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MATEMÁTICAS Geometría del triángulo.
3 1 1 3 8 3 1 4 2
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1.
GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
1.1.
TRIÁNGULOS: CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES
1.2.
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
2.
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGUL O
2.1.
BASE DEL TRIÁNGULO
2.2.
MEDIANAS DEL TRIÁNGULO: BARICENTR O
2.3.
MEDIATRICES DEL TRIÁNGULO: CIRCUNCENTR O
2.4.
ALTURAS DEL TRIÁNGULO. ORTOCENTR O
2.5.
BISECTRICES DEL TRIÁNGULO: INCENTR O
3.
TEOREMA DE PITÁ PITÁGORA GORA S
4.
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE PITÁGORA S
4.1.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
4.2.
TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZAD O
3
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INTRODUCCIÓN
Geometría del triángulo es un título para un tema realmente amplio. Hemos tratado de limitar el tema dando cabida a la geometría del triángulo que debe desarrollarse en la ESO y en el Bachillerato. Lo primero que se debe tener claro es la denición de triángulo, tres puntos no alineados que quedan unidos dos a dos, podría ser un ejemplo muy sencillo de denición. A partir partir de ésta se denen las propiedades, características y se puede llevar a cabo una clasicación. A lo largo del tema se estudiará además de la clas icación y propiedades de los triángulos, sus rectas y puntos notables (base, baricentro, circuncentro, ortocentro, incentro), que nos llevarán hasta el teorema de Pitágoras y sus consecuencias (relaciones métricas y teorema de Stewart).
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1
1.1.
GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
TRIÁNGULOS: CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES Defnición:
El triángulo es un polígono que tiene tres lados.
X
Clasificación de los triángulos según sus lados Pueden ser:
X
Equiláteros, cuando tienen los tres lados iguales.
Isósceles, cuando tienen dos lados iguales.
Escalenos, cuando no tienen lados iguales.
Propiedad En todo triángulo, un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
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Demostración:
Fijándonos en un triángulo arbitrario ABC, cada lado es un segmento rectilíneo menor que la línea quebrada formada por los otros dos lados, ya que tienen los mismos extremos; por tanto:
B
AB < BC + CB
c
a
BC < CA + AB
C
CA < AB + BC
A
b
O bien, restando a los dos miembros los valores correspondientes, se tiene:
AB − BC
< CB BC − CA < AB CA − AB < BC Con tres rectas cualesquiera no se puede formar un triángulo; es necesario que satisfagan las condiciones indicadas, que se resumen diciendo que el mayor de los tres lados sea menor que la suma de los otros dos, pues quedan entonces satisfe chas todas. X
Suma de los ángulos interiores de un triángulo La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale
π
.
Por el vértice B trazamos una paralela al lado CA y tenemos que los ángulos A = A′ y C = C ′ por alternos internos, luego:
C ′ + B + A′ = π
=C +B+ A
Consecuencia:
Un ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
+ A = , = − A = B + C luego = A + B + C = , B + C = − A α
π
α
π
π
α
π
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X
Clasificación de los triángulos según sus ángulos Pueden ser:
Acutángulos, cuando tienen los tres ángulos agudos.
Rectángulos, cuando tienen un ángulo recto.
Obtusángulos, cuando tienen un ángulo obtuso.
Consecuencias: a) El triángulo equilátero es también equiángulo los tres ángulos son iguales, π
/ 3 , y es el polígono regular de tres lados.
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa b) En el triángulo rectángulo, el lado opuesto y los otros dos catetos. c) Un triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo recto y dos lados iguales, que son los catetos; luego sus ángulos valen:
A =
π
2
b = c, lue go B = C
A + B + C
=
π
, B +C
luego, B = C =
1.2.
= −A= π
π
2
π
4
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son iguales si tienen iguales i guales sus lados y sus ángulos. Para comprobar la igualdad de sus tres lados y de sus tres ángulos, basta con:
8
Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales.
Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido (el ángulo formado por esos dos lados).
Dos triángulos son iguales si tienen un lado y dos ángulos iguales.
