Simpli!:
%e &'$ re(ri#e #)e e*pre++io$ '+ ollo(+,
-! &ro++ m"l#ipli&'#io$, m"l#ipli&'#io$,
Si$&e #)e .e$omi$'#or i+ '$ irr'#io$'l $"mber, (e r'#io$'li/e i# b! m"l#ipl!i$ #)e e*pre++io$ b! 1 #o pre+ere i#+ i.e$#i#! i.e$#i#!
E'l"'#e:
-! lo$ me#)o., (e &'$ &o$er# $e'#ie $e '#ie e*po$e$#+ e*po$e$#+ #o r'&#io$+ '$. +impli! i# "+i$ r'&#io$+ Re&'ll #)'# %e .o #)e +'me i$ #)e problem,
Simpli! $"mer'#or '$. .e$omi$'#or .e$omi$'#or '+ ollo(+, ollo(+,
E'l"'#e:
-! lo$ me#)o., (e &'$ &o$er# $e'#ie $e '#ie e*po$e$#+ e*po$e$#+ #o r'&#io$+ '$. +impli! i# "+i$ r'&#io$+ Re&'ll #)'# %e .o #)e +'me i$ #)e problem,
Simpli! $"mer'#or '$. .e$omi$'#or .e$omi$'#or '+ ollo(+, ollo(+,
Simpli!:
%e &'$ 4"+# .o i# b! "+i$ r'&#io$+
E*#r'&#i$ #)e pere&# +"'re+,
Problem 6: Simpli!: Sol"#io$: re(ri#e #)e e*pre++io$ '+ ollo(+,
R'#io$'li/i$ #)e .e$omi$'#or,
*7! &'$&el+ o"# le'i$,
Problem 5: I ', b, '$. & 're re'l $"mber+ +"&) #)'# Fi$. #)e 'l"e o
'$.
Sol"#io$: Gie$ #)e r'#io o b '$. ' '$. b '$. &, (e i$. ('!+ #)'# b m"+# be o #)e +'me 'l"e i$ bo#) propor#io$+ -! m"l#ipl!i$ ' $"mber #)'# i+ e"'l #o 1, +"&) &o$.i#io$ &'$ be '##'i$e.
For #)e o#)er r'#io:
Si$&e (e 'lre'.! )'e ' "$iorm 'l"e+ or ', b, '$. & (e &'$ +'! #)'# ':b:&82:10:5 Soli$ or #)e 'l"e o
Problem: I
'$.
, ()'# i+ *
Sol"#io$: %e +ole or ! or #)e +e&o$. e"'#io$,
No(, (e +"b+#i#"#e #)i+ ! #o #)e ir+# e"'#io$,
E"'#e #)i+ #o 0,
;b+ere #)'# #)i+ i+ ' "'.r'#i& e"'#io$ i$ *<9, #)"+ b! '&#ori$ (e )'e
Soli$ or *=+:
Soli$ or '$o#)er *:
Si$&e *>0 i+ #)e ie$ re+#ri&#io$ i$ #)e problem, #)e o$l! +ol"#io$ i+ *89
Problem ?: I
, ()'# i+ @*73
Sol"#io$: %e &'$ re(ri#e @* i$ '&#or orm '+ ollo(+,
To i$. @*73, (e le# *8*73,
Problem B: I '$. $"mber .oe+ Sol"#io$:
Soli$ or @7' '$. @7',
For @7',
Soli$ or ':
, or 'll re'l $"mber * For ()'# re'l
Soli$ or '$o#)er 'l"e o ':
T)ereore, #)e '$+(er+ 're 0 '$. 71
Problem 9: Sole or *: Sol"#io$: Fir+# +#ep i+ #o +"'re bo#) +i.e+ o e"'#io$ #o remoe #)e o"#ermo+# r'.i&'l
S"'ri$ bo#) +i.e+ ''i$,
Problem 10: Sole or *: Sol"#io$: -! &ro++ m"l#ipl!i$ #)e le# +i.e o e"'#io$ (e )'e,
le# A82*, -8*2,
Simpli!i$,
-! '&#ori$,
Pl"i$ i$ #)e re'l 'l"e+ o A '$. - (e )'e,
Soli$ or *:
I
, +ole or * i$
To +ole e"'#io$+, (e 'l('!+ elimi$'#e r'&#io$+ -! m"l#ipl!i$ #)e ()ole e"'#io$ b! (e &'$ remoe 'll r'&#io$+
No(, +i$&e #)e ri)# +i.e o e"'#io$ i+ r'.i&'l, (e r'i+e bo#) +i.e+ b! 2,
-! '&#ori$ (e )'e,
T)e+e '&#or+ (ill imme.i'#el! #ell "+ #)'# #)e 'l"e+ o * 're 1 '$. 9<6 -! "i&C &)e&C )o(eer, 9<6 'il+ #o +'#i+! #)e orii$'l e"'#io$ T)"+, #)e o$l! +ol"#io$ i+
E'l"'#e
T)i+ i+ ' $e+#e. r'.i&'l '$. I 'lre'.! )'e ' #"#ori'l o$ )o( #o +ole #)i+ problem I !o"=re "+e. #o +ee problem liCe #)i+, !o" mi)# be 'ble #o +ole i# i$ le++ #)'$ 3 +e&o$.+ For re'l To +ole #)i+ #)o"), (e le# * be e"'l #o
S"'re bo#) +i.e+,
No(, re&'ll #)'#
T)e +"'re roo# o ' po+i#ie $"mber (ill 'l('!+ be po+i#ie T)"+, #)e '$+(er i+ 71 i+ '$ e*#r'$eo"+ roo#
Fi$. #)e #(o &o$+e&"#ie i$#eer+ ()o+e pro."&# i+ 50
Le# * be #)e +m'ller i$#eer Si$&e (e 're looCi$ or #)e #(o
;NSEUTIE i$#eer+, #)e o#)er $"mber m"+# be *1 I# i+ +#'#e. #)'# #)eir pro."&# i+ 50, #)"+
T)ereore, #)e $"mber+ #)'# (e 're looCi$ or 're 're '$.
