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MATEMÁTICAS Espirales y hélices. Presencia en la Naturaleza, en el Arte y en la Técnica.
3 1 0 4 8 3 1 4 2
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1. 1.1.
ESPIRALES Y HELICES ESPIRALE S 1.1.1. Definiciones 1.1.2. Clasificaciones 1.1.3. Espiral de paso uniforme 1.1.4. Espiral de paso variable 1.1.5. Otras espirales
1.2.
HÉLICE S 1.2.1. Hélice cilíndrica 1.2.2. Hélice cónica 1.2.3. Hélice esférica
1.3.
HELICOIDES 1.3.1. Definición 1.3.2. Clasificación
2.
PRESENCIA EN LA NATURALEZA, EL ARTE Y LA TÉCNICA
2.1.
PRESENCIA EN LA NATURALEZA
2.2.
PRESENCIA EN EL ART E
2.3.
PRESENCIA EN LA TÉCNIC A
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INTRODUCCIÓN
El estudio de las espirales se remonta a la Grecia Clásica. Euclides (s. III a. C.) ya obtuvo una en «Los Elementos» y Arquímedes (s. III a. C.), en «Sobre las espirales», estudió, con
el n de resolver la trisección del ángulo, la espiral que hoy lleva su nombre, aunque fue su coetáneo Conon de Alejandría quién la descubrió. Además, ya hizo uso de las hélices, en su conocido tornillo de Arquímedes. Hubo que esperar hasta que Descartes (1596-1650) volvió a retomar el tema con la espiral logarítmica. También Cavalieri (1598-1647) relacionó la espiral de Arquímedes con la parábola y Torricelli (1608-1647) halló la longitud de la espiral logarítmica, realizando la primera recticación de una curva de la era moderna. moderna. Jacques Bernoulli (1654-1705), además de estudiar la espiral parabólica, descubrió las asombrosas propiedades de la espiral logarítmica, por la que se llamó spira mirabilis:
Su evoluta es otra espiral igual. Su curva pedal respecto a su polo (es decir, el lugar geométrico de las proyecciones del polo sobre las tangentes a la curva) es otra espiral igual. Su cáustica de reexión para los rayos que parten del polo (es decir, la envolvente de los rayos reejados en los puntos de la curva) es otra espiral igual. Su cáustica de refracción para los rayos que parten del polo (es decir, la envolvente de los rayos refractados en los puntos de la curva) es otra espiral igual.
Por cómo le impresionó esta espiral, la grabaron en su tumba con la inscripción Eadem mutata resurgo (aún siendo modicada resurjo la misma). Hoy en día el estudio de las espirales y las hélices está motivado por su frecuente aparición en la naturaleza, su uso estético en el arte y sus múltiples y ventajosos usos en la técnica.
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1
X
ESPIRALES Y HELICES Curvas planas y alabeadas
Una línea es la trayectoria descrita por un punto móvil. Dependiendo de la dirección constante o no del punto que se mueve, la línea es recta o curva y según la pertenencia o no de todos los puntos a un plano, tendremos curvas planas o ala-
beadas respectivamente. Dentro Dentro de las curvas planas hay unas de de especial interés, denominadas espirales, y a su vez, destacaremos entre las alabeadas las hélices, que son las curvas que forman parte de este tema. Tanto en el plano como en el espacio, podemos describir la curva como la expresión de un vector posición variable:
), y (t ), ), z (t )) ) ) γ (t ) = ( x(t ), γ ( donde t es es un parámetro.
Son las ecuaciones paramétricas de la curva. Sin embargo, y dado las características de las curvas que nos ocupan en este tema, las coordenadas que en general van a ser más adecuadas para expresar su ecuación serán las polares. 1.1.
ESPIRALES En primer lugar vamos a tratar t ratar un subconjunto de las curvas planas, las espirales, clasicándolas, construyéndolas y detallando las propiedades más destacadas.
1.1.1.
Definiciones
Las espirales son las curvas engendradas por un punto móvil P que se desplaza en determinado sentido sobre una recta m, al mismo tiempo que dicha recta gira con movimiento uniforme alrededor de un punto jo O de ella (polo). Un punto de una espiral se ve afectado por tanto, por dos movimientos simultáneos: uno lineal de desplazamiento sobre una recta, y otro de rotación, al girar dicha recta en torno al polo. Cada vuelta recibe el nombre de espira y la distancia entre el punto inicial y el
nal de una espira es el paso. 1.1.2.
Clasificaciones
Podemos hacer dos tipos de clasicaciones fundamentales: una atendiendo al paso, y otra atendiendo más bien a su construcción.
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X
Por el paso
Para comenzar con la primera, observemos que el radio vector que une el punto móvil y el polo ha de disminuir constantemente durante su movimiento de revolución hacia el centro y podemos distinguir dos casos:
Paso uniforme: el radio vector disminuye en cada posición sucesiva una longitud constante, esto es, el paso en cada espira es jo. Paso variable: la disminución de longitud del radio vector se reduce constantemente a medida que el punto móvil se acerca al polo, esto es, el paso de cada espira, según avanzamos hacia el centro, se hace cada vez menor. En estas espirales, existe además una subclasicación: nitas o innitas. En las primeras, el punto móvil alcanza el polo después de haber descrito un número número determinado de revoluciones, mientras que en las l as segundas no puede alcanzarlo jamás, lo que ocurre cuando la relación del primer radio con el segundo, es la misma que la del segundo con el tercero, el tercero con el cuarto, y así sucesi vamente.
