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MATEMÁTICAS Superficies de revo revolución. lución. Cuádricas. Superficies regladas. Presencia en la Naturaleza, en el Arte y en la Técnica.
3 1 1 4 5 3 1 4 2
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1.
SUPERFICIES: DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
2.
SUPERFICIES REGLADAS
2.1.
SUPERFICIES REGLADAS DESARROLLABLE S
2.2.
SUPERFICIES REGLADAS ALABEADA S
3.
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
3.1.
CONO DE REVOLUCIÓN
3.2.
CILINDRO DE REVOLUCIÓ N
3.3.
ESFER A
3.4.
TOR O
3.5.
ESCOCIA
4.
CUÁDRICAS
4.1.
CUÁDRICAS ELÍPTICAS
4.2.
CUÁDRICAS HIPERBÓLICA S
4.3.
CUÁDRICAS PARABÓLICA S
5.
PRESENCIA EN LA NATURALEZA, EN EL ARTE Y EN LA TÉCNICA
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INTRODUCCIÓN
Las supercies de revolución pertenecen a aquella parte de la Geometría resultante del estudio de las secciones planas y el cálculo de volúmenes de guras, concretamente a la geometría analítica tridimensional. Históricamente el estudio de la Geometría se remonta al siglo III a.C. Descartes realiza im portantes avances, aunque aunque sin llegar a tener en cuenta las tres dimensiones en sus sus estudios. A nales del siglo XVII y, sobre todo Euler durante el siglo siguiente, se encuentran los trabajos más importantes referentes a la geometría analítica tridimensional. A lo largo del tema se estudian las supercies regladas como el tetraedro o el octaedro, las supercies de revolución como los conos, cilindros, esfera, o toro y las cuádricas.
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SUPERFICIES: DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN Se dene una superfcie como el lugar geométrico de las posiciones sucesivas de una línea, indeformable o no, llamada generatriz, que se mueve en el espacio siguiendo una ley determinada y continua. Las supercies pueden presentar innitas formas según sean las leyes a las que obedezca el movimiento, o cambio de forma de la generatriz. Esta generatriz, al moverse, suele apoyarse sobre una o más líneas a las que se denominará directrices o directoras, y que serán las que traducen las leyes a las que obedece el movimiento. La línea móvil o generatriz puede ser recta o curva y la directriz puede ser un punto, una línea o una supercie. supercie. A partir de esta denición, diremos que podemos considerar considerar las supercies engendradas de tres formas diferentes: diferentes:
Como lugar geométrico de las posiciones sucesivas de una línea que se mueve en el espacio cambiando de posición posición según una determinada ley, y no de forma (ejem plo: supercie esférica). Como lugar geométrico de las posiciones sucesivas de una línea que cambia de posición y de forma (ejemplo: supercie supercie cónica). Como envolvente de las distintas posiciones de otra supercie, que se mueve según una determinada ley, manteniendo o no su forma (ejemplo: supercie tórica).
A continuación, exponemos brevemente algunos de los conceptos más utilizados en el manejo de supercies. Se dene la tangente a una supercie en un punto como la tangente en el mismo punto a una curva cualqu cualquiera iera conte contenida nida en la supercie y que pase por dicho punto. Si el lugar geométrico de las tangentes a todas las cur vas trazadas sobre la supercie que pasan por un punto es un plano, al punto se le denominará ordinario, y al plano, pla no, plano tangente. Si no es un plano, al punto se le denominará denominará singular, y en él no existirá un único plano tangente. tangente.
Figura 1
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Se dice que una recta es normal a una supercie en un punto, cuando es perpendicular al plano tangente a la su percie en dicho punto. Cualquier plano que pase por la normal a la supercie supercie en un punto punto se le denomina plano normal a la supercie en dicho punto. punto. La sección que produce produce en la supercie se llama sección normal y la curvatura de la misma, curvatura normal (gura 1).