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X
Propiedad La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad, y se llama paralela media correspondiente al tercer lado. Demostración:
Bastará con demostrar que la paralela a CA trazada por N pasa por el punto medio de AB y que MN = 1 2 AC . Por el punto M en el que dicha paralela a CA corta al lado AB, trazamos la para lela al lado BC y se forman dos triángulos AMP y MBN, que son iguales, ya que BN = NC = MP (por segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas), y los ángulos adyacentes a estos lados BN y MP también son iguales, unos por co rrespondientes y otros por ángulos de lados paralelos y en el mismo sentido. De la igualdad de los triángulos AMP y MBN obtenemos que MA = MB (M es el
punto medio de AB ) y AP = MN
= CP ; por tanto, MN = 1
2 AC .
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RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRI ÁNGULO Con el nombre de rectas notables de un triángulo se conocen: la base, mediana, mediatriz, altura y bisectriz. Pasemos a estudiar cada una de ellas.
2.1.
BASE DEL TRIÁNGULO Se llama base de un triángulo a uno cualquiera de sus lados. En el triángulo isósceles suele tomarse por base el lado desigual, mientras que en los triángulos rectángulos se acostumbra a tomar por base la hipotenusa. Evidentemente, en todo triángulo hay tres bases.
2.2.
MEDIANAS DEL TRIÁNGULO: BARICENTRO Mediana de un triángulo es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. En todo triángulo hay tres medianas.
X
Teorema Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad del triángulo, que divide a cada mediana en dos segmentos; el que une el baricentro con el vértice es el doble del que une el baricentro con el punto medio del lado opuesto correspondiente. correspondiente. (Luego la distancia del baricentro a un vértice es igual a los 2/3 de la mediana correspondiente y la distancia del ba ricentro al punto medio del lado es igual a 1/3 de la mediana correspondiente). Demostración:
Sea el triángulo ABC y tracemos las medianas correspondientes AN, CM y BP, que concurren en G. Razonemos, primeramente, con AN y CM que se cortan en el punto G, y veamos que se verica:
GA = 2GN GC
= 2GM
Si unimos M y N, puntos medios de dos lados del triángulo, entonces el segmento MN es paralelo a AC e igual a su mitad (por ser paralela media). Si en el triángulo AGC unimos los puntos medios Q y R de los lados AG y GC respectivamente, entonces el segmento QR es paralelo a AC e igual a su mitad (por ser la paralela media).
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Luego los segmentos MN y QR son iguales y paralelos. Los triángulos GMN y GQR son iguales por tener un lado igual MN
= QR y dos
ángulos iguales por alternos internos formados por dos rectas paralelas MN y QR cortadas por dos rectas secantes MR y QN, luego GN
GA =
2 3
AN , y GN
=
1 3
= GQ = QA , es decir,
AN , y GM
= GR = RC
es decir,
GC
=
2 3
CM y GM
=
1 3
CM
Análogamente demostraríamos que GB = 2 GP
2.3.
MEDIATRICES DEL TRIÁNGULO: CIRCUNCENTRO Mediatriz de un triángulo es la perpendicular a un lado cualquiera en su punto medio. En todo triángulo hay tres mediatrices.
Recordemos una propiedad de la mediatriz de un segmento. X
Teorema Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de sus extremos. Demostración:
En efecto, sea P un punto cualquiera de la mediatriz del segmento AB. Veamos
que PA = PB . Los triángulos rectángulos PMA y PMB son iguales pues MA = MB y PB es común a los dos triángulos rectánculos, luego PA = PB . Teorema recíproco :
Todo punto que equidista de los extremos de un segmento pertenece a su mediatriz. Demostración:
Sea P un punto que equidista de los extremos del segmento AB, es decir, tal que Veamos que P es un punto de la mediatriz del segmento AB. PA = PB . Veamos Si trazamos desde P la perpendicular al segmento AB, obtenemos dos triángulos rectángulos PMA y PMB que son iguales, pues PA = PB y PM es común a los dos triángulos rectángulos, luego MA = MB ; es decir, M es el punto medio del segmento AB y PM es su mediatriz.
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X
Teorema Las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto que equidista de sus tres vértices. Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo y se llama circuncentro.
Demostración:
Las mediatrices MO y NO correspondientes a los lados AB y BC respectivamente, se cortan en el punto O por ser perpendiculares a dos rectas que se cortan.
O ∈ OM , mediatriz de AB, luego OA = OB O ∈ ON , mediatriz de BC, luego OB = OC
Entonces OA = OB = OC , es decir, O ∈ OP , mediatriz de AC. Corolario:
En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.