X
Por su construcción
En cuanto a la segunda clasicación, podemos hacer los siguientes grupos:
Falsas espirales: En este grupo podemos establecer tres categorías:
− Las que parten de polígonos como base y se construyen haciendo centro en sus vértices y enlazando arcos de circunferencia. Son principalmente de paso uniforme. − Las que se construyen enlazando arcos de circunferencia cuyos radios están en progresión geométrica de una razón dada, como por ejemplo la espiral áurea o la espiral de Durero. Éstas son de paso variable. − Volutas: utilizadas en ornamentación y arquitectura, cuyo trazado es ya más bien propio del Dibujo Técnico. Espiral Arquimediana (de paso uniforme).
Espirales parabólicas, hiperbólicas y logarítmicas o equiangulares: todas ellas de paso variable y que requieren de cálculos más avanzados. Familias de curvas: evolventes y podairas (lugar geométrico de las perpendiculares a las tangentes de una curva trazadas desde un punto jo). También de paso variable y que no se detallarán detallarán más aquí, pues forman parte de contenidos de otros temas.
1.1.3.
Espiral de paso uniforme
Empezaremos a tratar las espirales desde el punto de vista de su paso. Para comenzar, veamos las de paso uniforme.
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X
Construcción Construcci ón de la espiral de paso uniforme
Figura 1
Para resolver este problema se traza primeramente una circunferencia, y en ella un cierto número de radios equidistantes, por ejemplo 12 u otro número cualquiera. Luego se divide uno de estos radios en tantas partes iguales como espiras se deseen tener, por ejemplo 3, y la más externa de esas partes iguales, a su vez, en tantas partes iguales como radios se han trazado (en el presente caso en 12 partes). De esta manera, los 12 radios vectores principales (denidos a partir de los 12 radios dibujados originalmente en la circunferencia) de la primera revolución quedan determinados en longitud. Para señalar sobre cada uno de ellos la que le corresponde bastará trazar arcos de circunferencia cuyo centro sea el de la gura, que pasen por los 12 puntos de división trazados anteriormente hasta el radio inmediato, contando desde fuera hacia adentro. (Figura 1)
Los puntos de intersección así hallados serán otros tantos puntos de la espiral que se busca. Después de una revolución se tendrá también la distancia entre las diferentes espiras, y por ser ésta constante, se podrá señalar sobre los diferentes radios desde los puntos primeramente hallados, hacia adentro cuantas veces sea posible. La línea de unión, de curvatura continua que pase por todos los puntos señalados, será la espiral de paso uniforme. X
Espiral de Arquímedes
Dentro de las espirales de paso uniforme, la más conocida es la de Arquímedes, denida como el lugar geométrico de las posiciones de un punto que se mueve uniformemente sobre una recta mientras ésta gira con movimiento también uniforme alrededor de uno de sus puntos, el polo. Sea P el punto móvil, inicialmente en el origen de coordenadas, que gira a velocidad angular ω y de radio vector ρ = = OP . Si v es la velocidad constante a la que crece ρ, entonces: θ = ω t
ρ = vt
Figura 2
con θ ángulo de giro en radianes y t tiempo. tiempo. Eliminando el tiempo de las ecuaciones tenemos:
ρ =
v
θ ω
≥ 0 y a es la constante cociente de la veo de manera más general ρ = aθ donde θ ≥ locidad de crecimiento del radio vector y la velocidad angular de giro. (Figura 2) Una vez calculada la ecuación, comprobemos rápidamente que, en efecto, el paso de la espiral de Arquímedes es constante. En efecto, ρ (θ + 2π ) − ρ (θ ) = a(θ + 2π ) − aθ = 2π a que es constante.
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La espiral de Arquímedes ha tenido importantes aplicaciones, como ya señalamos en la introducción, para la resolución de problemas clásicos como la trisección del
ángulo o la cuadratura del círculo.
Trisección del ángulo
Situemos el ángulo de manera que su vértice y uno de sus lados coincidan con el polo de la espiral y la recta que gira OX . (Figura 3) Sea P punto
de intersección del otro lado del ángulo con la espiral. Dividamos OP en tres segmentos iguales por R y S . Hagamos un arco de circunferencia de radio OR y centro en O que pase por R, y análogamente, un arco de radio OS y y centro en O que pase por S . Sean A y B los puntos de corte de dichos arcos con la espiral. Entonces OA y OB trisecan al ángulo
Figura 3
dado.
Cuadratura del círculo
En cuanto a la cuadratura del círculo, consideremos una es piral como la de la gura 4. Tracemos su recta tangente en el punto P y una perpendicular al radio vector OP, y sea Q el punto de corte de estas dos rectas. Entonces OQ mide lo mismo que el arco PR de centro O y radio OP.
Para demostrarlo, recordemos que el ángulo α que forma el radio vector de una curva ρ = f (θ ) con su recta tangente en el punto donde θ = θ 0 verica que: tg α =
f (θ 0 ) f '(θ 0 ) Figura 4
En nuestro caso queda: OQ OP
= tg α =
aθ 0 a
de donde OQ = θ 0OP que es, en efecto, la longitud del arco PR. Por el resul-
tado anterior podemos obtener fácilmente la longitud de una circunferencia, y por tanto también el área de un círculo. A continuación, veamos que el área A1 barrida por el radio vector de un punto de una espiral de Arquímedes en su primera vuelta completa, es decir, desde = 0 hasta θ = 2π , es la tercera parte del área del círculo de centro el polo y θ = radio igual al radio vector cuando θ = 2π . Sabemos que para una función ρ = f (θ ) , el área entre θ = θ1 y θ = θ 2 es: 1
θ2
f (θ ) d θ 2 θ∫ 2
1
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por lo que, en nuestro caso, el área área A1
1
2π
a θ d θ = 2 ∫
=
2
2
a 2θ 3
0
6
2π
= 0
4
3
3 2 π a
Por otro lado, el radio vector para θ = 2π es 2πa, por lo que el círculo mencionado tiene por área 4π2a2, con lo que queda demostrada la igualdad de áreas.
