2010_Matematicas_45_13

tema

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MATEMÁTICAS Poliedros. Teorema de Euler. Sólidos platónicos y arquimedianos.

3 1 7 3 8 3 1 4 2

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matemáticas

1.

SUPERFICIE POLIÉDRICA. POLIEDRO CONVEXO

1.1.

DEFINICIONE S

1.2.

PROPIEDADES DE LOS POLIEDROS CONVEXO S

2.

TEOREMA DE EULER

2.1.

TEOREMA DE EULE R

2.2.

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE EULE R

3.

POLIEDROS IGUALES Y SEMEJANTE S

3.1.

IGUALDAD DE POLIEDROS

3.2.

POLIEDROS SEMEJANTES

4.

POLIEDROS REGULARE S

4.1.

ESTUDIO DE LOS POLIEDROS REGULARES

4.2.

ÁREA DE POLIEDROS REGULARE S

4.3.

VOLUMEN DE LOS POLIEDROS REGULARE S

5.

SÓLIDOS PLAT PLATÓNICO ÓNICO S

5.1.

HISTORIA

5.2.

POLIEDROS REGULARES

5.3.

FORMACIÓN DE LOS POLIEDROS

5.4.

INTERRELACIÓN DE LOS SÓLIDO S PLATÓNICOS

5.5.

FORMAS COMPUESTAS

5.6.

OTROS SÓLIDOS PLAT PLATÓNICO ÓNICOS

6.

SÓLIDOS ARQUIMEDIANO S

6.1.

HISTORIA

6.2.

CLASIFICACIÓ N

6.3.

TIPOS DE TRUNCAMIENTO

6.4.

CARACTERÍSTICAS DE LOS POLIEDROS OBTENIDO S

6.5.

POLIEDROS OBTENIDOS POR TRUNCAMIENTOS

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tema 45

matemáticas

INTRODUCCIÓN

El desarrollo de este tema presenta dos aspectos. En un principio, se hace un estudio de los poliedros desde el punto de vista geométrico tradicional, y en los últimos apartados se presenta el desarrollo de los sólidos platónicos (entre los que guran los poliedros regulares)

y los sólidos arquimedianos desde el punto de vista histórico.

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tema 45 matemáticas

1

1.1.


DEFINICIONES Llamamos supercie poliédrica al conjunto de un número nito de polígonos planos que cumplen las siguientes siguientes condiciones: a) Cada lado de un polígono pertenece también, y únicamente, a otro. Ambos a) polígonos se llaman contiguos. b) Dos polígonos contiguos están en distintos planos. Los polígonos planos que componen la supercie poliédrica se llaman caras. Los lados de los polígonos (o intersección de dos caras adyacentes) se llaman aristas. Los extremos de las aristas se denominan vértices vértices,, lo mismo de los polígonos que

de los poliedros. Angulos diedros de la supercie poliédrica son los formados por las caras que

tienen una arista común. Angulos sólidos o poliédricos de la supercie poliédrica son los formados por

varias caras que tienen un vértice común. Una supercie poliédrica se llama convexa cuando cada arista no pertenece más

que a dos caras y todos los vértices quedan en el mismo semiespacio respecto del plano de cada cara. Se denomina poliedro convexo al conjunto de puntos comunes a todos los semiespacios que determinados por los planos de las caras contienen a las demás. Es evidente que en el interior de los ángulos diedros y poliédricos, antes denidos, se encuentra el poliedro, poliedro, y que ambos ángulos son convexos. El conjunto de los ángulos poliedros o poliédricos de las caras forma la s upercie del poliedro. Los puntos de éste no situados en la supercie se denominan interiores. El resto de puntos del espacio se llaman exteriores al poliedro. Para demostrar la existencia de los poliedros basta con trazar el plano que pase por tres puntos puntos O, P, Q, situados, respectivamente, en las tres aristas de un triedro de vértice V . Los puntos comunes al triedro y al semiespacio limitado por el plano trazado que contiene V forman forman el poliedro de cuatro caras, que son triángulos, y recibe el nombre de tetraedro VOPQ.

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El plano denido por tres puntos R, S , T , situados respectivamente en tres aristas

concurrentes del anterior tetraedro, divide a éste en dos poliedros convexos, uno VRST de cuatro caras y otro de cinco, RSTOPQ o pentaedro. Por secciones análogas podemos probar la existencia de poliedros convexos de seis caras (hexaedro), de siete (heptaedro), etc.

En cada operación de este tipo, el plano secante sólo puede tener común con la supercie del poliedro cortado los lados del triángulo en que corta el triedro ele gido, pues si hubiera otro punto común, podría trazarse una secante al triángulo, recta que tendría al menos tres puntos comunes con la supercie del poliedro, con lo cual el plano de la cara por uno de ellos separaría los otros dos, contradiciendo la denición de convexidad. Al no poder tener es te plano punto alguno común con

las restantes aristas del poliedro, todos los vértices de éste, excepto el del triedro cortado, están a un mismo lado de dicho plano, lo que demuestra que éste limita

con las caras del poliedro de partida un nuevo poliedro convexo, con una cara más, y nuevos vértices triedros para poder reiterar el proceso. En resumen, hemos probado que el número mínimo de caras para obtener una supercie poliédrica es cuatro, y además existen poliedros de cualquier número n de caras, siendo n ≥ 4.

Se denomina sección plana de un poliedro al polígono cuyos lados son las inter secciones de las caras del poliedro con un plano secante.

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Diagonales de un poliedro son las situados ambos en la misma cara.

rectas que unen dos vértices del mismo, no

Plano diagonal de un poliedro es todo plano que pasa por tres

vértices del polie-

dro no situados en la misma cara. 1.2.

PROPIEDADES DE LOS POLIEDROS CONVEXOS De la denición de poliedro convexo resulta evidente que los segmentos que unen

un vértice con un punto cualquiera de una cara que no lo contiene, pertenecen al poliedro. En general, el segmento determinado por dos puntos del poliedro tiene todos sus puntos en él. Según la denición de sección plana que se dio anteriormente, las secciones pla nas de un poliedro convexo son polígonos convexos. Podemos demostrar para los poliedros convexos propiedades análogas a las de los polígonos convexos. En

particular: a)

Toda semirrecta r con origen en un punto interior, O, a un poliedro convexo, corta a la supercie en un punto. De aquí se deduce que toda recta que pasa por un punto interior a un poliedro convexo corta a su supercie en dos puntos. Además, si una recta atraviesa en un punto a la supercie, la corta en otro y solamente en otro.