Demostración:
La mediatriz del lado AB corta a la hipotenusa en el punto O. Si unimos A con O, los triángulos rectángulos AMO y BMO son iguales, pues OA = OB (por ser O un punto de la mediatriz de AB), MA = MB (por ser M el punto medio de AB) y OM común, luego OAB = OBA .
Además:
2 OBA + OCA = 2 OAB = OBA
OAB + OAC =
π
π
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Entonces OAC
Luego OC hipotenusa.
2.4.
= OCA y OC = OA .
= OA = OB ,
y O es el circuncentro que es el punto medio de la
ALTURAS AL TURAS DEL D EL TRIÁNGULO. ORTOCENTRO Altura de un triángulo es la perpendicular trazada por un vértice al lado opuesto. En todo triángulo hay tres alturas.
X
Teorema Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
Dado el triángulo ABC con sus alturas, por cada uno de sus vértices trazamos la recta paralela al lado opuesto. Obtenemos así un nuevo triángulo A’B’C’ que está dividido en cuatro triángulos iguales (por segmentos de paralelas). Los puntos A, B y C son los puntos medios de los lados del triángulo A’B’C’, luego las alturas del triángulo ABC son las mediatrices del triángulo A’B’C’, A’B’C’, y ya sabemos que se cortan en un punto. Corolario:
En un triángulo rectángulo el ortocentro es el vértice del ángulo recto.
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2.5.
BISECTRICES DEL TRIÁNGULO: INCENTRO Bisectriz de un ángulo es la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
X
Teorema Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados.
Demostración:
En efecto, sea P un punto cualquiera de la bisectriz del ángulo AOB . Veamos Veamos que
PM
= PN .
Los triángulos rectángulos POM y PON son iguales pues PO es común y POM = PON , luego PM = PN .
Teorema recíproco:
Todo punto que equidista de los lados de un ángulo pertenece a su bisectriz. Demostración:
Sea P un punto que equidista de los lados de un ángulo AOB , es decir, tal que
PM
= PN .
Veamos que P es un punto de la bisectriz del ángulo AOB .
Si unimos P con O, obtenemos dos triángulos rectángulos POM y PON que son iguales, pues PM
POM
= PN y
PO es común a los dos triángulos rectángulos, luego
= PON ; es decir, PO es la bisectriz del án gulo AOB .
Bisectriz interior de un triángulo es la recta que divide a uno de sus ángulos en dos ángulos iguales. Bisectriz exterior de un triángulo es la bisectriz de un ángulo exterior.
Evidentemente, en todo triángulo hay tres bisectrices interiores y tres exteriores.
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X
Teorema Las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto que equidista de sus tres lados. Este punto es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y se llama incentro.
Demostración:
Consideremos el triángulo ABC y tracemos las tres bisectrices. Las bisectrices AO y BO, correspondientes a los ángulos A y B y respectivamente, se cortan en el punto O.
O ∈ OA , bisectriz del ángulo BAC , luego OP = OM .
O ∈ OB , bisectriz del ángulo ABC , luego OM
Entonces OP = OM
= ON .
= ON , es decir, O ∈ OC , bisectriz del ángulo.
Consecuencia:
En un triángulo equilátero coinciden incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro.
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TEOREMA DE PITÁGORAS Este teorema, referido a triángulos rectángulos, dice: «El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos».
Vamos a intentar demostrar, a continuación, lo anterior de varias maneras distintas. Demostración 1:
Figura 1
Consideramos el triángulo rectángulo ABC (gura 1), que es rectángulo en A .
Trazamos desde el vértice A una perpendicular a la hipotenusa CB y obtenemos
dos triángulos rectángulos DAB y DCA que son semejantes al ABC pues DAB
y ABC tienen el ángulo B común y ABC y DCA tienen el ángulo C común.
Por lo tanto, si ABC DCA ⇒ los lados homólogos son proporcionales:
a
b
b
m
⇒ =
⇒ a ⋅ m = b2
Igualmente, si ABC DBA ⇒ por idéntica razón que anteriormente:
a c
c
= ⇒ a ⋅ n = c2 n
Tomando las igualdades obtenidas y sumándolas, obtenemos:
= a ⋅ m ⇒ b2 + c 2 = a ⋅ m + a ⋅ n = a ( m + n ) = a 2 2 c = a⋅n
b2
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Demostración 2:
La demostración gráca del teorema de Pitágoras vendría dada por el siguiente teorema: «El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es equivalente a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos».