En la siguiente rotación, es decir, desde θ = 2π hasta θ = 4π , se añade un área A2 encerrada entre la espira de la primera rotación, la de la segunda y el eje polar. Este área es:
A2
=
1
4π
2 ∫
2
2
a θ dθ
−
2π
4
3
3 2 π a
=
24
3
2 π a que es 6 veces A1
Repitiendo estos cálculos para rotaciones sucesivas, se comprueba fácilmente por inducción que: An +1 1.1.4.
=
n
An para n > 1 n −1
Espiral de paso variable
Una vez estudiada la espiral de paso uniforme, comentaremos ahora la construcción y principal representante de la de paso variable. X
Construcción Construcci ón de la espiral infinita de paso variable var iable
Dentro de las espirales de paso variable, queremos centrarnos en la construcción de la innita por sus mayores diferencias con la uniforme anteriormente construida. El fundamento de su construcción es muy similar al de la anterior, ya que se ha de trazar primeramente una circunferencia con, por ejemplo, los 12 radios; se divide uno de ellos en cierto número de partes (acorde con las espiras que se quieren conseguir), se marcan las longitudes adecuadas en él y se hace pasar por cada uno de los puntos señalados un arco de circunferencia que se prolonga hasta el radio siguiente para determinar su longitud. Sin embargo, en este caso innito, la división de este radio no puede efectuarse marcando partes iguales, sino de modo que las diferentes partes vayan disminuyendo la longitud en el sentido de exterior a interior. En el presente caso la relación entre el radio vector 1 y el 2 ha de ser igual que la del 2 al 3, del 3 al 4, y así sucesivamente. Así, por ejemplo, si se hiciese el segundo radio 1/18 más corto que el primero, el tercero habría de ser 1/18 más corto que el segundo, el cuarto 1/18 más corto que el tercero, etc.
Es decir, cada uno de los radios habría de hallarse respecto del siguiente, en la relación 18 a 17.
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Construcción de la espiral
En primer lugar, sobre el radio divisor que consideramos inicial para la espiral, y que viene determinado por los puntos a y m, se señalará de fuera hacia dentro una distancia igual a 1/18 de su longitud, y se tendrá así el punto de división 1. Seguidamente se unen los puntos a y 1 con un punto cualquiera x situado sobre el radio perpendicular al tomado como base (determinado por a y m) por me-
dio de una recta, obteniendo así que en el triángulo rectángulo determinado por los puntos a m, y x toda recta paralela al radio am quedará dividida por la Figura 5
recta 1 x en la misma relación.
Así, por ejemplo, si trazamos por el punto 1 una paralela al radio xm, por el punto de intersección con ax, una paralela a am y llamamos 1’ al punto de corte
de ésta con , este punto marca la distancia a la que está el segundo radio vector. Para hallar la longitud del siguiente radio vector se repite el proceso, hallándose una paralela al radio xm por el punto 1’, etc (Figura 5). El pequeño triángulo 1ax contendrá ahora todas las distancias parciales en que ha de acortarse cada vez el radio siguiente al que se ha hallado en último lugar. Este procedimiento puede seguirse indenidamente porque el centro no puede alcanzarse nunca, por ser todo radio vector igual a 17/18 del que le precede. Haciendo pasar por los puntos hallados una línea de curvatura continua, como en el problema anterior, tendremos la espiral innita de paso variable. X
Espiral logarítmica o equiangular
Dentro de las espirales de paso variable, podemos destacar la logarítmica, que se genera combinando un giro respecto al polo y un alejamiento sobre una recta. Para poder hallar la ecuación de la espiral logarítmica, requerimos como ya comentamos en la clasicación, de ciertos cálculos previos. En principio, comenzaremos hallando la ecuación de una espiral poligonal, para luego, tomando límites, convertir esa poligonal en una curva y por tanto, en la espiral logarítmica. Supongamos un conjunto de n rectas que pasan por el origen y que dividan a nuestro plano en n regiones de ángulo α = 2π/n con vértice O. (Figura 6)
Figura 6
Dado que la espiral logarítmica debe ser de paso variable, debe ocurrir que: OPn OPn-1
=
1 + k ,
k > 0
Para que OPi formen una progresión geométrica de razón mayor que 1.
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De esta manera los puntos Pi verican que sus radios vectores crecen en progresión geométrica y sus ángulos en progresión aritmética pues θ 0 = 0, θ1 = α ,θ 2 = 2α , i OPi = (1 + k ) OPo . Por tanto, sustituyendo, podemos Así pues, en general θi = iα , OP decir que: θ i
OPi
= (1 + k ) α OPo
Para aproximarnos ahora a nuestra curva, subdividiremos a su vez cada ángulo α en n partes iguales, de manera que: nθ i
OPi
k α
= 1 + n
OP0
Tomando ahora límites: nθ
k
θ k α OP = lim 1 + OP = OP ⋅ eα →∞ n 0
n
0
de donde la ecuación polar de la espiral logarítmica será ρ = ρ 0e con b y ρ0 θ constantes, o equivalentemente ρ = ρ 0 a con a y ρ0 constantes. bθ
Hemos atribuido a esta espiral dos nombres:
El de logarítmica proviene de la relación entre el radio vector y el ángulo, pues:
θ =
1 b
ln
ρ ρ 0
El de equiangular indica que en cualquier punto, el ángulo que forma la recta tangente con el radio vector es constante.