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Supercies regladas Desarrollables
Alabeadas
Planos
Poliedros
Radiadas
Plano
Regulares
Irregulares
Tetraedro Cubo Octoedro Dodecaedro Icosaedro
Cilíndricas
Cónicas
Pirámide Cono Cono de revolución
Cilindro Prisma Cilindro de revolución
Cuádricas radiadas
Alabeado Conoide Cilindroide Helicoides reglados Hiperboloide reglado de revolución Cuádricas hiperbólicas
Superficies no regladas o superficies curvas De segundo grado
(cuádricas no regladas o elípticas) Elipsoide elíptico Hiperboloide elíptico Paraboloide elíptico
Otras
De revolución
Esfera Toro Escocia
Helicoides curvas Serpentines
Supercies compuestas
Figura 2. Clasificación de superficies
Las supercies presentan una clasicación en grupos atendiendo a la forma de su generatriz y a la ley de su generación. generación. No existe una única clasicación, ya que ésta puede presentarse bajo distintos puntos de vista (gura 2). La primera clasicación de las supercies atiende a la forma de la generatriz. Así, según ésta sea una recta o curva, las supercies se clasican en regladas y no regladas o curvas. A su vez, las supercies regladas se clasican según puedan desarrollarse en un plano o no, denominándose denominándose su per percies cies regladas desarrollables o no desarrollables (también denominadas alabeadas) respectivamente. Las supercies no regladas o curvas son todas no desarrollables. Por último, las formadas por dos o más supercies distintas se llaman compuestas. Se denomina orden o grado de una supercie al máximo número de puntos en que puede ser cortada por una recta, es decir, decir, el orden de las ecuaciones algebraicas a las que responde. A las de orden 2, 3, 4, .. se las llama cuádricas, cúbicas, cuárticas, etc. En general, las supercies no pueden representarse, como las líneas, por las pro yecciones de sus puntos, puesto que éstas cubrirían total o parcialmente el plano de proyección. pro yección. Naturalmente se representarán por las proyecciones de sus generatrices, dando para ello el número mínimo de líneas o elementos (directrices) que permite determinar la generatriz que pasa por un punto dado de la supercie. Por último, se suelen incorporar las líneas más características y la proyección de su contorno. Dada la amplitud del tema (básicamente el alcance del mismo es la clasicación completa de las supercies), durante durante el desarrollo del mismo sólo entraremos en el detalle de aquellas supercies de importancia didáctica relevante.
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SUPERFICIES REGLADAS Comenzamos el análisis por el primer grupo de supercies, supercies, las supercies regladas, que son aquéllas engen engendradas dradas por una generatriz rectilínea que se mueve en el es pacio. Como hemos comentado, se clasican, atendiendo a la característica de ser desarrollables o no en el plano, en supercies regladas desarrollables y supercies regladas no desarrollables o alabeadas.
2.1.
SUPERFICIES REGLADAS DESARROLLABLES Son supercies regladas que presentan la característica característica de poder ser desarrolladas en el plano. Presentan como propiedades fundamentales las siguientes: siguientes:
Dos generatrices innitamente próximas se cortan, es decir, son coplanarias.
Todas To das las generatrices son tangentes a una curva alabeada.
El plano tangente a la supercie lo es a lo largo de una generatriz.
La supercie reglada desarrollable más sencilla es el plano. Las siguientes en complejidad son las denominadas poliedros: sólidos o cuerpos geométricos limitados por polígonos polígonos planos, de tal modo que cada lado pertenece a dos poligonales y que dos polígonos de lado común no son coplanarios. Los polígonos y sus lados, vértices y ángulos internos son, respectivamente, las caras, aristas y ángulos planos del poliedro. Los poliedros se clasican en poliedros regulares y poliedros irregulares. Se denominan poliedros regulares a aquellos que tienen sus caras y ángulos diedros (ángulos formados formados por dos caras de arista común) iguales, y pueden ser convexos o estrellados. Los poliedros irregulares no tienen las caras y ángulos diedros iguales. De entre todos ellos, presentamos el análisis detallado detallado de los denominados poliedros regulares convexos, por ser los de mayor aplicación. X
Tetraedro
Con 4 caras triangulares (triángulos equiláteros), equiláteros), 4 vértices y 6 aristas, sus propiedades fundamentales son:
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Las aristas opuestas se cruzan ortogonalmente. La mínima distancia entre dos aristas opuestas coincide coincide con el segmento que une sus puntos medios. La altura del vértice pasa por el baricentro de la cara opuesta.
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X
Hexaedro o cubo
Con 6 caras cuadrangulares, 8 vértices y 12 aristas; siendo sus propiedades fundamentales:
X
Dada una de sus diagonales, los 6 vértices que no pertenecen a ella pertenecen, 3 a 3, a dos planos que la dividen en tres partes iguales. Las tres aristas que concurren en un vértice forman un triedro trirrectángulo. Los triángulos de vértices correspondientes a dos vértices opuestos son paralelos y forman un ángulo de amplitud π.