Para demostrar esta propiedad propiedad se corta el poliedro por el plano plano determinado determinado por la recta r y y un punto de una arista que se cruce con ella. La intersección es un polígono convexo que contiene en su interior a O. La semirrecta r corta, corta, que pertenece a la supercie del por consiguiente, al contorno en un punto M que poliedro. Además no puede haber otro punto N de de intersección, pues uno de los dos puntos (y en consecuencia el plano de l a cara que pase por él) separaría al otro de O, contradiciendo el concepto de poliedro convexo. b) Existen rectas cuyos puntos son todos exteriores a la supercie. c)

Tanto el interior como el exterior son regiones conexas, es decir, se pueden unir sus pares de puntos cualesquiera mediante poligonales que no corten a la supercie.

Estas dos propiedades se demuestran demuestran de de un modo similar a la primera, primera, utilizando las propiedades análogas de las secciones planas (no olvidemos que son polígonos convexos). Para la c) será suciente tomar una sección plana que

contenga los dos puntos elegidos. d) Toda poligonal que une un punto interior con otro exterior corta a la supercie. La demostración es análoga a la que se hace para su equivalente en los polígonos.

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matemáticas

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2.1.

TEOREMA DE EULER

TEOREMA DE EULER En todo poliedro convexo, el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos. Si denotamos por c el número de caras, por v el de vértices y por a el de aristas, el teorema de Euler dice: c + v = a + 2

Demostración: Procederemos por inducción sobre c, número de caras del poliedro. Si c = 4, entonces el poliedro es una pirámide triangular, luego v = 4, a = 6, y así c + v – a =2. Supongamos probado para poliedros con menos de c > 4 caras, y sea un poliedro de c caras. Elegimos una de ellas, digamos P y sea k el el número de aristas de la cara P. Elegimos un punto v en el semiespacio que no contiene al poliedro de los dos en que divide R3 el plano que contiene a la cara P. Eliminamos las aristas de P y formamos un nuevo poliedro estirando desde los vértices de P hasta llegar a v. así + 1 vértices. Aplicando la el nuevo poliedro tiene c – 1 caras, a – k aristas aristas y v – k + hipótesis de inducción al nuevo poliedro se obtiene fácilmente: + 1) – ( a – k ) = c + v – a ⇒ c + v = a + 2 2 = (c – 1) + ( v – k +

2.2.

X

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE EULER Corolario 1 Es imposible un poliedro convexo con menos de seis aristas, cuatro caras y cuatro

vértices. Demostración: Como cada cara contiene tres o más aristas, el número de éstas será:

a

≥

3c 2

pues cada arista está en dos caras. Luego , 3 c ≤ 2 a. Además, como en cada vértice concurren tres o más aristas y cada una de ellas une dos vértices, se tendrá:

3 v ≤ 2 a Sumando estas dos desigualdades: 3 v + 3 c = 3 (v + c) ≤ 4 a Por otra parte, teniendo en cuenta el teorema de Euler: c + v = a + 2, podemos escribir:

3 (c + v) = 3 (a + 2) = 3 a + 6

9


Por consiguiente: 3 a + 6 = 3 (c + v) ≤ 4 a 3 a + 6 ≤ 4 a ⇒ a ≥ 6 Luego, es imposible un poliedro convexo de menos de seis aristas. Si combinamos por separado las dos desigualdades escritas anteriormente, obtenemos:

3 a + 6 = 3 c + 3 v ≤ 2 a + 3 v ⇒ a + 6 ≤ 3 v ≤ 2 a 3 a + 6 = 3 c + 3 v ≤ 2 a + 3 c ⇒ a + 6 ≤ 3 c ≤ 2 a Considerando que a ≥ 6, resulta: 3 v ≥ 12 ⇒ v ≥ 4 3 c ≥ 12 ⇒ c ≥ 4 con lo que queda demostrado el corolario primero. X

Corolario 2 Solamente existen cinco poliedros convexos cuyas caras son polígonos de igual número de lados n, y cuyos ángulos poliédricos tienen entre sí el mismo números de aristas m. Demostración

En efecto, cada arista pertenece a dos caras y une a dos vértices. Por tanto:

2 a = n c ⇒2a=nc=mv 2 a = m v Eliminamos a y v entre estas dos ecuaciones y la de Euler, c + v = a + 2, obteniendo:

c+

nc m

=

nc

2

+2

despejando c: c

=

4m 2(m + n ) − m ⋅ n

Si hacemos el mismo proceso con a y c, obtenemos v: v

=

4n 2(m + n ) − m ⋅ n

Introduciendo estas dos expresiones en la ecuación de Euler, podemos obtener la expresión de a:

a

=

2 m⋅n 2(m + n ) − m ⋅ n

Si las caras son triángulos (n = 3), el denominador queda 6 – m, que sólo es positivo para los valores m = 3, m = 4 y m = 5.

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matemáticas

Con n = 3 y m = 3, obtenemos en las expresiones anteriores c =

4, v = 4, a = 6 ⇒ tetraedro.

Si n = 3 y m = 4 ⇒ c = 8, v = 6, a = 12 ⇒ octaedro. Si n = 3 y m = 5 ⇒ c = 20, v = 12, a = 30 ⇒ icosaedro. En el caso que las caras sean cuadriláteros (n = 4), el denominador resultante es 8 – 2 m, que únicamente es positivo para m = 3. Sustituyendo este valor en las expresiones de c, v y a obtenemos el poliedro: c = 6, v = 8, a = 12, que recibe el nombre de hexaedro.

Si las caras son pentágonos (n = 5), el denominador es 10 – 3 m, positivo para m = 3.

que sólo es

Con n = 5 y m = 3, tenemos c = 12, v = 20, a = 30 ⇒ dodecaedro. Para los casos siguientes (n ≥ 6) el denominador: 2 (m + n) − m · n = n (2 – m) + 2 m ≥ 12 − 4 m que sólo es positivo si m < 3, lo cual es imposible. Por consiguiente, los únicos poliedros que con las condiciones del corolario resultan posibles, son los cinco hallados. X

Corolario 3 La suma de los ángulos de todas las caras de un poliedro convexo es igual a tantas veces cuatro rectos (2π radianes) como el número de vértices que tiene menos

dos. Demostración: Ya sabemos que el valor de los ángulos interiores de un polígono de n lados 2π (n – 2).

es

Si llamamos n, n1, n2..., al número de lados de las distintas caras, t odos los ángulos suman: S = = 2π (n − 2) + 2 π (n1 − 2) + 2π (n2 − 2) + ...

Sea c el número de sumandos que aparecen, operando resulta: S = = 2π (n + n1

+ n2 + ... − 2 − 2 − 2...)