En efecto, como ya hemos dicho anteriormente: tg α = 1.1.5.
f (θ ) f '(θ )
θ
=
ρ 0 eb ρ 0be
bθ
=
1 b
que es constante. (Figura 7)
Otras espirales
A continuación explicamos de manera breve otras espirales que han aparecido en la clasicación y que merecen especial atención. X
Espirales hiperbólica y parabólica
= a con a una constante positiva. La ecuación de la espiral hiperbólica es ρθ = El punto móvil da innitas vueltas alrededor del polo, aproximándose cada vez más a él, así que se trata por tanto, de una espiral innita de paso variable. El otro extremo de la espiral tiene como asíntota una paralela al eje polar trazada a distancia a de él, como se puede observar en la gura 8. La ecuación de la espiral parabólica, que también es una espiral innita de paso 2 variable, es ρ = aθ con a una constante positiva. (Figura 9).
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Figura 8
Figura 7
Figura 9 X
Falsas espirales
Dentro de este apartado vamos a distinguir diferentes tipos:
De base un segmento : se construye partiendo como base de un segmento AB. Prolongando dicho segmento y con centro en A, hacemos una semicircunferencia de radio AB, que corta a la recta en C . Haciendo centro ahora en B y radio BC , trazamos otra semicircunferencia que cortará en D, y así sucesivamente.
(Figura 10)
De base poligonal: tomando como base un polígono arbitrario y con el mismo
procedimiento conseguimos espirales espirales como los de la gura 11. 11.
Espiral áurea/Espiral de Durero : construidas enlazando arcos de circunferen-
cia cuyos radios siguen una progresión geométrica de razón dada. Presentamos en la gura 12, la espiral áurea y la de Durero, que como se observa, está construida a partir de la sucesión de Fibonacci.
Espirales poligonales : sustituyendo cada arco por segmentos y siguiendo pro-
cedimientos similares a los anteriores encontramos las espirales poligonales, como por ejemplo, esta espiral poligonal cuadrada. (Figura 13)
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Figura 10 Figura 11
Figura 13
Figura 12
1.2.
HÉLICES Intuitivamente, una hélice es una espiral en el espacio, ahora bien, también podemos decir que es la trayectoria seguida por un punto móvil que gira alrededor de un eje y simultáneamente avanza paralelamente al eje de rotación. Trataremos en este tema las hélices cilíndricas, cónicas y esféricas por ser las más representativas de este tipo de curvas alabeadas, al tratarse de espirales denidas sobre cilindros, conos y esferas, en lugar de cualquier otra supercie de revolución arbitraria.
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1.2.1. X
Hélice cilíndrica Definiciones y elementos
Es la curva engendrada por un punto móvil A que se desplaza con velocidad uniforme sobre una recta AG que gira alrededor de un eje paralelo a ella. El cilindro de revolución engendrado por AG , dicho eje y el radio r son son el cilindro, eje y radio de la hélice respectivamente. Podemos denir otros elementos en cualquier hélice cilíndrica que son:
X
Diámetro: es igual al del cilindro sobre el que gira el punto. Espira: cada una de las vueltas completas o revoluciones que da el punto sobre la supercie cilíndrica. Paso: distancia que separa dos espiras consecutivas, medida sobre la misma generatriz. Sentido: existen dos sentidos de avance de la hélice. Si se observa que el tramo visible según el gráco asciende, se mueve de izquierda a derecha, la hélice es a derechas, de paso a la derecha, dextrorsum o de orientación directa. En caso contrario es a izquierdas, de paso a la izquierda, sinistrorsum o de orientación retrógrada.
Ecuaciones
Dado que la hélice cilíndrica es una curva dibujada sobre la supercie de un cilin ci lindro, partiremos de las ecuaciones paramétricas del cilindro: x = r cos θ cos θ
sen θ = r sen z = z y
Si en lugar de dejar libre a la z, le asignamos: x = r cos cos θ θ
sen θ = r sen z = bθ y
Conseguimos las ecuaciones paramétricas de una curva, pues sólo hay un parámetro, en la que la z va aumentando o disminuyendo paulatinamente (según el signo de la constante b), mientras la proyección de ( x,y) en el plano OXY va va describien-
do circunferencias. De esta manera obtenemos una hélice cilíndrica a derechas o izquierdas (según el signo de b) respectivamente. Para un mismo radio, lo que varía de una hélice a otra es la separación de las esb|. piras, que viene determinado por |b|
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El paso de las espiras se determina calculando
z (θ
+ 2π ) − z (θ ) = b(θ + 2π ) − bθ = 2π b
En coordenadas cilíndricas una hélice cilíndrica viene dada por: ρ = r
z = bt θ = t
Que se reducen a:
ρ = r z
= bθ
y en ecuaciones implícitas, eliminando el parámetro θ de las paramétricas obtenemos:
x 2 + y 2 = r 2 y z x = tg b X
Propiedades
Con las notaciones de la gura 14 nos disponemos a encontrar tres propiedades especialmente relevantes en las hélices cilíndricas.
Las ordenadas (alturas) BB1 ,CC 1,... de los puntos de la hélice son proporcionales a sus abscisas curvilíneas AB1 ,AC 1,... y a los ángulos girados.