Octaedro
Con 8 caras triangulares (triángulos equiláteros), 6 vértices y 12 aristas. Entre sus propiedades fundamentales están las siguientes:
X
Las caras opuestas están situadas sobre planos paralelos, paralelos, y giradas una respecto de otra con una amplitud π alre alrededor dedor de la recta que une sus centros.
La recta que une los baricentros de dos caras opuestas es perpendicular a ambas.
Las tres diagonales forman un triedro trirrectángulo de vértice el centro del poliedro.
Dodecaedro
12 caras pentagonales, 20 vértices y 30 aristas, cumpliendo:
Por cada arista pasa un plano diametral que contiene a la opuesta. Por cada cara existe otra opuesta y paralela, girada un ángulo π respecto a la recta que une los centros de los pentágonos considerados como caras opuestas.
Tetraedro Hexaedro o cubo
Dodecaedro
Octaedro
Icosaedro Figura 3
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X
Icosaedro
Con 20 caras triángulos equiláteros, 12 vértices y 30 aristas, y con c on iguales propiedades a las del dodecaedro. dodecaedro. Por último, el tercer grupo en que se encuentran divididas las supercies regladas desarrollables son las denominadas denominadas supercies radiadas. Éstas se engendran por una recta (generatriz rectilínea) que se mueve apoyándose en un punto y en una directriz que puede ser curva o poligonal. En concreto, si una línea plana (abierta o cerrada) se proyecta desde un punto V exterior a su plano, se obtendrá en general una supercie cónica (abierta o ce rrada). Si el punto V es impropio (punto del innito), se obtendrá una supercie cilíndrica. Si la línea es poligonal, se obtiene una supercie poliedral que puede ser piramidal o prismática, prismática, según el punto V sea propio o impropio (gura 4). En general, son supercies ilimitadas, puesto que lo es su generatriz. 2.2.
SUPERFICIES REGLADAS ALABEADAS Son supercies regladas que no pueden ser desarrolladas desarrolladas o extensibles en un plano. Son engendradas por una generatriz generatriz que se apoya en tres directrices curvas, de forma que ninguna de ellas se encuentra sobre una supercie desarrollable. Las
propiedades que las caracterizan son:
Dos generatrices innitamente próximas se cruzan. A cada punto de la generatriz le corresponde un plano tangente, que es secante a la supercie, destacando destacando entre ellos el plano asintótico (paralelo a la generatriz e innitamente próximo), el plano central (pasando por la generatriz es perpendicular al asintótico) asintótico) y el plano medio (bisector del diedro recto formado formado por los dos planos anteriores).
Figura 4
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SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN En general, se dene una supercie no reglada o su percie curva como aquella engendrada por el movimiento de una línea curva. De entre todas las supercies curvas, señalamos las denominadas supercies de revolución como las más interesantes, interesantes, tanto por su gran número y variedad como por su continuo continuo empleo en la industria, la ingeniería y la arquitectura. arquitectura. las engendradas por el movimiento de una línea indeformable (línea generatriz) que gira alrededor de una recta ja (eje de giro o eje de la supercie). Las
superfcies de revolución son
A través del movimiento de la generatriz, todo punto contenido en la misma describe una circunferencia de plano normal (perpendicular) al eje y centro en él; a esta circunferencia circunferencia se la denomina paralelo. El paralelo de mayor radio recibe el nombre de ecuador, y el de menor, círculo de garganta. Se denomina plano meridiano a todo plano que pase por el eje. Además, dicho plano corta a la supercie en una línea denominada meridiano. Todos los meridianos de una su percie de revolución son iguales, y, y, además, son planos de simetría de la supercie. Elegido un punto de la supercie, por él pasa sólo un meridiano y un paralelo, de planos normales entre sí (exceptuando (exceptuando en los puntos de la supercie que están en el eje). En la gura 5 se incluye un ejemplo de meridiano (EA1B1C1E’) y de paralelo (BB1B2B3). Toda supercie de revolución queda denida por su eje y una generatriz (ésta puede ser cualquier línea trazada en la supercie de modo que corte a todos sus paralelos). De pendiendo De pendiendo si la recta generatriz se corta, es paralela o se cruza con el eje, se generará respectivamente un cono de revolución (supercie reglada desarrollable), un cilindro de revolución (supercie reglada desarrollable), o un hi pérbole pérbole reglado de revolución (supercie reglada alabeada). Si la generatriz es una curva (es una circunferencia siendo el eje uno de sus diámetros), se obtiene la supercie esférica. es férica. Si siendo la generatriz una circunferencia, el eje es una recta de su plano, se engendrará la llamada supercie supercie tórica o toro. Si la generatriz está formada por dos cuadrantes circulares, en su giro alrededor de una recta de su plano engendrará la supercie denominada escocia.