S = = 2π (n + n1 + n2 + ... − 2 c)

Como cada lado pertenece a dos caras: n + n1 + n2 + ... = 2 a

y, por consiguiente: S = = π (2 a − 2 c) = 2π (a − c); utilizando la fórmula de Euler: v + c = a + 2 ⇒ a − c = v − 2, resulta S = = 2π (v − 2), que es lo que pretendíamos probar.. probar

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3

3.1.

POLIEDROS IGUALES Y SEMEJANTES

IGUALDAD DE POLIEDROS Para estudiar esta cuestión en los polígonos, se descomponían en triángulos. En el caso de los poliedros se hará descomponiéndolos en tetraedros.

Supongamos dos poliedros convexos descompuestos en el mismo número de tetraedros iguales e igualmente dispuestos que tienen por vértice común en cada uno de ellos los puntos interiores O y O’.

Sean OABC y OBCD dos tetraedros adyacentes del primer poliedro, respectivamente iguales a los O’A’B’C’ y O’B’C’D’ del segundo. De estas igualdades resulta que las bases ABC , BCD de los dos primeros son res pectivamente iguales a las A’B’C’ y B’C’D’ de los dos segundos, y que los ángu los diedros, cuya arista es BC en en los dos primeros, son respectivamente iguales a los de los segundos cuya arista es B’C’. Los diedros BC y y B’C’ son iguales como

suma de diedros iguales. Por consiguiente, todas las caras que concurren en los vértices C y y C’ son respectivamente iguales y en el mismo orden, así como todos los ángulos diedros son respectivamente iguales e igualmente dispuestos, y como lo que se verica en es tos vértices homólogos se realiza también en los demás, resulta que los poliedros tienen sus caras y sus ángulos respectivamente iguales y dispuestos en el mismo orden. Por consiguiente, podemos enunciar que si dos poliedros tienen iguales respectivamente los tetraedros que los componen y están igualmente dispuestos, los poliedros son iguales. Evidentemente es cierto el recíproco, dos poliedros convexos iguales se pueden

descomponer en el mismo número de tetraedros iguales e igualmente dispuestos. 3.2.

POLIEDROS SEMEJANTES Dos poliedros son semejantes cuando tienen sus ángulos poliédricos homólogos iguales y sus caras homólogas semejantes y semejantemente dispuestas. La igualdad de los ángulos poliedros de dos poliedros entraña evidentemente la igualdad de los ángulos diedros homólogos. Como las caras homólogas son polígonos semejantes y cada lado de éstas es co mún a dos caras adyacentes, existirá una razón constante entre las aristas homó -

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matemáticas

logas de los poliedros semejantes. Esta razón constante es la que denominaremos razón de semejanza de los poliedros semejantes.

Recordemos que dos tetraedros son semejantes cuando tienen todos sus pares de aristas homólogas proporcionales y todos sus pares de ángulos diedros homólogos

iguales. X

Teorema

Dos poliedros convexos semejantes pueden descomponerse en el mismo número de tetraedros semejantes e igualmente dispuestos. Demostración:

Sean Q y Q’ dos poliedros semejantes. Tracemos los planos ABC y y A’B’C’ cuyas intersecciones con dichos poliedros se han dibujado.

Los dos tetraedros PABC y P’A’B’C’ son semejantes por tener en PA y P’A’ un diedro igual comprendido entre dos caras semejantes respectivamente, ya que pertenecen a poliedros semejantes. Vamos a demostrar que si se separan estos dos tetraedros, los poliedros resultantes aún son semejantes. Las dos caras ABC y A’B’C’ son semejantes por pertenecer a tetraedros seme jantes. Las caras PBNC y y P’B’N’C’ han quedado disminuidas en uno de los dos triángulos semejantes de que se componen, ocurriendo lo mismo con las caras PBEA, P’B’E’A’ y con las PADC y y P’A’D’C’. Así pues, las nuevas caras que resultan son respectivamente semejantes. Además como los ángulos poliedros A y A’ podían coincidir antes de dar la sección y coin ciden también las porciones que se han separado de ellos, coincidirán los ángulos poliedros que quedan en A y A’, y, por consiguiente, son iguales.

Deducimos entonces que los poliedros que quedan después de separar los dos tetraedros semejantes son también semejantes.

Reiterando la misma operación en los nuevos poliedros cuantas veces fuese preciso, llegaremos a obtener dos tetraedros que aún serán semejantes. Recíprocamente,

dos poliedros convexos compuestos de un mismo número de tetraedros respectivamente semejantes e igualmente dispuestos, son semejantes. Es evidente, pues los ángulos poliedros de los mismos son iguales dos a dos, por

estar formados de un mismo número de triedros respectivamente iguales e igualmente dispuestos, y las caras homólogas son semejantes por estar formadas por triángulos respectivamente semejantes y dispuestos semejantemente.

13


4

4.1.

POLIEDROS REGULARES

ESTUDIO DE LOS POLIEDROS REGULARES Se llama poliedro regular convexo a todo poliedro convexo cuyas caras son polígo -

nos regulares iguales y en cuyos vértices concurren el mismo número de aristas. X

Teorema 1 Sólo son posibles los cinco poliedros regulares ya conocidos: el tetraedro, octae dro e icosaedro, cuyas caras son triángulos equiláteros; el hexaedro, cuyas caras son cuadrados, y el dodecaedro, que sus caras son pentágonos regulares. Demostración:

Vamos a demostrar el teorema desde dos puntos diferentes: a) Al ser convexo, todo poliedro regular verica el teorema de Euler y ya de -

mostramos en un corolario que sólo pueden existir cinco poliedros cuyas caras son todas polígonos de igual número de lados y en cuyos vértices concurren el

mismo número de aristas. b) Utilicemos que las caras de los poliedros regulares son polígonos regulares. Si las caras son triángulos equiláteros (los ángulos son de π/3), en cada vértice podrán concurrir 3, 4 o 5. No podrán concurrir dos, pues entonces no habría poliedro, ni 6 o más, pues en este caso las caras del ángulo poliedro sumarían cuatro rectos o más, cosa que no es posible.

Si concurren tres caras triangulares en cada vértice y, por consiguiente, tres aristas, el número de éstas será:

3c 3v = 2 2 ya que cada arista pertenece a dos caras y une dos vértices. Estas ecuaciones y la que nos proporciona el teorema de Euler c + v = a + 2, forman un sistema del que resulta: c = 4, v = 4, a = 6 ⇒ tetraedro regular. a

=

Si concurren cuatro caras triangulares, se obtiene:

3c 4v = 2 2 que resueltas con el teorema de Euler nos proporciona: a

=

c = 8, v = 6, a = 12 ⇒ octaedro regular.

