6 >m traba"2ador de(e sair de sua casa, "oca"iada em - e c2egar ao "oca" de traba"2o em H, todos os dias, pe"a man2ã. Gendo (árias possibi"idades de itinerários, e"e de(e determinar qua" o percurso que minimia o custo de des"ocamento, entre sua casa e o "oca" de traba"2o. ?a tabe"a abaixo estão co"ocados os custos re"ati(os de cada rota. ?esta, o n% de origem está na primeira co"una e o destino nas demais. xemp"o: do "oca" C existe uma rota para ! com custo , do "oca" ! existe uma rota para C com custo 8. C ! D  $ H 8 # C  8 # ! 8 1  D  8    8 $    H


Página: 851

Problema 7 >ma ag
?mero de $uncionários 19 18 1# 16 1 17 11

Por exigma &ábrica de m%(eis tem como dois dos seus principais produtos mesas de madeira e mesas metá"icas. -s mesas de madeira proporcionam um "ucro de ; 1,00 por unidade, /á as mesas metá"icas determinam um "ucro de ; 10,00 por unidade. - &abricação de uma mesa de madeira requer 1# minutos da operação -, 80 minutos da operação C e 0 minutos da operação !. Já a produção de uma mesa metá"ica exige 80 minutos da operação - e 1# minutos da operação !. - empresa disp=e de 0 2oras semanais para a operação -, 80 2oras semanais para a operação C e 0 2oras semanais para a operação !. Para garantir a (enda de toda a sua produção a empresa &irmou um contrato de exc"usi(idade com um distribuidor. O mesmo exige que a produção mínima semana" se/a de 1# mesas de madeira e 0 mesas metá"icas. -"*m disto, em &unção da demanda di&erenciada pe"os dois tipos de produtos, o distribuidor exige que a re"ação entre as mesas de madeira e metá"icas se/a no mínimo de 1:8, ou se/a, para cada mesa de madeira produida podem ser produidas no máximo 8 mesas metá"icas. $ormu"e o mode"o de Programação @inear que representa o prob"ema acima, desconsiderando a condição de que as (ariá(eis de(em ser inteiras, determinando qua" o mix de produção que maximia o "ucro semana" da &ábrica de m%(eis. De(em ser atendidas todas as condiç=es impostas pe"o distribuidor e a resposta de(e ter (a"ores a/ustados para nmeros inteiros.

Problema ! >ma compan2ia &abrica dois produtos, P1 e P, (endidos por peso, que uti"iam os mesmos recursos produti(os: mat*riaprima, &or/a e po"imento. !ada kg de P1 exige  2oras de &or/aria,  2oras de po"imento e uti"ia 10 g de mat*riaprima. !ada kg de P requer  2oras de &or/aria, 8 2oras de po"imento e 0 g de mat*riaprima. O preço de (enda de P1 * de ;1.600,005kg e de P ;.1005kg. parce"a de mercado que a compan2ia domina permite que se/am comercia"iados, por m

Página: 51

Determinar para a situação acima a quantidade de P1 e P que de(em ser &abricados para maximiar a receita mensa" da compan2ia.

Problema 1" !onsidere uma p"anta de manu&atura capa de produir garra&as p"ásticas com 4!) ou sem 43) r%tu"o. -s garra&as com r%tu"o são (endidas por ; 10,#0 o "ote, enquanto que as garra&as sem r%tu"o possuem um preço de (enda de ; ,00. Para produir um "ote de garra&as com r%tu"o são consumidos # kg de p"ástico a ; 1,005kg, 0,# m  de pape" a ; ,005m  e 1 &rasco de tinta a ; 1,005&rasco. Para produir um "ote de garra&as sem r%tu"o são consumidos  kg de p"ástico a ; 1,005kg. - &abricação de um "ote de garra&as com r%tu"o exige 1# minutos da máquina de sopro, 10 minutos na operação de serigra&ia, # minutos no recorte e 9 minutos na co"agem. Já a produção de um "ote de garra&as sem r%tu"o necessita de 0 minutos na máquina de sopro. - empresa opera num regime de 0 2oras semanais e disp=e de  máquinas de sopro, 1 máquina de serigra&ia e 1 máquina para recorte e co"agem 4na mesma máquinaK). 3abendose que existe em estoque no a"moxari&ado 100 kg de p"ástico, 00 m  de pape" e 10 &rascos de tinta e considerandose que não 2a(erá reposição antes de uma semana, determinar o mix de produção que maximia o gan2o semana" da empresa, onde o gan2o por "ote * igua" a P L ', sendo P M preço de (enda por "ote e ' M custo de mat*riaprima por "ote.