Figura 5
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3.1.
CONO DE REVOLUCIÓN Se denomina cono de revolución a la supercie engendrada por el movimiento de una recta generatriz g apoyándose sobre una curva directriz ja cualquiera, d, que pasa por el punto jo V al que se denomina vértice. La generatriz, como toda recta, es indenida y generará un cono formado por las ramas C y C’, las cuales estarán esta rán unidas por el vértice V. El cono circular recto es aquel cuya base tiene for ma circular y la recta que une el vértice con el centro de la base es perpendicular al plano de éste. De no ser perpendicular, perpendicular, se tendrá un cono circular oblicuo (gura 6).
Figura 6
Para su representación (según el sistema de representación representación diédrico) bastará conocer las proyecciones del vértice vértice y de su base. 3.2.
CILINDRO DE REVOLUCIÓN El cilindro de revolución se engendra al moverse la recta generatriz, conservándose siempre paralela a sí misma, y apoyándose sobre una curva cualquiera (directriz). El eje de dicha supercie de revolución es paralelo a las generatrices, trazado por el centro de la directriz, si ésta lo tiene. Dado un cilindro de revolución cuya directriz es cerrada, cerrada, y sean dos planos paralelos que cortan a todas las generatrices, el espacio comprendido entre la supercie y los planos es denominado cilindro (gura 7).
Figura 7
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3.3.
ESFERA Se llama supercie esférica a la engendrada por una circunferencia (generatriz) que gira alrededor de uno de sus diámetros (directriz). La esfera es el cuerpo limitado por dicha supercie (gura 8). Igualmente, es de uso generalizado la siguiente denición: denición: « esfera es el lugar geométrico de puntos del es pacio pacio tales que su distancia a un punto determinado O denominado deno minado centro es constante». Diámetro es cada uno de los segmentos que, pasando por el centro de la esfera, tiene sus extremos en la supercie esférica. La tangente en un punto es la perpendicular al radio que pasa por ese punto. Toda normal a la esfera pasa por su centro. Se dene plano tangente en un punto de la esfera como el plano trazado por M y perpendicular al plano que contiene a M y al centro O. Plano normal en un punto M es cualquier plano que contiene al radio OM. Si cortamos la supercie esférica por un plano (plano secante a la misma) obtendremos dos cuerpos denominados segmentos esféricos de una base, y las dos partes de las su percie esférica pertenecientes a los segmentos se denomi denominarán narán casquetes esféricos. Si cortamos por dos planos secantes secantes paralelos, la parte de la esfera comprendida será un segmento esférico de dos bases, y la parte de supercie correspondiente será la zona esférica. Una esfera será conocida a partir de su centro y su radio; sin embargo no siempre se nos darán dichos datos. De cualquier forma, y a partir de los datos iniciales que el enunciado del problema nos facilite, deberemos encontrar dicho centro y radio. Ejemplos de enunciados pueden ser en base a «Lugar geométrico de los puntos de las esferas que cumplen determinadas condiciones», tales como:
Esfera que contiene tres puntos y pasa por otro dado. dado. Esfera de radio r que que pasa por tres puntos dados. Esfera de radio r , tangente a dos planos y que pasa por un punto dado. Esfera que contiene a una circunferencia y es tangente tangente a un plano. Esfera tangente a otra en un punto y tangente a una recta.
Figura 8
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3.4.
TORO El toro, también denominado supercie tórica, está engendrado por una cónica que gira alrededor de una recta de su plano, paralela a uno de sus ejes. Según la naturaleza de la cónica se tienen toros circulares, circulares, elípticos, parabólicos o hiperbólicos. Además, si la recta directriz no es paralela al eje, la supercie generada se denominará toroide o toro falso (gura 9). Elegimos el toro circular como el más representativo, deniéndolo como la super cie engendrada por un círculo que gira alrededor de un eje situado en su plano y no incidente incidente con el centro. El toro es una supercie de cuarto orden.
3.5.