Figura 2
Mirando la gura 2 hemos obtenido los cuadrados V, W, Z sobre los lados del triángulo rectángulo. El cuadrado Z está dividido en dos rectángulos L y LL, de bido a la prolongación de la altura del triángulo rectángulo. Vamos a demostrar que dichos rectángulos L y LL son equivalentes a los cuadrados V y W, respecti vamente. Consideremos los triángulos CAD y CBI . Observemos que tienen el ángulo C
igual, pues en ambos C = α +
π
gulo iguales, pues:
2
y además tienen los lados que forman dicho án-
AC
= CI y
C D = CB
Entonces CAD = CBI .
Observemos también que CAD es la mitad del área del rectángulo L, pues tie
nen la misma base CD y la altura del triángulo coincide con la del rectángulo:
AP = JC . Por idénticos argumentos, deducimos que el triángulo CBI es la mi
tad del cuadrado V, ya que la base es la misma CI y la altura del triángulo BR
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coincide con AC , otro lado del cuadrado V. De aquí deducimos la equivalencia entre el rectángulo L y el cuadrado V. De la misma manera se puede demostrar que el rectángulo LL es equivalente al
cuadrado W. W. (Basta considerar los triángulos AEB y CFB ). De todo esto dedu cimos que:
´ ´ a´ re a d e L+a´ rea de L L = area de W de V + area
´ a de Z = a´rea de V + ´area de W are area Por tanto: a 2
W. = b 2 + c 2 , llamando a al lado del cuadrado Z, b al de V y c al de W.
Demostración 3:
Teorema de Pitágoras en el plano vectorial. Si a y b son dos vectores ortogonales en el plano vectorial, se tiene: 2 2 2 a +b = a + b
a +b
2
= ( a + b ) ( a + b ) = a ⋅ a + 2a ⋅ b + b ⋅ b =
a
2
+
b
2
ya que a ⋅ b = 0 por ser a y b ortogonales. Demostración 4:
Teorema de Pitágoras en el plano afín euclídeo.
Figura 3
Sean a , b y c los vectores deposición del triángulo rectángulo representado en la gura 3. Se cumple: CA + AB = CB Además:
18
CA = a − c AB = b − a CB = b − c
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Aplicamos lo anterior:
CB
2
=
2
CA + AB
pues CA y AB son ortogonales.
= (CA + AB ) =
CA
2
+
AB
2
Si: CA
= b,
AB
=c
y CB
= a ⇒ a2 = b2 + c 2
que era lo que queríamos demostrar. Demostración 5:
Sea el cuadrado de lado (b + c). Vericamos fácilmente que: 2
( b + c ) = b 2 + c 2 + 2bc Dividimos los rectángulos de área bc en triángulos de área bc/2. Si dibujamos estos triángulos como indica la gura 4b), sus hipotenusas forman a su vez un cuadrado de lado a. Por lo tanto, de la equivalencia de las guras 4a) y 4b) y quitando del cuadrado los 4 triángulos rectángulos, nos queda:
a
a)
2
= b2 + c2 b)
Figura 4
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4
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Vamos a estudiar a continuación una serie de consecuencias que se deducen del teorema de Pitágoras, algunas de las cuales son inmediatas.
4.1.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Consideramos el triángulo ABC, rectángulo en A . Tracemos la altura de dicho triángulo a partir del vértice A. Dicha altura divide a la hipotenusa en dos partes, que van a cumplir una serie de relaciones que enunciaremos y demostraremos a continuación (gura 5).
1. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa, lo que también se traduce por:
= a⋅m 2 c = a ⋅n
b
2
y cuya demostración demostración no efectuamos debido debido a que la hemos realizado en el apartado anterior. Esta proposición se conoce también con el nombre de «Teo rema del cateto». 2. La altura es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, o también: 2 h = m⋅n
y se conoce también como «T «Teorema eorema de la altura». Lo anterior es fácil de demostrar. demostrar. Si volvemos volvemos a considerar el apartado ante rior, habíamos deducido que los triángulos:
ABC DAB
⇒ DAB DCA ⇒ ABC DCA
m n
h
= ⇒ h2 = m ⋅ n h
3. En todo triángulo rectángulo, rectángulo, los cuadrados de los los catetos son proporcionales a sus proyecciones respectivas sobre la hipotenusa.