En efecto, sea Pr la altura correspondiente a un arco de longitud r (a (a lo que llamaremos paso reducido), y sea P el paso de la hélice, que será correspondiente a una circunferencia completa. Entonces se tiene que: Pr P
=
r
2π r
de donde Pr =
P
2π
El desarrollo de la hélice sobre un plano π tangente al del cilindro, en un punto C de de ella, es la tangente t a a la hélice en C . En efecto: al desarrollar el cilindro sobre π, el arco AD1 de la base, coincide con A’D’1 de π y se verica que: B ' B1 ' A ' B1 '
=
CC 1 A ' C 1
=
D ' D1 ' A ' D1 '
= ... =
P
2π r
= tg α
que es constante. Luego en el desarrollo, los puntos A’,B’,C de de la hélice pertenecen a la recta t de de inclinación α y lo mismo ocurre con C y y los puntos innitamente próximos a él que determinan la tangente de la Figura 14
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hélice en , luego t es es tangente a y por tanto, se dela hélice en C y duce la siguiente propiedad.
X
La hélice es la línea geodésica (esto es la de menor longitud), que une dos puntos de una su percie cilíndrica no situados en una misma generatriz.
Construcción de la hélice cilíndrica
Para la construcción de una hélice cilíndrica como la de la gura 15,
Figura 15
siendo conocido el paso y el diá-
metro, se procede de la siguiente manera:
1º Se determina la circunferencia base del cilindro, la cual se divide en un número
cualquiera de partes iguales, por ejemplo 12, dando lugar a los puntos 1’, 2’ ... 12’. 2º Se traza la línea a partir de la cual cual se va a dibujar la hélice a la que llamaremos línea de tierra ( LT ). A partir de la LT y y del punto P denido sobre ella, se levan LT ).
ta una perpendicular r de longitud el paso dado, que a su vez se divide en tantas partes iguales como se dividió la circunferencia base, obteniendo los puntos 1, 2, 3 ..., 12, por los cuales se trazan líneas perpendiculares a la recta R. 3º Por los puntos 1’, 2’, 3’ ..., 12’, se hacen pasar líneas verticales paralelas a la recta r , que se cortarán con las perpendiculares a ésta en los puntos P1 ,P2 ,P3 ,...
que, unidos entre sí, forman la hélice cilíndrica buscada.
(Se dibuja dibuja con trazo discontinuo discontinuo la parte de la hélice ‘no visible’ visible’ de la misma, suponiendo el cilindro opaco). X
Proyecciones Proyec ciones sobre los planos coordenados
Vamos a ver qué proyecciones tiene una hélice cilíndrica sobre cada uno de los planos coordenados:
), obtenemos la curva: Si proyectamos nuestra hélice sobre el plano z = 0 (OXY ),
cos θ θ x = r cos y = r sen θ z = 0
que es una circunferencia contenida en el plano OXY de de centro el origen y de radio r .
17
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), obtenemos la curva: Si proyectamos nuestra hélice sobre el plano x = 0 (OYZ ),
x = 0 y = r sen θ z = bθ que es una sinusoide sinusoide contenida en el plano de ecuaciones:
x = 0 z y = r sen b
), obtenemos la curva: Si proyectamos nuestra hélice sobre el plano y = 0 (OXZ ),
cosθ θ x = r cos y = 0 z = bθ
que es una cosinusoide contenida en el plano de ecuaciones
x = r cos z b y = 0 1.2.2.
Hélice cónica
Defnición
La más sencilla es la engendrada por un punto que se desplaza sobre la generatriz de un cono de revolución con movimiento uniforme, al mismo tiempo que ésta gira con velocidad uniforme alrededor del eje.
Ecuaciones
Si modicamos las ecuaciones paramétricas de la hélice cilíndrica y consideramos, por ejemplo, las ecuaciones:
x = θ cos θ y = θ sen θ z = bθ observamos que a medida que aumenta la altura, la proyección de la curva en el plano OXY describe describe una espiral.
Además, estas ecuaciones paramétricas verican la ecuación implícita: x 2 + y 2
=
1 b
2
z 2
que es la ecuación de un cono de eje ej e OZ y y vértice en el origen. Son por tanto las ecuaciones de una hélice cónica. Dependiendo de las ecuaciones espirales que pongamos en las coordenadas ( x, x, y), obtendremos tales proyecciones en el plano OXY , pudiendo ser espirales
Arquimedianas, hiperbólicas o logarítmicas, entre otras. 18
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X
Construcción de la hélice cónica El procedimiento de construcción de una hélice cónica como la de la gura 16, cono-
ciendo las dimensiones del cono en el que se considera inscrita, es el siguiente: 1º Se trazan la proyección horizontal y vertical del cono a partir de los datos dados. 2º En la proyección horizontal se construye construye
una espira de una espiral de Arquímedes. 3º Se divide el paso de la hélice en tantas partes iguales como en partes se ha dividido el paso de la espiral (para su cons-
trucción suponemos que se ha dividido en 8 partes: 1’, 2’... 8’), trazando, a continuación, líneas perpendiculares al eje e , por los puntos en los que se ha dividido el paso de la hélice: 1, 2, 3 ..., 8. 4º Por los puntos P’1, P’2, P’3 ... intersección de la espiral con los radios marcados, se
levantan líneas verticales, las cuales, al cortarse con las líneas horizontales co-
Figura 16
rrespondientes, determinan los puntos P1, P 2, P 3 ... que, unidos entre sí, forman
la hélice cónica. 1.2.3.
Hélice esférica
Es la engendrada por un punto que se mueve sobre una semicircunferencia al mismo tiempo que ésta gira alrededor de su diámetro describiendo una supercie esférica.