Problema 11 !onsidere uma meta"rgica que disp=e de tecno"ogia necessária para a extração de metais di(ersos a partir da sucata, &ornecendoos ao mercado. O programa de entrega aos c"ientes, para a pr%xima semana, * de 80 kg de cobre, #80 kg de estan2o, 170 kg de c2umbo e 1.#00 kg de &erro. Os estoques, no início da pr%xima semana, serão de #0 kg de cobre, 80 kg de estan2o e 1.900 kg de &erro. - quantidade estocada de c2umbo, no início da pr%xima semana, será igua" a ero. Os &ornecedores - e C &ornecem sucata com quantidades dos di(ersos metais con&orme a tabe"a abaixo: 'eta" !obre stan2o !2umbo $erro Outros

3ucata do $ornecedor 4+) C 8 6 10 10 17  0 70 81 16

O custo por tone"ada 41.000 kg) de sucata * de ; 60,00 e d; 9#,00 para os &ornecedores - e C, respecti(amente.


Página: #51

O &ornecedor C in&ormou que, para a pr%xima semana, disporá de, no máximo,  tone"adas de sucata para entrega. O &ornecedor - não impNs quaisquer restriç=es para a quantidade de sucata a ser entregue. Determinar a quantidade de sucata a ser comprada de cada &ornecedor, a &im de cumprir o programa de entrega da pr%xima semana, minimiando o custo de aquisição de sucata. !onsiderar que a empresa pretende produir apenas o necessário para atender ao programa de entrega da pr%xima semana.

Problema 12 !onsidere uma p"anta de manu&atura capa de produir dois produtos distintos, B e 3. O produto B possui um preço de (enda de ; 17,00 por unidade e o produto 3 possui um preço de (enda de ; 1,00 por unidade. O consumo de mat*riaprima por unidade de produto e o custo de mat*riaprima * dado na tabe"a abaixo: Produto B 3 !usto

'at*ria Prima 'P1 'P  kg  kg 1 kg  kg ; ,005kg ; 1,005kg

?ão 2á materia" em estoque. Portanto, para que os produtos B e 3 possam ser &abricados, * necessário que a mat*riaprima se/a comprada. - disponibi"idade de capita" para compra de mat*rias primas 'P1 e 'P * de ; .00,00 por m

Página: 751

Problema 13 !onsidere uma p"anta de manu&atura capa de produir dois produtos distintos P e E. O produto P possui um "ucro de ; 0 por unidade e o produto E possui um "ucro de ; 1 por unidade. - &abricação de uma unidade do produto P exige 1# minutos da operação -, 80 minutos da operação C e 0 minutos da operação !. Já a produção de uma unidade do produto E exige 80 minutos da operação - e 1# minutos da operação !. - empresa disp=e de 0 2oras semanais para a operação a, 80 2oras semanais para a operação C e 0 2oras semanais para a operação !. !onsiderar, &ina"mente, que a empresa possui um #o$%ra%o &e 'or$e#(me$%o que obriga a uma produção mínima semana" de 1# unidades do produto P e 0 unidades do produto E. Pedese: a) determinar o m() &e *ro&+,-o .+e ma)(m(/a o l+#ro 0ema$al da empresa, considerando %o&a0 a0 re0%r(,e0 acima apresentadas. b) determinar, ainda, o m() &e *ro&+,-o .+e ma)(m(/ar(a o l+#ro 0ema$al da empresa, se as restriç=es re"ati(as ao #o$%ra%o &e 'or$e#(me$%o &ossem desconsideradas, mantendo todas as demais restriç=es apresentadas.

Problema 14 >ma empresa de "in2a a*rea necessita adquirir no(os a(i=es para distIncias "ongas 4D@), m*dias 4D') e curtas 4D!) e possui uma (erba de B;  bi"2=es para a compra. Os custos unitários e os "ucros anuais "íquidos para cada tipo de a(ião estão co"ocados na tabe"a abaixo: Gipo D@ D' D!