Si concurren cinco caras triangulares, resulta análogamente:

a

=

3c 5v dro ore regul ular ar. = ⇒ c = 20, v = 12, a = 30 ⇒ icosaedr 2 2

Si las caras son cuadrados (ángulos de π/2), sólo tres de ellos pueden concurrir en

un vértice para que su suma sea menor que cuatro rectos.

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matemáticas

Resulta así, a

=

4c 3v = que con el teorema de Euler dan lugar a: 2 2 c = 6, v = 8, a = 12 ⇒ hexaedro regular.

Si las caras son pentágonos regulares (ángulos de 3 π/10), sólo pueden concurrir

tres de ellas en un vértice, y por consiguiente: a X

=

5c 3v dro o regul ular ar. = ⇒ c = 12, v = 20, a = 30 ⇒ dodecaedr 2 2

Teorema 2

En todo poliedro regular existe un punto, que denominaremos centro, que equidista de las caras, aristas y vértices del poliedro. Demostración:

Consideremos dos caras contiguas del poliedro regular y el plano perpendicular en el punto medio de la arista común AB. En este plano se encuentran las mediatrices de AB en cada cara y, por consiguiente, los centros P y P’ de ellas, así como las perpendiculares por P y P’ a dichas caras. Estas perpendiculares se cortan en un punto O. Lo unimos con el punto medio N de de AB. Los triángulos rectángulos OPN y OP’N son son iguales pues = ON , y entonces OP = OP’ y ONP = ONP′ . Por consiguiente, NP = NP’ y ON = dado uno dado uno de estos dos ángulos medirá la mitad del diedro del poliedro por ser PNP’ su sección normal. Al ser este diedro constante, cualquiera que sea el par de caras contiguas las consideradas, los triángulos rectángulos que forma ríamos al tomar otro par serían iguales a éstos por tener también constante un cateto (PN = = PN’, apotema de las caras). Ahora bien, ON mide mide la distancia de O a la arista AB, OP la distancia de O a una cara. 



Podemos entonces resumir diciendo que el punto O equidista de todas las aristas y equidista de todas las caras y, por consiguiente, equidistará de todos los vértices.

4.2.

ÁREA DE POLIEDROS REGULARES Para calcular el área de un poliedro regular se multiplica el área de una cara, que es un polígono regular, por el número de caras que tenga el poliedro regular.

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Vamos a dar las fórmulas en función de l a arista, ya que las áreas de los polígonos

regulares se suponen conocidas en función de la misma: Área del tetraedro regular Área del octaedro regular

4.3.

=

=

⋅ 3

a2

4 a2

⋅ 3 4

a2

⋅ 3

Área del icosaedro regular

=

Área del hexaedro regular

= 6 a2

Área del dodecaedro regular

=

4

⋅ 4 = a2 ⋅ 3

⋅ 8 = 2a 2 ⋅ 3 ⋅ 20 = 5a 2 ⋅ 3

5 2 5+2 5 5+2 5 a ⋅ ⋅ 12 = 1 5 a 2 ⋅ 4 5 5

VOLUMEN DE LOS POLIEDROS REGULARES Como ya hemos visto, todos los vértices del poliedro regular equidistan de un punto interior al poliedro, denominado centro. Haciendo pasar planos por este punto y cada una de las aristas, el poliedro queda descompuesto en tantas pirámi des iguales como caras tiene. Por consiguiente, para calcular el volumen de un poliedro regular basta hallar el volumen de una de estas pirámides y multiplicarlo por el número de caras. El volumen de una pirámide es 1/3 B · h, donde B es el área de la base (en nuestro caso de la cara del poliedro) y h la altura de la pirámide (en nuestro caso la distan cia del centro del poliedro al centro de la cara, distancia que se llama apotema). Si llamamos c al número de caras, tenemos:

V

1 3

= ⋅ c ⋅ B ⋅ h.

Como c · B = S (área (área total del poliedro) resulta:

1 3 Por tanto, el volumen de un poliedro regular es la tercera parte del producto de su V

= ⋅ S ⋅ h.

área por la apotema. Vamos a obtener a continuación el volumen de los cinco poliedros regulares en

función de su arista.

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X

Tetraedro regular

El centro O del tetraedro se halla en la intersección de dos alturas AK y y VH . Los pies de estas estas alturas dividen, respectivamen respectivamente, te, a VD y AD en partes que cumplen:

HD AD

=

KD VD

=

1 3

Los triángulos OAV y y OKH son son semejantes y, por tanto:

OH OV

=

HK AV

También son semejantes los l os triángulos ADV y y HKD, por tanto:

KD VD

=

HK AV

Como las tres igualdades escritas tienen una razón común, deducimos:

OH OV

=

KD VD

=

1 3

1 1 ⋅ OV = ⋅ VH 3 4 de donde la apotema del tetraedro regular es la cuarta parte de la altura. y, por consiguiente: OH = Calculemos la altura: 2

VH

=

AV

2

− AH = 2

a

2

a  −   3  =  

2 a2 a = = ⋅ 6 a − 3 3 3 2

a2

La apotema: OH

1 4

= ⋅ VH =

a

12

⋅ 6

Y el volumen del tetraedro: V

=

V =

1 1 a ⋅ 6 S ⋅ h = a2 ⋅ 3 ⋅ 3 3 12 a3

12

⋅ 2

17


X

Octaedro regular Calculemos la apotema observando la gura adjunta:

h

= OK OK =

OL

=

LK =

Por tanto, h

a2

4

−

OL2

− LK 2

a

2 AL

3

a

= ⋅ 3 6

3 2 9 a2 − 3 a2 a = ⋅ 6. a = 36 36 6

El volumen buscado será:

1 1 a a3 2 6 = ⋅ 18 V = S ⋅h = ⋅2 a ⋅ 3⋅ 3 3 6 9 V = X

a3

3

⋅ 2.