Si ambos movimientos son uniformes se obtiene la hélice de la gura 17, cuya proyección sobre el plano OXY es una espiral de Arquímedes. Las ecuaciones de esta hélice esférica en paramétricas, son:
x = r cos (at ) cos (bt ) y = r cos (at ) sen (bt ) z = r sen (at )
Figura 17
donde a, b son constantes y r el el radio de la esfera.
19
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Si por el contrario el punto se mueve de modo que las tangentes a la hélice tengan la misma inclinación respecto al meridiano que pasa por el punto de tangencia, se obtiene la hélice esférica loxodrómica, cuya proyección sobre sobre el plano es una espiral logarítmica. 1.3.
1.3.1.
HELICOIDES Definición
Es la supercie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje y que se mueve apoyándose en una hélice de mismo eje. 1.3.2.
Clasificación
Atendiendo a que la línea generatriz r sea sea perpendicular u oblicua al eje e de la helicoide tenemos helicoides rectos y oblicuos. A su vez, dependiendo de si en estos casos, se cortan el eje y la generatriz o no, tendremos helicoides axiales o cilíndricos respectivamente. X
Helicoide recto
Se trata de una supercie alabeada que presenta la peculiaridad de que la línea recta generatriz r es es perpendicular al eje e del helicoide. Obtengamos a continuación sus ecuaciones. De la observación de la gura 18, en donde están expresadas las condiciones que deben vericar los elementos del helicoide recto anteriormente enunciadas y donde γ representa la hélice donde se apoya la generatriz, podemos escribir: v = OP = OB + BP luego OP = OB O B + λ BA
que es su ecuación vectorial, o equivalentemente en ecuaciones paramétricas: x = λ r cos θ
= λ r sen θ z = bθ y
y eliminando los parámetros λ y θ tenemos la y z ecuación implícita = tg del helicoide x b recto.
Figura 18
20
En la práctica se considera el helicoide como una supercie como la anterior pero limitada por dos o tres curvas que llamaremos directrices. Veamos dos métodos distintos de construcción de un helicoide recto, dependiendo de los datos iniciales de los que se disponga:
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Construcción de un helicoide recto axial
Conociendo el paso y el diámetro de los dos círculos que conguran sus líneas directrices:
1º Se comienza por trazar en la proyección horizontal los dos círculos dados, di-
vidiendo éstos en un número cualquiera de partes iguales, por ejemplo en 12. Las divisiones obtenidas en el círculo externo se denominarán 1’, 2’, ..., 12’. 2º En la proyección vertical se determina el paso, el cual se divide en tantas
partes iguales como se han dividido los círculos. Los puntos obtenidos los denominamos por 1, 2, ..., 12.
3º Por los puntos de división del paso se trazan líneas perpendiculares al eje
e , las cuales, al cortarse con las líneas verticales procedentes de los puntos
1’, 2’, 3’, ..., 12’, determinan los puntos 1”, 2”, 3”, ..., 12”, que, unidos entre sí, forman la hélice externa. 4º Para hallar la hélice interna, que determine el helicoide, se procede de igual forma que se ha hecho para hallar la hélice externa, pero esta vez a partir de las 12 divisiones generadas en el círculo interior, y volviendo a repetir el proceso. En la gura 19 se puede observar un esquema de construcción que sigue los pasos enumerados.
Construcción de un helicoide recto cilíndrico
Conociendo el eje e, la posición inicial de la generatriz r’ , el paso y diámetro de la hélice, la cual es «a derechas». 1º Se comienza a trazar los datos dados en el enunciado (eje, posición inicial de la generatriz, paso, diámetro). 2º Se hace con centro en O una circunferencia tangente a la directriz en r’. 3º El círculo interno se divide en un número cualquiera de partes iguales, por ejemplo 12, trazando a continuación líneas tangentes al círculo en los puntos conseguidos al dividir éste. 4º El paso de la hélice se dibuja sobre la proyección vertical, y se divide en tantas partes iguales, como se ha divi-
dido el círculo interno (12 partes). 5º Por los puntos puntos del paso se trazan líneas perpendiculares al eje e , las cuales, al cortarse con las líneas verticales procedentes de los puntos 1’, 2’, 3’... 12’ de la gura, determinan los puntos 1”, 2”, 3”, ..., 12”, que unidos entre sí, forman la hélice.
Figura 19
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6º Se trazan rectas verticales por los puntos A ', B ', C ', ...N ' de la gura, que,
al cortarse con las líneas horizontales procedentes del paso, determinan los puntos A '', B '', C '', ... N '' , que, unidos entre sí forman la otra hélice, que, con la hélice hallada anteriormente, forman el helicoide. En la gura 20 se puede observar un esquema de construcción que sigue los pasos enumerados. X
Helicoide oblicuo
Es un helicoide cuya línea generatriz r es es oblicua al eje e del helicoide. En la práctica, además, se puede considerar que esta generatriz se mueve de forma que está siempre en contacto con dos hélices continuas, que sirven de directrices, for mando un ángulo constante con su eje. Para no extendernos demasiado en este tema, sólo trataremos la construcción del helicoide oblicuo axial, esto es, un helicoide oblicuo cuya generatriz corta al eje bajo un ángulo constante, conociendo además el eje e y el diámetro interior y exterior de los dos círculos. 1º Se dibujan los datos que señala el enunciado del problema. 2º Los círculos interior y exterior se
dividen en un número cualquiera de partes iguales (tal y como venimos haciendo, 12 partes). 3º Se trazan el eje e y la generatriz r . Seguidamente se divide el paso de la hélice en tantas partes iguales como se han dividido los círculos. 4º Se trazan rectas verticales por los puntos 1’, 2’, ..., 12’, las cuales, al cortarse con las líneas horizontales procedentes de la divisio-
nes del paso, originan los puntos 1”, 2”, ..., 12”, que, unidos entre sí, forman la hélice externa. 5º Se trazan también rectas verticales por los puntos A ', B ', C ', ...M ' (determinados a partir de las 12
divisiones del círculo interior), que, al cortarse con las líneas horizontales procedentes de las divisiones del paso, originan los puntos A '', B '', C '', ...M '' , que, unidos entre sí, forman la hélice interna.