!usto unitário 4B; x 107) 70 0 80

@ucro "íquido 4B; x 107)  8 

3e apenas a(i=es D! &ossem adquiridos, a capacidade máxima de manutenção, em (irtude do espaço, permitiria atender simu"taneamente at* 10 a(i=es. m termos de uti"iação das insta"aç=es de manutenção, os a(i=es D' e D@ equi(a"em, respecti(amente, a  e 8 a(i=es D!. -demais, a experi
Problema 15 - !a"2ambeque 3.-. &abrica carros de "uxo destinados a mu"2eres e 2omens de a"to poder aquisiti(o. Para a"cançar esta &aixa de pessoas decidiu comprar um inter(a"o de 1 minuto de comercia" em dois tipos de programas: s2os de (ariedades e5ou /ogos de &utebo". >m comercia" de um s2o de (ariedades * (isto por 9 mi"2=es de mu"2eres e  mi"2=es de 2omens de a"to poder aquisiti(o. >m /ogo de &utebo" * (isto por  mi"2=es e 1 mi"2=es de mu"2eres e 2omens respecti(amente. >m


Página: 951

comercia" de 1 min no programa de (ariedades custa B;#0.000 e no /ogo de &utebo" B; 100.000. Dado que a !a"2ambeque 3.-. quer atingir pe"o menos  mi"2=es de mu"2eres e  mi"2=es de 2omens de a"to poder aquisiti(o, determine quantos minutos de comerciais serão in(estidos em s2o de (ariedades e5ou /ogos de &utebo".

Problema 16 - Benta !ar está a(a"iando a distribuição dos seus carros de a"ugue" nas di(ersas cidades onde possui escrit%rios. - empresa a"uga tr
!O?R'S!O

3G-?D-BD

@>QO

0 80 10

10 0 #

10 0 #

ntretanto, as cidade D E  e G possuem uma car
!O?R'S!O

3G-?D-BD

@>QO

10 0 0 #

# # 10 0

# # 10 0

m termos do e(entua" transporte dos carros excedente de uma cidade para outra, de(e ser obser(ado que uma cidade especí&ica não pode &ornecer mais de 0 carros, inc"uindo todos os mode"os, para uma mesma cidade recebedora. Dado que os custos unitários de transporte, independentemente do tipo de carro transportado, das cidades -, C e ! para as cidades D, , $ e H são di&erenciados, con&orme a tabe"a a seguir, o gerente de distribuição não sabe como reso"(er esse prob"ema de uma maneira %tima.

!SD-D3 !5 Q!33O CIDADES C ALTA D  $ H

-

C

!

100 800 00 100

1#0 00 100 00

00 100 1#0 1#0


Página: 51

Problema 17 - Grambique 3.-. possui # quest=es /udiciais. - empresa so"icitou uma cotação de preços para 8 ad(ogados, os quais in&ormaram os seguintes (a"ores por caso:

!-3O -DOH-DO C !

1



8



#

1000 000 1#00

000 000 1#00

8000 000 000

000 000 000

1000 000 1#00

!ada caso demandará um con/unto especí&ico de 2oras, con&orme demonstra a pr%xima tabe"a: !-3O

D'-?D- 4em 2oras) 00 800 00 00 800

1  8  #

Por sua (e, cada ad(ogado possui um nmero &inito de 2oras disponí(eis: -DOH-DO C !

DS3PO?SCS@SD-D 4em 2oras) 900 #00 700

3endo que:  !ada caso terá apenas um ad(ogado a"ocadoT  >m determinado ad(ogado não poderá tratar mais de dois casos e  O ad(ogado que tratar o caso 5 não poderá traba"2ar no caso 1. - Grambique gostaria de se"ecionar os ad(ogados de &orma que o custo tota" de de&esa se/a minimiado.

Problema 1 >m mostruário especí&ico pode ser composto por gar&os, &acas e co"2eres de tr
!OB3

CB-?!-

B'@A-

-U>@

1 1. 1

1. 1.# 

1.1 1.8 .1

3endo que: nmero tota" de itens nesse mostruário de(e ser igua" a 100. a quantidade tota" de gar&os, de(e ser no mínimo igua" a soma da quantidade tota" de &acas e co"2eres, independentemente das cores. • •


Página: 651

a quantidade tota" de itens 4gar&os, &acas e co"2eres) de cor branca de(e ser no máximo igua" a soma da quantidade tota" de itens de cor (erme"2a e au" e para cada &aca branca de(erão compor no mostruário dois gar&os de cor au" e tr
•

De&ina a composição do mostruário que atenda as restriç=es descritas anteriormente minimiando o custo tota".