Hexaedro regular

En este poliedro la apotema es, evidentemente, la mitad de la arista:

h

=

a

2

El volumen será: V

18

=

a 1 1 S ⋅ h = ⋅ 6 a 2 ⋅ = a3 3 3 2

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matemáticas

X

Icosaedro regular La apotema vendrá dada por:

h

= OG =

AO 2

− AG 2

Ahora bien, en el triángulo rectángulo ABD:

1 2 a + BD 2 2 2 Pero BD es la diagonal del pentágono regular BCDEF , cuyo lado es a; y, por consiguiente: AO

=

AD

BD

=

=

1 a ( 5 + 1) 2

Entonces: AO 2

1 1 1 a2 = ⋅ ( a 2 + BD 2 ) = ⋅ a 2 + a 2 ( 3 + 5 ) = ( 5 + 5 ) 4 4  2  8

Por otra parte: AG = Sustituyendo:

a

⇒ AG 2 =

3 h

=

a2

8

a2

3

(5 + 5 ) −

a2

3

a

= ⋅ 2

7+3 5 6

y el volumen del icosaedro será:

1 1 7 + 3 5 5 a3 7 + 3 5 a 2 V = ⋅S ⋅h = ⋅5 a ⋅ 3⋅ ⋅ = ⋅ 3 3 2 6 6 2 X

Dodecaedro regular La apotema vendrá dada por:

h

= OK =

OB 2

− BK 2

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OB es la distancia del centro al vértice y el triángulo rectángulo BAG da:

OB

=

BG

1 1 2 AB 2 + AG 2 = a + AG 2 . 2 2

=

2 1 OB 2 = ( a 2 + AG 2 ) . 4

AG es la diagonal del pentágono ACEGI , o bien, el lado del decágono estrellado de radio AI , pues el ángulo AIG = 3π/10. Recordando la fórmula que expresa el lado del decágono estrellado en función del radio:

AG

=

1 AI ( 5 + 1) 2

AI es la diagonal del pentágono regular de lado a; y, por consiguiente, AI

=

1 a ( 5 + 1) 2

Sustituyendo: AG

=

2 1 1 a ( 5 + 1) = a ( 6 + 2 5 ) = a (3 + 5 ) . 4 2

Por tanto:

1 OB = 4 2

a 2 + 1 a 2 3 + 5 2  = 1 a + a 2 7 + 5  = a 2 9 + 3 5 . ( )  4  2 ( ) 8 ( )  4  

BK es el radio del pentágono regular de lado a. Recordando la expresión de a en

función del radio: a

BK

=

2

10 − 2 5 ⇒ BK =

2a 10 − 2 5

2 a 2 (5 + 5 ) a 2 (5 + 5 ) 4 a2 2 a2 = = = BK = 20 10 10 − 2 5 5 − 5 2

Finalmente, la apotema será:

h

h

a2

=

8

a

(9 + 3 5 ) − 10 (5 + 5 )

5 a 2 (9 + 3 5 ) − 4 a 2 ( 5 + 5 )

=

40

a

= ⋅ 2

25 + 11 5 10

El volumen del dodecaedro será:

V

=

1 1 5 + 2 5 a 25 + 11 5 S ⋅ h = ⋅ 15 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 5 2 10

y operando:

5 a3 V = 2 20

47 + 21 5 10

tema 45

matemáticas

5

5.1.

SÓLIDOS PLATÓNICOS

HISTORIA No se sabe exactamente la época en la que llegaron a conocerse los cinco polie dros regulares convexos. Parece ser que el concepto más antiguo con forma de dodecaedro se atribuye a tiempos prepitagóricos, y existe una tradición que asigna

el conocimiento de los cinco poliedros regulares a los pitagóricos. Otras investigaciones dicen que los poliedros simples que se forman al unir tres vértices (cubo, tetraedro y dodecaedro) pertenecen a los pitagóricos, mientras que el octaedro e

icosaedro pertenecen a Teeteto. Pero fue Teeteto quien primero desarrolló una teoría general de los sólidos regulares. El nombre de sólidos platónicos se debe a que Platón (427-347 a.C.) los cita en el Timeo. De estos cuerpos elementales Platón considera sólo los límites, las super cies y que éstas, a su vez, están descompuestas en triángulos elementales, así, por ejemplo, el icosaedro está formado por el agrupamiento de 20 triángulos elemen tales, es decir, por 12 ángulos sólidos, donde cada uno está comprendido entre 5 triángulos planos equiláteros y tiene 20 bases que son 20 triángulos equiláteros. Durero (1471-1528) centró la atención de los poliedros, que le servían de modelo en sus estudios de perspectiva, e introdujo su estudio mediante el dibujo de los

desarrollos de los poliedros respectivos. De los poliedros platónicos hay tres (tetraedro, octaedro, icosaedro) que forman

parte de otra familia de poliedros convexos, convexos, llamados deltaedros, cuyas caras son triángulos equiláteros iguales.

5.2.

POLIEDROS REGULARES Ya hemos visto que los poliedros regulares cumplen la condición que tienen sus caras iguales y regulares y los vértices iguales, formando las caras ángulos iguales en sus vértices. Su representación gráca:

Tetraedro 5.3.

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

FORMACIÓN DE LOS POLIEDROS Los conceptos para la formación de poliedros regulares son los siguientes: a) Para que se formen esquinas en un poliedro, la suma de los ángulos de los po lígonos que concurren en un vértice tiene que ser menor de 2 π.

21


b) Tienen que concurrir tres caras, como mínimo, en cada vértice. c) A medida que aumenta el número de lados de un polígono regular aumenta el ángulo de éste. De estos conceptos se concluye que no se pueden construir vértices con más de tres cuadrados, o más de tres pentágonos, o con tres o más hexágonos, o tres o más heptágonos regulares, etc.

Si se juntan tres cuadrados en un vértice y se continúa haciendo vértices de tres cuadrados, se cierra formando un cubo (6 caras). Con cuatro caras ya no s e forma porque quedará plano. Si se consideran triángulos y se juntan cuatro o cinco en un vértice, se formarán el tetraedro, octaedro e icosaedro respectivamente. Si se quieren unir seis o más, se produciría un cubrimiento plano. Si se juntan tres pentágonos, se nos formará

el dodecaedro. 5.4.

INTERRELACIÓN DE LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS Entre los poliedros platónicos, son interesantes los que están colocados de manera que las simetrías comunes coincidan, por lo que se pueden introducir uno en otro de una manera sistemática. Los poliedros pueden introducirse uno en el otro porque tienen simetrías comunes

y son los siguientes:

5.4.1.



El octaedro en el cubo y viceversa.



El dodecaedro en el icosaedro y viceversa.



El tetraedro en el cubo y en el octaedro.



El tetraedro en el dodecaedro y en el icosaedro.



El cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro en el tetraedro.



El cubo en el dodecaedro y en el icosaedro.



El octaedro en el dodecaedro y en el icosaedro.



El dodecaedro y el icosaedro en el cubo y en el octaedro.

El octaedro y cubo. Dodecaedro e icosaedro

Los vértices del poliedro inscrito yacen de los centros de las caras del otro poliedro, teniendo el número de caras igual al de vértices.

El octaedro en el cubo, y viceversa

22

El dodecaedro en el icosaedro, y viceversa

tema 45

matemáticas

5.4.2.