ESCOCIA En este caso, la generatriz está formada por dos cuadrantes cua drantes circulares, girando alrededor de una recta de su plano (gura 10).
Figura 9
Figura 10
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CUÁDRICAS Las supercies cuádricas son supercies (regladas o no regladas) de orden 2, es decir, responden a ecuaciones algebraicas de segundo orden. Es por ello que su intersección intersec ción por un plano responde, en dicho plano, a una ecuación de segundo grado. En general, son supercies cuya directriz es una cónica. Todos los puntos de una cuádrica admiten un único plano tangente. Esto nos per mite clasicar las cuádricas en función función de la situación del plano tangente con respecto a la supercie. Dicha clasicación divide las cuádricas en cuádricas elípticas, cuádricas hiperbólicas y cuádricas parabólicas. parabólicas.
4.1.
CUÁDRICAS ELÍPTICAS Son aquéllas cuyos puntos son elípticos, es decir, el plano tangente a cada uno de los puntos de la supercie deja a la misma por completo a un lado; la supercie, por tanto, no lo atraviesa. Los ejemplos más representativos son el elipsoide elíptico, paraboloide elíptico e hiperboloide elíptico (gura 11).
4.2.
CUÁDRICAS HIPERBÓLICAS Los puntos que las conguran son hiperbólicos, lo que quiere decir que el plano tangente corta a la supercie, quedando ésta dividida por él. Las principales principales son el hi perboloide perboloide hiperbólico y el paraboloide hiper bólico bólico (gura 12).
Figura 11
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Figura 12 4.3.
CUÁDRICAS PARABÓLICAS Todos sus puntos son de tipo ti po parabólico, es decir, el plano tangente contiene a una línea de la supercie, pero sin llegar a atravesarla. Se trata de cuádricas desarrollables radiadas y que corresponden a conos y cilin cilindros dros cuadráticos.
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PRESENCIA EN LA NATURALEZA, EN EL ARTE Y EN LA TÉCNICA Son múltiples las aplicaciones que podemos encontrar de los distintos tipos de supercies. Las más importantes aplicaciones de las supercies radiadas se encuentran en ingeniería y arquitectura, debido a su sencillez. Así, la cubierta piramidal de torre, formada por la intersección de dos pirámides hexagonales, es un claro ejemplo. También los conductos de ventilación cilín cilíndrica drica son supercies de este tipo. Muchas veces la naturaleza naturaleza dota de formas poliédricas o radiadas a los fragmentos de piedras. Como ejemplo más típico de la aplicación de estas estas supercies en la arquitectura podemos comentar las conocidas conocidas Pirámides de Egipto (gura 13). Igualmente, en arquitectura, encontramos muy a menudo menudo aplicaciones de las su percies de revolución: para cubrir o cerrar un espacio (bóvedas o cúpulas) o para dar luz a éstas (lunetas). Las bóvedas son supercies caracterizadas caracterizadas por el hecho de que todos sus elementos están sometidos sometidos fundamentalmente a esfuerzos de compresión. Existen bóvedas cilíndricas o de cañón y de revolución de eje vertical o cúpulas. El luneto es una bóveda pequeña, abierta en otra mayor, para dar luz a ésta. Por la forma de la bóveda hay lunetos cilíndricos, cónicos o esféricos (gura 14).
Figura 13
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Una aplicación del toro aparece en los codos circulares de tuberías, eslabones de cadenas, bóvedas cilíndricas de planta circular y paramentos de columnas (gura 15). Los distintos planetas que forman parte del universo son esferas más o menos deformadas.
C ú p u la s d e lu n e to s
a) Bóveda vaída
b) Cúpula bizantina
Cúpulas esféricas
a) Bó Bóveda po por ar arista
b) Bóveda de de ririncón de claustro Supercies bitangentes
a) Luneto cilíndrico
b) Luneto cónico
Supercies de ejes concurrentes Figura 14
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Las supercies compuestas son de empleo frecuente en ingeniería , arquitectura y mecánica. Son supercies de carácter inminentemente práctico que nacen de la necesidad de utilizar las supercies simples y clásicas, para conseguir conseguir un conjunto armónico que responda a las variadas condiciones condiciones que la técnica impone.
a) Cilíndrico
b) Cónico
a) De igual diámetro
Codos de tuberías
b) De De distinto diámetro Derivaciones
Tolva de doble cono
Derivación en reducción
Figura 15
Figura 16
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BIBLIOGRAFÍA IZQUIERDO ASENSI, F.: Geometría Descriptiva. Ed. Dossat, S.A. 1987. Técnico o. Ed. Anaya. GUTIÉRREZ VÁZQUEZ, A.: Dibujo Técnic
FERNÁNDEZ GONZÁLEZ, F.: Curso de Geometría Métrica (Tomo II). Editado por la Cátedra de Dibujo Técnico. 1980.