Problema 1! oc< possui uma moc2i"a que pode comportar at* # Vg. >ma (e que existam # itens, cada qua" com um respecti(o peso e grau de satis&ação, qua" composição de itens maximiaria a sua satis&açãoF SG' 1  8  #

P3O 4em Vg) 8 1   #

HB-> D 3-GS3$-WXO 7 9  9 10

Problema 2" - empresa de transporte a*reo VO'CS !O' -3-3 &oi consu"tada pe"a Coa iagem Gurismo @tda. para transporte de 900 pessoas de Porto -"egre at* $"orian%po"is. Para o dia dese/ado, a empresa de a(iação disp=e de  tipos de a(i=es: o BG09, que pode transportar 80 passageiros com tripu"ação de 8 pessoas, e o BG09, que tem capacidade para 7# passageiros e exige uma tripu"ação de # pessoas. Euanto Y "ocação, as despesas serão de ;900,00 e ;1.#00,00, respecti(amente, para cada unidade de BG09 e BG09 "ocado 4sem mais nen2uma despesa adiciona"). Euantos a(i=es de cada mode"o de(em ser usados de maneira a minimiar o custo tota" de "ocação, considerando que no dia do (No 2a(erá uma disponibi"idade máxima de 70 pessoas para compor as tripu"aç=esF

Problema 21 >ma &irma tem 8 &ábricas que distribuem sua produção para quatro dep%sitos. - capacidade da $ábrica 1 * de , mi" unidades de produto por semana, produção esta que * obtida a um custo m*dio de ; 8.000 por mi" unidades. - capacidade da $ábrica  * de8, mi" unidades de produto por semana, produção esta que * obtida a um custo m*dio de ; 9.000 por mi" unidades. - capacidade da $ábrica 8 * de 1, mi" unidades de produto por semana, produção esta que * obtida a um custo m*dio de ; 6.000 por mi" unidades. - ger

Página: 1051

Os custos de transporte entre as di(ersas &ábricas e dep%sitos * como segue 4em ; mi" 5 mi" unidades de produto): Dep%sitos $ábricas 1  8

1



8



7 # #8

80 81 6

8# #8 0

6 1 6

O prob"ema da ger
Problema 22 >ma &irma que produ te"e(isores tem duas &ábricas, "oca"iadas nas cidades - e C, nas quais são produidos tubos de imagem e duas outras &ábricas 4"oca"iadas nas cidades ! e D, nas quais são produidos c2assis e rea"iadas as montagens dos te"e(isores. !ada te"e(isor * composto de um tubo e um c2assi. - &ábrica - pode produir no máximo 600 tubos por m
!

D

;80 ;70

;10 ;890

O custo de transporte de um c2assi, de ! para D 4ou (ice(ersa) * de ;80. -p%s a montagem, os apare"2os são "e(ados para (enda nos "ocais  e $. - cada um destes "ocais de(em ser destinadas 00 unidades no pr%ximo m


$

;700 ;600

;#00 ;900

O prob"ema consiste em cumprir os compromissos de (enda ao menor custo de produção e transporte possí(eis.


Página: 1151

Problema 23 -. Bue"a * dono de uma &ábrica de para&usos. !omo está se saindo bem no neg%cio, decidiu montar duas no(as &ábricas para atender a 8 mercados promissores. "e pode esco"2er entre  "ocais, mas os "ocais A e B são 'utuamente exc"usi(os. Os custos en(o"(idos 4custo de imp"antação e custos de transporte por tone"ada dos possí(eis "ocais de insta"ação a esses no(os mercados), capacidades produti(as e demandas mínimas de cada mercado são dados na tabe"a a seguir. $ormu"ar o prob"ema de &orma que a demanda se/a satis&eita ao menor custo g"oba" possí(e". 'ercados @ocais C ! D Demanda 4ton)

!usto de transporte 4;) 1  8 ,0 1, 8,# 1, 1,# 8, 0,6 0,# 1, ,1 1,1 ,7 00 0 800


!usto de Smp"antação 4;) 10 0# 70 1#0

!apacidade Produti(a 4ton) 900 #00 00 700

Página: 151

201582_193922_EXERCICIOS+MODELAGEM+MATEMATICA

Recommend Documents