El tetraedro en el cubo y el cubo en el dodecaedro Los cuatro ejes de rotación del cubo que pasan por los vértices están es tán dis -

puestos en el espacio de la misma manera que los cuatro ejes de rotación del tetraedro que pasan por el vértice y caras del tetraedro. Se consigue haciendo coincidir el tetraedro con los vértices del cubo y las diagonales

de éste son las aristas del tetraedro. Los ejes de rotación del cubo que pasan por sus vér tices están dispuestos en el espacio de la misma ma-

nera que los ejes de rotación del dodecaedro que pasan por los vértices del dodecaedro. Además los seis ejes de rotación del cubo que pasan por los puntos medios de sus aristas están dis -

puestos de la misma misma manera manera que los ejes de rotación rotación del dodecaedro que pasan por el centro de sus caras. El cubo inscrito en

el dodecaedro tiene sus vértices en los vértices del dodecaedro y sus aristas en las diagonales de las caras del dodecaedro. 5.4.3.

El tetraedro en el octaedro, dodecaedro e icosaedro. El cubo en el icosaedro Como el tetraedro se puede inscribir en el cubo (los vértices yacen en vértices) y el cubo en el octaedro (los vértices yacen en el centro de las caras), se podrá inscribir el tetraedro en el octaedro, de manera que los vértices estarán en los centros de las caras. El resultado tendrá todas las simetrías del tetraedro. También se podrá inscribir un cubo en un icosaedro con los vértices en los centros de las caras. El resultado tendrá las simetrías que son comunes al cubo y al icosaedro. El tetraedro puede inscribirse en el cubo y éste en el dodecaedro y, por tanto, se po drá inscribir un tetraedro en el dodecaedro con sus vértices en los del dodecaedro.

Además, como el dodecaedro se puede inscribir en un icosaedro, el tetraedro tam bién se inscribe en el icosaedro.

Estos dos modelos últimos no tienen planos de simetría, pero sí ejes de rotación,

dispuestos como los ejes de rotación del tetraedro.

23


5.4.4.

Poliedros inscritos con los vértices sobre las aristas

Se colocan de tal forma que los vértices del octaedro se sitúen en los puntos medios de las aristas del tetraedro.

Con la misma condición se puede inscribir en un octaedro un icosaedro; los vér tices del icosaedro en este caso no están en los puntos medios de las aristas del

octaedro, sino que cada vértice del icosaedro divide la arista del octaedro en la razón áurea.

5.4.5.

Poliedros inscritos con algunas aristas que yacen sobre caras Si se coloca un dodecaedro sobre una arista, la arista opuesta queda arriba paralela a la arista sobre la que se apoya, quedando pares de aristas paralelas. Se puede inscribir en un cubo un dodecaedro de manera que 6 aristas estén en las seis caras del cubo.

De la misma manera se puede inscribir un icosaedro en un cubo.

24

tema 45

matemáticas

5.5.

FORMAS COMPUEST COMPUES TAS Otros modelos de poliedros platónicos duales son las formas compuestas. Si al poliedro inscrito en su dual se le va aumentando su tamaño, las aristas de éste

se convierten en aristas paralelas que se van acercando a las aristas del poliedro circunscrito, llegando un momento en que las aristas se cortarán. Las aristas que bisecan a las de una cara se cortan en un vértice del poliedro

dual. Cuando dos tetraedros se colocan cortándose sus aristas en el punto medio, se obtiene la estrella octangular octangular..

Análogamente se obtienen formas compuestas si se colocan dos pares de sólidos platónicos como el cubo y el octaedro.

Y lo mismo ocurre si los sólidos son dodecaedro e icosaedro.

5.6.

5.6.1.

OTROS SÓLIDOS SÓLIDO S PLATÓNICOS La esfera La esfera es una forma focal y altamente concentrada. Al igual que la circunferen -

cia de la que procede, es una forma que dispone de su propio centro y en su entorno goza habitualmente de una absoluta estabilidad. Cuando se la sitúa sobre un

25


plano en pendiente tiende a adoptar un movimiento de rotación. Desde cualquier punto de vista conserva su su contorno circular. circular.

5.6.2.

El cilindro

El cilindro es una forma concentrada en torno a los ejes que determinan los centros de las dos circunferencias base. Al tomar dicho eje como referencia, esta forma s e dilata sin dicultad. Si descansa sobre una de sus bases, el cilindro es una forma estable; en caso de que el eje central esté inclinado, es inestable.

Forma

estable

Formas inestables

5.6.3.

El cono El cono es fruto del giro de un triángulo equilátero alrededor de su eje vertical. Como el cilindro, cuando el cono se apoya sobre una base circular es una forma estable, no siendo así al inclinar o desplazar su eje. El resultado de sostenerlo so bre su vértice es un equilibrio inestable.

Forma

estable

Formas inestables

26

tema 45

matemáticas

5.6.4.

La pirámide Las propiedades de la pirámide son similares a las del cono. Puesto que todas sus caras son supercies planas, todas ellas son bases estables. Mientras que el cono es una forma blanda, la pirámide es dura y angulosa. Forma

estable

Formas inestables

27


6

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS Los sólidos arquimedianos surgen de modicar los poliedros cortando sus esqui nas, para que se obtengan sólidos que tengan todas sus caras regulares y de ma -

nera que todos sus vértices concurran el mismo número de caras y con la misma orientación. Después de este truncamiento, se describirán los sólidos obtenidos, interrelacionándolos con los poliedros de los que provienen.

6.1.

HISTORIA El nombre se debe a que fue Arquímedes el que los describió por primera vez, indicando el número de polígonos que concurren en cada vértice y el número de lados de estos polígonos. También se llaman semirregulares, pues mantienen la

regularidad de las caras y de los vértices, pero no la igualdad de las caras, por tener cada poliedro más de un tipo de polígonos. Fue Kepler el que dio nombre a estos poliedros y probó que hay 13 poliedros se mirregulares, además de los prismas y antiprismas de caras regulares.

En la actualidad se consideran 13 poliedros arquimedianos, porque se adoptan las deniciones de regularidad basadas en las simetrías, pero con la idea de regulari dad que tenía Arquímedes, Pappus y Kepler basada en la igualdad de las guras

verticales, no hay 13 poliedros arquimedianos, sino 14. Estos poliedros arquimedianos se utilizan como elementos decorativos en farolas y otros adornos. Hace pocos años en los balones de fútbol se utilizaba un poliedro a base de hexágonos y pentágonos, ahora el balón ocial también es un poliedro de este tipo formado de 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos, y se llama pequeño rombicosidodecaedro, rombicosidodecaedro, siendo el más redondeado redondeado de todos y se aproxima

a la esfera circunscrita en un 94,33%. 6.2.