Basta que consideremo consideremoss las las fórmulas obtenidas anteriormen anteriormente te y las dividamos:
= a ⋅ m b2 m ⇒ c2 = n c2 = a ⋅ n
b2
Figura 5
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rectángulo es igual a la hipotenusa 4. El producto de los catetos de un triángulo rectángulo por la altura considerada desde el ángulo ángulo recto a la hipotenusa. Tengamos en cuenta que ABC DAB ⇒
Aplicación:
b
h
a
= ⇒ b ⋅c = h ⋅a c
Todas estas propiedades se pueden trasladar a la circunferencia tomando en ella un triángulo rectángulo que tenga su hipotenusa coincidiendo con el diámetro de la misma y cuyos catetos sean cuerdas de dicha circunferencia . De este modo (gura 6) podemos decir que:
− Toda cuerda es media proporcional entre el diámetro y la proyección de dicha cuerda sobre este último, pero de manera que dicho diámetro pase por el extremo de la cuerda.
− La semicuerda perpendicular al diámetro (que coinciFigura 6
de con la altura del triángulo t riángulo rectángulo) es media pro porcional entre los segmentos en los que la divide.
− Los cuadrados de cualquier cuerda de las que podemos trazar por los extre mos del diámetro para formar el triángulo rectángulo, son proporcionales a las proyecciones de dichas cuerdas sobre el diámetro. 5. El cuadrado de un cateto se puede expresar como el de la hipotenusa menos el del otro cateto.
De la relación:
a
2
=b +c 2
2
b 2 = a 2 − c 2 ⇒ 2 2 2 c = a − b
donde a es la hipotenusa de de un triángulo rectángulo, rectángulo, y b y c son los catetos. 6. La hipotenusa es a la proyección de un cateto sobre ella como su cuadrado es al del cateto.
Basta tener en cuenta que:
= a ⋅ m a 2 a ⋅ a a ⇒ b2 = a ⋅ m = m a2 = a ⋅ a
b
2
7. El inverso del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa, en cualquier trián gulo rectángulo, es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos.
Según la propiedad 4: b⋅c = a ⋅h ⇒ b
2
⋅ c = a ⋅h ⇒ 2
2
2
a2 b2
=
c2 h2
y también a2 c2
=
b2 h2
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Sumamos las dos relaciones anteriores: a
2
b
2
+
a
2
c
2
2
=
c
1
1
b
+ 2
c2
+ b2 h
2
=
a
2
h
2
y dividimos por a2:
=
1 h2
8. Dados dos lados de un triángulo rectángulo, podemos fácilmente hallar el otro. (Esto se deduce del teorema de Pitágoras).
Si es la hipotenusa «a» la que desconocemos
⇒a=
b
2
+ c2
Si es cualquiera de los catetos, entonces:
b=
a2 − c2
c=
a2 − b2
9. Si sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo a, b, y c, construimos tres guras, F a , F b , y F c semejantes, el área de la gura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las construidas sobre los catetos.
Teniendo en cuenta que el área de las guras es proporcional a los cuadrados de los segmentos homólogos y llamando S ( F a ) , S ( F b ) y S ( F c ) a dichas áreas:
S ( F a ) S ( F b ) S ( F a ) S ( F c )
=
=
a2 b2 a2 c2
ó
ó
a 2 = 1 ⋅ S ( F ) a k a2 b2 ⇒ S ( F a ) = S ( F b ) = S ( F c ) = k ⇒ b 2 = 1 ⋅ S F ( b) 2 2 2 a b c k S ( F a ) S ( F c ) c 2 = 1 ⋅ S F = 2 2 ( c) a c k
S ( F a )
=
S ( F b )
y considerando la relación: a
1 k
2
= b 2 + c 2 , obtenemos: 1
1
k
k
⋅ S ( F a ) = ⋅ S ( F b ) + ⋅ S ( F c )
de donde deducimos: S ( Fa ) = S ( Fb ) + S ( Fc )
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Aplicación: Lúnulas de Hipócrates
Se llaman así a las guras que resultan al dibujar tres semicírculos semejan tes sobre los lados de un triángulo rectángulo, como en la gura 7.
N
A M J I T
B
C
Figura 7
área de T + área de I + área de J = (área de M + área de I) + (área de N + área de J)
⇒
área de T = área de M + área de N Es decir, el área del triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de las lúnulas. 10. El cuadrado construido sobre la altura debida a la hipotenusa en un triángulo rectángulo es equivalente al rectángulo cuyas dimensiones son las proyeccio nes de los catetos sobre la hipotenusa.