22
Figura 20
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6º Uniendo los puntos que forman una hélice con los puntos correspondientes
que forman la otra hélice, quedan representadas las diversas generatrices que originan el helicoide oblicuo. En la gura 21 se puede observar un esquema de construcción que sigue los pasos enumerados.
Figura 21
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PRESENCIA EN LA NA NATURALEZA, TURALEZA, EL ARTE Y LA L A TÉCNICA Podemos encontrar espirales y hélices en multitud de situaciones, naturales o articiales, por la utilidad que estas formas presentan o por la estética armoniosa que poseen. A continuación se exponen unos ejemplos clasicados por su aparición en la naturaleza, el arte o la técnica.
2.1.
PRESENCIA EN LA NATURALEZA Las espirales son muy frecuentes en nuestro entorno natural, pero, mientras que la espiral logarítmica es muy común, la espiral de Arquímedes es únicamente generada por los seres vivos de forma momentánea, como una serpiente enroscada o la lengua de algunos insectos. El mismo caso podría ser el del hipocampo, o más conocido como «caballito de mar».
Algunas especies actuales de caracoles tienen la concha en forma de espiral, aunque era más frecuente en animales prehistóricos de los que se pueden observar fósiles hoy en día, como por ejemplo, el amonites o el nautilus. Una especie de este último ha llegado hasta nuestros días y posee una concha cuya proyección plana es una espiral áurea, es decir, la razón entre un paso y el de la vuelta inmediatamente anterior es el número áureo.
La espiral logarítmica o equiangular también se presenta en el movimiento de algunos insectos cuando vuelan alrededor de un punto de luz ya que éstos se orientan por la dirección de los rayos que les llegan, de modo que su movimiento siem pre forma el mismo ángulo con estos rayos. En el agua también se dibujan espirales, por ejemplo en un remolino o cuando desaparece por un desagüe. Las hélices y los helicoides, al ser objetos en tres dimensiones, son más habituales en la naturaleza que las espirales. Aparecen, por ejemplo, en un tornado, y si se observan vía satélite, en una borrasca, aunque como lo que se observa de ésta es una proyección plana, tiene aspecto de espiral. Las plantas recurren a esta curva en multitud de ocasiones, como el movimiento de un tallo de una planta trepadora alrededor de una varilla vertical, la disposición de las brácteas de una piña, de las bases de las ramas en los troncos o de la cloro-
la en algunas especies de algas. Es también conocida la forma de doble hélice que presentan las moléculas de ADN en la célula. También en astronomía aparecen las hélices, por ejemplo, el Sol tiene una órbita circular respecto a la Vía Láctea, que a su vez se desplaza por el Universo, for mando así la trayectoria del Sol una hélice. Además, en general, las galaxias se expanden helicoidalmente.
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2.2.
PRESENCIA EN EL ARTE Las espirales (las hélices también pero en menor medida) se han encontrado en representaciones artísticas desde tiempos muy remotos. Se ha usado la espiral de Arquímedes, por su simplicidad en la construcción. De hecho, existe un yacimiento arqueológico en Irlanda donde las bóvedas tienen forma de esta espiral, aún siendo de una época muy anterior a la de Arquímedes. También la podemos encontrar en elementos ornamentales de la Edad de Bronce.
Más posteriormente la usaron los etruscos para decorar algunos de sus utensilios y los celtas en varias de sus cruces.
Más recientemente encontramos espirales, por ejemplo, en las bóvedas de la Basílica de San Marcos de Venecia Venecia o en los cristales de Murano. Como se ha visto anteriormente, Alberto Durero (1471-1528), conocido pintor alemán, estudió las espirales como proyecciones de determinadas hélices, incor porándolas en sus propias obras.
Un uso muy generalizado tanto de las espirales como de las hélices se encuentra en las volutas de las columnas, en alfarería, en herrería, en los testeros (extremos del traste) de muchos instrumentos de cuerda, etc. 2.3.
PRESENCIA EN LA TÉCNICA En la industria o la arquitectura es mucho más frecuente el uso de las hélices que de las espirales, aunque éstas también las encontramos en muelles planos (por ejemplo en los relojes) y en las máquinas de coser, utilizando una idea de Leonardo da Vinci (1452-1519) para transformar el movimiento giratorio en movimiento lineal.
Da Vinci Vinci también construyó un artefacto volador basándose en una supercie helicoidal. Hoy en día, las aspas de los helicópteros, ventiladores o de los molinos de viento de las centrales eólicas son regiones de supercies helicoidales. En arquitectura, es común el uso de hélices en toboganes, escaleras de caracol, rampas de acceso (sobre todo de aparcamientos), etc.