CLASIFICACIÓN Sólidos semirregulares arquimedianos analizados por el número y formas de las

caras. 6.3.

TIPOS DE TRUNCAMIENTO Es la operación de cortar esquinas a los poliedros regulares de manera que se ob -

tengan poliedros que tengan todas las caras regulares. Para ello es necesario que los cortes en torno a los vértices sean perpendiculares al eje de rotación que pasa por esos vértices. Estos cortes pasan por puntos de las aristas equidistantes del vértice. Si el corte se hace de una manera concreta, cada vértice del poliedro de partida se convierte en un polígono regular; si, además, el corte pasa por los puntos de las aristas más cercanos al vértice que a los puntos medios, el polígono tiene un núme ro de lados igual al orden del vértice, siendo más o menos grande dependiendo del alejamiento al vértice del poliedro, pero el polígono resultante es del mismo tipo.

28

tema 45

matemáticas

Icosaedro truncado

Octaedro truncado

Tetraedro truncado

Icosidodecaedro

Gran rombicosidodecaedro

Cuboctaedro

Gran rombicuboctaedro

29


Dodecaedro chato

Pequeño rombicosidodecaedro

Dodecaedro truncado

Cubo chato

Pequeño rombicuboctaedro

Cubo truncado

Si nos jamos en el resultado que los cortes producen en las caras, se deduce que hay dos maneras de obtener el polígono regular: X

Truncamiento Truncamient o tipo 1: El corte se realiza por planos que pasan por los puntos medios de las aristas que

concurren en cada vértice.

30

tema 45

matemáticas

X

Truncamiento Truncamient o tipo 2 El corte se realiza con una distancia adecuada para que aparezcan polígonos regulares, que tengan el doble número de lados que el polígono de las caras del

poliedro de partida, siendo la distancia al vértice vértice menor que la mitad del lado. 6.4.

CARACTERÍSTICAS DE LOS POLIEDROS OBTENIDOS Las características dependen del sólido truncado y del tipo de truncamiento. a)

El poliedro tiene caras de dos tipos: − Las que provienen de las caras. − Las que provienen de los vértices.

Dependiendo su número número del número de de caras y de vértices del poliedro de partida. El número de lados de las caras depende del tipo de truncamiento: − Tipo 1: estas caras tienen el mismo número de lados que las caras del polie-

dro de partida. − Tipo 2: las caras tienen doble número de lados que las caras del poliedro de

partida. b) El número de aristas en los dos tipos dependen del número de vértices del poliedro de partida y de su orden; por cada vértice, aparece un número de aristas

igual al orden del vértice. El número total de aristas depende del tipo de truncamiento: − Tipo 1: cada arista se convierte en un vértice y el número de aristas viene

dado a partir de los vértices del poliedro inicial y su orden. − Tipo 2: cada arista se convierte en una arista del nuevo sólido pero de menor longitud; el número de aristas depende además del número de aristas del

poliedro inicial. c) El número de vértices depende del truncamiento: − Tipo 1: cada arista del poliedro original se convierte en un vértice, siendo

igual los vértices al poliedro inicial. − Tipo 2: en cada arista aparecen dos vértices, siendo el doble los vértices que

el poliedro inicial. d) Los vértices de los poliedros resultantes son: − Tipo 1: el orden es 4, en ellos concurren dos polígonos verticales y dos lados

por cada uno. − Tipo 2: el orden es 3, concurren una arista que proviene del sólido inicial y dos aristas que surgen al cortar el vértice.

31


e) Los poliedros obtenidos por truncamiento de los poliedros regulares tendrán

una esfera circunscrita pero no inscrita, ya que los vértices equidistan del centro, pero los centros de las caras que provienen de caras equidistan del centro y los centros de las caras que provienen de vértices también equidistan del

centro, pero las distancias no tienen por qué ser iguales. f) Los ángulos diedros dependen del tipo de truncamiento:

− Tipo 1: tienen los ángulos diedros iguales. − Tipo 2: tienen dos clases de ángulos diedros, los ángulos que provienen de las caras y el ángulo que forman las caras que provienen de una cara y de un

vértice. 6.5.

6.5.1.

POLIEDROS OBTENIDOS POR TRUNCAMIENTOS Tipo 1

Recordemos que con este tipo de truncamiento, se truncan los poliedros regulares haciendo cortar con planos que pasan por los puntos medios de las aristas que concurren en los vértices. Al truncar el tetraedro se obtiene el octaedro, si se trunca un cubo o el octaedro se obtiene el cuboctaedro, y al truncar el dodecaedro o icosaedro se obtiene el

icosidodecaedro.

6.5.2.

Tipo 2 Se truncan los cinco poliedros regulares con el truncamiento del tipo 2, obteniendo, en el tetraedro, cubo y dodecaedro como concurren tres caras, el resultado será un triángulo, en el octaedro un cuadrado y en el icosaedro un pentágono y en cada cara del tetraedro, octaedro e icosaedro se obtiene un hexágono regular, por cada cara del cubo un octógono regular y por cada cara del dodecaedro un decágono regular.

32

tema 45

matemáticas

Se les denomina tetraedro truncado, cubo truncado, octaedro truncado, dodecae -

dro truncado e icosaedro truncado, respectivamente.

6.5.3.

Los rombis El poliedro del que deriva está formado por cuadrados y triángulos, y se conclu ye que es el truncamiento de un cuboctaedro perpendicularmente a los ejes de rotación que pasan por esos vértices, dándonos rectángulos; por medio de una pequeña transformación transformación los rectángulos se transforman en cuadrados, de de tal forma que mantienen la regularidad en el resto de sus caras y la medida de los ángulos diedros de las caras que provienen de caras; a este poliedro se le denomina pequeño rombicuboctaed rombicuboctaedro ro.

El poliedro tiene cuadrados, hexágonos y octógonos; los hexágonos están dis puestos como las caras del octaedro y los octógonos como las caras del cubo; los cuadrados están dispuestos como vértices del cuboctaedro, y una vez truncadas las esquinas también hay que hacer una transformación para que los rectángulos se

conviertan en cuadrados, manteniendo la regularidad de las caras que provienen de caras y los ángulos de diedros de las caras que provienen de caras; se le conoce con el nombre de gran rombicubocta rombicuboctaedro edro.

33


De forma análoga se puede razonar para los dos sólidos siguientes, y se llega a la misma conclusión de que tienen las mismas simetrías que el dodecaedro y familia. Sus caras están dispuestas como caras y vértices del icosidodecaedro, pero no se obtienen por truncamiento y se les llama pequeño rombicosidodecaedro y gran rombicosidodecaedro.

6.5.4.