I
'$. i
, ()'# i+ #)e l'rer roo# o
Le# * '$. ! be #)e roo#+ o e"'#io$ -! ie#'=+ orm"l', (e )'e From #)e rel'#io$+)ip o #)e &oei&ie$#+, (e +ole or & i$ #erm+ o ' '$. b
%e +"b+#i#"#e #o & o ,
From (e +ole or b<',
%e +"b+#i#"#e #)i+ #o
-! '&#ori$,
Si$&e #)e roo#+ 're e"'l, #)ere i+ $o re'#er roo# T)e '$+(er i+
Problem 15: Sole or * i$ Sol"#io$:
%e 'l+o proi.e. #)e e'+ie+# ('! #o +ole #)i+ "'.r'#i& i$e"'li#! i$ #)i+ +i#e -"# le# "+ .emo$+#r'#e #)e '$+(er #o #)i+ problem
I$ #)i+ orm'#, #)e '$+(er i+ i$ #)e orm o 'H*Hb, ()ere b>' '$. ' '$. b 're #)e roo#+ o i$e"'li#!
T)e roo#+ 're +"ppo+e. #o be 3<2 '$. 72 T)"+, #)e +ol"#io$ +e# i+
Sole or re'l $"mber+ +'#i+!i$ #)e i$e"'li#!
-! re'rr'$i$,
Soli$ or *:
;bio"+l!, 72 i+ '$ e*#r'$eo"+ roo# +i$&e (e )'e +"'re roo# o * i$ #)e le# +i.e o e"'#io$ '$. #)e +"'re roo# o '$! $"mber (ill 'l('!+ be re'#er #)'$ 0 T)"+,
)e&C #)i+ #"#ori'l o$ )o( #o .e'l (i#) "'.r'#i& i$e"'li#! l'(le++l!
Fi$. #)e mi$im"m 'l"e o
Mi$im"m 'l"e o "'.r'#i& e"'#io$ &'$ be o"$. "+i$ #)e ollo(i$ orm"l',
()ere ',b, '$. & 're #)e &oei&ie$#+ o "'.r'#i& e"'#io$ -! +"b+#i#"#io$,
Fi$. #)e +m'lle+# 'l"e o
-! AM7GM I$e"'li#! #)eorem (e )'e,
Appl!i$ #)e #)eorem,
T)"+, #)e mi$im"m 'l"e o *5<* i+
Sole or b i$ #)e e"'#io$:
-! &omp'ri+o$, (e &'$ +'! #)'# b8'1 -"# '83@&o$+#'$# p'r#, )e$&e
%ri#e #)e "'.r'#i& e"'#io$ (i#) i$#eer &oei&ie$#+ ()o+e roo#+ 're #)e re&ipro&'l+ o #)e roo#+ o
T)i+ problem '&#"'ll! &'$ be rii.l! +ole. "+i$ ie#'=+ orm"l' b"# #)ere i+ ' )ippe+# ('! #o +ole problem liCe #)i+ ()ere (e &'$ +ole i# i$ 4"+# ' m'##er o #)ree #o 6 li$e+ lo$ Le# ! be #)e roo#+ o #)e .e+ire. e"'#io$ Si$&e #)e ie$ e"'#io$ )'+ ' roo# o *, (e &'$ e+#'bli+) #)e ollo(i$ rel'#io$ b'+e. o$ #)e &o$.i#io$ ie$@re&ipro&'l o #)e roo#+
No(, (e +"b+#i#"#e #)i+ #o #)e ie$ e"'#io$,
Simpli!i$ #o )'e '$ i$#eer &oei&ie$#+ (e )'e,
Droppi$ ! b'&C #o *,
omp"#e #)e +"m o 'll #)e roo#+ o @*72@*1@*71@*680
To i$. #)e +"m o #)e roo#+, (e e*p'$. #)e e"'#io$,
No(, #)e +"m o #)e roo#+ o #)i+ "'.r'#i& e"'#io$ i+ 4"+# #)e $e'#ie r'#io o b '$. ' T)"+, #)e +"m i+
I r '$. + 're #)e roo#+ o
, e'l"'#e
T)e +"m o #)e roo#+ o "'.r'#i& e"'#io$ i+ ''i$ #)e $e'#ie r'#io o b '$. ' T)"+, T)i+ me'$+ #)'#
A&#"'ll!, #)i+ problem .oe+$=# re'll! m'Ce +e$+e '# 'll I ('+ e*pe&#i$ ' #(i+# +ome()ere T)e! mi)# mi+#!pe. #)i+ rom #)i+ T)e l'##er i+ more &)'lle$i$ '$. '..+ l'or #o #)e problem A$!('!+, le#=+ pro&ee.