Consideremos el triángulo ABC , que es rectángulo en A (gura 8).
Figura 8
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Sabemos ya, que: W Z , y considerando JCA : W V
De ambas relaciones deducimos que: Z V
+ LL .
+ LL
El rectángulo rectángulo L tiene por por dimensiones dimensiones las de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
4.2.
Además, Z L + LL , y deducimos que L V , que es lo que queríamos.
TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO El cuadrado de un lado opuesto a un ángulo (agudo-obtuso) de un triángulo obli cuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos (menos-más) el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él (gura 9).
Sea un triángulo ABC y llamemos «a» al lado BC que se opone a un ángulo agu do (que es el caso de las guras (1) y (2) de la gura 9) de un triángulo oblicuán gulo o a un ángulo obtuso en un triángulo obtusángulo (en la gura (3)). h es la altura correspondiente al lado CA trazada desde el vértice B y m, n son los segmentos que determina la altura sobre el lado opuesto. En las guras (1) y (2) de la gura 9 se tiene:
a2
= h2 + m2 = c 2 − n 2 + (b − n )2 = c 2 + b 2 − 2 ⋅ n ⋅ b
En la gura (3) de la gura 9 se cumple:
a2
= m 2 + h 2 = ( b + n )2 + c 2 − n 2 = b 2 + c 2 + 2 ⋅ b ⋅ n
Resumiendo, los resultados anteriores son:
a
2
= b 2 + c2 + 2 ⋅ b ⋅ n π
teniendo en cuenta que utilizaremos el s igno negativo cuando A < , el positivo 2 en caso contrario, es decir:
A >
π
, y n = 0 si A =
π
2
2
.
Figura 9
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Aplicación:
Podemos saber si un triángulo es acutángulo, rectángulo u oblicuángulo sin más que conocer sus medidas; no es necesario construirlo. Basta comprobar si el lado mayor al cuadrado es <, = ó > que la suma de los cuadrados de los otros dos. X
Teorema 1 La diferencia de los cuadrados de dos lados cualesquiera de un triángulo oblicuángulo es igual a la diferencia de los cuadrados de sus proyecciones respectivas sobre el otro lado (gura 10).
Figura 10
Consideremos el triángulo ABC y sus lados a, b y c. Sean m y n proyecciones de los lados a y c sobre b. Si aplicamos el teorema de Pitágoras:
= h2 + m2 ⇒ a 2 − c2 = m 2 − n 2 2 2 2 c = h +n
a
2
Corolario 1:
En un triángulo rectángulo, la diferencia de los cuadrados de los catetos es igual a la diferencia de los cuadrados de los segmentos en que la altura divide a la hipotenusa. (Se comprende que la altura a que nos referimos es la trazada desde el ángulo recto hasta la hipotenusa). Aplicación:
Se puede calcular el área de un triángulo acutángulo cualquiera conociendo solamente sus lados. El primer problema con el que nos enfrentamos es el de hallar la altura de dicho triángulo (gura 11).
Figura 11
25
tema 39 matemáticas
Vamos a calcular la altura = h, correspondiente al lado a, uno de cuyos ángulos adyacentes es agudo. Aplicamos el teorema de Pitágoras a AHC: h 2
= b2 − m2 .