Los chatos

Otro tipo de sólidos arquimedianos son los chatos. Una característica de estos poliedros es que no tienen planos de simetría, pero sí tienen ejes de rotación. Son el cubo chato y el dodecaedro chato.

El nombre de chatos es debido a que su forma es un poco achatada. El que se llamen cubo y dodecaedro chato tiene su explicación en que el número de caras del cubo chato coincide con el número de caras del cubo, y prolongando las caras cuadradas del chato se obtiene el cubo, análogamente con el dodecaedro chato y

el dodecaedro. Estos poliedros se pueden presentar en dos variedades enantiomórcas, dextra y leva, es decir, derecha e izquierda. Una de ellas es la imagen que devuelve el es -

pejo de la otra y no se puede superponer superponer en un movimiento continuo. continuo.

34

tema 45

matemáticas

BIBLIOGRAFÍA GUILLÉN SOLER, G.: Poliedros. Matemáticas: cultura y aprendizaje. Ed. Síntesis, 1991. PUIG ADAM, P.: Curso de Geometría Métrica. Ed. Biblioteca Matemática, 1986. QUARONI, L.: Proyectar un ediﬁcio: Ocho lecciones de arquitectura. Xarait Xarait Ediciones, 1980.

35

tema 45

matemáticas

RESUMEN Poliedros. Teorema de Euler. Sólidos platónicos y arquimedianos. 1. 1

1.1.


DEFINICIONES Supercie poliédrica: número nito de polígonos tales que son contiguos y están en planos distintos. Elementos: caras, aristas, vértices, ángulos diedros o poliédricos.

Poliedro convexo. Puntos interiores o exteriores. Diagonales y plano diagonal. 1.2.

PROPIEDADES DE LOS POLIEDROS CONVEXOS. a) Toda semirrecta con origen en un punto interior corta a la supercie en un punto.

Existen rectas exteriores. conexos. c) El interior y el exterior son conexos. b)

d) Toda poligonal que una un punto del interior con uno del exterior corta a la supercie.

2. 2

2.1.

TEOREMA DE EULER

TEOREMA DE EULER c − a + v = 2 (sólo

2.2.

para poliedros convexos).

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE EULER 1. No existen poliedros convexos con menos de 6 aristas, 4 caras y 4 vértices. 2. Existen sólo cinco poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y cuyos ángulos poliédricos tengan entre sí igual número de aristas. 3. La suma de los ángulos de todas las caras es 2π (v − 2) .

3. 3

3.1.

POLIEDROS IGUALES Y SEMEJANTES

IGUALDAD DE POLIEDROS Respectivamente iguales los tetraedros que los componen e igualmente dispuestos.

3.2.

POLIEDROS SEMEJANTES Ángulos poliédricos homólogos iguales y caras homólogas semejantes igualmente dis puestas o igual número de tetraedros semejantes semejantes igualmente dispuestos.

37


4. 4

4.1.

POLIEDROS REGULARES

ESTUDIO DE LOS POLIEDROS REGULARES Existen únicamente cinco: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. En todos ellos, existe un punto, centro, que equidista de las caras, aristas y vértices.

4.2.

ÁREA DE LOS POLIEDROS REGULARES Tetra-, Te tra-, octa- e icosaedro:

a

2

3

4

c.

Hexaedro: 6a2. Dodecaedro: 15a 2 4.3.

5+2 5 5

VOLUMEN DE LOS POLIEDROS REGULARES Fórmula general: V = 1 cAbase h 3

Tetraedro: Octaedro:

a

3

12 a

2

3

3

2

Hexaedro: a3 Dodecaedro:

Icosaedro:

5. 5

5 3 47 + 21 5 a 2 10

5 3 7+3 5 a 6 2

SÓLIDOS PLA PLATÓNICOS TÓNICOS

5.1.

HISTORIA

5.2.

POLIEDROS REGULARES

5.3.

FORMACIÓN DE LOS POLIEDROS a) Suma de los ángulos de los polígonos que concurren en un vértice es <2 π. b) Concurren como mínimo 3 caras en cada vértice. c) A más lados, más ángulo.

5.4.

INTERRELACIÓN DE LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS PLATÓNICOS Simetrías comunes que permiten introducir unos en otros.

5.4.1.

El octaedro y cubo. Dodecaedro e icosaedro

Poliedros duales: el número de caras de uno coincide con los vértices del otro y viceversa. Mismo número de aristas.

38

tema 45

matemáticas

5.4.2.

El tetraedro en el cubo y el cubo en el dodecaedro Se inscribe el tetraedro siendo su arista la diagonal del cubo. Análogo el otro.

5.4.3.

El tetraedro en el octaedro, oc taedro, dodecaedro e icosaedro. icosaedro. El cubo en el icosaedro

5.4.4.

Poliedros inscritos con los vértices sobre las aristas

Octaedro en tetraedro o icosaedro. 5.4.5.

Poliedros inscritos con algunas aristas que yacen sobre caras Dodecaedro en cubo (con seis aristas en sus caras), idem el icosaedro en el cubo.

5.5.

FORMAS COMPUEST COMPUES TAS Si al poliedro inscrito de le aumenta su tamaño, llegará un momento que las aristas de uno y otro se corten. Se obtienen así, por ejemplo, formas estrelladas.

5.6.

OTROS SÓLIDOS PLAT PLATÓNICOS ÓNICOS

5.6.1.

La esfera

5.6.2.

El cilindro

5.6.3.

El cono

5.6.4.

La pirámide

6. 6

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS Surgen de modicar los poliedros cortando sus esquinas para obtener sólidos con caras

regulares y tales que en cada vértice concurren las mismas caras. 6.1.

HISTORIA Arquímedes los describió primero. Kepler les dio nombre, encontró los trece.

6.1.1.

Clasiﬁcación Los truncados (son 5), los rombis grandes y pequeños (son 4), los chatos (son 2), el icosi dodecaedro y el cuboctaedro.

6.1.2.

Tipos de truncamiento a)

Por planos que pasan pasan por el punto medio de las aristas. aristas.

b) Por la distancia adecuada para que aparezcan polígonos regulare que tengan doble b)

número de lados que las caras del poliedro original.

39


6.2.

CARACTERÍSTICAS DE LOS POLIEDROS OBTENIDOS

6.3.

POLIEDROS OBTENIDOS POR TRUNCAMIENTOS

6.3.1.

Tipo I Cubooctaedro, icosidodecaedro.

6.3.2.

Tipo II

Los truncados. 6.3.3.

Los rombis Pequeño y gran rombicuboctaedro y rombicoidodecaedro.

6.3.4.

Los chatos Cubo y dodecaedro chatos. Sin planos de simetría.

40

2010_Matematicas_45_13

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