For ()'# 'l"e@+ o m 're #)e roo#+ o
For ' "'.r'#i& e"'#io$ #o )'e '$ e"'l roo#+, #)e .i+&rimi$'$# m"+# be e"'l #o 0 T)"+,
e"'l
I# i+ C$o($ #)'# ! 'rie+ '+ #)e +"'re o * '$. !8B ()e$ *81 %)'# i+ ! ()e$ *8B
Le# C be #)e &o$+#'$# o propor#io$'li#! Si$&e ! 'rie+ '+ #)e +"'re o * (e )'e,
Soli$ or C ()e$ !8B '$. *81,
Soli$ or ! ()e$ *8B,
S"ppo+e #)'# * '$. ! 're i$er+el! propor#io$'l '$. 're po+i#ie "'$#i#ie+ -! ()'# per&e$# .oe+ ! .e&re'+e i * i+ i$&re'+e. b! 25
%e le# C be #)e &o$+#'$# o propor#io$'li#! '$. (e e+#'bli+) #)e e"'#io$
IF * i$ i$&re'+e. b! 25, #)e 'l"e o * (ill be&ome 125* Si$&e #)e &o$+#'$# o propor#io$'li#! i+ &o$+#'$# %e e"'#e #)e C+ o #(o +i#"'#io$+
From 1, #)e 'l"e o ! .e&re'+e+ #o 0B T)"+, i# .e&re'+e. b!
Problem 2: I 6 me$ &'$ p'i$# ' )o"+e i$ 5 .'!+, i$ )o( m'$! .'!+ &'$ 10 me$ p'i$# #)e +'me )o"+e
Sol"#io$: T)i+ problem i+ '$ 'ppli&'#io$ o 'ri'#io$ A+ #)e $"mber o (orCer+ i$&re'+e+, #)e $"mber o .'!+ #o &omple#e #)e 4ob .e&re'+e+ T)"+, #)e! 're i$er+el! propor#io$'l Le# m be #)e $"mber o people, . be #)e $"mber o .'!+, '$. C be #)e propor#io$'li#! &o$+#'$# From #)i+, (e &'$ +'! #)'#
;r (e &'$ re'rr'$e #)i+ '+ ollo(+,
I$ 'ri'#io$, #)e propor#io$'li#! &o$+#'$# i+ 'l('!+ &o$+#'$# T)"+,
T)"+, '$+(er i+ 2 .'!+
Problem 2?:
I ! i+ propor#io$'l #o #)e &"be o ! '$. * i+ propor#io$'l #o #)e o"r#) po(er o /, #)e$ ! i+ propor#io$'l #o ()i&) po(er o / Sol"#io$: T)i+ problem i+ '"e ! i+ propor#io$'l #o &"be o ! .oe+$=# m'Ce +e$+e %e (ill eri! #)i+ problem ir+# beore (ri#i$ #)e +ol"#io$
Problem 2B: R"$$i$ '# "$iorm +pee. i$ ' r'&e, Ali&e &'$ be'# -e$ b! 20 m, -e$ &'$ be'# 'rlo b! 10 m '$. Ali&e &'$ be'# 'rlo b! 2B m Jo( lo$ i+ #)e r'&e
Sol"#io$: Le# . be #)e .i+#'$&e o #)e r'&e, Le# r1 be #)e r'#e o Ali&e Le# r2 be #)e r'#e o be$ Le# r3 be #)e r'#e o 'rlo Form"l'#i$ e"'#io$: For Ali&e: .8r1@# For -e$: .7208r2@# Si$&e 'li&e i$i+)e. 20 m ')e'. o -e$ '$. #)e #ime i+ e"'l E"'#i$ #ime (e )'e,
K For -e$ &'$ be'# 'rlo b! 10 m For -e$=+ r'#e e"'#io$ .8r2# For 'rlo=+ r'#e e"'#io$, .7108r3# E"'#i$ #)e #ime,
%e &'$ re(ri#e #)i+ '+ ollo(+,
KK