Por otro lado, también se encuentran hélices en los muelles, las roscas de tornillos, tuercas y tirafondos y en transportadores de tornillos sin n basados en el primitivo tornillo de Arquímedes para extraer agua cómodamente de los cauces de los ríos. En la industria, aparecen hélices y helicoides en las aspas mezcladoras de alimentos o de hormigón, en agitadoras, en máquinas industriales para lavar, en brocas, vástagos y fresas de taladros, en rotores de compresores de aire, etc.
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BIBLIOGRAFÍA APOSTOL, T. M.: Calculus Vol. I. Editorial Reverté.1995. BOYER, C. B.: Historia de la matemática. Alianza Editorial. 2003 Técnicoo. McGraw-Hill. 1995. CALVO MONTORO, S.; DÍAZ, E.: C uaderno de Dibujo Técnic
CARMO, M. P.: Geometría diferencial de curvas y superficies . Alianza Editorial. 1995. GRANERO, F.: Calculo. Ed. McGraw-Hill. 1990. GRANERO, F.: Álgebra y Geometría aplicada. Ed. McGraw-Hill. 1994. IZQUIERDO ASENSI, F.: Geometría descriptiva superior y aplicada . Paraninfo. 1999. LARSON, H.: Cálculo y Geometría Analítica. McGraw-Hill. 1993. MARSDEN, J. E., TROMBA, A. J.: Cálculo vectorial . Addison-Wesley Iberoamericana. 1988. MATA, J.: Delineación industrial. Teoría de técnicas de expresión gráfica. Ed. Bruño-Edebé. 1977
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RESUMEN Espirales y hélices. Presencia en la Naturaleza, en el Arte y en la Técnica.
1. 1
X
ESPIRALES Y HELICES Curvas planas y alabeadas
Curvas planas de especial interes: espirales.
Curvas alabeadas de especial interes: hélices.
1.1.
ESPIRALES
1.1.1.
Definiciones
Curvas engendradas por un punto móvil que se desplaza sobre una recta, mientras ella gira alrededor de un punto jo de ella (polo) . Espira y paso. 1.1.2.
Clasificaciones
Según su paso uniforme/variable (nita/innita). Según su construcción: falsas espirales, hiperbólica, parabólica, logarítmica, Arquimedia na, familia de curvas. 1.1.3.
Espiral de paso uniforme
Construcción de la espiral de paso uniforme. Espiral de Arquímedes. De ecuación: ρ = aθ
Utilizada en la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. Cálculo del área barrida por el radio vector. vector.
1.1.4.
Espiral de paso variable
Construcción de la espiral de paso variable.
Espiral logarítmica o equiangular. θ De ecuación ρ = ρ 0 a . Relación logarítmica entre el radio vector y el ángulo. Ángulo que forma cada tangente y su radio vector constante.
1.1.5. X
Otras espirales Espirales hiperbólicas y parabólicas
= a , con una asíntota. Ecuación de la hiperbólica: ρθ = 2 Ecuación de la parabólica: ρ = aθ .
Ambas de paso variable e innitas. X
Falsas espirales
De base un segmento, polígonos, espiral áurea y de Durero, espiral poligonal...
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1.2.
HÉLICES Trayectoria seguida por un punto móvil que gira alrededor de un eje y avanza paralela mente al eje de rotación.
1.2.1. X
Hélice cilíndrica Definiciones y elementos
Curva engendrada por un punto móvil que se desplaza sobre una recta que gira alrededor de un eje paralelo a ella. Cilindro, eje, radio, diámetro, espira, paso, sentido. X
Ecuaciones
Ecuaciones paramétricas: x = r cos cos θ θ
y = r sen θ z = bθ
Ecuaciones cilíndricas: ρ = r
z = bθ
Ecuaciones implícitas:
x 2 + y 2 = r 2 y z x = tg b X
Propiedades
El desarrollo de la hélice en un plano tangente al cilindro, es la recta tangente a la hélice. Es la línea geodésica que une dos puntos de una supercie cilíndrica no situados en una misma generatriz:
1.2.2. X
Construcción de la hélice cilíndrica.
Proyecciones sobre los planos coordenados.
Hélice cónica Definición
Engendrada por un punto que se desplaza sobre la generatriz de un cono de revolución al mismo tiempo que ésta gira alrededor del eje. X
Ecuaciones
Ecuaciones paramétricas:
x = θ cos θ y = θ sen θ z = bθ X
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Construcción de la hélice cónica
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1.2.3.
Hélice esférica
Engendrada por un punto que se desplaza sobre una semicircunferencia al mismo tiempo que ésta gira alrededor de su diámetro. Hélice esférica común o loxodrómica. 1.3.
1.3.1.
HELICOIDES Definición
Supercie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje y que se mueve apoyándose en una hélice del mismo eje. 1.3.2.
Clasificación
Según el ángulo de la generatriz y el eje: rectos/oblicuos. Según corte generatriz y eje: axiales/cilíndricos. X
Helicoide recto
Ecuaciones paramétricas: x = λ r cos θ
y = λ r sen θ z = bθ
Ecuación implícita: y x
= tg
z b
Construcción del helicoide recto axial y cilíndrico. X
Helicoide oblicuo
Construcción del helicoide oblicuo axial.
2. 2
2.1.
PRESENCIA EN LA NATURALEZA, EL ARTE Y LA TÉCNICA
PRESENCIA EN LA NATURALEZA Caracoles, vuelo insectos, agua, tornados, borrascas, piñas, ADN...
2.2.
PRESENCIA EN EL ARTE Bóvedas, volutas, testeros, Espiral de Durero, cristal de Murano...
2.3.
PRESENCIA EN LA TÉCNICA Muelles, tornillos, ventiladores, molinos de viento, máquinas de Leonardo da Vinci...
29