Como ABC no es rectángulo necesariamente, se cumple:
c2
= a 2 + b2 − 2 ⋅ a ⋅ m ⇒ m =
a
2
( a 2 + b2 − c 2 ) + b2 − c 2 2 ⇒m = 2⋅a 4 ⋅ a2
2
y sustituyendo en la otra igualdad:
(a + b − c ) 2
h
2
= b2 −
⇒ h2 =
2
4 ⋅ a2 1
4⋅ a
2
2
2
=
4 ⋅ a2 ⋅ b2 − ( a 2 + b 2
−c 2)
2
4 ⋅ a2
⇒
⋅ ( 2 ⋅ a ⋅ b + a 2 + b2 − c 2 ) ⋅ ( 2 ⋅ a ⋅ b − a 2 − b 2 + c 2 )
Como:
2 ⋅ a ⋅ b + a 2 + b2 − c 2
= ( a + b )2 − c 2
2 2 2 y 2 ⋅ a ⋅b − a − b + c
= c 2 − ( a − b )2
de las tres igualdades anteriores deducimos: h
2
=
=
1 4 ⋅ a2 1
4 ⋅ a2
⋅ ( ( a + b )2 − c 2 ) ⋅ ( c 2 − ( a − b )2 ) =
⋅ ( ( a + b + c ) ⋅ ( a + b − c )) ⋅ ( (c + a − b ) ⋅ ( c − a + b ))
Si llamamos 2 ⋅ p al perímetro del triángulo: a + b + c = 2⋅ p a + b − c = 2 ⋅ p − 2 ⋅ c = 2 ⋅( p − c ) a + c − b = 2 ⋅ p − 2 ⋅ b = 2 ⋅( p − b ) b + c − a = 2⋅ p − 2⋅a
= 2 ⋅( p − a)
y sustituyendo:
1 ⋅ 16 ⋅ p ⋅ ( p − c ) ⋅ ( p − b ) ⋅ ( p − a ) ⇒ 4 ⋅ a2 4 ⇒ h2 = 2 ⋅ p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b ) ⋅ ( p − c ) ⇒ a 2 ⇒ h = ⋅ p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b ) ⋅ ( p − c ) a h
2
=
Una vez conocida la altura, basta aplicar la fórmula del área del triángulo. X
Teorema 2 En un triángulo cualquiera, la suma de los cuadrados de dos de sus lados es igual al doble de la suma de los cuadrados de la mitad del tercero y de la mediana correspondiente. Y, Y, la diferencia de los cuadrados de dos de sus lados, es el doble producto del otro lado por la distancia que hay entre su punto medio al pie de la altura al tura correspondiente. Este teorema permite el cálculo de las medianas conocidos los tres lados.
26
tema 39
matemáticas
(Recordemos que mediana relativa al lado BA en un triángulo ABC , es la recta trazada desde el vértice opuesto a dicho lado (C), hasta el punto medio del lado) (gura 12).
Figura 12
Considerando BMC tenemos:
2
a
2
b
2
c c 2 2 m = + + ⋅ ⋅ MH 2 2
Considerando MCA : 2
c c 2 = 2 + m − 2 ⋅ 2 ⋅ MH
Sumando ambas: 2
a
2
+b
2
c 2a 2 + 2b 2 − c 2 2 2 = 2 ⋅ + 2 ⋅ m ⇒ m = 4 2
Y, restándolas:
a2 − b 2 X
= 2 ⋅ c ⋅ MH
Teorema de Stewart Es una generalización de lo anterior. Ahora en vez de considerar la mediana, con sideramos una oblicua cualquiera al lado c interior al triángulo y distinta a la mediana (gura 13).
= c12 + n 2 + 2 ⋅ c1 ⋅ NH 2 2 2 b = c 2 + n − 2 ⋅ c 2 ⋅ NH a
2
Figura 13
27
tema 39 matemáticas
Multiplicamos la primera igualdad por c2 y la segunda por c1 y sumamos ambas:
a 2 ⋅ c2 + b 2 ⋅ c1
= c12 ⋅ c2 + c22 ⋅ c1 + n 2 ⋅ c1 + n 2 ⋅c 2 = c1 ⋅c 2 ⋅c + n 2 ⋅c
Damos signos a los segmentos sobre AB, y AB designará la medida de AB con su signo:
CA
2
2
2
NA ⋅ AB = 0 ⋅ BN + CB ⋅ NA + CN ⋅ AB + BN ⋅ NA
fórmula que constituye el «teorema de Stewart».
28
tema 39
matemáticas
BIBLIOGRAFÍA
BURGOS, J.: Curso de álgebra y geometría. Ed. Pearson Educación, S.A. BURGOS, J.: Álgebra y trigonometría. Ed. Bruño. PIÑEIRO, E., IBAÑES, M. y ORTEGA, T.: Trigonometría. Ed. Síntesis. PUIG ADAM, P.: Curso de Geometría Métrica. Ed. Biblioteca Matemática. SÁNCHEZ MARMOL, L.: Geometría. Ed. S.A.E.T.A. VV.AA.: Geometría, curso superior. Ed. Bruño..
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tema 39
matemáticas
RESUMEN
Geometría del triángulo.
1. 1
1.1.
GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
TRIÁNGULOS: CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES
Denición de triángulo.
Clasicación según sus lados.
Propiedades: a < b + c, a > b – c
Clasicación según sus ángulos.