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RESUMEN Superficies de revoluc revolución. ión. Cuádricas. Superficies regladas. Presencia en la Naturaleza, Naturaleza, en el Arte y en la Técnica.
1. 1
SUPERFICIES: DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN Supercie: lugar geométrico de las posiciones sucesivas de una línea (generatriz), que se mueve en el espacio siguiendo una determinada ley continua. Si esta generatriz se apoya en líneas, recibirán el nombre de directrices. Tangente Tangente a una supercie. Punto ordinario (si ( si tiene único plano tangente) o singular. Recta normal. Clasicación: regladas (desarrolla bles o alabeadas) y no regladas (cuádricas no regladas, de revolución...)
2. 2
SUPERFICIES REGLADAS Engendradas por una generatriz rectilínea.
2.1.
SUPERFICIES REGLADAS DESARROLLABLES Pueden ser desarrolladas en el plano. Propiedades: dos generatrices innitamente próxi mas son coplanarias, todas son tangentes a una curva alabeada y el plano tangente a la supercie lo es a lo largo de una generatriz. Se dividen en: plano, poliedros (regulares o no), supercies radiadas (la generatriz se apoya en un punto y en una directriz curva o poligonal. Son supercies cónicas, cilíndricas cilíndricas o cuádricas radiadas).
2.2.
SUPERFICIES REGLADAS ALABEADAS No pueden ser desarrolladas en el plano. Se engendran por una generatriz apoyada en tres directrices curvas. Propiedades: dos generatrices innitamente próximas se cruzan. A cada punto de la generatriz le corresponde un plano tangente. Son por ejemplo: conoides, cilindroides, helicoides reglados, cuádricas hiperbólicas...
3. 3
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Supercie no reglada engendrada por una línea generatriz que gira alrededor de una recta ja (eje). Ecuador, círculo de garganta, plano meridiano.
3.1.
CONO DE REVOLUCIÓN Supercie engendrada por el giro de una recta generatriz apoyada en una curva ja (direc triz) que pasa por el punto jo (vértice).
3.2.
CILINDRO DE REVOLUCIÓN La recta generatriz se mueve siempre paralela a sí misma.
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3.3.
ESFERA La generatriz es una circunferencia que gira alrededor de un diámetro (directriz). La tan gente es la perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia. Toda normal pasa por el centro. Plano tangente y normal. Segmentos y casquetes esféricos.
3.4.
TORO La generatriz es una cónica que gira alrededor de una recta de su plano (directriz) paralela a uno de sus ejes. Según la cónica hay toros circulares, elípticos, parabólicos o hiperbóli cos. Si la directriz no es paralela al eje tenemos toros falsos o toroides.
3.5.
ESCOCIA La generatriz son dos cuadrantes circulares girando alrededor de una recta de su plano (directriz).
4. 4
CUÁDRICAS Supercie (reglada o no) de orden 2. En general su directriz es una cónica. Todos lo puntos de una cuádrica son ordinarios con lo que se pueden clasicar atendiendo a la situación del plano tangente en un punto respecto a la supercie.
4.1.
CUÁDRICAS ELÍPTICAS El plano tangente a cada punto deja a la supercie por completo a un lado. Ejemplo: elip soide, paraboloide e hiperboloide elíptico.
4.2.
CUÁDRICAS HIPERBÓLICAS El plano tangente a cada punto corta a la supercie quedando dividida por él. Ejemplo: paraboloide e hiperboloide hiperbólico.
4.3.
CUÁDRICAS PARABÓLICAS El plano tangente a cada punto contiene una línea de la supercie pero no la atraviesa. Ejemplo: cuádricas desarrollables radiadas.
5. 5
PRESENCIA EN LA NATURALEZA, EN EL ARTE Y EN LA TÉCNICA Ingeniería y arquitectura: conductos de ventilación cilíndrica, pirámides de Egipto, bóve das... Naturaleza: forma de los planetas, fragmentos f ragmentos de piedras....
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