Propiedades: =180o A + B + C =180
Hipotenusa (a) y catetos ( b, c) en un triángulo rectángulo. 1.2.
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS 3 lados iguales. 2 lados iguales y ángulo comprendido. 1 lado y 2 ángulos iguales
2. 2
2.1.
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
BASE DEL TRIÁNGULO Cualquiera de sus lados.
2.2.
MEDIANAS DEL TRIÁNGULO: BARICENTRO Recta que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. El baricentro divide cada mediana en dos partes, de manera que la que l o une con el vértice
es el doble de la que lo une con el lado. 2.3.
MEDIATRICES DEL TRIÁNGULO: CIRCUNCENTRO Recta perpendicular a un lado en su punto medio. Todo punto de ella equidista de los vér tices respectivos. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita. Caso particular: en un triángulo rectángulo el circuncentro es el punto medio de la hipo -
tenusa.
31
tema 39 matemáticas
2.4.
ALTURAS AL TURAS DEL TRIÁNGULO: TRIÁN GULO: ORTOCENTRO Recta perpendicular trazada desde el vértice al lado opuesto. El ortocentro es el circuncentro del triángulo semejante invertido que pasa por sus vértices. Caso particular: en un triángulo rectángulo el ortocentro es el vértice del ángulo recto.
2.5.
BISECTRICES DEL TRIÁNGULO: INCENTRO Recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Todo punto de ella equidista de sus
lados. El incentro es el centro de una circunferencia inscrita. Caso particular: en un triángulo equilátero coinciden los cuatro puntos notables.
3. 3
TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, hip 2 = cat 2 + cat 2 . Demostraciones: Semejanza de triángulos, áreas de cuadrados, cálculo vectorial, descomposición de un
cuadrado de lado igual a la suma de los catetos.
4. 4
4.1.
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
RELACIONES MÉTRICAS MÉ TRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 1. Teorema del cateto: Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipo -
tenusa. b2
= am
donde m es la proyección de b sobre a.
2. Teorema de la altura:
La altura altura es media proporcional proporcional entre las proyecciones proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. h2
= mn , donde m, n son las proyecciones de los catetos sobre a.
rectángulo, los cuadrados de los catetos son proporcionales a sus 3. En todo triángulo rectángulo, proyecciones respectivas sobre la hipotenusa. b
2
c2
=
m n
4. El product producto o de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a la hipotenusa por la
altura considerada desde el ángulo recto a la hipotenusa. bc = ha
5. El cuadrado de un cateto se puede expresar como el de la hipotenusa menos el del
otro cateto. b2
32
= a2 − c2
tema 39
matemáticas
es a la proyección de un cateto sobre ella como su cuadrado es al del 6. La hipotenusa hipotenusa es
cateto. a
2
b2
=
a m
7. El inverso del inverso del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa, en cualquier triángulo rectángulo, es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos 1 b2
+
1 c2
=
1 h2
fácilmente hallar el otro. 8. Dados dos lados de un triángulo rectángulo, podemos fácilmente b=
a 2 − c2 .a =
b 2 + c2
9. Si sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo a, b, y c, construimos tres guras, F a , F b , y F c semejantes, el área de la gura construida sobre la hipotenusa es
igual a la suma de las áreas de las construidas sobre los catetos. S ( Fa ) = S ( Fb ) + S ( Fc ) , donde F i son guras semejantes construidos sobre el
lado i. Lúnu-
las de Hipócrates.
sobre la hipotenusa es igual al del rectángulo de di10. El área del cuadrado construido sobre mensiones las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. 4.2.
TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO a
X
2
= b2 + c 2 + 2bcn donde n es la proyección de c sobre a.
Aplicaciones Clasifcación de triángulos según sus ángulos, conocidos los tres lados. Clasifcación de
Fórmula de Herón: A =
p ( p − a )( p − b )( p − c )
Teorema de Stewart: 2
CA
NA ⋅ AB = 0 ⋅ BN + CB 2 ⋅ NA + CN 2 ⋅ AB + BN ⋅ NA
donde N es es un punto arbitrario del lado AB. De aquí extraemos: 2
a
2
+b
2
c 2 = 2 2 + 2m
donde m es la mediana de c. a
2
− b 2 = 2cMH
donde MH es es la distancia entre el punto medio de c y el pie de la altura de dicho lado.
33
